Text
                    Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
Курс
математического
анализа
Том II
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических
и инженерно-физических
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1981


ББК 22.16 К 88 УДК 517 @.75.8) Кудрявцев Л. Д. К88 Курс математического анализа (в двух томах) Учеб- Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981, т. II: — 584 с, ил. В пер.: 1 р. 50 к. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисле- исчисления функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений, теория рядов Фурье н преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Предназначается студентам университетов и физико-математических и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки. „ 20203—121 517.2 К 001@1)-8Г 35~81 17020500в0 ББК 22.16 © Издательство «Высшая школа», 1981
Настоящая книга является второй частью двухтомного курса математического ана- анализа. В ней изложены вопросы, изучаемые обычно студентами на втором курсе. Нуме- Нумерация глав, параграфов и рисунков в этом томе продолжает соответствующую нумера- нумерацию первого тома. Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчис- исчислению функций многих переменных и по существу является непосредственным про- продолжением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье. Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем да- даются его обобщения для пространства L2 и для обобщенных функций. Заканчивается том небольшим «Дополнением», основная часть которого касается численных мето- методов для вычисления приближенных значе- значений функций приближенных решений урав- уравнений и приближенных вычислений интег- интегралов.
ГЛАВА ПЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (продолжение) § 39. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 39.1 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эту функцию- в указанной окрестности можно (подобно тому как это было сделано для функций одного переменного) представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который «мал» в опреде- определенном смысле. Теорема 1. Пусть функция z = / (х, у) определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка т включительно (т^\) в 8-окрестности точки (хо,уо)- Тогда для всех Ах и Ау, удовлетворяющих условию р — \/ГАх2 -\- Аг/2< б, сущест- существует такое 6 = 8 (Ах, Ау), О < 6 < 1, что справедлива формула 1 (Ax k + (Tj! ( или, короче т—\ Аг=2*НА*? + А*4Г}/(*0' ^) + r»-1(Ax, Ay), C9.1) где Формула C9.1) называется формулой Тейлора (порядка т—\) для функции /, функция /V-x (Ах, Ау) — ее остаточным членом, а его запись в виде C9.2) — остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 5 При ш=1 в C9.1) требует разъяснения смысл первого члена правой части, поскольку в этом случае верхний индекс сумми- суммирования равен нулю. В этом случае, по определению, полагается, что этот член равен нулю, т. е. что формула C9.1) имеет вид Дг = го(Дл;, Ау). В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записан- записанное с помощью символа 2. У которого значение верхнего индекса суммирования меньше значения нижнего индекса будем также считать, что это выражение равно нулю. Доказательство. Пусть Ах и Ау зафиксированы так, что р = Y Ахг + Ау2 < б, тогда все точки вида (х0 +1 Ах, у0 +1 Ay), где O^t^l, лежат на отрезке, соединяющем точки (х0, у0) и (хо + Ах, уо + Ау), и поэтому все они принадлежат б-окрестиости точки (х0, у0). Вследствие этого имеет смысл композиция функций z = /(*. У) т. е. сложная функция F(t)=f(xo + t&x, Уо + tAy), 0<f*=?l. C9.3) Очевидно, что x, yo + Ay)-f(xo, yo) = F(l)-F@). C9.4) Поскольку функция f имезт в б-окрестности точки (х0, у0) т непрерывных частных производных, то, согласно теореме о про- производных сложной функции (см. п. 20.3), функция F также имеет на отрезке [0, 1] т непрерывных производных и поэтому для нее справедлива формула Тейлора порядка т— 1 с остаточным членом в форме Лагранжа: 0<8<1, C9.5) и в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0) функцию C9.3) можно т раз продифференцировать по правилу дифференцирова- дифференцирования сложной функции (см. замечание 2 в п. 20.4), причем значе- значения получающихся смешанных частных производных не зави- зависят от порядка дифференцирования (см. п. 21.1). Выразив производные Р*' (/) через производные функции f(xt у) и положив в формуле C9.5) * = 1 (см. C9.4)), получим требуемую формулу Тейлора для функции / (х, у). Действительно,
6 § 39. Формулы, Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем. из C9.3) следует, что с, (п _ д[ dx д[ dy _ Г V> ~"dxdt ~т~ dydt ~~~ ,, , df(xo+t&x, yc, + t& * + Отсюда для F"(t), опустив для краткости обозначения аргумен- аргументов, получим Вообще по индукции легко установить, что k=\, 2, .... m. C9.6) Положив в формулах C9.6) ^-=0 при k=\, 2, ..., m — I, будем иметь: F' @) = ^«.^ ДХ2 + 2 ^if^o) ДхД +ЭЩу? д 2 и вообще Ax|+Ay|)lfc}/(.vfl, ^О), Л=1,2,...,т-1. C9.7) При k = m, заменив t на 6/, F^(Bt)=(Ax^x + Aij^j{m) f(xo + BtAx, yo + QtAtj). C9.8) Подставим теперь C9.7) и C9.8) в C9.5) и положим t = \; тогда в силу соотношения C9.4) т — \ fe= 1 + ы{Ахддх+АУдду){т)Нх° + ВАх' Уо+еДу), o<6<i. ? Следствие. В предположениях теоремы 1 справедлива формула т Az = 2 w (Ах I+Ay I){fe) ^ ^' ^+Гт (Ах'Ау) • C9-9) = 1
39.i. Формула Тейлора для функций многих переменных 7 причем остаточный член rm(Ax, Ау) может быть записан в каж- каждом из следующих видов: т гт (Ах, Ау) = 2 е„ (Ах, Ау) Ах" Аут-\ C9.10) где \\тгк(Ах, Д*/)=0, к = О, 1, ..., т, р == 'J/ Ал'2 + Д//3 р-0 или гт(Ах, Ау) = е(Ах, Ау)9»\ C9.11) где \'\тг(Ах, Аг/) = О, т. е. р-0 гт(Ах, Ау) = о(р™). C9.12) Представление остаточного члена формулы Тейлора в форме C9.12) называется его записью в форме Пеано. Доказательство. Положим tk (ДА, Дг/) - - дхкдут-к дхк дут-к ¦ К'5- ¦ В силу непрерывности всех частных производных порядка т lime* (Да-, Д#) = 0. 0 Преобразуем остаток гт^(Ах, Ау) (см. C9.2)), использовав выражение C9.13), следующим образом: т У Ск х Аи)-~ У Ск дт/(*,, + 8А.у, уо + вАу) д к д к _ _ 1 "V p um-k А-|с+Ду|){т>/^о, Уо)+ У. е*(Д*. &&№№-*. C9.14) fe ^= 0 где ей (Дх, Ay) = ~fe'k(Ax, Ay), и потому lime»(Да-, Д#) = 0. C9.15) Подставляя C9.14) .в C9.1), получим формулу Тейлора C9.9) с остаточным членом в виде C9.10).
8 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих трем. Покажем, что остаточный член C9.10) можно записать в виде C9.11). Для этого положим т в (Ах, Ду)= ^ ^Ах' ^ [ft (тГЛ C9Л6) k = 0 Тогда т гт(Ах, Дг/) = У. ek(Ax, Ay) Ax>< Ay™-* = и так как Ах Р 1 и Р ;1, то из C9.15) следует, что Jim е (Ах, Д#) = 0. ? О Используя понятие дифференциалов высших порядков, фор- формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, так как (см. п. 21.2) d*f (х, у) = (Ах | + Ау |) Ш f (х, у), k = 0, 1, 2, ..., т, то, полагая для краткости Мо = (х0, г/о) и М = (х0 + Д-^. № + Д#). формулу C9.9) можно записать в виде C9.17) = 1 Эта форма записи формулы Тейлора наиболее проста и потому удобна для запоминания. Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1 и ее следствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было потре- потребовано, чтобы функция / имела непрерывные производные до порядка т включительно в некоторой б-окрестности точки (х0, у0). Можно было бы потребовать непрерывность в указанной окрест- окрестности только производных порядка т, поскольку из их непре- непрерывности вытекает и непрерывность в этой окрестности всех младших производных данной функции, т. е. производных поряд- порядков & = 0, 1, ..., т — \ (см. п. 20.2). Подчеркнем, что непрерывность частных производных в б-окрест- б-окрестности точки (хо, уо) была использована, во-первых, для того чтобы встречающиеся частные производные н^ зависели от порядка дифференцирования (это было использовано как при доказатель-
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 9 стве формулы Тейлора C9.1), так и в самой форме записи этой формулы), и, во-вторых, для того, чтобы функцию C9.3) можно было т раз дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции. Обратим внимание на то, что при т=\ сме- смешанные производные отсутствуют; для возможности же один раз дифференцировать функцию C9.3) по правилу сложной функции, а следовательно, и для справедливости теоремы 1 достаточно более слабого предположения о рассматриваемой функции /. Именно, вместо предположения о непрерывной дифференци- дифференцируемое™ в вышеуказанной б-окрестности точки (х0, г/0) функ- функции / достаточно ее дифференцируемое™ в этой окрестности (см. определения 2 и 4 в п. 20.2). Непрерывность частных производных порядка т (в т о ч к е (хо, г/о)) использована также при доказательстве следствия тео- теоремы 1: она нужна для того, чтобы функции г'к(Ах, Ау), опре- определенные формулами C9.13), стремились к нулю при р-^-0. Подчеркнем еще, что при сделанных предположениях в фор- формуле C9.9) доказано, что rm (Ах, Ay) = o(pm) при р->0 не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле — в смысле предела в точке (х0, Уо) (почему?). Формулу C9.1) можно несколько обобщить, если не стремиться к тому, чтобы она была справедливой для всех точек (ха + Ах0, Уо + Ау) б-окрестности точки (x0, у0), а.рассматривать эту фор- формулу лишь при фиксированных Ах и Ау. Именно, если функ- функция / определена и имеет непрерывные частные производные порядка т на открытом множестве, содержащем отрезок с кон- концами (х0, уо) и (хо-{-Ах, уо-{-Ау), то формула C9.1) также оста- остается справедливой вместе с ее доказательством. Из этого следует, что если функция / определена в выпуклой области G (см. п. 18.2) и имеет в G непрерывные частные производные порядка т, то для любых двух точек (х0, yo)^G и (хо-\-Ах, jo + %)eG спра- справедлива формула Тейлора C9.1). Упражнение 1. Пусть функция f(х, у) непрерывна вместе со своими частными производными до порядка т включительно в некоторой окрестности точки (х0, у0). Доказать, что ее многочлен Тейлора порядка т, т. е. многочлен является многочленом наилучшего приближения функции f (х, у) «в бесконечно малол окрестности точки (ц, #„)». Это означает следующее: каков бы ни был многочлен Q(x, у), степени не большей m (т. е. в каждом его члене сумма показателей степеней у переменных х и у должна не превышать числа т) такой, что f(x, y) = Q(x, у) + о(рп), n^sm, при р-э-О,
10 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем. где он совпадает с указанным многочленом Тейлора Р (х, у) функции f (х, у). Все сказанное переносится и на случай функций любого числа переменных. Теорема Г. Если функция п переменных y — f(xb ..., х„) опре- определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производ- производными до порядка т, m 5= 1, включительно в некоторой 8-окргст- нвети точки xlO) — (x\0), ..., •*{,"'), то справедлива формула т — 1 где Гт-1 (А*) = __ ' /л.. 5 , , л., д Vm) fi.M 0<6<1, Ах=(Ахи ..., Ахп), C9.19) а также формула ^J){fe} rra (Ал:), C9.20) где гт(Ах) можно записать в каждом из следующих видов: либо гт(Ах)= 2 emi...mn(Ax)Ax^...Axy, C9.21) где lim emi тп (Ах) = 0, • р = у ^j ^ О —' О г i = 1 гт (Ах) = s (Ax) pm, lime(Ax) = 0, C9.22) /п. е. = о(рт), р->0. Наконец, через дифференциалы формулу C9.20) можно записать k= 1
39.2 Формула конечных приращений 11 Раскроем теперь скобки в формулах C9.18) и C9.19), восполь- воспользовавшись алгебраической формулой Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозна- обозначения. Положим k = (#i, ..., kn), \k\ = k1 + .. .-\-kn, k\=kx\ ...knl, f{k) = » \k'f k ' (x - Х'У = to - x'nkl ¦ • • (xn - jCL fe=(^i» •••> ^ — называется мультииндексом. . В этих обозначениях формула Тейлора C9.18) с остаточным членом в виде C9.19) перепишется в виде I A I < m | А ; = m Здесь как всегда, x = (a;i, ..., хп), л;<0) = (х10), ..., х^1) и В этом виде формула Тейлора для функций любого числа пере- переменных выглядит так же, как и для функций одной переменной. Иногда, особенно в случае функций многих переменных, для производных употребляется обозначение k1+... + kn ^...дхпп где k = (ku ..., kn) — мультииндекс. Если пользоваться этой сим- символикой, то формула Тейлора примет вид 2 I h | < т I А | = я| 39.2. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Частный случай формулы Тейлора C9.18), в котором т — \, обычно называется формулой конечных приращений Лагранжа для функций многих переменных. В силу сделанных в преды- предыдущем пункте замечаний к теореме 1 о предположениях, при которых справедливы формулы C9.1) и C9.18), из теоремы Г получаем следующее утверждение.
12 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем. Теорема 2. Если функция f(xi, ..., хп) дифференцируема каждой точке некоторой выпуклой области G с R", то для хп) и (*! + / ' ' ¦ ; 1, что vlt ..., х„) = в каждой токе нр у с R, т каждой пары точек (л'ь ..., х„) и (x1 + Axi, ...; хп-\-Ахп) из G существует таког 8, 0<8<1, что 2 2 или, короче, -f(x) = 2 дПЩМ^ C9-24) 2 где х = (хъ ..., х„), x + Ax = (x], +Axt, ..., хп + Ахп) и Формула C9.24), как указывалось, и называется формулой конечных приращений Лагранжа. Эта формула, так же как' и вообще формула Тейлора, находит многочисленные и разнообразные применения в различных вопро- вопросах математического анализа. Обратим внимание на то, что теорема 2 не является частным случаем теоремы 1, поскольку в ней требуется не непрерывная дифференцируемость рассматриваемой функции в каждой точке множества G, а лишь се дифференцируемость. Однако доказа- доказательство теоремы 2 фактически содержится в доказательстве тео- теоремы 1. Действительно, как это отмечалось в замечаниях к дока- доказательству теоремы 1 и ее следствию (см. п. 39.1), при т=1 приведенное выше доказательство теоремы 1 сохраняет силу и при предположениях теоремы 2, т. е. при предположении лишь дифференцируемости (а не непрерывной дифференцируемости) функции /. В качестве примера применения формулы C9.24) докажем следующее утверждение. Теорема 3. Если функция дифференцируема в каждой точке выпуклой области G и имеет в G ограниченные частные произ- производные, то она разномерно непрерывна в этой области. Доказательство. Если » = 1, 2, .... я, х-еб (с — постоянная), то для любых двух точекх' = (х[,..., х'„) и х" = (х[, ..., Хп) из C9.24) следует, что
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора 13 (здесь | — некоторая точка отрезка с концами в точках х' и х"). Поэтому, если задано е > О, достаточно взять 6 = —, чтобы для СП, любых точек /eG и х" е G таких, что р (х', х") <; б, выполня- выполнялось неравенство | f (*")-/(*') К е, C9.25) а это и означает равномерную непрерывность функции / в обла- области G. 39.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ Остаточный член в формуле Тейлора, очевидно, зависит не только от приращений аргументов, но и от самой точки, в окрест- окрестности которой рассматривается разложение функции и которую мы в п. 39.1 считали фиксированной. Теперь нас будут интере- интересовать поведение и оценка остаточного члена в зависимости от изменения указанной точки. Чтобы подчеркнуть эту зависимость, мы в этом пункте будем остаточный член порядка m обозначать rm(x. Ах), где х = (хъ ..., хп) — точка, в окрестности которой рас- раскладывается данная функция по формуле Тейлора. Как и раньше, &x = (Axlt ..., Ах„). В формулах C9.21) и C9.22) будем вместо ' emi...m (Ах) и г (Ах) соответственно писать гт ...т (х, Ах) и г(х, Ах). В даль- дальнейшем нам потребуется оценка остаточ- остаточного члена формулы Тейлора в форме Пеано сразу для всей области сущест- существования разложения по указанной фор- формуле. Введем сначала понятие непрерыв- непрерывности частных производных в замыка- замыкании открытого множества. Это требует специального определения, так как в граничной точке открытого множества G даже в случае, когда функция опреде- _ лена на замыкании G множества G, поня- понятие частной производной, вообще говоря, рис J44 не определено (см., например, точку М границы области G на рис. 144). Определение 1. Функция /, определенная на открытом мно- множестве G a Rn, называется непрерывно продолжаемой на его за- замыкание G, если существует такая непрерывная на G функция F, что F — fnaG. Функция F называется непрерывным продолжением функции f (на G) и для простоты будет также обозначаться символом f.
14 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем. Очевидно в силу единственности предела функции, если у функ- ции,_ определенной на G, существует непрерывное продолжение на G, то оно единственно. Определение 2. Функция f называется непрерывно дифференци- дифференцируемой (соответственно т раз непрерывно дифференцируемой) на G, если функция f определена на G и все ее частные производ- производные первого порядка (соответственно частные производные до по- порядка т включительно) непрерывно продолжаемы с G на G. Упражнения. 2. Доказать, что если функция / определена на от- открытом множестве G с; R" и имеет на нем непрерывно продолжаемую на его замыкание G производную ~—, и в некоторой точке границы • множества G аху существует (односторонняя) частная производная ¦=—, то она совпадает с не- ах1 прерывным продолжением в эту точку частной производной -^—. ох1 3. Доказать, что для того, чтобы непрерывная функция, определенная на ограниченном открытом множестве G с: fp1, была непрерывно продолжаемой на его замыкание, необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно не- непрерывней на G. Показать, что в случае неограниченного открытого множе- множества условие равномерной непрерывности продолжаемой функции, являясь достатс< ным для непрерывного продолжения, не является необходимым. 4. Построить пример непрерывной и ограниченной в области функции, которую нельзя непрерывно продолжить на замыкание этой области. Вернемся теперь к формуле Тейлора. Пусть функция / т раз непрерывно дифференцируема на замыкании G открытого ограни- ограниченного множества G.- Тогда, согласно результатам п. 39.1, в каждой точке xeG имеет место разложение C9.20) функции f по формуле Тейлора, причем стремление к нулю ет ,..т (х, Ах) в формуле C9.21) и е(х, Ах) в формуле C9.22) при р->-о равно- равномерно на множестве G (см. определение в п. 20.2), т. е. для любого е>0 существует такое б = б(е)>0, что если P="\/ 2j a*'<6, C9.26) то \Zmy..mn(X, Ax)\<Z И | ? (X, Ax) I < 8 для всех точек x^G. Это в данном случае непосредственно следует из метода полу- получения функций emi..,m и е(Ал:). Действительно, в силу ограни- ограниченности и замкнутости замыкания G открытого множества G непрерывные продолжения на G частных производных порядка т данной функции равномерно непрерывны на G, поэтому (см. фор- формулу C9.13) для случая л = 2; в общем случае справедлива ана- аналогичная формула) если выполнено условие C9.26), то C9.27)
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора Щ Здесь правая часть (модуль непрерывности соответствующей про- производной) не зависит от тоики множества G и стремится к нулю при 6->0. Поэтому из C9.27) следует равномерное стремление Zmv..mn к нулю на G. Теперь можно оценить бесконечно малую е (Ах, Ау) в фор- формуле C9.22). Для произвольного натурального я ее можно, ана- аналогично случаю п = 2 (см. C9. 16)), представить в виде Отсюда имеем: \г(х, Ах),'< 2 \^mv..mn(x, Ах)\. C9.28) ml+...+mn=m В правой части неравенства C9.28) стоит некоторое фиксирован- фиксированное число слагаемых; обозначим его через N. В силу уже дока- доказанного равномерного в G стремлении к нулю функций 2т1...тп(х, Ах) для любого заданного е>0 существует такое б = б (е) > 0, что если выполнено условие р (х, х-\- Ах) < б, то I / л \ I 8 \?mv..mn(x, Лх)|<дг, тх-\-.,. + тп = т. Отсюда и из неравенства C9.28) следует, что \г(х, Ах)|<е. ? Отметим еще одну оценку в целом остаточного члена формулы Тейлора, получающуюся из записи его в форме Лагранжа C9.19). Если функция / определена' на открытом множестве G и имеет на G ограниченные частные производные порядка т, т. е. суще- существует такая постоянная Л1>0, что dmf (х) ¦ ал т \ !.»,_.», v г— г. /39 29) то при. выполнении условия р (х, х-\- Ах)<^8 для всех j;eG справедливо неравенство \гт-г(х. Ах)| < от[ . Это сразу следует из формулы C9.19), если абсолютные величины каждого слагаемого ее правой части оценить с помощью нера- неравенства C9.29) и очевидного неравенства | Axt | =^ б.
