/
Author: Ковалёва Г.И.
Tags: воспитание обучение образование методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе методика преподавания школьная алгебра школьная математика 9 класс
ISBN: 5-88041-047-1
Year: 2002
Text
УРОКИ
МАТЕМАГИКИ
В 9-ом КЛАССЕ
= ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
«= ЧАСТЫ!
УРОКИ
МАТЕМАТИКИ
В 9-ом КЛАССЕ
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
ЧАСТЬ П
Составитель: Ковалёва Г.И.,
ЖВНДЦЦВГ ЛЦДКШПВСЖВХ ВЦП
Волгоград
II
Издательство Братья Гринины
УДК 371.214
ББК 74.262.21
К56
Ковалёва Г.И.
К56 Уроки математики в 9-ом классе. Поурочные планы.
Часть II. -Волпирад, издательство Гринина А.Е., 2002,64с.
ISBN 5-88041-047-1
Пособие содержит поурочные планы, составленные в соот-
ветствии с программой и «Обязательным минимумом содержа-
ния образовательных программ по математике». Они предназна-
чены для работы по стабильному учебнику: Алгебра. Учебник
для 9-го класса средней школы./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндкж,
К.И. Пешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А. Теляковского, 2-ое
изд - М.: Просвещение, 1992.
- Пособие окажет существенную помощь учителям средних
школ при подготовке к урокам математики в 9-ом классе.
УДК 371.214
ББК 74.262.21
ISBN 5-88041-047-1
© Ковалёва Г.И.. 2000
© Издательство Гринина А.Е., 2000
§7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
УРОК № 49. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Основная цель. Познакомить учащихся с понятием последова-
тельности; добиться понимания терминологии — "член последова-
тельности", "номер члена последовательности", "формула л-го члена '
последовательности".
Объяснение нового материала.
Т1рн объяснении нового материала можно предложить учащимся вы-
писал в пгрядке возрастания по ложигельньк чётные чиста: 2; 4; 6; 4...
Какое число стоит на первом месте, на втором, на пятом, на со-
том, на n-ном месте? Подвести учащихся к понятию факта, что для
любого натурального п можно указать соответствующее ему положи-
тельное чётное число — 2л.
. Повторить указанную работу, выписывай
а) в поряд ке возрастания положительные нечётные чиста: 1; 3; 5;...
6) в порядке возрастания—натуральныечиаи, кратные 5:5;10; 15;...
. .1111
в) числа, обратные натуральным. 1;—
Получили числовые последовательности, т.е. для любого нату-
рального числа указали соответствующее ему число.
Числа, образующие последовательность, называют соответствен-
но первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д членами последова-
тельности. Обозначают О], а2, а3, а4,...
Член последовательности с порядковым номером л называют л-ым
членом последовательности и обозначают аа. Саму последователь-
ность обозначают (лд).
Контрольные вопросы.
1. Какой член последовательности (oj следует за членом лп, л„,
^п+2, Пп.3?
2. Какой член последовательности (О предшествует члену л13, лп,
Лп+2, оп.3?
3. Перечислить члены последовательности (хп), расположенные
между х13 и х)6; хп и хп+4; хп.3 и хп; хп.2 и хп+2?
Привести примеры конечной и бесконечной последовательности.
См. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры н начал анализа. — М:: Просвещение, 1993;
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для
подготовительных отделений вузов. — М.: Высшая школа, 1987.
Как задать последовательность? Как указать способ, позволяющий
найти член последовательности с любым порядковым номером?
Часто последовательность задают с помощью формулы л-го члена.
Необходимо вернуться к рассмотренным последовательностям (^=2n,
вп=2л-1; Сп=5л; хп = — ) и показать, что для нахождения любого члена
. л
последовательное™ достаточно в формулу л-го члена вместо и поставить
номер искомого члена. Привести примеры последовательностей, задан-
ных формулами л-го члена (х„ =(-1)" ЛО, у„ =1 ит.д.).
Контрольные вопросы.
1. Найти первый н пятый члены последовательности, заданной
формулой а„ = -л - 2.
‘ 2. Последовательность (yj задана формулой уп = (-1)" -5.
Найта^о;уп;.У2п;?2п-1.
3). Последовательность (с^ задана формулой сп = -л2 +2л.
Найти Ci, с3; с5; ci0.
Рассмотреть рекуррентный способ задания последовательности. На-
пример, пусть первый член последовательности (аД равен 3, а каждый
следующий член равен квадрату предыдущего, т.е. ах- 3, а„ц— а*.
. Методические замечания.
1. При рекуррентном способе задания последовательности необ-
ходимо указать начальные члена последовательности н рекуррентное
соотношение, на основе которого находятся следующие члены после-
довательности. Задание одного рекуррентного соотношения не опре-
деляет однозначно последовательность.
2, Рекуррентное задание последовательности удобно для ЭВМ,
т.к. в этом случае можно легко запрограммировать процесс нахож-
дения пп. При ручном способе рекуррентный способ задания не всегда
удобен, т.к. для нахождения л-го члена последовательности приходится
находить все предшествующие.
Контрольные вопросы.
1. Задать последовательность рекуррентным способом, если из-
вестно, что первый её член равен 2, ;Э каждый^ следующий меньше на
3; больше на 2 предыдущего.
2. ВЬшишиге первые четыре члена последовательности (cQ, если ах=
8,0^1= -а^ если 27, |а„.
Нельзя ограничиваться последовательностями, которые задаются
формулой л-го члена или рекуррентным соотношением, т.к. имеются
последовательности, которые не могут быть заданы этими способа-
ми. Например, последовательность приближённых значений (с не-
достатком) числа -J1: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; ... или
последовательность простых чисел, взятых в порядке возрастания: 2,
3,5,7,11,13,17,19,...
Решение задач. №№ 329, 331, 332(устао), 333 (устно), 334 (б, в,
г, д), 336, 337 (а, в), 337, (цопросить учащихся устно рассказать,
какие операции следует выполнить над а^ чтобы получить дпИ).
Домашнее задание: №№ 334 (а, е), 335, 337 (б, г), 338.
Итог урока.
1. Приведите пример числовой последовательности:
а) конечной, 6) бесконечной.
2. Приведите пример последовательности, заданной формулой л-го
члена. Как найти какой-нибудь член этой последовательности?
3. Приведите пример последовательности, заданной рекуррент-
ные способом.
УРОК№ 50. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Основная цель. Закрепить понятие "последовательность", "член
последовательности", "порядковый номер члена последовательности"
н т.д. Проверить знания учащихся по усвоению данного материала.
Устная работа.
1. В последовательности (Хп): 2; 0; -2; -4;... назвать первый, вто-
рой, пятый, шестой члены.
2. Задать формулой л-ый член последовательности:
(аД: 3; 5; 7; 9;... («у; 1; 1; 1; 1;...
. 2 3 4 5’
(с„): 7; 7; 7;... (Уп):-1; 1;-1; 1;...
3. Последовательность задана формулой ц,=Зп-1. Найти аь а5, а10.
. 4. Перечислить первые пять членов последовательности (aJ, если,
а) Л!= 1, «п-2; б) а^ -k On+i= ' 2; в) лг=5, а^а^, (а;1 =—).
2 о„
5. Укажите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее не-
равенству: а) Зх £ 42; б) Юл > 80.
6. Укажите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее не-
равенству: а) 7л < 56; б) Зл < 90.
7. Найдите натуральные решения неравенства:
а) Зл > 15; б) -Зл £ 16; в) 2 < 2л £10.
Решение задач.
1. Записать первые 3 члена последовательности, заданной форму-
лой л-го члена.
. л _ 2л+1 . ч „
а)вп=—; б)ап =--------—; в)сп=2-1; г)Хп=л+2л+1.
3" л + 3
2. Последовательность (а^ задана формулой л-го члена. Принад-
лежит ли этой последовательности число:
а) х„ = 5п +1, |; 36; б) а„ = -п2 - 2d; -22; 1;
в) ул = -2п +1; 1; -5; г) en = З*4; 25; 1?
3. Для каких членов последовательности (yj выполняется усло-
вие: а)уп > 200, еслиуп = 2л - 5; б)у„ £ 30, если_уп = Зл - 100?
4. Найтн порядковые номера положительных членов последова-
тельности (Хд), если х* = -Зл + 13.
_ 7л+2 „ е 7
5. Хп = ——-. Доказать, что при любом натуральном л хп > —.
№№ 430 (а, в, д); 431 (б); 432 (а, б).
. Самостоятельная работа.
1. Выписать несколько первых членов последовательности нату-
ральных чисел, кратных 5 (кратных, ДО), взятых в порядке возраста-
ния. Указать первый, четвёртый, десятый, сотый и л-ый члены по-
следовательности.
2. Записать первые 8 членов последовательности, заданной фор-
мулой л-го члена
лп= 81-
3. Записать первые 4 члена последовательности аш если ai= -3,
1 ( _ 1 Л
= — I ai = 2>°»+i = ~zan 1 •
а х z /
Домашнее задание: №№ 430 (б, г), 431 (а), на повторение —
№№339-342.
§8. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
УРОК №51. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Познакомить учащихся с понятием арифметиче-
ской прогрессии, формулой л-го члена арифметической прогрессии.
Устная работа.
1. Последовательность уп задана формулой л-го члена уп = 5л + 1.
Найдите уь у,, уг0, уюо, у*, Л+2-
2. Найдите второй, пятый, двадцатый члены последовательности
(о„), заданной формулой:
а)Дв = 2л-1; б)ап=^1; в)оп=—;
2 л
г) Оп= п2 - 3; д) ап= -п2 + 1; е) оп= (-1)"
3. Последовательность задана формулой = 15 - Зл. Найдите
номер члена последовательности, равного .6; О; -3; -9.
4. Последовательность задана формулой « 2 - Зл. Является ли
членом згой последовательности число -12; 3; -13?
б
5. Перечислите пять первых членов последовательности (cj, если
a) ci = 8; Cn+i = сп - 1; б) С] = 64; сп+1 = 0,5 • сп;в) с, = 1; c„+i = 3 с„.
6. Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10; 3 и -5; 2, 3 и 7.
Объяснение нового материала.
Выпиппне последовательность, соответствующую условию задачи:
1) . Джентльмен получил наследство. В первый месяц он истратил
100$, а каящый следующий месяц от тратил на 50$ больше, чем в
предыдущий. Сколько $ от истратил за второй месяц? за третий? за
восьмой? за десятый? 100; 150; 200; 250;...
Как получается второй член последовательности? третий? вось-
мой? десятый? (Прибавлением к предыдущему члену числа 50).
2) . Мастерская изготовила в январе 100 изделий, а в каждый сле-
дующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыду-
щий. Сколько изделий изготовила мастерская в феврале? в марте? в
августе? в декабре? 106; 118; 130;...
Как получается второй член последовательности? третий? вось-
мой? десятый? (Прибавлением к предыдущему члену числа 12).
3) . Тело в первую секунду движения прошло 27м, а за каждую
следующую секунду — на Зм меньше, чем за предыдущую. Какое
расстояние прошло тело за 2-ую, 3-ю, 8-ую, 10-ую секунду? 27; 24;
21; 18;...
Как получается второй член последовательности? третий? четвёр-
тый? десятый? восьмой? (Прибавление к предыдущему члену числа
(-3)).
Выписанные последовательности называются арифметиче-
скими прогрессиями.
Каким образом образовывались члены данных последовательно-
стей? (К предыдущему прибавляли одно н тоже число).
Какая последовательность называется арифметической прогрес-
сией? Даётся определение арифметической прогрессии.
Задайте последовательности рекуррентным способом
щ = 100; an+i = ап + 50; щ = 106; ап+] = ап + 12; щ = 27; оп+1 = ап - 3.
Т.О. (а,0 — арифметическая прогрессия, если для любого нату-
рального п выполняется условие aj - а и an+i = ап + d, где d — неко-
торое число, d называется разностью арифметической прогрессии.
Как найти разность арифметической прогрессии? d = оп?
Чтобы задать арифметическую прогрессию (iri) требуется указать
щ и d. Привести примеры.
Ещё раз указать на то, что рекуррентное задание последователь-
ности не очень удобно (почему?), поэтому необходимо получить
формулу л-го члена арифметической прогрессии.
аг - °i
а3 = а2 + d
a4 = a3+d as = at+d (я -1) равенство. Сложим эти равенства Одинаковые члены (слева и справа) взаимно
o„-i^a„_2+d уничтожаются. По лучим nn=a1+(n-l)d.
Контрольные вопросы.
1. Найдите разность арифметической прогрессии, если
a) 1,2,3,...; б) (yj: -2; -4;...; в) (aj: 7; 7;....
2. В арифметической прогрессии fab известны at « -2 и d = 3.
Найдите ee; aw; a*, ам.
Почему арифметическая прогрессия получила такое название?
Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10: - =б.
2
Запишите в порядке возрастания найденное число с данными 2; 6;
10; 14; 18; 22; 26;... Образует ли данная тройка чисел арифметиче-
скую прогрессию? Найдите четвёртый, пятый, шестой члены этой
последовательности. Проверьте выполняется лл данная захономер-
, „ „__ „ 18+26 „„
кость для любой тройки чисел этой последовательности. —-—=22.
Сформулируйте свойство членов арифметической прогрессии
(любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, явля-
ется средним арифметическим последующего и предыдущего).
Докажите, что если (aj — арифметическая прогрессия, то
». f'-' • Сформулируй!. обратаеутарждтае.
(Если некоторая последовательность такова, что любой её член,
начиная со второго,, является средним арифметическим последующе-
го и предыдущего, то эта последовательность — арифметическая
прогрессия). Докажите!
Пусть ап = п £ 1 Тогда 2а„ = a„_, +ал+1 иди
а„ -<>„.{ = an+i - ап. Т.О., разность между любым членом последова-
тельности и предыдущим с ним равна одному и тому же числу. Зна-
чит, по определению (ntj — арифметическая прогрессия.
Решение задач: № 343 (а, б), 344 (устно), 345, 347, 350.
Домашнее задание: №№ 343 (в), 346, 348, на повторение — №№
365 И 368.
Итог уро ка.
1. Какая последовательность называется арифметической про-
грессией? Привести примеры.
2. Как найти разность арифметической прогрессии?
