PHYSICS OF HIGH ENERGY DENSITY
Proceedings
of the
International School of Physics
«Enrico Fermi»
COURSE XLVIII
edited by P. Caldirola
Director of the Course
and by H. Knoepfel
Varenna on Lake Como
Villa Monastero
14th—26th July 1969
ACADEMIC PRESS
NEW YORK AND LONDON
1971

ФИЗИКА
ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ
ЭНЕРГИИ
Под ред. П. КАЛЬДИРОЛЫ и Г. КНОПФЕЛЯ
Перевод с английского
под ред. д-ра физ.-мат. наук
О. Н. Крохина
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1974

УДК 539.3
Книга составлена из лекций, прочитанных крупнейшими
специалистами мира в Международной школе физиков им. Э. Ферми
(Варенна, 1969 г.), по вопросам создания высоких концентраций
энергии и изучения свойств вещества при таких концентрациях.
Книга предназначена для научных работников и
инженеров, занимающихся исследованиями в областях
высокотемпературной гидрогазодинамики, физики взрыва, термоядерного
синтеза и лазерной плазмы, а также для студентов старших курсов
и аспирантов соответствующих специальностей.
Редакция литературы по физике
ф —_- 57—73 © Перевод на русский язык, «Мир», 1974
041 (01)—74

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Физика высоких плотностей энергии представляет собой
одну из увлекательнейших областей современного естествознания,
охватывающую широкий круг объектов исследования.
Конечно, понятие высокой плотности энергии весьма относительно;
скорее здесь речь идет о предельных возможностях техники
сегодняшнего дня, но и в этом случае различные методы и
направления характеризуются своими собственными предельными
параметрами. Прогресс в области физики высоких плотностей
энергии связан в первую очередь с развитием техники
применения мощных взрывных веществ, сильноточных электрических
разрядов, сильных электрических и магнитных полей,
интенсивных потоков лазерного излучения. Но все, что достижимо в
контролируемых земных условиях, не идет ни в какое сравнение
с масштабом концентрации энергии в астрофизических
объектах— белых карликах, нейтронных и коллапсирующих звездах.
Исследование таких объектов по существу только начинается.
Физика высоких плотностей энергии имеет как
фундаментальное, сугубо научное, так и практическое значение, ибо,
занимаясь исследованием поведения вещества в экстремальных
условиях — при высоких плотностях, высоких температурах, в
сильных полях, она питает технику новым подходом к решению
важнейших задач.
В предлагаемой книге читатель найдет ряд интересных идей,
теоретических и экспериментальных результатов, полученных в
различных направлениях исследований по физике высоких
плотностей энергии. Книга содержит цикл лекций, прочитанных

6
Предисловие редактора перевода
специалистами, работающими в данной области, в школе им.Эн-
рако Ферми в Варение, организованной Итальянским
физическим обществом летом 1969 г. Следует подчеркнуть, что эта
книга не просто сборник работ, посвященных узким
специальным вопросам, а по существу монография, достаточно широко
отражающая современное состояние исследований в разных
направлениях.
Книгу перевели на русский язык Ф. А. Николаев (гл. 1, 4, 5,
7, 8), В. Б. Розанов (гл. 2, 9, 15) и Г. В. Склизков (гл. 3, 6,
11—14).
О. Я. Крохин

I
НЕКОТОРЫЕ МЫСЛИ О ФИЗИКЕ
ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ ЭНЕРГИИ
Э. Теллер*
Всегда бывает трудно подвести итоги хорошей физической
конференции1). И совсем невозможно, когда это такая
живительная смесь старых и забытых фактов с остроумными,
многообещающими, но еще не проверенными идеями. Две недели у
озера Комо в «школе», основанной в память Энрико Ферми,
имели целью создание новой отрасли физики: физики высоких
плотностей энергии. Наши хозяева, ученые из Фраскати,
достигли своей цели. Мы приехали с надеждами и уезжаем с
неохотой, увозя в памяти солнечное озеро и волнующие моменты,
когда создавалась новая наука.
У нас есть две причины для сожаления. Одна из них — это
отсутствие Альтшуллера и Зельдовича, двух человек, которые,
пожалуй, больше всех способствовали открытию этого нового
поля исследований. Вторая—отсутствие среди нас ученых из
прекрасной лаборатории в Лос-Аламосе. Много важных работ
не было представлено самими авторами.
Первый импульс пришел из Фраскати. Надежды получить
контролируемую реакцию ядерного синтеза породили
уверенность, что успеха можно будет достичь, если сконцентрировать
усилия на высоких плотностях энергии. Энтузиазм,
появившийся во Фраскати, дал результаты, которые производят глубокое
впечатление. Но когда я пытаюсь взглянуть в будущее, мне
вспоминаются примеры исторического развития, принимавшего
неожиданный оборот.
Когда Колумб проводил средневековый эквивалент
«кампании по сбору средств», его аргументом было то, что, двигаясь
на запад, он мог улучшить торговые связи с Китаем. Сейчас,
* Е. Teller, University of California, Lawrence Radiation Laboratory —
Livermore, Cal.
*) Этот доклад был заключительным, подводящим итоги конференции,
но в английском издании он помещен в начале сборника как
«стимулирующее научное введение». — Прим. ред.

8
Э. Теллер
пятью столетиями позже, эта цель все еще не достигнута. Но
никто не скажет, что Колумб был неудачником.
Контролируемая термоядерная реакция будет иметь
практически важное значение, может быть, лишь в двадцать первом
столетии. Но систематическое исследование реакции ядерного
синтеза и некоторые остроумные попытки европейцев «схватить
за хвост жар-птицу», найдя какой-нибудь особенно
эффективный подход, уже дали вклад в физику плазмы. Приобретенные
знания используются в астрофизике и некоторых областях
техники (например, получение электроэнергии в магнитогидроди-
намических генераторах). Попытки возбудить реакцию синтеза
концентрированным импульсом энергии могут дать такую же
смесь практических приложений и фундаментальных знаний.
Я попытаюсь выделить некоторые возможности, отличные от
достижения честолюбивой цели получить и контролировать
реакцию синтеза по воле экспериментатора.
На конференции были представлены два подхода к
проблеме высоких плотностей энергии. Один — старый, а другой —
новый. Старый подход состоит в использовании ударных волн
для создания вещества высокой плотности. При помощи
мощных взрывчатых веществ можно получить давление в
несколько миллионов атмосфер. Это близко к давлению вблизи центра
Земли.
Новый подход состоит в использовании высоких плотностей
электромагнитной энергии. При быстрых темпах развития
лазерной техники легко делать разные предположения, но трудно
предугадать ближайшее будущее.
Довольно много весьма полных и систематических лекций
об ударных волнах нам прочитал Дювал из Университета шт.
Вашингтон. Он уделил большое внимание структуре ударных
волн и связи этой структуры с различными изменениями и
перегруппировками в веществе, сжимаемом ударной волной. Гросс
из Колумбийского университета вплотную подошел к границам
известного, когда говорил о магнитогидродинамических и
излучающих ударных волнах. Единственный пример кажущегося
расхождения был приведен в интересных лекциях Шалла о
детонационных волнах. Расхождение невелико, и его можно
объяснить, если предположить, что на фронте детонационной
волны не достигается полное равновесие всех молекулярных
степеней свободы. В целом физика ударных волн
представляется вполне законченной наукой.
Этого нельзя сказать об исследовании эффектов,
вызываемых ударными волнами. Работа сжатия в «несжимаемых»
материалах по величине сравнима с энергией химических связей.
Поэтому такое сжатие изменяет химические свойства, что
открывает новое поле деятельности для физической химии.

/. Некоторые мысли о физике высоких плотностей энергии 9
Это достаточно ясно показано в лекции Ройса из
Радиационной лаборатории им. Лоуренса (г. Ливермор).
Систематический анализ результатов исследования элементов при
высоких давлениях показывает, что при давлении свыше миллиона
атмосфер атомные объемы и сжимаемости становятся
значительно более гладкими функциями порядкового номера
элемента, чем при нормальных условиях. В этом, конечно, нет
ничего особенно удивительного. В пределе эти зависимости
должны соответствовать простому статистическому анализу системы
электронов (так называемой модели Томаса — Ферми). Очень
любопытно наблюдать аномально высокую сжимаемость
редкоземельных элементов, обусловленную тем, что при сжатии
атомов металла их внешние электроны вдавливаются в частично
заполненную /-оболочку. При сильном сжатии сжимаемость
уменьшается, так как становится существенным взаимодействие
с остовом, оболочки которого заполнены.
Одна из трудностей получения действительно высоких
плотностей связана с тем, что сжимающая ударная волна
нагревает материал и в результате уменьшается его сжимаемость.
О том, как практически обойти эту трудность, говорил Килер из
Ливермора. Это можно сделать, если в адиабатических
условиях использовать две следующие одна за другой ударные
волны, а еще лучше — использовать магнитное поле в качестве
упругой «подушки». Первичная ударная волна сжимает
область, содержащую магнитное поле, непрерывно увеличивая
тем самым напряженность магнитного поля. Магнитное же
поле в свою очередь сжимает образец, который должен быть
металлическим или покрытым тонкой оболочкой с высокой
проводимостью. Кнопфель из Фраскати сделал интересный обзорный
доклад о методах сжатия магнитного потока.
Важное значение сверхсильных магнитных полей отметил
также Линхарт из Фраскати. Сейчас могут быть получены
магнитные поля напряженностью несколько мегаэрстед. При
помощи неоднородного магнитного поля исследуемый объект
можно ускорить до высоких скоростей. Удар такого объекта
может быть использован для создания сильных ударных
волн, большой плотности, а также высокой температуры. Все
это — часть работ ученых из Фраскати по получению крайне
высоких температур, необходимых для возбуждения реакции
синтеза.
В частной беседе Линхарт говорил мне о некоторых других,
менее обычных возможных способах использования крайне
сильных магнитных полей. При этом возник вопрос, не могут ли
в таких полях рождаться пары магнитных монополей. Это не
имеет особого значения, поскольку рождение таких пар (даже
если предположить, что монополи существуют), вероятно,

10
Э. Теллер
весьма затруднено, если энергия передается в обычном акте
столкновения.
В принципе здесь все очень просто. Предположим, что в
момент рождения частицы и античастицы с магнитными зарядами
[х и —(ы расстояние между ними равно г. Тогда потенциальная
энергия их взаимодействия будет равна —(ы2/г. Согласно
соотношению неопределенностей, относительный импульс будет
порядка Ь/г. В упрощенном виде кинетическую энергию можно
записать как Ьс/r. Тогда отношение потенциальной энергии к
кинетической будет равно |х2/йс, а эта величина, согласно
Дираку, равна 34,25. Таким образом, у двух частиц не хватит
энергии, чтобы разойтись в стороны, даже если они возникнут.
(Заметим, что в случае рождения пары электронов или
протонов отношение е2/Ьс = V137 и, следовательно, кулоновское
притяжение не мешает рождению пар.) На самом деле этот
расчет не строгий, но во всяком случае он говорит о том, что
процесс рождения пар вполне может подавляться сильным
взаимодействием монополей. Кстати, этот вывод не зависит от массы
частицы и античастицы.
В присутствии же крайне сильного магнитного поля
положение меняется. В этом случае, после того как преодолен
потенциальный барьер, магнитное поле может растолкнуть в разные
стороны монополь и антимонополь. Множитель Гамова e~G,
который характеризует такой процесс, можно аппроксимировать
экспонентой с показателем G = ([i2/hc) \ dr/r. В качестве
нижнего предела интегрирования нужно взять комптоновскую
длину волны, а верхний предел дается магнитным полем,
необходимым для преодоления взаимного притяжения двух частиц.
(Здесь, в сильно упрощенном расчете, мы пренебрегаем
влиянием массы покоя и температуры. При получении грубых
оценок это допустимо.) Поскольку величина G не должна быть
большой, верхний предел интеграла не должен во много раз
превышать нижний; тогда для напряженности магнитного поля
получаем соотношение Н ~ М2с2/Ь2. Если предположить, что
масса монополя равна массе протона, то необходимая
напряженность магнитного поля будет равна почти 1020 Э. Даже в
горячей сердцевине коллапсирующей сверхновой звезды, и то
только в том случае, если практически вся гравитационная
энергия перейдет в энергию магнитного поля, магнитное поле
может достигать 1018 Э. Таким образом, рождение пар
монополей может иметь место самое большее лишь в зачаточной
форме. Если же предположить, что масса монополя равна массе
электрона, то будет достаточно магнитного поля
напряженностью в 1013 Э. Такие поля, вероятно, могут возникнуть при
звездном коллацсе.

/. Некоторые мысли о физике высоких плотностей энергии 11
Этот анализ приведен здесь, так как он демонстрирует
широту тематики лекций по физике высоких плотностей энергии.
Пока что все это, конечно, происходило лишь за обеденным
столом (неотъемлемая часть курса). Магнитные поля, полученные
в лаборатории, пока еще не превышают 107 Э. Такой
напряженности поля соответствует плотность энергии, ненамного
большая, чем запасенная в химических взрывчатых веществах
при нормальных условиях.
Рассмотренные сильные магнитные поля — только одна из
возможностей сильной концентрации энергии, создаваемой
гидромагнитным образом. Мезонье из Фраскати рассказал об
экспериментах с так называемым «плазменным фокусом». В
малом объеме создавались чрезвычайно сильные поля. Высокая
интенсивность процессов в этом малом объеме очевидна. Но
достигается ли там тепловое равновесие и, следовательно,
условия, необходимые для термоядерных процессов, — это менее
ясно.
Еще более перспективным полем исследований является
физика высоких плотностей световой энергии. Этой теме
(лазерной физике) была посвящена вторая большая часть лекций. То,
что для развития науки от предсказанного Эйнштейном
процесса индуцированного излучения до действующего лазера
потребовалось почти полвека, — одна из причуд современной физики.
Когда же лазеры были созданы, то оказалось, что возможности
их применения практически беспредельны.
Иногда говорят, что одной эйнштейновской гипотезы было
недостаточно, так как для работы лазера нужно, чтобы
индуцированное излучение возникало в том же направлении, что и
падающее. Другими словами, фотоны, излучаясь, должны
«сливаться с толпой» падающих фотонов, ибо это характерно для
частиц, подчиняющихся статистике Бозе. В действительности
же, как нетрудно показать, иначе и быть не может.
Индуцированное излучение — термодинамический двойник поглощения,
оно должно проявляться так же, как тень. Его даже можно
назвать отрицательной тенью. Отсюда сразу же следует, что если
поглощение приводит к экспоненциальному уменьшению
интенсивности, то индуцированное излучение — к ее '
экспоненциальному возрастанию.
Даже на более простом уровне (на основе классической
электродинамики) нетрудно доказать, что индуцированное
излучение действительно можно интерпретировать как
отрицательную тень. Для этого нужно лишь рассмотреть
интерференцию спонтанного и падающего излучения. В зависимости от
соотношения фаз получится либо поглощение, либо
индуцированное излучение. В обоих случаях систематическая
интерференция может происходить только в резонансе и только в том

12
Э. Теллер
направлении, в котором волновой вектор спонтанного излучения
совпадает с волновым вектором падающего излучения. А это и
есть, конечно, то направление, где при нормальных условиях
появляется тень. Заметим, что положительная интерференция в
классической теории соответствует инверсной заселенности в
квантовой теории. Это следует из закона сохранения энергии
(детальный механизм можно проследить с помощью теории
возмущений).
Все это просто. Однако то, что лазер действительно может
сделать, не только производит глубокое впечатление, но и имеет
прямое отношение к нашей теме. Детальное объяснение всех
этих явлений было дано Киддером из Радиационной
лаборатории в Лисерморе. Он охватил в своем докладе не только
принципы работы лазеров, но и трудный вопрос о взаимодействии
лазерного света с веществом. Тем самым была установлена
прямая связь между квантовой оптикой и исследованиями горячей
плазмы.
Прекрасные эксперименты с лазером представил здесь Кро-
хин из Физического института им. П. Н. Лебедева (Москва).
Интенсивные пучки света были использованы для исследования
испарения металлов и других веществ, например LiD. Он
провел тщательный анализ этих экспериментов. Таким методом
можно изучать высокотемпературные явления, недоступные при
других методах экспериментального исследования.
Любопытно, что метод, о котором говорил Крохин, можно
было бы применить для ускорения объектов до высоких
скоростей. Испарение задней поверхности объекта может приводить
к реактивному эффекту. В качестве же «рельса»,
направляющего объект и удерживающего его от переворачивания, можно
использовать неоднородное магнитное поле. Если вес такого
объекта выбрать в 1 г, то без серьезных трудностей может быть
получена скорость порядка 107 см/с.
Интерес вызвали еще более высокие скорости, порядка
108 см/с. Для получения таких скоростей пришлось бы работать
с очень массивным оборудованием или же с весьма малыми
ускоряемыми объектами. О таких больших скоростях говорили
физики из Фраскати, а также Винтерберг (Университет шт.
Невада). Подобный интерес объясняется тем, что удар при столь
высоких скоростях может привести к развитию термоядерных
реакций.
В то же время не нужно забывать* что при более низких и
практически более доступных скоростях порядка 107 см/с
можно проводить весьма разнообразные физические и
физико-химические исследования. Пластинка, движущаяся с такой
скоростью, может создавать ударные волны, более сильные чем
все другие, об исследовании которых сообщалось. При этом,

/. Некоторые мысли о физике высоких плотностей энергии 13
конечно, должны возникать и высокие температуры. Важно то,
что в таких экспериментах можно исследовать ту область, где
применимы сравнительно простые теоретические модели типа
модели Томаса — Ферми. Благодаря этому можно было бы
увязать опыт, накопленный при исследовании более слабых
ударных волн, с принципиально более простой ситуацией,
преобладающей при действительно высоких давлениях.
Есть и еще один подход к высоким концентрациям
энергии. Можно изучать свойства вещества вблизи ядерного
взрыва. В Соединенных Штатах мы установили правило, что
о результатах ядерных взрывов, связанных с инженерными
использованиями или научными исследованиями, можно говорить
открыто. Этим правилом фактически руководствуются при
проведении взрывов «Плаушер»1).
Было бы прекрасно, если бы в целях научного
сотрудничества и прогресса можно было открыть доступ к взрывам «Плау-
шер» международному сообществу ученых. Это не так просто.
Но первые шаги в этом направлении уже сделаны. Пожалуй,
верно, что первые шаги — самые трудные.
В заключение хочу сказать о своей еще более честолюбивой
мечте. Международному научному сотрудничеству мешает
секретность. Хотелось бы надеяться, что такое положение
изменится. Нильс Бор видел в открытом характере науки ее
величайшую эффективность. Секретность, существующая почти три
десятилетия, сразу не исчезнет. Она могла бы начать исчезать
только в том случае, если хотя бы одно правительство
предприняло хорошо продуманные действия, направленные как к его
собственной, так и ко всеобщей долгосрочной выгоде.
В ходе конференции я имел возможность поговорить об этой
проблеме с рядом делегатов. Каждый раз ответ был один и тот
же: «Это было бы прекрасно, но...»
Несмотря на это, а, может быть, даже как раз поэтому, я
был бы необычайно счастлив, если бы именно Соединенные
Штаты взяли на себя инициативу сделать науку столь же
открытой, как и раньше. В снятии секретности я вижу большую
надежду для будущего, как науки, так и в более общем смысле.
Во время работы школы в Варение ее участники наблюдали
приземление «Аполлона-11». Эта великолепная, хотя и
рискованная операция, открыто проведенная на глазах всего мира,
вселяет надежду, что кажущееся невозможным сегодня не
обязательно будет невозможным в будущем.
l) Ploughshare («Лемех») — способ захоронения радиоактивных отходов
в подземных полостях, созданных посредством ядерных взрывов [см.
«Атомная техника за рубежом», 17, № 1, 19 (1973)]. — tipим. ред.

2
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Дж. Дювал *
Ниже мы будем рассматривать простой мысленный
эксперимент. Представим себе полупространство со свободной
поверхностью, проходящей нормально к оси х через точку х = 0.
Интересующая нас среда может находиться либо в области х > 0,
либо в области х < 0. На поверхность действует постоянное
давление, или задана произвольная скорость движения этой
поверхности в произвольный момент времени, а нас интересует
состояние среды в более поздние моменты времени. Такая на
первый взгляд очень уж упрощенная модель довольно хорошо
согласуется с геометрией и физикой важнейших экспериментов
и позволяет проанализировать множество интересных проблем.
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДАРНОГО СКАЧКА
Непрерывные дифференциальные уравнения, описывающие
независимо от свойств материала плоское одномерное течение,
имеют вид
iP+^Pff_ = 0 m
dt ^ дх и' I1'
du du . du dp /лч
Рл- = Р-5Г + Р"1Г = -лГ' (2)
dE dV T/ 1 ,0.
ЧГ^-РЧГ' v = j< (3)
где /—время, x — эйлерова пространственная координата, р —
плотность, и — скорость вещества, Е — внутренняя энергия, а
р — напряжение сжатия по оси х9 в которое входят все
динамические силы, в том числе обусловленные вязкостью,
релаксацией напряжений и пр.
* G. Е. Duvall, Shock Dynamics Laboratory, Department of Physics,
Washington State University, Pullman, Wash.

2. Ударные волны в конденсированных средах 15
При приложении давления к поверхности, ограничивающей
полупространство, возникает область возмущения,
распространяющаяся от поверхности внутрь вещества. Если
предположить, что с момента начала действия давления прошло очень
много времени и давление все время имело постоянное
значение рь то можно утверждать, что зона возмущения в среде
распространилась далеко от поверхности, к которой приложено
давление. Если мы рассматриваем полупространство х > О, то
можно сместить начало координат глубоко внутрь вещества и
считать, что зона возмущения отделяет однородную
невозмущенную среду при х = +оо от среды в состоянии однородного
сжатия при х = —оо. Для реализации этой модели будем
искать решение уравнений (1) — (3) в виде
p = p(Q, и-и (6), Р = Р®. E = E(Q, V=V{l)y
где l = x— Dtt a D —постоянная скорость распространения
возмущения. Газодинамические величины невозмущенного газа
будем обозначать индексом 0, а величины, характеризующие
состояние сжатого вещества при х = —оо, —индексом 1.
Интегрирование уравнений (1) — (3) приводит к соотношениям
p(D-u) = p0(D-Uo), (4)
Р — Ро = Ро(D - Щ)2(V0—V) = p0(D — и0)(и — и0), (5)
E-E0 = ±(p + pd(V0-V). (6)
Подставив в (4) — (6) газодинамические переменные
конечного состояния, мы получим условия на ударном скачке. Они
особенно удобны в виде
РО 1 _ U\ ~ U0 (j\
Pi D-Ио • К'
(D-u0)*=Vlf^L, (8)
El-E0=^(pl + p0)(V0-Vl). (9)
Как правило, мы будем считать, что невозмущенное вещество
покоится. Но при выводе уравнений (4) — (9) предполагалось,
что имеется начальная скорость и0. Такой более общий
характер решения в ряде случаев окажется нам полезным.
Всякая бегущая волна, которая связывает конечные
состояния 1 и 0 и удовлетворяет уравнениям (7) — (9), называется
ударной волной. Все состояния (ри V\)t которые
удовлетворяют уравнениям (7) —(9), лежат на кривой Рэнкина — Гюго-
нио, проходящей через точку (p0t V0)f или, короче, на кривой

16
Дж. Дювал
Р0Уо>Ео'ио
Гюгонио. Эту кривую иногда называют еще динамической или
ударной адиабатой.
При извлечении квадратного корня из обеих частей
уравнения (8) возможны два знака. Если D — и0 > О, то область
сжатия находится слева, а невозмущенный газ — справа. В этом
случае возмущение называется прямой ударной волной. Если
же D — и0 < 0, то невозмущенный газ и область сжатия
меняются местами и мы имеем обратную ударную волну/ Оба
случая представлены на фиг. 1.
Вещество всегда ускоряется в направлении распространения
ударной волны. Изменение массовой скорости (скорости
частиц) можно найти из
АЛ«/А уравнений (7) —(9):
Щ — и0 =
= ±[(Pi-Po)(V0-Vl)]\
(10)
При D — и0 > 0 мы
имеем Ui — и0 > 0, а при
D — и0 < 0 мы имеем
Ui — u0< 0.
Уравнение (9)
описывает термодинамику
переходов в ударной волне и
называется уравнением
Рэнкина — Гюгонио. Для
«нормальных» веществ этому уравнению удовлетворяют только
волны сжатия (pi>p0). «Нормальными» веществами мы
будем называть такие, для которых кривая изэнтропы (/?, V) при
одномерном сжатии (иногда говорят «одноосная деформация»)
обращена выпуклостью вниз. В этом смысле большинство газов
и жидкостей являются «нормальными» веществами, а
большинство твердых тел «нормально» в ограниченной области1).
Существование только волн сжатия для таких материалов
следует как из гидродинамических, так и из термодинамических
соображений. Продифференцировав уравнение (9), с помощью
первого и второго законов термодинамики можно вывести
соотношение, описывающее изменения энтропии вдоль кривой
Гюгонио:
Фиг. 1. а — прямая ударная волна,
D — и0 > 0; б — обратная ударная волна,
D - и0 < 0.
dS
dp
i _ Ур-Ух Г
(Рх - РоЖУо - Ух)
I dp/dV \Vi
ч-
(И)
*) В области, где пет фазовых переходов — Прим. перев.

2. Ударные волны в конденсированных средах 17
где Тх — температура в начальном состоянии (ри V\).
Величина, стоящая в больших скобках в уравнении (11),
положительна при всех р\ > /?о> если кривая Гюгонио обращена
выпуклостью вниз. Это показано на фиг. 2, где мы видим, что
наклон хорды ОА меньше, чем наклон касательной в точке А.
Возрастание энтропии на фронте волны происходит
вследствие динамических или необратимых процессов, таких, как
вязкость, релаксация
напряжений и т. д. При
наличии таких процессов
линейное соотношение
между р и V в уравнении
(5) сохраняется; при
любом сжатии х-компонента
тензора напряжений
равна сумме равновесного и
динамического членов.
С математической точки
зрения интересен случай
(слишком
идеализированный с физической точки
зрения), когда
динамическая часть напряжения
равна нулю, а
равновесное напряжение
представлено в виде уравнения
состояния
Ударная адиабата
P = p(V,E).
Фиг. 2. Схема, показывающая, что в
нормальных веществах энтропия возрастает
с ростом давления.
Если отсутствуют и другие необратимые процессы, такие, как
теплопроводность, то фронт ударной волны представляет собой
поверхность математического разрыва, разделяющую состояния
(/?о, V0, ы0, £о) и (ри Vu ии Ei) [1] *)•
При учете вязкого напряжения аппроксимация становится
более точной:
p = p(V,E)-a-%-.
(12)
Если зависимостью от Е можно пренебречь, то уравнения (5) и
(12) приводят к дифференциальному уравнению для профиля
плотности вещества во фронте волны
aD^ = p0 + tnHV0-V)-p(V). (13)
4) В книге [1] много материала, который может служить основой для
теории, излагаемой в § 1—3.

18
Дж. Дювал
Если же зависимостью от Е пренебречь нельзя, то для
описания профиля необходимо использовать уравнения (5), (6) и
(12).
Знак изменения энтропии в уравнении (11) прямо связан
с процессом распространения волны. Для ударной волны,
изображенной на фиг. 1, распространяющейся в неподвижной
среде (и0 = 0), мы имеем
■/2,
D2_ Vo(Pl-Po) u2
и ~ V*-Vx >v°
dp
dV
= cl> (14)
если (d2p/dV2)s > 0 в точке (/?o, V0). Скорость звука
определяется равенством с = V(—dp/dV)^. Совпадение
производных (dp/dV)s и dp/dV на адиабате Гюгонио в точке (/?0, V0)
оказывается возможным, поскольку эта точка представляет собой
точку касания второго порядка изэнтропы с адиабатой
Гюгонио. Этот вопрос будет рассмотрен в обзоре Ройса и Килера
(см. гл. 3 настоящей книги).
Неравенство (14) означает, что ударная волна догоняет
любую звуковую волну, идущую перед ней. При тех же
условиях возмущение за ударным фронтом догоняет волну, если,
конечно, волна и возмущение движутся в одном направлении.
Это можно показать следующим образом. Скорость
распространения возмущения, идущего вперед, равна (их-\-сх);
возмущение догонит волну, если их -\-сх > D. Уравнение (И)
можно преобразовать в дифференциальное уравнение для ударной
адиабаты, если предположить, что S = S(p, V), и исключить
dS/dp. В результате получим
dPx __ (dPl/dV1)s + Г (Рх - ро)/2Уг
dV ~ 1 — Г, (Vo-VJWVi ' (15^
где Г= V(dp/dT)v/Cv. Ранее было показано, что —(dp/dV)>
> (р — Po)/(Vo— V) (фиг. 2); вместе с уравнением (15) это
условие приводит к неравенству
с\ Г^о-Г,) ^ t Г
W=^¥~ 2v> ,;>'-ж(уо-У,)- Об)
Тогда с\ > (D — а,)2, т. е.
ux + cx>D9 (17)
при условии, что наклон хорды АО на фиг.2 меньше,чем наклон
касательной к ударной адиабате в точке (ри V\). По этим
причинам течение за фронтом волны называют дозвуковым.
Соответственно этому одиночная волна, связывающая состояния
(% Vq) и (ри V\), устойчива. Если Dx > их + си то точка

2. Ударные волны в конденсированных средах
19
(Рь ^i) оказывается точкой неустойчивости и может
возникнуть вторичная волна [2].
В эксперименте ударные волны редко удовлетворяют
требованиям стационарности течения, которые предполагались при
выводе условий на скачке (либо состояния, связанные ударным
переходом, не вполне однородны, либо ударная волна
распространилась недостаточно далеко, чтобы стать стационарной).
Но экспериментальные условия могут оказаться близкими к
теоретическим предположениям, и тогда погрешности,
связанные с применением к эксперименту условий на ударном скачке,
вполне могут быть меньше, чем погрешности, возникающие по
другим причинам. Правда, погрешности могут стать
существенными, если градиенты в прилегающей области сравнимы с
градиентами на фронте волны или если мало времени для
установления стационарного течения и велика кривизна ударной
адиабаты. Этим вопросом постоянно озабочены экспериментаторы, и
удовлетворительного решения он еще не нашел. В работе [3]
проанализирован процесс образования скачка давления в
вязком веществе. Профиль становится почти стационарным после
того, как волна отойдет от источника на расстояние, равное
пяти толщинам ударной волны. Это интересный результат, но его
трудно применить, поскольку толщина стационарной волны, как
правило, неизвестна.
§ 2. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
Возвращаясь к нашей модели, в которой давление
приложено к границе полупространства, предположим, что сначала
давление поддерживается при постоянном значении ри пока не
возникнет ударная волна, а затем мы уменьшим его до
величины р0— давления в окружающей среде. Возникает прямая
волна разрежения, и нам следует найти подходящий способ
описания распространения этой волны.
В соответствии со сказанным в § 1 волны разрежения для
нормальных веществ не могут быть стационарными в смысле
уравнений (4) — (6), т. е. не имеется решений типа р = р(л; —
— Dt) и т. д. с постоянной скоростью D. Но мы 'знаем, что
волны бесконечно малой амплитуды удовлетворяют простому
волновому уравнению, решения которого имеют вид
f(x-ct) + g(x + ct).
Таким образом, они представляют собой сумму прямой и
обратной волн. Как известно, для таких прямых бесконечно
малых волн
dp = pcdu, (18а)

20
Дж. Дювал
а для обратных —
dp = — pcdu. (186)
Здесь с — скорость распространения бесконечно малых
возмущений в покоящейся среде. Уравнения (18) находятся в
согласии с условиями на ударном скачке для волн бесконечно малой
амплитуды. Если рассматривать прямую волну разрежения как
последовательность малых скачков dp и du в сторону меньшего
давления и меньшей скорости частиц, то, интегрируя уравнения
Фиг. 3. а —• прямая волна разрежения.
Скорость распространения в каждой точке равна и + с.
б — волна разрежения, представленная в виде последовательности малых
дискретных ступенек, для которых 6р = рс6и.
(18), мы получим связь между р и и в любой точке волны
разрежения (фиг. 3). Для прямой волны результат дается
интегралом
"-"> = 1!г- <19а>
Pi
Для обратной же волны мы имеем
"-«. —J-Sr- <19б>
р
dp
рс
Pi
Введем новую переменную
р
(20)
рс N '
Р\
J ос
Тогда уравнения (19) можно переписать для прямой волны в
виде
u — l = const = ^1 — /i = — 2$1э (21)

2. Ударные волны в конденсированных средах 21
а для обратной — в виде
и + / = const = ul + ll= 2rx. (22)
Константы гх и S\ называют инвариантами Римана.
Чтобы лучше разобраться в смысле уравнений (21) и (22),
рассмотрим частный случай изэнтропического течения, в
котором уравнение (3) сводится к равенству dS/dt = 0. Тогда
уравнения (1) и (2) могут быть сведены к системе
характеристических уравнений:
[±- + (и + с)-£г](и + 1) = 0, (23)
Кривые, на которых dx/dt = и±с, называют
характеристиками; уравнения (23) и (24) эквивалентны системе
dx
С+: и + / = const = 2г, -jj- = u + c9 (25)
С_: и — / = const = — 2s, -jj. = u — c. (26)
В словесной формулировке это выглядит так: на
(^-характеристике (ее уравнение dx/dt = и + с) постоянна величина г, а
на С_-характеристике (ее уравнение dx/dt = и — с) постоянна
величина 5. Уравнения (25) и (26) верны для течения, которое
представляет собой сумму прямой и обратной волн. Кроме того,
для прямых волн верно уравнение (21); следовательно,
С+: и + 1 = 2г, (27)
С_: u — l=-2s{. (28)
Для обратных волн
С+: и + / = 2г„ (29)
С_: и — 1 = -25,. (30)
Подведем итоги. Прямые ударные волны в среде,
находящейся в состоянии (р0у Vo) и движущейся со скоростью и0,
удовлетворяют соотношениям
D-u0= Уо^ЩЁ. (31)
«i - «о = V(Pi-Po)(V0-V1). (32)
Для обратных волн имеют место соотношения
D-u0=-V0-/f^, (33)
"1 - "о = - У(Р1-Ро)(У0-У{). (34)

22
Дж. Дювал
Для прямых волн разрежения в однородной среде,
находящейся в состоянии (ро, V0) и движущейся со скоростью Но»
и — и0 = 1 — 10. (35)
Для обратных волн разрежения в той же среде
u-u0=-(/ — /0). (36)
Для волн разрежения нет уравнений, аналогичных уравнениям
(31) и (33), так как не существует единой скорости
распространения разрежения. Волны, для которых справедливы
уравнения (35) или (36), называются простыми волнами. В общем
случае изэнтропического течения, в котором, например,
взаимодействуют две волны разрежения, течение описывается
уравнениями (25) и (26).
В конденсированных средах, сжимаемых ударными волнами
меньше чем на 15% их первоначального объема, ударные
волны считаются слабыми. В этом случае изменение энтропии
мало и ударную волну можно рассматривать как простую
волну, которая описывается одним из уравнений (35) и (36).
В этом приближении взаимодействие ударных волн или волн
разрежения можно рассчитать с помощью уравнений (25) и
(26).
§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЛН
Уравнения (32) и (34) — (36) единственным образом
определяют и ограничивают значения скорости частиц и, которая
может быть достигнута в простой волне или волне разрежения
при заданном состоянии (р0, V0, Uo). Такое ограничение
возможных состояний, которые могут быть получены при переходе в
одной волне, дает нам эффективный метод исследования и
расчета газодинамических величин в волнах большой амплитуды.
Задачу можно рассматривать в плоскости «годографа» в
переменных (и, р), {и, /), (г, s) или других, эквивалентных им. Мы
будем пользоваться переменными {и, р), поскольку эти
величины непрерывны на поверхности раздела, и на границе.
Преимущества такого выбора станут ясными позднее.
Различные наглядные представления ударной волны и волны
разрежения показаны на фиг. 4. На фиг. 4, а представлено в
разрезе полупространство, к которому в промежутке времени от
/ = о до / = U приложено давление pi. Профиль давления при
i > t0 показан на фиг. 4, б. Здесь имеются прямая ударная
волна 9*+, область однородного давления р\ и скорости вещества
и\ и волна разрежения 91+. Символом 9* обозначаются
ударные волны, а символом 91— волны разрежения, причем индекс
«+» соответствует прямой, а индекс «—» — обратной волне.

«*v #>¥
0<t<tn
Po
a
Pi
Po
Фиг. 4. Волна разрежения, догоняющая фронт ударной волны.
а—плоскости постоянного значения газодинамических величин в полупространстве;
б—профиль давления при t > t*\ в — (х, /)-диаграмма; г—(я» К)-диаграмма; 0-(р, и)-
диаграмма.

24
Дж. Дювал
На фиг. 4, в показано течение в плоскости (х, t). Область / —
начальное однородное состояние (р0, Vo, т) с uQ > 0. Линия
фронта ударной волны 9>+ имеет постоянный наклон до тех пор,
пока разрежение не догонит фронт, уменьшая амплитуду
давления и скорость. Область // — однородное состояние (ри «ь V\)
за фронтом. Область /// — область разрежения $+, в которой
уменьшаются давление и скорость вещества. В области IV
давление вновь равно давлению в окружающей среде ро, но объем
и скорость отличаются от Vq
и щ. Линия ОАВ —
траектория поверхности
полупространства Фу иногда
называемая «траекторией
поршня». Штриховая кривая —
траектория отдельной
частицы или элемента массы,
проходящая сначала через
область S?+, а затем — через
5?+. На фиг. 4, г показана
волна в плоскости (р, V).
1 -£** Первоначальное сжатие
^ _ „ , происходит от состояния А
Фиг. 5. Диаграмма в плоскости (р, и). до состояния В на кривой
Гюгонио. В волне
разрежения, которая предполагается изэнтропической, среда расширяется
вдоль изэнтропы (прерывистая кривая) до конечного состояния
С (V'Qy р0, и'0). На фиг. 4,5 процесс показан в плоскости (р, и).
Прямая линия АВ с наклоном dp/du = p0(D — щ)
соответствует линии АВ фиг. 4, г. Сжатое состояние В лежит на
кривой, соответствующей ударной адиабате, а штриховая линия
ВС — изображение изэнтропы фиг. 4, г. Поскольку в ударной
волне энтропия меняется и у большинства веществ коэффициент
теплового расширения положителен, конечное состояние (и'0, р0)
для прямых волн обычно расположено слева от состояния
("о, Ро).
Для обратных волн можно начертить такие же графики.
Фиг. 4, г при этом не меняется. Другие можно получить путем
отражения в плоскости вертикальной оси и некоторой
корректировки, зависящей от амплитуды и знака т.
Для последующего важно то, что состояния, связанные с
произвольным состоянием (ро, Но) ударными или простыми
волнами, должны лежать на определенных кривых, описываемых
уравнениями (32) и (34) — (36), при условии, что основные
соотношения не содержат членов, зависящих от времени. Это
обстоятельство иллюстрируется фиг. 5. Кривая АВ описывается

2. Ударные волны в конденсированных средах 25
уравнением (35), кривая ВС — уравнением (32), кривая BF—
уравнением (34) и кривая BD — уравнением (36). Кривые АВ
и ВС в точке В имеют касание второго порядка,
соответствующее касанию второго порядка между изэнтропой и ударной
адиабатой в точке, соответствующей начальному состоянию
(Ро, Уо). То же самое относится к кривым BD и BF.
Фиг. 6. Столкновение двух ударных Фиг. 7. Столкновение двух волн
волн. разрежения.
Некоторые применения изложенных выше принципов
представлены на фиг. 6—13.
Фиг. 6. Две ударные волны, разделенные однородным
состоянием р0 = 0 = Но, движутся навстречу друг другу. Они
представлены точками (рь Ui) и (р2, и2) в плоскости (р, и). После
столкновения образуются две удаляющиеся друг от друга
волны, разделенные новым состоянием (рз, Из).
Эти волны распространяются в среде, находящейся в
состояниях (pi, Ui) и (р2, и2). Переход между состояниями (р2, и2) и
(Рз, и3) происходит в прямой ударной волне, а между (pif ui) и
(Рз, и3) — в обратной. Состояние, разделяющее расходящиеся
волны, должно быть однородным в переменных (р, и)
вследствие условий непрерывности давления и скорости. Все эти
условия выполняются в точке пересечения кривой ^_, выходящей
из точки (pi, и\)у с кривой £+, выходящей из точки (рг, и2).

26
Дж. Дювал
Фиг. 7. Столкновение двух волн разрежения.
Рассуждения такие же, как в предыдущем случае. Исходное
состояние (ро, и0 = 0) связано волнами разрежения с
состояниями (puUi) и (р2,и2). Конечное
состояние лежит в точке
пересечения кривых, соответствующих
переходам в волнах разрежения и
проходящих через эти состояния.
Кроме того, в переменных р и и
конечное состояние должно быть
однородным. Этим условиям
удовлетворяет точка (р3, из).
Фиг. 8. Отражение однородной
ударной волны от жесткой стенки.
Исходная волна &+ переводит
вещество из состояния (и0 = 0 = ро)
в состояние (puU\). Конечное
состояние (p2i и2 = 0), возникающее
за отраженной волной, связано
с состоянием (р\9и\) обратной
ударной волной и должно лежать
на кривой, соответствующей этой
волне. Кроме того, оно лежит на
оси и = 0. Этим условиям
удовлетворяет точка А. Заметим, что если
кривая &+ в плоскости (/?, и)
обращена выпуклостью вниз, то р2>2р{.
Кривая ^_, проходящая через
точку В, является зеркальным
изображением кривой £ + относительно
вертикальной оси, проходящей
через В.
Фиг. 9. Отражение однородной
ударной волны от свободной
поверхности. Этот случай подобен
предыдущему, но конечное состояние
теперь должно лежать на оси /7 = 0.
Для конденсированных веществ
скорость исв примерно равна 2ир или
несколько больше.
Фиг. 10. Прохождение однородной ударной волны через
поверхность раздела двух сред: ударная волна распространяется
из среды / в среду //. Кривые / и // в плоскости (р, и) —
ударные адиабаты для соответствующих сред. Конечное состояние
(/?2, и2) одинаково для обеих сред, поскольку р2 и и2 должны
быть непрерывными на поверхности раздела. Конечное состояние
Фиг. 8. Отражение
однородной ударной волны от жест«
кой стенки.

Фиг. 9. Отражение однородной ударной волны от свободной поверхности.
Фиг. 10. Прохождение ударной волны через поверхность раздела двух сред
(Р02^2 > Poi^l)'

28
Дж. Дювал
должна создавать прямая волна в среде /, идущая из
состояния (pi, Hi), и прямая волна в среде //, идущая из состояния
(р0 = 0 = ио). На графике показано требуемое состояние.
Среда // была выбрана так, что ее ударная адиабата проходит
выше, чем у среды /.
В этом случае волна, отраженная в среду /, является
ударной волной. Если ударная адиабата // лежит ниже адиабаты
/, то отраженная волна является волной разрежения. В
некоторых случаях эти две кривые пересекаются, и тогда
отраженная волна оказывается либо ударной волной, либо волной
разрежения в зависимости от амплитуды падающей волны. Если
амплитуда падающей волны соответствует точке пересечения,
то отраженная волна отсутствует. Аналитическое выражение
для амплитуды ударной волны можно легко получить из
условий на ударном скачке, написанных для падающей, отраженной
и прошедшей волн:
Р2 - Ро _ 1 + Mi/pA'i) (37)
Р\ — Ро P()Dl/PlD2l + P(A/P0D2
где ро — начальная плотность среды /, р£ — начальная
плотность среды //, Di — скорость падающей волны, £>2i — скорость
отраженной волны относительно среды перед волной (£>£, =
= и{ — D2I), D2l — скорость отраженной волны в лабораторной
системе координат, D2 — скорость прошедшей волны, pi —
плотность вещества за падающей волной.
Произведения рД входящие в формулу , (37), называются
волновыми сопротивлениями, соответствующими разным
волнам. Волновое сопротивление для данного перехода равно
наклону соответствующей хорды в плоскости (р, и). Например,
величина роД равна тангенсу угла наклона хорды ОА на
фиг. 10. В предельном случае волн малой амплитуды волновое
сопротивление равно акустическому сопротивлению, а уравнение
(37) сводится к выражению для отражения звука:
Р2-Р0 6Р2 2P0gQ • /ооч
= т— — , / / • (Ж)
Р\ — Ро ePi Росо + Росо
В случае жесткой стенки PqD2-+oo и уравнение (37)
приобретает вид
P2-PQ _ Pl^l+pp^
Pi-Po~~ РоД Pi + n*Zm W

2. Ударные волны в конденсированных средах 29
В случае свободной поверхности р££2 = 0 и вместо (37) имеем
р2 — Ро
р\ — Ро
= 0.
(40)
Строго говоря, формула (37) применима только тогда, когда
отраженная волна является ударной. Но она обеспечивает
очень хорошее приближение и в случае волн разрежения в
конденсированных средах, так
как кривые, соответствующие
ударным волнам и волнам
разрежения, выходят из точки
А и имеют в ней касание
второго порядка.
Фиг. Н. Приближение
слабых ударных волн. Уравнения
(32) и (35) при (Vo-V)/VQ^
^0,15 изображаются примерно
одинаковыми кривыми. В этом
случае, используя любое из
этих уравнений, на плоскости
(р, и) можно построить
семейство кривых и их зеркальных
отображений. Эти кривые
можно рассматривать как
преобразование характеристик
плоскости (x,t). Кривая, вдоль
которой может происходить
переход в прямой волне, является изображением С_-характеристики
и называется ^-характеристикой. Переходы в обратных волнах
происходят вдоль Г+-характеристик.
Преобразования от плоскости (х, /) к плоскости (р, и) не
обязательно являются взаимно однозначными. Например,
область однородного состояния в плоскости (х, t) изображается
в плоскости (р, и) одной точкой, а простой волне в плоскости
(х, t) соответствует одна из Г-характеристик.
Пример применения характеристик в плоскости (р, и) в
приближении слабых волн показан на фиг. 12. В однородной
среде (ро, t/0 = 0), ограниченной жесткой стенкой,
распространяется прямая волна разрежения, преобразующая указанное
состояние в однородное состояние (ри ы4). В плоскости (х, t)
процесс отражения изображают, проводя через произвольные
интервалы характеристики С+ и С- и обозначая области между
ними двумя цифрами. Областям однородного состояния в
плоскости (х, t) соответствуют отдельные точки в плоскости (р, и).
Так, областям 00, 01, 02, 03 соответствует на Г—характеристике
(и — I = 1о), проходящей через точку (р0, и0 = 0), ряд тбчек 00,
Фиг. 11. Приближение слабых
ударных волн S = const
Адиабаты Гюгонио совпадают с адиабатами
Пуассона. В плоскости (р, и) проведены
Г-характеристики, которые являются
изображением С+- и С__-характеристик. На
Г__-характеристике мы имеем и — /=const,
а на Г+-характеристике выполняется
равенство и + /=const.

30
Дж. Дювал
01, 02, 03. Состояние 11 в плоскости (х, t) получается, когда
отраженная от стенки волна проходит через область 01, и
поэтому 11 лежит на Г—характеристике, проходящей через точку
01. В области 11 должно выполняться граничное условие
и = 0, и поэтому точка 11 в плоскости (р, и) лежит на
пересечении Г+-характеристики, проходящей через точку 01, с осью
и = 0. Точно так же переход от состояния 02 к 12 и далее к 22
Фиг. 12. Отражение волны разре- Фиг. 13. Столкновение пластины с ми-
жения от жесткой стенки. шенью.
совершается вдоль Г+-характеристики и заканчивается на оси
и = 0. Промежуточное состояние 12 получается за счет волны,
идущей из 02, и обратной волны, идущей из И, и т. д. Таким
простым способом можно решать самые сложные
газодинамические задачи, причем требуется лишь, чтобы было
справедливым приближение слабых волн. При наличии большой
чертежной доски и немалой доли терпения вычисления можно
проводить графическим путем. После решения нескольких задач
таким методом элементы проблемы распространения волны
конечной амплитуды, несомненно, прочно закрепятся в голове
студента.
Заметим, что в действительности в области взаимодействия
С-характеристики изгибаются и наклон характеристик,
ограничивающих области, подобные области 11 и др., определяется

2. Ударные волны в конденсированных средах
31
значениями р и и в точках пересечения соответствующих Г-ха-
рактеристик.
Другой пример использования приближения слабых волн
приведен на фиг. 13, где в плоскостях (х, /) и (р, и)
представлена обычная экспериментальная задача. Пластина,
находящаяся при нулевом давлении, движется с постоянной скоростью
w и в момент / = О сталкивается с неподвижной мишенью,
также находящейся при нулевом давлении. При этом
возникают ударные волны — прямая в мишени и обратная в
пластине. Волна в пластине отражается от ее задней поверхности в
виде волны разрежения, затем отражается от контактной
границы и в конце концов в результате ряда отражений от обеих
границ пластина останавливается. Представленные на графике
состояния изображены непрерывными относительно р и и.
Время между отражениями равно двойному времени
прохождения волны через пластину, что позволяет оценить
эффективное время остановки пластины.
§ 4. УПРУГО-ПЛАСТИЧНЫЕ ТЕЛА
В предыдущих параграфах мы все время говорили о жидкой
или газообразной сплошной среде, хотя все сказанное в равной
мере относится и к твердым телам. При этом свойства
материалов практически не учитывались. В данном параграфе мы
рассмотрим эффекты распространения волн с учетом конкретных
свойств материалов.
В начале необходимо отметить, что термомеханические
свойства твердых тел пока еще полностью не известны. При малых
деформациях в металлах и хрупких материалах обычно
используют закон упругости Гука, хотя к ряду материалов он
неприменим. Некоторые из них пластичны даже при малых
деформациях, и правильное описание таких материалов является
предметом ведущихся в настоящее время исследований. По
достижении некоторого уровня напряжений все твердые тела
обнаруживают текучесть или разрушаются, и выше этого уровня
закон Гука совершенно неприменим. Теория разрушения еще
далеко не удовлетворительна; теория пластических
деформаций, хотя и более развита по сравнению с теорией разрушения,
все еще логически не замкнута и часто не согласуется с
экспериментом. Но теория пластичности сформулирована более
полно, чем другие неупругие модели, и здесь мы воспользуемся ею
в применении к вопросу о распространении волн.
Мы ограничимся случаем одномерных деформаций,
возникающих в плоских ударных волнах. Предполагая, что элемент
объема сжат только в направлении оси х, рассмотрим
соотношения между его деформацией и напряжением. Обозначения,

32
Дж. Дювал
jft-ft
-Рх
которыми мы будем пользоваться, показаны на фиг. 14, а, а на
фиг. 14, б изображены предполагаемые соотношения между
деформацией и напряжением для одного цикла сжатия и
разгрузки. Главные оси координат для матриц напряжений и
деформаций у нас обозначены через х> уу г, причем ось х выбрана
в направлении распространения волны. Для того чтобы при
наличии давления рх
выполнялось условие одномерной
деформации, давления ру и рг следует
выбрать так, чтобы поперечные
размеры не изменялись. В силу
симметрии должно выполняться
условие ру = рг.
Перечислим наиболее общие
предположения
упруго-пластической модели:
1. Вещество остается упругим
до тех пор, пока напряжения не
превысят некоторой предельной
величины. В качестве критерия
разрушения обычно используют
условие
(Рх — Ру)2 + (рх — РгУ +
+ (Ру-Рг)2<Ж\ (41а)
[7 *«
X
\ а
D V0
Фиг. 14. а — образец
(параллелепипед с начальной длиной х0),
сжатый по оси х до длины х;
б — соотношение между
напряжением и деформацией.
где У — предел текучести при
растяжении. В случае
одномерной деформации имеем
\Px-Py\<Y. (416)
Если выполняются неравенства (41), то вещество является
упругим и подчиняется закону Гука
Px = M + 2\lbx, (42а)
ру = Лв + 2|хеу> (426)
Р* = *е + 2|хе2> (42в)
где 0 = Ех + гу + е2. Для одномерной деформации ех =
= (Vq— V)/Vo, гу = е2 = 0. Если в формуле (41) имеет место
равенство, то вещество находится в пластическом состоянии.
2. В пластическом состоянии приращение деформации по
каждой оси равно сумме упругого и пластического приращения:
dex = deeK + deP, (43а)
rfey = rfej + rfej, (43б)
dez = dsez + d&v. (43в)

2. Ударные волны в конденсированных средах
33
3. При пластических деформациях объем не изменяется:
dex + dey + dez = °- (44)
4. Напряжение зависит только от упругих деформаций:
dpx = X dQ + 2jul cte*, (45a)
dpy = kdB + 2iidB*y, (456)
dpz = X dQ + 2[i dz% (45b)
где X и \i в общем случае зависят от плотности. При
возрастании рх от нуля вещество вначале является упругим и гу = гг =
= 0. В этих условиях
Р«-Р.--*Ч^. (46)
где v = Л/2 (Я, + ц) — коэффициент Пуассона. Предел
текучести достигается при значении рХу которое называют пределом
упругости Гюгонио (обозначим его через руПр).
Из уравнений (41) и (46) следует, что
Рупр= J __2v # ' '
При дальнейшем возрастании рх вещество становится
пластичным. Тогда
Р* — Р + 4 &* — Pv)= Р + Т Y> <48)
где величина р = (рх + ру + /?z)/3 — функция только плотности
и внутренней энергии. Возвращаясь к фиг. 14,6, применим
уравнение (48) к отрезку АВ кривой рх. Наклон кривой px{V) в
области упругости определяется уравнением (42а):
dpx _ _ Я + 2ц _ К + 4ц/3 , Qv
где /С — модуль всестороннего сжатия. В области пластичности
при постоянном значении величины Y в уравнении (48) наклон
отрезка АВ определяется соотношением
dpx dp JL /em
dV ~ dV ~ V # ^ou'
В соответствии с уравнением (50) удобно ввести изменение
объема dV/V. Модуль всестороннего сжатия обычно возрастает
с ростом р, так что кривая АВ обращена выпуклостью вниз.
В общем случае предел текучести Y зависит от плотности и
работы, затрачиваемой на пластическую деформацию. Поэтому в
уравнение (50) нужно добавить член dY/dV. Но рх всегда
отличается от гидростатического давления р на величину 2/3К

34
Дж. Дювал
Мы принимаем, что в точке В (фиг. 14,6) давление
перестает монотонно возрастать и начинает монотонно убывать.
Чтобы выяснить, в каком (упругом или пластическом)
состоянии находится элемент массы, нужно снова воспользоваться
уравнением (41). В первоначальном процессе сжатия давление
рх возрастало быстрее, чем ру, до тех пор пока вещество не
стало пластичным. На стадии разгрузки давление рх уменьшается
быстрее, чем ру, пока снова не наступит пластическое состояние.
Таким образом, участок ВС кривой разгрузки соответствует
упругому состоянию, а в точке С мы имеем ру — рх = Y. От
точки С до точки D разгрузка является пластической и кривая
проходит ниже кривой гидростатического давления на величину
21зУ.
Возвращаясь к тому, что говорилось в связи с уравнением
(17), мы видим, что точка А на фиг. 14,6 может быть точкой
неустойчивости для сжатия одиночной волной. Чтобы убедиться
в этом, предположим, что у нас имеется ударная волна с
амплитудой /?упр, распространяющаяся со скоростью
DE = [V0(K + 2ii)]\
Скорость фронта такой волны относительно вещества за
фронтом дается формулой
De-ue = {^)de=VaY±±^ . (51)
Добавочная волна сжатия малой амплитуды, образованная
вслед за первой, уже сформировавшейся волной, будет
распространяться со скоростью сА относительно вещества перед
фронтом этого малого возмущения, причем в силу уравнения (50)
VW-A=vA/±±W-
А
Сравнивая это выражение с формулой (51), мы находим, что
(£>„-иР)2 3VA l-v 3(l-v) 3 I
К Е Е) =_А ^_^ >_=_ V= —, (52)
с2А V0 1 + v 1 + v 2 ^ 3 vy
поскольку VA/Vo « 1 в точке, соответствующей пределу
упругости Гюгонио. В соответствии с равенством (52) вторая волна
не может догнать первую, так что на кривой px(V) имеется
область значений, лежащих выше точки Л, которая не может
быть достигнута с помощью одной волны, выходящей из точки
(ро, Vo). Эта область AF (фиг. 14,6) определяется точкой
пересечения прямой ОА с адиабатой Гюгонио АВ. Давление в этой
области достигается с помощью двойной волны, представленной
на фиг. 15. Первая волна называется упругим предвестником,

2. Ударные волны в конденсированных средах
35
она распространяется со скоростью упругих волн, ее амплитуда
равна рупр.
Волна разгрузки, следующая за упруго-пластической волной,
также содержит две волны, но они не всегда ясно различимы,
Фиг. 15. Двойная волна в упруго-пластичных материалах.
поскольку волны разрежения более размыты. Процесс
затухания упруго-пластической волны ускоряется благодаря наличию
упругой волны, бегающей туда и обратно между фронтом
ударной волны и волной пластического разрежения [4].
4 8 П 16 Z0 24 Z8
х, произвольные единицы
Фиг. 16. Запись давления в образце алюминия (марки 6061-Т6).
Толщина образца 1,27 см; амплитуда давления 19 кбар. Амплитуда упругого
предвестника 5,2 кбар. Давление регистрировалось при помощи кварцевого датчика
толщиной 3,17 см в конфигурации Грэхама.
Пример упруго-пластической волны в алюминии показан на
фиг. 16. Эта запись получена при помощи кварцевого датчика,
регистрировавшего давление на поверхности алюминиевой
(марки 6061-Т6) мишени, в которую ударяется пластина из того

36
Дж. Дювал
же материала толщиной 1,27 см. На записи ясно различимы
упругий предвестник и пластическая волна.
Ряд экспериментов, в которых исследовались форма и
затухание волн, позволяет утверждать, что по крайней мере в
алюминии и, возможно, в других металлах упруго-пластическая модель
в основном справедлива, хотя имеются заметные отклонения,
связанные, вероятно, с эффектом Баушингера и релаксацией
напряжений [5].
§ 5. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Другой причиной неустойчивости в ударных волнах
являются фазовые переходы. На фиг. 17 в плоскости (р, V)
представлена схематическая диаграмма переходов первого рода.
рк
Границы фаз
Адиабата Пуассона, или
ударная адиабата
Фиг. 17. Обратимые фазовые переходы.
Изотерма пересекает область двухфазного состояния при
постоянном давлении, а адиабата обычно имеет небольшой
отрицательный наклон. Изменение наклона адиабаты при
пересечении границы фаз нетрудно рассчитать на основании
термодинамических соотношений [6]. Если Ci — скорость звука в первой
фазе, а ст — равновесная скорость звука э двухфазном состоя-

2. Ударные волны в конденсированных средах
37
нии, то изменение наклона дается выражением
«?-4= ?р \(дт\ _*?_
c\c2m V2T [\ dp )s dp
в котором все величины вычисляются на границе фаз.
Численные расчеты для железа и висмута показывают, что
адиабата смеси фаз оказывается почти прямой. Поскольку
ударная адиабата и адиабата двухфазного состояния на
границе фаз имеют касание второго порядка, ударная адиабата
также близка к прямой.
Чтобы составить себе представление об основных
соотношениях в области фазовых переходов, полезно вспомнить способ
решения уравнений газовой динамики (1) — (3). Чаще всего
используется метод интегрирования, предложенный Нейманом и
Рихтмайером [7], при котором время увеличивают ступеньками
на Д^ и для каждого нового момента времени вычисляют
координаты, скорости, давления, плотности и энергии всех массовых
элементов. Имея в виду этот способ, мы предположим, что в
заданной точке области двухфазного состояния известны все
термодинамические величины, затем изменим удельный объем
на малую величину и снова рассчитаем термодинамические
переменные.
В области равновесия фаз предполагается, что р и Т
одинаковы для обеих фаз, а экстенсивные переменные представляют
собой средневзвешенное для двух фаз с массой в качестве
весового множителя, например:
V=Vl(l-f) + V2f, (54)
E = Et(l-f) + E2f и т.д., (55)
где f — доля массы вещества, находящейся в фазе 2. Далее
мы предположим, что V -*■ V -+- АV и соответственно этому
р-*р + Ар, f-*f + &f, Е-+Е + АЕ, Т -* Т + AT и т. д., и
перейдем к вычислению Ар, AT, АЕ, Af. Будем считать, что
уравнение состояния каждой фазы известно и задано в наиболее
удобной форме
V, = Vt(p,T), (56а)
E^EifaT) (/=1,2). (566)
Продифференцируем равенства (54) — (56), чтобы выразить
dV и dE через dp, dT и df с коэффициентами, которые зависели
бы от р, Т, /. В результате получим
dV = ltdp + m, dT + я, df, (57)
dE = l2dp-\-tn2dT-\-n2df, (53)
(53)

38
Дж. Дювал
где
h = {\-f)VuP + fV%p, (59а)
l2=-(\-})(TVUT + pVUp)-f(TVZT+pV2,p), (596)
«, = (!-/) Уы + М^г, (59в)
Щ = (1 ~ f) (СР, - рИ,. г) + f (СР2 - Р^2, г). (59г)
n) = V2—Vu п-> = Е2 — Еь
СрХ—удельная теплоемкость при постоянном давлении
для фазы 1 и т. д.
Есть еще одно соотношение между dE и dV, это — первый закон
термодинамики. Если перенос тепла отсутствует, то
dE = ~(p + q)dV, (60)
где q — сумма всех необратимых сил, участвующих в процессе
сжатия. Уравнения (57), (58) и (60) можно решить
относительно dp и dT:
dp = axdV + a2df, (61)
dT = b{dV + b2df, (62)
где
- -m2 + mi(/? + «) (63а)
(636)
(63в)
(63г)
D = lxm2— Um\, (63д)
Из уравнений (61) и (62) ясно, что, поскольку задано только
приращение dV, для вычисления dp и dT требуется еще одно
соотношение. В случае обратимого перехода это — соотношение
Клайперона — Клаузиуса
|f = -ff = Функция р и Т (64)
Комбинируя (61), (62) и (64), получаем
df^x&T, V,f)dV. (65)
Это уравнение вместе с уравнениями (61) и (62) позволяет
найти dp и dT. Когда такой расчет закончен, берется следующее
1*1 —
а2 =
*i =
й,=
/П1«2
h
hni -
D
— П1?П\
D
+ h(p + q)
D
-hn2

2. Ударные волны в конденсированных средах 39
приращение dV и все повторяется до тех пор, пока элемент
массы не войдет в область одной фазы.
Приведенные выше соотношения пригодны также для
прямого расчета адиабаты Гюгонио. Для этого следует заменить
уравнение (60) дифференциалом от уравнения Рэнкина —
Гюгонио и далее продолжить вычисления описанным выше
методом. Для определения изэнтропы в уравнении (60) полагают
q = 0.
В § 4 мы видели, что из-за наличия излома на кривой
сжатия p(V) возникает двойная волна: упругий предвестник и
следующая за ним пластическая волна. Излом на границе фазы,
показанный на фиг. 17,
также представляет
собой точку неустойчивости,
в которой волна
достаточно высокой
амплитуды расщепляется на две.
А если вещество,
претерпевающее фазовый
переход, является
упруго-пластичным, то может
возникнуть даже система
трех волн, как это
показано на фиг. 18 для
железа.
Фазовым переходом обусловлено также новое явление —
скачок разрежения. Поскольку кривая разгрузки для упруго-
пластичного вещества всегда обращена выпуклостью вниз,
ширина волны разрежения увеличивается при ее распространении.
Но в случае равновесного фазового перехода типа показанного
на фиг. 17 кривая разгрузки обращена выпуклостью вверх и
поэтому возникает скачок разрежения. Такой скачок
представлен на фиг. 19.
Кривая разгрузки, представленная на фиг. 19, а имеет два
излома: в точке Вив точке D. Предположим, что .вещество
однородно сжато до состояния С(и2, РгЬ а затем на внешней
поверхности давление медленно уменьшается, так что траектория
поверхности в плоскости (ху t) представляется кривой BD на
фиг. 19,6. Можно представить себе, что при каждом
элементарном уменьшении внешнего давления от свободной поверхности
внутрь вдоль С+-характеристики распространяется возмущение
со скоростью и + с. Когда в процессе разгрузки давление на
поверхности уменьшается от значения С до D, появляется
сингулярность скорости звука с. В точке D скорость с может
принимать все значения от скорости, соответствующей второй фазе
(участок CD вблизи точки D), до скорости в двухфазном со-
Фиг. 18. Тройная волна в железе.

40
Дж. Дювал
стоянии (участок DB вблизи точки D). Таким образом, как
показано на фиг. 19,6, из точки D исходит целый пучок
(^-характеристик. Линии большого наклона соответствуют меньшим
скоростям звука. На участке от D до В скорости звука малы, и
С+-характеристики имеют большой наклон.
В точке В имеет место вторая сингулярность скорости звука,
но теперь характеристики не образуют расходящийся пучок,
как в точке D, а сгущаются, взаимно пересекаются и в
конечном счете пересекаются с некоторыми из характеристик,
выходящих из точки D. Пересечение двух характеристик означает,
что газодинамические величины в точке пересечения становятся
неоднозначными. По мере того как увеличивается число
пересекшихся характеристик, возникает скачок разрежения,
амплитуда которого нарастает от нуля до конечного значения по
прохождении некоторого расстояния (фиг. 19,6). На фиг. 19, в
Разгрузка
Скачок рсиреженип Кривая
Фиг. 19. Скачок разрежения.
предполагается, что действующее давление мгновенно
выключено, и от той точки на траектории разгрузки, которая
соответствует точке излома 5, распространяется полностью
сформировавшийся скачок разрежения. На фиг. 19, б схематически
показана форма волны, содержащей двойной скачок уплотнения и
один скачок разрежения. Давления ра и рь определяются тем
условием, что
(u + c)a = DR = (u + c)b9
где DR — скорость распространения скачка разрежения. О
некоторых механических эффектах, связанных со скачками
разрежения, будет сказано в § 8.
§ 6. РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГО-ПЛАСТИЧНЫХ
ТЕЛАХ
В качестве основы для анализа важнейших соотношений
для твердых тел с релаксацией напряжения напомним
некоторые общие положения механики сплошных сред. Рассмотрим

2. Ударные волны в конденсированных средах 41
в газодинамическом течении элемент массы, на который
действуют ускоряющие и сжимающие силы, передаваемые
соседними элементами массы. Нас интересует поведение этого
элемента массы при наличии напряжений, действующих на
ограничивающие его поверхности. Выберем координатную систему
(*ь х2, Хз), которая диагонализует матрицы напряжений и
деформаций. Главные напряжения и деформации обозначим через
{сгг} и {ej, где i= 1, 2, 3. Введем девиаторы напряжений 5г- и
деформаций Ее
Si = oi + p, (66)
Е1 = г>—|, (67)
где р == — (<7i + а2 + а3)/3, Э = ei'+ ег + вз. В 5г- входят все
напряжения деформаций; Е{ учитывает неоднородность
деформации. В случае чисто упругой деформации мы можем записать
закон Гука в дифференциальной форме
dot = XdQ — 2\i dzt. (68)
Если ввести сюда Si, Ей р и 9, то закон Гука будет выражаться
двумя уравнениями:
dp = -KdQ, (69)
dSt = 2ц dEt. (70)
При такой записи мы рассматриваем раздельно
напряжения, вызывающие изменение формы, и напряжения, которые
изменяют только плотность. Таким образом, эти два соотношения
можно анализировать независимо одно от другого.
Принято считать, что неупругие эффекты должны
проявляться не при гидростатическом сжатии, а в соотношениях
между девиаторами. Пористые тела — исключение из этого
правила, но мы их здесь не будем рассматривать. Как это делается
обычно, мы запишем основные соотношения для
упруго-пластичных тел в виде
dEi = dEei + dEph (71)
dSt = 2ц dEl (72)
dp=-KdQ, (73)
где Е\ — упругая, а Е? —пластическая части девиатора
деформаций.
В случае вязко-упруго-пластичных тел уравнения (71) и (73)
сохраняют свой вид, а уравнение (72) заменяется уравнением
dSi = 2ixdEei + 2i)dEl (74)
где точкой обозначена субстанциональная производная по
времени,

42
Дж. Дювал
В случае тел, в которых возможна релаксация напряжений,
мы предположим, что при изменении напряжения пластическая
деформация принимает свое окончательное значение лишь
через некоторое время. Развитие деформации тормозится
механизмом релаксации, который мы пока не уточняем. Этот
процесс можно описать соотношением
dE\ 1
-^L-^to.p). (75)
Правая часть уравнения (75) зависит от того, насколько Е\
отличается от своего равновесного значения. Комбинируя (71),
(72) и (75), мы получаем соотношение
Уравнения (76) и (73) содержат основные соотношения для
материалов, в которых имеет место релаксация напряжения.
Заметим, в частности, что девиатор напряжения S\ полностью
определяется упругой деформацией [уравнение (72)]. В вязко-
упругих телах девиатор напряжений определяется совершенно
другим соотношением [уравнением (74)]. Уравнения (71) —(73)
для упруго-пластичных тел и уравнения (71), (73) и (76) для
упруго-пластичных тел с релаксацией напряжений следует
дополнить критерием разрушения (41а). В случае одномерных
напряжений это условие может быть включено в функцию
Fi(Sup) в уравнениях (76). Для такой геометрии уравнения
(76) можно записать в виде единственного уравнения
где а —упругая скорость звука при плотности р. В § 2 в
предположении р = р(р) мы представили уравнения газовой
динамики (1)—-(3) в виде системы характеристических уравнений
(25) и (26). То же самое можно сделать и в данном случае.
Комбинируя (1), (2) и (77), получаем систему характеристик:
dx
С+: dpx + padu = — Fdt, -jf = u + a> (78)
dx
C_: dpx — padu = — Fdt, ~dT==:U~a' ^^
Уравнение (77) применяется вдоль пути частицы и иногда
называется Со-характеристикой:
dpx — a2dp = -Fdt, ^ = и. (80)
В случае соотношений, содержащих зависимость от времени,
таких, как приведенные нами или аналогичные им, метод ха-

2. Ударные волны в конденсированных средах
43
рактеристик менее ценен, чем в том случае, когда соотношения
не содержат зависимости от времени. Дело в том, что теперь
нет величин, остающихся постоянными на характеристиках.
Это означает, что переходы между состояниями в волне уже
не ограничены определенной кривой в плоскости (р,и)у как это
было в § 3, а потому такой метод анализа становится менее
эффективным. Характеристические уравнения можно
использовать в численных методах, но практически всегда оказывается
более выгодным применение метода Неймана — Рихтмайера.
Главный эффект, который вытекает из уравнения (77) и
который можно наблюдать, исследуя ударные волны, это —
затухание упругого предвестника. Характер такого затухания
можно выяснить путем приближенного анализа.
Предположим, что амплитуда предвестника всегда мала и,
следовательно, его скорость ненамного отличается от упругой
скорости а0 окружающей среды. Тогда условия на ударном
скачке для предвестника [уравнения (5)] принимают вид
Рх = Ро^о"-
При уменьшении амплитуды предвестника на dpx скорость
частиц за ним уменьшается на величину
du = -^. (81)
Используя условие на ударном скачке предвестника, из
уравнений (78) и (81) получаем
%=-4- (82)
dt 2
Вообще говоря, функция F может быть весьма сложной. Но
чтобы качественно представить себе, какова ее роль,
предположим, что для стадии сжатия она имеет вид
F = f^lfkt pe>pli (83)
где Т = const. Сжатие предвестником предполагается упругим,
так что рх в уравнении (82) лежит на метастабильном участке
кривой упругого сжатия рех (V), Выше предела текучести лежит
напряжение psx(V), которое должно установиться при заданном
объеме V по истечении достаточно большого времени. Таким
образом, речь идет об участке кривой АВ на фиг. 14,6. В
соответствии с уравнениями (82) и (83) амплитуда предвестника
уменьшается до тех пор, пока не выполнится условие pex(V) =
— Px(V) при статическом значении предела упругости Гюгонио.

44
Дж. Дювал
Чтобы лучше выявить этот эффект, напишем
* , Л <?\ dPx
Ж(Р*-Р*) = \1-1?)ЧГ> (84)
где с2 = /С/р, а2 = (/C + 2|i/3)/p. Если коэффициент Пуассона v
не зависит от плотности, то отношение с2/а2 также не зависит
от плотности. Тогда уравнения (82) —(84) интегрируются и в
результате получаем
p<x(V)-pl(V) = (£ - р\\ exp [-f], (85)
где
2TD /яа\
*о = тз-^- (86)
Упростим уравнение (85), положив v = const:
Pi - Pj.P = (Я - ^nP)o exP [~Щ. (87)
где р*пр— статический предел упругости Гюгонио, связанный со
статическим пределом текучести соотношением (47).
Уравнение (82) было получено в предположении, что
предвестник описывается характеристическим уравнением, а
уравнение энергии (3) не сказывается на процессе распространения.
Более точное соотношение можно получить, комбинируя
уравнение (77) с уравнениями (1) — (3) и применяя результат к
траектории фронта волны [8]:
DpY Л и\ (D - и)2 - a2 dpx (D - и)2 F
-('-*)
Dx ~~\ D ) 3/2 (D - и)* + а2/2 дх D 3/2(D - и)г + а'/2 '
(88)
F'==(l-3§r)F- <89>
Здесь символом D/Dx обозначена производная, взятая по
траектории фронта волны; производная дрх/дх берется
непосредственно за фронтом предвестника, a F'— обобщение функции F,
которое получается в предположении, что часть а работы
пластической деформации переходит в тепло. В формуле (89) величина
Г — коэффициент Грюнайзена. Для металлов, в которых
наблюдается пластическое течение, величина Ff отличается от F
меньше чем на 10%.
Если положить D — и = а и а = 0, то уравнение (88)
сводится к уравнению (82).
В последние годы много усилий было затрачено на то, чтобы
установить связь между функцией релаксации F из уравнения
(75) и движением и размножением дислокаций. Основное
соотношение имеет вид
ТГ-АЛ^-£" (90)

2. Ударные волны в конденсированных средах
45
где N — плотность дислокаций (число дислокаций на единице
площади), b — вектор Бюргерса, h — численная константа
порядка единицы, v — средняя скорость дислокаций. Поскольку
о,ю о.2о o,jo
440 0,50 Q60
Время, мкс
0,70 0,80 0,90 1,00
Фиг. 20. Затухание амплитуды давления в упругой волне в монокристалле
вольфрама.
Штриховые кривые—теоретические.
для одноосных деформаций Ер = 2ei/3, уравнение (90) прини
мает вид
dei _ 3hNbv
dt ~ 2 *
(91)
Для процессов размножения и движения дислокаций
предложены разные теоретические модели. Часто используется модель
Гилмана, согласно которой
ЛГ = ЛГ0т(1 + Ле'),
v = vMKCe-°'\ (yZ)
где N0m — начальная плотность подвижных дислокаций, иМакс —
максимальная скорость дислокаций (vM8LKC ~ ^касат), D —
напряжение сил сопротивления, А — коэффициент размножения,
т — касательное напряжение [т = (рх — Ру)/2].
На фронте упругой волны, где выполняется уравнение (82),
размножение дислокаций отсутствует, а поэтому величина
коэффициента А несущественна для процесса затухания упругого
предвестника.

46
Дж. Дювал
На фиг. 20 представлены две кривые затухания для образца
монокристаллического вольфрама, вычисленные при разных
значениях величины D. Здесь, как и в других аналогичных
работах, удовлетворительное согласие с экспериментом
достигается лишь при значениях величины М>т, намного
превышающих экспериментальные.
Чтобы обнаружить эффект, даваемый размножением
дислокаций, необходимо зарегистрировать профиль волны между
упругим предвестником и
м\- пластической волной. Такой
профиль в образце из LiF,
полученный при помощи
кварцевого датчика, показан
на фиг. 21. Столь резкий
спад амплитуды давления
можно получить
аналитически, подобрав
соответствующим образом параметр А в
формуле (92).
Еще не ясно, можно ли
по измеренному профилю
Фиг. 21. Упругий предвестник и удар- ударной ВОЛНЫ судить О пра-
ная волна в LiF. вильности дислокационной
модели. Пока еще вообще не
доказано, что дислокации имеют какое-либо отношение к
упруго-пластическим явлениям в ударной волне. Но этот вопрос, по-
видимому, требует дальнейшего изучения до окончательного
решения.
§ 7. НЕОБРАТИМЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В § 5 рассматривались равновесные фазовые переходы и был
изложен формальный способ интегрирования уравнений
газовой динамики в области двухфазного состояния. Основные
соотношения даются уравнениями (61) и (62), а также
уравнением (64), выражающим предположение о равновесности
перехода. При изучении же необратимых переходов мы должны
пересмотреть предположения, на основе которых выводились
уравнения (61) и (62). Вообще говоря, возможен необратимый
перенос массы, тепла и работы между двумя фазами. Первый
из этих процессов переноса имеет место, если параметр /
(массовая доля фаз) не является равновесным, второй — если не
равны температуры двух фаз и нарушается адиабатичность,
третий — если давления двух фаз не являются равновесными.
Из этих трех величин проще всего представить себе
неравновесным параметр /. По-видимому, это даже обычный случай, по-

2. Ударные волны в конденсированных средах 47
скольку отклонение / от равновесного значения соответствует
неминимальному значению термодинамического потенциала
Гиббса. Это отклонение служит причиной смещения реакции в
сторону равновесия.
Если вторая фаза зарождается сразу во многих точках
каждого элементарного объема, так что размеры кристаллов этих
фаз очень малы, то давление вряд ли будет сильно отличаться
от равновесного. Но температурное равновесие устанавливается
сравнительно медленно, и в каждом конкретном случае может
потребоваться детальная проверка. Тем не менее на данном
этапе, по-видимому, можно с достаточно хорошим
приближением (и это проще всего) предположить, что какой-либо обмен
теплом между фазами отсутствует. Еще один возможный
источник ошибок имеется в уравнениях (54) и (55), в которых пре-
небрегается энергией фазового перехода. Здесь тоже
маловероятно, чтобы этот эффект был большим, а потому можно в
данный момент пренебречь им. Таким образом, мы вернулись
к предположениям, полученным ранее, и сохранили уравнения
(61) и (62) с коэффициентами в прежнем виде. Важно
отметить, что и здесь и в § 5 предполагается, что скорости частиц
в обеих фазах совпадают. Такое предположение соответствует
действительности для фазовых переходов в твердых телах, но
может быть неверным для переходов газ — жидкость или газ —
твердое тело.
Таким образом, различие в рассмотрении обратимых и
необратимых переходов сводится к способу нахождения
параметра /. В § 5 параметр / был найден из уравнения Клаузиу-
са — Клайперона [уравнения (64) и (65)]. В случае
необратимых переходов мы предположим, что
df = g(VtT,f)dt. (93)
Уравнения (61), (62) и (93) в интервале изменения 0</<1
представляют собой основные соотношения для необратимых
фазовых переходов. Если / = 0 или /=1, то используются
уравнения (56). Предложенный способ описания процесса
перехода особенно удобен для интегрирования методом
Неймана — Рихтмайера, поскольку в нем в явном виде фигурирует
приращение dt.
Изложенная выше формулировка отвечает следующей
физической модели. Каждой фазе в пространстве переменных
(р, V, Т) соответствует поверхность, описываемая уравнением
состояния фазы; в равновесном случае поверхности разделены
областью двухфазного состояния; объем V, например, никогда
не бывает двузначным. Теперь предположим, что каждая фаза
определена при всех р, Т и V и может описываться любой из этих
поверхностей (одна из них при этом является метастабильной)

/0 ZO " 30 40 50" 50 60 '
Номер ячейки
70 80 90
90 100
Фиг. 22. Профиль давления на ранней стадии процесса [9].
Расчеты проводились при р,=200 кбар, т = 7з мкс; пространственный шаг 0,01 см. / — при
/=0,526 мкс; 2—при / = 0,812 мкс; 3 —при / = 1,105 мкс; 4 — при /=1,554 мкс. Кружки -
при ЛK=s-0,004 см?/г, крестики —при ДУ= — 0,0059 см3/г-
гоо
т
$.
1 1Z0
1
1 «
ч
ио
п
-
-
—
•
_J_
•
•
-1
•
•
_1
•
•
JL
•
•
L
•
•
•
J.
•
•
J_
•
•
•
L_
•
. J
• «
-J
•г**
•
•
•
•
1 1 Ч
80
ЮО
/го /40
Номер ячейки
160
гоо
Фиг. 23. Двойная волна в железе [9].
Расчет проводился при р,=200 кбар; пространственный шаг 0,01 см. Кружки—при
ду = — 0,004 см7г, крестики —при ДК = — 0,0059 смyr, x = 7i мкс.

2. Ударные волны в конденсированных средах 49
или любой промежуточной между ними. Объем в
произвольный момент времени определяется его значением в
предшествующие моменты, приращением dt% уравнением
непрерывности и значениями р, Г и f в предшествующие моменты. Он
стремится к равновесному значению и изменяется при этом
соответственно уравнению (93), пока не будет достигнута
поверхность равновесия, на
которой f = 1 или / = 0.
Как пример
применения этих уравнений
рассмотрим железо, в
котором при температуре,
близкой к комнатной, и
давлении 130 кбар
происходит переход а-фазы в
Y-фазу. Для этого
перехода мы примем следующие
значения:
V2(p,T)-Vl(p,T) =
= ~ 0,0059 см3/г. (94а)
Статическое давление
перехода
р, = 130 кбар, (946)
dp, _
dT ~
df
dt 1
_V_-V1
/равн у _ у
0,065 кбар/К,
(94в)
= bf-LZli, (94г)
при
заданных р и 7\ (94д)
(94е)
1
Т = Т мкс*
Фиг. 24. Затухание волны а-фазы в
железе.
Возбуждающее давление 200 кбар; Т='/а мкс,
DiT=0,17 см; точки, обозначенные кружками,
получены в предположении о независимости от
температуры, а точки, обозначенные крестиками,—
при учете зависимости от температуры.
Штриховая прямая проведена соответственно уравнению
р = 70 exp {—xt2Dl%}.
В момент t = 0 к поверхности полупространства приложено
постоянное давление 200 кбар, и нам нужно найти профиль волны
в последующие моменты времени и скорость затухания волны-
предвестника, связанную с фазовым переходом. Упругой волной-
предвестником мы будем пренебрегать.
Интегрирование производилось модифицированным методом
Неймана — Рихтмайера [9]. Развитие профиля давления на
ранней стадии процесса показано на фиг. 22, полностью
сформировавшаяся двойная волна представлена на фиг. 23. На каждой

50
Дж. Дювал
из фигур показано, как сказывается изменение разности V2 — V\
(0,004 и 0,0059 см3/г): от этой величины зависит профиль
волны, но не скорость ее затухания. Затухание упругой волны-
предвестника показано на фиг. 24. Были также проведены
расчеты с dpt/dT = 0; при этом результаты изменились
несущественным образом. Штриховая кривая на фиг. 24
удовлетворительно соответствует кривой затухания, найденной численным
интегрированием. Она была вычислена аналитически
следующим образом.
Предположим, что весь процесс не зависит от температуры.
Тогда уравнения (61) и (94г) можно скомбинировать так:
dp _ 2 dp тхп2 — т2пх fравн — f
dt~a dt + llm2-l2ml т ' *УЬ'
где rtiu ti\ и т. д. — величины, определенные в § 5, а а — скорость
звука, т. е. а= У dp/dp при / = const. Уравнение (95) по форме
идентично уравнению релаксации напряжений (77). Следуя
изложенному там методу, мы перейдем к уравнению характеристик
и, предположив, что скорость первой волны равна скорости
звука, получим
dpi ^ т\П2 — т2пх fравн — {
~!Г~~"~~ Um2-l2mx 2т ' ^УЬ'
где р\ — давление в ударной волне, при котором совершается
переход. Считая, как и раньше, что AV = V2—V{ = const и
CPl = Ср2У из уравнения (96) можно получить
dp\ _ ___ AFfpaBH dpx
dt — 2т dV " <У7'
Здесь мы предположили, что / = 0, т. е. вещество находится в
первой фазе, метастабильной для давления в первой волне. Если
dpJdV = const, то уравнение (94е) дает
1 при V{^Vt + AV,
/равн=] h^^hZ^^± При Vt + HV^V^V» (98)
0 при Vf<V„
где Vt и pt соответствуют точке пересечения ударной адиабаты
первой фазы с границей области двухфазного состояния.
Комбинируя уравнения (97) и (98) и интегрируя результат,
получаем
P^Po-i^T^-' Vx<Vt + bVt (99а)
Pi^P, + iPo~Pt)e-xi2Dit, Vt + bV^V^V,, (996)
Pi=pt, VX = V„ (99в)

2. Ударные волны в конденсированных средах
51
где х = ZV, причем D\ — скорость первой волны, а р0 —
действующее давление. При р0 = 200 кбар выполняется уравнение
(996). Результаты представлены на фиг. 24.
Кривые, представленные на фиг. 22—24, рассчитаны в
предположении, что время релаксации т = 7з мкс. Чтобы установить
связь между временем нарастания второй волны и т, можно,
объединив основные соотношения (94) и уравнения (4) — (6),
найти стационарный профиль второй волны. Результат такого
интегрирования показывает, что время нарастания равно 2,25т.
К сожалению, теория фазовых переходов в твердых телах еще
не позволяет, рассчитывая их
СКОрОСТЬ, ПреДСКаЗЫВаТЬ резуЛЬ- Твердое тело^
таты эксперимента или по экспе- /L
риментальным данным вычислять
физические параметры. Ясно, что
в этой области требуются и
надежные эксперименты и новые
физические идеи.
Свободное
пространство
^ ~л
ч^-
§ 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
Наиболее очевидным
конечным результатом в
экспериментах с ударными волнами в
твердых телах является их
разрушение, обусловленное
взаимодействием волн. Геометрия
разрушения определяется главным
образом пересечением волн
растягивающего напряжения; условия
же, при которых происходит
разрушение, определяются
динамической прочностью материала,
которая может зависеть от
геометрии и, конечно, зависит от
скорости изменения напряжения или скорости деформации. На
фиг. 25 и 26 представлена геометрия простейшего случая —
плоского откола. На фиг. 25 показана последовательность
профилей давления в импульсе сжатия, который подходит к
свободной поверхности, а затем отражается от нее. Для простоты
мы рассматриваем распространяющиеся и взаимодействующие
волны в линейном приближении. Сплошной линией изображен
истинный профиль давления, а штриховой — падающий и
отраженный импульсы, из которых получается истинный профиль
давления. Взаимодействие разрежения в падающем импульсе с
разрежением в импульсе, отраженном от свободной поверхности,
Фиг. 25. Отражение от свободной
поверхности (в линейном
приближении).

52
Дж. Дювал
вызывает растягивающие напряжения в образце. Откол
начинается в тех точках и в тот момент времени, где и когда
возникают условия, необходимые для этого. Точнее это показано
на фиг. 26. Здесь в плоскости (х, /) представлена диаграмма
процесса, показанного на фиг. 25. За падающей ударной волной
9*+ следует простая волна разрежения, представленная
областями 11—13, которые разделены ^-характеристиками.
Свободная поверхность ABC начинает двигаться непосредственно
Фиг. 26. Отражение от свободной поверхности,
а —диаграмма в плоскости (х, t)\ б—диаграмма в плоскости (р, и).
после прихода падающей волны <?+у и в точке В возникает
пучок характеристик волны разрежения, распространяющейся
назад. Характеристики С+ проходят через пучок отраженного
разрежения, и каждая из них по очереди отражается от
свободной поверхности. Картина течения в плоскости (/?, и)
показана на фиг. 26,6. В точках, отмеченных на графике вдоль
характеристики Г+, происходит переход от состояния 12 до
состояния, соответствующего свободной поверхности. Нетрудно
видеть, что линии перехода заходят в область отрицательных
давлений и возвращаются к состоянию р = О в области 42.
Качественно это согласуется со схемой фиг. 25.
Произойдет ли откол или нет — это зависит от амплитуды
растягивающих напряжений и от длительности их
существования. В работе [10] показано, что откол происходит, если растя-

2. Ударные волны в конденсированных средах 53
гивающее напряжение а/ удовлетворяет условию
C-A + FtfL)*. (100)
где z — расстояние до свободной поверхности, Да = а/, a
Да/г — градиент напряжения. Константы А и В характеризуют
свойства материала. Уравнение (100) означает, что откол
происходит тогда, когда произведение okt достигает определенного
значения.
Свободное пространстве
Свободное
пространство
Фиг. 27. Скол с «гребешком».
В работе [11] предложено несколько более общее условие:
откол происходит, когда
Ator = G, (101)
где г и G — характеристики материала. Еще более общее соот*
ношение использовано Тьюлером1) для описания Экспериментов
в алюминии (марки 6061-Т6): откол происходит в момент
времени tfy который определяется условием
и
J* (oQ-o)rdt = G,
(102)
где г = 2,02, G = 3,98-1013, а0 = —1010 дин/см2. Все эти условия
относятся к случаю плоского откола, представленному на фиг. 25
l) F. W. Tuler, частное сообщение.

54
Дж. Дювал
и 26. Ни одно из них не имеет достаточно глубокого
теоретического обоснования. В настоящее время усилия в этой области
направлены на проведение экспериментов, которые дали бы
информацию, необходимую для моделей зарождения и роста
трещины, подобных тем, о которых говорится в работе [12].
Другое часто наблюдающееся явление — скол с
«гребешком»: под действием ударной нагрузки образец ровно
раскалывается почти по всей диагонали, и только в самом дальнем
конце обычно происходит срез по нормали (фиг. 27). Это
явление подробно анализируется в работах [13, 14]. В работе [14]
Свободная граница
Фиг. 28. Волна, идущая к вершине Фиг. 29. Взаимодействие отражен-
угла [14]. ных волн [14].
в линейном приближении теории упругости проведен анализ
конфигураций, показанных на фиг. 28 и 29. На фиг. 28 линия
Ф — волна сжатия, идущая к вершине угла; возникающие при
этом отраженные волны разгрузки обозначены через Oi и Ф2,
а отраженные волны сдвига —через Yi и Ч^. В более поздний
момент времени, показанный на фиг. 29, остаются только
отраженные волны и они сталкиваются вдоль оси //', причем точка
их столкновения перемещается вниз. Если амплитуда падающей
волны достаточно велика, то взаимодействующие волны
растяжения Oj и Фг или волны сдвига Ч^ и ^2 вызывают разрыв,
перемещающийся вдоль оси у'. Анализ, проведенный в работе
[14] и хорошо согласующийся с экспериментом, показывает, что
для заданной падающей волны максимальные разрывающие
напряжения развиваются при 0 « 120°. Срез вблизи вершины

2. Ударные волны в конденсированных средах 55
угла на фиг. 27 объясняется, вероятно, тем, что для
разрушения требуется конечное время, как в условиях (100)—(102).
Интересный тип разрушения наблюдается, когда детонирует
слой взрывчатого вещества, находящийся в контакте с
металлической пластиной. Схема опыта изображена на фиг. 30. На
Профиль даа/таиня
Фронт разрежения возле
конца заряда ВВ
Фиг. 30. Разрушение пластины вблизи конца заряда взрывчатого
вещества,
а—стационарные волны, создаваемые детонирующим взрывчатым веществом; б —волна
разгрузки, возникающая в конце заряда ВВ, сталкивается с волной разрежения, идущей
от нижней поверхности пластины; в*—разрыв в результате такого столкновения. Л —линия
откола, В — линия разрыва в конце заряда ВВ.
фиг. 30, а фронт детонации движется со скоростью D, оставаясь
перпендикулярным поверхности пластины. При этом в пластине
образуется косая ударная волна 9. За фронтом детонации
давление на пластину, как это показано на графике, быстро
падает, что приводит к образованию разгрузки позади 9. Ударная
волна 9 отражается от нижней поверхности пластины в виде
волны разгрузки Ж, и при взаимодействии волны 91 с
разгрузки! позади 9 возникают растягивающие напряжения, которые

56
Дж. Дювал
могут оказаться достаточно большими для раскалывания
пластины по кривой А. Когда же детонация достигает конца заряда
ВВ, возникает волна разгрузки, имеющая приблизительно
цилиндрический фронт (фиг. 30,6). Эта волна разгрузки,
взаимодействуя с волной 52, создает растягивающие напряжения,
которые вызывают разрыв по кривой В (фиг. 30,в). Геометрия
таких взаимодействий рассматривается в работе [15], но ни
расчеты полей растяжения, ни сопоставления с экспериментами
или условиями разрыва не проводились.
Интересно, что в железе и углеродной стали после взрыва
или соударения с ускоренной пластиной образуется откол с
очень гладкой поверхностью. Такой «гладкий откол»
рассматривается в работах [13, 16—18]. В последних трех работах
гладкий откол объясняют взаимодействием волн разгрузки и
фазовым превращением а^ев железе.
§ 9. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
ИЗ ТОЧЕЧНЫХ МАСС
Представим себе ряд точечных частиц, обладающих массами
и связанных между собой нелинейными пружинами и
амортизирующими устройствами (фиг. 31). Силы, действующие на N-ю
частицу со стороны пружин, обозначим через FN-UN и FNiN+u
а силы, связанные с амортизирующими устройствами, — через
Gjv-i, jv и GN, jv+i. Уравнение движения N-й частицы имеет вид
//2 У
~df2~ = FN-i,N Fn, tf+1 + ^ЛГ-1,ЛГ @ы, n+\> (ЮЗ)
где XN— координата N-й частицы в момент Г; X и Т —
приведенные величины соответственно тому, что массы частиц и
равновесное расстояние между двумя соседними частицами
приняты равными единице. Предполагается, что решетка
простирается от iV = 1 до оо, Представим себе, что первой частице в
момент Т = 0 сообщили скорость ии а до этого вся решетка
покоилась. На фиг. 32 представлен график ускорения Л/-й
частицы. В случае квадратичной зависимости сил от смещения [19]
^лг.лг+1 — ~-(Stf+i — SN) + a(S#+i SN)2,
S -X -1 G -0 (104)
На фиг. 32 ломаной линией показаны результаты численного
интегрирования, частой штриховой линией — аналитическое
приближение, полученное усреднением нелинейных сил по времени,
а редкой штриховой линией — точное решение для случая а=0
в уравнении (104). Если сравнивать решения при все больших и
больших значениях N, то оказывается, что начальное ускорение

n-z
/V-/
Fn-!,n N fyN+l
N±1
N+l
w/ yVWVWw( VaAAAA/w/ j\VWVW\/ yVWWwf УлЛ
Gni,n
I L
Фиг. 31. Одномерная решетка с диссипацией.
Фиг. 32. Ускорение частицы в нелинейной решетке [19].

58
Дж. Дювал
монотонно возрастает, а скорость затухания колебаний
монотонно уменьшается с ростом N. Это означает, что должен
существовать стационарный режим, в котором
SN(T) = S(T-NQ), (105)
где Э — постоянная, равная обратной величине скорости волны.
Подставив (105) в уравнение (103) в случае сил,
действующих по закону (104), мы получим
™. = [S{y-B)-2S{y) + S(y + B)]X
X{l-a[S(y-Q)-S(y + Q)]}, (106)
где
y = T-NQ.
Уравнение (106) представляет собой
дифференциально-разностное уравнение редко встречающегося типа, его трудно решить
даже численным методом. Приближенное решение можно
получить, разложив S(yzkQ) в ряд по степеням Э до членов
четвертого порядка. Если затухание мало, но не равно нулю, то
получаются квазистационарные осцилляции такого типа, как
показано на фиг. 32. Однако частоты осцилляции, найденные
с помощью приближенной теории, отличаются от частот,
которые получаются при численном интегрировании уравнения,
описывающего неустановившийся процесс. Таким образом, картина
установившегося процесса в решетке качественно верна, но для
вычисления параметров такого процесса нужно решить
уравнение (106) [20].
Эти результаты интересны в отношении к вопросу об
интегрировании газодинамических уравнений методом Неймана —
Рихтмайера. Если искусственная вязкость слишком мала, то
результаты интегрирования обнаруживают очень сильные
осцилляции. Их иногда объясняют неустойчивостью процесса
численного интегрирования, но на самом деле это истинное
физическое поведение системы с постоянными сосредоточенными
параметрами, взятой для имитации непрерывной среды при
численном интегрировании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Courant R.y Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, New
York, 1948 (имеется перевод: P. Курант, К. Фридрихе, Сверхзвуковое
течение и ударные волны, ИЛ, 1950).
2. Duvall G. £., Les ondes de detonation, Paris, 1962, p. 337.
3. Bland D. #., Journ. Inst. Math. Appl., 1, 56 (1965).
4. Erkman J. O., Duvall G. £., в книге Developments in Mechanics, eds.
Т. С Huang, M. W. Johnson, Jr., vol. 3, New York, 1965, Pt. 2, p. 179.
5. Herrmann W., Wave Propagation in Solids, New York, p. 129.

2. Ударные волны в конденсированных средах
59
6. Duvall G. £., Horie У., в книге Proc. Fourth Symposium on Detonation,
Washington, 1966, p. 248.
7 Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference Methods for Initial-Value
Problems, 2nd ed., New York, 1967.
8. Alirens T /., Duvall G. £., Journ. Geophys. Res, 71, No. 18, 4349 (1966).
9. Horie У., Duvall G. £., в книге Proc. Army Symposium on Solid
Mechanics, Watertown, Mass., 1968, p. 127.
10. Breed B. #., Mader C. L, Venable D., Journ. Appl. Phys, 38, 3271 (1967).
11. Butcher В Л/., Barker L. M, Munson D. £., Lundergan C. D., Amer. Inst.
Aeronautics and Astronautics Journ., 2, 977 (1964).
12. McClintock F. A., International Journ. Fract. Mech., 4, 101 (1968).
13. Rinehart J. S.t Pearson /., Behavior of Metals Under Impulsive Loads,
New York, 1954.
14. Fowles G. R.y Anderson G. D., Poulter Laboratories Internal Report 032-59,
Stanford Research Institute, Menlo Park, Calif. (1959).
15. Drummond W. £., Comments on the cutting of metal plates with high
explosive charges, paper No. 57-A-89, American Society of Mechanical
Engineers, 345 E. 47th St., New York, N. Y. 10017 (1957).
16. Erkman J. O., Journ. Appl Phys., 32, 939 (1961).
17. Letliaby /, Skidmore /. C, S.W.A. Branch Note No. 3/59, AWRE, Alder-
maston, Berks (March 1959).
18. Tupper S. /., On the propagation of plane stress waves generated in a
thick steel plate by a surface explosion, A. R D. E. Report (B) 12/61
(Sept. 1961).
19. Manvi R., Duvall G. £., Lowell S. C, Int. Journ. Mech Sci., 11, 1 (1969).
20. Duvall G. £., Manvi R., Lowell S. C, Journ. Appl. Phys., 40, 3771 (1969).

3
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Р. Килер, Е. Ройс*
I. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Р. Килер
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Измерения физических параметров, характеризующих
состояние вещества за фронтом ударной волны, аналогичны
измерениям, проводимым при других исследованиях свойств
вещества в условиях высокой плотности энергии. Их приходится
проводить за очень короткое время, так как в лабораторных
условиях невозможно стационарно поддерживать высокие
плотности энергии (до 106 Дж/см3). Регистрация данных должна
производиться дистанционно, поскольку при высоких плотностях
энергии нельзя избежать разрушения, а измерения должны быть
как можно более полными, ибо исследуемую систему
невозможно вернуть в исходное состояние для проверки полученных
результатов.
В своих лекциях Дювал дал исчерпывающий обзор
гидродинамики ударных волн. Он показал, что предположение о
стационарности одномерной ударной волны, т. с. волны с
неизменяющимися во времени свойствами, дает возможность применения
так называемых соотношений Рэнкина — Гюгонио [1.1]. Ранее
использовались различные схемы сферических или
цилиндрических схлопывающихся систем, но они дороги, подвержены неста-
бильностям, а точность получающихся в таких схемах данных
падает с увеличением плотности энергии. Кроме того, поскольку
в таких системах давление монотонно возрастает, геометрия
сходящихся волн не обеспечивает стационарности процесса. В силу
одномерности соотношений Рэнкина — Гюгонио результаты
измерения основных газодинамических параметров в ударных
волнах имеют смысл лишь в случае плоской геометрии. Таким
образом, при постановке экспериментов, в которых для создания
высоких давлений используются ударные волны, мы ограничены
* R. N. Keeler, Е. В. Royce, University of California, Lawrence Radiation
laboratory — Livermore, Cab

3. Ударные волны в конденсированных средах
61
не только в выборе измеряемых величин, но и в выборе
геометрии эксперимента.
Соотношения Рэнкина — Гюгонио обычно записываются в
переменных р, v = р-1, Us, Uv и Е:
v = Vq{1 —jj-J —закон сохранения массы,
P = Po + PoUsUf
— закон сохранения импульса,
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Д£ = -j (р + Ро) (vo— t;) —закон сохранения энергии.
Здесь переменные и единицы их измерения таковы: р—
давление, мегабар (1 Мбар = 1012 дин/см2), р — плотность, г/см3,
скудельный объем, см3/г, Е— удельная внутренняя энергия
з
Фиг. 1.1. Схема эксперимента,
в котором мощное взрывчатое
вещество
контактирует
ванием.
с осно-
/ — детонатор; 2—плоско-волновая
линза; 3 — блок взрывчатого вещества; 4 —
основание; 5—образец.
Фиг. 1.2. Схема эксперимента
с летящей пластиной.
/ — детонатор; 2 — плоско-волновая
линза; 3 —летящая пласчина;
4—основание; 5—блок взрывчатого вещества;
5—воздушные зазоры, 7 —образец.
(Мбар-см3/г = 1012 эрг/г), Up — скорость частиц среды, т. е.
массовая скорость вещества за фронтом ударной волны, см/мкс,
Us — скорость ударной волны, см/мкс. Индекс 0 относится к
начальному (невозмущенному) состоянию.
Из пяти переменных только две независимы. Поэтому в
экспериментах с ударными волнами обычно измеряют две
величины, а остальные три вычисляют по двум известным.
Существуют два основных метода получения в лабораторных
условиях очень больших ударных давлений. В первом методе
при помощи мощного взрывчатого вещества либо
непосредственно создают сильную ударную волну в образце (фиг. 1.1),
либо ускоряют пластину, которая затем уже ударяется об
образец (фиг. 1.2). Во втором методе (фиг. 1.3) снаряд, который

62
Р. Килер, E. Ройс
ударяется о мишень или образец, ускоряют при помощи одно-
или двухкаскадной пушки на легком газе или порохе.
Чтобы выяснить, каковы предельные давления, получаемые
этими методами, рассмотрим р— ^-диаграмму. На фиг. 1.4 при-
у^/у/^^////уу/^^^т
Ш///мм//////^
f
Л
Фиг. 1.3. Пушка с легким газом,
/—камера высокого давления; 2—диафрагма; 3— снаряд; 4 — ствол; 5—образец.
Рн
%Ps
Pi
Плотная
жидкость
V V0
Удельный объем
Фиг. 1.4. Диаграмма в плоскости р •
V.
ведена такая диаграмма для типичного вещества, например
разреженного газа или металла. При построении диаграммы пре-
небрегалось полиморфными переходами в твердом веществе.
Изображенные здесь кривые представляют собой проекции
поверхности, описываемой уравнением состояния в пространстве
р _ v _ £ или р — у — 7\ на плоскость р — v. Например,
изотерма в этой плоскости представляет собой проекцию линии
пересечения плоскости Т = const с поверхностью р — v — Г,
описываемой уравнением состояния, на плоскость p — v<

3. Ударные волны в конденсированных средах
63
Прежде всего интересно сравнить относительное положение
изотермы, изэнтропы и адиабаты Гюгонио. Изэнтропа (так же
как и изотерма) дает последовательность состояний, которые
могут быть пройдены непрерывно, а адиабата Гюгонио — все
состояния, в которые может переходить вещество из данного
начального состояния в результате ударного воздействия. Это
последовательность точек, для которых при переходе из
начального состояния в конечное отсутствует теплопередача между
системой и окружающими телами и для которых изменение
состояния системы обусловливается распространением
одномерного стационарного скачка давления. Для таких трех процессов
можно написать:
S v v v
изотерма: Д£ = J Т dST — J рdvT = j Т(-^-J dvT — j p dvT,
So V0 V0 V0 /j ^ч
V
изэнтропа: Д£= — J pdvs, (1.5)
t>o
адиабата Гюгонио: ^E = ^(p + p0)(v0—v). (1.3)
Если рассматривать энергию, необходимую для сжатия данного
вещества из некоторого начального состояния до заданного
конечного объема, то в случае ударного сжатия эту энергию
можно вычислить по формуле (1.3). Она равна площади
прямоугольного треугольника ABC. Эта площадь всегда больше
площади адиабаты Гюгонио. Для изэнтропического процесса
энергия дается уравнением (1.5) и соответствует площади
изэнтропы AD. Таким образом, изэнтропа всегда леж^т ниже кривой
Гюгонио, так как (dp/dE)v> 0. Энергия, необходимая для
изотермического сжатия образца, меньше площади изотермы АЕ
на величину первого члена в правой части уравнения (1.4),
который всегда отрицателен. Она равна площади кривой AF.
Поскольку при переходе от изотермы к изэнтропе и. далее к
адиабате Гюгонио энергия возрастает, при заданном сжатии
пропорционально этому повышается температура и кривые смещаются
вверх, как показано на фиг. 1.4.
Здесь нам нужно ввести понятие динамического импеданса.
Для этого рассмотрим процесс прохождения ударной волны
через границу раздела двух веществ. На фиг. 1.5 ударная волна
с давлением р\ распространяется в веществе /. После
взаимодействия с веществом 2 в нем и в обратном направлении в
веществе / начинают распространяться ударные волны
с давлением р2. Если динамический импеданс вещества 2
(фиг, 1.6) меньше, то в веществе / в обратном направлении

64
Р. Килер, Ё. Ройс
распространяется волна разрежения, а внутрь вещества 2 идет
ударная волна меньшей амплитуды.
Зависимость от соотношения динамических импедансов
гораздо нагляднее выявляется из адиабат Гюгонио на плоскости
р—UPt чем на плоскости р— v. Такой выбор координат удобен
потому, что при прохождении ударной волны через поверхность
раздела сред с разными динамическими импедансами на
границе раздела должно выполняться условие непрерывности
давления р и массовой скорости Uр. От соотношения же
динамических импедансов рассматриваемых веществ зависит —
распространяется ли в обратном направлении от поверхности раздела
Вещество? . i Вещество 2
Pi i
Вещество 1
Вещество с
\ Рг
Фиг. 1.5. Вхо»
ны в веществе
п
[дение ]
) с бол
ансом.
-
/дарной
большим импе-
Вещество J
Вещество 1
Фиг. 1.6. Вх
ны в вещее!
р/ j Вещество Z
i Вещество 2
i t-
ождение ударной вол-
ъо с меньшим
импедансом.
ударная волна с более высоким давлением или волна
разрежения с более низким давлением, чем в первичной ударной волне.
Динамическим импедансом называют произведение ро£Д; вообще
говоря, это функция давления. Его связь с отраженной волной
разрежения, отраженной и проходящей ударными волнами,
будет ясна из дальнейшего. Графически взаимодействие ударных
волн с веществами, обладающими разными динамическими
импедансами, представлено на фиг. 1.7, где приведен ряд адиабат
Гюгонио и изэнтроп. Если учесть закон сохранения импульса
р = p0UsUp, то на этом графике динамический импеданс при
заданном давлении будет равен просто наклону прямой,
проходящей через начало координат и точку, соответствующую
данному давлению на адиабате Гюгонио. Сравнивая кривые
Гюгонио для сред I, II и III, можно видеть, что ударная волна, которая
входит в среду 2 из среды /, порождает две ударные волны,
распространяющиеся в противоположных направлениях, После-

3. Ударные волны в конденсированных средах
65
довательность точек, которые могут быть достигнуты при
вхождении ударной волны в среду с большим импедансом из среды
с меньшим импедансом, дается кривой АВ. Аналогично
последовательность точек, которые могут быть достигнуты при
вхождении ударной волны в среду с меньшим импедансом, дается
кривой АС. Точка С соответствует ударной волне, входящей в среду
с нулевым импедансом, и, следовательно, скорость ударной
волны в этой точке равна скорости свободной поверхности £/св
среды, из которой ударная волна выходит в вакуум или воздух.
Для определения кривой ВС необходимо задать
функциональный вид уравнения состояния.
Скорость свободной поверхности дается выражением
UCB = UP + Un (1.6)
где Uт — скорость волны разрежения,
"-/(-£)> <17>
Ро
При ударных давлениях до 500 кбар для большинства веществ
с точностью до 1% [1.2] справедливо приближение Uv=Ur
(«приближение свободной поверхности»).
На фиг. 1.7 указаны также пределы возможных давлений.
Для ряда типичных мощных взрывчатых веществ приведены
давления, определяющиеся условием Чепмена — Жуге [1.3].
Кривая, проходящая через точку, соответствующую взрывчатому
веществу НМХ 1), дает давление, которое может быть
достигнуто в веществе при воздействии на него детонационной волны
от мощного взрывчатого вещества, находящегося в контакте с
исследуемой средой. Таким образом, давление, получаемые с
помощью мощных взрывчатых веществ, находящихся в контакте
с веществом, не превышают 0,8 Мбар.
Максимально возможная скорость пластины, ускоряемой
мощным взрывчатым веществом, равна скорости звука в
горячих продуктах детонации. В действительности конечная скорость
пластины определяется тем, что в ней возникает ряд
отраженных ударных волн и волн разрежения. Естественно, ускорение
прекращается, когда боковые и тэйлоровские волны разрежения
в продуктах детонации достигают середины задней поверхности
пластины. Ускорение монелевой пластины толщиной 3,2 мм с
помощью мощного взрывчатого вещества до скорости 5 мм/мке
позволяет довести максимально достижимое давление в
вольфраме до 2,4 Мбар.
*) См. гл. 8, табл. 2. — Прим. перев.

66 Р. Килер, E. Ройс
Наибольшие ударные давления, полученные на сегодня
(5—10 Мбар [1.4—1.6]), создавались с помощью сферических
кумулятивных систем и двухкаскадных газовых пушек. В этих
экспериментах давления и объемы, соответствующие адиабате
Гюгонио, находились по данным измерения скорости
разогнанной пластины и скорости ударной волны в образце. В некоторых
1,5
0,6
0,5
0,4
0,3
о,г
О J
и0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Up, мт/ыкс
Фиг. 1.7. Диаграмма в плоскости р — Up.
опубликованных работах сообщалось о более высоких
давлениях (р = 33 Мбар) [1.7], но в этих работах измерялась только
скорость ударной волны, а давления и объемы рассчитывались
по данным о скорости.
Из четырех переменных, входящих в первые два
соотношения Рэнкина — Гюгонио, легче всего поддается прямому
измерению скорость ударной волны, и ее обычно регистрируют во
всех экспериментах по ударным волнам. Труднее же всего
измерять давление, удельный объем и массовую скорость, так как
соответствующие датчики неизбежно подвергаются воздействию
высоких давлений, температур и разрушающих напряжений,
существующих за фронтом ударной волны. Чтобы обойти эту
трудность, указанные величины измеряют, регистрируя излучение,
выходящее из фронта ударной волны или проходящее сквозь
него.
Г ^
1
/
в г
\ 1
у '
* >vS
Ч / / / "У
Г""" 1 1
3
\
\
\
\
\
*^нмх
^lRDX ,
^Зода
\
\
\
\
^^^» 77/23 циклотол \
>TNT 64/36
состав В \ с\
1 \1

3. Ударные волны в конденсированных средах
67
Экспериментальные методы, которыми обычно исследуют
уравнение состояния в ударной волне, можно разделить на
четыре типа: 1) дискретные, когда регистрируется сигнал,
соответствующий определенному событию в пространстве и времени;
2) непрерывные, в которых непрерывно записывается движение
заданной поверхности; 3) внутренние, в которых измеряются
параметры ударной волны за фронтом (например, давление или
массовая скорость), и 4) комбинированные, когда одновременно
используются два из упомянутых выше методов. Эти методы
были разработаны в основном в Лос-Аламосской научной
лаборатории, лабораториях фирмы Сандия, Стэнфордском
исследовательском институте и в различных лабораториях Советского
Союза, Великобритании и Австралии (см., например, обзоры
[1.3, 1.8—1.13]).
Выбор измеряемых переменных определяется диапазоном
рабочих давлений и явлениями, которые предполагается
регистрировать при нужном давлении. В экспериментах с ударными
волнами, проводимыми при давлениях до 0,5 Мбар, обычно
измеряют скорость свободной поверхности, а скорость ударной
волны определяют, используя либо «приближение свободной
поверхности», либо скорректированную массовую скорость,
получаемую из скорости свободной поверхности и оценки интеграла
Римана [1.2]. При измерении скорости свободной поверхности,
безусловно, важное значение имеет состояние самой
поверхности, на которой при давлениях от 0,5 до 1 Мбар уже
возможны явления образования струи, разрушения и плавления.
При таких условиях можно измерять другие величины,
например наряду со скоростью ударной волны в образце измерять
скорость разогнанной пластины или снаряда перед самым
ударом об образец. Если образец выполнен из того же материала,
что и налетающая пластина или снаряд, то мы имеем случай
«симметричного удара». Когда налетающая пластина или
снаряд ударяется о мишень из того же материала, в силу закона
сохранения импульса массовая скорость за фронтом ударной
волны, входящей в материал мишени, будет равна половине
скорости налетающей пластины. В этом случае для определения
давления и удельного объема за фронтом ударной волны
достаточно измерить скорость снаряда и скорость ударной волны в
мишени. Для проведения последовательной серии измерений
параметров уравнения состояния выбираются различные
специально подобранные вещества. В экспериментах с этими
веществами измеряется скорость ударной волны, скорость
налетающей пластины и скачок скорости свободной поверхности. Затем
эти вещества используются в качестве эталонных. Если
уравнение состояния эталонного вещества известно в интересующем нас
интервале параметров (или рассчитано на основе конкретной

68 Р. Килер, E. Ройс
модели уравнения состояния), то адиабату Гюгонио
вещества с неизвестными свойствами можно найти, измерив только
скорости ударных волн. В самом деле, вернемся снова к графику
в плоскости р — Uv, представленному на фиг. 1.7. Ударная
волна в эталонном веществе изображается точкой пересечения
прямой Михельсона ]) О А с определенной заранее адиабатой
Гюгонио. Тогда состояние вещества мишени, получающееся при
вхождении в нее ударной волны, определяется точкой
пересечения прямой Михельсона для мишени с кривой, описывающей
волну разрежения, исходящей из точки А (в сторону от кривой
Гюгонио). Естественно, эталоны необходимы также и в
экспериментах с жидкостями.
§ 2. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
1. Плоско-волновые линзы. В физике ударных волн находят
широкое применение некоторые не совсем обычные
экспериментальные устройства. Поскольку многие физики незнакомы с
такими устройствами, мы рассмотрим их отдельно от тех
экспериментальных методов, в которых они используются. К подобным
устройствам относятся линзы из
мощного взрывчатого вещества
[1.14]. Такие линзы позволяют
з получать детонационные волны
с плоским фронтом и практически
одномерные плоские фронты
ударных волн в образцах.
Плоско-волновая линза (основанная
на оптическом законе
преломления) изготавливается в виде
конуса из медленно детонирующего
Фиг. 1.8. Плоско-волновая линза, взрывчатого вещества, который
/-место детонатора; ^состав Б; СНарУЖИ ОКРУЖеН бЫСТР0 ДеТОНИ-
3-баратол. РУЮЩИМ МОЩНЫМ ВЗрЫВЧатЫМ
веществом (фиг. 1.8). Одним из
применяемых во взрывных линзах сочетаний взрывчатых
веществ является комбинация баратола (тринитротолуол,
пропитанный нитратом бария) и состава В2). Скорость детонации
первого из этих взрывчатых веществ равна 5, а второго
8 мм/мкс. Плоскостность характеризуется тем, что разброс
времени прихода ударной волны в пределах круга диаметром
30 см в такой системе не превышает 30 не. Дальнейшее улучше-
*) В зарубежной литературе эта прямая называется прямой Релея.—
Прим. перев.
2) См. гл. 8, табл. 2. — Прим. перев.

3. Ударные волны в конденсированных средах
69
ние плоскостности достигается путем применения
цилиндрического блока из мощного взрывчатого вещества, в котором
распространяется детонационная волна до входа в исследуемый
образец. Тем самым уменьшают также крутизну волны
разрежения за фронтом ударной волны.
Когда определяющим фактором является стоимость
эксперимента и нежелательно использовать большие количества
сильного взрывчатого вещества, а высокая точность не обязательна,
часто пользуются так называемой линзой «типа мышеловки».
Она состоит из двух плоских блоков мощного взрывчатого
вещества, расположенных под углом друг к другу. Верхний слой
мощного взрывчатого вещества инициируют с одного конца, и,
когда детонационная волна проходит вдоль металлической
пластины, последняя разворачивается параллельно поверхности
второго, нижнего блока мощного взрывчатого вещества. Затем
она сразу всей своей плоскостью ударяется о нижний блок,
инициируя плоскую детонационную волну. Время от момента
запуска до окончания детонации мощного взрывчатого вещества
составляет 10—50 мкс.
2. Газовые и пороховые пушки. В последние годы
значительное количество работ по ударным волнам, которые прежде
проводились с использованием мощных взрывчатых веществ, было
выполнено на одно- и двухкаскадных газовых и пороховых
пушках. Такие пушки имеют много преимуществ. Прежде всего при
соответствующих предосторожностях они дают возможность
проводить эксперименты с ударными волнами большой
амплитуды в лабораторных условиях. Конечно, здесь существуют те
же ограничения на методы диагностики, о которых говорилось
в § 1. Но при этом отпадает необходимость проводить
эксперименты на далеком расстоянии от регистрирующей аппаратуры,
как в случае больших взрывов мощного взрывчатого вещества.
Такие пушки дают ударные волны с полностью
контролируемыми параметрами. Поскольку ударная волна образуется при
ударе снаряда об образец, а не за счет детонационной волны,
которая сопровождается монотонным уменьшением давления,
профиль ударной волны за фронтом имеет плоскую форму.
Интерпретация сложных взаимодействий волн в такой системе
оказывается намного проще. Двухкаскадные пушки позволяют со
значительно более высокой точностью задавать протяженность
и давление ударной волны и, наконец, с гораздо большей
воспроизводимостью и удобством, чем в случае систем с мощным
взрывчатым веществом, получать давления до 10 Мбар.
Устройство и применение однокаскадных пушек подробно обсуждается
в работах [1.15, 1.16], а двухкаскадных — в работе [1.6].

