Text
                    И.Е. ТАММ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Издание одиннадцатое,
исправленное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2003


УДК 537.1@75.8) ББК 22.33 Т17 Тамм И. Е. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов. — 11-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 616 с. — ISBN 5-9221-0313-Х. Дано систематическое изложение основных положений теории электри- электричества. Главное внимание уделено физическому содержанию теории. Подго- Подготовлено 11-е издание, как и предыдущее, без переработки, с тем чтобы дать возможность современному читателю ознакомиться именно с оригинальной, фундаментальной в мировой литературе работой академика И.Е. Тамма. До- Добавлена таблица физических констант, изменено несколько примечаний, об- обновлены ссылки на литературу и, наконец, исправлены замеченные опечатки. Для студентов физических специальностей вузов, а также научных и ин- инженерно-технических работников. Табл. 5. Ил. 107. ISBN 5-9221-0313-Х © ФИЗМАТЛИТ, 1989, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к одиннадцатому изданию 9 Предисловие к десятому изданию 9 Из предисловия к девятому изданию 10 Из предисловия к первому изданию 11 Список важнейших обозначений 12 Введение 14 Глава I. Электрическое поле неподвижных зарядов в отсутствие диэлектриков 1. Закон Кулона 17 2. Электрическое поле 21 3. Теорема Гаусса 23 4. Электрическое поле заряженных поверхностей 27 5. Проводники в электрическом поле 32 6. Истоки электрического поля. Поверхностная дивергенция 34 7. Работа электрических сил. Независимость ее от формы пу- пути. Непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е 39 8. Потенциал электростатического поля 43 9. Емкость. Конденсаторы 48 10. Градиент электростатического потенциала. Линии сил ... 52 11. Уравнения Пуассона и Лапласа 57 12. Потенциал объемных и поверхностных зарядов 61 13. Типичные задачи электростатики 68 14. Двойной электрический слой 71 15. Энергия взаимодействия электрических зарядов 76 16. Энергия электрического поля 79 17. Пондеромоторные силы 85 18. Определение пондеромоторных сил из выражения энергии 88 19. Неустойчивость электрических систем. Связи 92 Глава II. Диэлектрики 20. Диэлектрики. Электрический момент и потенциал нейтраль- нейтральной молекулы. Поляризация диэлектрика 97 21. Свободные и связанные заряды. Потенциал электрического поля при наличии диэлектриков. Зависимость поляризации от поля 101
ОГЛАВЛЕНИЕ 22. Вектор электрической индукции. Дифференциальные урав- уравнения поля в произвольной среде. Линии индукции .... 105 23. Электрическое поле в однородном диэлектрике 110 24. Непосредственный подсчет поля при наличии диэлектрика (в простейших случаях) 113 25. Микро- и макроскопические значения физических величин 117 26. Вывод уравнений поля в диэлектриках путем усреднения микроскопического поля 120 27. Два класса диэлектриков. Квазиупругие диполи 123 28. Отличие действующего на диполь поля от среднего .... 125 29. Поляризация диэлектриков, молекулы которых обладают постоянным электрическим моментом. Зависимость диэлек- диэлектрической проницаемости от температуры 130 30. Энергия электрического поля в диэлектриках 136 31. Преобразования энергии, связанные с поляризацией диэлек- диэлектриков. Свободная энергия электрического поля 139 32. Пондеромоторные силы в диэлектриках 146 33. Сведение объемных сил к натяжениям 153 34. Тензор натяжений электрического поля 158 Глава III. Постоянный электрический ток 35. Электрический ток в металлах. Законы Ома и Джоуля. На- Напряжение 166 36. Плотность тока. Дифференциальная форма уравнений Ома и Джоуля 170 37. Условия стационарности токов. Уравнение непрерывности. Нити тока 173 38. Сторонние электродвижущие силы. Квазилинейные токи. Второй закон Кирхгофа 177 39. Превращения энергии в цепи тока. Контактные ЭДС . . . 182 40. Основные представления электронной теории металлов. Опыты Толмена 188 41. Электронная теория электропроводности. Трудности клас- классической теории. Теория Зоммерфельда 192 Глава IV. Пондеромоторное взаимодействие постоян- постоянных токов и их магнитное поле (в отсутствие намагничи- намагничивающихся сред) 42. Магнитное поле токов 199 43. Взаимодействие элементов тока. Электродинамическая по- постоянная 203 44. Переход от линейных токов к токам конечного сечения . . 206 45. Лоренцева сила 210 46. Вектор-потенциал магнитного поля 214 47. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Циркуля- Циркуляция напряженности магнитного поля 218
ОГЛАВЛЕНИЕ 48. Поля потенциальные и поля соленоидальные. Сопоставле- Сопоставление дифференциальных уравнений электрического и маг- магнитного полей 220 49. Пограничные условия в магнитном поле токов. Поверхност- Поверхностные токи. Поверхностный ротор. Поле бесконечного соле- соленоида 221 50. Пондеромоторные силы, испытываемые в магнитном поле замкнутым током. Потенциальная функция тока во внеш- внешнем магнитном поле 227 51. Пондеромоторное взаимодействие токов. Коэффициент вза- взаимной индукции 231 52. Коэффициент самоиндукции. Полная потенциальная функ- функция системы токов 236 53. Магнитные силовые линии 239 54. Топология вихревого (магнитного) поля. Условные перего- перегородки 244 55. Магнитные листки. Эквивалентность их токам 248 56. Магнитный момент тока. Элементарные токи и магнитные диполи 253 57. Непосредственное определение поля элементарных токов и сил, ими испытываемых 257 58. Эволюция представлений о природе магнетизма. Спин элек- электронов 264 59. Абсолютная (гауссова) и другие системы единиц. Электро- Электродинамическая постоянная 268 Глава V. Магнетики (намагничивающиеся среды) 60. Намагничение магнетиков. Молекулярные токи и токи про- проводимости .... 277 61. Векторный потенциал магнитного поля при наличии магне- магнетиков. Средняя плотность объемных и поверхностных мо- молекулярных токов 281 62. Дифференциальные уравнения макроскопического магнит- магнитного поля в магнетиках. Напряженность магнитного поля в магнетиках и вектор магнитной индукции 287 63. Зависимость намагничения от напряженности магнитного поля. Пара-, диа- и ферромагнетики 290 64. Полная система уравнений поля постоянных токов. Одно- Однородная магнитная среда 293 65. Механические силы, испытываемые токами в магнитном поле. Взаимодействие токов 295 66. Пондеромоторные силы, испытываемые магнетиками в маг- магнитном поле 298 67. Дополнение к выводу макроскопических уравнений магнит- магнитного поля в магнетиках 301 68. Механизм намагничения магнетиков. Теорема Лармора . . 304
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 69. Диамагнетизм 309 70. Парамагнетизм 311 71. Уточнения и дополнения к теории намагничения. Роль спи- спина. Гиромагнитные явления 317 72. Ферромагнетизм. Молекулярное поле Вейсса 322 73. Уравнения поля в идеализированных ферромагнетиках (обычный вариант). Постоянные магниты 330 74. Другой вариант уравнений магнитного поля в идеализиро- идеализированных ферромагнетиках. Эквивалентность электрических токов и постоянных магнитов . .¦ 336 75. Пондеромоторные силы, испытываемые постоянными маг- магнитами во внешнем магнитном поле 344 Глава VI. Квазистационарное электромагнитное поле 76. Индукция токов в движущихся проводниках 349 77. Закон электромагнитной индукции. Закон Ома для пере- переменных токов 353 78. Квазистационарные токи. Дифференциальные уравнения переменных токов 358 79. Преобразование энергии в поле переменных токов. Энергия магнитного взаимодействия токов. Правило Ленца 361 80. Простейшие применения теории переменных токов. Транс- Трансформатор 366 81. Энергия магнитного поля. Энергетическое значение коэф- коэффициентов индукции 374 82. Преобразование энергии при намагничении пара- и диамаг- нетиков. Свободная энергия магнитного поля 381 83. Определение пондеромоторных сил магнитного поля из вы- выражения энергии 385 84. Тензор натяжения магнитного поля 390 85. Вихри электрического поля 392 86. Зависимость электрического напряжения от пути интегри- интегрирования. Напряжение переменного тока 395 87. Уравнение непрерывности 400 88. Токи смещения 402 89. Конденсатор в цепи квазистационарного тока. Электриче- Электрические колебания 408 90. Скин-эффект 413 Глава VII. Переменное электромагнитное поле в непод- неподвижной среде и его распространение. Электромагнитные волны 91. Система максвелловых уравнений макроскопического элек- электромагнитного поля 421 92. Теорема Пойнтинга. Поток энергии 427 93. Однозначность решений уравнений Максвелла 433
ОГЛАВЛЕНИЕ 94. Дифференциальные уравнения для потенциалов электро- электромагнитного поля 436 95. Решение волнового уравнения и уравнения Даламбера . . 439 96. Запаздывающие и опережающие потенциалы. Калибровоч- Калибровочная инвариантность 446 97. Скорость распространения электромагнитных возмущений. Условия квазистационарности 453 98. Осциллятор. Запаздывающие потенциалы поля осцилля- осциллятора 457 99. Поле осциллятора. Его излучение 465 100. Электромагнитная природа света. Плоские волны в ди- диэлектрике 474 101. Отражение и преломление плоских волн в диэлектриках . 480 102. Распространение волн в проводящей среде. Отражение све- света от металлической поверхности 489 103. Световое давление. Количество движения электромагнит- электромагнитного поля 493 104. Электромагнитный момент количества движения. Част- Частный случай статического поля 499 105. Тензор натяжений и пондеромоторные силы электромаг- электромагнитного поля 504 106. Пример неквазистационарных токов: волны вдоль кабеля 509 107. Приближенная теория быстропеременных токов. «Уравне- «Уравнение телеграфистов» 517 108. Свободная энергия ферромагнетиков. Гистерезис 522 109. Общая характеристика теорий близко- и дальнодействия 528 Глава VIII. Электромагнитные явления в медленно движущихся средах 110. Дифференциальные уравнения поля в движущихся средах 533 111. Конвекционный ток. Поляризация и намагничение движу- движущихся сред 537 112. Закон Ома и электромагнитная индукция в движущихся проводниках. Униполярная индукция 544 113. Диэлектрик, движущийся в электромагнитном поле . . . 550 114. Распространение света в движущихся диэлектриках. Ко- Коэффициент увлечения Френеля. Отражение от движуще- движущегося зеркала 552 115. Преобразования системы отсчета. Относительный харак- характер различия между электрическими и магнитными полями 556 Решениязадач 561 Приложения I. Векторный анализ 1. Векторная алгебра 574 2. Векторные и скалярные поля. Градиент 576
ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Поток вектора через поверхность 581 4. Теорема Гаусса. Дивергенция 583 5. Циркуляция вектора. Ротор вектора. Теорема Стокса . . 589 6. Производная вектора по направлению 596 7. Оператор набла. Вторые производные. Производные от произведений 597 8. Интегральные соотношения. Теорема Грина 603 9. Важнейшие формулы векторного анализа 606 II. Основные формулы в СИ и в гауссовой системе . . . 608 III. Фундаментальные физические константы 610 Дополнения 1. Сверхпроводимость (к § 41) 611 2. Магнитные монополи и «истинные» магнитные диполи. Тороидные моменты (к § 54, 57, 58) 611 3. Антиферромагнетизм и ферриты (к § 71) 611 4. Диспергирующие среды. Пространственная дисперсия (к § 92) 612 5. Анизотропные среды (к § 92) 613 6. Эффект Вавилова-Черенкова (к § 99) 613 7. Плазма (к § 102) 614
ПРЕДИСЛОВИЕ К ОДИННАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание книги является уже третьим посмерт- посмертным. Из публикуемого ниже предисловия к 9-му изданию ясно, чем мы руководствовались при переиздании книги. В 10-м из- издании A989 г.) мы следовали по тому же пути. То же сделано и в настоящем 11-м издании, необходимость которого очевид- очевидна в связи с ценностью книги, успешной работой высшей шко- школы в России и тем, что курс И.Е. Тамма давно уже отсутствует в книжных магазинах. То, что сделано в новом издании,—это несколько примеча- примечаний и замена части рекомендуемой литературы на более совре- современную. При этом, как и ранее, учтены замечания некоторых со- сотрудников Отдела теоретической физики им. И.Е. Тамма ФИАН. В подготовке настоящего издания принял участие Е.З. Мейлихов (РНЦ «Курчатовский Институт»). Мы надеемся, что появление нового издания классической книги И.Е. Тамма принесет нема- немалую пользу. 2003 г. В. Л. Гинзбург ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕСЯТОМУ ИЗДАНИЮ Предыдущее девятое, уже посмертное, издание классическо- классического курса И.Е. Тамма вышло в свет в 1976 г. Книга, несмотря на довольно значительный тираж, давно разошлась и поэтому сей- сейчас сравнительно трудно доступна. Между тем курс И.Е. Тамма в основном не устарел и в силу своих многочисленных досто- достоинств продолжает использоваться. Естественно стремление пре- предоставить возможность познакомиться с курсом также и ново- новому поколению физиков и инженеров и в особенности студентам. Этим и объясняется переиздание книги. По причинам, указанным в помещенном ниже предисловии к девятому изданию, практически никаких изменений в текст и сейчас не вносилось. Добавлено лишь несколько подстрочных примечаний (примеч. ред.). Внесены также небольшие измене- изменения в дополнения (новым является дополнение 2; обновились ссылки на литературу). В списке важнейших обозначений сде- сделаны некоторые пояснения, касающиеся общепринятой в настоя- настоящее время терминологии. Наконец, исправлены замеченные опе- опечатки.
10 ПРЕДИСЛОВИЯ Основная работа по подготовке нового издания выполнена Б.М. Болотовским. При этом были учтены замечания, сделанные рядом сотрудников Отдела теоретической физики им. И.Е. Там- ма Физического института им. П.Н. Лебедева АН СССР. Мы надеемся, что появление нового издания книги И.Е. Тамма при- принесет немалую пользу. 1986 г. В.Л. Гинзбург ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ «Основы теории электричества» — классический курс элек- электродинамики, написанный одним из самых выдающихся и из- известных советских физиков Игорем Евгеньевичем Таммом A895-1971). При жизни автора книга выдержала восемь изданий и уже более сорока лет эффективно используется весьма широким кру- кругом читателей. Как подчеркнул сам И.Е. Тамм в предисловии к последнему (восьмому) прижизненному изданию A965 г.), книгу «следова- «следовало бы существенно переработать». Фактически, однако, Игорь Евгеньевич счел возможным внести в книгу лишь небольшое число изменений. Тем меньше оснований менять что-либо суще- существенное сейчас, когда мы не можем учесть пожеланий и мнение самого автора. Да и вообще попытки модернизировать уже заре- зарекомендовавшие себя классические курсы, как правило, не при- приносят подлинного успеха — первоначальный курс теряет свою цельность и стройность, а нового вполне современного курса то- тоже не получается. По этим причинам настоящее издание является по сути дела перепечаткой предыдущего восьмого издания. Исправлена лишь неточность (указанная Д.В. Сивухиным), допущенная при вы- вычислении поляризуемости газа из молекул с постоянным диполь- ным моментом (с. 135 и 148 восьмого издания), исправлены за- замеченные опечатки, изменено или внесено вновь несколько слов в тексте (в частности, в дополнениях), помещено небольшое чи- число примечаний редактора и, наконец, сделаны некоторые из- изменения, касающиеся ссылок на литературу (устранены отдель- отдельные ссылки на старые труднодоступные источники, приведено несколько новых ссылок). При этом, поскольку книга является учебным пособием, а не изданием академического типа, пред- представилось нецелесообразным как-то специально отмечать в са- самом тексте все подобные второстепенные изменения. По той же причине мы отказались от весьма соблазнительной идеи поме- поместить в виде дополнения к книге некоторые оригинальные рабо-
ПРЕДИСЛОВИЯ 11 ты И.Е. Тамма, посвященные электродинамическим вопросам. К тому же с этими работами читатель легко сможет познако- познакомиться по недавно опубликованному двухтомному собранию на- научных трудов И.Е. Тамма (издательство «Наука», 1975). В заключение должен с благодарностью отметить существен- существенную помощь, оказанную при подготовке настоящего издания Б.М. Болотовским и В.А. Угаровым. Все мы надеемся, что на- настоящее издание книги И.Е. Тамма, как и предыдущие, принесет большую пользу. 1975 г. В. Л. Гинзбург ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга предназначена для лиц, владеющих диф- дифференциальным и интегральным исчислениями и векторной ал- алгеброй; основы же векторного анализа излагаются в тексте по мере надобности. Основной целью этого курса является выяснение физического смысла и содержания основных положений теории электриче- электричества; по сравнению с этой целью формально-логической строй- стройности, строгости и общности изложения отводилась лишь сопод- соподчиненная роль. Не стремясь к полноте изложения, я опускал даже сравни- сравнительно важные вопросы, если они выпадали из общей нити изло- изложения (например, термоэлектрические явления, электролиз и т. д.). С другой стороны, на некоторых вопросах (например, в теории диэлектриков и магнетиков) я позволил себе остано- остановиться несколько подробнее, чем это обыкновенно принято. Тех- Технических приложений теории я не излагал, но стремился по воз- возможности подготовить читателя к непосредственному переходу к изучению прикладной теории электричества. Ввиду неразработанности русской научной терминологии я принужден был ввести два новых термина: «сторонняя» элек- электродвижущая сила (eingepragte Kraft) и «магнетик». Кроме то- того, я позволил себе уклониться от общепринятого, но устарелого и нерационального словоупотребления терминов «свободный» и «связанный» заряд. Наконец, гауссову (симметрическую) систе- систему единиц в отличие от электростатической и электромагнитной я называю просто абсолютной системой (без прилагательного). Большинство помещенных в книге задач составляет органи- органическую часть текста; решения многих задач необходимы для по- понимания последующего изложения. 1929 г. И.Е. Тамм
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Векторы обозначаются жирным прямым шрифтом (например R); та же буква светлым шрифтом (например R) означает числовое значение соответ- соответствующего вектора. Интегралы любой кратности обозначаются одним-единственным зна- знаком J и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: элемент объема (трехкратного интеграла) — dV, элемент поверхности (двукратного интеграла) — dS, элемент линии (одинарного интеграла) — ds. Знак у> означает интеграл по замкнутой поверхности или по замкну- замкнутому контуру. 0 смысле индексов а и g у знаков grad, div и т. д. (например grada R, gradv R) см. в приложении. При ссылках в тексте на формулы векторного анализа, помещенные в приложении, формулы эти отмечаются звездочкой, например A7*). В слу- случае, если под одним номером объединено несколько формул, то в ссылках на каждую из этих формул номер ее указывается дополнительным индексом справа внизу, например D3з). А — работа А — вектор-потенциал В — магнитная индукция с — электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме С — емкость, циркуляция вектора D — электрическая индукция (электрическое смещение) е — электрический заряд (элементарный заряд) Е — напряженность электрического поля S — напряжение (электродвижущая сила) ^стр — сторонняя электродвижущая сила f — плотность сил F — пондеромоторная сила g — плотность электромагнитного количества движения Н — напряженность магнитного поля 1 — единичный вектор по оси х, плотность поверхностных токов I — намагничение (намагниченность) 1о — постоянное намагничение j — единичный вектор по оси у, плотность объемного тока J — сила тока к — постоянная Больцмана, волновое число к — единичный вектор по оси z К — момент количества движения (импульса) L — кривая, в частности замкнутый контур Ьгг — коэффициент самоиндукции (индуктивность) Lik — коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) {ф)
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 13 т — магнитный (фиктивный) заряд М — магнитный момент п — единичный вектор нормали N — поток вектора, в частности электрического; число молекул в единице объема (плотность чиста частиц) N — единичный вектор нормали, момент пары сил о — угловая скорость прецессии р — электрический момент диполя Р — работа сторонних электродвижущих сил Р — поляризация (поляризованность), вектор Герца Q — количество теплоты, выделяемое током в единицу времени R — сопротивление R — радиус-вектор г — вектор кратчайшего расстояния от заданной оси ds — элемент длины S — поверхность S — вектор Пойнтинга t — время t — единичный касательный вектор Т — абсолютная (термодинамическая) температура, кинетическая энергия, период колебаний Т — натяжение, тензор натяжения и — скорость U — потенциальная функция магнитного поля токов v — скорость V — объем w — плотность энергии W — энергия а — азимут, поляризуемость единицы объема а, /9, 7 — направляющие углы вектора /3 — поляризуемость молекулы ? — диэлектрическая проницаемость 1) $ — полярный угол ус — магнитная восприимчивость, линейная плотность заряда Л — коэффициент электропроводности (удельная проводимость), длина волны \i — магнитная проницаемость р — объемная плотность электрических зарядов ры — объемная плотность магнитных фиктивных зарядов ст — поверхностная плотность электрических зарядов стм — поверхностная плотность магнитных фиктивных зарядов т — плотность, масса единицы объема ip — электрический потенциал Ф — магнитный поток ф — магнитный скалярный потенциал Ф — поток магнитной индукции, свободная энергия ш — циклическая (круговая) частота Q — телесный угол V — оператор Гамильтона («набла») V2, Д — оператор Лапласа ) В оригинале «диэлектрическая постоянная». Однако, поскольку в на- настоящее время общепринятым является термин «диэлектрическая проница- проницаемость», то в тексте произведена соответствующая замена. {Примеч. ред.)
ВВЕДЕНИЕ Согласно современным воззрениям атомы всех тел построены из электрически заряженных частиц — сравнительно легких электронов, заряженных отрицательно, и сравнительно тяжелых атомных ядер, заряженных положительно. Нейтральные в элек- электрическом отношении тела кажутся нам таковыми только потому, что отрицательный заряд входящих в их состав электронов ра- равен положительному заряду входящих в их состав атомных ядер, так что влияние противоположных зарядов взаимно нейтрали- нейтрализуется (по крайней мере на расстояниях, достаточно больших по сравнению с расстоянием между отдельными электрически- электрическими частицами, входящими в состав нейтрального тела). Пере- Перераспределение электрических зарядов и, в частности, электриче- электрический ток обусловливается перемещением электрических частиц и притом большей частью электронов, а не атомных ядер, ибо в со- состав атомов химических элементов всегда входит некоторое чис- число «внешних» электронов, сравнительно слабо связанных с мас- массивным центральным атомным ядром и сравнительно легко от него отщепляющихся. Отрицательный заряд электрона равен 4,80 • 10~10 абсолютных электростатических единиц электричества (или 1,60-10~19 куло- кулонов), положительные же заряды атомных ядер по абсолютной величине равны целым кратным этого так называемого элемен- элементарного заряда, являющегося неделимым атомом электричества. Заряды различных атомных ядер варьируются от одного (водо- (водород) до девяноста двух (уран) элементарных зарядовх). Самым легким атомным ядром является ядро водорода, носящее назва- название протона; масса протона A,67 - 10~24 г) примерно в 2000 раз больше массы электрона (9,11-10~28 г). Геометрические размеры как атомных ядер, так и электронов настолько малы по сравне- сравнению со средними расстояниями между этими частицами в ато- атомах и молекулах, что при рассмотрении громадного большин- большинства физических и химических явлений как атомные ядра, так и электроны можно считать материальными точками, характери- характеризуемыми определенным электрическим зарядом и определенной массой. Вопрос же о том, как построены атомные ядра из более 1) В настоящее время искусственным путем получен ряд новых тяжелых элементов, стоящих за ураном в периодической системе.
ВВЕДЕНИЕ 15 элементарных частиц (протонов и нейтронов), имеет значение только для сравнительно ограниченного круга физических явле- явлений, относящегося к области ядерной физики, которую мы рас- рассматривать не будем. Только для этой области явлений имеют значение и так называемые ядерные силы, которыми определя- определяется взаимодействие частиц (протонов и нейтронов), входящих в состав атомных ядер. Исходя из указанных представлений современная физика ста- ставит своей задачей определить электрическую структуру всех встречающихся в природе веществ (число, расположение и ха- характер движения входящих в состав их электрических частиц) и вывести законы физических и химических явлений из основ- основных законов взаимодействия электрических зарядов и законов их движения (которые в микромире носят квантовый характер). Единственное исключение нужно сделать для тех явлений, для которых имеют существенное значение силы тяготения и силы ядерные, ибо только эти силы не сводятся к взаимодействию электрических зарядов. Первым шагом на пути к разрешению указанной задачи дол- должно быть выяснение законов взаимодействия электрических за- зарядов, законов электромагнитного поля. Громадное большинство применяемых на практике способов наблюдения и измерения слишком грубы для того, чтобы с их помощью можно было об- обнаружить существование отдельных частиц электричества. Наименьшие электрические заряды, доступные наблюдению с помощью этих способов, содержат в себе многие миллионы и миллиарды частиц электричества, отделенных друг от друга ни- ничтожными расстояниями. При таком суммарном или макро- макроскопическом1) изучении электрических явлений в масшта- масштабе, доступном непосредственному наблюдению, мы можем, не внося сколько-нибудь существенной ошибки в результаты рассуж- рассуждений, вовсе не учитывать атомистического строения электриче- электричества и пользоваться представлением о непрерывно протяженных электрических зарядах; иными словами, мы можем считать, что электрические заряды сплошным, непрерывным образом запол- заполняют заряженные участки материальных тел (так называемые «объемные заряды»). Упрощая таким образом нашу задачу, мы лишь следуем примеру механики. Ввиду того что изучение ме- механики весомых тел при учете атомистической структуры веще- вещества связано со значительными математическими трудностями, теория упругости, гидродинамика и аэродинамика оперируют с идеализированным представлением о непрерывно протяжен- протяженных материальных телах. В известных, и притом довольно ши- широких, пределах подобная замена вполне законна, и результаты, 1) Греческое «макрос» — большой и «скопейн» — видеть.
16 ВВЕДЕНИЕ полученные при рассмотрении непрерывных сред, оказываются применимыми к реальным телам прерывного строения. Следуя историческому ходу развития электродинамики, мы начнем с изложения макроскопической теории электромагнит- электромагнитных явлений, основанной на представлении о непрерывном рас- распределении электрических зарядов. По накоплении известного количества сведений мы перейдем к параллельному изложению основных представлений микроскопической теории, ос- основанной на учете атомистического строения электричества (так называемая «электронная теория?-), и покажем, что приближен- приближенные макроскопические законы суммарных явлений вытекают из более точных микроскопических законов явлений элементарных. При этом, однако, нужно иметь в виду, что сколько-нибудь пол- полное и строгое изложение микроскопической теории неизбежно должно базироваться на квантовой теории в ее современной форме. Ввиду того, что мы не можем предполагать у читате- читателя основательного знакомства с квантовой механикой, мы вы- вынуждены будем в основном ограничиться изложением только тех вопросов микроскопической теории, которые с достаточной сте- степенью точности могут быть рассмотрены в рамках классической (доквантовой) физики. В главе VII мы вновь ограничимся рассмотрением макроско- макроскопической теории поля с тем, чтобы на основе полученных ре- результатов сформулировать полную систему основных положений этой теории (формулировка существенной их части содержится в так называемых уравнениях Максвелла). Эта система основ- основных положений, или «постулатов», играет в электродинамике такую же роль, какую в классической механике играют «ак- «аксиомы» Ньютона. В частности, справедливость этих основных постулатов макроскопической электродинамики (как и справед- справедливость аксиом Ньютона) может быть наиболее убедительным образом обоснована не индуктивным методом (на который толь- только и можно опираться при отыскании основных закономерно- закономерностей, но который, однако, не может дать совершенно строгого доказательства их справедливости), а согласием с опытом всей совокупности следствий, вытекающих из теории и охватываю- охватывающих все закономерности макроскопического электромагнитного поля. В главе VII мы рассмотрим некоторые из этих следствий, относящихся, в частности, к электромагнитным волнам. Наконец, в главе VIII мы рассмотрим электромагнитные яв- явления в движущихся средах, ограничившись случаем, когда ско- скорость этих сред мала по сравнению со скоростью света.
ГЛАВА I ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ В ОТСУТСТВИЕ ДИЭЛЕКТРИКОВ § 1. Закон Кулона В этой главе мы будем предполагать, что в электрическом поле неподвижных зарядов, кроме проводников электричества, никаких других материальных тел нет. 1. В основе теории электростатического поля лежит закон Кулона, являющийся обобщением данных опыта. Этот закон, как известно, гласит, что два заряженных тела бесконечно малых размеров (два точечных заряда) отталкиваются, если заряды их одноименны, и притягиваются, если они разноименны, причем сила их взаимодействия F пропорциональна ^ где е\ и в2 — заряды первого и второго тел, a R\2 — расстояние между ними. Если зарядов имеется не два, а больше, то на каждый заряд будут действовать со стороны всех остальных зарядов силы типа A.1). В частности, если заряды е\ и в2 помещены в воздух, ке- керосин или какую-либо другую непроводящую среду, то, помимо непосредственного взаимодействия зарядов ei и ег друг с другом по закону A.1), необходимо учитывать также и взаимодействие этих зарядов ei и ег с зарядами электронов и атомных ядер, входящих в состав нейтральных молекул среды. В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением электро- электростатического поля в вакууме. Конечно, абсолютный вакуум нео- неосуществим на опыте, и в эвакуируемых сосудах всегда остается некоторое, хотя бы и ничтожное, количество воздуха. Однако это вовсе не значит, что законы электрического поля в вакууме недоступны опытному исследованию. Изучая изменение харак- характера поля по мере уменьшения давления воздуха, можно устано- установить тот предел, к которому стремятся свойства поля (например силы взаимодействия зарядов) по мере приближения к абсолют- абсолютному вакууму. Эти предельные свойства (предельное значение силы), очевидно, и будут характеризовать собою поле в абсо-
18 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I лютном вакууме. Впрочем, как показывает опыт, при уменьше- уменьшении плотности воздуха от нормальной до достижимого на опыте предела, свойства поля изменяются столь незначительно, что ес- если нет нужды в особой точности, то этими изменениями можно в большинстве случаев вовсе пренебречь и считать, что свойства поля в воздухе тождественны свойствам поля в вакууме. 2. Выражаемая формулой A.1) обратная пропорциональность силы взаимодействия зарядов квадрату расстояния между ни- ними может быть непосредственно проверена на опыте1). Что же касается зависимости этой силы от зарядов, то дело обстоит несколько сложнее, ибо сами заряды в свою очередь могут быть определены только путем измерения силы их взаимодействия. Однако если число зарядов не меньше четырех, то искомая зави- зависимость все же может быть проверена путем последовательного измерения попарных сил взаимодействия между ними. Предположим для простоты, что при этих измерениях ис- исследуемые заряды всякий раз помещаются на одном и том же расстоянии друг от друга (остальные же заряды устраняются). При этом условии из уравнения A.1) вытекают соотношения Е31 = -L и ?ki — ?2. Fn ei F14 ei' где Fik — сила взаимодействия зарядов е; и е^. Таким образом, отношение ег/ei (а также и отношения ез/ех, e^/ei и т. д.) может быть определено из двух независимых рядов измерений (сил Fiz и F23, с одной стороны, и сил Fu и F24 — с другой). Совпадение результатов этих независимых измерений и дает нам право утверждать, что каждый заряд может быть охарактеризован некоторым постоянным числом ej так, чтобы сила Fik была пропорциональна произведению е^е*;. Конечно, путем измерения сил взаимодействия можно опре- определить только отношение величин зарядов ег/е^, единица же заряда может быть выбрана произвольно. Единица заряда в аб- абсолютной системе единиц выбрана так, чтобы при измерении сил и расстояний в системе СГС фактор пропорциональности меж- между F и eie2/i?x2 равнялся единице, т. е. чтобы осуществлялось равенство F=ej^. A.2) Стало быть, абсолютная единица электричества есть такое ко- количество электричества, которое действует на равное ему ко- количество электричества, находящееся на расстоянии 1 см, с си- силой в одну дину. В практической же системе единиц за единицу 1)В настоящее время экспериментально установлено, что отличие показа- показателя степени в знаменателе формулы A.1) от 2 не превышает 10" ls.
§ 1 ЗАКОН КУЛОНА 19 электричества принят кулон (К): 1 кулон = 3-10 абс. единиц электричества1). Что касается знака зарядов, то чисто условно принято считать положительными те заряды, которые появляются на стекле при натирании его шелком или фланелью, а стало быть, и те, которые отталкиваются этими зарядами, возникшими на стекле. Из уравнения A.2) следует, что в абсолютной системе еди- единиц размерность [е] электрического заряда е, т. е. зависимость единицы заряда от единиц длины (L), времени (Т) и массы (М), такова: [е] = [Ry/F] = L 3. Весьма существенно, что закон Кулона A.1) или A.2) спра- справедлив только для взаимодействия точечных зарядов, т. е. заря- заряженных тел бесконечно малых размеров. Только в этом случае само понятие расстояния между зарядами имеет вполне опреде- определенный, однозначный смысл, и только в этом случае взаимодей- взаимодействие заряженных тел не зависит от их формы. Конечно, выражение «бесконечно малый» нужно понимать в этом случае, как и всегда в физике, не в строго математическом смысле слова. В физике выражение «бесконечно малая» (или «бесконечно большая») величина всегда понимается в смысле «достаточно малой» (или «достаточно большой») величины,— достаточно малой по отношению к некоторой другой, вполне определенной, физической величине. Встречаясь с термином «бесконечный», всегда необходимо давать себе ясный отчет в том, какая именно величина взята в каждом отдельном случае в качестве мерила. В формулировке закона Кулона бесконечная малость [то- чечность) размеров заряженных тел понимается в смысле достаточной их малости по отношению ко взаимному расстоя- расстоянию этих тел, достаточной в том смысле, что при данном рас- расстоянии тел сила их взаимодействия уже не изменяется в преде- пределах заданной точности измерений при дальнейшем уменьшении 1) Заметим, что, помимо той абсолютной (гауссовой) системы единиц, кото- которой мы будем пользоваться в настоящей книге под названием «абсолютной системы», в физике и технике часто применяются две другие системы еди- единиц — электростатическая и электромагнитная. Соотношение между этими системами будет рассмотрено в гл. IV, пока же достаточно заметить, что абсолютные (гауссовы) единицы электрических величин (заряд, напряжен- напряженность поля, потенциал, сила тока и т. д.) совпадают с единицами электро- электростатическими, а абсолютные единицы магнитных величин (напряженность магнитного поля, коэффициент самоиндукции, магнитный момент) — с элек- электромагнитными единицами. Далее, и в отношении практических единиц необходимо различать так назы- называемые «абсолютные» и «международные» практические единицы (см. § 59).
20 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I их размеров и при произвольном изменении их формы. Посколь- Поскольку мы пока ограничиваемся макроскопическим рассмотрением явлений, мы должны помнить, что физически бесконечно малый, или «точечный», заряд может в действительности содержать в себе чрезвычайно большое число отдельных электронов и прото- протонов. Так, например, если бы возникла необходимость определить силу электрического взаимодействия двух заряженных электри- электричеством звезд, то, несмотря на громадные размеры звезд, мы были бы вправе считать их точечными зарядами, ибо при ко- колоссальном расстоянии между звездами размеры и форма их не могут сколько-нибудь существенно сказаться на силе их взаимо- взаимодействия. С другой стороны, два заряженных бузиновых шарика радиуса 0,1 см, находящихся на расстоянии 0,5 см друг от друга, не могут считаться точечными зарядами, и закон Кулона к ним непосредственно неприменим. Чтобы определить силу их взаи- взаимодействия, нужно мысленно разбить эти шарики на бесконечно малые (т. е. достаточно малые по сравнению с расстоянием в 0,5 см) элементы объема и определить по закону Кулона взаимо- взаимодействие между зарядами каждой пары этих элементов объема. Сила взаимодействия между шариками будет равна равнодей- равнодействующей этих элементарных сил1). 4. При определении равнодействующей электрических сил нужно, конечно, принять во внимание, что силы эти суть век- векторы, и применять к ним правила векторного исчисления. Мы будем обозначать векторы жирным прямым шрифтом, а их чи- числовое значение светлым курсивом. Так, например, Ri2 будет обозначать радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2, а R\2 — числовое значение расстояния между точками 1 и 2. Оче- Очевидно, что R.21 = — R-i2j a, i?2i = R12 2) • При записи закона Кулона A.2) в векторной форме необходимо отличать силу Fi2, с которой заряд е\ действует на заряд ег, от силы F21, с которой заряд ег действует на заряд ei, ибо эти силы равны по величине, но противоположны по направлению (F21 = — F^). Если заря- заряды ei и ег одноименны по знаку (отталкивание), то направления векторов Fi2 и Ri2 совпадают между собой, так что R12 eie2 D ,л q\ = Rl2 (L3) l) В основе этого вычисления лежит допущение, что сила взаимодействия двух (точечных) зарядов не зависит от того, подвергаются эти заряды воз- воздействию других зарядов или нет. Это предположение вместе с утверждени- утверждением, что равнодействующая электрических сил равна векторной сумме этих сил, составляет содержание принципа наложения или суперпозиции элек- электрических полей. Принцип этот является обобщением данных опыта и лежит в основе современной теории электричества. См. также примечание автора на с. 291 и примечание редактора на с. 104. 2)Для краткости мы будем иногда называть вектор Ri2 просто расстоя- расстоянием точки 2 от точки 1, а вектор R21 — расстоянием точки 1 от точки 2.
§ 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 21 ибо числовое значение вектора R42/.R12 равно единице, а произ- произведение е\в2 положительно. Очевидно, что это уравнение остает- остается справедливым и для разноименных зарядов, ибо в этом случае произведение е\в2 отрицательно, а сила Fi2 направлена обратно вектору Ri2 (притяжение). Наконец, очевидно, что * 21 — — * 12 ^J- "-21. 5. Отметим в заключение, что решающее значение в вопросе о справедливости закона Кулона, как и вообще любого закона, лежащего в основе того или иного отдела теоретической физики, имеет не только непосредственная опытная проверка этого зако- закона, но также, что гораздо существеннее, и согласие с опытом всей совокупности выводов теории, одним из исходных пунктов которой является этот закон. § 2. Электрическое поле 1. Если в точку Р, находящуюся на расстоянии R от заряда е, внести «пробный» заряд е', то можно обнаружить силу, дейст- действующую на этот пробный заряд и обусловленную присутствием заряда е. Сила эта обнаруживается только при наличии второго (пробного) заряда, и можно считать, что она и возникает лишь при наличии обоих зарядов е' и е. Однако изучение электриче- электрических явлений чрезвычайно облегчается, если исходить из пред- представления, что как в точке Р, так и во всех точках пространства, окружающего заряд е, всегда существует электрическая сила, обусловленная присутствием этого заряда, вне зависимости от того, проявляется ли существование этой силы в воздействии ее на другой (пробный) заряд (в случае наличия такового) или же ни в чем не проявляется (в случае отсутствия других зарядов). Если в пространстве существуют электрические силы, обна- обнаруживающиеся при внесении в него электрических зарядов, то мы говорим, что в нем существует электрическое поле. В даль- дальнейшем мы будем исходить из представления, что всякий за- заряд возбуждает в окружающем пространстве электрическое по- поле. Пока мы остаемся в пределах электростатики, понятие поля может рассматриваться как понятие чисто условное, введенное лишь для удобства описания электрических явлений. Однако, перейдя к учению о переменном электромагнитном поле, в част- частности к учению об электромагнитных волнах, мы убедимся, что понятие поля имеет глубокий физический смысл и что электро- электромагнитное поле есть объективная реальность. 2. Согласно закону Кулона, сила, действующая на «пробный» заряд е' при внесении его в поле других зарядов, пропорциональ- пропорциональна величине этого пробного заряда е'. Поэтому силы электриче-
22 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I ского поля будут вполне определены, если определена в каждой точке этого поля сила, действующая на помещенный в ней еди- единичный, положительный заряд. Эта сила, действующая на заряд е' = 1, называется напряженностью, или напряжением, или силой электрического поля, или же просто электрическим век- вектором и обозначается буквой Е. Мы будем пользоваться первым из этих терминов, сохранив термин «напряжение» для совершен- совершенно иного понятия разности потенциалов и линейного интеграла вектора Е (см. § 35). Как следует из закона Кулона A.3), напряженность поля то- точечного заряда е на расстоянии R от этого заряда равна где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения за- заряда е в рассматриваемую точку поля. Напряженность поля двух или нескольких зарядов равна век- векторной сумме напряженностей поля каждого из этих зарядов в отдельности. 3. Необходимо помнить, что напряженность, или сила поля Е, вовсе не является силой в обычном, употребляемом в механике смысле этого слова. Механическая, или, как ее иногда называ- называют, пондеромоторная, сила F (от латинского «пондус» — вес, «пондеромоторный» —движущий весомые тела), действующая на заряженное тело, определяется произведением силы поля Е на заряд тела е: F = еЕ. B.2) Соответственно этому в абсолютной системе единиц напряжен- напряженность, или сила поля Е, имеет размерность (см. с. 19) 4. На основании соотношения B.2) одна из основных задач электростатики — определение механических сил взаимодействия заданной системы зарядов — сводится к определению поля Е этих зарядов. Заметим при этом, что определить поле электри- электрического вектора Е, как и вообще определить поле любого векто- вектора, значит определить значение вектора в каждой точке это- этого поля. В дальнейшем мы рассмотрим способы теоретического вычисления электрических полей, в отношении же эксперимен- экспериментального изучения этих полей отметим следующее. Экспериментальное изучение электрического поля может быть осуществлено внесением в него пробного заряда известной величины и измерением пондеромоторных сил F, действующих на этот заряд в различных точках поля. Однако самый факт внесения в поле пробного заряда, вообще говоря, изменяет ха- характер этого поля, ибо силы поля пробного заряда вызывают
ТЕОРЕМА ГАУССА 23 перераспределение зарядов на находящихся в поле проводниках (электрическая индукция), сдвиг этих проводников и т. д. Что- Чтобы избежать этого искажения первоначального характера поля, необходимо производить измерения с помощью бесконечно ма- малых пробных зарядов, т. е. зарядов столь малых, что вызываемое их присутствием изменение распределения зарядов в пределах заданной точности наблюдений не может сказаться на резуль- результатах измерения. Говоря о пробных зарядах, мы в дальнейшем всегда будем предполагать, что это условие выполнено (если не оговорено противное). § 3. Теорема Гаусса 1. Если известно расположение зарядов, то поле Е этих за- зарядов может быть определено путем суммирования кулоновых полей типа B.1), возбуждаемых каждым из элементов этих за- зарядов в отдельности. Такого рода непосредственное суммирова- суммирование, вообще говоря, требует в каждом отдельном случае доволь- довольно сложных вычислений. Во многих случаях задача эта может быть, однако, чрезвычайно облегчена применением некоторых теорем, трактующих об общих свойствах электрического поля, к рассмотрению которых мы теперь и перейдем. Для этой цели вычислим поток векто- у v /R pa E через бесконечно малую площадку dS1). Предположим сначала, что поле Е возбуждается точечным зарядом е, нахо- находящимся в точке О. Если R есть радиус-вектор, проведен- проведенный из заряда к площадке dS (рис. 1), то на основании B.1) и A2*) поток dN век- вектора Е через эту площадку будет равен dN = EndS = -^ YLndS = C.1) Рис. Произведение cos (R, n) • dS численно равно проекции площадки dS на поверх- поверхность, перпендикулярную к R, причем это произведение положи- положительно, если из О видна внутренняя сторона площадки dS [угол (R, п) острый], и отрицательно, если видна ее внешняя сторона: cos(R, n)dS = ±dS', 1) Основы векторного анализа изложены в приложении. Формулы прило- приложения отмечаются значком *, например B1*).
24 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I где dS' есть абсолютная величина перпендикулярной к R проек- проекции площадки dS. Перпендикулярная к радиусу-вектору R площадка dS' сов- совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса R с центром в точке О. Если обозначить через dU телесный угол, под которым площадка dS' видна из О, то, как известно, Я2 Я2 ' и, стало быть, dN = ±edu. Площадка dS будет, очевидно, видна из точки О под тем же самым телесным углом dfi. Если условиться приписывать этому углу dCt положительный знак, если из О видна внутренняя сто- сторона dS и знак отрицательный, если видна ее внешняя сторона, то можно написать: dN = EndS = edU. C.3) Итак, в поле точечного заряда е поток электрического векто- вектора Е через произвольно ориентированную площадку dS зависит, помимо величины этого заряда, только от того телесного угла, положительного или отрицательного, под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки О1). 2. Обращаясь к потоку JV вектора Е через конечную поверх- поверхность S, получим 2) N = JEndS = e Idu = eU, C.4) где Q — положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из заряда е вся поверхность S, т. е. телесный угол, образованный радиусами-векторами, проведенными из е к краевой линии этой поверхности (рис. 2). Крайне существенно, что в том случае, если поверхность S замкнута, угол этот может иметь только одно из двух значений: 4тг и 0. Действительно, точечный заряд может быть расположен ли- либо внутри замкнутой поверхности, либо вне ее. Рассмотрение же ')Как явствует из вывода формулы C.3), она является следствием того, что напряженность поля Е направлена радиально и при удалении от заря- заряда убывает по тому же закону (обратно пропорционально Я2), по которому изменяется телесный угол <ш, соответствующий данной площадке dS. По- Поэтому для всех вообще центральных полей, обратных квадрату расстояния (например, поля тяготения, поля магнитных полюсов и т. д.), также будут справедливы формулы, аналогичные уравнению C.3) и всем непосредствен- непосредственно вытекающим из него уравнениям. 2) Кратные интегралы в книге обозначаются одним-единственным знаком интеграла. См. с. 12.
§_3 ТЕОРЕМА ГАУССА 25 точечного заряда, расположенного на самой поверхности, лише- лишено физического смысла, ибо пользоваться представлением о то- точечном заряде можно лишь при условии, что действительные размеры заряда малы по сравнению с расстоянием его до рас- рассматриваемых точек поля. Представление же о точечном заря- заряде, расположенном на поверхности, поток электрического векто- вектора через которую мы определяем, этому условию, очевидно, не удовлетворяет. Если заряд расположен внутри замкнутой поверхности S, то эта поверхность окружает его со всех сторон и, стало быть, видна из него под углом О, — Air. Следовательно, в этом случае N = (j)EndS = 4тге. Если же заряд е находится в точке О, лежащей вне замкну- замкнутой поверхности S, то из О можно провести к поверхности S пучок касательных (рис. 3). Совокупность этих касательных об- образует конус, соприкасающийся с S вдоль некоторой замкнутой Рис. 2 Рис. 3 линии L, которая разделит поверхность S на две части: Si и 5г. Обе части поверхности 5 будут видны из точки О под одним и тем же телесным углом, соответствующим раствору касатель- касательного конуса, причем одна из этих частей будет видна с ее вну- внутренней стороны, а другая — с внешней. Таким образом, частям поверхности Si и #2 будут соответствовать углы fix и Пг, равные по величине и противоположные по знаку. Стало быть, и потоки электрического вектора через S\ и 5г будут равны по величине, но противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Таким обра- образом, поток вектора Е через всякую замкнутую поверхность, не
26 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I охватывающую заряда е, равен нулю: N = ф Еп dS = 0. 5 Оба эти возможные случаи (заряд внутри и вне поверхности) могут быть выражены одной-единственной формулой N = ф Еп dS = 4тге, C.5) 5 если только условиться понимать в этой формуле под е вели- величину заряда, расположенного внутри поверхности 5, и, стало быть, полагать е равным нулю, если заряд расположен вне этой поверхности. 3. Отличающаяся чрезвычайной простотой формула C.5), выведенная нами для поля, возбуждаемого одним-единственным точечным зарядом, остается справедливой и для поля произ- произвольной системы электрических зарядов. Действительно, любая система зарядов может быть разложена на совокупность элемен- элементарных (точечных) зарядов. Пусть Е — напряженность резуль- результирующего поля всей системы зарядов, а Е; - напряженность поля г-го элементарного заряда ег. Тогда И Еп = У jEjn. г Стало быть, J Yj Yi, C-6) S « S i причем последняя сумма распространяется только на те заря- заряды, которые расположены внутри поверхности S. Эта формула выражает собой фундаментальную теорему Гаусса 1): В произвольном электростатическом поле (в вакууме) по- поток электрического вектора Е через произвольную замкнутую поверхность равен умноженной на 4тг величине заряда, располо- расположенного внутри этой поверхности. Эта величина заряда есть, конечно, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся вну- внутри S. 1) Эту теорему не следует смешивать с известной из векторного анализа (см. A7*)) теоремой Гаусса, устанавливающей связь между потоком про- произвольного вектора через замкнутую поверхность и объемным интегралом дивергенции этого вектора. Для отличия от этой последней мы будем иногда называть формулу C.6) электростатической теоремой Гаусса.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 27 § 4. Электрическое поле заряженных поверхностей 1. Применение теоремы Гаусса чрезвычайно упрощает реше- решение ряда задач электростатики. В этом параграфе мы применим ее к рассмотрению некоторых свойств поля заряженных поверх- поверхностей. Конечно, строго говоря, заряд всегда занимает известный объем и не может быть сосредоточен на бесконечно тонкой (гео- (геометрической) поверхности. Однако слой заряда, толщина кото- которого достаточно мала по сравнению с его расстоянием от иссле- исследуемых точек поля, можно считать зарядом поверхностным с тем же правом, с каким мы рассматриваем заряды точечные. Плотностью поверхностного заряда а называется, как из- известно, заряд, приходящийся на единицу площади данной по- поверхности. В том случае, когда заряд распространен по поверх- поверхности неравномерно, плотностью его в данной точке поверхности называется предел отношения _ ,. Де _ de ~ AS-Ю AS ~ dS' D.1) где Де есть заряд элемента поверхности AS. 2. Скачок нормальной слагающей вектора Е на заряженной поверхности. Рассмотрим произвольную заряженную поверх- поверхность S. Выберем произвольным образом направление внешней нормали п к этой поверхности и условимся обозначать индекса- индексами 1 и 2 величины, относящиеся соответственно к внутренней и внешней (по отношению к нормали п) стороне поверхности. Выделим мысленно около рассматриваемой точки заряжен- заряженной поверхности прямую призму с образующими dl, перпендику- перпендикулярными к поверхности. Пусть эта призма вырезает из поверх- поверхности элемент S столь малый, что его можно считать плоским и равномерно заряженным (рис. 4). Внутри призмы будет находиться заряд aS', расположенный на элементе, вырезаемом призмой из заряженной поверхности S. Стало быть, поток электрического вектора через поверхность
28 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ призмы по теореме Гаусса должен равняться: EndS = = ф С другой стороны, поток этот может быть вычислен непо- непосредственно. Поток через нижнее основание призмы равен Е\ cos (Ei, ni)S", а через верхнее E2 cos (E2, ni)S\ где Ei и E2 — векторы E у соответствующих оснований призмы, a ni и п2 — внешние нормали к этим основаниям. Поток же вектора Е через боковую поверхность призмы мы обозначим через N'; тогда N = {Ei cos (Ei, щ) + E2 cos (E2, n2)}5' + N'. D.2) Направление нормали п2 совпадает с направлением нормали п, а направление ni прямо противоположно. Стало быть, Ei cos (Ei, ni) = -Еы, Е2 cos (E2, n2) = E2n, где E\n и E2n — проекции векторов Ei и Е2 на нормаль п. Таким образом, N = (Е2п - Ein)S' + N' = AnaS'. Будем теперь уменьшать высоту призмы dl, не изменяя при этом ее основания S". Поток N' через безгранично уменьшаю- уменьшающуюся боковую поверхность призмы будет стремиться к нулю как бесконечно малая второго порядка (по сравнению с N), так что общий поток вектора через поверхность призмы сведется в пределе к потоку через ее основания: откуда Е2п ~ Eln = Ana. D.3) Стало быть, нормальные слагающие вектора Е в двух смежных точках поля, разделенных заряженной поверхностью 5, разнятся на 4тгсг 1). Иными словами, нормальная слагающая вектора Е испыты- испытывает скачок Атга при прохождении через любую заряженную по- поверхность, независимо от формы этой поверхности и от наличия или отсутствия зарядов вне ее. Объясняется это тем, что поле поверхностных зарядов по разные стороны поверхности направ- направлено в противоположные стороны: от поверхности, если она за- заряжена положительно, и к поверхности в случае отрицательного заряда. 1) Заметим, что значение разности Е?п — Е\п не зависит от выбора на- направления нормали к поверхности разрыва: хотя при изменении направле- направления п знак проекций вектора Е на направление п меняется на обратный, но одновременно с этим сторона поверхности, ранее считавшаяся первой (т. е. внутренней по отношению к п), должна будет именоваться второй, и обратно.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 29 Е 3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. На- Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоско- плоскости Р, по соображениям симметрии, должна быть перпендику- перпендикулярна к этой плоскости и должна иметь противопо- противоположные направления по обе стороны от нее: она направ- направлена от плоскости Р, ес- если ее заряд положителен (рис. 5), и к плоскости Р, если он отрицателен. На- Напряженность Е в различ- различных точках поля может за- зависеть лишь от расстояния их от плоскости Р и долж- должна быть одинаковой во всех точках любой плоскости, па- Рис. 5 раллельной Р. Выделим мысленно в поле плоскости Р прямую призму с основанием S" и с образующими, перпендикулярными к Р, и предположим сначала, что призма эта не пересекается плоско- плоскостью Р, т. е. находится целиком по одну сторону этой плоскости. Вычисление потока электрического вектора через поверхность этой призмы вновь приведет нас к формуле D.2). Приняв во вни- внимание, что поток N' через боковую поверхность призмы в этом случае равен нулю (так как Е параллельно этой поверхности), получаем N = {Ei cos (Еь ni) + E2 cos (E2, n2)}S". По условию призма не пересекается заряженной плоскостью Р, поэтому внутри нее нет зарядов и, стало быть, согласно теореме Гаусса C.6), поток N должен равняться нулю, т. е. Ei cos (Ei, ni) + ?2cos (E2, n2) = 0. Так как Ei и Е2 направлены одинаково, а нормали ni и п2— противоположно, то cos (Ei, ni) — — cos(E2, n2) и, стало быть, Ei = Е2- Поскольку положение оснований призмы может быть выбрано произвольно, то из этого равенства следует, что во всех точках ограниченного плоскостью Р полупространства вектор Е постоя- постоянен по величине, а так как он постоянен и по направлению, то, следовательно, Е = const. В другом же полупространстве вектор Е будет, очевидно, иметь ту же величину и противоположное направление.
30 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ Чтобы определить Е, можно воспользоваться формулой D.3). В рассматриваемом случае слагающие этого вектора по направ- направлению нормали п к плоскости имеют, очевидно, по разные сторо- стороны плоскости противоположные знаки и численно равны самому вектору Е. Поэтому получаем Е2п - Еы = 2Е2п = ±2Е = 4тг<7, где в последнем равенстве нужно взять знак плюс или минус в зависимости от того, заряжена плоскость положительно (а > 0) или отрицательно (а < 0). Следовательно, во всех точках поля бесконечной плоскости Е = 2тг|ст|, D.4) где \а\ — абсолютная величина плотности заряда этой плоскости. 4. Постараемся теперь выяснить, почему при удалении от заряженной бесконечной плоскости напряженность ее поля не убывает, а остается постоянной. Пусть точки А, А', А" лежат на одном перпендикуляре к плоскости Р (рис. 6). Рассмотрим напряженность поля, возбуждаемого в этих точках зарядами Рис. 6 двух элементов плоскости dS\ и dS^, расположенных симмет- симметрично относительно перпендикуляра ОАА' на расстоянии R от его основания О. В более удаленных от плоскости точках напря- напряженность полей Ei и Ег каждого из этих зарядов в отдельности будет меньше, чем в более близких, но зато и угол между Ei и Ег убывает при удалении от плоскости. Поэтому, несмотря на уменьшение слагаемых Ei и Ег при удалении от плоскости, их равнодействующая Е может благодаря уменьшению угла меж- между ними не только убывать, но и возрастать в зависимости от соотношения между расстояниями R и О А или О А'. Очевидно, что если точка А близка к О, то равнодействующая всех заря- зарядов плоскости в этой точке определяется почти исключительно
§ 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 31 зарядами, расположенными вблизи О, ибо напряженности полей удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р и в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точ- точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а близких — уменьшается. В ре- результате, как показывает непосредственное вычисление, напря- напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плос- плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычис- Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [уравнение D.4)] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса. Задача 1. Поверхность бесконечно длинного кругового цилиндра равномерно заряжена так, что на единицу его длины приходится заряд к. Доказать, что поле Ej внутри цилиндра и поле Ее вне цилиндра выражаются следующими формулами: D.5) 7 где г — вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки поля от оси цилиндра. Показать, что скачок электрического век- вектора при прохождении через заряженную поверхность цилиндра равен 4тгсг. Задача 2. Заряд е равномерно распределен по шаровой поверхности произвольного радиуса. Доказать, что поле внутри и вне шара выражается, соответственно, формулами Ej = 0, Ее = g, D.6) где R — радиус-вектор, проведенный из центра шара в рассма- рассматриваемую точку поля, т. е. что поле вне равномерно заряжен- заряженной шаровой поверхности таково, как если бы весь ее заряд был сосредоточен в ее центре. Показать, что скачок вектора Е при прохождении через заряженную поверхность шара равен А-ка. Задача 3. Заряд е равномерно распределен с плотностью р по шаровому объему радиуса а. Показать, что поле Ее вне ша- шара таково, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре, и что поле Ej внутри шара прямо пропорционально рас- расстоянию от центра шара: рГ' v-л D7) ИЛИ . / \ 3 R) D.8) Отметим, что в этом случае вектор Е всюду непрерывен.
32 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1 § 5. Проводники в электрическом поле Физический смысл изучения поля поверхностных зарядов ко- коренится в том обстоятельстве, что в случае электростатическо- электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в весьма тонком поверхностном слое, который в громадном большинстве случаев можно с достаточной точностью считать бесконечно тон- тонким. Ведь и непосредственно ясно, что если сообщить металли- металлическому телу, например, отрицательный заряд (избыток элек- электронов), то благодаря взаимному отталкиванию элементов этого заряда (электронов) они сосредоточатся на его поверхности. Строгое же доказательство этого утверждения можно дать на основании того факта, что в случае электростатического равно- равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю *). Действительно, проводник есть тело, отличающееся следую- следующим свойством: если в какой-либо точке внутри проводника на- напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в про- проводнике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов. Это свойство можно рассматривать как определение термина «проводник электричества». С точки зрения электронной теории важнейшего класса про- проводников — металлов — это свойство объясняется тем, что если металл находится в твердом (или жидком) состоянии, то часть электронов, входящих в состав его атомов, отщепляется от этих атомов. Оставшиеся после отщепления этих «свободных» элек- электронов положительные ионы металла образуют его твердый ске- скелет (кристаллическую решетку), в промежутках же между ионами находятся «свободные» электроны в форме своего рода «элек- «электронного газа». Сколь угодно слабое внешнее электрическое поле вызывает движение этих «свободных» электронов в направлении действующих на них сил, т. е. вызывает электрический ток 2). Ток течет до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, т. е. пока поле зарядов, перераспределив- перераспределившихся по объему проводника, не скомпенсирует внешнего поля. Так как электрический вектор внутри проводника равен ну- нулю, то равен нулю и поток этого вектора через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри проводника. Стало быть, по теореме Гаусса, равен нулю и заряд, расположенный внутри вся- всякой такой поверхности. А это и значит, что в случае электро- электростатического равновесия зарядов внутри проводника нет (вер- (вернее, что положительные и отрицательные заряды внутри него взаимно нейтрализуются) и что все заряды расположены на его поверхности. 1) См. § 38, в частности уравнение C8.9). 2) Подробнее механизм тока будет рассмотрен в § 40 и 41.
§J> ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 33 Таким образом, поле заряженного металлического цилиндра или шара определяется теми же формулами D.5) и D.6), что и поле соответствующей заряженной поверхности. В согласии с упомянутым общим законом из этих формул, в частности, следу- следует, что внутри металлического заряженного шара или цилиндра Е = 0. Что же касается формулы D.3), то для случая зарядов, расположенных на поверхности проводника, формула эта значи- значительно упрощается. Так как внутри проводника Е = 0, то она принимает вид Еп = 4тгсг, E.1) где Еп — проекция электрического вектора в непосредственной близости к поверхности проводника на направление внешней нормали к его поверхности. Таким образом, в случае электростатического равновесия нормальная слагающая напряженности поля вблизи проводни- проводника определяется только плотностью а заряда на прилегающем элементе его поверхности и вовсе не зависит от распределения зарядов в других участках поля, а тангенциальная равна нулю. Пример. Определить поле между пластинами бесконеч- бесконечного плоского конденсатора. Поле между пластинами бесконеч- бесконечного плоского конденсатора по соображениям симметрии долж- должно быть направлено перпендикулярно к его пластинам и должно быть одинаковым во всех точках любой параллельной им плос- плоскости. Как и в рассмотренном случае поля бесконечной плоско- плоскости, из этого обстоятельства следует, что поле между пласти- пластинами конденсатора однородно, т. е. что вектор Е постоянен по величине и направлению во всех точках этого поля. Согласно же уравнению E.1), числовое значение вектора Е у поверхности пластин равно Е = 4тг|<7| E.2) (ввиду того, что Еп = ±Е). Стало быть, таково будет значение Е и во всем пространстве между пластинами. Очевидно, что в уравнении E.2) под а можно понимать плот- плотность поверхностного заряда как положительной, так и отри- отрицательной пластин конденсатора. Так как, с другой стороны, вектор Е имеет в пространстве между пластинами одно вполне определенное значение, то, следовательно, в случае электроста- электростатического равновесия абсолютная величина плотности заряда на обеих пластинах должна быть одинаковой. Все эти результаты можно также непосредственно получить из уравнения D.4). Поле Е конденсатора есть равнодействую- равнодействующая полей Ел и Ев двух заряженных бесконечных плоскостей, а именно внутренних поверхностей пластин конденсатора А и В. Стало быть, Е = Еа + Ев, причем Еа = 2к\сга\ и Ев = 2тг\ав\- Как явствует из рис. 7, внутри каждой из металлических пластин векторы Eyj и Ев направлены противоположно, а между пласти- 2 И. Е. Тамм
34 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Е, Е, нами одинаково. Так как внутри пластин Е должно равняться нулю (проводник!), то Ед — Ев и, стало быть, о в = —ста — с. Поэтому в пространстве между пластина- пластинами Е = 4тг|сг], что и требовалось доказать. Таково же будет и поле между пла- пластинами плоского конденсатора конечных размеров, если только расстояние между пластинами будет мало по сравнению с их размерами. Искажение поля, нарушение его однородности станет заметным лишь у краев конечного конденсатора, на рас- расстояниях от краев, сравнимых с расстоя- расстоянием между пластинами. В случае конденсатора конечных раз- размеров общий заряд каждой пластины ко- конечен и (средняя) плотность ее поверх- поверхностного заряда равна Е, Е» В Рис. 7 где S — поверхность пластины. Таким образом, уравнение E.2) принимает вид 771 47ГС /•«¦ п\ Е=—. E.3) Задача 4. Показать, что в полости цилиндрического кон- конденсатора (два коаксиальных цилиндра) напряженность поля определяется формулой D.5): Е= —г Г2 где х — заряд единицы длины внутреннего цилиндра, причем за- заряд единицы длины внешнего цилиндра равен —jut. Задача 5. Показать, что в полости шарового конденсатора (две концентрические сферы) поле определяется формулой D.6): Е = — R Д» ' где е — заряд внутренней сферы, причем заряд внешней сферы равен —е. § 6. Истоки электрического поля. Поверхностная дивергенция 1. Поверхностный интеграл, входящий в выражение C.6) элек- электростатической теоремы Гаусса, может быть преобразован с по- помощью общей теоремы Гаусса A7*) в интеграл по ограниченному
§ 6 ИСТОКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ДИВЕРГЕНЦИЯ 35 поверхностью S объему V: EndS= [divE-dV = 4тг^,ег- F-1) (f> V Однако преобразование это возможно лишь в том случае, ес- если divE имеет определенное конечное значение во всех точках объема V, заключенного внутри поверхности S, т. е. если век- вектор Е конечен и непрерывен в этом объеме. В частности, внутри поверхности S не должно быть ни точечных зарядов конечной величины, ни поверхностных зарядов конечной поверхностной плотности, ибо напряженность поля точечного заряда при R —> О стремится к бесконечности [уравнение B.1)] и, помимо того, на- направление вектора Е при R — 0 становится неопределенным-, на заряженных же поверхностях нарушается непрерывность векто- вектора Е: его нормальная слагающая испытывает скачок 4тгсг [урав- [уравнение D.3)]. Впрочем, понятия точечного и поверхностного зарядов име- имеют лишь вспомогательное значение и были введены нами лишь для удобства рассмотрения поля зарядов на расстояниях, доста- достаточно больших по сравнению с размерами самих зарядов. Изу- Изучая же поле вблизи или внутри зарядов, мы должны вернуться к представлению об объемном распределении зарядов. Предпо- Предположим, например, что заряд е, рассматривавшийся нами как то- точечный, в действительности равномерно распределен по объему шара произвольно малого, но конечного радиуса а. В этом слу- случае поле вне и внутри шара определяется уравнениями D.7), из коих явствует, что вектор Е конечен и непрерывен во всех точ- точках поля [в частности, при R — а, т. е. на поверхности шарового заряда, обе формулы D.7) дают для Е одно и то же значение Ее = Ег = е/а2}. Этот результат имеет общее значение: во всех случаях объ- объемного распределения заряда с конечной плотностью электри- электрический вектор Е всюду конечен и непрерывен. Действительно, в этом случае из каждой лежащей внутри заряда точки Р, как из центра, можно описать сферу достаточно малого, но все же конечного радиуса а так, чтобы сферу эту можно было считать заряженной равномерно. Во всех точках сферы поле зарядов са- самой сферы конечно и непрерывно согласно уравнениям D.7); по- поле же зарядов, находящихся вне сферы, конечно и непрерывно потому, что эти заряды находятся на конечном расстоянии от внутренних точек сферы. Стало быть, и результирующее поле всех зарядов конечно и непрерывно. 2. Итак, в случае объемного распределения зарядов, располо- расположенных внутри поверхности S, преобразование поверхностного интеграла в объемный в уравнении F.1) всегда допустимо. На- Напомним, что в общем случае неравномерного распределения за-
36 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I рядов объемной плотностью заряда в данной точке называется предел отношения заряда Де, находящегося в окружающем эту точку объеме AV, к этому объему [ср. уравнение D.1)]: р = hm — = —, F.2) где буквой р, как и всюду в дальнейшем, обозначена объемная плотность заряда. Стало быть, заряд de элемента объема dV ра- равен de = pdV, F.3) а общий заряд, находящийся в конечном объеме V, равен V у Внося это выражение в F.1), получим [dWE-dV = f 4тгр dV. F.4) Равенство этих интегралов должно иметь место вне зависимости от выбора области интегрирования V, что возможно лишь в том случае, если их подынтегральные выражения равны друг другу в каждой точке пространства. Стало быть, divE = 47rp, F.5) или, в декартовой системе координат: дЕх , дЕу . dEz . ,„ „ч -~- + —-s- -\ = 4тгр. F.6) дх ду dz r v ' Это дифференциальное уравнение является одним из основ- основных уравнений как электростатики, так и вообще всей электроди- электродинамики. Оно позволяет определить дивергенцию электрического вектора в каждой точке поля по объемной плотности заряда в той же точке1), вне зависимости от распределения зарядов в иных участках поля. Обратно, чтобы определить плотность за- заряда в данной точке поля, достаточно знать значение диверген- дивергенции Е в этой точке поля. По аналогии с гидродинамикой те точки поля произвольного вектора а, в которых div а ф 0, принято называть истоками это- этого поля; величина diva называется силой, или обильностью, ис- истоков поля (см. приложение. Векторный анализ, § 4). Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что истоки электрического поля находятся в тех и только тех точках поля, в которых нахо- находятся электрические заряды, причем сила, или обильность, этих истоков (в случае объемного распределения зарядов) равна 4тгр. 1) То есть, в сущности, по величине заряда, находящегося в бесконечно малом объеме, окружающем эту точку [см. уравнение F.2)].
§ 6 истоки электрического поля, поверхностная дивергенция 37 3. Хотя, с точки зрения излагаемой нами макроскопической теории, все заряды суть непрерывно распределенные объемные заряды, однако в тех случаях, когда толщина занимаемого заря- зарядом слоя мала по сравнению с доступными измерению расстояния- расстояниями, удобно сохранить представление о поверхностных зарядах. В первую очередь это относится к поверхностным зарядам про- проводников. Так как при прохождении через заряженные поверхно- поверхности вектор Е меняется скачком [уравнение D.3)], то поверхности эти носят название поверхностей разрыва электрического векто- вектора. Очевидно, что на поверхностях разрыва дифференциальное уравнение F.5) неприменимо (что явствует также из оговорок, сделанных в начале этого параграфа) и должно быть заменено уравнением D.3): Е2п ~ Еы = 4тгсг. Это уравнение называется пограничным условием для век- вектора Е и является, в сущности, не чем иным, как предельной формой уравнения F.5) для зарядов, расположенных бесконеч- бесконечно тонким слоем. Так как нам в дальнейшем неоднократно придется встречать- встречаться с подобного рода соотношениями, мы докажем здесь следую- следующую общую теорему. Пусть некоторый вектор а всюду непреры- непрерывен и конечен и всюду удовлетворяет уравнению div a = 4тгр, (А) где р — всюду конечная плотность некоторого «заряда» е [на- [например, электрического, определяемая уравнением типа F.2)]. Рассмотрим некоторый заряженный слой конечной толщины си, внутри которого а по условию остается непрерывным (рис. 8). Если, оставляя неизменным за- заряд слоя, уменьшать его толщи- толщину dl до нуля, то непрерывность вектора а нарушится и уравне- уравнение (А) в пределе примет на за- заряженной поверхности вид - ain = 4тгсг, (В) где и — поверхностная плотность заряда, определяемая уравне- уравнением типа D.1), а а\п и агп — значения нормальных слагающих вектора а по различным сторонам заряженной поверхности. Чтобы доказать справедливость этого утверждения, рассмо- рассмотрим цилиндрический участок заряженного слоя с основанием dS'. Помножая (А) на dV и интегрируя по объему этого участка, получим на основании F.3) и теоремы Гаусса A7*): f div а • dV — ф ап dS = 4тг f pdV = Атг de,
38 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I где de — общий заряд выделенного участка, а 5 — ограничиваю- ограничивающая его поверхность. Повторяя рассуждения, приведшие нас в § 4 к формуле D.2), убедимся, что (?andS = {а2п - аы) dS' + N1 = 4тгde, где N' — поток вектора а через боковую поверхность рассматри- рассматриваемого участка слоя. При переходе к пределу dl —> 0 величина N' обращается в нуль, так что, разделив это уравнение на dS', получим Я2п - ain = 47T-J- = 4тгсг, до' т. е. уравнение (В), что и требовалось доказать. Итак, уравнение (В) представляет собой предельную форму уравнения (А). Ввиду этого скачок нормальной слагающей про- произвольного вектора а на поверхности разрыва часто называют поверхностной дивергенцией этого вектора. В отличие от объем- объемной дивергенции, определяемой уравнением A8*): ,. ,. <fandS diva= hm , Д AV поверхностная дивергенция обозначается через Div с заглав- заглавной (а не строчной) буквы D 1): агп -аы =Diva. F.7) Стало быть, доказанную нами теорему можно символически за- записать следующим образом: div а = 4тгр -f Div a = 4тгст. F.8) Наконец, пользуясь упомянутой выше терминологией, можно назвать поверхности разрыва нормальной слагающей вектора а поверхностными истоками этого вектора. 4. Уравнения F.5) и D.3) вполне достаточны для решения так называемой «обратной» задачи электростатики: дано поле элек- электрического вектора Е, определить распределение (объемных и поверхностных) зарядов. В частности, расположение поверхност- поверхностных зарядов определяется расположением поверхностей разрыва вектора Е. Однако для решения «прямой» задачи дано распреде- распределение зарядов, для определения электрического поля этих урав- уравнений недостаточно, ибо с помощью одного дифференциального уравнения F.5) нельзя определить три слагающих Ех, Еу, Ez вектора Е. Для решения «прямой» задачи электростатики необ- х) Заметим, что значение Diva не зависит от выбора направления норма- нормали п к поверхности разрыва (см. примеч. на с. 28).
§ 7 РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ 39 ходимо воспользоваться также и некоторыми иными свойствами электростатического поля, к рассмотрению которых мы теперь и перейдем. § 7. Работа электрических сил. Независимость ее от формы пути. Непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е 1. Работа, совершаемая силами электрического поля при пе- перемещении заряда е на отрезок ds, равна еЕ cos (E, ds) ds = eE ds. В частности, работа А при перемещении ds единичного поло- положительного заряда равна A = Eds. G.1) Наконец, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути L, равна = JBds, G.2) где знак L у интеграла означает, что необходимо вычислить сум- сумму значений подынтегрального выражения для всех элементов линии L. Эта операция называется интегрированием по линии L. 2. Работа электрических сил на данном пути L, вообще гово- говоря, может зависеть как от положения начальной и конечной то- точек пути, так и от формы пути. Однако, как мы сейчас покажем, электрическое поле неподвижных зарядов обладает той чрез- чрезвычайно важной особенностью, что работа сил этого поля на пути между двумя произвольными точками зависит только от положе- положения этих точек и вовсе не зависит от формы пути. Силовые поля, обладаю- обладающие этой особенностью 1), называются полями консервативными или потенци- потенциальными. Заметим, что в потенциальном поле работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равняться нулю. Дей- Действительно, всякий замкнутый путь MNPQM можно произ- произвольным образом разбить на две части MNP и PQM (рис. 9). р том выполняющемся для электростатического поля условии, что поле стационарно (постоянно во времени) и что силы, действующие на по- помещенное в поле тело, зависят лишь от положения, но не от скорости этого тела.
40 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Работа на пути PQM равна, очевидно, взятой с обратным зна- знаком работе на том же пути при прохождении его в обратном направлении от М к Р, которая в свою очередь в потенциаль- потенциальном поле по условию равна работе на пути MNP. Стало быть, общая работа на всем замкнутом пути MNPQM равна нулю, что и требовалось доказать. Обратно, если работа сил поля на всяком замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на пути между двумя произ- произвольными точками МиРот формы этого пути не зависит, т. е. поле это потенциальное. Действительно, рассмотрим два произ- произвольных пути MNP и MQP, ведущих из М в Р (см. рис. 9). Составим из них замкнутый путь MNPQM. Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю. Стало быть, работа на участке пути MNP равна взятой с обратным знаком работе на пути PQM, или, иными словами, равна работе на пути MQP, что и требовалось доказать. Итак, равенство нулю работы на произвольном замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости ра- работы от формы пути и может считаться отличительным призна- признаком потенциального поля. Вообще поле произвольного вектора Е, вне зависимости от его физического смысла (сила, скорость и т. д.), является полем потенциальным в том и только в том слу- случае, если при любом выборе замкнутого пути интегрирования L Es ds = 0. G.3) L Линейный интеграл произвольного вектора Е вдоль какого- либо произвольного замкнутого пути L называется циркуляцией этого вектора вдоль пути L1). Та- Таким образом, условие G.3) сводится к требованию, чтобы циркуляция век- вектора Е по любому замкнутому пути равнялась нулю. 3. Переходя к доказательству по- потенциального характера электроста- электростатического поля, рассмотрим снача- сначала работу электрических сил в поле элементарного (точечного) заряда е. Работа этих сил при бесконечно ма- малом перемещении ds «пробного» еди- единичного положительного заряда рав- рис Ю на (рис. 10): А = Е ds = — Rds = — ds cos (R, ds) = — dR, *)См. приложение, § 5.
РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ 41 где dR есть проекция перемещения пробного заряда ds на ра- радиус-вектор R, проведенный из возбуждающего поле заряда е. Как явствует из чертежа, dR есть вместе с тем приращение чи- числового значения радиуса-вектора R, т. е. увеличение расстояния пробного заряда от заряда е. Поэтому работа А может быть пред- представлена в форме полного дифференциала скалярной функции точки —ejR: А = ~шт=:d\i)= :~dG0' G-4) где R есть числовое значение радиуса-вектора R. Следовательно, работа, совершаемая при перемещении единичного положитель- положительного заряда из точки Д в точку Рч по конечному пути L, равна (рис. 11): Л-/ЯЛ—/d(i)--(i-i), G.5) L L где R\ и J?2 — расстояния начальной и конечной точек пути от заряда е. Таким образом, работа электрических сил на произ- произвольном пути в поле неподвижного элементарного (точечного) заряда действительно зависит только от положений начальной и конечной точек этого пути и, стало быть, вовсе не зависит от формы пути. Так, на- пример; работа электрических сил на пути L (рис. 11) равна работе на пу- пути L: избыточная работа, совершаемая на пути V при перемещении пробно- пробного заряда за пределы сферы радиуса R2, компенсируется отрицательной ра- работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заря- заряду е на последнем участке пути L'. Итак, поле неподвижного элемен- элементарного (точечного) заряда есть поле потенциальное. Очевидно, что сумма потенциальных полей 1) есть тоже поле потенциальное, ибо если работа слагае- слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее тоже не зависит. Так как поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из элементов этих зарядов, то, стало быть, всякое электростатическое поле есть поле потенциальное и удовлет- удовлетворяет условию G.3). Рис. 11 х) Суммою векторных полей мы будем называть такое поле, в каждой точ- точке которого вектор поля равен сумме векторов слагаемых полей.
42 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I 4. Интегральное условие G.3) может быть преобразовано в дифференциальное. Согласно известной теореме векторного ана- анализа B9*), слагающая ротора вектора Е по произвольному на- направлению п в произвольной точке поля Р равна §Esds rotnE= hm J ^ , dS-+O dS где dS означает бесконечно малую площадку, проходящую через точку Р и перпендикулярную вектору п. В числителе справа стоит циркуляция вектора Е по контуру этой площадки dS, ко- которая согласно G.3) обращается в нуль. Стало быть, rotn E = 0. Ввиду произвольности направления п это означает, что ротор вектора Е во всех точках электростатического поля равен нулю: rotE = 0. G.6) Обратно, из G.6) на основании известной из векторного ана- анализа теоремы Стокса B7*) следует G.3), так что интегральное и дифференциальное условия G.3) и G.6) вполне эквивалентны друг другу. 5. Из условия G.3) следует, в частности, непрерывность тан- тангенциальных слагающих напряженности поля [в отличие от слагающих нормальных; см. уравнение D.3)], т. е. следует, что слагающие напряженности, касательные к произвольной поверх- поверхности в любой ее точке, имеют по обе стороны поверхности оди- одинаковые значения. Действительно, допустим противное, и пусть вдоль поверх- поверхности Si (рис. 12) нарушается непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е. Это значит, что если Pi, P2 и Р{, Р'2 суть две пары разделен- разделенных поверхностью S\, но бесконечно близ- близких друг к другу точек, то работа электри- электрических сил f Es ds на пути Р\Р[ отличается на конечную величину от работы этих сил на бесконечно близком пути Рг-^г- С ДРУГОИ стороны, ввиду конечности сил поля рабо- работа их на бесконечно малых отрезках Р1Р2 и Р[Р^ бесконечно мала. Стало быть, рабо- работа сил поля на замкнутом пути Р1Р/Р2Р2Р1 должна отличаться от нуля. Другими р 12 словами, из сделанного нами допущения следует, что работа поля при перенесении пробного заряда по замкнутому пути отлична от нуля, что в элек- электростатическом поле невозможно. Итак, при любом выборе поверхности S тангенциальные к ней слагающие электрического вектора Е остаются непрерывными.
|_8 ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 43 Иными словами, если t — единичный вектор, лежащий в каса- касательной плоскости к произвольной поверхности S, то E2t = Elt, G.7) где E2t и Ец — значения слагающих вектора Е по направлению t по обе стороны поверхности S. В частности, так как напряженность поля внутри проводни- проводников равна нулю, то тангенциальная слагающая Е у их внешней поверхности тоже должна равняться нулю. Стало быть, у поверх- поверхности проводников электрический вектор направлен нормально к их поверхности (Е = ±Еп), и уравнение E.1) может быть на- написано так: Е = 4тг<7П. G.8) § 8. Потенциал электростатического поля 1. То обстоятельство, что работа сил электростатического по- поля на данном пути зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути, дает возможность ввести в рассмотрение чрезвычайно важное понятие потенциала электростатического поля. Определение: разность потенциалов между двумя точка- точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую. При этом предполагается, что при перемещении пробного единичного заря- заряда все заряды, возбуждающие поле, остаются неподвижными 1). Стало быть, разность потенциалов dip между двумя бесконеч- бесконечно близкими точками, разделенными расстоянием ds, равна dip = -А = -Eds; (8.1) разность же потенциалов (р — (ро между двумя точками Р и Pq, находящимися на конечном расстоянии друг от друга, определя- определяется интегралом р <р-(р0 = - у* Eds, (8.2) Ро причем этот интеграл может быть взят по любому пути, сое- соединяющему точки Ро и Р. Очевидно, что понятие разности по- потенциалов имеет определенный однозначный смысл лишь в силу 1) Если перемещение единичного пробного заряда может вызывать смеще- смещение зарядов, возбуждающих поле (например путем электростатической ин- индукции на проводниках), то надлежит измерять непосредственно лишь ту работу, которая совершается при перемещении бесконечно (т. е. достаточно) малого пробного заряда. Работа же при перемещении единичного заряда вычисляется из результатов этих измерений.
44 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I доказанной нами независимости работы электрических сил от формы пути, или, что сводится к тому же, ввиду того, что напря- напряженность Е электростатического поля удовлетворяет условию G.3). Определение понятия потенциала поля вектора Е, содержа- содержащееся в уравнениях (8.1) и (8.2), применимо, очевидно, к полю произвольного вектора, удовлетворяющего условию G.3), вне за- зависимости от физического смысла этого вектора (сила, скорость и т. д.) и от физического смысла соответствующего потенциала (потенциал сил, потенциал скоростей и т. д.). 2. Очевидно, что потенциалу <ро произвольной точки поля Pq всегда можно приписать любое наперед выбранное значение. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциалов двух точек поля, но не абсолютная величина потенциала. Однако, как толь- только фиксировано значение потенциала в какой-либо одной точке поля, значение его во всех остальных точках поля однозначно определяется уравнением (8.2). Обычно аддитивную постоянную в выражении потенциала выбирают так, чтобы потенциал (рос бесконечно удаленных точек равнялся нулю 1). При этом условии потенциал <р произвольной точки поля Р определится следующим выражением: (p = ipce - / Eds = / Eds (<poo = 0). (8.3) Таким образом, потенциал точки Р будет равен работе, совер- совершаемой силами поля при удалении единичного положительного заряда из точки Р в бесконечность. В поле элементарного (точечного) заряда е разность потен- потенциалов между точками Р и Ро, согласно G.5) и (8.2), равна В этом случае, для того чтобы удовлетворить условию </?оо = О, достаточно, очевидно, положить (ро = e/Ro; тогда потенциал по- поля точечного заряда е на расстоянии R от него окажется равным (?»оо = 0) ?>=!¦ (8.5) 3. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов ei, ег, ..., еп равен, очевидно, сумме потенциалов полей каждого 1) Впрочем, практически при электрических измерениях часто полагают равным нулю потенциал Земли.
§ 8 ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 45 из этих зарядов в отдельности: п p (8-6) где Л, — расстояние точки поля, обладающей потенциалом </?, от заряда е{. Конечно, как эта, так и предшествующие формулы имеют смысл лишь в тех точках поля, расстояния которых от «точечных» зарядов е.\ велики по сравнению с размерами этих зарядов. В случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности dS: de — a dS. Заменяя в уравнении (8.6) е, через de и переходя от суммиро- суммирования к интегрированию по всем элементам всех заряженных поверхностей, получим потенциал поля поверхностных зарядов: Ч> = В поле объемных зарядов роль элементарных зарядов будут играть заряды dE = pdV бесконечно малых элементов объема dV, и выражение потенциала (8.6) примет вид <Р= ~, (8-8) где R — расстояние точки поля, обладающей потенциалом <р, от элемента объема dV. Отметим, что, хотя R и входит в знаменатель подынтеграль- подынтегральных выражений в формулах (8.7) и (8.8), все же выражения эти остаются конечными во всех точках поля объемных и поверх- поверхностных зарядов. Рассмотрим, например, формулу (8.8) и введем систему сферических координат Я, $, а с центром в исследуемой точке поля ($ — полярный угол, а — азимут) 1). Элемент объема dV выразится в этих координатах, как известно, следующим об- образом: dV = R2 sin д da dddR, и формула (8.8) примет вид = (И pR sin д da dd dR, причем подынтегральное выражение остается конечным и при значении R = 0. . рис. 101 (приложение).
46 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I Ввиду того, однако, что формулы (8.7) и (8.8) выведены нами из формул (8.5) и (8.6), имеющих смысл лишь для конечных е значений R (ибо при R —> 0 ц> — — стремится к бесконечности), R а также ввиду особой важности формул (8.7) и (8.8) мы выведем их в дальнейшем (§ 12) еще и другим способом, независимо от только что изложенного, и покажем, что они применимы ко всем точкам поля поверхностных и объемных зарядов. 4. Потенциальный характер электростатического поля может быть доказан и без применения закона Кулона путем рассужде- рассуждений, основывающихся на законе сохранения энергии и невозмож- невозможности вечного двигателя. Действительно, предположим, что при перемещении пробного заряда по какому-либо замкнутому пу- пути L в поле неподвижных зарядов (см. примечание на с. 43) си- силы этого поля совершают положительную работу А. Так как по возвращении пробного заряда в исходное положение вся система возвращается в исходное положение, то, повторяя обход пути L произвольное число раз, мы всякий раз получали бы работу А, т. е. осуществили бы вечный двигатель. Если же при обходе пу- пути L силы поля совершают отрицательную работу, то стоит лишь изменить направление обхода на обратное, чтобы получить ра- работу положительную. Таким образом, работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равняться нулю, из чего, как мы видели, следует существование однозначного потенциала поля1). 5. В абсолютной системе единиц единица потенциала опре- определяется следующим образом: разность потенциалов двух точек поля равна единице, если при перемещении абсолютной единицы заряда из одной точки в другую силы поля совершают единицу работы, т. е. работу в один эрг. Размерность же потенциала рав- равна, очевидно: Ы = Работа = ML2! = М1/2т1/2гр-1 l^j заряд MV2L3/2T-1 Абсолютная единица потенциала слишком велика по сравне- сравнению с теми разностями потенциалов, с которыми обычно прихо- приходится иметь дело на практике. Поэтому практической единицей потенциала служит вольт: 1 В = — абс. единицы потенциала. ОО 1) Подобного рода рассуждение неприменимо, например, к магнитному по- полю постоянных токов, для поддержания которого необходима непрерывная затрата энергии источников тока. Работа, совершаемая при перемещении магнитного заряда (полюса) по замкнутому пути в поле постоянного тока, может быть отличной от нуля и может совершаться за счет дополнитель- дополнительного потребления энергии источников тока. Действительно, движение маг- магнитного заряда возбуждает электродвижущие силы индукции, так что для поддержания постоянства тока во время движения заряда необходимо соот- соответствующее изменение ЭДС источников тока.
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 47 Пример. Определить потенциал поля диполя. Предположим, что два равных точечных заряда противопо- противоположных знаков +е и —е находятся на расстоянии I друг от друга, причем вектор 1 направлен от отрицательного заряда к по- положительному (рис. 13). Век- Вектор р: р - el, (8.9) носит название электрическо- электрического момента этих зарядов. По- Потенциал обоих зарядов в произ- произвольной точке поля Р равен R 6 VR2 Ri) +е Ri J R1R2 Если расстояние l между за- _*е рядами +е и — e мало по срав- сравнению с расстояниями этих за- Рис- 13 рядов от исследуемых точек поля, то совокупность зарядов +е и —е носит название диполя, или биполя, что значит «двойной полюс». В этом случае можно приближенно положить: Ri R2 = R2, Ri-R2=l cos or, где а — угол между направлением момента диполя и радиусом- вектором R, проведенным от диполя к «точке наблюдения» Р (рис. 13). Ввиду малости расстояния I безразлично, из какой именно точки диполя проведен этот радиус-вектор R. Таким об- образом, потенциал диполя принимает вид _ el cos a _ pcosa _ pR (8.10) Это выражение можно также представить в несколько ином виде с помощью известной формулы векторного анализа A0*): где индекс а означает пространственную производную от 1/R по координатам «точки наблюдения», т. е. конечной точки векто- вектора R, а индекс «у-—дифференцирование по координатам «точки истока», т. е. начальной точки вектора R (см. приложение, § 2). На основании этих соотношений уравнение (8.10) может быть записано следующим образом: ip = pgrad, (I) = -pgrada (I) . (8.11)
48 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I Эту формулу легко получить и непосредственно. Действи- Действительно, ч. = J_ - JL е Я2 -Ri равно приращению скаляра 1/R при перемещении на отрезок 1 точки истока радиуса-вектора R, проведенного из диполя (исток поля) в точку наблюдения Р. Ограничиваясь при достаточно ма- малом 1 первыми производными от 1/R, получим i--i-=lgradg(I)=-lgrada(i), откуда непосредственно следует (8.11). Задача 6. Исходя из уравнения (8.2), показать, что потен- потенциал поля заряженных бесконечных плоскости и полого цилин- цилиндра определяется соответственно следующими формулами: для плоскости <р = <ро — 2тгстх, {4>i = <PQ, ri где щ — значение потенциала на соответствующей заряженной поверхности; х — координата, перпендикулярная плоскости; г — расстояние от оси цилиндра; г\ — радиус цилиндра. Отметим, что в обоих этих случаях удовлетворить условию </?оо = 0 невоз- невозможно. Задача 7. Показать, что потенциал поля шара радиуса а, равномерно заряженного по всему своему объему с объемной плотностью /э, при условии (рос = 0 равен ?>е = -| (R > а) и (8.12) <Pi = 2пр(а2 - ^) (Д < а), где е = р — общий заряд шара, аи- расстояние от его центра. Показать, что <ре — (pi при R = а. § 9. Емкость. Конденсаторы 1. Одна из характернейших особенностей электростатическо- электростатического поля состоит в том, что в случае электростатического рав- равновесия потенциал поля имеет постоянное значение на всем
§ 9 ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ 49 протяжении каждого отдельного проводника *). Действитель- Действительно, в случае электростатического равновесия напряженность по- поля внутри проводника равна нулю (§ 5). Так как любые две точки проводника можно соединить линией, целиком лежащей в этом проводнике, то, стало быть, разность потенциалов этих точек, определяемая линейным интегралом вектора Е [уравнение (8.2)], равна нулю, что и требовалось доказать. Это обстоятельство дает возможность в случае электроста- электростатического поля говорить просто о потенциале проводника (т. е. потенциале каждой из его точек). 2. Емкостью уединенного проводника, т. е. проводника, бес- бесконечно удаленного от всех остальных проводников, называется заряд, необходимый для сообщения этому проводнику потенци- потенциала, равного единице. При этом предполагается, что аддитивная постоянная в выражении потенциала выбрана так, что в беско- бесконечности потенциал равен нулю. Емкость принято обозначать буквой С. 3. Заметим, что емкость уединенного шара (в абсолютных единицах) численно равна его радиусу. Действительно, внешний потенциал поля шара радиуса а и заряда е равен ip = ejR. На поверхности шара R = а и <р = е/а. Таково же значение потен- потенциала и внутри всего шара. Стало быть, потенциал шара будет равняться единице при е = а, а это и значит, что емкость С шара равна а: С = а. Из этого уравнения явствует, что в абсолютных единицах ем- емкость должна иметь размерность длины. Действительно, ГС] = И. = MLT = 1 J [<p] MV2LV2T-' Таким образом, в абсолютной системе единиц емкость из- измеряется в единицах длины, причем емкость в 1 см равна емко- емкости уединенного шара радиуса 1 см. Так как практическая единица заряда (кулон) в 3 - 109 раз больше, а практическая единица потенциала (вольт) в 300 раз меньше соответствующих абсолютных единиц, то практическая единица емкости — фарада (Ф) — в 9-1011 раз больше абсолютной единицы: 1 фарада = кулон = 9 • 1011 см (абс. единиц емкости). 1 ВОЛЬТ Эта единица емкости столь велика, что обычно емкость выра- выражается либо в сантиметрах, либо в микрофарадах (миллионных 1) Разумеется, при условии отсутствия «сторонних» ЭДС химического, термического и т.п. происхождения (см. § 38).
50 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I долях фарады): 1 мкФ = 9 • 105 см. 4. Если проводник не уединен, то потенциал, приобретаемый им при сообщении ему определенного заряда, существенно за- зависит от формы и расположения других проводников. Обуслов- Обусловливается это тем, что поле заряженного проводника вызывает перераспределение зарядов на всех соседних с ним проводниках, в том числе, конечно, и на незаряженных (электростатическая индукция). По достижении равновесия заряды проводников рас- располагаются на них так, что внутри каждого проводника резуль- результирующее поле индуцированных зарядов и заряда индуцирую- индуцирующего равно нулю (условие электростатического равновесия, см. § 5). Конечно, этот процесс связан с перераспределением заряда и на самом индуцирующем проводнике. Таким образом, потен- потенциал заряженного проводника оказывается суммой потенциалов собственного перераспределившегося заряда этого проводника и зарядов, индуцированных им на других проводниках. Определе- Определение зависимости этого результирующего потенциала ц>, а вместе с тем и емкости проводника С — е/<р от формы и расположения смежных с ним проводников связано, вообще говоря, со значи- значительными математическими трудностями. 5. Можно, однако, достигнуть полной независимости систе- системы проводников от расположения и электрического состояния всех посторонних проводников путем электростатической за- защиты их, т. е. путем заключения их в металлическую оболочку. Заряды, расположенные вне оболочки, не влияют на электри- электрическое состояние пространства внутри нее, ибо поле этих внеш- внешних зарядов во внутреннем пространстве компенсируется полем зарядов, индуцированных ими на внешней поверхности оболоч- оболочки. Действительно, если бы оболочка была целиком заполнена металлом, т. е. образовывала бы сплошной проводник, то напря- напряженность поля внешних зарядов и зарядов, индуцированных ими на внешней поверхности оболочки, должна была бы равняться нулю во всех внутренних точках проводника. Очевидно, что она останется равной нулю и по удалении из проводника его внутрен- внутренних участков. Итак, металлическая оболочка полностью устраняет зависи- зависимость электрического состояния внутреннего пространства от пространства внешнего, ибо пространства эти оказываются раз- разделенными толщей металла, в котором поле равно нулю. Поэто- Поэтому электростатическая защита всегда применяется при точных измерениях для устранения внешних воздействий на электриче- электрические измерительные приборы, аппараты и т. д. Заметим еще, что заряды проводников, расположенных вну- внутри оболочки, индуцируют на ее внутренней поверхности заряд, равный им по величине и противоположный по знаку, в чем
§ 9 ЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРЫ 51 можно убедиться, применив теорему Гаусса C.6) к замкнутой поверхности S, проведенной в толще оболочки (рис. 14): поток электрического вектора через эту поверхность, очевидно, ра- равен нулю. При этом на внешней поверхности оболочки сосредо- сосредоточивается заряд, равный (по величине и знаку) заряду про- проводников, расположенных вну- внутри оболочки. 6. Обратимся к случаю кон- конденсатора, состоящего из двух (или нескольких) изолирован- Рис. 14 ных проводников(«обкладок»), из которых один полностью заключен внутри другого, как это имеет, например, место в шаровом и в бесконечном цилиндриче- цилиндрическом конденсаторах. Ввиду указанной независимости поля между обкладками такого конденсатора от расположения окружающих его проводников емкость его также не зависит от посторонних обстоятельств. При этом под емкостью конденсатора в отличие от емкости уединенного проводника нужно понимать отношение заряда конденсатора е к разности потенциалов </?2 — </?i этих об- обкладок (а не к потенциалу какой-либо из обкладок): С = —^—. (9.1) Далее, зарядом конденсатора е называется абсолютная вели- величина равных по величине и противоположных по знаку зарядов каждой из обкладок конденсатора. При этом под зарядом обкладок конденсатора нужно пони- понимать только заряды, расположенные на внутренних, обращенных друг к другу поверхностях этих обкладок 1). В том случае, если из двух (или нескольких) проводников ни один не составляет замкнутой системы, охватывающей со- собою остальные проводники, емкость этой системы проводников (этого конденсатора) практически не будет зависеть от распо- расположения окружающих тел только в том случае, если размеры проводников будут велики по сравнению с расстоянием между ними. Лишь при этом условии пространство между обкладками х) Так, например, под зарядом е шарового конденсатора, состоящего из ме- металлического шара А, окруженного полым металлическим шаром В, нужно понимать заряд внутреннего шара А либо равный ему по абсолютной вели- величине заряд, расположенный на внутренней поверхности внешнего шара В. Помимо этого заряда е, на внешней поверхности шара В может находиться произвольный заряд е , не оказывающий влияния на разность потенциалов между А и В.
52 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I конденсатора, если не полностью, то в значительной мере будет защищено самими обкладками от воздействия внешнего поля. Задача 8. Показать, что емкость С плоского, цилиндри- цилиндрического и шарового конденсаторов равна соответственно: плоский конденсатор: цилиндрический конденсатор: I С = 21п(г2/п)' шаровой конденсатор: q __ RiB.2 где S — поверхность пластин конденсатора, d — их взаимное рас- расстояние, I — длина, а г\ и гг — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров и, наконец, R\ и i?2 — радиусы внутренней и внешней шаровой поверхности. Примечание. Так как емкость цилиндрического конден- конденсатора пропорциональна его длине /, то можно говорить о «ем- «емкости единицы длины конденсатора» С*, равной С* = - = 1 . (9.2) I 21п(г2/п) V > Очевидно, что С* = е = —=—, (9.3) 1(<Р2 — <fl) Ч>2 — <fl где х — заряд единицы длины конденсатора. Конечно, понятие емкости единицы длины (как, впрочем, и приведенное выраже- выражение для С) можно применять лишь в том случае, если длина цилиндрического конденсатора настолько велика по сравнению с расстоянием между его обкладками, что можно вовсе исклю- исключить из рассмотрения концевые участки конденсатора, в кото- которых поле его существенно искажается; лишь в этом случае С пропорционально I. § 10. Градиент электростатического потенциала. Линии сил 1. Из формул (8.1) dip — —Eds = — Es ds следует, что I - -*.
§ 10 ГРАДИЕНТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ЛИНИИ СИЛ 53 где dip/ds означает производную <р по направлению s вектора ds (см. приложение, § 2). По определению понятия градиента эта пространственная производная скаляра </? совпадает со слагаю- слагающей его градиента grade/? по направлению s [см. уравнение D*)]: -f- = grads <p. as Таким образом, Es = - grads ip. Так как это равенство проекций векторов Ей— grad </? должно иметь место при любом выборе направления s, той векторы эти должны быть равны друг другу: E = -grad</>. A0.2) Таким образом, напряженность электростатического по- поля Е равна градиенту электростатического потенциала <р, взя- взятому с обратным знаком. Так как градиент потенциала направлен в сторону его возра- возрастания и является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера бы- быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Направление напряженности поля совпадает с на- направлением ортогональных траекторий эквипотенциальных по- поверхностей (см. приложение, § 2). Поэтому эти ортогональные траектории (линии градиента) совпадают с линиями электриче- электрических сил, или силовыми линиями. 2. Электрической силовой линией называется линия, каса- касательные к которой в каждой ее точке совпадают по направле- направлению с вектором напряженности электрического поля Е в той же точке (т. е. с направлением электрической силы, действующей на единичный положительный заряд). Очевидно, что через каж- каждую точку поля, в которой Е ф 0, можно провести одну и только одну силовую линию. В каждой такой точке Р вектор Е имеет вполне определенное направление. Отложив из Р произвольно малый отрезок в направлении Е, мы придем в точку Р', в кото- которой вектор Е может иметь иное направление, чем в Р. Отложив из Р' произвольно малый отрезок в соответствующем направ- направлении, мы придем в новую точку Р", в которой можем опять повторить ту же операцию, и т. д. Полученная таким образом ломаная линия в пределе, при беспредельном уменьшении сос- составляющих ее отрезков, совпадает с искомой силовой линией. Чтобы получить аналитическое уравнение силовых линий, достаточно учесть, что элемент длины ds силовой линии парал- параллелен напряженности поля Е, т. е. что слагающие его по осям координат dx, dy, dz пропорциональны слагающим Ех, Еу, Ez вектора Е: f = f - f • (Ю.З) JZ/X ^Zjy &z
54 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Уравнения A0.3) эквивалентны системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, например — = — и -^ = —-, dz Ez dz Ez интегралы которых имеют вид: fi(x, у, z) — С\ и /г(^, у, z) — = С2, где С\ и Сг — постоянные интегрирования. Совокупность этих последних уравнений и представляет собою уравнение сило- силовой линии. Произвол в выборе постоянных С\ и Сг соответству- соответствует возможности произвольно выбрать координаты xq, у о, zq той точки поля, через которую мы желаем провести данную силовую линию. Физики XIX в. долгое время стремились объяснить электро- электромагнитные явления деформациями и вихревыми движениями особой всепроникающей гипотетической среды — эфира; они по- полагали, что силовые линии совпадают с осями деформации (или осями кручения), испытываемой эфиром в электрическом поле. Однако к началу XX в. выяснилась полная несостоятельность механистической теории эфира1), и в настоящее время, поль- пользуясь понятием «силовых линий», нужно помнить, что понятие это имеет условно-вспомогательное значение и что силовые ли- линии служат лишь для графического изображения направления электрического вектора. 3. Впрочем, подобно тому как при надлежащем способе чер- черчения эквипотенциальных поверхностей густота их расположе- расположения может служить мерой градиента потенциала, т. е. мерой на- напряженности поля, подобно этому и силовыми линиями можно воспользоваться для той же цели. Нанести на чертеж все силовые линии, проходящие через каждую точку поля и заполняющие собой все занимаемое по- полем пространство, конечно, невозможно. Обыкновенно силовые линии чертятся с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально ') Пространство (в том числе и вакуум) обладает не только протяженно- протяженностью, но и рядом других физических свойств, характеризуемых электро- электромагнитным полем и полем тяготения, и может находиться в различных фи- физических состояниях; эти состояния пространства обусловливаются находя- находящимися в нем телами и в свою очередь воздействуют на эти тела Против употребления термина «эфир» в смысле носителя этих физических свойств «пустого» пространства не может быть возражений по существу: можно лишь сомневаться в целесообразности такой терминологии, соответствую- соответствующей разбиению единого понятия физического пространства на понятие эфи- эфира и на понятие геометрического пространства, т. е. чистой протяженности, лишенной всех других физических свойств. Однако весьма часто в термин «эфир» вкладывается иной, механистический смысл. Представление об эфи- эфире как о непрерывной жидкости или о совокупности мельчайших атомов, несомненно, ложно, так же как и вообще всякое представление о простран- пространственных перемещениях элементов эфира.
§ 10 ГРАДИЕНТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ЛИНИИ СИЛ 55 напряженности поля на этой площадке. В таком случае густота расположения силовых линий может служить мерой напряжен- напряженности поля. При этом число линий, пересекающих произвольный элемент поверхности dS, будет, очевидно, пропорционально про- произведению напряженности Е и проекции элемента dS на плос- плоскость, перпендикулярную к Е. Это произведение Е dS cos (En) равно потоку вектора Е через элемент dS. Поэтому вместо тер- термина «поток вектора через данную поверхность» употребляют иногда выражение «число силовых линий, пересекающих дан- данную поверхность». Это число линий считается положительным или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли сило- силовые линии данную поверхность в направлении положительной (внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней. Отметим, что при указанном способе черчения силовых ли- линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую поверхность S, должно быть пропорциональным алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри S, ибо, согласно теореме Гаусса C.6), сумма этих зарядов пропорциональна потоку век- вектора Е через S. При этом, конечно, определяя число линий, пе- пересекающих S, мы каждую из них должны брать с надлежащим знаком (+ или —). В частности, число силовых линий, пересекающих любую, не содержащую зарядов, замкнутую поверхность, равно нулю. Ины- Иными словами, число (положительное) линий, выходящих из огра- ограниченного поверхностью объема, равно (отрицательному) числу линий, входящих в него. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участках поля силовые линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться J). С другой стороны, линии эти не могут так- 1) Исключением из этого правила могут быть только точки (или линии) неопределенности, в которых напряженность поля Е обращается в нуль и направление силовых линий становится неопределенным. Такой точкой неопределенности является, например, середина расстояния между двумя равными зарядами одинакового знака. Пусть, например, в точках А и В расположены два равных положитель- положительных заряда и точка О лежит на середине отрезка АВ. Отрезок прямой АО является силовой линией, вдоль которой напряженность поля Е уменьшает- уменьшается по мере удаления от Л и обращается в точке О в нуль То же относится и к силовой линии ВО. обе противоположно направленные силовые линии АО и ВО заканчиваются в точке О. Вместе с тем из этой точки исходит пучок прямых силовых линий, расположенных в плоскости симметрии, перпенди- перпендикулярной к отрезку АВ. Поток через замкнутую поверхность, охватываю- охватывающую точку О, конечно, равен нулю. На этом примере ясно видна также условность понятия силовых трубок, т. е. нитей конечного сечения, поверхность которых образована силовыми линиями. Действительно, силовая трубка сколь угодно малого сечения, охва- охватывающая линию АО, неограниченно расширяется по мере удаления от за- заряда А. При приближении к плоскости симметрии, проходящей через О, сечение этой трубки стремится к бесконечности и совпадает в пределе с плоскостью симметрии.
56 электрическое поле неподвижных зарядов гл i же быть замкнутыми. В противном случае, линейный интеграл § Es ds по каждой из замкнутых линий сил L был бы отличен L от нуля (ибо элементы ds линий сил параллельны Е и, стало быть, подынтегральное выражение существенно положительно), что противоречит уравнению G.3). Стало быть, в электроста- электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним своим концом *) уходят в бесконечность. Таким образом, для получения правильной картины поля до- достаточно, очевидно, от каждого элемента заряда провести число линий, пропорциональное величине этого заряда. Для незамкнутых линий, впрочем, существует, помимо перечисленных, еще третья возможность: они могут при безграничном продолжении, не пе- пересекаясь и не замыкаясь, всюду плотно заполнять некоторый ограничен- ограниченный участок пространства. С такого рода магнитными силовыми линиями мы познакомимся в гл. IV. Однако для силовых линий электростатическо- электростатического поля эта возможность исключена, ибо линия, заполняющая некоторый участок пространства, должна при достаточном продолжении как угодно близко подходить к ранее пройденным ею точкам. Если Р и Р' суть две такие бесконечно близкие точки на подобной силовой линии L, то интеграл р' J Еа ds по этой линии будет существенно положителен и будет обладать р конечной величиной. Вместе с тем, если только вектор Е конечен, этот ин- интеграл должен отличаться лишь на бесконечно малую величину от интегра- интеграла у Е3 ds по замкнутому контуру, образованному отрезком РР' силовой линии и бесконечно малым отрезком прямой, соединяющей Р' с Р. Но по- последний интеграл, согласно G.3), равен нулю, т. е. отличается на конечную р' величину от J Es ds. Этим противоречием и доказывается невозможность р существования силовых линий указанного типа. Задача 9. Показать, исходя из (8.10), что напряженность поля диполя момента р, линии сил которого изображены на 1) Оба конца силовой линии не могут лежать в бесконечности, если только все заряды расположены в конечной области пространства Для доказатель- доказательства достаточно применить уравнение G.3) к замкнутому пути, получаемому при замыкании рассматриваемой линии в бесконечности дугой круга беско- бесконечного радиуса, и принять во внимание, что интеграл j Ев ds по этой дуге стремится к нулю при возрастании радиуса дуги R (ибо при достаточно большом R имеем Е ~ —, a J ds ~ R).
§ 11 УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 57 рис. 15, равна = 3(PR)R _ р_ ( 4) Я5 R3 K J и что в сферической системе координат R, ¦в, си с центром в ди- диполе и полярной осью, параллель- параллельной р, слагающие вектора Е равны _ 2pcos# R3 ' A0.5) Таким образом, угол /5 между силовой линией и радиусом-векто- радиусом-вектором R определяется соотношением На одинаковых расстояниях R от диполя поле вдоль его оси (¦в = Рис. 15 = 0 или ¦д — тг) вдвое сильнее, чем в экваториальной плоскости § 11. Уравнения Пуассона и Лапласа Уравнение (Ю.2) устанавливает связь между потенциалом электростатического поля и напряженностью этого поля. Из это- этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом и плотностью заряда. Для этого нужно образовать дивергенцию обеих частей этого уравнения и воспользоваться затем формулой F.5): div grad <p — — div E = —4тг/з. (И-1) Согласно правилам векторного анализа [см. уравнение D0*)] div grad <р = V <р = —- -1 -1 -, A1-2) ox* ay oz"' так что уравнение A1.1) может быть записано так 1): ^ ~ дх2 ду2 dz2 ~~ \ ¦ ) Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. В тех участках поля, где нет электрических зарядов 1) Величину V2tp иногда обозначают через Дуз и называют лапласианом скаляра <р [ср. уравнение Лапласа A1.4)).
58 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I (р = 0), уравнение это обращается в следующее: Этот частный вид уравнения Пуассона носит название урав- уравнения Лапласа 1). Уравнение Пуассона дает возможность определить потенци- потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих за- зарядов. Решение (интеграл) этого дифференциального уравнения (при определенных граничных условиях) должно, очевидно, сов- совпадать с выведенной нами ранее формулой (8.8): pdV = [ pd J R В дальнейшем мы докажем это непосредственным вычисле- вычислением. Пока же отметим, что для решения некоторых задач удоб- удобнее исходить не из интеграла (8.8), а непосредственно из диффе- дифференциального уравнения A1.3). Пример. Определить плотность термоионного тока между двумя бесконечными плоскими электродами в вакууме. Пример этот на примене- применение уравнения Пуассона взят не из электростатики, а из учения о токе и имеет большое значение для теории катодных (усилительных) ламп. Известно, что накаленные металлы испускают со своей поверхности в окружающее пространство поток свободных электронов. Если к двум ме- металлическим электродам приложить определенную разность потенциалов и раскалить отрицательный электрод (катод), то непрерывно испускаемые накаленным катодом электроны будут притягиваться к поверхности поло- положительного электрода (анода). Поток электронов, движущихся от катода к аноду, эквивалентен электрическому току. Ток этот называется термоион- термоионным. Выберем оси декартовых координат так, чтобы начало их находилось на катоде, а ось х была перпендикулярна плоскости электродов и направлена к аноду. Примем потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным tpa • Из соображений симметрии явствует, что эквипотенциальные поверхно- сти параллельны электродам, поэтому —?¦ = —^ = 0, и уравнение Пуассона ду dz в пространстве между электродами принимает вид |т = ~4пр- AL5) дх2 Если обозначить через п(х) число электронов, приходящихся на единицу объема в пространстве между электродами на расстоянии х от катода, а через е абсолютную величину заряда электрона, то плотность заряда на 1) Уравнения A1.3) и A1.4) были изучены Лапласом и Пуассоном глав- главным образом в связи с исследованием поля тяготения весомых масс. Как легко убедиться, уравнениями этого типа определяется потенциал любого силового поля, возбуждаемого расположенными в нем центрами сил (весо- (весомые массы, электрические заряды, магнитные полюсы) по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния.
§ 11 УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 59 этом расстоянии будет: р = —п(х)е. Предположим для простоты, что испускаемые катодом электроны при выходе из его поверхности не обладают никакой начальной скоростью *). На пути от катода к аноду силы электрического поля будут совершать над электронами заряда —е работу — (—е)<ра = е<ра, которая будет, очевидно, переходить в кинетическую энергию движения электронов. Обозначая через v(x) скорость электрона на расстоянии х от катода, а через <р(х) потенциал на том же расстоянии, получим ^ = еф), A1.6) где т — масса электрона. Наконец, плотность j электрического тока, т. е. заряд, протекающий за единицу времени через перпендикулярную току (т. е. перпендикулярную оси х) площадку в 1 см2, равна, очевидно: j = en(x)v(x), A1.7) ибо nv есть число электронов, проходящих за единицу времени через эту площадку. В отличие от р, п и v плотность тока j есть величина постоянная, не зависящая от х, ибо по достижении стационарного состояния через любую параллельную электродам плоскость проходит, очевидно, одинаковое число электронов. Исключим из уравнения A1.5) все неизвестные функции ж, кроме у>. Прежде всего д2<р . . 4тг/ _t = 4,гр = 4ттее = дхг Но из A1.6) следует, что стало быть, дх2 V 2е Вводя обозначение А = 9тг. —, получим —— = - V *е дх2 9 Как легко убедиться подстановкой, тб из решений этого дифференци- дифференциального уравнения, которое, согласно условию задачи, обращается на катоде в нуль и, кроме того, удовлетворяет условию 2) g = 0 при * = 0, х) В действительности они обладают начальными скоростями, среднее зна- значение которых, однако, мало по сравнению со скоростью, приобретаемой электронами на пути к аноду под действием поля электродов (при обычных условиях опыта). 2) При малых разностях потенциалов между электродами ток далек от на- насыщения, и число электронов, приходящих на анод в единицу времени, мало по сравнению с числом электронов, выделяющихся из катода. Избыточные электроны образуют при этом на внешней поверхности катода (х = 0) слой, или «облако», электронов, из которого отдельные электроны диффундируют частью обратно в катод, частью в пространство между электродами, откуда они увлекаются полем к аноду. Сам же этот слой в целом неподвижен, что может иметь место лишь при Е — dip/dx — 0.
60 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ 1 равно V = (Ajf'W3. (И 8) Если обозначить расстояние от анода до катода через I, то при х = I потен- потенциал ip должен обращаться в кра. Стало быть, откуда J A p 9тгУт P • ( } Таким образом, плотность термоионного тока не подчиняется закону Ома, а растет пропорционально степени 3/2 приложенного к электродам напряжения <ра и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Это отличие законов термоионного тока от законов тока в металлах обусловливается двоякого рода причинами. Во-первых, электроны в метал- металлах соударяются с положительными ионами, образующими твердый скелет металла, и испытывают благодаря этому сопротивление своему движению, отсутствующее при движении в вакууме х). Во-вторых, при термоионном токе в пространстве между электродами находятся лишь свободные элек- электроны, заряд которых не компенсируется зарядом положительных ионов, как это имеет место в металлах, вследствие чего поле этого так называемого «пространственного заряда» искажает поле электродов. Отметим, что формула A1.9) перестает быть справедливой при больших плотностях тока 2). При повышении потенциала анода наступает момент, когда все выделяемые катодом электроны немедленно же увлекаются к ано- аноду. Дальнейшее повышение потенциала анода не может, очевидно, повести к увеличению плотности тока, которая, таким образом, достигает постоянного значения (ток насыщения). Задача 10. Пусть R означает расстояние данной точки пространства от некоторой произвольно выбранной начальной точки Р. Показать, что скаляр * = 5 удовлетворяет уравнению Лапласа V2i = 0. A1.10) Точка R = 0 не рассматривается. Задача 11. Бесконечная плоская пластина толщиной 2а равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью р. Ось х перпендикулярна пластине, начало координат расположе- расположено в срединной плоскости, равноотстоящей от обеих поверхно- поверхностей пластины. Показать, что потенциал поля внутри и вне пла- пластины равен соответственно: <pi = —2тгрх2, (ре = —2т:раBх — а), 1) Соударение электронов друг с другом не изменяет их полного количе- количества движения. 2) Граничное условие dip/dx = 0 при х = 0, которым определяется решение A1.8), перестает соответствовать физическим условиям опыта.
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 61 а вектор Е направлен вдоль оси х от срединной плоскости х = О (если р > 0) и численно равен: Е = 47гр|х|, \х\ ^ а, Е = А-кра, \х\ ^ а. Сравнить этот случай с предельным случаем бесконечной за- заряженной плоскости (§4). Задача 12. Найти потенциал поля шара, равномерно за- заряженного по своему объему [формула (8.12)], исходя из уравне- уравнения Пуассона в сферических координатах. § 12. Потенциал объемных и поверхностных зарядов 1. В этом параграфе мы приведем доказательство выражений (8.7) и (8.8) для потенциала поверхностных и объемных зарядов, свободное от тех недостатков, которыми обладает приведенный ранее вывод этих выражений из формулы для потенциала то- точечного заряда (см. с. 44, 46)х). При этом мы будем исходить из уравнения Пуассона A1.3) для потенциала электростатического поля и воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Грина [см. E3*)], которая гласит: /W>vV - ?>vV) av - ф (ф^ - v*?) dS A2Л) J J \ дп дп/ v s Здесь S означает поверхность, ограничивающую объем V, a ip и ф — две произвольные, но непрерывные внутри объема V скаляр- скалярные функции точки, обладающие внутри этого объема конечны- конечными производными как первого, так и второго порядка. Поставим себе задачей определить значение электрического потенциала </? в некоторой точке поля Р. Обозначим расстояние произвольной точки поля от точки Р через R. Положим в теоре- теореме Грина A2.1) ^ R и примем во внимание уравнение A1.10): 1) В современных книгах по электродинамике для описания точечных за- зарядов часто используется й-функция. Эта несобственная функция позволя- позволяет довольно удобно получать решения уравнений Пуассона и Д'Аламбера. Применения й-функции в электродинамике и — в частности — для решения упомянутых уравнений с ее помощью можно найти, например, в книге: Паповский В., Филипс М. Классическая электродинамика. — М.: Физматлит, 1968. — § 1.1; 1.5; 13.2 (Примеч. ред.)
62 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I и уравнение Пуассона A1.3): = — Атгр. Внося эти значения в формулу Грина A2.1), получим после деления на — 47г: R R R A2-2) 2. Предположим сначала, что во всем рассматриваемом нами объеме V, включающем в себя точку Р и ограниченном поверх- поверхностью S, потенциал tp и его производные являются непрерыв- ными функциями точки. Скаляр же ^ R и его производные непрерывны и ко- конечны во всем пространстве, кроме точки Р. Так как теорема Грина при- применима только к таким участкам про- пространства, в которых оба скаляра, <р и ф, и их производные непрерывны, то точку Р необходимо исключить из области интегрирования V. Опишем с этой целью вокруг Р сфе- сферу So (рис. 16) произвольно малого радиуса Rq и применим фор- формулу A2.2) к объему V, заключенному между внешней поверх- поверхностью S и поверхностью сферы So: ?¦& = !. ф {„А (I) _ I & R 4тг / Vdn \RJ Rdn S+So где индекс S+Sq у знака поверхностного интеграла означает, что интеграл должен быть распространен по поверхностям S n So- Рассмотрим подробнее интеграл по поверхности So- Внешняя по отношению к объему интегрирования V нор- нормаль к поверхности сферы So направлена к ее центру и прямо противоположна радиусу-вектору R. Поэтому на поверхности So д_ !_ д_ Г1\ _ J_ _ J_ дп R dR \r) R? Rl и dip д<р 9^ ~~ ~d~R' Внесем эти значения в поверхностный интеграл уравнения A2.3) и применим затем так называемую «теорему о среднем»
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 63 интегрального исчисления: 4тг/ Г дп \RJ Rdni 4жТ\Щ Ro So (Ш>\ _ dip где I —- I и </? суть некоторые средние значения величин —- и кр на поверхности сферы Sq. Так как § dS равен общей поверхности сферы 47T.Rq, to правая часть уравнения равна Будем теперь стремить к нулю радиус Ro, стягивая сферу So в точку Р. При этом последний член приведенного выраже- выражения обратится в нуль, а среднее значение потенциала tp на по- поверхности бесконечно малой сферы может быть принято равным значению потенциала </?„ в ее центре Р. Таким образом, lim - ф {ч>^- (-) - - Щ dS = </v A2.4) So Следовательно, в пределе при Ro -± Q уравнение A2.3) при- принимает вид R ^р 4тг/ Vdn \r) R V S ИЛИ dF + ^j^ ())dS, A2.5) R 4nf\Rdn ^dn \rJ ) ' V ; V S где объемный интеграл может быть распространен на весь огра- ограниченный поверхностью S объем V, ибо при Ro —> О V стремит- стремится к V, а подынтегральное выражение остается конечным при R = 0 (с. 45). Итак, потенциал </э в точке Р, лежащей внутри объема V, в котором <р и его первые и вторые производные конечны и непре- непрерывны, определяется потенциалом объемных зарядов, располо- расположенных в V [ср. уравнение (8.8)], и значениями </> и dip/dn на ограничивающей объем V поверхности S. 3. Предположим теперь, что хотя потенциал <р и остается конечным и непрерывным в объеме V, сплошность (непрерыв- (непрерывность) градиента </> может нарушаться на отдельных «поверх- «поверхностях разрыва», т. е. значения grad</> по различным сторонам
64 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. Г поверхности разрыва могут отличаться на конечную величину (изменение grad<p скачком). Мы увидим, что физический смысл этого предположения сводится к допущению наличия в объеме V заряженных поверхностей. Предположим сначала, что внутри V существует лишь одна и притом незамкнутая поверхность разрыва S\. Выберем произ- произвольным образом направление положительной нормали к ней и обозначим ее не через п, как обычно, а через N (рис. 17). Прове- Проведем затем замкнутую поверхность S[, охватывающую Si; тогда формулу A2.5) можно будет, очевидно, применить к объему V', заключенному между поверхностями S и S[. При этом входящий в A2.5) поверхностный интеграл распадется на два интеграла: по поверхности 5 и по поверхности S[. Рис. 17 Рис. 18 Будем теперь стягивать поверхность S[ так, чтобы она все плотнее прилегала к 5i. В пределе S[ совпадет с Si, и инте- интегрирование по S[ сведется к двукратному интегрированию по поверхности разрыва Si: один раз по внутренней (относительно нормали N), а другой раз по внешней стороне этой поверхности: 4тг/ I R дп дп \R S' 4-к R R Si 4тг J l Я дп ^дп \R/h Si где индексами 1 и 2 отмечены значения подынтегральных выра- выражений соответственно с внутренней (относительно нормали N) и внешней сторон поверхности разрыва Si. В этом уравнении под п нужно понимать, очевидно, нормаль, внешнюю по отношению к объему интегрирования V, т. е. направленную из V к Si. Ины- Иными словами, с внутренней стороны от Si под п нужно понимать направление щ, ас внешней — направление пг (рис. 18). Так
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 65 как N параллельно ni и антипараллельно П2, то |А A\\ = А AЛ /А (Г Ian \я//1 aw \я/' Ian \яЛг on \r/ и <дп/2 где ( ——) и ( — J суть значения производной кр по нормали N с внутренней и внешней сторон поверхности Si. Обозначая соответствующие значения потенциала ip через ip\ и </>2 и вно- внося полученные выражения в предшествующее уравнение, мы по приведении членов получим lim — ф \ — (р— ( — \dnJl \dNJx' lim ^ S' Si Si A2.6) Так как, согласно нашему предположению, потенциал </э всю- всюду непрерывен, то значения его <pi и </?2 по обеим сторонам по- поверхности одинаковы, и первый член правой части уравнения A2.6) обращается в нуль1). Стало быть, если ввести обозначе- обозначение (Ё!?) (Ё!?) A2.7) ) dNJi то правая часть уравнения A2.6) примет вид R Si Вместе с тем при совпадении S[ с Si объем V' совпадает, очевидно, с объемом V, ограниченным поверхностью S, так что уравнение A2.5) принимает вид Я У Я 4тг / IЯ дп дп \Я V Si S Таково, стало быть, выражение потенциала, если внутри ог- ограниченного поверхностью S объема V имеется незамкнутая поверхность Si разрыва сплошности градиента ip. Если таких поверхностей несколько, то к каждой из них можно применить 1) Случай ifii ф <р2 будет рассмотрен в § 14. 3 И. Е. Тамм
66 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I приведенные рассуждения, так что в этом случае под вторым членом правой части формулы A2.8) нужно понимать сумму интегралов по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри V. Формула эта применима, наконец, и к случаю замкнутых по- поверхностей разрыва, ибо всякую замкнутую поверхность молено разложить на две незамкнутые. 4. Первый член выражения A2.8) представляет собой потен- потенциал объемных зарядов, расположенных в объеме F, второй же его член должен быть, очевидно, истолкован как потенциал по- поверхностных зарядов, распределенных с плотностью а по поверх- поверхности разрыва S\ [ср. уравнение (8.7)]. Это толкование вполне совпадает с ранее полученными результатами. Действительно, если по-прежнему обозначить произвольно выбранную положи- положительную нормаль к S\ не через N, а через п, то A2.7) примет вид Но, согласно A0.1), *?\ _ №\ = -47га. A2.9) дпJ \dnJl У ' где Еп — нормальная слагающая напряженности поля. Стало быть, уравнение A2.9) может быть записано следующим обра- образом: Е2п — ЕХп = 47ГСГ. Сравнивая его с уравнением D.3), мы убеждаемся, что ве- величина о, определяемая уравнением A2.9), действительно рав- равна плотности электрического заряда на поверхности S\. Таким образом, мы вновь приходим к выводу, что поверхности разры- разрыва нормальной слагающей градиента потенциала (т. е. поверхно- поверхности разрыва Еп) физически равнозначны заряженным поверх- поверхностям, причем скачок этой слагающей dip/дп пропорционален плотности заряда поверхности. 5. Обратимся, наконец, к последнему члену выражения A2.8), представляющему собой интеграл по пограничной поверхности S объема V и выражающему зависимость потенциала </> в объеме V от этого потенциала и его первых производных на граничной по- поверхности этого объема. Член этот вовсе выпадет из выражения потенциала, если мы под объемом интегрирования V будем понимать все бесконечное пространство (т. е. удалим ограничивающую V поверхность S в бесконечность) и при этом наложим на ip и его производные следующие граничные условия: в бесконечности tp стремится к нулю не медленнее, чем 1/R, а его первые производные по коор- координатам не медленнее, чем I//?2, т. е. Rtp и R2gradip при R -> оо остаются конечными. A2.10)
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 67 Первым из этих условий мы уже пользовались в § 8, при- приравнивая нулю значение потенциала в бесконечности [уравне- [уравнение (8.3)]; второе же условие непосредственно связано с первым. Физически оно означает, что в бесконечности напряженность Е электрического поля равна нулю, т. е. что все заряды находятся в конечной области пространства. Во всем дальнейшем мы будем называть потенциалом электростатического поля то и только то решение уравнения Пуассона, которое удовлетворяет условиям A2.10)х). 6. Покажем теперь, что при наложении условий A2.10) и уда- удалении граничной поверхности S в бесконечность последний член выражения A2.8) действительно обращается в нуль. Выберем в качестве поверхности S сферу радиуса R с центром в точке Р. Внешняя нормаль к этой сфере совпадает с радиусом-вектором R, так что А (Г\ = А AЛ = -± дп \RJ dR \RJ R2' Из условия A2.10) следует, стало быть, что подынтегральное выражение интересующего нас интеграла при R —> оо стремится к нулю не медленнее, чем 1/Л3, тогда как поверхность интегри- интегрирования растет пропорционально лишь Л2. Стало быть, интеграл этот при R —>• оо стремится к нулю и A2.8) принимает вид (если опустить у if индекс Р): где R — расстояние элемента объемного заряда pdV или заря- заряда поверхностного a dS от точки поля, обладающей потенциа- потенциалом </>, и где интегрирование должно быть распространено по всему пространству, занятому зарядами [ср. A2.11) с прежними формулами (8.7) и (8.8)]. Из изложенного явствует, что поверхностный интеграл в фор- формуле A2.8) учитывает поле зарядов, лежащих вне объема инте- интегрирования V (а также возможность добавить к </э произвольную аддитивную постоянную). 7. Напомним, что во всем предыдущем изложении нами пред- предполагалось, что как сам потенциал, так и его первые производные (градиент) всюду конечны. Бесконечность градиента ip (т. е. ска- скачок потенциала) означала бы бесконечную напряженность элек- электрического поля, что физически бессмысленно. Конечность же градиента </> означает непрерывность tp, что и предполагалось нами во всем предшествующем. Впрочем, в § 14 вернемся к во- 1Kа исключением, конечно, тех случаев, когда условно вводятся в рас- рассмотрение заряды, простирающиеся в бесконечность, как, например, беско- бесконечные заряженные плоскость, цилиндр и т.п. 3*
68 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ Г Л I просу о поверхностях разрыва потенциала с несколько иной точ- точки зрения. 8. Если размеры заряда е, занимающего объем Vi, настолько малы по сравнению с расстоянием его R до рассматриваемой точки поля Р, что расстояние всех элементов заряда от Р можно считать одинаковым, то потенциал этого заряда в Р будет равен R RJ Н Л' Vi Vi что совпадает с выражением (8.5) потенциала точечного заряда. § 13. Типичные задачи электростатики 1. Введение понятия потенциала значительно облегчает ре- решение задач электростатики, ибо задача определения векторного поля электрической напряженности Е сводится к определению поля скаляра </>; иными словами, определение трех функций точ- точки (слагающих вектора Е) сводится к определению одной только функции (р. Зная плотность объемных и поверхностных зарядов, можно определить потенциал поля [формула A2.11)]; обратно, зная гра- градиент потенциала tp, по дивергенции этого градиента V2</? и по величине скачков его нормальной слагающей на поверхностях разрыва можно однозначно определить распределение зарядов [формулы A1.3) и A2.9)]. Однако практически, конечно, невозможно измерить плот- плотность зарядов или градиент потенциала во всех точках поля. Поэтому экспериментатору приходится фактически иметь дело с задачами иного типа, а именно: дано расположение и форма всех находящихся в поле проводников; определить поле этих провод- проводников и распределение зарядов по их поверхности, если извест- известны либо потенциал каждого проводника (задача А), либо общий заряд каждого проводника (задача В). Объемные заряды пред- предполагаем отсутствующими, ибо заряды проводников сосредото- сосредоточены на их поверхности (§ 5), а диэлектрики в этой главе не рассматриваются. 2. Покажем прежде всего, что и этими на первый взгляд весь- весьма обще формулированными условиями электростатическое по- поле, а стало быть, и распределение зарядов определяются одно- однозначно. Предположим противное, и пусть tp и <р' суть две различные функции точки, удовлетворяющие условиям задачи А или В. Ввиду отсутствия объемных зарядов как (р, так и <р' должны удовлетворять во всем пространстве уравнению Лапласа A1.4);
§ 13 ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 69 стало быть, и разность их </>" = (р - удовлетворяет тому же уравнению v У = о. Полагая в формуле Грина E2*) ф — ip = ip", мы, таким обра- образом, получим f"°?dS, A3.1) v s где интегрирование предполагается распространенным по всему лежащему вне проводников пространству V, так что под S нужно понимать совокупность поверхностей всех проводников. Так как при решении задачи А </з и ip1 должны принимать на S наперед заданные значения, то </з" на всех поверхностях S равно нулю. Стало быть, *dV = O. A3.2) v Ввиду положительности подынтегрального выражения из этого равенства следует, что Vy?" = gr&d<p" во всем простран- пространстве равно нулю, т. е. что (р" = const. Так как, кроме того, на поверхностях проводников <р" обращается в нуль, то оно равно нулю и повсюду. Стало быть, чем и доказывается однозначность решения задачи А. Обращаясь к задаче В, заметим, что на поверхности каждого проводника потенциалы </> и ip', а стало быть, и tp" должны иметь постоянное значение. Значит, для поверхности каждого провод- проводника можно написать dS. дп Но на поверхности проводников, согласно E.1), где а и а1 — плотности зарядов проводников, соответствующие 'С б д рд решениям ip vl ip'. Стало быть, дп дп дп и = 3? - *Е. = 4тг(а' - а) дп дп ' (f> ip"^- dS = 4тг</ (Sv'dS- (fxrds) = 4ir<p"(e' - e),
70 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I где е и е' суть значения общего заряда проводника, соответ- соответствующие решениям ip и (р'; согласно условию В, е и е' должны равняться одному и тому же наперед заданному значению. Так как приведенное рассуждение применимо к поверхности каждо- каждого проводника, то вся правая часть равенства A3.1) обращается в нуль, откуда, как и в случае задачи А, следует, что ip" = <р — tp' ~ const. Таким образом, различные решения задачи В могут отли- отличаться лишь несущественной аддитивной постоянной в выра- выражении потенциала, которая, впрочем, обратится в нуль, если наложить в бесконечности условия A2.10). Нетрудно, наконец, убедиться, что если для части проводников заданы условия ти- типа А, а для остальных — условия типа В, то решение задачи оста- остается однозначным. 3. Итак, однозначность решения задач электростатики А и В нами доказана. Впрочем, нахождение самого решения представ- представляет, вообще говоря, значительные математические трудности. Однако если нам удастся каким-либо способом найти выраже- выражение для <р, удовлетворяющее поставленным условиям А или В, то теорема об однозначности позволяет заключить, что найден- найденное выражение есть единственное и потому истинное решение задачи. Умелое пользование этим обстоятельством весьма облег- облегчает рассмотрение ряда проблем электростатики, что мы можем здесь иллюстрировать, к сожалению, лишь на одном-единствен- ном примере, пользуясь при этом для упрощения понятием то- точечного заряда. Пример этот представляет собой частный случай применения общего «Ate- тода изображений» г). Пример. Точечный заряде находится на расстоянии d от бесконечного проводника, зани- занимающего левое полупростран- полупространство (рис. 19). Определить по- поле в правом полупространстве и плотность зарядов, индуци- индуцированных зарядом е на поверх- поверхности проводника. Этот пример РиС- 19 относится к типу рассмотрен- рассмотренных выше задач, ибо общий заряд е проводника, несущего «то- «точечный» заряд, задан: постоянный же потенциал бесконечного проводника может быть условно принят равным нулю. Стало быть, этими условиями решение задачи определено однозначно. 1) Этот метод будет использован также при решении последнего примера в §23.
§ 14 ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 71 Чтобы найти это решение, предположим, что на продолжении перпендикуляра, опущенного из е на поверхность проводника, находится на расстоянии d от этой поверхности заряд е' = —е, затем мысленно устраним сам проводник. Тогда плоскость, сов- совпадавшая ранее с поверхностью проводника, будет обладать тре- требуемым потенциалом нуль, ибо все точки этой плоскости будут равно отстоять от равных по величине и противоположных по знаку зарядов +е и —е. Стало быть, поле совокупности этих зарядов в правом полупространстве удовлетворяет условиям за- задачи, из чего на основании теоремы однозначности следует, что поле это в правом полупространстве тождественно искомому полю заряда е и зарядов, индуцированных им на поверхности бесконечного проводника. Таким образом, наша задача сведена к весьма простой зада- задаче определения поля двух точечных зарядов +е и — е. Конечно, внутри проводника поле равно нулю, так что в левом полупро- полупространстве поле зарядов Ч-е и -е (штриховые линии на рис. 19) не совпадает с полем заряда е и проводника. Задача 13. Довести до конца решение рассмотренного примера и показать, что плотность зарядов, индуцированных за- зарядом е на поверхности бесконечного проводника равна а = — где R — расстояние элемента поверхности проводника от заряда е, и что весь заряд, индуцированный на проводнике, равен —е. § 14. Двойной электрический слой Результаты этого параграфа понадобятся нам лишь в связи с рассмотрением двойных магнитных слоев, или листков, в гл. IV, так что чтение этого параграфа мож- можно отложить до соответствующего места. 1. Пусть две весьма близкие и па- параллельные друг другу поверхности Si и S[ (рис. 20) заряжены электри- электричеством противоположного знака, и притом так, что плотности зарядов ст и а' на противолежащих элемен- элементах обеих поверхностей равны по ве- величине и противоположны по знаку (ст = — а'); положим для определен- определенности, что а > 0. Если расстояние между Si и S[ исчезающе мало по сравнению с расстоянием этих поверхностей до рассматриваемых точек поля, то совокупность
72 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I поверхностей 5] и S[ называется двойным электрическим слоем. Потенциал этого слоя в некоторой точке поля Р, согласно A2.11), будет равен J R J R> J \R R'J ' Si S[ Si где R и R' суть соответственно расстояния точки Р от элемента dS положительно заряженной поверхности 5 и от противолежа- противолежащего ему элемента отрицательной поверхности S[. Но R R' есть приращение обратного значения радиуса-вектора R, прове- проведенного от рассматриваемого элемента двойного слоя в точку Р, при перемещении начальной точки вектора от отрицательной по- поверхности к положительной. Пусть п есть направление нормали к двойному слою, от отрицательной его стороны к положитель- положительной, и пусть I — толщина слоя (расстояние между Si и S[). По- Повторяя рассуждения, приведшие нас в § 8 к формуле (8.11), убе- убедимся, что при I -С R Подставив это в предшествующее уравнение и вводя обозна- обозначение г = ol, A4.1) получим p=-|mgrada(i) dS. A4.2) Si Таково окончательное выражение потенциала двойного слоя 1), в котором предполагается, что радиус-вектор R проведен от слоя в исследуемую точку поля Р. Величина г, равная произведению плотности заряда поверхности слоя на толщину слоя, называ- называется мощностью или моментом слоя; мы будем пользоваться первым термином, сохраняя второй для обозначения другого по- понятия (см. гл. IV). 2. На основании A0*) подынтегральное выражение в форму- формуле A4.2) можно представить в виде -ngrada (I) dS = g: dS = -^ cos (R, n) dS. С другой стороны, согласно C.2), -^ cos (R, n) dS = ±dfi, l) Очевидно, что двойной электрический слой можно рассматривать как совокупность параллельных нормали п диполей длины I, заряды которых располагаются по поверхности слоя с плотностью а [ср. уравнение (8 11)].
§ 14 ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 73 где сЮ, — телесный угол, под которым элемент двойного слоя dS виден из точки Р. Что же касается знака, то в рассматриваемом случае в отличие от § 3 R считается направленным от элемента dS к точке Р; стало быть, cos (R, n) будет положительным, ес- если из точки Р видна положительная сторона элемента двойного слоя dS, и отрицательным в обратном случае (ибо п направле- направлено по условию от отрицательной к положительной поверхности слоя). Условимся считать телесный угол d?l положительным, если из Р видна положительная сторона элемента dS, и от- отрицательным в обратном случае. Тогда уравнение A4.2) можно будет записать проще: Ч> = /rdU. A4.3) 3. Если мощность слоя т постоянна на всем его протяжении — такой слой называется однородным, то потенциал его <р прини- принимает вид ip = т f dU = rtl, A4.4) Si где под О нужно понимать алгебраическую сумму телесных уг- углов, под которыми видны элементы поверхности двойного слоя из точки Р. Если все эти элементы поверхности видны из Р с од- одной и той же, например положительной, стороны, то абсолютная величина О, равна, очевидно, тому телесному углу, под которым виден из Р весь двойной слой, или, что то же самое, под которым виден из Р контур этого слоя. Если же весь слой в целом это- этому условию не удовлетворяет, то его всегда молено разложить на несколько частей, этому условию удовлетворяющих. Ввиду этого содержание уравнения A4.4) можно выразить следующим образом: потенциал однородного двойного слоя в точке Р равен произведению мощности слоя т на взятый с надлеснсащим зна- знаком телесный угол О, под которым виден из Р контур этого слоя. 4. Особенно просто выражается потенциал замкнутого двой- двойного слоя (например слоя, расположенного по поверхности сфе- сферы). Как было показано в § 3, всякая замкнутая поверхность видна под углом ±4эт из всех точек, лежащих внутри этой по- поверхности, и под углом 0 из всех внешних точек (см., в частно- частности, рис. 3). Стало быть, потенциал замкнутого двойного слоя равен нулю во всем внешнем пространстве и равен ±4тгт во всех точках, охватываемых слоем; знак потенциала зависит от того, какая сторона слоя (положительная или отрицательная) обраще- обращена внутрь. Таким образом, напряженность поля замкнутого слоя равна нулю (ибо grad tp = 0); потенциал же поля испытывает при прохождении через поверхность слоя скачок Акт.
74 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Существенно, что точно такой же скачок Акт испытывает и потенциал любого незамкнутого слоя при прохождении через его поверхность. Чтобы убедиться в этом, дополним мыслен- мысленно рассматриваемый слой до полной замкнутости вторым сло- слоем равной мощности. При бесконечно малом перемещении точки наблюдения с одной стороны исходного слоя на другз'ю потенци- потенциал находящегося на конечном расстоянии дополнительного слоя остается практически постоянным, тогда как потенциал замкну- замкнутого слоя в целом (исходный слой плюс дополнительный) изме- изменяется на 47гт. Стало быть, скачок этот равен скачку потенциала исходного слоя. Итак, потенциал всякого (как замкнутого, так и незамкнуто- незамкнутого) двойного слоя испытывает на его поверхности скачок А-кт; очевидно, что скачок этот направлен от отрицательной стороны слоя к положительной, т. е. что потенциал слоя возрастает при прохождении через слой по направлению положительной нор- нормали п. Иными словами, двойной слой является поверхностью разрыва сплошности потенциала., так что если ip\ есть значение потенциала у отрицательной, a ip2 — У положительной стороны слоя, то </>2 — <Р\ = 47гт. A4-5) 5. Строго говоря, о скачке потенциала на поверхности разры- разрыва можно говорить лишь в отношении бесконечно тонких двой- двойных слоев; толщиной же реальных электрических слоев можно пренебречь лишь на достаточно больших расстояниях от них. Однако если толщина слоя мала по сравнению с требуемой точ- точностью измерения расстояния, то в ряде случаев удобно поль- пользоваться представлением о бесконечно тонком слое, несмотря на то, что, как указывалось на с. 67, напряженность поля на по- поверхностях разрыва потенциала обращается в бесконечность, т. е. теряет физический смысл. Пользуясь результатами следующего параграфа, можно, кроме того, показать (что мы предоставляем сделать читателю), что электрическая энергия двойного слоя ко- конечной мощности в пределе, при бесконечно малой его толщине, тоже стремится к бесконечности. Впрочем, мы в дальнейшем вовсе не будем пользоваться пред- представлением о двойном электрическом слое и, соответственно это- этому, будем всегда предполагать, что непрерывность электриче- электрического потенциала (р нигде не нарушается. Теория же двойного электрического слоя изложена нами здесь лишь для того, чтобы подготовить изучение двойных магнитных слоев в гл. IV. Заметим далее, что на каждой из заряженных поверхностей, составляющих в совокупности двойной слой, производная dtp/dn испытывает, согласно A2.9), скачок ±47гсг. Однако скачки эти равны по величине и противоположны по знаку, так что при пе-
§ 14 ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 75 реходе с одной стороны слоя на другую д<р/дп, а вместе с тем и Еп остаются непрерывными. 6. Заметим, что потенциал двойного слоя может быть непосредственно определен из формулы A2.6) Если Si есть поверхность разрыва потенциала, то первый член правой части этой формулы (l) dS / Si S, не обращается в нуль. Обозначив, согласно A4.5), скачок потенциала через 4тгт и приняв во внимание, что gradq(l)=-grada(i), мы непосредственно приходим к формуле A4.2). 7 Упомянем в заключение в качестве примера об одном случае, когда пользование понятием двойного электрического слоя может оказаться удоб- удобным. При прохождении тока через электролит при известных условиях (за- (зависящих от материала электрода, химической природы электролита и т. д.) наблюдаются явления так называемой поляризации электродов (не смеши- смешивать с поляризацией диэлектриков, о которой будет идти речь в следующей главе1): сила проходящего через электролит тока при неизменной разности потенциалов, приложенной извне к электродам, с течением времени умень- уменьшается и может упасть практически до нуля. Явление это можно истолковать следующим образом. Предположим, что ионы, являющиеся носителями тока в электролите, например анионы (отрицательные ионы), подойдя к притяги- притягивающему их положительному электроду, не отдают ему своего заряда, как это быва- бывает обычно, а лишь располагаются слоем у поверхности этого электрода Этому слою заряженных отрицательных ионов будет про- противостоять слой положительных зарядов на поверхности положительного электрода (рис. 21). Таким образом, у этой поверхности образуется двойной электрический слой, за- заряд и мощность которого будут расти до тех пор, пока скачок потенциала ipi — v?i = 4тгт в этом слое не станет равным приложенной извне разности потенциалов Тогда ток через раствор прекратится, ибо все изменение по- потенциала будет сосредоточено лишь в тонком двойном слое у положительного электрода, во всей же остальной толще раствора потенциал примет постоянное значение и напряженность поля Е станет равной нулю (электростатиче- (электростатическое равновесие) На нижней части рис. 21 на- нанесены значения потенциала на различных расстояниях от электродов до образования двойного слоя (ординаты сплошной линии) и после его образо- образования (штриховая линия). Таким образом, образование двойного слоя может обусловить поляри- поляризацию электродов. Впрочем, это явление может обусловливаться также и рядом причин иного рода. Рис. 21
76 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I § 15. Энергия взаимодействия электрических зарядов 1. При перемещении электрических зарядов силы кулонова взаимодействия между ними совершают определенную работу А. Очевидно, что мы должны приписать всякой системе зарядов определенную энергию взаимодействия, за счет убыли которой и совершается работа А: А = -dW. A5.1) Энергию взаимодействия зарядов W мы часто будем называть просто электрической энергией. 2. Исходя из A5.1), подсчитаем прежде всего энергию двух точечных зарядов е\ и в2, находящихся на расстоянии Д12 друг от друга. Всякое изменение взаимного расстояния зарядов сопро- сопровождается работой электрических сил. Предположим, например, что заряд в2 остается неподвижным, тогда как заряд е\ переме- перемещается в поле заряда е^ из точки Pi в точку Р[. Если <р\ — = t2JRyi — потенциал поля заряда е2 в точке Pi, a </>i + dip\ — в точке Р{, то работа А электрических сил при этом перемеще- перемещении равна А = —е\ dcpi, откуда А = —dW = —e\ dpi, и, следова- следовательно, W = elipi = ^i. A5.2) Ввиду того, что наблюдению доступны лишь изменения энер- энергии, а не ее абсолютная величина, мы для простоты опусти- опустили здесь аддитивную постоянную интегрирования, от взаимного расположения зарядов не зависящую (ср. сказанное о собствен- собственной энергии зарядов в конце следующего параграфа). В связи с этим единственно учитываемая нами переменная часть энер- энергии W может принимать и отрицательные значения х). К тому же выражению для W мы пришли бы, конечно, рас- рассматривая перемещение заряда е2 в поле неподвижного заряда е\ или, наконец, одновременное перемещение обоих зарядов. Обозначая через <рг потенциал заряда е\ в точке, занимаемой зарядом в2 (</?2 = G1/R12), можно вместо A5.2) написать W = ^1 = Н12 Удобнее же всего взаимную электрическую энергию зарядов е\ и ег записать в симметричной форме: W = \{enpx + e24>2)- A5-3) Чтобы определить энергию системы п точечных зарядов ег (г = 1, 2, ..., п), мы, очевидно, для каждой пары этих зарядов 1) Если заряды ei nej имеют противоположные знаки.
§ 15 ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ 77 должны написать выражения типа A5.2) или A5.3) и сложить все эти выражения. Собирая затем все члены суммы, в которые входит сомножителем ek, убедимся, что коэффициент при ek, который мы обозначим через </>fc/2, будет равен ~4>к = ~{ч>к,\ +4>к,г + ••¦ + <Рк,к-1 + Ч>к,к+\ + ¦•• + 4>k,n), I 2 где tyk,i — потенциал заряда ег в точке, занимаемой зарядом ek- Выражение в скобках представляет собой, очевидно, значе- значение потенциала поля всей системы зарядов в точке, занимаемой зарядом ejt, или, вернее, потенциал всей системы зарядов, кро- кроме самого заряда ek (потенциал tpkk заряда е^ в занимаемой им самим точке поля в выражение для tpk не входит, да и вообще фи- физического значения не имеет, ибо обращается в бесконечность). Итак, взаимная энергия системы п зарядов равна к=п \ A5.4) где tpk ~ потенциал поля в точке, занимаемой зарядом ek- Чтобы выяснить зависимость W от взаимного расстояния за- зарядов, воспользуемся формулой (8.6), которая в наших тепереш- теперешних обозначениях запишется следующим образом: = Ш-^ (* где суммирование должно быть распространено по всем индек- индексам г, кроме i = к. Внося это в A5.4), получим у*е, <%фк). A5.5) 2 ^ Rk, V ' V ' i,к Формулу эту можно, конечно, получить и непосредственно из выражения A5.2) взаимной энергии пары зарядов. Появление же коэффициента 1/2 перед знаком суммы объясняется тем, что в эту сумму энергия каждой пары зарядов входит дважды; так, например, в ней встретится как член eie^/Rn, так и равный ему член eie\jR2\. 3. Как и всегда, при пользовании представлением о точечных зарядах нужно помнить, что приведенные формулы могут при- применяться лишь в тех случаях, когда заряды системы отделены друг от друга расстояниями, достаточно большими по сравнению с размерами этих зарядов. Чтобы освободиться от этого ограни- ограничения, перейдем к рассмотрению объемных и поверхностных за- зарядов. Разлагая систему этих зарядов на совокупность элемен- элементарных зарядов pdV и adS, применяя к последним формулу
78 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I A5 4) и переходя от суммирования к интегрированию, получим W = ~ [pipdV + ±joydS, A5.6) где </э — потенциал поля всех объемных и поверхностных зарядов в элементе объема dV или на элементе поверхности dS. Хотя и может казаться, что уравнение A5.6) представляет собой только видоизменение уравнения A5.4), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о за- зарядах объемных и поверхностных, однако в действительности уравнения эти разнятся по своему содержанию. Именно, в сле- следующем параграфе мы покажем, что формула A5.6) выражает полную энергию системы электрических зарядов, тогда как фор- формула A5.4) не учитывает так называемой собственной энергии зарядов efc. Пример 1. Энергия точечного заряда и диполя во внеш- внешнем электрическом поле. Часто приходится рассматривать ра- работу электрических сил при перемещениях некоторого заряда е в заданном «внешнем» поле других зарядов, остающихся при этом неподвижными. Взаимная энергия этих «внешних» зарядов (а также и собственная энергия их и заряда е — см. § 16) остается при этом неизменной; переменная же часть энергии поля, за счет которой совершается работа электрических сил, носит название энергии заряда е во внешнем поле. Она равна, очевидно, W = eip, A5.7) где (р — потенциал внешнего поля в точке, занимаемой зарядом е. Формула A5.2) представляет собой частный случай формулы A5.7). Если во внешнем поле находятся два заряда, е > 0 и е' = — —е, образующие диполь бесконечно малой длины I (см. с. 47), то энергия этих зарядов во внешнем поле равна W = е(р + e'ip' = е((р — <//), где {р и tp' — потенциалы внешнего поля в полюсах диполя. Но с точностью до величин второго порядка малости ч, = (р' + !*?.1 = 1р> + lgrad</> = <// - IE. dl Стало быть, W = -elE = -pE, A5.8) где р — момент диполя [см. уравнение (8.9)], а Е — напряжен- напряженность внешнего поля в месте расположения диполя. Конечно, в этом выражении не учитывается взаимная энергия зарядов ди- диполя, которая изменяется лишь при изменении длины диполя I.
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 79 Пример 2. Непосредственный подсчет электрической энер- энергии заряженного конденсатора. До зарядки конденсатора каж- каждая из его обкладок электрически нейтральна, т. е. содержит в себе равное количество положительного и отрицательного элек- электричества. Будем заряжать конденсатор, отнимая электричество определенного знака от одной из его обкладок и перенося его на другую. Практически это осуществляется, как известно, сое- соединением пластин конденсатора проводом, в который включен источник ЭДС, например гальванический элемент; элемент этот перекачивает электричество из одной обкладки в другую, пока разность потенциалов обкладок не достигнет известного значе- значения. Пусть в некоторый момент этого процесса потенциалы об- обкладок достигли значений (р\ и <?>2, причем </?2 > '¦Pi- Перенос сле- следующей порции электричества de с первой обкладки на вторую сопровождается отрицательной работой сил электрического по- поля, равной dA = de((/>i — </>2) (см. § 8). Очевидно, что «внешние» по отношению к полю конденсатора ЭДС элемента преодолеваю- преодолевающие силы этого поля совершат при этом положительную работу 4 dA d( ) Воспользовавшись формулой (9.1), получаем а л __ е de О где С — емкость конденсатора. Общая же работа, затраченная на доведение заряда пластин от нуля, скажем, до е', будет, очевид- А - f ede е=е' е 'с гс' е=0 Работа эта совершается за счет уменьшения химической энер- энергии гальванического элемента и переходит в энергию электриче- электрического поля заряженного конденсатора. Обозначая эту последнюю энергию через W и принимая во внимание (9.1), получим ряд следующих выражений для W: W = Лвнш = ^ = \ СЫ - ViJ = \ e{4>2 - Vi), A5.9) где штрих у е нами опущен § 16. Энергия электрического поля 1. Выражение электрической энергии A5.6) может быть пред- представлено в другой математической форме, причем преобразова- преобразование это открывает возможности совершенно новой физической интерпретации соотношений.
80 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Чтобы подготовить это преобразование, положим в теореме Грина E2*) ф = </э Приняв во внимание, что V<?> = grad </э = —Е и V2cp = — 47гр, получим [(-(р ¦ 4тгр + Е2) dV = 6 ч№ dS, J I on V S+S[ где поверхностный интеграл должен быть распространен, во-пер- во-первых, по поверхности S, ограничивающей извне объем интегриро- интегрирования V, и во-вторых, по поверхностям S[, выделяющим из этого объема могущие лежать в нем заряженные поверхности Si, т. е. поверхности разрыва градиента </> (ср. § 12). Что же касается по- потенциала <р, то мы будем считать его всюду непрерывным, т. е. отказываемся от рассмотрения двойных электрических слоев. Как и при выводе формулы A2.6), стягиваем поверхности S[ вплоть до совпадения их с поверхностями разрыва Si; повторяя прежние рассуждения и пользуясь обозначениями § 12, получим (полагая щ = <^2 = ф) lim (?<f^dS= f\U^\ +(v^) }dS = S[ Si §?) -(*L))dSt 9N/2 KdN/i) Si или ввиду A2.7) lim <?(p??dS = 4ic fipadS. 5'-+Si У dn J ^ S[ Si Внося это выражение в предшествующее уравнение, разделив обе его части на 8-тг и переставив члены, получим — [E2dV = - [pipdV + - (aVdS + — 6tp^-dS. A6.1) birJ 1) ^ 1) * 8-кТ дп V ' V V Si S Первые два члена правой части этого равенства аналогичны вы- выражению A5 6) для энергии W, однако интегрирование распро- распространено в данном случае не по всем находящимся в поле заря- зарядам, а лишь по тем из них, которые находятся внутри объема V. Сумма этих членов не совпадает со взаимной энергией зарядов, находящихся внутри V, ибо потенциал зависит также и от рас- расположения зарядов вне V 2. Предположим, однако, что интегрирование распространено по полному полю, под этим выражением понимается, что область интегрирования V охватывает, во-первых, все взаимодействую- взаимодействующие заряды и, во-вторых, все поле этих зарядов
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 81 Это определение не нуждается в пояснениях, если существу- существует замкнутая поверхность S конечных размеров, охватывающая всю систему взаимодействующих зарядов, во всех точках кото- которой напряженность поля Е обращается в нуль; эта поверхность и может рассматриваться как граница полного поля Так, напри- например, граница полного поля зарядов, заключенных в металличе- металлической оболочке (см. рис. 14), проходит внутри этой оболочки. Однако большей частью такой замкнутой поверхности конеч- конечных размеров не существует, и граница полного поля отодвигает- отодвигается в бесконечность. В этих случаях понятие полного поля должно быть уточнено следующим образом. В каждом конкретном слу- случае использования этого понятия нас интересуют значения ин- интегралов вполне определенных физических величин (например, напряженности электрического или магнитного поля, произведе- произведения tp(dtp/dn) в формуле A6.1) и т. п ), причем объемные интег- интегралы берутся по объему V" полного поля, а поверхностные — по его границе S Термин «полное поле» применяется к бесконечно- бесконечному объему V в том и только в том случае, если при предельном переходе от конечного объема V к бесконечно большому интег- интегралы всех интересующих нас величин по поверхности S этого объема стремятся к нулю. Так как при этом предельном пе- переходе площадь поверхности S растет как i?2, где R означает расстояние поверхности S от конечного участка пространства, в котором сосредоточены источники поля (электрические заряды и токи), то подынтегральные выражения в интересующих нас по- поверхностных интегралах должны при R —> оо убывать быстрее, чем 1/R2. В этом и заключается условие применимости понятия полного поля (если поле не ограничено замкнутой поверхностью конечных размеров). В дальнейшем мы для краткости будем просто говорить, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничи- ограничивающей полное поле поверхности S обращаются в нуль, т. е. могут быть отброшены, и что, стало быть, подлежат рассмотре- рассмотрению только интегралы по объему полного поля. 3. Подынтегральное выражение в последнем члене формулы A6.1), согласно A2.10), убывает в бесконечности не медленнее, чем 1/i?3. Поэтому при распространении интегрирования в фор- формуле A6.1) на полное поле этот член обратится в нуль, а сумма первых двух членов, согласно A5.6), окажется равной полной энергии поля W' W = ± I pipdV +\JaipdS = i-1 E2dV. 4. Итак, электрическая энергия полного поля равна W = — I E2dV. A6.2) 8тг J ч '
82 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1 С математической точки зрения это уравнение представля- представляет собой лишь преобразованную форму уравнения A5.6) и ему эквивалентно. Однако формально математическое преобразова- преобразование уравнений, как уже указывалось, весьма часто открывает возможность совершенно новой физической интерпретации вы- выражаемых ими соотношений. Уравнение A6.2) выражает элек- электрическую энергию в виде бесконечной суммы слагаемых, каждое из которых равно A/8тг).Е2 dV и относится к определен- определенному элементу объема dV. Поэтому в это уравнение можно вло- вложить следующий физический смысл: носителем электрической энергии является электрическое поле, причем энергия поля ло- локализована в пространстве так, что в каждой единице объема содержится количество энергии w, равное u;=i-?2, A6.3) где Е — напряженность электрического поля в данном элементе объема. Величина w может быть названа объемной плотностью электрической энергии. Напротив, уравнения A5.4) и A5.5) могут быть формально истолкованы в том смысле, что электрическая энергия есть энер- энергия взаимодействия электрических зарядов и притом взаимо- взаимодействия на расстоянии (actio in distans, дальнодействие); так, например, уравнение A5.5) выражает общую энергию системы зарядов в виде суммы энергий взаимодействия каждой пары. Очевидно, что при таком истолковании устраняется возможность локализации энергии в определенных участках пространства. Механическая теория электромагнитных явлений вкладывала в уравнения A6.2) и A6.3) следующее физическое содержание. С точки зрения этой теории возбуждение электрического поля сводится к возникновению деформаций гипотетической упругой среды — эфира; электрический вектор Е есть мера этой деформа- деформации, а энергия электрического поля есть не что иное, как упругая энергия деформированного эфира. Как известно из теории упру- упругости, в каждом элементе объема деформированного тела за- заключается определенное количество упругой энергии, пропор- пропорциональное квадрату величины деформации этого элемента. Стало быть, объемная плотность упругой энергии эфира в элек- электрическом поле должна быть пропорциональной квадрату на- напряженности поля Е, что вполне согласуется с A6.3). В настоящее время можно считать установленным, что подоб- подобное механическое истолкование электрических явлений не вы- выдерживает критики фактов 1). Но представление о локализации 1) Больше того, не только электрические силы не сводятся к упругости ги- гипотетической среды, но, как мы теперь знаем, самые упругие свойства ма- материальных тел объясняются электрическим взаимодействием атомов этих тел.