3. Чему равен л-ый член арифметической тфогрессии?
4. Сформулировать характеристическое свойство членов арифме-
тической прогрессии.
УРОК № 52. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Продолжить работу по формированию понятия
арифметической Тфогрессии, формулы л-го члена арифметической
прогрессии, свойств членов арифметической тфогрессии, способов
задания арифметической прогрессии.
Устная работа.
1. Найдите разность арифметической Прогрессии:
a) (aj: 2; 4;...; б) (ej: -1; 5; ...;в) (cj: -3; -6;...; г) (xj: 8; 8;....
2. Зная, первые два члена арифметической тфогрессии 3; -2; ...,
найти следующие за ними четыре её члена.
3. — арифметическая прогрессия. Известно вЛ и d. Найти ву,
в8> в1<Ъ вж> вж*1-
4. (<?„) — арифметическая прогрессия, oi= -0,8, d= 4. Найти ay,
°io'> °зо; о<-
5. Три числа -2: о; 6 образуют арифметическую прогрессию. Най-
ти а.
6. Числа -12; а; в; 20 образуют арифметическую прогрессию.
Найти а, в.
7. Найдите члены арифметической прогрессии (а„) обозначенные
буквами ау, -8; а у, -2 ; ау, а6.
Решение задач. № 354, № 355,
аналогичный № 354(6): 5; ay, ay, ay, ay. ay, ay, ay, 1. Зная первый
член последовательности, что надо знать, чтобы найти второй, тре-
тий и т.д.? Надо знать d. Переформулируйте задачу. Найти d, зная
о,= 5, о9= 1- а9= аг + 8d, 1= 5 + 8d, d = ---. 5; 4,5; 4, 3,5; 3, 2,5; 2;
2
1,5; 1.
№ 357 (а). (с,д — арифметическая прогрессия, с5 = 27, с27 = 60.
Найти ci и d. • .
г л (cf=c,+4d (с. +4d = 27
I СПОСОб: < 3 ‘ , ИЛИ < . zrni
jcjy = c, + 26d |Ci + 26 J = 60
П способ: с27 = cs + 22d.
№ 357 (б) — самостоятельно. №№ 359,361,362.
Объяснение нового материала.
Формула л-го члена арифметической прогрессии ая = а1+(п- l)d
или a„=ai+n-d-d, ая =H'd+(at-d), a„ =n-d+b. Т.О., любая
ь
арифметическая прогрессия может быть задана формулой a^d-n+b.
Составьте обратное утверждение. (Последовательность (ал), задан-
ная формулой вида a„ = dn+b, где d и b — некоторые числа, яв-
ляется арифметической прогрессией). Докажите!
ая ^di+b.a^ -din+^+b^d-n+d+b.a^ -ая =d-n+d+b-d-n-b~d.
По определению ( ая ) — арифметическая прогрессия.
Контрольные вопросы.
1. № 363.
2. Найти в] Kd.
„ _ 2 _ л-2
ая = 2 -Зл; ая = 5л -7; ая* —у.
3. Составьте формулу л-го члена арифметической прогрессии (ап):
(оп) -10; -8;...; (о„= -12 + 2л) (оп): -9; -6;... (р* = 12 + Зл).
4. № 364. = 180°(л-2) = 180°л-360°,и^З. Следовательно,
(Д„ ) — арифметическая прогрессия, где л г 3, d = 180°.
Домашнее задание: №№ 352, 353, 356, 358,360.
УРОК № 53. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Проверить знания учащихся формулы л-го члена
арифметической прогрессии, способов её задания.
Устная работа.
1. Какая из последовательностей, заданных формулой л-го члена,,
является арифметической прогрессией?
а) хп - 2л + 5; б) хп = Зл (и + 2); в) хп ~
л + 2
2. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии,
заданной ая = 102л - 5.
3. Укажите номера отрицательных (положительных) членов арифме-
тической прогрессии, заданной формулой л-го члена:
а) ая = -5л + 10; б) а„ = 9л - 18; в) ап = -2л +7.
Решение задач: №№ 433,438 (а), 439 (а), 440,441 (а), 444.
Домашнее задание: №№ 438(6), 439 (б), 441 (б), на повторение
— №№366, 357.
Самостоятельная работа.
См.: Дидактические материалы по алгебре для 9-го класса./
Ю.Н. Макарычев. НГ. Миндюк, Л.М. Короткова — М.: Просвеще-
ние, 1998.
1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 3,4, -0,2;...
(2,8; -0,4;...), найти сдедуадщ^ за ним четыре ей члена.
2. В арифметической прогрессии (о„) известно d3= -0,8 и d = 4
(gi =-1,2 и 3). Найдите о3> а?, а21, Gr+i.
3. (цО — арифметическая прогрессия. о; =6, а8 = -8. (а, =2, а(1 = -5).
Найти d
4. Определите at и d арифметической тфдгресеии (oj, если а6 =• 8
И ag =16 (ац =6 и ajo =12).
5. (од); 18; 4;... — арифметическая прогрессия «Яд); 16; 5;...). Явля-
ется ли членом этой последовательности число -10; -12 (-17; -15)?
УРОК № 54. СУММА и ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Основная цель. Доказать формулу суммы п первых членов
арифметической прогрессии, сформировать у учащихся умение при-
менять данную формулу при решении задач.
Устная работа.
(оп); 3; 7; >.. — арифметическая прогрессия. Найти: 1). d. 2). о5;
а17; ог. 3). Составить формулу л-го члена арифметической прогрес-
сии. 4). Найти номера членов прогрессии, удовлетворяющихусловию
ап > 1000.
(вп); 10; 5;... — арифметическая прогрессия.
Найти 1). d. 2). aw; а^, а^. 3). Составить формулу л-го члена
арифметической прогрессии. 4). Найти номера членов арифметиче-
ской прогрессии, удовлетворяющих условию оп<-31.
Объяснение нового материала.
Найдите сумму S' = l+2 + 3 + 4 + 5+...+96 + 97 + 98 + 99 + 100. Не-
обходимо обратить внимание учащихся, что сумма членов арифме-
тической прогрессии, равностоящих от её концов, есть величи-
на постоянная. 1 +100 = 2 +99 = 3 + 98 =...
В общем виде ах+ап- а2 +ап_} = а3 + а„_2 =...
Действительно, а2 + ап_х - а, + d + ап - d = а, + ап
a3+a^2=a}+2d + an-2d = al +а„ ит.Д.
Сколько таких пар? (50) S’ = 101 - 50 = 5050.
Рассказать учащимся о маленьком Карле Гаусе (1777-1855), ко-
торый решил эту задачу, будучи 10-летним учеником.
См.: учебник, стр. 229.
Вывести формулу первых п членов арифметической прогрессии:
S-at +а2 +a3+...+an_l +an,S~ a„+a„_l + ап_2+...+а2 +at. Сложим
равенства почленно, получим 25я=(я1+я„)+(я2+яв_,)+(я3+ял_2)+...
Сумма каждой пары равна я, +яп. Число таких пар л.
О1 +а
Поэтому имеем 2S„ = (я, +я„) -л, S„ = -л (1)
Привести примеры на вычисление суммы первых л членов ариф-
метической прогрессии по формуле (1). Подставив в (1) формулу л-го
члена арифметической прогрессии, получим
Я|+я,+(л-1)</ „ 2я,+^(л-1)
йл--------“-------«, \=~’—-----------и (2)
Привести примеры на вычисление суммы первых л членов ариф-
метической прогрессии по формуле (2).
Методический комментарий. :
При вычислении суммы первых п членов арифметической про-
грессии учащиеся могут использовать ту из двух формул, примене-
ние которой в каждом конкретном случае более целесообразно.
Решение задач: №№ 369(6), 37Q(6), 371(6), 373, 375.
а) 1ДЗ,... 150. Slso «111^.150=11325.
2
б) 20; 21;... 119; 120. Пользуясь формулой л-го члена арифмети-
ческой тфогрессии, найти номер последнего члена.
120 = 20+(л - !) • 1, л = 101. S,M = 20у ?9.101 = 7070.
в) 4; 8;... 4л;... 4л £ 300, л £ 75. Следовательно,
S75 = 2 4+4 74 .75 = 11400.
2
г) 7; 14;... 7л; ... 7л £ 130, и £ 18—, л 18. Пользуясь формулой
65
(2), найдём 5" = 1197.
Домашнее задание: №№ 369(a), 370(a), 371(a), 372, 374.
Итог урока.
1. Сформулировать свойство равностоящих членов арифметиче-
ской прогрессии.
2. Как найти сумму л первых членов арифметической прогрессии,
если известны
а) первый и л-ый член арифметической прогрессии;
б) первый член и разность арифметической прогрессии.
3. (яц) — арифметическая прогрессия.
а) я, = 2, Язо= 28. Найти S30. б) я, = 10, d - -2. Найти 5",,.
УРОК № 55. СУММА п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Основная цель. Проконтролировать знания учащихся формулы
суммы л первых членов арифметической прогрессии, сформировать
умение применять данную формулу в нестандартных ситуациях,
Устная работа.
1. В арифметической прогрессии (од)
а) 5, а30= 15. Найти S30. б) ot= 4, J = 2. Найти 512.
2. Тело в' первую секунду прошло 15м, а в каждую следующую
проход ило на 2м больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло
тело за 20с?
Дополнительные задачи.
1. Тело падает с башни, высотой 26м. В первую секунду проходит
2м, а за каждую следующую секунду — на Зм больше, чем за преды-
дущую. Сколько секунд пройдёт тело до падения?
2. Из пункта Л выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч.
Одновременно из пункта В навстречу ему оправился второй грузо-
вой автомобиль, который в первый час прошёл 20 км, а каждый сле-
дующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько
часов они встретятся, если расстояние от Л до В равно 125 км?
3. Решить уравнение: 3+7 +1 l+...+х = 289 ; 8+5 + 2+...+х = 270.
4. Найти сумму всех д вухзначных натуральных чисел.
См.: 1). Дидактический материал по алгебре для 9-го класса / Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Мицдюк, Л.М. Короткова—М.: Просвещение, 1998;
2). Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и начал анализа — М.: Просвещение, 1993.
Решение задач:
№ 376. (nJ — арифметическая прогрессия, а, = 10, d = 3.
Найти 5jjS_30]. I способ: S’p5_3Oj — — 514.
IIспособ: а15 = 10+14-3 = 52, д30 = 10 + 29-3 = 97, 52;55;...97.
Найдём номер последнего члена этой прогрессии:
52 + 97
97 = 52 + (и-1)-3, п = 16, 516=—--------16 = 1192.
2
№ 378. Найти с} и d, решив систему
с7 =С] +6d
Су] = С] + 16d
№ 382. Так как количество шаров в ряду равно номеру ряда, со-
ставим последовательность: 1; 2; 3; ...;л. Тогда количество всех
шаров, размещённых в л рядах — это сумма первых и членов
арифметической прогрессии. Sn = ——л, SB = 120.
Решая уравнение и2 +л-240 = 0, получим л = 15.
Домашнее задание: №№ 377, 379, 380, 381, на повторение —
№№ 385,386.
Самостоятельная работа.
См.: Задания для проведения письменного экзамена по матема-
тике в 9-ом классе: Пособие для учителя. / Л.И. Звавич, Д.И. Аверь-
янов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушаиина—М.: Просвещение, 1995.
(aj — арифметическая прогрессия, ai — первый член арифмети-
ческой прогрессии, (аД — л-ый член арифметической црогрессии, л
—г число ев членов, SR — сумма первых л членов арифметической
прогрессии, d — разность профессии. Заполнить таблицу.
в1 d п s„
8 3 33 104 1848
14 5 100 509 26150
4 3 33 100 1716
5- -7 23 -149 1656
84 -4 25 -12 900
d л оп S„
is -7 25 -163 1975
7 -8 50 -385 9450
$6 *4 24 4 1200
т8 3 15 50 315
4 г. 5? № 2860
УРОК №56. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Повторить весь пройденный материал. Подгото-
вить учащихся к контрольной работе.
Устный опрос.
1. Какая числовая последовательность называется арифметиче-
ской профессией?
2. Как найти разность арифметической прогрессии?
3. Какому условию удовлетворяет разность арифметической про-
фессии, если эта прогрессия является возрастающей? постоянной?
Запишите формулу л -го члена арифметической прогрессии.
4. Сформулируйте характеристическое свойство членов арифме-
тической профессии.
5. Запишите формулу суммы л первых членов арифметической
прогрессии.
6. Сформулируйте свойство равностоящих от концов арифмети-
ческой прогрессии членов.
По мере ответов на вопросы заполняется половина форзаца тет-
ради, вторая половина заполняется после изучения геометрической
прогрессии
Арифметическая прогрессия
d ~~ ^п+1 ~ ®л
а„ = +<7(л-1)
а - **я~1 *^'^"•*•1
2
с _°1+Ол „
" 2
2ai+J(n-l)
л = -----•«
" 2
а1 +лл = а2 +ап-1 = °3 +ал-2 = ••
Геометрическая прогрессия
К = b(b * 0);b,^ = b„ g(g * 0)
n -
b„
bn=bi-g”~1
Ьй = ^n+J 'b/r-1
о _W~1) вай1
5-~—Si-.*’1
W, =^2'^-l = $3*^-2 =•••
Решение задач.
(an); 7; 5;... — арифметическая прогрессия. Найти.
1) разность арифметической прогрессии; 2) о3.а7. at;aM-,
3) сколько положительных членов у данной арифметической про-
грессии? 4) сколько членов прогрессии превосходят число 30?
5) является ди число -3 члсном данной арифметической прогрессии?
0 $20 > Ъ $[3;20]>
8) сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, что-
бы сумма положительных членов была больше суммы её отрица-
тельных членов; 9) решить уравнение: 7+5+...+Х = 187;
10) доказать, что последовательность, полученная из данной уве-
личением каждого члена в 2 раза, также является арифметической
прогрессией.
№№ 445, 446(6), 450(6), 451(6), 457,459.
Домашнее задание: №№ 383, 384,404, 446(a), 451(a), 458.
УРОК Xs 57. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
См.: 1). Дидактический материал по алгебре для 9-го класса/
ЮН Макарычев, НГ. Мивдюк, JLM. Короткова—М.: Просвадание, 1998.