70
Р. Килер, E. Ройс
3. Скоростной фоторегистратор. В скоростном
фоторегистраторе [1.17] изображение с большой скоростью перемещается по
пленке, обеспечивая наблюдение очень быстро протекающих
процессов. Исследуемый объект может быть неподвижным или
движущимся, а развертка изображения осуществляется быстро
вращающимся зеркалом, которое помещается между
объективом и пленкой. Простейшая схема эксперимента состоит из
мишени, объектива, вращающегося зеркала и пленки. На
практике, чтобы удалить камеру на достаточное расстояние,
приходится усложнять схему. При частоте вращения зеркала 2000 об/с
Фиг. 1.9. Скоростной фоторегистратор.
/ — мишень; 2—объектив; 3 — входное отверстие; 4—щелевая диафрагма; 5 — коллимирую-
щая линза; б —телескопическая линза; 7—вращающееся зеркало; 8—фотопленка.
и радиусе барабана камеры 40 см скорость движения
изображения по пленке составляет около 1 см/мкс при разрешении
примерно 1%.
Схема такого скоростного фоторегистратора представлена на
фиг. J.9. После того как вращающееся зеркало наберет рабочую
скорость, пусковой сигнал с регистратора инициирует
взрывчатое вещество. При работе с газовыми пушками из-за того, что
интервал между пусковым сигналом и окончанием эксперимента
составляет ~ 1 мс, необходимо использовать ждущий
фоторегистратор или регистратор с ЭОП, работающим в режиме
щелевой развертки.
4. Аргоновая «свеча». В качестве интенсивного светового
источника длительностью 10—20 мкс может быть использована
аргоновая «свеча», которая представляет собой просто
наполненный аргоном картонный цилиндр, помещаемый рядом с
зарядом мощного взрывчатого вещества [1.18]. В аргоне при
взрыве взрывчатого вещества распространяется сильная
ударная волна, которая, нагревая газ до высоких температур (2 эВ),
создает яркую вспышку света. На фиг. 1.10 показана типичная

3. Ударные волны в конденсированных средах 71
24 см
аргоновая «свеча», а на фиг. 1.11 изображен более сложный
световой источник, обычно используемый в спектроскопических
исследованиях. Излучательные характеристики такого
источника были выверены экспериментально. В этом источнике аргон
непрерывно продувается через
цилиндр из взрывчатого вещества. После
детонации взрывчатого вещества в
аргоне распространяются сходящиеся
ударные волны, нагревая его до
температуры порядка 3,5 эВ. Они
обеспечивают среднюю плотность
мощности на площадке диаметром 10 см,
удаленной на расстояние 600 см,
около 12 эрг/см2-мкс в спектральном
интервале 4200—5400 А. Данное
устройство обычно применяется в
экспериментах по абсорбционной
спектроскопии веществ, сжатых ударной волной *).
Фиг. 1.10. Аргоновая
«свеча».
/—детонатор; 2—слой мощного
взрывчатого вещества; 3 —
патрубок для напуска аргона; 4—лю-
ситовое окно.
5. Аргоновый вспыхивающий
промежуток. Яркую световую вспышку,
которая генерируется в аргоне, нагреваемом ударной
волной, можно также использовать для регистрации момента
прихода ударной волны [1.2]. Методика вспыхивающего
аргонового промежутка основана на использовании очень тонкого
^
"ШЖМ
■ffis
т
/
^\\\\\\\ККК\УККК^\К-*~.
\к\\кк\\\ч\\\\\\\к
\
^
Фиг. 1.11. Аргоновая «свеча» для спектроскопических исследований.
/ — цоколь; 2—отверстие для напуска газа; 5—цилиндрический заряд мощного
взрывчатого вещества; 4—детонатор диаметром 0,95 см; 5— тетриловый заряд диаметром 1,27 см:
5—латунный конус; 7— алюминиевая трубка.
(~50 мкм) наполненного аргоном зазора между блоком из лю-
сита и образцом. Зазоры могут использоваться для индикации
момента прихода как ударной волны, так и свободной
поверхности. После прихода ударной волны или свободной поверхности
аргон под действием многократно отраженных ударных волн
сжимается, нагревается до высокой температуры и начинает
Светиться через промежуток времени около 10~9 с после прихода
фронта волны. Длительность вспышки —порядка 20 не.
van Thiel, Л. С. Mitchell, неопубликованная работа.

72
Р. Килер, E. Ройс
§ 3. ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ
Две наиболее важные дискретные методики, обычно
используемые в исследованиях ударных волн, основаны на
применении электроразрядных зондов и вспыхивающих промежутков.
Регистрируется время появления оптического или
электрического сигнала, соответствующего определенному положению
объекта в пространстве, а по измеренным расстоянию и времени
вычисляется скорость. Такие методы позволяют измерять
скорость ударной волны, скорость свободной поверхности и скорость
снаряда или пластины.
Из других методов стоит упомянуть лишь два. Первый —
импульсный рентгеновский метод, в котором для получения
импульсной рентгенограммы снаряда в полете используются
рентгеновские трубки, размещенные на известных расстояниях и
запускаемые в данные моменты времени. Такой метод
применялся при измерениях на двухкаскадной газовой пушке [1.6].
Второй метод — метод прерывания оптического луча,
используемый для тех же целей. В нем обычно используются лазеры,
фотодиоды и быстрые осциллографы. Недостатком обоих
методов является плохое пространственное разрешение из-за
наклона поверхностей, поверхностных неодиородностей и
беспорядочного вращения снаряда при свободном полете. В одной из
опубликованных недавно работ сообщались предварительные
данные об использовании для измерения скорости снаряда
метода электромагнитного датчика, но для полной оценки
возможностей такого метода приведенных данных еще недостаточно.
1. Зондовые методы. Наиболее распространенная дискретная
методика исследования ударных волн основана на применении
Фиг. 1.12. Коаксиальный самозакорачивающийся зонд.
/ — латунный стержень; 2 — электроизоляция; 3 — наконечник; 4— корпус зонда; 5 —слюдя*
ная шайба.
закорачивающихся зондов. Типичный коаксиальный
самозакорачивающийся зонд показан на фиг. 1.12. Зазор между
центральным проводником и корпусом зонда образует разрыв
электрической цепи. После воздействия ударной волны зазор зонда
замыкается и в цепи, показанной на фиг. 1.13, возникает ток.
Воспроизводимость времени срабатывания зависит от конструк-

3. Ударные волны в конденсированных средах
73
тивных особенностей зонда: однородности поверхностей,
точности размещения центрального коаксиального проводника,
точности механической обработки деталей и точности расположения
зондов в каждом отдельном эксперименте. Между центральным
коаксиальным проводником и внешним корпусом зонда обычно
450 В
J| ЮкОм
Фиг. 1.13. Электрическая схема, в которую включается зонд.
вставляют шайбу или прокладку из слюды. Особенности
электрического разряда и гидродинамики процесса замыкания
зазора после прихода ударной волны таковы, что при давлениях
Фиг» 1.14. Осциллограммы выходных импульсов самозакорачивающегося
зонда.
ниже 75 кбар эти зонды обычно не применяются. Типичная
осциллограмма сигналов, даваемых зондами, отстоящими друг от
друга на 3 мм, приведена на фиг. 1.14. Максимальный разброс
момента срабатывания составляет около 5 не.
Некоторые из ранних работ Миншала [1.19] могут служить
классическим примером применения простых зондов для
определения положения свободной поверхности и наблюдения
профилей сложных волн. Некоторые данные, полученные им,
приведены на фиг. 1.15. На основании этих данных Миншалу удалось

74
Я. Килер, Е. Ройс
разделить упругую волну-предвестник, волну с амплитудой
131 кбар и основную волну, которая соответствует
модификации железа, существующей при высоком давлении (е-фаза).
Необходимо предотвратить преждевременное замыкание за счет
го гг 24 26
Время прихода ударной волны на зонд, мне
Фиг. 1.15. Данные зондовых измерений,
иллюстрирующие наличие трех волн в железе [1.15].
/—основная волна; 2—первая пластическая волна; 3 —
упругая волна.
'N
6 7
Фиг. 1.16.
Коаксиальный
пьезоэлектрический зонд.
/ — латунная проволока;
2—тефлоновая трубка;
3 — латунная трубка;
4—эпоксидная смола;
5 — серебряно-эпоксидная
паста; 6 —
пьезоэлектрический кристалл;
7—медная подложка.
воздействия сложных ударных волн на атмосферу,
окружающую зонд. Для этого зонды и поверхности образца следует
поместить в вакуум.
В Ливерморской и других лабораториях для экспериментов
при более низких давлениях, когда самозакорачивающиеся
зонды работают ненадежно, были разработаны пьезоэлектрические
датчики. На фиг. 1.16 показан такой коаксиальный
пьезоэлектрический зонд, предназначенный для экспериментов низкого
давления (50—100 кбар). Подобные датчики не требуют
внешнего питания и могут быть выполнены либо в виде разборной
конструкции с зажимной пружиной, либо в виде неразборногр

3. Ударные волны в конденсированных средах
75
устройства, показанного на фиг. 1.16. Точность регистрации
времени прихода не ниже 5 не. На фиг. 1.17 представлены
осциллограммы сигналов системы пьезоэлектрических датчиков,
полученные при прохождении ударной волны через жидкий ксенон.
Фиг. 1.17. Осциллограмма сигналов системы пьезоэлектрических датчиков.
2. Эксперименты по исследованию уравнения состояния с
использованием скоростного фоторегистратора и вспыхивающих
промежутков. Обычное устройство для исследования уравнения
состояния методом вспыхивающих промежутков показано на
фиг. 1.18 [1.20]. В таком устройстве одновременно измеряются
скорости свободной поверхности и ударной волны сразу в
нескольких образцах. Щели размещаются прямо на объектах, и
полное изображение всех щелей сканируется по пленке.
Горизонтальные прямые штрихи на фоторегистрограмме (фиг. 1.19)
соответствуют событиям, происходящим одновременно в
пределах ошибки, связанной с наклоном ударной волны. Они
соответствуют приходу ударной волны на промежутки, расположенные
непосредственно на плите, служащей основанием.

Фиг. 1.18. Стандартное устройство для исследования уравнения состояния
(в разрезе).
/ — люситовая плита; 2 — блок измерения скорости свободной поверхности; 3 —
алюминиевый образец для измерения скорости свободной поверхности; 4 — прокладка;
5—алюминиевый образец для измерения скорости ударной волны; 6—блок измерения скорости
ударной волны; 7—зазор шириной 75 мкм; 8 — канал для напуска газообразного аргона.
Фиг. 1.19. Экспериментальная запись, полученная с устройством,
представленным на фиг. 1.18.

3. Ударные волны в конденсированных средах 77
Вспышки, расположенные справа от центральных вспышек,
соответствуют приходу ударной волны на поверхность образца.
Слева от центральной вспышки видны два первых коротких
горизонтальных штриха. Эти штрихи обусловлены утечкой света
(через люсит) от ударной волны, выходящей с поверхности
образца, предназначенного для измерения скорости свободной
поверхности. Небольшое горизонтальное плато в максимуме
импульса соответствует приходу свободной поверхности на данный
вспыхивающий промежуток. Вспышки света в верхней части
пленки соответствуют разрушению образца и запаздывают на
несколько микросекунд относительно начальных вспышек.
Данный снимок типичен для экспериментов со взрывной линзой
диаметром 20 см и блоком мощного взрывчатого вещества
толщиной 10 см.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕТОДЫ
Непрерывные методы основаны на непрерывной регистрации
движения свободной поверхности. Поэтому возможности
применения таких методов зависят от сохранения целостности
свободной поверхности, ускоряемой при воздействии ударной волны.
Непрерывные методы пригодны также для измерения скорости
ударной волны и массовой скорости в прозрачных средах. Но
поскольку в последнем случае регистрация события
производится, по крайней мере частично, внутри фронта ударной волны,
такие измерения мы обсудим ниже в разделе комбинированных
методов. Непрерывные методы могут использоваться для
контроля за движением снаряда или летящей пластины
непосредственно перед ударом об образец. Правда, при этом возникают
трудности в связи с тем, что призма или зеркало, присутствие
которых на поверхности необходимо для осуществления
непрерывной записи, вносит гидродинамическое возмущение во
взаимодействующую поверхность, искажает фронт ударной волны,
распространяющейся в образце. Поэтому для таких измерений
непрерывные методы пока не применяются. Эти методы
наиболее подходят для изучения деталей структуры волны при
выходе ее на поверхность. Путем регистрации движения свободной
поверхности в процессе разгрузки можно диагностировать
структуру сложной волны. Существуют многочисленные методы
регистрации смещения свободной поверхности. Здесь мы
остановимся только на двух из них: на методе конденсатора [1.21,
1.22] и на методе наклонной призмы [1.23]. Из других широко
распространенных методов отметим следующие: метод
наклонной проволоки [1.24], метод наклонного зеркала [1.25, 1.26],
метод наклонного вспыхивающего промежутка [1.2] (который,
правда, вышел из употребления из-за паразитных вспышек,

78
Я. Килер, Е. Ройс
вызываемых появлением струй в самом промежутке), метод
ножа [1.27] и метод оптического рычага [1.26, 1.28]. Последние два
метода основаны на наблюдении отражения от фиксированных
точек на движущейся свободной поверхности.
1. Метод конденсатора. Метод конденсатора был разработан
одновременно в Советском Союзе [1.21] и в Лос-Аламосской
исследовательской лаборатории [1.22]. При таком методе по
изменению емкости пластины относительно параллельной ей
плоской проводящей поверхности, которая ускоряется выходящей
ударной волной и последующей волной разрежения, непосред-
,,„ ственно и непрерывно регистрируется
I I скорость свободной поверхности. Схе-
| ] ма метода представлена на фиг. 1.20.
I I Скорость свободной поверхности
II —/ как функция времени дается
формулой
I \ АпХ~
г где Х0 — расстояние между конденса-
Фиг. 1.20. Метод конден- торной пластиной и свободной поверх-
сатоРа- ностью в момент / = t0, S0 — площадь
/ — провод, идущий к осцилло- о
графу; 2-проводящий образец, конденсаторной пластины, е — диэлек-
трическая проницаемость среды между
свободной поверхностью и конденсаторной пластиной, Vi —
падение напряжения, измеренное на резисторе, Е — зарядное
напряжение, R — сопротивление.
Формула (1.8) выведена в предположении, что постоянная
времени, с которой изменяется емкость, tc= C(dC/dt)-1 намного
больше постоянной времени цепи RC. Таким образом, в течение
всего времени измерения электрическая цепь находится в
квазиравновесии с изменяющейся емкостью и, поскольку
сопротивление цепи мало, падение напряжения на ней сравнительно
невелико. Кроме того, при выводе формулы (1.8) предполагается,
что смещение свободной поверхности в процессе измерения
намного меньше первоначального расстояния между свободной
поверхностью и конденсаторной пластиной. В противном случае
величину Хо следует заменить величиной (Хо—UCBt)2 (при
постоянной скорости свободной поверхности).
В реальных экспериментальных условиях конденсаторная
пластина должна быть установлена по возможности
параллельно свободной поверхности. Струи и наклон, приводящие к
возникновению пространственной неоднородности волны разгрузки,
необходимо устранять, а для того чтобы предотвратить влияние

8. Ударные волны в конденсированных средах
79
образующихся в проводящем газе предвестников, идущих
впереди ускоряющейся свободной поверхности, конденсаторную
пластину и свободную поверхность помещают в вакуум.
На фиг. 1.21 представлена диаграмма скорости свободной
поверхности, полученная экспериментально Тэйлором в Лос-
Аламосской научной лаборатории при тщательно
контролируемых условиях. Ударная волна создавалась ускоренным в
газовой пушке снарядом, который ударял по образцу. Из
диаграммы явствует, что бериллий
сохраняет упруго-пластические
свойства до давления 120 кбар.
2. Метод наклонной призмы.
В этом методе используется
отражающая вверх призма, нижняя
грань которой наклонена по
отношению к свободной
поверхности образца [1.23]. Метод наклон-
bU>B
£
f*0,0
*
ЮФ
fc
ыаг
.!
_ ^
•■■ ■■
(
\
/
/
/
^ ■ ., 1
0 1 г j 4
t,MKC
Фиг. 1.21. Осциллограмма скорости Фиг. 1.22 Экспериментальное
свободной поверхности, полученная ме- устройство с наклонной призмой.
ТО ДОМ конденсатора. / — вращающееся зеркало; 2 -щелевая
диафрагма; 3 —источник света.
ной призмы основан на явлении полного внутреннего
отражения света в среде и на уменьшении отражения, когда в
непосредственной близости от отражающей грани снаружи
находится другая поверхность. Если вначале внутри оптического
элемента происходит полное внутреннее отражение, то
поверхность, приведенная в контакт с отражающей гранью
элемента, создает вблизи нее оптическое возмущение, так что
поверхность раздела становится полностью пропускающей1). Это
происходит по следующим причинам [1.29]: при полном внутреннем
отражении, согласно электромагнитной теории, амплитуда
световой волны на самой отражающей поверхности не равна нулю
*) На самом деле отражение от поверхности раздела зависит от
оптических свойств образца и пропускание становится полным, лишь когда
диэлектрические проницаемости призмы и образца равны. — Прим. перев.

80
Р. Килер, E. Ройс
и отлична от нуля за поверхностью, спадая экспоненциально,
так что энергия не переносится через границу раздела. В том
случае, когда к
поверхности на расстояние,
значительно меньшее длины
волны, приближается
плотная среда, световая
энергия начинает выходить
наружу. Исчезновение
полного внутреннего
отражения в наклонной к
фронту ударной волны
призме означает
соприкосновение свободной
поверхности образца с
отражающей гранью. Такой
метод особенно подходит
для измерений в
диапазоне давлений от 0 до
150 кбар, так как в этом
случае нет влияния
разрушения отражающей
поверхности и весь эффект
чувствителен только к
приходу свободной
поверхности образца на
отражающую грань.
Пример эксперимента с
использованием наклонной
призмы приведен на
фиг. 1.22. Из-за ударных
волн, возникающих в
воздухе, такое устройство
приходится помещать в
вакуум при давлении
менее 5-10~2 мм рт. ст.
Источником света служит
аргоновая «свеча», а
движение свободной поверх-
Фиг. 1.23. Фоторазвертка, полученная с на- ности наблюдается через
клонной призмой. щель фоторегистратора.
При постановке
эксперимента нужно быть уверенным, что скорость движения
свободной поверхности образца вдоль наклонной призмы1) больше
4) То есть скорость движения точки соприкосновения свободной
поверхности с отражающей гранью призмы. — Прим. перев.

3. Ударные волны в конденсированных средах
81
скорости звука в призме. Чем меньше угол, тем выше скорость
точки соприкосновения свободной поверхности с гранью призмы.
Наибольший допустимый угол дается формулой
aMaKC = arcsin(-^), (1.9)
где с — скорость звука материала призмы. Необходимо также
быть уверенным, что вдоль свободной поверхности образца не
распространяются никакие возмущения. Скорость свободной
поверхности образца дается выражением
где 9 — угол наклона призмы относительно свободной
поверхности, р — угол траектории на пленке, М — коэффициент
увеличения оптической системы, W — скорость движения
изображения по пленке. При этом необходимо ввести поправки на
наклон ударной волны и на систематические ошибки установки. На
фиг. 1.23 представлена фоторазвертка, полученная с
наклонной призмой и соответствующая действию ударного давления
200 кбар на ориентированный монокристалл кремния.
Отчетливо видны четыре волны: упругий предвестник и трехволновая
структура, которая обусловлена двумя фазовыми переходами,
происходящими при возрастании давления. Интересно сравнить
этот результат с данными, которые советские исследователи
получили, пользуясь магнитным методом (фиг. 1.25). Хотя они
не утверждают, что обнаружили два полиморфных перехода при
высоком давлении, обе их записи ясно показывают наличие этих
переходов.
§ 5. ВНУТРЕННИЕ МЕТОДЫ
Методы измерения, при которых датчики помещают сзади
фронта ударной волны или в самом фронте, называются
внутренними методами. Преимущество таких методов в том, что
они позволяют прямо измерять давление и массовую скорость
за фронтом ударной волны. Это как раз те величины, которые
труднее всего исследовать экспериментально. Этим внутренние
методы выгодно отличаются от внешних непрерывных методов,
позволяющих получать информацию о скорости свободной
поверхности. Чтобы из данных о скорости свободной поверхности
получить профиль давления первоначальной ударной волны,
приходится проводить детальную расшифровку данных,
интерпретация которых осложнена многочисленными
взаимодействиями и многократными отражениями ударных волн, идущих
назад внутрь образца, и возмущений, отраженных от ударных
роли, движущихся вперед в образце. Недостатком внутренних

82
Р. Килер, E. Ройс
методов является то, что сам датчик подвергается сильному
воздействию ударной волны, температур, давлений и упругих
напряжений за фронтом. Такие методы дают ценную
качественную информацию о структуре сложной ударной волны и
волны разрежения, но лишь качественную или
полуколичественную, ибо они требуют проведения независимых калибровочных
измерений.
1. Электромагнитный метод. Если проводник длиной /
движется со скоростью Up перпендикулярно линиям магнитного
поля 5, то в нем
наводится индуцированная
э. д. с, которая дается
выражением
V = UpBl- 10"8, (1.11)
где V — в вольтах, В —
в гауссах, I — в
сантиметрах, Up — массовая
скорость в сантиметрах в
секунду. Типичное
экспериментальное устройство
показано на фиг. 1.24.
В непроводящий образец
вводится проволока,
которая после прихода
фронта ударной волны
начинает двигаться с
массовой скоростью,
характерной для данного ударного состояния. Этот метод,
естественно, неприменим в случае металлов, а также в случае,
когда вещество в ударной волне становится хорошо
проводящим. Очевидно, что электрическая цепь не должна
повреждаться даже после прохождения фронта ударной волны.
Впервые такой метод был применен Дреминым и Шредовым [1.30]
для исследования поведения продуктов детонации. Альтшуллер
и Павловский1), использовавшие этот метод, наблюдали при
амплитуде давления около 220 кбар в кремнии три волны.
Первая волна была упругим предвестником, а две последующие
обусловлены фазовым переходом при 100 кбар, который,
вероятно, представляет собой переход от алмазной структуры к
структуре серого олова. Экспериментальные записи
представлены на фиг. 1.25.
/Г осциллографу
Фиг. 1.24. Электромагнитный метод.
*) Работа, цитируемая в обзоре [1.49].

3. Ударные волны в конденсированных средах
83
При определении динамики разлета продуктов детонации
обычно исследуют поведение металлических обр!азцов разной
толщины, находящихся в контакте с мощным взрывчатым
веществом. Электромагнитный же метод обеспечивает прямые
измерения, ограниченные лишь размером проволоки. Точно так
же структуру сложной волны обычно исследуют, наблюдая
нерегулярности движения свободной поверхности, связанные с
выходом на нее сложной системы волн. Чтобы восстановить
первоначальный профиль волны, приходится учитывать очень
3 4 5 6 7 0,25 0,30 0,35 0,40
Расстояние, мм Удельный объем, см3/г
Фиг. 1.25. Многоволновая структура в кремнии.
сложную систему волновых взаимодействий. С помощью же
электромагнитного метода можно непрерывно регистрировать
процесс распространения сложной волновой структуры.
2. Манганиновые проволочные датчики. Манганин — это сплав
с крайне низким температурным коэффициентом сопротивления,
и им обычно пользуются в работах со статическими высокими
давлениями. Впервые для исследований больших
динамических давлений манганиновые датчики были применены в
Англии [1.31], а затем их интенсивно разрабатывали в Стэнфорд-
ском исследовательском институте [1.32] и изготавливали в
виде проволоки, заделанной в эпоксидную смолу. Датчик
прикрепляется сверху к исследуемому материалу и позволяет
определять структуру сложных волн в металлах и керамике.
Позднее манганиновые датчики стали делать в виде сэндвича из
ленты и изолятора и помещать, как показано на фиг. 1.26,
непосредственно внутрь исследуемого материала [1.33]. В
металлах такой метод становится непригодным при давлениях выше
350 кбар, поскольку при таких давлениях нарушается его

Фиг. 1.26. Применение манганиновых датчиков.
/ — провода; 2—изоляция; 3 — алюминиевые плиты; 4—зонды; 5 — алюминиевая плита;
5 — изоляция; 7 —серебряная лента; в—манганиновая лента.
Фиг. 1.27. Экспериментальная запись сигнала манганинового датчика.

5. Ударные волны в конденсированных средах
85
изоляция. При давлениях в металлах, намного больших 150 кбар,
требуемая толщина изоляции в сильной степени ухудшает
временное разрешение датчика. Влияние гистерезиса,
механического упрочнения и температуры на сопротивление при
высоком давлении — все это вместе уменьшает воспроизводимость
усредненных характеристик манганинового датчика примерно
до 20% и более. Несмотря на это, линейность датчика
оказывается намного лучшей, чем можно было бы ожидать исходя
из столь низкой воспроизводимости характеристик. Поэтому он
может служить хорошим интерполяционным прибором. При
помощи манганинового датчика, работающего в
интерполяционном режиме, была впервые убедительно показана
несостоятельность идеальной упруго-пластической модели [1.34].
На фиг. 1.27 представлена осциллограмма выходного
сигнала такого датчика, соответствующая прохождению двух
ударных волн, которая свидетельствует о том, что датчик остается
невредимым после прохождения ударной волны и волны
разрежения. Можно думать, что в будущем манганиновый датчик
позволит получить ценную качественную и полуколичественную
информацию о поведении вещества в условиях совместного
упругого и пластического воздействия.
§ 6. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Существует ряд методов, которые позволяют получать
информацию о состоянии образца лишь после прохождения
фронта ударной волны, но имеют нечто общее с
рассмотренными выше тремя классами методов. Мы остановимся здесь
на трех из них: на методе погруженной фольги, методе
кварцевого кристалла и методе лазерной интерферометрии. Имеются
и другие методы. В одном из них используется «детонационно-
электрический эффект» [1.35], заключающийся в том, что при
воздействии ударной или детонационной волны на
металлическую поверхность генерируется электрический сигнал. Этот
метод может быть использован для измерения скорости ударной
волны, отраженной назад, внутрь плотных продуктов
детонации. Другой метод основан на использовании диэлектрика
(например, сапфира), находящегося под постоянным напряжением
[1.36]. Регистрируя ток, можно получить временную
зависимость скорости поверхности раздела между диэлектриком и
образцом.
1. Метод погруженной фольги. Метод погруженной фольги
[1.37] в общих чертах напоминает методы наклонного зеркала
и наклонной призмы. Основное отличие же заключается в
том, что вместо отражающего зеркала или грани призмы

86 Р. Килер, Ё. Ройс
используется алюминированная майларовая пленка толщиной
0,01 мм, которая погружается наклонно в прозрачную жидкость,
покрывающую поверхность образца, а массовая скорость и
показатель преломления жидкости измеряются позади фройта
ударной волны. Вследствие непрерывности условий на поверхности
раздела измеренная таким образом после прохождения ударной
Фиг. 1.28. Методика погруженной фольги.
/—многощелевой источник свега; 2 — стеклянная пластинка; 3—фронт ударной волны;
4—отражающая фольга.
волны массовая скорость оказывается одинаковой как для
образца, так и для жидкости. Схема такого эксперимента
показана на фиг. 1.28. Этот метод оказался очень полезным в
исследовании адиабат расширения минералов и позволил
получить некоторую информацию о зависимости показателя
преломления различных жидкостей от давления. Подбирая различные
прозрачные жидкости, можно получить семейство изэнтроп
расширения и определить полную адиабату расширения.
Неожиданным обстоятельством было появление слабого импульса,
распространявшегося назад от тонкой погруженной в жидкость
фольги внутрь предварительно ударно-сжатого вещества. Этот
импульс, по-видимому, был слабым звуковым возмущением и

3. Ударные волны в конденсированных средах
87
соответствовал теоретическому значению скорости звука с8 =
= У(др/др)8.Однако сомнительно, чтобы точностьэтого
измерения была выше 5%.
2. Кварцевый датчик. Для измерения напряжений обычно
используется пьезоэлектрический эффект в кварце, и в
настоящее время кварцевые датчики нашли широкое применение,
особенно при изучении фазовых переходов [1.38]. Кристалл кварца
-1 '
J
1 7
в
5
1/\
J L
1_
\
J
1 9 ||
=J 4
-76
III ШШШШ!
Г
Фиг. 1.29. Схема эксперимента с использованием кварцевого датчика.
/—осциллографы фирмы Tektronix; 2 — коаксиальные кабели; 3 — кабельные разъемы;
4— растровые осциллографы фирмы Denver; 5 —эпоксидная смола или масло;
5—резисторы; 7—образец; в —датчик пускового импульса (титанат бария); 9—кварцевый датчик»
10 — датчик скорости ударной волны (титанат бария).
вырезается в виде цилиндра с основаниями,
перпендикулярными оси X, и прикрепляется к верхней плоскости образца. На
фиг. 1.29 [1.39] показана схема экспериментального устройства,
предназначенного для обнаружения структуры сложной
ударной волны в висмуте. На фиг. 1.30 представлена одна из
экспериментальных осциллограмм. В этом эксперименте оказалось
возможным определить давление фазового перехода в висмуте
25,4 кбар с точностью до ±0,8 кбар и уточнить его с учетом
прочностных характеристик. Ток, обусловленный
пьезоэлектрическим эффектом, дается формулой
i = A^- = kA-^(P0-Pe), (1.12)
где А — площадь электрода, dD/dt — ток смещения, U8 —
скорость волны в кварце, / — толщина датчика, Р0 и Ре —
давление на передней и задней поверхностях датчика. Коэффициент
k зависит только от давления, и для кварца k =
= 2,04- 10~8Кл/см2-кбар. Характеристика датчика линейнэ ДО

88
Р. Килер, E. Райе
20 кбар, а сам датчик может работать до 50 кбар. Если учесть
соотношение импедансов, то в плотных веществах верхний
предел соответствует гораздо более высокому давлению. При
давлениях до 50 кбар точность кварцевого датчика составляет
3-5%.
j
Щ" '&>?
ишМИЯТСин и
Фиг. 1.30. Осциллограмма сигнала кварцевого датчика, показывающая трех-
волновую структуру волны в висмуте.
3. Метод лазерной интерферометрии. Появление в последнее
время одночастотных когерентных лазеров позволило с
высокой точностью регистрировать сложное движение поверхности
в экспериментах с ударными волнами. Первыми этот метод
применили Баркер и его сотрудники [1.40], которые разработали
систему, показанную на фиг. 1.31. Лазерный луч с помощью
зеркала направляется на мишень и фокусируется линзой
непосредственно на ее поверхность. Это сводит к минимуму
облучаемую площадь и позволяет избавиться от паразитных эффектов,
связанных с наклоном волны. Отраженный свет направляется
обратно тем же зеркалом и коллимируется второй линзой.
Часть света с помощью светового делителя направляется на
световую линию задержки, тогда как остальная часть попадает
прямо в фотоумножитель, сигнал с которого регистрируется
быстрым осциллографом,

3. Ударные волны в конденсированных средах
89
Световая линия задержки — самая важная часть установки.
Этот оптический элемент позволяет осуществить
интерференцию света, отраженного от поверхности в данный момент, со
светом, отраженным спустя время, равное L/C. Поэтому
световая линия задержки оказывается элементом, чувствительным к
ускорению: на ее выходе возникают биения с частотой,
пропорциональной ускорению поверхности.
Необходимую информацию получают из этих биений
следующим образом. Свет заданной длины волны отражается от
поверхности мишени.
Задержка светового пучка равна пути
от первого делителя через
прямоугольную поворотную
призму до второго делителя минус
расстояние между делителями.
Если длина этой световой
задержки равна целому числу
длин волн, скажем NX, то
световые пучки, приходящие на
фотоумножитель от обоих
источников, находятся в фазе.
Допустим, что поверхность
начинает двигаться с некоторой
скоростью так, что небольшое
уменьшение X вызывает
увеличение N на 7г. Тогда оба пучка
окажутся в противофазе, что
соответствует нулевому
сигналу фотоумножителя. Таким образом, фотоумножитель,
регистрируя колебания интенсивности, фиксирует изменение полного
числа длин волн в световой задержке, вызванное уменьшением
длины волны.
Доплеровский сдвиг для света дается выражением
ДЛ=--^и(0, (1.13)
где АХ — изменение длины волны, X — длина волны света,
падающего на поверхность, с— скорость света и и(t) —скорость
поверхности. В то же время длина световой задержки равна
NX = cx, (1.14)
где т — время прохождения светом линии задержки. Отсюда
число длин волн X, укладывающееся в линии задержки, будет
Фиг. 1.31. Метод лазерного
интерферометра.
/ — ускоренная пластина; 2—образец;
5—зеркало; 4—делители пучка; 5 — лазер;
5 —фотоумножитель; 7 —световая линия за-
держки; Я — призма полного внутреннего
отражения.
*-■¥■•
(1.15)

90
Р. Килер, Ё. Ройб
Дифференцируя, получаем
dN = - -g-dA,, (1.16)
а переписав в другом виде, имеем
Atf(0---g-A*,(J), (1.17)
где Я, конечно, также является функцией времени, но очень
слабой, так что в правой части этого уравнения доминирует
величина Д&(/). Подстановка ДА,(/) из (1.17) в формулу
Доплера (1.13) дает
u(t) = (-±)bN(t). (1.18)
Эта формула показывает, что зависимость скорости от времени
можно найти, просто считая число полос на развертке
осциллографа, где одна полоса соответствует Я/2т единицам скорости.
В схематическом виде
осциллограмма показана на фиг. 1.32.
Одним из недостатков такого
метода является, конечно, то, что
при простом счете полос
невозможно отличить ускорение от
замедления. Для этого
необходимы некоторые качественные
данные о поведении свободной
поверхности.
Как отмечалось ранее,
возможности методов, основанных
на регистрации движения
свободной поверхности,
ограничиваются трудностями
расшифровки взаимодействий между
приходящими сложными ударными
волнами и отраженными
волнами разрежения, а также возникновением отколов,
вуалирующих детали волны разгрузки за фронтом ударной волны. Этот
недостаток можно частично устранить, взяв в качестве
подложки прозрачное вещество (например, кварц или сапфир) с
импедансом, близким к импедансу материала образца. Тогда
свет будет отражаться от границы раздела двух сред. Это дает
возможность более прямым путем находить по результатам
измерения параметры первичной ударной волны, так как теперь
мы наблюдаем за поверхностью, движение которой лучше
характеризует массовую скорость, чем движение свободной
поверхности. Но при такой постановке измерений необходимо
—^лрлг—ЛА/Х/4
£, MAC
фиг. 1.32. Экспериментальная
запись в схематическом виде.
Вверху—осциллограмма,
внизу—зависимость скорости поверхности от времени,
/—фронт упругой ударной волны;
2 —пластическая волна; 3—волна
разгрузки.

3. Ударные волны в конденсированных средах
91
знать динамические свойства и показатель преломления
прозрачного вещества подложки.
Другой метод, в некоторых отношениях более совершенный,
основан на зависимости пропускания интерферометра
Фабри — Перо от частоты падающего света [1.41]. В этом
методе используется безлинзовая оптическая схема,
нечувствительная к наклону; тем не менее его точность, по-видимому, не
выше примерно 3%.
§ 7. ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВА
Кроме исследований уравнения состояния, о которых
говорилось выше, в экспериментах с ударными волнами
проводились также измерения многих характеристик материалов. В
последующих наших лекциях будут рассмотрены четыре из них:
магнитные свойства, электропроводность, акустическая скорость
по бриллюэновскому рассеянию и дифракция рентгеновских
лучей от импульсных источников. Обширные оптические
исследования, в том числе измерения температуры, поверхностного
отражения и показателя преломления, были проведены в
Советском Союзе. Полное изложение экспериментальных методов и
результатов измерения можно найти в превосходной обзорной
статье Кормера [1.42]. Были также проведены работы по
определению свойств ударно-сжатых сегнетоэлектриков [1.43], СВЧ-из-
мерения диэлектрической проницаемости [1.44, 1.45],
электропроводности и деполяризации ионных солей при ударном
сжатии [1.46], спектральные измерения в оптическом диапазоне
[1.47] и измерения эффекта Холла [1.48]. Но ни одно из этих
исследований не было выполнено на достаточно высоком уровне,
и поэтому мы не будем на них останавливаться.
§ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Экспериментально лучше всего изучен диапазон давлений
от 0 до 150 кбар. Здесь разработаны многочисленные методы
точного измерения структуры простых и сложных волн,
выходящих на свободную поверхность или в прозрачную среду.
Однако в этом диапазоне давлений имеется один серьезный
пробел: теоретические неясности относительно процессов в волнах
разрежения, следующих за ударным фронтом, и невозможность
количественно исследовать явления разрежения. Необходимо
затратить еще много усилий на разработку прецизионных
датчиков, таких, как манганиновые, которые выдерживали бы
воздействие ударных волн.
Советские исследователи провели температурные измерения
для ряда ударно-сжатых прозрачных веществ и наблюдали

92
Р. Килер, E. Ройс
переходы из твердой в жидкую фазу в некоторых щелочно-гало-
идных веществах. К сожалению, разброс их данных (300—
500 К) слишком велик, чтобы можно было провести серьезное
сравнение с уравнениями состояния для разных теоретических
моделей. Необходимы точные температурные измерения как в
прозрачных средах, так и в ударно-сжатых металлах.
Очевидно, что главные усилия необходимо направить на
повышение точности измерений скорости ударной волны и
массовой скорости (до 0,1%), что позволило бы критически
проверить различные уравнения состояния. Но такая точность
понадобится лишь тогда, когда будет выяснено, каким образом
давление и температура влияют на предел упругости Гюгонио.
Необходимо также разработать более надежный метод
количественной идентификации перехода из твердой фазы в жидкую
вдоль кривой Гюгонио.
Наконец, необходимо добиться большей ясности в вопросе
о механизме текучести при ударном сжатии. Каков бы ни был
механизм (скольжение или дислокации), важно знать, каким
образом происходит перестройка вещества за фронтом волны.
Если бы монокристалл в ударной волне перестраивался как
монокристалл или хотя бы как большое число кристаллитов с
одинаковой ориентацией, то можно было бы получить гораздо
больше информации о веществе в условиях ударного сжатия.
ЛИТЕРАТУРА
1.1. Courant /?., Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, New
York, 1947, p. 121 (имеется перевод: P. Курант, К. Фридрихе,
Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, 1950).
1.2. Walsh J. Af.f Christian R. Я., Phys. Rev., 97, 1544 (1955).
1.3. Duvall G. £., в книге Response of Metals to High Velocity
Deformation, New York, 1960, p. 165.
1.4. Skidmore I. C, Morris £., Thermodynamics of Nuclear Materials, Vienna,
1962, p. 173.
1.5. Альтшуллер Л. Б., Баканова А. Л., Трунин Р. Ф., ЖЭТФ, 42, 91 (1962).
1.6. Jones А. Я., Isbell W. М., Maiden С. М, Journ. Appl. Phys., 37, 3493
(1966).
1.7. Альтшуллер Л. В., Моисеев Б. Я., Попов Л. В., Симаков Г. £.,
Трунин Р. Ф., ЖЭТФ, 54, 785 (1968).
1.8. Rice М. Я., McQueen R. G., Walsh J. Л1, в книге Solid State Physics,
eds. F. Seitz, D. Turnbull, vol. 6, New York, 1958, p. 1.
1.9. Hamann S. D.y в книге Advances in High Pressure Research, ed.
R. S. Bradley, vol. 1, New York, 1966, p. 85.
1.10. Alder В. /., в книге Solids under Pressure, New York, 1963, p. 385.
1.11. Duvall G. £., Fowles G. /?., в книге High Pressure Chemistry and
Physics, ed. R. S. Bradley, vol. 2, London, 1963, p. 209.
1.12. Skidmore /. C, Appl. Material Res., 4, 131 (1965).
1.13. Dor an D. G.t Linde R. /С., в книге Solid State Physics, eds. F. Seitz,
D, Turnbull, vol. 18, New York, 1966, p. 229.
1.14. Cook J. R.t Research, 1, 471 (1948).

3. Ударные волны в конденсированных средах
93
1.15. Thunborg S., Ingram G. £., Graham R. Л., Rev. Sci. Instr., 35, 11 (1964)
[имеется перевод: ПНИ, 4, 13 (1964)].
1.16. Linde R. /С., Schmidt D. N.t Rev. Sci. Instr., 37, 1 (1966) [имеется
перевод: ПНИ, 6, 1 (1966)].
1.17. Brixner В., в книге Proceedings of the Third International Congress on
High Speed Photography, ed. R. B. Collins, New York, 1957, p. 289.
1.18. Модель И. Я/., ЖЭТФ, 32, 714 (1957).
1.19. Minshall F. S., Journ. Appl. Phys., 26, 463 (1955).
1.20. van Thiel A£, Alder B. /., Journ. Chem. Phys., 44, 1056 (1966).
1.21. Иванов Л. Г., Новиков С. Л., ПТЭ, 1, 135 (1963).
1.22. Rice М. #., Rev. Sci. Instr., 32, 449 (1961) [имеется перевод: ПНИ, 1,
77 (1961)].
1.23. Eden G., Wright P. W.y в книге Proceedings of the Fourth International
Symposium on Detonation, ed. S. J. Jacobs, Washington, 1966, p. 573.
1.24. Barker L. M., Lundergan С D., Hermann W.t Journ. Appl. Phys., 35, 1203
(1964).
1.25. McQueen R. G., в книге Metallurgy at High Pressures and High
Temperatures, eds. K. A. Gschneidner, Jr., M. T. Hepworth, N. A. D. Parlee, New
York, 1964, p. 76.
1.26 Doran D. G., Journ. Appl. Phys., 34, 844 (1968).
1.27. Davis W. C, Craig B. G., Rev. Sci. Instr., 32, 579 (1961) [имеется
перевод: ПНИ, 1, 111 (1961)].
1.28 Fowles G. #., Journ. Appl. Phys., 32, 1475 (1961).
1.29. Jenkins F. Л., White H. £., Fundamentals of Optics, New York, 1957,
p. 519.
1.30. Дремин A. #., Шредов К. /С, ПМТФ, 2, 154 (1964).
1.31. Fuller P. J. Л., Price J. #., Nature, 193, 262 (1962); British Journ. Appl.
Phys., 15,751 (1964).
1.32 Bernstein D., Keough D. D., Journ. Appl. Phys., 35, 1471 (1964).
1.33. van Thiel M, Kusubov A. S., в книге Proceedings of the Symposium on
Accurate Characterization of the High Pressure Environment, Gaithers-
burg, Md., 1968.
1.34. Kusubov A. 5., van Thiel M., Journ. Appl. Phys., в печати.
1.35. Hayes B.y Journ. Appl. Phys., 38, 507 (1967).
1.36. Graham R. Л., Ingram G. £., в книге Behaviour of Dense Media under
High Dynamic Pressure (Symposium HDP, IUTAM, Paris, 1967), New
York, 1968, p. 470.
1.37. Ahrens T. /., Ruderman M. #., Journ. Appl. Phys., 37, 4758 (1966).
1.38. Graham R. Л., Neilson F. W.y Benedick W. £., Journ. Appl. Phys., 36,
1775 (1965).
1.39. Larson D. В., Journ. Appl. Phys., 38, 1541 (1967).
1.40. Barker L., в книге Behaviour of Dense Media under High Dynamic
Pressure (Symposium HDP, IUTAM, Paris, 1967), New York, 1968, p. 484.
1.41. Johnson P. M, Burgess T. /., Rev. Sci. Instr., 39, 1100 (1968) [имеется
перевод: ПНИ, 8, 18 (1968)].
1.42. Кормер С. Б., УФН, 94, 641 (1968).
1.43. Linde R. Я., Journ. Appl. Phys., 38, 4839 (1967).
1.44. Hawke R. S., Mitchell A. C, Keeler R. ЛЛ, Rev. Sci. Instr., 40, 632 (1969)
[имеется перевод: ПНИ, 8, 18 (1968)].
1.45. Hawke R. S., Keeler R. N., Mitchell A. C, Appl. Phys. Lett., 14, 229
(1969).
1.46. Linde R. K.t Murri W. /., Doran D. (?., Journ. Appl. Phys., 37, 2527 (1966).
1.47. Hamann S. D., в книге Advances in High Pressure Research, ed.
R. S. Bradley, New York, 1966, p. 86.
1.48. Kennedy J. D., Benedick W. £., Solid State Comm., 5, 53 (1967).
1.49. Альтшуллер Л. В., УФН, 85, 197 (1965).

94
Р. Килер, E. Ройс
II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ
ПО ДАННЫМ ОБ УДАРНЫХ ВОЛНАХ
Е. Ройс
§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ГРЮНАЙЗЕНА
Поскольку кривая Гюгонио представляет собой лишь
единственную линию на поверхности, описывающей состояние
вещества, для интерпретации данных об ударных волнах и для
определения по этим данным более полного уравнения
состояния приходится прибегать к тому или иному приближенному
варианту уравнения состояния. Если кривая Гюгонио проходит
только через область, соответствующую твердой фазе, то удобно
пользоваться грюнайзеновской формой уравнения состояния
[2.1—2.4]
Р(V, Е) = PT=o(V) + *Ш-[Е-Ет=о(V)}. (2.1)
В приближении Грюнайзена величину y(V,T) считают только
функцией объема, не зависящей от температуры или тепловой
энергии [Е — ET=o(V)]. Поскольку такое уравнение состояния
не дает возможности точно рассчитывать ни энтропию, ни
температуру, его нельзя считать полным.
Физический смысл такого приближения легче всего уяснить
себе на примере квазигармонической модели теплового
возбуждения кристаллической решетки. В первом приближении
колебания решетки в заданном объеме рассматриваются как чисто
гармонические и определяются собственные типы колебания —
нормальные моды. Ангармонизм эффективного межатомного
взаимодействия учитывается путем введения зависимости
частоты различных нормальных мод от объема. Если е* — энергия
1-й нормальной моды с частотой v* при температуре Т, то
полная энергия системы дается выражением
E(VyT) = q>(V) + 2*i(V,n (2.2)
М^П = >ИЮ+ех^ (2.3)
Величина ср(У) представляет собой энергию кристалла в
отсутствие колебаний, т. е. энергию связи. Свободная энергия
дается выражением
A(V,T) = cf(V)+%±hvi(V) + kT%\n[l-exv(-±^)],
(2.4)

3. Ударные волны в Конденсированных средах
95
а для* давления имеем
где параметр у*(Ю определяется для каждой нормальной моды
как
*(Ю"^. <м»
Тогда различные члены в уравнении Грюнайзена (2.1) можно
идентифицировать следующим образом:
23v,<ne,(rfr)
ЕГ=0 (К) = Ф (V) + ^ 1 Av, (К), (2.8а)
. ,„, Sv,(V)Av!(V)
Pr=0 (10 — ^ + -i gF • <2-86)
Для всех веществ, кроме веществ с очень легкими атомами,
членами, соответствующими нулевым колебаниям, в
уравнениях (2.8а) и (2.86) можно пренебречь. Тогда величина
ET=o(V) равна энергии связи. Расчет величин Рг=о и £т=о
имеет очень важное значение для физики твердого тела [2.4—
2.6].
Из приведенных выражений видно, что если все величины
Yi равны между собой, то величина y(V,T) зависит только от
объема и не зависит от температуры. Обратное же
утверждение несправедливо, так как величина \(V,T) не будет зависеть
от температуры только при том условии, что средние значения
(в интервале hx порядка kT) величин у* не зависят от v. Это
очень хорошо, ибо почти наверняка не все величины у*
одинаковы.
Поскольку дебаевская температура для большинства
металлов ниже комнатной, можно считать, что имеет место
равенство энергий всех нормальных мод. В этом случае величина
Y(V, Т) равна среднему значению всех yiy соответствующих
нормальным модам, и будет, конечно, функцией только объема.
В соответствии с расчетами колебаний решетки, выполненными
Барроком [2.7], величину y(V,T) можно считать не зависящей
от температуры при всех температурах выше 0,3 дебаевской.

96
Р. Килер, E. Ройс
Заметим, что точное термодинамическое определение
величины y(VfT) таково:
y(V n = W—) =У{дР,дТ)* (29)
УК*,') v\dE)v (дЕ/дТ)у ' ^'у'
У(У,Т)= ' .... . (2Л0)
2i (det/dT)v
Эта величина совпадает с величиной (2.7) только при условии
независимости ее от температуры [2.4]. Поэтому, вообще говоря,
величина у, определенная общим выражением
У(дР/дТ)у V (дР/дУ)т (дУ/дТ)р
Y_ С С
У{дР/дУ),(дУ/дТ)^^
СР
эквивалентна грюнайзеновской величине y(V) [формула (2.1)
или (2.7)] только при высоких температурах. Очевидно также,
что (д In V/dT)P = 3(д\п1/дТ)Р = За, где а —линейный
коэффициент теплового расширения.
Итак, для практических расчетов грюнайзеновское уравнение
состояния, основанное на предположении о том, что величина у
зависит только от объема, можно применять к твердым телам
при температурах выше десятых долей дебаевской, т. е. от
нулевой температуры. При этом грюнайзеновская величина y
будет равна термодинамической величине у. Поскольку значение у»
записанное в грюнайзеновской форме, определяется
распределением уг по спектру частот, оно может дать хорошее приближение
также при температурах ниже дебаевской, но пока в этом нет
полной уверенности.
Чтобы найти полное уравнение состояния, нужно вычислить
величину y(V) на основании экспериментальных данных. При
этом удобно рассматривать твердое тело в дебаевском, или
акустическом, приближении, в котором вещество предполагается
однородным и изотропным [2.1, 2.8, 2.9]. Тогда тепловые
возбуждения можно рассматривать как звуковые волны в однородном
континууме. Модули всестороннего и продольного сжатия и
модуль сдвига выражаются через коэффициенты Ламе (Я, |ш) и
коэффициент Пуассона а = Х/2(Х + \х) в виде
p< = ^ + 2n=3(Yj~q). (2.13)
Р*"»*" 2(1+а) ' <2Л4>

3. Ударные волны в конденсированных средах 97
Величины \i удобнее всего записать через производные от (Зг,
полагая, что все нормальные моды являются звуковыми,
распространяющимися СО СКОРОСТЯМИ Ci = (^iV)X,K
i_!in£L !_!1Ml
Y'—Т «llnV 6 2 din V- (ZAt>)
Отсюда
1 v*'v to i«
yv = --6-^7- ( ]
Y/ = Y.+t^t. (2-17)
Y/ = YH+2(1+3q^i_2g), (2Л8)
где штрих означает дифференцирование по объему.
В пределе высоких температур, когда энергия колебаний
распределена равномерно по нормальным модам, уравнение (2.7)
преобразуется к виду
Y=TY<+|y/, (2Л9)
откуда
»-"+.ЛД' <2-20>
В этом выражении yv(V) соответствует типу деформации,
представляющему собой всестороннее объемное расширение.
Пренебрежение вторым членом в уравнении (2.20) приводит к
одинаковому значению yv Для всех мод, совпадающему с
величиной yv Для деформации всестороннего расширения. Параметр
Yv можно легко рассчитать, так как Pv(V)—как раз модуль
всестороннего сжатия на «кривой холодного сжатия», т. е.
изотермы или изэнтропы при Т = 0 К. Следовательно, величину
yv(V) можно было бы легко найти из данных об объемном
расширении. Но дело в том, что трудно рассчитать зависимость
коэффициента Пуассона а от объема.
Было предложено несколько методов определения величины
Y по кривизне кривой холодного сжатия. Эта зависимость
описывается следующей формулой [2.9—2.11]:
/« 2 4 V (dVdV2)(PT=QV°)
У"~\2 З) 2 (dldV){PT^V«) • (2М)
При а = 0 формула (2.21) дает величину ys, впервые
полученную Слэтером [2.1] в предположении, что коэффициент Пуассона
не зависит от объема. Таким образом, наша yv, или «объемная
гамма», есть именно слэтеровская гамма ys. При а = 2/з
формула (2.21) дает величину удм, впервые полученную Дугдалом

Р. Килер, В. Ройс
и Макдональдом [2.12], а затем для кубических металлов — Рай-
сом, Мак-Куином и Уолшом [2.3] в предположении, что
логарифмические производные по объему от всех силовых постоянных
межатомного взаимодействия равны между собой. При а = 4/з
формула (2.21) дает величину уев. об, которая была получена
Зубаревым и Ващенко в работе [2.9] на основании теории
свободного объема.
Приближения, лежащие в основе выражения (2.21),
становятся более понятными, если его разложить по степеням PtWPv.
Этот параметр мал при низких давлениях, а так как величина Pv-
возрастает при сжатии (в пренебрежении фазовыми переходами),
он всегда значительно меньше единицы. Подстановка выражений
(2.12) и (2.16) в формулу (2.21) дает
В результате разложения получаем
Отметим, что при нулевом давлении величина удм меньше
величины ys = yv на 7з. а уев. об меньше \s на 2/3.
Дифференцирование уравнения (2.1) при нулевом давлении показывает, что
первая и вторая производные по объему от давления Рн вдоль
кривой Гюгонио равны производным от давления Рт=о, а наличие
производных в выражениях (2.21) или (2.16) приводит к тому,
что можно пренебречь тепловой энергией начального состояния.
Если предположить, что кривая Гюгонио соответствует линейной
зависимости скорости ударной волны от массовой скорости в
виде Us = C + SUP [2.3, 2.13, 2.14], то уравнения (2.16) и (2.23)
при нулевом давлении приводят к простому результату
(Yf)o = 25-|--J-. (2.24)
Величину (yf)o, определенную по кривой Гюгонио, при нулевом
давлении можно непосредственно сравнить с величиной у,
найденной по формуле (2.11) с использованием обычных
термодинамических данных [2.15]. Такое сравнение показывает, что в
среднем поведение обычных металлов лучше всего описывает
величина удм [2.3], а для щелочных металлов [2.11] и щелочно-
галоидных соединений [2.16] лучше подходит величина усв. об,
определенная по теории свободного объема.
Тем не менее из выражения (2.23) видно, что различным
способом определенные у становятся все более близкими с
увеличением давления. Следовательно, можно выбирать конкретный

3. Ударные волны в конденсированных средах
99
вид величины у так, чтобы она наилучшим образом
соответствовала данным при низком давлении, и при этом не возникнут
большие отклонения в результатах при высоком давлении.
Интересно отметить, что различным моделям, используемым
для определения величины у из уравнения (2.21), соответствует
следующее выражение для коэффициента Пуассона,
получающегося из формулы (2.20):
,__ За(1 -а2)(1-2а)
° = 2К(4-5а)
RfK-'+т)-']
(2.25)
Поэтому чтобы найти нужное значение а в уравнении (2.21),
просто подбирают величину о' при нулевом давлении так, чтобы
это давало приемлемую величину у0. Уравнение (2.25)
показывает, что при высоких давлениях во всех моделях неявным
образом предполагается независимость коэффициента Пуассона от
объема.
Измерения скоростей ультразвуковых волн дают информацию
об изэнтропических сжимаемостях. Соответствующие
термодинамические соотношения позволяют перевести эти данные в
изотермические величины, например:
где а= (д1/дТ)Р/1 — линейный коэффициент расширения. Такие
поправки обычно малы. Ультразвуковые измерения можно
проводить при статическом сжатии до нескольких килобар и
использовать для оценки у* и yt из производных по объему от
продольной и поперечной скоростей звука. Затем с помощью уравнения
(2.19) вычисляется у. Подобная процедура дает независимый
способ оценки у при нулевых давлениях. Такие «акустические»
величины y обычно сравнимы с «термодинамическими^,
получаемыми из выражения (2.11) *).
Продольную скорость звука С/ при высоком давлении можно
найти по измеренной скорости переднего фронта волны
разгрузки. Поскольку по значениям величины (Pv)s, вычисленной по
данным обычного ударного сжатия, можно определить скорость
«объемной» волны Св на основании соотношения
С% = С]-\с1 (2.27)
оказывается возможным рассчитать сдвиговую, или поперечную,
скорость Ct.
Зависимость этих скоростей от объема, рассчитанная по
данным экспериментов с ударными волнами, может быть
l) R. Grover, частное сообщение, 1968.

100
Р. Килер, E. Ройс
использована для вычисления величины y при конечном
давлении. Такая методика применялась в экспериментах с алюминием
(2.17), для которого обнаруживаются расхождения между
разными расчетными значениями у0. Как и следовало ожидать,
получающиеся при этом значения Yo и {dlny/dlnV) ближе всего
к значениям, найденным ультразвуковым методом.
§ 2. ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПО УДАРНЫМ ВОЛНАМ
На основании сказанного выше теперь можно обратиться к
практической задаче определения по экспериментальной кривой
Гюгонио уравнения состояния грюнайзеновского типа, например,
такого, как уравнение (2.1). Это можно сделать, подставив
экспериментальные значения ударных давления Ph(V) и энергии
&h(V) в уравнение (2.1) и решив его затем относительно
величины y(V):
Уравнение (2.21) является вторым необходимым соотношением
для у» определяемой через величину Pt=o(V). Исключив y(V)
из выражений (2.21) и (2.28) и подставив
Рг=о = -Ж-1* (2-29)
получим для ET=o(V) дифференциальное уравнение третьего
порядка, которое поддается численному интегрированию.
Соответствующее дифференцирование дает Рт=о и y(V) [2.2—2.6, 2.13,
2.18, 2.29]1). В некоторых случаях в подобных расчетах
использовалось то или иное аналитическое выражение для PT=o(V)
[2.21—2.26, 2.16, 2.27].
Если пренебречь эффектами, связанными с конечным
пределом текучести, то часть уравнения состояния, описывающая
расширение нормальных веществ при высоком давлении,
соответствует изэнтропе. Такие изэнтропы [Ps(V) и ES(V)] можно
вычислить из уравнения состояния Грюнайзена. Для этого
перепишем уравнение (2.1) в виде
Es (V) - Ея (V) = -^у [Ps (V)-PH (V)}. (2.30)
Затем это выражение дифференцируется по объему. Подстановка
dE (V)
Ps(V) = jr1 (2.31)
*) В нашей лаборатории такой расчет осуществляется автоматически на
ЭВМ по программе, составленной Роджерсом [2.20].

3. Ударные волны в конденсированных средах
101
дает для Pa(V) дифференциальное уравнение первого порядка,
которое интегрируется численно. Интегрируя затем
получающуюся кривую Ps(V), можно найти ES(V). Целью расчета из-
энтроп является вычисление интеграла Римана для массовой
скорости в случае простой центрированной волны разрежения.
Такая волна разрежения возникает в случае отражения ударной
волны от свободной поверхности, скорость которой становится
раВНОЙ f/своб = (^р)ударн+ (^р)разр, Где
р
WpUp=I(-J^Y<IP- (2.32)
Подобные расчеты необходимы для определения массовых
скоростей по измеренным скоростям свободной поверхности. Такой
расчет начинается с предположения, что (^р)ударн= ^своб/2;
затем определяется уравнение состояния, величина (^р)разр и
новое значение (£/р)УДарн. Последовательные итерации проводятся
до тех пор, пока не получится стабильное решение [2.2, 2.3, 2.13,
2.20]. Естественно, если массовая скорость определяется
непосредственно путем подбора вещества с импедансом, близким по
величине к эталонному, или из эксперимента по симметричному
удару, то в таком расчете нет необходимости.
Как уже отмечалось, уравнение состояния Грюнайзена (2.1) —
неполное, поскольку оно не позволяет прямо вычислить
температуру, энтропию или свободную энергию. Чтобы построить
полное уравнение состояния, необходимо привлечь
дополнительную информацию, например о теплоемкости. В случае твердых
тел удобно взять теплоемкость, соответствующую дебаевской
модели:
Т (V)
CV(V9 T) = f-^> (2.33)
где f — дебаевская функция, а объемную зависимость
дебаевской температуры TD(V) получают путем интегрирования
соотношения
d\nTn
Температуру на кривой Гюгонио можно рассчитать (2.28) из
термодинамического тождества
TdS = CvdT + (^r} TdV (2.35)
в комбинации с первым законом термодинамики
TdS = dE + PdV.
(2.36)

102
Р. Килер, Е. Ройс
Если продифференцировать равенства (2.36) и (2.36) вдоль
кривой Гюгонио, то получим соотношение
ацр.+р. (ю - Cv ,к. п ^i+(»), г, „, (2.37)
При подстановке
интегрирование уравнения (2.37) вдоль кривой Гюгонио дает
температуру на этой кривой [2.20].
Подобным же образом интегрирование уравнения (2.35)
вдоль изэнтропы даст температуру на всей кривой, если известна
температура в какой-либо ее точке [2.2, 2.3, 2.13, 2.19, 2.20, 2.28].
Следовательно, если температура известна на некоторой кривой,
пересекающей изэнтропы, то по уравнению состояния Грюнай-
зена P(V,Е) можно построить полное уравнение состояния
P(V,T)—E(V,T) [2.18].
Наиболее интересными с принципиальной точки зрения
кривыми (которые могут быть рассчитаны по данным об ударных
волнах), по-видимому, являются нулевая изотерма, или кривая
холодного сжатия, и изотерма для комнатной температуры. Если
величина у и теплоемкость известны, то энергию и давление на
различных изотермах можно вычислить по кривой холодного
сжатия [2.14]:
г
Е (V, Т) = £г=о (У) +[CV (V9 Т) dT, (2.39)
о
Р (V, Т) = Рг=о (V) + J^P- [Е (К, Т) - £г=о (V)]. (2.40)
Заметим, что эти изотермы, по-видимому, достаточно
достоверны, несмотря на неопределенности в оценках у, о которых
упоминалось ранее. В случае небольших сжатий расхождение
между кривой Гюгонио и изотермой невелико и для более или
менее правильного определения изотермы по кривой Гюгонио не
нужно точно знать величину у. При больших давлениях
расхождение увеличивается и для достаточно корректных расчетов
изотерм необходимы более точные значения у. Но оказывается,
что все три модели, описываемые уравнением (2.21) для
высоких давлений, дают близкие значения у. Заметное расхождение
между разными моделями наблюдается при небольших
давлениях, т. е. как раз там, где большая неопределенность в
величине у несущественна.
Достаточно хорошее согласие в оценках величины у для трех
моделей повышает доверие к изотермам, рассчитанным по дан*

3. Ударные волны в конденсированных средах
10в
ным об ударных волнах. Такие изотермы теперь даже вытесняют
в справочниках кривые сжатия, найденные статическим методом
[2.29]. Заметим, однако, что величины у, которые соответствуют
упомянутым трем моделям, не обязательно правильны. Все три
модели могут быть неверными!
Было бы интересно сравнить значения у, получающиеся из
уравнения (2.21), с результатами, соответствующими другим
моделям для высокого давления [2.11]. При сильных сжатиях в
ограниченном интервале давлений можно принять, что PT=0(V)~
~ V~n. Тогда уравнение (2.21) дает величину yF = (п — 7з)/2,
не зависящую от величины а.
При высоких сжатиях электроны в металле должны быть
почти свободными. Как будет показано позже, для свободного
газа Ферми — Дирака у = 2/3. Расчеты по Томасу — Ферми [2.30]
показывают, что при больших сжатиях электронное давление
изменяется как V"bf\ так что и здесь yF = 2/з.
Учет влияния ядер, проведенный в рамках модели Томаса —
Ферми [2.11, 2.31], приводит к переменному значению у, которое
с увеличением сжатия медленно уменьшается до V2. Из
классической модели решетки, состоящей из точечных ядер,
погруженных в однородное облако электронов, при высокой плотности для
у также получается величина Уг [2.11].
Величины у, полученные из уравнения (2.21), исправленного
в соответствии с результатами измерений кривой Гюгонио, при
больших сжатиях лежат в интервале от У2 до Уз [2.11]. Поскольку
эти величины близки к теоретическим оценкам для разных
моделей, можно надеяться, что уравнения состояния, определенные
таким способом по кривой Гюгонио, правильны.
Так как величина у уменьшается с увеличением сжатия, в
некоторых случаях принято считать y/V постоянной величиной
[2.13]. Росс1) проанализировал значения величин у, вычисленных
в приближении Дугдала — Макдональда из данных по кривой
Гюгонио для большого числа металлов, и установил, что в
исследованном экспериментально интервале сжатий результаты
лучше согласуются с постоянным значением величины у/У1/а.
Естественно, что подобные соотношения нельзя
экстраполировать к очень большим сжатиям, поскольку их асимптотическое
поведение (у—►О при V —>0) заведомо неправильно.
§ 3. ЭЛЕКТРОННЫЕ И ДРУГИЕ ПОПРАВКИ
Рядом авторов были рассмотрены поправки, связанные с
отклонением состояния электронов проводимости от
вырожденного при ненулевых температурах в металлах [2.10, 2.21—2.25].
*) М. Ross, частное сообщение, 1967.

104
Р. Килёр, Ё. Ройс
Исследовалась также роль возбуждения электронных уровней
[2.16, 2.32] в диэлектриках. Проще всего оценить электронные
эффекты в металлах на основе модели свободных электронов [2.33].
Как известно, для ферми-дираковского газа свободных электронов
плотность состояний на поверхности Ферми записывается в виде
вМ = рр-1^%. (2-41)
а энергия Ферми определяется соотношением
Это выражение соответствует тому, что газ почти вырожден.
Тогда из разложения функции распределения Ферми — Дирака по
степеням kTlzF получаем тепловую энергию электронов
Ee = ^-{kT)2g{eF) (2.43)
и электронную теплоемкость
{Cv)e = ^-k4g^F). (2.44)
Электронную теплоемкость обычно измеряют при весьма низких
температурах, так как при более высоких температурах
доминирует теплоемкость решетки. Последняя при понижении
температуры пропорциональна Г3. По измеренной электронной
теплоемкости непосредственно определяют плотность состояний на
поверхности Ферми; эти результаты можно сопоставить с
формулами (2.41) и (2.42) для газа свободных электронов. Для любого
термодинамического состояния справедливо равенство
'.-■ТЯ.-ТН^ГЧ*. (2-46)
И
До тех пор пока состояние почти вырождено, этот результат
справедлив независимо от плотности электронного газа.
Заметим, что при сильном сжатии электронная теплоемкость
уе близка к теплоемкости решетки. Следовательно, учет
электронов не сильно изменит полную эффективную теплоемкость
системы. Другими словами, если не учитывать вклад электронных
членов в удельную энергию, то это сильно повлияет на
расчетные значения температуры, тогда как расчетные значения давле-
Отсюда

3. Ударные волны в конденсированных средах
105
ния не изменятся. По этой причине, несмотря на то, что вклад
электронов в давление может быть очень существенным,
низкотемпературные изотермы, рассчитанные различными авторами с
электронными поправками и без поправок, совпадают [2.10].
Обычно при обработке данных по ударным волнам, когда
учитывается вклад электронов [2.10, 2.21—2.25], используется
подход, отличающийся от модели свободных электронов. Для
газа свободных электронов плотность состояний на поверхности
Ферми получается непосредственно путем подстановки
выражения (2.42) в (2.41), которая дает ^(е^) в зависимости от
удельного объема V и числа N валентных электронов на моль.
Величина же £(е^), которая получается из низкотемпературных
данных по теплоемкости и формулы (2.44), часто намного превышает
соответствующую величину для газа свободных электронов,
особенно в переходных металлах. В этом случае именно
экспериментально измеренная величина #(е^) используется для определения
уравнения состояния. Напомним, что модель Томаса — Ферми
приводит к электронной теплоемкости уе, равной V2 [2.30].
Большие значения величины g(eF) для переходных металлов при
нормальной плотности объясняются тем, что поверхность Ферми
расположена в очень узкой зоне d-электронов. Электроны
проводимости, находящиеся в этой зоне, нельзя рассматривать как
свободные. Однако при сжатии должно происходить смещение
поверхности Ферми, связанное с уширением зоны d-электронов,
так что величина £(е^) должна сильно измениться. Из
выражения (2.47) в этом случае следует, что величина уе будет отлична
от 2/з и может стать даже отрицательной. По этим причинам
использованные методики расчета оказываются весьма
сомнительными.
По-видимому, было бы надежнее предположить, что при
больших сжатиях электроны проводимости остаются свободными.
С увеличением сжатия такое приближение должно быть все
более и более правомерным.
§ 4. ПОРИСТЫЕ ВЕЩЕСТВА
Рассмотрим еще один метод экспериментального определения
теплоемкости у и вклада электронов, основанный на
использовании данных об ударном сжатии пористых образцов [2.10, 2.19,
2.23—2.38] *). В таких экспериментах внутренняя энергия и
температура при сжатии до заданного удельного объема оказывается
значительно выше, чем в сплошных образцах. Это легко видеть
из соотношения Рэнкина — Гюгонио для энергии
Е - Еж = 1 (Р + Ро) (По ~ V), (2.48)
М А также В. L. Hord, частное сообщение,

106
Р. Килер, E. Рейс
где Voo и £оо — начальные удельные объем и энергия образца.
Если величина у не зависит от температуры, то она определяется
разностями давлений и энергий на кривой ударного сжатия для
веществ с нормальной плотностью:
К сожалению, при интерпретации таких экспериментов
возникает ряд проблем. Для того чтобы температура в
ударно-сжимаемом пористом образце была однородной, необходима
достаточно хорошая теплопередача между внутренними и наружными
частями отдельных зерен. Чтобы термализация осуществлялась
за время ударного сжатия, размеры зерен или частиц в случае
металла должны быть порядка нескольких микрон. Образцы,
обычно используемые в экспериментах, не имеют такой мелкой
структуры, и поэтому возникают некоторые сомнения в
термической равновесности достигаемых в эксперименте состояний.
Но эта проблема оказывается не настолько серьезной, как это
можно было бы думать на основании теоретических
рассуждений. Кормер и др. [2.23] изменяли размер зерна от 0,5 мкм до
значительно больших величин и не обнаружили какой-либо
зависимости скорости ударной волны от размера зерна. В среднем
сжатие в крупнозернистых образцах в температурно-неоднород-
ном состоянии было, по-видимому, таким же и в случае
теплового равновесия. Тем не менее здесь все еще остаются
нерешенными важные вопросы.
Если предположить, что требованием теплового равновесия
можно пренебречь, то все-таки остается проблема накопления
ошибок в ходе анализа экспериментальных данных. Дело в том,
что в типичных образцах при давлениях ниже 1 Мбар обе
кривые Гюгонио довольно близки друг к другу. При вычитании
значений давления и энергии, соответствующих разным кривым
Гюгонио, ошибка разностей настолько высока, что определяемые
величины оказываются весьма приближенными. Точность
полученных таким образом величин недостаточна, чтобы обнаружить
расхождение между разными теориями, хотя сами величины
показывают, что расчеты не так уж плохи.
Если перейти к многомегабарным давлениям, то
расхождение между кривыми Гюгонио для сплошных и пористых
веществ становится достаточно большим, так что
эффективные значения величины у могут быть определены довольно
точно. Проблема теперь заключается в том, что в этом случае
конечные состояния лежат далеко в области жидкой фазы,
а у Уже зависит от температуры или удельной тепловой
энергии.

3. Ударные волны в конденсированных средах
107
В нашей лаборатории Гровер [2.39]1) предложил уравнение
состояния для металлов, которое точно описывает
термодинамику фазового перехода при плавлении в предположении, что:
1) скорректированная энтропия плавления есть константа;
2) теплоемкость жидкой фазы уменьшается по универсальному
закону как функция отношения температуры к температуре
плавления при заданном давлении; 3) температура плавления
является функцией удельного объема и определяется
соотношением Линдемана
Tm = AT2DV,uM. (2.50)
Здесь М — атомный вес, TD — дебаевская температура и Л —
нормирующая константа. Зависимость дебаевской температуры
от объема дается уравнением (2.34). Закон плавления (2.50)
довольно хорошо аппроксимирует имеющиеся данные
зависимости температуры плавления от объема [2.40], в том числе
результаты недавней работы Крота и Кеннеди [2.41]. Для
состояний, находящихся далеко в жидкой фазе, это уравнение
состояния приводит к намного более низким значениям эффективных
Y (2.49), чем для твердых тел при том же удельном объеме,
хотя в непосредственной близости от точки плавления
эффективные значения теплоемкости у для жидкости немного
превышают значения для твердой фазы. Подобное уменьшение
величины у с температурой Кормер и др. [2.23] получили на основе
феноменологической теории, в которой с увеличением
температуры удельная теплоемкость уменьшается. Интересно, что
допущение Гровера о постоянной энтропии плавления хорошо
согласуется с данными по плавлению NaCl под действием
ударного сжатия [2.42].
Теория Гровера хорошо согласуется с опубликованными
данными о кривой Гюгонио для пористых металлов А1 [2.23],
Ni [2.23], Си [2.23], W [2.36] и U [2.37] вплоть до нескольких ме-
габар без специальной нормировки этих данных. Поэтому
адиабаты Гюгонио для пористых веществ могут служить надежным
критерием для проверки теории жидкого состояния и
эффективных значений у, предсказываемых этой теорией. К сожалению,
такие данные нельзя использовать для получения зависимости
Y от удельного объема в твердой фазе, ибо значительны
эффекты, связанные с переходом состояния вещества в жидкую
<фазу. Нельзя их использовать и для проверки электронных
членов в уравнении состояния, поскольку вклад последних в
экспериментально измеряемые величины Рч V, Е гораздо меньше,
чем влияние фазового перехода плавления.
*) А также частное сообщение.

108
Р. Килер, E. Ройс
ЛИТЕРАТУРА
2.1. Slater J. С, Introduction to Chemical Physics, New York, 1939, Ch. 13, 14.
2.2. Walsh J. M.t Rice M. #., McQueen R. G., Yarger F. L.t Phys. Rev., 108,
196 (1957).
2.3. Rice M. Я., McQueen R. G., Walsh /. Ai, Solid State Phys., 6, 1 (1958).
2.4. Benedek G. В., Phys. Rev., 114, 467 (1959).
2.5. Prieto F. £., Renew C, Journ. Chem. Phys., 43, 1050 (1965).
2.6. Royce E. £., Phys. Rev., 164, 929 (1967).
2.7. Barron Т. Я. K.t Ann. of Phys., 1, 77 (1957).
2.8. Pastine D. /., Phys. Rev., 138, A767 (1965).
2.9. Зубарев Я. Я., Ващенко Я. #., ФТТ, 5, 886 (1963).
2.10. Альтшуллер Л. В., УФН, 85, 197 (1965).
2.11. Grover R.t Keeler R. N.f Rogers F. /., Kennedy G. C, Journ. Phys. Chem.
Solids, 30, 2091 (1969).
2.12. Dugdale J. 5., MacDonald D.t Phys. Rev., 89, 832 (1953).
2.13. McQueen R. G.t Marsh S. P., Journ. Appl. Phys., 31, 1253 (1960).
2.14. Альтшуллер Л. В., Крупников /С. /(., Бражник М. И, ЖЭТФ, 34, 886
(1958).
2.15. Gschneidner К. A.t Jr., Solid State Phys, 16, 275 (1964).
2.16. Альтшуллер Л. B.t Павловский М. М., Кулешова Л. В., Симаков Г. В.,
ФТТ, 5, 279 (1963).
2.17. Holt Л. С, Grover R., в книге Ргос. of the Symposium on Accurate
Characterization of the High Pressure Environment (Gaithersburg, Md,
1968), в печати.
2.18. Duff R. £., Fundamental Data Obtained from Shock-Tube Experiments,
ed. A. Ferri, New York, 1961, Ch. 8.
2.19. Skidmore L C, Appl. Materials Res., 4, 13 (1965).
2.20. Rogers F. /., LRL Report USRL-50500 (1968).
2.21. Альтшуллер Л. Б., Кормер С. Б., Баканова А. Л., Трунин Р. Ф., ЖЭТФ,
38,790 (1960).
2.22. Альтшуллер Л. В., Баканова А. Л., Трунин Р. Ф., ЖЭТФ, 42, 91 (1962).
2.23. Кормер С. Б., Фунтиков А. И., Урлин В. Д., Колесникова А. Я., ЖЭТФ,
42, 686 (1962).
2.24. Кормер С. В., Урлин В. Д., Попова Л. Т., ФТТ, 3, 2131 (1961).
2.25. Крупников К, /С., Баканова Л. Л., Бражник М. И., Трунин Р. Ф., ДАН
СССР, 148, 1302 (1963).
2.26. Альтшуллер Л. В.% Кулешова Л. В.% Павловский М. Я., ЖЭТФ, 39, 16
(I960).
2.27. Кормер С. Б., Синицын М. В., Фунтиков Л. Я., Урлин В. Д.,
Блинов Л. Б., ЖЭТФ, 47, 1202 (1964).
2.28. Walsh У. М., Christian #. Я., Phys. Rev., 97, 1544 (1955).
2.29. Keeler R. N.t в книге American Institute of Physics Handbook, Sect. 4d,
в печати.
2.30. Latter R.t Journ. Chem. Phys., 24, 280 (1956).
2.31. Копышев В. Я., ДАН СССР, 161, 1067 (1965).
2.32. Ross М.у Phys. Rev., 171, 777 (1968).
2.33. Kittel С, Introduction to Solid State Physics, New York, 1956, Ch. 10
(имеется перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела,
М. — Л., 1958).
2.34. Зельдович Я. 5., ЖЭТФ, 32, 1577 (1958).
2.35. Альтшуллер Л. В., Крупников К. /С., Леденев Б. Я., Зучихин В. Я.,
Бражник М. Я., ЖЭТФ, 34, 874 (1958).
2.36. Крупников К. /С., Бражник М. Я., Крутикова В. Я., ЖЭТФ, 42, 675
(1962).
2.37. Skidmore I. С, Morris £., Thermodynamics of Nuclear Materials, Vienna,
1962, p. 173.

3. Ударные волны в конденсированных средах 109
2.38. Hord В. L., Bull. Amer. Phys. Soc, 5, 42 (1960).
2.39. Grover R., Bull. Amer. Phys. Soc, 13, 1647 (1968).
2.40. Babb S. £., Jr., Rev. Mod. Phys., 35, 400 (1963).
2.41. Kraut E. Л., Kennedy G. C, Phys. Rev., 151, 668 (1966).
2.42. Корнер С. Б., Синицын М. В., Кириллов Г. А., Урлин В. Д., ЖЭТФ,
48, 1033 (1965).
III. СТАБИЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРОННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
В МЕТАЛЛАХ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ,
РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Е. Ройс
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих лекциях рассматривался вопрос о
нахождении уравнения состояния вещества при высоком давлении на
основе экспериментальных данных по ударным волнам и
теоретических моделей. В частности, в общих чертах рассмотрены
методы экспериментального определения адиабаты Гюгонио и
применение ее для расчета кривой холодного сжатия PT=o{V)
и кривой энергии связи ET=o(V) = — J PT=o(V)dV. Эти
кривые легче всего сопоставить с обычными характеристиками
твердого тела, так как они не зависят от тепловых эффектов, а
зависят только от статического межатомного взаимодействия.
Мы рассмотрим эти кривые в рамках весьма упрощенной
теории связи в металлах, что позволит получить некоторую
информацию об электронных конфигурациях сжатых металлов
(см. также [3.1]). Плотности, достигаемые при сжатии в
ударных волнах, настолько велики, что физические свойства
металлов нельзя больше рассматривать только как результат
взаимодействия внешних электронов составляющих их атомов. Мы
остановимся также на переходе между двумя состояниями —
обычным металлическим состоянием, в котором притягивающая
и отталкивающая составляющие энергии связи соответствуют
делокализации внешних электронов свободного атома в
энергетические зоны [3.2—3.4], и сверхплотным состоянием,
описываемым теорией Томаса — Ферми, согласно которой уравнение
состояния определяется всеми электронами [3.5—3.9].
§ 2. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Если сближать атомы металла до образования
кристаллической решетки, то энергия электронной системы будет
изменяться так, как показано на фиг. 3.1, где представлена зависимость
энергии электронов на уровнях s и d от среднего межатомного

lip
Я. Килер, Е. Ройс
расстояния R и показан эффект, связанный с делокализацией
электронов и образованием зон. Именно смещением
энергетических уровней электронов в зоны проводимости обеспечивается
металлическая связь и определяется уравнение состояния
металла. У наиболее связанных состояний в каждой зоне
плотность заряда электронов сильно размывается в пространстве
между атомами и взаимное притяжение между
перекрывающимся размытым зарядом электронов и ядрами или атомными
остатками обеспечивает
необходимую связь. В самых же
антисвязанных состояниях в промежутках
между атомами оказываются
узловые точки электронного
распределения и в результате
электростатического отталкивания между
электронами и атомными остатками, а так-
„ же из-за большой кинетической
Межатомное расстояние энергии, обусловленной ВОЛНОВОЙ
. о, хг функцией с большим числом узло-
Фиг. 3.1. Ушиоение атомных
энергетических уровней и „е- вых точек> возникают силы отталки-
реход их в полосы при сбли- вания.
жении атомов металла. Поскольку взаимодействие
между атомами решетки
непосредственно связано с обобществлением состояний электронов соседних
атомов, логично предположить, что минимум на кривой
зависимости энергии связи от межатомного расстояния
соответствует определенной степени перекрытия. Следовательно,
если бы были заполнены только связанные состояния на дне
зоны проводимости, то равновесное среднее межатомное
расстояние должно было бы быть прямо пропорциональным
среднему радиусу электронного распределения в свободном атоме.
Энергия электронных состояний в средней части зоны
проводимости весьма слабо зависит от межатомного расстояния, а
поэтому заселенность этих состояний должна относительно слабо
влиять на равновесное межатомное расстояние. Таким образом,
до тех пор, пока зона проводимости полностью не заполнена,
равновесное расстояние должно сравнительно слабо зависеть от
числа электронов в этой зоне. В таком случае для металлов,
расположенных в рядах периодической системы элементов,
межатомное расстояние должно быть прямо пропорциональным
радиусу свободного атома.
Интересно, что электрические свойства металлов зависят от
состояния электронов на поверхности Ферми, а уравнение
состояния, т. е. эффективное межатомное взаимодействие,
обусловлено всеми электронами зоны проводимости, хотя и в разной
степени. Поскольку уравнение состояния определяется суммар-

3. Ударные волны в конденсированных средах 111
ным вкладом многих электронов, оно гораздо менее
чувствительно к деталям структуры зоны, чем электрические свойства.
Именно это обстоятельство позволяет применять излагаемую
здесь упрощенную теорию связи в металлах.
Межатомное расстояние удобно принять равным радиусу
Вигнера — Зейтца, т. е. радиусу сферы, объем которой равен
объему атома. Через этот радиус /?вз(^) молярный объем
Vm(P) выражается в виде
Vm(P)=^-N0[RB3(P)f. (3.1)
Преимущество такого определения радиуса в том, что тогда он
не зависит от кристаллической структуры, которая для ударно-
сжатых состояний зачастую бывает неизвестна. Введение такого
радиуса означает, что объем, в котором локализованы
электроны проводимости, играет более существенную роль, чем
расстояние между соседними атомами. Зависимость Vm(P)
определяется обратным преобразованием кривой PT=o(V)y получаемой
из данных по ударным волнам [3.1, 3.4].
Радиус распределения электронов можно найти,
воспользовавшись решением задачи об электронных волновых функциях
для свободного атома [3.11, 3.12], полученным методом Харт-
ри — Фока. При численном табулировании этих волновых
функций [3.12] за радиус валентной орбиты можно взять радиус, на
котором волновая функция уменьшается в 2 раза по сравнению
с ее значением в самом последнем экстремуме. Если решения
представлены в виде разложения [3.11]
* = 2ЛМ*~в|Г. (3.2)
i
то этот радиус равен а~!, где ат — наименьшая из величин а*,
a Pi (г) — полином. Оба эти определения дают одну и ту же
зависимость радиусов Rni(Z) от Z.
Наше основное допущение теперь будет состоять в
предположении, что эти радиусы пропорциональны Z. Это
иллюстрируется графиком фиг. 3.2, где при нулевом давлении
сравниваются атомные радиусы электронных оболочек 3d, 45 и \р для
первого большого периода периодической системы. Отдельными
точками представлены экспериментальные данные, а
сплошными линиями —результаты, полученные на основе модели Харт-
ри — Фока. Так как наше допущение состоит в
пропорциональности, а не в равенстве величин, то радиусы, рассчитанные по
Хартри —Фоку, нормировались по экспериментальным данным
путем смещения по вертикали кривых, построенных в
логарифмическом масштабе. Форма и наклон кривых, полученных
методом Хартри —Фока для свободного атома, при таком смещении
не изменяются.

112
Р. Килер, E. Ройс
Для К и Са зона проводимости соответствует главным
образом состоянию 4s и межатомные расстояния пропорциональны
радиусам орбит 4s. Для Sc, Ti, V и Сг межатомные расстояния
пропорциональны радиусам орбит 3d, несмотря на то, что их
зоны проводимости представляют собой комбинации состояний
3d и 4s. Это — одно из доказательств того, что З^-электроны
I
18 ю го 21 гг гз г* 25 26 27 гв гэ зо j; зг зз з* 35 зб
Аг К Са Sc Ti V Сг Мп Fe Со Ni Си Ъп Get Ое As Se Вг Кг
Порядковый номер элемента
Фиг. 3.2. Зависимость атомного радиуса от порядкового номера элемента
для первого переходного периода (3d> 4s, Ар) при нулевом давлении.
Точками обозначены экспериментальные данные, сплошные кривые рассчитаны на основе
модели Хартри — Фока для свободного атома (кривые нормированы к экспериментальным
данным).
играют доминирующую роль в уравнении состояния переходных
металлов. Чем больше Зб/-электронов находится в зоне
проводимости, тем более заселенными становятся антисвязанные
состояния. Вследствие этого в случае Мп и металлов с более высоким
Z данного периода экспериментальные значения межатомных
расстояний или атомных радиусов оказываются больше
соответствующих значений, предсказываемых упрощенной теорией.
На фиг. 3.3 проводится такое же сравнение при давлении
250 кбар. Штриховыми линиями воспроизведены кривые фиг. 3.2.
В случае высоких давлений также удается совместить
экспериментальные значения радиусов для К и Са с 45-конфигурацией,
получаемой из расчетов по Хартри —Фоку, а радиусы для Sc,
Ti и V — с Зд(-конфигурацией. Возможно, благодаря большему
числу Зя(-электронов Сг сравнительно менее сжимаем, чем Sc?

3. Ударные волны в конденсированных средах
ИЗ
Ti и V. Существенным моментом, как это видно из фиг. 3.3,
является то, что металлы с Зй-электроиами оказываются гораздо
менее сжимаемыми, чем группа металлов с 4s электронами.
Высокая сжимаемость металлов с малой плотностью электронов
хорошо известна, но важно то, что здесь наблюдается
объединение их в группы. Снова мы имеем доказательство
преобладающей роли d-электронов в уравнении состояния; в этом случае
их наличие приводит к очень малой сжимаемости веществ.
Та же тенденция проявляется и при давлении 1 Мбар
(фиг. 3.4). На всех этих графиках нет никаких признаков
изменения электронной структуры в интервале достигнутых в
экспериментах давлений.
На фиг. 3.2—3.4 приведена также зависимость радиуса
замкнутой оболочки (3/7)6 аргона от Z. Значения радиусов
нормированы к величинам, получающимся из уравнения состояния для
Аг или изоэлектронного КС1. Заметим, что металлы с s-связью
настолько плотно упакованы, что электронные оболочки их
атомных остовов начинают перекрываться уже при объемных сжатиях
порядка 3.
На самом деле, разумеется, волновые функции электронов
зоны проводимости представляют собой смесь различных
исходных волновых функций атома. Когда мы говорим о состояниях
s или d зоны проводимости, в действительности мы имеем в
виду те области этих зон, в которых волновые функции
соответствуют преимущественно s- или d-состоянию. Таким образом,
проведенный анализ показывает, что в уравнении состояния
определяющую роль играют те свойства заселенных состояний
зоны проводимости, которые соответствуют первоначальному
атомному состоянию.
На фиг. 3.5 и 3.6 представлены графики, построенные так,
чтобы проиллюстрировать различие между s- и rf-связями и
показать вклады этих частей зоны проводимости в давление и
энергию связи. Кривые фиг. 3.5 строились следующим образом.
Вклад в давление от замкнутых оболочек брался из кривой
PT=o(V) для инертных газов или щелочно-галоидных атомов.
Вклад в давление s-электронов определялся как разность
между величиной Pt=o(V) для щелочных металлов и вкладом в
давление замкнутой оболочки. Аналогичным образом из данных
по переходным металлам получалась добавка к давлению,
обусловленная d-электронами. Прежде чем определять эти вклады,
функцию Pt=t.o(V) от объема переводили в функцию Ят=о(/?)
от радиуса, а зависимость радиуса R от Z корректировалась по
соответствующей зависимости хартри-фоковского радиуса.
Кривые для энергии (фиг. 3.6) получались интегрированием кривых
давления. Нулевая энергия для каждой кривой выбиралась
произвольно. Из графиков видно, что вклад d-электронов как в

is w го 2i гг >3 г* *5 ж zi 28 гэ зо зг зг зз л зз зе
Лг К Са Sc Tt v Сг Wn Fe Со N1 Си Zn Ga Ge As Se Br Kr
Порядковый номер элемента
Фиг. 3.3. Зависимость атомного радиуса от порядкового номера элемента
для первого переходного периода (3d, 4s, 4р) при 250 кбар.
Точками обозначены экспериментальные данные при Г=0 К. Сплошные кривые
рассчитаны на основе модели Хартри —Фока для свободного атома (кривые нормированы к
экспериментальным данным). Пунктиром проведены теоретические кривые, взятые с фиг. 3.2.
J Г
•<*;
: *
-8
i
• • • •
| ■ ' X ' ' ' ' Ч ' ' ' ' ' '
±.Л L
18 19 20 21\22 23 24 25 26\Z7 28 29 30 31 32 33 3*t 35 36
Аг К Ca So Tt\ V Cp Kin Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge A* Se Br Kr
Порядковый номер элемента
Фиг. 3.4. Зависимость атомного радиуса от порядкового номера элемента
для первого переходного периода (3d, 4s, Ар) при давлении 1 Мбар.

Jh
гу
\
V
\фр?
w
Ш
^
a
4s
1,0 1,4
J.8 1,2 1.6 \Z,0 1,4 1,4 t.8 \г,г
Атомный радиус, A
Фиг. 3.5.
Вклад разных орбит в давление как функция атомного радиуса.
а-при Z=21; б-при Z=39; в*-при Z=57.
W 1,4
у
у
Ua
б\
5s
\-
к
[_£
\5d <*
к(5р)6
1,6 г,о г,ь tt6 г,о г,*
Атомный радиус, А
Фиг. 3.6. Вклады различных орбит в энергию связи на атом как функция
атомного радиуса.
За нулевую энергию для каждой орбиты было принято значение в минимуме
соответствующей кривой, а-при Z»;zi; 6-дри 2=39; в-при Z=57.

116
Р. Килер, E. Ройс
давление, так и в энергию для уравнения состояния сжатого
вещества на порядок величины превышает вклад s-элек-
тронов.
Энергия на фиг. 3.6 есть полная энергия связи на атом.
Поскольку уравнение состояния определяется в основном
взаимодействием электронов в зоне проводимости, эта энергия
приблизительно равна энергии большей части связанных электронных
состояний в этой зоне. Быстрый рост энергии d-электронов при
сильном сжатии должен приводить к электронньш переходам,
в которых при сильном сжатии вещества d-электронные
состояния переходят в другие, менее чувствительные к давлению
состояния. Переход же электронов в d-состояния при сильном
сжатии, по-видимому, маловероятен.
§ 3. РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫЕ МЕТАЛЛЫ
Все сказанное выше дает хорошую основу для анализа
последних данных по ударному сжатию редкоземельных металлов
[3.13—3.16]. На фиг. 3.7 приведены рассчитанные по данным
этих экспериментальных работ атомные радиусы для
нескольких давлений при Т = 0. Большинство редкоземельных
металлов обычно двухвалентны, причем зона проводимости
соответствует смеси состояний 5d и 6s. Как и следовало ожидать, их
атомные радиусы при нулевом давлении ложатся на хартри-фо-
ковскую кривую для состояния 5d, нормированную к
экспериментальным данным для Hf, Та и W. Двухвалентность металлов
Ей и Yb обусловлена стабильностью полузаполненной и
заполненной внутренней 4/-оболочки, а ее радиусы при нулевом
давлении ложатся на кривую для es-состояния, нормированную к
данным для Cs и Ва.
В силу сказанного ранее трехвалентные металлы должны
быть несжимаемыми, тогда как в действительности все
редкоземельные металлы обнаруживают большие коэффициенты
сжимаемости, характерные для металлов с s-связью. Из большой
сжимаемости редкоземельных металлов следует, что при
высоком давлении остается лишь небольшая доля d-связи, т. е. эти
металлы становятся преимущественно двухвалентными.
Изменение валентности должно происходить за счет постепенного
перехода с ростом давления 5д?-электронов на свободные 4/-уровни.
Одновременно с электронными переходами может происходить
один из полиморфных переходов, которые наблюдаются при
сравнительно низких статических давлениях; такие переходы
сопровождаются большими изменениями электрического
сопротивления.
Фазовый переход I рода а->у в церии, по всей вероятности,
происходит в результате обратного электронного перехода

S. Ударные волны в конденсированных средах 117
(4/-*5d). Прямой переход 5d~>4/ при высоких давлениях, по-
видимому, происходит постепенно.
Металлы Sc и Y обычно считают аналогичными
редкоземельным, так как их конфигурация внешней электронной оболочки
напоминает оболочку La. Однако у них нет свободных внешних
■ i » i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
1\ 39 57 54 55 5657 58 59 60 61 61 63 64 65 66 67 68 69 70 71 71 73 74
5с Y La Хе Cs BaLaCe Pr Nd Pm 5m EuGdTb DyHo ErTmYblu Hf TaW
Порядковый номер элемента
Фиг. 3.7. Зависимость атомного радиуса от порядкового номера элемента
для редкоземельных элементов и близких к ним металлов.
Жирными линиями показаны зависимости от Z, вычисленные на основе модели Хартри —
Фока для свободного атома и нормированные к экспериментальные данным при нулевом
давлении. Светлые кружки — при нулевом давлении; светлые квадратики — при 0,125 Мбар;
прямые светлые треугольники — при 0,250 Мбар; перевернутые светлые треугольники—при
0,5 Мбар; темные треугольники и кружки— изломы адиабаты Гюгонио, сплошная линия —
интерпретация Гаста; темные квадратики и перевернутые треугольники —изломы адиабаты
Гюгонио, сплошная линия— интерпретация Альтшуллера; темные прямые треугольники и
ромбики —изломы адиабаты Гюгонио, сплошная линия —интерпретация Мак-Куина.
/-уровней, на которые могли бы перейти d-электроны. Поэтому
указанные металлы должны быть значительно менее
сжимаемыми, чем La, и так оно и есть на самом деле. Это можно
рассматривать как дополнительное подтверждение предположения
о существовании в редкоземельных металлах перехода 5d->4f.
Приведенная на фиг. 3.7 кривая (5/?)6 дает радиус, на
котором слабое вандерваальсовское притяжение в твердом Хе
компенсируется отталкиванием перекрывающихся замкнутых
оболочек (5/?)6. Эта кривая получена путем нормировки хартри-
фоковских радиусов оболочек 5/7 к экспериментальным
радиусам для ксенона. Когда сжатие производится до радиусов,

118
Р. Килер, E. Ройс
значительно меньших чем радиусы (5/?)6, в давлении должен
проявиться вклад от перекрывания атомных остатков. Темные
точки на фиг. 3.7 соответствуют радиусам, при которых для
редкоземельных металлов наблюдается резкий подъем адиабат
Гюгонио, характеризующийся скачкообразным изменением
наклона диаграммы U8—Up. Изломы кривых Us — VVy
по-видимому, соответствуют как раз тем радиусам, при которых вклад
от атомных остатков должен быть уже значительным.
Адиабаты Гюгонио редкоземельных металлов — вероятно,
первый случай, когда удалось выявить взаимодействие
атомных остатков при сжатии металла. Интересно выяснить, почему
этот эффект должен наблюдаться только в редкоземельных
металлах. Щелочные и щелочноземельные металлы также
обладают высокой сжимаемостью, но для достижения существенного
вклада атомных остатков в давление вследствие низкой
начальной плотности необходимо по крайней мере четырехкратное
сжатие этих металлов (фиг. 3.5). Переходные металлы
обладают более высокими начальными плотностями, но они почти
несжимаемы. Как видно из фиг. 3.5, в этом случае для того,
чтобы получить заметный вклад атомных остатков в давление,
требуется по крайней мере пятикратное сжатие. Редкоземельные
же металлы при низком давлении из-за наличия d-связи
обладают высокой плотностью, а отсутствие d-связи при большом
давлении делает эти металлы легко сжимаемыми.
Было выдвинуто два разных объяснения крутого хода
кривых Гюгонио для редкоземельных металлов. Первое [3.14—3.16}
основано на том экспериментальном факте, что d-связь делает
металл менее сжимаемым, а крутой ход кривой Гюгонио при
этом приписывается переходу 4/-*5d. Поскольку орбита 4/
является внутренней даже для оболочки (5/?)6, при изменении
давления нельзя ожидать сильного изменения энергии. Благодаря
влиянию 5-электронов равновесное межатомное расстояние при
нулевом давлении немного больше, чем в том случае, когда
вклад от d-электронов в точности равнялся бы нулю. Таким
образом, при небольших давлениях энергия d-электронов при
сжатии будет уменьшаться. Этим, по-видимому, и обусловлен
переход 4/-*5d в Се. Но с усилением сжатия энергия d-состояний
быстро растет и при сжатиях, при которых наблюдается крутой
ход адиабаты Гюгонио, переход 4/~>5d оказывается
невозможным.
Согласно другой гипотезе1), крутой ход адиабаты Гюгонио
объясняется плавлением. Некоторые термодинамические расчеты,
по-видимому, согласуются с таким предположением. Тем не
менее исследования влияния плавления на адиабату Гюгонио
J) R. G. McQueen, Los Alamos Sci. Lab.

3. Ударные волны в конденсированных средах
119
[3.17, 3.18], равно как и исследования, основанные на
теоретическом уравнении состояния твердое тело — жидкость, как правило,
показывают, что плавление должно значительно меньше
сказываться на ходе адиабаты Гюгонио. Кроме того, поскольку,
согласно закону Линдемана, упрочение решетки должно приводить
к повышению температуры плавления, кажется не очень
логичным связывать увеличение крутизны адиабаты Гюгонио с
плавлением.
Такой же, как у редкоземельных металлов, крутой ход
адиабаты Гюгонио был обнаружен у некоторых щелочноземельных
и переходных металлов. В работах [3.14—3.16] было высказано
предположение, что это тоже связано с переходом, при котором
увеличивается число заполненных d-состояний. В свете
сказанного выше и результатов, представленных на фиг. 3.6, кажется
очевидным, что для таких металлов это в той же мере
невозможно, как и для редкоземельных металлов.
Поскольку крутой ход кривых Гюгонио для редкоземельных
металлов мы объяснили перекрыванием замкнутых оболочек,
было бы заманчиво провести подобные же рассуждения и для
случая щелочноземельных и переходных металлов. Но в этом
случае крутой ход наблюдается, когда замкнутые оболочки
только-только начинают перекрываться; в то же время из
сказанного о редкоземельных металлах и из анализа данных
фиг. 3.5 следует, что величина сжатия недостаточна для того,
чтобы вклад замкнутой оболочки в давление был значительным.
В щелочноземельных и переходных металлах рассматриваемый
эффект в принципе может быть связан с перекрыванием
замкнутых оболочек, но такое перекрывание не дает прямого вклада
в давление, как для резкоземельных металлов. То, что крутой
ход адиабат Гюгонио для переходных металлов не является
общим свойством, подтверждается тем обстоятельством, что
эффект отсутствует в Ti (Z = 22), но наблюдается в S? (Z = 21)
и V (Z = 23). По-видимому, более вероятно, что крутой ход
адиабат Гюгонио для переходных металлов связан с каким-либо
полиморфным фазовым переходом, который может происходить
в результате частичного перекрывания замкнутых оболочек.
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для того чтобы была справедлива модель Томаса — Ферми,
нужно, чтобы уравнение состояния не зависело от структуры
электронных оболочек. Но при таких сжатиях, при которых
взаимодействие замкнутых оболочек становится сравнимым со
взаимодействием электронов проводимости, это вряд ли возможно.
Таким образом, согласие расчетов на основе модели Томаса —
Ферми с экспериментальными результатами при более чем

120
Р. Килер, E. Ройс
5—10-кратном объемном сжатии и при низких температурах
нужно рассматривать как случайное. В интервале давлений от
той исследуемой методом ударных волн области, в которой
состояние вещества определяется электронами проводимости, до
области, в которой применима модель Томаса — Ферми, должен
происходить ряд электронных фазовых переходов,
обусловленных тем, что электронные оболочки начинают перекрываться и
давать вклад в уравнение состояния. Рассмотренные выше
эффекты, связанные с перекрыванием наружных замкнутых
оболочек, являются первыми из таких фазовых переходов.
ЛИТЕРАТУРА
3.1. Royce Е. В., Phys. Rev., 164, 929 (1967).
3.2. Wilson А. #., Theory of Metals, New York, 1954.
3 3. Hume-Rothery W., Coles B. R., Adv. Phys., 3, 149 (1954).
3.4. Mott N. F.t Adv. Phys., 13, 325 (1964).
3.5. Latter #., Journ. Chem. Phys., 24, 280 (1966).
3.6. Cowan R. D., Ashkin /., Phys. Rev., 105, 144 (1957).
3.7 Калиткин H. #.. ЖЭТФ, 38, 1534 (1960).
3 8. Копышев В. Я., ДАН СССР, серия матем. физ., 161, 1067 (1965).
3 9. Schey Я. М., Schwartz /. U Phys. Rev., 137. А709 (1965).
3.10. van Thiel M., Kusubov A. S., Mitchell A. C, Compendium of Shock Wave
Data, Lawrence Radiation Laboratory, Report UCRL-50108, Rev. 1, 1967.
3.11. Watson R. E., Technical Report No. 12, Solid State and Molecular Theory
Group, MIT (Cambridge, Mass., 1959); Phys. Rev., 118, 1036 (1960); 119,
1934 (1960); 123, 2027 (1961).
3.12. Herman F., Skillman S., Atomic Structure Calculations, Englewood Cliffs,
N. J., 1963.
3.13. Duff R. E., Gust W. Я., Royce E. В., Ross M.t Mitchell A. C, KeelerR.N.,
Hoover W. G., в книге Behaviour of Dense Media under High Dynamic
Pressure, New York, 1968, p. 397; Bull. Amer. Phys. Soc, 12, 1128 (1967).
3.14. Альтшуллер Л. В., Баканова А. А., Дудоладов И. Я., ЖЭТФ, Письма
в редакцию, 3. 483 (1966).
3.15. Альтшуллер Л. В., Баканова А. Л., Дудоладов И. Я., ЖЭТФ, 53, 1967
(1967).
3.16 Альтии/ллер Л. В., Баканова А. А., УФН, 96, 193 (1968).
3.17. УрлинВ. Д., Иванов А. А., ДАН СССР, 149, 1303 (1963).
3.18. Кормер С. Б., Синицын М. В., Кириллов Г. Л., Урлин В. Д., ЖЭТФ, 48,
1033 (1965).
IV. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ КОНДЕНСИРОВАННЫХ
СРЕД ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ
Р. Килер
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Измерения электропроводности ударно-сжатых твердых тел
и жидкостей проводятся уже более 12 лет [4.1—4.20]. Вначале
надеялись, что такие измерения позволят лучше понять
физические свойства конденсированных сред при высоких плотностях

3. Ударные волны в конденсированных средах \2[
энергии. Но эти надежды во многом не оправдались. Прежде
всего во всех таких экспериментах (за небольшим исключением
[4.6—4.8]) остаются не выясненными до конца
экспериментальные проблемы, связанные с самими измерениями.
Дополнительные трудности обусловлены тем, что в результате прохождения
ударной волны, характеризующейся большими градиентами
давления и значительными сдвиговыми напряжениями, в твердом
теле возникают дефектные образования, свойства которых
маскируют собственные свойства исследуемого материала1).
Поэтому очевидно, что в будущем, прежде чем методы, ставшие
обычными и широко распространенные в современной физике
твердого тела, найдут надлежащее место в исследованиях с
ударными волнами, предстоит кропотливая экспериментальная
работа по их усовершенствованию. Тем не менее в последнее
время с помощью таких методов проводятся многие интересные
исследования, которым и посвящен данный раздел.
§ 2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
В зависимости от начальных и конечных значений
электропроводности в процессе прохождения ударной волны методы
измерения электропроводности можно разделить на три класса.
Изменение типа проводимости,
вызываемое ударной волной
Диэлектрик/полупроводник ->
полупроводник
Металл -> металл
Диэлектрик -> металл
Пределы изменения электропроводности.
Ом"1-см""1
10>к>0-> 10>к>\0~ь
10<х< 10е -> 10<к< 10е
х<1(Г2->х>103
Хотя в каждом из трех классов требуются свои
экспериментальные методы, в общем можно сказать, что основным
ограничивающим фактором в измерениях является индуктивность
электрической цепи, используемой в эксперименте. Дело в том, что
всякому резкому изменению тока, вызываемому ударным
сжатием, препятствует индуктивность образца и источника питания.
Некоторый минимальный ток необходим, конечно, чтобы создать
измеримое падение напряжения. В измерениях первого типа,
когда конечная проводимость сравнительно мала, а начальная,
как правило, равна нулю, можно использовать простую
электрическую цепь с омической нагрузкой. На фиг. 4.1
представлена измерительная схема такого типа. Впервые такая схема
*) См., например, работы, цитируемые Олдером [4.21], и анализ этих
результатов в работе Кормера [4.26].

122
Р. Килер, E. Ройс
была предложена Раймерсом в работе [4.13], и с тех пор она в
том или ином виде используется в измерениях проводимости.
Наиболее исчерпывающее описание таких схем дано Митчелом
и Килером [4.22].
На схеме V0 — начальное напряжение (напряжение,
измеряемое на волновом сопротивлении кабеля, обозначается через
V); R8 — сопротивление ударно-сжатого образца; /?i —
параллельный резистор; /?2 — балластный резистор; ZL—импеданс
нагрузки (кабеля); С\ — конденсатор, а /?3 — зарядный
резистор. Ток через образец обо-
9 V\A/ |
с,
L
Фиг. 4.1. Схема измерения
электропроводности в условиях ударной
волны в классе веществ диэлектрик —
полупроводник.
значим через /в.
Сопротивление резистора R3 гораздо
больше всех остальных
сопротивлений. Замыкание ключа S
соответствует моменту
воздействия на образец ударной
волны.
Напишем
дифференциальное уравнение для тока в
цепи:
Параметры цепи выбирают так, чтобы постоянная времени RSC{
была значительно больше длительности измеряемого процесса.
Тогда ток через ZL равен
Il =
Ril
Ri + R2 + ZL'
(4.2)
При этом напряжение на импедансе нагрузки (кабеля) дается
формулой
hZL = -
1RXZL
а начальное напряжение можно записать в виде
*.(*2+^)
vu=i\rs
R{ + R2 + Z
Поделив (4.3) на (4.4), получим
V R,Z
\\
M^L
M*1 + *2 + *l) + *i(*2 + Zl)'
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Величину V/Vo определяют по осциллограмме типа
приведенной на фиг. 4.2.
На фиг. 4.3 представлено измерительное устройство в
разрезе. Измерение производится в продольном направлении, т. е.

3. Ударные волны в конденсированных средах
123
ток между электродами параллелен направлению
распространения волны. Один электрод предусмотрен в верхней плите, а
другим служит основание. Чтобы свести к минимуму эффекты,
связанные с отраженными ударными волнами и волнами
разрежения, верхний электрод и изолятор изготовляют из материалов
Фиг. 4.2. Осциллограмма электропроводности четыреххлористого углерода.
Фиг. 4.3. Схема устройства для измерения электропроводности
ударно-сжатых жидкостей в классе полупроводников.
/ — датчики ударной волны в алюминии; 2 —датчики ударной волны в CCU; 3
—полиэтиленовая изоляция; 4 — провод, ведущий к измерительной схеме; 5 —измерительный
электрод (наковальня из кальция); 5 —патрубок для наполнения; 7 —образец (СС14); 5
—основание (алюминиевая плита); 9 —заряд мощного взрывчатого вещества.
с динамическим импедансом, близким к импедансу
исследуемого материала. Описанное устройство, предназначенное для
измерения электропроводности ударно-сжатого жидкого
четыреххлористого углерода, пригодно также для измерения
электропроводности твердых веществ. Снимок типичной
экспериментальной установки представлен на фиг. 4.4.
Благодаря отсутствию гидродинамического взаимодействия
между верхним электродом и образцом продольная геометрия
(фиг. 4.3) обеспечивает наилучшую точность результатов в классе

фиг. 4.4. Снимок устройства для измерения электропроводности четырех-
хлористого углерода.

3. Ударные волны в конденсированных средах 125
исследуемых веществ диэлектрик — полупроводник. В
измерениях первого типа данные об электропроводности получаются
непосредственно с измерительного прибора и анализ работы
электрической цепи не представляет существенных трудностей.
Основные трудности, которые приходится преодолевать при
постановке экспериментов, обусловлены наличием эффектов,
связанных с распространением ударной волны в конденсированном
веществе,
гидродинамического взаимодействия
ударной волны с
измерительными датчиками и крайне
быстрого изменения
электропроводности с давлением, а
также с большими
градиентами за фронтом ударной
волны. Но, когда
проводимость не сильно зависит от
давления, можно более или
менее эффективно
использовать датчики, измеряющие
проводимость в
поперечном направлении [4.23]. Так,
с жидкостями и
неполярными веществами удалось
провести измерения с
точностью до 10% и даже
лучше.
В одномерной
продольной геометрии удельное
сопротивление находят по
формуле
где Rs — измеренное
сопротивление, ps — искомое
удельное сопротивление, /—
расстояние между верхним электродом и основанием, d —
диаметр верхнего электрода, a f — поправочный множитель,
учитывающий краевые эффекты.
Ко второму классу относятся измерения проводимости
металла, который под действием ударной волны сжимается и
нагревается до некоторого давления и температуры, причем его
проводимость первоначально металлического типа может и
увеличиваться и уменьшаться, но, как следует из
экспериментальных данных, всегда остается достаточно высокой.
юоо
w г.о
Up, км/с
Фиг. 4.5. Уравнение состояния и
электропроводность изолирующих
материалов и металлов.
-1
/ — алунд, и=1,57.10 Ом *-см~\ р •-
= 1100 кбар; 2—железо; 3 —тефлон, х=6,9 х
X КГ"3 Ом^-см-1, р=630 кбар; 4—индий;
5-алунд, х=7,9.10~"6 Ом"1-см"1, р=420 кбар;
5 —окись магния; 7—тефлон, и<1-10'7 Ом""1 X
X см""1, р=300'кбар.

126
Р. Килер, E. Ройс
Образец должен обладать достаточно высоким
сопротивлением, чтобы обеспечивалось заметное падение напряжения на
нем. Поскольку электропроводность металлов велика,
приходится брать длинные тонкие образцы и работать в режиме
импульсных токов. Первые эксперименты, в которых использовались
тонкие железные и манганиновые проволочки, залитые
эпоксидной смолой, описаны Фуллером и Прайсом [4.18]. У этого
метода имеется тот недостаток, что вследствие сложного
взаимодействия между эпоксидной смолой и проволочкой в
цилиндрической геометрии и большого различия их динамических импе-
дансов результаты измерений
лишь весьма приближенно
характеризуют термодинамическое
состояние вещества проволочки.
Кроме того, при давлениях выше
300 кбар эпоксидная смола
становится проводящей и не может
X
м
Г™^
о?
Фиг. 4.6. Схема устройства
для измерения
электропроводности металла.
/—образец; 2 —индиевые
электроды; 3 - алундовые блоки;
4 — эпоксидный или
полиэтиленовый заполнитель.
т
Фиг. 4.7. Схема
измерения электропроводности
металлов.
/ — источник тока;
2—большая индуктивность;
3—образец в виде фольги; 4
—осциллограф.
служить изолятором. Для решения этих проблем были измерены
сопротивление и динамический импеданс многих изолирующих
материалов в условиях ударных сжатий. Результаты измерений
приведены на фиг. 4.5. По динамическому импедансу (близкому
к импедансу железа) и по сопротивлению лучше всего оказался
алунд Wesgo-995. Хорошим изолятором оказался также тефлон,
который по своим параметрам подходит для опытов с более
легкими металлами.
Так же как в экспериментах первого типа, измерения
электропроводности металлов необходимо проводить в одномерной
геометрии, в которой можно свести к минимуму эффекты
остаточных напряжений, учесть гидродинамические взаимодействия
и точно определить термодинамическое состояние
ударно-сжатого образца. Форма и размеры образца для измерения
электропроводности металла приведены на фиг. 4.6. Это устройство

5. Ударные волны в конденсированных средах 12?
Врем*
Фиг. 4.8. Осциллограммы электропроводности металлов.
а—медь при 1,1 Мбар; б —железо при 0,175 и 0,245 Мбар. Л —момент прихода ударной
волны; В — нулевая линия; С —приход упругого предвестника; D—передний фронт
упругого предвестника импульса давления 0,245 Мбар в большем масштабе.
предназначено для измерений при очень высоком давлении
(~1,4 Мбар). К железной фольге присоединены электроды из
индия, динамический импеданс которого почти точно совпадает
с импедансом алунда. Индий выбран для того, чтобы уменьшить
возможное изменение сопротивления контактов за счет смещения

i2a
Р. Килер, Ё. Ройс
контактной поверхности электродов, обусловленного
несоответствием динамических импедансов. Чтобы обеспечить
необходимую одномерную геометрию, отношение ширины фольги к ее
толщине выбиралось равным 10:1 и 20: 1.
Для исследований проводимости металла использовалась
схема прямого измерения (фиг. 4.7). От импульсного источника
на фольгу подавался импульс тока, и на высокоскоростном
осциллографе записывалось падение напряжения на фольге. На
фиг. 4.8 приведены две характерные осциллограммы.
Что касается измерений третьего типа, т. е. измерений
сопротивления при переходе диэлектрик—металл, то здесь в настоящее
время нет удовлетворительного экспериментального решения.
Имеется лишь ряд неопробованных предложений, например —
определять сопротивление по взаимодействию проводящей
среды с быстроизменяющимися магнитными полями. Но пока еще
не проведено ни одного удовлетворительного измерения такого
рода и, по-видимому, большая часть предложенных решений
не обеспечивает достаточной точности. Поскольку трудность в
таких измерениях состоит в том, чтобы создать в образце
установившийся ток (т. е. преодолеть влияние индуктивности),
необходимо, чтобы профиль давления за фронтом ударной
волны был плоским по крайней мере в течение 1 мкс. Но образец
и электроды вряд ли сохранятся целыми в течение такого
длительного времени; кроме того, началом отсчета времени на
осциллограмме должен быть не момент прихода ударной волны,
как в измерениях первых двух классов, а более поздний момент,
когда состояние образца точно не определено.
§ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ УДАРНО-СЖАТЫХ
ЧЕТЫРЕХХЛОРИСТОГО УГЛЕРОДА И КСЕНОНА
Первые исследования электропроводности с достаточно
высокой точностью (—10%) в условиях ударной волны были
проведены Митчелом [4.22]. Его данные для четыреххлористого
углерода вместе с превосходными оптическими исследованиями,
проведенными в Советском Союзе, дают интересную картину
поведения при высоких температурах и давлениях этой жидкости,
являющейся при нормальных условиях диэлектриком.
В более ранней работе Уолша и Раиса [4.23] сообщалось о
попытке наблюдать замерзание жидкостей под действием
ударного сжатия. Эти авторы провели ряд опытов, в которых
визуально наблюдали прохождение ударной волны через
различные жидкости. При этом для фотографирования использовался
кадровый сверхскоростной фоторегистратор и аргоновая «свеча»
в качестве источника подсветки. Было замечено, что при
давлении 60 кбар слегка уменьшается прозрачность четыреххлори-

3. Ударные волны в конденсированных средах
129
стого углерода; при 75 кбар он становится весьма
непрозрачным, а при 130 кбар поверхность фронта ударной волны уже
хорошо отражает свет. Хорошая отражательная способность
фронта сохранялась до максимального в данной работе давления
170 кбар. Авторы объясняют это замерзанием жидкости, но не
все наблюдавшиеся ими явления согласуются с таким
объяснением. В частности, авторы отметили, что непрозрачность
возникает сразу; не было замечено никаких кинетических эффектов.
Если же мы имели бы дело действительно с замерзанием, то
для возникновения центров кристаллизации могло бы
потребоваться конечное время. Непрозрачность монотонно
увеличивалась с давлением, но если при низких давлениях замерзание
идет по кривой Гюгонио, то при определенном давлении кривая
Гюгонио должна исходить из двухфазной области. В этом
случае непрозрачность области, охваченной ударной волной, с
ростом давления должна была бы сначала увеличиваться, затем
уменьшаться и в конце концов исчезнуть совсем. Наконец,
совсем не обязательно связывать появление хорошо отражающей
поверхности с замерзанием. В свете сказанного можно
попытаться найти другое объяснение.
На фиг. 4.9 представлена зависимость электропроводности
четыреххлористого углерода от давления. Те же данные, но в
обычной форме зависимости от энергии активации приведены
на фиг. 4.10. Из этого графика видно, что в
полулогарифмическом масштабе зависимость электропроводности близка к
линейной в интервале шести порядков. Поскольку одновременно
изменяются все термодинамические параметры (давление,
объем и температура), маловероятно, чтобы вдоль кривой Гюгонио
оставалась постоянной ширина запрещенной зоны. Напомним,
однако, что во всем интервале давлений (69—170 кбар)
изменение объема составляет только 7—8%, а изменение среднего
межатомного расстояния — всего лишь 2—3%. Следовательно,
среднее межатомное расстояние, от которого сильнее всего
зависит ширина запрещенной зоны, изменяется очень слабо.
Энергия активации для такого процесса переноса составляет 4,3 эВ.
Естественно, возникает вопрос, каков механизм переноса. Чтобы
выяснить это, Хоук [4.24] предпринял ряд СВЧ-измерений. Он
измерял фазовый сдвиг и ослабление СВЧ-излучения с частотой
35 ГГц, отраженного от фронта ударной волны и от
металлического основания, находящегося за слоем четыреххлористого
углерода. Как можно видеть из фиг. 4.9, вплоть до давлений
140 кбар СВЧ-измерения хорошо согласуются с прямыми
измерениями проводимости на постоянном токе. Поскольку время
установления ионной проводимости составляет около 10~7 с,
а электронной — Около Ю-12 с, очевидно, что
экспериментальные данные СВЧ-измерений, совпадающие до 160 кбар

130 Р. Килер, E. Ройс
100 140 180
p, кбар
Фиг. 4.9. Зависимость электропроводности СС14 от давления.
Данные измерений на постоянном гоке: светлые кружки и пунктир—без учета поправок
на ослабление ударной волны за фронтом; темные кружки и сплошная линия —с учетом
поправок на ослабление ударной волны за фронтом; светлые квадратики —данные СВЧ-
измерений.
с результатами прямых измерений, подтверждают электронный
характер проводимости. Расхождение данных при более высоких
давлениях говорит о возможности ионного механизма
проводимости. Если при более высоких давлениях преобладает ионный
механизм проводимости, то это свидетельствует о распаде четы-
реххлористого углерода. Для проверки такого предположения
Кусубов1) провел опыты по определению химического состава
вещества после действия ударной волны. Он установил, что пос-
*) A. S. Kusubov, неопубликованная работа.