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 83 электрической энергии в пространстве с объемной плотностью w, иными словами, представление о том, что электрическая энергия есть энергия электрического поля, сделалось прочным достояни- достоянием науки. Конечно, благодаря полной математической эквива- эквивалентности уравнений A5.6) и A6.2) оба эти уравнения, а стало быть, и оба приведенных истолкования их одинаково хорошо со- согласуются с данными опыта. Однако эквивалентность этих урав- уравнений имеет место лишь в постоянном электрическом поле. Перейдя к изучению переменных электромагнитных полей и, в частности, к изучению электромагнитных волн, мы познакомим- познакомимся с явлениями, которые могут быть истолкованы лишь на осно- основе допущения о локализации энергии в электромагнитном поле. 5. Обратимся теперь к вопросу о различном содержании урав- уравнений A5.4) и A5.5), с одной стороны, и уравнений A5.6) и .A6.2) — с другой. Что эти уравнения разнятся по своему содер- содержанию, явствует хотя бы из того обстоятельства, что энергия W, определяемая уравнением A6.2), не может принимать отрица- отрицательных значений (ибо Е2 > 0), тогда как, согласно A5.5), энер- энергия взаимодействия двух точечных зарядов e\e2JR\2 отрицатель- отрицательна, если заряды эти разноименны. Объясняется это тем, что в уравнениях A5.4) и A5.5) учитывается лишь взаимодействие ряда «точечных» зарядов, но не взаимодействие отдельных эле- элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, ес- если мы имеем дело, например, с одним-единственным «точечным» зарядом е\, то выражения A5.4) и A5.5) обратятся в нуль, тог- тогда как выражения A5.6) и A6.2) будут иметь отличное от нуля и притом положительное значение, равное так называемой соб- собственной энергии заряда е\. В том, что эта собственная энергия всегда положительна, можно убедиться либо непосредственно из уравнения A6.2), либо из того обстоятельства, что, приписывая заряду е некоторый объем, разбивая его на элементы det и вычис- вычисляя энергию взаимодействия этих элементов, мы получим сумму положительных выражений типа ёег dek/Rik (ибо все элементы одного и того же заряда имеют одинаковый знак). Собственная энергия заряда зависит, конечно, от его размеров и равна той работе, которую совершили бы силы взаимного отталкивания между элементами заряда, если бы эти элементы разлетелись в стороны и удалились в бесконечность. Рассмотрим в заключение полную (т. е. собственную и вза- взаимную) энергию двух зарядов е\ и е2. Пусть каждый из этих зарядов в отдельности возбуждает соответственно поле Ej и Е2, так что результирующее поле Е обоих зарядов равно и Е2 /'Т71 I T7i\2 г?2 l т?2 | n/TTi T71 \ — \4il т •-J2) — *-*\ i ^2 ' ^у,*^! *^2 ) •
84 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I Полная энергия зарядов е,\ и е2, согласно A6.2), будет равна ИЛИ W = Wn + W22 + W12, A6.4) где Wu = — f E2dV и W22 = — IE\dV A6.5) 8ж J &тг J суть собственные энергии зарядов е\ и ег, а A6.6) W12 есть их взаимная энергия. Из (Ei - Е2J ^ О следует, что так что Wu + W22 > W12. Таким образом, положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или в крайнем случае равна) их взаимной энер- энергии, могущей иметь как положительные, так и отрицательные значения. Справедливость этого положения явствует, впрочем, и непо- непосредственно из того обстоятельства, что собственная энергия за- заряда соответствует взаимодействию его собственных элементов, среднее расстояние которых друг от друга меньше, чем расстоя- расстояние их от элементов другого заряда. При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается по- постоянной. Поэтому при этих перемещениях члены Wu и W22 можно считать аддитивными постоянными в выражении полной энергии W, изменение которой всецело определяется изменени- изменением взаимной энергии зарядов W\2 • При достаточно больших рас- расстояниях между зарядами выражение A6.6) для Wu сводится, очевидно, к выражению A5.2) (см. задачу 15 в конце параграфа). 6. Чрезвычайно важно отметить, что энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности, т. е. что энергия поля Е, являющегося суммой полей Ei и Ег, вообще говоря, не равна сумме энергий слагаемых полей (если только W\2 не равно нулю). В частности, при возрастании напряженности поля в п раз энергия поля возрастает в п2 раз. Пример. Полная электрическая энергия системы заря- заряженных проводников. Пусть в поле расположено п проводников;
§ 17 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 85 обозначим соответственно через St, <pt и ег поверхность, потенци- потенциал и общий заряд i-ro проводника. Приняв во внимание, что все заряды проводников расположены на их поверхности, так что р = 0, и что потенциал каждого проводника постоянен на всем его протяжении, получим из A5.6) 1=1 S, »=1 S, Интеграл ст по поверхности проводника равен его общему за- заряду ег, поэтому п W = -Y^el<pl. A6.7) 1=1 Эту формулу, выражающую полную энергию заряженных проводников, не нужно смешивать с вполне аналогичной форму- формулой A5.4), выражающей взаимную энергию точечных зарядов; в последней формуле в отличие от A6.7) ц>х не является полным потенциалом поля в месте нахождения заряда ег (см. § 15). За- Заметим, что выражение A5.9) для энергии конденсатора является частным случаем формулы A6.7)г). Задача 14. Показать, что (собственная) электрическая энергия заряженного шара радиуса о равна е2 ~~ Та если заряд е распределен по поверхности шара (проводник), и равна 2 ~ ИГ' если заряд равномерно распределен по всему объему шара. Задача 15. Показать, что если расстояние между заряда- зарядами е\ и в2 достаточно велико по сравнению с их размерами (то- (точечные заряды), то выражение A6.6) взаимной энергии W\2 этих зарядов сводится к выражениям A5.2) и A5.3). § 17. Пондеромоторные силы 1. По данному в § 2 определению, основная величина, харак- характеризующая электрическое поле, — его напряженность Е —рав- —равна рассчитанной на единицу заряда пондеромоторной (механиче- ) Предлагаем читателю в качестве упражнения непосредственным вычис- вычислением убедиться на конкретных примерах плоского, цилиндрического и шарового конденсаторов в тождестве значений энергии, получаемых по фор- формуле A5.9), с одной стороны, и по формуле A6 2) —с другой.
86 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I ской) силе, действующей в данной точке поля на пробный заряд (заряженное тело). При этом нужно, конечно, иметь в виду, что сила, действующая на какой-либо заряд, определяется, очевид- очевидно, напряженностью того поля, в которое помещен этот заряд, а не того поля, которое возбуждается им самим. Следовательно, говоря, например, что сила, действующая на точечный заряд е, равна F = eE A7.1) [ср. уравнение B.2)], мы должны понимать под Е напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого за- заряда е. 2. Вопрос о силе, действующей на поверхностные заряды, требует специального исследования, ибо напряженность поля Е имеет по обе стороны заряженной поверхности различные значе- значения [уравнение D.3)], и, стало быть, на самой поверхности оста- остается неопределенной. В случае одного-единственного уединенного проводника все электрические силы сводятся ко взаимному отталкиванию эле- элементов заряда этого проводника. Ввиду того, что взаимно от- отталкивающиеся элементы заряда не могут покинуть проводника, к поверхности проводника будут приложены пондеромоторные силы, стремящиеся ее растянуть *). Подобного же рода силы бу- будут, очевидно, приложены и к поверхности неуединенного про- проводника, помещенного в произвольное электростатическое поле. Чтобы определить эти силы, рассмотрим некоторый элемент dS поверхности проводника. Напряженность поля с внешней сторо- стороны элемента dS, согласно G.8), равна Е = 4я"стп (ст — плотность его заряда), и направлена нормально к его по- поверхности; внутри же проводника Е = 0. Однако Е есть напряженность результирующего поля всех имеющихся зарядов, в том числе и заряда самого элемента dS: Е = Е' + Е", где Е' — поле элемента dS, a E" — поле остальных зарядов. В двух смежных точках, лежащих по разные стороны элемента dS, поле Е" этих зарядов будет, очевидно, одинаковым, поле же Е будет иметь одинаковое значение Е', но различное направление (рис. 22). Стало быть, с внешней стороны элемента dS Е = Е' + + Е" = 4по, а с внутренней Е = Е' - Е" = 0, откуда Е' = Е" == 2тгст. 1) Если сообщить электрический заряд мыльному пузырю, то под влияни- влиянием этих сил отталкивания пузырь будет расширяться до тех пор, пока они не уравновесятся силами поверхностного натяжения и разницей давлений воздуха внутри и вне пузыря.
§ 17 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 87 Сила; испытываемая зарядом a dS элемента dS, определяется полем Е зарядов, лежащих вне этого элемента, и, стало быть, равна Е"а dS = 2тгст2 dS = - Еа dS. 2 Таким образом, на единицу поверхности проводника действует пондеромоторная сила /: f = 2na2=1-Ea=±- E\ A7.2) направленная, как легко убедиться, по внешней нормали к этой поверх- поверхности. Величину / можно, очевид- очевидно, назвать поверхностной плотно- Рис. 22 стъю пондеромотпорных сил. 3. Рассмотрим для полноты случай объемного распределения заряда с плотностью р, хотя в электростатическом поле в отсут- отсутствие диэлектриков этот случай практически неосуществим1). Если электрический заряд неразрывно связан с элементом dV объема некоторого тела так, что перемещение заряда pdV воз- возможно лишь при соответствующем перемещении элемента тела dV и наоборот, то на каждый элемент этого тела будет действо- действовать сила F = ?dV = EpdV, A7.3) где Е — напряженность поля в элементе dV. Вычитать из полного поля Е поле заряда самого элемента dV в этом случае не нужно, ибо напряженность поля бесконечно малого объемного заряда р dV бесконечно мала даже внутри самого заряда и стремится к нулю при беспредельном уменьшении его размеров. Проще всего убедиться в этом, приняв для простоты, что элемент dV имеет форму шара, так что поле его определяется формулой D.8). Из A7.3) следует, что объемная плотность пондеромоторных сил равна2) f = pE. A7.4) Пример. Силы, действующие на диполь. Пусть Е и Е' — напряженности внешнего (по отношению к диполю) поля в точках Р и Р', занимаемых соответственно его 1) За исключением неоднородных проводников, внутри которых действуют сторонние электродвижущие силы (§ 38); на этом случае мы останавливаться не будем. 2) В дальнейшем плотность сил мы будем всегда обозначать через малое f, сохраняя F прописное для обозначения сил, действующих на отдельный за- заряд, диполь, проводник и т. д.
88 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I отрицательным и положительным зарядами (рис. 23). Тогда рав- равнодействующая F сил поля, приложенных к этим зарядам, будет равна F = еЕ' - еЕ = е(Е' - Е). Разность Е' — Е есть приращение вектора Е на отрезке РР', равном длине диполя 1. Ввиду малости этого отрезка приращение это может быть выражено, соглас- *еЕ' но E1*), формулой Е' - Е = J — = IV • Е, al откуда F = elV • Е = pV ¦ Е. A7.5) Таким образом, сила F, действую- действующая в электрическом поле на ди- диполь, зависит от быстроты изме- изменения этого поля в направлении оси диполя; в однородном же поле силы, действующие на полюсы диполя, равны по величине и противоположны по направлению и, стало быть, взаимно урав- уравновешиваются. Помимо равнодействующей F для полного определения сил, действующих на диполь, необходимо определить момент N этих сил относительно центра диполя. Момент их относительно точ- точки Р, в которой находится заряд —е, равен, очевидно, В пределе при достаточной малости 1 точка Р совпадает с центром диполя, а Е' совпадает с Е, так что окончательно N = [рЕ]. A7.6) Из этого выражения следует, что диполь стремится повер- повернуться в электрическом поле так, чтобы его момент р был парал- параллелен полю. При р, направленном против Е, вращающий момент также равен нулю, но это равновесие неустойчиво. § 18. Определение пондеромоторных сил из выражения энергии 1. Перемещение тел в электрическом поле сопровождается, вообще говоря, как изменением энергии W этого поля, так и ра- работой А пондеромоторных сил поля. Если при этом не проис- происходит преобразования других форм энергии (тепловой, химиче- химической и т. д ), то работа пондеромоторных сил должна, очевидно, совершаться за счет изменения SW энергии поля, так что А = -6W. A8.1)
§ 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ 89 Исходя из этого соотношения, мы определили в § 15 энергию поля W A5.1); обратно, зная W, мы на основании A8.1) можем определить работу А, а стало быть, и совершающие эту работу пондеромоторные силы. Действительно, формула A8.1) показывает, что энергия элек- электрического поля W играет роль потенциальной энергии в смы- смысле аналитической механики, методами которой мы и можем вос- воспользоваться. Пусть энергия W в самом общем случае выражена в зависимости от каких-либо «обобщенных координат» qt, харак- характеризующих распределение зарядов, проводников и т. п. Тогда b и ^ = где 0г, по терминологии аналитической механики, суть «обоб- «обобщенные силы», действующие «по направлению» координат qt. Отсюда на основании A8.1) при условии независимости коорди- координат qt следует, что * = -?. (МЛ) Весьма часто определение пондеромоторных сил на основании этой формулы оказывается несравненно более простым, чем не- непосредственное определение их по формулам § 17 путем интег- интегрирования по отдельным элементам зарядов. 2. В качестве простейшего примера определим этим спосо- способом силы взаимного притяжения пластин плоского конденсато- конденсатора. Энергия этого конденсатора равна [см. уравнение A5.9) и результаты решения задачи 8, с. 52]: W ^ <? = 2тге2Л 1С S При раздвигании пластин, т. е. при увеличении расстояния d между ними, полем совершается работа А =-6W = ~^f 6d. С другой стороны, если / есть сила притяжения, испытывае- испытываемая единицей поверхности пластины конденсатора, a F — общая сила, действующая на всю поверхность пластины S, то A = -F-Sd = -fS ¦ Sd. Приравнивая полученные выражения, найдем где а — e/S — плотность заряда на поверхности пластин, что вполне согласуется с A7.2).
90 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I К тому же результату можно прийти и непосредственно из A8.3), полагая в этой формуле q — d и в = F. 3. Выше мы неявным образом предполагали, что при смеще- смещении пластин конденсатора заряд их е остается постоянным. Мы получили бы совершенно иное значение 5W, предположив, что не заряд, а разность потенциалов пластин конденсатора <р2 ~ <Р1 остается постоянной при их смещении. Объясняется это тем, что разность потенциалов обкладок конденсатора может оставаться неизменной при перемещениях этих обкладок (изменения емко- емкости) лишь в том случае, если эта разность потенциалов под- поддерживается неизменной некоторыми сторонними ЭДС неэлек- неэлектростатического происхождения (см. § 38), совершающими при изменении С некоторую добавочную работу. (Это имеет, напри- например, место при присоединении обкладок конденсатора к полюсам гальванического элемента.) При этом формула A8.1), очевидно, перестает быть применимой. На основании A5.9) и (9.1) для конденсатора любой формы имеем: при е = const При ф2 — Ifl = COnSt 5VW = &{^C{^2 - fiJ} = i(?>2 - ?>iJ<5C, 5VW = -SeW = A. A8.4) Таким образом, сопровождающие перемещение обкладок конденсатора изменения его электрической энергии при е = const и при <р2 — (pi — const равны по величине, но противоположны по знаку. С другой стороны, ввиду соотношения изменение емкости С при постоянном у>2 — pi должно сопровождаться из- изменением заряда конденсатора е 5е = (if2 — tpiMC, т. е. перенесением заряда бе с одной из обкладок конденсатора на другую. При прохождении этого заряда бе через включенный между обкладками конденсатора гальванический элемент химическая энергия этого элемента, как мы увидим в гл. III, уменьшается, а ЭДС элемента & совершает работу P-S-Ъг. В разомкнутой цепи, состоящей из элемента и конденсатора, $ = f2 — <{>\ и, стало быть, Р = (ф2 — 9?i) *е = (<?2 - ?>iJ <5C, или ввиду A8.4): P = 25VW = A + 5VW. A8.5) Таким образом, при <рг — «pi = const работа А пондеромоторных сил по- поля совершается не за счет энергии поля W, а за счет химической энергии
§ 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ 91 гальванического элемента (или энергии другого источника сторонней ЭДС). В частности, положительная работа сил поля А сопровождается прира- приращением электрической энергии W, происходящим также за счет энергии гальванического элемента. Таким образом, формула A8.1) справедлива лишь при усло- условии, что перемещение тел в электрическом поле не сопровожда- сопровождается работой сторонних ЭДС неэлектростатического происхож- происхождения. Кроме того, условием применимости формулы A8.1) является, очевидно, достаточная медленность перемещения тел, а именно столь малая скорость перемещения, чтобы в каж- каждый данный момент процесса электрическое состояние системы могло быть описано уравнениями электростатики (т. е. бесконеч- бесконечно мало отличалось от равновесного). Пример. Определить силы, действующие на твердый ди- диполь, исходя из его энергии во внешнем поле. Энергия диполя во внешнем поле, согласно A5.8), равна W = -рЕ = -рЕ cos <& и является функцией: а) координат центра диполя х, у, z и б) угла $ между осью диполя и заданным направлением элек- электрического поля Е (числовое значение момента диполя счита- считаем неизменным: «твердый» диполь). Согласно известным поло- положениям аналитической механики «обобщенные силы», соответ- соответствующие этим обобщенным координатам, представляют собой не что иное, как а) равнодействующую приложенных к диполю сил: Fx= Fy = Fz = -dJ; A8.6) дх " ду dz б) момент приложенных к диполю сил: N = -?, (UW) стремящийся увеличить угол •&. Из A5.8) и A8.6) следует, что F = -VW = V(pE). A8.8) Это выражение в случае электростатического поля, кото- которым мы здесь только и ограничимся, лишь по своей форме от- отличается от ранее выведенного выражения A7.5): F = pV • Е. Действительно, для всякого постоянного (не зависящего от коор- координат х, у, z) вектора р имеет место соотношение [protE]. A8.9)
92 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ Чтобы доказать это соотношение, достаточно рассмотреть слагающую вектора V(pE) — pV • Е хотя бы по оси х: _ (дЕу_ _ дЕЛ (дЕ^ _ дЕ?\ _ = ру rot* E -pz roty E = [р rot E]x. В интересующем нас случае электростатического поля вектор Е = — grad tp, и поэтому его ротор, как ротор всякого градиента скаляра, равен нулю: rotE = 0 [уравнение G.6)]. Таким образом, в электростатическом поле действительно Е Е A8.10) р и формула A8.8) эквивалентна формуле ' A7.5). Обращаясь к моменту сил, приложен- приложенных к диполю, получаем из A5.8) и A8.7): N = dW Ввиду того, что ¦д ^ 7Г, правая часть этого выражения отрицательна, и, стало Рис. 24 быть, согласно смыслу формулы A8.7), мо- момент N стремится уменьшить угол •& меж- между р и Е (рис. 24). Следовательно, по величине и направлению вектор момента сил определяется формулой N = [PE], A8.11) совпадающей с ранее выведенной нами формулой A7.6). § 19. Неустойчивость электрических систем. Связи 1. Для электрической теории строения материи чрезвычай- чрезвычайную важность представляет вопрос о возможности устойчивых конфигураций электрических зарядов. Если материя состоит из электрических зарядов — электронов и протонов, то возникает вопрос, может ли система таких зарядов находиться в устойчи- устойчивом статическом равновесии или же в атомах и молекулах всех тел заряды эти должны находиться в состоянии непрерывного движения!
§ 19 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ. СВЯЗИ 93 Для наших целей достаточно будет доказать неустойчивость статической системы точечных зарядов, хотя соответствующие положения применимы и к зарядам объемным 1). Как указывалось в § 18, электрическая энергия W системы зарядов играет роль потенциальной энергии этой системы. С другой стороны, на основании общих положений механики усло- условием устойчивого равновесия является минимум потенциаль- потенциальной энергии: стало быть, в данном случае минимум электриче- электрической энергии W. Энергия системы точечных зарядов, согласно A5.5), равна wy {i^k) i, к и является функцией координат Xi, yi, z, всех зарядов системы ej, так как Для того чтобы при соответствующих значениях координат а^, Уг, Zi функция W обладала минимумом, необходимо, во-первых, чтобы первые производные W по всем координатам всех заря- зарядов обращались в нуль и, во-вторых, чтобы вторые производные от W по координатам х^, у^, z^ были положительны 2): Но где V/j означает дифференциальный оператор, соответствующий пространственному дифференцированию по координатам х^, y/j, Zh заряда eh: дуй ozh Очевидно, что при h ф г и h ф к 1) Для того чтобы объяснить устойчивость самих электронов и протонов, долгое время допускалось существование сил неэлектрического происхожде- происхождения, препятствующих разлетанию элементов этих зарядов под влиянием вза- взаимного отталкивания. Развитие квантовой теории привело к новой форму- формулировке проблемы элементарных частиц, в которой вопрос об устойчивости этих частиц ставится совсем по-иному. 2) Условия, которым должны удовлетворять производные типа d2WIdxidxk и д2\?/дхгдуг, нас здесь не интересуют.
94 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1 если h = i либо h = к, то это соотношение все же остается справед- справедливым ввиду A1.10). А раз так, то VhW dxl + ду\ + dz* Таким образом, требование, чтобы все вторые производ- производные W по координатам были положительными, невыполнимо; энергия W не может обладать минимумом и, стало быть, устой- устойчивая статическая конфигурация электрических зарядов невоз- невозможна. Это положение носит название теоремы Ирншоу 1). Физический смысл этой теоремы станет ясным, если мы вспомним, что разноименные заряды притягиваются с возрас- возрастающей силой вплоть до совпадения друг с другом, т. е. вплоть до взаимной нейтрализации или уничтожения, одноименные же отталкиваются вплоть до удаления в бесконечность. В виде иллюстрации теоремы Ирншоу рассмотрим простей- простейший пример. Система трех зарядов ei = —4е, 62 = е, ез = —4е, как легко убедиться, будет находиться в статическом равновесии, если заряды расположены на одной прямой в указанном порядке и если расстояние между е\ и ег равно расстоянию между б2 и ез. Однако при малейшем сдвиге, например, заряда е\ в сторону в2 испытываемое им со стороны ei притяжение возрастает больше, чем отталкивание со стороны ез, и, таким образом, действующие на е\ (и на остальные заряды) силы уже не будут уравновеши- уравновешиваться, заряды е\ и в2 притянутся друг к другу, а ез отлетит в сторону, в бесконечность. 2. Можно считать установленным экспериментально, что рас- расстояние между частицами электричества (электронами и положи- положительными ядрами) 2), входящими в состав атомов материальных тел, весьма велико (порядка 10~8 см) по сравнению с размерами самих частиц (не свыше 102 см). Поэтому каждый атом мож- можно считать системой точечных зарядов, к которой применима 1) Возможность минимума функции W при конфигурации зарядов, при которой все гаA8п2 +9п+ П)/2 производных W первого, второго и третье- третьего порядков по всем Зп координатам (где п — число зарядов) обращаются в нуль, а производные четвертого порядка положительны, соответствовала бы наложению на функцию Зп переменных по крайней мере пA8п2 + 9п+11)/2 условий. Так как число условий превышает число переменных, то возмож- возможность эта неосуществима. Отметим также, что приведенное доказательство теоремы Ирншоу предполагает, что все расстояния R,k между любой парой зарядов остаются конечными. 2)В сущности, ядра атомов (за исключением ядра водорода) состоят в свою очередь из нескольких протонов и нейтронов; однако ввиду малости размеров этих ядер (не свыше 102 см) каждое такое сложное ядро в целом можно рассматривать как одну электрическую частицу.
§ 19 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ СВЯЗИ 95 приведенная формулировка теоремы Ирншоу. Так как, с дру- другой стороны, атомы химических элементов представляют собой, несомненно, устойчивые системы, то, следовательно, построение материи из электрических частиц в пределах электростати- электростатики невозможно, и атом должен представлять собой динамиче- динамическую систему 1). Соответствующее этому выводу представление об устойчивом периодическом (или квазипериодическом) движе- движении электрических частиц в недрах атомов лежит в основе совре- современной теории материи и находит себе подтверждение в целом ряде физических явлений. Правда, представление это приводит в пределах классической физики к внутренним противоречиям, ибо ускоренное движение электрических зарядов, согласно зако- законам электродинамики, неразрывно связано с излучением элек- электромагнитной энергии (волн), т. е. не может быть устойчивым. Однако это противоречие повело не к отказу от динамической модели атома, а к отказу от классической механики и электро- электродинамики в пользу устраняющей это противоречие квантовой механики. 3. Обратимся к макроскопической теории электростатических явлений, составляющей основной предмет изложения настоящей главы. Согласно теореме Ирншоу, чисто электростатические си- системы не могут быть устойчивыми. Чтобы избежать, однако, рассмотрения скрытого движения элементарных зарядов, макроскопическая электростатическая теория пользуется формальным представлением о добавочных силах или связях неэлектростатического происхождения, обес- обеспечивающих требуемую устойчивость заряженных систем. В этом отношении существует полная аналогия электростати- электростатики с механикой, широко пользующейся представлениями о связях, осуществляемых с помощью опор, закрепленных осей, нерастя- нерастяжимых нитей и т. д. Конечно, подобно тому как при дальнейшем изложении механики раскрывается физический механизм свя- связей (силы упругости), так и перед дальнейшим развитием тео- теории электричества встает задача раскрыть физический смысл формально введенных сил связи неэлектростатического проис- происхождения. В пределах электростатики достаточно близкое первое при- приближение к действительности может быть достигнуто введением в рассмотрение двух основных родов связей, соответствующих, во-первых, идеальным проводникам и, во-вторых, идеальным ди- диэлектрикам. Что касается проводников, то, явно не упоминая 1) Доказательство теоремы Ирншоу основывается, в сущности, лишь на обратной пропорциональности квадрату расстояния сил взаимодействия между точками системы, так что эта теорема применима и к материальным точкам, тяготеющим по закону Ньютона (Солнечная система). Устойчивость Солнечной системы также обеспечивается лишь движением планет.
96 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I об этом, мы фактически пользовались везде выше допущени- допущением, что на поверхности проводников существуют некоторые силы неэлектростатического происхождения, препятствующие выходу зарядов за поверхность проводника. Действительно, только эти силы обеспечивают устойчивость системы заряженных провод- проводников; в противном случае наличие, например, уединенного за- заряженного проводника было бы невозможным, — элементы его заряда под влиянием взаимного отталкивания разлетелись бы в стороны и удалились в бесконечность. Пользуясь терминологией механики, мы можем назвать эти сдерживающие силы реакци- реакциями связей. Они должны быть, очевидно, равны по величине и противоположны по направлению пондеромоторным силам, дей- действующим на поверхность проводника, плотность которых, со- согласно A7.2), равна —Е2. Свойствам диэлектриков будет посвящена следующая глава. О связях в диэлектриках см., в частности, § 27.
ГЛАВА II ДИЭЛЕКТРИКИ § 20. Диэлектрики. Электрический момент и потенциал нейтральной молекулы. Поляризация диэлектрика 1. Диэлектрики — непроводники электричества1); в них в отличие от металлов и электролитов нет зарядов, могущих пере- перемещаться на значительные расстояния и переносить ток. Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все газообразные и жидкие диэлектрики и часть твердых), либо из заряженных ионов, закрепленных в определенных положениях равновесия (например в узлах кристаллической решетки). Ион- Ионные кристаллические решетки могут быть разбиты на так на- называемые элементарные ячейки, каждая из которых содержит равное количество положительных и отрицательных зарядов и в целом нейтральна. В дальнейшем в ряде случаев для опреде- определенности мы будем предполагать, что диэлектрик построен из нейтральных молекул; однако основные положения излагаемой теории применимы и к ионным кристаллическим и аморфным диэлектрикам, причем только под молекулой надо в этих случа- случаях понимать, например, элементарную ячейку кристалла. Под воздействием внешнего электрического поля2) заряды, входящие в состав диэлектрика, не срываются полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в некоторые новые равновесные положения. Равнодействующая электрических сил, действующих на ней- нейтральную молекулу в однородном (Е = const) электрическом поле, очевидно, равна нулю; поэтому центр тяжести молекулы диэлектрика в однородном поле остается неподвижным. Одна- Однако электрические частицы противоположных знаков, входящие в состав молекул диэлектрика, должны под воздействием сил по- поля смещаться в противоположные стороны — молекула дефор- деформируется. Поэтому, чтобы определить воздействие поля на ди- 1) В сущности все диэлектрики обладают некоторой, хотя и весьма малой, проводимостью, так что понятие идеального непроводника является лишь первым приближением к действительности 2) Если только напряженность его не слишком велика (иначе может, на- например, произойти пробой диэлектрика). 4 И. Е. Тамм
98 ДИЭЛЕКТРИКИ электрик, нужно прежде всего найти удобную количественную характеристику распределения зарядов в нейтральной молекуле. 2. Такой характеристикой любой, в целом нейтральной, си- системы зарядов может служить вектор электрического момента этой системы р, определяемый равенством К„ B0.1) где суммирование распространено по всем элементарным заря- зарядам (электронам и ядрам), входящим в состав системы, a Rj есть радиус-вектор, проведенный к заряду ег из некоторой произволь- произвольной начальной точки О. При этом предполагается, что система зарядов электрически нейтральна, т. е. что 0, B0.2) ибо лишь при этом условии вектор р однозначно определяется рас- распределением зарядов и не зависит от выбора начальной точки О. Действительно, если переместить начало отсчета из О в О' на произвольный отрезок а (рис. 25), то новый радиус-вектор И'г заряда ег определится разностью И[ = R, ~ а и, следовательно, вместо B0.1) получим что при условии B0.2) совпадает с B0.1). В случае, если система состоит из двух равных и противопо- противоположных зарядов ±е (рис. 26), радиусы-векторы которых равны R+ и R_, момент системы равен, очевидно, р = 5^ вгКг = e(R+ - R_) = el, г где 1 = R+ — R- есть вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, в этом частном слу- случае из B0.1) вытекает известное уже нам из (8.9) определение момента диполя. 3. Важность понятия электрического момента системы заря- зарядов обусловливается тем, что потенциал ip поля, возбуждаемого произвольной, в целом нейтральной системой зарядов момента р на расстояниях, больших по сравнению с размерами этой си- системы, совпадает с потенциалом диполя того же момента р. Действительно, потенциал системы зарядов ег в произволь- произвольной точке поля Р равен e,
§20 ДИЭЛЕКТРИКИ 99 где RJ — расстояние этой точки Р от заряда ег. Выберем в обла- области расположения зарядов ег произвольную точку О, которую будем условно называть центром системы, и пусть Ro и Rj суть, Рис. 26 соответственно, расстояния рассматриваемой точки Р и заряда ег от центра О, так что (рис. 27) Далее, 1 = 1 ( 2R0R, R't2\ I / R0R, \ Если Л,<сЛо, то, ограничившись первыми двумя членами раз- разложения 1), получаем 1 v^ i ^о V= - или, ввиду B0.1) и B0.2): что совпадает с потенциалом поля диполя момента р [уравнение (8.10)]. 4. В первом приближении не только поле, возбуждаемое в целом нейтральной системой зарядов, совпадает с полем экви- эквивалентного диполя, но и силы, действующие в электрическом г) Последующие члены разложения убывают обратно пропорционально До, Ro и т. д., величина их характеризуется так называемыми квадруполь- ным, октупольным и т. д. моментами системы зарядов, аналогичными в из- известном отношении ее дипольному моменту р. Пренебрегая для упрощения этими членами, мы, стало быть, будем считать, что в случае, если р = 0, поле в целом нейтральной системы зарядов на больших расстояниях от нее равно нулю, хотя это, конечно, и не совсем точно 4*
100 ДИЭЛЕКТРИКИ IЛ II поле на эту систему и на эквивалентный ей диполь, равны между собой. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что потенци- потенциальная энергия нейтральной системы зарядов во внешнем элек- электрическом поле совпадает с энергией эквивалентного диполя, ибо выражением энергии однозначно определяются пондеромотор- ные силы (см. § 18). Энергия системы зарядов во внешнем поле равна где tpt — потенциал внешнего поля в месте нахождения заряда ег. Если потенциал внешнего поля в «центре» системы О равен щ, то с точностью до величин второго порядка потенциал в точке R^ <Л = <Ро + R-i grad <p = ipo - ER, и, стало быть, W = < или, согласно B0.1) и B0.2), W = -Е ^ e,R* = -pE, B0.5) что, как и требовалось доказать, совпадает с выражением для энергии диполя A5.8). 5. Итак, в первом приближении любая, в целом нейтральная система зарядов, электрический момент которой равен р, эк- эквивалентна диполю того же момента р как в активном, так и в пассивном отношении (т. е. как в отношении возбуждаемого ею поля, так и в отношении испытываемых ею сил). Пользуясь этим, мы в дальнейшем часто будем заменять рас- рассмотрение совокупности реальных, вообще говоря, очень слож- сложных, молекул диэлектрика рассмотрением эквивалентных им ди- диполей. 6. Электрическим моментом может быть охарактеризовано не только электрическое состояние отдельной молекулы, но и со- состояние макроскопического объема диэлектрика, состоящего из многих молекул. Поляризацией диэлектрика Р называется элек- электрический момент единицы объема диэлектрика: где суммирование распространено по всем зарядам (электронам и атомным ядрам), находящимся в единице объема диэлектрика. Если диэлектрик состоит из нейтральных молекул, то это суммирование может быть выполнено в два приема: сначала сум- суммирование по зарядам, входящим в состав отдельных молекул
§ 21 СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ 101 диэлектрика, что дает момент р каждой молекулы х), а затем суммирование по всем молекулам, находящимся в единице объ- объема. Таким образом, формулу B0.6) можем записать и так: Р=5>- B0.7) Иными словами, поляризация диэлектрика равна векторной сум- сумме электрических моментов молекул, находящихся в единице объема диэлектрика. Формулу B0.7) можно применить и к ионному кристалличе- кристаллическому диэлектрику, понимая под р в этом случае момент отдель- отдельных элементарных ячеек кристалла. Хотя разбиение кристалла на элементарные ячейки и не однозначно, результат Р суммиро- суммирования моментов отдельных ячеек от этого произвола не зависит и имеет вполне определенное значение. Наконец, если поляризация диэлектрика неравномерна, то по- поляризацию Р в данной точке нужно, очевидно, определять как отношение электрического момента элемента объема диэлектри- диэлектрика к элементу объема dV (при достаточно малом dF, см. § 25). Иными словами, PdF = ^ei-Rt = ^p, B0.8) dV dV где суммирование распространено по зарядам (или соответствен- соответственно по всем молекулам), находящимся в элементе dV. § 21. Свободные и связанные заряды. Потенциал электрического поля при наличии диэлектриков. Зависимость поляризации от поля 1. При рассмотрении электростатического поля, в случае на- наличия в нем диэлектриков, нужно различать два рода электриче- электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными зарядами мы будем понимать, во-первых, все электрические заряды, кото- которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в металлах и вакууме, ионы в газах и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, на- нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их нейтральность 2). Заряды же, входящие в состав нейтральных ^Напомним, что входящие в B0.1) радиусы-векторы R, зарядов ней- нейтральной молекулы могут быть проведены из произвольной начальной точки. 2) Сюда же относятся, например, заряды внутриионной решетки твердых диэлектриков, образовавшиеся благодаря недостатку в данном участке ди- диэлектрика ионов определенного знака, так что этот участок в целом уже не нейтрален
102 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твер- твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия, мы будем называть зарядами связанными. Потенциал <р электростатического поля при наличии в нем диэлектриков равен, очевидно, сумме потенциала <ро, возбуждае- возбуждаемого свободными зарядами, и потенциала </?', возбуждаемого свя- связанными электрическими зарядами в диэлектриках: Ч> = Щ + <р'. Потенциал свободных зарядов определяется формулой A2.11): С pdV , CadS <P0 = J-r+J-T где под р и а надо понимать объемную и поверхностную плот- плотность свободных зарядов. Потенциал же if поля связанных зарядов однозначно опре- определяется поляризацией диэлектриков. Действительно, рассмотрим в целом нейтральный элемент объема dV диэлектрика. Электрический момент этого элемента, согласно B0.8), равен PdF, и поэтому потенциал зарядов ди- диэлектрика, заключенных в элементе объема dV, согласно B0.4), PR равен dV, где R есть расстояние рассматриваемой точки по- поля от dV. Наконец, потенциал <р' всех элементов поляризованного диэлектрика, т. е. всех связанных зарядов, определится, очевид- очевидно, интегралом который можно распространить на все бесконечное простран- пространство, ибо в тех точках, где диэлектрик отсутствует, Р = 0 и подынтегральное выражение обращается в нуль. Таким образом, результирующий потенциал <р электростатического поля при на- наличии диэлектриков выразится уравнением V. B1.1) 2. Целесообразно несколько преобразовать это уравнение. Со- Согласно формулам векторного анализа A0*) и D3^) — = PgracL (-) = div, (-) - ~ divP, где индекс q означает, что при дифференцировании радиус-век- радиус-вектор R рассматривается как функция положения его начальной точки, совпадающей в данном случае с dV. Так как вектор Р является функцией положения только этой «точки истока», то индекс q при divP нами опущен как излишний. Итак,
§ 21 СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ 103 или, согласно теореме Гаусса A7*) *) , S+S[ где последний интеграл должен быть распространен по внешней поверхности 5" рассматриваемого объема V и по поверхностям S[, выделяющим из объема интегрирования поверхности S\ раз- разрыва вектора Р. Если мы будем рассматривать полное поле, то интеграл по 5" обратится в нуль, интеграл же по поверхностям S[ при стягивании их к Si сведется, как обычно [ср., например, вывод уравнения A2.6)], к I ¦Pin — -^dS. R Si Вводя, наконец (пока чисто формальным образом), обозна- обозначения - divP = рсвзн, -(Ргп - Pin) = ^свзн B1.2) и внося в B1.1) выражение для щ, получим окончательно: ^-dS= [ R J dV+fdS [ +f ^ R J R J R J R B1.3) Таким образом, электрическое поле при наличии диэлектри- диэлектриков совпадает с полем, которое возбуждалось бы в отсутствие диэлектриков теми же свободными зарядами при добавлении к ним зарядов рСвзн и сгСВЗн, определяемых уравнениями B1.2). Ясно, что величины рСВзн и сгсвзн представляют собой не что иное, как среднюю плотность «связанных» зарядов диэлектрика. В § 26 мы установим справедливость этого утверждения путем непосредственного вычисления Заметим, что в равномерно поляризованном диэлектрике (Р = const) плотность (средняя) связанных зарядов, согласно B1.2), равна нулю. Это и понятно, ибо ввиду одинаковости физи- физического состояния смежных участков диэлектрика в этом случае нигде не может произойти накопления зарядов одного знака. На границе же поляризованного диэлектрика и вакуума или металла, '/При выводе теоремы Гаусса A7*) вектор а считается функцией поло- положения элемента объема интегрирования dV (или элемента поверхностного интегрирования dS) Формула эта непосредственно применима к нашему ин- интегралу, ибо в его подынтегральное выражение входит Vq(l/R) При вычис- вычислении Vq(l/R) радиус-вектор R рассматривается как функция положения его «точки истока», совпадающей в данном случае с dV. Если бы в под- подлежащий преобразованию интеграл входил градиент Va(l/i?), то формулу Гаусса можно было бы применить лишь по предварительной замене Va A/Д) на -У,A/Я).
104 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ И согласно B1.2), сосредоточивается поверхностный связанный за- заряд плотности О Zfe-fyi (ибо как в вакууме, так и в металле Р = 0). 3. Сравнивая B1.3) с A2.11) и A1.3), очевидно, получим Приняв во внимание соотношения E = -Vy>, divE = -VV B1.4) а также уравнение B1.2), мы можем переписать это равенство следующим образом: div E = 4тгр — 4тг div P или div (E + 4тгР) = 4тгр. B1.5) 4. Дифференциальные уравнения B1.4) и B1.5) являются основными уравнениями электростатического поля в произволь- произвольной среде. Для получения полной системы уравнений электро- электростатики их нужно только дополнить уравнением, связывающим Ей Р. В отсутствие внешних полей поляризация Р диэлектрика рав- равна нулюх): электрические моменты отдельных молекул в отсут- отсутствие внешнего поля, если и отличны от нуля, то ориентированы совершенно беспорядочно и в сумме дают нуль. При наличии же электрического поля поляризация диэлектрика, как показывает опыт, пропорциональна напряженности поля Е: Р = аЕ. B1.6) Отклонения от пропорциональности между Р и Е в доступных нам полях настолько незначительны, что ими, за редкими ис- исключениями (см., например, § 29), можно вовсе пренебречь2). 1) Мы не станем здесь рассматривать сравнительно редких исключений из этого правила, например явлений пиро- и пьезоэлектричества. В частности, явление пьезоэлектричества заключается в том, что кристаллы, обладаю- обладающие определенными свойствами симметрии, поляризуются не только под воздействием внешних электрических полей, но также и при механической деформации (пьезоэлектричество). 2) Линейная связь между поляризацией Р и полем Е отвечает линейной электродинамике. В последние годы получила широкое развитие также не- нелинейная электродинамика (и, соответственно, нелинейная оптика) — в этом случае и используется нелинейная связь между Р и Е. Учет нелинейности необходим в сильных полях, ставших доступными, в частности, в связи с созданием лазеров. Кроме того, для ряда сред с большой поляризуемостью (сегнетоэлектрики, плазма и др.) нелинейность может иметь место уже в сравнительно слабых полях — полях, малых по сравнению с характерным атомным полем Е ~ е/а2 ~ 108 - 109 В/см (здесь е = 4,8 • 10~10 СГСЭ — заряд протона иа~A— 3) • 10~8 см — размер атома или постоянная кри- кристаллической решетки). См. также конец § 63. (Примеч. ред.)
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 105 Коэффициент а в B1.6) характеризует собой свойства данного диэлектрика и носит название поляризуемости диэлектрика. Остается еще вопрос о направлении вектора Р. В изотроп- изотропных диэлектриках уже из соображений симметрии явствует, что вектор Р может быть направлен только по единственно выде- выделенному направлению электрического поля Е (или же противо- противоположно Е). Так как положительные заряды смещаются при по- поляризации диэлектрика по направлению поля и так как вектор электрического момента направлен от отрицательных зарядов к положительным (ср. случай простого диполя, рис. 26), то век- вектор Р параллелен полю Е, и в векторной форме мы получаем окончательно: р = Однако в анизотропных средах направление вектора поляризации мо- может не совпадать и, вообще говоря, не совпадает с направлением поля. Аб- Абсолютная величина вектора Р в этом случае также зависит не только от абсолютной величины вектора Е, но и от направления вектора Е по отноше- отношению к кристаллографическим осям диэлектрика. Однако связь слагающих вектора Р со слагающими вектора Е остается линейной, а именно в ани- анизотропных диэлектриках уравнения B1.6) и B1.7) должны быть заменены следующими: Рх = Ру = ацЕх + а22Еу + a23Ez, B1.8) причем значения коэффициентов поляризуемости а,* зависят от ориентации осей х, у, z координатной системы по отношению к кристаллографическим осям диэлектрика. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только изотропных ди- диэлектриков, к которым применима формула B1.7). § 22. Вектор электрической индукции. Дифференциальные уравнения поля в произвольной среде. Линии индукции 1. Вместо поляризации Р удобно ввести в рассмотрение век- вектор D, определяемый формулой D = E + 4ttP. B2.1) Вектор этот у разных авторов носит различные названия: электрическое смещение, электрическая поляризация [не смеши- смешивать с вектором Р, уравнение B0.7)], электрическая индукция и т. д. Мы будем пользоваться последним из этих терминов. Вектор электрической индукции, в сущности, представляет собой сумму двух совершенно различных физических величин: напряженности поля и (умноженной на 4тг) поляризации едини- единицы объема среды. Тем не менее введение в рассмотрение этого вектора чрезвычайно упрощает изучение поля в диэлектриках.
106 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II В частности, одно из основных уравнений электрического поля — уравнение B1.5) — с помощью обозначения B2.1) принимает весьма простой вид divD = 47rp. B2.2) В случае неполяризующейся среды (например, вакуума) Р = 0, вектор индукции D совпадает с напряженностью поля Е, а уравнение B2.2) совпадает с уравнением F.5): div Е = 4тгр, так что последнее уравнение является частным случаем форму- формулы B2.2). Умножая B2.2) на элемент объема dV и интегрируя по объ- объему, заключенному внутри замкнутой поверхности 5", получим, согласно теореме Гаусса A7*), DndS = 4тг j рвУ. B2.3) <? Эта формула является обобщением электростатической тео- теоремы Гаусса C.6) для случая произвольной, в частности диэлек- диэлектрической, среды. Далее, в изотропных диэлектриках из B1.7) и B2.1) получаем D = A+ 4тга)Е = еЕ, B2.4) где е = 1 + 4тга. B2.5) Таким образом, индукция D пропорциональна напряженности поля Е; коэффициент пропорциональности между ними е носит название диэлектрической проницаемости1). Заметим, что из B1.7) и B2.5) следует: Р = —Е. B2.6) 2. В предельном случае поверхностных зарядов уравнение B2.2), согласно F.7) и F.8), принимает вид Div D = D2n - Вы = 4тг<т, B2.7) где а — поверхностная плотность свободного электричества. Согласно B2.4) формулу эту можно записать так: D2n - Din = е2Е2п - eiErn = 47га, B2.8) где ?i и ?2 — значения диэлектрической проницаемости по обе стороны поверхности разрыва. В частности, если а = 0, т. е. если на этой поверхности нет свободных зарядов, то D2n = D\n. ^Уравнение B2.1) справедливо и для анизотропных диэлектриков, но, исключая из него Р с помощью уравнений B1.8), получаем три уравнения того же типа для слагающих вектора D, в которые входят девять диэлек- диэлектрических коэффициентов егк
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 107 Следовательно, на незаряженной границе раздела двух различ- различных сред (ei ф ег) нормальная слагающая электрической индук- индукции остается непрерывной, нормальная же слагающая напряжен- напряженности поля испытывает скачок. Что же касается тангенциальной слагающей вектора Е, то рассуждения, приведшие нас в § 7 к формуле G.7), остаются в силе, ибо и в произвольном диэлектрике работа электрических сил от формы пути не зависит. Поэтому E2t = Elt или - D2t = - Dlt. B2.9) ?2 ?1 Иными словами, тангенциальная слагающая напряженности по- поля всегда остается непрерывной, тангенциальная же слагающая индукции на поверхности раздела двух различных сред {ei ф е{) испытывает скачок. Так как внутри проводников в случае электростатического равновесия Е (а следовательно, и D) равно нулю, то из B2.9) вытекает, что у внешней поверхности проводников электриче- электрический вектор Е (а следовательно, и D) всегда перпендикулярен этой поверхности. Поэтому уравнение B2.8) у поверхности про- проводников принимает вид еЕ = D = 47ГСГП, B2.10) где п — внешняя нормаль к этой поверхности, а е — диэлектри- диэлектрическая проницаемость соприкасающейся с ней среды. Уравнение G.8) является, очевидно, частным случаем этой формулы. 3. Уравнения B1.4), B2.2), B2.4) и B2.7) E = -gradv>, ?> = еЕ, D2n — D\n = 4ira, дополненные требованием непрерывности потенциала у? *), пред- представляют собой полную систему уравнений электростатического поля в произвольной среде. Это значит, что если заданы плотно- плотности свободных зарядов р и а и диэлектрическая проницаемость е в каждой точке пространства и если на бесконечности удовлет- удовлетворены условия A2.10): ER2 при R —> оо остается конечным, то системой (А) однозначно определяется электрическое поле, т. е. значения у?, Е и D в каждой точке пространства; обратно, если заданы: а) диэлектрическая проницаемость е и б) напря- напряженность поля Е (или потенциал </?, или индукция D) в каждой ') Ибо двойных электрических слоев, т. е поверхностей разрыва потенциа- потенциала, мы не рассматриваем. Впрочем, включение их в излагаемую теорию не представляет никаких затруднений Заметим, что, согласно § 7, уравнени- уравнением Е = — grad <p обеспечивается непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е
108 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II точке пространства, то системой (А) однозначно определяется распределение свободных зарядов р и а. Справедливость второго утверждения очевидна; для доказа- доказательства же первого предположим, что существует два решения Е, D, (р и Е', D', <р' системы (А) при заданных е, р, а. Внося оба решения в (А) и вычитая затем соответственные уравнения друг из друга, получим J _, „ Г ' (А') divD" = O, D'2n = D"n, где Е" = Е - Е', D" = D - D', у" = ч>- <р'. Далее на основании (А') и D3г) можем написать следующую цепь ра- равенств: еЕ = D"E" = -D" grad ц>" = - div (D'V") + v" div D" = - div (D'V")- Следовательно, интеграл еЕ по произвольному объему, ограниченно- ограниченному поверхностью S, на основании A7*) будет равен [ еЕ dV=- f div (D'V") dV = - ? D V dS, J J J s причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по граничной по- поверхности S, ибо во всем поле как tp", так, согласно (А'), и D'^ остаются непрерывными. Если теперь распространить интегрирование по объему пол- полного поля, то интеграл по поверхности S обращается в нуль. Следовательно, еЕ dV = О, что может иметь место лишь в том случае, если во всех точках поля Е" = = Е — Е' обращается в нуль, чем и доказывается однозначность решения системы (А). Итак, вектор Е", удовлетворяющий системе (А'), тождест- тождественно равен нулю. Так как при отсутствии свободных зарядов (а = р = 0) система (А) принимает вид (А'), то, стало быть, в отсутствие свободных зарядов электрическое поле тождест- тождественно равно нулю. Таким образом, наличие диэлектриков может только видоизменять поле свободных зарядов; в отсутствие же последних поляризация диэлектрика спадает, становится равной нулю и электрическое поле исчезает. (См., впрочем, примечание к с. 104.) 4. В заключение заметим, что для графического изображе- изображения электрического поля в диэлектриках неудобно пользоваться силовыми линиями этого поля, т. е. линиями вектора Е (см. § 10), ибо дивергенция (объемная и поверхностная) этого вектора при наличии диэлектриков может быть отличной от нуля не только в тех точках поля, где находятся свободные (объемные и поверх- поверхностные) заряды, но также и в точках расположения связанных зарядов диэлектрика, плотность которых в свою очередь зависит
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 109 от напряженности поля, неоднородностей среды и т. д. Поэтому для графического изображения поля в диэлектрике пользуют- пользуются так называемыми линиями индукции, т. е. линиями вектора электрической индукции D. Так как, согласно B2.4), вектор D в каждой точке простран- пространства (за исключением анизотропных сред) параллелен векто- вектору Е, то каждая линия индукции является вместе с тем и силовой линией и наоборот. Поэтому, в частности, из того, что невозмож- невозможны замкнутые силовые линии, следует также и невозможность замкнутых линий индукции. Однако если, как это принято, чер- чертить линии сил и линии индукции с таким расчетом, чтобы чи- число этих линий, пересекающих любую площадку dS, было по возможности пропорционально потоку соответствующего векто- вектора (D или Е) через эту площадку, то густота линий индукции и линий сил будет, вообще говоря, меняться различным образом от одного участка пространства к другому. В частности, при таком способе черчения некоторые линии сил нужно будет оборвать на связанных отрицательных зарядах диэлектрика, тогда как соот- соответствующие линии индукции будут проходить через и за эти заряды до встречи с зарядами свободными. Действительно, так как зависимость объемной и поверхност- поверхностной дивергенции вектора D от распределения свободных зарядов в произвольной среде совпадает с зависимостью divE и DivE от р и а в отсутствие диэлектриков, то, согласно результатам § 10, линии индукции могут начинаться и оканчиваться лишь в тех точках поля, в которых расположены свободные электри- электрические заряды, либо уходить в бесконечность *). В вакууме век- вектор D тождествен вектору Е, так что линии индукции совпадают с силовыми линиями. Задача 16. Показать, что на границе раздела двух диэ- диэлектриков силовые линии (т. е. линии направления вектора Е) испытывают преломление, причем _ ?1. где Р\ — угол, образованный направлением силовой линии в пер- первом диэлектрике с нормалью к поверхности раздела, е\ — ди- диэлектрическая проницаемость первой среды, а /Зг и е% —- соответ- соответственные величины для второй среды. Задача 17. Показать, что напряженность поля Е' в сред- средней части длинной и узкой щели, проделанной в твердом диэлек- диэлектрике, равна напряженности поля Е в диэлектрике, если щель эта параллельна вектору Е, и что Е' равна индукции D в ди- диэлектрике, если щель перпендикулярна Е. ., впрочем, примечание на с. 55 о точках неопределенности.
110 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Задача 18. Показать, что для однозначного определения электростатического поля в произвольной среде достаточно за- задать, во-первых, расположение и форму проводников, значение диэлектрической постоянной в каждой точке среды и распреде- распределение свободных объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике и, во-вторых, либо потенциал <рг каждого про- проводника [задача (А)], либо общий заряд ег каждого проводника [задача (В)] (ср. § 13). Задача 19. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектри- Диэлектрические постоянные этих слоев равны ei и ?2, а их толщины — d\ и d,2, причем d\ + cfc = d, где d — расстояние между плас- пластинами конденсатора. Показать, что емкость конденсатора С определяется соотношением J_ 4тг (fa Л С S W e где 5" — поверхность его пластин. § 23. Электрическое поле в однородном диэлектрике 1. Рассмотрим простейший случай диэлектрической среды, когда все поле, т. е. все участки пространства, в которых век- вектор Е не равен нулю, заполнено однородным диэлектриком. Это будет иметь место, например, в том случае, если система провод- проводников погружена в бесконечный однородный диэлектрик (ибо в случае электрического равновесия внутри проводников Е = 0) или в диэлектрик, ограниченный замкнутой металлической обо- оболочкой (электростатическая защита). В этом случае во всех диф- дифференциальных уравнениях поля постоянные е и а могут быть вынесены за знак производной, и, например, из B2.2) и B2.4) следует: div D = div гЕ = е div Е = 4тг/э, или divE = -VV= --4ттр. B3.1) е Это значит, что при заданном распределении свободных зарядов потенциал и напряженность поля в однородном диэлектрике в е раз меньше потенциала и напряженности поля в вакууме. Ча- Часто это положение кладется в основу всей формальной теории диэлектриков. Из него непосредственно вытекает, что потенциал и напряжен- напряженность поля точечного заряда в однородном диэлектрике равны V = —, Е = — B3.2)
§ 23 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ 111 (так называемый обобщенный закон Кулона). Далее, разность потенциалов между обкладками конденсатора при заполнении пространства между ними однородным диэлектриком должна уменьшаться в е раз, если заряды обкладок остаются неизмен- неизменными. Это значит, что емкость конденсатора С возрастает при этом в е раз: С = еС0. B3.3) Напомним, наконец, что значение вектора электрической ин- индукции D в однородной среде не зависит от диэлектрической проницаемости этой среды и вполне определяется распределени- распределением свободных зарядов, ибо из B2.4) и B3.2) следует, что D = еЕ = ^. B3.4) 2. Необходимо, однако, твердо помнить, что уравнения B3.1)-B3.4) неприменимы к диэлектрику неоднородному. Так, например, если в поле заряда е внести кусок диэлектрика D (рис. 28), то благода- ря поляризации этого Рг +е Р\ диэлектрика напряжен- • • • ность поля в точках Pi и Рч не уменьшится, как рис 28 то соответствовало бы формуле B3.1), а увеличится. Действительно, отрицательные за- заряды диполей сместятся в диэлектрике влево, а положительные вправо, так что направление результирующего поля этих зарядов в точках Pi и Рг будет совпадать с направлением поля заряда е. В точке же Рз поляризация диэлектрика вызовет ослабление пер- первоначального поля заряда е. Вообще в неоднородной среде нельзя установить сколько-ни- сколько-нибудь простой зависимости поля от расположения одних толь- только свободных зарядов, зависимости типа закона Кулона B3.2). Лишь обращаясь к дифференциальным уравнениям поля, т. е. к уравнениям, связывающим значения характеризующих поле ве- величин в смежных точках пространства, можно прийти к срав- сравнительно простым соотношениям между этими величинами [си- [система уравнений (А), с. 107], ибо лишь дифференциальные соот- соотношения полностью определяются свойствами данного элемента среды независимо от свойств удаленных ее участков. 3. Рассмотрим еще пример, когда бесконечное полупространство над плоскостью z = 0 заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ?i, а полупространство под этой плоскостью — другим од- однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ег (рис. 29). Определим поле заряда е, находящегося в произвольной точке Р. Выберем оси координат так, чтобы ось z проходила через точку Р; координаты этой точки будут х = у = 0, z = zo. Пусть для определенности го > 0, т е. заряд находится в верхнем полупространстве, где е = еь
112 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Обозначим потенциал в верхнем полупространстве через tpi, а в ниж- нижнем — через (f2 ¦ Условие непрерывности потенциала на границе раздела диэлектриков гласит: z (wi)*-n — (w-,),-n. B3.5) Р. о Далее, так как в нашем случае <т = 0, то, выражая в B2.8) Е через grad ip, получим fdipi\ _ (ду2\ ,„„ _. 1 V dz )г=0 2 \ dz Jz=0 Наконец, поскольку в каждом полупрост- полупространстве ? постоянно, то, согласно B3.1), 62 VI - 2 _ ~ч'Г ту2,* ~"'f (ЧЪ 7\ <р\ — , V <f>2 = (to.I) I / ?l ?2 Так как в нашем случае р = 0 всюду, кроме точки Р, то V2ifi2 = 0, B3 8) P'-if. а первое из уравнений B3.7) будет, очевид- очевидно, удовлетворено, если мы положим Рис. 29 ,п, — _?—и <„'. XI2,п'. = П B3.9) где R — расстояние точки наблюдения от точки Р: R= \Jx2 + у2 + (z — z0J. Потенциал в каждой точке пространства будет зависеть, во-первых, от ее расстояния до точки Р, т. е. от R, и, во-вторых, от ее расстояния до плос- плоскости раздела, т. е. от z. По соображениям симметрии вместо последней пе- переменной удобно ввести расстояние R' = \Jx2 + у2 + (z + zoJ произвольной точки пространства от точки Р', симметричной с Р относительно поверх- поверхности раздела; координаты точки Р' равны 0, 0, —zq. Уравнение плоскости раздела в переменных R и R' примет вид R = R', B3.10) а решениями уравнений B3.8) и B3.9), обладающими требуемой симметри- симметрией, будут, очевидно, выражения / Ае lie. .„„ .,.,. Г ?1Й' где А и ц — некоторые постоянные. Действительно, потенциал tp2 в ниж- нижнем полупространстве не может содержать члена, пропорционального 1/R', ибо он не удовлетворял бы уравнению B3.8); аналогично <р[ не может со- содержать члена, пропорционального 1/R. Внося B3.9) и B3.11) в B3.5) и учитывая B3.10), получаем = —; аналогично из B3.6) после элемен- ?l ?2 тарных выкладок получаем 1 — А — fi Таким образом, все наши уравнения , ei - ?2 2?2 удовлетворятся, если положить А = , ft = , т. е. если положить ?1 + ?2 ?1 + ?2 е ei — ?2 е tp = tpi = 1- — — при z > 0, ?li2 e^?l+?2)H' B3 12) <p = ш2 — при z < 0 ?l + ?2 R На основании теоремы однозначности (см. § 22) полученные выражения являются единственными решениями нашей задачи (вплоть до аддитивной постоянной в потенциале, не сказывающейся на напряженности поля).
§24 ПОДСЧЕТ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКА 113 Если все пространство заполнено однородным диэлектриком (ei = ?2), то B3.12) переходит в элементарное выражение обобщенного закона Кулона B3.2). При ei ф ?2 влияние неоднородности диэлектрика на потенциал ipi в верхнем полупространстве эквивалентно влиянию добавочного фиктивного заряда [(ei — ?г)/(е1 + ?г)]е, помещенного в симметричную с Р точку Р'. (Ср. решение аналогичной задачи в § 13 методом изображений.) § 24. Непосредственный подсчет поля при наличии диэлектрика (в простейших случаях) 1. Чтобы пояснить влияние поляризации диэлектрика на на- напряженность поля, мы проведем непосредственное вычисление поля в двух простейших случаях. При этом для простоты мы будем предполагать, что все заряды в диэлектрике закреплены одинаково прочно и имеют одинаковую абсолютную величину е. Число зарядов каждого знака в единице объема диэлектрика обо- обозначим через N. 2. Рассмотрим элементарный вывод обобщенного закона Ку- Кулона для однородного диэлектрика. Пусть все поле заполнено од- однородным диэлектриком и «свободный» положительный заряд ео находится в однородном диэлектрике в точке О; требуется опре- определить поле Е этого заряда в некоторой точке Р на расстоя- расстоянии R от него. Под воздействием поля Е отрицательные заряды диэлектрика сместятся к центру О, а положительные удалятся от него. Благодаря шаровой симметрии поля все пространство может быть разбито на концентрические шаровые слои с цен- центром в О, в каждом из которых плотность расположения заря- зарядов постоянна. Поле всех заряженных шаровых слоев, внешних по отношению к точке Р, равно в этой точке нулю, поле же всех внутренних слоев в точке Р таково, как если бы весь заряд этих слоев был сосредоточен в центре О [см. уравнение D.6)]. Каков же общий заряд этих внутренних слоев, т. е. заряд, находящийся внутри сферы 5", проходящей через точку Р? Так как, по предположению, все заряды в диэлектрике оди- одинаковы и связаны в нем одинаково прочно, то при возникнове- возникновении поляризации все положительные заряды, находившиеся на расстоянии R от центра О, должны были сместиться наружу на некоторое расстояние SR, а все отрицательные — внутрь на то же расстояние; конечно, это смещение SR уменьшается при удалении от О. Через поверхность сферы 5" радиуса R при воз- возникновении поляризации должны были пройти наружу все по- положительные заряды, находившиеся в слое толщины 5R, при- прилегающем к сфере S изнутри. Число этих зарядов по условию равно N ¦ inR2 SR. Такое же число отрицательных зарядов войдет, очевидно, снаружи внутрь сферы S. Таким образом, общий отрицатель-
114 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ 11 ный заряд 8е, появляющийся внутри сферы 5", благодаря поля- поляризации диэлектрика, будет равен 8е = -eN • 8тгД2 SR. Напряженность поля этих зарядов в точке Р, как указывалось, будет такова, как если бы все эти заряды были сосредоточены в центре симметрии О. Стало быть, общая напряженность поля в точке Р будет равна р — е° + ^е R2 ' С другой стороны, электрический момент единицы объема диэлектрика Р = ^ e2Rj до поляризации был равен нулю, а по- после поляризации стал равным Р = J2 ег(^ ± SR) = 2Ne6R. Таким образом, числовое значение вектора Р равно и, стало быть, Таким образом, Е = eo + Se = fl - 4тгР. R2 R2 H, E=~D R2' г что и требовалось доказать. 3. Определим поле равномерно поляризованного шара. Пусть поляризация Р постоянна по величине и направлению во всех точках шара радиуса а. При Р = 0 положительные и отрица- отрицательные заряды диэлектрика одинаково распределены по объему шара и поля их взаимно компенсируются. При возникновении же поляризации положительные заряды сдвигаются на некоторый отрезок 1, а отрицательные на отрезок — 1. Таким образом, после сдвига отрицательные заряды диэлектрика будут заполнять собой шар радиуса а, центр которого смещен на отрезок 21 относительно цен- центра шара того же радиуса, заполненно- заполненного положительными зарядами (рис. 30). Следовательно, поле равномерно поля- поляризованного шара должно быть тожде- ственно с полем двух сдвинутых друг ис' относительно друга на отрезок 21 ша- шаров радиуса а, равномерно заряженных разноименным электри- электричеством. Так как, по предположению, на единицу объема диэлек- диэлектрика приходится по N зарядов каждого знака, то общий заряд
§ 24 ПОДСЧЕТ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКА 115 каждого шара по абсолютной величине будет равен е' = eNV, где V — 4/з?т3 есть объем шара. Внешнее поле равномерно заряженного шара таково, как если бы весь заряд шара е' был сосредоточен в его центре [уравнение D.7)]. Стало быть, внешнее поле поляризованного шара таково, как если бы два точечных заряда ±е' находились на расстоя- расстоянии 21 друг от друга, т. е. тождественно с полем диполя момента р = 2e'l = 2VeNl. Таким образом, потенциал равномерно по- поляризованного шара объема V вне этого шара, согласно (8.10), будет равен Ve = 2eJVFg (R > а), где R — радиус-вектор из центра шара в исследуемую точку поля. С другой стороны, электрический момент единицы объема шара Р = Х^ ег&г Д° поляризации был равен нулю, после же поляризации он станет равным Р = X)e«(R^ ± 1) = 2eJVl. Следо- Следовательно, окончательно имеем <Pe = V^± (R>a). B4.1) Аналогичной же формулой определяется и потенциал вну- внутренних точек шара [R ^ а), если только в этом случае пони- понимать под V объем не всего шара, а лишь той его части, которая ближе к центру, чем рассматриваемая точка поля, т. е. если в B4.1) положить V = fanB?: ^ = Trf>^ = TPR {R<a)- B42) Действительно, потенциал поля заряженного шара, образованного по- положительными зарядами диэлектрика, внутри этого шара равен [уравнение (8 12)] = 2тгр (п2 Щ\ где р = eN есть плотность положительных зарядов в диэлектрике, потенци- потенциал же шара, образованного отрицательными зарядами диэлектрика, равен ip- = -2тгр I о - — ) , причем R.+ и R,- суть расстояния точки поля от центра соответственных шаров- R+ = R — 1, R- = R + 1 Поэтому результирующий потенциал всех зарядов диэлектрика при R sj а равен п V, = V+ + V-= --тгр(Д+ - R2.) о Так как Я+ — й1 = —41R, то потенциал поля внутри поляризованного шара равен что и требовалось доказать
116 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Очевидно, что при R = а выражения для <ре и ц>г принима- принимают одинаковые значения, т. е. что потенциал ц> поляризованного шара является непрерывной функцией точки. Наконец, напряженность поля поляризованного шара внутри этого шара будет равна Ег = -V<pt = --ttV(PR) (Я < а). о Так как вектор Р постоянен по величине и направлению, то V(PR) = Р, и поэтому окончательно: Е, = --ттР (Я < а). B4.3) О Таким образом, напряженность поля равномерно поляризо- поляризованного шара постоянна по величине и направлению во всех его внутренних точках. Конечно, рассмотренную на'ми задачу можно было бы ре- решить, исходя непосредственно из общих уравнений поля в ди- диэлектрических средах. Этот способ решения, а также рассмо- рассмотрение вопроса о том, как можно поддерживать равномерную поляризацию в диэлектрическом шаре, мы предлагаем уяснить читателю на следующем примере. Пример. Шар радиуса а из однородного диэлектрика по- помещается в однородное внешнее поле Eq, направленное по оси z. Исходя из дифференциальных уравнений поля, доказывается, что шар будет поляризован равномерно, причем поляризация его будет равна , *=%?&*• B4-4) а потенциал поля будет равен сумме потенциала внешнего поля и потенциала поляризованного шара, определяемого уравнения- уравнениями B4.1) и B4.2): PR = PR (Я<о) Чтобы доказать справедливость формул B4.5), достаточно показать, во-первых, что <?>е и <рг удовлетворяют уравнению Пуас- Пуассона: V2(?>e = V2<?>j = 0 и, во-вторых, что на поверхности диэлек- диэлектрика, т. е. при R = а, потенциал непрерывен: <ре = фг при R = а, и непрерывна нормальная слагающая электрической индукции: D*n = -%? = -e%? = Dm при R = a. oR dR
§25 МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 117 Предоставляем это сделать читателю (при выполнении диф- дифференцирования по R удобно выразить z через Rcosd). Из B4.5) следует, что внутри шара с, _ ЗЕ0 Внося это значение Ег в B2.6), получаем B4.4). § 25. Микро- и макроскопические значения физических величин 1. Этот и последующие параграфы, вплоть до § 29, мы посвя- посвятим более строгому выводу уравнений макроскопического поля в диэлектриках из микроскопических уравнений поля, а также выяснению зависимости диэлектрической постоянной среды от атомистического строения этой среды, ее температуры и т. д. До сих пор мы не обращали достаточного внимания на то обстоятельство, что поле каждой молекулы диэлектрика в не- непосредственной близости от нее должно чрезвычайно быстро изменяться от точки к точке (например при переходе от положи- положительных к отрицательным зарядам молекулы). Правда, эти изме- изменения поля протекают в микроскопическом масштабе и недоступ- недоступны нашему макроскопическому наблюдению. Измеряя, например, поле в жидком диэлектрике путем погружения в него пробного заряда, например, достаточно малого заряженного металлического шарика, мы, очевидно, измеряем среднее из тех значений, кото- которые имеет напряженность поля Е на поверхности этого шарика. 2. Чтобы уточнить понятие среднего значения, мы введем следующую терминологию, предложенную Лоренцем. Мы будем называть физически бесконечно малыми в отличие от матема- математически бесконечно малых такие элементы объемов, поверхно- поверхностей и линий, которые одновременно удовлетворяют следующим двум требованиям: а) физически бесконечно малые элементы должны быть чрез- чрезвычайно велики по сравнению с расстояниями между молекула- молекулами среды, а стало быть, и по сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и поля; б) вместе с тем физически бесконечно малые элементы долж- должны быть чрезвычайно малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями поля и среды; другими словами, средние зна- значения физических величин (например ip, E, е и т. д.) в любом из этих элементов должны бесконечно мало отличаться от средних значений этих величин в смежных с ними элементах 1). 1) За исключением элементов, отделенных друг от друга поверхностями разрыва, если только мы вообще захотим ввести в рассмотрение (в сущности, фиктивные) поверхности разрыва
118 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ U Даже в газообразных, не говоря уже о жидких и твердых, телах расстояния между молекулами столь малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями изучаемых обычно по- полей, что почти всегда оказывается возможным одновременно удо- удовлетворять обоим этим условиям. Конечно, возможны и такие случаи, когда приведенные условия взаимно исключают друг друга; так, например, длина волны жестких рентгеновских лу- лучей, могущая служить мерой неоднородности поля этих лучей, меньше расстояния между молекулами материальных тел. 3. Оставляя в стороне подобные исключительные случаи, мы будем в дальнейшем под макроскопическими величинами пони- понимать средние значения физических величин в физически беско- бесконечно малом объеме. Другими словами, под макроскопическим значением произвольной физической (скалярной или векторной) величины ф (например <?>, Е, р) в данной точке Р пространства мы будем понимать среднее из истинных или микроскопических значений этой величины в физически бесконечно малом объ- объеме V, окружающем точку Р: ? / dV. B5.1) Заметим, что, лишь введя это определение, мы придаем четкий смысл всем нашим предшествующим рассуждениям. В частности, ведь и внутри проводников атомистическое строение электри- электричества проявляется в чрезвычайно быстрых колебаниях микро- микроскопических значений физических величин в смежных точках пространства; так, например, микроскопическая плотность элек- электричества р отлична от нуля лишь внутри электронов и атомных ядер. Таким образом, говоря о плотности заряда в поверхност- поверхностном слое проводников, о постоянстве потенциала внутри них и т. д., мы, в сущности, говорим о средних значениях этих величин, определяемых уравнениями типа B5.1). 4. В последующем нам неоднократно придется находить урав- уравнения для макроскопических величин, исходя из дифференци- дифференциальных уравнений для микроскопических величин. При этом нам придется пользоваться следующим положением: среднее значе- значение производной по координате (а также и по времени) от про- произвольной величины ф равно производной от среднего значения этой величины: _ д/ = f*, B5.2) ах ох где черта сверху обозначает образование среднего. Мы докажем эту теорему в предположении, что ф — величина скаляр- скалярная. Применяя затем эту теорему к отдельным слагающим произвольного вектора, мы сможем убедиться, что она остается справедливой и для вектор-
§25 МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 119 ных величин. Наконец, соответствующая теорема справедлива и для произ- производных по времени, в чем можно убедиться простым дифференцированием формулы B5.1). Согласно B5.1) среднее значение ф в точке Р равно р = — где для определенности мы будем считать, что интеграл распространен по объему V физически бесконечно малой сферы по- верхности S с центром в Р. Подобно этому, Фр> = ^ где V' — объем равновеликой сферы по- поверхности S' с центром в точке Р' (на Рис. 31 рис. 31 изображено сечение этих сфер центральной плоскостью). Поэтому фр lim lim Эх РР'-Ю РР' V dx-*O dx Но J %l>dV — J ipdV = J ipdV — J i/irfV, где V+ и VI суть, соответственно, v v v+ v_ объемы переднего и заднего слоев, заключенных между поверхностями S и S'. Далее, прилегающий к элементу dS сферы S элемент объема dV+ равен dV+ = dS ¦ dx ¦ cos (n, x) (cos(n, x) > 0), где n — внешняя нормаль к сфере S, и, соответственно, dV- = —dS ¦ dx ¦ cos (n, x) (cos (n, x) < 0). Следовательно, V_ — f ф cos (n, x) dSdx+ J i/>cos (n, x) dSdx = cos(n,i)^0 cos(n,x)<0 = dx ? ф cos (n, x) dS, где последний интеграл распространяется по всей поверхности сферы S. Таким образом, окончательно получаем С другой стороны, — фр = —(Ь дх дх (п, х) dS. где i — единичный вектор по оси х. Ввиду постоянства этого вектора igradt^ = div {\ф), откуда на основании теоремы Гаусса A7*) |? = ~ J div (h/>) dV = i ф(т)ф dS = i ^ cos (n, x) dS, V S S S что совпадает с выражением для дф/дх Таким образом, уравнение B5.2) доказано.
120 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II § 26. Вывод уравнений поля в диэлектриках путем усреднения микроскопического поля 1. В развитие идей, изложенных в предыдущем параграфе, мы поставим теперь задачу путем непосредственного усреднения уравнений истинного микроскопического поля вывести уравнения для средних макроскопических значений, характеризующих поле величин Е, ip, p и т. д., т. е. вывести уравнения, полученные нами несколько иным путем в § 22. При этом мы будем исходить из пред- предположения, что основные уравнения электростатического поля A0.2) A1.1) строго справедливы для истинного микроскопического поля, если под р понимать истинную плотность электричества, отличную от нуля лишь внутри отдельных атомов (вернее, внутри электронов и атомных ядер) *). 2. Из B5.2) непосредственно вытекает, что среднее значение электрического вектора Е равно градиенту от среднего значе- значения потенциала у?, т. е. что (Ю.2) остается справедливым и для макроскопических величин. Уравнение же A1.1) принимает вид V2^ = - divE = -4тгр, B6.1) где под р надо понимать среднее значение истинной плотности электричества, т. е. сумму плотностей электричества свободного и связанного: Р = Рсвбд 4-рсвзн- B6.2) Однако плотность связанного в диэлектрике электричества опре- определяется его поляризацией, т. е. в свою очередь зависит от напря- напряженности поля Е. Поэтому уравнением B6.1) удобно будет поль- пользоваться лишь в том случае, если из него исключить плотность связанного электричества, для чего необходимо определить за- зависимость рсвзн от напряженности поля Е. 3. Выделим в диэлектрике поверхностью S некоторый объ- объем V, размеры которого велики по сравнению с расстояниями между молекулами, и предположим для простоты, что диэлек- диэлектрик состоит из нейтральных молекул и что свободных, не свя- связанных с молекулами диэлектрика зарядов в объеме нет. Вообще говоря, поверхность S пересечет некоторое число молекул так, 1) Предполагается, что эти электроны и ядра покоятся (электростатика!). Иными словами, с точки зрения классической электронной теории, мы дол- должны пока отвлечься от движения этих элементарных частиц, или, вернее, определять среднее по времени интересующих нас величин. С точки же зрения квантовой механики, атомы в нормальном состоянии действитель- действительно представляют собой стационарную электрическую систему.
§ 26 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 121 что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а другие — внутри него. Поэтому, несмотря на то, что каждая мо- молекула диэлектрика в целом нейтральна, общий заряд объема V, а стало быть, и средняя плотность электричества в нем, может оказаться отличным от нуля. Чтобы определить величину этого заряда, заменим для упрощения молекулы диэлектриков эквива- эквивалентными диполями (рис. 32) и рассмотрим физически бесконеч- бесконечно малый элемент dS поверхности 5. Средняя векторная длина 1 диполей, находящихся в физически бесконечно малом слое ди- диэлектрика, прилегающем к dS, будет связана с поляризацией Р этого слоя соотношением B0.7) P = 2^P = ^p = iVel, откуда р ~ Ne' Элемент dS пересечет все те диполи, центры которых располо- расположены в прилегающем к нему слое толщины l\ cos (I, n)| (рис. 33). «ШШшшШШ Рис. 33 Объем этого слоя равен dS • 2j cos A, п)|. Следовательно, число диполей1), рассекаемых элементом dS надвое, равно NldS X х | cos (I, n)|, абсолютная же величина некомпенсированного за- заряда в объеме V, соответствующего рассматриваемым диполям, равна \de\ =NeldS\cos{l, n)| = P|cos(P, n)\dS = \Pn\dS. При этом, если угол между Р и п (п — внешняя нормаль к dS) острый, т. е. cos (P, п) > 0, то внутри поверхности S находятся 1) Число молекул в микроскопически тонком слое можно принять равным произведению их среднего числа N в единице объема на объем слоя лишь в том случае, если расположение молекул подчинено закону случайности, как это имеет место в газообразных и жидких телах. В кристаллических же веществах, где расположение молекул строго упорядочено, число молекул в таком слое может существенно зависеть от положения границ этого слоя по отношению к узловым точкам кристаллической решетки. Поэтому, строго говоря, приведенный вывод формулы B6.3) в случае твердых диэлектриков нуждается в уточнении.
122 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II отрицательные заряды рассекаемых ею диполей (de < 0), в про- противном же случае, при cos (P, п) < 0, заряды положительные (de > 0). Стало быть, алгебраическая величина нескомпенсиро- ванного заряда de равна de = —Pn dS. 4. Чтобы определить общий заряд е, находящийся в объеме V, достаточно, очевидно, проинтегрировать полученное выражение по всей граничной поверхности объема S; воспользовавшись за- затем A7*), получим е = - С другой стороны, очевидно, что е / Рсвзн "'> V так что окончательно получаем уже знакомую нам формулу B1.2): PCB3H = -divP. B6.3) Таким образом, плотность связанных зарядов в диэлектри- диэлектрике определяется дивергенцией его поляризации. В частности, ес- если Р постоянно, то, рассматривая, например, поверхность куба, легко усмотреть и непосредственно, что передняя и задняя (по направлению Р) грани этого куба пересекут одинаковое число диполей; поэтому алгебраическая сумма зарядов (а стало быть, и средняя плотность электричества внутри куба) будет равна нулю. Отметим, что, согласно B1.7), div Р = div скЕ = a div Е + Е grad a и, следовательно, divP и рСвзн могут быть отличны от нуля лишь в том случае, если диэлектрик неоднороден (grad а Ф 0), либо ес- если divE ф 0. Последнее неравенство, как следует из F.5), озна- означает (при а = const), что в диэлектрике находятся свободные заряды, не связанные с его молекулами. 5. Справедливость формулы B6.3) предполагает, конечно, непрерывность вектора Р; на поверхностях же разрыва сплош- сплошности этого вектора формула B6.3), согласно F.7) и F.8), принимает вид = - DivP = -(P2n -Р1п), B6.4) где GСВЗН есть средняя поверхностная плотность связанных за- зарядов на поверхности разрыва, a Div P — поверхностная дивер- дивергенция вектора Р. Так как Р равно скЕ, то поверхности разрыва этого вектора, т. е. поверхностные заряды связанного электри- электричества, должны совпадать либо с поверхностями раздела двух
§ 27 ДВА КЛАССА ДИЭЛЕКТРИКОВ. КВАЗИУПРУГИЕ ДИПОЛИ 123 сред (скачок поляризуемости а), либо с поверхностями разрыва вектора Е; последние поверхности, как следует из B2.8), в свою очередь совпадают (при а = const) с поверхностными зарядами свободного электричества. В справедливости формулы B6.4) можно убедиться также путем непосредственного рассмотрения расположения диполей, индуцированных в молекулах диэлектрика. Очевидно, что по- появление поверхностных связанных зарядов объясняется тем, что заряды диполей, прилегающих к противоположным сторонам по- поверхности разрыва вектора поляризации, не могут взаимно ком- компенсироваться. б. Возвратимся к формуле B6.1). Воспользовавшись форму- формулами B6.2) и B6.3), мы можем ее записать в следующем виде: divЁ = 4тг(рсвбд + рсвзн) = 4тгрсвбд - 4тг divP, или Это уравнение совпадает с формулой B2.2), ибо в ней по са- самому ее смыслу под Е нужно понимать среднюю напряженность микроскопического поля Е, а под р — среднюю плотность сво- свободного электричества рСвбд- Из B1.5) и из A0.2) непосредственно следует система диффе- f>eнциaльныx уравнений макроскопического поля в диэлектрике система (А), § 22], что и требовалось доказать. § 27. Два класса диэлектриков. Квазиупругие диполи 1. Этот и два последующих параграфа мы посвятим молеку- молекулярной теории диэлектриков, которая позволяет связать свойства диэлектрика с его молекулярным строением, а также опреде- определить зависимость диэлектрической проницаемости от темпера- температуры диэлектрика, его плотности и т. д. Нужно различать два рода или два класса диэлектриков (с нейтральными молекулами): 1) диэлектрики, молекулы кото- которых построены из электрических зарядов столь симметрично, что в отсутствие внешнего электрического поля их электриче- электрический дипольный момент равен нулю, и 2) диэлектрики, моле- молекулы которых в отсутствие внешнего поля обладают некоторым определенным моментом ро- К первому классу относятся, на- например, газы N2, Нг, СО2, CH4, CCI4 в газообразном и жидком состоянии и т. д.; ко второму же классу — например, газы SO2, H2S, NH3 и такие жидкости, как вода, нитробензол, эфиры, орга- органические кислоты, в большинстве случаев обладающие большой диэлектрической проницаемостью.
124 ДИЭЛЕКТРИКИ 2. При наличии внешнего поля Е молекулы диэлектриков первого класса поляризуются, т. е. симметрия расположения их зарядов нарушается, и каждая молекула приобретает некоторый электрический момент р, который (при не слишком больших по- полях) пропорционален напряженности поля: р = /ЗЕ. B7.1) Коэффициент /3 носит название поляризуемости молекул. Что касается молекул второго класса, то их электрический момент ро также будет изменяться под воздействием внешнего поля. Однако гораздо большее значение будет иметь поворот оси молекулы по направлению поля под воздействием приложенного к ней момента сил: N = [р0Е] [ср. уравнение A7.6)]. По сравнению с этим поворотом оси, т. е. с изменением направления вектора ро, изменение момента под воздействием поля играет практически во всех случаях столь незначительную роль, что им можно вовсе пренебречь *). Соответственно этому мы будем в дальнейшем рассматри- рассматривать только два предельных случая: 1) молекулы, момент кото- которых пропорционален напряженности поля Е (их мы будем для краткости называть молекулами квазиупругими), и 2) молекулы с отличным от нуля постоянным по величине моментом ро (их мы будем называть молекулами твердыми). Диэлектрики вто- второго класса будут подробнее рассмотрены в § 29. В случае квазиупругих молекул направление моментов всех молекул параллельно полю, и, стало быть, из B7.1) следует, что B7.2) где N — число молекул в единице объема. Сравнивая это с B1.7), мы приходим к следующему соотношению между поляризуемо- поляризуемостью диэлектрика а и поляризуемостью его молекул /3: а = N0. B7.3) 3. В дальнейшем мы, как уже упоминалось, будем иногда для упрощения заменять рассмотрение совокупности реальных мо- молекул диэлектрика рассмотрением совокупности эквивалентных им диполей того же момента р. В том случае, когда мы имеем дело с «квазиупругими» моле- молекулами, момент эквивалентного диполя определится на основа- основании B7.1) формулой р = el = /ЗЕ. B7.4) *Kа исключением быстропеременных полей (см. § 101).
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 125 В частности, при отсутствии внешнего поля длина диполя должна обращаться в нуль, и заряды его должны взаимно ней- нейтрализоваться, раздвигаясь лишь при наличии внешнего поля Е. Диполь, момент которого пропорционален полю, называется диполем квазиупругим, потому что формула B7.4) равносильна предположению, что между зарядами диполя действует квазиуп- квазиупругая сила взаимного притяжения F = xl, пропорциональная расстоянию I между зарядами. Действительно, помимо F, на каждый заряд действует сила внешнего поля ±еЕ, которая должна уравновешивать силу F. Стало быть, длина квазиупругого диполя должна определяться соотношением xl = eE, где х. — мера упругих сил или «коэффициент упругости» диполя. Таким образом, момент диполя должен быть равен р = el - - Е, что совпадает с B7.4), если положить 0 = -, *=?• B7.5) яг /3 4. В действительности каждая молекула представляет собою сложную динамическую систему зарядов, подчиняющихся кван- квантовым закономерностям. Однако в интересующих нас отноше- отношениях эти молекулы эквивалентны простейшей электростатической модели — элементарному диполю (см. § 20). Для того чтобы зави- зависимость момента эквивалентного диполя от внешнего поля была такой же, как и зависимость от него момента реальной «ква- зиуиругой» молекулы, нужно допустить, что между зарядами этого диполя действуют некоторые силы неэлектростатическо- неэлектростатического происхождения, которые в совокупности с кулоновым при- притяжением этих зарядов оказываются эквивалентными квазиуп- квазиупругой силе. Согласно теореме Ирншоу (см. § 19) лишь введение подобных неэлектростатических сил, соответствующих понятию связей аналитической механики, может обеспечить устойчивость электростатической модели молекулы. § 28. Отличие действующего на диполь поля от среднего 1) 1. В предыдущем параграфе при выводе соотношения B7.3) мы неявно допустили некоторую неточность. А именно, в B7.2) Р = ЛГр = аЕ B8.1) 1) При первом чтении этот параграф можно опустить.
126 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II мы должны, очевидно, понимать под р средний момент диполей, находящихся в физически бесконечно малом объеме диэлектри- диэлектрика, а под Е — напряженность среднего макроскопического поля. Чтобы получить формулу B7.3) a = Nj3, мы внесли в B8.1) соотношение B7.1) справедливое для отдельного диполя. Следовательно, мы неявно допустили, что это последнее соотношение остается справедли- справедливым и для связи между средним моментом диполя и средней макроскопической напряженностью поля. Между тем, по определению, 0 есть коэффициент пропорци- пропорциональности между моментом эквивалентного молекуле диполя и электрической силой, действующей на его заряды. Эта сила определяется напряженностью внешнего (по отношению к дан- данному диполю) электрического поля в месте нахождения диполя, или, кратко выражаясь, в центре диполя. Стало быть, средний момент диполей должен быть равен р = /ЗЕ', B8.2) где Е' есть средняя напряженность поля в точках расположения центров диполей, и притом поля, внешнего по отношению к каж- каждому отдельному диполю. Между тем под Е понимается сред- средняя напряженность поля в диэлектрике, при вычислении кото- которой учитывается поле всех диполей во всех точках диэлектрика, а не только в центрах диполей. Очевидно, что Е' будет, вообще говоря, отличаться от Е и что формулу B7.2) нужно заменить формулой Р = Np = N0E'. Так как Е', очевидно, пропорционально Е, то основное урав- уравнение B1.7), конечно, остается в силе, однако поляризуемость единицы объема диэлектрика а не равна N0. Обозначая коэффи- коэффициент поляризуемости, вычисленный без учета отличия Е' от Е, через ско: а0 = N/3, Р = аоЕ', B8.2') мы поставим задачу найти зависимость между а и ско, для чего в свою очередь необходимо найти зависимость между Е' и Е. 2. Чтобы определить напряженность поля Е' в центре какого- либо диполя О, опишем из этого центра сферу S физически бес- бесконечно малого радиуса1). Поле Е' в точке О будет слагаться, г) Результат вычисления, очевидно, не может зависеть от формы поверх- поверхности 5 Сферическая форма выбрана нами лишь для удобства вычислений.
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 127 во-первых, из поля Ei всех зарядов, расположенных вне сфе- сферы 5, и, во-вторых, из поля Е2 зарядов, лежащих внутри S, за исключением зарядов самого диполя О. Если бы мы вырезали и удалили из диэлектрика сферу S, то поле в образовавшейся сферической полости и было бы, оче- очевидно, равно полю Ei. Поскольку заряды, возбуждающие это поле, находятся вне сферы 5, при определении Ei можно прене- пренебречь атомистической структурой диэлектрика и заменить сово- совокупность его молекул непрерывно распределенным по его объему электрическим моментом плотности Р. Далее, поскольку сфе- сфера имеет физически бесконечно малые размеры, поляризация Р окружающего сферу диэлектрика будет постоянной по величине и направлению. Итак, Ei равно напряженности поля в сфериче- сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика. До удаления сферы поле в равномерно поляризо- поляризованном диэлектрике однородно и равно средней напряженности макроскопического поля Е. По удалении же сферы S из этого поля, очевидно, вычтется поле равномерно поляризованной сфе- сферы S, напряженность которого, согласно B4.3), равна — 4/з""Р- Стало быть, Ei =E- (--тР) =Е + -тгР. B8.3) Таким образом, поле Ei постоянно по всему объему сферы S и не зависит от ее диаметра. Что же касается величины Е', которую мы для краткости назовем напряженностью «действующего на диполь» или «эф- «эффективного» электрического поля, то она, согласно изложенно- изложенному, равна Е' = Ei + Е2 = Е + -тгР + Е2. B8.4) О Таким образом, задача определения эффективного поля Е' сводится к задаче определения среднего поля Е2, возбуждаемого в центре диполя О прочими зарядами, лежащими внутри сфе- сферы 5. Напряженность этого поля может существенно зависеть от строения диэлектрика, — в частности, от взаимного располо- расположения его диполей, — и поэтому, строго говоря, никакой уни- универсальной зависимости Е2 от /3, N и Е не существует. Однако при некоторых простейших предположениях о строении диэлек- диэлектрика, как мы сейчас покажем, поле Е2 оказывается равным нулю. 3. Введем декартову систему координат с центром в О. Со- Согласно A0.4), слагающая Ех поля, возбуждаемого в точке О от- отдельным диполем, обладающим координатами х, у, z, равна -РхВ? _ Рх{2х2 -у2 -z Д5 Я5
128 ДИЭЛЕКТРИКИ Стало быть, слагающая по оси х поля Е2 будет равна B8.5) где суммирование должно распространяться на все диполи, на- находящиеся внутри физически бесконечно малой сферы S (за ис- исключением диполя, находящегося в ее центре) 1). Допустим, что диполи диэлектрика расположены по узлам кубической пространственной решетки. В этом случае моменты р всех диполей внутри физически бесконечно малой сферы S бу- будут одинаковы по величине и направлению, и в формуле B8.5) можно вынести рх, ру и pz за знак суммы. Приведем оси коор- координат х, у, z в совпадение с главными осями кристалла. Если координаты какого-либо из диполей, лежащего внутри 5, равны х = а, у = b, z — с, то внутри S найдется также диполь с коор- координатами х — Ь, у = a, z = с. Отсюда следует, что J^ ~5У = 0. Кроме того, внутри S найдется также и диполь с координатами х = —а, у = b, z = с, откуда следует, что ^ — = 0, и т. д. Таким образом, в этом случае, действительно, Е2 = 0. Тот же результат (Е2 = 0) получится и в случае совершен- совершенно беспорядочного расположения молекул диэлектрика (газооб- (газообразный диэлектрик). Действительно, если все положения любой выделенной молекулы внутри сферы S равновероятны и не за- зависят от положения других молекул, то среднее значение поля любой молекулы в центре сферы О равно нулю2). Нужно, одна- однако, иметь в виду, что предположение об отсутствии всякой кор- корреляции между положениями различных молекул равносильно пренебрежению: 1) конечными размерами молекул и 2) диполь- ным взаимодействием молекул друг с другом. 4. При Е2 = 0 формула B8.4) принимает вид Е' = Е + - тгР. B8.6) 3 v Внося это в B8.2'), получим = о;оЕ + - О 1) Если при определении среднего значения Ег учитывать поле всех дипо- диполей, находящихся внутри сферы S, во всех точках этой сферы, а не только в центре диполя О, то это среднее значение Ег окажется, очевидно, равным —4/зтР, так что Ei + E2 будет равно Е. 2) Это утверждение справедливо только для среднего поля. Фактически, поле Еа в системе случайно расположенных диполей описывается функцией распределения конечной ширины, центрированной при Е2 = 0.
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 129 откуда Р = 2° Е = аЕ, 1 - D/3)ttq0 и, следовательно, а = 22 . B8.7) 1 - D/3)тга0 v ' Таким образом, тот факт, что «действующее» поле Е' отлич- отлично от среднего поля Е, сказывается лишь на числовом значении коэффициента поляризуемости диэлектрика. В частности, соот- соотношение между диэлектрической проницаемостью и постоянной ско получится из B2.5): , 1-D/3)гга0 откуда 1 . S B8-8> Эта формула и формула B8.6) называются формулами Лоренц- Лорентца. Внося в B8.8) значение ско из B8.2'), получаем — = - nNp. B8.9) е+2 з к ' При ско «С 1 (т. е. при е, близком к единице) а может быть принято равным ско, а Е' равным Е, и мы возвращаемся к преж- прежним формулам, которые, таким образом, оказываются вполне справедливыми для слабо поляризующихся диэлектриков. Это и понятно, ибо в слабо поляризующихся диэлектриках влияние ди- диполей друг на друга существенной роли не играет. Между тем отличие Е' от Е обусловливается, в сущности, именно взаимо- взаимодействием диполей диэлектрика, учитываемым вторым членом формулы B8.6). Если N сравнительно мало (например в газах), то а может быть принято равным ско- 5. Следствия, вытекающие из формулы Лоренц-Лорентца, будут рассмотрены в § 29, пока же мы отметим еще раз, что ее вывод основан на ряде допущений и пренебрежений. В частно- частности, при замене поля отдельной молекулы или атома диэлектри- диэлектрика полем эквивалентного диполя [формула B8.5)] вовсе не было учтено, что эта замена законна лишь на расстояниях, значитель- значительно превышающих размеры атома (см. §20), тогда как в твердых и жидких диэлектриках расстояния между смежными атомами сравнимы с размерами этих атомов. Таким образом, из предыдущего, в сущности, с несомненно- несомненностью вытекает только необходимость учитывать различие меж- между средним макроскопический полем Е и средним эффективным полем Е'. Что же касается формулы Лоренц-Лорентца, то, хотя справедливость ее строго доказана лишь при весьма специаль- специальных предположениях, все же она, как мы увидим в § 29, хорошо оправдывается на опыте в применении к жидким диэлектрикам 5 И. Е. Тамм
130 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II с квазиупругими диполями [в газообразных средах е настоль- настолько близко к 1, что B8.8) практически не отличимо от B2.5) с а = а0]. О неприменимости формулы Лоренц-Лорентца к диэлектри- диэлектрикам с твердыми диполями см. следующий параграф. § 29. Поляризация диэлектриков, молекулы которых обладают постоянным электрическим моментом. Зависимость диэлектрической проницаемости от температуры 1. Как уже упоминалось в § 27, если молекулы диэлектрика и в отсутствие внешнего поля обладают электрическим моментом ро, то изменением этого момента под воздействием поля мож- можно пренебречь. Поляризация диэлектрика обусловливается тем, что силы электрического поля стремятся повернуть оси молекул по направлению вектора Е, т. е. стремятся упорядочить ориен- ориентацию электрических моментов молекул. Однако поляризация диэлектрика не сразу достигает максимума, соответствующего установке всех молекул по направлению поля, а возрастает про- пропорционально полю Е, ибо беспорядочное тепловое движение (в частности, вращение) молекул и их взаимные столкновения стремятся нарушить упорядоченность ориентации их осей, т. е. стремятся деполяризовать диэлектрик. Таким образом, факти- фактическая поляризация определяется соотношением между упорядо- упорядочивающим воздействием поля и противоположным воздействием теплового движения. Очевидно, что поляризация диэлектриков этого класса будет резко падать с повы- повышением температуры. 2. Пусть в единице объема диэлектрика содержится N мо- молекул с постоянным электриче- электрическим моментом ро. Опишем око- около произвольной точки диэлектри- диэлектрика сферу радиусом, равным еди- единице, и введем на ней поляр- полярные координаты: д — полярный угол и а —долгота, выбрав по- полярную ось параллельной вектору Е. Направление момента ро произволь- рис 34 ной молекулы будет характеризо- характеризоваться координатами i? и а «следа» оси этой молекулы на единичной сфере, т. е. координатами точки пересечения поверхности этой сферы с продолжением оси моле- молекулы (рис. 34). Если бы поле Е отсутствовало, то оси молекул
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 131 были бы равномерно распределены по всем направлениям. Это значит, что число молекул, след оси которых лежит на данном элементе единичной сферы, было бы пропорционально этому эле- элементу. В частности, число dN молекул, полярный угол осей кото- которых лежит в пределах от д до д + dd, т. е. следы которых лежат на шаровом поясе поверхности 27rsini9rfi9, заключенном между двумя параллельными кругами д и ¦д + rf$, должно быть равно dN = csmtidti, B9.1) где с — некоторый постоянный коэффициент. Для того чтобы определить распределение осей молекул при наличии ориентирующего их внешнего поля Е, необходимо при- прибегнуть к известной теореме статистической механики, так назы- называемой теореме Болъцмана. Теорема эта гласит: в условиях тер- термодинамического равновесия закон распределения молекул при наличии консервативного поля сил (в нашем случае — поля элек- электростатического) отличается от закона их распределения в от- отсутствие этого поля множителем е~и/кТ, где U — потенциальная энергия молекулы в рассматриваемом поле сил, Т — абсолют- абсолютная температура, а к — универсальная постоянная Больцмана, равная 1,38 • 1(Г16 эрг/К. В нашем случае потенциальная энергия дипольной молекулы в электрическом поле сил равна, согласно A5.8), U = —роЕ cos •&. Стало быть, распределение молекул определится ввиду B9.1) уравнением dN = с expPoEcosiSsmtfdd = ceacos^ sintfdtf, B9.2) где dN — число молекул, углы осей которых с направлением поля лежат в пределах между д и dd, и где введено обозначение а. B9.3) Таким образом, отклонение распределения молекул от равно- равномерного, определяемое фактором ехр ——?2!_; тем больше, чем больше напряженность поля и чем меньше температура. Это и понятно, ибо с повышением температуры растет энергия тепло- теплового движения, нарушающего упорядоченность распределения. 3. В газах и в разбавленных растворах дипольных жидкостей можно совершенно пренебречь разницей между действующим на диполь полем Е' (см. § 28) и средним макроскопическим полем Е. При нормальных температурах величина а во всех практически доступных внешних полях 1) оказывается значительно меньше 1) О молекулярных полях см в конце параграфа.
132 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II единицы. Ввиду этого можно с достаточной точностью заменить фактор eacosi3 первыми двумя членами его разложения в ряд по степеням а. При этом B9.2) примет вид dN = c(l + acostf)sini?dtf (a <? 1). Коэффициент пропорциональности с можно определить из того условия, что общее число всех молекул в единице объема должно равняться N: 7Г [ dN = [ с{\ = 2c = N. Следовательно, B9.2) можно окончательно записать так: dN = ±N(l+acos$)smtidti (а<1). B9.4) Зная, таким образом, распределение осей молекул по направ- направлениям, нетрудно определить и их результирующий электриче- электрический момент, т. е. поляризацию диэлектрика Р. Вектор Р па- параллелен напряженности поля Е, поэтому числовое значение его должно равняться сумме проекций моментов всех N молекул на направление Е. Общий момент тех dN молекул, оси которых ле- лежат между ¦д и д + dd, равен ро dN, а проекция этого момента на направление Е равна podN cos $. Следовательно, поляризация диэлектрика Р равна Р= [pocosti dN = -pQN Icostf(l + acostf) sintf dd = - Npoa, 0 или, по внесении значения а из B9.3), B9.5) Р ЗкТ где а = М. B9.6) ЗкТ К ' Следует заметить, что приведенные вычисления верны с точно- точностью до второго порядка по параметру а включительно, а не до первого, как кажется на первый взгляд. Действительно, если в разложении функции ceaC0S1? сохранить квадратичные члены, а затем обычным способом вычислить нормировочную постоян- постоянную с, то вместо формулы B9.4) получится dN=22 2 + a2/6) или с той же точностью dN = -N(l + acostf + -a2cos2•в- -aAsinfldti (a<l). 2 4 2 6 / v ' B9.4а)
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 133 После этого в выражении для Р добавится интеграл -pQN 2 О который, очевидно, обращается в нуль1). Этим замечанием мы воспользуемся в § 31 при разборе вопроса об энергии газообраз- газообразных диэлектриков с твердыми диполями. Таким образом, учет квадратичных членов не меняет окончательное выражение для Р. Отметим еще раз, что применимость формул B9.5) и B9.6) ограничена условием а = Р°Е « 1. B9.7) При нарушении этого условия в очень сильном поле или при очень низкой температуре Р перестает возрастать пропорцио- пропорционально Е и приближается к максимально возможному значению, соответствующему установке всех диполей по направлению поля. «Поляризация насыщения», очевидно, равна Рнас = Np0 2) . 4. Примем теперь во внимание, что в действительности моле- молекулы всех тел, вне зависимости от того, обладают ли они неко- некоторым постоянным электрическим моментом ро или нет, облада- обладают также некоторой квазиупругой поляризуемостью /3. Поэтому поляризация диэлектрика с твердыми диполями слагается из по- поляризации квазиупругой [уравнение B7.3)] и из поляризации, соответствующей упорядочению ориентации твердых диполей [уравнение B9.6)], т. е. определяется выражением ). B9.8) 3 кТ) К ' Чтобы выявить зависимость е от температуры Г и плотно- плотности т диэлектрика, выразим число N молекул в единице его объ- объема через его плотность т, его молекулярную массу М и через универсальную постоянную Авогадро Щ = 6,06 • 1023, равную числу молекул в одном моле вещества. Так как т и М равны, соответственно, массе единицы объема и массе одного моля, то N = ^. B9.9) х) Вообще, все члены с четной степенью а в разложении exp (a cos ¦&) дают для Р нулевой вклад. 2) Поляризация веществ с твердыми диполями в сильных полях будет по- подробнее рассмотрена в § 72 в связи с намагничением пара- и ферромагнети- ферромагнетиков.
134 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Внося это в B9.8), получим = р + - — . B9.10) т М \ 3 кТ/ В этой формуле ярко проявляется тот факт, что поляризация твердых диполей не представляет собой внутримолекулярного процесса, как в случае диполей квазиупругих, а определяется соотношением между ориентирующим воздействием электриче- электрического поля и дезориентирующим воздействием теплового движе- движения. А именно, диэлектрическая проницаемость с квазиупругими диполями (ро = 0) при постоянной плотности г от температуры не зависит 1), тогда как в диэлектриках с твердыми диполями обусловленная этими диполями доля поляризуемости при 47Г постоянном г обратно пропорциональна абсолютной температу- ре2). Зависимость е от Т и т, выражаемая формулой B9.10), хоро- хорошо подтверждается на опыте как для диэлектриков с квазиуп- квазиупругими диполями (N2, H2, С(>2, СЙ4, CCI4 и т. д.), так и для ди- диэлектриков с диполями твердыми (Н2О, SO2, HC1, NH3 и т. д.), если исследуемые диэлектрики находятся в газообразном состоя- состоянии (о жидкостях см. ниже). В частности, пользуясь формулой B9.10), можно по измеренной зависимости е от Г вычислить электрический момент молекулы диэлектрика; для большин- большинства молекул с «твердыми диполями» ро оказывается порядка 10~18 абс. (электростатических) единиц. К тем же результатам приводит и непосредственное определение момента отдельных молекул, основанное на измерении отклонения, которое испы- испытывает в неоднородном электрическом поле в вакууме пучок мо- молекул, влетающих в это поле (метод Штерна). 5. Заметим, что в формулах B9.6) и B9.10) не учтено раз- различие между средним значением напряженности электрического поля Е и средним значением Е' поля, действующего на молекулы диэлектрика (см. § 28). Поэтому эти формулы применимы только в слабо поляризующихся средах (а<С1). В случае диэлектриков с квазиупругими диполями учет отличия действующего поля Е' от 1) При рассмотрении диэлектриков с упругими диполями мы вовсе не учи- учитывали теплового движения молекул, что, конечно, допустимо в первом при- приближении. Можно, однако, показать, что и при более точном рассмотрении вопроса средний момент каждой молекулы р = РЕ от температуры не за- зависит См., например, Дебай П. Избранные труды Статьи. 1909-1965. —Л.: Наука, 1987. 2) Впоследствии (см §101) мы увидим, что диэлектрики этих двух ти- типов существенно отличаются также своим поведением в быстропеременных электрических полях.
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 135 среднего поля Е приводит к формуле Лоренц-Лорентца B8.8): B9.11) N0 0, е + 2 3 Н Ш И' которая хорошо подтверждается для диэлектрических жидко- жидкостей этого класса (поляризуемость которых а не мала по срав- сравнению с 1). Некоторое время было распространено предположение, что отличие действующего поля Е' от среднего поля Е выражает- выражается формулой B8.6) не только в диэлектриках с квазиупругими диполями, но и в диэлектриках с твердыми диполями. Из этого предположения вытекало, что при значительном отличии а от единицы формула B9.10) должна быть заменена формулой Lll^MnLfp + A.), B9.12) е + 2 дМ \И 3kTJ ' V ; являющейся обобщением формулы Лоренц-Лорентца B8.9) и применимой к диэлектрикам любого класса. Однако результаты экспериментального исследования ди- польных жидкостей (вода, спирты, эфиры и т. п.) вовсе не со- согласуются с формулой B9.12) г). Это вполне понятно, так как исходное для этой формулы лоренцево соотношение B8.6) между действующим и средним полями Е'иЕ неприменимо к диэлек- диэлектрикам с твердыми диполями Действительно, в диэлектриках этого класса каждая молекула (диполь) испытывает очень силь- сильное ориентирующее воздействие со стороны смежных молекул (диполей). Хотя в отсутствие внешнего электрического поля оси молекул и распределены равномерно по всем направлениям, од- однако между направлениями осей смежных молекул существует определенная корреляция. Эта корреляция мало изменяется и во внешнем поле, что не учитывается формулой B9.6) 2). б Отметим в заключение, что электрическое взаимодействие смежных ионов играет существенную роль в своеобразных свой- свойствах сегнетоэлектприков. К числу их относятся, во-первых, кри- кристаллы сегнетовой соли и родственных ей веществ, представляю- *)К сильно разбавленным растворам веществ с твердыми диполями в недипольных жидкостях приближенно применима формула типа B9.12) е + 2 3 V ЗкТ где N и N' означают соответственно число молекул растворителя и рас- растворенного вещества в единице объема раствора, 0 — поляризуемость мо- молекул растворителя и ро — электрический момент молекул растворенного вещества Однако условием применимости этой формулы является малость дипольного члена (второго члена в скобках) 2)См Китптпель Ч Введение в физику твердого тела — М Мир, 1978 Гл. 13 и литература к этой главе.
136 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II щих собою сложные органические соединения, и, во-вторых, ряд кристаллов типа КНгРО^ В определенном температурном ин- интервале, ограниченном в случае кристаллов первого типа двумя «точками Кюри» как со стороны высоких, так и со стороны низ- низких температур (в случае кристаллов второго типа нижняя точ- точка Кюри отсутствует), сегнетоэлектрики обладают аномальными электрическими свойствами, подобными магнитным свойствам ферромагнетиков. Так, например, в этом температурном интер- интервале диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков дости- достигает в слабых электрических полях значений порядка несколь- нескольких тысяч; при увеличении поля е быстро падает, а поляризация сегнетоэлектриков стремится к насыщению и т. д. Ч . § 30. Энергия электрического поля в диэлектриках 1. В § 15 было выведено выражение A5.6) для энергии элек- электрического поля в отсутствие диэлектриков: W = - f fxpdV+- f<j<pdS. C0.1) Эта формула остается справедливой и для случая электриче- электрического поля в произвольный среде, если только под р и а понимать плотность свободных зарядов. Влияние же диэлектрика сказы- сказывается в том, что при одном и том же распределении свободных зарядов значение потенциала (р в диэлектрике отличается от зна- значения его в вакууме. В частности, при том же распределении свободных зарядов потенциал tp, а вместе с тем, согласно C0.1), и энергия W в однородном диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме. 2. Чтобы доказать справедливость формулы C0.1) в случае наличия диэлектриков, нужно было бы вычислить работу А сил поля при перемещениях как свободных зарядов, так и самих ди- диэлектриков и показать, что А = -dW. C0.2) Доказательство справедливости этого соотношения при про- произвольных перемещениях свободных зарядов, но при неподвиж- неподвижности диэлектриков совершенно аналогично рассуждениям, при- приведшим нас в § 15 к формуле A5.6). Рассматривая перемещение заряда в] в поле заряда в2, получаем формулу A5.2) W = ei<pi, 1) В настоящее время известно очень много сегнетоэлектриков (по иностран- иностранной терминологии — ферроэлектриков). Среди них важное место занимает ВаТЮз и другие вещества такого типа. См. /Тайне М., Гласе А Сегнето- Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. — М.: Мир, 1981; Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Мир, 1978. Гл. 14. {Примеч. ред.)
§ 30 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 137 где ipi — потенциал поля заряда e<i в точке нахождения заряда е\. Рассматривая же перемещение заряда в2, получаем W' = Очевидно, что оба выражения для W должны совпадать 1): C0.3) 1) Справедливость этого «соотношения взаимности» в отсутствие диэлек- диэлектриков была доказана нами в § 15 путем использования для ср его выражения е/ R Справедливость же C0 3) в произвольной среде может быть доказана следующим образом. Пусть ip^ ' и D^ ' означают потенциал и индукцию поля, создаваемого зарядом еь Выделим вокруг каждого из зарядов г\ и ег бесконечно малые объемы Vi и Vi; поверхности этих объемов обозначим через Si и Si Во всем пространстве V' вне V\ и V^ divD(I) =divDB) = 0, а стало быть, и ( или, согласно D3*), div(y>B>D<l>) = DA)V^B) = div(y!'1>DB>) - DBVA)- Ввиду того, что -DAV2> = DA>EB) = еЕA)ЕB) = EA)DB) = - последнее соотношение равносильно Интегрируя обе части этого равенства по всему пространству V' вне объемов Vi и V2, получаем на основании теоремы Гаусса A7*). / у ^D^dS. (a) Si+S2 На бесконечно малой поверхности Si, окружающей заряд ei, потенциал ср'2' заряда ег можно считать постоянным Обозначая его через ipi, получаем на основании B2.3): 5i S, (знак минус появляется потому, что внешняя по отношению к объему инте- интегрирования V' нормаль к Si направлена к заряду ei, а не от него). Далее, поверхность 52 можно выбрать так, чтобы на ней потенциал у'2-1 имел по- постоянное значение. Тогда ибо внутри S2 нет зарядов, создающих поле D^\ Таким образом, <pB)Dln1)dS=-4wei<pi. 5i+S2 Совершенно аналогично получим § <p^D$PdS — —Атгеъфг- Внося это Si+S2 в (а), получаем соотношение взаимности C0.3).
138 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям A5.3), A5.4) и A5.6), что и требовалось доказать. Конечно, уравнение A5.5) уже не имеет места при наличии диэлектриков, ибо <р% ф &ijRi2- 3. Для исчерпывающего обоснования формулы C0.1) нужно еще вычислить работу А сил поля при произвольных перемеще- перемещениях диэлектриков и убедиться в том, что она также равна — dW. Однако строгое проведение этого вычисления было бы не только весьма сложно, но и не могло бы быть выполнено без опреде- определенных предположений о строении и свойствах диэлектриков. Поэтому мы удовольствуемся приведенным обоснованием фор- формулы C0.1) и обратим задачу, т. е. будем в дальнейшем рас- рассматривать это выражение для энергии [или, точнее, выражение C0.4), — см. ниже] как один из постулатов макроскопической теории поля, следствия из которого оправдываются на опыте. В частности, мы будем с помощью C0.2) определять работу сил поля при перемещениях диэлектриков, исходя из выражения C0.1) для энергии, как из данного. Помимо этого, мы здесь и в следующем параграфе покажем, что в тех простейших случаях, когда нетрудно непосредственно подсчитать работу сил поля при перемещениях диэлектриков, результаты подсчетов совпадают со следствиями, вытекающими из формулы C0.1). 4. Как уже упоминалось в § 16, выражение электрической энергии C0.1) по своей форме соответствует представлению о взаимодействии зарядов на расстоянии. Однако, как и в случае отсутствия диэлектриков, это выражение может быть преобра- преобразовано так, чтобы соответственно представлениям теории близ- кодействия энергию поля можно было считать распределенной с определенной объемной плотностью w по всему пространству, в котором поле отлично от нуля. Действительно, подынтегральное выражение первого из интегралов, входящих в C0.1), на основа- основании B2.2), D3^) и A0.2) может быть представлено в следующем виде: lpp= J-(/?divD = — {div(</?D)-Dgrad</?}= — {di 4тг 47г 4тг откуда на основании теоремы Гаусса A7*) имеем - ГpipdV = — [DEdV + — Гdiv(ipB)dV = 2 J н^ 8тг J 8л- J 8тг J Последний интеграл должен быть распространен, во-первых, на поверхность S, ограничивающую объем интегрирования V, и, во-вторых, на поверхности S[, выделяющие из этого объема поверхности разрыва подынтегрального выражения, т. е. поверх-
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 139 ности разрыва нормальной слагающей вектора D (ибо потенциал </? должен быть непрерывным, поскольку мы не рассматриваем двой- двойных электрических слоев). Если мы условимся рассматривать полное поле, то интеграл по ограничивающей его поверхности S обратится в нуль (см. с. 81). Поверхности же разрыва нормаль- нормальной слагающей вектора D являются поверхностями, заряженны- заряженными свободным электричеством, причем скачок этой слагающей Dn определяется уравнением B2.8). Стягивая обычным образом поверхности S[ вплоть до полного прилегания их к поверхностям разрыва S\ (см. с. 64), мы получим уравнение lim — [ Dn<pdS = — [ <p(Din - D2n) dS =-- [ipadS. S!-+Si 8тг J 87Г J 2 J S[ Si Si Таким образом, - f p<pdV = — fDEdV-- JatpdS, и, следовательно, энергия полного поля, согласно C0.1), равна W = — fDBdV. C0.4) 8тг J v Это выражение можно истолковать в том смысле, что энергия электрического поля распределена по всему занимаемому им про- пространству с объемной плотностью w, равной w=— DE = — E2. C0.5) 8л- 8л- v Уравнение это является одной из основных формул теории элек- электричества. Частным случаем его при е = 1 является A6.3). Эквивалентность выражений C0.1) и C0.4) имеет место толь- только в постоянном электрическом поле и, как мы увидим в дальней- дальнейшем, нарушается в поле переменном. Переменное электрическое поле вообще не может быть охарактеризовано однозначным ска- скалярным потенциалом <р, и поэтому формула C0.1), в которую входит if, теряет смысл в переменном поле; выражение же C0.4) для энергии электрического поля остается справедливым и в пе- переменном поле и должно поэтому рассматриваться как основное определение энергии электрического поля. § 31. Преобразования энергии, связанные с поляризацией диэлектриков. Свободная энергия электрического поля 1. Согласно C0.5) при заданной напряженности Е энергия поля в диэлектрике в е раз больше, чем в вакууме. Между тем, если носителем электрической энергии является электрическое
140 ДИЭЛЕКТРИКИ поле, как это предполагается теорией близкодействия, то, каза- казалось бы, что энергия эта должна зависеть от напряженности по- поля, а не от свойств среды, находящейся в поле. В частности, при одинаковой напряженности поля энергия его должна быть оди- одинаковой как в вакууме, так и в том случае, если в вакуум вкрап- вкраплены отдельные молекулы диэлектрика. Существуют, однако, две причины, по которым плотность энергии поля в диэлектри- диэлектрике зависит от напряженности этого поля Е иначе, чем в случае вакуума. Во-первых, в макроскопической теории под Е понимается сред- средняя напряженность электрического поля (см. § 25): Е = Емикро- Так как средняя плотность электрической энергии равна ^эл = ^-Емикро C1.1) и так как средний квадрат напряженности поля, вообще говоря, не равен квадрату средней напряженности: -Емикро ф (-Емнкро) = Е , то истинная плотность юэл электрической энергии в диэлектрике, вообще говоря, не выражается формулой A6.3): Е. Во-вторых, под энергией поля понимается вся энергия, кото- которую нужно затратить на возбуждение поля (или, что то же, вся энергия, которая выделяется при исчезновении поля). При на- наличии диэлектриков вовсе не вся эта энергия целиком является электрической энергией в собственном смысле слова. 2. Действительно, рассмотрим сначала диэлектрик с квазиуп- квазиупругими диполями. Возникновение поля в таком диэлектрике не- неразрывно связано с поляризацией его молекул, т. е. с раздви- раздвиганием зарядов диполей, эквивалентных молекулам. Между зарядами каждого диполя по основному предположению дейст- действуют силы как электростатического, так и неэлектростатиче- неэлектростатического происхождения, сводящиеся в совокупности к квазиупру- квазиупругой силе взаимного притяжения этих зарядов. Стало быть, при раздвигании зарядов диполя на расстояние I силы электрическо- электрического поля совершают определенную работу, диполем же приобре- приобретается равная этой работе упругая энергия Уг>^2, где х — мера упругих сил или коэффициент упругости, диполя. Согласно B7.5) и B7.4) 1„1*=*.(ёЕJ = 1{Ц?2 = ± рЕ\ C1.2) 2 2/3 V е / 2 2 К ' где Е' — напряженность поля, действующего на диполь. То же значение будет иметь и внутренняя энергия поляризованной мо-
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 141 лекулы. Общая же квазиупругая энергия гоупр всех молекул, на- находящихся в единице объема диэлектрика, будет равна гоупр = - NpE'. C1.3) Так как под энергией электрического поля понимается вся энергия, которую нужно затратить на возбуждение поля, то пол- полную энергию го поля в диэлектрике нужно, очевидно, положить равной сумме собственно электрической энергии гоэл и неразрывно связанной с ней упругой энергии гоупр поляризованных диполей: ,,, _,,, , ... _ ! ~Ш i I м^Гру Ш Ч'ЭЛ I "^УПР ~ ±J МИКрО I „ 14 JJ1-J ¦ Если мы пренебрежем разницей между -Емикро) Е' и средней напряженностью макроскопического поля Е и примем во внима- внимание, что Р = Np, то мы получим гоупр = I NpE =1рЕ=—(е- 1)Е2 и w = гоэл + гоупр = — Е2 + — (е - 1)Е2 = —, что совпадает с C0.5). Мы привели этот вывод формулы C0.5) ввиду его большой наглядности. Однако пренебрегать разницей между Еиикро, Е' и Е, в сущности, совершенно незаконно. Поэтому мы приведем также более строгое доказательство того, что энергия поля C0.5) в диэлектрике с квазиупругими молекулами равна сумме соб- собственно электрической энергии поля и упругой энергии, запа- запасенной в поляризованных молекулах диэлектрика. 3 Выделим внутри диэлектрика физически бесконечную малую сфе- сферу S и разложим поле ЕМикРо на две составляющие — поле Ei зарядов, рас- расположенных вне сферы S, и поле Е,„ диполей диэлектрика, находящихся внутри S. Средняя плотность энергии внутри S будет равна 1 (В? w = -^Ж,кро = -!- {Ei + ЕгпJ = 1- (В? + 2ЁТВ1П +Б?П). 8тг О7Г 8тг Поле Ei внешних зарядов, согласно B8 3), постоянно на всем протяжении сферы S, причем Ei = Ei = E + - тгР 3 Далее, Е,„ = E-Ei = —тгР 3 Следовательно, плотность энергии поля Ei равна Ю11 Ё? ^ Ы+к 8тг 8тг \ 3 а плотность взаимной энергии полей Ei и Е,п равна ^Г^,п = -5-Е1 Б,„ = - Р (Е + | 4 3 \ 3 ^ЕГ^,п Е1 Б,„ Р (Е + | 4тг 4тг 3 \ 3
142 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Что же касается энергии поля Ег„ диполей, расположенных в S, то об- общая энергия этого поля равна сумме: 1) взаимной энергии диполей, 2) соб- собственной энергии положительных и отрицательных зарядов, входящих в со- состав диполей, и, наконец, 3) энергии попарного взаимодействия зарядов, входящих в состав одного и того же диполя. Согласно исходному поло- положению теории совокупность электростатического и неэлектростатического взаимодействия зарядов каждого диполя сводится к квазиупругой силе; сле- следовательно, энергия этого взаимодействия равна упругой энергии диполя. Собственная же энергия зарядов диполя от напряженности поля и поляри- поляризации диэлектрика не зависит; в макроскопической теории эта аддитивная постоянная во внимание не принимается. Наконец, энергия взаимодействия системы диполей равна [ср. A5.8)], где Еь — напряженность поля А-го диполя системы в месте нахождения г-го диполя р. Известная доля этой энергий взаимодействия диполей локализована вне занимаемой диполями сферы 5: доля эта равна интегралу — / Efre dV, рас- 8тг J пространенному по всему пространству вне сферы. При определении напря- напряженности поля Е,п во внешнем пространстве можно считать электрический момент диполей равномерно распределенным по объему сферы S, т. е. счи- считать эту сферу равномерно поляризованной; следовательно, согласно B4.1), поле Егп во внешнем пространстве равно полю диполя момента VP, где V — объем сферы S- Воспользовавшись формулой A0.4), получим Я8 9 ' где оба интеграла распространены по всему пространству вне сферы S. Таким образом, доля взаимной энергии диполей, локализованная внутри сферы S, равна 2 и 1, к а плотность ее равна 2V ?—/г g ' Плотность упругой энергии диполей [ср. C1.2)] равна где EJ — напряженность поля, действующего на i-й диполь. Складывая по- полученные выражения, имеем _ 1_ Р~ 8тг Очевидно, что е:-^Еь=Е1=Е+|тГР, к 6 причем Ei постоянно по всему объему сферы. Следовательно, 2V-^ ^ ~ ' 2 ^ 3 I V 2V 3
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 143 Внося это в предшествующее уравнение, получим W = — (?2+4тгЕР), 8тг что, ввиду B2.6), совпадает с формулой C0.5). 4. Рассмотрим в заключение энергию электрического поля в диэлектрике с твердыми диполями. Этот случай существен- существенно отличен от только что рассмотренного, ибо твердые диполи, в отличие от квазиупругих, не обладают запасом внутренней энер- энергии, меняющейся в зависимости от напряженности поля. Однако, с другой стороны, нужно учесть следующее. В случае квазиупру- квазиупругих диполей мы вправе предполагать, что никакого взаимодей- взаимодействия между поляризацией диэлектрика и тепловым движением его молекул нет1). В случае же молекул с твердыми диполями тепловое движение, как мы видели, оказывает существенное влия- влияние на поляризацию, препятствуя ее насыщению. Стало быть, и обратно, возникновение поляризации, т. е. установка осей дипо- диполей по направлению внешнего поля, должна сказываться на теп- тепловом движении молекул диэлектрика и должна быть связана с изменением энергии этого движения, т. е. с поглощением или выделением тепла. Так, например, в газообразных диэлектриках под воздействи- воздействием электрического поля Е ось каждого диполя (если только она не параллельна Е) должна совершать маятникообразные коле- колебания около направления этого поля. При соударениях молекул диэлектрика происходит частичный обмен между энергией этих колебаний и энергией поступательного теплового движения мо- молекул, пока не установится равновесие, соответствующее опреде- определенной степени поляризации диэлектрика (зависящей как от Е, так и от температуры). Итак, работа внешних сил2) Авнш, затрачиваемая на изме- изменение напряженности поля в диэлектрике с твердыми диполями и на его поляризацию, должна идти не только на приращение собственно электрической энергии поля, но и на нагревание (или охлаждение) диэлектрика. Если же диэлектрик поддерживается при постоянной температуре, то избыток работы у1ВНш над изме- изменением электрической энергии dWM будет передан окружающим телам в форме некоторого количества теплоты Q: АВИШ = <ШШ + Q. На основании второго закона термодинамики, количество теплоты Q, передаваемое системой окружающим ее телам при ') См. примечание к с. 134. 2) Обозначение А без индекса мы сохраняем для работы пондеромоторных сил электрического поля, которая в случае обратимых процессов равна по величине, но обратна по знаку работе внешних сил Авнш.
144 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II произвольном обратимом процессе, пропорционально прираще- приращению, испытываемому при этом процессе энтропией системы S: Q = -TdS, где Т — абсолютная температура системы. Стало быть 1), или, так как по сделанному предположению Т = const, Как известно из термодинамики, функция состояния систе- системы, приращение которой при обратимом изотермическом про- процессе равно затрачиваемой в этом процессе работе внешних сил, называется свободной энергией системы Ф. Следовательно, та часть свободной энергии единицы объема диэлектрика, которая зависит от напряженности электрического поля и поляризации диэлектрика, равна - Ts, где s — зависящая от поляризации диэлектрика часть энтропии единицы его объема. Мы можем теперь уточнить смысл, вкладываемый в выра- выражение C0.5) для плотности электрической энергии. Одним из основных постулатов макроскопической теории электричества является утверждение, что выражение 1О = ^1 = ф C1.4) 8тг Т К ' определяет собою плотность свободной энергии электрического поля в диэлектриках2). Справедливость этого постулата, как и всякого постулата вообще, может быть доказана только сравнением с опытом со- совокупности вытекающих из него следствий; теоретические же соображения в пользу него состоят в следующем. Во-первых, в начале § 30 было доказано, что работа сил элек- электрического поля при перемещениях свободных электрических ^Строго говоря, это выражение для Авнш справедливо лишь в том слу- случае, если объем диэлектрика при его поляризации поддерживается посто- постоянным. Если же поляризация производится при постоянном давлении р, то она, вообще говоря, сопровождается некоторым изменением dV объема диэлектрика V (электрострикцил), на которое затрачивается добавочная работа —pdV. 2)Как известно из термодинамики, свободная энергия ф совпадает с энер- энергией системы только в том случае, если ф от температуры Т не зависит (при постоянном объеме V системы); в данном случае это условие означает независимость е от Т при постоянном V [квазиупругие диполи, см. B8 9), а также примечание 1 на с. 134].
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 145 зарядов равна убыли выражения C0.1) или равного ему выраже- выражения C0.4); при этом доказательстве предполагалось, что диэлек- диэлектрик неподвижен и что значение е в каждой точке поля оста- остается неизменным при перемещениях свободных зарядов. Ввиду того, что е, вообще говоря, зависит от температуры, постоян- постоянство е означает, что диэлектрики поддерживаются при посто- постоянной температуре, т. е. что от них отводится та теплота dQ, которая выделяется в них при изменениях поля, вызываемых пе- перемещениями свободных зарядов. Таким образом, выводы § 30 относятся к изотермическим процессам, т. е. формулы C0.4) и C0.5) определяют свободную энергию электрического поля. Во-вторых, в этом параграфе мы показали, что в диэлектри- диэлектриках, состоящих из квазиупругих диполей, поляризация которых не связана с тепловыми эффектами, выражение C0.5) плотно- плотности свободной энергии, как и должно быть, совпадает с плотно- плотностью внутренней энергии. Наконец, мы сейчас покажем, что при некоторых упрощающих предположениях непосредственное вы- вычисление свободной энергии поля в диэлектрике с идеальными твердыми диполями приводит к выражению C0.5) или C1.4). Рассмотрим газообразный диэлектрик столь малой поляризуемости, что различием между (Я„икроJ = Е2 и ЯМИкРо, а также между Е и Е' (§ 28) в нем можно пренебречь. Молекулы диэлектрика считаем твердыми дипо- диполями. Плотность собственно электрической энергии в таком диэлектрике равна Е2 »эл = • 8тг Энтропия произвольного тела связана с термодинамической вероят- вероятностью II его состояния соотношением Больцмана: где к — постоянная Больцмана. Пусть распределение осей молекул по на- направлениям определяется соотношением где dN — число молекул, оси которых составляют с некоторым определен- определенным направлением в пространстве угол, лежащий между $ и $ + dtf. Тогда логарифм термодинамической вероятности этого распределения выразится так ;: 1пП =- /" о В нашем случае при в<1, согласно B9.4а), / = - N A + a cos 1? + - a2 cos2 0 - - а2). 2 \ 2 6 / Вставим это значение в предыдущее выражение и ограничимся первыми г)См., например, Зоммерфелъд А. Термодинамика и статистическая фи- физика. - М.: УРСС, 2002. - § 35.
146 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II двумя членами разложения In / по степеням а: In / = a cos 1? а2 + In N - In 2. 6 При интегрировании молено опустить несущественную аддитивную посто- постоянную, поскольку она не зависит от напряженности электрического поля, а весь наш расчет имеет целью вычисление только той части энтропии, кото- которая возникает из-за действия электрического поля. Выполнив интегрирова- интегрирование, получим lnli = . 2-3 Полагая здесь N равным числу молекул в единице объема, получим лога- логарифм термодинамической вероятности состояния для единицы объема. С другой стороны, согласно B9.3) и B9.5), а р Е. кТ ЗкТ Следовательно, 1пП= Na2 = NplE2 = РЕ 2-3 2-3(fcTJ 2kT' Стало быть, -- или, имея ввиду B2.6): TS = -—E2. Таким образом, свободная энергия •ф единицы объема диэлектрика равна ф = — - ТS = — + — Е2 = — Е2. 8тг 8тг 8тг 8тг Итак, вообще говоря, выражение C0.5) определяет не «внут- «внутреннюю» энергию электрического поля, а его свободную энер- энергию, являющуюся мерой работы, связанной с изотермическими и только изотермическими изменениями поля. Если же выделяе- выделяемое при поляризации диэлектрика тепло не поглощается сполна окружающими телами, то работа электрических сил не равна убыли величины го, определяемой уравнением C0.4). Впрочем, при поляризации диэлектрика выделяется, вообще говоря, столь незначительное количество теплоты, что это обстоятельство в большинстве случаев практической роли не играет. § 32. Пондеромоторные силы в диэлектриках 1. На каждый элемент объема диэлектрика в электрическом поле должна, очевидно, действовать сила, равная сумме сил, приложенных к отдельным молекулам диэлектрика. Заменим по-прежнему эти молекулы эквивалентными диполями и вос- воспользуемся формулой A7.5), определяющей равнодействующую
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 147 сил, приложенных к диполю: F = pV Е\ где Е' означает напряженность действующего на диполь поля. Плотность сил, приложенных к диэлектрику, т. е. сила, от- отнесенная к единице объема диэлектрика, будет, следовательно, равна f = ^F = ^pV-E' = iVpV-E', C2.1) где суммирование должно быть произведено по всем диполям (молекулам), находящимся в единице объема; N есть число мо- молекул в единице объема, а черта означает среднее значение. В слабо поляризующихся диэлектриках (а <С 1) можно в пер- первом приближении, во-первых, заменить среднее значение про- произведения pV • Е' произведением средних значений р и V • Е' и, во-вторых, пренебречь разницей между V • Е' и V • Е, где Е есть напряженность среднего макроскопического поля (см. § 28). В этом приближении f = JVpV • Е = PV ¦ Е или, на основании формулы B2.6), f = ^—! EV • Е. 4тг Далее, согласно D7*), EV • Е = - V?2 - [Erot E]. В электростатическом поле последний член равен нулю, так как Е = —V<p, а ротор градиента равен нулю [уравнение D2*)]. Таким образом, в электростатическом поле EV • Е = - ¦ VE2, C2.2) f=—V?2. C2.3) Таким образом, в указанном приближении плотность понде- ромоторных сил в диэлектрике пропорциональна градиенту ква- квадрата напряженности поля; это и понятно, ибо, во-первых, в однородном поле сумма приложенных к каждому диполю сил равна нулю, и, во-вторых, по мере возрастания поля возрастают не только силы поля, но и поляризация, т. е. векторная сумма моментов диполей диэлектрика. Сила f направлена в сторону возрастания абсолютной величины вектора Е независимо от направления этого вектора; причина этого лежит в том, что при изменении направления вектора Е изменяется также и на- направление поляризации Р. Таким образом, в электрическом поле диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности
148 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II поля. Этими пондеромоторными силами обусловливается, напри- например, притяжение заряженными проводниками кусочков бумаги, бузиновых шариков и т. д. 2. Приведенный вывод формулы C2.3) основан на ряде при- приближений и упрощений. Общее же выражение для пондеромо- торных сил может быть получено из выражения для энергии поля W [формула C0.1) или C0.4)] путем рассмотрения измене- изменения энергии 6W, связанного с бесконечно малым произвольным (виртуальным) перемещением q находящихся в поле тел (провод- (проводников и диэлектриков); конечно, перемещение различных точек этих тел может быть различным, так что q является произволь- произвольной, но непрерывной фз'лкдией точки. При соблюдении условий, рассмотренных в § 18, это изменение энергии должно быть равно взятой с обратным знаком работе А пондеромоторных сил поля [уравнение A8.1)]: которая в свою очередь, очевидно, равна А = где интеграл должен быть распространен по всему объему полно- полного поля, причем f dV есть сила, приложенная к элементу объема dV, a q — испытываемое им смещение. Следовательно, SW = ~Jq?dV, C2.4) где f — плотность пондеромоторных сил поля. Определив 8W из выражения энергии, можно с помощью C2.4) найти f. В этом состоит наиболее общий метод вычисления пондеро- пондеромоторных сил, которым мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем. 3. Применяя этот общий метод к вычислению пондеромоторных сил электрического поля, мы в этом параграфе предположим, что как диэлек- диэлектрическая проницаемость е, так и напряженность поля повсюду непрерыв- непрерывны, т. е. что значение ? плавно изменяется в пограничных слоях, служащих разделом между различными средами, и что поверхностные свободные заря- заряды а отсутствуют (<т = 0). Вопрос же о силах, приложенных к поверхностям разрыва, будет рассмотрен в § 34. На основании допущения об отсутствии поверхностей разрыва во всех поверхностных интегралах, с которыми нам придется встретиться в этом параграфе, интегрирование будет распространяться лишь на внешнюю гра- граничную поверхность поля. Кроме того, мы условимся рассматривать полное поле, так что все эти поверхностные интегралы обратятся в нуль. Вместе с тем обратятся в нуль и все интегралы типа div a d V, так как, согласно теореме Гаусса A7*), интегралы эти могут быть преобра- преобразованы в интегралы поверхностные: г х dS — 0. C2.5) f
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 149 4. Согласно C0.1) и C0.4) энергия электростатического поля, ввиду предполагаемого нами в этом параграфе отсутствия поверхностных заря- зарядов (<т := 0), может быть выражена одним из следующих уравнений: Wi = - f p<pdV и W2 = — f sE2dV ¦ — f s(gra.d<pfdV, 2 J 8тг J 8tt J причем, конечно, W\ = W2. Следовательно, изменение энергии при произ- произвольном бесконечно малом перемещении q находящихся в поле тел равно = - f <pSpdV + - [pSydV 1 J 2 J или SW2 = SWi = — /(grad iff 8e dV + — [egrad yj<5(grad ip) dV, 8тг J 4n J где 5p, 6<p, 6e, ... суть изменения величин p, <p, e, ..., обусловленные пере- перемещением q. Как известно, порядок выполнения операций дифференцирования и варьирования можно менять без изменения их результата, так что х(-д<Р -д<Р^ъд<р\ .дF<р) , .дF<р) , d{Sip) . = 6[i-~? + j-^ + k-t- = i-—1 + J-~ + k-^12 = grad (Sip). \ dx dy oz J ox ay dz С другой стороны, e grad ip = —eE = —D. Следовательно, на основании D3;!) подынтегральное выражение последнего интеграла можно преобразовать следующим образом: • S(gra,dip) = — Dgrad(<V) = — div(D<5<^) + SipdivH. Интеграл первого слагаемого правой части, согласно C2.5), равен нулю, так что, воспользовавшись уравнением B2.2), окончательно получим 5W2 = — f(gsad<pJSsdV+— fdwD6ipdV=~ [E2SsdV+ f pSipdV. 8тг J 4tt j 8tt J J Ввиду того, что SW2 равно 6Wi, приращение энергии SW можно, оче- очевидно, представить также в следующей форме: SW = 2SWi - 6W2 = fipSpdV-— f E2SedV. J 8тг J Таким образом, вычисление SW сведено нами к определению изменения плотности свободного электричества р и диэлектрической проницаемости е при виртуальном перемещении q находящихся в поле тел. 5. Величины 6р и бе, входящие в последнее уравнение, носят название локальных изменений величин р и е, в отличие от так называемых измене- изменений материальных, которые мы обозначим через <5'р и <5'е. Разница между этими понятиями состоит в следующем. Локальное изменение, испытывае- испытываемое какой-либо величиной при перемещениях среды, есть изменение значе- значения этой величины в некоторой определенной точке пространства, не при- принимающей участия в этом перемещении. Материальное же изменение есть изменение значения данной величины р в некотором определенном матери- материальном элементе перемещающейся среды. Иными словами, если элемент dV материальной среды, находившийся до перемещения в точке Р, перемещает- перемещается в точку Р', то 6'р равно разности между значением, которым обладало р в точке Р до перемещения, и тем значением, которым обладает р в точке Р' после перемещения q.
150 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II С другой стороны, 5р равно разности между значениями, которыми обладало р в одной и той же точке Р до и после перемещения q. Соот- Соответственно этому локальное изменение 6р какой-либо величины р в точке Р может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. Во-первых, после смещения q в точке Р будет находиться элемент объема среды, ранее нахо- находившийся в точке Р" на расстоянии — q от Р, в которой величина р имела, очевидно, значение РРп =РР + (-q)gradp = рр - qgradp. Кроме того, значение величины р в этом объеме испытает материальное изменение 5'р. Следовательно 1), Sp-6'p- qgradp. C2.6) Таким образом, определение локального изменения сведено к определе- определению изменения материального. Если перемещение среды не сопровождается ее деформацией, то мате- материальное изменение 5'р равно, очевидно, нулю. Если же элемент V среды, об- обладающий зарядом de, испытывает при смещении сжатие или расширение, так что объем его становится равным V + 5'V, то, очевидно, Произведя приведение членов и пренебрегая произведением 5'р ¦ 5'V, полу- получаем х, 5'V Чтобы определить относительное изменение 6'V/V объема элемента сре- среды, заметим, что при смещении q элемента dS поверхности S, ограничиваю- ограничивающей объем V, этот объем возрастает на qn dS, т. е. на объем цилиндра, опи- описанного элементом dS при этом перемещении Конечно, qn dS может иметь как положительное, так и отрицательное значение в зависимости от значе- значения угла между q и внешней нормалью п к элементу dS. Полное же изме- изменение объема V при смещении q будет, очевидно, равно 5'V = <j>qndS, и, следовательно [см. определение дивергенции вектора, уравнение A8*)], в пределе при V —> 0, ~ = ^qndS = div4. C2.7) Внося это значение в выражение для 5'р, получаем 5'p = -pdivq. C2.8) Очевидно, что формулой этого вида будет определяться не только ло- локальное изменение плотности электричества р, но, например, и изменение плотности г самой среды (т. е. изменение массы единицы объема): 8 т = —rdivq. 6. Внося C2.8) в C2.6), получаем с помощью D3J) 5р = -pdivq- qgradp = -div(pq). C2.9) С другой стороны, по аналогии с C2.6), имеем 5е = 5'е — q grade. 1) Ввиду предполагаемой бесконечной малости смещения q мы вправе не учитывать разницы между E'р)р„ и E'р)р1, сводящейся к величинам второ- второго порядка малости.
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 151 Так как значение е зависит от плотности диэлектрика1), то материаль- материальное изменение е будет определяться материальным изменением 5'т плотно- плотности т: ., де ., де о е = — от— г div q дт дт и, стало быть, 5е = -rdivq-qgrade. C2.9') дт Внося значения 5е и др [уравнение C2.9)] в выражение для 5W, получим SW= — [qE2gra.dedV+ — f E2 — rdivqdV - f\pdiv (oq) dV. 8n J &7Г J дт J Подынтегральные выражения двух последних интегралов молено преоб- преобразовать с помощью D3г): Е2 — т div q = div (e2 — rq)- q grad (E2 ^ т), от \ дт J \ дт J ipd.br (pq) = div {<ppq) — qpgrad <p. Согласно C2.5) интегралы первых слагаемых этих выражений обраща- обращаются в нуль; приняв еще во внимание, что grad (р = —Е, получаем —E2 grade- — grad/V— r) - Ре\ fqdV. 8тг 8тг \ дт J ) J 7. Это выражение для 8W должно совпадать с выражением C2.4) при произвольной зависимости смещения q от координат точки. Отсюда следует равенство выражений, на которые мно- множится q в обоих интегралах: f = рЕ - — Е2 grad е + — grad (Е2 ^ тV C2.10) 8тг 8тг \ дт ) Эта формула и является искомым выражением для плотно- плотности пондеромоторных сил f. Она слагается из двух частей, f^1^ и f B), а именно из fA) = /эЕ, C2.11) действующей на свободные электрические заряды, и из зависящей от де/дт и grade и отличной от нуля только в диэлек- диэлектриках. Из C2.11) следует, что плотность f^1) пондеромоторных сил, действующих на свободные заряды, в диэлектрике, как и в ва- вакууме, определяется напряженностью электрического поля. Из ) В твердых диэлектриках е может зависеть (при заданной температуре) не только от плотности диэлектрика, но и от его деформаций, не связан- связанных с изменениями плотности. Исследование этого обстоятельства требует учета анизотропии деформированного диэлектрика и проведено, например, в книге: Стпретптпон. Теория электромагнетизма. — М.: Гостехиздат, 1948.
152 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II этого положения мы исходили в § 30 при подсчете работы, со- совершаемой полем при перемещении свободных зарядов. Что же касается плотности fB) пондеромоторных сил, действующих на диэлектрик, то в слабо поляризующихся диэлектриках (а <С 1) выражение C2.12) совпадает с тем выражением C2.3), которое было получено нами непосредственным подсчетом пондеромо- пондеромоторных сил в этих диэлектриках. Действительно, согласно B9.12), е + 2 3 где коэффициент С от плотности диэлектрика т не зависит. При а <§; 1-, т. е. при е и 1, можно с достаточной точностью положить Тогда де т— от = f grad {E2(e -1)}-±Е2 gradе. и C2.12) принимает вид f« = Но, согласно D3J), grad{?2(e - 1)} = (е - 1) grad?2 + Е2 grade. Следовательно, fB) = 8тг что, действительно, совпадает с C2.3). Таким образом, условием применимости формулы C2.3) яв- является линейная зависимость диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика, имеющая место, строго говоря, толь- только в газах. Заметим в заключение, что Максвелл и ряд других авторов, например Абрагам, не принимали во внимание зависимости ди- диэлектрической проницаемости от плотности среды, благодаря че- чему выражение пондеромоторных сил в диэлектриках, которым они пользовались: i = -—E2 grade, C2.13) 8тг отличалось от C2.12) отсутствием первого члена C2Л4) Этот член в твердых и жидких диэлектриках сравним по вели- величине с C2.13), так что пренебрегать им, вообще говоря, не пред- представляется возможным.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 153 Однако надо иметь в виду, что отличие формулы C2.12) от максвелловой формулы C2.13) сказывается лишь на распределе- распределении сил по объему диэлектрика; равнодействующая же не учтен- учтенных Максвеллом сил f", приложенных к какому-либо телу, либо равна нулю (если тело это помещено в вакуум), либо уравно- уравновешивается гидростатическим давлением, возникающим в окру- окружающей среде под влиянием электрического поля. Это утвер- утверждение будет доказано в § 34. § 33. Сведение объемных сил к натяжениям 1) 1. Как уже упоминалось в § 16, механистическая теория элек- электромагнитного поля прошлого века искала причины электриче- электрических явлений в упругих деформациях гипотетической среды — эфира. Характерной особенностью сил упругости, как, впрочем, и вообще сил близкодействия, является возможность сведения их к натяжениям, возникающим в деформированных средах, т. е. возможность сведения сил, действующих на произвольный уча- участок среды, к силам натяжения, испытываемым поверхностью этого участка (в частности, давление есть отрицательное натя- натяжение) . Соответственно этому перед механистической теорией поля стояла задача сведения пондеромоторных сил поля к упругим натяжениям среды. Свести эти силы к натяжениям, как мы по- покажем, действительно, оказывается возможным. Правда, это об- обстоятельство ни в коей мере не спасает механистической теории поля, оказавшейся в целом несостоятельной; однако при рассмо- рассмотрении многих вопросов замена пондеромоторных сил эквива- эквивалентными им натяжениями оказывается весьма целесообразной. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о сведении объем- объемных сил к натяжениям в общей форме с тем, чтобы в следующем параграфе применить полученные результаты к интересующему нас случаю электрического поля. 2. Рассмотрим некоторый объем среды V, ограниченный по- поверхностью S. Если f есть объемная плотность сил, то равнодей- равнодействующая всех сил, приложенных к телам, находящимся внутри объема V, будет равна F = JfdV. C3.1) v С другой стороны, если объемные силы вообще могут быть све- сведены к натяжениям, то той же величине должна равняться и совокупность натяжений, действующих извне на замкнутую по- поверхность S. 1) Этот и следующий параграфы можно опустить при первом чтении книги.
154 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Сила натяжения, испытываемая каким-либо элементом dS поверхности dS произвольного участка среды, пропорциональ- пропорциональна этому элементу и зависит не только от его положения, но и от его направления, — иными словами, является не только функци- функцией точки, но и функцией направления нормали п к элементу dS. В частности, при повороте площадки dS на 180°, т. е. при из- изменении направления нормали п на обратное, сила натяжения меняет свой знак. В этом выражается тот факт, что на противо- противоположные стороны произвольного элемента поверхности dS l) всегда действуют взаимно уравновешивающиеся равные и про- противоположные натяжения. Обозначим через Тп силу, действующую извне на единицу поверхности, внешняя нормаль к которой направлена по п; ком- компоненты этой силы по осям координат обозначим через Тхп, Туп и Tzn 2). Тогда равнодействующая всех натяжений, приложен- приложенных извне к поверхности, очевидно, равна F=(f>TndS, C3.2) 5 где п есть внешняя нормаль к элементу dS. Приравнивая выра- выражения C3.1) и C3.2): F= ffdV = (j)TndS, C3.3) v s мы можем найти соотношение между плотностью объемных сил f и натяжением Т„. 3. Выберем какую-либо произвольную систему декартовых координат и обозначим соответственно через Тх, Ту и Тг силу натяжения, действующую извне на единичную площадку, внеш- внешняя нормаль к которой направлена соответственно по оси х, по оси у и по оси z. Слагающие этой силы по осям координат обо- обозначим через ГХ1, ТуХ, Tzx и т. д., так что Тх = \ТХХ + jTyx + kTzx, Ту = \Тху + jTyy + kTzy, Tz = iTxz+iTyz+kTzz. Таким образом, например, Txz есть слагающая по оси х си- силы Тг, действующей на единичную площадку, внешняя нормаль к которой направлена по оси z. Легко показать (см. любой учебник теории упругости), что сила натяжения Тп, действующая извне на произвольно ориен- ориентированную единичную площадку, внешняя нормаль к которой 1) За исключением элементов поверхностей разрыва, которых мы в этом параграфе не рассматриваем. 2) Часто эти компоненты обозначают через Тпх, Тпу, Tnz. Произведенный нами выбор порядка индексов соответствует принятому в общей теории, из- изложенной в § 105.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 155 имеет направление п, связана с силами Тх, Ту и Т2 следующим соотношением: Тп = Тх cos (n, х) + Ту cos (n, у) + Т2 cos (n, г), C3.4) так что слагающая этой силы, например, по оси х равна Тхп = Тхх cos (n, х) + Тху cos (n, у) + Txz cos (n, z). C3.5) Таким образом, девять величин, Гхх, Тху и т. д., вполне ха- характеризуют собою систему натяжений в данной точке простран- пространства: значениями этих величин вполне определяются натяжения, испытываемые произвольно ориентированной площадкой. Вели- Величины ТХ1, Тху и т. д. называются компонентами тензора натя- натяжений, а их совокупность носит название тензора натяжений, который будет обозначаться нами буквой Т (без индексов). Ком- Компоненты тензора могут быть записаны в следующей симметрич- симметричной форме: / Тхх Тху Txz \ Т = Тух Туу Tyz . C3.6) \ т т т / \ ¦*¦ zx ¦*¦ гу ¦*¦ zz / 4. Чтобы от интегрального соотношения C3.3) между натя- натяжениями и объемными силами перейти к соотношениям диффе- дифференциальным, мы должны, очевидно, прежде всего преобразо- преобразовать поверхностный интеграл справа в объемный (или наоборот). Воспользовавшись формулами C3.2) и C3.5), мы можем следую- следующим образом выразить слагающую равнодействующей F по оси х через компоненты тензора натяжений: Fx= j)TxndS = s , = ч>{Тхх cos (n, x) + Txy cos (n, y) + Txz cos (n, z)} dS. s Воспользуемся теперь теоремой Гаусса A7*), которая в развер- развернутой форме гласит: ф {ах cos (n, х) + ау cos (n, у) + az cos (n, z)} dS — + + дх ду dz V Так как эта теорема справедлива для любых непрерывных функ- функций точки ах, ау, az, то, полагая в ней ах = Тхх, ау = Тху, az = = Txz, получаем (при условии непрерывности компонент тензора натяжений внутри объема V): V
156 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II Внося это в C3.3) и приравнивая ввиду произвольности объ- объема V подынтегральные выражения, получаем окончательно , _ дТхх dTxy dTIZ ' dx dy dz ' и аналогично: i оТух . оТуу . dTyZ , dTzx , dTzy , dTzz «, j\ dx dy dz dx dy dz Эти формулы и устанавливают искомые дифференциальные соотношения между плотностью объемных сил f и компонентами тензора натяжения Т. 5. Из C3.7) следует, что плотность объемных сил определя- определяется не абсолютной величиной натяжений, а характером изме- изменения натяжений в пространстве (при перемещениях точки на- наблюдения). В частности, f равно нулю, если компоненты тензора натяжения Т имеют в данном участке среды постоянные значе- значения. Это и понятно, ибо если мы мысленно выделим в среде про- произвольный параллелепипед, то в случае постоянства тензора Т на противоположные его грани будут действовать натяжения, равные по величине и противоположные по направлению; следо- следовательно, равнодействующая приложенных к параллелепипеду сил будет равна нулю. 6. Для эквивалентности объемных сил и натяжений необхо- необходимо, чтобы при замене объемных сил эквивалентными натя- натяжениями оставались неизменными не только равнодействующая сил, приложенных к произвольному объему, но и момент этих сил. Это обстоятельство накладывает дополнительное ограниче- ограничение на компоненты тензора натяжений. Момент N объемных сил, приложенных к произвольному объему V, равен N = f\R?\ dV, C3.8) где R есть расстояние от точки О, относительно которой опре- определяется момент сил, до элемента dV. Если объемные силы f эквивалентны натяжениям Т, то должно выполняться соотно- соотношение C3.7). Следовательно, слагающая N, например, по оси х, должна равняться x = J(yfz-zfy)dV = ++ ) Z + + \ dx +dy+ dz ) Z\dx + dy + dz V Подынтегральное выражение справа может быть представле- представлено следующим образом: ± (yTzx ~ zTyx) + |- (yTzy - zTyy) + ? {yTzz - zTyz) - Tzy + Tyz.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 157 Так как первые три члена этого выражения по своему виду сов- совпадают с выражением дивергенции вектора с компонентами ах = yT-zx ~ zTyxi ay = yT-zy ~ z±yy, az = yTzz — zTyz, то объемный интеграл можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса A7*): Nx=<j)andS + J(Tyz - Tzy) dV, s v причем на основании C3.5) ап = ах cos (x, n) 4- ay cos (у, n) 4- az cos (z, n) = = y{Tzx cos {x, n) + Tzy cos (y, n) + Tzz cos (z, n)} - - z{Tyx cos (x, n) + Tyy cos (y, n) + Tyz cos (z, n)} = yTzn - zTyn. Окончательно получаем Nx = J(yfz - zfy) dV = j){yTzn - zTyn) dS + J(Tyz - Tzy) dV. V S V C3.9) Поверхностный интеграл справа равен моменту сил натяже- натяжения Т„, приложенных к поверхности S объема V. Момент этих сил натяжения будет равняться моменту сил объемных в том и только в том случае, если последний интеграл справа равен нулю. Ввиду произвольности объема V это будет иметь место только при равенстве нулю подынтегрального выражения во всех точ- точках пространства: Т — Т J-yz — J-zy Повторив те же рассуждения для слагающих N по осям у и z, получим следующие соотношения: -м/2 = -Lzyi i-zx = -Lxzi J-xy == ¦'-yx- C3.10) Тензоры, компоненты которых удовлетворяют соотношениям C3.10), называются симметричными. Таким образом, необходимые и достаточные условия того, чтобы система объемных сил и система натяжений были экви- эквивалентны друг другу как в отношении равнодействующей сил, приложенных к произвольному объему, так и в отношении мо- момента этих сил, сводятся, во-первых, к соотношениям C3.7) и, во-вторых, к симметрии тензора натяжений. Если же тензор на- натяжений не симметричен, то система натяжений не может быть заменена эквивалентным распределением объемных сил. Это, впрочем, явствует уже из того, что если компоненты тензора Т постоянны, то объемные силы, согласно C3.7), обра- обращаются в нуль, тогда как момент сил натяжения, приложенных
158ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II к произвольному объему, будет при Tik ф Т^ отличаться от нуля даже при постоянстве Т,д. х). 7. Ранее мы пользовались некоторой произвольно выбранной системой координат и не касались вопроса о законе преобразо- преобразования компонент тензора при преобразовании координат. Этот закон может быть найден из требования (вытекающего из само- самого определения понятия натяжения), чтобы слагающие Тхп dS, TyndS, TzndS силы TndS, действующей на произвольно распо- расположенную и произвольно ориентированную площадку dS, пре- преобразовывались по правилам преобразования векторов 2). Мы не будем останавливаться здесь на выводе этого зако- закона преобразования; отметим только, что с помощью его можно убедиться в том, что как уравнение C3.7), так и условие C7.10) симметрии тензора сохраняют свой вид при любом преобразова- преобразовании декартовых координат. § 34. Тензор натяжений электрического поля 1. Обращаемся к поставленной в начале предыдущего пара- параграфа задаче сведения пондеромоторных сил электрического по- поля к натяжениям. С этой целью удобно разложить общее выра- выражение C2.10) для объемной плотности этих сил на два слагаемых: f = f + f", C4.1) f^EE Наша задача будет, очевидно, разрешена, если мы найдем такой тензор Т, чтобы по подстановке его компонент в правую часть уравнений C3.7) левые части этих уравнений совпали с опре- определяемыми формулой C4.1) слагающими плотности объемных сил f. 2. Выразим в C4.1) р через divD с помощью B2.2) и рас- рассмотрим слагающую плотности сил f по какому-нибудь направ- направлению, например по оси х: /' = —ExdivD Е2 — . Легко 4тг 8тг Ох убедиться [ср. уравнение D3|), где <р соответствует в нашем слу- случае величине Ех], что Ех divD = |- (EXDX) + |- (ExDy) + ? (EXDZ) - DV • Ex. ox Oy oz 1) Заметим, что в анизотропных средах тензор натяжений электрического поля, вообще говоря, не симметричен. 2) Однако, например, величина Тх со слагающими ТХх, Тух, Tzx, опреде- определяющая силу, действующую на некоторую площадку, сама не является век- вектором, ибо само направление площадки зависит от произвольно выбранного направления координатной оси х.
