Author: Тамм И.Е.
Tags: электричество магнетизм электромагнетизм физика
ISBN: 5-9221-0313-Х
Year: 2003
Text
И.Е. ТАММ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Издание одиннадцатое,
исправленное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2003
УДК 537.1@75.8)
ББК 22.33
Т17
Тамм И. Е. Основы теории электричества: Учеб. пособие для
вузов. — 11-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 616 с. — ISBN
5-9221-0313-Х.
Дано систематическое изложение основных положений теории электри-
электричества. Главное внимание уделено физическому содержанию теории. Подго-
Подготовлено 11-е издание, как и предыдущее, без переработки, с тем чтобы дать
возможность современному читателю ознакомиться именно с оригинальной,
фундаментальной в мировой литературе работой академика И.Е. Тамма. До-
Добавлена таблица физических констант, изменено несколько примечаний, об-
обновлены ссылки на литературу и, наконец, исправлены замеченные опечатки.
Для студентов физических специальностей вузов, а также научных и ин-
инженерно-технических работников.
Табл. 5. Ил. 107.
ISBN 5-9221-0313-Х © ФИЗМАТЛИТ, 1989, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к одиннадцатому изданию 9
Предисловие к десятому изданию 9
Из предисловия к девятому изданию 10
Из предисловия к первому изданию 11
Список важнейших обозначений 12
Введение 14
Глава I. Электрическое поле неподвижных зарядов
в отсутствие диэлектриков
1. Закон Кулона 17
2. Электрическое поле 21
3. Теорема Гаусса 23
4. Электрическое поле заряженных поверхностей 27
5. Проводники в электрическом поле 32
6. Истоки электрического поля. Поверхностная дивергенция 34
7. Работа электрических сил. Независимость ее от формы пу-
пути. Непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е 39
8. Потенциал электростатического поля 43
9. Емкость. Конденсаторы 48
10. Градиент электростатического потенциала. Линии сил ... 52
11. Уравнения Пуассона и Лапласа 57
12. Потенциал объемных и поверхностных зарядов 61
13. Типичные задачи электростатики 68
14. Двойной электрический слой 71
15. Энергия взаимодействия электрических зарядов 76
16. Энергия электрического поля 79
17. Пондеромоторные силы 85
18. Определение пондеромоторных сил из выражения энергии 88
19. Неустойчивость электрических систем. Связи 92
Глава II. Диэлектрики
20. Диэлектрики. Электрический момент и потенциал нейтраль-
нейтральной молекулы. Поляризация диэлектрика 97
21. Свободные и связанные заряды. Потенциал электрического
поля при наличии диэлектриков. Зависимость поляризации
от поля 101
ОГЛАВЛЕНИЕ
22. Вектор электрической индукции. Дифференциальные урав-
уравнения поля в произвольной среде. Линии индукции .... 105
23. Электрическое поле в однородном диэлектрике 110
24. Непосредственный подсчет поля при наличии диэлектрика
(в простейших случаях) 113
25. Микро- и макроскопические значения физических величин 117
26. Вывод уравнений поля в диэлектриках путем усреднения
микроскопического поля 120
27. Два класса диэлектриков. Квазиупругие диполи 123
28. Отличие действующего на диполь поля от среднего .... 125
29. Поляризация диэлектриков, молекулы которых обладают
постоянным электрическим моментом. Зависимость диэлек-
диэлектрической проницаемости от температуры 130
30. Энергия электрического поля в диэлектриках 136
31. Преобразования энергии, связанные с поляризацией диэлек-
диэлектриков. Свободная энергия электрического поля 139
32. Пондеромоторные силы в диэлектриках 146
33. Сведение объемных сил к натяжениям 153
34. Тензор натяжений электрического поля 158
Глава III. Постоянный электрический ток
35. Электрический ток в металлах. Законы Ома и Джоуля. На-
Напряжение 166
36. Плотность тока. Дифференциальная форма уравнений Ома
и Джоуля 170
37. Условия стационарности токов. Уравнение непрерывности.
Нити тока 173
38. Сторонние электродвижущие силы. Квазилинейные токи.
Второй закон Кирхгофа 177
39. Превращения энергии в цепи тока. Контактные ЭДС . . . 182
40. Основные представления электронной теории металлов.
Опыты Толмена 188
41. Электронная теория электропроводности. Трудности клас-
классической теории. Теория Зоммерфельда 192
Глава IV. Пондеромоторное взаимодействие постоян-
постоянных токов и их магнитное поле (в отсутствие намагничи-
намагничивающихся сред)
42. Магнитное поле токов 199
43. Взаимодействие элементов тока. Электродинамическая по-
постоянная 203
44. Переход от линейных токов к токам конечного сечения . . 206
45. Лоренцева сила 210
46. Вектор-потенциал магнитного поля 214
47. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Циркуля-
Циркуляция напряженности магнитного поля 218
ОГЛАВЛЕНИЕ
48. Поля потенциальные и поля соленоидальные. Сопоставле-
Сопоставление дифференциальных уравнений электрического и маг-
магнитного полей 220
49. Пограничные условия в магнитном поле токов. Поверхност-
Поверхностные токи. Поверхностный ротор. Поле бесконечного соле-
соленоида 221
50. Пондеромоторные силы, испытываемые в магнитном поле
замкнутым током. Потенциальная функция тока во внеш-
внешнем магнитном поле 227
51. Пондеромоторное взаимодействие токов. Коэффициент вза-
взаимной индукции 231
52. Коэффициент самоиндукции. Полная потенциальная функ-
функция системы токов 236
53. Магнитные силовые линии 239
54. Топология вихревого (магнитного) поля. Условные перего-
перегородки 244
55. Магнитные листки. Эквивалентность их токам 248
56. Магнитный момент тока. Элементарные токи и магнитные
диполи 253
57. Непосредственное определение поля элементарных токов и
сил, ими испытываемых 257
58. Эволюция представлений о природе магнетизма. Спин элек-
электронов 264
59. Абсолютная (гауссова) и другие системы единиц. Электро-
Электродинамическая постоянная 268
Глава V. Магнетики (намагничивающиеся среды)
60. Намагничение магнетиков. Молекулярные токи и токи про-
проводимости .... 277
61. Векторный потенциал магнитного поля при наличии магне-
магнетиков. Средняя плотность объемных и поверхностных мо-
молекулярных токов 281
62. Дифференциальные уравнения макроскопического магнит-
магнитного поля в магнетиках. Напряженность магнитного поля
в магнетиках и вектор магнитной индукции 287
63. Зависимость намагничения от напряженности магнитного
поля. Пара-, диа- и ферромагнетики 290
64. Полная система уравнений поля постоянных токов. Одно-
Однородная магнитная среда 293
65. Механические силы, испытываемые токами в магнитном
поле. Взаимодействие токов 295
66. Пондеромоторные силы, испытываемые магнетиками в маг-
магнитном поле 298
67. Дополнение к выводу макроскопических уравнений магнит-
магнитного поля в магнетиках 301
68. Механизм намагничения магнетиков. Теорема Лармора . . 304
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
69. Диамагнетизм 309
70. Парамагнетизм 311
71. Уточнения и дополнения к теории намагничения. Роль спи-
спина. Гиромагнитные явления 317
72. Ферромагнетизм. Молекулярное поле Вейсса 322
73. Уравнения поля в идеализированных ферромагнетиках
(обычный вариант). Постоянные магниты 330
74. Другой вариант уравнений магнитного поля в идеализиро-
идеализированных ферромагнетиках. Эквивалентность электрических
токов и постоянных магнитов . .¦ 336
75. Пондеромоторные силы, испытываемые постоянными маг-
магнитами во внешнем магнитном поле 344
Глава VI. Квазистационарное электромагнитное поле
76. Индукция токов в движущихся проводниках 349
77. Закон электромагнитной индукции. Закон Ома для пере-
переменных токов 353
78. Квазистационарные токи. Дифференциальные уравнения
переменных токов 358
79. Преобразование энергии в поле переменных токов. Энергия
магнитного взаимодействия токов. Правило Ленца 361
80. Простейшие применения теории переменных токов. Транс-
Трансформатор 366
81. Энергия магнитного поля. Энергетическое значение коэф-
коэффициентов индукции 374
82. Преобразование энергии при намагничении пара- и диамаг-
нетиков. Свободная энергия магнитного поля 381
83. Определение пондеромоторных сил магнитного поля из вы-
выражения энергии 385
84. Тензор натяжения магнитного поля 390
85. Вихри электрического поля 392
86. Зависимость электрического напряжения от пути интегри-
интегрирования. Напряжение переменного тока 395
87. Уравнение непрерывности 400
88. Токи смещения 402
89. Конденсатор в цепи квазистационарного тока. Электриче-
Электрические колебания 408
90. Скин-эффект 413
Глава VII. Переменное электромагнитное поле в непод-
неподвижной среде и его распространение. Электромагнитные
волны
91. Система максвелловых уравнений макроскопического элек-
электромагнитного поля 421
92. Теорема Пойнтинга. Поток энергии 427
93. Однозначность решений уравнений Максвелла 433
ОГЛАВЛЕНИЕ
94. Дифференциальные уравнения для потенциалов электро-
электромагнитного поля 436
95. Решение волнового уравнения и уравнения Даламбера . . 439
96. Запаздывающие и опережающие потенциалы. Калибровоч-
Калибровочная инвариантность 446
97. Скорость распространения электромагнитных возмущений.
Условия квазистационарности 453
98. Осциллятор. Запаздывающие потенциалы поля осцилля-
осциллятора 457
99. Поле осциллятора. Его излучение 465
100. Электромагнитная природа света. Плоские волны в ди-
диэлектрике 474
101. Отражение и преломление плоских волн в диэлектриках . 480
102. Распространение волн в проводящей среде. Отражение све-
света от металлической поверхности 489
103. Световое давление. Количество движения электромагнит-
электромагнитного поля 493
104. Электромагнитный момент количества движения. Част-
Частный случай статического поля 499
105. Тензор натяжений и пондеромоторные силы электромаг-
электромагнитного поля 504
106. Пример неквазистационарных токов: волны вдоль кабеля 509
107. Приближенная теория быстропеременных токов. «Уравне-
«Уравнение телеграфистов» 517
108. Свободная энергия ферромагнетиков. Гистерезис 522
109. Общая характеристика теорий близко- и дальнодействия 528
Глава VIII. Электромагнитные явления в медленно
движущихся средах
110. Дифференциальные уравнения поля в движущихся средах 533
111. Конвекционный ток. Поляризация и намагничение движу-
движущихся сред 537
112. Закон Ома и электромагнитная индукция в движущихся
проводниках. Униполярная индукция 544
113. Диэлектрик, движущийся в электромагнитном поле . . . 550
114. Распространение света в движущихся диэлектриках. Ко-
Коэффициент увлечения Френеля. Отражение от движуще-
движущегося зеркала 552
115. Преобразования системы отсчета. Относительный харак-
характер различия между электрическими и магнитными полями 556
Решениязадач 561
Приложения
I. Векторный анализ
1. Векторная алгебра 574
2. Векторные и скалярные поля. Градиент 576
ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Поток вектора через поверхность 581
4. Теорема Гаусса. Дивергенция 583
5. Циркуляция вектора. Ротор вектора. Теорема Стокса . . 589
6. Производная вектора по направлению 596
7. Оператор набла. Вторые производные. Производные от
произведений 597
8. Интегральные соотношения. Теорема Грина 603
9. Важнейшие формулы векторного анализа 606
II. Основные формулы в СИ и в гауссовой системе . . . 608
III. Фундаментальные физические константы 610
Дополнения
1. Сверхпроводимость (к § 41) 611
2. Магнитные монополи и «истинные» магнитные диполи.
Тороидные моменты (к § 54, 57, 58) 611
3. Антиферромагнетизм и ферриты (к § 71) 611
4. Диспергирующие среды. Пространственная дисперсия
(к § 92) 612
5. Анизотропные среды (к § 92) 613
6. Эффект Вавилова-Черенкова (к § 99) 613
7. Плазма (к § 102) 614
ПРЕДИСЛОВИЕ К ОДИННАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание книги является уже третьим посмерт-
посмертным. Из публикуемого ниже предисловия к 9-му изданию ясно,
чем мы руководствовались при переиздании книги. В 10-м из-
издании A989 г.) мы следовали по тому же пути. То же сделано
и в настоящем 11-м издании, необходимость которого очевид-
очевидна в связи с ценностью книги, успешной работой высшей шко-
школы в России и тем, что курс И.Е. Тамма давно уже отсутствует
в книжных магазинах.
То, что сделано в новом издании,—это несколько примеча-
примечаний и замена части рекомендуемой литературы на более совре-
современную. При этом, как и ранее, учтены замечания некоторых со-
сотрудников Отдела теоретической физики им. И.Е. Тамма ФИАН.
В подготовке настоящего издания принял участие Е.З. Мейлихов
(РНЦ «Курчатовский Институт»). Мы надеемся, что появление
нового издания классической книги И.Е. Тамма принесет нема-
немалую пользу.
2003 г. В. Л. Гинзбург
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕСЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Предыдущее девятое, уже посмертное, издание классическо-
классического курса И.Е. Тамма вышло в свет в 1976 г. Книга, несмотря на
довольно значительный тираж, давно разошлась и поэтому сей-
сейчас сравнительно трудно доступна. Между тем курс И.Е. Тамма
в основном не устарел и в силу своих многочисленных досто-
достоинств продолжает использоваться. Естественно стремление пре-
предоставить возможность познакомиться с курсом также и ново-
новому поколению физиков и инженеров и в особенности студентам.
Этим и объясняется переиздание книги.
По причинам, указанным в помещенном ниже предисловии
к девятому изданию, практически никаких изменений в текст
и сейчас не вносилось. Добавлено лишь несколько подстрочных
примечаний (примеч. ред.). Внесены также небольшие измене-
изменения в дополнения (новым является дополнение 2; обновились
ссылки на литературу). В списке важнейших обозначений сде-
сделаны некоторые пояснения, касающиеся общепринятой в настоя-
настоящее время терминологии. Наконец, исправлены замеченные опе-
опечатки.
10 ПРЕДИСЛОВИЯ
Основная работа по подготовке нового издания выполнена
Б.М. Болотовским. При этом были учтены замечания, сделанные
рядом сотрудников Отдела теоретической физики им. И.Е. Там-
ма Физического института им. П.Н. Лебедева АН СССР. Мы
надеемся, что появление нового издания книги И.Е. Тамма при-
принесет немалую пользу.
1986 г. В.Л. Гинзбург
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
«Основы теории электричества» — классический курс элек-
электродинамики, написанный одним из самых выдающихся и из-
известных советских физиков Игорем Евгеньевичем Таммом
A895-1971).
При жизни автора книга выдержала восемь изданий и уже
более сорока лет эффективно используется весьма широким кру-
кругом читателей.
Как подчеркнул сам И.Е. Тамм в предисловии к последнему
(восьмому) прижизненному изданию A965 г.), книгу «следова-
«следовало бы существенно переработать». Фактически, однако, Игорь
Евгеньевич счел возможным внести в книгу лишь небольшое
число изменений. Тем меньше оснований менять что-либо суще-
существенное сейчас, когда мы не можем учесть пожеланий и мнение
самого автора. Да и вообще попытки модернизировать уже заре-
зарекомендовавшие себя классические курсы, как правило, не при-
приносят подлинного успеха — первоначальный курс теряет свою
цельность и стройность, а нового вполне современного курса то-
тоже не получается.
По этим причинам настоящее издание является по сути дела
перепечаткой предыдущего восьмого издания. Исправлена лишь
неточность (указанная Д.В. Сивухиным), допущенная при вы-
вычислении поляризуемости газа из молекул с постоянным диполь-
ным моментом (с. 135 и 148 восьмого издания), исправлены за-
замеченные опечатки, изменено или внесено вновь несколько слов
в тексте (в частности, в дополнениях), помещено небольшое чи-
число примечаний редактора и, наконец, сделаны некоторые из-
изменения, касающиеся ссылок на литературу (устранены отдель-
отдельные ссылки на старые труднодоступные источники, приведено
несколько новых ссылок). При этом, поскольку книга является
учебным пособием, а не изданием академического типа, пред-
представилось нецелесообразным как-то специально отмечать в са-
самом тексте все подобные второстепенные изменения. По той же
причине мы отказались от весьма соблазнительной идеи поме-
поместить в виде дополнения к книге некоторые оригинальные рабо-
ПРЕДИСЛОВИЯ 11
ты И.Е. Тамма, посвященные электродинамическим вопросам.
К тому же с этими работами читатель легко сможет познако-
познакомиться по недавно опубликованному двухтомному собранию на-
научных трудов И.Е. Тамма (издательство «Наука», 1975).
В заключение должен с благодарностью отметить существен-
существенную помощь, оказанную при подготовке настоящего издания
Б.М. Болотовским и В.А. Угаровым. Все мы надеемся, что на-
настоящее издание книги И.Е. Тамма, как и предыдущие, принесет
большую пользу.
1975 г. В. Л. Гинзбург
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга предназначена для лиц, владеющих диф-
дифференциальным и интегральным исчислениями и векторной ал-
алгеброй; основы же векторного анализа излагаются в тексте по
мере надобности.
Основной целью этого курса является выяснение физического
смысла и содержания основных положений теории электриче-
электричества; по сравнению с этой целью формально-логической строй-
стройности, строгости и общности изложения отводилась лишь сопод-
соподчиненная роль.
Не стремясь к полноте изложения, я опускал даже сравни-
сравнительно важные вопросы, если они выпадали из общей нити изло-
изложения (например, термоэлектрические явления, электролиз
и т. д.). С другой стороны, на некоторых вопросах (например,
в теории диэлектриков и магнетиков) я позволил себе остано-
остановиться несколько подробнее, чем это обыкновенно принято. Тех-
Технических приложений теории я не излагал, но стремился по воз-
возможности подготовить читателя к непосредственному переходу
к изучению прикладной теории электричества.
Ввиду неразработанности русской научной терминологии я
принужден был ввести два новых термина: «сторонняя» элек-
электродвижущая сила (eingepragte Kraft) и «магнетик». Кроме то-
того, я позволил себе уклониться от общепринятого, но устарелого
и нерационального словоупотребления терминов «свободный» и
«связанный» заряд. Наконец, гауссову (симметрическую) систе-
систему единиц в отличие от электростатической и электромагнитной
я называю просто абсолютной системой (без прилагательного).
Большинство помещенных в книге задач составляет органи-
органическую часть текста; решения многих задач необходимы для по-
понимания последующего изложения.
1929 г. И.Е. Тамм
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Векторы обозначаются жирным прямым шрифтом (например R); та же
буква светлым шрифтом (например R) означает числовое значение соответ-
соответствующего вектора.
Интегралы любой кратности обозначаются одним-единственным зна-
знаком J и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: элемент
объема (трехкратного интеграла) — dV, элемент поверхности (двукратного
интеграла) — dS, элемент линии (одинарного интеграла) — ds.
Знак у> означает интеграл по замкнутой поверхности или по замкну-
замкнутому контуру.
0 смысле индексов а и g у знаков grad, div и т. д. (например grada R,
gradv R) см. в приложении.
При ссылках в тексте на формулы векторного анализа, помещенные в
приложении, формулы эти отмечаются звездочкой, например A7*). В слу-
случае, если под одним номером объединено несколько формул, то в ссылках
на каждую из этих формул номер ее указывается дополнительным индексом
справа внизу, например D3з).
А — работа
А — вектор-потенциал
В — магнитная индукция
с — электродинамическая постоянная, равная скорости света
в вакууме
С — емкость, циркуляция вектора
D — электрическая индукция (электрическое смещение)
е — электрический заряд (элементарный заряд)
Е — напряженность электрического поля
S — напряжение (электродвижущая сила)
^стр — сторонняя электродвижущая сила
f — плотность сил
F — пондеромоторная сила
g — плотность электромагнитного количества движения
Н — напряженность магнитного поля
1 — единичный вектор по оси х, плотность поверхностных токов
I — намагничение (намагниченность)
1о — постоянное намагничение
j — единичный вектор по оси у, плотность объемного тока
J — сила тока
к — постоянная Больцмана, волновое число
к — единичный вектор по оси z
К — момент количества движения (импульса)
L — кривая, в частности замкнутый контур
Ьгг — коэффициент самоиндукции (индуктивность)
Lik — коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность)
{ф)
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 13
т — магнитный (фиктивный) заряд
М — магнитный момент
п — единичный вектор нормали
N — поток вектора, в частности электрического; число молекул
в единице объема (плотность чиста частиц)
N — единичный вектор нормали, момент пары сил
о — угловая скорость прецессии
р — электрический момент диполя
Р — работа сторонних электродвижущих сил
Р — поляризация (поляризованность), вектор Герца
Q — количество теплоты, выделяемое током в единицу времени
R — сопротивление
R — радиус-вектор
г — вектор кратчайшего расстояния от заданной оси
ds — элемент длины
S — поверхность
S — вектор Пойнтинга
t — время
t — единичный касательный вектор
Т — абсолютная (термодинамическая) температура, кинетическая
энергия, период колебаний
Т — натяжение, тензор натяжения
и — скорость
U — потенциальная функция магнитного поля токов
v — скорость
V — объем
w — плотность энергии
W — энергия
а — азимут, поляризуемость единицы объема
а, /9, 7 — направляющие углы вектора
/3 — поляризуемость молекулы
? — диэлектрическая проницаемость 1)
$ — полярный угол
ус — магнитная восприимчивость, линейная плотность заряда
Л — коэффициент электропроводности (удельная проводимость),
длина волны
\i — магнитная проницаемость
р — объемная плотность электрических зарядов
ры — объемная плотность магнитных фиктивных зарядов
ст — поверхностная плотность электрических зарядов
стм — поверхностная плотность магнитных фиктивных зарядов
т — плотность, масса единицы объема
ip — электрический потенциал
Ф — магнитный поток
ф — магнитный скалярный потенциал
Ф — поток магнитной индукции, свободная энергия
ш — циклическая (круговая) частота
Q — телесный угол
V — оператор Гамильтона («набла»)
V2, Д — оператор Лапласа
) В оригинале «диэлектрическая постоянная». Однако, поскольку в на-
настоящее время общепринятым является термин «диэлектрическая проница-
проницаемость», то в тексте произведена соответствующая замена. {Примеч. ред.)
ВВЕДЕНИЕ
Согласно современным воззрениям атомы всех тел построены
из электрически заряженных частиц — сравнительно легких
электронов, заряженных отрицательно, и сравнительно тяжелых
атомных ядер, заряженных положительно. Нейтральные в элек-
электрическом отношении тела кажутся нам таковыми только потому,
что отрицательный заряд входящих в их состав электронов ра-
равен положительному заряду входящих в их состав атомных ядер,
так что влияние противоположных зарядов взаимно нейтрали-
нейтрализуется (по крайней мере на расстояниях, достаточно больших
по сравнению с расстоянием между отдельными электрически-
электрическими частицами, входящими в состав нейтрального тела). Пере-
Перераспределение электрических зарядов и, в частности, электриче-
электрический ток обусловливается перемещением электрических частиц и
притом большей частью электронов, а не атомных ядер, ибо в со-
состав атомов химических элементов всегда входит некоторое чис-
число «внешних» электронов, сравнительно слабо связанных с мас-
массивным центральным атомным ядром и сравнительно легко от
него отщепляющихся.
Отрицательный заряд электрона равен 4,80 • 10~10 абсолютных
электростатических единиц электричества (или 1,60-10~19 куло-
кулонов), положительные же заряды атомных ядер по абсолютной
величине равны целым кратным этого так называемого элемен-
элементарного заряда, являющегося неделимым атомом электричества.
Заряды различных атомных ядер варьируются от одного (водо-
(водород) до девяноста двух (уран) элементарных зарядовх). Самым
легким атомным ядром является ядро водорода, носящее назва-
название протона; масса протона A,67 - 10~24 г) примерно в 2000 раз
больше массы электрона (9,11-10~28 г). Геометрические размеры
как атомных ядер, так и электронов настолько малы по сравне-
сравнению со средними расстояниями между этими частицами в ато-
атомах и молекулах, что при рассмотрении громадного большин-
большинства физических и химических явлений как атомные ядра, так и
электроны можно считать материальными точками, характери-
характеризуемыми определенным электрическим зарядом и определенной
массой. Вопрос же о том, как построены атомные ядра из более
1) В настоящее время искусственным путем получен ряд новых тяжелых
элементов, стоящих за ураном в периодической системе.
ВВЕДЕНИЕ 15
элементарных частиц (протонов и нейтронов), имеет значение
только для сравнительно ограниченного круга физических явле-
явлений, относящегося к области ядерной физики, которую мы рас-
рассматривать не будем. Только для этой области явлений имеют
значение и так называемые ядерные силы, которыми определя-
определяется взаимодействие частиц (протонов и нейтронов), входящих
в состав атомных ядер.
Исходя из указанных представлений современная физика ста-
ставит своей задачей определить электрическую структуру всех
встречающихся в природе веществ (число, расположение и ха-
характер движения входящих в состав их электрических частиц)
и вывести законы физических и химических явлений из основ-
основных законов взаимодействия электрических зарядов и законов
их движения (которые в микромире носят квантовый характер).
Единственное исключение нужно сделать для тех явлений, для
которых имеют существенное значение силы тяготения и силы
ядерные, ибо только эти силы не сводятся к взаимодействию
электрических зарядов.
Первым шагом на пути к разрешению указанной задачи дол-
должно быть выяснение законов взаимодействия электрических за-
зарядов, законов электромагнитного поля. Громадное большинство
применяемых на практике способов наблюдения и измерения
слишком грубы для того, чтобы с их помощью можно было об-
обнаружить существование отдельных частиц электричества.
Наименьшие электрические заряды, доступные наблюдению с
помощью этих способов, содержат в себе многие миллионы и
миллиарды частиц электричества, отделенных друг от друга ни-
ничтожными расстояниями. При таком суммарном или макро-
макроскопическом1) изучении электрических явлений в масшта-
масштабе, доступном непосредственному наблюдению, мы можем, не
внося сколько-нибудь существенной ошибки в результаты рассуж-
рассуждений, вовсе не учитывать атомистического строения электриче-
электричества и пользоваться представлением о непрерывно протяженных
электрических зарядах; иными словами, мы можем считать, что
электрические заряды сплошным, непрерывным образом запол-
заполняют заряженные участки материальных тел (так называемые
«объемные заряды»). Упрощая таким образом нашу задачу, мы
лишь следуем примеру механики. Ввиду того что изучение ме-
механики весомых тел при учете атомистической структуры веще-
вещества связано со значительными математическими трудностями,
теория упругости, гидродинамика и аэродинамика оперируют
с идеализированным представлением о непрерывно протяжен-
протяженных материальных телах. В известных, и притом довольно ши-
широких, пределах подобная замена вполне законна, и результаты,
1) Греческое «макрос» — большой и «скопейн» — видеть.
16 ВВЕДЕНИЕ
полученные при рассмотрении непрерывных сред, оказываются
применимыми к реальным телам прерывного строения.
Следуя историческому ходу развития электродинамики, мы
начнем с изложения макроскопической теории электромагнит-
электромагнитных явлений, основанной на представлении о непрерывном рас-
распределении электрических зарядов. По накоплении известного
количества сведений мы перейдем к параллельному изложению
основных представлений микроскопической теории, ос-
основанной на учете атомистического строения электричества (так
называемая «электронная теория?-), и покажем, что приближен-
приближенные макроскопические законы суммарных явлений вытекают из
более точных микроскопических законов явлений элементарных.
При этом, однако, нужно иметь в виду, что сколько-нибудь пол-
полное и строгое изложение микроскопической теории неизбежно
должно базироваться на квантовой теории в ее современной
форме. Ввиду того, что мы не можем предполагать у читате-
читателя основательного знакомства с квантовой механикой, мы вы-
вынуждены будем в основном ограничиться изложением только тех
вопросов микроскопической теории, которые с достаточной сте-
степенью точности могут быть рассмотрены в рамках классической
(доквантовой) физики.
В главе VII мы вновь ограничимся рассмотрением макроско-
макроскопической теории поля с тем, чтобы на основе полученных ре-
результатов сформулировать полную систему основных положений
этой теории (формулировка существенной их части содержится
в так называемых уравнениях Максвелла). Эта система основ-
основных положений, или «постулатов», играет в электродинамике
такую же роль, какую в классической механике играют «ак-
«аксиомы» Ньютона. В частности, справедливость этих основных
постулатов макроскопической электродинамики (как и справед-
справедливость аксиом Ньютона) может быть наиболее убедительным
образом обоснована не индуктивным методом (на который толь-
только и можно опираться при отыскании основных закономерно-
закономерностей, но который, однако, не может дать совершенно строгого
доказательства их справедливости), а согласием с опытом всей
совокупности следствий, вытекающих из теории и охватываю-
охватывающих все закономерности макроскопического электромагнитного
поля. В главе VII мы рассмотрим некоторые из этих следствий,
относящихся, в частности, к электромагнитным волнам.
Наконец, в главе VIII мы рассмотрим электромагнитные яв-
явления в движущихся средах, ограничившись случаем, когда ско-
скорость этих сред мала по сравнению со скоростью света.
ГЛАВА I
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
В ОТСУТСТВИЕ ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1. Закон Кулона
В этой главе мы будем предполагать, что в электрическом
поле неподвижных зарядов, кроме проводников электричества,
никаких других материальных тел нет.
1. В основе теории электростатического поля лежит закон
Кулона, являющийся обобщением данных опыта. Этот закон,
как известно, гласит, что два заряженных тела бесконечно малых
размеров (два точечных заряда) отталкиваются, если заряды их
одноименны, и притягиваются, если они разноименны, причем
сила их взаимодействия F пропорциональна ^
где е\ и в2 — заряды первого и второго тел, a R\2 — расстояние
между ними.
Если зарядов имеется не два, а больше, то на каждый заряд
будут действовать со стороны всех остальных зарядов силы типа
A.1). В частности, если заряды е\ и в2 помещены в воздух, ке-
керосин или какую-либо другую непроводящую среду, то, помимо
непосредственного взаимодействия зарядов ei и ег друг с другом
по закону A.1), необходимо учитывать также и взаимодействие
этих зарядов ei и ег с зарядами электронов и атомных ядер,
входящих в состав нейтральных молекул среды.
В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением электро-
электростатического поля в вакууме. Конечно, абсолютный вакуум нео-
неосуществим на опыте, и в эвакуируемых сосудах всегда остается
некоторое, хотя бы и ничтожное, количество воздуха. Однако
это вовсе не значит, что законы электрического поля в вакууме
недоступны опытному исследованию. Изучая изменение харак-
характера поля по мере уменьшения давления воздуха, можно устано-
установить тот предел, к которому стремятся свойства поля (например
силы взаимодействия зарядов) по мере приближения к абсолют-
абсолютному вакууму. Эти предельные свойства (предельное значение
силы), очевидно, и будут характеризовать собою поле в абсо-
18 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
лютном вакууме. Впрочем, как показывает опыт, при уменьше-
уменьшении плотности воздуха от нормальной до достижимого на опыте
предела, свойства поля изменяются столь незначительно, что ес-
если нет нужды в особой точности, то этими изменениями можно
в большинстве случаев вовсе пренебречь и считать, что свойства
поля в воздухе тождественны свойствам поля в вакууме.
2. Выражаемая формулой A.1) обратная пропорциональность
силы взаимодействия зарядов квадрату расстояния между ни-
ними может быть непосредственно проверена на опыте1). Что же
касается зависимости этой силы от зарядов, то дело обстоит
несколько сложнее, ибо сами заряды в свою очередь могут быть
определены только путем измерения силы их взаимодействия.
Однако если число зарядов не меньше четырех, то искомая зави-
зависимость все же может быть проверена путем последовательного
измерения попарных сил взаимодействия между ними.
Предположим для простоты, что при этих измерениях ис-
исследуемые заряды всякий раз помещаются на одном и том же
расстоянии друг от друга (остальные же заряды устраняются).
При этом условии из уравнения A.1) вытекают соотношения
Е31 = -L и ?ki — ?2.
Fn ei F14 ei'
где Fik — сила взаимодействия зарядов е; и е^.
Таким образом, отношение ег/ei (а также и отношения ез/ех,
e^/ei и т. д.) может быть определено из двух независимых рядов
измерений (сил Fiz и F23, с одной стороны, и сил Fu и F24 —
с другой). Совпадение результатов этих независимых измерений
и дает нам право утверждать, что каждый заряд может быть
охарактеризован некоторым постоянным числом ej так, чтобы
сила Fik была пропорциональна произведению е^е*;.
Конечно, путем измерения сил взаимодействия можно опре-
определить только отношение величин зарядов ег/е^, единица же
заряда может быть выбрана произвольно. Единица заряда в аб-
абсолютной системе единиц выбрана так, чтобы при измерении сил
и расстояний в системе СГС фактор пропорциональности меж-
между F и eie2/i?x2 равнялся единице, т. е. чтобы осуществлялось
равенство
F=ej^. A.2)
Стало быть, абсолютная единица электричества есть такое ко-
количество электричества, которое действует на равное ему ко-
количество электричества, находящееся на расстоянии 1 см, с си-
силой в одну дину. В практической же системе единиц за единицу
1)В настоящее время экспериментально установлено, что отличие показа-
показателя степени в знаменателе формулы A.1) от 2 не превышает 10" ls.
§ 1 ЗАКОН КУЛОНА 19
электричества принят кулон (К):
1 кулон = 3-10 абс. единиц электричества1).
Что касается знака зарядов, то чисто условно принято считать
положительными те заряды, которые появляются на стекле при
натирании его шелком или фланелью, а стало быть, и те, которые
отталкиваются этими зарядами, возникшими на стекле.
Из уравнения A.2) следует, что в абсолютной системе еди-
единиц размерность [е] электрического заряда е, т. е. зависимость
единицы заряда от единиц длины (L), времени (Т) и массы (М),
такова:
[е] = [Ry/F] = L
3. Весьма существенно, что закон Кулона A.1) или A.2) спра-
справедлив только для взаимодействия точечных зарядов, т. е. заря-
заряженных тел бесконечно малых размеров. Только в этом случае
само понятие расстояния между зарядами имеет вполне опреде-
определенный, однозначный смысл, и только в этом случае взаимодей-
взаимодействие заряженных тел не зависит от их формы.
Конечно, выражение «бесконечно малый» нужно понимать в
этом случае, как и всегда в физике, не в строго математическом
смысле слова. В физике выражение «бесконечно малая» (или
«бесконечно большая») величина всегда понимается в смысле
«достаточно малой» (или «достаточно большой») величины,—
достаточно малой по отношению к некоторой другой, вполне
определенной, физической величине. Встречаясь с термином
«бесконечный», всегда необходимо давать себе ясный отчет в
том, какая именно величина взята в каждом отдельном случае в
качестве мерила.
В формулировке закона Кулона бесконечная малость [то-
чечность) размеров заряженных тел понимается в смысле
достаточной их малости по отношению ко взаимному расстоя-
расстоянию этих тел, достаточной в том смысле, что при данном рас-
расстоянии тел сила их взаимодействия уже не изменяется в преде-
пределах заданной точности измерений при дальнейшем уменьшении
1) Заметим, что, помимо той абсолютной (гауссовой) системы единиц, кото-
которой мы будем пользоваться в настоящей книге под названием «абсолютной
системы», в физике и технике часто применяются две другие системы еди-
единиц — электростатическая и электромагнитная. Соотношение между этими
системами будет рассмотрено в гл. IV, пока же достаточно заметить, что
абсолютные (гауссовы) единицы электрических величин (заряд, напряжен-
напряженность поля, потенциал, сила тока и т. д.) совпадают с единицами электро-
электростатическими, а абсолютные единицы магнитных величин (напряженность
магнитного поля, коэффициент самоиндукции, магнитный момент) — с элек-
электромагнитными единицами.
Далее, и в отношении практических единиц необходимо различать так назы-
называемые «абсолютные» и «международные» практические единицы (см. § 59).
20 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
их размеров и при произвольном изменении их формы. Посколь-
Поскольку мы пока ограничиваемся макроскопическим рассмотрением
явлений, мы должны помнить, что физически бесконечно малый,
или «точечный», заряд может в действительности содержать в
себе чрезвычайно большое число отдельных электронов и прото-
протонов. Так, например, если бы возникла необходимость определить
силу электрического взаимодействия двух заряженных электри-
электричеством звезд, то, несмотря на громадные размеры звезд, мы
были бы вправе считать их точечными зарядами, ибо при ко-
колоссальном расстоянии между звездами размеры и форма их не
могут сколько-нибудь существенно сказаться на силе их взаимо-
взаимодействия. С другой стороны, два заряженных бузиновых шарика
радиуса 0,1 см, находящихся на расстоянии 0,5 см друг от друга,
не могут считаться точечными зарядами, и закон Кулона к ним
непосредственно неприменим. Чтобы определить силу их взаи-
взаимодействия, нужно мысленно разбить эти шарики на бесконечно
малые (т. е. достаточно малые по сравнению с расстоянием в
0,5 см) элементы объема и определить по закону Кулона взаимо-
взаимодействие между зарядами каждой пары этих элементов объема.
Сила взаимодействия между шариками будет равна равнодей-
равнодействующей этих элементарных сил1).
4. При определении равнодействующей электрических сил
нужно, конечно, принять во внимание, что силы эти суть век-
векторы, и применять к ним правила векторного исчисления. Мы
будем обозначать векторы жирным прямым шрифтом, а их чи-
числовое значение светлым курсивом. Так, например, Ri2 будет
обозначать радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2, а
R\2 — числовое значение расстояния между точками 1 и 2. Оче-
Очевидно, что R.21 = — R-i2j a, i?2i = R12 2) • При записи закона
Кулона A.2) в векторной форме необходимо отличать силу Fi2,
с которой заряд е\ действует на заряд ег, от силы F21, с которой
заряд ег действует на заряд ei, ибо эти силы равны по величине,
но противоположны по направлению (F21 = — F^). Если заря-
заряды ei и ег одноименны по знаку (отталкивание), то направления
векторов Fi2 и Ri2 совпадают между собой, так что
R12 eie2 D ,л q\
= Rl2 (L3)
l) В основе этого вычисления лежит допущение, что сила взаимодействия
двух (точечных) зарядов не зависит от того, подвергаются эти заряды воз-
воздействию других зарядов или нет. Это предположение вместе с утверждени-
утверждением, что равнодействующая электрических сил равна векторной сумме этих
сил, составляет содержание принципа наложения или суперпозиции элек-
электрических полей. Принцип этот является обобщением данных опыта и лежит
в основе современной теории электричества. См. также примечание автора
на с. 291 и примечание редактора на с. 104.
2)Для краткости мы будем иногда называть вектор Ri2 просто расстоя-
расстоянием точки 2 от точки 1, а вектор R21 — расстоянием точки 1 от точки 2.
§ 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 21
ибо числовое значение вектора R42/.R12 равно единице, а произ-
произведение е\в2 положительно. Очевидно, что это уравнение остает-
остается справедливым и для разноименных зарядов, ибо в этом случае
произведение е\в2 отрицательно, а сила Fi2 направлена обратно
вектору Ri2 (притяжение). Наконец, очевидно, что
* 21 — — * 12 ^J- "-21.
5. Отметим в заключение, что решающее значение в вопросе
о справедливости закона Кулона, как и вообще любого закона,
лежащего в основе того или иного отдела теоретической физики,
имеет не только непосредственная опытная проверка этого зако-
закона, но также, что гораздо существеннее, и согласие с опытом
всей совокупности выводов теории, одним из исходных пунктов
которой является этот закон.
§ 2. Электрическое поле
1. Если в точку Р, находящуюся на расстоянии R от заряда
е, внести «пробный» заряд е', то можно обнаружить силу, дейст-
действующую на этот пробный заряд и обусловленную присутствием
заряда е. Сила эта обнаруживается только при наличии второго
(пробного) заряда, и можно считать, что она и возникает лишь
при наличии обоих зарядов е' и е. Однако изучение электриче-
электрических явлений чрезвычайно облегчается, если исходить из пред-
представления, что как в точке Р, так и во всех точках пространства,
окружающего заряд е, всегда существует электрическая сила,
обусловленная присутствием этого заряда, вне зависимости от
того, проявляется ли существование этой силы в воздействии ее
на другой (пробный) заряд (в случае наличия такового) или же
ни в чем не проявляется (в случае отсутствия других зарядов).
Если в пространстве существуют электрические силы, обна-
обнаруживающиеся при внесении в него электрических зарядов, то
мы говорим, что в нем существует электрическое поле. В даль-
дальнейшем мы будем исходить из представления, что всякий за-
заряд возбуждает в окружающем пространстве электрическое по-
поле. Пока мы остаемся в пределах электростатики, понятие поля
может рассматриваться как понятие чисто условное, введенное
лишь для удобства описания электрических явлений. Однако,
перейдя к учению о переменном электромагнитном поле, в част-
частности к учению об электромагнитных волнах, мы убедимся, что
понятие поля имеет глубокий физический смысл и что электро-
электромагнитное поле есть объективная реальность.
2. Согласно закону Кулона, сила, действующая на «пробный»
заряд е' при внесении его в поле других зарядов, пропорциональ-
пропорциональна величине этого пробного заряда е'. Поэтому силы электриче-
22 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
ского поля будут вполне определены, если определена в каждой
точке этого поля сила, действующая на помещенный в ней еди-
единичный, положительный заряд. Эта сила, действующая на заряд
е' = 1, называется напряженностью, или напряжением, или
силой электрического поля, или же просто электрическим век-
вектором и обозначается буквой Е. Мы будем пользоваться первым
из этих терминов, сохранив термин «напряжение» для совершен-
совершенно иного понятия разности потенциалов и линейного интеграла
вектора Е (см. § 35).
Как следует из закона Кулона A.3), напряженность поля то-
точечного заряда е на расстоянии R от этого заряда равна
где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения за-
заряда е в рассматриваемую точку поля.
Напряженность поля двух или нескольких зарядов равна век-
векторной сумме напряженностей поля каждого из этих зарядов в
отдельности.
3. Необходимо помнить, что напряженность, или сила поля Е,
вовсе не является силой в обычном, употребляемом в механике
смысле этого слова. Механическая, или, как ее иногда называ-
называют, пондеромоторная, сила F (от латинского «пондус» — вес,
«пондеромоторный» —движущий весомые тела), действующая
на заряженное тело, определяется произведением силы поля Е
на заряд тела е:
F = еЕ. B.2)
Соответственно этому в абсолютной системе единиц напряжен-
напряженность, или сила поля Е, имеет размерность (см. с. 19)
4. На основании соотношения B.2) одна из основных задач
электростатики — определение механических сил взаимодействия
заданной системы зарядов — сводится к определению поля Е
этих зарядов. Заметим при этом, что определить поле электри-
электрического вектора Е, как и вообще определить поле любого векто-
вектора, значит определить значение вектора в каждой точке это-
этого поля. В дальнейшем мы рассмотрим способы теоретического
вычисления электрических полей, в отношении же эксперимен-
экспериментального изучения этих полей отметим следующее.
Экспериментальное изучение электрического поля может
быть осуществлено внесением в него пробного заряда известной
величины и измерением пондеромоторных сил F, действующих
на этот заряд в различных точках поля. Однако самый факт
внесения в поле пробного заряда, вообще говоря, изменяет ха-
характер этого поля, ибо силы поля пробного заряда вызывают
ТЕОРЕМА ГАУССА
23
перераспределение зарядов на находящихся в поле проводниках
(электрическая индукция), сдвиг этих проводников и т. д. Что-
Чтобы избежать этого искажения первоначального характера поля,
необходимо производить измерения с помощью бесконечно ма-
малых пробных зарядов, т. е. зарядов столь малых, что вызываемое
их присутствием изменение распределения зарядов в пределах
заданной точности наблюдений не может сказаться на резуль-
результатах измерения. Говоря о пробных зарядах, мы в дальнейшем
всегда будем предполагать, что это условие выполнено (если не
оговорено противное).
§ 3. Теорема Гаусса
1. Если известно расположение зарядов, то поле Е этих за-
зарядов может быть определено путем суммирования кулоновых
полей типа B.1), возбуждаемых каждым из элементов этих за-
зарядов в отдельности. Такого рода непосредственное суммирова-
суммирование, вообще говоря, требует в каждом отдельном случае доволь-
довольно сложных вычислений. Во многих случаях задача эта может
быть, однако, чрезвычайно облегчена применением некоторых
теорем, трактующих об общих свойствах электрического поля, к
рассмотрению которых мы теперь и перейдем.
Для этой цели вычислим поток векто- у v /R
pa E через бесконечно малую площадку
dS1). Предположим сначала, что поле Е
возбуждается точечным зарядом е, нахо-
находящимся в точке О.
Если R есть радиус-вектор, проведен-
проведенный из заряда к площадке dS (рис. 1), то
на основании B.1) и A2*) поток dN век-
вектора Е через эту площадку будет равен
dN = EndS = -^ YLndS =
C.1)
Рис.
Произведение cos (R, n) • dS численно
равно проекции площадки dS на поверх-
поверхность, перпендикулярную к R, причем это произведение положи-
положительно, если из О видна внутренняя сторона площадки dS [угол
(R, п) острый], и отрицательно, если видна ее внешняя сторона:
cos(R, n)dS = ±dS',
1) Основы векторного анализа изложены в приложении. Формулы прило-
приложения отмечаются значком *, например B1*).
24 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
где dS' есть абсолютная величина перпендикулярной к R проек-
проекции площадки dS.
Перпендикулярная к радиусу-вектору R площадка dS' сов-
совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса R с центром в
точке О. Если обозначить через dU телесный угол, под которым
площадка dS' видна из О, то, как известно,
Я2 Я2 '
и, стало быть,
dN = ±edu.
Площадка dS будет, очевидно, видна из точки О под тем же
самым телесным углом dfi. Если условиться приписывать этому
углу dCt положительный знак, если из О видна внутренняя сто-
сторона dS и знак отрицательный, если видна ее внешняя сторона,
то можно написать:
dN = EndS = edU. C.3)
Итак, в поле точечного заряда е поток электрического векто-
вектора Е через произвольно ориентированную площадку dS зависит,
помимо величины этого заряда, только от того телесного угла,
положительного или отрицательного, под которым эта площадка
видна из занимаемой зарядом точки О1).
2. Обращаясь к потоку JV вектора Е через конечную поверх-
поверхность S, получим 2)
N
= JEndS = e Idu = eU, C.4)
где Q — положительный или отрицательный телесный угол, под
которым видна из заряда е вся поверхность S, т. е. телесный
угол, образованный радиусами-векторами, проведенными из е к
краевой линии этой поверхности (рис. 2). Крайне существенно,
что в том случае, если поверхность S замкнута, угол этот может
иметь только одно из двух значений: 4тг и 0.
Действительно, точечный заряд может быть расположен ли-
либо внутри замкнутой поверхности, либо вне ее. Рассмотрение же
')Как явствует из вывода формулы C.3), она является следствием того,
что напряженность поля Е направлена радиально и при удалении от заря-
заряда убывает по тому же закону (обратно пропорционально Я2), по которому
изменяется телесный угол <ш, соответствующий данной площадке dS. По-
Поэтому для всех вообще центральных полей, обратных квадрату расстояния
(например, поля тяготения, поля магнитных полюсов и т. д.), также будут
справедливы формулы, аналогичные уравнению C.3) и всем непосредствен-
непосредственно вытекающим из него уравнениям.
2) Кратные интегралы в книге обозначаются одним-единственным знаком
интеграла. См. с. 12.
§_3 ТЕОРЕМА ГАУССА 25
точечного заряда, расположенного на самой поверхности, лише-
лишено физического смысла, ибо пользоваться представлением о то-
точечном заряде можно лишь при условии, что действительные
размеры заряда малы по сравнению с расстоянием его до рас-
рассматриваемых точек поля. Представление же о точечном заря-
заряде, расположенном на поверхности, поток электрического векто-
вектора через которую мы определяем, этому условию, очевидно, не
удовлетворяет.
Если заряд расположен внутри замкнутой поверхности S, то
эта поверхность окружает его со всех сторон и, стало быть, видна
из него под углом О, — Air. Следовательно, в этом случае
N
= (j)EndS = 4тге.