3. Ударные волны в конденсированных средах 131
6 8
(!/Т)Ю*
Фиг. 4.10. Определение ширины запрещенной зоны в СС14 по кривой
зависимости электропроводности от 1/Г.
ле действия ударных волн с амплитудами до 180 кбар в четырех-
хлористом углероде нет никаких продуктов разложения. При
давлениях же, немного больших 180 кбар, в веществе,
подверженном действию ударной волны, были найдены заметные
количества хлора, углерода и гексахлорэтана. На основании
оптических данных Юшко [4.25] было получено значение
электропроводности х = 20 Ом"~1-смм при давлении 200 кбар. Это
значение, совпадающее со значением, полученным путем
экстраполяции данных Митчела на постоянном токе, аномально велико
по сравнению с СВЧ-результатами и может быть обусловлено
электронными эффектами непосредственно внутри самого
фронта и очень малой глубиной скин-слоя в оптическом диапазоне.
На основании того, что проводимость четыреххлористого
углерода при давлениях ниже 180 кбар в основном электронная,
можно рассчитать толщину скин-слоя для оптических частот в
зависимости от давления и сравнить ее с приведенными выше
результатами работы [4.23]. При давлении 65 кбар электропро-

132
А Килер, Е. Ройс
водность равна 1,5Ы0~7 Ом-1-см-1, что дает для толщины скин-
слоя величину 5,3 мм. Это соответствует началу появления
непрозрачности, наблюдающемуся при таком давлении. При
давлении 150 кбар расчетное значение толщины скин-слоя равно
5,3 мкм, а измеренная величина диэлектрической проницаемости
в СВЧ-диапазоне равна 6,0.
Это соответствует данным о
полной непрозрачности и
высокой отражательной
способности фронта ударной волны.
Следовательно, такие
расчетные данные согласуются с
результатами работы [4.23].
Для подтверждения своего
вывода о том, что
непрозрачность четыреххлористого
углерода связана с замерзанием,
советские исследователи [4.26]
провели ряд температурных
измерений в ударно-сжатом четы-
реххлористом углероде. Их
результаты приведены на
фиг. 4.11. Для экстраполяции
кривой плавления в
диапазоне от 9 кбар до 200 кбар они
использовали уравнение
Симона. Допустимость такой
экстраполяции весьма сомнительна
[4.27]. Дополнительным
осложнением является то, что у
четыреххлористого углерода
имеются две полиморфные
твердые фазы и равновесное
состояние жидкость — твердое тело при очень высоких
давлениях не может быть таким же, как и при более низких
давлениях. Чтобы это было яснее, мы провели на фиг. 4.11 более
точную кривую плавления, рассчитанную на основе закона
плавления, выведенного Россом [4.28]. Там же для сравнения
приведены расчетные кривые Росса 1), полученные при
ступенчатой аппроксимации температуры. Как видно из графика,
аномально большие значения температуры, зарегистрированные в
работе [4.26] при давлениях выше 200 кбар, могут быть связаны
с явлениями пиролиза и распада, которые наблюдал Кусубов2),
ZOO 400
р, пбар
600
Фиг. 4.11. Адиабата Гюгонио и
кривая плавления СС14.
Отдельные точки —экспериментальные
данные [4.26]; штриховые линии —данные рас
чета Росса.
*) М. Ross, неопубликованная работа.
2) A. S. Kusubov, неопубликованная работа.

3. Ударные волны в конденсированных средах
133
исследуя состав вещества, подвергавшегося действию ударной
волны. Итак, на основании имеющихся данных можно
представить картину поведения четыреххлористого углерода в ударной
волне следующим образом. В связи с термическим
возбуждением электронов в зону проводимости при высоких
температурах, изменяющихся вдоль кривой Гюгонио, до давлений 170кбар
четыреххлористый углерод ведет себя как собственный
полупроводник. Выше этого давления начинают сказываться явления
пиролиза и распада. Плавление и распад могут происходить
одновременно. Несмотря на определенный интерес, эти
результаты нельзя непосредственно использовать для сравнения с
теорией, так как молекулу четыреххлористого углерода трудно
рассчитать теоретически, особенно в жидком состоянии.
Одной из целей более ранних экспериментальных работ с
ударными волнами было непосредственное наблюдение
процесса превращения диэлектрика в металл. Упрощенная схема
такого перехода под действием давления представлена на фиг. 4.12.
Допустим, что у нас бесконечно
большое число атомов,
удаленных друг от друга на
бесконечное расстояние. Мы можем
рассматривать только два уровня —
основной и первый
возбужденный. Когда атомы сближаются и
образуют конденсированную
систему, дискретные уровни
энергетического спектра уширяются и
превращаются в зоны — полосы
разрешенных энергетических
состояний. В случае диэлектрика
между самой верхней
заполненной зоной и самой нижней
пустой находится запрещенная
зона. Расстояние между ними,
например, в случае собственного полупроводника
характеризует энергию возбуждения. Когда диэлектрик сжимается, зоны
смещаются одна относительно другой, а их ширина
продолжает увеличиваться до тех пор, пока верхняя граница высшей
заполненной зоны не перекроется с дном самой нижней
незаполненной зоны, и с этого момента мы имеем металлическую
фазу.
В исследованиях, о которых говорилось выше, методика
состояла в измерении электропроводности при разных ударных
давлениях, расчете температуры вещества в ударной волне и
построении в полулогарифмическом масштабе зависимости
проводимости от обратной температуры. Такая методика основана
* 1
4—4. 5
Параметр решетки
Фиг. 4.12. Переход в
металлическое состояние.
/ — первое возбужденное состояние;
2—расщепление уровней; 3 — основное
состояние; 4—металл;
5—полупроводник и диэлектрик.

134
Р. Килер, E. Ройс
на хорошо известном для полупроводников соотношении
K = Ae-°e'2kT, (4.7)
где и— электропроводность, А — константа, слабо меняющаяся
с температурой, eg — энергетическое расстояние между
валентной зоной и зоной проводимости. Аналогичный вид имеет
формула для ионного механизма электропроводности. Необходимо
лишь заменить величину eg/2 энергией активации для ионной
проводимости £+.
Первые детальные измерения электропроводности ударно-
сжатых твердых тел были проведены Альтшуллером и др. [4.13].
В качестве исследуемого вещества был выбран хлористый
натрий NaCl, для которого энергия активации, соответствующая
измеренной проводимости, равна 1,2 эВ. Поскольку энергия
активации для ионной проводимости NaCl при нормальных
условиях составляет 1,87 эВ, Альтшуллер пришел к выводу, что в
ударно-сжатом NaCl электропроводимость носит ионный
характер. Но позже было показано, что этот вывод неверен [4.26], так
как все имеющиеся экспериментальные данные и теоретические
выводы говорят о том, что при рассматриваемых давлениях
энергия активации должна возрасти до 6—7 эВ. Для других
щелочно-галоидных соединений подобное же уменьшение
энергии активации было отмечено Олдером [4.29], который высказал
предположение, что ширина запрещенной зоны уменьшается
так, как показано на фиг. 4.11, хотя и заметил, что
теоретических данных недостаточно и необходимы дополнительные
измерения проводимости по эффекту Холла. И, наконец, Кормер
[4.30] весьма убедительно показал, что пластическая
деформация во фронте ударной волны создает дефекты со связанными
электронами, действующие как доноры. Следовательно, щелоч-
но-галоидные кристаллы под действием ударного сжатия ведут
себя как полупроводники с донорными уровнями, плотность
которых— порядка 1019 см-3.
Принимая во внимание такого рода трудности, можно
сказать, что наиболее плодотворным направлением
фундаментальных исследований физических свойств ударно-сжатых веществ
явилось исследование жидкостей. В ряде более ранних работ
[4.6—4.8] Хаман с сотрудниками исследовал параметры
некоторых слабо ионизованных жидкостей, находящихся под
давлением. Было показано, что увеличение электропроводности воды
под действием ударного сжатия происходит за счет увеличения
степени ионизации воды, вызываемого возрастанием плотности
и температуры за фронтом [4.8]. В этой работе исследовались
в основном физико-химические свойства жидкостей и
растворов.

S. Ударные волны в конденсированных средах 135
Несколько лет назад в нашей лаборатории были начаты
исследования поведения инертных газов аргона и ксенона в
конденсированном состоянии при высоком давлении. Атомы обоих
газов обладают замкнутыми электронными оболочками и
поэтому очень удобны для теоретического анализа. Вследствие
высокой температуры атомы газа при ударном сжатии могут
сближаться на малое расстояние, что позволяет получить сведения
об отталкивающей части потенциала межмолекулярных сил.
Результаты экспериментального исследования аргона в сильной
ударной волне теоретически лучше всего описываются
потенциалом, пропорциональным шестой степени радиуса, и хорошо
го
о
го
ю го зо
V, см3/моль
Фиг. 4.13. Теоретическая энергетическая диаграмма ксенона при повышенном
давлении.
согласуются с отталкивающей частью потенциала, получаемой
из теории Томаса — Ферми — Дирака и из экспериментов по
рассеянию молекулярных пучков. Подобные же эксперименты
проводились на жидком ксеноне с целью проверки закона
соответственных состояний. Оказалось, что в обоих случаях кривые
Гюгонио, проведенные по критическим точкам, • до давлений
250 кбар хорошо согласуются с теоретическими результатами;
выше же этого давления у ксенона появляется аномально
высокая сжимаемость [4.31].
Для интерпретации такого явления Россом [4.32] были
выполнены расчеты энергетических зон. В этих расчетах,
основанных на модели Вигнера — Зейтца, использовался
кристаллический потенциал Томаса— Ферми —Дирака. Результаты расчета
приведены на фиг. 4.13. Видно, что вначале наинизшей зоной
проводимости является зона 6s, которая при удельном объеме
27 см3/моль замещается зоной 5d. При удельном объеме,
близком к 12 см3/моль, при котором ксенон должен становиться
J I L

136
Р. Килер, E. Ройс
металлом, зона bd перекрывается с валентной зоной. Росс [4.32]
показал, что совместное действие высоких температур
(~1,5 эВ), значительного увеличения вырождения зоны
проводимости и сокращения ширины запрещенной зоны, которая
уменьшается с уменьшением удельного объема, приводит к
такому состоянию, в котором внешний электрон одного из пяти
атомов ксенона находится в зоне проводимости. Рассчитанная в
этой работе кривая Гюгонио для ксенона в пределах ошибок
совпадает с экспериментальными
данными. Более полный анализ
этих результатов проводится в
работе [4.33]. Так как теория
Росса предсказывает уменьшение
ширины запрещенной зоны и
значительный рост электронной
заселенности зоны проводимости
при увеличении сжатия,
результаты измерения
электропроводности должны, по крайней мере
качественно, давать ответ о
правильности таких теоретических
расчетов. Подобное сравнение
расчетных и экспериментальных
данных проведено на фиг. 4.14.
Измерения электропроводности
ударно-сжатого ксенона
проводились в диапазоне давлений 80—
150 кбар с использованием
методик Митчела и Килера [4.22] и
Ван-Тила [4.34]. Определенная по
кривой зависимости logx от 1/Г ширина запрещенной зоны
(7,5±0,7) эВ прекрасно согласуется с теоретическими
расчетами Росса [4.32]. Но эти результаты являются лишь
предварительными, и еще многое предстоит сделать в этом
направлении. И хотя теория металлов, жидкостей и полупроводников
при высоких давлениях в принципе остается такой же, как
при нормальном давлении, все же при интерпретации данных
по ударному сжатию возникают дополнительные трудности,
связанные с температурой. Поэтому в расчетах ширины
запрещенной зоны необходимо учитывать температурные эффекты, а
расчеты электропроводности должны производиться с учетом
сильного электрон-фононного взаимодействия. И наконец,
необходимо разработать специальные экспериментальные методы,
чтобы преодолеть трудности, связанные с измерениями
электропроводности в твердых телах, особенно в случае перехода
диэлектрик — металл.
о,го
(1/т)ю3
Фиг. 4.14. Электропроводность
ударно-сжатого ксенона.

3. Ударные волны в конденсированных средах
137
§ 4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ УДАРНО-СЖАТЫХ МЕТАЛЛОВ
Электропроводность ударно-сжатых полупроводников
экспоненциально растет с температурой. Из измерений в ударных
волнах нетрудно получить важный физический
параметр—ширину запрещенной зоны. Ширину запрещенной зоны,
рассчитанную по данным измерения электропроводности в ударной волне,
можно сравнить с теоретическими выводами о ее зависимости
от удельного объема и температуры. В металлах же положение
сложнее. Даже при нормальных условиях теоретический расчет
электропроводности металлов весьма труден. В такого рода
расчетах предполагается, что все электроны находятся на
поверхности Ферми, а это допустимо лишь при низких температурах.
При температурах же, возникающих в ударных волнах,
необходимо также учитывать состояния, лежащие ниже поверхности
Ферми. Характерным примером является калий, для которого
энергия Ферми свободных электронов, при низких температурах
равная приблизительно 2,1 эВ, в условиях ударного сжатия
может достигать ~3 эВ. Таким образом, почти полное отсутствие
теоретического понимания механизма электропроводности
металлов существенно ограничивает использование методов
измерения электропроводности для изучения фазовых переходов и
моделирования процессов, представляющих геофизический
интерес, и сильно затрудняет сравнение экспериментальных данных
с теоретическими расчетами, т. е. проверку правильности
выбранной модели.
Первые измерения электропроводности металлов при
сверхвысоких давлениях (р > 350 кбар) были проведены в
Лаборатории им. Лоуренса с использованием методик!;
размагничивания, излагаемой в следующем разделе Ройса, и метода,
изложенного в первом параграфе данного раздела. Были исследованы
медь, железо, железо-кремниевые и железо-никелевые сплавы.
На фиг. 4.15, а приведены результаты измерений для меди,
а на фиг. 4.15,6 — для железа. На фиг. 4.15,6 для сравнения
приведены также данные работ [4.35, 4.36] по статической
электропроводности железа и данные, полученные Фуллером и
Прайсом [4.18] при небольших давлениях, а также результаты
более ранних экспериментов Ройса по размагничиванию [4.37].
На некоторых особенностях результатов для железа следует
остановиться. Наблюдающееся при давлении около 130 кбар
резкое уменьшение электропроводности железа связано с
переходом из а-фазы, в которой железо имеет
объемно-центрированную кубическую решетку и является ферромагнетиком, в е-фазу,
в которой имеет место плотноупакованная гексагональная
структура, а ферромагнетизм отсутствует. Эффект размагничивания

138
Р. Килер, E. Ройс
хорошо виден на осциллограмме (фиг. 4.8,6). Начальное
смещение луча вверх от нулевой линии соответствует сопротивлению
железа в невозмущенном состоянии. При ударном давлении
175 кбар в алунде возникает двухволновая структура. Сначала
распространяется упругая волна с амплитудой 83 кбар, за
которой идет основная волна сжатия с амплитудой 175 кбар. Под
воздействием упругой волны 83 кбар сопротивление становится
отрицательным, сохраняя знак до прихода ударной волны
Фиг. 4.15. а — электропроводность меди при высоком давлении.
Темные кружки —наши данные; пунктир —данные Бриджмена [4.36].
б — электропроводность железа при высоком давлении.
Светлые кружки —наши данные; квадратики —данные Ройса по размагничиванию [4.37];
темные кружки —данные Фуллера и Прайса [4.18J (с учетом поправок на сжатие);
пунктир—данные Балхана и Дрикамера [4.35]; треугольники —данные Бриджмена [4.36].
175 кбар, после действия которой сопротивление, оставаясь
отрицательным, резко увеличивается по амплитуде.
Такое отрицательное сопротивление можно объяснить
следующим образом. После прихода ударной волны 175 кбар
образец переходит в е-фазу, что приводит к уменьшению магнитной
восприимчивости почти в 1000 раз. Первоначальное магнитное
поле не может больше поддерживаться токами в образце;
диффузия магнитного поля из образца вызывает вихревые токи, и
в результате на осциллограмме появляется резкий
отрицательный импульс. Длительность спада импульса соответствует
постоянной времени, определяемой электропроводностью.
Идеализированную форму импульса в первом приближении можно зз-

3. Ударные волны в конденсированных средах
139
писать в виде х)
где I — толщина образца; о2 — конечная электропроводность
образца; R\ и R2 — начальное и конечное сопротивление
образца; fuii и \i2 — начальное и конечное значения магнитной
восприимчивости; / — время, отсчитываемое от момента прихода
фронта ударной волны; V2/Vi — отношение амплитуды сигнала
к начальному напряжению. Заметное время нарастания
импульса, соответствующего приходу фронта ударной волны 175 кбар,
свидетельствует о медленности фазового перехода в железе.
Совпадение результатов измерения электропроводности методом
импульсного тока с данными по размагничиванию, которые
будут рассмотрены в следующем разделе, служит хорошим
подтверждением достоверности данных для железа.
Непрерывное размагничивание, наблюдающееся после
прихода упругого предвестника 83 кбар, обусловлено, по-видимому,
частичным переходом железа в е-фазу. Такой вывод
подтверждается и другими экспериментальными данными. Более полный
анализ этого вопроса можно найти, например, в работе [4.20] и в
следующем разделе нашей статьи.
§ 5. ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Земля состоит из трех основных поясов: земной коры,
простирающейся вглубь до 20 км, твердой мантии, состоящей, по-
видимому, из минералов и подобных им твердых веществ, и
металлического ядра. Примерно до радиуса 1400 км
металлическое ядро находится в жидком состоянии. Радиус границы
раздела ядра и мантии равен приблизительно 3500 км. По
приближенным оценкам давление на этой границе достигает 1,4 Мбар,
на радиусе 1400 км—2,5 Мбар, а в центре Земли — 3,5 Мбар.
Максимальная температура в центре Земли равна 5000—7000 К.
Схематический разрез Земли приведен на фиг. 4.16.
Эти значения давлений и температур близки к тем, которые
получаются с помощью ударных волн при измерениях кривой
Гюгонио в конденсированных средах. На протяжении
последнего десятилетия исследования с ударными волнами были
фактически основным источником данных для построения уравнений
состояния вещества, используемых в геофизических теориях.
Для иллюстрации рассмотрим кривые, приведенные на фиг. 4.17.
Здесь кривая Гюгонио [4.38], измеренная Балчаном и Коуном
') Физическая модель и приближения, на основе которых выведено
данное соотношение, рассматриваются в диссертации [4.19].

140
Р. Килер, E. Ройс
для кремниево-железного сплава, содержащего 19,8 вес.%
кремния, сравнивается с предельными кривыми зависимости
плотности от давления, рассчитанными Берчем [4.39] на основании
сейсмических данных. Как можно заключить из такого сравнения,
гораздо более вероятно, что ядро состоит из 20% Si и 80% Fe,
нежели из чистого железа. Уравнение состояния
предполагаемого вещества ядра и его соответствие с сейсмическими
данными не являются достаточными
условиями для проверки правильности
выбранной модели. Необходимо еще
сопоставить результаты исследования
электрических и магнитных свойств
предполагаемого вещества ядра с
геомагнитными данными. Поэтому
интересно выяснить, каким образом можно
было бы использовать измерения
электропроводности для определения
состава земного ядра.
Качественным условием
существования в земном ядре динамо-эффекта
является требование, чтобы магнитное
число Рейнольдса
RM = Lv4n\w
было не менее 10 [4.40]. Из общих
оценок следует, что для поддержания
динамо-эффекта величина RM должна
быть между 10 и 100. В выражении для
магнитного числа Рейнольдса
величина L — характерный размер
области, охваченной движением, v —
характерная скорость движения жидкости, \х — магнитная
восприимчивость движущейся жидкости и а — ее удельная
электропроводность. Если взять общепринятые геофизические
значения L = 103 км, v = 100 км/год, положить R = 100, то для
электропроводности получается значение сг^З-103 Ом-1-см-1.
Хотя такого рода анализ размерностей заведомо является
весьма приближенным, он дает грубую оценку нижнего предела
электропроводности жидкого металла в ядре. На фиг. 4.18
приведены сравнительные значения расчетного нижнего предела и
экспериментально измеренных величин электропроводности для
железа и двух его сплавов. Нетрудно видеть, что значение
электропроводности для сплава 20% Si —80% Fe, который по
термодинамическим параметрам в ударной волне дает наилучшее
согласие с расчетными результатами Берча, приближается к
верхнему пределу, вытекающему из качественного условия
Фиг. 4.16. Структура Земли.
/ — радиус 6730 км; 2—граница
между ядром и мантией, радиус
3800 км, р = 1,4 Мбар, р,, = 5,7,
М
Рс = 10,0, 7,=:о^ОК; 3—граница
между наружным ядром и
внутренним ядром, радиус 1'0Э км,
р—2,5 Мбар, рс=12,5, Г = 1500 К.
Центр, р=3,5 Мбар, рс=13,0,
Г=5000 К,

10
i,5 г, о г,5
Давление, Мбар
3,0
Фиг. 4.17. Данные о состоянии вещества ядра [4.38].
/ — адиабата Гюгонио для чистого железа [4.13]; 2 —данные Берча [4.39], решение I;
3 —предельные значения для земного ядра [4.39]; 4—расчетные изэнтропы; 5 —адиабата
Гюгонио для сплава 80% Fe—20% Si, £/s=5,444 + 1.235С/ . Звездочки—данные Кормера и
др. [4.33]; кружки —данные Балхана [4.38].
W5
«"'
Ю1
0,2
Давление \
на границе \
!?Zf-— rt/ю-манти^ J
_L
= 3600'
-*«
= 2475-
R -mn =3000- ,
=3000*^1
_L
0,6 /,0
Давление, Шар
1.4
Фиг. 4.18. Электропроводность веществ, содержащихся в ядре при высоких
давлениях.

142
Р. Килер, E. Ройс
существования стабильного динамо-эффекта в ядре. В самом
деле, если этот сплав при ударном сжатии до давления 1,4Мбар
находится в твердом состоянии, то оценки проводимости в
жидком состоянии [4.41] в условиях ядра дают для магнитного
числа Рейнольдса значение около 100, которое близко к верхнему
допустимому значению. Таким образом, основываясь на анализе
магнитных свойств ядра, можно заключить, что сплав 20% Si —
80% Fe — менее вероятный материал ядра, чем чистое железо
или сплавы с меньшим содержанием кремния.
Рассмотренный случай показывает, как можно использовать
в геофизике результаты исследований электропроводности при
ударном сжатии. Необходимо систематически исследовать
вещества, представляющие интерес для геофизики и астрофизики.
Кроме того, измерение электропроводности может оказаться
мощным методом изучения процесса плавления по кривой Гюгонио.
Экспериментальное определение кривой плавления для железа
и его сплавов имело бы крайне важное значение для
определения профиля температуры внутри земного ядра.
ЛИТЕРАТУРА
4.1. Alder В. /., Christian R. Н., Phys. Rev., 104, 550 (1956).
4.2. Alder В. /., Christian R. H., Discuss. Faraday Soc, 22, 44 (1956).
4.3. David H. (?., Hamann S. D., Journ. Chem. Phys., 28, 1006 (1958).
4.4. Hamann S. D.t Australian Journ. Chem., 11, 391 (1958).
4.5. Hamann S. D., Intern. Congr. Pure Appl. Chem., vol. 2, 1959, p. 277.
4.6. David H. (?., Hamann S. £>., Trans. Faraday Soc, 55, 72 (1959).
4.7. David H. (?., Hamann S. £>., Trans. Faraday Soc, 56, 1043 (1960).
4.8. Hamann S. £>., Linton M., Trans. Faraday Soc, 62, 2234 (1966).
4.9. Joigneau S., Thouvenin /., Compt. Rend., 246, 3422 (1958).
4.10. Thouvenin /., Rauch A., Compt. Rend., 255, 868 (1962).
4.11. Бриш А. А., Тарасов M. С, Цукерман В. Л., ЖЭТФ, 37, 1544 (1959).
4.12. Бриш А. Л., Тарасов М. С, Цукерман В. Л., ЖЭТФ, 38, 22 (1960).
4.13. Альтшуллер Л. В., Кулешова Л. В., Павловский М. Я., ЖЭТФ, 39, 16
(1960).
4.14. Graham R. Л., Jones О. £., Holland /. R.t Journ. Phys. Chem. Solids, 27,
1519 (1966).
4.15. Doran D. (?., Ahrens T. /., Stanford Research Inst., Final Report, PGU-4100
(August 1963).
4.16. Ahrens T. /., Journ. Appl. Phys., 37, 2532 (1966).
4.17. Hayes В., в книге Proc of the IV Symposium on Detonation, ed.
S. J. Jacobs, vol. 2, Silver Spring, Md., 1965.
4.18. Fuller P. /. Л., Price J. //., Nature, 193, 262 (1962).
4.19. Matissov G. V., Thesis, Department of Applied Science, University of
California, Davis (Livermore) (1971).
4.20. Keeler R. N.t Mitchell A. C, Solid State Comm., 2, 271 (1969).
4.21. Alder B. /., в книге Solids Under Pressure, eds. W. Paul, D. M. War-
schauer, New York, 1963, p. 411.
4.22. Mitchell A. C, Keeler R. N., Rev. Sci. Instr., 39, 513 (1968) [имеется
перевод: ПНИ, 8, 72 (1968)].
4.23 Walsh J. M., Rice M. //., Journ. Chem. Phys., 26, 815 (1957).
4.24. Hawke R. 5., Mitchell Л. C, Keeler R. N.t Rev. Sci. Instr.. 40. 632 (1969)
[имеется перевод: ПНИ, 9, 13 (1969)].

3. Ударные волны в конденсированных средах
143
4.25. Юшко К. £., Кришкевич Г. В., Кормер С. £., Письма ЖЭТФ, 7, 7 (1968).
4.26. Кормер С. Б,у УФН, 94, 641 (1967).
4.27. Kraut Е. Л., Kennedy G. С, Phys. Rev. Lett., 16, 608 (1966).
4.28. Ross M„ Alder В.7., Phys. Rev. Lett., 16, 1077 (1966).
4.29. Alder B. /., в книге Solids Under Pressure, eds. W. Paul, D. Warschauer,
New York, 1963, p. 385.
4.30. Кормер С. £., Синицын M. В., Кириллов Г. Л., Попова Л. Г., ЖЭТФ,
49, 135 (1965).
4.31. Keeler R. N., van Thiel М., Alder В. /., Physica, 31, 1437 (1965).
4.32. Ross M.t Phys. Rev., 171, 777 (1968).
4.33. Duff R. £., в книге Properties of Matter under Unusual Conditions, eds.
H. Mark, S. Fernbach, New York, 1967, p. 73.
4.34. van Thiel M., Alder B. /., Journ. Chem. Phys., 44, 1056 (1966).
4.35. Balchan A. S., Drickamer H. G., Rev. Sci. Instr., 32, 308 (1961) [имеется
перевод: ПНИ, 1, 80 (1961)].
4.36. Bridgman P. W.y Proc. Amer. Acad. Arts Sci., 81, 165 (1952).
4.37. Royce E. B.y в книге Proceedings of IUTAM Symposium on Behaviour
of Dense Media Under High Dynamic Pressures, New York, 1968, p. 419.
4.38. Balchan A. S., Cowan G. /?., Journ. Geophys. Res., 71, 3577 (1966).
4.39. Birch F.t в книге Solids Under Pressure, eds. W. Paul, D. Warschauer,
New York, 1963, p. 137.
4.40. Stacey F. £>., Earth and Planets Scientific Letters, 3, 204 (1967).
4.41. Gubanov A. /., Quantum Electron Theory of Amorphous Conductors, New
York, 1965.
V. СВОЙСТВА МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ УДАРНОМ СЖАТИИ
Е. Ройс
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В намагниченном ферромагнитном веществе прохождение
сильной ударной волны сопровождается изменеьием магнитной
восприимчивости и намагниченности. Установлено, что такой
эффект может быть обусловлен тремя механизмами:
1. В железе и железо-кремниевых сплавах при давлении
около 130 кбар наблюдается фазовый переход I рода, при
котором ферромагнитное а-железо с объемно-центрированной
кубической решеткой превращается в немагнитное гранецентриро-
ванное е-железо [5.1—5.5] и происходит полное размагничивание
вещества [5.6—5.8]1).
2. Несмотря на то что железо-никелевые сплавы с
содержанием никеля более 30% остаются при сжатии в
ферромагнитном состоянии с гранецентрированной кубической решеткой, при
этом может понижаться температура Кюри, характеризующая
фазовый переход II рода из упорядоченного состояния в
неупорядоченное [5.9, 5.10]. Одновременное действие ударного нагрева
и понижения температуры Кюри вместе с возможным измене-
) В работе [5.6] фиг. 4, 6 и 7 следует считать неверными.

144
Р. Килер, E. Ройс
нием момента в полностью поляризованном состоянии (Г=0 К)
[5.11, 5.12] может вызвать заметное изменение намагниченности
[5.7, 5.13—5.15].
3. В связи с наличием отличного от нуля предела текучести
обычных твердых тел ударное сжатие не является полностью
изотропным в микроскопическом масштабе, а в
макроскопическом масштабе имеет место аксиальная симметрия [5.16]. За
избранное направление при сжатии ударной волной может быть
принято направление ее распространения, т. е. продольное
направление, которое и может быть направлением легкого
намагничивания за счет обратной магнитострикции [5.21]. Поскольку
обычно имеется некоторая начальная намагниченность в
поперечном направлении, магнитная анизотропия, вызываемая
ударной волной, приводит к повороту направления вектора
намагниченности и размагничиванию в поперечном направлении. Такое
размагничивание наблюдалось в керамиках, в никелевом
феррите [5.8, 5.24], в железо-иттриевом гранате (YIG) [5.8, 5.25] и
в марганцево-цинковом феррите [5.26].
Фазовый переход I рода хорошо известен из экспериментов
по исследованию уравнения состояния [5.1]. При исследовании
уравнения состояния [5.27, 5.28] экспериментально также
наблюдался магнитный фазовый переход II рода.
§ 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Все эксперименты по размагничиванию проводят с
образцами, намагниченными до насыщения (или почти до
насыщения) в магнитном поле, перпендикулярном направлению
распространения ударной волны. При распространении ударной волны
по образцу измеряется компонента вектора намагниченности,
направленная вдоль приложенного поля.
Схема экспериментальной установки для подобных
измерений представлена на фиг. 5.1 [5.8, 5.24, 5.25]. В образце
исследуемого вещества с помощью мощного взрывчатого вещества
формируется плоская ударная волна. Благодаря малой толщине
образца сводится к минимуму влияние краевых эффектов,
обусловленных возникновением волн разрежения на краю образца
и распространяющихся за время прохождения ударной волны
внутрь образца на расстояние, сравнимое с его толщиной.
Представленная на фиг. 5.1 геометрия обеспечивает после
прохождения через образец фронта ударной волны равномерное по
объему сжатие образца. При этом влияние краевых волн
разрежения не учитывается, но оно не очень значительно.
Для создания начальной намагниченности в образце
предусмотрен постоянный магнит (3 на фиг. 5.1). Магнитное поле
между образцом и магнитом замыкается при помощи магнито-

3. Ударные волны в конденсированных средах 145
провода, выполненного в виде полос или стержней 2 из феррита.
Уменьшение магнитного потока, вызываемое ударной волной,
регистрируется измерительной катушкой, намотанной на один из
стержней ферритового магнитопровода. При распространении по
/
?*, J,
г
г
с
^1
- й
-
Г
5
\ 6 \
1 7
в
Фиг. 5.1. Экспериментальное устройство для измерений по размагничиванию
ударной волной (не в масштабе).
/ — образец (в случае диэлектриков —сплошной, в случае металлов —в виде сэндвича из
металла и двух внешних слоев алунда); 2 — ферритовые стержни или пластины, замыкаю*
щие магнитную цепь; 3 — постоянный магнит; 4—одновитковые измерительные катушки,
сделанные на печатных платах (магнитная цепь обычно заливается эпоксидной смолой);
5—металлическая плита, которая служит основанием; 6 — согласователь динамических
импедансов или устройство с ускоряемой пластиной; 7 —заряд мощного взрывчатого
вещества; 8— плоско-волновая линза; 9— детонатор.
образцу ударной волны происходит размагничивание
исследуемых материалов — диэлектриков с магнитными свойствами.
Магнитная цепь 32123 размыкается, и магнитный поток,
проходивший через образец еще до его сжатия, перераспределяется в
зазоре между стержнями магнитопровода. Когда этот поток
пересекает одновитковые пробные катушки, в них возникают
сигналы, и интегрирование этих сигналов дает изменение потока.
Одновременное использование нескольких пробных катушек и
соответствующей методики обработки данных позволяет
определять истинное изменение поперечной составляющей вектора
намагниченности в образце с точностью ±5% [5.24].
Процесс размагничивания диэлектрических материалов
почти полностью заканчивается к моменту входа фронта удар-
нор волны в магнитопровод. Поэтому повреждение и даже

146
Р. Килер, E. Ройс
разрушение магнитной цепи не создает дополнительных
трудностей. Характерное же время размагничивания для металлов,
определяемое диффузией вихревых токов в образце, оказывается
больше времени распространения фронта ударной волны по
образцу. Для предотвращения повреждения магнитной цепи во
время прохождения ударной волны сквозь исследуемое вещество
металлические образцы зажимаются между алундовыми
пластинами большей толщины, чем образец [5.29, 5.30]. Чтобы свести
к минимуму эффекты, связанные с образованием волн
разрежения на краях образца, алундовые пластины делают больше
образца (железной пластины).
шш/ш^
т^Ш^Ж^
/
L. ... -&■.-.
kVjUUU
Фиг. 5.2. Устройство для экспериментов по ударному размагничиванию (не
в масштабе) [5.15].
/ — снаряд; 2 — кольцевая резиновая прокладка; 3 — рабочая поверхность снаряда;
4—держатель образца; 5 —магнитный сердечник; 5—намагничивающие и измерительные
обмотки; 7—коаксиальный датчик сигнала для запуска осциллографа* 8—ствол пушки
длиной 24,4 м; 9—вакуум.
Ударное давление в тонких металлических образцах можно
считать равным давлению в алунде, так как конечное состояние
образца достигается в результате затухания последовательных
отраженных волн и волн разрежения. Поскольку динамический
импеданс алунда близок к импедансу железа и его сплавов,
амплитуды отражений оказываются малыми по сравнению с
начальной амплитудой ударной волны. Поэтому конечное
состояние образца соответствует амплитуде начальной ударной волны
в окружающем образец алунде.
На фиг. 5.2 (взятой из работы [5.15]) приведено типичное
устройство, используемое для подобных измерений в ряде
лабораторий. Образец магнитного материала изготавливается в виде
намотанного из ленты замкнутого сердечника, на который
наматываются измерительные катушки и обмотка для создания
начального магнитного поля. Вместо показанной на фиг. 5.2
пушки для создания ударной волны можно использовать
мощные взрывчатые вещества.

3. Ударные волны в конденсированных средах
147
§ 3. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ I РОДА
На фиг. 5.3 представлены данные о размагничивании железа,
полученные в нашей лаборатории при разных ударных
давлениях. Большинство экспериментальных точек представляет
собой результат усреднения данных для образцов различной
толщины из разных опытов. Как нетрудно видеть, результаты не
зависят от толщины образца. Начальное магнитное поле в
образцах составляло 200—300 Э. Последняя точка справа (с
интервалом ошибки) дает экспериментальное значение намагниченности
образца в таких полях.
На фиг. 5.4 приведены экспериментальные данные,
полученные Грехэмом [5.7], по размагничиванию силектрона, который
представляет собой ориентированную кремниево-железную
эвтектику (3% Si — 97% Fe по весу) с объемно-центрированной
решеткой. Данные были получены с помощью образцов,
выполненных в виде ленточных сердечников.
В пределах экспериментальных ошибок из обеих серий
измерений следует, что при высоких давлениях в результате действия
ударной волны происходит полное размагничивание образца.
При уменьшении конечного давления до значений,
соответствующих «130-килобарному» фазовому переходу (130 кбар в железе
и 145 кбар в силектроне [5.31]), величина наблюдаемого
размагничивания становится меньше. Такой вывод согласуется с
результатами исследования уравнения состояния по измерениям
давления и удельного объема, из которых следует, что в диапазоне
давлений, достигаемых в таких экспериментах по ударному
сжатию, фазовый переход не может быть полным [5.1]. Ниже
130 кбар в силектроне наблюдается лишь слабое
размагничивание; в экспериментах же с железом в пределах точности
измерений размагничивание вообще отсутствует. Как показывают
расчеты, основанные на статических измерениях (небольших)
смещений точки Кюри и намагниченности при нулевой
температуре, обусловленных сжатием, с учетом возрастания
температуры при ударном сжатии, такое размагничивание не должно
превышать 3% Для железа и 6% для силектрона [5.11, 5.12], что
согласуется с экспериментальными данными.
Можно показать, что если процесс размагничивания
определяется диффузией вихревых токов, то задний фронт импульса
размагничивания после прохождения фронта ударной волны
через железный образец имеет экспоненциальную форму.
Постоянная времени затухания сигнала равна
T=^(ir)2' (5Л)
где х и \х — удельная электропроводность и магнитная
проницаемость в сжатом состоянии, a d — толщина образца. Это

0,4 0,8
Давление, Мбар
О О,/
Г
• i_i-
0,2 0,25
Сжатие (V0-V)(V0
0,3
0,3 0,4 0,6 0,8 КО Г,5 2,0
Температура, Ю3К
3,0
Фиг. 5.3. Размагничивание железа, вызываемое ударной волной,
- (4я ДМ) ро/р = - (4яЛ*0) (Да/ао).
Справа показаны измеренное впадение начальной намагниченности железных образцов
(4ЯМ) в постоянном внешнем поле (200—300 Э) и принятое значение намагниченности
насыщения (4яМ5) при 20 °С.
/,го
• МО
I
/
/
н-н
т , _ -I——
W
I
/
г
О 100 200 300 400
Давление, ибар
Фиг. 5.4. Относительное размагничивание, вызываемое ударной волной [5.7]
/—в инваре (36% N1—64% Fe); 2 —в силектроне (3% Ni-979* Fe)„

3. Ударные волны в конденсированных средах
149
обстоятельство позволяет определять электропроводность
поданным измерения размагничивания. Был проведен ряд опытов, в
которых при давлениях 168, 420 и 920 кбар варьировалась
толщина образца. Обнаружение предсказываемой теорией
квадратичной зависимости т от толщины подтвердило предположение
о том, что наблюдающееся экспериментально затухание
действительно соответствует затуханию вихревых токов. Результаты
измерения электропроводности при разных давлениях с
помощью магнитной методики представлены на фиг. 4.15,6
предыдущего раздела. Все данные приведены к значениям,
соответствующим 300 К, в предположении, что сопротивление,
соответствующее условиям на кривой Гюгонио, пропорционально
температуре. Там же представлены данные прямых измерений
электропроводности, значительно более точные, нежели данные
магнитных измерений; данные, полученные обоими методами,
хорошо согласуются между собой. Представленные там же
данные динамических [5.32] и статических измерений также хорошо
согласуются с данными магнитных измерений.
Интересно отметить, что, как уже говорилось в § 4 [5.34—
5.38], если в экспериментах по размагничиванию побочным
результатом являются данные об электропроводности, то и
эксперименты по измерению электропроводности дают информацию о
размагничивании. К тому же результаты, полученные двумя
разными методами, хорошо согласуются между собой всюду, кроме
диапазона давлений ниже 130 кбар. Здесь измерения
электропроводности указывают на наличие небольшого размагничивания,
что, однако, не подтверждается прямыми измерениями. Это
расхождение можно объяснить тем, что прямое измерение
размагничивания производилось в течение первых 50 не лосле
прохождения фронта ударной волны, а в измерениях электропроводности
размагничивание регистрируется на более поздних стадиях.
Обобщая результаты, можно сделать вывод, что все
имеющиеся данные исследования уравнения состояния,
электропроводности и магнитных свойств подтверждают адекватность
уравнения состояния железа, подвергаемого действию больших
ударных давлений в динамических экспериментах, уравнению
состояния, определяемому из статических измерений.
§ 4. ПЕРЕХОДЫ II РОДА
На фиг. 5.4 представлены также результаты измерений,
выполненных Грехэмом [5.7] по размагничиванию ленточных
сердечников из инвара (36% Ni —64% Fe). Прямолинейная
часть кривой дает значение dXnMJdp = —1,3-10-2 кбар-1,
хорошо согласующееся со статически измеренной величиной
—1,1 -10—2 кбар-1 [5.11]. Грубо говоря, размагничивание, по-види-

150
Я. Килер, Е. Ройс
мому, наполовину обусловлено понижением температуры Кюри
при повышенном давлении, а наполовину — уменьшением
намагниченности при нулевой температуре.
Уейн [5.15] провел детальные исследования размагничивания
образца из 31,4% Ni — Fe с использованием как статических,
так и ударных методов. В результате гидростатических
измерений он установил, что при низких давлениях величина d In os/dp
равна —3,5-10~2 кбар-1, а при высоких —3,7- Ю-2 кбар-1.
Эксперименты с ударными волнами дают для этой величины значения
от —2,8-10"2 до —3,3-10"2 кбар-1 в зависимости от того, каким
образом учитываются поправки, связанные с разгрузкой из-за
волн разрежения на краях ленточных сердечников.
Хорошее согласие результатов гидростатических измерений
величины d\nOs/dp с данными экспериментов по ударным
волнам подтверждает предположение о том, что размагничивание
гранецентрированных сплавов Ni—Fe в последнем случае
обусловлено изменением температуры Кюри и намагниченности
при нулевой температуре под действием ударного давления.
§ 5. МАГНИТНАЯ АНИЗОТРОПИЯ
На фиг. 5.5 приведены результаты по ударному
размагничиванию никелевого феррита [5.24], иллюстрирующие эффект
вынужденной магнитной анизотропии. Сплошные линии дают
размагничивание, рассчитанное на основе ударного сжатия и
нагрева, и теоретическую начальную намагниченность [5.39]. В
одном случае расчеты по ударному размагничиванию проводились
в предположении о независимости температуры Нееля от
сжатия, а в остальных — в предположении, что температура Нееля
при ударном сжатии увеличивается по закону, определяемому
из статических измерений [5.40].
Наблюдающееся практически полное размагничивание
обусловлено появлением вынужденной магнитной анизотропии,
благодаря которой направление распространения ударной волны
становится направлением легкого намагничивания. Именно эти
результаты, полученные с никелевым ферритом, впервые
позволили четко выявить эффект вынужденной магнитной
анизотропии.
Причиной возникновения магнитной анизотропии [5.41—5.44]
в ферритах является взаимодействие несферического
распределения заряда в ионах переходных металлов с несферическим
окружением этих ионов в кристаллической решетке, а также
хорошо известное спин-орбитальное взаимодействие, связывающее
спиновый угловой момент с орбитальным угловым моментом и
с ориентацией распределения заряда. Для веществ с кубической

3. Ударные волны в конденсированных средах 151
3,0
2.0
о о,ь 0,8 /,г
Давление, Мбар
—i 1 1 1 1 i_
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
Сжатие -(V'V0)/V0
Л 1 1 1 i I i i
0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Температура, Ю3К
Фиг. 5.5. Размагничивание никелевого феррита, вызываемое ударной волной,
- (4я ДМ) ро/р = - (4яМ0) (Ло7а0).
Справа показаны намагниченность насыщения (4яМ5) и расчетная начальная намагни
ченность во внешнем поле 300 Э. Кривые даюг теоретическое размагничивание,
рассчитанное только с учетом ударного сжатия и нагрева. Верхняя кривая получена в
предположении, что температура Нееля постоянна и равна 590 °С, а нижняя учитывает
повышение температуры Нееля с коэффициентом 1,16°С/кбар.
решеткой энергия такой анизотропии обычно записывается в
виде
где величины а — направляющие косинусы вектора
намагниченности относительно координатных осей, параллельных осям
кубической решетки. Первый член в формуле (5.2) иногдз

152
Р. Килер, E. Ройс
записывается в другой, эквивалентной форме
+ *i («ад+«*$ + «#-:г)-
Как будет показано позднее, энергия вынужденной аксиальной
магнитной анизотропии в ударной волне намного превышает
энергию анизотропии в кристалле, которая дается выражением
(5.2). Поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать влиянием
анизотропии кубической решетки, которая в данном случае
сказывается лишь на форме исходной кривой намагничивания и
может быть учтена независимо от рассматриваемого процесса
возникновения вынужденной магнитной анизотропии. Поскольку
мы рассматриваем поликристаллическую структуру вещества,
величину (5.2) необходимо усреднить по всем направлениям в
решетке.
Магнитоупругую энергию обычно записывают в виде
^магн. упр = Ь1 [alexx + <*leyy + *>гг ~ J (*хх + вуу + егг)] +
+ Ь2 {о.хауеху + о.уа2еуг + ахагехг). '5.3)
К ней необходимо добавить упругую энергию
^упр - т Сп (4, + *„ + el) + j С44 (ely + е\г + e\z) +
УУе22 \ eXX6ZZ + exxeyy). (5.4)
Из условия минимума суммы энергий (5.3) и (5.4) получаем
обычные стрикционные коэффиценты, которые описывают стрик-
ционные напряжения вдоль осей (100) и (111), возникающие
тогда, когда вдоль этих осей имеет место насыщение
намагниченности:
^1оо=-у Сп-С12 • (5,5)
^щ — — (5.6)
Для синтерированной керамики, такой как ферриты,
используемые в рассматриваемых экспериментах, эти выражения
необходимо усреднить по всем возможным направлениям ориентации
при условии, что деформации одинаковы для всех кристаллитов.
3 результате имеем
*=i(-c::>?;;N+f(tN" м

3. Ударные волны в конденсированных средах
153
где
г» г 2 (Сц — С\2) — 4С44 /с о\
сп— сн 5 • '5,°'
C44 = -g- С44 + -5-(Сп — С12), (5.9)
СП-С12 = 2С44. (5.10)
Сравним выражение (5.7) с более простым выражением для
порошка
Л = -рг-Л100+ 5-Лш. (5.11)
Выражение (5.11) отличается тем, что оно получено при
условии независимости напряжений, имеющихся в каждом
кристаллите, от напряжений в соседних кристаллитах.
Если предположить, что во всех кристаллитах, образующих
рассматриваемую керамику, деформации одинаковы и что
свойства керамики изотропны, то можно написать
Wаниз = К\ sin2 0 + Kb sin4 0, (5.12)
где 0 — угол между выделенным направлением и вектором
намагниченности, а
K'i = -(^b{+±b2)e. (5.13)
При этом деформация складывается из изотропной (AV/V0) и
аксиальной (е) компонент.
В простой упруго-пластической теории [5.16-—5.20]
аксиальная компонента записывается в виде е = —аупр/Сц, где аупр —
продольное напряжение вблизи предела упругости Гюгонио. Для
разных образцов никелевого феррита пределы упругости Гюго-
нко лежат в диапазоне от 40 до 80 кбар; здесь принято среднее
для никелевого феррита и YIG (железо-иттриевого граната)
значение порядка 50 кбар. Из опубликованных данных по магнито-
упругим коэффициентам [5.21—5.23, 5.45] следует, что для
никелевого феррита /Cf= 1,07-106 эрг/см3, а для YIG величина К\ =
= 0,102-106 эрг/см3. Учет квадратичных относительно
деформации членов [5.45] уменьшает для YIG величину К\ до
0,094-106 эрг/см3. Измерения коэффициентов более высокого
порядка, чем первый, для никелевого феррита пока не
проводились. Энергию, обусловленную анизотропией, необходимо
сравнить с энергией начального магнитного поля
^начальн=-М-Н. (5.14)
При обычных значениях начального поля его энергия равна
примерно 0,05-106 эрг/см3. Ориентация вектора
намагниченности определяется соотношением величин №аниз и №Начальш и

154
Р. Килер, Ё. Ройс
в никелевом феррите, очевидно, доминирует анизотропный член.
Этим и объясняется наблюдающийся эффект поперечного
размагничивания.
Поскольку в YIQ энергия начального внешнего поля
оказывается сравнимой с анизотропными энергиями, это вещество
позволяет подробнее исследовать эффект вынужденной анизотропии
путем серии опытов при разных начальных намагниченностях.
Из простой магнитоупругой
to
0,8
—'/'П
'^' /
L' ZOO пбар /
Ms(0)H/K)
теории следует /Сг = 0. В этом
случае из теории следует, что
поперечная намагниченность
должна быть
пропорциональной напряженности внешнего
поля (кривая 2 на фиг. 5.6).
На фиг. 5.7 представлена
экспериментальная зависимость
поперечной намагниченности от
начальной напряженности поля
Н [5.25]. Намагниченность
вычислялась по измеренному
изменению намагниченности под
воздействием ударной волны и
принятому начальному
значению намагниченности [5.46,
5.47]. Хотя зависимость
намагниченности от начального поля
линейна, экспериментальные
кривые не проходят через
начало координат, особенно при
высоких давлениях! В
предыдущих публикациях [5.8, 5.25]
такое расхождение с теорией объяснялось увеличением
коэффициента /<2 при больших давлениях, хотя все известные магнито-
упругие члены более высокого порядка дают вклад только в /({.
Сюда входят члены, квадратичные относительно направляющих
косинусов намагниченности и относительно деформации [5.45],
и члены, квадратичные относительно косинусов и линейные
относительно деформации [5.48].
Правильное объяснение эффекта размагничивания кристалла
YIG следует из последних экспериментов Уейна, Самары и Ле-
февера [5.49]. В этих экспериментах наблюдалось частичное
размагничивание намагниченных образцов YIG и никелевого
феррита при гидростатическом сжатии. Опыты проводились на тех
же веществах, что и эксперименты с ударными волнами. Авторы
объясняют результаты своих измерений небольшой пористостью
исследуемых материалов (2% для YIG и 5% для никелевого
Фиг. 5.6. Зависимость поперечной
намагниченности от напряженности
постоянного внешнего поля.
/ — кривая, рассчитанная на основе модели
беспорядочной вынужденной анизотропии;
2—на основе модели аксиальной
вынужденной анизотропии. Сплошными
линиями показаны экспериментальные данные
(см. текст и фиг. 5.7).

3. Ударные волны в конденсированных средах
155
феррита) и тем, что даже в условиях гидростатического сжатия
вблизи пор в отдельных кристаллитах должны возникать
негидростатические напряжения. Таким образом, они наблюдали
«беспорядочную анизотропию», при которой в разных частях
образца возникает по-разному и случайно ориентированная
аксиальная анизотропия.
ОЛ 0.6 0,8
н, кЭ
Фиг. 5.7. Зависимость поперечной намагниченности ударно-сжатого YIG (4яМ t)
от напряженности постоянного внешнего поля.
Кружки —при 0,09 Мбар; квадратики —при 0,20 Мбар; треугольники — при 0,44 Мбар.
Очевидно, что такая картина должна наблюдаться и в
экспериментах с ударными волнами, и на фиг. 5.6 были
представлены результаты расчетов, основанных именно на модели
беспорядочной анизотропии. Интересно, что даже при небольших
начальных полях имеет место только 50%-ное размагничивание.
Сплошными линиями на фиг. 5.6 отмечены экспериментальные
данные. Величины Ki {Р) были выбраны так, чтобы
экспериментальные кривые проходили между теоретическими и
параллельно им, а величина /Сг была принята равной нулю.
Экспериментальные данные показывают, что мы здесь имеем дело частично
с аксиальной, а частично — с беспорядочной анизотропией,

156
Р. Килер, Е. Ройс
причем последняя возрастает с давлением. Но чисто аксиальная
анизотропия остается доминирующей.
Заметим, что обусловленное высоким давлением увеличение
температуры Нееля [5.50] почти полностью сводит на нет эффект
увеличения температуры из-за ударного сжатия. Поэтому при
построении графиков намагниченность насыщения
предполагалась постоянной. В действительности же в опытах с амплитудой
давления 440 кбар намагниченность насыщения, вероятно,
уменьшается на 5—10%, так что на фиг. 5.6 прямая,
соответствующая давлению 440 кбар, может проходить выше прямой,
соответствующей давлению 200 кбар.
При обработке экспериментальных данных фиг. 5.6
величина К\ для давлений 90, 200 и 440 кбар была взята равной
0,09-10е, 0,14• 106 и 0,21-106 эрг/см3. Значение величины /Cf,
взятое для 90 кбар, хорошо согласуется с приведенной ранее
оценкой 0,094 • 106 эрг/см3. При более же высоких давлениях
наблюдается увеличение либо магнитоупругих коэффициентов, либо
предела текучести. Из экспериментов [5.29] с керамикой на
основе окиси алюминия следует, что предел текучести
практически не зависит от давления. Кроме того, приведенные выше
значения К\ показывают, что магнитоупругие коэффициенты
возрастают примерно в 2 раза, когда давление соответствует
объемному сжатию на 17%. В столь сильной зависимости магни-
тоупругой энергии от давления нет ничего удивительного,
особенно если вспомнить [5.43], что вклады в эту энергию от обеих
магнитных подрешеток ферромагнетика YIG сравнимы по
величине и противоположны по знаку. Следовательно, даже
небольшое изменение энергии одной из подрешеток может сильно
повлиять на суммарную магнитоупругую энергию. Так как тетра-
эдрическая и октаэдрическая связи между ионами железа и
кислорода различны по своему типу и по радиусу действия, то
логично полагать, что этим связям должны соответствовать
разные сжимаемости решетки. Следовательно, координационные
сферы магнитных ионов, разные в разных подрешетках,
сжимаются по-разному.
Итак, исследования магнитных свойств веществ,
по-видимому, показывают, что магнитная анизотропия, вызываемая
ударным воздействием, полностью соответствует физическим
свойствам тел, сжимаемых статическим образом.
ЛИТЕРАТУРА
5.1. Bancroft D., Peterson Е. L.t Minshall S., Journ. Appl. Phys., 27, 557
(1956).
5.2. Jamieson J. C, Lawson N. W.t Journ. Appl. Phys., 33, 776 (1962)
5.3. Takahashi T.t Bassett W. A.t Science, 145, 483 (1964).

3. Ударные волны в конденсированных средах 157
5.4. Clendenen R. L.t Drickamer Н. G., Journ. Phys. Chem. Solids, 25, 865
(1964).
5.5. Pipkorn D. N.. Edge C. K.t Debranner P., de Pasquali G., Drickamer H. G.,
Fraunfelder #., Phys. Rev., 135, A 1604 (1964).
5.6. Kulterman R. W.. Nelson F. W., Benedick W. В., Journ. Appl. Phys., 29,
500 (1958).
5.7. Graham R. Л., Journ. Appl. Phys., 39, 437 (1968).
5.8. Royce E. B.% в книге Behaviour of Dense Media under High Dynamic
Pressures, New York, 1968, p. 419.
5.9. Leger J. M., Susse C, Vodar fi., Solid State Comm., 5, 755 (1967).
5.10. Patrick L., Phys. Rev., 93, 384 (1954).
5.11. Kouvel J. S., Wilson R. #., Journ. Appl. Phys., 32, 435 (1961).
5.12. Kouvel J. 5., в книге Solids under Pressure, eds. W. Paul, D. M. Warsh-
chauer, New York, 1963, Ch. 10.
5.13. Besancon /. E., Champetier J. L., Leclanche Y.t Vedel /., Plantevin /. P.,
в книге Mega gauss Magnetic Field Generation by Explosives and Related
Experiment, eds. H. Knoepfel, F. Herlach, Brussels, 1966, p. 331.
5.14. Clator I. G., Rose M. F., Brit. Journ. Appl. Phys., 18, 853 (1967).
5.15. Wayne R. C, Journ. Appl. Phys., 40, 15 (1969).
5.16. Wood D. 5., Journ. Appl. Median., 19, 521 (1952).
5.17. Morland L. W., Phil. Trans. Roy. Soc, A251, 341 (1959).
5.18. Fowles G. #., Journ. Appl. Phys., 32, 1475 (1961).
5.19. Taylor J. W.t Rice M. #., Journ. Appl. Phys., 34, 364 (1963).
5.20. Lundergan C. D.% Herrmann №., Journ. Appl. Phys., 34, 2046 (1963).
5.21. Smith А. В., Jones R. V., Journ. Appl. Phys., 34, 1283 (1963); 37, 1001 (1966).
5.22. Clark A. £., DeSavage В., Coleman W.y Callen E. R.t Callen H. В., Journ.
Appl. Phys., 1296 (1963); Phys. Rev., 130, 1735 (1963).
5.23. Andres K.t Luthi В., Phys. Chem. Solids, 24, 584 (1963).
5.24. Royce E. В., Journ. Appl. Phys., 37, 4066 (1966).
5.25. Shaner J. W., Royce E. В., Journ. Appl. Phys., 39, 492 (1968).
5.26. Seay G. £., Graham R. A., Wayne R. C, Wright L. D., Bull. Amer. Phys.
Soc, 12, 1129 (1967).
5.27. Curran D. /?., Journ. Appl. Phys., 32, 1811 (1961).
5.28. Graham R. Л., Anderson D. #., Holland J. /?., Journ. Appl. Phys., 38, 223
(1967).
5.29. Ahrens T. /., Gust W. //., Royce E. fi., Journ. Appl. Phys,, 39, 4610
(1968).
5.30. Handbook of Physical Constants, ed. S. P. Clark, New York, 1966, p. 154.
5.31. Zukas E. G., Fowler C. M., Minshall F. 5., O'Rourke /., Trans. AIME,
222,746 (1963).
5.32. Fuller P. /. Д., Price J. //., Nature, 193, 262 (1962).
5.33. Balchan A. /., Drickamer H. G., Rev. Sci. Instr., 32, 308 (1961) [имеется
перевод: ПНИ, 1,80 (1961)].
5.34 Duff R. E., Gust W. //., Royce E. В., Ross M., Mitchell A: C, Keeler R. N.,
Hoover W. G., в книге Behaviour of Dense Media under High Dynamic
Pressures, New York, 1968, p. 397.
5.35 Mitchell A. C, Keeler R. N., Bull. Amer. Phys. Soc, 12, 1128 (1967).
5.36. Keeler R. N.t Mitchell A. C, Solid State Comm., 7, 271 (1969).
5.37. Wong J. У., Linde R. /(., De Carli P. 5., Nature, 219, 713 (1968).
5.38. Wong J. Y.t Journ. Appl. Phys., 40. 1789 (1969).
5.39. Pauthenet /?., Ann. de Phys. (Ser. 12), 7, 710 (1952).
5.40. Foiles C. L.y Tomizuka C. 7\, Journ. Appl. Phys., 36, 3839 (1965).
5.41. Kittel C, Introduction to the Solid State Physics, New York, 1956, Ch. 4,
15 (имеется перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела,
М.-Л., 1958).
5.42. Kanamori У., в книге Magnetism I, Eds. G. Т. Rado, Н. Suhl, New York,
1963, Ch. 4.

158
Р. Килср, E. Ройс
5.43. Callen £., Callen H. £., Phys. Rev., 139, A455 (1965); 130, 1735 (1963);
129, 578 (1963).
5.44. Bartel L. C, Journ. Appl. Phys., 40, 661 (1969).
5.45. Eastman D. £., Phys. Rev., 148, 530 (1966).
5.46. Pauthenet /?., Ann. de Phys. (Ser. 13), 3, 424 (1956).
5.47. Anderson E. £., Phys. Rev., 134, A1581 (1964).
5.48. Becker #., Doring W.t Ferromagnetismus, Berlin, 1939, Кар. Ill, § 11.
5.49. Wayne R. C, Samara G. Д., Lafever R. A.t Journ. Appl. Phys., 41, 633
(1970).
5.50. Block D., Chaisse F„ Pauthenet R., Journ. Appl. Phys., 37, 1401 (1966).
VI. НОВЫЕ МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
В ФИЗИКЕ УДАРНЫХ ВОЛН
Р. Килер
В предыдущих разделах речь шла о сравнительно простых
экспериментальных методах измерения физических параметров
различных материалов. Настоящий же раздел посвящен
«второму поколению» экспериментов с ударными волнами, в
которых физические характеристики вещества при высоких
давлениях определяются несколько более сложными методами.
Поскольку проведение таких экспериментов связано со
значительными трудностями, очевидно, что пока станут возможными
эксперименты следующего, третьего «поколения», такие, как
циклотронный резонанс или эффект Холла в СВЧ-диапазоне,
пройдет еще некоторое время.
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЯ УДАРНО-СЖИМАЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
МЕТОДАМИ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
1. Введение. Как говорилось в конце одного из предыдущих
разделов, нам еще не совсем ясна природа разрушающих сил,
действующих во фронте ударной волны, и влияние ударной
волны на кристаллическую структуру. Но именно данные о
микроскопическом состоянии вещества на фронте и за фронтом
ударной волны необходимы для того, чтобы при исследовании
ударно-сжимаемых твердых тел можно было пользоваться более
сложными экспериментальными и теоретическими методами.
Положение еще более усложняется, когда параметры вещества
за фронтом соответствуют полиморфному фазовому переходу.
И хотя наличие вызываемого ударной волной фазового перехода
можно установить по целому ряду наблюдающихся
экспериментально эффектов: по скачкам на кривой Гюгонио [6.1], по
изломам кривой Us —Up [6.2], по многоволновой структуре [6.3], по
скачкам электропроводности [6.4] или оптических характеристик
[6.5], — пока еще нет прямого и надежного способа идентифика-

3. Ударные волны в конденсированных средах 1§9
ции новых фаз (соответствующих высоким давлениям), которые
возникают за очень короткое время прохождения ударной
волны. Правда, в некоторых случаях удавалось сохранить и
идентифицировать кристаллографически метастабильную фазу
кристаллического вещества, возникшую при прохождении ударной
волны [6.6]. Но, к сожалению, такая «закаленная» фаза вовсе
не обязательно совпадает с фазой, стабильной при высоком
давлении [6.7]. Поэтому в отсутствие более подходящей методики
обычно стараются увязать результаты динамических
исследований с результатами рентгеновских исследований (при
статических высоких давлениях), позволивших идентифицировать
кристаллографическую форму фазы высокого давления.
2. Статические исследования. Требования к системам,
предназначенным для исследования дифракции рентгеновских лучей,
аналогичны общим требованиям к измерительным системам,
используемым в других экспериментах с ударными волнами.
Измерения должны проводиться за доли микросекунды,
зондирующее излучение должно пронизывать охваченную ударной волной
среду, в которой не должно быть гидродинамических
возмущений (или по крайней мере причина и характер возмущений
должны быть известны), а основная часть регистрирующей
аппаратуры должна быть удалена или защищена от разрушающего
действия взрывчатого вещества или ускорительных пушек,
применяемых для создания ударной волны.
Уже много лет в качестве метода диагностики в
экспериментах с ударными волнами используется импульсная
рентгеновская радиография и денситометрия. При таком методе
охваченную ударной волной среду просвечивают мощным импульсом
рентгеновского излучения. Просвечивающие рентгеновские лучи
регистрируются фотопленкой, на которой получается денсито-
метрическое изображение просвечиваемого объекта.
Рентгеновские методы широко используются для исследования процессов
разрушения и физических параметров металлов, подвергаемых
ударным нагрузкам [6.8], гиперзвуковых частиц в полете [6.9],
уравнения состояния плотных сред, находящихся в условиях
импульсного сжатия [6.10] и кинетики фазовых переходов [6.11,
6.12].
В Радиационной лаборатории им. Лоуренса для проведения
такого рода экспериментов в качестве мощного импульсного
источника рентгеновских лучей обычно используется линия
Блюмлейна, на выходе которой установлена острофокусная
рентгеновская трубка [6.13, 6.14]. Такой источник (фиг. 6.1)
состоит из трех основных частей: системы анод —катод,
помещенной в вакуум, трехпроводной коаксиальной линии и
коммутирующего устройства. Игольчатый анод конической формы,

160
Р. Килер, E. Ройс
G
ём
i/
соединенный с центральным проводником линии, выступает
сквозь круглое с заостренными краями отверстие в катодной
пластинке, соединенной с внешним проводником. Средний
проводник изолирован от двух других диэлектриком и заряжается
с помощью источника питания до
отрицательного потенциала 40—
50 кВ. Генераторы
рассчитываются так, чтобы у них было малое
волновое сопротивление порядка
1 Ом, но экспериментально этот
параметр не измерялся.
Поскольку волновое сопротивление
линии мало, импеданс
коммутирующего устройства должен быть
значительно меньше 1 Ом. В
качестве такого коммутатора
используется детонатор, который в
момент взрыва разрушает диэлектрик между внешним и
средним проводниками.
Линия Блюмлейна работает следующим образом. Сначала
линия заряжается до рабочего потенциала (фиг. 6.2, а), затем
Фиг. 6.1. Схема линии Блюмлейна.
/ — ключ; 2—катод; 3 — анод; 4 —
диэлектрик; 5—источник высокого
напряжения (50 кВ).
50 i
-SO
50
^
Ключ
Расстояние вдоль линии
а
50
9
-50
П
.j I
i*ru
Ключ
-50
100 Н
* 50 4—
Выход
Фиг. 6.2. Диаграмма работы линии Блюмлейна.
а —линия заряжена; / — анод (заземленная алюминиевая трубка); 2—катод (внешний слой
алюминия, заземлен); 3 — внутренний слой алюминия, соединенный с источником питачия;
б— ключ замкнут, волна снятия напряжения 4 начинает распространяться по внутреннему
слою алюминия; в —момент, предшествующий отражению; г —спустя несколько наносекунд
после отражения.
на детонатор, осуществляющий коммутацию линии, подается
электрический импульс от конденсаторного разрядного
устройства (фиг. 6.2,6). Линия Блюмлейна представляет собой схему
удвоения напряжения, а поэтому амплитуда импульса
напряжения на выходе намного больше напряжения источника питания
(фиг. 6.2, виг). Эмиттированные с острого края катода (за

3. Ударные волны в конденшрдёанных средах
161
счет холодной эмиссии) электроны ускоряются высоковольтным
импульсным напряжением и, ударяясь об острие анода, теряют
свою энергию в виде тепла и тормозного рентгеновского
излучения. Амплитуда импульса
тока, по-видимому,
превышает 10 кА. Спустя
примерно 30 не в результате
испарения анода в зазоре между
катодом и анодом
образуется плазменное облако,
которое закорачивает
промежуток и ограничивает
длительность импульса
рентгеновских лучей. Первоначально
такие устройства
предназначались для
радиографических исследований, но, как
было показано в работе
[6.15], интенсивность
рентгеновского излучения таких
генераторов достаточна и для
проведения импульсных
дифракционных измерений.
Схема
экспериментальной установки для
исследования дифракции на
монокристалле представлена на
фиг. 6.3. Здесь одиночный
Пленка
13 см
Рентгеновский пучок
13 см
Монокристалл
Фиг. 6.3. Схема получения Фиг. 6.4. Брэгговское отражение, заре-
брэгговского отражения. гистрированное на пленке.
импульс рентгеновских лучей, генерируемых линией Блюм-
лейна с медным анодом, направляется на монокристалл
LiF. Монокристалл устанавливается под углом,
соответствующим отражению излучения с длиной волны 1,54 А от плоскости
(220). Рефлекс регистрируется на пленке (фиг. 6.4). Правда,

162
Р. Килер, E. Ройс
в экспериментах с ударными волнами образец вряд ли остается
монокристаллом после прохождения фронта ударной волны,
особенно если возможны фазовые переходы. Поэтому пришлось
усовершенствовать методику таким образом, чтобы можно было
использовать образцы из порошка.
Именно, был поставлен эксперимент Дебая — Шерера с
образцом в виде плоской таблетки, спрессованной из
порошкообразного LiF. Схема эксперимента приведена на фиг. 6.5.
В этом случае также удалось
получить дифракционную
картину (фиг. 6.6). На снимке
ясно видны отражения линии
Ка от плоскостей (111) и (200).
Оба эксперимента
продемонстрировали возможность
создания источника рентгеновских
Зсм
Фиг. 6.5. Схема эксперимента с по
рошковым образцом.
(п%Рссованн1!и ЛУЧеЙ> ПОЗВОЛЯЮЩеГО ПрОВО-
порошок) дить за очень короткие
времена дифракционные
исследования как монокристаллических,
так и порошковых образцов.
Отметим, что исследование
ударно-сжатых материалов —
это лишь одно из возможных применений такого генератора.
Очевидно, что он позволяет проводить практически любые
дифракционные эксперименты, выполняемые с обычными
рентгеновскими трубками в статическом режиме, за очень короткие
времена (~30 не).
3. Динамические исследования. Разрушающее действие
систем, обычно используемых для создания ударных волн, и
жесткие требования к синхронизации создают ряд
специфических трудностей при постановке такого рода экспериментов.
Одна из главных трудностей связана с необходимостью
предохранять линию Блюмлейна и соответствующую измерительную
аппаратуру от повреждений, которые могут быть вызваны
действием взрывчатого вещества или другого генератора ударных
волн. Ясно, что применение мощных взрывчатых веществ
неминуемо привело бы к разрушению пленки или детектора и к
серьезным повреждениям линии Блюмлейна. Поэтому первые
эксперименты проводились с пластинами, ускоренными
магнитным полем.
Схема экспериментального устройства с
магнитно-ускоряемой пластиной представлена на фиг. 6.7. На ускоритель
подается мощный импульс тока, направление которого в токопро-
воде ускорителя противоположно направлению в пластине.

Фиг. 6.6. Порошковая рентгенограмма.

164
Р. Килер, E. Ройс
Возникающее при этом .магнитное давление ускоряет пластину^
которая отскакивает от ускорителя, размыкая электрическую
цепь. Такой метод позволяет достичь скоростей до 1 мм/мкс, но
во избежание чрезмерных деформаций и нагрева в данной
работе использовалась скорость, равная 0,25 мм/мкс. Амплитуда
давления, получаемого таким способом, очевидно, сравнительно
невелика. Преимущество такого метода заключается в том, что
все происходит в вакууме и никакие разрушения, кроме
производимых пластиной вдоль траектории ее полета, при этом не
Рентгеновская,
гпрубха
Фиг. 6.7. Схема динамической рентгеновской регистрации.
/ — коллиматор: 2—детектор; 3—дифрагированный пучок; 4—вакуумная камера; 5
—ускоритель пластины; £ — область удара; 7—образец; 8 — алюминиевая пластина.
возникают. Блок-схема эксперимента, в котором для
регистрации используются детекторы, представлена на фиг. 6.8.
В таких экспериментах применялись два разных способа
регистрации: при помощи рентгеновских пленок и при помощи
сцинтилляционных детекторов. Схема эксперимента в обоих
случаях идентична приведенной на фиг. 6.7. В восьми опытах,
проведенных на образцах из прессованного LiF с фоторегистрацией,
была предпринята попытка обнаружить смещение рефлекса
(422). Сначала на одной половине пленки, другая половина
которой защищена от экспонирования, была зарегистрирована
дифракционная картина от образца при нормальном давлении.
Затем пленка снова экспонировалась, когда образец находился
в условиях ударного сжатия. При этом исходили из того, что
смещение дифракционных отражений под действием давления
должно быть особенно заметным на границе раздела двух
дифракционных изображений, полученных в результате первого и
второго экспонирования. Из-за плохой синхронизации и
неполадок в аппаратуре семь опытов из восьми оказались неудачными.
В опыте же, в котором временной уход момента экспонирования
был в пределах допустимого, на границе двух изображений

3. Ударные волны в конденсированных средах
165
было обнаружено небольшое смещение рефлекса (422). Но
затем такие опыты были прекращены из-за недостаточной
интенсивности рентгеновского источника Блюмлейна и были начаты
исследования с регистрацией излучения при помощи сцинтилля-
ционных детекторов. При этом снова возникли трудности с
синхронизацией, но в одном опыте с
хорошей синхронизацией было
обнаружено ожидаемое увеличение
интенсивности на детекторе, который
регистрировал рентгеновские лучи,
отраженные от плоскостей (422)
сжатого образца, по сравнению с
интенсивностью на детекторе,
регистрировавшем излучение, отраженное от
тех же плоскостей исходного
образца. Подробнее подобные
эксперименты рассматриваются, например,
в работе [6.16].
4. Перспективы на будущее.
Основная трудность при проведении
подобных экспериментов состоит в
том, что не удается точно
синхронизовать момент срабатывания
генератора Блюмлейна с временем
прихода ударной волны на отражаю-
Фиг. 6.8. Блок-схема
эксперимента с динамической
рентгеновской регистрацией.
/—устройство для ускорения
пластины; 2—образец; 3 —детектор;
4—рентгеновская трубка; 5—ключ;
щую поверхность. Некоторое пред- 6-синхронизующий датчик; 7—ра-
ставление о необходимой точности стровый °^нллогРа*: «-прибор,
измеряющий напряжение на
рентгеновской Т1>убке; 9—датчик
пускового сигнята; 10 — цепочка,
формирующая импульс; // — конденсатор-
ног устройство; 12—осциллограф.
можно получить, если рассмотреть
соотношение между интенсивностью
излучения, дифрагированного в слое
образца толщиной б, и
интенсивностью излучения, дифрагированного во всей толще
разца,
об-
/(6)
/(со)
= 1 —ехр
[-Ц
1
1
cos y cos y cos 29 — sin y sin 29 cos
?)]• <6Л)
где \x — линейный коэффициент поглощения (остальные
обозначения показаны на фиг. 6.9). При ф = 90° и б = 0,29 мм
примерно 95% дифрагированного излучения приходит из верхнего
слоя (толщиной 0,3 мм) образца. Если в эксперименте с
ударными волнами линия Блюмлейна сработает мгновенно, когда
фронт ударной волны находится на расстоянии лишь 0,9 мм от
свободной поверхности, то сжатому твердому веществу за
фронтом ударной волны будет соответствовать всего лишь 5%
дифракционной картины. Если же принять, что разрушение

166
Р. Килер, E. Ройс
поверхности в момент выхода ударной волны исключает
возможность дальнейшей регистрации сигнала, то при скорости
ударной волны 3 мм/мкс временной интервал для
экспериментальных измерений составит
всего лишь 100 не.
В наших опытах, в которых
запуск линии Блюмлейна
производился при помощи детонаторов,
разброс моментов запуска
составлял 100 не. Дополнительное
осложнение возникало в связи
с большим временем включения
детонационного коммутатора
(~3 мкс). Это приводило к
необходимости привязывать весь
процесс к моменту времени,
когда налетающая пластина
достигает заданной точки
пространства, но еще не ударилась об
образец. При этом крайне трудно
избежать временного разброса.
Из-за временных ошибок,
связанных с такой синхронизацией,
многие опыты оказались неудачными. Проблемы, связанные
с неопределенностью момента срабатывания линии Блюмлейна,
а также времени включения линии Блюмлейна, недавно были
решены в Радиационной лаборатории им. Лоуренса благодаря
применению метода, описанного Гюнтером [6.17].
§ 2. СТИМУЛИРОВАННОЕ БРИЛЛЮЭНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
КАК МЕТОД ДИАГНОСТИКИ В ФИЗИКЕ УДАРНЫХ ВОЛН
Бриллюэновское рассеяние — это рассеяние световых волн
на звуковых колебаниях. В среде при нормальных условиях
всегда существуют термически возбуждаемые колебания, длина
волны которых изменяется от величины, немного превышающей
среднюю длину свободного пробега молекулы в среде, до
величины, сравнимой с размерами сосуда. При наличии условий,
обеспечивающих выполнение законов сохранения импульса и
энергии, на таких колебаниях может происходить рассеяние
света. Поскольку колебания распространяются со скоростью
звука в среде, должно наблюдаться доплеровское смещение
частоты света в сторону больших или меньших частот в
зависимости от направления движения звуковых волн.
Стимулированное бриллюэновское рассеяние наблюдается
тогда, когда интенсивность света настолько высока, что биения,
Фиг. 6.9. Дифракция
рентгеновских лучей на поверхности
образца.
/ — дифракционный конус;
2—рентгеновский пучок; 3 — нормаль к поверхности;
4—область ударного сжатия;
5—направление ударной волны; б"—область,
не охваченная ударной волной.

3. Ударные волны в конденсированных средах 167
образующиеся при сложении падающей и рассеянной световых
волн, усиливают акустические колебания, на которых они
рассеиваются, за счет электрострикции. Если коэффициент
усиления такого процесса превышает потери на поглощение света и
диссипацию звуковых волн, то возникают условия для выхода
света и на звуковых волнах, во много раз усиленных в процессе
рассеяния, рассеивается очень большая доля падающего света.
Например, когда гигантский импульс рубинового лазера с
плотностью потока, превышающей пороговую, направляется внутрь
жидкости, в обратном направлении вдоль падающего луча
может рассеиваться до 30% падающего света. Рассеянный свет
оказывается монохроматическим и когерентным, а его частота
смещается из-за эффекта Доплера на величину,
пропорциональную скорости звука в среде [6.18]:
Av = v0-y^sin-2-, (6.2)
где Av— разность частот падающего и рассеянного света, vo —
частота падающего света, п — показатель преломления среды,
vs — скорость звука в среде, 8 — угол рассеяния. Величина Av
равна частоте звуковых колебаний, т. е. фононов. Эта формула
справедлива как для обычного, так и для стимулированного
рассеяния. При стимулированном рассеянии коэффициент усиления
максимален в обратном направлении и угол рассеяния равен
180°, так что формула (6.2) принимает простой вид
Av = v0^-. (6.3)
Порог стимулированного бриллюэновского рассеяния дается
соотношением [6.19]
£5 2е£
■йг+тГ
8я ^ p(de/dp)2ksk
где е — диэлектрическая проницаемость, р — плотность, В ==
= —v(dp/dv)T — модуль всестороннего сжатия, ks и k —
волновые числа акустической и световой рассеянной волны, Ls и L —
обратные величины коэффициентов поглощения для звуковой и
световой волны.
Вычисленная по этой формуле пороговая плотность потока
оказывается порядка 104 МВт/см2, что легко достижимо при
современном уровне лазерной техники.
Эффект стимулированного бриллюэновского рассеяния
позволяет точно (~0,5%) измерять скорость звука в прозрачных
веществах с временным разрешением менее 0,1 мкс. При этом
измерения можно проводить дистанционно и без разрушения
аппаратуры. Такая методика идеально подходит для
экспериментов с ударными волнами. Это особенно важно потому, что

168
Р. Килер, Ё. Ройс
до сих пор точные измерения скорости звука в ударно-сжатом
веществе не проводились, хотя попытки измерить ее были
сделаны в работах [6.20, 6.21].
Первый эксперимент со стимулированным бриллюэновским
рассеянием в ударно-сжатой среде был опубликован в работе
[6.22]. Он был выполнен с весьма примитивным лазерным
устройством. Просвечивающий лазер запускался вспомогательным
лазером, который обеспечивал временную синхронизацию за
счет просветления насыщающегося фильтра в резонаторе
первого лазера. Хотя такая система была не очень стабильной, она
впервые продемонстрировала реальность данного метода и,
кроме того, позволила полуколичественно измерить скорость
звука в ударно-сжатом жидком ацетоне.
Основным недостатком экспериментальной установки была
ее нестабильность. Было показано, что применение в лазерном
резонаторе таких оптически активных элементов, как ячейка
Керра с просветляющимся фильтром, дает худшие результаты,
нежели применение элементов типа ячеек Покельса и селекторов
мод. Установлено также, что обратно-рассеянный свет с
частотой, смещенной из-за эффекта Доплера на величину (6.3),
попадает снова в усилитель и начинается процесс многократного
стимулированного рассеяния (генерация
многократно-отраженных доплеровски-смещенных импульсов). В рассматриваемом
эксперименте излучение фокусировалось позади фронта ударной
волны в области резкого градиента давлений, создаваемого
небольшой взрывной системой, предназначенной для получения
ударных давлений. Это приводило к спектральному уширению
рассеянного излучения, которое, возвращаясь в генератор и
усилительную систему, усиливалось многими модами резонатора,
что сильно снижало точность при обработке интерферограмм
Фабри — Перо.
С учетом этих трудностей была сконструирована улучшенная
лазерная система для измерений на однокаскадной газовой
пушке. Как указывалось в предыдущих разделах, такая пушка
обеспечивает плоский профиль давления за ударным фронтом,
исключая появление нежелательных градиентов давления,
имевшихся в рассмотренном выше эксперименте. Схема
экспериментальной установки представлена на фиг. 6.10. Здесь для
повышения стабильности генератор охлаждается водой, температура
поддерживается постоянной с точностью ±0,01 °С. Размеры
рубинового кристалла в генераторе таковы: 6,35X0,635 см.
Срезанный под углом Брюстера рубиновый кристалл уплотнен в
сапфировых окнах. Для обеспечения более однородной
оптической накачки используются спиральные ксеноновые импульсные
лампы. Добротность резонатора в генераторе включается
ячейкой Покельса, а селекция мод осуществляется внутри резона-

3. Ударные волны в конденсированных средах
169
тора при помощи двух селекторов мод в виде наклонных
плоскопараллельных пластин. Фарадеевский затвор оптически
изолирует генератор от обратно-рассеянного лазерного света.
Идущее в обратном направлении бриллюэновское рассеянное
излучение отводится с оптической оси призмой поляризатора и
направляется в систему интерферометров Фабри — Перо, в
которых производится спектральное сравнение его с излучением,
генерируемым лазером.
Не-Ые
лазер
SP131
2-й усилитель
на рубине
—. ..:_ 1-й усилитель , «»гу^.
Однонодовыи Ц—--KS. на рубине r-4-i ^^
I генератор [L J ^^_Д1 UU 4f
0
Делитель
Невыпущенная
жидкость
Сжатая
жидкость
Фиг. 6.10. Схема эксперимента по стимулированному бриллюэновскому
рассеянию в ударно-сжатых жидкостях.
Начальным моментом опыта является запуск пушки,
рабочим веществом которой служит легкий газ. Ускоряясь, пластина
проходит мимо отверстия для света, прерывает световой луч и
тем самым инициирует разряд через импульсные лампы,
предназначенные для накачки генератора. Специальный датчик,
предусмотренный на образце, запускает ячейку Покельса. Затем
срабатывает лазер, и световой пучок после усиления
фокусируется за фронтом ударной волны, где и происходит
бриллюэновское рассеяние. Рассеянное бриллюэновское излучение
возвращается в первый усилитель, усиливается и отводится в
интерферометры Фабри — Перо, где оно записывается на
фотопленке и сравнивается с лазерным светом.
В случае стимулированного бриллюэновского рассеяния в
ударно-сжатой среде простая формула (6.3) неприменима.
Соответствующее соотношение в этом случае имеет вид
2v(
Av' = -г1 [Ws + (п2 — п{) Us — n2Up],
(6.5)

170
Р. Килер, E. Ройс
где Av'— динамическое смещение частоты (в сторону меньших
частот), Mi — показатель преломления невозмущенной, а п2 —
ударно-сжатой среды. Здесь слагаемое n2vs связано со
статическим бриллюэновским рассеянием, слагаемое n2Up — с тем, что
область рассеяния за фронтом ударной волны движется в
лабораторной системе координат со скоростью £/р, а слагаемое
(п2—п{)ия — с движением поверхности раздела между
областями с разными показателями преломления.
Поскольку бриллюэновские сдвиги составляют 2—50 кГц, а
ширина линии излучения одномодового лазера — порядка
20 МГц, предполагаемая точность таких измерений равна
примерно 0,5%.
Измерение скорости звука вдоль кривой Гюгонио позволит
значительно точнее определить параметры уравнения состояния,
чем это было возможно ранее.
ЛИТЕРАТУРА
6.1. Bancroft D., Peterson Е. L., Minshall 5., Journ. Appl. Phys., 27, 291
(1956).
6.2. McQueen R. G., в книге Metallurgy at High Pressures and High
Temperatures, eds. K. A. Gschneidner, Jr., M. T. Hepworth, N. A. D. Parlee,
New York, 1964, p. 74.
6.3. Larson D. В , Journ. Appl. Phys., 38, 1541 (1967).
6.4. Fuller P. J. /L, Price J. #., Nature, 193, 262 (1962).
6.5. Кормер С. Б., Синицын М. В., Кириллов Г. А., Урлин В. Д., ЖЭТФ,
48, 1033 (1965).
6.6. De Carli P. S., Jamieson J. C, Science, 133, 1821 (1961).
6.7. Bundy F. />., Kasper J. S., Science, 139, 340 (1963).
6.8. Balchan A. S.t Journ. Appl. Phys., 34, 241 (1963).
6.9. Jones A. #., Isbell W. M., Maiden C. /., Journ. Appl. Phys., 37, 3493
(1966).
6.10. Dapoigny /., Kiefer D., Vodar В., Compt. Rend., 238, 215 (1954).
6.11. Breed B. #., Venable D., Journ. Appl. Phys., 39, 3222 (1968).
6.12. Schall /?., в книге Proceedings of the Third Congress on High Speed
Photography, London, 1957, p. 228.
6.13. Blumlein A. £>., British patent No. 589127, June 12, 1947.
6.14. Fitch R. Л., Howell V. T. S., Proc. Inst. Electr. Eng., Ill, No. 4, 849
(1964).
6.15. Johnson Q., Keeler R. N., Lyle J. W., Nature, 213, 1114 (1967).
6.16. Johnson Q., Mitchell A. C., Keeler R. N., Evans L., Trans. Amer. Crystal-
log. Assoc, 5, 133 (1969).
6.17. Guenther A. H., Bettis J. R., Journ. Quant. Electr., QE-3, No. 11, 581 (1967).
6.18. Brillouin L., Ann. de Phys., 17, 88 (1922).
6.19. Chiao R. Y., Townes C. #., Phys. Rev. Lett., 12, 592 (1964).
6.20. Альтшуллер Л. В., Кормер С. Б., Бражник М. И., Владимиров Л. Л.,
Сперанская М. Я., Фунтиков Л. Я., ЖЭТФ, 38, 1061 (I960).
6.21. Ahrens Т. /., Ruderman М. Я., Journ. Appl. Phys., 37, 4758 (1966).
6.22. Keeler R. N., Bloom G. #., Mitchell A. C, Phys. Rev. Lett., 17, 852
(1966).

4
УСКОРЕНИЕ МАКРОЧАСТИЦ
ДО ГИПЕРСКОРОСТЕИ
Дж. Линхарт*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Будем называть гиперскоростью скорость макрочастицы,
превышающую 1 см/мкс. В этой величине нет глубокого
физического смысла, просто ряд эффектов связан со скоростью,
близкой к этому значению: вторая космическая скорость, скорость
падения метеоритов, предельная скорость частиц, ускоренных за
счет химических реакций; давления, возникающие при
столкновении твердых частиц, движущихся со скоростью 1 см/мкс,
соответствуют максимальному давлению в центре Земли. При
скоростях столкновения порядка 10 см/мкс мы переходим в сферу
физики плазмы, а скорость 100 см/мкс — это скорость выхода
за пределы Солнечной системы, и при столкновении частиц с
такими скоростями могут развиваться термоядерные
температуры. Мы рассмотрим различные методы ускорения
макрочастиц до гиперскоростей и выясним предельные возможности
таких методов.
§ 2. МЕТОДЫ УСКОРЕНИЯ
Макрочастицы могут быть двух видов. Первый соответствует
обычному представлению о частице твердого вещества,
разгоняемой какими-либо силами. Но можно также представить себе,
что сначала у нас имеется распределенная масса, например
плазма или большое число несвязанных частиц, а во время
ускорения или после него эта масса конденсируется в единую
макрочастицу большой плотности.
Оба типа макрочастиц (масса М) могут ускоряться под
действием соответствующей силы (F). Такой разгон может быть
либо прямым и описываться уравнением
* /. G. Linhart, Laboratori Gas Ionizzati (Associazione EURATOM-
CNEN) — Frascati (Roma).

172
Дж Линхарт
либо непрямым, когда действующие силы обусловлены взрывом
на поверхности макрочастицы со стороны, противоположной
направлению ее ускорения, и возникающая реактивная тяга
описывается уравнением
£(*-£)-£-№+■<)• <2>
где Vj — скорость взорвавшейся части вещества частицы.
Во многих случаях мы имеем дело с обоими вариантами
разгона. Для некоторых типов сил (электрический разгон,
магнитный разгон сверхпроводников или ферромагнитных материалов)
имеет место только вариант прямого разгона. В табл. 1
приведены различные типы макрочастиц и возможные способы их
ускорения с точки зрения описанных выше критериев.
Рассмотрим кратко все эти способы и выясним, каковы
соответствующие предельные возможности.
Таблица 1

Макрочастицы
Одна плотная
макрочастица
(непроводник,
проводник,

сверхпроводник)
Пыль
Плазма
Газ
Ионный пучок
Электронный пучок
Пучок фотонов
Магнитные поля
Электрические поля
Электростатическое
ускорение и последующая
конденсация
Магнитное ускорение и
аккумуляция за счет
эффекта «снежного плуга»
Разгон фотонным пучком
Ускорение
давлением или
реактивное за счет
падающего
пучка или поля
1. Плотная макрочастица, ускоряемая давлением газа. Эта
схема весьма близка к обычной пушке (фиг. Г). В плоской
геометрии максимальная скорость определяется из закона
сохранения энергии
i
^.Mv2m = f Fdx, M = M + aM{, a<l,
о
и в случае постоянного давления pt имеем

4. Ускорение микрочастиц до гиперскоростей i?3
где М = Лбр, a pi — плотность разгоняющего газа. Отсюда
Vm V Р, У р6 + аР1/ '
Поскольку величина Y^PilPi примерно равна скорости звука vs
в разгоняющем газе, а величина pi//p6 есть отношение полной
массы газа Mi к массе макрочастицы М, можно написать
'*,)/"■
Afi
М + аМх
(3)
Макрочастица (М)
J
Очевидно, что при v > vs разгоняющий газ почти не ускоряет
частицу и поэтому даже при МА 3> М скорость не увеличивается;
последнее условие лишь приближает к выполнению
предположения о постоянстве pi. Оптимальное отношение масс MJM
зависит от вида разгоняющего газа и от цели эксперимента. Если
мы хотим получить максимально возможную скорость, то
MJM > 1, если, наоборот, требуется максимальная
эффективность ускорения, то MJM < 1.
Максимальная скорость соответствует скорости звука,
которая дается выражением vs=YakT/m, где т — масса
молекулы газа (атома, иона), а а зависит от числа степеней свободы
молекулы. Следовательно,
единственная возможность увеличить
vm— это повышать температуру
разгоняющего газа. Возьмем для
примера неионизованный, но
диссоциированный водород (а = 3/з)
и vs = 1 см/мке. Для этого
требуется температура Т = 1,4-104 К.
Очевидно, что никакая
химическая реакция не может прямо
дать такую температуру и,
следовательно, пушка Жюля Верна
никогда не смогла бы послать снаряд на .Луну. Один из
способов получения более высоких температур разгоняющего
газа — непрерывное преобразование электромагнитной энергии
в тепло, как во взрывающихся проволочках [1, 2]. При
взрыве проволочки из лития, вероятно, можно получить
температуру ~ 106 К [3]. При таких условиях скорость звука может
достигать нескольких сантиметров в микросекунду. В этом
случае рабочий газ представляет собой высокотемпературную
плазму и возникает ряд трудновыполнимых требований: 1)
термическая изоляция плазмы от стенок, 2) малое времй разгона, за
которое макрочастицы не испарились бы полностью, и т. д.
Дальнейшие ограничения обусловлены скоростью преобразования
Фиг. 1.

174
Дж. Линхарт
Разгоняющая
плазма
электромагнитной энергии в тепловую энергию рабочего газа.
С этой точки зрения лучше всего, если резервуар магнитной
энергии Ву помещен непосредственно в ней за плазмой —
рабочим газом (фиг. 2). Плазма нагревается индуцированными
токами, и ее рабочее давление будет порядка В2/8я. Поскольку
в этом случае большая часть
плазмы — рабочего газа образуется за
счет массы самой макрочастицы,
случай близок к варианту разгона
магнитными силами, который будет
рассмотрен позже. Чтобы получить
скорости макрочастиц порядка 100 см/мкс,
необходимы температуры рабочего
газа порядка 108 К, которые обычно
связаны с ядерными взрывами. При
таких температурах в условиях
термодинамического равновесия давление
излучения рг значительно превышает
кинетическое давление рс газа, и этот вопрос будет
рассматриваться в разделе, посвященном радиационному ускорению
макрочастиц (так, в случае водорода с плотностью,
соответствующей твердому состоянию, и при температуре 108 К
отношение pr/pc ~ 140).
До сих пор мы имели дело с прямым методом ускорения.
Непрямой (или реактивный) метод позволяет разгонять
макрочастицу до скорости vm > vs ценой, как и можно было ожидать,
некоторого снижения эффективности. Пользуясь уравнением (2)
и предполагая постоянной скорость истечения, а также я,- » vSt
можно написать
М
dx2
им
dt2
dt
откуда после интегрирования получаем
1 м{
(4)
Здесь Mi — начальная, а М2 — конечная масса макрочастицы.
Определим эффективность г\ реактивного метода ускорения.
Имеем:
где Wr — энергия, рассеиваемая ракетой,
^r = \{^~M2)v\

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей 175
Тогда
M2/Mi{\nMl/M2)2
1 - м2/м{
(5)
Численные значения эффективности в зависимости от
отношения М2/М\ приводятся в табл. 2.
Таблица 2
м2/м,
л
•/.
0,48
'/4
0,64
V»
0,59
'Лео
0,21
Ю-*
5,3 А 10"*
Нетрудно видеть, что эффективность не очень быстро падает
с ростом М{/М2. Так, например, при Mi/M2 = 100 она все еще
равна 21%, a vm = 4,6 vs. На этом основано успешное
применение реактивных методов ускорения в астронавтике.
Когда мы говорили о непрямом методе ускорения, то
предполагали, что энергия для реактивного ускорения берется от
рабочего газа, т. е. таким газом может служить одно из известных
ракетных топлив. Тогда мы можем считать, что имеем дело с
химической энергией и, следовательно, опять vs < 1 см/мке.
Если же реактивное движение макрочастицы обусловлено
рассеянием электромагнитной или другой энергии, то можно
надеяться получить Т> 104К на поверхности частицы и,
следовательно, vs > 1 см/мке. Но этот случай относится к следующему
разделу.
Остается еще один путь увеличения скорости звука в
рабочем веществе — использовать процессы кумуляции. Хорошо
известно, что в сходящихся цилиндрической и сферической
ударных волнах давление и температура в области схлопывания
намного выше, чем соответствующие начальные величины [4, 5].
Если использовать центральный объем среды, в которой
развивается такая ударная волна, для разгона макрочастицы (или
создания реактивной тяги), то можно достичь значений vs и,
следовательно, vmy существенно больших чем соответствующие
величины в других слоях этой среды [6]. На таком принципе
основано использование зарядов специальной формы
(кумулятивных). К сожалению, эффективность большинства
кумулятивных процессов с большой плотностью энергии очень низка, и,
если желательно получить большое увеличение vs, то обычно
удобней прибегать к более «благородным» видам энергии,
таким, которые проще сконцентрировать.
2. Ускорение плотных макрочастиц ионным и электронным
пучком. При таком методе ускорения, первоначально предложен-

176
Дж. Линхарт
ном как прямой способ реактивного движения [7], электронный
или ионный «ветер» разгоняет заряженную макрочастицу до
такой энергии ефо, которой сами электроны или ионы достичь не
могут. Таким образом,
где m, v и eqp — масса, скорость и энергия частиц ветра.
Пренебрегая в первом приближении собственным потенциалом пучка
фь, можно, рассматрирать эту задачу как задачу рассеяния
заряженной частицы электронного (ионного) ветра на заряженной
макрочастице сферической формы. Последняя (радиусом г0,
плотностью р, с зарядом Q = гоф0 = £/5 и скоростью v0) имеет
эффективное сечение рассеяния на большие углы
(«парусность»)
lm(v — v0)2 J
При v S> v0 получаем
^Ш№- да
Среднее давление ветра на «парус» макрочастицы будет
p = mn(v — vQ)2,
и полная сила давления
F~nrl(f)2nmv2. (7)
Следовательно, длина / ускорителя, способного разогнать
макрочастицу до скорости Do, будет такова:
1~ 2 F ~ 3^rU / ЧфГ/ ' (8)
Очевидно, что из-за большого различия в плотности р
макрочастицы и ветра (pw = пт) длина / будет очень велика.
Положим, например, v/v0= 10, фо/ф = 10 и я = 10й ион/см3. Будем
считать, что ветер создают тяжелые ионы, т. е. m = 10*"22 г и
р = з/2. Тогда / = 107 см = 100 км.
Уменьшить /, увеличив п значительно выше 10й, невозможно,
так как при этом возникают трудности формирования и
поддержания таких пучков с большим зарядом, поскольку собственный
потенциал ф0 становится больше ф и подавляет электронный или
ионный ток [8]. Таким образом, давление pwv2, создаваемое
пучком, всегда будет весьма невелико.
В то же время можно создавать сильно сфокусированные,
мощные электронные пучки, в которых положительные ионы
частично или даже полностью нейтрализуют пространственный

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей
177
заряд электронных пучков [9]. Было продемонстрировано, что
таким образом можно сфокусировать пучок электронов с
энергией порядка мегаэлектронвольт до плотностей тока, близких к
0,1 МА/см2. Поток мощности такого пучка достигает величины
порядка 10й Вт/см2 и давление pwv2 ~ 200 iy [где у= 0 — P2)"l/f,
hi—плотность тока в амперах на квадратный сантиметр] —
порядка 100 бар. К сожалению, отрицательно заряженные
макрочастицы в таком нейтрализованном пучке будут захватывать
положительные ионы и быстро терять заряд. Самое большее, на
что можно надеяться, это сохранить их заряженными до
потенциала ф. Тогда формула (8) дает
2 pvl 1 2 р^
3 pwv2 3 iy
откуда при о = 3/г, v0 = 108 см/с, I = 105 А/см2 и у « 50
получаем /= 107 см, как и в разобранном ранее примере ионного
пучка. Если бы можно было создавать ионные пучки такой
интенсивности, то возрастание pwv2 было бы значительным и не
было бы проблемы сохранения заряда макрочастицы.
Лучшим решением было бы использование непрямого метода
ускорения, который позволял бы преобразовать очень большую
мощность электронного пучка в реактивную силу на задней
стороне макрочастицы.
Предположим, что падающая мощность поглощается в слое
толщиной А. Этот слой взрывается за время
л
л 0взр
Поскольку средняя плотность этого слоя, выброшенного со
скоростью Vj, будет безусловно ниже, чем плотность
макрочастицы р, взрыв будет распространяться по объему макрочастицы
со скоростью иВзр, меньшей чем Vj. Положив vB3V = Vio^j,
найдем время, в пределах которого происходит ускорение:
т~10-^-.
За это время реактивная струя унесет энергию
W = Px = ±6lpv*.
Отсюда получаем порядок величины мощности, необходимой
для достижения скорости vr.
p~i)p»3r (9)

178
Дж. Линхарт
Как мы уже видели, реактивное ускорение позволяет достичь
скорости vm, не более чем на порядок величины
превышающей Uj, и, следовательно,
P~|l(rVL (9а)
Положив р « 2, получим (оптимистические) значения
величины P(vm)f представленные в табл. 3. Тогда оказывается, что в
Таблица 3
vm, см/с
Р, Вт/см2
10е
107
I07
Ю10
10«
1013
случае vm = 107 см/с, который будет рассмотрен несколько
позже, необходимо подвести полную энергию
^=10^ Дж/см2
за время т = 6i (мкс). Если на выходе после хорошо
воспроизводимого процесса ускорения необходимо иметь частицы
макроскопических размеров, то величина 6i должна быть порядка
нескольких миллиметров, т. е. длина ускорения — порядка 10 см.
Таким образом, для достижения скоростей vm ~ 10 см/мкс
можно использовать реактивную тягу, создаваемую падающим
электронным пучком, причем электроны должны поглощаться в
достаточно тонком поверхностном слое макрочастицы [10].
3. Ускорение фотонным пучком. Электромагнитное
излучение, падающее на проводник, может отразиться от него,
поглотиться в нем или пройти сквозь него. Последний случай
возможен только для плазменной среды, плазменная частота которой
сор меньше частоты падающего излучения.
Сначала рассмотрим случай некогерентного излучения, т. е.
излучения абсолютно черного тела, ускоряющего плоскую
макрочастицу. Предположим, что излучение полностью отражается,
тогда давление на макрочастицу будет равно
В табл. 4 приведены значения давления р(Т) и магнитного
поля В, обеспечивающего такое же давление р = В2/8я. Здесь
же приведено отношение я давления р(Т) к величине рс(Т) —
кинетическому давлению г-кратно ионизованной плазмы с
температурой Т при плотности твердого тела; при этом р(Т) =
— 7(z-j-l)T атм.

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей
179
Таблица 4
т, к
р, бар
В, МГс
(2+1) я
10'
0,12
0,0017
1,75- 10~7
10е
1220
0,175
1,75 - 10""4
Ю7
12,2- 106
17,5
0,175
10»
122- 109
1750
1,75. 102
Из табл. 4 видно, что при температуре Т> 108К
кинетическим давлением даже урановой плазмы (в термодинамическом
равновесии с собственным излучением) можно пренебречь по
сравнению с радиационным давлением и любую макрочастицу,
ускоряемую такой средой, можно рассматривать как радиацион-
но-ускоряемую. Скорость макрочастицы, ускоряемой давлением
излучения на длине разгона /, дается выражением
vm = ^\0-7/Tp, (И)
Таким образом, макрочастица из меди, разгоняемая излучением
черного тела с температурой Т = 108 К на пути, равном ее
толщине, достигнет скорости, равной примерно 1,7-108 см/с.
Очевидно, что полного отражения вряд ли можно добиться;
часть падающего излучения всегда будет поглощаться
макрочастицей, создавая волну испарения, проникающую в эту
макрочастицу и взрывающую ее. Следовательно, на прямое ускорение
всегда будет накладываться непрямое.
Единственный способ получить без ядерных взрывов
указанные выше давления — это использовать сфокусированный
лазерный пучок. Благодаря отсутствию взаимного отталкивания
(взаимодействия) между фотонами с точки зрения
концентрации энергии фокусировка монохроматического светового пучка
выгоднее, чем фокусировка пучка частиц. Максимальное
давление, которое можно получить в фокусе лазерного пучка
мощностью W, дается выражением
где К — длина волны излучения.
Очевидно, что неидеальность линз, расходимость пучка в
лазере и другие дефекты не позволяет сфокусировать лазерный
пучок на площади 5 = %?. С наилучшим лазером и самыми
высококачественными линзами, имеющимися на сегодняшний день,
при W= 1013Вт, 5 = 3-10"4 см2 [11] можно получить давление
около 107 бар, равное давлению излучения черного тела с

180
Дж. Линхарт
температурой Т ~ 107 К. Длительность подобного светового
импульса может составлять всего лишь несколько пикосекунд, так
что полная световая энергия вряд ли превысит 100 Дж. Это
говорит о том, что таким способом можно ускорять только очень
маленькие макрочастицы; в настоящее время их размеры не
могут превышать 100 мкм. В таком случае большую
сфокусированную лазерную мощность лучше всего использовать для
взрыва значительной части макрочастицы, нагревая ее с задней
стороны до температуры Г, соответствующей скорости истечения
Vj того же порядка величины, что и желаемая конечная
скорость vm невзорвавшейся части макрочастицы. Но процесс
такого нагрева связан с еще не очень хорошо изученными
аномальными процессами диссипации энергии, и поэтому о
возможности достижения столь высоких температур почти ничего
нельзя сказать [12]. Во всяком случае, здесь применимы
соображения, основанные на формуле (9) и данных табл. 3.
Лазерным пучком можно ускорять и плотные плазмоиды при
условии
со<сор, (12)
которое можно переписать в виде пе > 1,13- 1013Аг2 см~3, если
фокусировку осуществлять так, чтобы фокус следовал за плаз-
моидом (или сфокусировать лазерный пучок так, чтобы на
некоторой длине он был почти параллельным). Даже в этом случае
должен наблюдаться определенный тип волны «испарения»,
обусловленной нагревом и последующим расширением плазмы
до плотности пе, меньшей чем критическая. После такого
расширения горячая плазма практически перестает ускоряться
радиационным давлением и уже не участвует в процессе ускорения.
Если потери вещества самого плазмоида не слишком велики и
горячие части излучают как абсолютно черное тело, то для
гелиевого плазмоида с плотностью ионов пг- = 1021 см-3,
ускоряемого до vm = {/2с (т. е. до нерелятивистского предела), имеем
1„±^-„2- 1021^-, (13)
8 х WF v '
где Wf = $7S (Вт/см2) — мощность, поступающая от пучка
лазера. При WF = 2-Ю17 и б = 10~2 см получим / ~ 100 см.
4. Ускорение в электрических полях. Самый простой
способ— это ускорение электрически заряженных макрочастиц
(заряд Q = EQrl, где го—радиус) в электрическом поле Е [7].
Длина ускорителя, необходимого для получения конечной
скорости макрочастицы vmy дается выражением
/ ~ 2 • 105р (ЕЕоГ] r0v2m (см, г/см3, В/см, см/с). (14)

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей
181
При отрицательных Q поле £о не может превышать 107 В/см
из-за холодной электронной эмиссии, а при положительных Q
оно может достигать 108 В/см, но при этом электростатические
силы (£о/8я ~ 4000 бар) уже могут разорвать макрочастицу на
более мелкие части, для которых Е0 меньше.
Прежде чем зафиксировать величину Е, рассмотрим два
возможных способа ускорения. Первый — при помощи
электростатического ускорителя, например генератора Ван-де-Граафа.
В этом случае произведение IE равно разности
потенциалов ф, которая обычно не превышает 107 В, и при
положительных Q соотношение (14) будет иметь вид
1>т~0,7.105(рг0Г,/2. (14а)
Для макрочастицы из А1 получаем скорость 0,43 см/мкс при
/-0 = 0,1 мм и 100 см/мкс при г0 = 0,002 мкм.. Очевидно, что
такой способ представляет интерес только в отношении
скоростей, не превышающих несколько сантиметров в микросекунду.
Второй способ ускорения — при помощи линейного
ускорителя. В этом случае вряд ли можно использовать поля
Е > 105 В/см и (для А1) имеем
/-5,4- 1О"ЛО02т. (146)
При Го = 0,1 мм и vm = Ю см/мкс получаем / = 540 м. Таким
образом, здесь возможности ненамного лучше, чем с
электростатическими ускорителями.
В принципе сравнительно большие макрочастицы (Rq=1 мм)
можно ускорять до скоростей, превышающих 107 см/с, ускоряя
до таких скоростей облако «пыли», каждая частица которого
достаточно мала, так что для нее выполняется соотношение
(14а), а после ускорения конденсируя облако в одну
макрочастицу. Полное число N частичек пыли должно быть равным
Размер облака пыли D должен быть таким, чтобы не возникали
электростатические потенциалы, сравнимые с ср. Следовательно,
Ц± < Ф, т. е. D > *feo
При vm = Ю8 см/с и Ro = 1 мм мы получим слишком большие
значения для D.

182
Дж. Линхарт
5. Ускорение в магнитных полях. Здесь мы имеем два
прямых механизма ускорения:
1) Постоянный магнит (диполь) | ускоряется в движущемся
2) Сверхпроводник > неоднородном магнитном
J поле.
В первом случае [7] при самых благоприятных условиях
(синхронное ускорение) и при dB/dx ~ В/2г0 для длины ускорения
получим
I ~ jpB~2v2mr0. (15)
Для постоянных магнитов В < 20 кГс и, следовательно,
величина Вг сравнима с соответствующей величиной ЕЕ0 в
формуле (14).
Во втором случае [13, 14] макрочастица разгоняется силами
Лоренца, плотность которых |jXB| для Узйа имеет верхний
предел около 0,5-10иА/см2-Гс. Следовательно, полная длина
ускорения будет равна
/~0,5- 1(T%L (16)
что при vm= 108 см/с дает около 50 км. Эксперименты
показали, что сверхпроводящее кольцо из Узйа при этом может
остаться сверхпроводником1). Но длина ускорения все-таки
слишком велика, и остается лишь ждать, когда появятся
сверхпроводники, для которых величина | j X В | будет по крайней
мере на порядок больше, чем для самых лучших из известных
на сегодняшний день.
В обычных проводниках за короткие интервалы времени
величина | j X В| может быть на несколько порядков больше, чем
указанная выше. Но, к сожалению, циркулирующий в
макрочастице ток выделяет джоулево тепло, которое взрывает
макрочастицу. Проведем простейший анализ движения плоской
макрочастицы, разгоняемой магнитным полем, предполагая
однородное распределение тока по ее толщине 6о [15].
Уравнение движения имеет вид
. d2x В2
Поглощаемая магнитная энергия преобразуется в тепловую
энергию согласно уравнению
*) М. Sauzade, частное сообщение.

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей
183
где
Предполагая С и б постоянными вплоть до точки плавления, из
написанных выше уравнений получаем
т _ Ро g
т ~ 2яСГ06 Л*
Интегрируя от 7\ до температуры кипения Гь, получаем
предельную скорость для случая прямого ускорения
"пред = ^б1п-£-, (17)
выше которой макрочастица взрывается. Положив Г4 = 273 К
для таких металлов, как Си, Al, Li, получим значение
^пред ~ Ю7б (см/с, см), (17а)
которое не зависит от величины В и длительности ускорения
(более точные данные можно найти в работе [16]). Это говорит
о том, что для макрочастиц диаметром порядка 1 мм метод
прямого ускорения даже при самых благоприятных условиях
может обеспечить лишь скорости порядка 1 см/мкс.
Но этот предел не окончательный, и можно достичь
значительно больших скоростей, если заставить большую часть
макрочастицы взрываться. В этом случае важно показать, что
эффективность реактивного ускорения не слишком сильно падает,
даже если взрывается 99% макрочастицы. Комбинируя
уравнения (1) и (2), получаем
dt2 8я
При постоянных В, б и Vj имеем
-^ бп
_ °«-(«'/+£),nT' (19)
где иа = В/|/4яр—скорость звука в той части макрочастицы,
куда диффундирует магнитное поле В.
Эффективность реактивного ускорения равна
п = ll*^k m)
Здесь мы полагаем, что энергия (В2/8п)1 может быть
возвращена обратно и
'-/•""-(т+^)(6«-4-41пт)- (20а)

184
Дж. Линхарт
откуда
+ ("lI'a + 'JM)'
2
1 + (1/6) (ti7 + ti^/26) {1 — [б/(б0 - б)] In (б0/6)> ' V '
где г)+ — эффективность только реактивного ускорения [формула
(5)]. При va^_ Vj (и, следовательно, iv^> б) имеем
Г)==Т1-.[б/(бо-б)]1п(б0/б) • (21а>
а в важном случае б/бо—»0 получаем г) —► Угл*
Таким образом, величину г) можно найти непосредственно по
данным табл. 2. Например, при б/бо = 1/100 получаем г) ~ 10%.
Предположим, что мы хотим получить величину vm, значительно
большую чем скорость аПред, даваемую формулой (17). Тогда
*+£Н-
10760<^y + ^jln^-, (22)
а если реактивное ускорение несущественно, то имеем
02Л»2.Ю7.
б0б
'а**"* ^ 1п(60/б) '
т. е.
В> 1,6- 104|/рб0б/1п-^. (23)
Положим, например, р = 2,7, бо = 0,1, б = 10е, бо/б = 100;
тогда В > 3,8 МГс, т. е. необходимо использовать мегагауссные
магнитные поля. Найдем длину I такого ускорителя. Формула
(20а) при vl^Vsb дает
'-тЧтг
['-Н'+'-тУ <*>
а при б <S бо
<~?Чт)2- (24а>
Совершенно не ясно, каково может быть соотношение между
скоростью взрыва б макрочастицы и альфвеновской скоростью va\
не исключено, что при очень сильных полях отношение этих
скоростей не зависит от 5. Во всяком случае,
где /* — длина, необходимая для ускорения неиспаряющихся
макрочастиц до скорости vm. Очевидно, что
Ht)4=7(fN'"t)°

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей 185
и, следовательно,
/==(1пбо/б)2 ' (25)
Коэффициент уменьшения длины 5 = 72(1пво/6)2 при бо/б = 100
равен примерно 10. Найдем /* при vm = 108 см/с. В случае А1
Г =5,83- Ю16-^-
и при В = 107 Гс и 6о = 0,2 имеем /* = 117 см, так что при
s ~ 10 получаем
/ — 10 см.
Наибольшая неопределенность при таком механизме связана
с тем, что мы не знаем зависимости 6 =/(В), а поэтому
возможны как приятные, так и неприятные сюрпризы. Приятным
сюрпризом может быть образование на задней стороне частицы
тепловой защиты из замагниченной плазмы, задерживающей
взрыв. Неприятным сюрпризом может быть нестабильность
взрывной волны, аналогичная эффекту пилы1), с которым
сталкиваются в исследованиях с мегагауссными магнитными
полями [17].
Коль скоро речь зашла о плазменной тепловой защите,
заметим, что в принципе можно сильным магнитным полем
разгонять до гиперскоростей плазму сравнительно низкой плотности
(п < 1018 ион/см3), а затем конденсировать ее в макрочастицу
с плотностью, близкой к плотности твердого тела. Известно [18],
что ускорение плазмы до скоростей (2—5) 107 см/с не
представляет больших трудностей, а в мегагауссных магнитных полях,
вероятно, может быть достигнута скорость порядка нескольких
единиц на 108 см/с. Проблема состоит в конденсации. Было
показано, что эта проблема в большой степени может быть
разрешена, если использовать плазму из тяжелых элементов, таких,
как аргон или неон [19]. Плазму из этих элементов ускоряют и
конденсируют за счет почти чистого механизма «снежного
плуга» [20], т. е. на фронте ударной волны, создаваемой магнитным
полем. Обычно большому числу степеней свободы а соответствует
большое отношение pi/po = (y+ 1)/(y — 1) поперек фронта
сильной ударной волны (при а-*оо величина у-* 1). В плазме
с большим Z это связано с многократной ионизацией и
большими потерями на излучение.
Модель «снежного плуга» в плоской геометрии и в случае
«полного сметания» описывается уравнением
*) Этот эффект рассмотрен в книге [22]. — Прим. перев.

186
Дж. Линхарт
откуда
ах г
dt ~ J
8яр0
dt.
Для постоянного магнитного поля
jc= const
в
К8яр0 \Г2 '
Эффективность такого процесса
Л:
УгРо**2
ахВ2/Ъл '
(27)
(28)
где а = 1, если энергия х(В2/8л), запасенная в магнитном
поле, не теряется, и а = 2 в противоположном случае. Тогда
г] = 50% для первого случая и г) = 25% для второго случая.
По своей толщине макрочастица состоит из слоя, в который
проникает магнитное поле В, слоя, свободного от поля, и
промежуточного слоя. В период ускорения эффективная толщина
макрочастицы приближенно
определяется толщиной слоя, в
который проникло магнитное поле:
1 -jd/H-h
| Образование
• макрочастицы
h *
j
r^—
'I
-**
*/
or
Замедление
<
6f
■&■*
(29)
Следовательно, средняя
плотность п дается выражением
105 пгрУ4 ,/—
П~ у=гВТ Упох
(А — атомный вес)
Фиг. 3.
и по мере ускорения толщина
слоя, в который проникает
магнитное поле, уменьшается. Хотя уже механизм «снежного
плуга» обеспечивает значительную конденсацию, еще большая
конденсация должна происходить в момент столкновения плазмона
с мишенью. Процесс формирования микрочастицы и ее
конденсации иллюстрируется схематическим графиком фиг. 3.
Конечная толщина частицы должна соответствовать формуле Хейли
(которая в действительности эквивалентна уравнению
равновесия давлений):
(Z+l)&r-6„-^-~6„M-^-.
^столки
Следовательно,
*столкн
(2+ \)kT
Ш2

4. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей 187
Для достаточно тонких лайнеров [21]
^столки
и, следовательно, плотность в момент tm может быть на
порядок величины больше, чем при / = t\.
ЛИТЕРАТУРА1)
1. Exploding Wires, eds. G. Chace, H. K. Moore, vol. 3, New York, 1964.
2. Bonn J. L., et al., в книге Exploding Wires, eds. G. Chace, H. K. Moore,
vol. 3, New York, 1964, p. 339.
3. Katzenstein /., Sudor M., Journ. Appl. Phys., 33, 718 (1962).
4. Guderley G., Zs. Luftfahrtforsch., 19, 302 (1942).
5. Kantrowitz Л., Perry R. W.y Journ. Appl. Phys., 22, 878 (1951).
6. Flagg R. /\, Glass /. /., Phys. Fluids, 11, 2282 (1968).
7. Harrison E. R.y Macron accelerators, rep. NURL/M/60 of Rutherford High-
Energy Lab. (1964).
8. Pierce J. R., Theory and Design of Electron Beams, Amsterdam, 1954
(имеется перевод: Дж. Пирс, Теория и расчет электронных пучков, М.,
1956).
9. Graybill S. £., Nablo 5. I'., Appl. Phys. Lett., 8, 18 (1966).
10. Winterberg F., Phys. Rev., 174, 212 (1968).
11. Hughes J. L., Appl. Opt., 6, 1411 (1967).
12. Bobin J. L.y Delobeau F, De Giovanni G., Fauquignon C, Floux /\, Nucl.
Fusion, 9, 115 (1969).
13. Maisonnier Ch., Nuovo Cimento, 42B, 332 (1966).
14. Winterberg F.t Nucl. Fusion. 6, 152 (1966).
15. Lehner G., Linhart J. G., Maisonnier Ch., Rep. Labor. Gas Ionizzati RTI/FI
(64) 2, Nov. 1964.
16. Cnare E. C, Journ. Appl. Phys, 37, 3812 (1966).
17. Furth H. A, Levine M. A., Waniek W, Rev. Sci. Instr., 28, 949 (1957).
18. Marshall /., Phys. Fluids, 3, 134 (1960).
19. Haegi M., Linhart J. G., в книге Proc. Ill Europ. Conf. on Plasma Physics
(Utrecht. 1969).
20. Linhart J. (?., Report Lab Gas Ionizzati 67/12, June 1967.
21. Somon J. A, Report Lab. Gas Ionizzati LGI 66/11, Nov. 1966.
22*. Кнопфель Г., Сверхсильные импульсные магнитные поля, изд-во «Мир»,
1972, стр 193
1) Литература, отмеченная звездочкой, добавлена при переводе.—
Прим. ред.