§34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 159 Далее, воспользовавшись C2.2) и имея в виду G.6), получаем DV • Ех = eEV ¦Ех = - — Е1, 2 дх и, следовательно, 4тг Таким образом, 1 Е2д? - 1 Х 8тг дх 8я- дЕ2 1 Е2д?) - 1 дх дх i 8тг дх Уравнение это совпадает по форме с C3.7), если положить Тхх = - Тху = - Г12 = - Аналогичным образом могут быть определены и остальные ком- компоненты тензора Т', совокупность которых может быть пред- представлена в форме C3.6): 4тгТ' = sEvEx eEzEx eExEz -Z-) eEvEz eE,Ev (•*-?) J C4.2) Что же касается второй слагающей f" объемных сил, то, как непосредственно видно, она совпадает по форме с C3.7), причем отличны от нуля только те компоненты эквивалентного ей тен- тензора натяжений Т", которые расположены на главной диагонали матрицы C3.6): ik = 0 при C4.3) Таким образом, как Т", как и Т" (а стало быть, и их сумма Т = _ т' + Т") являются симметричными тензорами, т. е. удовлетво- удовлетворяют условию C3.10). Итак, эквивалентность объемных сил C4.1) системе натяже- натяжений C4.2) и C4.3) нами доказана, и мы можем утверждать, что общая сила F, действующая на произвольный участок среды V, определяется состоянием поля на границах этого участка, т. е. может быть сведена к системе сил или натяжений, приложенных к его поверхности S. 3. Впервые пондеромоторные силы поля были сведены к на- натяжениям Максвеллом, который, однако, не учитывал зависимо-
160 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II сти диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика (см. конец § 32). Поэтому максвеллов тензор натяжений соот- соответствует лишь части нашего тензора натяжений Т, а именно тензору Т". Для отличия от «максвелловых» сил f и «максвелловых» на- натяжений Т' мы будем называть силы f" и соответствующий им тензор Т" стрикционными. Заметим, что стрикционные натяже- натяжения Т" эквивалентны всестороннему давлению 1) р» = -±-Е^т, C4.4) 8тг от ибо давление есть отрицательное натяжение, направленное по нормали к произвольной площадке внутри тела и не зависящее от ориентации этой площадки. В жидких и твердых телах стрикционные силы и натяже- натяжения одного порядка величины с максвелловыми силами и на- натяжениями (ибо {де/дт)т одного порядка с е). Это отмечалось Гельмгольцем, Джинсом и др., однако оставалось неясным, поче- почему пренебрегавшие стрикционными силами и натяжениями авто- авторы не получали существенно ошибочных результатов. Покажем, в чем здесь дело. Допустим, что мы интересуемся только равнодействующей F всех сил электрического поля, приложенных к произвольному те- телу А, и результирующим моментом N этих сил. Согласно C3.3) и C3.9) равнодействующая F и момент N этих сил однозначно определяются значениями тензора Т с внешней стороны поверх- поверхности тела S. Стрикционные натяжения Т" в вакууме, очевид- очевидно, равны нулю (ибо в вакууме (де/дт) т нужно считать равным нулю). Поэтому, если тело окружено вакуумом, то стрикционные силы f" и натяжения Т" влияют только на распределение сил по объему тела2), но не влияют ни на величину равнодействующей всех сил F, ни на их момент N. Если же тело А окружено не вакуумом, а диэлектриком В, то определяемая тензором Т" равнодействующая F" приложен- приложенных к А стрикционных сил f , вообще говоря, не равна нулю. Однако если система тел А и В находится в механическом рав- равновесии, то эта не учитывавшаяся Максвеллом сила F" точно компенсируется также не учитывавшимися Максвеллом допол- дополнительными механическими силами, испытываемыми телом А 1) В твердых диэлектриках наши выражения для стрикционных сил и на- натяжений, учитывающие лишь объемную стрикцию, должны быть дополнены членами, величина которых определяется зависимостью е от деформаций сдвига, не сопровождающихся изменениями плотности среды. 2) Этим распределением определяются возникающие в теле под воздей- воздействием электрического поля упругие натяжения — так называемая электпро- стприкция, откуда и название сил f" и натяжения Т".
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 161 со стороны тела В благодаря тому, что само тело В подвергает- подвергается электрострикции. Поясним это простейшим примером. Пусть тело А представ- представляет собой заряженный шарик, погруженный в бесконечный од- однородный жидкий диэлектрик В; гидростатическое давление в жидкости В вдали от шарика А задано и равно р\. Весом жид- жидкости В пренебрегаем. Тогда «по Максвеллу» на поверхность S шарика А будут действовать, во-первых, электрические натяже- натяжения Т' и, во-вторых, гидростатическое давление жидкости р2. В действительности же надо еще учесть, во-первых, электро- стрикционные натяжения Т", действующие на поверхность те- тела А и эквивалентные, согласно C4.4), давлению р"; во-вторых, так как жидкость подвергается в электрическом поле давлению р", то гидростатическое давление pi жидкости вблизи шарика А не будет равно гидростатическому давлению р\ в бесконечности: условием равновесия жидкости будет постоянство полного дав- давления в ней „ п р + р2 = const = р\. Таким образом, сумма действующих на поверхность тела элек- трострикционных натяжений Т", эквивалентных давлению р", и фактического гидростатического давления жидкости р2 Рав~ на гидростатическому давлению жидкости р2, вычисленному без учета электрострикции х). Конечно, если жидкость не находится в равновесии, то неучет электрострикции поведет, вообще гово- говоря, к ошибке. Итак, если нас интересует не распределение пондеромоторных сил по объему произвольного тела А, а лишь равнодействующая F этих сил и их момент N, то можно ограничиться рассмотрением одних только максвелловых сил f и максвелловых натяжений Т', отбрасывая стрикционные силы и натяжения f" и Т", при условии, что тело А окружено либо вакуумом, либо диэлектри- диэлектрической средой, находящейся в механическом равновесии. 4. Внося в C3.5) значения компонент тензора Т = Т' 4- Т", можно определить слагающие по оси х силы натяжения Тп, дей- действующей в электрическом поле на единичную площадку, внеш- внешняя нормаль к которой направлена по п: Т хп = i- [еЕ1 - \ (е- gr)E2}cos(n, x) + ^ExEycos(n, y) ЕхЕу cos (n, z) = j- ExEn -±-Е2(е-^т) cos (n, х). 1) Строго говоря, надо учесть, что из-за электрострикции изменяется плот- плотность г, а вместе с ней и диэлектрическая проницаемость в жидкости. По- Поэтому изменяется поле заряженного шарика А в жидкости и действующие на него максвелловы натяжения Т'. Однако, как показывает подсчет, эти изменения натяжений совершенно ничтожны. 6 И. Е. Тамм
162 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Совокупность этого выражения для Тхп и аналогичных выра- выражений для Туп и Tzn в векторной форме может быть записана так: Tn = f ЕпВ - ±-пЕ2 U-^-r). C4.5) 47г 8тг \ от / В частном случае, если рассматриваемый элемент поверхно- поверхности перпендикулярен полю Е и его внешняя нормаль п парал- параллельна Е, натяжение, приложенное к нему извне, определится выражением L^2n (n||E); (з4.6) Tn En (n||E) если же нормаль п перпендикулярна полю, то ет Тп = -в—9х1 Е2и (n ± Е). C4.7) Наконец, если площадка dS имеет некоторое промежуточное направление, то ее можно разложить на две взаимно перпендику- перпендикулярные площадки, параллельную и перпендикулярную Е, при- причем действующие на эти площадки силы определятся из C4.6) и C4.7). Стало быть, система натяжений в электрическом поле сво- е + -^ г J Е2/8тг по направлению поля Е [уравне- е г) Е2/8тг дт J по направлению, перпендикулярному Е [уравнение C4.7)]. С точки зрения механической теории поля, эта тяга и это давление суть не что иное, как силы упругости, возникающие в эфире при деформации его в электрическом поле. Согласно C4.6) и C4.7), силы эти испытываются всеми теми участками эфира (как в вакууме, так и в материальных телах), в которых поле (т. е. деформация эфира) не равно нулю1). Конечно, с точки зрения современной теории, отрицающей существование материального эфира (в механическом смысле этого слова), пондеромоторные силы электрического поля могут быть приложены лишь к электрическим зарядам и к матери- материальным телам, несущим эти заряды, или, точнее, состоящим из х) Мы получим правильную картину этих натяжений, если представим се- себе, что вдоль силовых линий поля натянуты материальные упругие нити, подверженные тяге [е Л т } Е2/8п и оказывающие друг на друга боко- \ дт J вое давление I е т I Е2 /8тг. \ дт J
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 163 электрических зарядов (электронов и атомных ядер). Однако, по доказанному, результирующая сила, действующая на тела, находящиеся в произвольном объеме V, может быть формаль- формально представлена в виде суммы натяжений, «испытываемых» по- поверхностью этого объема S (могущей, конечно, проходить как в вакууме, так и в материальных телах). Следовательно, мы мо- можем оперировать с этими натяжениями, будучи уверенными в правильности окончательных результатов. Принципиальное же значение понятия натяжений электромагнитного поля выяснит- выяснится в § 105, в котором мы убедимся, что в переменных электро- электромагнитных полях нарушается эквивалентность между пондеро- моторными силами и электромагнитными натяжениями и что избыток суммы натяжений, испытываемых поверхностью объ- объема V, над пондеромоторными силами, испытываемыми нахо- находящимися в этом объеме телами, определяет собою изменение количества движения электромагнитного поля в этом объеме. 5. Замена пондеромоторных сил эквивалентной системой на- натяжений весьма облегчает, в частности, определение сил, при- приложенных к поверхности разрыва электрического поля, т. е. к поверхностям, заряженным свободным электричеством, и к по- поверхностям раздела сред различной поляризуемости. Правда, при выводе системы натяжений C4.2) и C4.3) мы базировались на результатах § 32, в котором подобные поверхности разрыва предполагались отсутствующими. Однако, определив на основа- основании C4.2) и C4.3) результирующую силу, приложенную, напри- например, к заряженному слою конечной толщины, и переходя затем в пределе к бесконечно тонкому слою, мы найдем, очевидно, силу, действующую на заряженную поверхность. Нормаль к поверхности слоя, отграничивающего среду 1 от среды 2, обозначим через п; для определенности предположим, что п направлено из среды 1 в среду 2. Элемент dS той поверхности слоя, которая граничит со средой 1, будет, согласно C4.5), испытывать со стороны этой среды силу T'ln dS = -fi- B?inEi - ??n) dS (для простоты тензор Т заменяем максвелловым тензором Т'), а элемент dS поверхности, граничащей со средой 2, будет испытывать со стороны этой среды силу Т'2п dS = + — B?271E2 - Ejn) dS. Отличие знаков этих выражений обусловливается тем, что, по условию, направление внешней нормали к слою совпадает в среде 2 с направлением п, а в среде 1 — прямо ему противоположно. Общая сила, действующая на элемент слоя поверхности dS, равна, таким образом: f dS = (T'ln + T'2n) dS=— (Z>2nE2 - DmEi) dS- — (D2E2 - ?>iEi)nd5. Очевидно, что это соотношение должно остаться справедливым и при переходе к предельному случаю бесконечно тонкого слоя, т. е. к поверхности.
164 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II Таким образом, результирующая сила, действующая на единицу площа- площади произвольной поверхности, равна f = — (А>ПЕ2 - DlBEi) - — {LhEa - DxEiJn, C4.8) 4тг 8тг где Ej, Dj и Ег, D2 суть, соответственно, значения векторов Е и D с вну- внутренней и с. внешней (по отношению к п) сторон этой поверхности. Разумеется, для всякой поверхности, не являющейся поверхностью раз- разрыва, Ei = E2 и Di = D2, так что сила f обращается в нуль. Приложенные к поверхности разрыва силы C4.8) проявляются в том, что под их воздействием в помещенных в электрическое поле телах воз- возникают уравновешивающие их упругие натяжения, сумма всех натяжений (электрических и упругих) не моясет испытывать разрывов и долясна быть одинаковой по обеим сторонам любой поверхности, в том числе и поверхно- поверхности заряженной или поверхности раздела двух сред. Впрочем, в большин- большинстве случаев представляют интерес не натяжения, возникающие в телах под воздействием электрического поля, а результирующая сила, действующая в этом поле на данное тело и определяющаяся не скачком тензора электри- электрических натяжений Т на поверхности этого тела 5, а значением слагающих тензора Т с внешней стороны поверхности тела S. 6. Воспользуемся теперь тензором натяжений Т, чтобы уточнить смысл обычного утверждения, гласящего- пробный заряд е, помещенный в жид- жидкий или газообразный диэлектрик, напряженность электрического поля в котором равна Ео, испытывает силу F - еЕ0. C4 9) Пусть пробный заряд е представляет собою небольшое заряженное про- произвольной формы тело А из металла или диэлектрика. Обозначим через Е' поле этого тела, помещенного в данную точку среды, так что истинное по- поле при наличии пробного тела равно Е = Ео + Е'. Поле Е' возбуждается, во-первых, свободным зарядом е пробного тела и, во-вторых, распределени- распределением связанных или индуцированных зарядов, которые возникают в нем под воздействием внешнего поля Ео. Результирующую силу, действующую на пробное тело А, можно вычислить с помощью формулы C4.2); тензор Т", по доказанному, к этой силе ничего не привносит Слагающие тензора Т' являются квадратичными функциями слагаю- слагающих поля Е. При вычислении слагающих Т' сделаем два предположения: 1) тело А настолько мало, что на всем протяжении некоторой охваты- охватывающей его поверхности 5 невозмущенное наличием пробного тела поле Ео и диэлектрическую проницаемость среды е можно считать постоянными; 2) заряд е и размеры тела А настолько малы, что возбуждаемое им в точках этой поверхности S поле Е' гораздо меньше Ео 1), так что при вычислении Т' членами, квадратичными в Е', можно пренебречь. Пусть ось х совпадает с направлением поля Ео вблизи пробного тела А. Тогда при перечисленных условиях путем простых выкладок получим из C4.2): 4жТхх = е (^ + Е0Е'Л , 4жТху = sE0Ey, 4тгГ^ = eE0E'z и после подстановки в C3.2) и C3.5) FX = FX = — E%((cos{n, x)dS+±-EofeKdS. 8тг / 4тг / M Заметим, что размеры поверхности S могут значительно превышать раз- размеры самого пробного тела и ограничены только первым условием, ибо на находящиеся внутри 5 участки однородной среды силы f' не действуют.
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 165 Первый интеграл, как легко убедиться, обращается в нуль 1), второй же на основании B2.3) равен 4тге, так что Fx — eEo- Далее, при указанных условиях2) Fy = Fz = 0. Таким образом, пере- перечисленные условия действительно обеспечивают справедливость формулы C4.9). Задача 20. Заряд е расположен в вакууме на расстоянии zq от поверхности однородного диэлектрика, заполняющего по- полупространство z ^ 0. Пользуясь результатами решения примера в конце § 23, показать, что сила притяжения между зарядом и диэлектриком равна \ F ( е + 1 \2zo Примечание. Конечно, это выражение для силы взаимодей- взаимодействия остается справедливым и в случае диэлектрика конечных размеров, если только его поперечные размеры (точнее, расстоя- расстояние от заряда тех участков, где поверхность диэлектрика пере- перестает быть плоской или где начинает меняться диэлектрическая проницаемость) и толщина достаточно велики по сравнению с zq. 1) Ср. § 56, в частности формулу E6.3), из которой следует 2) Действительно, приняв во внимание, что ^cos (n, у) dS = 0, для Fy лег- легко получить выражение Fy = Fy = — Ео §{Е'У cos (х, п) — Е'х cos (у, n)} dS. Вводя единичные векторы i, j, k по осям координат, можем написать E'ycos(x, n) - E'xcos(y, n) = (E'j)(in) - (E'i)Qn) = [u][nE;]. Наконец, на основании E6*) и G.6) §[nE'] dS = / rot E' • dV = 0.
ГЛАВА III ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК § 35. Электрический ток в металлах. Законы Ома и Джоуля. Напряжение 1. Согласно данному в § 5 определению, проводники электри- электричества суть тела, отличающиеся тем свойством, что если внутри проводника напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т. е. движе- движение зарядов. В настоящей книге мы почти исключительно ограничимся рассмотрением лишь одного определенного класса проводников, а именно металлов. Прохождение тока через металлические про- проводники не сопровождается химическими процессами в провод- проводнике1), тогда как, например, при прохождении тока через рас- раствор электролита происходит электролиз, т. е. выделение ионов электролита на опущенных в раствор электродах. Объясняется это отличие тем, что в электролитах носителя- носителями зарядов являются ионы, т. е. заряженные атомы или группы атомов, тогда как в металлах заряды переносятся «свободными» электронами, отщепившимися от атомов металла. Не вдаваясь пока в рассмотрение физического механизма про- прохождения тока через металл, мы начнем с изложения феномено- феноменологической теории постоянных токов. 2. Основной закон постоянного тока — закон Ома, являю- являющийся обобщением данных опыта, формулируется обычно сле- следующим образом: j=a^i, C5.1) где J — сила тока в проводнике, R — сопротивление определен- определенного участка этого проводника, а <р\ и <р2 — значения потенциала у начала и конца этого участка (считая по направлению тока). При этом силой тока, как известно, называется количество элек- электричества, протекающее через сечение проводника в единицу вре- времени 2) , а направление тока условно считается совпадающим !) Это относится и к прохождению тока через так называемые полупро- полупроводники. 2) Определение это однозначно, ибо через любое сечение проводника про- протекает одинаковое количество электричества (если только ток постоянен и цепь тока не имеет разветвлений, — см. § 37).
§ 35 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ 167 с тем направлением, в котором под Действием поля должны были бы двигаться положительные заряды; другими словами, услов- условно считается, что ток течет от большего потенциала к меньшему (Pi Ч2) Следовательно, в абсолютной системе единиц размерность силы тока равна гji _ Г абс, ед. электричества! _ ^1/2 т 3/2 -р-2 Абсолютная единица силы тока соответствует переносу через се- сечение проводника одной абсолютной единицы электричества в одну секунду. В практической же системе единиц количество электричества измеряется в кулонах; соответственно этому сила тока измеряется в амперах. По определению, ток силою в 1 ампер переносит через сечение проводника 1 кулон в секунду: , А л Кл о т п9 абс. ед. электричества о i п9 «г 1А = 1— = 3-10у = 3-10 абс. ед. силы тока. с с 3. Что же касается сопротивления Л, то его размерность, как явствует из C5.1), равна _ М _ M^ T _ _г таким образом, размерность сопротивления обратна размерно- размерности скорости. В практических единицах потенциал измеряется в вольтах; соответственно этому сопротивление измеряется в омах. Провод- Проводник обладает по определению сопротивлением в 1 ом, если при разности потенциалов на его концах в 1 вольт по нему протекает ток силою в 1 ампер: 1 , о абс. ед. потенциала 1 Ом = 1- = -Ш = А 3 ¦ 109 абс ед силы тока абс. ед. сопротивления. 4. Разность потенциалов <pi — <p2, входящую в формулу C5.1), согласно (8.2), можно выразить через линейный интеграл напря- напряженности поля Е, взятый от начального до конечного сечения рассматриваемого участка проводника: 2 Щ ~ 4>г = J Es ds, C5.2) l где ds — элемент длины проводника. Линейный интеграл напряженности электрического поля меж- между точками 1 к 2 носит название напряжения, существующего
168 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III между этими точками, и будет нами обозначаться через ?\i'- 2 Esds. C5.3) /„-/. Нужно весьма остерегаться смешивать понятия напряжения ?\i и напряженности поля Е, тем более, что иногда эти понятия обозначаются одним и тем же термином «напряжение». Внося C5.2) и C5.3) в C5.1), получаем 2 JR= I Esds = gx2- C5.4) 1 Эта форма закона Ома в случае постоянного электрическо- электрического поля равносильна формуле C5.1). Однако она обладает тем преимуществом, что остается применимой и к переменным (ква- (квазистационарным) токам, тогда как в поле этих токов, как мы убедимся в гл. VI, понятие электрического потенциала у>, а ста- стало быть, и формула C5.1) оказываются неприменимыми. 5. С прохождением тока, как известно, неразрывно связано выделение тепла (нагревание проводников) в цепи тока Количество теплоты Q, выделяемое током в единицу времени в каком-либо участке цепи, может быть определено следующим образом. Если сила тока в проводнике равна J, то за элемент времени dt через каждое сечение проводника протекает de = Jdt единиц электричества; в частности, сколько единиц электриче- электричества проникнет через начальное сечение 1 внутрь рассматривае- рассматриваемого участка проводника, та- . J , кое же количество электричества -—*y~" "Л— г. выйдет из этого участка через его (Т \T~de {r^dej) сечение 2 (рис. 35). Так как рас- Я>1 Ч>2 пределение зарядов в проводни- рис 35 ке остается при этом неизменным (постоянный ток!), то весь про- процесс эквивалентен непосредственному переносу ае единиц элек- электричества от сечения 1 к сечению 2. Совершаемая при этом переносе работа электрических сил равна 2 2 A = de f Esds = Jdt f Esds = Jdt?u, C5.5) l l где линейный интеграл может быть взят по оси цилиндрического проводника. Согласно закону сохранения энергии, эквивалентное этой работе электрических сил количество энергии должно вы- выделиться в виде иной формы энергии (например, в форме тепла).
§ 35 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ 169 Следовательно, выделяемая током энергия равна 2 Qdt = Jdt {Esds, l откуда 2 Q = J f Esds. C5.6) l Воспользовавшись законом Ома C5.4), получим Q = RJ2. C5.7) Наконец, в том случае, если поле Е обладает потенциалом ip, как это имеет место для поля постоянных токов, мы можем, согласно C5.2), записать это уравнение так: Q = J{sP\ — Уг)- C5.8) Если проводник неподвижен и если в нем не происходит хи- химических реакций (электролиты!), то это количество энергии Q выделяется током в форме тепла. Таким образом, уравнения C5.6) и C5.8) выражают собой известный закон Джоуля. Уже в § 38 мы убедимся, что область приложимости уравне- уравнения C5.7) гораздо шире приложимости уравнений C5.6) и C5.8), хотя в пределах нашего теперешнего рассмотрения все эти урав- уравнения вполне эквивалентны друг другу. Мы увидим, что при наличии сторонних электродвижущих сил эквивалентность этих уравнений нарушается и что количество выделяемого тепла опре- определяется именно уравнением C5.7). 6. Величина Q, равная количеству выделяющейся в единицу времени энергии, должна, очевидно, иметь размерность мощно- мощности. Действительно: [Q] = [<pj\ = (M1/2L1/2T-l)(Ml/2L3/2T-2) = ML2T-3 = работа время Соответственно этому в абсолютной системе единиц Q измеря- измеряется в эргах в секунду. В практической же системе единиц Q измеряется в ваттах: 1 ватт есть энергия, выделяемая током си- силою в 1 ампер при прохождении разности потенциалов в 1 вольт: 1 Вт = 1 вольт • ампер = = (— абс. ед. потенциала) C • 109 абс. ед. силы тока) = = 107 абс. ед. мощности = 107—. с Как известно, в практической системе единиц работа измеря- измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 107 эрг;
170 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III поэтому „ с Разумеется, выделяемая током энергия Q может быть выра- выражена также и в тепловой мере, т. е. в калориях в секунду. § 36. Плотность тока. Дифференциальная форма уравнений Ома и Джоуля 1. Наряду с силой тока весьма важное значение имеет также плотность тока j: по определению она равна количеству элек- электричества, протекающему в 1 с через единицу перпендикуляр- перпендикулярного току сечения проводника. В однородном цилиндрическом проводнике ток равномерно распределяется по его сечению, так что Т 3 = L C6.1) где S — сечение проводника. Однако в общем случае плотность тока j, вообще говоря, не будет одинаковой по всему сечению проводника, так что под плотностью тока в каждой данной точке проводника нужно бу- будет понимать предел отношения силы тока dJ, протекающей че- через перпендикулярный к направлению тока элемент сечения про- проводника dS, к этому элементу dS: 7 = lim —, откуда dJ = j dS. C6.2) Если, наконец, рассматривать плотность тока как вектор, на- направление которого совпадает с направлением тока в данной точ- точке проводника, то при любом направлении площадки dS будет справедливо соотношение d J = jn dS или dJ C6.3) где jn — проекция вектора j на внеш- внешнюю нормаль п к dS, a dJ — сила то- тока, протекающего через dS. Справед- Справедливость этого соотношения явствует из того, что тангенциальная к dS слагаю- Щая плотности тока характеризует те- течение электричества вдоль (а не через) площадки dS (рис. 36). Из C6.3) следует, в частности, что силе протекающего через площадку dS тока dJ нужно приписывать рис
§ 36 ПЛОТНОСТЬ ТОКА 171 как положительные, так и отрицательные значения в зависимо- зависимости от того, протекает ли ток через dS в направлении произволь- произвольно выбранной положительной нормали п к этой площадке или же в обратном ей направлении. 2. Воспользовавшись понятием плотности тока, мы можем выразить основные уравнения электрического тока в дифферен- дифференциальной форме, устанавливающей связь между величинами, от- относящимися к одной определенной точке проводника, тогда как законы Ома и Джоуля в интегральной форме [C5.1) и C5.7)] свя- связывают величины, относящиеся к различным точкам (<pi и <р2) или к конечным отрезкам (R) проводника. Обращаясь прежде всего к закону Ома, рассмотрим какой- либо однородный по составу и цилиндрический по форме участок проводника. В этом случае, как известно, где I — длина участка проводника, обладающего сопротивлени- сопротивлением Л, S — его сечение, ар — удельное сопротивление, характе- характеризующее вещество проводника. Если вместо удельного сопро- сопротивления р ввести обратную ему величину — удельную проводи- проводимость, или электропроводность А: Х=К р ТО 1 Внося это выражение в C5.4), получим 2 Esds, &-! или ввиду C6-1) 7 = г / Е„ dS. В случае постоянного тока в однородном цилиндрическом проводнике, ввиду тождества физических условий по всей его длине, слагающая поля по оси проводника Es, очевидно, имеет постоянное значение, так что IEsds = ES fds = Esl,
172 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III и, следовательно, 3 = A^s. В каждой точке проводника направление тока совпадает с на- направлением электрического поля 1), обусловливающего движе- движение зарядов. Стало быть, вектор плотности тока должен совпа- совпадать по направлению с вектором Е, и последнее уравнение может быть записано окончательно в виде j = АЕ. C6.5) Это уравнение, устанавливающее пропорциональность плот- плотности тока в проводнике напряженности поля в нем, представля- представляет собой наиболее общую и простую формулировку закона Ома. Его можно назвать дифференциальной формой закона Ома (хотя в него и не входят производные), потому что оно устанавливает связь между величинами, относящимися к одной определенной точке проводника. Хотя при выводе формулы C6.5) мы исходили из рассмо- рассмотрения однородного цилиндрического проводника, однако в этой дифференциальной форме закон Ома оказывается применим к проводникам любой формы, как однородным, так и неоднород- неоднородным [см., впрочем, уравнение C8.1)]. Более того, уравнение C6.5) остается справедливым и в пере- переменных электрических полях и, таким образом, является одним из основных уравнений электродинамики. 3. Закон Джоуля C5.7), носящий характер закона интеграль- интегрального, может быть, подобно закону Ома, преобразован в форму дифференциальную. С этой целью введем вместо Q удельную мощность тока д, т е. количество теплоты, выделяющееся за се- секунду в единице объема проводника: q = Q/V, где V — объ- объем участка проводника, в котором выделяется общее количество теплоты Q 2). Рассмотрим опять однородный цилиндрический проводник сечения S, длины I и объема V = SI. Согласно C5 7) и C6.4) 1) В частности, если в однородном цилиндрическом проводнике устано- установился постоянный ток, то вектор Е в этом проводнике должен быть направ- направлен по оси проводника и, стало быть, Es = Е и j = ХЕ Действительно, в противном случае перпендикулярная этой оси слагающая напряженности Е вызвала бы появление параллельного ей тока, т. е. перемещение зарядов с одной стороны поверхности проводника на другую Это перераспределение поверхностных зарядов длилось бы до тех пор, пока поле этих зарядов не скомпенсировало бы внутри проводника перпендикулярной к его оси слагаю- слагающей внешнего поля, т е. до тех пор, пока Е не стало бы параллельным оси проводника. 2) Если выделение теплоты происходит неравномерно по объему провод- проводника, то, как обычно, значение q в каждой точке проводника определяется соотношением q = hm (Q/V)
§ 37 УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ТОКОВ 173 получим , , -Я - ^11 = 11L q ~~ v ~ si "as2' откуда на основании C6.1) q=-J2, C6.6) или на основании C6.5) q = \Е2 = JE. C6.7) Уравнение C6.6) представляет собой наиболее общую фор- формулировку закона Джоуля, применимую к любым проводникам, вне зависимости от их формы, однородности и т. д., наконец, вне зависимости от того, имеем ли мы дело с постоянным или пе- переменным током. Что же касается уравнения C6.7), то, как мы увидим в § 39, область приложимости его несколько уже. § 37. Условия стационарности токов. Уравнение непрерывности. Нити тока 1. Электрическое поле постоянных токов, как и поле элек- электростатическое, является полем потенциальным в смысле § 7. В частности, вектор напряженности этого поЛя Е удовлетворяет условию G.3) и может быть выражен через градиент потенциала: Е = — grad (p. Действительно, в поле постоянных токов распределение зарядов в пространстве должно оставаться стационарным, т. е. неизмен- неизменным во времени, ибо если бы имело место какое бы то ни было перераспределение зарядов, то напряженность поля неизбежно должна была бы измениться, и ток перестал бы быть постоян- постоянным. Но если распределение зарядов стационарно, то поле их должно быть тождественно с электростатическим полем соответ- соответственно распределенных неподвижных зарядов; то обстоятель- обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказы- сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плот- плотность зарядов в каждой точке пространства остается постоян- постоянной1) . Стало быть, стационарное поле постоянных токов, как и поле электростатическое, должно быть полем потенциальным. 2. Из стационарности распределения зарядов в поле постоян- постоянных токов вытекает, что токи эти необходимо должны быть ли- либо замкнутыми, либо уходить в бесконечность, ибо, в противном ) Это утверждение является, в сущности, одним из основных постулатов теории электрического поля
174 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III случае, в месте начала (истоков) и окончания (стоков) тока про- происходило бы с течением времени накопление и убывание зарядов. По той же причине через различные сечения проводника (если только между этими сечениями нет разветвлений проводника) должен протекать ток одинаковой силы. Наконец, в каждой точ- точке Р разветвления цепи тока, в которой соприкасаются между собой два или вообще п проводников, несущих соответственно токи Ji (г; = 1, 2, ..., п), должен удовлетворяться так называе- называемый первый закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма сил токов, притекающих к точке разветвления цепи, должна равняться нулю: п i = 0; C7.1) Рис. 37 t=i в противном случае в точке Р проис- происходило бы накопление электрических зарядов. При этом для всех проводни- проводников, соприкасающихся в точке Р, по- положительное направление тока долж- должно быть, конечно, выбрано одинаковым образом, т. е. совпадающим либо с на- направлением к точке Р, либо с направ- направлением от точки Р (рис. 37). 3. Самое общее условие стационарности токов и поля может быть получено следующим образом. Согласно C6.3) интеграл § jn dS по произвольной замкнутой поверхности S должен рав- равняться алгебраической сумме сил токов, проходящих через от- отдельные элементы dS этой поверхности, т. е. должен равняться количеству электричества, выходящего за единицу времени из ограниченного поверхностью S объема V (если п есть внешняя нормаль к 5). С другой стороны, согласно лежащему в основе теории электричества закону сохранения электричества 1) , ко- *} Часто закон сохранения электричества формулируют в том смысле, что электрические заряды могут лишь перемещаться в пространстве, но не мо- могут ни возникать, ни исчезать. Действительно, кажущееся возникновение электрических зарядов, например при электризации тел трением, сводится лишь к перераспределению в пространстве элементарных зарядов (электро- (электронов и ионов), ранее существовавших в этих телах, но располагавшихся в них так, что заряды противоположных знаков взаимно нейтрализовались. Однако сохранение числа элементарных зарядов имеет место лишь в пре- пределах обычных физических и химических явлений. В области же явлений, относящихся к физике атомных ядер и космических лучей, число элемен- элементарных зарядов не сохраняется. Так, например, возможно образование пары зарядов — электрона и позитрона — за счет энергии гамма-лучей. Поэтому закон сохранения электричества надо понимать в смысле сохранения алге- алгебраической суммы электрических зарядов, а не сохранения суммы зарядов каждого знака порознь.
§ 37 УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ТОКОВ 175 личество электричества, вышедшего за 1 с за пределы объема V, должно равняться —de/dt, т. е. убыли за тот же промежуток времени заряда е, находящегося внутри этого объема1). Таким образом, мы приходим к равенству ndS=-%. C7.2) at Это весьма важное уравнение, по установившейся терминоло- терминологии, носит название уравнения непрерывности и является мате- математическим выражением постулата сохранения количества элек- электричества. К этому уравнению нам еще придется вернуться в дальнейшем. В интересующем лее нас здесь случае постоянных токов распределение зарядов стационарно, т. е. de/dt = 0, так что уравнение непрерывности принимает вид (j)jndS = C7.3) 4. Если внутри объема V, ограниченного поверхностью S, нет поверхностей разрыва вектора j (подобные разрывы, вообще го- говоря, могут иметь место лишь на поверхностях соприкосновения двух различных сред), то C7.3) можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса A7*): <? jndS = JdividV = 0. Ввиду произвольности объема интегрирования V отсюда следу- следует, что div j = 0. C7.4) Это уравнение является наиболее общим выражением того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии тока всегда замкнуты либо уходят в бесконечность (ср. сказан- сказанное о силовых линиях электрического поля в § 10) 2). При этом под линиями тока нужно, очевидно, понимать линии вектора j, т. е. линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора j в точке касания. На поверхности соприкосновения двух различных сред век- вектор плотности тока может испытывать разрыв непрерывности. 1) Знак частной производной должен означать, что при дифференцирова- дифференцировании по времени поверхность S и объем V считаются неподвижными. ) Согласно § 10, для линий, не имеющих истоков, мыслима еще третья воз- возможность: они могут заполнять собой конечные участки пространства. Од- Однако при отсутствии сторонних ЭДС (см. § 38) линии тока, согласно C6.5), совпадают с силовыми линиями стационарного электрического поля, для ко- которых эта возможность, согласно § 10, исключена. Остается лишь оговорить, что линии тока могут начинаться и кончаться в точках неопределенности поля, где Е = j = 0 (см. примечание на с. 55, § 10).
176 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III Однако нормальная к поверхности слагающая этого вектора j должна быть одинаковой по обеим сторонам поверхности раз- разрыва, ибо в противном случае количество электричества, при- притекающее к одной стороне этой поверхности, не было бы равно количеству электричества, вытекающему с другой ее стороны. Следовательно, Зы = J2n, C7.5) где ji и J2 — плотности тока в первой и второй средах, an — нор- нормаль к поверхности их соприкосновения. Если проводник грани- граничит с непроводящей средой, то в ней j = 0, и, следовательно, нормальная к поверхности слагающая плотности тока в провод- проводнике также должна равняться нулю: Зп = 0. C7.6) 5. Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разло- разложить на совокупность бесконечно тонких замкнутых (или уходя- уходящих в бесконечность) нитей тока. С этой целью выберем произ- произвольную площадку dS внутри проводника и проведем через все точки контура этой площадки линии тока. Образованная сово- совокупностью этих линий цилиндрическая поверхность и выделит из объема проводника так называемую нить тока. Так как че- через боковую поверхность такой нити электричество, очевидно, не протекает, то сила тока dJ во всех сечениях dS каждой нити должна быть постоянной, т. е. dJ = j dS = const, где под dS надо понимать перпендикулярное к j сечение нити тока. Так как, далее, линии тока, а стало быть, и поверхности нитей тока пересекаться нигде не могут (ибо в каждой точке про- пространства, в которой j ф 0, направление линии тока однозначно определяется направлением вектора j), то каждая нить тока дол- должна замыкаться сама на себя (т. е. быть замкнутой) либо идти из бесконечности в бесконечность (см. примечание к с. 56). 6. В случае постоянных токов, как и в электростатике, макро- макроскопическая плотность (свободных) зарядов внутри однородных проводников равна нулю, ибо при А = const из C7.4) следует: divj = divAE = AdivE = 0, т.е. — divE = p = 0. C7.7) 4тг Задача 21. Пространство между обкладками шарового конденсатора (радиусы Ri и Д2) заполнено проводящей средой удельной электропроводности А. Найти силу тока, проходящего через конденсатор, если его обкладки поддерживаются при по- постоянной разности потенциалов tp2 — ip\, и показать, что сопро- сопротивление находящегося между обкладками шарового слоя равно 4тгА \Ri R2<
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 177 Задача 22. Показать, что на поверхности раздела двух проводников линии тока испытывают преломление, причем tg/?2 А2' где /Зг — угол между линией тока в первой среде и нормалью к поверхности раздела, Ai — электропроводность первой среды, a fa и Аг — соответствующие величины для второй среды (ср. задачу 16, § 22). Задача 23. Показать, что нормальная слагающая элек- электрической индукции у поверхности проводника определяется уравнением ^ также и в том случае, если по проводнику протекает постоянный ток, но что векторное уравнение B2 10) в этом случае перестает быть справедливым. § 38. Сторонние электродвижущие силы. Квазилинейные токи. Второй закон Кирхгофа 1. Существеннейшее отличие стационарного поля постоянных токов от поля электростатического заключается в том, что для поддержания первого необходима непрерывная затрата энергии, тогда как в электростатическом поле никаких превращений энер- энергии не происходит. Действительно, как мы видели, электриче- электрический ток, т. е. перенос электричества по проводникам под воздей- воздействием сил электрического поля, сопровождается работой этих сил, причем эквивалентное этой работе количество энергии вы- выделяется в форме так называемого джоулева тепла. Ввиду ста- стационарности поля постоянных токов вся энергия, выделяющая- выделяющаяся в цепи тока, должна непрерывно возмещаться за счет других видов энергии — механической (динамо-машины), химической (гальванические элементы, аккумуляторы), тепловой (термоэле- (термоэлементы) и т. д. Иными словами, для поддержания постоянного то- тока необходимо, чтобы в известных участках цепи тока действо- действовали электродвижущие силы неэлектростатического происхож- происхождения (индукционные, контактные на поверхностях соприкосно- соприкосновения различных проводников, термоэлектрические и т. д.); их работой и компенсируется затрата электрической энергии, выде- выделяющейся в форме джоулева тепла. Если бы все действующие в цепи ЭДС сводились к силам электростатического поля, т. е. к силам кулоновым, то под воз- воздействием этих сил положительные заряды проводников стека- стекались бы из мест большего потенциала к потенциалам меньшим, отрицательные же двигались бы в обратном направлении, что вело бы к выравниванию потенциалов. В результате все соеди-
178 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III ненные между собой проводники приобрели бы одинаковый по- потенциал, и ток прекратился бы. Иными словами, при наличии одних лишь кулоновых сил стационарное поле должно быть по- полем статическим. Таким образом, мы приходим к выводу, в известном отношении напоминающему теорему Ирншоу: как и в § 19, нам приходится ввести в рассмотрение силы неэлектро- неэлектростатического происхождения, действующие на электрические за- заряды. Разница лишь в том, что в § 19 введение подобных сил вызывалось необходимостью учесть возможность устойчивого равновесия системы электрических зарядов, теперь же нас вы- вынуждает к этому факт существования постоянных токов. Итак, мы должны допустить, что, помимо электрических сил стационарного электрического поля, на электрические заряды в проводниках может действовать еще некоторое поле сил неэлек- неэлектростатического происхождения. Для краткости мы будем назы- называть эти силы сторонними (электростатическому полю) и будем обозначать напряженность поля сторонних сил через Естр. К сторонним силам в этой главе мы причисляем все ЭДС неэлектростатического происхождения. Весьма важный класс этих сил будет сведен в гл. VI к силам переменного электро- электромагнитного поля (индукционным), после чего мы уже не будем применять к силам этого класса термин «сторонние». Помимо них существуют, однако, и силы «сторонние» в собственном смысле слова, обусловленные химической и физической неодно- неоднородностью проводников. Таковы силы, возникающие при сопри- соприкосновении проводников различного химического состава (галь- (гальванический элемент, аккумулятор) или различной температуры (термоэлемент), при наличии градиента концентрации в раство- растворе электролита (концентрационный гальванический элемент) и т. д. Конечно, перед электронной теорией материи стоит зада- задача выяснить механизм возникновения всех «сторонних» ЭДС и свести их к взаимодействию электрических зарядов, входящих в состав атомов неоднородных проводников. Задача эта, однако, выходит за рамки этой книги. 2. Если под действием электростатического поля Е в провод- проводнике возникает, согласно C6.5), ток плотности то под совокупным действием поля Е и поля сторонних сил Естр должен, очевидно, возникать ток плотности j = A(E + ECTp). C8.1) Это выражение представляет собою дифференциальную форму обобщенного закона Ома (для случая наличия сторонних ЭДС), из которого нетрудно получить и интегральную форму этого за- закона. При этом в настоящем параграфе нам достаточно будет ограничиться рассмотрением квазилинейных токов.
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 179 3. Квазилинейными (не смешивать с линейными, о которых будет идти речь в следующей главе) токами мы будем называть токи, удовлетворяющие следующим условиям, в каждом участ- участке несущего ток проводника можно определить направление его оси так, чтобы во всех точках любого перпендикулярного оси се- сечения проводника все физические величины (j, ip, A, E, Естр и т. д.) можно было с достаточной точностью считать постоянными и чтобы вектор плотности тока j был параллелен (или антипа- раллелен) этой оси. Такие токи мы называем квазилинейными потому, что в ряде случаев рассмотрение несущего ток провод- проводника может быть заменено рассмотрением его оси, которую мы будем называть контуром тока. 4. Рассмотрим произвольный участок квазилинейного тока, заключенный между сечениями 1 и 2, и предположим сначала, что в этом участке нет разветвлений цепи тока. Пусть перпен- перпендикулярное оси сечение проводника равно S, причем, вообще го- говоря, S может быть переменным по длине проводника. Разделив уравнение C8.1) на А, умножая, далее, это уравнение скалярно на элемент оси проводника ds, взятый по направлению тока j, и интегрируя от сечения 1 до сечения 2, получим (ввиду того, что jds = j ds): 2 2 2 = / Es ds A J 1 1 1 Заменим в первом интеграле j на J/S и вынесем J как вели- величину постоянную за знак интеграла. Далее, интеграл 2 ds 1 есть не что иное, как сопротивление участка проводника, лежа- лежащего между сечениями 1 и 2, ибо подынтегральное выражение равно сопротивлению элемента длины проводника; в частности, для однородного проводника постоянного сечения R\2 совпадает с C6.4). Стало быть, окончательно: 2 2 JR12 = f Esds + J ЩТр ds, C8.2) i i что представляет собой наиболее общую интегральную форму обобщенного закона Ома. Напряжение сторонних ЭДС между точками 1 и 2 [ср. C5.3)] 2 s C8.3)
180 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. III часто называется просто электродвижущей силой, приложенной между этими точками, и сокращенно обозначается через ЭДС. Внеся C5.3) и C8.3) в C8.2), получим JRl2 = Sl2 + <^2тр. C8.4) Стало быть, произведение силы тока на сопротивление произ- произвольного участка проводника равно сумме напряжения и сто- сторонней ЭДС, приложенных к этому участку. Если электрическое поле Е обладает потенциалом <р, как это имеет место в стационарном поле постоянных токов, то, согласно C5.2), последнее уравнение может быть записано так: JRn = щ - <р2 + <2Р- C8-2) Частным случаем этого уравнения при отсутствии сторонних ЭДС является наше исходное выражение C5.1) необобщенного закона Ома. 5. Если замкнутый квазилинейный ток лишен разветвлений, то, выполняя в уравнении C8.2) интегрирование по всей длине этого тока, получим JR = (f>Esds+ ф Ef p ds, C8.6) где R — полное сопротивление замкнутого проводника. Если Е обладает потенциалом, то, согласно G.3), первый интеграл обра- обращается в нуль, так что для постоянного тока C8.6) принимает вид JR= ф Е?р ds = <Гтр, C8.7) где <^стр — полная ЭДС в цепи тока. Стало быть, сила неразвет- вленного постоянного тока равна частному от деления полной сторонней ЭДС в его цепи на сопротивление этой цепи. Таким образом, при отсутствии сторонних ЭДС сила постоянного тока должна равняться нулю, как это уже отмечалось в начале параграфа. Рассмотрим, наконец, про- произвольную цепь квазилиней- квазилинейных токов с произвольным числом разветвлений (рис. 38) ~5 и составим из отдельных участков этой цепи какой-ли- ' бо произвольный замкнутый контур L, например контур 12 3 1. Пусть J^ (г, к = 1, 2, 3) есть ток в отрезке гк, причем величину J^ мы будем считать положи- положительной, если ток идет от точки г к точке к, и отрицательной в противоположном случае. Составляя для каждого участка цепи
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 181 уравнение типа C8.5) и суммируя, получим ? *g*. Приняв во внимание, что (<№ ~ <Pk) = (<Pi ~ 4>г) + (<Р2 ~ <Рз) + (уз - <Pi) = 0, получим Итак, в любом замкнутом контуре токов алгебраическая сум- сумма произведений типа JikRik равна сумме сторонних ЭДС, при- приложенных к этому контуру. Это положение носит название вто- второго закона Кирхгофа. Очевидно, что C8.7) есть частный случай применения этого закона к неразветвленной цепи тока. 6. Заметим в заключение, что существование сторонних ЭДС должно быть, конечно, учтено и в электростатике. Так, напри- например, в химически или физически неоднородном проводнике усло- условие электростатического равновесия сводится не к равенству ну- нулю напряженности Е электрического поля внутри проводника, а к равенству Е + Естр = 0 или Е = -Естр, C8.9) ибо лишь при этом условии тока в проводнике не будет [ср. C8.1)]. Задача 24. А, В и С суть три последовательные станции на линии телеграфа (рис. 39). Телеграфист в А знает, что между А и В произошло нарушение изоляции линии (что равносильно 1 =3. С-Ь 1с В Рис. 39 ее заземлению). Включая батарею между землей и своим концом линии, он измеряет возникающую при этом в линии силу тока при трех различных условиях: 1) линия заземлена на станции С и изолирована в В (ток J); 2) линия заземлена в В и изолиро- изолирована в С (ток J'); 3) линия изолирована и в В и в С (ток J"). Определить расстояние точки повреждения линии от А. Пред- Предполагается, что сопротивлением земли, а также сопротивлением заземления на станциях можно пренебречь.
182 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III § 39. Превращения энергии в цепи тока. Контактные ЭДС 1. Умножая C8.2) на силу тока в цепи J и перегруппировав члены, получаем 2 2 J I Esds = J2RU - J fE^ds. C9.1) l l Левая часть этого уравнения, согласно C5.5), равна работе, совершаемой силами электрического поля в единицу времени в участке цепи 1, 2. Эта работа оказывается равной разности двух членов, причем первый из них Q = J2Ri2 C9.2) квадратичен относительно силы тока J, поэтому не зависит от направления тока и всегда положителен; второй же член 2 ?fp ds C9.3) линеен относительно J и меняет знак при изменении направле- направления тока. Первый член Q совпадает с выражением C5.7) для джоулева тепла, полученным нами в § 35 в предположении об отсутствии в проводнике сторонних ЭДС. И при наличии сторонних ЭДС квадратичная относительно J величина Q выражает выделяемое током тепло, а именно, так на- называемое джоулево тепло; линейный же относительно J член Р представляет собой, очевидно, работу, совершаемую в единицу времени сторонними ЭДС. Таким образом, формула C9.1) озна- означает, что джоулево тепло Q, выделяемое током в участке цепи 1, Ё, равно сумме совершаемых в этом участке цепи работы сил 2 электрического поля J f Esds и работы сторонних ЭДС. 1 Однако общее количество теплоты, выделяемое током в дан- данном участке цепи, отнюдь не всегда совпадает с соответствен- соответственным джоулевым теплом Q. Так, например, в месте контакта двух различных проводников, помимо джоулева тепла, зависящего только от силы тока и сопротивления проводников, выделяется также так называемое тепло Пелътъе, зависящее от сторонних ЭДС, определяемых в свою очередь химической природой про- проводников, их температурой и т. д. Подобно этому, при наличии в проводнике градиента температуры в нем выделяется, помимо джоулева тепла, и так называемая теплота Томсона. Однако в отличие от джоулева тепла теплоты Пельтье и Томсона явля- являются линейными функциями тока J и изменяют знак при изме-
§ 39 ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ТОКА 183 нении направления тока1). Поэтому теплоту Джоуля Q всегда можно выделить из общего количества выделяемой током тепло- теплоты: теплота Джоуля равна полусумме теплот, выделяемых током заданной силы J при двух взаимно противоположных направле- направлениях тока. Впрочем, в обычных условиях (при не очень малых силах токов) теплоты Пельтье и Томсона составляют лишь незначи- незначительную долю теплоты Джоуля, так что их можно вовсе не учи- учитывать. 2. Итак, выражения C5.7) или C9.2) для теплоты Джоуля остаются справедливыми и при наличии сторонних ЭДС, фор- формулы же C5.6) и C5.8) выражают работу, совершаемую при прохождении тока силами электрического поля, которая равна теплоте Джоуля лишь в отсутствие сторонних ЭДС. Так, напри- например, из C8.2) и C5.2) следует, что при наличии сторонних ЭДС выражение C5.8) для теплоты Джоуля должно быть заменено следующим: Q = J{Vi-4>2) + J^p. C9.4) Выражение C6.6) для удельного количества теплоты Джо- Джоуля (т. е. теплоты Джоуля, выделяющейся в единицу времени в единицу объема проводника) q = \j2 C9.5) было получено нами из уравнения C5.7), совпадающего с C9.2); поэтому C9.5) остается справедливым и при наличии сторонних сил. Вместо C6.7) мы из C9.5) и C8.1) получаем g = A(E + ECTpJ=j(E + ECTp), C9.6) что выражает собой тот факт, что джоулево тепло, выделяемое током в каждом элементе объема проводника, равно сумме ра- работ сил электрического поля и сил, сторонних в этом элементе объема. Как указывалось в начале § 38, общая работа кулоновых сил стационарного поля постоянных токов должна равняться нулю, ибо, в противном случае, энергия этого поля уменьшалась бы и оно не могло бы быть стационарным. Стало быть, общее количе- количество джоулева тепла, выделяющегося во всей цепи тока, должно равняться работе сторонних ЭДС. И, действительно, применяя C9.1) ко всей длине неразветвленного замкнутого проводника и приняв во внимание, что в поле постоянных токов Е обладает 1) Отрицательный знак, например, теплоты Пельтье означает, что соот- соответствующее количество теплоты поглощается, а не выделяется при прохождении тока через контакт двух проводников
184 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III потенциалом, получим на основании C8.7): Q = J<fCTP, C9.7) что является математической формулировкой высказанного только что положения. 3. Чтобы получить представление о превращениях энергии в цепи тока, предположим, что все сторонние ЭДС сосредото- сосредоточены в одном из участков а этой цепи1). Стало быть, работа этих ЭДС будет совершаться лишь в этом участке а, тогда как выделение тепла будет происходить во всех участках цепи. Так как общее количество выделяемой теплоты 2) равно работе ЭДС, сосредоточенных по условию в участке а, то с энергетической точки зрения роль электрического тока сводится к переносу от- отдаваемой сторонними силами энергии в отдаленные участки цепи. Пусть, например, мы имеем дело с не- разветвленным замкнутым квазилинейным проводником, границами участков а и Ь которого являются точки 1 и 2 (рис. 40), и пусть сосредоточенная в участке а ЭДС &стр направлена от 1 к 2: 2 ф = j Efpds = <%стр > 0, 1 так что, согласно C8.5), Рис-40 jRa = щ-1р2 + 4стр - Ктр - (к - vi), где Ra есть сопротивление участка а. Так как, с другой стороны, согласно C8.7), JR = J(Ra + Rb) = <fCTp = <?тр, то |^- > 0 3). Н K Во «внешнем» участке Ь действуют лишь кулоновы силы элек- электрического поля, так что положительные заряды будут стекать 1) Можно представить себе, например, что в этот участок цепи включен аккумулятор или динамо постоянного тока. 2) Для простоты мы в дальнейшем будем говорить лишь о теплоте Джоуля, пренебрегая теплотами Пельтье и Томсона. 3) Таким образом, разность потенциалов на концах участка цепи, к которо- которому приложена сторонняя ЭДС, вообще говоря, меньше этой силы и может считаться равной ей лишь в том случае, если сопротивление На этого участ- участка исчезающе мало по сравнению с «внешним» сопротивлением Кь- Точное же равенство величин (p2 — <f\ и с^астр осуществляется в том случае, если цепь разомкнута (Иь = об).
§ 39 ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ТОКА 185 по 6 от большего потенциала <pi к меньшему потенциалу ц>\. Это должно было бы повести к выравниванию потенциалов и пре- прекращению тока, если бы на участке а не действовали сторонние ЭДС, которые гонят положительные заряды по участку а от 1 к ?, т. е. от меньшего потенциала к большему, против действую- действующих в этом участке кулоновых сил электростатического поля. Так как, согласно последнему уравнению, <?встр > ip2 — <fii, то за- заряды эти действительно будут двигаться по а «против» разности потенциалов <р2 — <Pi и по направлению ЭДС. Итак, ЭДС непрерывно «нагнетает» заряды по а от 1 к 2, откуда они опять стекают по b к 1 и т. д. Работа кулоновых сил электрического поля в участке а будет отрицательной, в участ- участке b положительной, в сумме же равна нулю (как при всяком движении зарядов в потенциальном поле по замкнутому пути). Работа же сторонних ЭДС (положительная) будет совершаться лишь на участке а. При этом в участке а будет выделяться ко- количество теплоты, эквивалентное алгебраической сумме положи- положительной работы ЭДС и отрицательной работы сил поля; избыток же работы ЭДС над количеством этой теплоты будет выделяться током в участке Ь. 4. Рассмотрим, наконец, случай, когда в цепи тока имеется не один, а два участка а и а', в которых приложены сторон- сторонjT ^тр ние ЭДС <?jTp и <?jTp, направленные противоположно друг дру- другу. Если <ааТр > <^Tp, то ток будет направлен так, как указано на рис. 41. В участке а направление тока будет ^"Р совпадать с направлением ЭДС <?jTp, кото- которая будет, следовательно, совершать поло- положительную работу J<oaTp, тогда как ЭДС <VTp будет совершать отрицательную ра- работу —J<?jTp; наконец, в цепи тока будет выделяться единиц теплоты в единицу времени. Таким образом, работа ЭДС в участке а будет идти, во-первых, на выделение теплоты и, во-вторых, на преодоление сопротивления, Рис. 41 оказываемого току ЭДС <^,тр, в участке а'; в нем, таким образом, ток будет совершать положительную работу JS^7P. Другими сло- словами, в цепи будет происходить перенос энергии от а к а' с поте- потерями Q на тепло. Так будет обстоять дело, например, в том слу- случае, если в а будет включен динамо- или гальванический элемент, а в а' — электромотор (вращение которого сопровождается появ- появлением ЭДС индукции, направленных против тока, — см. гл. VI) или заряжаемый током аккумулятор.
186 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III 5. Закончим несколькими замечаниями общего характера о так называемых контактных ЭДС. Эти «сторонние» ЭДС воз- возникают в пограничном слое между соприкасающимися провод- проводниками различного химического состава; величина их зависит от химической природы соприкасающихся проводников (а так- также и других физических условий, например температуры), но не от формы и размера проводников. Толщина слоя, в кото- котором действуют эти контактные ЭДС, столь мала, что с доста- достаточной степенью точности можно считать их сосредоточенными на поверхности соприкосновения проводников. Полагая, что со- сопротивление i?i2, испытываемое током при прохождении через бесконечно тонкую поверхность соприкосновения проводников 1 и 2, равно нулю, получим из C8.5) для двух смежных точек, лежащих по разным сторонам поверхности соприкосновения: Стало быть, контактная ЭДС поддерживает между проводника- проводниками 1 и 2 равную ей контактную разность (или скачок) потен- потенциалов (р2 — <fl Х) • Если из нескольких последовательно соединенных проводни- проводников A, 2, 3 и т. д.) различной химической природы составить замкнутую цепь, то на каждой поверхности их соприкосновения A, 2), B, 3) и т. д. будут действовать контактные ЭДС ?{^, ?^ и т. д. Сила тока в цепи, согласно второму закону Кирхго- Кирхгофа C8.8), будет определяться суммой этих ЭДС. Как известно, все проводники могут быть подразделены на два класса. Проводники первого класса, к которым относятся все металлы, обладают тем свойством, что в любой цепи, состав- составленной только из этих проводников, алгебраическая сумма кон- контактных ЭДС всегда равна нулю, если только все участки цепи находятся при одинаковой температуре2). Стало быть, ток в подобной замкнутой цепи при отсутствии ЭДС иного происхождения (например, термоэлектрических) воз- возникнуть не может. Из этого следует, в частности, что контактные ЭДС между любыми тремя проводниками первого класса связа- связаны соотношением х)Как указал Гельмгольц, этот скачок потенциала обусловливается суще- существованием на границе раздела проводников двойного электрического слоя (см. § 14). Однако само существование двойного слоя предполагает нали- наличие сторонних сил, при отсутствии которых двойной слой существовать не может: противоположные заряды его должны соединиться и взаимно ней- нейтрализоваться. 2)В противном случае возникают термоэлектрические ЭДС, сумма кото- которых, вообще говоря, отлична от нуля.
§ 39 ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ТОКА 187 ибо, образовав из этих проводников замкнутую цепь, мы должны получить <?мр + 4°зТР + ^зТР ~ °> а 4СзТР> очевидно, равно -?"^р. Эти соотношения дают право при изучении токов в цепи ме- металлических проводников не принимать во внимание контактные ЭДС между ними. Если же, однако, в цепь входят проводники второго класса, к которым в первую очередь относятся электролиты, то сумма контактных ЭДС, вообще говоря, будет отлична от нуля, и в це- цепи возникнет ток. На этом свойстве проводника второго рода основано устройство гальванических элементов и аккумулято- аккумуляторов, которые представляют собою совокупность последовательно соединенных проводников первого и второго рода. С энергетической точки зрения это различие проводников первого и второго рода сводится к тому, что при прохождении тока через цепь проводников первого рода общая работа контакт- контактных ЭДС равна нулю, тогда как при наличии в цепи проводников второго рода работа эта, вообще говоря, отлична от нуля. Эта ра- работа контактных ЭДС совершается за счет химической энергии проводников второго рода, прохождение тока по которым всегда сопровождается химическими реакциями в них. Так, например, обыкновенный свинцовый аккумулятор со- состоит из двух погруженных в раствор серной кислоты свинцо- свинцовых пластин, одна из которых покрыта слоем перекиси свинца РЬОг- При замыкании цепи, в которую включен аккумулятор, контактные ЭДС вызывают электрический ток, при прохожде- прохождении которого вещество пластин РЬ и РЬОг вступает в химиче- химическую реакцию с H2SO4, в результате чего на обеих пластинах по- явлется PbSO4- Эта реакция связана с выделением химической энергии, которая в обычных условиях опыта полностью выделя- выделяется в форме тепла, тогда как в аккумуляторе часть ее затрачи- затрачивается на поддержание тока в цепи. Правда, в конечном счете и эта часть химической энергии переходит в джоулево тепло, кото- которое, однако, выделяется не только в самом аккумуляторе, но и в других участках цепи тока. Обратно, при зарядке аккумулятора через него пропускается ток внешнего источника в направлении, обратном ЭДС аккумулятора. Таким образом, ток этот совер- совершает в аккумуляторе положительную работу, которая, помимо нагревания, затрачивается частью на обратную химическую ре- реакцию: 2PbSO4 + 2Н2О -> РЬО2 + Pb + 2H2SO4, сопровождающуюся поглощением энергии и приводящую акку- аккумулятор в «заряженное» состояние. Как уже упоминалось в начале этой главы, тот факт, что про- прохождение тока через электролиты сопровождается химическими реакциями, обусловливается тем, что перенос тока в них осуще- осуществляется движением ионов, т. е. заряженных атомов или групп атомов, тогда как носителями тока в металлах служат не ионы, а «свободные» электроны.
188 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III § 40. Основные представления электронной теории металлов. Опыты Толмена 1. Как уже упоминалось в § 5, простейшее представление о переносе тока по металлу сводится к следующему. Бели металл находится в твердом (или жидком) состоянии, то его атомы пребывают в ионизованном состоянии, т. е. расщеп- расщепляются на один или несколько электронов и на положительный ион. Эти ионы, располагаясь в узлах кристаллической решетки и совершая лишь небольшие колебания около своих положений равновесия, образуют твердый скелет металлического тела. От- Отщепленные же от ионов так называемые «свободные » электроны беспорядочно движутся в промежутках между ионами, образуя собой особого рода электронный «газ». В отсутствие внешнего электрического поля электроны эти находятся в совершенно беспорядочном тепловом движении; воз- возникновение же поля ведет к увлечению электронов в направле- направлении действующих на них сил поля, т. е. к появлению электри- электрического тока. Сталкиваясь в своем движении с ионами металла, электроны передают им избыток кинетической энергии, приобре- приобретенной ими под действием сил поля, что ведет к увеличению энергии теплового движения (колебания) ионов, т. е. к нагрева- нагреванию металла (выделение джоулева тепла). 2. С точки зрения этого представления о механизме тока в ме- металлах, ряд наблюдаемых в них явлений получает чрезвычайно простое истолкование и объяснение. К числу их относятся, на- например, упоминавшиеся в § 11 термоионные явления, состоящие в испускании раскаленными металлами в окружающее их прост- пространство потока свободных (в подлинном смысле слова) электро- электронов. При обычной температуре находящиеся в металле «свобод- «свободные» электроны не могут выйти за поверхность металла ввиду того, что в поверхностном слое металла они подвергаются дей- действию задерживающих сил, направленных внутрь металлаJ). Но при нагревании металла скорость теплового движения его элек- электронов возрастает, так что при достаточно высокой температу- температуре заметная часть этих электронов приобретает столь большой запас кинетической энергии, что им удается преодолеть тормо- тормозящие силы поверхностного слоя и выйти из металла наружу. Характер количественной зависимости интенсивности термоион- термоионного потока электронов от температуры металла хорошо согласу- согласуется с этим представлением о механизме термоионных явлений. Все металлы являются, как известно, не только хорошими проводниками электричества, но и хорошими проводниками теп- 1) Необходимость введения в рассмотрение поверхностных сил подобного рода, вопроса о физической природе которых мы здесь касаться не будем, была выяснена нами в § 19.
§ 40 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ 189 ла. С точки зрения электронной теории, это совпадение объясня- объясняется не простой случайностью, а является следствием одной об- общей причины — присутствия в металлах свободных электронов. В металлах, в отличие от непроводников, передача тепла осуще- осуществляется не только столкновениями атомов, но также, и при- притом по преимуществу, свободными электронами. Приобретая в нагретом участке добавочную энергию движения, легкоподвиж- легкоподвижные электроны сравнительно быстро переносят ее в своем движе- движении в смежные участки тела и тем самым значительно ускоряют процесс теплопроводности. Однако наиболее прямое доказательство того факта, что но- носителями тока в металлах действительно являются электроны, принесли с собой опыты Толмена (см. ниже), измерившего си- силу электрических токов, возникающих в металле при сообщении ему ускорения и обусловленных отставанием «свободных» элек- электронов от движения кристаллической решетки металла. 3. Пусть в единице объема металла находится п свободных электронов массы m и заряда е. Ввиду беспорядочности движе- движения электронов в отсутствие внешнего электрического поля все направления скорости электронов равновероятны, электронный газ в целом покоится по отношению к положительным ионам ре- решетки и средняя плотность тока равна нулю. Пусть, однако, по какой-либо причине возникло добавочное упорядоченное движе- движение электронов относительно решетки со средней скоростью и. При подсчете средней плотности тока j достаточно, очевидно, учесть лишь это упорядоченное движение и можно вовсе прене- пренебречь движением беспорядочным. Через единицу перпендикулярного вектору и сечения провод- проводника за единицу времени пройдут все электроны, находившиеся от него на расстоянии, меньшем или равном и, т. е. все элек- электроны, расположенные в цилиндре сечения 1 и высоты и. Число их равно пи, несомый же ими заряд равен епщ стало быть [ср. ^ ' '' j = enu. D0.1) 4. Чтобы уяснить сущность опытов Толмена1), представим себе, что изготовленное из металлической проволоки кольцо при- приводится внешней силой в неравномерное вращательное движение вокруг своей оси, причем линейная скорость точек кольца рав- равна w2). Если бы электроны в металле были накрепко связаны с атомами, то они двигались бы с той же скоростью го и в результа- результате ток не возник бы (ибо движение электронов и положительных ') Более подробно о трактовке экспериментов Стюарта-Толмена см.: Ци- дилъковский И.М. // Соросовский образовательный ж. 2000. Т. 6. С. 87. 2) Если проволока достаточно тонка, то зависимостью скорости w от рас- расстояния данной точки кольца до его оси можно пренебречь.
190 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. III ионов с одинаковой скоростью создавало бы токи равные и про- противоположно направленные). Наоборот, если бы между электро- электронами и решеткой не было никакого взаимодействия, то движение решетки не передавалось бы электронам, средняя скорость элек- электронов при движении кольца оставалась бы равной нулю, а их средняя скорость и относительно решетки была бы равна —w. Плотность тока в этом случае была бы равна j — —enw = епи, т. е. по-прежнему определялась бы формулой D0.1), хотя обу- обусловливалась бы движением не электронов, а положительных ионов заряда —е (е < 0) со скоростью w. В действительности будет иметь место промежуточный слу- случай, электроны будут частично увлекаться неравномерным дви- движением решетки, и в проводнике возникнет переменный ток. Уравнение движения электронов в металле будет: m|(w + u)=F, D0.2) где w + u есть полная скорость электрона, a F — действующая на него сила. Сила эта будет слагаться из «силы трения» между электронами и решеткой металла, характеризуемой сопротивле- сопротивлением металла R, и из ЭДС индукции, сопротивляющейся всяко- всякому изменению силы тока в проводнике и характеризуемой коэф- коэффициентом самоиндукции проводника L («инертность тока» х) — см. гл. VI). Существенно, что обе эти силы зависят только от относительной (и), а не полной (u + w) скорости электронов, т. е. ввиду D0.1) только от плотности тока в проводнике. Итак, сила F есть функция и, и, стало быть, уравнение D0.2) можно записать так: d\x -r-i/ \ dvr т— = F(u) — т—. dt к ' dt Отличие этого уравнения от уравнения движения электронов в покоящемся проводнике сводится к добавлению к силе F(u) «си- «силы инерции» — m—, как это следует из общих положений ме- dt ханики относительного движения. Поэтому вместо того, чтобы разыскивать вид функции F(u), мы можем непосредственно вос- воспользоваться общим уравнением переменных токов, с которым мы подробнее познакомимся в гл. VI: ? It 1) Инертность токов обусловливается не только инерцией (массой) носи- носителей тока — электронов, учитываемой первым членом формулы D0.2), но в значительно большей мере магнитным взаимодействием этих носителей тока между собой.
§ 40 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ 191 приравняв в этом уравнении действующую на электрон сторон- стороннюю силу еЕстр силе инерции - т—. dt Тангенциальная слагающая ускорения — точек вращающе- dt гося кольца равна производной от числовой величины линейной скорости ги; стало быть, еЕ?р = -т^- s dt LLd-l + RJ = -™ф<18 с2 dt e J dt e dt где s — длина окружности кольца. Проинтегрировав это уравне- уравнение по времени от t = t\ до t = ti и полагая, что в начальный и конечный моменты t\ и ti рассматриваемого промежутка време- времени ток J обращается в нуль, получаем «2 R [ Jdt= -— {w(t2) - w(ti)}. D0.3) J e 5. Этим соотношением и воспользовался Толмен для опреде- определения отношения заряда к массе — носителей тока в металле. m Круглая проволочная катушка приводилась во вращение около вертикальной оси и затем внезапно (в момент t\) тормозилась и приводилась к состоянию покоя [w(<2) = 0] в течение доли секун- секунды. Протекавший в течение этого промежутка ti — t\ по катуш- катушке ток J измерялся неподвижным гальванометром, соединенным с концами катушки двумя проволоками. Измерив Rj Jdt, s и h w(ti) и учтя все побочные эффекты, можно из D0.3) определить отношение — для носителей тока в металле. е Знак этого отношения доказывал, что носителем тока явля- являются отрицательные заряды, а числовое значение отношения — е в опытах Толмена A926 г.) оказалось равным - = 4,58 • 10~9 — = 1,53 • 10~18 абс. ед. СГС, е Кл что по порядку величины согласуется со значением, получен- полученным при измерениях над свободными электронами в катодных лучах: - = 5,66 • 10~9 — = 1,90 • 10~18 абс. ед. СГС. е Кл
192 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. III § 41. Электронная теория электропроводности. Трудности классической теории. Теория Зоммерфельда 1. Чтобы определить зависимость электропроводности метал- металла от других физических величин, характеризующих его свой- свойства, воспользуемся формулой D0.1) j = епи. При этом мы в первом приближении будем рассматривать «элек- «электронный газ» в металле как газ идеальный, т. е. будем считать, что в промежутках между столкновениями с другими электро- электронами и ионами электроны движутся по законам движения ма- материальных точек, подверженных действию одной лишь силы внешнего (макроскопического) поля Е. В отсутствие внешнего поля Е средняя скорость электронов относительно решетки равна, очевидно, нулю. Под воздействи- воздействием поля Е электроны приобретают некоторую добавочную ско- скорость и, параллельную действующей на них силе еЕ. Это на- накопление скорости и, параллельной силе еЕ, происходит лишь во время свободного полета электрона между двумя последова- последовательными столкновениями его с ионами решетки 1). При каждом таком столкновении направление и величина скорости электро- электрона изменяются по закону случая. Стало быть, непосредственно после столкновения среднее значение и равно нулю, а непосред- непосредственно перед столкновением еЕ и= — т, т где еЕ/т равно ускорению, сообщаемому электрону силой еЕ, а г обозначает среднюю продолжительность свободного полета электронов. Таким образом, среднее значение и равно _ 1 еЕ и = т. 2 m С другой стороны, если I есть средняя длина свободного пробега электрона, то j т = -, V где v — средняя скорость беспорядочного движения электронов в отсутствие внешнего поля, ибо во всех практически интерес- интересных случаях v ^> и, и поэтому при подсчете среднего числового (а не векторного) значения скорости электрона добавочной ско- скоростью и можно пренебречь. Внося полученные нами выражения в D0.1), найдем 2mv 1) Столкновения между свободными электронами не влияют на их сред- среднюю скорость, так как при соударении двух тел одинаковой массы векторная сумма их скоростей не изменяется (закон сохранения количества движения).
§ 41 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ 193 Таким образом, плотность тока оказывается пропорциональной напряженности поля Е, как того требует закон Ома C6.5)х) ; далее, коэффициент этой пропорциональности, т. е. электропро- электропроводность металла Л, оказывается равной X = ^L. D1.1) 2. Предположим, что к электронам в металле приложима классическая статистическая механика. Согласно основным положениям этой механики, средняя энергия поступательного теплового движения молекул любого газа зависит лишь от аб- абсолютной температуры Т, но не от химической природы и моле- молекулярной массы газа и равна ~ = 3-кТ, D1.2) где к — постоянная Больцмана. Применяя это соотношение к электронному газу в металле, получим из D1.1) Л = fnl . D1.3) К сожалению, эта формула не может быть проверена непо- непосредственно сравнением с данными опыта, ибо мы не знаем ни аб- абсолютного значения величин п и I, ни характера зависимости их от температуры. Однако косвенная проверка уравнения все же может быть проведена, если наряду с D1.3) рассмотреть также и другие соотношения, устанавливаемые теорией между неизвест- неизвестными величинами п и I, с одной стороны, и рядом измеряемых на опыте величин (теплоемкость металла, термоэлектрическая ЭДС и т. д.) — с другой. 3. Рассмотрим за недостатком места лишь вопрос о теплоем- теплоемкости. Если средняя кинетическая энергия свободных электро- электронов определяется классической формулой D1.2), то полная ки- кинетическая энергия единицы объема электронного газа в металле равна , п = - пкТ. 2 2 Стало быть, теплоемкость Cv (при постоянном объеме) единицы 1) Заметим, что справедливость закона Ома (и непосредственно вытекаю- вытекающего из него закона Джоуля) тесно связана с предположением, что и <С v, т. е. что кинетическая энергия, приобретаемая электронами под воздействи- воздействием поля Е, почти нацело передается при соударениях ионам металла, так что средняя скорость электронов при наличии поля лишь незначительно превышает скорость их в отсутствие поля. В случае электронного тока в вакууме эти условия не выполняются, и закон Ома оказывается благода- благодаря этому (а так же благодаря наличию «пространственного заряда») вовсе неприложимым (см. § 11). Т И. Е. Тамм
194 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III объема электронного газа, т е. энергия, необходимая для повы- повышения его температуры на один градус, равна 3 » 3 nR / j -I a \ ^ = 2^=2^' <4L4) где мы воспользовались известным соотношением между посто- постоянной Больцмана к, постоянной Авогадро Щ и газовой постоян- постоянной Клапейрона R. kN0 = R. Непосредственно измеряется, конечно, полная теплоемкость металла, т. е сумма теплоемкостей ионной решетки и свободных электронов, а не каждое из этих слагаемых порознь. Теплоемкость решетки можно, однако, оценить как теорети- теоретически, так и на основании данных, относящихся к твердым ди- диэлектрикам, теплоемкость которых полностью сводится к тепло- теплоемкости кристаллической решеткиJ) . За вычетом теплоемкости решетки из экспериментально измеренной полной теплоемкости металлов на долю теплоемкости электронов остается относитель- относительно весьма малая величина, которая может быть согласована с формулой D1 4) только при столь малых значениях плотности свободных электронов п, при которых для электропроводности по формуле D1.3) получаются слишком малые значения Точнее, если приписать теплоемкости электронного газа в металлах наи- наибольшее из согласующихся с данными опыта значений, то из вы- выражения для Cv можно определить верхний предел величины п. Вставив его в D1.3) и зная из опыта величину А, мы получа- получаем возможность определить нижний предел длины свободного пробега электрона I, который, например, для серебра при нор- нормальной температуре оказывается равным I ^ 5 • 10~5 см, а при Т = 14К I ^ 2 • 10~3 см. Эти значения свободного пути, прохо- проходимого электроном между двумя последовательными столкнове- столкновениями, никак не могут быть согласованы в рамках классической теории электронов с тем фактом, что порядок расстояния между смежными атомами металлов, как и других твердых тел, равен всего лишь 10~8 см Это противоречие являлось одним из существеннейших воз- возражений против классической электронной теории металлов. Если же ввести в рассмотрение также и экспериментально изме- измеренные величины контактных и термоэлектрических ЭДС, галь- гальваномагнитных явлений и т. д., которые, согласно теории, явля- являются функциями тех же неизвестных п и I, то для разных групп опытных данных получается ряд совершенно различных значе- значений для пи I. 1) Теплоемкость единицы объема решетки при обычных температурах при- приближенно равна Cv = SnaR/Na, где па есть число атомов (или ионов) в единице объема
§ 41 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ 195 Таким образом, классическая теория свободных электронов, весьма просто истолковывающая основные свойства металлов и происходящие в них явления, не в состоянии дать сколько-ни- сколько-нибудь связного и непротиворечивого количественного описания этих явлений, пытаясь определить основные постоянные теории п и I из различных явлений, мы получаем ряд абсолютно несо- гласуемых между собой значений этих величин. Хотя представ- представление о свободных электронах в металле и является, несомненно, лишь первым приближением к действительности, однако проти- противоречия эти не могут быть отнесены лишь за счет упрощений, положенных в основу теоретических расчетов. 4. Развитие квантовой теории выяснило, что основные труд- трудности электронной теории металлов обусловливались не столько упрощенностью основного допущения о существовании в метал- металлах свободных электронов, сколько применением к этим электро- электронам классической статистической механики, или, как ее принято кратко называть, классической статистики [формула D1 2)!]. Согласно квантовой теории, электронный газ подчиняется не классической статистике, а так называемой статистике Ферми- Дирака. При высоких температурах и малых плотностях газа выводы обеих статистик — квантовой и классической — совпа- совпадают, при низких же температурах и больших плотностях на- наступает так называемое «вырождение» газа, т. е. отступление от классических закономерностей. Вырождение газа наступает тогда, когда «параметр вырождения» А = ^! D1.5) 2BnmkTK/2 V ; становится сравнимым с единицей; в этой формуле h означает квантовую постоянную Планка (h = 6,626176C6) • 10~34 Дж/Гц). Таким образом, классическая статистика применима к электрон- электронному газу лишь при условии А<?. 1. Между тем для электронного газа в металлах ввиду колоссальной его плотности и ввиду ни- ничтожности массы электрона это условие вовсе не удовлетворяет- удовлетворяется Полагая, например, что в одновалентных металлах (Ag, Аи, Си, Na, К и т. д.) приходится по одному свободному электрону на каждый атом металла (т. е. что от каждого атома отщепляет- отщепляется в металле по одному электрону), мы получим для плотности электронов п в этих металлах числа порядка 6 ¦ 1022 см~3 и, ста- стало быть, для параметра А значение порядка 2,2 • 103 (полагая m = 9,11 • Ю-28 г и Т = 300 К) Согласно статистике Ферми, при условии А ;§> 1, выполняю- выполняющемся для электронов в металлах при всех температурах вплоть до 10—20 тысяч градусов, т. е. при всех температурах, при кото- которых вообще могут существовать твердые металлы, средняя ки- кинетическая энергия свободных электронов не пропорциональна
196 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ Ш абсолютной температуре Т [как то следует из классической фор- формулы D1.2)], а практически от температуры не зависит и од- однозначно определяется плотностью электронного газа. В част- частности, при температуре абсолютного нуля кинетическая энергия электрона остается весьма значительной, — абсолютный нуль со- соответствует не отсутствию движения или отсутствию кинетиче- кинетической энергии электронов, а лишь минимуму запаса этой энер- энергии (так называемая Nullpunkts-energie), который уже не может быть отнят от металла никаким способом. Физически это станет совершенно понятным, если мы вспомним, что при охлаждении, например, изолированного атома или молекулы до абсолютно- абсолютного нуля входящие в состав атома электроны все же продолжают совершать свое движение вокруг ядра атома. Кристалл же пред- представляет собой, в сущности, своего рода гигантскую молекулу. 5. Согласно статистике Ферми, средняя кинетическая энергия электронов в металле (т. е. средняя энергия их при условии А^>1) оказывается в первом, довольно точном, приближении равной 2 40m [вместо D1.2)]. Внося отсюда значение v в D1.1), получаем вме- вместо D1.3) х): Таким образом, изменение электропроводности А с температурой определяется, в сущности, только температурной зависимостью длины свободного пробега электрона / (ибо плотность электро- электронов п от Т почти совсем не зависит). Эта зависимость I от Т может быть вычислена на основе квантовой механики (причем определяющее значение на результат вычислений оказывает вол- волновая природа электронов) и приводит к правильному темпера- температурному ходу кривой электропроводности: А обратно пропорцио- пропорционально Т при обыкновенных и высоких температурах и обратно пропорционально Т5 при очень низких температурах, причем в чистых (лишенных примесей) металлах А стремится к бесконеч- бесконечности, когда Т стремится к нулю. Заметим, что свободный пробег электронов, как оказывается, даже при обычных температурах в сотни раз превышает расстояние между атомами металла. Незначительность изменения средней энергии электронов с температурой означает малую теплоемкость электронного газа, для которой, по статистике Ферми, получаются при обычных температурах значения, раз в 50-70 меньшие, чем по классиче- х) Более точные вычисления приводят к выражению, отличающемуся от D1.7) заменой множителя \/5/3 = 1,29 множителем 2.
§ 41 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ 197 ской формуле D1.4) х) . В этом лежит разрешение упомянутого выше противоречия между значениями Л и Cv, и этим объясняет- объясняется тот факт, что против ожиданий классической теории наличие в металлах большого числа свободных электронов практически почти не сказывается на их теплоемкости. Все же некоторый, весьма незначительный, процент всех электронов приобретает при нагревании весьма значительную скорость, чем и объясня- объясняются (как и в классической теории) явления термоионного ис- испускания в количественном согласии с опытом. Подобным же образом разрешаются и другие трудности клас- классической теории, так что в общем можно сказать, что основанная на статистике Ферми теория свободных электронов удовлетвори- удовлетворительно объясняет основные свойства металлов. 6. Однако представление о свободном движении электронов в металлах является, конечно, лишь первым приближением к дей- действительности. Это проявляется, во-первых, в тех трудностях, с которыми сталкивается теория свободных электронов даже при качественном объяснении целого ряда явлений, например тер- термоэлектрических явлений, эффекта Холла и т. д. Во-вторых, во всех количественных выводах теории фигурирует свободный пробег электронов /, а значение этого пробега может быть опре- определено только при учете взаимодействия электронов с ионной решеткой металла. Еще более существенна принципиальная неудовлетворитель- неудовлетворительность теории, исходящей из представлений о свободном или по- почти свободном движении электронов в металлах. Ведь каждый электрон, несомненно, испытывает в металле колоссальные си- силы со стороны окружающих его электронов и ионов. Поэтому последовательная теория должна прежде всего объяснить, как и почему, несмотря на эти силы, движение электронов в первом приближении происходит так, как если бы они были свободны- свободными, причем свободный пробег электронов достигает расстояний в сотни раз больших, чем расстояния между атомами металла. Эта задача, перед которой классическая теория была совер- совершенно бессильна, в значительной мере (хотя еще и не полностью) разрешена современной квантовой теорией металлов. Изложение этой теории выходит за рамки нашего курса. 7. Существует, однако, одно явление, механизм которого смог- смогла полностью объяснить лишь квантовая теория. Это явление сверхпроводимости. Сопротивление всех чистых (лишенных примесей) металлов при приближении к абсолютному нулю температуры стремится к нулю (примерно, как Т5), но в некоторых металлах изменение 1) Формула D1.6) для средней энергии электронов является только первым приближением. Во втором приближении к правой части этой формулы при- прибавляется член, пропорциональный Т2, так что теплоемкость электронного газа оказывается отличной от нуля и пропорциональна Т
198 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III это происходит не плавно: при некоторой вполне определенной температуре сопротивление внезапно (скачком) падает до нуля или, во всяком случае, до неизмеримо малой величины. Резкость этого скачка характеризуется тем, что в некоторых металлах он происходит при изменении Т всего лишь на 0,001 °С. Температура скачка называется критической температурой Тс, а состояние металла ниже этой температуры, характеризу- характеризуемое отсутствием сопротивления постоянному току, называется сверхпроводящим состоянием. Явления сверхпроводимости экспериментально установлены к настоящему времени примерно у 20 чистых металлов и у ряда сплавов. Из чистых металлов наивысшей критической темпера- температурой характеризуется Nb (Тс и 9,2 К), затем идут РЬ G,26 К), La, Hg, Sn и т. д. Поскольку в сверхпроводящем состоянии металлов сопротив- сопротивление их равно нулю, в них не должно иметь место выделение джоулева тепла, и токи, раз возникнув, должны сохраняться неопределенно долгое время в отсутствие всякой сторонней ЭДС. Действительно, еще Каммерлинг-Оннес возбуждал в сверхпро- сверхпроводниках индукционные токи, которые, раз возникнув, длились сутками, причем, как показали измерения, сила их, если, быть может, и убывала постепенно, то, во всяком случае, не больше, чем на 1/80000 своего значения за час. Следует, однако, отме- отметить, что в полях высокой частоты в сверхпроводниках происхо- происходит выделение джоулева тепла. Сверхпроводящее состояние отличается от других состояний вещества еще одной особенностью: магнитное поле в глубь сверх- сверхпроводников не проникает, т. е. напряженность и индукция маг- магнитного поля внутри сверхпроводников равны нулю1). Этот факт, в связи с выяснившейся обратимостью перехода металлов при критической температуре в сверхпроводящее состояние, лег в основу термодинамической теории сверхпроводимости, в ко- которой переход металлов в сверхпроводящее состояние рассматри- рассматривается как фазовый переход и которая позволила количествен- количественно связать между собой магнитные и тепловые характеристики сверхпроводников (см. также Дополнение 1). 1) Точнее говоря, магнитное поле весьма быстро экспоненциально спадает от поверхности в глубь сверхпроводников, в обычных экспериментальных условиях глубина проникновения поля в «хорошие» сверхпроводники изме- измеряется 10~6-10~5 см Распространенное уподобление сверхпроводников идеальным диамагнети- кам, т е. телам, магнитная проницаемость /л которых равна нулю, справед- справедливо только в двух отношениях: во-первых, плотность цН2 /8п энергии маг- магнитного поля равна нулю как в сверхпроводниках (в которых /i~ I, H — 0), так и в идеальных диамагнетиках (в которых fi = 0, Н ф 0), во-вторых, внешнее магнитное поле одинаково искажается при внесении как сверхпро- сверхпроводника, так и идеального диамагнетика той же формы и объема
ГЛАВА IV ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ И ИХ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ (В ОТСУТСТВИЕ НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕД) § 42. Магнитное поле токов 1. Известно, что между проводниками, по которым протека- протекают электрические токи, возникают пондеромоторные (механиче- (механические) силы взаимодействия, зависящие от силы этих токов и рас- расположения проводников, эти силы взаимодействия могут быть непосредственно измерены обычными методами измерения меха- механических сил. Для краткости мы будем называть силы взаимо- взаимодействия обтекаемых током проводников просто силами взаимо- взаимодействия токов. Техническое использование этих сил составляет одну из самых важных задач электротехники (электромоторы, разнообразные электроизмерительные приборы и т. д.). В главах I и II мы убедились, что рассмотрение сил взаимо- взаимодействия электрических зарядов чрезвычайно упрощается вве- введением понятия электрического поля этих зарядов. Взаимодей- Взаимодействие токов существенно сложнее взаимодействия покоящихся зарядов, и, соответственно этому, введение в рассмотрение поня- понятия поля токов в еще большей мере облегчает стоящую перед нами задачу. Поэтому мы с самого начала воспользуемся понятием поля токов *), т. е. будем исходить из следующего представления. Во всех точках пространства, окружающего произвольный ток, всегда существует обусловленное этим током поле сил вне зависимости от того, проявляется ли существование этих сил в воздействии их на какой-либо другой ток или же в отсутствие такового не проявляется ни в чем. По исторически сложившейся терминологии, это поле сил называется магнитным полем тока, ибо постоянные магниты создают такие же поля, как и элек- электрические токи. Таким образом, задача определения взаимодей- взаимодействия токов разбивается на две более простые задачи: а) опре- определение магнитного поля произвольного тока и б) определение сил, действующих в заданном магнитном поле на помещенный в него ток. 1) Конечно, законы взаимодействия постоянных токов можно формулиро- формулировать и не прибегая к понятию поля (см § 43)
200 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV В пределах учения о постоянных токах понятие магнитно- магнитного поля этих токов может рассматриваться как понятие чисто условное, введенное лишь для удобства описания явлений (то же относится к понятию электрического поля в пределах элек- электростатики, ср. § 2). Однако, перейдя к изучению переменного электромагнитного поля, мы убедимся, что понятие поля имеет глубокий физический смысл и что электромагнитное поле есть объективная реальность. 2. Электрическое поле может быть измерено путем внесе- внесения в различные его точки произвольно малых пробных заря- зарядов и определения испытываемых этими зарядами сил. Соот- Соответственно этому, для измерения магнитного поля следовало бы воспользоваться изолированными элементами постоянных токов, что, однако, невозможно, ибо постоянные токи по необходимости замкнуты (или уходят в бесконечность, см. § 37). Чтобы обойти это затруднение, можно закрепить неподвиж- неподвижно все проводники, входящие в предназначенную для измерения поля цепь тока, оставив подвижным лишь небольшой участок цепи («элемент тока»), и измерять силу, действующую на этот элемент1) (хотя бы по силе, которую необходимо приложить к нему, чтобы удержать его в равновесии). Конечно, перемещение такого элемента тока из одной точки пространства в другую свя- связано с перемещением всей измерительной цепи; поэтому при этих измерениях необходимо заботиться о том, чтобы перемещения не искажали измеряемого поля токов. Наконец, для целей измере- измерения пригодны, очевидно, лишь «элементы тока» столь малых размеров (сечения и длины), что на их протяжении измеряемое поле можно считать постоянным. В дальнейшем мы будем счи- считать все эти условия выполненными. 3. Как показывает опыт, магнитное поле в каждой точке про- пространства может быть исчерпывающим образом охарактеризо- охарактеризовано некоторым вектором Н, носящим название напряженно- напряженности магнитного поля. Совокупность опытных фактов приводит к следующему выражению для силы F, действующей в поле, ха- характеризуемом вектором Н, на элемент тока длины ds, по кото- которому течет ток силы J: F = ^[dsH]. D2.1) Здесь с означает некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий только от выбора единиц измерения. Этот коэффи- коэффициент принято писать не в числителе, а в знаменателе. Таким образом, сила F, действующая на элемент ds, суще- существенно зависит от ориентации этого элемента ds: величина ее *) Роль такого подвижного элемента тока играет, например, струна струн- струнного гальванометра, прогиб которой определяется силой магнитного поля, создаваемого током, протекающим по обмотке гальванометра.
§42 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ 201 пропорциональна синусу угла между направлением поля Н и на- направлением элемента ds; направление же силы перпендикулярно плоскости, проведенной через Н и ds, и сила направлена по ходу острия буравчика, ручка кото- которого поворачивается от ds к Н (рис 42). Формулу D2.1) можно рас- рассматривать как определение по- понятия «напряженность магнит- магнитного поля». Основываясь на ней, можно следующим образом изме- измерить напряженность магнитного поля в любой точке простран- пространства Поместим в данную точ- точку Р элемент тока ds и будем вращать этот элемент ds до тех пор, пока он не займет положе- положения, при котором действующая на него сила F обращается в нуль. Магнитное поле будет, очевид- очевидно, либо параллельно, либо антипараллельно направлению ds в этом положении. Повернув затем ds из этого положения на 90° и измерив действующую на него в этом новом положении силу F, легко определить вектор Н по величине и направлению. 4. Нам остается еще выяснить вопрос о зависимости напря- напряженности магнитного поля в произвольной точке пространства от характеристик тока, возбуждающего это поле (положение и форма контура тока, его сила и т. д.). Этот вопрос чрезвычайно упростился бы, если бы его можно было свести к вопросу о поле, возбуждаемом отдельным элементом тока, и рассматривать по- поле произвольной системы токов как наложение (суперпозицию) полей отдельных элементов этих токов. Опыт показывает, что напряженность поля, создаваемого двумя токами, действитель- действительно равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих токов в отдельности 1). Тем не менее в рамках учения о постоянных токах вопрос о поле, возбуждаемом отдельным эле- элементом тока, не может быть решен однозначно, ибо нельзя изо- изолировать отдельный элемент постоянного тока, цепь которого не может не быть замкнутой. Поэтому мы всегда имеем дело с результирующим полем всех элементов замкнутого поля, а зна- знания результирующей недостаточно для однозначного определе- определения слагающих (см § 43). Однако в дальнейшем мы перейдем к изучению переменных токов, могущих быть и незамкнутыми; наконец, электронная тео- *) Этот принцип суперпозиции нарушается лишь при наличии в поле фер- ферромагнетиков (см гл V).
202 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV рия, базируясь на обширном опытном материале, сводит силы взаимодействия токов к взаимодействию движущихся электро- электронов, каждый из которых представляет элемент тока в точном смысле этого слова. Таким образом, математический прием раз- разложения конечных токов на совокупность токов элементарных в известном отношении соответствует современным физическим представлениям о том, что все токи сводятся к движению от- отдельных электронов (или ионов). Предвосхищая результаты исследования переменных токов, а также сил взаимодействия движущихся элементарных зарядов, мы в основу всех наших рассуждений положим определенный закон, определяющий магнитное поле элемента тока, рассматри- рассматривая этот закон как данный опытом. Закон этот носит название закона Био-Савара и в векторной форме может быть записан так: г ^ D2.2) Здесь R есть расстояние от элемента тока J ds, возбуждающего магнитное поле Н, до той «точки наблюдения», в которой опре- определяется напряженность Н этого поля. Далее, с есть некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий только от выбора единиц измерения. Во всех общепринятых системах единиц из- измерения единицы эти выбираются так, чтобы коэффициенты с в формулах D2.1) и D2.2) оказались одинаковыми. Таким образом, при удалении от элемента Jds вдоль опре- определенной полупрямой, проведенной из этого элемента, напря- напряженность его поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R от ds; при перемещениях же по сфере определен- определенного радиуса R с центром в ds поле изменяется как синус угла между R. и ds. Направление поля перпендикулярно к плоско- плоскости, проведенной через R и ds (см. рис. 42). Если представить себе сферическую систему координат с центром в ds и с осью, направленной вдоль ds, то направление поля в каждой точке пространства Р будет касательно к полярному кругу, проходя- проходящему через эту точку Р. Иными словами, линии вектора Н, носящие название магнитных силовых линий, являются окруж- окружностями, нанизанными, как на ось, на прямую, проходящую через элемент ds. Направление этих магнитных силовых линий образует с направлением тока в элементе ds правовинтовую систему. 5. Формулы D2.1) и D2.2) являются основными для всего учения о магнитном поле и о взаимодействии постоянных токов; почти все дальнейшее содержание этой главы сводится к рассмо- рассмотрению выводов, вытекающих из этих формул. В частности, сила, испытываемая замкнутым током J в маг- магнитном поле Н, равна, очевидно, сумме сил, испытываемых
§ 43 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТОКА 203 каждым из его элементов, т. е. равна D2.3) напряженность же поля Н замкнутого тока J в произвольной точке Р равна сумме полей, возбуждаемых каждым из его эле- элементов, т. е. равна Н=^М D2.4) где R есть радиус-вектор, проведенный из элемента ds до «точки наблюдения» Р. Задача 25. Показать, что напряженность магнитного по- поля бесконечного прямолинейного тока на расстоянии г от его оси равна „, Н = У- D2.5) сг и что силовые линии этого поля представляют собою концентри- концентрические окружности, плоскость которых перпендикулярна току, причем направление силовых линий составляет с направлением тока правовинтовую систему. Примечание. Цепь постоянного тока всегда замкнута. Рассматривать бесконечный прямолинейный ток — значит рас- рассматривать замкнутую цепь тока, включающую в себя очень длинный прямой цилиндрический участок, и ограничиваться при этом изучением поля тока вблизи средней части этого участка, пренебрегая действием отдаленных участков цепи тока. Задача 26. Линейный ток протекает по окружности ра- радиуса /?о- Показать, что напряженность поля в любой точке оси этой окружности направлена по этой оси, составляет с направ- направлением тока правовинтовую систему и равна it _ 2nJ Др с (Д? + <*2K/2' где d есть расстояние рассматриваемой точки оси от центра кру- кругового тока. § 43. Взаимодействие элементов тока. Электродинамическая постоянная 1. Рассмотрим два элемента тока J\ds\ и Ji ds2, находящихся на расстоянии Ri2 друг от друга (Ri2 считаем направленным от ds\ к d&2)- Поле, создаваемое первым элементом в месте нахож- нахождения второго, согласно D2.2), равно
204 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV и, стало быть, сила Fi2, испытываемая вторым элементом со сто- стороны первого, согласно D2.1), равна (см. рис. 43): ^ D3.1) с л12 Аналогичным образом выражается и сила Р21, испытываемая первым элементом со стороны второго: R, ВД, \ D3.2) причем R21 = — Ri2- Можно в рис 43 основу всех рассуждений поло- положить не формулы D2 1) и D2.2), а этот закон взаимодействия элементов тока, и потом уже, вводя понятие магнитного поля токов; получить формулы предшест- предшествующего параграфа из D3.1) и D3.2). 2. Мы оставили открытым вопрос о размерности коэффици- коэффициента пропорциональности с в формулах D2.1) и D2.2), носящего название электродинамической постоянной. Если принять опре- определенные единицы измерения для длины, механической силы F и силы тока J, то тем самым однозначно фиксируется и размер- размерность электродинамической постоянной с, ибо из D3.1) вытекает, что 2 Й = ^f D3-3) Мы будем преимущественно пользоваться так называемой гауссовой абсолютной системой единиц. В этой системе единиц механические величины (длина, сила F и т. д.) измеряют в еди- единицах СГС, а силу тока измеряют в абсолютных электростати- электростатических единицах, в которых, согласно § 35, [J] = M1'2L3/2T~2. Стало быть, D3.3) принимает вид [с2] = ML^ = /L у ( } L J MLT-2 VT/ ' V ' т. е. с обладает размерностью скорости. Как показали экспериментальные исследования (см. §59), числовое значение электродинамической постоянной с в этих еди- единицах равно 3 • 1010 см/с. В гл. VII будет показано, что совпаде- совпадение этой величины со скоростью света в вакууме отнюдь не слу- случайно. 3. Чтобы уяснить содержание уравнений D3.1) и D3.2), рас- рассмотрим ряд частных случаев. Если ds\ параллельно ds2, то си- силы взаимодействия стремятся сблизить dsi и ds2 (притяже- (притяжение), если же ds\ и ds2 антипараллельны, то эти силы стремятся
§43 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТОКА 205 удалить их друг от друга (отталкивание) (рис. 44) При этом Fi2 = —F21. Однако силы эти даже в этом случае не удовлет- удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия, ибо направления их лежат, вообще говоря, не на одной прямой. Осо- Особенно же резко проявляется нарушение принципа равенства дей- действия и противодействия в том случае, если, например, ds\ параллельно R12, a d,S2 перпендикулярно Ri2 (рис. 45). В этом случае [dsiR.12] = 0, и поэтому F12 = 0, тогда как [ds2R-2i] /0и ^21 Ф 0; элемент dsi испытыва- испытывает силу со стороны элемента d&i, но сам на него не действует Впрочем, в случае постоян- постоянных токов, по необходимости являющихся замкнутыми, это нарушение третьей аксиомы Ньютона связано лишь с пред- представлением сил взаимодействия токов как сил попарного взаи- взаимодействия их элементов Дей- Действительно, как мы покажем в § 51, силы взаимодействия двух замкнутых токов удовлетворя- удовлетворяют принципу равенства дей- действия и противодействия (см. также задачи 27 и 28 в конце параграфа). В общем же случае переменного электромагнитного поля можно и должно обобщить понятие количества движения так, чтобы справедливость этого принципа оказалась обеспечен- обеспеченной во всех электромагнитных р ._ явлениях 1). 4. Выше уже упоминалось, что в пределах изучения замкну- замкнутых постоянных токов сила взаимодействия элементов токов не может быть определена однозначно. Математически это обстоя- обстоятельство выражается в том, что если видоизменить закон взаимо- взаимодействия токов добавлением ряда членов, интеграл которых по всякому замкнутому контуру обращается в нуль, то общая сила, испытываемая элементом со стороны замкнутого тока, остается неизменной. Рис R, F,,=0 1) В § 105 будет доказан обобщенный закон сохранения полного (механиче- (механического и электромагнитного) количества движения (уравнение A05 10)] Так как закон сохранения количества движения эквивалентен закону равенства действия и противодействия, то тем самым будет доказана и справедливость этого последнего закона в его обобщенной форме
206 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV В частности, легко убедиться, что выражение силы Fi2 может быть видоизменено следующим образом: Pia = F12 + ~- {Ф(Д12)(<*5, R12)ds2 +d[R12(ds2Ri2)/(fli2]}, D3.5) с' где Ф(/?1г) и /(Й1г) суть произвольные скалярные функции от Д12, a d[Ri2(rfs2Ri2)/(iZi2)] означает приращение (дифференциал) выражения в скобках при перемещении начальной точки радиуса-вектора Ri2 на отрезок ds\ (так что dRi2 = — ds\). Действительно, при интегрировании по контуру тока Ji последний член обращается в нуль как интеграл полного дифферен- дифференциала по замкнутому пути. Далее, Ф(.$12^12 всегда может быть представ- представлено в виде градиента некоторой функции ip{R\2) от Rn [см. уравнения G*) и (8*)]: Следовательно, )(<&1 R12) = Интеграл же этого полного дифференциала по замкнутому контуру тока Ji [а стало быть, и интеграл второго члена формулы D3.5)] также обращается в нуль. Задача 27. Исходя из уравнений D3.1) и D3.2), показать непосредственным интегрированием, что равнодействующая сил, испытываемая одним из замкнутых токов со стороны другого замкнутого тока, удовлетворяет принципу равенства действия и противодействия. Задача 28. Закон пондеромоторного взаимодействия эле- элементов тока был впервые сформулирован Ампером, исходившим из предположения, что взаимодействие элементов тока должно удовлетворять третьему принципу Ньютона и должно быть на- направлено по линии их соединения. Найденный Ампером закон в наших обозначениях гласит: -^- (dSl Ri2)(ds2 R12) - ±- (dsi ds2)}R12. -^12 12 Показать, что применение формулы Ампера к вычислению результирующей силы, действующей на элемент cfe2 со стороны всех элементов замкнутого тока J\, дает тот же результат, что и применение формулы D3.1). § 44. Переход от линейных токов к токам конечного сечения 1. В предыдущих параграфах мы рассматривали элементы линейных токов. Очевидно, что при определении возбуждаемого током поля можно считать линейными те токи, размеры любого сечения которых достаточно малы по сравнению с расстоянием от этого сечения до рассматриваемых точек поля Р. Разумеется,
§ 44 ЛИНЕЙНЫЕ ТОКИ И ТОКИ КОНЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 207 ток может удовлетворять этому условию линейности лишь в том случае, если мы ограничиваемся рассмотрением достаточно уда- удаленных от него точек поля. При определении же пондеромотор- ных сил, испытываемых током во внешнем магнитном поле Н, ток этот можно считать линейным в том случае, если поле Н не изменяется сколько-нибудь значительно на протяжении любого сечения тока. Таким образом, формулы § 42, 43 применимы лишь в случае выполнения перечисленных условий. Так, например, при R —> 0 определяемая формулой D2.2) напряженность поля Н стремится к бесконечности, т. е. теряет смысл. Однако достаточно незначительных преобразований формул § 42, 43, чтобы сделать их применимыми при произвольном R и при произвольно быстро изменяющейся от точки к точке на- напряженности внешнего поля Н. Для этого достаточно восполь- воспользоваться тем, что, согласно § 37, ток конечного сечения может быть разложен на совокупность бесконечно тонких нитей тока, и применить формулы § 42 к элементам этих нитей. Сила тока dJ, протекающего по нити тока, согласно уравне- уравнению C6.2), равна d J = j dS, где j — плотность тока, a dS — перпендикулярное к оси сечение нити. Стало быть, dJds = jdSds = jdV, где ds — длина, a dV — объем бесконечно малого отрезка нити. Так как, наконец, ось нити тока, по определению, совпадает с линиями тока, то ds параллельно j и dJda=jdV. D4.1) Таким образом, элемент длины каждой нити тока, совокуп- совокупность которых образует ток конечного сечения J, эквивалентен элементу объема j dV этого тока J. Поэтому напряженность dH. поля элемента объема j dV то- тока J на основании D2.2) и D4.1) равна ^ dF. D4.2) Общая же напряженность магнитного поля всего замкнутого то- тока J будет равняться сумме напряженностей полей, создаваемых его отдельными элементами: где интегрирование должно быть распространено на весь объем тока (т. е. на объем обтекаемых током проводников), a R есть расстояние рассматриваемой точки поля Р от элемента тока dV.
208 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Конечно, в случае линейных токов эта последняя формула совпадает с формулой D2.4). Совершенно аналогичным путем, применив уравнение D2.1) к элементу нити тока объема dV и воспользовавшись уравнени- уравнением D4.1), получим, что пондеромоторная сила, испытываемая элементом объема проводника dV, по которому протекает ток плотности j, равна F = — [da H] = - [jH] dV, D4.4) С С где Н есть напряженность магнитного поля в элементе dV. Иными словами, объемная плотность пондеромоторных сил равна f = \ LJH]. D4.5) 2. В дальнейшем нам неоднократно придется переходить от рассмотрения линейных токов к токам конечного сечения и об- обратно. Как явствует из изложенного, в частности, из сравнения D2.4) с D4.3), переход этот всегда эквивалентен замене интегри- интегрирования по длине линейного тока интегрированием по объему тока конечного сечения: f D4.6) где Ф может быть любой скалярной или векторной функцией точки. Если ток удовлетворяет условиям линейности, перечис- перечисленным в начале этого параграфа, то оба выражения в формуле D4.6) равносильны друг другу; в противном же случае они раз- различны по своему содержанию, причем физический смысл имеет только объемный интеграл. Заметим также, что в случае разветвленного контура тока только правая часть D4.6) сохраняет свой вид, тогда как в левой части необходимо учесть, что сила тока в различных участках его цепи может быть различной. Соотношение D4.6) можно условно записать в форме, соот- соответствующей уравнению D4.1), заменив в последнем dj на J: Jds^jdV. D4.7) Однако соотношение D4.7), в сущности, приобретает смысл лишь по выполнении слева интегрирования по ds, а справа по dV, как это явно указывается в D4.6). 3. Формулы D4.3) и D4.4) применимы, очевидно, во всех точ- точках поля постоянных токов. В частности, определяемая ими на- напряженность поля Н в отличие от уравнений D2.2) и D2.4) всюду сохраняет конечное значение (если, разумеется, плотность тока j
§ 44 ЛИНЕЙНЫЕ ТОКИ И ТОКИ КОНЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 209 всюду конечна, как это следует из элементарных физических со- соображений) 1). Для точек поля, лежащих вне токов (R ф 0), это очевидно Чтобы убе- убедиться в конечности поля Н внутри токов, рассмотрим произвольную точ- точку Р', лежащую внутри несущего ток проводника, и опишем вокруг нее сферу V малого, но все же конечного радиуса До. Поле, создаваемое в Р точ- точками, находящимися вне сферы V', конечно, ибо эти токи находятся от Р на конечном расстоянии, большем До. Стало быть, нам достаточно убедиться в конечности поля Н', создаваемого токами, находящимися внутри сферы V'. Из уравнения D4.3) следует: где |Н'| и |[jR]| суть абсолютные величины соответствующих векторов, а интегрирование распространено по объему сферы V. Но где jm обозначает максимальное значение плотности тока внутри сферы V'. Стало быть, . V Введя сферические координаты R, i? и а с центром в Р, получим dV = R^smtidddadR Ко т 2тг 7 /" dV Jm f f f IH I < -— / — = -— / dR I sini9di9 I da = 1 с У Д2 cj У У с V' О О О Таким образом, Н' есть величина конечная, стремящаяся к нулю при уменьшении радиуса сферы До, что и требовалось доказать. Нетрудно также доказать непрерывность вектора Н, т. е. доказать, что разность значений вектора Н в смежных точках поля Р и Р' стремится к нулю, если расстояние РР' стремится к нулю. Пусть обе точки Р и Р' лежат внутри сферы V''. При переходе из Р в Р' поле токов, лежащих вне V'', изменяется непрерывно, ибо токи эти находятся на конечном расстоянии от Р и Р'. Что же касается поля Н' токов, лежащих внутри V'', то напряженность этого поля, по доказанному, меньше {Airjm/c) i?o; стало быть, и изменение Н' при переходе от Р к Р' не может быть больше этого значения. Если РР' стремится к нулю, то До может быть выбрано сколь угодно малым, откуда и следует непрерывность вектора Н. Задача 29. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру протекает параллельно оси цилиндра постоянный ток, равномерно распределенный по его поверхности. Показать, что поле тока внутри цилиндра равно нулю. 1) Впрочем, иногда удобно пользоваться представлением о поверхностных токах, объемная плотность которых j бесконечна (ср. поверхностные заря- заряды в электростатике). О поверхностных токах см § 49; магнитное поле этих токов обладает поверхностями разрыва.
210 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV § 45. Лоренцева сила 1. Элемент объема dV проводника, по которому протекает ток плотности j, испытывает в магнитном поле Н пондеромоторную силу F, равную [см. уравнение D4.4)]: F = i [jH] dV. D4.4) Сила эта отлична от нуля лишь в том случае, если j ф 0, т. е. если в проводнике происходит движение электрических зарядов. С точки зрения электронной теории, все пондеромоторные силы, испытываемые в электромагнитном поле какими бы то ни бы- было телами, должны в конечном счете сводиться к силам, прило- приложенным к электрическим зарядам, входящим в состав этих тел. Соответственно этому и в рассматриваемом случае мы должны попытаться свести силу F, испытываемую несущим ток провод- проводником, к силам, испытываемым движущимися в нем зарядами. С этой целью выразим плотность тока j через число п находя- находящихся в единице объема «свободных» электронов (т. е. электро- электронов, движением своим создающих ток) и через среднюю скорость этих электронов и; согласно уравнению D0.1), j = пей. Направление тока j условно считается совпадающим с тем направлением, по которому двигались бы положительные заря- заряды, если бы этот ток создавался их движением. Стало быть, век- вектор j направлен противоположно средней скорости и движения отрицательных электронов, так что если под е понимать алге- алгебраическую величину заряда (для электронов е < 0), то можно написать j = пей. D5.1) Внося это в уравнение D4.4), получим F = — [uH] dV. D5.2) Такова результирующая сила, действующая на ndV свобод- свободных электронов, заключенных в элементе объема проводника и обладающих средней скоростью и. Естественно предположить, что на каждый из этих п dV электронов действует сила F = -[vH], D5.3) с где v есть истинная скорость электрона. Если тока нет, то элек- электроны движутся беспорядочно, и = 0 и равнодействующая при- приложенных к ним сил равна нулю. Если же ток отличен от нуля, то равнодействующая D5.2) этих сил сообщает электронам со- соответствующее приращение количества движения, которое при
§ 45 ЛОРЕНЦЕВА СИЛА 211 столкновении электронов с атомами (или ионами) проводника передается этому проводнику и вызывает его движение в маг- магнитном поле (или стремится вызвать, если проводник закреп- закреплен). С точки зрения макроскопической теории, не вдающейся в рассмотрение внутреннего механизма явлений, это значит, что на проводник действует пондеромоторная сила D4.4). 2. Результаты изучения движения свободных электронов (в точном смысле этого слова, например, электронов, образующих катодные лучи) подтверждают правильность формулы D5.3), которая оказывается применимой к (точечным) электрическим зарядам, движущимся со скоростью v в произвольном (посто- (постоянном или переменном) магнитном поле Н. Если мы учтем еще силу еЕ, испытываемую (точечным) зарядом в электрическом поле Е, то общая сила, испытываемая зарядом е в произвольном электромагнитном поле, выразится формулой F = е (Е + I [vH]) . D5.4) Эта формула была впервые дана Лоренцем, и поэтому силу F называют лоренцевой силой. Допустив справедливость формулы D5.4), мы можем, оче- очевидно, лишь в том случае сохранить данное в § 2 определение напряженности электрического поля Е, согласно которому Е равно силе, испытываемой помещенным в это поле единичным положительным пробным зарядом, если мы присовокупим к это- этому определению оговорку, что пробный заряд должен быть непо- неподвижным (v = 0); в этом случае формула D5.4) совпадает с формулой B.2). 3. Весьма существенно, что сила, испытываемая движущимся зарядом в магнитном поле, перпендикулярна как к направлению его движения v, так и к направлению поля Н. Таким образом, сила эта лишь искривляет путь заряда, не изменяя числового значения его скорости, т. е. не совершая никакой механической работы. Это обстоятельство может показаться противоречащим тому факту, что работа, совершаемая при движении несущего ток проводника в магнитном поле, вообще говоря, отлична от нуля (электромотор!). Кажущееся противоречие это разрешится, если принять во внимание, что движение проводника в магнит- магнитном поле неизбежно сопровождается явлениями электромагнит- электромагнитной индукции. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в § 76. 4. Заметим в заключение, что искривление пути электриче- электрических зарядов под действием силы D5.3) должно сказываться в перераспределении тока по сечению проводника при внесении этого проводника в магнитное поле. Это перераспределение тока, действительно, проявляется в так называемых гальваномагнит- гальваномагнитных, термомагнитных и родственных им явлениях. Мы рассмот-
212 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV рим в виде примера только одно из этих явлений, так называемое явление Холла. Пусть по однородной металлической пластинке или ленте шириной а протекает электрический ток плотности j в направлении оси у (рис. 46). Если поместить пластинку в однород- однородное магнитное поле Н, направленное по оси z, то электрические заряды, движе- нием которых обусловливается ток, бу- ™ / дут, согласно уравнению D5.2), испыты- испытывать добавочную силу /a/ у F =; {/ j У где и — средняя скорость носителей то- тоЭ б б ка. Эта добавочная сила будет отклонять ток по направлению оси ж; струя элек- электронов будет «бить» в передний край пластинки и вызывать там накопление отрицательных электрических зарядов. рис 46 Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока результирующая сила, поля на- накопившихся у правого края отрицательных зарядов и поля избытка поло- положительных зарядов, собравшихся у левого края, не уравновесит силы Р. Обозначая это уравновешивающее поле через Е', получаем г С С Из рассмотрения рис. 46 следует, что Е' должно быть направлено по оси ж; стало быть, разность потенциалов между точками Р и Р', лежащими на одном перпендикуляре к оси ленты, будет равна ipp VD' ~ 4>т> = &ха = - иаН, или, выражая среднюю скорость электронов и через плотность тока j с по- помощью уравнения D5.1), ^,_^ = g^ = i?jaFl D5.5) где коэффициент R = — D5.6) сеп носит название коэффициента Холла 1) . Поперечная разность потенциалов ipp, —Vp, возникающая в несущем ток проводнике при включении магнитного поля, может быть непосредственно измерена на опыте. Она оказывается, действительно, пропорциональной ве- величинам j, H и о, как того требует формула D5.5). Числовое значение этой разности потенциалов весьма мало. Так, например, при пропускании тока в 10 А через золотую ленту шириной 1 см и толщиной 0,1 мм в магнитном 1) Более точные вычисления, учитывающие отличие скоростей отдельных электронов от их средней скорости, приводят лишь к незначительному изменению числового множителя в формуле D5.6): R — Зп/(8сеп), если применять к электронам классическую статистику. Если же применять к электронам статистику Ферми-Дирака (§ 41), то результат этих вычисле- вычислений совпадает с D5.6).
§ 45 ЛОРЕНЦЕВА СИЛА 213 поле напряженности 10 000 Гс эта разность потенциалов оказывается равной всего лишь 7 мкВ. Наиболее замечательно, однако, что знак коэффициента Холла Д, который, согласно уравнению D5.6), должен быть отрицатель- отрицательным, ибо носителями тока в металлах являются отрицательные электроны (е < 0), в действительности оказывается различным для различных метал- металлов. Так, Я < 0 для Аи, Си, Pt, Ag, Ni и R > 0 для Fe, Co, Zn, Cd, Sb и т. д. Таким образом, дело обстоит так, как если бы носителями тока во второй из этих групп металлов были не отрицательные, а положительные заряды. Это заключение противоречит, однако, всей совокупности наших сведений о природе металлов и долгое время являлось одной из главнейших труд- трудностей, противостоявших электронной теории металлов. Противоречие это вполне удовлетворительно разрешается квантовой теорией металлов. Пример. Движение электронов в постоянном магнит- магнитном поле (Н = const). Уравнение движения электрона в магнит- магнитном поле, согласно D5.3), гласит: m tL = F = е- [vH]. dt c L J Так как проекция силы Р на направление вектора Н неизмен- неизменно равна нулю, то слагающая v# скорости электрона по этому направлению будет постоянна. Так как, с другой стороны, абсо- абсолютная величина всей скорости v тоже постоянна (ибо ускоре- ускорение перпендикулярно скорости), то должна быть постоянной и перпендикулярная к вектору Н слагающая скорости v±. Нако- Наконец, постоянной должна быть и абсолютная величина силы F, ибо ||[H]| | = const. Таким образом, движение электрона может быть разложено на два составляющих движения: равномерное движение по направ- направлению поля Н со скоростью Vff и движение в плоскости, пер- перпендикулярной Н, совершающееся с постоянным по величине ускорением а = — v±H, cm направленным перпендикулярно его скорости v±. Но, как извест- известно, движение с постоянным нормальным ускорением а представ- представляет собой равномерное движение по кругу, радиус которого R может быть определен из соотношения v± e — = а = — R cm следовательно, Дсту± cmv ¦ i тт\ = ~ён = ~~ш Sln (v' )- Совокупность равномерного поступательного движения со ско- скоростью vh и равномерного кругового движения со скоростью v±
214 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV в плоскости, перпендикулярной Н, представляет собой движение с постоянной по абсолютной величине скоростью по винтовой ли- линии, навитой на прямой круговой цилиндр радиуса R, ось кото- которого параллельна Н. Угол между осью цилиндра и касательной к винтовой траектории электрона, конечно, постоянен и опре- определяется начальными условиями движения. В частности, если начальная скорость электрона направлена перпендикулярно Н, то винтовая траектория электрона вырождается в окружность, плоскость которой перпендикулярна Н. Итак, в постоянном однородном магнитном поле электрон описывает, вообще говоря, винтовую линию, ось которой совпа- совпадает с направлением поля. Заметим, что формула D5.7) дает возможность путем измерения R, v, H и sin (v, H) определить отношение е/т заряда электрона к его массе. Возможность эта широко используется в экспериментальной физике для опреде- определения отношения е/та как для электронов, так и для других за- заряженных частиц (олучи, каналовые лучи и т. д.). § 46. Вектор-потенциал магнитного поля 1. Одно из основных уравнений магнитного поля — уравнение D4.3) — можно преобразовать к более удобному для вычисления виду. Подынтегральное выражение правой части этой формулы может быть, согласно уравнению A0*), записано следующим об- образом: Напоминаем при этом, что в уравнении D4.3) R означает радиус- вектор, проведенный из элемента тока jdV («точка истока») в ту «точку наблюдения» Р, в которой определяется напряженность магнитного поля, и индекс а у знака градиента означает, что при определении градиента мы считаем неподвижной точку истока и переменной точку наблюдения. С другой стороны, полагая в формуле D3|) получим где индекс а по-прежнему означает, что при образовании пространственных производных переменной считается лишь точ- точка наблюдения Р. Так как значение вектора j в элементе dV (точка истока), очевидно, не зависит от перемещения точки
§ 46 ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 215 наблюдения Р, то, стало быть х), rotaj = 0 Внося это в уравнение D4.3), получим Так как в этом выражении дифференцирование (образование ро- ротора) производится по координатам точки наблюдения, а интег- интегрирование — по объему проводников, обтекаемых током, то из- изменение порядка этих операций не может повлиять на результат вычислений. Стало быть, можно написать Если ввести обозначение А = 1/1^, D6.1) то уравнение это примет вид Н = rot A, D6.2) где индекс а при знаке ротора опущен как излишний, ибо при заданном распределении токов вектор А является функцией по- положения одной лишь точки наблюдения. Таким образом, напря- напряженность магнитного поля может быть представлена в виде ро- ротора некоторого вектора А, который носит название векторного потенциала или вектор-потенциала токов. 2. Заметим, что для линейных токов (т. е. на расстояниях от токов, больших по сравнению с размерами их сечения) вы- выражение векторного потенциала А может быть преобразовано с помощью формулы D4.6) и принимает следующий вид: ~ с J R' D6.3) 1) Поясним это переходом к декартовым координатам. Пусть ха,уа, za суть координаты точки наблюдения Р, ах,, уЧ! zq — координаты элемента тока jdv', так что dV — dxqdyq dzq Вектор j есть функция только от xq, yq, zq j = j(x«> У«, г«)> тогда как R = ^(ха - хяJ + (уа - yqJ + (za - г,J При определении diva и rota дифференцировать нужно по координатам точки наблюдения, так что, например, . _ д]х(хя, yg,zq) d]y{xq, yq,zq) _ rota* J — - U. ОУа OZa
216 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV 3. Введением векторного потенциала А значительно облегча- облегчается изучение магнитного поля постоянных токов, подобно тому, как введением скалярного потенциала <р облегчается изучение электрического поля стационарной системы электрических заря- зарядов 1). Аналогия между ролью векторного и скалярного потен- потенциалов особенно отчетливо выявляется при сопоставлении фор- формул для электростатического и магнитного полей: Л3 , A R ' c E = — grad 93, H = rot A. Из этого сопоставления явствует также, что вектор плотности тока играет для магнитного поля такую же роль, как скаляр плотности зарядов для поля электрического. 4. Перейдем теперь от интегральных соотношений к диффе- дифференциальным уравнениям для вектор-потенциала. Если ввести произвольную систему декартовых координат х, у, z, то уравнение D6.1) можно записать в следующей форме: Каждое из этих выражений для каждой из слагающих векто- вектора А совершенно аналогично выражению скалярного потенциала электростатического поля: ~ J R • В § 12 было показано, что это последнее выражение является решением (интегралом) дифференциального уравнения Пуассо- Пуассона A1.3): V2tp= —Ажр. Следовательно, и выражения D6.4) для слагающих вектор-по- вектор-потенциала являются решениями следующих дифференциальных уравнений Пуассона: Х72А -_47Г,- Х72А — -4п-i V2A - -47Г i V Ах — ——jx, V Ay — —Зу, V Az — - — jz. Эти три уравнения для слагающих вектора А, согласно D1*), равнозначны одному векторному уравнению -^j, D6.5) С х)Как мы убедимся в дальнейшем, магнитное поле токов, как и всякое вихревое поле, однозначным скалярным потенциалом не обладает.
§ 46 ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 217 которое и является искомым дифференциальным уравнением для векторного потенциала. Нам остается только рассмотреть вопрос о том, при каких условиях интегральное выражение D6.1) для векторного потен- потенциала однозначно вытекает из дифференциального уравнения D6.5). В § 12 были исследованы условия, при которых приведен- приведенное выше интегральное выражение для <р однозначно вытекает из уравнения Пуассона. Повторяя все рассуждения § 12 с заме- заменой ip на Ах, Ay, Az и р на jx/c, jy/c, jz/c и полагая, кроме того, а = О, мы придем к тому результату, что интегральное выраже- выражение D6.1) для А является единственным решением дифферен- дифференциального уравнения D6.5), удовлетворяющим следующим усло- условиям: 1) как сам вектор А, так и его пространственные производные конечны и непрерывны во всем пространстве; 2) в бесконечности каждая из слагающих А/- вектора А удов- удовлетворяет условиям типа A2.10): RAk и R2VAk остаются конечными при R -> оо. D6.6) При этом, разумеется, предполагается, что плотность j возбуж- возбуждающих поле токов конечна во всем пространстве и настолько быстро убывает с R, что интеграл D6 1) сходится. Если же вве- ввести в рассмотрение поверхностные токи^ объемная плотность j которых бесконечна, то выражение D6.1) нужно дополнить еще одним членом (см. § 49). 5. Заметим в заключение, что первые производные вектора А по координатам связаны между собою соотношением divA = 0. D6.7) Действительно, из уравнения D6.1) следует: divA=ldivo/if, где индекс а у знака дивергенции означает, что пространственное дифференцирование производится по координатам точки наблю- наблюдения Р. Но, как указывалось в начале этого параграфа, поря- порядок операции интегрирования по объему токов и дифференци- дифференцирования по точке наблюдения может быть изменен на обратный. Стало быть, Применяя уравнение D3^), можем написать diVa (й) = йdiVaj +jgrad° E)= jgrad» (й) ' ибо значение вектора j от координат точки наблюдения Р не зависит, ввиду чего diva j = 0. С другой стороны, воспользовав- воспользовавшись формулой A0*) и применив затем вторично формулу D3*),
218 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV получим ° (й) = ~jgrad' (й) = "diV9 (г) + й ^^ Последний член снова равен нулю, ибо дивергенция вектора j равна нулю [уравнение C7.4)]. Стало быть, окончательно: Последний интеграл можно преобразовать по теореме Гаус- Гаусса, ибо пространственное дифференцирование под знаком интег- интеграла производится по тем же координатам точек истока, как и интегрирование (в отличие от предшествующего выражения для div А, в котором дифференцирование под знаком интеграла про- производилось по координатам точки наблюдения). Следовательно, причем интегрирование должно быть распространено по поверх- поверхности всех обтекаемых током проводников. Но на поверхности проводников, согласно уравнению C7.6), Зп = 0; следовательно, div A = 0, что и требовалось доказать. § 47. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Циркуляция напряженности магнитного поля 1. Так как дивергенция всякого ротора всегда равна нулю [уравнение D2^)], то из уравнения D6.2) непосредственно выте- вытекает весьма важное уравнение: divH = 0. D7.1) С другой стороны, образовывая ротор от обеих сторон того же уравнения D6.2), получаем на основании уравнения D2з): rot Н = rot rot A = grad div A — V2 А, или, ввиду уравнения D6.7), rotH = -V2A. D7.2) Внося сюда выражение D6.5) для V2A, получаем оконча- окончательно: rotH = — j. D7.3)
§47 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 219 Уравнения D7.1) и D7.3) представляют собой полную систе- систему основных дифференциальных уравнений магнитного поля по- постоянных токов (см. § 49). 2. Рассмотрим циркуляцию магнитного вектора Н по произ- произвольной замкнутой линии L. На основании теоремы Стокса B7*) и уравнения D7.3) мы можем написать = I rotB H dS = ^ j jn dS, D7.4) L S S причем поверхностные интегралы могут быть распространены по любой из поверхностей, опирающихся на контур L (см. прило- приложение, с. 593). Впрочем, нетрудно и непосредственно убедиться, что благодаря замкнутости постоянных токов значение этих по- поверхностных интегралов зависит лишь от контура L поверхности интегрирования S. Действительно, согласно уравнению C6.3), jn dS равно силе тока dJ, проходящего через элемент поверхнос- поверхности dS в направлении ее положительной нормали. Следовательно, L S где 52 J есть алгебраическая сумма сил токов, пронизывающих контур L; токи эти должны считаться положительными или отрицательными, в зависимости от то- того, составляют ли их направления с на- направлением положительного обхода кон- контура L право- или левовинтовую систему (рис. 47). Если же две поверхности S и S' опи- опираются но один и тот оке контур L, то совокупность этих поверхностей образует одну замкнутую поверхность, ограничи- ограничивающую некоторый объем V. Благодаря замкнутости постоянных токов количе- количество электричества 52 •Л втекающего через 5 в единицу времени в объем V, дол- должно равняться количеству электричества 52 J, вытекающего из этого объема через поверхность S'. Таким образом, величина 52 J действительно будет одинакова для обеих поверхностей S и S'. Рис 47 Итак, согласно уравнению D7.5), циркуляция вектора напря- напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, равна нулю, циркуляция же по кривой, охватывающей токи, рав- равна помноженной на 4тг/с сумме сил этих токов (взятых с надле- надлежащими знаками). Эта теорема является одной из важнейших в теории магнитного поля.
220 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Задача 30. Показать, исходя из уравнения D7.4), что на- напряженность поля тока силы J, протекающего по бесконечному прямолинейному круговому цилиндру радиуса го, равна Яе = — (при г ^ г0) и Щ = —?¦ (при г ^ г0), сг сго где г есть расстояние точки поля от оси тока, причем силовые линии поля представляют собой концентрические току окружно- окружности. (См. также для сравнения задачу 25.) § 48. Поля потенциальные и поля соленоидальные. Сопоставление дифференциальных уравнений электрического и магнитного полей 1 В § 7 и 8 мы доказали, что необходимым и достаточным условием того, чтобы поле произвольного вектора а было полем потенциальным, является равенство нулю циркуляции вектора по любому замкнутому контуру [уравнение G.3)]: 3da = O. D8.1) В этом и только в этом случае можно ввести однозначный скалярный потенциал ф вектора а, определяемый соотношением 2 ¦ф\ ~ Ф2 = J as ds, D8.2) l причем вектор а, согласно результатам § 10, оказывается равным градиенту этого потенциала, взятому с обратным знаком 1): a=-grad</>. D8.3) Далее, в § 7 мы показали, что вектор, удовлетворяющий ин- интегральному условию D8.1), удовлетворяет также дифференци- дифференциальному уравнению rota = 0 D8.4) во всех точках пространства2). Обратно, из уравнения D8.4) следует уравнение D8.1). Таким образом, условия D8.1) и D8.4) рассуждения § 7, 8 и 10 относятся непосредственно к вектору на- напряженности электрического поля, однако, как уже указывалось там же, все эти рассуждения применимы ко всякому вектору а, циркуляция которо- которого по произвольному контуру тождественно равна нулю. Конечно, при этом встречающаяся в этих параграфах величина А уже не будет, вообще говоря, представлять собой работу сил поля; физический смысл ее будет зависеть от смысла вектора а. 2) Уравнение D8.4) может быть также непосредственно получено из D8.3) на основании известной формулы векторного анализа D2J), согласно кото- которой ротор градиента тождественно равен нулю.
§ 49 ПОГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ТОКОВ 221 эквивалентны друг другу, и следовательно, необходимым и до- достаточным условием того, чтобы поле вектора а обладало од- однозначным скалярным потенциалом, является равенство нулю rot а во всех точках пространства. Поэтому поле потенциальное называется также полем безвихревым. В частности, напряженность постоянного электрического по- поля Е удовлетворяет условию D8.1) [см. уравнение G.3)] и поэто- поэтому обладает скалярным потенциалом <р, а также удовлетворяет дифференциальному уравнению типа D8.4): rotE = 0 D8.5) [см. уравнение G.6)]. 2. Сопоставим систему уравнений для напряженностей маг- магнитного и электростатического полей: div Е = 4-тгр, div Н = О, rotE = 0, rotH= — j. с Магнитное поле, в отличие от поля электростатического, есть поле вихревое, и притом чисто вихревое в том смысле, что ди- дивергенция его всюду равна нулю. Такие поля называются также соленоидалънъши. Поэтому скалярным потенциалом (по крайней мере, однозначным скалярным потенциалом, — см. дальше) маг- магнитное поле не обладает. Подобно тому, как потенциальное элек- электростатическое поле полностью определяется заданием силы его истоков (т. е. заданием его дивергенции как функции координат), так вихревое магнитное поле полностью определяется заданием мощности его вихрей, т. е. заданием ротора поля как функции координат. Согласно уравнению D7.3) вихри магнитного поля расположены в участках поля, обтекаемых токами, и только в них, причем мощность этих вихрей (т. е. ротор) пропорциональна плот- плотности тока j. Иными словами, обтекаемые токами участки поля могут быть названы вихревым пространством магнитного поля. § 49. Пограничные условия в магнитном поле токов. Поверхностные токи. Поверхностный ротор. Поле бесконечного соленоида 1. С целью установления пограничных условий, которым дол- должен удовлетворять вектор магнитного поля на поверхностях раз- разрыва, предположим сначала, что во всех проводниках и, в част- частности, в проводящих ток тонких слоях, если такие существуют, объемная плотность токов j всюду остается конечной. Будем за- затем стремить толщину dl этих обтекаемых током слоев к нулю и потребуем, чтобы уравнения поля D7.1) и D7.3) оставались справедливыми в этих слоях и в предельном случае при dl = 0.
222 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV Этим требованием искомые пограничные условия определяются однозначно. Действительно, на основании этого требования из уравнения D7.1) получим, согласно уравнению F.7), пограничные условия для нормальной слагающей вектора Н: DivH = Н2п - Ны = 0. D9.1) Интегрируя же уравнение D7.3) по поверхности S, получим на основании теоремы Стокса B7*) уравнение D7.4) = ^ JjndS. L Возьмем произвольный слой толщины dl, отделяющий сре- среду 1 от среды 2, и рассмотрим элемент нормального сечения этого слоя dS = dl dt, заштрихованный на рис. 48. Применим п интегральное уравнение D7.4) 1к этому элементу. Направле- Направление положительного обхода это- этого участка выберем, например, так, как указано на рисунке. Если мы станем стремить к нулю толщину слоя dl, оставляя длину рассматриваемого участ- „ .о ка dt неизменной, то площадь Рис. 48 f этого участка будет также стре- стремиться к нулю. Левая же часть уравнения D7.4) при dl —> О сведется (вплоть до величин второго порядка малости) к 1 ш dt dl где Н\ и В.2 суть значения вектора Н в первой и второй средах, at — единичный вектор, касательный к поверхности раздела и лежащий в плоскости сечения слоя. Что же касается правой части уравнения D7.4), то она про- пропорциональна силе тока, протекающего через площадку dldt, и поэтому сведется к нулю при dl — 0, если объемная плотность тока j конечна, как мы всегда до сих пор предполагали. Одна- Однако в ряде случаев, если токи сосредоточены в слое весьма ма- малой толщины, удобно рассматривать предельный случай токов, протекающих по бесконечно тонким поверхностям, т. е. токов поверхностных (ср. объемные и поверхностные электрические заряды). 2. Под плотностью i поверхностных токов, в отличие от плотности j токов объемных, мы будем понимать количество электричества, протекающего в единицу времени через едини- единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по которой
§ 49 ПОГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ТОКОВ 223 течет ток, и перпендикулярного направлению тока. Если i отлич- отлично от нуля, то сила тока, протекающего через заштрихованную площадку dtdl (см. рис. 48), в пределе при dl —> 0 окажется, очевидно, равной limjn dS = limjn dt dl = iff dt, D9.2) где iff есть перпендикулярная к t слагающая плотности поверх- поверхностного тока. Мы ввели здесь индекс N вместо п, чтобы сохра- сохранить за п значение нормали к поверхности раздела (п направ- направлено из среды 1 в среду 2). Под N нужно понимать единичный вектор, касательный к поверхности и перпендикулярный к каса- касательному же вектору t. Внося полученные выражения в D7.4), найдем после сокра- сокращения на dt искомое пограничное условие: 47UJV тт — -" It- Из рассмотрения рис. 48, в ко- котором, соответственно избранному нами направлению обхода заштри- заштрихованной площадки dt dl, вектор N должен быть направлен на читате- ля, можно убедиться, что взаим- но перпендикулярные единичные ис' векторы t, N, n составляют правовинтовую систему (рис. 49), так что t = [Nil]. Стало быть, Ht = m = H[Nn] = N[nH], iN = Ni. Внося это в предшествующее уравнение, получим Так как N может иметь произвольное направление в плоскости раздела, то *f = [nH2] - [nHij. D9.3) Это уравнение и представляет собой то пограничное условие, которому при наличии поверхностных токов на поверхности раз- раздела должны удовлетворять касательные слагающие вектора Н (ибо лишь эти слагающие и входят в выражение [пН]). При отсутствии поверхностных токов это пограничное усло- условие принимает вид [п(Н2 - НО] = 0. D9.4) Это уравнение означает, что слагающие напряженности по- поля Н, касательные к произвольной поверхности, непрерывны,
224 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV т. е. что при отсутствии поверхностных токов для любого каса- касательного направления t H2t = Hlt. D9.5) Очевидно, что уравнения D9.4) и D9.5) эквивалентны друг другу. 3. Из предшествующего явствует, что, вообще говоря, если два произвольных вектора а и j связаны соотношением rota = 4ttj, то на поверхностях разрыва этих векторов связывающее их со- соотношение принимает вид [п(а2 - ai)] = 4тп, где i получается из j предельным переходом типа D9.2). По- Поэтому левую часть последнего уравнения принято называть по- поверхностным ротором вектора а и, в отличие от обыкновенного ротора, обозначать через Rot с прописной буквы R: Rot а = [п(а2 - ai)] D9.6) (ср. определение поверхностной дивергенции в § 6). По аналогии с уравнением F.8) мы, таким образом, можем выразить только что сформулированное положение в следующем символическом виде; rot a = 4ttj -*• Rot a = 4тгг. D9.7) 4. Итак, пограничные условия D9.1) и D9.3) для магнитного поля постоянных токов могут быть записаны следующим обра- образом: Div Н = 0, Rot Н = — i. D9.8) Пограничные условия D.3) и G.7) для стационарного элек- электрического поля в вакууме на основании эквивалентности урав- уравнений типа D9.4) и D9.5) могут быть записаны так: RotE = 0. D9.9) Уравнения rotH=fj, RotH = ±4 divH = 0, DivH = 0 представляют собой полную систему дифференциальных урав- уравнений магнитного поля постоянных токов. Другими словами, системой (В) магнитное поле определяется однозначно, если из- известно распределение токов j и i и если на бесконечности удов- удовлетворено условие HR2 при R -> оо остается конечным, D9.10)
§ 49 ПОГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ТОКОВ 225 означающее, что все возбуждающие поле токи расположены в конечной области пространства [ср. A2.10) и D6.6)]; обратно, если задана напряженность поля Н в каждой точке простран- пространства, то системой (В) однозначно определяется распределение токов i и j. Второе утверждение очевидно; для доказательства же первого предпо- предположим, что существуют два решения Н и Н' системы (В) при заданных j и i. Внося оба решения в (В) и вычитая затем соответственные уравнения одно из другого, получим rotH"=0, RotH" = 0, divH"=0, DivH"=0, *• ' где Н" = Н — Н'. Далее, полагая Н" = rot А", что всегда возможно, ввиду div Н" = 0, получаем на основании D4*) и (В') следующую цепь равенств: Я =Н rot A =div[A H ] + A rotH =div[A H ]. Стало быть, интеграл от Н по произвольному объему, ограниченному поверхностью S, будет на основании A7*) равен f Я dV = f div [А"Н"] dV = ^[А"Н"]„ dS, D9.11) причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по пограничной поверхности S, ибо во всем поле, согласно (В'), вектор Н", а стало быть, и вектор А" остаются непрерывными. Если теперь распространить интегрирование на объем полного поля (с. 84), то на основании D9.10) интеграл по пограничной поверхности S обратится в нуль1). Стало быть, JHdV = 0, откуда следует, что Н" = = Н — Н' во всех точках поля обращается в нуль. Этим и доказывается однозначность решения системы (В). 5. Заметим, что при наличии поверхностных токов выраже- выражения D4.3) и D6.1) для напряженности поля Н и для вектор- потенциала А принимают вид 1/М<E', D9.12) где поверхностные интегралы должны быть распространены по всем поверхностям, обтекаемым поверхностными токами. В спра- справедливости этих обобщенных выражений легко убедиться путем предельного перехода от токов объемных к токам поверхност- поверхностным. ') Так как Н выражается через производные вектор-потенциала А, то при условии D9.10) этот вспомогательный вектор всегда может быть выбран так, чтобы на бесконечности удовлетворялось условие: AR при R —> оо остается конечным [см. также уравнение D6.6)]. 8 И. Е. Тамм
226 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV В дальнейшем мы повсюду, если только явно не будет ого- оговорено противное, будем считать поверхностные электрические токи отсутствующими (г = 0). Пример. Магнитное поле бесконечного цилиндрического соленоида. Предположим, что ток J циркулирует по проводни- проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра сечения S. Такой обтекаемый током цилиндр называется цилин- цилиндрическим соленоидом. Пусть на единицу длины цилиндра приходится п витков про- проводника. Если ход винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым коль- кольцеобразным током той же силы. Если к тому же сечение провод- проводника мало по сравнению с сечением цилиндра, то можно прибли- приближенно считать, что по бесконечно тонкой поверхности цилиндра циркулирует равномерно распределенный поверхностный ток плотности % = nJ. D9.14) Линии этого тока представляют собой окружности, образован- образованные сечением поверхности цилиндра плоскостями, перпендику- перпендикулярными его оси. Предположим, что наш соленоид представляет собою цилиндр бесконечной длины. В этом случае поле вне соленоида Яе равно нулю, а поле внутри соленоида Нг однородно и равно Ht = ^i=^nJ, He = 0, D9.15) причем Нг направлено по оси соленоида и составляет с направ- направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Действитель- Действительно, выражения D9.15), очевидно, удовлетворяют уравнениям divH = 0 и rotH = 0, соответствующим отсутствию объем- объемных токов. Далее, Н всюду параллельно поверхности соленоида, т. е. поверхности разрыва поля, и поэтому DivH = 0. Наконец, как легко убедиться, при указанном направлении Нг выражения D9.15) удовлетворяют на поверхности соленоида также и урав- уравнению RotH = Dтг/с) i. Таким образом, выражения D9.15) удов- удовлетворяют всем уравнениям системы (В) и, ввиду полноты этой системы, представляют собою единственное решение задачи 1). ) Собственно говоря, приведенное выше доказательство однозначности си- системы (В) неприменимо непосредственно к полю бесконечного соленоида, ибо в этом случае токи не сосредоточены в конечном участке пространства, Н не исчезает в бесконечности, и нельзя утверждать, что входящие в D9.11) величины Н" и А" будут исчезать в бесконечности. Если, однако, рассма- рассматривать поле бесконечного соленоида как предельный случай поля очень длинного конечного соленоида (а только такое рассмотрение и имеет физи- физический смысл), то из доказанной однозначности поля сколь угодно длинного, но конечного соленоида вытекает однозначность поля и в предельном случае бесконечного соленоида
§ 50 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ИСПЫТЫВАЕМЫЕ ТОКОМ 227 Очевидно, что формулы D9.15) приближенно применимы и к полю конечного соленоида в тех его участках, расстояние кото- которых от концов соленоида велико как по сравнению с расстоянием до ближайших участков соленоида, так и по сравнению с попе- поперечником соленоида. В сущности, только этот случай и имеют в виду, когда говорят о поле «бесконечного» соленоида. Задача 31. Решить задачу 29, исходя из дифференциаль- дифференциальных уравнений поля (В), и, кроме того, показать, что поле вне полого цилиндра совпадает с полем линейного тока той же силы, протекающего по оси цилиндра. § 50. Пондеромоторные силы, испытываемые в магнитном поле замкнутым током. Потенциальная функция тока во внешнем магнитном поле 1. При определении механических сил, испытываемых замкну- замкнутым током J во внешнем магнитном поле, ограничимся сначала тем случаем, когда это поле не изменяется сколько-нибудь суще- существенно на протяжении любого сечения тока J, так что ток этот можно считать линейным (с. 206). Поставим себе прежде всего задачу определить работу, со- совершаемую пондеромоторными силами магнитного поля Н при произвольном перемещении контура тока J. Перемещение это, вообще говоря, может быть связано с деформацией контура тока. Пусть каждый элемент ds контура L тока J испытывает неко- некоторое произвольное бесконечно малое перемещение q, конечно, не нарушающее связности контура (рис. 50), причем сила тока J остается при этом перемещении постоянной (виртуальное пе- перемещение). Работа, совершаемая силами магнитного поля при этом перемещении элемента ds, будет, согласно уравнению D4.4), равна п у ? общая же работа 8А, связанная с пере- перемещением всех элементов контура тока, будет равна 6 А = 6 Fq = 3- < L НО [qds] = <5S, Рис 50 где 6S есть элемент площади, описанный элементом контура ds при его перемещении q (рис. 50), причем порядок сомножителей ds и q в выражении для 6S выбран так, что направление векто- вектора ES (т. е. направление положительной нормали п к элемен-
228 ПОНДЕРОМОТОРНОР ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV ту 6S) образует с направлением тока в контуре L' правовинтовую систему. Стало быть, оА = — / tioo = — / Нпдо, с J с J Л Л где интегрирование должно быть распространено по всем эле- элементам 6S поверхности А, описанной контуром тока L при пере- перемещении его точек на расстояние q в положение V. Обозначим через Ф поток магнитного вектора, или, выража- выражаясь короче, магнитный поток через контур тока L (т е. через произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур): Ф= / HndS, E0.1) 5 где п есть положительная нормаль к S, образующая с направ- направлением тока правовинтовую систему. Этот поток зависит лишь от расположения контура L, но не от формы поверхности S, ибо, согласно уравнениям D6.2) и B7*), Ф = ГHndS = I rotn A dS = ф As dS. E0.2) Таким образом, магнитный поток Ф через контур L равен циркуляции вектор-потенциала А по этому контуру. Пользуясь обозначением E0.1), можем написать Я„ dS = 8Ф, ибо изменение магнитного потока через контур тока равно, оче- очевидно, магнитному потоку через поверхность А, описанную кон- контуром при его перемещении. Стало быть, ЬА=3- 6Ф. E0.3) Таким образом, мы приходим к следующему весьма простому результату: работа пондеромоторных сил магнитного поля при произвольном перемещении тока равна умноженному на J/c из- изменению магнитного потока через контур этого тока. Значит, в частности, такие перемещения тока, при которых магнитный по- поток через его контур не испытывает изменения, не связаны с работой магнитного поля. 2. Если ввести обозначение: Ц = ~Ф, E0.4)
§50 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ, ИСПЫТЫВАЕМЫЕ ТОКОМ 229 то уравнение E0.3) примет вид SA = -{SU)j, E0.5) где индекс J при 6U означает, что при определении приращения функции U силу токов J нужно считать постоянной. Следовательно, работа пондеромоторных сил магнитного по- поля равна убыли функции U, которая, таким образом, играет роль потенциальной или силовой функции тока в магнитном поле. В частности, путем обычных в аналитической механике способов рассуждения легко убедиться, исходя из уравнения E0.5), что ес- если функция U выражена в зависимости от каких-либо «обобщен- «обобщенных» координат qz, характеризующих положение контура тока, то «обобщенная» (в смысле аналитической механики) пондеро- моторная сила вг, действующая на ток по направлению какой- либо из этих координат qt, будет равна вг = ~- E0.6) dq, Эти свойства потенциальной или силовой функции U могут побудить отождествить ее с потенциальной энергией магнитного поля. Однако такое заключение было бы неосновательным, ибо, как мы убедимся в следующей главе, перемещения проводника в магнитном поле сопровождаются не только работой пондеро- пондеромоторных сил этого поля, но также и работой сил электродви- электродвижущих, индуцируемых полем в движущемся проводнике; ввиду этого изменение энергии магнитного поля при перемещении про- проводников нельзя определить по работе одних только пондеромо- пондеромоторных сил поля. Поэтому, если мы иногда и будем для краткости называть U потенциальной «энергией», то лишь в том смысле, что пондеро- моторные силы магнитного поля связаны с U той же зависимо- зависимостью, с какой силы консервативного поля сил связаны с потен- потенциальной энергией этого поля. Хотя потенциальная силовая функция U и не равна энер- энергии магнитного поля, тем не менее введением в рассмотрение этой функции значительно облегчается изучение пондеромотор- пондеромоторных сил, действующих в магнитном поле на замкнутые токи, ибо устраняется необходимость в каждом отдельном случае произ- производить сложное суммирование сил, действующих на отдельные элементы тока. В частности, исходя из уравнений E0.5) и E0.6), путем обыч- обычных, хорошо известных рассуждений легко убедиться, что устой- устойчивое равновесие контура постоянного тока соответствует ми- минимуму потенциальной функции U, т. е , согласно уравнению E0.4), максимуму магнитного потока Ф. 3. Формулы, полученные нами для токов линейных, легко обобщить на случай токов объемных, т. е. на тот случай, когда
230 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV нельзя пренебречь изменением напряженности магнитного поля на протяжении сечения тока. С этой целью внесем сначала E0.2) в уравнение E0.4): ^f E0.7) а затем выполним в полученном уравнении переход к объемным токам, согласно формуле D4.6): и = -- с E0.8) Это и является искомым представлением формулы E0.4). Два последних уравнения можно истолковать в том смысле (со всеми только что сделанными оговорками), что каждый эле- элемент тока J ds (или j dV) обладает в магнитном поле потенциаль- потенциальной «энергией» —Ads (или —AjdVj и что потенциальная функция U замкнутого тока равна сумме «энергий» отдельных его элементов. Пример. Рамка в однородном магнитном поле. Рассмо- Рассмотрим произвольный плоский контур (рамку) площади S, обте- обтекаемый током силы J. Пусть эта рамка помещена в однородное магнитное поле Н и закреплена так, что может вращаться около оси, перпендикулярной полю Н (рис. 51). Пусть ¦& есть угол между Н и по- положительной нормалью к рамке п, т. е. Н нормалью, образующей с направлением тока в рамке правовинтовую систему. Тогда магнитный поток через рамку бу- будет равен Ф = HScostf, а потенциаль- ^^г' ная функция рамки будет равна ^\ 1 L U = —cJSHcoS#. E0.9) р Обобщенная сила, соответствующая ис обобщенной координате #, как известно (см. пример в § 18), есть не что иное, как момент N приложенных к рамке сил, стремящийся повернуть рамку около оси вращения: JS/ = = — Jbn smt/. дд с Положения равновесия рамки соответствуют N = 0, т. е. 1? = 0 и д = тт. Первое из этих положений соответствует минимуму, второе — максимуму потенциальной функции U, и, стало быть, лишь первое положение равновесия является устойчивым. Отсю- Отсюда следует, что пондеромоторные силы магнитного поля стремят- стремятся повернуть плоскость тока так, чтобы положительная нормаль
§ 51 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ 231 к ней совпала с направлением магнитного поля Н. В частности, два взаимодействующих контура тока будут стремиться устано- установиться так, чтобы плоскости их были параллельны друг другу, а направление обоих токов было одинаково. § 51. Пондеромоторное взаимодействие токов. Коэффициент взаимной индукции 1. Рассмотрим теперь взаимодействие двух замкнутых линей- линейных токов Ji и J2, обтекающих контуры L\ и L-i- Пусть Hi и Ai суть значения напряженности и векторного потенциала поля первого тока, а Нг и Аг — соответственные величины для вто- второго тока. Далее, обозначим через Ф^2 магнитный поток поля первого тока через контур второго тока: = I #in dS2 = <f> Аи ds2 = <f> A! ds2, E1.1) 5г Ы Li где Si есть поверхность, опирающаяся на контур L2, a ds2 — элемент длины этого контура [ср. уравнение E0.2)]. Магнитный поток, посылаемый вторым током через контур первого тока, мы обозначим соответственно через Ф2\: $21 = f H2ndS1 = <?A2dal. E1.2) Si Li Внося в уравнение E1.1) значение D6.3) вектор-потенциала линейного тока J\: получим L, L2 где интегрирование должно быть произведено по обоим конту- контурам Li и L2, причем каждый элемент длины dsi контура L\ должен быть скалярно помножен на каждый элемент ds2, и полу- полученное произведение разделено на расстояние R элементов «fei и ds2 друг от друга. Совершенно аналогичным путем кайдем
232 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV 2. Двойной интеграл, входящий в выражения для Ф12 и Ф21, обозначается обыкновенно через Li2 и L Ll2 = L2l = fj ^?, E1.3) Li L2 и носит название коэффициента взаимной индукции контуров L\ и Li (смысл этого названия выяснится в гл. V, когда будет уста- установлена связь между коэффициентом L\i и индукционным вза- взаимодействием токов). Внося это обозначение в выражения для Ф12 и Фгь получим = - JiL12, Ф21 = \ ЪЬг\- E1.4) Коэффициент взаимной индукции есть, конечно, чисто гео- геометрическая величина, зависящая лишь от конфигурации и вза- взаимного расположения контуров L\ и L? и от выбора направления положительного обхода каждого из этих контуров 1). Однако на основании равенства E1.4) можно сказать, что ко- коэффициент взаимной индукции контуров L\ и Li численно равен магнитному потоку, посылаемому через один из этих контуров (например ?г) током силы с, циркулирующим по другому кон- контуру L\\ Ф12 = ?12 (при Ji = с). E1.5) 3. Согласно уравнениям E0.4) и E1.4) потенциальная функ- функция C/j2 тока Ji в поле тока J\ равна = -f Ф12 =-^i2JiJ2- E1.6) Точно таким же образом выразится и потенциальная функ- функция С/21 тока J\ в поле тока Ji'- U21 = -? Ф21 - -^ L21J2J1. E1.7) Величина U\2 (или равная ей величина С/21) играет роль вза- взаимной потенциальной энергии токов Ji и J<i в том смысле, что работа пондеромоторных сил взаимодействия этих токов при пе- перемещении любого из них или обоих одновременно равна убыли функции Ui2- В частности, обобщенные пондеромоторные силы взаимодействия этих токов вг, согласно уравнению E0.6), равны взятым с обратным знаком производным от U\2 по соответствую- соответствующим обобщенным координатам qt. Так как, согласно E0.5), при определении работы этих сил по изменению величины Ui2, силу 1) При перемене направления одного из токов (например Ji) и при со- сохранении неизменным направления другого тока знак коэффициента L\i изменяется на обратный, ибо изменяется направление вектора d%\.