Если же заряд е находится в точке О, лежащей вне замкну-
замкнутой поверхности S, то из О можно провести к поверхности S
пучок касательных (рис. 3). Совокупность этих касательных об-
образует конус, соприкасающийся с S вдоль некоторой замкнутой
Рис. 2 Рис. 3
линии L, которая разделит поверхность S на две части: Si и 5г.
Обе части поверхности 5 будут видны из точки О под одним
и тем же телесным углом, соответствующим раствору касатель-
касательного конуса, причем одна из этих частей будет видна с ее вну-
внутренней стороны, а другая — с внешней. Таким образом, частям
поверхности Si и #2 будут соответствовать углы fix и Пг, равные
по величине и противоположные по знаку. Стало быть, и потоки
электрического вектора через S\ и 5г будут равны по величине,
но противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Таким обра-
образом, поток вектора Е через всякую замкнутую поверхность, не
26 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
охватывающую заряда е, равен нулю:
N = ф Еп dS = 0.
5
Оба эти возможные случаи (заряд внутри и вне поверхности)
могут быть выражены одной-единственной формулой
N = ф Еп dS = 4тге, C.5)
5
если только условиться понимать в этой формуле под е вели-
величину заряда, расположенного внутри поверхности 5, и, стало
быть, полагать е равным нулю, если заряд расположен вне этой
поверхности.
3. Отличающаяся чрезвычайной простотой формула C.5),
выведенная нами для поля, возбуждаемого одним-единственным
точечным зарядом, остается справедливой и для поля произ-
произвольной системы электрических зарядов. Действительно, любая
система зарядов может быть разложена на совокупность элемен-
элементарных (точечных) зарядов. Пусть Е — напряженность резуль-
результирующего поля всей системы зарядов, а Е; - напряженность
поля г-го элементарного заряда ег. Тогда
И
Еп = У jEjn.
г
Стало быть,
J Yj Yi, C-6)
S « S i
причем последняя сумма распространяется только на те заря-
заряды, которые расположены внутри поверхности S. Эта формула
выражает собой фундаментальную теорему Гаусса 1):
В произвольном электростатическом поле (в вакууме) по-
поток электрического вектора Е через произвольную замкнутую
поверхность равен умноженной на 4тг величине заряда, располо-
расположенного внутри этой поверхности. Эта величина заряда есть,
конечно, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся вну-
внутри S.
1) Эту теорему не следует смешивать с известной из векторного анализа
(см. A7*)) теоремой Гаусса, устанавливающей связь между потоком про-
произвольного вектора через замкнутую поверхность и объемным интегралом
дивергенции этого вектора. Для отличия от этой последней мы будем иногда
называть формулу C.6) электростатической теоремой Гаусса.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
27
§ 4. Электрическое поле заряженных поверхностей
1. Применение теоремы Гаусса чрезвычайно упрощает реше-
решение ряда задач электростатики. В этом параграфе мы применим
ее к рассмотрению некоторых свойств поля заряженных поверх-
поверхностей.
Конечно, строго говоря, заряд всегда занимает известный
объем и не может быть сосредоточен на бесконечно тонкой (гео-
(геометрической) поверхности. Однако слой заряда, толщина кото-
которого достаточно мала по сравнению с его расстоянием от иссле-
исследуемых точек поля, можно считать зарядом поверхностным с тем
же правом, с каким мы рассматриваем заряды точечные.
Плотностью поверхностного заряда а называется, как из-
известно, заряд, приходящийся на единицу площади данной по-
поверхности. В том случае, когда заряд распространен по поверх-
поверхности неравномерно, плотностью его в данной точке поверхности
называется предел отношения
_ ,. Де _ de
~ AS-Ю AS ~ dS'
D.1)
где Де есть заряд элемента поверхности AS.
2. Скачок нормальной слагающей вектора Е на заряженной
поверхности. Рассмотрим произвольную заряженную поверх-
поверхность S. Выберем произвольным образом направление внешней
нормали п к этой поверхности и условимся обозначать индекса-
индексами 1 и 2 величины, относящиеся соответственно к внутренней и
внешней (по отношению к нормали п) стороне поверхности.
Выделим мысленно около рассматриваемой точки заряжен-
заряженной поверхности прямую призму с образующими dl, перпендику-
перпендикулярными к поверхности. Пусть эта призма вырезает из поверх-
поверхности элемент S столь малый, что его можно считать плоским
и равномерно заряженным (рис. 4).
Внутри призмы будет находиться заряд aS', расположенный
на элементе, вырезаемом призмой из заряженной поверхности S.
Стало быть, поток электрического вектора через поверхность
28 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
призмы по теореме Гаусса должен равняться:
EndS =
= ф
С другой стороны, поток этот может быть вычислен непо-
непосредственно. Поток через нижнее основание призмы равен
Е\ cos (Ei, ni)S", а через верхнее E2 cos (E2, ni)S\ где Ei и E2 —
векторы E у соответствующих оснований призмы, a ni и п2 —
внешние нормали к этим основаниям. Поток же вектора Е через
боковую поверхность призмы мы обозначим через N'; тогда
N = {Ei cos (Ei, щ) + E2 cos (E2, n2)}5' + N'. D.2)
Направление нормали п2 совпадает с направлением нормали
п, а направление ni прямо противоположно. Стало быть,
Ei cos (Ei, ni) = -Еы, Е2 cos (E2, n2) = E2n,
где E\n и E2n — проекции векторов Ei и Е2 на нормаль п. Таким
образом,
N = (Е2п - Ein)S' + N' = AnaS'.
Будем теперь уменьшать высоту призмы dl, не изменяя при
этом ее основания S". Поток N' через безгранично уменьшаю-
уменьшающуюся боковую поверхность призмы будет стремиться к нулю
как бесконечно малая второго порядка (по сравнению с N), так
что общий поток вектора через поверхность призмы сведется в
пределе к потоку через ее основания:
откуда
Е2п ~ Eln = Ana. D.3)
Стало быть, нормальные слагающие вектора Е в двух смежных
точках поля, разделенных заряженной поверхностью 5, разнятся
на 4тгсг 1).
Иными словами, нормальная слагающая вектора Е испыты-
испытывает скачок Атга при прохождении через любую заряженную по-
поверхность, независимо от формы этой поверхности и от наличия
или отсутствия зарядов вне ее. Объясняется это тем, что поле
поверхностных зарядов по разные стороны поверхности направ-
направлено в противоположные стороны: от поверхности, если она за-
заряжена положительно, и к поверхности в случае отрицательного
заряда.
1) Заметим, что значение разности Е?п — Е\п не зависит от выбора на-
направления нормали к поверхности разрыва: хотя при изменении направле-
направления п знак проекций вектора Е на направление п меняется на обратный,
но одновременно с этим сторона поверхности, ранее считавшаяся первой
(т. е. внутренней по отношению к п), должна будет именоваться второй, и
обратно.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
29
Е
3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. На-
Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоско-
плоскости Р, по соображениям симметрии, должна быть перпендику-
перпендикулярна к этой плоскости и
должна иметь противопо-
противоположные направления по обе
стороны от нее: она направ-
направлена от плоскости Р, ес-
если ее заряд положителен
(рис. 5), и к плоскости Р,
если он отрицателен. На-
Напряженность Е в различ-
различных точках поля может за-
зависеть лишь от расстояния
их от плоскости Р и долж-
должна быть одинаковой во всех
точках любой плоскости, па- Рис. 5
раллельной Р.
Выделим мысленно в поле плоскости Р прямую призму с
основанием S" и с образующими, перпендикулярными к Р, и
предположим сначала, что призма эта не пересекается плоско-
плоскостью Р, т. е. находится целиком по одну сторону этой плоскости.
Вычисление потока электрического вектора через поверхность
этой призмы вновь приведет нас к формуле D.2). Приняв во вни-
внимание, что поток N' через боковую поверхность призмы в этом
случае равен нулю (так как Е параллельно этой поверхности),
получаем
N = {Ei cos (Еь ni) + E2 cos (E2, n2)}S".
По условию призма не пересекается заряженной плоскостью Р,
поэтому внутри нее нет зарядов и, стало быть, согласно теореме
Гаусса C.6), поток N должен равняться нулю, т. е.
Ei cos (Ei, ni) + ?2cos (E2, n2) = 0.
Так как Ei и Е2 направлены одинаково, а нормали ni и п2—
противоположно, то cos (Ei, ni) — — cos(E2, n2) и, стало быть,
Ei = Е2-
Поскольку положение оснований призмы может быть выбрано
произвольно, то из этого равенства следует, что во всех точках
ограниченного плоскостью Р полупространства вектор Е постоя-
постоянен по величине, а так как он постоянен и по направлению, то,
следовательно,
Е = const.
В другом же полупространстве вектор Е будет, очевидно, иметь
ту же величину и противоположное направление.
30
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
Чтобы определить Е, можно воспользоваться формулой D.3).
В рассматриваемом случае слагающие этого вектора по направ-
направлению нормали п к плоскости имеют, очевидно, по разные сторо-
стороны плоскости противоположные знаки и численно равны самому
вектору Е. Поэтому получаем
Е2п - Еы = 2Е2п = ±2Е = 4тг<7,
где в последнем равенстве нужно взять знак плюс или минус в
зависимости от того, заряжена плоскость положительно (а > 0)
или отрицательно (а < 0). Следовательно, во всех точках поля
бесконечной плоскости
Е = 2тг|ст|, D.4)
где \а\ — абсолютная величина плотности заряда этой плоскости.
4. Постараемся теперь выяснить, почему при удалении от
заряженной бесконечной плоскости напряженность ее поля не
убывает, а остается постоянной. Пусть точки А, А', А" лежат
на одном перпендикуляре к плоскости Р (рис. 6). Рассмотрим
напряженность поля, возбуждаемого в этих точках зарядами
Рис. 6
двух элементов плоскости dS\ и dS^, расположенных симмет-
симметрично относительно перпендикуляра ОАА' на расстоянии R от
его основания О. В более удаленных от плоскости точках напря-
напряженность полей Ei и Ег каждого из этих зарядов в отдельности
будет меньше, чем в более близких, но зато и угол между Ei и
Ег убывает при удалении от плоскости. Поэтому, несмотря на
уменьшение слагаемых Ei и Ег при удалении от плоскости, их
равнодействующая Е может благодаря уменьшению угла меж-
между ними не только убывать, но и возрастать в зависимости от
соотношения между расстояниями R и О А или О А'. Очевидно,
что если точка А близка к О, то равнодействующая всех заря-
зарядов плоскости в этой точке определяется почти исключительно
§ 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 31
зарядами, расположенными вблизи О, ибо напряженности полей
удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р
и в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точ-
точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая
далеких зарядов увеличивается, а близких — уменьшается. В ре-
результате, как показывает непосредственное вычисление, напря-
напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плос-
плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычис-
Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [уравнение
D.4)] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса.
Задача 1. Поверхность бесконечно длинного кругового
цилиндра равномерно заряжена так, что на единицу его длины
приходится заряд к. Доказать, что поле Ej внутри цилиндра и
поле Ее вне цилиндра выражаются следующими формулами:
D.5)
7
где г — вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки
поля от оси цилиндра. Показать, что скачок электрического век-
вектора при прохождении через заряженную поверхность цилиндра
равен 4тгсг.
Задача 2. Заряд е равномерно распределен по шаровой
поверхности произвольного радиуса. Доказать, что поле внутри
и вне шара выражается, соответственно, формулами
Ej = 0, Ее = g, D.6)
где R — радиус-вектор, проведенный из центра шара в рассма-
рассматриваемую точку поля, т. е. что поле вне равномерно заряжен-
заряженной шаровой поверхности таково, как если бы весь ее заряд был
сосредоточен в ее центре. Показать, что скачок вектора Е при
прохождении через заряженную поверхность шара равен А-ка.
Задача 3. Заряд е равномерно распределен с плотностью р
по шаровому объему радиуса а. Показать, что поле Ее вне ша-
шара таково, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его
центре, и что поле Ej внутри шара прямо пропорционально рас-
расстоянию от центра шара:
рГ' v-л D7)
ИЛИ . / \ 3
R) D.8)
Отметим, что в этом случае вектор Е всюду непрерывен.
32 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1
§ 5. Проводники в электрическом поле
Физический смысл изучения поля поверхностных зарядов ко-
коренится в том обстоятельстве, что в случае электростатическо-
электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в весьма
тонком поверхностном слое, который в громадном большинстве
случаев можно с достаточной точностью считать бесконечно тон-
тонким. Ведь и непосредственно ясно, что если сообщить металли-
металлическому телу, например, отрицательный заряд (избыток элек-
электронов), то благодаря взаимному отталкиванию элементов этого
заряда (электронов) они сосредоточатся на его поверхности.
Строгое же доказательство этого утверждения можно дать на
основании того факта, что в случае электростатического равно-
равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю *).
Действительно, проводник есть тело, отличающееся следую-
следующим свойством: если в какой-либо точке внутри проводника на-
напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в про-
проводнике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов.
Это свойство можно рассматривать как определение термина
«проводник электричества».
С точки зрения электронной теории важнейшего класса про-
проводников — металлов — это свойство объясняется тем, что если
металл находится в твердом (или жидком) состоянии, то часть
электронов, входящих в состав его атомов, отщепляется от этих
атомов. Оставшиеся после отщепления этих «свободных» элек-
электронов положительные ионы металла образуют его твердый ске-
скелет (кристаллическую решетку), в промежутках же между ионами
находятся «свободные» электроны в форме своего рода «элек-
«электронного газа». Сколь угодно слабое внешнее электрическое поле
вызывает движение этих «свободных» электронов в направлении
действующих на них сил, т. е. вызывает электрический ток 2).
Ток течет до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника
не станет равной нулю, т. е. пока поле зарядов, перераспределив-
перераспределившихся по объему проводника, не скомпенсирует внешнего поля.
Так как электрический вектор внутри проводника равен ну-
нулю, то равен нулю и поток этого вектора через любую замкнутую
поверхность, расположенную внутри проводника. Стало быть, по
теореме Гаусса, равен нулю и заряд, расположенный внутри вся-
всякой такой поверхности. А это и значит, что в случае электро-
электростатического равновесия зарядов внутри проводника нет (вер-
(вернее, что положительные и отрицательные заряды внутри него
взаимно нейтрализуются) и что все заряды расположены на его
поверхности.
1) См. § 38, в частности уравнение C8.9).
2) Подробнее механизм тока будет рассмотрен в § 40 и 41.
§J> ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 33
Таким образом, поле заряженного металлического цилиндра
или шара определяется теми же формулами D.5) и D.6), что
и поле соответствующей заряженной поверхности. В согласии с
упомянутым общим законом из этих формул, в частности, следу-
следует, что внутри металлического заряженного шара или цилиндра
Е = 0. Что же касается формулы D.3), то для случая зарядов,
расположенных на поверхности проводника, формула эта значи-
значительно упрощается. Так как внутри проводника Е = 0, то она
принимает вид
Еп = 4тгсг, E.1)
где Еп — проекция электрического вектора в непосредственной
близости к поверхности проводника на направление внешней
нормали к его поверхности.
Таким образом, в случае электростатического равновесия
нормальная слагающая напряженности поля вблизи проводни-
проводника определяется только плотностью а заряда на прилегающем
элементе его поверхности и вовсе не зависит от распределения
зарядов в других участках поля, а тангенциальная равна нулю.
Пример. Определить поле между пластинами бесконеч-
бесконечного плоского конденсатора. Поле между пластинами бесконеч-
бесконечного плоского конденсатора по соображениям симметрии долж-
должно быть направлено перпендикулярно к его пластинам и должно
быть одинаковым во всех точках любой параллельной им плос-
плоскости. Как и в рассмотренном случае поля бесконечной плоско-
плоскости, из этого обстоятельства следует, что поле между пласти-
пластинами конденсатора однородно, т. е. что вектор Е постоянен по
величине и направлению во всех точках этого поля. Согласно
же уравнению E.1), числовое значение вектора Е у поверхности
пластин равно
Е = 4тг|<7| E.2)
(ввиду того, что Еп = ±Е). Стало быть, таково будет значение Е
и во всем пространстве между пластинами.
Очевидно, что в уравнении E.2) под а можно понимать плот-
плотность поверхностного заряда как положительной, так и отри-
отрицательной пластин конденсатора. Так как, с другой стороны,
вектор Е имеет в пространстве между пластинами одно вполне
определенное значение, то, следовательно, в случае электроста-
электростатического равновесия абсолютная величина плотности заряда на
обеих пластинах должна быть одинаковой.
Все эти результаты можно также непосредственно получить
из уравнения D.4). Поле Е конденсатора есть равнодействую-
равнодействующая полей Ел и Ев двух заряженных бесконечных плоскостей, а
именно внутренних поверхностей пластин конденсатора А и В.
Стало быть, Е = Еа + Ев, причем Еа = 2к\сга\ и Ев = 2тг\ав\-
Как явствует из рис. 7, внутри каждой из металлических пластин
векторы Eyj и Ев направлены противоположно, а между пласти-
2 И. Е. Тамм
34
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
ГЛ I
Е,
Е,
нами одинаково. Так как внутри пластин Е должно равняться
нулю (проводник!), то Ед — Ев и, стало быть, о в = —ста — с.
Поэтому в пространстве между пластина-
пластинами Е = 4тг|сг], что и требовалось доказать.
Таково же будет и поле между пла-
пластинами плоского конденсатора конечных
размеров, если только расстояние между
пластинами будет мало по сравнению с их
размерами. Искажение поля, нарушение
его однородности станет заметным лишь
у краев конечного конденсатора, на рас-
расстояниях от краев, сравнимых с расстоя-
расстоянием между пластинами.
В случае конденсатора конечных раз-
размеров общий заряд каждой пластины ко-
конечен и (средняя) плотность ее поверх-
поверхностного заряда равна
Е,
Е»
В
Рис. 7
где S — поверхность пластины. Таким образом, уравнение E.2)
принимает вид
771 47ГС /•«¦ п\
Е=—. E.3)
Задача 4. Показать, что в полости цилиндрического кон-
конденсатора (два коаксиальных цилиндра) напряженность поля
определяется формулой D.5):
Е= —г
Г2
где х — заряд единицы длины внутреннего цилиндра, причем за-
заряд единицы длины внешнего цилиндра равен —jut.
Задача 5. Показать, что в полости шарового конденсатора
(две концентрические сферы) поле определяется формулой D.6):
Е = — R
Д» '
где е — заряд внутренней сферы, причем заряд внешней сферы
равен —е.
§ 6. Истоки электрического поля.
Поверхностная дивергенция
1. Поверхностный интеграл, входящий в выражение C.6) элек-
электростатической теоремы Гаусса, может быть преобразован с по-
помощью общей теоремы Гаусса A7*) в интеграл по ограниченному
§ 6 ИСТОКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ДИВЕРГЕНЦИЯ 35
поверхностью S объему V:
EndS= [divE-dV = 4тг^,ег- F-1)
(f>
V
Однако преобразование это возможно лишь в том случае, ес-
если divE имеет определенное конечное значение во всех точках
объема V, заключенного внутри поверхности S, т. е. если век-
вектор Е конечен и непрерывен в этом объеме. В частности, внутри
поверхности S не должно быть ни точечных зарядов конечной
величины, ни поверхностных зарядов конечной поверхностной
плотности, ибо напряженность поля точечного заряда при R —> О
стремится к бесконечности [уравнение B.1)] и, помимо того, на-
направление вектора Е при R — 0 становится неопределенным-, на
заряженных же поверхностях нарушается непрерывность векто-
вектора Е: его нормальная слагающая испытывает скачок 4тгсг [урав-
[уравнение D.3)].
Впрочем, понятия точечного и поверхностного зарядов име-
имеют лишь вспомогательное значение и были введены нами лишь
для удобства рассмотрения поля зарядов на расстояниях, доста-
достаточно больших по сравнению с размерами самих зарядов. Изу-
Изучая же поле вблизи или внутри зарядов, мы должны вернуться
к представлению об объемном распределении зарядов. Предпо-
Предположим, например, что заряд е, рассматривавшийся нами как то-
точечный, в действительности равномерно распределен по объему
шара произвольно малого, но конечного радиуса а. В этом слу-
случае поле вне и внутри шара определяется уравнениями D.7), из
коих явствует, что вектор Е конечен и непрерывен во всех точ-
точках поля [в частности, при R — а, т. е. на поверхности шарового
заряда, обе формулы D.7) дают для Е одно и то же значение
Ее = Ег = е/а2}.
Этот результат имеет общее значение: во всех случаях объ-
объемного распределения заряда с конечной плотностью электри-
электрический вектор Е всюду конечен и непрерывен. Действительно,
в этом случае из каждой лежащей внутри заряда точки Р, как
из центра, можно описать сферу достаточно малого, но все же
конечного радиуса а так, чтобы сферу эту можно было считать
заряженной равномерно. Во всех точках сферы поле зарядов са-
самой сферы конечно и непрерывно согласно уравнениям D.7); по-
поле же зарядов, находящихся вне сферы, конечно и непрерывно
потому, что эти заряды находятся на конечном расстоянии от
внутренних точек сферы. Стало быть, и результирующее поле
всех зарядов конечно и непрерывно.
2. Итак, в случае объемного распределения зарядов, располо-
расположенных внутри поверхности S, преобразование поверхностного
интеграла в объемный в уравнении F.1) всегда допустимо. На-
Напомним, что в общем случае неравномерного распределения за-
36 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
рядов объемной плотностью заряда в данной точке называется
предел отношения заряда Де, находящегося в окружающем эту
точку объеме AV, к этому объему [ср. уравнение D.1)]:
р = hm — = —, F.2)
где буквой р, как и всюду в дальнейшем, обозначена объемная
плотность заряда. Стало быть, заряд de элемента объема dV ра-
равен
de = pdV, F.3)
а общий заряд, находящийся в конечном объеме V, равен
V у
Внося это выражение в F.1), получим
[dWE-dV = f 4тгр dV. F.4)
Равенство этих интегралов должно иметь место вне зависимости
от выбора области интегрирования V, что возможно лишь в том
случае, если их подынтегральные выражения равны друг другу
в каждой точке пространства. Стало быть,
divE = 47rp, F.5)
или, в декартовой системе координат:
дЕх , дЕу . dEz . ,„ „ч
-~- + —-s- -\ = 4тгр. F.6)
дх ду dz r v '
Это дифференциальное уравнение является одним из основ-
основных уравнений как электростатики, так и вообще всей электроди-
электродинамики. Оно позволяет определить дивергенцию электрического
вектора в каждой точке поля по объемной плотности заряда в
той же точке1), вне зависимости от распределения зарядов в
иных участках поля. Обратно, чтобы определить плотность за-
заряда в данной точке поля, достаточно знать значение диверген-
дивергенции Е в этой точке поля.
По аналогии с гидродинамикой те точки поля произвольного
вектора а, в которых div а ф 0, принято называть истоками это-
этого поля; величина diva называется силой, или обильностью, ис-
истоков поля (см. приложение. Векторный анализ, § 4). Пользуясь
этой терминологией, можно сказать, что истоки электрического
поля находятся в тех и только тех точках поля, в которых нахо-
находятся электрические заряды, причем сила, или обильность, этих
истоков (в случае объемного распределения зарядов) равна 4тгр.
1) То есть, в сущности, по величине заряда, находящегося в бесконечно
малом объеме, окружающем эту точку [см. уравнение F.2)].
§ 6 истоки электрического поля, поверхностная дивергенция 37
3. Хотя, с точки зрения излагаемой нами макроскопической
теории, все заряды суть непрерывно распределенные объемные
заряды, однако в тех случаях, когда толщина занимаемого заря-
зарядом слоя мала по сравнению с доступными измерению расстояния-
расстояниями, удобно сохранить представление о поверхностных зарядах.
В первую очередь это относится к поверхностным зарядам про-
проводников. Так как при прохождении через заряженные поверхно-
поверхности вектор Е меняется скачком [уравнение D.3)], то поверхности
эти носят название поверхностей разрыва электрического векто-
вектора. Очевидно, что на поверхностях разрыва дифференциальное
уравнение F.5) неприменимо (что явствует также из оговорок,
сделанных в начале этого параграфа) и должно быть заменено
уравнением D.3):
Е2п ~ Еы = 4тгсг.
Это уравнение называется пограничным условием для век-
вектора Е и является, в сущности, не чем иным, как предельной
формой уравнения F.5) для зарядов, расположенных бесконеч-
бесконечно тонким слоем.
Так как нам в дальнейшем неоднократно придется встречать-
встречаться с подобного рода соотношениями, мы докажем здесь следую-
следующую общую теорему. Пусть некоторый вектор а всюду непреры-
непрерывен и конечен и всюду удовлетворяет уравнению
div a = 4тгр, (А)
где р — всюду конечная плотность некоторого «заряда» е [на-
[например, электрического, определяемая уравнением типа F.2)].
Рассмотрим некоторый заряженный слой конечной толщины си,
внутри которого а по условию остается непрерывным (рис. 8).
Если, оставляя неизменным за-
заряд слоя, уменьшать его толщи-
толщину dl до нуля, то непрерывность
вектора а нарушится и уравне-
уравнение (А) в пределе примет на за-
заряженной поверхности вид
- ain = 4тгсг, (В)
где и — поверхностная плотность заряда, определяемая уравне-
уравнением типа D.1), а а\п и агп — значения нормальных слагающих
вектора а по различным сторонам заряженной поверхности.
Чтобы доказать справедливость этого утверждения, рассмо-
рассмотрим цилиндрический участок заряженного слоя с основанием
dS'. Помножая (А) на dV и интегрируя по объему этого участка,
получим на основании F.3) и теоремы Гаусса A7*):
f div а • dV — ф ап dS = 4тг f pdV = Атг de,
38 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
где de — общий заряд выделенного участка, а 5 — ограничиваю-
ограничивающая его поверхность. Повторяя рассуждения, приведшие нас в
§ 4 к формуле D.2), убедимся, что
(?andS = {а2п - аы) dS' + N1 = 4тгde,
где N' — поток вектора а через боковую поверхность рассматри-
рассматриваемого участка слоя. При переходе к пределу dl —> 0 величина
N' обращается в нуль, так что, разделив это уравнение на dS',
получим
Я2п - ain = 47T-J- = 4тгсг,
до'
т. е. уравнение (В), что и требовалось доказать.
Итак, уравнение (В) представляет собой предельную форму
уравнения (А). Ввиду этого скачок нормальной слагающей про-
произвольного вектора а на поверхности разрыва часто называют
поверхностной дивергенцией этого вектора. В отличие от объем-
объемной дивергенции, определяемой уравнением A8*):
,. ,. <fandS
diva= hm ,
Д AV
поверхностная дивергенция обозначается через Div с заглав-
заглавной (а не строчной) буквы D 1):
агп -аы =Diva. F.7)
Стало быть, доказанную нами теорему можно символически за-
записать следующим образом:
div а = 4тгр -f Div a = 4тгст. F.8)
Наконец, пользуясь упомянутой выше терминологией, можно
назвать поверхности разрыва нормальной слагающей вектора а
поверхностными истоками этого вектора.
4. Уравнения F.5) и D.3) вполне достаточны для решения так
называемой «обратной» задачи электростатики: дано поле элек-
электрического вектора Е, определить распределение (объемных и
поверхностных) зарядов. В частности, расположение поверхност-
поверхностных зарядов определяется расположением поверхностей разрыва
вектора Е. Однако для решения «прямой» задачи дано распреде-
распределение зарядов, для определения электрического поля этих урав-
уравнений недостаточно, ибо с помощью одного дифференциального
уравнения F.5) нельзя определить три слагающих Ех, Еу, Ez
вектора Е. Для решения «прямой» задачи электростатики необ-
х) Заметим, что значение Diva не зависит от выбора направления норма-
нормали п к поверхности разрыва (см. примеч. на с. 28).
§ 7 РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ 39
ходимо воспользоваться также и некоторыми иными свойствами
электростатического поля, к рассмотрению которых мы теперь
и перейдем.
§ 7. Работа электрических сил.
Независимость ее от формы пути.
Непрерывность тангенциальных слагающих вектора Е
1. Работа, совершаемая силами электрического поля при пе-
перемещении заряда е на отрезок ds, равна
еЕ cos (E, ds) ds = eE ds.
В частности, работа А при перемещении ds единичного поло-
положительного заряда равна
A = Eds. G.1)
Наконец, работа, совершаемая при перемещении единичного
положительного заряда по конечному пути L, равна
= JBds,
G.2)
где знак L у интеграла означает, что необходимо вычислить сум-
сумму значений подынтегрального выражения для всех элементов
линии L. Эта операция называется интегрированием по линии L.
2. Работа электрических сил на данном пути L, вообще гово-
говоря, может зависеть как от положения начальной и конечной то-
точек пути, так и от формы пути. Однако, как мы сейчас покажем,
электрическое поле неподвижных зарядов обладает той чрез-
чрезвычайно важной особенностью, что работа сил этого поля на
пути между двумя произвольными
точками зависит только от положе-
положения этих точек и вовсе не зависит от
формы пути. Силовые поля, обладаю-
обладающие этой особенностью 1), называются
полями консервативными или потенци-
потенциальными.
Заметим, что в потенциальном поле
работа сил поля на всяком замкнутом
пути должна равняться нулю. Дей-
Действительно, всякий замкнутый путь MNPQM можно произ-
произвольным образом разбить на две части MNP и PQM (рис. 9).
р том выполняющемся для электростатического поля условии, что
поле стационарно (постоянно во времени) и что силы, действующие на по-
помещенное в поле тело, зависят лишь от положения, но не от скорости этого
тела.
40 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
Работа на пути PQM равна, очевидно, взятой с обратным зна-
знаком работе на том же пути при прохождении его в обратном
направлении от М к Р, которая в свою очередь в потенциаль-
потенциальном поле по условию равна работе на пути MNP. Стало быть,
общая работа на всем замкнутом пути MNPQM равна нулю,
что и требовалось доказать.
Обратно, если работа сил поля на всяком замкнутом пути
равна нулю, то работа этих сил на пути между двумя произ-
произвольными точками МиРот формы этого пути не зависит, т. е.
поле это потенциальное. Действительно, рассмотрим два произ-
произвольных пути MNP и MQP, ведущих из М в Р (см. рис. 9).
Составим из них замкнутый путь MNPQM. Работа на этом
замкнутом пути по условию равна нулю. Стало быть, работа на
участке пути MNP равна взятой с обратным знаком работе на
пути PQM, или, иными словами, равна работе на пути MQP,
что и требовалось доказать.
Итак, равенство нулю работы на произвольном замкнутом
пути есть необходимое и достаточное условие независимости ра-
работы от формы пути и может считаться отличительным призна-
признаком потенциального поля. Вообще поле произвольного вектора Е,
вне зависимости от его физического смысла (сила, скорость и
т. д.), является полем потенциальным в том и только в том слу-
случае, если при любом выборе замкнутого пути интегрирования L
Es ds = 0. G.3)
L
Линейный интеграл произвольного вектора Е вдоль какого-
либо произвольного замкнутого пути L называется циркуляцией
этого вектора вдоль пути L1). Та-
Таким образом, условие G.3) сводится
к требованию, чтобы циркуляция век-
вектора Е по любому замкнутому пути
равнялась нулю.
3. Переходя к доказательству по-
потенциального характера электроста-
электростатического поля, рассмотрим снача-
сначала работу электрических сил в поле
элементарного (точечного) заряда е.
Работа этих сил при бесконечно ма-
малом перемещении ds «пробного» еди-
единичного положительного заряда рав-
рис Ю на (рис. 10):
А = Е ds = — Rds = — ds cos (R, ds) = — dR,
*)См. приложение, § 5.
РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ
41
где dR есть проекция перемещения пробного заряда ds на ра-
радиус-вектор R, проведенный из возбуждающего поле заряда е.
Как явствует из чертежа, dR есть вместе с тем приращение чи-
числового значения радиуса-вектора R, т. е. увеличение расстояния
пробного заряда от заряда е. Поэтому работа А может быть пред-
представлена в форме полного дифференциала скалярной функции
точки —ejR:
А = ~шт=:d\i)= :~dG0' G-4)
где R есть числовое значение радиуса-вектора R. Следовательно,
работа, совершаемая при перемещении единичного положитель-
положительного заряда из точки Д в точку Рч по конечному пути L, равна
(рис. 11):
Л-/ЯЛ—/d(i)--(i-i), G.5)
L L
где R\ и J?2 — расстояния начальной и конечной точек пути от
заряда е. Таким образом, работа электрических сил на произ-
произвольном пути в поле неподвижного элементарного (точечного)
заряда действительно зависит только
от положений начальной и конечной
точек этого пути и, стало быть, вовсе
не зависит от формы пути. Так, на-
пример; работа электрических сил на
пути L (рис. 11) равна работе на пу-
пути L: избыточная работа, совершаемая
на пути V при перемещении пробно-
пробного заряда за пределы сферы радиуса
R2, компенсируется отрицательной ра-
работой, совершаемой при последующем
приближении пробного заряда к заря-
заряду е на последнем участке пути L'.
Итак, поле неподвижного элемен-
элементарного (точечного) заряда есть поле
потенциальное. Очевидно, что сумма
потенциальных полей 1) есть тоже поле
потенциальное, ибо если работа слагае-
слагаемых сил не зависит от формы пути, то
и работа равнодействующей от нее тоже не зависит. Так как поле
произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму
полей каждого из элементов этих зарядов, то, стало быть, всякое
электростатическое поле есть поле потенциальное и удовлет-
удовлетворяет условию G.3).
Рис. 11
х) Суммою векторных полей мы будем называть такое поле, в каждой точ-
точке которого вектор поля равен сумме векторов слагаемых полей.
42 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
4. Интегральное условие G.3) может быть преобразовано в
дифференциальное. Согласно известной теореме векторного ана-
анализа B9*), слагающая ротора вектора Е по произвольному на-
направлению п в произвольной точке поля Р равна
§Esds
rotnE= hm J ^ ,
dS-+O dS
где dS означает бесконечно малую площадку, проходящую через
точку Р и перпендикулярную вектору п. В числителе справа
стоит циркуляция вектора Е по контуру этой площадки dS, ко-
которая согласно G.3) обращается в нуль. Стало быть, rotn E = 0.
Ввиду произвольности направления п это означает, что ротор
вектора Е во всех точках электростатического поля равен нулю:
rotE = 0. G.6)
Обратно, из G.6) на основании известной из векторного ана-
анализа теоремы Стокса B7*) следует G.3), так что интегральное
и дифференциальное условия G.3) и G.6) вполне эквивалентны
друг другу.
5. Из условия G.3) следует, в частности, непрерывность тан-
тангенциальных слагающих напряженности поля [в отличие от
слагающих нормальных; см. уравнение D.3)], т. е. следует, что
слагающие напряженности, касательные к произвольной поверх-
поверхности в любой ее точке, имеют по обе стороны поверхности оди-
одинаковые значения.
Действительно, допустим противное, и пусть вдоль поверх-
поверхности Si (рис. 12) нарушается непрерывность тангенциальных
слагающих вектора Е. Это значит, что если
Pi, P2 и Р{, Р'2 суть две пары разделен-
разделенных поверхностью S\, но бесконечно близ-
близких друг к другу точек, то работа электри-
электрических сил f Es ds на пути Р\Р[ отличается
на конечную величину от работы этих сил
на бесконечно близком пути Рг-^г- С ДРУГОИ
стороны, ввиду конечности сил поля рабо-
работа их на бесконечно малых отрезках Р1Р2
и Р[Р^ бесконечно мала. Стало быть, рабо-
работа сил поля на замкнутом пути Р1Р/Р2Р2Р1
должна отличаться от нуля. Другими
р 12 словами, из сделанного нами допущения
следует, что работа поля при перенесении
пробного заряда по замкнутому пути отлична от нуля, что в элек-
электростатическом поле невозможно.
Итак, при любом выборе поверхности S тангенциальные к ней
слагающие электрического вектора Е остаются непрерывными.
|_8 ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 43
Иными словами, если t — единичный вектор, лежащий в каса-
касательной плоскости к произвольной поверхности S, то
E2t = Elt, G.7)
где E2t и Ец — значения слагающих вектора Е по направлению t
по обе стороны поверхности S.
В частности, так как напряженность поля внутри проводни-
проводников равна нулю, то тангенциальная слагающая Е у их внешней
поверхности тоже должна равняться нулю. Стало быть, у поверх-
поверхности проводников электрический вектор направлен нормально
к их поверхности (Е = ±Еп), и уравнение E.1) может быть на-
написано так:
Е = 4тг<7П. G.8)
§ 8. Потенциал электростатического поля
1. То обстоятельство, что работа сил электростатического по-
поля на данном пути зависит лишь от положения начальной и
конечной точек пути, дает возможность ввести в рассмотрение
чрезвычайно важное понятие потенциала электростатического
поля. Определение: разность потенциалов между двумя точка-
точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком
работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного
положительного заряда из первой точки во вторую. При этом
предполагается, что при перемещении пробного единичного заря-
заряда все заряды, возбуждающие поле, остаются неподвижными 1).
Стало быть, разность потенциалов dip между двумя бесконеч-
бесконечно близкими точками, разделенными расстоянием ds, равна
dip = -А = -Eds; (8.1)
разность же потенциалов (р — (ро между двумя точками Р и Pq,
находящимися на конечном расстоянии друг от друга, определя-
определяется интегралом
р
<р-(р0 = - у* Eds, (8.2)
Ро
причем этот интеграл может быть взят по любому пути, сое-
соединяющему точки Ро и Р. Очевидно, что понятие разности по-
потенциалов имеет определенный однозначный смысл лишь в силу
1) Если перемещение единичного пробного заряда может вызывать смеще-
смещение зарядов, возбуждающих поле (например путем электростатической ин-
индукции на проводниках), то надлежит измерять непосредственно лишь ту
работу, которая совершается при перемещении бесконечно (т. е. достаточно)
малого пробного заряда. Работа же при перемещении единичного заряда
вычисляется из результатов этих измерений.
44 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
доказанной нами независимости работы электрических сил от
формы пути, или, что сводится к тому же, ввиду того, что напря-
напряженность Е электростатического поля удовлетворяет условию
G.3).
Определение понятия потенциала поля вектора Е, содержа-
содержащееся в уравнениях (8.1) и (8.2), применимо, очевидно, к полю
произвольного вектора, удовлетворяющего условию G.3), вне за-
зависимости от физического смысла этого вектора (сила, скорость
и т. д.) и от физического смысла соответствующего потенциала
(потенциал сил, потенциал скоростей и т. д.).
2. Очевидно, что потенциалу <ро произвольной точки поля Pq
всегда можно приписать любое наперед выбранное значение. Это
соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы
может быть определена лишь разность потенциалов двух точек
поля, но не абсолютная величина потенциала. Однако, как толь-
только фиксировано значение потенциала в какой-либо одной точке
поля, значение его во всех остальных точках поля однозначно
определяется уравнением (8.2).
Обычно аддитивную постоянную в выражении потенциала
выбирают так, чтобы потенциал (рос бесконечно удаленных точек
равнялся нулю 1). При этом условии потенциал <р произвольной
точки поля Р определится следующим выражением:
(p = ipce - / Eds = / Eds (<poo = 0). (8.3)
Таким образом, потенциал точки Р будет равен работе, совер-
совершаемой силами поля при удалении единичного положительного
заряда из точки Р в бесконечность.
В поле элементарного (точечного) заряда е разность потен-
потенциалов между точками Р и Ро, согласно G.5) и (8.2), равна
В этом случае, для того чтобы удовлетворить условию </?оо = О,
достаточно, очевидно, положить (ро = e/Ro; тогда потенциал по-
поля точечного заряда е на расстоянии R от него окажется равным
(?»оо = 0)
?>=!¦ (8.5)
3. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов
ei, ег, ..., еп равен, очевидно, сумме потенциалов полей каждого
1) Впрочем, практически при электрических измерениях часто полагают
равным нулю потенциал Земли.
§ 8 ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 45
из этих зарядов в отдельности:
п
p (8-6)
где Л, — расстояние точки поля, обладающей потенциалом </?, от
заряда е{. Конечно, как эта, так и предшествующие формулы
имеют смысл лишь в тех точках поля, расстояния которых от
«точечных» зарядов е.\ велики по сравнению с размерами этих
зарядов.
В случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности
может быть разложен на совокупность элементарных зарядов
бесконечно малых элементов поверхности dS:
de — a dS.
Заменяя в уравнении (8.6) е, через de и переходя от суммиро-
суммирования к интегрированию по всем элементам всех заряженных
поверхностей, получим потенциал поля поверхностных зарядов:
Ч> =
В поле объемных зарядов роль элементарных зарядов будут
играть заряды dE = pdV бесконечно малых элементов объема
dV, и выражение потенциала (8.6) примет вид
<Р= ~, (8-8)
где R — расстояние точки поля, обладающей потенциалом <р, от
элемента объема dV.
Отметим, что, хотя R и входит в знаменатель подынтеграль-
подынтегральных выражений в формулах (8.7) и (8.8), все же выражения эти
остаются конечными во всех точках поля объемных и поверх-
поверхностных зарядов. Рассмотрим, например, формулу (8.8) и введем
систему сферических координат Я, $, а с центром в исследуемой
точке поля ($ — полярный угол, а — азимут) 1). Элемент объема
dV выразится в этих координатах, как известно, следующим об-
образом:
dV = R2 sin д da dddR,
и формула (8.8) примет вид
= (И pR sin д da dd dR,
причем подынтегральное выражение остается конечным и при
значении R = 0.
. рис. 101 (приложение).
46 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
Ввиду того, однако, что формулы (8.7) и (8.8) выведены нами
из формул (8.5) и (8.6), имеющих смысл лишь для конечных
е
значений R (ибо при R —> 0 ц> — — стремится к бесконечности),
R
а также ввиду особой важности формул (8.7) и (8.8) мы выведем
их в дальнейшем (§ 12) еще и другим способом, независимо от
только что изложенного, и покажем, что они применимы ко всем
точкам поля поверхностных и объемных зарядов.
4. Потенциальный характер электростатического поля может
быть доказан и без применения закона Кулона путем рассужде-
рассуждений, основывающихся на законе сохранения энергии и невозмож-
невозможности вечного двигателя. Действительно, предположим, что при
перемещении пробного заряда по какому-либо замкнутому пу-
пути L в поле неподвижных зарядов (см. примечание на с. 43) си-
силы этого поля совершают положительную работу А. Так как по
возвращении пробного заряда в исходное положение вся система
возвращается в исходное положение, то, повторяя обход пути L
произвольное число раз, мы всякий раз получали бы работу А,
т. е. осуществили бы вечный двигатель. Если же при обходе пу-
пути L силы поля совершают отрицательную работу, то стоит лишь
изменить направление обхода на обратное, чтобы получить ра-
работу положительную. Таким образом, работа сил поля на всяком
замкнутом пути должна равняться нулю, из чего, как мы видели,
следует существование однозначного потенциала поля1).
5. В абсолютной системе единиц единица потенциала опре-
определяется следующим образом: разность потенциалов двух точек
поля равна единице, если при перемещении абсолютной единицы
заряда из одной точки в другую силы поля совершают единицу
работы, т. е. работу в один эрг. Размерность же потенциала рав-
равна, очевидно:
Ы = Работа = ML2! = М1/2т1/2гр-1
l^j заряд MV2L3/2T-1
Абсолютная единица потенциала слишком велика по сравне-
сравнению с теми разностями потенциалов, с которыми обычно прихо-
приходится иметь дело на практике. Поэтому практической единицей
потенциала служит вольт: 1 В = — абс. единицы потенциала.
ОО
1) Подобного рода рассуждение неприменимо, например, к магнитному по-
полю постоянных токов, для поддержания которого необходима непрерывная
затрата энергии источников тока. Работа, совершаемая при перемещении
магнитного заряда (полюса) по замкнутому пути в поле постоянного тока,
может быть отличной от нуля и может совершаться за счет дополнитель-
дополнительного потребления энергии источников тока. Действительно, движение маг-
магнитного заряда возбуждает электродвижущие силы индукции, так что для
поддержания постоянства тока во время движения заряда необходимо соот-
соответствующее изменение ЭДС источников тока.
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
47
Пример. Определить потенциал поля диполя.
Предположим, что два равных точечных заряда противопо-
противоположных знаков +е и —е находятся на расстоянии I друг от друга,
причем вектор 1 направлен от
отрицательного заряда к по-
положительному (рис. 13). Век-
Вектор р:
р - el, (8.9)
носит название электрическо-
электрического момента этих зарядов. По-
Потенциал обоих зарядов в произ-
произвольной точке поля Р равен
R
6 VR2 Ri)
+е
Ri J R1R2
Если расстояние l между за- _*е
рядами +е и — e мало по срав-
сравнению с расстояниями этих за- Рис- 13
рядов от исследуемых точек поля, то совокупность зарядов +е
и —е носит название диполя, или биполя, что значит «двойной
полюс».
В этом случае можно приближенно положить:
Ri R2 = R2, Ri-R2=l cos or,
где а — угол между направлением момента диполя и радиусом-
вектором R, проведенным от диполя к «точке наблюдения» Р
(рис. 13). Ввиду малости расстояния I безразлично, из какой
именно точки диполя проведен этот радиус-вектор R. Таким об-
образом, потенциал диполя принимает вид
_ el cos a _ pcosa _ pR
(8.10)
Это выражение можно также представить в несколько ином
виде с помощью известной формулы векторного анализа A0*):
где индекс а означает пространственную производную от 1/R по
координатам «точки наблюдения», т. е. конечной точки векто-
вектора R, а индекс «у-—дифференцирование по координатам «точки
истока», т. е. начальной точки вектора R (см. приложение, § 2).
На основании этих соотношений уравнение (8.10) может быть
записано следующим образом:
ip = pgrad, (I) = -pgrada (I) . (8.11)
48 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
Эту формулу легко получить и непосредственно. Действи-
Действительно,
ч. = J_ - JL
е Я2 -Ri
равно приращению скаляра 1/R при перемещении на отрезок 1
точки истока радиуса-вектора R, проведенного из диполя (исток
поля) в точку наблюдения Р. Ограничиваясь при достаточно ма-
малом 1 первыми производными от 1/R, получим
i--i-=lgradg(I)=-lgrada(i),
откуда непосредственно следует (8.11).
Задача 6. Исходя из уравнения (8.2), показать, что потен-
потенциал поля заряженных бесконечных плоскости и полого цилин-
цилиндра определяется соответственно следующими формулами:
для плоскости <р = <ро — 2тгстх,
{4>i = <PQ,
ri
где щ — значение потенциала на соответствующей заряженной
поверхности; х — координата, перпендикулярная плоскости; г —
расстояние от оси цилиндра; г\ — радиус цилиндра. Отметим,
что в обоих этих случаях удовлетворить условию </?оо = 0 невоз-
невозможно.
Задача 7. Показать, что потенциал поля шара радиуса а,
равномерно заряженного по всему своему объему с объемной
плотностью /э, при условии (рос = 0 равен
?>е = -| (R > а)
и (8.12)
<Pi = 2пр(а2 - ^) (Д < а),
где е = р — общий заряд шара, аи- расстояние от его
центра.
Показать, что <ре — (pi при R = а.
§ 9. Емкость. Конденсаторы
1. Одна из характернейших особенностей электростатическо-
электростатического поля состоит в том, что в случае электростатического рав-
равновесия потенциал поля имеет постоянное значение на всем
§ 9 ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ 49
протяжении каждого отдельного проводника *). Действитель-
Действительно, в случае электростатического равновесия напряженность по-
поля внутри проводника равна нулю (§ 5). Так как любые две точки
проводника можно соединить линией, целиком лежащей в этом
проводнике, то, стало быть, разность потенциалов этих точек,
определяемая линейным интегралом вектора Е [уравнение (8.2)],
равна нулю, что и требовалось доказать.
Это обстоятельство дает возможность в случае электроста-
электростатического поля говорить просто о потенциале проводника (т. е.
потенциале каждой из его точек).
2. Емкостью уединенного проводника, т. е. проводника, бес-
бесконечно удаленного от всех остальных проводников, называется
заряд, необходимый для сообщения этому проводнику потенци-
потенциала, равного единице. При этом предполагается, что аддитивная
постоянная в выражении потенциала выбрана так, что в беско-
бесконечности потенциал равен нулю. Емкость принято обозначать
буквой С.