16 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем. 39.4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ В предыдущем пункте мы встретились с понятием равномер- равномерной сходимости на данном множестве семейства функций, зави- зависящих от некоторого параметра, когда этот параметр стремится к определенным значениям. Такими функциями в нашем случае являлись гту.,тп{х, Ах) и е(л:, Ах), где роль параметра играло Ах. В простейшем виде этот случай встречался еще раньше в п. 20.2. Сформулируем определение равномерной сходимости семейства функций в общем случае. Определение 3. Пусть X cz Rn, Y a Rm, */@) — предельная точка множества Y или одна из бесконечностей *> оо, + оо, — оэ (по- (последние две бесконечности имеет смысл рассматривать только при т = 1). Пусть, далее, функция ф (х) определена для всех хеХ, я f (х, У) — для всех х <= X и у еУ. Функция f (x, у) называется, равномерно стремящейся на мно- множестве X к функции ф(х) при y-*-yiQ) и пишется fix, y)lF<P(x), У — Ут если для любого е > 0 существует такая проколотая окрестность f/(«/@>) точки г/@>, что для всех хеХ и всех у ^.Y{\U(ук0)), вы- выполняется неравенство 8. C9.30) Переменная у часто называется в этом случае параметром, а функция f(x, у), у = Y', — «семейством функций от х» (в том смысле, что эта функция при различных фиксированных y^Y задает функции переменной х). Подобно случаю равномерной сходимости последовательности функций (см. п. 36.1) условие равномерной сходимости функций по параметру можно сформулировать, используя понятие предела, следующим образом. Функция f (x, у) равномерно стремится на множестве X к функ- функции ф(х) при г/-*-*/10' тогда и только тогда, когда lim sup \f{x, г/)-ф(х)| = О. C9.31) Таким образом условие/(х, у)^ц>(х), у-— у{0), равносильно стремлению к нулю при у-^-у° функции F (у) ^ sup | f (x, у) — — Ф(х)|. Доказательство этого утверждения совсем не сложно и *' Бесконечности оо, +оо, —со будем для простоты называть в дальней- дальнейшем также точками («бесконечно удаленными»).
39.4 Равномерная сходимость, по параметру семейства функций 17 аналогично случаю равномерной сходимости последовательности функций. Его проведение предоставляется читателю. Справедлив в рассматриваемом случае и аналог критерия Кошн равномерной сходимости последовательностей. Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы функция f (х, у) при у-*-у10) разномерно стремилась на множестве X к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого е >¦ О нашлась такая проколотая окрестность 0 (у@)) точки у(°\ чтобы для любых )(\Y и y" и любого х^.Х выполнялось неравенство \f(x, y")-f(x, у')\<г. C9.32) Действительно, необходимость условия C9.32), как всегда в подобных ситуациях, легко следует из условия C9.30). Для доказательства же достаточности следует показать, что из усло- условия C9.32) вытекает, что для любого фиксированного хеХ су- существует lim f(x, у) и что стремление функции f(x, у) к этому 2/-V0' пределу при */->*/@) происходит равномерно. Все это также рекомендуется проделать читателю самостоя- самостоятельно. Упражнение 5. Доказать: для того чтобы функция } (х, у), хе.Х, г/<=Х равномерно на множестве X стремилась при y-*-y'rj> к функции <р(х), х ^ X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности у' еК, У"" Фу"", я=1, 2, ..., стремящейся к у'0>, последовательность/^, yinl), я=1, 2, ..., равномерно на множестве X сходилась к функции <р(*)- Примеры. 1. Рассмотрим семейство функций f (x, у) = е~хи, гдг 0=?Сл:?^1, Ог^г/< + °о. Очевидно I 0, если дг>0, hm f(х, у)—\ Л г, ^+c° I 1, если х = 0 (таким образом переменная у, если использовать указанную выше терминологию, является параметром). Обозначим предельную функ- функцию через ф (х), ( 0, если д:>0, Фй= . ' C9.33) [ 1, если лт = О. v ' Докажем, что стремление функции f(x, у) к ф (х) при у-*¦-{¦ со про- происходит неравномерно. Для этого достаточно показать, что су- существует такое ео>0, что какую бы окрестность (/(+оо)ни взять, найдутся такие хе[0, 1] и j е'&'(+оо), что будет вы- выполнено неравенство | е-ху — ф (х) | S= e0. Возьмем е0 таким, что 0<е0<1, и произвольную окрестность U(-{-со). Тогда, какое бы y^U(-j-oo) ни взять, для него lim e--Vi/= 1, и поэтому най- О
18 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих персм. дется такое х <= @, 1], что е-ху _ ф (х) | = | е-ад _ о | > е0. Таким образом, в данном случае условия критерия Коши (см. теорему 4) не выполняются. Однако, при любом а, 0<а<1, семейство функций f(x,y) = = е~хи при г/-> + оо равномерно стремится к нулю на отрезке [а, 1]. Проверим в этом случае выполнение условий критерия Коши (см. теорему 4). Для любого е> 0 существует число т|е>О, такое, что ё~ау]е<.в [достаточно взять любое г]>- пв|]; поэтому для всех у ~> % и всех «е[а, 1 ] будем иметь | е-ху — о | = ег*У<: е~аГ]е < е. Конечно, исследование равномерной сходимости рассматривае- рассматриваемого семейства функций можно выполнить и применив критерий C9.31). Действительно, использовав формулу C9.33), получим sup |er*v — ф(х)ISs sup <<1 0< поэтому условие C9.31) заведомо не выполняется. Если же 0< < а < 1, то lim sup |е~ху — <р(х) | = lirn sup e~x«= lim e-a'J=-Q. Таким образом, e-*v ¦& <р(х), [О, 1] ^ ч ; 2. В случае, когда Y является множеством натуральных чисел Y={\, 2, 3, ...}, а </1°) = + оо, приведенное определение равно- равномерной сходимости по параметру превращается в определение равномерной сходимости последовательности функций /„ (х) = = f(x, п), п=\, 2, ..., на множестве X. 3. Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике Q — = {(х, у): — oo<asg;es^b< + co, — (х<Zсs^у^d<-\-<х>} и пусть joe[c, d]. Обозначим через со F, /) модуль непрерывности функции / в прямоугольнике Q; тогда | / (х, у) - f (х, г/„) | ^ со (| у - & |; /), (х, у) е Q. C9.34) Правая часть этого неравенства не зависит от х и в силу равно- равномерной непрерывности функции f на прямоугольнике Q Итш(б; /) = 0. Поэтому из неравенства C9.34) следует, что при 6-0 у-^Уо функция f(x, у) равномерно на отрезке [а, Ь] стремится к функции f(x, г/0).
40.1. Необходимые условия экстремума 19 Упражнение С. Доказать, что если семейство функций f(x, у), х *= elc R", у <=Y *= Rm таково, что функции / (х, у) при любом фиксирован- фиксированном i/eF непрерывны по х на множестве X и равномерно на этом множе- множестве стремятся к ф (х) при у->-у10>, то <р (х) также непрерывна на множе- множестве а:. 39.5. ЗАМЕЧАНИЯ О РЯДАХ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если функция f{x) определена и бесконечно много раз диф- дифференцируема в некоторой 6-окрестности точки х{0> — (х™',..., х)Т)^ е/?я, то для этой функции формула Тейлора C9.20) будет, оче- очевидно, справедливой при любом натуральном п—1, 2, ... и п 2 Ах? < ба. Если при этом ряд будет сходиться к &y = f(x) — f(x^°>) (см. п. 38.2), то получится формула k = 1 где х = (хи ..., хя) и Xi— x'i" = kxh /=1, 2, ..., п. Отсюда, пе- перенеся /(.v'i°') в правую часть, получим разложение функции в степенной ряд, называемый рядом Тейлора функции /: ?=0 или, что то же 1*1 = 0 где k = (klt ..., kn) — мультииндекс. Упражнение 7. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x, у) = § 40. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 40.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Изучаемые в настоящем и некоторых следующих параграфах вопросы носят аналитический характер, и их доказательства не усложняются при увеличении числа переменных. Поэтому мы
20 §401 Экстремумы функций многих переменных проведем их рассмотрение сразу в общем п-мерном случае, ука- указывая при необходимости их специфические особенности для случаев п = 2 и п = 3. Определение 1. Пусть функция f(x) определена на множестве EaRn. Точка xw^E называется точкой строгого максимума, соответственно строгого минимума, если существует такая окре- окрестность U (хт) точки xw, что для всех х еУ(х@))П?, хфхк0), выполняется неравенство f(x)<.f(x@)) соответственно неравенство Рис. 145 Рис. 146 Таким образом, точка строгого максимума (соответственно строгого минимума) характеризуется тем, что А/ = /(%) — f(x@)XQ (соответственно А/>0) при всех хе(/(х@)) (]Е, хфх{0) (рис. 145). Если же для точки jtl°> существует такая окрестность U (х{Оу), что при всех x^U(xw)(]E выполняется условие f(x)^f(x'0)) (соответственно f (x)^f(xw)), то хт называется просто точкой максимума (соответственно минимума). Определение 2. Точки (строгого) максимума и минимума функ- функции называются точками (строгого) экстремума. Теорема 1. Пусть функция f(x), х = (хъ х2, ¦¦-, хп) определена в некоторой окрестности точки х10); если она является точкой экстремума функции f(x) и если в ней существует какая-либо из производных ~- (j может принимать одно из значений 1, 2,..., п), то она равна нулю, df(x«>>) = 0. Следствие. Если функция f (x) дифференцируема в точке экстре- экстремума х{0\ то ее дифференциал равен нулю в этой точке, df(x{0)) = 0. Доказательство (теоремы и следствия). Пусть для опре- определенности У= 1. Если х'°' = (л:Т) х„') является точкой экстре- экстремума для функции /(х) = /(хх, ..., х„), то х'\' является точкой экстремума для функции /(хъ хТ, ..., х„') одной переменной хх (рис. 146), а поэтому если в этой точке существует производная
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 21 ~, то по теореме Ферма (см. п. 11.1) она равна нулю, т. е. df{x>°>) dff d хг = 0. Аналогично обстоит дело в случае любой переменной х} (/ == = 2, .... п). Рис. 147 Рис. 148 Если функция f (х) дифференцируема в точке экстремума х@\ то в этой точке существуют все производные ¦—, t= 1, 2, ...,«, и, согласно доказанному, все они равны нулю, поэтому и «=1 Примеры. 1. Найдем точки экстремума функции 2 = х2 +г/2. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых dz = 0. Так как dz = 2х dx + 2у dy, то условие dz — 0 выполняется в единственной точке @, 0). В этой точке 2 = 0, во всех же других точках z = jt2+#2>0. Поэтому @, 0) является точкой строгого минимума для функции 2 = х2 + г/2 (рис. 147). 2. Исследуем точки экстремума функции г = хг — у%. Поступая аналогично предыдущему случаю, находим, что условие dz = 0 снова выполняется в точке @, 0) и в этой точке г = 0. Однако здесь при у = 0 и любых х Ф 0 имеем z > 0, а при х — 0 и любом у Ф0 имеем z<0. Поэтому точка @, 0) не является точкой экстремума, и, значит, функция z — x2 — y2 вообще не имеет экстремальных точек (рис. 148). 40.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СТРОГОГО ЭКСТРЕМУМА Напомним несколько определений из курса алгебры. Определение 3. Квадратичная форма А(х) = А(хъ ..., хп) = п ан = ац, i, /=1, 2, ..., п, называется ¦ положи-
22 § Ш Экстремумы функций многих переменных тельно (соответственно отрицательно) определенной, если А (х) > О (соответственно А (х) < 0) для любой точки х <= Rn, хфО. Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрица- отрицательно определенной, называется также просто определенной (или знакоопределенной) квадратичной формой. Определение 4. Квадратичная форма, принимающая как поло- положительные, так и отрицательные значения, называется неопреде- неопределенной. Лемма 1. Пусть S — единичная сфера в R": и пусть А (х) — определенная квадратичная форма; тогда inf xeS Доказательство. Функция А(х) является многочленом второй степени по переменным хъ ..., хп, поэтому А (х), а, сле- следовательно, и | А (х) | непрерывны во всем пространстве R". Отсюда вытекает, что функция | А (х) | непрерывна на компакте 5. Согласно теореме Вейерштрасса, функция | А (х) | достигает на 5 своей нижней грани, т. е. существует такая точка х^0) е S, что |i— inf По определению знакоопределенной квадратичной формы |0 для всех точек xeS, значит, в частности, ju, ==; | () | >0. ? Определение 5. Пусть функция f дифференцируема в точке xw^Rn. Если d/(jtlO)) = O, то хт называется стационарной точкой функции /. Очевидно, что точка хт, в которой функция f дифференци- дифференцируема, является стационарной в том и только в том случае, если ЩР = О, i=l, 2, ..., п. D0.1) Согласно следствию из теоремы 1, точка экстремума, в кото- которой функция / дифференцируема, является стационарной; обрат- обратное, конечно, вообще говоря, неверно: не всякая стационарная точка, в которой функция дифференцируема, является точкой экстремума (см. пример 2 в конце п. 40.1). Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция f определена и имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрестности точки х{°К Пусть хт является стационарной точкой функции /; тогда если квадратичная форма A(dxu ..., dxn)= i. /= 1
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 23 т. е- второй дифференциал функции f в точке х{0), положительно определенна (отрицательно определенна), то х@) является, точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же квадратичная форма D0.2) неопредгльнна, то в точке хт нет экстремума. Доказательство. Пусть U(xm, б0) — б0-окрестность ста- стационарной для функции / точки л,-(°\ в которой функция / имеет непрерывные вторые производные. Пусть точка .... хТ dXn) принадлежит этой окрестности. По формуле Тейлора (см. C9.23)), учитывая условия стацио- стационарности D0.1), получим Т. 2 -^jdXidxj + e(dx)p\ i, /= где dx = (dxb dx,,), p2 = dxi + • • ¦ + dx^, и lim e(dx) — Q, p-*0 D0.3) или "/=2i 2 -dxidx- . /=l 'Ol) dx,- dxj P P ;(dx)U - D0-4) Точка I —. • • •. --) лежит на единичной сфере S (т. е. на сфере с центром в начале координат и радиусом, равным 1), ибо 1 / \ p / Пусть квадратичная форма D0.2) знакоопределенна. Тогда, согласно лемме, inf А — ц > 0. Выберем б, 0 < б •< б0) так, s чтобы 21 е (dx) | < ц при р < б. Тогда при р < б, т. е. при х@) + dx <= U (х@), б) и djc^O, все выражение в квадратных скобках в правой части формулы D0.4) будет иметь тот же знак, My. Лг_\ что и первое слагаемое Л йх„ dxx dxn — Поэтому, если квадратичная форма D0.2) является положительно определенной, то Д/>0, а если отрицательно определенной, то А/<0 при xW + dxez(J№*\ 8). Значит, в первом случае *-<°> является точкой строгого минимума, а во втором — точкой строгого максимума.
24 § 40. Экстремумы функций многих переменных Пусть теперь квадратичная форма D0.2) является неопреде- неопределенной; это означает, что существуют две такие точки dx' = = (dx\, ..., dx'n) и dxf={dxi, ..., dx"n), что A(dx\, ..., dx'n)>0, a A(dx"\, ..., dx'n) <0. Мы не можем на основании этого сразу сказать, что приращение функции А/ меняет знак в любой окрестности точки х"", так как точки х"" + dx' = (х'{" + dx[, ... -\-dx'{, ..., x'if + dxn) могут, вообще говоря, даже и не принадлежать об- области определения функции /. Однако, нужный нам результат будет следо- х вать из того, что квадратичная фор- форма A (dx) сохраняет один и тот же знак или равенство нулю на каждой прямой, проходящей через точку х'°\ из которой удалена сама эта точка, а значение А (— \, <1хф0, вообще не зависит от выбора точки на этой прямой. Рассмотрим точку dx' = (dx\, ..., dx'n). Проведем полупрямую, начинающуюся в точке xw и проходящую через точку xl0) + dx'. Для любой точки х = (хъ ..., хп) этой полупрямой положим г~ dXi = xi~xT, г—1, 2, ..., п, и р=1/ 2j <^хЬ Тогда (рис. 149) Рис. 149 1=1, 2 п, D0.5) где cos а,- суть направляющие косинусы рассматриваемой полу- полупрямой. Поэтому точка р ' "¦' ~^ j=(C0Sal' ¦••> COsan). D0-6) лежащая, очевидно, на единичной сфере** 5 с центром х{0), будет одной и той же для" всех точек х этой полупрямой, т. е. точка D0.6) не зависит от расстояния р между х и %@). Следовательно и значение квадратичной формы D0.2) в точке D0.6), т. е. Л(—» •¦•» -—), не зависит от р. Отсюда для любой Xb ••"dXn)>0- точки D0.6) имеем ^ j = ц.' > 0. Выберем p0 > 0 так, чтобы при Пусть Л p<Po имело место неравенство 2|e(d#)|<;j.i', что возможно *' Напомним, что для направляющих kochhj'cob справедливо равенство cos2 ax + ¦ • • + cos2 о„ = 1.