2). Алгебра в 6-8 классах: Пособие для учителя. / Ф.М. Барчуко-
ва, А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др.; Сосг. Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк — М.: Просвещение, 1988.
1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии
(оя), если о, = -15 и d = 3.
(Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (ая),
если а, = 70 и d = -3).
2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической
прогрессии 8; 4;...
(Найдите сумму двадцати первых членов арифметической про-
грессии-21;-18;...).
3. (а„) —арифметическая прогрессия.
ах = 25,5 и а, =5,5 (aj = 11,6 И а15 = 17,2 )
а) . Найдите разность арифметической прогрессии;
б) . Является ли членом этой прогрессии число 54,5 (30,4)?
4. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательно-
сти (t„), заданной формулой bn = 3zi—1.
(Найдите сумму сорока первых членов последовательности (£„),
заданной формулой 2>„ = 4л-2).
. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не пре-
восходящих ЮО^ОЬйдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7
и не превосходящих 150.)
§9. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
УРОК №58. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цеп. Познакомить учащихся с понятием геометриче-
ской прогрессии, формулой л -го члена геометрической прогрессии.
Устная работа. >
1. Запишите число в виде суммы разрядных единиц: 324,32,4; 0,
1782; 0, (8), 1,5 (43).
2. Найдите средах геомстричхкое чисел 16 и25; 9 и 36; 49 и 81; i и 25.
4
3. Решите уравнение: Ь2 = 3, Ь2 = -3, Ь3 =27, Ь3 = -27, х6 = ~.
64
4. Разложил» выражение на множители х2 - 9; х3 - 8; у3 -1; х4 -1.
23-2s 16"3-4S 8б-310
5. Упроститьвьфажение g у; —-—; -2 ит.п.
Объяснение нового материала.
Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи
1. Имеется радиоактивное вещ ество массой 256г, вес которого за су-
тки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки?
на третьи сутхй? на 8-ые сутки? 256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1; ...
Как получается второй член последовательности? третий? вось-
1
мой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на —).
2. В ЛАВС провели среднюю линию AiQ. В AAiBQ также про-
вели среднюю линию А2С2. В
A4aBC2 также провели сред-
нюю линию А3С3. Найти
площадь AXgBCg, если пло-
щадь &АВС равна 768 см2.
3 3
768; 192; 48; 12; 3; -; —•;...
4 16
Как получается второй член последовательности? третий? восьмой?
(Делением предыдущего члена на 4 или умножением на у).
4
3. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно
увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале
он был равен 1000р.? 1000; 1050; 1102,5; 1157,625;...
Как получается второй член последовательности? третий? Вось-
мой? (Умножением предыдущего на 1,05).
4. Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет
в пробирке через 5 секунд? 1; 3; 9; 27;...
Как получается второй член последовательности? третий? пятый?
(Умножением предыдущего на 3).
Выписанные последовательности называются геометрическими
прогрессиями.
Каким образом образовывались члена данных последовательно-
стей? (Умножением предыдущего на одно и то же число).
Какая числовая последовательность называется геометрической
прогрессией?
Даётся определение геометрической прогрессии. Уточняется, что
первый член прогрессии отличен от нуля.
Задайте каждую последовательность рекуррентным способом
*i=256A+1=|in; = 768; 6я+1 = ~6Я;
6, = 1000; 6я+1 = 1,05&„; 6, = 1; 6я+1 = 36я.
ТО., (Ьп) — геометрическая прогрессия, если для любого нату-
рального и выполнено условие bx ~b(b *0) и 6я+1 = g-6B, где g —
некоторое число, (g*0). g называется знаменателем геометри-
ческой прогрессии.')
Как найти знаменатель геометрической прогрессии g = 1
Чтобы здцтгесметричЕауютфсгрессаю(Ьи ), требуетсяуказать^ и g.
Кою/ушшагй вопрос.
Ua&m знаменатель геометрической тфогрессии
а) 512; 256; 128; 64;... б) Л;3; зЛ;9; 97з;... в) 5; -5; 5; -5;... г) -2; -6; -18; 54;... . 1 1 1 1 д) —;—;—;... 3 9 24 72 (8 = 2) (г=Л) ($=-1) (8т-3) ( ‘ Л
По аналогии с арифметической прогрессией выводится формула
л -го члена геометрической прогрессии '•
*2=^1'8
*з=Аг £
\=brg
'(« г1) — равенство. Перемножим левые и правые
^л-1 -Ьп-2'g
b„=b„_i-g _
части этих равенств, сокращая общие множители.
Получим Ьи = bt -g"4.
.Контрольные вопросы.
В геометрической прогрессии (Ь„) известны Ьх = -3 и g = 2.
Найдите
Почему геометрическая прогрессия получила такое название?
Сделайте предположение по аналогии с арифметической прогресси-
ей. Найдите среднее геометрическое чисел 4 и 9. -74-9 = 2-3 = 6.
Запишите в порядке возрастания найденное число с данными 4; 6;
9;... . Образует ли данная тройка геометрическую прогрессию? (Да.
*) Отношение любого члена прогрессии, начиная со второго, к предыду-
щему члену равно g, и так как геометрическая прогрессия —
"последовательность отличных от нуля чисел", то знаменатель (так же
как и первый член последовательности) не может быть равным нулю.
6 3 9 3
— = ) Найдите четвёртый, пятый, шестой члены этой после-
4 2 6 2
f 27 t 81 243}
довательности. 1 b4 -~r",bs =~~\Ь6 = -—-I.
4 Z ч о ✓
Проверьте выполняется ли данная закономерность для этой трой-
_______________________ /27 243 81
ки чисел последовательности. J——— =—.
Сформулируйте свойство членов геометрической прогрессии.
(Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго,
является средним геометрическим последующего и гредыдущего.)
Докажите, что если (Ья) — геометрическая прогрессия, то
Ъя = ьп^\ '^я-1 (П° определению геометрической прогрессии
Сформулируйте обратнее утверждение.
(Если некоторая последовательность такова, что любой её
член, начиная со второго, является средним геометрическим
последующего и предыдущего, то эта последовательность —
геометрическая прогрессия). Докажите!
Пусть Ья -b^-b^i (n2>l). Следовательно. = т.е. от-
^л-1 °п
ношение любого члена последовательности к предыдущему есть
величина постоянная. Значит, по определению, (t„) — геометриче-
ская прогрессия.
Решение задач: №№ 387(в, г), 388,389,391(в, г).
Домашнее задание: №№ 387(а, б), 390, 391(а, б), на повторение
— №№405,406.
УРОК № 59. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Продолжить работу по формированию понятия гео-
метрической прогрессии, свойств её членов.
Устная работа,
1. Какаялхэвдовагелыюот
2. Является ли последовательность (х„) геометрической прогрес-
сией? Если да, то найдите её знаменатель.
а) 3; 3; 3;...
б) 2; 0; 0; 0;...
в) 0; 2; 4; 8,...
(g = D
не является, т.к g*0.
не является, т.к хг * 0.
г) 3; 6; 12; 24;... (g = 2)
д) 1; 0,1; 0,01; 0,001;... (g = 0,1).
3. Назовите первый, третий и пятый члены последовательности,
заданной формулой и -го члена х„ = 81-31-". Будет ли эта последо-
вательность геометрической прогрессией? Чему равен знаменатель
прогрессии?
4. Составьте формулу п -го члена геометрической прогрессии:
а) 64; 32; 16;...; б) t2;4;... .
4 2
5. Известно, что числа bx ,b2,b3,... образуют геометрическуюпро-
грессию. Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность З^.ЗА'г.ЗЛз,...? i
б. Сформулируйте характеристическое свойство членов геомет-
рической прогрессии. Найдите Ь5 и g, если b4 = -I и Ь6 - -100.
Решение задач: №№ 392(а, б), 39.6, 394, 398 — 2,b2,b3,b4,162.
Что нужно знать, чтобы найти Ь2 ? Переформулируйте задачу. (Найти
g, зная />! и Ь5). № 402. Воспользоваться формулой h = для
равностороннего треугольника. 8;4-73;6;3-»/3;... ^g = .
Домашнее задание: №№ 392(в, г), 394,395, 309,400,403, на по-
вторение — № 407.
Самостоятельная работа.
1, Составьте формулу л-го члена геометрической прогрессии
ф„) __L _L „ (64;-32;...)
32 16
<зу-1
2. Найдите х3,х6(у2,у4) геометрической прогрессии х„=4-| — I
Г"=27\з) ]•
3. Определить знаменатель геометрической прогрессии (с„) и
первый член, если с5 = -б и с? = -54 (с6 =25 и с8 = 9 ).
Ответы:
243
2. х, = 9, хл =
3 ’ 6 8
9
3- g = 2,Cl=-;
9
^ = “2>ci = 4-
у2 = 18; у4 = 8.
3
g=5,q = 30;
3
g = -~,Ci =-30.
УРОККа 60. СУММАл ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Основная цель. Доказать формулу суммы п первых членов гео-
метрической тфогрессии, сформировать у учащихся умение приме-
нять данную формулу при решении стандартных задач
Устная работа.
1. Составьте формулу л-го члена геометрической прогрессии:
а) 1,6; 0,8; 0,4;б) 27; 9; 3;в) зЛ; 6; 6^2;... .
2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьп ), если
fc6 = 100 и =9.
3. Разложить выражение на множители:
х2-25; 9х2-24x4-16; 49-ьх2-14х;
х3-64х; За2-27я; о3-27.
Объяснение нового материала построить в соответствии с }чеб-
ником. Историческую справку см.: Глейзер Г.И. История математики в
школе. УП-УШкл. Пособие для учителей. —М.: Просвещение, 1982.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для уча-
щихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. — М_: Просвеще-
ние, 1999.
Решение задач: №№ 408(6), 409(в, г), 410(6), 411(а,б),
Домашнее задание: №№ 408(a), 409(а, 6), 410(a), 411(b), на по-
вторение — №№ 418, 419.
Итог урока.
1. Запишите формулу л-го члена геометрической прогрессии.
2. Запишите формулу суммы п первых членов геометрической
прогрессии, если известны: а) первый член и знаменатель прогрес-
сии; б) первый член, знаменатель и и-ый член геометрической про-
грессии.
УРОК № 61. СУММА И ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Основная цель. Продолжить формирование у учащихся умения
применять формулу суммы и первых членов геометрической про-
грессии к решению задач и доказательству тождеств.
Устная работа.
1. Найти члены геометрической прогрессии заданной формулой
а)ь"=4(|у1’Ьг'7 Ьз~7
n-го члена:
б)А = 27(|) • *4"?
2. (/>„) — геометрическая прогрессия, все члены которой поло-
жительны Ь2 = 1, Ь4 = 9. Найти: а) Ь3; б) g; в) ; г) S6.
3. Вычислить сумму и первых членов геометрической прогрессии:
а) х„ =y-2n-’. S5-? б) у„ =3U". S4-?
Решение задач.
Наедите сумму 1+х+х2+...+х"-1; где х*1. Слагаемые суммы
являются членами геометрической прогрессии с первым членом 1 и
знаменателем х. х"'1 является членом этрй прогрессии с номером п.
6_g—h ХЛ~1-Х-1 Xй 1
Следовательно, по формуле =~й£—-1, имеем Sn ------=——.
g-1 х-1 х-1
х" — 1
Т.О.,если х * 1, то 1+х+х2+...+хя“1 =---. (1)
х-1
Итак, доказано тождество х”-1 = (х-1)(1+х+х2+...+х"~1) (2)
Прих = 2 х2-1=(х-1)(х+1).
При х = 3 х3-1 = (х-1)(х2 +х+1) ит.д.
№№ 412(г, д, е), 413, 415,
Домашнее задание: №№ 412(6, в), 414,416.
Итог урока.
3” — 1 1
Пользуясь (1) и (2) а) найти сумму 1 + 3+32 +...=--- — (3" -1)
3-1 2
б) решить уравнение 1+х + х2+...+х1С9 = 0, х*1.
хп0-1
——j— = 0; х 1 -1 = 0; X] = 1 — не удовлетворяет условию;
х2 = -1. Ответ; -1;
в) сократить дробь
П х44 +х434-.„+х+1 (x-IXx44 +х434-...+х+1) х45-1 _
х14+х13+...+х+1 (х-1)(х14+х13+...+х + 1) х15-1
(х15)3-!3
х15-1
2) = (*2~i)(*4+*2+l)_ х6-1
х2+х+1 (X2 -1)(х2 +Х + 1) (х+1)(х3-1)
(х3)2-!2 _ х3+1 = х.
(х+1)(х3-1) х+1
УРОК № 62. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
' Основная цель. Проверить качество знаний учащихся тфовденно-
го материала и уровень его усвоения. Рассмотреть сумму бесконеч-
ной геометрической прогрессии
Проверка знаний.
См.: 1), Звавич Л.И., Шляпочник ЛЯ. Контрольные и проверочные
работы по алгебре. 7-9 кл.: Методическое пособив.—М: Дрофа, 1997;
2). Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова ЛМ. Дидактиче-
ские материалы по алгебре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1998.
<4 Самостоятельная работа.
1. Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии
(A„),ecnxi>i =27 к g = ± =
3 \ 4/
2. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии
5; -2,5;... (5; -3;...).
3. Найти сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии
(6„),если = 6,i4 = 24,g>0 (62 = 4,i4 = 36,g>0).
‘*^4. Найти первый член геометрической прогрессии, в которой
2
g = - и $=65 (g = 2,$=93).
5. Дана Sn — сумма п первых членов геометрической прогрес-
сии. Найти п, если S„ = 189, b} = 3, g = 2 ($ =? -341, bx = 1, g = -2) .
Перед объяснением нового материала рассмотреть устно уп-
ражнения: к какому числу стремится значение дроби при неограни-
ченном увеличении п (и eN) (при п -> а>)
2) 2+—:3; 2—; 2—; 2—;|2 + --)-2|;
и 2 3 4 к п )
^5"-1.21.41.л2.43
3) --. 4; 4 ~ 4—1 4—
п ’234
4)^Ц^:7;3;1-;1;...
п 3
2" 2 4 8
6)2+—:2—;2—;2—;.