5
кумуляция электромагнитной
ЭНЕРГИИ
Г. Кнопфель*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Для получения высоких плотностей энергии, о которых
говорится на лекциях нашей Летней школы, в первую очередь
необходимы удобные источники энергии, которые давали бы энергию
порядка нескольких мегаджоулей за время порядка нескольких
микросекунд (табл. 1 и 2). Под источником энергии обычно
понимают всю энергетическую систему, в том числе накопитель,
линию передачи, оконечные преобразующие каскады и
устройства для концентрации начальной энергии в пространстве и
времени. В большинстве экспериментов с высокими плотностями
энергии конечной формой энергии является тепловая энергия.
Электромагнитная же энергия — это лишь промежуточная
форма, наиболее удобная для накопления, преобразования,
концентрации и получения требуемого вида энергии.
Если говорить только о получении мощных импульсов
электромагнитной энергии, то, как видно из табл. 2, существуют
различные источники, которые способны накапливать,
преобразовывать и отдавать необходимую энергию за времена,
лежащие в широком диапазоне: от сотых долей микросекунды до 1 с.
Среди этих систем наибольшее распространение получила
конденсаторная батарея, что обусловлено возможностью широкой
вариации ее параметров, большой скоростью нарастания
выделяемой мощности и высокой эффективностью преобразования
энергии (см., например, гл. 9 данной книги). Один особенно
интересный вариант электростатической накопительной системы
рассматривается в гл. 14 настоящей книги. Представляют
определенный интерес также и индуктивные накопители, но
технические трудности, связанные с осуществлением таких систем
(например, необходимость в больших сверхпроводящих
накопительных индукторах, размыкателях и т. д.), пока еще не позволяют
* Н. Knoepfel, Laboratori Gas Ionizzati (Associazione, EURATOM-
CNEN) — Frascati.

Таблица 1
Источники энергии, используемые для создания высоких плотностей энергии
Первичный источник
Химические взрывчатые
вещества
Конечная форма
Струи металла
Металлические пластины
1 МЭ
5 МЭ
25 МЭ
Плотность
энергии,
МДж/см3
8-10"3
1
0,8
4-I0"3
0,1
2,5
Энергия на атом,
эВ (элемент)
1 (Н, N, О)
1700 (Си)
60 (Fe)
0,3 (Си)
8(Си)
200 (Си)
Полная
энергия, МДж
100
ю~3
3
5
1
1
Литература
[23]
171
[1]
Ш
[8]
Конденсатор
Взрывающаяся
проволочка
Плазменный фокус
10"°
0,05
0,01
4(Си)
1000 (D)
10"
10'
[9]
[Ю]
Оптический накопитель
Лазерный фокус
10"°
0,4
100 (D, Т)
10"
10"
[П]
[12]
Ядерное взрывчатое
вещество
104
9.10S(D, Т)
10»

190
Г. Кнопфель
Таблица 2
Источники энергии для импульсных генераторов тока
Первичный источник
энергии
Химическое
взрывчатое вещество
Конденсатор
Роторная машина
Индуктивность
Свинцовый
аккумулятор
Плотность
запасенной
энергии,
Дж-см""3
10 000
100-500
10
500

Возможная

запасенная
энергия,
МДж
100
10
100
100
1000
Производимая
электрическая мощность
S
<L>Cf
2
3
2
0,5
н
о
s«
f- >»
SCO
Ч 2 *
4s S
0,1
0,01
100
1000
9)
е-
5 я
«^
•е- о -
•е-о з
еп я S
2
80
30
0,5
Лаборатория
Фраскати
Гархинг
Орсэ
Фраскати
Примечание. В таблице приведены типичные, но не обязательно максимальные зна
чення.
их использовать достаточно широко. Механические генераторы,
а также химические батареи выгодны тогда, когда требуются
импульсы длительностью больше 0,01 с. Особый интерес
представляют взрывные генераторы, принцип действия которых
состоит в сжатии магнитного потока *).
Для кумуляции электромагнитной энергии необходимо,
чтобы энергия, поступающая из накопителя, была сконцентрирована
в пространстве. Если можно отвлечься от волновой природы
электромагнитного поля, т. е. если применима
квазистационарная электромагнитная теория, то перенос магнитной
энергии связан только с проводниками электрического тока.
Магнитную энергию можно сконцентрировать простым увеличением
тока через сравнительно малый проводник; так происходит,
когда конденсаторную батарею разряжают через небольшую
одновитковую катушку [15]. В этом случае концентрацию
энергии удобно характеризовать напряженностью магнитного поля
(хотя плотность энергии пропорциональна квадрату
напряженности поля). Напомним, что плотность энергии магнитного поля
*) В советской литературе генераторы, основанные на принципе
быстрого сжатия магнитного потока проводящим лайнером, называются магнито-
кумулятивными генераторами (МК-генераторы). Однако при переводе было
решено сохранить терминологию автора. — Прим. перев.

5 Кумуляция электромагнитной энергии 191
напряженностью 1,5 МЭ соответствует плотности энергии,
выделяющейся при детонации химических взрывчатых веществ.
Для концентрации электромагнитной энергии в пространстве
необходимо также, чтобы накопленная энергия очень быстро
поступала в концентрирующую систему (т. е. требуются
мощности порядка 1012 Вт). В связи с этим важное значение имеют
энергетические потери в системе, которые (как будет показано
ниже) чрезвычайно сильно возрастают при высоких плотностях
энергии. Поэтому при увеличении плотности электромагнитной
энергии подводимая мощность должна непрерывно возрастать
по крайней мере с такой скоростью, чтобы компенсировать
потери. В принципе уменьшить постоянную времени разрядки, как
этого требуют условия повышения мощности, можно для многих
типов накопителей, но это всегда связано с трудностями [19,
гл. 6 и 9]. Вообще говоря, для этого требуется такой способ
преобразования накопленной энергии, при котором конечная
нагрузка не была бы связана с первичным источником энергии.
Примером может служить система компрессии магнитного
потока цилиндрическим лайнером, разгоняемым при помощи
магнитного поля — система, аналогичная взрывной, которая будет
рассмотрена несколько позже. В этой системе конденсаторную
батарею разряжают через цилиндрическую оболочку, которая,
взрываясь, коаксиально ускоряется (как и в обычных взрывных
экспериментах), так что запасенная электростатическая энергия
преобразуется в кинетическую энергию. Если предварительно
создать внутри оболочки магнитный поток, то он будет сжат при
ее схлопывании и к концу сжатия кинетическая энергия будет
преобразована в магнитную. Этот процесс мы подробнее
рассмотрим позже, когда речь будет идти о взрывных генераторах.
Заметим, что постоянная времени такого преобразования может
быть на порядок меньше, чем время разрядки конденсаторной
батареи.
В этой лекции мы рассмотрим только один пример системы
концентрации электромагнитной энергии — взрывной генератор
сверхсильного магнитного поля. Такие генераторы создают
наибольшие плотности энергии в земных масштабах, и в то же
время на их примере легко показать типичные трудности и
ограничения, с которыми приходится сталкиваться при кумуляции
электромагнитной энергии. Вначале мы рассмотрим принципы
сжатия магнитного потока в цилиндрической геометрии, затем
проанализируем ограничения, обусловленные учетом конечной
электропроводности и сжимаемости. Один параграф будет
посвящен нестабильностям поверхности проводника, а в последнем
будут более детально описаны взрывные генераторы.

192
Г. Кндпфель
§ 2. СЖАТИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Мы рассмотрим (фиг. 1) простой случай, когда идеальная
(т. е. несжимаемая, очень длинная, с бесконечно большой
проводимостью) цилиндрическая оболочка с радиусами г4 и г2
сжимает начальное захваченное магнитное поле Я0.
а б
Фиг. 1. Схлопывание идеальной оболочки,
а —начальное, б—промежуточное положение.
В случае изотропной (осесимметричной) и несжимаемой
жидкости из уравнения непрерывности следует условие
d(rv)
дг
= 0,
т. е., в частности, мы имеем
r{v{=rv,
или
г2 г2 D2 г>2 П2
Г2 Г\ — ^2 *М ^0»
(О
(2)
(3)
где /?о — внешний радиус полностью схлопнувшейся оболочки
(при ri —►О).
Кинетическую энергию оболочки (на единицу длины),
сжавшейся от радиуса г4 до радиуса г2, можно найти с помощью
уравнения (2):
Wk (г2, 0 = J 2дгр -£- dr = nr\9v\ In -^. (4)
При сжатии оболочки от радиуса /?i до радиуса г{ совершается
работа против сил магнитного давления
ц0//2 ц0и20 i R} \4
(5)

5 Кумуляция электромагнитной энергии
193
(здесь был использован закон сохранения магнитного потока
Нг2х — #0/?|). Следовательно, потенциальная магнитная энергия
возрастает на величину
Wu - Wu = I 2яг1Р| drf - VM = я/Й ^ f 4- - 1
.2
i 2 /
7.M - **, - J *w Л ir, - ^ = я*> ^ (-
где величина
WM=nR\^p- (6)
есть начальная магнитная энергия.
Соотношение между скоростью схлопывания viy внутренним
радиусом Г\ и начальным магнитным полем Я0 можно найти из
закона сохранения энергии
Wk, + Wm9 = Wk + Wm, (7)
где W%b — начальная кинетическая энергия, соответствующая
радиусам /?i, /?2 и скорости Vi —► v0. Если толщина лайнера d
очень мала, то
Rl~2dRu rf = /?2-#i
и при
Г/с0 > WM
из соотношения (7) получим
\2., '-W
&)
(г1//?0)21п[1 + (/?о/г1)1Г" (8)
Радиус г*, определяющийся выражением
называют радиусом в точке поворота, так как это наименьший
радиус, достигаемый лайнером (сч —►О). Ему соответствует
магнитное поле в точке поворота (максимальное магнитное поле)
Из полученных соотношений видно, что в рамках нашей простой
модели максимальное магнитное поле возрастает с ростом
начальной кинетической энергии W^ и с уменьшением
захваченного магнитного потока WmJHq. Кроме того, из приведенных
соотношений следует, что скорость внутренней поверхности
лайнера непрерывно возрастает и при ri-*0 стремится к
бесконечности, как (rf | In г, |)~ \ Такой закон изменения означает,
что при схлопывании несжимаемой оболочки постоянная

194
Г. Кнопфель
кинетическая энергия все более и более концентрируется на
внутренней поверхности лайнера.
Если, кроме того, лайнер можно считать тонким и вблизи
точки поворота, так что
4<i.
то соотношение (8) преобразуется к виду
Ш~*-Ш-
откуда находим ускорение лайнера при его замедлении
dt | г
необходимое нам для дальнейшего.
"4. do
§ 3. ПОТЕРИ МАГНИТНОГО ПОТОКА
Чтобы более или менее правильно понимать, как действуют
системы, основанные на принципе сжатия магнитного потока,
особенно когда речь идет об их максимально достижимых
параметрах, необходимо по крайней мере учитывать сжимаемость и
конечную электропроводность оболочки. Адекватный анализ
экспериментов по сжатию магнитного потока может быть
проведен только на основе магнитогидродинамической (МГЦ) теории.
Подробное решение таких задач, связанное со сложными
вычислениями (см., например, [3]), лежит в стороне от темы
настоящей лекции. Далее мы будем лишь анализировать наиболее
важные физические следствия, возникающие при рассмотрении
реальных проводников.
Если учитывать конечную электропроводность оболочки, то
часть (1-Х) начального магнитного потока я/?^0//0 при схло-
пывании проникнет в проводник и будет потеряна с точки зрения
дальнейшей компрессии. Следовательно, коэффициент усиления
для магнитного поля в этом случае можно записать в виде
Дифференцируя это равенство, получаем
Н dt ~Vl\rl X I dt\)'
Отсюда видно, что максимальное магнитное поле достигается
при конечном значении радиуса, которое, вообще говоря, может

5. Кумуляция электромагнитной энергии
195
быть больше радиуса в точке поворота rt. Небесполезно будет
вывести одно простое, но только качественное выражение для
максимального коэффициента усиления по магнитному полю с
учетом конечной электропроводности оболочки. Постоянная
времени диффузии магнитного потока из цилиндрической полости
радиусом г дается формулой [19, гл. 3]
Гдиф ~ r2o\i0,
тогда как время сжатия при постоянной скорости схлопывания
v0 равно
г
тсж ^ ~ •
Эти две величины равны при
Следовательно, на первом этапе схлопывания (от Ri до /w)
потерями магнитного потока можно пренебречь, но затем они
быстро возрастают. Таким образом, можно сказать, что
максимальное магнитное поле достигается при радиусе, близком k/w,
т. е.
где а — некий не известный нам коэффициент. Но вопрос в том,
какую величину электропроводности нужно подставлять в
формулу (13). Действительно, хорошо известно, что проводимость
большинства металлов, которые можно было бы использовать в
рассматриваемых системах, следующим образом зависит от
температуры: -
а = 1 + fc,e • (15)
где 9 — температура в градусах Цельсия, cv — удельная
теплоемкость при постоянном объеме, р — температурный
коэффициент, а сто — проводимость при 0 °С. Согласно же основному
результату теории магнитной диффузии [19], поверхностная
температура проводника приближенно определяется законом
равномерного распределения энергии по степеням свободы:
с„е~в£1. (16)
Комбинируя эти два выражения, при высоких температурах
получаем

196
Г. Кнопфеть
где величина
есть критическое магнитное поле, выше которого в процессе
диффузии магнитного поля существенную роль начинает играть
нагрев, обусловленный вихревыми токами (нелинейная
диффузия). Так как магнитный поток теряется в основном в конце
процесса сжатия, когда проводимость минимальна, т. е.
0 — ^мин *** &0 ~Г2 »
соотношения (13) и (14) можно преобразовать в равенство
^о \ nmd }
где RM = tfiOotfoibio"" магнитное число Рейнольдса. Полезно
переписать это выражение в виде
^ „„■<■[« «(ВД5)]'''- <18>
(Численные расчеты для несжимаемой оболочки, схлопываю-
щейся с постоянной скоростью, дают значение а « 1,1 [13].) Из
приведенных соотношений отчетливо видно, что максимальные
магнитные поля, достижимые при схлопывании несжимаемой
оболочки с переменной проводимостью, весьма слабо зависят от
начальной скорости v0 и начального магнитного потока
(пЩц0Н0).
Так, например, в случае медного проводника [во =
= 63,3-10е (Ом-м)-1; hc = 430 кЭ] при весьма хороших
начальных значениях Я0 = 100 кЭ, /?i = 5 см, v0 = 0,5 см/мкс (т. е.
Rm = 20000) из соотношения (18) имеем Hmd= 18 МЭ, а
формула (14) дает гта = 0,1 см.
§ 4. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ МЕТАЛЛА
Теперь нам нужно учесть сжимаемость реальной оболочки.
Чтобы упростить задачу и на время отвлечься от процессов
диффузии магнитного поля, предположим, что оболочка —
идеальный проводник (<х-*оо). Тогда задача становится чисто
гидродинамической, а давление магнитного поля учитывается только
граничными условиями (5). Очевидно, что соответствующие
уравнения могут быть решены лишь численно. Мы сначала
укажем в общих чертах важнейшие физические эффекты, а затем
изложим некоторые результаты численных расчетов,

5. Кумуляция электромагнитной энергии 197
Так как при схлопывании возрастает магнитное давление на
поверхности оболочки, внутренние слои оболочки постепенно
сжимаются. Если напряженность магнитного поля — порядка
1 МЭ, а время нарастания — порядка микросекунд, то импульс
давления может возбудить ударную волну, характеризуемую
скоростью движения ее фронта v8 и скоростью переноса
энергии и. Можно сказать, что магнитное давление
Ря = ^Р (19)
создает ударную волну в проводнике, вдавливая свободную
поверхность со скоростью и в проводник. Такая задача аналогична
классической задаче об ударной волне, возникающей при
движении поршня с постоянной скоростью и в сжимаемой среде.
Если р и и одинаковы во всей ударно-сжатой области (т. е.
между свободной границей и ударным фронтом), то решение
дается соотношением Гюгонио (см., например, [19], гл. 10)
Р = p0vsu (20)
совместно с эмпирическим законом для скорости
v8 = cQ+Su9 (21)
где S — постоянная, зависящая от свойств материала, Со —
скорость звука, ро — плотность несжатой жидкости. В нашей задаче
скорость свободной поверхности и определяется уравнением
u(c0 + Su)9o = ±H2 (22)
(и и v8 измеряются относительно несжатой среды).
Если давление рн (и, следовательно, магнитное поле Н)
возрастает во времени, то распределение давления в среде, а также
потока зависят от времени и пространственных координат.
Несмотря на это, результаты различных численных расчетов
показывают (см., например, [19]), что соотношением (22) можно
пользоваться как грубо приближенной формулой для скорости
поверхности и.
Используя эти результаты для нашей схлопывающейся
оболочки (фиг. 2), получаем, что максимальное магнитное поле
достигается при
и = t>o, (23)
где v0—скорость (постоянная) схлопывания оболочки.
Идеальное «максимальное» магнитное поле Нт0 мы получим,
приравняв магнитное давление давлению в ударной волне
[формула (20)]:
~8~ ~po°H"5T+S/e <24)

198
Г. Кнопфель
Так как величины Co/v0 и 5 — порядка единицы, отсюда следует,
что плотность энергии при максимально достижимом поле
примерно в 2 раза выше плотности кинетической энергии лайнера.
Поскольку скорость ударной волны конечна, в магнитную
энергию сжимаемого поля преобразуется только часть
начальной кинетической энергии. Этот эффект можно учесть, введя
эффективную толщину de, равную толщине той внутренней части
оболочки лайнера до начала движения, кинетическая энергия
а б
Фиг. 2. Охлопывание сжимаемой оболочки,
а —начальное, б —промежуточное положение.
которой полностью переходит
Тогда имеем (при de <С Ri)
2ndeR{p0
4
в энергию магнитного поля.
И>0#тО 2
о Я" тО»
где гт0 — радиус, соответствующий максимальному магнитному
полю. Отсюда, используя соотношение (24) и закон сохранения
потока (Hm0r2m0 = H0Rf), получаем
de =
HqR\
Vq
/* (-г+4
(25)
В схлопывающихся цилиндрических генераторах конечное
магнитное поле может быть больше Ят0, ибо скорость оболочки,
сжимающей поле, как видно из уравнения (8), возрастает.
Результаты численных расчетов [13] для этого случая,
проводившихся на основе гидродинамической теории и подходящего
уравнения состояния для меди, можно аппроксимировать простым
выражением
и я/—т- / j
(26)
fe-/i ('<*<»)•
Рассматривая тот же пример, что и выше, когда речь шла
о диффузии магнитного поля, в случае медного проводника
толщиной 4 = 0,3 см, получаем теперь de = 0,1 см; //w0= 11,3 МЭ;

5 Кумуляция электромагнитной энергии
199
Нтс = 16,5 МЭ; гтс = 0,4 см. Следовательно, максимальное
поле оказывается примерно таким же, как и в случае, когда
основные ограничения обусловлены диффузией магнитного поля
(18). Но здесь ограничения более жесткие, чем при учете только
диффузии магнитного поля. Действительно, здесь у нас только
один «свободный» параметр v0, тогда как в формуле (18) кроме
него есть еще и магнитный поток (ixQH0nRf).
§ 5. СЖАТИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА РЕАЛЬНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ
На самом деле необходимо одновременно учитывать и
диффузию магнитного поля, и сжимаемость проводника. Эту общую
задачу, которая требует привлечения всех уравнений магнитной
гидродинамики, решил численным методом Киддер [3]. Не
вдаваясь в детали (которые действительно оказываются не очень
существенными), мы сравним важнейшие результаты Киддера
Таблица 3
Теоретические данные
Закон изменения
электропроводности
Численные расчеты Киддера
а. Электропроводность а = °о
б. Электропроводность
металла определяется
формулой (15) (непроводящие
пары металла)
в. То же, что и «б», но
температурный коэффициент р
увеличен в 3 раза
Использованное приближение
г. Сжимаемая оболочка,
(т=оо; формула (26)
д. Электропроводность
определяется формулой (15),
несжимаемая оболочка с
постоянной скоростью схло-
пывания v0\ см. формулы
(14) и (18)
Максимальное
магнитное
поле Я .
m
МЭ
13,1
11,4
10,5
13,1
13,9
Минимальный
радиус rm,
см
0,32
0,26
0,21
0,32
0,08
Относительная
магнитная энергия, %
внутри
9
44
22
12
44
полная
44
30
26
44
Примечание-. Начальные величины: медная оболочка #, = 3,81 см, #2=4,13 см,
t>„=0,37 см/мкс. #о=90 кЭ (№#«,= 1,47 кДж/см, №^, = 480 кДж/см).

200
Г. Кнопфелъ
(табл. 3) с данными, полученными из приближенных
соотношений, приведенных в предыдущих разделах. В результате такого
сравнения, а также из сказанного ранее о наиболее
значительных эффектах, играющих важную роль вблизи точки обращения,
можно сделать следующие выводы.
а. Максимальное магнитное поле Нт определяется в
основном динамикой схлопывания сжимаемой оболочки, т. е.
Нт « Нтс. Действительно, если учесть толщину скин-слоя Sq>
(фиг. 3), то выводы, сделанные в случае сжимаемой
цилиндрической оболочки радиусом гтс, остаются справедливыми; просто
теперь нужно считать, что давление
магнитного поля приложено к
внутренней поверхности радиусом
б. Минимальный радиус гт
определяется в основном
электропроводностью оболочки. Если Нт
определено в соответствии с п. «а», то
радиус естественным образом следует
из закона сохранения магнитного
потока: Нт (гт + S<ff = Н0Щ-
Эти выводы относятся к
генераторам, для которых Нт =
= (5—15)МЭ и гт = (0,3—1) см.
При других, экстремальных, условиях могут преобладать другие
эффекты. Например, если конечный радиус довести до величины
порядка диффузионного радиуса rmd и менее (т. е. порядка
миллиметров), то максимальное магнитное поле будет, очевидно,
определяться исключительно диффузионными потерями, т. е.
Пт ~ "md-
Фиг. 3. Поперечный разрез
реальной оболочки, сжимающей
магнитный поток, в момент
максимума магнитного поля.
§ 6. ЭФФЕКТЫ НА ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ
На практике предельные возможности рассматриваемых
генераторов могут ограничиваться не только диффузией
магнитного поля и ударным сжатием, но и другими эффектами.
Наиболее значительные из них — вскипание поверхностного слоя
оболочки и неустойчивости внутренней поверхности металла.
Поскольку температура проводника, сжимающего
магнитный поток [формула (16)], легко достигает точки плавления и
испарения при нормальных давлениях [при 10 МЭ
поверхностная температура для меди, согласно формуле (16), достигает
примерно 105 К], в поверхностном слое будет проходить фазовый
переход и часть материала будет выбрасываться в виде пара,
опережая «поршень». Кроме того, жидкий металл подвержен
всем видам магнитогидродинамических неустойчивостей. Во

5. Кумуляция электромагнитной энергии
201
всех случаях, которые могут представлять для нас интерес,
наиболее существенны нестабильности Релея — Тэйлора. В
системах с компрессией магнитного потока наличие таких нестабиль-
ностей приводит к тому, что материал оболочки смещается в
объем, где создается
сверхсильное магнитное поле, и это сильно
ограничивает предельные
возможности таких генераторов.
Напомним самый простой вид
нестабильности Релея — Тэйлора.
У нас имеется идеальная
жидкость с плотностью р, смещение
поверхности которой
определяется уравнением
tr\(t — 0) = tr\0coskxJ
•//,
Фиг. 4. Магнитогидродинамиче-
ская нестабильность Релея —
Тэйлора.
где k — волновое число (фиг. 4).
Согласно линейной теории
возмущений, смещение изменяется во времени по закону
*П = г|0 ch со/ cos Лл:,
где со (в данном простом случае) определяется дисперсионным
соотношением
co2=±g£,
причем плюс соответствует случаю, когда жидкость
поддерживается магнитным полем против сил тяжести (нестабильность),
а минус — обратному,
стабильному случаю.
Этим результатом можно
воспользоваться для
исследования стабильности
движущейся пластины, если заменить
силу тяжести силой инерции,
^Z" ~~\d направленной противоположно
* ускорению жидкости (фиг. 5).
Следовательно, когда за
счет возросшего магнитного
давления схлопывающаяся
цилиндрическая оболочка
начинает замедляться в конце процесса компрессии, азимутальные
возмущения будут нарастать со скоростью, определяющейся
соотношением
Фиг. 5. Нестабильность Релея — Тэй
лора в ускоряемой оболочке.
0'
r\kt
где k определяется тем, что возможные длины волн
удовлетворяют условию пк = 2лгь я = 1,2, ... . Поскольку магнитное

202
Г. Кнопфель
давление возрастает как 1/г4 [формула (5)], ускорение вблизи
точки поворота (радиус rt) может стать очень большим
(например, ~1010 м-с-2). Пользуясь приближенной формулой
(11) (относящейся к тонким оболочкам) при г\ = п, получаем
максимальное время развития
где vo — начальная скорость схлопывания.
Отсюда видно, что в случае малых длин волн (п > 1) эта
величина меньше постоянной времени схлопывания rt/v0 (т. е.
времени, за которое радиус оболочки уменьшится от 2г* до rt
и, следовательно, магнитное поле возрастет в 4 раза, а
магнитное давление — в 16 раз). Таким образом, уже в точке поворота
нестабильности Релея — Тэйлора могут быть весьма
неприятными. При дальнейшем же развитии в течение времени,
меньшего чем 1/со, непрерывно растущие пучности оболочки,
обусловленные нестабильностью, входят в полезный объем
магнитного поля и могут разрушить расположенный там датчик или
образец.
Могут возникнуть некоторые сомнения относительно
правильности таких выводов, поскольку они сделаны на основе
предположения о малой амплитуде возмущений, т. е. в рамках
линеаризованной задачи. Действительно, когда амплитуда Лг
гармонического возмущения превышает примерно половину
длины волны, нелинейные эффекты проявляются в изменении
формы возмущений (пучности заостряются).
Тем не менее общие выводы, сделанные выше,
подтверждаются детальными исследованиями нестабильностей Релея —
Тэйлора в генераторах сверхсильных магнитных полей,
проведенными в работе [20]. В этой работе использовался
специальный численный метод решения полного нелинейного,
зависящего от времени и координат, двумерного уравнения для
сжимаемой невязкой жидкости. Результаты вычислений
показывают, что нестабильности могут уменьшить максимальное
магнитное поле и во всяком случае вынуждают отказаться от
представления о вполне определенной «точке поворота».
§ 7. ВЗРЫВНЫЕ (МАГНИТОКУМУЛЯТИВНЫЕ) ГЕНЕРАТОРЫ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Принцип действия взрывного генератора сверхсильного
магнитного поля состоит в следующем:
а) внутри цилиндрической оболочки (лайнера) создают
начальный магнитный поток;

5. Кумуляция электромагнитной энергии
203
б) за счет внешнего источника энергии (взрывчатого
вещества) заставляют лайнер схлопываться;
в) схлопывающийся лайнер сжимает захваченный им
магнитный поток, так что часть его кинетической энергии
преобразуется в магнитную энергию.
Технически наиболее трудной задачей является создание
цилиндрической сходящейся детонационной волны, так как здесь
требуется не только чтобы детонация происходила сразу на
большой поверхности (фиг. 6), но и чтобы отклонения Дг от
Основной заряд
Вспомога тельное
взрыв чатое вещество
Забивка
Детонатор
Медленное
взрывчатое вещество
б
Фиг. 6. Различные методы детонации, позволяющие создать цилиндрическую
сходящуюся детонационную волну.
среднего радиуса волны детонации лежали в пределах Дг ~
~ 0,1 см. Это требование связано с тем, что (в генераторах
с высокими параметрами) конечные радиусы очень малы, а
магнитное поле должно быть максимальным на оси генератора,
где помещаются датчики магнитного поля или другие
экспериментальные устройства. Кроме того, чтобы уменьшить
нестабильности, требуется сводить к минимуму начальные
неоднородности лайнера.
В то же время постоянство радиуса волны детонации вдоль
оси генератора, очевидно, не является столь же необходимым.
Действительно, при сжатии магнитного потока выпуклым, но
всюду коаксиальным лайнером максимальное магнитное поле
вполне может быть неодинаковым в разных точках на оси.
В большинстве случаев задача создания детонационной волны
решается сравнительно простым путем — как показано на
фиг. 6, а и 9.
Здесь нас в основном интересует кинетическая энергия,
передаваемая схлопывающемуся лайнеру детонационной волной.
Экспериментально и теоретически [23] широко исследован
простой случай плоского лайнера, разгоняемого взрывом. Случай

204
Г. Кнопфель
же цилиндрической геометрии сложнее и в основном отличается
от плоского случая следующим:
1. Ускорение лайнера может происходить лишь на конечном
расстоянии от R2 до ~R0 [формула (3)].
2. Давление возрастает из-за конвергирования продуктов
взрыва во время схлопывания и уменьшения поверхности
(2яг2), на которую они могут
воздействовать.
На фиг. 7 представлены данные
об эффективности преобразования
и скорости лайнера, полученные
путем распространения на
цилиндрическую геометрию методов
расчета и результатов для плоского
случая [21]. Из графика видно,
например, что максимальная
эффективность преобразования может
достигать 25%. Для этого
необходимо, конечно, чтобы потери на
концах системы были ничтожно малы.
Практически это условие
выполняется, если длина заряда
примерно равна его внешнему радиусу /?3,
а в случае более коротких
зарядов — если на концах используется
тяжелая «забивка».
Создание достаточно большого
магнитного потока внутри
цилиндрической оболочки представляет
собой серьезную техническую и
экспериментальную задачу. Дело в
том, что пункты «а» и «в»,
сформулированные в начале параграфа, — это два противоречивых
требования. Действительно, с одной стороны, требуется, чтобы
вначале магнитный поток легко проникал извне во внутреннюю
полость лайнера, а с другой, — чтобы в процессе сжатия он не
диффундировал наружу из компрессионного объема.
Эту задачу можно решить двумя методами. Первый —
разрезать лайнер по образующей; поскольку проводник разомкнут,
проблема создания внутреннего магнитного потока не
существует. Под действием же ударной волны щель быстро
смыкается и магнитный поток полностью захватывается.
Недостаток этого метода — в динамике схлопывания. Дело в том, что
щель представляет собой разрыв массы, создающий
дополнительные неоднородности и даже выбросы, которые серьезно
нарушают симметрию сжатия. Во втором методе используется
Фиг. 7. Эффективность
преобразования x\k (отношение
кинетической энергии к химической
на единицу длины) и скорость
движения центра масс v^ для
схлопывающегося лайнера в
конце процесса компрессии
Кривые построены на основании
приближенных расчетов [13], в
которых результаты, полученные для
плоского случая [21], были
распространены на случай
цилиндрического тонкого, несжимаемого
медного лайнера.

5. Кумуляция электромагнитной энергии
205
цельный лайнер и соответствующим выбором параметров
(удельного сопротивления, толщины лайнера, постоянной
времени и т. д.) [19, гл. 4] обеспечивается диффузия сквозь него
Фиг. 8. Различные варианты взаимного расположения катушки и взрывчатого
вещества.
магнитного поля, создаваемого внешней катушкой.
Предполагается, что сжатие под действием взрыва происходит достаточно
быстро и это позволяет избежать каких-либо потерь магнитного
потока во внешнее пространство.
Это условие, несомненно,
выполняется к концу процесса сжатия,
когда лайнер сильно утолщается.
Основная практическая трудность
состоит в том, что катушка,
создающая начальное магнитное поле,
должна находиться там же, где и
взрывчатое вещество, так как
именно под взрывчатым веществом
разгоняется лайнер и происходит
сжатие магнитного потока (фиг. 8).
Наилучшее решение задачи
показано на фиг. 8, б, но в этом случае,
очевидно, возможны возмущения
при ускорении лайнера. Поэтому
на практике применяют и другие
варианты, имеющие и свои
преимущества, и свои недостатки (см.,
например, фиг. 9). Применение
конденсаторной батареи для питания
катушки возбуждения дает много
преимуществ, хотя это и не
единственное решение. Основное преимущество — сравнительно малое
время нарастания тока, благодаря чему катушка может
удерживаться только инерционными силами. Это существенно упрощает
конструкцию катушки, а также уменьшает ее стоимость.
О положении в области экспериментов по созданию
сверхсильных магнитных полей можно сказать, что здесь все еще в
Фиг. 9. Устройство («типа 45»),
используемое во Фраскати, для
создания магнитных полей
порядка 5—6 МЭ (диаметр
лайнера 2Ri = 7,7 см).
/ — лайнер; 2—лайнер при взрыве;
S — катушка; 4 — взрывчатое
вещество; 5—забивка; 5 —детонатор.

Взрывомагнитные генераторы сверхсильных магнитных полей
Таблица 4
Взрывчатое вещество
тип
Состав
В6)
Состав В
_
Состав В
—
СР8
система подрыва
(фиг. 6)
а, 22
детонатора
а, 25
детонаторов
а или г
а или г
ау 2 кольца
детонаторов
по 60 шт.
г, 4 линзы
Фиг. 9
я
о
СО
as
s
7,6
7,6
—
10
5
8
я
о
о?
10,2
11,8
33
-30
15
10
7
Лайнер
3,81
5,4
—
5,3
4,25
3,95
s
3,49
5,24
15
5
4,1
3,85
металл ')
Латунь
Нерж.
Нерж.
( + 20мкмСи)
Си
Си
Нерж.
Нерж.
Начальное поле
в Э я
в2)
а
в
в
в
а
Фиг. 9
И
30
300
3)
—
200
200
(Г)
90
30
-60
80
50
65

Максимальные значения
14 4)
5-6
254)
5
3,5-5
5-7
5-6
S
о
S
0,25
— 0,13
— 0,2
-1,5
—
— 0,25
-0,25
Лаборатория
Лос-Аламос
1960
1966
Москва 5)
1966
1966
Фаулнесс
1967
Лимейль
1967
Фраскати
1967

Литература
[24]
И]
[1,7,26]
[26]
[27]
[5, 29]
[2, 301
*) Латунные и медные лайнеры —разрезные, лайнеры из нержавеющей стали (нерж.) — цельные.
2) Катушка находилась внутри лайнера.
8) Для создания начального поля использовался взрывной генератор.
«) Было получено 1-2 раза.
б) Большинство приведенных данных — оценки.
6) Состав В (тритолит): 40% TNT(NO2)3C6H2CH3-t-60%RDX(CHj=N-NO2)8. — Прим. пере*.

5. Кумуляция электромагнитной энергии 207
начальной стадии, хотя прошло уже около 10 лет с тех пор, как
Фаулер с сотр. [22] впервые опубликовали свою работу.
Результаты, как это видно из табл. 4, обнаруживают большой разброс
и не систематичны. Хотя Сахаров с сотр. [24] сообщили о
создании полей, превышающих 25 МЭ, мы, по-видимому, не ошибемся,
если скажем, что до 1969 г. воспроизводимое магнитное поле,
которое можно было бы использовать, не превышало 6—10 МЭ
и, пожалуй, даже было ближе к первой цифре, чем к последней.
Во всяком случае, магнитные поля, при которых проводились все
физические измерения (эффекты Зеемана и Фарадея [29] и
температурная зависимость диффузии магнитного поля [18]), кроме
простых измерений с магнитными датчиками, лежали ниже 5МЭ.
Можно указать две основные причины этого.
1. Экспериментальное оборудование, необходимое для
создания воспроизводимых магнитных полей порядка 6—10 МЭ и
выше, — очень сложное и дорогое. Поэтому и
воспроизводимость экспериментов с сильными магнитными полями очень
низка.
2. Самая передовая экспериментальная техника и
соответствующие экспериментальные данные часто оказываются
засекреченными из-за возможности их военного использования.
Поэтому обмен информацией чрезвычайно затруднен и
практическая оценка результатов фактически невозможна.
На фиг. 9 показана конструкция взрывомагнитного
генератора, использовавшегося во Фраскати для области магнитных
полей от 5 до 6МЭ. На фиг. 10 приведена типичная скоростная
кинограмма, а на фиг. 11 — осциллограмма сигнала датчика
магнитного поля.
Создание магнитных полей напряженностью -~10МЭ при
конечном диаметре ~ 1 см (размер, необходимый для
обеспечения приемлемой воспроизводимости результатов), по-видимому,
возможно, но это требует колоссальных экспериментальных и
технических усилий. В этом случае, например, заряд
взрывчатого вещества должен иметь наружный диаметр около 50 см,
а накопитель для питания катушки генератора, создающей
начальное магнитное поле, должен иметь запас энергии по
крайней мере 500 кДж [19, гл. 9].
Наконец, возможности создания еще более сильных
магнитных полей (20 МЭ и выше) определяются в основном
гидродинамическими условиями, установленными ранее. Практически
это требует скоростей схлопывания, превышающих 1 см/мкс на
половине начального радиуса, т. е. величин, которые вряд ли
могут быть получены при использовании классических
взрывчатых веществ. Если не будут разработаны новые, более
мощные химические взрывчатые вещества, то остается либо

Фиг. 10. Скоростная кинограмма схлопывания цельного лайнера из
нержавеющей стали с Ri = 3,65 см, R2 = 3,75 см.
Использована конструкция типа показанной на фиг. 9, но с меньшим количеством взрыв
чатого вещества (Д3=»=4,9 см). Интервал между кадрами равен 1 мкс, диаметр
маркирующего кольца —3 см.
г 1
|| 1 1 1 1 1 1 1 1
h
L—J L__j i__j—i—
Лоле—*''
1 t-гГ*
// i
// 3
// i
// 3
1 / 3
1 \ \
* \ a
/J q
/ /—Давление 1
' / H
.... i .... 3
/,2
a*
о
з
t, MKC
Фиг. 11. Типичные осциллограммы сигналов датчиков магнитного поля и
соответствующие значения dff/dt, полученные с генератором, показанным
на фиг. 9.
Кривая зависимости магнитного поля от времени, соответствующая последней фазе
сжатия, приведена вместе с кривой давления \i0H2/2. Начальное магнитное поле 62 кЭ, полное
время сжатия 11,5 мкс.

5 Кумуляция электромагнитной энергии
209
прибегнуть к магнитному разгону оболочки (который может
обеспечить скорости около 2 см/мкс), либо использовать
ядерную взрывчатку или комбинацию того и другого.
ЛИТЕРАТУРА
1 Knoepfel Я., Her lack F., в книге Mega gauss Magnetic Field Generation by
Explosives and Related Experiments, EUR 2750 e, Euratom, Brussels, 1966.
2. Herlach F., Knoepfel Я., в книге Megagauss Magnetic Field Generation by
Explosives and Related Experiments, EUR 2750 e, Euratom, Brussels, 1966,
p 147.
3. Kidder R. E., в книге Megagauss Magnetic Field Generation by Explosives
and Related Experiments, EUR 2750 e, Euratom, Brussels, 1966, p. 37.
4. Caird R. S., Gam W. В., Thomson F. £., Fowler С. M., в книге Megagauss
Magnetic Field Generation by Explosives and Related Experiments, EUR
2750 e, Euratom, Brussels, 1966, p. 101.
5. Brin Л., Besancon J. £., Champetier /., Plantevin J. A, Vedel /., в книге
Megagauss Magnetic Field Generation by Explosives and Related
Experiments, EUR 2750 e, Euratom, Brussels, 1966, p. 21.
6. Herlach F., Knoepfel H., Luppi /?., van Montfoort /. E., в книге Megagauss
Magnetic Field Generation by Explosives and Related Experiments, EUR
2750 e, Euratom, Brussels, 1966, p. 471.
7. Альтшуллер Л. В., УФН, 85, 197 (1965).
8. Сахаров А. Д., УФН, 88, 725 (1966).
9. Chace W. G., Moore Н. К., в книге Proceedings of the Exploding Wires
Conference III, New York, 1964.
10. Mather J. W., Phys. Fluids, 8, 366 (1965).
11. Levine A. M., Lasers, vol. 1, New York, 1966.
12. Басов H. Г., Захаров С. Д., Крюков П. Г., Сенатский Ю. В., Чекалин С. В.,
в книге Proc. Int. Quantum Electronics Conf., Miami, 1968.
13. Somon /. />., EURATOM Rep. EUR 4197 f (1968).
14. Lehner G., в книге Springer Tracts in Modern Physics, vol. 47, Berlin,
1968, p. 67.
15. Shearer J. W., Journ. Appl. Phys., 40, 4490 (1969).
16. Herlach /\, Knoepfel H., Rev. Sci. Instr., 36, 1088 (196Г,) [имеется перевод:
ПНИ, 5, 10 (1965)].
17. Knoepfel Я., Kroegler Я., Luppi R., van Montfoort J. £., Rev. Sci. Instr.,
40, 60 (1969) [имеется перевод: ПНИ, 9, 64 (1969)].
18. Knoepfel Я., Luppi R., в книге Exploding Wires, vol. 4, New York, 1968,
p. 233.
19. Knoepfel Я., Pulsed High Magnetic Fields, Amsterdam, 1970 (имеется
перевод: Г. Кнопфель, Сверхсильные импульсные магнитные поля, изд-во
«Мир», 1972).
20. Somon J. P., Journ. Fluid Mech., 38, 769 (1969).
21. Aziz A. K., Hurwitz Я., Sternberg H. M., Phys. Fluids, 5, 380 (1961).
22. Fowler C. M., Gam W. B.y Caird R. S., Journ. Appl. Phys., 31, 588 (1960).
23. Harlow F. Я., Pracht W. E., Phys. Fluids, 9, 1951 (1966).
24. Сахаров А. Д., Люднев P. 3. и др., ДАН СССР, 165, 65 (1965).
25. Speight С. S., A. W. R. Е. Report п. 0-71/67 (1967).
26. Les champs magnetiques intenses, Paris, 1967.
27. Besangon J. £., Vedel /., в книге Les champs magnetiques intenses, Paris,
1967, p 345.
28. Knoepfel Я., в книге Physics of Solids in Intense Magnetic Fields, New
York, 1969, p. 467.
29. Gam W. В., Caird R. S., Thomson D. B, Fowler С. M., Rev. Sci. 1пз!г.,
37, 76? (1966) [имеется перевод: ПНИ, 6, 71 (1966)].

6
КУМУЛЯТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ,
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
В ГАЗОДИНАМИКЕ
Дж. Сомон*
ВВЕДЕНИЕ
Из-за технических трудностей, связанных с недостаточной
прочностью материалов, используемых для сжатия,
максимальные давления, получаемые статическими методами в
лаборатории, не превышают нескольких десятков килобара.
Динамическими методами достигаются значительно более высокие
давления (измеряемые мегабарами) и значительно более высокие
концентрации энергии. В динамических методах используется
одиночная ударная волна. Под действием какого-либо
источника энергии (заряда взрывчатого вещества,
электромагнитного ускорителя и т. д.) плоский поршень мгновенно
приводится в движение со скоростью vo относительно покоящейся
среды, в которой плотность и давление равны р0 и Аь При этом
образуется однородная ударная волна, в которой давление Pi
достигает высоких значений. Если, как в случае сильных
ударных волн в газах и почти всех (кроме самых слабых) ударных
волн в твердых телах, выполняется условие Pi S> А>, то
приращение удельной внутренней энергии в ударной волне ке =
= в\ — е0 оказывается равным удельной кинетической энергии
поршня flp/2; если, кроме того, имеет место заметное
увеличение плотности, то давление Рх « Up/Дт (т= 1/р) по порядку
величины равно pQv°p. Очевидно, что максимально возможные
концентрации энергии и давления определяются мощностью
источников энергии. Взрывчатые вещества позволяют ускорять
металлические пластинки до скоростей 1,4-10е см/с, а при
соударении их с твердыми мишенями достигаются давления
—-10 Мбар [4]. Представляет интерес не только достижение
высоких давлений, но также исследование в широкой области
значений давления и удельного объема (Р, т). К сожалению,
начальное несжатое состояние среды не может быть выбрано
* У. P. Somon, Laboratori Gas Ionizzati (Associazione EURATOA)-
CNEN) - Frascati.

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 2l 1
произвольно. Для твердых тел оно ограничено небольшой
областью около нормального состояния (pNi tjv), и процесс с
использованием одиночной ударной волны позволяет создавать
только те сжатые состояния, которые располагаются в узкой
зоне вдоль адиабаты Гюгонио, проходящей через точку
(Pn, Таг) .
Диапазон давлений и вообще пределы изменения
термодинамических величин, достигаемых с помощью одиночной волны,
можно существенно расширить. Мы начнем с того, что кратко
остановимся на возможностях такого расширения и сделаем
вводные замечания об исследовании кумулятивных процессов.
В кумулятивных процессах, по крайней мере в идеальных
условиях, оказывается возможным сконцентрировать энергию
внешнего источника для создания бесконечных давлений и
температур внутри бесконечно малого объема. Кумуляция обусловлена
нестационарным движением, для которого в общем случае
решение газодинамических уравнений может быть получено только
численным путем. Тем не менее соображения размерности
показывают, что аналитические решения кумулятивных задач для
идеального газа могут быть получены во многих интересных
случаях. Некоторые примеры так называемых автомодельных
решений рассматриваются во второй части статьи. Ясно, что
идеальная кумуляция невозможна, и поэтому мы кратко
остановимся на ограничивающих факторах.
§ 1. ПРОЦЕССЫ, ПРИВОДЯЩИЕ к высоким
плотностям ЭНЕРГИИ
1. Взаимодействие ударных волн, сходящиеся ударные волны.
Допустим, что среда подвергается действию двух ударных волн:
первая переводит среду из состояния 0 в состояние /, а
вторая — из состояния / в состояние 2. На фиг. 1 в
термодинамических переменных Р, т = 1/р представлены адиабаты Гюгонио
3^i и 5^2, соответствующие этим состояниям, а также изотермы
У и адиабаты Пуассона s4>. Состояние с «заданным давлением
Р2 = рг = р может быть получено как при сжатии одной
волной, так и при сжатии двумя последовательными волнами. Из
диаграммы видно, что двуступенный процесс приводит к
большим плотностям и меньшим температурам, чем одноступенный.
Многоступенный процесс мог бы привести к очень большим
плотностям. Таким образом, при воздействии следующих одна
за другой ударных волн рост давления и плотности энергии
должен быть промежуточным между ростом при
адиабатическом сжатии и ростом при сжатии в одной ударной волне.
Ниже мы рассмотрим ряд примеров столкновения ударных
волн. При этом мы будем рассматривать только столкновения

212
Дж. Сомон
ударных волн одинаковой интенсивности, точнее —
эквивалентную задачу о столкновении ударной волны с абсолютно
жесткой стенкой.
а. Прямые столкновения. Однородная плоская ударная
волна Si падает на абсолютно жесткую стенку и отражается от
нее в виде однородной ударной волны S2 (фиг. 2). Все
величины определяются из условия равенства нулю скорости
вещества между отраженной ударной волной и стенкой. В случае
У&2
«*, V
\Ч
л\
Уо]
V
\^
Г"
~<г
-Jl
Фиг. 1. Одно- и двуступенный
процессы ударного сжатия.
Зависимость давления от удельного
объема.
Фиг. 2. Отражение плоской
ударной волны от абсолютно жесткой
стенки.
идеального газа с показателем адиабаты у они легко
рассчитываются, а состояние газа за отраженной волной дается
формулами [1, 2]
р2 _ К (Pi/Po) - 1
Pi (Pi/Po) + К - 2 '
Р2 _ (К + 2) (/уРр) - 1 I1'
Р, Pi/Po + K
где К = Y+ 1/у— !•
Для слабой падающей ударной волны, т. е. малого
избыточного давления Pi — Ро <С Ро, отношение избыточных давлений
(Р2 —Pi)/(Pi — Ро) близко к 2 (акустическое приближение).
Для очень сильных падающих ударных волн (pi/po —► К,
Pi/Po —► оо) избыточное давление велико и Рг/Pi —► /С + 2.
Поскольку p2/pi ->(/(+ 1)/2 < /С, отраженная ударная волна не
может быть сильной.
Таким образом, в результате отражения очень сильной
ударной волны достигаются давления, намного превышающие
давление в падающей волне (для одноатомного газа, для которого
Y = 5/з и /( = 4, мы имеем P2«6Pi). Избыточное давление
обусловлено большим увеличением плотности и температуры

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 213
среды (р2 « 2,5 pi « 10 ро; Т2 = 2,4 7\). Такое же давление
Р2' = /)2 может быть получено и в одной волне, но при гораздо
большей температуре Т2, = 2,5Г2 и меньшей плотности р2, = 0,4р2.
Следовательно, прямое столкновение ударных волн
представляет собой двуступенный процесс, который позволяет достичь
высоких давлений и плотностей без существенного увеличения
температуры.
б. Косые столкновения. Плоские ударные волны
сталкиваются между собой под углом 2а. Этот случай гораздо сложнее, и
мы рассмотрим его лишь в самых общих чертах. Положение
здесь усложняется наличием двух режимов, зависящих от
соотношения между углом а и критическим углом акр [1—4].
Отражение при а < акр называют регулярным отражением,
при этом отражается наклонная плоская волна (фиг. 3, а). Все
1 ^^JLs^** ° ~~**¥? о
ш##М5ш^ у/////////////////////
а 6
Фиг. 3. Косое отражение плоской ударной волны,
а—регулярное отражение, б —отражение Маха.
величины полностью определяются тем, что скорость вещества
в состоянии 2 параллельна поверхности стенки, и
соотношениями Гюгонио для наклонных ударных волн, но при а > акр
решение становится мнимым. Угол аКр зависит от интенсивности
падающей ударной'волны [3].
При а > акр мы имеем нерегулярное отражение (отражение
Маха), а эксперименты выявляют существование
конфигурации из трех ударных волн («тришок»), в которой тройная
точка М движется по прямой линии (фиг. 3,6). Состояния 2 и 2',
получаемые первое в дву-, а второе в одноступенном процессе,
разделены скользящей прямой (Р2 = Рт\ р2 > р2,; скорости
параллельны, но V2 > V2/).
Наличие двух разных режимов можно объяснить,
рассмотрев возмущения, возникающие на стенке в области 2
регулярного отражения непосредственно за точкой Л. Если угол а
достаточно мал, то фазовая скорость точки А высока и звуковые
возмущения, возникшие в зоне 2, не могут повлиять на
движение точки А. При увеличении угла а эти возмущения начинают
влиять на распространение отраженной волны и в конце концов

214
Дж. Сомон
достигают точки А. В результате при больших углах а точка А
отделяется от стенки. Интересные особенности косого
отражения обнаруживаются и в случае очень слабых ударных волн.
При регулярном отражении для любого угла а акустическое
приближение дает Я2 — Я0 ~ 2 (Pi — Я0). Тем не менее при
а = 90° ударная волна просто скользит вдоль стенки и
Рг — Ро = Pi — Ль Это свидетельствует о невозможности
непрерывного перехода между этими случаями. Тщательный анализ
показывает, что при акр ~ 90° происходит отражение Маха,
создающее пик избыточного давления Я2 — Ро ~ 3(Pi — Яо),
благодаря чему и устраняется указанное противоречие.
i
Детонационная
волна
Фиг. 4. Сверхсжатие,
обусловленное косым отражением ударных
волн в алюминии [4].
Взрывчатое
вещество
Фиг. 5. Экспериментальное
устройство для наблюдения отражения
Маха.
В качестве примера к случаю косого столкновения на фиг. 4
приведена зависимость Яг (а) для сравнительно слабых ударных
волн в алюминии (Я4 = 0,33 Мбар). Прямое столкновение дает
давление порядка 0,82 Мбар (Я2/Я1 = 2,5), но при углах
а ^ акр (P2'jP\ *** 6) достигается гораздо большее давление,
порядка 2 Мбар. Таким образом, отражение Маха позволяет
расширить диапазон достигаемых давлений. Схема
соответствующего экспериментального устройства довольно проста (фиг. 5),
но большие избыточные давления достигаются лишь при углах,
близких к критическому, где режим отражения Маха не очень
устойчив и еще недостаточно изучен. Были также проведены
эксперименты по указанной выше схеме, но с использованием
конических образцов. На медных образцах получено давление
18 Мбар [5].
Интересной особенностью косого столкновения и отражения
Маха в окрестности акр оказывается то, что оно позволяет
создавать давления большие, чем те давления, которые
достигаются при прямом столкновении. Но это возможно не всегда,
а лишь в зависимости от среды и интенсивности ударной волны.

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 215
В иных условиях кривая Р2(а) может существенно отличаться
от приведенной на фиг. 4 [1, 22].
в. Сходящиеся ударные волны. Представим себе косое
столкновение большого числа плоских ударных волн, фронты
которых касаются поверхности кругового цилиндра и движутся к
оси цилиндра (фиг. 6). В пределе бесконечного числа волн мы
получим цилиндрическую сходящуюся ударную
волну, которая должна создавать очень высокие
давления.
Цилиндрические и сферические сходящиеся
ударные волны в идеальном газе будут
рассмотрены в § 2, п. 3, б, где показывается, что при
приближении ударной волны к оси или центру
происходит кумуляция. При этом давление и
температура возрастают до бесконечности, тогда
как плотность стремится к конечной величине по
закону, слабо зависящему от того, как была создана волна.
Кумуляцию можно объяснить тем, что, когда радиус ударной
волны стремится к нулю, она действует на бесконечно малую
массу газа.
Сходящиеся ударные волны исследовались
экспериментально [26, 27, 31] (см. также обзор [2]), но многие работы,
связанные с военными исследованиями, вероятно, еще не
опубликованы [32]. Исследовались также детонационные сходящиеся
Фиг. 6.
Сходящиеся ударные
Перемещающийся фронт
детонационной волны
7/7//Л//)Т/////
/S77777777,
Детонатор
Т
Взрывная базовая
смесь (СгНг+Огпри
0,2 мм pm. ст.)
Фиг. 7. Экспериментальное устройство для получения сходящейся
цилиндрической детонационной волны [26].
волны. Когда кумуляция становится значительной или
химическая энергия становится малой по сравнению с энергией
ударной волны, их можно рассматривать как сходящиеся ударные
волны. На фиг. 7 приведено экспериментальное устройство,
имеющее цилиндрическую геометрию. При помощи такого
устройства было показано, что движение вблизи оси автомо-
дельно, и были достигнуты давления, в 18 раз превышающие
давление Ченмена — Жуге [26].

216
Дж. Сомон
2. Столкновение движущихся сред. а. Плоская геометрия.
Рассмотрим сначала прямое столкновение однородной
полубесконечной среды, движущейся со скоростью v0i с абсолютно
жесткой стенкой. В этом случае образуется отраженная
однородная ударная волна, в которой кинетическая энергия переходит
во внутреннюю энергию. По обе стороны ударного фронта
известны скорости, и, следовательно, из соотношений Гюгонио
можно определить плотность и давление у стенки. Для
металлов, согласно хорошо известной линейной зависимости между
скоростью вещества за ударной волной и скоростью фронта,
давление на стенку оказывается равным
Ли-Ро^+тг). а~1'5' М = 17Г'
(2)
тогда как для политропного газа при большом числе Маха М
получается
М>1. (3)
р -V+1
hVl>
В обоих случаях для умеренных и сильных ударных волн
давление на стенку по порядку величины оказывается равным
плотности кинетической энергии р^.
На фиг. 8 приведена более сложная схема, в которой
сжимаемая среда / помещена между стенкой и полубесконечным
Я
До столкновения
После столкновения
рвая udt
волна)
а
Фиг. 8. Плоское сжатие вещества / между поршнем О и абсолютно
жесткой стенкой.
поршнем О. Асимптотически при / -> оо наличие среды /
приводит к небольшим отличиям этого случая от предыдущего, так
что по-прежнему давление, действующее на стенку,
определяется только поршнем. Асимптотическое значение давления Им
устанавливается постепенно. В момент столкновения в среде /
начинает распространяться первая ударная волна, а в среде О
распространяется отраженная волна. Потребуем, чтобы
давление Pf в первой ударной волне было мало по сравнению с Рм-
Тогда в среде / первая ударная волна будет многократно
отражаться от стенки и поршня. Даже если первая ударная волна
сильная, последующие ударные волны в любом случае будут
Слабыми, и их действие приблизительно эквивалентно адиабд-

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 217
тическому сжатию вещества /. Их последовательные
отражения от границы 0—/ возбуждают в поршне все более и более
слабые волны, которые догоняют передний фронт. Отражения
происходят до тех пор, пока давление не достигает своего
асимптотического значения Рм- В конечном состоянии
вещества /, получающемся в результате действия ударной волны и
адиабатического сжатия, может быть очень высокая плотность.
Очевидно, что асимптотическое давление Рм достигается и в
случае поршня конечных размеров, если его толщина d больше
некоторой характерной толщины dc. Если же d < dc, то
асимптотическая ударная волна должна была бы создаваться вне
поршня; максимальное давление Рш < Рм достигается, когда
поршень останавливается перед отдачей, его можно найти из
равенства начальной кинетической энергии поршня и
внутренней энергии среды / при давлении Рт. Это же энергетическое
соотношение при Рт = Рм дает характерную толщину dc [8].
Косое столкновение сред с плоской границей выходит за
пределы нашей темы и здесь не рассматривается. Заметим
только, что в случае косых столкновений возможны два режима:
в первом из них, когда угол столкновения а превышает
некоторый критический угол а*, образуется высокоскоростная струя
(эффект полого заряда), а во втором, при а < а*, струя не
образуется [9].
б. Цилиндрическая и сферическая геометрия. Можно найти
много примеров сходящегося движения, зависящего от
начальных условий. Мы рассмотрим только предельные случаи в
соответствии с начальным значением числа Маха М.
М = оо (т. е. скорость звука с0 = 0). Среду можно
рассматривать как газ независимых частиц, движущихся к оси или к
центру с некоторой радиальной скоростью. Время / = 0
соответствует моменту столкновения, а распределения плотности и
скорости ро(/*) и vo(r) в этот момент являются начальными
условиями. В результате столкновения образуется расходящаяся
ударная волна, в которой достигаются высокие давления.
Простейший случай р0 = с', v0 = сх рассматривается в § 2, п. 3, а.
Такое сходящееся движение используется в физике плазмы для
моделирования полого пинча [10].
М = 0 (т. е. Со = оо). Среда несжимаемая, и начальные
условия нельзя выбирать произвольно. Наиболее известный
пример — задача Релея о схлопывании сферического пузырька в
несжимаемой жидкости [11, 15]. В жидкости возникают
пузырьки пара жидкости или нерастворенных газов. Пузырьки
схлопываются, когда попадают в области жидкости с более
высоким давлением, чем в области их образования. Рассмотрим
сначала пустую сферическую полость радиусом R = /?0 в
покоящейся жидкости. Под действием окружающего давления Pq

218
Дж. Сомон
начинается движение. Уравнение непрерывности V • v = 0 дает
распределение скорости:
-*ег-
или
= —, где т| = -
(4)
Давление получается подстановкой выражения (4) в уравнение
движения (13) и интегрированием по г от R до оо:
Р = Ро + 9
RR + 2#2
(5)
Из условия Р = О на границе пузырька (г) = 1) легко найти
скорость движения границы:

*-$-[(*)'-lite)
При малых радиусах R пузырька [ц ^.(Ro/R)3] равенства (6) и
(5) переходят в соотношения
?2~
2PQRQ
1
Зр R3
• Г 2 \г\ л4/'
(7)
описывающие процесс кумуляции, при котором #-*<х>. В
самом деле, внутри жидкости при ц = г\м —► 4,/а имеется
максимум давления Рм (фиг. 9) и под
действием этого внешнего давления
оболочка (1^т1<111м) с бесконечно
малой массой приобретает бесконечно
большую скорость.
Заметим, что при малых радиусах
движение слабо зависит от начальных
условий /?о, Ль причем зависит только
от величины Wo~ PoRo, которая
пропорциональна начальной энергии,
необходимой для образования пузырька.
Принимая за / = 0 момент схлопыва-
ния, для движения границы получим R ~ (йур)1/в(—1)\ При
/?->0 имеем
Фиг. 9. Схлопывающийся
сферический пузырек.
V~
1
R2r
В момент схлопывания скорость среды при любом конечном
радиусе г ф О стремится к нулю, и, таким образом,
первоначальная кинетическая энергия полностью концентрируется в центре
в исчезающе малом объеме. Бесконечно большое давление при
конечном радиусе означает, что предположение о несжимае-

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 219
мости среды перестает быть справедливым. Действительно, при
учете сжимаемости давление остается конечным (§ 2, п. 3, в).
Представляет также интерес случай схлопывания в вакууме
несжимаемой цилиндрической или сферической оболочки.
Вначале оболочка движется к центру. Из законов сохранения
массы и кинетической энергии и уравнения для скорости (vmJl =
= RR/r, 0Сфер = $R2/r2) сразу получается закон изменения
внутреннего радиуса R. При R —► 0 имеем
кимм~ ~[/?2 ПП R \Г\ /?сфер~ -[#Г3/'> (8)
и точно так же, как в предыдущем примере, вблизи центра
скорость стремится к бесконечности. Единственное различие
заключается в том, что давление, оставаясь по-прежнему
бесконечно большим в непосредственной близости от внутренней
стенки, сохраняет теперь при R —► 0 конечное значение внутри
оболочки. Выражения (8) показывают, что цилиндрическая
кумуляция скорости гораздо менее эффективна, чем сферическая,
причем ЭТО справедливо И при учете Металлический
сжимаемости. s7777>^ лайнеР
Цилиндрическое схлопывание
металлических оболочек применяется в г л » -*i/u-p*o
экспериментах по сжатию магнитных ^ -НоН-
потоков [12, 23] *) (фиг. 10). Такие
оболочки, приводимые в движение
взрывчатым веществом, обычно исполь-
зуются для сжатия аксиального маг- ?кг- „J0* Цилиндрическое
J сжатие аксиального магнит-
нитного ПОЛЯ, поток которого внутри ного поля металлическим
сверхпроводящей оболочки не меняет- лайнером.
ся (BR2 = ф = С); при этом
магнитное давление во внутренней полости растет пи закону Р =
= В2/8л ~ Ф2//?4. Давление достигает максимальной величины
Рт и затем заставляет оболочку снова расширяться. В случае
оболочки из несжимаемого материала магнитная энергия при
максимальном давлении (Вт/8я)я/& ~ ВтФ равна начальной
кинетической энергии WK(0). Таким образом, при стремящемся
к нулю потоке в области А ~ Ф2 получается кумуляция поля
Вт ~ Ф-1. В действительности кумуляция ограничивается
сжимаемостью оболочки. При плоской геометрии в случае
достаточно толстого поршня, как следует из сказанного в § 1, п. 2, я,
давление Рт дается равенством (2); слабая кумуляция,
имеющая место в цилиндрической геометрии, приводит к давлениям
немного большим, чем (2). Экспериментально получены поля
порядка 10 МГс, а теоретически их значения могут достигать
30 МГс [12].
*) См. также гл. 5 настоящей книги.

220
Дж. Сомон
3. Кумуляция в среде с переменной плотностью. Как
известно из элементарной механики, покоящееся твердое тело с
малой массой т при соударении с телом, имеющим большую
массу М (М/т > 1) и движущимся со скоростью t>o,
приобретает такую скорость vt что 1 < v/vo = 2/(1 + т/М) < 2.
Следовательно, в результате столкновений ряда тел со все меньшей
массой можно ожидать существенного увеличения скорости.
В пределе бесконечно большого числа столкновений телу с
бесконечно малой массой сообщается бесконечно большая скорость.
Были предприняты попытки применить данный принцип к
столкновениям металлических пластинок, но это оказалось
нелегкой задачей [13]. Исследовалось также прохождение ударной
волны через систему чередующихся слоев легкого и тяжелого
веществ с постепенно уменьшающейся толщиной, и при этом
также обнаружен кумулятивный эффект [14].
Можно привести пример из астрофизики. Вблизи края
звезды плотность падает до нуля по закону р0 ~ хь, б « 3,
который определяется эффектами гравитации и радиационной
проводимости. Поэтому при выходе на поверхность ударной
волны, возникшей в центре звезды, имеет место кумулятивный
эффект. Такая кумуляция аналогична кумуляции в случае
сходящихся ударных волн в том отношении, что конечная энергия
передается бесконечно малой массе вещества. Ио имеется и
важное различие (§ 2, п. 3, г), связанное с уменьшением
плотности. Вследствие уменьшения плотности при х-*0 давление и
плотность энергии стремятся к нулю, и только удельная
энергия (или температура), как и в случае сходящихся ударных
волн, бесконечно возрастает. Скорость, сообщаемая бесконечно
малой массе, становится бесконечно большой, чем можно
объяснить происхождение космических лучей и межзвездных
частиц с очень высокой энергией [15]. Действительно, вследствие
гравитационной неустойчивости вблизи центра сверхновой в
процессе ее взрыва возникают очень сильные ударные волны.
4. Акустическая кумуляция в цилиндрической геометрии.
Волновое уравнение для величины G в цилиндрической
геометрии имеет вид
W* Т дг V дг)-"' w
где с = сг — скорость распространения.
Неожиданной особенностью уравнения (9) является
существование решения [16, 17]
G = r"v7(t), т—f,

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 221
где т < 0 для сходящихся волн, т > 0 для расходящихся и
f(x)->oo при т->+ 1. Решение описывает разрыв, движущийся
к центру со скоростью с (т = —1). При подходе к оси амплитуда
разрыва стремится к бесконечности как г-1/з. После отражения
разрыв остается бесконечно большим вдоль линии г = ct (т = +1),
и, таким образом, вне оси распространяется область кумуляции.
Это обстоятельство характерно лишь для цилиндрической
геометрии и отсутствует в случае плоской или сферической геометрии.
Для реальной среды уравнение (9) соответствует
акустическому приближению, которое незаконно вблизи оси, где G
достигает больших значений. Можно привести один пример, когда
уравнение (9) строго применимо — случай чисто
электромагнитной ударной волны (постоянство скорости света с).
Предположим, что однородное магнитное поле В0 ограничено
плоским идеальным проводником, который мгновенно приводится в
движение с постоянной скоростью v. При этом возникнет
скачок электромагнитного поля от однородного магнитного поля Во
до однородного магнитного поля Вь распространяющийся со
скоростью с. Поскольку магнитный поток остается постоянным,
мы имеем В{ = В0/(1 — vie). В цилиндрической геометрии
световая ударная волна создается таким же образом при помощи
стенки, внезапно приводимой в движение. Как следует из
уравнений Максвелла, в этом случае поле В удовлетворяет
уравнению (9). Поэтому должна происходить рассмотренная выше
кумуляция магнитного поля [17]. Очевидно, что стенка не
может быть бесконечно проводящей и диффузия поля через стенку
приведет к сглаживанию ударной волны и к ослаблению
кумуляции.
5. Магнитогидродинамическая кумуляция около линии
нулевого поля. Мы рассмотрим теперь пример, который показывает,
что кумулятивный . процесс может быть также двумерным.
Предположим, что в постоянное квадрупольное магнитное поле
Ъе = BoVxy (фиг. 11) помещен круговой цилиндр идеально
проводящей и несжимаемой жидкости. Когда токи и'скорости
равны нулю, жидкость находится в равновесии. Такое равновесие
неустойчиво, в чем нетрудно убедиться, если внести линейное
возмущение скорости
vx = Ux, vy=Vy. (10)
Оказывается, что при начальных условиях (10) магнитогидро-
динамические (МГД) уравнения движения, не зависящие от
аксиальной координаты г, могут быть точно решены.
Движение создает аксиальный ток с плотностью /z, и благодаря
пинч-эффекту (или лоренцевой силе j X В) круговое сечение

222
Дж. Сомон
деформируется в эллипс с осями, направленными вдоль осей
координат Ох, Оу. За время, сравнимое с отношением начального
радиуса цилиндра к альфвеновской скорости VA = В0/ (4яр0) \
происходит кумуляция и эллиптическое поперечное сечение
вытягивается по оси х (или по оси у в зависимости от соотношения
величин U и V). Точка А стремится к бесконечности, и
одновременно бесконечно возрастают кинетическая энергия жидкости
и плотность тока [18].
МГД-уравнения точно решаются и в том случае, когда среда
представляет собой идеальный газ с конечной
электропроводностью. За конечное время кумуляции среда, содержащаяся
вначале внутри кругового
поперечного сечения,
сплющивается в эллипс нулевого
объема, т. е. в отрезок АА' на оси
х (или у). На этом отрезке
плотность, скорость Vyi
плотность тока /z, а также
внутренняя, кинетическая и магнитная
энергии возрастают до
бесконечности. Для кумуляции
требуется энергия, которая
отбирается от магнитного поля.
Внешнее поле Ве может быть
создано четырьмя симметрично
расположенными
проводниками, в которых токи /Р
направлены в противоположные сто-
ток 1\ при кумуляции
обращается в бесконечность, и, чтобы поддерживать предполагаемое
квадрупольное поле Ве, необходимы бесконечно большие токи
Je. Интересным следствием кумуляции является также то
обстоятельство, что величина 7/п, т. е. скорость электронов *), тоже
стремится к бесконечности. Этим можно воспользоваться для
ускорения частиц до высоких скоростей [19].
§ 2. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
1. Анализ размерностей. В задаче о кумуляции жидкости
рассматривается нестационарный процесс, и точное решение
уравнений движения связано со сложными численными
расчетами. Тем не менее в ряде случаев, представляющих большой
интерес, решение дифференциальных уравнений в частных
х) Здесь п — число заряженных частиц. — Прим. ред.
Магнитные
силовые линии
Фиг. 11. Магнитогидродинамическая
кумуляция вблизи нулевой
(аксиальной) линии поля.
роны. Индуцированный в среде

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 223
производных сводится к решению обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такие случаи можно выявить методом
анализа размерностей. Область применения методов анализа
размерностей весьма широка. Мы изложим лишь основные
сведения о данном методе, необходимые для наших целей, а
подробности читатель может найти в специальной литературе [20].
а. Группа преобразований. Корректно поставленная
физическая задача, в которой рассматриваются п величин Gi, ..., Gn,
время / и пространственные координаты Хк, содержит
следующие элементы:
1. Общие уравнения Е в обыкновенных или частных
производных, которые представляют собой дифференциальные
соотношения между величинами Gu t и Хк.
2. Начальные и граничные условия, а также некоторые
функциональные соотношения (например, уравнение состояния)
С, которые необходимы и достаточны для решения задачи.
3. Решение S, которое при условиях С определяет величины
Gi как функции хк, t.
Введем семейство, или группу, преобразований ТЕ,
производимых над величинами Gu *к, t и обладающих тем свойством,
что они не меняют вида уравнений Е (преобразования Галилея,
изменение масштабов и т. д.). Тогда в этом же семействе
найдутся преобразования Тс, при которых будут инвариантными
условия С. Поэтому решение S должно быть инвариантным
относительно преобразований Ts, при которых инвариантны
уравнения Е и условия С. В общем случае Ts = Тс = ТЕ, и задачу
нельзя упростить. Но когда условия С достаточно просты,
преобразования Тс проще преобразований ТЕ и нахождение
решения S несколько облегчается за счет потери его общности.
Самые простые и самые важные преобразования — это
преобразования масштаба
Gi = XiGi9 xK = XKxKi t = h0i. (11)
Хорошо известно, что математическое выражение физических
законов не должно зависеть от выбора системы единиц.
Решение данной задачи получим, подставив соотношения (11) в Е и
С и написав условия инвариантности. Последними
определяются соотношения между X и, следовательно, комбинации величин
Gu хк и /, от которых зависит решение.
При подстановке выражений (11) в уравнения Е мы сразу
приходим к обычному представлению о размерности. В случае
одномерной газодинамики такая подстановка уменьшает число
независимых коэффициентов Я до трех и вместо всех этих
величин К можно рассматривать только три основные единицы
М, L, Т.

224
Дж. Сомон
б. Одномерное нестационарное движение идеального газа.
Уравнения Е записываются в виде
•f + ^-+('-l>^-0. (12)
(i+v)7=0' (,4>
где v = 1 для плоской, v = 2 для цилиндрической и v = 3 для
сферической геометрии. Преобразование (11), примененное к
уравнениям (12) —(14), дает размерности величин: [v] = LT'X
и т. д.
В общем случае условия С содержат три независимых
размерных параметра а, 6, с и ряд безразмерных величин \ли •..
..., щ (таких, как отношение начальных радиусов и т. д.).
Характерные время /0, длина г0 и плотность (в которую входит
масса) роо выражаются через комбинации параметров а, 6, с.
Отсюда решение уравнений (12) — (14) в инвариантной
безразмерной форме запишется в виде
В частных случаях, представляющих для нас интерес,
условия С содержат только два независимых размерных параметра,
в один из которых обязательно входит масса (плотность среды).
Эти параметры можно записать в виде
Ar=LT-\ B = 9ooLm.
Теперь уже невозможно с помощью параметров А и В
составить новые независимые характерные время и длину.
В результате функции V, П и Н оказываются зависящими от
rut только через безразмерную переменную

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 225
и, подставив их в уравнения движения (12) — (14), мы получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти
функции одной переменной полностью описывают движение, и
профили функций Gi(l) Дают распределение величин G,- в любой
момент времени при соответствующем изменении масштабов
величин г и Gi. Поэтому такие решения называют
автомодельными.
Уравнение (14) справедливо только для идеального газа.
В принципе его можно заменить законом сохранения энергии,
дополненным общим уравнением состояния е = е(р, р). Такое
уравнение состояния зависит от сил взаимодействия между
частицами (которых нет в идеальном газе) и содержит размерные
параметры. Эти параметры могут входить в уравнения либо в
явном, либо в неявном виде (например, плотность и скорость
звука при нулевой температуре в случае твердого тела). Так
или иначе, но число размерных параметров становится слишком
большим и построить автомодельное решение оказывается
невозможным. Вообще говоря, это относится и к
газодинамическим задачам, в которых рассматриваются явления,
характеризующиеся эффективным сечением (ядерные реакции
и т. д.).
Для несжимаемых жидкостей уравнение (14) заменяется
равенством р = р0 и задача становится тривиальной. Тем не
менее и в этом случае анализ размерностей оказывается полезным.
Например, если в задаче о схлопывании сферического пузырька
(§ 1, п. 2,6) предположить, что конкретные начальные условия
уже не играют роли, а все определяется лишь энергией W0,
необходимой для образования пузырька, то размерными
параметрами становятся величины Wo ~ p0L5T~2 и В = р0. Отсюда
сразу получаем закон изменения радиуса пузырька R ~
~ (№Уро)'/5(—t)v& в согласии с формулой (7).
2. Некоторые сведения об автомодельной газодинамике.
а. Уравнения. Мы воспользуемся методом Седова [20], слегка
изменив его обозначения. Два независимых размерных
параметра выбираются следующим образом:
a = MLKTs, A = LT-a. (15)
Заменив давление р = рс2/у скоростью звука с, запишем
автомодельное решение в виде
v=LtV&), c2 = -£z(i), P = 7^¥-G(|), (16)

226
Дж. Сомой
где l = r/Ata. Подставив выражения (16) в уравнения
движения (12) — (14), после некоторых преобразований получим
Ж = Т^сГ V(V-\)(V-a) + ($-4V)Z А2 (^ — 0 +
+ v(y-1)K](K-o)»-(y-1)K(K-1)(V-o)-[2(K-1) +
+ p(Y— 1)]Z}, (17)
rflogg Z-(V- a)2
dV — V(V- l)(7-o) + (p-vK)Z '
J
Z-(K-a)
(18)
У(у_1)(у-д) + (р-уу)2 ] (19)
rzefi = [s + 2 + a(k+l)]/y.
Эти уравнения имеют несколько замечательных свойств. Во-
первых, величины g и G входят в них под знаком дифференциала
только в виде dlogg и dlogG. Это обстоятельство является
следствием размерной структуры уравнений (16). Величины g
и G содержат размерные параметры А и а, которые могут быть
выбраны произвольно и, следовательно, не должны входить
в уравнения движения. Из-за логарифмической зависимости
параметры А и а выпадают из уравнений (17) — (19). Во-вторых,
в уравнение (17) входят только V и Z. Действительно, оно было
выведено исключением d log g и d log G из трех уравнений,
непосредственно полученных при подстановке (16) в (12) — (14).
Все необходимые величины мы найдем, решив уравнения
(17) относительно Z и V. Подставив Z(V) в (18) и (19),
получим величины V(l) и G(g) в виде двух квадратур. Иногда
можно обойтись без квадратур и найти интегралы, используя
законы сохранения гидродинамики. Тогда порядок системы
понижается, и, согласно Седову [20], получается, что:
а) Уравнение непрерывности (12) приводит к интегралу
массы /i(g, G, V, М) = 0. Величина M(g) определяется
выражением М = rK+3/5«^/arv, где М — масса, заключенная между
фиксированной поверхностью и поверхностью g = сК
б) Условие постоянства энтропии дает функцию
/2(g, G,Z, М) = 0. «Адиабатический интеграл» /3(g, V, Z, G) = 0
получается при исключении М из f\ и /2-
в) Если из параметров а и А можно составить константу с
размерностью энергии MLy-lT~2, скажем энергию на единицу
длины или площади в сферическом, цилиндрическом или
плоском случае [т. е. если s + 2 + a(v — 1 + k) = 0, то существует
интеграл /4(g, V,Z) = 0, выражающий закон сохранения энергии.

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 227
г) Если из а и Л можно составить константу с размерностью
ML~lT-{ импульса на единицу площади, то получим интеграл
сохранения импульса fs(G, V, Z) =0.
Эти интегралы не очень сложны и часто оказываются весьма
полезными. Например, задача о сильном сферическом взрыве
решается в почти аналитической форме при использовании
адиабатического интеграла и интеграла энергии (параметры р0 =
= ML-3 и W0 = ML*T-*).
Фиг. 12. Автомодельные интегральные кривые в плоскости Z, V для
сходящейся ударной волны.
Решением является кривая NAiOMiM2C» Стрелками указано направление возрастания £.
б. Решение уравнения (17) в плоскости (Z,V). Основным
уравнением задачи является, очевидно, (17). Давление Р =
= ZG/y равно нулю на оси I/, скорости равны нулю на оси Z.
По определению, величина Z положительна. Интегральные
кривые уравнения (17) обычно имеют довольно сложный вид, что
связано главным образом с расположением особых точек, т. е.
точек, получаемых приравниванием нулю числителя и
знаменателя в правой части уравнения (17) (один из примеров
представлен на фиг. 12). Одна из этих кривых определяется
начальными условиями задачи и является ее решением. Как будет
ясно из дальнейшего, существуют 2 вида решений [15]:
а) Решения первого рода, для которых степенной
коэффициент а и решение в плоскости (Z, V) определяются по
начальным и граничным условиям (пример — в п. 3,а).

228
Дж. Сомон
б) Решения второго рода, для которых эти условия
недостаточны. Параметр А неизвестен, и коэффициент а, так же как
и решение Z(V), априори неопределены. Это обычный случай
в задаче о кумуляции, где к моменту кумуляции часть
начальных условий оказывается уже несущественной. Но решение
определяется требованием, чтобы кривая Z(V) была единственной
и, кроме того, проходила через некоторые точки, определяемые
граничными условиями. В плоскости Z, V решение не
обязательно представляется непрерывной кривой. Может возникнуть
ударная волна, приводящая к разрыву.
Фиг. 13. Кривые в плоскости Z, V.
Кривая ^ относится к сходящемуся движению.
Ударные разрывы. Допустим, что на радиусе rs(t) возникает
ударная волна. Анализ размерностей дает, что r8/Ata = |в = с*.
Таким образом, скорость ударной волны rs = arjt. Состояния /
и 2 по разные стороны фронта изображаются определенными
точками в плоскости (Z, V). Записывая условия Гюгонио в
безразмерных переменных, получаем
G,(V,-a)-0,(l',-«).
Соотношения (20) устанавливают соответствие между
состояниями / и 2, т. е. топологическое преобразование одних точек
плоскости (Z, V) в другие. Рассмотрим несколько
представляющих для нас интерес парабол (фиг. 13).

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 229
Во-первых, на параболе 3*и описываемой уравнением
Z = (K-a)2, (21)
точки переходят сами в себя. Следовательно, в каждой точке на
такой параболе мы имеем слабый разрыв, т. е. этой точкой
определяется характеристика. Из уравнения (21) явствует, что
в размерных переменных характеристика запишется в виде
dr/dt = v + с при V < а и dr/dt = v — с при V > а. Кроме
того, скорости относительно ударной волны являются
дозвуковыми выше кривой 3*\ и сверхзвуковыми под нею. И наконец,
кривая 3*\ имеет то важное свойство, что она может пересекаться
с кривыми Z(V), имеющими физический смысл, только в особой
точке, которая определяется из условия обращения в нуль
знаменателя в формуле (18). Действительно, переменная | имеет
экстремум на кривой 3*\ [формула (18)] и физические величины
оказываются неоднозначными во всех точках пересечения с
параболой 3>и кроме особой точки.
Во-вторых, парабола 3*2, описываемая уравнением
22 = ^Т(^-а)2, (22)
соответствует предельному случаю, когда состояние /
изображается точкой на оси V (Z\ = О или С\ = 0), т. е. соответствует
бесконечно сильной ударной волне. В силу тех свойств,
которыми обладают кривые 3*\ и 3*2, точка, изображающая
состояние / перед ударной волной, будет принадлежать области,
лежащей под кривой 3*\, и переходить в точку, описывающую
состояние 2 за фронтом ударной волны, которая расположена
между 3*\ и 3>2.
В-третьих, когда в одном из состояний 1 и 2 вещество
покоится, т. е. когда изображающая точка лежит на оси Z, другое
состояние описывается точкой, лежащей на параболе 3*ъ,
уравнение которой имеет вид
Z = -a(V-a)(\+l=±v). (23)
Особые точки. Такие точки находятся из условия, что
числитель и знаменатель в правой части (17) обращаются в нуль.
Лишь некоторые из них используются в данной задаче.
Характер сингулярности зависит от значений параметров a, k, s,...,
что в сильной степени усложняет форму кривых Z(V)
(фиг. 12 [21]).
Точка 0 (Z = 0, V = 0)—узловая. Ограничиваясь членами
первого порядка, из соотношений (17) и (18) получаем
Z~V2~l'2l\ G~rs,\ (24)

230
Дж. Сомон
Точка 0 достигается при £-*оо (если а>0). При любом
конечном времени ей соответствует состояние на бесконечности
(г-*оо), а при /—►0 — состояние с любым- конечным г Ф 0.
Сингулярная кривая Z = (а2/Р) V также начинается из нуля.
Точка 0\ (Z=0, 1/=1)—узел; несингулярные
интегральные кривые (не проходящие через особые точки) касаются
оси V. Точка 02 (Z = 0, V = а) — седловая.
Точки А\ и Лг лежат на параболе 3>\ и определяются из
условия
(V _ 1) V2 — (р + av — 1) V + ар = 0. (25)
Они могут быть как действительными, так и мнимыми, и это
нужно специально выяснять в каждом конкретном случае.
Величина I в этих точках конечна.
Точка В (К = 2/{2+(Y-l)v], Z=V(V-l)X
X (V — a)/(vV— Р)) —узловая, если она расположена над
кривой^ и I -> оо, а при смещении в область ниже^1 превращается
в седловую.
Точки С (K = p/v, Z=oo), D (V = a, Z = оо) и £ (V =
= 00, Z = 00) имеют особенность на бесконечности. При
aYv<2(l — а) точка С — узловая, а D — седловая. Ситуация
обратна, если неравенство имеет противоположный знак; |—*0
в точке С, если точка С — седловая, и %-+сг в точке D, если
точка D—узловая.
3. Автомодельная кумуляция. Теперь найдем решения для
нестационарных процессов, связанных с явлениями кумуляции,
о которых говорится в § 4. Здесь также рассматривается
случай сходящихся волн; задача не претендует на решение
проблемы кумуляции, но дает пример автомодельного решения
первого рода и наглядно демонстрирует роль геометрии для
достижения концентрации. Сходящуюся ударную волну мы
рассмотрим подробнее, чтобы проиллюстрировать типичный и
важный случай автомодельных решений второго рода; для других
же примеров подобных решений мы приведем лишь основные
результаты.
а. Сходящиеся волны. Начальное состояние однородного газа
характеризуется плотностью р0, скоростью звука с0 и
скоростью v0i направленной к плоскости, оси или центру
симметрии в зависимости от геометрии. В момент времени t = 0
(фиг. 14) происходит схлопывание. Размерные параметры
таковы:
а = р0 = МГ3, A=\v0\ = LT~l.
В этом случае применимы уравнения, приведенные в п. 2 с k =
= —3, s = 0, a=l, Р = 0. Решения зависят также от
безразмерного параметра М= \v0\/c0. Они являются автомодель-

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 231
t=0
ными с автомодельной переменной l = r/\v0\t. Интерес
представляют сингулярные точки 0 и А2 [V = О, Z = а2;
формула (25)].
Рассмотрим плоскость (Z, V) (фиг. 13). Точка 0 относится
к состоянию жидкости на бесконечности; начальными условиями
определяется асимптотическая форма Z = V2/M2 уравнения (24)
и, таким образом, интегральная кривая Ч?.
Точка, изображающая решение в
плоскости (Z, К), выходит из точки 0 и следует
вдоль кривой, пока не достигнет параболы
Фи на которой £ имеет минимальное
значение, т. е. Z(|) и V(l) становятся
неоднозначными. Следовательно, непрерывное
решение построить невозможно. Необходимо
ввести разрыв в точке пересечения Mi
кривых ^ и #*3. Действительно, в силу свойств,
которыми обладает парабола ^3, ударная
волна переводит точку М{ в точку М2 на
оси Z. В физическом пространстве при
движении из бесконечности газ сначала
сжимается адиабатически, пока не
встретится с ударной волной, которая его
останавливает. Скорость ударной волны равна
Л= |t>oUi.
Уравнения движения (17) — (19) приходится решать
численными методами. При очень высоких числах Маха (М » 1) легко
найти простое приближение. В этом случае интегральная
кривая 9? близка к слабо изогнутой параболе Z = V2/M2 и точка М\
находится поблизости от точки Q. Приближение первого
порядка дает [10]
*-(£Г -('+тГ- <— <*
t>tf
Фиг. 14. Движение к
центру.
в адиабатической области и
■* « (1±±У Р ~ (У±±у-г У±±о„2
Pl ~\Y_i J • Ъ~ \Y_iJ 2 poyo»
y(y-D
J2,
(27)
Ci:
vz
в однородном неподвижном ядре за фронтом ударной волны.
Эти решения имеют простой физический смысл. Условие
М 3> 1 означает, что в адиабатически сжимаемой области, где
частицы газа совершенно свободны, тепловые эффекты
пренебрежимо малы. Величина 1 + 1/| = (г+ \v0\t)/r равна
отношению радиуса г0, где частицы были вначале, к фактическому
радиусу г. Уравнение (26) записывается в виде закона сохранения

232
Дж. Сомон
массы prv""! = р(/'о~1- Условиями Гюгонио для сильной ударной
волны определяются последовательно соотношения (27).
Следующий член разложения был бы порядка 1/М2.
Влияние геометрии на состояние внутри ядра отчетливо
видно из соотношений (27), если взять v= 1, 2, 3. Подставляя
поочередно эти числа, получаем каждый раз при переходе от
одной геометрии к другой увеличение плотности и давления
в (y+1)/(y~~0 Раз- Температура не зависит от геометрии.
Решение можно обобщить на случай неоднородной
начальной плотности ро = аг~б(б > 0). Инжекция быстрых частиц
в постоянный поток соответствует значениям б = v— 1, М » 1.
Коэффициент подобия а = 1 определяется из анализа
размерностей. Решение начинается, как и прежде, из точки 0 в
плоскости Z, V, но точка разрыва М2 должна теперь определяться на
сингулярной кривой, проходящей через сингулярную точку С
(K = 6/v, Z = oo), которая является началом координат
физического пространства г = 0 (см. также следующий пункт).
Кривая М2С описывает неоднородное состояние ядра.
б. Сходящиеся ударные волны. Рассмотрим цилиндрическую
или сферическую ударную волну радиусом R(t), которая
распространяется к оси или центру симметрии в покоящемся газе
однородной плотности с нулевым давлением. Такая ударная
волна может возникать перед цилиндрическим или сферическим
поршнем, сообщающем энергию газу. Когда фронт ударной
волны входит в область, радиус которой достаточно мал по
сравнению с радиусом поршня, дальнейшее сжатие происходит
за столь малое время, что на процессе сжатия не сказывается
движение газа на больших радиусах, ибо средняя скорость
распространения возмущений конечна. Таким образом, движение
становится автономным, а начальные условия почти полностью
теряют свое значение.
В пределе автономного режима единственным очевидным
параметром является плотность газа ро. Начальные условия,
относящиеся к поршню, оказываются бесполезными, поскольку
процессы в среде слабо зависят от движения поршня и эта
зависимость неизвестна. Остаются радиус R и скорость R ударной
волны, которые, будучи функциями времени, не могут служить
характерной длиной или временем. Из соображений размерности
полагаем R = aR/t (/<0). Движение автомодельно при k =
=—3, s = 0, р = 2 (1—а)/у. Параметр а не определяется
непосредственно из анализа размерностей, и решение является
решением второго рода.
Тем не менее начальные условия должны каким-то образом
войти в решение задачи. Как будет доказано позднее,
величина а зависит только от коэффициента политропы у.
Следовательно, начальные условия полностью содержатся в параметре Л,

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 233
которым определяется величина £ = Ar/(—t)a. Без потери
общности можно положить А = 1 и на фронте ударной волны | =
= !s=l. На стадии схлопывания мы имеем / < 0. Моменту
схлопывания соответствует t = 0.
При заданном движении поршня задачу о схлопывании
ударной волны можно решить численно. Такое движение можно
наблюдать экспериментально [26]. Теоретически вопрос о
симметрично возмущенном автомодельном движении исследован
в работе [28]. Во всех случаях было найдено, что при /?->0
неавтомодельное течение асимптотически стремится к
автомодельному режиму.
Интегральные кривые в плоскости (Z, V). Граничными
условиями в ударной волне и на бесконечности определяются
конечные точки интегральной кривой <S?. Мы рассматриваем сильную
ударную волну в покоящемся веществе. Следовательно,
конечная точка N на фронте ударной волны будет находиться на
пересечении парабол &>2 и ^3- Кроме того, величины v = (r/t) V
и с2 = (r2/t2)Z должны оставаться в момент схлопывания
конечными во всем пространстве г Ф 0, а на бесконечности — в
любой момент времени. Таким образом, К(оо) =Z(oo) = 0 и
начало 0 является конечной точкой кривой ^ при \—► оо.
Точки 0 и N лежат по разные стороны звуковой параболы 3>\
(фиг. 12). Как показано в п. 2,6, решение имеет физический
смысл только в том случае, если кривая <& пересекается с
параболой 3>\ в особых точках А\ или Лг, определяющихся
уравнением (25). Отсюда следует, что особой точкой может быть
только точка А\ (Va1 > VAl) [6, 22]. При данном а существует
единственная кривая (т. е. сингулярный интеграл), проходящая
через особые точки 0 и А\. Величина а определяется из
требования, чтобы точка N лежала на этой кривой. На практике
уравнения (17) — (19) решают численными методами, подбирая а
так, чтобы выполнялись условия задачи. Координаты точки А\
должны быть действительными величинами, что ограничивает
набор значений а. Полагая, что особые точки А\ и А2 (или А{
и В) совпадают, получают значение а, которое оказывается
близким к истинному значению [22].
Как показано выше, точкой, лежащей на параболе &и
например точкой Аи определяется газодинамическая
характеристика. Действительно, соотношение r/(—t)a = lA представляет
собой уравнение С_-характеристики dr/dt = v — с, которая
догоняет фронт ударной волны только в момент схлопывания.
Характеристики представлены на фиг. 15. Характеристики С_,
лежащие выше кривой £л, никогда не достигают фронта
волны. Следовательно, кривая £л разграничивает области
влияния. До схлопывания на движение в заштрихованной области

234
Дж. Сомон
Отраженная
шя волна
плоскости г, t не может оказывать какое-либо влияние
движение в незаштрихованной области.
Возникает вопрос, что происходит после схлопывания.
Должна, по-видимому, появиться отраженная волна, которая будет
двигаться в область набегающего
нестационарного потока. До
схлопывания t < 0, £ = r/(—t)a\ автомодельное
решение распространяется на / > 0 с
тем же самым показателем подобия а,
так что теперь £ = r/ta. При / = +0
характер расходимости такой же, как
и при t = —0, и интегральная кривая
выходит из точки 0 в направлении
V < 0, имея такой же
асимптотический вид, как и до схлопывания. Как
и в случае сходящейся волны (п. 2,6),
в некоторой точке Mi на интегральной
кривой необходимо ввести ударный
разрыв. После скачка М{М2 на
отраженной ударной волне интегральная
кривая будет продолжаться и
достигнет характерной точки в центре,
где | = 0. Можно показать, что эта
точка является сингулярной точкой C(Z = oo, V = p/v) на
сингулярной интегральной кривой, проходящей через точки
Аи Л2, В и 0г. Таким образом, обе части интегральной кривой
(перед разрывом и за разрывом) известны. Лишь две точки Aft
и М2 на этих двух частях соответствуют скачкообразному
переходу на фронте ударной волны (20), и они полностью
определяют решение.
Численные результаты. Показатель подобия а был вычислен
для ряда случаев, представленных в следующей таблице [6, 7,
21, 22, 25, ЗЗ]1):
Фиг. 15. Характеристики для
случая сходящейся ударной
волны.
Y
v = 2
v = 3
а
2[(1-а)/а]
а
2[(1-а)/а]
1
1
0
1
0
1,2
0,861
0,332
0,757
0,641
1,4
0,835
0,394
0,717
0,788
7з
0,816
0,452
0,688
0,90
3
0,775
0,581
0,638
1,13
1) Приближение Честера — Чизнела — Уитхема, основанное на
линеаризованных уравнениях для характеристик, дает для величины а (у)
аналитическое выражение, которое очень хорошо согласуется с величинами из
таблицы [34].

б. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 235
Профили v(l), р(|), Р(1) и w(l) = (pu2/2)+p/(Y-l)
с у = 5/з [21] для цилиндрического случая приведены на фиг. 16.
Фронт сходящейся ударной волны движется по закону R =
= (—О06 (Л = 1). Скорость, плотность и давление за фронтом
даются формулами
_ Y±_l_
Pw — у— 1 Р°'
(l-.0)/a
2 (I-a)/a
(28)
Возвращаясь к таблице, заметим, что в сферическом случае
показатель —2(1— а)/а в формуле для давления
приблизительно в 2 раза больше, чем в цилиндрическом случае
(акустическое приближение должно было бы дать pc$e\>~r~* и рцил ~
~г~,/2). На фиг. 16,а представлены профили величин v(г), р(г)
Падающая
ударная волна
Р
1
/0
5
0
05
(7
,
"1
i
к
Отраженная
ударная волна
Р
Т^-Т". ... D
i
i
i
-1
i
i
ii ■
**-^-^-^
^
10
5
О
0,5
Зависимость
_ от времени
Р (г-1)
Отраженна*
волна
5
б
в
Фиг. 16. Автомодельные профили плотности р, давления р, плотности
энергии w и скорости v для сходящейся цилиндрической ударной волны
(Y = 5/3 [21])-
Все величины отнесены к значениям, достигаемым на фронте (формула (28)].
и w(r) за фронтом сходящейся ударной волны, отнесенных
К величинам на фронте; плотность возрастает, скорость и
энергия монотонно убывают с радиусом, а давление проходит
через максимум перед спадом; асимптотическое поведение при
г—► оо таково:
р~с\ p~i>2~r-2<l-a*/a#
(29).
В момент схлопывания, когда t-+0> давление, скорость и
температура на фронте стремятся к бесконечности, а плотность
остается постоянной и равной плотности в сильной ударной
волне [формула (2)], причем на любом конечном радиусе эти
величины стремятся к асимптотическим значениям (29). Из
фиг. 16,0 видно, что на любом данном радиусе, например г= 1,

236
Дж. Сомон
величины р(/), p(t) и w(t) монотонно возрастают с течением
времени в моменты между прохождением сходящейся волны
(t = —1) и приходом отраженной; в то же время температура
T(t)~p/p остается примерно постоянной.
Энергия всей жидкости бесконечно велика [интеграл по
распределению (29)], так что автомодельное решение неприменимо
при бесконечно больших радиусах. Энергия же, содержащаяся
внутри автономной автомодельной области, заштрихованной на
фиг. 15, при схлопывании стремится к нулю как $v+2-(2/a)
(плотность энергии бесконечно возрастает, но внутри области исче-
зающе малого объема). Наконец, энергия, содержащаяся
внутри области радиусом г, возрастает со временем, но остается
конечной.
Движение фронта отраженной ударной волны происходит по
закону R « £д/а(£я < 1). На фиг. 16,б и в показано поведение
жидкости после отражения. В некоторый момент времени
давление и плотность энергии примерно одинаковы между осью
(или центром) и фронтом; поскольку плотность на оси (или
в центре) стремится к 0, температура стремится к
бесконечности. Отраженная волна является слабой. Тем не менее она
способствует усилению кумуляции. Рассмотрим величины
плотности, давления и температуры, достигаемые на заданном
радиусе г при прохождении фронта сходящейся (индекс N) и
отраженной (индекс R) ударной волны. При у = 5/3 их соотношение
таково: рд « 8,1рлг « 32,5р0, Pr/Pn ^ 12,7 и Tr/Tn « 1,57 в
сферической геометрии и рд» 5,7рлг « 22,8р0, Pr/Pn » 10,3, TR/TN «
« 1,81 в цилиндрической геометрии и, как следует из сказанного
в § 1, п. 1, а, рд = 2,5рлг = Юро, P/Pn = 6, T/TN = 2,4 в плоской
геометрии. Следовательно, отражение значительно усиливает
кумуляцию при заметном влиянии геометрии на прирост
плотности и давления (п. 3,а).
в. Схлопывание сжимаемого пузырька. Задача была
поставлена в § 1, п. 2, б. Движение рассматривается при очень малых
радиусах пузырька, когда начальные условия уже не играют
никакой роли. Среда предполагается изэнтропической с
уравнением состояния [15, 30]
р = В [(-^)Y - l], Y = 7, В = с< (вода).
При очень высоких кумулятивных давлениях уравнение
состояния сводится к р = B(p/p0)Y и, следовательно, уравнения
движения (12) — (14) остаются справедливыми. Решение зависит
только от размерного параметра Sp0~Y и, следовательно,
является автомодельным решением второго рода, как и для
сходящейся ударной волны. Радиус пузырька дается формулой
g = А (-/)<*,

S. Кумулятивные Процессы, автомодельные решения 237
Движение исследуется точно так же, как и в предыдущем
подпункте, и обнаруживает аналогичные закономерности.
Численное решение дает а = 0,55 при у = 7. Энергия всей
жидкости бесконечна, а зоны влияния разграничиваются С_-характе-
ристикой. В момент схлопывания, когда R = 0,
пространственное распределение (гфО) имеет вид v ~ с ~ г~({-аУа, как и в
случае сходящейся ударной волны, но асимптотическое
поведение плотности и давления другое: р ~ r"2^-0^0^-1), р ~
^ r-2(i-a)Y/a(Y-i)# Действительно, процесс кумуляции является
изэнтропическим и повышение давления связано с возрастанием
плотности. После схлопывания от центра распространяется
расходящаяся ударная волна [30].
г. Плоская ударная волна в среде с переменной плотностью.
Вернемся к примеру, приведенному в § 1, п. 3, ударной волны,
Фиг. 17. Распределения плотности р, давления р и скорости v в случае
ударной волны в газе переменной плотности.
выходящей на поверхность среды с переменной плотностью
р0 = ах6 [15, 20, 35]. Решение опять является автомодельным
второго рода с единственным размерным параметром а. Фронт
волны движется по закону х = A(—t)a и выходит на
поверхность х = 0 при t = 0.
Решение находится изложенным выше методом.
Показатель а определяется из условия, что интегральная кривая Z(V)
проходит через сингулярную точку Лг, которая соответствует
С_-характеристике, ограничивающей зону влияния. Расчетные
значения величины а [29, 35] приведены в таблице ниже.
Y
1,2
1,4
б/з
6
0,5
0,920
0,905
0,877
1
0,855
0,831
0,817
2
0,752
0,717
0,696
3,25
0,59
Так как а< 1, ударная волна ускоряется вблизи поверхности.
В момент выхода температура Т ~ х2 стремится к
бесконечности как x"2^1'"a)/a. Но в отличие от того, что наблюдается в

538
Дж. Сомон
случае сходящейся волны, давление р ~ рх2 ~хь~^-^1а
стремится к нулю вследствие уменьшения плотности. На фиг. 17
представлены пространственные распределения плотности, давления
и скорости. В момент t = О законы этих распределений таковы:
v ~ x-^-a)/a, Т ~ v2, р ~ х6 и р ~ яв-2(1-а)/а За выходом
ударной волны следует непрерывное истечение вещества в вакуум,
рассчитанное в работе [35].
4. Ограничения кумуляции. Очевидно, что в процессах
кумуляции, рассмотренных выше, давление и температура не
могут достигать бесконечности. Необходимо принимать во
внимание диссипативные явления, такие, как вязкость,
теплопроводность, излучение. Они обычно не сильно изменяют основные
характеристики движения жидкости и играют важную роль лишь
вблизи области кумуляции, ограничивая ку-
Немзмущенный муляцию. В случае ударной волны автомо-
^^Фрош дельное решение остается справедливым
до тех пор, пока радиус фронта ударной
волны больше ее толщины, связанной с
такими диссипативными явлениями; при
меньших радиусах кумуляция уже не
описывается газодинамическими уравнениями.
Кроме того, при высоких температурах и
плотностях диссоциация и ионизация при-
Вомущенный водят к изменению уравнения состояния.
Фронт Вопрос о применимости решения задачи
Фиг. 18. Неустойчи- ° кумуляции нужно рассматривать в каж-
вость цилиндрической дом конкретном случае,
сходящейся ударной Рассмотрим более подробно другой
волны. важный случай, где идеальная кумуляция
нарушается вследствие отклонения от
симметрии. Как известно, плоская ударная волна устойчива в
идеальном газе [вообще говоря, — в случае регулярной вогнутой
кривой Гюгонио Ря(т)] [24]. Другими словами, если ударная
волна имеет возмущения, предположим, синусоидальной формы
с амплитудой т), то эти возмущения с течением времени
экспоненциально стремятся к нулю. В цилиндрической или
сферической геометрии устойчивость определяется не абсолютной
величиной амплитуды возмущения г\, а отношением г\/г8> где г8 —
радиус невозмущенного фронта (фиг. 18). Из факта устойчивости
плоской волны следует, что будет устойчива и расходящаяся
ударная волна (r]/rs-*0), но сходящаяся волна может быть
неустойчивой.
Вопрос об устойчивости сходящихся ударных волн довольно
сложен [25], и поэтому мы изложим здесь весьма упрощенную
теорию. Приближение основано на предположении, что на

6. Кумулятивные процессы, автомодельные решения 239
форму ударной волны могут оказывать влияние лишь
возмущения в той области жидкости, которая находится непосредственно
за фронтом ударной волны. Действительно, возмущения, в
момент t находящиеся вдали от фронта, догоняют его, следуя
С_-характеристике (фиг. 15), в более поздние моменты времени,
когда амплитуда ударной волны значительно возрастает. В этом
случае ими можно пренебречь; если же они находились слишком
далеко от фронта, они вообще не догонят его. Следовательно,
если рассматривать возмущенный цилиндрический фронт
ударной волны, имеющий локальный радиус кривизны /?, то можно
приближенно считать, что такая ударная волна будет локально
автомодельной. Отсюда следует, что
R _ а- 1 1
R2 a R '
Левая часть равна отношению 0/U, где U — нормальная
компонента возмущенной скорости ударного фронта. Выражение в
правой части равенства пропорционально локальной кривизне
возмущенного фронта ударной волны. Эти две величины,
кинетическая и геометрическая, легко вычисляются, если положить,
что возмущенный радиус г связан с невозмущенным rs ~ (—0а
соотношением
' = г,[1+Е(г.. в)]. (30)
Подставив (30) в предыдущее уравнение, в линейном
приближении получим
°i-£l+(i + °)'S!^=(i-«)|^ (3D
Положив £ = r£/ctexp[m6] (гармоническое возмущение),
получим дисперсионное уравнение в виде
р2 + /7 + а(1-а)д2 = 0,
откуда
Р = - J ± *[п2* (1 — а) — -J-] *.
Поскольку действительная часть величины р- отрицательна,
возмущения (г — rs)/rs усиливаются и форма ударной волны
неустойчива. Амплитуда искажений поверхности может также
быть выражена через отношение невозмущенного и
возмущенного радиусов кривизны, которое оказывается равным rs/R ~
~ (n2— l)rspIa и стремится к бесконечности при rs-*0. Тем не
менее радиус возмущенного фронта г ~ rs£ ~ г]+р стремится
к нулю при rs—*0 (с некоторыми колебаниями, обусловленными
мнимой частью р) и ударная волна сходится к точке.
Другим примером может служить схлопывание
цилиндрической оболочки, используемой для магнитной кумуляции (§ 1,

240
Дж. Сомон
п. 2,6), которая оказывается динамически неустойчивой [36].
Следовательно, для обеспечения высокой эффективности
экспериментальных устройств со сферической или цилиндрической
геометрией необходимо очень точно выдерживать их начальную
симметрию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Courant R.y Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, New York,
1948 (имеется перевод: P. Курант, К. Фридрихе, Сверхзвуковое течение и
ударные волны, ИЛ, 1950).
2. Hamann S. £>., в книге Advances in High Pressure Research, vol. 1, New
York, 1966.
3. Bleakney W.% Taub A. #., Rev. Mod. Phys., 21, 584 (1949).
4. Альтшуллер Л. B.y УФН, 85 (2), 197 (1965).
5. Leygonie /., Bergon J. С., в книге Ргос. IUTAM Symposium on High
Dynamic Pressures, Paris, New York, 1968.
6. Guderly G., Zs. Luftfahrtforsch., 19, 302 (1942).
7. Aikin A. W.y Metropolitan-Vickers Report No. 5090 (1956).
8. Somon J. P., Laboratori Gas Ionizzati (Frascati), Internal Report LG1,
No. 66/9 (1966).
9. Harlow F. #., Pracht W. E.y Phys. Fluids, 9, 1951 (1966).
10. Somon J. P., Laboratori Gas Ionizzati (Frascati), Internal Report LGI,
No. 66/11 (1966).
11. Rayleigh L.y Phil. Mag., 34 (6th series), 94 (1917).
12. Somon J. P., Sur l'obtention de champs magnetiques intenses au moyen
d'une implosion cylindrique, Euratom, Bruxelles, EUR 4197 (1968).
13. Balchan A. S.y Cowan G. R., Rev. Sci. Instr., 35, 937 (1964) [имеется
перевод: ПНИ, 4, №8 (1964)].
14. Забабахин Е. Я., ЖЭТФ, 49, 2, 642 (1965).
15. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. Я., Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений, М., 1966.
16. Зельдович Я. Б., ЖЭТФ, 33, 3, 700 (1957).
17. Забабахин Е. Я., ЖЭТФ, 33, 2, 442 (1957).
18. Chapman S.y Kendall Р. С, Ргос. Phys. Soc, А273, 435 (1963).
19. Сыроватский С. Я., ЖЭТФ, 54, 5, 1422 (1968).
20. Седов Л. Я., Методы подобия и размерности в механике, М., 1957.
21. Somon /. P., Knoepfel Я., Linhart J. G.y Nucl. Fusion Suppl., part 2, 717
(1962).
22. Станюкович К. Я., Неустановившееся движение сплошной среды, М., 1955.
23. Сахаров А. Д., Людаев Р. 3., Смирнов Е. Я., Плющев Ю. Я.,
Павловский А. Я, Чернышев В. К., Феоктистова Е. А.у Жаринов Е. Я., Зы-
син Ю. Л., ДАН СССР, 165, 65 (1965).
24. Erpenbeck J. /., Phys. Fluids, 5, 1181 (1962).
25. Butler D. S., ARDE Report No. 18/56 (1956).
26. Lee J. Я., Lee В. Я. /(., Phys. Fluids, 8, 2148 (1965).
27. Perry R. W.y Kantrowitz A, Journ. Appl. Phys., 22, 878 (1951).
28. Lee В. Я. /(., AIAA Journ., 5, 11, 1997 (1967).
29. Гандельман Г. M., Франк-Каменецкий Д. А., ДАН СССР, 1, 223 (1956).
30. Hunter С, Journ. Fluid Mech., 8, 241 (1960).
31. Flagg R. W.y Glass /. /., Phys. Fluids, 11, 10, 2282 (1968).
32. Hawkins D., Report No. LAMS 2532 (1961).
33. Welsh R. L, Journ. Fluid Mech., 29, 1 (1961).
34. Chester W.y в книге Advances in Applied Mechanics, vol. 6, New York, 1960.
35. Sakurai A., Comm. Pure Appl. Math., 13, 353 (1960).
36. Somon J. P., Journ. Fluid Mech., 38, 769 (1969).

7
ВОЛНА ИСПАРЕНИЯ
Ф. Беннет*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Мы рассмотрим в общих чертах некоторые теоретические и
экспериментальные аспекты динамики процесса перехода жидкой
фазы в пар при импульсном нагреве вещества. Нас будут
интересовать начальные стадии процесса расширения,
протекающего при испарении перегретых металлов.
В политропной нереагирующей среде фронт волны разгрузки
распространяется в сжатую область с локальной скоростью
звука, а дальнейшее расширение происходит в виде простой
волны [1]. Если пар может конденсироваться, то в начальной стадии
расширение будет также ограничено скоростью звука в
жидкости, но затем начинается испарение, которое может быть либо
поверхностным (на границе раздела фаз), либо объемным (за
счет кавитации) с образованием пузырьков пара. Поскольку
процесс кавитации ограничен инерцией и неравновесными
процессами и для образования пузырьков может требоваться много
времени, мы будем рассматривать только такой случай, когда
испарение происходит с поверхности. В этом случае испарение
будет ограничено некоторой максимальной скоростью, с которой
распространяется фронт волны. Так как имеет место фазовый
переход и образующийся при этом насыщенный пар более
сжимаем, чем жидкость, предельная скорость волны должна быть
намного меньше скорости звука в однородной жидкости.
Другими словами, скорость равномерного испарения вещества
должна быть намного меньше скорости распространения волны
разгрузки в неиспарившейся жидкости.
§ 2. ВОЛНОВАЯ ГИПОТЕЗА
Наша цель — проверить предположение о том, что верхним
пределом для скорости процесса динамического испарения будет
скорость звука в двухфазной области диаграммы состояния
* F. D. Bennett, U.S. Army Ballistic Research Laboratories, Aberdeen
Proving Ground, Aberdeen, Md.

242
Ф. Беннет
среды. Точнее, это будет скорость звука в двухфазной области
вблизи кривой стабильности жидкой фазы, которая ограничивает
эту область со стороны малых объемов [кривая Vz(T) на фиг. 1].
Нетрудно показать [2, 3], что в среде, характеризуемой
уравнением состояния Р = P(V,T), где V= 1/р —удельный объем,
а Р, р и Т — давление,
плотность и температура,
скорость с
распространения малого возмущения
дается выражением с2 =
= (<9P/dp)s, или в
эквивалентной форме
с2 =
_(дР_\ , Т ( дР\*
Up )т^~ 92CV \дТ )Q>
(1)
где Су — удельная
теплоемкость при постоянном
объеме. Заметим, что в
двухфазной области
число свободных переменных
уменьшается до одного и
Р = Р(Т) — давление
пара. Таким образом, в равенстве (1) остается только второй
член, так что
«-(£)*£• (2)
На границе области (кривой стабильности жидкой фазы)
скорость звука имеет два значения: одно для жидкости, а другое
для системы жидкость плюс насыщенный пар. Скорость звука
двузначна на кривых, являющихся геометрическим местом точек,
в которых претерпевают разрыв производные адиабат.
Несколько уточним волновую гипотезу следующим образом:
скорость распространения поверхности испарения в
сверхперегретой невозмущенной жидкости не превышает скорость звука
в смеси жидкость — пар, соответствующую линии стабильности
жидкой фазы. Более детально термодинамическая модель будет
изложена в § 6.
Хотя в основном экспериментальные исследования волн
испарения проводились с металлами, эта гипотеза, вероятно, в
равной мере применима и к более широкому классу жидкостей,
в том числе к элементам, соединениям, растворам и смесям.
Необходимые условия для возникновения волны испарения в любой
жидкости можно (предположительно) сформулировать следую-
wkj\ ;
Фиг. 1. Схематическая диаграмма
состояния и изотермы.
Р —давление; V— удельный объем; V{ (Г) —граница
стабильности жидкой фазы; / — изобара; V$ (Т) —
граница стабильности жидкой фазы; (Р^, Vq, Tq\ —
критическая точка.

?. Волна испарения
243
щим образом. Такие вещества должны иметь: 1)
кусочно-непрерывное уравнение состояния, связывающее давление, удельный
объем и температуру, 2) фазовый переход с большим
изменением удельного объема, 3) скрытую теплоту испарения,
значительно превышающую удельную энергию в точке кипения, и —
для удобства в работе — 4) достаточно высокую температуру
кипения, так чтобы удельная энергия превышала определенный
порог.
Явление волноподобного испарения наблюдается в ударной
трубе. Здесь секция, в которой находится вода при температуре
и давлении выше нормальных, при разрыве диафрагмы внезапно
соединяется с ускорительной секцией, наполненной воздухом
или другим газом при низком давлении. Такого рода
эксперименты проводились в работах [4, 5]. Браун [4] анализировал
волну расширения, распространяющуюся в ускорительной
секции, в предположении, что процессы протекают в две стадии.
В первой стадии вода, расширяясь, переходит в метастабильное
состояние с давлением, меньшим чем равновесное. Во втором
происходит экспоненциальная релаксация к конечному
равновесному состоянию, которое характеризуется большим, чем
раньше, удельным объемом. Связь между метастабильным и
равновесным состояниями можно найти, используя ряд
дополнительных предположений и законы сохранения механики
сплошных сред в виде условий на «скачке». Хотя
метастабильное состояние выбирается несколько произвольно,
экспериментальные данные работы [4] лучше согласуются с теорией дву-
стадийного расширения, нежели с теорией эквивалентного
равновесного расширения.
§ 3. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ВЗРЫВАЮЩИМИСЯ ПРОВОЛОЧКАМИ
Исторически гипотеза о волне испарения была впервые
выдвинута в работе [3] в связи с некоторыми специфическими
явлениями, наблюдающимися при взрыве проволочек, через
которые разряжается конденсаторная батарея. Несколько позже
[6] эти представления были распространены на более общее
явление — взрывоподобное расширение перегретой жидкости.
В экспериментах с взрывающимися проволочками длинный
тонкий проводящий цилиндр импульсно нагревается за счет
энергии разрядки конденсаторной батареи. В зависимости от типа
проводника и начальных условий при последующем расширении
наблюдается та или иная совокупность явлений. Мы не будем
здесь проводить детального рассмотрения протекающих
процессов, а читателей, желающих более полно ознакомиться с этим
вопросом, адресуем к недавно зышедшему обзору [7]. Нас будут
интересовать начальные стадии взрыва, показанные на фиг. 2.

1
см
Фиг. 2. Фоторазвертка расширения медной проволочки, привязанная по
времени к току и напряжению.
4—0,0254 см, К0»3 кВ, С—32 мкФ.

7. Волна испарения
245
Здесь приведена скоростная фоторазвертка процесса
расширения медной цилиндрической проволочк*, привязанная по
времен! :к осциллограммам тока через проволочку и напряжения
на ней, полученных в одном и том же эксперименте. Медленное
нарастание напряжения соответствует плавлению проволочки.
Вскоре после этого на скоростной развертке появляется слабый
туман из пара, расширяющегося вокруг более плотной
внутренней части проволочки. Ток быстро падает до нуля, а напряжение
проходит через максимум, в данном случае примерно в 4 раза
превышающий начальное напряжение конденсаторной батареи.
В выбранном примере электрические параметры цепи
проволочка — конденсаторная батарея были настолько хорошо
согласованы, что почти вся первоначальная энергия была поглощена
в течение первого импульса. Волна испарения видна на участке
клинообразного расширения, заканчивающемся в тот момент,
когда ток падает до нуля.
Результаты экспериментов по взрыву проволочек можно
интерпретировать следующим образом. В первом приближении
предположим, что вещество проволочки существует только в
двух состояниях, а именно: 1) полностью проводящий металл,
не захваченный еще волной расширения, и 2) расширившийся
непроводящий насыщенный пар. Тогда в случае волны
испарения, распространяющейся со скоростью v(t) от периферии
внутрь проволочки, радиус проводящего цилиндрического ядра
изменяется со временем по закону г = г0 1 — J (v (Q/r0) d\ ,
где *o — время, соответствующее началу расширения. В случае,
приведенном на фиг. 2, время t0 немного больше 4 мкс. В
рамках такой модели ток прекратится при г = 0. Таким образом,
модель позволяет объяснить резкое прекращение тока и даже
(приближенно) предшествующее медленное изменение тока.
§ 4. ВОЛНЫ ИСПАРЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ
Поскольку сопротивление проволочки R обратно
пропорционально площади ее поперечного сечения, можно написать, что
[t -.-2
i-J-^d . (3)
Если для простоты пренебречь температурными эффектами и
предположить, что скорость волны постоянна, то при т = r0/v
и sx = / — to соотношение (3) преобразуется к виду

246
Ф. Беннет
Как видно из фиг. 2, расширение происходит в коротком
интервале времени вблизи максимума тока. Когда ток достигает
максимума, заряд конденсаторной батареи равен нулю и
энергия источника запасена в магнитном поле. Если предположить,
что за время спада тока напряжение на конденсаторе
пренебрежимо мало, то уравнение для тока будет таким: L(di/dt) +
-f- Ri = 0; с учетом равенства (4) его можно переписать в виде
где а = {ro/v) (Ro/L) —- отношение характерного времени
распространения волны к постоянной времени цепи. Интегрируя
(5), получаем
/ = /0ехр[-т^7]э (6)
а для напряжения VR и мощности PR имеем
V* = *А (1 - *Г2 ехр [- -^У , (7)
Р* = Roil (1 - s)-2 ехр [- -^]. (8)
Дифференцирование этих соотношений показывает, что
напряжение VR проходит через максимум при (1—а/2), а
мощность Яд —при (1— а). Кроме того, эти максимумы проходят
через минимум, как функции параметра а, в первом случае при
а = 2, а во втором — при а = 1. Путем таких элементарных
расчетов можно интерпретировать весьма разнообразные формы
импульсов [8]. В общем если время, за которое ток уменьшается
в е раз, мало по сравнению с временем разгрузки, например
а > 2, то кривые тока и напряжения имеют экспоненциальную
форму без пиков. Если же а < 1 и волна разгрузки сравнительно
быстрая, то ток сначала спадает очень медленно, а затем все
круче и круче по мере того, как волна приближается к центру.
При этом напряжение проходит через максимум, амплитуда
которого возрастает с уменьшением а. Все сказанное можно
обобщить на любой момент токового импульса при единственном
условии, что время релаксации волны испарения намного меньше
четверти периода ненагруженной цепи, так что напряжение на
конденсаторе можно считать постоянным. Анализ, проведенный
в предположении, что волна испарения движется с постоянной
скоростью, позволяет выявить связь между ее скоростью и
характеристиками цепи и, кроме того, показывает, что возможен
единый подход к анализу экспериментов, выполненных с
импульсами разной формы. Но такой анализ не позволяет вычислить
фактическую скорость волн испарения.