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 25 в силу D0.3). Тогда для любой точки х^-\-йх, лежащей на полу- прямой D0.5) и такой, чтоО<р=1/ ^] в формуле D0.4) выражение в квадратных скобках будет иметь знак первого члена, и поэтому А/>0. Итак, в любой окрестности точки х@> имиотся точки, для которых А/>0. Аналогично, исходя из отрицательного значения квадратичной формы D0.2) в точке (dxl), доказывается, что в любой окрест- окрестности точки х@) существуют точки, для которых А/<0. А это и означает, что в рассматриваемом случае %@) не является точкой экстремума. Ц При практическом применении этой теоремы возникает вопрос: как установить, будет ли квадратичная форма D0.2) положительно или отрицательно определенной. Для этой цели может служить, например, так называемый критерий Сильвестра положи- положительной определенности квадратичной формы, доказываемый в курсах алгебры. Он состоит в следующем. Для того чтобы квадратичная форма = А(хъ ..., х„)= D0.7) у которой ац = uji, i, / = 1, 2, ..., п, была положительно опре- определенной, необходимо и достаточно, чтобы ап > 0, «11 «12 «21 «22 «11 «12 «13 | «21 «22 «23 «31 «32 «33 «и «12 • • ¦ aln «21 «22 • • • «2n «Я1 «Л2 • • ¦ aan Замечая, что квадратичная форма Л (х) отрицательно опреде- определена тогда и только тогда, когда квадратичная форма — А(х) = п = 2 (~~ «у) xixj положительно определена, получаем, пользуясь <", /= 1 известными свойствами определителя, следующий критерий отри- отрицательной определенности. Для того чтобы квадратичная форма D0.7) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы «11 «12 «21 «22 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 « (-1)" 11 2 ¦ • • «21 «22 • - • «л-1 • ¦¦ «пи
26 § 40. Экстремумы функций многих переменных Сформулируем теперь теорему 2 для случая двух переменных, выразив условия, накладываемые на квадратичную форму D0.2), в явном виде через вторые частные производные. Тесрема 3. Пусть функция f(x, у) определена и имеет непре- непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окре- окрестности точки (х0, у0), которая является стационарной для f(x, У), т- е- в ней fs = h = O. D0.8) Тогда если в (х0, у0) Шуу-Рху>Ь, D0.9) то она является точкой строгого экстремума, а именно строгого максимума, если в ней и строгого минимума, если /лх>0. Если же в точке (х0, у0) Шии-Пу<0, D0.10) то экстремума в ней нет. Наконец, когда иУУ-Пу=о D0.li) в точке (х0, у0), то может случиться, что экстремум в ней есть, и может случиться, что экстремума нет. Действительно, если [ххф0 в точке (х0, у0), то квадратичную форму D0.2) в нашем случае можно записать в виде A (dx, dy) = fxx dx* + 2fxv dx dy + fuy dy* = Wdx+bdyy + VJnjdy*] ¦ D0.12) Все частные производные здесь и ниже взяты в точке (х0, у0). Мы непосредственно видим, что при выполнении условия D0.9) выражение в квадратных скобках в формуле D0.12) положительно при dx2-\-dy2>0, т. e. A(dx, dy) является определенной квад- квадратичной формой, а именно положительно определенной при Ьа>0 и отрицательно определенной при /АЛ<0. Это, конечно, следует и из вышеприведенного критерия Сильвестра. В первом случае, согласно теореме 2, (х0, у0) является точкой строгого минимума, а во втором — точкой строгого максимума. Если же выполнено условие D0.10), то при dy = O, йхфО, из D0.12) имеем sign A(dx, 0)= sign/**, а при dx=fxlJ, dy = — fxx получим sign A,(fxy, — /л-д-) = — sign/XA., откуда следует, что квадратичная *' Очевидно, из условия D0.9) следует, что [хх=?0 в точке (х0, ув).
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 27 форма A (dx, dy) при выполнении условия D0.10) является неоп- неопределенной. Итак, полностью разобран случай 1х*ф0 и Ufyy-ПуФО. Случай /.™=о, !ииФ0 и Муу-ПуФО исследуется аналогично. Если же fxx = fyy = 0, но по-прежнему fxxfyy — fxy Ф 0, то, оче- очевидно, fxy Ф 0, следовательно, в этом случае выполняется условие D0.10) и A(dx, dy) = 2fxydxdy. Отсюда сразу видно, что квадратичная форма A (dx, dy) при сделанных предположениях является неопределенной, ибо sign A (dx, dy) = — sign A (dx, — dy). Поэтому достаточно взять сначала dx и dy одного знака, а затем разных знаков, чтобы получить значения квадратичной формы разных знаков. По теореме 2 (х0, у0) не является в этом случае точкой экстремума. Наконец, случай fxx = fyy = fxy = O несовместим с предположе- предположением 1хх!УУ — Цуф0. Таким образом, разобраны все возможные случаи при выполнении неравенства {хх{уу — [хуф0. Для завершения доказательства теоремы нам достаточно пока- показать на примерах, что, когда имеет место соотношение D0.11), экстремум может быть, а может и не быть. У функции z = х2 -г 2ху -\- у2 точка @, 0) является стационар- стационарной, и в ней zxx = zxy = zyy = 2, и, значит, выполняется условие D0.11). Замечая, что г = (х-{-уJ, видим, что всюду z Э=0, причем г = 0 на прямой х-\-у = 0; поэтому точка @, 0) является точкой экстремума, правда, нестрогого. Для функции z = ху3 точка @, 0) также является стационар- стационарной, и в ней zxx = ZytJ = zxy = 0, поэтому условие D0.11) также выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую эту функцию, переменные х и у входят в нечетных степенях, функ- функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, @, 0) не является точкой экстремума. § 40.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭКСТРЕМУМАХ НА МНОЖЕСТВАХ Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченном множестве G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти_наибольшее и наименьшее значения функции / на множе- множестве G (они существуют по теореме 3 п. 19.5). Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции / в G, вычис- вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно, это воз- возможно (а теоретически возможно это, например, -когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция прини- принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в ста-
¦28 § 41. Неявные, функции ционарных точках. После этого следует сравнить эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наиболь- наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G. В случае, когда G — плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x = x(t), y = y(t), cc-iJjsSP, вопрос о нахождении экстремальных значений функции f(x, у) на границе G сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного f(x(t), y(t)), что делается уже изве- известными нам методами. Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстремальных точек на границе области будут рас- рассмотрены в § 43. Упражнения 1. Найти экстремумы функции г = х3-\- \2ху" — \Ьх — 2\и. 2. Имеет ли функция 2 = х'!;/- — 2>х~у-\-2х-\-у экстремум в точке A, 1)? 3. Найги наибольшее и наименьшее значения функции 2 = x2 + .V2 — 4х — — 2у-\-4 в замкнутой области, ограниченной линиями х = 4, у =— 1, х — у-=Ъ. 4. Пусть а = const >¦ 0, ? = {(х, у) : | х [ <С а, у е /?}. Найти все экстремумы 3 функции z = k- хг -\-У 6 (а2 — x2)cosy в Е и все ее наибольшие и наименьшие значения в П. 5. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 6а2. При каких значениях длин ребер его объем —наибольший? § 41. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 41.1 НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ Выясним условия, при которых одно уравнение с несколькими переменными определяет однозначную функцию, т. е. определяет одну из этих переменных как функцию остальных. Начнем наше рассмотрение с изучения уравнения, содержащего два неизвестных, F(x, y) = 0. Если функция двух переменных F (х, у) задана на некотором подмножестве А плоскости R*xy, AczRxy и существует такая функция одной переменной y = f(x), определенная на множестве В a Rx, содержащемся в проекции множества А на ось Ох, что для всех JtsS имеет место (х, f (x)) e А и справедливо тожде- тождество F (x, f (л;)) = 0, то / называется неявной функцией, опреде- определяемой уравнением F (х, у) = 0.
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 29 Лемма. Пусть функция. F (х, у) непрерывна в некоторой пря- прямоугольной окрестности U(x0, Уо) = {(х, y):\x-xo\<t, \y-yoK4}*) точки (л'о, г/о) и при каждом фиксированном хе(х0 — ?, хо + ?) строго монотонна по у на интервале (у — ц, г/о + л)- Тогда, если F{x0, г/о) = О, то существуют окрестности U (х0) — (х0 — 5, х0 -f б) точки х0 и У(Уо) = (у — ?. Уо + е) /поч/сы у0 такие, что для каждого х ^ U (хо) имеется и притом единственное решение у е(/ (у0) уравнения F (х, у) — 0. Это решение, являющееся функцией от х и обозна- обозначаемое y = f (x), непрерывно в точке х0 и = г/о- Таким образом, лемма, в частности, утверждает, что при сде- сделанных предположениях неявная функция y — f(x), определяемая уравнением F (х, у) = 0, существует и обладает тем свойством, что при условии ле(/(х0), y<=U(y0) равенства F (х, у) = 0 и y = f(x) равносильны. Доказательство. По условиям леммы функция F(x,.y) при каждом фиксированном х^(х0 — ?, хо + |) строго монотонна по переменной у на интервале (уо — г\, Уе + ц), в частности на нем строго монотонна функция F (х0, у). Пусть для определен- определенности она строго возрастает. Выбгрем произвольное е > 0, подчи- подчиненное лишь условию 0<C?<ii. Поскольку функция F(хо, у) переменной у строго возрастает на отрезке [у0 — е, г/о + е], и по условию F (л'о, г/о) = 0, то F(x0, уо-?)<О, F(xa, Но функция двух переменных F (х, у) по предположению непрерывна на открытом множестве U (х0, у0) и (х0, у0 — е)е е(/(х0, г/о), (^о, Уо + ?)^У (Хо, Уо), поэтому существует такое 6>0, 0<б<|, что в б-окрестности точки (х0, уп — г) выпол- выполняется неравенство F (х, у) < 0, а в б-окрестности точки (•*о, г/о + е) — неравенство F (х, у) > 0 (см. лемму 1 в п. 19.3). В част- частности, при всех х^(х0 — б, хо-{-&) (рис. 150) будут справедли- справедливыми неравенства F(x, г/о-е)<0, F(x, г/о + е)>0. D1.1) Положим V (хо) = (хо - б, хо + б), U (у0) ^ (Уо _ е, *' В соответствии с принятыми в курсе обозначениями окрестность точки (х0, уа) правильнее было бы обозначить через U ((*е, #„)), а не через U(x0, y0). Для простоты обозначений мы будем опускать вторые скобки.
30 § 41. Неявные функции .У, У* X Хо Поскольку при фиксированном хе(/ (х0) функция F (х, у) пере- переменной у непрерывна на отрезке [уо — е, #о + е], то ^3 условия D1.1) согласно теореме Коши о промежуточных значениях непре- непрерывкой функции (см. теорему 2 в п. 6.2) следует, что существует такое г/*е(/(«у0) (см. рис. 150), что F (x, ty*) = O. В силу строгой монотонности функции F (х, у) на отрезке [у0 — е, г/о + е] по перемен- переменной у, указанное у* единственно. Таким образом, получено одно- однозначное соответствие (однозначная функция) х с-»- у*, x<=U (х0), у* ^U (уо), которое будем обозна- обозначать через /: y* — f(x). По определению этого собтвет- J J „. ствия для любого x^U(х0) и V» •Vf ¦¦¦' y* = f{x) имеем Рис. 150 р,х у*) = о и* (=U(г/о) причем точка г/*, обладающая этим свойством, единственна. Тем самым нами доказаны существование и единственность искомой функции f. Далее, по условию леммы F (х0, у№) = 0, и так как х0 е U (х0), у0 Et/(j/0), то в силу единственности функции / имеем yo = f(x0). Наконец, заметим, что е>0 было фиксировано произвольным образом при условии, что е<т), и что для него было найдено такое б > 0, что из | х — х0 | < б (т. е. из условия x^.U (x0)) вытекало включение f(x)<=U (у0), т. е. неравенство | / (х) — f{x0) | < <е. Это и означает непрерывность функции / в точке х0. Ц Удобные для приложения достаточные условия однозначной разрешимости уравнения F (х, у) = 0 в некоторой окрестности точки (х0, уо), для которой F (x0, t/o) = 0, даются следующей тео- теоремой. Теорема 1. Пусть функция F (х, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, у0) и имеет в этой окрестности частную производную Fy (х, у), которая непрерывна в точке (х0, у0). Тогда, если F{x0, г/0) = 0, Fy(x0, уо)фО, то найдутся такие окрестности V (х0) и U (у0) соответственно точек х0 и у0, что для каждого xg()(x0) существует и притом единственное решение y = f(x)^U (у0) уравнения F (х, у) = 0'*>. Это решение непрерывно всюду в U (х0) и yo — f(xo)-' Если дополнительно предположить, что функция F имеет в некоторой окрестности точки (х0, у0) частную производную •' В этом случае говорят также, что уравнение F (х, у)=0 однозначно разрешимо в окрестности V (х0, уо) = {(х, у): х ев U (х0), у е= U (уо)\ точки (*oi Уо)'
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 31 Fx(x, у), непрерывную в точке (х0, у0), то функция f(x) также имеет в точке х0 производную и для нее справедлива формула е /„ \ Рх (хо< у.-) / (Хо) = — р—г- —г. Доказательство. В силу непрерывности функции F(х, у) в некоторой окрестности точки (хо, у0) и непрерывности частной производной Fy(x, у) в точке (х0, у0), существует прямоугольная окрестность U(x0, уо) = {( \у-уо\<ц} s: точки (х0, Уо), в которой сама функция F (х, у) непрерывна, а значения частной производной Fy (x, у) имеют тот же знак, что и ее значение в точке (х0, у0). Поэтому при каждом фиксирован- фиксированном хе(х0 —I. хо + 1) функция ф(г/)~/г(х, у) дифференцируема на интервале (у9 — г), у0 + ц), а ее произ- производная ф' (у) = Fy (x, у) сохраняет постоян- постоянный знак. Следовательно, функция ф(г/) строго монотонна на указанном интервале. Таким образом все условия леммы для функции F (х, у) в построенной прямо- прямоугольной окрестности U (х0, у0) выполнены. Следовательно, существуют окрестности U (хо) = (х0—б, х0 + б), U (г/о) = (Уа—?,Уо + е) и единственная функция y = f(x), определенная на V (х0), такие, что при каждом x^U(х0) имеют место включение f(x)^U(y0) и равенство F (х, /(*)) = 0, причем функция / не- непрерывна в точке х0. П g 1 1 Рис. 151 р 0 Поскольку для каждой точки (х, у), для которбй ( у <^U (г/о), существует ее прямоугольная окрестность U (х, у), содержащаяся в прямоугольной окрестности U0(x0, Уо) = {(х, у):\х-хо\<8, \у-Уо\<ъ} (рис. 151), то для U (х, у) также выполняются все условия леммы. Следовательно, в силу единственности решения }(х) уравнения F (х, у) = 0 в окрестности Uo (x0, у0) согласно той же лемме функ- функция y — f(x) непрерывна в каждой точке хе(/(х0). Докажем теперь последнее утверждение теоремы. В силу непрерывности частных производных Fx и Fy в точке (х0, у0), функция .F дифференцируема в этой точке: F(xo + Ax, yo + &y)-F(xo, г/0) = = ?*(*>, yo)&x+Fy(xo, ув)Ау + г1Ах + е2Ау, D1.2)' где limei^lim е2 = 0, р = р-,0 р->0 + Ау*.
32 § 41. Неявные функции Возьмем в формуле D1.2) Тогда в силу условия F (x, f (х)) = 0 получим F(xo + Ax, yo + Ay) = F(xo + Ax, f (х0 + Ах)) = О, и так как F (х0, уо) = О, то из D1.2) имеем Fx(x0, Отсюда Пусть теперь Ах->0; тогда, в силу непрерывности функции f, Ау-*-О, а, значит, при Ах->-0 имеем р = у Ах2 + Аг/2->0, откуда следует, что в формуле D1.3) lim ex= lim s2 = 0. Поэтому при Ад:->0 предел правой части равенства D1.3) существует и равен — г.,*0' •. (напомним, что Fy(x0, уо)ф0), следовательно, при Ах->-0 существует и предел левой части, т. е. существует произ- производная Замечание. Если функции Fx и Fg непрерывны в окрестно- окрестности Uo (хо, г/о) точки (х0, г/о), то производная /' непрерывна на интервале U (х0). Действительно, применив формулу D1.4) к произ- произвольной точке jtet/(x0) получим »/„ч FAx, f(x)) I W- Fy(x, f(x))' откуда по теореме о композиции непрерывных функций вытекает непрерывность функции /' (х) на U (х0). Аналогичным образом вводится понятие неявной функции, определяемой уравнением F(xu .... хп, </) = 0, D1.5) а также формулируется и доказывается теорема, аналогичная тео- теореме 1. Для того чтобы получить ее формулировку, достаточно лишь в формулировке теоремы 1 под х понимать точку п -мер- -мерного пространства, х = (хъ .... хп) е R", ¦ в частности xl°> == — ^л,- , ..., хп ). Теорема 1'. Пусть функция F(x, y)=sF(xt, ..., хп, у) непре- непрерывна в некоторой окрестности точки (х@\ у10)) и имеет в этой окрестности частную производную Fy, непрерывную в точке (х@), г/01). Если F(x^0>, /yi°») = 0, a Fy(x{0\ у(О))ф0, то найдутся такие
41.1. Неявные функции,' определяемые одним уравнением 33 окрестности Uх и Uy соответственно точгк х{0) и у'а\ что для каждого x^U (х) существует, и притом единственное, решение it f (y\ f /y* Y \ f~~ 11 zf — / \л/ — / vAl* • • • t Ал/ ^= *-* у уравнения F(x, y) = 0*\ причем это решение y = f(x) непрерывно на Ux и #<°' = /(jt@;). Если, кроме того, в некоторой окрестности точки (*1°), г/<°>) существуют все частные производные Fx., непрерывные в точке (х^0), t/@)), то в точке х@) существуют и частные производ- производные fx.t /=1, 2, .... п, причем если частные произ- производные FXjt i = 1,2,..., п, и- Fy непрерывны в окрест- окрестности точки (лг(°>, у<0)), то частные производные fx су- существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки х{0}. При этом формулы для частных производных не - явной функции, определя- определяемой уравнением D1.5), имеют вид дР ду_ __ _ dxj dxi OF ' ~df Рис. 152 1 = 1,.2, ..., п. Упражнения. 1. Сформулировать условия, при которых функция f(x), определяемая уравнением F (х, у) = 0 (теорема 1), имеет в точке {*„, уа) непрерывные производные до п-го порядка включительно. Найти формулы для Г(ха) и/"'(«о). „ 2. С помощью теоремы 1 и ответа на предыдущие упражнения найти достаточные условия существования функции х = <р(у), обратной к y=f(x) и имеющей в точке у0 непрерывные производные до n-го порядка включительно. Доказать, что I/'WP' I/'WP ~ -~ 3. Найти ~ и -~, если у—функция, определяемая уразнсннем cos x^Aj-xy—2. *' На рис. 152 изображен случай, когда п=2 и окрестность Ux прямо- прямоугольная. 2 Кудрявцев Л. Д. т. 2
34 § 41. Неявные функции 41.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости систем урав- уравнений, введем некоторые новые понятия. Пусть #" —я-мерное евклидово пространство, точки которого будем обозначать через х = (хъ ..., хп), R^ — m-мерное евклидово пространство, точки которого будем обозначать у = (у\, ..., ут)> a Rxy' — (п + т)-мерно? евклидово пространство точек (xi У) = (х±, ..., хп, Ух, ..., ут). Определение 1. Пусть AaR" и В cz R™. Множество точек (х, у) пространства R п+т ху таких, что хе А и лей, называется произведением*) множеств А и В и обозначается Лх?(см. п. 1.2*). Та- Таким образом, Примеры. 1. Если А = Rn, В = ¦)П+т Рис, 153 3. Пусть х{0) = ность точки х<0); 2. Пусть п = 2 и Л —круг; т=\ и В — отрезок. Тогда Ах В — прямой круговой цилиндр (рис. 153). ...140))^"иЛ = Р(^0);61)...,бя) = 1 = 1, 2, ..., /?} —прямоугольная окрест- пусть у /=1, 2, моугольная окрестность точки у<°К Тогда (X, у). |ДС, Xi |<^Uf, / — I, Z, ..., П, yj-у'Г бь .... бя, и В = т} — пря- D1.6) является прямоугольной окрестностью точки (х'0', у^0'). Очевидно и обратное: поскольку всякая прямоугольная окре- окрестность точки (xw, г/@>) записывается формулой, стоящей в сере- середине равенства D1.6), то она всегда может быть представлена как произведение прямоугольных окрестностей точек х@) и г/<°). Упражнение 4. Доказать, что если множества Лс/?" и В cz Rm являются открытыми множествами соответственно в пространствах #" и R™, то и их произведение АХВ — открытое множество в пространстве *' Применяется также термин декартово произведение.