2" 2 4 8
и
п
I
.2"
2+—
< . 2"
Объяснение нового материала фоароипъ в соответствии с учеб-
ником. Показать применение формулы суммы бесконечной геомет-
рической прогрессии на примере следующих задач:
1. В равносторонний треугольник со стороной а см (а = 2см) впи-
сан другой треугольник, вершинами которого являются середины
сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан
третий и т.д.
а) . Составить последовательность периметров.
б) . Доказать, что бесконечная геометрическая прогрессия.
в) . Найти сумму периметров всех треугольников.
2. Записать в виде обыкновенной дробичисло: 0, (5); 0,2 (3).
Решение задач: №№ 420 ((а,в,г), 425 (а,в,г).
Домашнее задание: №№ 420 (б,д,е), 425 (б,е), на повторение —
№№428,429.
УРОК № 63. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основная цель. Повторение и систематизация знаний изученного
материла.
Устный опрос.
1. Какая числовая последовательность называется геометриче-
ской прогрессией?
2. Какое число называют знаменателем геометрической тфогрессии?
3. Запишите формулу и -го члена геометрической тфогрессии.
4. Сформулируйте характеристическое свойство членов геомет-
рической тфогрессии.
5. По какой формуле найти сумму и первых членов геометриче-
ской прогрессии, если известны:
а) ткрвый, п -ый члены и знаменатель геометрической прогрессии;
б) ткрвый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Ответы на эта вопросы заносятся в таблицу (см. урок № 56).
6. Чему равна сумма бесконечной геометрической тфогрессии, у
которой |#) <1 ?
Решение задач: №№ 462, 468,1 способ: — воспользоваться фор-
мулой и «го члена геометрической тфогрессии. Составить систему.
Решить почленным делением; П способ: b9 =bs -g4. Найта g. 469
(устно). 475 (а)г479,480 (а>в).
Дополнительные задачи.
См.: 1). Мордкович А.Г. Алгебра и началаанализа: учебное пособив
для ткдпппвигельныхотделЕНий вузов. —М.: Высшая школа, 1987;
2). Задания для проведения письменного экзамена по математике
в 9-ом классе: Пособие для учигеля//Л.И Звавич, ДИ. Аверьянов,
Б.П. Писарев, Т.Н. Трушанина. — М.: Просвещение, 1995.
1. По трём данным вычислите неизвестные значения величин, ес-
ли (&„ ) — геометрическая прогрессия.
g п ь„ 8Я
1 3 10 19683 29524
256 1/2 8 2 510
2 3)-3 7 1458 2186 1094
7 3 5 567 847
1/2 1/2 7 1/128 127/128
1/3 1/3 8 1/6561 3280/6561
-1,1/2 -3 4 40,5 30
2. Найдите ткрвый член, знаменатель и число членов геометриче-
ской Тфогрессии (бя ), у которой 67 -Ь5 = 48, Ь6 +Ь5 = 48, S„ = 1023.
3. Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрес-
сию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше
четвертого на 18.
4. Мелщу числами 1 и 16 поместите такие три числа, чтобы они
вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
5. Найти я bs геометрической прогрессии (Ья ), если известно,
что g = 3, Sf = 1820.
б. Найдите число членов геометрической прогрессии, если её пер-
вый, второй и последний члены соответственно равны 3,12 и 3072.
7. В геометрической прогрессии восьмой член равен 13, а знаме-
натель равен-3. Найти десятый член и сумму десяти первых членов.
8. Нашалите формулу л -го члена и суммы л первых членов гео-
метрической прогрессии (Ь„), если bj>4 • 27, » 9.
®17
Sj
члена. Снйиюцхк|яговсоставляст пяпйеёчлвкоттрегыго?
11. Напишите пять первых членов бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии, сумма которой равна 3, если сумма кубов
zi5 i
её членов равна 61—.
12. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 2/3, а третий член прогрессии равен 1/4. Найдите восьмой член
прогрессии.
Домашняя котдюльш работа.
1. Выполнить действия:
1,1 (6)+4^ (0,625-1,64:1,6) (0,75-0,25-4,2):0,2(45)+-.
6 9
2. В арифметической прогрессии (х„) известно, что х5 = -1,5,
3
х6= —. Найдите х4+х7. (В геометрической прогрессии (_у„) из-
4
вестно, что у3 = 3, у4 = 2—. Найдите у2 -ys.)
4
3. Найдите сумму с третьего по десятый включительно арифмети-
ческой прогрессии: -3; -1;... (2; 7;...).
4. Найдите сумму членов с третьего по шестой включительно
геометрической прогрессии ;... (32; 16;...).
16 8
(В арифметической прогрессии — ;!;... найдше номера членов,
4 5
значения которых положительны.)
УРОК № 64. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАХ» 6
Основная цель. Проверка знаний учащихся и уровня усвоения
изученного материала.
См.: Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгеб-
ре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1998.
1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (Ь„), если
bt = -32 и g = . (Найдите шестой член геометрической прогрес-
сии (Ля), если Ь, =81 и g = ~).
2. Первый член геометрической прогрессии (Ья ) равен 2, а знамена-
тель равен 3. Найдаге сумму шест первых членов этой прогрессии.
(Первый член геометрической прогрессии (й„) равен б, а знаменатель
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24; -
12; б;... (-40; 20;-10;...).
4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрес-
сии^,,), если 62 = 0,004 и Ь4 =0,16 (б2 =1Д и b4 = 4,8).
5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечщпю десятич-
ную дробь: а) 0,(27) (0,(154)); 6) 0,5(6) (0,3(2)).
Обобщающая контрольная работа.
/вариант.
1. Последовательность (х„): 0,2; 0,6;... . Найдите седьмой член
этой последовательности, если она является: а) арифметической
2. Найдите:
а) разность арифметической прогрессии, если bj = 10,4; ЬХ6 = -21,1;
6) знаменатель геометрической прогрессии, если с, = -3-|; с3 = -5.
3. Найдите:
а) сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии,
если at = 10 и d => 2,5;
б) сумму восьми первых членов геометрической прогрессии, если
fcj=5,g = 2.
да, укажите, чему она равна:
3 9 27
в) Г, 1,5; 2,25;
5. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют гео-
метрическую прогрессию, а последние три арифметическую прогрес-
сию, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.
П вариант.
1. Последовательность (у„): 16; 8; ... . Найдите восьмой член
этой последовательности, если она является: а) арифметической про-
грессией; 6) геометрической прогрессией.
2. Найдите:
а) разность арифметической тфогрсссш^ если с, =57,3; с?6 = 37,3;
6) знаменатель геометрической тфогрессии, если at = 4, п3 =2у.
4
3. Найдите:
а) сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии,
если П] =7, d = l,4;
б) сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если
*i=8,g = -3.
4. Имеет ли сумму бесконечная геометрическая прогрессия. Если
да, укажите, чему она равна: а) 10; 5j; 2,5;...; б) 0,3; -0,9; 2,7;....
5. Найдите четыре натуральных числа, из которых три первых со-
ставляют геометрическую гфогрессию, а три последних — арифме-
тическую прогрессию, если сумма крайних чисел равна 21, а сумма
средних чисел равна 18.
УРОК № 65. ПРОГРЕССИИ
Основная цель. Обобщение и коррекция знаний по теме.
Работа наб ошибками, дотушенными в контрольной работе.
Устная работа.
1. Какие из последовательностей являются арифметическими, а
какие геометрическими прогрессиями. Для арифметической прогрес-
сии найти её разность, для геометрической тфогрессии — знамена-
тель: а) 1; 4; 7;. 10; 13;...; б) 2; 4; 8; 16; 32;...;
В) 1; -; -; -;...; г) 3; О; -3; -6; -9;
2 3 4
д) 4; 9; 16; 25;...; е) 1;-;—;—;...;
’5’25’125’
ж) 1; 8; 27; 64;...; з) 1; -; -; —;...;
' 4 9 16
и) -2; 2; -2; 2;...; к) 5; 5; 5; 5;....
2. Является ли арифметической иди геометрической прогрессией
последовательность (х„ ), если a) = 5, хв+1 = 4х„;
6) Xj = -8, хп+1 = 0,5+х„; в) х„ = Зл-5; г) х„ =3" .
Для арифметической прогрессии найдите её разность, для геомет-
рической — знаменатель.
Решение задач.
1. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрес-
сию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а
остальные числа оставить без изменения, то получится геометриче-
ская прогрессия. Найдите эти числа.
2. Три числа, из которых третье равно 12, образуют убывающую
геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа
составят арифметическую прогрессию. Найдите первые д ва числа.
Домашнее задание можно составить, используя литературу:
1. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения
задач по математике для средней школы. — М., 1989.
2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под
ред. М.И. Сканави — М., 1988.
3. Экзаменационные сборники для 9-го класса.
§10. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
УРОК № 66. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ.
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятием чётной и не-
чётной функций.
Устная работа.
1. Возведите в степень: (x3)s;(2a)3;| -I ; (3xy)4;(V16)2;
(-5а2)2; (-5а2)3; (2^)2; (Зл/б)2.
2. Вычислите: V100;
400; V121; V0.
3. При каких значениях х верно равенство: |х| = г, |х| = -х;
|-х| - 0; |xj2 - х2; (-х)2 = х2; Jx = —7х .
4. Функция задана формулой у = х2 (у = х3). Укажите:
а) область определения функции;
б) область значений функции;
в) промежуток, в котором у > 0;
г) промежуток, в котором функция возрастает; убывает.
Объяснение нового материала можно построить по плану;
1. Определение чётной функции. Свойство трафика чётной функ-
ции. Примеры чётных функций.
2. Определение нечётной функции. Свойство графика нечётной
функции. Примеры нечётных функций.
3. Чтение графиков
Объяснение нового материала можео построить как продолжение
устной работы, предложив учащимся сравнить значения 'функций
у = х2,у = х3от противоположных значений аргумента. Например,
XD и у(-1); у(2) И у(-2); Х100) и у(-100); у(|) и у[-|) ;
у(х) и у(-х). Тем самым подвести к определению чётной (нечётной)
функции
Функция /(х) называется чётной, рели
1) область определения симметрична относительно дуля, тл. если
X еДСП ,тои -х еД(/);
2) для любого аргумента верно /(-х) = /(х).
Функция /(х) называется нечётной, если
1) область определения симметрична относительно нуля;
2) даялюбого артумекга вдяо f(~x) « ~/(х).
Привести примеры чётных и нечётных функций, ни чётных, ни по-
чётных, указывая какое из двух условий в определении не выполняется.
Например, у(х) = -3 — нечётная, т.к. функция определяй на множест-
ве R, т.с. на множестве, симметричном относительно нули и
у(-х)=-3(-х)=3х=-у(х). у(х) = -Зх+1 — ни чётная, ни нечётная,
т.к функция определена на множестве R,но у(-х) = Зх+1, т.с.
у(-х) # Xх) и Х~х) = ~Хх) - Xх) = ;- . '— нй чётная, ни нечёг-
Iх
ная, т.к область определения функции не симметрична (х — любое,
кроме 2) относительно нуля. у(х) = — нечётная, т.к Д(у) = R к
у(-х) = -х|х| = -у(х). Xх) =
не является ни чётной, ни нечёт-
ной, т.к область определения (х — любое, кроме 1) не симметрична
относительно нуля Непосредственно из определения чётной функции
следует, что её график симметричен отюентелыю осн ОУ. Действи-
тельно, из первого условия следует, что если некоторая точка графика
имеет абсциссу х, то графику функции принадлежит также точка с абс-
циссой -х. Из второго условия следует, что ординаты этих точек равны,
тх /(-х) = /(х)=у. Следователь», точки (х; у) и (-х; у) симметрич-
ны относительно оси ОУ. Значит, каждой точке графика чётной функции
соответствует симметричная относительно оси ОУ точка того же трафика,
т.е. график чётной функции симметричен относительно оси ОУ. Верно и
обратное утверждение: если график некоторой функции симметри-
чен относительно оси ординат, то такая функция является чётной.
Доказательство.
Пусть график у = f(x) функции симметричен относительно оси
ОУ Это означает, что каждой точке графика (х, у) соответствует
симметричная относительно оси ОУ точка графика (х; -у).
Имеем: 1) для любого х из области определения, -х также при-
надлежит области определения, т.е. область определения симметрич-
на относительно нуля; 2) равенство /(х) = /(-х) =у верно для лю-
бого значения аргумента. По определению, у = /(х) — чётная.
Аналогично можем показать, что график нечётной функции
симметричен относительно начала координат и что симметрич-
ность графика некоторой функции относительно начала коор-
динат является признаком нечётности этой функции.
Чтение графиков.
Укажите графики чётных к нечётных функций.
Решение задач: Ks№ 485, 487,488 (устно), 490.
Домашнее задание: №№ 483,484,489.
Итог урока.
1. Какая функция называется чётной? Приведите примеры.
2. Каким свойством обладает трафик чётной функции?
3. Какая функция называется нечётной? Приведите примеры
4. Каким свойством обладает график нечётной функции.
5. Приведите пример функции, которая не является ни чётной, ни
нечётной.
6. Существует ли функция, которая одновременно является чёт-
ной и нечётной?
7. Д(/) — область определения функции y = f(x), причём
-8 е Д(/) > а 8 ёД(/). Может ли функция быть чёткой? нечётной?
УРОК Кг 67. ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУ£
1'41111'.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Какое выражение надо поставить вместо *, чтобы получилось
тождество: а) х2 • * = х6; б) х15:*=а5; в) (*)г = х6; г) х2 •(*)’ = *М •
2. Представьте с положительным показателем степени: З"2;
3. Может ли быть чётной или нечётной функция, область опреде-
ления которой является: а) промежуток [-2; 5); б) промежуток (-5; 5);
в) промежуток (-5; 5]; ) объединение промежутков [-10,-2]м[2;10 ?
4. Функция /(ж) — чётная (нечётная), /(3) = 25, /(-8) -71.
Чему равно/(-3)?/(8)?
5. Существуют ли такие значения коэффициентов к и Ь, при ко-
торых линейная функция у = кх +Ь является чётной? нечётной?
6. Существуют ли такие значения коэффициентов а,Ь и с, при
которых квадратичная функция у = ах2+Ьх+с является чётной?
нечётной?