7. Волна испарения
247
§ 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ
ВОЛНЫ ИСПАРЕНИЯ
Если отказаться от попыток (начатых анализом модели
волны испарения, движущейся с постоянной скоростью) объяснить
форму импульсов тока и напряжения теоретически, исходя из
скорости волны, то можно стать на совершенно иную точку
зрения. Будем исходить из осциллограмм как физического
доказательства существования волны испарения и попытаемся
определить ее скорость. Для построения более рациональной схемы
необходимо сделать ряд дополнительных предположений. Мы
кратко изложим ход рассуждений, а подробнее анализ
проводится в работах [3, 9].
Если пренебречь работой и всеми видами тепла, кроме тепла
Джоуля, то в силу закона сохранения энергии изменение
удельной энергии токонесущего цилиндрического ядра можно
приравнять поглощенной им электрической энергии. На основании
реальных кривых напряжения VR и тока i можно рассчитать
сопротивление R = VR/i, мощность Pr = VRi и энергию Е =
= J VRidt. Таким образом, можно написать
de =
т v '
где е — удельная энергия, а т — масса, нагреваемая за время dt.
Произведение Rm не изменяется при прохождении волны
испарения: множитель (г/г0)2 сокращается в произведении; но
температурная зависимость сопротивления остается и должна быть
учтена. Для этого мы предположим, что выше точки плавления
сопротивление линейно зависит от удельной энергии. Это можно
выразить соотношением
R = R0[l + t(e-e0)](^)2, (11)
где р — константа, которая должна быть определена из
эксперимента. Если удельная темплоемкость 5 постоянна в
рассматриваемом интервале температур, то р = a/s (a — некоторая
постоянная) и е = sT, а соотношение (11) соответствует обычно
принимаемому предположению, что сопротивление линейно
растет с температурой. Пользуясь соотношениями (10), (11) и
проводя интегрирование, получаем
t
(e-e,)^-\(e-e,f = -^-\v\dt. (12)

248
Ф. Беннет
Чтобы определить момент t0 возникновения волны испарения,
нужно построить график зависимости сопротивления или
удельного сопротивления от удельной энергии Е/т0. До начала
испарения радиус равен начальному (г = г0), а постоянную р в
выражении (11) можно определить по линейному участку кривой
зависимости удельного сопротивления от температуры выше
точки плавления. После того как началось испарение,
сопротивление R резко возрастает, отклоняясь от линейного закона, и
этот закон возрастания экстраполируют, чтобы учесть эффекты
температурной зависимости. Точкой, в которой кривая R
отходит от линейной зависимости, определяются значения /?о и е0.
Так как R— уже известная функция времени, можно определить
и to. Истинные значения е и t можно получить, интегрируя V2R
в формуле (12), а значения е и R — сравнивая данные е, t и
/?, /. Зная ей/?, можно решить уравнение (11) относительно
(г/го)2.
Полученные точки аппроксимируют интерполяционной
кривой, путем численного дифференцирования которой находят
скорость волны испарения. Начальный радиус г0 берут равным
радиусу холодной проволочки. Более сложный метод, в котором
учитывается тепловое расширение цилиндра жидкости, был
предложен в работе [9], но из-за отсутствия термодинамических
данных для металлов при высоких температурах он еще не
нашел применения. Поправки, если бы они могли быть сделаны,
привели бы к увеличению скорости волны испарения,
определяемой из измерений, причем поправочный множитель изменялся
бы примерно от 1 при комнатной температуре до 1,7 при
критической.
При таком расчете важное значение имеет предположение
о линейной зависимости удельного сопротивления от удельной
энергии. Без него нельзя учесть эффекты, обусловленные
возрастанием температуры, а они, как известно, слишком
значительны, чтобы ими можно было пренебречь. В экспериментах
со взрывающимися проволочками из некоторых металлов, таких,
например, как железо, никель, вольфрам, наблюдается
аномальное возрастание сопротивления выше точки плавления. Поэтому
для этих и им подобных металлов скорость волны испарения
до сих пор не определена. Если, как подозревают, дело здесь
в раннем пробое и образовании каналов тока вне проволочки,
то, может быть, поместив ее в плотную среду, удастся
воспрепятствовать утечке заряда и все-таки измерить скорость волны
испарения.
Изложенным методом по измеренным электрическим
параметрам были найдены скорости волн испарения для меди и
проведено сравнение с теоретическими значениями, рассчитанными
по формуле (2). Плотность жидкой фазы, теплоемкость и дав-

7. Волна испарения
249
ление пара были найдены по табличным данным, приведенным
в работе [6]. Из-за недостатка экспериментальных данных для
этих величин при исследуемых удельных энергиях были
приняты различные аппроксимации, например предполагалось
постоянство плотности жидкости и теплоемкости. Несмотря на
это, согласие между измеренной и рассчитанной скоростями
волны испарения в меди [3] в интервале от точки кипения до
критической температуры оказалось вполне
удовлетворительным, что в значительной степени стимулирует дальнейшие
исследования. Аналогичные измерения были проведены также
для алюминия и свинца. Экспериментальные значения
приведены на фиг. 3; там же проведена теоретическая кривая,
полученная на основе термодинамической модели с использованием
определенного уравнения состояния (§ 6).
В том случае, когда для расчета теоретического значения
скорости волны испарения в свинце использовались табличные
данные [6], наблюдалось плохое согласие с экспериментом.
Причина этого расхождения, как полагают, — в отсутствии
надежных данных о давлении паров этого элемента при высокой
температуре. Поскольку же, вообще говоря, единственный
металл, для которого имеются данные о давлении, плотности и
электропроводности вплоть до критической температуры, — это
ртуть, точность расчета скоростей волны испарения для других
металлов вряд ли достаточна для сравнения с
экспериментальными данными.
§ 6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В свете сказанного построим упрощенную модель,
описывающую переходные процессы в среде, быстро нагреваемой от
твердого состояния до температуры, превышающей
критическую. Она послужит нам основой для того, чтобы просто, но
с приемлемой точностью описывать состояние и динамические
параметры перегретой жидкости.
Чтобы в дальнейшем можно было проводить.какие-либо
детальные расчеты для случая непрерывно изменяющихся
внешних параметров, нам нужно знать уравнение состояния. Таким
образом, наша задача состоит в том, чтобы найти
приближенное уравнение состояния, которое могло бы правильно
описывать то, что известно о жидких металлах, а также заполнить
большие пробелы, где данные отсутствуют. Достаточно того,
что согласие будет достигнуто только по отношению к
скорости волны испарения даже в том случае, когда детальная
проверка по другим параметрам невозможна. Наша модель
основывается на следующих предположениях: 1) рост
температуры и фазовые переходы происходят в условиях локального

250
Ф. Веннет
термодинамического равновесия, 2) используется уравнение
состояния типа уравнения Ван-дер-Ваальса, 3) жидкой и газовой
фазам можно приписать близкие к реальным теплоемкости и
4) расширение жидкости происходит по кривой стабильности
жидкой фазы V3{T) на фиг. 1.
Первое предположение представляет собой в значительной
мере упрощение, хотя можно привести убедительные доводы
в пользу того, что испарение со свободной поверхности
происходит в условиях, близких к равновесным [3].
Уравнение Ван-дер-Ваальса относится к таким уравнениям
состояния, которые хотя и не точно, но достаточно правильно
учитывают основные черты поведения большинства
конденсируемых газов, а именно отталкивание атомов при малых
межатомных расстояниях и слабые дальнодействующие силы
притяжения. Уравнение Ван-дер-Ваальса, видоизмененное так, как
будет сказано ниже, позволяет приписать жидкой и
газообразной фазам различающиеся удельные теплоемкости, близкие
к реальным, что впоследствии обеспечит лучшее согласие с
экспериментом.
Выбор кривой стабильности жидкости в качестве
термодинамической характеристики состояния жидкости в некоторой
степени произволен, хотя он кажется логичным, как показывают
следующие рассуждения. Изотермы и адиабаты для жидкой
фазы в большинстве случаев намного круче изотерм и адиабат
как в областях существования обеих фаз, так и в области одной
газовой фазы, если не считать области, близкой к критической
точке. Наклоны же адиабат пропорциональны квадрату
скорости звука. Поэтому скорость звука в жидкости намного больше
скорости звука в любой другой области диаграммы состояния.
Отсюда следует, что при нагреве термодинамическое состояние
должно изменяться по линии раздела жидкость —насыщенный
пар. В самом деле, любой тенденции перевести расширяющуюся
систему в полностью жидкое состояние будет быстро
противодействовать тепловое расширение жидкости, которое
определяется большей скоростью звука. При расширении жидкости
давление уменьшается до давления, соответствующего кривой
стабильности, так что дальнейшее расширение в
предполагаемых нами равновесных условиях должно сопровождаться
частичным испарением, которое определяется скоростью волны
испарения, меньшей чем скорость звука в жидкости. Что же
касается внутренних частей системы, где главную роль играет
инерция, то преждевременное расширение за счет кавитации
будет приводить к локальному повышению давления, а это
снова вернет состояние элемента среды на кривую стабильности
жидкости. Такие колебания относительно кривой стабильности
жидкой фазы продолжаются на протяжении всего импульса

7. Волна испарения
251
электрического (джоулева) нагрева до тех пор, пока частицы
среды не испарятся с поверхности за счет расширения,
связанного с волной испарения.
В дальнейшем мы будем рассматривать интересующую нас
термодинамическую систему в виде однородного
расплавленного металлического цилиндра, к которому подводится тепло
и с поверхности которого происходит частичное испарение. При
этом будем считать, что скорость переднего фронта волны
испарения равна скорости распространения волны насыщенного
пара (при абсолютной температуре Т), которая определяется
формулой (2) на линии стабильности жидкости.
Давление Р и удельный объем V связаны уравнением Ван-
дер-Ваальса (для единицы массы среды)
pw= у _ b — -ут. (13)
где постоянные а и Ь определяются через критические
параметры:
a = 3PcV*c1 b = ^f, RTc = -jPcVc. (14)
Естественно, что также выполняются неравенства Т > О, V ^ Ь.
При Т ^:ТС уравнение Ван-дер-Ваальса описывает двухфазную
область диаграммы состояния, где одновременно существуют
и жидкость и пар (фиг. 1). В этой области давление пара Ра
трудно найти непосредственно из уравнения (13), кубичного
относительно объема; проще воспользоваться правилом равных
площадей Максвелла, согласно которому изгиб изотермы,
соответствующий области существования двух фаз, заменяется
горизонтальной прямой так, чтобы площади между этой прямой
и изотермой сверху и снизу были одинаковы. В работе [10]
получен замечательный результат: доказано, что условие
равных площадей не является обязательным, а только одним из
ряда возможных вариантов. При Т<ТС автор работы [10]
пишет
V, (Т)
| PwdV = PA(T)[Vl(T)-V3(T)] + cp(T)i (15)
V,(T)
где
тс
ф(Г)=| [Ск(т, жидкость) — Cv(x, nap)](l — ~) dx. (16)
т
Удельная теплоемкость при постоянном объеме Cv есть
функция не только температуры, но и состояния среды, т. е. зависит

252
Ф. Беннет
от того, является ли среда жидкостью или паром. Как показано
в работе [10], при этом сохраняются все основные особенности
равновесной термодинамики и главная из них — стационарность
функции Гиббса при изотермическом переходе системы из
жидкости в пар. Если теплоемкость Cv одинакова для жидкости
и для пара, то ср(71) = 0 и соотношение (15) переходит в
результат, полученный Максвеллом. Если же удельные
теплоемкости неодинаковы, то у(Т)фО, площади не равны и тем
самым обеспечивается дополнительное удобство при выборе
конкретных значений для удельных теплоемкостей.
Чтобы вычислить скорость звука в волне испарения на
линии стабильности жидкости по формуле (2), величины РА и
Уз = 1/рз можно найти численными методами из соотношений
(15) и (16). Удельную теплоемкость двухфазного состояния
CAV также нужно найти. Для этого пользуются формулой
Cav = (dEA/dT)v, где ЕА — внутренняя энергия. Поскольку,
согласно равенству (15), величина М(Т)= Т(дРА/дТ)у — РА
не зависит от V, энергию ЕА можно найти из основного
термодинамического соотношения
Прямое интегрирование равенства (17) дает
EA = Ew + M(T)[V-V3(T)]t (18)
где Ew = Ew(Vz, Г) —внутренняя энергия на линии
стабильности жидкости, соответствующей уравнению Ван-дер-Ваальса.
В результате находим
^-№),+£<"-v.»-"(#). (ад
И, наконец, на линии раздела жидкости и пара имеем
Последний член равен Су (Г, жидкость), можно взять для него
экспериментальные значения или представить его приближенно
какой-либо функцией. Уравнение Ван-дер-Ваальса не дает
дальнейшей информации. Подставив Pw в соотношение (17),

7. Волна испарения
253
получим dEw/dV3 = a/Vl. Пользуясь этими результатами,
а также уравнениями (15), (16), (21) и уравнением Ван-дер-
Ваальса, можно численными методами найти скорость волны
испарения на кривой VZ(T). В жидкости необходимо
использовать более общее выражение для скорости (1).
Уравнение состояния обычно записывают через абсолютную
температуру, но из эксперимента легче получить другую
независимую переменную — изменение удельного теплосодержания
Д#. Интегрируя dq = dE -f pdV вдоль кривой Vz(T) от
.температуры плавления Тм до Т и используя вычисленные значения
величин Ew(Vz> Т) и Ра(Т), можно найти связь между q и 7\
Тем самым устанавливается соответствие между kq{T) и Т при
Т^ТС. Тогда можно написать q(T) = q(TM) +&q(T), где
q(TM) = qM — теплосодержание жидкости при температуре
плавления, которое должно быть известным из других
источников. Очевидно, что безразмерная переменная q = q/RTc в силу
соотношений (15) и (16) зависит от удельных теплоемкостей
жидкости и пара, а также от комбинации qM/RTc. Последняя
величина для ряда металлов близка к 0,60. Как безразмерная
скорость волны испарения с = Cw/(RTc)l/2, так и безразмерное
теплосодержание являются функционалами удельных
теплоемкостей жидкости и пара. Если обе функции удельных
теплоемкостей можно аппроксимировать постоянными, то нетрудно
показать [9], что скорость волны испарения параметрически
зависит от выбранной величины теплоемкости.
§ 7. СРАВНЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
На фиг. 3 представлены данные о скорости волны испарения
для шести металлов: золота, серебра, меди, алюминия, свинца
и ртути. В отличие от аналогичного графика в работе [9], где
участки, на которых имеется много данных, просто
заштрихованы, здесь отмечены все отдельные точки в диапазоне
изменения переменных, охватывающем почти всю двухфазную
область. По оси ординат отложена безразмерная скорость волны
с, а по оси абсцисс — безразмерное удельное
теплосодержание q. Поскольку экспериментальные данные о тепловом
расширении жидких металлов отсутствуют, поправки на тепловое
расширение перед прохождением волны испарения не
вносились. Точно так же отсутствуют экспериментальные значения
параметров в критической точке для всех металлов, кроме
ртути, и поэтому были взяты лучшие результаты последних
приближенных расчетов [11 — 13]. Размерные постоянные
приведены в таблице.

254
Ф. Беннет
Металл
А1
Си
Ag
Аи
Hg
Pb
Т]А- К
933
1356
1234
1336
234
601
гс. к
8650
8500
7460
9500
1733
5400
#ГС, кДж/г
2,67
1 1,09
0,575
0,401
0,0718
0,217
(RTC)42. м/с
1633
1043
758
630
268
465
Теоретическая кривая в безразмерной форме
рассчитывалась на основе модифицированной модели Ван-дер-Ваальса
Фиг. 3. Скорость волны для разных металлов.
Квадратики—Ag; перевернутые треугольники —А1; прямые треугольники —Аи; темные
кружки —Си; крестики —Hg; светлые кружки —РЬ.
с критической сжимаемостью 3/в при Cv (жидкость) = 5/2Й и
Су(пар) = 3/2Й- Эти значения удельных теплоемкостей, которые
оказалось возможным выбрать благодаря отказу от правила
равных площадей Максвелла, лучше аппроксимируют
имеющиеся данные об удельных теплоемкостях, чем предположение

7. Волна испарений,
255
о равных удельных теплоемкостях для жидкости и пара. В своем
безразмерном виде скорость с является функцией только
безразмерных переменных. Масштаб приведенного удельного
теплосодержания q для теоретической кривой соответствует
уравнению Ван-дер-Ваальса, но шкала сдвинута на 0,1 для подгонки
величины qM> так что она с приемлемой точностью дает
соответствующие значения для шести металлов, весьма близкие
к эмпирическому значению 0,60.
Как видно из фиг. 3, экспериментальные данные довольно
хорошо согласуются с теоретической кривой в точке
возникновения волны испарения и на начальном участке кривой.
Экспериментальные точки для благородных металлов лежат ниже
теоретической кривой и за критической точкой, по-видимому,
приближаются к горизонтальной асимптоте. Значения скорости
волны для меди, взятые из работы [3], лучше согласуются с
приведенными на графике данными, чем кривая, рассчитанная на
основе уравнения Ван-дер-Ваальса. Некоторые из последних
неопубликованных данных нашей лаборатории для меди,
обработанные более сложным методом, ложатся ближе к ван-
дерваальсовой кривой вплоть до ординаты 0,15, где опять
начинается отклонение. Если бы можно было внести поправку на
тепловое расширение, то скорость волны возросла бы по
крайней мере на 20—70% в зависимости от значения Ц, причем
наибольшее возрастание было бы вблизи критической точки. Такая
поправка улучшила бы согласие в случае серебра, меди,
золота и алюминия, но точки для свинца и ртути отошли бы еще
дальше от теоретической кривой.
С проволочками из ртути были особые трудности: их
приходилось замораживать в смеси сухого льда с ацетоном,
хранить в холодном боксе и быстро переносить в камеру для
взрыва. Усовершенствование такой методики могло бы обеспечить
более высокую воспроизводимость экспериментальных данных
для ртути.
§ 8. ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Если говорить только о процессах, протекающих ниже
критической точки, то наиболее важное значение имеют два
отклонения от предложенной теоретической модели.
Теоретическая скорость волны относится к фронту волны
разгрузки, распространяющейся внутрь расплавленной среды.
Граница же, на которой проводимость падает до нуля, должна
проходить где-то в области пониженной плотности позади
фронта волны разгрузки. Такая граница может возникнуть в самом
начале участка клиновидного расширения, и ее можно
представить себе как фронт «ударной волны проводимости» со

256
Ф. Беннет
скоростью, меньшей чем скорость звуковой волны, которая
раньше ее распространяется внутрь проволочки. Поскольку нам
практически ничего не известно об изменении проводимости
в волне расширения, мы не можем оценить, насколько меньше
должна быть скорость этой волны. То, что экспериментальные
точки для благородных металлов и алюминия лежат ниже
теоретической кривой, согласуется с указанным различием в
скоростях, но этого нельзя сказать о данных для свинца и ртути.
Рентгеновские снимки [14] показывают, что при взрыве
проволочек в 2—5 раз большего размера и при несколько меньшей
скорости подведения энергии расширяющийся цилиндр
расплавленного вещества неоднороден и распадается на поперечные
слои разной плотности, называемые стратами. Каким образом
эти страты связаны с волной испарения, в настоящее время
неясно, хотя могут быть предложены некоторые гипотезы.
Наличие таких страт противоречит предположению, что волна
испарения равномерно распространяется в цилиндре
постоянной плотности.
Наличие в стратах неиспаренного материала проволочки
должно приводить к смещению всех экспериментальных точек
в область больших значений q. Но мы пока еще не можем
оценить этот эффект.
В настоящее время проводятся эксперименты по выяснению
зависимости числа страт от скорости подведения энергии во
время прохождения волны испарения. Существующие
рентгеновские методы из-за низкой разрешающей способности не
позволяют обнаружить какие-либо страты в проволочках большего
размера и при более быстрых взрывах, которым соответствуют
многие данные, представленные на фиг. 3. Тем не менее
наличие страт в случае более медленного взрыва проволочек
большего размера говорит о том, что вариации плотности играют
важную роль в процессе нагревания и расширения перегретых
металлов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Courant #., Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, New York,
1948, p. 92 (имеется перевод: P. Курант, К. Фридрихе, Сверхзвуковое
течение и ударные волны, ИЛ, 1950).
2. Curtiss С. /\, Boyd С. Л., Palmer Н. В., Journ. Chem. Phys., 19, 801 (1951).
3. Bennett F. D., Kahl G. D., Wedemeyer E. //., в книге Exploding Wires, eds.
W. G. Chace, H. K. Moore, vol. 3, New York, 1964, p. 80.
4. Brown E. A., Jr., Explosive Decompression of Water, Ph. D. Thesis,
Northwestern University, Evanston, 111. (1959).
5. Terner T. £., Ind. Eng. Chem., Process Design Dev., I, 84 (1962).
6. Bennett F. D., Phys. Fluids, 8, 1425 (1965).
7. Bennett F. £>., в книге Progress in High-Temperature Physics and Chemistry,
ed. С A. Rouse, vol. 2, London, 1968, p. 1.

7. Волна испарения
257
8. Bennett F. D.t в книге Progress in High-Temperature Physics and Chemistry,
ed. C. A. Rouse, vol. 2, London, 1968, p. 29.
9. Bennett F. D., Kahl G. D., в книге Exploding Wires, eds. W. G. Chace,
H. K. Moore, vol. 4, New York, 1968.
10. Kahl G. D., Phys. Rev., 155, 78 (1967).
11. Grosse A. von, Journ. Inorg. Nucl. Chem., 22, 23 (1961).
12. Cahill /. A., Kirshenbaum A. A, Journ. Phys. Chem., 66, 1050 (1962).
13. Grosse A. von, Rev. hautes temp, et refract., 3 (2), 115 (1966).
14. Fansler K. S., Shear D. D., в книге Exploding Wires, eds. W. G. Chace,
H. K. Moore, vol. 4, New York, 1968, p. 185.

8
ФИЗИКА ДЕТОНАЦИИ
Р. Шалл *
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Взрывчатые вещества характеризуются тем, что в них
может протекать экзотермическая реакция, возбуждаемая
механическим ударом, который передается от реагирующего слоя
к соседнему слою и, следовательно, распространяется в виде
волны давления. Такой процесс «детонации» возможен лишь
при условии, что реакция заканчивается прежде, чем давление
спадает за счет волны разгрузки, идущей от свободной
поверхности со скоростью звука. Поэтому для небольшого (порядка
1 см) куска взрывчатого вещества со скоростью звука около
5 мм/мкс время реакции должно быть меньше 1 мкс. Это
возможно только при очень высоких давлениях, когда волны
давления переходят в ударные волны. Следовательно, детонацию
можно представить себе как сочетание ударной волны с
химической реакцией. Ударная волна возбуждает реакцию, а
реакция усиливает ударную волну, пока не установится равновесие
между передаваемой и рассеиваемой энергией. Если геометрия
не изменяется при распространении волны детонации, то
устанавливается стационарный режим. Он характеризуется
постоянной скоростью детонации (например, в случае цилиндрического
заряда).
Исследование процессов в такой установившейся волне в
одномерном случае является задачей гидродинамической теории
детонации, наиболее значительный результат которой
заключается в том, что скорость детонации D оказывается не
зависящей от скорости протекания реакции. Величина D полностью
определяется выделяющейся энергией и уравнением состояния
продуктов реакции. Это — важное достижение данной теории.
Но очень скоро стало ясно, что одномерная теория не
позволяет описать некоторые закономерности процесса детонации,
например зависимость D от диаметра заряда. Этот «эффект
* R Schall, Institut Franco-Allcmand, St. Louis.

8. Физика детонации
259
диаметра» можно полностью охарактеризовать одним
параметром—отношением длины зоны реакции к диаметру заряда. Для
теоретического же анализа неустановившихся волн детонации,
в частности сходящихся волн, представляющих особый интерес,
так как они концентрируют в одной точке химическую энергию,
выделяющуюся в большом объеме, необходимо больше
информации о процессах, протекающих во время реакции. В этом случае
определяющим фактором является скорость передачи энергии
от слоя, где протекает реакция, к фронту ударной волны.
Ударная волна, вызванная в инертном материале, отражает
структуру зоны реакции только в тонком слое вблизи границы
вещества. На значительной же глубине амплитуда ударной волны
определяется условиями в газообразных продуктах взрыва.
Ускорение металлической пластины взрывчатым веществом
является результатом многократного взаимодействия ее с ударной
волной. Поэтому металлу лайнера может быть передано
большое количество энергии, содержащееся в продетонировавшем
газе. Коническое сжатие такого лайнера в «профилированном
заряде» приводит к образованию металлической струи, скорость
которой может быть намного больше скорости сталкивающихся
элементов лайнера. Но условиями, необходимыми для
образования струи, ограничивается плотность энергии, достижимая
при таком методе.
§ 2. ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
1. Детонация Чепмена—Жуге. Процесс одномерной
детонации, распространяющийся с постоянной скоростью Д можно
считать стационарным, рассматривая его в системе координат,
Лабораторная И/ D
система ° *" ° *"
_ л J Зона I Взрывчатое
Продукты [реалии Ч вещество
Стационарная D~ W /7
система
Фиг. 1.
движущейся с той же скоростью. В этой системе (фиг. 1)
взрывчатое вещество входит в фронт волны в точке 0,
разлагается и выходит из зоны реакции в точке / со скоростью,
уменьшенной на величину W, равную скорости газообразных
продуктов взрыва. В случае одномерного потока законы
сохранения массы и импульса дают
p0 = Pl(D-n (1)
PoD* + p0 = Pl(D-W)* + Pi, (2)

260
Р. Шалл
где р = l/v — плотность, а р— давление. Пренебрегая
эффектами переноса (теплопроводностью и трением), напишем закон
сохранения энергии:
Eo + ±d2 + PoVo = Q + Ei+y(D-W? + PM> (3>
где Q — теплота реакции, а Е0 и Ех— удельные внутренние
энергии.
Еще одно соотношение между этими величинами дается
уравнением состояния газообразных продуктов
p = p{vl9 £,). (4)
Прежде чем определять Д отметим, что при р\ ^> р0 и Е\ ^ £0,
складывая обе части равенств
(1) и (2), мы получаем
Pl = 9oDWt (5)
а «сумма» равенств (1) — (3)
дает
Q + Ex=±px{vQ-v{). (6)
Из равенств (1) и (2) следует,
что
Р\ — Ро
500
400 Ь
>§ 300
«С
гоо
100
Зона реакции
рзрывчт
вещество
I L^L
РГРчж
Прямая Михельсо/т
Продукты
0,2 0,Ь 0,6 0,8 1,0
V, см3/г
Фиг. 2.
№2-
Vi — v0 '
Следовательно, на графике
зависимости р от v (фиг. 2)
величина D определяется как наклон
прямой Михельсона1), связывающей начальное состояние и
состояние, соответствующее окончанию реакции. Рассмотрим два
случая:
а) прямая Михельсона проходит круче касательной и
пересекается с кривой состояния продуктов детонации в двух
точках;
б) прямая Михельсона совпадает с касательной к кривой
состояния продуктов детонации в точке vx = счж, рх = рчж.
Случай «б» соответствует условию Чепмена — Жуге
D = W + a, (7)
где а — скорость звука в продуктах детонации.
В случае «а» мы имеем D > Очж; в верхней точке
пересечения рх > рчж (сильная детонация), а в нижней р\ < /?чж
(слабая детонация).
4) В оригинале — «прямая Релея», но мы придерживаемся
терминологии, принятой в отечественной литературе. — Прим. перев.

8. Физика детонации
261
Из неравенства
D — W<a
следует, что самоподдерживающаяся сильная детонация не
возможна. Это неравенство означает, что волны разгрузки,
которые возникают как естественное следствие сжатия на фронте
ударной волны, могут догнать фронт и понизить давление
детонации до точки, в которой выполняются условия Чепмена —
Жуге. Слабая детонация исключается в силу следующих
соображений. Логично предположить, что промежуточные состояния
во время протекания реакции лежат между кривой Гюгонио для
незатронутого реакцией взрывчатого вещества и
соответствующей кривой для газообразных продуктов. Для слабой
детонации прямая Михельсона проходит, не пересекаясь с этой
кривой (вдоль этой прямой происходит изменение состояния в зоне
реакции), через область, в которой нет состояний,
соответствующих возможности протекания реакции.
Таким образом, в теории Чепмена —Жуге предполагается,
что в условиях устойчивой детонации прямая Михельсона
совпадает с касательной к кривой Гюгонио для продуктов взрыва.
Законы сохранения (1) и (3), уравнение состояния (4) и
условие Чепмена — Жуге образуют систему уравнений, которой
определяется как D, так и состояние реагирующего взрывчатого
вещества (состояние Чепмена — Жуге). В табл. 1 приведены
результаты для идеального газа и для газа, подчиняющегося
уравнению Абеля. Типичные давления для детонирующего газа
Таблица 1
а) Детонирующий газ
Р/Р =* з з
р0=10 г-см
Q = 1400 кал-г"1
Y=l,4
£„ = 0,33 кал-г -К
Р/Ро—(Y+ 1)Y—1.71
p = 2p0Q(fc— 1) = 50 бар
Т = (Q/cv)[2y/(y +1)] = 5200 К
D = [2Q (у2 - 1)]'/2 = 3400 м • с"1
№ = D[1/(Y+ 1)] = 1400 м-с"1
б) Конденсированное взрывчатое
вещество
р(1 -ар)/р = # з
ро= 1,7 г • см
Q = 1400 кал-г""1
Y= 1,25
со = 0,33 кал-г-1 -К-1
а = 0,4 см3 • г*"
p/Po = (Y+0/Y=U7
/> = 2p0Q[(Y-l)/(l-apo)] =
= 170 000 бар
D = [l/(l-ap0)][2Q(Y2-l)],/2 -
= 8000 м-с""1
Т = (Q/c,)[2y/(y+ 1)1=5000 К
H7 = D[(l-ap0)/(Y+l)] =
= 1200 м-с~'

262
Р. Шалл
и конденсированного взрывчатого вещества сильно различаются
по порядку величины. Если для идеального газа скорость D не
зависит от ро, то для конденсированных взрывчатых веществ
она возрастает с ростом р0. Как показано экспериментально,
Таблица 2
Скорости детонации в некоторых твердых взрывчатых веществах
/> = />! +Л(р0— 1)
TNT
PETN
RDX
HMXd
Состав В
(RDX/TNT 65/35)
RDX/TNT/A1 45/30/25
Du мс-1
5060
5550
6080
6090
5779
3950
К, М'С /г«см
3187
3950
3590
3590
3127
4200
Рмакс г'см3
1,63
1,73
1,77
1,85
1,72
1,77
Ркрист' г/см*
1,654
1,77
1,82
1,90
—
Баронал (Ba(N03)2/TNT/Al 50/35/15)
Баратол (Ba(N03)2/TNT 65/35)
D, м-с"1
5450
5580
рп, г/см3
2,30
2,35
этот рост близок к линейному. В табл. 2 приведены
экспериментальные значения скорости Z), а также коэффициенты
плотности. Эти экспериментальные значения D используются для
проверки уравнения состояния. Очень простое описание
ударных процессов мощных взрывов дается уравнением состояния
идеального газа с у « 3. Кривая Гюгонио для часто
используемого взрывчатого вещества «состав В»l) (RDX/TNT 65/35,
ро = 1,714) хорошо описывается соотношением pv2>77 = const
в области давлений от 5-Ю4 до 5-Ю5 бар. Подчеркнем, однако,
что это уравнение имеет смысл только тогда, когда
рассматривается соотношение между р и v\ было бы большой ошибкой
использовать его для расчетов температуры. Наивысшей
скоростью детонации среди веществ, приведенных в табл. 2,
характеризуется кристаллический НМХ (ро = 1,90), для которого она
равна D = 9321 м/с. При у = 3 получаем
р = Ро-~- = 412000 бар.
) См. примечание 6 к табл. 4, стр. 206. — Прим. nevee.

8. Физика детонации
263
Более детальное изложение гидродинамической теории
детонации можно найти во многих монографиях, например [1—3].
2. Критика теории Чепмена—Жуге. Многие годы теория
Чепмена—Жуге считалась правильной. И лишь в последнее
время, когда были проведены более точные измерения,
появились некоторые сомнения относительно того, полностью ли
согласуются экспериментальные данные с предположением
Чепмена—Жуге [4]. По-видимому, к наблюдающимся явлениям
лучше подходить как к слабой детонации, т. е. считать, что
поток является сверхзвуковым в конце зоны реакции, скорость
детонации немного выше, а давление и плотность немного
ниже, чем предсказываемые теорией Чепмена — Жуге. Это
справедливо не только для детонации в конденсированной
среде, но и для детонации в газах со сравнительно низкими
плотностями энергии.
Убедительнее всего об этом свидетельствуют данные
рентгенографических измерений плотности. Таким методом было
установлено, что при детонации газообразных взрывчатых
веществ [5] плотность продуктов взрыва на 10%, а при детонации
конденсированных сред — на 2% ниже, чем рассчитанная по
теории Чепмена — Жуге.
Другие данные таковы. При тех предположениях, которые
делаются в теории Чепмена — Жуге, давление в волне
детонации можно рассчитать без использования какого-либо
уравнения состояния; нужно знать лишь производные (dD/dpo)^
и (д£)/д£0)Ро (ро — начальная плотность взрывчатого вещества,
а Е0 — начальная удельная энергия) [6]. Было показано, что
давление, рассчитанное таким образом, не согласуется с
измеренным давлением, которое определялось по амплитуде
ударной волны, создаваемой в металлической пластине,
примыкающей к заряду. Оказалось также, что величина (dD/dp0)E
зависит от агрегатного состояния взрывчатого вещества —
факт, который невозможно объяснить с точки зрения
гидродинамической теории. Например, для жидкого тринитротолуола
измеренное значение производной (dD/dp0)£o составляет
(4240 + 509) м-с_1/г-см-3, а для твердого при той же плотности
эта производная оказывается равной (3187±27) м-с~7г-см"3.
Это свидетельствует о том, что процессы детонации в жидкой
и твердой фазах неодинаковы [7].
Вероятнее всего расхождение теории с экспериментом
объясняется тем, что течение нельзя считать строго одномерным.
Имеются экспериментальные данные, свидетельствующие о том,
что в ряде случаев одномерная линейная детонация в газе не
является строго стабильной, а имеют место турбулентности и

264
Р. Шалл
вариации скорости. Общий характер такого заключения был
подчеркнут в работе Эрпенбека [8], где аналитически
исследовалась стабильность детонационных волн; результаты этой
работы показывают, что одномерное стационарное решение
нестабильно и, следовательно, не соответствует действительности ни
для одной среды, которая выделяет достаточно много тепла,
чтобы ее можно было назвать мощным взрывчатым веществом.
Но теория Эрпенбека не дает никакой информации о скорости
нарастания и об уровне, до которого развиваются такие
возмущения. Она только подтверждает мысль о том, что плотность
энергии в зоне реакции, по крайней мере в микромасштабе,
неоднородна и довольно сильно меняется от точки к точке.
На основе такого предположения можно было бы
объяснить, почему волны давления, перескакивающие от одной
горячей точки к другой горячей точке, распространяются с
большей скоростью, чем в случае строго ламинарного течения с
однородным распределением энергии. Можно было бы также
объяснить, почему процессы детонации в гранулированном
взрывчатом веществе, в котором велики возмущения в процессе
возбуждения, отличаются от происходящих в однородном
заряде. Это позволяет, наконец, объяснить очень высокую
электрическую проводимость детонирующего газа [9] и аномально
высокие скорости разлета, которые наблюдаются в газе низкой
плотности, находящемся в контакте с мощным взрывчатым
веществом; эти скорости в 3—5 раз выше, чем предсказываемые
гидродинамической теорией [10].
Итак, классическая одномерная теория детонации дает
удовлетворительное общее описание плоской развивающейся волны,
но оказывается несостоятельной при попытках описать тонкую
структуру в зоне реакции, о которой еще мало что известно.
Можно, однако, полагать, что в зоне реакции происходит
локальная концентрация энергии до плотностей, намного
превышающих среднее значение, предсказываемое классической
теорией.
§ 3. ДЕТОНАЦИЯ С ИСКРИВЛЕННЫМ ФРОНТОМ
1. .Установившиеся волны. Цилиндрический заряд
небольшого диаметра детонирует при постоянной скорости
искривленного фронта. Стабильная форма фронта волны устанавливается
после прохождения ею расстояния, равного нескольким
диаметрам заряда, в результате сложения с волнами разгрузки,
входящими в зону реакции со стороны свободной поверхности. Они
задерживают волну, причем на поверхности больше, чем в
центре. В результате для подпитки начальной ударной волны
используется меньшая доля энергии, выделяющейся при реак-

8. Физика детонации
265
ции, чем в плоском случае. Следовательно, скорость детонации
будет меньше Ог —скорости детонации в плоской геометрии.
Тем не менее волну в цилиндрическом заряде можно
исследовать на основе модифицированной гидродинамической теории.
Чтобы получить основные
результаты, достаточно знать длину зоны
реакции 1 = t(D — W) или время
реакции т, которое может зависеть
и от скорости D ударной волны.
Для заряда без оболочки
диаметром 2/? Айринг [11] вывел формулу
При скоростях D, ненамного
меньших Dit линейный спад в
зависимости от \/R был подтвержден
экспериментально (фиг. 3), и формулой
Айринга обычно пользуются для
определения / или т по графикам
зависимости D(l/R). Имеется ряд указаний на то, что
найденная таким образом длительность реакции несколько завышена,
но ввиду отсутствия более надежных методов длину зоны
реакции обычно находят по наклону кривой зависимости D
от 1/Я.
2. Расходящиеся волны. При точечном инициировании, т. е.
когда создают сферическую детонационную волну путем
выделения энергии в ограниченном объеме, возникают условия, при
которых скорость волны быстро изменяется во времени.
Различие между дозвуковой и сверхзвуковой областью теряет
смысл. Решающее значение приобретает вопрос, могут ли волны
давления, возникшие в результате выделения энергии, догнать
и усилить начальную ударную волну. Чтобы решить этот
вопрос, нужно знать скорость передачи энергии за. фронтом
ударной волны. В случае гранулированных взрывчатых веществ
данных недостаточно, так как в этом случае температура весьма
неоднородна. В промежутках между гранулами возникают
значительно более высокие температуры («горячие точки»), чем
в случае сплошных взрывчатых веществ [12, 13].
Только при скоростях детонации, близких к Diy могут быть
получены более общие результаты. Берже [14] показал, что
случай расходящейся сферической волны аналогичен случаю
цилиндрического заряда, рассмотренному в предыдущем пункте.
Действительно, в обоих случаях мы имеем фронт волны с
постоянным радиусом кривизны и расходящийся поток в зоне
'"'."'• :-Рл
'■•' г :Л
/г^ 1 '
//С \ \
ч °ч !
■II Гч!
^!
LU

266
Р. Шалл
реакции. Оба случая описываются уравнением
l-(-5r)W(l-2ft)(C-l),
где k = 1 — V2 (Рчж/р) — параметр, характеризующий изменение
плотности в зоне реакции, а С — отношение поперечных сечений
трубок тока, входящих в зону реакции и выходящих из нее.
Приведенная ранее формула Айринга представляет собой
приближенный вариант этого соотношения. Если C=[r/(r-\-Wx)]n9
то при п = 1 это соотношение описывает цилиндрическую, а при
п = 2 — сферическую расходящуюся волну (т — время
реакции).
3. Сходящаяся волна детонации. Сходящиеся волны
представляют особый интерес для физики высоких плотностей
энергий. Гудерлей показал, что амплитуда ударной волны,
создаваемой взрывом, достигает бесконечности в центре симметрии, если
(что допустимо в случае плоских волн) пренебречь излучением,
вязкостью и теплопроводностью. То же самое относится,
конечно, и к детонационным волнам, которые представляют
собой ударные волны, поддерживаемые за счет реакции.
Зельдович [15] исследовал сходящуюся детонационную волну при
некоторых упрощающих предположениях (у = 3). Он
установил, что скорость детонации медленно возрастает с г/г0, где
г0 — начальный радиус волны. В случае цилиндрической
сходящейся волны при г = г0/10 давление детонации возрастает
в 1,93 раза, а при г = г0/50 — в 3,8 раза.
До тех пор пока волну можно рассматривать как не сильно
отличающуюся от установившейся, приведенная ранее формула
Берже хорошо описывает ее при С = [r/(r—Wx)]n.
Экспериментальные данные для сферического случая лучше согласуются
с этой формулой, чем с результатами Зельдовича [16]. Были
выражены серьезные сомнения относительно стабильности
сходящихся детонационных волн, но опубликованные данные
говорят о том, что сходящуюся детонационную волну можно
использовать для получения локальных концентраций энергии.
§ 4. ПРОФИЛИРОВАНИЕ ВОЛНЫ
Для создания детонационных волн специальной геометрии
используются различные методы профилирования
детонационного фронта. Сначала мы рассмотрим методы получения
линейных или плоских волн. Впрочем, эти методы можно
использовать для формирования волн любой формы.

S. Физика детонации
267
Первый метод — применение двух взрывчатых веществ с
разной скоростью детонации (взрывные линзы1)). Если граница
раздела между ними перпендикулярна направлению
распространения волны в первом взрывчатом веществе (£>i), то фронт
волны Маха, создаваемой в медленном взрывчатом веществе
(D2), образует с границей раздела угол р, который
определяется соотношением sinp = D2/Di (фиг. 4)2). В конической
системе («генератор плоской волны») этот эффект обычно
используется для создания плоских волн.
Второй метод — помещение на пути детонационного фронта
отверстий или инертных тел, которые волна обходит.
Эквидистантная система отверстий во взрывчатом веществе
гарантирует, например, волну с хорошей линейностью (фиг. 5).
Фиг. 5.
Третий метод состоит в использовании металлических
пластин для мгновенного возбуждения ударом по всей
поверхности. На фиг. 6 показано устройство, в котором инициированный
в точке длинный брусок 1 за счет одновременного по всей длине
удара разогнанного им лайнера формирует в пластинке 2
взрывчатого вещества линейный фронт, инициирующий в свою
очередь блок взрывчатого вещества 3 сразу по- всей его
плоской поверхности.
Перечисленные нами, а также другие методы
профилирования детонационной волны3), очевидно, могут быть использованы
*) Для этой цели часто используется комбинация пластического
взрывчатого вещества НМХ (D{ ~ 9000 м/с) с баратолом (D2 ~ 5500 м/с).
2) Вблизи границы раздела это справедливо только тогда, когда второе
взрывчатое вещество уже подорвано, т. е. если D равно скорости ударной
волны, которую первое взрывчатое вещество создает во втором. В
противном случае D2 установится только за переходной зоной, длина которой
зависит от геометрии системы.
3) Совсем недавно Дефурно [17] предложил для уменьшения объема
заряда применять слоистые материалы, состоящие из чередующихся слоев
мощных взрывчатых веществ и инертных материалов.

268
Р. Шалл
для инициирования волн с сходящимися фронтами. Методом
взрывных линз, например, можно формировать цилиндрические
или сферические сходящиеся волны. Для этого границе раздела
между быстрым и медленным взрывчатым веществом придают
форму логарифмической спирали (фиг. 7). Схема устройства,
Фиг. 6. Фиг. 7.
предназначенного для этой цели, но в котором используются
еще и инертные включения, представлена на фиг. 8.
Последний наш пример (фиг. 9) — применение метода
ударного инициирования для создания конического взрыва [18, 19].
Фиг. 8. Фиг. 9.
Такое устройство, использовавшееся при изучении конических
сходящихся волн в металлах, безусловно может быть
применено и для детонации взрывчатого вещества в конической
сходящейся геометрии. Устройства, показанные на фиг. 7 и 8,
могут быть применены и для создания сходящихся волн в
инертных материалах.

8. Физика детонации
269
§ 5. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ, ВЫЗВАННЫЕ ДЕТОНАЦИЕЙ
Детонационная волна возбуждает в примыкающей среде
ударную волну, интенсивность которой определяется
равенством давления расширяющихся продуктов детонации и
возбужденной ударной волны. Рассмотрим вначале плоскую
детонационную волну, распространяющуюся параллельно границе
раздела. Чтобы найти равновесное давление, нужно знать, как
изменяется скорость продуктов детонации при адиабатическом
расширении. Изменение этой скорости равно интегралу Римана
Ро
JUL
ар
взятому от конечного равновесного давления ро до начального
давления р\. Здесь а и р — скорость звука и плотность
расширяющегося газа. Для идеального газа получим
-^[-ten-
Расширение удобно анализировать, рассматривая график
зависимости р от и. Такой график представлен на фиг. 10, где,
согласно сказанному ранее,
Pomp Ь
Ударное сжатие
продуктов
Низкая \
Высокая) сжимаемость
Расширение продуктов
^ г детонации
выбрано у = 3. В этом случае
имеем pi = р чж и а{ = *UD.
При ро = 0 (расширение в
вакуум) ПОЛучаем «макс = Я1
(скорость звука в точке Чеп-
мена — Жуге). Спад давления ^ p^J
при возрастании скорости
дается кривой /.
Импульс, переданный
инертным частицам, вызывает
ударную волну, давление в
которой возрастает с ростом
скорости частиц W. Возможные
состояния (давление —
скорость) для типичной среды с высокой сжимаемостью (например,
воды) представлены кривой 2, а для материала с низкой
сжимаемостью (металлы) — кривой 4. Точки пересечения с
адиабатой / дают равновесные давления, т. е. амплитуду ударной
волны, возникающей в соответствующих материалах.
Аналогичные рассуждения можно провести и в случае, когда фронт
детонационной волны параллелен границе раздела. Необходимо
только учесть, что в этом случае р1 = рЧЖу а скорость потока
№чж = VJX Следовательно, скорость расширения в вакуум

270
Р. Шалл
равна D. Адиабата 3 пересекается с ударной адиабатой 2 при
более высоком давлении р'г. С кривой 4 адиабата 3 не
пересекается, так как скорость частицы при равновесии всегда меньше
Н?чж- Продукты взрыва останавливаются на границе раздела,
а отраженная ударная волна повышает давление в газе до
величины р4 > Рчж- Давление р4 определяется точкой
пересечения ударной адиабаты в газе (пунктирная кривая) с ударной
адиабатой в материале. Если бы существовали абсолютно
несжимаемые материалы, то можно было бы получить давления в
отраженной волне, вдвое большие чем /?чж*
§ 6. БАЛЛИСТИКА МОЩНЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ
Рассмотрим металлическую пластину, находящуюся в
контакте с детонирующим взрывчатым веществом. Когда
индуцированная ударная волна достигнет свободной поверхности,
скорость частиц металла возрастет от величины W позади ударной
волны до
»+/ £•
0
где интеграл Римана берется от 0 до давления в ударной
волне р.
Было показано, что для любого уравнения состояния,
учитывающего фактические значения ударной сжимаемости
металлов, интеграл Г dp/ap очень близок к W, так что свободная
поверхность движется со скоростью, почти точно равной
удвоенной скорости материала за ударной волной. Когда к границе
раздела между металлом и взрывчатым веществом
возвращается волна разгрузки и давление газа достаточно велико,
в металле возникает вторая ударная волна; таким образом,
пластина ускоряется ступенчато за счет ряда следующих одна
за другой ударных волн. Но если энергия, рассеиваемая в
пластине, пренебрежимо мала, то конечная скорость оказывается
такой же, как и в случае несжимаемой пластины, т. е.
u=ibrlp{t)dt-
где p(t) — давление на движущейся границе раздела, a pmd—
масса единицы площади пластины.
Скорости металлических слоев, которые могут быть
получены при взрывах, можно приближенно рассчитать на основе
«модели детонационной головки», предложенной в работе [1].
В этой модели предполагается, что волны разгрузки резко

3. Физика детонации
271
уменьшают давление в точке Чепмена — Жуге до нуля, а в
оставшейся области высокого давления газ упруго
взаимодействует с металлом. В случае цилиндрического заряда (фиг. 11)
масса остающейся «головки»
(Л = Ф, рчж = 4/зРо) равна
Л1я = РчжТ^Л==^ Ро(|Л
Из уравнений законов
сохранения импульса и
энергии для скорости
металлической пластины следует
выражение
ро^зи
2W
V =
чж
1 + ш/Мн
Фиг. 11.
Правда, верхний предел v = 2№чж, который получается из этой
формулы при т—►(), оказывается заниженным, ибо, как ранее
было показано, продукты детонации расширяются в вакуум со
скоростью D = 4U?4>k. Но практически при m ~ Мн эта
формула хорошо согласуется с экспериментальными данными,
которые показывают, что скорости макрочастиц, разогнанных
взрывом веществ с высокой концентрацией энергии, могут
достигать 5 км/с.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДАРНЫХ АДИАБАТ ГЮГОНИО
Для определения зависимости давления от плотности в
конденсированных средах при очень высоких давлениях были
разработаны различные методы. Все они основаны на
использовании соотношений между скоростью S плоской ударной волны,
скоростью вещества W, начальной плотностью ро и плотностью
за ударной волной рь
P = PoSW, (8)
pl - -^— (9)
Ро
S-W
а. Метод свободной поверхности [19, 20]. Измеряют
(оптическим методом, или электрическим с использованием зондов)
скорость ударной волны S и скорость свободной поверхности,
которую принимают равной 2W. Затем по формулам (8) и (9)
вычисляют давление и плотность.
б. Импульсная рентгенография [21]. Путем денситометриче-
ской обработки рентгенограмм, полученных при достаточно

272
Р. Шалл
малых временах экспозиции, определяют отношение pi/po. Зная
эту величину, а также скорость S, находят р по формулам (9)
и (8).
е. Метод удара макрочастицы [22]. Измеряют скорость
разогнанной плоской пластины Vu ударяющейся о поверхность
мишени, и скорость ударной волны
S в мишени. Если пластина и
мишень изготовлены из одного
материала, то W = У2ог- и по
формуле (8) находят р, а по
формуле (9) — pt. В случае
неидентичных материалов для того,
чтобы рассчитать равновесное
давление и скорость границы
раздела, нужно знать уравнение
состояния для материала пластины.
При таком методе обычно
используют либо взрывчатые вещества,
либо легкие снаряды, ускоренные
при помощи газовой пушки.
Результаты, полученные
такими методами, удобно
представлять в виде зависимости S(W).
Оказывается, что для многих
конденсированных материалов
(жидких, твердых, пористых или
гранулированных) в весьма широких пределах эта зависимость
линейна и описывается соотношением
S = U0 + W,
где А,—1,6, причем £/а часто отличается от скорости звука а
(фиг. 12).
§ 8. ПРОФИЛИРОВАННЫЕ ЗАРЯДЫ
Профилированные заряды мощного взрывчатого вещества —
это тела аксиальной симметрии с полостью, чаще всего
имеющей коническую форму. Инициированные с противоположного
конца, они создают более сильный эффект на мишени,
расположенной вплотную с полостью, чем заряды без полости
(фиг. 13). Это объясняется тем, что энергия концентрируется
на оси заряда. Глубина разрушения особенно возрастает в
случае зарядов с «облицовкой» (с «лайнером»), когда поверхность
в полости покрыта металлом (например, сталью или медью).
Глубина разрушения достигает максимума (который в случае
мишени из мягкой стали может быть в 8 раз больше диаметра

8. Физика детонации
273
заряда), если в момент подрыва заряд находится на расстоянии
нескольких его диаметров S от мишени. Это объясняется тем,
что за счет концентрического сжатия лайнера на оси заряда
образуется металлическая струя с очень высокой скоростью.
Теоретически данное явление нетрудно рассчитать на основе
гидродинамики несжимаемой жидкости. Результаты расчета
показывают (фиг. 14), что в струю переходит часть массы лайнера,
равная sin2(p/2), и что скорость струи Vj = Vo cos (а/2)/sin (0/2),
где Vo — скорость схлопывания, р— половина угла схлопыва-
ния, а а — половина угла при вершине полости [23]. Очень
Фиг. 13. Фиг. 14.
большие скорости струи, которые должны быть, согласно этой
формуле, при р—►(), на самом деле не наблюдаются. Струя
возникает только в том случае, если схлопывание происходит с
дозвуковой скоростью, а это означает, что точка схлопывания
перемещается со скоростью, меньшей скорости звука а в
материале лайнера. Во всех других случаях схлопывание не
приводит к образованию струи [24]. При малых р скорость Vj, грубо
говоря, равна удвоенной скорости точки схлопывания;
максимальное значение величины Vj близко к 2а. Это означает, что
могут быть получены скорости, достигающие 10 км/с. Не все
материалы, из которых можно сделать лайнер, дают сплошную
струю. Хрупкие материалы (вольфрам, титан, спеченные
металлы и т. д.) дают струю пылевидной консистенции. Ковкие
же материалы (алюминий, медь серебро, золото) дают
сплошную струю с плотностью, лишь ненамного меньшей, чем
плотность сплошного металла при соответствующей температуре,

274
Р. Шалл
близкой к точке плавления. Наивысшая концентрация
кинетической энергии, которую можно ожидать от устройств с
профилированными зарядами, ненамного больше той, которая
может быть получена в системе с плоской пластиной. Но зато
большие скорости достигаются с более высокой
эффективностью, так как передача первичной энергии от взрывчатого
вещества к лайнеру может происходить при оптимальных условиях.
В системе двух профилированных зарядов, подрываемых один
против другого, эта кинетическая энергия может быть
преобразована в энергию давления за очень короткое время.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cook М. A., The Science of High Explosives, New York, 1958.
2. Berger /., Viard /., Physique des explosifs solids, Paris, 1962.
3. Зельдович Я. Б.у Компанеец А. С, Теория детонации, М., 1955.
4. Davis W. У., Fickett W„ в книге Behaviour of Dense Media Under High
Dynamic Pressures, Paris, 1968.
5. Duff R. £., Knight H. 7\, Rink J. P., Phys. Fluids, 1, 393 (1958).
6. Manson jV., Comt. Rend., 246, 2860 (1958).
7. Davis W. C, Craig B. G.y Ramsay J. В., Phys. Fluids, 8, 2169 (1965).
8. Erpenbeck J. /., Phys. Fluids, 9, 1293 (1966).
9. Schall R.t Vollrath К., в книге Les ondes de detonation, Paris, 1962.
10. Johansson С. Я., Ljungberg 5., Ark. f. Fys., 6, 269 (1953).
11. Eyring #., Powell R. £., Duffey G. Л., Parlin R. В., Chem. Rev., 45, 69
(1949).
12. Proc. Roy. Soc, A246, 146 (1958).
13. Mader Ch. L., Phys. Fluids, 6, 375 (1963).
14. Berger /., в книге Les ondes de detonation, Paris, 1962.
15. Зельдович Я. Б, ЖЭТФ, 36, 782 (1959).
16. Cachin А , в книге Les ondes de detonation, Paris, 1962.
17. Defourneaux M., в книге Behaviour of Dense Media Under High Dynamic
Pressures, Paris, 1968.
18. Leygonie /., Bergon J. CL, в книге Behaviour of Dense Media Under High
Dynamic Pressures, Paris, 1968.
19. Rice M. #., McQueen R. (?., в книге Solid State Physics, vol. 6, New York,
1958, p. 1.
20. McQueen R. G., Marsh S. P., Journ. Appl. Phys., 31, 1253 (1960).
21. Schall /?., Thomer G., Zs. angew. Phys., 3, 31 (1951).
22 Альтшуллер Л. В., Баканова А. Л., Трунин Р. Ф., ЖЭТФ, 42, 91 (1962).
23. Pugh Е. М., Eichelberger R. /., Rostoker N. /., Journ. Appl Phys., 23, 532
(1932).
24. Walsh J. M, Schreffler R. G., Willig F. /., Journ. Appl. Phys., 24, 349
(1953).

9
ФИЗИКА СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
Р. Гросс*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Что произойдет, если сконцентрировать энергию в малой
области материальной среды? Эта область будет быстро
расширяться, совершая работу над частями среды, окружающими ее,
так что концентрация энергии будет уменьшаться.
Одновременно будет происходить диссипация энергии вследствие
теплопроводности, диффузии и излучения. Быстрое расширение
вызывает в окружающей среде возмущения, которые формируются в
ударную волну. Расширяющаяся среда действует подобно
«поршню», а фронт возмущения представляет собой ударную
волну. Ударная волна нагревает, сжимает и ускоряет вещество,
в котором она распространяется. Фокусируя ударные волны
посредством устройств с соответствующей геометрией, можно
получить, по крайней мере кратковременно, необычайно высокие
концентрации энергии в веществе. С помощью сильных ударных
волн в лабораторных условиях в газообразной плазме были
достигнуты температуры порядка 107 К, а в твердых телах,
сжатых ударной волной, — давления порядка 107 атм. В природных
условиях ударные волны сопровождают, например, молнию,
вхождение метеоритов в атмосферу, искровые разряды, взрывы
сверхновых звезд. В табл. 1 приводятся данные о состоянии
вещества в природных условиях и в условиях, которые
достигаются в лаборатории с помощью ударных волн.
Изучению ударных волн посвящена обширная область
науки, возникшая из аэродинамических исследований движения
тел с высокими скоростями в атмосфере и баллистики.
Результаты в этой области базируются главным образом на газовой
динамике. Недавно начали изучать другие явления, также
связанные с сильными ударными волнами, такие, как образование
высокотемпературной плотной плазмы, взаимодействие ударных
* R. A. Gross, Columbia University, New York, N. Y.

276 Л Гросс
Таблица 1
р,
т,
бар
К
Центр Земли
10б
104
Солнечная
корона
ю-9
10е
Центр
Солнца
10"
ю7
Белый
карлик
Ю">
ior
Управляемый
синтез
20
108
Лабораторные достижения (на 1969 г.)
Ударные волны в
твердых телах
Ударные волны в
плазме
Г~5.104К
Г~(Ю6— 107)К
р~107 бар
р~ 10 бар
волн с электромагнитными полями, излучение сильных ударных
волн, ударные волны, распространяющиеся с релятивистскими
скоростями. Краткое изложение газодинамической теории удар,
ных волн дается в § 2. В § 3 рассматривается ионизация в
ударных волнах и ударные волны в плазме, в § 4 — ударные волны
при наличии излучения, а в § 5 — релятивистские ударные
волны. Параграф 6 посвящен теоретической структуре
термоядерной детонационной волны и современному состоянию
экспериментальных исследований ударных волн в газах в
лабораторных условиях.
§ 2. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
В этом параграфе кратко излагаются основные выводы
газовой динамики относительно ударных волн. Эти выводы
применимы к любой сжимаемой среде до тех пор, пока ударная
волна существенно не меняет энергетического состояния атомов
или молекул среды. Таким образом, рассматриваемая
газодинамическая теория описывает ударные волны малой
интенсивности. Теории таких ударных волн посвящено много хороших
учебников и монографий (см., например, [1—4]).
Рассмотрим простую задачу о поршне, который
первоначально покоится, а затем мгновенно начинает двигаться с
постоянной скоростью относительно неподвижного газа. На фиг. 1
показаны поршень в момент времени ty диаграмма (х, t) и кривые
изменения ряда физических параметров. До прихода ударной
волны газ покоится, а в момент прихода фронта волны
мгновенно ускоряется до скорости поршня Vp. Индексом 1 обозначено
состояние газа перед фронтом, а индексом 2 — за фронтом

9. Физика сильных ударных волн в газах
277
ударной волны. Скорость ударной волны обозначена через Vs,
а величины /?, Т и v — это давление, температура и скорость
газа. Ударная волна представляет собой область очень
резкого перехода (но конечной
ширины) от состояния / к состоянию 2.
Важно то обстоятельство, что
ударная волна образуется
независимо от истории ускорения поршня
до скорости Vp. Поскольку
возмущения малой амплитуды
распространяются с тем более высокой
скоростью, чем больше сжато веще-
О.
г i
г
\
/
Фиг. 1. Волна,
создаваемая поршнем,
движущимся с постоянной
скоростью Vp в
неподвижном газе.
Обозначения: р —давление,
Г —температура, х —
координата, / — время, о —скорость
газа в лабораторной системе
координат.
(р-луро
Фиг. 2. Образование ударной
волны из начального возмущения.
В области сжатия профиль становится
более крутым, в области разрежения —
более пологим.
ство, участок волны, соответствующий увеличению амплитуды,
становится все круче и круче, превращаясь в ударную волну. Так
происходит все, например, в идеальном газе, в котором при
адиабатическом сжатии скорость звука возрастает. Процесс
увеличения крутизны продолжается до тех пор, пока он не
уравновесится эффектами вязкости и теплопроводности (все явления
переноса приводят к расплыванию резких переходов). В то же
время участок волны, соответствующий разрежению, расширяется

278
Р. Гросс
и становится более пологим. Эти эффекты схематически
показаны на фиг. 2; здесь представлены кривые (р — ро)/ро, где р —
плотность газа в различные моменты времени1). В момент
времени U показано начальное сжатие (р > р0) и разрежение
(р < ро) в волне. В момент времени t\ волна стала круче, и при
U сформировалась ударная волна, которая продолжает
распространяться при t > t2l сохраняя свою форму. Так формируется
ударная волна во всех сжимаемых средах, в которых скорость
волны возрастает при сжатии.
1. Соотношения на ударном скачке. Связь между
состояниями газа перед фронтом и за фронтом ударной волны весьма
проста, так как в газовой динамике скорость отдельного малого
возмущения равна скорости звука а. Если состояние перед
фронтом известно, то состояние за фронтом зависит только от
отношения удельных теплоемкостей у и одной динамической
переменной.
В качестве такой динамической переменной часто выбирают
число Маха М = и/а, где и — скорость вещества, измеренная
относительно ударной волны. В лабораторной системе
координат скорость вещества обозначают через v\ величины и и v
связаны соотношением
и = v — Vs.
Конечно, можно выбрать и любую другую динамическую
переменную, например отношение давлений, но нам удобнее взять
число Маха. Если к веществу, протекающему через фронт
ударной волны, движущейся с постоянной скоростью, применить
законы сохранения массы, импульса и энергии и воспользоваться
уравнением состояния идеального газа, то мы получим систему
алгебраических уравнений, которые называются уравнениями
ударного скачка. Эти уравнения могут быть решены, и их
решением однозначно определяется состояние вещества за
фронтом в зависимости от состояния вещества перед фронтом и
числа Маха. Для удобства мы приводим ниже эти результаты:
Т2 2(у-1) уМ}+1 , 2 .
77 = 1+Fnr~^(Ml~0' (2)
р, «2 (Y_i)M? + 2' U
YM?-(Y-l)/2 ' '
*) Индекс 0 соответствует невозмущениому состоянию.

9. Физика сильных ударных волн в газах
279
Отметим, что соотношения, описывающие ударный скачок,
не зависят ни от структуры ударной волны, ни от деталей
протекающих в скачке процессов диссипации и столкновений.
Все ударные волны представляют собой волны сжатия
(рг/pi > 1, Т2/Т{ > 1, p2/pi > 1). Все они сверхзвуковые
относительно вещества, находящегося перед фронтом волны (Mi >
> 1), и дозвуковые относительно вещества за фронтом
(М2 < 1). Это следует из условия возрастания энтропии газа s,
протекающего через ударную волну. Изменение энтропии в
расчете на моль дается формулой
■ = 1п
n-S-M-DT^r "+'>,Ч Г"-",
(5)
где R — газовая постоянная.
Для слабых ударных волн (М « 1) приращение энтропии
мало:
«a-«i 2у (м\ -1)3
R ~ (y+l)2 3
+ .... (6)
и поэтому слабая ударная волна является приближенно изэнт-
ропической. В пределе при М —* 1 ударная волна становится
звуковой и строго изэнтропической.
Полезно установить связь между термодинамическими
величинами перед фронтом ударной волны и за ним, исключив
скорости из уравнений сохранения. Получающиеся соотношения
называются условиями Ренкина — Гюгонио на ударном скачке,
они имеют следующий вид:
р2 _ 1 + [(V + 1)/(Y — 01 (Рд/Pi) • т
Pi (Y+1)/(Y-1) + P2/Pi ' К)
Т* _ р2 [(У + 1)/(Y — 1)] + P«/Pl /OV
Тг Pi 1 + [(У + I)/(Y — 1)1 (Ps/Pi) ' W
2. Теория сильных ударных волн. В предельном случае
сильных волн (Mi->oo) условия на ударном скачке' упрощаются.
Уравнения (4) и (5) при М{ -> оо сводятся к соотношениям
&—1±± (Q)
Pi у — 1 • w
(10)
При у = 5/з предельное сжатие сильной ударной волной равно
4, а число Маха М2 (скорость вещества за фронтом
относительно фронта волны, деленная на скорость звука за фронтом)
равно 0,45. Позднее будет показано, что эти простые результаты
изменяются при учете излучения. Давление и температура з&

280
Р. Гросс
фронтом волны с возрастанием числа Маха Mi неограниченно
растут, и поэтому ударные волны можно использовать для
получения высоких давлений и высоких температур.
В пределе очень больших чисел Маха энергия
распределяется поровну между кинетической и внутренней энергией
газа. В этом легко убедиться следующим образом.
Для простоты предположим, что ударная волна
распространяется в неподвижном газе, т. е. что vi = 0. Сжатый ударной
волной газ в лабораторной системе координат характеризуется
числом Маха
AW>=^ = ^ = A*2(-g--l) (11)
[здесь мы использовали закон сохранения массы (ри = const)].
Подставив в формулу (11) выражения (9) и (10) для сильной
ударной волны, мы видим, что
М2Ыб)->(у{у2_{))2 при М{->оо, (12)
откуда при у = 5/з получаем значение Л12(лаб) = 1,35.
Последний результат означает, что, хотя нагретый ударной волной газ
был ускорен до высоких скоростей, его число Маха в
лабораторной системе координат оказалось близким к единице.
Пользуясь формулами для скорости звука и удельной внутренней
энергии идеального газа a2 = yRT/A и е = cvT = RT/A(y—1),
где А — атомный вес, из уравнения (12) можно получить
v\ RT2
"2"= Л(у— 1) ==е2# (13)
Таким образом, в случае сильных ударных волн энергия,
передаваемая движущейся среде, распределяется так, что
половина ее переходит в макроскопическую кинетическую
энергию (уЦ2)> а половина — во внутреннюю энергию среды
[RT2/A(y— 1)]. Этот результат носит весьма общий характер,
он не зависит от вида функции внутренней энергии и, как
можно показать, справедлив для релятивистских ударных волн.
3. Отраженные ударные волны. При отражении ударной
волны от твердой стенки макроскопическая кинетическая
энергия газа, ускоренного ударной волной, переходит во
внутреннюю энергию газа и тем самым увеличивает ее. Когда ударная
волна сталкивается с плоской неподвижной стенкой, возникает
отраженная волна, распространяющаяся в натекающем газе,
причем за фронтом новой волны (это состояние принято
обозначать индексом 5) газ покоится. Можно показать, что
соотношения между состоянием газа за фронтом отраженной волнц

9. Физика сильных ударных волн в газах
281
ч начальным невозмущенным состоянием имеют вид [5]
(3Y - 1) М] - 2 (v - 1)
Рь =___ Г 2yAff — (у — 1) I Г
Pi V Y+l J I
(\-1)М] + 2
(14)
Ь. - [2<V— 0^?+(3 —Y)]t(3V— 1) Aif — 2(y— 1)]
а отношение скоростей падающей (Vi) и отраженной (иг) волн
дается выражением
уг _ 2+[2/(у- \)\(pxlp2) nfix
^ (у+1)/(у-1)-р,/р2# 1 '
В пределе сильной падающей волны (Alt —► оо) мы получим [5]:
Г5 _ Р5 Г (V+I)/(Y-1)+P8/P2 1_ОЛА
У2 рг L 1 + t(Y + 1)/(Y - D] (Р5/Р2) J ~" Д'
^ = ^^ = 0,50.
Здесь численные значения приведены для газа с у = 5/з-
Отметим, что при остановке падающего газа температура
возрастает в 2,4 раза, а скорость отраженной волны равна
половине скорости падающей волны. Отношения давления,
температуры и плотности за фронтом отраженной волны
(состояние 5) к соответствующим величинам в падающей волне
(состояние 2) ограничены конечными значениями. Поскольку
температура газа, нагретого ударной волной, возрастает, газ
диссоциирует и ионизируется и важную роль начинают играть
эффекты излучения. Эти эффекты изменяют изложенные нами
простые результаты, и мы рассмотрим их позднее.
4. Толщина ударного фронта. Все приведенные выше
результаты относятся к ударной волне, в которой газодинамические
величины почти не изменяются за интервалы* времени порядка
времени протекания газа через ударный фронт. В связи с этим
нужно знать толщину ударного фронта. За толщину ударного
фронта обычно принимают величину
1_я Ui — Ui
При заданной скорости волны эта величина зависит только от
атомарных свойств газа. Время инерциального установления

282
Р. Гросс
профиля скорости имеет порядок (//Дм), где Дм— изменение
скорости в переходном слое, а / — его толщина. Время
сглаживания профиля скорости за счет эффектов вязкости имеет
порядок (/2/v), где v — кинематическая вязкость. Приравнивая
времена этих процессов, мы получаем грубо приближенное
выражение для толщины фронта ударной волны
/_ v_v (17)
Этот результат можно также получить, просто приравняв
вязкое напряжение в среде vp du/dx потоку импульса ри2. В
кинетической теории v « 0,5 Кс, где % — средняя длина свободного
пробега частицы, а с — средняя тепловая скорость частиц
[с = (8 kT/nm) Ц. Но с « о и поэтому
l~T& = ~2 Af (p2/Pl — 1) ' *18)
Таким образом, это грубо приближенное выражение означает,
что толщина фронта ударной волны пропорциональна средней
длине свободного пробега в газе и является функцией числа
Маха ударной волны. Более подробное решение этой задачи
можно найти в работе [4], а отдельные детали — в статьях
[6, 7]. В частности, в работе [7] на основе уравнения Больцмана,
примененного для исследования структуры ударной волны,
получено, что
*—б*&>- (19>
где Ki — средняя длина свободного пробега перед ударной
волной, а Во{М)—табулированная функция числа Маха. Для
умеренно быстрой волны (М « 5) величина В0 « 2 и поэтому
I = 2Х. Проведенные недавно детальные численные расчеты
структуры ударной волны [8] хорошо согласуются с данными
экспериментального измерения реального профиля ударной
волны. При больших числах Маха температура газа становится
настолько высокой, что начинают играть роль эффекты
диссоциации и ионизации и структура ударной волны становится
более сложной. К вопросу о влиянии различных физических
явлений на структуру и толщину фронта ударной волны мы еще
вернемся в последующих параграфах. При малых числах Маха
можно утверждать, что толщина фронта ударной волны по
порядку величины равна средней длине свободного пробега.
5. Мощность ударной волны. Можно оценить скорость
передачи энергии газу при его нагреве и ускорении ударной волной.
Для ударной волны, распространяющейся в неподвижном газе

9. Физика сильных ударных волн в газах
283
со скоростью Vs, мощность, отнесенная к единице площади,
дается формулой
ty = p2v2, (20)
или
*=[1+ттгМ-1)]".».(1-|г)-
В случае сильной ударной волны это выражение упрощается:
*~7^RF- (21)
Это работа, совершаемая в единицу времени над окружающей
средой при расширении области с высокой концентрацией
энергии и в точности равная мощности, которая передается
окружающей среде. Так, например, ударная волна,
распространяющаяся со скоростью 107 см/с в водороде, находящемся при
комнатной температуре и давлении 0,1 мм рт. ст., совершает в
единицу времени работу порядка 106 Вт/см2. Таким образом,
скорость перемещения ударной волны связана с мощностью,
которую можно передать газу через единицу площади. В табл. 2
Таблица 2
Накопители энергии и скорости энерговыделения
1. Химическая энергия (например, THT или нитроглицерин)
Калорийность ~ 5- 103 Дж/г
Скорость детонационной волны ~ 10б см/с
Мощность, передаваемая на фронте волны ~5«109 Вт/см2
2. Батарея конденсаторов (Колумбийский университет, Нью-Йорк, США,
Р. Гросс)
Запасаемая энергия ~5-105 Дж
Длительность полупериода ~6 -Ю-6 с
Развиваемая мощность ~0,8• 10м Вт
3. Высокоскоростная линия Блюмлейна (Исследовательская лаборатория
ВМФ США, А. Колб)
Запасаемая энергия ~560 Дж
Время передачи энергии ~50- 10"~9 с
Развиваемая мощность ~1,ЬЮ10 Вт
4. Мощный лазер (Физический институт АН СССР, Н. Г. Басов)
Энергия импульса ~ 10 Дж
Длительность импульса ~10~ 1 с
Развиваемая мощность ~ 1012 Вт
Примечание. Для сравнения приводим следующую цифру- мощность всех электро*
станций в США в 1966 г. была равна 1,4.10" Вт.
перечислен для примера ряд различных накопителей энергии и
указаны соответствующие скорости энерговыделения. Имеется
много других проблем газодинамической теории ударных волн,
таких, как взаимодействие косых волн (в дву- или трехмерном

284
Р. Гросс
случае), дифракция ударных волн и т. д., но мы не намерены
рассматривать их здесь, а вместо этого отсылаем
интересующихся читателей к работам [1—4].
6. Взрывная волна. Уравнения, которые мы приводили до
сих пор, не описывают изменение формы и пространственного
положения ударной волны. Скорость перемещения фронта
ударной волны зависит от начальных и граничных условий и от
характеристик среды, в которой распространяется волна.
Например, в простой задаче об одномерном поршне, движущемся
с постоянной скоростью в однородной и стационарной среде,
скорость ударной волны также постоянна и в рг/(рг — pi) раз
превышает скорость поршня. Подробно исследован важный случай,
когда вся энергия мгновенно передается среде в момент времени
/ = 01). Возникающая при этом ударная волна называется
взрывной. Первыми исследованиями этой задачи занялись
Тэйлор [9] и Седов [10, 11]. Следуя теории Седова — Тэйлора,
напишем уравнения (2.4) в лабораторной системе координат
для вещества, которое вначале покоится (^1 = 0). Уравнения
ударного скачка имеют вид
■".-ттт".!1 -Ш- <22>
^['-^Ш1- <м>
2Y
В предельном случае сильной ударной волны, т. е. при
0i/Ve-*O, соотношения на фронте упрощаются:
(22а)
(23а)
(24а)
Пользуясь этими соотношениями и предполагая, что за взрывной
волной течение изэнтропично, Седов методом анализа
размерностей показал, что само движение среды и величины,
характеризующие течение, являются автомодельными. Хотя взрывная
волна нестационарна и ее скорость уменьшается со временем,
характер движения и распределение газодинамических величин
за фронтом нетрудно рассчитать. Можно найти координату по-
*) Имеется в виду, что взрыв произошел в бесконечно малом объеме
пространства с бесконечно малой массой. — Прим. ред.

9. Физика сильных ударных волн в газах 285
ложения фронта волны Гг, отсчитанную от точки взрыва, как
функцию времени, начальной плотности pi и полной мгновенно
переданной энергии £о = АЕ. Константа А табулирована в
книге Седова [11]; она определяется геометрией и отношением
удельных теплоемкостей у. В теории Седова — Тэйлора
координата г2 и скорость фронта Vs
определяются следующим образом:
Сферическая волна
'.=4Ш'л<-"=4(7г)"-"-'"-
(25а)
Цилиндрическая волна
(256)
Плоская волна
»-(£ )'"'"•
'-!(£)"•'-"'ЧШ"'-"--
(25в)
Заданной начальной энергией
£о вместе с pi и у определяются
скорость и положение фронта как функции времени.
Справедливость этих соотношений подобия была надежно проведена при
наблюдениях сферических волн, возникающих при взрывах, и
ими часто пользуются для приближенной оценки энергии
ядерных взрывов [9, 10]. Проблема взрывных волн в неоднородной
среде (например, в экспоненциальной атмосфере) изучалась
рядом авторов; полученные результаты и дополнительную
литературу можно найти в работе [12].
Температуру за фронтом ударной волны определим,
пользуясь уравнением состояния. Для идеального газа р2=Р2#Т2/А и
Фиг. 3. Профиль давления за
фронтом взрывной волны [10].
/ — плоская волна;
2—цилиндрическая волна; 3 — сферическая волна.
т,=
I
ЛЯ (Y+D2
(26)
По мере удаления от точки взрыва температура Т2(г2)
уменьшается по закону
,r-V
г2 »

286
Р. Гросс
причем для плоской волны v= 1, для цилиндрической v = 2 и
для сферической v = 3.
Непосредственно за фронтом волны скорость, плотность и
давление даются выражениями
^-(. + 2)4(v+,)(i)V^ (27)
P> = -J=}pi. (28)
Р2 = (y + 2)2(y+1) ^ (29)
Уравнения (25) — (29) определяют состояние газа в
зависимости от Е0, у, Р\ и t (или г2). Пространственные
распределения газодинамических величин за фронтом взрывной волны
можно рассчитать, учитывая изэнтропический характер
движения. Пример распределения давления за взрывной волной
приведен на фиг. 3.
§ 3. ИОНИЗАЦИЯ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
Когда вещество, нагретое ударной волной, имеет такую
энергию, что ехр[—Ei/kT2] оказывается порядка 0,1 или более,
значительная доля атомов ионизуется и образуется плазма (здесь
Ег— энергия ионизации атома, a k — постоянная Больцмана).
Энергию ионизации обычно выражают в электронвольтах,
типичное значение £* ~ 10 эВ (заметим, что 1 эВ соответствует
11600 К). В газе, первоначально находящемся при комнатной
температуре, ионизация начинается при скоростях ударной
волны, превышающих примерно 20 М (это значение зависит от
атомного состава среды и давления). Например, в водороде при
начальном давлении, равном 1 бар, ионизация начинается при
М ~ 25, а при М ~ 75 газ за фронтом волны полностью
ионизован. Эффекты молекулярной диссоциации начинаются даже
при меньших температурах; в водороде (ED = 4,48 эВ)
диссоциация начинается при М ~ 5.
В этом параграфе мы рассмотрим эффекты ионизации и
переход вещества за ударным фронтом в плазменное состояние.
Подробный обзор теории и экспериментов с сильно
ионизирующими ударными волнами приведен в работе [13]. Ударные волны
в плазме рассматриваются в работе [14]1).
1. Соотношения на ударном скачке с учетом ионизации.
Ударные волны удобно классифицировать по величине электро-
4) Постановка и результаты решения ряда задач о структуре ударных
волн в высокотемпературной плотной плазме приводятся в работах [40—42].—
Прим. перев.

9. Физика сильных ударных волн в газах
287
проводности перед фронтом и за фронтом ударной волны. Здесь
возможны три разных случая:
а1 = а2 = 0 газодинамические волны,
<*!, сг2 > 0 плазменные волны (или МГД-волны),
а1=0, а2 > 0 ионизующие волны.
Теория газодинамических волн изложена в § 2. В случае
ударных волн в плазме химический состав газа за фронтом
остается таким же, как и перед фронтом, и поэтому
соотношения на ударном скачке, полученные в § 2, по-прежнему
справедливы, если отсутствуют магнитные поля. Но по своей
структуре ударные волны в плазме могут существенно отличаться от
гидродинамических ударных волн, о чем подробнее будет
сказано ниже.
Вопрос о том, как изменяются условия на ударном скачке
в плазменных (МГД) волнах при наличии магнитного поля,
рассматривается в работе [14]. Здесь мы вкратце отметим, что в
отличие от газодинамической теории, где имеется один
параметр— число Маха, плазменные волны характеризуются тремя
параметрами. Эти три параметра зависят от скорости звука а,
альфвеновской скорости Ь = (52/4яр),/а, где В — магнитное поле,
и угла между вектором В и нормалью к поверхности фронта п.
Чтобы однозначно охарактеризовать состояние за фронтом
волны в плазме, необходимо указать акустическое число Маха,
альфвеновское число Маха МА = v/b и угол между В и п.
Решения уравнений ударного скачка для волн в плазме
классифицируют по этим двум числам Маха следующим образом: быстрая,
или надальфвеновская, и медленная, или доальфвеновская,
волны. Возможны различные комбинации этих параметров, и все они
были исследованы с целью выяснить, могут ли при этом
существовать ударные волны. Отметим лишь, что при наличии
магнитного поля в плазме число возможных типов ударных волн
сильно возрастает и свойства таких волн рассматриваются в
работе [14].
Ионизующие ударные волны — это нечто промежуточное
между газодинамическими и плазменными волнами. Поскольку
газ за фронтом волны представляет собой плазму и может
взаимодействовать с магнитным полем, для таких волн, как и для
волн в плазме, характерно большое количество разных решений.
Кроме того, поскольку газ перед фронтом представляет собой
диэлектрик и в нем может существовать электрическое поле,
ионизующие волны обнаруживают ряд особых свойств. Но при
высоких скоростях ударных волн эффекты, связанные с
электрическим полем, по-видимому, не очень существенны, и мы здесь
не будем их рассматривать (см. работы [13, 14]). Уравнение

Фиг. 4. Зависимость отношения температуры за фронтом волны в водороде
к начальной температуре от числа Маха. Многозначная область
соответствует разным степеням ионизации при разных давлениях.
Сплошная линия —равновесие Саха; штриховая линия — корональное равновесие. Г^ЗОО К.
i —при рх«»ю~5 мм рт. ст.; 2—при р^Ю""1 мм рт. ст.; 3 — при Pi«*l бар.
Фиг. 5. Зависимость отношения плотности за фронтом волны в водороде
к начальной плотности от числа Маха.
Сплошная линия-равновесие Саха; штриховая линия—корональное равновесие. Г1=ЗО0К.
/- при Pi=10~5 мм рт. ст.; 2-при р1=10~1 мм рт. ст.; 3 —при Pi»l бар.

9. Физика сильных ударных волн в газах
289
энергии для ионизующих волн содержит члены, которые
учитывают затраты энергии на отрыв электронов от атомов. Для
данной ионизующей волны, кроме газодинамических переменных /?,
р, и и Г, теперь имеются дополнительные неизвестные —
молярные доли, характеризующие химический состав за ударной
волной. Предположение о химическом равновесии газа за ударным
фронтом позволяет получить полную систему уравнений
ударного скачка. Так, например, если газ может только однократно
ионизоваться, то эта система дополняется уравнением Саха.
Химическое равновесие учитывает наряду с температурой и
давлением газа также и возбуждение уровней энергии различных
атомов. Поэтому простых общих решений нет и для каждого
конкретного случая ударной волны проводят численные
расчеты. Для примера на фиг. 4 и 5 представлены найденные таким
путем отношения температуры и плотности за ионизующей
ударной волной к их начальным значениям в водороде.
Случай сильной ударной волны, рассмотренный ранее,
остается справедливым для ионизующей волны, так как для
сильной волны величины EiJkT2 и EtjMu2l9 где М — масса иона,
стремятся к нулю.
2. Структура фронта ионизующих и плазменных волн. Ранее
было показано, что толщина фронта газодинамической волны
характеризуется величиной порядка v/u. Имеются и другие
характерные длины, связанные с другими процессами переноса,
например с теплопроводностью х. Мы будем различать эти длины,
обозначая индексом соответствующий процесс переноса: v, х, а.
Таким образом, имеем
I =-
I = —
'х сри •
/ — у°
1°~ и •
где (1 —магнитная проницаемость среды. Отношение /v//x есть
число Прандтля Р\ в обычных газах Р « 1. Отношение lv/la
называют магнитным числом Прандтля. В плазме вязкость связана
с ионами, а теплопроводность определяется электронами.
Поэтому в плазме /x//v « (гП{/те),/а S> 1 (m*— масса иона, а те —
масса электрона). Основываясь на различии этих характерных
длин, можно представлять себе «одну ударную волну внутри
другой ударной волны». В плазменной волне мы имеем скачок
плотности (ионную ударную волну) шириной порядка /v,
заключенный внутри более широкой электронной ударной волны,

290
Р. Гросс
имеющей ширину порядка /х. Температура электронов
непосредственно перед ионной волной уже близка к температуре за
волной. Такой предварительный нагрев электронов происходит за
счет электронной теплопроводности из высокотемпературной
области за ударной волной. Структура плазменной ударной волны
схематически показана на фиг. 6.
Фиг. 6. Структура сильной ударной волны в плазме.
xei~~вРемя электрон-ионной релаксации, т —время охлаждения за счег излучения (§ 4),
/v — интенсивность излучения на частоте v, А,^—средняя длина свободного пробега
фотонов.
В работе [15] на основе уравнения Фоккера — Планка
анализировалась структура ударной волны в плазме в предельном
случае сильных волн подобно тому, как это делается для
обычных газодинамических волн. Было показано, что толщина
сильной ударной волны в плазме дается формулой
'«1.з-^-~-£-, (30)
где Хг — средняя длина свободного кулоновского пробега в
плазме за ударной волной. Этот результат означает, что сильная

9. Физика сильных ударных волн в газах
291
ударная волна в плазме имеет толщину порядка средней длины
свободного пробега электронов за ударной волной. Структура
ударной волны в плазме с учетом различных характерных длин
исследовалась в работе [16].
При наличии магнитного поля ширина ударной волны в
плазме зависит от ларморовских радиусов электрона и иона.
*Ю3К
Режим 6есстапкновитель\
ных ударных волн
ю6 ю7 ю8
W
Vs, см/с
Фиг. 7. Толщина фронта ионизующей ударной волны в водороде [18].
р!=0.1 мм рт. ст.; 7\=300К.
Структуру магнитогидродинамических волн исследовали многие
авторы (см., например, [17]).
Подобно волне электронного прогрева в сильных ударных
МГД-волнах (там, где /0 ^> /v и шириной вязкого скачка можно
пренебречь), ударной волне, связанной с вязкостью,
предшествует волна магнитного сжатия шириной порядка /а.
Ширина и структура ионизующей волны определяется
скоростью процессов ионизации. В работе [18] была приближенно
вычислена толщина фронта в широком интервале скоростей
ударной волны в водороде (фиг. 7). Структура ударных волн
в аргоне детально исследована в статье [19].

292
Р. Гросс
3. Взрывная волна с учетом ионизации. По теории взрывных
волн, учитывающей ионизацию газа за фронтом волны,
опубликовано немного работ. Степень ионизации газа легко вычислить,
пользуясь многокомпонентным уравнением состояния
p = %njkT (31)
и уравнением Саха
п.пе _ (2nmkT)'l> 2ВХ _Е/кТ
п0 ~~ W В0 е
где п — плотность частиц, индексы i, е и 0 соответствуют ионам,
электронам и нейтральным атомам, h — постоянная Планка, а
В\ и В0 — статистические суммы ионов и атомов.
Решение системы уравнений, описывающих взрывную волну
с учетом ионизации, дается в работе [20] в предположении об
автомодельности (Седова — Тэйлора). При полной ионизации
за ударной волной уравнения в точности сводятся к одножид-
костному решению Седова — Тэйлора.
4. Бесстолкновительные ударные волны. Может показаться,
что представление об ударной волне без столкновений
противоречит приведенным выше рассуждениям о толщине фронта,
поскольку в основе физики переходного слоя в ударной волне
лежит понятие длины свободного пробега между двумя
столкновениями. Однако в плазме роль играют коллективные явления,
а понятие четко выраженного двухчастичного столкновения
теряет свою определенность. Строго говоря, бесстолкновительной
плазмы нет. Под бесстолкновительной волной обычно понимают
физически наблюдаемую зону резкого перехода, толщина
которой намного меньше всех средних длин свободного пробега
между столкновениями в плазме.
В последние годы бесстолкновительные ударные волны в
плазме стали предметом интенсивных исследований. Это
объясняется тем, что такие волны в принципе дают возможность
быстро нагревать плазму до термоядерных температур, а также
исследовать природу плазменных коллективных эффектов, и,
наконец, тем, что такие волны обнаружены в природных
явлениях. Примером может служить волна, которая образуется под
влиянием солнечного ветра в земной магнитосфере.
Хотя исследования бесстолкновительных ударных волн
только начинаются, имеются некоторые данные, которые позволяют,
по крайней мере феноменологически, представить себе их
структуру. Более подробно изучена так называемая поперечная волна,
в которой магнитное поле лежит в плоскости фронта. Скорость
распространения малого возмущения в направлении,
перпендикулярном магнитному полю (в направлении движения волны),

9. Физика сильных ударных волн в газах
293
равна (а2 + Ь2)4*, где а и Ь — скорость звука и альфвеновская
скорость. Соответствующее число Маха выражается формулой
Мс = и—^ = 2^-тр. (32)
0 (а2 + Ь2)ч> [(YP/2)+l]V* V '
где р — отношение газокинетического давления к магнитному
давлению [р = nkT/(BWn)].
В теории бесстолкновительных ударных волн имеются две
основные характерные длины: толщина бесстолкновительного
скин-слоя с/ыре и тепловой ') ионный ларморовский радиус Ru.
Здесь с — скорость света, о)рв — электронная плазменная
частота, даваемая выражением (*>ре = (4яеп2/теу/2, а е и те —
заряд и масса электрона. Тепловой ларморовский радиус дается
формулой
_с(тйкТ)*
к"— 7в •
Имеются ламинарные и турбулентные бесстолкновительные
ударные волны. В последнем случае плазменные коллективные
неустойчивости оказывают на электроны и ионы, проходящие
через фронт волны, действие, эквивалентное аномальному
сопротивлению или вязкости. Тип неустойчивости зависит от числа
Маха и от ориентации магнитного поля, и критерий их
возникновения до сих пор не установлен. В случае поперечной бесстолкно-
вительной ударной волны при Мс ,<; 3 принимают, что
неустойчивость является двухпотоковой. Такой тип неустойчивости
приводит к толщине фронта волны порядка
/—10—^— при Мс<3. (33)
(и ре
Ряд экспериментов показывает, что это выражение дает
правильную оценку толщины поперечной бесстолкновительной
волны при малых числах Маха.
При Мс > 3 структура поперечной бесстолкновительной
волны изменяется, причем точная природа неустойчивостей в
настоящее время не вполне ясна. Расчеты толщины такой волны
дают величину порядка
'-■£• <34>
где &р1 = (4яе2м2/т^,/2— ионная плазменная частота, Шх —
масса иона. Если ввести ларморовский радиус иона Rla на
') То есть определяющийся тепловой скоростью. — Прим, перев,

294
Л Гросс
основе альфвеновской скорости, а именно
*^ = (ihf) ("У = v"' (35)
то, учитывая, что RliIRla = (Р/2),/а, получаем
Здесь мы видим, какую роль играет величина р, особенно бла
годаря соотношению
с (тв\Ч* с __ 2mjmi
(37)
Так, если р < 2те1ти то с/(оре > /?^г и основное значение имеет
толщина бесстолкновительного скин-слоя. При р ~ 1 мы имеем
Яы ^> с/ыре и определяющим размером становится ионный
тепловой ларморовский радиус.
Возможны также электростатические бесстолкновительные
волны, в которых отсутствует магнитное поле. Полной теории
таких бесстолкновительных волн в настоящее время нет.
Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [14] и трудам
II конференции по физике плазмы и управляемому
термоядерному синтезу [21].
Не исключено, что явления типа бесстолкновительных волн
существенно изменят высокотемпературный участок кривой для
первоначально столкновительных волн (фиг. 7). Вместо того
чтобы возрастать с увеличением скорости волны, из-за
бесстолкновительных эффектов толщина фронта может сильно
уменьшиться в высокотемпературной области.
§ 4. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ С ИЗЛУЧЕНИЕМ
Когда температура за ударной волной достаточно высока для
возбуждения атомов и ионизации среды, важную роль начинает
играть излучение. Фотоны обычно удобно рассматривать как
компоненту среды с собственной характерной скоростью —
скоростью света сие характерной длиной Xv — средней длиной
свободного пробега фотонов с частотой v и энергией /iv. Наличие
еще одной скорости распространения возмущений и еще одной
характерной длины делают еще более разнообразными явления,
связанные с излучающими ударными волнами. Фотоны
взаимодействуют с атомами среды в актах поглощения и рассеяния.
В этом параграфе мы кратко изложим уравнения газовой
динамики с учетом излучения, рассмотрим критерии для опти-

9 Физика сильных ударных волн в газах
295
чески прозрачной и оптически плотной плазмы, проанализируем
уравнения ударного скачка, структуру ударного фронта и
процесс охлаждения плазмы за ударной волной 1).
1. Уравнения газовой динамики с учетом излучения.
Уравнения радиационного переноса хорошо известны из астрофизики
[22]. Излучение оказывает давление и несет импульс и энергию,
и все это необходимо учитывать при математическом описании
движущейся среды. Уравнения радиационного переноса в
движущихся газах рассматриваются в работах [4, 23, 27]. Число
работ, посвященных ударным волнам с излучением, быстро
увеличивается; многие работы указаны в обзорах [13, 14]. Здесь мы
ограничимся такими радиационными эффектами, которые
представляют наибольший интерес в отношении
высокотемпературных сильных ударных волн.
Возможны три разных подхода к описанию взаимодействия
излучения с веществом: 1) рассматривать взаимодействие
фотонов с атомами на основе квантовой механики; 2) рассматривать
распространение электромагнитной волны в непрерывной среде,
описываемое уравнениями Максвелла, и 3) решать уравнения
радиационного переноса. Если основной интерес представляет
определение потока энергии излучения и его изменения, то
обычно применяется последний из указанных методов,
развитый в астрофизике.
Для удобства ниже приводятся в достаточно общем виде
уравнения радиационной газовой динамики, описывающие
движение вещества с учетом эффектов переноса излучения:
Уравнение непрерывности
до dov.
Закон сохранения импульса
ж И +-&■) + -£; Ку/ + рч + Ри) - °- <39>
Закон сохранения энергии
£М«+т)+«"]+
+i;{°<('+'T) + l'.(pl, + />5) + f,-«,}-°- «о>
*) Указанные вопросы и ряд других (например, волна детонации,
поддерживаемая излучением лазера, излучение и процессы релаксации в
ударных волнах в твердых телах) рассматриваются в обзоре [44]. — Прим. перев.

296
Р. Гросс
Уравнение переноса излучения
1 ^=-^/*|^ = --Л, + -^. (41)
pkvc dt pkv dxt
Индекс R соответствует радиационным величинам,
определенным ниже. Новой величиной, которая вводится в теории
радиационного переноса, является удельная интенсивность
излучения /v, определяемая соотношением
dEy = /v cos 8 do dco dv dt, (42)
где dEv — энергия излучения, проходящая в телесном угле dec
в интервале частоты dv за время dt через элемент поверхности
da, нормаль к которому составляет угол 8 с направлением
распространения излучения. Тензор газодинамического давления р\$
и вектор теплового потока q^ связаны с полями скоростей и
температур газа соотношениями
[/dv{ dvt\ 2 dv. 1
Pi/-P*» + l»[(^- + -5i|)-8-S^H' (43)
дТ ,...
q, = -K^. (44)
Плотность энергии излучения, вектор потока излучения и
тензор давления излучения определяются как интегралы от
интенсивности излучения:
оо 4я
eR=\ J dvj/vd(o, (45)
(46)
(47)
в которых направление движения фотонов определяется
единичным вектором I с направляющими косинусами U. Коэффициент
излучения обозначен через /v, а коэффициент поглощения —
через kv. Вынужденное излучение рассматривается как
отрицательное поглощение и учитывается в величине kv. Приведенные
выше уравнения образуют полную систему вместе с начальными
и граничными условиями и, если известны характеристики
вещества (|li, х, /v, £v), полностью описывают движение излучающего
газа. В них не предполагается равновесия излучения с
веществом, и в этом смысле они являются достаточно общими. Од-
Fl =
Pf,-
0
оо
0
4я
= J dv [ ljlv d<o,
0
оо
4J
0
4я
dv j lilIIv
dco,

9. Физика сильных ударных волн в газах
297
нако указанная система содержит нелинейные интегро-диффе-
ренциальные уравнения, и поэтому решить ее даже в
простейших физических случаях весьма трудно.
Расстояние, которое проходят фотоны с частотой v до
поглощения или рассеяния, зависит от их энергии и атомной
структуры среды, в которой они распространяются. Сечения
поглощения и рассеяния фотонов рассматриваются в работе [4]. По
аналогии с частицами, движение которых характеризуют одной
величиной — средней длиной свободного пробега, для фотонов
вводят, усредняя по частоте, росселандов средний свободный
пробег или планковский средний свободный пробег. Росселандов
средний пробег применяется, когда фотоны находятся почти в
равновесии с веществом. При росселандовом усреднении
основной вклад дают фотоны с большой энергией (hv>kT).
Планковский же средний пробег используется, когда фотоны
проходят расстояния, большие по сравнению со средней длиной
свободного пробега частиц, и, следовательно, фотонный газ не
находится в равновесии с веществом.
Например, росселандов пробег для тормозного излучения
(для свободно-свободных переходов) определяется формулой
^ = 4,8^0"-^^ см, (48)
где Z —атомный номер, Те — электронная температура в
Кельвинах, а пе и П{ — плотность частиц (в см"3). В полностью
ионизованной плазме отношение тормозного росселандова пробега
к среднему свободному пробегу частиц, испытывающих кулонов-
ское рассеяние, таково:
^~6.10»^2'"A. (49)
Здесь In Л — известный кулоновский логарифм (его значения
табулированы Спитцером [24]). Отношение пробегов (49)
представляет собой медленно меняющуюся функцию параметров и
по порядку величины равно 10. Для плазмы, получаемой в
лаборатории, чаще всего выполняется условие ЯяД^1, так что
излучение не находится в равновесии с веществом.
Если L — характерный размер газа, то при Xv ^ L среда
называется оптически прозрачной для излучения с частотой v,
а при Xv «С L — оптически плотной. Эти два случая сильно
различаются между собой. Различие можно характеризовать
также отношением времени радиационного охлаждения т к
среднему времени существования фотона Xv/c. В случае
стационарной плазмы, остывающей за счет тормозного излучения,

298
Р Гросс
время т дается выражением [25]
т = 2,З.КГ16-^. (50)
р'2
Если предположить, что вся энергия газа может перейти
в энергию излучения, то время, за которое давление упадет до
нуля, будет равно Зт. Если т «С К/с, то для процессов,
протекающих за время, сравнимое с т, плазму можно считать
оптически прозрачной.
За времена порядка К/с фотоны поглощаются в среде на
расстоянии К от места излучения, обеспечивая выравнивание
условий в плазме (радиационное сглаживание). Если сх/К «С 1,
то при анализе нестационарных явлений систему можно
рассматривать как оптически прозрачную независимо от ее
размеров.
Для тормозного излучения в водороде [25]
-g«5f8-l<r8£f (51)
где п — измеряется в см"3, Т — в Кельвинах.
Формула (51) с точностью до числового множителя верна
для всех идеальных газов, находящихся в локальном
термодинамическом равновесии, независимо от механизмов поглощения
и излучения.
Отношение газодинамического давления к давлению
излучения дается формулой
JL = ^r5,4. i<ra-(L (52)
где aR — постоянная Стефана — Больцмана.
Таким образом, мы получаем
-р. «1,1- ИГ1-iL-, (53)
лу Р
и в пределе при сх/К 3> 1 давление излучения пренебрежимо
мало по сравнению с газодинамическим давлением.
В случае оптически прозрачной плазмы нерелятивистские
уравнения радиационной газовой динамики совпадают с
обычными газодинамическими уравнениями (лишь в уравнении
закона сохранения энергии появляется добавочный член,
учитывающий энергетические потери за счет излучения). Уравнения
непрерывности и закона сохранения импульса не содержат
радиационных членов. Уравнение закона сохранения энергии для
оптически тонкого газа в одномерном случае имеет вид
irW* + lf)] + ^ + 4*P* = 0' (54)

9. Физика сильных ударных волн в газах
т
где е — внутренняя энергия газа, а 4яре — полная энергия,
излучаемая единицей объема в единицу времени.
В случае оптически плотной плазмы, находящейся в
термодинамическом равновесии, уравнения радиационной газовой
динамики учитывают энергию eR и давление pR излучения.
Величины eR и pR связаны соотношением
е* = 3pR = aRT\
В случае когда излучение не находится в равновесии с
веществом или когда плазму нельзя считать ни оптически плотной,
ни прозрачной, необходимо использовать полную систему
уравнений радиационной газовой динамики, для решения которой
нужно знать все сечения поглощения и испускания излучения
веществом. Решить такую полную задачу удается крайне редко.
2. Уравнения ударного скачка при учете излучения. Условия
на ударном скачке в предельном случае оптически прозрачной
плазмы были исследованы в работе [25], в которой показано,
что при заданном числе Маха состояние за ударной волной
отличается от состояния в частично ионизованной плазме,
рассчитанного без учета излучения. В этой работе стационарное
решение, соответствующее равновесию Саха, сравнивается с
решением для случая оптически прозрачной плазмы, где
равновесие устанавливается вследствие баланса между ударными и
радиационными переходами. Авторы работы [25] рассчитали
также условия на ударном скачке для случая, когда плазма
является оптически плотной для лаймановского излучения и
оптически прозрачной в остальной области спектра. Примеры
состояний за ударной волной, рассчитанных с учетом излучения,
показаны на фиг. 4 и 5. Если скорости оптических и столкнови-
тельных процессов не одинаковы, то стационарное решение не
существует и для расчета эволюции состояния за ударной
волной во времени необходимо знать вероятности этих процессов.
Уравнения на ударном скачке в термодинамически
равновесной оптически плотной плазме были исследованы в работе [26].
Решение полученной системы алгебраических уравнений
показало, что при равновесном излучении состояние за ударной
волной при заданной скорости фронта характеризуется более
низкой температурой, чем в волне без излучения. Это объясняется
тем, что при наличии излучения среда представляет собой смесь
фотонов и частиц и, следовательно, при заданной скорости волны
больше степеней свободы, по которым распределяется энергия.
Сжатие в сильной ударной волне при наличии равновесного
излучения достигает 7 даже в том случае, когда
газодинамическое значение сжатия равно 4. Плазма, представляющая
собой равновесную смесь электронов, протонов и фотонов, ведет

300
Р. Гросс
себя как газ с отношением удельных теплоемкостей 4U^y^5U'>
для фотонного газа у = 4/з*, а для газа одноатомных частиц
Y = 5/з.
Другой интересный результат — то, что скорость
распространения малых возмущений (скорость звука) в газе при
равновесии с излучением имеет вид
а = (у^)\ (55)
где
v = 1+ 0+V.e)»
Y (у-1Г1 + 4е
е = -4тг=55,6 —.
nkT ' л
Здесь e — отношение плотности энергии равновесного
излучения к плотности внутренней энергии газа. Можно показать, что
и при равновесном излучении скорость вещества за ударной
волной всегда меньше скорости звука и в согласии с
газодинамической теорией ударных волн имеет место возрастание
энтропии1). Структура фронта ударных волн при равновесии с
излучением исследовалась численными методами [26]2). Толщина
фронта таких волн обычно очень велика, поскольку / ~
~XR(c/Vs), а средняя длина свободного пробега фотонов, как
правило, велика (фиг. 6).
Промежуточные случаи, когда ct/av ~ 1, т. е. волны, в
которых отсутствует равновесие, оказываются очень сложными.
Некоторые результаты приводятся в работе [14].
Температурный спад в оптически прозрачной среде,
нагреваемой сильной ударной волной, исследован в работе [25].
В сильной ударной волне давление и плотность газа в элементе
массы, движущемся за ударным фронтом, увеличиваются, а
температура падает (фиг. 6). Скорость изменения температуры
за фронтом сильной ударной волны (в фиксированной точке
лабораторной системы координат) в случае тормозного
излучения в оптически прозрачной плазме дается выражением [25]
^7~ — ь Ю-15*,*! К-с"1, (56)
где t — время, пх измеряется в см-3, a V\ — в см/с. Излучение
взрывной волны в случае оптически прозрачной плазмы
учитывается довольно просто [20].
*) Доказательство термодинамической устойчивости при наличии
излучения только ударных волн сжатия содержится в работе [43]. — Прим. перев.
2) Структуре ударных волн с излучением посвящены работы [45—47],
библиографию по этому вопросу можно найти в обзоре [4]. — Прим. перев.

9. Физика сильных ударных волн в газах
301
§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Согласно теории относительности, скорость ударной волны
не может превышать скорости света.
Теоретические основы релятивистских ударных волн
исследовались рядом авторов [28—30] (более полную библиографию
можно найти в работе [13]). С ростом скорости волны
релятивистские эффекты проявляются прежде всего в электронной
компоненте газа за ударной волной. В водородной плазме
значительная часть электронов становится релятивистской при
температуре Г2~5-109К (скорость волны около 2-Ю9 см/с).
Поэтому для учета релятивистских электронов необходимо
соответствующим образом изменить уравнение состояния газа. Это
было сделано в работе [30]. При еще более высоких скоростях
(Vs ~ 1010 см/с) становятся релятивистскими ионы за ударной
волной, изменяется плотность плазмы и, наконец, скорость
фронта волны асимптотически приближается к скорости света.
Если в горячей плазме за ударной волной излучение находится
в равновесии с веществом (случай оптически плотной среды),
то при температуре kT2 ~ тес2 ~ 0,5-106 эВ ~ 6-109К важное
значение приобретает процесс рождения пар. В этих условиях
плотность частиц не сохраняется и следует учитывать плотность
энергии позитронов.
1. Соотношения на ударном скачке для релятивистских
волн. Релятивистски-инвариантные уравнения движения газа,
взаимодействующего с излучением, даются в работе [34]. Их
можно получить, приравняв нулю четырехмерную дивергенцию
тензора энергии-импульса. Тензор энергии-импульса содержит
два члена:
Tif^TTi + Tfj, /, / = 0, 1, 2, 3, (57)
где индекс т соответствует веществу, а индекс R — излучению.
Если газ идеальный и мы пользуемся координатами Минков-
ского х0 = Ш, Х\ — х, х2 = у, х3 = z, то в системе отсчета,
покоящейся относительно газа,
ет
0
0
0
0
р
0
0
0
0
р
0
0
0
0
р
Г<" = п п « « • (58)
/' — J J /v dv da i f f IJ dv da>
Tu = \ • . Л Л ). (59)
\i | J IJdvda J J ijidvda

302
Р. Гросс
В тех случаях, когда (как в задаче об ударной волне)
достаточно рассматривать лишь одну пространственную координату
и время, радиационая часть тензора энергии-импульса
упрощается:
Т?! = С\
с
1L
с
(60)
Уравнение переноса излучения в
релятивистски-инвариантной форме имеет вид
1 dl
dl
1-Р2
1? + ** 17 = " p0*4Y (1 — l*P) /v + РоЧ jyz:
rf)2
(61)
где |x = cos8, р = v/c, у = (1—P2)~,/s, а индекс 0 соответствует
системе отсчета, покоящейся относительно газа. Об этих
уравнениях и о той роли, которую они играют в проблеме ударных
волн, подробнее говорится в работе [25].
Соотношения на ударном скачке для релятивистских волн
при равновесии излучения с веществом в астрофизических
условиях были исследованы в работе [32]; в работе [13] эта задача
исследовалась с помощью радиационного параметра е.
В работе [31] показано, что в собственной системе
координат для одноатомного газа
е + р = рсЮ (а) и р = ^-,
где а=тг.
(62)
Здесь е — энергия единицы объема, р — давление
одноатомного релятивистского газа, р — плотность в собственной системе
координат, с — скорость света и 1/а — безразмерная
температура. Функцию G(a) можно аппроксимировать зависимостями
G(a) =
l+i при a>i>
4 ^з
— пои а <
а
при а<-2-
Для ионизованного водорода
e + p = p*?(«)_pe.[o<«) + ^G(^)].
Если излучение равновесное, то
e + p=9c*Q(a) + ±aRT\
2рс2 aRV
(62а)
(626)
(63а)

9. Физика сильных ударных волн в газах
303
ИЛИ
e + p = P£*[Q + l(±)]f (62в)
Р=^(2+1) <63б>
и
« = У
а рс2
Уравнения на ударном скачке для релятивистских волн,
выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии
(согласно работе [29]), имеют вид
«iPiYi = «2p2Y2, (64)
PiY?(*i + Pi) = M(*2 + P2). (65>
(*i + Pi) P?Y? + P, = {e2 + P2) PlYi + P2, (66)
где p = и/с, у = (1 — P2)~,/2 и n = nt = ne.
Исследовалась система уравнений (64) — (66). Если в
начальном состоянии газ холодный, то можно принять, что
ai »3/2, Р\ <еи ei < 1.
Если состояние газа за ударной волной такое, что можно
пренебречь членами порядка О (а-1), то сжатие на ударной
волне определяется соотношением
При е2 = 0 (излучение отсутствует) мы получим тот же
результат p2/pi = 4, что и для сильной ударной волны в
одноатомном газе. Если е2 3> 1, то
-££. = 7+4^-, (68)
Pi ' 3a2
и, наконец, если можно пренебречь величиной е2/а2, то
получается p2/pi = 7, т. е. такой же результат, как для сильной
ударной волны при наличии равновесного излучения, но без учета
релятивистских эффектов. Отношение скоростей и все другие
величины легко найти численными методами (см., например,
работы [13, 32]).
В работе [32] показано, что если учесть рождение пар, в
нерелятивистском случае сжатие возрастает примерно до 14, а ^

304
Р Гросс
10е 10"
V». СМ/1
Фиг. 8. Температура за фронтом сильной ударной волны в водороде [13].
/—релятивистские электроны; 2— отраженная волна; 3 —оптически прозрачная ударная
волна; 4 — оптически плотная ударная волна; 5—включающая ударная волна.
p!=0,l мм рт. ст., 7\=300К.
релятивистском случае — до бесконечности, но газ остается
невырожденным, потому что неограниченно возрастает
температура.
Когда р2 достигает ~ 1012 г/см3, вещество следует
рассматривать как газ свободных нейтронов, и, наконец, при рг ~ 10м г/см3
становятся существенными ядерные силы.
Рождение пар приводит к следующим значениям
равновесной плотности позитронов /г+ и электронов гг (п0 — плотность
электронов в отсутствие образования пар) [33]:
/1 -п0 = — w ехР if" ПРИ а>1>
Лгча (89)
гг = 0,183 (-JJ-) при а<1.
Объемные плотности энергии позитронов и электронов е+ и е~
при а <tC 1 таковы:
(70)
е+ = е = - —'
120 {Ьс)2

9 Физика сильных ударных волн в газах 305
Эта величина составляет 7/в плотности энергии равновесного
излучения.
Кривые температуры и сжатия в релятивистских сильных
ударных волнах в водороде представлены на фиг. 81) и 9.
16
и
<*
4
п
• /|
1
/ *
i i
Л
щ
\ ^ I
.^ \ }
1 J 1 1 1 1 1
ю6
б ю*
Vs, см/с
Фиг. 9. Сжатие на фронте сильной ударной волны в водороде 113].
/—оптически плотная ударная волна с равновесным излучением; 2 —оптически
прозрачная ударная волна; 3 — включающая ударная волна в плазме. р1=0,1 мм рт. ст.,
Г, «300 К.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Исследования сильных ударных волн и связанных с ними
эффектов интенсивно развиваются. Они мотивируются стремлением
решить проблему управляемого термоядерного синтеза,
интересом к астрофизическим явлениям и тем, что физика высоких
температур интересна сама по себе.
В этом параграфе мы кратко изложим результаты
теоретических исследований структуры термоядерной детонационной
волны и скажем несколько слов о существующем положении
с исследованием сильных ударных волн в лабораторных
условиях2).
1) «Включающей ударной волной» в подписях к фиг. 8 и 9 автор называет
ударную волну, распространяющуюся в магнитном поле, перпендикулярном
плоскости фронта, за фронтом которой появляется магнитное поле,
параллельное фронту [14]. — Прим. перев.
2) Среди новых экспериментальных и теоретических результатов
последних лет, относящихся к физике сильных ударных волн и связанных с ними

306
Р. Гросс
1. Структура термоядерной детонационной волны. Сильная
ударная волна нагревает и сжимает газ, в котором она движется.
Если этот газ представляет собой дейтерий или смесь дейтерия
с тритием и температура достаточно высока (Т2 ~ 108К), то в
газе происходят термоядерные реакции. Структура такой волны,
называемой термоядерной детонационной волной, была
исследована в работе [36], и мы кратко изложим результаты
исследования.
Если термоядерная детонационная волна распространяется
со скоростью, удовлетворяющей условию Чепмена — Жуге
(~ 109 см/с), то температура за ее фронтом достигает величины
порядка 1010 К. Толщина фронта такой волны очень велика,
поскольку при Г=1010 К вероятность реакции (av) равна
10~1в см3/с При плотности частиц 1015 см~3 среднее время
термоядерной реакции равно 10 с, так что толщина фронта
оказывается порядка 1010 см. Если начальная плотность соответствует
твердому водороду (п ~ 5- 1022 см-3), то толщина фронта должна
быть порядка 20 см (на таком расстоянии значительная доля
частиц вступает в реакцию).
Отношение среднего времени для двухчастичных кулоновских
столкновений (с рассеянием на угол л/2) к среднему времени
термоядерной реакции в условиях, существующих за фронтом
волны, намного меньше единицы. Поэтому можно считать, что
сначала формируется ударный скачок, и рассматривать его
отдельно от зоны термоядерной реакции. Такую модель, в которой
ударная волна рассматривается отдельно от зоны горения,
называют моделью детонации Неймана, Зельдовича и Доринга. Она
применима к термоядерной детонации и была использована
в работе [36]. Авторы этой работы показали, что в области
реакции эффекты вязкости, теплопроводности и диффузии
пренебрежимо малы. Время обмена энергией между электронами и
ионами оказывается порядка среднего времени реакции синтеза,
а поэтому электроны не находятся в равновесии с ионами.
Между нейтронами же и ионами имеется приблизительное
равновесие, так как сечение рассеяния нейтронов при соответствующих
энергиях — порядка 1 барн (Ю-24 см2). Все тормозное излучение
эффектов, отметим возможность получения сверхвысоких сжатий (до
104 г/см3) при лазерном облучении сферически-симметричной мишени,
указанную на основании численных расчетов в работе [48]; экспериментальные
результаты исследований газодинамических параметров лазерной плазмы,
образующейся при облучении сферически-симметричной мишени [49, 50];
численный расчет [51] двумерной картины процессов в «плазменном фокусе»,
в котором в лабораторных условиях достигается одно из самых высоких
значений концентрации энергии, а также экспериментальное исследование
с помощью лазерной интерферометрии конечного состояния «плазменного
фокуса» [52]; анализ хромосферной вспышки, основанный на модели
сильного взрыва [53]. — Прим. перев.

9. Физика сильных ударных волн в газах
307
выходит из зоны реакции, поскольку она является оптически
прозрачной, и, таким образом, плазма остывает. На фиг. 10
схематически показана структура термоядерной детонационной волны.
Если сильная волна распространяется со скоростью 108 см/с
в смеси дейтерия с тритием в установке лабораторных размеров,
то по данным работы [36] в плазме с плотностью 1016 см-3
нейтронный поток составляет 1017 см"2-с-1, а удельная мощность,
выделяющаяся при синтезе, достигает 2 кВт/см3. Для такой
волны мощность радиационных потерь превышает термоядерную
Фиг. 10. Структура термоядерной детонационной волны в плазме с
плотностью п= 1015 см-3 [36].
При х=109 см выгорание достигает примерно 60%. Частый пунктир —структура волны
с учетом реакций синтеза, но без учета радиационных потерь; сплошная линия — с учетом
радиационных потерь; редкий пунктир — с учетом потерь на излучение, но без учета
термоядерных реакций.
примерно на 25%. Протяженность зоны реакции минимальна
при скорости волны 4-108 см/с (Т2 ~ 40 кэВ).
2. Лабораторные эксперименты с сильными ударными
волнами в газе. Почти все лабораторные эксперименты с ударными
волнами высоких скоростей проводятся на электромагнитных
установках. Принципы действия и конструкции таких установок
подробно описаны в работе [37]. Мы же остановимся здесь лишь
на самых последних экспериментальных результатах,
относящихся к сильным ударным волнам.
Для создания сильных ударных волн в газе были применены
установки для 8-пинча с большими (мегаджоулевыми)
системами накопления энергии, способными разряжаться за
несколько микросекунд. Типичная скорость волны в такой установке
при плотности водорода порядка 1015 см-3 (когда определяющую
роль играют столкновения) составляет 107 см/с. Подобные же

308
Р. Гросс
результаты были получены в установках для Z-пинча и в
коаксиальных электромагнитных ударных трубах. Например, в
плазменной лаборатории Колумбийского университета в
коаксиальной электромагнитной ударной трубе получены ударные
волны со скоростями до 3-Ю7 см/с. При такой скорости волны,
распространяющейся в водороде при комнатной температуре
(М ~ 240), за фронтом плазма должна быть нагретой до
равновесной температуры 100 эВ (106 К). Но пока нет совершенно
определенных доказательств, что такая равновесная
температура действительно была достигнута.
При помощи лазерной искры в газе получали горячую плазму,
которая при расширении создавала взрывную волну. На ранней
стадии развития такие волны движутся со скоростью 107 см/с.
Ранее было показано, что скорость волны существенно
зависит от подводимой к фронту волны мощности на единицу
поверхности и от начальной плотности газа. Уменьшая начальное
давление в попытках добиться более высоких температур и
скоростей волн, исследователи достигли области бесстолкновительных
ударных волн. В работе [38], представленной на конференции по
термоядерному синтезу в 1966 г., сообщалось о волнах,
распространяющихся со скоростями примерно 108 см/с в дейтерии с
плотностью п ~ 1012 см-3. На VII Международном симпозиуме
по ударным трубам в июне 1969 г. представители
Исследовательской лаборатории ВМФ США [39] сообщили о результатах своих
экспериментальных исследований быстрых бесстолкновительных
ударных волн. Они использовали для накопления и передачи
энергии линию Блюмлейна (табл. 2, п. 3) и наблюдали бесстолк-
новительные волны, распространяющиеся в аргоновой плазме
низкой плотности (пе ~ 1012 см-3, Т ~ 1 эВ) со скоростями до
(1 — 1,5) -108 см/с. Путем измерения рентгеновского излучения
были зарегистрированы электронные температуры от 10 до
100 кэВ (т. е. до 109 К). Характерный временной масштаб в этих
экспериментах—10 не. Насколько известно автору данного
обзора, это самые быстрые ударные волны, полученные в
лаборатории. Однако равновесные условия при таких энергиях и
длительностях вряд ли были достигнуты. При скорости волны
108 см/с равновесная температура в водороде равна 1 кэВ, а
при З'Ю8 см/с она равна 10 кэВ. Последняя величина
представляет определенный интерес в исследованиях по управляемому
термоядерному синтезу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соигап #., Friedrichs К О., Supersonic Flow and Shock Waves, New York,
1948 (имеется перевод: P. Курант, К. Фридрикс, Сверхзвуковое течение
и ударные волны, ИЛ, 1950).
2. Fundamentals of Gas Dynamics, ed. H. W. Emmons, Princeton, 1958.