3. Заметим, что емкость уединенного шара (в абсолютных
единицах) численно равна его радиусу. Действительно, внешний
потенциал поля шара радиуса а и заряда е равен ip = ejR. На
поверхности шара R = а и <р = е/а. Таково же значение потен-
потенциала и внутри всего шара. Стало быть, потенциал шара будет
равняться единице при е = а, а это и значит, что емкость С шара
равна а:
С = а.
Из этого уравнения явствует, что в абсолютных единицах ем-
емкость должна иметь размерность длины. Действительно,
ГС] = И. = MLT =
1 J [<p] MV2LV2T-'
Таким образом, в абсолютной системе единиц емкость из-
измеряется в единицах длины, причем емкость в 1 см равна емко-
емкости уединенного шара радиуса 1 см.
Так как практическая единица заряда (кулон) в 3 - 109 раз
больше, а практическая единица потенциала (вольт) в 300 раз
меньше соответствующих абсолютных единиц, то практическая
единица емкости — фарада (Ф) — в 9-1011 раз больше абсолютной
единицы:
1 фарада = кулон = 9 • 1011 см (абс. единиц емкости).
1 ВОЛЬТ
Эта единица емкости столь велика, что обычно емкость выра-
выражается либо в сантиметрах, либо в микрофарадах (миллионных
1) Разумеется, при условии отсутствия «сторонних» ЭДС химического,
термического и т.п. происхождения (см. § 38).
50 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
долях фарады):
1 мкФ = 9 • 105 см.
4. Если проводник не уединен, то потенциал, приобретаемый
им при сообщении ему определенного заряда, существенно за-
зависит от формы и расположения других проводников. Обуслов-
Обусловливается это тем, что поле заряженного проводника вызывает
перераспределение зарядов на всех соседних с ним проводниках,
в том числе, конечно, и на незаряженных (электростатическая
индукция). По достижении равновесия заряды проводников рас-
располагаются на них так, что внутри каждого проводника резуль-
результирующее поле индуцированных зарядов и заряда индуцирую-
индуцирующего равно нулю (условие электростатического равновесия, см.
§ 5). Конечно, этот процесс связан с перераспределением заряда
и на самом индуцирующем проводнике. Таким образом, потен-
потенциал заряженного проводника оказывается суммой потенциалов
собственного перераспределившегося заряда этого проводника и
зарядов, индуцированных им на других проводниках. Определе-
Определение зависимости этого результирующего потенциала ц>, а вместе
с тем и емкости проводника С — е/<р от формы и расположения
смежных с ним проводников связано, вообще говоря, со значи-
значительными математическими трудностями.
5. Можно, однако, достигнуть полной независимости систе-
системы проводников от расположения и электрического состояния
всех посторонних проводников путем электростатической за-
защиты их, т. е. путем заключения их в металлическую оболочку.
Заряды, расположенные вне оболочки, не влияют на электри-
электрическое состояние пространства внутри нее, ибо поле этих внеш-
внешних зарядов во внутреннем пространстве компенсируется полем
зарядов, индуцированных ими на внешней поверхности оболоч-
оболочки. Действительно, если бы оболочка была целиком заполнена
металлом, т. е. образовывала бы сплошной проводник, то напря-
напряженность поля внешних зарядов и зарядов, индуцированных ими
на внешней поверхности оболочки, должна была бы равняться
нулю во всех внутренних точках проводника. Очевидно, что она
останется равной нулю и по удалении из проводника его внутрен-
внутренних участков.
Итак, металлическая оболочка полностью устраняет зависи-
зависимость электрического состояния внутреннего пространства от
пространства внешнего, ибо пространства эти оказываются раз-
разделенными толщей металла, в котором поле равно нулю. Поэто-
Поэтому электростатическая защита всегда применяется при точных
измерениях для устранения внешних воздействий на электриче-
электрические измерительные приборы, аппараты и т. д.
Заметим еще, что заряды проводников, расположенных вну-
внутри оболочки, индуцируют на ее внутренней поверхности заряд,
равный им по величине и противоположный по знаку, в чем
§ 9 ЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРЫ 51
можно убедиться, применив теорему Гаусса C.6) к замкнутой
поверхности S, проведенной в толще оболочки (рис. 14): поток
электрического вектора через
эту поверхность, очевидно, ра-
равен нулю. При этом на внешней
поверхности оболочки сосредо-
сосредоточивается заряд, равный (по
величине и знаку) заряду про-
проводников, расположенных вну-
внутри оболочки.
6. Обратимся к случаю кон-
конденсатора, состоящего из двух
(или нескольких) изолирован- Рис. 14
ных проводников(«обкладок»),
из которых один полностью заключен внутри другого, как это
имеет, например, место в шаровом и в бесконечном цилиндриче-
цилиндрическом конденсаторах. Ввиду указанной независимости поля между
обкладками такого конденсатора от расположения окружающих
его проводников емкость его также не зависит от посторонних
обстоятельств. При этом под емкостью конденсатора в отличие
от емкости уединенного проводника нужно понимать отношение
заряда конденсатора е к разности потенциалов </?2 — </?i этих об-
обкладок (а не к потенциалу какой-либо из обкладок):
С = —^—. (9.1)
Далее, зарядом конденсатора е называется абсолютная вели-
величина равных по величине и противоположных по знаку зарядов
каждой из обкладок конденсатора.
При этом под зарядом обкладок конденсатора нужно пони-
понимать только заряды, расположенные на внутренних, обращенных
друг к другу поверхностях этих обкладок 1).
В том случае, если из двух (или нескольких) проводников
ни один не составляет замкнутой системы, охватывающей со-
собою остальные проводники, емкость этой системы проводников
(этого конденсатора) практически не будет зависеть от распо-
расположения окружающих тел только в том случае, если размеры
проводников будут велики по сравнению с расстоянием между
ними. Лишь при этом условии пространство между обкладками
х) Так, например, под зарядом е шарового конденсатора, состоящего из ме-
металлического шара А, окруженного полым металлическим шаром В, нужно
понимать заряд внутреннего шара А либо равный ему по абсолютной вели-
величине заряд, расположенный на внутренней поверхности внешнего шара В.
Помимо этого заряда е, на внешней поверхности шара В может находиться
произвольный заряд е , не оказывающий влияния на разность потенциалов
между А и В.
52 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
конденсатора, если не полностью, то в значительной мере будет
защищено самими обкладками от воздействия внешнего поля.
Задача 8. Показать, что емкость С плоского, цилиндри-
цилиндрического и шарового конденсаторов равна соответственно:
плоский конденсатор:
цилиндрический конденсатор:
I
С =
21п(г2/п)'
шаровой конденсатор:
q __ RiB.2
где S — поверхность пластин конденсатора, d — их взаимное рас-
расстояние, I — длина, а г\ и гг — радиусы внутреннего и внешнего
цилиндров и, наконец, R\ и i?2 — радиусы внутренней и внешней
шаровой поверхности.
Примечание. Так как емкость цилиндрического конден-
конденсатора пропорциональна его длине /, то можно говорить о «ем-
«емкости единицы длины конденсатора» С*, равной
С* = - = 1 . (9.2)
I 21п(г2/п) V >
Очевидно, что
С* = е = —=—, (9.3)
1(<Р2 — <fl) Ч>2 — <fl
где х — заряд единицы длины конденсатора. Конечно, понятие
емкости единицы длины (как, впрочем, и приведенное выраже-
выражение для С) можно применять лишь в том случае, если длина
цилиндрического конденсатора настолько велика по сравнению
с расстоянием между его обкладками, что можно вовсе исклю-
исключить из рассмотрения концевые участки конденсатора, в кото-
которых поле его существенно искажается; лишь в этом случае С
пропорционально I.
§ 10. Градиент электростатического потенциала.
Линии сил
1. Из формул (8.1)
dip — —Eds = — Es ds
следует, что
I - -*.
§ 10 ГРАДИЕНТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ЛИНИИ СИЛ 53
где dip/ds означает производную <р по направлению s вектора ds
(см. приложение, § 2). По определению понятия градиента эта
пространственная производная скаляра </? совпадает со слагаю-
слагающей его градиента grade/? по направлению s [см. уравнение D*)]:
-f- = grads <p.
as
Таким образом,
Es = - grads ip.
Так как это равенство проекций векторов Ей— grad </? должно
иметь место при любом выборе направления s, той векторы эти
должны быть равны друг другу:
E = -grad</>. A0.2)
Таким образом, напряженность электростатического по-
поля Е равна градиенту электростатического потенциала <р, взя-
взятому с обратным знаком.
Так как градиент потенциала направлен в сторону его возра-
возрастания и является мерой быстроты этого возрастания, то можно
сказать, что напряженность электрического поля есть мера бы-
быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду
потенциала. Направление напряженности поля совпадает с на-
направлением ортогональных траекторий эквипотенциальных по-
поверхностей (см. приложение, § 2). Поэтому эти ортогональные
траектории (линии градиента) совпадают с линиями электриче-
электрических сил, или силовыми линиями.
2. Электрической силовой линией называется линия, каса-
касательные к которой в каждой ее точке совпадают по направле-
направлению с вектором напряженности электрического поля Е в той же
точке (т. е. с направлением электрической силы, действующей
на единичный положительный заряд). Очевидно, что через каж-
каждую точку поля, в которой Е ф 0, можно провести одну и только
одну силовую линию. В каждой такой точке Р вектор Е имеет
вполне определенное направление. Отложив из Р произвольно
малый отрезок в направлении Е, мы придем в точку Р', в кото-
которой вектор Е может иметь иное направление, чем в Р. Отложив
из Р' произвольно малый отрезок в соответствующем направ-
направлении, мы придем в новую точку Р", в которой можем опять
повторить ту же операцию, и т. д. Полученная таким образом
ломаная линия в пределе, при беспредельном уменьшении сос-
составляющих ее отрезков, совпадает с искомой силовой линией.
Чтобы получить аналитическое уравнение силовых линий,
достаточно учесть, что элемент длины ds силовой линии парал-
параллелен напряженности поля Е, т. е. что слагающие его по осям
координат dx, dy, dz пропорциональны слагающим Ех, Еу, Ez
вектора Е:
f = f - f • (Ю.З)
JZ/X ^Zjy &z
54 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
Уравнения A0.3) эквивалентны системе двух обыкновенных
дифференциальных уравнений, например — = — и -^ = —-,
dz Ez dz Ez
интегралы которых имеют вид: fi(x, у, z) — С\ и /г(^, у, z) —
= С2, где С\ и Сг — постоянные интегрирования. Совокупность
этих последних уравнений и представляет собою уравнение сило-
силовой линии. Произвол в выборе постоянных С\ и Сг соответству-
соответствует возможности произвольно выбрать координаты xq, у о, zq той
точки поля, через которую мы желаем провести данную силовую
линию.
Физики XIX в. долгое время стремились объяснить электро-
электромагнитные явления деформациями и вихревыми движениями
особой всепроникающей гипотетической среды — эфира; они по-
полагали, что силовые линии совпадают с осями деформации (или
осями кручения), испытываемой эфиром в электрическом поле.
Однако к началу XX в. выяснилась полная несостоятельность
механистической теории эфира1), и в настоящее время, поль-
пользуясь понятием «силовых линий», нужно помнить, что понятие
это имеет условно-вспомогательное значение и что силовые ли-
линии служат лишь для графического изображения направления
электрического вектора.
3. Впрочем, подобно тому как при надлежащем способе чер-
черчения эквипотенциальных поверхностей густота их расположе-
расположения может служить мерой градиента потенциала, т. е. мерой на-
напряженности поля, подобно этому и силовыми линиями можно
воспользоваться для той же цели.
Нанести на чертеж все силовые линии, проходящие через
каждую точку поля и заполняющие собой все занимаемое по-
полем пространство, конечно, невозможно. Обыкновенно силовые
линии чертятся с таким расчетом, чтобы в любом участке поля
число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку
единичной поверхности, было по возможности пропорционально
') Пространство (в том числе и вакуум) обладает не только протяженно-
протяженностью, но и рядом других физических свойств, характеризуемых электро-
электромагнитным полем и полем тяготения, и может находиться в различных фи-
физических состояниях; эти состояния пространства обусловливаются находя-
находящимися в нем телами и в свою очередь воздействуют на эти тела Против
употребления термина «эфир» в смысле носителя этих физических свойств
«пустого» пространства не может быть возражений по существу: можно
лишь сомневаться в целесообразности такой терминологии, соответствую-
соответствующей разбиению единого понятия физического пространства на понятие эфи-
эфира и на понятие геометрического пространства, т. е. чистой протяженности,
лишенной всех других физических свойств. Однако весьма часто в термин
«эфир» вкладывается иной, механистический смысл. Представление об эфи-
эфире как о непрерывной жидкости или о совокупности мельчайших атомов,
несомненно, ложно, так же как и вообще всякое представление о простран-
пространственных перемещениях элементов эфира.
§ 10 ГРАДИЕНТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ЛИНИИ СИЛ 55
напряженности поля на этой площадке. В таком случае густота
расположения силовых линий может служить мерой напряжен-
напряженности поля. При этом число линий, пересекающих произвольный
элемент поверхности dS, будет, очевидно, пропорционально про-
произведению напряженности Е и проекции элемента dS на плос-
плоскость, перпендикулярную к Е. Это произведение Е dS cos (En)
равно потоку вектора Е через элемент dS. Поэтому вместо тер-
термина «поток вектора через данную поверхность» употребляют
иногда выражение «число силовых линий, пересекающих дан-
данную поверхность». Это число линий считается положительным
или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли сило-
силовые линии данную поверхность в направлении положительной
(внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней.
Отметим, что при указанном способе черчения силовых ли-
линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую
поверхность S, должно быть пропорциональным алгебраической
сумме зарядов, расположенных внутри S, ибо, согласно теореме
Гаусса C.6), сумма этих зарядов пропорциональна потоку век-
вектора Е через S. При этом, конечно, определяя число линий, пе-
пересекающих S, мы каждую из них должны брать с надлежащим
знаком (+ или —).
В частности, число силовых линий, пересекающих любую, не
содержащую зарядов, замкнутую поверхность, равно нулю. Ины-
Иными словами, число (положительное) линий, выходящих из огра-
ограниченного поверхностью объема, равно (отрицательному) числу
линий, входящих в него. Отсюда следует, что в свободных от
зарядов участках поля силовые линии не могут ни начинаться,
ни оканчиваться J). С другой стороны, линии эти не могут так-
1) Исключением из этого правила могут быть только точки (или линии)
неопределенности, в которых напряженность поля Е обращается в нуль
и направление силовых линий становится неопределенным. Такой точкой
неопределенности является, например, середина расстояния между двумя
равными зарядами одинакового знака.
Пусть, например, в точках А и В расположены два равных положитель-
положительных заряда и точка О лежит на середине отрезка АВ. Отрезок прямой АО
является силовой линией, вдоль которой напряженность поля Е уменьшает-
уменьшается по мере удаления от Л и обращается в точке О в нуль То же относится и
к силовой линии ВО. обе противоположно направленные силовые линии АО
и ВО заканчиваются в точке О. Вместе с тем из этой точки исходит пучок
прямых силовых линий, расположенных в плоскости симметрии, перпенди-
перпендикулярной к отрезку АВ. Поток через замкнутую поверхность, охватываю-
охватывающую точку О, конечно, равен нулю.
На этом примере ясно видна также условность понятия силовых трубок,
т. е. нитей конечного сечения, поверхность которых образована силовыми
линиями. Действительно, силовая трубка сколь угодно малого сечения, охва-
охватывающая линию АО, неограниченно расширяется по мере удаления от за-
заряда А. При приближении к плоскости симметрии, проходящей через О,
сечение этой трубки стремится к бесконечности и совпадает в пределе с
плоскостью симметрии.
56 электрическое поле неподвижных зарядов гл i
же быть замкнутыми. В противном случае, линейный интеграл
§ Es ds по каждой из замкнутых линий сил L был бы отличен
L
от нуля (ибо элементы ds линий сил параллельны Е и, стало
быть, подынтегральное выражение существенно положительно),
что противоречит уравнению G.3). Стало быть, в электроста-
электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются
на электрических зарядах, либо одним своим концом *) уходят
в бесконечность.
Таким образом, для получения правильной картины поля до-
достаточно, очевидно, от каждого элемента заряда провести число
линий, пропорциональное величине этого заряда.
Для незамкнутых линий, впрочем, существует, помимо перечисленных,
еще третья возможность: они могут при безграничном продолжении, не пе-
пересекаясь и не замыкаясь, всюду плотно заполнять некоторый ограничен-
ограниченный участок пространства. С такого рода магнитными силовыми линиями
мы познакомимся в гл. IV. Однако для силовых линий электростатическо-
электростатического поля эта возможность исключена, ибо линия, заполняющая некоторый
участок пространства, должна при достаточном продолжении как угодно
близко подходить к ранее пройденным ею точкам. Если Р и Р' суть две
такие бесконечно близкие точки на подобной силовой линии L, то интеграл
р'
J Еа ds по этой линии будет существенно положителен и будет обладать
р
конечной величиной. Вместе с тем, если только вектор Е конечен, этот ин-
интеграл должен отличаться лишь на бесконечно малую величину от интегра-
интеграла у Е3 ds по замкнутому контуру, образованному отрезком РР' силовой
линии и бесконечно малым отрезком прямой, соединяющей Р' с Р. Но по-
последний интеграл, согласно G.3), равен нулю, т. е. отличается на конечную
р'
величину от J Es ds. Этим противоречием и доказывается невозможность
р
существования силовых линий указанного типа.
Задача 9. Показать, исходя из (8.10), что напряженность
поля диполя момента р, линии сил которого изображены на
1) Оба конца силовой линии не могут лежать в бесконечности, если только
все заряды расположены в конечной области пространства Для доказатель-
доказательства достаточно применить уравнение G.3) к замкнутому пути, получаемому
при замыкании рассматриваемой линии в бесконечности дугой круга беско-
бесконечного радиуса, и принять во внимание, что интеграл j Ев ds по этой дуге
стремится к нулю при возрастании радиуса дуги R (ибо при достаточно
большом R имеем Е ~ —, a J ds ~ R).
§ 11 УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 57
рис. 15, равна
= 3(PR)R _ р_ ( 4)
Я5 R3 K J
и что в сферической системе координат R, ¦в, си с центром в ди-
диполе и полярной осью, параллель-
параллельной р, слагающие вектора Е равны
_ 2pcos#
R3 ' A0.5)
Таким образом, угол /5 между
силовой линией и радиусом-векто-
радиусом-вектором R определяется соотношением
На одинаковых расстояниях R
от диполя поле вдоль его оси (¦в = Рис. 15
= 0 или ¦д — тг) вдвое сильнее, чем в экваториальной плоскости
§ 11. Уравнения Пуассона и Лапласа
Уравнение (Ю.2) устанавливает связь между потенциалом
электростатического поля и напряженностью этого поля. Из это-
этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом
и плотностью заряда. Для этого нужно образовать дивергенцию
обеих частей этого уравнения и воспользоваться затем формулой
F.5):
div grad <p — — div E = —4тг/з. (И-1)
Согласно правилам векторного анализа [см. уравнение D0*)]
div grad <р = V <р = —- -1 -1 -, A1-2)
ox* ay oz"'
так что уравнение A1.1) может быть записано так 1):
^ ~ дх2 ду2 dz2 ~~ \ ¦ )
Это дифференциальное уравнение носит название уравнения
Пуассона. В тех участках поля, где нет электрических зарядов
1) Величину V2tp иногда обозначают через Дуз и называют лапласианом
скаляра <р [ср. уравнение Лапласа A1.4)).
58 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
(р = 0), уравнение это обращается в следующее:
Этот частный вид уравнения Пуассона носит название урав-
уравнения Лапласа 1).
Уравнение Пуассона дает возможность определить потенци-
потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих за-
зарядов. Решение (интеграл) этого дифференциального уравнения
(при определенных граничных условиях) должно, очевидно, сов-
совпадать с выведенной нами ранее формулой (8.8):
pdV
= [ pd
J R
В дальнейшем мы докажем это непосредственным вычисле-
вычислением. Пока же отметим, что для решения некоторых задач удоб-
удобнее исходить не из интеграла (8.8), а непосредственно из диффе-
дифференциального уравнения A1.3).
Пример. Определить плотность термоионного тока между двумя
бесконечными плоскими электродами в вакууме. Пример этот на примене-
применение уравнения Пуассона взят не из электростатики, а из учения о токе и
имеет большое значение для теории катодных (усилительных) ламп.
Известно, что накаленные металлы испускают со своей поверхности в
окружающее пространство поток свободных электронов. Если к двум ме-
металлическим электродам приложить определенную разность потенциалов
и раскалить отрицательный электрод (катод), то непрерывно испускаемые
накаленным катодом электроны будут притягиваться к поверхности поло-
положительного электрода (анода). Поток электронов, движущихся от катода к
аноду, эквивалентен электрическому току. Ток этот называется термоион-
термоионным.
Выберем оси декартовых координат так, чтобы начало их находилось на
катоде, а ось х была перпендикулярна плоскости электродов и направлена к
аноду. Примем потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным
tpa • Из соображений симметрии явствует, что эквипотенциальные поверхно-
сти параллельны электродам, поэтому —?¦ = —^ = 0, и уравнение Пуассона
ду dz
в пространстве между электродами принимает вид
|т = ~4пр- AL5)
дх2
Если обозначить через п(х) число электронов, приходящихся на единицу
объема в пространстве между электродами на расстоянии х от катода, а
через е абсолютную величину заряда электрона, то плотность заряда на
1) Уравнения A1.3) и A1.4) были изучены Лапласом и Пуассоном глав-
главным образом в связи с исследованием поля тяготения весомых масс. Как
легко убедиться, уравнениями этого типа определяется потенциал любого
силового поля, возбуждаемого расположенными в нем центрами сил (весо-
(весомые массы, электрические заряды, магнитные полюсы) по закону обратной
пропорциональности квадрату расстояния.
§ 11 УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА 59
этом расстоянии будет:
р = —п(х)е.
Предположим для простоты, что испускаемые катодом электроны при
выходе из его поверхности не обладают никакой начальной скоростью *).
На пути от катода к аноду силы электрического поля будут совершать над
электронами заряда —е работу — (—е)<ра = е<ра, которая будет, очевидно,
переходить в кинетическую энергию движения электронов. Обозначая через
v(x) скорость электрона на расстоянии х от катода, а через <р(х) потенциал
на том же расстоянии, получим
^ = еф), A1.6)
где т — масса электрона. Наконец, плотность j электрического тока, т. е.
заряд, протекающий за единицу времени через перпендикулярную току (т. е.
перпендикулярную оси х) площадку в 1 см2, равна, очевидно:
j = en(x)v(x), A1.7)
ибо nv есть число электронов, проходящих за единицу времени через эту
площадку. В отличие от р, п и v плотность тока j есть величина постоянная,
не зависящая от х, ибо по достижении стационарного состояния через любую
параллельную электродам плоскость проходит, очевидно, одинаковое число
электронов.
Исключим из уравнения A1.5) все неизвестные функции ж, кроме у>.
Прежде всего
д2<р . . 4тг/
_t = 4,гр = 4ттее =
дхг
Но из A1.6) следует, что
стало быть,
дх2 V 2е
Вводя обозначение А = 9тг. —, получим —— = -
V *е дх2 9
Как легко убедиться подстановкой, тб из решений этого дифференци-
дифференциального уравнения, которое, согласно условию задачи, обращается на катоде
в нуль и, кроме того, удовлетворяет условию 2)
g = 0 при * = 0,
х) В действительности они обладают начальными скоростями, среднее зна-
значение которых, однако, мало по сравнению со скоростью, приобретаемой
электронами на пути к аноду под действием поля электродов (при обычных
условиях опыта).
2) При малых разностях потенциалов между электродами ток далек от на-
насыщения, и число электронов, приходящих на анод в единицу времени, мало
по сравнению с числом электронов, выделяющихся из катода. Избыточные
электроны образуют при этом на внешней поверхности катода (х = 0) слой,
или «облако», электронов, из которого отдельные электроны диффундируют
частью обратно в катод, частью в пространство между электродами, откуда
они увлекаются полем к аноду. Сам же этот слой в целом неподвижен, что
может иметь место лишь при Е — dip/dx — 0.
60 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ 1
равно
V = (Ajf'W3. (И 8)
Если обозначить расстояние от анода до катода через I, то при х = I потен-
потенциал ip должен обращаться в кра. Стало быть,
откуда
J A p 9тгУт P • ( }
Таким образом, плотность термоионного тока не подчиняется закону
Ома, а растет пропорционально степени 3/2 приложенного к электродам
напряжения <ра и обратно пропорционально квадрату расстояния между
ними. Это отличие законов термоионного тока от законов тока в металлах
обусловливается двоякого рода причинами. Во-первых, электроны в метал-
металлах соударяются с положительными ионами, образующими твердый скелет
металла, и испытывают благодаря этому сопротивление своему движению,
отсутствующее при движении в вакууме х). Во-вторых, при термоионном
токе в пространстве между электродами находятся лишь свободные элек-
электроны, заряд которых не компенсируется зарядом положительных ионов,
как это имеет место в металлах, вследствие чего поле этого так называемого
«пространственного заряда» искажает поле электродов.
Отметим, что формула A1.9) перестает быть справедливой при больших
плотностях тока 2). При повышении потенциала анода наступает момент,
когда все выделяемые катодом электроны немедленно же увлекаются к ано-
аноду. Дальнейшее повышение потенциала анода не может, очевидно, повести к
увеличению плотности тока, которая, таким образом, достигает постоянного
значения (ток насыщения).
Задача 10. Пусть R означает расстояние данной точки
пространства от некоторой произвольно выбранной начальной
точки Р. Показать, что скаляр
* = 5
удовлетворяет уравнению Лапласа
V2i = 0. A1.10)
Точка R = 0 не рассматривается.
Задача 11. Бесконечная плоская пластина толщиной 2а
равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью р.
Ось х перпендикулярна пластине, начало координат расположе-
расположено в срединной плоскости, равноотстоящей от обеих поверхно-
поверхностей пластины. Показать, что потенциал поля внутри и вне пла-
пластины равен соответственно:
<pi = —2тгрх2, (ре = —2т:раBх — а),
1) Соударение электронов друг с другом не изменяет их полного количе-
количества движения.
2) Граничное условие dip/dx = 0 при х = 0, которым определяется решение
A1.8), перестает соответствовать физическим условиям опыта.
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 61
а вектор Е направлен вдоль оси х от срединной плоскости х = О
(если р > 0) и численно равен:
Е = 47гр|х|, \х\ ^ а, Е = А-кра, \х\ ^ а.
Сравнить этот случай с предельным случаем бесконечной за-
заряженной плоскости (§4).
Задача 12. Найти потенциал поля шара, равномерно за-
заряженного по своему объему [формула (8.12)], исходя из уравне-
уравнения Пуассона в сферических координатах.
§ 12. Потенциал объемных и поверхностных зарядов
1. В этом параграфе мы приведем доказательство выражений
(8.7) и (8.8) для потенциала поверхностных и объемных зарядов,
свободное от тех недостатков, которыми обладает приведенный
ранее вывод этих выражений из формулы для потенциала то-
точечного заряда (см. с. 44, 46)х). При этом мы будем исходить из
уравнения Пуассона A1.3) для потенциала электростатического
поля и воспользуемся известной из векторного анализа теоремой
Грина [см. E3*)], которая гласит:
/W>vV - ?>vV) av - ф (ф^ - v*?) dS A2Л)
J J \ дп дп/
v s
Здесь S означает поверхность, ограничивающую объем V, a ip и
ф — две произвольные, но непрерывные внутри объема V скаляр-
скалярные функции точки, обладающие внутри этого объема конечны-
конечными производными как первого, так и второго порядка.
Поставим себе задачей определить значение электрического
потенциала </? в некоторой точке поля Р. Обозначим расстояние
произвольной точки поля от точки Р через R. Положим в теоре-
теореме Грина A2.1)
^ R
и примем во внимание уравнение A1.10):
1) В современных книгах по электродинамике для описания точечных за-
зарядов часто используется й-функция. Эта несобственная функция позволя-
позволяет довольно удобно получать решения уравнений Пуассона и Д'Аламбера.
Применения й-функции в электродинамике и — в частности — для решения
упомянутых уравнений с ее помощью можно найти, например, в книге:
Паповский В., Филипс М. Классическая электродинамика. — М.: Физматлит,
1968. — § 1.1; 1.5; 13.2 (Примеч. ред.)
62
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
ГЛ I
и уравнение Пуассона A1.3):
= — Атгр.
Внося эти значения в формулу Грина A2.1), получим после
деления на — 47г:
R
R
R
A2-2)
2. Предположим сначала, что во всем рассматриваемом нами
объеме V, включающем в себя точку Р и ограниченном поверх-
поверхностью S, потенциал tp и его производные являются непрерыв-
ными функциями точки. Скаляр же
^ R
и его производные непрерывны и ко-
конечны во всем пространстве, кроме
точки Р. Так как теорема Грина при-
применима только к таким участкам про-
пространства, в которых оба скаляра, <р
и ф, и их производные непрерывны,
то точку Р необходимо исключить из
области интегрирования V. Опишем с этой целью вокруг Р сфе-
сферу So (рис. 16) произвольно малого радиуса Rq и применим фор-
формулу A2.2) к объему V, заключенному между внешней поверх-
поверхностью S и поверхностью сферы So:
?¦& = !. ф {„А (I) _ I &
R 4тг / Vdn \RJ Rdn
S+So
где индекс S+Sq у знака поверхностного интеграла означает, что
интеграл должен быть распространен по поверхностям S n So-
Рассмотрим подробнее интеграл по поверхности So-
Внешняя по отношению к объему интегрирования V нор-
нормаль к поверхности сферы So направлена к ее центру и прямо
противоположна радиусу-вектору R. Поэтому на поверхности So
д_ !_ д_ Г1\ _ J_ _ J_
дп R dR \r) R? Rl
и
dip д<р
9^ ~~ ~d~R'
Внесем эти значения в поверхностный интеграл уравнения
A2.3) и применим затем так называемую «теорему о среднем»
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 63
интегрального исчисления:
4тг/ Г дп \RJ Rdni 4жТ\Щ Ro
So
(Ш>\ _ dip
где I —- I и </? суть некоторые средние значения величин —- и кр
на поверхности сферы Sq. Так как § dS равен общей поверхности
сферы 47T.Rq, to правая часть уравнения равна
Будем теперь стремить к нулю радиус Ro, стягивая сферу
So в точку Р. При этом последний член приведенного выраже-
выражения обратится в нуль, а среднее значение потенциала tp на по-
поверхности бесконечно малой сферы может быть принято равным
значению потенциала </?„ в ее центре Р. Таким образом,
lim - ф {ч>^- (-) - - Щ dS = </v A2.4)
So
Следовательно, в пределе при Ro -± Q уравнение A2.3) при-
принимает вид
R ^р 4тг/ Vdn \r) R
V S
ИЛИ
dF + ^j^ ())dS, A2.5)
R 4nf\Rdn ^dn \rJ ) ' V ;
V S
где объемный интеграл может быть распространен на весь огра-
ограниченный поверхностью S объем V, ибо при Ro —> О V стремит-
стремится к V, а подынтегральное выражение остается конечным при
R = 0 (с. 45).
Итак, потенциал </э в точке Р, лежащей внутри объема V, в
котором <р и его первые и вторые производные конечны и непре-
непрерывны, определяется потенциалом объемных зарядов, располо-
расположенных в V [ср. уравнение (8.8)], и значениями </> и dip/dn на
ограничивающей объем V поверхности S.
3. Предположим теперь, что хотя потенциал <р и остается
конечным и непрерывным в объеме V, сплошность (непрерыв-
(непрерывность) градиента </> может нарушаться на отдельных «поверх-
«поверхностях разрыва», т. е. значения grad</> по различным сторонам
64
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
ГЛ. Г
поверхности разрыва могут отличаться на конечную величину
(изменение grad<p скачком). Мы увидим, что физический смысл
этого предположения сводится к допущению наличия в объеме V
заряженных поверхностей.
Предположим сначала, что внутри V существует лишь одна
и притом незамкнутая поверхность разрыва S\. Выберем произ-
произвольным образом направление положительной нормали к ней и
обозначим ее не через п, как обычно, а через N (рис. 17). Прове-
Проведем затем замкнутую поверхность S[, охватывающую Si; тогда
формулу A2.5) можно будет, очевидно, применить к объему V',
заключенному между поверхностями S и S[. При этом входящий
в A2.5) поверхностный интеграл распадется на два интеграла: по
поверхности 5 и по поверхности S[.
Рис. 17
Рис. 18
Будем теперь стягивать поверхность S[ так, чтобы она все
плотнее прилегала к 5i. В пределе S[ совпадет с Si, и инте-
интегрирование по S[ сведется к двукратному интегрированию по
поверхности разрыва Si: один раз по внутренней (относительно
нормали N), а другой раз по внешней стороне этой поверхности:
4тг/ I R дп дп \R
S'
4-к
R
R
Si
4тг J l Я дп ^дп \R/h
Si
где индексами 1 и 2 отмечены значения подынтегральных выра-
выражений соответственно с внутренней (относительно нормали N) и
внешней сторон поверхности разрыва Si. В этом уравнении под п
нужно понимать, очевидно, нормаль, внешнюю по отношению к
объему интегрирования V, т. е. направленную из V к Si. Ины-
Иными словами, с внутренней стороны от Si под п нужно понимать
направление щ, ас внешней — направление пг (рис. 18). Так
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 65
как N параллельно ni и антипараллельно П2, то
|А A\\ = А AЛ /А (Г
Ian \я//1 aw \я/' Ian \яЛг on \r/
и
<дп/2
где ( ——) и ( — J суть значения производной кр по нормали
N с внутренней и внешней сторон поверхности Si. Обозначая
соответствующие значения потенциала ip через ip\ и </>2 и вно-
внося полученные выражения в предшествующее уравнение, мы по
приведении членов получим
lim — ф \ — (р— ( —
\dnJl \dNJx'
lim ^
S'
Si Si
A2.6)
Так как, согласно нашему предположению, потенциал </э всю-
всюду непрерывен, то значения его <pi и </?2 по обеим сторонам по-
поверхности одинаковы, и первый член правой части уравнения
A2.6) обращается в нуль1). Стало быть, если ввести обозначе-
обозначение
(Ё!?) (Ё!?) A2.7)
)
dNJi
то правая часть уравнения A2.6) примет вид
R
Si
Вместе с тем при совпадении S[ с Si объем V' совпадает,
очевидно, с объемом V, ограниченным поверхностью S, так что
уравнение A2.5) принимает вид
Я У Я 4тг / IЯ дп дп \Я
V Si S
Таково, стало быть, выражение потенциала, если внутри ог-
ограниченного поверхностью S объема V имеется незамкнутая
поверхность Si разрыва сплошности градиента ip. Если таких
поверхностей несколько, то к каждой из них можно применить
1) Случай ifii ф <р2 будет рассмотрен в § 14.
3 И. Е. Тамм
66 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
приведенные рассуждения, так что в этом случае под вторым
членом правой части формулы A2.8) нужно понимать сумму
интегралов по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри V.
Формула эта применима, наконец, и к случаю замкнутых по-
поверхностей разрыва, ибо всякую замкнутую поверхность молено
разложить на две незамкнутые.
4. Первый член выражения A2.8) представляет собой потен-
потенциал объемных зарядов, расположенных в объеме F, второй же
его член должен быть, очевидно, истолкован как потенциал по-
поверхностных зарядов, распределенных с плотностью а по поверх-
поверхности разрыва S\ [ср. уравнение (8.7)]. Это толкование вполне
совпадает с ранее полученными результатами. Действительно,
если по-прежнему обозначить произвольно выбранную положи-
положительную нормаль к S\ не через N, а через п, то A2.7) примет
вид
Но, согласно A0.1),
*?\ _ №\ = -47га. A2.9)
дпJ \dnJl У '
где Еп — нормальная слагающая напряженности поля. Стало
быть, уравнение A2.9) может быть записано следующим обра-
образом:
Е2п — ЕХп = 47ГСГ.
Сравнивая его с уравнением D.3), мы убеждаемся, что ве-
величина о, определяемая уравнением A2.9), действительно рав-
равна плотности электрического заряда на поверхности S\. Таким
образом, мы вновь приходим к выводу, что поверхности разры-
разрыва нормальной слагающей градиента потенциала (т. е. поверхно-
поверхности разрыва Еп) физически равнозначны заряженным поверх-
поверхностям, причем скачок этой слагающей dip/дп пропорционален
плотности заряда поверхности.
5. Обратимся, наконец, к последнему члену выражения A2.8),
представляющему собой интеграл по пограничной поверхности S
объема V и выражающему зависимость потенциала </> в объеме V
от этого потенциала и его первых производных на граничной по-
поверхности этого объема.
Член этот вовсе выпадет из выражения потенциала, если мы
под объемом интегрирования V будем понимать все бесконечное
пространство (т. е. удалим ограничивающую V поверхность S
в бесконечность) и при этом наложим на ip и его производные
следующие граничные условия: в бесконечности tp стремится к
нулю не медленнее, чем 1/R, а его первые производные по коор-
координатам не медленнее, чем I//?2, т. е.
Rtp и R2gradip при R -> оо остаются конечными. A2.10)
§ 12 ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ 67
Первым из этих условий мы уже пользовались в § 8, при-
приравнивая нулю значение потенциала в бесконечности [уравне-
[уравнение (8.3)]; второе же условие непосредственно связано с первым.
Физически оно означает, что в бесконечности напряженность Е
электрического поля равна нулю, т. е. что все заряды находятся
в конечной области пространства. Во всем дальнейшем мы будем
называть потенциалом электростатического поля то и только то
решение уравнения Пуассона, которое удовлетворяет условиям
A2.10)х).
6. Покажем теперь, что при наложении условий A2.10) и уда-
удалении граничной поверхности S в бесконечность последний член
выражения A2.8) действительно обращается в нуль. Выберем в
качестве поверхности S сферу радиуса R с центром в точке Р.
Внешняя нормаль к этой сфере совпадает с радиусом-вектором R,
так что
А (Г\ = А AЛ = -±
дп \RJ dR \RJ R2'
Из условия A2.10) следует, стало быть, что подынтегральное
выражение интересующего нас интеграла при R —> оо стремится
к нулю не медленнее, чем 1/Л3, тогда как поверхность интегри-
интегрирования растет пропорционально лишь Л2. Стало быть, интеграл
этот при R —>• оо стремится к нулю и A2.8) принимает вид (если
опустить у if индекс Р):
где R — расстояние элемента объемного заряда pdV или заря-
заряда поверхностного a dS от точки поля, обладающей потенциа-
потенциалом </>, и где интегрирование должно быть распространено по
всему пространству, занятому зарядами [ср. A2.11) с прежними
формулами (8.7) и (8.8)].
Из изложенного явствует, что поверхностный интеграл в фор-
формуле A2.8) учитывает поле зарядов, лежащих вне объема инте-
интегрирования V (а также возможность добавить к </э произвольную
аддитивную постоянную).
7. Напомним, что во всем предыдущем изложении нами пред-
предполагалось, что как сам потенциал, так и его первые производные
(градиент) всюду конечны. Бесконечность градиента ip (т. е. ска-
скачок потенциала) означала бы бесконечную напряженность элек-
электрического поля, что физически бессмысленно. Конечность же
градиента </> означает непрерывность tp, что и предполагалось
нами во всем предшествующем. Впрочем, в § 14 вернемся к во-
1Kа исключением, конечно, тех случаев, когда условно вводятся в рас-
рассмотрение заряды, простирающиеся в бесконечность, как, например, беско-
бесконечные заряженные плоскость, цилиндр и т.п.
3*
68 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ Г Л I
просу о поверхностях разрыва потенциала с несколько иной точ-
точки зрения.
8. Если размеры заряда е, занимающего объем Vi, настолько
малы по сравнению с расстоянием его R до рассматриваемой
точки поля Р, что расстояние всех элементов заряда от Р можно
считать одинаковым, то потенциал этого заряда в Р будет равен
R RJ Н Л'
Vi Vi
что совпадает с выражением (8.5) потенциала точечного заряда.
§ 13. Типичные задачи электростатики
1. Введение понятия потенциала значительно облегчает ре-
решение задач электростатики, ибо задача определения векторного
поля электрической напряженности Е сводится к определению
поля скаляра </>; иными словами, определение трех функций точ-
точки (слагающих вектора Е) сводится к определению одной только
функции (р.
Зная плотность объемных и поверхностных зарядов, можно
определить потенциал поля [формула A2.11)]; обратно, зная гра-
градиент потенциала tp, по дивергенции этого градиента V2</? и по
величине скачков его нормальной слагающей на поверхностях
разрыва можно однозначно определить распределение зарядов
[формулы A1.3) и A2.9)].
Однако практически, конечно, невозможно измерить плот-
плотность зарядов или градиент потенциала во всех точках поля.
Поэтому экспериментатору приходится фактически иметь дело с
задачами иного типа, а именно: дано расположение и форма всех
находящихся в поле проводников; определить поле этих провод-
проводников и распределение зарядов по их поверхности, если извест-
известны либо потенциал каждого проводника (задача А), либо общий
заряд каждого проводника (задача В). Объемные заряды пред-
предполагаем отсутствующими, ибо заряды проводников сосредото-
сосредоточены на их поверхности (§ 5), а диэлектрики в этой главе не
рассматриваются.
2. Покажем прежде всего, что и этими на первый взгляд весь-
весьма обще формулированными условиями электростатическое по-
поле, а стало быть, и распределение зарядов определяются одно-
однозначно.
Предположим противное, и пусть tp и <р' суть две различные
функции точки, удовлетворяющие условиям задачи А или В.
Ввиду отсутствия объемных зарядов как (р, так и <р' должны
удовлетворять во всем пространстве уравнению Лапласа A1.4);
§ 13 ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 69
стало быть, и разность их
</>" = (р -
удовлетворяет тому же уравнению
v У = о.
Полагая в формуле Грина E2*) ф — ip = ip", мы, таким обра-
образом, получим
f"°?dS, A3.1)
v s
где интегрирование предполагается распространенным по всему
лежащему вне проводников пространству V, так что под S нужно
понимать совокупность поверхностей всех проводников.
Так как при решении задачи А </з и ip1 должны принимать
на S наперед заданные значения, то </з" на всех поверхностях S
равно нулю. Стало быть,
*dV = O. A3.2)
v
Ввиду положительности подынтегрального выражения из
этого равенства следует, что Vy?" = gr&d<p" во всем простран-
пространстве равно нулю, т. е. что (р" = const. Так как, кроме того, на
поверхностях проводников <р" обращается в нуль, то оно равно
нулю и повсюду. Стало быть,
чем и доказывается однозначность решения задачи А.
Обращаясь к задаче В, заметим, что на поверхности каждого
проводника потенциалы </> и ip', а стало быть, и tp" должны иметь
постоянное значение. Значит, для поверхности каждого провод-
проводника можно написать
dS.
дп
Но на поверхности проводников, согласно E.1),
где а и а1 — плотности зарядов проводников, соответствующие
'С б
д рд
решениям ip vl ip'. Стало быть,
дп дп дп
и
= 3? - *Е. = 4тг(а' - а)
дп дп '
(f> ip"^- dS = 4тг</ (Sv'dS- (fxrds) = 4ir<p"(e' - e),
70
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
ГЛ. I
где е и е' суть значения общего заряда проводника, соответ-
соответствующие решениям ip и (р'; согласно условию В, е и е' должны
равняться одному и тому же наперед заданному значению. Так
как приведенное рассуждение применимо к поверхности каждо-
каждого проводника, то вся правая часть равенства A3.1) обращается
в нуль, откуда, как и в случае задачи А, следует, что
ip" = <р — tp' ~ const.
Таким образом, различные решения задачи В могут отли-
отличаться лишь несущественной аддитивной постоянной в выра-
выражении потенциала, которая, впрочем, обратится в нуль, если
наложить в бесконечности условия A2.10). Нетрудно, наконец,
убедиться, что если для части проводников заданы условия ти-
типа А, а для остальных — условия типа В, то решение задачи оста-
остается однозначным.
3. Итак, однозначность решения задач электростатики А и В
нами доказана. Впрочем, нахождение самого решения представ-
представляет, вообще говоря, значительные математические трудности.
Однако если нам удастся каким-либо способом найти выраже-
выражение для <р, удовлетворяющее поставленным условиям А или В,
то теорема об однозначности позволяет заключить, что найден-
найденное выражение есть единственное и потому истинное решение
задачи. Умелое пользование этим обстоятельством весьма облег-
облегчает рассмотрение ряда проблем электростатики, что мы можем
здесь иллюстрировать, к сожалению, лишь на одном-единствен-
ном примере, пользуясь при этом для упрощения понятием то-
точечного заряда. Пример этот
представляет собой частный
случай применения общего «Ate-
тода изображений» г).
Пример. Точечный заряде
находится на расстоянии d от
бесконечного проводника, зани-
занимающего левое полупростран-
полупространство (рис. 19). Определить по-
поле в правом полупространстве
и плотность зарядов, индуци-
индуцированных зарядом е на поверх-
поверхности проводника. Этот пример
РиС- 19 относится к типу рассмотрен-
рассмотренных выше задач, ибо общий заряд е проводника, несущего «то-
«точечный» заряд, задан: постоянный же потенциал бесконечного
проводника может быть условно принят равным нулю. Стало
быть, этими условиями решение задачи определено однозначно.
1) Этот метод будет использован также при решении последнего примера
в §23.
§ 14 ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 71
Чтобы найти это решение, предположим, что на продолжении
перпендикуляра, опущенного из е на поверхность проводника,
находится на расстоянии d от этой поверхности заряд е' = —е,
затем мысленно устраним сам проводник. Тогда плоскость, сов-
совпадавшая ранее с поверхностью проводника, будет обладать тре-
требуемым потенциалом нуль, ибо все точки этой плоскости будут
равно отстоять от равных по величине и противоположных по
знаку зарядов +е и —е. Стало быть, поле совокупности этих
зарядов в правом полупространстве удовлетворяет условиям за-
задачи, из чего на основании теоремы однозначности следует, что
поле это в правом полупространстве тождественно искомому
полю заряда е и зарядов, индуцированных им на поверхности
бесконечного проводника.
Таким образом, наша задача сведена к весьма простой зада-
задаче определения поля двух точечных зарядов +е и — е. Конечно,
внутри проводника поле равно нулю, так что в левом полупро-
полупространстве поле зарядов Ч-е и -е (штриховые линии на рис. 19)
не совпадает с полем заряда е и проводника.
Задача 13. Довести до конца решение рассмотренного
примера и показать, что плотность зарядов, индуцированных за-
зарядом е на поверхности бесконечного проводника равна
а = —
где R — расстояние элемента поверхности проводника от заряда е,
и что весь заряд, индуцированный на проводнике, равен —е.
§ 14. Двойной электрический слой
Результаты этого параграфа понадобятся нам лишь в связи с
рассмотрением двойных магнитных слоев, или листков, в гл. IV,
так что чтение этого параграфа мож-
можно отложить до соответствующего
места.
1. Пусть две весьма близкие и па-
параллельные друг другу поверхности
Si и S[ (рис. 20) заряжены электри-
электричеством противоположного знака, и
притом так, что плотности зарядов
ст и а' на противолежащих элемен-
элементах обеих поверхностей равны по ве-
величине и противоположны по знаку
(ст = — а'); положим для определен-
определенности, что а > 0. Если расстояние
между Si и S[ исчезающе мало по сравнению с расстоянием этих
поверхностей до рассматриваемых точек поля, то совокупность
72 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
поверхностей 5] и S[ называется двойным электрическим слоем.