§ 51 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ 233 токов J\ и J2 нужно считать постоянной, то [ср. уравнения E0.5) и E0.4)] 6А = -{5Un)j = \ Ji^SLn E1.8) с2 E1.9) 0 ддг с 4. Из приведенных формул явствует, между прочим, что ме- механическое взаимодействие замкнутых токов (в отличие от взаимодействия элементов тока, — см. § 43) удовлетворяет прин- принципу равенства действия и противодействия, ибо силы, испы- испытываемые каждым из взаимодействующих токов, определяются производными от одной и той же функци Uyi = U21, зависящей лишь от относительного расположения обоих контуров. Поясним это утверждение на простейшем примере. Пусть q — I — расстояние между центрами двух параллельных круго- круговых токов L\ и Z*2- Силы jFi и Ft, действующие соответственно на контуры L\ и L<i по направлению возрастания расстояния I, равны 1 di ' F ди11 = р 1 di fiTT Если — > 0, то силы F\ и i*2 стремятся увеличить расстоя- расстояние l, т. е. сводятся к взаимному отталкиванию контуров 1ц и ?2; в противном же случае они сводятся к притяжению этих конту- контуров. Существенно, однако, что в обоих случаях силы Fi и F2 численно равны и противоположны по направлению, т. е. удо- удовлетворяют третьему закону Ньютона. Подобно этому если q = а равно углу между плоскостями двух контуров L\ и Z/2, то обобщенная сила N = —dU/da пред- представляет собой момент пары сил, стремящейся увеличить угол а. Как и в предшествующем случае, легко убедиться, что моменты пар JVi и Л^2, приложенных к L\ и L2, численно равны и проти- противоположны по направлению. 5. Если токи J\ и Ji нельзя считать линейными, т. е. если поле одного из этих токов заметно изменяется на протяжении сечения другого тока, то взаимную потенциальную «энергию» токов U можно определить, исходя из уравнения E0.8). Если ji есть плотность тока в первом токе объема Vi, a J2 — плотность тока во втором токе объема V2, то, согласно E0.8), потенциаль- потенциальная функция U 12 тока J2 в поле тока J\ будет равна V, E1.10) v2
234 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV а потенциальная функция U21 тока J\ в поле тока Ji будет равна dV. E1.11) Vi Внося в эти уравнения выражения D6.1) вектор-потенциалов и А2 токов ji и j2: R Vi V2 получаем E1.12) V1V2 где Д есть расстояние между элементом dV\ объема Vi, плот- плотность тока в котором равна ji, и элементом dVi объема V2, плот- плотность тока в котором равна J2- Пример. Два одинаковых контура L\ и Li имеют форму квадратов со стороной а Стороны обо- обоих квадратов параллельны друг другу, а центры ква- квадратов лежат на расстоянии d друг от друга на пря- прямой, перпендикулярной их плоскостям. Определить коэффициент взаимной индукции L\i этих квадратов и силу F, с которой притягиваются контуры, если по ним текут одинаково направленные токи 3\ и J2- В двойном интеграле формулы E1 3) ¦ a 2 1 a 2 V / f щ h „ ¦e» Lx Li все члены, относящиеся к взаимно перпендикуляр- перпендикулярным парам элементов dsi и d.S2, равны нулю По- Поэтому в рассматриваемом случае выражение для Ь\2 Рис. 52 сводится к сумме интегралов, относящихся к парам параллельных сторон квадратов L\ и Li. Для двух параллельных прямых длиной а, находящихся на расстоянии h друг от друга (рис. 52), имеем +0/2 +0/2 - / / dx\ '(x\ - x2J + h2 -a/2 -a/2 " ' +o/2 = / pg |xi -X2 + \/(xi -X2J + 1 -0/2 xl=-a/2 dX2, где xi и Ж2 суть текущие координаты точек обоих отрезков, отсчитывае- отсчитываемые от их центров Интегрирование по частям каждого из членов разности,
§51 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ 235 получаемой после подстановки вместо х\ его значений ±а/2, дает +а/2 / J -а/2 11Х2=а/2 JJz2=-a 2=-a/2 i!=-o/2 12=-а/2 Подставляя для хг значения ±а/2, получим для L(a, h) всего 3 4 = 12 членов, которые после сокращения и приведения сведутся к трем: L(a, /i) = 27i - + alg Комбинируя попарно параллельные стороны квадратов L\ и L2, полу- получим четыре пары отрезков, расстояние h между которыми равно d, и другие четыре пары, для которых h = у/а2 + d2; первые четыре пары обтекаются параллельными, а вторые четыре противоположно направленными токами Таким образом, коэффициент взаимной индукции этих квадратов равен Li2 = Ща, d) - 41(а, + olg а + - d Чтобы определить силу F притяжения между квадратами, достаточно воспользоваться формулой E1.9), положив в ней обобщенную координату qt равной — d, ибо сила F действует в направлении, обратном координате а, т. е. стремится уменьшить расстояние между квадратами d. Стало быть, „ ди аи 1 дь12 р = -— = — = —- J\J2 ad 2 aq ad ad Выполнив дифференцирование, мы после некоторых алгебраических преобразований получим E113) Дальнейшие примеры на вычисление взаимной индукции, а также ко- коэффициента самоиндукции будут приведены в § 81.
236 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV § 52. Коэффициент самоиндукции. Полная потенциальная функция системы токов 1. Перейдем теперь к рассмотрению пондеромоторных сил взаимодействия элементов одного и того же тока (например то- тока J\) и постараемся определить потенциальную функцию 11ц этих сил, которую с соответствующими оговорками можно на- назвать собственной потенциальной «энергией* J\. Конечно, рассматривая взаимодействие смежных элементов тока, мы уже не можем считать этот ток линейным и должны исходить не из формулы E0.7), а из формулы E0.8). Снабдив для определенности в этой формуле А и j индексом 1, получим ^, E2.1) где перед интегралом, в отличие как от E0.8), так и от формул § 51, стоит фактор с/2, а не 1/с. Появление фактора 1/2 объясня- объясняется тем, что взаимодействие каждой пары элементов тока jx dV и S'\dV' дважды учитывается в интеграле E2.1): оно входит со- составной частью как в Aiji dV, так и в A'j'j dV\ ибо значение А2 в элементе объема dV включает в себя поле элемента j[ dV'. Это обстоятельство непосредственно выявляется, если внести в E2.1) выражение D6 1) вектор-потенциала Ai: R ' Vi тогда уравнение E2.1) принимает вид ViVi где интегрирование как по dV, так и по dV должно быть распро- распространено на весь объем Vi тока Ji, т. е., другими словами, долж- должна быть взята сумма подынтегральных выражений для всех воз- возможных попарных комбинаций элементов объема V\. При этом, очевидно, две комбинации элементов dV и dV, отличающиеся только порядком сомножителей, все же должны считаться раз- различными. R есть, конечно, расстояние между элементами dV ndV. 2. Так как распределение тока по сечению проводника зави- зависит только от геометрических и физических свойств этого про- проводника, а не от силы тока в нем, то плотность тока в каждом из элементов объема проводника пропорциональна J\, т. е. LJ E23) R ViVi
§ 52 КОЭФФИЦИЕНТ САМОИНДУКЦИИ 237 где Lh есть так называемый коэффициент самоиндукции про- проводника, зависящий только от геометрической конфигурации проводника (если он однороден, в противном случае Ьц зависит также от соотношения электропроводностей отдельных элемен- элементов объема проводника), но не от силы тока в нем. Из этого уравнения вытекает следующее выражение для ко- коэффициента самоиндукции проводника1): Заметим, что совершенно аналогичным образом из E1.6) и E1.12) вытекает следующее выражение для коэффициента взаимной ин- индукции двух объемных токов L\ и Ji'. J1J2 dVi dVi его к\ ViV2 которое переходит в E1.3), если эти токи можно считать линей- линейными. 3. Собственную потенциальную «энергию» тока С/ц можно было бы также определить, разбивая ток J\ на совокупность бес- бесконечно тонких нитей тока dJ\, выражая потенциальную функ- функцию каждой нити с помощью уравнения E0.4): с где Ф означает магнитный поток, посылаемый всем током J\ че- через контур данной нити, и, наконец, суммируя dU по всем нитям: Перед знаком суммы нужно ввести множитель 1/2 потому, что взаимодействие каждой пары нитей тока учитывается в сумме дважды. Если через Фц обозначить среднее значение магнитного по- потока через отдельные нити тока, то последнее уравнение можно записать в форме, аналогичной уравнению E1.6): = -?фц- E2-6) ') Совершенно неправильно указание, встречающееся в некоторых курсах физики, что для определения коэффициента самоиндукции Ьц контура L\ достаточно в формуле E1.3) отождествить контур Li с контуром Li, т. е что т 11 dsi dS2 Lll = ^__ L\ L\ Легко убедиться, что это выражение обращается в бесконечность, т е не имеет смысла
238 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Величину Фп можно назвать (средним) магнитным потоком, посылаемым током J\ через свой собственный контур; в сущно- сущности, правильнее сказать, что величина Фп по определению долж- должна удовлетворять уравнению E2.6) и может быть определена из сравнения этого уравнения с E2.3): $ii = -Ji?n- E2.7) С Это последнее соотношение вполне соответствует уравнению E1.4). Стало быть, можно сказать, что коэффициент L\\ самоин- самоиндукции произвольного замкнутого проводника L\ численно ра- равен магнитному потоку Фп, посылаемому через контур этого проводника циркулирующим по нему током силы с: Фп = ?ц при J\ = с. E2.8) Однако при этом нужно помнить, что Фп есть среднее зна- значение магнитного потока через контуры отдельных нитей, на ко- которые может быть разложен ток Ji, и что как Фц, так и 1ц существенно зависят от формы и размеров сечения проводни- проводника L\. Для бесконечно же тонкого линейного контура величины Фц и Lii обращаются в бесконечность, т. е. теряют смысл. 4. Возвращаясь к случаю системы двух токов, заметим, что общая потенциальная «энергия» U этой системы равна, очевид- очевидно, сумме их взаимной «энергии» U\2 (= С/21) и собственных по- потенциальных «энергий» С/ц и С/22 каждого из них: U = Un + U12 + С/22 = ~ (\ Luff + Ll2JiJ2 + \ L22Jl) ¦ E2.9) Ввиду того, что L\2 — L21, можно также написать U = ~ 1,к E2.10) Последнее выражение останется применимым и к системе произвольного числа (например п) токов, если только распро- распространить в нем суммирование на все возможные пары индексов г и к (г, к = 1, 2, ..., тг). 5. Полную потенциальную функцию системы токов можно непосредственно выразить через плотность токов и вектор-по- вектор-потенциал поля токов. С этой целью предварительно представим выражения E1.10) и E1.11) в симметричной форме: ввиду ра- равенства Ui2 и С/21 [см. уравнение E1.12)] можно написать Ui2 = \ (U12 + Щ = -^ I AiJ2 dV~j-cf A2Ji dV. Cv2 Vi
§ 53 МАГНИТНЫЕ СИЛОВЫЕ ЛИНИИ 239 Приняв, далее, во внимание E2.1), получим J! dV - Vi V2 или, так как Ai + A2 = А, где А есть вектор-потенциал резуль- результирующего поля обоих токов, f E2.11) Vi V2 Последний интеграл должен быть, очевидно, распространен по объему обоих токов J\ и J2. Если других токов в поле нет, то мы можем распространить интегрирование на объем всего поля, ибо вне токов j = 0 и соответствующие члены интеграла обра- обращаются в нуль. Как уже указывалось в связи с формулой E0.8), выражение потенциальной функции U можно при желании истолковать в том смысле, что каждый элемент объема тока обладает в маг- магнитном поле потенциальной «энергией» —A\dV. с § 53. Магнитные силовые линии 1. Описание свойств магнитного поля, как и поля электриче- электрического, часто весьма облегчается введением в рассмотрение так называемых силовых линий этого поля. По определению, маг- магнитными силовыми линиями называются линии, направление касательных к которым в каждой точке поля совпадает с на- направлением напряженности поля Н в той же точке1). Диффе- Дифференциальное уравнение этих линий, очевидно, будет иметь вид (ср. уравнение A0.3)] — = — = —. E3 1) 11Х Ну Иг Магнитные силовые линии, как и линии электрические, про- проводятся обычно с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально напряженности поля на этой площадке; однако, как увидим ни- ниже, требование это далеко не всегда выполнимо. х)Так как магнитное поле не обладает потенциалом, то магнитные си- силовые линии в отличие от линий электростатического поля не могут быть определены как ортогональные траектории поверхностей уровня.
240 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV 2 Основываясь на уравнении C.6) <EndS = 4 5 » мы пришли в § 10 к следующему выводу: электрические сило- силовые линии могут начинаться или кончаться только в тех точках поля, в которых расположены электрические заряды1). Приме- Применяя же теорему Гаусса A7*) к потоку магнитного вектора, мы на основании уравнения D7.1) получим <f>HndS= j div H dV = 0. E3.2) s v Таким образом, в отличие от потока электрического векто- вектора Е поток магнитного вектора Н через произвольную замкну- замкнутую поверхность всегда равен нулю. Это положение является математическим выражением того факта, что магнитных заря- зарядов, подобных зарядам электрическим, не существует: магнит- магнитное поле возбуждается не магнитными зарядами, а движени- движением зарядов электрических (т. е. токами). Основываясь на этом положении и на сравнении уравнения E3.2) с уравнением C.6), нетрудно убедиться путем приведенных в § 10 рассуждений, что магнитные силовые линии ни в каких точках поля не могут ни начинаться, ни кончаться 3. Из этого обстоятельства обычно делается вывод, что маг- магнитные силовые линии в отличие от линий электрических долж- должны быть линиями замкнутыми либо идти из бесконечности в бесконечность. Действительно, оба эти случая возможны. Согласно результатам / решения задачи 25 в § 42 сило- \ \ \ \ (®) / / / , f'"~ "~^ вые линии в поле бесконечного j / /^~Ч) \ прямолинейного тока представля- i \ v-~' i ют собой перпендикулярные то- \ v. ^s ку окружности с центром на оси i тока. С другой стороны (см. за- \ дачу 26), направление магнитного \ вектора Н в поле кругового тока р во всех точках, лежащих на оси ис' тока, совпадает с направлением этой оси. Таким образом, ось кругового тока совпадает с силовой линией, идущей из бесконечности в бесконечность; чертеж, при- приведенный на рис. 53, представляет собой разрез кругового тока меридиональной плоскостью (т. е. плоскостью, перпендикуляр- 1) См , впрочем, оговорку о точках неопределенности в примечании к с. 55
§ 53 МАГНИТНЫЕ СИЛОВЫЕ ЛИНИИ 241 ной плоскости тока и проходящей через его центр), на котором штриховыми линиями изображены силовые линии этого тока Возможен, однако, и третий случай, на который не всегда обращается внимание, а именно: силовая линия может не иметь ни начала, ни конца и вместе с тем не быть замкнутой и не идти из бесконечности в бесконечность. Этот случай имеет место, если силовая линия заполняет собой некоторую поверхность и при- притом, пользуясь математическим термином, заполняет ее всюду плотно. Проще всего пояснить это на конкретном примере. 4. Рассмотрим поле двух токов — кругового плоского тока J\ и бесконечного прямолинейного тока J2, идущего по оси тока J\ (рис. 54). Если бы существовал один лишь ток Jy, то силовые линии поля Hi этого тока лежали бы в меридиональных плос- плоскостях и имели бы вид, изображенный на предыдущем рисунке. Рассмотрим одну из этих линий, изображенную на рис. 54 штри- штриховой линией. Совокупность всех подобных ей линий, которые могут быть получены вращением меридиональной плоскости во- вокруг оси J2, образует собой поверхность S некоторого кольца Рис 54 Рис 55 или тора (рис. 55) *) . Силовые же линии поля Н2 прямолиней- прямолинейного тока J2 представляют собой концентрические окружности. Стало быть, в каждой точке поверхности S как Hi, так и Нг касательны к этой поверхности; следовательно, и вектор напря- напряженности результирующего поля Н = Hi + Н2 тоже касателен к ней. Это значит, что каждая силовая линия поля Н, прохо- проходящая через одну какую-нибудь точку поверхности S, должна лежать на этой поверхности всеми своими точками. Линия эта, очевидно, будет представлять собой винтовую линию на поверх- х) Сечение этого тора плоскостью, проходящей через ток Ji, не является круговым
242 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV ности тора S (рис. 55). Ход этой винтовой линии будет зависеть от соотношения сил токов J\ и J2 и от положения и формы по- поверхности S. Очевидно, что лишь при некотором определенном подборе этих условий винтовая линия эта будет замыкаться; во- вообще же говоря, при продолжении линии новые витки ее будут ложиться между прежними витками. При неограниченном про- продолжении линии она подойдет как угодно близко к любой раз пройденной точке, но никогда вторично в нее не вернется. А это и значит, что, оставаясь незамкнутой, линия эта всюду плотно заполнит поверхность тора 51). 5. Чтобы строго доказать возможность существования незамкнутых си- силовых линий, введем на поверхности тора S ортогональные криволинейные координаты ip (азимут меридиональной плоскости) и i? (полярный угол в меридиональной плоскости с вершиной, расположенной на пересечении этой плоскости с осью кольца, — рис. 54). Напряженность полей Hi и Нг на поверхности тора является функцией одного лишь угла #, причем вектор Hi направлен по направлению возраста- возрастания (или убывания) этого угла, а вектор Нг — по направлению возрастания (или убывания) угла <р. Пусть р($) есть расстояние данной точки поверхно- поверхности 5 от центральной линии тора, a it(i?) — расстояние ее от вертикальной оси тока /г- Как нетрудно убедиться, элемент длины линии, лежащей на S, выразится формулой ds2 = г\д)М2 + R2{d)dV\ где r2(tf) = р\#) + (&2 \d-d Соответственно этому дифференциальное уравнение линий сил [ср. уравне- уравнение E3.1)] на поверхности 5 примет вид Приняв во внимание, что Н\ и Нг пропорциональны силам токов Ji и J2, и интегрируя, получим где F(i?) есть некоторая функция угла $, не зависящая от J\ и J2. Чтобы линия была замкнутой, т. е. чтобы она возвращалась в началь- начальную точку, необходимо, чтобы некоторому целому числу п оборотов линии вокруг тора соответствовало целое же число т оборотов ее вокруг верти- вертикальной оси. Иными словами, необходимо, чтобы можно было найти два таких целых числа пит, чтобы возрастанию угла д на 2тгп соответствова- соответствовало возрастание угла ip на 2тгт: Ч> - ^0 = 2тгш = — {FB-Kn + tfo) - -F(tfo)}- J\ Примем теперь во внимание, что F(il)) представляет собой интеграл пе- периодической функции угла i? с периодом 2тг. Как известно, интеграл перио- 1) Указанное свойство поверхностей магнитных линий положено в основу системы удержания и нагрева термоядерной плазмы ТОКАМАК (ТОрои- дальная КАмера с МАгнитными Катушками). См. Кадомцев Б.Б. Коллек- Коллективные явления в плазме. — М . Наука, 1976.
§ 53 МАГНИТНЫЕ СИЛОВЫЕ ЛИНИИ 243 дической функции в общем случае является суммой функции периодической и функции линейнойх). Значит, где К есть некоторая постоянная, Ф($) есть функция с периодом 2тг. Стало быть, ЕBжп + Ф)-К- 2-кп + Кд + Ф(й). Внося это в предыдущее уравнение, получим условие замкнутости силовых линий на поверхности тора S: т = — Кп. Ji Здесь К есть величина, от J\ и Ji не зависящая. Очевидно, что два целых числа пят, удовлетворяющих этому условию, могут быть найдены лишь в том случае, если величина — К является числом рациональным (целым или дробным); это будет иметь место лишь при определенном соотноше- соотношении между силами токов J\ и «/г- Вообще говоря, — К будет величиной иррациональной и, стало быть, силовые линии на рассматриваемой поверх- поверхности тора S будут незамкнутыми. Однако и в этом случае всегда можно подобрать целое число п так, чтобы — Кп как угодно мало отличалось от J\ некоторого целого числа т. Это значит, что незамкнутая силовая линия по- после достаточного числа оборотов как угодно близко подойдет к любой, раз пройденной точке поля. Аналогичным путем можно показать, что линия эта после достаточного числа оборотов как угодно близко подойдет к любой на- наперед заданной точке поверхности S, а это значит по определению, что она всюду плотно заполняет эту поверхность. 6. Существование незамкнутых магнитных силовых линий, всюду плотно заполняющих некоторую поверхность S, делает, очевидно, не возможным точное графическое изображение поля с помощью этих линий. В частности, далеко не всегда можно удовлетворить требованию, чтобы число линий, пересекающих перпендикулярную им единичную площадку, было пропорцио- пропорционально напряженности поля на этой площадке. Так, например, в только что рассмотренном случае одна и та же незамкнутая ли- линия бесконечное число раз пересечет любую конечную площадку, пересекающую поверхность кольца S 2). х)Ибо в периодическую функцию может входить постоянный член, инте- интеграл которого представляет собой линейную функцию независимого пере- переменного. 2) Из этого явствует также условность понятия силовых трубок, т. е. нитей малого, но все же конечного сечения, поверхность которых образована сило- силовыми линиями. В случае незамкнутости этих линий силовая трубка при до- достаточном продолжении должна бесконечное число раз пересечь самое себя (ибо сечение ее конечно, а силовые линии, образующие поверхность труб- трубки, при достаточном продолжении сколько угодно раз как угодно близко подойдут к раз пройденным ими точкам).
244 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Впрочем, при надлежащей осмотрительности пользование по- понятием силовых линий является хотя и приближенным, но все же удобным и наглядным способом описания магнитного поля. 7. Согласно уравнению D7.5), циркуляция вектора напряжен- напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, рав- равна нулю, циркуляция же по кривой, охватывающей токи, равна умноженной на 47г/с сумме сил охватываемых токов (взятых с надлежащими знаками). Циркуляция вектора Н по силовой ли- линии не может равняться нулю (ввиду параллельности элемента длины силовой линии ds и вектора Н величина Hs ds существен- существенно положительна). Следовательно, каждая замкнутая магнит- магнитная силовая линия должна охватывать хотя бы один из несу- несущих ток проводников. Больше того, незамкнутые силовые линии, плотно заполняющие некоторую поверхность 5 (если только они не идут из бесконечности в бесконечность), также должны об- обвиваться вокруг токов Действительно, интеграл вектора Н по почти замкнутому витку такой линии существенно положителен. Стало быть, циркуляция Н по замкнутому контуру, получаемо- получаемому из этого витка добавлением замыкающего его произвольно малого отрезка, отлична от нуля. Следовательно, контур этот должен пронизываться током. § 54. Топология1) вихревого (магнитного) поля. Условные перегородки 1. Чтобы разобраться в геометрических, или, вернее, тополо- топологических, свойствах магнитного поля, рассмотрим сначала тот случай, когда в поле имеется лишь один замкнутый проводник, обтекаемый током J. Вихрь магнитного поля rot H отличен от нуля лишь внутри обтекаемого током проводника. Поэтому про- пространство, занятое током, можно назвать вихревым простран- пространством или ввиду замкнутости тока вихревым кольцом. С чисто топологической точки зрения, все замкнутые линии или контуры (как совпадающие с магнитными силовыми линия- линиями, так и не совпадающие с ними), если только они расположены вне вихревого пространства, делятся на два класса в зависимо- зависимости от того, не охватывают или охватывают они вихревое кольцо. Если мы мысленно выделим из поля вихревое пространство или условимся считать его непроницаемым, то контуры разных клас- классов не могут быть приведены в совпадение друг с другом путем непрерывной деформации без нарушения их целости. Любые же 1) Топология (analysis situs) — отрасль математики, изучающая свойства фигур и геометрических образов, остающиеся неизменными при непрерыв- непрерывной деформации этих фигур.
§ 54 ТОПОЛОГИЯ ВИХРЕВОГО (МАГНИТНОГО) ПОЛЯ 245 два контура, принадлежащие к одному и тому же классу, всегда могут быть путем непрерывной деформации приведены в совпа- совпадение. Далее контуры первого класса путем непрерывной деформа- деформации могут быть стянуты к точке (т. е. бесконечно малой длине). Контуры же второго класса без пересечения вихревого простран- пространства стянуты к точке быть не могут. Пространство, в котором суще- существуют замкнутые линии или кон- контуры, не могущие быть стянутыми к точке, называется простран- пространством многосвязным. Число суще- существенно различных классов конту- контуров определяет порядок связности пространства. Так, например, про- пространство, оставшееся после выде- выделения из него вихревого кольца, есть пространство двусвязное (два Рис- 56 существенно различных класса контуров); если же из простран- пространства выделить два кольца (два замкнутых тока), которые, в част- частности, могут соприкасаться между собой (рис. 56), то оставшее- оставшееся пространство будет трехсвязным, ибо в нем существуют три класса контуров, не сводимых друг к другу (abc, аЪ'с', аЬ'Ь с" на рис. 56; контур же типа Ь"с"с' может быть разложен на два контура типа ab'd и аЬ'У'с") :). Эти топологические свойства многосвязных пространств тес- тесно связаны с физическими свойствами магнитного поля постоян- постоянных токов, ибо и с физической точки зрения контуры, проведенные в поле токов, тоже распадаются на классы в зависимости от значения циркуляции вектора Н по этим контурам. Так, например, в случае одного замкну- замкнутого тока циркуляция Н по контурам первого класса, могущим быть стянутыми к точке, равна нулю, цир- циркуляция же по линиям второго класса, охватывающим ток, равна ±47гJ/c (знак зависит от выбора направле- направления обхода контура); промежуточных же значений цир- циркуляции нет. Точно так же в случае двух или несколь- нескольких токов легко убедиться, что подразделение линий на классы по физическому признаку (величина циркуля- Рис. 57 ции) совпадает с подразделением их по признаку топо- 1)Если контур сложен, например петлеобразен (рис 57), то его предвари- предварительно нужно разбить на два или несколько простых контуров, каждому из которых непрерывной деформацией можно сообщить форму окружности. Точно так же, если контур второго класса охватывает вихревое простран- пространство не один, а несколько раз, то его можно разложить на ряд контуров, каждый из которых охватывает это пространство по одному разу.
246 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ. IV логическому. В частности, все силовые линии магнитного поля (как замкнутые, так и незамкнутые) должны охватывать ток, т. е. вихревое пространство. 2. Однако связь между топологическими и физическими свой- свойствами поля не ограничивается указанными соотношениями и может быть прослежена гораздо дальше. Известно, что всякое многосвязное пространство путем вне- внесения в него надлежащих перегородок может быть сделано од- носвязным. Так, например, если затянуть отверстия вихревого кольца непроницаемой перегородкой, то проведение контура вто- второго класса, охватывающего это кольцо, станет невозможным и пространство станет односвязным. Точно так же трехсвязное пространство (рис. 56) станет односвязным, если затянуть непро- непроницаемыми перегородками отверстия каждого из расположен- расположенных в нем колец. Заметим, что форма и положение этих перегородок остают- остаются при этом в значительной мере произвольными; существенно лишь, чтобы контур каждой перегородки опирался на поверх- поверхность соответствующего вихревого кольца. Рассмотрим теперь физические свойства магнитного поля, ставшего односвязным благодаря мысленному внесению в него такого рода условных перегородок. Ротор вектора Н во всех точ- точках этого поля равен нулю (вихревое пространство по-прежнему считаем выделением из поля). Циркуляция вектора Н по любому возможному в нем (т. е. не пересекающему условную перегород- перегородку) контуру равна нулю. Стало быть (см. § 48), в этом односвяз- ном поле можно однозначно определить скалярный потенциал гр магнитного поля, положив по аналогии с потенциалом (р поля электрического 2 н8 ds [ср. (8.2)], E4.1) Н = -gradi/> [ср. A0.2)]. E4.2) При этом, согласно уравнению D7.1), для всех точек рассма- рассматриваемого пространства divH = V2V> = 0, E4.3) так что магнитное поле, ставшее потенциальным благодаря вы- выделению вихревого пространства и внесению условных перегоро- перегородок, оказывается лишенным объемных истоков. Ввиду непрерывности вектора Н потенциал ip и его простран- пространственные производные будут также непрерывны во всем поле, за исключением точек, прилегающих к условным перегородкам. Действительно, рассмотрим две бесконечно близкие точки РиР',
§ 54 ТОПОЛОГИЯ ВИХРЕВОГО (МАГНИТНОГО) ПОЛЯ 247 разделенные условной перегородкой S (рис. 58). Разность потен- потенциалов этих точек, согласно уравнению E4.1), будет равна п Р' ijj-il>'= J Hsds, р причем путь интегрирования L не должен, конечно, пересекать перего- перегородки. Так как точки Р и Р' беско- бесконечно близки друг к другу, то путь L (РР1) лишь бесконечно мало отли- Рис. 58 чается от замкнутой линии РР'Р и, стало быть, согласно урав- уравнению D7.5), гр-гр' = ф Hsds = ^-. E4.4) РР'Р Таким образом, условные перегородки являются поверхно- поверхностями разрыва сплошности магнитного потенциала, испытываю- испытывающего на них скачок AkJ/c. Этот скачок будет положительным (ф > яр'), если циркуляция по контуру РР'Р положительна, т. е., как явствует из рисунка, если бесконечно малый вектор Р'Р об- образует с направлением тока J правовинтовую систему. 3. При изучении потенциального электростатического поля мы познакомились с поверхностями разрыва потенциала в куло- новом поле электрических зарядов и убедились, что физически эти поверхности разрыва соответствуют двойным слоям заря- зарядов. По аналогии с полем электростатическим можно и магнит- магнитное поле токов, ставшее потенциальным благодаря выделению из него вихревого пространства и внесению условных перегородок, рассматривать как поле двойных слоев фиктивных магнитных зарядов т, взаимодействующих по закону Кулона: F = к ^^- [ср. уравнение A.1)]. E4.5) Здесь F есть пондеромоторная сила взаимодействия магнитных зарядов т и т', находящихся на расстоянии R друг от друга, причем заряды одинакового знака отталкиваются, а противопо- противоположных знаков притягиваются, а к есть фактор пропорциональ- пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения. Если мы прирав- приравняем этот фактор единице, положив ^=^, E4.6) то тем самым мы введем абсолютную единицу количества маг- магнетизма: единица магнетизма есть такое количество магнетиз- магнетизма, которое равное ей количество магнетизма, находящееся на
248 ПОНДВРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV расстоянии 1 см, отталкивает с силой в одну дину. Далее, можно ввести в рассмотрение напряженность поля фиктивного магнит- магнитного заряда: Н = 7JJ. E4-7) как силу, действующую на пробный положительный магнитный заряд, равный единице, и т. д., в полной аналогии с полем элек- электростатическим . 4. Однако существенное отличие поля фиктивных магнитных зарядов от электростатического заключается в том, что, соглас- согласно уравнению E4.3), поле это лишено объемных (а вместе с тем и точечных) источников и что все магнитные заряды распола- располагаются двойными слоями на поверхностях разрыва магнитного потенциала ф, совпадающих с введенными выше условными пе- перегородками. Таким образом, магнитные заряды противополож- противоположных знаков оказываются неотделимыми друг от друга, и можно считать, что элементарные магнитные заряды попарно связаны в твердые магнитные диполи (элементарные магниты). § 55. Магнитные листки. Эквивалентность их токам 1. Итак, рассмотрение магнитного поля токов можно заме- заменить рассмотрением эквивалентного поля фиктивных магнит- магнитных диполей, образующих двойные магнитные слои, или, как их принято называть, магнитные листки. Поверхность этих лист- листков должна совпадать с введенными нами в § 54 условными пере- перегородками; следовательно, контуры листков должны совпадать с контурами токов. Чтобы поле этих листков вне занимаемого токами вихревого пространства и вне точек, лежащих на самом листке (где напряженность поля листка становится бесконечной, ср. § 14), было тождественно с полем токов, достаточно1), чтобы скачок магнитного потенциала на поверхности листка равнялся 47rJ/c [уравнение E4.4)]. Скачок потенциала ф — ф' па, поверхно- поверхности двойного слоя (листка), согласно уравнениям A4.1) и A4.5), равен ф — ф' = Anal = 47гт, где т — мощность листка (двойного слоя), I — его толщина, а <т— поверхностная плотность заряда каждого из его слоев. Сле- Следовательно, мощность эквивалентного току магнитного листка 1) Ибо потенциал поля двойного слоя однозначно (вплоть до несуществен- несущественной аддитивной постоянной) определяется заданием положения слоя и скач- скачка потенциала в каждой его точке [ср. A4.4) и A4.5)].
§55 МАГНИТНЫЕ ЛИСТКИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИХ ТОКАМ 249 должна быть положена равной E5.1) рис 59 где под <тт нужно понимать плотность фиктивных магнитных зарядов на поверхности листка. Таким образом, эквивалентный току листок должен быть однородным, т. е. мощность его т долж- должна быть постоянной по всему его протяжению. Легко, наконец, убедиться, что магнитные диполи, составляющие листок, долж- должны быть расположены так, чтобы положительное направление всех этих диполей (от — т к +т) составляло с направлением то- тока правовинтовую систему (рис. 59). 2. Потенциал гр однородного двойно- двойного слоя, согласно уравнению A4.4), может быть представлен в следующей форме: ф = тП, E5.2) где О есть телесный угол, под которым контур двойного слоя виден из точки на- наблюдения, обладающей потенциалом ф, причем знак Q считается совпадающим со знаком зарядов той стороны слоя, которая видна из точки наблюдения. Таким образом, как и при проведении условных перегородок, мы вновь убеждаемся, что существенное значение имеет лишь положение контура листка, который должен совпадать с конту- контуром тока; во всех же остальных отношениях форма и положение листка остаются произвольными. В этой произвольности фор- формы магнитного листка с особенной отчетливостью проявляется условность замены тока эквивалентным листком: меняя форму листка, мы по нашему произволу можем заставить его проходить через любую точку пространства и тем «создать» в этой точ- точке скачок магнитного потенциала. Возможно это, конечно, лишь потому, что само понятие потенциала магнитного поля не имеет, в сущности, реального физического смысла и может быть одно- однозначно определено лишь после внесения в поле токов условных перегородок (листков). Если же мы, не внося этих перегородок (листков), тем не менее захотим определить магнитный потен- потенциал с помощью соотношения E4.1), то потенциал этот окажется многозначной функцией точки. Действительно, припишем некоторой точке Р потенциал ipQ. Будем затем удаляться от Р по некоторой линии L, опреде- определяя потенциал точек этой линии с помощью соотношения E4.1). Пусть линия L будет замкнутой, так что, двигаясь по ней все вре- время в одном и том же направлении, мы вновь вернемся к исходной точке Р. Приращение потенциала при полном обходе контура L, согласно уравнению E4.1), будет равно циркуляции вектора Н
250 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV по L, т. е., согласно уравнению D7.5), будет равно ±4nJ/c, ес- если контур L один раз охватывает ток J, и ±D7rJ/c)n, если он охватывает его п раз. Таким образом, вернувшись в исходную точку Р, мы «найдем» в ней (т. е. должны будем приписать ей) потенциал , . ф = гро ± п, E5.3) с вообще говоря (при п ф 0), отличный от прежнего потенциа- потенциала яро и зависящий от значения п, т. е. от положения и формы контура L. А это и значит, что магнитный потенциал есть много- многозначная функция точки и что сделать эту функцию однозначной можно лишь искусственно, путем внесения в многосвязное поле токов условных перегородок (магнитных листков). 3. Эквивалентность магнитного поля листков и линейных то- токов в отличие от избранного нами способа доказательства может быть установлена также путем непосредственного вычисления. Сравним поле замкнутого тока силы J с контуром L и поле магнитно- магнитного листка мощности г = J/c с поверхностью S, опирающейся на контур L. Составляющая напряженности поля этого листка по какому-либо направле- направлению т, согласно уравнениям E4.2) и E5.2), будет равна л , dQ J dQ Hm = - gradm ф = -т—=-- —-. 8Q Здесь есть отношение изменения dQ, испытываемого телесным углом Q dm при перемещении точки наблюдения Р на отрезок dm, к длине этого отрез- отрезка dm. Это изменение dQ равно, очевидно, тому изменению, которое испы- испытывает угол Q, если Р остается неподвижной, а контур L перемещается в противоположную сторону на отрезок —dm. При этом перемещении каждый элемент длины ds контура L описы- описывает площадку dS = [—dmds], ко- которая будет видна из точки Р под углом [ср. уравнение C.2)]: RdS f-dmdslR dui — = —. R3 R3 Из рассмотрения рис. 60 мож- можно убедиться, что выбор порядка со- сомножителей —dm и ds в выражении для dS сделан правильно, т е. что угол dw будет положительным, если из Р видна положительная сторона Рис 60 элемента dS магнитного листка, за- заключенного между исходным и сме- смещенным контурами L и L', и отрицательным в обратном случае (напомним, что R совпадает с направлением от dS к Р). Применив известные правила преобразования векторной алгебры, полу- чим , -dm[dsR] -dm[dsll]m R3 R3 Полное изменение телесного угла, под которым виден весь контур L, равно dQ =
§ 55 МАГНИТНЫЕ ЛИСТКИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИХ ТОКАМ 251 стало быть, J du 3 I [dsR]m Нт — :— — — ф ———. с dm cj R3 Так как это уравнение справедливо при любом выборе направления т, то вектор напряженности поля магнитного листка должен быть равен с/ Я3 т. е. должен совпадать с напряженностью поля линейного тока силы J [см. уравнение D2.4)], что и требовалось доказать. 4. Отметим в заключение еще раз, что все вышеизложенное относится лишь к полю безвихревого пространства (т.е. вне токов), внутри же этого пространства понятие магнитного потенциала теряет всякий смысл. Далее, эквивалентность токов и магнит- магнитных листков имеет место, в сущности, лишь в случае линейных токов, т. е. токов, расстояние которых от рассматриваемых точек поля велико по сравнению с сечением тока. В противном случае поле тока зависит от распределения тока по сечению вихревого кольца (т. е. несущего ток проводника), тогда как поле листка зависит лишь от положения его линейного контура. Правда, ток конечного сечения всегда может быть разложен на совокупность бесконечно тонких нитей тока, каждая из которых может быть заменена эквивалентным листком бесконечно малой силы, одна- однако прибегать к столь сложным построениям не представляется целесообразным. 5. Нам остается еще показать, что замена линейных токов эк- эквивалентными магнитными листками допустима не только при определении поля токов, но и при определении пондеромоторных сил, действующих на токи. Разумеется, замена тока эквивалент- эквивалентным листком допустима лишь при определении сил, испытывае- испытываемых токами во внешнем магнитном поле, но не при определении взаимодействия элементов одного и того же тока. Рассмотрим линейный ток силы J и контура L, находящийся во внешнем магнитном поле напряженности Н. Согласно урав- уравнениям E0.1) и E0.4) потенциальная функция U тока J в этом поле будет равна = --Ф = -~ fHndS, С С J где S есть некоторая поверхность, опирающаяся на контур L, но в остальных отношениях остающаяся произвольной. Пред- Предположим, что поле Н возбуждается токами, не пересекающими эту поверхность S. В этом случае, согласно результатам предше- предшествующего параграфа, поле Н на всем протяжении поверхности S можно рассматривать как поле потенциальное, обладающее некоторым магнитным потенциалом ф: Н = — grad ф.
252 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Заменим теперь ток J эквивалентным магнитным листком, совпадающим с поверхностью S. Потенциальная энергия магнит- магнитного заряда dm элемента поверхности листка dS (dm = ±<rm dS) во внешнем поле Н, по аналогии с полем электростатическим, определяется выражением -ф dm = ±фат dS, общая же потенциальная энергия всех зарядов листка будет равна Un = J(amil>+-amil>-)dS, где ф_ и ф+ — соответственно значения потенциала внешнего по- поля на отрицательной и положительной поверхностях магнитного слоя (магнитного листка), т. е. значения ф в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии толщины листка I. Стало быть, ф+-ф-= lgradV* = -Hnl, где п есть направление положительной нормали к листку, на- направленной от отрицательной его стороны к положительной. Следовательно, ил = - J Hnaml dS = - J Нпт dS, E5.4) или ввиду уравнения E5.1) \ j' HndS. E5.5) Таким образом, потенциальная энергия ил магнитного лист- листка во внешнем магнитном поле Н действительно равна потен- потенциальной функции U эквивалентного листку тока J. Следова- Следовательно, пондеромоторные силы, действующие в этом поле на ток, равны силам, действующим на эквивалентный току магнитный листок, что и требовалось доказать. Пример. Замена соленоида магнитом. Предположим, что ток J циркулирует по цилиндрическому соленоиду (§ 49, с. 226), на единицу длины которого приходится п витков проводника. Если ход винтовой линии достаточно мал, то каждый виток со- соленоида можно приближенно заменить нанизанным на цилиндр замкнутым кольцеобразным током той же силы J. Заменим эти токи плоскими магнитными листками мощности J ... = -• Если расстояние 1/п между смежными витками соленоида доста- достаточно мало по сравнению с расстоянием рассматриваемых точек поля от соленоида, то приближенно можно считать, что ток рас- распределен по поверхности цилиндра равномерно и непрерывно.
56 МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ТОКА 253 Соответственно этому «бесконечно малую» толщину магнитно- магнитного листка I можно положить равной 1/п. В этом случае смежные листки будут соприкасаться своими противоположно заряженны- заряженными поверхностями. Поэтому заряды их будут взаимно нейтрали- нейтрализоваться, за исключением лишь зарядов внешних поверхностей двух крайних листков, совпадающих с основаниями цилиндриче- цилиндрического соленоида; основания эти будут равномерно покрыты маг- магнитными зарядами противоположных знаков плотности nJ E5.6) н Следовательно, поле соленоида приближенно совпадает с полем цилиндрического магнита той же длины и того же сечения, осно- основания которого равномерно покрыты магнитными зарядами ука- указанной плотности. Как легко убедиться, направление момента этого магнита (от отрицательного, или южного, полюса к положи- положительному, или северному) должно составлять правовинтповую систе- систему с направлением тока в соленои- соленоиде (рис. 61). Однако лишь внешнее поле та- такого магнита эквивалентно полю тока, внутри же магнита поле Н направлено противоположно по- полю тока (от N к S) :). Этого и следовало ожидать, ибо мы запол- заполнили всю внутренность соленоида магнитными листками конечной толщины. Между тем лишь внеш- внешнее поле листка эквивалентно по- полю тока, внутри же листка поле его направлено противоположно полю того тока, которому он «эквивалентен». В предыдущем нам не приходилось обращать на это внимание, потому что мы рас- рассматривали лишь бесконечно тонкие листки, внутри которых са- само понятие поля теряет всякий смысл, ибо напряженность его Н обращается в бесконечность (ср. § 14). Рис. 61 § 56. Магнитный момент тока. Элементарные токи и магнитные диполи 1. В § 20 мы убедились, что электрическое поле нейтральной системы зарядов (т. е. системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю) на больших расстояниях от системы опре- 1) Этот вопрос мы рассмотрим еще с несколько иной точки зрения в гл. V.
254 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV деляется (с точностью до членов, более быстро спадающих с расстоянием) единственным параметром — электрическим мо- моментом системы р — и что тем же параметром определяются и силы, испытываемые этой системой зарядов во внешнем электри- электрическом поле. Аналогично этому и произвольный замкнутый ток при известных условиях характеризуется одним-единственным параметром М, носящим название магнитного момента тока. Будем называть элементарным током замкнутый ток, удо- удовлетворяющий следующим требованиям: 1) размеры контура то- тока исчезающе малы по сравнению с его расстоянием до тех то- точек поля, в которых мы рассматриваем его поле, и 2) на всем протяжении замкнутого тока значения величин, характеризую- характеризующих внешнее поле (точнее, значение напряженности этого по- поля Н и значение пространственных производных этой напря- напряженности Н), можно считать постоянными. Очевидно, что при определенных условиях любой замкнутый ток может рассматри- рассматриваться как элементарный. Согласно результатам предыдущего параграфа всякий посто- постоянный ток эквивалентен магнитному листку как в активном (возбуждаемое им поле), так и в пассивном (испытываемые им силы) отношениях. Что же касается элементарного гпока, то он эквивалентен простейшему магнитному листку — магнитному диполю. Действительно, рассмотрим магнитный листок или магнит- магнитный двойной слой мощности т = J/c, эквивалентный данному току J. Каждая пара противоположных элементов dS двойного слоя, обладающих зарядом dm — ±amdS, представляет собой магнитный диполь момента [см. уравнение E5.1)] = \amdS = (вектор dS направлен по положительной оси 1 этого диполя). Если выполняются условия, при которых рассматриваемый ток может считаться элементарным, то как при определении поля, возбуждаемого эквивалентным току двойным слоем, так и при определении действующих на него сил можно пренебречь разли- различием в положении отдельных элементов двойного слоя и заме- заменить весь слой одним магнитным диполем момента М= frdS = - -/ Обозначим через S векторную величину площади листка, т. е. векторную сумму элементов dS этой площади: = [dS. E6.1) Так как эквивалентный току листок опирается на контур этого тока, то S есть не что иное, как векторная величина площади,
§ 56 МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ТОКА 255 охватываемой током. На основании E6.1) предшествующее урав- уравнение приобретает вид M = -S. E6.2) Таким образом, элементарный ток эквивалентен магнитному диполю, момент которого, определяемый формулой E6.2), назы- называется также магнитным моментом тока. 2. Заметим, что числовое значение |Sj векторной величины S произвольной поверхности S, вообще говоря, меньше площади этой поверхности; лишь в случае плоской поверхности обе эти величины равны друг другу. В частности, векторная величи- величина произвольной замкнутой поверхности тождественно равна нулю, в чем легко убедиться, рассматривая проекцию замкну- замкнутой поверхности на произвольную плоскость 1). Отсюда следует, что векторные величины Si и S2 двух произвольных поверхно- поверхностей, опирающихся на один и тот же контур L, могут отличать- отличаться друг от друга только знаком (зависящим от выбора направ- направлений внешних нормалей к ним). Действительно, совокупность двух таких поверхностей (при надлежащем выборе направлений нормалей) образует одну замкнутую поверхность, так что Si + S2= (?dS=Q. (?dS=Q. E6.3) 3. Таким образом, магнитный момент тока [уравнение E6.2)] не зависит от произвольного выбора формы поверхности S, опи- опирающейся на контур L этого тока. Направление же нормали к этой поверхности S, а стало быть, и направление магнитного мо- момента тока М, должно образовывать правовинтовую систему с направлением тока в контуре L. Действительно, нормаль к двой- двойному слою, эквивалентному данному току, с одной стороны, об- образует правовинтовую систему с направлением тока (см. § 55, в частности рис. 59), ас другой стороны, согласно E6.2), опреде- определяет собой направление вектора М. 4. По аналогии с (8.10) скалярный потенциал поля магнитно- магнитного диполя, очевидно, равен а напряженность этого поля Н = - grad (Ш) = в5 - М E6.4) [ср. формулу A0.4)]. *) Так, например, в случае шаровой поверхности проекции северного и юж- южного полушарий на плоскость экватора численно равны друг другу, но про- противоположны по знаку.
256 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV По доказанному, то же значение будет иметь и напряжен- напряженность тока момента М на расстояниях от этого тока, значительно превышающих его размеры. Далее потенциальная энергия магнитного диполя во внешнем поле Н по аналогии с A5.8) равна U = -МН, E6.5) а равнодействующая Р и результирующий момент N приложен- приложенных к нему сил по аналогии с A8.8) и A8.11) равны р = -VU = V(MH), E6.6) N = [МН]. E6.7) Ввиду равенства сил, действующих на элементарный ток и на магнитный диполь одинакового момента М 1), формулы эти применимы и к элементарному току. 5. Впрочем, последнее утверждение нуждается в известной оговорке. Доказывая в § 55, что потенциальная энергия 17Л магнитного листка во внешнем поле Н равна потенциальной функции эквивалентного листку тока, мы основывались на допущении, что внешнее поле Н возбуждается токами, не пересекающими поверхности листка (т. е. не пересекающими контура эк- эквивалентного листку тока). Только при этом условии можно рассматривать внешнее поле на протяжении листка как поле потенциальное, обладающее магнитным потенциалом ф, и только при этом условии можно вообще гово- говорить о потенциальной энергии магнитного листка во внешнем поле. Чтобы освободиться от этого ограничения на источники внешнего поля, мы долж- должны независимо вычислить силы, действующие на магнитный листок и на ток. Начнем с последних. Применимость уравнений E0.1) и E0.4) U = --J$ = --J [ HndS = --J /*HdS, с с J с J определяющих потенциальную функцию тока, не связана упомянутым огра- ограничением. В случае элементарного тока напряженность внешнего поля мож- можно, по определению, считать постоянной на всем протяжении тока и вынести ее за знак интеграла. На основании E6.1) и E6.2) получаем -JH fdS=--. с J с U=~- JH / dS= --7HS = с Таким образом, формулы E6.5), а стало быть, и формулы E6.6) и E6.7) применимы к элементарному току без всяких дополнительных ограничений. Иначе обстоит дело с магнитным диполем. В § 17 мы путем непосред- непосредственного подсчета сил, действующих на заряды электрического диполя в произвольном электрическом поле Е, нашли следующее выражение для ре- результирующей этих сил [уравнение A7.5)] P = pV E. ') Разумеется, это относится не к силам, испытываемым отдельными эле- элементами тока, а к равнодействующей силе и к результирующему моменту всех этих сил. В этом смысле можно сказать, что магнитный диполь экви- эквивалентен твердому элементарному току, т. е. току, текущему по твердому недеформирующемуся проводнику, ибо систему приложенных к твердому телу сил можно заменить их равнодействующей и результирующей парой сил.
§ 57 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТОКОВ 257 Затем в § 18 мы показали, что F = pV ¦ Е = V(pE) - [р rot E]. Таким образом, только при условии rotE = 0, т. е. только в потенциаль- потенциальном электрическом поле, испытываемая диполем сила выражается взятым с обратным знаком градиентом его потенциальной энергии U = —рЕ Соот- Соответственно этому сила, испытываемая магнитным диполем в произвольном внешнем поле Н, равна F = MV • Н = V(MH) - [М rot H]. E6.8) Это выражение совпадает с E6.6) только при rotH = 0, т. е. только при условии, что в местах нахождения диполя плотность возбуждающих внеш- внешнее поле токов равна нулю [ср. уравнение D7.3)]. Таким образом, это последнее условие является также условием тожде- тождественности сил, действующих на элементарный ток и на эквивалентный ему магнитный диполь. Это условие оказывается, однако, излишним для тождественности мо- момента сил N, действующих на ток и на диполь; тождественность эта всегда обеспечена, что явствует из сравнения формулы E6.7) с формулой A7.6), применимой к диполю в произвольном внешнем поле. § 57. Непосредственное определение поля элементарных токов и сил, ими испытываемых 1. В предыдущем параграфе мы определили поле элементар- элементарных токов и силы, испытываемые ими во внешнем поле, исходя из доказанной в § 55 эквивалентности замкнутых токов и маг- магнитных листков. Теперь же мы дадим непосредственный вывод этих выражений, не прибегая к представлению о фиктивных магнитных зарядах и характеризуя магнитное поле не скалярным потенциалом ф, а векторным потенциалом А. Такой способ вывода, во-первых, более последователен, во-вторых, он позволит нам рассмотреть не линейные, как в § 56, а объемные токи, замена которых маг- магнитными листками если и не невозможна, то все же была бы чрезвычайно громоздкой. Результаты этого параграфа понадобятся нам только в § 61, 66 и 98. 2. Рассмотрим вектор-потенциал А произвольной системы то- токов, циркулирующих в произвольном объеме V: А=! /J— cj R> ' V где расстояние элемента тока j dV до точки наблюдения Р, в которой определяется значение А, мы обозначили через R'. Выберем внутри рассматриваемой системы токов произволь- произвольную точку О, которую условно назовем центром токов. Пусть R-o и R суть соответственно расстояния точки наблюдения Р и 9 И. Б. Тамм
258 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV элемента тока j dV от центра О, так что R' = Ro - R и R'2 = Щ - 2R0R + R2 (см. рис. 27, где И[ и R, соответствуют нашим теперешним R' иП). Если До 3> R, т. е. если расстояние точки наблюдения Р от системы токов значительно превышает размеры этой системы, то в разложении 2RoR R2\~1/2 1 R0R , можно ограничиться первыми двумя выписанными членами. Внося это разложение в выражение для А, получаем А = -Ь /JdV + JL /j(R0R) dV. E7.2) сДо J сЩ J Легко убедиться, что1) j(RoR) = \ [[Rj]Ro] + \ {j(RRo) + R(jR0)}-, поэтому где мы вынесли за знак интеграла вектор Ro, не зависящий от положения элемента интегрирования dV, и где мы обозначаем через К интеграл Чтобы преобразовать этот интеграл, умножим его на про- произвольный, но постоянный вектор а и воспользуемся тем, что, согласно формулам векторного анализа A1*) и DЗ2), (aj)(RRo) + (aR)(jR0) = jgrad{(aR)(RR0} = = div {j(aR)(RR0)} - (aR)(RR0) divj, где при дифференцировании вектор Ro считается постоянным. Так как мы рассматриваем постоянные токи, то, согласно C7.4), divj = 0, и следовательно, на основании теоремы Гаус- Гаусса A7*) аК = |div (j(aR)(RR0)} dV = ^n(aR)(RR0) dS, x) Это разложение соответствует разложению тензора U,k = JiRk на сум- сумму симметричного и антисимметричного тензоров. U,k = {jiRk — jtfi.)/2 + URR)/2
§ 57 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТОКОВ 259 где поверхностный интеграл берется по поверхности S объема интегрирования V. Так как это равенство выполняется при лю- любом выборе постоянного вектора а, то из него следует, что К = JjnR(KR0)dS. Введем, наконец, обозначение М = - f[Kj]dV. E7.4) v Определяемый этим уравнением вектор М называется магнит- магнитным моментом токов, циркулирующих в объеме V, или просто магнитным моментом объема V 1). Внеся в E7.3) выражения для К и М, получаем окончательно 'K E7-5) 3. Отношение двух последних членов к первому члену пра- правой части выражения E7.5) по порядку величины, вообще го- говоря, равно //До, где I означает поперечный размер объема V. Поэтому на расстояниях Но, больших по сравнению с I, на кото- которых только и справедлива формула E7.5), последние два члена в этой формуле, вообще говоря, малы по сравнению с первым, так что приближенно можно ограничиться первым членом =-±- [jdV, cRo J V смысл которого очевиден. Если, однако, JidV = Q, E7.6) v то значение А определяется двумя последними членами форму- формулы E7.5). Так обстоит дело, в частности, в случае произвольной системы замкнутых токов, заключенных в объеме V, т. е. в том случае, если через поверхность S, ограничивающую объем V, никаких токов не протекает: jn = 0 на поверхности 5". E7.7) Докажем, что из условия E7.7) в случае постоянных токов действительно вытекает равенство E7.6). При условии E7.7) рас- рассматриваемая система постоянных токов может быть разложена ) В конце этого параграфа мы покажем, что в случае линейных токов это определение магнитного момента тока совпадает с данным в § 56.
260 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV на совокупность замкнутых нитей тока, расположенных цели- целиком внутри объема V. Интегрирование по объему каждой нити может быть, согласно D4.6), заменено интегрированием по ее длине: fjdV -> J(? ds. Последний же интеграл по замкнутому контуру нити, очевидно, равен нулю, откуда и следует справедливость E7.6). При выполнении условия E7.7) обращается в нуль не только первый член формулы E7.5), но и ее последний член. Поэтому вектор-потенциал замкнутой системы токов на больших расстоя- расстояниях от нее равен А = №1. E7.8) Здесь мы отбросили у Ro индекс 0, так что в отличие от прежнего R означает расстояние точки наблюдения Р от систе- системы токов, характеризуемых ее моментом М. При этом несуще- несущественно, от какой именно точки этой системы токов измеряется расстояние R, ибо сама формула E7.8) получена нами в пред- предположении, что расстояние точки наблюдения от системы токов велико по сравнению с размерами этой системы. Итак, на этих расстояниях магнитное поле замкнутой систе- системы токов определяется ее магнитным моментом М, подобно тому как электрическое поле нейтральной системы зарядов определя- определяется ее электрическим моментом р. Существенно, что значение магнитного момента М системы токов, удо- удовлетворяющей условию E7.6), не зависит от выбора того условного цен- центра системы О, от которого отсчитываются расстояния R в формуле E7 4). Действительно, если сместить центр системы из точки О на произвольный отрезок а в точку О', то все расстояния R от центра изменятся на —а. Поэтому определяемый формулой E7.4) вектор М изменится на величину (ибо постоянный вектор а можно вынести за знак интеграла), которая на основании E7.6) обращается в нуль. 4 Рассмотрим теперь результирующую силу F, действующую во внеш- внешнем магнитном поле Н на замкнутую систему токов, удовлетворяющую как условию E7.7), так и вытекающему из него равенству E7-6). Согласно D4.4) слагающая по оси z этой силы F равна можно вынести за знак нулю. Fz = i f\jH\t dV = i UuHy - jyHx) dV. v v поле эта сила равна нулю, ибо посто: интеграла, а интеграл / jdV, согласно E7.6), равен v v В однородном внешнем поле эта сила равна нулю, ибо постоянный вектор Н
§ 57 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТОКОВ 261 Допустим, что поле Н настолько медленно изменяется на протяжении рассматриваемой системы токов, что на всем ее протяжении можно ограни- ограничиться первыми членами разложения Н по степеням расстояния от услов- условного центра системы токов О: ующих производных в точке О; таким образом, как Нх@, 0, 0), Л (дНЛ 1 , ( 1 и т. д. суть постоянные и от х, у, z не зависят. /о V ду /0 F Л,(,,у,,) Л,@,0,0) + ,) +, \ дх /о \ ду и аналогично для Ну и Hz. Здесь х,у, z суть слагающие расстояния R, про- _ (ЭНЛ (дНЛ извольнои точки поля от центра О, а ( , ( и т. д. — значения \ дх Jo \ ду /0 соответствующих производных в точке О; таким образом, как Нх@, 0, 0), (дН ( так и ( \ от /о V ду /0 Внеся это разложение в выражение для Fz и воспользовавшись уравнением E7 6), получим „ 1 /¦/. ( дНу dHv дНу\ ( дн* днх днл\„. Fz = - / <и [х —- + у -г-^ + 2—-^ )-Зу[ х~г- + У -г— + z —— ^ dF с У t V дх ду dz ) \ дх ду dz }) Докажем, что из условия E7.7) замкнутости токов вытекают уравнения f xjx dV = f yjv dV = f zjz dV = O, JxjydV = -f yjx dV = cMz, E7.9) f yjz dV = - zjv dV = cMx, I zjxdV = - / xjz dV = cMv. Согласно F*) и D3J), 1 . ,2 1 , ,. 2, 1 2 ,. . x.?* =-jgradx = -div(jz) x divj. ii ii it Так как в случае постоянных токов div j = 0, то, воспользовавшись тео- теоремой Гаусса A7*), получаем fxjxdV=- f div (jx2)dV=-(f> jnx2 dS. На основании E7.7) последний интеграл обращается в нуль, что и тре- требовалось доказать. Далее, в тождестве 1 1 хЗу = - \x3v -У3х) + - {^jy + УЗт) последний член может быть представлен в виде - (хЗу + УЗх) Так как divj = 0, то - (хЗу + V3x) = -} grad (ху) = - div (j xy) - - ху div j xjy = - (xjv -yjx) + - div (jxy) и, следовательно, на основании теоремы Гаусса / xjy dV = - / (xjy - yjx) dV+-(b jnxy dS.
262 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Последний интеграл на основании E7.7) равен нулю, первый же интег- интеграл справа, согласно E7.4), равен cMz, так что xjy dV — cMz ¦ Остальные равенства E7.9) получаются из доказанных надлежащей пе- перестановкой осей координат х, у, z. Воспользовавшись уравнениями E7.9), мы получаем следующее выра- выражение для Fz: „ ,. дНу .. dHv дНх дНх Fz = -Мг —-^ + My —* - Мг —— + Мх——. ду dz дх dz Приняв во внимание, что, согласно D7.1), + + 0, дх ду dz получаем Fz = Мх —- + Му —2- + Мг —- = — (МН), oz oz dz oz ибо магнитный момент системы от координат точки поля не зависит, и поэто- поэтому М можно вынести за знак производной. Выражения для J^ и Fv будут совершенно аналогичны; записав их в векторной форме, получим оконча- F = V(MH), E7.10) что по своей форме полностью совпадает с E6.6). Наконец, момент сил, приложенных к элементу тока jdV, равен -с [R ЦНЦ dV = - (i(RH) - H(Rj)} dV. При интегрировании этого соотношения по объему системы токов мы прене- пренебрежем изменениями Н на протяжении этой системы, т. е. будем считать Н постоянным вектором. Так как, согласно E7.9), то N = i /j(RH)dK с J Этот интеграл отличается от второго интеграла в E7 2) только заменой Ro на Н Поэтому из сравнения E7.2) с E7 8) получаем следующее выра- выражение для магнитного момента сил, действующих в однородном поле на замкнутую систему токов: N=к /[[Rj]H] dV=[мн]- E7Л1) что совпадает с E6.7) 5. Покажем теперь, что в случае линейного тока результаты этого параграфа полностью совпадают с результатами § 56. Рассмотрим сначала выражение E7.4) для магнитного момента токов. Переходя к случаю линейных токов, его можно преобра- преобразовать с помощью формулы D4.6), в результате чего получим: L Входящий в это выражение интеграл имеет простое геомет- геометрическое значение.
§57 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТОКОВ 263 Как явствует из рис. 62, произведение [Rds]/2 есть не что иное, как векторная величина элемента dS поверхности S ко- конуса, образованного радиусами-векторами R, проведенными из условного центра токов О ко всем точкам контура тока L. Стало быть, i f[Kds] = = S и где S означает векторную величину поверхности, опирающую- опирающуюся на контур тока, которая, как указывалось в § 56, от выбора этой поверхности не зависит. Таким образом, два данных нами определения магнитно- магнитного момента токов М — фор- формулы E6.2) и E7.4) — в случае линейных токов, к которым только и приме- применимо E6.2), действительно оказываются тождественны- тождественными друг другу. Рассмотрим теперь поле ^ис- системы токов на расстояниях от этой системы, значительно пре- превышающих ее размеры. Согласно D6 2) и E7.8) напряженность этого поля равна H = rotA=rot№i, E7.12) тогда как в § 56 мы получили для нее выражение E6.4): - й- E7.13) Покажем, что эти выражения отличаются друг от друга лишь по внешнему виду. Из E7.12) и D3|) следует: Н = rot = ± rot [MR] - [[MR] ¦ V A)] . Так как то - [[MR] • V (^)] = ± [[MR]R] = j-s {R ¦ (MR) - МЛ2} = _ 3(MR)R 3M Л5 Далее, rotx [MR] = I- (Mxy - Myx) - ~ (Mzx - Mxz) = 2MX, ay az
264 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV ибо М от координат точки наблюдения х, у, z не зависит; поэтому rot [MR] = 2М. Окончательно получаем R3 Rs Д3' к ' что, как и требовалось доказать, совпадает с E7.13). Наконец, что касается сил, испытываемых током во внешнем поле, то, как уже указывалось, соответственные формулы это- этого и предшествующего параграфов даже по внешнему виду не отличаются друг от друга. § 58. Эволюция представлений о природе магнетизма. Спин электронов 1. Подведем теперь итоги полученным результатам. Мы опре- определили магнитное поле как поле сил взаимодействия токов, по- подобно тому как электрическое поле было определено как поле сил взаимодействия электрических зарядов. Далее мы убеди- убедились, что если исключить из рассмотрения вихревое простран- пространство и внести в поле надлежащие условные перегородки, то поле токов можно свести к кулонову полю фиктивных магнитных за- зарядов, связанных попарно в диполи и расположенных двойными слоями или листками. Однако историческое развитие происходило, как известно, как раз в обратном направлении. Магнитные явления обнаруже- обнаружены были впервые при изучении так называемых «постоянных» магнитов. Для объяснения этих явлений было создано представ- представление о магнитных зарядах, взаимодействующих по закону Ку- Кулона, которым приписывалось столь же реальное существование, как и зарядам электрическим. Однако опыт показал, что в отли- отличие от электрических магнитные заряды противоположных зна- знаков не могут быть отделены друг от друга. Из этого факта был сделан вывод (Кулон, 1789), что в каждой молекуле магнетиков (т. е. способных намагничиваться тел) всегда содержится рав- равное количество магнетизма противоположных знаков и что на- намагничивание состоит либо в магнитной поляризации молекул, т. е. в раздвигании разноименных зарядов молекул магнетика в противоположные стороны, либо же в повороте магнитных осей молекул, если эти молекулы обладают постоянным магнитным моментом. При этом магнитный момент молекул считался обу- обусловленным несимметричным расположением входящих в их со- состав магнитных зарядов и определялся выражением, совершен- совершенно аналогичным выражению электрического момента молекулы
§ 58 ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ МАГНЕТИЗМА 265 [см. уравнение B0.1)]: где тг — отдельные магнитные заряды или полюсы, входящие в состав молекул, a R, - их радиусы-векторы. С этой точки зрения, простейшей моделью молекулы магнетика является маг- магнитный диполь. 2. Лишь впоследствии были открыты магнитные свойства то- токов (Эрстед, 1818; Ампер, 1820), а именно пондеромоторное взаи- взаимодействие токов, с одной стороны, и взаимодействие токов с магнитами — с другой. Таким образом, оказалось, что существу- существуют два рода источников магнитного поля — постоянные магниты с магнитными диполями и электрические токи, т. е. движущие- движущиеся электрические заряды, причем как магниты, так и токи сами испытывают во внешнем магнитном поле пондеромоторные си- силы. Естественно, возникло стремление устранить этот дуализм и свести все источники магнитного поля к одной категории. Уже Ампер, доказавший эквивалентность токов и магнитных листков (т. е. совокупности магнитных диполей), высказал предположе- предположение, что кажущееся существование магнитных диполей в молеку- молекулах магнетиков может в действительности обусловливаться на- наличием в них эквивалентных диполям замкнутых токов. В этом случае все источники магнитного поля свелись бы к одной кате- категории, т. е. к токам. В течение почти целого столетия гипотеза Ампера, в дальнейшем развитая Вебером, оставалась гипотезой и встречала ряд более или менее веских возражений. Лишь с то- того момента, как возникло и укрепилось современное представле- представление об атоме как о положительном ядре, окруженном роем об- обращающихся около него электронов, гипотеза амперовых токов стала на твердую почву. Действительно, электрон, обращающий- обращающийся около ядра, в магнитном отношении соответствует круговому элементарному току некоторой определенной силы J, магнитный момент которого определяется формулой E6.2) М = ijS, с где S — площадь орбиты электрона; результирующий же магнит- магнитный момент молекулы равен векторной сумме моментов орби- орбитальных движений отдельных электронов, входящих в ее состав. Эта «классическая» электронная теория имеет в своем активе целый ряд крупнейших достижений: рациональное объяснение явлений диамагнетизма, предсказание гиромагнитных явлений, качественно подтвердившееся на опыте, и т. д. 3. Однако примерно в 1925 г. выяснилось, что электроны (и протоны) обладают более сложными свойствами, чем это пред- представлялось раньше, а именно — каждый электрон обладает не
266 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV только определенным зарядом е и определенной массой т, ной вполне определенным и неизменным по величине механическим моментом вращения, или, иначе, моментом количества движе- движения К и магнитным моментом М (в ед. СГС), причем 1А ^ E8.1) 2 2тг Ажтс где h есть универсальная постоянная Планка*). Другими словами, дело обстоит так, как если бы каждый электрон (вне зависимости от характера движения его центра и вне зависимости от того, обращается ли он по определенной орбите вокруг ядра атома или же свободно движется вне его) непрерывно вращался около проходящей через его центр оси с некоторой постоянной угловой скоростью и), соответствующей механическому моменту вращения К 2). С этой точки зрения магнитный момент электрона М созда- создается тем же круговым движением элементов заряда электрона около его оси, т. е. совокупностью замкнутых круговых токов, эквивалентных этому движению зарядов. Однако это наглядное представление о так называемом «собственном вращении» электрона действительности не соот- соответствует. Даже в рамках классического представления об элек- электроне как о маленьком шарике это явствует из того, что число- числовые значения величин е, т, К и М не могут быть согласованы с какими бы то ни было допустимыми значениями радиуса и угло- угловой скорости вращения электрона. Магнитный момент электрона имеет чисто квантовое происхождение 3), и только квантовой ме- механике удалось вполне удовлетворительно объяснить магнитные свойства электрона. Впрочем, весьма удобным наглядным представлением о соб- собственном вращении электрона можно, конечно, пользоваться в известных пределах, поскольку оно не приводит к противоречи- противоречиям с фактами, не забывая, однако, что это представление носит лишь вспомогательный характер и действительности не соответ- соответствует. В настоящее время совокупность свойств электрона, ха- характеризуемых его механическими и магнитными моментами К и М, принято обозначать терминами «спин», что означает вра- вращение. 1) Протоны обладают тем же механическим моментом A/2)(Л/27г), но маг- магнитный момент их примерно в 650 раз меньше магнитного момента электро- электрона. Поэтому в большинстве случаев магнитные свойства протонов, а также сложных атомных ядер можно во внимание не принимать. 2) Таким образом, углубляется аналогия между атомом и Солнечной систе- системой это «собственное вращение* электрона соответствует суточному враще- вращению Земли вокруг ее оси 3) Это проявляется в том, что, согласно E8 1), М пропорционально кван- квантовой постоянной h.
§ 58 ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ МАГНЕТИЗМА 267 4. Ввиду того что опытные доказательства существования «спина» в основном относятся к выходящей за рамки этой книги области физики атома и квантовой механики, мы не можем на них здесь останавливаться. Впрочем, существует целый ряд и ма- макроскопических явлений, объяснение которых возможно только при учете спина электронов. Таковы, например, явления фер- ферромагнетизма вообще и вопрос о физической природе так назы- называемого молекулярного поля Вейсса в частности (см. § 72); та- таковы количественные закономерности гиромагнитных явлений (см. §71) и т. д. В случае же свободных электронов (например, электронов, образующих термоионный ток, катодные лучи, /3-лучи и т. д.) поправки, вносимые наличием спина в формулы классической теории электронов, столь ничтожны, что практически не мо- могут быть обнаружены на опыте. Именно поэтому спин электрона и мог остаться необнаруженным столь продолжительное время, несмотря на тщательные исследования электронных явлений, на- начавшиеся с конца XIX в. Рассмотрим, например, силы, испытываемые электроном в магнитном поле. Благодаря наличию спина к лоренцевой силе [уравнение D5 3)] ГЛор = - [vH] С прибавляется сила, действующая в поле Н на магнитный диполь, момент которого М равен магнитному моменту спина ЯН Fcn = MV ¦ Н = М— E8.2) дМ. [ср. уравнение E6.8)]. Чтобы оценить порядок величин ГЛОр и Fcn, можно в последней формуле заменить производную дН/дМ вектора Н по направле- направлению вектора М абсолютной величины градиента Н, а в формуле Лоренца положить, что v перпендикулярно к Н Выражая М с помощью E8 1) через универсальные постоянные, получаем Fi rr * I л rr лор evH A-nmv H Наиболее медленные электроны, с которыми вообще можно эксперимен- экспериментировать и определять их траекторию, действующие на них силы и т д., должны обладать скоростью по крайней мере порядка v = б 107 см/с (та- (такова скорость, которую приобретает электрон, пробежав ускоряющую его разность потенциалов в 1 В). Таким образом, максимально возможное зна- значение множителя Ь/Dтгть), который мы обозначим через &1, равно ., h 6,62 Ю-27 Д( = = ¦ см, Aimiv 4тг 9,1 Ю8 • 6 107 т е. около 10~8 см. Итак, FCn = Al-\VH\ ijiop Н Числитель правой части равен разности напряженности поля Я на кон- концах отрезка Д^ Sj 10~8 см, и, таким образом, отношение FCn/FnOp равно от-
268 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV носительному изменению напряженности поля на расстоянии 10~8 см Оче- Очевидно, что во всех возможных опытах со свободными электронам и в макро- макроскопических магнитных полях отношение это будет исчезающе малым и что, таким образом, силы, действующие на спин электрона, могут проявляться только в явлениях внутриатомных. Заметим, что этот результат получается совершенно общим образом без каких-либо предположений о скорости электрона, из так называемого соот- соотношения неопределенности квантовой механики. 5. Итак, магнитные свойства тел объясняются, во-первых, обращением электронов вокруг ядер атомов тела и, во-вторых, спином (собственным вращением) электронов Существенно, что, согласно квантовой теории, магнитное по- поле, возбуждаемое магнитным спиновым моментом электронов, аналогично полю электрических токов (а не полю магнитных диполей, состоящих из магнитных зарядов) в том отношении, что оно является полем вихревым (divH = 0 всюду, тогда как rotH не всюду равен нулю). Иными словами, согласно кванто- квантовой теории, магнитное поле, возбуждаемое спином электронов, может быть сведено к полю электрических токов, определенным образом распределенных в пространстве:) . В этом смысле можно сказать, что все магнитные свойст- свойства тел обусловливаются молекулярными электрическими то- токами. Основы исходящей из этого представления электронной теории магнетиков будут изложены в следующей главе. Интер- Интерпретация макроскопической теории магнетиков, с точки зрения старых теорий магнетизма, будет рассмотрена в § 73. § 59. Абсолютная (гауссова) и другие системы единиц. Электродинамическая постоянная 1. В этой книге мы пользовались и будем пользоваться так называемой гауссовой абсолютной системой единиц, которую для краткости мы называем просто абсолютной системой и в основа- основании которой лежит определение единицы электрического заряда по силам взаимодействия точечных зарядов (см. §1). Единицы измерения всех остальных электрических величин, например на- напряженности электрического поля, его потенциала, силы и плот- плотности тока и т. д., в этой абсолютной системе являются произ- производными основной единицы количества электричества. Так как эта основная единица в свою очередь является производной от *) Более того, релятивистская квантовая механика непосредственно при- приводит к некоему общему выражению для плотности токов, соответствую- соответствующих определенному состоянию электрона, причем разделение этих токов на часть, обусловленную поступательным движением электрона, и на часть, обусловленную его спином, является в сущности искусственным
§ 59 ГАУССОВА И ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 269 единиц массы М, длины L и времени Т 1) и имеет по отношению к этим величинам размерность (см. § 1) [е] = M1/2L3/2T~1 то и производные электрические единицы (напряженности поля, потенциала и т. д.) также находятся в определенной зависимо- зависимости от выбора единиц массы, длины и времени. Размерность этих производных единиц указывалась нами в соответствующих ме- местах текста. 2. Встречаясь с новыми физическими величинами, мы все- всегда стремились выбрать единицы измерения этих величин так, чтобы во всех основных формулах, устанавливающих связь меж- между этими величинами, все числовые коэффициенты, зависящие только от выбора единиц измерения, обращались в единицу (или 4тг). Однако это удавалось нам лишь вплоть до того мо- момента, когда мы перешли к изучению пондеромоторного взаимо- взаимодействия токов Как выяснилось в § 43, силы взаимодействия элементов то- тока зависят лишь от силы этих токов и от длины, направления и взаимного расстояния этих элементов тока, т. е. от величин, единицы измерения которых были уже установлены нами ранее. Естественно, что при этом в количественную формулировку за- закона взаимодействия токов [уравнение D3 1)] пришлось ввести коэффициент с, значение которого зависит от ранее сделанно- сделанного выбора единиц измерения. Поскольку определенным образом выбрано значение этих единиц, постольку и эта электродинами- электродинамическая постоянная с приобретает вполне определенное значение, которое можно измерить на опыте. С этой целью можно, напри- например, воспользоваться формулами § 51, устанавливающими зави- зависимость пондеромоторных сил взаимодействия токов от их силы и геометрической конфигурации, ибо все эти величины могут быть определены независимым друг от друга образом, а в соот- соотношение между ними входит коэффициент с. Теоретически можно, например, воспользоваться формулой E1 13), определяющей силу взаимного притяжения двух квадратных контуров тока Непосредственно измерив в абсолютных единицах входящие в эту формулу величины F, J\, J2, а и d и внося их числовые значения в уравнение E1 13), получаем числовое значение единственного неизвестного — постоянной с. Практически, однако, эти измерения сопряжены со значительными трудно- трудностями, ибо весьма непросто сконструировать такую систему проводников, чтобы, с одной стороны, силы их взаимодействия были достаточно велики и удобны для измерения и чтобы, с другой стороны, теоретический расчет *) Ибо она определяется как величина заряда, который на равный ему за- заряд, находящийся от него на единице расстояния, действует с силой, равной единице
270 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV их коэффициента взаимной индукции Li2 не оказался слишком сложным математически При этом надо иметь в виду, что сравнительно простое вы- выражение E1.3) для Li2, выведенное для токов линейных, перестает быть применимым при сближении контуров тока. (Относительно оптических ме- методов измерения коэффициента с см. § 97.) Размерность электродинамической постоянной с, согласно D3.4), равна размерности скорости: [с] = [LT], а ее числовое значение, как показали измеренияг), весьма близко к 3-Ю10 см/с (с точностью до 0,1 %): с = 3 • 1010 м/с. 3. По значению коэффициента с мы можем определить зна- значение единиц измерения всех остальных величин, характеризую- характеризующих постоянное, а также, как мы увидим в дальнейшем, и пере- переменное поле. Так, например, из результатов решения задачи 26 (см. с. 203) следует, что напряженность поля кругового тока ра- радиуса До в его центре (d = 0) равна Я=. cRo Стало быть, можно сказать, что абсолютная единица напряжен- напряженности магнитного поля в 2п раз меньше напряженности поля, возбуждаемого в центре круга единичного радиуса линейным током силы 3-е, текущим по окружности этого круга. Раз- Размерность же Н оказывается равной = mi/2L-1/2t-i 1 J [cR] L2T- т. е. совпадает с размерностью напряженности электрического поля (см. §2). 4. Заметим, что к абсолютной (гауссовой) системе единиц можно также прийти, исходя не из закона Кулона для электри- электрических зарядов, а из закона Кулона для фиктивных магнитных зарядов. При этом нужно, конечно, прежде всего определить аб- абсолютную единицу магнетизма как магнитный заряд, который отталкивает равный ему заряд, находящийся от него на едини- единице расстояния, с силой, равной единице. Далее напряженность магнитного поля определится величиной силы, действующей в данной точке поля на единичный положительный магнитный заряд, и т. д. Конечно, тождество этой «магнитной» абсолют- абсолютной системы единиц с той «электрической» системой, которой мы пользовались в этой книге, будет иметь место лишь в том случае, если мы сохраним прежнее соотношение E5.1), устанав- 1) Согласно рекомендуемым согласованным значениям фундаментальных физических постоянных (см. с 610) для величины с принимается значение. с = 299 792 458 м/с
§ 59 ГАУССОВА И ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 271 ливагощее связь между силой электрического тока и мощностью эквивалентного току магнитного листка: т = J/c. 5. В отличие от описанной нами системы единиц, которую мы будем называть просто абсолютной системой и которая иногда называется гауссовой, или симметрической (см. таблицу в конце параграфа), существуют еще так называемые абсолютная элек- электростатическая и абсолютная электромагнитная системы еди- единиц. Первая из них исходит из определения единицы электриче- электричества, основанного на законе Кулона, вторая — из определения единицы магнетизма, основанного на подобном же законе для фиктивных магнитных зарядов, причем, однако, в этих систе- системах в отличие от гауссовой электродинамическая постоянная с полагается равной единице. Однако по изложенным выше со- соображениям полное устранение из формул теории всех числовых коэффициентов, значение которых зависит от выбора системы единиц, невозможно. Поэтому в электростатической системе еди- единиц приходится приписывать магнитной проницаемости ц раз- размерность L~2T2 и полагать «магнитную проницаемость вакуу- вакуума» цо равной C-1010см/сГ2 = 1-1(Г20с2/см2, а в электромагнитной системе приходится приписывать ту же размерность диэлектрической постоянной е и полагать «диэлек- «диэлектрическую постоянную вакуума» eq равной той же величине 7э • Ю-20 с2/см2. На описании этих систем мы останавливаться не будем, ибо гауссова система единиц гораздо больше соответствует совре- современным представлениям о природе электромагнитных явлений. Так, например, из рассмотрения физического смысла величины е [гл. II, см., в частности, уравнение B2.5)] явствует, что она есть действительно величина отвлеченная, размерностью не обладаю- обладающая, и что для вакуума е обращается в единицу; коэффициент с, имеющий в гауссовой системе размерность скорости, как мы уви- увидим дальше, действительно равен скорости распространения электромагнитных волн в пустоте ит. д.1). Примечание. Из всего этого, однако, отнюдь не вытека- вытекает неправильность других систем электромагнитных единиц. Всякая система единиц условна, и критерием при выборе опре- определенной системы единиц могут служить только ее внутренняя непротиворечивость, удобство и степень соответствия современ- современным физическим представлениям. 1) Для физики гауссова система единиц представляется наиболее «естест- «естественной», в этом случае размерности Е, D, Н, В одинаковы в соответствии с относительностью деления электромагнитного поля на электрическое и магнитное (§ 115). См. по этому поводу: Сивухин Д.В. // УФН. 1979. Т. 129 С. 335
272 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV 6. Заметим, что абсолютные (гауссовы) единицы электриче- электрических величин совпадают с соответствующими электростати- электростатическими единицами, а абсолютные единицы магнитных вели- величин — с электромагнитными единицами (табл. I). Таблица I Физическая величина и ее обозначение Количество электричества е Напряженность электрического поля (то же для индукции D и поляризации Р) Потенциал (р Емкость С Электродвижущая сила и напряжение ? Сила тока J Плотность тока j Сопротивление проводника R Электропроводность Л Напряженность магнитного поля Н (то же для магнитной индукции В и намагничения /, см. гл. V) Поток магнитной индукции Ф Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции L Магнитный момент М Количество (фиктивного) магнетизма т Размерность в абсолютной (гауссовой) системе единиц Mi/2L3/2T-i ¦ L Ml''2L1/2T~1 MJ/'2L3''2T~2 Ml/2L-l/2T-2 Абсолютные гауссовы единицы совпадают с элек- электростатическими 1/2 -1/2 -1) m1'2i>/2t-1 Абсолютные гауссовы единицы совпадают с элек- электромагнитными Ml/2L5/2T-1 j Заметим, далее, что электромагнитная единица силы тока и количества электричества в с раз больше соответствующих гауссовых (а стало быть, и равных им электростатических) еди- единиц. Следовательно, если J и J' — соответственно значения силы одного и того же тока в абсолютных и в электромагнитных еди- единицах, то J'=J-. с Так как, с другой стороны, во всех почти формулах этой главы коэффициент с входит в комбинации J/c (или j/c), то, выражая силу тока не в абсолютных, а в электромагнитных единицах, мы можем устранить этот коэффициент из упомянутых формул и тем самым упростить их. Так, например, внося J' в формулу, приведенную в начале параграфа, получим
§59 ГАУССОВА И ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 273 ввиду чего можно сказать, что абсолютная единица магнитной напряженности Н в 2к раз больше напряженности поля, возбуж- возбуждаемого в центре круга единичного радиуса текущим по его окружности током силой в одну электромагнитную единицу. Далее, уравнение E5.1) принимает вид стало быть, мощность г эквивалентного току магнитного лист- листка равна выраженной в электромагнитных единицах силе этого тока J'. Однако последовательное пользование электромагнитными единицами количества электричества и силы тока далеко не все- всегда удобно. Так, например, при пользовании электромагнитными единицами в законе Кулона появляется множитель с21): Все же электромагнитные единицы иногда применяются при измерении не только магнитных, но и электрических величин. Электростатические же единицы, вообще говоря, для измерения величин магнитных не применяются. Зная соотношение между электромагнитными и электроста- электростатическими единицами заряда, нетрудно найти соотношение меж- между единицами других величин. Так, например, напряженность электрического поля Е равна единице, если помещенный в по- поле единичный заряд испытывает силу в одну дину. Стало быть, электромагнитная единица напряженности должна быть в с раз меньше электростатической. Для ряда основных электрических величин эти соотношения приведены в табл. II. Таблица II Соотношение между электромагнитными и электростатическими единицами Количество электричества е и сила тока J Напряженность электрического поля Е Потенциал (р и электродвижущая сила ? Емкость С Сопротивление R Напряженность магнитного поля Н Коэффициент индукции L 1 эл.-магн. ед. = сабе, (эл -стат.) ед. > 1 эл.-магн. ед. = - абс. (эл.-стат.) ед. с 1 эл.-магн. ед. = с2абс. (эл.-стат.) ед. 1 эл.-магн ед. = — абс. (эл.-стат.) ед. 1 абс. (эл.-магн.) ед. = с эл.-стат. ед. 1 абс. (эл.-магн.) ед. = — эл.-стат. ед. 1) Или равный ему множитель 1/ео = A/9) ¦ 10 20 с2/см2 есть «диэлектри- «диэлектрическая проницаемость вакуума» (см. выше).
274 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV Наконец, в табл. III приведены названия и значения основных практических единиц измерения. Таблица III Практические единицы Количество электричества е Потенциал у? Электродвижущая сила и напряжение ? Напряженность поля Е Емкость С Сила тока J Сопротивление R Напряженность магнитного поля Н Самоиндукция L Поток магнитной индукции Ф Энергия W Мощность 1 Кл = 1СГ1 СГС эл -магн.ед. = = 3 • 109 абс. (эл.-стат.) СГС ед. | 1 В = 108 СГС эл.-магн. ед. = | = абс. (эл.-стат.) СГС ед. > 300 V R 1— = Ю8 СГС эл.-магн. ед. = см \ = абс. (эл.-стат.) СГС ед. 1 Ф = 10~9 СГС эл.-магн. ед. = = 9 ¦ 10й абс. (эл -стат.) СГС ед. (см) 1 А = КГ1 СГС эл.-магн. ед. = = 3 • 109 абс. (эл.-стат.) СГС ед. 1 Ом = 109 СГС эл.-магн. ед. = — — абс. (эл.-стат.) СГС ед 1 Гс = 1 абс. СГС (эл.-магн.) ед = = 3 • 1010 СГС эл.-стат. ед. 1 Гн = 109 абс. СГС (эл.-магн.) ед. (см) = — СГС эл.-стат. ед. 9 ¦ 10" 1 Мкс (максвелл) = = 10~8 Вб(вебера) = 1 Гс • см2 = = 1 абс. СГС (эл.-магн.) ед. = = 3 1010 СГС эл.-стат. ед. 1 Дж = 107 абс. СГС ед. (эрг) 1 Вт = 107 абс. СГС ед. (эрг/с) 7. Практическая система единиц есть правильно построен- построенная система единиц в том смысле, что, подобно гауссовой, элек- электростатической и электромагнитной системам, все практические единицы могут быть получены как производные от одной основной единицы. Какую именно единицу (ампер, ом и т. д.) считать при этом основной, конечно, не существенно. Однако точное опре- определение производных единиц по единице основной представляет значительные экспериментальные трудности, и результаты со- соответствующих измерений по мере усовершенствования измери- измерительной техники непрерывно изменяются и уточняются. Далее, основные единицы практической системы (ампер, ом и т. д.) были в свою очередь определены указанием определенного числового отношения их к единицам абсолютным, построенным на абсо- абсолютной единице количества электричества; абсолютное же изме- измерение количества электричества представляет гораздо бблыпие
§ 59 ГАУССОВА И ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 275 трудности, чем, например, абсолютное определение силы тока или сопротивления. Поэтому международный съезд 1908 г. установил так назы- называемую международную систему практических единиц, в осно- основе которой лежат две основные единицы — международный ом (Ohm. Int) и международный ампер (Amp. Int). Значение этих единиц определено следующим образом: 1) международный ом равен сопротивлению столба ртути длиной в 106,300 см при тем- температуре, равной 10 °С, и при массе этого столба, равной 14,4521 г; 2) международный ампер равен силе тока, выделяющего при прохождении через раствор AgNC>3 в воде 0,0011180 г серебра в 1 с. Все остальные международные практические единицы (в том числе и вольт) являются производными от этих основных. Международный ампер и ом были определены так, чтобы их величины со всей доступной в то время точностью равнялись со- соответственно 10 и 109 электромагнитным единицам силы тока и сопротивления; однако вместе с тем было условлено считать эти единицы установленными раз навсегда и не менять их ве- величины в зависимости от могущих выясниться отличий их от абсолютного ома A09 эл.-магн. ед. = Ohm. abs.) и абсолютного ампера A0 эл.-магн. ед. = Amp. abs.). Фактически, однако, каждая крупная страна пользовалась не указанными основными единицами, а своими государственными стандартами ЭДС (нормальные гальванические элементы Весто- на) и электрического сопротивления. Хотя стандарты различных стран были в свое время приведены в согласие друг с другом и выражены в международных единицах, но к 1930 г. между стандартами различных стран накопились расхождения, дохо- доходившие до 0,01 %. Кроме того, существовало расхождение меж- между электрическими и механическими единицами; так, например, электрическая и механическая единицы энергии различались на 0,02%. Поэтому в 1935 г. Международный комитет мер и весов решил вновь заменить «международную систему единиц» систе- системой абсолютной и ввести ее в употребление с 1 января 1940 г. По данным 1935 г.1) Ohm. Int. = 1,0005 Ohm. abs., Amp. Int. = 0,9999 Amp. abs. 1) В дальнейшем определение и значения электрических единиц неодно- неоднократно изменялись. Данные 1973 г. на этот счет можно найти в УФН. 1975. Т. 115. С. 623. В частности, для единиц сопротивления и силы тока установ- установлены соотношения: Ohm. МБ = 0,99999947 A9) СИ, Amp МБ = 1,0000007 B6) СИ, где через МБ обозначены эталоны, установленные Международным Бюро мер и весов.
276 ПОНДЕРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ ГЛ IV 8. Упомянем, наконец, о предложенной Хэвисайдом так называемой ра- рациональной системе единиц, которой по примеру Лоренца все чаще и чаще пользуются в теоретических исследованиях. Она отличается от абсолютной гауссовой системы не размерностью, а лишь числовым значением основных единиц: единица электричества (а также и магнетизма) в рациональной си- системе принимается равной \/у/А~п доли абсолютной единицы электричества (магнетизма). Хотя из-за этого и в закон Кулона и в некоторые другие фор- формулы приходится вводить знаменатель 4ж, но зато, и в этом состоит преиму- преимущество рациональной системы, этот множитель Аж выпадает из целого ряда основных формул теории поля, например из дифференциальных уравнений для скалярного [уравнение A1.3)] и векторного [уравнение D6 5)] потенциа- потенциалов, из формулы B2.2), связывающей значения divD и р, и т. д.
ГЛАВА V МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) § 60. Намагничение магнетиков. Молекулярные токи и токи проводимости 1. Подобно тому как внесение диэлектриков в поле свобод- свободных электрических зарядов (см. определение этого термина в § 21) вызывает изменение этого поля, обусловливающееся по- поляризацией диэлектрика, так и внесение магнетиков (например железа) в магнитное поле токов вызывает изменение этого поля, обусловливаемое намагничиванием магнетика. При этом магне- магнетиками мы называем все способные намагничиваться тела1), т. е., иными словами, все тела, присутствие которых способно либо видоизменить, либо возбуждать магнитное поле. Однако, в то время как все диэлектрики деполяризуются одновременно с исчезновением внешнего электрического поля2), лишь большин- большинство магнетиков, намагничиваясь под воздействием внешнего магнитного поля, по исчезновении этого поля полностью размаг- размагничиваются (временное или индуцированное намагничение пара- и диамагнетиков). Наряду с этим в отличие от диэлектриков существует класс магнетиков (так называемые ферромагнетики), способных оста- оставаться намагниченными и после исчезновения внешнего поля (так называемое постоянное или остаточное намагничение), т. е. способных не только видоизменять своим присутствием маг- магнитное поле токов, но и самостоятельно возбуждать магнитное 1) В сущности все материальные тела обладают в той или иной мере маг- магнитными свойствами (правда, в большинстве случаев весьма слабо выра- выраженными) 2) См. § 21, с 104. Явление так называемой остаточной поляризации, имею- имеющее место в некоторых диэлектриках, особенно в случае загрязнения их посторонними примесями, не имеет по своей физической природе ничего общего с остаточным магнетизмом ферромагнетиков. Оно связано с нали- наличием токов утечки и поляризационных токов (несовершенные изоляторы), создающих перераспределение свободных электрических зарядов. Исключе- Исключением являются пиро- и сегнетоэлектрики (см. § 29, с. 135), диэлектрические свойства которых в ряде отношений действительно аналогичны магнитным свойствам ферромагнетиков
278 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V поле независимо от наличия электрических токов (так называе- называемые постоянные магниты) 1). 2. Поле намагниченных магнетиков, как и всякое магнитное поле, создается циркулирующими в магнетике электрическими токами 2). Рассмотрим сначала магнетик, не проводящий электричества и построенный из нейтральных молекул (газы, жидкости) или из закрепленных в определенных положениях ионов (ионная кри- кристаллическая решетка или аморфный твердый диэлектрик). Хо- Хотя средняя плотность тока в такой среде и равна нулю и пере- переноса электрических зарядов на макроскопические расстояния в ней не происходит, однако внутри отдельных молекул или ио- ионов имеет место движение электронов, соответствующее опре- определенному распределению токов. Эти токи называются моле- молекулярными; в ненамагниченных магнетиках они распределены совершенно хаотично, и магнитные поля их в среднем взаимно компенсируются. Намагниченный же магнетик характеризуется упорядоченностью молекулярных токов, благодаря которой ре- результирующее магнитное поле этих токов отлично от нуля. В магнетиках, являющихся проводниками (металлы, электро- электролиты и т. п.), нужно, очевидно, проводить различие между то- токами проводимости jnp, соответствующими движению зарядов, переносящих макроскопический ток (свободные электроны в ме- металлах, ионы в электролитах и ионизированных газах), и тока- токами молекулярными jM0JI в нейтральных молекулах электролитов, в закрепленных ионах, образующих твердый кристаллический остов металлов, и т. п.: Лмикро == Jnp +Лмол; F0.1) где индекс «микро» означает истинную микроскопическую плот- плотность тока в среде в отличие от средней макроскопической плот- плотности j. Мы будем придерживаться этого разделения токов на два класса, хотя оно и не всегда может быть проведено однознач- ) Способность ферромагнетиков сохранять остаточное намагничение су- существенно зависит от их микроскопической неоднородности (остаточные упругие натяжения, поликристаллическая структура, химические загрязне- загрязнения) и почти отсутствует, например, в ферромагнитных монокристаллах, лишенных внутренних натяжений. Поэтому, строго говоря, основной харак- характеристикой ферромагнетиков является не остаточный магнетизм (гистере- (гистерезис), а нелинейный характер зависимости намагничения от напряженности магнитного поля (о котором подробнее см. в § 72 и 108), проявляющейся даже в очень слабых полях и усугубляющейся при повышении микроскопи- микроскопической неоднородности ферромагнетика. 2) Спиновый магнитный момент электрона также может быть сведен к дей- действию соответствующих электрических токов (см. конец этого параграфа)
§ 60 НАМАГНИЧЕНИЕ МАГНЕТИКОВ МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТОКИ 279 но 1), ибо это разделение весьма упрощает вывод макроскопиче- макроскопических уравнений поля из представленной электронной теории2). Для наших целей достаточно допустить, что в отличие от токов проводимости молекулярные токи замыкаются внутри микроско- микроскопически малых пространственных объемов. 3. Для построения теории магнетиков нужно прежде всего найти удобную количественную характеристику распределения молекулярных токов в среде. Такой характеристикой не может служить среднее по физически бесконечно малому объему значе- значение плотности молекулярных токов jM0JT. Действительно, среднее значение тока, взятое по всему объему системы замкнутых то- токов, равно нулю3), хотя магнитный момент и магнитное поле такой системы вовсе не обязаны равняться нулю. В частности, векторная сумма токов, протекающих в любой молекуле, всегда равна нулю. В § 56 и 57 мы убедились, что система замкнутых токов при условии достаточной малости ее размеров однозначно характе- характеризуется ее магнитным моментом /Ml dV. Очевидно, что и распределение молекулярных токов нужно ха- характеризовать их магнитным моментом. Подобно тому как мерой поляризации диэлектрика служит вектор поляризации Р, рав- равный электрическому моменту единицы его объема, так мерой намагничения магнетика служит вектор намагничения I, рав- равный магнитному моменту молекулярных токов, рассчитанному на единицу объема магнетика: I = f /"[RJmcmW F0.2) где интегрирование распространено на единицу объема магне- магнетика. Как уже отмечалось в § 57, значение этого интеграла при условии замкнутости системы токов не зависит от выбора начала отсчета радиусов-векторов R. Если магнетик состоит из отдельных молекул (например, га- газообразные магнетики), то его намагничение I может быть так 1) Так, например, токи, создаваемые свободными электронами в металлах, не могут быть, вообще говоря, целиком причислены к токам проводимо- проводимости, ибо, например, намагничение диамагнитных металлов обусловливается главным образом упорядоченным движением свободных электронов, не свя- связанным с переносом макроскопического тока. 2) Конечно, справедливость макроскопических уравнений поля может быть обоснована и без специальных допущений подобного рода (см. конец §91) 3)Ибо по доказанному в § 57 из E7.7) следует E7.6).
280 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V же определено, как векторная сумма магнитных моментов моле- молекул, находящихся в единице его объема: F0.3) где М означает момент отдельной молекулы магнетика. Легко сообразить, что в магнетиках, построенных из отдельных моле- молекул, уравнение F0.3) эквивалентно уравнению F0.2). Наконец, если намагничение магнетика непостоянно по его объему, то вектор намагничения I можно определить как сред- среднюю (по физически бесконечно малому объему AV) плотность магнитного момента молекулярных токов: оЛ dV. F0.4) ДУ По аналогии с электрической поляризацией Р намагничение I можно также назвать магнитной поляризацией. 4. Построение теории магнетиков на основе рассмотрения по- постоянных замкнутых молекулярных токов может вызвать двоя- двоякого рода сомнения. Во-первых, с точки зрения элементарных представлений о строении атома движение электронов внутри атомов и молекул не вполне эквивалентно постоянным токам, ибо поле электро- электронов не постоянно во времени, а изменяется периодически, соот- соответственно периоду обращения электрона по его орбите (вокруг ядра атома или по сложной орбите внутри молекулы и т. п.). С точки зрения боровской теории атома это затруднение устранялось тем, что период обращения электронов по орбитам чрезвычайно мал и сравним с периодом световых колебаний A0~~14—10~15 с), так что при макроскопических наблюдениях мы воспринимаем лишь среднее по времени значение этого поля. По- Поэтому при построении макроскопической теории мы вправе за- заменить движущийся внутри атома электрон постоянным замк- замкнутым током («молекулярный ток»), постоянное поле которого тождественно со средним за время одного периода значением по- поля электрона. Однако современная квантовая механика вовсе устранила это затруднение, показав, что наглядное представление о движении электрона в атоме по определенным орбитам является лишь пер- первым, весьма грубым приближением к действительности и что магнитное поле атомов, находящихся в стационарном состоянии, постоянно во времени и может быть сведено к полю постоянных замкнутых токов, распределенных внутри атома или молекулы с определенной плотностью j. Во-вторых, сомнение может вызвать то обстоятельство, что магнитные свойства атомов и молекул обусловливаются не толь-
§ 61 ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 281 ко движением электронов в них, но и спином электронов. Дей- Действительно, магнитный спиновый момент электронов часто упо- уподобляется магнитному диполю. Однако, как уже указывалось в § 58, согласно квантовой механике, магнитное поле, возбуждае- возбуждаемое спиновым магнитным моментом электрона, тоже может быть сведено к полю электрических токов, распределенных определен- определенным образом в пространстве. Во всяком случае, магнитное поле, возбуждаемое спином, как и всякое поле токов, является полем вихревым и должно описы- описываться векторным потенциалом А, а не скалярным потенциа- потенциалом ф (см. § 71). Таким образом, вполне оправдано утверждение, что магнит- магнитные свойства магнетиков обусловливаются молекулярными то- токами. Однако для некоторых целей весьма удобно рассматри- рассматривать намагничение I магнетиков как слагающееся, во-первых, из магнитных моментов токов, соответствующих поступательному (орбитальному) движению электронов, и, во-вторых, из диполь- ных спиновых магнитных моментов электронов. Такое разделе- разделение ничего не меняет в рассуждениях последующих парагра- параграфов, посвященных выводу общих уравнений магнитного поля в магнетиках, но оказывается полезным при рассмотрении гиро- гиромагнитных эффектов (§ 71) и механизма намагничения ферро- ферромагнетиков (§ 72). § 61. Векторный потенциал магнитного поля при наличии магнетиков. Средняя плотность объемных и поверхностных молекулярных токов 1. Разложив, согласно F0.1), полную плотность jMHKpo в про- произвольной среде на плотность токов проводимости jnp и плот- плотность токов молекулярных jM(W) мы получаем следующее выра- выражение для вектор-потенциала магнитного поля: с J R cjR сJ R Вводя обозначения Ао и А' для векторных потенциалов токов проводимости и токов молекулярных А0 = 1|Ь^ и А'=Л|Ь^, F1.1) можно написать А = А0 + А'. F1.2) В эти выражения входят истинные микроскопические плотности токов, тогда как в макроскопической теории мы должны опериро- оперировать средними значениями микроскопических величин и должны, следовательно, соответственно преобразовать выражения F1.1).
282 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Среднее значение jnp по физически бесконечно малому объему есть, очевидно, та плотность токов j, с которой только и опериру- оперирует макроскопическая теория, не вводящая явно в рассмотрение молекулярных токов: J=Jnp- F1-3) Таким образом, в макроскопической теории мы можем в выра- выражении для Ао попросту заменить jnp на j: Соответственно этому для определения среднего значения век- вектор-потенциала молекулярных токов А' нужно выразить сред- среднее значение плотности молекулярных токов jM0JI через величи- величины, с которыми оперирует макроскопическая теория, а именно через намагничение. Проще, однако, следующим образом непо- непосредственно вычислить среднее значение вектора А'. Векторный потенциал системы замкнутых токов при усло- условии достаточной малости ее пространственных размеров равен, согласно E7.8), -, где М есть магнитный момент системы. С другой стороны, магнитный момент элемента объема dV маг- магнетика, характеризующий циркулирующие в нем молекулярные токи, согласно F0.2) и F0.4), равен IdV 1). Поэтому векторный потенциал поля, возбуждаемого элементом объема dV магнети- магнетика, равен где R — радиус-вектор, проведенный из элемента объема dV в ту «точку наблюдения», в которой определяется значение вектор- потенциала. Наконец, векторный потенциал А' всей совокупности моле- молекулярных токов, циркулирующих во всех элементах магнетика, определится интегралом |Mv; F1.5) который, очевидно, можно распространить на все бесконечное пространство (ибо вне магнетиков 1 = 0). Таким образом, век- векторный потенциал А' поля молекулярных токов полностью опре- определяется намагничением среды I. 1) Заметим, что вектор намагничения I является величиной макроскопиче- макроскопической, ибо он равен, согласно F0.4), средней плотности магнитного момента в физически бесконечно малом объеме.
§ 61 ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 283 2. Целесообразно несколько преобразовать последнее выра- выражение. Согласно уравнениям D3з) и A0*) и, следовательно, последнее уравнение может быть записано так: Последний интеграл может быть преобразован с помощью соот- соотношения векторного анализа E6*) в интеграл по поверхности S, охватывающей объем интегрирования V 2): Li)dv= 4[^ds. R J J R V S Если в поле нет поверхностей разрыва вектора намагниче- намагничения I, то последний интеграл может быть взят по бесконечно удаленной поверхности, охватывающей полное поле, и обраща- обращается при этом в нуль (если намагничение I исчезает в бесконеч- бесконечности быстрее, чем 1/R). В противном же случае поверхностный интеграл придется, как обычно, распространить еще на поверхность S[, выделяю- выделяющую из объема интегрирования V поверхность Si разрыва век- вектора /. Стягивая поверхность S[ вплоть до совпадения с поверхно- поверхностью разрыва Si и повторяя с незначительными изменениями рассуждения, приведенные нами в § 12, убедимся, что lim ф М dS = / Mil±MHl dS = - f Ш=Ш dS, T R J R J R ' S[ Si Si где Ii и 1г — значения I no обеим сторонам поверхности разры- разрыва, а N — нормаль к этой поверхности, направленная от 1 к 2. Обозначая эту нормаль через п, получим А' = / ?2*1 dV + / [N(l2"Il)] dS. F1.6) J R J R x) Индекс q в выражении rot4 I можно опустить, не опасаясь недоразуме- недоразумений, ибо вектор I является функцией одной лишь точки истока радиуса- вектора R. 2) Преобразование это можно непосредственно применить к нашему ин- интегралу потому, что при образовании пространственных производных мы дифференцируем Л и I по координатам точки истока вектора R, совпадаю- совпадающей с элементом объема интегрирования dV (см. примечание к § 21, с. 103).
284 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Таким образом, полный векторный потенциал А = Ао + А' магнитного поля в произвольной среде выражается в микроско- микроскопической теории через макроскопическую плотность токов j и через вектор I, характеризующий намагничение среды: dS. F1.7) v dV+ fdV+ fdS. R J R J R 3. Сравним макроскопическое выражение F1.6) для вектор- векторного потенциала А' молекулярных токов с тем, которое полу- получается из микроскопического выражения F1.1) для А' путем непосредственного усреднения его, т.е. путем замены в F1.1) микроскопической плотности jMOJI средним ее значением jM0JI по физически бесконечно малому объему: А' = ! fl^L. F1.8) CJ R Сравнение это показывает, во-первых, что средняя плотность объемных молекулярных токов jM0JI следующим образом связана с намагничением среды: L« = crotl; F1.9) во-вторых, из этого сравнения следует, что допущение существо- существования поверхностей разрыва вектора намагничения эквивалент- эквивалентно допущению существования наряду с объемными также и поверхностных молекулярных токов, средняя плотность кото- которых пропорциональна поверхностному ротору I: i1Mn = cRotI = c[n(I2-Ii)]. F1.10) Действительно, при этом допущении выражение F1.8) нужно дополнить членом, учитывающим поверхностные токи: ' = I [ ko* cj R r в результате чего это выражение на основании F1.9) и F1.10) становится эквивалентным F1.6). Конечно, само допущение о возможности существования по- поверхностей разрыва физических величин и поверхностных токов характерно для макроскопической трактовки поля и совершенно чуждо микроскопической теории. Выражение F1.9) для средней плотности молекулярных то- токов, как и следовало ожидать, удовлетворяет условию замкнуто- замкнутости токов, ибо, согласно D2з): n = cdivrotl = 0.
§ 61 ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 285 Далее, выражение для средней поверхностной плотности мо- молекулярных токов совпадает с тем, которое может быть полу- получено из выражения их объемной плотности путем предельного перехода типа D9.7). Заметим, что в равномерно намагниченных средах (I = const) средняя плотность молекулярных токов, согласно уравнению F1.9), равна нулю1). Действительно, если смежные элементы объема среды намагничены совершенно одинаково, то в ней ни- нигде не может иметь место преобладание токов какого-либо одно- одного определенного направления. На границе же намагниченных магнетиков и вакуума, согласно уравнению F1.10), имеются по- поверхностные токи плотности i = ±c[nl], ибо в вакууме 1 = 0. Уравнения F1.9) и F1.10), устанавливающие связь между распределением молекулярных токов и пространственными про- производными вектора намагничения (а также скачком его каса- касательных слагающих на поверхностях разрыва), получены были нами довольно окольным путем. Было бы желательно получить их непосредственно из основного уравнения F0.2), определяюще- определяющего вектор намагничения I и выражающего значение I через jM0JI. В § 67 мы проведем соответствующие вычисления при некоторых упрощающих предположениях. 4. В качестве примера рассмотрим цилиндрический магнит, равномерно намагниченный по всему объему параллельно своей оси. Средняя плотность объемных молекулярных токов всюду будет равна нулю, ибо при I = const имеем rot 1 = 0. На осно- основаниях цилиндра поверхностных молекулярных токов также не будет, ибо нормаль к этим основаниям параллельна I. Нормаль же к боковой поверхности цилиндра перпендикулярна к I и по- поэтому плотность поверхностных молекулярных токов на боковой поверхности цилиндра будет отлична от нуля и будет численно равняться гмол = Cl F1.11) (в формуле F1.10) полагаем Ii = I, I2 = 0, ибо вне магнита 1 = 0). Эти замкнутые круговые поверхностные токи составляют правовинтовую систему с направлением намагничения I. Таким образом, с точки зрения электронной теории, магнит эквивалентен цилиндрическому соленоидальному току (см. § 49). При этом из сравнения уравнения F1.11) с уравнением D9.14) следует, что сила тока J в соленоиде, эквивалентном данному магниту, может быть определена из равенства i = nJ = d, F1.12) 1) Подобно тому как равна нулю средняя плотность связанных зарядов в равномерно поляризованном диэлектрике.
286 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V где п — число витков соленоида на единицу его длины. Про- Происхождение поверхностных токов на границе магнетика и ва- вакуума может быть пояснено путем весьма простых рассуждений. Весьма схематически рис. 63 изображает собой поперечный разрез магнита. Совокупность молеку- молекулярных токов внутри магнита может быть схематически представлена как (Д?\(>рЧЛЗ|7ХД \ совокупность токов одинаковой силы, LJ^TX>>-O^3M обтекающих каждую ячейку (молекулу) l^jOv7'-^Cr\Z?T l магнита в одинаковом направлении, например против часовой стрелки. Внутри магнита токи смежных молекул взаимно компенсируются, на поверхно- поверхности же магнита они складываются в р „„ круговой ток, обтекающий магнит по окружности *). Чтобы уточнить это рассуждение в количественном отноше- отношении, рассмотрим тонкий слой магнита, заключенный между дву- двумя плоскостями, перпендикулярными к его оси. Если высота это- этого слоя равна /, сечение S, объем V = IS, а сумма магнитных моментов молекул, в нем находящихся, равна ^JM, то V Выражая с помощью уравнения E6.2) магнитный момент каж- каждой молекулы через силу и площадь соответствующего молеку- молекулярного тока, получаем где нами для простоты предположено, что все молекулярные токи линейны и силы их одинаковы. Магнитный момент моле- молекул не изменится, если мы так изменим силу тока J и площадь молекулярных токов, чтобы их произведение осталось постоян- постоянным. Подберем эти величины в соответствии с рис. 63 так, чтобы смежные молекулярные токи непосредственно прилегали друг к другу. Тогда Yl S будет численно равна площади сечения магни- магнита S и j _ JS _ JS _ 1 J ~ cV ~ cSl ~ с Г Отношение силы тока J, протекающего по поверхности рассма- рассматриваемого слоя, к высоте этого слоя / равно по определению поверхностной плотности тока i. Таким образом, последнее урав- уравнение совпадает с уравнениями F1.11) и F2.12). 1) Вопрос об отличии поля внутри магнита от поля внутри эквивалентного соленоида будет рассмотрен в § 74.
§ 62 УРАВНЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ 287 § 62. Дифференциальные уравнения макроскопического магнитного поля в магнетиках. Напряженность магнитного поля в магнетиках и вектор магнитной индукции 1. В этом параграфе мы поставим себе задачу путем усредне- усреднения уравнений истинного микроскопического поля вывести уравне- уравнения для средних макроскопических значений, характеризующих поле величин Н и j. При этом мы будем исходить из предполо- предположения, что для истинного микроскопического поля строго спра- справедливы основные уравнения магнитного поля постоянных токов D7.1) и D7.3): divHMHKpo = 0 и ifc MHKpo MHKpo С если под Jmhkpo понимать точно «микроскопическое» значение плотности тока в данной точке поля. Задача же наша будет со- состоять в установлении уравнений, определяющих среднее макро- макроскопическое значение вектора Нмикр0 в физически бесконечно малом объеме (см. § 25), которое мы обозначим через Нмикро. Так как, согласно уравнению B5.2), среднее значение производ- производных по координатам равно производным от среднего значения дифференцируемой величины, то из микроскопических уравне- уравнений поля следует: __ divHMHKpo = 0, F2.1) rot ххмикр0 = - . (Ь2.2) С Плотность токов в произвольной среде слагается, согласно F0.1), из токов проводимости и токов молекулярных. Среднее значе- значение jnp представляет собой, согласно F1.3), обычную плотность j макроскопического тока в проводниках, тогда как среднее значе- значение jMOJI выражается, согласно F1.9), через ротор намагничения. Таким образом, 1микро = Jnp + Змол = j + С rot I. F2.3) Внося это в F2.2), получаем rot Нмикро = Ц- j + 4тг rot I. F2.4) Уравнения F2.1) и F2.4) являются основными дифференциаль- дифференциальными уравнениями магнитного поля в произвольной магнитной среде. 2. Напряженность макроскопического электрического поля по определению равна средней напряженности Емикро микроско- микроскопического поля (см. § 26). Было бы совершенно естественно ана- аналогичным образом определить напряженность макроскопическо- макроскопического магнитного поля.
288 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Однако исторически укоренилось иное определение, являв- являвшееся совершенно естественным с точки зрения представления о существовании магнитных зарядов в молекулах (см. § 73); а именно, напряженность макроскопического поля в магнетиках, которую мы в дальнейшем будем просто обозначать буквой Н, определяется следующим соотношением: Н = Нмикро - 4тг1. F2.5) Среднее же значение напряженности микроскопического поля носит название вектора магнитной индукции и обозначается буквой В: В = НМИкро- F2.6) Уравнение F2.4) может быть записано следующим образом: rot (Нмикро - 4тг1) = -^ j, так что в новых обозначениях оно принимает вид rotH=^j, F2.7) а уравнения F2.1) и F2.5) принимают вид divB = 0, F2.8) В = Н + 4тг1. F2.9) Уравнения F2.7)-F2.9) представляют собой систему основ- основных дифференциальных уравнений поля, которые должны быть дополнены лишь уравнениями, устанавливающими связь меж- между намагничением I и напряженностью Н. Связь этих величин будет рассмотрена нами в следующем параграфе. В случае от- отсутствия намагниченных сред I = 0; Н и В совпадают между собой, и уравнения F2.7) и F2.8) совпадают с ранее выведенны- выведенными уравнениями магнитного поля в вакууме D7.1) и D7.3). Во всем дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы под напряженностью магнитного поля Н будем понимать вектор, определяемый соотношением F2.5) и удовлетворяющий уравне- уравнениям F2.7) и F2.9). При формальном сравнении уравнений электрического и маг- магнитного полей div D = 47Г/Э, rot E = 0, D = Е + 4я-Р, divB = 0, rotH = — j, В = Н4-4тг1 с создается впечатление о сходстве величин Е и Н, с одной сто- стороны, и D и В — с другой, тогда как по существу, как только что указывалось, аналогом напряженности макроскопического электрического поля Е является магнитная индукция В (равная
§ 62 УРАВНЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ 289 средней напряженности микроскопического магнитного поля), а аналогом электрической индукции D — напряженность макро- макроскопического магнитного поля Н 1). Это сказывается, напри- например, в том, что, как мы убедимся в § 65, силы, испытываемые электрическими токами, определяются магнитной индукцией В, тогда как силы, испытываемые электрическими зарядами, опре- определяются электрической напряженностью Е. 3. Заметим в заключение, что в укоренившихся обозначени- обозначениях уравнение НМИКро = rot А [ср. уравнение D6.2)], дающее воз- возможность свести определение напряженности поля к вычисле- вычислению вектор-потенциала, записывается следующим образом: В = rot A, F2.10) где под А нужно понимать, конечно, среднее макроскопическое значение вектор-потенциала. Уравнение F2.8) можно рассматри- рассматривать как прямое следствие уравнения F2.10). Вектор же напря- напряженности макроскопического поля Н, вообще говоря, не явля- является соленоидальным и поэтому не может выражаться ротором вспомогательного вектор-потенциала. Наконец, дифференциальное уравнение для макроскопиче- макроскопического значения векторного потенциала V2A = -^]микро = -Ц (j + crotl) F2.11) может быть получено либо усреднением уравнения D6.5), либо же непосредственно из F1.7) таким же путем, как в § 46 уравне- уравнение D6.5) было получено из D6.1). 4. Что касается пограничных условий для магнитного поля, то они непосредственно вытекают из дифференциальных урав- уравнений поля путем предельного перехода от случая тонких слоев конечной толщины, в которых объемные токи j и намагничение I остаются конечными и непрерывными, к предельному случаю бесконечно тонких поверхностей разрыва. Так, согласно уравнению F.8), мы получаем из уравнения F2.8) следующее уравнение для нормальных слагающих вектора магнитной индукции В: Div В = В2п ~ Вы = 0, F2.12) являющееся обобщением уравнения D9-1) на случай наличия магнетиков. Что же касается напряженности поля Н, то диф- дифференциальное уравнение для этого вектора сохраняет в маг- магнитных средах тот же вид [уравнение F2.7)], что и в вакууме :)Это обстоятельство проявляется, в частности, в том, что при четырех- четырехмерной формулировке уравнений электромагнитного поля в теории относи- относительности оказывается необходимым объединить, с одной стороны, векторы Е и В и, с другой стороны, Н и D попарно в два четырехмерных тензора 2-го ранга. 10 И. Е. Тамм
290 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V [уравнение D7.3)], и, стало быть, приводит к тому же погранич- пограничному условию для его касательных слагающих [ср. уравнения D9.3) и D9.6)]: [n(H2-Hi)] = ^i. F2.13) При отсутствии поверхностных токов (i = 0) это уравнение может быть записано также в следующей форме [ср. уравнение DM)l! F2.Н, § 63. Зависимость намагничения от напряженности магнитного поля. Пара-, диа- и ферромагнетики 1. Для того чтобы система уравнений поля, выведенная в предыдущем параграфе, стала полной, ее необходимо дополнить определенным соотношением, связывающим намагничение сре- среды I и напряженность магнитного поля Н. Поляризация диэлек- диэлектриков Р пропорциональна напряженности Е электрического поля в них [уравнение B1.7)]; магнетики же по характеру зависи- зависимости их намагничения I от напряженности магнитного поля Н могут быть подразделены на три различных класса. В так называемых парамагнетиках и диамагнетиках I про- пропорционально Нх): I = хН. F3.1) Значение коэффициента пропорциональности х, носящего название (объемной) магнитной восприимчивости и вполне аналогичного коэффициенту с* поляризуемости диэлектрика2), зависит от физико-химических свойств данного магнетика. Вос- Восприимчивость к парамагнитных тел имеет (как и поляризуе- поляризуемость диэлектриков) положительное значение, т. е. направление намагничения I совпадает с направлением поля Н. Диамагне- тики же отличаются тем, что их магнитная восприимчивость л отрицательна, т. е. направление намагничения диамагнетиков противоположно направлению намагничивающего их поля Н. Объяснение этого, кажущегося парадоксальным, свойства диа- диамагнетиков будет дано в дальнейшем. ) В анизотропных (кристаллических) диа- и парамагнетиках, которые мы в этой книге рассматривать не будем, связь слагающих вектора намагниче- намагничения I со слагающими вектора Н остается линейной, но векторы I и Н, вооб- вообще говоря, не совпадают по направлению, и уравнение F3.1) должно быть заменено более сложным соотношением, аналогичным уравнению B1.8). ) В конце этого параграфа будет показано, что поляризуемости диэлек- диэлектриков а, строго говоря, соответствует не восприимчивость х, а величина = - (см. F3.4)).
§ 63 ЗАВИСИМОСТЬ НАМАГНИЧЕНИЯ ОТ НАПРЯЖЕННОСТИ 291 Наконец, намагничение I третьего класса магнетиков, назван- названных ферромагнетиками по латинскому названию важнейшего их представителя — железа (ferrum), не только не пропорцио- пропорционально напряженности поля Н, но, вообще говоря, вовсе не свя- связано с ним сколько-нибудь простой функциональной зависимо- зависимостью. Так, например, в ферромагнетиках наблюдается явление так называемого гистерезиса, т. е. зависимости намагничения от предшествующей истории данного образца ферромагнитного вещества. Это значит, что величина намагничения I ферромаг- ферромагнетика зависит не только от напряженности Н магнитного поля в нем, но также и от того, находился ли ранее данный образец ферромагнетика в магнитном поле, каковы были числовая ве- величина и направление напряженности этого поля и т. д. Тесно связан с гистерезисом и остаточный, или «постоянный», магне- магнетизм ферромагнетиков, заключающийся, как уже упоминалось, в том, что после исчезновения внешнего намагничивающего поля ферромагнетики могут сохранять состояние намагничения и бла- благодаря этому продолжают возбуждать «собственное» магнитное поле (постоянные магниты). Таким образом, хотя и можно формально определить магнит- магнитную восприимчивость ус ферромагнетиков как отношение намаг- намагничения I к напряженности поля Н [уравнение F3.1)], однако в ферромагнетиках (в отличие от диа- и парамагнетиков) этот коэффициент не является материальной константой, зависящей лишь от химического состава тела, его температуры и других физических условий. Огромное количество экспериментальных исследований посвящено определению весьма сложной зависи- зависимости ус от напряженности поля Н, от предшествующей истории данного образца ферромагнитного вещества и т. д. В качестве примера укажем, что восприимчивость ус мягкого железа при нарастании поля возрастает с 5-10 единиц до нескольких сотен {ус есть число отвлеченное) и затем вновь падает, причем значе- значение этого коэффициента весьма существенно зависит от способа изготовления и термической обработки образца металла, а также от незначительных химических примесей в нем. 2. Помимо всех прочих обстоятельств, уже один только факт нелинейной зависимости намагничения I от напряженности по- поля чрезвычайно усложняет даже формальную феноменологиче- феноменологическую теорию поля в ферромагнетиках, ибо нелинейность урав- уравнений поля влечет за собой нарушение принципа суперпозиции полей 1). 1) Напряженность поля нескольких источников поля только в том случае равна сумме напряженностей полей, возбуждаемых каждым из этих источ- источников в отдельности (принцип суперпозиции полей), если уравнения поля линейны. 10*
292 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Ввиду сложности магнитных свойств ферромагнетиков мы ограничимся в ближайших параграфах рассмотрением диа- и парамагнетиков и отложим рассмотрение ферромагнетиков до конца этой главы. Поэтому вплоть до § 71 включительно мы, если только явно не будет оговорено противное, будем под маг- магнетиками понимать только пара- и диамагнетики. При этом в ряде вопросов (например, в вопросе о пондеромоторных силах, испытываемых магнетиками, — § 66) можно будет для упрощения рассуждений воспользоваться тем, что сколько-нибудь значитель- значительной магнитной восприимчивостью >с обладают лишь ферромаг- ферромагнетики (в которых ус может достигать сотен единиц), восприим- восприимчивость же пара- и в особенности диамагнетиков чрезвычайно мала1). 3. Внося уравнение F3.1) в уравнение F2.9), получаем Введем по аналогии с диэлектрической постоянной е магнит- магнитную проницаемость среды //, определяемую уравнением ц = 1 4- 471-х:; F3.2) тогда последнее уравнение примет вид В = /Ш. F3.3) Из сказанного выше о восприимчивости я вытекает, что в диамагнетиках ц < 1, в вакууме \л = 1 и, наконец, в парамагне- парамагнетиках ц > 1. Заметим, что из F3.1) и F3.3) следует: 1=-В. F3.4) Так как именно В, а не Н является средней напряженностью микроскопического поля [уравнение F2.6)], то коэффициент — имеет более простой физический смысл, чем коэффициент х (в частности, именно —, а не х соответствует в электрическом случае коэффициенту поляризуемости диэлектриков а). 1) Отношение восприимчивости ж к плотности тела 8 (так называемая вос- восприимчивость единицы массы) лежит для парамагнетиков примерно в пре- пределах от 10~4 до 10~5, а для диамагнетиков — от 10~6 до 10~7 СГС-единиц Для наиболее диамагнитного из всех веществ — висмута — эс равно прибли- приблизительно 2 10~5. Об уподоблении сверхпроводников идеальному диамагнетику, т е телу с магнитной проницаемостью /1 = 0и восприимчивостью х = — 1/4тг, см примечание на с 198
§ 64 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ 293 § 64. Полная система уравнений поля постоянных токов. Однородная магнитная среда 1. Система полученных в § 63 уравнений rotH=—j, divB = В = МН, (С) DivB = 0, RotH=— i с представляет собой полную систему уравнений постоянного маг- магнитного поля в произвольной (но не ферромагнитной) среде. Это значит, что системой (С) магнитное поле определяется однознач- однозначно, если только известно распределение объемных и поверхност- поверхностных электрических токов j и i и значение магнитной проницаемо- проницаемости \i [или, что, согласно уравнению F3.2), сводится к тому же, значение восприимчивости х] в каждой точке среды и если на бесконечности удовлетворено условие D9.10): HR2 при R -* оо остается конечным. Доказательство полноты системы (С) вполне аналогично до- доказательствам полноты систем уравнений (А) и (В), изложенным в § 22 и 49, и мы предоставляем провести его читателю. Из однозначности системы (С), в частности, следует [ср. ана- аналогичный вывод из системы (А') в § 22], что при отсутствии токов проводимости (и при отсутствии ферромагнетиков) постоянное магнитное поле тождественно равно нулю. Стало быть, наличие (неферромагнитных) магнетиков лишь видоизменяет поле токов; в отсутствие же последних намагничение магнетиков не может сохранять постоянное во времени и отличное от нуля значение — оно спадает до нуля, и магнитное поле исчезает. При \i = 1 система (С), как и следовало ожидать, полностью совпадает с уравнениями магнитного поля в вакууме [система (В), § 49]. 2. Рассмотрим случай однородной магнитной среды (//их постоянны), в которой система уравнений (С) принимает вид1) rotH=^j, divH = 0, F4.1) так как при постоянном /л div Н = div - = - div В = 0. Эта система уравнений для вектора Н полностью совпадает с системой (В) уравнений магнитного поля токов в отсутствие ) Пограничных условий, однозначно вытекающих из дифференциальных Уравнений, для краткости не выписываем
294 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V магнетиков (см. §49): постоянный фактор \i из нее выпадает. Таким образом, при заполнении всего поля однородным магне- магнетиком напряженность магнитного поля токов не изменяет- изменяется, оставаясь такой же, как и в отсутствие магнетиков (т. е. как при /л — 1); магнитная же индукция В возрастает в /j, раз. В этом проявляется отмеченное в § 62 соответствие между напряжен- напряженностью магнитного поля Н и индукцией электрического поля D: индукция электрического поля D также не изменяется, если при заданном распределении (свободных) зарядов заполнить все по- поле однородным диэлектриком; напряженность же электрическо- электрического поля возрастает при этом в 1/е раз1) (см. §23). 3. Вектор-потенциал магнитного поля в общем случае опре- определяется уравнениями F2.10), D6.7), F2.11) и F1.7), которые мы сопоставим здесь еще раз: В = rot A, divA = 0, V2A = -— (j + crotl), A = 1 / i±??^i dV+Ч IS^MdS. F4'2) cj R cj R В двух последних из этих уравнений можно с помощью урав- уравнения F3.1) выразить I через Н. Однако в случае неоднородной среды (// ф const) это приводит к довольно сложным выражени- выражениям; кроме того, непрерывность векторов Н и В, а вместе с тем и непрерывность производных вектора А, вообще говоря, наруша- нарушается на границе раздела сред различной проницаемости ц. По- Поэтому мы не будем входить здесь в рассмотрение общего случая и ограничимся лишь рассмотрением векторного потенциала для поля токов в однородной среде (/*их постоянны). В этом случае вектор I непрерывен, и поверхностный интеграл в последнем из уравнений F4.2) отпадает. Далее, приняв во внимание уравнения F3.1), F2.7) и F3.2), получаем j 4- crot I = j + cxrot H = j + 47rx:j = //j, и, следовательно, F4.3) Таким образом, вектор-потенциал токов в однородной маг- магнитной среде в \i раз больше, чем в вакууме. Это обстоятельство вполне соответствует упомянутой выше независимости напря- напряженности поля токов в однородной среде от проницаемости этой среды; действительно, на основании уравнений F3.3) и F2.10) получаем Н = IВ = - rot A. 1) Сопоставляя Н с D и В с Е, мы, очевидно, должны сопоставить ц не се, ас 1/е.
§ 65 ТОКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 295 В поле линейных токов (т. е., в сущности, на расстояниях от токов, больших по сравнению с их сечением) первая из формул F4.3) принимает вид [ср. уравнение D6.3)] А = — ф — (// = const). F4.4) Вообще говоря, формулы F4.3) и F4.4) строго справедливы лишь в том случае, если ц постоянно не только во всем простран- пространстве, окружающем проводники, по которым течет ток, но если и сами эти проводники обладают той же самой проницаемостью //. Задача 32. Показать, что для тока, текущего по беско- бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводнику, первое уравнение F4.3) строго справедливо в окружающей проводник среде даже в том случае, если проницаемость // проводника от- отлична от проницаемости окружающей среды (г\ при этом про- проводник может быть заключен в цилиндрическую оболочку про- произвольной проницаемости ц" (изоляция). § 65. Механические силы, испытываемые токами в магнитном поле. Взаимодействие токов 1. Плотность сил, испытываемых токами в магнитном поле, в отсутствие магнетиков определяется формулой D4.5) f \ Ввиду атомистического строения проводников истинное ми- микроскопическое поле Нмикро весьма значительно меняется в них даже на протяжении атомарных расстояний. Применяя же фор- формулу D4.5) в микроскопической теории, мы должны, очевидно, понимать в ней под Н среднее значение микроскопического поля. В магнитных средах это среднее значение Нмикро, как мы видели, принято обозначать буквой В и называть индукцией магнитного поля. Стало быть, если учесть, что обтекаемые током проводни- проводники, вообще говоря, способны намагничиваться, то формулу D4.5) нужно записать следующим образом *): f=ipHMHKpo]-itJB]. F5.1) При ц = 1 индукция В равна Н, так что формула F5.1) совпадает с прежней формулой D4.5). 1) Приведенный вывод формулы F5.1) страдает тем недостатком, что мы не учитываем в нем возможной разницы между средним значением произ- произведения [}ПрНМИКро] и произведением средних значений сомножителей [}В]. Более строгое доказательство формулы F5 1) будет дало в § 83
296 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Итак, силы, испытываемые током в магнитном поле, пропор- пропорциональны индукции, а не напряженности этого поля. Обращаясь от токов конечного сечения к токам линейным, легко убедиться, что элемент ds длины линейного тока испыты- испытывает силу [ср. уравнение D2.1)] F=ij[dsB]. F5.2) 2. Обратимся теперь к силам, действующим на произволь- произвольный замкнутый ток в целом. При определении этих сил мы мо- можем повторить все рассуждения § 50-52, проведенные без учета намагничения, с тем только изменением, что соответственно пе- переходу от формулы D4.5) к формуле F5.1) нам придется во всех формулах этих параграфов заменить Н на В. Это относится, в частности, и к определению магнитного потока Ф через контур тока ?¦; при выводе выражения E0.2) для Ф мы воспользовались уравнением D6.2) Н = rot A, которое в магнитных средах должно быть заменено уравнением F2.10) к ' В = rot А. Соответственно этому вместо уравнения E0.2) получаем ана- аналогичное выражение для потока магнитной индукции через охватываемую контуром L поверхность S; величину этого по- потока в отличие от Ф обозначим через Ф: Ф= JBndS= fiotnAdS= <f>Asds. F5.3) S S L Эта формула показывает, что поток магнитной индукции че- через произвольную поверхность S зависит лишь от положения и формы контура L этой поверхности и имеет одинаковое значение для всех поверхностей, опирающихся на один и тот же контур. При /л = 1 получаем В = НиФ = Ф, и уравнение F5.3) совпа- совпадает с прежним уравнением E0.2). Потенциальная функция токов в магнитном поле при учете магнитных свойств среды выражается формулой , F5.4) которая получается из прежней формулы E0.4) заменой Ф на Ф. С помощью этой функции можно определить как обобщенные пондеромоторные силы магнитного поля 0,, так и работу этих сил 6А [см. уравнения E0.5) и E0.6)]: в* = ~, 6A = -(SU). F5.5) 3. Все приведенные в этом параграфе формулы применимы, очевидно, в любой неоднородной магнитной среде. Рассмотрим
§ 65 ТОКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 297 теперь пондеромоторное взаимодействие двух линейных токов, предположив для простоты, что все поле заполнено однородной в магнитном отношении средой (// = const). В этом случае век- вектор-потенциал поля А выразится формулой F4.4). Повторяя вы- выкладки § 51 и 52 и принимая во внимание, что А пропорциональ- пропорционально ц, мы придем к следующей совокупности формул: Ф^ = -LjfeJfe (г, к = 1, 2), F5.6) С ?¦21 = L\2 = цф ф -Sl S2 [ср. уравнение E1.3)], F5.7) L\ L2 1 V1V1 Потенциальная функция токов U по-прежнему будет опреде- определяться уравнением E2.9): \ L22Jl) . ( ) F5.8) Таким образом, в однородной магнитной среде коэффициен- коэффициенты взаимной индукции и самоиндукции токов L\2 и Ьц, а. ста- стало быть, и потенциальная функция U и пондеромоторные силы взаимодействия токов вг прямо пропорциональны проницаемо- проницаемости среды ц. 4. В том случае, если среда неоднородна в магнитном отно- отношении (/л Ф const), вектор-потенциал токов А не может быть выражен простой формулой типа F4.4), и, таким образом, фор- формулы F5.7) перестают быть применимыми. Однако если только в поле нет ферромагнетиков, то вектор-потенциал произвольного тока J будет, очевидно, по-прежнему пропорционален силе этого тока J 1). Поэтому поток магнитной индукции Ф21 = f A-2ds\, посылаемый током J2 через контур тока J\ [ср. уравнение E1.2)], может быть по-прежнему выражен в виде произведения 21 причем коэффициент взаимной индукции будет зависеть лишь от геометрической конфигурации токов, распределения их по се- сечениям проводников и т. д., но не от силы тока в них. Таким образом, в отличие от F5.7) формула F5.6), а также, как легко убедиться, и формула F5.8) остаются справедливыми и в произвольной магнитной среде в отсутствие ферромагнети- ферромагнетиков, так как при их выводе делалось предположение о пропор- 1) В ферромагнитных же средах нарушается пропорциональность между вектором В, определяемым ротором вектор-потенциала А, и напряженно- напряженностью поля Н, ротор которой определяется плотностью токов j.
298 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V циональности вектор-потенциала силе тока. Заметим, что при выводе формулы E2.11) U = --fAjdV F5.9) 2с J этого предположения не делалось. 5. В заключение заметим следующее. Значения характери- характеризующих магнитное поле векторов Н и В могут быть измерены на опыте путем измерения пондеромоторных сил, испытываемых в этом поле несущими ток проводниками и постоянными магни- магнитами (например, магнитной стрелкой, которую при известных условиях можно рассматривать как магнитный диполь). С этой целью удобнее всего воспользоваться либо формулой F5.1), связывающей испытываемую элементом тока силу f с ин- индукцией В, либо формулой E6.7), связывающей момент пары сил, испытываемых магнитным диполем момента М, с напря- напряженностью поля И1). Конечно, при измерениях необходимо сле- следить за тем, чтобы внесение измерительного прибора (тока или стрелки) не влекло за собой сколько-нибудь существенного из- изменения измеряемого поля. Однако внесение измерительных приборов в поле возможно лишь в том случае, если исследуемый участок его заполнен газо- газообразной или жидкой средой. Если же среда твердая, то для воз- возможности измерений необходимо проделать в ней соответствую- соответствующие отверстия, причем, конечно, поле Н' внутри этих отверстий будет, вообще говоря, отлично от поля Н и В в смежных точках твердой среды. Нетрудно, однако, установить связь между Н', с одной сто- стороны, и Н и В, с другой (см. задачу 33). Задача 33. Показать, исходя из уравнений F2.12) и F2.14), что напряженность поля Н' в средней части длинной и узкой щели, проделанной в твердом магнетике, равна напряженности поля Н в смежных со щелью точках магнетика, если эта щель параллельна вектору Н, и что Н' равна индукции В в смежных точках магнетика, если эта щель перпендикулярна к вектору Н. Сравни задачу 17 (§ 22). § 66. Пондеромоторные силы, испытываемые магнетиками в магнитном поле 1. Механические силы, испытываемые магнетиками в магнит- магнитном поле, должны сводиться к силам, испытываемым молеку- молекулярными токами. Согласно E7.10) и E6.8) сила, действующая х) В § 72 мы убедимся, что силы, испытываемые удлиненными стержнеоб- разными постоянными магнитами, определяются не индукцией В, а напря- напряженностью Н внешнего поля.
§ 66 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 299 на систему замкнутых токов, характеризуемую магнитным мо- моментом М, равна F = V(MH) = MV-H-f-[MrotH]. F6.1) Для определенности предположим, что магнетик состоит из отдельных молекул г). Применяя F6.1) к отдельным молекулам магнетика, мы должны, очевидно, понимать под М магнитный момент молекулы, а под Н напряженность истинного микроско- микроскопического поля Нмикро в месте нахождения молекулы. Намагни- Намагничение пара- и диамагнетиков во всех доступных нам полях на- настолько слабо (см. сноску на с. 292), что мы вправе пренебречь в них различием между средним значением поля, действующего на молекулу (магнитный диполь), и средним значением В по- поля НМИкро п0 всем точкам физически бесконечно малого объема (ср. § 28). Поэтому средняя сила, испытываемая отдельной мо- молекулой магнетика, эквивалентной элементарному току, будет определяться средней напряженностью микроскопического по- поля Нмикро1 согласно уравнению F2.6) равной вектору магнитной индукции В: F = MV • В + [М rot В], F6.2) где знак среднего над F нами опущен. Плотность f пондеромоторных сил, испытываемых магнети- магнетиком, т. е. сила, действующая на единицу объема магнетика, будет равна сумме сил, действующих на отдельные молекулы, находя- находящиеся в единице объема: f = ^ Z) ^[] = (J^mW-B+ [J^ М-rot в]. Воспользовавшись формулой F0.3), получаем окончательно f = IV • В -f [I rot В]2). F6.3) Наконец, если по рассматриваемому объему магнетика проте- протекают, помимо токов молекулярных, еще и токи проводимости j, то f определится суммой выражений F5.1) и F6.3): f = - рВ] + IV ¦ В + [I rot В]. F6.4) 1) В противном случае нужно только незначительно изменить форму рас- рассуждений; результат остается прежним. ) Отметим, что при выводе этой формулы мы пренебрегли разницей меж- между средним значением векторных выражений типа MV ¦ Нм„кро и соответ- соответствующими выражениями, образованными из средних значений векторов М И -Нмикро-
300 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V 2. В уравнениях F6.3) и F6.4) можно выразить намагниче- намагничение I через индукцию В. Согласно F3.4) и F3.2) ± F6.5) 1ВВ. \1 4/Х7Г Внося это выражение в F6.3) и воспользовавшись формулой D7*), получаем f = ^—-{BV-B + [BrotBl} = ^—-VB2 F6.6) 4тг/х 8тг/х при отсутствии токов проводимости в рассматриваемом элементе среды, тогда как при j ф 0 f = I [jB] + Ofl VB2. F6.7) С 07Г/Х Выражение F6.6) вполне аналогично (если не считать множи- множителя ц в знаменателе) выражению C2.3), определяющему плот- плотность сил, действующих на диэлектрики (f = VI?2). Од- нако г — 1 всегда положительно, между тем как /i — 1 = 47гх положительно лишь в парамагнетиках, тогда как в диамагнети- ках \л — 1 < 0. Стало быть, сила F6.7) увлекает парамагнитные вещества в области, где индукция поля В имеет максималь- максимальное значение, и наоборот, стремится удалить диамагнитные вещества из этих областей (ср. § 32). Так как напряженность поля обыкновенного стержнеобразного магнита возрастает при приближении к его полюсу, то парамагнетики (например, медь) должны притягиваться магнитом, а диамагнетики (например, висмут) отталкиваться им. Ввиду весьма малой магнитной восприимчивости диамагнит- диамагнитных веществ (см. с. 292) испытываемые диамагнетиками силы, вообще говоря, весьма малы. Тем не менее большинство экспе- экспериментальных методов определения величин к и \i для пара- и диамагнетиков основано на измерении пондеромоторных сил F6.6), испытываемых этими телами в магнитном поле. Надо отметить, что в литературе встречается целый ряд раз- различных выражений для f, отличающихся от формулы F6.6). Впрочем, ввиду того, что в диа- и парамагнетиках /л весьма ма- мало отличается от единицы, все эти выражения приблизительно эквивалентны друг другу. В § 83 мы приведем строгий вывод величины пондеромотор- пондеромоторных сил в магнетиках из выражения энергии магнитного поля; при этом выводе выяснятся также условия применимости фор- формул этого параграфа.
§ 67 ДОПОЛНЕНИЕ К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 301 § 67. Дополнение к выводу макроскопических уравнений магнитного поля в магнетиках *) 1. В § 62 мы вывели дифференциальные уравнения макроско- макроскопического поля путем усреднения соответствующих микроско- микроскопических уравнений. При этом мы воспользовались уравнением F1.9): jMOJI = crotI, F7.1) которое было получено нами в § 61 довольно окольным путем. Ввиду фундаментальной важности уравнения F7.1) мы посвя- посвятим настоящий параграф непосредственному выводу этого урав- уравнения из основных положений электронной теории магнетиков. 2. Рассмотрим некоторый физически бесконечно малый объем магнети- магнетика V, ограниченный поверхностью S. По определению [см. уравнение B5.1)] 1мол^= fuondV, F7.2) где jMOJI означает среднее макроскопическое значение плотности молекуляр- молекулярных токов. В магнитном отношении молекулярный ток, как и всякий элементарный ток, вполне характеризуется заданием его магнитного момента М Поэтому с целью упрощения вычислений мы можем предположить, что молекулярные токи являются токами линейными и что контур каждого молекулярного тока представляет собой окружность. Если радиус кругового.тока равен о, а сила его J, то, согласно уравнению E6 2), ,, JS JW м = — = . с с В окончательный результат наших вычислений ни а, ни J явно входить не будут, так что наше специальное допущение, по существу, общности рас- рассуждений не ограничивает. Кроме того, законность замены молекулярных токов токами линейными может быть строго обоснована разложением каж- каждого молекулярного тока на совокупность бесконечно тонких нитей тока, каждая из которых является током линейным. Считая все молекулярные токи линейными, можем, согласно уравнению D4 1), написать }ыОЛ dV = J ds. Стало быть, уравнение F7.2) примет вид V V где суммирование должно быть распространено на все расположенные в объеме V элементы молекулярных токов (для простоты предполагаем, что все эти токи обладают одинаковой силой) 3. Если какой-либо элементарный ток целиком расположен внутри объ- объема V, то векторная сумма всех его элементов будет равна нулю (ибо ток замкнут). Стало быть, сумма ^2ds сведется к сумме элементов тех моле- v кулярных токов, которые рассекаются поверхностью 5", ограничивающей объем V, и, таким образом, лишь частью находятся внутри V. Далее, ес- 1) Параграф этот может быть опущен при первом чтении книги.
302 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ. V ли поверхность S рассекает какой-нибудь из круговых токов по хорде АВ (рис. 64), то векторная сумма элементов ds этого тока, лежащих внутри поверхностей 5, будет, очевидно, равна замыкающей хорде АВ. Следова- Следовательно, если эта хорда АВ по величине и направлению равна s, то ^ ds = s. Величина и направление вектора s бу- будут зависеть от направления плоскости то- тока, которая характеризуется направлением перпендикулярного к ней вектора М, и от расстояния центра тока от поверхности S. Рис. 64 Рис. 65 Пусть М составляет с внешней нормалью п к поверхности S угол а и пусть центр тока О находится на расстоянии ОО' = х от поверхности 5 (рис. 65), причем х мы будем считать отрицательным или положительным в зависимости от того, находится ли О внутри или вне S. Проведем через ОО' плоскость, перпендикулярную к АВ, точку пересечения ее с АВ обозначим через Р. Двугранный угол ОРО' между поверхностью S и плоскостью тока обозначим через <р. Этот угол не больше, чем тг/2, и либо равен углу а между нормалями п и М к поверхности 5 и плоскости тока, либо равен -к —а (если а > тг/2). Так как ОО' перпендикулярно поверхности, то OP = \x\/sin<p. Далее, так как О А и ОВ равны радиусу тока а, то s = 2л/О А2 - OP2 = 2<Ja2-x2/sin2<p = 2^/o2sin2 <p - x2/sinip. 4. Рассмотрим теперь совокупность молекулярных токов, направление магнитного момента М которых лежит внутри бесконечно малого телесно- телесного угла &ш. Число этих токов в единице объема магнетика обозначим через N(w) dw; число таких токов в слое толщиной Агис основанием dS, находя- находящемся на расстоянии х от элемента dS пограничной поверхности S, будет равно N(u)du)dSdx. Если —a sin <р < х < +а sin <p, то все эти токи будут пересекаться пограничной поверхностью, причем пе- пересекаться они будут по равным и параллельным хордам s. Поэтому абсо- абсолютная величина суммы относящихся к этим токам членов суммы J ^ ds будет равна -JsN{u)du}dSdx = ¦ sin sin<p ¦N(u})dudSdx.
§ 67 ДОПОЛНЕНИЕ К ВЫВОДУ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 303 Интегрируя это выражение по х от —a sin <p до +а sin <p, получим значение соответствующей суммы для всех токов, пересекаемых элементом граничной поверхности dS, направление магнитного момента которых лежит внутри угла du3 l): +а sin tp . f J —a sin tp = N(u}) du3 dS ¦ Jna sin <p = N(u) dw dS ¦ cM sin <p. Чтобы определить направление вектора J^ds, относящегося к токам указанного направления, заметим, что хорда s каждого тока лежит как в плоскости элемента dS, так и в плоскости самого тока, и следователь- следовательно, перпендикулярна как к п, так и к М. Стало быть, s, а вместе с тем и J^rfs, должно быть параллельным ±[пМ]; из рассмотрения рисунков 64 и 65 следует, что знак здесь нужно выбрать положительный. Так как, с дру- другой стороны, |[nM]| = M|sina| = Msinip (поскольку угол ip ^ 7г/2 и равен либо а, либо тг —а), то последнее уравнение можно записать в векторной форме так: J Y^ ds = W(w) du3-d.Sc [nM] = с [dS M]N(u) dw, где, как обычно, вектор dS считается направленным по внешней нормали п. Чтобы получить полную сумму всех элементов ds длины токов, отсека- отсекаемых элементом граничной поверхности dS, достаточно, очевидно, проинте- проинтегрировать последнее выражение по w; при этом получаем J^ds = c f[dSM]N{u)dbj = c\dS fMN(uj)dbA. Входящий в это выражение интеграл / MJV(w) dw представляет собой век- векторную сумму моментов всех молекул, находящихся в единице объема маг- магнетика, и, стало быть, согласно уравнению F0.3), равен намагничению маг- магнетика I. Таким образом, Наконец, полная сумма всех элементов ds длины молекулярных токов, отсекаемых всеми элементами замкнутой поверхности S, будет равна Последний интеграл может быть на основании уравнения E6*) преобразован в интеграл по объему V, так что окончательно получаем S Правая часть этого уравнения представляет собой, согласно уравнению B5.1), среднее значение ротора I в физически бесконечно малом объеме V. Так как сам вектор I является величиной микроскопической и равен, со- согласно F0.4), средней (по физически бесконечно малому объему) плотности 1) Применяем формулу J%/62 — х2 dx = [б2 arcsin (x/b) + х\
304 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V магнитного момента магнетика, то среднее значение rotl можно заменить просто на rot I Таким образом, получаем -Тмол = rotl, что совпадает с уравнением F7.1), которое и требовалось доказать 5 Заметим, что из этого уравнения, в частности, вытекает, что средняя плотность молекулярных токов в равномерно намагниченной среде равна нулю В этом легко убедиться и непосредственно, рассматривая, например, объем V кубической формы Благодаря постоянству вектора I противоле- противолежащие грани куба будут рассекать одинаковое число молекулярных токов данного направления М и притом так, что участки этих токов, отсеченные одной гранью, будут в среднем как раз дополняться до полного замкнутого контура участками, отсеченными гранью противолежащей Поэтому вектор- векторная сумма отсеченных участков будет равна нулю. § 68. Механизм намагничения магнетиков. Теорема Лармора 1 До сих пор мы не делали никаких специальных предпо- предположений о механизме намагничения магнетиков, и, помимо со- совершенно общих положений теории магнетизма, основывались только на том факте, что намагничение диа- и парамагнетиков пропорционально напряженности магнитного поля в них. Теперь же мы рассмотрим в общих чертах самый механизм намагниче- намагничения различных тел, что позволит нам выяснить причину разных знаков намагничения в диа- и парамагнетиках, установить связь между магнитной восприимчивостью и атомистическим строе- строением магнетика и т. д. Всякая теория атомарных явлений и процессов должна осно- основываться на квантовой механике. В явлениях же намагничения специфические квантовые закономерности играют по ряду при- причин еще гораздо более существенную роль, чем, например, в явлениях поляризации диэлектриков. Прежде всего, последова- последовательная электронная теория с неизбежностью приводит в рам- рамках классической физики к выводу, что намагничение любого тела всегда должно равняться нулю! (см. § 71). Далее, если даже сделать чуждое классической физике допущение о дискретности возможных состояний движения электронов в атомах и молеку- молекулах (см. § 71), то все же этого оказывается недостаточно для объяснения ферромагнитных явлений Однако изложение квантовой теории выходит за рамки этой книги. Поэтому мы при рассмотрении механизма намагничения принуждены будем в основном исходить из полуклассических — полуквантовых представлений воровской теории атома, позво- позволяющих качественно ориентироваться в ряде интересующих нас явлений.
§ 68 МЕХАНИЗМ НАМАГНИЧЕНИЯ МАГНЕТИКОВ 305 2. Рассмотрим простейший случай намагничения одноатом- одноатомных газов и пренебрежем пока спином электронов В отсутствие внешнего магнитного поля электроны в каждом атоме находят- находятся в некотором определенном состоянии движения. При внесении магнетика в магнитное поле Н движение электронов изменится, ибо на них начнет действовать лоренцева сила D5.3): ?л = е- [vH]. F8.1) с Согласно теореме Лармора, которую мы сейчас докажем, это изменение движения электронов в первом приближении сводится к наложению на невозмущенное движение электронов добавоч- добавочного вращения («прецессии») всех электронов вокруг направле- направления магнитного поля Н с угловой скоростью где е есть заряд электрона (е < 0), am — его масса. Иными словами, если ввести вспомогательную систему координат S' с центром в ядре атома, вращающуюся с угловой скоростью о во- вокруг проходящей через ядро оси, совпадающей по направлению с Н, то по отношению к этой системе S' движение электронов при наличии поля будет в первом приближении таким же, каким оно было при отсутствии поля Н по отношению к инерциальной (неподвижной) системе координат S. Действительно, ввиду симметрии кулоновского поля ядра взаимодействие электронов с ядром не будет видоизменено их добавочной прецессией. Также не изменится и взаимодействие электронов друг с другом, ибо общая прецессия электронов не из- изменит их относительного расположения. Однако поскольку система S" вращается, постольку для поддержания прежнего движения электронов в ней уже не будет достаточно тех сил, которые поддерживали это движение в инерциальной системе координат; необходимо будет еще уравновесить силы инерции, а именно — силы центробежные и силы Кориолиса. Центробежная сила пропорциональна произведению расстоя- расстояния электрона от оси вращения на квадрат угловой скорости о2, т е., согласно F8.2), пропорциональна квадрату напряженности поля Н2 г). Поэтому в первом приближении, в котором учитыва- учитываются только величины, пропорциональные первой степени поля Н, центробежными силами можно пренебречь. 1) Ибо в атоме расстояние электрона от оси вращения, проходящей через ядро атома, в первом приближении не зависит от Н. Напротив, в случае движения в магнитном поле свободного электрона радиус R его орбиты, согласно D5.7), обратно пропорционален Я, и поэтому центробежная сила пропорциональна первой, а не второй степени Н
306 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Кориолисова же сила, приложенная к г-му электрону (i — = 1, 2, ..., п, где п есть число электронов в атоме), пропорцио- пропорциональна первой степени Н и равна F,(fc) = К где vj есть («относительная») скорость г-го электрона во вра- вращающейся системе S', связанная с его («абсолютной») скоростью v, в инерциальной системе S соотношением w[ = v, - [огг], где rt есть расстояние г-го электрона от оси вращения. С точ- точностью до членов второго порядка относительно Н можно в вы- _(fc) . ражении для FJ заменить v[ на v,: F|fc) = 2m[v,o]. Внося сюда значение о из F8.2), получаем 1 с что равно с обратным знаком лоренцевой силе F8.1), действую- действующей на г-й электрон. Таким образом, лоренцева сила F8.1) дей- действительно уравновешивается кориолисовой силой (с точностью до членов второго порядка относительно Н). Итак, мы доказали, что при наличии поля возможно преж- прежнее движение электронов в атоме, видоизмененное лишь общей их прецессией с угловой скоростью о. Чтобы полностью доказать теорему Лармора, следовало бы еще показать, что эта возмож- возможность действительно осуществляется при (достаточно медлен- медленном) включении поля Н. Мы примем на веру это утверждение, доказательство которого излагается в теории атома, но зато при- приведем еще другой вывод формулы Лармора F8.2); при этом мы попутно получим ряд формул, которые понадобятся нам в даль- дальнейших параграфах. 3. Для всякой системы частиц, движущихся в центральном поле сил, справедлив закон сохранения момента количества дви- движения. В частности, суммарный момент количества движения электронов относительно атомного ядра, равный ], F8.3) 1=1 остается в отсутствие внешних полей постоянным во времени (взаимодействие электронов друг с другом не нарушает посто- постоянства К). Здесь Кг есть расстояние г-ro электрона от ядра, а v, — его скорость.