9. Физика сильных ударных волн в газах
309
3. Liepmann Н. W., Roshko Л., Elements of Gas Dynamics, New York, 1957.
4. Зельдович #. £., Райзер Ю. Я., Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений, М., 1966.
5. Gaydon Л. G., Hurle I. /?., The Shock tube in High Temperature Chemical
Physics, New York, 1963.
6. Gilbarg D., Paolucci D., Journ. Rati. Mech. Anal., 2, 617 (1953).
7. Mott-Smith H. M, Phys. Rev., 82, 885 (1951).
8. Chahine M. Т., Narashima #., Rarefied Gas Dynamics, Fourth Symp.,
ed. J. H. de Leeuw, New York, 1965, p. 140.
9. Taylor G. /., Proc. Roy. Soc, A201, 159 (1950).
10. Седов Л. //., Прикл. мат. мех., 10, 241 (1946).
11. Седов Л. И.у Методы подобия и размерности в механике, М., 1967.
12. Laumbach D. D., Probstein R. F.t Journ. Fluid Mech., 35, No. 1, 53 (1969).
13. Gross R. A., Rev. Mod. Phys., 37, 724 (1965).
14. Chu C. K.y Gross R. Л., в книге Advances in Plasma Physics, eds. A.
Simon, W. B. Thompson, vol. 2, New York, 1969 (имеется перевод: К. Чу,
Р. Гросс, в книге Физика высокотемпературной плазмы, изд-во «Мир»,
1972, стр. 262).
15. Tidman D. Л., Phys. Rev, 111, 1439 (1958).
16. Jaffrin M. К., Probstein R. F., Phys. Fluids, 7, 1658 (1964).
17. Marshall W., Proc. Roy. Soc, A233, 367 (1955).
18. Gross R. A., Phys. Fluids, 10, 1853 (1967).
19. Chubb D. L., Phys. Fluids, 11, 2363 (1968).
20. Gross R. Л., Phys. Fluids, 7, 1078 (1964).
21. Proc. of the Second IAEC Conf. on Plasma Physics and Controlled
Thermonuclear Research (Novosibirsk, 1968), IAEA, Vienna, 1969.
22. Chandrasekhar S., Radiative Transfer, New York, 1960 (имеется перевод
издания 1950 г.: С. Чандрасекар, Перенос лучистой энергии, ИЛ, 1953).
23. Vincenti W. G., Kruger С. //., /г., Introduction to Physical Gas Dynamics,
New York, 1965.
24. Spitzer L., Jr., Physics of Fully Ionized Gases, 2nd ed., New York, 1962
(имеется перевод: Л. Спитцер, Физика полностью ионизованного газа,
изд-во «Мир», 1965).
25. Koch Р. Л., Gross R. A., Phys. Fluids, 12, 1182 (1969).
26. Koch Р. Л., Phys. Fluids, 8, 2140 (1965).
27. Sampson D. //., Radiative Contributions to Energy and Momentum
Transport in a Gas, New York, 1965.
28. Eckard C, Phys. Rev., 58, 919 (1940).
29. Taub A. #., Phys. Rev., 74, 328 (1948).
30. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.у Механика сплошных сред, М., 1954.
31. Synge /. L.y The Relativistic Gas, Amsterdam, 1957.
32. Masani Л., Borla V.% Ferrari Л., Martin Л., Nuovo Cimento, 48B, 326
(1967).
33. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Статистическая физика, М., 1964, гл. 11.
34. Koch Р. Л., Phys. Rev., 140А, 1161 (1965).
35. Thomas L. #., Quarterly Journ. Math. Oxford, 1, 239 (1930).
36. Fuller Л. L., Gross R. Л., Phys. Fluids, 11, 534 (1968).
37. Gross R. Л., Miller В., в книге Methods in Experimental Physics (Plasma
Physics), eds. H. R. Griem, R. H. Lovberg, vol. 9, New York, Pt. A.
38. Kurtmullaev R. Kh.y Nesterikhin Yu. E., Pil'skii V. /., Sagdeev R. Z., в
книге Proc. 1965 Culhan Conf. Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion
Research, IAEA, Vienna, 1965.
39. Levine L. S., Vitkovitsky I. M, Kolb A. C.t в книге Proc. of the Seventh
International Shock Tube Symposium, Toronto, Canada, 1969.
40*.Имшенник В С, ЖЭТФ, 42 (1), 236 (1962).
41*. Имшенник В С, ЖВМИМФ, 2, № 2, 206 (1962).
42*. Имшенник В. С, ПМТФ, № 1, 16 (1968).

310
Р. Гросс
43*. Имшенник В. С, Астр, журн., 39, ЛЬ 3, 545 (1962).
44*. Zel'dovich У а. В., Raizer У и. Р., в книге Annual Rev. of Fluid Mechanics,
vol. 1, 1969.
45*. Зельдович Я. £., ЖЭТФ, 32, № 5 (1957).
46*. Райзер Ю. Я., ЖЭТФ, 32, № 6 (1957).
47*. Имшенник В. С, ПМТФ, № 2, 8 (1969).
48*. Nuckolls /., Wood L., Tiessen A, Zimmerman G., в книге Proc. of the
7th Quantum Electronics Conference (Monreal, 1972).
49*. Басов Я. Г., Крохин О. Я., Склизков Г. В., Федотов С. Я., Шиканов А. С,
ЖЭТФ, 62,203 (1972).
50*. Басов Я. Г., Иванов Ю. С, Крохин О. Я., Михайлов Ю. Л.,
Склизков Г. В., Федотов С. Я., Письма ЖЭТФ, 15, № 10 (1972).
51*. Дьяченко В. Ф., Имшенник В. С, ЖЭТФ, 56, 1767 (1969).
52*. Грибков В. А., Коржавин В. М., Крохин О. Я., Склизков Г. В.,
Филиппов Я. В., Филиппова Т. Я., Письма ЖЭТФ, 15, 329 (1972).
53*. Гусейнов Р. Э.у Имшенник В. С, Палейчик В. В., Астр, журн., 48, 1217
(1971).

10
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ
И ПЛАЗМЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ,
ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
МОЩНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
С ВЕЩЕСТВОМ
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин *
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема взаимодействия излучения оптических квантовых
генераторов с веществом охватывает широкий круг вопросов,
начиная с элементарных квантовых процессов (многофотонное
поглощение) и кончая макроскопическими явлениями, которые
наблюдаются при действии лазерного излучения на
поглощающие или прозрачные среды. К макроскопическим явлениям,
помимо нелинейной оптики, относятся прежде всего пробой газов
под действием сфокусированного лазерного излучения («искра»),
образование плазмы и нагревание ее до термоядерных
температур, а также динамические эффекты, возникающие при
воздействии мощных потоков лазерного излучения на
конденсированные среды.
Указанные явления вплоть до настоящего времени служат
предметом многочисленных исследований, как
экспериментальных, так и теоретических. Интерес к таким исследованиям
вызван главным образом возможностью изучать поведение
различных веществ в условиях сильных электромагнитных полей (до
107—108 В/см) и высоких плотностей потока излучения (до
1012—1016 Вт/см2).
Немалый интерес представляет также ряд практических
вопросов, связанных с использованием лазеров для
технологической обработки металлов и с их применением в химии,
теплофизике, биологии и медицине.
К настоящему времени из перечисленных эффектов наиболее
всесторонне изучено явление пробоя газа, т.е. образования
«искры» в фокусе лазерного пучка. В обзорной статье Райзера
[1] подробно рассмотрены различные механизмы возникновения
искры и приведены теоретические и экспериментальные
результаты. В этой же статье имеются ссылки практически на все
известные работы в данном направлении.
* Физический институт им. П. Н. Лебедева АН СССР, Москва.

312
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Идея о возможности получения высокотемпературной
плазмы с помощью сфокусированного излучения лазера впервые
была сформулирована в работе Басова и Крохина [20]. Позднее
указанная возможность в несколько более расширенной форме
исследовалась в работе Даусона [21].
Большой экспериментальный материал накоплен также в
области исследования процессов, протекающих при воздействии
мощного излучения лазеров на конденсированные вещества.
Работы в этой области в основном развиваются в двух
направлениях: исследование действия излучения лазера на прозрачные
вещества (диэлектрики) и изучение эффектов, связанных с
действием лазерного излучения на сильно поглощающие вещества,
главным образом металлы.
Заметим, что физические процессы в этих двух указанных
случаях принципиально различаются лишь при сравнительно
небольших плотностях потока падающего излучения. С
возрастанием же плотности потока излучения диэлектрик тоже
становится непрозрачным и наблюдающиеся в обоих случаях
явления оказываются близкими по своей физической природе.
В настоящей работе нас будут интересовать процессы,
протекающие при воздействии излучения лазера на непрозрачные
конденсированные вещества (в широкой области плотностей
потока). Как будет показано ниже, при изучении процесса
взаимодействия излучения лазера с непрозрачным твердым
веществом уравнение теплопроводности и кинетическая теория
испарения [2] обеспечивают хорошее приближение к реально
протекающим процессам только в. области сравнительно малых
плотностей потока, существенно меньших 105—106 Вт/см2.
Физически ясно, что кинетический подход правомерен только
в условиях отсутствия равновесия между испаренной и
конденсированной фазами, т. е. когда время установления фазового
равновесия велико по сравнению с характерным временем
жизни частицы у поверхности конденсированного тела.
Кинетическая модель соответствует испарению (но не разлету)
вещества в вакуум.
С повышением плотности потока излучения, падающего на
поверхность конденсированного тела, плотность паров
возрастает (возникает «факел») и состояние вещества стремится
к равновесному. Конечное состояние выброшенного вещества
зависит от глубины проникновения излучения в пар и в
конденсированное тело и от плотности потока излучения. В этом
случае характерные времена разлета испаренного вещества
существенно превышают время установления фазового
равновесия и процесс испарения приобретает квазиравновесный
характер. В то же время динамика движения испаренного вещества
влияет на процесс испарения, в связи с чем для замкнутого

10. Высокотемпературные и плазменные явления 313
описания процесса приходится решать задачу с учетом движения
вещества, поглотившего излучение.
Таким образом, в области плотностей потока излучения,
соответствующих развитому процессу испарения, задачу
необходимо рассматривать на основе газодинамического подхода.
Отметим, что близкая ситуация имеет место в ряде случаев,
например в высокоинтенсивных импульсных источниках света
как электроразрядного [3], так и взрывного типа [4] или в
МК-генераторах, когда из-за конечной проводимости материала
цилиндра, сжимающего магнитный поток, происходит «взрыв»
поверхностного слоя металла за счет выделения в нем джоу-
лева тепла, превышающего энергию сублимации [4].
Газодинамический подход позволяет более корректно, чем
на основе кинетической модели испарения, сформулировать
задачу и естественным образом получить выражения для всех
параметров (температуры, давления, скорости истечения
паров), характеризующих процесс в режиме интенсивного
испарения.
Теоретически процесс взаимодействия лазерного излучения
с веществом исследован главным образом в рамках одномерной
модели (плоской и сферической). Форма импульса лазерного
излучения обычно предполагается прямоугольной, хотя
результаты могут быть обобщены на произвольную зависимость
потока от времени. При малых плотностях потока в пределах
применимости кинетической модели испарения процесс прогрева
конденсированного вещества описывается нестационарным
уравнением теплопроводности, решение которого позволяет
найти профиль температуры внутри твердого тела. Скорость
испарения вещества в этом случае учитывается с помощью
«кинетической» формулы (см. ниже), связывающей скорость
испарения с температурой на поверхности конденсированного
тела.
В области достаточно больших плотностей потоков
излучения уравнения, описывающие процесс, представляют собой
систему газодинамических уравнений: уравнение непрерывности,
уравнение Эйлера и закон сохранения энергии. В общем
случае к указанной системе уравнений добавляется уравнение
переноса излучения, учитывающее поглощение лазерного потока
как в конденсированной, так и в испаренной фазе вещества.
При этом необходимо отметить, что в рассматриваемой задаче
даже при максимально достижимых плотностях потоков
лазерного излучения, когда испаренное вещество оказывается сильно
поглощающей плазмой, равновесие излучения с веществом
отсутствует, поскольку температура вещества на много порядков
меньше температуры лазерного излучения. Последнее
утверждение эквивалентно условию, что собственное излучение

3l4
Ю. В. Афанасьев, О И. Крохин
испаренного вещества незначительно по сравнению с падающим
излучением лазера в том же спектральном интервале. Ясно,
что полную газодинамическую задачу можно решить только
численными методами. При этом необходимо знать реальное
уравнение состояния, учитывающее наличие двух фаз вещества.
Однако существует стандартный приближенный метод, который
позволяет в ряде случаев получить аналитическое решение. Он
основан на том, что вводят область газодинамического разрыва,
в которой происходит фазовый переход. Физическим основанием
для введения разрыва является наличие области сильного
поглощения на границе пара с конденсированным телом.
Действительно, поскольку коэффициенты поглощения таких
веществ, как металлы, представляют собой величины порядка
104—105 см-1, в рассматриваемом случае реализуется ситуация
практически поверхностного разогрева с глубиной порядка
10~4—10~5 см, или, точнее, с глубиной, определяемой
теплопроводностью, так как последняя превышает глубину проникновения
излучения в холодное конденсированное вещество. Указанное
обстоятельство позволяет формально заменить область сильного
поглощения математической поверхностью разрыва.
Соотношения на разрыве, выражающие условия непрерывности
потоков массы, импульса и энергии, получаются из уравнений
газодинамики известным образом и могут рассматриваться как
граничные условия к последним. Сама поверхность разрыва
представляет собой фронт волны испарения. Введение в задачу
фронта волны испарения позволяет выделить области быстрого
и медленного движения вещества, т. е. отделить движение
факела от распространения ударной волны сжатия в
конденсированном теле. Очевидным физическим критерием такого
разделения (на что, в частности, указывал Немчинов [9]) является
условие малости давления в твердом теле /?о по сравнению
с величиной р0Со, где р0 и с0 — плотность и скорость звука в
твердом теле. Указанное неравенство означает также, что
практически вся энергия падающего излучения переходит в энергию
парообразной фазы, а доля энергии, уносимая ударной волной,
пренебрежимо мала.
Формальная схема поиска решения в рассматриваемом
случае очень близка к тому, что мы имеем в задаче о детонации.
Это относится, например, к соотношениям на разрыве, которые
аналогичны соотношениям в теории детонации. Волна
детонации представляет собой ударную волну с энерговыделением
на фронте, скорость которой определяется известным образом
по заданному давлению за фронтом. В рассматриваемой же
нами задаче ударная волна отрывается от области поглощения
падающего потока, и соотношения, характерные для теории
детонации, не имеют места.

10. Высокотемпературные и плазменные явления 315
По этой причине для решения нашей задачи, помимо
указанных граничных условий, вытекающих из уравнений
газодинамики, необходимо найти дополнительные физические условия,
описывающие процессы в поглощающем слое. Действительно,
в области сравнительно малых плотностей потоков на границе
с конденсированным телом имеет место фазовый переход. В этом
случае к «газодинамическим» граничным условиям добавляется
соотношение, учитывающее наличие фазового перехода
(уравнение кривой фазового равновесия). С возрастанием плотности
потока излучения вещество внутри поглощающего слоя
перегревается, т. е. его температура поднимается выше критической, и
фазовый переход смещается в глубь поглощающего слоя. В
результате вещество, поглотившее излучение, за счет теплового
давления расширяется до некоторого состояния, в котором оно
становится прозрачным или почти прозрачным.
Что касается динамики движения испаренного вещества, то
в принципе здесь в зависимости от плотности падающего
потока и длительности процесса возможен как режим движения
с прозрачными парами (малые потоки и соответственно низкие
температуры), так и режим с поглощением излучения в парах
(более высокие температуры, при которых значительны
возбуждение и ионизация атомов). Поскольку, как было отмечено
выше, задача в целом определяется газодинамикой в
испаренной части вещества, процесс оказывается чувствительным к
выбору соответствующего режима в зависимости от плотности
потока излучения и оптических свойств вещества.
Отметим, что при некоторых значениях плотности потока
излучения и длительности импульса возможен переходный
режим испарения, когда начальная стадия движения
соответствует прозрачным парам, но в некоторый момент времени
начинается поглощение в парах (эффект «вспышки»).
Количественно этот эффект был исследован в самое последнее время
в работах Немчинова и др. [5].
Такое физическое разделение областей испарения в режиме
развитого газодинамического движения оказывается весьма
конкретным и позволяет провести более или менее ясный
газодинамический анализ процессов в каждой из указанных
областей. В результате оказывается возможным выразить
аналитически параметры газовой струи, представляющие практический
интерес, через параметры вещества и падающего излучения.
Как уже указывалось выше, в данной главе основное внимание
будет уделено одномерным задачам. Это объясняется прежде
всего относительной простотой математического описания
процессов в таком приближении. Кроме того, указанный анализ
позволяет, отвлекаясь от многочисленных побочных эффектов,

316 Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
выявить все характерные физические явления взаимодействия
мощных потоков излучения с веществом.
Правда, современное развитие лазерной техники дает
возможность экспериментально реализовать условия
плоскостности лишь в весьма ограниченном масштабе. По этой причине
результаты плоской одномерной теории могут быть однозначно
сопоставлены с экспериментом только при корректной
постановке опыта. В частности, исследование процессов испарения
при малых плотностях потоков излучения, когда пары
прозрачны, может быть достаточно корректно проведено, если
размер пятна фокусировки больше толщины испаренного слоя, так
что краевые эффекты несущественны. С повышением плотности
потока, достигаемой путем фокусировки лазерного пучка,
движение испаренного вещества становится существенно
неодномерным и в некоторых случаях приближенно может быть
описано с помощью сферически-симметричной модели.
§ 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В работе Анисимова, Бонч-Бруевича и др. [2] используется
микроскопическая модель испарения конденсированного
вещества, развитая в ранних работах Фолмера [6] и Френкеля [7].
В этой модели скорость испарения определяется из условия
равновесия между газообразной и конденсированной фазами
вещества. При макроскопическом равновесии микроскопический
поток частиц, испаряющихся с поверхности конденсированного
тела, /+ равен обратному потоку /-, который можно вычислить
в предположении максвелловского распределения частиц в
газообразной фазе вещества. Это приводит к следующей формуле
для числа частиц /+, испаряющихся в единицу времени с
единицы поверхности [7]:
V2nmakT v '
где /7Нас — давление насыщенного пара, та — масса атома, 71 —
температура, П — средний коэффициент прилипания.
Коэффициент прилипания П может быть вычислен только на основании
точной кинетической теории (естественно, это относится и к
величине /+), а поэтому в упрощенной формуле (1) он остается
в какой-то мере неопределенным. Но он, очевидно, не может
быть равным 1, поскольку нет никаких оснований считать, чго
распределение частиц, вылетающих из конденсированной фазы
вещества, строго максвелловское.
Отметим также другое существенное обстоятельство,
ограничивающее применимость формулы (1) для вычисления
макроскопического потока как разности односторонних потоков

10. Высокотемпературные и плазменные явления 317
/+ — /", которая возникает при нарушении равновесия.
Выражение (1) справедливо лишь в том случае, когда разность
/+ — /" мала по сравнению с /+. В противном случае мы имеем
существенное отклонение от термодинамического равновесия,
которое может быть в первом приближении описано на основе
теории диффузии. Таким образом, формулой (1) определяется
верхняя граница макроскопического потока частиц с
поверхности конденсированной фазы вещества. В случае малого
отклонения от равновесия, пользуясь формулой (1), для величины
/+ — /~ можно написать
J+ —J~=n рнас~~Ргаз- (2)
V*tmakT '
где /?газ — давление в газообразной фазе (/?нас — Ргаз <£ Рнас
температуры фаз предполагаются равными).
Наконец, отметим также, что при наличии
макроскопического потока массы, т. е. при /+ — 1~Ф0* происходит перенос
импульса через границу раздела фаз, в связи с чем величина
/?газ фактически складывается из обычного статического
давления и динамического, учитывающего импульс отдачи.
В упомянутой выше работе [2] формула (1) приведена в
несколько иной форме, которую можно получить на основе
физических соображений, развитых Френкелем [7].
Рассматривая конденсированную фазу вещества как
потенциальный ящик глубиной —U0 и аппроксимируя потенциальную
энергию частиц на поверхности раздела фаз функцией вида
U(x) =
— U0 при х < О,
-U0 + ±tfmax> при 0<x<(Jg-)V2
О при х>№)\
^ \ со2та / *
(3)
с помощью функции распределения Больцмана
п0(х) = пгазе-"^т (4)
можно получить соотношение, связывающее поверхностную
плотность частиц п' с плотностью в газообразной фазе п:
п' = J щ (х) dx~ | Az0 (х) dx = п^е^Ч, (5)
-(2</0/G)'ma)V2
где б —эффективная толщина поверхностного слоя 6 =
= T0YkT/2nma> а то — период колебаний атома в
конденсированном веществе, равный 2я/<о. Полагая П = 1, pmQ = nT^kT

318
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
(6)
и J+ = dn'ldt, из соотношений (1) —(5) находим
dt т0
Формула (6) — это основное соотношение в работе [2] между
скоростью испарения вещества и температурой на поверхности
раздела фаз, которая связывается с потоком падающего
лазерного излучения уравнением, выражающим закон сохранения
энергии. Полагая, что поглощенный поток излучения q0 идет па
испарение вещества, авторы работы [2] записывают уравнение
сохранения энергии в следующем упрощенном виде:
<70 = DPo(Cr + Q), (7)
где D — скорость границы испарения, р0 — плотность
конденсированного вещества, а С и й — удельная теплоемкость газа и
удельная теплота испарения. Величина p0D представляет собой
поток массы с поверхности конденсированной фазы вещества:
p0D = mfl-^-. (8)
Несмотря на приближенный характер формул (6) и (7),
полученные результаты качественно правильно описывают
зависимость основных величин от плотности падающего потока и
теплоты испарения конденсированного вещества. Это
обстоятельство связано с правильно выбранной экспоненциальной
зависимостью скорости испарения от температуры (6). Заметим,
что соотношение (6) справедливо также для процессов горения
и химических реакций.
Решение системы уравнений (6) и (7) приводит к
следующим качественным зависимостям:
Т~и2 {
In (a/q0)
P~Qo n , , „у, . (9)
Л л ?о
где и — скорость истечения испаренного вещества, а a —
константа.
Возвращаясь к формуле (6), необходимо сделать ряд
замечаний, касающихся возможности учета отклонений от
равновесности. Как уже говорилось выше, в предположении
термодинамического равновесия соотношение между концентрациями
атомов вне и внутри конденсированной фазы дается формулой
Больцмана (4), а суммарный поток частиц из одной фазы в дру-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 319
гую равен нулю. В случае же когда равен нулю поток частиц
из газообразной в конденсированную фазу (испарение в
вакуум), возникает односторонний макроскопический поток частиц
и плотность их уже нельзя определить на основании формулы
Больцмана, а нужно находить из решения соответствующей
кинетической задачи. К сожалению, кинетические процессы в
конденсированных средах пока еще недостаточно исследованы для
количественного описания интересующих нас явлений. Поэтому,
не претендуя на высокую точность, мы рассмотрим данный
вопрос в рамках диффузионного приближения, основываясь на
представлениях о релаксационных процессах, развитых в
работе Френкеля [7].
Согласно последней, диффузия атомов в конденсированной
фазе происходит в основном за счет перехода их в незанятое
состояние («дырку»), вероятностью образования которой в
основном определяется вероятность всего процесса.
Соответствующее время дается выражением
x = Xoeu9/kTm (10)
Эффективную скорость перемещения атомов в направлении оси
найдем следующим образом. Поток частиц в условиях
термодинамического равновесия постоянен и дается выражением (1),
которое мы представим в виде
J+ = n2vXi vx = (-^)y\ (11)
Таким образом, эффективная скорость иа перемещения частиц
вдоль оси х внутри конденсированной фазы равна
Подставив сюда выражение для эффективной толщины
поверхностного слоя б, получим
Коэффициент диффузии D, согласно Френкелю [7], можно
представить в виде
*>--£-• 04)
При отклонении условий от равновесных поток частиц внутри
конденсированной фазы вещества будет определяться
уравнением диффузии, учитывающим процессы релаксации
(образование равновесной концентрации «дырок» — вакансий) и
влиянием потенциального барьера на поверхности раздела фаз,
дп __ п д ( дп . п dU \ . п0 — п п -ч
-W^D~o4Vd7 + -kf-d7) + ——> №

320
/О. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
где использовано универсальное соотношение между
коэффициентом диффузии и «подвижностью» \х = D/kT. Величина
J и\дх ^ kT дх)
представляет собой полный поток частиц /+ — /-, и в случае,
когда / = 0, из уравнения (15) непосредственно получается
распределение Больцмана (4).
Заменив непрерывную потенциальную функцию U(x)
скачкообразной с амплитудой —U0 в точке х = 0 (напомним, что
конденсированная фаза занимает полупространство х<0), из
уравнения (15) в интересующем нас стационарном случае
получим
n = aex'v™+n09 (16)
где а — константа. Величину а можно определить так, как это
делается в диффузионной теории ядерных реакторов (см.,
например, [8]). Именно, на границе с вакуумом полагают
г- i D дп л
/+ *.«. & дп /,7\
/ _„„___ (17)
/ = /+ = 2/ш= -/>4г-.
дх
Тогда из соотношений (16) и (17) находим
/ exivm
п = пЛ\ —
01 * X+DVuVDt, .щ
/(0)= "§£/ 1\
VDx \ 1 + D/2u \TDx I
Воспользовавшись вышеприведенными выражениями для
констант, входящих в формулы (18), для скорости испарения
получим
An 2 n'e-UnlkT
/(0)=-™- = 2 Л1 . (19)
W dt 1 + 2 \Г2 то '
Как легко видеть из сравнения формул (6) и (16), результаты
различаются численным множителем, который в связи с
приближенным характером применяемых в обоих случаях
допущений имеет скорее иллюстративный смысл. Физический смысл
формул (6) и (16) ясен: скорость испарения равна
произведению поверхностной концентрации на вероятность возбуждения
до энергии связи Uq частиц в конденсированной фазе.

10. Высокотемпературные и плазменные явления 321
В заключение сделаем одно существенное замечание.
Результаты численного расчета, приведенные в работе [2], дают,
по-видимому, сильно завышенную величину температуры
испаренного вещества вблизи поверхности конденсированного тела.
Это связано не столько с приближенным характером формулы
для потока энергии, выбранной в виде (7), сколько с
пренебрежением температурной зависимостью «потенциальной»
энергии Uq от температуры. Тем не менее весь накопленный
материал по диффузии атомов в твердых телах (см., например, [32])
указывает на существенную температурную зависимость
величины £/0. Отметим также, что величиной U0 определяется
возможность существования двух фаз вещества — в данном случае
газообразной и жидкой. И ясно, например, что при
температурах вещества, превышающих критическую, высота
потенциального барьера U0 обращается в нуль. Поскольку же величина £/0
в данной задаче входит в показатель экспоненты, от
правильного выбора ее существенно зависит точность результатов.
Ограничиваясь здесь этими краткими замечаниями, мы
подробнее обсудим данный вопрос в следующем параграфе.
§ 3. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
I. Испарение вещества под действием излучения лазера.
Газодинамический подход к решению рассматриваемой задачи
развивался в ряде работ — Немчинова [9], Карузо, Бертотти
[10] и других авторов [11, 12].
Основанием для построения газодинамической теории
процессов испарения вещества под действием излучения лазеров
служит то, что времена релаксации малы по сравнению с
характерными временами изменения газодинамических величин. При
таких условиях состояние вещества близко к равновесному и
может быть описано термодинамическими функциями. Эти
условия выполняются достаточно хорошо в широком диапазоне
плотностей потоков и длительностей импульсов лазерного
излучения.
Газодинамический подход позволяет наиболее корректно
сформулировать задачу в замкнутом виде, поскольку сам по
себе процесс испарения определяется динамикой разлета
вещества. Физически, как уже говорилось выше, это следует из того,
что масса испаренного, т. е. охваченного движением, вещества
практически в течение всего лазерного импульса значительно
превышает массу слоя вещества, внутри которого имеет место
переход конденсированной фазы в газообразную. Последнее
обстоятельство связано с большим коэффициентом поглощения
лазерного излучения и малой теплопроводностью плотного
вещества.

322
Ю. В. Афанасьев, О. И. Крохин
Система газодинамических уравнений, описывающих
процесс, имеет вид
dv , dv_ 1_ J)p_
dt "*" дх ~ р дх '
^r«« + n-5lUJLU^4.^4.£U^«o. (20)
а/
(рЧ-»4) + £И* + Т + 0-«М
?(*, t) = q0exp\
-J K{x',t)dx' ,
где р — плотность, v — скорость, р — давление, е — удельная
внутренняя энергия вещества, q — плотность потока лазерного
излучения, а К — коэффициент поглощения излучения в
веществе 1).
Сначала полупространство х < 0 заполнено холодным
конденсированным веществом, а в момент времени t = 0
включается поток излучения. Граничные условия со стороны вакуума
очевидны: р = 0, q = q0.
Излучение лазера q поглощается как в разреженной, так
и в плотной фазе вещества. Поскольку коэффициент поглощения
в плотной фазе вещества, очевидно, значительно больше, чем
в испаренном веществе (длина свободного пробега кванта
излучения в металлах, например, — порядка 10~4—10~5 см),
область сильного поглощения, в которой конденсированное
вещество переходит в газообразное состояние, можно
рассматривать как газодинамический разрыв. В этой области уравнения
(20) можно, как обычно, заменить законами сохранения
потоков массы, импульса и энергии:
p0£)=p1(y1 + D),
Po = P\ + PoDvl9 /2i\
(2\ * '
Соотношения (21) можно рассматривать как граничные условия
к системе уравнений (20) (условия на «границе» раздела фаз).
Эти соотношения полностью аналогичны соотношениям на
детонационном разрыве [13].
В соотношениях (21) пренебрегается движением плотной
фазы вещества вследствие низкой сжимаемости и низкой
температуры плотной фазы [11].
*) Знак минус перед величиной q в третьем уравнении связан с выбором
системы координат.

10. Высокотемпературные и плазменные явления 323
Характер рассматриваемого здесь процесса испарения
существенным образом зависит от степени прозрачности паров.
В том случае, когда пары прозрачны, т. е. когда температура
значительно ниже потенциала ионизации, что соответствует
малым плотностям потока излучения, движение паров является
изэнтропическим со стационарными значениями (при q0 =
= const) газодинамических величин на границе раздела фаз.
В случае же когда имеет место заметное поглощение в парах,
возникает нестационарный режим, при котором поглощение
излучения в парах существенным образом влияет на динамику
всего процесса.
Рассмотрим область малых температур Т < U0/ky
соответствующую двухфазной области на диаграмме состояний, т. е.
наличию фазового перехода на границе конденсированного
вещества с газом. В этом случае изэнтропическое движение паров
описывается центрированной волной разрежения [14], в которой
газодинамические величины являются функциями отношения
x/t. Другими словами, вещество, охваченное центрированной
волной разрежения, движется так, что в плоскости х, t
газодинамические величины постоянны вдоль прямых x/t = const,
называемых характеристиками. Как известно, наклон
характеристик в плоскости х, t соответствует скорости распространения
малых возмущений в движущемся газе. В данном случае в
выбранной нами системе координат имеем
где с — скорость звука в газе. На границе газа с вакуумом
с = 0 и
-^г- = 0фР = const (23)
(лгфр и 0фР — координата и скорость фронта — границы газа
с вакуумом), тогда как на границе с конденсированным
веществом соотношение (22) переходит в условие Жуге
— D = vl — cu (24)
где С\ — скорость звука в газе на границе с конденсированным
телом. Соотношение (24) соответствует тому, что скорость
распространения газодинамических возмущений на границе
раздела фаз, идущих со стороны вакуума, равна скорости границы
испарения, что является физической причиной стационарности
режима испарения.
Физически (так же как и формально) ясно, что систему
уравнений (21), (24) и уравнения состояния е = е(/?, р) нельзя

324
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
считать полной, поскольку в эти уравнения не заложена
физика перехода вещества из конденсированного в газообразное
состояние, т. е. механизм испарения. Необходимость учета
условий на границе раздела фаз можно пояснить еще тем, что
в случае адиабатического разлета испаренного вещества
характер движения определяется граничными (или начальными
условиями) совершенно аналогично случаю инерциального
движения в механике.
Выше было отмечено, что при температурах, не
превышающих критическую Гкр, необходимо принимать во внимание
возможность фазового перехода. Почти равновесный переход
возможен в том случае, когда скорость установления фазового
равновесия достаточно велика, т. е. соответствующие времена
релаксации малы. Поскольку пар при фазовом переходе
образуется за счет вылета из конденсированной фазы частиц с
энергией ~ U0, а энергия теплового движения kT <С £/0, указанное
время релаксации определяется временем восстановления т
«хвоста» теплового распределения. Это время дается
формулой (10). Таким образом, условием равновесности является
малость величины т по сравнению со средним временем
«испарения», равным 8/D. Так как 6/то « с0, где с0 — скорость звука
в конденсированном веществе, указанное условие можно
представить в виде
D < c0e-v*lkT. (25)
Как легко видеть, умножив обе части неравенства (25) на По
(по — концентрация атомов в конденсированном теле), в
правой части мы получим величину, стоящую в правой части
равенства (6). Именно соотношением (6) в кинетической теории
определяется скорость испарения, т. е. связь между скоростью
границы испарения D и температурой Г.
Отсюда можно было бы сделать следующее заключение. Если
температура, вычисленная в предположении фазового
равновесия, окажется меньше величины, следующей из кинетических
соотношений типа (6) или (19), то критерий (25)
автоматически не выполняется. Это означало бы, что предположение о
равновесности неверно. Но в действительности это не так.
Формула (25), в которой под Uо понимается энергия связи при Г =
= 0, справедлива лишь при очень малых температурах,
существенно меньших Гкр и тем более меньших величин U0/k. Высота
же потенциального барьера U0 в области достаточно высоких
температур существенно зависит от температуры, уменьшаясь
с ростом последней [15]. При Г—►Гкр величина £/0, так же как
и скрытая теплота испарения, стремится к нулю. В то же время
при Г-*0 величина U0 имеет порядок 10&Гкр [15]. Физически
уменьшение энергии U0 с ростом температуры объясняется тем,

10. Высокотемпературные и плазменные явления 325
что из-за теплового расширения ослабляется взаимодействие
между частицами конденсированной фазы [7].
Зависимость U0 от температуры в области малых температур
можно установить на основании общих термодинамических
соотношений. Внутренняя энергия Е (все величины будем относить
к одной частице) равна £= U0(V) + J CvdT, где Су —
теплоемкость при постоянном объеме V. Таким образом, с одной
стороны,
dU0 = dE — CvdT. (26)
С другой стороны, при постоянном давлении справедливо
термодинамическое равенство
dE = CpdT-p^P)pdT. (27)
Из соотношений (26) и (27) находим
dll0 = (Ср - Cv) dT -p(^fjp dT. (28)
Воспользовавшись для Ср—Су известным выражением [15] и
положив р = 0, что справедливо в рассматриваемых условиях
(см., например, [13]), окончательно имеем
a2V
CP — CV = T
Р У у,
т
U0(T) = U0(0)-VJl^dT,
(29)
где а= (l/V) (dV/dT)p — коэффициент теплового расширения,
ио = — (1/V) [dVjdp)T — сжимаемость.
Интегрирование в формуле (29) может быть проведено лишь
в области малых температур, где известна зависимость
величин а и хо от температуры. Но в интересующем нас случае
высоких температур, не слишком малых по сравнению с
критической температурой, эта зависимость неизвестна, и поэтому
соотношение (29) не позволяет найти явную зависимость высоты
барьера от температуры.
В теории диффузии в конденсированных средах, согласно
Френкелю [7], принимается линейная зависимость высоты
барьера от температуры:
Uo(T)=U0(0)-yT, (30)
где y — численный коэффициент. Грубая численная оценка на
основе экспериментов по самодиффузии дает значение y =
= 5—10. Интересно отметить, что подобная аппроксимация
приводит к правильному порядку величины критической
температуры Гкр« (0,1-0,2) £/0(0) Ik.

326
/О. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Зависимость же U0 от Т вблизи критической точки можно
найти на основании общих соображений [15]:
U0(T)~(TKP-T)\ (31)
Поэтому в качестве грубого приближения, удовлетворяющего
соотношению (30) при средних температурах и соотношению
(31) при Т ~ Гкр, можно принять
U0(T) = U0(0)(l--f-\/2,
и 10) (32)
Y=-^fe- при т<Гк^
Таким образом, в экспоненту в правой части неравенства (22)
нужно ввести функцию типа (32), что дает дополнительный
множитель, не меньший чем e^lk « 102—103. Другим
обстоятельством, подтверждающим существенную температурную
зависимость высоты барьера, является то, что предэкспоненциальный
множитель В в уравнении кривой фазового равновесия (рнас —
плотность насыщенных паров)
рнас = Ве-"о«»/*г (33)
значительно превышает нормальную плотность
конденсированного тела ро (В/ро ~ 102—103). Это обстоятельство необходимо
учитывать и в кинетической теории, о которой говорилось в
предыдущем параграфе.
Итак, предполагая наличие равновесных условий,
рассмотрим более детально характер парообразования в прогретом слое
конденсированного вещества при температурах, меньших
критической, т. е. в области фазового перехода.
В рассматриваемом случае нельзя заранее исключать
возможность объемного парообразования. Кинетика объемного
фазового перехода развивалась в работах Фолмера [6], Френкеля
[7] и др. Необходимым условием процесса объемного
парообразования является метастабильность, неустойчивость
конденсированной фазы. Это означает, что конденсированная фаза
должна быть перегретой (т. е. ее температура должна быть выше
температуры кипения при заданном давлении), в результате чего
в ней за счет термодинамических флуктуации могут возникать
зародыши пара, которые при достаточно больших размерах
оказываются устойчивыми и становятся центрами объемного
парообразования. Согласно термодинамической (равновесной)
теории флуктуации, функция распределения числа зародышей N(r)
в единице объема по их радиусам дается соотношением
N(r)~n0e-R"™{r)lkT,

10. Высокотемпературные и плазменные явления 327
где /?мин(0 — минимальная работа, необходимая для
образования зародыша радиусом г, а /г0 — концентрация атомов в
конденсированной фазе вещества. Выражение для минимальной
работы в случае, когда процесс протекает при постоянной
температуре, имеет вид [15]
Ямин = 3lT" [М-0 (Роу Л — Нчхар (Рпар» Л] —
--Тг(Д..Р-рь) + 4яаг», (34)
где |io — химический потенциал конденсированной фазы, а
jAnap — пара, ро — давление в конденсированной фазе, рПар —
давление в зародыше пара, V — объем, приходящийся на одну
частицу в газообразной фазе, и а — коэффициент поверхностного
натяжения. Из формулы (34) видно, что при малых размерах
зародышей, т. е. когда равновесие между зародышем и
конденсированной фазой не имеет места и |л0(ро, Т) > |Xnap(Pnap, ЗГ)»
рост зародыша энергетически невыгоден и зародыш с большей
вероятностью исчезает.
Физически это связано с тем, что при возникновении
зародышей малых размеров оказывается нескомпенсированным
невыгодный энергетический эффект образования свободной
поверхности. Критический радиус, по достижению которого рост
зародыша становится энергетически выгодным, соответствует
равновесию между зародышем и конденсированной фазой. В этом
случае \i(p0iT) = ц,Пар(Рпар, Т) и критический радиус равен
'■>-я£*- <35>
При г = гкр величина /?Мин(>*) проходит через максимум, а
функция распределения N(r)—через минимум. Поскольку же
зародыши критического размера могут возникнуть только в
результате постепенного их роста, в продессе объемного
парообразования существует минимальная скорость испарения,
определяющаяся потоком частиц из конденсированной фазы в
зародыши пара критического размера. Этой минимальной
скоростью определяется по существу характерное время процесса
объемного парообразования.
Однако в рассматриваемой задаче имеется поверхность
раздела двух фаз вещества, на которой также может протекать
процесс парообразования. Процесс объемного парообразования
будет играть существенную роль, если отношение времен
испарения заданной массы жидкости за счет обоих процессов будет
сравнимо с единицей. Но это отношение по порядку величины
совпадает с отношением суммарной площади 2 поверхности
зародышей критического размера, образующихся в прогретом
слое /, к площади свободной поверхности S.

328
Ю. В. Афанасьев, О. И. Крохин
Согласно формулам (33) — (35), число зародышей
критического размера гкр в единице объема таково:
N ~ n0e-i*<l3kT, (36)
а отношение площадей —
^ = 4nrlpnQle-Amr2«>l3kT. (37)
Максимум этой функции достигается при гкр = r\ = (3kT/4na)42.
Поскольку г, очевидно, не меньше межатомного расстояния
б ~ п<г,/з, при реальных значениях п0 ~ 1022—1023 см~3 и
/ ~ 10~3 см величина S/5 в максимуме значительно превышает
единицу. Поскольку же меньшим степеням перегрева
соответствуют большие критические радиусы, условие S/S ~ 1 реально
могло бы быть выполнено при гкр = г2 > г\.
Оценим приближенно степень перегрева, предположив, что
S/5 ~ 1, т. е. гкр = г% Температура Г0, соответствующая
фазовому равновесию при плоской поверхности раздела и
давлению /?о, определяется уравнением (33), которое мы перепишем
в виде
р0«Д^ог№, (38)
где /?о — газовая постоянная, a \i — грамматомный вес.
Аналогично уравнение кривой фазового равновесия для
сферического зародыша имеет вид
рпар = В М- e-(UolkT,)-{2a/n,rkT)m (39)
Подставив выражения (38) и (39) в соотношение (36),
получим уравнение, связывающее Т0 с температурой Т, при которой
скорость объемного парообразования сравнима со скоростью
парообразования через свободную поверхность:
.BRoT £-(£/о/*Г)-.(2а/я0г2*Г) _ ЯЯо^о. е-и*1кТь _|_ %± ^ (щ
Численный анализ этого уравнения показывает, что в
рассматриваемых условиях основную роль в его правой части
играет член 2а/г2, связанный с кривизной поверхности
зародышей, а величина kT/Uo достигает значения 0,3—0,4.
Соответствующая температура превышает Гкр, и, следовательно,
уравнение (4) теряет физический смысл, но проведенный анализ
убедительно показывает, что в данном случае объемное
парообразование требует высоких степеней перегрева, при которых
температура близка к критической. Физически это объясняется
тем, что в рассматриваемых условиях вследствие малой толщи-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 329
ны прогретого слоя конденсированного вещества необходимая
величина критического радиуса зародышей также оказывается
малой [что и приводит на основании формулы (35) к большим
значениям температуры 7].
Итак, в дальнейшем будем полагать, что процесс
парообразования протекает на границе раздела фаз, которая
представляет собой поверхность разрыва, введенную ранее формально
в газодинамической модели процесса испарения.
Возвращаясь теперь к граничным условиям (21) и (24), в
качестве дополнительного соотношения, учитывающего наличие
фазового перехода, следует принять равенство давления
насыщенных паров давлению в конденсированной фазе р0, которое
складывается из давления пара pi у поверхности
конденсированного вещества и реактивной добавки pnDvu связанной с
движением паров. Это условие означает, что эффективное
парообразование происходит в точке кипения при давлении ро, т. е.
реализуется фазовое равновесие. Но, как было указано выше,
в равновесной точке макроскопический поток массы равен нулю
и поэтому в действительности давление насыщенных паров
должно быть больше ро.
Переписывая уравнение кривой фазового равновесия и
уравнение состояния испаренного вещества в виде
Рнас = Яе-йрнас/<Ч (41)
где Q= U0/ma — удельная теплота испарения, а и — показатель
адиабаты, и принимая условие равенства температур на границе
раздела фаз
7Г ■?■• (43)
Рнас Pi х '
приходим к полной системе уравнений (21), (24), (41), (43)
с шестью неизвестными ро, Рь вь vu D и рь
Окончательные результаты можно представить в виде
7l ~ #0[Л-1п(л/Р)] •
"-c(St)#[
*~£»*Ь^»Г- <44>
-Л —In (т)/Р)
С (х — 1) д0 I [ у
х(х+1) Q'
* ~ 1 о'/. Г Y ]'!>
»+1 U-tn(VG)J

330
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
где т) = <7о/рой3/а, Р = fi/po, Ro— газовая постоянная, у—
константа, определяющаяся значением показателя адиабаты и,
а величины А и С—медленные функции безразмерного
параметра т|/р = q0/BQ*i>. Например, при и = 5/з величина у = 26,7,
а величины А и С примерно равны 1,9 и 0,85 (практически для
всех конденсированных сред).
Как следует из формул (44), температура на фронте волны
испарения Т\ пропорциональна энергии связи атомов в
конденсированной среде Q и логарифмически возрастает с
возрастанием плотности потока ?о- Скорость истечения испаренного
вещества с поверхности конденсированной фазы по порядку
величины равна скорости звука d ~ (vpi/pi)78 ~ П*
[соотношение (24)].
Плотность pi меньше плотности насыщения р8:
Vl ws ps ys Po ™ Pi — QDvi у + 1 x '
Для большей наглядности рассмотрим график (фиг. 1), где
показано, как изменяется состояние некоторой заданной
частицы вещества при переходе ее из конденсированной среды
в пар. Частица, находящаяся в конденсированной фазе на
некотором расстоянии от фронта волны испарения, сжата слабой
волной, распространяющейся в глубь конденсированного
вещества, до давления р0 при практически нулевой температуре —
состояние 0'. По мере уменьшения расстояния между данной
частицей и фронтом волны испарения температура возрастает и
частица меняет свое состояние вдоль прямой 0'->-0, которая
соответствует просто тепловому расширению при заданном
давлении р0 от объема Vd до объема V0 в пренебрежении скоростью
движения. Состояние 0 соответствует состоянию перед фронтом
волны испарения, оно расположено на кривой фазового
равновесия, в точке, определяемой условием р0 = Ршс(То). При
испарении состояние частицы скачком переходит в точку / на
изотерме с температурой Т = Т0 = Т\. Соответствующий
удельный объем и давление в этом состоянии равны У1=рГ1«
« (х+1)/рНас и р\. Это состояние реализуется сразу же за
фронтом волны испарения, где газ движется со скоростью V\.
Дальнейшее изменение состояния частицы будет происходить по
адиабате Л, описывающей дальнейшее уменьшение температуры
пара при его расширении в вакуум. В точке / адиабата
пересекает кривую фазового равновесия, после чего в принципе
возможна конденсация.
Вопрос о кинетике конденсации в рассматриваемой задаче
не исследуется. Но при ограниченном времени действия
излучения лазера конденсация, по-видимому, не успевает
происходить и вещество расширяется по адиабате пересыщенного пара»

10. Высокотемпературные и Плазменные явлений 331
Впрочем, конденсация, очевидно, не может существенно
повлиять на процесс испарения, поскольку газодинамические
возмущения, возникающие в этой области, не достигают границы
раздела фаз.
Область применимости развиваемого здесь подхода может
быть ограничена со стороны больших потоков излучения двумя
Фиг. 1. Изменение состояния вещества при испарении.
факторами: заметным поглощением излучения в испаренном
веществе при плотности Pj > Pj и приближением температуры
вещества к критическому значению Гкр, т. е. приближением
плотности р8 к критической плотности ркр « Р0/3[р* ~ Р0;3 (Y + Щ-
Подставив р] в первую формулу соотношений (44), для
предельной плотности потока qc можно получить следующее выражение:
,, (х- l)y1/aplQB/a • з/2
Ч{ * (x+OC^-lnM)] ~ °'57р'Й • (46)
где для критической температуры принято значение Ткр « U0/№.
Как было отмечено выше, полученные здесь формулы
основаны на предположении о равновесности процесса испарения.
Фактически же при фазовом равновесии отсутствует
макроскопический поток массы вещества из одной фазы в другую, т. е.

332
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
p0\D\ = 0. Поэтому для испарения необходим некоторый
перегрев вещества, т. е. превышение давления насыщенных паров
Рнас над /?о. Обоснованием равновесного подхода является то
обстоятельство, подтверждаемое приближенной кинетической
теорией Фолмера [6] и Френкеля [7], что скорость испарения
вещества с поверхности сильно зависит от разности рНас — ро-
В указанной теории скорость испарения (т. е. поток массы
вещества ро|£|) дается формулой
*|0|-(-Й7)*<а~--л>. (47)
Эта формула позволяет оценить степень отклонения
истинной температуры ТЬ от величины Т0, даваемой равновесной
теорией. Из формул (44) следует, что
PolD i-*тг (*)**- ЫйтГ *. <47а>
Сравнение формул (47) и (47а) дает для разности давлений
Др0 = Рнас — Ро выражение
Др0=1,23^) ро (48)
и для разности температур ДГо = То — Т0
Таким образом, поскольку при Т0 < Ткт> величина kT0/u
меньше 0,1, мы имеем АТ0/То><<. 10%.
Прямое экспериментальное измерение температуры
конденсированной фазы вещества с точностью 10% представляет
существенные трудности. Ее можно рассчитать косвенным путем,
например на основании металлографических исследований
образцов, подвергшихся действию сфокусированного излучения
лазера. Другой возможный метод — прямое измерение скорости
истечения паров с поверхности (она равна местной скорости
звука). Более реальной, однако, является оптическая
регистрация ударных волн, порождаемых испаренным веществом в
окружающей атмосфере под действием излучения лазера,
работающего в режиме регулярных пичков, поскольку скорость
истечения паров и скорость движения ударных волн связаны между
собой аналитическими соотношениями.
Таким образом, модель квазиравновесного испарения в
принципе позволяет исследовать уравнения кривых фазового
равновесия, одновременно измеряя давление ро и температуру Т0.
Но имеется также другой, эквивалентный способ — измерять
только давление и использовать закон сохранения энергии, ко-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 333
торый на основании выражений (44) можно записать в виде
где q\ — «поглощаемая» часть потока излучения, выражающаяся
через падающий поток q0 и коэффициент отражения R: q\ =
= <7о(1— R). Этот метод требует фактически дополнительных
измерений коэффициента отражения /?. Соотношением (32)
можно воспользоваться для определения также критических
параметров веществ, вводя в качестве критерия резкое уменьшение
коэффициента отражения. Последнее соответствует тому, что
обычное френелевское отражение в режиме фазового перехода
сменяется отражением на «размытом» распределении плотности
и, следовательно, показателя преломления, имеющем место при
«испарении» за критической точкой. Здесь нужно, конечно,
учитывать, что в некоторых случаях, когда потенциал ионизации
атомов мал, падение коэффициента отражения может быть
связано также с частичным поглощением излучения парами
вещества. Поэтому анализ экспериментальных данных следует
проводить с учетом их зависимости от времени действия излучения
или длительности импульса. В общем случае можно утверждать,
что для определения критических параметров с использованием
формулы (50) оптимальны импульсы длительностью ~10~7.
Характерный вид зависимости коэффициента отражения от
плотности падающего потока приведен в работе [33]. Длительность
импульса излучения составляла 1,5-10"8 с.
Возможен и другой режим испарения вещества, при котором
пары в принципе могут быть еще прозрачными, но на фронте
волны испарения фазовый переход отсутствует. Очевидно, что
это может иметь место при q ;>, q'\ т. е. когда, как уже
указывалось, испарение происходит за критической точкой, так что
давление в прогретом слое вещества превышает рКр (кривая // на
фиг. 1). В этом случае вещество в тонком прогретом слое
разгружается как газ до плотности р*, соответствующей плотности,
ниже которой вещество становится прозрачным. Введение
величины pj лредполагает, естественно, резкую зависимость
коэффициента поглощения от плотности вещества, т. е. быстрое
обращение его в нуль при р{ < р|. Это обстоятельство в какой-то
степени отражают эксперименты со взрывающимися
проволочками, в которых обнаруживается резкая зависимость
проводимости металла от его плотности [16]. Подобная ситуация имеет
место при переходе металла в диэлектрик при его растяжении
(переход Мотта [17]). Приближенные оценки на основании
экспериментов со взрывающимися проволочками дают для
величины р* весьма высокие значения р* ^ р «р0/3, которые,

334
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
по-видимому, справедливы только для веществ,
характеризующихся низкой критической температурой. Действительно, при
таких плотностях, даже когда температура чрезвычайно мала по
сравнению с потенциалом ионизации, мы имеем заметное
поглощение излучения вследствие ионизации и возбуждения атомов.
В случае металлов это обстоятельство, как правило, должно
приводить к существенному уменьшению величины р* по
сравнению с приведенной выше оценкой.
Таким образом, для веществ, энергия связи которых мала по
сравнению с потенциалом ионизации, т. е. относительно слабо
поглощающих свет вблизи критической точки, условием
исчезновения фазового перехода с повышением плотности падающего
потока является равенство температуры прогретого слоя
критической температуре. Для веществ же, пары которых сильно
поглощают в области р ~ р1ф и Т ~ ТК1>, зона фазового
перехода смещается в глубь прогретого слоя вещества, но
необходимость его учета формально отпадает.
Введение плотности р* существенно упрощает задачу,
поскольку один из граничных газодинамических параметров
оказывается заданным: pi = р*. Решение сводится к анализу трех
уравнений сохранения (21) и условия Жуге (24). Окончательно
формулы можно представить в виде
Pi = P*>
0l=Q%i!^lXl, (51)
D = - Q'%,
где 6o = p*/po, a X\ — безразмерный параметр, удовлетворяющий
уравнению
/7А? + Л1+т) = 0, (52)
где
Как следует из соотношений (51) и (52), газодинамические
величины сложным образом зависят от параметра т) = qo/p0Q%
Поэтому для выяснения характера интересующих нас
зависимостей целесообразно рассмотреть два предельных случая.
1. т) <С f~,/a, т. е. <7о <С F-^poQ3!*. В этом случае решение
уравнения (52) имеет вид Х\ = —rj (1 — y\Fxl*lY$) и для газодинами-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 335
ческих величин (51) получаем выражения
D 1—(Я.\*
Pl — хборо \а) •
o-ft-Л- *ЛЛ (63)
Po^ V VT PoQ'' /
Т = ц ( М8
2. n > F~%, т. е. ?0 > F~'l2PoQ''\
0l = F-'A(1_6o)6o->^,
АО \ Ро /
Формально, как это следует из критерия для потока q"t первый
случай соответствует температурам Т ,<С ГКр (ибо нетрудно
видеть, что ql ~ F_,/2p0Q3/2). По этой причине формулы (53) были
бы справедливы при условии, что время установления фазового
равновесия велико. Но, как было отмечено выше, этот случай, по-
видимому, не реализуется. Второй случай [формулы (54)]
относится к области температур Т >• U0/k и может соответствовать
реальному процессу испарения веществ с энергией связи, очень
малой по сравнению с потенциалом ионизации.
Заметим, что рассмотренный выше режим испарения с
прозрачными парами и переходом за критической точкой не имеет
большой общности, не говоря уже о предельных формулах (53)
и (54), которые носят лишь иллюстративный характер. Это
следует хотя бы из условности введенной нами величины р*.
Поскольку коэффициент поглощения газа в области первой
ионизации резко возрастает с температурой, увеличение температуры
при возрастании потока будет, очевидно, приводить к меньшим
значениям р*. Кроме того, с течением времени количество
испаренного вещества возрастает, и это также приводит к усилению
поглощения излучения в парах. Как легко видеть, это
эквивалентно тому, что в данном случае «область поглощения»

336
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
распространяется не только на зону, в которой происходит
испарение, но и на всю область, охваченную движением. Такой
процесс был исследован Немчиновым и др. [5].
2. Высокотемпературные процессы взаимодействия лазерного
излучения с веществом, одномерное движение. При высоких
плотностях потока излучения, когда температура вещества
достаточно высока для заметной степени ионизации и
возбуждения атомов, испаренное вещество начинает поглощать лазерное
излучение. Поглощение приводит к возрастанию температуры
вещества (плазмы) и существенным образом определяет динамику
всего процесса.
Поскольку в рассматриваемом нами случае релаксационные
процессы, приводящие к установлению термодинамического
равновесия в горячей плазме, характеризуются временами
значительно меньшими, чем длительность лазерного излучения,
коэффициент поглощения света можно рассчитать на основе
равновесной теории. Согласно, например, Зельдовичу и Райзеру [13],
коэффициент поглощения /С, учитывающий тормозной эффект и
фотоэффект в плазме со средним зарядом ионов Z, имеет
следующий вид:
4(2я)5/* e6(Z+\)2ZNl , х lt„
где N0— исходная плотность атомов, а со — частота излучения.
При flea <С kT фактический вклад в поглощение дает только
тормозной процесс и коэффициент поглощения (в см"1)
принимает вид
Z(Z + \fNl
K = 0J0 Jyvl ' (66)
При наносекундной длительности импульсов лазерного
излучения выполняется также условие существования развитого
газодинамического движения плазмы, поскольку характерное
время ее ускорения при испарении с поверхности есть a/\D\d ^
^ 10~10 с при скорости звука с{ > 106 см/с.
Следовательно, задача об образовании горячей плазмы при
действии лазерного излучения на поверхность конденсированной
среды формально описывается системой газодинамических
уравнений (20) с Vq ф 0 и граничными условиями (21) [в формуле
(21) вместо q0 следует подставить q\ — поток, падающий на
границу «испарения»].
Уравнения (20) с учетом поглощения излучения в парах
можно решить лишь численными методами. Но при некоторых
упрощающих предположениях, достаточно хорошо соответствую-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 337
щих реальным условиям, удается получить аналитические
решения. Физическим основанием этого является наличие
устойчивого асимптотического поведения плазмы, образуемой
лазерным излучением вблизи поверхности плотного вещества, т. е. так
называемого «самосогласованного режима» [18]. В этом режиме
j K(x)dx
оптическая толщина плазмы I д (#j ах стремится к постоян-
о
ному во времени значению, близкому к 1, что обусловлено
характером зависимости коэффициента поглощения от плотности
плазмы и ее температуры [формула (56)]. Действительно, если,
например, плотность плазмы очень мала или температура ее
велика, то коэффициент поглощения оказывается малым, что
приводит к уменьшению скорости нагрева и увеличению скорости
испарения. В результате коэффициент поглощения будет
возрастать. Легко видеть, что обратное предположение относительно
плотности и температуры приведет к уменьшению коэффициента
поглощения. Таким образом, должна существовать некоторая
оптимальная оптическая толщина плазмы, нагреваемой
лазерным излучением. Это обстоятельство дает возможность простым
путем вывести выражения для средних значений
газодинамических величин, являющихся функциями плотности падающего
потока излучения и времени.
Примем для коэффициента поглощения следующую формулу:
К(р,е) = /С0ра8Р, (57)
где вместо температуры, фигурирующей в формулах (56),
введена удельная внутренняя энергия е. Далее, приняв оптическую
толщину равной ~ 1 и геометрическую толщину слоя плазмы
равной скорости звука с = [(х — 1)уе]|/2 ~ е,/а, умноженной на
время t, получим соотношение
/CopVV^l. (58)
Закон сохранения энергии (энергией связи Q в
рассматриваемом режиме можно пренебречь, поскольку Т ^> U0/k) дает
М(е + "т) = ^' (59)
где М — масса плазмы (М » e\t). Комбинируя (58) с (59),
получаем следующие соотношения:
р-[(М3^+Г,/(3а-2р-1>. (во)
м-(/с0-2С2р-Уа-2р-3),/(3а_2р-,),

338
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
В частном случае полностью ионизованного газа, в котором
а = 2, р = —3/2, Ко = 2,18-1029Z*{Z + 1)8М<ГГ/' г-^-эрг8/*, где
А0 — грамматомный вес, соотношения (60) дают
e«WA эрг/г,
p«/C0-V3/e^r/cM3, (61)
М « О/У'4 г/см2.
Полученные таким образом результаты указывают на то, что
можно построить решения уравнений (20) в автомодельной
форме. Как следует из соотношений (61), результаты зависят от
двух размерных параметров Ко и q0 и, согласно общей теории
размерности [19], из четырех величин /С0, <7о, х, t может быть
построена единственная безразмерная автомодельная
переменная А,, сводящая уравнения (20) к уравнениям в полных
производных.
Для дальнейшего исследования удобно выразить
коэффициент поглощения через плотность и давление, заменив в
формуле (57) е, согласно уравнению состояния, на е = р/(х—1)р:
К=Ко(у- 1)"е ра"Ррр = /С,РУ. (62)
Тогда безразмерная переменная А, может быть представлена
в виде
I—[Mo*р] > (63)
36 + Р
s==-
1 - 36 - р
Координата границы испаренного вещества с вакуумом ху
соответствует значению автомодельной переменной А, = А*;
скорость волны испарения D положим равной 0:
Ху = ХГ%'\ (64)
Газодинамические величины V, р, р, выраженные через функции
переменной А,, т. е. V(A,), /?(А,), Я (Я), будут иметь следующий
вид:
„_Г'Г('+1)К(*). p = q0?t3{s+l)RM,

10. Высокотемпературные и плазменные явления 339
После подстановки (65) в систему газодинамических уравнений
(20) и сокращения размерных множителей эти уравнения
примут вид
4;W) + sX^ + 3(s+l)R = 0t
-(y-i)Q#6~V = o,
где Q(X)—поток, определяющийся соотношением Q(X) =
= q{xy t)/q0 при х = Х1~Ч"8 и удовлетворяющий уравнению (66):
<2(Л) = ехр - J R6P*dX • (67)
Уравнения (66) и (67) вместе с граничными условиями на
фронте волны испарения (21) и на границе плазмы с вакуумом дают
полное решение задачи, т. е. в отличие от усредненных
формул (60) дают также пространственное распределение величин,
выражаемое искомыми функциями V{%), R(X), Р(Х) в интервале
0 < X < Х2. Ясно, что на границе с вакуумом R(X2) = Р{Х2) =
= 0, а величина V(X2) может быть получена из комбинации
первого уравнения (64) с соотношением (65): V(X2) = sX2. На
границе плазмы с конденсированным веществом при X = Х\ = 0
третье уравнение (21) дает
Q (0)=т^т р (°)v (°) + т R (°) yzW- (68>
Это уравнение замыкает систему уравнений (66) и (67),
определяющих параметр Х2. Этим параметром, как видно из
формулы (67), непосредственно определяется оптическая толщина
плазмы.
К сожалению, систему полученных уравнений можно
анализировать лишь численными методами. Для упрощения же
анализа имеет смысл найти приближенные аналитические решения
газодинамических уравнений, которые позволили бы определить
параметр Х2.
Анализ уравнений (66) и (67) вблизи точки X = Х2 (которая
является особой точкой этих уравнений, поскольку коэффициент
поглощения К(Х2) = /Gp6pP = 0/0) показывает, что dV/dX-+
—>const при X-+X2i т. е. V(X) —линейная функция X вблизи Х2.
Это дает возможность определить закон изменения величин R

340
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
и Р вблизи А,2, который имеет следующий вид:
R „ (л2 _ Л)1-в/(в+р-1^ р „ (Л2 _ Л)^+э-1)в
Далее, будем приближенно считать, что полученные
асимптотические решения справедливы во всей области изменения
переменной А,, т. е. примем, что
V{k)=V(0)(l+-£)9
R(b) = R(0)(i--j£) , (69)
P(*) = P(0)(l-£)
Выбранные таким образом функции можно прямо ввести в
систему газодинамических уравнений (20), после чего эти
уравнения можно проинтегрировать по всему объему, занимаемому
плазмой, от 0 до #2, т. е. от 0 до xv. Полученные в результате
этого приближения интегральные соотношения вместе с
граничными условиями образуют полную систему уравнений с
неизвестными V(0), /?(0), Р(0), Q(0), Х2 и а.
Рассмотрим в качестве примера полностью ионизованный
газ: б = 7/г, Р = —3/2. Автомодельная переменная X дается
выражением
Л = (/(192)-1/8хГв/в,
а автомодельные функции — выражениями
V(l}=V(0)(l+^),
Я(X)-tf(0)(l--£•)*, (70)
Р(*)-Р(0)(1—£)\
где V (0) =0,77, R (0) =0,46, Р(0) = 0,34, а = 4,25, %2 = 3,6.
Величина Q(0) оказывается равной 0,75. Это показывает, что
оптическая толщина плазмы, определяемая отношением
expl-J Kdx) = q(0)/q0 = ql/q0 = Q(Q), равна— In 0,75 « 0,25.
Окончательно, используя определения (65), для
газодинамических величин на поверхности раздела фаз х = 0 получаем

10. Высокотемпературные и плазменные явления 341
следующие выражения:
Pl=0,46/(-3/ervV;/4 г/см3,
юг = 0,771?1чч%Яо см/с,
р1 = 0,34/С7,/вГ'/в^Л эрг/см3,
e=l,l/(VV2 эрг/г, (71)
0,74А0фЧ4# „
Г' = % К'
М=0А7К;Ь\2 г/см2.
Как нетрудно видеть, формулы (71) отличаются от формул
(61) только численными множителями.
Полученные соотношения позволяют установить зависимость
основных характеристик лазерной плазмы от параметров
светового импульса, т. е. от плотности потока энергии <7о и
длительности импульса т. Мы видим, что температура плазмы
возрастает весьма медленно с увеличением длительности лазерного
импульса (~fu). Масса плазмы возрастает быстрее (~ft*).
В этом отражается то обстоятельство, что оптическая толщина
плазмы сравнительно невелика, т. е. на нагрев идет довольно
малая доля энергии импульса. Показатель степени в
соотношении Т ~ № в точности соответствует доле энергии т) =
= (<7о— 9i)/?o, поглощаемой плазмой, и в случае полностью
ионизованной плазмы равен 7<*. Таким образом, сравнительно
хорошая прозрачность слоя плазмы приводит к более быстрому
росту ее массы Л!(Г). Зависимость температуры от плотности
потока излучения q0 оказывается несколько более сильной: T~qoA.
Величины, даваемые формулами (51), можно также
выразить через плотность энергии Е и длительность лазерного
импульса, поскольку Е = q0x. Тогда, например, выражение для
внутренней энергии плазмы примет вид
8=1,1/с1/4£,/2т"'Л. (72)
Полезно отметить также, что газодинамическая и тепловая
энергии плазмы составляют примерно равные доли ее полной
энергии <7оТ. Поэтому само по себе газодинамическое движение
не приводит к существенным потерям тепловой энергии.
Основной газодинамический эффект заключается в уменьшении
оптической толщины плазмы вследствие ее разлета. Именно это
обстоятельство препятствует более эффективному нагреву, т. е.
увеличению температуры и уменьшению массы плазмы.

342
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Рассматриваемые здесь аналитические соотношения
справедливы при двух очевидных условиях:
8>Q,
Р<Ро-
(73)
Подстановка в эти соотношения вместо е и р выражений (71)
определяет границы применимости теории. Это дает
q0>4&(Klt)-''',
g0<209*(Kli)\ (74)
Было бы очень интересно обобщить полученные здесь
соотношения на случай зависящего от времени потока излучения,
поскольку реальный импульс излучения лазера характеризуется
конечным временем нарастания переднего фронта. Если
аппроксимировать передний фронт импульса степенной функцией вида
?o(')=qrfv, (75)
то полная система уравнений, так же как и в случае qo = const,
допускает автомодельное решение, соответствующее
самосогласованному режиму. При этом формальный анализ уравнений
полностью аналогичен случаю qo = const, а потому мы приведем
лишь окончательный результат, полученный при v = 2:
Pl = o,63/cr3V V4 = 0,63/(Г3/вГ vviA,
Рх = o,36/cr7vV4=о,зб/сг7вг7й?о/4, (76)
М = 0,26/trvYV2 = 0,26/СГ V/4<7o2.
Как видно из этих выражений, учет конечного времени
нарастания импульса излучения приводит к несущественному
изменению численных множителей. При этом, как и следовало ожидать
из простых физических соображений, плотность несколько
возрастает, а температура несколько уменьшается по сравнению со
случаем q = const.
3. Одномерная модель двумерного движения вещества. При
длительности импульса более 10~9с на динамику движения и
нагрева плазмы оказывает влияние фокусировка лазерного
излучения. В этом случае взаимодействие лазерного излучения с
плазмой соответствует плоскому одномерному случаю только
в интервале времени / < г0/с, где г0 — радиус фокального пятна,
а с — скорость звука, по порядку величины равная скорости
разлета плазмы. Истинная картина движения плазмы при
фокусировке лазерного излучения на поверхность конденсированного

10. Высокотемпературные и плазменные явления 343
вещества является двумерной и симметричной относительно оси,
перпендикулярной поверхности вещества, проходящей через
центр пятна фокусировки.
Ввиду того что исследование двумерной задачи представляет
значительные математические трудности, Немчинов [9]
предложил и исследовал одномерную сферическую модель, которая
физически довольно хорошо соответствует истинному характеру
движения при фокусировке излучения на поверхность. В этой
модели принимается, что лазерное излучение мощностью Q со
сферически-симметричным распределением падает на
поверхность образца из конденсированного вещества, имеющего вид
шйра радиусом г0.
Из простых физических соображений ясно, что при
фокусировке излучения боковое расширение плазмы приводит к
квазисферическому характеру движения, в результате чего плотность
плазмы падает значительно быстрее, чем в одномерном случае.
Поэтому внешняя область плазмы будет прозрачной для
падающего излучения, а заметно поглощаться излучение будет лишь
в поверхностном слое, где картина движения еще близка к
плоской. Толщина этого слоя определяется только геометрическими
параметрами задачи и должна, очевидно, быть порядка радиуса
той сферы конденсированного вещества г0, в которой движение
еще сохраняет некоторую степень плоскостности.
По тем же физическим соображениям, что и в случае плоской
одномерной задачи, здесь также должен существовать
самосогласованный режим испарения и нагревания вещества, т. е.
постоянство поглощения (оптической толщины), которое теперь
относится к слою фиксированной толщины ~г0. Это
обстоятельство указывает на то, что газодинамические параметры должны
иметь стационарные значения, которые являются физическим
пределом их значений в плоской одномерной задаче.
Согласно Немчинову [9], анализ системы одномерных
газодинамических уравнений (20) в сферической системе координат
в стационарном случае приводит к некоторому условию для
коэффициента поглощения на фронте волны испарения (точнее, на
внешней границе газодинамического разрыва, где скорость
движения плазмы равна скорости звука). Это условие имеет вид
W>.e)-v+,tave' <77)
где г'0— координата внешней границы волны испарения (г'0
несколько превышает г0; в рассматриваемом случае Го=1,2г0).
В интересующем нас случае ei ^> Q имеем
Я(р. в)г0«1.
(78)

344
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Это соотношение аналогично соотношению (58) для плоского
одномерного движения, но напомним, что в данном случае г0 =
= const.
Будем считать, что соотношение (76) применимо в случае,
когда излучение мощностью Q фокусируется в пятно радиусом
го на поверхности вещества. Поток энергии через сечение, взятое
на расстоянии г0 от поверхности (т. е. там, где поглощения нет),
равен
4r(« + T+f)-* та
где Q = яг^о — полный поток излучения, a dM/dt — поток массы
(скорость испарения конденсированного вещества):
dM
dt
. — ттг2.
nr*pv. (80)
Считая, как и раньше, что скорость плазмы в
рассматриваемом сечении близка к скорости звука, т. е. v&c=[y(y— 1)е],/2«
ж еЧ из соотношений (79) и (80) получаем
(81)
2яг2в'л'
Воспользовавшись теперь соотношением (78) и предположив,
как и ранее, что К = /(ораер, для интересующих нас
газодинамических параметров получим
8«[(2я)а/С0-7Г^"а]2/(2Р""3а),
\[(2n)^0-Vr,Q-1-3/(2p-3a), (82)
2лг?
о
M~nlt[Vn)*K-lr*-lQ-a]
-2/(2Р-За)
Для полностью ионизованного газа, когда a = 2, р = —s/2,
выражения (82) принимают вид
е « 0,45К?о/9г0-2/^4/9 эрг/г,
р « 0,53К0~'VQ,/3 г/см3, (83)
Как легко отсюда видеть, при фиксированном значении г0
внутренняя энергия (т. е. температура) плазмы возрастает
пропорционально QVg ~ <7о » т. е. по закону, близкому к случаю плоской
задачи, где е ~ qxfr. Однако величина е также существенно
зависит от условия фокусировки излучения и с уменьшением
радиуса пятна увеличивается пропорционально г^2/з. Выражения

10. Высокотемпературные и плазменные явления 345
(83) дают, как уже отмечалось ранее, предельные значения
газодинамических величин, которые перестают зависеть от времени
при t ^> г0/с « г0/е|/з. Характерное значение интервала времени
V\ при котором плоское газодинамическое течение переходит в
двумерное стационарное течение, можно определить,
приравнивая соответствующие величины в формулах (61) и (83):
t' = Ko4'rW'- (84)
Численные оценки для случая полностью ионизованного газа
при Q = 109 Вт = 1016 эрг/с, г0 = 2 • 10"2 см, q0 = 1012 Вт/см2=
= 1017 эрг/с-см2 [Ко = 2,18- 1029 Z3(Z+1)3M0-7^ см5.г-7^Х
ХэргЦ дают V = МО"9 с.
Перепишем формулы (83) в более удобном для
практического использования виде, взяв в качестве единицы мощности
109 Вт (1016 эрг/с) и в качестве единицы длины Ю-2 см. Для
водорода (Z = Ао= 1) имеем
ен = 5,3< 1014/72/<Q4/9 эрг/г,
Гн = 2,1 . lOV^Q4/» К,
рн = 1,3. IO-Vq'/'t/cm3, (85)
#н = 8. 10*rjlQy* см-3,
MH = 9trfQ^Tt
где г/= 102г0 см, Q/= 10"16 Q эрг/с = 10~9 Q Вт, Ыя —
концентрация ионов водорода в плазме.
Если пренебречь энергией, затрачиваемой на ионизацию (что
допустимо в случае легких атомов и больших потоков
излучения), то зависимость газодинамических параметров от атомного
веса элемента А0 и его порядкового номера Z можно
представить в виде
P^pHZ-'dqrrf^'. (86)
N = NHZ-\-£T)UAh
М = мнг-''>(Ц±-У'''А'>>.
Как явствует из этих соотношений, температура и плотность
ионов увеличиваются с ростом атомного веса Л0, что связано с

346
Ю. В. Афанасьев, 0. Н. Крохин
большей инерционностью расширяющейся плазмы
(уменьшением скорости разлета). При этом полное число ионов
уменьшается. При увеличении заряда иона температура сначала
повышается, что обусловлено увеличением численного множителя
в коэффициенте поглощения, а затем при Z » 1 достигает
постоянного, не зависящего от Z значения. При этом плотность
ионов уменьшается как Z~\ а коэффициент поглощения (56)
сохраняет постоянное, не зависящее от Z значение.
Таким образом, для дейтерия D, трития Т, гелия Не и лития
Li будем иметь
Го=1,177н, Nd=1,12Nh,
Гт=1,287н, #т = 1,2ЛГн,
Гне=1,68Гн, ЛГне = 0,5ЛГн, (87)
7и = 1,9Гн, #ы = 0,32#н.
В заключение заметим, что проведенное здесь рассмотрение
справедливо при очевидном условии р < р0 [условия для
внутренней энергии фактически нет, поскольку в стационарном
уравнении (77) энергия испарения Q может быть добавлена ке].
В сочетании со вторым соотношением из (83) это дает
Q<8pg*oU
я0 < Web (88)
Изложенная здесь теория нагревания плазмы
сфокусированным лазерным излучением может быть применена также к
задаче о нагревании малой частицы. Если диаметр частицы велик
по сравнению с глубиной проникновения излучения (частица в
начальном состоянии непрозрачна), то газодинамические
параметры плазмы можно вычислить по формулам (83), в которых
полный поток излучения Q следует заменить потоком,
падающим на поверхность частицы Q' = Qd2/rjj, где d — радиус
частицы. Время испарения частицы можно вычислить по третьей
формуле (83), где вместо М следует взять массу частицы. При
малых размерах частицы формулы (83) дают верхний предел для
температуры плазмы. При нагревании малой частицы, несмотря
на несимметрию процесса в начальной стадии, после полного
испарения конденсированного вещества в дальнейшем с
наступлением прозрачности будет происходить симметризация
параметров плазмы. Это позволяет развить приближенную теорию
сферически-симметричной плазмы, в которой асимптотические
параметры плазмы будут зависеть от полной поглощенной
энергии.
Сферически-симметричная газодинамика плазмы,
нагреваемой лазерным излучением, в которой использовались усреднен-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 347
ные по объему параметры, рассматривалась в работах [20, 21].
Более детально этот вопрос исследовался в работах Басова и др.
[22] и Хота и Полка [23], в которых исследование проводилось на
основе атомодельных решений уравнений газодинамики для
случая сферической симметрии.
4. Нагрев плазмы мощными ультракороткими импульсами
лазерного излучения (тепловая волна). В предыдущих разделах
рассматривалась динамика нагрева плазмы лазерным
излучением в том случае, когда длительность лазерного импульса
превышает характерное время развития газодинамического
движения. Поэтому состояние плазмы и его зависимость от
параметров лазерного импульса в основном определялись газодинамикой
процесса в целом. При достаточно высокой температуре
начинает играть также роль процесс электронной теплопроводности
в плазме, которую в принципе необходимо учитывать в
уравнении энергии в системе (20). Но электронная теплопроводность
приводит только к перераспределению температуры, плотности
и скорости плазмы, не меняя их средних значений, которые, как
видно из сравнения формул (61) и (71), несущественно
отличаются от значений этих величин на границе с
конденсированным телом.
Причина этого заключается в том, что скорость
распространения тепла vt уменьшается со временем по закону vt ~ /~,/2 и
поэтому газодинамические возмущения, распространяющиеся со
скоростью звука с, через некоторое время обязательно догоняют
тепловую волну. Именно этот случай соответствует
рассмотренным выше задачам.
Однако при сильном сокращении длительности лазерного
импульса (до величин порядка пикосекунд, обеспечиваемых
лазерами с самосинхронизацией мод) даже при большой мощности
излучения может оказаться, что тепловая стадия нагрева
вещества будет преобладающей или сравнимой с газодинамической.
Коэффициент электронной теплопроводности ае дается
выражением [24]
а'~ nVe*ZL ' (89)
где L — кулоновский логарифм (L « 10). Коэффициент \х
учитывает поправки, связанные с квазинейтральностью плазмы и
электрон-электронными столкновениями, и при небольших Z по
порядку величины равен ~ 0,2. Таким образом, для величины
ае можем принять
в#~Х2*' (90)
Х=1,8-1(Г6 эрг/см-с-К''2.

348
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Глубина 1Т проникновения тепловой волны в вещество по
порядку величины равна (аГ/2//р0С),/2, где С — удельная теплоемкость.
Приравнивая это выражение расстоянию /газ, на которое
распространяется газодинамическое возмущение за время tf /газ ~
~ (CTyi't, получаем для времени t\ смены теплового режима
газодинамическим следующее выражение:
*-Sf- <91>
Воспользовавшись законом сохранения энергии /газроСТ « q0t
и исключив из соотношения (71) температуру Т9 получим
*i = J
РоС7Л'
РоС7'
при t{ > т,
(92)
при t\ ^ т.
При t < t\ преобладающим режимом будет тепловой, а при
t > t\ газодинамический.
Как показали Карузо и Граттон [25], время tx [формула (91)]
по порядку величины оказывается равным времени обмена
энергией между электронами и ионами (времени «термализации»).
Действительно, коэффициент электронной теплопроводности ае
по порядку величины равен Zet;ep0C, где 1е — длина свободного
пробега, a ve — скорость электрона. Вводя время соударения
электронов с ионами (время релаксации по скорости) те ~ le/ve
и заменяя ve скоростью ионов v{ согласно очевидному
соотношению ve = Vi(mi/m)4*, после простых выкладок получаем
tsS—lb*-- (93)
Величина, стоящая слева в этом соотношении, с точностью до
численного множителя равна времени передачи энергии от
электронов к ионам. Таким образом, тепловая стадия нагрева плазмы
лазерным излучением существует только в течение времени,
равного времени термализации электронов и ионов. Поэтому за
время t < t\ равновесие электронов и ионов может быть сильно
нарушено и температура ионов может оказаться существенно
ниже температуры электронов. В связи с этим в дальнейшем
при описании процессов распространения тепла под
температурой Т мы будем подразумевать электронную температуру.
Качественный анализ рассматриваемой задачи, основанный
на учете процессов диффузии горячих электронов из области
поглощения лазерного излучения, дан в работах [25—27].
Как и в предыдущих разделах, будем считать, что вещество
заполняет полупространство х < 0, а лазерное излучение падает

10. Высокотемпературные и плазменные явления 349
со стороны положительных значений оси х, поглощаясь в
тонком слое. Уравнение теплопроводности в одномерном плоском
случае имеет вид
*£-£*»*£+*• <*>
В качестве решения уравнения (94) возьмем функцию вида
(см., например, [13])
T(xit) = TQ(t)(l-^7jf\ (95)
которая описывает тепловую волну, бегущую внутрь вещества
со скоростью Vt = dxi/dt. Строго говоря, выражение (95)
достаточно точно описывает распределение температуры лишь вблизи
фронта волны, но оно весьма хорошо передает характер
изменения температуры при распространении тепла в среде с
нелинейным коэффициентом теплопроводности, резко возрастающим с
увеличением температуры. Действительно, в этом случае в
сильнее нагретых областях вещества коэффициент теплопроводности
выше и, следовательно, из этих областей тепло вытекает
быстрее, «сглаживая» профиль температуры.
На основе решения (95) можно построить уравнения для
двух функций T0(t) и X\(t). Первое уравнение выражает закон
сохранения энергии и получается в результате интегрирования
уравнения теплопроводности по координате х:
уРоС^(ЗД = <7о. (96)
Второе уравнение можно получить, подставив выражение (95)
в уравнение (94) и устремив х—*Х\. После несложных выкладок
уравнение примет вид
'■тв1—г** m
Уравнения (96) и (97) решаются элементарно при любой
функции <7о(0- Интегрируя первое уравнение с учетом начальных
условий *i(0) = Т0(6) = 0 и заменив после этого величину Т0
в уравнении (9.7), получим уравнение для переменной x{(t):
it dxi
м
dt
-f(!)"'^[/*<'H'- (98)
Интегрирование этого уравнения приводит к окончательному
результату
. (99)
"«ида^ /*- {]«■*«•>

350
Ю. В. Афанасьев, О. Н. Крохин
Рассмотрим в качестве примера бесконечно короткий импульс
где Е= Г q0(t)dt. Температуру находим непосредственно с
помощью соотношения (96):
То = ЦЩ1)°''(РоСхГЪ-'1>Е'<'. (101)
Время развития газодинамического движения определяется
первым соотношением из (92). Как видно из соотношений (100)
и (101), распространение фронта тепловой волны весьма быстро
замедляется со временем: vt = dxjdt ~ Z"7/». Температура
сравнительно медленно падает со временем (Т0 ~ t-ч*) и возрастает
с ростом энергии импульса лазера как Я4/». Последняя
зависимость весьма близка к результатам, полученным для импульсов
наносекундной длительности на основе учета газодинамики.
Сравнительно медленное падение температуры до момента
времени tu когда движение охватывает всю область горячей
плазмы, дало основание Карузо и Граттону [25] принимать время t\
за время жизни горячей плазмы. Но поскольку величина t\
примерно равна времени передачи энергии от электронов к ионам,
то, естественно, возникают известные трудности получения
высоких ионных температур.
Рассмотрим далее, импульс излучения прямоугольной формы:
q0 = 0 при /<0 и при / > т и q0 = const при 0 < / < т.
Выполнив интегрирование в (99), получим
«»-$№■£.
(РоС)"
(jf'q'J'f' при t<x,
[ qbln%l'[t jx)'1' при От.
Аналогично для температуры Го будем иметь
(•f)"VV^A при /<т,
(102)
то=тг'(фшсг"
q'J'T'l' (t — у rj ' при t > т.
(103)
Из этих выражений прямо следует, что при постоянном потоке
q0 температура плазмы, хотя и весьма медленно, но растет со
временем. Скорость распространения тепловой волны также
возрастает. Интересно отметить, что в газодинамическом режиме
при постоянном потоке излучения зависимость температуры и
нагретой массы вещества (в данном случае М « po#i) от плот-

10. Высокотемпературные и плазменные явления 35!
ности потока и времени практически полностью совпадает с
результатами, приведенными в формулах (1°2) и (ЮЗ). Это
позволяет надеяться, что и в более сложной переходной стадии,
когда необходимо учитывать одновременно теплопроводность и
газодинамику, указанная зависимость сохраняется.
Как уже отмечалось выше, формулы (101) и (103)
применимы при t <; t\. Но в этих соотношениях можно приближенно
рассматривать р0 как параметр, считая, что при t « t\ величина
ро является функцией времени. Как видно из полученных
соотношений, при уменьшении плотности вещества ро,
обусловленном его движением, толщина прогретого слоя возрастает почти
как р^1, а температура остается практически неизменной. Это
объясняется тем, что коэффициент теплопроводности не зависит
от плотности плазмы, а зависимость искомых величин от
плотности связана лишь с уменьшением теплоемкости вещества (на
единицу объема). Другими словами, вещество с меньшей
теплоемкостью «легче» прогревается тепловой волной.
При т > t\ необходимо учитывать движение вещества.
Общая картина поведения вещества дана Зельдовичем и Райзером
[13], Самарским, Курдюмовым и др. [28—30]. Асимптотический
режим в этом случае определяется потоком излучения и полной
длительностью (энергией) импульса. Если поток меньше
верхнего предела, даваемого неравенствами (74), то предельный
режим является самосогласованным. При больших же потоках
излучения прогрев определяется электронной теплопроводностью.
Теплопроводность начинает играть основную роль, по-видимому,
даже при меньших потоках, чем в формуле (74), что связано
с существованием плотности «отсечки» (плотность, при которой
частота излучения совпадает с ленгмюровской частотой плазмы).
Поэтому предельная плотность потока для самосогласованного
режима дается соотношением (74), в котором под р0 следует
понимать плотность «отсечки».
Анализ, проаеденный в упомянутых выше работах,
показывает, что движение вещества начинает играть существенную роль
при временах в 3—5 раз меньших, чем t\. Перед фронтом волны
прогрева возникает волна сжатия с плотностью,' превышающей
ро. Это обстоятельство приводит к тому, что скорость фронта
тепловой волны резко падает, а масса прогретого вещества
оказывается значительно меньше, чем следует из формулы (99).
В этом случае детали картины движения вещества весьма
сильно зависят от формы импульса лазерного излучения. При
медленно нарастающем импульсе излучения (а следовательно, и
давления) в вещество, находящееся перед фронтом тепловой
волны, вводится сравнительно малая энтропия, а сжатие его за
фронтом ударной волны может быть весьма велико, если
достаточно велика амплитуда давления (т. е. плотности потока

352
Ю. В. Афанасьев, О. Я. Крохин
излучения). При быстро же нарастающем импульсе в вещество
вводится достаточно большая энтропия, а сжатия за фронтом
ударной волны, соответствующие тем же амплитудам давления,
падают. Предельный изэнтропический режим соответствует
определенной форме нарастания кривой давления на фронте
тепловой волны [31, 32]. В работе [32] исследовались возможности
получения сверхвысоких сжатий вещества при симметричном
облучении сферы специально профилированным импульсом
излучения лазера. Такой режим рассматривался применительно к
проблеме лазерного термоядерного синтеза в системах,
основанных на инерционном удержании [33]. В последнем случае, как
это хорошо известно, использование высоких сжатий приводит
к существенному снижению полной энергии, подводимой к плазме.
В заключение заметим, что, несмотря на физическую ясность
рассматриваемых задач о режимах взаимодействия лазерного
излучения с веществом, детально процесс можно изучить в
основном лишь путем численного решения уравнений газовой
динамики совместно с уравнениями переноса излучения и
теплопроводности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Райзер Ю. Я., УФН, 87, 29 (1965).
2. Анисимов С. Я., Бонч-Бруевич А. М., Ельяшевич М. А., Имас Я. А.,
Романов Г. С, Павленко Я. А., ЖТФ, 11, 945 (1967).
3. Уэбб Ф., Хилтон Г., Левин /7., Голлестрап Э., в книге Взрывающиеся
проволочки, т. 2, ИЛ, 1963, стр. 47.
4. Сахаров А. Д., УФН, 88, 725 (1966).
5. Биленская Г. Г., Немчинов И. В., ДАН СССР, 186, 1048 (1969).
6. Volmer О., Zs. f. Elektrochem., 35, 555 (1929).
7. Френкель Я. Я., Статистическая физика, М., 1948, стр. 183, 257.
8. Глесстон С, Эдлунд М, Основы теории ядерных реакторов, ИЛ, 1954.
9. Немчинов И. Б., ПММ, 31, 300 (1967).
10. Caruso А., БегШП B.t Nnovo Cimento, 45В, 176 (1966).
И. Афанасьев Ю. В., Крохин О. Я., ЖЭТФ, 25, 639 (1967).
12. Афанасьев Ю. В., Кроль В. Л1, Крохин О. Я., Немчинов И. В., ПММ, 30,
1022 (1966).
13. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. Я., Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений, М., 1966, гл. 5, § 2—8.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Механика сплошных сред, М., 1959, гл. X,
§92.
15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Статистическая физика, М., 1964, гл. 8,
§ 82 83
16. Архипов Р. Г., ЖЭТФ, 43, 349 (1962).
17. Mott N.t Nuovo Cimento, 7, 318 (1958).
18. Крохин О. Я., ЖЭТФ, 9, 1024 (1965).
19. Седов Л. Я., Методы подобия и размерности в механике, М., 1967.
20. Басов Я. Г., Крохин О. Я., ЖЭТФ, 46, 171 (1964).
21. Dawson J. М, Phys. Fluids, 7, 981 (1964).
22. Басов Я. Г., Бойко В. Л., Грибков В. Л., Дементьев В. A.t Крохин О. Я.,
Склизков Г. В., ЖЭТФ, 51, 989 (1963); 54, 1073 (1968).
23. Яaught A. F.t Polk О. N.t Phys. Fluids, 9, 2047 (1966).

W. Высокотемпературные и плазменные явления, 353
24. Спитцер Л., Физика полностью ионизованного газа, М., 1957, гл. 5.
25. Caruso Л., Gratton #., Plasma Phys., 11, 839 (1969).
26. Басов Я. Г., Крюков Я. Г., Захаров С. Д., Сенатский Ю. В., Чекалин С. £.,
IEEE Quant. Electron, QE-4, 864 (1968).
27. Sheaur J. W.t Burnes W. S., Phys. Rev. Lett., 24, 92 (1970).
28. Самарский A. A.y Курдюмов С. /7., Волосевич Я. Я., ЖВМИМФ, 5, 199
(1965).
29. Волосевич Я. /7., Курдюмов С. Я., Бусурина Л. Я., Крус В. Я., ЖВМИМФ,
3, 159 (1963).
30. Волосевич Я. /7., Курдюмов С. Я., Леванов Е. //., ПМТФ, № 5, 41 (1972).
31. Станюкович К. /7., Неустановившееся движение сплошной среды, М., 1955.
32. Nuckolls /., Wood L., Thiessen Л., Zimmerman С, Nature, 232, 139 (1972).
33. Басов Я. Г., Крохин О. Я., Вестник АН СССР, № 6, 55 (1970).
34 Болтакс Б. Я., Диффузия в полупроводниках, М , 1961
35. Басов Я. Г., Бойко В. A.t Крохин О. Я., Семенов О. Г., Склизков Г. В.,
ЖТФ, 38, 1973 (1968).

II
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЩНЫХ ФОТОННЫХ
И ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙ
Р. Киддер*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
После запуска в 1962 г. Мак-Клангом и Хеллуортом лазера
с модулированной добротностью [1] лазеры, генерирующие
гигантские световые импульсы, настолько усовершенствовались,
что стало возможным, фокусируя пучок такого лазера,
создавать чрезвычайно высокие плотности световых потоков. Это и
дает основание относить исследования со сфокусированными
лазерными пучками к физике высоких плотностей энергии.
Действительно, плотность потока таких световых пучков позволяет
не только нагревать плазму до температур в несколько
килоэлектронвольт, но и наблюдать различные нелинейные эффекты,
зависящие от интенсивности.
В данной главе мы сначала остановимся на некоторых
свойствах сфокусированных лазерных пучков: максимальной
плотности электромагнитной энергии, напряженности электрического
и магнитного полей, эффективной температуре пучка, наглядно
показывающих, что исследования с лазерными пучками по праву
относятся к физике высоких плотностей энергии.
Затем в рамках линейной теории взаимодействия световых
пучков и плазмы с учетом простейших гидродинамических
явлений будут выведены основные соотношения, характеризующие
условия образования высокотемпературной плазмы высокого
давления, определено давление взрыва, вызванного светом, и
рассмотрены детонационные волны, поддерживаемые светом. После
этих общих вопросов мы рассмотрим более конкретные процессы
образования и свойства лазерной плазмы, возникающей при
облучении мишеней из дейтерия и ртути с массой в десятки
микрограмм и температурой в диапазоне нескольких
килоэлектронвольт. Там же будут изложены и результаты детальных
численных расчетов.
Далее мы перейдем к некоторым нелинейным эффектам,
наблюдающимся при взаимодействии очень интенсивных световых
* R. Е. Kidder, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, Cal.

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 355
пучков с плазмой. Их можно подразделить на два класса:
1) одночастичные нелинейные эффекты (зависимость показателя
преломления, коэффициента поглощения света или времени
электрон-ионной релаксации в плазме от интенсивности) и
2) коллективные нелинейные эффекты (параметрическое
возбуждение плазменных колебаний световым пучком,
параметрическое усиление световых волн и генерация второй гармоники при
отражении света от поверхности плазмы).
И в заключение мы коротко остановимся на применении
мощных импульсных пучков релятивистских электронов для
создания высокой концентрации энергии в веществе. В последнее
время были разработаны ускорители, позволяющие получать
крайне мощные электронные импульсы с током до 0,1 МА и
энергией в несколько мегаэлектронвольт [2—4]. Хотя такие
пучки гораздо труднее фокусировать, чем лазерные, тем не менее
все-таки можно получить высокие интенсивности,
представляющие большой интерес. Проникающая способность быстрых
электронов в веществе столь сильно отличается от проникающей
способности света, что электронные и фотонные пучки нужно
рассматривать не просто как разные способы получения высоких
концентраций энергии, а как взаимно дополняющие методы.
§ 2. СВОЙСТВА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ, ПЛАЗМЫ
И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
1. Свойства сфокусированных лазерных пучков. Параметры
сфокусированного лазерного пучка определяются светосилой
линзы F и телесным углом Q схождения пучка в фокусе при
полной апертуре линзы. Эти величины связаны между собой
соотношением
а интенсивность в фокусе дается формулой
/ = QB, (2.2)
где В — яркость лазерного пучка. В фокусе короткофокусной
линзы со светосилой F = 0,9, соответствующей телесному углу
в 3 стер, интенсивность численно равна яркости В.
Другим параметром пучка, связанным с яркостью, является
его эффективная температура, т. е. температура абсолютно
черного тела со светимостью, равной светимости лазерного луча,
которая определяется равенством
тсВ = оТ1Фф, (2.3)
где а = 1,03 • 105 Вт/см2 • эВ4 — постоянная Стефана — Больц-
мана. Максимальная яркость В лазерного пучка, полученная в

356
Р. Киддер
настоящее время [5], равна ~2-1017 Вт/см2-стер, что является
выдающимся достижением. Такая яркость соответствует
эффективной температуре 1,6 кэВ и плотности светового потока в
фокусе линзы с F = 0,9 порядка 2 • 1017 Вт/см2. Напряженности
электрического и магнитного полей в фокусе линзы определяются
выражениями
(E*) = ^t (2.4)
£ср. кв = V(E2) = 8,7 • Ю9 В/см, (2.5)
Вср.кв = 29МГс. (2.6)
Для сравнения приведем напряженность электрического поля
на расстоянии одного боровского радиуса а0 от ядра атома
водорода:
£ат=4- = 5,2.109В/см; (2.7)
это всего лишь 60% напряженности электрического поля в
сфокусированном пучке; напряженность магнитного поля тоже
превышает величины, достижимые другими методами, в том числе
взрывными методами магнитной кумуляции.
Плотность электромагнитной энергии равна
£/=у=67 Мбар. (2.8)
Из других величин, характеризующих сфокусированный
лазерный пучок, отметим среднюю кинетическую энергию
осцилляции электронов в электрическом поле
<**>«« - таг <£2> - -2*^7=21 кэВ. М
где Л^е(кр)—критическая электронная плотность для света с
частотой со, т. е. величина, при которой электронная плазменная
частота сор равна со,
^(кр) = ^-. (2.10)
и дрейфовую скорость электрона va (обусловленную силой
Лоренца)
ii = i^L = 0,04. (2.11)
с тс2 v '
Последние цифры говорят о том, что даже при столь высоких
интенсивностях релятивистские эффекты, хотя и заметны, не
будут играть основную роль.
Все перечисленные выше параметры лазерных пучков
сведены в табл. 1, которая, по нашему мнению, достаточно убеди-

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 357
Таблица 1
Характеристики сфокусированных пучков (F = 0,9)
Яркость В
Эффективная температура ТЭфф
Напряженность электрического поля Еср> кв
Магнитная индукция £cPt кв
Плотность электромагнитной энергии U
Кинетическая энергия электрона (КЕ)оси.
Дрейфовая скорость электрона Vd
2- 108 ГВт/см2-стер
1,6 кэВ
8,7 ГВ/см
29 МГс
67 Мбар
21 кэВ
0,04с см/с
тельно показывает, что импульсные лазерные пучки
действительно следует относить к физике высоких плотностей энергии.
2. Линейное поглощение и отражение света плазмой.
Дисперсионное соотношение для распространения световой волны
(к, со) в плазме с плазменной частотой сор имеет вид
где vc — частота электрон-ионных столкновений,
характеризующая перенос импульса и определяемая через силу вязкости (Fc),
которая действует на электрон, движущийся в плазме со
скоростью и:
<Fr) = -mv,u. (2.13)
Коэффициент поглощения х, показатель преломления п и
диэлектрическая проницаемость е определяются действительной и
мнимой частями комплексного выражения для волнового
вектора k:
n= VT = -£-Re(&), x = 2Im(ft). (2.14)
В случае, когда частота столкновений намного меньше ча-.
стоты света (vc <С со) и плазма разреженная (соР < со), для
диэлектрической проницаемости и коэффициента поглощения имеем
е = „2=1-(^-)\ (2.15)
х = 77' (2Л6)
Классическое выражение для оптического коэффициента
поглощения к (высокие частоты, со > vc) легко получается из

358
Р. Киддер
уравнения Больцмана, если представить электрическое поле
световой волны в виде малого возмущения равновесной плазмы с
температурой Т. Мы лишь приведем окончательное выражение
для коэффициента поглощения (а анализ его отложим до
рассмотрения нелинейных эффектов при высоких интенсивностях):
u Зсо2с (2nmkT) h
где In Л — обычный кулоновский логарифм [6].
В борновском приближении квантовомеханическое
выражение для коэффициента поглощения х0 для высоких температур
kT ^> Z2 Ryd (где Z — заряд иона и Ryd — постоянная Ридберга,
равная 13,6 эВ) получается из классического выражения (18)
при замене
lnA-*-£sh(a)tf0(a), (2.19)
где
*~W- (2'20)
а /<о(а) —модифицированная функция Бесселя II рода нулевого
порядка. Для оптических частот мы имеем /?со <С Ryd <^ kT, так
что а<1 и соотношение (2.19) принимает вид
In Л -> In --0,577, (2.21)
что свидетельствует об удивительном, хотя и не неожиданном
сходстве между классическими и квантовыми результатами.
Коэффициент поглощения света х удобно выразить через
величину ф — отношение плотности свободных электронов к
критической плотности электронов, соответствующей
рассматриваемой частоте света:
Ne • / ®р\2
•-тта-(тг) • <2-22>
Тогда получим
*= 1/1^_х0(кр)(со, Г), (2.23)
у 1 — ф
где ко(кр) — значение ко при критической электронной плотности,
Щ (кр) = *о (Ne = Ne (кр)) = — vc (Ne = Ne (Kp)) = x (ф = 0,7245) ~ со2.
(2.24)
В важном случае, когда свет генерируется лазером на стекле,
активированном неодимом (A,l=1,06 мкм, йсох,= 1,17 эВ), имеем
30Z
Ne (кр) = 1021 см"3, щ (кр) ~ -^ см"1, (2.25)

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 35Э
где медленно меняющийся параметр In Л положен равным 10
[при Г= 10 кэВ, согласно формуле (21), величина In Л = 9,86],
а Те — электронная температура в килоэлектронвольтах.
Тепловая энергия электронов дое(Кр), заключенных в цилиндре
площадью 1 см2 и длиной, равной длине свободного пробега
фотонов А,а(кр) = 1/хо(кр), при критической плотности электронов
дается выражением
3 8Г1/2
We (кр) = у Ne <KP)Wfl (кр) = -^ кДж/CM2. (2.26)
Для дейтериевой плазмы при Т = 10 кэВ мы имеем А,а(кр) =
= 1 см и яц1ф) = 2,5 МДж/см2(!). Так как длина свободного
пробега для томсоновского рассеяния при критической
плотности составляет 15 м, влияние рассеяния пренебрежимо мало по
сравнению с поглощением.
а. Отражение и поглощение на резкой плазменной границе.
Рассмотрим отражение света при нормальном падении на
гипотетическую плоскую поверхность, разделяющую плазму и
вакуум. Общие выражения для коэффициента отражения г и
глубины проникновения б довольно громоздки, но в случае высокой
частоты (со 5£> vc) они упрощаются и имеют следующий вид:
г
(!+*)"'
(1+2/Г)"'
ш
б
№"
^№"
у.-1
ЮрХо
С0р = С0
Сйр<С0
где
* = -2^=2^-1/?. (2.28)
Величина ср была определена ранее [формула (2.22)]; kL —
волновой вектор падающего света в вакууме (равный по величине
м/с).
В случае отражения света с длиной волны 1,06 мкм (&l =
= 6 • 104 см-1) от очень плотной плазмы (<р 3> 1) имеем
г = (1+*Г\ 6 = (2kLVv)~\ (2.29)

360
Р. Киддер
Для жидкого дейтерия (Z = 1, ср = 50) при температуре
1 кэВ эти формулы дают:
г = 99,3% (отличное зеркало),
6 = 120А(~ 1/100 длины световой волны).
Зависимость коэффициента отражения (точнее, величины
1—г) от температуры для полностью ионизованных D, LiD, С
и А1 при плотностях,
соответствующих твердому состоянию,
приведена на фиг. 1. Все эти
вещества при температурах,
меньших 1 кэВ, представляют собой
довольно хорошие зеркала.
б. Отражение и поглощение
на размытой плазменной
границе. Предположим, что
электронная плотность представляет
собой экспоненциальную функцию
расстояния z с постоянной спада
Я, проходящую через
критическую плотность при z = zKp:
Ne (кр)
Предполагая также, что
крутизна профиля плотности мала,
т. е. HkL ^> 1, можно в приближении геометрической оптики
рассчитать величину 1 —г для светового пучка, падающего из точки
z = оо, т. е. найти долю световой энергии, поглощаемую плазмой
1 — г = 1 — е-25, (2.32)
где S — оптическая толщина области разреженной (ср<1)
плазмы. Выражая по формуле (2.23) коэффициент поглощения х
через ф и предполагая, что электронная температура одинакова
во всей области разреженной плазмы, для оптической толщины
получаем
оо
5 = j у. dz = -g- Нщ (кр). (2.33)
гкр
Здесь величина S несколько занижена, ибо мы предполагали,
что имеет место полное отражение в критической точке (о)Р = (о).
И я самом деле расчеты поглощения в критической точке,
проведенные в приближении Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна,
показывают, что величину S, даваемую формулой (2.33), необхо-
Т, кэВ
Фиг. 1. Отражательная
способность г при нормальной плотности
твердого тела в вакууме.
/ — дейтерий; 2 —дейтерид лития;
3—углерод; 4— алюминий.
Предполагается, что вещество полностью
ионизовано; это условие выполняется только
при температурах, превышающих
температуру, отмеченную вертикальным
штрихом на соответствующей кривой.

// Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 361
димо заменить несколько большей величиной
S' = s(l + j/^j. (2.34)
Сравнивая выражения (27), (28), (32) и (33), можно
заметить, что отражение от плазменной границы с плавным
профилем приблизительно эквивалентно отражению от резкой границы
плазмы с величиной ф, даваемой соотношением
Vq = ±Hk(> 1). (2.35)
в. Время образования размытого поглощающего слоя. Когда
полубесконечный слой сверхплотной плазмы с первоначально
резкой границей изотермически расширяется в вакуум, профиль
плотности принимает экспоненциальную форму с параметром
Я, возрастающим линейно со временем:
Н = cst, (2.36)
где
cs = Y^T = 3 • 10? YlT Т* см/с (2-37)
— изотермическая скорость звука в плазме (считается, что
ионное давление мало по сравнению с электронным). Оптическая
толщина S разреженного слоя увеличивается со временем по
закону
S=l,2-|/^rr^, (2.38)
где / выражено в наносекундах. Считая, что время
формирования поглощающего слоя тПОгл есть время, за которое
коэффициент отражения уменьшается до значения 1/е, получаем
' 0,4 ]/"-£-Гв не. (2.39)
Например, для дейтерия (А = 2, Z = 1) при Т = 10 кэВ
имеем Тпогл = 6 не.
3. Нагрев ионов электронами, наименьшее возможное время
нагрева. Соотношение между ионной и электронной
температурами в плазме описывается уравнением релаксации [6]
$—^. (2.40)

362
Р. Киддер
где iei — время электрон-ионной релаксации. При критической
плотности, равной 1021 см~3, величина хе\ дается формулой
\0ATf
^ = ^nv «с. (2.41)
Если пренебречь слабой зависимостью In Л от температуры,
то из уравнений (40) и (41) следует, что скорость нагрева ионов
максимальна при Те = 37V Отсюда, полагая, что в каждый
момент времени температура электронов в 3 раза больше
температуры ионов, можно найти минимальное время п нагрева ионов
за счет двойных кулоновских столкновений с электронами от
нуля до 7\\ Это дает
rt=V3Tei (Te = Tt). (2.42)
Для нагрева до 10 кэВ дейтронов электронами при
критической плотности это время составляет 110 не (довольно много!),
при этом температура электронов должна быть ~ 30 кэВ.
4. Условия получения высокотемпературной плазмы
высокого давления. Рассмотрим однородную плазму в виде
изолированной сферы с начальным радиусом г0. Плазма нагревается
световым импульсом мощностью Р и длительностью т (энергия
W = Рх) с частотой света со. Нагретая плазма характеризуется
температурой Г, давлением /?, плотностью свободных электронов
Ne> зарядом ядра Z, степенью ионизации f(= NeIZNi)y скоростью
звука с8 и коэффициентом поглощения к для света с частотой со.
Если предположить, что плазма охлаждается в основном не за
счет излучения, а за счет гидродинамического расширения, то
тогда должна быть постоянной безразмерная величина r0/csx.
Если, кроме того, потребовать, чтобы была постоянной
безразмерная величина иго, что означает постоянство доли лазерной
энергии, поглощаемой плазмой, то для температуры, очевидно,
можно написать простое выражение
Рх
Пользуясь формулой
(2.43)
Nera
<o2T'l>
(2.44)
для оптического коэффициента поглощения [справедливой при
'V < '/гМккр)], из выражения (2.43) получаем для температуры
плазмы

11. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 363
Из формулы (2.45) следует, что для достижения
сверхвысоких температур плазмы нужно уменьшать длительность
лазерного импульса. Но поскольку плотность свободных
электронов
Ne ,, 6/ ' (2.46)
увеличивается с уменьшением т и в конце концов может
сравняться с критической плотностью Л/в(кР) и даже превысить ее,
падающая световая волна не будет более проникать в плазму.
Вместо этого в случае горячей плазмы (Т > 1 кэВ) свет будет в
основном отражаться поверхностью плазмы.
Поскольку нам нужно, чтобы электронная плотность была
как можно больше (конечно, при достаточно эффективном
поглощении падающего света), мы можем написать в качестве
дополнительного условия, что
Ne~Ne(Kp)(~tf). (2.47)
Тогда мы получим
Т ~ (fZ)v" (Гсо4)''", (2.48)
р ~ со27\ (2.49)
Отсюда видно, что при заданной энергии лазерного импульса
W для достижения сверхвысокой температуры и давления
необходимо использовать мишени из материалов с большим 2
и лазеры с малой длиной волны. Выбрав наибольшую из
доступных частот со, плотность мишени подбираем из условия
NettNe(Kv). Чтобы энергия лазерного импульса успела
поглотиться прежде, чем плазма заметно охладится за счет
расширения, длительность импульса т должна быть достаточно
малой.
Рассмотрим также величину -ф = NexTny которая при
соответствующем значении показателя п характеризует
рентгеновское и нейтронное излучение из плазмы. (Например, для
D — Г-плазмы с температурой Г<10 кэВ показатель /г>8/з.)
На основании выведенных нами формул можно показать, что
О При П^-ттг,
10 (2.50)
0 при я>— 1 (Ne = Ne(Kp)).
Следовательно, условия, необходимые для получения
максимальной температуры и давления (большая частота со, Ме «
^М>(кр), малая длительность т), одновременно являются
условиями максимума величины г|э для процессов, для которых
п ^ Vio.
\ дг ]w у >

364
Р. Киддер
§ 3. ГИДРОДИНАМИКА ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЫ,
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
1. Давление взрыва, вызванного светом. Если на поверхность
твердого вещества в вакууме направить интенсивный пучок
света, то вещество на поверхности будет плавиться, испаряться
и ионизоваться. Горячая плазма разлетается в вакуум, и в
результате отдачи внутрь твердого вещества распространяется
ударная волна. Простая модель протекающих при этом
процессов такова: сначала идет ударная волна, затем дефлагра-
ционная волна и, наконец, простая центрированная волна
разрежения [7]. Энергия поступает в дефлаграционную волну за
счет поглощения света.
Будем рассматривать лазерный пучок в виде коллимирован-
ного пучка параллельных световых лучей бесконечного в
горизонтальном направлении и распространяющегося по нормали
к плоской поверхности твердого вещества. Газодинамический
поток в этом случае будет плоским и одномерным. Будем
предполагать также, что волна разрежения адиабатическая, а
плазма — идеальный газ {у = 5/з) с коэффициентом поглощения х0,
пропорциональным квадрату плотности р и обратно
пропорциональным кубу адиабатической скорости звука са (са= Vycs):
*о = Ч-. (3.1)
са
т.е. мы примем для и выражение для коэффициента свободно-
свободного поглощения, даваемое формулами (2.18) и (2.21)
в высокотемпературном (а = b^j2kT <С 1) приближении, в
котором пренебрегают слабой температурной зависимостью
логарифмического члена в формуле (2.21).
Пользуясь выражением (3.1) для х0, легко найти
оптическую толщину S волны разрежения на частоте падающего
света:
S = x0cat, (3.2)
причем ко и са — коэффициент поглощения и скорость звука,
соответствующие максимуму волны разрежения. [При выводе
этой формулы не учитывается, что диэлектрическая
проницаемость е в максимуме волны разрежения может отличаться от
единицы, и поэтому формула (3.2) занижает величину S.]
В предположении, что вся энергия падающего света идет
на адиабатическое расширение, можно написать
/ = pt/(A+yt/2) = fipc3; (3.3)
здесь [I = М(М2 + 3)/2, где М = и/са — число Маха для
расширяющейся плазмы; и — массовая скорость, h=e-\-pv — удель-

11. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 335
ная энтальпия, причем все эти величины тоже относятся к
максимуму волны разрежения, а / — плотность потока падающего
излучения. Решив уравнения (3.1) —(3.3) относительно р и са,
получим
Тогда выражение для давления рг в максимуме волны
разрежения принимает вид
*-—-тЫ Ы • (3-6)
Давление р в ударной волне превышает давление рг в
максимуме волны разрежения на величину скачка давления уМ2рт
в дефлаграционной волне:
р = (1+уМ*)рг. (3.7)
Мы видим, что давление р в ударной волне, соответствуюшее
интенсивности света /, можно определить, если задано число
Маха М и одна из двух величин: либо плотность р в максимуме
волны разрежения, либо оптическая толщина S. Примем
следующее:
1. Рассматриваемая дефлаграция представляет собой де-
флаграцию Чепмена — Жуге, т. е. число Маха выбрасываемого
потока плазмы равно единице.
2. Волна разрежения является саморегулирующейся, так
что:
а) Плотность р постоянна и равна критической плотности рс
до момента времени tu когда оптическая толщина S волны
разрежения становится равной единице.
б) Начиная с этого момента оптическая толщина S равна
единице. (Отметим, что давление в ударной волне р слабо
зависит от S, ибо оно пропорционально всего лишь корню восьмой
степени изЯ. Например, еслиЯ изменить в 200 раз, то величина р
изменится менее чем в 2 раза.)
Отсюда следует, что ударное давление можно представить
в виде
( Рс при /</ь
(j-)*Pc ПРИ t>t{9
где t\ — время «затемнения», даваемое формулой
'.-•*?£. (3-9)

366
Р. Киддер
a Pc — давление, соответствующее формуле
'.-трНтГ- (ЗЛ0)
В важном случае света с длиной волны 1,06 мкм, полагая
для простоты А ~ 2Z, имеем рс = 3,3- Ю-3 г/см3,
'i =
2.10"3/2/з
НС
(3.11)
рс = 7/2/з кбар, (3.12)
где интенсивность / выражена в гигаваттах на квадратный
сантиметр. В табл. 2 приведены значения величин Ztx и рс,
вычисленные по формулам (3.11) и (3.12) при разных плотностях
потока /.
Таблица 2
Давление в ударной волне рс и время
«затемнения» tu умноженное на 2,
в зависимости от плотности светового
потока /
/, ГВт/см2
104
106
108
Zt, нс
1
20
400
рс, Мбар
3
70
1500
Поскольку мы предполагаем, что плазма расширяется
адиабатически, что падающая энергия полностью поглощается
(отражение отсутствует), что энергия, необходимая для
поддержания ударной волны, ничтожно мала, давление в ударной
волне оказывается завышенным. Так, например, если считать,
что плазма расширяется не адиабатически, а изотермически,
то давление в ударной волне будет меньше на 26%.
Верхний предел давления в ударной волне найдем,
предположив, что вся энергия падающего света идет на поддержание
ударной волны:
(3.13)
макс
)Ро
откуда
1 — Рмакс** — А'макс у / j i Y
_ f(Vs+ ОроТ/з fu
А'макс — I 2 J
(3.14)
где po — плотность невозмущенного вещества перед ударной
волной (предполагается, что po:<§fpc), a ys — эффективное зна-

11. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 367
чение величины у. Сравнивая величину рс [формула (3.10)]
с Рмакс, получаем
-£s-~ (■££.)'''<1. (3.15)
Рмакс \ Ро / х '
Если на поверхность жидкого дейтерия (р0 = 0,17) падает
излучение с длиной волны 1,06 мкм (рс = 3,3-Ю-3), то,
согласно формуле (3.15), давление в ударной волне равно ~30%
максимально возможного.
На фиг. 2 приведены рассчитанные численным методом
профили температуры и давления [7] для случая, когда световой
поток с плотностью 104ГВт/см2
взаимодействует с
газообразным дейтерием, начальный
удельный объем которого
равен 100 см3/г (р0 = 3рс);
кривые соответствуют моменту
времени спустя 16 не после
начала импульса излучения
(t=l6t\). Нетрудно видеть,
что давление в ударной волне
достигает 1,7 Мбар. Для
сравнения заметим, что формула
(3.8) с учетом данных табл. 2
дает давление 3/(16),/в«
«2 Мбар. Это удивительно
хорошее совпадение, особенно
если учесть весьма
приближенный характер
использованной модели.
2. Однородное расширение
изометрической сферы в
вакуум. Задачу о
сферически-симметричном расширении горячей плазмы позволяет решить
аналитическая модель однородно расширяющейся изотермической
сферы. Такая модель удобна для анализа поздних стадий
расширения небольшой сферической мишени, подвешиваемой в
вакууме и нагреваемой до высокой температуры с
фокусированным мощным лазерным излучением [8].
При однородном расширении элемент объема dzx [в лагран-
жевых координатах, в которых х(/)—вектор положения в
пространстве рассматриваемого элемента массы] увеличивается
реюду с одинаковой скоростью, т. е.
Фиг. 2. Ударная волна,
возбуждаемая светом, в дейтерии.
Давление р и темпер:;гура Г в зависимости
от расстояния, / — область
предварительного ударного сжатия; 2 — область дефла-
грации Чепмена —Жуге; 3—область
изотермического расширения. /«=104 ГВт/см2,
и0=100 см3/г, / = 16 не.
d3x = h3(t)d%,
(3.16)

368
Р. Киддер
где х0 = х (/ = 0). Переписав (3.16) в сферических
координатах, сразу же получим
r(r0,t) = r0h(t)t (3.17)
u(r0, t) = r = r0h(t). (3.18)
Из закона сохранения массы следует уравнение
dm = pr2 dr = dmQ = р0г2 drQ, (3.19)
в котором, как и в уравнении (3.17), предполагается, что
p(ro'')=w- (3-20)
Уравнение движения имеет вид
u = _r2j^L = r**Lu (3.21)
dm p0rj dr0
Чтобы выразить dp/dr0 через dp0/dr0, воспользуемся уравнением
состояния (идеального газа)
е = -^п (3.22)
и условием изотермичности
в (г0, t) = e0a(t)9 -j£j- = 0. (3.23)
С учетом этих соотношений уравнение движения может быть
переписано в виде
т-Д-т- = — 4^ = 4г - const, (3.24)
(у — 1) е г0ро rfr0 #2 v '
так что правая часть зависит только от г0, а левая — только
от t. Поскольку г0 и / — независимые лагранжевы переменные,
обе части уравнения должны быть равны постоянным
величинам. Интегрируя и решая уравнение относительно ро,
получаем
р0 = р(0)е-г»/2*\ (3.25)
Таким образом, предположение об однородном изотермическом
расширении совместимо с динамическим уравнением движения
только в том случае, если профиль плотности (и давления)
имеет гауссову форму. Константа R определяется из условия
постоянства полной массы М нагреваемой сферы:
2л/?2 = I ■

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 369
Чтобы найти скорость расширения, воспользуемся
уравнением сохранения энергии
e + pv = q = v^d{ev]'X) . (3.27)
Предположение об однородности и изотермичности
расширения означает, что левая часть уравнения (3.27), а
следовательно, и член q, соответствующий источнику энергии, не
должны зависеть от г. Но если изотермичность обусловлена
большой теплопроводностью, то распределение тепловых источников,
Траектории пробных
частиц \ ч
Фиг. 3. Сверхзвуковой нагрев дей-
териевой газовой сферы.
Диаграммы движения (зависимость г от t)
пробных частиц, фронта ударной волны и
границы области поглощения (10 кДж за
5 не; D2 с удельным объемом t>=185 см7г).
Фиг. 4. Сверхзвуковой нагрев сферы
из дейтериевого газа.
Приведены кривые зависимости ионной и
электронной температуры 7^ и Те,
удельного объема v (см3/г) и мощности
излучения ф (ГВт/стер) от радиуса г. Энергия
лазера —10 кДж при длительности 5 не.
Мишень из D2 (t»0 —185 <-*м7г). Сплошные
кривые соответствуют * = 4,5 не,
пунктирные— /=5.0 не.
дающих вклад в q, не обязательно должно быть независимым
от г, так как за счет теплопроводности установится
соответствующее распределение. В отсутствие тепловых источников
(q = 0) из уравнения (3.27) следует
ah*"-l) = l. (3.28)
Используя этот результат, уравнение (3.24) можно переписать
в виде
*-$£5". (3-29)

370
Р. Киддер
где
*5~(Y-l)e0- (3-3°)
Если принять, что y = 5/з и #(0) = 0, то решение уравнения
(3.29) будет таким:
/г2=1+т2 (x = c0t/R). (3.31)
Отсюда следует, что
г=г01ЛГР^, (3.32)
р = р(0)(1 + т2Г72в"г'/2/?2 = р(0)(1 +т2Г3/2в"г2/2^2+^2, (3.34)
т. е. при t>S> 1 сфера расширяется с постоянной скоростью,
равной начальной изотермической скорости звука.
Хотя такая простая модель хорошо описывает поздние
стадии расширения плазмы, когда уже установилась изотермич-
ность, в начальные моменты разлета нагреваемой лазером
плазмы ситуация гораздо сложнее. Для примера на фиг. 3 и 4
представлены графики, характеризующие поведение на ранних
стадиях малой сферы из газообразного дейтерия, нагреваемой
в вакууме.
3. Детонация, поддерживаемая светом. Скорость U
детонационной волны, которая возникает в результате выделения
энергии q в единице массы идеального газа с показателем
адиабаты у» определяется соотношением
(/2 = 2(Y2_I)9 (3.35)
При выводе этой формулы предполагалось, что выполняется
условие Чепмена — Жуге, т. е. что фронт волны детонации
распространяет
за фронтом
U = u + ca. (3.36)
Если световой пучок с плотностью потока / падает на
ударную волну, то при условии полного поглощения световой
энергии на фронте ударной волны такой процесс можно
представить в виде «поддерживаемой светом детонации» вещества
с удельным энерговыделением в единице массы
<7=7Г/, <3-37)
где v0 — удельный объем невозмущенной среды перед фронтом
волны детонации. Скорость такой волны детонации, согласно

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 371
формулам (3.35) и (3.37), будет равна
£/ = [2(y2-1)»o/],/\ (3.38)
а давление за фронтом волны
Эти результаты соответствуют случаю плоской волны
детонации, которая поддерживается встречной плоской световой
волной. Интересен также случай сферически-расходящейся
волны детонации, поддерживаемой сферически-сходящимся
световым пучком. В этом случае интенсивность света
уменьшается обратно пропорционально квадрату радиуса:
1 -т£г. (3-4°)
где Р — мощность светового пучка. Радиус фронта
расходящейся детонационной волны удовлетворяет уравнению
Интегрируя это уравнение по времени и полагая г(/ = 0) = 0,
получаем
r.^[,Wtf-D».r^ (3.42)
причем предполагается, что энергия W(=Pt), заключенная
в детонационной волне, линейно зависит от времени.
Для сравнения приведем соответствующее выражение для
координаты фронта ударной волны Тэйлора от точечного
взрыва:
г-Р[Ш£*-]\ (3.43)
где W — энергия, мгновенно выделяющаяся в начале координат
в нулевой момент времени, а в В — константа, зависящая от у
(при y = 7/б величина В = 5,33, а при у = 5/з мы имеем
В = 3,08). Сравнивая выражения (3.42) и (3.43), легко
увидеть, что при одинаковых значениях переменных /, v0i у
радиус поддерживаемой светом детонационной волны и радиус
тэйлоровской ударной волны будут близкими по величине, если
в последнем выражении энергию W уменьшить в 1,5 раза.
Изложенные выше результаты использовались для анализа
поведения небольшой искры, т. е. ионизованной области, в
однородном газе, которая нагревается сфокусированным
излучением лазера с модулированной добротностью [9]. На
протяжении светового импульса искра расширяется согласно формуле

372
А Киддер
(3.42), т. е. как поддерживаемая светом детонационная
волна, а по окончании импульса — как ударная волна Тэйлора.
Это хорошо соответствует действительности при условии, что
•8
150
too
50
Мощность
\ лазера ГВт Ю
\ 0
a7|
5.0 Ю |
N. t, НС
\^v\.
Начальная \ \ W
искра t = Y91 \5'0Z708[9'0l\
Ш2Х. j. а L j—\_i—
G4
1.3
1.6
0,8
Г, MM
Фиг. 5. Искра, нагреваемая лазером.
Зависимость электронной температуры Те
or радиуса в разные моменты времени t
(100 Дж за 5 не; D2, и0=5600 см3/г).
Фиг. 6. Искра, нагреваемая лазером.
Зависимость давления р от радиуса г для
разных моментов времени t (100 Дж за 5 не;
D2, а0=5600 см3/г).
М 1,3
г, мм
Фиг. 7. Искра, нагреваемая лазером.
Зависимость отношения v/v0 от радиуса
для разных моментов времени t (100 Дж за
5 не; D2, а0—5600 см'/г).
/,Ь
1,1
0.8
о.ь
г* 0,07 мм/не ^^^*\
У' |
/- г =0.25 мм/не
4
t. НС
Фиг. 8. Искра, нагреваемая лазером.
Зависимость радиуса г огненного шара от
времени (100 Дж за 5 не; D2, о0в5600 см'/г).
интенсивность света не столь высока, чтобы вызвать
образование искр («оптического пробоя») в невозмущенном газе перед
расширяющимся фронтом ударной волны, и что размеры искры
не так малы и ее температура не так высока, чтобы ее
расширение носило характер сверхзвуковой тепловой волны.