Потенциал этого слоя в некоторой точке поля Р, согласно A2.11),
будет равен
J R J R> J \R R'J '
Si S[ Si
где R и R' суть соответственно расстояния точки Р от элемента
dS положительно заряженной поверхности 5 и от противолежа-
противолежащего ему элемента отрицательной поверхности S[. Но
R R'
есть приращение обратного значения радиуса-вектора R, прове-
проведенного от рассматриваемого элемента двойного слоя в точку Р,
при перемещении начальной точки вектора от отрицательной по-
поверхности к положительной. Пусть п есть направление нормали
к двойному слою, от отрицательной его стороны к положитель-
положительной, и пусть I — толщина слоя (расстояние между Si и S[). По-
Повторяя рассуждения, приведшие нас в § 8 к формуле (8.11), убе-
убедимся, что при I -С R
Подставив это в предшествующее уравнение и вводя обозна-
обозначение
г = ol, A4.1)
получим
p=-|mgrada(i) dS. A4.2)
Si
Таково окончательное выражение потенциала двойного слоя 1),
в котором предполагается, что радиус-вектор R проведен от слоя
в исследуемую точку поля Р. Величина г, равная произведению
плотности заряда поверхности слоя на толщину слоя, называ-
называется мощностью или моментом слоя; мы будем пользоваться
первым термином, сохраняя второй для обозначения другого по-
понятия (см. гл. IV).
2. На основании A0*) подынтегральное выражение в форму-
формуле A4.2) можно представить в виде
-ngrada (I) dS = g: dS = -^ cos (R, n) dS.
С другой стороны, согласно C.2),
-^ cos (R, n) dS = ±dfi,
l) Очевидно, что двойной электрический слой можно рассматривать как
совокупность параллельных нормали п диполей длины I, заряды которых
располагаются по поверхности слоя с плотностью а [ср. уравнение (8 11)].
§ 14 ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ 73
где сЮ, — телесный угол, под которым элемент двойного слоя dS
виден из точки Р. Что же касается знака, то в рассматриваемом
случае в отличие от § 3 R считается направленным от элемента
dS к точке Р; стало быть, cos (R, n) будет положительным, ес-
если из точки Р видна положительная сторона элемента двойного
слоя dS, и отрицательным в обратном случае (ибо п направле-
направлено по условию от отрицательной к положительной поверхности
слоя). Условимся считать телесный угол d?l положительным,
если из Р видна положительная сторона элемента dS, и от-
отрицательным в обратном случае. Тогда уравнение A4.2) можно
будет записать проще:
Ч>
= /rdU. A4.3)
3. Если мощность слоя т постоянна на всем его протяжении —
такой слой называется однородным, то потенциал его <р прини-
принимает вид
ip = т f dU = rtl, A4.4)
Si
где под О нужно понимать алгебраическую сумму телесных уг-
углов, под которыми видны элементы поверхности двойного слоя
из точки Р. Если все эти элементы поверхности видны из Р с од-
одной и той же, например положительной, стороны, то абсолютная
величина О, равна, очевидно, тому телесному углу, под которым
виден из Р весь двойной слой, или, что то же самое, под которым
виден из Р контур этого слоя. Если же весь слой в целом это-
этому условию не удовлетворяет, то его всегда молено разложить
на несколько частей, этому условию удовлетворяющих. Ввиду
этого содержание уравнения A4.4) можно выразить следующим
образом: потенциал однородного двойного слоя в точке Р равен
произведению мощности слоя т на взятый с надлеснсащим зна-
знаком телесный угол О, под которым виден из Р контур этого
слоя.
4. Особенно просто выражается потенциал замкнутого двой-
двойного слоя (например слоя, расположенного по поверхности сфе-
сферы). Как было показано в § 3, всякая замкнутая поверхность
видна под углом ±4эт из всех точек, лежащих внутри этой по-
поверхности, и под углом 0 из всех внешних точек (см., в частно-
частности, рис. 3). Стало быть, потенциал замкнутого двойного слоя
равен нулю во всем внешнем пространстве и равен ±4тгт во всех
точках, охватываемых слоем; знак потенциала зависит от того,
какая сторона слоя (положительная или отрицательная) обраще-
обращена внутрь. Таким образом, напряженность поля замкнутого слоя
равна нулю (ибо grad tp = 0); потенциал же поля испытывает при
прохождении через поверхность слоя скачок Акт.
74 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
Существенно, что точно такой же скачок Акт испытывает и
потенциал любого незамкнутого слоя при прохождении через
его поверхность. Чтобы убедиться в этом, дополним мыслен-
мысленно рассматриваемый слой до полной замкнутости вторым сло-
слоем равной мощности. При бесконечно малом перемещении точки
наблюдения с одной стороны исходного слоя на другз'ю потенци-
потенциал находящегося на конечном расстоянии дополнительного слоя
остается практически постоянным, тогда как потенциал замкну-
замкнутого слоя в целом (исходный слой плюс дополнительный) изме-
изменяется на 47гт. Стало быть, скачок этот равен скачку потенциала
исходного слоя.
Итак, потенциал всякого (как замкнутого, так и незамкнуто-
незамкнутого) двойного слоя испытывает на его поверхности скачок А-кт;
очевидно, что скачок этот направлен от отрицательной стороны
слоя к положительной, т. е. что потенциал слоя возрастает при
прохождении через слой по направлению положительной нор-
нормали п. Иными словами, двойной слой является поверхностью
разрыва сплошности потенциала., так что если ip\ есть значение
потенциала у отрицательной, a ip2 — У положительной стороны
слоя, то
</>2 — <Р\ = 47гт. A4-5)
5. Строго говоря, о скачке потенциала на поверхности разры-
разрыва можно говорить лишь в отношении бесконечно тонких двой-
двойных слоев; толщиной же реальных электрических слоев можно
пренебречь лишь на достаточно больших расстояниях от них.
Однако если толщина слоя мала по сравнению с требуемой точ-
точностью измерения расстояния, то в ряде случаев удобно поль-
пользоваться представлением о бесконечно тонком слое, несмотря на
то, что, как указывалось на с. 67, напряженность поля на по-
поверхностях разрыва потенциала обращается в бесконечность, т. е.
теряет физический смысл. Пользуясь результатами следующего
параграфа, можно, кроме того, показать (что мы предоставляем
сделать читателю), что электрическая энергия двойного слоя ко-
конечной мощности в пределе, при бесконечно малой его толщине,
тоже стремится к бесконечности.
Впрочем, мы в дальнейшем вовсе не будем пользоваться пред-
представлением о двойном электрическом слое и, соответственно это-
этому, будем всегда предполагать, что непрерывность электриче-
электрического потенциала (р нигде не нарушается. Теория же двойного
электрического слоя изложена нами здесь лишь для того, чтобы
подготовить изучение двойных магнитных слоев в гл. IV.
Заметим далее, что на каждой из заряженных поверхностей,
составляющих в совокупности двойной слой, производная dtp/dn
испытывает, согласно A2.9), скачок ±47гсг. Однако скачки эти
равны по величине и противоположны по знаку, так что при пе-
§ 14
ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ
75
реходе с одной стороны слоя на другую д<р/дп, а вместе с тем
и Еп остаются непрерывными.
6. Заметим, что потенциал двойного слоя может быть непосредственно
определен из формулы A2.6) Если Si есть поверхность разрыва потенциала,
то первый член правой части этой формулы
(l) dS
/
Si S,
не обращается в нуль. Обозначив, согласно A4.5), скачок потенциала через
4тгт и приняв во внимание, что
gradq(l)=-grada(i),
мы непосредственно приходим к формуле A4.2).
7 Упомянем в заключение в качестве примера об одном случае, когда
пользование понятием двойного электрического слоя может оказаться удоб-
удобным. При прохождении тока через электролит при известных условиях (за-
(зависящих от материала электрода, химической природы электролита и т. д.)
наблюдаются явления так называемой поляризации электродов (не смеши-
смешивать с поляризацией диэлектриков, о которой будет идти речь в следующей
главе1): сила проходящего через электролит тока при неизменной разности
потенциалов, приложенной извне к электродам, с течением времени умень-
уменьшается и может упасть практически до нуля.
Явление это можно истолковать следующим образом. Предположим,
что ионы, являющиеся носителями тока в электролите, например анионы
(отрицательные ионы), подойдя к притяги-
притягивающему их положительному электроду, не
отдают ему своего заряда, как это быва-
бывает обычно, а лишь располагаются слоем у
поверхности этого электрода Этому слою
заряженных отрицательных ионов будет про-
противостоять слой положительных зарядов
на поверхности положительного электрода
(рис. 21). Таким образом, у этой поверхности
образуется двойной электрический слой, за-
заряд и мощность которого будут расти до тех
пор, пока скачок потенциала ipi — v?i = 4тгт
в этом слое не станет равным приложенной
извне разности потенциалов Тогда ток через
раствор прекратится, ибо все изменение по-
потенциала будет сосредоточено лишь в тонком
двойном слое у положительного электрода, во
всей же остальной толще раствора потенциал
примет постоянное значение и напряженность
поля Е станет равной нулю (электростатиче-
(электростатическое равновесие) На нижней части рис. 21 на-
нанесены значения потенциала на различных расстояниях от электродов до
образования двойного слоя (ординаты сплошной линии) и после его образо-
образования (штриховая линия).
Таким образом, образование двойного слоя может обусловить поляри-
поляризацию электродов. Впрочем, это явление может обусловливаться также и
рядом причин иного рода.
Рис. 21
76 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. I
§ 15. Энергия взаимодействия электрических зарядов
1. При перемещении электрических зарядов силы кулонова
взаимодействия между ними совершают определенную работу А.
Очевидно, что мы должны приписать всякой системе зарядов
определенную энергию взаимодействия, за счет убыли которой
и совершается работа А:
А = -dW. A5.1)
Энергию взаимодействия зарядов W мы часто будем называть
просто электрической энергией.
2. Исходя из A5.1), подсчитаем прежде всего энергию двух
точечных зарядов е\ и в2, находящихся на расстоянии Д12 друг
от друга. Всякое изменение взаимного расстояния зарядов сопро-
сопровождается работой электрических сил. Предположим, например,
что заряд в2 остается неподвижным, тогда как заряд е\ переме-
перемещается в поле заряда е^ из точки Pi в точку Р[. Если <р\ —
= t2JRyi — потенциал поля заряда е2 в точке Pi, a </>i + dip\ —
в точке Р{, то работа А электрических сил при этом перемеще-
перемещении равна А = —е\ dcpi, откуда А = —dW = —e\ dpi, и, следова-
следовательно,
W = elipi = ^i. A5.2)
Ввиду того, что наблюдению доступны лишь изменения энер-
энергии, а не ее абсолютная величина, мы для простоты опусти-
опустили здесь аддитивную постоянную интегрирования, от взаимного
расположения зарядов не зависящую (ср. сказанное о собствен-
собственной энергии зарядов в конце следующего параграфа). В связи
с этим единственно учитываемая нами переменная часть энер-
энергии W может принимать и отрицательные значения х).
К тому же выражению для W мы пришли бы, конечно, рас-
рассматривая перемещение заряда е2 в поле неподвижного заряда е\
или, наконец, одновременное перемещение обоих зарядов.
Обозначая через <рг потенциал заряда е\ в точке, занимаемой
зарядом в2 (</?2 = G1/R12), можно вместо A5.2) написать
W = ^1 =
Н12
Удобнее же всего взаимную электрическую энергию зарядов
е\ и ег записать в симметричной форме:
W = \{enpx + e24>2)- A5-3)
Чтобы определить энергию системы п точечных зарядов ег
(г = 1, 2, ..., п), мы, очевидно, для каждой пары этих зарядов
1) Если заряды ei nej имеют противоположные знаки.
§ 15 ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ 77
должны написать выражения типа A5.2) или A5.3) и сложить
все эти выражения. Собирая затем все члены суммы, в которые
входит сомножителем ek, убедимся, что коэффициент при ek,
который мы обозначим через </>fc/2, будет равен
~4>к = ~{ч>к,\ +4>к,г + ••¦ + <Рк,к-1 + Ч>к,к+\ + ¦•• + 4>k,n),
I 2
где tyk,i — потенциал заряда ег в точке, занимаемой зарядом ek-
Выражение в скобках представляет собой, очевидно, значе-
значение потенциала поля всей системы зарядов в точке, занимаемой
зарядом ejt, или, вернее, потенциал всей системы зарядов, кро-
кроме самого заряда ek (потенциал tpkk заряда е^ в занимаемой им
самим точке поля в выражение для tpk не входит, да и вообще фи-
физического значения не имеет, ибо обращается в бесконечность).
Итак, взаимная энергия системы п зарядов равна
к=п
\ A5.4)
где tpk ~ потенциал поля в точке, занимаемой зарядом ek-
Чтобы выяснить зависимость W от взаимного расстояния за-
зарядов, воспользуемся формулой (8.6), которая в наших тепереш-
теперешних обозначениях запишется следующим образом:
= Ш-^ (*
где суммирование должно быть распространено по всем индек-
индексам г, кроме i = к. Внося это в A5.4), получим
у*е, <%фк). A5.5)
2 ^ Rk, V ' V '
i,к
Формулу эту можно, конечно, получить и непосредственно из
выражения A5.2) взаимной энергии пары зарядов. Появление
же коэффициента 1/2 перед знаком суммы объясняется тем, что
в эту сумму энергия каждой пары зарядов входит дважды; так,
например, в ней встретится как член eie^/Rn, так и равный ему
член eie\jR2\.
3. Как и всегда, при пользовании представлением о точечных
зарядах нужно помнить, что приведенные формулы могут при-
применяться лишь в тех случаях, когда заряды системы отделены
друг от друга расстояниями, достаточно большими по сравнению
с размерами этих зарядов. Чтобы освободиться от этого ограни-
ограничения, перейдем к рассмотрению объемных и поверхностных за-
зарядов. Разлагая систему этих зарядов на совокупность элемен-
элементарных зарядов pdV и adS, применяя к последним формулу
78 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
A5 4) и переходя от суммирования к интегрированию, получим
W = ~ [pipdV + ±joydS, A5.6)
где </э — потенциал поля всех объемных и поверхностных зарядов
в элементе объема dV или на элементе поверхности dS.
Хотя и может казаться, что уравнение A5.6) представляет
собой только видоизменение уравнения A5.4), соответствующее
замене представления о точечных зарядах представлением о за-
зарядах объемных и поверхностных, однако в действительности
уравнения эти разнятся по своему содержанию. Именно, в сле-
следующем параграфе мы покажем, что формула A5.6) выражает
полную энергию системы электрических зарядов, тогда как фор-
формула A5.4) не учитывает так называемой собственной энергии
зарядов efc.
Пример 1. Энергия точечного заряда и диполя во внеш-
внешнем электрическом поле. Часто приходится рассматривать ра-
работу электрических сил при перемещениях некоторого заряда е
в заданном «внешнем» поле других зарядов, остающихся при
этом неподвижными. Взаимная энергия этих «внешних» зарядов
(а также и собственная энергия их и заряда е — см. § 16) остается
при этом неизменной; переменная же часть энергии поля, за счет
которой совершается работа электрических сил, носит название
энергии заряда е во внешнем поле. Она равна, очевидно,
W = eip, A5.7)
где (р — потенциал внешнего поля в точке, занимаемой зарядом е.
Формула A5.2) представляет собой частный случай формулы
A5.7).
Если во внешнем поле находятся два заряда, е > 0 и е' = —
—е, образующие диполь бесконечно малой длины I (см. с. 47), то
энергия этих зарядов во внешнем поле равна
W = е(р + e'ip' = е((р — <//),
где {р и tp' — потенциалы внешнего поля в полюсах диполя. Но с
точностью до величин второго порядка малости
ч, = (р' + !*?.1 = 1р> + lgrad</> = <// - IE.
dl
Стало быть,
W = -elE = -pE, A5.8)
где р — момент диполя [см. уравнение (8.9)], а Е — напряжен-
напряженность внешнего поля в месте расположения диполя. Конечно, в
этом выражении не учитывается взаимная энергия зарядов ди-
диполя, которая изменяется лишь при изменении длины диполя I.
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 79
Пример 2. Непосредственный подсчет электрической энер-
энергии заряженного конденсатора. До зарядки конденсатора каж-
каждая из его обкладок электрически нейтральна, т. е. содержит в
себе равное количество положительного и отрицательного элек-
электричества. Будем заряжать конденсатор, отнимая электричество
определенного знака от одной из его обкладок и перенося его
на другую. Практически это осуществляется, как известно, сое-
соединением пластин конденсатора проводом, в который включен
источник ЭДС, например гальванический элемент; элемент этот
перекачивает электричество из одной обкладки в другую, пока
разность потенциалов обкладок не достигнет известного значе-
значения. Пусть в некоторый момент этого процесса потенциалы об-
обкладок достигли значений (р\ и <?>2, причем </?2 > '¦Pi- Перенос сле-
следующей порции электричества de с первой обкладки на вторую
сопровождается отрицательной работой сил электрического по-
поля, равной dA = de((/>i — </>2) (см. § 8). Очевидно, что «внешние»
по отношению к полю конденсатора ЭДС элемента преодолеваю-
преодолевающие силы этого поля совершат при этом положительную работу
4 dA d( )
Воспользовавшись формулой (9.1), получаем
а л __ е de
О
где С — емкость конденсатора. Общая же работа, затраченная на
доведение заряда пластин от нуля, скажем, до е', будет, очевид-
А - f ede
е=е'
е
'с гс'
е=0
Работа эта совершается за счет уменьшения химической энер-
энергии гальванического элемента и переходит в энергию электриче-
электрического поля заряженного конденсатора. Обозначая эту последнюю
энергию через W и принимая во внимание (9.1), получим ряд
следующих выражений для W:
W = Лвнш = ^ = \ СЫ - ViJ = \ e{4>2 - Vi), A5.9)
где штрих у е нами опущен
§ 16. Энергия электрического поля
1. Выражение электрической энергии A5.6) может быть пред-
представлено в другой математической форме, причем преобразова-
преобразование это открывает возможности совершенно новой физической
интерпретации соотношений.
80 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
Чтобы подготовить это преобразование, положим в теореме
Грина E2*) ф = </э Приняв во внимание, что V<?> = grad </э = —Е
и V2cp = — 47гр, получим
[(-(р ¦ 4тгр + Е2) dV = 6 ч№ dS,
J I on
V S+S[
где поверхностный интеграл должен быть распространен, во-пер-
во-первых, по поверхности S, ограничивающей извне объем интегриро-
интегрирования V, и во-вторых, по поверхностям S[, выделяющим из этого
объема могущие лежать в нем заряженные поверхности Si, т. е.
поверхности разрыва градиента </> (ср. § 12). Что же касается по-
потенциала <р, то мы будем считать его всюду непрерывным, т. е.
отказываемся от рассмотрения двойных электрических слоев.
Как и при выводе формулы A2.6), стягиваем поверхности S[
вплоть до совпадения их с поверхностями разрыва Si; повторяя
прежние рассуждения и пользуясь обозначениями § 12, получим
(полагая щ = <^2 = ф)
lim (?<f^dS= f\U^\ +(v^) }dS =
S[ Si
§?) -(*L))dSt
9N/2 KdN/i)
Si
или ввиду A2.7)
lim <?(p??dS = 4ic fipadS.
5'-+Si У dn J ^
S[ Si
Внося это выражение в предшествующее уравнение, разделив
обе его части на 8-тг и переставив члены, получим
— [E2dV = - [pipdV + - (aVdS + — 6tp^-dS. A6.1)
birJ 1) ^ 1) * 8-кТ дп V '
V V Si S
Первые два члена правой части этого равенства аналогичны вы-
выражению A5 6) для энергии W, однако интегрирование распро-
распространено в данном случае не по всем находящимся в поле заря-
зарядам, а лишь по тем из них, которые находятся внутри объема V.
Сумма этих членов не совпадает со взаимной энергией зарядов,
находящихся внутри V, ибо потенциал зависит также и от рас-
расположения зарядов вне V
2. Предположим, однако, что интегрирование распространено
по полному полю, под этим выражением понимается, что область
интегрирования V охватывает, во-первых, все взаимодействую-
взаимодействующие заряды и, во-вторых, все поле этих зарядов
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 81
Это определение не нуждается в пояснениях, если существу-
существует замкнутая поверхность S конечных размеров, охватывающая
всю систему взаимодействующих зарядов, во всех точках кото-
которой напряженность поля Е обращается в нуль; эта поверхность
и может рассматриваться как граница полного поля Так, напри-
например, граница полного поля зарядов, заключенных в металличе-
металлической оболочке (см. рис. 14), проходит внутри этой оболочки.
Однако большей частью такой замкнутой поверхности конеч-
конечных размеров не существует, и граница полного поля отодвигает-
отодвигается в бесконечность. В этих случаях понятие полного поля должно
быть уточнено следующим образом. В каждом конкретном слу-
случае использования этого понятия нас интересуют значения ин-
интегралов вполне определенных физических величин (например,
напряженности электрического или магнитного поля, произведе-
произведения tp(dtp/dn) в формуле A6.1) и т. п ), причем объемные интег-
интегралы берутся по объему V" полного поля, а поверхностные — по
его границе S Термин «полное поле» применяется к бесконечно-
бесконечному объему V в том и только в том случае, если при предельном
переходе от конечного объема V к бесконечно большому интег-
интегралы всех интересующих нас величин по поверхности S этого
объема стремятся к нулю. Так как при этом предельном пе-
переходе площадь поверхности S растет как i?2, где R означает
расстояние поверхности S от конечного участка пространства, в
котором сосредоточены источники поля (электрические заряды
и токи), то подынтегральные выражения в интересующих нас по-
поверхностных интегралах должны при R —> оо убывать быстрее,
чем 1/R2. В этом и заключается условие применимости понятия
полного поля (если поле не ограничено замкнутой поверхностью
конечных размеров).
В дальнейшем мы для краткости будем просто говорить, что
по определению понятия полного поля интегралы по ограничи-
ограничивающей полное поле поверхности S обращаются в нуль, т. е.
могут быть отброшены, и что, стало быть, подлежат рассмотре-
рассмотрению только интегралы по объему полного поля.
3. Подынтегральное выражение в последнем члене формулы
A6.1), согласно A2.10), убывает в бесконечности не медленнее,
чем 1/i?3. Поэтому при распространении интегрирования в фор-
формуле A6.1) на полное поле этот член обратится в нуль, а сумма
первых двух членов, согласно A5.6), окажется равной полной
энергии поля W'
W = ± I pipdV +\JaipdS = i-1 E2dV.
4. Итак, электрическая энергия полного поля равна
W = — I E2dV. A6.2)
8тг J ч '
82 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1
С математической точки зрения это уравнение представля-
представляет собой лишь преобразованную форму уравнения A5.6) и ему
эквивалентно. Однако формально математическое преобразова-
преобразование уравнений, как уже указывалось, весьма часто открывает
возможность совершенно новой физической интерпретации вы-
выражаемых ими соотношений. Уравнение A6.2) выражает элек-
электрическую энергию в виде бесконечной суммы слагаемых,
каждое из которых равно A/8тг).Е2 dV и относится к определен-
определенному элементу объема dV. Поэтому в это уравнение можно вло-
вложить следующий физический смысл: носителем электрической
энергии является электрическое поле, причем энергия поля ло-
локализована в пространстве так, что в каждой единице объема
содержится количество энергии w, равное
u;=i-?2, A6.3)
где Е — напряженность электрического поля в данном элементе
объема. Величина w может быть названа объемной плотностью
электрической энергии.
Напротив, уравнения A5.4) и A5.5) могут быть формально
истолкованы в том смысле, что электрическая энергия есть энер-
энергия взаимодействия электрических зарядов и притом взаимо-
взаимодействия на расстоянии (actio in distans, дальнодействие); так,
например, уравнение A5.5) выражает общую энергию системы
зарядов в виде суммы энергий взаимодействия каждой пары.
Очевидно, что при таком истолковании устраняется возможность
локализации энергии в определенных участках пространства.
Механическая теория электромагнитных явлений вкладывала
в уравнения A6.2) и A6.3) следующее физическое содержание.
С точки зрения этой теории возбуждение электрического поля
сводится к возникновению деформаций гипотетической упругой
среды — эфира; электрический вектор Е есть мера этой деформа-
деформации, а энергия электрического поля есть не что иное, как упругая
энергия деформированного эфира. Как известно из теории упру-
упругости, в каждом элементе объема деформированного тела за-
заключается определенное количество упругой энергии, пропор-
пропорциональное квадрату величины деформации этого элемента.
Стало быть, объемная плотность упругой энергии эфира в элек-
электрическом поле должна быть пропорциональной квадрату на-
напряженности поля Е, что вполне согласуется с A6.3).
В настоящее время можно считать установленным, что подоб-
подобное механическое истолкование электрических явлений не вы-
выдерживает критики фактов 1). Но представление о локализации
1) Больше того, не только электрические силы не сводятся к упругости ги-
гипотетической среды, но, как мы теперь знаем, самые упругие свойства ма-
материальных тел объясняются электрическим взаимодействием атомов этих
тел.
§ 16 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 83
электрической энергии в пространстве с объемной плотностью w,
иными словами, представление о том, что электрическая энергия
есть энергия электрического поля, сделалось прочным достояни-
достоянием науки. Конечно, благодаря полной математической эквива-
эквивалентности уравнений A5.6) и A6.2) оба эти уравнения, а стало
быть, и оба приведенных истолкования их одинаково хорошо со-
согласуются с данными опыта. Однако эквивалентность этих урав-
уравнений имеет место лишь в постоянном электрическом поле.
Перейдя к изучению переменных электромагнитных полей и,
в частности, к изучению электромагнитных волн, мы познакомим-
познакомимся с явлениями, которые могут быть истолкованы лишь на осно-
основе допущения о локализации энергии в электромагнитном поле.
5. Обратимся теперь к вопросу о различном содержании урав-
уравнений A5.4) и A5.5), с одной стороны, и уравнений A5.6) и
.A6.2) — с другой. Что эти уравнения разнятся по своему содер-
содержанию, явствует хотя бы из того обстоятельства, что энергия W,
определяемая уравнением A6.2), не может принимать отрица-
отрицательных значений (ибо Е2 > 0), тогда как, согласно A5.5), энер-
энергия взаимодействия двух точечных зарядов e\e2JR\2 отрицатель-
отрицательна, если заряды эти разноименны. Объясняется это тем, что
в уравнениях A5.4) и A5.5) учитывается лишь взаимодействие
ряда «точечных» зарядов, но не взаимодействие отдельных эле-
элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, ес-
если мы имеем дело, например, с одним-единственным «точечным»
зарядом е\, то выражения A5.4) и A5.5) обратятся в нуль, тог-
тогда как выражения A5.6) и A6.2) будут иметь отличное от нуля
и притом положительное значение, равное так называемой соб-
собственной энергии заряда е\. В том, что эта собственная энергия
всегда положительна, можно убедиться либо непосредственно из
уравнения A6.2), либо из того обстоятельства, что, приписывая
заряду е некоторый объем, разбивая его на элементы det и вычис-
вычисляя энергию взаимодействия этих элементов, мы получим сумму
положительных выражений типа ёег dek/Rik (ибо все элементы
одного и того же заряда имеют одинаковый знак). Собственная
энергия заряда зависит, конечно, от его размеров и равна той
работе, которую совершили бы силы взаимного отталкивания
между элементами заряда, если бы эти элементы разлетелись
в стороны и удалились в бесконечность.
Рассмотрим в заключение полную (т. е. собственную и вза-
взаимную) энергию двух зарядов е\ и е2. Пусть каждый из этих
зарядов в отдельности возбуждает соответственно поле Ej и Е2,
так что результирующее поле Е обоих зарядов равно
и
Е2 /'Т71 I T7i\2 г?2 l т?2 | n/TTi T71 \
— \4il т •-J2) — *-*\ i ^2 ' ^у,*^! *^2 ) •
84 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
Полная энергия зарядов е,\ и е2, согласно A6.2), будет равна
ИЛИ
W = Wn + W22 + W12, A6.4)
где
Wu = — f E2dV и W22 = — IE\dV A6.5)
8ж J &тг J
суть собственные энергии зарядов е\ и ег, а
A6.6)
W12
есть их взаимная энергия. Из
(Ei - Е2J ^ О
следует, что
так что
Wu + W22 > W12.
Таким образом, положительная собственная энергия зарядов
всегда больше (или в крайнем случае равна) их взаимной энер-
энергии, могущей иметь как положительные, так и отрицательные
значения.
Справедливость этого положения явствует, впрочем, и непо-
непосредственно из того обстоятельства, что собственная энергия за-
заряда соответствует взаимодействию его собственных элементов,
среднее расстояние которых друг от друга меньше, чем расстоя-
расстояние их от элементов другого заряда.
При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих
их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается по-
постоянной. Поэтому при этих перемещениях члены Wu и W22
можно считать аддитивными постоянными в выражении полной
энергии W, изменение которой всецело определяется изменени-
изменением взаимной энергии зарядов W\2 • При достаточно больших рас-
расстояниях между зарядами выражение A6.6) для Wu сводится,
очевидно, к выражению A5.2) (см. задачу 15 в конце параграфа).
6. Чрезвычайно важно отметить, что энергия электрического
поля не обладает свойством аддитивности, т. е. что энергия
поля Е, являющегося суммой полей Ei и Ег, вообще говоря, не
равна сумме энергий слагаемых полей (если только W\2 не равно
нулю). В частности, при возрастании напряженности поля в п
раз энергия поля возрастает в п2 раз.
Пример. Полная электрическая энергия системы заря-
заряженных проводников. Пусть в поле расположено п проводников;
§ 17 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 85
обозначим соответственно через St, <pt и ег поверхность, потенци-
потенциал и общий заряд i-ro проводника. Приняв во внимание, что все
заряды проводников расположены на их поверхности, так что
р = 0, и что потенциал каждого проводника постоянен на всем
его протяжении, получим из A5.6)
1=1 S, »=1 S,
Интеграл ст по поверхности проводника равен его общему за-
заряду ег, поэтому п
W = -Y^el<pl. A6.7)
1=1
Эту формулу, выражающую полную энергию заряженных
проводников, не нужно смешивать с вполне аналогичной форму-
формулой A5.4), выражающей взаимную энергию точечных зарядов;
в последней формуле в отличие от A6.7) ц>х не является полным
потенциалом поля в месте нахождения заряда ег (см. § 15). За-
Заметим, что выражение A5.9) для энергии конденсатора является
частным случаем формулы A6.7)г).
Задача 14. Показать, что (собственная) электрическая
энергия заряженного шара радиуса о равна
е2
~~ Та
если заряд е распределен по поверхности шара (проводник), и
равна 2
~ ИГ'
если заряд равномерно распределен по всему объему шара.
Задача 15. Показать, что если расстояние между заряда-
зарядами е\ и в2 достаточно велико по сравнению с их размерами (то-
(точечные заряды), то выражение A6.6) взаимной энергии W\2 этих
зарядов сводится к выражениям A5.2) и A5.3).
§ 17. Пондеромоторные силы
1. По данному в § 2 определению, основная величина, харак-
характеризующая электрическое поле, — его напряженность Е —рав-
—равна рассчитанной на единицу заряда пондеромоторной (механиче-
) Предлагаем читателю в качестве упражнения непосредственным вычис-
вычислением убедиться на конкретных примерах плоского, цилиндрического и
шарового конденсаторов в тождестве значений энергии, получаемых по фор-
формуле A5.9), с одной стороны, и по формуле A6 2) —с другой.
86 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
ской) силе, действующей в данной точке поля на пробный заряд
(заряженное тело). При этом нужно, конечно, иметь в виду, что
сила, действующая на какой-либо заряд, определяется, очевид-
очевидно, напряженностью того поля, в которое помещен этот заряд,
а не того поля, которое возбуждается им самим. Следовательно,
говоря, например, что сила, действующая на точечный заряд е,
равна
F = eE A7.1)
[ср. уравнение B.2)], мы должны понимать под Е напряженность
поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого за-
заряда е.
2. Вопрос о силе, действующей на поверхностные заряды,
требует специального исследования, ибо напряженность поля Е
имеет по обе стороны заряженной поверхности различные значе-
значения [уравнение D.3)], и, стало быть, на самой поверхности оста-
остается неопределенной.
В случае одного-единственного уединенного проводника все
электрические силы сводятся ко взаимному отталкиванию эле-
элементов заряда этого проводника. Ввиду того, что взаимно от-
отталкивающиеся элементы заряда не могут покинуть проводника,
к поверхности проводника будут приложены пондеромоторные
силы, стремящиеся ее растянуть *). Подобного же рода силы бу-
будут, очевидно, приложены и к поверхности неуединенного про-
проводника, помещенного в произвольное электростатическое поле.
Чтобы определить эти силы, рассмотрим некоторый элемент dS
поверхности проводника. Напряженность поля с внешней сторо-
стороны элемента dS, согласно G.8), равна
Е = 4я"стп
(ст — плотность его заряда), и направлена нормально к его по-
поверхности; внутри же проводника Е = 0.
Однако Е есть напряженность результирующего поля всех
имеющихся зарядов, в том числе и заряда самого элемента dS:
Е = Е' + Е",
где Е' — поле элемента dS, a E" — поле остальных зарядов. В
двух смежных точках, лежащих по разные стороны элемента dS,
поле Е" этих зарядов будет, очевидно, одинаковым, поле же Е
будет иметь одинаковое значение Е', но различное направление
(рис. 22). Стало быть, с внешней стороны элемента dS Е = Е' +
+ Е" = 4по, а с внутренней Е = Е' - Е" = 0, откуда
Е' = Е" == 2тгст.
1) Если сообщить электрический заряд мыльному пузырю, то под влияни-
влиянием этих сил отталкивания пузырь будет расширяться до тех пор, пока они
не уравновесятся силами поверхностного натяжения и разницей давлений
воздуха внутри и вне пузыря.
§ 17 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ 87
Сила; испытываемая зарядом a dS элемента dS, определяется
полем Е зарядов, лежащих вне этого элемента, и, стало быть,
равна
Е"а dS = 2тгст2 dS = - Еа dS.
2
Таким образом, на единицу
поверхности проводника действует
пондеромоторная сила /:
f = 2na2=1-Ea=±- E\ A7.2)
направленная, как легко убедиться,
по внешней нормали к этой поверх-
поверхности. Величину / можно, очевид-
очевидно, назвать поверхностной плотно- Рис. 22
стъю пондеромотпорных сил.
3. Рассмотрим для полноты случай объемного распределения
заряда с плотностью р, хотя в электростатическом поле в отсут-
отсутствие диэлектриков этот случай практически неосуществим1).
Если электрический заряд неразрывно связан с элементом dV
объема некоторого тела так, что перемещение заряда pdV воз-
возможно лишь при соответствующем перемещении элемента тела
dV и наоборот, то на каждый элемент этого тела будет действо-
действовать сила
F = ?dV = EpdV, A7.3)
где Е — напряженность поля в элементе dV. Вычитать из полного
поля Е поле заряда самого элемента dV в этом случае не нужно,
ибо напряженность поля бесконечно малого объемного заряда
р dV бесконечно мала даже внутри самого заряда и стремится к
нулю при беспредельном уменьшении его размеров. Проще всего
убедиться в этом, приняв для простоты, что элемент dV имеет
форму шара, так что поле его определяется формулой D.8).
Из A7.3) следует, что объемная плотность пондеромоторных
сил равна2)
f = pE. A7.4)
Пример. Силы, действующие на диполь.
Пусть Е и Е' — напряженности внешнего (по отношению к
диполю) поля в точках Р и Р', занимаемых соответственно его
1) За исключением неоднородных проводников, внутри которых действуют
сторонние электродвижущие силы (§ 38); на этом случае мы останавливаться
не будем.
2) В дальнейшем плотность сил мы будем всегда обозначать через малое f,
сохраняя F прописное для обозначения сил, действующих на отдельный за-
заряд, диполь, проводник и т. д.
88 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
отрицательным и положительным зарядами (рис. 23). Тогда рав-
равнодействующая F сил поля, приложенных к этим зарядам, будет
равна
F = еЕ' - еЕ = е(Е' - Е).
Разность Е' — Е есть приращение вектора Е на отрезке РР',
равном длине диполя 1. Ввиду малости этого отрезка приращение
это может быть выражено, соглас-
*еЕ' но E1*), формулой
Е' - Е = J — = IV • Е,
al
откуда
F = elV • Е = pV ¦ Е. A7.5)
Таким образом, сила F, действую-
действующая в электрическом поле на ди-
диполь, зависит от быстроты изме-
изменения этого поля в направлении оси диполя; в однородном же
поле силы, действующие на полюсы диполя, равны по величине
и противоположны по направлению и, стало быть, взаимно урав-
уравновешиваются.
Помимо равнодействующей F для полного определения сил,
действующих на диполь, необходимо определить момент N этих
сил относительно центра диполя. Момент их относительно точ-
точки Р, в которой находится заряд —е, равен, очевидно,
В пределе при достаточной малости 1 точка Р совпадает с
центром диполя, а Е' совпадает с Е, так что окончательно
N = [рЕ]. A7.6)
Из этого выражения следует, что диполь стремится повер-
повернуться в электрическом поле так, чтобы его момент р был парал-
параллелен полю. При р, направленном против Е, вращающий момент
также равен нулю, но это равновесие неустойчиво.
§ 18. Определение пондеромоторных сил
из выражения энергии
1. Перемещение тел в электрическом поле сопровождается,
вообще говоря, как изменением энергии W этого поля, так и ра-
работой А пондеромоторных сил поля. Если при этом не проис-
происходит преобразования других форм энергии (тепловой, химиче-
химической и т. д ), то работа пондеромоторных сил должна, очевидно,
совершаться за счет изменения SW энергии поля, так что
А = -6W. A8.1)
§ 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ 89
Исходя из этого соотношения, мы определили в § 15 энергию
поля W A5.1); обратно, зная W, мы на основании A8.1) можем
определить работу А, а стало быть, и совершающие эту работу
пондеромоторные силы.
Действительно, формула A8.1) показывает, что энергия элек-
электрического поля W играет роль потенциальной энергии в смы-
смысле аналитической механики, методами которой мы и можем вос-
воспользоваться. Пусть энергия W в самом общем случае выражена
в зависимости от каких-либо «обобщенных координат» qt, харак-
характеризующих распределение зарядов, проводников и т. п. Тогда
b и ^ =
где 0г, по терминологии аналитической механики, суть «обоб-
«обобщенные силы», действующие «по направлению» координат qt.
Отсюда на основании A8.1) при условии независимости коорди-
координат qt следует, что
* = -?. (МЛ)
Весьма часто определение пондеромоторных сил на основании
этой формулы оказывается несравненно более простым, чем не-
непосредственное определение их по формулам § 17 путем интег-
интегрирования по отдельным элементам зарядов.
2. В качестве простейшего примера определим этим спосо-
способом силы взаимного притяжения пластин плоского конденсато-
конденсатора. Энергия этого конденсатора равна [см. уравнение A5.9) и
результаты решения задачи 8, с. 52]:
W ^ <? = 2тге2Л
1С S
При раздвигании пластин, т. е. при увеличении расстояния d
между ними, полем совершается работа
А =-6W = ~^f 6d.
С другой стороны, если / есть сила притяжения, испытывае-
испытываемая единицей поверхности пластины конденсатора, a F — общая
сила, действующая на всю поверхность пластины S, то
A = -F-Sd = -fS ¦ Sd.
Приравнивая полученные выражения, найдем
где а — e/S — плотность заряда на поверхности пластин, что
вполне согласуется с A7.2).
90 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
К тому же результату можно прийти и непосредственно из
A8.3), полагая в этой формуле q — d и в = F.
3. Выше мы неявным образом предполагали, что при смеще-
смещении пластин конденсатора заряд их е остается постоянным. Мы
получили бы совершенно иное значение 5W, предположив, что
не заряд, а разность потенциалов пластин конденсатора <р2 ~ <Р1
остается постоянной при их смещении. Объясняется это тем, что
разность потенциалов обкладок конденсатора может оставаться
неизменной при перемещениях этих обкладок (изменения емко-
емкости) лишь в том случае, если эта разность потенциалов под-
поддерживается неизменной некоторыми сторонними ЭДС неэлек-
неэлектростатического происхождения (см. § 38), совершающими при
изменении С некоторую добавочную работу. (Это имеет, напри-
например, место при присоединении обкладок конденсатора к полюсам
гальванического элемента.) При этом формула A8.1), очевидно,
перестает быть применимой.
На основании A5.9) и (9.1) для конденсатора любой формы имеем:
при е = const
При ф2 — Ifl = COnSt
5VW = &{^C{^2 - fiJ} = i(?>2 - ?>iJ<5C,
5VW = -SeW = A. A8.4)
Таким образом, сопровождающие перемещение обкладок конденсатора
изменения его электрической энергии при е = const и при <р2 — (pi — const
равны по величине, но противоположны по знаку. С другой стороны, ввиду
соотношения
изменение емкости С при постоянном у>2 — pi должно сопровождаться из-
изменением заряда конденсатора е
5е = (if2 — tpiMC,
т. е. перенесением заряда бе с одной из обкладок конденсатора на другую.
При прохождении этого заряда бе через включенный между обкладками
конденсатора гальванический элемент химическая энергия этого элемента,
как мы увидим в гл. III, уменьшается, а ЭДС элемента & совершает работу
P-S-Ъг.
В разомкнутой цепи, состоящей из элемента и конденсатора,
$ = f2 — <{>\
и, стало быть,
Р = (ф2 — 9?i) *е = (<?2 - ?>iJ <5C,
или ввиду A8.4):
P = 25VW = A + 5VW. A8.5)
Таким образом, при <рг — «pi = const работа А пондеромоторных сил по-
поля совершается не за счет энергии поля W, а за счет химической энергии
§ 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ 91
гальванического элемента (или энергии другого источника сторонней ЭДС).
В частности, положительная работа сил поля А сопровождается прира-
приращением электрической энергии W, происходящим также за счет энергии
гальванического элемента.
Таким образом, формула A8.1) справедлива лишь при усло-
условии, что перемещение тел в электрическом поле не сопровожда-
сопровождается работой сторонних ЭДС неэлектростатического происхож-
происхождения. Кроме того, условием применимости формулы A8.1)
является, очевидно, достаточная медленность перемещения
тел, а именно столь малая скорость перемещения, чтобы в каж-
каждый данный момент процесса электрическое состояние системы
могло быть описано уравнениями электростатики (т. е. бесконеч-
бесконечно мало отличалось от равновесного).
Пример. Определить силы, действующие на твердый ди-
диполь, исходя из его энергии во внешнем поле. Энергия диполя
во внешнем поле, согласно A5.8), равна
W = -рЕ = -рЕ cos <&
и является функцией: а) координат центра диполя х, у, z и
б) угла $ между осью диполя и заданным направлением элек-
электрического поля Е (числовое значение момента диполя счита-
считаем неизменным: «твердый» диполь). Согласно известным поло-
положениям аналитической механики «обобщенные силы», соответ-
соответствующие этим обобщенным координатам, представляют собой
не что иное, как
а) равнодействующую приложенных к диполю сил:
Fx= Fy = Fz = -dJ; A8.6)
дх " ду dz
б) момент приложенных к диполю сил:
N = -?, (UW)
стремящийся увеличить угол •&.
Из A5.8) и A8.6) следует, что
F = -VW = V(pE). A8.8)
Это выражение в случае электростатического поля, кото-
которым мы здесь только и ограничимся, лишь по своей форме от-
отличается от ранее выведенного выражения A7.5):
F = pV • Е.
Действительно, для всякого постоянного (не зависящего от коор-
координат х, у, z) вектора р имеет место соотношение
[protE]. A8.9)
92
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ
Чтобы доказать это соотношение, достаточно рассмотреть
слагающую вектора V(pE) — pV • Е хотя бы по оси х:
_ (дЕу_ _ дЕЛ (дЕ^ _ дЕ?\ _
= ру rot* E -pz roty E = [р rot E]x.
В интересующем нас случае электростатического поля вектор
Е = — grad tp, и поэтому его ротор, как ротор всякого градиента
скаляра, равен нулю: rotE = 0 [уравнение G.6)].
Таким образом, в электростатическом поле действительно
Е
Е A8.10)
р и формула A8.8) эквивалентна формуле
' A7.5).
Обращаясь к моменту сил, приложен-
приложенных к диполю, получаем из A5.8) и A8.7):
N =
dW
Ввиду того, что ¦д ^ 7Г, правая часть
этого выражения отрицательна, и, стало
Рис. 24 быть, согласно смыслу формулы A8.7), мо-
момент N стремится уменьшить угол •& меж-
между р и Е (рис. 24). Следовательно, по величине и направлению
вектор момента сил определяется формулой
N = [PE], A8.11)
совпадающей с ранее выведенной нами формулой A7.6).
§ 19. Неустойчивость электрических систем. Связи
1. Для электрической теории строения материи чрезвычай-
чрезвычайную важность представляет вопрос о возможности устойчивых
конфигураций электрических зарядов. Если материя состоит из
электрических зарядов — электронов и протонов, то возникает
вопрос, может ли система таких зарядов находиться в устойчи-
устойчивом статическом равновесии или же в атомах и молекулах всех
тел заряды эти должны находиться в состоянии непрерывного
движения!
§ 19 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ. СВЯЗИ 93
Для наших целей достаточно будет доказать неустойчивость
статической системы точечных зарядов, хотя соответствующие
положения применимы и к зарядам объемным 1).
Как указывалось в § 18, электрическая энергия W системы
зарядов играет роль потенциальной энергии этой системы. С
другой стороны, на основании общих положений механики усло-
условием устойчивого равновесия является минимум потенциаль-
потенциальной энергии: стало быть, в данном случае минимум электриче-
электрической энергии W. Энергия системы точечных зарядов, согласно
A5.5), равна
wy {i^k)
i, к
и является функцией координат Xi, yi, z, всех зарядов системы
ej, так как
Для того чтобы при соответствующих значениях координат а^,
Уг, Zi функция W обладала минимумом, необходимо, во-первых,
чтобы первые производные W по всем координатам всех заря-
зарядов обращались в нуль и, во-вторых, чтобы вторые производные
от W по координатам х^, у^, z^ были положительны 2):
Но
где V/j означает дифференциальный оператор, соответствующий
пространственному дифференцированию по координатам х^, y/j,
Zh заряда eh:
дуй ozh
Очевидно, что при h ф г и h ф к
1) Для того чтобы объяснить устойчивость самих электронов и протонов,
долгое время допускалось существование сил неэлектрического происхожде-
происхождения, препятствующих разлетанию элементов этих зарядов под влиянием вза-
взаимного отталкивания. Развитие квантовой теории привело к новой форму-
формулировке проблемы элементарных частиц, в которой вопрос об устойчивости
этих частиц ставится совсем по-иному.
2) Условия, которым должны удовлетворять производные типа
d2WIdxidxk и д2\?/дхгдуг, нас здесь не интересуют.
94 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ. 1
если h = i либо h = к, то это соотношение все же остается справед-
справедливым ввиду A1.10). А раз так, то
VhW dxl + ду\ + dz*
Таким образом, требование, чтобы все вторые производ-
производные W по координатам были положительными, невыполнимо;
энергия W не может обладать минимумом и, стало быть, устой-
устойчивая статическая конфигурация электрических зарядов невоз-
невозможна. Это положение носит название теоремы Ирншоу 1).
Физический смысл этой теоремы станет ясным, если мы
вспомним, что разноименные заряды притягиваются с возрас-
возрастающей силой вплоть до совпадения друг с другом, т. е. вплоть
до взаимной нейтрализации или уничтожения, одноименные же
отталкиваются вплоть до удаления в бесконечность.
В виде иллюстрации теоремы Ирншоу рассмотрим простей-
простейший пример. Система трех зарядов
ei = —4е, 62 = е, ез = —4е,
как легко убедиться, будет находиться в статическом равновесии,
если заряды расположены на одной прямой в указанном порядке
и если расстояние между е\ и ег равно расстоянию между б2 и ез.
Однако при малейшем сдвиге, например, заряда е\ в сторону в2
испытываемое им со стороны ei притяжение возрастает больше,
чем отталкивание со стороны ез, и, таким образом, действующие
на е\ (и на остальные заряды) силы уже не будут уравновеши-
уравновешиваться, заряды е\ и в2 притянутся друг к другу, а ез отлетит в
сторону, в бесконечность.