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 35 41.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим условия, при которых система уравнений /Г, /у f/\ — С) 1 — 1 О m y t— &?i ii ***~~ Dm {Л 1 7\ "i \Х> у) — и, » — 1, ?> • • • > '•*, л fc= /\ , j/ ^ i\ , (,т 1 • ' 7 или, подробнее, * 1 (-^li • • ¦ ) Хп, У\, .. . , ут) — U, F2(xlt .... хп, уъ ..., ут) = 0, D1.8) однозначно разрешима относительно уъ .,., ут в некоторой окре- окрестности точки {х@\ г/'01), в которой Ft (х^°\ г/'0)) = 0, t = 1, 2, ..., т. Определение 2. Пусть задана систгма функций щ — щAъ .... tn), i=\, 2, ..., т, имгющих в некоторой точке /@) все частные производные первого порядка. Тогда матрица, составленная из частных производных этих функций в точке №\ или, короче, II dui [1 . , II оту II dt, диг ж дит dtx , 2, dt2 ди2 dtt дит dt2 ..., dtn ди2 dtn дит ••• dtn т, j = назызается матрицей ^коби*) данной системы функций. Если т = п, то определитель матрицы Якоби называется опре- определителем Якоби, или якобианом, системы функций иъ ..., ип по переменным tlt ..., tn и обозначается следующим образом**) ип) Мы увидим в дальнейшем, что якобиан системы функций есте- естественным образом возникает в различных вопросах теории функ- функции многих переменных. Прежде чем перейти к изложению основной теоремы, кратко поясним на простом примере (не оговаривая все детали) идею ее *' К. Якоби A804—1851) —немецкий математик. D(«i, .... и„) **' Применяется также обозначение 2»
36 §41. Неявные функции доказательства и покажем, каким образом в ее условиях возникает якобиан рассматриваемой системы. Пусть в какой-то окрестности точки (х0, Уо,-г0) заданы непрерывно дифференцируемые функции F и Ф, причем F(x0, Уо. •?<,) = О, Ф(х0, г/о. ?о) = 0. Допустим, что необходимо решить систему уравнений F(x, у, z) = 0, Ф(х, у, г) = 0 в некоторой окрестности указанной точки, найдя из нее перемен- переменные у = у(х) и z = i|j(x), как такие непрерывные функции ф и ife переменной х, что ц>{хо) = уо, ^(хо) = го. Разрешив для этого, например, первое уравнение относительно z, получим г = /(х, у). Подставив это выражение во второе уравнение и разрешив его относительно у, будем иметь у = ср(х). Полагая ф (х) — / [х, ц>(х)], получим искомое решение: Возникает, конечно, вопрос о том, при выполнении каких условий возможно проделать указанные операции, или, точнее, когда существуют и однозначно определены все вышеупомянутые функции. (Естественно, при этом надо выяснить, где, т. е. для каких значений переменных хну, определены эти функции? Этот вопрос мы сейчас не будем подробно анализировать, чтобы не отвлекаться от основной идеи. Он будет рассмотрен при дока- доказательстве теоремы 2 этого пункта.) Для того чтобы одно из данных уравнений, например первое, было разрешимым в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0) отно- относительно переменной z, достаточно, чтобы (см. теорему Г в п. 41.1) д^0' фО. Если z — f(x, у) — соответствующее решение, то, для того чтобы уравнение, получающееся в результате подста- подстановки этого решения во второе уравнение, Ф[х, у, f(x, у)] = 0 было разрешимым относительно переменной у, достаточно, чтобы полная частная производная по у левой части получившегося равенства не обращалась в нуль в точке (х0, у0), т. е. чтобы в этой точке дФ . дФ df ду ' дг ду Но согласно п. 41.1, dF df _од_ OF дг
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 37 следовательно, подставляя это выражение в предыдущее неравен- неравенство, получим, что условие разрешимости можно записать в виде" d.(F, Ф) dF дФ dF дФ , Л . д(у,г) ^-ду-Ж-WW^0 В Т0ЧКе (*0' Уо' 2о)' Из этого условия, очевидно, вытекает, что в точке (х0, у0, z0) либо-^— фО, либо "зг^О. т- е- одно из заданных уравнений разрешимо относительно г. Таким образом, для заданной системы уравнений неравенство нулю в точке (х0, у0, г0) якобиана Л ' обеспечивает существо- существование в некоторой окрестности точки (х0, Уо. z0) решения вида Сформулируем теперь основную теорему этого пункта. Теорема 2. Пусть функции Ft(x, у) = F,-(xlt..., х„, уи ..., ут), 1=1, 2, ..., т, непрерывно дифференцируемы в некоторой окре- окрестности точки (jew, «/(<»), где *<°> = (х[°\ .... х^01), у^ = (у[0>, ... .... у™). Тогда если F«(^°>, y^) = 0, t = l, 2, .... m, и если в точке (х<0), г/@)) якобиан Л ъ '"'—~ не равен нулю, то най- найдутся такие окрестности Ux и Uy точек х@> и у@> соответственно в пространствах R" и R™, что для каждого x^Ux существует единственное решение системы уравнений D1.7): У = Д*) = {Л = Ы*1. ••••. хя), k=l, 2, ..., т}*), причем функции fk(x), k=l, 2, .... m, образующие это решение, непрерывно дифференцируемы на Ux и /:(х'0|) = «/@>. Таким образом, если выполняются предположения теоремы, то условие Fi(x, t/) = 0, i = l, 2, .... т, (x,y)<=UxxUy эквивалентно условию y = f(x), хе(/я У^иу. *» Система функций fk(xu ..., х„), k=l, 2 т обозначена одним сим- символом / (х), поскольку она задает определенное соответствие: точкам некоторого множества пространства #" указанная система функций ставит в соответствие определенные точки пространства R™, или, как говорят, отображает указан- указанное множество пространства R" в пространство R™,
38 § 41. Неявные функции Доказательство. Прежде всего заметим, что.утверждение: решение y = f(x) системы уравнений D1.7) удовлетворяет усло- условию f(x@)) = yt0), очевидно, непосредственно следует из утверж- утверждения о единственности решения y — f(x)^Uy при хе^и усло- условий Fi(x(°\ #W) = 0, /=1, 2, .... m, jci°>et/,, yw^Uy. Для доказательства теоремы применим метод математической индукции. Для случая одного уравнения, т. е. когда т=1, тео- теорема была установлена нами в п. 41.1. Пусть теперь она верна для т— 1 уравнений (т>1). Докажем, что тогда она имеет место и для т уравнений. Покажем сначала, что каждое из уравнений D1.8), например последнее Fm\xU •••) хп> Уи •¦•> */яг) = 0, можно разрешить в окрестности точки (х'°\ г/W) по крайней мере относительно одного переменного. Действительно, по условию теоремы, в точке (х@), у{0)) d(Pj, .... Fm) д(Уъ •¦-. Ут) dyi дУ dF dFn а поэтому в этой точке хотя бы один элемент последней строчки определителя Якоби отличен от нуля. Пусть для определенности это будет последний элемент: afm(r>y"") 'ф.о. Отсюда в силу теоремы Г п. 41.1 следует, что уравнение Fт (х, у) = 0 может быть разрешено относительно ут в некоторой окрестности точки (х0, у0). Сформулируем это более точно. Обо- Обозначим через U окрестность точки (х@), г/@)). в которой функции Fit i = l, 2, ..., т, непрерывно дифференцируемы, и положим дМ=(уъ ..., ут_х). Тогда найдутся прямоугольная окрестность 1/т+п-1 Трчки (*'\ §(«)) = «,..., хТ, уТ, .... C-i) D1^) и окрестность Vх точки у'т такие, что f/m+"-1Xt/1 с: t/, и суще- существует единственная определенная на ит+п'г функция Ут = ф(*а, ..., Хп, У! Ут-г), D1.10) удовлетворяющая следующим условиям: если (х, у) = {хъ ..., хп, Уи ,.., Ут^)
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 39 ТО ф(*. 3) = ф(*1. •¦•> х„, уъ .... ym^)eEUl, D1.11) fm(*i, -.., X», #1, .-., Ут-1, 4>(JC, 0)) = О. D1.12) Кроме того, согласно той же теореме Г, функция ф(х, у) непре- у) непрерывно дифференцируема на (Jm+n-1 и !С. D1.13) При этом если (х, y)^Um+n~1 и ym^U1, то система D1.8) экви- эквивалентна системе *Н*. */) = °. /=1. 2, ..., m-1, . ,41 14) Ут = Ч>(х, У). Подставим в первые т— 1 уравнения системы D1.14) выражение D1.10). Тогда, введя обозначение ..., хл, уи ..., ^„,-0), г=1, 2, .... m-1, D1.15) получим следующую систему т— 1 уравнений с т-\-п — 1 неиз- неизвестными: D1Л6) Фт-1 (*1, • • •. Хп, уи ..., ym-i) = 0. При этом для (х, у) е U^"-1, ym e t/1 система уравнений Фу(х, g)=0, / = 1, 2, .... m-1, D1 17) эквивалентна системе D1.14). Покажем, что система D1.16) удовлетворяет условиям, отли- отличающимся от тгх, которым удовлетворяет система D1.8), только тем, что т — \ замгнено чгрез т. Действительно, функции Фк, k=l, 2, ..., in — 1, непрерывно дифференцируемы в окрестности f/m+n-i как композиции непрерывно дифференцируемых функций. Из условий F,-(jt<°\ ^0)) = 0, i = l, 2, ..., т, и D1.15), D1.13) сле- следует, что Ф*(*(о), у@)) = 0, k = l, 2, ..., m-1. Докажем, что в точке (х<0>, yW) (см. D1.9)) д(Фь ..., Фт,г Для этого предварительно заметим, что из D1.10) и D1.15) сле- следует, что p.= *fL + ^*L, i,k=l,2 m-1, D1.18)
40 § 41. Неявные функции а из D1.12) —что дУт ¦ = 0, k=\, 2, .... ,7i-l. D1.19) Теперь в определителе Л ь '"'—^- к &-му столбцу приба- Q \Уъ ¦• • » Ут) вим последний столбец, умноженный на ~_, k = l, ..., /и—1, от чего, как известно, значение определителя не изменится. Поэтому, использовав D1.18) и D1.19) и разложив получившийся определитель по элементам последней строки, получим д(Flt ..., Fm) ъ .... Ут) (*«>», у<°>) ду - + Эф _1 I dFn дУт dFm ^ ду„. дут ду„, дУт-i дУт 0 ^L dFm (*'0). Уш>) ду д(уи ..., и так как левая часть равенства отлична от нуля, то отлична от нуля и правая, откуда д(У1 Ут-д В силу выполнения для функций Ф,, i— 1, 2,..., m— 1, усло- условий, аналогичных условиям для функций F{, / = 1, 2, ..., т., и согласно предположению индукции система уравнений D1.16) однозначно разрешима относительно переменных уи ..., ут^ в некоторой окрестности точки (xw, ^@))- Точнее, пусть Um+n-1 — прямоугольная окрестность точки (х@\ р^0)), полученная при раз- разрешении уравнения Fm = 0- относительно переменной ут. Разложим ее в произведение прямоугольных окрестностей U'x и V^ точек х<°) = (>;'/", ..., х'п) и y'i' = (y'i', ..., y'm-i) соответственно в про- пространствах R1 и R?-1 (здесь у = (уъ .... Ут^)): V-1 = V'xxU~. Тогда существует окрестность UxczUx точки л:*0', окрестность
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 41 Uу с V7/ точки у<0) и единственная система функций .'..'. .V. D1.20) Ут-1 — Тт-1 \Х) — lm-\ (хи • • • » Хп), определенных на множестве Ux и удовлетворяющих следующим условиям: если х е Ux, то (/,W- ..-, /m-!(*))e?/~. D1.21) и на Ux функции D1.20) непрерывно дифференцируемы и >удов- >удовлетворяют системе уравнений D1.16): ®i(xi, .... хп, fx(x), ..., /m-i(x)) = 0, t==l, 2, ..... т-\. D1.22) Важно заметить, что в силу единственности решения D1.28) системы D1.16) при х е Ux, у ei/- и ут е U1, система уравнений Уь = Ь(х), ^k = l, 2, .... га-1, ^к23) эквивалентна системе D1.17). Подставляя выражения D1.20) в D1.10) получим фугящию от х, определенную на Ux; обозначим ее через /т: .-., Xn, U(X), .... /m) DК24) Покажем, что система функций Uk = fk(xi, ..., xn), k = l, 2 m, D1.25) (см. D1.20) и D1.24)) и является искомой системой функций, удовлетворяющей требованиям, сформулированным в теереме. В самом деле, пусть Uy^U-xU1', тогда если jce(/,, то в силу D1.21) и D1.11) /(х) = (ЛD .... fm{x))^Uy. Из D1.15), D1.22), D1.24) и D1.12) следует, что F;(x, /(x)) = 0, t = l, 2, ..., яг, для всех x^Ux. В силу теоремы Г и предположения индукции функции D1.10) и D1.20), а поэтому и функция D1.24) непре- непрерывно дифференцируемы. Таким образом, доказано, что отображение f(x), задаваемое функциями D1.25), является непрерывно дифференцируемым решением системы уравнений D1.8) на множестве Ux, причем если х е Ux, то у = / (х) е Ug. Отметим еще, что если х е U~, то система D1.25) эквивалентна системе D1.23). Остается доказать единственность решения системы уравнений D1.8). Для доказательства изобразим проделанные в процессе доказательства переходы от одних систем уравнений к другим,
42 § 41. Неявные функции им эквивалентным, т. е. имеющим в точности те же решения, системам в виде схемы следующим образом: Ft(x, y) = 0, i=l, 2 т, О Fj(x, у) = 0, /=1, 2, .... т-1, Ут = Ч>(х, у). 0 Фу (х, y) = Fj (х, у, Ф (х, у)), /= 1, 2, ..., т- 1, Ф,(х, #) = 0, / = 1, 2, ..., т-1, *Лп = ф(*. #)• ¦ О yj = fj(x), / = 1, 2, ..., т-1, ( ) 0 yi = fi(x), t = l, 2 т. Двойные стрелки обозначают эквивалентность рассматриваемых систем уравнений, которая имеет место во всяком случае для х е Ux, у ^иу. Из этой эквивалентности и следует единственность решения D1.25) системы D1.8) в рассматриваемых окрестностях, откуда, как было отмечено выше, в силу условия Ft (x{0), г/@)) = 0, i = l, 2, ..., т, вытекает, что f (x{0)) = yw., Q Доказанная теорема о неявных функциях является одной из основных теорем математического анализа и имеет много разно- разнообразных приложений в различных его разделах. С некоторыми из них мы познакомимся в последующих частях нашего курса. Она является «чистой теоремой существования»: ни из ее форму- формулировки, ни из приведенного ее доказательства не следует, вообще говоря, никакого конкретного метода для решения системы D1.8). Например, если все Fk, k = 1, 2, ..., m в указанной системе урав- уравнений являются элементарными функциями, то, следуя схеме доказательства теоремы, вообще говоря, не удастся «найти в явном виде» все те функции, существование которых использовалось при проведении указанного доказательства, и получить решение системы так же в виде элементарных функций. И в действительности в этом случае решение системы уравнений D1.8), которое существует в силу указанной теоремы, не является, вообще говоря, набором элементарных функций (даже если эта система состоит из одного уравнения). Конечно, если функции Fk элементарные и, следовательно, задаются некоторыми формулами, то решение системы D1.8) может быть найдено с любой степенью точности, т. е. принципиально с любой степенью точности можно составить таблицы значений этих решений. Фактическая же точность, с которой вычисляются решения, определяется, конечно, конкретной целью, для которой решается рассматриваемая система. Сама теорема 2 в этом случаа
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 43 дает объективную уверенность, что проводя правильно соответ- соответствующие вычисления, мы действительно вычисляем искомое реше- решение системы. Мы не будем останавливаться на численных методах решения систем уравнений; лишь некоторые вопросы численного решения уравнений рассмотрены в «Добавлении» в конце этого тома. Существенным является также то обстоятельство, что теорема 2, как и вообще теоремы подобного типа, дает качественные методы в данном случае для изучения свойств решений системы урав- уравнений. Интересно отметить, что частные производные решения системы D1.8) при выполнении условий теоремы 2 легко выражаются в явном виде через частные производные функций Fk, k = 1, 2,..., m. Действительно, чтобы найти частную производную ~, надо про- OXi дифференцировать равенства D1.8) по xt, считая их тождествами по xlt..., х„, т. е. подставив в них их решения yj — у}-(хъ ..., хп), / = 1, .... tn. Тогда получим Эта система уравнений, линейных относительно ^—, в силу того, что в рассматриваемой точке ее определитель не равен нулю: d(Fly ..., Fm) Q д(У1 Ут) - ' имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено, например, по правилу Крамера*'. Если нужно найти все производные —, i = l, 2,..., га, / = 1, 2, ...,/п, то целесообразно вычислить дифференциалы обеих частей указан- указанных выше тождеств D1.8). Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, получим Эта система линейных относительно dy\, ..., dym уравнений в силу того же условия А,1' '"' „"V Ф 0 имеет, и притом един- *' Г. Крамер A704—1752) —швейцарский математик.
44 § 41. Неявные функции ственное, решение. Если его найти, то коэффициент при йх{ в выражении для dy/ и будет частной производной ~. Оба эти метода применимы и для вычисления производных высших порядков функций yf(xu .... хп), являющихся решениями системы уравнений D1.8) (например, в предположении, что все функции Fk, k=l, 2, ..., т, имеют соответствующих порядков непрерывные производные). Применяя метод дифференциалов, следует, конечно, помнить, что дифференциалы порядка выше первого в случае, когда они выражаются через дифференциалы функций, имеют более сложный вид, чем когда они выражаются только через дифференциалы независимых переменных (см. п. 21.2). Производные высших порядков функций t/j (хи .... х„) можно получить последовательным дифференцированием и из выражений для первых производных ^, найденных по формулам Крамера из указанной ранее системы уравнений OFtdyj dy,Wi~y)t R-i, г, ..., т, /= i в виде отношения двух определителей. Это отношение можно дифференцировать столько раз, сколько раз дифференцируемы функции Fk, k=\, ..., т. При этом, если все производные функ- функций Fk, k=l, ..., m, до порядка г включительно непрерывны, то будут непрерывными и все частные производные функций У/(хи ..., хп), / = 1, .... т, до того же порядка г. Множество (называемое также часто классом) всех г раз непре- непрерывно дифференцируемых в области G функций обозначается через Cr(G). Таким образом: если, дополнительно к условиям теоремы 2, Fk е Сг (?/), k = 1, ..., т, где U — некоторая окрестность точки (х^0), #@>), то решения y/ = yi(xu •••, хп) системы уравнений D1.7) также принадлежат классу Cr(Ux) в некоторой окрестности Ux точки дг*0'. Упражнения. 5. При каких условиях, налагаемых на f и на g, урав- уравнение y = xf (z)+g(z) определяет, в некоторой окрестности U точки (х0, уа), функцию г (х, у) е С2 ({/)? Доказать, что если эти условия выполнены, то для всех (х, y)<=U 6. Дана система уравнений Найти условия, налагаемые на функцию /, при которых эта система опреде- определяет в некоторой окрестности U точки (дг0, у6), функции и — и(х,у), v = v(x, у) класса CL(U). Доказать, что в этом случае и^й = и всюду в и.