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 373
Основным процессом поглощения света в искре является
свободно-свободное поглощение на свободных электронах
плазмы. Очевидно, что если плазма прозрачна для падающего
света, то понятие детонационной волны к ней неприменимо. Но,
поскольку свет поглощается в основном вблизи фронта
ударной волны, где плазма холоднее и плотнее, чем внутри искры,
приближенно волну можно рассматривать как детонационную.
Энергия детонации W будет, очевидно, равна только той части
падающей световой энергии, которая действительно
поглощается плазмой.
На фиг. 5—8 представлены рассчитанные численными
методами профили температуры, давления, удельного объема и
радиуса лазерной искры, создаваемой в газообразном дейтерии,
в зависимости от времени. Эти результаты относятся к
случаю, когда малая ионизованная область с (произвольно
выбранной) начальной температурой, равной 2 эВ (фиг. 5),
нагревается импульсом сферически-сходящегося света с энергией
100 Дж, длительностью по полувысоте 5 не и пиковой
мощностью около 20 ГВт.
§ 4. ПОЛУЧЕНИЕ МНОГОКИЛОВОЛЬТНОЙ ДЕЙТЕРИЕВОЙ
И РТУТНОЙ ПЛАЗМЫ С МАССОЙ -0,1 мкг
В § 2, п. 4, было показано, что для увеличения температуры
плазмы при заданной энергии светового импульса нужно
уменьшать длину волны света и использовать плазму с высоким Z.
Длительность импульса следует выбирать так, чтобы плазма не
успевала сильно' остыть в процессе нагревания за счет
расширения. Требуемая длительность импульса зависит от энергии
светового импульса и необходимой температуры плазмы.
Например, если мы хотим получить температуру в несколько
килоэлектронвольт с помощью импульсов в 100 Дж, то, как нетрудно
видеть, длительность импульсов должна быть порядка 0,1 не.
До недавнего времени минимальная длительность импульсов
излучения лазеров в режиме гигантских импульсов составляла
несколько наносекунд. Но исследования процессов
синхронизации большого числа мод в лазерном генераторе [10] привели
к разработке лазеров, способных генерировать световые
импульсы длительностью всего лишь в несколько пикосекунд [11].
Субнаносекундные импульсы можно также получать при
помощи «комбинационных» лазеров с обратной накачкой [12], а
поэтому в настоящее время можно считать, что световые
импульсы достаточно малой длительности стали реальностью.
1. Параметры лазеров для получения киловольтных
температур в плазмах с массой в десятые доли микрограмма. Тех-

374
Р. Киддер
нические требования к лазеру, предназначенному для
нагревания дейтериевой или ртутной мишени с массой в десятые доли
микрограмма до температуры 10 кэВ (в отсутствие отражения
и других потерь), определяются параметрами мишени,
указанными в табл. 3.
Таблица 3
Свойства дейтериевой и ртутной мишени массой
в десятые доли микрограмма при температуре
10 кэВ
Заряд ядра Z
Удельный объем vc
Радиус г0
Внутренняя энергия W
Время охлаждения хЕ
D2
1
300
190
150
0,2
Hg
80
240
180
80
0,3
Единицы
измерения
см3/г
МКМ
Дж
НС
Предполагается, что мишень представляет собой однородную
плазменную сферу с плотностью свободных электронов,
равной критической (Л^нр) = 1021 см-3) в случае излучения лазера
на неодимовом стекле (длина волны 1,06 мкм). Время
охлаждения плазмы те — это время, за которое изотермическая волна
разрежения от поверхности сферы доходит до ее центра:
Отсюда следует, что лазер, предназначенный для нагрева
плазмы, должен обеспечивать ~ 100 Дж за 0,2 не и его
излучение должно фокусироваться в пятно диаметром 100 мкм
(таким образом, яркость должна быть ~1016 Вт/см2-стер, что уже
превышено экспериментально в работе [5]). В случае
дейтериевой (Z = 1) и ртутной (Z = 80) мишеней требования к лазеру
примерно одинаковы.
Одномодовый лазерный пучок с длиной волны света XL при
помощи линзы со светосилой F можно сфокусировать в пятно
радиусом rs ~ F\L. Если расходимость пучка лазера меньше
чем в 10 раз превышает дифракционную расходимость (что
вполне осуществимо), то при помощи линз, например, с F = 5
можно сфокусировать пучок неодимового лазера с Кь = 1,06 мкм
в пятно радиусом 50 мкм.
2. Свойства дейтериевой и ртутной плазмы при 10 кэВ. Пусть
плотность свободных электронов вблизи поверхности падает
экспоненциально с постоянной спада Н и критическая плотность

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 375
для распространения света достигается на радиусе г = гс, т. е.
Ф = -тт^ = е(Гс~Г)/Я при г^гс. (4.2)
™*(кр)
Если масса М плазмы мала, то параметр спада Н также
мал и тогда поглощение падающего света будет недостаточно
эффективным. При заданной массе плазмы величина Н
максимальна, когда плотность в центре плазмы равна критической,
так что гс = 0. Точнее, можно написать
#<-^«^. при гв>0, (4.3)
где г0 — радиус однородной плазменной сферы той же массы
с удельным объемом vCi соответствующим критической
плотности,
В табл. 4 приведены некоторые параметры горячей дейте-
риевой и ртутной плазмы малой массы.
Таблица 4
Свойства дейтериевой и ртутной плазмы с массой в десятые доли
микрограмма при температуре 10 кэВ
Постоянная спада Н
Электронное давление ре
Поглощательная способность а
Средняя длина свободного пробега
электрона Ке
Время нагрева ионов т*
Время охлаждения за счет
тормозного излучения 1ь
D,
100
16
2,4
9
ПО
1400
Hg
100
16
84
0,12
0,7
18
Единица
измерения
мкм
Мбар
%
'о
НС
НС
Приведенные в табл. 4 значения постоянной спада Н
найдены по формулам (4.3) и (4.4), поглощательная способность
а=1— г — по формулам (2.25), (2.32) и (2.33), а время
нагрева ионов — по формулам (2.41) и (2.42).
Средняя длина свободного пробега электрона для рассеяния
на угол 90° в одном акте столкновения с ионом плазмы дается
выражением
^, = 0,14-^ см. (4.6)

376
Р. Киддер
С учетом многократных столкновений эта величина уменьшается
в 8 In Л раз [6], и для средней длины пробега Хе при углах
рассеяния 90° имеем
где кулоновский логарифм In Л обычно равен ~10.
Время хъ охлаждения плазмы за счет тормозного
излучения— это время, за которое плазма в виде свободно-свободного
излучения теряет энергию 3/2 kTe, приходящуюся на один
свободный электрон, при постоянной электронной температуре и
критической плотности ~1021 см"3:
Тб=-Т£-нс- (4.7)
Из данных табл. 4 можно сделать следующие выводы
относительно дейтериевой и ртутной плазмы с массой в десятые доли
микрограмма, нагретой до 10 кэВ:
1. Ртутная плазма эффективно поглощает падающий свет
(поглощение 84%); дейтериевая — не поглощает (поглощение
2%).
2. В дейтериевой плазме электронная температура с
достаточной точностью однородна по объему (г0 <С К) и почти также
однородна в ртутной.
3. В дейтериевой плазме ионы остаются «холодными» (7\- <с
<^С 1 кэВ), так как ti *> те. В ртутной плазме они «горячие», но
всегда значительно холоднее электронов.
4. Ртутная плазма за время ть ~ ЮОте теряет за счет
тормозного излучения ~ 1 % энергии падающего светового
импульса; дейтериевая плазма— только ~0,01%.
3. Результаты численных расчетов. В табл. 5. представлены
результаты численного расчета процесса нагрева ртутной плазмы
сферической формы с массой 0,08 мкг и начальным профилем
плотности, показанным на фиг. 9. Для сравнения в этой таблице
приведены также результаты расчета для дейтериевой плазмы
с той же массой. В расчетах использована одномерная
(сферическая), одножидкостная, двухтемпературная (ионы и
электроны) модель плазмы, в которой учтены гидродинамическое
движение, ионная и электронная теплопроводность, кулонов-
ское взаимодействие электронов и ионов, тормозное излучение,
поглощение и отражение (сферически-сходящегося) лазерного
излучения [13]. Расчеты проводились в предположении, что
ртутная плазма в течение всего рассматриваемого времени
представляет собой полностью ионизованный идеальный газ; в
процессах ионизации учитывалась только энергия, необходимая для
отрыва электронов.

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 377
Таблица 5
Нагрев дейтериевой и ртутной плазмы ультракоротким
световым импульсом
Плазма
Лазерный импульс:
энергия, Дж/длительность, не
Максимальная электронная
температура, кэВ
Потери за счет тормозного
излучения, %
Внутренняя энергия, %
Кинетическая энергия, %
Отраженная энергия, %
D,
46/0,25
0,72*
0,01
9,3
6,0
84,7
60/0,25
4
0,8
40
50
10
Hg
60,01
6
0,4
63
20
17
240,0,1
12
0,1
29
23
48
* Максимальная ионная температура равна 0,26 кэВ.
Критическая
плотность
Форма падающего лазерного импульса принята
трапецеидальной (фиг. 5, вверху справа) с длительностью т (на половине
интенсивности). Расчеты процесса
нагрева ртутной плазмы были
выполнены для энергии лазерных
импульсов 60 Дж при т = 0,25 и 0,1 не
и энергии 240 Дж при т = 0,1 не, а
дейтериевой плазмы — 46 Дж при
т = 0,25 не. В случае полностью
ионизованной ртути примерно 14 из
60 Дж приходится на энергию
связи ее 80 электронов, а на
кинетическую энергию электронов и ионов
остается 46 Дж. Поэтому для
проведения корректного сравнения в
случае нагрева дейтерия энергия взята
равной 46 Дж, так как энергия
связи электрона в дейтерии при
рассматриваемых температурах
пренебрежимо мала.
В табл. 5 приведена доля
энергии (в процентах от падающей
световой энергии), приходящейся на
тормозное излучение, внутреннюю, кинетическую и отраженную
энергию к моменту окончания лазерного импульса.
Нетрудно видеть, что ртутная плазма при длительности
импульса 0,25 не сильно охлаждается из-за расширения (50%
ю*
ю*
ю
ю
100 ZOO 300 400 500
Радиус, мкм
Фиг. 9. Профили плотности в
сферической ртутной плазме
(М = 0,08 мкг).
/ — начальный профиль; 2—профиль
при /—0,34 не. Длительность им
пульса 1=0,25 не.

378
Р. Киддер
энергии светового импульса идет на кинетическую энергию
расширяющейся плазмы). Сокращение длительности импульса до
0,1 не приводит к более эффективному (63%) преобразованию
энергии света в тепло. При четырехкратном повышении энергии,
подводимой за то же время (0,1 не), максимальная температура
плазмы удваивается, но вследствие большого увеличения потерь
на отражение эффективность падает до 29%.
40
0Л
0
/,00
0,8 [ Q98[
0,6
§:о9*
0,91
0,90
1Z0 /40 /60 180 гоо по
Радиус, мкм
Фиг. 10. Поглощение и отражение
света на поверхности дейтериевой
плазмы.
Зависимость относительной интенсивности
пучка ф/фо (сплошная кривая) и
относительной плотности плазмы р/рс (пунктирная
кривая) от радиуса г; f=»0,24 не.
юо /го /ьо /60 /80 гоо
Радиус, упм
Фиг. 11. Поглощение и отражение
света на поверхности ртутной
плазмы.
Зависимость относительной интенсивности
пучка ф/фо (сплошная кривая) и
относительной плотности плазмы р/рс (пунктирная
кривая) от радиуса г; /=*0,24 не.
Для дейтериевой плазмы наиболее существенны потери на
отражение: в этом случае поглощается только 15% энергии
падающего излучения. Максимальная ионная температура
составляет лишь 7з электронной, что свидетельствует о слабости
ионно-электронного взаимодействия.
Данные о глубине проникновения светового излучения в дей-
териевую и ртутную плазму представлены на фиг. 10 и 11.
§ 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАЗМЕ
До сих пор мы ничего не говорили о том, что на процесс
взаимодействия светового импульса с плазмой могут оказывать
существенное влияние нелинейные оптические эффекты,
обусловленные высокой интенсивностью падающего излучения.
Нелинейные эффекты возможны, когда средняя кинетическая
энергия {КЕ)осц свободного электрона, совершающего вынужденные
колебания в электрическом поле световой волны с плотностью

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 379
потока / [формулы (2.8) и (2.9)], сравнима со средней
кинетической энергией теплового движения, т. е. когда
/ ~ 'нелин = 2Ne iKp)CkTe, (5.1)
или иначе
РРад~2(^-)2ре> (5.2)
где рРад(= U = 11с)—радиационное давление световой волны.
Иными словами, нелинейность связана с высокой
интенсивностью и является низкотемпературным эффектом.
К нелинейным эффектам, возникающим при интенсивностях
света порядка /нелин, относится, например, зависимость от
интенсивности оптического коэффициента поглощения х и времени
электрон-ионной релаксации, а также некоторых параметров
плазмы, зависящих от температуры, и нестабильности связанных
электронно-оптических и ионно-акустических плазменных
колебаний.
При еще более высоких интенсивностях, когда {КЕ)0сц ~
~ тс2, становятся существенными релятивистские
нелинейности, обусловленные действием силы Лоренца на электроны
плазмы или релятивистским увеличением их массы. К таким
эффектам относятся параметрическое усиление световых волн в
плазме, образование второй гармоники света вблизи поверхности
плазмы и зависимость показателя преломления плазмы от
интенсивности. Интенсивность /рел, при которой возможны
подобные релятивистские эффекты, такова:
/Рел = 2тс3Л^(кр). (5.3)
Взяв значение Л/е(кр) = Ю21 см*"3, соответствующее длине волны
1,06 мкм, и электронную температуру 1 кэВ, получим
/нелин=Ю16Вт/СМ2 (Г,= 1КЭВ),
/рел = 5- 1018 ВТ/СМ2.
Плотность потока сфокусированного излучения, которая
достигается в существующих мощных лазерах, в 20 раз превышает
/нелин и, следовательно, достигает уровня, при котором
возможны сильные нелинейные оптические эффекты. И хотя это
в 25 раз меньше /рел, релятивистские нелинейности должны
легко наблюдаться.
Рассмотрим некоторые нелинейные оптические эффекты в
плазме, причем начнем с одноэлектронных, а затем перейдем
к коллективным эффектам, связанным с плазменными
колебаниями.
1. Одноэлектронные нелинейные оптические эффекты, а.
Зависимость от интенсивности коэффициента свободно-свободного

380
Р. Киддер
поглощения. Вопрос о зависимости оптического коэффициента
поглощения плазмы от интенсивности рассматривается в работе
Ренда [14], Хьюза и Николсон-Флоренса [15]. Мы будем
следовать работе Скофилда [16], результаты которого аналогичны
результатам Ренда.
Начнем с выражения для усредненной по времени мощности
(W), с которой внешняя сила F = mu совершает работу над
электронами плазмы (в единице объема):
(W) = J (fF) • vd*v9 (5.4)
где f(v, t) —зависящая от времени функция распределения
электронов по скоростям и, удовлетворяющая уравнению Больцмана
-Jf + (ii • V) f = /столкн (5.5)
dt
и условию нормировки
J/(Vf t)d2v = Ne. (5.6)
В случае поглощения света в плазме внешняя сила
определяется электрическим полем Е световой волны:
F = mix = еЕ (t), Е (t) = Ее~ш. (5.7)
Коэффициент поглощения к можно найти как
и = -^р-, (5.8)
где / — плотность светового потока,
I = £<&)■ (5-9)
Поскольку неизвестная функция распределения f(v,/)
неявным образом содержит столкновительные эффекты, формулой
(5.4) нельзя воспользоваться непосредственно. Но ее можно
преобразовать к следующему хорошо известному виду:
(W) = щ J vm </u> • vd*v. (5.10)
Здесь влияние столкновений учитывается множителем vm(v) —
частотой электрон-ионных столкновений, характеризующей
процесс обмена импульсом. Таким образом, переходя от формулы
(5.4) к формуле (5.10), мы заменяем внешнюю силу т\х экви-
эалентной ей силой «вязкостного сопротивления» mvwu.

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 381
Частота столкновений ут выражается через
дифференциальное сечение рассеяния а (у, в):
vm(v) = Nivam(vl (5.11)
где
ат(о)= J а (у, в)(1— cos9)rfU. (5.12)
В случае кулоновского рассеяния электронов плазмы на
ионах таким сечением является резерфордовское сечение
a(0,e)=-^sin-4|, (5.13)
где Ов — сечение обратного рассеяния (на угол, больший 90°),
ав = я(|£)2. (5.14)
Вычисляя интеграл (5.12), получаем
am = -4afllnsin-%^, (5.15)
где 6Мин — минимальный угол, на котором обрывают
интегрирование, чтобы избежать расходимости интеграла на малых углах,
соответствующих большим прицельным расстояниям. Угол
рассеяния связан с прицельным расстоянием соотношением
так что из формулы (5.15) следует
am = 2aBln(l+^^J = 2aBln(l + A2)-4aBlnA, (5.17)
где Ьмакс принято равным дебаевскому радиусу XD, а In Л —
обычный кулоновский логарифм [6]. Из формул (5.11), (5.14) и
(5.17) получаем выражение для vm:
Vm = j-, (5.18)
A = 4nNi(^-)2\nA. (5.19)
Остается найти функцию распределения f(v,/). Очевидно,
что при очень большой интенсивности света и низкой
электронной температуре взаимодействие электронов между собой будет
более сильным, чем с ионами, относительно которых они
совершают высокочастотные колебания. Учитывая, что электроны

382
Р. Киддер
между собой находятся в тепловом равновесии, функцию
распределения можно написать в виде
f(v,t) = f[v-u(t)], (5.20)
f <v> *>=(-mrYN°e~m (v"0)2/2ftr- <5-2I>
Отождествив осцилляторную компоненту скорости электрона со
скоростью свободного электрона, колеблющегося в
электрическом поле световой волны, мы пренебрегли здесь (небольшим)
столкновительным затуханием колебаний электронов.
После подстановки выражений (5.18) и (5.20) в (5.10) и
некоторых преобразований получим
(W) = 4лтА (J (uyf f (иу) dy). (5.22)
о
Из этой формулы следует, что в поглощение света дают
вклад только те электроны, тепловая скорость которых меньше
скорости колебательного движения. Если для простоты
ограничиться случаем круговой поляризации света, то
и2 = const = -^-/. (5.23)
Используя функцию распределения (5.21) и интегрируя пра:
вую часть выражения (5.22), получаем окончательный
результат в виде
x0(/) = x0F(a), (5.24)
где ко — коэффициент поглощения [формула (2.18)], а
F <a> = "ST [Vi erf (^ ~ 2e~a] ■ <5-25>
a =t , /нелин —2ЛГв(кр)£?*Г. (5.26)
Величина F(a) —это убывающая функция следующего вида:
F(a)
1 —?-a при а<1,
5
0,568 при а=1, (5.27)
3J/1T
4а§/»
при а> 1.
Отсюда следует, что /Нелин — это плотность светового потока,
при котором за счет нелинейных эффектов, зависящих от
интенсивности, коэффициент поглощения уменьшается примерно

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 383
вдвое (точнее, приобретает множитель 0,568) по сравнению с
величиной х0 при слабых потоках.
Энергия световой волны, поглощаемая в единице объема
плазмы, записывается в виде
(W) = 7i0IHejimaF(a)
(5.28)
л
и.
3
и принимает максимальное значение, когда величина плотности
светового потока / примерно равна 2,3 /Нелин. На фиг. 12
приведен график функции а/7(а), на котором отчетливо виден
максимум.
При аналогичном рассмотрении случая плоскополяризован-
ного света с учетом поправок на отклонение электронной
функции распределения от максвелловской, которая предполагалась
в уравнении (5.21) [16],
коэффициент поглощения
уменьшается на 20% по сравнению с
величиной для круговой
поляризации света при а< 100.
Такие поправки приводят к
максимальному уменьшению
коэффициента поглощения,
даваемого формулой (5.24), до
24% при а ~ 1.
При проведенном выше
анализе предполагалось, что
зависимость коэффициента
поглощения от интенсивности
обусловлена только зависимостью
от интенсивности функции
распределения электронов по
скоростям, так как в присутствии интенсивной световой волны
сечение рассеяния электронов на ионах не изменяется. Это верно,
если электрическое поле световой волны очень слабо
изменяется за время Дтс рассеяния электрона на ионе. Только в этом
случае можно говорить об ионно-электронном столкновении, в
котором скорость v электрона относительно иона хорошо
определена. Другими словами, необходимо, чтобы выполнялось
соотношение
Фиг. 12. Зависимость мощности
световой энергии, поглощаемой в
единице объема плазмы, от плотности
потока падающего излучения.
со Ат, < 1.
(5.29)
Время столкновения Дтс равно радиусу взаимодействия Гв>
деленному на скорость электрона. Определяя радиус гв через эф*
фективное сечение обратного рассеяния согласно выражению
пгв = °в>
(5.30)

3S4 Р Киддер
для времени и радиуса получаем
г Ze2
\т, = ^-. гв = ^, (5.31)
ИЛИ
Дтс = 2.10-20-^-с, (5.32)
* е
где Те — электронная температура в килоэлектронвольтах. Для
света с длиной волны 1,06 мкм (со = 1,78-1015 рад/с) имеем
со Дтс = 4 • 10"5 \ рад. (5.33)
* е
Отсюда видно, что всюду, кроме области довольно низких
температур, требование малости величины соДтс по сравнению с
единицей хорошо выполняется.
Несмотря на то что сечение рассеяния само не может сильно
зависеть от интенсивности, предел интегрирования при больших
параметрах столкновения определяется интенсивностью через
экранирующие эффекты, которые в свою очередь зависят от
плотности потока излучения. Правильное значение предела
интегрирования необходимо определять дополнительно, но,
поскольку предел интегрирования входит логарифмически,
окончательные результаты не очень чувствительны к его величине.
б. Зависимость показателя преломления от интенсивности^
Если частота столкновений меньше частоты света (vc <С о) и
плазма разреженная (о)Р<(о), то показатель преломления п
и диэлектрическую проницаемость можно записать в виде
е = п2=1-(^)\ (5.34)
W = i^, (5.35)
где т* —эффективная масса электронов плазмы. Зависимость
пг* от интенсивности обусловлена релятивистским увеличением
массы при увеличении энергии электрона и возбуждением
продольных электронных колебаний на частоте 2со.
Релятивистское уравнение движения электрона в
электромагнитном поле имеет вид
<!%*-е{Е + Ц±), (5.36)
Y = (l_p*)-*, Р = 7' <5'37)
или в безразмерных величинах
р = \/l=f2 $ (Е + Р X В) dx, (5.38)

11. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 385
где
P = yv, x = at, (5.39)
Ё> 6 = ^(Е' В> (5-4°)
Выберем ориентацию векторов Ё и В таким образом, чтобы
плоская световая волна распространялась в положительном
направлении оси z, т. е.
Ё, В = (Ё0, В0) cos (т — kz\ (5.41)
Ё0.В0 = 0, |Во1-1/Г|Ео|, (5.42)
kc=Ve со. (5.43)
Решив уравнение (5.38) относительно величины р,
представленной в виде разложения по степеням безразмерных амплитуд
поля Ё и В, получим:
Р=2Рь Ро = 0, (5.44)
1
р! = f Ё d% = Ё0 sin т, (5.45)
о
т
p2=J(P1XB)dT = l(E0XB0)(l--^cos2T), (5.46)
о
Эз = —^- Pi + J (Э2 >< В) rfx -h / {Ё [х — ф (тт)] — В (х)> rfx, (5.47)
где ф(т)—изменение фазы световой волны в системе отсчета,
связанной с электроном, возникающее при его продольном
движении
т
Ф (т) = kz (т) = VeJ" J р2 dx = а (т — -^ sin 2т), (5.48)
о
/Ю«\2
е1=е0((о)=1— у—J , сор = ю*р (m* = m), (5.49)
е Е2
82 = е0(2(о), a = -V". (5.50)
Полагая ро равным нулю, мы пренебрегаем всеми
движениями электрона, кроме движения, вызываемого световод
волной. Множитель 1/б2 в формуле (5.46) введен для того, чтобы

386
Р. Киддер
учесть динамическое влияние силы Лоренца на продольные
колебания электронов, которое приводит к возникновению
колебаний с частотой 2о). (Принято, что k < kD, где kD — обратная
величина дебаевского радиуса экранирования.)
Вычислив первые два члена в правой части формулы (5.47)
и отбросив члены, соответствующие частоте Зю, получим
^I)=-(1+2!r-iir)aEoSinT' (5-51)
Для напряженности поля Е в системе отсчета, связанной
с электронами, имеем
E[T + <p(T)] = E0cos{(l-a)T + -^rsin2(l-a)T} =
= E0{(l-^)cos(l-a)T + (1|-)cQs3(l-a)T}. (5.52)
Множитель 1 — а учитывает красное смещение частоты
световой волны в системе координат, связанной с электронами,
равномерно дрейфующими в направлении распространения
световой волны. Отбрасывая компоненты, соответствующие частоте
Зо) (в лабораторной системе отсчета), для третьего члена в
правой части формулы (5.47) получаем выражение
Pf = (l-li7)aEoSint (5.53)
и, складывая его с Щ\ находим поперечную составляющую
скорости на частоте со:
Р =
где
'-(з-'У-Т-кзтт, (5-54)
80(CD)=e, <82 = 80(2(0).
Отметим, что преобладающим нелинейным эффектом
является релятивистское увеличение массы. Заметим также, что
при сложении Щ] с Р£2) исключается равномерный дрейф
электронов, а поэтому результаты не изменяются, если, например,
электронный дрейф скомпенсировать до нуля внешним
электростатическим полем противоположного знака.
Как следует из выражения (5.54), эффективная масса т*
дается соотношением
где U — плотность энергии световой волны в плазме,

11. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 387
Подстановка выражения (5.55) в формулу (5.34) дает
~'-Ш+4('НУ*£гГ- <5-57>
Поскольку de/dU > 0, оказывается, что в плазме
параллельный интенсивный световой пучок фокусируется, а не дефокуси-
руется. Если частота ю велика по сравнению с плазменной
частотой о)р, то выражение (5.57) можно переписать в виде
8 = 6, + бе, (5.58)
где I = cU — интенсивность световой волны, а /рел —
интенсивность, соответствующая появлению значительных
релятивистских эффектов [формула (5.3)].
Выше мы с самого начала пренебрегали столкновениями.
Если учесть влияние столкновений на диэлектрическую
проницаемость, полагая по-прежнему озр < ю и vc «С ю, то выражение
для е запишется в виде
е=1— 7—кг-1 г. (5.60)
(»Mp)2 + (v>P)2
Согласно формуле (17), частота столкновений vc
пропорциональна коэффициенту поглощения х0, который, как следует из
соотношения (5.24), зависит от интенсивности; поэтому
благодаря наличию столкновительного члена в выражении для е
появляется зависимость диэлектрической проницаемости от
интенсивности. Пользуясь формулой (5.27) для F(a) при малых а
и комбинируя выражения (5.57) и (5.60), получаем
где индекс 0 говорит о том, что величина берется при нулевой
интенсивности света и опущен член, содержащий малое
отношение ei/ег.
Коэффициент при / в выражении для е положителен, и
поэтому при достаточно высокой температуре и достаточно низкой
плотности в плазме, когда
тс2 ^ 5 \(Ор)о ' v '
т. е. когда
re>0,lZ'V4 кэВ, (5.63)

388
Р. Киддер
где
Ф = ^Г^~, #в(кр) = 1021см-з,
может иметь место самофокусировка, а не дефокусировка пучка.
2. Коллективные нелинейные оптические эффекты. Целый
ряд интересных нелинейных оптических эффектов может быть
рассмотрен на основе простой двухжидкостной (электроны и
ионы) гидродинамической модели плазмы. В такой плазме
существует два основных типа колебаний: 1) высокочастотные
колебания электронов (оптическая ветвь), в которых ионы из-за
большой массы не участвуют, и 2) низкочастотные колебания
ионов (акустическая ветвь), при которых почти не нарушается
электрическая нейтральность, поскольку электроны легко
реагируют на сравнительно медленные колебания ионов и
компенсируют любые отклонения плазмы от нейтральности. Если
пренебречь затуханием, то дисперсионные соотношения для обоих
типов колебаний имеют следующий вид [6] (фиг. 13):
®2e+V2ek2 электронная (оптическая) ветвь,
«М*2 , , (5.64)
электронно-ионная (акустическая) ветвь,
»l+VF
где (ое — электронная плазменная частота,
<** = —. (5-65)
©г — ионная плазменная частота,
a Ve пропорциональна среднеквадратичной тепловой скорости
электронов,
У1^Ш£. (5.67)
В этих соотношениях Neo — электронная плотность
невозмущенной плазмы, т и М — масса электрона и иона, а уе—
(зависящий от интенсивности) показатель адиабаты для газа из
электронов плазмы. Для высокочастотной электронной моды
величина уе соответствует эффективному показателю адиабаты
одномерного идеального электронного газа и равна 3; для
низкочастотной акустической моды она равна 5/з и соответствует
трехмерному газу.
Если волновое число k колебаний мало по сравнению с де-
баевским волновым числом kDy т. е. k2 < k2DjVe (= ®Ц ^)> то дис-

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 389
(5.68)
персионные соотношения принимают следующий простой вид:
{сов (оптическая ветвь),
Vk (акустическая ветвь),
где V — скорость акустической волны, даваемая очевидным
соотношением
M+Zm
(5.69)
Оптичеспа я
ветвь
Распространяющаяся в плазме интенсивная световая волна
(кь, wl) может взаимодействовать либо с электронной (kv> оь),
либо с акустической (ка, оза)
модами, либо с обеими, чем обусловлен
ряд интересных трехволновых
нелинейных эффектов. Рассеяние
интенсивной световой волны на
электронных колебаниях плазмы
представляет собой плазменный аналог
стимулированного комбинационного
рассеяния. Рассеяние же на ионно-
акустических колебаниях
соответствует стимулированному бриллюэ-
новскому рассеянию. В обоих
случаях третьей волной является
рассеянная (стоксова) световая волна.
В этих случаях, как и в случае
одновременного взаимодействия с
электронной и ионно-акустической
волнами, интенсивная световая
волна связывает обе моды друг с
другом таким образом, что при
достаточно большой интенсивности амплитуда параметрически
возбуждаемых волн увеличивается экспоненциально со временем,
поскольку подвод энергии к ним превышает диссипацию.
Для иллюстрации такого процесса нелинейного
параметрического возбуждения ниже мы рассмотрим более детально связь
между оптической и акустической плазменными модами, а
также стимулированное комбинационное рассеяние в плазме. Ранее
мы говорили еще об одном нелинейном оптическом эффекте,
а именно о возбуждении электронных плазменных колебаний
на двойной частоте падающего света, т. е. о связи между
поперечной световой и продольной электронной волнами,
обусловленной силой Лоренца. Хотя такие продольные волны не могут
излучать электромагнитную энергию из внутренней области
плазмы, они могут излучать на ее поверхности, вызывая
генерацию второй гармоники света [17].
Фиг. 13. Дисперсионные
кривые со (k) оптической и
акустической мод плазменных
колебаний.
Левая шкала относится к
оптической, а правая — к акустической
ветви. Шкалы неодинаковы вслед-
VZm/M юе<ю
ствие того, что
Ч'
(&£) — дебаевский волновой вектор)

390
Р. Киддер
а. Параметрическая связь между электронной оптической и
электронно-ионной акустической модами и их возбуждение в
поле интенсивной световой волны. Такое нелинейное
параметрическое взаимодействие первыми начали исследовать Дюбуа и
Голдман [18], причем они пользовались методом фейнмановских
диаграмм. Мы проведем ниже анализ, основанный на простом
двухжидкостном гидродинамическом подходе, опубликованном
несколько позже Ли и Су [19].
Двухжидкостные уравнения, описывающие флуктуации
электронной и ионной плотностей п и N, имеют следующий вид:
ri + ven— VlV2n = - со* (п — ZN) + (V • F), (5.70)
2
N + vtN — V]V2N = -J (n — ZN), (5.71)
где v„ и Vi — феноменологические коэффициенты затухания,
И-^Г. (5.72)
F = -^nE, + iVe(v-V)v-/iv + ^-^r(vXBJ, (5.73)
Ne = Ne0 + n, Nt = Ni0 + N, (5.74)
v — скорость электронов, a EL и BL — электрическое и магнит:
ное поля световой волны:
EL (х, t) = ELel (k*"--i.'> (kL • EJ = 0. (5.75)
Уравнения (5.70) и (5.71) получаются из уравнений
сохранения заряда и движения электронов и ионов и уравнения
Пуассона в предположении, что электронное и ионное давления —
скалярные величины. Уравнение движения линеаризовалось, и,
таким образом, при выводе уравнения (5.71) мы пренебрегали
прямым воздействием световой волны на ионы. Все эффекты
нелинейной связи оказываются заключенными в члене источника
(V -F), который ответствен за колебания.
Исключив с помощью выражения (5.70) член
электростатической связи в правой части уравнения (5.71), получим
(n + v,/i- V2eS/2n) + ^-{fj + yiN- V]s}2N) = (V • F). (5.76)
Рассмотрим теперь возбуждение электронной (kv, cov) и
акустической (ка, (да) мод, когда выполняются соотношения
п(х, /) = nael(kax+V) + пу(ke-«-,0, (5.77)
N(x9t) = Naetlk*x-°*t\ (5.78)
kL = K + K> *l = ®9 + <- (5-79)

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 391
Заметим, что мы пренебрегли высокочастотной компонентой Nv
ионных флуктуации.
а) Акустическая мода (па « ZNa).
Для акустической моды из уравнения (5.76), пренебрегая
силой Лоренца [последний член в правой части уравнения (5.73)],
непосредственно получаем соотношение
US - V\kl + IVatoa) Na = - / -J ka • F ((Da), (5.80)
где
v« = v' + ~¥"v"
1/2 1/2 -mZ 1/2 Y,^ + ZY^r#
Va=Vi+lirVe = jj ,
F (®а) = -~ «SEL — tolnlVL + lNe0 [(vj • k J V/; — (vL • k0) vS].
Но из выражения для скорости света
V/ — — / —— Er
L mw, L
(5.81)
(5.82)
(5.83)
(5.84)
и из линеаризованного уравнения сохранения числа электронов
n + AU(V-v) = 0 (5.85)
следует, что
tf*ov;=-fM;. (5.86)
Подставив выражения (5.84) и (5.86) в формулу (5.83), получим
^^ka.F(coJ = ^^(ka.Ejfl-^-2^1n;. (5.87)
ЕСЛИ ПРИНЯТЬ, ЧТО 0)v/(0l « 1, (da/(Ov < 1 И kL/kv <g. 1, TO, КОМби-
нируя уравнения (5.80) и (5.87), получаем уравнение
акустической моды
Da(<»a)Na = i-^(ka.EL)n*V9 (5.88)
где
Da (cDfl) = ©a — V^ + /vaCDa. (5.89)
б) Оптическая мода.
Уравнение для высокочастотной электронной оптической
моды следует прямо из уравнения (5.70):
(®1 — со* — Vlkl + iveco0) n0 = — /k0 • F (g)0). (5.90)

392
Р. Киддер
Так же, как и при выводе формулы (5.87), получим
следующее уравнение:
k,-F(<D,)- 4k,-Е£) 1 -\l- k2 \\Nl (5.91)
С учетом соотношений (5.79) условие, что kL/kv^ 1,
приводит к равенству ка « —kv, так что и й^/^а <. 1. Используя опять
соотношения g)v/g)l ~ 1, о)а/со« <S 1 и комбинируя формулы (5.90)
и (5.91), получаем уравнение оптической моды:
De К) tlv = - / -f" *■ ' Е*> N« (5'92)
где
^ (°>о) = со, — С0е — V~akv + П^С0о. (5.93)
Найдем теперь пороговую плотность потока света для воз-
никновения нестабильности. Исключив Na из соотношений (5.88)
и (5.92), получим следующее уравнение распространения nv:
De (cd„) - . * Da (coa)l nv = 0, (5.94)
\°аЫ\ J
где
и использовано равенство (kv • El) = —(ka • El).
Пороговое условие (нулевое затухание величин nv и Na)
получим, приравняв нулю мнимую часть коэффициента при nv в
уравнении (5.94):
Q2
^'"lOafra)!' Va(°tf' (5'96)
где o)v и о)а — действительные величины. Написав
Q, = ^-, Q-—£. (5.97)
/t = V^Ict/t, £/, = -Ц^-, (5.98)
e^1-(-^)2(<1)' <5-")
Min I Da Ы P = | Da (coa) £ =„ ft = (va<oa)2, (5.100)
wa v ara
где II — плотность потока энергии и UL — плотность энергии
световой волны в плазме, и снова воспользовавшись
соотношениями c»b/a)L ~ If kjkv ~ 1, находим пороговую плотность
потока светового излучения для возникновения нестабильности в

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 393
следующем виде:
'-Р-^-Зк!1 +157)/неЛин. (5.101)
При выводе этой формулы мы положили cos 6 = 1 и уе = Y* = Y-
Поскольку величина YeL меньше единицы, а произведение
QaQe может быть большим по сравнению с единицей (особенно
если электроны очень горячие, т. е. Т\ <^ Те), порог для
возникновения такой нестабильности может оказаться значительно
меньше величины характерной интенсивности /Нелин, при которой
возможны нелинейные оптические эффекты [формула (5.1)].
Отсюда следует, что такая нестабильность возможна при меньших
световых потоках, чем те, при которых (/ ~ /нелин) существенна
зависимость оптического коэффициента поглощения в плазме от
интенсивности (уменьшение). Но нестабильность не может
возникнуть, если не выполняется условие wl ~ о)е.
б. Параметрическое усиление световых волн в плазме.
Стимулированное комбинационное рассеяние в плазме [17]
представляет собой процесс параметрического усиления, при котором
одна световая волна (ks, o)s) (стоксова компонента)
посредством второй (интенсивной) световой волны (kL, col)
параметрически связывается с электронной волной (kVy wr), так что при
распространении в плазме первой волны она усиливается.
Согласно терминологии, принятой для параметрических
усилителей, интенсивная световая волна — это «накачка», стоксова
волна — усиливаемый «сигнал», а электронные колебания —
«среда». Эти три волны удовлетворяют соотношениям
(к„ со0) + (к„ со,) = (кА, а>Д (5.102)
При анализе такого параметрического процесса мы
воспользуемся уравнением (5.70), описывающим электронные
плазменные колебания, и пренебрежем флуктуациями ионной плотности,
т. е. положим N = 0. Кроме того, мы можем учитывать только
лоренцеву силу в функции источника F, определяемой формулой
(5.73), где величину Ne нужно заменить величиной Ne0 для
невозмущенной плазмы. Тогда уравнения (5.70) и' (5.73)
перепишутся в следующем виде:
n + ven + ®еп — V2e S72n = (V • F), (5.103)
F==A^(vXB). (5.104)
Далее положим, что
v(x, 0 = v^(k-x-^) + vy(k^x-^) + v^(k^x-u)^, (5.105)
В (x, 0 = BLe/(k^x-u)^) + Bse' (V*-»*'), (5.106)
nU, 0 = */<k"'*-V)f (5.107)

394
Р. Киддер
где
к, X v0 - (к, • v,) = (к, • vf) = 0. (5.108)
Вычислим теперь член с источником (V-F), который
ответствен за возникновение плазменных колебаний с частотой оь.
Запишем соотношение
(v X В)„ = (v; X В£ + vL X ВЭ *' (ko""-V)t (5.109)
так что
V . (v X В) = 1К • W X В, + v, X BJ). (5.110)
Кроме того, из поперечного характера колебания плазменных
электронов (в пренебрежении затуханием) следует
i(DLtSmvLtS = eELtS. (5.111)
Уравнение (5.110) и (5.111) наряду с законом Фарадея
соВ = с(кХЕ) (5.112)
приводят к следующему результату:
D>*> "■=-*£• (5Л13>
G = -^-IE^X(kLXEL)-ELX(k5XE;)], (6.114)
причем De(tov) дается формулой (5.93). Если теперь для
простоты предположить, что волна накачки и стоксова волна имеют
одинаковую поляризацию, то уравнение (5.113), описывающее
процесс возбуждения плазменных колебаний, принимает
окончательную форму:
ьып'-*МгЕ'Я- (5Л15)
Теперь рассмотрим процесс распространения в плазме сток-
совой волны. Из уравнений Максвелла следует, что
VXVXEs = -5-(Es + 4*Ps) (V-Es = 0). (5.116)
Выделив нелинейную часть Рнелин(о)8) поляризации плазмы
на стоксовой частоте, соотношение (5.115) можно переписать в
виде
(V2 + *») Es = - 4я (^)2 Рнелин К), (5.117)
,2 8/°s
■-'-&)'• <5»8>

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 395
Нелинейная поляризация PHejIHH(cos) появляется в результате
того, что диэлектрическая проницаемость плазмы е (линейно)
зависит от электронной плотности Ne = Ngo + nVy которая
флуктуирует с частотой осцилляции электронов cov. Такая модуляция
диэлектрической проницаемости вызывает появление сателлитов
у частоты накачки cdl, приводя к возникновению частот о)ь ± оь,
нижняя из которых равна стоксовой частоте cos. (Выше мы
систематически пренебрегали присутствием антистоксовой
световой волны на частоте wl + cov. Это допустимо во всех случаях,
кроме рассеяния в направлении, близком к прямому
направлению, когда существенно антистоксово взаимодействие. Вопрос
о влиянии антистоксовой компоненты, а также об истощении
волны накачки подробно рассмотрен в работе Шена и Бломбер-
гена [20].) Учитывая зависимость е от nVy легко найти
нелинейную часть поляризации, ответственную за стоксово излучение:
рнелин (со5) = — nlELf (5.119)
L S
отсюда следует, что поле в стоксовой волне удовлетворяет
неоднородному волновому уравнению
(V2 + k^Es = ^^ELnl (5.120)
Решив уравнение (5.115) относительно nv и подставив результат
в формулу (5.120), уравнение распространения стоксовой волны
можно записать в следующем виде:
VES + (-^)2 (в, + 4ях„ел„„1 EL F) = 0, (5.121)
где Хнелин — нелинейная восприимчивость плазмы, определяемая
выражением
Коэффициент поглощения as для стоксовой . волны дается
(для плотности потока) выражением
о,—^^зй«-1^Р, (5.123)
где
Хнелин = 1Ш (Хнелин) < 0. (5.124)
То, что коэффициент поглощения отрицателен, означает, что
плазма усиливает стоксову волну. Усиление максимально при
резонансе Re[De(cov)] = 0, т. е. когда
со2у = со* + V\k\t (5.125)

396
Р. Киддер
и для коэффициента поглощения получаем
0.--ЯГЛ. /l—^V^ISiP. (5Л26)
где
2яе2 *9: со2
е
mV *L*e й)£соЛ
(5.127)
Последнее выражение вместе с соотношением
kl = k\ +k\ — 2kLkscosbLs (5.128)
показывает, что максимальное усиление достигается в обратном
направлении (8ls = jt). В этом случае из соотношения (5.128)
имеем kv = kL + ks « 2&l (при coL ^> сов), а коэффициент
поглощения, определяемый формулами (5.126) и (5.127) для
рассеяния в обратном направлении, записывается в виде
a,5«-4QAT*- (5.129)
урел
где /рел — плотность потока, при которой возможны
релятивистские эффекты [формула (5.3)]. Отношение коэффициентов
усиления в прямом и обратном направлениях таково:
^-(*,+*s)2~KJ- (5Л30)
Можно показать, что если световой пучок с дифракционной
расходимостью фокусировать в небольшое пятно, то
произведение интенсивности в фокусе IL на длину фокальной области L
(область высокой интенсивности) связано с мощностью
светового пучка PL соотношением
Ul~%£. (5-131)
Заметим, что это соотношение не зависит от длины фокуса
линзы или зеркала, которые используются для фокусирования
пучка. Применив это соотношение совместно с выражением
(5 129), найдем, что коэффициент усиления для стоксовой волны,
распространяющейся в фокальной области в обратном
направлении, дается формулой
Gsb = e-ast>L = eAQe (р1/ррел)э (5.132)
1де
^ = ^ = 8,71 ГВт. (5.133)
Следовательно, если использовать лазерный пучок
мощностью 1 ГВт с дифракционной расходимостью, то при фокусиро-

И. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 397
вании его на горячую (однородную) плазму, в которой
электронные колебания затухают слабо [Qe ~ 100), коэффициент
усиления в фокальной области будет равен е46, т. е. вполне
достаточным для формирования из спонтанно рассеянного света
распространяющейся назад стоксовой компоненты заметной
интенсивности.
Мощность
* рел — это пороговая мощность не только для
стимулированного комбинационного рассеяния в плазме, как это
следует из выражения (5.132), но и для самофокусировки света
в плазме. Критическое значение мощности Рс для
самофокусировки, обусловленной наличием в плазме световой волны с
интенсивностью /, связано с изменением бе диэлектрической
проницаемости соотношением [21]
Р, = 2.5,7б(£)2^. (5.134)
Подставляя в это соотношение величину бе из формулы
(5.59), получаем
Р,= 1,47(^)4Ррел. (5.135)
§ 6. НАГРЕВ ПЛАЗМЫ ПРИ ПОМОЩИ МОЩНОГО ПУЧКА
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
В предыдущих разделах мы подробно остановились на
вопросе о возможности применения лазеров, генерирующих
мощные световые импульсы, для получения высокой плотности
энергии в веществе и рассмотрели ряд нелинейных оптических
эффектов, обусловленных взаимодействием лазерного излучения
с веществом. Такая область применения лазеров хорошо
известна в настоящее время и усиленно развивается во многих
лабораториях. Сравнительно недавно появился новый и менее
известный подход к проблеме получения высокой плотности
энергии в веществе — при помощи мощных пучков
релятивистских электронов. Такой подход оказался возможным благодаря
тому, что в последние несколько лет появились устройства,
способные генерировать сверхмощные электронные импульсы.
В 1967 г. были созданы устройства, которые генерировали
импульсы мегавольтных электронов с энергией в несколько
килоджоулей за импульс [2—4]. Дальнейшее усовершенствование
устройств такого типа привело к тому, что в настоящее время
стало возможным получать мегаджоульные импульсы
релятивистских электронов [22]. Посмотрим, что это означает с точки
зрения получения высокой плотности энергии в веществе.
Если пучок электронов фокусируется в пятно площадью А
на поверхности мишени, то удельная внутренняя энергия

398
Р. Киддер
вещества, в котором тормозятся электроны, возрастает на
величину
где w — средняя кинетическая энергия электрона за импульс,
w = (Y — 1) тс\ Y = (1 — p2)"Va, (6.2)
a W — полная энергия в импульсе. В диапазоне от 0,4 до 10 МэВ
вклад в тормозные потери dw/pdx электрона, обусловленный
столкновениями, почти не зависит от энергии электрона и
медленно уменьшается с увеличением атомного номера Z от
2,2 МэВ/(г/см2) для дейтерия до 1,2 МэВ/(г/см2) для урана при
промежуточном значении 1,5 МэВ/(г/см2) для железа [23]. Если
предположить, например, что пучок электронов с энергией
10 МэВ и полной энергией за импульс, равной 1 МДж,
фокусируется на поверхность железной мишени в пятно площадью
0,1 см2, то из формулы (6.1) получаем
q = -ju 1,5-^-j- = 1,5 МДж/г.
Если воспользоваться данными Коуэна и Ашкина [24] по
уравнению состояния Томаса — Ферми — Дирака, то
оказывается, что удельной внутренней энергии, равной 1,5 МДж/г, в
случае железа нормальной плотности (7,85 г/см3) соответствует
температура 50 эВ и давление 50 Мбар. Это очень большая
плотность энергии, ибо она на два порядка выше, чем в мощных
взрывах.
В работе [22] сообщалось о проекте устройства, которое
позволит генерировать импульс электронов с энергией 10 МэВ, с
полной энергией 1 МДж, длительностью 100 не и электронным
током 106 А.
При столь сильных токах электромагнитная энергия,
связанная с пучком, может быть сравнимой с кинетической энергией
и даже превышать ее, так что на процесс распространения пучка
может оказывать сильное влияние его собственное поле. Пока
еще нет полной теории процесса распространения пучков со
столь сильными токами, но некоторое представление о
соответствующих явлениях дает простая идеализированная модель
пучка типа предложенной Лоусоном [25].
Рассмотрим идеализированный электронный пучок радиусом
а с током J и однородной электронной плотностью Nei который
распространяется в однородной среде без токов. Обратный ток
протекает по цилиндрическому проводнику радиусом b (>а),
коаксиальному с пучком, а электрический заряд пучка
полностью нейтрализован средой, через которую он проходит, так что
в лабораторной системе отсчета электрическое поле пучка равно

//. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 399
нулю. Электромагнитная энергия №эл.-магн, приходящаяся на
единицу длины пучка, в точности равна магнитной энергии на
единицу длины:
№эл,магн = у^2> (6.3)
где г|) — безразмерный множитель, зависящий от геометрии
системы и равный индуктивности на единицу длины пучка:
ф=4 + 21пА. (6.4)
Кинетическую энергию пучка на единицу длины Wk можно
записать в виде
Wk = (y-l)^J, (6.5)
откуда отношение электромагнитной энергии к кинетической
равно
^эл-магн _ РФ /
Wk 2(Y-1) J"
ГДР
/• = -££1 = 17 кА. (6.7)
(6.6)
В случае релятивистских электронов, когда р~ 1, выражение
(6.6) можно переписать в виде
w J
эл.-магн *
(6.8)
Wk (у— 1)/* '
если геометрический множитель а|э взять равным ~2.
Отсюда следует, что ток /эл.-магн, при котором велико
собственное поле пучка, равен
г _ (V-Qmc2 ,~ q)
«'эл.-магн— ~ . Vu,iv
Соответствующая мощность пучка определяется как
Рэл,магн = (у— 1)Ррел, (6.10)
где Ррел [формула (5.133)] — это та же самая величина 8,71 ГВт,
которая фигурировала ранее, когда речь шла о самофокусировке
и стимулированном комбинационном рассеянии света в плазме.
Выражение для критической мощности Рс, при которой
возникает самофокусировка света в плазме [формула (5.135)],
удивительно похоже на выражение для мощности РЭл.-магн,
соответствующей возникновению значительных собственных сил в
электронном пучке. Принципиальное же различие здесь в том,
что величина Рс пропорциональна 4-й степени энергии фотонов,
(* величина Рэл.-магн—1-й степени энергии электронов.

400
Р. Киддер
Вычислив /эл.-магн для электронов с энергией 10 МэВ, мы
получим 0,32 МА, что в 3 раза меньше, чем ток,
соответствующий мегаджоульному импульсу, параметры которого
использовались при оценке давления. Таким образом, если проводимость
среды, в которой распространяется импульс с такими
параметрами, недостаточно высока, чтобы переходные обратные токи,
возбуждаемые в среде, смогли компенсировать ток пучка, то на
распространение пучка электронов будут оказывать
значительное влияние собственные электромагнитные силы.
В заключение проведем краткий анализ движения отдельных
электронов в условиях рассмотренного идеализированного пучка
[25]. Сняв требование нейтральности заряда, магнитную
индукцию и радиальное электрическое поле на периферии пучка
представим в виде
г— при 0 < г < а,
а (6.11)
•у при a<r<b,
<Hfx
г
£ = 0-f)-f, (6.12)
где /—отношение плотности заряда в самом пучке к плотности
положительного заряда окружающей его среды. В результате
радиальная сила F, действующая на электрон в пучке,
запишется следующим образом:
а уравнение для х-компоненты поперечного движения электрона
в пучке, если пренебречь столкновениями, будет представлять
собой уравнение простого гармонического осциллятора
Jc + co2jc = 0, (6.14)
где частота осцилляции дается выражением
«>2 = «>|(l —-L^). (6.15)
а о)з — бетатронная частота
2 2nNee2fb2
При написании уравнения (6.14) предполагалось, что
поперечная скорость v± электронов в пучке мала по сравнению с их
продольной скоростью v и поэтому величину у можно
рассматривать постоянной в течение периода колебаний.

П. Взаимодействие фотонных и электронных пучков с плазмой 401
В случае спиральных орбит радиусом г
v±=«>r. (6.18)
Усреднив эту скорость при условии однородной плотности
электронов в пучке, получим
<l>i) = <D2(r2)=4-°)2a2' <6Л9>
или с учетом соотношений (6.15) и (6.17)
В предположении полной нейтральности пучка (f=l)
релятивистских электронов (Р~1) выражение (6.20) принимает
простой вид
&-±.
Введем поперечную «температуру» пучка Т±
kT\=±ym<A). (6.22)
Тогда, учитывая формулы (6.2), соотношение (6.21) можно
записать в виде
ит т
(6.23)
kT±
0 ^эл.-магн
Таким образом, если не выполняется условие / <^ /эл.-мапь то
существенна поперечная компонента энергии пучка и
предположение о том, что траектории электронов лишь слегка
возмущаются собственными полями пучка, уже неверно.
Следовательно, мощность "эл.—магн соответствует переходу от
импульсов малой мощности, в которых процесс распространения
пучка определяется инерциальными силами и движение
отдельного электрона лишь слегка возмущается другими электронами
в пучке, к импульсам большой мощности, в которых
распространение пучка определяется электромагнитными силами. В первом
случае можно говорить о переносе электромагнитного поля
электронным пучком, а во втором — о переносе электронов мощным
электромагнитным полем. Благодаря высокой поперечной
температуре, характерной для мощных импульсов, они могут
распространяться в плазме без нестабильностей [26], поскольку
электроны в пучке движутся слишком хаотически для того,
чтобы пучок мог эффективно взаимодействовать с
коллективными колебаниями электронов плазмы.

402
Р. Киддер
ЛИТЕРАТУРА
1. McClung P. /., Hellwarth R. W., Journ. Appl. Phys., 33, 828 (1962).
2. Link W. 7\, IEEE Trans., NS-14, 777 (1967).
3. Graybill S. E., Nablo S. V., IEEE Trans., NS-14, 782 (1967).
4. Charbonnier F. M.t Barbour J. P., Brewster /. L.t Dyke W. P., Grund-
hauser F. /., IEEE Trans., NS-14, 789 (1967).
5. Cox M. et a/., Laser Focus, 3, 21 (1967).
6. Spitzer L., Physics of Fully Ionized Gases, New York, 1961 (имеется
перевод: Л. Спитцер, Физика полностью ионизованного газа, М., 1965).
7. Kidder R. Е., Nucl. Fusion, 8, 3 (1968).
8. Fader W. /., Phys. Fluids, 11, 2200 (1968).
9. Ramsden S. A., Savic P., Nature, 203, 1217 (1964).
10. Hargrove L. E., Fork R. L.t Pollack M. A.t Appl. Phys. Lett., 5, 4 (1964).
11. Armstrong /. A., Appl. Phys. Lett., 10, 16 (1967).
12. Culver W. #., Vanderslice J. T. A., Townsend V. W. Т., Appl. Phys. Lett.*
12, 189 (1968).
13. Kidder R. E., Barnes W. S., WAZER: a one-dimensional, two-temperature
hydrodynamic code, UCRL-50583, Jan. 31, 1969.
14. Rand S., Phys. Rev., 136, В 231 (1964).
15. Hughes T. P., Nicholson-Florence M. B.t Journ. Phys. A. (Proc. Phys. Soc),
Л, 588 (1968).
16. Scofield /., в печати.
17. Bloembergen N.% Shen Y. /?., Phys. Rev., 141, 298 (1966).
18. Du Bois D. F.t Goldman M. V., Phys. Rev. Lett., 14, 544 (1965).
19. Lee Y. C, Su C. #., Phys. Rev., 152, 129 (1966).
20. Shen Y. R., Bloembergen N.9 Phys. Rev., 137, A 1787 (1965).
21. Bloembergen N., Am. Journ. Phys., 35, 989 (1967).
22. Design Development of the Aurora Facilities, PISR-127-1, Oct. 15, 1968,
Physics International Company, San Leandro, Calif.
23. Studies in Penetration of Charged Particles in Matter, Publication 1133,
Nat. Acad, of Sci.-Nat. Res. Council, Wash. D. С (1964).
24. Cowan R. D., Ashkin /., Phys. Rev., 105, 144 (1957).
25. Lawson J. D., Journ. Electron, and Control, 5, 146 (1958).
26. Bludman S. A., Watson K. M.t Rosenbluth M. N.t Phys. Fluids, 3, 747
(1960).

12
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ СВЕТОВЫХ
ИМПУЛЬСОВ С ТВЕРДЫМ ВЕЩЕСТВОМ
А. Карузо*
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
При помощи лазеров можно получать световые импульсы
с энергией в несколько джоулей самой различной
длительности; недавно длительность импульсов была доведена до пико-
секунд [1]. В данной главе мы рассмотрим вопрос о
взаимодействии столь коротких импульсов с твердым веществом. При этом
мы для удобства выделим два крайних случая.
1. Длительность светового импульса т настолько мала, что
за то время, в течение которого поглощается свет, нагретое
вещество не успевает прийти в движение, а энергия передается
остальной мишени за счет теплопроводности; в момент t0> х
этот процесс прекращается из-за расширения нагретого
вещества.
2. Одновременно с поглощением света происходит
расширение, а теплопроводность мала.
Чтобы установить условия, при которых мы имеем дело с
тем или иным случаем, предположим, что поверхность
полубесконечного твердого тела поглощает поток энергии с плотностью
потока порядка ф (эрг-см^-с"1]^ к моменту времени t
прогревается слой толщиной lH « Y%t у где % — коэффициент
теплопроводности; вообще говоря, величина % зависит от
температуры Т. Из закона % = ЬТп (п > 0) и уравнения энергетического
баланса ф/ ~ Т1Н получаем
В то же время от поверхности начинает распространяться волна
расширения; в момент t ее фронт находится на глубине 1е ~ c8t,
* Л. Caruso, Laboratori Gas Ionizzati (Associazione EURATOM-CNEN)-
Frascati (Roma).

404
А. Кар у зо
где с8 — скорость звука. Отсюда следует, что
lB~cj~VT~t, p = ^±i>l. (2)
Зависимость 1Н и 1Е от времени схематически представлена на
фиг. 1: волна расширения догоняет тепловую волну за конечное
время /0 на расстоянии /0 от поверхности мишени. Если
длительность светового импульса мала, т. е. т</о, то в период
поглощения света динамические изменения несущественны; если же
т » t0i то расширение оказывается
заметным, так что свет взаимодействует
с частью мишени, параметры которой
непрерывно меняются.
Чтобы приближенно оценить t0 и /0,
предположим, что исходная мишень
представляет собой холодную плазму
с плотностью твердого тела. Это
допущение законно, если температуры в
процессе взаимодействия таковы, что
КТ/М » е, где М — масса иона, а е —
энергия связи единицы массы
твердого вещества. Очевидно, что если
выполняется указанное неравенство, то все процессы ионизации
и диссоциации существенны только на границе; поэтому можно
воспользоваться коэффициентами для процессов переноса,
рассчитанными для плазмы. Для коэффициента теплопроводности
(при Z = 1) имеем
Х = МК\ 6 = 2- 1(Г6 СГС-К.
Из уравнений
Фиг. 1. Зависимость вели
чин 1Н и /£ от времени.
ф/ « j nKTelH,
ъ12пКТе ЬТ^Те
t
следует, что
а
\-7.
1н~Ь^пк)~'\чЧ71\
1%£1%
(3)
(4)
(5)
(6)
В соотношениях (3) — (6) величина п — электронная плотность
(~5-1022 см-3), а К — постоянная Больцмана. Из формулы
(6) находим
U
~ V м
cpV',

12. Взаимодействие световых импульсов с твердым веществом 405
Из равенства /о = /я(*о) = М^о) находим t0 и k:
'o = (wf Кт^Г Ф = 2,2- 10,3Л^-2ф, (7)
'»" (ж)'' Ь (I КпУ' *''- 2>4 • ">"Л-V• (8)
Эти формулы записаны в системе СГС; А— атомный вес. Из
выражений (7) и (8) явствует, что to и /0 растут с увеличением
ф. Рассмотрим несколько числовых примеров:
Ф, эрг-см-2-с-1 Ю19 1021 1023
/о, с 10"13 Ю"11 10"9
/0, см 6-10"7 З-Ю"4 0,1
Здесь принято А = 1. Отметим также, что при ф<
< 1019 эрг • см-2 • с-1 величина /0 меньше глубины
проникновения света в плазму с п = 5 • 1022 см-3 и с частотой электрон-
ионных столкновений v[Te(t0)]. Случай т > t0 подробно
рассмотрен в лекции Крохина1). Мы же рассмотрим ниже
противоположный случай, когда т <: tQ [2].
§ 2. НАГРЕВ МАССИВНОЙ МИШЕНИ УЛЬТРАКОРОТКИМИ
ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
В предыдущем параграфе молчаливо подразумевалось, что
величина ф, т. е. плотность потока энергии, поглощаемой на
поверхности, равна плотности светового потока; на самом же
деле это не обязательно так, потому что часть падающего света
может отражаться. Проблема поглощения света особенно
существенна для рассматриваемого режима. Чтобы убедиться в этом,
предварительно выясним, каковы параметры типичного
светового пучка. Плотности потока ф ^ 1023 эрг • см-2 • с-1
соответствует напряженность электрического поля Е = (8шр/с)1/я ~
«3-Ю9 В-см-1; такие световые импульсы генерируют лазеры
на неодимовом стекле, так что круговая частота © равна
1,7 -1015 с"1. Длительность импульса составляет, т < Ю-11 с, а
энергия е, падающая на единицу площади, — порядка
1012 эрг-см"2. Когда такой импульс достигает поверхности
твердого вещества, благодаря сильным электрическим полям
электромагнитной волны мгновенно начинается процесс ионизации:
при £ = 3'109 В-см-1 время ионизации меньше Ю-16 с. Таким
образом, твердая мишень оказывается покрытой слоем
ионизованного вещества с плотностью, примерно равной
плотности твердого тела. Плазменная частота сор = (4яп/2/т)1/а,
соответствующая плотности твердого тела, составляет около
1) См. гл. 10 настоящей книги.

406
А. Карузо
Юсе. Энергия электронных колебаний в электрическом поле
пучка равна */2т(1Е/ти))2 « 2,5 кэВ, а соответствующая частота
столкновений v«3-1013 с-1 = 1,6-10~2со. Поскольку частота v
меньше сор и со, подавляющая часть света должна отражаться
уже на глубине б ^ б0 = с/сор « 2- Ю-6 см. Однако в работах
[1, 3] наблюдалось значительное поглощение света. Это можно
объяснить следующим образом. Если предположить, что
отражающий слой образуется на первых стадиях взаимодействия
света с веществом, то необходимым условием того, чтобы
отражение происходило во все последующие моменты, будет
стабильность движения электронов, отражающих свет. Если же
из-за нестабильностей движение оказывается турбулентным, то
возможно аномальное поглощение даже в отсутствие столкно-
_ вений: электроны взаимодейству-
У^ щх) ют с электрическими полями тур-
/i булентностей. В дальнейшем мы
/ « укажем некоторые возможные
/| i причины возникновения турбу-
/ i I ^ лентности.
О xt хг х Рассмотрим профиль
плотности п(х), схематически изобра-
Фиг. 2. Примерный профиль плот- женный на фиг. 2. Плотность за-
ности- висит только от х и достигает
своего асимптотического
значения п(оо) на расстоянии d порядка нескольких длин световой
волны Ко-= с/со или меньшем. Такой масштаб длины выбран по
следующим причинам: если твердое вещество — кристалл, то в
начальный момент граница резкая; но можно взять d порядка
(или меньше) i^t, где Vi — скорость ионов, а т — длительность
импульса. Это расстояние d сравнимо с длиной световой волны
с/со » 10~4 см, поскольку t>i>107 см-с-1, а т-^10"11 с. Если
предположить, что в первый момент происходит полное
отражение, то на границе за время порядка со""1 формируется
стоячая волна. Рассмотрим линейно-поляризованную волну с
электрическим полем Еу, направленным вдоль оси у, и магнитным
полем #z, направленным вдоль оси z\ если Еу = Z?o(*)cosc)/, то
из уравнений Максвелла следует
#, = -r^ sin of.
z а ах
Скорость электронов vy определяется формулой
vy=V (х) sin со/, (9)
а функция V(x) = —еЕ0(х)/т(о удовлетворяет уравнению
£ + й(.-4£)"-о. С»)

12. Взаимодействие световых импульсов с твердым веществом 407
В случае монотонного профиля отражение будет иметь место,
если существует точка Х\у в которой cop(#i) = со. В то же время
в этой точке выполняются условия для раскачки
электростатических колебаний, обусловленных параметрическим резонансом.
Данное явление исследовал Силин [4]; он установил следующее:
интервал частот должен быть таким, чтобы частота со была
заметно больше ионной частоты плазмы, но сравнимой с
электронной частотой. Подходящей для этого случая величиной
будет составляющая волнового вектора возмущения вдоль
направления колебаний электронов (в нашем случае — составляющая
по оси */). Когда КуХ » г, где г — амплитуда электронных
колебаний, инкремент нарастания нестабильностей оказывается
максимальным. Точнее, если сор = Nco, где N — целое число,
инкремент составляет у = (тМЯ'/зсоР; если ырфЫы, то инкремент у
примерно равен ионной частоте плазмы. Для длин волн %у>г
инкременты уменьшаются в {Куг)2/* раз.
Поскольку в рассматриваемом случае сор(оо)« 10 со, у нас
может существовать несколько точек, где выполняется условие
сор = М(а. Правда, эта теория применима лишь к резонансам в
однородной плазме и использовать ее в рассматриваемой задаче
нужно с осторожностью; но представляется весьма
правдоподобным, что аналогичные явления имеют место и в нашем
случае.
Другой причиной неламинарного движения может быть
нелинейная связь между поперечными и продольными
колебаниями [5]. Механизм явления таков: на электроны действует
сила
е е1 dE\
направленная вдоль оси х\ если Е0 имеет заметную величину
в точке х2, где сор (х2) = 2со, то осциллирующая составляющая
еилы
е2 dE*
f= "555? "2Г cos 2Ы = '° М cos 2(dt
резонирует с электронами около точки х2. Если колебания
начинаются в момент t = 0, то область частот, где имеет место
резонанс, определяется соотношением Дсор « 1//, т. е. (А*)-1 =
= (d(up/dx)xj; средняя мощность, поглощаемая на единице
площади поверхности резонирующими электронами, равна фл«
™[fo{x2)lm]tn(x2)bx, т. е.
/g(*») П(Х2)
^ щ \d<op/dx\x/ U1)

408
.4. Кар у зо
Если аппроксимировать производные выражениями dE0/dx «
« £0/6 и dcop/dx « (Op/d, то в результате получим
Ф ~ б2 со с2 • KlZ)
где X — длина волны света, и0сц = еЕо/ты, причем ф«с£о —
плотность потока энергии падающего света.
В качестве инкремента нарастания для данного процесса
можно принять величину у, даваемую соотношением q>Jy = Щ&-
Тогда имеем
1=i(—)2—• (13)
Y dk2 \ »осц /Юр V '
В рассматриваемом режиме сор « 10,в с™1, а у0сц^
> 3-109 см-с-1, и поэтому величина у может быть довольно
большой.
Среди возможных причин турбулентности следует, пожалуй,
отметить хорошо известную нестабильность Кельвина — Гельм-
гольца. Она может возникать, когда в стационарном
параллельном потоке скорость меняется в направлении,
перпендикулярном направлению скорости самого потока. Такая задача
исследовалась в гидродинамике [6], а также рассматривался случай,
когда подобного рода потоки возникают в холодном бесстолк-
новительном электронном газе в поле бесконечно тяжелых ионов
[7]. В этом случае к уравнениям движения добавлялось
уравнение Пуассона, так как допускалось разделение зарядов. Тем
не менее если рассмотреть возмущения с длинами волн,
большими VVcop, где V — типичная скорость, то колебания будут
квазинейтральными (электростатический потенциал играет здесь
роль давления) и можно будет воспользоваться результатами,
полученными в гидродинамике.
Когда движение нестабильно, инкремент нарастания
приблизительно равен V/8, где б — расстояние, на котором происходит
изменение скорости; такие инкременты возникают при длинах
волн, сравнимых с 6. В рассматриваемом нами случае скорость
изменяется на расстоянии, которое определяется решением
уравнения (10). Поскольку минимальное значение б таково:
б0 = с/(йр » V/cop, должны возникать квазинейтральные
возмущения. Скорость, определяющаяся формулой (9), осциллирует
с частотой со; поэтому нестабильности могут возникать только
при бсо < V. Это означает, что условие б < % выполняется, по
крайней мере в предельном случае б = бо = с/соР.
Гидродинамические методы были распространены на случай,
который в невозмущенном состоянии описывается
соотношениями
п = п(х), vx = vz = Q, vy= К (л:) sin со/. (14)

12. Взаимодействие световых импульсов с твердым веществом 409
При этом были найдены следующие необходимые условия
существования нестабильностей:
у
1) отклонение — > б,
Л (15)
' ~dx\n~dx)=z в какои'то т°чке.
Условия (15) — это не что иное, как обобщение хорошо
известного условия d2V/dx2=0> которое выполняется при dn/dx —
= (о = 0.
Указанные нами нестабильности (а ими, вероятно,, не
исчерпываются все возможные нестабильности) почти исключают
возможность ламинарного потока электронов и, может быть,
позволят объяснить наблюдающееся поглощение света.
Попытаемся теперь приближенно оценить параметры плазмы,
возникающей при поглощении светового импульса на
поверхности твердого тела. Поскольку в нашем случае t0 > т, часть
процесса теплопередачи нужно, очевидно, рассматривать,
предполагая постоянство не потока на границе, а энергии на единицу
поверхности е = фт. Далее, поскольку по окончании лазерного
импульса турбулентность благодаря столкновениям затухает за
время, намного меньшее чем /о, можно воспользоваться
соотношениями для теплопроводности максвелловской нетурбулентной
плазмы.
Решение соответствующего уравнения теплопроводности дано
в работе [2]; толщина прогретого слоя оказывается равной
1Н = 1,48562/' (4 пк)~49 в V', (16)
а средняя по пространству температура дается выражением
(Те) = 0,б746/в(| пК)~49 eV2/\ (17)
При выводе формул (16) и (17) предполагалось, что Те S> 7\-;
к этому мы вернемся несколько позже. Момент времени t0,
начиная с которого становятся существенными динамические
изменения, находится из равенства
|.«-тР^)Ч (м>
где y — числовой множитель порядка единицы. Решая это
уравнение относительно to, получаем
*0 = 8-10у-3/!А~'е\ (19)
/0 = 4,5 • lO'V We'7', (20)
(M/o^IOY'vtV'. (21)

410
А Карузд
Из приведенных формул видно, что лишь t0 существенно
зависит от у. В принципе время /0 того же порядка величины, что и
время передачи энергии от электронов к ионам. В самом деле,
в момент / толщина прогретого слоя составляет lH « vt V~t/v>
где Vt — средняя тепловая скорость электронов, a v — средняя
частота столкновений; из-за давления же электронов плазма
расширяется со скоростью, приблизительно равной y(mv2tjM) t0,
где т — электронная, а М — ионная масса. Время t0
определяется уравнением
/*('o)~^V^=j/-^r4>,
решая которое относительно to, получаем t0= (M/m)(l/v).
Поэтому t0 — величина того же порядка, что и время релаксации
'релакс', а ПОСКОЛЬКУ /релакс ~ Те'\ ТО, ПОЛЬЗУЯСЬ формулами (19)
и (21), находим, что /релаксМ) ~ Y2- Это показывает, что путем
таких приближенных оценок отношение /релакс/*о невозможно
определить с точностью, необходимой для вычисления,
например, числа нейтронов, получаемых за один импульс, когда
мишень изготовлена из вещества, в котором могут идти реакции
термоядерного синтеза. К тому же сама модель очень
чувствительна к отношению /релакс/*о, так как при /Релакс/*о < 1
необходимо учитывать нагрев ионов, а при этом анализ теплопередачи
за счет теплопроводности сильно усложняется. Но так или
иначе последняя формула должна давать правильный порядок
интересующих нас величин, в чем нетрудно убедиться,
рассмотрев предельный случай, когда Te=Ti в течение всего процесса
нагревания мишени за счет теплопроводности. Очевидно, что
при Те« Т{ рассуждения могут быть такими же, как и при
Те >> 7V
В заключение отметим, что если в зоне радиусом R на
поверхности массивной мишени поглощаются U джоулей энергии,
то должна возникать плазма, состоящая из
N = я/?2 2п1и (t0) = 6 • 1017 Л W/s (22)
частиц со средней асимптотической энергией разлета ионов /С,
равной (в Кельвинах)
К = 1 (Те) = 2 • 1 05Л~'/б/Г V8. (23)
Здесь предполагалось, что y'/s « 1> a lo<.R. Эффекты,
обусловленные отклонением от одномерной геометрии, будут
рассмотрены в статье Граттона1).
*) См. гл. 13 настоящей книги.

12. Взаимодействие световых импульсов с твердым веществом 411
Соотношения (22) и (23) по порядку величины хорошо
согласуются с экспериментальными данными [4].
§ 3. ОБЛУЧЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим теперь вопрос о том, каковы условия
эффективного нагрева твердой частицы коротким лазерным импульсом.
Нагрев считаем «эффективным», если вся энергия светового
импульса равномерно распределяется по объему частицы раньше,
чем частица сколь-нибудь значительно расширится.
» , ■ » i i i i 1 i 1 1
ю1 шв ю9 ю,с
Wt, эре
Фиг. 3. Предельные значения радиуса небольшой твердой частицы, при
которых обеспечивается ее эффективный нагрев.
Это требование может выполняться только в том случае,
если радиус R частицы удовлетворяет неравенству
10 > 2/?. (24)
Если неравенство (24) не выполняется, то «сгорит» только
часть мишени. Если же мишень слишком мала, то энергия,
приходящаяся на одну частицу мишени, оказывается очень
большой и мишень взорвется раньше, чем закончится световой
импульс (длительностью т). Чтобы избежать этого, нужно
обеспечить выполнение неравенства
где W — мощность, средняя за время импульса т. Из
неравенства (25) следует

412
А. Карузо
Вычислив ') /0 в предположении, что е « Wx/R2t из
неравенств (24) и (26) получим
2 • Ю'л'/,4/г"3/7(Гт)2/7 > R > 8,2 . lO"A^lsn"luxu(Wx)4\ (27)
Неравенство (27) иллюстрируется графиком фиг. 3 для случая,
когда
т«1<Гп с, л —б- 1022 см-3, Л = 1.
Здесь неравенству (27) удовлетворяют значения /?, лежащие
между двумя сплошными прямыми. В таком режиме
температуру можно приближенно оценить, поделив энергию Wx на
полное число частиц в мишени.
§ 4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, мы рассмотрели процесс образования плазмы из
твердой мишени при воздействии на последнюю короткого светового
импульса (т<10"и с) с энергией в несколько джоулей. Этот
случай сильно отличается от случая, когда используются
световые импульсы наносекундной длительности.
Главное отличие — отсутствие газодинамического
расширения во время взаимодействия света с твердым веществом.
Было установлено, что при облучении массивной мишени
время жизни горячей области с плотностью порядка плотности
твердого тела, вообще говоря, сравнимо с временем обмена энергией
между электронами и ионами. В рамках рассмотренной теории
невозможно точно установить отношение этих двух времен. Но
можно достаточно точно оценить среднюю энергию и полное
число нагреваемых частиц; оказывается, что энергия возрастает
пропорционально е'/з, а полное число частиц — пропорционально
е2/з, где е — энергия, поглощаемая единицей площади
поверхности. Если мы хотим получить высокую температуру, то нужно
облучать мишени малых размеров. Когда радиус мишени лежит
между двумя прямыми на фиг. 3, газодинамическое расширение
в процессе нагрева отсутствует и вся мишень прогревается
равномерно. Пределы допустимых значений R зависят от энергии
Wx, поглощаемой в мишени. В таком режиме энергия,
приобретаемая каждой частицей мишени, равна просто энергии Wx,
деленной на полное число частиц в мишени. Нетрудно видеть, что
могут быть получены температуры в несколько
килоэлектронвольт.
В рассмотренных режимах важное значение имеет задача о
поглощении света мишенью. Некоторые возможные причины
аномального поглощения указаны в § 2. Теоретически полностью
*) По формуле (20).—-Прим. ред.

12. Взаимодействие световых импульсов с твердым веществом 413
решить эту задачу, по-видмому, очень трудно главным образом
потому, что нам неизвестен профиль плотности в той области,
где свет взаимодействует с твердым веществом. Чтобы получить
достоверный ответ на этот вопрос, необходимы эксперименты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Basov N. С, Zaharov S. ZX, Kriukov P. C, Senatski U. V., Tsekalin S. V.,
в книге Proc. Int. Quantum Electronics Conf. (Miami, 1968).
2. Caruso Л., Gratton R., Plasma Phys., в печати.
3. Caruso Л., De Angelis A., Gatti G., Gratton R.f Martellucci S., Phys. Lett.,
29A, 316 (1969).
4. Силин В. Я., ЖЭТФ, 21, 1127 (1965).
5. Caruso Л., Plasma Phys., 10, 963 (1968).
6. Lin С. С, The Theory of Hydrodynamic Stability, Cambridge, 1965.
7. Caruso A., Gratton #., Nuovo Cimento, 37, 62 (1965).

13
ПЛАЗМА, ПОЛУЧАЕМАЯ ПРИ ПОМОЩИ
СУБНАНОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Р. Граттон *
Данная глава состоит из трех параграфов:
1) сначала мы рассмотрим некоторые проблемы,
возникающие при сравнении теоретической модели, изложенной в статье
Карузо1), с экспериментом;
2) затем мы представим результаты экспериментов,
проведенных недавно в Лаборатории ионизованных газов во Фраскати;
3) в заключение мы на основании соотношений, приведенных
в предыдущей главе, приближенно оценим параметры плазмы,
создаваемой импульсами длительностью меньше наносекунды.
§ 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
В модели, рассмотренной в статье Карузо, имеются два
допущения, нуждающиеся в экспериментальной проверке:
а) предполагается, что основная часть падающей энергии
поглощается мишенью;
б) для упрощения расчетов принимается, что в течение
времени жизни U нагретой области либо Т{ = 0, либо 7\- = Те. Со
вторым условием связана величина константы у, введенной в
работе Карузо. Очевидно, что, поскольку t0 ~ у~\ а время обмена
энергией — того же порядка величины, что и t0i вопрос о том,
будут ли нагреваться ионы или нет, зависит от реальной
величины у.
Интересно проследить, как указанные предположения влияют
на параметры получаемой плазмы, например на
асимптотическую энергию К расширения ионов и на полное число N ионов
в горячей области.
* R. Gratton, Laboratori Gas Ionizzati (Associazioni EURATOM-CNEN)-
Frascati (Roma).
l) См. гл. 12 настоящей книги (стр. 403).

13. Плазма, получаемая при помощи лазерных импульсов 415
Предполагая, что 7\ = 0, в случае дейтериевой мишени для
К получаем
K=lbt5yuRfu(aU)l/3sB9 (1)
где Rl — радиус фокусного пятна, U — энергия лазерного
импульса в джоулях, а а — доля энергии, поглощаемая
поверхностью мишени. Если же принять, что Г» = Те, то величину (1)
нужно умножить на 2'/в. Это и
понятно, ибо если энергия
передается и электронам и ионам, то
в общей сложности нагревается
меньшее количество вещества и,
следовательно, U будет
значительно меньше.
Правда, этот 5>ффект вряд ли
проявится сколько-нибудь
значительно, так как для
реализации случая Ti = Те необходимы
большие времена жизни.
Другими словами, у нас нет оснований
полагать, что величина у
одинакова в обоих случаях, и поэтому
множитель 2,/в практического
значения не имеет.
Отсюда следует, что
экспериментально определенная
величина К не дает никакой
информации о правильности
сформулированных выше гипотез;
единственное, что, может быть, удастся
проверить, — это правильность
вывода о том, что асимптотическая энергия расширения ионов
пропорциональна U\
Число N ионов с большой энергией, образующихся в случае
Ti = О, дается выражением
%
У.Дж
Фиг. 1. Число JC нейтронов,
генерируемых за один импульс,
при ч\=\ и при разных R..
iV = 3,4.10V,/3/?Zs(at/)2/S
(2)
а в случае 7\ = Те величину N следует умножить на 2~\ Но все
сказанное выше об этом множителе остается в силе и для
величины N.
Таким образом, измерение величины N мало что прибавит
к тому, что нам известно о процессах нагрева ионов и о
величине а, и позволит проверить лишь зависимость N от U. Строго
говоря, зависимость N ~ U2/s является тривиальным следствием
соотношения К ~ ^,/з, поскольку KN ~ О.

416
Р. Граттон
С экспериментальной точки зрения довольно легко проверить
соотношения К ~ U4* н N ~ £/2/з, но не так-то просто с требуемой
точностью определить а и установить, нагреты ли ионы в
горячей области. Эту информацию можно получить, проводя
прямые измерения доли света, отраженного мишенью, и числа
нейтронов Л9, возникающих в результате ядерных реакций.
Чтобы показать, какие трудности возникают при
интерпретации результатов измерения величины JF, воспользуемся
полуэмпирической формулой
ло rfiitj. \ П2 / \ п? t± \ 2 7,5 • Ю""10 -4,25-108/г'/8
Л = nRLl (tQ)0 — (av) ~7iRL (/0)o n -^—q e ' *
4 T I*
(Ti — в Кельвинах), которая получена в предположении о макс-
велловском распределении ионов (предположение, для
настоящей задачи вполне оправданное), поскольку время столкновения
ионов — величина порядка (me/mi)4*to. Подставляя Т{ = цТе при
/г0 = 5-1022, a l(t0) и Те — такими же, как и в модели Карузо
(у = 1), получаем
На фиг. 1 показана зависимость Jf от (ail) при х\ = 1,
причем величина Rl служит параметром (для дейтериево-литиевых
мишеней величина JV на порядок меньше). Заметим, что JV
сильно зависит не только от RLi но и от а, так что небольшая
погрешность в вычислении а или Rl повлечет за собой большие
ошибки в определении JF. Следовательно, чтобы правильно
интерпретировать результаты измерения величины Jf, необходимо
с большой точностью измерить величины а и Rl независимыми
методами.
§ 2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ПОЛУЧЕНИЮ ПЛАЗМЫ
ПРИ ПОМОЩИ ЛАЗЕРНЫХ СУБНАНОСЕКУНДНЫХ ИМПУЛЬСОВ
В эксперименте (см. также [1]) использовался неодимовый
лазер, состоящий из генератора в режиме самосинхронизации
мод и трех каскадов усиления.
Генератор давал серию (около 15) световых импульсов,
следующих один за другим с интервалом 7 не. Энергия и
длительность наиболее мощных импульсов были порядка 10~2 Дж и
10~11 с. За генератором устанавливался «селектор импульсов»,
аналогичный описанному в работе Басова и др. [2].
Он состоял из двух скрещенных поляризаторов и ячейки Кер-
ра, помещенной между ними. При подаче на электроды ячейки
импульса напряжения схема работает как быстродействующий
оптический затвор и из всей серии импульсов пропускается
только один. Ячейка запускалась непосредственно лазерным им-

13. Плазма, получаемая при помощи лазерных импульсов 417
пульсом таким образом, чтобы пропускался только наиболее
мощный импульс. Затем, проходя каскады усилителя, этот
импульс усиливался примерно в 100 раз. Фактически выходная
энергия лазера от импульса к импульсу сильно флуктуировала
и величина U в ходе эксперимента колебалась от 0,1 до 1,3 Дж.
Лазерный пучок фокусировался линзой диаметром 3,8 см
с фокусным расстоянием 12 см. Радиус фокального пятна
оценивался косвенным образом по расходимости пучка и оказался
порядка 10~2 см.
*7J
ю1
*5
^/г~</'/'
10
^ I
sn^u*'3
ю1
г s
. :*
у'-
' I ■ ИП| L-
' ' "" I » 1ЧН
/гг.
,0я
юч
ют
(/.Дж
Фиг. 2. / — зависимость энергии ионов К от U; 2— зависимость полного
числа частиц N от U.
Мишени из чистого дейтерия, использованные в этом
эксперименте, получались в криостате, охлаждаемом циркулирующим
жидким гелием [3]. Они представляли собой небольшие
цилиндры диаметром 2 • IО"2 см и высотой 1 мм. Измеренная атомная
плотность мишени составляла около 5 • 1022 см-3, и это значение
плотности принималось для всего эксперимента. Лазерный пучок
направлялся перпендикулярно оси цилиндра.
Величины К и N измерялись при помощи нескольких
электрических зондов. Величину К определяли путем сравнения
сигналов, регистрируемых двумя зондами, расположенными в одном
направлении, но на разных расстояниях от мишени, а величину
N— по амплитуде интегрированных по времени сигналов зондов.
Результаты измерения величин К и N приведены на фиг. 2;
полученные зависимости К и N от U хорошо согласуются с
теоретическими. Отметим, что численные значения К очень близки
к теоретическим, а значения N в 4—5 раз меньше рассчитанных

418
Р. Граттон
на основе теоретической модели (в случае, когда а = у = 1 и
Ti = Te).
Измерялась также энергия, отражаемая мишенью назад в
телесный угол 0,08 стер, симметричный относительно оси
лазерного пучка. При этом наблюдался большой разброс результатов
от импульса к импульсу, но доля рассеянной назад энергии была
всегда меньше 0,01. Если предположить, что свет изотропно
рассеивается в полусферу, то полученному результату должна
соответствовать величина а около 0,5, тогда как в предположении
геометрического отражения от поверхности мишени величина а
составляла бы примерно 0,1.
Полученные в этом эксперименте результаты позволяют
сделать вывод, что в пределах исследованного диапазона энергий U
а) законы подобия, выведенные теоретически в статье Ка-
рузо, верны;
б) более 50% падающего света поглощается.
В то же время ничего нельзя сказать о температуре ионов
в горячей области.
Отметим, что даже в случае импульсов со сравнительно
низкой энергией, использованных в данном эксперименте,
небольшое отражение энергии нельзя объяснить, просто предположив,
что поглощение происходит за счет кулоновских столкновений
между электронами и ионами. Для этого нужно было бы, чтобы
эффективная частота столкновений была того же порядка, что и
плазменная частота.
§ 3. ПАРАМЕТРЫ ПЛАЗМЫ, КОТОРУЮ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ,
ФОКУСИРУЯ СУБНАНОСЕКУНДНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
НА МАССИВНЫЕ ДЕЙТЕРИЕВЫЕ МИШЕНИ
Хотя гипотезы и законы подобия, выведенные на их основе
в работе Карузо, проверены лишь частично, интересно было бы,
пользуясь этими соотношениями, приближенно оценить
параметры плазмы, которую можно получить при помощи коротких
лазерных импульсов. Для простоты мы приведем результаты,
полученные для случая чистых дейтериевых мишеней при а = 1,
Y = 1 и Т{ = Те.
Формулы, приведенные в работе Карузо, в рассматриваемом
случае запишутся в виде
/о = 1,4- ltrV'/E"1 с, (3)
I (t0) = 0,97 • 1(Г6(//з/?Г4/з см, (4)
К«0)=17,2иЧзЯ?и эВ, (5)
N (t0) = nQnR2Ll (t0) =1,5-10nU*uRb (6)

13. Плазма, получаемая при помощи лазерных импульсов 419
Эти формулы выведены в предположении одномерной
геометрии, и поэтому их можно использовать только при условии,
что l(t0)^. RL\ в противном случае их необходимо
соответствующим образом видоизменить.
В случае когда /(^о)> /?l, плоское приближение справедливо
только до момента /*(£/, /?L), определяющегося соотношением
так как спустя время t* расширение горячей области становится
трехмерным, т. е. число «нагретых» частиц будет увеличиваться
как /3, а температура будет
пропорциональна Ul~3. Радиус л
фокального пятна перестает
быть характерным
параметром; им становится величина /.
и,Дж
Фиг. 3. Зависимость К от U при Фиг. 4. Зависимость числа N ионов,
разных /?£. содержащихся в горячей области,
от U при разных RL.
Другими словами, параметры плазмы нужно вычислять в
предположении, что энергия вводится не на конечной
поверхности, а в точке.
В этом случае простой анализ размерностей дает следующие
законы подобия:
/('о)~£/'/т, (7)
U\ (8)
СЛ (9)
К (to)
tf('o)
Эти соотношения имеют большое практическое значение.
Представим себе мысленно эксперимент, в котором величина
Rl фиксирована, а величина U растет от импульса к импульсу.
Соотношения (4) —(6) справедливы до тех пор, пока энергия U

420
Р. Граттон
меньше критического значения £/кр, удовлетворяющего
уравнению t*(RLi U)= t0, решение которого дает нам
UKP ~ l09Rb (10)
Кроме того, при U > £/кр величина К растет лишь как U4\ а
поэтому, чтобы заметно изменить величину /С, нужно очень сильно
увеличить энергию.
Если повторить эксперимент при меньших RLi то мы получим
большие значения К в диапазоне энергий U ^ £/Кр, но зато £/кр
будет значительно меньше, чем в предыдущем случае, так что
выигрыш в величине К будет лишь при небольших значениях
используемой энергии (/, а при больших значениях U результаты
останутся прежними. Это хорошо видно на фиг. 3, где сплошные
линии дают зависимость К от U при £/<(/Кр, причем RL —
параметры; линии обрываются в точках U = £/Кр, а пунктирная
кривая, соединяющая верхние точки прямых, дает значения К
для областей U > f/Kp.
Из проведенного анализа следует, что для получения ионов
с очень большой энергией при облучении больших мишеней
необходима большая энергия, даже если излучение фокусируется
в небольшое пятно. Это объясняется тем, что энергия
распределяется по объему мишени неконтролируемым образом и,
увеличивая подвод энергии, мы почти пропорционально этому
увеличиваем число «нагретых» частиц, а энергия отдельных частиц
ненамного возрастает.
На фиг. 4 представлена зависимость N от (/, причем RL
служит параметром. Сплошные и пунктирная линии имеют тот же
смысл, что и на фиг. 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Caruso A., De Angelis A., Gatti G., Gratton R., Martellucci S., Phys. Lett,
29A, 316 (1969).
2. Басов H. Г., Захаров С. Д., Крюков Р. Г., Сенатский Ю. В., Чекалин С. В.
Письма ЖЭТФ, 8, 114 (1968).
3. Cecchini А.у De Angelis Л., Gratton R.t Parlange F.t Journ. Phys. E (Journ.
Sci. Instr.),2, 1 (1968).

14
ПОЛУЧЕНИЕ
ПЛОТНОЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ
ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕНСИВНЫХ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ
Ф. Винтерберг*
ВВЕДЕНИЕ
На протяжении двух прошедших десятилетий много сил было
затрачено на решение проблемы управляемого термоядерного
синтеза. Основная часть этих усилий была сосредоточена на
вопросе устойчивого удержания термоядерной плазмы в
магнитном поле. Хорошо известно, что разнообразные плазменные
неустойчивости (иногда совершенно неожиданные) до сих пор не
позволили добиться успеха в этом направлении. В настоящее
время даже не известно, можно ли вообще практически решить
проблему устойчивого удержания плазмы в термоядерных
условиях. В 1963 г. было высказано предположение [1, 2], что
желаемая цель может быть достигнута совершенно другим путем, а
именно путем инициирования термоядерного микровзрыва при
ударе небольшого, ускоренного до скоростей порядка 108 см/с
снаряда (называемого также макрочастицей или макроном) о
плотную термоядерную мишень. Размер снаряда должен быть
больше 1 мм. При ударе о термоядерное вещество такой снаряд
создал бы ударную волну, достаточно сильную для того, чтобы
инициировать термоядерный взрыв.
Основная трудность, с которой сталкиваются при таком
подходе,— это необходимость ускорения частиц с размерами
порядка 1 мм до высоких скоростей. Первое, что.приходит в
голову,— ускорять макроны электростатически. Но оказывается,
что для ускорения макрона миллиметрового размера
потребовался бы ускоритель длиной более 100 км. Поскольку чем
меньше макрон, тем меньше должна быть длина ускорителя, было
предложено ускорять пучок микрочастиц. Будучи
сфокусированным на термоядерную мишень, такой пучок при соударении мог
бы действовать подобно одной большой сплошной частице.
Наряду с электростатическим возможно и магнитное
ускорение: можно ускорять сверхпроводящий макрон посредством
* F. Winterberg, University of Nevada System, Las Vegas, Nev.

422
Ф. Винтерберг
бегущей магнитной волны [3—5]. Хотя такой метод в принципе
позволяет ускорять один большой снаряд, длина ускорителя,
обеспечивающего скорость макрона порядка 108 см/с, должна
быть более 10 км.
В том же 1963 г. было выдвинуто и другое предложение:
инициировать термоядерный микровзрыв [6, 7]1), фокусируя на
термоядерную мишень пучок излучения импульсного лазера. В этом
случае трудность состоит в том, что минимальная энергия,
необходимая для поджига термоядерного микровзрыва, составляет
~ 1014 эрг. Не говоря уже о низком к. п. д. лазеров, из-за
которого энергия питания должна значительно превышать 10й эрг,
потребовались бы лазеры огромных размеров, в настоящее
время не существующие.
Оба эти предложения, столь разные по своему характеру
(одно — ускорять макрочастицы, а другое — облучать
термоядерную мишень мощным лазерным пучком), имеют общее в
том, что инициирование небольшого термоядерного взрыва
предлагается вызывать бомбардировкой мишени интенсивным
пучком частиц, кинетическая энергия которых при соударении
преобразуется в тепло. С этой точки зрения ускоритель макрочастиц
и лазер, очевидно, соответствуют двум крайним точкам спектра
существующих частиц и для исследований остается открытой
широкая область этого спектра, в частности электроны и ионы.
Недавно теоретически было показано [8], что инициирование
термоядерного микровзрыва (микробомбы) с помощью
интенсивных электронных и ионных пучков может оказаться вполне
реальным, причем ускорение пучков электронов и ионов
требуемой интенсивности, по-видимому, также осуществимо. При
таком подходе отпадают те большие трудности, с которыми мы
сталкиваемся в обоих предельных случаях (макроны и фотоны)
спектра существующих частиц.
В целом положение характеризуется данными табл. 1, где
приведены методы ускорения различных частиц спектра,
простирающегося от фотонов (лазер) до сверхпроводящих макронов.
Для электростатического ускорения электронов и ионов
требуется система накопления энергии, способная при разрядке
давать энергию более 1014 эрг за время 10 не. Такая накопительная
система может представлять собой большую конденсаторную
батарею с высоковольтной схемой удвоения напряжения и с
высоковольтной линией Блюмлейна. В работе [8] предложена новая
система, в которой основным элементом служит
электростатически заряженное до гигавольтных потенциалов сверхпроводящее
сильно замагниченное кольцо, висящее в электрическом поле.
Если бы ее можно было технически осуществить, это была бы
!) А также A. G. Engelhardt, неопубликованный отчет (1963).

Таблица 1
Инициирование небольшого термоядерного взрыва за счет кинетической энергии пучков частиц
1»
S
с
о
X.
>>
Лазер

Электронный
ускоритель

(релятивистские

электроны)
Ионный

ускоритель
(пучок
ионов)

Ускоритель

крочастиц
Макрон-
ный
ускоритель
3
Sf
S
f-
о
Фотоны

Электроны
Ионы
Пылинки


проводящий
соленоид
ее
§
О
с
са
о
о
«я
2и
0
кг2''
ю-24
ю-12
1
та
Я
о) Г»
ф sr
1 эВ
10 МэВ
ГэВ
10 МэВ
ГэВ
102 эрг
10,в эрг
1 sf
S
у
1 CQ
-г
! о
о
а
10м
10"»
J0'7
101»
10"
10'2
1
Я
S
ffl
О)
O.S
t- s
та <u
13

Электромагнитная
ударная волна
Бесстолкно-
вительная

электростатическая
и магнито-
гидродинами-
ческая
ударная волна
Бесстолкно-
вительная

гидродинамическая
ударная волна

Гидродинамическая
ударная волна

Гидродинамическая
ударная волна
S
я
1»
1 *

Виртуальное


статическое
То же
> »
Магнитная
бегущая
волна
о
и
>,
та*
ж ч
я «
3*
ые-
0
1 10 см
10 см
10 см
10 км
о*
1 *г
Оптическая
накачка
Конденсаторная
батарея со схемой
удвоения
напряжения
Левитационный
конденсатор
Конденсаторная
батарея со
схемой удвоения
напряжения
Левитационный
конденсатор
Левитационный
конденсатор
Конденсаторная
батарея с
передающей линией
• 8
s 5 s
\ %v -
J? *• х
JO s s
О ь u
I О2
I02-I08
2
Ю2—10»
2
2
10*-105
CO
* «
. X
**я
a>
1%
Высокий
Высокий
Высокий
Высокий
1
>»
S
л ffl
Хорошая

фокусировка

Релятивистская
фокусировка;
магнитное
1 уменьше-
1 ние
пробега про-
1 дуктов
деления
Малый
пробег в
мишени
То же
» >
s
id
Для оптической
накачки нужна
энергия
Ю'в эрг
Повышенные
потери за счет тор-
1 мозного
излучения и
турбулентной электронной

теплопроводности
Трудно подавлять
' холодную
электронную эмиссию
То же
Слишком
большая длина
ускорителя

424
Ф. Винтерберг
очень мощная и компактная система накопления энергии без
больших и дорогостоящих конденсаторных батарей.
То обстоятельство, что при помощи такой электростатической
системы накопления энергии могут быть получены интенсивные
релятивистские электронные пучки с током во много миллионов
ампер и энергиями до нескольких гигаэлектронвольт,
представляет самостоятельный интерес независимо от возможности
использования ее для управляемого синтеза.
§ 1. УСЛОВИЯ ИНИЦИИРОВАНИЯ МАЛОГО
ТЕРМОЯДЕРНОГО ВЗРЫВА
Чтобы дать представление о требуемых интенсивностях и
энергиях пучков, оценим приближенно минимальные размеры
термоядерной мишени и необходимую энергию. Предположим,
что мишень окружена тяжелым веществом с высоким
порядковым номером элемента и, следовательно, можно пренебречь
потерями на расширение горячего плазменного шара. Оказывается,
что для этой цели выгодно использовать обычный уран, так как
быстрые нейтроны, освобождаемые в термоядерной реакции,
вызывают в нем деление, существенно увеличивая тем самым
общий энергетический выход [9]. У обычного урана есть еще одно
преимущество — он сравнительно дешев. Предположим далее,
что мишень представляет собой шар из жидкой или твердой
смеси Т — D с плотностью атомов N = 5-1022 см"3. Температуру
Т мы будем везде выражать в килоэлектронвольтах.
Чтобы инициировать небольшой термоядерный взрыв,
необходимо выполнить ряд условий. Во-первых, энергия должна
подводиться к мишени за время, меньшее чем минимальное из
времен потерь энергии. Потери энергии связаны в основном
с тормозным излучением, электронной теплопроводностью и
расширением вещества мишени.
Характерные времена потерь (в секундах) на излучение и на
электронную теплопроводность даются следующими
выражениями: _
т*=1,8. Ю~8УТ с, (1.1)
тс=5,75- 1(Г5гоГ"5/2с, (1.2)
где г0 —радиус шара из смеси Т — D. Если шар из Т — D
окружен веществом с высоким Z, например ураном, то потери на
расширение вещества при температуре в несколько
килоэлектронвольт определяются скоростью звука в этом веществе. С
уверенностью можно сказать, что она меньше 107 см/с. Тогда
характерное время потерь, обусловленных расширением, дается
выражением
Vcui ~ 10"7г0с. (1.3)

14 Получение плотной термоядерной плазмы
425
Очевидно, что для мишени радиусом в несколько
миллиметров наиболее существенные потери энергии связаны с
излучением и теплопроводностью. Но, как будет показано далее,
большая часть продуктов синтеза поглощается в тонком слое
окружающего вещества с высоким Z Образующийся таким образом
горячий слой действует как естественный теплоизолятор,
существенно уменьшая тем самым потери на теплопроводность.
Кроме того, к значительному уменьшению потерь на
теплопроводность может привести учет сильного магнитного поля,
связанного с интенсивным пучком частиц. Принимая во внимание эти
соображения, при оценке критических размеров термоядерной
мишени пренебрежем потерями на расширение и электронную
теплопроводность.
Во-вторых, для того чтобы энергетический баланс был
положительным, должно выполняться условие Лоусона для
минимального времени удержания:
т^>2- 1(Г9с. (1.4)
В-третьих, если желателен небольшой термоядерный взрыв,
то заряженные продукты синтеза должны останавливаться
внутри активного объема. Это — условие детонации. Если % — длина
свободного пробега продуктов синтеза, то вероятность того, что
продукты синтеза останутся внутри сферы радиусом г0, будет
такова:
Р = -2Ц- f f g"'ri"r?|/\dr|dr2. (1.5)
Двойной интеграл нужно взять по всей сфере. При х = г0Д
интегрирование дает
Р(*) = 1--^[*'-1 + (1+д)в-»*]. (1.6)
Чтобы найти критический размер термоядерного микровзрыва
и минимальную (т.е. критическую) энергию, нужно связать
условие детонации с потерями энергии. Подчеркнем, что
минимальная энергия не соответствует наименьшему возможному
радиусу инициирования, так как наименьший радиус может быть
связан с более высокой температурой инициирования, что влечет
за собой большие потери заряженных продуктов синтеза из
активной области.
Энергетический выход реакции синтеза в смеси Т — D может
быть записан в виде
Ef = 5,4 . Ю-1 Vr-VIMr"V' эрг/см3 • с. (1.7)
Чтобы найти ту часть энергии синтеза, которая поглспцается в
самой мишени, нужно величину Ef [формула (1.7)] умножить на

426
Ф. Винтерберг
вероятность Р(х) того, что продукты реакции останутся внутри
мишени. Вклад энергии от продуктов синтеза должен
компенсироваться потерями за счет тормозного излучения, что и является
условием инициирования.
Для полностью ионизованной водородной плазмы потери
энергии за счет тормозного излучения даются выражением
Ег = 5,35 • 1(Г24ЛГУ/2 эрг/см3. с. (1.8)
Таким образом, из условия инициирования и детонации реакции
синтеза в смеси Т — D получаем уравнение
1,01 • 106r"7V,9,9r",/sP(jc) = 1, (1.9)
где, как и прежде, х = г0/Х. Длина свободного пробега X частицы
Не4, получающейся в результате реакции синтеза, дается
выражением
Я = 3,2- 1(ГУ/2см. (1.10)
В тех условиях, при которых возможна детонация, уравнение
(1.9) имеет два корня. Меньший корень, дающий температуру
инициирования, стремится к Т = 4,3 кэВ при г0-*оо и Р(х)= 1.
Решение уравнения (1.9) дает функцию Т(г0), связывающую
температуру и радиус, при которых происходит детонация.
Энергия, которую нужно ввести извне, чтобы обеспечить
температуру инициирования, такова:
£0 = З^Г^-го=Ю,5г3оГ(го)эрг. (1.11)
Графики функций Т(г0) и Е(г0) приведены на фиг. 1. Вводимая
энергия для реакции в смеси Т — D (справа) при г0 = 2,1 мм
имеет резкий минимум, равный 1,12-1014 эрг. Температура
инициирования в этой точке составляет 12,1 кэВ, а Р(х) = 0,108.
Около 90% энергии продуктов синтеза выделяется в объеме,
окружающем активную область. Если мишень окружена
веществом с высоким Z, то эффективность торможения продуктов
синтеза, покидающих активную область, будет очень велика.
Таким образом, продукты синтеза теряют свою энергию в тонкой
оболочке, окружающей термоядерную мишень. Согласно
формуле (1.1), энергия, равная 1,12-1014 эрг, должна быть подведена
к термоядерной мишени за время, меньшее чем 20 не. Время
потерь на расширение, согласно формуле (1.3), составляет
2-10~8 с, что обеспечивает существенное превышение над
минимальным лоусоцовским временем, которое, согласно условию
(1.4), равно 2-10~9 с. Чтобы ввести энергию ~1014 эрг за 10 не,
потребовался бы, например, ток пучка ~2-107 А при энергии
электронов 50 МэВ.

14 Получение плотной термоядерной плазмы 427
Отметим еще два обстоятельства. Во-первых, поскольку ток
пучка релятивистских электронов, необходимый для поджига
термоядерной мишени, составляет несколько мегаампер, такие
пучки создают очень сильные магнитные поля. Эти поля могут
намного уменьшить длину свободного пробега заряженных
продуктов синтеза и тем самым облегчить инициирование
термоядерного микровзрыва [10]. Правда, идеально проводящая
плазма может нейтрализовать магнитное поле интенсивного реляти-
3.0 3tS "/,5
г0, мм
Фиг. 1.
«/
§
**4
§
<*
з
*
2
«/
п
■ 1
-
1 1
" \ ^ \
L^
\ 1 1 1 _. I
Z,0 1,5 3,0
вистского электронного пучка [11] за счет обратного тока,
возникающего в ней, но все же часть магнитного поля пучка
окажется захваченной внутри мишени, так как в начальной,
холодной фазе процесса нагрева плазма не обладает идеальной
электропроводностью. Степень замагниченности продуктов синтеза
можно оценить следующим образом. Ток / пучка радиусом,
меньшим чем радиус мишени, создает на ее поверхности магнитное
поле
Н =0,2-^-,
(1.12)
где / — в амперах.
Ларморовский радиус заряженных продуктов синтеза дается
выражением
A Mvc ,л 10Ч
где v — скорость продукта синтеза. Исключив Н из уравнений
(1.12) и (1.13) и подставив численные значения для реакции

428
Ф Винтерберг
синтеза Не4 из смеси Т — D, получим
■^«0,7- Ю6-. (1.14)
Отсюда видно, что при токах пучка, превышающих 106 А, лармо-
ровский радиус оказывается меньше радиуса мишени.
Поскольку же для инициирования требуются токи пучка до 108 А,
это означает, что недокомпенсация магнитного поля пучка
обратным током всего лишь на 1 % привела бы к почти полному
замагничиванию продуктов синтеза.
Во-вторых, нужно учитывать влияние сильного магнитного
поля на электронную теплопроводность.
Зависимость коэффициента электронной теплопроводности от
сильного магнитного поля дается выражением [12]
-^ = 6,76- 10"32(^-)2Г"3. (1.15)
Если, например, / = 107 А, а Го = 0,2 см, то поле Н = 107 Гс.
Тогда при Л^ = 5 • 1022 см~3 и Т = 10 кэВ формула (1.15) дает
Х±/х «1.7* Ю-3. Во столько же раз уменьшится обратная величина
характеристического времени потерь энергии за счет
электронной теплопроводности [формула (1.2)]. При г0 = 0,2 см и Т =
= 10 кэВ мы получаем величину тс«0,7-10"8 с, которую при
наличии поля нужно заменить величиной тс±« 4-10"6 с. Тем
самым подтверждается правильность предположения о том, что
тепловые потери пренебрежимо малы по сравнению с потерями
на тормозное излучение.
Таким образом, замагничивание продуктов синтеза и
уменьшение электронной теплопроводности приводит к уменьшению
энергии инициирования микровзрыва.
§ 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЩНОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО
ПУЧКА ЭЛЕКТРОНОВ С МИШЕНЬЮ
При термоядерных температурах пробег одиночного
электрона с энергией в несколько мегаэлектронвольт в водородной
мишени с плотностью 5-Ю22 см"3 составляет величину порядка
104 см. Очевидно, что при такой длине свободного пробега одно-
частичное кулоновское взаимодействие электронов с плазмой
не может обеспечить нагрев мишени из смеси Т — D толщиной
в несколько миллиметров до термоядерных температур. Но в
физике плазмы экспериментально установлено (и в значительной
степени теоретически объяснено), что благодаря коллективному
действию электрических и магнитных полей эффективная длина
свободного пробега частиц пучка может сильно уменьшиться за

14 Получение плотной термоядерной плазмы 429
счет бесстолкновительных диссипативных процессов. Это
придает особое значение коллективным неустойчивостям плазмы.
Положение оказывается обратным тому, что мы имеем при
обычном подходе к проблеме управляемого термоядерного синтеза,
когда для удержания плазмы в магнитном поле стремятся
подавить все возможные неустойчивости. Здесь, наоборот, для
быстрого введения энергии пучка в мишень необходимо
возбуждение быстронарастающих неустойчивостей.
Известно, что электронный пучок эффективно
взаимодействует с плазменной мишенью за счет так называемой пучковой
неустойчивости. Это один из видов электростатических
неустойчивостей, которые, как правило, нарастают быстрее других.
Вопрос о максимальных инкрементах нарастания пучковых
неустойчивостей рассматривается в работе Бьюнмена [12] в случае
холодной бесстолкновительной плазмы и нерелятивистских
моноэнергетических электронных пучков и в работе Бладмена, Уат-
сона и Розенблюта [13] в случае релятивистских электронных
пучков с конечной температурой пучка и с учетом столкновений
в плазме.
Электронная и ионная частоты нагреваемой плазмы даются
формулами
•.-PS2?- <2Л)
где пг и М — массы электрона и иона. Электронная плазменная
частота m пучка дается формулой
©; = (со^х sin2 е + < cos2 е)'/>, (2.3)
где в — угол между волновым вектором возбуждаемых
колебаний и направлением распространения пучка, а
Здесь (Obi и CD&H —плазменные частоты для волн, бегущих в
пучке перпендикулярно и параллельно направлению пучка.
Заметим, что в выражение для перпендикулярной плазменной
частоты пучка входит поперечная масса электрона, а в выражение
для параллельной плазменной частоты — продольная. Очевидно,
(2.4)
(2.5)
(2.6)

430
Ф. Винтерберг
что (!)ы = у°)Ы1- В работе [13] было показано, что инкремент
нарастания максимален для волн, распространяющихся под
углом Э « я/4 к направлению пучка. При условии у >• 1,
которое всегда выполняется при рассматриваемых нами параметрах
плазмы, имеем
со; « 2-,/2cobY"V2 - OJIgvT'72. (2.7)
Поскольку нас интересуют наибольшие инкременты нарастания
неустойчивостей, в дальнейшем мы везде будем использовать это
значение величины со£.
Если ввести электронную частоту столкновений [11] v,
которая для мишени из смеси Т — D с атомной плотностью N =
= 5 • 1022 см~3 дается формулой
v = 4,27- 10,3Г~\ (2.8)
то весь диапазон частот можно разделить на три интервала:
I. v«(^)V (2.9)
II. (-^-)I(oe<v<(ue> (2.10)
III. v>©e. (2.11)
В интервале I столкновениями можно пренебречь, а инкремент
нарастания записать в виде
« ~ °>7{ltY<»° ~ °.№(£)*•*-*. (2-12)
В интервале II инкремент имеет вид
■■4&Г-М£П*)*."-*. (2..3,
В этом интервале влияние столкновений приводит к уменьшению
инкремента. В интервале III электронные плазменные колебания
отсутствуют, но наблюдается быстрый рост неустойчивостей за
счет ионных плазменных колебаний, для которых инкремент
записывается в виде
.-w(i)\-M.(^f(i)V4 ».<,
Частоте ые = v соответствует переход между интервалами II и
III. Взяв для v выражение (2.8), получим, что температура при
этой частоте такова: Т « 0,15 кэВ « 1,7-106 К.