2. Можно считать установленным экспериментально, что рас-
расстояние между частицами электричества (электронами и положи-
положительными ядрами) 2), входящими в состав атомов материальных
тел, весьма велико (порядка 10~8 см) по сравнению с размерами
самих частиц (не свыше 102 см). Поэтому каждый атом мож-
можно считать системой точечных зарядов, к которой применима
1) Возможность минимума функции W при конфигурации зарядов, при
которой все гаA8п2 +9п+ П)/2 производных W первого, второго и третье-
третьего порядков по всем Зп координатам (где п — число зарядов) обращаются в
нуль, а производные четвертого порядка положительны, соответствовала бы
наложению на функцию Зп переменных по крайней мере пA8п2 + 9п+11)/2
условий. Так как число условий превышает число переменных, то возмож-
возможность эта неосуществима. Отметим также, что приведенное доказательство
теоремы Ирншоу предполагает, что все расстояния R,k между любой парой
зарядов остаются конечными.
2)В сущности, ядра атомов (за исключением ядра водорода) состоят в
свою очередь из нескольких протонов и нейтронов; однако ввиду малости
размеров этих ядер (не свыше 102 см) каждое такое сложное ядро в целом
можно рассматривать как одну электрическую частицу.
§ 19 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ СВЯЗИ 95
приведенная формулировка теоремы Ирншоу. Так как, с дру-
другой стороны, атомы химических элементов представляют собой,
несомненно, устойчивые системы, то, следовательно, построение
материи из электрических частиц в пределах электростати-
электростатики невозможно, и атом должен представлять собой динамиче-
динамическую систему 1). Соответствующее этому выводу представление
об устойчивом периодическом (или квазипериодическом) движе-
движении электрических частиц в недрах атомов лежит в основе совре-
современной теории материи и находит себе подтверждение в целом
ряде физических явлений. Правда, представление это приводит
в пределах классической физики к внутренним противоречиям,
ибо ускоренное движение электрических зарядов, согласно зако-
законам электродинамики, неразрывно связано с излучением элек-
электромагнитной энергии (волн), т. е. не может быть устойчивым.
Однако это противоречие повело не к отказу от динамической
модели атома, а к отказу от классической механики и электро-
электродинамики в пользу устраняющей это противоречие квантовой
механики.
3. Обратимся к макроскопической теории электростатических
явлений, составляющей основной предмет изложения настоящей
главы. Согласно теореме Ирншоу, чисто электростатические си-
системы не могут быть устойчивыми.
Чтобы избежать, однако, рассмотрения скрытого движения
элементарных зарядов, макроскопическая электростатическая
теория пользуется формальным представлением о добавочных
силах или связях неэлектростатического происхождения, обес-
обеспечивающих требуемую устойчивость заряженных систем.
В этом отношении существует полная аналогия электростати-
электростатики с механикой, широко пользующейся представлениями о связях,
осуществляемых с помощью опор, закрепленных осей, нерастя-
нерастяжимых нитей и т. д. Конечно, подобно тому как при дальнейшем
изложении механики раскрывается физический механизм свя-
связей (силы упругости), так и перед дальнейшим развитием тео-
теории электричества встает задача раскрыть физический смысл
формально введенных сил связи неэлектростатического проис-
происхождения.
В пределах электростатики достаточно близкое первое при-
приближение к действительности может быть достигнуто введением
в рассмотрение двух основных родов связей, соответствующих,
во-первых, идеальным проводникам и, во-вторых, идеальным ди-
диэлектрикам. Что касается проводников, то, явно не упоминая
1) Доказательство теоремы Ирншоу основывается, в сущности, лишь на
обратной пропорциональности квадрату расстояния сил взаимодействия
между точками системы, так что эта теорема применима и к материальным
точкам, тяготеющим по закону Ньютона (Солнечная система). Устойчивость
Солнечной системы также обеспечивается лишь движением планет.
96 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НЕПОДВИЖНЫХ ЗАРЯДОВ ГЛ I
об этом, мы фактически пользовались везде выше допущени-
допущением, что на поверхности проводников существуют некоторые силы
неэлектростатического происхождения, препятствующие выходу
зарядов за поверхность проводника. Действительно, только эти
силы обеспечивают устойчивость системы заряженных провод-
проводников; в противном случае наличие, например, уединенного за-
заряженного проводника было бы невозможным, — элементы его
заряда под влиянием взаимного отталкивания разлетелись бы в
стороны и удалились в бесконечность. Пользуясь терминологией
механики, мы можем назвать эти сдерживающие силы реакци-
реакциями связей. Они должны быть, очевидно, равны по величине и
противоположны по направлению пондеромоторным силам, дей-
действующим на поверхность проводника, плотность которых, со-
согласно A7.2), равна —Е2.
Свойствам диэлектриков будет посвящена следующая глава.
О связях в диэлектриках см., в частности, § 27.
ГЛАВА II
ДИЭЛЕКТРИКИ
§ 20. Диэлектрики. Электрический момент и потенциал
нейтральной молекулы. Поляризация диэлектрика
1. Диэлектрики — непроводники электричества1); в них в
отличие от металлов и электролитов нет зарядов, могущих пере-
перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.
Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все
газообразные и жидкие диэлектрики и часть твердых), либо из
заряженных ионов, закрепленных в определенных положениях
равновесия (например в узлах кристаллической решетки). Ион-
Ионные кристаллические решетки могут быть разбиты на так на-
называемые элементарные ячейки, каждая из которых содержит
равное количество положительных и отрицательных зарядов и
в целом нейтральна. В дальнейшем в ряде случаев для опреде-
определенности мы будем предполагать, что диэлектрик построен из
нейтральных молекул; однако основные положения излагаемой
теории применимы и к ионным кристаллическим и аморфным
диэлектрикам, причем только под молекулой надо в этих случа-
случаях понимать, например, элементарную ячейку кристалла.
Под воздействием внешнего электрического поля2) заряды,
входящие в состав диэлектрика, не срываются полем со своих
мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в
некоторые новые равновесные положения.
Равнодействующая электрических сил, действующих на ней-
нейтральную молекулу в однородном (Е = const) электрическом
поле, очевидно, равна нулю; поэтому центр тяжести молекулы
диэлектрика в однородном поле остается неподвижным. Одна-
Однако электрические частицы противоположных знаков, входящие
в состав молекул диэлектрика, должны под воздействием сил по-
поля смещаться в противоположные стороны — молекула дефор-
деформируется. Поэтому, чтобы определить воздействие поля на ди-
1) В сущности все диэлектрики обладают некоторой, хотя и весьма малой,
проводимостью, так что понятие идеального непроводника является лишь
первым приближением к действительности
2) Если только напряженность его не слишком велика (иначе может, на-
например, произойти пробой диэлектрика).
4 И. Е. Тамм
98 ДИЭЛЕКТРИКИ
электрик, нужно прежде всего найти удобную количественную
характеристику распределения зарядов в нейтральной молекуле.
2. Такой характеристикой любой, в целом нейтральной, си-
системы зарядов может служить вектор электрического момента
этой системы р, определяемый равенством
К„ B0.1)
где суммирование распространено по всем элементарным заря-
зарядам (электронам и ядрам), входящим в состав системы, a Rj есть
радиус-вектор, проведенный к заряду ег из некоторой произволь-
произвольной начальной точки О. При этом предполагается, что система
зарядов электрически нейтральна, т. е. что
0, B0.2)
ибо лишь при этом условии вектор р однозначно определяется рас-
распределением зарядов и не зависит от выбора начальной точки О.
Действительно, если переместить начало отсчета из О в О'
на произвольный отрезок а (рис. 25), то новый радиус-вектор И'г
заряда ег определится разностью И[ = R, ~ а и, следовательно,
вместо B0.1) получим
что при условии B0.2) совпадает с B0.1).
В случае, если система состоит из двух равных и противопо-
противоположных зарядов ±е (рис. 26), радиусы-векторы которых равны
R+ и R_, момент системы равен, очевидно,
р = 5^ вгКг = e(R+ - R_) = el,
г
где 1 = R+ — R- есть вектор, проведенный от отрицательного
заряда к положительному. Таким образом, в этом частном слу-
случае из B0.1) вытекает известное уже нам из (8.9) определение
момента диполя.
3. Важность понятия электрического момента системы заря-
зарядов обусловливается тем, что потенциал ip поля, возбуждаемого
произвольной, в целом нейтральной системой зарядов момента
р на расстояниях, больших по сравнению с размерами этой си-
системы, совпадает с потенциалом диполя того же момента р.
Действительно, потенциал системы зарядов ег в произволь-
произвольной точке поля Р равен
e,
§20
ДИЭЛЕКТРИКИ
99
где RJ — расстояние этой точки Р от заряда ег. Выберем в обла-
области расположения зарядов ег произвольную точку О, которую
будем условно называть центром системы, и пусть Ro и Rj суть,
Рис. 26
соответственно, расстояния рассматриваемой точки Р и заряда
ег от центра О, так что (рис. 27)
Далее,
1 = 1 ( 2R0R, R't2\ I / R0R, \
Если Л,<сЛо, то, ограничившись первыми двумя членами раз-
разложения 1), получаем
1 v^ i ^о
V= -
или, ввиду B0.1) и B0.2):
что совпадает с потенциалом поля диполя момента р [уравнение
(8.10)].
4. В первом приближении не только поле, возбуждаемое в
целом нейтральной системой зарядов, совпадает с полем экви-
эквивалентного диполя, но и силы, действующие в электрическом
г) Последующие члены разложения убывают обратно пропорционально
До, Ro и т. д., величина их характеризуется так называемыми квадруполь-
ным, октупольным и т. д. моментами системы зарядов, аналогичными в из-
известном отношении ее дипольному моменту р. Пренебрегая для упрощения
этими членами, мы, стало быть, будем считать, что в случае, если р = 0,
поле в целом нейтральной системы зарядов на больших расстояниях от нее
равно нулю, хотя это, конечно, и не совсем точно
4*
100 ДИЭЛЕКТРИКИ IЛ II
поле на эту систему и на эквивалентный ей диполь, равны между
собой.
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что потенци-
потенциальная энергия нейтральной системы зарядов во внешнем элек-
электрическом поле совпадает с энергией эквивалентного диполя, ибо
выражением энергии однозначно определяются пондеромотор-
ные силы (см. § 18).
Энергия системы зарядов во внешнем поле равна
где tpt — потенциал внешнего поля в месте нахождения заряда ег.
Если потенциал внешнего поля в «центре» системы О равен щ,
то с точностью до величин второго порядка потенциал в точке R^
<Л = <Ро + R-i grad <p = ipo - ER,
и, стало быть,
W = <
или, согласно B0.1) и B0.2),
W = -Е ^ e,R* = -pE, B0.5)
что, как и требовалось доказать, совпадает с выражением для
энергии диполя A5.8).
5. Итак, в первом приближении любая, в целом нейтральная
система зарядов, электрический момент которой равен р, эк-
эквивалентна диполю того же момента р как в активном, так
и в пассивном отношении (т. е. как в отношении возбуждаемого
ею поля, так и в отношении испытываемых ею сил).
Пользуясь этим, мы в дальнейшем часто будем заменять рас-
рассмотрение совокупности реальных, вообще говоря, очень слож-
сложных, молекул диэлектрика рассмотрением эквивалентных им ди-
диполей.
6. Электрическим моментом может быть охарактеризовано
не только электрическое состояние отдельной молекулы, но и со-
состояние макроскопического объема диэлектрика, состоящего из
многих молекул. Поляризацией диэлектрика Р называется элек-
электрический момент единицы объема диэлектрика:
где суммирование распространено по всем зарядам (электронам
и атомным ядрам), находящимся в единице объема диэлектрика.
Если диэлектрик состоит из нейтральных молекул, то это
суммирование может быть выполнено в два приема: сначала сум-
суммирование по зарядам, входящим в состав отдельных молекул
§ 21 СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ 101
диэлектрика, что дает момент р каждой молекулы х), а затем
суммирование по всем молекулам, находящимся в единице объ-
объема. Таким образом, формулу B0.6) можем записать и так:
Р=5>- B0.7)
Иными словами, поляризация диэлектрика равна векторной сум-
сумме электрических моментов молекул, находящихся в единице
объема диэлектрика.
Формулу B0.7) можно применить и к ионному кристалличе-
кристаллическому диэлектрику, понимая под р в этом случае момент отдель-
отдельных элементарных ячеек кристалла. Хотя разбиение кристалла
на элементарные ячейки и не однозначно, результат Р суммиро-
суммирования моментов отдельных ячеек от этого произвола не зависит
и имеет вполне определенное значение.
Наконец, если поляризация диэлектрика неравномерна, то по-
поляризацию Р в данной точке нужно, очевидно, определять как
отношение электрического момента элемента объема диэлектри-
диэлектрика к элементу объема dV (при достаточно малом dF, см. § 25).
Иными словами,
PdF = ^ei-Rt = ^p, B0.8)
dV dV
где суммирование распространено по зарядам (или соответствен-
соответственно по всем молекулам), находящимся в элементе dV.
§ 21. Свободные и связанные заряды. Потенциал
электрического поля при наличии диэлектриков.
Зависимость поляризации от поля
1. При рассмотрении электростатического поля, в случае на-
наличия в нем диэлектриков, нужно различать два рода электриче-
электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными зарядами
мы будем понимать, во-первых, все электрические заряды, кото-
которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на
макроскопические расстояния (электроны в металлах и вакууме,
ионы в газах и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, на-
нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их
нейтральность 2). Заряды же, входящие в состав нейтральных
^Напомним, что входящие в B0.1) радиусы-векторы R, зарядов ней-
нейтральной молекулы могут быть проведены из произвольной начальной
точки.
2) Сюда же относятся, например, заряды внутриионной решетки твердых
диэлектриков, образовавшиеся благодаря недостатку в данном участке ди-
диэлектрика ионов определенного знака, так что этот участок в целом уже не
нейтрален
102 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твер-
твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия,
мы будем называть зарядами связанными.
Потенциал <р электростатического поля при наличии в нем
диэлектриков равен, очевидно, сумме потенциала <ро, возбуждае-
возбуждаемого свободными зарядами, и потенциала </?', возбуждаемого свя-
связанными электрическими зарядами в диэлектриках:
Ч> = Щ + <р'.
Потенциал свободных зарядов определяется формулой A2.11):
С pdV , CadS
<P0 = J-r+J-T
где под р и а надо понимать объемную и поверхностную плот-
плотность свободных зарядов.
Потенциал же if поля связанных зарядов однозначно опре-
определяется поляризацией диэлектриков.
Действительно, рассмотрим в целом нейтральный элемент
объема dV диэлектрика. Электрический момент этого элемента,
согласно B0.8), равен PdF, и поэтому потенциал зарядов ди-
диэлектрика, заключенных в элементе объема dV, согласно B0.4),
PR
равен dV, где R есть расстояние рассматриваемой точки по-
поля от dV. Наконец, потенциал <р' всех элементов поляризованного
диэлектрика, т. е. всех связанных зарядов, определится, очевид-
очевидно, интегралом
который можно распространить на все бесконечное простран-
пространство, ибо в тех точках, где диэлектрик отсутствует, Р = 0 и
подынтегральное выражение обращается в нуль. Таким образом,
результирующий потенциал <р электростатического поля при на-
наличии диэлектриков выразится уравнением
V. B1.1)
2. Целесообразно несколько преобразовать это уравнение. Со-
Согласно формулам векторного анализа A0*) и D3^)
— = PgracL (-) = div, (-) - ~ divP,
где индекс q означает, что при дифференцировании радиус-век-
радиус-вектор R рассматривается как функция положения его начальной
точки, совпадающей в данном случае с dV. Так как вектор Р
является функцией положения только этой «точки истока», то
индекс q при divP нами опущен как излишний. Итак,
§ 21 СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ 103
или, согласно теореме Гаусса A7*) *) ,
S+S[
где последний интеграл должен быть распространен по внешней
поверхности 5" рассматриваемого объема V и по поверхностям
S[, выделяющим из объема интегрирования поверхности S\ раз-
разрыва вектора Р. Если мы будем рассматривать полное поле, то
интеграл по 5" обратится в нуль, интеграл же по поверхностям
S[ при стягивании их к Si сведется, как обычно [ср., например,
вывод уравнения A2.6)], к
I
¦Pin —
-^dS.
R
Si
Вводя, наконец (пока чисто формальным образом), обозна-
обозначения
- divP = рсвзн, -(Ргп - Pin) = ^свзн B1.2)
и внося в B1.1) выражение для щ, получим окончательно:
^-dS= [
R J
dV+fdS [ +f ^
R J R J R J R
B1.3)
Таким образом, электрическое поле при наличии диэлектри-
диэлектриков совпадает с полем, которое возбуждалось бы в отсутствие
диэлектриков теми же свободными зарядами при добавлении
к ним зарядов рСвзн и сгСВЗн, определяемых уравнениями B1.2).
Ясно, что величины рСВзн и сгсвзн представляют собой не что
иное, как среднюю плотность «связанных» зарядов диэлектрика.
В § 26 мы установим справедливость этого утверждения путем
непосредственного вычисления
Заметим, что в равномерно поляризованном диэлектрике
(Р = const) плотность (средняя) связанных зарядов, согласно
B1.2), равна нулю. Это и понятно, ибо ввиду одинаковости физи-
физического состояния смежных участков диэлектрика в этом случае
нигде не может произойти накопления зарядов одного знака. На
границе же поляризованного диэлектрика и вакуума или металла,
'/При выводе теоремы Гаусса A7*) вектор а считается функцией поло-
положения элемента объема интегрирования dV (или элемента поверхностного
интегрирования dS) Формула эта непосредственно применима к нашему ин-
интегралу, ибо в его подынтегральное выражение входит Vq(l/R) При вычис-
вычислении Vq(l/R) радиус-вектор R рассматривается как функция положения
его «точки истока», совпадающей в данном случае с dV. Если бы в под-
подлежащий преобразованию интеграл входил градиент Va(l/i?), то формулу
Гаусса можно было бы применить лишь по предварительной замене Va A/Д)
на -У,A/Я).
104 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ И
согласно B1.2), сосредоточивается поверхностный связанный за-
заряд плотности
О Zfe-fyi
(ибо как в вакууме, так и в металле Р = 0).
3. Сравнивая B1.3) с A2.11) и A1.3), очевидно, получим
Приняв во внимание соотношения
E = -Vy>, divE = -VV B1.4)
а также уравнение B1.2), мы можем переписать это равенство
следующим образом:
div E = 4тгр — 4тг div P
или
div (E + 4тгР) = 4тгр. B1.5)
4. Дифференциальные уравнения B1.4) и B1.5) являются
основными уравнениями электростатического поля в произволь-
произвольной среде. Для получения полной системы уравнений электро-
электростатики их нужно только дополнить уравнением, связывающим
Ей Р.
В отсутствие внешних полей поляризация Р диэлектрика рав-
равна нулюх): электрические моменты отдельных молекул в отсут-
отсутствие внешнего поля, если и отличны от нуля, то ориентированы
совершенно беспорядочно и в сумме дают нуль. При наличии же
электрического поля поляризация диэлектрика, как показывает
опыт, пропорциональна напряженности поля Е:
Р = аЕ. B1.6)
Отклонения от пропорциональности между Р и Е в доступных
нам полях настолько незначительны, что ими, за редкими ис-
исключениями (см., например, § 29), можно вовсе пренебречь2).
1) Мы не станем здесь рассматривать сравнительно редких исключений из
этого правила, например явлений пиро- и пьезоэлектричества. В частности,
явление пьезоэлектричества заключается в том, что кристаллы, обладаю-
обладающие определенными свойствами симметрии, поляризуются не только под
воздействием внешних электрических полей, но также и при механической
деформации (пьезоэлектричество).
2) Линейная связь между поляризацией Р и полем Е отвечает линейной
электродинамике. В последние годы получила широкое развитие также не-
нелинейная электродинамика (и, соответственно, нелинейная оптика) — в этом
случае и используется нелинейная связь между Р и Е. Учет нелинейности
необходим в сильных полях, ставших доступными, в частности, в связи с
созданием лазеров. Кроме того, для ряда сред с большой поляризуемостью
(сегнетоэлектрики, плазма и др.) нелинейность может иметь место уже в
сравнительно слабых полях — полях, малых по сравнению с характерным
атомным полем Е ~ е/а2 ~ 108 - 109 В/см (здесь е = 4,8 • 10~10 СГСЭ —
заряд протона иа~A— 3) • 10~8 см — размер атома или постоянная кри-
кристаллической решетки). См. также конец § 63. (Примеч. ред.)
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 105
Коэффициент а в B1.6) характеризует собой свойства данного
диэлектрика и носит название поляризуемости диэлектрика.
Остается еще вопрос о направлении вектора Р. В изотроп-
изотропных диэлектриках уже из соображений симметрии явствует, что
вектор Р может быть направлен только по единственно выде-
выделенному направлению электрического поля Е (или же противо-
противоположно Е). Так как положительные заряды смещаются при по-
поляризации диэлектрика по направлению поля и так как вектор
электрического момента направлен от отрицательных зарядов к
положительным (ср. случай простого диполя, рис. 26), то век-
вектор Р параллелен полю Е, и в векторной форме мы получаем
окончательно: р =
Однако в анизотропных средах направление вектора поляризации мо-
может не совпадать и, вообще говоря, не совпадает с направлением поля. Аб-
Абсолютная величина вектора Р в этом случае также зависит не только от
абсолютной величины вектора Е, но и от направления вектора Е по отноше-
отношению к кристаллографическим осям диэлектрика. Однако связь слагающих
вектора Р со слагающими вектора Е остается линейной, а именно в ани-
анизотропных диэлектриках уравнения B1.6) и B1.7) должны быть заменены
следующими:
Рх =
Ру = ацЕх + а22Еу + a23Ez, B1.8)
причем значения коэффициентов поляризуемости а,* зависят от ориентации
осей х, у, z координатной системы по отношению к кристаллографическим
осям диэлектрика.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только изотропных ди-
диэлектриков, к которым применима формула B1.7).
§ 22. Вектор электрической индукции.
Дифференциальные уравнения поля
в произвольной среде. Линии индукции
1. Вместо поляризации Р удобно ввести в рассмотрение век-
вектор D, определяемый формулой
D = E + 4ttP. B2.1)
Вектор этот у разных авторов носит различные названия:
электрическое смещение, электрическая поляризация [не смеши-
смешивать с вектором Р, уравнение B0.7)], электрическая индукция и
т. д. Мы будем пользоваться последним из этих терминов.
Вектор электрической индукции, в сущности, представляет
собой сумму двух совершенно различных физических величин:
напряженности поля и (умноженной на 4тг) поляризации едини-
единицы объема среды. Тем не менее введение в рассмотрение этого
вектора чрезвычайно упрощает изучение поля в диэлектриках.
106 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
В частности, одно из основных уравнений электрического поля —
уравнение B1.5) — с помощью обозначения B2.1) принимает
весьма простой вид
divD = 47rp. B2.2)
В случае неполяризующейся среды (например, вакуума)
Р = 0, вектор индукции D совпадает с напряженностью поля Е,
а уравнение B2.2) совпадает с уравнением F.5):
div Е = 4тгр,
так что последнее уравнение является частным случаем форму-
формулы B2.2).
Умножая B2.2) на элемент объема dV и интегрируя по объ-
объему, заключенному внутри замкнутой поверхности 5", получим,
согласно теореме Гаусса A7*),
DndS = 4тг j рвУ. B2.3)
<?
Эта формула является обобщением электростатической тео-
теоремы Гаусса C.6) для случая произвольной, в частности диэлек-
диэлектрической, среды.
Далее, в изотропных диэлектриках из B1.7) и B2.1) получаем
D = A+ 4тга)Е = еЕ, B2.4)
где
е = 1 + 4тга. B2.5)
Таким образом, индукция D пропорциональна напряженности
поля Е; коэффициент пропорциональности между ними е носит
название диэлектрической проницаемости1). Заметим, что из
B1.7) и B2.5) следует:
Р = —Е. B2.6)
2. В предельном случае поверхностных зарядов уравнение
B2.2), согласно F.7) и F.8), принимает вид
Div D = D2n - Вы = 4тг<т, B2.7)
где а — поверхностная плотность свободного электричества.
Согласно B2.4) формулу эту можно записать так:
D2n - Din = е2Е2п - eiErn = 47га, B2.8)
где ?i и ?2 — значения диэлектрической проницаемости по обе
стороны поверхности разрыва. В частности, если а = 0, т. е. если
на этой поверхности нет свободных зарядов, то
D2n = D\n.
^Уравнение B2.1) справедливо и для анизотропных диэлектриков, но,
исключая из него Р с помощью уравнений B1.8), получаем три уравнения
того же типа для слагающих вектора D, в которые входят девять диэлек-
диэлектрических коэффициентов егк
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 107
Следовательно, на незаряженной границе раздела двух различ-
различных сред (ei ф ег) нормальная слагающая электрической индук-
индукции остается непрерывной, нормальная же слагающая напряжен-
напряженности поля испытывает скачок.
Что же касается тангенциальной слагающей вектора Е, то
рассуждения, приведшие нас в § 7 к формуле G.7), остаются в
силе, ибо и в произвольном диэлектрике работа электрических
сил от формы пути не зависит. Поэтому
E2t = Elt или - D2t = - Dlt. B2.9)
?2 ?1
Иными словами, тангенциальная слагающая напряженности по-
поля всегда остается непрерывной, тангенциальная же слагающая
индукции на поверхности раздела двух различных сред {ei ф е{)
испытывает скачок.
Так как внутри проводников в случае электростатического
равновесия Е (а следовательно, и D) равно нулю, то из B2.9)
вытекает, что у внешней поверхности проводников электриче-
электрический вектор Е (а следовательно, и D) всегда перпендикулярен
этой поверхности. Поэтому уравнение B2.8) у поверхности про-
проводников принимает вид
еЕ = D = 47ГСГП, B2.10)
где п — внешняя нормаль к этой поверхности, а е — диэлектри-
диэлектрическая проницаемость соприкасающейся с ней среды. Уравнение
G.8) является, очевидно, частным случаем этой формулы.
3. Уравнения B1.4), B2.2), B2.4) и B2.7)
E = -gradv>, ?> = еЕ,
D2n — D\n = 4ira,
дополненные требованием непрерывности потенциала у? *), пред-
представляют собой полную систему уравнений электростатического
поля в произвольной среде. Это значит, что если заданы плотно-
плотности свободных зарядов р и а и диэлектрическая проницаемость е
в каждой точке пространства и если на бесконечности удовлет-
удовлетворены условия A2.10): ER2 при R —> оо остается конечным,
то системой (А) однозначно определяется электрическое поле,
т. е. значения у?, Е и D в каждой точке пространства; обратно,
если заданы: а) диэлектрическая проницаемость е и б) напря-
напряженность поля Е (или потенциал </?, или индукция D) в каждой
') Ибо двойных электрических слоев, т. е поверхностей разрыва потенциа-
потенциала, мы не рассматриваем. Впрочем, включение их в излагаемую теорию не
представляет никаких затруднений Заметим, что, согласно § 7, уравнени-
уравнением Е = — grad <p обеспечивается непрерывность тангенциальных слагающих
вектора Е
108 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
точке пространства, то системой (А) однозначно определяется
распределение свободных зарядов р и а.
Справедливость второго утверждения очевидна; для доказа-
доказательства же первого предположим, что существует два решения
Е, D, (р и Е', D', <р' системы (А) при заданных е, р, а. Внося оба
решения в (А) и вычитая затем соответственные уравнения друг
из друга, получим
J _, „ Г ' (А')
divD" = O, D'2n = D"n,
где Е" = Е - Е', D" = D - D', у" = ч>- <р'.
Далее на основании (А') и D3г) можем написать следующую цепь ра-
равенств:
еЕ = D"E" = -D" grad ц>" = - div (D'V") + v" div D" = - div (D'V")-
Следовательно, интеграл еЕ по произвольному объему, ограниченно-
ограниченному поверхностью S, на основании A7*) будет равен
[ еЕ dV=- f div (D'V") dV = - ? D V dS,
J J J
s
причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по граничной по-
поверхности S, ибо во всем поле как tp", так, согласно (А'), и D'^ остаются
непрерывными. Если теперь распространить интегрирование по объему пол-
полного поля, то интеграл по поверхности S обращается в нуль. Следовательно,
еЕ dV = О,
что может иметь место лишь в том случае, если во всех точках поля Е" =
= Е — Е' обращается в нуль, чем и доказывается однозначность решения
системы (А).
Итак, вектор Е", удовлетворяющий системе (А'), тождест-
тождественно равен нулю. Так как при отсутствии свободных зарядов
(а = р = 0) система (А) принимает вид (А'), то, стало быть, в
отсутствие свободных зарядов электрическое поле тождест-
тождественно равно нулю. Таким образом, наличие диэлектриков может
только видоизменять поле свободных зарядов; в отсутствие же
последних поляризация диэлектрика спадает, становится равной
нулю и электрическое поле исчезает. (См., впрочем, примечание
к с. 104.)
4. В заключение заметим, что для графического изображе-
изображения электрического поля в диэлектриках неудобно пользоваться
силовыми линиями этого поля, т. е. линиями вектора Е (см. § 10),
ибо дивергенция (объемная и поверхностная) этого вектора при
наличии диэлектриков может быть отличной от нуля не только
в тех точках поля, где находятся свободные (объемные и поверх-
поверхностные) заряды, но также и в точках расположения связанных
зарядов диэлектрика, плотность которых в свою очередь зависит
§ 22 ВЕКТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 109
от напряженности поля, неоднородностей среды и т. д. Поэтому
для графического изображения поля в диэлектрике пользуют-
пользуются так называемыми линиями индукции, т. е. линиями вектора
электрической индукции D.
Так как, согласно B2.4), вектор D в каждой точке простран-
пространства (за исключением анизотропных сред) параллелен векто-
вектору Е, то каждая линия индукции является вместе с тем и силовой
линией и наоборот. Поэтому, в частности, из того, что невозмож-
невозможны замкнутые силовые линии, следует также и невозможность
замкнутых линий индукции. Однако если, как это принято, чер-
чертить линии сил и линии индукции с таким расчетом, чтобы чи-
число этих линий, пересекающих любую площадку dS, было по
возможности пропорционально потоку соответствующего векто-
вектора (D или Е) через эту площадку, то густота линий индукции и
линий сил будет, вообще говоря, меняться различным образом от
одного участка пространства к другому. В частности, при таком
способе черчения некоторые линии сил нужно будет оборвать на
связанных отрицательных зарядах диэлектрика, тогда как соот-
соответствующие линии индукции будут проходить через и за эти
заряды до встречи с зарядами свободными.
Действительно, так как зависимость объемной и поверхност-
поверхностной дивергенции вектора D от распределения свободных зарядов
в произвольной среде совпадает с зависимостью divE и DivE
от р и а в отсутствие диэлектриков, то, согласно результатам
§ 10, линии индукции могут начинаться и оканчиваться лишь
в тех точках поля, в которых расположены свободные электри-
электрические заряды, либо уходить в бесконечность *). В вакууме век-
вектор D тождествен вектору Е, так что линии индукции совпадают
с силовыми линиями.
Задача 16. Показать, что на границе раздела двух диэ-
диэлектриков силовые линии (т. е. линии направления вектора Е)
испытывают преломление, причем
_ ?1.
где Р\ — угол, образованный направлением силовой линии в пер-
первом диэлектрике с нормалью к поверхности раздела, е\ — ди-
диэлектрическая проницаемость первой среды, а /Зг и е% —- соответ-
соответственные величины для второй среды.
Задача 17. Показать, что напряженность поля Е' в сред-
средней части длинной и узкой щели, проделанной в твердом диэлек-
диэлектрике, равна напряженности поля Е в диэлектрике, если щель
эта параллельна вектору Е, и что Е' равна индукции D в ди-
диэлектрике, если щель перпендикулярна Е.
., впрочем, примечание на с. 55 о точках неопределенности.
110 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Задача 18. Показать, что для однозначного определения
электростатического поля в произвольной среде достаточно за-
задать, во-первых, расположение и форму проводников, значение
диэлектрической постоянной в каждой точке среды и распреде-
распределение свободных объемных и поверхностных зарядов в
диэлектрике и, во-вторых, либо потенциал <рг каждого про-
проводника [задача (А)], либо общий заряд ег каждого проводника
[задача (В)] (ср. § 13).
Задача 19. Пространство между обкладками плоского
конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектри-
Диэлектрические постоянные этих слоев равны ei и ?2, а их толщины —
d\ и d,2, причем d\ + cfc = d, где d — расстояние между плас-
пластинами конденсатора. Показать, что емкость конденсатора С
определяется соотношением
J_ 4тг (fa Л
С S W e
где 5" — поверхность его пластин.
§ 23. Электрическое поле в однородном диэлектрике
1. Рассмотрим простейший случай диэлектрической среды,
когда все поле, т. е. все участки пространства, в которых век-
вектор Е не равен нулю, заполнено однородным диэлектриком. Это
будет иметь место, например, в том случае, если система провод-
проводников погружена в бесконечный однородный диэлектрик (ибо в
случае электрического равновесия внутри проводников Е = 0)
или в диэлектрик, ограниченный замкнутой металлической обо-
оболочкой (электростатическая защита). В этом случае во всех диф-
дифференциальных уравнениях поля постоянные е и а могут быть
вынесены за знак производной, и, например, из B2.2) и B2.4)
следует:
div D = div гЕ = е div Е = 4тг/э,
или
divE = -VV= --4ттр. B3.1)
е
Это значит, что при заданном распределении свободных зарядов
потенциал и напряженность поля в однородном диэлектрике в е
раз меньше потенциала и напряженности поля в вакууме. Ча-
Часто это положение кладется в основу всей формальной теории
диэлектриков.
Из него непосредственно вытекает, что потенциал и напряжен-
напряженность поля точечного заряда в однородном диэлектрике равны
V = —, Е = — B3.2)
§ 23 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ 111
(так называемый обобщенный закон Кулона). Далее, разность
потенциалов между обкладками конденсатора при заполнении
пространства между ними однородным диэлектриком должна
уменьшаться в е раз, если заряды обкладок остаются неизмен-
неизменными. Это значит, что емкость конденсатора С возрастает при
этом в е раз:
С = еС0. B3.3)
Напомним, наконец, что значение вектора электрической ин-
индукции D в однородной среде не зависит от диэлектрической
проницаемости этой среды и вполне определяется распределени-
распределением свободных зарядов, ибо из B2.4) и B3.2) следует, что
D = еЕ = ^. B3.4)
2. Необходимо, однако, твердо помнить, что уравнения
B3.1)-B3.4) неприменимы к диэлектрику неоднородному. Так,
например, если в поле заряда е внести кусок диэлектрика D
(рис. 28), то благода-
ря поляризации этого Рг +е Р\
диэлектрика напряжен- • • •
ность поля в точках Pi
и Рч не уменьшится, как рис 28
то соответствовало бы
формуле B3.1), а увеличится. Действительно, отрицательные за-
заряды диполей сместятся в диэлектрике влево, а положительные
вправо, так что направление результирующего поля этих зарядов
в точках Pi и Рг будет совпадать с направлением поля заряда е.
В точке же Рз поляризация диэлектрика вызовет ослабление пер-
первоначального поля заряда е.
Вообще в неоднородной среде нельзя установить сколько-ни-
сколько-нибудь простой зависимости поля от расположения одних толь-
только свободных зарядов, зависимости типа закона Кулона B3.2).
Лишь обращаясь к дифференциальным уравнениям поля, т. е. к
уравнениям, связывающим значения характеризующих поле ве-
величин в смежных точках пространства, можно прийти к срав-
сравнительно простым соотношениям между этими величинами [си-
[система уравнений (А), с. 107], ибо лишь дифференциальные соот-
соотношения полностью определяются свойствами данного элемента
среды независимо от свойств удаленных ее участков.
3. Рассмотрим еще пример, когда бесконечное полупространство над
плоскостью z = 0 заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью ?i, а полупространство под этой плоскостью — другим од-
однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ег (рис. 29).
Определим поле заряда е, находящегося в произвольной точке Р. Выберем
оси координат так, чтобы ось z проходила через точку Р; координаты этой
точки будут х = у = 0, z = zo. Пусть для определенности го > 0, т е. заряд
находится в верхнем полупространстве, где е = еь
112 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Обозначим потенциал в верхнем полупространстве через tpi, а в ниж-
нижнем — через (f2 ¦ Условие непрерывности потенциала на границе раздела
диэлектриков гласит:
z (wi)*-n — (w-,),-n. B3.5)
Р.
о
Далее, так как в нашем случае <т = 0, то,
выражая в B2.8) Е через grad ip, получим
fdipi\ _ (ду2\ ,„„ _.
1 V dz )г=0 2 \ dz Jz=0
Наконец, поскольку в каждом полупрост-
полупространстве ? постоянно, то, согласно B3.1),
62
VI - 2 _ ~ч'Г ту2,* ~"'f (ЧЪ 7\
<р\ — , V <f>2 = (to.I)
I / ?l ?2
Так как в нашем случае р = 0 всюду, кроме
точки Р, то
V2ifi2 = 0, B3 8)
P'-if. а первое из уравнений B3.7) будет, очевид-
очевидно, удовлетворено, если мы положим
Рис. 29 ,п, — _?—и <„'. XI2,п'. = П B3.9)
где R — расстояние точки наблюдения от точки Р: R= \Jx2 + у2 + (z — z0J.
Потенциал в каждой точке пространства будет зависеть, во-первых, от
ее расстояния до точки Р, т. е. от R, и, во-вторых, от ее расстояния до плос-
плоскости раздела, т. е. от z. По соображениям симметрии вместо последней пе-
переменной удобно ввести расстояние R' = \Jx2 + у2 + (z + zoJ произвольной
точки пространства от точки Р', симметричной с Р относительно поверх-
поверхности раздела; координаты точки Р' равны 0, 0, —zq. Уравнение плоскости
раздела в переменных R и R' примет вид
R = R', B3.10)
а решениями уравнений B3.8) и B3.9), обладающими требуемой симметри-
симметрией, будут, очевидно, выражения
/ Ае lie. .„„ .,.,.
Г ?1Й'
где А и ц — некоторые постоянные. Действительно, потенциал tp2 в ниж-
нижнем полупространстве не может содержать члена, пропорционального 1/R',
ибо он не удовлетворял бы уравнению B3.8); аналогично <р[ не может со-
содержать члена, пропорционального 1/R. Внося B3.9) и B3.11) в B3.5) и
учитывая B3.10), получаем = —; аналогично из B3.6) после элемен-
?l ?2
тарных выкладок получаем 1 — А — fi Таким образом, все наши уравнения
, ei - ?2 2?2
удовлетворятся, если положить А = , ft = , т. е. если положить
?1 + ?2 ?1 + ?2
е ei — ?2 е
tp = tpi = 1- — — при z > 0,
?li2 e^?l+?2)H' B3 12)
<p = ш2 — при z < 0
?l + ?2 R
На основании теоремы однозначности (см. § 22) полученные выражения
являются единственными решениями нашей задачи (вплоть до аддитивной
постоянной в потенциале, не сказывающейся на напряженности поля).
§24 ПОДСЧЕТ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКА 113
Если все пространство заполнено однородным диэлектриком (ei = ?2),
то B3.12) переходит в элементарное выражение обобщенного закона Кулона
B3.2). При ei ф ?2 влияние неоднородности диэлектрика на потенциал ipi в
верхнем полупространстве эквивалентно влиянию добавочного фиктивного
заряда [(ei — ?г)/(е1 + ?г)]е, помещенного в симметричную с Р точку Р'.
(Ср. решение аналогичной задачи в § 13 методом изображений.)
§ 24. Непосредственный подсчет поля при наличии
диэлектрика (в простейших случаях)
1. Чтобы пояснить влияние поляризации диэлектрика на на-
напряженность поля, мы проведем непосредственное вычисление
поля в двух простейших случаях. При этом для простоты мы
будем предполагать, что все заряды в диэлектрике закреплены
одинаково прочно и имеют одинаковую абсолютную величину е.
Число зарядов каждого знака в единице объема диэлектрика обо-
обозначим через N.
2. Рассмотрим элементарный вывод обобщенного закона Ку-
Кулона для однородного диэлектрика. Пусть все поле заполнено од-
однородным диэлектриком и «свободный» положительный заряд ео
находится в однородном диэлектрике в точке О; требуется опре-
определить поле Е этого заряда в некоторой точке Р на расстоя-
расстоянии R от него. Под воздействием поля Е отрицательные заряды
диэлектрика сместятся к центру О, а положительные удалятся
от него. Благодаря шаровой симметрии поля все пространство
может быть разбито на концентрические шаровые слои с цен-
центром в О, в каждом из которых плотность расположения заря-
зарядов постоянна. Поле всех заряженных шаровых слоев, внешних
по отношению к точке Р, равно в этой точке нулю, поле же всех
внутренних слоев в точке Р таково, как если бы весь заряд этих
слоев был сосредоточен в центре О [см. уравнение D.6)]. Каков
же общий заряд этих внутренних слоев, т. е. заряд, находящийся
внутри сферы 5", проходящей через точку Р?
Так как, по предположению, все заряды в диэлектрике оди-
одинаковы и связаны в нем одинаково прочно, то при возникнове-
возникновении поляризации все положительные заряды, находившиеся на
расстоянии R от центра О, должны были сместиться наружу
на некоторое расстояние SR, а все отрицательные — внутрь на
то же расстояние; конечно, это смещение SR уменьшается при
удалении от О. Через поверхность сферы 5" радиуса R при воз-
возникновении поляризации должны были пройти наружу все по-
положительные заряды, находившиеся в слое толщины 5R, при-
прилегающем к сфере S изнутри. Число этих зарядов по условию
равно N ¦ inR2 SR.
Такое же число отрицательных зарядов войдет, очевидно,
снаружи внутрь сферы S. Таким образом, общий отрицатель-
114 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ 11
ный заряд 8е, появляющийся внутри сферы 5", благодаря поля-
поляризации диэлектрика, будет равен
8е = -eN • 8тгД2 SR.
Напряженность поля этих зарядов в точке Р, как указывалось,
будет такова, как если бы все эти заряды были сосредоточены в
центре симметрии О. Стало быть, общая напряженность поля в
точке Р будет равна
р — е° + ^е
R2 '
С другой стороны, электрический момент единицы объема
диэлектрика Р = ^ e2Rj до поляризации был равен нулю, а по-
после поляризации стал равным
Р = J2 ег(^ ± SR) = 2Ne6R.
Таким образом, числовое значение вектора Р равно
и, стало быть,
Таким образом,
Е = eo + Se = fl - 4тгР.
R2 R2
H, E=~D
R2' г
что и требовалось доказать.
3. Определим поле равномерно поляризованного шара. Пусть
поляризация Р постоянна по величине и направлению во всех
точках шара радиуса а. При Р = 0 положительные и отрица-
отрицательные заряды диэлектрика одинаково распределены по объему
шара и поля их взаимно компенсируются. При возникновении же
поляризации положительные заряды
сдвигаются на некоторый отрезок 1, а
отрицательные на отрезок — 1. Таким
образом, после сдвига отрицательные
заряды диэлектрика будут заполнять
собой шар радиуса а, центр которого
смещен на отрезок 21 относительно цен-
центра шара того же радиуса, заполненно-
заполненного положительными зарядами (рис. 30).
Следовательно, поле равномерно поля-
поляризованного шара должно быть тожде-
ственно с полем двух сдвинутых друг
ис' относительно друга на отрезок 21 ша-
шаров радиуса а, равномерно заряженных разноименным электри-
электричеством. Так как, по предположению, на единицу объема диэлек-
диэлектрика приходится по N зарядов каждого знака, то общий заряд
§ 24 ПОДСЧЕТ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКА 115
каждого шара по абсолютной величине будет равен е' = eNV,
где V — 4/з?т3 есть объем шара.
Внешнее поле равномерно заряженного шара таково, как если
бы весь заряд шара е' был сосредоточен в его центре [уравнение
D.7)]. Стало быть, внешнее поле поляризованного шара таково,
как если бы два точечных заряда ±е' находились на расстоя-
расстоянии 21 друг от друга, т. е. тождественно с полем диполя момента
р = 2e'l = 2VeNl. Таким образом, потенциал равномерно по-
поляризованного шара объема V вне этого шара, согласно (8.10),
будет равен
Ve = 2eJVFg (R > а),
где R — радиус-вектор из центра шара в исследуемую точку поля.
С другой стороны, электрический момент единицы объема
шара Р = Х^ ег&г Д° поляризации был равен нулю, после же
поляризации он станет равным Р = X)e«(R^ ± 1) = 2eJVl. Следо-
Следовательно, окончательно имеем
<Pe = V^± (R>a). B4.1)
Аналогичной же формулой определяется и потенциал вну-
внутренних точек шара [R ^ а), если только в этом случае пони-
понимать под V объем не всего шара, а лишь той его части, которая
ближе к центру, чем рассматриваемая точка поля, т. е. если в
B4.1) положить V = fanB?:
^ = Trf>^ = TPR {R<a)- B42)
Действительно, потенциал поля заряженного шара, образованного по-
положительными зарядами диэлектрика, внутри этого шара равен [уравнение
(8 12)]
= 2тгр
(п2 Щ\
где р = eN есть плотность положительных зарядов в диэлектрике, потенци-
потенциал же шара, образованного отрицательными зарядами диэлектрика, равен
ip- = -2тгр I о - — ) ,
причем R.+ и R,- суть расстояния точки поля от центра соответственных
шаров- R+ = R — 1, R- = R + 1 Поэтому результирующий потенциал всех
зарядов диэлектрика при R sj а равен
п
V, = V+ + V-= --тгр(Д+ - R2.)
о
Так как Я+ — й1 = —41R, то потенциал поля внутри поляризованного шара
равен
что и требовалось доказать
116 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Очевидно, что при R = а выражения для <ре и ц>г принима-
принимают одинаковые значения, т. е. что потенциал ц> поляризованного
шара является непрерывной функцией точки.
Наконец, напряженность поля поляризованного шара внутри
этого шара будет равна
Ег = -V<pt = --ttV(PR) (Я < а).
о
Так как вектор Р постоянен по величине и направлению, то
V(PR) = Р, и поэтому окончательно:
Е, = --ттР (Я < а). B4.3)
О
Таким образом, напряженность поля равномерно поляризо-
поляризованного шара постоянна по величине и направлению во всех его
внутренних точках.
Конечно, рассмотренную на'ми задачу можно было бы ре-
решить, исходя непосредственно из общих уравнений поля в ди-
диэлектрических средах. Этот способ решения, а также рассмо-
рассмотрение вопроса о том, как можно поддерживать равномерную
поляризацию в диэлектрическом шаре, мы предлагаем уяснить
читателю на следующем примере.
Пример. Шар радиуса а из однородного диэлектрика по-
помещается в однородное внешнее поле Eq, направленное по оси z.
Исходя из дифференциальных уравнений поля, доказывается,
что шар будет поляризован равномерно, причем поляризация его
будет равна ,
*=%?&*• B4-4)
а потенциал поля будет равен сумме потенциала внешнего поля
и потенциала поляризованного шара, определяемого уравнения-
уравнениями B4.1) и B4.2):
PR =
PR (Я<о)
Чтобы доказать справедливость формул B4.5), достаточно
показать, во-первых, что <?>е и <рг удовлетворяют уравнению Пуас-
Пуассона: V2(?>e = V2<?>j = 0 и, во-вторых, что на поверхности диэлек-
диэлектрика, т. е. при R = а, потенциал непрерывен:
<ре = фг при R = а,
и непрерывна нормальная слагающая электрической индукции:
D*n = -%? = -e%? = Dm при R = a.
oR dR
§25 МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 117
Предоставляем это сделать читателю (при выполнении диф-
дифференцирования по R удобно выразить z через Rcosd).
Из B4.5) следует, что внутри шара
с, _ ЗЕ0
Внося это значение Ег в B2.6), получаем B4.4).
§ 25. Микро- и макроскопические значения
физических величин
1. Этот и последующие параграфы, вплоть до § 29, мы посвя-
посвятим более строгому выводу уравнений макроскопического поля
в диэлектриках из микроскопических уравнений поля, а также
выяснению зависимости диэлектрической постоянной среды от
атомистического строения этой среды, ее температуры и т. д.
До сих пор мы не обращали достаточного внимания на то
обстоятельство, что поле каждой молекулы диэлектрика в не-
непосредственной близости от нее должно чрезвычайно быстро
изменяться от точки к точке (например при переходе от положи-
положительных к отрицательным зарядам молекулы). Правда, эти изме-
изменения поля протекают в микроскопическом масштабе и недоступ-
недоступны нашему макроскопическому наблюдению. Измеряя, например,
поле в жидком диэлектрике путем погружения в него пробного
заряда, например, достаточно малого заряженного металлического
шарика, мы, очевидно, измеряем среднее из тех значений, кото-
которые имеет напряженность поля Е на поверхности этого шарика.