41.4. Отображения 45 41.4. ОТОБРАЖЕНИЯ В этом пункте будут изучаться отображения /: Е-> Rm, Е a Rn, т. е. такие соответствия, которые каждой точке x = (xi, ..., хп) множества Е, лежащего в л-мерном арифметическом точечном про- пространстве Rn (см. п. 18.1) ставят в соответствие точку у —(уъ ..., ут) пг-мерного арифметического точечного пространства Rm. Таким образом, /: (хи ..., хп) •—*• (уъ ..., ут), (хи ...,х„)^Е. Очевидно, что задание такого отображения / равносильно заданию т функ- функций fj-.E-yR, таких, что /у : хi—>-yJt j = 1, .... т, ie?, yj^R. Эти функции fj(x)^fj(x1,...txn), i=l,2,....,m, x^E, D1.26) называются координатными функциями отображения f и пишется f=(fu...,fm). На рассматриваемые отображения обобщается понятие непре- непрерывности. Определение 3. Отображение f:E-*-Rm, EczRn, называется непрерывным в точке х^°> е Е, если для любой окрестности V (w) точки y{0) = f (х°) существует такая окрестность U (х@)) точки что Поскольку в любой окрестности точки *' содержится ее сфери- сферическая окрестность, то это определение равносильно следующему. Отображение f: E->Rm, E cRn, называется непрерывным в точке х^°> е Е, если для любой г-окрестности точки yW = j:-(jr<°)) существует такая Ь-окрестность точки х{0\ что f(U(x(°\ d)(]E)cU(yW, e). Это, в свою очередь, с помощью неравенств можно перефра- перефразировать следующим образом. Отображение f:E-*Rm, EcRn, называется непрерывным в точке х@> е?, если для любого е>0 существует такое 6>0, что для всех точек х^Е, удовлетворяющих условию р (х, х@)) < б, выполняется неравенство Можно сформулировать определение непрерывности и в тер- терминах последовательностей. Определение 3'. Отображение f:E->Rm, EczRn, называется непрерывным в точке х@) ее Е, если для любой последовательности *' Напомним, что окрестностью точки называется любое открытое мноэке- стбо, содержащее эту точку (см. определение 14 в п. 18.2).
46 § 41. Неявные функции , k=l, 2,..., такой что lim д<*>=лг<°>, имеет место fc->co Равносильность этих двух определений доказывается анало- аналогично тому, как это было сделано для равносильности определе- определений предела функций по Коши и по Гейне. Проведем это дока- доказательство. Пусть отображение / непрерывно в точке jc@) в смысле опре- определения 3, *(*> е Е, k = 1, 2, ... и lim *<*> = *<•>. D1.27) ft-юо Зададим е>>0. Для него существует такая б>0, что при ге?, р(х, х@))<6 выполняется неравенство р (/(*),/(д:@))<е. В силу условия D1.27) существует такой номер k0, что для всех k^k0 имеем*<*>et/ (jci°>, б), а следовательно и p(/(xw), /(х@)))<е. Это и означает, что lim f(*i*>) = /(х<°>). ft-» со Пусть, теперь, отображение / непрерывно в точке х@) в смысле определения 3' и пусть условия определения 3 не выполнены, т. е. существует такое ео>О, что для любой 6>0 существует такое xt,^U(x(°\ б)(]Е, для которого р(/(х6), /(х@)))^е„. Взяв последовательно б = -г-, й=1, 2, ..., и положив для краткости х(*> = х1/ь получим xi*)e{/(#, т)п?» Т: е< р(;с(А)' х@))<Т- Следовательно, lim x^ = xw их(*>е?;однакор(/(д;(*')>/(х(О)))^ео ft->oo и, таким образом, последовательность {/(д;(*>)} не имеет своим пределом точку f(x(Q)). Полученное противоречие доказывает сде- сделанное утверждение. Q Лемма 1. Отображение f—(f1,...,fm):E->Rm,EczRn, непре- непрерывно в точке д:@) тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все координатные функции /ь ..., fm. Доказательство необходимости. Пусть отображение/ непрерывно в точке х(°> е= Е, «/<°> = (у\*\ .... у'%) Й f (*«»). Согласно определению 3, для каждой окрестности V (у@)) точки у'0), в част- частности—для каждой ее кубической окрестности (см. п. 18.1) Р(У{0\ е) = {у:\У1-у?'\<в} существует такая окрестность U (х^) точки х<°>, что f(U(x^)(]E)czP(yW, г). Следовательно для всех xet/(x@))f]? выполняются неравенства \Ь(х)-у'П<г, /=1,2 т.
41.4. Отображения 47 Это и означает, что все координатные функции Д, ...,/„, непрерывны в точке х@). Доказательство достаточности. Пусть все коорди- координатные функции fi,--.,fm непрерывны в точке х<°> е Е, у{0) = = (г/10), •¦¦, ym) = f\xw) и задана окрестность V (г/(о>) точки г/°>. Тогда существует такое е>0, что е-кубическая окрестность Р(у[0\ е) точки г/@* содержится в V (г/@)) В силу непрерывности каждой функции /у, / = 1, 2, ..., /и, в точке х*0' существуют такие окрестности U/ = U (х@)), что при х е У/ П ^ выполняется неравенство D1-28) Положим U=^\Uj. Тогда U, как пересечение конечного числа открытых множеств Uj, будет открытым множеством, причем, поскольку все Uj содержали точку xS0), то U также содержит ее. Таким образом, множество U является окрестностью точки х**К При этом, если xe.U(]E, то при всех / = 1, 2, ..., ш выпол- выполняются неравенства D1.28). Это означает, что f(x)<=P(yW, e), а следовательно, f(x) s V (yw). Итак, для произвольной окрест- окрестности V (у{0)) найдена такая окрестность U точки xw, что D Лемма 1 в частности показывает, что определения непрерывных отображений отрезка, данные при рассмотрении понятия кривой в п. 16.1 (для случая отображений отрезка в трехмерное про- пространство) и в п. 18.2 (для случая отображения отрезка в произ- произвольное га-мерное евклидово пространство) как отображений, коор- координатные функции которых непрерывны, равносильны определению непрерывных отображений отрезка, как таких отображений, кото- которые в каждой точке отрезка удовлетворяют условиям определения 3 этого пункта. Отображение: f:E->R™, E cz R", называется непрерывным на множестве Е, если оно непрерывно в каждой точке множества Е. Лемма 2. Отображение f открытого множества пространства R" в пространство R™ непрерывно на этом множестве тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества простран- пространства R™ при отображении f является открытым множеством пространства R". Доказательство необходимости. Пусть / непрерывно отображает открытое множество бсЙв пространствоR™ и пусть
48 § 41. Неявные функции U — открытое множество пространства R'y : U cz R™. Покажем, что прообраз ^(U) этого множества — открытое в пространстве R'i множество. Если множество f^1 ((/) пусто, то утверждение очевидно, так как пустое множество открыто. Пусть множество f~x(?/) не пусто, т. е. существует точка х(о) е f-i (t/) и, следовательно, / (х<0)) е О. Поскольку U — открытое множество, то оно является окрестностью точки г/°>=/(х@)). Поэтому, в силу непрерывности отображения/ в точке х<0) (см. опре- определение 3'), существует такая окрестность Ux этой точки, что / (Ux П G) с: U, следовательно, Ux f) G с: f'1 (V). Поскольку мно- множество LJX (] G, как пересечение двух открытых множеств Ux и G, является открытым и х<0> е Ux f] G, то х@) — внутренняя точка множества f~x(JJ). Таким образом, каждая точка прообраза открытого множества U является внутренней точкой этого прообраза, значит, он.— откры- открытое множество. Доказательство достаточности. Пусть / — отображе- отображение открытого множества G пространства R" в R™ и пусть при этом отображении прообраз каждого открытого в пространстве #™ множества является открытым в R" множеством. Пусть х<°> е G. Покажем, что отображение / непрерывно в точке х{°К Пусть Uу — некоторая окрестность точки у{0) = / (х(°>). Поскольку прообраз /-1 (Uy) открытого множества Uy является, по предполо- предположению, открытым множеством и, очевидно, xw e f~x (Uy) cz G, то множество Ux = f-~1(Uy) является окрестностью точки х@), причем f{Ux) = Uy. Отсюда непосредственно и вытекает непрерывность отображения / в точке х^ (см. определение 3). Q Пример. Рассмотрим отображение /:/?2->/?, заданное фор- формулой f(x, */) = — +-р— 1- Согласно лемме 2 прообраз откры- открытого множества (—оо, 0), т. е. множество точек (х, у), удовлет- удовлетворяющих неравенству ~ + ¦— ¦< 1 (и, следовательно, составляю- составляющих внутренность эллипса), а также прообраз открытого множества @, -j- оо), т. е. множество таких точек (х, у), что —г + -гг>1 (эти точки образуют внешность эллипса), являются открытыми множествами. •Вообще, если f:Rn-+-R — непрерывная на Rn функция, то для любого числаaefi множества {х:/(х)¦<а, х е Rn\ и {х:/(х)>а, л: е i?"} являются открытыми множествами как прообразы открытых множеств (—оо, а) и (а, + оо). Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывных на компактах функций и достижимости этими функциями их нижних и верхних граней обобщается и на случай непрерывных отобра- отображений. Более точно — справедливо следующее утверждение.
41.4. Отображения 49 Лемма 3. Пусть /: Л -v Rm, A cz R" — непрерывное отображение компакта А в пространство Rm. Тогда множество f(A) также является компактом. Короче: непрерывный образ компакта является компактом. Доказательство. Пусть t/-k) е/( Л) —произвольная после- последовательность точек из /(Л). В силу определения образа множе- множества при заданном отображении, для любого k=\,2,... существует такая точка #'ei, что /(х(*>) = г/(*>. Поскольку Л—компакт, то из последовательности {х<*>} можно выделить сходящуюся под- подпоследовательность {*(fc^}, предел которой л:@) принадлежит ком- компакту A: lim x^ = xW<= Л. S->-00 В силу непрерывности функции / в точке х@) имеем >) = /(*«»), т. е. S —»-ОО S—*-ОЭ Таким образом, из любой последовательности точек, принадле- принадлежащей множеству /(Л), можно выделить сходящуюся, предел которой принадлежит этому множеству. Это и означает, что /(Л) —компакт. ? Замечание. Из леммы 3 следует доказанная ранее теорема о достижимости нижней и верхней граней действительной функ- функцией, непрерывной на компакте (см. п. 19.5). В самом деле, согласно лемме 3, множество значений такой функции является компактом на числовой прямой, а всякий компакт на числовой прямой имеет конечные минимальную и максимальную точки. Это следует из того, что компакт — ограниченное множество и, следовательно, имеет конечную верхнюю (нижнюю) грань, которая в силу своего определения является точкой прикосновения мно- множества. Поскольку компакт замкнут, то она ему принадлежит и является, очевидно, его максимальной (минимальной) точкой. Обобщается на случай отображений и понятие равномерной непрерывности. Определение 4. Отображение f множества Е cz R" в прост- пространство R™ называется равномерно непрерывным, если для любого е>0 — существует такое 6 = 6(е)>0, что для любых' точек х' е Е и х"^Е, удовлетворяющих условию р(х', х")<д, выпол- выполняется неравенство р (/(*')> /(-^"))<е- Для отображений имеет место и утверждение, аналогичное теореме Кантора (см. п. 19.6) для непрерывных функций. Лемма 4. Непрерывное отображение компакта равномерно непре- непрерывно. Доказательство. Воспользуемся тем же методом, что и при доказательстве теоремы Кантора о равномерной непрерывности действительных функций, непрерывных на компактах (см. тео- теорему 5 в п. 19.5).
§ 41. Неявные функции Допустим, что существует отображение f:A->Rm, AcR", непрерывное на компакте А, но не равномерно непрерывное на нем. Тогда существует такое ео>О, что для любого б>0 най- найдутся точки Хбе Л и x'i^A, для которых имеют место нера- неравенства Пусть б = \, х' (*) М х'т, Х"I*) ?! tf/ftf /е = 1, 2 Поскольку Л —компакт, то из последовательности {х'^>} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {x'(k^}, предел х@> которой содержится во множестве A: lim yW = #ei При этом из >-0 при следует, что подпоследовательность {я'^} второй последователь- последовательности {х"(Ь)} также сходится к точке х@). Теперь заметим, что из непрерывности отображения / в точке*'0) явствует, что lim / {х'Щ= lim /(х" (к*)) = f (xw), S-»oo s —>oa и так как при s->-oo, то lim p(f(x"(ks))), f(x'(kty) = Q. Это противоречит условию р(/(/Ч /(/Wbe0. Q С помощью доказанных свойств непрерывных отображений можно получить одно полезное для дальнейшего свойство обла- областей (т. е. открытых линейно связных множеств, см. п. 18.2). Сформулируем это свойство также в виде леммы. Лемма 5. Открытое множество является областью тогда и только тогда, когда любые дее его точки можно соединить цели- целиком лежаний в нем ломаной. Доказательство. Достаточность сформулированного усло- условия не требует доказательства. В самом деле, если у некоторого открытого множества G czRn любые две точки можно соединить некоторой ломаной, целиком лежащей в нем, то, поскольку вся- всякая ломаная является кривой (см. п. 16.5), любые две точки множества G оказываются соединимыми в нем кривой, что и озна- означает, согласно определению (см. определение 25 в п. 18.2), что открытое множество G линейно связно, т. е. является областью (см. определение 26 там же).
41.4. Отображения 51 Докажем необходимость условий леммы. Пусть G — область пространства Rn. Рассмотрим точки хей и i/eG. Согласно определению области, существует кривая y~{r(t), a^t^b], соединяющая в G точки х и у, т. е. г(а) = х, r(b) = ynr(t)^G, a^t^b. Кривая у представляет собой непрерывный образ отрезка [а, Ь], являющегося компактом и, поэтому (см. лемму 3), сама будет компактом. Поскольку компакт у не пересекается с замкнутым множеством Rn\G, то расстояние между ними больше нуля (см. лемму 7 в п. 18.2). Следовательно, существует такое число т]>0, что p(v, Ял\С)>т]. Отображение r(t), a^t^b, отрезка [а, Ь], будучи непрерыв- непрерывным, является и равномерно непрерывным (см. лемму 4). По- Поэтому существует такое б>0, что для любых двух точек f e е[а, Ь] и (*е[а, Ь], удовлетворяющих условию \t" — f |<б, выполняется неравенство р(г(О, г(П)<1\. Отсюда вытекает, что для любого разбиения т = {^-}' = о отрезка [а, Ь] мелкости 6t<6 все точки ломаной Хх с вершинами r(tt), г = 0, 1, ..., k, будут содержаться в G. (почему)? Следователь- Следовательно, %х a G. Поскольку началом и концом ломаной Хх являются соответ- соответственно начало и конец кривой у, т. е. произвольно заданные точки х и у из G, то нами доказано, что любые две точки обла- области могут быть соединены ломаной. Ц Пусть теперь EaR", DczzR™, у — f(x) — отображение мно- множества Е в R™, причем f(E)c~.D и z — g (у) — отображение D в R%, т. е. f:E->D, g:D^rRpz. В этом случае имеет смысл ком- композиция g°f :E->Rz, отображающая множество Е с R" в р-мер- ное пространство RZ'(g°f)^g(f(x)), x^E. Отметим, что если отображение f{x) множества Е непрерывно в точке х@> е Е, a g (у) определено в некоторой окрестности точки г/@) = f(x{0)), то всегда существует такая окрестность Ux точки х@\ что на множестве E[\UX имеет смысл композицияg-f. Действительно, пусть Uy — окрестность точки */(°>, на которой определено отображение g{y)\ согласно определению 3 для нее существует такая окрестность Ux, что f{Ux[\E) cz Uy. Очевидно, что для всех точек х ^UX(]E, и имеет смысл композиция g°f. Напомним еще, что, согласно введенной для функций терми- терминологии (см. п. 1.2*), отображение /: E-^-R'y, E cz Rnx называется взаимно однозначным, или инъекцией, если разным точкам мно- множества Е при этом отображении соответствуют разные точки. В этом случае говорят также, что множество Е взаимно одно- однозначно отображается посредством этого отображения на множе- множество f(E), т. е. f:E->f(E) является биекцией. При выполнении
52 § 41. Неявные функции этого условия на множестве f(E) существует однозначное обрат- обратное отображение (обратная функция) /~х (у) = х, где х таково, что f(x) = y. Поэтому f [/ (х)] = х, т. е. это тождественное отобра- отображение (тождественным отображением множества Е называется отображение, которое каждой точке х е Е ставит в соответствие эту же точку). Определение 5. Если отображение f множества Е czR" в про- пространство R™ взаимно однозначно и непрерывно на Е, а обратное ему отображение f-1 непрерывно на f(E), то f называется гомео- морфным отображением, или гомеоморфизмом, а множество f(E) называется гомеоморфным образом множества Е, или, что то же, множеством, гомеоморфным множеству Е. Очевидно, что если / — гомеоморфизм множества Е, то f*1 является гомеоморфизмом множества / (Е). При гомеоморфном отображении открытого множества на открытое образы открытых подмножеств также открыты. Дей- Действительно, если / — гомеоморфное отображение открытого множе- множества G на открытое же множество Г, V — открытое подмножество множества G, W=f(V), то V = f'1(W), т. е. V является образом множества W при непрерывном отображении /~х открытого мно- множества Г и, следовательно, W является прообразом открытого множества V при этом отображении. Поэтому согласно лемме 2 множество W открыто. Рассмотрим теперь композицию непрерывных отображений. Лемма 6. Пусть f:E-*Rm, Е с Rn, g: D ->- Rs, D ZDf(E). Если отображение f непрерывно в точке я@) е Е, a g непрерывно в точке /(.v@))> то композиция g°f также непрерывна в точке х[°К Доказательство этого утверждения может быть проведено ме- методом, аналогичным использованному при доказательстве тео- теоремы 2 п. 5.2 и теоремы 2 п. 19.4, основанном на определении непрерывности в терминах окрестностей. Для разнообразия дока- докажем лемму, исходя из определения непрерывности в терминах последовательности. ¦ Пусть x{k) e E, k— 1, 2,..., и lim xW — х^. Тогда /(#>)eD fc-»oo и,, в силу непрерывности отображения / в точке xi0\ имеем lim /(xW) = /(x(°>). D1.29) fc-»oo В силу же непрерывности отображения g в точке /(х@)) для любой последовательности yW e D, k=\,2,..., lirn y{k) = f (x^) имеет место lim g (y(fc)) = g (f (x<°>)). В частности, в силу D1.29) k —* со при. y(k) = f (x'*')) lim Это и означает непрерывность композиции g°f в точке
41.4. Отображения 53 Упражнение 7. Доказать, что непрерывное взаимно однозначное отображение компакта пространства Rn в некоторое пространство Rm является гомеоморфизмом. В заключение этого пункта определим, что будет пониматься под образом кривой при заданном непрерывном отображении, и докажем лемму о непрерывных образах линейно связных множеств. Пусть f — непрерывное отображение множества Е a R" в про- пространство R%, и Г —кривая, целиком лежащая во множестве Е, т. е. задан класс эквивалентных отображений отрезков во мно- множество Е (см. § 16). Пусть x(t), — одно из представлений кривой Г. Кривая в пространстве представлением которой является отображение называется образом кривой Г при отображении / и обозначается через/(Г). Это определение корректно, так как при сделанных предпо- предположениях f(x(t)), a^t^b, является непрерывным отображением отрезка в пространство и, следовательно, определяет некоторую кривую. Лемма 7. Пусть f: ? ->- Rm непрерывное отображение линейно- связного множества E<^Rn в пространство Rm. Тогда множе- множество f (E) также линейно связно. Короче:, непрерывный образ линейно связного множества линейно связен. Доказательство. Пусть Е — линейно связное множество и f — его непрерывное отображение в Rm. Для того чтобы дока- доказать, что множество f(E) является линейно связным, надо дока- доказать, что две любые его точки можно соединить в f(E) непре- непрерывной кривой (см. определение 25 в п. 18.2). Пусть yW e f-(E) и г/*21 <=/(?); выберем какие-либо точки х*1' е= f1 (y^) и tf«> е= f^*>). Поскольку хA>^?, xB)e? и Е линейно связно, то сущест- существует такая кривая Г, что ее началом является точка хA), кон- концом—точка х<21 и все ее точки принадлежат множеству Е. Кривая /(Г) является искомой кривой. Действительно, ее началом является точка </A) = /(хA))> а концом — точка yW=f(xW). Все же другие ее точки принадлежат множеству /(?). Таким образом, }{Е) — линейно связное множество. ? Упражнения. 8. Отображение / : R2 -*¦ R* задано следующим образом: (*, (/)i—*Bх, 3(/). Во что оно переводит окружность хг+(/2=1? 9. Найти образ прямой х=2 плоскости Оху при отображении /: Я2-*¦ R*. заданном следующим образом: (х, у) i—•- (ху, у). 10. В плоскости Оху задана прямая х—с (с= const =И=0). Найти ее образ при отображении f-.R-t-^-R1 с координатными функциями {excosy, Сапу).