Решение задач: №№ 486,635 (устно), 636,638 (а,г), 644(6), 645 (в).
Самостоятельная работа.
1. Является ли чётной или нечётной функция, заданная формулой:
ч 8 «ч *4 ч I х3-2х2
а) у = — ,б) у = —; в) у = -—-;г) у = ———
х 5х . х -1 Зх-6
, ч -2 _ Зх7 ч 1 . 5х+15 ч
(а) = —;б) У =-----;в) > = -Т-~7'>г) У~ 2 —- •)
х х х +1 х+Зх
2. Ломаная АВС, где А (5; 1), В (3; 5), С (0; 0) — часть, графика
некоторой функции /(х). Область определения этой функции —
промежуток [-5; 5). Постройте её трафик, зная, что f (х) — чётная
(/(х) —нечётная).
Дополнительные задачи.
BuMre;
1.61-0,l! 1,9
f 4 —'2 Z \
B) ,- [2—I -fl—J ;r)-5,3°-l,53-l,5"2+22:2~3.
2'2 +5“2 (I 14? V 157 J ' Ъ
Домашнее задание: №№ 643,644 (a^), 645 (а,б).
УРОК №68. ФУНКЦИЯ y=x"
Основная цепь. Ознакомить учащихся со свойствами степенной
функции с натуральным показателем.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1.Упростите: xJ-x2; п-а2; -2А-(-&>); 4в2-(-8а3);
/ А17 / 1Х15 /1\3
; 4>123.
2. Охарактеризуйте графики функций:
а)у = 2х2; б)у = х2+2; в) у = (х+2)2; г) у = 2х2-2;
Назовите чётные; нечётные функции.
3. Функция /(х) являлся нэчёпюй (чётной) и возрастает на [0; + со).
Как изменяется (возрастает или убывает) эта функция в промежутке
(-со;0 ?
4. Может ли быть чёткой или нечётной функция f (х), если обла-
стью её определения является: а) [~10;10]; 6) (-$12);
в) [-5;-2]и[2;5]; г) (-<»;5); д) (-oo;l)v>(l;+oo); е) (-<»;+со).
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника.
Решение задач: №№ 494,495,499,500,504 (устно), 505,507 (устно).
Домашнее задание: №№ 496, 497, 501,508.
Итогурока.
1. Кахую функцию называют степенной функцией с натуральным
показателем?
2. Покажите схематически трафик функции у=х" при и — чёт-
ном, л — нечётком. Сформулируйте свойства степенной функции с
натуральным показателем.
3. Сколько корней имеет уравнение х" = 10 при л — чётном?
и — нечётном?
4. Какие из графиков функции у^х2,у = х3;у = х4; у=х5;
7 16
У = х ; у » х имеют центр симметрии; ось симметрии?
5. /(х) = х10. Сравните: а) /(2) и /(3); б) /(-2) и /(-3);
в) /(-2) и /(2); г) /(-2) иО.
6- Дх) = х9. Сравните: а) /(3) и /(5); б) /(-3) и /(-5);
в) Л-3) м ДЗ);г) Д-З) кО.
УРОКК» 69. ФУНКЦИЯ у=х"
Основная цель. Закрепил» звании учащихся свойств степенной
функции с натуральным показателем. :
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Упростите:.) £Ж;,) ^;г)
5 7 ; 8Г 25
2. Сколько корней имеет уражяеяие: а)х6 =2; б)х6 =0; в)х6 »-2;
г) х7 = 2;д) х7 =-2;е) х7 =0.
3. Решите уравнение: а)х7=1;б)х4 =16;г)х4 = -36;д)х3 =-64.
4. Функция зад ана формулой у •* х4 (у « х5). Укажите: а) область
определения; б) область значений; в) промежуток, в котором у > 0;
г) промежуток, в котором функция возрастает; убывает.
5. Сравните: а)О,21ож О,310;б)2^712и З12;в)(-О,2)3 и (-0,21)’.
Решение задач: №№ 498, 308, 513 (а), 649 (устно), 650 (а,вд),
653,655 (а,б,в,г), 656 (устно).
Домашнее задание: №№ 513 (б,в), 515, 516, 517,650 (б,г,е), 555
(Д»е,ж,з).
$11. КОРЕНЬ л-ой СТЕПЕНИ
УРОК № 70. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЯ п -ой СТЕПЕНИ
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятием арифметиче-
ского корня л-ой степени.
Самостоятельная работа.
1. Сколько корней имеет уравнение х" = 25 (х" = 15) три чет-
ном л; при нечетном л.
2. Решите уравнение: х3 = -27; х3 --; х4 = -81; х* = 81;
fx3 =-64; x3 = —; x4 =-36; x4 =256
< 125 >
3. Сравните: 1,4ю « U*°; (-80)4 « (~78)4;
(—23)e и 18е; (-4)s « (—3)s;
/ c Vs ( 1V5
(0,29)* «I — «-0Д7595.
U30^30; (-27)6 v(-30)e;
{—18)a*«624; (-7)’«13’;
Объяснение нового материала строится в соответствии с пунк-
том учебника.
Решение задач: №№ 518 (устно), 520 (а,вдж), 521 (а,в»дж), 523
(устно), 524.
Домашнее задание: №№ 520 (б,г,е,з), 521 (б,г,е,з), 525,540.
Итог урока.
1. Дайте определения корня л -ой стелени н арифметического
квадратного корня. '
2. При каких знача. юс а имеет смысл фаженяе Я/о ?
3. Сколько решений имеет уравнение х" = а при четном л и не-
четном л?
УРОК № 71. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ л-ой СТЕПЕНИ
Основная цель. Закрепить у учащихся понятие корня л-ой степе-
ни. Сформировать умение решать уравнение вида хп ~a,ne.N .
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
I. Имеет ли смысл выражение:
а)з/20; б) V^7 ; в) tf-L6; г) V(~3)4
2. Вычислите: О; 1^; V81; V^; VO; V32; tfojOOMl
3. Докажите, что:
а) число 5 есть арифметический корень третьей степени из 125;
б) число 0 есть арифметический корень восьмой степени из 0;
г) число 7 нс является арифметическим квадратным корнем из 50.
4. Вычислите: 7?; 7132; 7(~7)2; 7(_18)2« 4а2', 7(1+V2)2;
7а-«)2; 7(1+7»л)2 -7(i-7^)2-
5. Возведите в квадрат:
а)(Т7)2; 6)(~2ТЗ)2; ») ; г) (0.1710)2.
б. Сколько корней имеет уравнение:
а) х4 = 2; б) х$ = 7; в) х|в = -2; г) х1’ = -2.
Решение задач: №Ni 526,530,531,533,536,538,541.
Домашнее задание: №№ 532,534,537,539.
УРОК № 72. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ. КОРЕНЬ и-ой СТЕПЕНИ
Основная цель. Проверить уровень сформированное™ понятия
арифметического корня п-ой степени иумения решать уравнения
вида х”-а,п eN.
Устная работа: №№ 519,529,527; 528.
Решение задач.
1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
а) ,7_Р+5 • б) Vx+5; в) 4ja2 -4а; г) tfa2-a-6 .
2. Решите уравнение: а) х10 -31х5 -32=0; <0 х* -82х4 +81 = 0;
в) х-47»+3=0; г) х-9Тх+20=0.
3. Постройте трафик функции: а) у= Vx. Пользуясь графиком,
сравните значение корней V23 и (/27 ; V-5 и V-4; tf-ОЛ и
,1;б) ,у = 3/х. Пользуясь графиком, сравните значение V1 и V5,
V7 не-
самостоятельная работа.
1. Выписать выражения которые имеют смысл:
V27; V6; V-2; Ф-1103 (Vs; ’-jTeT;(/5071
2. Вычислите: а) -2^32; -3V-64;
а) -4|^1; -5tfl6; ^^32; V0;
36
б) 0,27^25 - 2,5^0,027 + 0,4^16; (I- 3- + ;
V 8
(б) 0,8^0,064 - 0Д/0/54 +0,01^81; ^-2^ ь^ОДб^,
в) (J/7 J +l/(-W)4; ^2 J +5^0-2?;
(в) tf(-12)4 +(VsJ; (-3WJ +2^С-2?)-
3. Решите уравнение:
а) х7=6;б) -0,01х3+10=0;в) х4-2 = 0;г) х4+16=0.
(а) х3 = -8;б) —х5 + 4 = О;в) хв-64 = 0;г) х’+8 = 0).
8
Домашнее задание: №№ 657,659,660,661,664.
УРОК № 73. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ л-ой
СТЕПЕНИ
Основная цепь. Ознакомить учащихся со свойствами арифмети-
ческого корня л-ой степени.
\tfab =i[a-”(b, a^O,bZ.O u о^0,Ь>0|. Научить вы-
l . . U lib )
поднять простейшие преобразования и вычисления выражений, со-
держащих корни.
Работа над ошибками.
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника. При доказательстве теорем 1-2 используется опреде-
ление арифметического корня л-ой степени. Если 11а — арифмети-
ческий корень, то 1) 1[а S 0 и 2) ^[а J = а при любом а £ 0. После
рассмотрения теорем 1 и 2 целесообразно рассмотреть упражнения,
выполнение которых требует применебния этих теорем. Например,
V2-V4=№ = 2. ^16-81 = tfl6 - Vsi = 2-3 = 6.
V51O-21S = V(52)’ • J(23)5 = 52 -23 = 25-8 = 200.
Vt/91+зЛ Л/^91-зЛ =^91J "(3^J = ^91-9-3=^64 =4
И Vi60<5=Vi“*S“VM *4-^/^F’T^=V=2A
Решение задач: №№ 542 (а,в,д,ж), 543 (а,в»д), 544 (а,в), 545, 547
(а,вд), 548,549.
Домашнее задание: №№ 542 (б,г,е,з), 543 (б,г,с), 544 (б,г), 547
(б,г,е).
УРОК № 74. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ л-ой
СТЕПЕНИ
Основная цель. Ознакомить учащихся со свойствами арифмети-
ческого
И
'а
ные свойства арифметического корня л-ой степени
Устная работа.
1. Выразите через арифметический крреиь выражение:
a)V10; 6) ^^^48; в) 1^2.
'810
3. Принадлежит ли трафику функции у=хА точка: а)Л(-1; 1);
б) В(1;-1); в) С(7;-2401).
5. Внесите под знак корня: a) 2-js JS) --J3 ; в) 0,1-Ло; г) -3-J2 .
Объяснение нового материала. Для преобразований выраже-
ний, содержащих корни, необходимо: 1) выносить множитель за знак
корня; 2) вносить множитель под знак корня.
Представьте выражение в виде одночлена:
Сравните: 2^3 и 3^2 .
Решение задач: 550,551(а,вд), 552(а,в,д), 554, 555(6,г,е,з), 566.
Домашнее задание: №№ 551 (б,г,е), 552 (б,г,с), 553, 555 (a,BA«)
УРОК Ks 75. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ л-юй
СТЕПЕНИ
Основная цель. Ознакомить учащ ихся со свойствами арифмети-
ческого корня л-ой степени и ^а"* = Va",e£O, л,
к.т —натуральные).
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Вычислите: ^0,125; tfl6; V243; .
2. Выжсиге множитель за знак корня: а) 798", б) 7280 ;в) V250.
3. Внесите множитель под знак корне
а)4Тз; б) 2^2 ; в) а^З.р^О; г)Ь^,Ь^О.
4. При каких значениях а верно равенство:
5. Представьте число в виде степени с основанием 3: —:27:—:9.
81 3
6. Решите уравнение:
а) х2-х = 0; б) х2+5х = 0; в) х2+4 = 0; г) 0,5х2 =32.
7. Решить неравенство: а) х2 < 9; б) х2 > 0; в) х2 £ 0 ;г) х2 <; 0.
Объяснение нового материала. При доказательстве теоремы 3
используется определение арифметического корня и свойство степе-
ни с натуральным показателем х** = . Теорема 4 является не-
посредственным следствием теоремы 3.
Решение задач: №№ 558,561,562 (а,б), 563 (а), 564,565,567 (б,в).
Домашнее задание: №№ 559, 562 (в,г), 563 (б), 568, 567 (а,г).
УРОК № 76. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ л-ой
СТЕПЕНИ
Основная цель. Научить выпотшять преобразования выражений,
содержащих корни, применяя свойства арифметического корня л-ой
степени.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Вынесите множитель за знак корня:
а)Т9х;б)^/; в) Тзо*;
2. Упростите выражение:
a)-/Jz; 6) V*/5; в)^; r) &,a>0.
3. Упростите выражение: a) lib*, b 0; 6). lib*, b£0.
4. Сравните: a) 8,24 и 9,l4; б) (-3.7)4 и (~2,7)4;
в) (-2Д)3 и 43‘,r) VV и V^5;a) и V5 ;e) VT и Ц15.
5. Укажите координаты точек пересеченна параболы >>=х2и
прямой у-2х.
Решение задач: №№ 658, 662, 666 (устно), 667, 670 (а,в), 671
(а,в),672(ал),677(а,вд0-
Дополнительна: №№ 66&, 669.
Домашнее задание: №№ 670 (бд), tf71 (б,г), 672 (б»г), 677(6,г,е).
УРОК № 77. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
1. Вычислите:
а) 1Ц- 0,00032 +V125; • а) 2^81-3(^-0,027 ;
б) ^16-^6; б) Ifi-lfi;
в) V27-43 */—; У 256 1 3 г) ? 512-3-; Y 8 в) V125-23- ; ' V 625 г) ’1729-2— . , V 27
2. Решите уравнение: а) х3 = 5; а) х3«21;
б)/=15; б)/= п;
в) z1 = -1; г) Vx+1-2 ; в) z6 = -9; г) Vx-2 =1;
3. Решите уравнение: a) Vx-2Vx-l = 0; б) хб + 11х3+24 = 0; a) Vx-2Vx-3 = 0; б) х14-5х7+6 = 0 ,
4. Найдите значение выражения: __ _______
a) ^8+з/37^8-Т37 ; a) l/7-V33 -^7+733;
б) II2-J3 -^7+4-Л; б) ^23-877 -V4+V7 .
5. Является ли функция чётной или нечётной:
а)/(х) = 7х8; б) /(х) = ±5+х; а)/(х) = 3х9; б) /(х) = х7 +х*.