2. Чтобы уточнить понятие среднего значения, мы введем
следующую терминологию, предложенную Лоренцем. Мы будем
называть физически бесконечно малыми в отличие от матема-
математически бесконечно малых такие элементы объемов, поверхно-
поверхностей и линий, которые одновременно удовлетворяют следующим
двум требованиям:
а) физически бесконечно малые элементы должны быть чрез-
чрезвычайно велики по сравнению с расстояниями между молекула-
молекулами среды, а стало быть, и по сравнению с микроскопическими
неоднородностями среды и поля;
б) вместе с тем физически бесконечно малые элементы долж-
должны быть чрезвычайно малы по сравнению с макроскопическими
неоднородностями поля и среды; другими словами, средние зна-
значения физических величин (например ip, E, е и т. д.) в любом из
этих элементов должны бесконечно мало отличаться от средних
значений этих величин в смежных с ними элементах 1).
1) За исключением элементов, отделенных друг от друга поверхностями
разрыва, если только мы вообще захотим ввести в рассмотрение (в сущности,
фиктивные) поверхности разрыва
118 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ U
Даже в газообразных, не говоря уже о жидких и твердых,
телах расстояния между молекулами столь малы по сравнению
с макроскопическими неоднородностями изучаемых обычно по-
полей, что почти всегда оказывается возможным одновременно удо-
удовлетворять обоим этим условиям. Конечно, возможны и такие
случаи, когда приведенные условия взаимно исключают друг
друга; так, например, длина волны жестких рентгеновских лу-
лучей, могущая служить мерой неоднородности поля этих лучей,
меньше расстояния между молекулами материальных тел.
3. Оставляя в стороне подобные исключительные случаи, мы
будем в дальнейшем под макроскопическими величинами пони-
понимать средние значения физических величин в физически беско-
бесконечно малом объеме. Другими словами, под макроскопическим
значением произвольной физической (скалярной или векторной)
величины ф (например <?>, Е, р) в данной точке Р пространства
мы будем понимать среднее из истинных или микроскопических
значений этой величины в физически бесконечно малом объ-
объеме V, окружающем точку Р:
? / dV. B5.1)
Заметим, что, лишь введя это определение, мы придаем четкий
смысл всем нашим предшествующим рассуждениям. В частности,
ведь и внутри проводников атомистическое строение электри-
электричества проявляется в чрезвычайно быстрых колебаниях микро-
микроскопических значений физических величин в смежных точках
пространства; так, например, микроскопическая плотность элек-
электричества р отлична от нуля лишь внутри электронов и атомных
ядер. Таким образом, говоря о плотности заряда в поверхност-
поверхностном слое проводников, о постоянстве потенциала внутри них и
т. д., мы, в сущности, говорим о средних значениях этих величин,
определяемых уравнениями типа B5.1).
4. В последующем нам неоднократно придется находить урав-
уравнения для макроскопических величин, исходя из дифференци-
дифференциальных уравнений для микроскопических величин. При этом нам
придется пользоваться следующим положением: среднее значе-
значение производной по координате (а также и по времени) от про-
произвольной величины ф равно производной от среднего значения
этой величины: _
д/ = f*, B5.2)
ах ох
где черта сверху обозначает образование среднего.
Мы докажем эту теорему в предположении, что ф — величина скаляр-
скалярная. Применяя затем эту теорему к отдельным слагающим произвольного
вектора, мы сможем убедиться, что она остается справедливой и для вектор-
§25 МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 119
ных величин. Наконец, соответствующая теорема справедлива и для произ-
производных по времени, в чем можно убедиться простым дифференцированием
формулы B5.1).
Согласно B5.1) среднее значение ф в
точке Р равно
р = —
где для определенности мы будем считать,
что интеграл распространен по объему V
физически бесконечно малой сферы по-
верхности S с центром в Р. Подобно этому,
Фр> = ^
где V' — объем равновеликой сферы по-
поверхности S' с центром в точке Р' (на
Рис. 31
рис. 31 изображено сечение этих сфер центральной плоскостью). Поэтому
фр lim lim
Эх РР'-Ю РР' V dx-*O dx
Но J %l>dV — J ipdV = J ipdV — J i/irfV, где V+ и VI суть, соответственно,
v v v+ v_
объемы переднего и заднего слоев, заключенных между поверхностями S
и S'. Далее, прилегающий к элементу dS сферы S элемент объема dV+ равен
dV+ = dS ¦ dx ¦ cos (n, x) (cos(n, x) > 0),
где n — внешняя нормаль к сфере S, и, соответственно,
dV- = —dS ¦ dx ¦ cos (n, x) (cos (n, x) < 0).
Следовательно,
V_
— f ф cos (n, x) dSdx+ J i/>cos (n, x) dSdx =
cos(n,i)^0 cos(n,x)<0
= dx ? ф cos (n, x) dS,
где последний интеграл распространяется по всей поверхности сферы S.
Таким образом, окончательно получаем
С другой стороны,
— фр = —(Ь
дх
дх
(п, х) dS.
где i — единичный вектор по оси х. Ввиду постоянства этого вектора
igradt^ = div {\ф), откуда на основании теоремы Гаусса A7*)
|? = ~ J div (h/>) dV = i ф(т)ф dS = i ^ cos (n, x) dS,
V S
S S
что совпадает с выражением для дф/дх Таким образом, уравнение B5.2)
доказано.
120 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
§ 26. Вывод уравнений поля в диэлектриках
путем усреднения микроскопического поля
1. В развитие идей, изложенных в предыдущем параграфе,
мы поставим теперь задачу путем непосредственного усреднения
уравнений истинного микроскопического поля вывести уравнения
для средних макроскопических значений, характеризующих поле
величин Е, ip, p и т. д., т. е. вывести уравнения, полученные нами
несколько иным путем в § 22. При этом мы будем исходить из пред-
предположения, что основные уравнения электростатического поля
A0.2)
A1.1)
строго справедливы для истинного микроскопического поля, если
под р понимать истинную плотность электричества, отличную от
нуля лишь внутри отдельных атомов (вернее, внутри электронов
и атомных ядер) *).
2. Из B5.2) непосредственно вытекает, что среднее значение
электрического вектора Е равно градиенту от среднего значе-
значения потенциала у?, т. е. что (Ю.2) остается справедливым и для
макроскопических величин. Уравнение же A1.1) принимает вид
V2^ = - divE = -4тгр, B6.1)
где под р надо понимать среднее значение истинной плотности
электричества, т. е. сумму плотностей электричества свободного
и связанного:
Р = Рсвбд 4-рсвзн- B6.2)
Однако плотность связанного в диэлектрике электричества опре-
определяется его поляризацией, т. е. в свою очередь зависит от напря-
напряженности поля Е. Поэтому уравнением B6.1) удобно будет поль-
пользоваться лишь в том случае, если из него исключить плотность
связанного электричества, для чего необходимо определить за-
зависимость рсвзн от напряженности поля Е.
3. Выделим в диэлектрике поверхностью S некоторый объ-
объем V, размеры которого велики по сравнению с расстояниями
между молекулами, и предположим для простоты, что диэлек-
диэлектрик состоит из нейтральных молекул и что свободных, не свя-
связанных с молекулами диэлектрика зарядов в объеме нет. Вообще
говоря, поверхность S пересечет некоторое число молекул так,
1) Предполагается, что эти электроны и ядра покоятся (электростатика!).
Иными словами, с точки зрения классической электронной теории, мы дол-
должны пока отвлечься от движения этих элементарных частиц, или, вернее,
определять среднее по времени интересующих нас величин. С точки же
зрения квантовой механики, атомы в нормальном состоянии действитель-
действительно представляют собой стационарную электрическую систему.
§ 26 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 121
что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а
другие — внутри него. Поэтому, несмотря на то, что каждая мо-
молекула диэлектрика в целом нейтральна, общий заряд объема V,
а стало быть, и средняя плотность электричества в нем, может
оказаться отличным от нуля. Чтобы определить величину этого
заряда, заменим для упрощения молекулы диэлектриков эквива-
эквивалентными диполями (рис. 32) и рассмотрим физически бесконеч-
бесконечно малый элемент dS поверхности 5. Средняя векторная длина 1
диполей, находящихся в физически бесконечно малом слое ди-
диэлектрика, прилегающем к dS, будет связана с поляризацией Р
этого слоя соотношением B0.7)
P = 2^P = ^p = iVel,
откуда р
~ Ne'
Элемент dS пересечет все те диполи, центры которых располо-
расположены в прилегающем к нему слое толщины l\ cos (I, n)| (рис. 33).
«ШШшшШШ
Рис. 33
Объем этого слоя равен dS • 2j cos A, п)|. Следовательно, число
диполей1), рассекаемых элементом dS надвое, равно NldS X
х | cos (I, n)|, абсолютная же величина некомпенсированного за-
заряда в объеме V, соответствующего рассматриваемым диполям,
равна
\de\ =NeldS\cos{l, n)| = P|cos(P, n)\dS = \Pn\dS.
При этом, если угол между Р и п (п — внешняя нормаль к dS)
острый, т. е. cos (P, п) > 0, то внутри поверхности S находятся
1) Число молекул в микроскопически тонком слое можно принять равным
произведению их среднего числа N в единице объема на объем слоя лишь
в том случае, если расположение молекул подчинено закону случайности,
как это имеет место в газообразных и жидких телах. В кристаллических же
веществах, где расположение молекул строго упорядочено, число молекул в
таком слое может существенно зависеть от положения границ этого слоя по
отношению к узловым точкам кристаллической решетки. Поэтому, строго
говоря, приведенный вывод формулы B6.3) в случае твердых диэлектриков
нуждается в уточнении.
122 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
отрицательные заряды рассекаемых ею диполей (de < 0), в про-
противном же случае, при cos (P, п) < 0, заряды положительные
(de > 0). Стало быть, алгебраическая величина нескомпенсиро-
ванного заряда de равна de = —Pn dS.
4. Чтобы определить общий заряд е, находящийся в объеме V,
достаточно, очевидно, проинтегрировать полученное выражение
по всей граничной поверхности объема S; воспользовавшись за-
затем A7*), получим
е = -
С другой стороны, очевидно, что
е / Рсвзн "'>
V
так что окончательно получаем уже знакомую нам формулу
B1.2):
PCB3H = -divP. B6.3)
Таким образом, плотность связанных зарядов в диэлектри-
диэлектрике определяется дивергенцией его поляризации. В частности, ес-
если Р постоянно, то, рассматривая, например, поверхность куба,
легко усмотреть и непосредственно, что передняя и задняя (по
направлению Р) грани этого куба пересекут одинаковое число
диполей; поэтому алгебраическая сумма зарядов (а стало быть,
и средняя плотность электричества внутри куба) будет равна
нулю.
Отметим, что, согласно B1.7),
div Р = div скЕ = a div Е + Е grad a
и, следовательно, divP и рСвзн могут быть отличны от нуля лишь
в том случае, если диэлектрик неоднороден (grad а Ф 0), либо ес-
если divE ф 0. Последнее неравенство, как следует из F.5), озна-
означает (при а = const), что в диэлектрике находятся свободные
заряды, не связанные с его молекулами.
5. Справедливость формулы B6.3) предполагает, конечно,
непрерывность вектора Р; на поверхностях же разрыва сплош-
сплошности этого вектора формула B6.3), согласно F.7) и F.8),
принимает вид
= - DivP = -(P2n -Р1п), B6.4)
где GСВЗН есть средняя поверхностная плотность связанных за-
зарядов на поверхности разрыва, a Div P — поверхностная дивер-
дивергенция вектора Р. Так как Р равно скЕ, то поверхности разрыва
этого вектора, т. е. поверхностные заряды связанного электри-
электричества, должны совпадать либо с поверхностями раздела двух
§ 27 ДВА КЛАССА ДИЭЛЕКТРИКОВ. КВАЗИУПРУГИЕ ДИПОЛИ 123
сред (скачок поляризуемости а), либо с поверхностями разрыва
вектора Е; последние поверхности, как следует из B2.8), в свою
очередь совпадают (при а = const) с поверхностными зарядами
свободного электричества.
В справедливости формулы B6.4) можно убедиться также
путем непосредственного рассмотрения расположения диполей,
индуцированных в молекулах диэлектрика. Очевидно, что по-
появление поверхностных связанных зарядов объясняется тем, что
заряды диполей, прилегающих к противоположным сторонам по-
поверхности разрыва вектора поляризации, не могут взаимно ком-
компенсироваться.
б. Возвратимся к формуле B6.1). Воспользовавшись форму-
формулами B6.2) и B6.3), мы можем ее записать в следующем виде:
divЁ = 4тг(рсвбд + рсвзн) = 4тгрсвбд - 4тг divP,
или
Это уравнение совпадает с формулой B2.2), ибо в ней по са-
самому ее смыслу под Е нужно понимать среднюю напряженность
микроскопического поля Е, а под р — среднюю плотность сво-
свободного электричества рСвбд-
Из B1.5) и из A0.2) непосредственно следует система диффе-
f>eнциaльныx уравнений макроскопического поля в диэлектрике
система (А), § 22], что и требовалось доказать.
§ 27. Два класса диэлектриков. Квазиупругие диполи
1. Этот и два последующих параграфа мы посвятим молеку-
молекулярной теории диэлектриков, которая позволяет связать свойства
диэлектрика с его молекулярным строением, а также опреде-
определить зависимость диэлектрической проницаемости от темпера-
температуры диэлектрика, его плотности и т. д.
Нужно различать два рода или два класса диэлектриков
(с нейтральными молекулами): 1) диэлектрики, молекулы кото-
которых построены из электрических зарядов столь симметрично,
что в отсутствие внешнего электрического поля их электриче-
электрический дипольный момент равен нулю, и 2) диэлектрики, моле-
молекулы которых в отсутствие внешнего поля обладают некоторым
определенным моментом ро- К первому классу относятся, на-
например, газы N2, Нг, СО2, CH4, CCI4 в газообразном и жидком
состоянии и т. д.; ко второму же классу — например, газы SO2,
H2S, NH3 и такие жидкости, как вода, нитробензол, эфиры, орга-
органические кислоты, в большинстве случаев обладающие большой
диэлектрической проницаемостью.
124 ДИЭЛЕКТРИКИ
2. При наличии внешнего поля Е молекулы диэлектриков
первого класса поляризуются, т. е. симметрия расположения их
зарядов нарушается, и каждая молекула приобретает некоторый
электрический момент р, который (при не слишком больших по-
полях) пропорционален напряженности поля:
р = /ЗЕ. B7.1)
Коэффициент /3 носит название поляризуемости молекул.
Что касается молекул второго класса, то их электрический
момент ро также будет изменяться под воздействием внешнего
поля. Однако гораздо большее значение будет иметь поворот оси
молекулы по направлению поля под воздействием приложенного
к ней момента сил:
N = [р0Е]
[ср. уравнение A7.6)]. По сравнению с этим поворотом оси, т. е.
с изменением направления вектора ро, изменение момента под
воздействием поля играет практически во всех случаях столь
незначительную роль, что им можно вовсе пренебречь *).
Соответственно этому мы будем в дальнейшем рассматри-
рассматривать только два предельных случая: 1) молекулы, момент кото-
которых пропорционален напряженности поля Е (их мы будем для
краткости называть молекулами квазиупругими), и 2) молекулы
с отличным от нуля постоянным по величине моментом ро (их
мы будем называть молекулами твердыми). Диэлектрики вто-
второго класса будут подробнее рассмотрены в § 29.
В случае квазиупругих молекул направление моментов всех
молекул параллельно полю, и, стало быть, из B7.1) следует, что
B7.2)
где N — число молекул в единице объема. Сравнивая это с B1.7),
мы приходим к следующему соотношению между поляризуемо-
поляризуемостью диэлектрика а и поляризуемостью его молекул /3:
а = N0. B7.3)
3. В дальнейшем мы, как уже упоминалось, будем иногда для
упрощения заменять рассмотрение совокупности реальных мо-
молекул диэлектрика рассмотрением совокупности эквивалентных
им диполей того же момента р.
В том случае, когда мы имеем дело с «квазиупругими» моле-
молекулами, момент эквивалентного диполя определится на основа-
основании B7.1) формулой
р = el = /ЗЕ. B7.4)
*Kа исключением быстропеременных полей (см. § 101).
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 125
В частности, при отсутствии внешнего поля длина диполя
должна обращаться в нуль, и заряды его должны взаимно ней-
нейтрализоваться, раздвигаясь лишь при наличии внешнего поля Е.
Диполь, момент которого пропорционален полю, называется
диполем квазиупругим, потому что формула B7.4) равносильна
предположению, что между зарядами диполя действует квазиуп-
квазиупругая сила взаимного притяжения F = xl, пропорциональная
расстоянию I между зарядами.
Действительно, помимо F, на каждый заряд действует сила
внешнего поля ±еЕ, которая должна уравновешивать силу F.
Стало быть, длина квазиупругого диполя должна определяться
соотношением
xl = eE,
где х. — мера упругих сил или «коэффициент упругости» диполя.
Таким образом, момент диполя должен быть равен
р = el - - Е,
что совпадает с B7.4), если положить
0 = -, *=?• B7.5)
яг /3
4. В действительности каждая молекула представляет собою
сложную динамическую систему зарядов, подчиняющихся кван-
квантовым закономерностям. Однако в интересующих нас отноше-
отношениях эти молекулы эквивалентны простейшей электростатической
модели — элементарному диполю (см. § 20). Для того чтобы зави-
зависимость момента эквивалентного диполя от внешнего поля была
такой же, как и зависимость от него момента реальной «ква-
зиуиругой» молекулы, нужно допустить, что между зарядами
этого диполя действуют некоторые силы неэлектростатическо-
неэлектростатического происхождения, которые в совокупности с кулоновым при-
притяжением этих зарядов оказываются эквивалентными квазиуп-
квазиупругой силе. Согласно теореме Ирншоу (см. § 19) лишь введение
подобных неэлектростатических сил, соответствующих понятию
связей аналитической механики, может обеспечить устойчивость
электростатической модели молекулы.
§ 28. Отличие действующего на диполь поля
от среднего 1)
1. В предыдущем параграфе при выводе соотношения B7.3)
мы неявно допустили некоторую неточность. А именно, в B7.2)
Р = ЛГр = аЕ B8.1)
1) При первом чтении этот параграф можно опустить.
126 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
мы должны, очевидно, понимать под р средний момент диполей,
находящихся в физически бесконечно малом объеме диэлектри-
диэлектрика, а под Е — напряженность среднего макроскопического поля.
Чтобы получить формулу B7.3)
a = Nj3,
мы внесли в B8.1) соотношение B7.1)
справедливое для отдельного диполя. Следовательно, мы неявно
допустили, что это последнее соотношение остается справедли-
справедливым и для связи между средним моментом диполя и средней
макроскопической напряженностью поля.
Между тем, по определению, 0 есть коэффициент пропорци-
пропорциональности между моментом эквивалентного молекуле диполя
и электрической силой, действующей на его заряды. Эта сила
определяется напряженностью внешнего (по отношению к дан-
данному диполю) электрического поля в месте нахождения диполя,
или, кратко выражаясь, в центре диполя. Стало быть, средний
момент диполей должен быть равен
р = /ЗЕ', B8.2)
где Е' есть средняя напряженность поля в точках расположения
центров диполей, и притом поля, внешнего по отношению к каж-
каждому отдельному диполю. Между тем под Е понимается сред-
средняя напряженность поля в диэлектрике, при вычислении кото-
которой учитывается поле всех диполей во всех точках диэлектрика,
а не только в центрах диполей. Очевидно, что Е' будет, вообще
говоря, отличаться от Е и что формулу B7.2) нужно заменить
формулой
Р = Np = N0E'.
Так как Е', очевидно, пропорционально Е, то основное урав-
уравнение B1.7), конечно, остается в силе, однако поляризуемость
единицы объема диэлектрика а не равна N0. Обозначая коэффи-
коэффициент поляризуемости, вычисленный без учета отличия Е' от Е,
через ско:
а0 = N/3, Р = аоЕ', B8.2')
мы поставим задачу найти зависимость между а и ско, для чего
в свою очередь необходимо найти зависимость между Е' и Е.
2. Чтобы определить напряженность поля Е' в центре какого-
либо диполя О, опишем из этого центра сферу S физически бес-
бесконечно малого радиуса1). Поле Е' в точке О будет слагаться,
г) Результат вычисления, очевидно, не может зависеть от формы поверх-
поверхности 5 Сферическая форма выбрана нами лишь для удобства вычислений.
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 127
во-первых, из поля Ei всех зарядов, расположенных вне сфе-
сферы 5, и, во-вторых, из поля Е2 зарядов, лежащих внутри S, за
исключением зарядов самого диполя О.
Если бы мы вырезали и удалили из диэлектрика сферу S,
то поле в образовавшейся сферической полости и было бы, оче-
очевидно, равно полю Ei. Поскольку заряды, возбуждающие это
поле, находятся вне сферы 5, при определении Ei можно прене-
пренебречь атомистической структурой диэлектрика и заменить сово-
совокупность его молекул непрерывно распределенным по его объему
электрическим моментом плотности Р. Далее, поскольку сфе-
сфера имеет физически бесконечно малые размеры, поляризация Р
окружающего сферу диэлектрика будет постоянной по величине
и направлению. Итак, Ei равно напряженности поля в сфериче-
сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного
диэлектрика. До удаления сферы поле в равномерно поляризо-
поляризованном диэлектрике однородно и равно средней напряженности
макроскопического поля Е. По удалении же сферы S из этого
поля, очевидно, вычтется поле равномерно поляризованной сфе-
сферы S, напряженность которого, согласно B4.3), равна — 4/з""Р-
Стало быть,
Ei =E- (--тР) =Е + -тгР. B8.3)
Таким образом, поле Ei постоянно по всему объему сферы S и
не зависит от ее диаметра.
Что же касается величины Е', которую мы для краткости
назовем напряженностью «действующего на диполь» или «эф-
«эффективного» электрического поля, то она, согласно изложенно-
изложенному, равна
Е' = Ei + Е2 = Е + -тгР + Е2. B8.4)
О
Таким образом, задача определения эффективного поля Е'
сводится к задаче определения среднего поля Е2, возбуждаемого
в центре диполя О прочими зарядами, лежащими внутри сфе-
сферы 5. Напряженность этого поля может существенно зависеть
от строения диэлектрика, — в частности, от взаимного располо-
расположения его диполей, — и поэтому, строго говоря, никакой уни-
универсальной зависимости Е2 от /3, N и Е не существует. Однако
при некоторых простейших предположениях о строении диэлек-
диэлектрика, как мы сейчас покажем, поле Е2 оказывается равным
нулю.
3. Введем декартову систему координат с центром в О. Со-
Согласно A0.4), слагающая Ех поля, возбуждаемого в точке О от-
отдельным диполем, обладающим координатами х, у, z, равна
-РхВ? _ Рх{2х2 -у2 -z
Д5 Я5
128 ДИЭЛЕКТРИКИ
Стало быть, слагающая по оси х поля Е2 будет равна
B8.5)
где суммирование должно распространяться на все диполи, на-
находящиеся внутри физически бесконечно малой сферы S (за ис-
исключением диполя, находящегося в ее центре) 1).
Допустим, что диполи диэлектрика расположены по узлам
кубической пространственной решетки. В этом случае моменты
р всех диполей внутри физически бесконечно малой сферы S бу-
будут одинаковы по величине и направлению, и в формуле B8.5)
можно вынести рх, ру и pz за знак суммы. Приведем оси коор-
координат х, у, z в совпадение с главными осями кристалла. Если
координаты какого-либо из диполей, лежащего внутри 5, равны
х = а, у = b, z — с, то внутри S найдется также диполь с коор-
координатами х — Ь, у = a, z = с. Отсюда следует, что J^ ~5У = 0.
Кроме того, внутри S найдется также и диполь с координатами
х = —а, у = b, z = с, откуда следует, что ^ — = 0, и т. д. Таким
образом, в этом случае, действительно, Е2 = 0.
Тот же результат (Е2 = 0) получится и в случае совершен-
совершенно беспорядочного расположения молекул диэлектрика (газооб-
(газообразный диэлектрик). Действительно, если все положения любой
выделенной молекулы внутри сферы S равновероятны и не за-
зависят от положения других молекул, то среднее значение поля
любой молекулы в центре сферы О равно нулю2). Нужно, одна-
однако, иметь в виду, что предположение об отсутствии всякой кор-
корреляции между положениями различных молекул равносильно
пренебрежению: 1) конечными размерами молекул и 2) диполь-
ным взаимодействием молекул друг с другом.
4. При Е2 = 0 формула B8.4) принимает вид
Е' = Е + - тгР. B8.6)
3 v
Внося это в B8.2'), получим
= о;оЕ + -
О
1) Если при определении среднего значения Ег учитывать поле всех дипо-
диполей, находящихся внутри сферы S, во всех точках этой сферы, а не только
в центре диполя О, то это среднее значение Ег окажется, очевидно, равным
—4/зтР, так что Ei + E2 будет равно Е.
2) Это утверждение справедливо только для среднего поля. Фактически,
поле Еа в системе случайно расположенных диполей описывается функцией
распределения конечной ширины, центрированной при Е2 = 0.
§ 28 ПОЛЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ НА ДИПОЛЬ 129
откуда
Р = 2° Е = аЕ,
1 - D/3)ttq0
и, следовательно,
а = 22 . B8.7)
1 - D/3)тга0 v '
Таким образом, тот факт, что «действующее» поле Е' отлич-
отлично от среднего поля Е, сказывается лишь на числовом значении
коэффициента поляризуемости диэлектрика. В частности, соот-
соотношение между диэлектрической проницаемостью и постоянной
ско получится из B2.5):
,
1-D/3)гга0
откуда 1 .
S B8-8>
Эта формула и формула B8.6) называются формулами Лоренц-
Лорентца. Внося в B8.8) значение ско из B8.2'), получаем
— = - nNp. B8.9)
е+2 з к '
При ско «С 1 (т. е. при е, близком к единице) а может быть
принято равным ско, а Е' равным Е, и мы возвращаемся к преж-
прежним формулам, которые, таким образом, оказываются вполне
справедливыми для слабо поляризующихся диэлектриков. Это и
понятно, ибо в слабо поляризующихся диэлектриках влияние ди-
диполей друг на друга существенной роли не играет. Между тем
отличие Е' от Е обусловливается, в сущности, именно взаимо-
взаимодействием диполей диэлектрика, учитываемым вторым членом
формулы B8.6). Если N сравнительно мало (например в газах),
то а может быть принято равным ско-
5. Следствия, вытекающие из формулы Лоренц-Лорентца,
будут рассмотрены в § 29, пока же мы отметим еще раз, что ее
вывод основан на ряде допущений и пренебрежений. В частно-
частности, при замене поля отдельной молекулы или атома диэлектри-
диэлектрика полем эквивалентного диполя [формула B8.5)] вовсе не было
учтено, что эта замена законна лишь на расстояниях, значитель-
значительно превышающих размеры атома (см. §20), тогда как в твердых
и жидких диэлектриках расстояния между смежными атомами
сравнимы с размерами этих атомов.
Таким образом, из предыдущего, в сущности, с несомненно-
несомненностью вытекает только необходимость учитывать различие меж-
между средним макроскопический полем Е и средним эффективным
полем Е'. Что же касается формулы Лоренц-Лорентца, то, хотя
справедливость ее строго доказана лишь при весьма специаль-
специальных предположениях, все же она, как мы увидим в § 29, хорошо
оправдывается на опыте в применении к жидким диэлектрикам
5 И. Е. Тамм
130
ДИЭЛЕКТРИКИ
ГЛ II
с квазиупругими диполями [в газообразных средах е настоль-
настолько близко к 1, что B8.8) практически не отличимо от B2.5) с
а = а0].
О неприменимости формулы Лоренц-Лорентца к диэлектри-
диэлектрикам с твердыми диполями см. следующий параграф.
§ 29. Поляризация диэлектриков, молекулы которых
обладают постоянным электрическим моментом.
Зависимость диэлектрической проницаемости
от температуры
1. Как уже упоминалось в § 27, если молекулы диэлектрика и
в отсутствие внешнего поля обладают электрическим моментом
ро, то изменением этого момента под воздействием поля мож-
можно пренебречь. Поляризация диэлектрика обусловливается тем,
что силы электрического поля стремятся повернуть оси молекул
по направлению вектора Е, т. е. стремятся упорядочить ориен-
ориентацию электрических моментов молекул. Однако поляризация
диэлектрика не сразу достигает максимума, соответствующего
установке всех молекул по направлению поля, а возрастает про-
пропорционально полю Е, ибо беспорядочное тепловое движение
(в частности, вращение) молекул и их взаимные столкновения
стремятся нарушить упорядоченность ориентации их осей, т. е.
стремятся деполяризовать диэлектрик. Таким образом, факти-
фактическая поляризация определяется соотношением между упорядо-
упорядочивающим воздействием поля и противоположным воздействием
теплового движения. Очевидно, что
поляризация диэлектриков этого
класса будет резко падать с повы-
повышением температуры.
2. Пусть в единице объема
диэлектрика содержится N мо-
молекул с постоянным электриче-
электрическим моментом ро. Опишем око-
около произвольной точки диэлектри-
диэлектрика сферу радиусом, равным еди-
единице, и введем на ней поляр-
полярные координаты: д — полярный
угол и а —долгота, выбрав по-
полярную ось параллельной вектору Е.
Направление момента ро произволь-
рис 34 ной молекулы будет характеризо-
характеризоваться координатами i? и а «следа»
оси этой молекулы на единичной сфере, т. е. координатами точки
пересечения поверхности этой сферы с продолжением оси моле-
молекулы (рис. 34). Если бы поле Е отсутствовало, то оси молекул
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 131
были бы равномерно распределены по всем направлениям. Это
значит, что число молекул, след оси которых лежит на данном
элементе единичной сферы, было бы пропорционально этому эле-
элементу. В частности, число dN молекул, полярный угол осей кото-
которых лежит в пределах от д до д + dd, т. е. следы которых лежат
на шаровом поясе поверхности 27rsini9rfi9, заключенном между
двумя параллельными кругами д и ¦д + rf$, должно быть равно
dN = csmtidti, B9.1)
где с — некоторый постоянный коэффициент.
Для того чтобы определить распределение осей молекул при
наличии ориентирующего их внешнего поля Е, необходимо при-
прибегнуть к известной теореме статистической механики, так назы-
называемой теореме Болъцмана. Теорема эта гласит: в условиях тер-
термодинамического равновесия закон распределения молекул при
наличии консервативного поля сил (в нашем случае — поля элек-
электростатического) отличается от закона их распределения в от-
отсутствие этого поля множителем е~и/кТ, где U — потенциальная
энергия молекулы в рассматриваемом поле сил, Т — абсолют-
абсолютная температура, а к — универсальная постоянная Больцмана,
равная 1,38 • 1(Г16 эрг/К.
В нашем случае потенциальная энергия дипольной молекулы
в электрическом поле сил равна, согласно A5.8),
U = —роЕ cos •&.
Стало быть, распределение молекул определится ввиду B9.1)
уравнением
dN = с expPoEcosiSsmtfdd = ceacos^ sintfdtf, B9.2)
где dN — число молекул, углы осей которых с направлением поля
лежат в пределах между д и dd, и где введено обозначение
а. B9.3)
Таким образом, отклонение распределения молекул от равно-
равномерного, определяемое фактором ехр ——?2!_; тем больше, чем
больше напряженность поля и чем меньше температура. Это и
понятно, ибо с повышением температуры растет энергия тепло-
теплового движения, нарушающего упорядоченность распределения.
3. В газах и в разбавленных растворах дипольных жидкостей
можно совершенно пренебречь разницей между действующим на
диполь полем Е' (см. § 28) и средним макроскопическим полем Е.
При нормальных температурах величина а во всех практически
доступных внешних полях 1) оказывается значительно меньше
1) О молекулярных полях см в конце параграфа.
132 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
единицы. Ввиду этого можно с достаточной точностью заменить
фактор eacosi3 первыми двумя членами его разложения в ряд по
степеням а. При этом B9.2) примет вид
dN = c(l + acostf)sini?dtf (a <? 1).
Коэффициент пропорциональности с можно определить из того
условия, что общее число всех молекул в единице объема должно
равняться N:
7Г
[ dN = [ с{\
= 2c = N.
Следовательно, B9.2) можно окончательно записать так:
dN = ±N(l+acos$)smtidti (а<1). B9.4)
Зная, таким образом, распределение осей молекул по направ-
направлениям, нетрудно определить и их результирующий электриче-
электрический момент, т. е. поляризацию диэлектрика Р. Вектор Р па-
параллелен напряженности поля Е, поэтому числовое значение его
должно равняться сумме проекций моментов всех N молекул на
направление Е. Общий момент тех dN молекул, оси которых ле-
лежат между ¦д и д + dd, равен ро dN, а проекция этого момента на
направление Е равна podN cos $. Следовательно, поляризация
диэлектрика Р равна
Р= [pocosti dN = -pQN Icostf(l + acostf) sintf dd = - Npoa,
0
или, по внесении значения а из B9.3),
B9.5)
Р
ЗкТ
где
а = М. B9.6)
ЗкТ К '
Следует заметить, что приведенные вычисления верны с точно-
точностью до второго порядка по параметру а включительно, а не
до первого, как кажется на первый взгляд. Действительно, если
в разложении функции ceaC0S1? сохранить квадратичные члены,
а затем обычным способом вычислить нормировочную постоян-
постоянную с, то вместо формулы B9.4) получится
dN=22
2
+ a2/6)
или с той же точностью
dN = -N(l + acostf + -a2cos2•в- -aAsinfldti (a<l).
2 4 2 6 / v '
B9.4а)
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 133
После этого в выражении для Р добавится интеграл
-pQN
2
О
который, очевидно, обращается в нуль1). Этим замечанием мы
воспользуемся в § 31 при разборе вопроса об энергии газообраз-
газообразных диэлектриков с твердыми диполями. Таким образом, учет
квадратичных членов не меняет окончательное выражение
для Р.
Отметим еще раз, что применимость формул B9.5) и B9.6)
ограничена условием
а = Р°Е « 1. B9.7)
При нарушении этого условия в очень сильном поле или при
очень низкой температуре Р перестает возрастать пропорцио-
пропорционально Е и приближается к максимально возможному значению,
соответствующему установке всех диполей по направлению поля.
«Поляризация насыщения», очевидно, равна
Рнас = Np0 2) .
4. Примем теперь во внимание, что в действительности моле-
молекулы всех тел, вне зависимости от того, обладают ли они неко-
некоторым постоянным электрическим моментом ро или нет, облада-
обладают также некоторой квазиупругой поляризуемостью /3. Поэтому
поляризация диэлектрика с твердыми диполями слагается из по-
поляризации квазиупругой [уравнение B7.3)] и из поляризации,
соответствующей упорядочению ориентации твердых диполей
[уравнение B9.6)], т. е. определяется выражением
). B9.8)
3 кТ) К '
Чтобы выявить зависимость е от температуры Г и плотно-
плотности т диэлектрика, выразим число N молекул в единице его объ-
объема через его плотность т, его молекулярную массу М и через
универсальную постоянную Авогадро Щ = 6,06 • 1023, равную
числу молекул в одном моле вещества. Так как т и М равны,
соответственно, массе единицы объема и массе одного моля, то
N = ^. B9.9)
х) Вообще, все члены с четной степенью а в разложении exp (a cos ¦&) дают
для Р нулевой вклад.
2) Поляризация веществ с твердыми диполями в сильных полях будет по-
подробнее рассмотрена в § 72 в связи с намагничением пара- и ферромагнети-
ферромагнетиков.
134 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Внося это в B9.8), получим
= р + - — . B9.10)
т М \ 3 кТ/
В этой формуле ярко проявляется тот факт, что поляризация
твердых диполей не представляет собой внутримолекулярного
процесса, как в случае диполей квазиупругих, а определяется
соотношением между ориентирующим воздействием электриче-
электрического поля и дезориентирующим воздействием теплового движе-
движения. А именно, диэлектрическая проницаемость с квазиупругими
диполями (ро = 0) при постоянной плотности г от температуры
не зависит 1), тогда как в диэлектриках с твердыми диполями
обусловленная этими диполями доля поляризуемости при
47Г
постоянном г обратно пропорциональна абсолютной температу-
ре2).
Зависимость е от Т и т, выражаемая формулой B9.10), хоро-
хорошо подтверждается на опыте как для диэлектриков с квазиуп-
квазиупругими диполями (N2, H2, С(>2, СЙ4, CCI4 и т. д.), так и для ди-
диэлектриков с диполями твердыми (Н2О, SO2, HC1, NH3 и т. д.),
если исследуемые диэлектрики находятся в газообразном состоя-
состоянии (о жидкостях см. ниже). В частности, пользуясь формулой
B9.10), можно по измеренной зависимости е от Г вычислить
электрический момент молекулы диэлектрика; для большин-
большинства молекул с «твердыми диполями» ро оказывается порядка
10~18 абс. (электростатических) единиц. К тем же результатам
приводит и непосредственное определение момента отдельных
молекул, основанное на измерении отклонения, которое испы-
испытывает в неоднородном электрическом поле в вакууме пучок мо-
молекул, влетающих в это поле (метод Штерна).
5. Заметим, что в формулах B9.6) и B9.10) не учтено раз-
различие между средним значением напряженности электрического
поля Е и средним значением Е' поля, действующего на молекулы
диэлектрика (см. § 28). Поэтому эти формулы применимы только
в слабо поляризующихся средах (а<С1). В случае диэлектриков с
квазиупругими диполями учет отличия действующего поля Е' от
1) При рассмотрении диэлектриков с упругими диполями мы вовсе не учи-
учитывали теплового движения молекул, что, конечно, допустимо в первом при-
приближении. Можно, однако, показать, что и при более точном рассмотрении
вопроса средний момент каждой молекулы р = РЕ от температуры не за-
зависит См., например, Дебай П. Избранные труды Статьи. 1909-1965. —Л.:
Наука, 1987.
2) Впоследствии (см §101) мы увидим, что диэлектрики этих двух ти-
типов существенно отличаются также своим поведением в быстропеременных
электрических полях.
§ 29 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 135
среднего поля Е приводит к формуле Лоренц-Лорентца B8.8):
B9.11)
N0 0,
е + 2 3 Н Ш И'
которая хорошо подтверждается для диэлектрических жидко-
жидкостей этого класса (поляризуемость которых а не мала по срав-
сравнению с 1).
Некоторое время было распространено предположение, что
отличие действующего поля Е' от среднего поля Е выражает-
выражается формулой B8.6) не только в диэлектриках с квазиупругими
диполями, но и в диэлектриках с твердыми диполями. Из этого
предположения вытекало, что при значительном отличии а от
единицы формула B9.10) должна быть заменена формулой
Lll^MnLfp + A.), B9.12)
е + 2 дМ \И 3kTJ ' V ;
являющейся обобщением формулы Лоренц-Лорентца B8.9) и
применимой к диэлектрикам любого класса.
Однако результаты экспериментального исследования ди-
польных жидкостей (вода, спирты, эфиры и т. п.) вовсе не со-
согласуются с формулой B9.12) г). Это вполне понятно, так как
исходное для этой формулы лоренцево соотношение B8.6) между
действующим и средним полями Е'иЕ неприменимо к диэлек-
диэлектрикам с твердыми диполями Действительно, в диэлектриках
этого класса каждая молекула (диполь) испытывает очень силь-
сильное ориентирующее воздействие со стороны смежных молекул
(диполей). Хотя в отсутствие внешнего электрического поля оси
молекул и распределены равномерно по всем направлениям, од-
однако между направлениями осей смежных молекул существует
определенная корреляция. Эта корреляция мало изменяется и во
внешнем поле, что не учитывается формулой B9.6) 2).
б Отметим в заключение, что электрическое взаимодействие
смежных ионов играет существенную роль в своеобразных свой-
свойствах сегнетоэлектприков. К числу их относятся, во-первых, кри-
кристаллы сегнетовой соли и родственных ей веществ, представляю-
*)К сильно разбавленным растворам веществ с твердыми диполями в
недипольных жидкостях приближенно применима формула типа B9.12)
е + 2 3 V ЗкТ
где N и N' означают соответственно число молекул растворителя и рас-
растворенного вещества в единице объема раствора, 0 — поляризуемость мо-
молекул растворителя и ро — электрический момент молекул растворенного
вещества Однако условием применимости этой формулы является малость
дипольного члена (второго члена в скобках)
2)См Китптпель Ч Введение в физику твердого тела — М Мир, 1978
Гл. 13 и литература к этой главе.
136 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
щих собою сложные органические соединения, и, во-вторых, ряд
кристаллов типа КНгРО^ В определенном температурном ин-
интервале, ограниченном в случае кристаллов первого типа двумя
«точками Кюри» как со стороны высоких, так и со стороны низ-
низких температур (в случае кристаллов второго типа нижняя точ-
точка Кюри отсутствует), сегнетоэлектрики обладают аномальными
электрическими свойствами, подобными магнитным свойствам
ферромагнетиков. Так, например, в этом температурном интер-
интервале диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков дости-
достигает в слабых электрических полях значений порядка несколь-
нескольких тысяч; при увеличении поля е быстро падает, а поляризация
сегнетоэлектриков стремится к насыщению и т. д. Ч .
§ 30. Энергия электрического поля в диэлектриках
1. В § 15 было выведено выражение A5.6) для энергии элек-
электрического поля в отсутствие диэлектриков:
W = - f fxpdV+- f<j<pdS. C0.1)
Эта формула остается справедливой и для случая электриче-
электрического поля в произвольный среде, если только под р и а понимать
плотность свободных зарядов. Влияние же диэлектрика сказы-
сказывается в том, что при одном и том же распределении свободных
зарядов значение потенциала (р в диэлектрике отличается от зна-
значения его в вакууме. В частности, при том же распределении
свободных зарядов потенциал tp, а вместе с тем, согласно C0.1),
и энергия W в однородном диэлектрике в е раз меньше, чем в
вакууме.
2. Чтобы доказать справедливость формулы C0.1) в случае
наличия диэлектриков, нужно было бы вычислить работу А сил
поля при перемещениях как свободных зарядов, так и самих ди-
диэлектриков и показать, что
А = -dW. C0.2)
Доказательство справедливости этого соотношения при про-
произвольных перемещениях свободных зарядов, но при неподвиж-
неподвижности диэлектриков совершенно аналогично рассуждениям, при-
приведшим нас в § 15 к формуле A5.6). Рассматривая перемещение
заряда в] в поле заряда в2, получаем формулу A5.2)
W = ei<pi,
1) В настоящее время известно очень много сегнетоэлектриков (по иностран-
иностранной терминологии — ферроэлектриков). Среди них важное место занимает
ВаТЮз и другие вещества такого типа. См. /Тайне М., Гласе А Сегнето-
Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. — М.: Мир, 1981; Киттелъ Ч.
Введение в физику твердого тела. — М.: Мир, 1978. Гл. 14. {Примеч. ред.)
§ 30 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 137
где ipi — потенциал поля заряда e<i в точке нахождения заряда е\.
Рассматривая же перемещение заряда в2, получаем
W' =
Очевидно, что оба выражения для W должны совпадать 1):
C0.3)
1) Справедливость этого «соотношения взаимности» в отсутствие диэлек-
диэлектриков была доказана нами в § 15 путем использования для ср его выражения
е/ R Справедливость же C0 3) в произвольной среде может быть доказана
следующим образом.
Пусть ip^ ' и D^ ' означают потенциал и индукцию поля, создаваемого
зарядом еь Выделим вокруг каждого из зарядов г\ и ег бесконечно малые
объемы Vi и Vi; поверхности этих объемов обозначим через Si и Si Во всем
пространстве V' вне V\ и V^
divD(I) =divDB) = 0,
а стало быть, и
(
или, согласно D3*),
div(y>B>D<l>) = DA)V^B) = div(y!'1>DB>) - DBVA)-
Ввиду того, что
-DAV2> = DA>EB) = еЕA)ЕB) = EA)DB) = -
последнее соотношение равносильно
Интегрируя обе части этого равенства по всему пространству V' вне объемов
Vi и V2, получаем на основании теоремы Гаусса A7*).
/ у ^D^dS. (a)
Si+S2
На бесконечно малой поверхности Si, окружающей заряд ei, потенциал ср'2'
заряда ег можно считать постоянным Обозначая его через ipi, получаем на
основании B2.3):
5i S,
(знак минус появляется потому, что внешняя по отношению к объему инте-
интегрирования V' нормаль к Si направлена к заряду ei, а не от него). Далее,
поверхность 52 можно выбрать так, чтобы на ней потенциал у'2-1 имел по-
постоянное значение. Тогда
ибо внутри S2 нет зарядов, создающих поле D^\ Таким образом,
<pB)Dln1)dS=-4wei<pi.
5i+S2
Совершенно аналогично получим § <p^D$PdS — —Атгеъфг- Внося это
Si+S2
в (а), получаем соотношение взаимности C0.3).
138 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям A5.3), A5.4)
и A5.6), что и требовалось доказать.
Конечно, уравнение A5.5) уже не имеет места при наличии
диэлектриков, ибо <р% ф &ijRi2-
3. Для исчерпывающего обоснования формулы C0.1) нужно
еще вычислить работу А сил поля при произвольных перемеще-
перемещениях диэлектриков и убедиться в том, что она также равна — dW.
Однако строгое проведение этого вычисления было бы не только
весьма сложно, но и не могло бы быть выполнено без опреде-
определенных предположений о строении и свойствах диэлектриков.
Поэтому мы удовольствуемся приведенным обоснованием фор-
формулы C0.1) и обратим задачу, т. е. будем в дальнейшем рас-
рассматривать это выражение для энергии [или, точнее, выражение
C0.4), — см. ниже] как один из постулатов макроскопической
теории поля, следствия из которого оправдываются на опыте.
В частности, мы будем с помощью C0.2) определять работу сил
поля при перемещениях диэлектриков, исходя из выражения
C0.1) для энергии, как из данного.
Помимо этого, мы здесь и в следующем параграфе покажем,
что в тех простейших случаях, когда нетрудно непосредственно
подсчитать работу сил поля при перемещениях диэлектриков,
результаты подсчетов совпадают со следствиями, вытекающими
из формулы C0.1).
4. Как уже упоминалось в § 16, выражение электрической
энергии C0.1) по своей форме соответствует представлению о
взаимодействии зарядов на расстоянии. Однако, как и в случае
отсутствия диэлектриков, это выражение может быть преобра-
преобразовано так, чтобы соответственно представлениям теории близ-
кодействия энергию поля можно было считать распределенной с
определенной объемной плотностью w по всему пространству, в
котором поле отлично от нуля. Действительно, подынтегральное
выражение первого из интегралов, входящих в C0.1), на основа-
основании B2.2), D3^) и A0.2) может быть представлено в следующем
виде:
lpp= J-(/?divD = — {div(</?D)-Dgrad</?}= — {di
4тг 47г 4тг
откуда на основании теоремы Гаусса A7*) имеем
- ГpipdV = — [DEdV + — Гdiv(ipB)dV =
2 J н^ 8тг J 8л- J
8тг J
Последний интеграл должен быть распространен, во-первых, на
поверхность S, ограничивающую объем интегрирования V, и,
во-вторых, на поверхности S[, выделяющие из этого объема
поверхности разрыва подынтегрального выражения, т. е. поверх-
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 139
ности разрыва нормальной слагающей вектора D (ибо потенциал </?
должен быть непрерывным, поскольку мы не рассматриваем двой-
двойных электрических слоев). Если мы условимся рассматривать
полное поле, то интеграл по ограничивающей его поверхности S
обратится в нуль (см. с. 81). Поверхности же разрыва нормаль-
нормальной слагающей вектора D являются поверхностями, заряженны-
заряженными свободным электричеством, причем скачок этой слагающей
Dn определяется уравнением B2.8). Стягивая обычным образом
поверхности S[ вплоть до полного прилегания их к поверхностям
разрыва S\ (см. с. 64), мы получим уравнение
lim — [ Dn<pdS = — [ <p(Din - D2n) dS =-- [ipadS.