54 § 41. Неявные функции 41.5. ВЕКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При изучении дифференцируемых отображений (их определе- определение будет дано ниже, в п. 41.7) пространство Rn, в котором лежит отображаемое множество, и пространство Rm, в которое происходит отображение, удобнее рассматривать как векторные евклидовы пространства (см. п. 18.4). Для простоты п-мерный вектор с координатами (хъ ..., хп) будем обозначать тем же сим- символом х, которым мы обозначали точку n-мерного точечного про- пространства с теми же координатами. Это, конечно, не приведет к недоразумениям, так как и точка n-мерного пространства и n-мерный вектор представляют собой упорядоченный набор п дей- действительных чисел. Пусть EczRn и f:E-+Rm, где теперь отображение / ставит в соответствие каждому вектору х е Е некоторый вектор у = = / (х) е Rm. Такие отображения будем называть векторными. Если elt ..., е„ — координатные векторы в пространстве R" (см. п. 18.4), еь ..., гт — координатные векторы в пространстве Rm, п т х=(хъ .... хп)= 2 x-fii, у = (уъ ..., t/m)= 2 \)fij и «/ = /(*). то i= 1 /¦= 1 каждая координата г//, / = 1, 2, ..., т, вектора у также является функцией от вектора хе? и, следовательно, функцией от его координат хъ ..., хп: yj = fj(x) = f/(xi, ..., х„), / = 1,2,..., т. D1.30) Как и в случае точечного пространства (см. D1.26)) функции D1.30) называются координатными функциями отображения / и пишется / = (Д, ..., fm). Интерпретация я-мерных точек (хъ ..., х„) как векторов не препятствует, конечно, рассмотрению таких свойств отображе- отображений как их непрерывность и равномерная непрерывность. Поэтому все сказанное об отображениях в предыдущем пункте остается в силе и для векторных отображени-й. Напомним еще, что для расстояния р (х, у) между векторами х и у справедлива формула (см. в п. 18.4 формулу A8.37)) р(х, у) — \х — у\. В качестве примера отметим, что длина \х\ вектора x^Rn является непрерывной функцией в R". Это следует из неравен- неравенства A8.36): поскольку для любых xo^Rn и х е R" справедливо неравенство IN —l*o||«S]* — *ol, то lim \x\= lim |ж| х-+ха \х— дго|-^О
41.6. Линейные отображения 55 41.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Рассмотрим специальный класс отображений пространства R" в Rm, называемых линейными. Определение 6. Отображение f:Rn->-Rm называется линейным (или, более полно, линейным однородным), если для любых двух векторов х' <= R", х" е Rn и любых двух чисел X' е R, X" е R выполняется равенство f (Х'х' + Х"х") = X'f (х') + X"f (x"). Из этого определения по индукции следует, что при линей- линейном отображении / любая конечная линейная комбинация век- векторов xU) e R" отображается в такую же линейную комбинацию образов / (xW>), / = 1, 2, ..., k, этих векторов /= i Обычно линейные однородные отображения называются линей- линейными операторами. О линейном операторе /: Rn-*-Rm говорят, что он действует из R" в Rm. Из определения линейного оператора непосредственно следует, что композиция g'f линейных операторов f:Rn-^-Rm и g:Rm-+- -+RS также является линейным оператором g'f:Rn-+Rs. Пусть /: Rn-*- Rm — линейный оператор. Образ каждого коор- координатного вектора ej<=Rn, / = 1, 2, ..., п, при отображении/ является вектором пространства Rm и поэтому раскладывается по координатным векторам е,- е Rm, i = 1, 2, ..., т. Обозначим коэффициенты этого разложения через aif: ?= 1 n Пусть y = f{x), x= 2 xJeJ и i= 1 Тогда в силу линейности отображения f получим п \ п D1.31) п т т / п j. D1.32)
56 § 41. Неявные функции Сравнив коэффициенты разложения вектора у по координат- координатным векторам еь ..., гт в D1.31) и D1.32), получим ... -f- alnxn D1.33) Ут • • • + птпХп. Наоборот, легко проверить, что всякое отображение /: ./?"->Rm, координатные функции которого имеют вид D1.33), является линейным оператором. Матрица /'аи ... а1п' ) D1.34) называется матрицей линейного оператора f. Очевидно, что если D1.34) является матрицей линейного опе- ратора f, то для любого х= разложение имеет место (см. D1.32)) D1-35) Пример. Пусть яг —оператор проектирования на г-ую коор- координатную ось, т. е. и» (У) = я« {Уг Ут) = Уг D1.36) (/ — фиксированное число среди чисел 1, 2, ..., т). Тогда щ является линейным оператором с квадратной матрицей порядка га, состоящей из одних лишь нулей кроме i-ro элемента главной диагонали, равного единице: О ... О 0 0 ... 0\ 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 0 о ... о о о ... о/ С помощью операторов проектирования я,-, i=\, 2, ..., п, легко устанавливается связь между произвольным векторным отображением f:E^yRm, ?c/?* и его координатными функ- функциями ft (си. D1.30)): /i = «!•/, D1.37)
41.6. Линейные отображения 57 т. е. каждая координатная функция /,-, / = 1,2,..., гп, является композицией отображения / с оператором проектирования зх,-. Если ш = \, т. е. линейный оператор f:Rn->-R отображает пространство Rn во множество всех действительных чисел, то он называется обычно линейным функционалом. В силу D1.33) всякий линейный функционал имеет вид у = а1х1 + ... + апхп, D1.38) где аь ..., ап — некоторые действительные числа. Обозначив через а вектор с координатами (а1у ..., аг), полу- получим, что всякий линейный функционал f:Rn-^R имеет вид f(x) = (a, x), где через (а, х) обозначено скалярное произведение векторов а и х. Очевидно и обратное: каждое отображение вида х*~*(а, х) является линейным функционалом /: R" -> R. Упражнение 11, Установить, какие из следующих отображений линейны: а) f:R3-+R2, причем f (х, у, г) = (х, г); б) f:R*-*-R*, причем f(x) — — х, где х—произвольный вектор в R*; в) f-.Rt-i-R3, причем /(*)=*+@, —1, 0), где х—любой вектор в i?>; г) f:R2-+№, причем f(x, y) = Bx+y, у); д) f:R2-+R2, причем f(x, у) = Bх, у—х); е) f:R*-+R\ причем f (х, у) = (у, х); ж) /: R2-*R, причем f(x, y)=xy. Напомним определения некоторых операций с матрицами (известных из алгебры). Если А = (а^) и В = (&у) — прямоуголь- прямоугольные матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, t = l, 2, ... ..., m, / = 1, 2, ..., п, то их сумма определяется как матрица, элемент с;у которой является суммой соответствующих элементов матриц А и В, т. е. Cij^Oij + bij, i = l, 2, ..., m, / = 1, 2, .... п. Произведением матрицы А на число Я, называется матрица, все элементы ctj которой получаются из соответствующих элемен- элементов матрицы А умножением их на Я. ty— Щ, * = 1, 2, .... т, / = 1, 2, ..., п. Если число столбцов матрицы А = (а^) равно числу строк матрицы В = (bjk), i — 1, 2, ..., т, j = 1,2,..., и, Л = 1, 2, ..., s, то произведение АВ матриц Л и В определяется как матрица, состоящая из элементов cik, которые определяются по формулам: п Отметим два нужных нам для дальнейшего свойства линей- линейных операторов.
58 § 41. Неявные функции m 1°. Если f и g — линейные операторы, f:Rn-*-Rm, g:Rn-+R а К и (л — произвольные числа, то Л/-\- [ig — также линейный опе- оператор, действующий из R" в Rm, причем, если А и В суть матрицы линейных операторов f и g, то ХА + цВ является матрицей опе- оператора Я/+ИЯ- Доказательство этого утверждения производится путем его непосредственной проверки: если я Di— 2 OijXj, i = l, 2, .... т — координатные функции отображения /, а п /= — координатные функции отображения g, то для координатных функций отображения kf-\~ng будем иметь (при сложении и умно- умножении на числа векторов их координаты складываются и умно- умножаются на те же числа) т. е., во-первых, координатные функции отображения являются линейными функциями, а, во-вторых, элементами Сц матрицы отображения Я/+М? являются числа Су = Я% -\- \ibij, т. е. элементы матрицы ЛЛ+Ц-В, где Л = (ау), В = (&,у). Ц 2°. Если f и g —линейные операторы, f:Rn-^Rm, g:Rm-^-Rs, то их композиция g°f также является линейным оператором Rn-^-Rs, а ее матрица равна произведению матриц отображений g uf. Снова выполним непосредственную проверку утверждения. Если п Vi=Yi aVxh l'=1> 2,- .... т, i= i <—координатные функции отображения /, а т гк= 2 Ьыуи k=\, 2, ..., s — координатные функции отображения g, то 1= 1 J= 1 JF= 1 /= 1 \J= 1 т. е., во-первых, координатные функции композиции g'f суть линейные функции, а, во-вторых, элементы Сщ ее матрицы полу-
41.6. Линейные отображения 59 чаются из элементов матриц а^ и Ьм операторов/ и g по правилу т сщ= ^ bkiuij. D1.39) Как было сказано, такая матрица (ckj) и называется произведе- произведением матриц (bki) и (aij). Q Заметим, что каждый линейный оператор /: R" -»- Rm является непрерывным отображением пространства Rn, ибо все его коор- координатные функции D1.33), будучи линейными, непрерывны. Длина вектора x^Rn, как это отмечалось в п. 41.5, является непрерывной в пространстве R" функцией. Поэтому, если / : R"->- -> Rm — линейный оператор, то функция \f(x)\, как композиция двух непрерывных функций, будет также непрерывной в R". Поскольку единичный шар Q" = {х е Rn : | х | «ё 1} является компактом, то для всякого линейного оператора /: Rn-+Rm суже- сужение непрерывной функции \f\:Rn->-R на шар Q", т. е. функция \f\'-Q"-*-R, ограничено: ^supJ/WK + co. D1.40) Определение 7. Для линейного оператора (в частности — для линейного функционала, при т = 1) /: R" -> Rm число sup |/(x)| называется его нормой*' и обозначается через ||/||: И/li— sup \f(x)\. D1.41) В силу неравенства D1.40) норма любого линейного оператора конечна. Оценим длину образа вектора х е Rn через норму оператора / и длину х самого вектора. Для любого х Ф 0, ле R", вектор = т-г имеет длину \:\\ — -,— | х | = 1. Поэтому, исполь- использовав линейность оператора /, свойство A8.34) длины вектора и определение D1.41), получим !/(*)!= / ИА -г - = \Х\ т. е. 1/(*I<1/1И. D1.42) Из этого неравенства следует, что при | х \ < 1 справедливо неравенство \f(x) |<||/J. Вспомним, что непрерывная на компакте функция достигает на нем своего наибольшего значения (см. тео- •' Общее определение нормы будет дано в п. 57.3.
CO § 41. Неявные функции рему 3 в п. 19.5). Поэтому функция |/|:Q"->-/?, будучи непре- непрерывкой на компакте Q", достигает на нем своего наибольшего значения: 1/1= sup \f(x)\=max\f(x)\, а поскольку при |ж|<1 имеет место неравенство |/(л:)!<|/|, то указанный максимум достигается при |л;| = 1, т. е. на единич- единичной сфере S"-1 = {x:\x\ = l}. Таким образом, |/|=тах|/(*)|. D1.43) Отметим еще одно полезное выражение для нормы линейного оператора |/i= sup 1Ш. D1.44) Докажем его. Используя снова свойство длины A8.34) век- вектора, линейность отображения / и формулу D1.41), получим sup Ш1 = sup » sup /( p Нетрудно оценить норму f/J линейного оператора / через эле- элементы его матрицы D1.34). Замечая, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, применяя формулу D1.35) и неравенство Коши-Шварца A8.2), будем иметь Отсюда для каждого х'ФО, x^R": Поэтому в силу D1.44) /т п 2 2 а<" D1-45)
41.7. Дифференцируемые отображения 61 Тем самым еще раз, но уже «алгебраическим путем» доказано! неравенство D1.40). 41.7. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Перейдем теперь к определению дифференцируемых векторных отображений. Предварительно напомним, что функция п перемен- переменных /: E-+R, EaRn *\ определенная в окрестноститочки jc=(xi,,... ..., хп) е Е называется дифференцируемой в этой точке, если существуют такие постоянные аъ ..., ап (они являются частными производными функции / в этой точке ai = -g~: (*)), что ..., xn + hn)-f(xu .... х„) = = a1/i1+... + «A+o('i), h-+0, D1.46) где h — (hx, ..., hn). Для отображений из п-мерного пространства в m-мерное «о малое» определяется следующим образом: пусть U — окрестность точки /Ge?, a: (/->/?"'; будем говорить, что а = о(х) при x-vxq, если |а| = о(|х 1), х-*-х0, т. е. если существует такая функция е :?/->/?, что |a(jc)| = e(*)|*|, D1.47) jtef/и lim s(x)~0. х-*ха Само собой разумеется, что | ct (дг) | является длиной вектора в про-: странстве Rm, а \х\ — длиной вектора в пространстве R". Для выражений вида о (х), являющихся векторами, сохраняются обычные правила действий с символом «о малое», например, О (х)-\-О (х) = О (X) 'При Х-^-А'о И Т. П. Линейное отображение (линейный функционал) (hu ..., hn)i—*- *—*alhi-\-...-\-anhn в формуле D1.46) называется дифференциалом функции f в точке х. Обозначив его через D(x), получим Таким образом, определение дифференцируемое™ D1.46) можно представить в виде Аналогично определяется и дифференцируемость отображения в общем случае. Определение 8. Пусть U — окрестность, е пространстве R", точки x^R". Отображение f:U-*-Rm называется дифференци- дифференцируемым в точке х, если существует такое линейное отображение (линейный оператор) l:Rn-^-Rm, что ft-*0, А<=#». D1.48) Через R, как всегда, обозначается множество всех действительных чисел.
62 § 41. Неявные функции Линейный оператор I называется дифференциалом отображе- отображения f в точке х и обозначается через D(x) или более подробно, через Dt (x). Используя это обозначение, определение дифференцируемое™ D1.48) можно переписать в виде Л->0. D1.49) Матрица дифференциала Df (x) (см. D1.34)) называется про- производной отображения f е точке х и обозначается через f (x). Отметим, что из формулы D1.48) сразу следует, что отобра- отображение, дифференцируемое в точке х, непрерывно в ней: \imf(x+h) = f(x). Теорема 3. Если отображение f:E-+Rm, E a R", дифферен- дифференцируемо в точке х^Е, то его дифференциал в этой точке опре- определяется однозначно. Следствие. Дифференциал линейного отображения совпадает с самим отображением. Доказательство теоремы. Пусть наряду с равенством D1.48) выполняется также равенство h) + o(h), h^O, D1.50) где ll: R"->-Rm, ^ — линейный оператор. Вычитая одно из этих равенств из другого, получим / (А) — /х (/г) = о (Л) при h-yO, т. е. существует такая функция е (/г), определенная на некоторой окрестности V нуля пространства Rn, т. е. е: V-y'R, что lim e(/i)=0 й->0 и для всех fteF имеет место l*(fc)-fi(fc)l = e(/i)|ft|. D1.51) Возьмем теперь произвольное k e R"', тогда для всех доста- достаточно малых t будем иметь tk e V. Поэтому в D1.51) для таких t можно взять h — tk: Поскольку | tk | = 1111 k I и отображения / и 1г линейны, будем иметь а потому |. D1.52) Но lim^/e = 0, следовательно, в силу свойства функции е, имеем также Пте(Й) = 0. Переходя к пределу при f->-0 в D1.52),
41.7. Дифференцируемые отображения 63 получим \l(k) — lx(k)| = 0, т. е. для любого k<=Rn Это и означает, что 1 = 1г. Ц Доказательство следствия. Пусть f:Rn-*-R'n — линей- линейный оператор. Тогда в силу линейности для любых хе]?"и h^Rn т. е. равенство D1.48) выполняется при / = / и о(/г) = 0. В силу единственности дифференциала Df(x) = f. Q Теорема 4 (линейность дифференциала). Если отображения f: E-*Rm и g: ?->-Rm, E czR", дифференцируемы в точке хе?, то при любых числах X и ц линейная комбинация V + Uff также дифференцируема е точке х и Доказательство. В силу диффгренцируемости отображе- отображений / и g в точке х имеем (см. D1.49)): f(x+h)=f(x) + Df(x)(h) + o(h), Л->0, g(x + h) = g(x) + Dg(x)(h) + o(h), ft-* 0; отсюда - [If (x) + pg (x)] + [Wf (x) + nDg (x)] (h) + о (h), h -+ 0. Поскольку Wf (x) -\- \iDg (x) является линейным отображением (см. п. 41.6), то, в силу определения 8, линейное отображение TJ)j (x)-\-\iDg (х) является дифференциалом отображения A/-|-jxg. Ц Теорема 5. Пусть EczR", DcRm, f:E-+D, g:D-+R\ причем отображение f дифференцируемо е точке х^Е, ag — в точке f(x). Тогда композиция g°f дифференцируема в точке х и ее дифференциал в этой точке равен композиции дифференциалов отображений fug: De.f(x) = De(f(x)).Df(x). D1.53) Следствие. Если выполнены условия теоремы, то производная композиции отображений равна произведению производных: <?-f)'(x) = g'(f(x))r(x). D1.54) Как видно из приведенных формул, благодаря удачному выбору определений и символики, в формулировках теорем имеет место полная аналогия с одномерным случаем.
64 § 41. Неявные функции Доказательство. В силу дифференцируемости.отображе- дифференцируемости.отображения / имеем f Л->0. D1.55) Таким образом, аргумент функции g в точке y = f(x) получил приращение k = Df(x)(h) + o(h). D1.56) Поэтому из D1.55) в силу дифференцируемости функции g имеем (g-f)(x-\-h)=:g(y+k)=g(y) + Dg(y)(k) + o(k), k^O. D1.57) Поскольку (см. неравенство D1.42)) \Df(x)(h)\^ID/(x)l\h\, D1.5S) где норма \Df{x)\ линейного оператора Df(x) является неотри- неотрицательным числом, то для функции k = k(h), определенной равен- равенством D1.56) получим limfc = O. D1.59) ft^O Более того, справедлива оценка а так как при достаточно малых h имеет место неравенство |о(/г)|<|/1|, то для таких h справедлива и оценка \k\^(jDf(x)l+l)\h\. D1.60) Далее, из определения o(k) (см. D1.47)) явствует, что суще- существует такая функция е (k), что Ппге(/г) = 0 D1.61) и \o(k)} = e(k)\k\. Поэтому в силу D1.60) для указанных доста- достаточно малых h выполняется неравенство А. поскольку из D1.59) и D1.61) вытекает, что lime(A:) = 0 и следовательно, e(fe)(|0/(*)l + l)|ft| = o(ft) пРи Л-^°- то из D1.62) имеем |o(&)|<o(ft), /i-»-0, откуда o{k) = o(h) при й->-0. Это означает, что формулу D1.57) можно переписать в виде. (g'f)(x + h) = g(y) + Dg(y)(k) + o(h), h-+0. D1.63) где k задается nb формуле D1.56).