6. Функция задана формулой /(х) = хп (/(х) = х24) . Сравните:
я) /(3,7) и /(5,7) ; б) /(-7,2) и /(-6,3) ; в) /(-3,8) и /(2,9) .
Дополнительная задача.
4з -Л
VV3+1-1 VV3+1+I
Упростите:
§ 12. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ
СВОЙСТВА
УРОК № 78. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятием степени с
дробным показателем.
Работа над ошибками.
Устная работа.
1. Упростите: Ь3 -Ь6\ (Ь2)3; (Ь5)0; Ь1: Ь2\ (а3Ь)3; Ь~3 Ь5\
Ь2:Ь~2;.(Ь"3)-2; (eV)4.
2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
. 1 _ 3 . . 6 ч 1 1
а)-; <0—; •)-—гН+~-
х х- (х+У) х2 у2
3. Найдите значение выражения:
а) (1,7)2 (1,7)-2; 6) -Q) ;в) (-2)4-5°;г) -24+(-5)°.
. „ .11.1 l-.ll.il Ч3П„ ч 4
4. Вычислите: а) ~-;б)---;в) 2+5’Г) 7:0,3;е) 12:7‘
Объяснение нового материала.
Для расширения понятия степени с целым показателем до поня-
тия степени с рациональным показателем необходимо потребовать,
чтобы все свойства, верные для целого показателя, оказались верны-
ми и для дробного показателя с положительным основанием.
w
Этому требованию удовлетворяет определение степени а"
(o>0,meZ,neW) с помощью равенства a" =tfa" . Например,
2,/3 = V2; 0,73/Т = ^/цт3; (1 / 2)0-75 = ; I4 = 1.
Степень с основанием, равным нулю, определяется только для
положительного дробного показателя. Для отрицательных оснований
степень с дробным показателем не рассматривается.
Важно отметить, что введённое определение корректно, т.е. зна-
чение степени с дробным показателем г не зависит от способа запи-
си числа г в виде дроби: представляя г в виде отношения целого
числа к натуральному разными способами, будем получать один и
б __ __
тот же результат. Например, 2’ = у26 = у23 = 23/4.
Контрольные вопросы.
1. Дайте определение степени числа a (а>0) с дробным показателем,
s т J
2. Имеют ли смысл выражение а) (~8)6; б) 0 3 ; в) (-3)4 . Почему?
3. Записать число в виде степени с рациональным показателем:
а) 72; 6)4?*; в) Тб* ; г) Vr*.
4. Записать числа с помощью знака корня:
а)3°-$ ; б)24; в) б’0-*; г) Q-)
Решение задач: №№ 571,572,574,577 (устно), 582 (а,в), 583 (а,в).
Домашнее задание: №№ 570, 573, 575, 582(6,г), 583 (б,г).
УРОК № 79. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Основная цель. Ознакомить учащихся со свойствами степени с
рациональным показателем. Научить выполнять простейшие преоб-
разования выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Решите уравнение: а) х4 = 7; б) х5 = 17 ; в) х7 = -2; г) х* = -2.
2. Найдите координаты точки пересечения графика функции с
осью ОУ: а) у=2х-5; б) > = х2 -Зх+8; в)у=х4-10х2.
3. В каких координатных четвертях расположен график функции:
а) у=ух2; б) у = -2х2; в) у = бх3; г)у=-О,2х3.
з 2 _i s _з 1
4. Какое выражение не имеет смысла: 42; О’; 0 •; 32’; 3 4; (-3)4.
5. Представьте в виде степени с дробным показателем: 717;
^49; t^4; 1/у^; £.
6. Вычислите: 161/2; 27"U3; 1251/3; 811/4; -3-0,25~3'2; -л/1442 .
, _ 112 111
7. Вычислите: —; —+—;---
2 3 3 6 5 2
1_( Г). 1
5 I 2/ 3
-2;
3 4
29
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника.
Решение задач: №№ 587, 591, 594.
Домашнее задание: №№ 586,592,984.
УРОК № 80. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Основная цель. Научить выполнять простейшие преобразования
выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1
1. Упростите выражением) хи «xw ;6)0^4)w; в) (а3/)6)7 ;г)
2. Вычислите: а) 251/3 • ^5; б) 8°-s -t/4 ; в) ; г) .
0,01*
1 1 _з t 1
3. Представьте в виде степени: а) х2 -х* -х *; б) (у»2) * -(у»6)3.
4. Упростите: а) ^2^2 ; б) 4^42 ; в) tfs4b ; г) ^7^7 .
5. Заполните пропуски так, чтобы равенства были верными:
• 1 2 1 1
а) а2 = (а*)2; б) а2 = (а*)3; в) а 7 = (а*)10; г) а 4 = (а*)2.
£ 1
6. Решите уравнения: а) х2 = 3; б) х 2 = 8.
Решение задач: №№ 588, 589, 593 (а,в,д), 595 (а,в,д), 596 (а,в).
Домашнее задание: №№ 593 (б,г,е), 594, 595 (б,г,е), 596 (б,г).
УРОК № 81. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Основная цель. Научить выполнять простейшие преобразования
выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Упростите: a) 245-4^5+2412 ; б) (4а -2)(Та +2) ;
X+-J5 х — 3
\ Известно, что а —.положительное число. Представьте а в ввде.
а) квадрата, б) туба; в) седьмой степени.
V З.Вычислиге:а) (V?)2+4^025; V25-16; б)3‘э; ; Г1-^;
ч , лл ч 1 2 2 1 11 1 1 1
в! 1 + 2 + 3+...+49 ; г)-;------; —+—;------;
2 3 45 18 12 9 21 14
-7.5 1 2 1
X) —7^; 7-ОД; -3,7-0,4; 7:0,1; —0,1; -:0,01; 0,8:ОД; 2,3-3; 6:0Д
1р 5 3.4
a) y=V7x-2;6) у-7х2-25 ;в) yi^i-x2 ;г) у = Vx2-5x .
Решение задач: №№ 590, 597, 598.604 (адд),606 (а,вд)> 609.
Домашнее задание: №№ 604 ф,г.е), 606 (б,г,е£ 608, 585
(^=1^4)-
УРОК № 82. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Основная цель. Проверить знания учащихся свойств степени с
дробным показателем.
Самостоятельная работа.
1. Замените корнями степени с дробными показателями:
2 1 1 ( 5 JL _зЛ
53; 5ми; 7 2; аЬ~^; 2а(а+Ь) * [г5; 4^и; 6 >5; хг415; Зх(х-у) 4 .
2. Представьте арифметические корни в виде степени с дробным
показателем: V2; Vх2 +J2'> ^272; ;
[л жт; V»’+4‘; V6?;
х v625 у
3. Найдите значение выражение: а) 250,3 -50,4;
Л 1 _± ( 273]’ ( 9Vi ( ЮУз
б)(10-6)3; в) (81-16) 4; г) ; X) <2—) .
а)90,7:30'4; б)(6 8)*; .)(625 16)‘<; ’ .
4. Найдите значение выражения:
1 £ /'ll \
а) х12 -х16 лрих = 625 [а2 -а6 приа = 16001;
- ( _1 'I
б) (а126-3) 6 npua = fi,b = 36 1(х30-у~10) 15 прих~ ^2,у = 8|.
। з
5. Решите уравнение: х 5 = 2; х2 = 0; 2(xV2 +1) = 18;
х~’=3; х4 =0; З(х1/3 -1) = 271.
Решение задач: №№ 610,680, 682 (а,в,д).
Домашнее задание: №№ 682 (б,г,е), 683,684.
УРОК № 83. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕР-
ЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Основная цель. Научить выполнять тфеобразования выражений,
содержащих степени с дробным показателем.
Работа над ошибками.
Устная работа.
1. Представьте число 5 в виде степени с показателем: 2;3;-5; -1.
V 2
2. Представьте число а в виде степени с показателем п : I а п
3. Разложить на множители: а) х2 - 25; б) х4 -1; в) х- 9 и т.п.
4. Возведите в квадрат: a) (V5) ; б) (2ч/з)2 ; в) (2 -ч/з)2; и т.п.
5. Замените арифметический корень степенью с дробным показа-
телем: а) -75 ; б) V7 ; в) V?; г) ; д) i]ab~2 ; е) т](х+у)2 .
Решение задач: №№ 611 (а,в,д), 613, 614 (а,в,д,е,ж), 615 (б,г,е,з).
Домашнее задание: №№ 611 (б,г,е), 612,614 (б,г,з), 615 (а^дж).
УРОК № 84. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕР-
ЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Основная цель. Та же.
Устная работа.
1. Представьте сило 3 в виде степени с показателем: 2; 3; -1.
2. Разложите на множители: а) х2 -16; б) х3 -1; в) х3 - 25х.
3. Разложите на множители (разными способами) а -Ь.
, _ „ ч х2-4 х2+10х+25 Зх+х2
4. Сократить дробь: а) ——; <0---у- ; в) -—- и т.д
X + Z X — ZJ у —X
5. Преданные в ввдр суммы: a) (х-><)(х+>');б) (а3-Ь3)(а3+Ь3).
3 £
6. Вычислите: а) 10-271/3; б) 49’1'2; в) 252 - (0,001)3.
1 з
1 Д a2-a* ( аГ „
7. Упростите: а) х4 -х 4 ; б)-j—; в) I у51 -у".
а*
Решение задач: №№ 618 (а,в»д.ж), 619 (а»в,д), 621, 622 (а»в,д),
626 (а,вдж), 627 (а,вд).
Домашнее задание: №№ 618 (б,г,е,з), 619 (б,г,е), 622 (б,г,е), 626
(б,г,е,з), 627 (б,г,е). ;
УРОК № 85. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕР-
ЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Основная цель. Та же. Устная работа.
1. Разложите на множители:а) Ь+Ь1/2;б) (За)из -(2а)1/3 и т.п.
х-2 у-5 а2 -Ь2
2. Совратить дробь: а) —j-р; б) ; в) —j--р и т.п.
х*-22
а4 +Ь 4
3. Сократить дробь: а) —-j---; б)
а -2а2
4. Вычислите: а)--,—прип=16; б)
—-----i----и т.п.
у3 -у3 +1
Ь2 +5Ь*
----j-- при b = 9.
а2 Ь4
Решение задач: №№ 617,623,628 (аДв), 629, на повторение—№ 632
Домашнее задание: №№ 616,628 (г), 631, 634.
УРОК № 86. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕР-
ЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Основная цель. Та же. Устная работа.
1. Замените корень степенью с дробным показателем: aja; 25^40 .
a-b a-b a-b
1. Сократите дробь: a) —--p; 6) —5--p; в) —---p и т.п.
a2 — b2 a2-b2 a* —b*
3. Представьтевввдедробивыражение: a) (x-l)-2;6) x-1 +1 ит.п.
11 f 1V 11
4. Представьте в виде степени: a) a2 -as; 6) la2 I ;в) a2:a5 изд
5. Представьте выражение в виде квадрата (x> 0):x‘ ;x~4 ;xs изд
6. Представьте выражение в виде куба(у >0 ):_у9;_>'_6;у2 ;у изд
Решение задач: №№ 688, 689 (а,вл). 690 (а,в), 629, 630. На по-
вторение —№ 633.
Домашнее задание: №№ 689 (б,г,е)‘ 690 (б,г), 687.
УРОК№ 87. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕР-
ЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Основная цель. Та же. Устная работа.
1. Упростите выражение: а) б) ^;в) i]b-Jb ; г) ^а\[а .
2. Сравните числа: a) V5 и tfl4; б) V2 и 14/10 .
3. Замените дробью: а) 2~б; б) 12ч; в) С7; г) 2аЬ~3.
_1 1 -2
4. Вычислите: а) 161/2 ; б) 25 2 ; в) 7-814 ; г) -5 0,001 3 .
5. Вычислите: а) (1,1)-2; б) (-3)-2; в) -3~2; г) (-3)-3.
1
, ~ ч х3-25 х-1 Vr-16
6. Сократите дробь: а) —j-; б) ; в) —j---.
х& +5 х4-4
Решение задач;. № 693.
Самостоятельная работа.
1. Разложите на множители: а) а -4а1'2; a) 2at/2 +a .
б) х1/2+5х,/4; б) х,м-Зх1/2 .
5i1/2 3v1/4
2. Сократите дробь: а) —--р, а) —~—р и т.п.
Ь2 +3й4 у2— 5у*
х—9х^
3. Найдите значение выражения: —---р при х = 20,25 и т.п.
х4 +3х2
4. Упростите выражение: ——---—----+------
x0,s-5 х°-5+5 25-х
Домашнее задание составить по экзаменационным сборникам.
Дополнительные задачи. Найти х:
х
з-(^з)4 ’
1
(л/4)5-162 - --
2. ^-Дг==—— = 166-4 2
3/64-г
х+5Л (п . (Уз~У2)(У9+^6+^4) ,
83-22
УРОК № 88. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
11 _11
1. Вычислите: а) 3-162 ; а) 5-92;' б) 27 3; б) 25 2 .
1 1 1 1
2. Упростите выражение в виде степени: а) а2 -а 4 ; а) Ь3 -Ь 6 ;
3 1 2 >
д 7 1—1 2 3 35
б) ; б) 2L12L_; в) (С3 )3 ,с~2 . в) (ji j* .d~3 .
х* у3
S 7
3. Представьте выражение в виде степени: а) у3 -tfy ; б) х4 • Vx
1 1
х ~ 5х у 2 4- 7
4. Сократите дробь: а) —।; б) —------р ит.п„
х2 -5
у+7.у2
5. Упростите выражение:
ь°-5
а0-5 +Ь°-5
зь1-5
a0’5—b0,s ’
а
^ь^+ь
§13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА
УРОК Кв 89. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАН-
ГЕНСА И КОТАНГЕНСА
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятиями синуса, коси-
нуса, тангенса и котангенса и некоторыми их свойствами.
Объяснение нового материала можно построить по плану:
1. Угол поворота. Обратить внимание учащихся на то, что а) угол
поворота — направляемая величина, которая может принимать лю-
бое значение; б) заданием начального радиуса и конечного радиуса
угол поворота определяется не однозначно, а лишь с точностью до
целого числа полных оборотов. Определение координатной четверти,
которой принадлежит заданный угол. №№ 697,699,701.
2. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для про-
извольного угла а. Чтобы введённые определения были корректны-
ми, необходимо выяснить, что они не зависят от длины радиуса, т.е.
зависят только от угла. Поэтому из соображений экономичности
очень часто используется для рассмотрения свойств синуса, косину-
са, тангенса и котангенса окружность единичного радиуса.
3. Проанализируйте введённые определения и ответьте на вопро-
сы: а). Какие значения могут принимать sina, cosa, tga, ctga ?
б). При каких значениях a sina и cosa определены? в). Укажите
несколько значений а, при которых sina=l; cosa=-l; sina=0;
cosa =0. г). Для каких углов а не существует tga и ctga ? Почему?
. 4. Определение тригонометрических функций. Область определе-
ния и область значений.
5. Табличные значения sina, cosa, tga, ctga для a=30°, 45°, 60°.
Найти sina, cosa, tga, ctga, если a= 0°, 180°, 270°.
№№ 703, 705 (а,в,г), 706 (а,6).
Домашнее задание: №№ 700, 702,704,705 (б,де), 706 (в,г).
Итог урока.
1. Что понимается под углом поворота?
2. В каком случае угол поворота считают положительным, в ка-
ком — отрицательным?
3. Какие значения может принимать угол поворота?
4. В каком случае угол поворота называют углом той или иной
четверти?
5. Дайте sina, cosa, tga, ctga .
6. Для каких углов а существует sina, cosa ?
7. Для каких углов а не существует tga, ctga ?
8. Какие значения могут принимать sina, cosa, tga, ctga ?
УРОК № 90. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА,
ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятиями синуса, коси-
нуса, тангенса и котангенса и некоторыми их свойствами.
Устная работа
1. Углом какой четверти является угол а, если: а) а=260°;
б) а=-170°; в) а=490°; г) а=900°.
2. Что больше: а) яп10° или sml0°-cosl5°; б) cos20° или cos2 20°;
в) coslOO или cos2100°.
3. Верно ли равенство: a) cosa = 2; б) sina = 5-^2 ?
4. Найдите угол параллелограмма, если косинус одного из его уг-
7з
лов равен —.
Решение задач: №№ 707—712 (устно), 713, 715 (а,б), 716 (а,б),
717 (а). На повторение — 719 (а).
Домашнее задание: №№ 714,715 (в,г), 716 (в), 717 (б), 719 (б).
Обучающая самостоятельная работа
Найдите значение выражения:
. cosa-cos(a+45°) ___ (sin(a +15°) - sina „ )
а)----------------- при a = 30°; —-— ---------при a = 45° .
COS 2a \. sin2a J
6) 2sin(a+P)-sin(a-₽)npua = 45o,p = 15o;
(2cos(a - P) -cos(a + p).npH a = 60°,p * 30°).
УРОК № 91. СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА
Основная цель. Ознакомить учащихся с некоторыми свойствами
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа
1. Углом какой четверти является угол а, если: а) a = 185°;
а) а = 98°; б) а = 250°;б) а = 280°; в) а = -185°;в) а = -98°.
2. Вычислите: a) cosl80°+5sin900; а) cos0°+3sm90° ;
б) sin60°+cos30° ; б) sm30°+cos60°.
Устная работа
1. Определите углом какой четверти является угол а, если:
а)а = 50о;б)а=-50о;в)а=190°;г) а=-190°;д) а=400Р;е) а=-40(Р.
2. Существует ли такой угол, при котором верно равенство:
sina = ; cosa = ^3-2; tga = 1010?
3. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
a) 10+cosa;6) 1+2since;в) |cosa|;r) 2sin2a.
Объяснение нового материала.
1. Д айте определения sina, cosa, tga, etga. (Отношения записать.)
2. При помощи модели тригонометрической окружности с под-
вижным радиусом определите знак sm70°, sinl 10°, sin250*, sin300°.
Определите знак sina, если a — угол: а) I четверти; б) П четверти;
в) III четверти; г) IV четверти.
3. Аналогичную работу провести для cosa, tga и etga .
4. Вывод см. на форзаце учебника.
Контрольный вопрос.
Какой знак имеет: а) cos320°; б) (g!20*; в) siiX-100°); г) cfg(-10°).
Решение задач: №№ 722, 724 (устно), 725, 726 (устно).
Домашнее задание: №№ 721,723. На повторение—№№ 718,720.
УРОК № 92. СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА
Основная цель. Ознакомить учащихся с некоторыми свойствами
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Устная работа.
1. Укажите угол а из промежутка [180° ; 540°] для которого
а) sina = 0; б) sina = 1; в) sina = -1; г) cosa = 0; д) cosa = 1.
2. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) 4+sina;6) 4-sina; в) 6+cosa;r) 6-cosa.
3. Какой знак имеет: а) sina, если a = 13е; 103*; 215°; 300*;
б) cosa, если a = 40°; 160°;273°;354* .
4. Определите знак выражения: а) sin20p-cos200°; б) ezg97ocos95°.
5. Может ли синус отрицательного угла быть положительным?
Приведите примеры.
6. Докажите, что синус любого .угла треугольника всегда положи-
тельный. Верно ли это для косинуса, тангенса, котангенса'?
Объяснение нового материала.
1. Доказать, что sin(-a) = - sina; cos(-a) = cosa;
fg(-a) = -tga; ctg(-a) = -etga.
2. Доказать, что при изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяется.
Решение задач: №№ 727,730,732, 912.
Домашнее задание: №№ 729,731,733. На повторение —734,735.
Дополнительные задачи.
1. Является ли функция ч&гной или нечётной?
ч , v X3 л у/ ч 2 + 4cos2r
а) /(*) = 7-7----> О Я») =-------2 7" ''
4-3cosx х -4
2. Какой знак имеет выражение, если Р — угол II четверти:
a) c(g(360°+P); б) sin(72O°-P); в) cos(360°+p); г) cos(1080°-P).
„ sin90°+cos(-180°) + ($45°
3. Найдите значение выражения: —- -----77 .
2sm30°-cos(-270°)
Итог урока.
1. Обвяжите, почему значения синуса, косинуса, тангенса и котан-
генса не изменяются щ>и прибавлении к углу целого числа оборотов?
2. Какова зависимость между синусами, косинусами, тангенсами
и котангенсами противоположных углов?
УРОК № 93. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Основная цель. Ознакомить учащихся с радианной мерой угла.
Устная работа.
I. Определите знак выражения: a) sina - cosa, если a — угол III
_ “SP o п
четверти; б) —-, если р —угол П четверти.
tgfi
2. В каких координатных четвертях значение выражения положи-
. л costp . .
тельно, а) Tgx-smx; б)----—; в) sina-cosa-Tga .
etgy
3. Имеет ли смысл выражение: а) Vsml70°; б) Vcosl70° .
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1 I X
a) 2+cosa; б) — smp-3,5; в) sin— ;
At IX
г) -—cos2®.
2
5. Найдите значение выражения: а) cos(-45°); б) ctg(-90°); ит.п.
6. Сравните Tgl3°, /g373°, Zg733°. Обоснуйте.
7. Может ли принимать значение, равное —— : а) sina; б) cosa.
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника.
Контрольные вопросы.
1. Что такое радиан?
2. Скольким радианам равен угол 180°?
3. Сколько радиан содержит угол в 30°, 45°, 60°, 90°, 270°, 360°?
4. Чему равно приближенное значение I радиана в градусах?
Решение задач: №№ 736, 738, 740, 742, 743, 744 (устно), 745 (на
форзаце тетрада), 746, 748.
Домашнее задание: №№ 737, 739, 747, 749.
УРОК № 94. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Основная цель. Закрепить знания учащихся по изученной теме.
Устная работа.
1. Углом какой четверти является угол а, если
a) |sina| = sina; б) jcosa| = -cosa ; в) |(ga| = tga; г) |crga| = -etga .
2. Сколько радианов содержится в угле: а) 30°; б) 60°; в) 90°; г) 270°?
3. Выразите в градусах: а) —; б) —; в) 2; г) Зл.
4. Выразите в радианах углы равнобедренного прямоугольного
треугольника.
5. Выразите в радианах углы прямоугольного треугольника, у ко*
торого гипотенуза в 2 раза больше катета.
6. Сравните: sinln sin Г.
7. Что больше: cosl или cos3?
8. Зная, что cosa - т и sina = п , найдите:
„ 1+cosa л l-cos(-a) cos(a+720°)
а) ; б) : в) ;
1 + sina l-sin(-a) sin(720°+a)
cos(a - 720°) cos( 36O°-a) cos(360°+a)
sin(a-720°) sin(360°-a) ' sin(360°-a)
Решение задач: №№ 750, 751, 914 (а,г), 916, 917 (а,б). На повто-
рение — 753 (а), 754.
Домашнее задание: №№ 914 (б,в), 915,.917 (в,г), 918. На повто-
рение — 753 (б).
УРОК № 95. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Основная цель. Проверить знания учащихся радианной меры уг-
лов и рассмотренных свойств тригонометрических функций.
Устная работа.
1. Зная, что <р — угол III четверти, упростите выражение:
а) |sin<p| + sinep; б) cos<p-|cos<p|; в) tgip +|fg«p|; г) etgq -|cZg<p|.
2. Сколько радиан содержит угол: а) 45°; б) 180°; в) 360°; г) 120й?
7л
3. В какой четверти находится угол:а) —; б) 5,2; в) 5,2л; г) - 3,1л .
71
4. Определите знак: а) cos —;
;в) rg2 ;r)
Домашнее задание: №№ 903, 905, 913, 790.
Самостоятельная работа.
1. Выразите в радианах: а) 135°; а) 36°; 6)750°; б)-780°-
в) 250°; в) 330°; г)-2000°; г) 4000°
2. Определите знак выражения:
,3л 9п л л„ 7л
sm—cos—te2,3 sin 1,3л cos—tg2,9 .
7 8 9
3. Найдите значение выражения:
a) sin0+3cos—+sin2 —; a) 3sin— -2cos0+te2 —;
2 4 6 3
6) lOsin2 —cos2 j ; 6) 8<g2 jsin2 ;
\ * ( 4л^ . ( 17л ( 5л
B) “VtM’tJ ; B) Slv tJttI ;
r) sin2 —+ctg~+2cos3it; r) sin2— -cos2 —+-J3tg~.
4 4 3 4 3
4. Найдите значение выражения:
a) 3siro 2a +—j-2cos За-—| a) 4cos| 3a- —|+n?| —+a|
A 47 A 47 А б) Чб 7
л
при а = —;
б) sm ^а - —J + 3(g^2a -—
5л
при а = —;
л
при а = — ;
б) cost а+—fg 2а~ —
/ А 37 4 6,
2л
при а = —.
УРОК Х8 96. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИ-
ЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА
Основная цель. Ознакомить учащихся с соотношениями между
тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника. Рассмотреть примеры:
1. Упростить: а) sin2 a + cos2 a +(g2a; 6) (1 - sina)(l+sina);
• в) (ga-cosa .
2. Найти cosa, tga, etga .если sina = -^ и a — угол II четверти.
Решение задач: №№ 755,756, 757, 760.
Домашнее задание: №№ 758, 759, 761, на повторение — № 771.
УРОК Ха 97. Та же
Основная цель. Выработать умения применять основные триго-
нометрические формулы одного и того же угла к преобразованию
выражений.
Устная работа.
1. Верно ли sin213°+cos213°=sin2130°+cos2130е?
2. Найдите ctga., если tga. = -5; i; 0,8.
3. Упростите: a) cos2a-l; 6) (1-cos13°)(1+cos13°) ;
в) 1 - (sin2 p - cos2 P); r) cos2 a + (g2a+cos2 a; д) sin у c/gy .
4. Верно ли l+2sinacosa = (cosa+sina)2 ?
5. Существует ли a, при котором sina + cosa = 2 ?
6. Дописать равенства: sin(-a)=...,cos(-a)=...;tg(-a)=...; c(g(-a)=...
Эя
7. Известно, что л <a<—. Какой знак имеет cosa, sina, tga.. ctga. ?
Решение задач: №№ 764, 773, 774, 775,778.
Домашнее задание: №№ 765, 777, 779, на повторение — № 772.
УРОК К* 98. Та же
Основная цель. Проверить знания учащихся формул тригонометри-
ческих функций одного и того же угла. Продолжить формирование уме-
ния применять изученные формулы к преобразованию выражений.
Диктант по формулам.
1. Дайте определения cosa и tga. (sina и ctga.).
11
2. Какой знак имеют cosa, sina, tga и ctga , если — < a < л
( Эл А о
I 1)
3. Затопите основное тригонометрическое тождество. Выразите
sin2 а через cos2 a (cos2 a через sin2 a ).
4. Запишите соотношение, связывающее tga. и ctga. Выразите
tga через ctga {ctga через (ga).
5. Запишите соотношение между tgx, соваи апа(ctga , cosa и sina).
Выразите sinaчерез tga и cosa( cosa через ctga и sina).
6. Запишите соотношение между (ga и cosa( ctga и sina).
Решение задач: №№ 766,776, 780, 781, 786.
Домашнее задание: №№ 767,784, 785, на повторение — № 791.
УРОК №99. Та же
Основная цель. Проверить уровень сформированное™ умения
применять основные тригонометрические формулы к преобразова-
нию вьфажений.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1 4
1. Найдите sina, зная cosa = —; —.
2 5
1 ,
2. cosa = - -. Чему равно значение выражения 1+tg a ?
3. sina = -0,5. Чему равно значение выражения 1+ctg2a. ?
4. Сравните: а) sin217°+cos217° и 4; б) tgl40°ctgl40° и 0,2.
5. Известно, что <а<я. Какой знак имеют cosa, sina, tga, etga,?
. . it 5n 2n
6. Определите знак выражения: sin—; cos—; tg—.
7. tga + etga = 10 . Найдите tg2a+ctg2a.
8. Известно, что sina = 1. Следует ли отсюда tga • etga = 1 ?
9. В каком случае по tga нельзя вычислить etga ?
Решение задач: №№ 782, 783, 787, 788.
Домашнее задание: №№ 789,923, на повторение — №№ 790,792.
Самостоятельная работа.