§ 68 МЕХАНИЗМ НАМАГНИЧЕНИЯ МАГНЕТИКОВ 307 С другой стороны, выражение E7.4) магнитного момента атома M=l-J[Kj\dV v может быть преобразовано следующим образом. Микроскопиче- Микроскопическая плотность тока j в каждой точке пространства может быть выражена через микроскопическую объемную плотность р заря- зарядов в этой точке и через их скорость v 1): j = pv. F8.4) Действительно, j, очевидно, параллельно или антипараллельно скорости зарядов v в зависимости от знака р. Далее, через пер- перпендикулярную к v единичную площадку проходят все заряды, расположенные в цилиндре высоты v, построенном на этой пло- площадке как на основании, откуда и следует F8.4). Внося F8.4) в выражение для М, получаем М = - f[Hv]pdV. F8.5) 2с J С точки зрения боровской теории атома, эту формулу, выве- выведенную, строго говоря, для замкнутых постоянных токов, можно применить к усредненному по времени движению электронов по орбитам внутри атома. При этом можно с достаточной точностью считать значение произведения [Rv] одинаковым во всех точках каждого отдельного электрона и, стало быть, можно вынести его за знак интеграла: где е = j p dV есть заряд электрона. В случае наличия в атоме нескольких электронов соответственно получим Сравнивая это выражение с уравнением F8.3), убеждаемся, что механический момент вращения электронов К пропорционален 1) Формулу F8 4) нельзя непосредственно перенести в макроскопическую теорию, ибо среднее значение произведения pv не равно, вообще говоря, про- произведению средних значений сомножителей Так, например, в проводнике, по которому течет ток, средняя плотность зарядов о может равняться нулю, хотя средняя плотность тока j и отлична от нуля, ибо в проводнике движутся заряды только одного знака (электроны) Формула F8 4) будет применима к этому случаю, если в ней под р понимать плотность только движущихся зарядов — электронов При этом условии она совпадает с уравнением D5 1), где гае есть макроскопическое значение плотности р зарядов электронов
308 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V магнитному моменту М, создаваемому движением электронов по орбите: М = г)К, F8.7) причем М направлено прямо противоположно К, ибо коэффи- коэффициент пропорциональности г}: г, = « F8.8) 2тс отрицателен, так как заряд электрона е < 0. 4. В отсутствие внешних полей, как уже упоминалось, меха- механический момент атома К, а стало быть, и пропорциональный ему магнитный момент атома М постоянны во времени. При на- наличии же внешнего магнитного поля на атом действует пара сил, момент которой N равен [уравнения E6.7)]: N = [МН]. Если бы атом не обладал моментом количества движения, то под воздействием этой пары сил его магнитная ось стремилась бы установиться по направлению поля Н. Однако наличие мо- момента количества движения К делает атом подобным в механи- механическом отношении вращающемуся волчку (гироскопу). Извест- Известно, что если на вращающийся волчок начинает действовать пара сил, момент которой перпендикулярен к оси волчка, то ось эта начинает прецессировать вокруг направления сил, причем угол наклона оси к направлению сил не изменяется (ср. прецессию тяжелого волчка в поле сил тяжести). Действительно, согласно известной теореме механики, под воздействием пары сил момента N конечная точка вектора мо- момента количества движения К материальной системы перемеща- перемещаете ется с линейной скоростью —, равной N: dt L J Внося сюда значение М из уравнения F8.7), получим dt n J Поскольку, согласно F8.2) и F8.8), о = -туН, F8.9) мы можем также написать ^ = [оК]. F8.10) Из этого уравнения следует, что вектор К, а значит, и М бу- будут вращаться около направления о с угловой скоростью о, или,
§ 69 ДИАМАГНЕТИЗМ 309 Н иными словами, будут вращаться с угловой скоростью, опреде- определяемой по величине и направлению вектором о. Это значит, что при возникновении магнитного поля Н электронная оболочка атома начинает прецессировать вокруг направления поля с уг- угловой скоростью о, причем угол наклона магнитной оси атома к направлению поля остается неизменным. Так, например, если мысленно заменить совокупность вну- внутриатомных токов линейным плоским замкнутым током (соот- (соответствующим в боровской теории орбите электрона), то вектор К будет перпендикулярен плоскости этого тока (плоскости орби- орбиты) и прецессия этого вектора будет соответствовать прецессии плоскости тока (орбиты) с той же угловой скоростью о (рис. 66; нанесенный на рисунке вектор ДМ будет рассмотрен в § 69). В этом и заключается содержание теоремы Лармора, которую мы, таким образом, доказали двумя различными способами. Недостаток второго доказа- доказательства состоит в том, что оно непри- неприменимо к атомам, результирующий маг- магнитный момент М которых в отсутствие внешнего поля равен нулю. 5. Все изложенное в этом парагра- параграфе строго применимо к изолированным атомам газообразных магнетиков. Одна- Однако качественно результаты этого пара- параграфа применимы во всех тех случаях, когда электронная оболочка атомов или ионов может более или менее свободно вращаться вокруг ядра атома. Если электронная оболочка ато- атома или иона обладает сферической симметрией (как, например, у атомов благородных газов или ионов с тем же числом элек- электронов, как у благородных газов), то свободное вращение этой оболочки может иметь место и в жидких и в твердых телах. Во всяком случае, опыт показывает в соответствии с более точной (чем излагаемая нами) теорией, что основные результа- результаты § 68-70 с достаточной степенью точности применимы как к многоатомным газам, так и ко многим жидким и твердым пара- и диамагнетикам. М § 69. Диамагнетизм 1. В отсутствие внешнего магнитного поля молекулярные токи в (неферромагнитных) магнетиках распределены совершен- совершенно хаотично, а поэтому намагничение магнетика (т. е. магнит-
310 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ. V ный момент единицы его объема) равно нулю. При внесении же магнетика в магнитное поле возникает ларморова прецессия электронных оболочек атомов, эквивалентная добавочному вра- вращению электронов с угловой скоростью о вокруг проходящей через ядро атома оси, параллельной Н. Благодаря этому вра- вращению электронов диамагнитный атом приобретает некоторый магнитный момент AM. Так как о направлено параллельно по- полю [ибо г) < 0, см. уравнение F8.8)], то направление добавочного вращения электронов составляет с вектором Н правовинтовую систему. Следовательно, направление «добавочного» тока AJ, эквивалентного этому прецессионному движению отрицатель- отрицательных электронов, составляет с вектором Н левовинтовую систе- систему. Стало быть, магнитный момент AM, приобретаемый ато- атомом в магнитном поле благодаря прецессии, направлен против магнитного поля Н (см. рис. 66). Таким образом, в результате прецессии атомы приобретут обратный полю магнитный момент, т. е. тело намагнитится в направлении, обратном полю. В этом и заключается объяснение диамагнетизма. Этот диамагнитный эффект имеет место и в парамагнитных телах, но, как мы покажем в следующем параграфе, полностью маскируется в них противоположным по знаку и значительно более сильным парамагнитным эффектом. 2. Чтобы определить числовое значение диамагнитной восприимчиво- восприимчивости, заметим, что благодаря ларморовой прецессии электронной оболочки атома каждый объемный элемент pdV заряда этой оболочки приобретает добавочную скорость Av = [oR], где R есть расстояние элемента dV от ядра атома. Согласно уравнению F8.5), добавочный магнитный момент атома, соответствующий этой пре- прецессии, равен ДМ = — f[K-Av]pdV = — f[R[oR]]pdV. F9.1) Далее, [R[oR]] = oA2-R(oR). Пусть ось z направлена по направлению о, совпадающему с направлени- направлением Н. Тогда слагающая этого вектора по оси z будет равна oR2 - z(oz) = o(R2 - z2) = o(x2 + у2)- слагающие по осям х и у будут равны —zox и — zoy. По подстановке в интеграл и усреднении значения ДМ по периоду прецес- прецессии слагающие по осям х и у дадут нуль, ибо благодаря прецессии электро- электронов атом будет обладать в среднем по времени цилиндрической симметрией около оси z. Действительно, благодаря этой симметрии всякому элементу заряда р dV с координатами х, у, z найдется равный элемент заряда с коор- координатами —х, у, z, так что сумма выражений —zox для этой пары элементов обратится в нуль. Таким образом, среднее по времени значение ДМ равно ДМ= — f(x2 + y2)pdV. 1с J
§ 70 ПАРАМАГНЕТИЗМ 311 Последний интеграл равен, очевидно, произведению суммы зарядов электро- электронов атома Ze (где Z означает число электронов в атоме) на среднее значение квадрата расстояния электронов от оси г: (ж2 +y2)pdV = Ze(x2 +y2). Внося, наконец, значение о из уравнения F8.2), получаем Ze2 ДМ = — Zoe{x2 + у2)=- ^— (х2 + у2)Н. F9.2) 2с Атс2 Среднее по времени значение х2 будет иметь, вообще говоря, различное зна- значение для различных атомов, в среднем же для различно ориентированных атомов оно, очевидно, будет равно где R2 есть средний квадрат расстояния электронов от ядра атома. Стало быть, ДМ=-^-Д2Н, бтпс2 а намагничение единицы объема диамагнетика равно 1 = ;у.дм = -^яш, (б9.з) бтпс2 ' где N есть число атомов в единице объема. Стало быть, восприимчивость диамагнетика равна при постоянном объеме (т. е. при постоянном N) она от температуры не зависит. Если с помощью квантовой механики вычислить средний квадрат рас- расстояния электронов от ядра различных диамагнитных атомов, то формула F9.4) дает значение х, очень хорошо согласующееся с данными опыта. Заметим, что Н в F9.3) по смыслу означает среднюю напряженность микроскопического поля Нмикро (если пренебречь отличием его от среднего эффективного поля, действующего на молекулу) и что поэтому правильнее было бы в соответствии с F2.6) писать в F9.3) не Н, а В. Произведя эту замену в соответствии с F3.4), получим вместо F9.4): ( 6mc2 Однако отличие fi от единицы в диамагнетиках настолько мало, что F9.5) практически не отличается от F9.4). § 70. Парамагнетизм 1. Если магнетик состоит из атомов или молекул, магнитный момент М которых в отсутствие внешнего поля Н равен нулю (М = 0), то воздействие магнитного поля на магнетик исчерпы- исчерпывается тем диамагнитным моментом, который был рассмотрен в
312 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ. V предшествующем параграфе, и магнетик этот диамагнитен (х < 0). Если же магнитный момент М атомов и молекул среды в отсутствие внешнего поля отличен от нуля (М ф 0), то наряду с диамагнитным эффектом [возникновение добавочного момента атомов ДМ, формула F9.1)] магнитное поле вызывает также пе- перераспределение направлений магнитных моментов М атомов и молекул среды. В отсутствие внешнего магнитного поля магнит- магнитные моменты атомов ориентированы совершенно беспорядочно, так что намагничение среды равно нулю. При наличии же внеш- внешнего магнитного поля Н получают преобладание те направления магнитных моментов атомов, которые приближаются к направ- направлению поля. Это намагничение магнетика по направлению поля (положительное намагничение, парамагнетизм) при М ф 0 все- всегда значительно превышает диамагнитный эффект. Поэтому все магнетики сМ^О парамагнитны (х > 0). 2. Как мы убедились в § 68, магнитное поле непосредственно не изменяет угла наклона магнитного момента атома к направ- направлению поля, а лишь заставляет магнитную ось атома прецес- сировать вокруг направления поля при том же угле наклона к нему. Если до возбуждения поля направления осей атомов были распределены хаотически, то и в магнитное поле векторная сум- сумма моментов отдельных атомов должна остаться равной нулю. Следовательно, непосредственное воздействие поля на магнетик сводится к диамагнитному эффекту, рассмотренному в § 69. Однако это справедливо лишь постольку, поскольку мы огра- ограничиваемся рассмотрением свободных или изолированных ато- атомов или молекул и вовсе не учитываем их взаимодействия. В простейшем случае идеального газа взаимодействие молекул сводится к соударениям их между собой. Что существенно ново- нового приносит учет этих соударений? При каждом соударении направление оси молекул будет, во- вообще говоря, изменяться. Акт соударения молекул настолько сло- сложен, что мы не можем проследить его во всех деталях. Однако мы можем учесть влияние соударений, прибегнув к помощи об- общих принципов статистической механики, а именно — к теореме Болъцмана, согласно которой вероятность данного состояния мо- молекулы, тем больше, чем меньше его энергия1). Мы сейчас до- докажем, что при заданном магнитном моменте атома кинетиче- кинетическая энергия электронов, входящих в состав данного атома, тем г)Теорема Больцмана относится к системам, находящимся в состоянии термодинамического равновесия, и необходимым условием ее применимо- применимости и является сама возможность изменения состояний молекул (в данном случае направления их осей). Как мы видели, в магнитном поле направ- направление осей молекул может изменяться лишь при наличии взаимодействия (в частности, соударений) молекул; в противном случае теорема Больцмана была бы неприменима.
§ 70 ПАРАМАГНЕТИЗМ 313 меньше, чем меньше угол между магнитным моментом атома и направлением магнитного поля. Стало быть, согласно теореме Больцмана, при наличии внешнего поля в результате соударений атомов должны получить преобладание направления магнитных осей атомов, близкие к направлению Н, и тело должно намагни- намагнититься (парамагнитный эффект). 3. Итак, нам нужно определять изменение кинетической энер- энергии электронов в атомах под воздействием внешнего магнитного поля Н. Прецессия электронов в магнитном поле с угловой ско- скоростью о вызывает изменение скорости Vj г-го электрона в атоме на величину Avf = [oRi], G0.1) где Rj есть расстояние г-го электрона от ядра атома. Соответ- Соответственно этому кинетическая энергия Т электронов в атоме изме- изменяется на Д^ = у ?{(^ + Д^J-г2} = ^{2vlAvi + (AvlJ}, G0.2) где m — масса электрона, an — число электронов в атоме. Так как Avj во всех доступных полях гораздо меньше Vj, то квадра- квадратом Avj можно пренебречь: п п п AT = m^ViAvi = m^VjfoRj] = mo^[RiV*]. г=1 г=1 i=l Воспользовавшись уравнением F8.3), получаем AT = oK, где К равно невозмущенному полем значению момента количе- количества движения электронной оболочки атома. Наконец, с помо- помощью уравнений F8.9) и F8.7) получаем окончательно AT = -77КН = -МН. G0.3) Таким образом, изменение кинетической энергии электронов в магнитном поле Н 1) численно равно потенциальной энер- энергии в этом поле магнитного диполя, момент которого М равен магнитному моменту атома [см. уравнение E6.5)]. В этом вновь проявляется эквивалентность элементарного замкнутого тока и магнитного диполя, на которую мы уже неоднократно обращали внимание. 4. Для определения намагничения парамагнетиков нам оста- остается только воспользоваться теоремой Больцмана. В § 29 мы уже пользовались этой теоремой в применении к консервативному 1) Конечно, ни о какой потенциальной энергии электрона в неконсерватив- неконсервативном магнитном поле не может быть и речи.
314 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ. V полю электрических сил. Теорема Больцмана остается приме- применимой и в неконсервативном поле магнитных сил, если только в формулировке этой теоремы, приведенной в § 29, заменить потенциальную энергию молекулы U приращением AW полной (потенциальной и кинетической) энергии молекулы в рассматри- рассматриваемом поле сил. Таким образом, мы приходим к следующей формулировке теоремы Больцмана: в условиях термодинамического равновесия закон распределения молекул по различным состояниям в слу- случае наличия внешнего поля сил отличается от закона их распре- AW деления в отсутствие этого поля множителем ехр ——-, причем, конечно, существенна зависимость AW от состояния молеку- молекулы. Иными словами, теорема Больцмана утверждает, что веро- вероятность данного состояния молекулы тем больше, чем меньше энергия этого состояния. В рассматриваемом нами случае AW = AT = —МН, так что энергия молекулы тем меньше, чем меньше угол между направлением ее момента М и направлением поля Н. Таким образом, намагничение парамагнетиков совершенно аналогично поляризации диэлектриков с твердыми диполями: фактор Больц- Д№ мана ехр—-—-, определяющий распределение осей молекул во внешнем поле, равен ехр —— для парамагнитных молекул в маг- ¦¦г* нитном поле Н и ехр ^— для твердых электрических диполей в электрическом поле Е [см. уравнение B9.2)]. Поэтому в теории парамагнетизма мы можем непосредственно воспользоваться ре- результатами теории диэлектриков с твердыми диполями. С этой целью достаточно заменить в формулах § 29 элек- электрические величины ро и Р соответствующими магнитными М и I. Что же касается электрической напряженности Е, то, соб- собственно говоря, вместо нее нужно подставить не Н, а магнитную индукцию В, ибо именно В равно среднему значению микроско- микроскопической напряженности Нмикро [уравнение F2.6)]. Произведя эту замену в формуле B9.5), получим ЗкТ ' откуда на основании F3.4) х ж NM2 G0.4) Здесь Т означает, конечно, в отличие от G0.2) и G0.3) абсо- абсолютную температуру парамагнетика. Из G0.4) легко определить магнитную восприимчивость х. Однако восприимчивость нефер- неферромагнитных тел настолько мала, что членом 47гх можно прене-
§ 70 ПАРАМАГНЕТИЗМ 315 бречь по сравнению с единицей х) и положить, как это делается обычно, NM ,-п сч х = . G0.5) ЗкТ ч ' 5. Таким образом, в отличие от восприимчивости диамагнети- ков [формула F9.4)], восприимчивость парамагнетиков х долж- должна при постоянном объеме (т. е. при постоянном N) изменять- изменяться обратно пропорционально абсолютной температуре (ср. два класса диэлектриков, § 29). Этот характер зависимости х от Т был экспериментально обнаружен П. Кюри еще до разработки соответствующей теории и носит название закона Кюри. Закон этот хорошо оправдывается на опыте для газообразных парамаг- парамагнетиков, а также для ряда твердых парамагнетиков (например для солей редких земель). С другой стороны, для многих жидких и твердых парамагнетиков изложенная элементарная теория, предполагающая свободную прецессию магнитных моментов ато- атомов вокруг направления поля, оказывается недостаточной, и за- закон Кюри в этих парамагнетиках нарушается. Впрочем, и в тех парамагнетиках, к которым это предполо- предположение применимо, должны наблюдаться и наблюдаются откло- отклонения от закона Кюри в очень сильном поле и при очень низкой температуре (порядка нескольких градусов абсолютной шкалы). Эти отклонения вполне соответствуют ожиданиям излагаемой теории и объясняются тем, что применимость формул G0.4) и G0.5) ограничена условием а = МЛ. < 1 G0.6) kT v [ср. соответствующую формулу B9.7) и § 29]. При а~1 наблюда- наблюдается насыщение намагничения парамагнетиков, заключающееся в нарушении пропорциональности между I и Н, причем намагни- намагничение / стремится при возрастании поля к постоянному пределу Лтс = NM. Это максимально возможное намагничение соответ- соответствует установке магнитных моментов всех атомов по направле- направлению поля Н (см. § 72). Формула G0.4) позволяет вычислить значение М по данным измерения величин х и N при различных температурах Т. Опре- Определенные таким образом значения магнитного момента парамаг- парамагнитных атомов и молекул вполне соответствуют выводам кван- квантовой теории атома. 1) В сущности, было бы непоследовательным учитывать в приведенных формулах различие между В и Н и вместе с тем пренебрегать, как это мы всюду делали в этой главе, отличием действующего на молекулу поля от среднего поля (§ 28), отличием среднего квадрата напряженности поля от квадрата его средней напряженности и т. п., ибо все эти различия одного порядка величины.
316 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V 6. Заметим в заключение, что в связи с формулами G0.2) и G0.3) законно возникает следующий вопрос. Силы магнитного поля перпендикулярны к скорости электрона и поэтому никакой работы не совершают. Каким же образом возникновение магнит- магнитного поля может изменить кинетическую энергию электронов? Ответ заключается в том, что всякое изменение напряженно- напряженности магнитного поля, в частности возникновение этого поля, воз- возбуждает поле электрическое (см. §85). Работой сил этого элек- электрического поля и обусловливается изменение энергии электрона при возбуждении поля магнитного. Для полноты мы приведем здесь соответствующие выкладки, хотя нам придется при этом пользоваться некоторыми положениями, которые будут доказа- доказаны в следующей главе, так что при первом чтении книги эти выкладки можно опустить. Усреднив движение электронов в атоме по времени обращения их по орбитам, мы можем свести движение атомных электронов к соответствую- соответствующей системе замкнутых постоянных токов (квантовая механика непосред- непосредственно сводит магнитное поле атома к полю такой системы токов) Далее, произвольную систему постоянных замкнутых токов можно разложить на совокупность замкнутых нитей тока. Поэтому мы можем ограничиться рас- рассмотрением одной такой нити тока или, проще, линейного замкнутого то- тока J. Работа А, совершаемая силами электрического поля над током J за промежуток времени от t\ до ?г, равна [ср. уравнение C5.5)]: А= [ Jdt<j)E3ds, *i где линейный интеграл должен быть взят по контуру тока L. Воспользовав- Воспользовавшись формулой G6.6), получаем sds g fHndS, с dt J с dt L S где поверхностные интегралы должны быть взяты по поверхности S, опи- опирающейся на контур тока, а Ф есть магнитный поток через этот контур. Внося это в предшествующее выражение и предполагая, что изменение тока J под влиянием индукции настолько незначительно, что им можно прене- пренебречь и вынести J за знак интеграла по времени, получаем с J dt с Если в начальный момент времени магнитного поля не было и, стало быть, Ф(^) равнялось нулю и если на поверхности S магнитное поле имеет в момент <2 постоянное значение Н, то Ф(«0 = 0, Ф(*2) = Н8 и, согласно E6.2), с Таким образом, работа электрических сил, индуцируемых при возбужде- возбуждении магнитного поля, действительно равна изменению кинетической энер- энергии электронов [уравнение G0.3)].
§ 71 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ НАМАГНИЧЕНИЯ РОЛЬ СПИНА 317 § 71. Уточнения и дополнения к теории намагничения. Роль спина. Гиромагнитные явления В § 68-70, посвященных теории намагничения пара- и диамаг- нетиков, мы для упрощения изложения оставили без рассмотре- рассмотрения ряд обстоятельств, часть из которых мы теперь рассмотрим дополнительно. 1. Во-первых, в предыдущем мы исходили из предположе- предположения, что все молекулы (или все атомы) данного вещества облада- обладают (в отсутствие внешнего магнитного поля) вполне определен- определенным магнитным моментом М, испытывающим при возбуждении внешнего поля Н вполне определенное изменение AM [формула F9.1)]. Это изменение зависит только от ориентации атома отно- относительно поля Н, ибо среднее расстояние электронов от атомного ядра, входящее в F9.2), считается одинаковым для всех атомов. Не представляет труда обобщить результаты предшествую- предшествующих параграфов на случай смеси различных сортов атомов или молекул (например смесь газов, раствор, смесь невозбужденных и возбужденных атомов и т. д.); магнитная восприимчивость сме- смеси будет, очевидно, равна сумме восприимчивостей ее компонент. Однако совершенно решающее значение имеет предположение, что возможные значения магнитного момента атомов М и сред- среднего квадрата расстояния электронов от ядра атома R2 [уравне- [уравнение F9.3)] образуют дискретную совокупность. Предположение это вполне соответствует квантовой теории, но никак не уклады- укладывается в рамки классической физики. Если же в духе классиче- классической физики принять, что как момент каждого атома М, так и величина В? могут принимать все значения от 0 до оо, то маг- магнитная восприимчивость вещества оказывается тождественно равной нулю 1). В случае же электрической поляризации анало- аналогичной трудности не возникает. Таким образом, хотя по внешности рассуждения предшест- предшествующих параграфов велись в рамках классической теории, одна- однако, строго говоря, последовательная электронная теория намаг- намагничения оказывается в рамках классической физики совершенно невозможной. 2. Во-вторых, в § 68-70 мы совершенно не учитывали спина электронов и должны теперь восполнить этот пробел. Ограничиваясь рассмотрением так называемого орбитального магнитного момента Морб и орбитального момента количества движения Корб атома, обусловленных поступательным движени- ^См., например, Вонсовский С-В. Магнетизм. — М.: Наука, 1984; Бек- кер Р. Электронная теория. — М.: ОНТИ, 1941. С. 159.
318 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V ем электронов в атоме 1), мы установили в § 68, что эти моменты пропорциональны друг другу [уравнение F8.7)]: Морб = 77КОрб, G1.1) причем коэффициент пропорциональности имеет универсальное значение [уравнение F8.8)]: i0- <7L2> Однако полный магнитный и механический моменты атома не исчерпываются этими орбитальными моментами, а складывают- складываются из суммы их и спиновых моментов электронов М' и К'. Между векторными величинами спиновых моментов М' и К' каждого отдельного электрона также существует прямая пропорциональ- пропорциональность: М' = т/К'. G1.3) Однако, согласно E8.1), коэффициент пропорциональности в этом случае отличен от rj: г/ = e/{mc) = 2i). G1.4) Поэтому коэффициент пропорциональности rf' между результи- результирующими магнитным и механическим моментами М и К всего атома в целом М = т/'К G1.5) не является величиной универсальной, а зависит от соотношения между орбитальным и спиновым моментом в данном атоме2). Значение его должно, очевидно, быть отрицательным и заклю- заключаться в пределах 2ri < г/' < ту. G1.6) Повлияет ли это обстоятельство на результаты § 69-70? При выводе закона Кюри G0.4) для парамагнетиков мы, в сущно- сущности, опирались только на тот факт, что изменение энергии атома момента М при возникновении магнитного поля Н равно AW = -МН. G1.7) 1) Для отличия от спиновых моментов мы теперь ввели в обозначения ин- индекс «орб», которого до сих пор не писали. 2) Собственно говоря, ввиду отличия 7] от г) не самоочевидно, что резуль- результирующий магнитный момент атома М = Морв + ^ М' направлен всегда прямо противоположно результирующему механическому моменту К = — Корб + 53 К'. Однако если Морб и сумма спиновых магнитных моментов электронов Yl M' направлены под углом друг к другу, то силы магнитного взаимодействия между Морб и ^ М' (так называемая «связь спина с орби- орбитой») вызывают прецессию каждого из этих моментов вокруг вектора К, на- направление и величина которого в изолированном атоме, согласно закону со- сохранения момента количества движения, изменяться не могут В результате среднее за период этой «внутренней» прецессии значение результирующего магнитного момента атома оказывается направленным противоположно К.
§ 71 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ НАМАГНИЧЕНИЯ РОЛЬ СПИНА 319 Соотношение это было доказано нами в § 70 для случая, ког- когда момент М создается орбитальным движением электронов и AW определяется изменением их кинетической энергии. Одна- Однако формула G1.7) остается справедливой и для твердого магнит- магнитного диполя, в таком случае AW равно потенциальной энергии этого диполя в поле Н [см. уравнение E6.5)]. Таким образом, формула G1.7) носит универсальный характер, и вытекающий из нее закон Кюри G0.4) остается применимым при любом со- соотношении между орбитальной и спиновой составными частями полного магнитного момента атома М. Что же касается диамагнитных атомов, то их полный маг- магнитный и механический моменты в отсутствие магнитного поля равны нулю, и поэтому можно ожидать, что учет спинового мо- момента электрона не повлияет на результаты § 69. Действительно, квантовомеханические вычисления приводят к выводу, что фор- формула F9.4) для восприимчивости диамагнетиков остается спра- справедливой и при учете спина электронов 1). 3. Таким образом, учет спина электронов не вносит ника- никаких изменений в основные соотношения теории намагничения диа- и парамагнетиков. Существуют, однако, и такие макроско- макроскопические явления (помимо ферромагнетизма, о котором речь ни- ниже), для правильного объяснения которых учет спина является необходимым. Это так называемые магнитно-механические, или гиромагнитные явления, состоящие, во-первых, в том, что при намагничивании пара- или ферромагнитных2) тел тела эти при- приходят во вращательное движение вокруг направления намагни- намагничивания, и, во-вторых, в том, что при вращении этих тел в них возникает намагничение, параллельное оси вращения. Обуслов- Обусловливаются эти явления тем, что, согласно уравнению G1.5), маг- магнитный и механический моменты каждого атома пропорциональ- пропорциональны друг другу. Поэтому намагничение вещества, т. е. появление результирующего магнитного момента единицы объема, связано с появлением соответствующего момента количества движения, и обратно. Рассмотрим сначала момент количества движения какого-ли- какого-либо атома относительно какой-либо неподвижной (относительно инерциальной системы) точки О. Как известно из механики, мо- момент количества движения системы материальных точек (в нашем 1) Мы вовсе не касаемся в этой книге вопроса о диа- и парамагнетизме свободных электронов в металлах, требующего специального рассмотрения (см., например, книгу С В. Вонсовского, цитированную в примечании к с 317). 2) Хотя мы ферромагнетиков до сих пор и не рассматривали, однако как формулы G1.1)—G1.6), так и все дальнейшее содержание этого параграфа имеют совершенно общий характер и в равной мере применимы как к пара-, так и к ферромагнетикам.
320 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ. V случае атома) равен сумме того момента количества движения, которым обладала бы система, если бы вся ее масса была сосре- сосредоточена в ее центре инерции, и того момента количества дви- движения, который соответствует движению точек системы относи- относительно ее центра инерции. Центр инерции атома можно считать совпадающим с его ядром. Поэтому общий момент количества движения атома К будет равен сумме момента Ка, соответст- соответствующего движению центра инерции (т. е. ядра) атома, и момента Ке, соответствующего движению электронов относительно ядра: К — Ка + Ке. Общий момент количества движения единицы объема тела будет равен где знак ^ означает суммирование по всем атомам, находящим- находящимся в единице объема. Приняв во внимание связь между механи- механическим и магнитным моментами электронной оболочки атома, т. е. уравнение G1.5), получим ибо сумма ?^М, по определению, равна намагничению тела1). Рассмотрим теперь процесс намагничивания пара- и ферро- ферромагнетиков. Непосредственное воздействие магнитного поля на электронную оболочку атома вызывает лишь прецессию этой оболочки; диамагнитным эффектом этой прецессии, ввиду его малости, мы пренебрежем. Изменение же направлений магнит- магнитных осей атомов, являющееся причиной пара- и ферромагнитно- ферромагнитного намагничения, происходит, как мы видели, лишь при соуда- соударении атомов или, вообще говоря, при наличии взаимодействия между атомами. Лишь под влиянием этого взаимодействия и происходит поворот осей атомов по направлению поля Н, т. е. изменение направления как магнитного момента М, так и непо- непосредственно связанного с ними механического момента Ке элек- электронов, входящих в состав атомов. Так как при взаимодействии атомов должен выполняться закон сохранения момента количе- количества движения, то сумма ^ К должна оставаться постоянной 2), и изменение ^ Ке должно компенсироваться соответствующим изменением 1) Движение атома в целом (? Ка) не создает магнитного поля, если атом нейтрален (не ионизован). 2)Для случая намагничения тела вращения, ось которого параллельна внешнему магнитному полю Н, легко, основываясь на соображениях сим- симметрии и на формуле (83.4) гл. VI, непосредственно доказать, что момент N сил внешнего поля, приложенных к намагничиваемому телу, действительно равен нулю и что, таким образом, ^ К должна при намагничении оставать- оставаться постоянной.
§ 71 ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРИИ НАМАГНИЧЕНИЯ. РОЛЬ СПИНА 321 Предположим, что до намагничивания не только ]Г]Ке, но и Y^ Ka, a значит, и 5^К равнялись нулю. В этом случае, согласно последнему уравнению, возникновение пропорционально ]Г]Ке намагничения I сопровождается одновременным возникновени- возникновением момента Y^^-a, равного а = -т/'1. G1.8) Предположим, далее, что намагничиванию подвергается твердый пара- или ферромагнетик. Атомы твердого тела не могут дви- двигаться порознь, и наличие момента количества движения атомов тела 5^Ка означает в этом случае вращение всего тела в целом. Угловая скорость вращения w, которую должно приобрести тело при возникновении намагничения I, определяется из равенства Qw = -»/'J, G1.9) где Q — момент инерции тела относительно оси, параллельной направлению намагничения и проходящей через центр инерции тела. Стало быть, если намагничивать, например, свободно под- подвешенный железный стерженек, то стерженек этот должен при- приобрести вращение вокруг оси намагничивания с угловой ско- скоростью ш (эффект Эйнштейна-де Хааса). Так как ш, Q и I могут быть непосредственно измерены, то уравнение G1.9) дает возможность определить отношение механического и магнитного моментов атома г/' 1). Легко показать, что и обратно, если привести стерженек в быстрое вращение, то в нем должно возникнуть намагничение, которое зависит от скорости вращения и от rf (эффект Барнет- та) 2). Не останавливаясь подробно на теории этого эффекта, заметим только, что он вполне аналогичен следующему извест- известному механическому явлению: если укрепить на подставке гиро- гироскоп (которому в нашем случае соответствуют электронные ор- орбиты) и привести подставку (кристаллический скелет твердого тела) во вращение, то ось вращения гироскопа будет стремиться установиться по направлению оси вращения подставки (чему в нашем случае соответствует намагничение). 1) Практически опыт ставится следующим образом: стерженек подвеши- подвешивается на ниточке так, что его ось совпадает с осью катушки, обтекаемой переменным током. Ток этот периодически перемагничивает стерженек, со- сообщая ему при этом каждый раз определенный момент вращения 52 Ка. Зная Q, I и крутильную упругость нити, можно по амплитуде крутильных колебаний стерженька определить //". 2) Более подробно о трактовке экспериментов Барнетта см.: Гинз- Гинзбург В.Л. Памяти А.А. Андронова. — М.: Изд-во АН СССР, 1955; Цидилъ- ковский ИМ. И УФН. 1975. Т. 115. С. 321. 11 И. Е. Тамм
322 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Ряд экспериментальных исследований подтвердил существо- существование предсказанных электронной теорией гиромагнитных эф- эффектов. При этом, в частности, подтвердилось, что магнетизм обусловливается движением отрицательных электрических за- зарядов (электронов), ибо значения коэффициента г)" оказались от- отрицательными [положительное направление оси вращения тела оказалось совпадающим с направлением его намагничивания, — ср. уравнение G1.8)]. Что же касается отношения механического и магнитного мо- моментов атома г)", то значения г)", как и следовало ожидать, оказа- оказались лежащими между значениями универсальных постоянных г) и г}', определяемых уравнениями G1 2) и G1.4). Весьма существенно, что для всех исследованных ферромаг- ферромагнетиков (железо, никель, кобальт, ряд сплавов) коэффициент г]" оказался равным rf. Это показывает, что магнетизм ферромаг- ферромагнетиков обусловливается одним лишь спином электронов, а не их орбитальным движением. § 72. Ферромагнетизм. Молекулярное поле Вейсса 1. Как и в случае парамагнетизма, намагничение ферромаг- ферромагнетиков объясняется упорядочением ориентации магнитных мо- моментов атомов ферромагнетика. Чрезвычайная же сложность ферромагнитных явлений обусловливается весьма значительны- значительными силами взаимодействия между смежными атомами ферро- ферромагнетика, зависящими от относительной ориентации их магнит- магнитных осей. По сравнению с этими силами, соответствующие силы взаимодействия в парамагнетике совершенно ничтожны. Этими силами взаимодействия объясняются отсутствие пропорциональ- пропорциональности между намагничением ферромагнетика и внешним маг- магнитным полем, остаточное и спонтанное намагничение и т. д. Природа этих сил взаимодействия (так называемых «обмен- «обменных сил» между электронами атомов ферромагнетика) совер- совершенно не поддается объяснению в рамках классической физики, и только квантовая механика принесла с собою выяснение истин- истинной природы ферромагнетизма. Однако уже чисто формальное введение зависящих от ориен- ориентации сил взаимодействия между атомами позволило в рамках классической физики разобраться в целом ряде основных зако- закономерностей ферромагнетизма. Поэтому мы изложим сначала основы классической теории ферромагнетизма, разработанной Вейссом, и лишь в конце параграфа коснемся вопроса об истин- истинной природе введенного им в рассмотрение «молекулярного поля сил». 2. Согласно теории Вейсса поле сил, действующих на магнит- магнитный момент атома ферромагнетика, может быть сведено к сумме
§ 72 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛБ ВБЙССА 323 поля магнитного Н и некоторого «молекулярного поля», учиты- учитывающего воздействие на данный атом смежных атомов ферро- ферромагнетика и пропорционального его намагничиванию I. Ины- Иными словами, можно сказать, что «эффективное» магнитное поле Нэф в ферромагнетике равно сумме истинного магнитного по- поля Н и молекулярного поля Ы: Нэф = Н + Ы, G2.1) где Ь есть некоторая положительная постоянная, характеризую- характеризующая свойства данного ферромагнетика. Собственно говоря, эффективное магнитное поле выражается формулой того же типа и в том случае, когда никакого особого молекулярного поля нет и зависящие от относительной ориента- ориентации атомов силы взаимодействия между ними сводятся к силам магнитным. Действительно, в § 28 мы показали, что при извест- известных предположениях эффективное, т. е. действующее на диполь, электрическое поле в диэлектриках с квазиупругими диполями выражается формулой B8.6). Заменяя в этой формуле электри- электрические величины Е и Р соответствующими магнитными Н и I, получаем Нэф = Н + ^1. G2.2) Однако, как мы увидим ниже, экспериментальные определе- определения постоянной Вейсса Ь в ферромагнетиках приводят к столь большим значениям этой постоянной, что молекулярное поле Вейсса никак не может быть сведено к магнитному взаимодей- взаимодействию атомов. Согласно формуле G2.1) та доля энергии атома, которая за- зависит от направления его магнитного момента, будет выражать- выражаться уже не формулой G0.3) или G1.7), а формулой U = -МНэф = -М(Н + Ы). G2.3) При этом для дальнейшего совершенно не существенно, является ли эта энергия потенциальной или кинетической, или же частью потенциальной и частью кинетической (см. § 71, с. 319). Согласно G2.3) энергия атома при прочих равных условиях будет тем меньше, чем ближе совпадает направление его маг- магнитного момента с направлением намагничения I тела. Другими словами, наличие сильного молекулярного поля должно прояв- проявляться в тенденции всех атомов ориентироваться в одном и том же направлении, т. е. в тенденции к самопроизвольному спонтан- спонтанному намагничению тела. Сделав основное допущение, выражаемое уравнением G2.1), мы можем в дальнейшем воспользоваться теоремой Больцмана и повторить в основном рассуждения § 29 и 70. Число атомов в единице объема ферромагнетика, угол оси которых с направле- направлением эффективного поля Нэф лежит в пределах между ¦& и tfW и*
324 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V будет равно [ср. уравнение B9.2)] где введено обозначение [ср. уравнение B9 3)] 1) а = МН*Ф = G2 4 кТ кТ У ¦ > При рассмотрении диэлектриков с твердыми диполями мы ограничились тем практически всегда осуществляющимся слу- случаем, когда о <§С 1, и соответственно упростили все вычисления. В случае лее ферромагнетиков условие а <^ 1, вообще говоря, не выполняется, и мы вынуждены провести все вычисления без упрощений Коэффициент пропорциональности с можно определить из того условия, что общее число всех атомов в единице объема должно равняться N~ JV = JdN = с />cosi?sintf dtf = ? (еа - е~а). о Разрешая это равенство относительно с, получаем с=-^-_. G2.5) Определим теперь результирующий магнитный момент еди- единицы объема тела, т. е. его намагничение I. Вектор I счита- считаем параллельным эффективному полю Нэф (см. примечание к с. 290), поэтому его значение будет равно сумме проекций мо- моментов всех N атомов на направление Нэф. Общий момент dN атомов, оси которых лежат между ¦& и д + eW, равен М ¦ dN, a проекция этого момента на направление Нэф равна М-dN-cos¦д. Следовательно, намагничение тела равно I = f Mcosti ¦ dN = сМ Ieacos*cos¦& ¦ sin?? ¦ dd = = cM ( — ) , \ a a2 ) или, по внесении значения с из уравнения G2.5), G2.6) v Абсолютная величина НЭф равна абсолютной величине Н + Ы только в том случае, если вектор Н параллелен I Хотя ферромагнетики анизотропны и поэтому в них параллельность векторов Н и I имеет место лишь при определенной ориентации этих векторов, однако для простоты мы только этим случаем и ограничимся
§ 72 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛЕ ВЕЙССА 325 где cth означает гиперболический котангенс а, определяемый уравнением еа _ е-а 3. Совокупность формул G2.4) и G2.6) позволяет определить намагничение / Прежде чем применять их к ферромагнетикам, поучительно применить их к случаю парамагнетизма, характе- характеризуемому отсутствием молекулярного поля. Для этого доста- достаточно в уравнении G2.4) положить постоянную Ь равной нулю *). Формула G2.6) была получена впервые Ланжевеном как раз для этого частного случая и носит его имя, а кривая cth a — 1/а на- называется кривой Ланжевена. В случае й<1 можно разложить cth а в ряд по степеням а: 3 1 , а а , --i \-... а 3 45 Внося это в уравнение G2.6), ограничиваясь двумя первыми членами ряда и принимая во внимание уравнение G2.4), полу- получаем при 6 = 0 ЗкТ Следовательно, восприимчивость л в этом случае равна NM2 ус = ЗкТ что совпадает с ранее полученной нами формулой G0.4) (закон Кюри). Если а сравнимо с единицей или больше единицы, нуж- нужно, конечно, пользоваться не этими приближенными формула- формулами, а точной формулой G2.6) Когда а стремится к бесконеч- бесконечности (сильное магнитное поле при низкой температуре), cth a стремится к единице и, стало быть, согласно уравнению G2.6), намагничение / асимптотически стремится к предельному зна- значению /о = NM, G2.7) соответствующему установке осей всех атомов в одном направ- направлении {насыщение намагничения). 4. Возвращаясь к ферромагнетикам (Ь ~3> 1), предположим сначала, что магнитное поле Н либо совсем отсутствует, либо настолько мало, что в формуле G2.4) им можно пренебречь по сравнению с молекулярным полем Ы и положить, пользуясь обо- обозначением G2.7): NMbI = bIoT = ( bJ° ^ L МЫ. = = = ( ^ кТ ~ NkT ~ NkT \NkT/ 1) Согласно уравнению G2 2) b = %п Однако в парамагнетиках членом 6/ можно пренебречь, ибо в них I <S. H
326 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Если ввести обозначение 3iVfc' G2.8) то это соотношение можно записать так: - = -а. G2.9) /о 30 Заметим, что величина в, характеризующая собой свойства ферромагнетика, имеет размерность температуры. С другой сто- стороны, уравнение кривой Ланжевена G2.6) может быть на осно- основании G2.7) записано так: — = etna . Io а G2.10) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 ///о // / / У 2 3 Рис 67 4 N5 Подставляя а из уравнения G2.9) в уравнение G2.10), можно получить (неявную) функциональную зависимость I/Iq от Т/в. Проще, однако, прибегнуть к гра- графическому методу. На рис. 67 нанесена зависимость I/Iq от а, причем кривая соответствует уравнению G2.10), а прямая АО — уравнению G2.9) (при опреде- определенном значении отношения Т/в). Очевидно, что фактическое отно- относительное намагничение тела I /Iq, соответствующее заданному зна- значению Т/в (т. е. заданному накло- наклону прямой О А), определяется точками пересечения универсаль- универсальной (не зависящей от свойств и со- состояния тела) кривой Ланжевена cth a — I/a с прямой О А. В изображенном на рис. 67 случае таких точек пересечения две: одна соответствует отсутствию намагничения A = 0), дру- другая (точка А) — намагничению примерно до 0,8 насыщения. Что- Чтобы выяснить, каким именно намагничением будет фактически обладать тело при заданном Т/в, необходимо установить, ка- какое из этих двух состояний тела является устойчивым. Чтобы объяснить основные свойства ферромагнетиков, необходимо до- допустить, что устойчивой является точка А, соответствующая на- намагниченному состоянию тела, тогда как ненамагниченное со- состояние / = 0 неустойчиво и в действительности не реализуется. Это допущение вполне подтверждается квантовомеханическими расчетами, согласно которым намагниченное состояние ферро- ферромагнетиков соответствует минимуму их свободной энергии. Все изложенное остается применимым ко всем значениям от- отношения Т/в, при которых прямая [уравнение G2.9)] имеет
§ 72 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛЕ ВЕЙССА 327 с кривой Ланжевена [уравнение G2 10)] две общие точки. Начало координат (/ = а = 0) всегда является такой общей точкой Что же касается второго пересечения прямой G2.9) с кривой Ланже- Ланжевена, то, как явствует из формы этой кривой, оно будет иметь ме- место только в том случае, если наклон этой прямой к оси абсцисс меньше наклона касательной, проведенной к кривой Ланжевена в начале координат (и нанесенной на наш рисунок). Наклон этой касательной равен Ida \ а/1а=0 3' а наклон прямой G2.9) равен Т/Зв. Следовательно, прямая будет дважды пересекаться с кривой Ланжевена в том случае, если Т/30 < 1/3 и, стало быть, Т < в. Итак, из изложенной теории вытекает, что если Т < в, то устойчивым является только намагниченное состояние, и следо- следовательно, ферромагнетик должен и в отсутствие внешнего маг- магнитного поля быть намагниченным (спонтанное намагничение), причем намагничение определяется второй точкой пересечения прямой G2.9) с кривой Ланжевена (точка А на рис. 67). Если же Т > в, то при отсутствии внешнего магнитного поля намагни- намагничение / должно равняться нулю, т. е. при высокой температуре тело должно терять свойство спонтанно намагничиваться. Это последнее обстоятельство соответствует тому экспери- экспериментальному факту, что при нагревании все ферромагнетики при некоторой определенной температуре теряют свои ферро- ферромагнитные свойства и становятся парамагнитными. Эта харак- характерная для каждого ферромагнетика критическая температура G58 °С для железа, 374 °С для никеля и т. д.) носит название «температуры Кюри» или «точки Кюри*. Таким образом, ока- оказывается, что постоянная в, определяемая уравнением G2.8), фи- физически соответствует температуре Кюри. Очевидно, существование точки Кюри, выше которой тело теряет ферромагнитные свойства, обусловливается тем, что при достаточном нагревании обеспорядочивающее влияние теплово- теплового движения на ориентацию магнитных осей атомов должно в конце концов стать настолько значительным, чтобы преодолеть силы взаимодействия атомов, стремящиеся установить их маг- магнитные оси параллельно друг другу. 5. Ранее мы обошли молчанием некоторые весьма существен- существенные вопросы. Прежде всего теория Вейсса, как мы видели, при- приводит к заключению, что при температуре ниже точки Кюри все ферромагнетики должны самопроизвольно намагничиваться и в отсутствие внешнего магнитного поля. Между тем, обычное состояние, например, железа при Т < в есть, вообще говоря, состояние немагнитное, хотя, конечно, и существуют так назы- называемые постоянные магниты, остаточное намагничение и т. д.
328 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Объясняется это кажущееся противоречие тем, что всякий ферромагнетик распадается в магнитном отношении на ряд чрез- чрезвычайно малых микроскопических автономных областей1). Каждая такая «вейссова область» всегда намагничена до зна- значения, соответствующего теории (точка А на рис. 67). Однако в обычных условиях различные «вейссовы области» намагничены в различных направлениях. Благодаря этому средний магнит- магнитный момент всего тела равен нулю, и намагничение отдельных областей остается незаметным 2). При включении внешнего магнитного поля число и размеры областей, намагничение которых параллельно полю (или близко к параллельности), растут за счет областей, намагниченных в про- противоположном направлении, и тело в целом намагничивается. Если после этого внешнее поле выключить, то раз возникшая упорядоченность направлений намагничивания отдельных обла- областей частично сохраняется (остаточное намагничение) до тех пор, пока ее не уничтожат какие-либо новые факторы: нагревание, включение поля обратного направления, превышающего извест- известный минимум (носящий название коэрцитивной силы), и т. п. Исходя из этих общих представлений и учитывая еще ряд других существенных обстоятельств3), на которых мы здесь ) Эти области, которые сейчас принято называть доменами, не нужно смешивать с отдельными микрокристалликами, из которых состоят обычно поликристаллические ферромагнетики Сколь угодно тщательно приготов- приготовленный монокристалл железа также распадается в магнитном отношении на такие области 2) Намагничение всего ферромагнетика в одном определенном направле- направлении в отсутствие внешнего поля энергетически невыгодно Это вытекает из того, что, согласно квантовой механике, силы взаимодействия между ато мами, соответствующие вейссову молекулярному полю, весьма быстро убы- убывают с расстоянием и практически действуют только смежными атомами Поэтому при распадении магнетика на вейссовы области увеличивается по- потенциальная энергия только тех атомов, которые прилегают к поверхностям раздела вейссовых областей- только у этих атомов появляются по другую сторону поверхности раздела соседи с непараллельно направленным магнит- магнитным моментом (силы взаимодействия между смежными атомами стремят- стремятся установить их магнитные моменты параллельно друг другу) С другой стороны, при распадении магнетика на вейссовы области уменьшается энер- энергия магнитного поля, возбуждаемого ферромагнетиком, ибо поля различно ориентированных вейссовых областей в значительной мере взаимно ком- компенсируются. Таким образом, дробление вейссовых областей ведет, с одной стороны, к увеличению площади, а стало быть, и потенциальной энергии по- поверхностей раздела, с другой же стороны — к уменьшению объемной энер- энергии магнитного поля Фактический (средний) размер вейссовых областей определяется минимумом суммарной свободной энергии ферромагнетика 3) Магнитную анизотропию, связанную с кристаллической структурой ферромагнетиков и проявляющуюся в том, что в различных направлени- направлениях они намагничиваются с различной легкостью, внутренние натяжения и искажения кристаллической решетки, всегда имеющиеся в реальных телах; магнитострикцию и т. д
§ 72 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛБ ВЕЙССА 329 останавливаться не можем, удается, по крайней мере качествен- качественно, а частью и количественно, объяснить все остальные законо- закономерности, наблюдаемые в ферромагнетиках (зависимость I от Н, петля гистерезиса и т. д.). 6. Мы принуждены, за недостатком места, ограничиться кратким рассмотрением одного лишь добавочного вопроса. При изложении математической части теории Вейсса мы предполо- предположили, что магнитным полем Н можно пренебречь, по сравне- сравнению с молекулярным полем Ы. Каково же это поле? Определив на опыте температуру Кюри в и намагничение насыщения Iq1) , можно по формуле G2.8) вычислить Ы. Оказывается, что, на- например, в железе, при нормальных температурах, Ы достигает значений порядка 7 • 106 Гс , т. е., действительно, весьма значи- значительно превышает напряженность практически доступных маг- магнитных полей. Для постоянной Ь получаются при этом значения порядка 4 ¦ 103 - 3 • 104. Это исключительно большая величина молекулярного вейс- сова поля представляла собою основное затруднение для клас- классической теории ферромагнетизма и обрекала на неудачу все попытки свести это поле к магнитному взаимодействию атомов ферромагнетика Действительно, формула G2.2), относящаяся к квазиупругим диполям и приводящая к значению Ь = 4/зтг, к ферромагнетикам, конечно, неприменима. Однако и в магнетике, атомы которого обладают постоянным магнитным моментом М, максимально возможная напряженность эффективного поля, обусловленного магнитным взаимодействием атомов, не может по порядку величины существенно превышать напряженность М/В? поля диполя М в центре смежного атома (здесь R означа- означает расстояние между смежными атомами ферромагнетика). По порядку величины магнитный момент атомов М ~ 10~20 Гс-см3 и R ~ 2 • 10~8 см, так что М/Д3 ~ 103 Гс, т. е. в тысячи раз мень- меньше напряженности веиссова поля. Все многочисленные попыт- попытки обойти это затруднение в рамках классической теории оказа- оказались совершенно несостоятельными. Только квантовая механика позволила разрешить вопрос о природе веиссова молекулярного поля. Вкратце это объяснение сводится к следующему. Если поло- положить в основу обычный кулонов закон взаимодействия зарядов электронов и атомных ядер, но применить к определению движе- движения электронов законы квантовой механики, то результат оказы- оказывается таким, какой на основе законов движения классической х) Для последнего, конечно, вовсе нет необходимости достигнуть на опыте полного насыщения, а достаточно определить ряд значений / для сравни- сравнительно больших значений а и экстраполировать по кривой Ланжевена к а = со.
330 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V механики получился бы при наличии, помимо кулоновых сил, еще некоторых добавочных сил взаимодействия между электро- электронами. Таким образом, если мы хотим пользоваться представления- представлениями классической физики, то мы должны ввести в рассмотрение соответствующие добавочные силы, которые получили название обменных сил. Роль их в явлениях магнетизма сводится к тому, что при известных условиях, относящихся к электронному строе- строению атомов, структуре кристаллической решетки и т. п., эти об- обменные силы стремятся установить спины электронов в смежных атомах магнетика параллельно друг другу, т. е. стремятся намаг- намагнитить тело, являющееся при выполнении этих условий ферро- ферромагнитным. В согласии с этим изучение гиромагнитных эффек- эффектов в ферромагнетиках показало (см. § 71), что ферромагнетизм обусловливается спином электронов, а не их орбитальным дви- движением. Как показывает теоретический расчет, обменное взаимодей- взаимодействие атомов может быть с достаточной точностью учтено вве- введением в рассмотрение некоторого эквивалентного ему «молеку- «молекулярного» поля Ы. Таким образом, формальная вейссова теория ферромагнетизма получает физическое обоснование на основе общих положений квантовой механики, без каких-либо специаль- специальных допущений и гипотез. Конечно, наряду с обменным взаимодействием, вытекающим из закона Кулона, существует также и обычное классическое магнитное взаимодействие атомов, эквивалентное взаимодейст- взаимодействию соответствующих магнитных диполей. Однако, как уже ука- указывалось, оно в несколько тысяч раз слабее обменного взаимо- взаимодействия. Все же именно магнитным взаимодействием атомов обусловливаются в первую очередь такие, например, явления, как магнитная анизотропия и магнитострикция. § 73. Уравнения поля в идеализированных ферромагнетиках (обычный вариант). Постоянные магниты 1. Результаты § 60-62 носят совершенно общий характер и применимы к любым магнетикам. Однако в § 63 мы сделали до- допущение, что намагничение среды I пропорционально напряжен- напряженности магнитного поля Н, и тем самым исключили из своего рас- рассмотрения ферромагнетики. Теперь нам предстоит восполнить этот пробел. Явления гистерезиса в ферромагнетиках означают, что меж- между I и Н нет однозначного соотношения. Но даже в таких ферро- ферромагнетиках, в которых гистерезисом, ввиду его незначительно- незначительности, можно пренебречь, нелинейный характер зависимости I от Н чрезвычайно усложняет теорию. Чтобы избежать этих услож-
§ 73 ПОЛЕ В ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 331 нений, мы ограничимся рассмотрением так называемых «идеа- «идеализированных ферромагнетиков», или «постоянных магнитов», предположив, что намагничение I этих магнетиков складывается из суммы индуцированного намагничения, являющегося линейной функцией напряженности поля, и постоянного намагничения Iq, от напряженности поля вовсе не зависящего. В этом параграфе мы будем исходить из общепринятого допущения, что индуци- индуцированное намагничение пропорционально напряженности маг- магнитного поля, т. е. положим I = 10 + хН, G3.1) где 1о — заданная функция точки, а х от Н не зависит. (Несколь- (Несколько иной вариант теории постоянных магнитов будет рассмотрен в следующем параграфе.) Очевидно, что уравнение G3.1) вклю- включает в себя в качестве частного случая Aо = 0) формулу F3.1), справедливую для пара- и диамагнетиков. Те ферромагнитные тела, в которых 1о отлично от нуля, мы будем называть посто- постоянными магнитами. Таким образом, зависимость I от Н в идеализированных фер- ферромагнетиках остается линейной, и мы получаем возможность пользоваться принципом суперпозиции полей. Несмотря на то, что свойства реальных ферромагнетиков весьма существенно отличаются от свойств наших идеализиро- идеализированных ферромагнетиков (как показывает уже самая возмож- возможность изготовления постоянных магнитов из немагнитной стали, размагничения магнитов и т. д.), однако в некоторых случаях формула G3.1) все же является известным приближением к дей- действительности. Так, например, она применима к намагниченной почти до насыщения твердой стали при условии, что измене- изменения внешнего поля достаточно малы. Вместе с тем рассмотре- рассмотрение идеализированных ферромагнетиков позволит нам понять старые теории магнетизма, оперировавшие представлениями о магнитных зарядах или полюсах. Введенное нами представление об идеализированных ферро- ферромагнетиках сводится, согласно G3.1), в сущности к замене фер- ферромагнетика совокупностью постоянного магнита (в строгом смысле этого слова) и парамагнетика. 2. На основании F2.9), G3.1) и F3.2) В = Н + 4тг1 = ^Н + 47г10. G3.2) Так как ранее выведенные дифференциальные уравнения поля F2.7) и F2.8) остаются справедливыми в произвольной среде, то полная система уравнений поля при наличии постоянных магни- магнитов приобретает вид = ^j, divB = 0, В = ^Н + 4тг10 G3.3)
332 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V (пограничных условий, однозначно вытекающих из дифферен- дифференциальных уравнений, для краткости не выписываем). Она отли- отличается от системы уравнений (С) (§ 64, с. 293) только членом 47г10 в последнем уравнении и позволяет однозначно определить магнитное поле, если известно распределение электрических то- токов j в проводниках, распределение постоянного намагничения 1о в ферромагнетиках и, наконец, значение магнитной проница- проницаемости в каждой точке среды. В этой однозначности проще всего убедиться, разбив напря- напряженность поля Н на сумму напряженностей вихревого и безви- безвихревого полей: Н = Н' + Н", В = В' + В", G3.4) и положив rotH' = Ц. j, divB' = 0, В' = /iH', G3.5) и rot H" = 0, div В" = 0, В" = дН" + 4тг10. G3.6) Уравнения G3.5) для поля токов Н' полностью совпадают с сис- системой (С) в § 64 и, по доказанному, в том же § 64 однозначно определяют Н', если известны значения j и ц в каждой точке пространства. Уравнения же G3.6) для поля Н" постоянных маг- магнитов могут быть записаны следующим образом: rot Н" = 0, div ^Н" = 4тгр°, G3.7) где нами введено обозначение p°=-divlo. G3.8) Величину р° принято называть плотностью постоянных маг- магнитных зарядов. Этот исторически сложившийся термин весьма удобен, хотя, конечно, и является, с современной точки зрения, совершенно условным. При такой записи уравнений поля выявляется полная анало- аналогия между магнитным полем Н" постоянных магнитов и элек- электрическим полем Е электрических зарядов: поле Н", будучи безвихревым, обладает, подобно Е, однозначным скалярным потенциалом ф: H" = -gradV; G3.9) далее, истоками вектора fjM." (отличающегося от магнитной ин- индукции В на 47г1о) являются постоянные магнитные заряды р^, подобно тому как свободные электрические заряды р являют- являются истоками вектора еЕ (равного электрической индукции D). Таким образом, существует полное соответствие между Н" и Е, между ^Н" = В" — 47г1о и еЕ = D и, наконец, между р° и р;
§ 73 ПОЛЕ В ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 333 следовательно, к полю постоянных магнитов применимы все ре- результаты, полученные при изучении диэлектриков (с заменой электрических величин на соответствующие магнитные). В частности, из результатов § 22 следует, что поле Н" одно- однозначно определяется заданием (i как функции точки и заданием плотности р° постоянных магнитных зарядов, которая в свою очередь определяется заданием 1о как функции точки. Таким образом, магнитное поле Н может быть однозначно представлено как наложение двух независимых полей — поля токов Н' и поля магнитов Н". Поле токов уже было рассмотрено нами ранее, так что мы теперь можем ограничиться рассмотре- рассмотрением поля постоянных магнитов Н". 3. Воспользовавшись соотношением цИ" = Н"+4тгхН", мож- можно представить второе из уравнений G3.7) следующим образом: div H" = 4тгр° - 4тг div хН". Таким образом, р^ соответствует плотности свободных элек- электрических зарядов (заданием р^ определяется поле Н"), тогда КЭК -divxH" = p'M G3.10) соответствует плотности связанных электрических зарядов (Рсвзн — — divP = — divaE); p'M можно назвать плотностью связанных магнитных зарядов, индуцированных в магнетике по- полем Н" х). Однако в некотором ином отношении pJJ, соответствует плот- плотности не свободных, а связанных электрических зарядов: в про- противоположность свободным электрическим зарядам постоянные магнитные заряды не могут быть отделены друг от друга. Дей- Действительно, рассмотрим произвольное тело, окруженное со всех сторон неферромагнитной средой. Проведем в этой среде какую- либо замкнутую поверхность S, охватывающую это тело и от- отграничивающую объем V. Проинтегрировав уравнение G3.8) по этому объему V и воспользовавшись теоремой Гаусса A7*), по- получим j l jS 0 G3.11) V S ибо на поверхности 5, т. е. в неферромагнитной среде, постоян- постоянное намагничение 10 тождественно равно нулю. Таким образом, полный «магнитный заряд» любого постоянного магнита всегда равен нулю. При наличии в поле поверхностей разрыва векторов Н" и 1о и магнитной проницаемости ц предшествующие уравнения дол- хKная /э^ и /1, можно определить Н", а зная Н", можно определить р'ы, в частности, если /э° = 0, то как Н" = 0, так и р'ы = 0.
334 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V жны быть дополнены однозначно вытекающими из них погра- пограничными условиями (ср. § 6 и 49): RotH" = 0, DivMH" = »2Н>^ - цхН[п 4тгам, а? =-Divio = -№,2n-/o,in), < = -DivxH", где сг^ и а'м означают поверхностную плотность постоянных и ин- индуцированных магнитных зарядов; уравнение же G3.11) должно быть дополнено интегралом по поверхностям разрыва 5' векто- вектора 1о, лежащего внутри объема V, т. е. суммой поверхностных магнитных зарядов а^, находящихся в этом объеме: Jp°MdV+(j)o-0MdS = 0. G3.13) V S' Предположим, что постоянный магнит равномерно намагни- намагничен по всему своему объему (Io = const). Тогда все постоянные магнитные заряды будут сосредоточены на поверхности магни- та (Рм = 0)- Если, в частности, магнит имеет форму прямого цилиндра и если намагничение 1о параллельно оси цилиндра, то все постоянные магнитные заряды будут распределены по осно- основаниям цилиндра с поверхностной плотностью 4 = ±*о G3.14) (ибо на боковой поверхности цилиндра /on = 0, а вне магнита 1о = 0). Таким образом, такой магнит сечения 5 можно рассма- рассматривать как совокупность двух равных по величине магнитных зарядов: mo = ±IoS противоположного знака, распределенных по основаниям маг- магнита (так называемые полюсы магнита); поле такого магнита можно рассматривать как наложение полей, возбуждаемых каж- каждым из его полюсов в отдельности. Именно поэтому теории XVIII-XIX вв. оперировали понятием магнитных зарядов или полюсов. Если, однако, разрезать магнит пополам, то каждая поверх- поверхность разреза приобретает характер поверхности разрыва векто- вектора 1о, т. е. на ней «появляется» поверхностный магнитный заряд той же плотности <т° = ±/о, так что сумма зарядов каждого отдельного куска оказывается равной нулю. 4. Из установленного выше соответствия между магнитным полем постоянных магнитов и электрическим полем свободных электрических зарядов вытекает, что в однородном магнетике (ц — const) скалярный потенциал ф для магнитов равен [ср. B3.2)]: = 1 [&dV + ± f^-dS,
§ 73 ПОЛЕ В ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 335 а напряженность магнитного поля Н" равна И<к <73Л5> Таким образом, напряженность поля постоянных магнитов в однородной среде 1) обратно пропорциональна проницаемости среды. В отличие от этого, как мы убедились в § 64, напряжен- напряженность магнитного поля токов в однородной среде от проницае- проницаемости среды вовсе не зависит. Причину этого отличия поля маг- магнитов от поля токов мы выясним в следующем параграфе. 5. В теории постоянных магнитов общепринято исходить из допущения, что плотность f пондеромоторных сил, действующих на постоянные магнитные заряды, по аналогии с электростати- электростатикой выражается формулой f = р°м Н. G3.16) Справедливость этой формулы будет доказана нами в § 75. Пока же заметим, что из полной аналогии формул G3.15) и G3.16) с соответствующими формулами электростатики следует, что си- сила взаимодействия точечных (постоянных) магнитных зарядов в однородной среде определяется законом Кулона G3.17) при этом, конечно, под «точечным» магнитным зарядом или полюсом нужно, очевидно, понимать заряд достаточно малого объема A.V постоянного магнита: т — / о?, dV. AV Именно этот закон Кулона G3.17) и играл роль основного постулата в теориях магнетизма XVIII-XIX вв. Согласно G3.16) пондеромоторные силы, испытываемые магнитными зарядами в магнитном поле, определяются напря- напряженностью Н этого поля, тогда как силы, испытываемые элек- электрическими токами, согласно F5.1), определяются магнитной индукцией В. Вместе с тем, как только что отмечалось, напряженность по- поля магнитов в однородной среде обратно пропорциональна про- проницаемости этой среды (г, тогда как напряженность поля токов в однородной среде от ц не зависит. Сопоставляя эти результа- результаты, мы приходим к следующим выводам: в однородной магнит- магнитной среде (fj, = const) пондеромоторные силы взаимодействия постоянных магнитов обратно пропорциональны /j,, силы взаи- взаимодействия между током и постоянным магнитом от ц не 1) Однородность среды, строго говоря, означает, что /i имеет одинаковое значение во всех точках поля магнитов, в том числе и внутри того материала, из которого изготовлены сами магниты.
336 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V зависят и, наконец, как уже отмечалось в § 65, силы взаимодей- взаимодействия токов прямо пропорциональны //. Причину этого различия между токами и постоянными маг- магнитами мы выясним в следующем параграфе. 6 Уравнения магнитного поля были получены нами в нача- начале главы из представления, что свойства магнетиков обусловли- обусловливаются наличием в них молекулярных токов. Не изменяя этих уравнений и лишь введя формально понятие плотности магнит- магнитных зарядов, определяемое уравнением G3.8), мы показали, что теория постоянных магнитов может быть представлена в фор- форме, соответствующей представлению о существовании реальных магнитных зарядов в молекулах магнетиков. Хотя никаких магнитных зарядов в действительности не су- существует, все же в ряде случаев удобно пользоваться этой фор- формой теории, позволяющей непосредственно использовать в тео- теории магнетизма результаты теории диэлектриков. Вместе с тем доказанная далеко идущая эквивалентность тео- теории молекулярных токов и теории магнитных зарядов делает понятным успех, которым пользовались теории магнетизма XVIII-XIX вв., оперировавшие понятием магнитных зарядов или полюсов. Действительно, благодаря рассмотренной в § 56 экви- эквивалентности элементарных токов и магнитных диполей все ма- макроскопические уравнения поля в любых магнетиках, а не только в постоянных магнитах, могут быть формально интерпретирова- интерпретированы как с точки зрения современной электронной теории, так и на основе представлений о существовании в молекулах магне- магнетиков магнитных зарядов *). Если, однако, выйти за рамки ма- макроскопической теории, рассматривающей проницаемость /j, как заданную характеристику магнетика, и поставить вопросы о ме- механизме намагничивания, о зависимости значения ц от других характеристик тела и т. д., то сразу же выясняется, что старые теории магнетизма не только не совместимы с современными све- сведениями о строении атомов, но что даже в области макроскопи- макроскопических явлений они совершенно бессильны, например, объяснить диамагнетизм или гиромагнитные явления (см. § 71). § 74. Другой вариант уравнений магнитного поля в идеализированных ферромагнетиках. Эквивалентность электрических токов и постоянных магнитов 1. В предыдущем параграфе мы изложили общепринятую теорию постоянных магнитов, согласно которой как активные, так и пассивные характеристики постоянных магнитов (т. е. как *) Если отвлечься от трудности, связанной с тем, что восприимчивость диамагнетиков отрицательна
§ 74 ДРУГОЙ ВАРИАНТ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 337 возбуждаемое ими поле, так и силы, испытываемые ими во внеш- внешнем магнитном поле) совершенно иначе зависят от магнитной проницаемости среды /и, чем соответствующие магнитные харак- характеристики электрических токов. В настоящем параграфе мы по- постараемся выяснить смысл и причину этого различия. Прежде всего нужно отметить, что ряд выводов предыдущего параграфа относился к гипотетическому случаю строго однород- однородной в магнитном отношении среды (fj, имеет одинаковое значение во всех точках поля). Ясно, что этот случай не имеет практиче- практического значения. Действительно, проницаемость материала, из которого из- изготовлены магниты, вообще говоря, отлична от проницаемости окружающей их среды, и, таким образом, условие постоянства [i во всем поле, вообще говоря, не выполняется. Но даже если бы оно и было выполнено при некотором определенном выборе окру- окружающей магниты среды, то для проверки полученных в § 73 результатов необходимо было бы варьировать проницаемость (х среды и сравнить напряженность поля, пондеромоторные силы и т. д. в средах различной проницаемости. При этом, однако, про- проницаемость самих постоянных магнитов оставалась бы по необ- необходимости неизменной, т. е. постоянство ц во всем поле наруша- нарушалось бы. Итак, необходимо различать гипотетический случай строго однородной среды и практически единственно интересный случай однородности внешней среды (т. е. среды вне магнитов). Поэто- Поэтому поставленный в начале параграфа вопрос нужно разбить на два вопроса: 1) чем объясняется установленная в § 73 разница между магнитами и токами в строго однородной среде1? и 2) как зависит поле магнитов и испытываемые ими силы от проницае- проницаемости однородной внешней среды? Рассмотрим эти вопросы по порядку. 2. Установленная в § 73 разница между магнитами и токами в строго однородной среде объясняется попросту тем, что мы, следуя исторически сложившейся традиции (о происхождении которой будет сказано ниже), исходили в § 73 из формулы G3.1): т. е. предположили, что индуцированное намагничение 1ИНД постоянных магнитов пропорционально напряженности поля в них: 1ИНД = хН. G4.1) В диа- и парамагнетиках эта формула, очевидно, эквивалентна формуле 1инД = -В; G4.2) однако в постоянных магнитах Н ^ - В, и эквивалентность фор-
338 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V мул G4.1) и G4.2) нарушается. Поэтому, пытаясь установить ли- линейную систему уравнений поля в идеализированных ферромаг- ферромагнетиках, которая при Iq = 0 переходила бы в известные уже нам уравнения поля в диа- и парамагнетиках, мы с равным правом могли бы исходить не из G4.1), а из G4.2), т. е. вместо G3.1) положить: 1 = -В + 10. G4.3) Выбор между G3.1) и G4.3) может быть сделан только на осно- основании более углубленного анализа этих формул, который будет произведен нами несколько позже. Пока же мы рассмотрим ва- вариант уравнений поля, основанный на замене формулы G3.1) формулой G4.3) (мы будем называть его «новым вариантом» в отличие от «обычного варианта»). Прежде всего в «новом варианте» формула G3.2) заменится формулой В = Н + 4тг1 = Н + — В + 4тг1о, откуда на основании F3.2) В = дН + 4тф10. G4.4) Отличие этой формулы от G3.2) сводится к появлению множи- множителя ц в последнем члене справа. Соответственное изменение должно быть внесено также и в формулы G3.3) и G3 6); далее, в уравнениях G3.8) и G3.12) нуж- нужно в новом варианте изменить определение объемной и поверх- поверхностной плотности постоянных магнитных зарядов и положить р°и = - div^Io, <т° = - Div^I0. G4.5) Все же остальные (нумерованные) формулы § 73, за исключени- исключением формулы G3 14), как легко убедиться, остаются справедли- справедливыми и в новом варианте. Рассмотрим теперь случай строго однородной среды. В этом случае можно в формулах G4.5) вынести ц за знак простран- пространственной производной: p°=-MdivI0, <? = -/* Divio. G4.6) Таким образом, в новой формулировке, в отличие от обычной, плотность постоянных магнитных зарядов (при заданном по- постоянном намагничении 1о) пропорциональна проницаемости (J,. Внося G4.6) в G3.15), убеждаемся, что напряженность поля постоянных магнитов (при заданном 1о) не зависит от прони- проницаемости (строго однородной) среды, т. е. что прежнее различие в этом отношении между магнитами и токами в новом варианте отпадает.
§ 74 ДРУГОЙ ВАРИАНТ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 339 Наконец, внося G4.6) в G3.16) и допуская, что проницае- проницаемость fj, постоянна, если не во всей среде, то хотя бы в тех участ- участках ферромагнетика, в которых 1р отлично от нуля, получаем f = p°H = -MHdivI0. G4.7) Таким образом, в новом варианте силы, действующие на маг- магнитные заряды, определяются (при заданном 1о) не напряжен- напряженностью поля Н, а вектором (ЛИ. Таким образом, ввиду незави- независимости Н от ц, пондеромоторные силы взаимодействия магнитов в строго однородной среде, как и силы взаимодействия токов, прямо пропорциональны /и, т. е. и в этом отношении новый вари- вариант устраняет имевшееся в обычном варианте различие между постоянными магнитами и токами. 3. Какой же из вариантов теории постоянных магнитов сле- следует предпочесть? Обычный вариант теории может быть охарактеризован либо уравнением G3.1), либо эквивалентным ему уравнением G3.8), согласно которому плотность постоянных магнитных зарядов определяется вектором постоянного намагничения 1о, независи- независимо от проницаемости fj, вещества магнита. С другой стороны, новый вариант может быть охарактеризован либо уравнением G4.3), либо эквивалентным ему уравнением G4.5), согласно ко- которому р^, при постоянном 1о, изменяется пропорционально про- проницаемости ц магнита. Если бы существовал способ, сохраняя неизменным постоян- постоянное намагничение 1о изменять проницаемость ц вещества, из ко- которого изготовлен данный магнит, то можно было бы экспери- экспериментально установить, какой из вариантов теории соответствует действительности. Так как, однако, такого способа нет, то разли- различие между обоими вариантами является чисто терминологи- терминологическим: ведь все отличие второго варианта от первого сводится к замене уравнения G3.2): В = ^Н + 47г1о уравнением G4.4): В = /гН + 47ф1о. Так как, по определению, значения 1о и ц в каждой точке постоянного магнита постоянны во времени, то никакие доступные экспериментальной проверке выводы теории не могут зависеть от того, будет ли разность В — уиН обозначена через 47г1о или через 4тг/Ло. 4. Итак, установленная в § 73 разница между зависимостью активных и пассивных характеристик магнитов и токов от про- проницаемости строго однородной среды носит, в сущности, терми- терминологический характер. Терминология обычного варианта тео- теории заимствована из теорий магнетизма XIX в., исходивших из представления о существовании реальных магнитных зарядов в молекулах магнетика и о взаимодействии этих зарядов по закону Кулона, и вполне соответствует этим представлениям. Термино- Терминология же «нового варианта» соответствует современным пред- представлениям о природе магнетизма. Сказывается это, во-первых,
340 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V в том, что она устраняет неоправданное терминологическое раз- различие между зависимостью от /и активных и пассивных характе- характеристик магнитов и токов; во-вторых, она связывает постоянство намагничения 1о не с постоянством фиктивных зарядов р^,, а с постоянством тех молекулярных токов jM<wi> которыми это на- намагничение обусловлено. Действительно, согласно современным представлениям, по- постоянное намагничение 1о должно обусловливаться постоянными молекулярными токами, (средняя) плотность которых связана с 1о соотношением [см. уравнения F1.9) и F1.10)]: 0. G4.8) Воспользовавшись уравнениями G4.8) и G4.4), получаем rot E) =rotH + 47rrotI0 = -G+&J- G4-9) Следовательно, согласно новому варианту, постоянные молеку- молекулярные токи совершенно равноправны токам проводимости j. Замена же уравнения G4.3) уравнением G3.1), т. е. переход к обычному варианту, нарушает это равноправие, а именно, в этом случае последнее уравнение заменяется следующим: rotE) = rotH + 47rrot h = AJL (j + IjO ) +47r[vi • Iol. Вообще нужно отметить, что хотя и в новом варианте можно оперировать с фиктивной плотностью магнитных зарядов р^ и сг°, однако рациональной характеристикой постоянных магни- магнитов в этом варианте, в отличие от обычного, являются не р„ и сг°, а распределение постоянных молекулярных токов j°0JI и i^0JI. Зная это распределение, можно определить магнитное поле по- постоянного магнита с помощью формулы G4.8) и испытываемые магнитом пондеромоторные силы с помощью формулы: Эквивалентность этого последнего соотношения формуле G3.16), которой мы пользовались до сих пор, будет доказана в следую- следующем параграфе. 5. Тогда как весь вопрос о магнитах и токах в строго одно- однородной среде носит чисто формальный характер, вопрос об ак- активных и пассивных характеристиках магнитов и токов в одно- однородной внешней среде, к которому мы теперь перейдем, имеет непосредственное физическое содержание, и ответ на него до- доступен экспериментальной проверке. Отметим, что ответ на этот последний вопрос будет совершенно одинаковым в обычном и в новом варианте теории
§ 74 ДРУГОЙ ВАРИАНТ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 341 Рассмотрим сначала постоянный магнит из однородного ма- материала проницаемости цг, помещенный в однородную внешнюю среду проницаемости /хе. Легко убедиться, что никакой однознач- однозначной функциональной зависимости напряженности поля магнита во внешней среде от проницаемости этой среды це не существу- существует и что зависимость эта определяется геометрической формой магнита. Рассмотрим, в частности, равномерно намагниченный Aо — = const) эллипсоид — это один из немногих случаев, в которых удается найти замкнутое аналитическое выражение для поля магнита. Для наших целей достаточно рассмотреть эллипсоид вращения, намагниченный параллельно оси симметрии. Обозна- Обозначим длину главных осей эллипсоида через а, Ь, с, и пусть Ь = с. Можно показать, что напряженность Не поля такого магнита в произвольной точке внешней среды следующим образом зависит от fie: Не = h<y>*) , G4.10) где вектор h(x, у, z) от це не зависит, а постоянная и зависит только от отношения а/с осей эллипсоида: оо и=\1 т~^\- G4Л1) { Этот результат легко получить, воспользовавшись решением задачи о поле равномерно намагниченного эллипсоида, которое можно найти в ряде курсов математической физики или теории потенциала1). Мы приведем это решение без доказательства. Поместим начало декартовых координат в центр эллипсоида и направим ось х по оси симметрии эллипсоида, т. е. по направлению намагничения. Скалярный потенциал ф магнитного поля эллипсоида внутри эллипсоида будет равен фг = ах, где а — константа, а потенциал вне эллипсоида равен е = Ё1 7 2 J где р — константа, а г) — функция координат х, у, z, определяемая уравне- уравнением а2 + г\ ) См , например- Франк Ф , Мизес Р. Дифференциальные уравнения ма- математической физики. Т. II. — Л.-М : Гостехиздат, 1957, Стретптпон Док. Теория электромагнетизма. — М : ИЛ, 1948
342 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V Исходя из этого выражения, для фе можно показать, во-первых, что на по- поверхности эллипсоида фе = /ЗиХ, где константа и определяется уравнением G4 11), и, во-вторых, что на по- поверхности эллипсоида производная фе по нормали п к этой поверхности равна дп дп Непрерывность касательных, слагающих напряженности Н магнитного поля на поверхности эллипсоида, эквивалентна непрерывности потенциала ф на этой поверхности, что дает а = /Зи. Далее непрерывность нормальной слагающей магнитной индукции В на той же поверхности, ввиду G3.2), выражается уравнением дфе дф, an on „ дфг дх т т дх Гак как = а— и Ion = /о — i то, воспользовавшись приведенным вы- дп дп дп Офе ОХ ражением для —— и сокращая на —, получаем дп дп -у,ер{и - 1) = -Цхос + 4тг/0- Исключая, наконец, из двух полученных уравнений постоянную а, получаем _ 4тг/р const уХеA - и) + ЦгП ft, +ЦеA/и - 1) Так как фе, а стало быть, и НЕ зависят от це только через посредство коэф- коэффициента 0, то формула G4 10) доказана. Интеграл G4.11) выражается в элементарных функциях, а именно: при 7 = а/с < 1 где А = ,Jl - 7V7, при 7 = а/с > 1 ( 72-1 \2А Для наших целей достаточно рассмотреть три случая. 1) Эллипсоид вытянут, и его ось симметрии гораздо длиннее двух других осей: а> с; иными словами, магнит представля- представляет собой длинный тонкий стержень. В этом случае значение и очень мало (и ~ — In - ), множитель у це в знаменателе фор- V а2 с/ мулы G4.10) очень велик и Не в первом приближении обратно пропорционально це: Яе<х>—. G4.12) Ре 2) Эллипсоид вырождается в шар: а = с; в этом случае (кото- (который будет также непосредственно рассмотрен в задаче 34 в конце
§ 74 ДРУГОЙ ВАРИАНТ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 343 этого параграфа) и — 1/3, и формула G4.10) принимает вид tfecu—L-. G4.13) 3) Наконец, эллипсоид сплюснут и его ось симметрии гораз- гораздо короче двух других осей а<с; иными словами, магнит пред- представляет собою плоский диск, намагниченный перпендикулярно плоскости симметрии. В этом случае значение и близко к едини- единице (и ~ 1 — 7га/2с), множитель у це в формуле G4.10) очень мал, и Не в первом приближении вовсе не зависит от це: Несо-. G4.14) Таким образом, форма магнита играет решающую роль и никакой универсальной зависимости поля магнита от проницае- проницаемости /j.e внешней среды не существует. Часто встречающееся утверждение, что напряженность поля магнита обратно про- пропорциональна це, справедливо только для длинных стержнеоб- разных магнитов. Магниты же дискообразные аналогичны элек- электрическим токам в том отношении, что напряженность их поля во внешней среде практически от ее проницаемости це не за- зависит. Все сказанное о постоянных магнитах справедливо, очевид- очевидно, и для электромагнитов с магнитным сердечником, — ведь молекулярные токи, обусловливающие постоянный магнетизм, создают поле по тому же закону, как и токи проводимости, а для применимости предшествующих рассуждений существенно лишь, чтобы проницаемость /ij материала, по поверхности кото- которого циркулируют токи, оставалась неизменной при изменени- изменениях /ле. Иначе обстоит дело с полем линейного контура тока или по- полем (открытого) соленоида. В этом случае внешняя среда за- заполняет пространство между витками тока, и напряженность магнитного поля в ней от ее проницаемости це практически не зависит (как и в случае строго однородной среды). Действитель- Действительно, в этом случае замкнутые (либо винтообразные — см. § 53) силовые линии магнитного поля в основной своей массе распола- располагаются целиком в однородной внешней среде. При намагничении среды магнитные диполи этой среды, ориентируясь по направле- направлению поля, будут образовывать замкнутые (или лишенные начала и конца винтообразные) цепочки, вследствие чего заряды смеж- смежных диполей будут взаимно нейтрализоваться. Подобное намаг- намагничение среды, очевидно, не вызовет изменения поля. Напротив, при наличии сердечника практически каждая маг- магнитная силовая линия пересекает поверхность раздела между сердечником и внешней средой. Скачок намагничения на этой поверхности эквивалентен появлению на ней индуцированных
344 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V поверхностных магнитных зарядов [см. G3.12)] плотности а'и = - Div xH = ±(яеНеп - х,Яш), где хе и щ ~ восприимчивости внешней среды и магнита. Поле этих индуцированных зарядов, очевидно, видоизменяет резуль- результирующее поле тока. 6. Нам остается рассмотреть зависимость пассивных характе- характеристик магнитов и токов от проницаемости однородной внешней среды. В следующем параграфе будет показано, что силы, дей- действующие на источник магнитного поля (магнит и ток) в задан- заданном внешнем магнитном поле индукции В, могут быть однозначно определены, если известно «собственное» поле Н', возбуждаемое этим источником. Поэтому силы при заданной индукции внеш- внешнего поля В изменяются при изменениях це так же, как и соб- собственное поле Н'. Таким образом, к пассивным характеристи- характеристикам магнитов и токов непосредственно применимо все сказанное об их активных характеристиках. В частности, никакой универ- универсальной зависимости как пассивных, так и активных характери- характеристик магнитов и токов от проницаемости це однородной внешней среды не существует. Никакой разницы в этом отношении меж- между постоянными магнитами и электромагнитами с сердечниками также нет: если эти магниты имеют удлиненную стержнеобраз- ную форму, то действующая на них сила определяется напря- напряженностью внешнего поля Н (т. е. обратно пропорциональна це при заданном В); если же они имеют дискообразную форму, то действующая на них сила определяется индукцией внешнего по- поля В (т. е. при заданном В от це не зависит). Последний случай имеет место также для линейных токов и электромагнитов без сердечника. Вместе с тем становится понятным обычное утверждение, что, измеряя магнитное поле по величине пары сил, действую- действующих на помещенную в него магнитную стрелку или же на пет- петлю тока, мы в первом случае (удлиненный стержень) измеряем напряженность поля Н, а во втором — его индукцию В. Задача 34. Определить поле равномерно намагниченного постоянного магнита сферической формы в однородной внешней среде проницаемости /j.e. § 75. Пондеромоторные силы, испытываемые постоянными магнитами во внешнем магнитном поле 1. В § 73 и 74 мы применяли для вычисления действующих на магнит сил формулу G3.16), написав ее по аналогии с электростатикой. Теперь мы дадим надлежащее обоснование этой формуле Строгий вывод выражения для пондеромоторных сил, действующих в магнитном поле, будет дан в § 83. Однако в основу этого вывода будет поло- положено определенное выражение для энергии магнитного поля, справедливое
§ 75 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 345 лишь для неферромагнитных сред. Поэтому результаты § 83 к постоянным магнитам непосредственно неприменимы. Если, однако, мы откажемся от рассмотрения внутренних натяжений, вызываемых в постоянных магнитах внешним магнитным полем, и ограничимся определением, во-первых, рав- равнодействующей F сил, приложенных к магниту, и, во-вторых, результирую- результирующего момента N этих сил, то для однозначного решения этой задачи вполне достаточно результатов § 33 и 84. Действительно, пондеромоторные силы электромагнитного поля могут быть сведены к натяжениям (см. § 33 и 84). Поэтому слагающие равнодей- равнодействующей F и пары сил N, приложенных к магниту, должны равняться [см. C3.2) и C3.9)]: Fx = <f> Тхп dS, Nx = (j)(yTzn - zTyn)dS, G5.1) s s где замкнутая поверхность интегрирования S охватывает магнит и прилега- прилегает к его поверхности с ее внешней стороны. Другими словами, 5 расположе- расположена целиком в неферромагнитной среде. Следовательно, компоненты тензора натяжений Т в G5.1) должны определяться формулами, справедливыми для неферромагнитной среды. В § 84 будет доказано, что компоненты тензора натяжений магнитного поля в неферромагнитной среде равны Т„ = -?- (Hi -\нЛ, Тху = ¦?- НХНУ, Txz = -?¦ HXHZ 47г \ 2 / 4л- 4тг G5.2) и аналогично для Т,,, Т,г ит. д.1). Заметим, что с точки зрения теории, исходящей из представления о существовании магнитных зарядов, формула G5.2) может быть непосредственно получена из соответствующей электро- электростатической формулы C4.2) путем замены Е на Н и е на ц. Внеся G5 2) в G5.1), можно вычислить равнодействующую F и резуль- результирующий момент N сил, действующих на магнит в магнитном поле Н. 2. Если, внеся G5.2) в G5 1), преобразовать входящие в G5.1) интегралы с помощью формул C3.3) и C3.7), то мы получим формулы: V где введено обозначение эк дТхх , дТху , dTxz N= f[R?K]dV, G5.3) 3T ^ + ^ + ^, G5.4) ах ду dz причем предполагается, что компоненты Тхх, Тху и т. д. тензора Т выра- выражаются формулами G5 2), справедливыми для неферромагнитной среды. Определяемый при этом условии формулами G5.4) вектор Рк может быть назван «эквивалентной плотностью» пондеромоторных сил в постоянном магните. Действительно, из изложенного следует, что мы получим правиль- правильное значение равнодействующей F и результирующего момента N сил, при- приложенных к магниту, если внесем выражения G5.4) в G5.3) и произведем интегрирование по всему объему магнита. Однако истинное распределение пондеромоторных сил f по объему магнита может быть совершенно отлич- отлично от распределения «эквивалентных» сил, Рк, ибо тензор натяжений Т х) Мы ограничиваемся здесь рассмотрением только максвеллового тензора натяжений, обозначенного в § 84 через Т', и отбрасываем тензор Т", ибо последний изменяет лишь распределение натяжений в среде, но не влияет на F и N.
346 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V выражается формулами G5.2) лишь вне магнита, внутри же магнита его компоненты нам неизвестны и могут совсем иначе зависеть от векторов Н и В. Поэтому можно утверждать только, что если фактически приложенные к элементам объема магнита силы f заменить силами Рк, то это не изменит ни равнодействующей, ни результирующего момента всех сил, приложенных к магниту. Таким образом, эквивалентной плотностью сил fэк можно пользоваться лишь в тех случаях, когда нас не интересует распределение пондеромотор- ных сил по объему магнита. Зато в этих случаях введение в рассмотрение эквивалентных сил f3K весьма удобно потому, что, как мы сейчас покажем, Рк может быть просто выражена через плотность постоянных магнитных зарядов р° и плотность токов проводимости j в магните. 3 Внеся G5.2) в G5.4) и выполнив дифференцирование, получаем после надлежащей перегруппировки членов. G5.5) Так как дНу дНх ^ 4тг . дНх дНг ± „ 4тг . —--—— =rot,H= — 3z и — — =rotyH = — Зу, ох ду с dz ох с то сумма второго и третьего членов равна — Съ • vHz - jz ¦ уНу) = — (j • цн]х. с С Поэтому G5.5) является слагающей по оси х следующего векторного равен- равенства fSK = — Н div (рН) + - (j ¦ рН] - — H2Vfi. 4тг с 87г Воспользовавшись уравнением G3.7), которое применимо как в обыч- обычном, так и в новом варианте теории, получаем окончательное выражение для эквивалентной плотности пондеромоторных сил в постоянном магните: Гк = р°Н +-\j-fiH]- — - Я2Ур. G5.6) С 87Г Первый член справа выражает силу, действующую на постоянные магнит- магнитные заряды, и совпадает с формулой G3.16), которую мы, таким образом, доказали. Второй член отличается от обычного выражения F5.1) силы, действую- действующей на токи проводимости, только заменой вектора В вектором /хН, кото- который отличается от В лишь в постоянных магнитах [см. уравнение G3.2)]. Наконец, последний член справа выражает силу, зависящую от неоднород- неоднородности магнитной проницаемости магнита. Вплоть до указанной замены век- вектора В вектором цН совокупность двух последних членов в G5.6) совпа- совпадает с выражением (84.1) для пондеромоторных сил в неферромагнитных средах1). 4. Формула G5.6) по своему виду соответствует представлению о су- существовании в постоянных магнитах магнитных зарядов. Можно, однако, получить и другое равносильное выражение для f3K, в котором постоянные магниты характеризуются распределением в них не магнитных зарядов, а постоянных молекулярных токов. г)В формулу (84.1), помимо сил f, входят также и стрикционные силы f", которые соответствуют отброшенному нами стрикционному тензору Т" (см. примечание к с. 160).
§ 75 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 347 Вместо того чтобы соответствующим образом преобразовывать форму- формулу G5.6), удобнее с этой целью вернуться к исходным формулам G5.2). Вос- Воспользовавшись тем, что на поверхности 5, по которой производится инте- интегрирование в G5.1), 1о = 0 и поэтому В = рН, можно записать уравнения G5.2) в следующей форме: ВХВУ, Txz = -^—BXBZ. G5.7) Внеся эти выражения в G5.4) и выполнив дифференцирование, после надлежащей перегруппировки членов получим Aicfl = -Bx<hvB + By< — ( —- ) —}? + 4л-р \ 2 / 4тг/х Первый член справа равен нулю, так как divB = 0. Следующие два члена могут быть преобразованы с помощью формулы G4.9): /В\ 4тг о rot — = — (j+jmo совершенно так же, как были преобразованы аналогичные члены в G5.5). В результате получаем следующее выражение для Рк: 1^Vp. G5.8) Последний член этого выражения соответствует последнему члену преж- прежней формулы G5.6) и совпадает с ним при 1о = 0. Главный же первый член формулы G5.8) выражает тот факт, что пондеромоторное воздействие внешнего поля В на постоянные молекулярные токи jMCU] такое же, как и на токи проводимости j, и что постоянные магниты вполне характеризуются распределением в них токов jZon- В заключение сделаем два замечания. Выражения G5.6) и G5.8) для эк- эквивалентной плотности пондеромоторных сил внешнего поля в постоянных магнитах равносильны друг другу в том смысле, что, как явствует из выво- вывода этих выражений, оба они после подстановки в G5.3) приводят к одина- одинаковому значению равнодействующей F и результирующего момента N сил, испытываемых магнитом в магнитном поле. Однако эти выражения G5.6) и G5.8) отнюдь не равны друг другу, т. е. соответствуют различным рас- распределениям натяжений и объемных сил по объему магнита. Вовсе нельзя быть уверенным, что хотя бы одно из этих распределений соответствует дей- действительности, ибо использованный нами метод позволяет определить лишь равнодействующую F и результирующий момент N приложенных к магни- магниту сил; распределение же этих сил по объему магнита может быть получено только путем гораздо более углубленного анализа всей проблемы в целом. В этом параграфе мы ограничились для краткости рассмотрением толь- только объемных магнитных зарядов р^ и объемных молекулярных токов j2,o.n. Выражения для поверхностной плотности пондеромоторных сил, приложен- приложенных к поверхностным зарядам и токам <т„ и 1„, получатся, очевидно, из со- соответствующих членов формул G5.6) и G5.8) путем замены р^ на о'м и i'Lon на i° Hd 'мол- Учет сил, действующих на поверхности разрыва проницаемости у., так- также не представляет затруднений. 6. Нам остается доказать сделанное в конце § 74 утверждение, что силы, действующие на источник магнитного поля (магнит) во внешнем магнит-
348 МАГНЕТИКИ (НАМАГНИЧИВАЮЩИЕСЯ СРЕДЫ) ГЛ V ном поле заданной индукции В^в\ могут быть определены, если известно «собственное» поле Н^с\ возбуждаемое этим источником (магнитом), и что при изменениях проницаемости ухе внешней среды, окружающей магнит, эти силы изменяются так же, как собственное поле Л^с' магнита. Ввиду сделанного в § 73 допущения о линейности уравнений магнитного поля результирующее поле во внешней среде равно н = н(в) + н(с) = — в(в) + н(с). Ре Согласно G5.1) действующие на магнит силы определяются тензором натя- натяжения Т в окружающей неферромагнитной среде. Согласно G5.2) компо- компоненты этого тензора квадратичны относительно Н, так что, например, Тху = g {tf <B)tf <в) + Н^Н^ + НРН™ + Я<е)Я<с>} . Натяжение — Нх Ну определяет силы, которые испытывало бы ве- щество магнита при отсутствии в нем постоянного намагничения, возбуж- возбуждающего поле Н'с' Силы эти определяются по формулам, выведенным для неферромагнитных тел, и нас сейчас не интересуют. Натяжения — Нх Ну 4л- выражают действие различных элементов постоянного магнита друг на дру- друга и ничего не прибавляют к равнодействующей F и моменту N этих сил. Таким образом, силы, действующие на магнит во внешнем поле, определя- определяются натяжением типа тху = g (я«я<«> + н^ну) = -L чем и доказывается приведенное утверждение. Нами не было в предыдущем учтено то обстоятельство, что изменение проницаемости fie внешней среды при неизменной проницаемости рг магни- магнита неизбежно связано с изменением индукции внешнего поля В'в' вблизи магнита. Однако нетрудно показать, что если внешняя среда однородна и если внешнее поле тоже однородно вдали от магнита, то это обстоятельство не нарушает правильности доказанного утверждения.
ГЛАВА VI КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ § 76. Индукция токов в движущихся проводниках Выяснив основные свойства стационарного электромагнит- электромагнитного поля, напряженность которого от времени не зависит, пе- перейдем к изучению поля переменного. Обращаясь прежде всего к изучению индукции токов, мы изложим предварительно ряд соображений, которые помогут нам уяснить природу этих явле- явлений и связать их с уже известными нам фактами. 1. Пусть замкнутый металлический проводник L, к которому не приложено сторонних ЭДС, движется во внешнем магнитном поле 1) Н с некоторой скоростью v. Обозначим через и скорость относительно проводника L какого-либо из «свободных» элек- электронов проводимости этого проводника; тогда полная скорость электрона будет равна v': v' = v + u, и, согласно D5.3), на электрон будет действовать лоренцева сила F' = -с [v'H] = - [vH] + -c [uH]. G6.1) Второй член справа перпендикулярен скорости и электрона от- относительно проводника, и поэтому соответствующая этому чле- члену сила не будет изменять скорости и, а будет лишь искривлять путь электрона в проводнике. Влияние этой силы на распреде- распределение токов и зарядов в проводнике (эффект Холла) было уже рассмотрено в § 45 и нас в дальнейшем интересовать не будет. Что же касается первого слагающего силы F': F = -с [vH], G6.2) отличного от нуля только в движущихся проводниках, то эта си- сила F, вообще говоря, не перпендикулярна и и поэтому может ускорять (и замедлять) движение электронов относительно про- проводника, т. е. может возбуждать электрические токи. Так, напри- 1) В этом параграфе для простоты мы будем предполагать, что магнитная проницаемость проводника /х = 1, т. е. что в нем Н = В
350 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI мер, в отрезке проводника L\ (рис. 68) лоренцева сила, прило- приложенная к отрицательным электронам (е < 0), будет гнать их по проводнику влево. Следовательно, в проводнике возникает электрический ток. Так как на- направление тока условно счи- считается обратным направлению движения отрицательных за- зарядов, то ток этот окажется те- F(e<0) С. F(e>0) кущим слева направо. В этом . {") состоит явление индукции то- ков при движении проводника в магнитном поле, которое, та- таким образом, получает весьма н простое истолкование на осно- Рис 68 ве ранее установленных нами законов постоянного поля. 2. Подсчитаем силу индукционного тока. С этой целью заме- заметим, что сила G6.2), испытываемая в магнитном поле Н электро- электроном, движущимся вместе с проводником со скоростью v, равна силе, испытываемой электроном в электрическом поле напря- напряженности Е', если Е' = - [vH]. G6.3) Из второго закона Кирхгофа следует, что под воздействием поля Е', а стало быть, и под воздействием эквивалентного Е' поля Н, в замкнутом контуре L должен возникнуть ток, сила которого J определится из уравнения C8.6): JR= (f>E'ds = ?""*, G6.4) L где R — сопротивление контура L, а <?"инд — циркуляция век- вектора Е' по контуру L. Эта последняя величина носит название электродвижущей силы индукции; согласно G6.3), она равна = --c (?v[dsH\, где последнее равенство написано на основании известного тож- тождества векторной алгебры: [ab]c = —a[cb]. Чтобы определить значение последнего интеграла, заметим, что v = dH/dt, где dR — перемещение рассматриваемого эле- элемента ds контура L за время dt. Стало быть, _? rf *?: [daH]. G6.5)
§ 76 ИНДУКЦИЯ ТОКОВ В ДВИЖУЩИХСЯ ПРОВОДНИКАХ 351 С другой стороны, из сравнения уравнения E0.3) с выражением для о А, приведенным на с. 229, следует, что ф SR [dsH] = 6Ф = S f Hn dS, где 5R — виртуальное перемещение элемента ds контура тока (ранее обозначавшееся через q), а 5Ф — обусловленное этим пе- перемещением изменение магнитного потока Ф сквозь этот контур. Заменяя в последнем уравнении 5R на dR. и сравнивая его с уравнением G6.5), получим с dt с dtj dS. G6.6) Это уравнение выражает собой известный закон индукции токов в движущихся проводниках: возникающая в проводнике электро- электродвижущая сила индукции равна скорости (деленной на с) изме- изменения потока магнитного вектора через контур этого проводника. Знак минус в уравнении G6.6) означает, что если магнитный поток через контур проводника численно увеличивается, то на- направление электродвижущей силы индукции в этом контуре со- составляет с направлением потока левовинтовую, а не правовин- товую систему. Обратно, при уменьшении Ф, направления Ф и ^>инд составляют правовинтовую систему. 3. Из уравнения G6.6) следует, в частности, что если замкну- замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что магнитный поток Ф через его контур остается постоянным, то, несмотря на это движение, ток в проводнике все же индуцироваться не бу- будет. К этому же выводу в ряде частных случаев можно прийти непосредственно из уравнения G6.2). Пусть, например, плоский контур L движется в поле Н так, что его плоскость неизменно остается параллельной и v и Н. В этом случае Ф неизменно равно нулю и, стало быть, согласно урав- д D нению G6.6), <?"инд тоже равно ну- лю. Непосредственно же из уравнений G6.2) следует, что пондеромоторная лоренцева сила направлена перпенди- кулярно к v и Н, т. е. в нашем случае перпендикулярно к плоскости контура, и, стало быть, не может вызвать дви- движения электронов вдоль контура, т. е. не может возбудить тока. Рассмотрим, далее, случай посту- поступательного движения проводящего контура ABCD (рис. 69) в однородном магнитном поле (Н одинаково во всех точках поля); в этом слу- случае все точки контура обладают одинаковой скоростью v. Оче- Очевидно, что поток Ф через контур проводника при этих условиях Е' С Рис. 69
352КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕГЛ VI изменяться не будет и, следовательно, ^инд будет равно нулю. Непосредственно же из постоянства векторов Н и v следует, что в параллельных сторонах проводника АВ и CD электро- электроны будут испытывать одинаковые по величине и направлению силы Е'. Силы эти будут стремиться вызвать циркуляцию элек- электронов (ток) по проводнику во взаимно противоположных на- направлениях, и действия их взаимно уравновесятся. 4. Покажем теперь, что выражение D4.5) для плотности пон- деромоторных сил f, испытываемых в магнитном поле обтекае- обтекаемым током проводником: f=?LJH], G6.7) с применимо не только к неподвижным, но и к движущимся про- проводникам. Согласно G6.1) сумма сил, испытываемых в магнит- магнитном поле Н всеми электронами проводимости, находящимися в единице объема проводника, равна ? = !f [vH] + If [tffl], где п — число электронов в единице объема, а и — средняя ско- скорость электронов относительно проводника. Однако магнитное поле действует не только на электроны, но и на положительные ионы, образующие твердый кристаллический скелет проводника и движущиеся, по условию, со скоростью v. Сумма сил, дей- действующих на ионы, находящиеся в единице объема проводника, равна „„ f+ = -^[vH], ибо при условии нейтральности проводника сумма зарядов ионов должна равняться с обратным знаком сумме пе зарядов электро- электронов. Следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к единице объема проводника, равна f = f' + f =Пв.[пН]. т с Так как, согласно D5.1), плотность тока j в проводнике равна j = пей х), то последняя формула, как и требовалось доказать, равносильна уравнению D4.5) или G6.7). 5. Основываясь на результатах этого параграфа, мы получаем возмож- возможность разрешить то кажущееся внутреннее противоречие теории, о котором упоминалось в § 45 Заключалось оно в том, что, согласно уравнению D5.3), сила, испытываемая электрическим зарядом в магнитном поле, перпенди- перпендикулярна его скорости и потому никакой работы совершать не может, меж- между тем как при движении несущего ток проводника (движущиеся заряды!) 1) Это выражение для j остается справедливым в движущемся нейтраль- нейтральном проводнике, ибо перенос заряда через неподвижную относительно на- наблюдателя единичную площадку внутри проводника (осуществляемый как электронами, так и неподвижными относительно проводника ионами) за единицу времени равняется j = ne(v + п) 4- (—ne)v = пей
§ 77 ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 353 пондеромоторные силы магнитного поля, несомненно, совершают некоторую работу. А именно, если скорость проводника равна v, то пондеромоторные силы магнитного поля, приложенные к единице объема проводника, совер- совершают, согласно G6.7), за время dt работу A = tvdt= -[jHJvdt G6.8) Объясняется это кажущееся противоречие тем, что работа пондеромо- торных сил магнитного поля f представляет собой лишь часть всей работы, совершаемой магнитным полем. Эта работа исчерпывалась бы выражением G6.8), т е. работой равнодействующей всех сил f, только в том случае, ес- если бы все заряды в проводнике двигались с одинаковой скоростью v Так как электроны движутся не со скоростью v, а со скоростью v' = v + и, то магнитное поле совершает над каждым из них еще дополнительную, не учтенную в G6.8) работу Fudt = - {[vH] + [uH]}udt = - [vHJucft С С и, следовательно, над всеми электронами в единице объема дополнительную работу А' = — u[vH] dt = i [vH] dt. G6.9) Таким образом, полная работа сил магнитного поля A + A' = -(jH]vdt4--j[vH]A = 0 G6.10) С С действительно равна нулю. Воспользовавшись обозначением G6.3), можно записать выражение G6.9) следующим образом: A'=jE'dt, G6.11) где Е' — напряженность электродвижущей силы, индуцированной в про- проводнике при его движении в магнитном поле. Таким образом, А' есть не что иное, как работа, совершаемая электродвижущей силой индукции при прохождении по проводнику тока j [cp уравнение C5.5)]. В макроскопиче- макроскопической теории электродвижущие силы, возбуждающие токи в проводниках, не причисляются к силам пондеромоторным, и пондеромоторная сила опре- определяется как результирующая всех сил поля, действующих на физически бесконечно малый объем тела. Итак, с точки зрения макроскопической тео- теории можно следующим образом резюмировать полученные нами результаты: при движении проводника в магнитном поле работа G6.8) пондеромогпор- ных сил этого поля равна по величине и противоположна по знаку работе G6.11) электродвижущих сил, индуцированных в проводнике его движени- движением в поле. Поэтому полная работа сил магнитного поля равна нулю. § 77. Закон электромагнитной индукции. Закон Ома для переменных токов 1. В предшествующем параграфе мы рассмотрели индукцию токов при движении замкнутого проводника L\ в заданном внеш- внешнем магнитном поле Н. Предположим теперь, во-первых, что это поле Н возбуждается током, циркулирующим в некотором непо- неподвижном контуре 1/2, и, во -вторых, что контур L\ движется рав- 12 И. Е. Тамм
354 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI номерно с постоянной скоростью v. Примем, далее, во внимание, что понятия покоя и равномерного движения относительны и что, согласно принципу относительности, взаимодействие двух равномерно движущихся тел (в данном случае контуров L\ и L-i) может зависеть только от относительной, но не абсолютной ско- скорости этих тел. Отсюда следует, что если, например, контур Ь\ неподвижен, а контур Ь% движется с постоянной скоростью, то явления индукции токов в контуре L\ должны оставаться преж- прежними. Стало быть, электродвижущая сила индукции, индуцирован- индуцированная в контуре Ь\, должна определяться формулой G6.6) и в том случае, если контур этот остается неподвижным, а изменение магнитного потока Ф через него обусловливается равномерным движением тока J2, возбуждающего поле Н. 2. Проведем только что изложенное рассуждение в более развернутой форме. Поскольку мы оперируем принципом относительности, нам нужно прежде всего установить, в какой или в каких системах отсчета справедливы изложенные нами в предшествующих главах законы электродинамики. Законы эти были установлены на основании экспериментов, при кото- которых, как и в большинстве физических экспериментов, отсчет движения про- производился относительно Земли. Однако более точные измерения1) показа- показали, что законы электродинамики, как и законы ньютоновой механики, лишь приближенно справедливы в земной системе отсчета и строго справедливы лишь в так называемых инерциалъных системах отсчета, т. е. в системах, в которых движение по инерции происходит согласно первому закону Ньюто- Ньютона. В частности, систему отсчета, связанную с «неподвижными» звездами, можно, как известно, с достаточной степенью точности считать системой инерциальной. Далее, согласно принципу относительности движения, все равномерно движущиеся относительно друг друга системы отсчета являются совершен- совершенно равноправными, и законы всех физических явлений должны быть оди- одинаковыми при пользовании отсчетами, произведенными в любой из этих систем. Стало быть, помимо системы неподвижных звезд, все равномерно движущиеся относительно нее системы отсчета также являются инерциаль- ными и во всех них должны быть справедливы одни и те же законы элек- электродинамики. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что измерения электромагнитного поля и отсчет поло- положения зарядов, проводников и т. д. производятся в некоторой определенной инерциальной системе К. г) Таков, например, опыт Майкельсона 1925 г. (не смешивать с опытом Майкельсона 1881 г.), в котором сравнивалось время, необходимое лучу све- света (электромагнитные волны) для прохождения замкнутого пути на земной поверхности в двух противоположных направлениях. Опыт этот представля- представляет собой оптический (т. е. электромагнитный) аналог механическому опыту Фуко и дает возможность обнаружить вращение Земли (см., например, Ва- Вавилов С. Экспериментальные основания теории относительности. — М.: ГИЗ, 1928, или Зоммерфелъд А. Оптика. — М.-. ИЛ, 1953. § 15). Соответствующий эксперимент впервые провел Ж. Саньяк A913 г.). Его именем сегодня назы- называют эффект появления фазового сдвига встречных волн во вращающемся кольцевом интерферометре. См., например, Малыкин Г.Б. // УФН. 2000. Т. 170 С 1325.
§ 77 ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 355 После этого отступления вернемся к нашей задаче Нами предполага- предполагалось, что в некоторой инерциальной системе К контур Li, по которому цир- циркулирует постоянный ток J2, неподвижен, а контур L\ движется с посто- постоянной скоростью v (первый случай). Далее рассматривался второй случай, когда L\ неподвижен в системе К, a Li движется с постоянной скоростью —V. Пусть инерциальная система К' движется относительно К с той же ско- скоростью —V. Условия второго случая при наблюдении его относительно си- системы К' идентичны с условиями первого случая относительно системы К. Поэтому явления индукции в L\ в обоих рассматриваемых случаях долж- должны оказаться совершенно одинаковыми, если в первом случае измерения производятся в системе отсчета К, а во втором — в системе К'. Наконец, результаты, которые получатся при измерении индукции во втором случае относительно системы К, могут быть определены из результатов измерения этого же случая в системе К' путем пересчета по правилам, устанавливае- устанавливаемым в теории относительности. В результате этого пересчета явления ин- индукции в двух рассматриваемых случаях при измерении их в обоих случаях в одной и той оке системе отсчета К окажуася несколько различными. Однако это различие стаяовится сколько-нибудь существенным лишь при очень больших скоростях v, сравнимых со скоростью света с. При v 4C с этим различием можно вовсе пренебречь, и мы приходим к утверждению, высказанному в начале параграфа. 3. Итак, электродвижущая сила индукции в контуре L\ дол- должна определяться формулой G6.6) при любом равномерном дви- движении контура L\ относительно тока Ji, возбуждающего поле Н. Естественно предположить, что уравнение это остается при- применимым и в том случае, если Li движется неравномерно (отно- (относительно инерциальной системы). Более того, мы предположим, что формула G6.6) остается справедливой и в том случае, если изменение магнитного потока через контур L\ обусловливается не только движением L\ или движением контура L^, несущего постоянный ток, но также и замыканием и размыканием тока в ?г, изменением его силы J2 (переменный ток) и т. д.; иными словами, мы предположим, что формула G6.6) применима вне зависимости от характера причин, обусловливающих измене- изменение магнитного потока Ф. Это предположение вполне соответ- соответствует духу теории близкодействия и теории поля вообще, ибо Оно, в сущности, сводится к допущению, что все электромагнит- электромагнитные явления в данном теле или в данном участке пространства Определяются напряженностью поля (и производными по време- времени) в этом участке пространства и вовсе не зависят от способа возбуждения поля. Резюмируем: исходя из выражения для лоренцевой силы D5.3), установленного на основании результатов изучения посто- постоянных токов, мы вывели закон индукции токов в контуре, дви- движущемся в постоянном магнитном поле. Обобщая, далее, область применимости этого закона на основании соображений, связан- 12*
356 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI ных с принципом относительности и с понятием поля, мы пред- предположили, что формула G6.6) имеет универсальное значение, т. е. что она применима вне зависимости от характера причин, обусловливающих изменение магнитного потока Ф. Опыт пока- показывает, что предположение наше соответствует действитель- действительности. 4. В предшествующем нами неявно предполагалось, что рас- рассматриваемые проводники находятся в вакууме вдали от других тел; только при этом условии можно утверждать, что явления индукции зависят лишь от относительной скорости проводников, а не зависят, например, от скорости проводников относитель- относительно магнитной среды. Отказавшись теперь от этого ограничения, допустим, что окружающее проводники пространство заполне- заполнено произвольными магнетиками (ц ф 1) и что сами проводни- проводники тоже способны намагничиваться, и зададимся вопросом, как скажутся эти факторы на форме закона индукции [уравнение G6.6)]. Как выяснилось в предшествующей главе, магнитные свой- свойства вещества обусловливаются наличием в нем молекулярных токов Значит, если закон индукции [уравнение G6.6)] применим в отсутствие магнетиков, то он должен оставаться справедли- справедливым и при наличии магнетиков при том, конечно, условии, что при подсчете потока Ф наряду с магнитным полем макроскопиче- макроскопических токов в проводниках будет учитываться также и магнитное поле молекулярных токов, циркулирующих в магнетике. Ины- Иными словами, входящий в уравнение G6.6) вектор напряженности макроскопического поля Н нужно заменить средним значением напряженности микроскопического магнитного поля Нмикро. В § 62 мы убедились, что среднее значение напряженности микроскопического поля в магнитных средах равно вектору маг- магнитной индукции В [уравнение F2.6)]: ¦Н-микро = •"• Заменяя поэтому в уравнении G6.6) Н через В и воспользо- воспользовавшись обозначением Ф для потока магнитной индукции [урав- [уравнение F5 3)], получим окончательный вид закона индукции то- токов, применимый в произвольной магнитной среде: с dtJ с dt к ' Закон этот гласит, возбуждаемая в произвольном замкну- замкнутом контуре электродвижущая сила индукции численно равна деленной на с скорости изменения потока магнитной индук- индукции Ф через этот контур, причем направление <?"ИНД составляет с направлением возрастания потока Ф левовинтовую систему [знак минус в формуле G7.1)!].
§ 77 ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 357 Опытные исследования вполне подтверждают справедли- справедливость формулы G7.1) 5. Обычно электродвижущая сила индукции в замкнутых кон- контурах определяется не путем непосредственного измерения, а кос- косвенно, на основании измерения силы тока в них. Определение это основывается на допущении, что законы Ома и Кирхгофа, установленные для токов постоянных, остаются справедливыми и для токов переменных. При этом, конечно, в формулировке этих законов, помимо сторонних электродвижущих сил, обуслов- обусловленных физико-химическими неоднородностями проводника (кон- (контактные, термоэлектрические и прочие электродвижущие силы), необходимо учесть также и электродвижущие силы индукции В частности, если мы здесь в отличие от гл. III не будем вклю- включать электродвижущую силу индукции в понятие сторонних электродвижущих сил, то сила тока в неразветвленном провод- проводнике выразится, согласно уравнению C8.6), формулой JR = «Г^Р + ^анд, G7.2) где R — сопротивление контура, а ?"СТр и <?"инд суть циркуляции по контуру испытываемых электрическими зарядами сил «сторон- «стороннего» и индукционного происхождения [уравнения C8 7) и G6.4)] Являющаяся одним из исходных пунктов предшествующих рассуждений формула G6.4) представляет собой частный слу- случай формулы G7.2), соответствующий сделанному в начале § 76 предположению, что <^>СТР = О В дальнейшем мы убедимся, что формула G7.2) оказывается непосредственно применимой к переменным токам лишь в том случае, если токи эти удовлетворяют условиям квазистационар- квазистационарности (§ 78 и 96). 6. На основании уравнения G7.1) формула G7 2) может быть записана так: G7.3) с dt Как уже указывалось, знак минус пе- перед членом в уравнениях G7.1) и G7.3) означает, что направление <?инд, а стало быть, и направление индук- индукционного тока JWHA составляют с направлением возрастания потока магнитной индукции Ф левовинтовую систему (рис. 70)х). 1) Поток Ф является скаляром, так что, в сущности, говорить о его направ- направлении нельзя Для краткости мы условно считаем поток Ф направленным по положительной или отрицательной нормали к плоскости тока в зависимости от того, положителен ли он или отрицателен
358 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Индукционный ток JHHA в свою очередь возбуждает в окружаю- окружающем пространстве соответствующее его силе магнитное поле Н', направление силовых линий которого составляет с направлением тока правовинтовую систему (§ 53). Отсюда следует, что поток Ф' вектора магнитной индукции В' = //Н' этого поля через кон- контур тока направлен в сторону, противоположную возрастанию потока Ф внешнего поля, индуцирующего ток ,/инд. Стало быть, мы вправе высказать следующее общее положение: при всяком изменении потока магнитной индукции через замкнутый про- проводящий контур в нем индуцируются токи в таком направ- направлении, что магнитное поле этих токов стремится компенси- компенсировать изменение потока магнитной индукции через контур проводника, т. е. стремится удержать постоянным поток Ф. § 78. Квазистационарные токи. Дифференциальные уравнения переменных токов 1. Закон электромагнитной индукции G7.1) играет чрезвы- чрезвычайно важную роль для всего учения о переменных токах. Пере- Переходя к изучению этих токов, мы во всей этой главе ограничимся рассмотрением токов квазистационарных. Переменные токи называются квазистационарными в том слу- случае, если с достаточной степенью точности можно принять, что магнитное поле этих токов 1), силы пондеромоторного взаимо- взаимодействия между ними и т. д. в каждый данный момент времени имеют то же значение, какое имели бы эти величины в случае по- постоянных (стационарных) токов той же силы, как и мгновенная сила переменных токов. Очевидно, что переменные токи могут удовлетворять условиям квазистационарности лишь в том слу- случае, если, подобно токам постоянным, они будут замкнутыми и будут обладать одинаковой силой во всех сечениях неразвет- вленных участков цепи2), что для переменных токов вообще не обязательно (§ 88). Далее, необходимо принять во внимание, что изменения элек- электромагнитного поля, обусловливаемые изменением силы токов и изменением распределения электрических зарядов, распростра- распространяются не мгновенно, а с конечной скоростью (§ 97). Поэтому в каждый данный момент t напряженность поля переменных то- токов, строго говоря, соответствует не мгновенному значению силы этих токов, заряда конденсаторов и т. д., а тем значениям, ко- которыми обладали эти величины в некоторый предшествующий г) Электрическое поле их, вообще говоря, отлично от поля постоянных то- токов (см. с. 395). 2) Очевидно, что эти требования являются также необходимыми условия- условиями применимости закона Ома G7.3).
§ 78 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ 359 момент времени t — т; при этом г равно времени, необходимому для распространения электромагнитных возмущений от соответ- соответствующих участков цепи до рассматриваемой точки поля. Таким образом, поле переменных токов может удовлетворять условиям квазистационарности лишь в ограниченной области пространства в непосредственной близости от этих токов и при- притом, очевидно, лишь в том случае, если сила токов, заряды кон- конденсаторов и т. д. не изменяются сколько-нибудь значительно за тот промежуток времени г, который требуется для распро- распространения электромагнитных возмущений между двумя наибо- наиболее удаленными точками рассматриваемой системы токов. Таким образом, основным условием квазистационарности яв- является достаточная медленность изменений поля, которая, как мы убедимся в § 88, гарантирует также и приближенную замкну- замкнутость переменных токов. Практически те переменные токи, с которыми имеет дело тех- техника сильных токов (десятки, сотни и тысячи периодов в секун- секунду), с достаточной степенью точности удовлетворяют условиям квазистационарности; к быстрым же электрическим колебаниям, применяющимся в радиотехнике, теория квазистационарных то- токов оказывается, вообще говоря, неприменимой или применимой лишь с известными ограничениями. 2. Чтобы рассмотреть следствия, вытекающие из установлен- установленного в предшествующем параграфе закона индукции, нам до- достаточно будет ограничиться случаем двух замкнутых неразвет- вленных контуров тока L\ и L2, находящихся в диа- или пара- парамагнитной среде; среды ферромагнитной мы пока рассматривать не будем. Напишем для каждого из контуров тока L\ и L% уравнения G7.2) и G7.3): e с dt = 1, 2. G8.1) С другой стороны, поток индукции Фх, пронизывающий, на- например, контур первого тока (г = 1), равен сумме среднего пото- потока Фи, посылаемого им самим через свой собственный контур 1) , и потока Ф12, посылаемого через его контур вторым током J2, причем, согласно уравнению F5.6), *1 = Фи + ф12 = \ LnJi + e- Li2 J2, где Ьц и L\2 суть коэффициенты само- и взаимоиндукции. Эти- Этими выражениями, выведенными для токов постоянных, мы мо- можем воспользоваться и для токов переменных в случае их ква- квазистационарности . 1) О смысле этой величины см. сказанное относительно Фц на с. 238.
360 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Внося их в уравнение G7.1), получим значение электродви- электродвижущей силы индукции в первом контуре (Lu + Ll2 + j + J2) с dt с2 V u dt l dt 1 dt 2 dt ) G8.2) и аналогичное уравнение для второго контура. Таким образом, электродвижущая сила индукции в первом контуре будет зави- зависеть как от скорости изменения силы токов J\ и Ji, так и от скорости изменения коэффициентов индукции L\\ и L\2- В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда контуры L\ и Li находятся в однородной внешней диа- или парамагнитной среде1). При этом условии значения коэффициентов Lx и Li определяются геометрической конфигурацией контуров [см. урав- уравнение F5.7), а также с. 236], следовательно, значения производ- dJ dL dJ-i\\ dL\2 т ных —— и —— зависят лишь от изменения этой конфигурации, dt dt ,j т. е. от характера перемещения контуров L\ и Li. При этом —— dt зависит лишь от изменения формы первого контура (если кон- контур не деформируется, то L\\ постоянно) и —— — От изменения dt взаимного расположения контуров L\ и Li- По внесении уравнения G8.2) и соответствующего выраже- выражения для (?^нд в уравнения G8.1) мы получим два линейных диф- дифференциальных уравнения для J\ и Jii из которых можно опре- определить Jx и J2 в функции от времени, если только <^1стр, ^2тр, Liiy L\i и Lii суть известные заданные функции времени. В частности, если контуры обоих токов неподвижны друг относи- относительно друга и не подвергаются деформации, то коэффициенты индукции будут постоянными, и для Ji и J2 будет иметь место следующая система линейных уравнений с постоянными коэф- коэффициентами: •w. + ^..f + ^f-'Г. 3. Рассмотрим в заключение частный случай индукции токов в контуре Li, который без деформации (Lu = const) перемеща- перемещается в постоянном магнитном поле, например в поле постоян- постоянного тока Ji. Строго говоря, появление индукционного тока в контуре L\ влечет за собой возбуждение соответствующего маг- внешняя среда неоднородна, то изменения коэффициентов Ln и Li2 могут обусловливаться также и перемещениями этой среды, например вдвиганием внутрь одного из контуров какого-либо сердечника, способного намагничиваться.
§ 79 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПОЛЕ ТОКОВ 361 битного поля, что в свою очередь должно возбуждать вторичные индукционные токи в контуре 1,2 и т. д. Таким образом, пред- предположение о постоянстве внешнего магнитного поля сводится, в сущности, к предположению, что сила вторичного тока, индуци- индуцируемого в контуре 1/2, столь мала по сравнению с постоянной сла- слагающей тока J2, что током этим можно полностью пренебречь. При этом условии формула G8.2) примет вид 4. Формулы G8.2) и G8.3) играют чрезвычайно важную роль в учении о переменных токах вообще и в электротехнике в част- частности. Область их применения весьма обширна; к ней относится теория динамомашин, трансформаторов, электроизмерительных приборов и т. д. Отсылая читателя за всеми подробностями к специальным сочинениям, мы ограничимся рассмотрением лишь нескольких примеров в § 80 после ознакомления с вопросом о магнитной энергии токов. § 79. Преобразование энергии в поле переменных токов. Энергия магнитного взаимодействия токов. Правило Ленца В главах IV и V мы вовсе не касались вопроса об энергии магнитного взаимодействия токов и об энергии магнитного поля вообще. Объясняется это тем, что рассмотрение этого вопроса, к которому мы теперь перейдем, возможно только на основании учета явлений электромагнитной индукции, с которыми мы по- познакомились лишь в начале этой главы. 1. Рассмотрим индукционное взаимодействие переменных то- токов J\ и J2 с энергетической точки зрения. При этом необходимо учесть следующие превращения энергии: 1) выделение джоулева тепла Q в цепи токов, 2) работу Р сторонних электродвижущих сил, 3) механическую работу А пондеромоторных сил магнитно- магнитного поля, совершаемую при перемещении контуров тока, и, нако- наконец, необходимо, как мы увидим, принять во внимание 4) энер- энергию магнитного взаимодействия токов WM и учесть изменение dWM этой энергии при изменениях как силы токов J\ и J2, так и их взаимной конфигурации 1). Рассмотрим изменение всех этих видов энергии, совершающе- совершающееся за некоторый бесконечно малый элемент времени dt. Начнем ) В ряде случаев (например при наличии в цепи конденсатора —см. § 89) необходимо еще принять во внимание и изменение энергии электрической. Однако это не влияет на окончательный результат вычислений Вполне стро- строго все эти вопросы будут заново рассмотрены нами в § 92
362 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI с энергии механической. В § 52 и 65 мы установили, что работа А пондеромоторных сил магнитного поля постоянных токов равна убыли потенциальной функции этих токов U [уравнения F5.5) и F5.8)]: А = -{dU)j, U = -±(± LnJl + L12J1J2 + \ Таким образом, в случае постоянных токов А = -{dU)j = ±(\ A dLn + J1J2 dL12 + i Jf dL22) , G9.1) где индекс J у dU означает, что при определении изменения функции U силы токов J полагаются постоянными 1), и где dLn, dLtf, dL22 суть изменения коэффициентов индукции за время dT. Но, согласно приведенному в начале этого параграфа опреде- определению термина «квазистационарный», силы взаимодействия ква- квазистационарных токов в каждый данный момент времени равны силам взаимодействия постоянных токов той же силы J\ и Зч,- Следовательно, формула G9.1) должна оставаться применимой и в случае квазистационарных токов (конечно, при условии вы- выбора элемента времени dt столь малым, чтобы сила этих токов за это время оставалась практически постоянной) 2). Переходим к определению изменения других видов энергии. Из закона Джоуля [уравнение C9.2)] непосредственно следует, что за время dt в обоих контурах выделяется количество джоу- лева тепла, равное Далее, согласно уравнению C9.3), сторонние электродвижу- электродвижущие силы совершают за это время в обоих контурах работу Если мы, например, предположим, что сторонние электродви- электродвижущие силы возбуждаются включенными в контуры гальваничес- гальваническими элементами или аккумуляторами, то Р dt будет измерять работу, совершаемую в контурах токов за счет химической энергии этих источников электродвижущей силы. Разумеется, при поль- пользовании последней формулой необходимо определенным образом ЧСм. с. 232. 2) Если допустить справедливость формулы типа А = —dU для квазиста- квазистационарных токов, то непосредственно ясно, что при определении работы А нужно учитывать лишь те изменения значения потенциальной функции U, которые обусловливаются перемещением проводников (т. е. изменением ко- коэффициентов индукции), ибо изменение силы токов в проводниках с ра- работой пондеромоторных сил поля связано быть не может. Отсюда явствует, что для квазистационарных токов формула А = —dU действительно должна быть уточнена в смысле формулы А = —(dU)j.
§ 79 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПОЛЕ ТОКОВ 363 выбрать направление положительного обхода каждого из конту- контуров и снабдить величины J, и <^стр соответствующими знаками. В зависимости от того, имеют ли, например, J\ и <?1стр одинако- одинаковые или различные знаки (т. е. направления), работа электро- электродвижущей силы <?1стр будет положительной или отрицательной. 2. Итак, за время dt должно иметь место увеличение механи- механической энергии (например кинетической энергии движения про- проводников) на величину А, увеличение тепловой энергии на Q dt и уменьшение энергии источников сторонних электродвижущих сил (например, химической энергии аккумуляторов) на величи- величину Pdt. Таким образом, общее увеличение Д всех этих видов энергии равно А = А + (Q - Р) dt, G9.2) причем, согласно уравнению G7.2), Q-P = MJ1R1 -f 4 С 4 G9.3) Внося это в уравнение G9.2) и выражая <fHHfldf и А с по- помощью уравнения G8.2) и уравнения G9.1), получим L22J2 dJ2 + - J откуда A = ~d Q LnA + L12JiJ2 + \ L22JZ) ¦ Таким образом, всякое изменение конфигурации контуров и сил токов в них связано с общим увеличением суммы механиче- механической, тепловой и химической энергии на величину А. На осно- основании закона сохранения энергии мы должны заключить, что эти процессы должны сопровождаться эквивалентным уменьше- уменьшением некоторого другого вида энергии. Какого именно? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно заметить, что с перемещени- перемещением проводников и изменением сил циркулирующих в них токов неразрывно связаны (помимо учтенных уже нами механических, тепловых и химических процессов) лишь изменения сил магнит- магнитного взаимодействия этих токов. Очевидно, стало быть, что маг- магнитному взаимодействию токов необходимо приписать некото- некоторую определенную энергию WM и что приращение А всех про- прочих видов энергии должно происходить за счет эквивалентного изменения dWM энергии магнитной: dWu = -A = +1 d (\ LnJt + L12JXh + \ L22JI) ¦ G9.4) С \ Z Z /
364 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Следовательно 1), Wm = ? (I LnJ* + Lu 3lh + \ Это выражение можно записать также следующим образом: ,fcЛЛ (t, k = l, 2). G9.6) Ясно, что магнитная энергия системы не двух, а произвольно- произвольного числа п токов выразится формулой такого же вида, в которой, однако, индексы ink будут пробегать все значения от 1 до п. 3. Сравнивая уравнение G9.6) с уравнением F5.8), получаем WM = -U. G9.7) Следовательно, магнитная энергия токов Wu равна взятой с обратным знаком потенциальной функции этих токов U. Таким образом, мы вновь убеждаемся, что эта потенциальная функция, как уже нами неоднократно подчеркивалось, вовсе не равна (по- (потенциальной) энергии токов. В уравнении G9.7) с особой ясностью проявляется то обстоя- обстоятельство, что смысл величин WM и U совершенно различен. Дей- Действительно, по определению функции U убыль ее —{dU)j равня- равняется механической работе А, совершаемой пондеромоторными силами магнитного поля; при этом при определении убыли — {dU)j по формуле G9.1) силу токов нужно полагать постоян- постоянной. Между тем убыль магнитной энергии —dWM равна сумме приращений всех прочих видов энергии, а не только энергии ме- механической, так что при определении убыли — dWM по формуле G9.4) нужно учитывать и изменение силы токов. Поэтому a priori нельзя было бы ожидать никакого простого соотношения меж- между величинами U и WM; однако, как показывает формула G9.7), такое соотношение в действительности существует. В случае постоянных токов в неподвижных проводниках, оче- очевидно, равны нулю как механическая работа А, так и изменение магнитной энергии dWM- В этом случае также <?инд = 0 и, соглас- согласно G9.3), Q — Р, т. е. работа сторонних сил целиком переходит в тепло. Механическая же работа А может совершаться лишь при пе- перемещении проводников, которое в свою очередь связано с по- появлением электродвижущих сил индукции, т. е. с нарушением равенства между выделенной теплотой Q и работой сторонних 1) Собственно говоря, заданием dWM значение WM определяется лишь вплоть до аддитивной постоянной, которую мы положим равной нулю для того, чтобы в отсутствие токов (Ji — J2 = 0) магнитная энергия оказалась равной нулю.
§ 79 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПОЛЕ ТОКОВ 365 электродвижущих сил. Избыточная (по сравнению с выделени- выделением тепла) затрата энергии источников этих электродвижущих сил (например химической энергии аккумуляторов) оказывается при этом достаточной не только для совершения механической работы А, но и для увеличения магнитной энергии WM. Действительно, из G9.4) и G9.2) следует: -dWM = A = A+{Q-P)dt, G9.8) что можно записать в следующей форме: 4. Предположим в качестве примера, что при перемещении контуров L\ и Z-2 сила токов J\ и J2 в этих контурах поддер- поддерживается постоянной путем непрерывного изменения сторонних электродвижущих сил, компенсирующего влияние индукции. В этом гипотетическом случае вытекающее из уравнений G9.1) и G9.7) соотношение А = -{dU)j = +(dWM)j G9.9) примет вид А = dWu, где dWM есть полное изменение магнитной энергии во время дви- движения, ибо, по условию, J, = const. Иными словами, механиче- механическая работа А будет равна приращению магнитной энергии, и С другой стороны, так как, по условию, силы токов остаются постоянными во время движения, то и количество выделяемой теплоты Q остается постоянным. Стало быть, во время движе- движения работа Р сторонних электродвижущих сил должна возрасти на (положительную или отрицательную) величину 2А, причем половина ее будет идти на увеличение магнитной энергии WM. Это возрастание работы Р объясняется тем, что для поддержа- поддержания постоянства сил токов во время движения необходимо изме- изменить сторонние электродвижущие силы так, чтобы компенсиро- компенсировать влияние электродвижущих сил индукции. Заметим, что перемещение контуров тока при условии Зг — = const с энергетической точки зрения вполне аналогично пере- перемещению обкладок конденсатора при условии <р\ — (р2= const. В последнем случае работа пондеромоторных сил электрического поля тоже равна приращению энергии этого поля: А = dWu, причем как работа А, так и приращение электрической энергии dW3 совершаются за счет работы (сторонних) электродвижущих сил, поддерживающих постоянство разности потенциалов обкла- обкладок конденсатора (см. § 18).
366 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Конечно, в действительности при движении проводников остаются постоянными в большинстве случаев не силы токов в них, а сторонние электродвижущие силы; сила же токов изменя- изменяется, что значительно усложняет явление. 5. Рассмотрим в заключение превращения энергии в конту- контуре Li, к которому не приложены сторонние электродвижущие силы (<?>1стр = 0) и который перемещается в постоянном магнит- магнитном поле, например в поле постоянного тока J2- Если при этом Z-ii остается постоянным, то электродвижущая сила индукции в этом контуре выразится формулой G8.4). Помножая формулу G7.2) на Ji, получаем С другой стороны, из уравнения G9.1) ввиду предполагаемой неподвижности контура Li (L22 = const) получаем А = — JiJ2dLi2. с2 Следовательно, А = -J*RX ± l X dt Если в начале движения тока в проводнике не было, то dJ\ > 0. Далее, L\\ и 3\Щ dt суть величины существенно положительные и, стало быть, А < 0. Следовательно, пондеромоторные силы магнитного поля совершают при движении проводника L\ от- отрицательную работу, т. е. противодействуют этому движению. Отсюда вытекает так называемое правило Ленца: индукционные токи, возникающие в проводнике при движении его в постоянном магнитном поле, направлены так, что испытываемые этими тока- токами пондеромоторные силы магнитного поля противодействуют движению проводника. § 80. Простейшие применения теории переменных токов. Трансформатор 1. Прежде чем переходить к применению полученных резуль- результатов к конкретным задачам, заметим, что переходом к прак- практической (а также и электромагнитной) системе единиц (§ 59) можно достигнуть устранения из всех формул последних пара- параграфов усложняющего их фактора с. Покажем это на примере формул G8.2) и G9.6). Пользуясь табл. III (с. 274), можно написать S = -L <Г, J = 3 • Ю9 J', L = 109L', 300
§ 80 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 367 где ?", J', L' суть выраженные в практических единицах (вольт, ампер, генри) значения электродвижущей силы, силы тока и ко- коэффициента индукции, тогда как <?, J, L являются значениями тех же величин в абсолютных единицах, которыми мы до сих пор и пользовались. Кроме того, практической единицей энер- энергии является джоуль, равный 107 эргов; стало быть, в тех же обозначениях w = w7w. Выражая в формулах G8.2) и G9.6) значения всех величин в практических единицах и внося в них значение коэффициента с = 3 • 1010, по сокращении получим \L[kJlJ'k. (80.2) tfc В последующих примерах и задачах мы часто будем пользо- пользоваться не абсолютной системой единиц, а практической, обычно применяемой в прикладном учении об электричестве. Пример 1. Превращения энергии при замыкании и раз- размыкании тока. Для уединенной недеформирующейся цепи тока, согласно уравнениям G7.2) и (80.1), можем написать, пользуясь практической системой единиц: J'R' = <Гстр - L'—, (80.3) где V = const есть самоиндукция цепи тока. Общее решение это- этого дифференциального уравнения в случае независимости ?"стр от времени имеет вид где а — произвольная постоянная интегрирования. Предположим, что разомкнутая ранее цепь тока замыкается в момент t = 0, так что J' = 0 при t = 0. Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо положить а = R' откуда Следовательно, сила тока при замыкании цепи нарастает экспо- экспоненциально от нуля до соответствующего закону Ома предель- предельного значения S"CTp/R'.
368 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛБ "Умножая исходное уравнение на J', получим at = J'2R' + | Q L'J'2). (80.4) или Таким образом, работа сторонних электродвижущих J'S"CTp затрачивается при замыкании цепи не только на преодоление (омического) сопротивления цепи R', т. е. на выделение джоу- лева тепла J'2R\ но и на приращение магнитной энергии тока WM = A/2)L'J12 (ср. уравнение (80.2)]. Этим постепенным на- накоплением магнитной энергии и обусловливается постепенность нарастания силы тока при замыкании цепи. Обратно, если в момент t — 0 в цепи циркулирует ток Jq и если в этот момент выключить из цепи источник электродви- электродвижущей силы так, чтобы цепь тока все же оставалась замкнутой (например замкнув источник электродвижущей силы накоротко), то сила тока не сразу упадет до нуля, а будет убывать по экспо- экспоненциальному закону: "Уравнение энергии в этом случае (<?" стр = 0) примет вид dt V2 ) dt Это значит, что после выключения электродвижущей силы ток в цепи будет все же поддерживаться за счет энергии, запасенной в магнитном поле тока, вплоть до того момента, пока вся эта энергия не перейдет в джоулево тепло. Соответственно этому скорость нарастания и убывания тока определяется значением R'/L', т. е. соотношением между «энер- «энергетической емкостью» магнитного поля тока, определяемой ко- коэффициентом L', и испытываемым током сопротивления или «трения», обусловливающего переход его энергии в тепло. Чем меньше сопротивление и чем больше самоиндукция, тем отно- относительно медленнее происходит изменение силы тока. Таким об- образом, коэффициент самоиндукции является мерой своего рода «электромагнитной инерции» тока. С энергетической точки зрения электрический ток в замкнутом провод- проводнике можно сравнить с вращением вала, несущего маховое колесо и приво- приводимого в движение двигателем. При пуске в ход двигателя (сторонние элек- электродвижущие силы) работа его затрачивается как на преодоление трения в подшипниках (сопротивление проводника), т. е. на выделение тепла (джоу- (джоулево тепло), так и на сообщение колесу кинетической энергии (энергия маг- магнитного поля тока), благодаря чему возрастание скорости вращения (силы
§ 80 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 369 тока) происходит постепенно. При выключении же двигателя вал продолжа- продолжает вращаться по инерции, причем кинетическая энергия колеса переходит в тепло, выделяющееся при трении. Пример 2. Самоиндукция в цепи переменного тока. 1. Предположим, что в замкнутую цепь тока включен некоторый источник переменной электродвижущей силы, например дина- динамо-машина. Электродвижущую силу этого источника мы будем рассматривать как некоторую стороннюю (нашей цепи) электро- электродвижущую силу S'{t), являющуюся заданной функцией времени. Тогда уравнение (80.3) примет вид J'R' + L'^? = ^{t). (80.5) 2. При рассмотрении происходящих в цепи явлений, как и в целом ряде дальнейших вопросов, мы ограничимся случаем пе- периодических переменных токов, сила которых является синусои- синусоидальной функцией времени. Эта форма зависимости токов от времени имеет наибольшее практическое значение и легче всего поддается математическому исследованию. Результаты изучения подобных токов могут быть приложены и к более сложным слу- случаям, ибо, как известно, любую периодическую функцию всегда можно разложить в ряд Фурье, каждый член которого является синусоидальной функцией времени. Как известно, оперирование с периодическими функциями весьма упрощается при пользовании комплексными выражения- выражениями. В дальнейшем мы всегда будем поэтому выражать синусои- синусоидально-периодические величины в комплексной форме. В част- частности, в рассматриваемом случае мы положим g'(t) = %еш\ J'(t) = 4еш, (80.6) где амплитуды электродвижущей силы и силы тока <^0' и Jq от времени не зависят, а ш есть циклическая частота тока и электро- электродвижущей силы 1). При этом амплитуды ?§ и Jg, вообще говоря, будут величинами комплексными. Непосредственное же физи- физическое значение имеет, конечно, лишь вещественная часть этих комплексных выражений. Мы можем, однако, воспользоваться тем обстоятельством, что вещественная часть результатов, полу- получаемых при выполнении линейных операций над комплексными выражениями, совпадает с результатами выполнения этих опе- операций над одними лишь вещественными частями исходных вы- выражений. Поэтому переход к вещественной части комплексных выражений, которой мы только и будем приписывать физиче- 1) Циклической частотой называется число периодов за промежуток вре- времени в 2тг секунд, тогда как термин «частота» без прилагательного означает число периодов за 1 с.
370 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI ский смысл, может быть совершен как до, так и после выпол- выполнения этих операций. Лишь при нелинейных операциях (напри- (например умножении) необходимо переходить к вещественным частям комплексных выражений до выполнения над ними этих операций (ибо вещественная часть произведения комплексных величин не равна произведению их вещественных частей). 3. Внося выражения (80.6) в уравнение (80.5), производя диф- дифференцирование по времени и сокращая затем полученные урав- уравнения на общий множитель eiut, получаем R'J'n + iwL'J'Q = Sq или _, 0 R' Комплексный знаменатель правой части целесообразно преобра- преобразовать с помощью известных соотношений В! + шЬ' = у/Я'2 + w2L'2 etv, Я! . шЬ' , шЬ' cosy = , =, sin ш = . =. tecp = . ^ VR'2+u2L'2' * VR'2+u2L'2' ь^ R' С помощью этих соотношений и обозначений получаем т/ _ Jo — вещественные же части тока J' и электродвижущей силы ?" вы- выразятся, согласно (80.6), формулами (считаем величину Sq веще- вещественной) = 4' co&ut, J'(t) = 7д,2^2ь,2 cos (U - у). (80.7) Таким образом, наличие самоиндукции в цепи переменного тока, во-первых, как бы увеличивает сопротивление цепи: ам- амплитуда тока Jq определяется частным от деления ?'й на «кажу- «кажущееся» или «эффективное» сопротивление \4\ = J§~, Кф = V^ + u^'2, (80.8) которое всегда больше «омического» сопротивления R'. Далее, наличие самоиндукции вызывает отставание фазы тока от фазы электродвижущей силы, причем сдвиг фазы (р, со- согласно формуле , ^, (80.9) тем больше, чем больше самоиндукция цепи и частота тока. При- Причина этого сдвига фазы такова же, как и причина постепенно- постепенности нарастания силы тока при замыкании цепи постоянного то- тока (пример 1): сила тока не успевает следовать за изменениями
§ 80 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 371 электродвижущих сил потому, что всякое изменение силы тока должно сопровождаться соответствующим постепенным измене- изменением запаса магнитной энергии. Потребляемая в цепи тока мощность, т. е. работа источника электродвижущей силы, отнесенная к единице времени, опреде- определяется выражением ?'{t)j'{t) = S'qJ'q cos tot • cos (ut - у?). Так как cos u)t ¦ cos (u)t — (p) = cos u)t • cos (p 4- cos uit ¦ sin шЬ ¦ sin (p и так как среднее значение cos2 cot и cos cot ¦ sin cot за период равно соответственно 1/2 и нулю, то средняя за период потребляемая мощность равна ЩГ(Г) = \ « cos у = \ J^+0SJLI2 ¦ (80-10) Таким образом, при заданной электродвижущей силе потреб- потребляемая в цепи мощность пропорциональна cos (р, т. е. тем меньше, чем больше сдвиг фазы (р. В предельном случае при (р = тг/2 потребляемая мощность равна нулю: в течение полупериода источник электродвижущей силы совершает положительную работу (<?"</' > 0), за счет ко- которой увеличивается запас магнитной энергии, тогда как за сле- следующий полупериод этот запас энергии вновь возвращается ис- источнику электродвижущей силы, совершающему отрицательную работу (?"L' < 0). Эти преобразования энергии происходят без потери на джоулево тепло, ибо tgtp = оо при (р = A/2)тг и, ста- стало быть, согласно уравнению (80.9), в этом предельном случае омическое сопротивление цепи должно равняться нулю (если шЬ' конечно). Пример 3. Элементарная теория трансформатора. Про- Простейшая схема трансформатора состоит из двух контуров то- тока (индукционных катушек), связанных между собой индукци- индукционным взаимодействием. Для увеличения этого взаимодействия (т. е. увеличения коэффициента взаимной индукции L12) обе ка- катушки обычно надеваются на общий железный сердечник, чем достигается значительное повышение магнитной проницаемости среды. Для упрощения мы, однако, предположим, что в поле ка- катушек никаких ферромагнетиков нет. Обычно одна из катушек или обмоток трансформатора (пер- (первичная) питается переменным током, доставляемым извне ка- каким-либо источником энергии, тогда как индукционные токи, возбуждаемые в другой обмотке (вторичной), отводятся к месту потребления электромагнитной энергии. Источник энергии, пи- питающий первичную обмотку, мы будем рассматривать как неко- некоторую стороннюю электродвижущую силу S[(t), являющуюся
372 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI заданной функцией времени; стороннюю электродвижущую си- силу во вторичной обмотке положим равной нулю. Применяя к трансформатору уравнения G8.3) и переходя к практической системе единиц, получим * * (80.11) V D' if1 dJ2 I r' "¦Jl _ л -*2Щ + 22~dj~ l2~dt Предположим, что электродвижущая сила ?{{t) является си- синусоидальной функцией времени с циклической частотой ш. То- Тогда из уравнений (80.11) следует, что и J[ и J'2 должны быть такими же функциями времени, так что в комплексной форме <ЭД = ^о^*, А = J'lOeiu}t (* = 1, 2), где S[q и J[q от времени не зависят. Внося эти выражения в уравнение (80.11), производя диффе- дифференцирование по времени и сокращая затем полученные уравне- уравнения на общий множитель elult, получаем J'WR[ + iuL'nJ[Q + iuL'u40 - %0, Из последнего уравнения получаем ¦^20 _ _ шЬ'12 _ u)L'12(wL'22 +»Дг) /gn <o\ J'l0 R'2+iuL'22 R'22+u2L'2\ K ' ' или, выполняя обычные преобразования, ¦^20 шЬ\2 xs . ^ _ R'2 т/ / р/2—' g r'7'2 ° Г' 0 "V 2 ^ 22 ^¦^-'22 В частности, в том практически важном случае, когда «индук- «индуктивное сопротивление» wL22 вторичной обмотки значительно больше ее омического сопротивления: из уравнения (80.13) получаем приближенно (пренебрегая i?2 по сравнению с wZ/22): ф = -ф. (80.14) Следовательно, подбирая надлелсащим образом индукцион- индукционные коэффициенты Z/12 и L'22, мы можем с помощью трансфор- трансформатора в произвольное число раз повысить или понизить силу тока во вторичной цепи по сравнению с цепью первичной.
§ 80 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 373 Конечно, потребление энергии во вторичной обмотке увели- увеличивает расход энергии источника электродвижущей силы, вклю- включенной в первичную обмотку. Действительно, из первого урав- уравнения (80.12) следует: J[o (R[ + шЬ' [o (R[ + шЬп Если вторичная обмотка отсутствует или разомкнута (R^ = оо), то J'2q = 0, и мы возвращаемся к рассмотренному выше примеру уединенной цепи переменного тока. Если же вторичная обмот- обмотка включена, то, внося из (80.13) значение J^o/^io B последнее уравнение, получаем J'w{{R'l+a2R'2]+iu}[L'n - a2L'22}} = S[Q, где Q,2 _ L?2 Таким образом, включение вторичной цепи эквивалентно увели- увеличению омического сопротивления и уменьшению самоиндукции первичной цепи. Оба фактора влекут за собой, согласно (80.9) и (80.10), уменьшение сдвига фазы в первичной цепи и увеличение потребления энергии источника электродвижущей силы &\{t). Задача 35. В постоянном однородном магнитном поле Н' равномерно вращается недеформируюнщйся замкнутый плоский контур L сопротивления R и самоиндукции Z/, к которому не приложено сторонних электродвижущих сил. Ось вращения пер- перпендикулярна к Н' и лежит в плоскости контура. Число оборотов в секунду равно п = ш/2тг. Соответственно этому поток магнит- магнитной индукции Ф' внешнего поля Н' через контур L определяется выражением Ф' = Ф'о cos tot. Значения всех величин предпола- предполагаются выраженными в практических единицах (штрихованные буквы). Показать, что в контуре L должен индуцироваться ток J': J' = шФп — sin (wt — ш), где (р есть сдвиг фазы тока по отношению к фазе электродвижу- электродвижущей силы индукции <?в'ншД, возбуждаемой в контуре изменением потока индукции Ф внешнего поля Н': СшД =-~ = 4 причем , шЬ' 6 ^ ~ R' '
374 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Показать, далее, что для поддержания вращения контура необходима затрата извне механической работы в количестве А 2(Я'2 где через Jq обозначена амплитуда тока J', причем в контуре L выделяется равное работе А количество джоулева тепла Q. Если предположить, что замкнутый контур L состоит из двух частей, из которых одна вращается в постоянном магнитном поле (якорь в поле статора), а другая неподвижна (сеть), причем контакт между обеими частя- частями контура во время вращения не нарушается, то мы получим простейшую схему генератора переменного тока, к которой применимы все результаты, получаемые при решении задачи 35 Однако на практике необходимо при- принимать во внимание, что переменные токи во вращающемся якоре в свою очередь индуцируют токи в обмотке статора, чем нарушается постоянство «внешнего» магнитного поля Н' Далее, в задаче 35 мы ограничились рас- рассмотрением установившегося режима тока, оставив без рассмотрения яв- явления, происходящие при возникновении и прекращении вращения якоря, изменении нагрузки сетки и т д § 81. Энергия магнитного поля. Энергетическое значение коэффициентов индукции 1. Полученное нами выражение энергии магнитного взаимо- взаимодействия токов в отсутствие ферромагнетиков G9.6) • гк по своей форме соответствует представлению о магнитном взаи- взаимодействии токов на расстоянии. В этом отношении оно вполне аналогично выражению энергии покоящихся электрических за- зарядов A5.5): 2 и гк Действительно, входящий в уравнение G9.6) член с2 может быть истолкован как энергия магнитного взаимодействия токов J\ и J2, а член 1 Т2 как «собственная» энергия тока J\, т. е. как энергия взаимодей- взаимодействия бесконечно тонких нитей тока, на которые может быть
§ 81 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 375 разложен этот ток. Далее, коэффициент взаимной индукции i2 в формуле G9.6) аналогичен коэффициенту l/Rn в формуле A5.5), ибо, согласно формуле E1.3), так что L\2 представляет собой некое среднее расстояние между контурами токов L\ и Z-2- 2 Нетрудно, однако, выразить магнитную энергию токов в форме интеграла по всему объему поля этих токов и тем самым, как и в случае электрического поля (§ 16), получить возможность интерпретировать энергию WM в духе теории близкодействия как энергию поля, а не как энергию взаимодействия токов. С этой целью мы воспользуемся формулами G9.7) и F5.9): (81.1) Выражая j, согласно уравнению F2.7), через rotH, получим W = — f ArotHdV. 8тг J Но, согласно общей формуле векторного анализа D4*), A rot Н = Н rot A + div [НА], причем, согласно уравнению F2.10), rot А можно заменить че- через В: ArotH = HB + div[HA]. Внося это выражение под знак интеграла и применив теорему Гаусса [уравнение A7*)], получим W = — fHBdV + — [div[HA]dV = S-к J 8W L J ±jdS. (81.2) [dV + S Если мы распространим интегрирование на весь объем пол- полного поля токов, то интеграл по пограничной поверхности этого поля обратится в нуль, и выражение для W примет вид W = — /HBrfV. (81.3) 8тг J V ' При этом под полным магнитным полем токов в соответствии с определением полного поля электрических зарядов (см § 16) понимается область пространства V, охватывающая все взаимо- взаимодействующие токи и все поле этих токов. Если, как это обычно
376 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI бывает, поле токов простирается в бесконечность, то под пол- полным полем можно и нужно понимать все бесконечное простран- пространство при непременном условии (см. § 16), что подынтегральные выражения в интересующих нас интегралах по пограничной по- поверхности поля (в данном случае [НА]) убывают при удалении этой поверхности в бесконечность быстрее, чем 1/R2. Если все токи расположены в конечной области простран- пространства, то это условие выполнено, ибо при удалении в бесконеч- бесконечность произведение [НА] убывает не медленнее, чем 1/Л3 (см. § 46, с. 217). 3. С точки зрения теории поля, формула (81.3) может быть истолкована следующим образом: магнитная энергия локализо- локализована в поле и распределена по его объему со вполне определенной плотностью wM, равной гим = — НВ. (81.4) В квазистационарных магнитных полях оба приведенных по- понимания магнитной энергии (как энергии взаимодействия токов и как энергии поля), разумеется, совершенно равноправны, ибо вытекают они из математически эквивалентных друг другу вы- выражений G9.6) и (81.3) (ср. § 16). Однако при переходе к быстро- переменным электромагнитным полям эквивалентность этих вы- выражений нарушается, и мы убедимся в следующей главе, что лишь представление о локализации магнитной энергии в поле может быть согласовано с данными опыта. 4. Заметим, что наша исходная формула G9.7), как неод- неоднократно упоминалось, справедлива лишь при условии отсут- отсутствия в поле ферромагнетиков. Этим ограничивается, таким об- образом, и область приложимости всех формул этого параграфа. Так как в отсутствие ферромагнетиков то формулы (81.3) и (81.4) могут быть записаны также следую- следующим образом: W = — (^Н2 dV, w = — цП2. (81.5) 8тг J ^ 8тг V ; Таким образом, при заданной напряженности поля энергия единицы его объема пропорциональна магнитной проницаемости среды. В случае поля в вакууме ^=1 и w = — H2. (81.6) 5. Рассмотрим энергию магнитного поля Н двух токов J\ и J2, находящихся в произвольной диа- и парамагнитной среде.
§ 81 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 377 Если Hi и Н2 суть напряженности поля, создаваемого каждым из этих токов в отдельности, то Я2 = (Нх + Н2J - Я2 + 2HiH2 + Hi и общая энергия поля токов будет равна W = — [ рН2 dV = 8тг J = — f цН\ dV + ^-f МНХН2 dV + — [ цЩ dV. (81.7) Очевидно, что первый и последний члены правой части этого равенства (обозначим их через W\i и W22) могут быть названы собственной энергией каждого из токов Ji и J2, а второй член — взаимной энергией этих токов W\2- Данные в § 65 выражения коэффициентов взаимной индук- индукции и самоиндукции F5.7), как указывалось, применимы лишь в однородной магнитной среде (ц = const). Сравнивая же выра- выражение (81.7) с выражением энергии G9.5): W = ± (Ln Jl + 2Li2 Ji J2 + L22 J22), получаем для более общего случая произвольной (но не ферро- ферромагнитной) среды: 1 Г 1 ^ ' = ^ tiH^dV = i Ll2JxJ2. 4тг J с2 Так как Hi и Н2 при заданной конфигурации проводников пропорциональны соответственно J\ и J2, то определяемые фор- формулой (81.8) значения индукционных коэффициентов Ьц и Li2 зависят лишь от геометрической конфигурации проводников и от магнитной проницаемости среды, но не от силы токов в про- проводниках. При fi = const значения эти должны совпадать со значениями коэффициентов индукции, определяемых формулой F5.7). "Уравнения (81.8) представляют собой наиболее общее, годное при [1 ф const, определение коэффициентов индукции. Из этого определения явствует, что коэффициенты индукции являются, в сущности, мерой энергии магнитного поля токов (при задан- заданной силе этих токов). С этим наиболее существенным значением коэффициентов индукции, как легко убедиться, неразрывно свя- связана как роль этих коэффициентов в определении пондеромотор- ных сил, испытываемых токами в магнитном поле (§ 51 и 65), так и роль их в определении электродвижущих сил индукции (§ 78).
378 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI Приведем теперь два примера вычисления коэффициента са- самоиндукции, при решении которых удобнее всего исходить непо- непосредственно из энергетического определения (81.8) этого коэф- коэффициента. Пример 1. Самоиндукция кругового тока. Цилиндрический провод радиуса го согнут так, что он образует окружность радиуса R. По нему про- протекает ток J. Объем проводника обозначим через V", объем окружающего его пространства через V', а энергию I V поля тока в V и в V" соответственно |п через W и W": ~ 8^ V" : w>=±- Рис. 71 8V, Если провести опирающуюся на контур провода условную перегородку S" (рис. 71, на котором изображено сечение провода меридиональной плос- плоскостью), то поле тока вне проводника можно будет считать обладающим потенциалом ф, причем потенциал этот будет испытывать на перегородке S" скачок ф+ — ф- = AttJ/c [см. уравнение E4.4), остающееся, очевидно, спра- справедливым и в произвольной магнитной среде]. Энергия внешнего поля тока выразится при этом формулой W' = — I midV = -— fвgIa.dфdV. 8тгУ 8тгУ 6 V V V Ввиду того, что divB = 0, получаем на основании уравнения D32): Bgrad^ = div(V'B) - ^divB = div(^B); следовательно, на основании теоремы Гаусса получаем = —- f & 8тг J 8 J 8тг v причем поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по границе объема V, образуемой поверхностью проводника S (интеграл по внешней поверхности полного поля равен нулю), и, во-вторых, по обеим сто- сторонам поверхности разрыва потенциала. Последний из этих поверхностных интегралов, очевидно, равен J- - ф+)Вп dS=-^- j Вп dS, s1 s' где Вп есть слагающая В по направлению положительной нормали к 5' (см. рис. 71). Таким образом, r rBndS+— Вп dS. 8тг/ 2с J S S' Предположим теперь для определенности, что пространство вне прово- провода заполнено однородным магнетиком проницаемости ft', тогда как прони- проницаемость проводника равна ft". Предположим, далее, что радиус провода г о
§ 81 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 379 весьма мал по сравнению с радиусом образуемой им окружности R, и рас- рассмотрим участок провода длины /, удовлетворяющий условию го «С I <K R- Ввиду того, что !<й, участок этот можно считать прямолинейным. Так как, кроме того, го <К I, то поле внутри провода и в непосредственной бли- близости от его поверхности будет лишь весьма незначительно отличаться от поля бесконечно длинного прямолинейного тока и с достаточной точностью будет определяться формулами 1), Я' = ^ (г > го), Я" = ^ (г ^ го), сг erg где г есть расстояние рассматриваемой точки поля от оси провода. Таким образом, вне провода на достаточно близком расстоянии от его поверхности (г <К R) поле рассматриваемого нами тока совпадает с полем линейного то- тока той же силы, сосредоточенного на оси провода. С другой стороны, поле тока должно совпадать с полем линейного тока и на больших расстояниях от поверхности провода (г 3>го), на которых распределение тока по сечению провода сказываться не может. Так как любая точка внешнего пространства V удовлетворяет хотя бы одному из этих условий (ввиду того, что г о <С! R, либо г 3> го, либо г<й), то при определении поля во всем пространстве V' мы можем считать ток J сосредоточенным на оси провода. Стало быть, входящий в выражение для W' интеграл f Bn dS должен равняться Hexe- Hexes' ку индукции Ф, посылаемому этим линейны/* круговым током радиуса R через концентрическую окружность радиуса R — го, образованную пересе- пересечением внутренней стороны поверхности провода 5 с плоскостью S'. Следо- Следовательно, если обозначить через h\i коэффициент взаимной индукции двух концентрических окружностей радиусов ЯиД-го, то, согласно уравнению F5.6), = -JLi2. с S' Так как при указанных условиях индукция (и напряженность) магнит- магнитного поля у поверхности провода S касательна к этой поверхности, то пер- первый член в выражении для W' равен нулю и, стало быть, 2с J BndS^^-J2Ll2. S' Обращаясь к выражению для W" и внося в него приведенное выше значение напряженности Н", получим 8тг J м7Тг*г*« 8тг J J c2rg 2c2 V" 0 г=0 Итак, общая энергия поля тока равна W = W' + W" = — J2{Li2 + irn"R), 2с2 откуда на основании (81.8) следует: Ln = 7ф R+ Li2- 1) Формулы эти были выведены в § 47, задача 30, в предположении, что ft = 1. Однако доказательство их основывалось лишь на уравнении D7.4), остающемся справедливым в произвольной среде, и на учете аксиальной симметрии поля прямолинейного тока.