41.7. Дифференцируемые отображения G5 Рассмотрим теперь среднее слагаемое в правой части равенства D1.63). В силу линейности отображения Dg(y) имеем Dg (у) (k) = Dg (у) (Df (x) (h) + о (А)) = = Dg (у) (Df (x) (h))+Dg (у) о (A), h -+ 0. D1.64) Вследствие неравенства D1.42) будем иметь ] Dg (у) о (А)| s^ ^\\Dg(y)\\\o(h)\, а поэтому Dg(y)o(h) = o(h), ft + 0; следовательно, из D1.64) получим: Dg (у) (k) = Dg (у) (Df (x) (h)) + о (А) = = (Dg(y).Df(x))(h)+o(h), А-+0. Подставляя полученное для Dg(y) выражение в D1.63) и прини- принимая во внимание, что y = f(x), будем окончательно иметь Поскольку композиция линейных операторов является линейным оператором, то в силу единственности дифференциала оператор Dg(f(x))-Df(x) является дифференциалом композиции f°g, т. е. формула D1.53) доказана. Формула D1.54) сразу следует из нее, поскольку при компо- композиции линейных операторов их матрицы перемножаются. Ц Теорема 6. Отображение f = (f1,...,fm)'-E-*-Rm, E с R", диф- дифференцируемо е точке х е Е е том и только том случае, когда все его координатные функции ft:E-+R, t = l, 2, ..., m, диффе- дифференцируемы в этой точке. В этом случае элементы ац матрицы дифференциала Df (х) являются соответствующими частными производными координатных функций: Иначе говоря, производная /' (х) является матрицей Якоби системы функции fi (см. определение 2 п. 41.3), I i п \ Г(х) = \ D1-65) и называется также матрицей Якоби отображения f в точке х. Доказательство. 1. Координатные функции Д- — nff (см. D1.37)) являются композицией двух дифференцируемых Отображений: отображения /, которое дифференцируемо в точке х по условию, и проекции я,- (см. D1.36)), которая, как всякий линейный оператор Rm->-R дифференцируема на всем простран- 3 Кудрявцев Л. Д. т. 2
66 § 41. Неявные функции стве Rm. Следовательно, согласно теореме 5, функции Д-, i — — 1, 2, ..., m, дифференцируемы в точке х. 2. Пусть все координатные функции fi = nt'f отображения дифференцируемы в точке х. В силу D1.46) это означает, что существуют такие постоянные агу, t = l, 2, ..., т, j= 1, 2, ..., п, что /,• (x + h) = fi (x) + OiJi!+... + ajin + о (ft), /i->0, t = l, 2, ..., m. D1.66) Отсюда, как известно (см. 20.2), следует, что коэффициенты Щ] при приращениях hj аргументов xj являются соответствующими частными производными функций ft: Обозначим через /: Rn-+Rm линейный оператор с матрицей (а,7). Поскольку (о(К), ..., o(h)) = o(h)*\ то равенства D1.66) можно записать в виде Это и означает дифференцируемость отображения f, причем из D1.67) следует справедливость формулы D1.65). Ц Замечание 1. В силу формул D1.54) и D1.65), следствие из теоремы 5 означает, что матрица Якоби композиции отобра- отображений / и g равна произведению матриц Якоби этих отображений. Это, впрочем, непосредственно следует и из формулы диффе- дифференцирования сложной функции: если Zk — gkii/i, •••> Ут), k = = 1, 2, .... s, a yi=fi(x1, .... хп), i=l, 2, .... т, то (см. B0.26)) т дгь VI dzu dui и л п -in ¦я^ = 7 з-^#-, k=l, 2, ..., s, / = 1, 2, ..., п, oxi ±* at/I дх,- ' i=i что согласно правилу умножения матриц (см. п. 41.6) и означает, что матрица (^] является произведением матриц {^) и (-J1), \OXj I \O\fi I \OXjJ \dxjj \'ду,)\дх/)' Определение 9. В случае т = п определитель *> Запись (о (К), ..., o(h)) = o(h) означает, что вектор, координаты которого являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем h, сам является бесконечно малой более высокого порядка, чем h при/г-»-0. Совпадение в данном случае обозначений вектора и его координат связано с тем, что мы, чтобы не усложнять символики, выбрали для я-мерного вектора обозначение х, в котором не отражена его размерность. Она делается ясной, только если он записан с помощью координат х — (хх хп).
41.7. Дифференцируемые отображения &7 матрицы Якоби D1.65) называется определителем Якоби или якобианом отображения f:E-+R", EczR", в точке х^Е и обо- обозначается (см. п. 41.3) 0(*i х„) Замечание 2. Из алгебры известно, что при умножении квадратных матриц их определители перемножаются; поэтому при выполнении условий теоремы 5 в случае tn = n = s якобиан композиции отображений fug равен произведению якобианов отображений / и g ••-, г„) д(ги д(*х, .... хп) д(уи ...,уп)д{хи Действительно, - det д(Уъ •••> Уп)д(хх х„) Замечание 3. Пусть EcR" и Id : E-+E — тождественное отображение множества Е на себя. В координатной форме оно записывается в виде условия равенства координат точек образа и прообраза при этом отображении, т. е. координатные функции имеют вид f /v\ v i 19 п lv у \ i— р И\л/—Ло * — 1> "* •>•) ni \ЛЪ •••> An/'Z^J-" Если х<0) — внутренняя точка множества Е, то эти функции можно дифференцировать в этой точке, и поскольку ~ = 0 при 1ф\ и дх- ' г~ = 1, то матрица Якоби тождественного отображения является единичной матрицей П...ОК 0...1 Пусть теперь UczR", V a Rn и /: U -v V — взаимно одноанач- ное (инъективное) отображение, a f-1:/(t/)-vt/ —обратное ему. Тогда для любой точки x^U имеем f-1(f(x)) = x, т. е. компо- композиция f~l°f является тождественным отображением. Пусть отображение / дифференцируемо в точке х0 е U (следо- (следовательно, х0 —внутренняя точка множества U, ибо только для таких точек определено понятие дифференцируемости), а обратное отображение /-1 дифференцируемо в точке / (х0). Поскольку /-1 °f — тождественное отображение, то в силу формулы D1.54) имеем (/-i)'/' = (/-1»/)' = (Id)' = ?. D1.69) 3*
68 § 41. Неявные функции Перейдя от этого равенства матриц к их якобианам, получим det (/-1)' det /' = 1, D1.70) ибо det? = l. Если отображение / задано координатными функциями D1.30), то формулу D1.70) можно переписать в виде д(хъ ..., хп)д(уи .... у„) ^j D171) д(Ух, .... Уп)д{хх х„) ' Из этой формулы следует, что при сделанных предположениях как якобиан отображения / в точке х, так и якобиан обратного отображения f'1 в точке f(x) не обращаются в ноль. Перепишем формулу D1.71) еще в виде д(хъ ..., хп) 1 ,,-, уп\ д{УгУ)~д(У1 У)' К ' д(хъ ..., хп) Эта формула является очевидным обобщением формулы для произ- производной обратной функции одного переменного: ¦?¦ = j-. Jx В заключение сформулируем два полезных определения. Определение 10. Отображение f:E-+Rm, E cRn, дифферен- дифференцируемое в каждой точке х е Е называется дифференцируемым отображением множества Е. Очевидно, если отображение дифференцируемо на множестве Е, то какова бы ни была точка х е Е, согласно определению 8 отображение / определено в некоторой ее окрестности, т. е. Е — открытое множество. Согласно теореме 6 отображение f~{fi, ..., fn) дифференци- дифференцируемо на множестве Е тогда и только тогда, когда на этом множестве дифференцируемы все его координатные функции /1( ..., /„. Если все координатные функции непрерывно дифферен- дифференцируемы на Е, т. е. все их первые частные производные непре- непрерывны на Е, то отображение / называется непрерывно дифферен- дифференцируемым отображением множества Е. Определение 11. Гомеоморфног отображение f:G->D,ade G и D — открытые множества пространства Rn называется диффеоморфным отображением или диффеоморфизмом, если как оно само, так и обратное ему отображение f~l: D->- G, диффе- дифференцируемы. 41.8. ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕРАВНЫМ НУЛЮ ЯКОБИАНОМ. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отображения, обратного данному. Как мы знаем, в случае п = 1 для непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке функции условие необра-
41.8. Отображения с неравным нулю якобианом щения в ноль ее производной (которое влечет за собой ее строгую, монотонность) является достаточным для существования обратной ей однозначной непрерывно дифференцируемой функции. В случае же произвольного п дело существенно осложняется: соответствую- соответствующие точечные условия, налагаемые на дифференциальные свойства отображения позволяют утверждать лишь что локально, т. е. в окрестности точки, существует обратное отображение. Более точно, справедлива следующая теорема. Теорема 7. Пусть y = f(x) = i D1.73) *• Уп — In \xli • • • > xn) — непрерывно дифференцируемое отображение открытого множе- множества G czRn в пространство R". Если якобиан этого отображения не обращается в ноль в точке xw e G, то существуют такие окрестности Их и Uy соответственно точек х@) и </@) = / (*@)), что f (х), х е Ох, является взаимно однозначным отображением окрестности Ux на окрестность Uy, а обратное ему отображение непрерывно дифференцируемо на множестве Uy. Следствие. Пусть f —непрерывно дифференцируемое отобра- отображение открытого множества G cz Rn в пространство R". Если якобиан отображения f не равен нулю на G, то образ множества G при этом отображении также является открытым множеством. Доказательство. Рассмотрим функции Они определены для всех у = (уи ..., yn)<^Ry и всех x = (xlt ... ..., xn)^GczR". С их помощью система равенств D1.73), зада- задающих отображение /, перепишется в виде Ft(x, y) = 0, i=l, 2 п. D1.74) При этом функции Ft (x, у) определены и непрерывно дифферен- дифференцируемы в некоторой окрестности точки (х^°\ у'0') (за такую окрестность можно взять, например, GxRy)t {кш,ут) д(Х1 хп) Таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего параграфа о разрешимости системы уравнений. В силу этой теоремы уравнения D1.74), или, что то же, система D1.73), могут быть разрешены, и притом единственным образом, относительно переменных хи ..., хп в некоторой окре- окрестности точки (я@), г/@)). Более подробно это означает, что суш,еГ, ствуют такие окрестности U% и Uy, соответственно точек xw и г/10)',
§ 41. Неявные функции х(о) е u*f y{o) G и у и такое единственное отображение 1^1 = ^1 (Уи • • • > Уп)> D1-75) Xn = gn(yi, •••. Ьп), отображающее окрестность U-u в окрестность Щ, что для всех у е t/,, имеет место тождество Иначе говоря, для каждой точки у e(/s существует и притом единственная точка x — g(y)^ U%, переходящая при отображении / в точку у. Тем самым х е /-1 (у) f] Щ, g(y) является отображением, однозначным, непрерывно дифференцируемым и обратным к / на Положим Ux = U*x{\f-1(U!)). Тогда ^ — открытое множество, ибо оно является пересечением двух открытых множеств U* и/-1 (?/,,) (открытость множества f~x (Uu) следует из того, что оно является прообразом открытого множества Uy при непрерывном отображе- отображении f, см. лемму 2 в п. 41.4). Очевидно, что Ux отображается взаимно однозначно на Uy, а поскольку xw^U% и f(x{0)) = y{0)^Uy, то х@) <=?/*, т. е. ^. — искомая окрестность точки л;@). ? Замечание 1. Окрестности Ux и Uy, фигурирующие в усло- условиях теоремы 4, обладают еще тем дополнительным свойством, что якобиан отображения / окрестности Ux на окрестность Uy не обращается в ноль на окрестности Ux, а якобиан обратного отображения /-1 не обращается в нуль на окрестности Uy. Это сразу следует из формулы D1.71). Действительно, в силу того что отображение / взаимно однозначно переводит окрестность Ux в окрестность Uy и того, что / и /^ непрерывно дифференцируемы, можно применить указанную формулу к отображению f, рассмат- рассматриваемому на множестве Ux. Согласно этой формуле, произведение якобианов отображений / и /-1 равно единице и, следовательно, каждый из них не равен нулю. Доказательство следствия. Пусть у = /(х) — непре- непрерывно дифференцируемое отображение открытого множества G в пространство Rn, а //^ — произвольная точка множества /(G). Выберем какую-либо точку х@) в прообразе точки y^:x{0)^f~1(y@>), следовательно, /(х@|) = ^0). В силу теоремы 4 существуют такие окрестности Ux cr G и Uy соответственно точек х^ и у(°), что f(Ux) = Uy. Следовательно, Uyaf(G). Иначе говоря, для всякой точки (/t°'e/(G) существует ее окрестность, содержащаяся во множестве f(G). Таким образом, любая точка множества /(G) является внутренней для этого множества, что и означает, что f(G) — открытое множество. ? Замечание 2. Если при некотором отображении / для точек х{0) и z/W = / (х(°)) существуют соответственно окрестности Ux и UtJ, взаимно однозначно отображающиеся им друг на друга,
41.9. Особые точки 71 то говорят, что отображение f локально взаимно однозначно в точке х@). Если при этом отображение / непрерывно на U'х, а /~* непре- непрерывно на Uy, то / называется локально гомеоморфным в точке л;@> отображением или локальным гомеоморфизмом. Если, наконец, указанный локальный гомеоморфизм является диффеоморфизмом, то рассматриваемое отображение называется локально диффеоморф- ным в данной точке (определения гомеоморфизма и диффеомор- диффеоморфизма см. в п. 41.4 и п. 41.7). Употребляя эту терминологию, можно сказать, что отображе- отображение /, рассматриваемое в теореме 4, в каждой точке, в которой его якобиан не равен нулю, является локально диффеоморфным отображением. Теорема 8 (принцип сохранения области). Образ п-мерной области в п-мерном пространстве при непрерывно дифференци- дифференцируемом отображении с якобианом, не обращающимся в нуль, является областью. Доказательство. Пусть G — область, G aRn и y = f(x) —• отображение G в R", удовлетворяющее условиям теоремы. Согласно следствию теоремы 4, множество /(G) открыто, а по лемме 7 п. 41.4 линейно связно. Поэтому, если G — область, то при выполнении условий теоремы множество /(G) также является областью. Q Упражнение 12. Построить пример непрерывно дифференцируемого отображения некоторой плоской области, якобиан которого нигде не обраща- обращается в нуль и которое не взаимно однозначно. 41.9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ, В КОТОРОМ НАРУШАЮТСЯ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Мы уже знаем, что если координаты некоторой точки я@) = = (х[0), ..., х^) удовлетворяют уравнению F(Xl, ..., хя) = 0 D1.78) и в этой точке производная -^- не равна нулю, то при соответствующих условиях, налагаемых на непрерывность самой функции F и указанной производной, уравнение D1.76) разре- разрешимо в некоторой окрестности точки xw относительно x-t и ре- решение является непрерывно дифференцируемой функцией осталь- остальных координат. Естественно, возникает вопрос: а что будет в случае, когда в точке х@) частные производные по всем аргументам обраща- обращаются в нуль — определяет в этом случае уравнение D1.76) ка- какие-либо функции или нет? Остановимся на этом вопросе, од- однако ввиду его сложности ограничимся рассмотрением двумер- двумерного случая.
72 § 41. Неявные функции Итак, будем рассматривать уравнение F(x, у) = 0, D1.77) где функция F определена и непрерывно дифференцируема в не- некоторой окрестности точки (х0, у0), такой, что F(x0, */o) = O. D1.78) Пусть Fx (хо, Уь) = Fy (ж„, у0) = 0. D1.79) Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение D1.77) иногда может быть разрешено в окрестности точки (х0, г/о) отно- относительно одной из переменных, так что получится непрерывно дифференцируемая функция; однако это можно сделать, вообще говоря, не единственным образом. Таким образом, условие Fi (хо, у0) + F\ (х9, г/0) =^0, D1.80) которое в нашем случае (см. D1.79)) не выполняется и которое позволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному из переменных, естественно назвать условием однозначной раз- разрешимости уравнения D1.77). Определение 12. Точка (х0, уо), координаты которой удовлет- удовлетворяют условиям D1.78) и D1.79), называется особой точкой уравнения D1.77). Особая точка называется изолированной, если существует ее окрестность, в которой она является единственной особой точкой. Геометрически это означает, что если уравнение D1.77) явля- является неявным представлением какой-либо кривой, то в окрест- окрестности особых точек этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции (как это имеет место при выполнении условия D1.80)); здесь воз- возможны разные особгнности, которые мы сейчас и рассмотрим. Введем для краткости записи обозначения Fxx (хо, г/о) = Fix, FXy (х0, г/о) = Fxy, Fyy (х0, у0) = Fyy. Теорема 9. Пусть функция F (х, у) определена и дважды не- непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолирован- изолированной особой точки (ха, у0) уравнения D1.77) и пусть F» ро _ Р«2 -А- О * ххг уу ' ху ztz «• Тогда, если D1.81) то (лг0, Уо) является изолированным решением уравнения D1.77), т. е. существует окрестность точки (х0, г/0) никакая точка ко-
41.9. Особые точки 73 торой, кроме (х0, уй), не удовлетворяет уравнению D1.77); если же D1.82) то уравнение D1.77) разрешимо в некоторой окрестности точки (ло, Уо)> н0 не однозначно: имеются две различные дифференциру- дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнению D1.77). Поэтому (*о> Уо) называется в этом случае двойной точкой. Например, если D1.83) то существуют две дифференцируемые функции /х(х) и f^ix), определенные в некоторой окрестности точки ха и такие, что в этой окрестности F(x, h(x)) = 0, F(x, f3(x)) = 0, причем f1(x0) — = и(хо)= Уп, а производные функции fi(%) и fz(x) в точке х0 являются различными корнями уравнения Fxx-\-2Fx°ylt + F°mk2 = 0*\ D1.84) Доказательство. Пусть выполнено условие D1.81). Вмьсте с D1.79) оно достаточно для наличия строгого экстре- экстремума функции F (х, у) в точке (х0, у0) (см. теорему 3 в п. 40.2). Поэтому существует окрестность U точки (х0, у0), такая, что при (х, у) ев U и (х, у)Ф(х0, гд>) либо всегда F(x, y)>F(x0, у0), либо всегда F (x, y)<F(x0, y0), и так как F(x0, yo) = O, то F (х, у)фО для всех (х, у) €Е U, (х, у) Ф (х0, у0), т. е. (х0, у0) является изолированным решением уравнения D1.77)**). Пусть теперь выполнено условие D1.82). Разложим функцию F (х, у) по формуле Тейлора в окрестности точки (х0, г/о) до сла- слагаемых второго порядка; тогда, приняв во внимание условия D1.78) и D1.79), получим: F(x, y) = = \- [Fxx (х - ХоТ + 2П„ (х - х0) (у - г/о) + F*m (у - ytf] + о (г\ D1.85) где г —У (х — ХоJ + (у — уоУ2- Положим х — x0 = rcos(p, y — yot= = rsincp. Очевидно, (г, q>) —полярные координаты точки (х, у), причем в качестве начала полярной системы координат принята точка (х0, уо). *' Корни этого уравнения вещественны и различны в силу условий D1.82) и D1.83). **' В доказательстве этого утверждения используется не то, что (х0, уа) является изолированной особой точкой, а лишь то, что она является просто особой точкой, в которой выполняется условие D1.81).