« ,, 15 Зл _
1. Известно, что sina=-и — <а <2п. Найдите cosa, tga, etga.
17 2
9 Зтс
(Известно, что cosa=— и п < a < —. Найдите sina, tga, etga .)
41 2
2. Упростите: а) 1 - sin a tga cosa; а) 1 - sin a cosa etga;
6) (l+ctg2a)sin2a-cos2a;
б) (1+tg2a) cos2 a - sin2 a ;
' 1-cosa l-2cosa
в)
1+cosa
. 2
Sin a
в)
1-sina l-2sina
1+sina cos2 a
УРОК № 100. Та же
Основная цель. Коррекция знаний и умений.
Проверка домашнего задания.
Устная работа строится по тому же плану, что и в предыдущем уроке.
Решение задач: №№ 921, 922, 924.
Домашнее задание: №№ 925, 768.
УРОК № 101. Та же
Основная цель. Проверить сформированность умения преобразо- '
вания тригонометрических выражений.
Самостоятельная работа.
Упростить выражение:
1. (sina+cosa)2 +(sina-cosa)z = 2 .
2. (2 + sinp)(2 -sinfJ) + (2 + cos₽)(2 - cos₽) = 7.
3. (tga+c(ga)2 - ((ga - ctga)2 = 4.
4.
5.
6.
7.
2
cos a
----r---+ Sina = l.
1 + sina
- 3 3
an a+cos a
sina+cosa
+sinacosa = l.
(sin2 a+tg2a+l)(cos2 a - ctg2a+1) __
(cos2 a +ctg2a + l)(sin* a + (g2a -1)
sin6 a +cos6 a + 3sin2 acos2 a = 1.
_ l-4sin2 acos2 а Л .
8. — ---------—+2sinacosa = l.
(sina+cosa)2
Максимальное число баллов — 20. Оценка "3" — 14 баллов; "4"
— 14-18 баллов; ”5" — 18-20 баллов.
УРОК № 102. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Основная цель. Ознакомить учащихся с формулами приведения.
Устная работа.
л
I. Известно, что — <а <л. Определите знак sina, cosa, tga, ctga .
3л it
2. Определите знак Вьфажения: sin—; cos—; (g420°; c(g(-420°).
5 6
Объяснение нового материала можно построить по плану:
1. Какие формулы называются формулами приведения? Назначе-
ние формул приведения.
2. Доказать, что sin^-~-+aj =
J it ] „
cosa и cos —+a = -sina. Пока-
\2 J
зать, как с помощью этих формул можно получить остальные. Ре-
зультат этой работы приведён в таблице на стр. 179 учебника. Про-
следить закономерности, имеющие место для формул приведения.
Сформулировать мнемоническое правило..
3. Мнемоническое правило состоит из двух частей. Первая отве-
чает на вопрос — изменяется ли название функции на кофункцию?
(Если сложный аргумент прилежит к вертикальному диаметру
(сделайте движение головой вдоль вертикального диаметра), то на-
звание функции меняется. Если сложный аргумент прилежит к гори-
зонтальному диаметру (сделайте движение головой вдоль горизон-
тального диаметра), то название функции не изменяется.) Вторая
часть правила требует определить знак первоначальной функции от
сложного аргумента.
f Зл \
4. Рассмотреть примеры: a) sin(7t-a);6) cos^—+aj; ит.п.
Решение задач: №№ 793, 799, 801, 803.
Домашнее задание: №№ 794, 800, 802, на повторение — № 814.
УРОК №103. Та же
Основная цель. Выработать умения применять формулы приве-
дения к преобразованию выражений.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Приведите к тригонометрической функции угла a: (g(-a);sin(-a).
2. Назовите несколько углов, sin которых равен cos35°.
3. Найдите cos217°+sin2 63°; /^37°-^53°; (glorg2°tg3°.. Jg89° ит.п.
Решение задач: №№ 795,796, 808, 810.
Домашнее задание: №№ 797,798,806,811, на повторение—№ 815.
j УРОК №104. Та же
Основная цель. Проверить знания учащихся правил приведения.
Самостоятельная работа строится по следующему плану:
1. Найдите значение выражения cos(7t+a);sin(2jt-a) ит.п.
2. Найдите значение выражения cos!35°; sin(-135o)+cos(-135o) ит.п.
3. Упростите выражение: cos(270°-a) + sin(90°+a) и подобные.
Решение задач.
Домашнее задание составить, используя:
1. Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу:
Пособия для учащихся 9-11 кл. общеобразовательных учреждений.
— М..: Просвещение, 1996. Практикум 8.
2. Крамор В.С. Повторяем й систематизируем школьный курс ал-
гебры и начал анализа. — М.: Просвещение, 1993.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.
Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-Пресс:
Магистр-S, 1998.
УРОК № 105. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Основная цель. Повторение, обобщение изученного материала;
коррекция знаний учащихся.
Разбор ошибок самостоятельной работы.
Решение задач: №№ 942 (а,б), 943 (а,б), 945,948.
Домашнее задание: №№ 942 (в,г), 943- (в,г), 946, 947.
УРОК Кв 106. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
, — , _ . Л . Л
1. Вычислите: a) 3sm—tg—;
6 4
ч „ л
а) 2 cos—+smn;
б) 3cos0-sin—; б) 3tg—2 sin— и т.п.
2 “4 6
2. Упростите выражение:
a) (1-cosaXl+cosa); а) (1-sinaXl+sina);
_ 1-sina _ ,
б) г—; б) tga-etga-cos a
1-cosa
. 1 cosa . 1 sina
в) +--------:; в)----+------— ит.п.
etga 1+sma tga 1+cosa
3. Найдите значения неизвестных тригонометрических функций,
12 л ( . п. ЗлА
если cosa =----и — < a < л sina = -0,6 и л < a < — .
13 2 к 2 7
4. Упростите выражение:
. /Зл А . ,
а) cost---al + sm(n-a);
б) /g-----.jg—• б) sin2 (-210°) +cos2150° и т.п.
к 4 / 4
Если учитель видит, что у него ещё достаточно времени перед по-
вторением пройденного материала, он может взять для изучения,
параграф: Формулы сложения и их следствия, на который потребует-
ся 12 часов.
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ (20-30 часов)
При итоговом повторении можно использовать устные работы про-
шедших уроков. Необходимо краткое повторение ключевых моментов
теории, для этого лучше всего использовать таблицы, схемы.
Для составления домашних заданий, контрольных работ использо-
вать в первую очередь "Сборник заданий для проведения письменного
экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс"/ JLB. Кузнецова,
Е.А. Бунимович, БД Пигарев, С.Б. Суворова—М.: Дрофа, 1997.
За время повторения должны пройти 2-3 контрольные работы.
По договорённости с администрацией школы одна из них должна
быть "репетиционной". Необходимо продумать систему домаш-
них контрольных работ по экзаменационному сборнику.
Приводим примерные образцы контрольных работ.
УРОК №. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 10
1. Найдите значение выражения при указанных значениях букв.
а) а+0,5й3 при а = 20,Ь = -4;(а) -0,4х3+.у при х = 5, у = -10);
а+х а-Ь
б) - при а = -0,7, х = -0,3 (б) при а = -0,2, b = -0,6);
в) Ja2+b2 при а = 12,6 = -5; (в) д/х2-у2 при x = 10,y> = -6).
4 _ / 1\2 1
2. Упростите выражение: а) х3 -ух2 ; б) lx2 I -х 3;
- I— - ( JY
(a)y<<y3;6)/2-|/3J )..
3. Решите систему неравенств
5-Зх>15+2х, И2х+1>5х+7Й
3+7х<4х; Ц 10х+5>8х. )
4. Постройте график функции у = -2х+6 (у = 2х-4). Прохо-
дит ли график функции через точку А (-35; 76) (В (-45; -86))?
5. Упростите выражение: J(2-V5)2 -t-j(3—Js)2 Q(j3-1)2 +^(л/з-2)2^.
6. Грузчики планировали за некоторое время разгрузить 160 ящи-
ков. Однако они справились с этой работой на 3 ч раньше срока, так
как разгружали в час на 12 ящиков больше. Сколько ящиков в час
они разгрузили?
(Машинистка должна быть напечатать за определенное время 200
страниц. Печатая в дань на 5 страниц больше, она завершила работу на 2
дня раньше срока. Сколько страниц в день печатала машинистка?)
УРОК №. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11
1. Упростите выражение:
а о-2
\а-2 a + 2J За+2
х+3 х
х-3 х+3.
x+fl
‘х+з;
2. Решите систему уравнений:
2-5у> = -9, ([х2-Зу = -&,
х+.у=1; Ц х+у = 2. ,
3. В арифметической тфогрессии первый член равен 30, а сумма
первых пятнадцати членов равна 135. Найдите двадцатый член этой
тфогрессии.
(В геометрической тфогрессии шестой член равен 4, а знамена-
тель равен 2. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрес-
сии).
4. Решите уравнение: а) х3 + х2 - х -1 = 0 ;а) х3 - 2х2 - 4х - 8 = 0;
б)
х-3
х-2
х-2
х-3
= 2,5;б)
х-2 х + 1 1
----+----= 4—.
х+1 х-2 4
5. Мотоциклист задержался с выездом на 30 мни. Чтобы навер-
стать упущенное время, ои увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в
пункт назначения вовремя. С какой скоростью ехал мотоциклист,
если весь путь равен 60 км?
(Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 24 км, вы-
ехал велосипедист. Через 30 мин. вслед за ним выехал второй вело-
сипедист, который прибыл в В на 10 мин. раньше первого. Найдите
скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости
второго).
6. Решите графически уравнение:
3 , (2 2^
— = 2х-х2 | —= (х—1)2|.
х кх /
и укажите промежутки возрастания и убывания.
СОДЕРЖАНИЕ
№№
уроков § 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.......................... 3
49. Последовательности.............................. 3
50. Последовательности.............................. 5
§ 8. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ................. 6
51. Арифметическая прогрессия....................... 6
52. Арифметическая прогрессия....................... 9
53. Арифметическая прогрессия....................... 10
54. Сумма и первых членов арифметической прогрессии. Н
55. Сумма и первых членов арифметической прогрессии. 13
56. Арифметическая прогрессия....................... 14
57. Контрольная работа 1^5.......................... 15
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ................. 16
58. Геометрическая прогрессия....................... 16
59. Геометрическая прогрессия....................... 19
60. Сумма и первых членов геометрической прогрессии. 21
61. Сумма п первых членов геометрической прогрессии. 21
62. Сумма бесконечной геометрической прогрессии..... 23
63. Геометрическая прогрессия....................... 24
64. Контрольная работа №6........................... 27
65. Прогрессии...................................... 28
§ 10. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ........................ 29
66. Чётные и нечетные функции....................... 29
67. Чётные и нечётные функции....................... 32
68. Функция у»х*.................................... 33
69. Функция у = х".................................. 34
§11. КОРЕНЬ и-ой СТЕПЕНИ....................... 34
70. Определение корня и-ой степени.................. 34
71. Арифметический корень и-ой степени.............. 35
72. Арифметический корень и-ой степени.............. 36
73. Свойства арифметического корня и-ой степени..... 37
74. Свойства арифметического корня и-ой степени..... 38
75. Свойства арифметического корня и-ой степени..... 39
76. Свойства арифметического корня и-ой степени..... 39
77. Контрольная работа № 7.......................... 40
§. 12. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА.................... 41
78. Определение степени с дробным показателем....... 41
79. Свойства степени с рациональным показателем..... 42
80. Свойства степени с рациональным показателем..... 43
81. Свойства степени с рациональным показателем...... 43
82. Свойства степени с рациональным показателем...... 44
83. Преобразование выражений, содержащих степени
$ дробными показателями............................... 45
84 Преобразование выражений, содержащих степени
с дробными показателями............................... 45
85. Преобразование выражений, содержащих степени
с дробными показателями............................... 46
86. Преобразование выражений, содержащих степени
с дробными показателями............................... 46
87. Преобразование выражений, содержащих степени
с дробными показателями............................... 47
88. Контрольная работа № 8................................. 48
§ 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЛЮБОГО УГЛА..................................... 49
89. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. .. 49
90. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.... 50
91. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.50
92. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 51
93. Радианная мера угла.................................... 52
94. Радианная мера угла.................................... 53
95. Радианная мера угла.................................... 53
96. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла................................. 54
97. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла................................ 55
98. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла................................. 55
99. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла.......,......................... 56
100. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла................................. 56
101. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же угла................................. 57
102. Формулы приведения..................................... 57
103. Формулы приведения.................................... 58
104. Формулы приведения..................................... 58
105. Подготовка к контрольной работе........................ 59
106. Контрольная работа № 9................................. 59
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ................................... 59
Контрольная работа №10................................ 60
Контрольная работа № 11...,........................... 61
Если Выияпишете по адресу: 400059, г. Волгоград, п/о 59, а/я 32,
издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: (8442) 42-20-63,
Вам будет выслан полный каталог пособий и книг издательства «Учитель»
УРОКИ МАТЕМАТИКИ
в 9-ом классе
Поурочные планы
ЧАСТЬП
Составитель:
Ковалева Галина Ивановна,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры методики
преподавания математики
Волгоградского государственного
педагогического университета
Ответственный
за выпуск
Корректор:
Гринин Л. Е.
ПерепвлкинаА.В.
Лицензия ЛР № 35-09 от 05.01.2000
Подписано в печать 12.11.2001. Формат 60x84/16.
Бумага газетная. Печать офсетная Уел. п.л 3,72.
Тираж 2500. Заказ 2275.
Издательство "Братья Гринины"
400067, Волгоград, п/о 67, а/я07
Отпечатано с готового оригинал-макета
U Пособия издательства
“Братья Гринины”
можно купить в магазинах:
1. Волгоград, пр. Ленина, 25, маг. “Учитель”
2. Волгоград, ул. 64-й Армии, 28, маг. “Книжный мнр”
3. г. Москва, ул. Мясницкая, 6, маг. “Библио-Глобус”
4. г. Москва, ул. Большая Дмитровка, 7/5,
маг. “Дом педагогической книги”
5. г. С.-Петербург, Невский пр., 28, маг. “Дом книги”
6. г. Рязань, ул. Циолковского, д. 1/7, маг. “Муза”