380 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Величина жц"R является мерой энергии W", запасенной внутри прово- провода, и может быть названа его «внутренней» самоиндукцией, а величина Li2, являющаяся мерой энергии W', может быть названа «внешней» самоиндук- самоиндукцией провода Обозначая внешнюю и внутреннюю самоиндукции через V и L", можем написать = L12, L = тг/Lt R, Ьц — L + L ¦ Таким образом, при упомянутых выше условиях внутренняя самоиндук- самоиндукция V провода радиуса го, образующего окружность радиуса Я, пропорцио- пропорциональна его длине 2тгR, а его внешняя самоиндукция L' равна коэффициенту взаимной индукции L\2 двух концентрических окружностей радиусов R и R — го. Этот коэффициент Li2 может быть вычислен с помощью общей формулы F5.7) (см. пример определения коэффициента Li2 для двух квад- квадратов— § 51). Чтобы не загромождать изложения чисто математическими выкладками, приведем здесь лишь окончательные результаты (для случая го < R): Пример 2. Самоиндукция единицы длины кабеля. Рассмо- Рассмотрим проводник, состоящий из двух концентрических полых ци- цилиндров, длина которых весьма велика по сравнению с их радиу- радиусами ri и Г2. На обоих концах проводника внутренний и внешний его цилиндры соединены между собой, так что совокупность обо- обоих цилиндров составляет замкнутую проводящую цепь, по кото- которой циркулирует ток J. При этом направление тока во внешнем цилиндре, разумеется, обратно направлению его во внутреннем цилиндре. Подобную цепь тока мы будем условно называть здесь и в § 106 и 107 кабелем, хотя термин этот имеет, конечно, более широкое значение. Если длина кабеля достаточно велика по сравнению с его ра- радиусом, то вблизи средней его части поле протекающего по ка- кабелю тока будет такое же, как и в случае кабеля бесконечной длины. Понятие самоиндукции бесконечного кабеля, разумеется, смысла не имеет, ибо при увеличении длины кабеля общая энер- энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция кабеля Ьц растут до бесконечности. Целесообразно, однако, ввести в рассмотрение самоиндукцию единицы длины бесконечного кабеля, понимая под этим меру той доли энергии его поля, которая заключается меж- между двумя перпендикулярными кабелю плоскостями, находящи- находящимися на единичном расстоянии друг от друга. Если мы условим- условимся отмечать звездочкой все величины, относящиеся к единице длины кабеля, то по аналогии с уравнением (81.8) можно напи- написать Физический смысл величины Ь*г сводится, очевидно, к тому, что при увеличении длины достаточно длинного кабеля на единицу самоиндукция его Ьц увеличивается на L\y единиц.
§ 82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ НАМАГНИЧЕНИИ 381 Предположим для простоты, что обкладки кабеля (т. е. об- образующие кабель цилиндрические проводники) обладают столь малой толщиной (по сравнению с г\ и Г2), что в первом прибли- приближении их можно считать бесконечно тонкими поверхностями. Поле тока, равномерно распределенного по поверхности ци- цилиндра, равно нулю внутри этого цилиндра; во внешнем про- пространстве оно таково, как если бы ток был сосредоточен на оси цилиндра (задачи 29 и 30). Стало быть, поле кабеля внутри ци- цилиндра ri равно нулю, между цилиндрами г\ и r<i совпадает с полем линейного тока силы J и, наконец, вне цилиндра г^ также равно нулю (ибо по внутренней и по внешней обкладкам кабеля протекают токи равной величины и противоположного направ- направления). Следовательно, энергия W?l} приходящаяся на единицу длины кабеля, сосредоточена в пространстве между его обклад- обкладками, т. е. в полом цилиндре длины 1, внутренний и внешний радиусы которого равны г\ и г^. Итак, W* = J_ f^HUV = JL? 2 * 8тг У 8-к n где \i означает проницаемость среды, заключенной между об- обкладками кабеля. Сравнивая это с предыдущим уравнением, по- получим окончательно: ^-. (81.9) § 82. Преобразование энергии при намагничении пара- и диамагнетиков. Свободная энергия магнитного поля 1. Выше мы показали, что величина WM, определяемая урав- уравнением G9.6) или эквивалентным ему уравнением (81.3), испы- испытывает при перемещениях несущих ток проводников прираще- приращение, равное убыли при этих перемещениях всех прочих видов энергии (механической, тепловой и химической) 1). На основа- основании этого мы пришли к выводу, что эта величина WM равна энер- энергии магнитного поля. Для полноты доказательства этого последнего положения следовало бы еще показать, что изменения величины WM при перемещениях магнетиков в магнитном поле также удовлетво- удовлетворяют закону сохранения энергии [см. уравнения G9.2) и G9.4)]: dWM = -A = -A-(Q-P) dt. 1) Относительно электрической энергии см. примечание на с 362, а также §89.
382 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI Однако общее доказательство этого положения было бы весь- весьма сложным и требовало бы точного знания пондеромоторных сил, испытываемых магнетиками в магнитном поле; последние могли бы быть определены только на основе специальных допу- допущений об атомистическом строении и свойствах магнетика. По- Поэтому в макроскопической теории поля задача оборачивается: выражение энергии магнитного поля в форме (81.3) принимает- принимается как один из основных постулатов теории, а пондеромоторные силы, испытываемые магнетиками, определяются на основании соображений, базирующихся на законе сохранения энергии и на выражении (81.3) для магнитной энергии. 2. Мы отложим определение этих сил до § 83 и остановимся здесь еще на одном вопросе, связанном с выражением (81.3) для магнитной энергии. Из (81.3) или из (81.4) следует, что плотность магнитной энергии в вакууме равна wu = — Н2. м 8тг Можно было бы ожидать, что при одинаковой напряженности поля энергия этого поля должна быть одинаковой как в вакууме, так и в том случае, если в вакуум вкраплены атомы и молекулы магнетика. Иными словами, можно было бы ожидать, что и при наличии магнетиков плотность энергии магнитного поля должна равняться гп'м = ±[Нмикр0}2 = ±- В2, (82.1) где мы воспользовались формулой F2.6). Между тем, согласно (81.4), она равна wM = — BH = — В2. (82.2) Разница между (82.1) и (82.2) обусловливается тремя причина- причинами. Во-первых, среднее макроскопическое значение энергии маг- магнитного поля в собственном смысле этого слова определяется квадратом средней напряженности истинного микроскопическо- микроскопического поля Нмикр0, вообще говоря, отличным от среднего квадрата этой напряженности: „,/ _ 1 •пг' _/ 1 rEf I2 шгл — 7Г~ -"микро г 7Г~ L-^-MHKpoj • Во-вторых, при намагничении магнетика возникает ларморо- ва прецессия электронов, входящих в состав магнетика (см. § 68), а с этой прецессией связано изменение кинетической энергии электронов. Так как в макроскопической теории под энергией магнитного поля понимается вся энергия, которую нужно затра- затратить на возбуждение поля, то полная энергия WM поля в магне- магнетике определяется суммой собственно магнитной энергии W^ и кинетической энергии прецессирующих электронов WKHH-
§ 82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ НАМАГНИЧЕНИИ 383 Наконец, намагничение парамагнетиков связано, кроме того, и с изменением их энтропии и поглощением тепла (ср. поляриза- поляризацию диэлектриков с твердыми диполями, § 31). Действительно, как мы убедились в § 70, намагничение, например, газообразных парамагнетиков, т. е. установка магнитных моментов молекул этих парамагнетиков по направлению внешнего поля, происхо- происходит благодаря соударениям между молекулами. При этих соуда- соударениях происходит обмен между энергией поступательного теп- теплового движения молекул и внутримолекулярной кинетической энергией прецессии электронов, зависящей от ориентации маг- магнитного момента молекулы относительно магнитного поля; в ре- результате этого и происходит выделение тепла1), которое также учитывается при подсчете энергии WM, затрачиваемой на воз- возбуждение магнитного поля. При подсчете превращений энергии, происходящих при пе- перемещениях несущих ток проводников, мы в § 79 предполагали, что магнитная проницаемость \i среды при этих перемещениях не изменяется. Стало быть, наши подсчеты относятся к случаю изотермических процессов, при которых от парамагнетиков от- отводится все тепло, выделяющееся в них при связанных с переме- перемещением проводников изменениях их намагничения; в противном случае при изменениях температуры парамагнетика изменялась бы и его восприимчивость а [см. уравнение G0.5)]. Далее работа, совершаемая при изотермическом процессе, определяется изме- изменением свободной энергии системы Ф. Стало быть, величина WM, определяемая формулой G9.6) или эквивалентной ей формулой (81.3), является не «внутренней», а свободной энергией магнит- магнитного поля (ср. § 31); именно это утверждение и является точной формулировкой того основного постулата теории, о котором бы- была речь в начале этого параграфа. Плотность «внутренней» энергии магнитного поля совпадает с плотностью его свободной энергии и выражается той же фор- формулой (81.4) или (82.2) только в том случае, когда магнитная проницаемость магнетика \i не зависит от температуры Т (при постоянном объеме магнетика), что имеет место в диамагнети- ках. Это явствует из известной формулы термодинамики ), TJv связывающей «внутреннюю» энергию системы Е с ее свободной энергией Ф. 1) В физике низких температур большую роль играет следующий «магнит- «магнитный способ» охлаждения. Находящиеся во внешнем магнитном поле пара- парамагнетики охлаждаются обычными способами до возможно низкой темпера- температуры; затем магнитное поле выключается, парамагнетик размагничивается и при этом поглощает тепло как из окружающих тел, так и из собственного запаса тепловой энергии. В результате температура его и окружающих тел понижается.
384 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI 3. Иллюстрацией изложенных соображений может служить следующий, правда не строгий, расчет плотности магнитной энергии в диамагнетиках. Обусловленное ларморовой прецесси- прецессией изменение кинетической энергии электронов в атоме AT опре- определяется формулой G0.2) и слагается из двух членов. Первый из них, согласно G0.3), равен —МН и отличен от нуля только в па- парамагнетиках. Таким образом, в диамагнитных атомах где о есть угловая скорость ларморовой прецессии: 2тс [см. F8.2)], т — масса электрона, е — его заряд, Rj — расстоя- расстояние г-го электрона от ядра атома, и суммирование производится по всем электронам атома. Пусть магнитное поле направлено по Если число электронов в атоме равно Z, а число атомов в единице объема равно N, то кинетическая энергия прецессии электронов, находящихся в единице объема магнетика, равна NZe2 где черта сверху означает усреднение по всем электронам. Далее, где R2 есть средний квадрат расстояния электронов от ядра ато- атома, и, стало быть, КИН 12тс2 Внося сюда выражение F9.3) для вектора намагничения диа- магнетиков, получаем г«кин = --IH. Вспомним, наконец, что при рассмотрении намагничения диа- и парамагнетиков в § 70 и 71 мы считали, что на атомы магне- магнетика действует поле Н, тогда как правильнее было бы считать, что на них действует поле Нмикр0 = В. Сделав соответствующую замену в последнем уравнении, получаем окончательно мКин = -^1В. (82.3)
§ 83 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 385 Сумма этой плотности кинетической энергии прецессии электро- электронов и приближенного выражения (82.1) для плотности энергии магнитного поля, в собственном смысле этого слова *), равна [см. уравнение F2.5)]: w = —В2 - -IB = —В(В --4тг1) = —ВН, 8тг 2 8тг V ' 8тг т. е., как и требовалось доказать, равна микроскопической плот- плотности магнитной энергии (82.2). § 83. Определение пондеромоторных сил магнитного поля из выражения энергии2) 1. В § 66 ваемые магнетиками в магнитном поле, исходя из определенных представлений о молекулярном строении магнетиков. Теперь мы дадим более общий вывод выражения пондеромоторных сил маг- магнитного поля, исходя из выражения магнитной энергии (81.3) и рассматривая изменение этой энергии 5W при бесконечно ма- малом виртуальном перемещении q находящихся в поле тел. Если при этих виртуальных перемещениях оставлять силу токов про- проводимости постоянной, то, согласно уравнению G9.9), изменение магнитной энергии при этих перемещениях SW будет равно ра- работе А механических сил: (SW)j = A. С другой стороны, работа эта, очевидно, равна А = JqtdV, где f есть плотность пондеромоторных сил. Следовательно, FW)j = JqfdV. (83.1) Вычислив {SW)j из этого соотношения, можно, очевидно, опре- определить и искомое значение плотности сил f. Энергия магнитного поля может быть выражена одним из следующих уравнений (81.3) и (81.1): 8тг J 8-к J ii ' 2c J Эти выражения энергии, как неоднократно указывалось, справедливы лишь при отсутствии ферромагнетиков; следо- следовательно, все наши выводы будут применимы лишь к диа- и па- парамагнитным средам. *) В этом выражении не учитывается разница между (ЯМИкРоJ и 2) При первом чтении параграф этот может быть опущен. 13 И. Е. Тамм
386 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Все дальнейшие выкладки весьма аналогичны вычислениям, проведенным нами при определении пондеромоторных сил элек- электрического поля. В частности, мы предположим, что поверхно- поверхностей разрыва в поле нет и что объем интегрирования охватывает полное поле, так что все поверхностные интегралы, с которыми мы будем встречаться в дальнейшем, обратятся в нуль. 2. Изменение энергии поля при произвольном бесконечно ма- малом перемещении q находящихся в нем тел равно 5W1 = — [В2б(~) dV + — f - В SB dV, 1 8-kJ W A-k J ц SW2 =SWi = - [ASjdV+- fjSAdV, 2c J 1c J где S I - j, Sj, SA суть изменения соответствующих величин, обу- обусловленные перемещением q. Так как В = rot А, то SB = S rot А. Порядок выполнения опе- операций дифференцирования и варьирования может быть изменен без нарушения результата, так что 6 rot A = rot (SA). Следовательно, или Далее, на основании D4*) и F2.7) Hrot FA) = div [SA ¦ Н] + rot H • SA = div [SA • H] + —¦ j • SA. Внося это в выражение для SWi и воспользовавшись теоремой Гаусса A7*), получаем — [вб() dV + 8тг J \p/ 4тг - fi-SAdV. с J Согласно условиям, сформулированным в начале параграфа, по- поверхностный интеграл в этом выражении обращается в нуль. На- Наконец, ввиду того, что SWi = SW2, приращение энергии SW мож- можно, очевидно, представить также в следующей форме: SW = 2SW2 - SWi = - f ASj ¦ dV - — f B2S (-) dV. с J 8тг J V/i/ Таким образом, вычисление SW сведено нами к определению из- изменения плотности токов проводимости j и магнитной проница- проницаемости среды ц при виртуальном перемещении q находящихся в поле тел.
§ 83 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 387 3. Локальное изменение 1//х выразится, очевидно, формулой, аналогичной выражению для бе [см. § 32, формулу C2.9')]: 6- = -— (-) -fdivq-qgradi, где т означает плотность среды (массу единицы объема) 1). Что касается виртуального изменения плотности тока Sj, то оно может быть определено из того отмеченного в начале пара- параграфа условия, что при виртуальном перемещении q сила тока через произвольную поверхность должна оставаться постоянной (если только эта поверхность перемещается вместе со средой). Пусть через произвольную поверхность S до смещения q про- протекает ток J: s s При смещении q может, во-первых, измениться на Sj плотность тока в различных точках поверхности S и, во-вторых, может де- деформироваться контур L этой поверхности, благодаря чему уве- увеличится или уменьшится ее общая площадь. Если ds означает элемент контура L, то при смещении q этот элемент опишет пло- площадку SS = [qds] (см. § 50, в частности рис. 50). Приращение охватываемой контуром площади S сводится к сумме площадок <5S, описанных всеми его элементами ds. Следовательно, должен- долженствующее обращаться в нуль полное изменение тока J через про- произвольную испытывающую деформацию поверхность S равно SJ = J Sjn dS + j> j Ms] = 0. S L Преобразуя последний интеграл по теореме Стокса [уравнение B7*)], получаем j) j [qds] = j) [jq] ds = j rotn [jq] dS. L L S Внося это в предшествующее равенство ввиду произвольности поверхности S, получаем окончательно. <$|j = -rot[jq]. (83.2) 4. Внося приведенные значения 5- и 5j в выражение для 6W, получаем 6W = -- /*Arot|jq]dF + — с J 8тг от i} dV. ) 1) Как и в случае диэлектриков, мы для простоты пренебрегаем зависимо- зависимостью восприимчивости fi твердых магнетиков от деформаций, не связанных с изменением плотности среды. 13*
388 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI На основании уравнения D4*) A rot [jq] = div [[jq] A] + [jq] rot A, причем последний член может быть преобразован следующим образом: [jq]rotA = [jq]B = - Далее, г div q = div (В2тй Tq) _ qgrad (s2^M Л . V or / V от ) В Внося эти значения в выражение для SW и принимая во вни- внимание, что объемный интеграл дивергенции может быть преоб- преобразован в интеграл по поверхности и поэтому, согласно нашему условию, обращается в нуль, получаем SW = /q(i [JB] - -L grad (в2^т) + -i-B2grad-| dV. У I c u J 8тг V дт ) 8тг & /Л Сравнивая это выражение с выражением (83.1) и приняв во вни- внимание, что q является произвольной функцией точки, получаем следующее выражение для плотности пондеромоторных сил: . (83.3) Таким образом, пондеромоторные силы слагаются из сил плотно- плотности fW = - [jB], действующих на обтекаемые током проводники и совпадающих с прежней формулой F5.1), и из сил плотности fB) = J- В2 grad I - I- grad (i?2^M r) , (83.4) 8тг М 8тг \ дт I действующих на находящиеся в поле магнетики. 5. Нетрудно показать, что плотность сил f B) совпадает с ра- ранее выведенным выражением F6.6). Последнее выражение, как отмечалось в § 66, справедливо лишь для слабо намагничиваю- намагничивающихся магнетиков (ср. § 32). В этом случае, согласно F9.5) и G0.4), величина х//л пропорциональна числу молекул в единице объема среды, т. е. пропорциональна плотности среды г. Стало быть, к /1 — 1 где с есть некоторая постоянная, от плотности среды не завися- зависящая. Следовательно, — = 1 — 4тгст . 1 л = — 4тгст = 1. дт »
§83 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 389 Внося это в уравнение (83.4), получаем = - 1 grad {я2 (I_l)) + J_S2 grad I = 8тг что действительно полностью сорпадает с уравнением F6.6). 6. Если в формуле (83.4) заменить В на /лН и выполнить простые преобразования, то она принимает вид g»d (*,§)^Vtf* (83.5) совершенно аналогичный выражению C2.12) пондеромоторных сил, испытываемых диэлектриками в электрическом поле: фор- формула (83.5) получается из C2.12) заменой Е на Н и е на //. В этом обстоятельстве проявляется отмеченный в конце § 73 факт, что благодаря эквивалентности элементарных токов и маг- магнитных диполей вся макроскопическая теория магнетиков может быть одинаково успешно интерпретирована как на основе совре- современной теории, так и с точки зрения старых теорий магнетизма, исходивших из предположения о существовании в магнетиках ре- реальных магнитных зарядов (диполей), т. е. из предположения о полном соответствии между электрическими свойствами диэлек- диэлектриков и магнитными свойствами магнетиков. Именно, с точки зрения этих теорий существует соответствие между векторами Е и Н и между величинами е и /л, тогда как в действительности вектору Е соответствует не вектор Н, а вектор В = Нмикр0, а диэлектрической проницаемости е соответствует не /л, а 1//л. Отметим, что Максвелл и ряд других авторов (например, Абрагам, Кон и др.) не принимали во внимание зависимости магнитной восприимчивости от плотности среды, благодаря че- чему выражение пондеромоторных сил в магнетиках, которым они пользовались, отличалось от (83.5) отсутствием первого члена, 1 т. е. стрикционных сил: Г = i grad (Л&) . (83.6) Впрочем, совершенно так же, как и в случае диэлектриков (см. § 32 и 34), можно показать, что неучитывавшаяся Максвеллом слагающая f" плотности сил fB) сказывается лишь на распре- распределении пондеромоторных сил по объему магнетика, тогда как равнодействующая F и результирующий момент N стрикцион- стрикционных сил f", приложенных ко всем элементам объема какого-либо тела, либо равны нулю (если это тело находится в вакууме), либо Уравновешиваются гидростатическим давлением, возникающим под воздействием магнитного поля в окружающей тело жидкой или газообразной среде (см. также § 84).
390 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI § 84. Тензор натяжения магнитного поля 1. Пондеромоторные силы магнитного поля совершенно так же, как и пондеромоторные силы поля электрического, могут быть сведены к эквивалентной этим силам системе натяжений, характеризуемой некоторым тензором натяжения Т. Соответствующие вычисления совершенно аналогичны вы- вычислениям § 34. Мы представим общее выражение пондеромо- торных сил (83.3) как сумму двух слагаемых: f = f + f", i (84.1) f" = -1 grad (Н2т^ [ср. уравнение (83.5)]. Тензор натяжений Т мы также представим как сумму двух тензоров Т' и Т": Т = Т' + Т" (84.2) так, чтобы Т" соответствовало f, a T" соответствовало f", т. е. чтобы были удовлетворены уравнения ft _ дТхх , 9Тху , дТхг ,„ _ дТ?х &T'Jy дТ*г ,„, „\ ох ду dz дх ду oz и аналогично для f'y, /Ц и т. д. [ср. уравнение C3.7)]. 2. Рассмотрим сначала силы f и тензор Т'. Выражая плот- плотность токов j через rotH [уравнение F2.7)], мы можем написать [rotHB] Далее, на основании D7*) и, стало быть, [rot Н Н] = HV Н - - grad Я2 Н2 f = ¦?- HV • Н - ?- grad Я2 - —Н2 grad/x = 4тг 8тг 8тг Рассмотрим слагающую плотности сил f по оси х: Легко убедиться [см. D3?;), где ip соответствует в нашем слу- случае Нх], что BV • Нх = В • VHX = div (BHX) - Нх div В,
§ ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 391 или ввиду того, что divB = О, BV • Нх = div (ВНХ) = ? (ВХНХ) + |- (ВУНХ) + ? (BZHX). Внося это в предшествующее выражение для f'x, убеждаемся, что оно совпадает по форме с уравнением (84.3), если положить 4тг Аналогично определяются и остальные компоненты тензора Т", совокупность которых может быть представлена в форме табли- таблицы типа C3.6): 4тгТ' = („2 Н2\ fiHvHx {*-$) (84.4) Таким образом, тензор натяжений магнитного поля Т' может быть получен из соответствующего тензора Т" электрического поля [формула C4.2)] простой заменой Е на Н и е на ц г). То же самое относится и к тензору натяжений Т", эквивалентному силам /", ибо выражение плотности этих сил в магнитном поле (84.1) получается из выражения плотности сил /" в электриче- электрическом поле C4.1) заменой Е на Н и е на \i. Поэтому по аналогии C4.3) Тх'х=Т?у = Т'г'г = ±.Н2^т, (84.5) тогда как недиагональные компоненты тензора Т" {Тх'у, Txz и т. д.) равны нулю 3. Итак, эквивалентность объемных сил (84.1) системе натя- натяжений (84.4) и (84.5) нами доказана (заметим, что оба тензора Т" и Т" симметричны). Ввиду отмеченной аналогии натяжений магнитного поля с натяжениями электрического поля все результаты, полученные нами в § 34, непосредственно применимы и к натяжениям маг- магнитного поля. Так, например, система натяжении в магнитном *) Тот же результат получится и при замене в C4.2) Е на В и е на 1//^, на- например еЕхЕу —? (l//i) ВХВУ = цНхНу. С точки зрения современных пред- представлений о поле в магнетиках, именно последняя замена имеет непосред- непосредственный физический смысл (ввиду соотношений Е = ЕМИкро, В = Нмикро, D = еЁмикро, Н = A/м)В„„кРо).
392 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI и + тди/дт тто тх поле сводится к тяге —— И по направлению поля Ник давлению -— **' Н2 по направлению, перпенди- 8тг кулярному кН [см. уравнение C4.6) и C4.7)]. Далее, так же как и в § 34, можно показать, что равнодей- равнодействующая F и результирующий момент N сил, испытываемых в магнитном поле каким-либо телом, полностью определяются максвелловым тензором натяжений Т' и не зависят от неучи- тывавшегося Максвеллом тензора Т", так что стрикционные на- натяжения Т" влияют лишь на распределение пондеромоторных сил по объему тела, а также обусловливают возникновение в окру- окружающей тело жидкой или газообразной среде уравновешиваю- уравновешивающего их гидростатического давления [см. уравнение C4.4)] P = -f#2^r. (84.6) 8тг дт 4. Хотя полученнме в § 81-83 выражения для плотности энер- энергии и плотности объемных сил магнитного поля, как неоднократ- неоднократно отмечалось, применимы лишь в неферромагнитных средах, однако сведение объемных сил к натяжениям позволяет, как бы- было показано в § 75, определить также равнодействующую F и результирующий момент N сил, действующих на ферромагне- ферромагнетики (но не распределение сил по объему ферромагнетика). § 85. Вихри электрического поля 1. В § 76 мы вывели законы индукции токов в движущихся проводниках, основываясь на том, что, согласно § 45, на элек- электрические заряды действует лоренцева сила D5.4): второй член которой пропорционален скорости заряда и напря- напряженности магнитного поля Н. Затем, основываясь на принципе относительности движения, мы показали, что индукция токов должна иметь место и в неподвижных проводниках при измене- изменениях магнитного поля, причем = _1 d? = _1 ± fBdS, с dt с dt J где интегрирование может быть распространено по любой по- поверхности, опирающейся на контур проводника. Для случая не- неподвижных 1) проводников поверхность эта тоже может быть 1) Неподвижных относительно инерциальной системы, в которой произво- производятся измерения поля (см. § 77)
§ 85 ВИХРИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 393 выбрана неподвижной, причем в этом случае дифференцирова- дифференцирование по времени может быть выполнено под знаком интеграла: ^П J СУ /ос 1\ — dS. (85.1) Знак полной производной по времени заменен нами знаком частной производной (круглое д) для того, чтобы отметить, что dBnjdt есть скорость изменения во времени величины Вп в фик- фиксированной точке пространства. Итак, мы приходим к заключению, что изменение магнитного поля должно вызывать в неподвижных проводниках появление сил, действующих на электрические заряды, причем циркуляция этих сил по контуру проводника, обозначаемая нами через <^инд, определяется формулой (85.1). 2. В § 2 напряженность электрического поля Е была опреде- определена нами как сила, действующая на единичный положительный пробный заряд. Однако в § 45 мы убедились, что и в отсутствие электрического поля движущийся заряд может испытывать силу Р = - [vH]. с L ' с Это обстоятельство ведет к необходимости уточнить определе- определение напряженности электрического поля Е в том смысле, что Е равно силе, действующей на неподвижный единичный положи- положительный заряд. Действительно, из уравнения D5.4) следует при v = 0: Е = -F е (предполагаем, что сторонние электродвижущие силы химиче- химического и термического происхождения отсутствуют). Исходя из этого определения электрического поля, мы на основании относящейся к неподвижным проводникам формулы (85.1) должны заключить, что при изменениях магнитного поля в этих проводниках возбуждается поле электрическое, цирку- циркуляция напряженности которого по контуру проводника L равна E*!.dS = -±^. (85.2) L Таким образом, явления индукции токов в проводниках, дви- движущихся в постоянном магнитном поле, истолковываются нами как результат воздействия магнитного поля (лоренцева сила), тогда как индукция в неподвижных проводниках при измене- изменениях магнитного поля истолковывается совершенно иным обра- образом — как результат воздействия электрического поля, возбуж- возбуждаемого изменениями поля магнитного. Между тем, как мы убедились в § 76, никакой объективной разницы между этими
394 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI двумя видами индукции нет, ибо понятие движения относитель- относительно. Первая из посвященных теории относительности работ Эйн- Эйнштейна начинается указанием на необходимость устранения этой принципиальной разницы в истолковании двух явлений, объек- объективно неотличимых друг от друга. Теория относительности эту задачу разрешила, о чем вкратце будет рассказано в § 115. 3. Так как, согласно уравнению G.3), циркуляция электриче- электрического вектора поля стационарных зарядов равна нулю, то формула (85.2) останется справедливой и в том случае, если мы условим- условимся во всем дальнейшем понимать под Е общую напряженность электрического поля вне зависимости от того, возбуждает- возбуждается ли это поле (полностью или частично) стационарными элек- электрическими зарядами (кулоново поле) или же изменениями по- поля магнитного. При выводе уравнения (85.2) предполагалось, что контур ин- интегрирования L совпадает с контуром линейного проводника. Естественно, однако, предположить, что если изменения маг- магнитного поля возбуждают электрическое поле в проводниках, то они возбуждают его также и вне проводников. Иными слова- словами, естественно предположить, что уравнение (85.2) применимо к любому замкнутому неподвижному контуру интегрирования вне зависимости от того, проходит ли этот контур по провод- проводникам, по диэлектрикам или по вакууму, и что отличие про- проводящего контура от непроводящего сказывается лишь в том, что только в проводниках возбуждение поля ведет к появлению тока. Итак, мы допустим, что уравнение (85.2) применимо к любо- любому замкнутому неподвижному контуру интегрирования L. Пред- Предполагая, что на опирающейся на контур L поверхности S нет точек разрыва сплошности вектора Е, мы можем преобразовать левую часть этого уравнения с помощью теоремы Стокса [урав- [уравнение B7*)]: (f>Esds= f rotnEdS =-± f dS. L S S Это уравнение.должно оставаться справедливым при любом вы- выборе контура L и поверхности интегрирования S, что может иметь место лишь в том случае, если rotE = -i—. (85.3) Таким образом, явления индукции приводят с необходимостью к заключению, что электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями маг- магнитного поля (впрочем, магнитное поле в свою очередь возбуж- возбуждается движением электрических зарядов).
§ 86 НАПРЯЖЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 395 Уравнение (85.3), связывающее значение вихря электриче- электрического вектора с производной по времени от магнитной индукции, представляет собой одно из основных уравнений электромагнит- электромагнитного поля. Очевидно, что, повторяя рассуждения в обратном по- порядке, из дифференциального уравнения (85.3) можно вывести исходное интегральное соотношение (85.2). 4. Так как дивергенция ротора равна нулю [уравнение D22)], то из уравнения (85.3) следует, что div — = - divB = 0. (85.4) Стало быть, из (85.3) вытекает, что в каждой точке простран- пространства div В должна иметь постоянное значение, которое ни при каких физических процессах изменяться не может. Достаточно допустить, что при отсутствии токов и магнетиков магнитная индукция В (а стало быть, и div В) во всем пространстве обра- обращается в нуль, чтобы из (85.4) в свою очередь получить одно из фундаментальных уравнений электромагнитного поля, а именно уравнение F2.8): div В = 0. § 86. Зависимость электрического напряжения от пути интегрирования. Напряжение переменного тока 1. В § 48 мы убедились, что необходимое и достаточное усло- условие того, чтобы вектор обладал (однозначным) скалярным по- потенциалом, состоит в равенстве нулю его ротора во всех точках пространства или, что сводится к тому же, в равенстве нулю его циркуляции по произвольному контуру [см. также § 7, в частности уравнение G.6)]. Из уравнений (85.2) и (85.3) следует, что для электрического вектора Е это условие удовлетворяется только в стационарных полях (дЪ/dt = 0) и что, следовательно, электрический вектор Е переменного электромагнитного поля (дЪ/dt ф 0) (однозначным) скалярным потенциалом ip не обла- обладает. 2. В связи с этим целый ряд понятий, введенных нами при изучении обладающего потенциалом стационарного электрического поля, теряет в переменном поле непосредственный физический смысл. Так, например, в § 35 мы ввели понятие электрического напряжения $\i, существующего между двумя произвольными точками поля 1 и 2, определив его как линейный интеграл напря- напряженности поля Е по произвольному пути, соединяющему точки 1 и 2 [уравнение C5 3)]: 2 ©12 = / Еч ds.
396 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI В случае обладающего потенциалом стационарного поля, со- согласно уравнению C5.2), имеем 2 <^12 = / Es ds = <?>2 — fl j 1 так что напряжение ^ равно разности потенциалов точек 1 и 2 и однозначно определяется положением этих точек. В случае же переменного поля, лишенного потенциала, значение интеграла 2 J Ea ds существенно зависит от выбора пути интегрирования, 1 так что можно говорить лишь о напряжении S\i, существую- существующем между данными точками 1 и 2 вдоль данного пути. 3. Недостаточное внимание к этому чрезвычайно важному от- отличию поля переменного от поля стационарного может привести к грубейшим ошибкам. Пусть, например, 1 и 2 суть две произвольные точки некото- некоторого замкнутого проводника L, к которым параллельно L при- ключен гальванометр G (рис. 72). Если До есть общее сопротив- сопротивление гальванометра и подводящих проводов, соединяющих его L Рис 72 с точками 1 и 2, то сила тока Jo в цепи гальванометра, согласно закону Ома [уравнение C5.4) или C8.4)], будет равна Ro R 1 В стационарном электромагнитном поле значение последнего интеграла от пути интегрирования не зависит. В переменном же поле формула C8.4), выражающая закон Ома, остается спра- справедливой, как явствует из ее вывода, приведенного в § 38, лишь 1 в том случае, если под J Esds понимать линейный интеграл 2 вектора Е от точки 1 до точки 2, взятый вдоль того именно
§ 86 НАПРЯЖЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 397 проводника, по которому течет ток Jq. Так как значение этого интеграла в переменном поле существенно зависит от положе- положения и формы пути интегрирования, то, стало быть, показания гальванометра Jo будут существенно зависеть от расположения подводящих проводов. Предположим, что в рассматриваемых проводниках сторон- сторонние электродвижущие силы отсутствуют. Пусть Ra и R/, суть соответственно сопротивления, a Ja и J& — силы токов в участ- участках 1а2 и 2Ы контура L. Пусть, далее, Ф есть поток магнитной индукции через контур L, а Фо — поток ее через контур, обра- образованный цепью гальванометра 1G2 и участком 2а1 контура L (см. рис. 72). Выберем, наконец, определенным образом направ- направление положительного обхода этих контуров, например так, как указано штриховой линией на рисунке. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру lG2al, мы на основании уравнений C8.4) и (85.2) можем написать Joito — JaRa = Ф Es ds = —. J c at IGZal (Знак минус перед Ja введен потому, что, согласно рисунку, на- направление положительного обхода контура противоположно на- направлению тока Ja.) Аналогичным образом для контура L полу- получим 1-т J 1 <ЭФ Esds ^. с at 1а2Ы Применяя, наконец, первый закон Кирхгофа к точкам развет- разветвления цепи 1 и 2, получим Jb = Jo + Ja- Исключая из этих уравнений Ja и J&, найдем J0{R0(Ra + Rb) + RaRb} = ~\ {Ra™ + (Ra + Ъ>)^} ¦ Таким' образом, показания гальванометра Jo действительно существенно зависят от скорости изменения потока Фо через кон- контур lG2al, в свою очередь зависящего от расположения цепи гальванометра. 4. Предположим, например, что собственным магнитным по- полем токов Ja, Jb и Jo можно пренебречь по сравнению с «внеш- «внешним» полем переменного тока J' заданной силы и периода, ко- который циркулирует по соленоиду АВ (рис. 73), охватываемому контуром L. Допустим, далее, для упрощения, что магнитное поле соле- соленоида можно с достаточной степенью точности считать сосредо- сосредоточенным внутри соленоида, т. е. что вне соленоида В = Н = О
398 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI (см. пример в § 49). Пусть, наконец, Ra = Rb- При этих усло- условиях легко показать 1), что в двух различных положениях цепи гальванометра, обозначенных на рисунке соответственно сплош- сплошной и штриховой линиями, ток в цепи гальванометра 1G2 будет иметь одинаковую силу, но противоположное направление (на- (например, 1G2 в первом и 2G1 во втором случае). Стало быть, если пользоваться термином «напряжение» между точками 1 и 2, без указания пути интегрирования, то мы должны сказать, что пере- переброска цепи гальванометра слева направо влечет за собой изме- изменение знака напряжения ^12, при- приложенного к конечным точкам этой цепи 1 и 2. 5. Однако и в случае перемен- переменных токов при известных услови- условиях и при соблюдении некоторой осторожности бывает иногда удоб- удобно пользоваться понятием напря- напряжения. Рис 74 Рассмотрим в виде примера наиболее простую схему сети цен- центральной электростанции переменного тока, состоящую из двух почти замкнутых контуров I я II, концы которых соединены двумя близко расположенными друг к другу проводами ас и Ы (рис. 74). Участок / включает в себя генераторную установку электростанции, а участок // — потребителей тока. Пренебрегая потоком индукции через полоску, ограниченную проводами ас и bd, можем считать, что поток индукции Ф через контур всей цепи равен сумме потоков Фх и Фг через петли / и //; при вычислении потоков Фх и Фг условимся считать петли эти дополненными до замкнутости прямолинейными отрезками аЬ и cd. В этом случае, согласно уравнению G7.2), где i?i — общее сопротивление участка / вплоть до точек end, i?2 — сопротивление участка //, а ^Тр и ^2стр суть сторонние электродвижущие силы в этих участках. 1) Предоставляем сделать это читателю в виде упражнения.
§ 86 НАПРЯЖЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 399 Перепишем последнее уравнение в виде JR2 - 4СТР + - ^ = - (JRi - <тр + 1Щ1)= #ы, (86.1) с дс V с ос / где ^ означает величину каждого из членов равенства. Если петли / и // достаточно удалены друг от друга, то их взаимной индукцией можно пренебречь и положить ! u, 2 где Ьц и L22 суть самоиндукции петель / и //. Существенно, что для определения величины SC(i в этом случае достаточно знать значения величин J, Ri, <^1стр, Ьц, относящихся лишь к одному «генерирующему» участку /. Обратно, если ?с& известно, то сила тока в цепи может быть определена в зависимости от значения величин Д2, ^2°TP' ^22) относящихся к одному лишь «потребляю- «потребляющему» участку //, причем ?сд играет роль добавочной сторонней электродвижущей силы, приложенной к почти замкнутому кон- контуру II. Эта именно величина ^ и называется напряжением, прило- приложенным к « потребляющему » участку цепи II и возбуждаемым «генерирующим» участком цепи I. 6. Применим закон Ома к участку //: JR2 =4CTp+ f Eads. cfd Так как, с другой стороны, cfdc ТО \^. = JEads- j)Esds = jEsds, cfd cfdc с где последний интеграл, согласно данному выше определению величины Фг, должен быть взят по кратчайшему пути, соеди- соединяющему точки с и i Таким образом, напряжение ?cd равно линейному интегралу напряженности электрического поля Е по этому пути: d &cd = I Es ds (86.2) и, стало быть, может быть измерено по силе тока в гальва- гальванометре, включенном между точками cud. При этом цепь
400 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI гальванометра может отклоняться от прямой cd лишь в таких (впрочем, на практике довольно широких) пределах, чтобы это отклонение не сказалось сколько-нибудь существенно на значе- d нии интеграла / Es ds. с 7. Полагая для простоты, что контур тока не деформируется, так что самоиндукции Ьц и L22 петель I и II постоянны во времени, получаем на основании уравнения (81.8): d-l = ± О- LnJ2) = dt dt \2c2 / J JLn LnJ) , с dt с2 L dt dt \2c2 / dt ' где W\ есть магнитная энергия поля тока в участке цепи /. Ана- Аналогичное соотношение справедливо и для участка //. Стало быть, умножив уравнение (86.1) на J, можем написать (J2R2 - = - (J2Ri - 0 (JRi J< + ) dt ) V dt 1 (86.3) Так как J2R равно выделяемому током теплу, a J#CTp равно работе сторонних электродвижущих сил (в единицу времени), то, следовательно, JScd равно общей убыли энергии участка / цепи и вместе с тем равно приращению энергии участка //. Иными словами, JS'cd равно энергии, передаваемой за единицу времени генерирующим участком I потребляющему участку II Таким образом, при условии достаточной близости проводов ас и bd и достаточной удаленности друг от друга участков / и // действительно оказывается весьма целесообразным вводить в рассмотрение определяемую уравнениями (86.1) и (86.2) величи- величину &cd, называемую в технике напряжением переменного тока. § 87. Уравнение непрерывности 1. До сих пор мы предполагали, что переменные токи, по- подобно токам постоянным, являются замкнутыми. Как мы убе- убедились в § 37, необходимым условием замкнутости линий тока является требование, чтобы в каждой точке проводника удов- удовлетворялось соотношение C7.4) divj = 0. Из соотношения C7.4), в частности, следует, что в неразвет- вленном проводнике сила тока в каждый данный момент одина- одинакова во всех его сечениях и что в точках разветвления провод- проводников удовлетворяется первый закон Кирхгофа C7.1). Однако формула C7.4) и следующие из нее выводы, в сущ- сущности, неприменимы к переменным токам, или, точнее говоря,
§ 87 УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 401 применимы с известным приближением лишь к определенному классу переменных токов (замкнутые квазистационарные токи, см. дальше). Вообще же говоря, переменные токи могут проте- протекать по не замкнутым контурам (цепь с конденсатором, между обкладками которого находится диэлектрик; токи в антенне и т. п.), сила их может быть различна в различных сечениях про- проводника и т. д. Напомним, что само уравнение C7.4) было по- получено нами в § 37 из более общего «уравнения непрерывности» C7.2) м- dS де dt s (е — заряд, находящийся в ограниченном поверхностью S объеме V) на том основании, что в поле постоянных токов рас- распределение электрических зарядов должно оставаться постоян- постоянным. В случае же токов переменных это условие, вообще говоря, не выполняется, и уравнение непрерывности C7.2) не сводится к уравнению C7.4) 2. Для дальнейшего нам удобно будет преобразовать уравне- уравнение непрерывности C7.2) следующим образом. Если в ограничи- ограничиваемом поверхностью S объеме V нет ни поверхностных зарядов, ни разрывов сплошности плотности тока j (разрывы эти могут иметь место лишь на поверхностях раздела различных сред), то v где р — объемная плотность электрических зарядов, и [согласно теореме Гаусса, уравнение A7*)]. Следовательно, урав- уравнение C7.2) принимает вид V V V где изменение порядка интегрирования по V и дифференцирова- дифференцирования по t возможно при условии неподвижности рассматриваемо- рассматриваемого нами объема V (поэтому здесь дан знак частной производной по времени, см. с. 393). Ввиду произвольности объема V из по- последнего равенства следует: divj = -|. (87.1)
402 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI 3. Уравнение (87.1) и представляет собой дифференциальную форму уравнения непрерывности. На поверхностях разрыва век- вектора j оно должно быть, конечно, заменено уравнением Divj = j2»-Jin = -fp (87.2) в чем можно убедиться либо непосредственно из уравнения C7.2), либо на основании уравнения F.8). В частности, на гра- границе проводника и непроводящей среды jin — 0 (если нормаль п направлена от проводника наружу) и, следовательно, имеет ме- место соотношение U = |, (87.3) гласящее, что количество электричества jn, притекающее за еди- единицу времени к единице поверхности проводника, равно прира- приращению заряда а этого участка поверхности (в единицу времени). Уравнения (87.1) и (87.2) дают возможность, зная плотность токов, определить вызываемое этими токами изменение распре- распределения зарядов. § 88. Токи смещения 1. Обратим теперь внимание на то чрезвычайно существен- существенное обстоятельство, что при dp/dt ф 0 уравнение непрерывности (87.1) несовместимо с уравнением магнитного поля токов F2.7): Действительно, согласно последнему уравнению, j пропорцио- пропорционально вихрю вектора Н. Но дивергенция вихря всегда равна нулю [уравнение D2^)], тогда как, согласно уравнению (87.1), divj, вообще говоря, нулю не равна. Подобно этому, эквивалентное уравнению F2.7) или D7.3) уравнение D7.5) L S неприложимо к токам переменным уже по одному тому, что сила незамкнутых токов, протекающих через опирающуюся на кон- контур L поверхность S, существенно зависит не только от конту- контура L, но и от формы и расположения поверхности S. В частности, в случае незамкнутых токов нередко можно провести поверх- поверхность S так, чтобы она вовсе не пересекала несущих ток провод- проводников (рис. 75, где изображена цепь переменного тока, включаю- включающая в себя конденсатор С).
§ 88 ТОКИ СМЕЩЕНИЯ 403 Итак, уравнения магнитного поля постоянных токов, полу- полученные нами в гл. IV, вообще говоря, неприложимы к перемен- переменным токам и нуждаются в видоизменениях и дополнениях. 2. Основываясь на убеждении в справедливости уравнения непрерывно- непрерывности (87.1), можно попытаться путем чи- чисто формальных математических рас- суждений определить простейший вид поправки, внесение которой в формулу F2.7) устранит указанное противоречие между этой формулой и формулой (87.1). До сих пор мы исходили из того, что электрические токи представляют собой движение электрических зарядов по про- проводникам и что плотность их, соглас- согласно уравнению C8.1), определяется значе- нием коэффициента электропроводности ис" проводника A: j = А(Е + Естр). Будем отныне называть эти токи токами проводимости и допустим, что помимо них1) могут существовать также и токи некоторого иного рода, которые мы будем называть токами сме- смещения (смысл этого названия выяснится в дальнейшем). Плот- Плотность полного тока$ПЛ будет, стало быть, равна сумме плотностей тока проводимости j и тока смещения jCM: j™=j+jCM- (88.1) Предположим при этом, что истинная зависимость вектора Н от j отличается от уравнения F2.7) только в том отношении, что rotH пропорционален не j, а плотности полного тока }ПЛ: rotH = ^jM = ^(j+jCM). (88.2) Иными словами, предположим, что в магнитном отношении токи смещения эквивалентны токам проводимости, т. е. возбуж- возбуждают магнитное поле по тем же законам, что и токи прово- проводимости. Взяв дивергенцию от обеих частей последнего уравнения, мы на основании D2?) получим div jnjI = div j + div jCM = 0. (88.3) Таким образом, поле полного тока должно быть лишено истоков, т. е. линии полного тока не могут нигде ни начинаться, ни кон- 1)W. помимо молекулярных токов в магнетиках. Молекулярные токи не причисляются к макроскопическим токам, о которых здесь идет речь, а учи- учитываются вектором намагничения I [см. уравнения F1 9) и F1.10)], который в свою очередь однозначно определяется векторами В и Н (см. уравнение F2.9)].
404 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI чаться и должны быть замкнутыми либо уходить в бесконеч- бесконечность (либо, наконец, должны всюду плотно заполнять некото- некоторую поверхность, см. § 53). Следовательно, там, где обрываются линии тока проводимости, к этим линиям должны непосред- непосредственно примыкать продолжающие их линии тока смещения. Далее, из последнего равенства на основании уравнения (87.1) следует: ... ... др divjCM = -divj = -f. at Но, согласно уравнению B2.2), div D = 4тгр. Следовательно, divjCM = — — chvD = div (— —-1 . 4тг at \47г at J 3. Самый простой, хотя, конечно, и не единственный, способ удовлетворить этому равенству состоит в том, чтобы положить JcM = j- ^, (88.4) 4тг at т. е. положить, что плотность тока смещения в каждой точке по- поля пропорциональна скорости изменения вектора электрической индукции D. Согласно этому определению ток смещения может иметь место не только в проводниках, но и в диэлектриках и да- даже в вакууме, однако в стационарном поле ток этот всегда будет равен нулю. Уравнение же (88.2) примет вид A(E + E) + i^. (88.5) с с dt с к с dt При дЛ/dt = 0 (88.5) совпадает с уравнением F2.7), так что все результаты, полученные нами ранее из уравнений F2.7) и D7.3), остаются в силе для полей стационарных. Итак, вводя чисто формальным образом гипотезу о существо- существовании токов смещения, мы можем устранить противоречие меж- между уравнениями (87.1) и F2.7), не внося при этом никаких видо- видоизменений в законы стационарного электрического поля. Опыт полностью подтверждает справедливость как этой ги- гипотезы, так и уравнения (88.5), являющегося одним из основных уравнений электродинамики. Как мы увидим в дальнейшем, наи- наиболее убедительным доказательством этого уравнения является самый факт распространения электромагнитных волн. 4. Чтобы уяснить физический смысл уравнений (88.4) и (88.5), рассмотрим случай, когда полный ток сводится к току смещения, т. е. когда ток проводимости равен нулю (непроводящая среда,
88 ТОКИ СМЕЩЕНИЯ 405 В этом случае уравнение (88.5) примет вид =±^ (А = 0). с dt K ' (88.6) Это уравнение вполне аналогично уравнению (85.3) rotE = _ 1 дВ ~ с dt' Из уравнения (88.6) следует, что, подобно тому как электри- электрическое поле может возбуждаться не только электрическими за- зарядами, но и изменениями поля магнитного (т. е. изменениями вектора магнитной индукции В), так в свою очередь и магнит- магнитное поле может возбуждаться не только движениями зарядов (токи проводимости), но и изменениями поля электрического (вектора электрической индукции D) 1). Исходя из этой аналогии между уравнениями (85.3) и (88.6), 1 dB величину можно было бы назвать плотностью магнитного тока смещения. Заметим, что правые части уравнения (88.6) и (85.3) имеют различные знаки. Обусловливается это отличие тем, что сило- силовые линии магнитного поля Н, возбуждаемого токами смещения 1 9D jCM = — —, составляют с направлением этих токов правовин- 4тг dt товую систему2), тогда как ™ дВ направления векторов Е и — находятся в обратном соотно- соотношении (рис. 76; ср. рис. 70 на с. 357). 5. Отметим в заключение, что с современной точки зре- зрения3), токи проводимости, с одной стороны, и токи смеще- смещения в вакууме, с другой сторо- стороны, несмотря на сходство назва- названий, представляют собой, в сущности, совершенно различные фи- физические понятия. Единственная общая их характеристика за- Рис. 76 1) Разумеется, изменение электрического поля в конечном счете обуслов- обусловливается тем же движением зарядов. Более того, с электронной точки зре- зрения некоторая часть (но только часть) плотности токов смещения в ди- диэлектриках (но не в вакууме) непосредственно сводится к движению «свя- «связанных» зарядов среды (см. ниже). 2)Это следует из эквивалентности токов смещения токам проводимости и из результатов § 53. 3) В отличие от первоначальных представлений Максвелла, впервые уста- установившего существование токов смещения и давшего им это название.
406 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI ключается в том, что они одинаковым образом возбуждают маг- магнитное поле, т. е. одинаковым образом входят в правую часть уравнения (88.5). Во всех же остальных отношениях эти токи резко отличаются друг от друга. Самое существенное отличие заключается в том, что токи проводимости соответствуют движению электрических зарядов, тогда как «чистый» ток смещения — ток смещения в вакууме — соответствует лишь изменению напряженности электриче- электрического поля и никаким движением электрических зарядов или каких-либо других частиц вещества не сопровождается. Дей- Действительно, в вакууме D = Е, и уравнение (88.4) принимает вид . _ 1 дЕ JcM ~ 4* dt • При наличии диэлектрика, на основании уравнений B0.6) и B2.1) уравнение (88.4) принимает вид Jcm — — -г: — I ^- + 4тг—- I = — 47г at 47г V dt dt У 4тг 8В п «Л, — + > ei at Таким образом, ток смещения в диэлектрике складывается 1 <ЭЕ из «чистого» тока смещения , с движением зарядов не свя- 4тг at занного, и из члена Y\ei—- = У)е»у^, учитывающего движение dt зарядов, связанных с молекулами диэлектрика, и с микроскопи- микроскопической точки зрения являющегося, в сущности, составной частью тока проводимости [ср., например, уравнение D0.1)]; vj в послед- последнем из наших равенств означает скорость движения заряда в?. Упомянем еще о том, что токи смещения, в отличие от токов проводимости, не сопровождаются выделением джоулева теп- тепла. В случае токов смещения в вакууме это самоочевидно. Как будет доказано в § 92, это положение строго справедливо также в применении к токам смещения в диэлектриках, диэлектриче- диэлектрическая проницаемость которых не зависит от температуры (квази- (квазиупругие диполи). Что же касается диэлектриков с постоянными диполями, то, как указывалось в § 31, изменение поляризации диэлектриков этого класса сопровождается некоторым выделе- выделением или поглощением тепла. Стало быть, и токи смещения в них сопровождаются тепловыми эффектами. В переменных по- полях высокой частоты это влечет за собой выделение заметных количеств теплоты в диэлектрике, которое, однако, подчиняет- подчиняется совершенно иным закономерностям, чем выделение джоулева тепла в проводниках. 6. Обратимся теперь к вопросу о том, в какой мере существо- существование токов смещения нарушает правильность тех заключений, к которым мы пришли в предшествующих параграфах этой гла- главы. Заметим, прежде всего, что внутри проводников, в частности
§ 88 ТОКИ СМЕЩЕНИЯ 407 внутри металлов, плотность токов смещения обычно настолько мала по сравнению с плотностью токов проводимости: Jcm «: j, что без ущерба для точности вычислений ими можно вообще пре- пренебречь. Предположим, например, что мы имеем дело с периодиче- периодическим током частоты и, так что Е — Ей sin 2тгг/? и jCM = — = — ?J0 °os 2тп/?. 47Г dt 2 В этом случае условие jCM <Sij = ХЕ эквивалентно требованию ег/<А. (88.8) Для ртути А = 9,57-1015 абс. ед. (с"), проводимость чистых твердых металлов в 10-50 раз больше: для них А и 1017 абс. ед. Ввиду столь большого значения А условие (88.8) выполняет- выполняется в металлах для всех частот, применяемых в технике (в том числе и в радиотехнике), и нарушается лишь в области частот, соответствующих инфракрасной части спектра. Однако при этих частотах начинает играть существенную роль зависимость мате- материальных констант е и А от частоты поля (дисперсия), так что уравнения Максвелла, не учитывающие возможности такой дис- дисперсии, перестают быть применимыми *). Совершенно иной характер имеет вопрос о том, можно ли пренебречь по сравнению с током проводимости теми токами смещения, которые возникают в окружающей проводник непро- непроводящей среде. В большинстве технически интересных случаев это оказывается допустимым при условии, что проводники об- образуют собой замкнутую цепь. Если же в проводящей цепи то- тока имеются разрывы, например, если в нее включен конденсатор (см. рис. 75), то током смещения в пространстве между обкладка- обкладками конденсатора пренебречь никак нельзя. Действительно, пол- полный ток всегда лишен истоков и стоков [уравнение (88.3)]; поэто- поэтому общая сила тока смещения, протекающего через конденсатор, равна силе тока в подводящих к нему проводах. Впрочем, в слу- случае включенного в цепь конденсатора электрическое поле тока, 1) Заметим, что понятие диэлектрической проницаемости металлов может быть определено лишь в применении к переменным полям, ибо в статиче- статических полях поляризация проводников, если она и существует, полностью маскируется явлениями проводимости (токами). Значения s для металлов в быстропеременных полях могут быть определены путем изучения отра- отражения и преломления электромагнитных волн в металлах. Так, например, в § 102 будет показано, что коэффициент отражения волн от металличе- металлической поверхности зависит, в частности, от диэлектрической проницаемости металла [ср. формулы A02.2), A02.3) и A02.8)].
408 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI а стадо быть, и ток смещения концентрируются между обклад- обкладками конденсатора. Поэтому с известным приближением цепь с конденсатором можно уподобить замкнутой проводящей цепи; иными словами, вычисление самоиндукции цепи, магнитного по- поля тока и т. д. можно вести так, как если бы между обкладками конденсатора циркулировал ток проводимости такой же силы, как и в подводящих к нему проводах (ибо в магнитном отно- отношении ток смещения эквивалентен току проводимости). Таким образом, наличие конденсатора в цепи переменного тока непо- непосредственно сказывается лишь на электрическом, но не на маг- магнитном поле тока (см. § 89). Иное дело, если мы имеем совершенно разомкнутую проводя- проводящую цепь, например прямолинейный проводник конечной длины (антенна). В этом случае токи смещения будут, вообще говоря, распределены по всему окружающему проводник пространству, и о замкнутости цепи говорить не приходится. Наконец, при достаточно быстрых электрических колебаниях и достаточной длине проводника (сравнимой с длиной электрической волны) сила тока проводимости может оказаться неодинаковой в различ- различных сечениях проводника (даже если этот проводник замкнут и лишен разветвлений). Если, несмотря на это, при известных условиях и окажется возможным при определении магнитного поля пренебречь полем токов смещения, то все же подобные то- токи проводимости постоянным токам уподоблены быть не могут и условиям квазистационарности не удовлетворяют. Во всяком случае, достаточная медленность изменений поля является необходимым условием того, чтобы можно было прене- пренебречь токами смещения (сила которых пропорциональна быстро- быстроте изменения поля) и считать токи проводимости замкнутыми. § 89. Конденсатор в цепи квазистационарного тока. Электрические колебания 1. До сих пор мы рассматривали лишь квазистационарные токи в замкнутых проводящих контурах; теперь в качестве при- примера мы несколько подробнее рассмотрим цепь с включенным в нее конденсатором. Пусть С — емкость конденсатора, R — сопротивление цепи, соединяющей его обкладки, a L — самоиндукция той замкну- замкнутой цепи тока, которая получается из данной путем замыкания обкладок конденсатора отрезком помещенного между ними про- провода г). 1) Если расстояние между этими обкладками достаточно мало, то в извест- известных пределах сечение замыкающего их провода на значении коэффициен- коэффициента L сказываться не будет.
§ 89 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА 409 Предположим, что сила тока J одинакова во всех сечениях цепи (в проводах это ток проводимости, между обкладками кон- конденсатора — ток смещения), и выберем определенным образом положительное направление тока (стрелка на рис. 77). Пусть е\ и ег суть заряды об- обкладок конденсатора, причем е\ — — ег- Допустим, что емкость конденсатора на- настолько превышает емкость остальной це- цепи, что последней можно вовсе пренебречь, и что общая энергия электрического по- поля практически равна энергии того участ- участка этого поля, который заключается между обкладками конденсатора. Если поле удов- удовлетворяет условиям квазистационарности, то в каждый данный момент значение этой Рис. 77 энергии должно находиться в той же зави- зависимости от мгновенного значения заряда конденсатора, как и в статическом случае; аналогичное положение будет применимо и к зависимости магнитной энергия от силы тока в цепи. Стало быть, общая электромагнитная энергия системы должна быть равна [уравнения A5.9) и G9.6)]: W = -^ + —LJ2. (89.1) 2 С 2с2 v ' Чтобы получить дифференциальное уравнение, определяю- определяющее силу тока при разряде конденсатора, примем во внимание, что количество выделяющегося в цепи тока джоулева тепла дол- должно равняться убыли электромагнитной энергии системы: dt \С dt с2 dt С другой стороны, применяя уравнение непрерывности C7.2) к замкнутой поверхности, охватывающей одну из обкладок кон- конденсатора (см. рис. 77), легко убедиться, что при сделанном нами выборе положительного направления тока сила этого тока J дол- должна равняться убыли заряда е\ первой пластины конденсатора и приращению заряда &i второй его пластины: Внося это в предшествующее уравнение и сокращая его затем на J. получим Дифференцируя это уравнение по (и применяя вновь урав- уравнение (89.2), получим окончательно
410 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI Если же мы выразим значение электромагнитных величин не в абсолютных, а в практических единицах, то фактор 1/с2 исчезнет (ср. § 80), и мы получим L'd^- + R't? + ^ = 0. (89.5) 2. Уравнение (89.5) имеет хорошо известный вид уравнения затухающих периодических колебаний; его общее решение выра- выражается формулой f = Лем + Век*\ где А и В — произвольные постоянные интегрирования, a fci и Ат2 — корни квадратного уравнения L'k2 4- Я'к 4- — - О С" ' т.е. 2L' V V2L'/ L'C" Если подкоренное выражение не отрицательно, то оба числа к\ и кч вещественны и отрицательны (ибо абсолютное значение корня меньше значения первого члена), так что разряд конден- конденсатора будет апериодическим. Если же подкоренное выражение отрицательно, то к\ и ki комплексны. Введя обозначение получим в этом случае U R' -L- ¦ к = — ± г f = Aeklt + Bek2t = exp^-^ Выражая е±гшо* через тригонометрические функции, легко при- привести вещественную часть этого выражения к виду 11 sin (cjQt — <р), где а к ip — некоторые новые постоянные, значение которых за- зависит от А и В. Стало быть, в этом случае в цепи циркулирует периодический затухающий ток циклической частоты ш$. Пери- Период колебаний этого тока, т. е. промежуток времени между по- последовательными моментами прохождения силы тока через нуль в одинаковом направлении (т. е., например, от отрицательных значений J' к положительным), равен Т
§89 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ТОКА 411 При условии Я'2 « 4L' Я « С" вторым членом выражения (89.6) можно пренебречь, так что по- последнее равенство сводится к известной формуле Томсона: Т = I-k^/UC1. (89.7) силы тока определяется j) о полного периода сила то (R' \ —-Т) раз. Логарифм этого множителя Быстрота затухания силы тока определяется отношением R'j{2L')\ за время одного полного периода сила тока уменьша- ILT = — (89.8) 2L' Ь'шо V ; носит название логарифмического декремента колебаний. 3. Электрические колебания в цепи с конденсатором вполне аналогичны колебаниям тела, удерживаемого около положения равновесия упругими силами. Заряжая конденсатор, или выводя тело из положения равновесия, мы сообщаем системе известный запас потенциальной энергии (электрической или упругой). При разряде конденсатора и при колебаниях тела эта потенциаль- потенциальная энергия переходит соответственно в «электрокинетическую» энергию магнитного поля и в кинетическую энергию движуще- движущегося тела. Однако, когда заряд конденсатора становится равным нулю (тело проходит через положение равновесия), ток не спа- спадает сразу до нуля (тело не останавливается), а благодаря своего рода электромагнитной инерции (мерой которой является коэф- коэффициент самоиндукции, ср. с. 368) продолжает в течение неко- некоторого времени течь в прежнем направлении. Благодаря этому конденсатор перезаряжается (тело удаляется от положения рав- равновесия), после чего процесс разряда повторяется в обратном направлении. Сопротивление цепи, которым обусловливается за- затухание электрических колебаний, конечно, вполне аналогично трению. Учение об электрических колебаниях играет чрезвычайно важную роль в целом ряде отраслей электротехники и в свя- связи с этим настолько развилось, что представляет собой, в сущ- сущности, особый отдел общего учения об электричестве. Не имея возможности входить в подробное изложение этих вопросов, мы принуждены отослать читателя к специальным сочинениям. 4. В заключение покажем, что уравнение (89.4), выведенное нами на основании энергетических соображений, может быть по- получено также и из закона Ома [уравнение C5.4)]. Применяя урав- уравнение C5.4) к соединяющему обкладки конденсатора проводу 1а2, по которому циркулирует ток проводимости J (см. рис. 77),
412 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI получим JR= IEs ds. 1а2 Но Esds = 6 Esds- Esds = Sиид + Es ds, la& 1а2Ы 2Ы 1Ь2 ибо циркуляция электрического вектора по замкнутому конту- контуру равна электродвижущей силе индукции. Здесь 2Ы означа- означает отрезок, дополняющий до замкнутости контур 1а2. Что же касается последнего интеграла, то в электростатическом поле он равнялся бы разности потенциалов обкладок конденсатора <pi — (рг- В переменном поле, как мы убедились в § 86, понятие потенциала теряет смысл, ибо к потенциальному кулонову полю электрических зарядов присоединяется вихревое поле индукции. Однако предположение о квазистационарности поля тока, циркулирующего в конденсаторной цепи, включает в себя, в част- частности, предположение, что электрическое поле вблизи конденса- конденсатора находится в той же зависимости от мгновенного значения его заряда, как и в случае статическом. Иными словами, предпо- предполагается, что по крайней мере между обкладками конденсатора напряженность вихревого поля, индуцированного изменениями поля магнитного, исчезающе мала по сравнению с напряжен- напряженностью кулонова поля зарядов конденсатора. С другой стороны, из смысла последнего уравнения явствует, что входящий в него интеграл / Es ds, должен быть взят по кратчайшему пути, сое- 1Ь2 диняющему обкладки конденсатора, т. е. по пути, лежащему между этими обкладками. Следовательно, в случае квазиста- квазистационарного тока интеграл этот можно положить равным той разности потенциалов tpi — (p2, которая существовала бы меж- между обкладками конденсатора в статическом случае. Стало быть, JR = ga«* + (Pl-ip2. (89.9) Выразив в этом уравнении ip\ — <р2 через заряд и емкость конденсатора [уравнение (9.1)], а <?>ИНД через L и dJ/dt, мы вновь придем к уравнению (89.4). Заметим, что уравнение (89.9) вполне аналогично закону Ома для постоянных токов [уравнение C8.5)], причем <^инд играет роль «сторонних» электродвижущих сил. Задача 36. К концам end почти замкнутого «потреб- «потребляющего» участка цепи II (см. рис. 74, с. 398) приложено из- извне заданное переменное напряжение $'сд = <?q cos ojt (пользуемся практической системой единиц). Сторонних электродвижущих сил в этом участке цепи нет, но в него включен конденсатор
§ 90 СКИН-ЭФФЕКТ 413 емкости С". Показать, что сила тока J' в цепи равна J' = Jq cos (ut — ip), причем амплитуда тока Jq равна jt _ 0 '2 + {uV - 1/(шС")J ' а сдвиг фазы тока по отношению к фазе напряжения определя- определяется соотношением , Примечание 1. Эти соотношения остаются справедли- справедливыми и в случае замкнутой цепи, ток в которой возбуждается периодическими изменениями потока магнитной индукции внеш- внешнего магнитного поля; чтобы перейти к этому случаю, достаточ- достаточно в приведенных формулах заменить Scd на S'™^ jP/ИНД ^Ф внш dt Примечание 2. Из выражения для Jq явствует, что при заданном SQ' амплитуда тока достигает максимума при uV = = 1/(о/С"), т. е. при и — L'C Если логарифмический декремент собственных колебаний це- цепи мал, то это условие соответствует приближенному равенству (циклической) частоты ш внешних возбуждающих сил и частоты собственных колебаний цепи шо [уравнения (89.6) и (89.7)]. Таким образом, цепь с конденсатором и самоиндукцией, как и всякая система с собственным периодом колебаний, обнаруживает при возбуждении ее внешними периодическими силами явление ре- резонанса. Как известно, этими явлениями резонанса широко поль- пользуются в электротехнике вообще и радиотехнике в частности. § 90. Скин-эффект Выше мы вовсе не входили в рассмотрение вопроса о распре- распределении переменных токов по сечению проводников. Между тем этот вопрос важен не только с теоретической, но и с технической точки зрения. Как мы сейчас покажем, даже в однородном ква- квазилинейном проводнике (§ 38) переменный ток в отличие от по- постоянного не распределяется равномерно по сечению проводни- проводника, а, вообще говоря, концентрируется на его поверхности 1). Это :) В некоторых случаях возможно обратное явление, т. е. осевая концентра- концентрация тока; см. Либип 3. // Журнал прикладной физики. 1927. Т. IV. Вып. 3. С. 45.
414 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VI явление, получившее название скин-эффекта (английское слово «скин» значит кожа; ток концентрируется на «коже» проводни- проводника), в свою очередь влечет за собой изменение эффективного сопротивления и самоиндукции проводника. 1. При изложении теории скин-эффекта проводников мы бу- будем исходить из основных уравнений электромагнитного поля (85.3) и (88.5): rotE =-««*=-?**, rotHE + с dt с dt с с dt (предполагаем, что Естр = 0 и что /л от времени не зависит). Как указывалось в § 88, плотность токов смещения в провод- проводниках или по крайней мере в металлах исчезающе мала по срав- сравнению с плотностью токов проводимости. Поэтому в последнем уравнении мы можем пренебречь вторым членом и положить [ср. уравнение D7.3)]: с Рассмотрим однородный проводник, на протяжении которо- которого е, А и /л суть величины постоянные. В этом случае, образо- образовав вихрь уравнения (85.3) и внеся в него приведенное значение rotH, получим rot rot E = -И A (rotH) = -±^ ^. сЗГ ; с2 dt С другой стороны, на основании уравнения D2д) rot rot E = grad divE - V2E, причем, если внутри проводника нет объемных зарядов (р = 0), то ввиду постоянства е из уравнения B2.4) следует: divD = diveE = edivE = 0. Стало быть, дифференциальное уравнение электрического поля внутри однородного проводника может быть записано так: V2E = *У± ^. (90.1) Подобным же способом легко получить аналогичное уравне- уравнение и для магнитного вектора Н: ^. (90.2) 2. Ограничимся рассмотрением переменных полей, напряжен- напряженность которых является синусоидальной функцией времени, и будем выражать их напряженность в комплексной форме (ср. § 80, с. 369): Е = ЕоОг, у, z)e^, H = Н0(х, у, z)^, (90.3)
90 СКИН-ЭФФЕКТ 415 где амплитуды Ео и Но могут быть комплексными векторами 1), но от времени не зависят. Внося уравнение (90.3) в уравнение (90.1) и сокращая его за- затем на временной фактор ешг, получим следующее уравнение для амплитуды электрического вектора: Зо, (90.4) где нами введено обозначение Р2 = (90.5) 3. Рассмотрим сначала следующий простейший случай. Пусть бесконечный однородный проводник занимает полупространство z > 0, так что его поверхность совпадает с плоскостью z — 0. Предположим, что электрическое поле, а стало быть, и ток направле- направлены по оси х параллельно граничной поверхности {Еу — Ez = 0) (рис. 78). Предположим, далее, что напряжен- напряженность поля зависит только от расстоя- расстояния z рассматриваемой точки про- проводника от его поверхности, но не зависит от ж и у. При этих условиях уравнение (90.4) поля внутри проводника (т. е. при z > 0) принимает вид = 2ip2E0x. Рис. 78 dz2 Общее решение этого линейного уравнения, как известно, имеет вид ЕОх = Aekz + Be~kz, где Аи В — постоянные интегрирования, а к — корень уравнения к2 = 2ip2, т. е. Таким образом, к = EQx = Aepzeipz 1) Не смешивать комплексных векторов с комплексными числами, изобра- изображаемыми векторами на плоскости. Всякий комплексный вектор а может быть представлен в виде суммы b + гс, где г = у/—1, a, b и с суть обычные вещественные векторы в пространстве.
416 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ У! причем, согласно уравнению (90.5), р есть величина веществен- вещественная. Так как поле в проводнике ограничено тонким поверхност- поверхностным слоем, то постоянную интегрирования А нужно положить равной нулю, ибо в противном случае при увеличении z, т. е. при удалении от поверхности в глубь проводника, Eqx росло бы до бесконечности. Переходя, кроме того, от амплитуды электриче- электрического вектора к его полному комплексному выражению, получим Ех = ЕОхеш1 = Ве-ргег(-"*-рг1 (90.6) Отбрасывая мнимую часть, получаем окончательно Ех = Be~pz cos (cut - pz). (90.6') Соответственно этому плотность тока выражается формулой U = \ЕХ = jQe~pz cos (art - pz), (90.7) где через jq = ХВ обозначена амплитуда плотности тока на по- поверхности проводника. Таким образом, по мере проникновения в глубь проводника фаза электрического вектора и плотности тока изменяется ли- линейно, а их амплитуды BeTpz и XBe~pz убывают по экспоненци- экспоненциальному закону. При этом основную часть тока можно считать сосредоточенной в поверхностном слое толщиной в 1/р см, ибо на этой глубине плотность тока уже в е раз (т. е. примерно в 2,7 раза) меньше плотности тока у поверхности проводника. Чтобы оценить толщину этого слоя, рассмотрим конкретный пример. Для меди можно положить ц = 1, А = 6 ¦ 10~4 эл.-маг. ед. = с2 ¦ 6 ¦ 10~4 абс. (эл.-стат.) ед. Циклическая частота равна 27Г г, и = — = 2тгг/, Т ' где v — число периодов в секунду. При 1000 периодах из урав- уравнения (90.5) следует: При 105 периодах в секунду, что соответствует сравнительно медленным радиотелеграфным колебаниям (длина волны 3000 м), получаем р~ 50 см. Таким образом, в первом случае ток практически сосредото- сосредоточен в слое толщиной в 1/5 см = 2 мм, а во втором — в слое всего лишь 1/50 см = 0,2 мм толщины.
§ 90 скин-эффект 417 В случае постоянных токов ш = 0и, следовательно, р = О, так что напряженность поля и плотность тока сохраняют постоянное значение во всей толще проводника. 4. Результаты, полученные при рассмотрении бесконечного проводника, остаются качественно применимыми и к практиче- практически наиболее интересному случаю цилиндрических проводников. И в этом случае переменный ток концентрируется на поверхности проводника тем сильнее, чем больше частота тока. Концентрация тока на поверхности влечет за собой изменение сопротивления и самоиндукции проводника; таким образом, для переменных то- токов эти величины уже не являются постоянными, а зависят от частоты тока. Так, например, если весь ток концентрируется в поверхностном слое цилиндрического провода, то сопротивление провода должно стать равным сопротивлению полого цилиндра, обладающего стенками соответствующей толщины. По мере уве- увеличения частоты толщина проводящего ток слоя уменьшается, и сопротивление проводника должно увеличиваться. Введем цилиндрическую систему координат z, r, а, ось которой совпа- совпадает с осью цилиндрического провода, и допустим, что в рассматриваемом участке провода поле Е направлено по оси провода, причем его напряжен- напряженность Е = Ez зависит только от координаты г, но не зависит ни от z, ни от а. При этих условиях уравнение (90.4) принимает вид х) fEo + ldEo_ 2гр2Ео = 0 (90 8) dr2 r dr Уравнения этого типа носят название уравнений Бесселя. Коэффици- Коэффициент 1/г при dEo/dr в этом уравнении обращается при г = 0 (т. е. на оси провода) в бесконечность, поэтому и решения уравнения Бесселя при г = О, вообще говоря, тоже обращаются в бесконечность. Существует только одно вполне определенное (с точностью до произвольного постоянного множите- множителя) решение уравнения (90.8), которое остается конечным на оси провода; это решение носит название бесселевой функции нулевого порядка от аргу- аргумента pry/—2? и обозначается символом •/о(рту/— 2i) (не смешивать символа бесселевой функции Jo с обозначением силы тока). Так как Ео должно обла- обладать конечным значением во всей толще провода, то из (90.8) следует: Ео = const ¦ Joipr^h). (90.9) 1) Действительно, ввиду того, что вектор Б направлен по оси z, уравнение (90.4) равносильно уравнению V2Eoz — 2ip2Eoz = 0, или, так как Eoz = Ео, уравнению V2?o — 2ip2Eo = 0. Величина Ео является скаляром, по условию зависящим только от г. Поэтому gradr Ео = —-, grad2 Ео - grada Ео = 0. Далее V2Eo = divgrad-Eo. Поэтому, приравнивая в B2*) вектор а вектору gradi?o, получаем 2 д2Е0 1 дЕо Ьо I 2 v 14 И. Е. Тамм
418 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Г В теории бесселевых функций доказываются следующие две формулы: при рг <К 1 ^-^ + ..., (90.10) при рг ^> 1 Мы ограничимся рассмотрением двух предельных случаев- pro <С 1 и pro ~Э> 1, где го — радиус провода. В первом случае (малая частота ш, тонкий провод) можно на протяжении всего сечения провода ограничиться первы- первыми членами разложения (90.10). Напряженность поля Е и плотность тока j будут в этом случае лишь незначительно изменяться на протяжении сече- сечений: с помощью (90 10) легко показать, что амплитуда действительной части плотности тока будет возрастать при удалении от оси тока приблизительно пропорционально 1 + {рг) /16. В случае же больших частот ш и толстых проводов ргоЗ>1, и на ббльшей части сечения провода Ja(pry/—2i) может быть заменено приближенным выражением (90.11), так что _ const °~~Ф~вХ Переходя от амплитуды Ео напряженности поля к ее полному комплекс- комплексному выражению -Бое1"' и отбрасывая затем мнимую часть, получаем Ez = 4= epr cos (u,t+--pr), v^ 8 ' (90 12) \ / \ у. ~~р(го~г) / \ jz = \EZ = —— ерт cos [u}t-\ рг) = — cos ( ut H рг ] , Ф \ 8 / ф \ 8 / где о и Ь = Лоерг° суть постоянные Таким образом, в этом случае плотность тока экспоненциально убывает по мере удаления от поверхности г = го в глубь проводника; основная часть тока сосредоточивается, как и в рассмотренном выше бесконечном провод- проводнике, в поверхностном слое толщины 1/р см. Ввиду этого при определении, например, полной силы тока в проводнике мы можем проинтегрировать выражение (90.12) для jz по всему сечению проводника; хотя в глубине проводника при pr-Cl это выражение и перестает быть справедливым и даже обращается в бесконечность на оси проводника, все же внутренние области проводника (при условии pro ^1) практически ничего не привносят в полную силу тока. Итак, полная сила тока в проводнике при pro ;§> 1 равна го го J = [ 3z - г-Krdr = 2тгЬ / ф e-p!-T°-r) cos (uit+ - - pr) dr. о о Ввиду того, что подынтегральное выражение весьма быстро спадает при удалении от поверхности проводника, можно приближенно заменить ф его значением на поверхности: J = 2тгЬфо^ I е~р(г°-г) cos f ut H рг ) dr.
§ 90 скин-эффект 419 Выполняя интегрирование и пренебрегая членом порядка е~рг°, получаем J = — Sin I LJt + - ] - COS I Ut + - . Наконец, среднее за период значение квадрата силы тока равно J (9013) Р2 Определим, наконец, количество джоулева тепла, выделяющегося в еди- единице длины провода за единицу времени: го Q = f Jl ¦ 2тгг dr = ^ /"e-^^-^coe» Lt + - - pr) dr. J л л J \ 8 / о Так как среднее за период значение квадрата косинуса равно 1/2, то Л J dr {1 е); 2рЛ о или, пренебрегая членом е~2рг° по сравнению с единицей, получаем Q=—. (90.14) 2рЛ V ; 5. Если Q есть среднее количество джоулева тепла, выделяе- выделяемого в проводнике за единицу времени переменным током си- силы J, то сопротивлением проводника переменному току целесо- целесообразно назвать отношение значения Q к среднему за период значению квадрата силы переменного тока J2: Я=?. (90.15) В технике эту величину R принято называть омическим или ваттным сопротивлением проводника. Для постоянного тока J2 — J2, так что приведенное выраже- выражение совпадает с законом Джоуля [уравнение C5.7)]. Для случая квазистационарного переменного тока в цепи с самоиндукцией, рассмотренного в § 80, определяемое этим выра- выражением значение ваттного сопротивления совпадает с обычным сопротивлением цепи постоянному току. Действительно, внося в уравнение (80.10), выражающее величину потребляемой в цепи мощности (которая, очевидно, равна выделяющемуся в цепи теп- теплу), значение среднего квадрата силы тока из уравнения (80.7), получаем В случае же быстропеременных токов, когда ток сосредоточива- сосредоточивается в тонком поверхностном слое проводника (рг^>1), из (90.13) 14*
420 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VI и (90.14) следует, что ваттное сопротивление единицы длины провода равно Д=? = —р—. (90.16) J2 2тгг0А v ' Таким образом, проводник оказывает переменному току ци- циклической частоты и такое же сопротивление, какое он оказывал бы постоянному току, если бы ток был сосредоточен в поверх- поверхностном слое проводника сечения 2тгго/р, т. е. толщины Ь *) : (90.17) 6. В отличие от сопротивления самоиндукция проводника уменьшается по мере увеличения частоты тока. Действитель- Действительно, самоиндукция проводника, согласно определению, пропор- пропорциональна энергии магнитного поля тока, циркулирующего по этому проводнику [уравнение (81.8)]. С другой стороны, извест- известно, что если ток сосредоточен, например, на поверхности цилин- цилиндрического проводника, то магнитное поле внутри проводника равно нулю (см. задачу 29 на с. 209); поле же вне цилиндра от распределения тока по его сечению не зависит (поскольку распределение это сохраняет аксиальную симметрию). Следова- Следовательно, по мере концентрации тока на поверхности проводника уменьшается энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция проводника, причем последняя стремится к пределу V', равному внешней самоиндукции проводника (см. с. 386). К тому же выводу можно прийти, приняв во внимание, что магнитное поле в проводниках определяется дифференциальным уравнением (90.2) того же вида, как и электрическое поле, и что, стало быть, как электрическое, так и магнитное поле быстропе- ременных токов в глубь проводников не проникает. ) Формула (90 17) справедлива лишь в случае так называемого нормаль- нормального скин-эффекта, имеющего место, когда глубина скин-слоя S значительно превосходит длину свободного пробега электронов I. Действительно, лишь в этом случае можно в каждой точке скин-слоя пользоваться дифференциаль- дифференциальной формой закона Ома C6.5). С ростом частоты ui глубина проникновения поля 6 при нормальном скин-эффекте уменьшается (см. (90 17)) и при 6 < I наступает аномальный скин-эффект В области ярко выраженного аномаль- аномального скин-эффекта, когда S < I — толщина скин-слоя ?ан ~ (c2f/B?r/iAu;)I/3, это выражение получается из (90.17), если ввести эффективную проводи- проводимость, равную Х5ли/1, т е если в выражении D1.1) для проводимости А заменить длину свободного пробега I на толщину скин-слоя #ан. Об аномаль- аномальном скин-эффекте см., например: Займам Док Принципы теории твердого тела — М ¦ Мир, 1974 Гл 8, § 7. (Примеч. ред.)
ГЛАВА VII ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 91. Система максвелловых уравнений макроскопического электромагнитного поля 1. В предшествующих главах изложение носило индуктивный характер: мы шаг за шагом обобщали эмпирически найденные закономерности и формулировали их в виде отдельных законов. Теперь же задача нахождения основных законов электромагнит- электромагнитного поля (по крайней мере в том смысле, как эти законы пони- понимаются в классической теории макроскопического поля) может считаться разрешенной, и полученные результаты могут быть сведены в полную систему уравнений электромагнитного поля. Если система этих уравнений верна и действительно является полной, то из нее должны однозначно вытекать все свойства по- поля — как уже изученные, так и не изученные нами. Таким образом, система основных уравнений представляет собой, в сущности, математическую формулировку основных по- постулатов или «аксиом» классической электродинамики, играю- играющих в ней ту же роль, какую в классической механике игра- играют аксиомы Ньютона. Дальнейшая задача теории заключается в раскрытии содержания этих уравнений, в применении их к от- отдельным вопросам и в сравнении вытекающих из них следствий с данными опыта. В настоящей главе мы ограничимся установлением системы основных уравнений макроскопического электромагнитного поля при следующих упрощающих допущениях: 1) все находящиеся в поле материальные тела неподвижны; 2) в каждой точке поля значения величин е, ц и А, характеризующих свойства среды, остаются постоянными, т. е. не меняются со временем, не зави- зависят от напряженности поля и считаются величинами заданными; 3) постоянные магниты и ферромагнетики в поле отсутствуют. Лишь в § 108 мы рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к теории ферромагнетиков. Заметим, что второе ограничение обозначает, в частности, что мы либо пренебрегаем зависимостью е и /j, от температуры,
422 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII либо ограничиваемся рассмотрением изотермических процессов. Мы будем считать в дальнейшем ей дне зависящими от темпе- температуры, что позволит нам пренебречь также выделением и погло- поглощением тепла при поляризации и намагничении среды. Вместе с тем в этом приближении устраняется различие между свобод- свободной и «внутренней» энергией электромагнитного поля (§ 31 и 82). Как уже отмечалось, эффекты, связанные с выделением тепла в диэлектриках и магнетиках, в большинстве случаев играют со- совершенно второстепенную роль, так что их действительно можно не учитывать. 2. Система дифференциальных уравнений классической элек- электродинамики, к изложению которой мы переходим, носит назва- название уравнений Максвелла. Максвелл впервые сформулировал эти уравнения в шестидесятых годах прошлого столетия (в частно- частности, он впервые ввел понятие тока смещения) и раскрыл их физи- физический смысл. Впрочем, окончательная общепринятая ныне фор- формулировка уравнений электродинамики принадлежит Герцу. К основным уравнениям Максвелла принадлежит, прежде всего, уравнение (88.5), определяющее зависимость вихря маг- магнитного поля от плотности токов проводимости и токов смеще- смещения: 4тг . . 1 3D ,„ m TJ + c^r = rotH' w и уравнение (85.3), выражающее закон индукции электрического поля при изменении поля магнитного: rotE. (II) с dt v ' Из этих уравнений вытекают при некоторых добавочных предположениях два других уравнения, обыкновенно причисляе- причисляемых к основным уравнениям поля. Так, в § 85 уже было пока- показано, что из уравнения (II) следует независимость дивергенции вектора В от времени [уравнение (85.4)]. В остальном же вид функции divB = /(ж, у, z) при решении системы уравнений (I) и (II) остается неопределенным, так что функция эта играет роль начальных условий интегрирования. Полагая, что эта функция равна нулю во всех точках пространства, получим третье основ- основное уравнение Максвелла divB=0, (III) совпадающее с уравнением F2.8). Образовав дивергенцию от обеих частей уравнения (I) и при- приняв во внимание равенство нулю дивергенции вихря [уравнение D2^)], получим (изменив порядок дифференцирования по про- пространственным координатам и по времени) 4тг div j + — div D = 0. dt
§ 91 СИСТЕМА МАКСВЕЛЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ 423 Если обозначить div D через 4тгр: divD = 47r/>, (IV) то предшествующее уравнение примет вид divj = -^, (IVa) at что совпадает по форме с уравнением непрерывности (87.1), вы- выражающим собой закон сохранения количества электричества. Таким образом, определяемую уравнением (IV) величину р мож- можно толковать как плотность электрических зарядов. В фарадей-максвелловой теории величина р действительно носила характер вспомогательного обозначения, а понятие заря- заряда — характер вспомогательного термина, ибо, с точки зрения фарадей-максвелловой концепции поля, электрические заряды представляют собой не особого рода субстанцию, а лишь «узлы» силовых линий поля, характеризующих деформацию упругого эфира, так что термин «электрический заряд» представляет со- собой лишь условное название истоков вектора D, т. е. тех участков поля, в которых divD ф 0. Рассмотрение этой вспомогательной величины оправдывается тем, что величина заряда, находящего- находящегося внутри проведенной в непроводящей среде замкнутой поверх- поверхности, не изменяется во времени, т. е. является первым интегра- интегралом уравнений поля. К основным максвелловым уравнениям необходимо причис- причислить также и соотношения, связывающие между собой значения основных векторов электромагнитного поля: D = eE, B = /iH, j = A(E + ECTp). (V) Характеризующие свойства среды величины е, ц и А счита- считаются при этом заданными функциями точки, от времени не за- зависящими, сторонние же электродвижущие силы Естр считают- считаются заданными функциями точки и времени. Существование этих сил сказывается непосредственно лишь на плотности тока прово- проводимости, а косвенно также и на распределении электрических за- зарядов. В частности, для установления электростатического рав- равновесия (j = 0) необходимо, чтобы в каждой точке проводников Естр уравновешивалось напряженностью Е электростатического поля зарядов [см. уравнение C8.9)]. Заметим, что некоторые авторы принимают не только j, но и D пропор- пропорциональным не Е, а Е + Естр, т. е. вместо (V) полагают D = е(Е + Естр). Вопрос о правильности того или иного предположения может быть разрешен в каждом отдельном случае путем выяснения физической природы сторон- сторонних электродвижущих сил. В некоторых случаях D, несомненно, от Естр не зависит (например, в растворах электролитов D не зависит от сторон- сторонних электродвижущих сил осмотического происхождения, см. Abraham //
424 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII Theorie d. Elektr. Ill Aufl. 1907. В. I. S. 257). Впрочем, практическое зна- значение вопроса о зависимости или независимости вектора D от Естр весьма невелико. 3. Система уравнений электромагнитного поля (I)-(V) приоб- приобретет определенное физическое содержание лишь в том случае, если будет точно указано, в каких явлениях, доступных наблю- наблюдению и изучению на опыте, и каким именно образом проявля- проявляется существование электромагнитного поля, ибо человек лишен способности непосредственно воспринимать это поле (за исклю- исключением особых случаев, например поля световой волны). Мы мо- можем узнать о том, что по данному проводнику протекает элек- электрический ток лишь по тепловым (нагревание проводника), механическим (отклонение стрелки гальванометра) и тому по- подобным действиям этого тока; мы можем узнать, что данное тело заряжено лишь потому, что оно притягивает бузиновый шарик или порождает искру при приближении его к другому телу и т. п. Другими словами, мы можем заключить о существовании электромагнитного поля лишь по наблюдаемому нами при из- известных условиях возникновению или исчезновению доступных нашему восприятию форм энергии (например тепловой или ме- механической). Руководствуясь принципом сохранения энергии, мы заключаем, что это возникновение или исчезновение известных нам форм энергии должно происходить за счет преобразования некоторой иной формы энергии, которую мы называем энергией электромагнитного поля W. Таким образом, лишь в том случае, если мы постулируем определенную зависимость этой энергии W от напряженности поля — в теории Максвелла W полагается равным [ср. уравне- уравнение C0.4) и (81.3)] W = — /DEdV = — fBHdV, (VI) — лишь в этом случае совокупность уравнений (I)-(V) и (VI) (но не каждое из них порознь) станет доступной проверке на опыте, т. е. приобретает определенный физический смысл. Ибо уравне- уравнения (I)-(Vj определяют изменения электромагнитного поля во времени, а уравнение (VI) позволяет определить те преобразова- преобразования энергии, в которых эти изменения поля проявляются (см., например, § 92). 4. Обратимся теперь к вопросу о поверхностях разрыва сплош- сплошности векторов электромагнитного поля. В основе теории поля лежит допущение, что вне поверхности раздела различных сред и вне поверхностных электрических зарядов все электромагнит- электромагнитные векторы, а также и постоянные среды е, \х и А всюду конеч- конечны, непрерывны и обладают производными. Однако, например, поверхности раздела различных сред должны, вообще говоря,
§ 91 СИСТЕМА МАКСВЕЛЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ 425 являться поверхностями разрыва электромагнитных векторов, ибо векторы эти связаны между собой соотношениями (V), в ко- которые входят величины е, ц и Л, скачкообразно меняющиеся на поверхностях раздела. Чтобы система уравнений поля была пол- полной, т. е. чтобы она давала возможность однозначно определить напряженность поля по начальным условиям, заданным для мо- момента t = 0, необходимо дополнить эту систему пограничными условиями, которым должны удовлетворять слагающие электро- электромагнитных векторов на поверхностях разрыва. Для установления этих условий предположим сначала, что смежные среды с различными значениями величин е, ц и А раз- разделяются переходным слоем конечной толщины, в котором зна- значения этих величин изменяются непрерывно, и что объемная плотность электричества р и объемная плотность токов j всюду остаются конечными. Будем затем стремить к нулю толщину d этих переходных слоев, а также и слоев, заряженных и обтекае- обтекаемых токами, и потребуем, как это мы уже неоднократно делали в предыдущем, чтобы уравнения поля (I)—(VI) оставались спра- справедливыми в этих слоях и в предельном случае при d — 0. Этим требованием искомые пограничные условия определяются одно- однозначно. Действительно, на основании этого требования из уравнений (III) и (IV) получим, согласно уравнению F.8), два граничных условия: DivB = B2n-Bln=0, (III') Div D = D2n - Dln = Атга, (IV) совпадающих с уравнениями F2.12) и B2.7). Из уравнения непре- непрерывности (IVa), являющегося следствием уравнений (I) и (IV), получим аналогичным путем: Divj=j2n-jin = -fp (IVa) что совпадает с уравнением (87.2). Далее, из уравнений (I) и (II) на основании уравнений D9.6) и D9.7) получим еще два граничных условия: [n(H2-H1)] = ^j, (Г) RotE = [n(E2-E1)]=0, (IF) совпадающих с уравнениями D9.8) и D9.9) *). Последнее 1) В левую часть формулы (I) наряду с объемной плотностью токов про- проводимости входит также и объемная плотность токов смещения. Однако по- поверхностная плотность токов смещения всегда равна нулю (если только про- производная по времени вектора электрической индукции и D имеет конечное значение) и поэтому в уравнение (I') не входит.
426 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII уравнение эквивалентно уравнению ^2t — Ей, (И") где под t можно понимать любое направление, касательное к поверхности разрыва [ср. уравнения D9.4) и D9.5)] Уравнение же (Г) может быть записано аналогичным образом лишь при отсутствии поверхностных электрических токов: H2t = Ни (г = 0). (I") 5. Помимо приведенных условий на поверхностях разрыва, необходимо также принять во внимание граничные условия в собственном смысле этого слова, ибо решение дифференциаль- дифференциальных уравнений типа (I) и (II) однозначно определяется по на- начальным условиям для t — О лишь при условии задания (в функ- функции от времени) значений некоторых из искомых функций точки (в нашем случае некоторых слагающих векторов поля) на гра- границах рассматриваемой области пространства (§ 93) В каждом отдельном случае форма этих граничных условий всецело зави- зависит от конкретных условий задачи. В частности, если в область рассмотрения включается все бесконечное пространство, то гра- граничные условия приобретают характер условий в бесконечности. В § 93 мы убедимся, что система максвелловых уравнений (I)-(V) совместно с перечисленными условиями на поверхностях разрыва и с надлежащими условиями в бесконечности есть си- система полная, т. е. что она позволяет однозначно определить электромагнитное поле в любой точке пространства и в любой момент времени по заданным для момента t = 0 начальным зна- значениям Е и Н. 6 Покажем в заключение, на основании каких наиболее общих допуще- допущений уравнения Максвелла могут быть получены из микроскопических урав- уравнений электромагнитного поля , „ 1 ЭЕ„ 4тг . , ,., . rot Нм — = — jM, div EM - 4тгрм, 1 Ш ° (91 1} rotEM + -^^- = 0, divHM = 0, с dt где индекс м означает микроскопическое значение соответствующей величины Усредняя (91 1) по физически бесконечно малым объемам, как мы это делали, например, в § 26 и 62, используя соотношения типа B5 2) и вводя обозначения [ср уравнение F2 6)] Е~м - Е, Нм = В, (91 2) получаем _ 1 ЭЕ 4itt . _ , rot В = —jM, divE = 4wpM, i т С (913) rot Е + - — = 0, div В = О с dt Третье из этих уравнений совпадает с (II) Чтобы получить второе из двух основных уравнений Максвелла — уравнение (I), — необходимо допустить,
§ 92 ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА ПОТОК ЭНЕРГИИ 427 что в однородной и изотропной среде средняя плотность микроскопических токов jM является линейной функцией векторов поля Е и В и их первых пространственных и временных производных Самое общее выражение для jM, совместимое с этим допущением, может быть записано в виде (914) где Л, е и ц суть произвольные скаляры Действительно, в выражение для jM не могут входить В, dB/dt и rot E, ибо эти величины являются аксиальными векторами, тогда как jM (также, как Е, dE/dt и rot В) суть векторы полярные (см приложение «Векторный анализ», с 575, примечание) Перечисленны- Перечисленными векторами исчерпываются все линейные вектор-функции векторов Е и В и их первых производных, свойства же однородной и изотропной среды могут характеризоваться только скалярами *) Внеся (91 4) в первое из уравнений (91 3), приняв во внимание предпо- предполагаемую независимость характеристик среды е и fi от координат и времени и произведя перегруппировку членов, получаем / 1 „\ 1 д(еЩ rot - В Л—'- \ц / с Вводя, наконец, соответственно (V) обозначения ^ -г» тт <-1т п \тр : — О — XX, СИ/ — JLf, Alll — J, получаем уравнение Максвелла (I) Что же касается уравнения (IV), то, как указывалось, его можно считать определением величины р Таким образом, указанные допущения действительно достаточны (и необходимы) для получения из микроскопических уравнений (91 1) систе- системы дифференциальных уравнений Максвелла и соотношений (V) Если же отказаться от линейных соотношений (V) между Е, D, В, Н и j, то диффе- дифференциальные уравнения Максвелла могут быть получены из гораздо более общих допущений (ср § 110) § 92. Теорема Пойнтинга. Поток энергии 1. Выразив энергию электромагнитного поля в форме объем- объемного интеграла (VI), мы тем самым, как уже неоднократно упо- упоминалось, получаем возможность истолковать это выражение в том смысле, что энергия поля вполне определенным образом ло- локализована в пространстве, причем объемная плотность энергии в произвольном месте поля определяется выражением w = ±- (DE + ВН) = А. {еЕ2 + цН2). (Via) В § 109 мы покажем, что такое истолкование является не только возможным, но и необходимым; пока же мы примем это ) Сделанное нами предположение об однородности и изотропии среды ис- исключает наличие сторонних электродвижущих сил Естр, ибо характеризую- характеризующий среду вектор Ес р выделяет определенное направление в пространстве
428 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII утверждение на веру и рассмотрим изменение во времени количе- количества энергии W, находящегося внутри объема V, ограниченного некоторой неподвижной поверхностью 5: дЖ = Ё.{_L /(DE + вн)dv}= f ^dv. dt dt \ 8w J V ; J J dt V V Ввиду предполагаемой независимости е и /j, от времени dt 4w V dt ^ dt I 4w V dt dt ;юда знач< уравнения D4*): Внося сюда значения — и — из (I) и (II), получаем с помощью dt dt ^ = -jE + — (ErotH-HrotE) = -jE- — div[EH]. dt 4w 4л" Внося это в выражение для dW/dt и воспользовавшись теоремой Гаусса A7*), получаем окончательно *): dS. (92.1) v s В том случае, если поверхность 5 заключает в себе полное поле, поверхностный интеграл обращается в нуль, и (92.1) при- принимает вид ?K J (92.2) Это уравнение означает, что при предполагаемой неподвиж- неподвижности всех находящихся в поле материальных тел энергия по- поля W расходуется только на работу, совершаемую электрическим полем Е над токами проводимости j и определяемую правой ча- частью уравнения (92.2). Исключив из этого выражения вектор Е, с помощью уравнения (V) получаем Щ /jEdF [dV PQ, (92.3) dt J J л 1) Если внутри объема V имеются поверхности разрыва 5" векторов Е и Н, то последний интеграл в (92.1) должен быть распространен не только на внешнюю поверхность S объема V', но и на эти поверхности разрыва. Вос- Воспользовавшись граничными условиями (I') и (II'), нетрудно показать, что путем простых преобразований соответствующие дополнительные члены в уравнениях (92.1) и (92.2) могут быть представлены в виде интеграла -JiEdS. S' Таким образом, эти дополнительные члены равны взятой с обратным зна- знаком работе, совершаемой электрическим полем Е над поверхностными то- токами проводимости i.
§ 92 ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА ПОТОК ЭНЕРГИИ 429 Р= jECTp dV и Q= J-dV. (92.4) Величина Р равна, очевидно, работе, совершаемой сторонни- сторонними электродвижущими силами в единицу времени, над токами проводимости j [ср. Р со вторым членом формулы C9.1), выра- выражающим работу сторонних ЭДС в линейном проводнике], тогда как Q совпадает с выражением для джоулева тепла, выделяемо- выделяемого токами проводимости в единицу времени [ибо, согласно C9.5), джоулево тепло, выделяемое в единице объема проводника в еди- единицу времени, равно q — j2/A]. Таким образом, уравнение (92.3) выражает собой закон со- сохранения энергии: общее приращение электромагнитной энергии (при предполагаемой неподвижности материальных тел) равно избытку работы сторонних электродвижущих сил (химического, термического и тому подобного происхождения) над выделени- выделением джоулева тепла [согласно исходному предположению (с. 428), все тела неподвижны, так что механическая работа равна нулю]. Вместе с тем мы убеждаемся, что в отличие от токов проводимо- проводимости токи смещения никакого тепла не выделяют и сторонние электродвижущие силы при их прохождении работы не соверша- совершают, ибо в выражения для Q и Р входит только плотность токов проводимости, но не токов смещения 1). Вычислив с помощью максвелловых уравнений для какого-либо процесса изменение электромагнитной энергии W и работу Р сторонних электродви- электродвижущих сил, мы на основании формулы (92.3) можем определить выделяемое при этом процессе джоулево тепло Q. Эта величи- величина Q доступна непосредственному измерению, что дает возмож- возможность проверить правильность теории. 2. Рассмотрим теперь тот случай, когда поверхностный инте- интеграл в формуле (92.1) не исчезает, т. е. когда поверхность 5 не обнимает собой полного поля. Введем обозначение S = ± [ЕН] (92.5) и воспользуемся обозначениями (92.4). Тогда уравнение (92.1) примет вид — =P-Q-(bSndS, (92.6) dt J S причем в данном случае величины W, Р и Q будут, очевидно, относиться не к полному полю, как раньше, а лишь к той его ) Возможность выделения тепла при поляризации и намагничении среды (в случае зависимости еи/ira температуры) нами в этой главе не учиты- учитывается
430 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII области V, которая ограничена поверхностью S. В этом случае, как явствует из уравнения (92.6), изменение электромагнитной энергии в объеме V зависит не только от выделяемой в этом объеме теплоты Q и от работы Р сторонних электродвижущих сил в этом объеме, но и от расположения граничной поверхно- поверхности S и от значения вектора S на ней. Исходя из представления о локализации электромагнитной энергии в пространстве, мы должны на основании этого обстоя- обстоятельства заключить, что электромагнитная энергия вытекает через поверхность S из рассматриваемого объема V наружу и притом в количестве <j> Sn dS единиц энергии (эргов) в секунду. Это положение носит название теоремы Пойнтинга, а вектор S называется вектором Пойнтинга. Детализируя далее это положение, относящееся к замкну- замкнутым поверхностям, можно истолковать его в том смысле, что в каждой точке поля поток электромагнитной энергии (т. е. количество энергии, протекающее в единицу времени через пер- перпендикулярную к направлению потока единицу поверхности) равен по величине и направлению вектору Пойнтинга S. Это по- последнее предположение вовсе не обязательно, ибо, как показыва- показывает внимательный анализ возможных физических экспериментов, непосредственная проверка на опыте возможна лишь в отноше- отношении теоремы Пойнтинга в ее интегральной форме, применимой к замкнутым поверхностям 1). Однако мы все же будем отождествлять вектор Пойнтинга с потоком энергии в данной точке поля, во-первых, потому, что эта интерпретация вектора Пойнтинга приводит к ряду весьма простых и наглядных соотношений 2), и, во-вторых, потому, что она непосредственно вытекает из релятивистской теории элек- электромагнитного поля. Отметим, что формулировка закона сохранения энергии с помощью понятия потока энергии [уравнение типа (92.6)] была впервые дана в общей форме Н.А. Умовым еще в 1874 г. 3. В поле постоянных токов напряженность электромагнит- электромагнитного поля, а стало быть, и его энергия остаются постоянными, так что работа сторонних электродвижущих сил полностью пе- переходит в тепло [уравнение C9.7)]. х) Если положить поток энергии равным S +rot а, где а есть произвольный вектор, то при интегрировании по любой замкнутой поверхности интеграл второго члена обратится в нуль [уравнение B8*)], так что общий поток энер- энергии через эту поверхность останется равным f Sn dS s 2) Например, к равенству скорости течения энергии и скорости распро- распространения носителей этой энергии — электромагнитных волн (см. § 100, а также § 103 и 104)
92 ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА ПОТОК ЭНЕРГИИ 431 Однако работа эта совершается лишь в тех участках цепи, где Естр отлично от нуля, тогда как джоулево тепло выделяется во всех участках цепи. Нетрудно убедиться, что энергия, затрачи- затрачиваемая источниками сторонних электродвижущих сил, соверша- совершает при этом свой путь до места потребления (т. е. выделения в форме тепла) в качестве энергии электромагнитной. Рассмотрим с этой целью участок цилиндрического однород- однородного провода длины /, ограниченный двумя сечениями, пер- перпендикулярными к его оси (рис. 79). Пусть г есть радиус провода, а = пг2 — его сечение, V — — la — объем рассматриваемого участка, наконец J — сила тока в проводе. Предположим, что маг- магнитное поле вблизи провода с достаточной точ- точностью совпадает с полем бесконечного прямоли- прямолинейного тока той же силы. Тогда на поверхности провода (см. с. 220, задача 30) н причем магнитные силовые линии представляют собой концентрические току окружности. Рис. 79 Предположим сначала, что в рассматриваемом участке про- провода Естр = 0. Электрический вектор Е направлен в этом случае по направлению тока и равен j/A [уравнение (V)]. Следователь- Следовательно, на поверхности провода, ввиду перпендикулярности векторов JH |S|= —[EH] 11 4w L J 4тгА 2A причем, согласно правилу буравчика, S направлено по внутрен- внутренней нормали к поверхности провода (см. рис. 79). Стало быть, в этом случае через внешнюю поверхность проводника энергия втекает в проводник из окружающего пространства в количе- количестве '*SndS = |S| • 2тгг1 = 3-пг21 = 3-V эрг/с, А А где V есть объем рассматриваемого участка проводника (через основания цилиндра энергия не протекает, ибо S касательно к этим основаниям). Это количество энергии, как и следовало ожи- ожидать, равно джоулеву теплу Q, выделяемому в этом участке за 1 с [уравнение C9.5)]. Итак, в тех участках проводника, в которых Естр = 0, выде- выделяемая током тепловая энергия притекает в проводник из окру- окружающего его пространства. В это пространство она должна, оче- очевидно, поступать из тех участков провода, в которых совершает- совершается работа сторонних электродвижущих сил. Действительно, если
432 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII ^ согласно уравнению (V) Е = ^ - Естр S = — [ЕН] = — [JH1 - — [ЕстрН]. 4w L J 4wA U J Arc L J и Первый член правой части представляет собой, по доказанному, поток энергии, направленный внутрь провода; второй член снаб- снабжен отрицательным знаком и имеет поэтому обратное направле- направление (ибо Естр, вообще говоря, параллельно j) *), т. е. представ- представляет собой поток энергии, вытекающей из провода через его бо- боковую поверхность. Легко убедиться, что в случае постоянного тока вся эта вытекающая из проводника энергия возвращается в другие участки проводника с тем, чтобы выделиться в них в форме тепла. 4. В случае квазистационарных переменных токов имеют ме- место аналогичные соотношения. Так, например, при выключении источника электродвижущей силы (аккумулятора) из цепи тока в ней продолжает некоторое время циркулировать ток размыка- размыкания. Как мы убедились в § 80 (пример 1), выделение джоуле- ва тепла этим током происходит за счет постепенного уменьше- уменьшения энергии магнитного поля тока, притекающей в проводник из окружающего пространства; при этом уменьшается также и ко- количество магнитной энергии, заключенной внутри проводника. В § 79 и 80 мы не учитывали изменения энергии окружающе- окружающего ток электрического поля. В случае квазистационарных токов в замкнутых проводниках энергия эта, вообще говоря, настолько мала по сравнению с магнитной энергией тока, что ею действи- действительно можно пренебречь. Если же в цепь квазистационарного тока включен, например, конденсатор, то запасенная в его по- поле электрическая энергия оказывается сравнимой с магнитной энергией тока и пренебречь ею становится невозможным (§ 89). Вообще говоря, можно сказать, что в проводнике, по кото- которому циркулирует ток, происходит, в сущности, превращение электромагнитной энергии в тепло; локализована же эта энергия преимущественно во внешнем окружающем проводник простран- пространстве и поступает в проводник через его внешнюю поверхность. С особенной отчетливостью проявляется это в быстроперемен- ных токах. При очень быстрых изменениях поля его энергия не успевает достигнуть внутренних слоев проводника и подвергает- подвергается превращению в джоулево тепло лишь в поверхностных слоях 1) За исключением тех участков проводника, в которых сторонние электро- электродвижущие силы совершают отрицательную работу за счет положительной работы, совершаемой этими силами в других участках проводника. Во вся- всяком случае, в стационарном поле направление циркуляции сторонних элек- электродвижущих сил <?стр по контуру тока совпадает с направлением тока J.
§ 93 ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 433 проводника, в которых и сосредоточиваются переменные токи — скин-эффект (§ 90). 5. В заключение заметим, что предположение о равенстве в каждой точке пространства потока энергии электромагнитного поля вектору Пойнтинга в некоторых случаях ведет к следстви- следствиям, которые могут показаться лишенными физического смысла. Так, например, в постоянном поле, возбуждаемом неподвижным электрическим зарядом и неподвижным постоянным магнитом, вектор Пойнтинга, вообще говоря, отличен от нуля, причем ли- линии этого вектора замкнуты (либо заполняют собой некоторую поверхность). Таким образом, мы приходим к, казалось бы, бес- бессодержательному представлению о беспрерывной циркуляции энергии по замкнутым путям в статическом электромагнитном поле. Физический смысл этого представления выяснится в § 104. § 93. Однозначность решений уравнений Максвелла 1. Установив в § 91 систему основных максвелловых уравне- уравнений, мы указали, что эта система полна, т. е. что электромагнит- электромагнитное поле в каждой точке пространства и в каждый момент вре- времени однозначно определяется этой системой, если только для момента t = 0 заданы начальные значения векторов Е и Н во всех точках пространства. Впрочем, эта формулировка «теоремы однозначности» не вполне точна. Мы не можем определить на- напряженность поля во всем бесконечном пространстве, — нашему наблюдению доступна лишь ограниченная его часть. Поэтому теорема однозначности приобретает непосредственный физиче- физический смысл лишь в том случае, если мы ограничимся некоторым конечным участком пространства и дополним условия, опреде- определяющие решения максвелловых уравнений, определенными гра- граничными условиями на границах этого участка. 2. Мы докажем сначала теорему однозначности в следующей формулировке: электромагнитное поле в любой момент времени ii > 0 в любой точке объема V, ограниченного произвольной зам- замкнутой поверхностью 5, однозначно определяется уравнениями Максвелла, если заданы начальные значения электромагнитных векторов Е и Н во всем этом участке пространства для момен- момента t = 0 и если, кроме того, для одного из этих векторов (на- (например Е) известны граничные значения его тангенциальных слагающих на поверхности S в течение всего промежутка вре- времени от t = 0 до t = ti *). 1) Напомним при этом, что, согласно основному допущению, лежащему в основе всех рассуждений этой главы, значения е, ц и Л считаются заданными функциями точки, от времени не зависящими, а Естр считается известной функцией точки и времени.
434 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Предположим противное, т. е. предположим, что существуют две различные системы решений максвелловых уравнений Е', Н' и Е", Н", удовлетворяющие одним и тем же начальным и гра- граничным условиям. Ввиду линейности уравнений поля разность этих решений Е'" = Е' - Е" и Н"' = Н' - Н" также должна удовлетворять уравнениям Максвелла при следующих дополни- дополнительных условиях: а) Естр = 0 1); б) в момент t = 0 во всех точках объема V: Е'" = Н'" = 0 (ибо при * = 0 Е', Е" и Н', Н" имеют, по предположению, одинаковые заданные значения); в) в течение всего промежутка времени от t = 0 до t = ti во всех точках поверхности S тангенциальные слагающие вектора Е'" либо вектора Н'" равны нулю (по той же причине). Применим к этому полю Е'", Н'" вытекающую из максвелло- максвелловых уравнений теорему Пойнтинга [уравнение (92.6)], положив в ней, согласно сказанному, работу сторонних сил Р равной нулю. Входящий в уравнение (92.6) поверхностный интеграл будет ра- равен нулю в течение всего промежутка времени от t = 0 до t = t\, ибо из условия (в) следует, что на поверхности S Sn = [Е'"Н'"]„ = 0; стало быть, в любой момент этого промежутка ^^ = -Q'" = ~ f J— dV. (93.1) dt J A K ' Так как подынтегральное выражение существенно положи- положительно, то dW"/dt ^ 0, т. е. энергия поля W'" может либо убы- убывать, либо (при j'" равном повсюду нулю) оставаться постоянной. Но при t — 0, согласно условию (в), энергия W" поля Е'", Н'" равнялась нулю; отрицательных же значений она принимать не может; стало быть, и в течение всего рассматриваемого проме- промежутка 0 ^ t ^ t\ энергия TI7"' 1 8тг V должна оставаться равной нулю, что может иметь место лишь в том случае, если Е и Н'" остаются равными нулю во всех точ- точках объема V. А это значит, что две системы решений исходной задачи Е', Н' и Е", Н", предполагавшиеся нами различными, по необходимости тождественны между собой. Таким образом, теорема однозначности доказана. 3. Легко убедиться, что при рассмотрении всего безгранич- безграничного пространства задание значений векторов поля на гранич- х)Ибо из J' = А(Е' + Естр) и J" = А(Е" + Естр) следует: J"' = J' - J" = = АЕ'".
§ 93 ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 435 ной поверхности 5 может быть заменено наложением следующих условий в бесконечности: ЕЕ? и HR2 при R —> оо остаются конечными. (93.2) Действительно, из условий (93.2) следует, что интеграл век- вектора Пойнтинга по бесконечно удаленной поверхности обраща- обращается в нуль. Это обстоятельство позволяет доказать, исходя из уравнения (92.6), применимость уравнения (93.1) ко всему беско- бесконечному пространству. Из уравнения же (93.1), как мы видели, следует однозначность решений уравнения поля. Условия (93.2) совпадают с прежними уравнениями A2.10) и D9.10); в случае постоянного поля они являются выражени- выражением того факта, что если все возбуждающие поле заряды и токи расположены в ограниченной области пространства V, то напря- напряженность поля в бесконечности должна убывать не медленнее, чем обратно пропорционально квадрату расстояния R от произ- произвольно выбранной в V начальной точки отсчета. Однако условия (93.2), которыми можно пользоваться в слу- случае постоянного поля, неприменимы к полю переменному. Так, например, в § 99 мы убедимся, что поле излучения осциллято- осциллятора убывает в бесконечности обратно пропорционально первой, а не второй степени расстояния R. В этом случае поток вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную поверхность не исчезает, а равняется вполне определенной конечной величине *). Впрочем, при рассмотрении поля излучения часто можно ограничиться задачами следующего типа. Допустим, что вплоть до момента времени t = 0 поле вне некоторой конечной области пространства равнялось нулю либо было стационарным и удо- удовлетворяло условиям (93.2). Затем за промежуток времени т от момента t = 0 до момента t — т происходили какие-либо пертур- пертурбации, перемещение тел, замыкания и размыкания цепей тока, включение переменных сторонних ЭДС Естр и т. п.; с момента же времени t — т величины е, /j. и Л во всех точках поля вновь приобрели постоянные значения. Как мы убедимся в § 97, возмущения электромагнитного поля распространяются со скоростью света с. Поэтому если все заряды и токи сосредоточены внутри сферы конечного радиуса До, то вне сферы S радиуса Ro + ct поле сохранит невозмущенное зна- значение вплоть до момента t, т. е. будет удовлетворять условиям (93.2). Таким образом, в этом случае на основании доказанного поле в любой момент времени t > т однозначно определяется 1) Для исчезновения потока вектора Пойнтинга через бесконечно удален- удаленную поверхность условия (93 2) достаточны, но не необходимы. Поток этот исчезает и при гораздо менее жестком условии, чтобы произведение [ЕН] убывало при R —> оо быстрее, чем 1/Д2 Однако в поле осциллятора и это условие не выполняется.
436 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII заданием начальных значений векторов Е и Н во всех точках пространства для момента времени to, удовлетворяющего нера- неравенству т ^t0 <t (ср. конец § 96) 1). § 94. Дифференциальные уравнения для потенциалов электромагнитного поля 1. Убедившись в однозначности максвелловых уравнений, мы должны попытаться найти способ фактического решения этих уравнений. В случае стационарного электромагнитного поля за- задача эта, как мы видели, существенно облегчается введением вспомогательных величин — потенциалов ip и А. Теперь мы по- покажем, что, видоизменив надлежащим образом определение ска- скалярного и векторного потенциалов, можно воспользоваться эти- этими потенциалами для решений уравнений Максвелла и в общем случае переменного поля. При этом мы для простоты предполо- предположим, что как диэлектрическая е, так и магнитная ц проницае- проницаемости одинаковы на всем протяжении полного поля 2) и что поверхностных зарядов и поверхностных токов в поле нет. При этих условиях векторы Е и Н и их первые производные всюду остаются непрерывными. В качестве определения вектор-потенциала А мы можем со- сохранить уравнение F2.10): B = /iH = rotA, (94.1) из которого в свою очередь, согласно уравнению D2^), следует уравнение (III). Внося уравнение (94.1) в уравнение (II), получим или rot Е = = rot , с dt \ с dt J ' rot (E + I ?±) = 0. х) Заметим, что результаты этого параграфа существенно связаны с пред- предположением, что все электрические токи сводятся к токам проводимости, плотность которых j, согласно (V), однозначно определяется заданием Л, Е и Естр. Если же ввести в рассмотрение, например, также и токи, созда- создаваемые движением свободных электронов в вакууме (например, в катодной лампе или в рентгеновской трубке), то для определения поля по начальным условиям необходимо, очевидно, дополнить систему максвелловых уравне- уравнений поля уравнениями механики, т. е. уравнениями движения электронов 2) Результаты последующих параграфов легко обобщаются на случай на- наличия скачкообразного изменения еи/1на отдельных поверхностях раздела различных сред Однако в общем случае произвольной зависимости е и ц от координат точки задача решения максвелловых уравнений чрезвычайно усложняется
§ 94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ 437 Это уравнение будет удовлетворено, если положить i^ (94.2) где ip есть произвольный скаляр, ибо ротор градиента скаляра тождественно равен нулю D2J). На основании уравнений (94.1), (94.2) и D2д) уравнение (I) с с dt принимает вид ! rot rot A = I (grad div A - V2 А) = М _ А ^ _ ? grad *?. A » с с2 dt2 с ь dt Распорядившись надлежащим образом величинами А и <р, мож- можно это уравнение упростить. Действительно, до сих пор нами были определены только вихрь от А и градиент от ip, теперь же мы можем дополнительно потребовать, чтобы *) divA = -^^. (94.3) с dt v ' Образовав градиент от обеих частей этого равенства, убедим- убедимся, что два члена предшествующего уравнения взаимно сокраща- сокращаются, так что оно принимает вид V2A-^^A = -^j. (94.4) с2 dt* с J K ' Из основных уравнений поля нам остается еще удовлетворить уравнению (IV). Внося в него уравнение (94.2), получим div D = е div Е = div А — е div grad <p = 4тг/>. Разделив это равенство на е и внеся в него значение div А из уравнения (94.3), получим ей d2tp 4 с2 at1 е или на основании D0*) т-т2 ей д2ю 4тг ,пл г\ V(p-^-a? = -7p- (945) 2. Уравнения (94.3)-(94.5) дают возможность определить зна- значения скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля по заданному распределению зарядов и токов проводимо- проводимости; зная же <р и А, можно с помощью уравнений (94.1) и (94.2) 1) Степень произвола в определении потенциалов шн А при заданных на- пряженностях поля Е и Н будет выяснена в конце § 96
438 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII найти Е и Н. Заметим при этом, что хотя скалярный потенци- потенциал (р, как и в случае стационарных полей, зависит лишь от рас- распределения зарядов, а векторный потенциал А — от распределе- распределения токов проводимости, однако напряженность электрического поля зависит не только от градиента скалярного потенциала, но и от производной по времени векторного потенциала; в этом обстоятельстве проявляется закон электромагнитной индукции. В случае стационарности поля, когда все производные по време- времени обращаются в нуль, приведенные уравнения, как и следовало ожидать, принимают вид ранее установленных нами уравнений стационарного поля [ср. соответственно уравнения (94.2), (94.3), (94.4) и (94.5) с уравнениями A0.2), F4.2), F4.3) и B3.1)]. Итак, зная р и j в их зависимости от координат и времени, мы можем определить сначала ip и А, а затем и Е и Н. Однако, как уже указывалось в § 91 (с. 423), понятие электрического заряда носит в классической теории поля, в сущности, характер вспомо- вспомогательного термина, обозначающего истоки вектора электриче- электрической индукции D. Иными словами, с точки зрения этой теории, р и j нужно, в сущности, считать функциями искомых величин Е и Н, т. е. в свою очередь величинами искомыми. И действитель- действительно, согласно теореме однозначности, для определения значения векторов Е и Н в любой момент времени достаточно знать на- начальные значения этих векторов для t = 0; определив же Е и Н, мы, очевидно, можем вычислить значения величин р и j для любого момента времени и любого места. Однако фактическое решение этой «полной» задачи, вообще говоря, в высшей степени сложно. Поэтому мы в дальнейшем предположим, что зависимость р и j от координат и времени нам тем или иным способом стала известной для всего простран- пространства1) . В этом случае, пользуясь установленной в этом парагра- параграфе системой уравнений, мы действительно можем определить напряженность электромагнитного поля в любой точке простран- пространства и в любой момент времени и притом определить однознач- однозначно, если только мы примем во внимание некоторые добавочные условия, о которых будет сказано в § 96. Основная задача сводится при этом к решению определяю- определяющей значения потенциалов системы уравнений (94.3)^(94.5), ибо, определив ip и А, мы найдем Е и Н простым дифференцирова- дифференцированием. 1) В сущности, помимо начального для момента t = 0 распределения за- зарядов р, достаточно знать лишь j в функции координат и времени, ибо по этим данным значение р в каждой точке пространства может быть опре- определено для любого момента времени с помощью уравнения непрерывности (IVa). Из этого явствует, между прочим, что j и р не являются независимы- независимыми функциями времени и поэтому не могут задаваться независимо друг от друга.
§ 95 РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 439 3. Как скалярный потенциал ip, так и каждая из слагающих Ах, Ау, Az векторного потенциала в произвольной системе де- декартовых координат удовлетворяют, согласно уравнениям (94.4) и (94.5), уравнению типа ii у Л fQ4 (\\ С" ОТ где х(а;) У> z, *) есть, по предположению, известная функция координат и времени, а под s надо понимать одну из величин (П гЛ гЛ гЛ Введя обозначение v = ~, (94.7) можно записать уравнение (94.6) следующим образом: В дальнейшем мы убедимся, что v равно скорости распростра- распространения электромагнитных возмущений. Уравнения типа (94.8) носят название уравнений Даламбера. При х = 0 уравнение Даламбера принимает вид так называемого волнового уравнения V2, = ^ |f. (94.9) уг at2 с которым нам неоднократно придется иметь дело в дальнейшем. Наконец, при независимости s от времени (стационарное поле) уравнение Даламбера вырождается в известное нам уравнение Пуассона A1.3) V2s = -4тгх(я, У, z). § 95. Решение волнового уравнения и уравнения Даламбера 1. Мы не станем здесь излагать классических, вполне строгих с математической точки зрения способов решения этих уравне- уравнений х), а воспользуемся гораздо более простыми рассуждениями, не отличающимися, правда, особой математической строгостью и носящими, в сущности, лишь наводящий характер. Проверив, однако, найденное решение подстановкой его в исходные урав- уравнения и доказав однозначность этих решений, мы тем самым сообщим этому решению полную достоверность. ')Их можно найти в любом классическом курсе электричества (см., на- например: Лоренц. Теория электронов. — М.: Гостехиздат, 1953); см. также Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Наука, 1960; см. также примечание к с. 61. {Примеч. ред.)
440 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII Чтобы найти решение уравнения Даламбера (94.8), предполо- предположим сначала, что х ПРИ любом t равно нулю во всех точках поля, за исключением лишь исчезающе малой области вокруг некото- некоторой точки Q, в которой х равно заданной функции времени х(*)- Для краткости мы будем при этом говорить, что х отлично от нуля лишь в самой точке Q, которую можно называть истоком поля. Таким образом, вне этой точки s должно удовлетворять волновому уравнению (94.9). Поставим себе, прежде всего, задачу найти сферически-сим- сферически-симметричное решение этого волнового уравнения, т. е. такое его решение, которое в полярной системе координат, имеющей центр в Q, зависит лишь от радиуса-вектора R, но не от полярного и долготного углов 1? и а. В этом случае V2s = divgrads опреде- определяется уравнением вида B1*), так что волновое уравнение (94.9) принимает вид д2з 2 дз __ 1 d2s dR2 RdR~ v2 дР ' Умножая его на Л, получим +2 dR2 dR dR2 v2 dt2 v2 dt2 или д2и 1 д2и где нами временно введено обозначение и = Rs. Общий интеграл уравнения (95.1) имеет, как известно, вид (95.2) где / и ф суть произвольные (но обладающие производными) функции указанных в скобках аргументов х). *)В том, что (95.2) удовлетворяет уравнению (95.1), можно убедиться непосредственной подстановкой. Для того же чтобы показать, что всякое решение уравнения (95.1) должно иметь вид (95.2), введем вместо t и R новые переменные ? и т): ? = t — R/v, т) — t + R/v. Тогда ди,_ди. dju д^и_д\ д2и д2и dt д? дт) dt2 д?2 д(, дт) дтJ' д2и 1 (д2и „ д2и д2г аналогично : Внося эти выражения в (95.1), получим — — = , откуда C )С дт)д(, = 0. Это значит, что в общем случае и может состоять из двух слагаемых, каждая из которых является произвольной функцией лишь одного из неза- независимых переменных С и V- Уравнение (95.2) представляет собой математи- математическую формулировку этого вывода.
§ 95 РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 441 2. Легко убедиться, что первый член этого выражения пред- представляет собой шаровую волну, распространяющуюся из центра координат Q со скоростью v. Действительно, функция f(t — R/v) имеет в каждый данный момент t на каждом данном расстоянии R от точки Q то же значение, которым она обладала в момент t — 1, на расстоянии R — v от Q (ибо t—l — (R — v)/v = t — R/v). А это и значит, что значения величины и распространяются из точки источника поля Q в виде шаровой волны скорости и. Подобным же образом можно убедиться, что второй член вы- выражения (95.2) представляет собой шаровую волну той же ско- скорости v, приходящую из бесконечности и сходящуюся в истоке поля Q, как в фокусе. В этом параграфе и в первой половине следующего мы огра- ограничимся рассмотрением первого члена общего решения (95.2), т. е. положим V вопрос же о том, в каких случаях целесообразно вводить в рас- рассмотрение второй член этого общего решения, будет обсужден во второй половине § 96. Если в соответствии с § 94 понимать под s потенциал (скаляр- (скалярный или векторный) электромагнитного поля, то под определяе- определяемой уравнением (95.3) величиной s нужно понимать потенциал поля, возбуждаемый зарядом или током, находящимся в точ- точке Q. Согласно (95.3) значения потенциала зарядов и токов, на- находящихся в Q, распространяются из этой точки в форме ша- шаровой волны скорости v, амплитуда которой убывает обратно пропорционально расстоянию. 3. Формула (95.3) не может быть справедливой во всех точках пространства, ибо при R = 0 она обращается в бесконечность, т. е. теряет смысл. Кроме того, при х Ф 0 искомая функция должна удовлетворять не волновому уравнению, а уравнению Даламбера. Чтобы найти решение этого уравнения, вспомним решение аналогичной проблемы электростатики. Вне электрических за- зарядов электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа V2w = 0, сферически-симметрическое решение кото- которого <р = ejR аналогично выражению (95.3). Полное решение электростатической проблемы, т. е. решение уравнения Пуассона V2</3 = — 47гр, может быть получено суммированием сферически- симметрических решений уравнения Лапласа в форме интеграла pdV R ' причем интеграл этот сохраняет конечное значение во всех точ- точках пространства. Ввиду аналогии между уравнениями Лапласа и волновым, с одной стороны, и уравнениями Пуассона и Далам-
442 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII бера, с другой, можно ожидать, что решение последнего уравне- уравнения выразится суммой решений типа (95.3), причем ввиду ана- аналогичной роли функций р и х можно предположить, что (95.4) В этом случае потенциал поля, возбуждаемый «зарядом» x{t) dV бесконечно малого элемента объема dV, выразится фор- формулой sdV^ R совпадающей по виду с выражением (95.3) и аналогичной соот- соответствующей формуле электростатики dV В том, что выражение (95.4) действительно является реше- решением уравнения Даламбера (94.8), можно убедиться непосред- непосредственной подстановкой уравнений (95.4) в уравнение (94.8) (см. ниже). Пусть х, у, z суть координаты точки Р, в которой мы ра- разыскиваем значение функции s; х', у', z' — текущие координаты произвольно расположенного элемента объема dV, аи- рас- расстояние точки Р от dV. Введем обозначение t' = t-~ (95.5) v и будем называть t' эффективным временем в dV по отношению ко времени в Р. Тогда формулу (95.4) можно будет записать следующим образом: s(x, у, z,t) = J х(аЛг/дг''° dV, (95.6) где под dV нужно понимать произведение dx' dy' dz'. 4. Прежде чем проверять подстановкой решение (95.6), про- проведем аналогичное вычисление для более простого случая: под- подставим в уравнение Пуассона его решение ф, y,z) = j е^АЛ dV>, (95.7) полученное нами в § 12 математически безупречным образом. При вычислении V2</? можно дифференцировать по перемен- переменным х, у, z под знаком интеграла, взятого по х', у', z' при усло- условии, что вторые производные подынтегрального выражения ко- конечны и непрерывны во всей области интегрирования. Если в точке наблюдения Р и в конечной области вокруг этой точки
§ 95 РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 443 плотность заряда р равна нулю, то это условие выполняется (ибо R остается конечным во всей области интегрирования), и мы мо- можем дифференцировать под знаком интеграла. Ввиду независи- независимости р{х у z') от координат х, у, z точки наблюдения Р в этом случае получаем в соответствии с уравнением Пуассона: ибо, согласно уравнению A1.10), V2 — = 0. R Если же р в точке Р отлично от нуля, то при вычислении V (р можно выполнить под знаком интеграла только одно, а не два последовательных дифференцирования 1). Мы воспользуемся уравнением A1.2) V2</3 = div grad (p и, выполнив первое дифференцирование под знаком интеграла, получим grad v = f р{х\ у', z') grad (I) dV = - f Bl^jLlB: dV>, где R — вектор, проведенный из точки х', у', z' в точку наблю- наблюдения х, у, z. Далее, на основании A8*) можно выразить дивер- дивергенцию в форме поверхностного интеграла ,. /a-dS diva= hm , v где, по определению, поверхность S объема V должна охваты- охватывать ту точку наблюдения Р, в которой определяется значение div а. В нашем случае а = grad (p и, стало быть, V-+0 V ^Действительно, производные (р, например по х, равны ду_ г(х'-х)р , д\ = [ р \з(х' - хJ 1 , дх ] в? ' дх* J д3 [ я2 J Если после дифференцирования ввести вместо х', у', z' полярные коорди- координаты R, в, а с центром в точке х, у, z и с полярной осью, направленной по оси х, то dV примет вид R2 dRdil, где <Ш = sin Odd da и ^= [pcosBdRdQ, Ё-!?.= f ?-Ccos2e-l)dRdQ. дх J ox2 J R Таким образом, подынтегральное выражение во втором из этих интегралов обращается в бесконечность при R — 0.
444 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Вычисляя поверхностный интеграл, получим, меняя порядок ин- интегрирования по dV и по dS: где R — вектор, проведенный из точки х', у', z' к элементу по- поверхности dS. Поток вектора R/.R3 через произвольную замкну- замкнутую поверхность был вычислен нами в § 3; он равен 47г или нулю в зависимости от того, лежит ли точка истока х', у', z' вектора R внутри или вне объема V, охватываемого этой поверхностью S. Следовательно, ф grad (p- dS = — 47г / р dV, где интегрирование должно быть, очевидно, распространено по объему V, охватываемому поверхностью S. Следовательно, V2<p = — 47г lim - = —4тгро, где рр есть значение р в центре объема V, т. е. в той точке наблюдения Р, в которой мы определяем значение величины divgrad</3 = V2</?. Таким образом, мы доказали, что выражение (95.7) для <р действительно удовлетворяет уравнению Пуассона. 5. Приступим теперь к проверке формулы (95.6). Прежде все- всего, выделим около точки наблюдения Р некоторый маленький объем Vo, например сферу радиуса Ro с центром в Р, и разо- разобьем интеграл выражения (95.6) на два интеграла: по объему сферы Vo, который мы в дальнейшем будем стремить к нулю, и по остальному «внешнему» пространству: 8! = ( *{Х'' '> *'> г'] dV, S2 = J R R dV. Во втором из этих интегралов расстояние R превышает ко- конечную величину Rq; стало быть, мы можем непосредственно дифференцировать под знаком интеграла. Так как функция R' удовлетворяет, согласно уравнению (95.3), волновому уравнению (94.9), то V2s2 - -1 ^1 = Г fv2 (?) - - — ^1 dV = 0. v2 dt2 J L \RJ v2 dt2 R\
§ 95 РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 445 Далее, J_ Ё!?1 = А. / I Ё!Ж rfV"'- и2 5i2 v2 J R dt2 при безграничном уменьшении радиуса Rq сферы Vo интеграл этот стремится, очевидно, к нулю, ибо d2x/dt2 есть величина конечная, а f LdV = f -¦ АтгВ2 dR = 4тг [ RdR. Таким образом, левая часть волнового уравнения сводится к v2 dt2 Далее, -i^ = V2S1 = divgradSl = lim h^^dS v2 dt2 i & i V^Q v к ) grad si = j grad ^ dV' = j Q grad x + X grad ^J dV. При безграничном уменьшении сферы Vo интеграл первого члена в скобках стремится к нулю, так что его можно сразу от- отбросить. Таким образом, Vo Vo При переходе к пределу, когда как сфера Vo, так и поверх- поверхность S становятся бесконечно малыми, можно пренебречь зави- зависимостью функции х{х>> у\ z>¦> t — R/v) от -й> т- е- от расстояния между точкой х', у', z' объема Vo и элементом поверхности dS, и приравнять R в аргументе этой функции х нулю. Функцию же х(х , у', z', t) можно вынести за знак поверхностного интеграла. Таким образом, мы приходим к выражению только что рас- рассмотренного типа (предполагаем, что поверхность S целиком ле- лежит внутри сферы Vo) ^dS - -4тг fxdV, Vo откуда на основании (95.8) следует: V72 1 d*S , v2 dt2 у что и требовалось доказать. Вопроса об однозначности решения уравнения Даламбера мы коснемся в следующем параграфе.
446 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII § 96. Запаздывающие и опережающие потенциалы. Калибровочная инвариантность 1. Результаты последнего параграфа позволяют непосред- непосредственно написать интегральные выражения потенциалов элек- электромагнитного поля, определяемых дифференциальными урав- уравнениями (94.4) и (94.5). Сравнивая эти уравнения с уравнениями (94.6) и (94.8), мы на основании уравнения (95.4) получаем непосредственно: ^ e J R ' с J R V ' и аналогичные выражения для Ау и Az, так что вектор А выра- выразится формулой причем, согласно уравнению (94.7), с v - Пользуясь обозначениями § 95, в частности уравнением (95.5), можно записать уравнения (96.1) и (96.2) следующим образом: <р(х, y,,t) = 1-f P{X'' V'R Z>>t>] dV, (96.3) A(x, y,z,t) = ?[№Л'''йdV, (96.4) с J R где под dV нужно понимать произведение dx' dy' dz'. В случае независимости р и j от времени, т. е. в стационарном поле, формулы (96.1) и (96.2), как и следовало ожидать, совпада- совпадают с ранее выведенными уравнениями (8.8) (при е = 1) и F4.3). 2. Итак, чтобы вычислить, например, значение скалярного потенциала (р в произвольной точке Р в момент t, нужно, со- согласно уравнению (96.1), разбить все пространство на элементы объема dV и для каждого элемента dV определить величину того заряда de = p[t--)dV, который находился в нем в момент времени t — R/v, где R есть расстояние dV от Р. Разделив затем этот заряд de на eR и взяв сумму полученных выражений по всем элементам объема, мы и получим (р. Аналогичным способом определяется и значение А. Таким образом, потенциалы переменного поля определяются совершенно аналогично потенциалам поля стационарного с тем
§ 96 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ И ОПЕРЕЖАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 447 единственным, но весьма существенным дополнением, что в каж- каждый момент t потенциал поля, возбуждаемого на расстоянии R от элемента объема dV зарядами и токами элемента, определяет- определяется не одновременной с t, а предшествовавшей (в момент t — R/v) плотностью этих зарядов и токов. Таким образом, можно ска- сказать, что потенциалы (р и А зарядов и токов каждого элемента объема dV распространяются из dV по всем направлениям со скоростью v — с/у/Щл, убывая при этом в интенсивности обратно пропорционально расстоянию R. Поэтому определяемые уравне- уравнениями (96.1) и (96.2) величины <р и А носят название запазды- запаздывающих потенциалов электромагнитного поля. 3. В предыдущем нами еще не было принято во внимание уравнение (94.3), связывающее определенным соотношением воз- возможные значения потенциалов (р и А. В том, что наши решения (96.1) и (96.2) удовлетворяют и этому уравнению, можно убе- убедиться путем непосредственного вычисления. В соотношение (94.3) входит div А. При вычислении div A = V А можно переменить порядок дифференцирования по i, j/, 2 и интегрирования по х', у', г' на обратный: div A = VA = И [ V }{Х>> У>' *'' t>] dV. (96.5) с J R Согласно D35) v^ VJOe; j/) zt t} + {xt ^ ^ ()v It It It Так как аргумент вектора j зависит от х, у, z лишь через посредство эффективного времени t', то vj(^, у, z, t) _ Qv Qx + Qv Qy + Qv gz-—vt. Приняв во внимание, что, согласно уравнению (95.5), Vt' = -- получим окончательно: С другой стороны, очевидно, что Д\ ту I ту Ял-t где V' в отличие от V означает дифференцирование по координатам x',y',z'. Выполнив простые преобразования, получаем Приняв теперь во внимание, что уравнение grada f(R) = — gradg f(R) [см. уравнения (8*) и (9*)] в наших теперешних обозначениях принимает вид Vf(R) - -Vf(R),
448 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII и сравнивая выражения для V — и V' —, найдем R R Стало быть, обозначая V'j через div'j и т. д., получим из уравнения (96.5): [dVdV + /^(divj)(=const. с J R с J R Первый из этих интегралов может быть преобразован с помощью теоремы Гаусса в интеграл по поверхности 5, охватывающей объем V 1): R J R Если распространить интегрирование на все бесконечное пространство, то этот интеграл обратится в нуль, если только все электрические токи со- сосредоточены в конечной области пространства, так что окончательно div А(а;, у, z,t) = - I —— (div' j(a;/, у , z, t'))t,=const. с J R Обратимся теперь к правой части соотношения (96.3). Ввиду уравнения (95.5) для произвольной функции /(?') имеем О _ dfjt') dt' _ = = dt dt' dt dt' Поэтому, дифференцируя уравнение (96.3) по времени под знаком интегра- интеграла, получим др(х', у', z', t') ер Эу>(д, у, z,t) _ fj, f dV с dt с J R dt' С другой стороны, уравнение непрерывности (IVa) можно записать в сле- следующем виде: ибо при пространственном дифференцировании (образовании дивергенции) время t должно считаться постоянным параметром. Заменяя в этом уравнении непрерывности нештрихованные величины штрихованными (что является простым изменением обозначений), убедим- убедимся, что запаздывающие потенциалы действительно удовлетворяют соотно- соотношению (94.3) ер dip div А = —- —-, с dt которое требовалось доказать. 4. Обратимся к вопросу об однозначности найденных нами решений (96.1) и (96.2) системы уравнений (94.3)-(94.5). Если не принимать во внимание никаких дополнительных условий, то решения эти необходимо признать неоднозначными. Вспомним хотя бы, что при получении решения (95.4) мы исклю- исключили второй член в общем решении (95.2) уравнения (95.1). 1) Преобразование это нельзя применить непосредственно к исходному вы- выражению (96.5) потому, что в нем объемное интегрирование и простран- пространственное дифференцирование (образование дивергенции) производятся по координатам различных точек.
§ 96 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ И ОПЕРЕЖАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 449 Если мы, наоборот, сохранили бы только второй член этого общего решения и исключили первый, то мы могли бы повторить все предшествующие вычисления с единственным отличием, за- заключающимся в замене всюду аргумента t — R/v на t + R/v. В результате мы получили бы решение уравнений (94.3)-(94.5) в форме так называемых опережающих потенциалов электро- электромагнитного поля: — dV. А = — / — —- dV, (96.6) П г I R связывающих значение потенциала в точке Р в момент t с про- пространственным распределением зарядов и токов в последующие моменты времени t 4- R/v. Далее, так как неоднородные дифференциальные уравнения (94.3)-(94.5), определяющие потенциалы <р и А, линейны, то об- общее решение этих уравнений может быть представлено в ви- виде суммы произвольного частного решения этих неоднородных уравнений и общего решения соответствующих однородных урав- уравнений ,. » с dip V72 а 1 9 А ^у2 I д ip inp y\ 1V ~~^~b~i' ~~^2~di2'' <p~^2"dt2' ( ¦' Как запаздывающие потенциалы (96.1), так и опережающие потенциалы (96.6) являются различными частными решениями неоднородных уравнений (94.3)-(94.5); поэтому общее решение этих уравнений отличается от них на произвольное решение урав- уравнений (96.7). Следовательно, в частности, и самые опережающие потенциа- потенциалы можно представить как сумму запаздывающих потенциалов плюс некоторое решение однородных уравнений (96.7). Эта неоднозначность решения интересующей нас системы дифференциальных уравнений в соответствии с известным об- общим правилом может быть устранена только заданием опреде- определенных начальных и граничных условий. Только задание этих условий выделяет из бесконечной совокупности решений систе- системы дифференциальных уравнений то единственное решение, ко- которое соответствует данной конкретной постановке физической задачи. Так, например, можно показать, что общее решение уравне- уравнения (94.5) внутри произвольного объема V, ограниченного зам- замкнутой поверхностью S, может быть представлено в форме _ 1 f\p] (96.8) V дп \rJ vRdn Idt 15 И. Е. Тамм
450 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII где п есть внешняя нормаль к S, а квадратные скобки означают, что значения находящихся в этих скобках величин должны быть взяты для эффективного момента времени i! = t — R/v. Ины- Иными словами, если известны значения величин, входящих в пра- правую часть уравнения (96.8), то этим уравнением значения ц> в произвольной точке объема V определяются однозначно. То же общее решение уравнения (94.5) может быть, однако, представле- представлено также в форме, отличающейся от (96.8), во-первых, знаком у последнего члена подынтегрального выражения поверхностного интеграла и, во-вторых, тем, что значения величин в квадратных скобках должны быть взяты не для предшествующего момента времени t' = t — R/v, а для последующего момента t' — t 4- R/v. Первая форма решения соответствует запаздывающим потенциа- потенциалам, вторая — опережающим *). В стационарном поле оба реше- решения совпадают (при е = 1) с ранее доказанной формулой A2.5). Таким образом, уравнения электромагнитного поля, подоб- подобно уравнениям механики, позволяют определить как будущее по прошлому и настоящему, так и прошлое по настоящему и бу- будущему. Точнее, пусть нам известны значение р в объеме V и значения <р, д(р/дп и d<p/dt на поверхности S этого объема в промежутке времени от ti до ^2 и пусть нас интересует поле в произвольной точке Р этого объема V. Обозначим через i?2 рас- расстояние от Р до наиболее удаленной от нее точки поверхности S и через Ri наименьшее из следующих двух расстояний: 1) от Р до ближайшей точки поверхности S и 2) от Р до ближайшей к Р точки объема V, в которой плотность заряда р была отлич- отлична от нуля хотя бы в течение части промежутка времени от t\ до ti- Пусть ti — t\ > (i?2 — Ri)/v. Тогда, пользуясь запаздываю- запаздывающими потенциалами и формулой (96.8), мы можем определить значение ip в точке Р в любой момент «будущего» промежутка времени от ti 4- R2/V до t + R\/v 2); пользуясь же опережающи- опережающими потенциалами и соответственным видоизменением формулы (96.8), мы можем определить <р в точке Р в «прошедшем» про- промежутке времени от t\ — R\/v до %2 — R^/v. 5. Постановка задач, с которыми приходится встречаться как в теоретической и экспериментальной, так и технической физи- 1) Доказательство формулы (96.8) для запаздывающих потенциалов при- приведено, например, у Лоренца (Теория электронов. — М.: Гостехиздат, 1953. С. 339-345). Доказательство аналогичной формулы для опережающих по- потенциалов совершенно аналогично приведенному у Лоренца; нужно только в его выкладках заменить F(t + R/cj на F(t — R/c). 2) Действительно, для этого определения необходимо, в частности, знать значения <р, dip/dn и d<p/dt в каждой точке поверхности 5 в течение проме- промежутка времени от ti+Rj/v — R/v до t2+Ri/v — R/v, где R — расстояние этой точки поверхности от точки Р. Так как R\ ^ R^. R2 и Я2 — R\ < ti(<2 — ti), то весь этот промежуток времени заключен между t\ и (г-
§ 96 ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ И ОПЕРЕЖАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 451 ке, в большинстве случаев требует применения запаздывающих, а не опережающих потенциалов. Действительно, в большинстве случаев задача заключается в определении поля, возбуждаемо- возбуждаемого той или иной системой зарядов и токов, причем эту задачу можно уточнить следующим образом (ср. конец § 93). Вплоть до некоторого момента to поле либо равнялось нулю, либо было ста- стационарным, причем потенциалы риА удовлетворяли условиям A2.10): R(p и R2 grad (р при R -» оо остаются конечными, и аналогичным условием для А D6.6). Затем в момент to воз- возникли переменные токи, произошло перемещение зарядов, поле которых и требуется определить в момент времени t > to- Поле это при этих условиях определяется выражениями (96.1) и (96.2) запаздывающих потенциалов. Действительно, при определении по формуле (96.8) значения потенциала (р в момент времени t мы можем удалить поверх- поверхность S на столь большое расстояние R от исследуемой точки поля Р, чтобы R удовлетворяло неравенству В этом случае входящим в уравнение (96.8) величинам -^ > М \-dnl и — нужно будет приписать те значения, которыми они обла- L dt J дали до момента возникновения поля to, в силу чего весь поверх- поверхностный интеграл в уравнении (96.8) обратится в нуль. Таким образом, при указанных условиях решение уравнения (94.4) определяется однозначно и выражается первым членом об- общего решения (96.8), совпадающим с нашей формулой (96.1). Подобно этому, при этих условиях значение векторного потен- потенциала А также однозначно определяется формулой (96.2). В дальнейшем по характеру задач, которые мы будем рассма- рассматривать, нам придется иметь дело только с запаздывающими, но не с опережающими потенциалами. 6. В предыдущем мы мало обращали внимания на то, что скалярный и векторный потенциалы поля являются лишь вспо- вспомогательными понятиями и что непосредственный физический смысл имеют только напряженности электрического и магнит- магнитного полей Е и Н. Ведь энергия поля, пондеромоторные силы, плотность токов и т. д. однозначно определяются напряженно- стями поля Е и Н (при заданных е и д). Поэтому два поля, описываемые одними и теми же значениями Е и Н, но разными значениями потенциалов </> и А, физически тождественны. Ка- Каков же произвол в определении потенциалов (риА при заданных напряженностях Е и Н (или Е и В)? 15*
452 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Пусть ip и А удовлетворяют уравнениям (94.1) и (94.2): В = rot А, Е = grad</?. С О% Так как ротор градиента тождественно равен нулю, то если мы прибавим к А градиент произвольного скаляра х~- (96.9) то новому значению векторного потенциала А' будет соответ- соответствовать прежнее значение магнитной индукции rot A' = rot A = В. Если х не зависит от времени, то и значение электрической на- напряженности Е не изменится при замене А на А . Если же х зависит от времени, то значение Е останется неизменным лишь при условии, что мы одновременно с заменой А на А' заменим также и <р на </>', причем ф' = (p-iS!Zm (96.10) Действительно, при этом условии 1 дА? А , 1 д А. , _ grad ш = grad ip = E. с at ь ^ с at ь ^ Итак, напряженность и индукция поля остаются неизменны- неизменными при одновременном прибавлении к векторному потенциалу градиента произвольного скаляра и вычитании из скалярного потенциала деленной на с производной по времени от того же скаляра. Инвариантность поля но отношению к этому классу преобразований потенциалов называется калибровочной или гра- градиентной инвариантностью (по-немецки — Eichinvarianz, по- английски — gauge invariance). В частности, если х не зависит от координат, то калибровочная инвариантность сводится к от- отмеченной в § 8 возможности прибавления к скалярному потен- потенциалу произвольной аддитивной постоянной (могущей зависеть от времени). Ранее мы пользовались определенной калибровкой или нор- нормировкой потенциалов, т. е. устраняли произвол в определении потенциалов поля добавочными требованиями. Так, например, на векторный потенциал постоянного магнитного поля мы нала- налагали требование div A = 0 и условия на бесконечности D6.6), на потенциалы переменного поля налагалось условие (94.3) и т. д. Лишь при этих условиях [А выражается интегралом D6.1) в слу- случае постоянного магнитного поля] потенциалы переменного поля удовлетворяют уравнениям Даламбера (94.4) и (94.5) и т. д. Од- Однако ввиду калибровочной инвариантности эти условия отнюдь
§ 97 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 453 не обязательны. Более того, решение отдельных конкретных за- задач часто облегчается специальной, целесообразной для данной задачи, калибровкой потенциалов, отличной от принятой в этой книге. Требование калибровочной инвариантности уравнений теоре- теоретической физики, т. е. требование, чтобы физическое содержание этих уравнений зависело только от напряженности электромаг- электромагнитного поля и оставалось неизменным при всех преобразовани- преобразованиях потенциалов поля по формулам (96.9) и (96.10), играет важ- важную роль в электронной и квантовой теориях *). § 97. Скорость распространения электромагнитных возмущений. Условия квазистационарности 1. Физическое содержание формул (96.1) и (96.2), определяю- определяющих значения запаздывающих потенциалов, и уравнений (94.1) и (94.2), устанавливающих зависимость между этими потенциала- потенциалами и напряженностью поля, сводится к следующему положению: электромагнитное поле возбуждается зарядами и токами прово- проводимости и распространяется от места возбуждения с конечной скоростью v = cjу/Щх. Таким образом, из упомянутых формул, в частности, следует, что токи смещения, играющие столь важную роль в механизме распространения поля, независимо от движе- движения зарядов существовать не могут. Далее, в вакууме (е = у, = 1) скорость распространения поля должна равняться с, т. е. должна численно равняться значению электродинамической постоянной, определяющей силу пондеромоторного взаимодействия токов и действительно имеющей размерность скорости [см. уравнение D3.4)]. Именно в этом признании конечности скорости распростра- распространения поля и заключается существеннейшее и основное отличие фактического содержания так называемых теорий близкодей- ствия, и прежде всего теории Максвелла, от теорий мгновенно- мгновенного дальнодействия начала прошлого столетия. Поэтому вопрос о правильности той или иной из этих теорий в принципе может быть решен, например, путем постановки следующего простей- простейшего experimentum crucis. 1) В квантовой теория имеет место другая ситуация Если заряженная ча- частица движется в области, где электрические и магнитные поля отсутствуют, но потенциалы (скалярный и векторный) не равны нулю, то такал части- частица испытывает электромагнитное воздействие Об особой роли потенциалов в квантовой физике см статью В.Д Скаржинского «Эффект Ааронова- Бома Теоретические расчеты и интерпретация» (Труды ФИАН. 1986 Т 167. С. 139) К этой статье приложен полный список литературы, относящейся к этому вопросу При этом калибровочная инвариантность не нарушается. (Примеч. ред.)
454 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Г Л VII Пусть заряды е и е' находятся в покое на расстоянии R друг от друга вплоть до момента t = 0, по наступлении которого мы начинаем удалять е' от е. По теории мгновенного дально- ее' действия сила притяжения F = —, испытываемая зарядом е со стороны заряда е', должна начать убывать в тот же мо- момент времени t — 0. Согласно же уравнениям Максвелла, эта ¦ R сила должна оставаться неизменной вплоть до момента г — — с (предполагаем, что заряды находятся в вакууме), ибо сила F, испытываемая зарядом е, находящимся в точке Р, определяется напряженностью поля в той же точке Р (F = еЕ). Перемещая заряд е', находящийся в точке Р', мы непосредственно изменя- изменяем поле лишь в этой точке Р'. Это изменение электрического поля в Р' (ток смещения), согласно уравнению (I), возбуждает магнитное поле в смежных точках пространства 1), что в свою очередь, согласно уравнению (II), влечет за собой возникновение вихря вектора Е, т. е изменение этого вектора (ибо в статиче- статическом поле rot Е = 0 при t < 0) опять-таки лишь в смежных точках пространства и т. д. В результате изменение, или, как говорят, возмущение, поля, вызванное в Р' перемещением за- заряда е', через R/c секунд распространится до точки Р и лишь в этот момент обусловит изменение силы F, испытываемой заря- зарядом е. Нас сейчас вовсе не интересует то обстоятельство, что по практическим и техническим соображениям этот простейший опыт обречен на неудачу. Существенно лишь, что вопрос о скоро- скорости распространения поля может быть решен эксперименталь- экспериментальным путем и что он был фактически решен в пользу конечности этой скорости. Больше того, изложенные нами следствия, вытекающие из максвелловой теории поля, и, в частности, формула (94.7) могут быть подвергнуты также и количественной проверке, ибо зна- значение постоянной с может быть определено путем независимых электродинамических измерений (см. § 43 и 59). Наиболее веро- вероятное значение этой постоянной равно (см. § 59): с = B,9978 ± 0,0001) • 1010 см/с, что в пределах ошибок опыта действительно совпадает с непо- непосредственно измеренной скоростью распространения поля в ва- вакууме. Как показывает анализ наиболее точных измерений, 1) Конечно, наряду с изменением электрического поля движение заряда е' непосредственно возбуждает вблизи точки Р' также и поле магнитное, ко- которое тоже распространяется вдаль
§ 97 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 455 произведенных до 1973 г, скорость света в вакууме1) равна с = B,99792458A,2)) • 1010 см/с. Численное совпадение приведенных величин является убедитель- убедительным доказательством как электромагнитной природы света, так и правильности уравнений Максвелла, по крайней мере в приме- применении их к вакууму. 2. Ко всем этим важным вопросам мы еще вернемся в даль- дальнейшем, пока же мы воспользуемся полученными результатами для того, чтобы обосновать перечисленные в § 78 условия квази- квазистационарности переменного поля Мы можем теперь уточнить определение квазистационарности следующим образом, квази- квазистационарным полем называется поле, потенциалы <р и А и маг- магнитная напряженность Н которого в каждый данный момент t с достаточной точностью совпадают с соответствующими вели- величинами в поле неподвижных зарядов и постоянных токов, плот- плотность которых р и j равна мгновенной (в момент t) плотности рассматриваемых переменных зарядов и токов. Из рассмотрения выражений запаздывающих потенциалов (96.1) и (96.2) следует, что для квазистационарности прежде все- всего необходимо выполнение следующего условия: за время t = = R/v, необходимое для распространения электромагнитного по- поля на расстояние R, значения величин р и j должны испытывать лишь исчезающе малые изменения. При этом под R нужно пони- понимать расстояние рассматриваемой точки поля от наиболее уда- удаленного элемента заряда или тока. Очевидно, что R всегда можно выбрать настолько большим, чтобы при каких угодно медленных изменениях поля это условие не удовлетворялось Однако в теории квазистационарных токов обычно ограничиваются рассмотрением поля в непосредственной близости к заряженным или обтекаемым токами проводникам. В этом случае верхний предел расстояния R можно положить рав- равным расстоянию / между двумя наиболее удаленными друг от друга элементами зарядов или токов, поле которых мы еще же- желаем учесть. Если, кроме того, мы имеем дело с периодически- периодическими токами периода Т, то условие квазистационарности сведется, очевидно, к неравенству v или, так как v, вообще говоря, сравнимо ее, — к неравенству -<?Т. (97.1) 1) Непосредственно измеряется скорость света в воздухе, значение же ско- скорости света в вакууме определяется на основании соотношения v — с/\/ё, где е есть диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1,00058
456 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Если это условие квазистационарности выполнено, то значение потенциалов поля вблизи зарядов и токов, т. е. на расстояниях от них, удовлетворяющих требованию - < Т, (97.2) можно с достаточной точностью определить по формулам (8.8) и F4.3), выведенным нами для поля стационарного (и не учиты- учитывающим токов смещения). Что же касается напряженности электрического поля Е, то даже при одинаковом мгновенном значении потенциалов <р и А вектор Е переменного квазистационарного поля (в отличие от вектора Н) может существенно отличаться от вектора Е соот- соответствующего постоянного поля (явления индукции!). Формаль- Формально это отличие связано с тем, что в выражение для Е [формула (94.2)] входит производная по времени от вектора-потенциала А. 3 Может возникнуть сомнение, гарантирует ли, например в отноше- отношении вектора Н, одинаковость связи Не А одинаковое значение Н в по- поле квазистационарном и в поле постоянном, характеризуемом одним и тем же мгновенным значением потенциала А. Ведь даже при образовании про- пространственных производных от ip и А зависимость их от времени может играть существенную роль. Так, например, если в выражении производной - Д/с) = ГсУ(<-Д/сI _ х_ дф - Д/с) дх [ дх 1 t-R/с=со*л cR dt мы в аргументе функции ip заменим t — Д/с на t, то все же полученное выражение будет отличаться от вторым членом дх Однако в тех случаях, когда выполняются условия (97 1) и (97 2), отли- отлита 19(р чие это не существенно. В периодическом поле по порядку величины — С QI <р 1 д<р <р сравнимо с —; следовательно, ввиду (97 1) — «С —. С другой стороны, сТ с dt I потенциал ip (или по крайней мере переменная во времени слагающая этого потенциала) изменяется на протяжении системы на величину, сравнимую с самим этим потенциалом <р (в частности, переменная слагающая <р, вооб- вообще говоря, меняет знак на протяжении системы) Стало быть, по порядку dtp ф величины —— ~ —, так что вблизи системы второй член выражения (97 3) дх I действительно мал по сравнению с первым, что и требовалось доказать Далее, на больших по сравнению с размерами системы расстояниях от [dtp] tp 1 д<р <р „ нее -~ ~ —, тогда как ~ — Поэтому, пока выполняется условие (97.2), второй член выражения (97 3) остается малым по сравнению с пер- первым, тогда как на расстояниях ДЗ>сГ в так называемой волновой зоне (см § 99), наоборот, первый член исчезающе мал по сравнению со вторым. В § 99 при рассмотрении поля осциллятора намеченный здесь ход дока- доказательства будет проведен вполне строго.