S!-+Si 8тг J 87Г J 2 J
S[ Si Si
Таким образом,
- f p<pdV = — fDEdV-- JatpdS,
и, следовательно, энергия полного поля, согласно C0.1), равна
W = — fDBdV. C0.4)
8тг J v
Это выражение можно истолковать в том смысле, что энергия
электрического поля распределена по всему занимаемому им про-
пространству с объемной плотностью w, равной
w=— DE = — E2. C0.5)
8л- 8л- v
Уравнение это является одной из основных формул теории элек-
электричества. Частным случаем его при е = 1 является A6.3).
Эквивалентность выражений C0.1) и C0.4) имеет место толь-
только в постоянном электрическом поле и, как мы увидим в дальней-
дальнейшем, нарушается в поле переменном. Переменное электрическое
поле вообще не может быть охарактеризовано однозначным ска-
скалярным потенциалом <р, и поэтому формула C0.1), в которую
входит if, теряет смысл в переменном поле; выражение же C0.4)
для энергии электрического поля остается справедливым и в пе-
переменном поле и должно поэтому рассматриваться как основное
определение энергии электрического поля.
§ 31. Преобразования энергии, связанные
с поляризацией диэлектриков. Свободная энергия
электрического поля
1. Согласно C0.5) при заданной напряженности Е энергия
поля в диэлектрике в е раз больше, чем в вакууме. Между тем,
если носителем электрической энергии является электрическое
140 ДИЭЛЕКТРИКИ
поле, как это предполагается теорией близкодействия, то, каза-
казалось бы, что энергия эта должна зависеть от напряженности по-
поля, а не от свойств среды, находящейся в поле. В частности, при
одинаковой напряженности поля энергия его должна быть оди-
одинаковой как в вакууме, так и в том случае, если в вакуум вкрап-
вкраплены отдельные молекулы диэлектрика. Существуют, однако,
две причины, по которым плотность энергии поля в диэлектри-
диэлектрике зависит от напряженности этого поля Е иначе, чем в случае
вакуума.
Во-первых, в макроскопической теории под Е понимается сред-
средняя напряженность электрического поля (см. § 25): Е = Емикро-
Так как средняя плотность электрической энергии равна
^эл = ^-Емикро C1.1)
и так как средний квадрат напряженности поля, вообще говоря,
не равен квадрату средней напряженности:
-Емикро ф (-Емнкро) = Е ,
то истинная плотность юэл электрической энергии в диэлектрике,
вообще говоря, не выражается формулой A6.3):
Е.
Во-вторых, под энергией поля понимается вся энергия, кото-
которую нужно затратить на возбуждение поля (или, что то же, вся
энергия, которая выделяется при исчезновении поля). При на-
наличии диэлектриков вовсе не вся эта энергия целиком является
электрической энергией в собственном смысле слова.
2. Действительно, рассмотрим сначала диэлектрик с квазиуп-
квазиупругими диполями. Возникновение поля в таком диэлектрике не-
неразрывно связано с поляризацией его молекул, т. е. с раздви-
раздвиганием зарядов диполей, эквивалентных молекулам. Между
зарядами каждого диполя по основному предположению дейст-
действуют силы как электростатического, так и неэлектростатиче-
неэлектростатического происхождения, сводящиеся в совокупности к квазиупру-
квазиупругой силе взаимного притяжения этих зарядов. Стало быть, при
раздвигании зарядов диполя на расстояние I силы электрическо-
электрического поля совершают определенную работу, диполем же приобре-
приобретается равная этой работе упругая энергия Уг>^2, где х — мера
упругих сил или коэффициент упругости, диполя. Согласно
B7.5) и B7.4)
1„1*=*.(ёЕJ = 1{Ц?2 = ± рЕ\ C1.2)
2 2/3 V е / 2 2 К '
где Е' — напряженность поля, действующего на диполь. То же
значение будет иметь и внутренняя энергия поляризованной мо-
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 141
лекулы. Общая же квазиупругая энергия гоупр всех молекул, на-
находящихся в единице объема диэлектрика, будет равна
гоупр = - NpE'. C1.3)
Так как под энергией электрического поля понимается вся
энергия, которую нужно затратить на возбуждение поля, то пол-
полную энергию го поля в диэлектрике нужно, очевидно, положить
равной сумме собственно электрической энергии гоэл и неразрывно
связанной с ней упругой энергии гоупр поляризованных диполей:
,,, _,,, , ... _ ! ~Ш i I м^Гру
Ш Ч'ЭЛ I "^УПР ~ ±J МИКрО I „ 14 JJ1-J ¦
Если мы пренебрежем разницей между -Емикро) Е' и средней
напряженностью макроскопического поля Е и примем во внима-
внимание, что Р = Np, то мы получим
гоупр = I NpE =1рЕ=—(е- 1)Е2
и
w = гоэл + гоупр = — Е2 + — (е - 1)Е2 = —,
что совпадает с C0.5).
Мы привели этот вывод формулы C0.5) ввиду его большой
наглядности. Однако пренебрегать разницей между Еиикро, Е'
и Е, в сущности, совершенно незаконно. Поэтому мы приведем
также более строгое доказательство того, что энергия поля C0.5)
в диэлектрике с квазиупругими молекулами равна сумме соб-
собственно электрической энергии поля и упругой энергии, запа-
запасенной в поляризованных молекулах диэлектрика.
3 Выделим внутри диэлектрика физически бесконечную малую сфе-
сферу S и разложим поле ЕМикРо на две составляющие — поле Ei зарядов, рас-
расположенных вне сферы S, и поле Е,„ диполей диэлектрика, находящихся
внутри S. Средняя плотность энергии внутри S будет равна
1 (В?
w = -^Ж,кро = -!- {Ei + ЕгпJ = 1- (В? + 2ЁТВ1П +Б?П).
8тг О7Г 8тг
Поле Ei внешних зарядов, согласно B8 3), постоянно на всем протяжении
сферы S, причем
Ei = Ei = E + - тгР
3
Далее,
Е,„ = E-Ei = —тгР
3
Следовательно, плотность энергии поля Ei равна
Ю11 Ё? ^ Ы+к
8тг 8тг \ 3
а плотность взаимной энергии полей Ei и Е,п равна
^Г^,п = -5-Е1 Б,„ = - Р (Е + |
4 3 \ 3
^ЕГ^,п Е1 Б,„ Р (Е + |
4тг 4тг 3 \ 3
142 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Что же касается энергии поля Ег„ диполей, расположенных в S, то об-
общая энергия этого поля равна сумме: 1) взаимной энергии диполей, 2) соб-
собственной энергии положительных и отрицательных зарядов, входящих в со-
состав диполей, и, наконец, 3) энергии попарного взаимодействия зарядов,
входящих в состав одного и того же диполя. Согласно исходному поло-
положению теории совокупность электростатического и неэлектростатического
взаимодействия зарядов каждого диполя сводится к квазиупругой силе; сле-
следовательно, энергия этого взаимодействия равна упругой энергии диполя.
Собственная же энергия зарядов диполя от напряженности поля и поляри-
поляризации диэлектрика не зависит; в макроскопической теории эта аддитивная
постоянная во внимание не принимается. Наконец, энергия взаимодействия
системы диполей равна
[ср. A5.8)], где Еь — напряженность поля А-го диполя системы в месте
нахождения г-го диполя р.
Известная доля этой энергий взаимодействия диполей локализована вне
занимаемой диполями сферы 5: доля эта равна интегралу — / Efre dV, рас-
8тг J
пространенному по всему пространству вне сферы. При определении напря-
напряженности поля Е,п во внешнем пространстве можно считать электрический
момент диполей равномерно распределенным по объему сферы S, т. е. счи-
считать эту сферу равномерно поляризованной; следовательно, согласно B4.1),
поле Егп во внешнем пространстве равно полю диполя момента VP, где V —
объем сферы S- Воспользовавшись формулой A0.4), получим
Я8 9 '
где оба интеграла распространены по всему пространству вне сферы S.
Таким образом, доля взаимной энергии диполей, локализованная внутри
сферы S, равна
2 и
1, к
а плотность ее равна
2V ?—/г g '
Плотность упругой энергии диполей [ср. C1.2)] равна
где EJ — напряженность поля, действующего на i-й диполь. Складывая по-
полученные выражения, имеем
_ 1_
Р~ 8тг
Очевидно, что
е:-^Еь=Е1=Е+|тГР,
к 6
причем Ei постоянно по всему объему сферы. Следовательно,
2V-^ ^ ~ ' 2 ^ 3 I V 2V 3
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 143
Внося это в предшествующее уравнение, получим
W = — (?2+4тгЕР),
8тг
что, ввиду B2.6), совпадает с формулой C0.5).
4. Рассмотрим в заключение энергию электрического поля
в диэлектрике с твердыми диполями. Этот случай существен-
существенно отличен от только что рассмотренного, ибо твердые диполи, в
отличие от квазиупругих, не обладают запасом внутренней энер-
энергии, меняющейся в зависимости от напряженности поля. Однако,
с другой стороны, нужно учесть следующее. В случае квазиупру-
квазиупругих диполей мы вправе предполагать, что никакого взаимодей-
взаимодействия между поляризацией диэлектрика и тепловым движением
его молекул нет1). В случае же молекул с твердыми диполями
тепловое движение, как мы видели, оказывает существенное влия-
влияние на поляризацию, препятствуя ее насыщению. Стало быть, и
обратно, возникновение поляризации, т. е. установка осей дипо-
диполей по направлению внешнего поля, должна сказываться на теп-
тепловом движении молекул диэлектрика и должна быть связана
с изменением энергии этого движения, т. е. с поглощением или
выделением тепла.
Так, например, в газообразных диэлектриках под воздействи-
воздействием электрического поля Е ось каждого диполя (если только она
не параллельна Е) должна совершать маятникообразные коле-
колебания около направления этого поля. При соударениях молекул
диэлектрика происходит частичный обмен между энергией этих
колебаний и энергией поступательного теплового движения мо-
молекул, пока не установится равновесие, соответствующее опреде-
определенной степени поляризации диэлектрика (зависящей как от Е,
так и от температуры).
Итак, работа внешних сил2) Авнш, затрачиваемая на изме-
изменение напряженности поля в диэлектрике с твердыми диполями
и на его поляризацию, должна идти не только на приращение
собственно электрической энергии поля, но и на нагревание (или
охлаждение) диэлектрика. Если же диэлектрик поддерживается
при постоянной температуре, то избыток работы у1ВНш над изме-
изменением электрической энергии dWM будет передан окружающим
телам в форме некоторого количества теплоты Q:
АВИШ = <ШШ + Q.
На основании второго закона термодинамики, количество
теплоты Q, передаваемое системой окружающим ее телам при
') См. примечание к с. 134.
2) Обозначение А без индекса мы сохраняем для работы пондеромоторных
сил электрического поля, которая в случае обратимых процессов равна по
величине, но обратна по знаку работе внешних сил Авнш.
144 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
произвольном обратимом процессе, пропорционально прираще-
приращению, испытываемому при этом процессе энтропией системы S:
Q = -TdS,
где Т — абсолютная температура системы. Стало быть 1),
или, так как по сделанному предположению Т = const,
Как известно из термодинамики, функция состояния систе-
системы, приращение которой при обратимом изотермическом про-
процессе равно затрачиваемой в этом процессе работе внешних сил,
называется свободной энергией системы Ф. Следовательно, та
часть свободной энергии единицы объема диэлектрика, которая
зависит от напряженности электрического поля и поляризации
диэлектрика, равна
- Ts,
где s — зависящая от поляризации диэлектрика часть энтропии
единицы его объема.
Мы можем теперь уточнить смысл, вкладываемый в выра-
выражение C0.5) для плотности электрической энергии. Одним из
основных постулатов макроскопической теории электричества
является утверждение, что выражение
1О = ^1 = ф C1.4)
8тг Т К '
определяет собою плотность свободной энергии электрического
поля в диэлектриках2).
Справедливость этого постулата, как и всякого постулата
вообще, может быть доказана только сравнением с опытом со-
совокупности вытекающих из него следствий; теоретические же
соображения в пользу него состоят в следующем.
Во-первых, в начале § 30 было доказано, что работа сил элек-
электрического поля при перемещениях свободных электрических
^Строго говоря, это выражение для Авнш справедливо лишь в том слу-
случае, если объем диэлектрика при его поляризации поддерживается посто-
постоянным. Если же поляризация производится при постоянном давлении р,
то она, вообще говоря, сопровождается некоторым изменением dV объема
диэлектрика V (электрострикцил), на которое затрачивается добавочная
работа —pdV.
2)Как известно из термодинамики, свободная энергия ф совпадает с энер-
энергией системы только в том случае, если ф от температуры Т не зависит
(при постоянном объеме V системы); в данном случае это условие означает
независимость е от Т при постоянном V [квазиупругие диполи, см. B8 9), а
также примечание 1 на с. 134].
§ 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 145
зарядов равна убыли выражения C0.1) или равного ему выраже-
выражения C0.4); при этом доказательстве предполагалось, что диэлек-
диэлектрик неподвижен и что значение е в каждой точке поля оста-
остается неизменным при перемещениях свободных зарядов. Ввиду
того, что е, вообще говоря, зависит от температуры, постоян-
постоянство е означает, что диэлектрики поддерживаются при посто-
постоянной температуре, т. е. что от них отводится та теплота dQ,
которая выделяется в них при изменениях поля, вызываемых пе-
перемещениями свободных зарядов. Таким образом, выводы § 30
относятся к изотермическим процессам, т. е. формулы C0.4) и
C0.5) определяют свободную энергию электрического поля.
Во-вторых, в этом параграфе мы показали, что в диэлектри-
диэлектриках, состоящих из квазиупругих диполей, поляризация которых
не связана с тепловыми эффектами, выражение C0.5) плотно-
плотности свободной энергии, как и должно быть, совпадает с плотно-
плотностью внутренней энергии. Наконец, мы сейчас покажем, что при
некоторых упрощающих предположениях непосредственное вы-
вычисление свободной энергии поля в диэлектрике с идеальными
твердыми диполями приводит к выражению C0.5) или C1.4).
Рассмотрим газообразный диэлектрик столь малой поляризуемости, что
различием между (Я„икроJ = Е2 и ЯМИкРо, а также между Е и Е' (§ 28)
в нем можно пренебречь. Молекулы диэлектрика считаем твердыми дипо-
диполями. Плотность собственно электрической энергии в таком диэлектрике
равна
Е2
»эл = •
8тг
Энтропия произвольного тела связана с термодинамической вероят-
вероятностью II его состояния соотношением Больцмана:
где к — постоянная Больцмана. Пусть распределение осей молекул по на-
направлениям определяется соотношением
где dN — число молекул, оси которых составляют с некоторым определен-
определенным направлением в пространстве угол, лежащий между $ и $ + dtf. Тогда
логарифм термодинамической вероятности этого распределения выразится
так ;:
1пП
=- /"
о
В нашем случае при в<1, согласно B9.4а),
/ = - N A + a cos 1? + - a2 cos2 0 - - а2).
2 \ 2 6 /
Вставим это значение в предыдущее выражение и ограничимся первыми
г)См., например, Зоммерфелъд А. Термодинамика и статистическая фи-
физика. - М.: УРСС, 2002. - § 35.
146 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
двумя членами разложения In / по степеням а:
In / = a cos 1? а2 + In N - In 2.
6
При интегрировании молено опустить несущественную аддитивную посто-
постоянную, поскольку она не зависит от напряженности электрического поля, а
весь наш расчет имеет целью вычисление только той части энтропии, кото-
которая возникает из-за действия электрического поля. Выполнив интегрирова-
интегрирование, получим
lnli = .
2-3
Полагая здесь N равным числу молекул в единице объема, получим лога-
логарифм термодинамической вероятности состояния для единицы объема.
С другой стороны, согласно B9.3) и B9.5),
а р Е.
кТ ЗкТ
Следовательно,
1пП= Na2 = NplE2 = РЕ
2-3 2-3(fcTJ 2kT'
Стало быть,
--
или, имея ввиду B2.6):
TS = -—E2.
Таким образом, свободная энергия •ф единицы объема диэлектрика равна
ф = — - ТS = — + — Е2 = — Е2.
8тг 8тг 8тг 8тг
Итак, вообще говоря, выражение C0.5) определяет не «внут-
«внутреннюю» энергию электрического поля, а его свободную энер-
энергию, являющуюся мерой работы, связанной с изотермическими
и только изотермическими изменениями поля. Если же выделяе-
выделяемое при поляризации диэлектрика тепло не поглощается сполна
окружающими телами, то работа электрических сил не равна
убыли величины го, определяемой уравнением C0.4). Впрочем,
при поляризации диэлектрика выделяется, вообще говоря, столь
незначительное количество теплоты, что это обстоятельство в
большинстве случаев практической роли не играет.
§ 32. Пондеромоторные силы в диэлектриках
1. На каждый элемент объема диэлектрика в электрическом
поле должна, очевидно, действовать сила, равная сумме сил,
приложенных к отдельным молекулам диэлектрика. Заменим
по-прежнему эти молекулы эквивалентными диполями и вос-
воспользуемся формулой A7.5), определяющей равнодействующую
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 147
сил, приложенных к диполю:
F = pV Е\
где Е' означает напряженность действующего на диполь поля.
Плотность сил, приложенных к диэлектрику, т. е. сила, от-
отнесенная к единице объема диэлектрика, будет, следовательно,
равна
f = ^F = ^pV-E' = iVpV-E', C2.1)
где суммирование должно быть произведено по всем диполям
(молекулам), находящимся в единице объема; N есть число мо-
молекул в единице объема, а черта означает среднее значение.
В слабо поляризующихся диэлектриках (а <С 1) можно в пер-
первом приближении, во-первых, заменить среднее значение про-
произведения pV • Е' произведением средних значений р и V • Е'
и, во-вторых, пренебречь разницей между V • Е' и V • Е, где Е
есть напряженность среднего макроскопического поля (см. § 28).
В этом приближении
f = JVpV • Е = PV ¦ Е
или, на основании формулы B2.6),
f = ^—! EV • Е.
4тг
Далее, согласно D7*),
EV • Е = - V?2 - [Erot E].
В электростатическом поле последний член равен нулю, так как
Е = —V<p, а ротор градиента равен нулю [уравнение D2*)].
Таким образом, в электростатическом поле
EV • Е = - ¦ VE2, C2.2)
f=—V?2. C2.3)
Таким образом, в указанном приближении плотность понде-
ромоторных сил в диэлектрике пропорциональна градиенту ква-
квадрата напряженности поля; это и понятно, ибо, во-первых, в
однородном поле сумма приложенных к каждому диполю сил
равна нулю, и, во-вторых, по мере возрастания поля возрастают
не только силы поля, но и поляризация, т. е. векторная сумма
моментов диполей диэлектрика. Сила f направлена в сторону
возрастания абсолютной величины вектора Е независимо от
направления этого вектора; причина этого лежит в том, что
при изменении направления вектора Е изменяется также и на-
направление поляризации Р. Таким образом, в электрическом поле
диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности
148 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
поля. Этими пондеромоторными силами обусловливается, напри-
например, притяжение заряженными проводниками кусочков бумаги,
бузиновых шариков и т. д.
2. Приведенный вывод формулы C2.3) основан на ряде при-
приближений и упрощений. Общее же выражение для пондеромо-
торных сил может быть получено из выражения для энергии
поля W [формула C0.1) или C0.4)] путем рассмотрения измене-
изменения энергии 6W, связанного с бесконечно малым произвольным
(виртуальным) перемещением q находящихся в поле тел (провод-
(проводников и диэлектриков); конечно, перемещение различных точек
этих тел может быть различным, так что q является произволь-
произвольной, но непрерывной фз'лкдией точки. При соблюдении условий,
рассмотренных в § 18, это изменение энергии должно быть равно
взятой с обратным знаком работе А пондеромоторных сил поля
[уравнение A8.1)]:
которая в свою очередь, очевидно, равна
А =
где интеграл должен быть распространен по всему объему полно-
полного поля, причем f dV есть сила, приложенная к элементу объема
dV, a q — испытываемое им смещение. Следовательно,
SW
= ~Jq?dV, C2.4)
где f — плотность пондеромоторных сил поля. Определив 8W из
выражения энергии, можно с помощью C2.4) найти f.
В этом состоит наиболее общий метод вычисления пондеро-
пондеромоторных сил, которым мы неоднократно будем пользоваться в
дальнейшем.
3. Применяя этот общий метод к вычислению пондеромоторных сил
электрического поля, мы в этом параграфе предположим, что как диэлек-
диэлектрическая проницаемость е, так и напряженность поля повсюду непрерыв-
непрерывны, т. е. что значение ? плавно изменяется в пограничных слоях, служащих
разделом между различными средами, и что поверхностные свободные заря-
заряды а отсутствуют (<т = 0). Вопрос же о силах, приложенных к поверхностям
разрыва, будет рассмотрен в § 34.
На основании допущения об отсутствии поверхностей разрыва во всех
поверхностных интегралах, с которыми нам придется встретиться в этом
параграфе, интегрирование будет распространяться лишь на внешнюю гра-
граничную поверхность поля. Кроме того, мы условимся рассматривать полное
поле, так что все эти поверхностные интегралы обратятся в нуль. Вместе с
тем обратятся в нуль и все интегралы типа
div a d V,
так как, согласно теореме Гаусса A7*), интегралы эти могут быть преобра-
преобразованы в интегралы поверхностные:
г
х dS — 0. C2.5)
f
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 149
4. Согласно C0.1) и C0.4) энергия электростатического поля, ввиду
предполагаемого нами в этом параграфе отсутствия поверхностных заря-
зарядов (<т := 0), может быть выражена одним из следующих уравнений:
Wi = - f p<pdV и W2 = — f sE2dV ¦ — f s(gra.d<pfdV,
2 J 8тг J 8tt J
причем, конечно, W\ = W2. Следовательно, изменение энергии при произ-
произвольном бесконечно малом перемещении q находящихся в поле тел равно
= - f <pSpdV + - [pSydV
1 J 2 J
или
SW2 = SWi = — /(grad iff 8e dV + — [egrad yj<5(grad ip) dV,
8тг J 4n J
где 5p, 6<p, 6e, ... суть изменения величин p, <p, e, ..., обусловленные пере-
перемещением q.
Как известно, порядок выполнения операций дифференцирования и
варьирования можно менять без изменения их результата, так что
х(-д<Р -д<Р^ъд<р\ .дF<р) , .дF<р) , d{Sip) .
= 6[i-~? + j-^ + k-t- = i-—1 + J-~ + k-^12 = grad (Sip).
\ dx dy oz J ox ay dz
С другой стороны,
e grad ip = —eE = —D.
Следовательно, на основании D3;!) подынтегральное выражение последнего
интеграла можно преобразовать следующим образом:
• S(gra,dip) = — Dgrad(<V) = — div(D<5<^) + SipdivH.
Интеграл первого слагаемого правой части, согласно C2.5), равен нулю,
так что, воспользовавшись уравнением B2.2), окончательно получим
5W2 = — f(gsad<pJSsdV+— fdwD6ipdV=~ [E2SsdV+ f pSipdV.
8тг J 4tt j 8tt J J
Ввиду того, что SW2 равно 6Wi, приращение энергии SW можно, оче-
очевидно, представить также в следующей форме:
SW = 2SWi - 6W2 = fipSpdV-— f E2SedV.
J 8тг J
Таким образом, вычисление SW сведено нами к определению изменения
плотности свободного электричества р и диэлектрической проницаемости е
при виртуальном перемещении q находящихся в поле тел.
5. Величины 6р и бе, входящие в последнее уравнение, носят название
локальных изменений величин р и е, в отличие от так называемых измене-
изменений материальных, которые мы обозначим через <5'р и <5'е. Разница между
этими понятиями состоит в следующем. Локальное изменение, испытывае-
испытываемое какой-либо величиной при перемещениях среды, есть изменение значе-
значения этой величины в некоторой определенной точке пространства, не при-
принимающей участия в этом перемещении. Материальное же изменение есть
изменение значения данной величины р в некотором определенном матери-
материальном элементе перемещающейся среды. Иными словами, если элемент dV
материальной среды, находившийся до перемещения в точке Р, перемещает-
перемещается в точку Р', то 6'р равно разности между значением, которым обладало р
в точке Р до перемещения, и тем значением, которым обладает р в точке Р'
после перемещения q.
150 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
С другой стороны, 5р равно разности между значениями, которыми
обладало р в одной и той же точке Р до и после перемещения q. Соот-
Соответственно этому локальное изменение 6р какой-либо величины р в точке Р
может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. Во-первых, после
смещения q в точке Р будет находиться элемент объема среды, ранее нахо-
находившийся в точке Р" на расстоянии — q от Р, в которой величина р имела,
очевидно, значение
РРп =РР + (-q)gradp = рр - qgradp.
Кроме того, значение величины р в этом объеме испытает материальное
изменение 5'р. Следовательно 1),
Sp-6'p- qgradp. C2.6)
Таким образом, определение локального изменения сведено к определе-
определению изменения материального.
Если перемещение среды не сопровождается ее деформацией, то мате-
материальное изменение 5'р равно, очевидно, нулю. Если же элемент V среды, об-
обладающий зарядом de, испытывает при смещении сжатие или расширение,
так что объем его становится равным V + 5'V, то, очевидно,
Произведя приведение членов и пренебрегая произведением 5'р ¦ 5'V, полу-
получаем
х, 5'V
Чтобы определить относительное изменение 6'V/V объема элемента сре-
среды, заметим, что при смещении q элемента dS поверхности S, ограничиваю-
ограничивающей объем V, этот объем возрастает на qn dS, т. е. на объем цилиндра, опи-
описанного элементом dS при этом перемещении Конечно, qn dS может иметь
как положительное, так и отрицательное значение в зависимости от значе-
значения угла между q и внешней нормалью п к элементу dS. Полное же изме-
изменение объема V при смещении q будет, очевидно, равно
5'V = <j>qndS,
и, следовательно [см. определение дивергенции вектора, уравнение A8*)], в
пределе при V —> 0,
~ = ^qndS = div4. C2.7)
Внося это значение в выражение для 5'р, получаем
5'p = -pdivq. C2.8)
Очевидно, что формулой этого вида будет определяться не только ло-
локальное изменение плотности электричества р, но, например, и изменение
плотности г самой среды (т. е. изменение массы единицы объема):
8 т = —rdivq.
6. Внося C2.8) в C2.6), получаем с помощью D3J)
5р = -pdivq- qgradp = -div(pq). C2.9)
С другой стороны, по аналогии с C2.6), имеем
5е = 5'е — q grade.
1) Ввиду предполагаемой бесконечной малости смещения q мы вправе не
учитывать разницы между E'р)р„ и E'р)р1, сводящейся к величинам второ-
второго порядка малости.
§ 32 ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 151
Так как значение е зависит от плотности диэлектрика1), то материаль-
материальное изменение е будет определяться материальным изменением 5'т плотно-
плотности т:
., де ., де
о е = — от— г div q
дт дт
и, стало быть,
5е = -rdivq-qgrade. C2.9')
дт
Внося значения 5е и др [уравнение C2.9)] в выражение для 5W, получим
SW= — [qE2gra.dedV+ — f E2 — rdivqdV - f\pdiv (oq) dV.
8n J &7Г J дт J
Подынтегральные выражения двух последних интегралов молено преоб-
преобразовать с помощью D3г):
Е2 — т div q = div (e2 — rq)- q grad (E2 ^ т),
от \ дт J \ дт J
ipd.br (pq) = div {<ppq) — qpgrad <p.
Согласно C2.5) интегралы первых слагаемых этих выражений обраща-
обращаются в нуль; приняв еще во внимание, что grad (р = —Е, получаем
—E2 grade- — grad/V— r) - Ре\ fqdV.
8тг 8тг \ дт J ) J
7. Это выражение для 8W должно совпадать с выражением
C2.4) при произвольной зависимости смещения q от координат
точки. Отсюда следует равенство выражений, на которые мно-
множится q в обоих интегралах:
f = рЕ - — Е2 grad е + — grad (Е2 ^ тV C2.10)
8тг 8тг \ дт )
Эта формула и является искомым выражением для плотно-
плотности пондеромоторных сил f. Она слагается из двух частей, f^1^
и f B), а именно из
fA) = /эЕ, C2.11)
действующей на свободные электрические заряды, и из
зависящей от де/дт и grade и отличной от нуля только в диэлек-
диэлектриках.
Из C2.11) следует, что плотность f^1) пондеромоторных сил,
действующих на свободные заряды, в диэлектрике, как и в ва-
вакууме, определяется напряженностью электрического поля. Из
) В твердых диэлектриках е может зависеть (при заданной температуре)
не только от плотности диэлектрика, но и от его деформаций, не связан-
связанных с изменениями плотности. Исследование этого обстоятельства требует
учета анизотропии деформированного диэлектрика и проведено, например,
в книге: Стпретптпон. Теория электромагнетизма. — М.: Гостехиздат, 1948.
152 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
этого положения мы исходили в § 30 при подсчете работы, со-
совершаемой полем при перемещении свободных зарядов. Что же
касается плотности fB) пондеромоторных сил, действующих на
диэлектрик, то в слабо поляризующихся диэлектриках (а <С 1)
выражение C2.12) совпадает с тем выражением C2.3), которое
было получено нами непосредственным подсчетом пондеромо-
пондеромоторных сил в этих диэлектриках.
Действительно, согласно B9.12),
е + 2 3
где коэффициент С от плотности диэлектрика т не зависит. При
а <§; 1-, т. е. при е и 1, можно с достаточной точностью положить
Тогда
де
т—
от
= f grad {E2(e -1)}-±Е2 gradе.
и C2.12) принимает вид
f« =
Но, согласно D3J),
grad{?2(e - 1)} = (е - 1) grad?2 + Е2 grade.
Следовательно,
fB) =
8тг
что, действительно, совпадает с C2.3).
Таким образом, условием применимости формулы C2.3) яв-
является линейная зависимость диэлектрической проницаемости
от плотности диэлектрика, имеющая место, строго говоря, толь-
только в газах.
Заметим в заключение, что Максвелл и ряд других авторов,
например Абрагам, не принимали во внимание зависимости ди-
диэлектрической проницаемости от плотности среды, благодаря че-
чему выражение пондеромоторных сил в диэлектриках, которым
они пользовались:
i = -—E2 grade, C2.13)
8тг
отличалось от C2.12) отсутствием первого члена
C2Л4)
Этот член в твердых и жидких диэлектриках сравним по вели-
величине с C2.13), так что пренебрегать им, вообще говоря, не пред-
представляется возможным.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 153
Однако надо иметь в виду, что отличие формулы C2.12) от
максвелловой формулы C2.13) сказывается лишь на распределе-
распределении сил по объему диэлектрика; равнодействующая же не учтен-
учтенных Максвеллом сил f", приложенных к какому-либо телу, либо
равна нулю (если тело это помещено в вакуум), либо уравно-
уравновешивается гидростатическим давлением, возникающим в окру-
окружающей среде под влиянием электрического поля. Это утвер-
утверждение будет доказано в § 34.
§ 33. Сведение объемных сил к натяжениям 1)
1. Как уже упоминалось в § 16, механистическая теория элек-
электромагнитного поля прошлого века искала причины электриче-
электрических явлений в упругих деформациях гипотетической среды —
эфира. Характерной особенностью сил упругости, как, впрочем,
и вообще сил близкодействия, является возможность сведения их
к натяжениям, возникающим в деформированных средах, т. е.
возможность сведения сил, действующих на произвольный уча-
участок среды, к силам натяжения, испытываемым поверхностью
этого участка (в частности, давление есть отрицательное натя-
натяжение) .
Соответственно этому перед механистической теорией поля
стояла задача сведения пондеромоторных сил поля к упругим
натяжениям среды. Свести эти силы к натяжениям, как мы по-
покажем, действительно, оказывается возможным. Правда, это об-
обстоятельство ни в коей мере не спасает механистической теории
поля, оказавшейся в целом несостоятельной; однако при рассмо-
рассмотрении многих вопросов замена пондеромоторных сил эквива-
эквивалентными им натяжениями оказывается весьма целесообразной.
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о сведении объем-
объемных сил к натяжениям в общей форме с тем, чтобы в следующем
параграфе применить полученные результаты к интересующему
нас случаю электрического поля.
2. Рассмотрим некоторый объем среды V, ограниченный по-
поверхностью S. Если f есть объемная плотность сил, то равнодей-
равнодействующая всех сил, приложенных к телам, находящимся внутри
объема V, будет равна
F = JfdV. C3.1)
v
С другой стороны, если объемные силы вообще могут быть све-
сведены к натяжениям, то той же величине должна равняться и
совокупность натяжений, действующих извне на замкнутую по-
поверхность S.
1) Этот и следующий параграфы можно опустить при первом чтении книги.
154 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Сила натяжения, испытываемая каким-либо элементом dS
поверхности dS произвольного участка среды, пропорциональ-
пропорциональна этому элементу и зависит не только от его положения, но и от
его направления, — иными словами, является не только функци-
функцией точки, но и функцией направления нормали п к элементу dS.
В частности, при повороте площадки dS на 180°, т. е. при из-
изменении направления нормали п на обратное, сила натяжения
меняет свой знак. В этом выражается тот факт, что на противо-
противоположные стороны произвольного элемента поверхности dS l)
всегда действуют взаимно уравновешивающиеся равные и про-
противоположные натяжения.
Обозначим через Тп силу, действующую извне на единицу
поверхности, внешняя нормаль к которой направлена по п; ком-
компоненты этой силы по осям координат обозначим через Тхп, Туп
и Tzn 2). Тогда равнодействующая всех натяжений, приложен-
приложенных извне к поверхности, очевидно, равна
F=(f>TndS, C3.2)
5
где п есть внешняя нормаль к элементу dS. Приравнивая выра-
выражения C3.1) и C3.2):
F= ffdV = (j)TndS, C3.3)
v s
мы можем найти соотношение между плотностью объемных сил f
и натяжением Т„.
3. Выберем какую-либо произвольную систему декартовых
координат и обозначим соответственно через Тх, Ту и Тг силу
натяжения, действующую извне на единичную площадку, внеш-
внешняя нормаль к которой направлена соответственно по оси х, по
оси у и по оси z. Слагающие этой силы по осям координат обо-
обозначим через ГХ1, ТуХ, Tzx и т. д., так что
Тх = \ТХХ + jTyx + kTzx, Ту = \Тху + jTyy + kTzy,
Tz = iTxz+iTyz+kTzz.
Таким образом, например, Txz есть слагающая по оси х си-
силы Тг, действующей на единичную площадку, внешняя нормаль
к которой направлена по оси z.
Легко показать (см. любой учебник теории упругости), что
сила натяжения Тп, действующая извне на произвольно ориен-
ориентированную единичную площадку, внешняя нормаль к которой
1) За исключением элементов поверхностей разрыва, которых мы в этом
параграфе не рассматриваем.
2) Часто эти компоненты обозначают через Тпх, Тпу, Tnz. Произведенный
нами выбор порядка индексов соответствует принятому в общей теории, из-
изложенной в § 105.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 155
имеет направление п, связана с силами Тх, Ту и Т2 следующим
соотношением:
Тп = Тх cos (n, х) + Ту cos (n, у) + Т2 cos (n, г), C3.4)
так что слагающая этой силы, например, по оси х равна
Тхп = Тхх cos (n, х) + Тху cos (n, у) + Txz cos (n, z). C3.5)
Таким образом, девять величин, Гхх, Тху и т. д., вполне ха-
характеризуют собою систему натяжений в данной точке простран-
пространства: значениями этих величин вполне определяются натяжения,
испытываемые произвольно ориентированной площадкой. Вели-
Величины ТХ1, Тху и т. д. называются компонентами тензора натя-
натяжений, а их совокупность носит название тензора натяжений,
который будет обозначаться нами буквой Т (без индексов). Ком-
Компоненты тензора могут быть записаны в следующей симметрич-
симметричной форме:
/ Тхх Тху Txz \
Т = Тух Туу Tyz . C3.6)
\ т т т /
\ ¦*¦ zx ¦*¦ гу ¦*¦ zz /
4. Чтобы от интегрального соотношения C3.3) между натя-
натяжениями и объемными силами перейти к соотношениям диффе-
дифференциальным, мы должны, очевидно, прежде всего преобразо-
преобразовать поверхностный интеграл справа в объемный (или наоборот).
Воспользовавшись формулами C3.2) и C3.5), мы можем следую-
следующим образом выразить слагающую равнодействующей F по оси х
через компоненты тензора натяжений:
Fx= j)TxndS =
s ,
= ч>{Тхх cos (n, x) + Txy cos (n, y) + Txz cos (n, z)} dS.
s
Воспользуемся теперь теоремой Гаусса A7*), которая в развер-
развернутой форме гласит:
ф
{ах cos (n, х) + ау cos (n, у) + az cos (n, z)} dS —
+ +
дх ду dz
V
Так как эта теорема справедлива для любых непрерывных функ-
функций точки ах, ау, az, то, полагая в ней ах = Тхх, ау = Тху, az =
= Txz, получаем (при условии непрерывности компонент тензора
натяжений внутри объема V):
V
156 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
Внося это в C3.3) и приравнивая ввиду произвольности объ-
объема V подынтегральные выражения, получаем окончательно
, _ дТхх dTxy dTIZ
'
dx dy dz '
и аналогично:
i оТух . оТуу . dTyZ , dTzx , dTzy , dTzz «, j\
dx dy dz dx dy dz
Эти формулы и устанавливают искомые дифференциальные
соотношения между плотностью объемных сил f и компонентами
тензора натяжения Т.
5. Из C3.7) следует, что плотность объемных сил определя-
определяется не абсолютной величиной натяжений, а характером изме-
изменения натяжений в пространстве (при перемещениях точки на-
наблюдения). В частности, f равно нулю, если компоненты тензора
натяжения Т имеют в данном участке среды постоянные значе-
значения. Это и понятно, ибо если мы мысленно выделим в среде про-
произвольный параллелепипед, то в случае постоянства тензора Т
на противоположные его грани будут действовать натяжения,
равные по величине и противоположные по направлению; следо-
следовательно, равнодействующая приложенных к параллелепипеду
сил будет равна нулю.
6. Для эквивалентности объемных сил и натяжений необхо-
необходимо, чтобы при замене объемных сил эквивалентными натя-
натяжениями оставались неизменными не только равнодействующая
сил, приложенных к произвольному объему, но и момент этих
сил. Это обстоятельство накладывает дополнительное ограниче-
ограничение на компоненты тензора натяжений.
Момент N объемных сил, приложенных к произвольному
объему V, равен
N = f\R?\ dV, C3.8)
где R есть расстояние от точки О, относительно которой опре-
определяется момент сил, до элемента dV. Если объемные силы f
эквивалентны натяжениям Т, то должно выполняться соотно-
соотношение C3.7). Следовательно, слагающая N, например, по оси х,
должна равняться
x = J(yfz-zfy)dV =
++ ) Z + +
\ dx +dy+ dz ) Z\dx + dy + dz
V
Подынтегральное выражение справа может быть представле-
представлено следующим образом:
± (yTzx ~ zTyx) + |- (yTzy - zTyy) + ? {yTzz - zTyz) - Tzy + Tyz.
§ 33 СВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ СИЛ К НАТЯЖЕНИЯМ 157
Так как первые три члена этого выражения по своему виду сов-
совпадают с выражением дивергенции вектора с компонентами
ах = yT-zx ~ zTyxi ay = yT-zy ~ z±yy, az = yTzz — zTyz,
то объемный интеграл можно преобразовать с помощью теоремы
Гаусса A7*):
Nx=<j)andS + J(Tyz - Tzy) dV,
s v
причем на основании C3.5)
ап = ах cos (x, n) 4- ay cos (у, n) 4- az cos (z, n) =
= y{Tzx cos {x, n) + Tzy cos (y, n) + Tzz cos (z, n)} -
- z{Tyx cos (x, n) + Tyy cos (y, n) + Tyz cos (z, n)} = yTzn - zTyn.
Окончательно получаем
Nx = J(yfz - zfy) dV = j){yTzn - zTyn) dS + J(Tyz - Tzy) dV.
V S V
C3.9)
Поверхностный интеграл справа равен моменту сил натяже-
натяжения Т„, приложенных к поверхности S объема V. Момент этих
сил натяжения будет равняться моменту сил объемных в том и
только в том случае, если последний интеграл справа равен нулю.
Ввиду произвольности объема V это будет иметь место только
при равенстве нулю подынтегрального выражения во всех точ-
точках пространства:
Т — Т
J-yz — J-zy
Повторив те же рассуждения для слагающих N по осям у
и z, получим следующие соотношения:
-м/2 = -Lzyi i-zx = -Lxzi J-xy == ¦'-yx- C3.10)
Тензоры, компоненты которых удовлетворяют соотношениям
C3.10), называются симметричными.
Таким образом, необходимые и достаточные условия того,
чтобы система объемных сил и система натяжений были экви-
эквивалентны друг другу как в отношении равнодействующей сил,
приложенных к произвольному объему, так и в отношении мо-
момента этих сил, сводятся, во-первых, к соотношениям C3.7) и,
во-вторых, к симметрии тензора натяжений. Если же тензор на-
натяжений не симметричен, то система натяжений не может быть
заменена эквивалентным распределением объемных сил.
Это, впрочем, явствует уже из того, что если компоненты
тензора Т постоянны, то объемные силы, согласно C3.7), обра-
обращаются в нуль, тогда как момент сил натяжения, приложенных
158ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
к произвольному объему, будет при Tik ф Т^ отличаться от нуля
даже при постоянстве Т,д. х).
7. Ранее мы пользовались некоторой произвольно выбранной
системой координат и не касались вопроса о законе преобразо-
преобразования компонент тензора при преобразовании координат. Этот
закон может быть найден из требования (вытекающего из само-
самого определения понятия натяжения), чтобы слагающие Тхп dS,
TyndS, TzndS силы TndS, действующей на произвольно распо-
расположенную и произвольно ориентированную площадку dS, пре-
преобразовывались по правилам преобразования векторов 2).
Мы не будем останавливаться здесь на выводе этого зако-
закона преобразования; отметим только, что с помощью его можно
убедиться в том, что как уравнение C3.7), так и условие C7.10)
симметрии тензора сохраняют свой вид при любом преобразова-
преобразовании декартовых координат.
§ 34. Тензор натяжений электрического поля
1. Обращаемся к поставленной в начале предыдущего пара-
параграфа задаче сведения пондеромоторных сил электрического по-
поля к натяжениям. С этой целью удобно разложить общее выра-
выражение C2.10) для объемной плотности этих сил на два слагаемых:
f = f + f", C4.1)
f^EE
Наша задача будет, очевидно, разрешена, если мы найдем такой
тензор Т, чтобы по подстановке его компонент в правую часть
уравнений C3.7) левые части этих уравнений совпали с опре-
определяемыми формулой C4.1) слагающими плотности объемных
сил f.
2. Выразим в C4.1) р через divD с помощью B2.2) и рас-
рассмотрим слагающую плотности сил f по какому-нибудь направ-
направлению, например по оси х: /' = —ExdivD Е2 — . Легко
4тг 8тг Ох
убедиться [ср. уравнение D3|), где <р соответствует в нашем слу-
случае величине Ех], что
Ех divD = |- (EXDX) + |- (ExDy) + ? (EXDZ) - DV • Ex.
ox Oy oz
1) Заметим, что в анизотропных средах тензор натяжений электрического
поля, вообще говоря, не симметричен.
2) Однако, например, величина Тх со слагающими ТХх, Тух, Tzx, опреде-
определяющая силу, действующую на некоторую площадку, сама не является век-
вектором, ибо само направление площадки зависит от произвольно выбранного
направления координатной оси х.
§34
ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
159
Далее, воспользовавшись C2.2) и имея в виду G.6), получаем
DV • Ех = eEV ¦Ех = - — Е1,
2 дх
и, следовательно,
4тг
Таким образом,
1 Е2д? - 1
Х 8тг дх 8я-
дЕ2 1 Е2д?) - 1
дх дх i 8тг дх
Уравнение это совпадает по форме с C3.7), если положить
Тхх = -
Тху = -
Г12 = -
Аналогичным образом могут быть определены и остальные ком-
компоненты тензора Т', совокупность которых может быть пред-
представлена в форме C3.6):
4тгТ' =
sEvEx
eEzEx
eExEz
-Z-) eEvEz
eE,Ev
(•*-?) J
C4.2)
Что же касается второй слагающей f" объемных сил, то, как
непосредственно видно, она совпадает по форме с C3.7), причем
отличны от нуля только те компоненты эквивалентного ей тен-
тензора натяжений Т", которые расположены на главной диагонали
матрицы C3.6):
ik = 0 при
C4.3)
Таким образом, как Т", как и Т" (а стало быть, и их сумма Т =
_ т' + Т") являются симметричными тензорами, т. е. удовлетво-
удовлетворяют условию C3.10).
Итак, эквивалентность объемных сил C4.1) системе натяже-
натяжений C4.2) и C4.3) нами доказана, и мы можем утверждать, что
общая сила F, действующая на произвольный участок среды V,
определяется состоянием поля на границах этого участка, т. е.
может быть сведена к системе сил или натяжений, приложенных
к его поверхности S.
3. Впервые пондеромоторные силы поля были сведены к на-
натяжениям Максвеллом, который, однако, не учитывал зависимо-
160 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. II
сти диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика
(см. конец § 32). Поэтому максвеллов тензор натяжений соот-
соответствует лишь части нашего тензора натяжений Т, а именно
тензору Т".
Для отличия от «максвелловых» сил f и «максвелловых» на-
натяжений Т' мы будем называть силы f" и соответствующий им
тензор Т" стрикционными. Заметим, что стрикционные натяже-
натяжения Т" эквивалентны всестороннему давлению 1)
р» = -±-Е^т, C4.4)
8тг от
ибо давление есть отрицательное натяжение, направленное по
нормали к произвольной площадке внутри тела и не зависящее
от ориентации этой площадки.
В жидких и твердых телах стрикционные силы и натяже-
натяжения одного порядка величины с максвелловыми силами и на-
натяжениями (ибо {де/дт)т одного порядка с е). Это отмечалось
Гельмгольцем, Джинсом и др., однако оставалось неясным, поче-
почему пренебрегавшие стрикционными силами и натяжениями авто-
авторы не получали существенно ошибочных результатов. Покажем,
в чем здесь дело.
Допустим, что мы интересуемся только равнодействующей F
всех сил электрического поля, приложенных к произвольному те-
телу А, и результирующим моментом N этих сил. Согласно C3.3)
и C3.9) равнодействующая F и момент N этих сил однозначно
определяются значениями тензора Т с внешней стороны поверх-
поверхности тела S. Стрикционные натяжения Т" в вакууме, очевид-
очевидно, равны нулю (ибо в вакууме (де/дт) т нужно считать равным
нулю). Поэтому, если тело окружено вакуумом, то стрикционные
силы f" и натяжения Т" влияют только на распределение сил по
объему тела2), но не влияют ни на величину равнодействующей
всех сил F, ни на их момент N.
Если же тело А окружено не вакуумом, а диэлектриком В,
то определяемая тензором Т" равнодействующая F" приложен-
приложенных к А стрикционных сил f , вообще говоря, не равна нулю.
Однако если система тел А и В находится в механическом рав-
равновесии, то эта не учитывавшаяся Максвеллом сила F" точно
компенсируется также не учитывавшимися Максвеллом допол-
дополнительными механическими силами, испытываемыми телом А
1) В твердых диэлектриках наши выражения для стрикционных сил и на-
натяжений, учитывающие лишь объемную стрикцию, должны быть дополнены
членами, величина которых определяется зависимостью е от деформаций
сдвига, не сопровождающихся изменениями плотности среды.
2) Этим распределением определяются возникающие в теле под воздей-
воздействием электрического поля упругие натяжения — так называемая электпро-
стприкция, откуда и название сил f" и натяжения Т".
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 161
со стороны тела В благодаря тому, что само тело В подвергает-
подвергается электрострикции.