14 Получение плотной термоядерной плазмы 431
Найдя инкремент а, длину свободного пробега пучка Кв при
скорости электронов v « с можно вычислить по формуле
Ло«^. (2.15)
В случае мишени из смеси Т — D имеем П\ = 5 • 1022 см-3, (ое =
= 1,26 • 101в с""1, М = 2,5 Мн, где Мн — масса атома водорода;
отсюда получаем пг/М = 2,18-10~4.
Плотность электронов п2 в пучке связана с плотностью
электрического тока соотношением
/« п2ес~ 14,4/г2, (2.16)
где плотность тока / выражена в электростатических единицах.
Если / выразить в амперах на квадратный сантиметр, то
/12 = 2,1 • 108/. (2.17)
Если взять диаметр пучка равным 0,1 см, что с технической
точки зрения, по-видимому, вполне реально, то мы получим / =
= 102/, где / — полный ток пучка. Таким образом, измеряя ток /
в мегаамперах, можем написать
«2 = 2,1 • Ю,ь/. (2.18)
Например, при / = 20 МА мы имеем Пч « 4-1017 см~3. Подставив
значения пи п2, о* и М/m в соотношения (2.12) — (2.14) и найдя
из них Хв для разных интервалов частот, получим:
I. Яо==5,8.10-4(^)\ (2.19)
II. AD<7,4.10-3(^)Vt, (2.20)
III. Яо = 7,4- 10~4(^-),/e. (2.21)
Приняв в интервале II юе = v, мы взяли наименьший инкремент
и тем самым наибольший пробег. Истинный же • пробег будет
несколько меньше, ибо частота сое = v соответствует переходу от
интервала II к интервалу III. Формула для инкремента,
соответствующая интервалу II, неприменима в точке перехода. А
поскольку пробег в интервале III меньше величины, которая стоит
в правой части неравенства (2.20), это означает, что при сое = v
пробег в действительности меньше. Истинный пробег в
интервале II должен лежать между значениями Хв> соответствующими
интервалам I и III.
Для пучка электронов с энергией 50 МэВ, который легко
получить при помощи схемы удвоения напряжения, имеем
Y» 100 и / = 20 МА. В случае же накопительной системы,

432
Ф. Винтерберг
основным элементом которой служит висящее в поле
сверхпроводящее кольцо (см. ниже), можно получить значения уж 103,
/ = 2 МА. Очевидно, что в этом случае пробеги будут несколько
больше, чем для электронов с энергией 50 МэВ. Но даже при
у/1 ** 103 величина Хв в интервале II не превышает ~0,23 см.
При у/1&5, что соответствует энергии электронов 50 МэВ, в
интервале II получим Xd~1,6-10-2 см. Во всех соотношениях
(2.19) — (2.21) пробег уменьшается с увеличением тока пучка.
Поскольку всегда требуются очень большие токи, это
обстоятельство оказывается весьма выгодным.
Пробег, даваемый формулой (2.15), соответствует изменению
скорости пучка в е раз, а поэтому фактические пробеги должны
быть больше вычисленных по данной формуле. В самом деле,
поскольку мы имеем в виду замедление пучка до тепловых
энергий, пробег пучка нужно умножить на */2ln (E0/Et), где Е0 —
начальная энергия пучка, a Et — тепловая энергия. Если Et «
« 10 кэВ, а Е0 « 50 МэВ, то х/2ЩЕ^Ег) » 4,2. При Е0 » 1 ГэВ
и том же значении Et этот множитель равен 6,8. Такое
увеличение пробега не может создать серьезных трудностей в проблеме
торможения пучка в мишени.
Подобные упрощенные оценки показывают, что длина
свободного пробега, по-видимому, достаточно мала, для того чтобы
обеспечивалась полная диссипация энергии пучка в мишенях
диаметром несколько миллиметров.
Но есть еще один важный эффект, который может повлиять
на инкремент нарастания электростатических неустойчивостей и,
следовательно, на длину пути торможения пучка. Он связан с
продольным и поперечным разбросом температуры (и скорости)
в пучке. Такой разброс может приводить к сильному затуханию
Ландау, препятствующему нарастанию пучковой неустойчивости.
В настоящее время еще неизвестно, насколько серьезные
трудности могут возникнуть из-за затухания Ландау. Но можно
утверждать, что влияние такого затухания с увеличением энергии
пучка уменьшается, поскольку перекрытие распределений
скоростей в пучке и в мишени, которое ответственно за затухание
Ландау, уменьшается с увеличением энергии пучка.
В случае когда бесстолкновительная диссипация энергии
быстрых электронных пучков приводит к серьезным трудностям,
можно использовать мощный ионный разряд [8], который будет
рассмотрен позже.
Для получения полностью ионизованной плазмы всегда
необходим предварительный нагрев мишени до температуры
порядка 10 эВ « 105 К. Такой нагрев можно осуществить за счет
ряда механизмов. Один из них — передача части энергии пучка
веществу мишени при обычном торможении электронов. Для
нагревания мишени до температуры 10 эВ при радиусе 0,2 см не-

14 Получение плотной термоядерной плазмы
433
обходима энергия 1011 эрг. Пробег электронов с энергией ЮМэВ
в жидком водороде составляет ~ 102 см, так что при энергии
пучка 1014 эрг в мишени останется 5- 10й эрг. Это в 5 раз больше
того, что требуется, т. е. для нагревания мишени до 10 эВ было
бы достаточно 20% энергии пучка. Но это все же очень
большой процент, особенно если учесть низкую температуру,
требующуюся для предварительного нагрева. Другой, более
эффективный способ нагрева — использовать для оболочки мишени
вещества с высоким порядковым номером Z. В веществе с
высоким Z (Z ж 100) пробег пучка сокращается до величины
порядка Ю-2 см. Благодаря этому поверхность тяжелого вещества
нагревается до высокой температуры, которая, как это
происходит в случае взрывающихся проволочек, может достигать 106 К.
Таким образом, на поверхности мишени формируется горячая
область, испускающая интенсивное ультрафиолетовое излучение,
которое в свою очередь эффективно нагревает мишень.
Наконец, энергия электронов мишени должна быть
достаточно быстро передана ионам за счет кулоновских столкновений.
При выбранных выше параметрах мишени время передачи
энергии дается выражением [И]
/пер = 5,5.10-,,Г8/2с. (2.22)
При Т = 4,3 кэВ = 5-Ю7 К получаем /Пер ~ 5-10~10 с. Эта
величина достаточно мала, так что ионы будут достаточно быстро
нагреваться до термоядерных температур.
§ 3. МЕТОД БОМБАРДИРОВКИ МИШЕНИ ИНТЕНСИВНЫМ ПУЧКОМ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ В РАЗРЯДЕ
С ХОЛОДНЫМ КАТОДОМ
Поскольку длительность разрядки, необходимой для
инициирования термоядерного микровзрыва, должна быть крайне
малой, приходится использовать высокие напряжения. Высокая
скорость выделения энергии возможна лишь при высоких
напряжениях и малых временах разрядки. Недостатком
использования высоких напряжений является низкая эффективность
торможения быстрых электронов в мишени, которую, правда, можно
повысить за счет рассмотренных выше механизмов бесстолкно-
вительной диссипации. Как уже отмечалось, механизмы бес-
столкновительной диссипации оказываются эффективными как
раз при требующихся плотностях тока.
Сущность метода бомбардировки мишени интенсивным
пучком релятивистских электронов поясняют фиг. 2 и 3. На фиг. 2
представлена схема удвоения напряжения, состоящая из
нескольких параллельных конденсаторов, заряжаемых до высокого
напряжения высоковольтным трансформатором через
выпрямитель. Когда напряжение на разрядниках достигает критического

Фиг. 2. Метод бомбардировки мишени пучком частиц, создаваемым при
помощи схемы удвоения напряжения и линии Блюмлейна.
/ — высоковольтный трансформатор; 2 —выпрямитель; 3 — схема удвоения напряжения;
4—разрядные промежутки; 5 —линия Блюмлейна; 6 — управляемый разрядник; 7 — эмит-
терная щетка (катод); 8— разреженная плазма, нейтрализующая пространственный заряд;
9— термоядерная мишень; 10 — тонкое анодное окно.
Фиг. 3. Метод бомбардировки мишени пучком частиц, создаваемым при
помощи левитационного конденсатора со сверхпроводящим кольцом.
/ — сверхпроводящее кольцо, заряженное до высокого потенциала; 2—разрядный
промежуток; 3— магнитное поле; 4—ток сверхпроводящей обмотки; 5 — электронный ток в
момент разрядки; 6 — эмиттерная щетка (катод); 7 —тонкое анодное окно; 5 —термоядерная
мишень; 9—разреженная плазма для нейтрализации пространственного заряда.

14. Получение плотной термоядерной плазмы
435
значения, один из них замыкается, что мгновенно приводит к
замыканию всех остальных разрядников из-за резкой волны
перенапряжения с соседних разрядников. В результате все
конденсаторы оказываются мгновенно включенными
последовательно. Если перед замыканием разрядников напряжение равно
V и имеется п одинаковых конденсаторов, то после замыкания
разрядников напряжение возрастает до nV. Кроме того, если
время разрядки всей батареи при разомкнутых разрядниках
равно т, то после замыкания разрядников оно уменьшается до
величины х/п. Очевидно, что при увеличении числа параллельно
заряжаемых конденсаторов п могут быть достигнуты очень
высокие напряжения. Например, если V = 500 кВ и п = 100, то
после замыкания разрядников напряжение поднимется до 50МВ,
а если время разрядки параллельных конденсаторов равно
т = 10~5 с, то при последовательном их включении оно
уменьшается до 10~7 с. Высоковольтный выходной провод схемы
соединяют с высоковольтной малоиндуктивной передающей линией,
такой, как линия Блюмлейна (см. ниже), которая с помощью
управляемого коммутатора позволяет разрядить всю энергию за
время порядка Ю-8 с.
Высокое напряжение, возникающее на выходном конце
линии Блюмлейна, подается на вогнутую щетку из заостренных
электронных эмиттеров, окружающую термоядерную мишень.
Сама мишень окружена слоем вещества с большим Z,
предназначенного для возможно более длительного инерционного
удержания мишени после инициирования. Между эмиттерной
щеткой и термоядерной мишенью предусмотрено тонкое анодное
окно. Электроны, проходя сквозь это окно, теряют очень
незначительную часть энергии, если их энергия высока, а окно
достаточно тонкое. Перед мишенью, позади анодного окна
находится разреженная плазма, нейтрализующая пространственный
заряд пучка. При этом фокусировка пучка с большой
эффективностью может осуществляться собственными магнитными
силами благодаря релятивистским скоростям электронов.
Чтобы время разрядки было как можно меньше, линия,
соединяющая конденсаторы с нагрузкой, которой в данном случае
служит промежуток между эмиттерной щеткой и мишенью,
должна обладать малой индуктивностью. Этому требованию
удовлетворяет линия Блюмлейна, показанная на фиг. 4. В данном
случае линия Блюмлейна должна представлять собой
конический коаксиальный волновод переменного сечения. Батарея
конденсаторов соединяется со средним коническим проводником,
который при разрядке соединяется через кольцевой разрядник
в основании волновода с внутренним коническим проводником.
Заземленный внешний проводник служит внешней оболочкой,
внутри которой поддерживается высокий вакуум. Узкий конец

436
Ф. Винтерберг
внутреннего проводника плавно закруглен и оканчивается
вогнутым углублением, где расположена эмиттерная щетка. Волна
напряжения, бегущая по высоковольтной линии, создает
высокое напряжение на эмиттерной щетке. При этом эмиттируются
электроны, которые ускоряются в направлении тонкого
анодного окна на правом конце внешнего конического проводника.
Пройдя сквозь анодное окно, электроны попадают в область
разреженной плазмы (нейтрализующей заряд пучка),
находящейся между анодным окном и термоядерной мишенью. Здесь,
Фиг. 4. Низкоиндуктивная линия Блюмлейна.
/ — ввод для присоединения батареи конденсаторов; 2— наружный конический проводник,
служащий одновременно и стенкой вакуумной камеры и ооратным токопроводом; 3 — про
межуточный конический проводник; 4 — разреженная плазма; 5 —термоядерная мишень;
6— конусный электрод для фокусировки пучка; 7 —анодное окно; 8 — эмиттерная щетка
(катод); 9—внутренний конический проводник; /0 —вакуумный объем; // — кольцевой
разрядник.
прежде чем попасть на мишень, пучок фокусируется до
небольшого диаметра. За анодным окном справа предусмотрен
сужающийся металлический электрод, который обеспечивает
фокусировку пучка.
Линию Блюмлейна можно рассчитать следующим образом.
При заданной выходной энергии Евых имеем
ГУ2
Етх = Ц-, (3.1)
где С — емкость линии Блюмлейна, а V — напряжение на ней,
которое подается с высоковольтного выхода схемы удвоения.
Время разрядки линии Блюмлейна составляет 1/А томсонов-
ского времени (в электростатических единицах СГС):

14 Получение плотной термоядерной плазмы
437
где L и Z—индуктивность и импеданс линии Блюмлейна. Из
формул (3.1) и (3.2) получаем
£вых=-^-. (3.3)
Отсюда видна необходимость высоких напряжений, ибо при
заданных значениях £Вых и Z время разрядки, которое в нашем
случае должно быть малым, обратно пропорционально V2.
Величину т при заданных Евых и V можно регулировать в
известных пределах, изменяя импеданс Z, зависящий от
геометрических параметров линии.
Чтобы рассчитать емкость и импеданс линии Блюмлейна,
примем, что средний и внешний конические проводники — это
два коаксиальных цилиндра с радиусами г0 и гь образующие
цилиндрический конденсатор.
Длина такого цилиндрического конденсатора примерно равна
длине среднего проводника. Тогда емкость и импеданс
выражаются следующим образом:
с-44-й-). <3-4>
Z = 21n(-^-). (3.5)
Время разрядки при этом будет равно
т~£. (3.6)
т. е. величине того же порядка, что и время распространения
электромагнитной волны вдоль цилиндра длиной D. При т «
«Ю-8 с имеем D « 2 м. Из соотношений (3.3) и (3.5)
получаем
TcV2 (3.7)
о=-
Го ' 2ji£*i
При rx = r0 + s, s < г0 имеем
_ ^ttS ЯВЫХ ,Q QV
Го 7Й72—• I*-**)
Пусть расстояние s между средним и внешним коническими
проводниками равно ~5 см. Тогда при т=10~8с и £Вых =
= 10й эрг получим
ro==09i_10!l, (3.9)
где V выражено в вольтах. Для примера возьмем V = 5 • 107 В,
что вполне достижимо при использовании схемы удвоения. При
этом г0 = 3,8 м. При уменьшении напряжения резко
увеличиваются размеры системы; это опять подтверждает необходимость

438
Ф. Винтерберг
применения высоких напряжений. Если использовать принцип
сильного магнитного экранирования, о котором пойдет речь
дальше, то можно получить еще более высокие напряжения и,
следовательно, еще больше уменьшить размеры линии Блюм-
лейна.
Выше было показано, что для инициирования небольшого
термоядерного взрыва в сферической мишени из жидкой или
твердой смеси Т—D с размерами порядка нескольких
сантиметров в ней должна быть выделена энергия около 1014Дж за
время менее 20 не. Сейчас уже достигнуты энергии пучков до
3-Ю11 эрг с временем разрядки 10 не [14]. При этом энергия
электронов составляла 10 Мэв, а общий ток в пучке 3 • 105 А.
Это по величине все еще почти на три порядка меньше того,
что требуется для небольшого термоядерного взрыва. В
настоящее время разрабатываются схемй удвоения на энергию от 1013
до 1014 эрг, которую можно будет вводить в мишень
необходимых размеров.
Плотность тока холодной эмиссии (в амперах на
квадратный сантиметр) дается формулой
/=l,55.10-6(^-)e-6'9-,oV/2/£, (ЗЛО)
где Е — напряженность поля в вольтах на сантиметр, a W —
работа выхода в электронвольтах (в вольфраме W = 4,4 эВ).
Напряженность поля на каждом из эмиттерных острий равна
£ = -f, (3.11)
где V — напряжение, а г —радиус острия. Для примера
возьмем эмиттерную щетку, состоящую из 300 вольфрамовых
острий, радиусом 5 мм каждое. Напряжение на щетке примем
равным 50 MB. Считаем, что для каждого эмиттера ток
холодной эмиссии составляет 3,5 • 105 А. Общий выход энергии
каждого эмиттера будет 3,5 • 1012 Вт, а энергия, получаемая за
10 не, — приблизительно 10м эрг. Если ток на каждом эмиттере
слишком велик и может вызвать его плавление, то можно
увеличить число эмиттеров. Очевидно, что увеличение числа
эмиттеров на 1—2 порядка является технически выполнимой
задачей. Еще большего увеличения их числа можно достичь,
заменив щетку сплошным вогнутым вольфрамовым электродом с
сильно шероховатой поверхностью, который будет действовать
как эмиттерная щетка.
В связи с тем что конденсаторная батарея на энергию
порядка 1014 эрг имеет слишком большие размеры, была
предложена [8] другая схема, в которой электрический заряд
накапливается на висящем в поле замагниченном сверхпроводящем

14 Получение плотной термоядерной плазмы 439
кольце. Сильные электрические токи в таком кольце (фиг. 3)
создают вокруг него сильное азимутальное магнитное поле. На
фиг. 5 показано поперечное сечение сверхпроводящего тора.
Внутри стального корпуса имеется набор сверхпроводящих
проволок и предусмотрены трубки для жидкого гелия, необходимые
для охлаждения системы до сверхпроводящего состояния.
Электрический пробой в вакуумных емкостных накопителях,
вызываемый эмиссией электронов, ограничивает
максимально достижимые поля величиной
порядка 105 В/см. В таком левитационном
конденсаторе потери за счет холодной
электронной эмиссии предотвращаются
сильным азимутальным магнитным полем.
Если какой-нибудь неровностью на
поверхности эмиттируется электрон, то под совме- фИг. 5. Поперечное
стным действием магнитного и электричес- сечение сверхпрово-
кого полей он дрейфует параллельно кру- дящего тора.
ГОВОЙ ОСИ ТОрОИДаЛЬНОГО СВерХПрОВОДНИКа И / — сверхпроводящие про-
г г г волоки; 2—стальная обо-
Не ВЫХОДИТ ИЗ СИСТеМЫ. лочка; 3-канал для
Для успешной работы такой системы не- жидкого гелия,
обходимы определенные условия.
Во-первых, давление электрического поля, создаваемое накопленным
на поверхности тора электрическим зарядом, не должно
превышать поверхностного магнитного давления, создаваемого
кольцевыми тороидальными токами, т. е. должно выполняться
неравенство
£<#, (3.12)
где Е и Н выражены в электростатических единицах. Так, если
максимально достижимое магнитное поле составляет Н =
= 3-105 Гс, то это неравенство означает, что Е < 108 В/см.
Максимальное значение Я=3-105 Гс согласуется с максимально
возможным в случае сверхпроводников значением
напряженности магнитного поля и механическими ограничениями,
налагаемыми прочностью конструкционных материалов.. Максимальное
электрическое поле 108 В/см согласуется также с верхним
пределом прочности на разрыв, поскольку в поле,
превышающем 108 В/см, становится значительной ионная эмиссия.
Во-вторых, ларморовский радиус дрейфового движения
электрона RL должен быть намного меньше главного радиуса тора
R. Это необходимо, чтобы предупредить появление так
называемых диокотронных неустойчивостей, которые могут
возникать в электронном облаке, окружающем поверхность кольца.
Электронное облако образуется в результате холодной эмиссии
электронов с неровностей на поверхности тора. Условие
отсутствия диокотронных неустойчивостей в единицах СГС

440
Ф. Винтерберг
запишется в виде
Л>Л1 = -^. (3.13)
где Ег — радиальное электрическое поле на поверхности, а
Hq — азимутальное магнитное поле.
Наконец, в-третьих, ларморовский радиус эмиттированного
электрона должен быть меньше минимального расстояния до
внешнего электрода левитационного конденсатора (это
расстояние—одного порядка величины с внутренним радиусом тора г).
Данное условие записывается в виде
r»ri = !7V (ЗЛ4)
где v — скорость электронов, эмиттированных неровностью
поверхности. Эта скорость мала по сравнению со скоростью света.
Приведенные приближенные оценки справедливы, если
электроны не могут набрать релятивистскую энергию. Чтобы
электроны смогли приобрести релятивистские энергии, они должны
эмиттироваться в пространство между кольцом и заземленным
внешним электродом. Но даже в таких крайних условиях
неравенства (3.13) и (3.14) могут быть выполнены [8]. Впрочем,
электроны вряд ли могут достичь столь высоких энергий, так
как сильное магнитное поле прочно удерживает их на
тороидальном кольце и они не могут отойти на сколько-нибудь
значительное расстояние от тора. Из соотношений (3.13) и (3.14)
получаем
Емкость и индуктивность тора можно вычислить по
приближенным формулам (в СГСЭ)
С = 1^7Г' <ЗЛ6>
L = 4*/?[ln(-|-)--J]. (3.17)
Полная электростатическая энергия, которую можно запасти
в торе, такова:
E, = ±CV*, (3.18)
где V — полное напряжение на кольце, связанное с
напряженностью электрического поля соотношением
К = 4г£,1п(-^-). (3.19)

14 Получение плотной термоядерной плазмы 441
Если кольцо имеет размеры в несколько метров и заряжено
до поверхностной напряженности поля ~ 107 В/см, что на
порядок меньше верхнего предела 108 В/см, то электрический
потенциал составит несколько гигавольт. Но, поскольку в
настоящее время соответствующие магнитные поля технически
недостижимы, лучше принять электрическое поле равным 3-106В/см.
Принимая главный и малый радиусы тора равными /? = 300 см
и г = 50 см, получаем для полного напряжения величину V =
= 2,3-109 В. Для емкости и индуктивности имеем С=2,4-102см
и L = 8,1 -103 см. Накопленный заряд будет равен Q = 0,61 Кл,
а полная электростатическая энергия составит £s«7-1015 эрг.
Кроме того, полагая Hq = 105 Гс и считая, что выполняется
условие (3.12), из соотношения (3.13) получаем /?ь= 1,7-10"3см
и R^>RL\ тогда из соотношения (3.15) следует, что условие
(3.14) тоже выполняется.
Потенциал кольца, равный 2,3-109 В, — это очень большая
величина, но даже если бы оказалось возможным достичь
полного потенциала всего лишь в 100 MB, это было бы большим
шагом вперед по сравнению с обычными конденсаторными
батареями, ибо даже тогда полная энергия составила бы Es =
= 1,3-1013 эрг. Время разрядки такой системы, взятое как 74
томсоновского времени, выражается формулой
т,=(-£-)(/.С)%. (3.20)
Взяв для L и С значения из приведенного выше численного
примера, получаем ti «7,5-10~8 с = 75 не. На самом же деле
время разрядки будет еще меньше. Действительно, тор
разряжается таким образом (фиг. 3), что обе его половины (правая
и левая относительно разрядника) разряжаются одновременно
через один и тот же разрядник как два параллельных
конденсатора. Это означает, что нужно взять вдвое меньшие значения L
и С, чем те, которые даются формулами (3.16) и (3.17). Тогда
время разрядки будет составлять 7в томсоновского времени, т. е.
t2 = £(LC)v' = 38hc. (3.21)
Эта величина — одного порядка с временем, за которое
электромагнитная волна пройдет расстояние полуокружности с
радиусом, равным главному радиусу тороидального кольца,
т3 = -^- = 31 не. (3.22)
Для уменьшения времени разрядки тороидального кольца
Форд1) предложил вместо отдельного искрового промежутка
*) F. С. Ford, частное сообщение.

442
Ф. Винтерберг
использовать кольцевой разрядник. При таком способе
разрядки к тороидальному кольцу придвигают второе кольцо с тем
же главным радиусом, пока не произойдет пробой. В этом
случае электромагнитная волна, связанная с разрядкой, будет
бежать по малой окружности тора, тогда как в схеме с отдельным
искровым промежутком она бежит по главной его окружности.
При кольцевой разрядке тор можно считать состоящим из
множества дисков с радиусами, равными малому радиусу тора.
Каждый диск разряжается соответствующим сегментом
разряжающего кольца, и время, за которое электромагнитная волна
Фиг. 6. Кольцевая разрядка левитационного конденсатора.
/ — стенка вакуумной камеры и внешний обратный токопровод; 2—сверхпроводящее
кольцо (поперечный разрез); 3 — внутренний конус; 4—эмиттерная щетка (катод);
5—разреженная плазма; 6-— нейтрализованный пучок; 7—мишень; 5—управляемый кольцевой
разрядный промежуток.
придет на разряжающее кольцо, равно времени прохождения
ею полуокружности меньшего радиуса тора г. Это время
составляет
т4 = -у- = 5нс. (3.23)
Можно пойти еще дальше и предположить, что разряжающее
кольцо представляет собой конец конического волновода, на
узком конце которого имеется эмиттерная щетка (фиг. 6). В
таком конусообразном волноводе произведение LC на единицу
длины уменьшается и, следовательно, фронт волны становится
круче до ее прихода на эмиттерную щетку. Такой волновод
аналогичен линии Блюмлейна, представленной на фиг. 4, но
выгодно отличается от нее тем, что здесь нет необходимости в
среднем проводнике.
Если энергия £^ = 7-1015 эрг выделяется за 5 не, то
соответствующая мощность равна 1,4-10й МВт. При этом электри-

14. Получение плотной термоядерной плазмы 443
ческий ток должен составлять / = Q/x4 = 1,2-10е А. Крайне
малое время разрядки (около 5 не) делает принцип кольцевой
разрядки в таких экспериментах особенно привлекательным.
Заряжать кольцо можно двумя разными способами (фиг. 7
и 8). В первой схеме (фиг. 7) электроны с выхода бетатрона,
который позволяет регулировать их энергию, попадают на
коллекторный электрод, соединенный проводящей штангой с
кольцом. Электроны из бетатрона летят по оси z кольца. Поскольку
Фиг. 7. Зарядка левитационного конденсатора путем инжекции электронов
в зону однородного поля.
/ — сверхпроводящее кольцо (в разрезе); 2—коллекторный электрод; 5—разрядный
промежуток; 4—шина, идущая к нагрузке; 5—бетатрон с регулируемой энергией.
магнитное поле во всех точках на оси z параллельно этой оси,
оно практически не возмущает траектории электронов. Если
энергия электронов на выходе бетатрона поддерживается с
небольшим превышением над потенциалом кольца, то они
приходят на коллекторный электрод со скоростью, близкой к нулю.
Хотя разность потенциалов между коллекторным электродом и
землей может стать очень большой, кольцо можно
сконструировать таким образом, чтобы распределение потенциала по оси
z, которая является единственным направлением возможной
утечки электронов с коллекторного электрода, было близким
к распределению в цилиндре Фарадея. (Внутри цилиндра Фа-
радея обеспечивается очень однородное распределение
потенциала.) Тогда напряженность электрического поля вдоль оси
z будет мала, что предотвратит пробой из-за холодной эмиссии.

444
Ф Винтерберг
Распределение потенциала внутри кольца можно сделать еще
более однородным, если придать сечению кольца форму,
показанную на фиг. 7—8, или сделать его в виде
квазицилиндрической оболочки. Когда напряжение на разрядном промежутке
достигает критической величины, происходит электрический
пробой и кольцо разряжается на нагрузку. Время т зарядки кольца
можно приближенно оценить по формуле т « CV/I. Взяв / =
= Ю-3 А = 3.106 СГС, С = 2-102 см, V = 109 В = 3-106 СГС,
получим т « 200 с.
Фиг. 8. Зарядка левитационного конденсатора по схеме Ван- ].е-Граафа.
/ — сверхпроводящее кольцо (в разрезе); 2—коллекторная щетка; 3 — лента; 4—электро
двигатель, протягивающий ленту; 5—шина, идущая от высоковольтного генератора;
6—щетка, заряжающая ленту отрицательно; 7—разрядный промежуток; 5 —шина,
идущая к нагрузке,
Во второй схеме (фиг. 8) заряды переносит на
коллекторный электрод, находящийся в зоне однородного распределения
потенциала, «бесконечная» изолирующая лента, протягиваемая
электродвигателем. Эта схема работает по принципу генератора
Ван-де-Граафа, и поэтому мы будем называть ее схемой Ван-де-
Граафа. Преимуществом ее является то, что здесь не требуется
дорогого и тяжелого электронного ускорителя, а недостатком —
меньший максимально достижимый потенциал. Дело в том, что
при прохождении ленты через зону сильного электрического
поля поле может срывать с ее поверхности электроны, так что
они не попадут в область однородного поля. Но каков предел
достижимого поля, пока еще не известно.
Когда разность потенциалов на разрядном промежутке
достигает критической величины, разрядник пробивается. При

14 Получение плотной термоядерной плазмы 445
этом за счет холодной электронной эмиссии запасенная энергия
разряжается в термоядерную мишень согласно схеме фиг. 3.
Кольцо можно также зарядить до высокого положительного
потенциала. В этом случае электроны, вырываемые полем из
нижнего опорного электрода, будут отталкиваться от кольца
магнитным полем. Такой вариант представляет интерес с точки
зрения генерации мощных ионных пучков, которые будут
рассмотрены ниже. Очевидно, что высокие положительные
потенциалы для тех же целей можно получать и при помощи схемы
удвоения напряжения.
Заметим еще, что в линии Блюмлейна тоже можно применить
принцип магнитной изоляции. Для получения малого времени
разрядки требуются сравнительно небольшие линии Блюмлейна,
заряжаемые, однако, до высоких напряжений. Сильные же
электрические токи, возникающие в линии в процессе ее зарядки и
составляющие много мегаампер, в принципе могут обеспечить
частичную магнитную изоляцию. Можно также для этой цели
использовать в линии Блюмлейна внешнее магнитное поле.
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ В ПОЛЕЗНУЮ
Рассмотрим вкратце возможные способы преобразования
энергии, высвобождаемой чз термоядерной реакции, в полезную
энергию. Мы предположим, что внутри большого сферического
контейнера, схематически изображенного на фиг. 9, один за
другим происходят микровзрывы.
Во внутреннем пространстве контейнера имеется магнитное
поле, создаваемое окружающими его катушками. Когда в центре
контейнера происходит микровзрыв, магнитные линии
вытесняются из центра и здесь образуется полость, свободная от
магнитного поля. Она заполнена горячей плазмой, температура
и электропроводность которой настолько высоки, что магнитное
поле не может в нее проникнуть. Благодаря взаимодействию
расширяющегося плазменного шара с магнитным полем во
внешних катушках возбуждаются токи, в результате чего
некоторая доля термоядерной энергии прямо преобразуется в
полезную электрическую энергию. Если объем плазменного шара,
в котором нет магнитного поля, достигает величины V =
= (4я/3)/?3, где R — радиус контейнера, то энергия взрыва,
прямо преобразующаяся в электрическую энергию, такова:
Когда плазменный шар доходит до стенки контейнера, ударная
волна сферического взрыва поглощается жидкой пленкой,
благодаря чему последняя испаряется. Горячий пар, получающийся

446
Ф. Винтербере
в результате испарения, можно направить в газотурбинный
генератор электростанции. И, наконец, тепло, поглощаемое
контейнером, можно отводить хладагентом, циркулирующим по
охлаждающим каналам, соединяющимся с обычной паровой
электростанцией.
Фиг. 9. Схема термоядерного реактора, основанного на удержании
повторяющихся микровзрывов внутри сферической камеры.
/—канал для ввода мишени; 2—обмотки для создания магнитного поля; 3—жидкая
пленка; 4—канал системы охлаждения; 5—канал для впуска жидкости (образующей
пленку); 6—термоядерная мишень; 7—нейтрализованный релятивистский электронный
пучок; 8 — трубы, ведущие к газотурзинному генератору.
Допустим, что стенки контейнера способны выдерживать
давление порядка 103 бар = 109 дин/см2, а внутренний объем
всегда заполнен остаточным газом от предыдущего
микровзрыва. Расширяющийся «огненный» шар создает волну давления,
амплитуда которой на расстоянии, равном радиусу контейнера
/?, не должна превышать 109 дин/см2. Давление в
расширяющейся волне падает по закону
р(Ю = Ро(го)(-^)2> (4.2)
Где р0 == 2NkT— начальное давление в шаре при радиусе г0 =
=0,5 см. При Т=5-107 К это означает, что /?0=6,9- 10м дин/см2.

14. Получение плотной термоядерной плазмы
447
Чтобы обеспечить на стенках р(/?)=109 дин/см2, необходимо
взять # = 4,1 м. Если внешнее магнитное поле Н равно 104 Гс
(типичное поле, получаемое при помощи железных
сердечников), то по формуле (4.1) получаем £н= 1,Ы015 эрг, что
должно составлять существенную часть полной энергии взрыва.
Поэтому волна давления ослабляется к моменту прихода на
стенку. Но нужно иметь в виду, что наша оценка магнитогид-
родинамического преобразования энергии может оказаться
слишком оптимистичной, так как «магнитная полость» может
быть не совсем сферической и, кроме того, часть энергии уходит
в виде излучения. Второе особенно важно в случае, когда
термоядерная мишень окружена оболочкой из делящегося
материала. При наличии оболочки из тяжелого металла огненный
шар будет отдавать большую долю своей тепловой энергии
в виде черного излучения. Но, каков бы ни был энергетический
баланс, энергия, не превращенная магнитогидродинамическим
способом в электрическую энергию, всегда может быть
поглощена жидкой пленкой, покрывающей внутреннюю стенку
контейнера, или хладагентом в стенках контейнера. То обстоятельство,
что большая часть энергии, как это следует из проведенных
оценок, может быть переведена непосредственно в
электрическую, показывает, что в таком реакторе может быть
осуществлен экономически выгодный режим работы. Если предположить,
что в секунду происходит один микровзрыв с энергией 1016 эрг,
то полная выходная мощность должна составлять 103 МВт.
§ 5. РАКЕТНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
Одна из самых интересных сторон вопроса об управляемом
термоядерном синтезе — это возможность применения его в
ракетной технике. Из физики цепной реакции деления следует, что
удельный импульс ракетных двигателей, использующих
ядерные реакторы, лишь незначительно превышает удельный
импульс двигателей на химическом топливе. Выигрыш, ожидаемый
в этом случае, не превышает 2, да и то он частично, если не
полностью, теряется из-за большого веса защиты и самого
ядерного реактора. Положение может сильно измениться, если
окажется возможным получение управляемой термоядерной
энергии. Удельный импульс ракетного двигателя определяется
главным образом температурой рабочего газа. Для термоядерных
систем она — порядка 108 К. Это означает, что скорости
рабочего вещества в термоядерной ракете будут порядка 103 км/с.
Поэтому максимальный удельный импульс должен быть почти
на три порядка больше, чем для химических ракет, и на два
порядка больше, чем для ядерных ракет на твердом топливе.

448
Ф. Винтерберг
При скорости рабочего вещеотва v « 108 см/с (удельный
импульс ~ 105 с) и потоке массы dm/dt « 1 г/с реактивная тяга
должна составлять Р = vdm/dt ^ 108 дин «* 0,1 тс.
Путем простых приближенных оценок покажем, что,
основываясь на принципе микровзрывов, о которых говорилось выше,
можно создать весьма эффективную ракетную двигательную
систему. Предположим, что микровзрывы происходят один за
другим в центре отражателя,
открытого с одной стороны
(фиг. 10). Для достижения
наибольшего удельного импульса
необходимо обеспечить полное
отражение реактивной струи и
отсутствие прямого контакта
между огненным шаром и
отражателем. Такой контакт привел бы
к необходимости в охлаждении,
что очень сильно уменьшило бы
тягу, поскольку тогда стали бы
существенными все трудности
радиационного охлаждения, с
которыми сталкиваются в ионных
двигателях. К тому же самому
привело бы и наличие вокруг
мишени оболочки из делящегося
вещества, так как отражатель
будет поглощать тепловое
излучение, испускаемое оболочкой. Но,
может быть, окажется более
выгодной такая конструкция
ракетной системы, в которой ценой
некоторого снижения удельного
импульса достигается большая
тяга за счет испарения жидкой
пленки на внутренней
поверхности отражателя. Эту пленку можно создавать, впрыскивая
жидкость после каждого микровзрыва через систему небольших
сопел.
Чтобы получить максимальный удельный импульс,
отражатель можно защищать от огненного шара сильным магнитным
полем, создаваемым внешними сверхпроводящими
катушками.
Пусть огненный шар расширяется в вакуум со скоростью
звука Vo ~ 108 см/с, соответствующей термоядерным
температурам. Если обозначить через г0 и р0 начальный радиус и
плотность огненного шара, то кинетическое давление на расстоянии
Фиг. 10. Схема ракетного
двигателя с термоядерными
микровзрывами в центре отражателя,
открытого с одной стороны.
/ — канал для ввода мишени;
2—выхлопная сгруя; 3 — термоядерная
мишень; 4 — нейтрализованный
релятивистский электронный пучок;
5—сверхпроводящие катушки для создания
магнитного поля.

14 Получение плотной термоядерной плазмы
449
г можно записать как
Р(г) = -^р(гК=4-р(тЧЧ (5-1)
Если мы хотим, чтобы кинетическое давление на расстоянии
/?(/? — радиус отражателя) уравновешивалось магнитным
давлением магнитного экрана, то должно выполняться следующее
условие:
p<*>«4p.(t)2°s--£ (5-2)
Таким образом, имеем
«-г0(-^)\ (5.3)
где
Плотность ро смеси Т—D с концентрацией частиц 5-Ю22 см~3
составляет 0,22 г/см3. Если для магнитного поля взять
максимально достижимое в настоящее время значение Н = 10б Гс,
то при г0 = 0,5 см мы получим радиус R = 1,5 м.
В заключение параграфа скажем несколько слов
относительно мощности, необходимой для инициирования в
отражателе серии микровзрывов. Начальная энергия составляет
примерно 1014 эрг = 1 кВт-ч. Такое сравнительно небольшое
количество энергии можно получить, например, от небольшого
ядерного реактора с электрической мощностью порядка 1 кВт.
Такая мощность требуется только один раз, в начальный момент,
для зарядки конденсаторной батареи или (что
предпочтительнее) левитационного конденсатора. После первого чикровзрыва
энергия, необходимая для зарядки накопительной системы
перед следующим микровзрывом, может быть получена путем
магнитогидродинамического преобразования термоядерной
энергии в электрическую при помощи внешних обмоток, создающих
магнитное поле. В связи с требованием минимального веса
всего устройства накопительная система в виде левитационного
конденсатора со сверхпроводящим кольцом может приобрести
в ракетной технике особое значение.
§ 6. ГЕНЕРАЦИЯ МОЩНЫХ ИОННЫХ ПУЧКОВ
Как указывалось выше, если торможение пучка
релятивистских электронов в небольшой мишени окажется серьезной
проблемой, то можно рассмотреть другой вариант — нагревание
термоядерной мишени и инициирование взрыва ионным
пучком. Основное преимущество такого варианта — большая

450
Ф. Винтерберг
эффективность торможения ионов высокой энергии в плотном
веществе. При таком варианте можно задать любой свободный
пробег в широком интервале, выбирая заряд Z ядра
используемого иона.
Главная трудность, которая встречается при переходе от
электронов к ионам, связана с тем, что за счет электронной
эмиссии с катода накопитель может разряжаться прежде, чем
сформируется мощный ионный ток с анода. Дело в том, что
скорости электронов, вырываемых с катода, примерно на
порядок больше скоростей ионов, эмиттируемых с анода. Чтобы
получить больший ионный ток, нужно делать катод без острых
Фиг. 11. Принцип генерации мощных ионных пучков и магнитной изоляции
катода.
/ — магнитные силовые линии; 2—катодное окно; 5—разреженная плазма,
нейтрализующая пучок; 4 — термоядерная мишень; 5—анод.
краев. Но при тех высоких напряжениях, которые здесь
требуются, в системе всегда будет возникать мощный электронный
ток. Тем не менее есть один простой способ эффективно
подавить электронный ток, сохранив в то же время ионный ток.
Если вблизи катода создать сильное магнитное поле,
перпендикулярное прямой, соединяющей анод с катодом (фиг. 11), то
можно добиться, чтобы ларморовский радиус электронов был
намного меньше расстояния между анодом и катодом, а ионный
ларморовский радиус был больше этого расстояния или
сравнимым с ним. Тогда ионы по-прежнему будут достигать катода,
а электроны не будут попадать на анод. При наличии сильного
электрического поля между анодом и катодом электроны,
движущиеся от катода, будут дрейфовать в направлении,
перпендикулярном электрическому и магнитному полям. Вблизи анода
Е > #, так что условие дрейфа для ионов не выполняется и
они могут приобрести большую энергию, прежде чем войти
в область сильного магнитного поля около катода. В этом
случае дрейф ионов будет значительно слабее, чем дрейф элек-

14 Получение плотной термоядерной плазмы 451
тронов. Иначе говоря, если отношение магнитного давления
к электрическому будет больше около катода и меньше около
анода, то электроны будут удерживаться в катодной области.
Если вблизи катода скорость электронов v в выражении для
дрейфовой скорости v = сЕ/Н мала по сравнению с с и
выполняется условие Н > £, то электроны начинают дрейфовать
сразу же после выхода из катода.
Чтобы получить в термоядерной мишени энергию 1014 эрг,
необходимо 1019 ионов с энергией 10 МэВ или 1017 ионов с
энергией 1 ГэВ. Это довольно небольшое количество ионов по
сравнению с числом атомов в аноде, имеющем несколько
сантиметров в поперечнике. Таким образом, ионы можно получать из
материала анода. Доусон1) предложил для этого
непосредственно перед разрядкой действовать на заостренный анод
импульсным лазерным излучением. Если, например, энергия
образования одного иона равна 10 эВ, то при разности
потенциалов 10 MB для разрядки потребуется 108 эрг, а при разности
потенциалов 1 ГВ —106 эрг. И та, и другая величина легко
достижима. Взяв более мощный лазер, можно даже ускорять
многократно ионизованные атомы.
Ларморовские радиусы электрона и иона (в сантиметрах)
даются формулами
/7 = l,l-102-j/-. (6.1)
г+=4,6- 103—|^^-, (6.2)
где We и Wi — энергии электронов и ионов (в
килоэлектронвольтах) при вхождении их в область сильного магнитного поля
перед катодом, a Z —средний заряд иона. Если расстояние
между электродами равно D, то необходимо потребовать, чтобы
выполнялись условия г~ < D, но г+ ^£>, т. е. r£Jr£ ^ '• Для
этого отношения имеем
Если отношение We/Wi мало, атомный вес А велик, а
степень ионизации Z мала, то отношение ларморовских радиусов
может быть сделано достаточно малым.
Если ионы ускоряются до энергии 10 МэВ—1 ГэВ, то при
ударе о мишень их электронные оболочки будут полностью
сорваны. В термоядерной мишени пробег ионов, ускоренных
*) У. N. Dawson, частное сообщение.

452
Ф Винтерберё
напряжением V, легко вычислить по формуле
Я7=1,7-1018(ЛК),/2-^. (6.4)
При Л/ = 5-1022 см-3 получим
Я7 = 3,4 1(Г5 (AV)4i -^ . (6.5)
Термоядерная мишень имеет диаметр порядка нескольких
миллиметров, т. е. диссипация пучка становится эффективной, если
пробег иона составляет ~0,1 см. Следовательно, при
температуре мишени Т= 10 кэВ из формулы для пробега получим
соотношение
4г « Ю4. (6.6)
Для атомов со средней массой А « 2Z. Таким образом,
Z~6- KrV'. (6.7)
При V « 107 В получим Z « Ю, при К « 108 В получим Z « 35,
а при К « 109 имеем Z « 60. Отсюда видно, что для наших
целей пригодны ионы элементов в диапазоне от довольно легких
до железа. Можно, конечно, использовать и более тяжелые
ионы, для которых пробег еще меньше, и тогда мишень будет
нагреваться ударными волнами, бегущими от поверхности.
При К~109В в случае урана (Z = 92, А = 238) пробег
составляет 0,6 мм. При W{ = 10 МэВ ларморовский радиус
иона (Z = 1, А = 20) составляет rt~ 20 см. Поскольку вблизи
катода £<Я и полностью отсутствуют быстрые электроны,
эмиттированные с катода, электронный ларморовский радиус
будет намного меньше ионного. В случае Н ^> 105 Гс отношение
£///< I при электрических полях до 3-Ю7 В/см. При ударе
ионов с большой энергией о катод могут выбиваться электроны.
При поле Н ж 105 Гс и энергии электронов, не превышающей
нескольких мегаэлектронвольт, электронный ларморовский
радиус будет меньше 0,1 см. Ситуация не изменяется и в случае
ионов с энергией порядка 1 ГэВ, для которых ларморовский
радиус rt (Z = 1, А = 10) составляет ~50 см. Здесь, однако,
электрическое поле будет несколько выше, что увеличит
отношение Е/Н вблизи катода, которое должно поддерживаться
меньшим единицы. При перепаде потенциала 109 В на
расстоянии 50 см электрическое поле составляет £ = 6,6-104 СГС, так
что при Н « 105 Гс энергия электронов все еще мала. Даже
если ионы с энергией 1 ГэВ выбивают из материала катода
электроны с энергией, не превышающей 1 МэВ, то
маловероятно, чтобы при этом образовались электроны с энергией, позво-

14. Получение плотной термоядерной пьазмы 453
ляющей им преодолеть барьер магнитного поля. Таким
образом, при расстоянии между анодом и катодом, равном 10—
50 см, анод может быть эффективно экранирован от попадания
на него электронов.
Мощные ионные пучки с током, измеряющимся мегаампе-
рами, могут, конечно, иметь и другие важные применения
помимо управляемого термоядерного синтеза.
ЛИТЕРАТУРА
1. Winterberg F., Zs. Naturforsch., 19а, 231 (1964).
2. Harrison Е. Д., Phys. Rev. Lett., 11, 535 (1963).
3. Maisonnier C, Nuovo Cimento, 42B, 332 (1966).
4. Winterberg F., Nucl. Fusion, 6, 152 (1966).
5. Winterberg F., Plasma Phys., 8, 541 (1966).
6. Basov N. G., Krokhin 0. N., в книге Proceedings of the Third International
Conference on Quantum Electronics (Paris, 1963), eds. P. Grivet, N. Bloem-
berger, New York, 1964.
7. Dawson J. M, Phys. Fluids, 7, 981 (1964).
8 Winterberg F., Phys. Rev., 174, 212 (1968).
9. Winterberg F., University of Nevada Desert Res. Inst., preprint, No. 64,
March 1969.
10. Roberts T. G., Bennett W. #., Plasma Phys., 10, 381 (1968).
11. Spitzer L., Physics of Fully Ionized Gasses, New York, 1962.
12. Bunemann 0, Phys. Rev., 115, 503 (1959).
13. Bludman S. A.t Watson K. M., Rosenbluth M. N.. Phys. Fluids, 3, 747
(1960).
14. Ford F. C, Martin D., Sioan D.t Link W.t Bull. Amer. Phys. Soc, 12, 961
(1967).

15
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА
В СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗДАХ
9. Теллер*
Летом 1054 года н.э. в правление императора Шень-Цзуна
династии Сун периода Ши-Хо Главный Календарный
Вычислитель доложил о появлении «звезды-гостьи» в группе звезд вблизи
Альдебарана. Звезда была настолько яркой, что ее можно
было видеть среди бела дня. Докладчик, по-видимому,
испытывал большой трепет, излагая это событие, ибо
предшественник императорского звездочета лишился головы из-за того, что
не предсказал вовремя солнечное затмение. Записи о звезде-
гостье велись настолько тщательно, что летописец (которому,
вероятно, удалось пережить событие) оказался основателем
первой серии количественных данных о сверхновой.
Сегодня, спустя чуть меньше тысячелетия, в Крабовидной
туманности наблюдаются остатки этого звездного взрыва.
Пульсар, недавно открытый вблизи центра этой туманности и,
видимо, вращающийся с частотой 30 оборотов в секунду,
указывает на присутствие нейтронной звезды, в процессе
формирования которой, вероятно, и выделилась энергия, проявившая себя
как излучение звезды-гостьи.
Вопрос о взрыве сверхновой невозможно исследовать без
привлечения релятивистской гидродинамики. Анализ
гидродинамических уравнений такого рода и является главной целью
этой лекции. В то же время необходимо сказать несколько слов
о самих сверхновых звездах, теория которых в настоящее
время отнюдь не ясна.
Около 1930 г. швейцарский астроном Цвикки, работавший
в Пасадене, пришел к выводу о возможности таких чрезвычайно
сильных взрывов. Одной из причин для подобного
умозаключения послужила яркая новая звезда, обнаруженная в
туманности Андромеды. Когда было установлено, что туманность Ан-
* Е. Teller, University of California, Lawrence Radiation Laboratory, Li-
vermore (Cal.).

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 455
дромеды находится на расстоянии миллиона световых лет от
нас, стало ясно, что в видимой области эта звезда должна
излучать в 1010 раз больше Солнца. Цвикки высказал
предположение, что китайская «звезда-гостья», а также другие новые
звезды, наблюдавшиеся Тихо Браге и Кеплером, тоже
представляют собой такие сверхновые. Обследовав соседние
галактики, Цвикки нашел еще больше доказательств. В настоящее
время о взрывах сверхновых сообщается в среднем один раз
в месяц, хотя в отдельной галактике они происходят,
по-видимому, раз в несколько сотен лет.
Основа, необходимая для объяснения сверхновых, была
заложена за несколько лет до того, как Цвикки высказал свою
гипотезу. Чандрасекар исследовал вопрос об устойчивости
звезд и установил, что она зависит от показателя у в
адиабатическом соотношении между давлением и плотностью
Р~р*.
При у > 7з звезда должна быть устойчивой, а при у < 4/з —
неустойчивой. Это легко понять из следующего рассуждения.
Плотность гравитационной энергии изменяется как р/r, где р —
плотность и г — расстояние от данного элемента объема до
центра звезды. Поскольку расстояние г пропорционально р~~,/з,
плотность гравитационной энергии при адиабатическом сжатии
будет изменяться как р4/з. Если у > 4/з, то давление (а оно
соответствует той части плотности тепловой энергии, которая
стремится восстановить первоначальное положение после
адиабатического сжатия) будет возрастать быстрее, чем плотность
гравитационной энергии, и поэтому будут восстанавливаться
начальные условия. Если же у < 4/з, то плотность
гравитационной энергии превалирует над давлением и малейшее смещение
элемента объема к центру усиливается и переходит в явление,
подобное свободному падению. В обычном горячем
ионизованном газе величина у приблизительно равна 5/з, и поэтому
звезды устойчивы. Но при очень высоких плотностях энергии, когда
частицы движутся с релятивистскими скоростями, у
приближается к 4/з- При y — 4/з вопрос устойчивости или.
неустойчивости решается массой звезды, и Чандрасекар показал, что для
звезд с массой, несколько большей чем масса Солнца,
неизбежен коллапс после того, как в звезде выгорит большая часть
ее горючего. Мы считаем теперь, что взрыв сверхновой
действительно начинается сжатием типа, предсказанного Чандрасека-
ром. Остаются еще два вопроса: какой механизм ответствен за
то, что величина у оказывается меньше 4/з, и каким образом
первоначальное сжатие переходит во взрыв, в котором,
по-видимому, участвуют внешние области сжимающейся звезды. На
оба эти вопроса пока еще нет определенного ответа.

456
Э. Теллер
Известны по крайней мере два механизма, которые могут
вызвать быстрое сжатие звезды еще до того, как тепловое
движение электронов станет сильно релятивистским. Один из них,
тесно связанный с теорией Чандрасекара, был предложен в 50-х
годах Дж. Бербиджем, М. Бербидж, Фаулером и Хойлом.
Эти авторы дали правдоподобное объяснение возникновения
ядер от водорода до ядер, близких к железу. Когда ядерное
топливо с малым Z истощается, для дальнейшей реакции
необходимо, чтобы установилась более высокая температура,
которая позволила бы протекать термоядерной реакции при более
высоких Z. В конце концов достигается настолько высокая
температура, что от ядер, расположенных вблизи группы железа,
могут отщепляться а-частицы, которые весьма стабильны.
Такой процесс подобен процессу молекулярной диссоциации,
известному нам из физической химии. В газе, где доминирует
диссоциационное равновесие, величина у в соотношении P«pY
стремится к единице. Это объясняется тем, что энергия,
передаваемая газу при сжатии, переходит не только в кинетическую
энергию частиц (в этом случае показатель адиабаты у имел
бы обычную величину), но в значительной мере расходуется
на диссоциацию. Нужно иметь в виду, что давление зависит
лишь от кинетической энергии частиц в единице объема, а не
от того, среди скольких частиц и какого типа эта энергия
распределена.
Таким образом, диссоциативная эмиссия а-частиц может
привести к тому, что у < 4/з, и тогда возможно сжатие,
рассмотренное Чандрасекаром. В частности, заметим, что такое
сжатие не обязательно должно охватывать весь объем звезды, но
может происходить лишь в глубокой внутренней области,
некоторое время не сказываясь заметным образом на внешних
слоях.
Почти два десятилетия назад Гамов предложил второй
механизм коллапса, который он назвал урка-процессом1). Когда
температура внутренней области звезды поднимается до
значений, соответствующих ~ 105 эВ, электроны с большой
энергией могут захватываться протонами, находящимися в ядрах,
и тогда эти протоны превращаются в нейтроны. Предполагается,
что такой захват запрещен энергетически, если электрон не
имеет добавочной кинетической энергии. Нейтрино, которое
излучается в таком процессе, вылетает из звезды и уносит некую
энергию. Образовавшийся нейтрон может затем снова превра-
1) «Урка» — название одного ночного клуба в Рио-де-Жанейро.
Происхождение термина таково: Гамов установил, что в этом клубе деньги трудно
объяснимым образом исчезают из его кармана. Это вдохновило его
выдвинуть теорию, которую мы излагаем далее.

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 467
титься в протон, испустив один электрон и одно антинейтрино.
Антинейтрино также вылетает из звезды. Такой процесс может
повторяться много раз. Правда, все упомянутые процессы
распада протекают весьма медленно, но зато нейтрино движутся
со скоростью света и без помех вылетают из звезды. В
результате звезда теряет энергию. По мере того как звезда
сжимается и температура растет, урка-процесс может ускоряться,
ибо вероятность такого процесса сильно возрастает с
увеличением температуры.
Итак, мы имеем два процесса, которые с качественной
стороны удовлетворительно объясняют звездный коллапс. В
действительности важную роль играют оба процесса, хотя и
непонятно, в каком порядке они инициируют коллапс и какова
(количественно) их относительная роль.
В то время как представление о звездном коллапсе
общепринято, вопрос о том, каким образом вслед за сжатием
происходит взрыв, остается открытым. Дж. Бербидж, М. Бербидж,
Фаулер и Хойл высказали предположение, что, когда внутри
звезды достигаются плотности, превышающие плотность ядер,
наличие ядерных сил отталкивания приводит к образованию
ударной волны, идущей из центра наружу. Далее авторы
постулируют, что нагрев этой ударной волной инициирует термоядерные
реакции, которыми и объясняется наблюдаемое энерговыделение
сверхновой.
Однако расчеты, начатые около 1962 г. в Радиационной
лаборатории им. Лоуренса в Ливерморе Колгейтом, показали, что
этого объяснения недостаточно. Во время сжатия нейтрино
уносят так много энергии, что процесс становится в высокой степени
неупругим и ударная волна в звезде оказывается слишком
слабой, чтобы объяснить астрономические наблюдения. Взамен Кол-
гейт предложил остроумный механизм, связанный
непосредственно с самими нейтрино.
Можно полагать, что в сжимающейся сверхновой
достигаются ядерные плотности, т. е. плотности не ниже 10м г/см3.
При таких плотностях даже нейтрино будут иметь ограниченную
среднюю длину свободного пробега, которую можно положить
равной 104 см. Эта величина несколько меньше, чем радиус
формирующегося звездного ядра, и, следовательно, нейтрино
вместо того, чтобы вылетать по прямой, будут уносить энергию
в результате очень быстрой диффузии. Весьма вероятно,
что в последнем столкновении диффузионного процесса
нейтрино оставит часть своей энергии в менее плотном слое
звезды, где температура и гравитационный потенциал еще не
достигли таких высоких значений, как в ядре. Следовательно,
этот менее плотный слой, который мы назовем мантией, будет
нагреваться за счет гравитационной энергии, высвобождаемой

458
Э. Теллер
вблизи центра. Вследствие нагрева мантия взрывается и
посылает ударную волну во внешние области звезды. Эта ударная
волна, по мысли Колгейта, и является источником энергии,
высвобождаемой при взрыве сверхновой, и причиной
наблюдающейся высокой интенсивности свечения.
Есть основания считать, что в действительности картина
еще сложнее. Неопубликованные расчеты, проведенные недавно
Вильсоном в Радиационной лаборатории им. Лоуренса в Ли-
верморе, указывают на то, что сжатие происходит слишком
быстро и, следовательно, времени недостаточно для того, чтобы
вылетело значительное количество нейтрино и выделилось
достаточно энергии в мантии. Эта трудность остается и при
рассмотрении более массивных звезд. Хотя в этом случае больше
энергии, сжатие тоже происходит быстрее, и в настоящее время
нет прямых вычислений, которые действительно объяснили бы
процесс взрыва сверхновой. Согласно вычислениям Вильсона,
при коллапсе возникает так называемая «черная дыра», т. е.
сингулярность общей теории относительности, откуда не могут
выйти ни частицы, ни энергия. Таким образом, не получается
ни достаточно большой вспышки, ни наблюдаемого остатка в
виде нейтронной звезды.
Я полагаю, что явление сверхновой можно объяснить
вращением звезды. При ее сжатии момент количества движения
сохраняется и поэтому кинетическая энергия быстро
увеличивается с уменьшением радиуса. Это может в достаточной
степени замедлить процесс сжатия, так что в центральной области
может стать эффективным механизм, предложенный Колгейтом.
Однако вычисления, необходимые для подтверждения этой
гипотезы, не только должны учитывать различные эффекты общей
теории относительности, но к тому же требуют решения
двумерных уравнений гидродинамики, зависящих от времени.
Трудности настолько велики, что вряд ли можно ожидать прямого
ответа в ближайшем будущем.
Тем не менее я хотел бы остановиться на общей модели
сверхновой для анализа поведения внешних слоев звезды, на
которые до прихода ударной волны сжатие внутренней области
не оказывает никакого влияния. Модель основывается на двух
предположениях: что энергия сверхновой внезапно выделяется
в центре и что на рассматриваемые нами области не влияет
существенно вращение. Первое из этих двух предположений
весьма правдоподобно. Второе оправдывается тем, что во
внешних областях энергия вращения незначительна по сравнению
с кинетической энергией в ударной волне. Тем не менее
правильность такой модели остается под сомнением, ибо, если
имеется достаточно времени, вращение может передаваться от
центра к внешним слоям, например, за счет сцепления с маг-

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 459
нитным полем. Несмотря на эти сомнения, выводы, которые
можно сделать на основе такой модели, кажутся мне весьма
интересными, хотя доказательства не абсолютно убедительны.
В частности, мне хотелось бы остановиться на другой
гипотезе Колгейта, согласно которой ударная волна производит в
наиболее внешних частях звезды частицы чрезвычайно высокой
энергии, выбрасываемые в пространство и регистрируемые
нами как космические лучи. Если космические лучи возникают
именно так, то с помощью теории релятивистской
гидродинамики, разработанной Джонсоном, можно найти их спектр. Я
изложу упрощенный вариант этой гидродинамической теории.
Запишем сначала формулы для сильной ударной волны,
справедливые как в нерелятивистском, так и в релятивистском
случае. Область перед ударной волной мы будем обозначать
индексом 2, а область за фронтом — индексом 1. Энергию,
содержащуюся в 1 см3 в области 1, можно записать так:
El = nlmc2 + r\u (1)
где П\ — число всех тяжелых частиц (кроме квантов света,
электронов и позитронов) в 1 см3, m — средняя масса этих
тяжелых частиц, П\гпс2 — плотность энергии покоящихся частиц в
области ударной волны и х\\ — избыточная плотность энергии по
отношению к массе покоя в системе 1. В предельном
релятивистском случае имеется соотношение
Л1=ЗР„ (2)
где Р\ — давление в области, охваченной ударной волной.
Предположение о сильной ударной волне означает, что в
области 2 добавочная плотность внутренней энергии (за вычетом
энергии покоя) и давление малы по сравнению с Е\. Это
условие, характеризующее сильную волну, достаточно оправданно
в случае, когда невозмущенные внешние области сверхновой
звезды возбуждаются ударной волной, идущей от центра.
При анализе уравнений, описывающих ударную волну,
обычно пользуются координатной системой, движущейся вместе с
фронтом. Рассматривая же сильную ударную волну; проще
воспользоваться координатной системой, покоящейся относительно
вещества в области 1.
Уравнение, выражающее закон сохранения числа тяжелых
частиц, можно записать в виде
„ft **2 (Р5 + Р2) /о\
п#°- (,_p|)v, • <3>
где ps — скорость фронта относительно сжатого вещества (в
области 1), деленная на скорость света с. Таким образом,
величина П\С$8 есть число тяжелых частиц, которые добавляются

460
«9. Теллер
через 1 см2 за 1 с к сжатой области. В правой части
равенства (3) стоит число частиц, выходящих из области 2. Эта
величина имеет более сложный вид по двум причинам. Во-первых,
для наблюдателя, находящегося в области 1, за счет лоренцева
сокращения области 2 кажущаяся плотность тяжелых частиц
увеличивается от п2 до
где 02 — скорость (в единицах с), с которой область 2
приближается к области 1. Во-вторых, если наблюдать из области 1,
то частицы из области 2 будут пересекать фронт волны со
скоростью ps + 02- Скорость фронта направлена от наблюдателя,
а частицы области 2 движутся к наблюдателю. Чтобы найти
относительную скорость входа частиц в область 1, нужно
просто сложить скорости движения относительно того же
наблюдателя в области 1.
Закон сохранения энергии можно записать следующим
образом:
Р о _ ГПС2П2 (Ps + Рг) /Ач
Е&*——;—^—• (4)
I ~ Р2
Это уравнение не требует особых пояснений; достаточно
напомнить, что наблюдателю, находящемуся в области 1,
необходимо учитывать лишь энергию покоя частиц в области 2 и
что энергия таких частиц относительно области 1 равна
0-1
i?Y/,
Разделив (4) на (3), с учетом равенства (1) получим
Л1 тс'2
—l = тс2
0-йР
(5)
Данное уравнение можно переписать в виде
• = тсл
10-гё)*
— 1
(6)
Это означает, что в сильной ударной волне добавочная
(относительно энергии покоя) энергия, приходящаяся на одну
частицу, в сжатой области равна кинетической энергии частицы.
Действительно, величину 02 можно рассматривать не только как
скорость невозмущенной области 2 относительно области 1, но
и как скорость сжатой области 1 относительно несжатой 2. То,
что для сильной волны внутренняя энергия равна кинетической
энергии, хорошо известно в гидродинамике нерелятивистских

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 461
ударных волн. Мы видим, что это справедливо не только при
любых уравнениях состояния, но и при любых скоростях, даже
при релятивистских.
Последнее уравнение для ударной волны, закон сохранения
импульса, записывается следующим образом:
р,_ _ . (7)
где Pi — давление в сжатой области (давлением в
невозмущенной области мы пренебрегаем). Давление Pi в точности
уравновешивает импульс, передаваемый сжатой области через 1 см2
в единицу времени. Имея в виду, что импульс, приходящийся
на одну частицу, равен
ГПС$2
тогда как скорость фронта равна £0S, а скорость области 2
равна с§2, в правильности уравнения (7) можно убедиться путем
таких же рассуждений, как и в случае уравнений (3) и (4).
Предположим теперь, что мы имеем очень сильную ударную
волну, так что х\\ ^> ti\mc2. Тогда из уравнения (6) получим
выражение для относительной скорости несжатой и сжатой
областей
р2=1—8, (8)
где е <: 1. Разделив (7) на (4), получим соотношение
которое оказывается справедливым для сильной ударной волны
независимо от того, релятивистская она или нет1). Пренебрегая
е и энергией покоя в сравнении с г|i в формуле (1) и учитывая
(2), находим в сильно релятивистском случае, что
P.—J-. (Ю)
Это означает, что в сильно релятивистском случае скорость
фронта относительно сжатой области 1 равна Чг скорости света.
В дальнейшем будет достаточно сохранять лишь главные
члены. В любой реальной ударной волне величина ps будет
меньше 7з, а в экстремально релятивистском случае она будет
стремиться к этому значению.
') Нетрудно показать, что равенство (9) выполняется для всех
ударных волн (а не только для сильных); для этого нужно заменить Рх
разностью давлений по обе стороны скачка..

462
Э. Теллер
Продолжая рассматривать сильно релятивистский случай,
для плотности энергии в сжатой области можем написать
выражение
„ 4л2тс2
£\ =- гтг
2т2тс2
1-Й
(И)
воспользовавшись равенствами (4), (10) и (8). Эта формула
устанавливает связь между плотностью энергии в области за
фронтом волны в системе координат, движущейся с веществом
за фронтом, плотностью частиц на фронте и величиной,
показывающей, насколько скорость сжатого вещества отличается от
скорости света.
Чтобы применить необходимые выводы из
гидродинамической теории, воспользуемся инвариантом Римана в
релятивистской форме. Такой инвариант был найден в аналогичном
случае М. Джонсоном несколько лет тому назад. Упрощенный
анализ, излагаемый ниже, основан на предположении, что мы
почти всегда можем пользоваться сопутствующей координатной
системой.
Уравнения движения получаются из условия равенства нулю
дивергенции релятивистского тензора энергии-импульса. В
сопутствующей системе тензор имеет вид
(12)
Рассматривая этот тензор из системы координат, движущейся
со скоростью р (в единицах с), с помощью преобразования
Лоренца можно получить
< р
0
0
ю
0
р
0
0
0
0
р
0
0
0
0
птс2 -f- т)
Р + Р2 (тс2п + т))
1-Р2
0
0
Р (Р + птс2 + t))
1 -Р2
0 0
Р
0
0 0
р (Р + птс2 + т))
1-Р2
0
0
птс2 + т| + Р2Р
1 -Р2
(13)
Полагая четырехмерную дивергенцию этого тензора равной
нулю, имеем
Р + р2 (птс2 + л)
—и
дх L
— Г-
дх [
1 ■ д ГР(Р + шсЧт|)1_л
1~Р2 1^ d(ct)[ 1-Р2 J-и'
р (Р + птс'2 + л)
1-Р2
J+ diet) [
птс2 + Л + Р2^ 1 _
1-Р2
■]-
о.
(И)
(15)

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 463
Продифференцировав уравнение (14) по ху а уравнение (15) —
по ct и взяв их разность, получим
д2 Г Р + Р2 (птс2 + л) 1 _ д2 Г птс2 + л + Р2Я 1 _ n /t ftv
^дг2 L i - р2 J a (ct)2 [ П^ J —и- ^10'
Теперь нам нужно переписать это уравнение в сопутствующей
системе координат, где р = 0. Ограничиваясь лишь величинами
первого порядка, в частности пренебрегая квадратами
производных р, получаем
д2Р _ д2(птс2 + л) пп
д\2 ~ d(ct)2 ' W
Далее, если пренебречь энергией покоя по сравнению с л» т0
с учетом соотношения (2) между Рит) мы придем к уравнению
±^!IL = _£!IL (18)
3 дх* d(ct)2 * V '
Общим решением этого уравнения может служить любая
функция у) переменной
i' + W<) ■» {'-w')-
Это означает, что в сильно релятивистском случае скорость
звука становится равной с/|/3 (хорошо известный результат).
Чтобы получить соотношения Римана, подставим в
уравнения (14) и (15) р = 0, но не будем пренебрегать производными
величины р. Тогда
17 + ^ + £)aW = °. <19>
^+£)#+таг£-°- (20)
Если снова воспользоваться релятивистским приближением
Е = т] и Р = 7311» то уравнения сведутся к системе
h£ + TRk = <>- ОТ
Эту систему уравнений можно решить, введя переменную
.-№-*-■>?-** (23)
Имеем
*+Jii=0, (24)

464
Э. Теллер
Складывая эти два уравнения, окончательно получим
d(o + fi) , VJ_ 0(о + Р) = 0 (26)
дх "^ с dt ' * '
Отсюда следует, что величина о 4- Р может быть любой
функцией переменной
Таким образом, возмущение будет распространяться в прямом
направлении со скоростью звука с/УЗ, так что при этом
величина о + Р остается неизменной. Это справедливо, конечно,
только вблизи р = 0.
Для дальнейшего нам достаточно уже того, что было
сказано. Но мы сделаем два замечания общего характера.
Во-первых, вычтя уравнение (25) из уравнения (24), мы получим, что
величина о — р не изменяется, когда возмущение
распространяется со скоростью звука относительно вещества в направлении
отрицательных значений х. Во-вторых, введя более общее
определение
можно было бы получить более общую формулировку
инварианта Римана. В этом выражении v8 — скорость звука, а в Е,
конечно, входит энергия покоя. Подставив его в уравнения (19)
и (20), можно было бы уравнения (24) и (25) вывести
непосредственно. К сожалению, тогда vs оказывается более сложной
функцией, для которой нет общего интеграла. Поэтому мы не
будем рассматривать такой случай.
Непосредственным образом использовать инвариантность
величины а + Р при распространении возмущения в
положительном направлении нельзя, так как в теории относительности
скорости неаддитивны. Действительно, если две системы / и 2
движутся с относительной скоростью Pi2, а системы 2 и 3— с другой
относительной скоростью Ргз, то относительная скорость систем
1 и 3 дается хорошо известной формулой
Pl3~ 1+Р.А.' (28)
Поскольку величина о определена формулой (23) как интеграл,
она, конечно, аддитивна; величина же р не является аддитивной.
Необходимое обобщение инварианта Римана можно получить,
если ввести величину, иногда называемую в релятивистских
теориях «быстротой», которая при малых р совпадает со
скоростью, но в отличие от р обладает свойством аддитивности.

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 465
Быстрота есть ареа-тангенс величины р, т. е. она равна
Легко видеть, что
Arthp = yln43J. (29)
* ln l + Pis _ l jn l + (P12 + Рз2)/(1 + P12P32) =
2 1 _ pn 2 m l - (p12 + p32)/(l + p12p32)
__ ^ |n 1 + Pl2 + Р2З + Pl2P23 _ 1 |n * + Pl2 j_ 1 fn 1 4- P23 /QQ\
2 1 — P12 ~ P23 + Р12Р2Я 2 1—P12 2 1 — Э23
В результате можно сделать следующее общее утверждение
относительно приближенного инварианта Римана для
положительного направления в предельно релятивистском случае. Величина
T_T-t-_,„Tl = u„,«jx__^<j
переносится без изменения в положительном направлении оси х
со скоростью звука с/^З относительно вещества.
Последнее обстоятельство мы выразили, написав справа в
формуле (31) постоянную с индексом, указывающим уравнение
траектории, вдоль которой величина, стоящая слева,
инвариантна. Для удобства можно умножить обе части равенства (31) на
2 и потенцировать результат. Это дает
j^^-const^j. (32)
Величина, стоящая слева, опять является постоянной вдоль
траектории, обозначенной индексом в правой части.
Применим эти результаты к самому внешнему слою
сверхновой звезды. Предположим, что этот внешний слой достаточно
тонок, так что кривизна не имеет значения и задачу можно
рассматривать как плоскую. Тогда мы видим, что во внешних
слоях звезды в сжатой области римановская адиабата,
задаваемая уравнением (32), определяется константой. В этом
уравнении адиабаты мы должны положить величину г\ равной rji,
т. е. тому значению т|, которое достигается в сжатой области.
Величина же р есть относительная скорость сжатой и несжатой
областей, и, следовательно, в качестве р в формуле (32)
следует взять р2. С учетом равенства (8) получаем
f лГА = const. (33)
Поскольку это уравнение относится к очень тонкому слою, мы
опустили индекс у постоянной, которая мало отличается в
соседних точках и очень близка к соответствующей величине

466
Э. Теллер
внутри звезды. Пользуясь соотношением (11), мы можем
исключить t]i и получим
4 (^Р- const. (34)
= const, (35)
eV3 /2+1
-i- = const. rq (/rA)/(/V, + О e const • Аг|-2^ # (36)
Теперь мы имеем соотношение между малой разницей скоростей
е и плотностью п2 в несжатой области.
После прохождения ударной волны вещество будет
адиабатически расширяться и при этом ускоряться, причем все время
будет выполняться риманово соотношение (32).
Плотность же энергии при адиабатическом расширении в
релятивистской области изменяется пропорционально плотности
частиц в степени 4/з-
Л ~ п\ (37)
и, следовательно, энергия, приходящаяся на одну частицу,
пропорциональна плотности частиц в степени 7з:
-£- ~ п1/.. (38)
Таким образом, энергия, приходящаяся на одну частицу,
пропорциональна корню четвертой степени из плотности энергии:
W
(39)
Все это справедливо до той точки, в которой энергия,
приходящаяся на одну частицу, в сопутствующей системе координат
становится приблизительно равной тс2. Сразу после ударной волны
величина г\/п дается в соответствии с формулой (6) выражением
= const -п**-**, (40)
где использовано соотношение (36).
В процессе адиабатического расширения величина х\/п
уменьшается от значения (40) до постоянного значения порядка тс2;
в дальнейшем существенных причин для изменения не имеется.
Следовательно, полное изменение величины г\/п при
адиабатическом расширении пропорционально величине
<Г~\ (41)

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 467
Полное изменение величины г\ пропорционально четвертой
степени величины (41),_а, согласно уравнению (33), величина е
пропорциональна л^3/2 • Следовательно, полное изменение
величины е пропорционально величине
п2 УГ (/Г-ъ) = пб-з ут (42)
Величина е до расширения дается формулой (36); учитывая это,
получаем в конце процесса
еконечн П2 п2 —п2 • \WJ
Величина еКОнечн в свою очередь связана с энергией частиц,
которые, как полагают, и являются космическими лучами. Эта
энергия дается формулой
Е = —™1— ~ е-'/, ~ пъ (/з - з). (44)
/1 Q2)1/* конечн 2 х '
Применим этот результат к случаю, когда внешний слой
звезды можно рассматривать как атмосферу с постоянной
температурой. В этом случае п2 будет меняться экспоненциально с
высотой. Число частиц (в космических лучах) с энергией,
превышающей определенное значение, будет пропорционально
полному числу частиц, выбрасываемых из области, лежащей выше
данного радиуса, а это число в свою очередь будет
пропорционально плотности частиц на этом радиусе. Таким образом, число
N частиц (в космических лучах) с энергией, превышающей
величину (44), мы можем положить пропорциональным п2 и
записать в виде
Энергия > в ~ «2 ~ Р/(1Т-3) = Е- 0 ^г/.> = Б'1*77. (45)
Это действительно неплохо согласуется с эмпирическим
спектром космических лучей.
Если сравнить такую теорию происхождения космических
лучей с теорией, предложенной 20 лет назад Ферми, то нужно
отметить, что в старой теории число частиц в космических лучах
действительно было пропорциональным некой степени энергии.
Но показатель степени оставался неопределенным. Он зависел
от величин, которые связаны со статистическими процессами
в галактиках, так что детальная проверка на основе сравнения
с другими наблюдениями была невозможна. Теория Колгейта и
Джонсона имеет то преимущество, что она дает достаточно
определенное значение показателя степени, согласующееся с
экспериментом. Правда, этот показатель степени может несколько
изменяться в зависимости от распределения плотности вещества
в пространстве вблизи сверхновой, но такие изменения,
по-видимому, невелики.

468
Э Теллер
Против такой теории космических лучей можно выдвинуть
три серьезных возражения. Одно состоит в том, что космические
лучи данной скорости испускаются с поверхности сверхновой
почти одновременно и эти ионы вместе с ускоряющимися
электронами образуют движущуюся плазму. Вначале плотность этой
плазмы значительно больше, чем плазмы в межзвездном
пространстве. После того как космические лучи пройдут расстояние,
равное примерно одному световому году, обе плотности станут
сравнимыми, и в этом месте должна возникнуть хорошо
известная двухпотоковая неустойчивость. Она может превратить
упорядоченное движение космических лучей в беспорядочное и
привести к эффектам, которые трудно предсказать. Вычисления,
проведенные недавно аспирантом Макки в Беркли, показывают,
что двухпотоковая неустойчивость действительно имеет место и
действительно влияет на движение электронов,
распространяющихся с космическими лучами. Но эти расчеты, выполненные
упрощенно с помощью вычислительных машин, весьма
поддерживают ту точку зрения, что тяжелые частицы (существенная
компонента спектра космических лучей) не подвержены этому
влиянию.
Второе и более серьезное возражение состоит в том, что,
когда вне радиуса г, где в данный момент формируется
ударная волна, остается очень мало вещества, излучение может
уходить, не взаимодействуя в дальнейшем с электронами. В
реальном ударном процессе излучение играет чрезвычайно
важную роль, ибо почти вся энергия содержится в излучении. Если
происходит его утечка, то ударная волна не может далее
существовать и, таким образом, нет ясного механизма, за счет
которого возникали бы космические лучи очень высокой энергии,
~1020эВ.
Третье возражение связано с вопросом о том, происходят ли
рассмотренные гидродинамические явления при чисто
адиабатических условиях, иными словами, достигается или нет
равновесие, в частности радиационное равновесие. Этот вопрос тесно
связан с предыдущим. По-видимому, можно не сомневаться, что
космические лучи более низкой энергии можно объяснить на
основе изложенной теории. Но при каком именно значении
энергии начинаются трудности — это неясно и зависит в большей
степени от конкретной модели предсверхнового состояния
звезды.
Интересен также вопрос об энергии, излучаемой сверхновой
в форме, отличной от потока частиц с высокой энергией,
которые, как предполагается, и есть космические лучи. В более
глубоких слоях внутри звезды начальная ударная волна должна
быть сравнительно слабой. Даже при таких условиях большое
количество энергии будет выделяться в виде излучения черного

15. Релятивистская гидродинамика в сверхновых звездах 469
тела. При расширении звезды спектр черного излучения
должен сохранять свою форму, но плотность энергии и температура
будут уменьшаться, так как энергия излучения будет переходить
в кинетическую энергию внешних слоев вещества. В конце
концов полное количество вещества (в расчете на 1 см2
поверхности), находящегося выше определенного объема, будет слишком
мало и излучение начнет просачиваться наружу. Вуд в Ливер-
море подробно рассчитал такой процесс на основе нескольких
моделей сверхновых.
Результаты расчета показывают, что сверхновая с самого
начала, кроме космических лучей, должна испускать
электромагнитное излучение, которое можно было бы наблюдать в мега-
электронвольтной области. Но в этот момент хвост
распределения фотонов, лежащий й видимой области, настолько слаб, что
практически его невозможно наблюдать. С течением времени
максимум распределения интенсивности смещается из области
у-лучей в рентгеновскую, а затем в ультрафиолетовую область.
В конце концов максимум должен сместиться в видимую
область. В модели, в которой сначала имеется очень плотная
звезда радиусом ~109 см, это происходит спустя несколько
часов и вычисленные интенсивности оказываются слишком
слабыми, чтобы объяснить наблюдаемые интенсивности сверхновых
в видимой области. Принято считать, что фактическая
интенсивность обусловлена послесвечением, возникающим при ядерных
превращениях, в частности при (5-распаде, который начинается
в мантии, окружающей центр сверхновой.
Но имеется и другой интересный вариант. Представим себе,
что предсверхновое состояние есть очень протяженная звезда с
большой газовой оболочкой. В этом случае вычисления типа
проведенных Вудом дали бы задержку в несколько дней между
взрывом сверхновой и наблюдаемым максимумом излучения в
видимой области. Кроме того, в этом случае большая часть
энергии, переданной первоначальной волной в объем сверхновой,
могла бы в конце концов превратиться в видимое излучение,
и этого может оказаться достаточным, чтобы частично, а может
быть, и полностью объяснить наблюдаемую интенсивность
излучения. На такую возможность указывали также советские
авторы Грасберг и Надежин в своей статье «Выход ударной волны
в протяженную оболочку звезды и взрыв сверхновой» 1).
Несомненно, наиболее захватывающая фаза взрыва
сверхновой— это самая ранняя стадия, на которой испускаются улучи.
*) С исследованиями ударных волн в протяженной оболочке звезды и
кривых изменения блеска сверхновых можно ознакомиться в следующих
работах указанных авторов: Е. К. Грасберг, Д. К. Надежин, Научные
информации Астрономического Совета АН СССР, 13, 96 (1969); Астр, журн.,
46, 745 (1969);Astrophysics and Space Science, 10, 3 (1971). — Прим. перев.

470
Э. Теллер
К сожалению, мы не можем наблюдать эти у-лучи, так как они
сильно поглощаются в нашей атмосфере. Специальная
аппаратура, поднятая на космическом аппарате, могла бы
зарегистрировать эту раннюю фазу и показать, как интенсивность и
средняя длина волны меняются во времени. Это могло бы дать
ценную информацию для теории и позволило бы нам сделать
выводы о строении звезды в предсверхновом состоянии.
Кроме того, мы тогда могли бы сделать то, что не мог
сделать Главный Календарный Вычислитель во времена династии
Сун. Мы могли бы предсказать за несколько дней появление
сверхновой как оптически наблюдаемого объекта. Марк и его
сотрудники из Ames Research Laboratory в Калифорнии
действительно планируют такие наблюдения. Не исключено, что в
ближайшем будущем в журнале «Тайм» появится
предуведомление о «звезде-гостье» двадцатого столетия — нечто немыслимое,
конечно, в одиннадцатом веке.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля уравнение 261
Абсорбционная спектроскопия 71
Автомодельная газодинамика 225
— переменная 231 , 338 , 340
Автомодельные решения
(определение) 225
Автомодельный режим 233
— профиль 235
Адиабата Гюгоиио 18 , 29 , 34 , 39 , 62 —
64 , 66 , 68 , 109 , 117 — 119 , 132 , 211 ,
271 , см . также Адиабата
динамическая , Адиабата ударная , Кривая
Гюгонио
— динамическая 16 , см . также
Адиабата Гюгонио , Адиабата ударная ,
Кривая Гюгонио
— Пуассона 29 , 36 , 211
— римановская 465
— ударная 18 , 19 , 24 , 270 , 271 , см
также Адиабата Гюгонио ,
Адиабата динамическая , Кривая
Гюгонио
Адиабатический интеграл 226
Айринга формула 266
Акустическое сопротивление 28
Альфвеиовская скорость 184 , 287 , 293 ,
294
Анализ размерностей 140 , 222 , 223 ,
225 , 228 , 232 , 419
Анизотропия аксиальная 154 — 156
— беспорядочная 154 , 155
— вынужденная 152 , 154
Антимонополь (магнитный) 10
Антисвязанные состояния 110
Антистоксова компонента 395
Аргоновая «свеча» 70 , 71 , 80 , 128
Баратол 68 , 262 , 267
Баронал 262
Баушингера эффект 36
Беспорядочная анизотропия 154 , 155
Бесстолкновительная диссипация 432 ,
433
Бесстолкновительный скин - слой 293 ,
294
Блюмлейна генератор 165 , см также
Блюмлейна рентгеновский источник
— линия 159 — 162 , 165 , 166 , 283 , 308 ,
422 , 434 — 438 , 442 , 445
— рентгеновский источник 165 , см .
также Блюмлейна генератор
Больцмана уравнение 282 , 358 , 380
Бриллюэновское рассеяние
стимулированное 166 — 168 , 389
Быстрота 464 , 465
Быстрый взрыв 256
— осциллограф 72 , 88
Бюргерса вектор 45
Ван - дер - Ваальса уравнение 250 — 252 ,
255
Вектор Бюргерса 45
Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
(ВКБ) приближение 360
Ветер электронный 176
Вещества «нормальные» 16 , 17 , 19 , 100
Вещество взрывчатое быстрое 267 , 268
медленное 203 , 267 , 268
мощное 8 , 61 , 65 , 70 , 77 , 83 , 123 ,
144 — 146 , 162 , 264 , 270 , 272
— ударно - сжатое 85
Взаимодействие атомных остатков 118
— замкнутых оболочек 119
Взрыв быстрый 256
— конический 268
— медленный 256
— сверхновой 455 , 458 , 469
Взрывающиеся проволочки 173 , 243 ,
248 , 333 , 433
Взрывная волна 284 , 285 , 292
Взрывные генераторы 190 , 191 , 202 ,
206
Взрывные линзы 68 , 77
Вигнера — Зейтца модель 135
радиус 111
Волна антистоксова 395
— взрывная 284 , 285 , 292 , 308
излучение 300
— газодинамическая 287 , 289 , 290
— двойная 34 , 39 , 48 , 49

472
Предметный указатель
Волна детонационная сходящаяся 266
— дефлаграционная 364 , 365
— доальфвеновская 287
— ионизующая 287 , 289 , 291
— испарения 180 , 242 , 243 , 245 — 251 ,
253 , 255 — 257
— магнитного сжатия 291
— Маха 267
— МГД (магнитогидродинамическая)
8 , 287 , 291 , 423 , см . также Волна
плазменная
— надальфвеновская 287
— объемная 99
— плазменная 287 , 289 , 290 , см .
также Волна МГД
— пластическая 36 , 39 , 46
— пластического разрежения 35
— поперечная (МГД) 292
— предвестник 49 , 74
— разгрузки 35 , 54 — 56 , 90 , 99 , 246 ,
258 , 264 , 270
— разрежения 19 , 20 , 22 , 23 , 25 , 26 ,
28 , 29 — 31 , 35 , 39 , 52 , 55 , 64 , 65 , 78 ,
85 , 90 , 101 , 123 , 146 , 364 , 365
боковая 65
краевая 144
оптическая толщина 365
простая 22 , 101
саморегулирующаяся 365
тэйлоровская 65
центрированная 101 , 323 , 364
— расширения 403 , 404
— сдвига 54
— стоксова 395 , 396
— тепловая 347 , 351 , 372
— тройная 39
— Тэйлора 371 , 372
— ударная (определение) 15
бесстолкновительная 291 — 293 ,
308
поперечная 293
включающая 305
дифракция 284
излучающая 8
ионизующая 287 , 291
ионная 289
мощность 282
обратная 16
оптически прозрачная 305
прямая 16
сильная (определение) 279
слабая 22 , 25 , 279
сходящаяся 215 , 230 , 232
устойчивость 238
толщина 19
электронная 289
— электронного прогрева 291
Волновая гипотеза 241 , 242
Волновое сопротивление 28
Волны бесстолкновительные
электростатические 294
— столкиовительные 294
— ударные магнитогидродинамиче -
ские 8
релятивистские 301
Время «затемнения» 365 , 366
— лоусоновское 426
— нарастания 51
— радиационного охлаждения 297
— размагничивания 146
— разрядки 191 , 435 , 436
— релаксации 51
электрон - ионной 362
— столкновения 383
— термализации 348
— томсоновское 436 , 441
Вспыхивающий промежуток 71 , 72 , 75 ,
77
Вынужденная магнитная анизотропия
150
Высокие плотности энергии ,
проблемы 7 , 11
физика 7
Вязкий скачок 291
Газ оптически тонкий 298
— политропный 216
— свободных нейтронов 304
Газодинамика автомодельная 225
Гамма объемная 97
Генератор Блюмлейна 165 , см . также
Рентгеновский источник Блюмлейна
— линейный 203
— магнитокумулятивный 8 , 190 , см .
также Генераторы взрывные
— плоской волны 267
Генераторы взрывные 190 , 191 , 202 ,
206 , см . также Генератор
магнитокумулятивный
Генерация гармоники света 389
Гигантский импульс 167 , 373
Гиперскорость 171
Гипотеза волновая 241 , 242
Гладкий откол 56
Годограф 22
Горячая точка 264 , 265
Гранат железо - иттриевый 144 , 153
Граница плазменная размытая 360
резкая 359
Группа преобразований 223
Грюнайзена коэффициент 44
— уравнение 94 , 100 — 102
Гюгонио адиабата 18 , 29 , 34 , 39 , 62 —
64 , 66 , 68 , 109 , 117 — 119 , 132 , 211 ,

Предметный указатель
473
271 , см . также Адиабата
динамическая , Адиабата ударная . Кривая
Гюгонио
Гюгонио кривая 5 — 17 , 24 , см . также
Адиабата Гюгонио , Адиабата
динамическая . Адиабата ударная
— предел упругости 33 , 34 , 43 , 44 ,
92 , 153
— соотношения 197 , 213 , 216
Давление детонации 266
— излучения 296 , 298
— магнитное 197 , 293
— радиационное 379
— ударное 146 , 150
— Чепмена — Жуге 215
Датчик кварцевый 35 , 46 , 87 , 88
— манганиновый 83 — 85
— ударной волны 123
Двухжидкостные уравнения 390
Дебаевский радиус 381
Дебаевское волновое число 388
— приближение 96
Девиаторы деформаций 41
— - напряжений 41 , 42
Детонационная волна 8 , 65 , 68 , 69 , 85 ,
203 , 215 , 265 , 266 , 269 , 373
профилирование 267
термоядерная 305 — 307
Детонационно - электрический эффект
85
Детонация сильная 260 , 261
— слабая 260 , 261 , 263
— Чепмена — Жуге 259
Дефлаграция Чепмена — Жуге 365 ,
367
Диагностика 69
Диаграмма состояния 242 , 250 , 251 ,
323
Динамика газовая радиационная 298 ,
299
Динамический импеданс 63 , 64 , 123 ,
126 — 128 , 145 , 146
согласователь 145
Динамо - эффект 140 , 142
Диокотронная неустойчивость 439
Диссипация бесстолкновительная 432 ,
433
Дифракционная расходимость 374 ,
396
Диффузия вихревых токов 146 , 147
— магнитная 195
— магнитного поля 138 , 196 , 198 , 199 ,
205
Добротность модулированная 354 , 371
Доплера эффект 167 , 168
Дыра черная 458
Ждущий фоторегистратор 70
Жуге условие 323 , 334 , см . также
Чепмена — Жуге условие
Забивка 203 , 204
Задача Релея 217
Закон Линдемана 119
Замагничивание 428
Запуск детонации 69
Зародыши пара 326 , 327
Заряды с «облицовкой» 272
— кумулятивные 175
Заселенность зоны проводимости 136
— инверсная 12
— состояний 110
Затвор фарадеевский 169
Затухание Ландау 432
— столки овительное 382
Защита тепловая 185
Звездный коллапс 10
Зеемана эффект 207
Зонд коаксиальный 72 , 74
— самозакорачивающийся 72 , 74
— электрический 417
— электроразрядный 72
Излучение взрывной волны 300
— индуцированное 11
— лаймановское 299
— спонтанное 11
— черное 447 , 469
Изоляция магнитная 445
Изэнтропа 16 , 18 , 24 , 25 , 39 , 62 — 64 ,
100 — 102
Изэнтропическая волна 24
Изэнтропический процесс 63 , 237
Изэнтропическое течение 21 , 22
Импеданс динамический 63 , 64 , 123 ,
126 — 128 , 145 , 146
согласователь 145
Импульс гигантский 167 , 373
— двигателей удельный 447
— световой ультракороткий 377
Импульсная рентгенография 271
Инвар 148 , 149
Инварианты Римана 21 , 462 , 464 , 465
Индуцированное излучение 11
Инерционное удержание 352 , 435
Инициирование 265 , 268 , 424 , 425 , 435 ,
438 , 449
— радиус 425
— температура 425 , 426
— термоядерного микровзрыва 421 ,
422 , 427 , 433 , см . также Поджиг
термоядерного микровзрыва
Инкремент нарастания 408 , 429 , 430 -
433

474
Предметный указатель
Интеграл адиабатический 226
— Римана 67 , 101 , 269 , 270
Интенсивность излучения удельная 296
Ионный ветер 176
Искра 311 , 372
— лазерная 308 , 373
Источник рентгеновский Блюмлейна
165 , см . также Генератор
Блюмлейна
Кавитация 241 , 250
Кельвина — Гельмгольца
нестабильность 408
Керра ячейка 168 , 416
Кинограмма скоростная 207 , 208
Клаузиуса — Клапейрона уравнение 47
Коаксиальный зонд 72 , 74
Коллапс 455 , 456 , 458
— звездный 10 , 457
Комбинационные лазеры 373
Компонента антистоксова 395
— стоксова 397
Конденсатор левитационный 423 , 434 ,
439 , 440 , 444 , 449
Конический взрыв 268
Координата эйлерова 14
Координаты лагранжевы 367
Коэффициент Грюнайзена 44
— излучения 296
— поглощения 167 , 296 , 357 , 362
в плазме 393
— подобия 232
— политропы 232
— прилипания 316
— размножения (дислокаций) 45
— свободно - свободного поглощения
364 , 379 , 380
— теплового расширения 24 , 96 , 325
Коэффициенты Ламе 96
— магнитоупругие 153 , 156
— стрикционные 152
Красное смещение частоты 386
Кривая Гюгонио 15 — 17 , 24 , 63 , 64 , 92 ,
94 , 98 , 100 — 103 , 106 , 107 , 118 , 119 ,
129 , 133 , 136 , 142 , 149 , 158 , 170 , 238 ,
261 , 262 , см . также Адиабата
Гюгонио , Адиабата динамическая ,
Адиабата ударная , Кривая Рэнки -
на — Гюгонио
— разгрузки 39 , 40
— Рэнкина — Гюгонио 15 , см . также
Адиабата Гюгонио , Адиабата
динамическая , Адиабата ударная ,
Кривая Гюгонио
— сингулярная 230 , 232
— ударного сжатия 106
— холодного сжатия 97 , 102 , 109
Кривая энергии связи 107 , 109
Критерий разрушения 42
Критическая электронная плотность
356 , 358
Кулоновский логарифм 297 , 347 , 358 ,
376 , 381
Кумуляция 175 , 188 , 190 , 211 , 215 ,
220 , 221 , 222 , 228 , 236 , 237
— автомодельная 230
— магнитная 239 , 356
— магнитогидродинамическая 221 , 222
— поля 219 , 221
— скорости 219
сферическая 219
цилиндрическая 219
Лагранжевы координаты 367
Лазер одномодовый 170
Лазерная искра 308 , 373
Лазеры комбинационные 373
Лаймановское излучение 299
Лайнер 187 , 190 , 191 , 193 , 194 , 198 ,
202 — 206 , 208 , 219 , 259 , 267 , 272 —
274 , см . также Облицовка
Ламе коэффициенты 96
Ламинарный поток электронов 409
Ландау затухание 432
Ларморовский радиус (электрона ,
иона) 451
Левитационный конденсатор 423 , 434 ,
439 , 440 , 444 , 449
Линдемана закон 119
— соотношение 107
Линза «типа мышеловки» 69
— плоско - волновая 61 , 145
Линзы взрывные 68 , 77
Линия Блюмлейна 159 — 162 , 165 , 166 ,
283 , 308 , 422 , 434 — 438 , 442 , 445
Логарифм кулоновский 297 , 347 , 358 ,
376 , 381
Лоусона условие 425
Магнитная диффузия 195
— изоляция 445
Магнитное число Рейнольдса 140 , 142 ,
196
Магнитогидродинамическая теория 194
Магнитогидродинамическое
преобразование термоядерной энергии 449
Магнитокумулятивный генератор 8 ,
190 , см . также Взрывные генераторы
Магнитострикция обратная 144
Магнитоупругая теория 154
— энергия 152 , 156
Магнитоупругие коэффициенты 153 ,
156

Предметный указатель
475
Макрон 421 , 422 , см . также
Макрочастицы
Макронный ускоритель 423
Макрочастицы 171 , 271 , 272 , 421 - 423 ,
см . также Макрон
Максвелла правило равных площадей
251 , 254
Манганиновый датчик 83 — 85 , 91
Масса электрона поперечная 429
продольная 429
Массовая скорость 16 , 64 , 67 , 77 , 81 ,
82 , 86 , 90 , 92 , 101 , 364
Маха число 278 , 280 , 282 , 287 , 288 ,
293 , 299 , 364 , 365
акустическое 287
альфвеновское 287
— волна 267
— отражение 213 , 214
Машина роторная 190
Метод анализа размерностей 223 , 284
— кварцевого кристалла 85
— конденсатора 77 , 78
— лазерной интерферометрии 85 , 88
— наклонного вспыхивающего
промежутка 77
зеркала 77 , 85
— наклонной призмы 77 , 79 , 85
проволоки 77
— Неймана и Рихтмайера 37 , 43 , 47 ,
49 , 58
— ножа 78
— оптического рычага 78
— погруженной фольги 85
— Седова 225
— фейнмановских диаграмм 390
— характеристик 42 , 43
— Хартри — Фока 111
Механизм «снежного плуга» 185 , 186
Микровзрыв термоядерный 421 , 422 ,
427 , 433
Михельсона прямая 68 , 260 , 261
Мода 168 , 388 — 392
— нормальная 94 , 95 , 97
— самосинхронизация 347 , 416
— селекторы 168 , 169
Модель Вигнера - —Зейтца 135
— детонационной головки 270
— квазигармоническая 94
— Неймана , Зельдовича и Доринга
306
— плазмы двухжидкостная 388
одножидкостная двухтемпера -
турная 376
— свободных электронов 104 , 105
— «снежного плуга» 185
— Томаса — Ферми 9 , 13 , 103 , 105 ,
119 , 120
Модель упруго - пластическая 32 , 36 ,
85
— Хартри— Фока 111 , 112 , 114 , 117
Модулированная добротность 354 ,
371
Модуль всестороннего сжатия 33 , 96 ,
97 , 167
Монополи магнитные 9
Мотта переход 333
Нагрев лазерным импульсом
эффективный 411
— сверхзвуковой 369
— ударный 143
Накачка обратная 373
Накопитель (энергии) 188 , 207 , 283
— оптический 189
Направление легкого намагничивания
150
Нееля температура 150 , 151 , 156
Неймана , Зельдовича и Доринга
модель 306
Неймана и Рихтмайера метод 37 , 43 ,
47 , 49 , 58
Нестабильность Кельвина — Гельм -
гольца 408
— Релея — Тэйлора 201 , 202
Неустойчивость двухпотоковая 293 ,
468
— диокотронная 439
— плазменная 293
— пучковая 432 , 492
Нитроглицерин 283
Нормальная плотность 106
«Нормальные» вещества 16 , 17 , 19 ,
100
Облицовка 272 , см . также Лайнер
Обратная магнитострикция 144
— накачка 373
Объемная волна 99
— гамма (теплоемкость) 97
Огненный шар 446 — 448
Одномодовый лазер 170
— лазерный пучок 374 -
Оптически плотная среда 297
Оптический пробой 372
— прозрачная среда 297
— тонкий газ 298
Осциллограф быстрый 72 , 88
Откол 51 — 53 , 55 , 90
— гладкий 56
Отражение косое 214
— Маха 213 , 214 , см . также
Отражение нерегулярное
— нерегулярное 213
— регулярное 213 , 214

476
Предметный указатель
Параметрический резонанс 407
Параметрическое усиление 379 , 393
Параметры размерные 225 , 226 , 230 ,
236 , 338
«Парусность» (макрочастицы) 176
Переменная автомодельная 231 , 338 ,
340
Переход Мотта 333
— фазовый полиморфный 158
Переходы свободно - свободные 297
Пинч полый 217
— O 307
Пинчэффект 221
Пинч Z 307
Плазма замагниченная 185
— максвелловская нетурбулентная
409
— оптически плотная 295 , 299
прозрачная 295 , 298 , 300
Плазменная граница размытая 360
резкая 359
— тепловая защита 185
— частота 178 , 293
параллельная 429
перпендикулярная 429
Плазменный фокус 11 , 189 , 306
Плазмоиды 180
Планковский средний свободный
пробег 297
Плоско - волновая линза 61 , 145
Плотность дислокаций 45
— нормальная 106
— «отсечки» 351
— электронная критическая 356 , 358
Поджиг термоядерного микровзрыва
422
Покельса ячейка 168 , 169
Полиморфный фазовый переход 158
Политропная среда 241
Политропный газ 216
Полый пинч 217
Поперечная температура 401
— масса электрона 429
Поршень 210 , 216 , 217 , 233 , 275 — 277 ,
284
— сферический 232
— траектория 24
— цилиндрический 232
Постоянная Ридберга 358
Правило равных площадей
Максвелла 251 , 254
Прандтля число 289
магнитное 289
Предвестник 79 , см . также Волна -
предвестник
— упругий 34 , 36 , 39 , 43 , 45 , 46 , 81 ,
82 . 127 , 139
Предел текучести 32 , 33 , 43 , 44 , 100 ,
144 , 156
— упругости Гюгонио 33 , 34 , 43 , 44 ,
92 , 153
Предсверхновое состояние 468 — 470
Преобразование термоядерной
энергии магнитогидродинамическое 449
Преобразования масштаба 223
Приближение акустическое 96
— Вентцеля — Крамерса — Бриллю -
эна (ВКБ) 360
— дебаевское 96
— Дуг дал а — Макдональда 103
— свободной поверхности 65 , 67
— слабых волн 29 — 31
— Честера — Чизиела — Уитхема 234
Пробег средний свободный
планковский 297
росселандов 297
Пробой оптический 372
Проводимость радиационная 220
Проволочки взрывающиеся 173 , 243 ,
248 , 333 , 433
Продольная масса электрона 429
Производная субстанциональная 41
Промежуток вспыхивающий 71 , 72 ,
75 , 77
Профилированный заряд 259 , 272 , 274
Профиль автомодельный 235
— волны 46 , 49 , 51 , 69 , 83
— давления 48 , 51 , 81 , 128 , 168 , 368
— плотности 17 , 368 , 406 , 413
— температуры 142
Процесс изэнтропический 67 , 237
Прямая Михельсона 68 , 260 , 261
— Релея 68 , см . также Прямая
Михельсона
Пуассона адиабата 29 , 36 , 211
Пучки лазерные сфокусированные 355
Пучковая неустойчивость 429 , 432
Пучок лазерный одномодовый 374
Пушка газовая 272
двухкаскадная 66 , 69 , 72
однокаскадная 168
— с легким газом 62
Равновесие корональное 288
— Саха 288 , 299
Радиационная газовая динамика 298 ,
299
— проводимость 220
Радиационное давление 379
Радиография рентгеновская
импульсная 159
Радиус Вигнера — Зейтна 111
— в точке поворота 193
— дебаевский 381

Предметный указатель
477
Радиус инициирования 425
— ларморовский 381
тепловой 293 , 294
Развертка щелевая 70
Разгон 171 , 172 , 174
Разлет вещества 312
— ионов 410
— плазмы 370
Размагничивание 137 — 139
— ударное 146 , 150 , см . также
Размагничивание ударной волной
— ударной волной 144 — 151 , 154 , 155 ,
см . также Размагничивание ударное
Размерные параметры 225 , 226 , 230 ,
236 , 338
Размножение дислокаций 46
Разрыв слабый 229
— ударный 232 , см . также Скачок
ударный
Рассеяние стимулированное бриллю -
эновское 166 — 168 , 389
комбинационное 389 , 397 , 399
— томсоновское 359
Расходимость дифракционная 374 , 396
Резерфордовское сечение 381
Рейнольдса число магнитное 140 , 142 ,
196
Режим автомодельный 233
— автономный 232
— регулярных пичков 332
— самосогласованный 337
Резонанс параметрический 407
— циклотронный 158
Релея задача 217
— прямая 68 , см . также Прямая Ми -
хельсона
Релея — Тейлора нестабильность 201 ,
202
Рентгеновский источник Блюмлейна
165
Рентгенография импульсная 271
Решения автомодельные
(определение) 225
Ридберга постоянная 358
Римана инварианты 21 , 462 , 464 , 465
— интеграл 67 , 101 , 269 , 270
— соотношения 463
Римановская адиабата 465
Рождение пар 9 , 10 , 301 , 303
монополей 10
Росселандов средний свободный
пробег 297
Роторная машина 190
Рэнкина — Гюгонио кривая 15 , см .
также Кривая Гюгонио , Адиабата
Гюгонио , Адиабата динамическая ,
Адиабата ударная
Рэнкина — Гюгонио соотношения 60 ,
61 , 66 , 105
уравнение 16 , 39
условие 65 , 260 , 261 , 306 , 370
условия 279
Самофокусировка 388 , 397 , 399
Сателлиты частоты накачки 395
Саха равновесие 288 , 299
— уравнение 289 , 292
Сверхсжатие 214
Светимость лазерного луча 355
«Свеча» аргоновая 70 , 71 , 80 , 128
Седова метод 225
Седова — Тэйлора теория 284 , 285
Селекторы импульсов 416
— мод 168 , 169
Сечение (рассеяния) резерфордовское
381
Сжатие магнитных потоков 9 , 219
— ударное 107 , 121 , 128 , 137 , 142 ,
143 , 147 , 150 , 156 , 164
Сжимаемость 325
— аномально высокая 135
— изэнтропическая 99
Силектрон 147
Симметричный удар 67 , 101
Сингулярная кривая 230 , 232
Синтез термоядерный управляемый
305 , 308 , 421 , 429 , 447 , 453
Скачок вязкий 291
— давления 19 , 63 , 365
— разрежения 39 , 40
— ударный 15 , 19 , 20 , 43 , 278 , 279 ,
286 , 299 , 301 , 302 , 306 , см . также
Разрыв ударный
— уплотнения 40
Скин - слой бесстолкновительный 293 ,
294
Скол с «гребешком» 53 , 54
Скорость альфвеновская 184 , 287 ,
293 , 294
— детонации 258 , 262 , 265
— звука поперечная 99
продольная 292
— массовая 16 , 64 , 67 , 77 , 81 , 82 , 86 ,
90 , 92 , 101 , 364
— парообразования 328
— свободной поверхности 65 , 67 , 72 ,
76 - 81 , 271
— схлопывания 273
— энерговыделения 283
Смещение частоты красное 386
Согласователь динамических импе -
дансов 145
Соотношение Линдемана 107
Соотношения Гюгонио 197 , 213 , 216

478
Предметный указатель
Соотношения на детонационном
разрыве 322
разрыве 314
ударном скачке 301 , 302
— Римана 463
— Рэнкина — Гюгонио 60 , 61 , 66 , 105
Сопротивление акустическое 28
— волновое 28
Состав В 66 , 68 , 206 , 262 , см . также
Тритолит
Состояние предсверхновое 468 — 470
Состояния антисвязанные 110
Спектроскопия абсорбционная 71
Среда изэнтропическая 236
— оптически плотная 297
прозрачная 297
— политропная 241
Средний свободный пробег планков -
ский 297
росселандов 297
Стоксова компонента 397
Столкиовительное затухание 382
Столкновительный член 387
Страты 256
Струя , образование 67 , 259 , 373
Субстанциональная производная 41
Суммы статистические 292
Схема удвоения напряжения 433 , 434 ,
438
Схлопывание 175 , 191 — 200 , 202 , 207 ,
208 , 217 — 219 , 230 , 234 , 235 — 237 , 239
— сжимаемого пузырька 236
— сферического пузырька 217 , 225
— ударной волны 233
Температура инициирования 425 , 426
— Нееля 150 , 151 , 156
— поперечная 401
— эффективная 355
Тензор давления излучения 296
— напряжений 17
— энергии - импульса 301 , 302 , 462
Теория магнитогидродинамическая
194
— магнитоупругая 154
— Седова — Тэйлора 284 , 285
— Чепмена — Жуге 261 , 263
Тепловая волна 347 , 351 , 372
Тепловой ларморовский радиус 293 ,
294
Термализация 106 , 348
Течение изэнтропическое 21 , 22
Тип колебаний 94 , 388 , см . также
Мода
Толщина волны 19 , 290
— плазмы оптическая 340 , 341
— фронта 281 , 282 , 292 — 294 , 306
Томаса — Ферми модель 9 , 13 , 103 ,
105 , 119 , 120
Томсоновское время 436 , 441
— рассеяние 359
Тормозной эффект 336
Точка горячая 264 , 265
— поворота 193 , 202
— Чепмена — Жуге 269 , 271
Траектория поршня 24
Тринитротолуол 263
Тритолит 206 , см . также Состав В
Тришок 213
Трубы ударные 243
электромагнитные 308
Тэйлоровская волна 65 , см . также
Волна Тэйлора
Угол схлопывания 273
Удар симметричный 67 , 101
Ударная адиабата 18 , 19 , 24 — 26 , 36 ,
37 , см . также Адиабата Гюгонио ,
Адиабата динамическая , Кривая
Гюгонио
— волна (определение) 15 , см . также
Волна ударная
Ударное давление 146 , 150
— размагничивание 146 , 150
— сжатие 107 , 121 , 128 , 137 , 142 , 143 ,
147 , 150 , 156 , 164
Ударно - сжатое вещество 86
Ударные трубы 243
электромагнитные 308
Ударный нагрев 143
— разрыв 234 , см . также Ударный
скачок
— скачок 15 , 19 , 20 , 43 , 278 , 279 , 286 ,
299 , 301 , 302 , 306 , см . также
Ударный разрыв
— фронт 300
Удельная интенсивность излучения
296
Удельный импульс двигателей 447
Удержание инерционное 352 , 435
— плазмы 421
Ультракороткий световой импульс 377
Управляемый термоядерный синтез
305 , 308 , 421 , 429 , 447 , 453
Упругий предвестник 34 , 36 , 39 , 43 ,
45 , 46 , 81 , 82 , 127 , 139
Упруго - пластическая модель 32 , 36 ,
85
Уравнение Абеля 261
— Больцмана 282 , 358 , 380
— Ван - дер - Ваальса 250 — 252 , 255
— Грюнайзена 94 , 100 — 102
— Клаузиуса— Клапейрона 47
— релаксации напряжений 50

Предметный указатель
479
Уравнение Рэнкина — Гюгонио 16 , 39
— Фоккера — Планка 290
— Эйлера 313
Уравнения двухжидкостные 390
— радиационной газовой динамики
295 , 298 , 299
— ударного скачка 14 , 278 , 284 , 287 ,
289 , 295
— характеристические 21 , 42 , 43
Урка - процесс 456
Усиление параметрическое 379 , 393
Ускоритель макронный 423
Условие Жуге 323 , 334 , см . также
Условие Чепмена — Жуге
— Лоусона 425
— Чепмена —Жуге 65 , 260 , 261 , 306 ,
370
Условия Гюгонио 228 , 232
- — на ударном скачке 15 , 19 , 20 , 43 ,
299
— Рэнкина — Гюгонио 279
Факел 312
Фарадеевский затвор 169
Фарадея эффект 207
Феррит марганцево - цинковый 144
— никелевый 14 , 150 , 151 , 153 , 154
Фоккера — Планка уравнение 290
Фокус плазменный 11 , 189 , 306
Формула Айринга 266
Фоторазвертка 244 , 245
— скоростная 245
Фоторегистратор ждущий 70
— сверхскоростной 128
— скоростной 70 , 75
Фронт детонации 55
— ударный 300
Характеристики (определение) 21 , 229
— Г 29 , 30 , 52
— С+ , С_ 29 , 30 , 39 , 40 , 42 , 52 , 233 ,
237 , 239
— Со 42
Хартри —Фока метод 111 , см . также
Хартри — Фока модель
модель 111 , 112 , 114 , 117
Холла эффект 91 , 158
Циклотол 66
Циклотронный резонанс 158
Частота бетатронная 400
— плазменная 178 , 293 , 357
параллельная 429
перпендикулярная 429
электронная 293
— плазмы ленгмюровская 351
Чепмена — Жуге давление 215
Чепмена — Жуге детонация 259
дефлаграция 365 , 367
теория 261 , 263
точка 269 , 271
условие 65 , 260 , 261 , 306 , 370
Черная дыра 458
Черное излучение 447 , 469
Число волновое дебаевское 388
— Маха 278 , 280 , 282 , 287 , 288 , 293 ,
299 , 364 , 365
акустическое 287
альфвеновское 287
— Прандтля 289
магнитное 289
— Рейнольдса магнитное 140 , 142 ,
196
Член столкновительный 387
Шар огненный 446 — 448
Щелевая развертка 70
Эйлера уравнение 313
Эйлерова координата 14
Электрический зонд 417
Электронный ветер 176
Электроразрядный зонд 72
Энергия магнитоупругая 152 , 156
Эффект Баушингера 36
— «вспышки» 315
— вынужденной магнитной
анизотропии 150
— детонационно - электрический 85
— динамо 140 , 142
— Доплера 167 , 168
— Зеемана 207
— кумулятивный 220
— пилы 185
— полого заряда 217
- — радиационной проводимости 220
— размагничивания 137
— «снежного плуга» 172
— тормозной 336
— Фарадея 207
— Холла 91 , 158
Эффективная температура 355
Эффективность преобразования 188 ,
204
— ускорения 173 , 174 , 183 , 184
Эффективный нагрев лазерным
импульсом 411
Эффекты краевые 144
— нелинейные коллективные 355
одночастичные 355
одноэлектронные 379
Ячейка Керра 168 , 416
— Покельса 168 , 169

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
1. НЕКОТОРЫЕ МЫСЛИ О ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ
ЭНЕРГИИ (Э. Теллер) 7
2. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
(Дж. Дювал) 14
§ 1. Основные уравнения ударного скачка 14
§ 2. Волны разрежения и характеристики 19
§ 3. Взаимодействие элементарных волн 22
§ 4. Упруго-пластичные тела 31
§ 5. Фазовые переходы в твердых телах 36
§ 6. Релаксация напряжений в упруго-пластичных телах .... 40
§ 7. Необратимые фазовые переходы 46
§ 8. Механические эффекты 51
§ 9. Ударные волны в одномерной решетке из точечных масс . . 56
Литература 58
3. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
(Р. Килер, Е. Ройс) 60
I. Экспериментальные методы (Р. Килер) 60
§ 1. Введение 60
§ 2. Методика эксперимента 68
§ 3. Дискретные методы 72
§ 4. Непрерывные методы 77
§ 5. Внутренние методы 81
§ 6. Комбинированные методы 85
§ 7. Исследования свойств вещества 91
§ 8. Заключение 91
Литература 92

Содержание
481
II. Определение уравнения состояния при высоких давлениях по
данным об ударных волнах (Е. Ройс) 94
§ 1. Уравнение состояния Грюнайзена 94
§ 2. Обработка данных по ударным волнам 100
§ 3. Электронные и другие поправки 103
§ 4. Пористые вещества 105
Литература 108
III. Стабильность электронных конфигураций в металлах при
высоких давлениях, редкоземельные элементы (Е. Ройс) 109
§ 1. Введение 109
§ 2. Общие соображения 109
§ 3. Редкоземельные металлы 116
§ 4. Заключение 119
Литература 120
IV. Электропроводность конденсированных сред при высоких
давлениях (Р. Килер) 120
§ 1. Введение 120
§ 2. Методы измерений 121
§ 3. Электропроводность ударно-сжатых четыреххлористого
углерода и ксенона 128
§ 4. Электропроводность ударно-сжатых металлов 137
§ 5. Геофизические исследования 139
Литература 142
V. Свойства магнитных материалов при ударном сжатии (Е. Ройс) 143
§ 1. Введение 143
§ 2. Экспериментальные методы 144
§ 3. Фазовые переходы I рода , 147
§ 4. Переходы II рода 149
§ 5. Магнитная анизотропия 151
Литература 156
VI. Новые методы эксперимента в физике ударных волн (Р Килер) . 158
§ 1. Исследования ударно-сжимаемых твердых гел методами
дифракции рентгеновских лучей 158
§ 2. Стимулированное бриллюэновское рассеяние как метод
диагностики в физике ударных волн 166
Литература 170
4. УСКОРЕНИЕ МАКРОЧАСТИЦ ДО ГИПЕРСКОРОСТЕЙ
(Дж. Линхарт) \ 171
§ 1. Введение - 171
§ 2 Методы ускорения 171
Литература 187

482
Содержание
5. КУМУЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ (Г. Кнопфель) . 188
§ 1. Введение 188
§ 2. Сжатие магнитного потока в цилиндрической геометрии . . 192
§ 3. Потери магнитного потока 194
§ 4. Влияние сжимаемости металла 196
§ 5. Сжатие магнитного потока реальными проводниками .... 199
§ 6. Эффекты на внутренней поверхности оболочки 200
§ 7. Взрывные (магнитокумулятивные) генераторы магнитного поля 202
Литература 209
6. КУМУЛЯТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ, АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
В ГАЗОДИНАМИКЕ (Дж. Сомон) 210
Введение 210
§ 1. Процессы, приводящие к высоким плотностям энергии . . . 211
§ 2. Автомодельные решения 222
Литература 240
7. ВОЛНА ИСПАРЕНИЯ (Ф. Беннет) 241
§ 1. Введение 241
§ 2. Волновая гипотеза 241
§ 3. Эксперименты с взрывающимися проволочками 243
§ 4. Волны испарения с постоянной скоростью 245
§ 5. Экспериментальное определение скорости волны испарения . 247
§ 6. Термодинамическая модель 249
§ 7. Сравнение термодинамической модели с экспериментом . . . 253
§ 8. Отклонения от теоретической модели 255
Литература 256
8. ФИЗИКА ДЕТОНАЦИИ (Р. Шалл) 258
§ 1. Введение 258
§ 2. Плоские детонационные волны 259
§ 3. Детонация с искривленным фронтом 264
§ 4. Профилирование волны 266
§ 5. Ударные волны, вызванные детонацией 269
§ 6. Баллистика мощных взрывчатых веществ 270
§ 7. Определение ударных адиабат Гюгонио 271
§ 8. Профилированные заряды 272
Литература 274
9. ФИЗИКА СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ (Р. Гросс) ... 275
§ 1. Введение 275
§ 2. Газодинамическая теория ударных волн 276
§ 3. Ионизация и ударные волны в плазме 286
§ 4. Ударные волны с излучением 294
§ 5. Релятивистские ударные волны 301
§ 6. Некоторые новые результаты 305
Литература 308

Содержание 483
10. ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ И ПЛАЗМЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ,
ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ МОЩНОГО ЛАЗЕРНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ (/О. В. Афанасьев, О. Н. Крохин) . 311
§ 1 Введение 311
§ 2. Кинетическая модель 316
§ 3. Газодинамическая теория 321
Литература 352
11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЩНЫХ ФОТОННЫХ И ЭЛЕКТРОННЫХ
ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙ (Р. Киддер) 354
§ 1. Введение 354
§ 2. Свойства лазерных пучков, плазмы и их взаимодействие . . 355
§ 3. Гидродинамика лазерной плазмы, некоторые простейшие
аналитические решения 364
§ 4. Получение многокиловольтной дейтериевой и ртутной плазмы
с массой ~0,1 мкг 373
§ 5. Нелинейные оптические эффекты в плазме 378
§ 6. Нагрев плазмы при помощи мощного пучка релятивистских
электронов 397
Литература 402
12. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ
С ТВЕРДЫМ ВЕЩЕСТВОМ (А. Карузо) 403
§ 1. Введение 403
§ 2. Нагрев массивной мишени ультракороткими лазерными
импульсами 405
§ 3. Облучение твердых частиц 411
§ 4. Заключение 412
Литература 413
13. ПЛАЗМА, ПОЛУЧАЕМАЯ ПРИ ПОМОЩИ СУБНАНОСЕКУНД-
НЫХ ИМПУЛЬСОВ (Р. Граттон) 414
§ 1. Экспериментальная проверка теоретической модели . . . . 414
§ 2. Эксперименты по получению плазмы при помощи лазерных
субнаносекундных импульсов 416
§ 3. Параметры плазмы, которую можно получить, фокусируя суб-
наносекундные лазерные импульсы на массивные дейтериевые
мишени 418
Литература \ 420
14 ПОЛУЧЕНИЕ ПЛОТНОЙ ТЕРМОЯДЕРНОЙ ПЛАЗМЫ ПРИ
ПОМОЩИ ИНТЕНСИВНЫХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ
ПУЧКОВ (Ф. Винтерберг) 421
Введение 421
§ 1. Условия инициирования малого термоядерного взрыва . . . 424

484
Содержание
§ 2. Взаимодействие мощного релятивистского пучка электронов
с мишенью 428
§ 3. Метод бомбардировки мишени интенсивным пучком
релятивистских электронов, образующихся в разряде с холодным
катодом 433
§ 4. Преобразование термоядерной энергии в полезную .... 445
§ 5. Ракетный двигатель 447
§ 6. Генерация мощных ионных пучков 449
Литература 453
5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА В СВЕРХНОВЫХ
ЗВЕЗДАХ (Э. Теллер) 454
Предметный указатель 471

ФИЗИКА
ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЕЙ
ЭНЕРГИИ
Редактор Е. С. Куранский
Художник П. Ф. Некундэ
Художественный редактор Е. К. Самойлов
Технический редактор А. Г. Резоухова
Корректор И. И. Алексеева
Сдано в набор 30/Х 1973 г.
Подписано к печати 20/1II 1974 г.
Бумага гл. печ. бОХЭО'/цр* 15,25 бум. л. 30,5 печ. л.
Уч.-изд. л. 29.10. Изд. № 2/6731
Цена 3 р. 15 к. Зак. 857
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография №> 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29