§ 98 ОСЦИЛЛЯТОР ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 457 4. Однако одного лишь условия (97.1) еще недостаточно, что- чтобы применять к магнитному полю квазистационарных токов все законы стационарного магнитного поля, ибо при выводе послед- последних существенное значение играла замкнутость постоянных то- токов. Таким образом, «полная» квазистационарность поля имеет место лишь при одновременном выполнении как указанного «основного», так и «дополнительного» условия квазистационар- квазистационарности, сводящегося к требованию, чтобы плотность токов сме- смещения была настолько мала по сравнению с плотностью токов проводимости, чтобы токи проводимости можно было считать замкнутыми (см. § 88). § 98. Осциллятор. Запаздывающие потенциалы поля осциллятора 1. В § 20 мы убедились, что поле произвольно сложной, но в целом нейтральной системы неподвижных электрических за- зарядов на больших расстояниях от этой системы весьма просто выражается с помощью вектора электрического момента р этой системы. Теперь мы проведем аналогичные рассуждения для по- поля нейтральной системы движущихся зарядов, ограничиваясь для простоты случаем системы, расположенной в вакууме (е = = /х = 1). Предположим, что заряды нашей системы находятся внутри некоторого объема V и за пределы этого объема не выходят. Пусть I означает линейные размеры объема V (например, рас- расстояние между двумя его точками, наиболее удаленными друг от друга). Выберем внутри объема V произвольную точку О, которую будем условно называть центром нашей системы заря- зарядов. Пусть, наконец, R-o есть радиус-вектор, проведенный из О в точку наблюдения Р, причем мы ограничимся рассмотрением лишь тех точек поля, расстояние которых от системы значитель- значительно больше ее размеров I: Яо > I. (98.1) Если R по-прежнему обозначает радиус-вектор, проведенный из произвольной точки Q(x', у', z') нашей системы в точку Р, то R = Ro - R/, где R/ есть расстояние Q от центра системы О (см. рис. 27 в § 20, в котором, однако, Rj соответствует нашему теперешнему R', a R[ соответствует R), причем очевидно, что R' < I <C Rq. Пренебрегая вторыми и старшими степенями R', получаем R = JrI - 2R0R/ + Я'2 = До - —. v Ло
458 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VH 2. Рассмотрим сначала скалярный потенциал нашей системы зарядов. Под интегралом правой части уравнения (96.3) стоит функция расстояния R: P{x',y',z',t-Rlc) R Выражая в ней R через Rq — K'Kq/Rq и разлагая в ряд Тейлора, получаем р(х', у', z', t - R/c) _ Р(х\ у', z\ t - До/с) R До , 2) До адо До ' Если размеры системы I, а вместе с тем и радиус-вектор R' достаточно малы, то в первом приближении можно ограничиться приведенными двумя членами разложения, отбрасывая члены с высшими степенями R'. Оставляя рассмотрение условий, при которых это приближение законно, на конец параграфа и внося уравнение (98.2) в уравнение (96.3), получаем (при е = 1): ф, у, z,t)= [ *>(*'. yW.t-Яо/с) dy, _ J До R'Rq д _ Г J dy До адо До В первом из этих интегралов можно вынести за знак интегра- интеграла Ro, от положения точки Q{x', у', z') не зависящее. Так как интеграл равен полному заряду системы в момент t — Ro/c, то ввиду пред- предполагаемой нейтральности системы он обращается в нуль, а вме- вместе с ним и весь первый член выражения для (р. Второй же интеграл ввиду независимости Ro от х' ,у', z' мож- можно записать в следующей форме: Интеграл JR'p (*', y\ z\ t - %) dV> = p(« - f) (98.3) представляет собой, очевидно, значение вектора электрического момента системы р в момент t — Ro/c [см. уравнение B0.1), от ко- которого уравнение (98.3) отличается только переходом от системы точечных зарядов к зарядам объемным].
§ 98 ОСЦИЛЛЯТОР ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 459 Таким образом, скалярный потенциал (р равен _R_a_ (P(t-R/c)\ Г R dR I R ) (индекс О у Rq мы отбрасываем). Это выражение можно записать в следующей окончательной форме: M} (98.4) где значок а у знака дивергенции отмечает дифференцирование по точке наблюдения Р. Действительно, на основании D3^) и A0*) dive (*Ь^&) = Pgrade I + i divp = -f + I divp. Далее, так как аргумент р зависит от координат только че- через R, то A\VXi = ^Е± л. ^Ру. л. ^Е± — Е. ЁЕ^. л. М. ЁЕу. л. L EEi = ?: ЕЕ- Р Эх ду dz R dR R dR R dR R dR' внося эти выражения в (98.4), убеждаемся, что это уравнение совпадает с непосредственно ему предшествующим. В формуле (98.4) под R можно понимать расстояние точки наблюдения от произвольной точки объема V, занимаемого на- нашей системой зарядов, ибо выбор положения «центра» систе- системы О внутри этого объема никаким условием в предыдущем ограничен не был. Впрочем, это и непосредственно очевидно вви- ввиду оговоренной малости размера I этого объема по сравнению с R. Существенно, что и значение вектора электрического мо- момента р произвольной нейтральной системы зарядов также от выбора точки О не зависит (это было уже доказано нами в § 20). В случае независимости р от времени формула (98.4) с помо- помощью соотношения D3^) может быть преобразована так, чтобы она совпадала с прежней формулой (8.11), определяющей по- потенциал статического диполя. 3. Перейдем теперь к векторному потенциалу А, выражаемо- выражаемому формулой (96.4). Разлагая подынтегральное выражение этой формулы по аналогии с формулой (98.2) в ряд Тейлора jQc', у', z', t - R/c) = j(x', »/,*',<-До/с) _ R До R/Ro д j{x', у', г', t-До/с) До дДо До ¦"' мы можем ограничиться одним лишь первым членом этого раз- разложения [в случае скалярного потенциала <р мы должны были сохранить второй член разложения, потому что интеграл перво-
460 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII го члена уравнения (98.2) обращался в нуль]. Тогда уравнение (96.4) дает (при /i = 1): (98.5) В случае замкнутых токов интеграл JjdV, взятый по все- всему объему токов, тождественно равен нулю [см. в § 57 доказа- доказательство того, что из E7.7) следует E7.6)]; стало быть, в рас- рассматриваемом приближении равны нулю и вектор-потенциал и магнитное поле системы. В случае же незамкнутых перемен- переменных токов этот интеграл, вообще говоря, отличен от нуля и, как мы сейчас покажем, равен производной по времени электриче- электрического момента системы р. Дифференцируя по времени уравнение (98.3) и воспользовав- воспользовавшись уравнением непрерывности (IVa), | р (*', у\ z',t-^) = - div' j (*', у', z\ t-% где div' означает дифференцирование по координатам х', у', z' точки Q (напомним, что Rq от этих координат не зависит), по- получаем Помножим это уравнение на произвольный единичный постоян- постоянный вектор а (а = 1). Тогда подынтегральное выражение можно будет преобразовать с помощью уравнений D3?) и A1*): (aR')div'j = div'{j(aR')} - jgrad'(aR') = div'{j(aR')} - aj. Таким образом, j (t- ^) dV. а Первый интеграл может быть с помощью теоремы Гаусса преоб- преобразован в интеграл по поверхности S, охватывающий объем V. Так как все электрические заряды, по условию, находятся внутри объема V, то через граничную поверхность S токов не протекает, т. е. на ней j = 0; поэтому div{(aR')j} dV' = <?(aR')jn dS = 0. Так как предпоследнее равенство справедливо при любом выборе направления постоянного вектора а, то окончательно получаем | р (* - т) = /J (У- *> z>>f - т)dV>- (98-6)
§ 98 ОСЦИЛЛЯТОР ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 461 Наконец, внося это выражение в (98 5) и опуская у Rq индекс, получаем выражение для векторного потенциала ^p(t). (98.7) at V с / 4. Итак, как скалярный, так и векторный потенциалы произ- произвольной нейтральной системы на больших от нее расстояниях од- однозначно определяются вектором р электрического момента этой системы. Простейшей такой системой является обыкновенный диполь — совокупность двух точечных зарядов противополож- противоположных знаков. В отличие от статического диполя диполь, момент которого р изменяется во времени, часто называется осциллято- осциллятором или вибратором. Таким образом, поле нейтральной систе- системы зарядов на больших от нее расстояниях совпадает с полем осциллятора, момент которого равен моменту системы. Благода- Благодаря этому обстоятельству изучение поля осциллятора играет весь- весьма важную роль в теории электричества. При известных услови- условиях, которые мы сейчас рассмотрим, радиотелеграфную антенну можно заменить эквивалентным осциллятором, светящееся те- тело — совокупностью элементарных осцилляторов и т д. 5. Формулы этого параграфа применимы лишь в том случае, если в разложении (98.2) и в аналогичном разложении подынте- подынтегрального выражения формулы для А можно пренебречь после- последующими членами разложения по сравнению с предыдущими. Рассмотрим теперь условия, при которых это приближение за- законно, причем достаточно будет ограничиться тем случаем, когда векторы Ro и R/ имеют одинаковое направление. В этом слу- случае R — Rq — R' и разложение (98.2) принимает более простой вид p{t - R/c) _ p(t - До/с) _ Ri_d_ p(t - До/с) Д До 9До До ¦ 1 д'2 д2 p(t - До/с) 2 дЩ До причем д p(t - До/с) _ p(t - До/с) l_<Lp(t_ Ro\ dRo До Д^ cRo dtP\ с ) ' Дифференцирование сомножителей типа 1/Rq увеличивает по- показатель i?o в знаменателе, так что при R' <§C Ro последующи- последующими членами, получающимися при дифференцировании этих со- сомножителей, наверное можно пренебречь. Таким образом, весь вопрос о законности сделанных упрощений, как легко видеть, сводится к относительной величине членов типа
462 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Предположим для простоты, что р является периодической функцией времени: У' Тогда по порядку величины дифференцирование р по t сведет- сведется к умножению р на ш, а отношение последовательных членов рассматриваемого разложения по порядку величины будет рав- равно R'ui/c. Таким образом, пренебречь последующими членами разложения по сравнению с предшествующими можно при усло- условии П'ш/с <С 1. Так как R' ^ I, a w = 27r/T, где Т есть период колебаний, то это условие эквивалентно условию -L « 1, (98.8) совпадающему с уравнением (97.1). Таким образом, примени- применимость формул настоящего параграфа ограничена, во-первых, условием (98.1) достаточной удаленности рассматриваемых участков поля от системы зарядов и токов, возбуждающей это поле, и, во-вторых, требованием, чтобы эта система удовлетво- удовлетворяла основному условию квазистационарности (97.1). Конечно, при этом условии поле системы будет квазистационарным лишь в непосредственной близости от нее, но никак не вдали. 6. Рассмотрим в заключение простейшую систему, эквива- эквивалентную осциллятору. С точки зрения электронной теории, про- простейшей формой осуществления осциллятора является совокуп- совокупность одного электрона и одного протона, взаимное расстояние которых периодически изменяется во времени. В максвелловой макроско- макроскопической теории поля простейшей мо- моделью осциллятора можно считать так называемый вибратор Герца: два металлических шарика К и К', заряды которых е и е' в каждый дан- данный момент равны по величине и про- противоположны по знаку (е' = —е), сое- соединены проводом длины I (рис. 80). Если считать вектор 1 направленным от К' к К, то момент образованного этими зарядами диполя будет равен: Рис ж_ —7 ибо, по определению, вектор р направлен от отрицательного за- заряда к положительному1). Если, зарядив вибратор, предоста- предоставить его самому себе, то в нем возникнут затухающие электриче- электрические колебания, аналогичные рассмотренным в § 89 колебаниям 1) Направление р совпадает с 1 при е > 0 и противоположно ему при е < 0
§ 98 ОСЦИЛЛЯТОР ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 463 в цепи с конденсатором. Колебания эти будут сопровождаться периодическим перезаряжением шариков, т. е. периодическим изменением их зарядов по величине и по знаку. В этом случае момент вибратора р можно положить равным Р = Ро/(<), где ро есть постоянный вектор, направленный по оси вибратора, a f(t) — некоторая периодическая затухающая функция времени. Сила тока в вибраторе равна, очевидно, скорости изменения величины зарядов е и е ; если мы условимся считать ток поло- положительным при совпадении его направления с вектором 1, то J = de/dt, откуда л=де1=др (989) Эта формула является частным случаем общей формулы (98.6) в применении к системе, которую приближенно можно уподобить отрезку прямолинейного тока, и может быть легко получена из (98.6) с помощью соотношения D4.1): jdV = dJds. 7. Если электрический момент системы р равен нулю или по- постоянен во времени, то поле излучения системы определяется от- отброшенными нами ранее старшими членами разложения величин pjR и j/i? по степеням В!/Rq. В качестве простейшего примера такой системы рассмотрим систему переменных, но замкнутых токов, т. е. переменных токов, удовлетворяющих условию divj = = 0. Согласно уравнению непрерывности (IVa) в этом случае dp/dt = 0, т. е. распределение зарядов, а стало быть, и элек- электрический момент системы р неизменны во времени. Скалярный потенциал поля системы также постоянен и нас интересовать не будет. Что же касается векторного потенциала поля системы, то, ограничиваясь в разложении j/i? по степеням R' /Rq [cm. форму- формулу, следующую за уравнением (98.4)] первым из членов, интеграл которого при р = 0 отличен от нуля, получаем А = _1 / № А_ р',у',г',*-ДоАЛ dV, (g8 с J Ro dRo \ До / Выполняя дифференцирование по Rq, получаем Интеграл первого члена суммы совпадает по форме со вто- вторым членом формулы E7.2). В § 57 было показано, что если в формуле E7.2) распространить интегрирование на весь объем токов [т. е. удовлетворить условию E7.7)], то первый член этой
464 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Г Л VII формулы обращается в нуль, а второй, согласно E7.8), выра- выражается через магнитный момент системы токов. Соответственно этому интеграл первого члена суммы в (98.11) равен1) [М(« - До/с) ¦ Ro] D3 ' Щ где М означает магнитный момент системы 'j]dV. (98.12) Второй член подынтегрального выражения в (98.11) получается из первого дифференцированием по f и умножением на Ro/c. Поэтому, опуская индекс 0 у Rq, получаем окончательно: [м«-Д/с)-к] _i_ Г?МЛ *\.R1 (98ЛЗ) R3 сЯ2 Idt \ с) J V ; Так как скалярный потенциал рассматриваемой системы ра- равен нулю, то не только магнитное, но и электрическое поле си- системы выражается через векторный потенциал А, т. е. опреде- определяется вектором М магнитного момента системы. Такая система называется магнитным диполем или магнитным осциллятором. Простейшая система, эквивалентная такому осциллятору, — зам- замкнутый проволочный контур, в котором возбуждается перемен- переменный ток. В отличие от линейного, незамкнутого вибратора Герца такой контур в радиотехнике называется рамкой. В том случае, если система обладает как переменным элек- электрическим, так и переменным магнитным моментом, полем по- последнего на больших расстояниях обычно можно пренебречь по сравнению с полем электрического момента. Действительно, вы- выражая в (98.12) плотность тока j через скорость v и плотность р электрических зарядов j = pv, получаем тогда как электрический момент системы равен р= fpR'dV'. Поэтому, если только благодаря специальным особенностям си- системы ее электрический момент не очень мал, то по порядку *)В § 57 предполагалось, что токи постоянны и что поэтому divj = 0. Вы- Выше мы предположили, что и рассматриваемые нами переменные токи также удовлетворяют этому условию. Если же divj ф 0, то при преобразовании ин- интеграла (98.11) в выражении для А появляются, помимо (98.13), еще члены, соответствующие так называемому квадрупольному электрическому момен- моменту системы.
§ 99 ПОЛЕ ОСЦИЛЛЯТОРА ЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ 465 величины М~ - р. Так как даже истинная (а не только средняя) скорость электронов v в большинстве случаев гораздо меньше с, § 99. Поле осциллятора. Его излучение 1. Для дальнейшего изучения поля осциллятора удобно вве- ввести в рассмотрение так называемый вектор Герца, определяе- определяемый уравнением P(t, R) = V{t-Rlc) (ggл) R Как явствует из этого уравнения, значение вектора Герца в момент t в точке, находящейся на расстоянии R от осциллятора, определяется значением электрического момента осциллятора в момент t — Rjc. Существенно, что вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению V2p = 1 с^Р ,gg 2ч с2 df1 у ' иными словами, каждая из слагающих вектора Р в произвольной системе декартовых координат удовлетворяет волновому уравне- уравнению типа (94.9), где в нашем случае нужно положить v — с. Это следует из того факта, что каждая из слагающих этого вектора, согласно уравнению (99.1), совпадает по форме с найденным на- нами в § 95 сферически симметричным решением (95.3) волнового уравнения. Внося уравнение (99.1) в выражения (98.4) и (98.7) для ip и А и отбрасывая индекс а у знака div, получим ?>(*) =-divP(i), A(t) = \^l. (99.3) Переходя от потенциалов к напряженности поля, получим из уравнения (94.1) (положив в нем \х = 1) H = rot^ = !^^. (99.4) с at с ot v ' Уравнение же (94.2) на основании уравнения D2з) примет вид так как сумма первых двух членов справа, согласно уравнению (99.2), равна нулю, то окончательно Е = rot rot P. (99.5) Таким образом, задача определения Е и Н сведена нами к вы- вычислению ротора вектора Р и его производных.
466 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII 2. Предположим, что с течением времени изменяется только числовая (или, точнее, алгебраическая) величина вектора элек- электрического момента р осциллятора. В этом случае Р = Ро/(*)> (99.6) где ро — постоянный вектор, направленный по оси осциллятора, a f(t) — произвольная скалярная функция времени. Это предпо- предположение не представляет никакого существенного ограничения, ибо момент р произвольного осциллятора можно разложить на три взаимно перпендикулярных слагающих постоянного направ- направления и рассматривать поле каждой из этих слагающих порознь. Введя, далее, временно обозначение можем, согласно уравнению (99.1), написать Р = РоФ(Д, t). Ввиду постоянства вектора ро получаем на основании уравнений D33), (8*) и (9*): Введем сферическую систему координат R, a, i? с центром в осцилляторе Q и с полярной осью, параллельной ро (рис. 81), и будем в каждой точке поля раз- разлагать все встречающиеся нам век- векторы на слагающие, направленные по взаимно перпендикулярным на- направлениям возрастания сфериче- сферических координат R, $ и а. Очевидно, что векторное произ- произведение [Rpo] в каждой точке по- поля Р будет направлено по касатель- касательной к дуге параллельного круга, проходящего через эту точку Р, и притом в сторону убывания угла долготы а (если, как обычно, вы- выбрать направление возрастания уг- ла а так, чтобы оно образовало с положительным направлением по- полярной оси правовинтовую систему). Числовая же величина про- произведения [Rpo] будет равна i?po sini?, где •& есть полярный угол точки Р. Стало быть, слагающие вектора [Rpo] по направлению возрастания координат R, # и а будут равны [Rpo]R = [Rpob = 0, [Rpo]Q = -
§ 99 ПОЛЕ ОСЦИЛЛЯТОРА ЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ 467 Соответственно этому TotR Р = rot,? Р = 0, rotQ Р = -р0 sint9 — = - sint9 —, dR dR где дР/dR есть производная от числовой величины вектора Гер- Герца. Внося это в уравнение (99.4), получим НК = Щ = О, На = - sintfi i^L. (99.7) с ot dR Чтобы определить Е, необходимо еще вычислить вихрь от rot P. На основании уравнений C1*) получаем ER = —!— — (sin # rota P) = 1 д ( . 2 адР\ 2cosi? дР = sin v — I = , iisini? m \ dR) R dR ,__ . ^ (йго^Р) RdRV ' R d Из уравнений (99.7) и (99.8) следует, что электрический и магнитный векторы поля осциллятора взаимно перпендикуляр- перпендикулярны, причем магнитные силовые линии совпадают с параллель- параллельными кругами нашей сферической системы координат, а элек- электрические лежат в меридиональных плоскостях. 3. До сих пор мы не делали никаких специальных предполо- предположений о виде функций f(t — R/c) или p(i — Rjc). Предположим теперь, что осциллятор совершает незатухающие синусоидаль- синусоидальные колебания, т. е. предположим, что или в комплексной форме (см. § 80): '-д^, (99.9) где to есть циклическая частота колебаний. В этом случае, согласно уравнению (99.1), р($ m _ Ро exp [iu(t - R/c)] откуда дифференцирование же Pnot сводится, очевидно, к умножению на iui.
468 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Стало быть, в этом случае отличные от нуля слагающие век- векторов Е и Н равны а = Sin# I Р = — Sint? Р, с dt \R с ) с \R с ) ' , (99.10) R2 cR 4. Таковы точные выражения слагающих электромагнитных векторов в поле осциллятора, совершающего синусоидальные ко- колебания. Они довольно сложны, поэтому мы ограничимся более подробным рассмотрением только двух крайних случаев — поля в непосредственной близости к осциллятору и поля на значи- значительном расстоянии от него. Что же, однако, должно служить при этом мерилом расстоя- расстояния? Отношение абсолютных величин членов полиномов, вхо- входящих множителями в правые части уравнений (99.10), опре- определяется отношением 1/R к ш/с = 2ir/(Tc), где Т есть период колебаний осциллятора. Мы увидим в дальнейшем, что Тс = А, где А есть длина электромагнитной волны, излучаемой осцилля- осциллятором, так что ш/с = 2тт/Х. Соответственно этому мы будем под близкими к осциллятору точками понимать точки, расстояние которых от осциллятора удовлетворяет требованию !>*>?-Hi Д с ~ А или х т. е. расстояние которых от осциллятора мало по сравнению с длиной его волны J). На этих расстояниях от осциллятора ш так что (, R\ . ujR . It } = шь >~ cot, \ с) с > R) = R R Таким образом, как и следовало ожидать, вблизи осциллято- осциллятора поле его в каждый данный момент времени t определяется одновременным с t значением момента осциллятора p(i) и его производной dp(t)/dt. 1) Конечно, R должно быть все же настолько больше длины осциллято- осциллятора I, чтобы его можно было считать диполем [см. уравнение (98.1)]. Обоим требованиям можно удовлетворить одновременно лишь в том случае, если (<А. В случае простого вибратора Герца это условие не удовлетворяется; однако существуют типы вибраторов, этому условию удовлетворяющие.
§ 99 ПОЛБ ОСЦИЛЛЯТОРА ЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ 469 Далее, при 1/R 2> ш/с можно с достаточной точностью огра- ограничиться лишь первыми членами полиномов, входящих в выра- выражение (99.10), т. е. можно положить: Ш 1) На = ™ sinд I Р = ^ sinд Р& = ) с R с R? В? с dt (99.11) Сравнивая эти выражения с уравнением A0.5), убедимся, что в каждый данный момент времени t электрическое поле вбли- вблизи осциллятора, как и следовало ожидать, совпадает с полем статического диполя, электрический момент которого р равен мгновенному значению момента осциллятора p(t). Что же каса- касается поля магнитного, то ввиду Н$ = Нц = 0 можно записать выражение для Н в следующей векторной форме: Если осциллятор можно уподобить отрезку прямолинейного то- тока, то на основании уравнения (98.9) получаем ^ (99.12) Таким образом, вблизи осциллятора его магнитное поле сов- совпадает с полем эквивалентного элемента тока длины I, опреде- определяемым формулой Био и Савара D2.2). Заметим, что вблизи осциллятора его электрическое поле убывает обратно пропорцио- пропорционально кубу, а магнитное — обратно пропорционально квадрату расстояния от осциллятора. 5. Перейдем теперь к рассмотрению поля вдали от осцилля- осциллятора, т. е. положим, что R^ с А' ИЛИ ч 2тг Области поля, расстояние которых от осциллятора удовлетворя- удовлетворяет этому условию, т. е. расстояние которых велико по сравнению с длиной волны осциллятора, называются волновой зоной осцил- осциллятора; смысл этого термина выяснится ниже. В волновой зоне все члены входящих в уравнение (99.10) по- полиномов, содержащие в знаменателе R, исчезающе малы по срав- = dp(t)/dt.
470 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII нению с членами, R не содержащими, так что с достаточной точ- точностью можно положить На = ^ sinfl^P = -^ sinflp('-Д/с), а с с с2 R ER = 0, Я* = -^ sintfP = -^ sin,? с2 с2 с2 с2 Я Внося сюда выражение р из уравнения (99.9) и ограничиваясь вещественной частью решения, получим окончательно: Ея = Еа = Нл = Щ= 0, р „ wasintf /. R\ (99.13) Е# = На = -———Роcos w (t - -J , что можно записать также и в следующей форме: Е, = На=*1±± **-*<*. (99.14) Заметим, что это последнее выражение [так же, как и фор- формулы (99.11) и (99.12)] остается справедливым при любой форме зависимости электрического момента осциллятора от времени (в том числе, например, и при затухающих его колебаниях). Дей- Действительно, любая функция времени может быть разложена в ряд или интеграл Фурье, т. е. может быть представлена в виде суммы синусоидальных функций, к каждой из которых примени- применима формула (99.14). Так как в эту формулу частота ш не входит, то она остается применимой и ко всей сумме, т. е. к произволь- произвольному p(t) *). Итак, как следует из уравнений (99.13) и (99.14), в волновой зоне осциллятора напряженности электрического и магнит- магнитного полей численно равны друг другу и убывают обратно про- пропорционально первой степени расстояния от осциллятора 2). Напряженность поля зависит, помимо R, также и от полярного угла # рассматриваемой точки поля: на продолжении оси осцил- осциллятора (•& = 0 и д = 7г) поле равно нулю, максимального же значения оно достигает в экваториальной плоскости осциллято- осциллятора {р = 7г/2). В каждой точке волновой зоны векторы E,HuR взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 82), причем Е направлено по дуге меридиана, а Н — по дуге *) Конечно, формула (99.14) будет при этом применима только на таких расстояниях R от осциллятора, на которых условие 1/Д <С ш/с выполняем ся для всех частот ш, представленных с заметной интенсивностью в разло- разложении функции p(t). Аналогичное замечание относится и к применимости формул (99.11) и (99.12). 2) Тогда как вблизи осциллятора они убывают обратно третьей и второй степени расстояния.
§99 ПОЛЕ ОСЦИЛЛЯТОРА. ЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ 471 параллельного круга. Наконец, и это самое существенное, фаза ui(t — R/c) векторов поля Е и Н распространяется по направле- направлению радиуса-вектора со скоростью с. Иными словами, фаза этих векторов на расстоянии R 4- dR от осциллятора отстает на т = dR/c секунд от той фазы, которой обла- обладают эти векторы на расстоянии R от осциллятора (ибо t—(R+dR)/c = = t-r-R/c). Всякий периодический процесс, не сосредоточенный в одной точ- точке, а охватывающий определенную область пространства, фаза кото- которого распространяется с опреде- определенной скоростью, называется вол- волной1). Стало быть, в волновой зоне осциллятора распространяет- распространяется электромагнитная волна скоро- скорости с. Длиной волны А, как извест- известно, называется измеренное вдоль направления распространения волны расстояние между двумя последовательными точками, в которых векторы поля изменя- изменяются синхронно (т. е. в такт). Расстояние это равно Л т 27ГС Рис. 82 (t - ?±А) = cos |w (*--)- 27Г} = cosw (*--)¦ ибо cosw Излучаемая осциллятором волна называется шаровой, ибо фаза волны в каждой точке поля зависит, помимо времени, лишь от расстояния этой точки от центра излучения (т. е. от осцилля- осциллятора) , а направление распространения волны совпадает с направ- направлением радиусов-векторов, проведенных от центра излучения2). б. То же направление имеет и поток энергии в волновой зоне осциллятора, ибо, как легко убедиться, направление вектора Пойнтинга S [уравнение (92.5)] в каждой точке этой зоны совпа- совпадает с направлением радиуса-вектора R. Числовая же величина вектора Пойнтинга равна 4тг 4тг 4тг Д2с3 dt2 (99.15) 1) Впрочем, волны этого типа представляют собой лишь частный случай широкого класса процессов, включаемых в понятие волны (волны немоно- немонохроматические, стоячие, затухающие во времени, волновые импульсы и т. д.) 2) Напомним, что значения Е и Н шаровой волны зависят не только от R, но и от полярного угла $.
472 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Г Л VII Следовательно, общий поток энергии ? через поверхность сферы радиуса R с центром в осцилляторе, элемент поверхности кото- которой равен R2 sin д da dd, определяется выражением 2i i „ ж Е = f da f ddSR2 sintf = — (&) f sin3t? did = J J 2c3 \dt2) J 0 0 0 = — (<?PttzRM\ /gg 16) 3c3 v at2 У *¦ ' В частности, если осциллятор совершает гармонические ко- колебания циклической частоты ш = 2тт/Т, так что 1) то общий поток энергии через поверхность сферы за время од- одного полного периода будет равен cos2 u; (t - ^) dt = 1 ЕД= *** / У Зс3 У Зс3 Зс3 0 0 Выражая ш через длину волны А, получим Наконец, среднее излучение осциллятора за единицу времени равно т Л=Э?(^) • (99.17) о 7. Таким образом, осциллятор непрерывно излучает энергию в окружающее его пространство, причем, согласно уравнению (99.17), средняя скорость излучения энергии S пропорциональ- пропорциональна квадрату амплитуды его электрического момента р$ и обрат- обратно пропорциональна четвертой степени длины волны А4. Этим последним обстоятельством объясняется, например, тот факт, что для радиотелеграфирования необходимо пользоваться срав- сравнительно короткими электромагнитными волнами длиной от де- 1) При вычислении квадрата р необходимо отбросить мнимую часть ком- комплексного выражения (99 9) (ср § 80, с 370)
§ 99 ПОЛЕ ОСЦИЛЛЯТОРА ЕГО ИЗЛУЧЕНИЕ 473 сятков метров до десятков километров; напротив, излучение мед- леннопеременных токов, применяемых в технике сильных токов (сотни и тысячи периодов в секунду, чему соответствуют волны длиной в тысячи и десятки тысяч километров), остается практи- практически незаметным. Тем же характером зависимости излучения осциллятора от длины волны объясняется, например, голубой цвет неба. Прони- Пронизывающий атмосферу солнечный свет рассеивается молекулами воздуха, которые могут быть уподоблены элементарным осцил- осцилляторам. Рассеяние света обусловливается тем, что под воздейст- воздействием световых волн осцилляторы эти совершают «вынужденные» колебания. Так как период собственных колебаний осциллято- осцилляторов, соответствующих молекулам воздуха, существенно отлича- отличается от периода видимого света (отсутствие резонанса), то ам- амплитуда ро вынужденных колебаний осцилляторов слабо зависит от периода (или длины) световой волны Поэтому интенсивность рассеянного света, т. е. интенсивность вынужденного излучения этих осцилляторов, обратно пропорциональна А4. Таким обра- образом, коротковолновый свет (синий) рассеивается сильнее, чем, например, красный, что и создает голубой цвет неба. 8. За время одного периода через любую охватывающую ос- осциллятор замкнутую поверхность (в том числе и через поверхно- поверхности, лежащие вне волновой зоны, т. е. вблизи осциллятора) про- протекает одинаковое количество энергии. В этом можно убедиться непосредственным вычислением, в частности, для концентриче- концентрических с осциллятором шаровых поверхностей волновой зоны это явствует из независимости формулы (99.17) от радиуса сферы Впрочем, справедливость этого положения непосредственно вы- вытекает из сделанного нами предположения, что в окружающем осциллятор пространстве нет ни проводников, ни электрических зарядов, ввиду чего излучаемая осциллятором электромагнит- электромагнитная энергия не может переходить в иные формы энергии и долж- должна без потери переноситься в отдаленные участки пространства Вместе с тем становится понятным и характер зависимости Е и Н от расстояния R в волновой зоне осциллятора Чтобы общее излучение через концентрическую осциллятору сферическую по- поверхность не зависело от ее радиуса, необходимо, чтобы плот- плотность потока энергии S была обратно пропорциональна i?2 (ибо поверхность сферы пропорциональна R2). С другой стороны, в волновой зоне ввиду взаимной перпендикулярности и численного равенства векторов Е и Н О _ с ТРИ — с Т?1 — С гт2 О — J2j?1 — Л/ — Si . 4тг 4тг An Следовательно, Е и Н в волновой зоне должны убывать обратно первой степени R. Вблизи осциллятора, т. е вне волновой зоны, характер поля гораздо сложнее, однако среднее за время одно-
474 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII го периода количество энергии, вытекающее через поверхность сферы, также не зависит от ее радиуса. В заключение заметим, что осциллятор может совершать не- незатухающие колебания лишь в том случае, если эти колебания поддерживаются действующими извне периодическими электро- электродвижущими силами; в противном случае колебания осциллятора будут затухать не только благодаря переходу его электромагнит- электромагнитной энергии в джоулево тепло, но также и благодаря излучению, т. е. благодаря уносу энергии излучаемыми им электромагнит- электромагнитными волнами. Впрочем, если затухание колебаний достаточно мало, то в течение ограниченного числа периодов амплитуду ко- колебаний можно считать практически постоянной и применять к полю затухающих колебаний результаты, полученные для коле- колебаний незатухающих. Задача 37. В радиотехнике принято характеризовать по- потерю энергии какой-либо системы (например, антенны) на излу- излучение так называемым «сопротивлением излучения» этой систе- системы R\, определяемым из отношения [ср. уравнение (90.15)], где J — сила тока в системе. Показать с помощью уравнений (98.9), что сопротивление излучения вибра- вибратора Герца равно или в практических единицах i?l = 20(^J Ом, где I — длина вибратора, а А — длина волны излучения. Задача 38. Показать, исходя из уравнения (98.13), что в волновой зоне поле переменного магнитного диполя М отлича- отличается от поля электрического диполя (осциллятора) равного мо- момента р = М заменой Е на —Н и Н на —Е, т. е. что в волновой зоне магнитного диполя (99.18) § 100. Электромагнитная природа света. Плоские волны в диэлектрике 1. В § 97 мы убедились, что скорость распространения элек- электромагнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света, а в § 99 на частном примере электромагнитных волн, излучаемых осциллятором, убедились, что волны эти, подобно волнам свето-
§ 100 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА 475 вым, суть волны поперечные, т. е. что векторы Е и Н волнового поля перпендикулярны к направлению распространения волны. Это совпадение существеннейших свойств световых и элек- электромагнитных волн заставляет предположить, что первые пред- представляют собой лишь частный случай вторых и отличаются от невидимых электромагнитных волн лишь своей частотой или длиной волны. Если это так, то под «световым вектором» (фор- (формальное понятие, которым оперирует волновая оптика) нужно, очевидно, понимать либо электрический, либо магнитный вектор электромагнитной световой волны, ибо как Е, так и Н перпен- перпендикулярны к направлению волны (что и требуется от светового вектора). Иными словами, направление поляризации, например, линейно поляризованного света должно определяться направле- направлением векторов ЕиН1), Эти предположения действительно подтверждаются более глу- глубоким изучением свойств электромагнитных волн и сравнением их со свойствами света, так что в настоящее время можно с уве- уверенностью сказать, что выяснение электромагнитной природы света является одним из прочнейших и важнейших завоеваний физики XIX столетия. В этом параграфе мы рассмотрим один из простейших вопро- вопросов теории электромагнитных волн — распространение плоских монохроматических волн в однородных диэлектриках. 2. Волна называется плоской, если в любой момент времени во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, векторы поля имеют одинаковое значе- значение. Иными словами, если выбрать ось z по направлению распро- распространения волны, то векторы ЕиН поля плоской волны должны зависеть только от координаты z, но не от координат хну. Рас- Рассмотрение подобных плоских волн имеет вполне определенное физическое значение, ибо, например, в достаточном удалении от осциллятора ограниченный участок излучаемой им сферической волны можно с достаточной точностью считать плоским. 1) Экспериментальная оптика оперирует понятием плоскости поляризации света. Линейно поляризованный свет можно получить путем отражения под надлежащим углом неполяризованного света от отражающей поверхности. Плоскость падения света на эту отражающую поверхность, по определению, называется плоскостью поляризации отраженного поляризованного света. В прошлом столетии весьма оживленно дискутировался вопрос о том, па- параллелен ли или перпендикулярен световой вектор линейно поляризован- поляризованной волны плоскости поляризации этой волны. На первом предположении базировались теории Грина, Неймана и др., на втором — теория Френеля С точки зрения электромагнитной теории света вопрос этот сводится прос- просто к тому, называть ли световым вектором напряженность магнитного или же электрического поля волны. Из опытов Винера (см. о них: Ландсберг, Оптика. — М.: Физматлит, 2003 С. 106) явствует, что магнитный вектор световой волны Н параллелен, а электрический вектор Е перпендикулярен ее плоскости поляризации.
476 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Волна называется монохроматической (по-гречески — одно- одноцветной; термин заимствован из оптики), если поле волны явля- является гармонической (синусоидальной) функцией времени. Стало быть, комплексные выражения векторов поля плоской монохро- монохроматической волны должны иметь вид Е = A{z)elu}t, Н = B{z)etu}t, A00.1) где (вообще говоря, комплексные) векторы A(z) и B(z) зави- зависят только от координаты z; конечно, непосредственное физиче- физическое значение имеет только вещественная часть этих выражений (§ 80, с. 369). 3. Предположим, что рассматриваемый нами диэлектрик од- однороден (е и ц постоянны) и лишен свободных электрических зарядов (р = 0). Полагая в уравнении Максвелла (I) j = 0, имеем -^ = rotH; (I) с dt у ' дифференцируя это выражение по времени и внося затем в него значение дШ/dt из уравнения (II): ^f = -rotE, (II) с at получим на основании уравнения D2з): ? ^ = rot— = -- rotrotE = -- (graddivE) - V2E). с at2 dt ft ft Так как при р — 0 и е = const уравнение (IV) принимает вид divD = ?divE = 0, то, стало быть, fgWE. A00.2) Так как уравнения (I) и (II) симметричны относительно Е и Н (вплоть до знака), то совершенно аналогичным образом получим ? 7^ = V2H. A00.3) 4. Справедливость уравнений A00.2) и A00.3) ограничена лишь требованием однородности среды и отсутствия в ней то- токов проводимости и свободных зарядов. В случае же плоских монохроматических волн уравнения эти на основании уравнения A00.1) могут быть записаны в следующей форме (по сокращении на еш1): A(z) = V2A(z) = ^fl, -*J? В{г) = V2B(z) =
100 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА 477 ИЛИ где нами введено обозначение к2=?-^-, к = Ш^. A00.4) Решения этих уравнений, как известно, имеют вид А л „—ikz I д I „ikz т> тэ „—ikz I x>i „ikz = Аое ¦+- Age , В = r$oe -+- г$ое , где Ао, Aq, Во и Во суть произвольные постоянные интегриро- интегрирования. Внося эти выражения в уравнение A00.1), получим Е = Аоег^-кг^ + A'oe<ut+fc2), Н = Вое<иг~кг) + В'о Первые члены этих выражений представляют собой волну, рас- распространяющуюся в положительном направлении оси z, а вто- вторые — волну, распространяющуюся в обратном направлении. Без существенного ограничения общности рассуждения можно огра- ограничиться рассмотрением лишь одной из этих волн, например пер- первой, и положить Е - Аое1*""-**), Н = BQe<ut~kz). A00.5) Ао и Во суть амплитуды векторов Е и Н; независимость этих амплитуд от координат означает, что распространение плоских волн в диэлектрике не связано с изменением их интенсивно- интенсивности. Амплитуды Ао и Во являются, вообще говоря, величинами комплексными. 5. Скорость волны, согласно A00.5), равна ш/k, ибо в мо- момент to значения векторов поля в плоскости z — zq совпадают с теми значениями, которыми эти векторы обладали в момент ?о — 1 в плоскости z — zq — ш/к. Это явствует из равенства соот- соответствующих фаз: = w(<o - 1) - к (zq - - ) . Согласно уравнению A00.4), скорость эта равна « = !: = -?=, (юо.6) что совпадает с общими результатами, полученными в § 94-96 [уравнение (94.7)]. Заметим, что величина к весьма просто связана с длиной вол- волны А; внося в уравнение A00.6) значение ш — 2тг/Т, получим * 5?
478 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Таким образом, к равно числу волн, укладывающихся на от- отрезке в 27г см, и поэтому называется волновым числом. 6. Для упрощения дальнейших вычислений заметим, что, со- согласно уравнению A00.5), дифференцирование векторов плоской волны по z сводится к умножению их на — ik. Так как, с дру- другой стороны, эти векторы не зависят от а; и у, то символическое умножение их на дифференциальный оператор набла сводится к умножению на обычный вектор —ikk, так что в применении к этим векторам V i?+j|+k? ох ду dz (не смешивать единичные векторы i и к по осям координат с мни- мнимой единицей г и волновым числом к). В том случае, если ось z координатной системы не совпадает с направлением распространения волны, достаточно, очевидно, заменить к единичным вектором п, совпадающим с этим направ- направлением: V = -ikn. A00.8) На основании этого соотношения максвелловы уравнения (III) и (IV) принимают вид div В = V^H = -ikfinH. = 0, div D = VeE = -zkeiiE = 0, откуда следует, что векторы Е и Н перпендикулярны к п, т. е. перпендикулярны к направлению волны. Таким образом, плос- плоские электромагнитные волны, как и волны шаровые, суть вол- волны поперечные. Дифференцирование векторов Е и Н по времени, согласно уравнению A00.5), сводится к умножению их на %ш, ввиду чего с помощью уравнения A00.8) уравнение (II) может быть пред- представлено в следующем виде: ^ Н = - rotE = -[VE] = tfc[nE]. Внося сюда значение к из уравнения A00.4) и деля уравнение на щ./-, получим1) у/ЦН = у/ё[пЩ. A00.9) Из этого уравнения следует, во-первых, что векторы Е и Н вза- взаимно перпендикулярны и, во-вторых, что взаимно перпендику- 1) Рассмотрение уравнения (I) не дает ничего нового и приводит к тем же результатам.
§ 100 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА 479 лярные векторы п, Е и Н образуют правовинтовую систему (рис. 83; ср. рис. 82). Далее, ввиду перпендикулярности п и Е получаем следующее соотношение между числовыми значения- значениями векторов Е и Н: A00.10) Таким образом, отношение числовых значений векторов Е и Н от времени не зависит, т. е. векторы эти обладают одинаковыми фазами и изменяются син- синхронно. Н 7. Обращаясь к определению нели- р „„ нейных функций векторов поля (энер- (энергия, вектор Пойнтинга и т. д.), мы должны предварительно пе- перейти к вещественным частям комплексных выражений A00.5) (см § 80, с. 370). В последующих формулах мы соответственно этому будем считать векторы Е и Н вещественными. Согласно уравнению A00.10) плотность магнитной энергии в поле волны оказывается равной плотности энергии электри- электрической: fiH2 eE2 стало быть, w = Wu + w^ = e-f- = ^l. (ЮО.И) Из рассмотрения рис. 83 явствует, что направление вектора Пойн- Пойнтинга т. е. направление потока энергии в волне, совпадает с направле- направлением ее распространения. Ввиду перпендикулярности векторов ЕиН S=—EH. 4тг Выражая с помощью уравнения A00.10) Н через Е и воспользо- воспользовавшись уравнениями A00.11) и A00.6), получим 5= S?ILe2 = _?_„, = «>«, A00.12) откуда Sdt — wvdt. Таким образом, количество энергии 5 dt, протекающее за эле- элемент времени dt через единичную площадку, перпендикулярную к вектору S (т. е. перпендикулярную к направлению волны), равно количеству энергии wv dt, содержащейся в прилегающем
480 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII к этой площадке цилиндре высотой v dt. Физически это значит, что скорость течения энергии равна v, т. е. совпадает с фазовой скоростью волны *). § 101. Отражение и преломление плоских волн в диэлектриках 1. Несостоятельность механических теорий света прошлого столетия, основанных на представлении об упругом световом эфире, особенно отчетливо выявилась в безуспешных попытках этих теорий объяснить простейшие явления отражения и пре- преломления света2). Напротив, для объяснения этих явлений с точки зрения электромагнитной теории света ни к каким спе- специальным допущениям прибегать не приходится. В этом параграфе мы рассмотрим преломление и отражение плоских монохроматических волн на поверхности раздела двух однородных диэлектриков 1 м 2, диэлектрические постоянные которых обозначим через е\ и Е2- Далее, примем для просто- простоты, что fi\ = fi2 = 1; как мы увидим ниже, для световых волн это допущение общности наших рассуждений вовсе не ограни- ограничивает. При этих условиях скорость волн в первом и втором диэлектриках, согласно уравнению A00.6), будет соответственно равна ^ и v2 = -j=. A01.1) В предшествующем параграфе мы для упрощения записи предполагали, что направление оси z выбрано так, чтобы она сов- совпадала с направлением волны. Приступая к рассмотрению сово- совокупности нескольких волн различного направления (падающей, отраженной и преломленной), мы, очевидно, должны предвари- 1) Фазовая скорость есть скорость распространения фазы волны. Равен- Равенство фазовой скорости и скорости энергии в изотропных средах нарушается лишь в случае наличия дисперсии, т. е. в случае зависимости фазовой скоро- скорости волны от ее длины. Объясняется это тем, что для определения скорости течения энергии нужно, собственно говоря, рассматривать не монохромати- монохроматическую волну, а ограниченный во времени и пространстве световой импульс. В случае отсутствия дисперсии это обстоятельство не влияет на окончатель- окончательный результат; в диспергирующих же средах скорость течения энергии ока- оказывается равной не фазовой, а так называемой групповой скорости волн. 2) В частности, из теории упругости следует, что при преломлении или от- отражении поперечных волн должны возникать также продольные волны сжа- сжатия. Чтобы объяснить факт отсутствия продольных световых волн в эфи- эфире, необходимо было прибегнуть либо к гипотезе абсолютно несжимаемого эфира, либо к гипотезе эфира неустойчивого, обладающего отрицательной объемной упругостью. Любая из этих гипотез вела к дальнейшим противо- противоречиям (см., например, Хвольсон О.Д. Курс физики. Т. V. — М.: Госиздат, 1923. Гл. «Электромагнитная теория света»).
§ 101 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 481 тельно обобщить формулы предыдущего параграфа на случай произвольного направления осей координат. Пусть направление волны совпадает с направле- направлением единичного вектора п, образующего с осями коор- координат х, у, z углы а, /3, 7 (рис. 84). В системе декар- декартовых координат х', у', z', ось z' которой совпадает с п, фаза этой волны в точке Р должна, согласно уравнению A00.5), определяться выра- выражением . , / Рис. 84 wt — kz , где z1 есть координата точки Р. Эта координата равна проекции радиуса-вектора R точки Р на направление п оси z'; стало быть, z' = nR = x cos a + у cos j3 + z cos 7, A01.2) где х, у, z суть координаты той же точки Р в исходной системе координат. Внося это в уравнение A00.5), получим искомые вы- выражения векторов поля плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении п: Е = Eoet(w*-fenR), Н = Ноег(ш*-*пК), A01.3) где Ео и Но суть постоянные комплексные амплитуды соответ- соответствующих векторов. 2. После этих подготовительных замечаний приступим к ре- решению намеченной задачи. Пусть плоская волна A01.3), распро- распространяющаяся в среде 1 в направлении п, падает на плоскую поверхность раздела сред 1 и 2. После проникновения в среду 2 волна эта должна будет, очевидно, распространяться с иной ско- скоростью (v2 Ф v\) и, как мы увидим, вообще говоря, в ином на- направлении, не совпадающем с п. Для определения амплитуды, направления и фазы этой, так называемой преломленной вол- волны достаточно потребовать выполнения на поверхности раздела пограничных условий, перечисленных нами в § 91. При этом ока- оказывается, что условия эти могут быть удовлетворены лишь в том случае, если допустить существование еще третьей, так называе- называемой отраженной волны, распространяющейся в той же среде 1, как и волна падающая, однако в направлении от поверхности раздела. Обозначим комплексные векторы поля падающей волны че- через Е и Н, волны отраженной через Ег и Нг и, наконец, волны преломленной через Eg и Hg и положим, согласно уравнению A01.3), что Е = Eoes^~fenR) Ег = Erei^r'~fcrnrR\ Eg = ^fcR\ 16 И. Е. Тамм
482 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII аналогичных выражений для Н, Нг и Hg выписывать не будем. Первые две волны распространяются в среде 1, так что резуль- результирующая напряженность поля в этой среде будет равна Ei = Е + Ег, тогда как поле в среде 2 будет равно Е2 = Eg. Рассмотрим какое-либо из пограничных условий на поверх- поверхности раздела, например условие (II') непрерывности тангенци- тангенциальных слагающих вектора Е. В рассматриваемом случае оно примет вид т. е. Для того чтобы подобного рода условие могло выполняться при любом значении времени t, необходимо прежде всего, чтобы ш = шг = ojg. A01.5) Действительно, условие A01.4) имеет вид где а, 6 и с от времени не зависят. Дифференцируя это равенство по t, получим waetu3t + игЬеш'1 = ивсеш'*; исключая из двух последних уравнений сегш«', получим а(ш - ug)elu3t = b{ug - иг)еШг\ что может иметь место лишь при ш = шг. Исключая же из при- приведенных уравнений еШтЬ, убедимся, что ш = wg. Стало быть, действительно ш = иг — wg, т. е. частота волны не изменяется при ее отражении и преломлении. Совершенно аналогичным образом можно убедиться, что дол- должны выполняться равенства A;nR' = krnrIL' = kgngli', A01.6) где R' — произвольный вектор, лежащий в плоскости раздела. Действительно, радиус-вектор R произвольной точки поверхно- поверхности раздела может быть представлен в виде R = Ro + R , где R' лежит в плоскости раздела сред, a Ro — радиус-вектор некоторой, произвольно фиксированной точки этой поверхности.
§ 101 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 483 Следовательно, пограничное условие может быть представлено в виде где величины а', Ь' и d от координат вектора R/ не зависят. Даль- Дальнейшее доказательство равенства A01.6) протекает вполне ана- аналогично доказательству равенства A01.5). 3. Для дальнейших вычислений удобно перейти к координат- координатным выражениям. Пусть ось z перпендикулярна плоскости раз- раздела сред 1 и 2. Тогда лежащий в этой плоскости вектор R' будет перпендикулярен оси z и уравнение A01.6) на основании уравнения A01.2) можно будет записать так: &(a;cosa-t-3/cos/3) = kr(xcosar+ycosPr) — kg(x cos ag+y cos /3g), где x и у — компоненты вектора R/, а a, /3; ar, /3r; ag, /3g суть соответственно углы векторов n, nr и ng с осями х иу. Для упро- упрощения записи выберем оси х иу так, чтобы направление распро- распространения падающей волны п лежало в плоскости xz (рис. 85). В этом случае cos/З = 0. Так как приведенное уравнение должно выполняться во всех точках плос- плоскости раздела, т. е. при любых зна- значениях ж и у, то из него непосред- непосредственно следует: cos j3r = cos /3g = 0 и к cos a = kr cos ar = kg cos ag. Первое из этих уравнений означа- означает, что направления отраженной и преломленной волн пг и ng ле- лежат в плоскости xz, т. е. в плос- плоскости падения волны *). Примем теперь во внимание, что падающая и отраженная волны распространяются в среде 1, а преломленная — в среде 2 и что, стало быть, согласно уравнениям A00.6) и A01.5), k=HL, fe1 = ii = fe, kg = ^. V\ V\ V2 Следовательно, предшествующее уравнение может быть записа- записано следующим образом: A01.7) Рис. 85 VI 1 1 cos a = — cosar = — cosav. V\ V2 1) Плоскостью падения, как известно, называется плоскость, проходящая через направление падающей волны и через нормаль к пограничной поверх- поверхности. 16*
484 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Из этих равенств следует, во-первых, что1) аг = а. Вводя, как обычно, углы падения и отражения в и вг (как явствует из рис. 85, в = 7г/2 — а и вг — тт/2 — аг), можем сказать, что угол падения в равен углу отражения вг. Далее, так как cos а и cos ag имеют одинаковые знаки, то направления падающей и преломленной волн должны лежать в одном и том же квадранте плоскости xz (см. рис. 85). Введя угол преломления Qg — тт/2 — ag и заметив, что cos a = = sin# и cosag = sin#g, получим из уравнения A01.7): -«•=•1. (Ш1.8) V Sin 6g Таким образом, отношение синусов углов падения и прелом- преломления есть величина постоянная, зависящая лишь от свойств граничащих сред 1 и 2. Отношение это, которое мы обозначим через Ш2, как известно, называется показателем преломления среды 2 относительно среды 1. На основании уравнения A01.1) можем написать3) 1 /Е A01.9) 4. Итак, из одного лишь факта существования на границе двух сред линейных условий типа A01.4) непосредственно следу- х)Так как, по определению, значение направляющего угла не может пре- превышать тг, то решение аг = 2тг — а отпадает. 2) Напомним, что, как известно из элементарного курса оптики, при v\/v2 = гиг < 1 определяемый уравнением A01.8) угол преломления 6g при- принимает вещественные значения лишь в том случае, если угол падения в не превышает так называемого угла внутреннего отражения Ф, определяемого уравнением апФ = v\/v2 — тмг. В противном случае (при в > Ф) sin#g = = (sin#) (v2Jv\) = (бшй/мпФ) > 1, и величина вЙ становится комплексной. Как показывает специальное рассмотрение вопроса, на котором мы оста- останавливаться не будем, при этом должно наблюдаться так называемое полное внутреннее отражение волн В этом случае преломленная волна отсутству- отсутствует, и электромагнитное поле во второй среде оказывается отличным от нуля лишь в весьма тонком слое (порядка длины волны), непосредственно приле- прилегающем к поверхности раздела (см., например, Хвольсон О.Д. Курс физики Т. V. — М : Госиздат, 1923; Борн М., Вольф 9. Основы оптики. — М.: Наука, 1973; Ландсберг Г.С. Оптика. — М.: Физматлит, 2003; Сивухин Д.В. Опти- Оптика. — М.: Физматлит, 2002) Эти следствия теории вполне согласуются с данными эксперимента как в области длинных электромагнитных волн, так и в области волн световых. 3) Если ^i ф 1 и fi2 ф 1, то п\2 — \/(?2/J2)/(eiMi)- ^ тексте считается, что п\2 > 0. Сравнительно недавно было обращено внимание на возможность существования сред, для которых следует полагать, что п\2 < 0 (см. Ве- селаго В.Г. // УФН. 1967. Т. 92. С. 517). Эта возможность реализована и обсуждается в ряде статей (см. Shelby R.A., Smith D.R., Shultz S. jj Science 2001. V. 292. P. 77; Веселаго В.Г. // УФН. 2002. Т. 172. С. 1215).
§ 101 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 485 ют все геометрические законы преломления и отражения элек- электромагнитных волн, совпадающие с соответствующими закона- законами для волн световых. Более же детальное рассмотрение этих пограничных условий позволяет определить соотношение меж- между квадратами амплитуд волны падающей и волн отраженной и преломленной. Эти соотношения оказываются тождественными с так называемыми формулами Френеля, определяющими срав- сравнительную интенсивность отраженного и преломленного све- света в зависимости от коэффициента преломления, угла падения и поляризации падающего света. Этот вывод подтверждаемых опытом формул Френеля из общих положений электродинамики является одним из важнейших доказательств электромагнитной природы света. Не имея возможности приводить его здесь пол- полностью, мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, а именно случая нормального падения плоской волны на поверх- поверхность раздела диэлектриков z = 0. Всякая плоская монохроматическая волна может быть разло- разложена на совокупность двух линейно поляризованных волн, кото- которые можно рассматривать порознь. Пусть электрический вектор падающей волны направлен по оси х: Ех = Eoe<wt'kz\ Ey = Ez = 0. Тогда, согласно A00.9), магнитный вектор падающей волны бу- будет направлен по оси у и будет равен Согласно законам отражения и преломления A01.7) и A01.8) преломленная и отраженная волны будут направлены соответ- соответственно по и против оси z. Как легко убедиться путем рассмо- рассмотрения пограничных условий, электрические векторы этих волн так же, как и в падающей волне, направлены по оси ж, а их маг- магнитные векторы — по оси у, так что отличные от нуля слагающие этих векторов равны ЕГХ = Eroe^t+kz\ Щ = - Е§ = ??е*И-*«*), Щ = Перед выражением для Щ стоит знак минус в соответствии с тем, что отраженная волна распространяется противоположно оси z [см. уравнение A00.9)]. Внесем эти выражения для Е и Н в пограничные условия. Условие A01.4) непрерывности тангенциальных слагающих векто- вектора Е на плоскости раздела z = 0 после сокращения на егизЬ дает Ео + Ег0 = Щ. Соответственно этому условие непрерывности тангенциальных слагающих вектора Н дает
486 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII Нормальные к поверхности раздела слагающие векторов поля равны нулю, и поэтому относящиеся к ним пограничные условия (III') и (IV) удовлетворяются тождественно. Разрешая полученные уравнения и воспользовавшись соот- соотношением A01.9), получаем С1Г_1-Ш2Е1 jpS_ 2 ^ A01.10) " 1+ТЦ2 "' Переходя к действительным частям комплексных выражений и считая Ео действительным, можем написать 2 Е§ = EQ cos (cot — kgz), 1 + П12 Ех = Ео cos (wt — kz), Erx = 1-П12 Ей cos (wt + kz). Обозначая через S, Sr и SB средние за период плотности потока энергии в падающей, отраженной и преломленной волнах, полу- получаем на основании A00.12): S = ± у/?[ El cos2(w* - kz) = — 4w 87r A01.11) 2 8тг V V1 + n12/ ° 8ir Легко проверить с помощью A01.9), что эти выражения удов- удовлетворяют закону сохранения, т. е. что средний за период поток энергии в падающей волне равен сумме средних потоков энергии в преломленной и отраженной волнах х): 5 = 5F + 5i:. A01.12) Коэффициентом отражения г поверхности раздела двух сред называется отношение интенсивности отраженной волны к ин- интенсивности падающей, или, иными словами, отношение средних за период потоков энергии в отраженной и в падающей волнах: г=-=-= (——-) ¦ A01.13) При ni2 = I, т. е. при v\ — V2, отражения, конечно, не происходит. Таким образом, нами определены все параметры, характе- характеризующие отраженную и преломленную волны в случае нор- нормального падения первичной волны на поверхность раздела. Полученные нами выражения совпадают с соответствующими формулами Френеля. 1) Конечно, закон сохранения выполняется не только для средних за пери- период, но и для мгновенных значений потоков энергии.
§ 101 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 487 5. Помимо вывода законов преломления и отражения све- света, которые были известны еще до выяснения его электромаг- электромагнитной природы, изложенная нами теория позволяет установить непосредственное соотношение между коэффициентом прелом- преломления света п и диэлектрической проницаемостью е [формула A01.9)]. В частности, коэффициент преломления диэлектрика относительно вакуума (для которого е = 1) оказывается равным п=у/ё. A01.14) Для некоторых диэлектриков (например, воздух, СО, бензол и т. д.) формула A01.14) действительно подтверждается опытом. Однако для многих веществ эта формула результатам измерений вовсе не соответствует: Вещество Вода Метиловый спирт Этиловый спирт п 1,33 1,34 1,36 9,0 5,7 5,0 Более того, уже самый факт существования дисперсии света, т. е. зависимости коэффициента преломления от длины волны, доказывает несостоятельность формул A01.9) и A01.14), соглас- согласно которым п должно было бы иметь постоянное значение для всех электромагнитных волн. 6. Таким образом, феноменологическая максвеллова теория макроскопического поля приводит, вообще говоря, к неправиль- неправильным значениям показателя преломления. Противоречие это, од- однако, весьма просто разрешается с точки зрения электронной теории микроскопического поля. Действительно, при выводе уравнений макроскопического поля в гл. II мы уподобили мо- молекулы диэлектрика электрическим диполям. Если диполи эти квазиупруги, то они должны обладать собственным периодом колебания. Если этот собственный период близок к периоду све- световых волн, то амплитуда колебаний зарядов диполя, возбуж- возбуждаемых переменным полем световой волны, должна существенно зависеть не только от амплитуды электрического поля вол- волны Е, но также и от периода (или длины) световой волны (резонанс). Стало быть, и амплитуда переменного вектора по- поляризации диэлектрика Р, а вместе с тем и амплитуда вектора электрической индукции D = еЕ должны существенно зависеть от периода или длины световой волны. Таким образом, при уче- учете особенностей микроскопического строения диэлектриков мы должны прийти к определенной зависимости значения диэлек- диэлектрической проницаемости от длины волны, а стало быть, соглас-
488 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII но уравнению A01.14), и к выяснению явлений дисперсии света. Внося же в уравнение A01.14) значение диэлектрической про- проницаемости, измеренное в постоянном или медленно переменном поле, мы можем, очевидно, определить значение показателя пре- преломления лишь для сравнительно длинных электромагнитных волн, период которых весьма велик по сравнению с собственным периодом колебания диполей диэлектрика. Для такого рода волн формула A01.14) действительно подтверждается опытом. В том случае, если молекулы диэлектрика могут быть уподоб- уподоблены твердым диполям, мы встречаемся с явлениями несколь- несколько иного характера. Существенная доля поляризации подобных диэлектриков сводится к повороту осей диполей (т. е. молекул) по направлению поля. В быстропеременных полях оси молекул диэлектрика, обладающих определенным моментом инерции, не успевают следовать за быстрыми изменениями направления по- поля. В результате диэлектрик поляризуется гораздо слабее, чем в постоянном электрическом поле той же напряженности. Поэто- Поэтому значение диэлектрической проницаемости (а стало быть, и значение показателя преломления) в диэлектриках этого класса (вода, спирты и т. д.) быстро падает по мере уменьшения перио- периода колебаний поля, причем это падение наступает при частотах гораздо меньших, чем частоты собственных колебаний квазиуп- квазиупругих молекулярных диполей (например, в некоторых спиртах уже при радиочастотах). Совершенно аналогичным образом объясняется также и тот упомянутый в начале этого параграфа факт, что при изучении световых волн можно считать fj, = 1. Действительно, воспри- восприимчивость диамагнитных веществ всегда столь незначительна, что при определении скорости света по формуле v — с/^/ёЦ от- отличием р, от единицы можно пренебречь. Механизм же пара- парамагнитного намагничения аналогичен механизму поляризации диэлектрика с твердыми диполями; поэтому парамагнитная вос- восприимчивость ус становится практически равной нулю, а прони- проницаемость // равной единице при частотах гораздо меньших, чем частота видимого света. Наконец, намагничение ферромагнети- ферромагнетиков обусловливается изменением направления намагничения в отдельных намагниченных до насыщения вейссовых областях, а также изменением размеров этих областей (см. § 72). Эти процес- процессы также не успевают следовать за изменениями поля световой волны, так что в оптическом отношении ферромагнетики прак- практически не отличаются от диамагнетиков 1). 1) За исключением таких оптических явлений (как, например, эффект Фа- радея вращения плоскости поляризации света в магнитном поле), которые зависят от намагничения, создаваемого в данном теле постоянным магнит- магнитным полем
§ 102 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 489 § 102. Распространение волн в проводящей среде. Отражение света от металлической поверхности 1. В диэлектриках электромагнитные волны распространя- распространяются без затухания, в хороших же проводниках — металлах — электромагнитные волны затухают настолько быстро, что да- даже тонкие слои металлов оказываются непрозрачными для волн. Объясняется это, конечно, тем, что энергия волны переходит по мере ее распространения в джоулево тепло, выделяемое возбуж- возбуждаемыми полем волны токами проводимости. Покажем, прежде всего, что распространение волн в однород- однородном проводнике не связано с возникновением в нем свободных электрических зарядов. Внося в уравнение непрерывности (IVa) выражение (V) для плотности тока и предполагая, что сторонние электродвижущие силы в проводнике отсутствуют, получаем !jjL = -divj = -AdivE = --? divD = -^fp- Решение этого дифференциального уравнения есть p = poexp(-^*Y A02.1) где ро — произвольная постоянная. Следовательно, если даже каким-либо образом внести в про- проводник свободные объемные заряды, то плотность этих зарядов спадет с течением времени по экспоненциальному закону до ну- нуля; чем больше электропроводность А, тем быстрее произойдет это рассасывание зарядов. Электромагнитное поле вообще не мо- может создать в проводнике объемных свободных зарядов, ибо если р = 0 в момент ?о, то, согласно A02.1), оно останется равным ну- нулю и во все последующее время. 2. Рассмотрим монохроматическую волну частоты ш в метал- металле, т. е. положим Е = Е0(ж, У, z)e™\ Н = Н0(х, у, г)ешЬ. Внося эти выражения в уравнения Максвелла (I)-(IV), восполь- воспользовавшись уравнениями (V) и полагая, согласно A02.1), р = 0, получаем после сокращения на elwt. *т)Ео = rot Но' it Но = -r div Но = div Ео = 0. Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений в ди- диэлектриках только тем, что в первом из них множитель ше/с заменяется множителем ше/с+АтгХ/с. Иными словами, эти урав- уравнения совпадут с уравнениями волны в диэлектрике, если в по- последних заменить е на е': e' = e- — i. A02.2)
490 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII Таким образом, в отношении распространения монохромати- монохроматических волн проводник эквивалентен диэлектрику с комплексной диэлектрической проницаемостью е'. Поэтому при рассмотре- рассмотрении волн в металле мы можем непосредственно воспользоваться результатами, полученными в § 100 и 101 для волн в диэлектри- диэлектриках, произведя в формулах этих параграфов замену е на е'. Так, например, волновое (комплексное) число /г' определится в соответствии с A00.4) формулой у2 = eW = ejuS_ 47ГА/ХО, •_ с2 с2 с2 Целесообразно разложить к' на действительную и мнимую части: k' = k-is, k2-s2=e-^-, 2Ь = ^. A02.4) с2 с2 Мы условимся брать для к и s положительные корни этих урав- уравнений. В соответствии с A02.4) и A00.5) поле плоской моно- монохроматической волны в проводнике, распространяющейся вдоль оси z, выражается формулами Е = Еое = Еоес) ., ± , . llUz.o) Н = Uoe-szel(-Mt-kzl Таким образом, комплексность волнового числа к' соответ- соответствует наличию поглощения: амплитуда волны экспоненциально спадает по мере ее распространения. При А = 0 мнимая часть s волнового числа к' обращается в нуль, и затухание волн прекра- прекращается. В соответствии с A00.9) векторы Е и Н волны в проводнике взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распро- распространения волны правовинтовую систему; однако векторы Е и Н обладают в проводнике различными фазами, а не одинаковыми, как в диэлектрике. Действительно, заменив в формуле A00.9) г на е', получим Так как множитель у/е'/ц комплексен, то фаза вектора Н отлична от фазы Е. Подробнее об этом см. в § 103. 3. В § 90, посвященном скин-эффекту, мы тоже изучали пе- периодическое поле в проводнике с тем единственным отличием от нашего теперешнего рассмотрения, что в § 90 мы пренебрегали токами смещения в проводнике по сравнению с токами проводи- проводимости. Так как, согласно § 88, токи смещения в металлах малы по сравнению с токами проводимости вплоть до частот, соответ- соответствующих инфракрасной части спектра [у = w/2tt ~ 10 с),
§ 102 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 491 то результаты настоящего параграфа должны при меньших ча- частотах лишь незначительно отличаться от результатов § 90. Действительно, разрешая уравнения A02.4) относительно к и s, получаем 2 _ A02.6] Как указывалось в § 88, в металлах ей <§: А, т. е. еш <g; 27гЛ вплоть до v ~ 1014 с; поэтому даже в случае световых волн можно в A02.6) пренебречь единицей по сравнению с 47rA/ew. Таким образом, с достаточной степенью точности A02.7) к2 = s2 = что совпадает с выражением (90.5) дляр2. Таким образом, A02.5) практически совпадает с ранее найденным выражением (90.6) для электрического вектора волны в металле. Как отмечалось в § 90, глубина проникновения волны в ме- металл определяется величиной ибо амплитуда волны спадает на этой глубине в е раз по срав- сравнению с амплитудой на поверхности. Так как, согласно A00.7), длина волны, которую мы на этот раз для отличия от проводи- проводимости А обозначим через I, равна 2тг/к и так как к = s, то 6 = I = -L. A02.8) к 2тг Таким образом, на отрезке 5 откладывается только 1/6 часть длины волны, т. е. никакой пространственной периодичности поля волны в металле нет. В качестве иллюстрации приведем следующую табличку глубины проникновения в медь (А = = 5,14 -1017 с~х) полей различной частоты ш; в этой табличке Iq означает длину соответствующей волны в вакууме: Iq = 2пс/со. S Ю-4 см 3,8 • 10~7 см 1 СМ 3,8 • Ю-5 см 100 м = 104 см 3,8- 10~3 см 4. Явления отражения света от металлической поверхности гораздо сложнее, чем отражение на границе диэлектриков; так, например, линейно поляризованная волна при отражении от ме- металла становится эллиптически поляризованной (если угол паде- падения не равен 90°). Мы ограничимся рассмотрением простейшего
492 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII случая нормального падения плоской монохроматической волны из вакуума на поверхность металла. При решении этой задачи мы можем воспользоваться резуль- результатами § 101. Полагая, как и в § 101, что проницаемость среды ц равна единице и, кроме того, что металл граничит с вакуумом, мы должны будем в формулах § 101 заменить ei на 1, а е^ на е'. В частности, показатель преломления п' металла относительно вакуума, согласно A01.9), окажется равным п' = Ve7, A02.9) т. е. будет иметь комплексное значение. Амплитуды электриче- электрического вектора отраженной и преломленной волн при нормальном падении волны на металл определяется формулой A01.10): 1-п' ¦Ео, A02.10) 1 + п' ' v 1+п' Полагая в формулах § 101 к = ко и kg = к' = к — is, получим Ех = 1-п' Eoe —sz+i{wt—kz) A02.11) Ех = ¦*• 1+п' Действительная часть этих комплексных выражений равна 2 cos (ujt — 1-п' 1 + п' 1+П' i cos (uit + Еое sz cos (ut -kz — ф), A02.12) где углы <риф должны быть определены из соотношений 1-п' 1+п' 1-п' о~гЧ> + п' причем, нарример, |1 + п'\ означает модуль комплексной вели- величины 1 + п!. Таким образом, ввиду комплексности п' фазы от- отраженной и преломленной волн не будут, как это имеет место в диэлектриках, совпадать на границе раздела с фазой падаю- падающей волны, а будут сдвинуты относительно нее соответственно на углы (риф. В соответствии с A01.11) и A01.13) средние за период плот- плотности потока энергии в падающей и отраженной волне и коэф- коэффициент отражения г будут равны 8тг 1-п' 1+п' 1-п' + п' A02.14) Так как А для металлов порядка 1016 — 1017 абс. ед. (с 1), то АттХ/и; 3> 1 вплоть до частот видимого света; стало быть, соглас- согласно A02.2) и A02.9), модуль п! также гораздо больше единицы.
§ 103 СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ 493 Поэтому коэффициент отражения металлических поверхностей г близок к единице. Так, например, даже для желтой линии на- натрия г равно 0,95 для Ag , 0,85 для Аи, 0,83 для А1, 0,74 для Си И Т. Д. § 103. Световое давление. Количество движения электромагнитного поля 1. Тела, помещенные в поле световой волны, испытывают в этом поле (как и во всяком электромагнитном поле) механиче- механические (пондеромоторные) силы, которые принято называть све- световым давлением. Световое давление связано с поглощением и отражением света очень простой зависимостью, изучение кото- которой приводит к весьма важным физическим следствиям. Свет, распространяющийся в однородной прозрачной среде, не оказывает пондеромоторного воздействия на эту среду 1), так что давление света связано либо с его поглощением, либо с изме- изменением направления его распространения (отражение, прелом- преломление, рассеяние). Ограничимся рассмотрением простейшего случая нормально- нормального падения света на поверхность металла. Металл при этом ис- испытывает давление в направлении падающей волны. Давление это обусловливается тем, что поле волны возбуждает в металле периодические токи проводимости j, которые подвергаются воз- воздействию лоренцевой силы со стороны магнитного поля той же световой волны. Подсчет величины этого давления мы произведем для слу- случая, рассмотренного в предыдущем параграфе: волна частоты w, электрический вектор которой направлен по оси х, распростра- распространяясь в вакууме вдоль оси z, отражается от поверхности металла z = 0. Электрическое поле Eg внутри металла определяется фор- формулой A02.12); под воздействием этого поля в металле возникнут токи, направленные по оси х, плотность которых будет равна U = ХЩ = —^ Eoe~sz cos (ut -kz- ф). A03.1) l) Это утверждение не совсем точно. Во-первых, даже прозрачная однород- однородная среда испытывает в световом поле стрикционные силы (см. § 32 и 83) плотности: f~ 8тг й*"~ Г дт' ' " дт Однако эти силы пульсируют с удвоенным периодом света и поэтому практи- практически не поддаются наблюдению. Во-вторых, если прохождение света через среду сопровождается поворотом его плоскости поляризации, то элементы объема среды испытывают крутильное воздействие (см. § 104, примечание на с. 503).
494 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Напряженность же магнитного поля внутри металла, согласно A00.9), будет направлена по оси у; полагая в A00.9) /i = 1 и ¦s/e = п' [см. A02.9)], получим на основании A02.11) следующее комплексное выражение для Ну: Положим п' = |п'|е-гх; A03.2) тогда с помощью A02.13) получим 1 + п' |1+п'| ' и, следовательно, действительная часть выражения для Ну равна Щ = |^ EQe-sz cos (ut-kz-ф- х). Плотность f пондеромоторных сил, испытываемых токами A03.1) в магнитном поле волны, определяется формулой F5.1): (проницаемость fi металла считаем равной единице). Вектор f направлен по оси z и численно равен А = 1 хщщ = = 4A|n'j 2 Ele~2sz cos (wi -kz-ф) cos (ut - kz - ф - x); среднее же за период значение этой плотности сил будет равно JZ c|l+n'P u Согласно A03.2) \n'\ cosx равно действительной части комплекс- комплексного показателя преломления п' = у/е'. С другой стороны, со- согласно A02.3) и A02.4), при /х = 1 , г2./2 . е=——, n=ve' = -k— г—. A03.3) ш ш со ш Поэтому |n'|cosx = ск/ш и, следовательно, 7 = 2кХ E2e~2sz Ввиду наличия множителя e~2sz плотность сил fz весьма быстро убывает при удалении от поверхности металла в глубь него, так что силы эти можно считать сосредоточенными на по- поверхности металла и заменить приложенным к этой поверхности
§ 103 СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ 495 давлением р: р= flzdz = — El. о Это давление р равно сумме сил fz, отнесенной к единице по- поверхности металла. Согласно A02.4) при fi = 1, А/а = ксг/Bпи>), и поэтому окончательно р = *!^ El. A03.4) 2. Помимо давления р, связанного с действием лоренцевой си- силы на возбуждаемые в проводнике токи, на поверхность провод- проводника действуют также силы, зависящие от его (действительной) диэлектрической проницаемости е и проницаемости ц. Чтобы не усложнять вычислений, мы положим, что не только //, но и е ме- металла равно единице; тогда формулой A03.4) будет определяться полное давление света на металл *). Покажем, что это давление р отличается только множителем 1/с от суммы средних за период плотностей потока энергии в падающей и отраженной волне: ± ~L~S, A03.5) где S, Sr и г определяются формулами A02.14). Согласно этим Ф°РМУЛаМ 1|r_U+nf + il-nf |1 + п'|2 Далее, согласно A03.3), и / ш2 \ ш I \ ш2 Выражая s2 через к2 с помощью A02.4) и полагая е = у, = 1, получаем 2 |1 + п'|2 + |1-п'|2 = 4^ и, следовательно, 1±I5= 4cfc2 5=cEl 2|1'Р 27гш2|1+п'|2 1)В случае произвольных е и ft, помимо давления A03 4), нужно учесть также давление, обусловленное пондеромоторными силами f = —-{ Однако окончательная формула A03.5) и в этом случае остается справед- справедливой для полного давления на поверхность проводника.
496 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII что действительно отличается от выражения A03.4) для р только множителем с. 3. Формула A03.5) позволяет определить количество движе- движения электромагнитного поля. Эволюция, которую испытало понятие количества движения или импульса, весьма аналогична эволюции понятия энергии. Подобно последнему, понятие количества движения вначале при- применялось только к механическим движениям; при этом оно опре- определялось как произведение массы тела на его скорость. Закону сохранения механической энергии соответствует закон сохране- сохранения механического количества движения. Однако эти законы имеют лишь ограниченную область приложимости. С течением времени понятия энергии и количества движения были обобщены так, что они стали охватывать не только механи- механическую, но и всевозможные другие формы энергии и импульса. Это позволило сформулировать универсальные законы сохране- сохранения энергии и количества движения, учитывающие возможность превращения их из одной формы в другую. В частности, выяс- выяснение того факта, что свет оказывает давление на материальные тела, заставило приписать определенное количество движения и полю электромагнитной волны. Действительно, будем исходить из универсальной примени- применимости закона сохранения количества движения 1). Пусть на пло- плоскую поверхность находящегося в вакууме металлического зер- 1) Заметим, что справедливость закона сохранения количества движения является необходимым условием применимости закона сохранения энергии в произвольной инерциальной системе отсчета В качестве простейшего при- примера рассмотрим упругое соударение двух тел массы тп\ и тп2, скорости которых до и после соударения пусть будут соответственно щ, и2 и Ui, U2 Согласно закону сохранения энергии, miUi + m2u2 = tn\Ui + TT12U2. Измеряя скорости этих тел по отношению к какой-либо другой системе от- отсчета S , равномерно движущейся со скоростью v относительно исходной системы S, получим ui = ui — v, XJ[ = Ui — v и т д Стало быть, и\ = и'\ + + 2uiv + v и т. д Таким образом, предшествующее равенство принимает вид miui2 + m2u22 + 2v(mlUi + m2u'2) = m^'2 + m2U'22 + 2v(miUi + m2U2) Следовательно, закон сохранения энергии будет справедлив в инерциальной системе S' только в том случае, если будет удовлетворяться равенство v(m1u'1 + 7п2и2) = \(mi\J'i + m2U2), ввиду произвольности скорости v системы S' относительно исходной систе- системы § это условие равносильно равенству m2u2 = mi U'i + m2U2, выражающему закон сохранения количества движения Если бы мы исходили не из классической, а из релятивистской механики, то пришли бы к аналогичным соотношениям.
§ 103 СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ 497 кала падает нормально к этой поверхности свет, оказывающий на нее давление р. Если площадь зеркала равна s, то общая си- сила, испытываемая зеркалом, будет равна F = psn, где единич- единичный вектор п совпадает по направлению с падающей волной. Согласно уравнениям механики сила F будет вызывать ускоре- ускорение зеркала, причем механическое количество движения зеркала GM будет изменяться по закону Но если справедлив закон сохранения количества движения, то приращение GM может происходить только за счет соответствую- соответствующего изменения какой-то другой формы количества движения. Так как единственными процессами, сопровождающими в дан- данных условиях ускорение зеркала, являются отражение и погло- поглощение света, то носителем этой другой формы количества дви- движения может быть только свет. Поэтому мы должны приписать электромагнитным волнам определенное количество движения или импульс, G, причем изменение импульса света G в рассма- рассматриваемом процессе должно удовлетворять условию jt (GM + G) - 0, A03.6) т. е. должно равняться dG _ dt ~ Правая часть этого равенства представляет собой, строго го- говоря, не мгновенное значение силы, действующей на зеркало, а значение этой силы, усредненное по периоду световой волны. Поэтому и слева должна стоять производная от среднего за пе- период количества движения поля *): dG — = — psn. dt F Воспользуемся теперь равенством A03.5) и примем во внима- внимание, что поток энергии S в падающей волне направлен по векто- вектору п, а в отраженной обратно п. С помощью A03.5) последнее равенство может быть представлено в следующей форме: — = -- (Sn + Srn)s = -- (S - W)s. dt с с Разделив это уравнение на площадь зеркала s и введя обозначе- обозначение g = G/s, получаем f = -ls + ±W. A03.7) dt с с v 1) Легко убедиться, что производная от среднего значения G по периоду равна среднему по периоду значению производной от G
498 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Естественно истолковать это равенство (доказанное для сред- средних по периоду волны величин) в том смысле, что количество движения электромагнитного поля распределено в пространстве с объемной плотностью g, мгновенное значение которой в каж- каждой точке поля равно [см. уравнение (92.5)]: ^ [EH] A03.8) с* 4тгс Действительно, при этом предположении падающая волна при- приносит за единицу времени к каждой единице поверхности зеркала все то количество движения, которое заключается в объеме поля волны сечением в 1 см2 и длиной в с см (так как, по предположе- предположению, волна распространяется в вакууме, то скорость ее равна с). Это количество движения равно где черта сверху по смыслу должна означать пространственное усреднение по протяжению длины волны, что, однако, равно- равносильно временнбму усреднению по периоду волны. Соответствен- Соответственно отраженная волна уносит за единицу времени от единицы по- поверхности зеркала количество движения: Таким образом, за единицу времени на единице площади зер- зеркала поглощается количество движения cg0 и возникает вновь количество движения cgf, так что общее изменение количества движения света равно что действительно совпадает с A03.7). Итак, подобно тому как давление газа на стенки сосуда объ- объясняется тем, что отражающиеся от стенок молекулы газа пе- передают этим стенкам определенное количество движения, так и давление света на зеркало обусловливается передачей зерка- зеркалу электромагнитного количества движения отражающимся от него светом. 4. Мы показали, что допущение, выражаемое уравнением A03.8), позволяет дать простое физическое истолкование дав- давления света. Это явление, во всяком случае, заставляет приписать полю световой волны определенное количество движения. Допущение же, что электромагнитное количество движения распределено по объему поля с плотностью g, определяемой уравнением A03.8), и что это уравнение применимо к произвольному электромагнит-
§ 104 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 499 ному полю, является одним из основных постулатов теории поля и полностью оправдывается опытом 1). Впрочем, давление света и электромагнитное количество дви- движения настолько малы, что непосредственное опытное их изме- измерение весьма затруднительно. Так, например, зеркало, располо- расположенное на расстоянии 1 м от источника света силой в миллион свечей, испытывает со стороны видимого света этого источника (без учета инфракрасного) давление всего лишь в 10~4 дин/см2. Световое давление было впервые экспериментально обнару- обнаружено и измерено П.Н. Лебедевым в Москве в 1901 г.; как его результаты, так и более точные результаты последующих ис- исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта (до 2%). Давление света играет существенную роль только в двух про- противоположных по масштабам областях явлений — в явлениях астрономических и в явлениях атомарных. Так, например, гра- гравитационное притяжение верхних слоев звезд к их центру в зна- значительной степени уравновешивается давлением светового потока, идущего от центра звезды наружу. Из числа атомарных явле- явлений упомянем «световую отдачу», испытываемую возбужденным атомом при излучении им света, а также родственный давлению света эффект Комптона, заключающийся в том, что 7-лучи пе- передают часть своего количества движения электронам, на кото- которых они рассеиваются, и тем самым сообщают этим электронам большие скорости2). § 104. Электромагнитный момент количества движения. Частный случай статического поля 1. Как понятие электромагнитного количества движения g, так и понятие потока электромагнитной энергии (вектора Пойн- тинга S) было сформулировано на основе изучения переменных (в частности, волновых) полей. Посмотрим теперь на частном х) Это допущение является независимым постулатом теории только по- постольку, поскольку мы не учитываем принципа относительности Исходя же из этого принципа, можно показать, что 4 величины, а именно один скаляр — плотность электромагнитной энергии ги, два вектора — вектор Пойнтинга S и вектор плотности электромагнитного количества движения g и, наконец, тензор натяжений электромагнитного поля Т, представляют собой различ- различные слагающие одного четырехмерного тензора, так называемого тензора энергии и импульса Требования релятивистской инвариантности настоль- настолько ограничивают возможный вид этого тензора, что, например, в случае вакуума, заданием трехмерного тензора натяжений Т в функции от Е и Н однозначно определяются w, S и g 2) Современные квантовые генераторы дают световой луч, который может оказывать значительное давление на макроскопические тела. (Примеч. ред.)
500 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII примере, к каким выводам приводит применение этих понятий к полям статическим. Рассмотрим цилиндрический конденсатор, помещенный в од- однородное магнитное поле Н, параллельное его оси (рис. 86). В пространстве между обкладками конденсатора, помимо магнитного, существует также и радиальное элек- электрическое поле напряженности Е = = 2ет/1г2, где е — заряд на внутрен- внутренней обкладке конденсатора, числен- численно равный, но противоположный по знаку заряду на его внешней об- обкладке, I — длина конденсатора, а г — векторное расстояние точки по- поля от оси конденсатора [см. уравне- уравнение D.5)]. Мы предполагаем, что длина конденсатора настолько больше его диаметра, что краевыми эффектами можно пренебречь, т. е. можно пользоваться формулой D.5), строго справедливой лишь для бесконечно длинного конденса- конденсатора. Далее, для простоты предполагаем, что в полости конден- конденсатора находится газ, отличием диэлектрической проницаемости которого от единицы можно пренебречь. В пространстве между обкладками конденсатора вектор Пойн- тинга отличен от нуля и равен Рис. 86 4тг Линии вектора Пойнтинга, т. е. линии потока энергии, представ- представляют собой концентрические окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси конденсатора. Таким образом, мы приходим к представлению о беспрерыв- беспрерывной циркуляции энергии по замкнутым путям в статическом электромагнитном поле. Представление это не приводит к ка- каким-либо следствиям, могущим быть непосредственно проверен- проверенным на опыте, а потому лишено непосредственного физического смысла. Примем, однако, во внимание, что, согласно A03.8), плот- плотность электромагнитного количества движения g пропорцио- пропорциональна вектору Пойнтинга S 1). Утверждение, что в рассматри- ) Заметим, что соотношение g = —S вытекает из основных положений с2 теории относительности и должно выполняться для любых полей в вакууме, а также и для всех вообще форм энергии и импульса при строгой микроско- микроскопической их трактовке.
§ 104 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 501 ваемом статическом поле локализовано определенное количество движения с объемной плотностью s s ^ является содержательным высказыванием и приводит к след- следствиям, доступным (по крайней мере принципиально) опытной проверке. Правда, общее количество движения всего статического поля в целом по необходимости равно нулю. Однако, зная простран- пространственное распределение электромагнитного количества движе- движения, мы можем определить момент этого количества движе- движения К относительно центра инерции конденсатора по формуле A04.2) которая совершенно аналогична формуле определяющей момент механического количества движения си- системы материальных точек массы тп{ и скорости v,. Если мы раз- разрядим конденсатор, то исчезнет как электрическое поле Е, так и электромагнитный момент количества движения К. На осно- основании закона сохранения момента количества движения мы дол- должны заключить, что система конденсатор+магнит, возбуждаю- возбуждающий поле Н, приобретает в процессе разряда равный К момент механического количества движения. Если, например, магнит за- закреплен неподвижно, а конденсатор может свободно вращаться около своей оси, то в процессе разряда он должен приобрести угловую скорость вращения, равную ш = К/1, где / — момент инерции конденсатора относительно его оси. Этот доступный опытной проверке вывод, вытекающий из предположения о лока- локализации в электромагнитном поле количества движения с плот- плотностью g, может быть подтвержден непосредственным расчетом, к которому мы теперь и перейдем. 2. Применение закона сохранения момента количества дви- движения предполагает, что рассматриваемая система не подвер- подвергается во время разряда действию внешних сил (либо что мо- момент этих сил равен нулю). Это условие будет удовлетворено, если мы предположим, например, что разряд конденсатора про- производится путем приближения к нему радиоактивного вещества, вызывающего ионизацию газа между обкладками конденсатора. Если плотность разрядного тока в газе равна j, то каждый эле- элемент объема газа dV будет во время разряда испытывать силу - [ jH] dV, момент же всех сил, испытываемых газом, будет равен F, A04.3)
502 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII где интегрирование должно быть распространено на все про- пространство между обкладками конденсатора. Благодаря трению между газом и обкладками этот момент будет в конечном счете передан всему конденсатору в целом. Введем цилиндрическую систему координат z, r, а, ось z ко- которой совпадает с осью конденсатора. Если бы магнитного поля не было, то вектор плотности тока был бы радиальным (j = = \jr\)- В магнитном поле Н линии тока благодаря эффекту Холла приобретут спиралевидную форму, и слагающая ja будет отличной от нуля, слагающая же jz ввиду аксиальной симметрии поля останется равной нулю: jz = 0. Далее, ввиду той же симметрии момент N приложенных к газу сил будет направлен по оси z (Nx = Ny = 0). Раскрывая тройное векторное произведение в формуле A04.3), получим Приняв во внимание, что поле Н однородно, что jz — 0 и что поэтому Rj = rj = rjr, получаем JVZ = -^ Ток, протекающий в момент времени t через коаксиальную с конденсатором цилиндрическую поверхность радиуса г, равен J(t) = 2nrljr, причем ток считается положительным, если он направлен от оси конденсатора наружу. Сила тока J(t) не зависит от радиуса г цилиндрической поверхности (мы пренебрегаем возможностью накопления объемных зарядов в полости конденсатораI). Поэтому _ HzJ{t)V г где V — объем полости конденсатора. Наконец, сила тока J(t), протекающего через конденсатор от его внутренней обкладки к внешней, равна быстроте убыли заряда е на внутренней обкладке конденсатора: '<•> - -?¦ Так как векторы N и Н направлены по оси Z, то окончательно N _ НУ de 21 dt 1) Если допустить образование объемных зарядов, то соответственно нуж- нужно видоизменить выражение для напряженности электрического поля в кон- конденсаторе. В результате вновь придем к формуле A04.5).
§ 104 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 503 Механический момент количества движения конденсатора Км будет под воздействием момента сил N изменяться по закону KM N. A04.4) dt 2itcl dt V ; С другой стороны, общий момент количества движения поля внутри конденсатора, согласно A04.2) и A04.1), равен J L &J 2тгс/ J r2 Тройное произведение под знаком интеграла равно [R[rH]] = r(RH)-H(Rr), причем Rr = г2. Поэтому к eHzV Так как из соображений симметрии явствует, что слагающие по осям хну вектора К равны нулю, то, сравнивая последнее уравнение с A04.4), получаем или окончательно d(K + Км) = 0. A04.5) dt к ' Таким образом, мы подтвердили непосредственным подсче- подсчетом, что сумма электромагнитного и механического моментов количества движения остается постоянной во времени, так что при разряде конденсатора в магнитном поле он должен приобре- приобрести равный К механический момент количества движения Км. 3. Рассмотренный пример показывает, что понятие электро- электромагнитного момента количества движения оказывается плодо- плодотворным даже в случае статических полей. Еще бблыную роль играет это понятие при изучении переменных полей, в особенно- особенности поля излучения. Правда, в области макроскопических явлений эксперимен- экспериментальное измерение электромагнитного количества движения и его момента представляет очень трудную задачу ввиду ничтож- ничтожной величины связанных с ними эффектов х). Однако в области атомарных явлений обмен моментом количества движения меж- :)Ср. сказанное в § 103 о давлении света. Экспериментально удалось из- измерить момент количества движения, передаваемый светом кварцевой пла- пластинке при прохождении его через эту пластинку; передача момента связана с вращением плоскости поляризации света в пластинке.
504 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII ду светом и веществом имеет весьма существенное значение. Так, например, излучение света возбужденным атомом, вообще гово- говоря, связано с изменением момента количества движения электро- электронов в атоме, причем это изменение по порядку величины срав- сравнимо с абсолютной величиной момента атома. § 105. Тензор натяжений и пондеромоторные силы электромагнитного поля 1. В § 34 и 84 мы нашли выражение тензора натяжений Т в стационарных электрическом и магнитном полях. Покажем те- теперь, что если допустить применимость этих выражений и в случае произвольного переменного электромагнитного поля, то вытекающие из этого допущения выводы будут находиться в пол- полном соответствии с результатами настоящей главы. В § 34 и 84 мы убедились, что тензор напряжений электромаг- электромагнитного поля Т может быть разложен на сумму «максвеллова» тензора Т" и тензора стрикционных натяжений Т". В дальней- дальнейшем мы для простоты вовсе не будем рассматривать стрикци- стрикционных натяжений Т", приводящих лишь к перераспределению пондеромоторных сил по объему находящихся в поле тел, но не изменяющих результирующей этих сил, и будем отождествлять полный тензор натяжений Т с максвелловым тензором Т'. При этих условиях тензор натяжений Т выразится суммой выраже- выражений C4.2) и (84.4), которую можно представить в следующей форме: Tlk = i- (EtDk + HtBk) - A. MED + НВ). A05.1) 4?Г О7Г Индексы г и А; в этом выражении могут пробегать значения х, у, 2, а величина Stk определяется уравнениями <*н = <*хх = $уу = $zz = 1, Stk = 0 при г ф к. A05.2) Впрочем, удобнее ввести обозначения х = х\, у = Х2, z = хз и придавать индексам гик значения 1, 2, 3. В этих обозначениях формула C3.7), выражающая плотность пондеромоторных сил f, принимает вид Воспользовавшись значениями A05.1) слагающих Тгк, получаем v-^ дТ,к 1 v-^ (-р dDk ,дЕ,п „ дВк ОД R \ ^—* дхк 45г ^—' V дхк дхк дхк дхк t к к 8я- дх,
§ 105 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 505 Последний член получается на основании A05.2): - ~ Е *»? (Е° + нв, = -± s. A (ED + нв) = Примем во внимание, что, согласно максвелловым уравнени- уравнениям (III) и (IV), = dD± dD^ dD1 = d.vB= y дхк дх ду dz *-^ дхк к к Далее, дх, к и, стало быть, dDk Аналогичным образом можно преобразовать и члены 4тг -^ 9zfc 8тг В рассматриваемом нами случае неподвижной изотропной среды связь между Е и D и между Н и В определяется уравне- уравнениями Максвелла (V), и поэтому V l^- = -Е2 ^~ х, k k дх, ) дх, Поэтому Y1 —~ может быть представлена следующим образом: дН, дНк\ о 1 /р2 9е „2 9(i\ finc;Q\ я л—) ак~ -z- \^ Т. г-п — ) . \l\Jb.6) дхк дх, J 55г \ дх, дх,/
506 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII Рассмотрим слагающую выражения A05.3) по оси х. Второй член справа при г = 1 равен \ дхк д ) 4тг \дх2 dxj 4тг \дх3 dx В обычных обозначениях 8x2 дх\ ду дх и _ „ z^z rot ]Б дхз дх\ Следовательно, з = -Dy rotz Е + Dz voty E = [rot E • D]x = [rot E • D]i. Аналогично этому может быть преобразован и третий член спра- справа в A05.3), так что сумма второго и третьего членов равна Ei дЕ = — [rot E • D]i + — [rot H • Blj. 47г 4тг На основании максвелловых уравнений (I) и (II) [rot Е • D] + [rot H ¦ В] = — Далее, _ 1 Гав уЛ 1 F9D г»1 _ 1 с [ dt 1 с [ dt J с L" dt J ' с L dt ~~J с 5i Таким образом, окончательно получаем arifc — «к1 _i_ 1 г;тп ^ /i?2 de , тт2 dfi \ , d ( 1 г-птоЛ ^ phj% Л— U^Jt ( & г tl —— I ¦+- — I — L-^i"J J • A05.4) В рассматриваемом нами случае неподвижной изотропной среды последний член в уравнении A05.4) может быть представлен в следующей форме: d ( 1 гткт>Л _, #g> i еМ ~ ! д r-cixx] dt \4тгс1 4i dt 4тгс dt L J
§ 105 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 507 где вектор g = -L [EH] Лпс означает, согласно уравнению A03.8), плотность количества дви- движения электромагнитного поля. Если ввести еще обозначения ^u A05.5) = -J- (E2 grade + tf2gradM) + 2pi §- [EH], A05.6) О7Г 47ГС ОТ то уравнение A05.4) примет вид Первый член справа /> равен слагающей по оси i плотности пондеромоторных сил, действующих на свободные заряды р и на электрические токи j. Второй член справа в A05.4) f^2) представ- представляет собой плотность пондеромоторных сил, действующих на среду (т. е. на диэлектрики и магнетики). Действительно, в ва- вакууме е = fj, = 1 и поэтому, согласно A05.6), в вакууме fB) = О1). Кроме того, в постоянном поле последний член в уравнении A05.6) равен нулю и определенный этим уравнением вектор дей- действительно совпадает с суммой вторых членов формул C2.10) и (83.5) для плотности сил, действующих на диэлектрики и магне- магнетики. 2. Если обозначить через f полную плотность пондеромотор- пондеромоторных сил: f = fA)+fB), A05.8) где f(x) и fB) определяются уравнениями A05.5) и A05.6), то уравнение A05.4) примет вид ?? <10М> к В стационарных полях dgi/dt = 0 и это уравнение совпадает с C3.7); в переменных полях оно отличается от C3.7) членом 1) Последний член в выражении A05.6) носит название плотности силы Абрагама. Ее появление частично связано с силовым действием магнитно- магнитного поля на ток смещения. Недавно сила Абрагама была обнаружена экспе- экспериментально (Nature. 1975. V. 253. Р. 3307). Наличие силы Абрагама да- дает основания для выбора тензора энергии-импульса в диэлектрике в виде, предложенном Абрагамом. Вопрос о тензоре энергии-импульса в среде об- обсуждается уже около 70 лет, но сейчас он в значительной мере выяснен (см. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. 3-е изд. — М.: Физмат- лит, 1987). (Примеч. ред.)
508 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII dgjdt, учитывающим изменение во времени плотности электро- электромагнитного количества движения g. Этот дополнительный член обеспечивает сохранение суммы количества движения матери- материальных тел и электромагнитного поля. Действительно, проинтегрируем уравнение A05.9) по всему пространству, предполагая, что слагающие электромагнитного тензора натяжений достаточно быстро убывают по мере удале- удаления в бесконечность. Интеграл правой части уравнения A05.9) при этих условиях обратится в нуль, ибо, например, при г = 1 дТху dTxz дТху д дхк дх ду dz ' и, стало быть, согласно уравнению, непосредственно предшест- предшествующему уравнению C3.7): V где поверхностный интеграл должен быть взят по поверхности S объема V и при удалении этой поверхности в бесконечность обратится, по предположению, в нуль. Таким образом, получаем или, переходя от слагающих к векторам и заменяя частную про- изводную по времени полной (ввиду того, что под знаком — сто- dt ит интеграл по всему пространству, зависящий только от t): С другой стороны, изменение механического количества движе- движения GM всех находящихся в пространстве тел определяется рав- равнодействующей всех пондеромоторных сил: ^ = f dt J fdV. dt Поэтому последнее равенство равносильно равенству =0, A05.10) которое и выражает собой закон сохранения полного количества движения (механического плюс электромагнитного). Важное уравнение A05.9) устанавливает в самой общей фор- форме связь между плотностью пондеромоторных сил f, количе- количеством движения поля g и натяжениями Тг^.
§ 106 ПРИМЕР НЕКВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 509 § 106. Пример неквазистационарных токов: волны вдоль кабеля 1. В гл. VI мы подробно рассмотрели свойства квазистацио- квазистационарных переменных токов. Теперь же рассмотрим на частном примере свойства быстропеременных токов, к которым теория, изложенная в гл. VI, вовсе неприменима Это рассмотрение мы будем вести методом последовательных приближений, основан- основанным на учете следующего обстоятельства. Как мы убедились в § 90, быстропеременные токи практиче- практически полностью сосредоточиваются на поверхности проводников (скин-эффект) в слое толщины 6: Л — I — с AП6 11 где ш — циклическая частота тока, а А — электропроводность проводника. Той же величиной 6 определяется и глубина проникновения переменного поля в толщу металла. Так как при возрастании ш толщина 8 стремится к нулю, то при рассмотрении токов вы- высокой частоты можно в первом приближении положить 6 = 0, т. е. считать токи поверхностными, что чрезвычайно облегчает решение задачи. В частности, плотность поверхностного тока i однозначно определяется в этом приближении тангенциальны- тангенциальными слагающими магнитного поля Н у внешней поверхности про- проводника, ибо поле внутри проводника при 8 = 0 равно нулю, и пограничное условие (V) (§ 91, с. 425) принимает поэтому вид ^i = [nH], A06.2) где п — внешняя нормаль к поверхности проводника. Однако в этом первом приближении вовсе не учитываются потери энергии тока на джоулево тепло: пренебрегая проникно- проникновением поля внутрь проводника, мы тем самым пренебрегаем вы- выделением в нем джоулева тепла = [?м Можно сказать, что в этом первом приближении проводник счи- считается идеальным, т. е. обладающим бесконечно большой про- проводимостью А, или, иными словами, что в этом приближении пренебрегается сопротивлением проводника, а вместе с тем и по- потерями на джоулево тепло. Действительно, при А = оо обраща- обращается в нуль как толщина 6, так и джоулево тепло Q, что будет видно из второго приближения. Так как в конкретных задачах, встречающихся в экспери- экспериментальной и технической физике, потери на джоулево тепло
510 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII отнюдь не малы и пренебрегать ими никак нельзя, то необхо- необходимо после решения первого приближения перейти ко второму. В этом втором приближении для поля вне проводников принима- принимаются значения, полученные в первом приближении; эти значения служат граничными условиями для определения поля внутри проводников, определив которое, можно найти и выделяемое то- токами джоулево тепло, а вместе с тем и затухание волн вдоль проводников. 2. В качестве конкретного примера рассмотрим быстропере- менные токи в кабеле, состоящем из двух коаксиальных цилин- цилиндрических проводников: внешнего полого, радиус внутренней по- поверхности которого пусть равен гг, и внутреннего сплошного — радиу- радиуса 7"i (рис. 87). Предположим, что пространство между этими про- проводниками заполнено однородной непроводящей средой, обладающей диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. В первом приближении пренебре- пренебрежем сопротивлением кабеля, т. е. будем считать проводники кабеля Рис. 87 идеальными. Тогда внутри провод- проводников переменное поле будет равно нулю и все токи полностью сосредоточатся на поверхности про- проводников. При этих условиях поле во внутренней полости кабеля будет, очевидно, совершенно независимым от поля во внешнем пространстве. Введем цилиндрическую систему координат г, a, z, в которой ось z направлена по оси кабеля, а г и а суть полярные коорди- координаты в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Ввиду предпо- предполагаемой аксиальной симметрии кабеля поле в нем также будет аксиально симметричным, т. е. напряженности поля Е и Н и плотность поверхностных токов i от полярного угла а зависеть не будут. По той же причине направление токов в кабеле должно совпадать с направлением его оси (\iz\ = г, %а — 0). Следовательно, пограничное условие A06.2) примет вид при г = п —%]_ = [niHjz, [niH]a = 0; С при г = гг -^ h = [п2Н]г, [п2Н]а = 0, где i\ и 12 — соответственно плотности поверхностных токов на первом и втором цилиндрах, a ni и п2 — внешние нормали к их поверхностям. Легко убедиться, что эти уравнения могут быть
§ 106 ПРИМЕР НЕКВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 511 записаны в следующей форме: при г = п — гг = Яа, Hz = 0, 4* A06-3) При Г = Г2 — 12 = — Яа, #г = 0. с Далее, из пограничных условий (II") и (III') и из допущения, что переменное поле внутрь проводников не проникает, следует, что у поверхности этих проводников Ea = Ez = Hr = 0. A06.4) Наконец, из пограничного условия (IV) следует, что при г = n Dr = еЕт = 47ГСТ1, -106 При Г = Г2 -Dr = еЕГ = —47ГСГ2- Условия A06.4) и часть условий A06.3) будут удовлетворе- удовлетворены, если предположить, что во всем пространстве между об- обкладками кабеля отличны от нуля лишь радиальная слагающая Ег вектора Б и азимутальная слагающая На вектора Н. Найдя соответствующее решение уравнений Максвелла, мы ввиду одно- однозначности этих уравнений можем быть уверены, что это решение и есть единственное искомое решение рассматриваемой пробле- проблемы. 3. Итак, положим, что Ea = Ez = Hz = Hr = 0, Ег = So (г, z)elu\ На = Я0(г, г)еш\ A00.6) где ш есть циклическая частота тока, а функции Е$ и Н$ зависят лишь отгиг, но не от а и t. Пользуясь формулами B2*) и C2*), выражающими дивер- дивергенцию и ротор произвольного вектора а в цилиндрической системе координат, убеждаемся, что выражения A06.6) тожде- тождественно удовлетворяют третьему уравнению Максвелла div В = fj, div H = 0 (по предположению, р, и е суть величины постоянные) и что урав- уравнение Максвелла (IV) принимает вид д{гЕр) _п дг откуда Ео = 4М, A06.7) где A(z) есть функция одной лишь координаты z. Далее, внося выражение A06.6) в основные уравнения (I) и (II): -—-=rotH и ?— = -rotE, с at с dt
512 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII получим по сокращении на еш1 — Е° =—Z~-> 0= - — {гНо), —-#о =——. A06.8) с дг г дг с dz Остальные же три уравнения для слагающих, соответствую- соответствующие векторным уравнениям (I) и (II), выражениями A06.6) удо- удовлетворяются тождественно. Из уравнений A06.83) и A06.8i) получим д2Е0 _ дг2 с dz с2 °' Введя, согласно уравнению A00.4), обозначение k = ^t k = с2 ' с и приняв во внимание уравнение A06.7), получаем откуда где Ао и А'о — произвольные постоянные интегрирования. Внося это в уравнения A06.6) и A06.7), получаем окончатель- окончательно тр _ Ао i(ut-kz) , А'о i(ut+kz) XV7. — с ~Т~ С . г г Первый член этого выражения представляет собой волну, рас- распространяющуюся в положительном направлении оси z, а вто- второй—волну, распространяющуюся в обратном направлении. Волны эти независимы друг от друга, так что мы можем огра- ограничиться рассмотрением лишь одной из них, например первой, т. е. положить А'о = 0 и Er = ^-^ut-kz\ A06.9) г Внося это выражение в уравнение A06.8з), получим после простых преобразований J^^ ei{"t-kz)_ (Ю6.10) Это выражение, как легко видеть, удовлетворяет также и первым двум уравнениям A06.8). Нам остается еще выяснить связь между напряженностью волнового поля в кабеле и плотностью поверхностных зарядов
§ 106 ПРИМЕР НЕКВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 513 и токов на его обкладках. Внося выражения для Ег и На в урав- уравнения A06.3) и A06.5), получим А *\ A06.11) 2 ' Г2 Переходя к вещественным частям комплексных выражений и приняв во внимание, что общая сила токов 3\ и J2, протекаю- протекающих по поверхности цилиндрических проводников кабеля, рав- равна произведению поверхностной плотности тока на окружность проводника, получим окончательно J\ = %\ - 27ГП = */- —- cos (u>t — kz) = —ii ¦ 2ъг2 — —Зъ- Таким образом, в каждый данный момент t в каждом сечении кабеля силы токов, протекающих по внутреннему и внешнему проводникам кабеля, равны по величине и противоположны по знаку (т. е. по направлению). Подобным же образом найдем, что величина зарядов щ и >г2, приходящихся на единицу длины цилиндрических проводников кабеля, равна Я\ = О\ ¦ 27ГГ1 = 5_2 COS (u>t — kz) = —G2 ' 27ГГ2 = — УС2- 4. Итак, в пространстве между обкладками кабеля распро- распространяются электромагнитные волны, свойства которых во мно- многих отношениях совпадают со свойствами рассмотренных нами в § 99, 100 волн шаровых и волн плоских. Действительно, из приведенных выражений следует, что векторы Б и Н взаим- взаимно перпендикулярны, перпендикулярны к направлению волны и образуют с этим направлением правовинтовую систему. Да- Далее, значения этих векторов удовлетворяют уравнению A00.10), энергия поля — уравнению A00.11) и т. д. Наконец, скорость рас- распространения волн в кабеле удовлетворяет ранее установленному уравнению A00.6) U) С V = — = к т. е. определяется свойствами непроводящей среды, заполняю- заполняющей пространство между обкладками кабеля. Таким образом, проводники, образующие кабель, играют, в сущности, лишь роль направляющих поверхностей, определяю- определяющих направление распространяющейся в диэлектрике волны и препятствующих рассеянию электромагнитной энергии в окру- окружающее пространство: при распространении волны вдоль кабе- кабеля ее амплитуда не уменьшается, и следовательно, вся энергия 17 И. Е. Тамм
514 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII волны передается вдоль кабеля без потерь (ведь сопротивлением кабеля мы пренебрегли). Роль направляющей поверхности в из- известной мере может играть не только кабель, но и обыкновенный одножильный провод, что технически используется, например, при телеграфировании по проводам токами высокой частоты. 5. Перейдем теперь ко второму приближению, учитывающе- учитывающему проникновение поля в проводники кабеля. Впрочем, практи- практический интерес представляют не точные значения поля в провод- проводниках кабеля, а только потери энергии и затухание волны при ее распространении вдоль кабеля, рассмотрением которых мы и ограничимся. Если толщина проводящего ток слоя 8 — 1/р [уравнение A06.1)] много меньше радиуса кабеля г\ и гг, то кривизна поверхности проводников кабеля не будет сказываться на распределении то- токов в проводящем слое. Поэтому мы можем воспользоваться ре- результатами § 90, относящимися к случаю плоской поверхности проводника. Согласно (90.7), 3 - Зае~рС cos (ut-pQ, где jo означает амплитуду объемной плотности тока на поверх- поверхности проводника ? = 0, а ? — координату, направленную нор- нормально в глубь проводника х). Если заменить это объемное рас- распределение токов поверхностным, то плотность эквивалентного поверхностного тока i нужно, очевидно, положить равной оо оо * = / Jd( = jo I e'P<cos(ut-pQdC = -^= cos (ut- ? оо р где мы распространили интегрирование до ? = оо, ибо при боль- больших ? плотность тока благодаря фактору е~р^ исчезающе мала. Таким образом, амплитуда эквивалентного поверхностного тока равна Далее, вычисляя количество джоулева тепла, выделяемого за единицу времени в поверхностном слое проводника площадью в 1 см2, и усредняя найденное значение по периоду поля, получим -*« = А, 0 0 1) Фаза плотности тока, помимо f, зависит также от координаты г, отсчи- отсчитываемой вдоль оси кабеля. Так как, однако, значение фазы не сказывается на значении усредненных по времени величин q, Q и т. д , то мы эту зави- зависимость учитывать не будем.
§ 106 ПРИМЕР НЕКВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ 515 или, выражая jo через г$: д=г^. A06.12) Эта формула выражает тепловые потери в быстропеременных полях через амплитуду поверхностной плотности тока, для опре- определения которой достаточно решить задачу о распространении волн вдоль проводников в первом приближении, считая провод- проводники идеальными. В частности, из A06.12) непосредственно вы- вытекает формула (90.16) для омического сопротивления цилин- цилиндрического провода быстропеременным токам. 6. В случае кабеля го определяется формулами A06.11) и, например, на внутренней поверхности кабеля равно Следовательно, на единице длины внутреннего проводника ка- кабеля, поверхность которой составляет 2кг\ см2, выделяется за единицу времени теплота Ql = 27ГП 2Ai где индекс 1 у А и р означает, что эти величины относятся к внутреннему проводнику. Аналогичное выражение получается и для теплоты Q2, выде- выделяемой во внешнем проводнике кабеля, так что полная величина тепловых потерь на единицу длины кабеля равна A06.13) Подсчитаем теперь средний за период поток энергии S, пере- переносимый волной за единицу времени через сечение кабеля: Г2 ? = 2 =— [Ё~Щг<1г, 47Г J Г1 Г! где Sz означает составляющую вектора Пойнтинга S = — [ЕН] и где учтено, что в первом приближении, согласно A06.6), Нг = = Еа = 0. Переходя при определении произведения ЕтНа к действи- действительным частям комплексных выражений A06.9) и A06.10), по- получаем - кг) = ч Д ^-. 17*
516 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII Поэтому ~ |1п^. A06.14) п В первом приближении, как мы видели, амплитуда волны оказывается постоянной, так что волна при распространении не затухает. Однако тепловые потери Q должны вызвать затухание волны, т. е. должны повести к зависимости ее амплитуды А о от z. Эта зависимость может быть определена из того факта, что выделяемая за единицу времени на отрезке кабеля длины dz теплота Qdz должна равняться разнице потоков энергии через два сечения кабеля, ограничивающие этот отрезок: — dz) =Qdz, dz J или — = -Q. A06.15) dz Внося в это соотношение значения Q и ? из A06.13) и A06.14), получаем после простых преобразований и после подстановки значений A06.1) постоянных р\ и рг: где s ~ а V 5? й^м \7г V лГ + 72 V TJ ¦ A06-16) Таким образом, при учете тепловых потерь амплитуда рас- распространяющейся вдоль кабеля волны затухает по закону Ао = e-szaQ, A06.17) где ао — постоянная. Заметим, что полученное нами приближенное выражение A06.16) для коэффициента затухания s совпадает в предельном случае больших частот w с результатом точного, математически очень сложного, решения задачи. 7. Согласно A06.16), коэффициент затухания волн s пропор- пропорционален квадратному корню из их частоты. Поэтому, напри- например, при передаче речи на большие расстояния по телефонным проводам речь искажается, так как отдельные ее гармоники (от- (отдельные члены разложения звука в ряд Фурье по синусоидаль- синусоидальным функциям времени) передаются с разной интенсивностью. Об этом см. также § 107, с. 520. Из A06.16) следует, что если радиус гг внутренней поверх- поверхности внешнего проводника кабеля существенно превышает ра- радиус п внутреннего проводника, то коэффициент затухания s
§107 ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 517 в значительно большей степени зависит от электропроводности Ai этого внутреннего проводника, чем от электропроводности Аг внешнего проводника кабеля. Однако это справедливо лишь при условии 1 Пм ^ 1 r2 Как раз обратное соотношение имеет место, например, в слу- случае погруженного в море одножильного изолированного провода (морской кабель), когда роль внешнего проводника играет мор- морская вода. Так как электропроводность морской воды несрав- несравненно меньше электропроводности металлов, то затухание волн высокой частоты в одножильном морском кабеле целиком опре- определяется электропроводностью воды и практически не зависит от электропроводности металлического проводника. § 107. Приближенная теория быстропеременных токов. «"Уравнение телеграфистов» 1. Исследование различных случаев распространения волн вдоль проводников связано, вообще говоря, с известными мате- математическими трудностями. Поэтому в электротехнике быстрых токов при рассмотрении подобного рода вопросов прибегают ино- иногда к упрощенному и, в сущности, весьма нестрогому способу рассуждений, который, однако, при определенных условиях, от- относящихся к конфигурации проводников и частоте волн, приводит к правильным результатам. Состоит этот способ в следующем. Чтобы применить к быстропеременным токам, в сущности, вовсе неприменимую к ним теорию токов квазистационарных, рассматривают не всю цепь тока в целом, а отдельные малые ее участки длины dz и предполагают, что теория квазистационар- квазистационарных токов применима к каждому такому отдельному участку. Если R* есть сопротивление единицы длины проводника, то для отрезка длины dz закон Ома в той его форме, которая при- применима к постоянным токам: может быть записан следующим образом: dz, dz ибо — dz равно разности потенциалов на концах отрезка dz. В dz приближенной теории, о которой идет речь, предполагается, что для переменных токов справедливо аналогичное соотношение R*dzJ = -d^dz- -L*dz—, A07.1) dz c2 dt
518 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII отличающееся от предшествующего лишь последним членом, учитывающим электродвижущую силу индукции [ср. уравнение G8.2)]. В этом члене L* означает «самоиндукцию единицы длины проводника» (ср. § 81, с. 380), a L* dz — самоиндукцию отрез- отрезка dz. При этом делается допущение, что и в случае перемен- переменного поля, не обладающего потенциалом, первый член правой части приведенного уравнения имеет определенный физический смысл, а именно, что этим членом учитывается мгновенное куло- ново поле электрических зарядов проводника. Далее, предпола- предполагается, что мгновенное значение потенциала этих зарядов опре- определяется соотношением где и и С* суть соответственно заряд и емкость единицы длины проводника [ср. уравнение (9.2)]. На основании этого соотноше- соотношения уравнение A07.1) по сокращении на dz может быть записано следующим образом: R*J=-± (SL)-±L*E1. (Ю7.2) dz \C'J с2 dt v ' Чтобы исключить из этого уравнения величину х-, восполь- воспользуемся уравнением непрерывности. Пусть участок проводника dz ограничен сечениями S и S', координаты которых обозначим соответственно через z и z + dz. Сила тока в проводе будет, вооб- вообще говоря, изменяться по его длине, т. е. будет функцией коор- координаты z. Если за единицу времени через сечение S протека- протекает J единиц электричества, то через сечение S" будет протекать «7-1 dz единиц. Стало быть, величина заряда xdz, находящего- OZ ся в рассматриваемом участке провода, уменьшается за единицу времени на — dz единиц, откуда следует: dz <*И - -Ё1 dt ~~ dz' Дифференцируя A07.2) по t и затем исключая из него dx/dt, получим окончательно ^ ±(±f) A07.3) Это и есть искомое приближенное уравнение неквазистацио- нарного переменного тока. Если С* от z не зависит, то A07.3) принимает вид !i*?2 + fl*^ = J_?!Z. A07.4) с2 dt2 dt С dz2 v ' Это последнее уравнение носит название уравнения телегра- телеграфистов и применяется в технике, например, при расчете распро-
§ 107 ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 519 странения телеграфных сигналов по проводам, распределения токов в антеннах и т. д. 2. Как вытекает из изложенного, приведенный вывод уравне- уравнения A07.3) основан на ряде допущений, которые, вообще гово- говоря, действительности не соответствуют. Сами понятия емкости и самоиндукции единицы длины не имеют однозначного смысла, ибо, например, потенциал данной точки проводника, даже при стационарном распределении зарядов, должен зависеть не толь- только от линейной плотности зарядов х в этой точке, но и от рас- распределения зарядов по всей длине проводников. Можно, однако, показать, что если поперечные размеры I системы проводников удовлетворяют неравенствам \fi с ш У u>fi' где А — электропроводность проводников, а \х — их магнитная проницаемость, и если проводники достаточно прямолинейны х), то уравнения A07.3) представляют собой хорошее приближение к действительности. На общем рассмотрении этого вопроса мы останавливаться не будем и ограничимся тем, что покажем применимость уравнения A07.4) к частному случаю цилиндрического кабеля, рассмотрен- рассмотренному нами в предыдущем параграфе. 3. Предположим, что величины L*, С* и R* постоянны вдоль всего провода. Рассмотрим переменный ток частоты ш: где A(z) от t не зависит. Внося это выражение в уравнение A07.4), сокращая его затем на егиЛ и умножная на С*, получаем <FA{z) 2 где и2 = ^E^l - iuR*C*. A07.5) с2 Общее решение этого уравнения есть где Jo и Jo суть произвольные постоянные интегрирования, опре- определяющие амплитуды двух волн, распространяющихся по про- проводу во взаимно противоположных направлениях. Достаточно, 2) Проводники должны приближенно иметь форму прямых цилиндров произвольного сечения, причем радиус кривизны осей цилиндров должен быть велик как по сравнению с /, так и по сравнению с длиной электромаг- электромагнитной волны в вакууме.
520 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII очевидно, рассмотреть одну из этих волн, т. е. положить, напри- например, Jq = 0; в этом случае сила тока в кабеле равна: = Joeч ;. [Hji.o) Полагая u = k-is, A07.7) где к и s вещественны, получаем из A07.5): к1 -s2 = U'L'3C', 2ks = u>R*C*. A07.8) С Таким образом, к и s имеют одинаковые знаки; для опреде- определенности выберем для них знак положительный. Внося A07.7) в A07.6), получаем откуда следует, что коэффициент затухания волны равен s, а ее фазовая скорость равна v = ? = _|?_. A07.9) Наконец, из A07.8) получаем 2с2 ,w- ¦ v-T,2 - - (W7.10) При определении зависимости величин v и s от ш необходимо иметь в виду, что омическое сопротивление проводника быстро- переменным токам, согласно (90.16) и (90.5), прямо пропорцио- пропорционально квадратному корню из частоты тока ш; следовательно, R* = pv/^ A07.11) где р от ш не зависит 1). Предоставляем читателю доказать, что как фазовая скорость распространения волн v, так и их коэффициент затухания s мо- монотонно возрастают с частотой волны ш и что при достаточно больших частотах, удовлетворяющих условию ^ ^1, (Ю7.12) величины эти приближенно равны е cR* [с* ср [шС /irwio\ v — . - и 5 = \ — = — \ • A07.13) 1) В отличие от R* емкость С* от ш не зависит, а V стремится к постоян- постоянному пределу при и) —> оо (см. § 90).
§ 107 ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ 521 Таким образом, при со —» оо фазовая скорость стремится к посто- постоянному пределу, тогда как коэффициент затухания возрастает как Для того чтобы по возможности уменьшить искажение речи при теле- телефонировании по проводам на дальние расстояния, необходимо обеспечить выполнение в области акустических частот условия A07.12), ибо при этом условии достигается независимость фазовой скорости волн от частоты (ко- (коэффициент же затухания неизбежно возрастает с частотой). На практике выполнение условия A07.12) обеспечивается обыкновенно повышением са- самоиндукции линии путем включения в нее на известных промежутках спе- специальных катушек самоиндукции (так называемые пупиновы катушки). 4. Нам остается показать на примере цилиндрического кабе- кабеля, что расчет быстропеременных токов в нем с помощью урав- уравнения телеграфистов A07.4) совпадает с результатами, получен- полученными нами в § 106 на основе более строгой теории. Нетрудно убедиться, что в любом сечении кабеля в любой момент времени быстропеременный ток, текущий по внутренне- внутреннему проводу, должен быть равен по величине и противоположен по направлению току, текущему по внешней обкладке кабеля 1). Поэтому к рассматриваемому случаю применимы результаты ре- решения примера 2 в § 81 2), откуда следует, что самоиндукция единицы длины идеального кабеля должна выражаться уравне- уравнением (81.9) С другой стороны, обкладки кабеля образуют собой цилин- цилиндрический конденсатор, емкость которого на единицу длины, со- согласно (9.2), равна С* * 21n(r2/ri)' если в пространстве между цилиндрами нет диэлектрика, и, 1) Действительно, благодаря скин-эффекту поле не проникает внутрь про- проводников. Поэтому циркуляция §HS ds магнитного вектора по окружности, проходящей внутри внешнего проводника и охватывающей оба тока, равна нулю. Так как из уравнения (88.2) следует уравнение L S и так как током смещения jCM можно пренебречь по сравнению с током про- проводимости j (см. § 88), то алгебраическая сумма сил токов, протекающих через любое сечение S кабеля, должна в любой момент равняться нулю. 2)В этом примере мы считали кабель состоящим из двух коаксиальных полых цилиндрических проводящих поверхностей, что благодаря скин-эф- скин-эффекту допустимо при больших частотах.
522 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII стало быть, равна С* = если между цилиндрами находится среда диэлектрической по- постоянной е. Таким образом, C*L* = ец. Далее, сопротивление единицы длины кабеля слагается из со- сопротивления обоих его проводов и, согласно (90.16), равно д* _ Pi + Р2 _ 1 П? (}_ //fT+_L Пп\ с V 2тг \Г1 V Xi г2 V -W ' 27rr2A2 с V 2тг \Г1 V Xi г2 где Ai, fi\ и Аг, Д2 суть соответственно проводимость и магнит- магнитная восприимчивость внутреннего и внешнего проводников кабе- кабеля. Внося эти значения L*, С* и R* в уравнения A07.13), спра- справедливые при достаточно больших частотах [условие A07.12)], получаем V s S что действительно полностью совпадает с A06.16). § 108. Свободная энергия ферромагнетиков. Гистерезис 1. Вопрос об энергии намагниченных ферромагнетиков не имеет прямого отношения к содержанию этой главы. Однако мы не могли рассмотреть этот вопрос в предшествующих гла- главах потому, что для его выяснения необходимо воспользоваться понятием потока электромагнитной энергии, с которым мы по- познакомились только в § 92. Рассмотрим неподвижный ферромагнетик объема V и по- поверхности S, окруженный неферромагнитной средой. Посколь- Поскольку ферромагнетик неподвижен, то пондеромоторные силы над ним работы не совершают, и энергия может поступать из окру- окружающего пространства через поверхность S внутрь занимаемо- занимаемого ферромагнетиком объема V только в двух формах: в форме тепла и в форме электромагнитной энергии. Стало быть, изме- изменение за время dt полной энергии WaonH, локализованной внутри объема V, равно = Q-dt- SsndS. A08. Здесь Q обозначает теплоту, поглощенную ферромагнетиком за время dt из окружающей среды, a Sn — проекцию вектора Пойн- тинга S на внешнюю нормаль п поверхности ферромагнетика 5; поэтому второй член справа равен количеству электромагнитной энергии, поступившей за время dt извне, через поверхность 5, внутрь объема V (см. § 92).
§ 108 СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 523 К окружающей ферромагнетик неферромагнитной среде при- применимы результаты § 92; поэтому вектор Пойнтинга S в этой среде, а стало быть, и на внешней поверхности ферромагнетика равен S = f [EH]. 4п Чтобы связать значения вектора Пойнтинга на поверхности ферромагнетика с электромагнитным полем внутри него, вос- воспользуемся тем, что основные уравнения Максвелла остаются применимыми и в ферромагнетиках; нарушается применимость только уравнения В = дН и выражения электромагнитной энер- энергии (VI). Умножая максвеллово уравнение (I) на —Е, а уравне- 4% ние (II) на—Ни складывая, получаем J_E — +JE+ — Н— = — (BrotH-HrotE) = -— div[EH]. 47г dt 4iv dt 4iv 4iv Проинтегрировав это уравнение по объему ферромагнетика V и применив ко всем членам полученного таким образом уравнения, кроме последнего члена слева, те же преобразования, что и в § 92, получаем - [Sn-dS = -?-?- feE2dV + ±- fn™ J 8тг dt J 4тг J dt S Предположим, что сторонние электродвижущие силы в ферро- ферромагнетике отсутствуют (Естр = 0). Ограничимся, далее, рас- рассмотрением бесконечно медленного изменения состояния ферро- ферромагнетика; при этом условии выделяющимся в ферромагнетике джоулевым теплом можно пренебречь. Действительно, плотность токов j, сопровождающих данное изменение состояния тела, обратно пропорциональна времени t, в течение которого проис- происходит это изменение: . de —г / где de — количество электричества, протекшего в течение всего процесса через единицу сечения тела. Поэтому джоулево тепло — dt, выделенное в единице объема тела за все время процесса, А обратно пропорционально длительности процесса t: j2dt~tj2~±. Таким образом, при сделанных предположениях можно пре- пренебречь последним интегралом справа в выражении для потока электромагнитной энергии, так что уравнение A08.1) приобретает
524 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII вид 2 dWnom = Q + d ?f-dV + ± TAdBdV. J 8тг 47Г J Из полной энергии И^олн) локализованной в объеме ферромаг- ферромагнетика, можно выделить электрическую энергию: лххг — fjl щ- L / fF/ HV I — О A- — H*fR rIV И 08 21 В дальнейшем мы будем рассматривать только энергию W, а не Wll0J1H, и будем для краткости называть ее энергией ферро- ферромагнетика. Однозначное же выделение из W магнитной энергии невозможно, ибо последний член справа в уравнении A08.2) не является в ферромагнетиках полным дифференциалом характе- характеризующих его состояние величин. Впрочем, мы покажем в дальнейшем, что если в ферромагне- ферромагнетике отсутствует гистерезис, то из его свободной энергии можно рациональным образом выделить свободную энергию магнитно- магнитного поля [см. уравнение A08.6)]1). 2. До сих пор наши рассуждения носили совершенно общий характер. Для дальнейшего же необходимо раздельно рассмо- рассмотреть среды, обладающие магнитным гистерезисом и не обла- обладающие таковым. Допустим сначала, что среда не обладает ни гистерезисом, ни «постоянным» намагничением, т. е. что напря- напряженность магнитного поля Н в среде является однозначной функ- функцией магнитной индукции В и температуры Т (при заданном объеме или плотности среды) и что Н = 0 при В = 0. Это имеет место не только в диа- и парамагнетиках, но и в чи- чистых недеформированных ферромагнитных монокристаллах 2) l) Возмоясность выделения электрической энергии из Ц^полн обусловлена тем, что при выводе теоремы Пойнтинга мы пренебрегли зависимостью ди- диэлектрической проницаемости среды от температуры и вообще возможными изменениями значения е. Только благодаря этому мы смогли в § 92 принять, что „_ л я Е ар _ 1 а 2 dt 2 dt В общем же случае, при учете зависимости е от состояния среды, зависи- зависимость энергии среды от электрического поля вполне аналогична ее зависи- зависимости от магнитного поля; отличие состоит только в том, что в диэлектри- диэлектриках (за исключением сегнетоэлектриков) нет электрического гистерезиса. В общем случае выражение D 4тг J E=D=0 аналогичное выражению A08.6), определяет собой свободную энергию элек- электрического поля. 2)В лишенных гистерезиса анизотропных средах значение Н зависит не только от величины и направления вектора В, но и от ориентации осей кристалла относительно этого вектора.
§ 108 СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 525 и, наконец, с достаточной степенью точности осуществляется в некоторых сортах мягкого железа и в некоторых технических сплавах (например, в пермаллое). В случае отсутствия гистерезиса процесс намагничения сре- среды (при условии достаточной его медленности) протекает обра- обратимо. Количество теплоты Q, поглощенное телом при обрати- обратимом процессе, как известно, равно Q = TdS, где Т — абсолютная температура, a dS — приращение энтро- энтропии тела S. Внесем это выражение для Q в A08.2) и предполо- предположим, кроме того, что уравнение это, доказанное для изменения энергии W всего ферромагнетика, остается справедливым и для изменения энергии каждого из элементов его объема. В результа- результате получим следующее уравнение для изменения плотности w энергии ферромагнетика: dw = Tds + — Н<Ш, A08.3) 47Г где s означает удельную энтропию единицы объема тела. Для многих целей удобно выразить плотность энергии w че- через свободную энергию единицы объема ф, связанную с w из- известным термодинамическим соотношением ф = го-Тз. A08.4) Из A08.3) и A08.4) следует основное для интересующего нас кру- круга вопросов соотношение dф = -sdT+ —HdB. A08.5) 4тг Пусть фо{Т) означает плотность свободной энергии среды при Н = В = 0. Интегрируя уравнение A08.5) при постоян- постоянной Т от В = 0 до произвольно заданного значения В, получаем в ф = фо(Т) + — / (Н)г с©- 47Г J Н=В=0 Ввиду однозначной зависимости Н от В и Т интеграл справа является однозначной функцией параметров состояния В и Т. Таким образом, при отсутствии гистерезиса плотность свободной энергии среды может быть разложена на часть фо(Т), зависящую только от температуры и нас здесь не интересующую, и на часть (H)TdB, A08.6) н=в=о
526 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII которая и называется плотностью свободной энергии магнит- магнитного поля. В частном случае пара- и диамагнетиков Н = A///)В и A08.8) эквивалентно уже знакомому выражению = — В2 = — НВ = *?-. A08.7) В ферромагнетиках же, даже не обладающих заметным гистере- гистерезисом, зависимость Н от В, а следовательно, и фи от В, вообще говоря, весьма сложна. Так как работа пондеромоторных сил магнитного поля, со- совершаемая в изотермическом процессе, равна убыли в этом про- процессе свободной энергии магнитного поля, то, зная фи, можно определить и пондеромоторные силы магнитного поля (ср. § 83). 3. Заметим, что часто плотностью свободной энергии ферро- ферромагнетика называют не величину ф, определенную уравнениями A08.4) и A08.5), а величину ф', равную Так как В = Н + 4тг1, то Hd = d(—) + HdI, и поэтому на основании A08.5) dip' = d Сф - —) = -sdT + T&dl. A08.8) Еще чаще плотностью свободной энергии ферромагнетика на- называют величину ф" = ф'- IH, полный дифференциал которой равен di/>" = -sdT-IdH. A08.9) и которой, действительно, часто удобнее всего пользоваться в приложениях. Эта путаница в терминологии весьма прискорбна; существенно, однако, что величины ф, ф' и ф" являются рав- равноправными характеристическими функциями состояния среды в смысле термодинамики, т. е. являются однозначными функ- функциями состояния среды, и приращения, испытываемые ими при произвольном процессе, являются полными дифференциалами в переменных, характеризующих состояние среды. В качестве та- такой переменной может быть выбрано наряду с температурой Т либо В, либо I, либо Н. Этим трем возможностям соответствует
§ 108 СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 527 выбор в качестве характеристической функции состояния одной из величин ф, ф' и ф" 1). 4. Если среда обладает гистерезисом, то между Н и В не существует однозначной функциональной зависимости, процесс намагничивания протекает необратимо, и состояние среды не может быть однозначно охарактеризовано такими параметрами, как В, Н, Т, ибо оно существенно зависит не только от мгновен- мгновенного значения этих параметров, но и от предыстории среды. По- Поэтому к средам с гистерезисом применима лишь формула A08.2), но не формула A08.3) и последующие. Ограничимся кратким рассмотрением гистерезиса в тех слу- случаях, когда данный ферромагнетик уже неоднократно подвер- подвергался в прошлом намагничению и размагничению. Пусть намагни- намагничивающее поле Н достигало при этом в двух противоположных направлениях (например, по оси х против этой оси) некоторого мак- максимального значения Нма,кс. В этом случае состояние ферромагнетика при последующих изменениях Н в пределах от Ямакс до -ЯмаКс и обратно (при условии, что Н остает- остается параллельным и антипараллель- антипараллельным оси х) может быть, как извест- известно, изображено диаграммой рис. 88. Каждому значению напряженности поля Н соответствуют в данном случае два значения индукции В в зависимости от того, предшествова- предшествовали ли этому полю Н' поля меньшие (точка а) или большие (точка Ь). Таким образом, точка, изобра- изображающая на диаграмме Н — В состояние ферромагнетика, про- пробегает при изменениях поля замкнутую петлю гистерезиса в направлении, указанном на рис. 88 стрелками. Если система совершит полный цикл, т. е. если изображаю- изображающая ее состояние точка, пробежав всю петлю гистерезиса, вер- Рис. 1)Это вполне аналогично тому, что в обычной теории уравнений состоя- состояния и фазовых переходов можно в качестве независимых переменных вы- выбрать либо температуру Т и объем системы V, либо Т и давление р. Соответствующими характеристическими функциями являются свободная энергия Ф, причем d4> = —SdT — pdV, и термодинамический потенциал Ф = Ф + pV, причем d& = —SdT + Vdp. Равновесие, как известно, соот- соответствует минимуму Ф (если заданы Т и V) либо минимуму Ф (если зада- заданы Тир). Совершенно так же, как доказываются эти положения, можно доказать, что устойчивое состояние магнетика определяется- 1) минимумом функции ф, если заданы Т и индукция магнитного поля В, либо 2) миниму- минимумом функции ф', если заданы Т и намагничение магнетика I, либо, наконец, 3) минимумом функции ф", если заданы Т и Н.
528 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. VII нется в исходное положение, то система вернется в исходное состояние (предполагается, что процесс происходит при посто- постоянной температуре). В частности, входящая в уравнение A08.2) энергия ферромагнетика примет в конечном состоянии исходное значение. Поэтому, интегрируя уравнение A08.2) вдоль замкну- замкнутой петли гистерезиса, получаем = ~ fdV(f>HclB, A08.10) где — ^2Q означает алгебраическую сумму количеств теплоты, отданных ферромагнетиком внешней среде в течение полного цикла. Интеграл ф Н с© существенно положителен, ибо в боль- большей части цикла Н и В параллельны друг другу х), следователь- следовательно, и — Y1Q> так называемое тепло гистерезиса, также положи- положительно. Если обозначить через q тепло гистерезиса, отнесенное к единице объема ферромагнетика, то A08.10) можно представить в следующем виде: q= — = (f>HdI. A08.11) Последнее равенство написано на основании того, что раз- разность HdBHdI = Н<Щ = — Ж2 8 HdBHdI Н<Щ 47Г 47Г 87Г является полным дифференциалом и, следовательно, интеграл этой разности по замкнутой петле гистерезиса равен нулю. § 109. Общая характеристика теорий близко- и дальнодействия 1. В этом заключительном параграфе главы мы постараем- постараемся подвести некоторые итоги сказанному об основных отличиях различных теорий электричества и о сущности воззрений на при- природу электромагнитных явлений, лежащих в основе этих теорий. В господствовавших до середины прошлого столетия теориях дальнодействия роль основного, первичного понятия играло по- понятие электрической субстанции (зарядов). Все электромагнит- электромагнитные явления сводились к взаимодействию зарядов на расстоя- расстоянии (actio in distans) и притом взаимодействию мгновенному. Иными словами, предполагалось, что силы взаимодействия как покоящихся, так и движущихся зарядов (токи) в каждый мо- момент времени определяются распределением и состоянием дви- движения этих зарядов в тот же момент времени. Допускалось, 1) Учитывая анизотропию ферромагнетика, правильнее сказать, что в большей части цикла Н и В составляют острый угол.
§ 109 ТЕОРИЯ ВЛИЗКОДЕЙСТВИЯ И ДАЛЬНОДЕЙСТВИЯ 529 что силы эти могут зависеть не только от скорости, но и от уско- ускорения зарядов, от производной силы тока по времени и т. п.; су- существенно лишь, чтобы силы взаимодействия однозначно опре- определялись мгновенным значением этих физических величин. Та- Таким образом, в теориях дальнодействия понятие поля играет роль вспомогательного понятия, к пользованию которым, при желании, можно вовсе не прибегать. Типичными примерами за- законов дальнодействия являются закон Кулона A.3) и закон ме- механического взаимодействия элементов тока D3.1) Fia = ^ Ria, F12 = 4# [ds2[dsiR12]]. Наоборот, в классической фарадей-максвелловской теории близкодействия роль основного первичного понятия играет по- понятие поля, понятия же заряда и тока низводятся в ранг вторич- вторичных вспомогательных понятий, характеризующих свойства поля (§ 91, с. 423). С этой точки зрения все электромагнитные явле- явления заключаются в изменениях поля и подчиняются дифферен- дифференциальным уравнениям в частных производных, связывающим значения электромагнитных векторов в смежных точках про- пространства в смежные моменты времени (близкодействие) 1). Соответственно этому всякое изменение или, как принято го- говорить, возмущение поля, возникающее в данном участке про- пространства, оказывает непосредственное воздействие лишь на смежные с ним участки поля. Таким образом, всякое электро- электромагнитное возмущение постепенно передается от точки к точке и требует конечного времени для своего распространения (ко- (конечная скорость распространения). Именно эта фарадей-максвелловская концепция электромаг- электромагнитных явлений лежала в основе столь характерных для физики XIX столетия попыток механического истолкования этих явле- явлений и сведения их к деформациям и движениям гипотетической упругой среды — эфира. 2. Однако если отвлечься от вопросов истолкования и от за- задачи создания наглядной картины явлений, то по фактическому содержанию отличие теории близкодействия от теории дально- дальнодействия сводится, в сущности, к вопросу о скорости распро- распространения электромагнитных возмущений (§ 97). Поэтому спор между теориями близкодействия и дальнодействия может быть разрешен (и был разрешен) лишь путем экспериментального изу- изучения быстропеременных полей, характер явлений в которых существенно зависит от скорости распространения электромаг- электромагнитных возмущений (скорость света, скорость радиотелеграф- *)Так, например, значения пространственных производных div и rot в каждой точке поля зависят исключительно лишь от значений соответствую- соответствующих векторов в смежных точках пространства. 18 И. Е. Тамм
530 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII ных сигналов и т. п.). Явления же в стационарных полях, как мы неоднократно указывали, могут быть одинаково хорошо ис- истолкованы с точки зрения обеих теорий. Совершенно неправильно, например, встречающееся иногда утверждение, что теория дальнодействия не может учесть ро- роли среды в электромагнитных явлениях, ибо в действительности для этого вполне достаточно постулировать наличие в молекулах среды элементарных зарядов и токов. В частности, вся теория диэлектриков и магнетиков, изложенная нами в главах II и V, может быть полностью сохранена в теории дальнодействия. На- Наконец, законы квазистационарных токов также могут быть уло- уложены в рамки теории дальнодействия, ибо индукционное взаи- взаимодействие квазистационарных токов определяется их взаимным расположением и мгновенным значением производной силы то- тока по времени [см. § 78, в частности уравнение G8.3), а также вторую половину § 97]. 3. Обратимся теперь к вопросу об электромагнитной энергии. В теории дальнодействия под электромагнитной энергией подразумевается, конечно, не энергия поля, а энергия взаимо- взаимодействия зарядов или токов. Этому пониманию энергии вполне соответствует форма наших уравнений A5.5) и G9.6): ifc ik Вопрос о локализации энергии в пространстве теряет при этом всякий смысл, ибо общая энергия слагается из отдельных членов, каждый из которых выражает энергию взаимодействия определенной пары зарядов или токов, определяемую мгновен- мгновенным состоянием этих зарядов или токов, находящихся в различ- различных участках пространства1) . Напротив, в теории близкодействия под электромагнитной энергией понимается энергия поля, которая считается вполне определенным образом локализованной в пространстве. Это значит, что теория вполне определенным образом отвечает на во- вопрос о количестве энергии, находящейся в каждом данном участ- участке пространства, причем объемная плотность энергии определя- определяется уравнением (Via) (см. § 92): еЕ2 , цН2 w = Ь -—. 87Г 87Г В пределах стационарных и квазистационарных полей обе эти точки зрения одинаково хорошо согласуются с данными опыта, *)В частности, под собственной энергией заряда (или тока) понимается энергия взаимодействия тех элементов заряда (или нитей тока), на которые может быть разложен данный заряд (или ток) (см. § 16 и 81)
§ 109 ТЕОРИЯ БЛИЗКОДЕЙСТВИЯ И ДАЛЬНОДЕЙСТВИЯ 531 ибо, как мы видели, формулы A5.5) и G9.6) в этих полях мате- математически эквивалентны формуле (Via). Однако в быстропере- менных полях эквивалентность этих формул нарушается, а факт конечной скорости электромагнитных возмущений, в связи с за- законом сохранения энергии, решает вопрос в пользу локализации энергии в поле. Пусть, например, в момент to со станции А послан радиотеле- радиотелеграфный или световой сигнал. Это значит, что некоторое коли- количество неэлектромагнитной энергии перешло в энергию электро- электромагнитного излучения. Пусть станция В в момент t\ восприняла этот сигнал. Это значит, что в этот момент в В выделилось неко- некоторое количество энергии, принесенной из А электромагнитны- электромагнитными волнами. Эта энергия могла, например, пойти на приведение в движение реле (прием радиосигнала) или на разложение бро- бромистого серебра (прием светового сигнала на фотографическую пленку) и т. п. Если расстояние между Аи В равно R, то промежуток t\ — t0 между подачей и приемом сигнала должен равняться R/c. Если длительность сигнала мала, то существует такой промежуточ- промежуточный момент t' (to <t' <t\), когда в В сигнал еще не воспринят, тогда как в А процесс излучения уже закончился и все пришло в состояние, соответствующее уменьшившемуся благодаря излу- излучению запасу энергии. Где же в это время находится энергия, излученная станцией Л? Если мы не хотим отказаться от принципа сохранения энер- энергии, то на этот вопрос можно ответить только в том смысле, что значение электромагнитной энергии определяется не мгно- мгновенным распределением токов и зарядов, а состоянием поля и что отданная на станции А энергия в момент ?0 переходит в энер- энергию электромагнитного поля излучения. Энергия эта распро- распространяется в пространстве вместе с распространением поля и лишь впоследствии, в момент t\, частично устанавливается стан- станцией В. 4. Итак, факт конечной скорости распространения электро- электромагнитных возмущений подтверждает предположение о лока- локализации энергии в электромагнитном поле и доказывает несос- несостоятельность теорий дальнодействия. Однако из этого вовсе не вытекает, что единственно правильными являются воззрения классической теории поля с ее отрицанием субстанционально- субстанционального существования зарядов. Действительно, в § 94—96 мы пока- показали, что электромагнитное поле однозначно определяется рас- распределением зарядов и токов проводимости, при том, правда, непременном условии, что распределение это известно не толь- только для рассматриваемого, но и для предшествующих моментов времени (запаздывающие потенциалы). На этом именно обстоя- обстоятельстве и базируется современная электронная теория, являю- 18*
532 ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ VII щаяся своего рода синтезом теорий дальнодействия и фарадей- максвелловской теории поля. С классическими теориями дальнодействия ее роднит призна- признание первичной физической реальности электрической субстанции. Заряд не есть просто термин, характеризующий некоторые спе- специфические особенности поля в данной точке пространства, напротив, поле может возбуждаться только зарядами и их дви- движением. Наиболее ярким выражением родственных теориям дальнодействия представлений о субстанциональности электри- электричества является характерный для электронной теории постулат об атомистическом строении электричества, совершенно чуж- чуждый последовательной фарадей-максвелловской концепции. С точки зрения электронной теории, первичный смысл понятия поля сводится к тому, что с помощью этого понятия облегча- облегчается изучение основного вопроса о силах, действующих на за- заряды; изучение поля есть лишь промежуточный этап решения задачи о взаимодействии зарядов С другой стороны, электрон- электронная теория восприняла из фарадей-максвелловской теории поля принцип конечности скорости распространения поля (т. е. рас- распространения взаимодействия зарядов). Поэтому, с точки зре- зрения электронной теории, можно говорить лишь о своего рода запаздывающем дальнодействии зарядов и токов (запаздываю- (запаздывающие потенциалы), а не о дальнодействии мгновенном, как это предполагалось теориями прошлого века. Впрочем, о запаздывающем дальнодействии в применении к электронной теории можно говорить лишь весьма условно. Элек- Электронная теория не только сохраняет для вакуума систему урав- уравнений Максвелла, удовлетворяющих принципу близко действия, но и считает эти уравнения для вакуума (дополненные членами, учитывающими плотность зарядов и токов, создаваемую элемен- элементарными электрическими зарядами) справедливыми также и для микроскопического поля в произвольной среде. Из всех уравне- уравнений поля вытекает принцип конечности скорости распростране- распространения поля, из которого, как мы видели, в свою очередь следует, что носителем электромагнитной энергии является электромаг- электромагнитное поле. Из того же принципа, как легко показать, вытека- вытекает также, что поле является носителем не только определенной энергии, но и определенного количества движения, или импуль- импульса, о котором шла речь в § 103-105. Таким образом, и в элек- электронной теории понятие поля из ранга понятия вспомогательно- вспомогательного (облегчающего решение задачи о взаимодействии зарядов) в конечном счете возводится в ранг объективной реальности (но- (носителя энергии и импульса).
ГЛАВА VIII ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ § 110- Дифференциальные уравнения поля в движущихся средах 1. В предыдущей главе (как, впрочем, и в большей части всей вообще книги) мы ограничились рассмотрением электромагнит- электромагнитного поля в тех случаях, когда все находящиеся в поле тела неподвижны. Таким образом, результаты гл. VII, строго говоря, неприменимы ни к явлениям в динамо-машинах и электромото- электромоторах, в которых имеются вращающиеся части, ни к отражению света от движущегося зеркала, ни к целому ряду других важ- важных явлений и процессов. Правда, сущность процессов, происхо- происходящих, например, в электромоторе, может быть понята на основе фактов, изложенных в гл. VI, однако развитие последовательной теории электромагнитных явлений в движущихся средах явля- является, конечно, совершенно необходимым. Последовательная теория этих явлений может основываться только на эйнштейновской теории относительности. Мы, однако, не будем предполагать, что читатель обладает достаточным зна- знакомством с этой теорией, а потому ограничимся рассмотрением только медленно движущихся сред. При этом под медленными движениями мы будем подразумевать движения, скорость кото- которых и весьма мала по сравнению со скоростью света с: ^«1. A10.1) Другими словами, мы будем пренебрегать всеми эффектами, про- пропорциональными квадрату и старшим степеням отношения и /с. Дело в том, что теория медленно движущихся сред может быть в основном построена на базе классических, дорелятивистских физических представлений, так что нам придется заимствовать из теории относительности только два соотношения A11.8) и A11.9). Точная же теория эффектов, пропорциональных ( — 1 , целиком основывается на теории относительности. Вместе с тем условие A10.1) медленности движения материальных сред вы- выполняется в громадном большинстве практически интересных явлений и процессов (ведь с = 3 ¦ 105 км/с!). 19 И Е Тамм
534 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII 2. Будем исходить из микроскопических уравнений электро- электромагнитного поля: rot Нм - ± ^ = ^ jM, div EM = [? ° (И0.2) divHM = ^ , M где индекс «м» означает микроскопическое значение соответ- соответствующей величины. Уравнения эти справедливы при любом дви- движении элементарных электрических зарядов и, стало быть, при любом движении материальных тел, в состав которых входят эти заряды. Нашей задачей является получение из A10.2) уравнений макроскопического поля в движущихся средах. Усредняя уравнения A10.2) по физически бесконечно малым объемам, как мы это делали, например, в § 26 и 62, используя со- соотношения типа B5.2) и вводя обозначения [ср. уравнение F2.6)] Ё~м = Е, Нм = В, A10.3) получаем 1 6Е 47Г - A10.5) rotE+i—=0, A10.6) 0. A10.7) Разложим, как мы это делали в § 26 и 60, микроскопические плотности зарядов и токов ри и jM на плотности, соответствую- соответствующие свободным и связанным зарядам: Ри = Рсъоб "Ь А;вяз1 Jm = Jcbo6 "Ь Jcbh3 [см. уравнения B6.2) и F0.1); в последнем из этих уравнений мы изменили обозначения jnp и jM0JI соответственно HajCB06 и jCM3]. Далее, приравняем средние плотности, соответствующие свобод- свободным зарядам, макроскопическим плотностям зарядов и токов [ср. § 26 и 61, в частности уравнение F1.3)]: Рсвоб=Р> Jcbo6=J- A10.8) Таким образом, получаем ^м=Р + Рсвяз1 JM=J+JcBa3- A10.9) В случае покоящихся сред нами было показано, что ар Рсвяз = - divP, .квяз = crot I + ~, A10.10) at где Р означает поляризацию, а I — намагничение среды. Дей- Действительно, первое из этих уравнений совпадает с B1.2) и B6.3).