Поясним это простейшим примером. Пусть тело А представ-
представляет собой заряженный шарик, погруженный в бесконечный од-
однородный жидкий диэлектрик В; гидростатическое давление в
жидкости В вдали от шарика А задано и равно р\. Весом жид-
жидкости В пренебрегаем. Тогда «по Максвеллу» на поверхность S
шарика А будут действовать, во-первых, электрические натяже-
натяжения Т' и, во-вторых, гидростатическое давление жидкости р2.
В действительности же надо еще учесть, во-первых, электро-
стрикционные натяжения Т", действующие на поверхность те-
тела А и эквивалентные, согласно C4.4), давлению р"; во-вторых,
так как жидкость подвергается в электрическом поле давлению
р", то гидростатическое давление pi жидкости вблизи шарика А
не будет равно гидростатическому давлению р\ в бесконечности:
условием равновесия жидкости будет постоянство полного дав-
давления в ней „ п
р + р2 = const = р\.
Таким образом, сумма действующих на поверхность тела элек-
трострикционных натяжений Т", эквивалентных давлению р",
и фактического гидростатического давления жидкости р2 Рав~
на гидростатическому давлению жидкости р2, вычисленному без
учета электрострикции х). Конечно, если жидкость не находится
в равновесии, то неучет электрострикции поведет, вообще гово-
говоря, к ошибке.
Итак, если нас интересует не распределение пондеромоторных
сил по объему произвольного тела А, а лишь равнодействующая F
этих сил и их момент N, то можно ограничиться рассмотрением
одних только максвелловых сил f и максвелловых натяжений
Т', отбрасывая стрикционные силы и натяжения f" и Т", при
условии, что тело А окружено либо вакуумом, либо диэлектри-
диэлектрической средой, находящейся в механическом равновесии.
4. Внося в C3.5) значения компонент тензора Т = Т' 4- Т",
можно определить слагающие по оси х силы натяжения Тп, дей-
действующей в электрическом поле на единичную площадку, внеш-
внешняя нормаль к которой направлена по п:
Т
хп = i- [еЕ1 - \ (е- gr)E2}cos(n, x) + ^ExEycos(n, y)
ЕхЕу cos (n, z) = j- ExEn -±-Е2(е-^т) cos (n, х).
1) Строго говоря, надо учесть, что из-за электрострикции изменяется плот-
плотность г, а вместе с ней и диэлектрическая проницаемость в жидкости. По-
Поэтому изменяется поле заряженного шарика А в жидкости и действующие
на него максвелловы натяжения Т'. Однако, как показывает подсчет, эти
изменения натяжений совершенно ничтожны.
6 И. Е. Тамм
162 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Совокупность этого выражения для Тхп и аналогичных выра-
выражений для Туп и Tzn в векторной форме может быть записана
так:
Tn = f ЕпВ - ±-пЕ2 U-^-r). C4.5)
47г 8тг \ от /
В частном случае, если рассматриваемый элемент поверхно-
поверхности перпендикулярен полю Е и его внешняя нормаль п парал-
параллельна Е, натяжение, приложенное к нему извне, определится
выражением
L^2n (n||E); (з4.6)
Tn En (n||E)
если же нормаль п перпендикулярна полю, то
ет
Тп = -в—9х1 Е2и (n ± Е). C4.7)
Наконец, если площадка dS имеет некоторое промежуточное
направление, то ее можно разложить на две взаимно перпендику-
перпендикулярные площадки, параллельную и перпендикулярную Е, при-
причем действующие на эти площадки силы определятся из C4.6) и
C4.7). Стало быть, система натяжений в электрическом поле сво-
е + -^ г J Е2/8тг по направлению поля Е [уравне-
е г) Е2/8тг
дт J
по направлению, перпендикулярному Е [уравнение C4.7)].
С точки зрения механической теории поля, эта тяга и это
давление суть не что иное, как силы упругости, возникающие
в эфире при деформации его в электрическом поле. Согласно
C4.6) и C4.7), силы эти испытываются всеми теми участками
эфира (как в вакууме, так и в материальных телах), в которых
поле (т. е. деформация эфира) не равно нулю1).
Конечно, с точки зрения современной теории, отрицающей
существование материального эфира (в механическом смысле
этого слова), пондеромоторные силы электрического поля могут
быть приложены лишь к электрическим зарядам и к матери-
материальным телам, несущим эти заряды, или, точнее, состоящим из
х) Мы получим правильную картину этих натяжений, если представим се-
себе, что вдоль силовых линий поля натянуты материальные упругие нити,
подверженные тяге [е Л т } Е2/8п и оказывающие друг на друга боко-
\ дт J
вое давление I е т I Е2 /8тг.
\ дт J
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 163
электрических зарядов (электронов и атомных ядер). Однако,
по доказанному, результирующая сила, действующая на тела,
находящиеся в произвольном объеме V, может быть формаль-
формально представлена в виде суммы натяжений, «испытываемых» по-
поверхностью этого объема S (могущей, конечно, проходить как в
вакууме, так и в материальных телах). Следовательно, мы мо-
можем оперировать с этими натяжениями, будучи уверенными в
правильности окончательных результатов. Принципиальное же
значение понятия натяжений электромагнитного поля выяснит-
выяснится в § 105, в котором мы убедимся, что в переменных электро-
электромагнитных полях нарушается эквивалентность между пондеро-
моторными силами и электромагнитными натяжениями и что
избыток суммы натяжений, испытываемых поверхностью объ-
объема V, над пондеромоторными силами, испытываемыми нахо-
находящимися в этом объеме телами, определяет собою изменение
количества движения электромагнитного поля в этом объеме.
5. Замена пондеромоторных сил эквивалентной системой на-
натяжений весьма облегчает, в частности, определение сил, при-
приложенных к поверхности разрыва электрического поля, т. е. к
поверхностям, заряженным свободным электричеством, и к по-
поверхностям раздела сред различной поляризуемости. Правда,
при выводе системы натяжений C4.2) и C4.3) мы базировались
на результатах § 32, в котором подобные поверхности разрыва
предполагались отсутствующими. Однако, определив на основа-
основании C4.2) и C4.3) результирующую силу, приложенную, напри-
например, к заряженному слою конечной толщины, и переходя затем в
пределе к бесконечно тонкому слою, мы найдем, очевидно, силу,
действующую на заряженную поверхность.
Нормаль к поверхности слоя, отграничивающего среду 1 от среды 2,
обозначим через п; для определенности предположим, что п направлено из
среды 1 в среду 2. Элемент dS той поверхности слоя, которая граничит со
средой 1, будет, согласно C4.5), испытывать со стороны этой среды силу
T'ln dS = -fi- B?inEi - ??n) dS
(для простоты тензор Т заменяем максвелловым тензором Т'), а элемент dS
поверхности, граничащей со средой 2, будет испытывать со стороны этой
среды силу
Т'2п dS = + — B?271E2 - Ejn) dS.
Отличие знаков этих выражений обусловливается тем, что, по условию,
направление внешней нормали к слою совпадает в среде 2 с направлением п,
а в среде 1 — прямо ему противоположно. Общая сила, действующая на
элемент слоя поверхности dS, равна, таким образом:
f dS = (T'ln + T'2n) dS=— (Z>2nE2 - DmEi) dS- — (D2E2 - ?>iEi)nd5.
Очевидно, что это соотношение должно остаться справедливым и при
переходе к предельному случаю бесконечно тонкого слоя, т. е. к поверхности.
164 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ II
Таким образом, результирующая сила, действующая на единицу площа-
площади произвольной поверхности, равна
f = — (А>ПЕ2 - DlBEi) - — {LhEa - DxEiJn, C4.8)
4тг 8тг
где Ej, Dj и Ег, D2 суть, соответственно, значения векторов Е и D с вну-
внутренней и с. внешней (по отношению к п) сторон этой поверхности.
Разумеется, для всякой поверхности, не являющейся поверхностью раз-
разрыва, Ei = E2 и Di = D2, так что сила f обращается в нуль.
Приложенные к поверхности разрыва силы C4.8) проявляются в том,
что под их воздействием в помещенных в электрическое поле телах воз-
возникают уравновешивающие их упругие натяжения, сумма всех натяжений
(электрических и упругих) не моясет испытывать разрывов и долясна быть
одинаковой по обеим сторонам любой поверхности, в том числе и поверхно-
поверхности заряженной или поверхности раздела двух сред. Впрочем, в большин-
большинстве случаев представляют интерес не натяжения, возникающие в телах под
воздействием электрического поля, а результирующая сила, действующая в
этом поле на данное тело и определяющаяся не скачком тензора электри-
электрических натяжений Т на поверхности этого тела 5, а значением слагающих
тензора Т с внешней стороны поверхности тела S.
6. Воспользуемся теперь тензором натяжений Т, чтобы уточнить смысл
обычного утверждения, гласящего- пробный заряд е, помещенный в жид-
жидкий или газообразный диэлектрик, напряженность электрического поля в
котором равна Ео, испытывает силу
F - еЕ0. C4 9)
Пусть пробный заряд е представляет собою небольшое заряженное про-
произвольной формы тело А из металла или диэлектрика. Обозначим через Е'
поле этого тела, помещенного в данную точку среды, так что истинное по-
поле при наличии пробного тела равно Е = Ео + Е'. Поле Е' возбуждается,
во-первых, свободным зарядом е пробного тела и, во-вторых, распределени-
распределением связанных или индуцированных зарядов, которые возникают в нем под
воздействием внешнего поля Ео. Результирующую силу, действующую на
пробное тело А, можно вычислить с помощью формулы C4.2); тензор Т",
по доказанному, к этой силе ничего не привносит
Слагающие тензора Т' являются квадратичными функциями слагаю-
слагающих поля Е. При вычислении слагающих Т' сделаем два предположения:
1) тело А настолько мало, что на всем протяжении некоторой охваты-
охватывающей его поверхности 5 невозмущенное наличием пробного тела поле Ео
и диэлектрическую проницаемость среды е можно считать постоянными;
2) заряд е и размеры тела А настолько малы, что возбуждаемое им
в точках этой поверхности S поле Е' гораздо меньше Ео 1), так что при
вычислении Т' членами, квадратичными в Е', можно пренебречь.
Пусть ось х совпадает с направлением поля Ео вблизи пробного тела А.
Тогда при перечисленных условиях путем простых выкладок получим из
C4.2):
4жТхх = е (^ + Е0Е'Л , 4жТху = sE0Ey, 4тгГ^ = eE0E'z
и после подстановки в C3.2) и C3.5)
FX = FX = — E%((cos{n, x)dS+±-EofeKdS.
8тг / 4тг /
M Заметим, что размеры поверхности S могут значительно превышать раз-
размеры самого пробного тела и ограничены только первым условием, ибо на
находящиеся внутри 5 участки однородной среды силы f' не действуют.
§ 34 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 165
Первый интеграл, как легко убедиться, обращается в нуль 1), второй же
на основании B2.3) равен 4тге, так что Fx — eEo-
Далее, при указанных условиях2) Fy = Fz = 0. Таким образом, пере-
перечисленные условия действительно обеспечивают справедливость формулы
C4.9).
Задача 20. Заряд е расположен в вакууме на расстоянии
zq от поверхности однородного диэлектрика, заполняющего по-
полупространство z ^ 0. Пользуясь результатами решения примера
в конце § 23, показать, что сила притяжения между зарядом и
диэлектриком равна
\
F (
е + 1 \2zo
Примечание. Конечно, это выражение для силы взаимодей-
взаимодействия остается справедливым и в случае диэлектрика конечных
размеров, если только его поперечные размеры (точнее, расстоя-
расстояние от заряда тех участков, где поверхность диэлектрика пере-
перестает быть плоской или где начинает меняться диэлектрическая
проницаемость) и толщина достаточно велики по сравнению с zq.
1) Ср. § 56, в частности формулу E6.3), из которой следует
2) Действительно, приняв во внимание, что ^cos (n, у) dS = 0, для Fy лег-
легко получить выражение Fy = Fy = — Ео §{Е'У cos (х, п) — Е'х cos (у, n)} dS.
Вводя единичные векторы i, j, k по осям координат, можем написать
E'ycos(x, n) - E'xcos(y, n) = (E'j)(in) - (E'i)Qn) = [u][nE;]. Наконец, на
основании E6*) и G.6) §[nE'] dS = / rot E' • dV = 0.
ГЛАВА III
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
§ 35. Электрический ток в металлах.
Законы Ома и Джоуля. Напряжение
1. Согласно данному в § 5 определению, проводники электри-
электричества суть тела, отличающиеся тем свойством, что если внутри
проводника напряженность электрического поля Е отлична от
нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т. е. движе-
движение зарядов.
В настоящей книге мы почти исключительно ограничимся
рассмотрением лишь одного определенного класса проводников,
а именно металлов. Прохождение тока через металлические про-
проводники не сопровождается химическими процессами в провод-
проводнике1), тогда как, например, при прохождении тока через рас-
раствор электролита происходит электролиз, т. е. выделение ионов
электролита на опущенных в раствор электродах.
Объясняется это отличие тем, что в электролитах носителя-
носителями зарядов являются ионы, т. е. заряженные атомы или группы
атомов, тогда как в металлах заряды переносятся «свободными»
электронами, отщепившимися от атомов металла.
Не вдаваясь пока в рассмотрение физического механизма про-
прохождения тока через металл, мы начнем с изложения феномено-
феноменологической теории постоянных токов.
2. Основной закон постоянного тока — закон Ома, являю-
являющийся обобщением данных опыта, формулируется обычно сле-
следующим образом:
j=a^i, C5.1)
где J — сила тока в проводнике, R — сопротивление определен-
определенного участка этого проводника, а <р\ и <р2 — значения потенциала
у начала и конца этого участка (считая по направлению тока).
При этом силой тока, как известно, называется количество элек-
электричества, протекающее через сечение проводника в единицу вре-
времени 2) , а направление тока условно считается совпадающим
!) Это относится и к прохождению тока через так называемые полупро-
полупроводники.
2) Определение это однозначно, ибо через любое сечение проводника про-
протекает одинаковое количество электричества (если только ток постоянен и
цепь тока не имеет разветвлений, — см. § 37).
§ 35 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ 167
с тем направлением, в котором под Действием поля должны были
бы двигаться положительные заряды; другими словами, услов-
условно считается, что ток течет от большего потенциала к меньшему
(Pi Ч2)
Следовательно, в абсолютной системе единиц размерность
силы тока равна
гji _ Г абс, ед. электричества! _ ^1/2 т 3/2 -р-2
Абсолютная единица силы тока соответствует переносу через се-
сечение проводника одной абсолютной единицы электричества в
одну секунду. В практической же системе единиц количество
электричества измеряется в кулонах; соответственно этому сила
тока измеряется в амперах. По определению, ток силою в 1 ампер
переносит через сечение проводника 1 кулон в секунду:
, А л Кл о т п9 абс. ед. электричества о i п9 «г
1А = 1— = 3-10у = 3-10 абс. ед. силы тока.
с с
3. Что же касается сопротивления Л, то его размерность, как
явствует из C5.1), равна
_ М _ M^
T _ _г
таким образом, размерность сопротивления обратна размерно-
размерности скорости.
В практических единицах потенциал измеряется в вольтах;
соответственно этому сопротивление измеряется в омах. Провод-
Проводник обладает по определению сопротивлением в 1 ом, если при
разности потенциалов на его концах в 1 вольт по нему протекает
ток силою в 1 ампер:
1 ,
о абс. ед. потенциала
1 Ом = 1- = -Ш =
А 3 ¦ 109 абс ед силы тока
абс. ед. сопротивления.
4. Разность потенциалов <pi — <p2, входящую в формулу C5.1),
согласно (8.2), можно выразить через линейный интеграл напря-
напряженности поля Е, взятый от начального до конечного сечения
рассматриваемого участка проводника:
2
Щ ~ 4>г = J Es ds, C5.2)
l
где ds — элемент длины проводника.
Линейный интеграл напряженности электрического поля меж-
между точками 1 к 2 носит название напряжения, существующего
168 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III
между этими точками, и будет нами обозначаться через ?\i'-
2
Esds. C5.3)
/„-/.
Нужно весьма остерегаться смешивать понятия напряжения ?\i
и напряженности поля Е, тем более, что иногда эти понятия
обозначаются одним и тем же термином «напряжение».
Внося C5.2) и C5.3) в C5.1), получаем
2
JR= I Esds = gx2- C5.4)
1
Эта форма закона Ома в случае постоянного электрическо-
электрического поля равносильна формуле C5.1). Однако она обладает тем
преимуществом, что остается применимой и к переменным (ква-
(квазистационарным) токам, тогда как в поле этих токов, как мы
убедимся в гл. VI, понятие электрического потенциала у>, а ста-
стало быть, и формула C5.1) оказываются неприменимыми.
5. С прохождением тока, как известно, неразрывно связано
выделение тепла (нагревание проводников) в цепи тока
Количество теплоты Q, выделяемое током в единицу времени
в каком-либо участке цепи, может быть определено следующим
образом. Если сила тока в проводнике равна J, то за элемент
времени dt через каждое сечение проводника протекает de = Jdt
единиц электричества; в частности, сколько единиц электриче-
электричества проникнет через начальное сечение 1 внутрь рассматривае-
рассматриваемого участка проводника, та-
. J , кое же количество электричества
-—*y~" "Л— г. выйдет из этого участка через его
(Т \T~de {r^dej) сечение 2 (рис. 35). Так как рас-
Я>1 Ч>2 пределение зарядов в проводни-
рис 35 ке остается при этом неизменным
(постоянный ток!), то весь про-
процесс эквивалентен непосредственному переносу ае единиц элек-
электричества от сечения 1 к сечению 2.
Совершаемая при этом переносе работа электрических сил
равна
2 2
A = de f Esds = Jdt f Esds = Jdt?u, C5.5)
l l
где линейный интеграл может быть взят по оси цилиндрического
проводника. Согласно закону сохранения энергии, эквивалентное
этой работе электрических сил количество энергии должно вы-
выделиться в виде иной формы энергии (например, в форме тепла).
§ 35 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ 169
Следовательно, выделяемая током энергия равна
2
Qdt = Jdt {Esds,
l
откуда 2
Q = J f Esds. C5.6)
l
Воспользовавшись законом Ома C5.4), получим
Q = RJ2. C5.7)
Наконец, в том случае, если поле Е обладает потенциалом ip, как
это имеет место для поля постоянных токов, мы можем, согласно
C5.2), записать это уравнение так:
Q = J{sP\ — Уг)- C5.8)
Если проводник неподвижен и если в нем не происходит хи-
химических реакций (электролиты!), то это количество энергии Q
выделяется током в форме тепла. Таким образом, уравнения
C5.6) и C5.8) выражают собой известный закон Джоуля.
Уже в § 38 мы убедимся, что область приложимости уравне-
уравнения C5.7) гораздо шире приложимости уравнений C5.6) и C5.8),
хотя в пределах нашего теперешнего рассмотрения все эти урав-
уравнения вполне эквивалентны друг другу. Мы увидим, что при
наличии сторонних электродвижущих сил эквивалентность этих
уравнений нарушается и что количество выделяемого тепла опре-
определяется именно уравнением C5.7).
6. Величина Q, равная количеству выделяющейся в единицу
времени энергии, должна, очевидно, иметь размерность мощно-
мощности. Действительно:
[Q] = [<pj\ = (M1/2L1/2T-l)(Ml/2L3/2T-2) = ML2T-3 = работа
время
Соответственно этому в абсолютной системе единиц Q измеря-
измеряется в эргах в секунду. В практической же системе единиц Q
измеряется в ваттах: 1 ватт есть энергия, выделяемая током си-
силою в 1 ампер при прохождении разности потенциалов в 1 вольт:
1 Вт = 1 вольт • ампер =
= (— абс. ед. потенциала) C • 109 абс. ед. силы тока) =
= 107 абс. ед. мощности = 107—.
с
Как известно, в практической системе единиц работа измеря-
измеряется в джоулях (Дж):
1 Дж = 107 эрг;
170
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
ГЛ III
поэтому „
с
Разумеется, выделяемая током энергия Q может быть выра-
выражена также и в тепловой мере, т. е. в калориях в секунду.
§ 36. Плотность тока. Дифференциальная форма
уравнений Ома и Джоуля
1. Наряду с силой тока весьма важное значение имеет также
плотность тока j: по определению она равна количеству элек-
электричества, протекающему в 1 с через единицу перпендикуляр-
перпендикулярного току сечения проводника. В однородном цилиндрическом
проводнике ток равномерно распределяется по его сечению, так
что Т
3 = L C6.1)
где S — сечение проводника.
Однако в общем случае плотность тока j, вообще говоря,
не будет одинаковой по всему сечению проводника, так что под
плотностью тока в каждой данной точке проводника нужно бу-
будет понимать предел отношения силы тока dJ, протекающей че-
через перпендикулярный к направлению тока элемент сечения про-
проводника dS, к этому элементу dS:
7 = lim —,
откуда
dJ = j dS. C6.2)
Если, наконец, рассматривать плотность тока как вектор, на-
направление которого совпадает с направлением тока в данной точ-
точке проводника, то при любом направлении площадки dS будет
справедливо соотношение
d J = jn dS
или
dJ
C6.3)
где jn — проекция вектора j на внеш-
внешнюю нормаль п к dS, a dJ — сила то-
тока, протекающего через dS. Справед-
Справедливость этого соотношения явствует из
того, что тангенциальная к dS слагаю-
Щая плотности тока характеризует те-
течение электричества вдоль (а не через)
площадки dS (рис. 36). Из C6.3) следует, в частности, что силе
протекающего через площадку dS тока dJ нужно приписывать
рис
§ 36 ПЛОТНОСТЬ ТОКА 171
как положительные, так и отрицательные значения в зависимо-
зависимости от того, протекает ли ток через dS в направлении произволь-
произвольно выбранной положительной нормали п к этой площадке или
же в обратном ей направлении.
2. Воспользовавшись понятием плотности тока, мы можем
выразить основные уравнения электрического тока в дифферен-
дифференциальной форме, устанавливающей связь между величинами, от-
относящимися к одной определенной точке проводника, тогда как
законы Ома и Джоуля в интегральной форме [C5.1) и C5.7)] свя-
связывают величины, относящиеся к различным точкам (<pi и <р2)
или к конечным отрезкам (R) проводника.
Обращаясь прежде всего к закону Ома, рассмотрим какой-
либо однородный по составу и цилиндрический по форме участок
проводника. В этом случае, как известно,
где I — длина участка проводника, обладающего сопротивлени-
сопротивлением Л, S — его сечение, ар — удельное сопротивление, характе-
характеризующее вещество проводника. Если вместо удельного сопро-
сопротивления р ввести обратную ему величину — удельную проводи-
проводимость, или электропроводность А:
Х=К
р
ТО 1
Внося это выражение в C5.4), получим
2
Esds,
&-!
или ввиду C6-1)
7 = г / Е„ dS.
В случае постоянного тока в однородном цилиндрическом
проводнике, ввиду тождества физических условий по всей его
длине, слагающая поля по оси проводника Es, очевидно, имеет
постоянное значение, так что
IEsds = ES fds = Esl,
172 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III
и, следовательно,
3 = A^s.
В каждой точке проводника направление тока совпадает с на-
направлением электрического поля 1), обусловливающего движе-
движение зарядов. Стало быть, вектор плотности тока должен совпа-
совпадать по направлению с вектором Е, и последнее уравнение может
быть записано окончательно в виде
j = АЕ. C6.5)
Это уравнение, устанавливающее пропорциональность плот-
плотности тока в проводнике напряженности поля в нем, представля-
представляет собой наиболее общую и простую формулировку закона Ома.
Его можно назвать дифференциальной формой закона Ома (хотя
в него и не входят производные), потому что оно устанавливает
связь между величинами, относящимися к одной определенной
точке проводника.
Хотя при выводе формулы C6.5) мы исходили из рассмо-
рассмотрения однородного цилиндрического проводника, однако в этой
дифференциальной форме закон Ома оказывается применим к
проводникам любой формы, как однородным, так и неоднород-
неоднородным [см., впрочем, уравнение C8.1)].
Более того, уравнение C6.5) остается справедливым и в пере-
переменных электрических полях и, таким образом, является одним
из основных уравнений электродинамики.
3. Закон Джоуля C5.7), носящий характер закона интеграль-
интегрального, может быть, подобно закону Ома, преобразован в форму
дифференциальную. С этой целью введем вместо Q удельную
мощность тока д, т е. количество теплоты, выделяющееся за се-
секунду в единице объема проводника: q = Q/V, где V — объ-
объем участка проводника, в котором выделяется общее количество
теплоты Q 2).
Рассмотрим опять однородный цилиндрический проводник
сечения S, длины I и объема V = SI. Согласно C5 7) и C6.4)
1) В частности, если в однородном цилиндрическом проводнике устано-
установился постоянный ток, то вектор Е в этом проводнике должен быть направ-
направлен по оси проводника и, стало быть, Es = Е и j = ХЕ Действительно, в
противном случае перпендикулярная этой оси слагающая напряженности Е
вызвала бы появление параллельного ей тока, т. е. перемещение зарядов с
одной стороны поверхности проводника на другую Это перераспределение
поверхностных зарядов длилось бы до тех пор, пока поле этих зарядов не
скомпенсировало бы внутри проводника перпендикулярной к его оси слагаю-
слагающей внешнего поля, т е. до тех пор, пока Е не стало бы параллельным оси
проводника.
2) Если выделение теплоты происходит неравномерно по объему провод-
проводника, то, как обычно, значение q в каждой точке проводника определяется
соотношением q = hm (Q/V)
§ 37 УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ТОКОВ 173
получим , ,
-Я - ^11 = 11L
q ~~ v ~ si "as2'
откуда на основании C6.1)
q=-J2, C6.6)
или на основании C6.5)
q = \Е2 = JE. C6.7)
Уравнение C6.6) представляет собой наиболее общую фор-
формулировку закона Джоуля, применимую к любым проводникам,
вне зависимости от их формы, однородности и т. д., наконец, вне
зависимости от того, имеем ли мы дело с постоянным или пе-
переменным током. Что же касается уравнения C6.7), то, как мы
увидим в § 39, область приложимости его несколько уже.
§ 37. Условия стационарности токов. Уравнение
непрерывности. Нити тока
1. Электрическое поле постоянных токов, как и поле элек-
электростатическое, является полем потенциальным в смысле § 7.
В частности, вектор напряженности этого поЛя Е удовлетворяет
условию G.3) и может быть выражен через градиент потенциала:
Е = — grad (p.
Действительно, в поле постоянных токов распределение зарядов
в пространстве должно оставаться стационарным, т. е. неизмен-
неизменным во времени, ибо если бы имело место какое бы то ни было
перераспределение зарядов, то напряженность поля неизбежно
должна была бы измениться, и ток перестал бы быть постоян-
постоянным. Но если распределение зарядов стационарно, то поле их
должно быть тождественно с электростатическим полем соответ-
соответственно распределенных неподвижных зарядов; то обстоятель-
обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда
благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказы-
сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плот-
плотность зарядов в каждой точке пространства остается постоян-
постоянной1) . Стало быть, стационарное поле постоянных токов, как
и поле электростатическое, должно быть полем потенциальным.
2. Из стационарности распределения зарядов в поле постоян-
постоянных токов вытекает, что токи эти необходимо должны быть ли-
либо замкнутыми, либо уходить в бесконечность, ибо, в противном
) Это утверждение является, в сущности, одним из основных постулатов
теории электрического поля
174
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
ГЛ III
случае, в месте начала (истоков) и окончания (стоков) тока про-
происходило бы с течением времени накопление и убывание зарядов.
По той же причине через различные сечения проводника (если
только между этими сечениями нет разветвлений проводника)
должен протекать ток одинаковой силы. Наконец, в каждой точ-
точке Р разветвления цепи тока, в которой соприкасаются между
собой два или вообще п проводников, несущих соответственно
токи Ji (г; = 1, 2, ..., п), должен удовлетворяться так называе-
называемый первый закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая
сумма сил токов, притекающих к точке
разветвления цепи, должна равняться
нулю: п
i = 0; C7.1)
Рис. 37
t=i
в противном случае в точке Р проис-
происходило бы накопление электрических
зарядов. При этом для всех проводни-
проводников, соприкасающихся в точке Р, по-
положительное направление тока долж-
должно быть, конечно, выбрано одинаковым
образом, т. е. совпадающим либо с на-
направлением к точке Р, либо с направ-
направлением от точки Р (рис. 37).
3. Самое общее условие стационарности токов и поля может
быть получено следующим образом. Согласно C6.3) интеграл
§ jn dS по произвольной замкнутой поверхности S должен рав-
равняться алгебраической сумме сил токов, проходящих через от-
отдельные элементы dS этой поверхности, т. е. должен равняться
количеству электричества, выходящего за единицу времени из
ограниченного поверхностью S объема V (если п есть внешняя
нормаль к 5). С другой стороны, согласно лежащему в основе
теории электричества закону сохранения электричества 1) , ко-
*} Часто закон сохранения электричества формулируют в том смысле, что
электрические заряды могут лишь перемещаться в пространстве, но не мо-
могут ни возникать, ни исчезать. Действительно, кажущееся возникновение
электрических зарядов, например при электризации тел трением, сводится
лишь к перераспределению в пространстве элементарных зарядов (электро-
(электронов и ионов), ранее существовавших в этих телах, но располагавшихся в них
так, что заряды противоположных знаков взаимно нейтрализовались.
Однако сохранение числа элементарных зарядов имеет место лишь в пре-
пределах обычных физических и химических явлений. В области же явлений,
относящихся к физике атомных ядер и космических лучей, число элемен-
элементарных зарядов не сохраняется. Так, например, возможно образование пары
зарядов — электрона и позитрона — за счет энергии гамма-лучей. Поэтому
закон сохранения электричества надо понимать в смысле сохранения алге-
алгебраической суммы электрических зарядов, а не сохранения суммы зарядов
каждого знака порознь.
§ 37 УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ТОКОВ 175
личество электричества, вышедшего за 1 с за пределы объема V,
должно равняться —de/dt, т. е. убыли за тот же промежуток
времени заряда е, находящегося внутри этого объема1). Таким
образом, мы приходим к равенству
ndS=-%. C7.2)
at
Это весьма важное уравнение, по установившейся терминоло-
терминологии, носит название уравнения непрерывности и является мате-
математическим выражением постулата сохранения количества элек-
электричества. К этому уравнению нам еще придется вернуться в
дальнейшем. В интересующем лее нас здесь случае постоянных
токов распределение зарядов стационарно, т. е. de/dt = 0, так
что уравнение непрерывности принимает вид
(j)jndS =
C7.3)
4. Если внутри объема V, ограниченного поверхностью S, нет
поверхностей разрыва вектора j (подобные разрывы, вообще го-
говоря, могут иметь место лишь на поверхностях соприкосновения
двух различных сред), то C7.3) можно преобразовать с помощью
теоремы Гаусса A7*):
<?
jndS = JdividV = 0.
Ввиду произвольности объема интегрирования V отсюда следу-
следует, что
div j = 0. C7.4)
Это уравнение является наиболее общим выражением того
факта, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии
тока всегда замкнуты либо уходят в бесконечность (ср. сказан-
сказанное о силовых линиях электрического поля в § 10) 2). При этом
под линиями тока нужно, очевидно, понимать линии вектора j,
т. е. линии, касательные к которым совпадают с направлением
вектора j в точке касания.
На поверхности соприкосновения двух различных сред век-
вектор плотности тока может испытывать разрыв непрерывности.
1) Знак частной производной должен означать, что при дифференцирова-
дифференцировании по времени поверхность S и объем V считаются неподвижными.
) Согласно § 10, для линий, не имеющих истоков, мыслима еще третья воз-
возможность: они могут заполнять собой конечные участки пространства. Од-
Однако при отсутствии сторонних ЭДС (см. § 38) линии тока, согласно C6.5),
совпадают с силовыми линиями стационарного электрического поля, для ко-
которых эта возможность, согласно § 10, исключена. Остается лишь оговорить,
что линии тока могут начинаться и кончаться в точках неопределенности
поля, где Е = j = 0 (см. примечание на с. 55, § 10).
176 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III
Однако нормальная к поверхности слагающая этого вектора j
должна быть одинаковой по обеим сторонам поверхности раз-
разрыва, ибо в противном случае количество электричества, при-
притекающее к одной стороне этой поверхности, не было бы равно
количеству электричества, вытекающему с другой ее стороны.
Следовательно,
Зы = J2n, C7.5)
где ji и J2 — плотности тока в первой и второй средах, an — нор-
нормаль к поверхности их соприкосновения. Если проводник грани-
граничит с непроводящей средой, то в ней j = 0, и, следовательно,
нормальная к поверхности слагающая плотности тока в провод-
проводнике также должна равняться нулю:
Зп = 0. C7.6)
5. Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разло-
разложить на совокупность бесконечно тонких замкнутых (или уходя-
уходящих в бесконечность) нитей тока. С этой целью выберем произ-
произвольную площадку dS внутри проводника и проведем через все
точки контура этой площадки линии тока. Образованная сово-
совокупностью этих линий цилиндрическая поверхность и выделит
из объема проводника так называемую нить тока. Так как че-
через боковую поверхность такой нити электричество, очевидно,
не протекает, то сила тока dJ во всех сечениях dS каждой нити
должна быть постоянной, т. е.
dJ = j dS = const,
где под dS надо понимать перпендикулярное к j сечение нити
тока. Так как, далее, линии тока, а стало быть, и поверхности
нитей тока пересекаться нигде не могут (ибо в каждой точке про-
пространства, в которой j ф 0, направление линии тока однозначно
определяется направлением вектора j), то каждая нить тока дол-
должна замыкаться сама на себя (т. е. быть замкнутой) либо идти
из бесконечности в бесконечность (см. примечание к с. 56).
6. В случае постоянных токов, как и в электростатике, макро-
макроскопическая плотность (свободных) зарядов внутри однородных
проводников равна нулю, ибо при А = const из C7.4) следует:
divj = divAE = AdivE = 0, т.е. — divE = p = 0. C7.7)
4тг
Задача 21. Пространство между обкладками шарового
конденсатора (радиусы Ri и Д2) заполнено проводящей средой
удельной электропроводности А. Найти силу тока, проходящего
через конденсатор, если его обкладки поддерживаются при по-
постоянной разности потенциалов tp2 — ip\, и показать, что сопро-
сопротивление находящегося между обкладками шарового слоя равно
4тгА \Ri R2<
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 177
Задача 22. Показать, что на поверхности раздела двух
проводников линии тока испытывают преломление, причем
tg/?2 А2'
где /Зг — угол между линией тока в первой среде и нормалью
к поверхности раздела, Ai — электропроводность первой среды,
a fa и Аг — соответствующие величины для второй среды (ср.
задачу 16, § 22).
Задача 23. Показать, что нормальная слагающая элек-
электрической индукции у поверхности проводника определяется
уравнением ^
также и в том случае, если по проводнику протекает постоянный
ток, но что векторное уравнение B2 10) в этом случае перестает
быть справедливым.
§ 38. Сторонние электродвижущие силы.
Квазилинейные токи. Второй закон Кирхгофа
1. Существеннейшее отличие стационарного поля постоянных
токов от поля электростатического заключается в том, что для
поддержания первого необходима непрерывная затрата энергии,
тогда как в электростатическом поле никаких превращений энер-
энергии не происходит. Действительно, как мы видели, электриче-
электрический ток, т. е. перенос электричества по проводникам под воздей-
воздействием сил электрического поля, сопровождается работой этих
сил, причем эквивалентное этой работе количество энергии вы-
выделяется в форме так называемого джоулева тепла. Ввиду ста-
стационарности поля постоянных токов вся энергия, выделяющая-
выделяющаяся в цепи тока, должна непрерывно возмещаться за счет других
видов энергии — механической (динамо-машины), химической
(гальванические элементы, аккумуляторы), тепловой (термоэле-
(термоэлементы) и т. д. Иными словами, для поддержания постоянного то-
тока необходимо, чтобы в известных участках цепи тока действо-
действовали электродвижущие силы неэлектростатического происхож-
происхождения (индукционные, контактные на поверхностях соприкосно-
соприкосновения различных проводников, термоэлектрические и т. д.); их
работой и компенсируется затрата электрической энергии, выде-
выделяющейся в форме джоулева тепла.
Если бы все действующие в цепи ЭДС сводились к силам
электростатического поля, т. е. к силам кулоновым, то под воз-
воздействием этих сил положительные заряды проводников стека-
стекались бы из мест большего потенциала к потенциалам меньшим,
отрицательные же двигались бы в обратном направлении, что
вело бы к выравниванию потенциалов. В результате все соеди-
178 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III
ненные между собой проводники приобрели бы одинаковый по-
потенциал, и ток прекратился бы. Иными словами, при наличии
одних лишь кулоновых сил стационарное поле должно быть по-
полем статическим. Таким образом, мы приходим к выводу, в
известном отношении напоминающему теорему Ирншоу: как и
в § 19, нам приходится ввести в рассмотрение силы неэлектро-
неэлектростатического происхождения, действующие на электрические за-
заряды. Разница лишь в том, что в § 19 введение подобных сил
вызывалось необходимостью учесть возможность устойчивого
равновесия системы электрических зарядов, теперь же нас вы-
вынуждает к этому факт существования постоянных токов.
Итак, мы должны допустить, что, помимо электрических сил
стационарного электрического поля, на электрические заряды в
проводниках может действовать еще некоторое поле сил неэлек-
неэлектростатического происхождения. Для краткости мы будем назы-
называть эти силы сторонними (электростатическому полю) и будем
обозначать напряженность поля сторонних сил через Естр.
К сторонним силам в этой главе мы причисляем все ЭДС
неэлектростатического происхождения. Весьма важный класс
этих сил будет сведен в гл. VI к силам переменного электро-
электромагнитного поля (индукционным), после чего мы уже не будем
применять к силам этого класса термин «сторонние». Помимо
них существуют, однако, и силы «сторонние» в собственном
смысле слова, обусловленные химической и физической неодно-
неоднородностью проводников. Таковы силы, возникающие при сопри-
соприкосновении проводников различного химического состава (галь-
(гальванический элемент, аккумулятор) или различной температуры
(термоэлемент), при наличии градиента концентрации в раство-
растворе электролита (концентрационный гальванический элемент) и
т. д. Конечно, перед электронной теорией материи стоит зада-
задача выяснить механизм возникновения всех «сторонних» ЭДС и
свести их к взаимодействию электрических зарядов, входящих
в состав атомов неоднородных проводников. Задача эта, однако,
выходит за рамки этой книги.
2. Если под действием электростатического поля Е в провод-
проводнике возникает, согласно C6.5), ток плотности
то под совокупным действием поля Е и поля сторонних сил Естр
должен, очевидно, возникать ток плотности
j = A(E + ECTp). C8.1)
Это выражение представляет собою дифференциальную форму
обобщенного закона Ома (для случая наличия сторонних ЭДС),
из которого нетрудно получить и интегральную форму этого за-
закона. При этом в настоящем параграфе нам достаточно будет
ограничиться рассмотрением квазилинейных токов.
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 179
3. Квазилинейными (не смешивать с линейными, о которых
будет идти речь в следующей главе) токами мы будем называть
токи, удовлетворяющие следующим условиям, в каждом участ-
участке несущего ток проводника можно определить направление его
оси так, чтобы во всех точках любого перпендикулярного оси се-
сечения проводника все физические величины (j, ip, A, E, Естр и
т. д.) можно было с достаточной точностью считать постоянными
и чтобы вектор плотности тока j был параллелен (или антипа-
раллелен) этой оси. Такие токи мы называем квазилинейными
потому, что в ряде случаев рассмотрение несущего ток провод-
проводника может быть заменено рассмотрением его оси, которую мы
будем называть контуром тока.
4. Рассмотрим произвольный участок квазилинейного тока,
заключенный между сечениями 1 и 2, и предположим сначала,
что в этом участке нет разветвлений цепи тока. Пусть перпен-
перпендикулярное оси сечение проводника равно S, причем, вообще го-
говоря, S может быть переменным по длине проводника. Разделив
уравнение C8.1) на А, умножая, далее, это уравнение скалярно
на элемент оси проводника ds, взятый по направлению тока j,
и интегрируя от сечения 1 до сечения 2, получим (ввиду того,
что jds = j ds):
2 2 2
= / Es ds
A J
1 1 1
Заменим в первом интеграле j на J/S и вынесем J как вели-
величину постоянную за знак интеграла. Далее, интеграл
2
ds
1
есть не что иное, как сопротивление участка проводника, лежа-
лежащего между сечениями 1 и 2, ибо подынтегральное выражение
равно сопротивлению элемента длины проводника; в частности,
для однородного проводника постоянного сечения R\2 совпадает
с C6.4). Стало быть, окончательно:
2 2
JR12 = f Esds + J ЩТр ds, C8.2)
i i
что представляет собой наиболее общую интегральную форму
обобщенного закона Ома.
Напряжение сторонних ЭДС между точками 1 и 2 [ср. C5.3)]
2
s C8.3)
180 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. III
часто называется просто электродвижущей силой, приложенной
между этими точками, и сокращенно обозначается через ЭДС.
Внеся C5.3) и C8.3) в C8.2), получим
JRl2 = Sl2 + <^2тр. C8.4)
Стало быть, произведение силы тока на сопротивление произ-
произвольного участка проводника равно сумме напряжения и сто-
сторонней ЭДС, приложенных к этому участку.
Если электрическое поле Е обладает потенциалом <р, как это
имеет место в стационарном поле постоянных токов, то, согласно
C5.2), последнее уравнение может быть записано так:
JRn = щ - <р2 + <2Р- C8-2)
Частным случаем этого уравнения при отсутствии сторонних
ЭДС является наше исходное выражение C5.1) необобщенного
закона Ома.
5. Если замкнутый квазилинейный ток лишен разветвлений,
то, выполняя в уравнении C8.2) интегрирование по всей длине
этого тока, получим
JR = (f>Esds+ ф Ef p ds, C8.6)
где R — полное сопротивление замкнутого проводника. Если Е
обладает потенциалом, то, согласно G.3), первый интеграл обра-
обращается в нуль, так что для постоянного тока C8.6) принимает
вид
JR= ф Е?р ds = <Гтр, C8.7)
где <^стр — полная ЭДС в цепи тока. Стало быть, сила неразвет-
вленного постоянного тока равна частному от деления полной
сторонней ЭДС в его цепи на сопротивление этой цепи. Таким
образом, при отсутствии сторонних ЭДС сила постоянного тока
должна равняться нулю, как
это уже отмечалось в начале
параграфа.
Рассмотрим, наконец, про-
произвольную цепь квазилиней-
квазилинейных токов с произвольным
числом разветвлений (рис. 38)
~5 и составим из отдельных
участков этой цепи какой-ли-
' бо произвольный замкнутый
контур L, например контур 12 3 1. Пусть J^ (г, к = 1, 2, 3) есть
ток в отрезке гк, причем величину J^ мы будем считать положи-
положительной, если ток идет от точки г к точке к, и отрицательной в
противоположном случае. Составляя для каждого участка цепи
§ 38 СТОРОННИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ 181
уравнение типа C8.5) и суммируя, получим
? *g*.
Приняв во внимание, что
(<№ ~ <Pk) = (<Pi ~ 4>г) + (<Р2 ~ <Рз) + (уз - <Pi) = 0,
получим
Итак, в любом замкнутом контуре токов алгебраическая сум-
сумма произведений типа JikRik равна сумме сторонних ЭДС, при-
приложенных к этому контуру. Это положение носит название вто-
второго закона Кирхгофа. Очевидно, что C8.7) есть частный случай
применения этого закона к неразветвленной цепи тока.
6. Заметим в заключение, что существование сторонних ЭДС
должно быть, конечно, учтено и в электростатике. Так, напри-
например, в химически или физически неоднородном проводнике усло-
условие электростатического равновесия сводится не к равенству ну-
нулю напряженности Е электрического поля внутри проводника, а
к равенству
Е + Естр = 0 или Е = -Естр, C8.9)
ибо лишь при этом условии тока в проводнике не будет [ср.
C8.1)].
Задача 24. А, В и С суть три последовательные станции
на линии телеграфа (рис. 39). Телеграфист в А знает, что между
А и В произошло нарушение изоляции линии (что равносильно
1 =3. С-Ь 1с
В
Рис. 39
ее заземлению). Включая батарею между землей и своим концом
линии, он измеряет возникающую при этом в линии силу тока
при трех различных условиях: 1) линия заземлена на станции С
и изолирована в В (ток J); 2) линия заземлена в В и изолиро-
изолирована в С (ток J'); 3) линия изолирована и в В и в С (ток J").
Определить расстояние точки повреждения линии от А. Пред-
Предполагается, что сопротивлением земли, а также сопротивлением
заземления на станциях можно пренебречь.
182 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ III
§ 39. Превращения энергии в цепи тока.
Контактные ЭДС
1. Умножая C8.2) на силу тока в цепи J и перегруппировав
члены, получаем
2 2
J I Esds = J2RU - J fE^ds. C9.1)
l l
Левая часть этого уравнения, согласно C5.5), равна работе,
совершаемой силами электрического поля в единицу времени в
участке цепи 1, 2. Эта работа оказывается равной разности двух
членов, причем первый из них
Q = J2Ri2 C9.2)
квадратичен относительно силы тока J, поэтому не зависит от
направления тока и всегда положителен; второй же член
2
?fp ds C9.3)
линеен относительно J и меняет знак при изменении направле-
направления тока. Первый член Q совпадает с выражением C5.7) для
джоулева тепла, полученным нами в § 35 в предположении об
отсутствии в проводнике сторонних ЭДС.
И при наличии сторонних ЭДС квадратичная относительно J
величина Q выражает выделяемое током тепло, а именно, так на-
называемое джоулево тепло; линейный же относительно J член Р
представляет собой, очевидно, работу, совершаемую в единицу
времени сторонними ЭДС. Таким образом, формула C9.1) озна-
означает, что джоулево тепло Q, выделяемое током в участке цепи
1, Ё, равно сумме совершаемых в этом участке цепи работы сил
2
электрического поля J f Esds и работы сторонних ЭДС.
1
Однако общее количество теплоты, выделяемое током в дан-
данном участке цепи, отнюдь не всегда совпадает с соответствен-
соответственным джоулевым теплом Q. Так, например, в месте контакта двух
различных проводников, помимо джоулева тепла, зависящего
только от силы тока и сопротивления проводников, выделяется
также так называемое тепло Пелътъе, зависящее от сторонних
ЭДС, определяемых в свою очередь химической природой про-
проводников, их температурой и т. д. Подобно этому, при наличии
в проводнике градиента температуры в нем выделяется, помимо
джоулева тепла, и так называемая теплота Томсона. Однако
в отличие от джоулева тепла теплоты Пельтье и Томсона явля-
являются линейными функциями тока J и изменяют знак при изме-
§ 39 ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ТОКА 183
нении направления тока1). Поэтому теплоту Джоуля Q всегда
можно выделить из общего количества выделяемой током тепло-
теплоты: теплота Джоуля равна полусумме теплот, выделяемых током
заданной силы J при двух взаимно противоположных направле-
направлениях тока.
Впрочем, в обычных условиях (при не очень малых силах
токов) теплоты Пельтье и Томсона составляют лишь незначи-
незначительную долю теплоты Джоуля, так что их можно вовсе не учи-
учитывать.
2. Итак, выражения C5.7) или C9.2) для теплоты Джоуля
остаются справедливыми и при наличии сторонних ЭДС, фор-
формулы же C5.6) и C5.8) выражают работу, совершаемую при
прохождении тока силами электрического поля, которая равна
теплоте Джоуля лишь в отсутствие сторонних ЭДС. Так, напри-
например, из C8.2) и C5.2) следует, что при наличии сторонних ЭДС
выражение C5.8) для теплоты Джоуля должно быть заменено
следующим:
Q = J{Vi-4>2) + J^p. C9.4)
Выражение C6.6) для удельного количества теплоты Джо-
Джоуля (т. е. теплоты Джоуля, выделяющейся в единицу времени в
единицу объема проводника)
q = \j2 C9.5)
было получено нами из уравнения C5.7), совпадающего с C9.2);
поэтому C9.5) остается справедливым и при наличии сторонних
сил. Вместо C6.7) мы из C9.5) и C8.1) получаем
g = A(E + ECTpJ=j(E + ECTp), C9.6)
что выражает собой тот факт, что джоулево тепло, выделяемое
током в каждом элементе объема проводника, равно сумме ра-
работ сил электрического поля