§ 110 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ 535 Что же касается второго из уравнений A10.10), то в случае по- постоянного во времени поля оно совпадает с выражениями F1.9) для jM0JI; в случае переменного поля к jM0JI нужно еще прибавить член др д —— ~~ —— у Р V — СВЯЗ СВЯЗ учитывающий смещение зарядов, связанных с молекулами ди- диэлектрика [ср. уравнение (88.7)]. В случае покоящихся сред наряду с уравнениями A10.10) справедливы также следующие соотношения [ср. уравнения B0.6) и F0.2)]: * A10.11) где суммирование распространено на все связанные заряды, на- находящиеся в единице объема среды. Любую пару уравнений A10.10) или A10.11) можно рассматривать как определение век- векторов Р и I; физический смысл имеет только утверждение, что векторы Р и I, определяемые одной из пар этих уравнений, удов- удовлетворяют также и другой паре этих уравнений. Однако в случае движущихся сред обе пары уравнений A10.10) и A10.11), как оказывается, не могут быть одновремен- одновременно справедливыми. Поэтому в теории движущихся сред можно либо сохранить уравнения A10.10), видоизменив при этом соот- соответствующим образом уравнения A10.11), либо, наоборот, сохра- сохранить уравнения A10.11) и видоизменить уравнения A10.10). Первый вывод уравнений поля в движущихся средах из урав- уравнений A10.2) электронной теории был дан Лоренцем, избравшим второй из указанных путей, в 90-х годах. Точнее говоря, Лоренц сохранил для движущихся сред определения A10.11) векторов Р и I с тем уточнением, что под v, в этих уравнениях надо по- понимать скорость связанных зарядов относительно среды, в со- состав которой они входят, а не относительно наблюдателя. Что же касается уравнения A10.10), то, по Лоренцу, единственное изме- изменение, которое нужно внести в них в случае движущихся сред, заключается в замене I на I -\— [Ри], где и — скорость среды относительно наблюдателя. Однако теория Лоренца, естественно, не учитывала основных положений теории относительности, еще не существовавшей в прошлом веке, и поэтому оказалась противо- противоречащей как теории относительности, так и опыту (даже в трак- трактовке некоторых эффектов первого порядка относительно и /с). Делленбах в 1919 г.1) показал, как нужно видоизменить рас- рассуждения Лоренца, чтобы, следуя избранному им пути построе- 1) Делленбах // Ann. d. Physik. 1919 V 58. P. 523 (см. также Паули В В. Теория относительности. — М.- Наука, 1991. § 34). 19*
536 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII ния электродинамики движущихся сред, учесть вместе с тем тре- требования теории относительности. Мы, однако, изберем другой путь построения электродинамики движущихся сред, непосред- непосредственно примыкающий к обычной трактовке этой проблемы в теории относительности и вместе с тем носящий более феноме- феноменологический характер. А именно, мы, во-первых, сохраним для движущихся сред уравнения A10.10), рассматривая эти уравне- уравнения как определения векторов Р и I и, во-вторых, отказавшись для движущихся сред от уравнений A10.11), вовсе не будем рас- рассматривать явной зависимости поляризации Р и намагничения I от координат и скоростей элементарных зарядов типа уравнений A10.11), а непосредственно установим зависимость Р и I от век- векторов поля Е и В. 3. Итак, мы будем рассматривать уравнения A10.10) как определение векторов Р и I. Чтобы доказать непротиворечи- непротиворечивость этого определения, достаточно воспользоваться уравнени- уравнением непрерывности (IVa), которое в применении к средней плот- плотности связанных зарядов и токов может быть записано так: |pCM3+divjCM3 = O. A10.12) Очевидно, что при любой зависимости рСВяз от координат и времени всегда можно найти бесконечное множество векто- векторов Р, удовлетворяющих первому из уравнений A10.10). Внося это уравнение в A10.12), получаем ~didivP + div^CE« = 0) или div Отсюда следует, что вектор }связ — &Р [dt может быть прирав- приравнен ротору вспомогательного вектора I. Именно это следствие и выражается вторым из уравнений A10.10). На основании A10.8) и A10.10) уравнения A10.4) и A10.5) принимают вид rotB - I ^Е = ^ j + 47rrotl + — 2?, divE = 47r/9-47rdivP. с dt с J с dt С помощью обычных обозначений D = E + 4ttP и Н = В-4тг1 A10.13) эти уравнения можно записать в форме , хх 1 дТ> Air . m rOtH J ГО div D = 47iy>, (IV) совпадающей с уравнениями (I) и (IV) гл. VII. Из (I) и (IV) сле- следует уравнение непрерывности divj = -|. (IVa)
§ 111 ПОЛЯРИЗАЦИЯ И НАМАГНИЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 537 Вместе с тем уравнения A10.6) и A10.7) совпадают с уравнения- уравнениями (II) и (III) гл. VII: I^ = 0, (II) с от divB = 0. (Ill) Таким образом, дифференциальные уравнения Максвелла оказываются без всяких модификаций применимыми не только к покоящимся, но и к движущимся средам [и притом вне всякой зависимости от того, выполняется или не выполняется условие медленности движения A10.1)]. Впрочем, этот результат пока имеет чисто формальный ха- характер и обусловливается просто-напросто тем, что мы сохра- сохранили для векторов Р, I, D и Н прежние определения A10.10) и A10.13). Дифференциальные уравнения Максвелла (I)-(IV) теряют характер формальных определений и приобретают кон- конкретное физическое содержание только при условии присоеди- присоединения к ним дополнительных соотношений типа (V) (см. § 91), связывающих между собой значения основных векторов элек- электромагнитного поля. Установлению этих соотношений посвящен следующий параграф. 4. Отметим в заключение, что в то время как дифференци- дифференциальные уравнения Максвелла (I)—(IV) остаются справедливыми для движущихся сред, вытекающие из них граничные условия для векторов поля несколько изменяются (ср. § 91): RotH = [п(Н2 - Нх)] = ^ i - ^ (D2 - DO, (Г) С С (IT) (Ш') Div D = D2n - I>in = 4тгст, (IV) где vn — проекция скорости элемента поверхности раздела на нормаль. § 111. Конвекционный ток. Поляризация и намагничение движущихся сред 1. В этом параграфе мы рассмотрим зависимость поляриза- поляризации среды, ее намагничения и макроскопической плотности то- тока от напряженности поля. Начнем с плотности тока. Согласно A10.8) и F8.4), J = Jcbo6 = (,Pv/cbo6) где, очевидно, под v нужно понимать скорость свободных элек- электрических зарядов относительно наблюдателя. Точнее говоря,
538 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII предполагается, что все отсчеты положения и движения зарядов, материальных тел и различных сред производятся в некоторой определенной инерциалъной системе отсчета, которую мы услов- условно называем неподвижной и считаем связанной с наблюдателем (см. § 77). Кратко это выражается словами: «скорость относи- относительно наблюдателя». Конечно, все инерциальные системы равноправны. Однако результаты этого параграфа носят приближенный характер и справедливы лишь в случае достаточной медленности движения среды относительно наблюдателя [условие A10.1)]. Иными сло- словами, они справедливы лишь в таких инерциальных системах, скорость которых относительно находящихся в поле материаль- материальных тел много меньше скорости света. Обозначим через v' скорость зарядов относительно того эле- элемента среды, в состав которой они входят. Тогда где и — скорость элемента среды относительно наблюдателя. Внося это в предыдущее уравнение, получаем j = Осевое = p(v' + и)своб = С^Освоб + п/эсвоб, ибо скорость среды и как величину макроскопическую нужно считать постоянной во всех точках физически бесконечно мало- малого объема, по которому производится усреднение в предшествую- предшествующих формулах. Воспользовавшись обозначением A10.8) для рсвоб и введя обозначение jnp = (^Освоб, AП.2) для плотности тока проводимости получаем j = ^u+jnp. A11.3) Первый член в этой формуле ри называется плотностью кон- конвекционного, или переносного, тока и учитывает тот факт, что свободные заряды среды плотности р движутся (переносятся) вместе со средой с ее скоростью и. Так, например, ток, обуслов- обусловленный движением заряженного диэлектрика, полностью сво- сводится к конвекционному току, ибо ток проводимости jnp в этом случае отсутствует. Действительно, согласно определению A11.2) плотности тока проводимости, этот ток обусловливается движе- движением свободных зарядов относительно среды (скорость v'), а в диэлектрике это движение невозможно. В случае покоящихся сред ток проводимости, согласно C8.1) или (V), равен jnp = A(E + ECTP), A11.4) где А — электропроводность среды. При обобщении этого урав- уравнения на случай движущихся сред необходимо учесть, что на за- заряды, увлекаемые средой со скоростью и, действует не сила еБ,
§ 111 ПОЛЯРИЗАЦИЯ И НАМАГНИЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 539 а лоренцева сила е fЕ + — • Н J. Так как речь идет о макро- макроскопической величине jnp, то при замене в A11.4) вектора Е на Е + — • Н нужно под Н понимать среднее значение микроско- микроскопической напряженности Нм, согласно A10.3) равное В. Други- Другими словами, в движущихся средах сила, действующая на заряды среды, определяется не электрическим полем Е, а эффективным полем: Е*=Е+["-в]. A11.5) Таким образом, в движущихся средах вместо A11.4) получаем jnp = А(Е* + Естр) = А (Е + [Н . в] + Естр) . A11.6) Строго говоря, сумму в скобках нужно было бы еще допол- дополнить членом — • В , ибо полная скорость свободных зарядов, L с J согласно A11.1), равна v = u + v'. Учет этого члена соответству- соответствует учету эффекта Холла (см. § 45), которым ввиду его малости мы пренебрежем. Совокупность уравнений A11.3) и A11.6) определяет зависи- зависимость макроскопического тока от векторов поля, от р, от прово- проводимости и скорости среды. Впрочем, уравнения эти справедливы лишь для медленно движущихся сред [условие A10.1)]. 2. Переходим к поляризации Р и намагничению I среды. В случае покоящихся сред эти величины следующим образом за- зависят от Е и В [см. уравнения B2 6), F3.1) и F3.2)]: A11.7) (индекс 0 означает, что соответствующие величины относятся к покоящейся среде). Как и в гл. VII, мы ограничимся случаем, когда постоянных магнитов и ферромагнетиков в поле нет, и бу- будем считать материальные постоянные е и \х не зависящими ни от напряженности поля, ни от скорости среды. Обобщение уравнений A11.7) на случай медленно движущих- движущихся сред гласит: ([])?Н)[Ч <ш-8> Выражения эти могут быть получены из соответствующих фор- формул теории относительности, если в этих формулах пренебречь величиной и2/с2 по сравнению с единицей. Мы, однако, не бу- будем приводить теоретического обоснования выражений A11.8)
540 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII и A11.9), а будем считать их данными опытом и лишь укажем наглядный физический смысл некоторых из членов, входящих в эти выражения. Первый член выражения A11.8) непосредственно получается из выражения A11.7) для Ро путем замены Е напряженностью эффективного поля Е* [уравнение A11.5)], что попросту озна- означает учет наряду с электрической силой еЕ также и лоренцевой силы, действующей в магнитном поле на связанные заряды ди- диэлектрика, движущиеся со скоростью и. Последний член выражения A11.9) также имеет простой смысл — он учитывает магнитное поле, создаваемое движением поляризованного диэлектрика. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть простейший случай, экспериментально исследован- исследованный русским ученым А.А. Эйхенвальдом. Круглый эбонитовый диск вращался вокруг своей оси между обкладками конденсато- конденсатора, представлявшими собой два плоских металлических кольца (рис. 89). Однородное (в первом приближении) поле Е конден- конденсатора вызывало равномерную поляризацию диска Р, перпенди- перпендикулярную его плоскости. Таким образом, объемная плотность связанных зарядов внутри диэлектрика равнялась нулю, на верхней же и на нижней поверхностях дис- диска сосредоточивались, согласно B1.2), свя- связанные поверхностные заряды плотности 47Г Движение этих зарядов со скоростью и эк- эквивалентно поверхностным токам плотности Рис 89 i = u<7CM3 = ±uP = ±—— uE, A11.10) циркулирующим соответственно по верхней и нижней поверхно- поверхностям диска. Токи эти обнаруживались по отклонению магнит- магнитной стрелки, поднесенной к вращающемуся диску. С целью ко- количественных измерений оба плоских кольца, образовывавших конденсатор, делались разрезными, и через них при покоящем- покоящемся диске пропускался ток во взаимно противоположных направ- направлениях. Определялась сила тока, оказывающая на магнитную стрелку такое же действие, как и вращение диска. Опыт под- подтвердил справедливость формулы A11.10). В излагаемой нами трактовке явлений в движущихся средах движение связанных зарядов среды, согласно A10.10), учитыва- учитывается ее намагничиванием I (а также членом dP/dt, в опытах Эй- хенвальда равнявшимся нулю), причем, согласно A11.9), в среде, магнитная проницаемость которой ц равна единице, 1=-—[uE]. A11.11) 4тгс
§111 ПОЛЯРИЗАЦИЯ И НАМАГНИЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 541 Легко убедиться, что система поверхностных токов A11.10) дей- действительно эквивалентна такому намагничению среды. Внутри диска вектор I направлен по радиусу диска г, причем его число- числовая величина зависит только от г. Поэтому ротор I равен нулю и объемная плотность молекулярных токов, согласно A10.10), также равна нулю. Поверхностная же плотность молекулярных токов, соответствующая намагничению A11.11), согласно F1.10) и F1.11), равна нулю на вертикальной боковой поверхности дис- диска и численно равна на его плоских горизонтальных поверхностях, что совпадает с A11.10). Таким образом, опыты Эйхенвальда действительно могут быть истолкованы с точки зрения соответствующего урав- уравнению A11.9) представления о радиальном намагничении ди- диэлектрического диска, вращающегося в электрическом поле кон- конденсатора. Обобщая приведенные рассуждения, можно в общем виде показать, что последний член формулы A11.9) учитывает маг- магнитное поле, создаваемое движением связанных зарядов поля- поляризованного диэлектрика. Последний член в уравнении A11.8) и второй член первой векторной скобки в уравнении A11.9) не могут быть получены на основании подобных же элементарных соображений, не учитывающих теории относительности. Отме- Отметим только, что если по аналогии с A11.5) ввести понятие эф- эффективной магнитной индукции В*: -е], A11.12) и если воспользоваться выражениями A11.7) для поляризации Ро и намагничения 1о покоящейся среды, то формулы A11 8) и A11.9) можно записать в следующем простом виде: i=J_(i-I)b*-[H.p0]. 4тг V р/ Lc J Можно сказать, что подобно тому как движение поляризованной среды возбуждает поле магнитное A^0 при ц = 1 и Ро ф 0), так и движение намагниченной среды возбуждает поле электри- электрическое (Р^0 при е = 1 и 1о Ф 0). 3. Внося A11.8) и A11.9) в уравнения A10.13), получаем D = еЕ + (е - !) [Н . в1 = еЕ* - i [H . в , V „Л с J „Lc J' c /с2) Таковы (с точностью до членов порядка и /с2) соотношения меж- между основными векторами электромагнитного поля в движущейся
542 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII среде, соответствующие соотношениям (V) гл. VII для среды по- покоящейся 1). Эти соотношения наряду с выражениями для плот- плотности тока A11.3) и A11.6) и дифференциальными уравнениями Максвелла (I)-(IV) достаточны для построения макроскопиче- макроскопической теории электромагнитного поля в медленно движущихся средах. Изложению этой теории будут посвящены § 112-114. Качественное отличие соотношений A11.14) от соответствую- соответствующих соотношений в покоящихся средах состоит в том, что равен- равенство нулю одного из электрических векторов поля Е или D не влечет за собой с необходимостью равенства нулю и другого из этих векторов; то же самое относится и к магнитным векторам поля. Обусловливается это тем, что в движущихся средах, со- согласно A11.8) и A11.9), поляризация Р может быть отличной от нуля при Е = 0, а намагничение I может быть отличным от нуля при В = 0. 4. Уравнения A11.14) выражают D и Н через Е и В, т. е. через средние напряженности микроскопического поля. Мож- Можно, конечно, разрешить эти уравнения, например, относитель- относительно Е и Н. Из первого уравнения A11.14) получаем непосред- непосредственно: Внося это во второе уравнение A11.14) и отбрасывая члены порядка и2/с2 (сохранить их было бы непоследовательно, так как основные соотношения излагаемой теории справедливы лишь с точностью до и2/с2), получаем H=iB+(l-i)[fD]. A11.16) 5. Отметим в заключение, что условием применимости фор- формул этого и всех последующих параграфов, строго говоря, явля- является не только достаточная медленность движения среды [усло- [условие A10.1)], но также и требование, чтобы среда двигалась поступательно и равномерно2): эффекты, связанные с ускоре- 1) Точные релятивистские соотношения, соответствующие уравнениям A11.14), формулируются обычно в следующем виде: Разрешая эти уравнения относительно D и Н и отбрасывая члены порядка и2/с2, легко получить A11.4). [Точнее: по сравнению с единицей отбрасыва- отбрасываются не только члены порядка (и/сJ, но также и члены порядка ец(и/сJ. (Примеч. ред.).] 2) Точнее — требуется достаточная малость производных скорости среды и как по времени, так и по координатам.
§111 ПОЛЯРИЗАЦИЯ И НАМАГНИЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 543 нием движения среды, нами не учитывались. В частности, эф- эффект Толмена (§ 40), проявляющийся при внезапном ускорении проводников, не может быть объяснен на основе изложенной тео- теории. Если мы, тем не менее, будем применять эту теорию к сре- средам, движущимся ускоренно, в частности к равномерно вращаю- вращающимся дискам, цилиндрам и т. д. (рассмотренный уже в этом параграфе опыт Эйхенвальда, униполярная машина и т. д.), то это оправдывается исчезающе малым влиянием ускорения на ин- интересующие нас в этой главе явления. Из рассмотрения, к примеру, изложенной в § 40 теории эффекта Толме- Толмена следует, что влияние ускорения на движение среды определяется силой du л тт ^и инерции — т —, где т — масса электрона ). При этом под — нужно пони- dt dt мать полное ускорение элемента среды, которое складывается из локального ускорения — и переносного ускорения (uV)u: dt du ди . _. ? = ? + (uV)U [см. любой курс гидродинамики; ср. также уравнение C2.6)]. Таким образом, влияние ускорения, т. е. силы инерции —ml V (uV)u I, \Ot ) на электроны среды эквивалентно некоторому эффективному электрическо- электрическому полю напряженности Существенно, что отношение т/е массы электрона к его заряду равно 1,9 ¦ 10~18 абс. (эл.-стат.) СГС единиц, т. е. очень мало. В качестве примера рассмотрим случай диска или цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси z с угловой скоростью ш: —- = 0; их = ~уи>, иу = хи>, uz — 0; at (uV)wz = — хиД (uV)wj, = — уиД (uV)w2 = 0. Если радиус вращающегося тела равен а, то максимальное значение Е' РЭВН0 р, m a е (Конечно, это выражение для Е' можно было бы получить и непосредствен- непосредственно из выражения и2/а = aw2 для центробежного ускорения при вращении.) Полагая а = 5 см и а> = 1007Г с, что соответствует 50 об/с, получаем Е' ~ 9 ¦ 10~13 эл.-ст. ед. ~ 3 • 1О~10 В, т. е. совершенно ничтожную веди- ведизм чину ). 1) В § 40 скорость среды обозначалась буквой w, а не буквой и, как в этой главе. 2) Здесь не учитывается деформация диска, возникающая при его вра- вращении, приводящая к появлению дополнительного электрического поля; не учтен также эффект Бернетта (см. с. 321). (Примеч. редУ)
544 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ. VIII § 112. Закон Ома и электромагнитная индукция в движущихся проводниках. Униполярная индукция 1. Формула A11.6) для плотности токов проводимости в дви- движущихся проводниках jnp = А(Е* + ЕСТР) = А (Е + [Н в] + Естр) A12.1) отличается от соответствующей формулы C8.1) для неподвиж- неподвижных проводников j = А(Е + Естр) только заменой Е на эффективную напряженность электриче- электрического поля Е*. Основываясь на этом, можно сразу перенести ре- результаты теории токов в неподвижных проводниках на случай движущихся проводников. Так, например, сила тока J в участке 1, 2 движущегося проводника сопротивления R\2 по аналогии с C8.4) равна j =*" + *» , A12.2) R где ?^р означает стороннюю электродвижущую силу, а &* — эффективное напряжение, прилаженное к этому участку про- проводника 2 2 ?*2 = /е*<& = / (е+ [f в1) ds. 1 1 В случае лишенного разветвления замкнутого квазилинейного тока по аналогии с C8.6) получаем JR = S'* + ?стр, A12.3) где &* и <?"стр есть полное эффективное напряжение и полная сторонняя ЭДС в цепи тока: <Г= (?>E*ds= ^(Е+ ["в1) ds. A12.4) L L Уравнение A12.3) совпадает с нашим прежним уравнением G7.2), ибо ЭДС индукции <^инд, с которой мы оперировали в § 77 и вообще в гл. VI, и полное эффективное напряжение &* явля- являются тождественными понятиями. Действительно, на основании теоремы Стокса и уравнения Максвелла (II) (f>Eds= /rotEdS = -i / — где S означает поверхность, опирающуюся на контур L. Далее, заменяя в приведенном на с. 350 выводе уравнения G6.6) v
§112 ЗАКОН ОМА 545 на и, Н на В и Ф на Ф, убеждаемся, что ) A12.5) ) , /B=const где (ЙФ /dt) В—const означает скорость изменения потока магнит- магнитной индукции Ф через поверхность ¦!?, вычисленную в предполо- предположении, что индукция В не меняется во времени, т. е. ту часть скорости изменения потока, которая обусловлена движением кон- контура L. Таким образом, с J dt с \ dt /B=const с \ dt /u=0 с V dt /B=const S f дВ ,а так как / — аЪ равно той части скорости изменения потока индукции Ф через контур L, которая обусловлена изменением индукции во времени и в которой не учитывается движение кон- контура. Очевидно, что (**) +(**) =™, A12.6) V dt Ju=0 V dt /B=const dt где d^/dt без индекса означает полную скорость изменения по- потока индукции через контур L, обусловленную как изменением во времени индукции В, так и движением контура. Итак, окон- окончательно 1 ,/ф ** = 4f' (И2.7) что, как и требовалось доказать, совпадает с выражением G7.1) для <^инд. 2. Таким образом, формулы A12.4) и A12.7) эквивалентны сформулированному в § 77 закону индукции, согласно которому ЭДС индукции <^ИНД в произвольном замкнутом контуре опре- определяется скоростью изменения потока магнитной индукции Ф через этот контур. Этот закон можно и должно, однако, уточ- уточнить в том смысле, что его нужно применять к материально- материальному контуру, т. е. к образующей замкнутый контур совокупно- совокупности материальных точек (элементов) среды. Другими словами, при вычислении изменения потока индукции через данный кон- контур нужно считать, что в момент времени t + dt этот контур образуется теми же материальными точками среды, которыми он образовывался в предшествующий момент t. Это ясно из при- приведенного вывода формулы A12.7), в особенности из уравнения A12.5), согласно которому (c№)B=const равно разности потоков через данный контур и через контур, точки которого смещены относительно данного на расстояние u dt. 3. Это правило вычисления <?"инд нуждается в дополнитель- дополнительном уточнении в тех случаях, когда материальный контур, быв- бывший в момент t замкнутым, оказывается благодаря движению среды разомкнутым в последующий момент t + dt. Разберемся в
546 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII этом случае на примере так называемой униполярной индукции и униполярной машины. В принципе униполярная машина (это неудачное название объясняется историческими причинами) состоит из вращающе- вращающегося вокруг своей оси цилиндрического постоянного магнита. Если при помощи скользящих контактов А и В присоединить проводник к оси и к боковой поверхности вращающегося магни- магнита (рис. 90), то по проводнику AVB пойдет ток. В случае рав- . номерного вращения цилиндрического магни- 3| та напряженность электромагнитного поля и f—II—-v. плотность тока в каждой точке пространства >^ т Jk будут постоянными во времени 1). Применим закон индукции к какому-либо контуру, проходящему по внешнему проводу AVB и по магниту, например к контуру COAVBC. В момент времени t + dt матери- материальные точки, находившиеся в момент t на этом контуре, сместятся на расстояние u dt и займут положение COAVBC. Стало быть, для определения ЭДС индукции <?"инд в контуре COAVBC нужно вычислить разность </Ф по- потоков индукции через этот контур и через контур COAVBC. Обозначим эти потоки соот- соответственно через ФиФ', так что с№ = Ф — Ф'. В I Рис. 90 Однако контур C'OAVBC в отличие от контура COAVBC не замкнут, так что, строго говоря, понятие потока Ф' через этот незамкнутый контур не является определенным. Обратимся поэтому к приведенному выше выводу закона ин- индукции A12.7). Из A12.6) и A12.5) следует, что в рассмотренном случае под d^/dt надо понимать величину f причем интеграл должен быть взят по замкнутому контуру COAVBC. Так как [uds] ф 0 только на участке СО этого 1) В прошлом веке долго шла оживленная дискуссия по вопросу об уни- униполярной индукции, связанная с попытками истолковать это явление в том смысле, что силовые линии магнитного поля, возбуждаемого магнитом, вра- вращаются вместе с магнитом вокруг его оси. В движении силовых линий, пе- пересекающих неподвижный проводник AVB, и усматривалась причина воз- возникновения в этом проводнике электродвижущих сил индукции. Нечего и говорить, что такая интерпретация не выдерживает никакой критики: си- силовые линии являются лишь вспомогательным понятием, служащим для описания поля, а не какими-либо материальными образованиями, отдель- отдельные элементы которых можно было бы индивидуализировать, связывать их с определенными источниками поля (невозможность чего особенно яс- ясна, например, в случае наложения полей двух магнитов — подвижного и неподвижного), следить за их перемещением в пространстве и т. д.
§ 112 ЗАКОН ОМА 547 контура, то о ЙФ = f B[udt-ds]. с Легко убедиться, что это выражение для ЙФ с точностью до величин второго порядка относительно dt равно потоку индук- индукции через бесконечно малый круговой сектор СО С Поэтому при вычислении d4f из соотношения е(Ф = Ф' — Ф под Ф' мож- можно понимать поток через замкнутый контур COAVBCC, по- получающийся замыканием деформированного движением конту- контура COAVBC отрезком С С траектории, описанной точкой С' разрыва контура. В этом и заключается уточнение закона ин- индукции A12.7), применимое, как нетрудно убедиться, к любому разрывному движению контура. 4. Возвращаемся к униполярной машине. Как мы убедились, ЭДС индукции <^инд в контуре COAVBC равна о с dt с С Подобным же образом можно вычислить <?инд для любого другого замкнутого контура. Для каждого фиксированного в пространстве контура величина <?>инд имеет постоянное, не ме- меняющееся во времени значение. При вычислении токов, возбуж- возбуждаемых в магните и во внешнем проводнике этими ЭДС ин- индукции, уже не нужно больше учитывать вращение магнита; влияние этого вращения полностью учитывается значением <#>инд. Однако при рассмотрении униполярной машины проще ис- исходить не из интегральной формы A12.7) закона индукции, а непосредственно из закона Ома для движущихся сред [уравне- [уравнение A11.6)]. Из A11.6) следует, что сила тока во внешнем участке цепи АВ и распределение токов по объему магнита будут таки- такими же, как в случае покоящегося магнита, по объему которого распределены сторонние ЭДС напряженности: Естр = [Н в] . A12.8) Этому же случаю покоящегося магнита с распределенной ЭДС Естр будет соответствовать и напряженность электрического по- поля внутри и вне магнита. Действительно, из уравнения непрерывности l) div jnp = 0 и закона Ома A11.6) следует, что div(AE) = — div А [{и/с) В]. ^На основании уравнения непрерывности (IVa) и уравнения A11.3) div jnp + divpu = 0; легко, однако, убедиться, что дивергенция конвекцион- конвекционного тока ри равна нулю. Действительно, в цилиндрической системе коор- координат z, г, а вектор ри имеет только одну отличную от нуля слагающую риа: причем значение этой слагающей ввиду аксиальной симметрии задачи от угла а не зависит. Отсюда на основании B2*) следует, что divpu = 0.
548 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ. VIII Так как стационарное электрическое поле обладает потенциалом (Е = — V<p), то этим уравнением вектор Е определяется одно- однозначно (если считать заданной индукцию В внутри магнита). То же самое уравнение для divAE получается из уравнения C8.1) и для неподвижного магнита, по объему которого распределены сторонние ЭДС напряженности A12.8). Рассмотрим в виде примера равномерно вращающийся ци- цилиндрический магнит, к которому никакие проводники не присо- присоединены и в котором поэтому токи не циркулируют. Отсутствие токов означает, что направленная по радиусу г цилиндра лорен- цева сила е — В компенсируется внутри магнита радиальным электрическим полем Е, т. е. что внутри магнита Е = -[Нв1. A12.9) Допустив для простоты, что вектор В в магните имеет по- постоянное значение и направлен по оси вращения, получаем с с где ш означает угловую скорость вращения магнита. Таким об- образом, между цилиндрической поверхностью магнита и его осью устанавливается разность потенциалов г=а Уось - Упов = / Erdr = -~- В, где а означает радиус магнита. Зная потенциал на поверхности магнита, можно определить поле и во внешнем пространстве. С другой стороны, если присоединить один конец А проводни- проводника AVB к оси, а другой его конец В к поверхности цилиндра (см. рис. 90), то благодаря разности потенциалов между точка- точками А и В по проводнику потечет ток. Конечно, при замыкании цепи AVB разность потенциалов между А и В уменьшится, по- подобно тому как уменьшается разность потенциалов между элек- электродами аккумулятора при замыкании внешней цепи, соединяю- соединяющей эти электроды. 5. В чем причина возникновения в изолированном вращающемся магни- магните радиального электрического поля A12.9)? Частично это поле обусловли- обусловливается перераспределением электронов проводимости в магните под воздей- воздействием лоренцевой силы е — В . Однако основная часть электрического по- поля, возникающего при движении магнита, имеет чисто релятивистское про- происхождение и связана с тем отмеченным при обсуждении формулы A11.13) обстоятельством, что, согласно теории относительности, движение намагни- намагниченной среды возбуждает электрическое поле. В чистом виде этот реляти- релятивистский эффект проявляется не при вращении магнита, а при равномер-
§ 112 ЗАКОН ОМА 549 ном поступательном его движении со скоростью и, перпендикулярной оси магнита. В этом случае связанная с магнитом система координат S' будет инерциальной, причем в этой системе координат электрическое поле Е бу- будет, очевидно, равно нулю, если в поле магнита нет других тел, например скользящего по магниту внешнего проводника. Применяя к этому случаю релятивистские формулы преобразования поля A15.7), нетрудно убедиться, что в «неподвижной» (лабораторной) системе координат S напряженность электрического поля (вплоть до величин порядка и2/с2) будет равна где В' — индукция магнитного поля, измеренная в системе S'. В этом вы- выражении можно с точностью до величины порядка и /с заменить В' зна- значением В индукции в «неподвижной» системе координат S: Е = — — В , что совпадает с A12.9). Таким образом, в случае поступательного движения магнита формула A12.9) оказывается применимой ко всем точкам поля как внутри, так и вне магнита и притом вне всякой зависимости от того, являет- является ли магнит проводником электричества или изолятором. Таким образом, возникновение электрического поля при поступательном равномерном дви- движении магнита объясняется тем, что, как будет показано в § 115, деление электромагнитного поля на поле электрическое и поле магнитное имеет от- относительный характер и зависит от системы отсчета. Задача 39. Железный намагниченный шар радиуса а, на- находящийся в проводящей среде (например, в электролите), вра- вращается вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью ш. Магнитная индукция Во поля, возбуждаемого постоянным на- намагничением шара, постоянна по всему его объему и направлена параллельно оси вращения. Показать, что потенциал электриче- электрического поля, возбуждаемого вращением шара, равен <p = ipl = --BQ \ XlR2 Ccos2fl-l)+a2-fi2l при R^a, Зс L2Ai + ЗАг J g^Ccosag-l) при i^a, где Ai и Аг — соответственно электропроводности железа и элек- электролита, R — радиус-вектор, проведенный из центра шара в дан- данную точку пространства, а в — полярный угол между R и осью вращения. Показать, что линии электрического тока в электро- электролите начинаются у экваториальной области поверхности шара и заканчиваются в полярных областях этой поверхности, при- причем области эти разграничены параллельными кругами, соот- соответствующими углам в = arccos —= ~ 55°, \/з в = тг — arccos -т= ~ 125°. \/3
550 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII § 113. Диэлектрик, движущийся в электромагнитном поле 1. Первая последовательная теория электромагнитных явле- явлений в движущихся средах была построена Герцем около 1890 г. В отношении индукции токов в медленно движущихся проводни- проводниках теория Герца приводит к тем же подтверждающимся опытом результатам, как и современная теория; этим и объясняется, что весьма простая, хотя принципиально и несостоятельная, теория Герца до сих пор широко применяется в электротехнике. Однако применение теории Герца к движению в электромагнитном поле диэлектриков и не проводящих электричества магнетиков приводит к неправильным результатам. Это было доказано, в частности, опытами Рентгена, Эйхенвальда и Вильсона, оказавшими боль- большое влияние на развитие современной теории. Мы рассмотрим в этом параграфе принципиальную схему некоторых из этих опытов. 2. Плоский конденсатор, обкладки которого соединены меж- между собой проводником, помещен в однородное магнитное поле Н, параллельное пластинам конденсатора. Пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком проницаемо- проницаемости е. Если сообщить диэлектрику скорость и, перпендикуляр- fz ную к направлению магнитного поля Н (рис. 91), то конденсатор заряжается (схе- (схема опыта Вильсона, в котором, однако, диэлектрик двигался не поступательно, а вращался между обкладками конденсатора). Рассмотрим стационарный случай равномерно движущегося диэлектрика. По- стоянное электрическое поле, согласно уравнению Максвелла (II), обладает по- тенциалом (р. Соединенные друг с другом ис" обкладки конденсатора обладают одинако- одинаковым потенциалом. Поэтому электрическое поле будет равно нулю не только в металле обкладок, но и в диэлектрике между ними. Электрическая индукция D будет, очевидно, также равна нулю в металле обкладок, однако в движущемся диэлектрике, согласно A11.14), D будет равно (при Е = 0ир = 1): ? Й у Illw .u Вместе с тем на основании второго из уравнений A11.14) при Е 1 Поэтому магнитное поле в движущемся диэлектрике будет таким же, как если бы он покоился. Электрическая же индукция в нем будет равна (см. рис. 91):
§ 113 ДИЭЛЕКТРИК В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 551 Таким образом, нормальная слагающая Dz вектора D испытыва- испытывает скачок на границах между диэлектриком и обкладками кон- конденсатора. На основании пограничного условия (IV') это озна- означает, что на обкладках конденсатора находятся поверхностные свободные заряды плотности а = ±— Dz = ±{e~1)u H. A13.1) 47Г А-пс Этот вывод теории был экспериментально подтвержден Вильсо- Вильсоном; теория же Герца приводила к неправильному выражению для а, получающемуся из A13.1) путем замены е — 1 на е. 3. Опыт Эйхенвальда уже рассматривался нами в § 111; мы вновь рассматриваем его здесь в качестве примера применения общих уравнений теории. Схема опыта Эйхенвальда отличается от только что рассмотренной схе- схемы опыта Вильсона тем, что внешнего магнитного поля нет, обкладки кон- конденсатора изолированы друг от друга и конденсатор заряжен. Движение диэлектрика в заряженном конденсаторе создает магнитное поле. Так как в металле обкладок Е = D = 0, то из пограничных условий (II') и (IV') следует, что в диэлектрике ЕХ=ЕУ= О, Dz = 47ГО-, где a — плотность заряда на нижней обкладке конденсатора (плотность заряда на верхней обкладке равна —<т, оси координат выбираем так же, как на рис. 91). Индукция В магнитного поля, возникающего благодаря движению ди- диэлектрика, будет, очевидно, пропорциональна его скорости; поэтому из пер- первого уравнения A11.14), с точностью до членов порядка и2/с2, следует, что в диэлектрике D = еЕ и, стало быть, р р п р - 47Г(Т Ьх = Ьу = U, tiz — . е Внося это во второе из уравнений A11.14) и полагая ц = 1, получаем, что внутри диэлектрика hz=bz , у у ее Напряженность (и индукцию магнитного поля в обкладках) конденсато- конденсатора обозначим через Н' и В', причем, очевидно, Н' = В'. Из непрерывности тангенциальных слагающих напряженности Н и нормальной слагающей В следует, что х х х х , у у у у, z z ее A13.2) Таким образом, тангенциальная слагающая Вх магнитной индукции испы- испытывает на границах диэлектрик-металл скачок ±47г(е — 1)и<т/(ес), тогда как слагающие Ву и Вг непрерывны. Вместе с тем во всем пространстве divB = 0 и rotB = 0. A13.3) Первое из этих уравнений есть уравнение Максвелла (III); второе же следует из того, что ввиду отсутствия токов rot H = 0 во всем пространстве и что вне диэлектрика В совпадает с Н; внутри же диэлектрика Вх хотя и отличается от Нх, но на величину постоянную.
552 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII Совокупность дифференциальных уравнений A13.3) и пограничных условий A13.2) определяет поле вектора В во всем пространстве. Она тож- тождественна с совокупностью уравнений и условий для напряженности маг- магнитного поля Н, возбуждаемого в неподвижной среде проницаемости ц = 1 поверхностными токами плотности iy = ±(?zil^, (И3.4) протекающими в противоположных направлениях по нижней и верхней по- поверхностям раздела между диэлектриком и металлом. Так как вне диэлек- диэлектрика В = Н, то, стало быть, магнитное поле вне диэлектрика совпадает с полем этой системы поверхностных токов. Этот вывод совпадает с резуль- результатами, полученными нами другим путем в § 111 [см. уравнение A11.10)]. § 114. Распространение света в движущихся диэлектриках. Коэффициент увлечения Френеля. Отражение от движущегося зеркала 1. Рассмотрим плоскую световую волну частоты ш в однород- однородном изотропном немагнитном (до = 1) диэлектрике, движущемся со скоростью и. Обозначим через Eq, Hq, Do, Во постоянные ам- амплитуды векторов поля волны; тогда, например, напряженность электрического поля волны выразится формулой A01.3): Е = Eoe<wt-kaR\ A14.1) где п — единичный вектор в направлении распространения вол- волны, а к — волновое число. Аналогичные выражения будут иметь место и для остальных векторов Н, В, D. Согласно A00.8) действие дифференциального оператора набла (V) на векторы поля волны сводится к умножению этих векторов на — гкп, так что, например, div ~E = -ik (nE), rot E = -г/г [пЕ]. Поэтому уравнения Максвелла (I) и (II) после сокращения их на множитель eliwt~knR) принимают вид - Do = -к [пН0], -B0 = fc[nE0]. (И4.2) с с Внося эти выражения в A11.15) и A11.16), получаем после со- сокращения на тот же множитель: ,.. . Таким образом, векторы индукции D и В в поле волны пер- перпендикулярны направлению ее распространения п; векторы же
§ 114 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ДИЭЛЕКТРИКАХ 553 напряженности Е и Н, вообще говоря, имеют отличные от нуля слагающие вдоль п (если только направление скорости диэлек- диэлектрика не совпадает с направлением волны п или с прямо про- противоположным направлением). Вообще распространение света в движущемся изотропном диэлектрике вполне аналогично рас- распространению света в покоящемся анизотропном диэлектрике (точнее говоря, в оптически одноосном кристалле, главная ось которого совпадает с направлением движения диэлектрика) ). Выберем ось z по направлению распространения волны, так что A14.1) примет вид Е = Еое*^-**), и допустим для простоты, что направление скорости диэлектри- диэлектрика и совпадает с направлением волны или прямо ему противопо- противоположно: их — иу = 0, uz = ±и. В этом случае [пН0] = -i где i и j — единичные векторы, направленные по осям ж и у. При- Приняв, кроме того, во внимание, что, согласно A00.6), отношение w/k равно скорости волны v: получим из A14.3) после умножения этих уравнений на ш/к: vEOx = -HOy + uz (l - -) Eqx, е V el vEOy = --HOx + uJl- -) EOy, EOz = 0, 6 V e/ A14.4) vHqx = -cEOy + «z A —J vHOy = cEOx + uz (l - i) HOy, HOz = 0. Как уже отмечалось, в рассматриваемом нами случае парал- параллельности векторов и и п не только D и В, но и Е и Н перпен- перпендикулярны к п, т. е. световая волна является поперечной. В два из уравнений A14.4) входят только слагающие Eqx и Ноу; в два 1) Это, вообще говоря, не так. В движущемся изотропном диэлектрике име- имеется вырождение по поляризациям, которого нет в кристалле. 20 И. Е. Тамм
554 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII другие — только Еоу и Hqx. Рассмотрим, например, уравнения для Eqx и Ноу- -сЕОх + [v - щ (l - i) } НОу = 0. Из этих уравнений следует, если Eqx и Ноу отличны от нуля, что или [выбор знака при извлечении корня определяется тем, что со- согласно A00.6), при и = 0 должно быть v — с/у/ё\. Приняв во внимание, что, согласно A01.14), \fs равен показателю прелом- преломления среды п, получаем окончательное выражение для скорости света в движущейся среде: Проведя вычисления для случая произвольного угла между скоростью среды и и направлением волны п, можно убедиться, что формула A14.5) остается справедливой и в этом общем слу- случае, если в ней под uz понимать проекцию скорости среды на направление распространения волны. 2. Формула A14.5) была впервые получена Френелем в 1818 г. на основании несостоятельных, с современной точки зрения, представлений о движении светового эфира, т. е. гипотетиче- гипотетической среды, в которой распространяются световые волны. Ес- Если бы световой эфир, пронизывающий движущийся диэлектрик, оставался в покое, то, согласно этим представлениям, скорость света v в движущемся диэлектрике должна была бы равнять- равняться скорости света с/п в покоящемся диэлектрике [см. A00.6)]. Напротив, если бы эфир полностью увлекался движением ди- диэлектрика, то результирующая скорость света должна была бы равняться сумме скорости с/п света в эфире и скорости и самого эфира: v = -±u, п если и параллельно и антипараллельно направлению волны. Френель же, полагая, что эфир только частично увлекается дви- движением среды, получил формулу A14.5); входящий в нее мно- множитель A — 1/гг2) носит название коэффициента увлечения Фре- Френеля.
§ 114 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ДИЭЛЕКТРИКАХ 555 Лоренц показал в 1895 г., что в формулу Френеля нужно вне- внести некоторую поправку, учитывающую дисперсию среды, т. е. зависимость показателя преломления от длины волны. Формула Френеля была подтверждена на опыте Физо в 1851 г. и с особой точностью Зееманом в 1914 г., которому удалось также подтвер- подтвердить правильность поправки Лоренца. 3. Рассмотрим еще вкратце отражение и преломление света в движущемся диэлектрике. Пусть на диэлектрик, движущийся по направлению оси z, падает из вакуума плоская волна, также распространяющаяся по направлению z: Е = Eoe1^*-*2), Н = Hoel(wt-*z) • Пусть, далее, поверхность диэлектрика совпадает с плоско- плоскостью z = ut. Величины, относящиеся к волне, отраженной от диэлектрика, и к преломленной волне в диэлектрике, обозначим соответствен- соответственно индексами г и g, т. е. так же, как в § 101; например Ег = Broel^rt+krZ\ E* = Е§е'(ы«*""*»г) и т. д. В выражении для напряженности Е' отраженной волны в по- показателе стоит плюс, а не минус, ибо направление этой волны обратно направлению оси z. Рассмотрим какое-либо из пограничных условий на поверх- поверхности диэлектрика, например условие (II') непрерывности тан- тангенциальных слагающих вектора Е: JSbtel(wt~*z) + JS&tel(w't+*'z> = Е&е1*"'»*-**2) при z = ut. Для того чтобы это условие могло выполняться при любом зна- значении времени t, необходимо, чтобы после замены z на ut пока- показатели всех трех членов оказались бы одинаковыми: ш — ки = шг + кги = шё — kgu A14.6) [ср. A01.5)]. Выразим волновые векторы через частоты. Для падающей и отраженной волн в вакууме к = ^ и кг = ^. с с Что же касается преломленной волны в диэлектрике, то kg в формуле A14.6) умножается на и; поэтому с точностью до вели- величин порядка и2 /с2 можно в эту формулу внести значение kg для покоящегося диэлектрика: , _ Ug _ TlWg П/ff . 6 V С Внося эти значения в A14.6), получаем 1--с)=ш 20*
556 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII или, с точностью до и2/с2, (^) A14.7) A14.8) Таким образом, при отражении и преломлении света в движу- движущейся среде частота света изменяется. При этом частота ш^ от- отраженной волны в отличие от частоты u>g волны преломленной не зависит от показателя преломления среды п и вообще от свой- свойства среды, так что формула A14.7) применима, например, и к металлам. Выражение для шг допускает следующее простое истолкова- истолкование Свет какого-либо источника S, отражающийся, например, от зеркала, представляется идущим из изображения S' этого ис- источника света в зеркале. Если зеркало перпендикулярно падаю- падающему лучу света и движется по направлению этого луча со ско- скоростью и, то изображение S' источника в зеркале перемещается в том же направлении с удвоенной скоростью 2и. Поэтому, если заменить изображение S' источника S реальным источником света той же собственной частоты ш, как и наш источник S, то благо- благодаря эффекту Доплера частота света ш', излучаемого этим дви- движущимся источником в направлении отраженной волны (т. е. в на- направлении, обратном движению источника), оказалась бы равной - ~j , A14-9) что совпадает с выражением A14.7) для шг. § 115. Преобразования системы отсчета. Относительный характер различия между электрическими и магнитными полями 1. В предшествующем изложении (за исключением только § 77) мы предполагали, что при изучении электромагнитных явлений все отсчеты положения и движения зарядов и материальных тел, а также отсчеты всех вообще физических величин приводятся к некоторой определенной инерциальной системе отсчета, кото- которую мы условно называем неподвижной (см. § 111). Изложен- Изложенные нами законы электродинамики применимы лишь к таким наблюдениям и измерениям, которые произведены относитель- относительно иперциалъной системы отсчета. Вместе с тем, как известно, все инерциальные системы отсчета равноправны, так что зако- законы электромагнитных, как и всех вообще физических, явлений не изменяются при переходе от одной инерциальной системы от- отсчета S к какой-либо другой системе 5", движущейся относитель- относительно S прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью v.
§ 115 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 557 Однако конкретные физические величины изменяются при переходе от одной системы отсчета S к другой системе S': ре- результаты измерения одного и того же явления в двух различ- различных системах S и 5", вообще говоря, отличны друг от друга. Так, например, если скорость и ускорение какого-либо тела от- относительно системы S равны соответственно и и а, то скорость и ускорение и' и а' того же самого тела относительно системы S' в нерелятивистском приближении (т. е. с точностью до членов порядка v2/с2 и uv/c2) равны u' = u-v и а' = а. A15.1) Поэтому теория электромагнитных явлений должна, во-пер- во-первых, дать ответ на вопрос о том, как изменяются значения элек- электромагнитных величин (векторов поля Е, В, D, Н, плотности зарядов и токов р и j и т. д.) при изменении системы отсчета, и, во-вторых, должна показать, что из установленного способа пе- пересчета физических величин из одной системы отсчета в другую вытекает инвариантность законов электродинамики при перехо- переходе от какой-либо системы отсчета S к системе S', равномерно движущейся относительно S. 2. В современной электродинамике принимается, что значе- значение произвольного электрического заряда е не зависит от систе- системы отсчета. Что же касается векторов поля, то их значения, как легко видеть, существенно зависят от системы отсчета. Пусть, например, измерениями в системе S установлено, что в данной области пространства V электрическое поле Е = 0, то- тогда как магнитное поле Н ф 0 (для простоты предполагаем, что в рассматриваемой области пространства V имеется вакуум: е = — /j, = 1). Это значит, что если помещенный в V заряд е покоится относительно системы S, то на него никакие силы не действуют; если же он движется относительно S со скоростью и, то на него действует сила Так как скорость и' заряда относительно системы S' равна и' = и — v, то Стало быть, на заряд, покоящийся относительно системы S' (т. е. при и' = 0), действует сила Так как, по определению (см. § 45), напряженность электри- электрического поля Е равна силе, испытываемой покоящимся единич- единичным положительным зарядом, то из наблюдений, произведенных
558 электромагнитные явления в движущихся средах гл vrrr относительно системы 5', будет следовать, что в пространстве V существует электрическое поле напряженности Е' = [- Н] . A15.3) Вместе с тем из A15.2) следует, что в системе <S" имеется также и магнитное поле Н' = Н, A15.4) ибо сила f должна выражаться в системе S', вполне равноправ- равноправной системе S, формулой Лоренца1) Таким образом, мы приходим к заключению, что деление электромагнитного поля на поле электрическое и на поле маг- магнитное имеет относительный характер: поле, которое в систе- системе S является только магнитным (Е = О, Н ф 0), оказывается, с точки зрения равноправной системы S', полем электромагнит- электромагнитным в узком смысле этого слова (Б' ф 0, Н' ф 0). Подобно этому и в том случае, если в системе S Е Ф 0, то в системе S', вообще говоря, отличны от нуля как Е', так и Н'. Это следует из общих формул преобразования векторов Е и Н: Н' = Н-[^е], A15.5) частными случаями которых для Е = 0 являются выведенные нами формулы A15.3) и A15.4). В формулах A15.5), так же как в A15.3) и A15.4), отброшены члены порядка и2/с2. Вывод фор- формул A15.5) можно найти в учебниках теории относительности; наглядное обоснование их без прямого обращения к представле- представлениям теории относительности возможно лишь в рассмотренном выше частном случае Е = 0. Поскольку значение напряженности электрического поля ока- оказывается зависящим от системы отсчета, то, естественно, воз- возникает вопрос об инвариантных, т. е. не зависящих от системы отсчета, количественных характеристиках электромагнитного поля. Существуют два таких инварианта: из A15.5) легко убе- убедиться, что с точностью до членов порядка и2/с2 Е'Н' = ЕН Е'2 - Я'2 = Е2 - Я2. A15.6) 1) В этих рассуждениях мы исходим из того, что с точностью до и2 /с2 сила не зависит от системы отсчета. Действительно, в этом приближении сила пропорциональна вызываемому ею ускорению а, а ускорение не зависит от системы отсчета [формула A15.1)]
§ 115 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 559 Если исходить не из приближенных формул A15.5), а из соответ- соответствующих точных формул, учитывающих члены порядка w2/c2, то можно доказать, что формулы A15.6) строго справедливы при всех возможных значениях относительной скорости v систем от- отсчета. Заметим еще, что обобщение формул преобразования A15.5) на случай материальной среды гласит. A15-7) Таким образом, введенные нами в § 111 эффективные значения электрической напряженности и магнитной индукции в движу- движущейся среде В*=В-["е] [см. уравнения A11.5) и A11.12)] представляют собой не что иное, как истинные значения этих величин в системе отсчета S", скорость v которой равна скорости и среды, т. е. в той системе отсчета, в которой среда покоится. Формулы A15.7) распадаются на две группы: в первую вхо- входят только значения векторов Е и В в системах 5 и 5", во вто- вторую — только значения векторов D и Н. Это соответствует тому, что по физическому смыслу аналогом электрической напряжен- напряженности Е является магнитная индукция В, а не магнитная напря- напряженность Н (см., например, § 62). 3. Нам остается еще показать, что из формул преобразования векторов поля A15.5) и A15.7) вытекает инвариантность законов электродинамики при изменении системы отсчета. Конечно, при изменении системы отсчета необходимо преобразовать не толь- только электромагнитные величины, но также и пространственные координаты и время. Дорелятивистская физика покоилась на допущении, что от- отсчеты промежутков времени имеют абсолютный характер (при пользовании «правильными» часами) и не зависят от движения системы отсчета: t' = t, A15.8) так что при изменении системы отсчета подвергаются изменению лишь пространственные координаты: R' = R - vt. A15.9) Однако эти формулы преобразования координат и времени несов- несовместимы с инвариантностью законов электродинамики. В этом проще всего убедиться следующим образом. Из законов электро- электродинамики вытекает, что скорость распространения света в ва-
560 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ ГЛ VIII кууме равна электродинамической постоянной с. Если эти зако- законы остаются инвариантными при преобразовании координат, то в любой инерциальной системе скорость света в вакууме долж- должна быть одинаковой и равняться с. Между тем из классических формул преобразования времени и координат A15.8) и A15.9) вытекает преобразование скорости A15.1): и' = и — v, которое, в частности, должно быть применимо и к скорости све- света. Если в системе S скорость света равна с, то в равноправной системе S', движущейся относительно S со скоростью v, напри- например, вдоль луча света, скорость этого луча должна бы равняться с' = с — v ф с. Таким образом, классические формулы преобра- преобразования координат и времени A15.8) и A15.9) несовместимы с инвариантностью законов электродинамики. Именно это обстоятельство и явилось причиной длительных и напряженных экспериментальных и теоретических исследований, завершившихся созданием теории относительности. Эйнштейн, подвергнувший глубокому анализу понятие одновременности, доказал относительность этого понятия и несостоятельность вы- выражаемого уравнением A15.8) допущения, что промежуток вре- времени между двумя событиями не зависит от системы отсчета1). Постоянство скорости света в вакууме было возведено Эйнштей- Эйнштейном в ранг одного из основных ¦ постулатов теории относитель- относительности, так что можно сказать, что формулы преобразования координат и времени выводятся в теории относительности из требования инвариантности законов электродинамики. Однако изложение теории относительности выходит за рамки этой книги. 1) В теории относительности соотношение A15.8) заменяется следующим: t, _ t- vR/c2 или, с точностью до членов порядка v^/c2, t'=t-^. A15.10) Соотношение это имеет следующий смысл: если по измерениям в системе S промежуток времени между двумя событиями А и В равен t, а векторное расстояние между точками, в которых происходят эти события, равно R, то по измерениям в системе S промежуток времени между этими события- событиями оказывается равным t' = t — vR/c2. В частности, если по измерениям в системе S события одновременны (t = 0), но не одноместны (R ф 0), то в системе S' они, вообще говоря, окажутся неодновременными (t' ф 0): понятие одновременности неодноместных событий относительно.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. (С. 31.) Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипарал- лелен) г и является функцией лишь от г. Рассмотрим цилиндр высоты 1 и радиуса г. Вследствие того, что Е параллельно г, поток вектора Е через основание цилиндра равен нулю Поэтому применение к цилиндру теоремы Гаусса дает ±2тггЕ = А-кх для г > а\ 2-пгЕ = 0 для г < а (где а — радиус заряженного бесконечного цилиндра), откуда и получим результат D.5). Скачок вектора Е при прохождении через поверхность ци- цилиндра равен Ее- Е, = 2 — -0 = 47RT, а ибо и = 2тгаа. 2. (С. 31.) Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипарал- лелен) R и является функцией лишь от R. Применение теоремы Гаусса к сфере радиуса R дает ±Е ¦ 4-kR2 = 4же для R > о; Е ¦ AnR2 - 0 для R < а (а — радиус заряженной сферы), откуда и получаются формулы D.6) Скачок вектора Е при прохождении через поверхность сферы равен Ее - Е, = -^- - О' = 4тга, а2 ибо е = сг ¦ 4тга . 3. (С- 31.) Вследствие симметрии вектор Е параллелен (или антипарал- лелен) R и является функцией лишь от R. Применение теоремы Гаусса к сфере радиуса R дает ±Е • inR2 = 4-7Г • - 7га3р = 47ге для R > а; о 4 R3 ±Е ¦ 4тгД2 = 4тг - 7гй3р = 4тг — е для R < а 3 а3 (ибо е = D/3Oга3р), откуда и получим формулы D.7) и D.8). Непрерывность вектора Е при прохождении через поверхность сферы следует из того, что для R = а будет 4 Ее = -7rpR= Е,. о 4. (С. 34.) Согласно D.5), в полости конденсатора поле внешнего ци- цилиндра равно нулю. Стало быть, в этой полости поле возбуждается лишь внутренним цилиндром и определяется формулой D.5). В том, что заряды единицы длины обкладок конденсатора равны по величине и противопо- противоположны по знаку, можно убедиться, применяя теорему Гаусса к замкнутой
562 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ поверхности, частью проходящей по толще внешнего металлического цилин- цилиндра, частью же ограниченной двумя параллельными сечениями, перпенди- перпендикулярными оси конденсатора. Поток электрического вектора через такую поверхность равен нулю. 5. (С 34.) Решение этой задачи вполне аналогично решению задачи предыдущей. 6. (С. 48.) В формуле (8-2) выберем в качестве пути интегрирования соответственно ось х (для плоскости) и перпендикулярный оси цилиндра радиус-вектор г. Внося значение вектора Е из D.4) и D.5), получим для плоскости и для цилиндра соответственно: — ip0 = — / 27П7 • dx = — 2-ках; т /2ус г — dr = —2>tlg — г г\ Ч> — fo — — I — dr — — 2>cIg — для r > ri; n V ~~ Vo — 0 для т <т\. 7. (C. 48.) Выбирая в формуле (8.3) в качестве пути интегрирования радиус-вектор R, получим на основании D.7) для точек, лежащих вне шара: л Стало быть, на поверхности шара <р — ipo = е/а. Воспользовавшись формулами (8.2) и D.8), получаем для точек, лежащих внутри шара: /4 /а2 Я2\ - nRpdR = 2-кр\—- — \ , что по внесении значения ipo совпадает с формулой текста. 8. (С. 52.) Из E.3) следует, что разность потенциалов обкладок плоского конденсатора равна ц>г — f\ = Aired/S. В случае цилиндрического и сферического конденсатора поле в про- пространстве между его обкладками возбуждается единственно лишь зарядом внутренней обкладки. Поэтому, согласно результатам решения задачи 6, для цилиндрического конденсатора То 6 Ч>2 - <fi = —1усIg—; ^=7' т\ I а для конденсатора сферического _ _е е _ (fii - Д2)е R Внося эти выражения в (9.1) и выбрав для С, как обычно, положитель- положительный знак [знак выражения (9.1) зависит от того, какую из обкладок считать первой и какую второй], получим искомые результаты. 9. (С. 56.) Из (8.10) и D3*) следует Е = - grada <E|U _-L grada(PR) - (pR) grado (j- Приняв во внимание, что на основании (8*), (9*) и A1*) grado(pR) = p
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 563 , . _ 3R получаем A0.4). В сферической системе координат слагающие постоянного вектора р в произвольной точке R, $, а равны соответственно: PR=pcosi?, ро — — psint?, ра = 0, так что pR=pjRcos$. Внося это в A0.4), получаем A0.5). 10. (С. 60.) Принимая точку Р за начало координат, имеем ?5 дх \Rj~ dR\Rj\dx)~ R3' R3 дх \Д3/ R Аналогичные выражения получим для _&_ /1\ и &_ /_1 Следовательно, + э о. \rJ r3 л5 11. (C. 60.) Из соображений симметрии следует, что потенциал ip зави- зависит только от координаты х и что, стало быть, уравнение Лапласа A1.3) принимает вид ?? - -Ако дх* - р- Внутри пластинки р = const и, следовательно, ipx - -Чттрх2 + Ах + В, а вне пластинки р — 0 я, следовательно, <ре = Сх + D, где А, В, С и D суть произвольные постоянные интегрирования. Полагая А — В = 0 и определяя значения постоянных С и D из условия непрерыв- непрерывности <р и д<р/дх на поверхностях пластинки, т. е. при х = ±а, получаем искомые значения if, и ^t, из которых по формуле A0.2) определяется и значение вектора Е. Чтобы перейти к бесконечной заряженной плоскости, достаточно в по- полученных формулах перейти к пределу а —> 0, р -+ со, полагая при этом переходе, что заряд, приходящийся на единицу поверхности пластинки, оста- остается постоянным: lap = а = const. 12. (С. 61.) Из соображений симметрии следует, что потенциал (р зависит только от расстояния R от центра заряженного шара. Полагая в B1*) /(Я) = = ip, получаем из A1-1) Внутри шара р — const и, следовательно, Ч»—**- *" + ? о К
564 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ а вне шара р = 0 и, следовательно, где А, В, С я D суть произвольные постоянные интегрирования. Чтобы (р оставалось конечным при R = О, необходимо, чтобы А = 0. Чтобы ip обраща- обращалось в нуль при R = оо, необходимо, чтобы D = 0. Значение постоянных В и С определяется из условия непрерывности <р и dtpjdR на поверхности шара R = а и приводит к формуле (8 12). 13. (С. 71.) Введем цилиндрическую систему координат, ось z которой направлена вправо и проходит через заряд е, а плоскость z = 0 совпадает с поверхностью проводника. Расстояние произвольной точки Р с координата- координатами г и г от зарядов +е и —е будет равно соответственно. П = у/г2 + (z- dJ, r2 = л/г2 + (z + dJ. Потенциал поля в правом полупространстве будет, очевидно, равен Внося в выражение "(---)¦ для слагающей поля по оси z значения ip, r\ и гг, выполняя дифференциро- дифференцирование и полагая затем z = 0, получим значение нормальной слагающей поля у поверхности проводника, откуда по формуле E.1) найдем а. В том, что полный заряд, индуцированный на проводнике, равен —е, можно убедиться непосредственным интегрированием. 14. (С. 85.) Применим формулу A5.6). В случае поверхностного рас- распределения заряда весь этот заряд находится при постоянном потенциале <р = е/а; стало быть, 2Г 2а В случае объемного распределения заряда е „ / 2 Я2 ч>- ' D/3)тга3' где R — расстояние от центра сферы (см. с. 48, задачу 7). Стало быть, 1 Г 1 I" / R2\ W = - / pfdV = - / р ¦ 2жр (а2 - — ) • 4тгД2 dR, 2 J 2 J \ 3 / о откуда после интегрирования получается искомый результат. 15. (С. 85.) Выражая в A6.6) Ei и Ег через градиенты соответствующих потенциалов ц>\ и у>2, получим 4тг, Выделим из полного поля малую сферу S, охватывающую заряд ег- Пренебрегая долей взаимной энергии, локализованной внутри этой сферы, и применяя теорему Грина E2*), можем написать Wi2 f<pipdS Аж J on in s v В пространстве V', расположенном вне сферы S, V2if2 = 0; стало быть, последний интеграл равен нулю. Если заряды е\ и ег достаточно удалены
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 565 друг от друга, то на поверхности сферы S потенциал ip\ можно считать постоянным и равным ei/R. Следовательно, 4L^^EldS = -^±-с?е2п dS. 4тг/ дп AttRJ Приняв во внимание, что в данном случае нормаль нужно считать на- направленной внутрь сферы S, и воспользовавшись теоремой Гаусса C.6), получаем искомый результат. 16. (С. 109.) По определению, Воспользовавшись B2.8) и B2.9), получаем искомый результат. 17. (С. 109.) Приведенные утверждения следуют непосредственно из формулы B2.9) для щели, параллельной Е, и из B2.8) (при а = 0) для щели, перпендикулярной к Е. В концевых же участках щели ограничиваю- ограничивающие ее поверхности сходятся под углом либо, во всяком случае, обладают значительной кривизной, направление нормали к ним испытывает резкие изменения, так что поле в прилегающих участках щели отличается значи- значительной неоднородностью. 18. (С. 110.) Приведенные в этой задаче условия однозначности реше- решения полной системы (А) уравнений электростатического поля отличаются от приведенных на с. 107 тем, что здесь для проводников не задано распре- распределения зарядов а на их поверхности. Поэтому в примененной там формуле V S к поверхности S должны быть причислены все поверхности проводников. Но на каждой такой поверхности либо tp" = 0 (задача А), либо ip" = const (задача В). В последнем случае можем вынести ip" за знак интеграла и получаем D'n dS = * Dn dS - <? D'ndS = 4тге - 4тге' = 0. J J Стало быть, все интегралы по этим поверхностям в обоих случаях рав- равны нулю, и приведенное на с. 108 доказательство однозначности решения сохраняет силу. 19. (С. 110.) Согласно B2.8) и B2.10) электрическая индукция D бу- будет иметь во всем пространстве между обкладками постоянное значение ?) = 47г<т, где <х — плотность заряда на обкладках конденсатора. Напря- Напряженность поля в первом и во втором слое будет равна соответственно Е\ = = Атгсг/ei и Ei = Ажа/?2- Наконец, разность потенциалов между обкладками будет равна y>2—f>i = Eid\+E2d2- Отсюда на основании соотношения е = Sa и формулы (9 1) легко найти С. 20. (С. 165.) По соображениям симметрии, результирующая F натяже- натяжений, приложенных к диэлектрику, должна быть перпендикулярна его по- поверхности, т. е. параллельна оси z. Поэтому F = FZ= jTzzdxdy, s где интегрирование распространяется по поверхности диэлектрика z = 0, а Tzz — значение соответствующей слагающей натяжений с внешней стороны поверхности диэлектрика. Переходя к цилиндрическим координатам z, r, а,
566 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ получаем F- I Tzz -2-KTdr, Полагая в B3.12) s\ = 1 и ?2 = ?, убеждаемся, что поле вне диэлектрика eR 1-е eR' , 1 - е равно сумме поля — заряда е и поля фиктивного заряда е, R3 1 + ей'3 1 + е помещенного в точку Р', являющуюся изображением в плоской поверхности диэлектрика точки нахождения заряда е. Поэтому у внешней поверхности лиэлектпика „ _ его 1-е его _ 2еего Ней3 A + е)Д3' р _ ег 1 — ? ег _ 2ег Г ~ Д3 + 1+? Д3 ~ A 4- е)Д3' Еа = 0, где Д = ^Jr2 + zl Так как в вакууме Г" = 0 и поэтому Т = Т", то на основании C4.2) Следовательно, 2 7rdr(e2z$-r2) = е-1 е2 (^ 2 2' 7rdr У ( о Предоставляем читателю получить тот же результат, определяя равно- равнодействующую натяжений, приложенных к произвольно малой сфере, окру- окружающей заряд е. 21. (С. 176.) Ввиду отсутствия зарядов внутри однородного проводника [уравнение C7.7)], можем повторить рассуждения, приведшие нас при ре- решении задачи 12 к формуле <р = C/R + D. Таков будет потенциал внутри конденсатора, а разность потенциалов на его обкладках будет (а) Поле Е будет направлено по радиусу шара (Е = \Er\) и АС Наконец, сила тока, протекающего через конденсатор, т. е. через концен- концентрическую его обкладкам шаровую поверхность произвольного радиуса R (при условии Й1 < R < Дг), будет равна J = j> jr dS^XCcj)^^ 4тгСА. (b) Разделив почленно уравнение (а) на уравнение (Ь), получим на основа- основании C5.1) искомое значение сопротивления R. 22. (С. 177.) По определению, tgA = ^- (г = 1,2). Воспользовавшись уравнениями C7.5), C6,5) и G.7), получаем искомый результат.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 567 23. (С. 177.) Отнесем значок 1 к проводнику, а значок 2 к окружающему его диэлектрику. Так как j2n = ft, то вследствие C7.5) и jin = 0. Отсюда на основании C6.5) имеем Ein = 0 и Din = 0. Поэтому уравнение B2.7) дает искомый результат: Векторы Е и D перестают быть перпендикулярными поверхности про- проводника по той причине, что тангенциальные их слагающие уже не равны нулю, как при отсутствии тока. Последнее вытекает из B2.9) и C6.5). 24. (С. 181.) Нарушение изоляции означает соединение с землей через некоторое неизвестное сопротивление г. В первом случае ток 3, возбуждае- возбуждаемый электродвижущей силой батареи SCTp, разветвляется в точке наруше- нарушения изоляции на два тока 3\ и 32, которые идут через сопротивления г и (с — x)s в землю (s есть сопротивление единицы длины телеграфного про- провода). Применяя к этому случаю первый и второй законы Кирхгофа C7.1) и C8.8), получим (полагая сопротивление земли, а также сопротивление за- заземления на станциях равными нулю): J=Ji+J2, Jxs + Jir = gCTp, -Jir + J2(c-x)s = 0. Аналогичные уравнения получим для второго случая; в третьем же слу- случае имеем только одно уравнение, ибо тут остается только один замкнутый контур, так что 32 = 0, 3" = 3" Из полученных семи уравнений удается исключить семь неизвестных: Л, 32, 3[, 32, г, <Гтриз. В результате получаем Лк-ск' ) где з" з" 33" j-j»' З'-З"' \bk~ck' 25. (С. 203.) В случае прямолинейного тока входящий в D2.4) вектор имеет одинаковое направление для всех элементов тока (при фикси- фиксированной точке наблюдения). Поэтому числовое значение вектора Н равно сумме числовых значений подынтегрального выражения формулы D2.4) ds sin (ds, R) н-lf- с J В? Если г есть длина перпендикуляра, опущенного из точки наблюдения на прямую тока, а а — угол между г и R, то R = и ds sin (ds, R) = Rda. cos а Следовательно, jr/2 jr/2 tT 3 f da 3 f , 13 H = — I — = — / cos ada = —. с J R re J cr -w/2 -x/2 В справедливости приведенных в тексте утверждений относительно формы и направления силовых линий убедиться весьма легко. 26. (С. 203.) Радиус-вектор от произвольного элемента тока ds до точ- точки оси тока равен R = Ro + d (если считать вектор Ro направленным от окружности к центру), поэтому [dsR] = [dsRo] + [dsd]. Если мы подставим этот результат в формулу D2.4), то вследствие симметрии задачи интеграл по [dsd] будет равен нулю, ибо вектор [dsd] параллелен Ro. Вектор же
568 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ [dsRo] параллелен вектору — d и действительно составляет с направлением тока правовинтовую систему. Наконец, ввиду перпендикулярности Ro и d R2 = До + d2. Таким образом, числовое значение вектора Н равно 3 Г ~ с? ds-Rp _ J -2тгДо 27. (С. 206.) Согласно правилам перемножения векторов, [ds2 [dsiRi2]] = dsj (ds2Ri2) — Ri2 (dsi ds2). Вносим это в D3-1) и интегрируем по контурам L\ и L2 обоих токов. Интеграл первого члена равен [ср. A0*)]: (ds2Rl2)=-^dSi^Ugradtt^-)^ т Ф dsi —рз ^ = -<fdsid) ( ибо подынтегральное выражение второго интеграла является полным диф- дифференциалом. Следовательно, результирующая сила fb, с которой весь пер- первый ток действует на весь второй, равна Соответствующее выражение для f2\ получим, обменяв местами индек- индексы 1 и 2. Приняв во внимание, что Ri2 = —R21, получаем fl2 = — f21. 28. (С. 206.) Рассмотрим разность между выражением D3.1) для силы Ei и ее выражением, данным Ампером. Опуская фактор J\J2/c2, получаем для этой разности следующее выражение (ср. предыдущую задачу): §- (Rl2 ds2) - ^ (<bi ds2) - Щ^ (ds1R12)(ds2R12) + 2 5Н (rfsi ds2) = H12 R12 Д12 R12 = —?- (R12 ds2) + —?- (dsi ds2) -j— (dsiRi2)(ds2Ri2). K12 it12 л12 Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что интеграл этого выра- выражения по замкнутому контуру тока Ji равен нулю. Что это действительно имеет место, следует из того, что приведенное выражение совпадает с по- последним членом уравнения D3 5), если в этом уравнении положить ) В самом деле, приняв во внимание, что dRi2 = — ds\ (см. с. 206) имеем (см. также (9*)]: (ds2Ri2) Ri2(ds2 • (—а - d (Ri2(ds2Ri2)-^- ] = Rl2 —, dsi ) = Hi2(ds2dsi) 3Ri2 . , „ .._ , . H rj rg— (rfs2Ri2)(Ri2 dsi).
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 569 29. (С. 209.) Проведем через лежащую внутри цилиндра точку Р ряд ме- меридиональных плоскостей, рассекающих поверхность цилиндра на ряд пря- прямолинейных полосок (рис. 92). Ширина противоле- противолежащих полосок равна соответственно dsi = т\ dip и ds2 = тг dip; силы же токов, протекающих по этим полоскам, пропорциональны их ширине: dJ\ — к ds\ = kr\ dtp и йЗг = к ds2 = кгг dip. Стало быть, напряженности полей dH\ и <Шг, воз- возбуждаемых каждой из этих прямолинейных поло- полосок тока в точке Р, равны друг другу [см. D2.5)]: СГ\ С СГ2 Так как, кроме того, векторы dHi и <Шг на- направлены противоположно друг другу, то поля каждой пары противолежащих полосок взаимно компенсируются. 30. (С. 220.) Вследствие симметрии вектор Н есть функция только от г. Чтобы найти слагающую На (вводим цилиндрические координаты г, a, z), применим формулу D7.4), в которой в качестве замкнутой кривой L возьмем концентрическую току окружность радиуса г. Получаем Ha-2vr= — с Для г ^ го ДЛЯ Г < Го (ВВИДУ jn = J/GITo)) 7ГГ5 Г5 отсюда и найдем значения Неа и Нга- Что же касается слагающей Hz, то она равна нулю, ибо напряженность поля каждого из элементов тока, со- согласно D4.2), перпендикулярна направлению тока z. Наконец, из D7.1) и B2*) следует, что rHT = const, что ввиду конечности вектора Н при г = О может иметь место лишь при Нг — 0. 31. (С. 227 ) Введем цилиндрическую систему координат z, r, а, ось z которой совпадает с осью провода. Магнитные силовые линии поля каждой из прямолинейных нитей тока, на которые может быть разложен рассматри- рассматриваемый ток, представляют собой окружности, плоскость которых перпенди- перпендикулярна оси z. Это обстоятельство, а также симметрия задачи дают основа- основание предположить, что и магнитные силовые линии поля рассматриваемого тока будут окружностями, концентрическими с цилиндрическим проводни- проводником, т. е. что Hz — Нт =0иЯ = На. Ввиду симметрии задачи На может зависеть только от координаты г, так что уравнение div Н = 0 будет удовле- удовлетворено. Далее, ввиду отсутствия объемных токов rot H = 0. На основании C2*) и сделанных предположений относительно слагающих вектора Н это уравнение сводится к уравнению — (гНа) = 0, откуда На = а/г, где а — дг постоянная. Внутри цилиндра значение постоянной в этом выражении должно рав- равняться нулю, ибо в противном случае На на оси проводника при г = 0 обращалось бы в бесконечность. Стало быть, внутри цилиндра Н = 0, т. е. поля нет. Значение постоянной вне цилиндра определяется из пограничного
570 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ условия D9 3), которое в нашем случае принимает вид in \ _ a _4ni Го С где го — радиус полого цилиндрического проводника, а г — поверхностная плотность тока, связанная с полной силой J тока, протекающего по цилин- цилиндру, соотношением 27ггог" = J- Следовательно, а = 2J/c и напряженность поля вне цилиндра равна Н = На = 2J/(cr), что и требовалось доказать. Согласно общей теореме, полученное нами решение системы уравне- уравнений (В) единственно. 32. (С. 295.) Согласно результатам задачи 30 (с. 220), магнитные линии рассматриваемого тока при fi = fi = fi" = 1 представляют собой концен- концентрические окружности. Если неоднородные в магнитном отношении участ- участки поля разделены коаксиальными цилиндрическими поверхностями, то эта круговая симметрия магнитных линий нарушиться не может. Применение формулы D7.4), остающейся справедливой для произвольной среды, приво- приводит в нашем случае к тем же значениям вектора Н, как и в задаче 30. 33. (С. 298.) См. решение задачи 17. 34. (С. 344.) Из симметрии задачи и из аналогии с электрическим полем диэлектрического шара, поляризованного однородным внешним полем [см. уравнение B4.5)], явствует, что поле Н, внутри магнита будет однородным, а поле Не вне магнита будет полем диполя. Соответственно этому полагаем, что скалярные потенциалы внутреннего и внешнего магнитных полей равны zM . . tpt = -zHt, (pe = —, (а) причем ось z предполагается выбранной по направлению постоянного намаг- намагничения магнита 1о. Из условия непрерывности потенциала на поверхности магнита получаем -я. = ^, (Ь) а3 где а означает радиус магнита. Далее, условие непрерывности нормальной слагающей магнитной ин- индукции на поверхности магнита имеет вид B,R= ^HtR+AnloR = BeR= fleHeR При R - п. (с) Радиальные слагающие магнитного поля равны (d) HeR ^ где в — полярный угол, отсчитываемый от оси z. Поэтому из (с) следует: a3 Из (b) и (d) получаем окончательно: м_ 4тг7оа3 1V1 — —————— т Таким образом, в соответствии с G4.13) потенциал у>е, а следовательно, и внешнее поле Не сферического постоянного магнита обратно пропорцио- пропорциональны величинеи, + 2це ¦ 35. (С. 373.) Применим формулу G7.2), в которой положим /эстр /л „ й'инд л/ннд , л/инд & — U И б — <3внш + <5витр! где «,/иид _ Tl бвитр — ~Ll at
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 571 есть электродвижущая сила самоиндукции Общее решение получаемого та- таким образом неоднородного дифференциального уравнения f R' + L' — = *'ow sin U (а) dt выражается суммой произвольного частного решения этого уравнения и об- _SLt щего решения Ае ?' соответствующего однородного уравнения /в! + и *L = о. dt Через достаточно большой промежуток времени последний член этой сум- суммы сделается вследствие затухания сколь угодно малым и останется только первый член. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме /' = Jq sin (uit — ip). Подставляя это выражение для J' в наше уравнение (а), разлагая sin (uit — ip) и cos (wt — <p) и приравнивая коэффициенты при sinwi и cosu>t в обеих частях уравнения, имеем JqR' cos <p + L'J'ou> sin <p = Фо^, —JoR' sin <p + L'Jqui cos <p — 0, откуда и получим искомое значение J'o. Чтобы найти работу, необходимую для поддержания вращения конту- контура, заметим, что потенциальная функция тока во внешнем магнитном поле, согласно F5.4), равна (в практических единицах): U' = -J'V = -J'9'ocosut. Следовательно, за элемент времени dt силы магнитного поля должны совершать работу [см. уравнение G9.1)]: т I J затрата же работы извне должна быть равна по величине и обратна по знаку. Стало быть, затрата внешней работы за время одного периода равна т sin (hit — <р) sin uitdt = - wJ'^'q cos ip ¦ T. 0 Внеся сюда значения cos <p и Jq и произведя пересчет на единицу време- времени, получим приведенное в тексте выражение. 36. (С. 412.) Так как, согласно § 86 (с. 399), наличие приложенного извне напряжения эквивалентно наличию в цепи соответствующей сторон- сторонней ЭДС, то уравнение (89.9) примет в рассматриваемом случае вид J'R' = <?"">« + Vl - ip2 + S'cd, или [ср. уравнение (89.3)] ' /7 V R'f = --?/ —+ ?&caBut. d dt Дифференцируя это уравнение по t и воспользовавшись соотношением (89.2), получаем окончательно: L<^L + B!—-?—tf = -ш4 sinwt. Общее решение этого неоднородного уравнения выражается суммой об- общего решения соответствующего однородного уравнения (89.5) и произволь- произвольного частного решения рассматриваемого неоднородного уравнения. Первое
572 РЕШЕНИЯ ЗЛДЛЧ слагаемое представляет собой собственные колебания контура, амплитуда которых благодаря затуханию с течением времени стремится к нулю. Что же касается частного решения рассматриваемого уравнения, то мы можем искать его в форме 3' = Jo cos (ш1 — <р). Внеся это выражение в наше уравнение и приравняв коэффициенты при sinujt и cosujt в правой и левой частях уравнения (ср. задачу 35), получим два соотношения для определения Зо и tg ip. 37. (С. 474.) Из (98.9) следует, что в случае гармонических колебаний осциллятора средний квадрат тока равен p \dtj p u ip Воспользовавшись соотношением и> = 2жс/\ и внеся полученное для р§ вы- выражение в формулу (99.17), находим 2-"~ Зс~ что и требовалось доказать. 38. (С. 474.) Допустим, что магнитный момент системы равен М(?) = где Мо — постоянный вектор. В волновой зоне, т. е. при R » с/ш = А/27Г, первым членом выражения (98.13) можно пренебречь по сравнению со вто- вторым членом, так что А = —— [MoR] sin w ft--']. cR2 \ с / В сферической системе координат с центром в диполе, ось которой направ- направлена по вектору Мо, ш / R\ Ar = А-0 = 0, Аа = Мо sin v ¦ sin w I t I . cR К с J Так как скалярный потенциал поля магнитного диполя равен нулю, то ~ с dt ER = Е-» - 0, Еа - ^— Мо sin д ¦ cos w c2R НУ Далее, вычисляя Н = rot А с помощью C1*) и ограничиваясь старшими членами, в знаменатель которых R входит в первой степени, получаем Ня = На=0, Щ = Еа. 39. (С. 549.) Из уравнения Максвелла (II) следует, что статическое элек- электрическое поле является потенциальным не только в покоящихся, но и в движущихся средах: rotE = 0, E = -V<p. Из A11.3) и A11.6) следует, что ji = ри + Ai ( -V^i + — В 1 , j2 = -A2Vy>2, где индексы 1 и 2 относятся соответственно к железному шару и к элек- электролиту. В выражениях для ji можно заменить магнитную индукцию В во вращающемся шаре значением Во этой индукции в покоящемся шаре, ибо
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 573 относительная разность между В и Во должна быть порядка и/с, а в выра- выражении для jx эта разность множится в свою очередь на и/с, т. е. приводит к членам порядка w2/c2, которыми мы пренебрегаем. Индукция Во в шаре, по условию, постоянна по величине и направлена по оси вращения, так что [иВо] = [[иг] Во] = wBot, где г — векторное расстояние точки от оси вращения. Стало быть, XlUJ Л = ри - \\\ч>\ -\ с Внося выражения для ji и J2 в уравнение divj = О, которое на основании уравнения непрерывности справедливо для любой си- системы постоянных токов, получаем •> 2lj ¦> -V vi + — Во = О, V>2 = О, (А) с ибо divr = 2 и div (ри) = 0 Действительно, в сферической системе коор- координат R, 0, а вектор ри имеет только одну, отличную от нуля, слагающую риа, причем значение этой слагающей ввиду аксиальной симметрии задачи от угла а не зависит. Отсюда на основании B0*) следует, что div(pu) = 0. На поверхности шара, т. е. при R = а, должен быть, во-первых, непре- непрерывен электрический потенциал: Vi — V2 при R = а, (В) и, во-вторых, непрерывна нормальная слагающая плотности тока: j\R = J2R при R = а. Последнее уравнение может быть записано так: _Al^i + ^BojRsm*0 = _A2E^ при R = a> (С) oR с dR ибо слагающая вектора г по направлению радиуса-вектора R равна г sin в = = R sin2 в. Наконец, необходимо, чтобы потенциал был всюду конечен, а на бесконечности стремился бы к нулю. Приведенные в тексте выражения для vi и fz-* как легко убедиться, удовлетворяют уравнениям (А), (В), (С) и условию в бесконечности, сово- совокупностью которых потенциал определяется однозначно.
ПРИЛОЖЕНИЯ I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В этом приложении векторный анализ изложен в объеме, необходимом для чтения настоящей книги; ни к полноте, ни к математической строгости изложения мы не стремились. § 1. Векторная алгебра Векторная алгебра предполагается читателю известной, и здесь мы лишь напомним некоторые основные ее определения и формулы. Скалярное произведение векторов а = axi + ау} + azk, Ь = bxl + byj + bzk, где i, j и k — единичные векторы по осям координат х, у, z, равно ab = (ab) = ba = abcos (a, b) = axbx + ayby + azbz. Векторное произведение [ab] векторов а и b является векто- вектором, перпендикулярным к а и b и по абсолютной величине рав- равным площади параллелограмма, построенного i[*b] на этих векторах: j [ab] | = absin(a, b), [ab] = i J k ax ay az bx by bz * = (aybz— azby)\ + (azbx— axbz)j + (axby— aybx)k; Рис- 93 [ab] = -[ba]. Направление вектора [ab] определяется из требования, что- чтобы векторы a, b и [ab] образовывали правовинтовую систему (рис. 93I). х) Назовем совокупность трех взаимно ортогональных единичных век- векторов а, Ь, с, проведенных из общего начала, ортогональной тройкой. Все такие тройки разделяются на два класса, носящих название право- и левовинтовых троек. Тройки одного и того же класса могут быть приве-
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 575 Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех век- векторов a, b и с является скаляром и численно равно объему па- параллелепипеда, построенного на этих векторах: a[bc] = b[ca] = c[ab) = ax ay az bx by bz Cx Cv Cz a[bc] = —b[ac] = —a[cb]. Двойное векторное произведение векторов а, Ь и с равно [а[Ьс]] = Ь(ас) — c(ab) = — [[Ьс]а]. Если векторы являются функциями некоторой скалярной пе- переменной t, то при соблюдении обычных условий можно диффе- дифференцировать векторы по этой переменной. При этом имеют место соотношения d i , » \ d& , db d i \ d& , du> — (a + b) = h —, — (y?a) = (p h-a, dt dt dt dt dt dt d(ab) _ dt ~ дены в совпадение вращением (так, чтобы а совпадало с а', Ь с Ь' и т. д.). Тройки же правовинтовые переходят в тройки левовинтовые путем зеркаль- зеркального отраженгмя, т. е. путем обращения направления всех трех векторов тройки (а также путем обращения направления одного, но не двух из этих векторов). Весьма важно, что не существует инвариантного геометрического опреде- определения этих двух классов троек: чтобы определить, например, правые трой- тройки, необходимо конкретно указать какую-либо тройку этого класса (ссылкой на пальцы человеческой руки, на буравчик определенной нарезки и т. п.). Очевидно, что все имеющие геометрический и физический смысл соотноше- соотношения не могут зависеть от того, какой из классов троек мы условимся назы- называть правым. Это утверждение принято формулировать так: все соотноше- соотношения должны быть инвариантны по отношению к зеркальному отражению, или, просто, зеркально инвариантны. Направление векторного произведения двух векторов определяется тре- требованием, чтобы [ab] образовывало с а и Ь правую тройку, поэтому направ- направление [аЬ] изменяется на обратное при зеркальном отражении в плоскости, параллельной [ab], и не меняет знака при отражении в плоскости, перпен- перпендикулярной [ab]. Векторы этого класса называются аксиальными в отли- отличие от векторов в собственном смысле слова, направление которых задается непосредственно, вне зависимости от выбора координат или правых троек, и которые называются полярными. Аксиальные векторы, в отличие от по- полярных, не меняют знака при отражении в трех взаимно ортогональных плоскостях. Равенства между двумя полярными векторами или между дву- двумя аксиальными векторами зеркально инвариантны; равенство же между одним полярным и одним аксиальным вектором не инвариантно и физиче- физического смысла иметь не может. Легко убедиться, что градиент скаляра является полярным вектором; ро- ротор полярного вектора является аксиальным вектором. В частности, напря- напряженность электрического поля есть полярный вектор, напряженность же магнитного поля — аксиальный вектор.
576 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I § 2. Векторные и скалярные поля. Градиент 1 Векторным или скалярным полем называется область про- пространства, каждой точке которой отнесено значение некоторого вектора или скаляра. Поскольку каждая точка поля определяет- определяется ее радиусом-вектором R, задание векторного или скалярного поля эквивалентно заданию некоторой векторной функции a(R) или соответственно скалярной функции </?(R). Функции a(R) и </?(R) могут, конечно, зависеть, помимо R, также и от каких-ли- каких-либо скалярных аргументов, например времени. Функции a(R) и ^>(R) мы будем считать непрерывными и дифференцируемыми относительно всех их аргументов. Рассмотрим скалярное поле функции </?(R) = <р(х, у, z). Та- Таким полем является, например, поле температуры неравномер- неравномерно нагретого тела (</? = Т), поле плотности неоднородного тела (<р — т), поле электростатического потенциала и т. п. 2. Пусть скаляр (р имеет в точке Pq значение </?о и пусть при перемещении ds по направлению вектора s мы приходим из точ- точки Ро в точку Р, где скаляр ip имеет значение (ps. Приращение <р при этом перемещении равно d<p — tps — (р0. Предел отношения этого приращения d<p к числовому значению перемещения ds обо- обозначается через d<p/ds и называется производной скаляра (р в точке Ро по направлению s: lim . И) ds ds->0 ds Очевидно, что значение этой производной существенно зави- зависит от выбора направления s и что ее ни в коем случае нельзя смешивать с обыкновенной частной производной по скалярному параметру s. 3. Для изучения зависимости производной -^ от направления дифференцирования s рассмотрим те точки поля, в которых <р имеет одинаковое значение, равное, например, щ. Совокупность этих точек, вообще говоря, образует собой поверхность 1), кото- которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Аналитически поверхность эта характеризуется уравнением (р(х, у, г) - <р0. Рисунок 94 изображает сечение плоскостью чертежа ряда по- поверхностей уровня, соответствующих значениям скаляра <р, рав- равным (ро, <ро ± А<р, <ро ± 2Aip и т. д. В поле точечного заряда х) Помимо участков пространства, в которых (р = const, исключение могут составлять те изолированные точки поля, в которых значение ip достигает максимума или минимума
ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ ГРАДИЕНТ 577 или заряженного шара поверхности уровня электростатического потенциала представляют собой концентрические сферы, в поле заряженного бесконечного цилиндра — коаксиальные цилиндры и т. д. Вообще же в более сложных случаях последовательные эквипотенциальные поверхности различны не только по своему положению и размерам, но и по своей форме. Однако, во всяком случае, поверхность каждого проводника является эквипотен- эквипотенциальной поверхностью, ибо потенциал проводника в электро- электростатическом поле постоянен на всем его протяжении (§ 9). Обозначим через п нормаль к поверхности уровня ц> = щ, направленную в сторону возрастания <р, и покажем, что, зная производную dip/dn по направлению этой нормали, можно опре- определить значение производ- производной скаляра (р по любому направлению s. Пусть поверхность уровня, проходящая через лежащую в направлении s точку PSl Фо+2Аф фо+Аф Рис 95 пересекает нормаль п (или ее продолжение в обратном направ- направлении) в точке Рп (рис. 95). Значение <р в точке Рп равно значе- значению ср в точке Ps((pn — <Ps) и POPS = PoPn Поэтому ?.\ = li s/O F0P3 cos (s, n) -+0 P0Ps — ) cos (s, n). Таким образом, —*- =¦ —*- cos (s, n). \l ) os on Вектор, численно равный д(р/дп и направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания tp, носит название градиента скаляра (р: grad ip = -f- n. on C*)
578 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I Поэтому уравнение B*) может быть записано так: ^ = | grad <р\ ¦ cos (s, n) = grads (p. as D*) Стало быть, производная (р по направлению s равна проекции вектора градиента (р на направление s. Если, в частности, ввести систему декартовых координат х, у, z, оси которой направлены параллельно единичным векторам i, j, k, то, согласно уравнению D*), получим дх ы ду ¦= ??. E*) dz K ' т. е. Из уравнения D*) следует, как это, впрочем, и непосредствен- непосредственно явствует из рис. 95, что направление градиента п есть направ- направление наиболее быстрого возрастания скаляра (р, а направление (—п) есть направление наиболее быстрого убывания ср. В направ- направлениях же, перпендикулярных к п, т. е. касательных к поверх- поверхности уровня, значение ш вовсе не изменяется (d(p/ds = 0). Чтобы наглядно изобразить зависимость значения производ- производных <р от направления, проведем из данной точки Pq два равных и противоположных вектора grad ip и — grad <р и опишем вокруг каждого из них, как вокруг диаметра, ша- шаровые поверхности S и 5 (рис. 96). Тогда абсолютная величина производной dipfds в точке Ро по произвольному направлению s изобразится отрезком PoPs луча, проведен- проведенного из Ро в направлении s, ибо угол PqPsN равен 90°, и PoPs = PoN cos (s, n) = grad ip ¦ cos (s, n). Аналогичное соотношение справедливо и для того случая, когда s направлено в сторону шаровой поверхности S . Поверх- Поверхность, касательная к сферам S и S' в точке Ро, есть, очевидно, поверхность уровня. 4. Итак, если известно поле скаляра tp, то в каждой точке этого поля можно опре- определить вектор grad</?, перпендикулярный Е Рис. 96 р g/ рур поверхностям уровня этого скаляра. Если провести систему ор- ортогональных траекторий поверхностей уровня, т. е. систему ли- линий, перпендикулярных этим поверхностям (на рис. 94 эти линии обозначены штриховыми), то в каждой точке поля направление
§ 2 ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ ГРАДИЕНТ 579 градиента будет совпадать с направлением этих линий. Поэтому ортогональные траектории поверхностей уровня носят название линий градиента. Если проводить поверхности уровня так, чтобы значение ip на последовательных поверхностях возрастало в арифметиче- арифметической прогрессии, т. е. равнялось бы сро, <Ро ± А(р, фо ± 2Д</? и т. д. (см. рис. 94), то расстояния смежных поверхностей уровня при достаточно малом Аср будут обратно пропорциональны зна- значениям градиента. Действительно, если измеренное по нормали расстояние между смежными поверхностями уровня обозначить через An, то из приближенного соотношения Aip = ~ An = grad (pAn on при постоянном Д<?> следует const Поэтому при указанном способе черчения поверхностей уров- уровня густота их расположения дает приближенное представление о числовом значении градиента. Заметим также, что если скаляр <р выражен в функции от другого скаляра ф, являющегося функцией точки [<р = /(?/>)], то при любом выборе направления дифференцирования s так как grad^=^grad</>, G*) что следует из формулы обычного дифференцирования функции от функции. Пример 1. Градиент числового значения радиуса-векто- радиуса-вектора R. Прежде всего заметим, что числовое значение радиуса-век- радиуса-вектора R есть скалярная функция положения двух точек: началь- начальной точки радиуса-вектора О и его конечной точки Р (рис. 97). Мы будем называть первую из этих точек точкой истока, а вто- рую — точкой наблюдения, ибо часто приходится рассматривать радиусы-векторы, проведенные из истоков поля (например, элек- трических зарядов) в ту «точку наблюдения», в которой опреде- ляется значение потенциала или рис. 97 напряженности поля. При определении значения grad R в зависимости от условий задачи необходимо различать два случая: 1) точка истока О фик- фиксирована, и R рассматривается как функция положения точки
580 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I наблюдения Р, и 2) точка Р фиксирована, и R рассматривает- рассматривается как функция положения точки истока О. Значение gradi?, соответствующее первому случаю, мы будем обозначать через grada R, а соответствующее второму — через gradg R. Определим сначала gradai?, т е. предположим, что точка истока О фиксирована. Направление grada R, т. е. направление наиболее быстрого возрастания расстояния R при возможных пе- перемещениях точки Р, совпадает, очевидно, с направлением ра- радиуса-вектора R из О в Р. Числовое же значение производной R по этому направлению, очевидно, равно единице, ибо при пере- перемещении точки Р по направлению R на отрезок ds расстояние R возрастает на ту же величину ds Стало быть, grada R есть еди- единичный вектор, направленный по R, т. е. i? Что же касается grad9 R, то он должен быть направлен обрат- обратно R, ибо расстояние R возрастает наиболее быстро при пере- перемещении точки О в противоположную от Р сторону (см. рис. 97). Абсолютная же величина grad? R, очевидно, тоже равна единице, так что о g R. (8*) Определив, таким образом, gradi?, мы можем с помощью G*) определить градиент любой скалярной функции f(R) от число- числового значения R: № (9*) dR абсолютная величина этого вектора равна |grad/(J2)| = |5M В частности, /  \ U / 1 \ A0*) Предоставляем читателю в виде упражнения доказать фор- формулу (8*) путем непосредственного вычисления слагающих grad R в декартовых координатах, выразив предварительно R в функции координат х, у, z и х', у', z' точек О и Р. Пример 2. Показать, что если b есть постоянный по ве- величине и направлению вектор, то grada(bR) = b (Ь = const). (И*) Вектор R имеет слагающие х' — х, у' — у, z' — z; поэтому bR = = Ьх(х' — х) + by (у' — у) + bz(z' — z). Слагающая по оси вектора grada(bR) равна — (bR) = Ьх; две другие соответственно равны дх' by и bz, откуда и следует формула A1*).
§ 3 ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ 581 § 3. Поток вектора через поверхность Если задано поле произвольного, но дифференцируемого ска- скаляра y?(R), то тем самым задано и поле производных этого ска- скаляра по произвольному направлению. Инвариантной, т. е. не за- зависящей от выбора системы координат характеристикой этого поля производных является, как мы видели, поле вектора grad tp. Нам предстоит теперь определить инвариантные характеристи- характеристики поля пространственных производных произвольного вектора a(R). К этим характеристикам, естественно, приводит рассмо- рассмотрение поверхностных и криволинейных интегралов вектора а. Мы начнем с исследования поверхностных интегралов. В поле произвольного вектора выделим мысленно бесконечно малую плоскую площадку dS, т. е. площадку столь малую, что во всех ее точках вектор а с заданной степенью точности остает- остается постоянным по величине и направлению. Проведем нормаль к этой площадке и условимся одно из направлений этой нормали п считать положительным, или внешним, а другое — отрицатель- отрицательным, или внутренним. Если задано направление обхода контура площадки, то направление положительной нормали мы будем выбирать так, чтобы нормаль эта образовала вместе с контуром правовинтовую систему i+n Это значит, что при повороте ручки буравчи- буравчика правой нарезки по направлению заданного обхода контура острие буравчика пойдет по положительной нормали (рис. 98). Обратно, если задано направление внешней нормали, то мы будем соответственным образом вы- выбирать направление положительного обхода контура площадки. Наконец, если направление обхода конту- контура и направление нормали к его плоскости за- заданы независимо друг от друга, то мы будем рис gg для краткости говорить, что направление об- обхода и направление нормали составляют правовинтовую систе- систему, если они удовлетворяют упомянутому условию, и левовин- товую систему, если они ему не удовлетворяют. Направление нормали мы будем характеризовать совпадаю- совпадающим с ней единичным вектором п (п = 1). Потоком вектора а через бесконечно малую площадку dS называется величина dN = andS = а cos (a, n) dS = ап dS, A2*) где а — значение вектора на площадке dS, а ап — слагающая его по направлению п Площадка dS выбрана нами бесконечно малой именно для того, чтобы вектор а имел на этой площадке одно определенное значение.
582 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I Чтобы определить поток вектора через поверхность конеч- конечных размеров, нужно разбить ее на бесконечно малые площад- площадки dS так, чтобы не только вектор а оставался постоянным на каждой площадке, но чтобы и самые площадки могли считать- считаться плоскими (рис. 99). Одну из сторон поверхности S назовем внутренней, а другую — внешней и выберем соответственным образом направление внешних норма- нормалей к каждому из элементов dS. Пото- Потоком N вектора а через поверхность S называется алгебраическая сумма по- потоков ап dS через отдельные элементы этой поверхности. Это суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла: и называется интегрированием по поверхности S. Оно обозна- обозначается двойным интегралом потому, что поверхность имеет два измерения. Однако для упрощения записи мы в этой книге обо- обозначали двукратные интегралы, как и интегралы однократные, одним-единственным знаком интеграла: N=[andS. A3*) s Напомним, что во всех поверхностных (и только в поверхностных) интегралах мы обозначали элемент интегрирования через dS. Данное величине N название потока вектора взято из гидродинамики. В гидродинамике изучается векторное поле скорости жидкости: в каждый данный момент с каждой точкой заполненного жид- жидкостью пространства связано определенное значе- значение вектора скорости v, а именно, то значение этой скорости, которым обладает находящийся в этой точке элемент жидкости. Поток вектора скорости жидкости через элемент поверхности dS dN = vn dS есть не что иное, как объем жидкости, протекаю- протекающий через этот элемент за единицу времени в на- направлении внешней нормали к dS. Действитель- Действительно, за единицу времени каждый элемент жидкости переместится на расстояние v; стало быть, через р „ площадку dS пройдут все те и только те частицы fnc. 10U жидкости, которые в начале рассматриваемого про- промежутка времени занимали цилиндрический объем с основанием dS и обра- образующими v 1) (рис. 100). Объем этого цилиндра равен vndS, если vn > 0. :)Для простоты предполагаем, что скорость v не зависит от времени и постоянна на всем протяжении этого цилиндра. В противном случае ука- указанные рассуждения нужно применить не к единице времени, а к элементу времени dt, тогда поток через площадку dS равен vn dSdt.
ТЕОРЕМА ГАУССА. ДИВЕРГЕНЦИЯ 583 Если векторы v и п образуют тупой угол, то vn < О, и поток жидкости отрицателен. Это значит, что жидкость протекает через dS в направлении, обратном внешней нормали п. Поток жидкости через конечную поверхность S равен, очевидно, потоку вектора скорости v через эту поверхность: N -I vn dS. Часто приходится вычислять поток вектора через замкнутые поверхности (поверхность шара, куба и т. д.). При интегрирова- интегрировании по замкнутой поверхности мы будем отмечать это обстоя- обстоятельство кружком у знака интеграла, так что, например, поток жидкости через замкнутую поверхность S запишется следую- следующим образом: N = G)vn dS. s Очевидно, что поток этот равен количеству жидкости, вытекающей в единицу времени из объема, ограниченного замкнутой поверхностью S. Если N < 0, то это значит, что внутрь поверхности втекает больше жидкости, чем вытекает из нее. § 4. Теорема Гаусса. Дивергенция 1. Поверхностный интеграл fandS можно преобразовать в объемный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа — теоремы Гаусса. Рассмотрим сначала поток dN произвольного, но дифферен- дифференцируемого вектора а через поверхность бесконечно малого па- параллелепипеда и выберем для удобства вычислений направление осей координат х, у, z так, чтобы они совпадали с ребрами этого па- параллелепипеда dx, dy, dz (рис. 101). Интеграл dN - j)an dS сводится в этом случае к сумме шести интегралов по каждой из граней параллелепипеда. Восполь- Воспользовавшись известной из интеграль- (x,y,z) dx Рис. 101 ного исчисления теоремой о среднем, можно каждый из этих ше- шести интегралов представить как произведение площади грани на некоторое среднее значение нормальной слагающей вектора а на данной грани. Рассмотрим сначала поток вектора а через две параллельные грани 1 и 2, перпендикулярные оси х. Поток через переднюю
584 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ грань 2 равен а2п(х + dx, у, z) dS = а2х(х + dx, у, z) dy dz, где у и г — некоторые средние значения координат t/игна гра- грани 2 и а,2 — значение вектора а на грани 2\ поток через заднюю грань / равен ain dS - -alx dy dz (ain = ain{x, y, z)), где сц — значение вектора а на грани 1, ибо внешняя нормаль к этой грани направлена противоположно оси х. Стало быть, общий поток через грани 1 и 2 равен (а2х -a\T)dydz. Разность О2х—oix есть приращение слагающей вектора ах при изменении координаты х на расстояние dx между гранями 1 и 2. С точностью до бесконечно малых второго порядка приращение это равно а2х{х + dx, у, z) - а\х{х, у, z) = ~^- dx, OX где ввиду бесконечной малости параллелепипеда под дах/дх можно понимать значение этой производной в любой точке па- параллелепипеда. Таким образом, общий поток через обе грани, перпендикулярные к оси х, равен —- dxdydz. дх Для потоков через пары граней, перпендикулярных осям у и z, получим аналогично: -2^- dy dx dz и -^- dz dx dy. dy dz Складывая полученные выражения, получим общий поток век- вектора а через все шесть граней элементарного параллелепипеда: dN= (f>andS=(^ + ^- + ^A dxdydz. A4*) / \дх ду dz J Стоящую в скобках сумму производных вектора а по осям координат принято для краткости обозначать символом diva: diva=^ + ^ + ^? A5*) дх ду dz K ' (читай «дивергенция а», смысл слова см. дальше). Если, кроме того, ввести для бесконечно малого элемента объема обозначе- обозначение dV: dV = dx dy dz,
§ 4 ТЕОРЕМА ГАУССА. ДИВЕРГЕНЦИЯ 585 то выражение потока dN примет вид <ttV = divadV. A6*) 2. Эту формулу, выражающую поток вектора а через поверх- поверхность бесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S. Разобьем ограничен- ограниченный ею объем V системой взаимно перпендикулярных плоско- плоскостей на совокупность бесконечно малых кубических элементов. Конечно, крайние, смежные с поверхностью S, элементы объема, вообще говоря, не будут иметь кубической формы; однако путем дальнейшего дробления их можно достигнуть того, чтобы гра- грани крайних кубиков с любой степенью точности совпадали с за- заданной поверхностью S- Вычислим с помощью уравнения A6*) поток вектора а через поверхность каждого кубика, лежащего внутри S, и сложим полученные выражения: = fffdi div&dV. v В этом уравнении тройной интеграл означает, что суммиро- суммирование подынтегрального выражения должно быть произведено по всем элементам трехмерного объема V, заключенного вну- внутри поверхности S. Однако на протяжении всей этой книги мы обозначали интегралы любой кратности одним-единственным знаком J; различение же интегралов разной кратности достига- достигалось различным обозначением элементов интегрирования: элемент объема (трехкратного интеграла) обозначался че- через dV, элемент поверхности (двукратного интеграла) через dS, элемент линии (одинарного интеграла) через ds. Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокуп- совокупности объем V, могут быть разделены на два класса — гра- грани внешние, совпадающие с элементами поверхности 5, и грани внутренние, отграничивающие смежные кубики друг от друга. Очевидно, что в сумму Yl dN поток вектора а через каждую внутреннюю грань войдет дважды: при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от нее. Так как нормаль к грани, внешняя по от- отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба пото- потока через эту грань будут иметь противоположные знаки. Следо- Следовательно, все члены суммы Y^dN, относящиеся ко внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведется к сумме потоков век- вектора а через одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие 21 И. Е. Тамм
586 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ с элементами поверхности S г). Таким образом, Yl^N оказыва- оказывается равной потоку N вектора а через заданную поверхность S, и, стало быть, ЛГ= (handS= jdw&dV. A7*) S V Это выражение представляет собой теорему Гаусса: поток вектора а, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивер- дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверх- поверхностью. 3. Если поверхность S столь мала, что во всех лежащих внутри нее точках diva можно считать величиной постоянной, то в урав- уравнении A7*) diva можно вынести за знак интеграла. Стало быть, поток dN через бесконечно малую замкнутую поверхность S про- произвольной формы выражается той же формулой A6*): dN = как и поток через поверхность элементарного параллелепипеда. Так как эта формула справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, то ее правильнее записать в сле- следующей форме: - diva= lim ^——. A8*) '" - AV Правильнее всего считать эту формулу определением поня- понятия дивергенции: дивергенция вектора а в данной точке поля есть предел, к которому стремится отношение потока вектора а через произвольную, окружающую эту точку, поверхность к ограниченному этой поверхностью объему AV^ (при AV -+ 0). Из этого определения дивергенции следует, что значение ее вовсе не зависит от выбора системы координат, т. е. что дивергенция вектора есть истинный скаляр. Исходя из A8*) и воспользовав- воспользовавшись A6*), мы в частном случае декартовых координат, очевид- очевидно, вновь придем к A4*). Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости v имеет непосредственное физическое зна- значение. Действительно, в каждой точке жидкости div v = hm - ДУ-+0 dV равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема dV, окружающего рассматри- рассматриваемую точку. Название «дивергенция», что значит по-латыни 1) Утверждение, что поток через внешние грани кубиков совпадает в пре- пределе с потоком через поверхность S, нуждается, в сущности, в более строгом математическом доказательстве, на котором мы останавливаться не будем
ТЕОРЕМА ГАУССА ДИВЕРГЕНЦИЯ 587 расхождение или расходимость, было избрано для этой величи- величины именно потому, что жидкость растекается или расходится из тех и только тех точек или участков занимаемого ею простран- пространства, в которых divv > 0. Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, те точки поля произвольного вектора а, в которых div а Ф 0, принято на- называть истоками этого поля. Числовое же значение div а назы- называется силой, или обильностью, истоков поля; в зависимости от знака дивергенции сила истоков может быть как положительной, так и отрицательной. Иногда отрицательным истокам поля да- дают название стоков поля. Векторные поля, у которых div a = 0, называются свободными от источников, или соленоидальными. Пример 1. Определить дивергенцию вектора а, который в каждой точке поля направлен параллельно или антипараллель- но радиусу-вектору R, проведенному в эту точку из точки О Применим с этой целью формулу A8*) к элементу объема dV, вырезаемому из шарового слоя, ограниченного сферами ра- радиуса R и R + dR, конусом с центром в О, который пересекается с этими сферами по дугам мери- меридианов а и а + da и дугам па- параллельных кругов •& и •& + d$ (рис. 102). Так как, по условию, вектор а параллелен R, то поток его через боковую (образованную конусом) поверхность объема dV равен нулю. Далее, так как вы- вырезаемый конусом элемент dS по- поверхности сферы радиуса R равен dr dS = R, то поток вектора а через него равен ап dS — — ац R2 sin ¦& d"& da, Рис 102 где aR — слагающая а по направлению R (aR = ±а), ибо внешняя нормаль к dS направлена обратно радиусу-вектору R. Поток же через элемент поверхности сферы радиуса R + dR, вплоть до величины второго порядка малости, равен, очевидно: aRR2 sin $d"ddct + — {aRR2 sin ¦& d$ da) dR. dR Таким образом, полный поток равен (f>andS = ^~ [aRR2) sin i? dd da dR. J OR С другой стороны, dV = dS ¦ dR = R2sinddddadR, 21*
588 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ так что div a = lim dV В? dR дан dR A9*) Предоставляем читателю показать, что для произвольного вектора а выражение дивергенции в сферических координатах приобретает вид diva = — — (R2aR) — (sin&z*) ^, B0*) да' К ' Rsindd0y Rsind где clr, a$, aa — слагающие вектора по направлению возрастания координат R, $, а. Пример 2. Определить дивергенцию градиента произ- произвольной функции /(-R). Будем рассматривать радиус-вектор R как функцию точки наблюдения (см. с. 589). Обозначая вектор grada/(.R) буквой а, получаем на основании (8*) и (9*): — = -^ : Я' R 8R' Так как остальные компоненты а равны нулю, то на основа- основании A9*) divgrad/(.R) = — — (r2^-) = ?L + 1EL. B1*) 6 J V ; R? dR \ dRJ dR? RdR K ' Дивергенция gradg f{R) имеет то же значение, ибо, как мож- можно убедиться вычислением в декартовых координатах, divggrad9(-R) = -diva[-grada/(i?)] = divagrada/(i?). Пример 3. Определить выражение дивергенции произ- произвольного вектора а в цилиндрической системе координат z, г, а (рис. 103). Слагающие вектора а по на- направлению возрастания коор- координат z, г, а обозначаются со- соответственно через а2, аг, аа. Применим формулу A8*) к объему dV, ограниченному дву- двумя цилиндрическими поверхно- поверхностями радиусов г и r+dr, двумя меридиональными плоскостями rda dr а = ai и а = «1 + da и двумя плоскостями, перпенди- Рис. 103 кулярными оси Z: z = Z\ и z = = z\ +dz (рис. 103). Поток век- вектора а через элемент цилиндрической поверхности радиуса г ра- равен —arrdadz; для цилиндрической поверхности радиуса r + dr
§_5 ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА. РОТОР ВЕКТОРА 589 он равен aTr dadz H (arr da dz) dr (с точностью до бесконечно малых второго порядка), а сумма потоков через обе цилиндрические поверхности равна — (тог) dadz dr. dr Вычисляя аналогичным способом поток вектора через остальные элементы поверхности объема dV, получаем -{rar)+r^ + ^\ drdzda. or dz да ) Так как dV = rdadzdr, то формула A8*) приводит к резуль- результату: ^ + ^(rar) + i^. B2*) dz г дгУ ' г да у ' § 5. Циркуляция вектора. Ротор вектора. Теорема Стокса Преобразование интеграла вектора по замкнутой поверхно- поверхности в интеграл по объему привело нас к понятию дивергенции вектора. Рассмотрим теперь интеграл вектора по замкнутой кривой. Пусть в поле вектора a(R) задана некоторая кривая L и вме- вместе с тем задано, какое из двух возможных направлений дви- движения вдоль этой кривой считается положительным. Разбиваем кривую L на бесконечно малые элементы ds, направление кото- которых совпадает с направлением положительного движения вдоль линии, и умножаем каждый элемент ds скалярно на значение вектора а в соответствующей точке поля. Предел суммы этих произведений a ds — as ds при ds -? О, распространенный на все элементы кривой, называется линейным интегралом вектора а вдоль кривой L: I a ds = I as ds. L L Если кривая L замкнута, что отмечается кружком у знака интеграла, то линейный интеграл вектора а вдоль нее называет- называется циркуляцией а вдоль L: С (а) = ф a ds = ф as ds. B3*) L L Предположим, что контур L представляет собой контур плос- плоского прямоугольника ABCD, и выберем оси х и у декартовых
590 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I координат так, чтобы они были параллельны сторонам этого прямоугольника и пересекались в его центре (рис. 104). Пусть у, стороны прямоугольника равны соответ- соответственно Ах и Ау. Если выбрать направ- направление положительного обхода контура D . \3 С так, чтобы соответствующая положи- положительная нормаль к площади прямоуголь- прямоугольника была направлена по оси z (рис. 104), Q ±2 ^ то А Ау с = ,ds — Ъ В D = j ах dx + fay dy + f axdx+ fay dy. Рис. 104 А В с D Воспользовавшись известной из интегрального исчисления теоремой о среднем значении, получим (при п || оси z): С= j)asds = а'х Ах + а'^Ау - а'^'Ах - а'^'Ау, где а'х, а'у и т. д. суть средние значения слагающих ах и ау на первой, второй и т. д. сторонах прямоугольника; отрицательный знак, например, последнего члена суммы объясняется тем, что интегрирование по стороне AD производится в направлении убы- убывания координаты у. Будем теперь стремить длину сторон прямоугольника к ну- нулю. Тогда с точностью до величин второго порядка малости сред- среднее значение слагающей ау на отрезке ВС, отстоящем от отрезка AD на расстоянии Ах по направлению оси х, будет отличаться от значения ау на отрезке AD на величину -^ Да;: Соответственно дах бу ибо CD отстоит от АВ на расстоянии Ау по направлению оси у. При этом в пределе при бесконечно малых размерах прямоуголь- прямоугольника мы можем понимать под дау/дх и дах/ду значения этих величин в центре О прямоугольника. Внося эти выражения в предшествующее равенство, получим (при п || оси z): dC = (f>asds = {a'y" - oJJ")Ay - «' - a'x)Ax = = %*¦ Ax Ay - ^ Ax Ay, ox ay
§ 5 ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА. РОТОР ВЕКТОРА 591 где мы заменили С через dC, чтобы отметить, что соотношение это справедливо лишь для бесконечно малого прямоугольника1). Обозначая, наконец, площадь прямоугольника АггАу через dS, получим окончательно: при п || оси zdC= <?asds= f^t _ Ё2-\ dS. B4*) / \дх ду ) Так как оси х, у, z образуют правовинтовую систему, то, со- совершив круговую перестановку индексов х, у, z, мы получим, очевидно, циркуляцию вектора а по контуру бесконечно малого прямоугольника, положительная нормаль к которому направле- направлена по оси х или по оси у: при п || оси х dC — d>asds = I -^- — ) dS, Т \ду dzj при п || оси ydC= (f>asds= f^i - E2t) dS. I \ oz ox / Фигурирующие в формулах B4*) и B4а*) комбинации произ- производных слагающих вектора а являются, как мы покажем, компо- компонентами некоторого вектора, который принято обозначать через rota или curia (читай: ротор а или кёрл а, или вихрь а) 2): rotxa=^-^, rotya=^-^, rot,a=^-^. ду dz У dz Эх дх ду B5*) Вектор rota может быть назван векторной пространственной производной вектора а (в отличие от его скалярной простран- пространственной производной div a). С помощью обозначений B5*) выражения B4*) могут быть записаны следующим образом: dC = ф a,s ds — rotn a dS, B6* L 1) Конечно, dC вовсе не является полным дифференциалом от С. 2) Заметим, что rot а может быть представлен в форме следующего симво- символического определителя: i j k д д д rot а = — — — дх ду dz ах о,у а, где i, j, k суть единичные векторы по осям координат х, у, z. При вычис- д лении этого определителя нужно, конечно, под произведениями типа — ау дау дх понимать частную производную от Оц по х, т. е. —-. дх
592 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Рис. 105 причем под п нужно понимать положительную нормаль к пло- площадке dS, составляющую правовинтовую систему с направле- направлением положительного обхода контура этой площадки. Полагая последовательно п параллельным осям х,у и z, получим из урав- уравнений B6*) и B5*) уравнения B4*), B4а*). Так как оси координат всегда можно выбрать так, чтобы одна из этих осей была перпендикулярна к площадке dS, то уравнение B6*) остается, очевидно, справедливым для циркуляции векто- вектора а по контуру произвольно расположенного бесконечно малого прямоугольникаг). Перейдем теперь к рассмотре- рассмотрению циркуляции вектора по конту- контуру произвольной формы и размера. Проведем поверхность S так, что- чтобы она опиралась на контур L, т. е. чтобы этот контур являлся погра- пограничным контуром поверхности S. Разобьем затем эту поверхность двумя взаимно перпендикулярны- перпендикулярными системами параллельных ли- ний на совокупность бесконечно малых элементов (рис. 105), кото- которые благодаря своей малости могут считаться плоскими. При- Применив к каждому из этих элементов уравнение B6*) и сложив полученные выражения, найдем dC = У^ (basds = ^ rotn &dS = / rotn a dS, s где п есть внешняя нормаль к dS, причем внешняя сторона по- поверхности S должна быть выбрана в соответствии с направлени- направлением положительного обхода ее контура (правовинтовая система). При интегрировании по контурам элементарных площадок каждая граница АВ двух смежных площадок пройдется два ра- раза и притом в противоположных направлениях; поэтому в сумме В А Y^§asds встретятся оба члена fasds и fasds, в совокупности А В дающие нуль. Таким образом, Yl f asds сведется к сумме чле- членов, относящихся к одним лишь наружным границам площадок, т. е. к интегралу вектора а по внешнему контуру L площади S, откуда , , У dc = 2_^ Ф as ds = Ф as ds = С, 1) Последнее умозаключение законно лишь в том случае, если rot а есть истинный вектор, инвариантный относительно преобразования координат. Это действительно имеет место (см. ниже).
§ 5 ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА. РОТОР ВЕКТОРА 593 где С означает циркуляцию вектора а по контуру L. Внося это выражение в предшествующее уравнение, получим С= (?asds= f rotn a dS. B7*) L s При выводе этой формулы мы не приняли во внимание, что наружные (прилегающие к контуру L) элементарные площадки, вообще говоря, не будут иметь прямоугольной формы, тогда как справедливость уравнения B6*) доказана нами лишь для пло- площадок прямоугольных. Однако при неограниченном уменьшении размера прямоугольников ломаная линия, составленная из наруж- наружных сторон крайних прямоугольников, сколько угодно точно сов- совпадает с контуром L площади S *). Основываясь на этом, можно придать выводу уравнения B7*) совершенно точную форму. Со- Соответствующих рассуждений мы здесь приводить не будем. Таким образом, единственное условие справедливости урав- уравнения B7*) состоит в требовании непрерывности и дифференци- руемости вектора а во всех точках поверхности S. Уравнение это выражает собой так называемую теорему Стокса, которая гласит: циркуляция произвольного вектора а по замкнутой кривой L равна потоку ротора этого вектора че- через поверхность S, опирающуюся на кривую L. Форма поверхности S при этом остается совершенно неопре- неопределенной. Стало быть, через любые две поверхности Si и 5г, если только они обладают одним и тем же контуром L, прохо- проходит одинаковый поток ротора любого непрерывного вектора а, равный циркуляции этого вектора по общему контуру этих по- поверхностей. Из уравнения B7*), между прочим, сразу следует, что 0, B8*) так как в случае замкнутой поверхности S контур L стягивается в точку иС = 0 2). ') Хотя, например, предел суммы длин наружных сторон прямоугольных площадок может быть не равен длине контура L. 2) Ввиду важности формулы B8*) приведем еще одно доказательство ее. Проведем на поверхности S какую-нибудь замкнутую кривую L, кото- которая разделит поверхность S на две части: Si и S2. Применяя к каждой из этих частей формулу Стокса B7*), получим: §a3ds = ±frotn&dS — г L Si = ± J rotn &dS, где п означает внешнюю нормаль к замкнутой поверхности S. s Знак последних двух членов определяется тем, составляет ли направление нормали п с направлением обхода контура L право- или левовинтовую си- систему. При любом выборе направления обхода эти два интеграла, как легко убедиться, будут иметь противоположные знаки, что и приводит к искомому результату.
594векторный анализ Переходя от уравнения B7*) обратно к столь малому эле- элементу поверхности dS, что его можно считать плоской площад- площадкой, во всех точках которой rot а сохраняет постоянное значение, мы сможем вынести rota за знак интеграла и написать: dC = = j>asds = rotna • dS,что совпадает с уравнением B6*). По- Поскольку уравнение B7*) применимо к поверхности любой фор- формы, постольку и формула B6*) также применима к бесконечно малым площадкам любой формы. Так как эта формула справед- справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, то правильнее записать ее следующим образом: rotna = lim %?. B9*) dS-Ю dS V ' Таким образом, слагающая вектора rot а в данной точке по- поля Р по данному направлению п равна пределу отношения цир- циркуляции вектора а по контуру произвольной площадки dS, про- проходящей через Р и перпендикулярной к п, к поверхности этой площадки dS. Отсюда явствует, что значение слагающей rot а вовсе не зави- зависит от выбора системы координат, т. е. что rot а действительно является истинным вектором. Таким образом, инвариантность вектора rot а может считаться доказанной. В сущности это утверждение не вполне справедливо, ибо, во-первых, мы при выводе уравнений B6*) и B7*) уже восполь- воспользовались тем самым свойством инвариантности вектора rota относительно преобразования координат, которое мы хотим до- доказать: именно на эту инвариантность rota мы ссылались, ут- утверждая, что уравнение B6*) применимо к площадке произволь- произвольного направления (см. сноску на с. 602); во-вторых, мы опустили строгое доказательство применимости формулы B7*) [а стало быть, и формулы B6*)] к контуру произвольной формы. Спра- Справедливость этих положений может быть доказана путем непо- непосредственного вычисления в декартовых координатах циркуля- циркуляции вектора по контуру произвольной поверхности. Проще и правильнее, однако, считать инвариантное относительно преоб- преобразования координат соотношение B9*) определением понятия «ротор вектора а». Исходя из этого определения, нетрудно, обра- обратив порядок наших рассуждений, доказать все выведенные выше формулы. В заключение, чтобы пояснить геометрический смысл ротора, рассмо- рассмотрим вращение твердого тела с угловой скоростью w. Вектор w мы будем, как обычно, считать направленным по оси вращения и притом так, что- чтобы направление вращения составляло с вектором w правовинтовую систе- систему (правило буравчика). Выберем ось z так, чтобы она совпадала с осью вращения и была направлена по w. Тогда линейная скорость v точки тела (х, у, z) будет численно равна v = гы — ш\/х2 + у2, а слагающие ее по осям
§5 ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА. РОТОР ВЕКТОРА 595 координат будут равны (рис. 106): VX v, =0. Слагающие вектора rotv, согласно уравнению B5*), равны rotx v = roty v = 0, rotz v = — = 2w, °ТКУДа rotv = 2W. X V C0*) Таким образом, ротор линейной скорости точек твердого тела имеет оди- одинаковое значение во всех точках тела и равен удвоенной угловой скорости его вращения. Соотношение C0*) остается справедливым и в том случае, если тело, поми- помимо вращательного, находится также и в посту- поступательном движении (ибо скорость поступа- поступательного движения одинакова во всех точках твердого тела, и ротор ее поэтому равен ну- нулю). Наконец, в теории упругости доказывает- доказывается, что уравнение C0*) остается справедливым не только для твердого, но и для произвольно деформирующегося тела (например, жидко- жидкости), причем в этом случае под ш нужно по- понимать угловую скорость вращения бесконеч- бесконечно малого элемента жидкости, находящегося в рассматриваемой точке пространства. Итак, rotv ф 0 в тех и только тех точ- точках тела, которые принадлежат элементам те- тела, находящимся во вращательном движении. р . «с Это обстоятельство в связи с соотношением C0*) и послужило поводом к тому, чтобы дать величине rot а название ро- ротора (от латинского roto — вращаю) или вихря вектора а. Пример. Показать, что слагающие ротора произвольного вектора а в сферической системе координат R, Ь и а выражаются следующим образом: 1 <31*> ««•-5 {&<*">-?}• Чтобы найти, например, значение тоЬя а, можно применить формулу B9*) к элементарной площадке, вырезаемой из произвольной шаровой по- поверхности R = const двумя меридианами а = ао и а = Qo + da и двумя параллельными кругами i? = t?0, 0 = tfo +dd (см. рис. 102). Вычисляя $as ds при обходе контура этой площадки, составляющем правовинтовую систему с направлением К, получим ш as da =
596 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I ИЛИ asds= ofl да da = da Так как значение рассматриваемой площадки dS равно rdd • Rsmdda, то из B9*) следует 1 / д ... да#\ rot я а = < — (аа sin it) > Rsmd \д# да] Аналогичным путем находятся и остальные слагающие ротора а Предоставляем читателю в виде упражнения показать, что слагающие ротора произвольного вектора а в цилиндрической системе координат г, a, z (см. рис. 103) выражаются следующим образом: г да dz dz dr =HI <->>-?}• § 6. Производная вектора по направлению Скаляр div а и вектор rot а, как уже отмечалось, могут быть названы соответственно скалярной и векторной пространствен- пространственными производными вектора а. Они имеют непосредственный геометрический смысл, что явствует из A8*) и B9*), и наряду с градиентом скаляра являются основными понятиями векторного анализа. Однако задания значений скаляра div а и вектора rot а в данной точке недо- недостаточно для определения в этой точке производной вектора а по произвольному направлению (тогда как производная ска- скаляра <р по произвольному направлению однозначно определяется заданием век- вектора gradip). Действительно, производная вектора а по произвольному направлению с может быть определена путем следующего гео- геометрического построения. Пусть значе- значения вектора а в двух близких точках Р и Р' равны соответственно а и а, причем направление отрезка РР' = Ас совпадает с направлением с (рис. 107). Если разность между а и а' равна Аа, то производная д&/дс будет равна C3*) Рис. 107 — = lim дс рр'-+о РР' а ,. Да Дс-*0 Дс
§J7 ОПЕРАТОР НАВЛА ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 597 Таким образом, направление вектора да./дс совпадает с пре- предельным направлением вектора Да, но, вообще говоря, отлично от направления векторов а и с. Далее, если координаты точек Р и Р' отличаются друг от друга на Дж, Ду, Дг, то с точностью до величин второго порядка малости ^ ^ ^ аДх + Ду + дх ду dz Подставляя это в предшествующее уравнение и приняв во внимание, что Дх / ч Ду / ч Az , ч — = cos (ж, с), -ф = cos (у, с), — = cos (z, с), получим 9а ,. а' — а / \да . , \д& , -.да. = fc = C°S (Ж C) + C°S (У С) + C°S B С) Ус pfco РРГ C°S (Ж' C)fe + C°S (У' С)Ъу + C°S B' С)Тг C4*) Таким образом, для определения в данной точке производной вектора а по произвольному направлению необходимо задать <?е- 9ох dav daz д& вятпъ величин: три слагающих , —-, —, величины — и со- v дх дх' дх дх ответственно по три слагающих величин — и —. Совокупность ду dz этих девяти величин представляет собой слагающие некоторого тензора, заданием которого определяются как производные век- вектора а по произвольному направлению, так и значения величин div а и rot а. Впрочем, в настоящем курсе нам этим тензором пользоваться не придется. § 7. Оператор набла. Вторые производные. Производные от произведений 1. Выше мы познакомились с рядом дифференциальных опе- операций над векторами и скалярами: образование градиента ска- скаляра F*), дивергенции вектора A8*), ротора вектора B9*) и т. д. При применении векторного анализа приходится встречать- встречаться еще с целым рядом других дифференциальных выражений. Оперирование этими выражениями может быть упрощено и уложено в простую и стройную схему введением в рассмотре- рассмотрение символического дифференциального оператора Гамильтона. Оператор этот обозначается знаком V (читай: «набла»); в декар- декартовой системе координат он имеет вид V = if+j|-+k|-, C5*) дх ду dz где i, j и к — единичные векторы по осям х, у, z. Иными сло- словами, V есть векторный оператор, слагающие которого по осям
598 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П. I координат равны Vx = f, Vy = |-, V, = |-. C6*) ox ду dz Этот векторный оператор соответствует в векторном анализе знаку производной обычного анализа. Подобно тому как в обыч- обычном анализе дифференциал функции можно считать произведе- произведением оператора дифференцирования d на дифференцируемую функцию, так путем помножения скаляров и векторов, являю- являющихся функциями точки, на оператор V мы получаем простран- пространственные производные этих величин. Так, например, произведение V на скаляр tp нужно, очевидно, положить равным (. д . . д . л д\ . д<р , . д<? , , dip = A — +J — + k— y? = i-^-i-j-^-i-k^. У дх ду dz J дх ду dz Стало быть, согласно F*), <p = gra.dtp. C7*) Таким образом, Vip действительно может быть названа про- пространственной производной от tp, ибо вектор grad tp вполне харак- характеризует изменения, испытываемые скаляром tp при перемеще- перемещении «точки наблюдения» (т. е. при изменении координат х, у, z). Подобно этому, и другие выражения, включающие в себя опе- оператор V, тоже характеризуют собой те или иные соотношения между значениями скалярных и векторных функций в смежных точках пространства. С известными ограничениями, о которых будет сказано ни- ниже, можно образовывать произведения V с другими векторами и скалярами так, как если бы V был истинным, а не символиче- символическим вектором. Как и при пользовании знаком дифференциала, при этом предполагается, что оператор V «действует» лишь на те величины, которые стоят вправо от него. Так, например, скалярное произведение символического век- вектора V на произвольный вектор а равно т. е., согласно A5*), Va = diva. C8*) Помимо скалярного произведения символического вектора V на вектор а, можно образовать и векторное произведение этих векторов, которое, как легко видеть, представляет собой ротор вектора а (см. сноску на с. 591): > j k [Va]= ± A -i =rota. C9*) дх ду dz
§ 7 ОПЕРАТОР НАБЛА. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 599 Так, например, слагающая вектора [Va] по оси х равна [Va], = Vyaz - Vzay = °j± - ^ = rot* a. 2. Применение оператора V весьма упрощает нахождение вто- вторых и старших производных от скалярных и векторных величин. Так, например, квадрат вектора V равен х у ^ z дх дх дуду dz dz дх* ay2 а*2' Поэтому, раскрывая смысл произведения V(Vy?) по правилам векторной алгебры: V получим 1) div grad v = V( V?) = VV = g + 0 + g- D0*) В справедливости этого равенства можно убедиться непо- непосредственным вычислением с помощью формул E*) и A5*): ay a* ax2 Эу2 Совершенно иной смысл имеет выражение grad div a: grad diva = V(Va) = (i°- +j? + k±)(^ + ^ + ^)- & v ; V ax J ay dzJKdx dy dz ) Оно вовсе не равно V2a, подобно тому как при оперировании с обычными векторами b (ba) ф Ъ2а. Выражение же V2a имеет, очевидно, следующий смысл: т. е. представляет собой вектор, слагающая которого, например по оси х равна (V2a)^V2a^^ + ^ + ^. D1а*) Конечно, V2ip и V2a нельзя смешивать с (V<pJ и (VaJ; так, например, 1) Оператор V2 часто обозначается через Д и называется лапласианом.
600 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П. I Известные формулы векторной алгебры = 0, b [ba] = 0, [b [ba]] = b (ba) - (bb)ax) остаются справедливыми и при замене вектора b символическим вектором V (при любых а и у?): = rot grad <^ = 0, V[Va] = Vrota=divrota = 0, D2*) [V[Va]] = V(Va) - V2a, или rot rot a = grad div a - V2a. В справедливости этих соотношений легко убедиться непосред- непосредственным вычислением в декартовых координатах2). Так, на- например, div rot a = arot* a + arot* a + 9rot* a = дх ду dz д \д d) д \ d д ) d \ д д ) ( ) + ( ) + ( дх \ду dz) ду \ dz дх ) dz \ дх ду 3. Итак, поскольку оператор V входит сомножителем в про- произведения, содержащие в себе лишь один-единственный истин- истинный скаляр или вектор, постольку произведения эти можно пре- преобразовать по обычным правилам векторной алгебры. Однако, если в произведение входят два или несколько истинных скаля- скаляров или векторов, то правила эти становятся неприменимыми и нуждаются в видоизменениях. Совершенно то же имеет место и в обычном анализе при символическом умножении алгебраиче- алгебраических величин на знак дифференциала d: подобно тому как (p dip, так и в случае умножения произведения скаляров или векторов на V операция дифференцирования должна быть выполнена над каждым из сомножителей в отдельности. Так, например, при дифференцировании произведения двух скаляров или скаляра г)В правой части последнего уравнения можно, конечно, изменить поря- порядок сомножителей, например, так: [b[ba]) = (ab)b — a(bb). Однако при замене b на V мы должны записать это уравнение так, чтобы все диффе- дифференциальные операторы V стояли перед дифференцируемым вектором а. 2) Соотношения rot grad tp = 0 и div rot a = 0 получаются также сразу из формул Стокса B7*) и Гаусса A7*), если положить в них а = grad у или соответственно а = rotb. Воспользовавшись, кроме того, уравнением B8*), получаем Г divrotb • dV - ? rot« b ¦ dS = 0, /rotn grad tp- dS = Ф grad tp ¦ ds = ? — ds = 0, J J ds откуда ввиду произвольности области интегрирования следуют упомянутые соотношения.
§ 7 ОПЕРАТОР НАБЛА. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 601 и вектора получаем V (<рф) — -ф (V<?>) + <р (VV0 или grad (ipip) = •ф grad ip + v3 grad Vs V (ipa) = <?>(Va) + a(V<?>) или div((/?a) = (,pdiva + agrad<?>, D3*) [V(<^a)] = ip [Va] + [(V(/?)a] или rot ((pa.) = ip rot a + [grad ip • a]. В справедливости этих соотношений можно убедиться непосред- непосредственным вычислением. Так, например, Несколько сложнее обстоит дело при скалярном дифферен- дифференцировании произведения двух векторов. Обратимся, прежде всего, к выражению V [ab] = div [ab]. Для обычных векторов справедливы соотношения с [ab] = b [ca] = — a [cb]. При замене вектора дифференциальным оператором V мож- можно предположить, что V [ab] должно быть приравнено к сумме выражений ибо в обычном анализе производная от произведения равна сум- сумме двух членов, в каждом из которых дифференцированию под- подвергается лишь один из сомножителей. Действительно, непосред- непосредственным вычислением, которое мы предоставляем провести читателю, можно убедиться, что V[ab] = b[Va]-a[Vb], т е что div [ab] = b rot a — a rot b. D4*) Как известно, при вычислении произведения с (ab) трех век- векторов необходимо выполнить скалярное перемножение векторов а и b прежде помножения их на с. Соответственно этому и вы- выражение V (ab) = grad (ab) не может быть представлено в виде суммы двух членов, в каж- каждом из которых дифференцируется лишь один из сомножителей. Можно показать далее, что такого рода преобразование невыпол- невыполнимо также и по отношению к выражению [V[ab]] = rot[ab]. Оба эти выражения могут быть, однако, представлены в виде суммы четырех членов, в каждом из которых дифференцирова- дифференцированию подвергается лишь один из векторов а и Ь.
602 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I Отсылая за доказательством к курсам векторного анализа, приведем соответствующие формулы х): grad (ab) = (bV) a + (aV) b + [b rot a] + [a rot b]; D5*) rot [ab] = (bV) a - (aV) b + a div b - b div a. D6*) В частном случае, когда Ь = const и а = R, где R — ра- радиус-вектор, формула D5*), как нетрудно показать, сводится к формуле A1*): V(bR) = grada(bR) = b. Если, далее, положить в D5*) а = Ь, то получим - Va2 = (aV) a + [arot a]. D7*) 4. Нам остается еще рассмотреть скалярный оператор aV, получаемый скалярным помножением произвольного вектора а на оператор Гамильтона V, стоящий справа от а (в отличие от Va = div a): aW = axJL+a JL+ad D8#) ох я ду oz В частном случае, при а — 1, операция aV эквивалентна, очевидно, нахождению производной — по направлению единич- да ного вектора а. Вообще же говоря, выполнение операции aV над произвольной функцией точки эквивалентно умножению произ- производной от этой функции, взятой по направлению вектора а, на числовое значение вектора а; иными словами, aV = a—. D9*) Действительно, выполняя операцию aV над произвольным скаляром <?>, получим скаляр г-. дш . dip . dip .-, aV • if = ax -f- + ay -f- + az -f- = a • V<?>, ox ay oz или на основании D*) aV-<?> = agrad<?> = s -^ в согласии с D9*). да Выполняя же операцию aV над произвольным вектором Ь, получим вектор: (aV) b = aV • b = ax ^ + ay ^ + az ^, E0a*) ox oy oz слагающая которого, например, по оси х равна (aV • Ь)х = ах fi + ау ^ + аг °± = (aV) Ьх. E0Ь*) ох ду dz 1) Для частных случаев эти формулы доказываются также в тексте книги (см. § 18, с. 91 и § 57, с. 263).
§_8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРЕМА ГРИНА 603 С другой стороны, производная вектора b по направлению а, согласно C4*), равна дЬ , \дЬ . , \дЪ , , 4ab - = cos (x, a)- + cos (у, а)- + cos (z, а)-. Умножая это равенство на а и сравнивая результат с E0а*), убе- убедимся в том, что действительно b = a^, E1*) да что и требовалось доказать. Таким образом, если вектор а доста- достаточно мал, то с точностью до величин второго порядка малости aV • if и aV • b равны соответственно приращению скаляра ip и вектора b при перемещении «точки наблюдения» на отрезок, равный по величине и направлению вектору а. 5. Элементарные операции пространственного дифференци- дифференцирования сводятся к образованию градиента, дивергенции, ротора и производной дЪ/да. Все эти операции, как мы видели *), име- имеют определенный геометрический смысл и потому инвариантны по отношению к преобразованию системы координат. Иными сло- словами, значение выражений grad<?>, diva, rota, дЪ/да не зависит от выбора системы координат. Все соотношения меж- между дифференциальными выражениями, выведенные нами выше, тоже носят инвариантный характер, ибо, хотя при доказатель- доказательстве их мы всякий раз и пользовались определенной (декартовой) системой координат, однако в самые соотношения входят лишь инвариантные выражения gradi/?, diva, rota и т. д. Стало быть, форма этих соотношений не может изменяться при переходе к иным системам координат. § 8. Интегральные соотношения. Теорема Грина Формулы Гаусса A7*) и Стокса B7*) представляют собой основные интегральные соотношения векторного анализа; исхо- исходя из них, можно получить и ряд других важных соотношений между пространственными (объемными, поверхностными и ли- линейными) интегралами скалярных и векторных величин. 1. Формула Гаусса A7*) позволяет без труда доказать важ- важную для векторного анализа и его приложений теорему Грина. Дя этой цели в формуле Гаусса A7 ) ну Дл f divadV = <f)andS . уравнения C*), A8*), B9*) и C3*).
604ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗП1 положим: а = ipgradip — i^Wip, где ф и кр — два произвольных скаляра. Согласно D32*) и D0*) div а = ф div grad <?> + grad ф • grad ip = ф?2<р + (Vy?) (V^>). Далее, а„ = V'gradnV = Ф —• Поэтому из A7*) следует, что дп fa^dS, E2*) где интеграл правой части должен быть взят по замкнутой по- поверхности S, ограничивающей область интегрирования V. Эта формула и выражает собой теорему Грина. Для некоторых целей удобно преобразовать формулу E2*), заменив в ней ф на ip, и обратно; вычтя полученное таким обра- образом уравнение из E2*), получаем {^-vdlt) dS- E3+) Как указывалось, применение теоремы Гаусса ограничено требованием непрерывности вектора а и конечности его первых производных в области интегрирования V. Поэтому теорема Гри- Грина непосредственно применима лишь к конечным и непрерыв- непрерывным скалярным функциям точки ф и (р, обладающим в области интегрирования V производными первого и второго порядков. 2. Рассмотрим линейный интеграл произвольного, но обла- обладающего конечными производными скаляра ц> по произвольному замкнутому контуру L: yipds. Интеграл этот является вектором, ибо под ds мы понимаем векторную величину элемента длины контура. Чтобы преобразовать этот интеграл, помножим его скаляр- но на некоторый произвольный, но постоянный по величине и направлению вектор с: с ф (р ds = ф ipc ds = ф ipcs ds. L L L С помощью теоремы Стокса B7*) последний интеграл может быть преобразован в интеграл по произвольной поверхности 5, опирающейся на контур L; для этого достаточно положить в уравнении B7*) а = <^с: с ф ipds = ф rotn(<?>c) dS. S Ввиду постоянства вектора с из уравнения D33) получаем rot (tpc) = (р rot с + [grad ip • с] = [grad ip • с], и, стало быть, rotn (ipc) = n [grad ip ¦ с] = с [п • grad ip].
§ 8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРЕМА ГРИНА 605 Внося это выражение в последнее интегральное соотношение и вынося постоянный вектор с за знак интеграла, получаем с ф ip ds = с / [п • grad if] dS. Ввиду произвольности вектора с это равенство может иметь место только при условии равенства обоих интегралов. Таким образом, приходим к искомой формуле ф ip ds = /[n grad <p] dS, E4*) L s где, как явствует из вывода, п есть нормаль к поверхности S, об- образующая правовинтовую систему с направлением положитель- положительного обхода контура L. Если мы условимся элемент поверхности dS считать величи- величиной векторной, направление которой совпадает с направлением положительной нормали к этому элементу dS, то уравнение E4*) можно будет записать следующим образом: <?<pds= [[dS-gcadip]. E5*) L S 3. Докажем соотношение f rot a dV = ф[п&] dS= ф [dS • a], E6*) V S S позволяющее преобразовать интеграл ротора произвольного век- вектора а по произвольному объему V в интеграл тангенциальных слагающих этого вектора по замкнутой поверхности S, охваты- охватывающей объем V. Умножим подлежащий преобразованию объемный интеграл скалярно на произвольный, но постоянный по величине и направ- направлению вектор с. Согласно уравнению D4*), с rot a = a rot с + div [ас] = div [ас], так как ротор постоянного вектора с равен нулю. Следовательно, с I rot a dV = I div [ас] dV = ф [ac]n dS, V V S где мы воспользовались теоремой Гаусса A7*). Наконец, [ас]„ = [ас]п = с [па], и, стало быть, с fvota.dV = c ф[па\ dS. V S Ввиду произвольности вектора с отсюда вытекает уравнение E6*).
606 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ П I Заканчивая изложение векторного анализа, отметим, что в настоящем приложении мы не рассматривали некоторые пре- предельные теоремы, приводящие к понятию о поверхностном ро- роторе и поверхностной дивергенции. Эти теоремы, а также неко- некоторые тензорные соотношения выводятся в тексте книги. § 9. Важнейшие формулы векторного анализа — = lim ——— (производная скаляра <р по направлению s). grad^gn. A dz grada(bR) = b (b = const). (handS= / divadV (теорема Гаусса). diva = lim lim AV-vO AV dx dy dz Diva = a2n-aln. (?asds = I rotn a dS (теорема Стокса). rotna= lim dS [Va] = rot a = dS i j к 3 d д dx dy dz «x av a. C*) F*) D*) G*) (8*) A1*) A7*) A5*) F.7) B7*) B9*) B5*)
§9 ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА607 дЪ да = lim Да->0 b'-b Да Rota = [n • a2 — ai]. <?rotnadS = 0. (производная вектора D9. B8 по направлению а). 6) *) °=ах — + ау— + ах—. E1*) Вторые производные: ; Н j "t у. D6*) \.1Ё1ш B1*) rot grad <p = 0, div rot a = 0, rot rot a = grad div a — V2a. D2*) Производные от произведений: grad {(рф) = ф grad ip + <p grad ¦0, div ((pa) = <p div a + agrad (p, D3*) rot ((pa) = v?rot a + [grad <p ¦ a]. div [ab] = b rot a — a rot b. D4*) grad (ab) = (bV) a + (aV) b + [brot a] + [arot b]. D5*) rot [ab] = (bVa) - (aV) b + a div b - b div a. D6*) | Va2 = (aV) a + [arot a]. D7*) Теорема Грина: ((фЧ2(р + (V<^)(V^)}dV = (bip^dS. E2*) ) дУ = ф(фд^-<рд?) dS. E3*) (?(pds= f[n grad (p] dS. E4*) l s j rot a dV = <? [na] dS. E6*)
II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ В СИ И В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ Как это принято в курсах теоретической физики, в книге ис- использована гауссова система единиц. Однако, имея в виду пре- преимущественное применение системы СИ, издательство сочло необходимым привести таблицу основных формул, записанных параллельно в системе СИ. Наименование Закон Кулона Напряженность поля точеч- точечного заряда Напряженность поля между заряженными плоскостями и вблизи поверхности заря- заряженного проводника Потенциал точечного заряда Связь между Р и Е Связь между Р и поверх- поверхностной плотностью связан- связанных зарядов на границе с вакуумом Электрическое смещение (электрическая индукция) (определение) Связь между D и Е Связь между D и Е в вакуу- вакууме D поля точечного заряда Теорема Гаусса для D Емкость плоского конденса- конденсатора Плотность энергии электри- электрического поля Напряженность магнитного поля (определение) Связь между I и Н Связь между В и Н Связь между В и Н в вакуу- вакууме Закон Био-Савара Е- Е = Ч> = Р = си 4тг еВ? 47г ей2 Z. е 1 е 4тг eR <7"связн — СХбО*п D = D = D = D = §D, C = ад = H = I = - В = в = П. — гоЕ + Р еЕ гоЕ 4тг R2 eS d 2 J-B-I fJ-o Гауссова система F = Е = Е- Р = ?Тсвяз D = D = D = ?> = §D, С = w = Н = I = . В = в = н eR2 eR? 4па_ е е аЕ Е + 4тгР еЕ Е ~k2 xdS = A*Y.e eS_ 4ird ?^! 87Г B-4rrI и:Н H
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ В СИ И В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ 609 Продолжение Циркуляция вектора Н Теорема Гаусса для В Закон Ампера Сила Лоренца Энергия магнитного поля тока Плотность энергии магнит- магнитного поля Плотность тока смещения (определение) Уравнения Максвелла в ин- интегральной форме Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Скорость электромагнит- электромагнитных волн Соотношение между ампли- амплитудами векторов Е и Н в электромагнитной волне Вектор Пойнтинга Плотность импульса элек- электромагнитного поля Электрическая постоянная вакуума Магнитная постоянная ва- вакуума X § BndS = Q F = J[dsB] F = е [vB] 2 W 2 Зсм~~д7 I Г 5в <pE3ds=— 1 —— ctS J J dt s s s divB = 0 TotH=j+ — div D = p 1 v — S = [EH] g=i[EH] §H>ds=^Y,J §BndS = 0 F=-J[dsB] с w- 1 Lj2 ~ c2 2 8rr i aD JcM — , o. 4я" Ot Ф E3ds = s <J)Hsds = ' \ fdD + с / ~dtdS s rot E = с dt divB = 0 rotH=^j + с+1ав divD = iirp с S = -Z- [EH] g = J- [EH] 4rrc 1 1
III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ Наименование Скорость света в вакууме Магнитная проницаемость вакуума Диэлектрическая прони- проницаемость вакуума 1//здс2 Импеданс вакуума Гравитационная постоянная Масса покоя электрона Масса покоя протона Отношение масс протона и электрона Планковская масса (fic/GI/2 Планковская длина Планковское время 1р/с = (fiG/c5)!/2 Элементарный заряд Квант магнитного потока h/2e Квант проводимости 2e2/h Постоянная тонкой струк- структуры e2/{iiTEohc) Постоянная Ридберга a2mec/2h Постоянная Авогадро Число Фарадея N^e Универсальная газовая постоянная Постоянная Больцмана R/Na / * т А Постоянная Стефана- Больцмана (тг2/60)*:4/Й3с2 1 Электрон-вольт Атомная единица массы lu = mu=(l/12)m(i2C) Символ с ЦО eo Zo G G/hc me mp mp/me TTlp lP tp e Фо Go Q Q-l "OO NA;L F R к a Величина(СИ) 299 792 458 4тг ¦ Ю-7 = = 12,566370614- 10~7 8,854 187817-Ю-12 376,730 313461 6,673A0) ¦ 10-и 6,707A0) • Ю-39 9,109 381 88G2) Ю-31 1,672 62158A3) Ю7 1836,152 6675C9) 6,582 118 89B6)- 10~16 2,1767A6) • 10~8 1,6160A2)- 10~35 5,3906D0) • Ю-44 1,602 176 462F3)-10-i9 2,067 833 636(81) Ю5 7,748 091696B8)- 10~5 7,297 352 533B7) • 10~3 137,035 999 76E0) 10 973 731,568549(83) 6,022 141 99D7) • 1023 96 485,3415C9) 8,314472A5) 1,380 6503B4) -Ю-23 5,670 400D0)-Ю-8 внесистемные единицы eV и 1,602 176 462F3)-10-i9 1,660 538 73A3) • КГ27 Размерность м-с-1 Г-м-1 Ф-м-1 Ом м3-кг-1-с (ГэВ/с2)-2 кг кг эВ-с кг м с Кл Вб См м-1 моль~1 Кл • моль Дж-моль-К~1 Дж-К-1 Вт-м~2К-4 Дж кг Источник: Peter J. Mohr, Barry N. Taylor. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998. // J. Phys. a. Chem. 1999. V. 28. X! 6; Rev. Modern Physics. 2000. V. 72. № 2. Reference Data.
ДОПОЛНЕНИЯ 1. Сверхпроводимость (к § 41) Создание микроскопической теории сверхпроводимости относится к 1957-1958 гг. Объяснение механизма сверхпроводимости невозможно в рамках клас- классических концепций, так что оно является триумфом квантовой теории. Сущность дела состоит в том, что хотя между электронами действуют силы кулоновского отталкивания, тем не менее в твердых телах возникают наря- наряду с ними также и силы притяжения между электронами, обусловленные тем, что электроны могут обмениваться фононами, т. е. квантами упругих колебаний тела. Это притяжение приводит к образованию вблизи энергети- энергетической поверхности Ферми связанных пар электронов. Квантовые закономерности приводят к тому, что эти пары образуют так называемый бозе-конденсат, обладающий свойствами сверхтекучести. Поскольку эти пары электронов обладают электрическим зарядом, то их сверхтекучесть равносильна сверхпроводимости (см. Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МНЦМО, 2002). 2. Магнитные монополи и «истинные» магнитные диполи. Тороидные моменты (к § 54, 57, 58) Уже довольно давно, а особенно часто в последние годы, обсуждает- обсуждается возможность существования «истинных» магнитных зарядов (полюсов), которые обычно называются магнитными монополями. Магнитные монопо- монополи еще не обнаружены и не исключено, что они вообще не встречаются в природе (во всяком случае, если они и встречаются, то очень редко). Два монополя разного знака могли бы образовать «истинный» магнитный ди- диполь, вполне аналогичный электрическому диполю. Поле такого диполя вне его точно такое же, как поле токового магнитного диполя, т. е. в вакууме определяется формулой E7.13а). Нужно, однако, иметь в виду, что внутри диполей (для «истинного» диполя между его полюсами, а в случае колечка с током — вблизи плоскости колечка внутри его) поля различны. Это обстоя- обстоятельство отражает тот факт, что для «истинного» магнитного диполя, как и для электрического диполя, силовые линии «входят» и «выходят» из по- полюсов (зарядов). В случае же токового магнитного диполя силовые линии замкнуты. Подробнее см., например: Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. — М.: Наука, 1987. — Гл. 7, где указана также оригиналь- оригинальная литература. Там же упоминается о существовании тороидных диполей, моделью которых служит замкнутый соленоид (тороид) с током (в таком тороиде при отсутствии азимутального тока магнитное поле сосредоточено внутри тороида). 3. Антиферромагнетизм и ферриты (к § 71) Наряду с ферромагнетизмом существует и антиферромагнетизм. Если в ферромагнетиках обменные силы между атомами стремятся установить спины всех атомов параллельно друг другу, то в антиферромагнетиках об-
612 ДОПОЛНЕНИЯ менные силы стремятся установить спины смежных атомов антипараллель- но друг другу, что, естественно, приводит к уменьшению магнитной прони- проницаемости тела ii. Наиболее ярко антиферромагнетизм проявляется в том, что при понижении температуры начиная с «антиферромагнитной точки Кюри», ниже которой проявляется упорядоченная ориентация спинов, наблю- наблюдается резкое падение магнитной восприимчивости антиферромагнетика. В последнее время приобрели большое практическое значение ферри- ферриты — магнитные материалы с весьма высоким электрическим сопротивле- сопротивлением, что важно для применения в высокочастотных устройствах. Ферри- Ферриты являются окислами (или другими солями) металлов, причем в молекулу феррита, например, наряду с Fe входит еще и ион двухвалентного металла (таковым может быть и Fe++). В ферритах подобно антиферромагнетикам направления спинов смежных атомов антипараллельны друг другу (ниже точки Кюри), однако, ввиду того что магнитные моменты смежных атомов (в отличие от антиферромагнетиков) численно не равны друг другу, резуль- результирующее намагничение не равно нулю. Таким образом, с макроскопиче- макроскопической точки зрения ферриты являются ферромагнетиками (см. Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978; Вонсовский СВ. Маг- Магнетизм.— М.: Наука, 1984). 4. Диспергирующие среды. Пространственная дисперсия (к § 92) Формула (Via) текста для плотности энергии w справедлива для по- постоянного во времени электромагнитного поля и применима к переменным полям лишь при условиях, когда можно пренебречь дисперсией среды, т. е. зависимостью е и ц от частоты ш переменного поля (см. § 101). В общем же случае поля частоты ш плотность электромагнитной энергии в среде выра- выражается формулой 1) w 87Г где тильда над Е2 и Н2 означает усредненное по периоду поля значение квадратов вещественных (а не выраженных в комплексной форме) напря- женностей поля Е и Н. Например, если Е — Ео cos u>t, где ?Jo от времени не зависит, то Е2 = A/2)Eq. В случае, когда зависимостью ?e/jotu можно пренебречь, формула (VIb) совпадает с формулой (Via) текста. Зависимость диэлектрической проницаемости е от частоты поля носит название частотной дисперсии. В настоящее время большое внимание при- привлекает к себе также так называемая пространственная дисперсия. Сущ- Сущность ее коренится в том, что поляризация среды Р, а стало быть, и элек- электрическая индукция D = Е + 4тгР в данной точке среды зависят в общем случае не только от напряженности электрического поля Е в той же точке (как это принимается в обычной теории, в которой полагается D = еЕ), но также и от значения поля Е в смежных точках среды или, что то же, от про- пространственных производных вектора Е. Причина такого рода зависимости яснее всего видна на примере плазмы, т. е. сильно ионизированного газа. Если средняя тепловая скорость свободных электронов в плазме равна v, то за период одного колебания поля частоты ш они проходят пути порядка о = v/ш. Если а — порядка длины волны поля А, то за период одного коле- колебания электрон побывает в участках пространства с разным полем и, стало ') См., например: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Физматлит, 2003. — § 80.
ДОПОЛНЕНИЯ 613 быть, результирующее смещение электронов, определяющее собой поляри- поляризацию среды Р, будет зависеть не только от значения вектора Е в данной точке, но и от его производных Обобщенная зависимость электрической индукции D от напряженности Е в изотропной среде имеет вид D = ffE + <5iV2E + «52graddivE. (A) Членов, содержащих первые производные поля, в разложении типа (А) в изотропной среде быть не может по соображениям симметрии. Значения коэффициентов Si и Si в формуле (А) в случае плазмы могут быть опреде- определены из кинетического уравнения для электронов плазмы путем вычисления вызванного электрическим полем отклонения распределения электронов по пространству и по скоростям от их равновесного распределения в отсутствие поля. Учет пространственной дисперсии может быть сформулирован в таком виде, что в уравнениях поля диэлектрическая проницаемость е (или, точнее, тензор диэлектрической проницаемости ег}) полагается зависящей не только от частоты поля ш, но и от волнового вектора к (см. Ландау Л.Д., Лиф- шиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.—М.: Физматлит, 2003; Агра- Агранович В.М, Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. — М.: Наука, 1979). 5. Анизотропные среды (к § 92) Рассмотрение распространения электромагнитных волн в анизотропных средах существенно усложняется тем, что в такого рода средах диэлектри- диэлектрическая проницаемость е (а также и магнитная проницаемость fi) является не скаляром, а тензором второго ранга, так что связь между D и Е в соот- соответствии с формулой B1.8) текста приобретает вид D, — ?tJ.&,, где подразу- подразумевается суммирование по дважды фигурирующему индексу j. Очевидно, в частности, что в анизотропных средах длина волны А или волновой век- вектор к зависят не только от частоты волны ш, но и от направления распро- распространения волны по отношению к осям симметрии среды (см. литературу к дополнению 4). 6. Эффект Вавилова-Черенкова (к § 99) Излучение осциллятора, как и вообще излучение электромагнитных волн, связано с ускоренным (в случае осциллятора периодическим) движе- движением электрических зарядов. Электрический заряд, равномерно движущий- движущийся с постоянной скоростью, никаких электромагнитных волн не излучает. Однако из этого общего закона есть одно исключение — равномерно дви- движущийся электрический заряд излучает электромагнитные волны, если его скорость v превышает скорость света в той среде, в которой он движется. Конечно, никакое материальное тело не может двигаться со скоростью, пре- превышающей скорость света в вакууме с, однако фазовая скорость света (или в р общем случае электромагнитной волны) в среде равна ш, = —, где п — пока- поката затель преломления среды, зависящий от частоты волны. Поэтому при п > 1 возможно выполнение необходимого для этого излучения условия v > —. Описанное явление было открыто в тридцатых годах и носит название эффекта Вавилова-Черенкова или черенковского излучения. В качестве примера черенковского излучения можно указать яркое голу- голубое свечение воды, помещенной в атомный реактор, вызванное проходящими сквозь воду быстрыми электронами, возникающими при распаде атомных
614 дополнения ядер. Это излучение не имеет ничего общего с хемилюминесценцией. Дру- Другой пример черенковского излучения — излучение плазменных волн — крат- кратко описан в дополнении к § 102 (см. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. — М.: Наука, 1987; // УФН. 2002. Т. 172 С. 373). 7. Плазма (к § 102) В последнее десятилетие особый интерес приобрели исследования рас- распространения волн в особого рода проводящей среде, о которой вообще не упоминается в тексте книги, — в плазме, т. е. в сильно ионизированном га- газе. Эти исследования весьма важны для геофизики и астрофизики, так как плазмой являются ионосфера (верхние слои атмосферы) Земли, солнечная атмосфера, туманности и в значительной мере межпланетное и межзвездное пространство. В лабораторных же условиях плазма играет весьма важную роль в газовых разрядах и, более того, ее свойства имеют доминирующее значение для исследований, ставящих своей задачей осуществление контро- контролируемых термоядерных реакций. Ведь эти реакции проектируется осуще- осуществить именно в высокотемпературной плазме, помещенной в сильное маг- магнитное поле, которое должно стабилизировать плазму и в значительной мере теплоизолировать ее от стенок сосуда, ее содержащего. Электромагнитные процессы, могущие протекать в плазме, весьма свое- своеобразны. Упомянем, например, что в сильно разреженной, так называемой бесстолкновительной плазме, в которой можно вовсе пренебречь столкнове- столкновениями между ее частицами (электронами и ионами), зависимость диэлек- диэлектрической проницаемости б от частоты поля ш определяется формулой * = 1-4. (В) где шо — так называемая плазменная частота, равная шо = y/4ire2N/m, где е — заряд электрона, т — его масса, N — число свободных электронов в еди- единице объема. Таким образом, при ш < и>о диэлектрическая проницаемость принимает отрицательные значения. Приш = шо, т. е. при е(ш) = 0, в плазме наряду с обычными поперечными электромагнитными волнами могут рас- распространяться и продольные волны, в которых вектор Е направлен по на- направлению распространения волны, а вектор Н = 0. Эти продольные волны называются плазменными волнами. Тот факт, что частота ш продольных волн должна удовлетворять усло- условию е(ш) = 0, непосредственно вытекает из уравнения, приведенного на с. 476 текста: с <пг у, В случае поперечных волн div E = 0 и из (С) непосредственно вытекает вол- волновое уравнение A00.2). В случае же продольной волны, если она, например, распространяется по направлению оси z и вектор Е направлен вдоль той же оси, то, как легко видеть, т. е. правая часть уравнения (С) обращается в нуль, и, стало быть, при d7Ei/dt2 ф 0 необходимо, чтобы и е обращалось в нуль. Очевидно, что вытекающая для поперечных волн из формулы (С) обыч- обычная зависимость волнового вектора к от частоты волны ш: к = tjy/sji/c (см. формулу A00.6) текста) к продольным волнам неприменима. Для нахожде- нахождения этой зависимости необходимо учесть пространственную дисперсию сре- среды (в данном случае плазмы), о которой упоминалось в дополнении к § 92.
дополнения 615 Отметим также, что при равномерном движении электрического заряда в плазме возникает черенковское излучение плазменных волн. В случае по- поперечных волн это излучение не имеет места, так как для них согласно фор- формуле (В) е < 1, и следовательно, показатель преломления п = у/е меньше единицы, так что условие черенковского излучения v > с/п (см. добавление к § 93), где V — скорость излучающего электрона, для поперечных волн не может выполняться. Для продольных же плазменных волн п > 1, так что черенковское излучение имеет место, причем условие v > с/п выполняется для значительной части свободных электронов высокотемпературной плаз- плазмы. Но раз в плазме есть частицы, способные излучать волну данного типа, то они же могут ее и поглощать, что ведет к существенному затуханию рас- распространяющихся в плазме продольных волн даже в отсутствие соударений. Существенно также, что энергия введенных извне в плазму пучков бы- быстрых электронов быстро диссипируется благодаря излучению ими плазмен- плазменных волн по законам черенковского излучения. Мы не можем останавливаться здесь на ряде весьма интересных и своеоб- своеобразных электромагнитных явлений в плазме и отсылаем читателя к кни- книгам: Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Наука, 1967; Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитноактивной плаз- плазме. — М.: Наука, 1975; Арцимович Л.А. Элементарная физика плазмы,— 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969; Чен Ф. Введение в физику плазмы. — М.: Мир, 1987.
Учебное издание ТА ММ Игорь Евгеньевич ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА Редакторы Б.М. Болотовский, Л.П. Русакова, Д.А. Миртова Оригинал-макет В. В Затекина Оформление переплета А.Ю. Алехиной ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.03.03. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 38,5. Уч.-изд. л. 45,43. Заказ № 3286 Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист». 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3. Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72. E-mail: form.pfp@votel.ru hltp://www.vologda/~pfpv