74 § 41. Неявные функции В этих координатах х> y) = ~Y (F"xx со52ф + 2F%y cos ф sin ф + F"yy sin2 ф) -f о (г2) = где ^ (Ф) = F°« cos2 ф + 2F% cos ф sin ф + ^ sin2 q>, D1.87) или при ф^^-B&+1), 6 = 0, ±1, ±2, .... /> (Ф) = cos2 Ф {Flx + F^ tg ф + Fly tg2 Ф). D1.88) Предположим теперь, что выполнено также и условие D1.83). Пусть кг и кг — корни уравнения D1.84) и пусть ф^ап^й]. и Ы&2- Тогда Ф1^=±я/2, ф2^=±я/2, D1.89) и из D1.88) следует, что Р (Ф) = cos2 ф (tg ф - tg ф1) (tg ф - tg ф2). D1.90) Из формулы D1.90) видно, что функция Р(ф) при ф^= Ф~Bк,-\-\), k = 0, ±1, ±2, ... обращается в ноль только для Ф = ф1 + &л и Ф = фг + &гс, k — 0, ±1, ±;2, ..., причем при пе- переходе аргумента через эти значения она меняет знак. Нам бу- будет удобно интерпретировать Р(ф) как функцию точки окруж- окружности С с центром в точке (х0, у0) и радиуса, равного 1 (такой радиус выбирается для простоты, чтобы длины дуг совпадали с углами ф). Пусть е>0. Обозначим через U1 = U1(&) открытый угол, определяемый неравенством щ — е < ф < фх + е, т. е. соответственно положим U2 = {(r, ф): фа-е<ф<ф24-е}; при этом выберем е>0 столь малым, чтобы 11г и ?/2 не пере- пересекались и не содержали в себе полуоси ординат, а значит, и вообще вертикальных полупрямых (последнее всегда можно вы- выполнить вследствие условий D1.89)). Пусть U* и U* — углы, центрально симметричные с ?/х и ?/2 относительно точки (х0, у0): Щ = {(г, ф): фа + л — е < ф < ф2 + л + &}.
41.9. Особые точки 75 В силу выбора числа е множества Ult U2, Uf и Щ попарно не пересекаются (рис.154). Рассмотрим теперь Р (ф) как функцию точки вышеуказанной окружности С Точку окружности С, которой соответствует по- полярный уголф, будем для простоты также обозначать через ф. Уда- Удалим из указанной окружности интервалы с центрами в точках фъ фа, Фх + я и ф2-г-я длины 2s*'; в силу выбора е>0 эти ^у интервалы не имеют общих точек. Оставшееся множе- множество, которое обозначим че- через В, является ограничен- ограниченным и замкнутым, а следо- следовательно, компактом. На В функция Р (ф) непрерывна и не обращается в нуль, а поэтому inf D1.91) Обозначим через Кр замкнутый круг с центром в точке (х0, у0) и радиу- радиусом р: а через L9 обозначим множество, которое получается вычитанием (в теоретико-множественном смысле, см. п. 1.1) множеств Ult U2, U1 и U-i из круга Кр. Очевидно, что в силу D1.91) inf |/>( (г, ф) е L D1.92) выпол- Теперь, замечая, что из D1.86) следует F(x, у) = ^[Р(ч>) + а (г, ф)], где lima (г, ф) = 0, выберем р>0 так, чтобы при иялось неравенство |а (г, (р) | <ц. D1.93) Тогда из D1.92) следует, что для всех точек (г, (p)eLp выра- выражение, стоящее в правой части формулы D1.92), имеет тот же знак, что и Р(ф). *' Интервалом длины 2е на окружности с центром в точке, полярный угол которой равен фо, называется множество ее точек, полярные углы ср ко- которых удовлетворяют неравенству ф0 — е<ф<фо + е.
76 § 41. Неявные функции Множество Lp состоит из четырех замкнутых секторов (см.- рис. 154), на каждом из которых, за вычетом их центра, функ- функция Р (ф), а значит, в силу выбора р, и функция F (х, у) при- принимают значения одного и того же знака, а на соседних секторах — разных. . Рассмотрим теперь угол U1 — UL (е). Пусть для опред^лэнно- сти 0==2ф1«<я/2. Пересеченна замыкания 171 угла UL с верти.-, кальной прямой х = х*, хо<.х* =sSx0 + pcos(91 + e), представляет собой отрезок, на вэрхнем и нижнем концах которого функция Р(х*, у\ принимает значения разного знака. Функция F(x*, у), рассматриваемая как функция одного переменного у при фикси- фиксированном х*, будучи непрерывной на указанном отрезке, обра- обращается в некоторой его точке у* в нуль, т. е. для каждого х*} где хо<х* sgATo + pcos^ -|-e), существует по крайней мере одна точка у*, такая, что F{x*, у*) = 0, (х*, у*) е ^(8H/Ср. D1.94) Определим y = f1(x) как функцию, ставящую в соответствие числу л"* число у*: h(x*)=y*> *o<**===:х0+ рcos(qH + e). Покажем, что при достаточно малых е и р функция /х опреде- определена однозначно, т. е. существуют такие е > 0 и р > 0, что при заданном х* условия D1.94) однозначно определяют у*. Допустим противное. Возьмем последовательности е„->-0 и р„->-0 при л->-оо. Тогда существуют две последовательности точек с одинаковыми абсциссами хп и разными ординатами у'п и yl, такие, что (хп, у'п) е Ux (е„) П КРп, F(xn, y't) = 0, (хп, Уп) е U, (ел) П КРп, F (хп, у'а) = 0. Тогда в силу теоремы Ролля на отрезке [у'п, у"п] прямой х — хп найдется точка уп, такая, что Fy{xn, уя) = 0, D1-95) при этом очевидно, (хп, уп) е Ux (гп) П КОп', по условию (см. D1.79)) мы имели еще Fy(x0, yo) = O. D1.96) По формуле конечных приращений, примененной к функции Fy (x, У), Fy (хп, уп) - Fy (х0, г/о) = Fyx (|„, т)я) (хп - х0) + Fyy (|„, т)„) (у„ - у0),
41.9. Особые точки 77 откуда в силу D1.95) и D1.96) Fxy {In, Цп) + Fyy (?„, гь) Ь=Ь- = 0. D1.97) Пусть (х„, уп) = (г„, %). Очевидно, | % — щ | < гп; а поэтому из условия e4-v0 следует, что tj)n->-(pi при л-»-со, и так как , то Переходя к пределу в равенстве D1.97) при п-»-оо, в силу D1.98) имеем ^ + ПА = 0, т. е. Ах = -^; i/i/ подставляя это значение корня в уравнение D1.84), получим Е-0 СО _ С«г _ А 1 хх1 уу 1 ху — и> что противоречит условию D1.82). Итак, функция y = fi{x) действительно однозначно определя- определяется при достаточно малых 8 и р. В дальнейшем будем предпо- предполагать, что е и р выбраны именно таким образом. Доопределим функцию ft в точке х0, положив yo — h(,xo). Очевидно, по самому определению функции f1(x) имеем F(x, /x(x)) = 0, Xo= Покажем, что в точке х0 у функции /х (х) существует правосто- правосторонняя производная и что она равна kx. Пусть произвольно фиксировано е>0. Из вышеизложенного следует существование такого р = р (е) > 0, что соответствующая часть графика функции /х (х) целиком лежит в Ux (г) (] /Ср: (х, U (х)) е U, (г) П Кр, х0 ^ х < х0 + р cos (ф1 + е). D1.99) Возьмем 8 = pcos(cp1 + e) и пусть х таково, что 0<х — y = fi(x) и (х, у) = (г, (р). В силу D1.99) имеем |ф —фх|<е. Это означает, что lim ф = (рх и поэтому lim tg9 = tg9x. По- х-*хо + 0 х^х„+0 скольку tg ф= у~Уо, то из доказанного следует, что цш Ш-hM^ Hm izjL=tg т. е. у функции fi(x) существует производная справа в точке х0, равная tgfpx^kx. Подобным же образом из рассмотрения поведения функции F (х, у) в угле U* доказывается, что при некотором б'>0 на
78 § 41. Неявные функции отрезке [х0 — б', лг0] существует функция f±(x) такая, что при х0 — б' ==S х =sS x0: F (x, fi (х)) = 0, (х, ft (x)) e i/f, /I (*<>) = h (под производной, ес- естественно, в данном случае понимается левосторонняя производ- производная). Если число р взять столь малым, чтобы в круговой окрест- окрестности радиуса р точки (х0, у0) не содержалось других особых точек уравнения D1.77), кроме (х0, Уо), то функция /i(x) будет дифференцируемой и во всех точках хфх0. Это сразу следует из доказанной выше теоремы о неявных функциях (см. теорему 1 в п. 41.1). В результате мы и получили функцию f\{x), опре- определенную в некоторой окрестности точки х0 и обладающую всеми требуемыми свойствами. Аналогично доказывается существование функции /2 (х), также являющейся решением уравнения D1.77) и удовлетворяющей условиям теоремы, причем график этой функции проходит в углах U2 и Щ и через точку (х0, у0). Если F°yy = 0, а РхХф0, то все рассмотрения проводятся ана- аналогичным образом; следует только поменять местами роль осей Ох и Оу, так что в результате получим решения уравнения D1.77) в виде функций от переменной y:fx(y) и /2(*/). Если, наконец, Fxx = Fy!, = Q и, значит, F%=/=0, то проще> всего выполнить замену переменных: х = %-\-у), y = % — t] (повер- (повернуть оси координат на угол я/4). Тогда (как легко убедиться непосредственно дифференцированием) р» ро про j л pi п т. е. в новой координатной системе получим уже изученный слу- случай. В частности, уравнение D1.84) для угловых коэффициентов касательных в особой точке в координатной системе |, г] имеет вид /г2-1=0, и, значит, к1Л = ±1. Иначе говоря, биссектрисы координатных углов, являющиеся координатными осями в старой системе коорди- координат х, у, суть касательные к графикам двух функций, которые определяются уравнением D1.77) в некоторой окрестности рассмат- рассматриваемой особой точки. Ц Если уравнение F (х, у) = 0 является неявным представлением какой-либо кривой, то в особой точке (х0, г/о) этого уравнения кривая может (хотя и не обязана) иметь какие-либо особенности, т. е. в окрестности особой точки этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции. Следует напомнить также, что множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению D1.77), вообще говоря, не является всегда кривой в смысле данного ранее определения кривой (см. п. 16.2*), задаваемой параметрически.
41.9. Особые точки 79 Примеры. 1. Пусть дано уравнение у2 (x2Jr У2 + 1) = 0. Здесь F(x, У) = УЧх* + у2+1), а поэтому Fx = 2xif, FM = 2х2у + 4у* + 2у. Условия наличия особой точки D1.78) и D1.79) дают в этом случае *о = 0, Уо — 0. Таким образом, особой точкой является @, 0). Однако в этой точке кривая, определяемая уравнением, не имеет особенности, так как оно (множитель х2-\-у%-\-\ нигде не обращается в нуль) равносильно уравнению у — О и рассматриваемая кривая является графиком явной функции г/ = /(л:) = О. Отметим, что, как легко убедиться, в этом случае в точке @, 0) FxxFm-Fly = 0. D1.100) 2. Для уравнения (х2 + г/2)(х2 + г/2-1) = 0. D1.101) условия D1.79) превращаются в следующую систему уравнений: Сложив и вычтя эти уравнения, получим систему Отсюда либо х = у — 0, либо 2л:2 -f 2z/2 — 1 = 0, однако точка (х, у), координаты которой удовлетворяют последнему соотношению, не является корнем уравнения D1.101) (для нее x2J\y% (д \y -^, и, зна- значит, ни один из сомножителей левой части D1.101) не обращается в ноль). Таким образом, единственной особой точкой является @, 0). Легко проверить, что здесь выполняется условие D1.81), и, зна- значит, точка @, 0) является изолированным корнем уравнения D1.101). Геометрически, как это сразу видно, уравнение D1.101) задает единичную окружность и ее центр @, 0) (это множество, очевидно, не является носителем никакой кривой, заданной пара- параметрически в смысле п. 16.2*). 3. Для уравнения а а-Заху = 0 D1.102) условия D1.79) наличия особой точки приводят к системе уравнений
80 § 41. Неявные функции откуда либо х = г/ = О, и эта точка удовлетворяет уравнению D1.102), либо х = а, у = а, но координаты этой точки не являются решением уравнения D1.102). Снова здесь @, 0) — единственная особая точка. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются условия D1.82), и, значит, @, 0) является двойной точкой. Геометрически для кривой, неявным представлением которой является уравнение D1.102) (она называется декартов лист, и мы с ней уже встречались в п. 14.5); точка @, 0) является точкой самопересечения (см. рис. 61 в первом томе). 4. Для уравнения y2_^3 = 0 D1.103) @, 0) является особой точкой; в ней выполняется уже условие D1.100), и тем самым в этом случае не выполняются условия теоремы 6. Геометрически кривая, выражаемая уравнением D1.103) и называемая полукубической параболой y — zhx3?2, имеет в точке @, 0) касательную и расположена в окрестности этой точки по одну сторону от нормали. х Рис. 155 Рис. 156 Точки такого типа называются точками возврата (рис. 155). 5. Для уравнения г/2_Л.1 = о D1.104) @, 0) также является особой точкой, и снова здесь выполняется условие D1.100). Уравнение D1.104), очевидно, распадается на два уравнения: у = х2 и у = — хг, которые задают две параболы, имеющие в точке @, 0) общую касательную. Особые точки, в некоторой окрестности которых уравнение D1.77) задает две непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие в точке (х0, г/о) общую касательную, называются точками само- самоприкосновения (рис. 156) этих двух кривых. Может случиться, что при выполнении условия D1.100) особая точка окажется изолированным решением уравнения D1.77), или его двойной точкой.
41.9. Особые точки 81. В заключение дадим некоторые пояснения к уравнению D1,84):. Если (х0, Уо) — особая точка уравнения D1.77), то после парал- параллельного переноса начала координат в точку (х0, г/о) уравнение D1.77) примет вид F°xxx* + 2Fxyxy + rmf + о (х* + г/2) = 0, D1.105) (здесь через х и у обозначены координаты точки в новой системе координат, а индексом 0 наверху обозначены значения частных производных в точке @, 0) этой системы), откуда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка наше уравнение можно записать следующим образом: F°xxx* + 2Fxyxy + Flyy* = 0. D1.106) В случае выполнения условия D1.82) левая часть уравнения D1.105) распадается на два действительных множителя, каждый из которых, приравненный нулю, и дает касательные к двум ветвям кривой в точке @, 0) (см. D1.84)). В случае же выполнения условия D1.81) левая часть уравнения D1.106) распадается на два комплексных множителя: «касательные мнимы». Это естественно, так как здесь говорить о касательной не имеет смысла, ибо в этом случае особая точка является изолированной. Это замечание особенно удобно использовать для определения характера особой точки в случае алгебраической кривой, т. е. кривой, заданной уравнением Р(х,у) = 0, D1.107) где Р (х, у)—многочлен от двух переменных х и у. Если @,0)—особая точка этого уравнения, то из условий D1.78) и D1.79) следует, что этот многочлен не содержит ни свободного члена, ни членов первого порядка, т. е. уравнение D1.107) имеет вид где Q(x, у) — многочлен, все члены которого по крайней мере третьего порядка. Характер поведения решений этого уравнения определяется его главной частью, т. е. уравнением которое является уравнением D1.106) для данного случая ибо, как легко видеть, здесь = Fxu и c = Если же точка @, 0) удовлетворяет уравнению D1.107), но не является особой, то D1.107) имеет вид где R (х, у) — многочлен, все члены которого имеют порядок не ниже второго. Из теоремы о неявных функциях (см. теорему 1
§ 41. Неявные функции в п. 41.1) следует, что уравнение Ах + By = О является в этом случае уравнением касательной в точке @, 0) к графику решения уравнения D1.107). Упражнения. Исследовать поведение каждой из следующих кривых в окрестности ее особых точек; найти касательные в особой точке. 13. у* = х* + х*. 18. у(у — 2)* = х?. 14. «/* = *« —*>. 19 4(^ = *6 + 5х4. 15. г/2 = х2 — х*. 20. (х2—ф)у = х\ 16. (х2 — 9)#2 = Х4. 21. (у — xy = xi. 17. у* = х(х—ЗJ. 41.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Часто в различных вопросах математического анализа и в его приложениях при изучении той или иной формулы, содержащей какие-либо функции и их производные (обыкновенные или част- частные), оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным, а иногда и к другим функциям, которые связаны с функциями, входящими в рассматриваемую формулу, определен- определенными соотношениями. Все эти преобразования делаются на осно- основании правил дифференцирования сложных и неявных функций. Рассмотрим несколько примеров. Пусть и = и(х, у). Преобразуем выражения ) И ~дх^ + dif- к. полярным координатам г и ср. Первое из этих выражений является квадратом длины градиента Vu функции и, т. е. равно J Vm |2, а второе имеет специальное обозначение Аи: <4U09> Символ А, указывающий на применение к функции и операции D1.109), называется оператором Лапласа *К Из формул, связывающих декартовые координаты с полярными, x = r cos ф, y = rsmq, D1.110) находим: |*- = cos<p, Щ- — rsinip, |f- = sinrp, || = rcos9. D1.111) •' П. Лаплас A749—1827) —французский механик и математик.
41.10. Замена переменных Применим формулы дифференцирования сложной функции: ди ди дх , ди ду ди , ди . -тг- = -5- -5 Ь -5— -5- = -5— COS ю + -^- Sin ф, дг дх дг ' ду дг дх т ' ду *' ди ди дх . ди ду ди , ди -3- = -?-  Г "И— "а^- = 3— Г Sin ф + "а- Г COS ф. дф д* дф ' дг/ дф дх т ' дг/ т Разрешим эти равенства относительно ~ и -^: ди дм ди sin m дм дм . . дм cos ф ,,, « . о. -jr- = -д- cos ф — -д -, -д— = -д— sinro +-5 — D1.112) дх дл ^ дц> г ду дг т дф г ч ' и подставим получившиеся выражения в D1.108): ,„ f ди ди sinro\2 (ди . . ди 2 ={COSro + Sinro + дг т дф г j ¦ [дг J + r* \dq>) • Теперь перейдем к вычислению выражения D1.109). Продиф- Продифференцируем формулы D1.110) сначала по х, затем по у: дг • dm •> „ дг дф w~rsillCfl"dl' I 0 = COS(P-^-rsmcP"aJ дг , дф ( 1 . дг , дф W + rcoScpW J 1=sm(P^ + /'COS(I)^r ,-, дг дф дг дда Разрешим получившиеся системы относительно -д-, -^-, -^— и ~-; дг дг . дф sin ф дф cos a>) ,., Пт со8Ф 81ПФ ^=_^, -^ = -^.. D1.НЗ) Продифференцируем теперь формулы D1.72) по х и у, тогда, использовав D1.113), получим д2м д I ди ди sin ф \ дг , д f ди ди sin ф \ дф T-S- = т— -*— COS ф » — -w Ь -=— -тг— COS ф = ' - дх% дг \дг ' дф г j дх дф \ дг ' дф д3и 2 2 cos ф sin ф д2и , sin2 ф д2и _, , sin2 ф ди , 2 cos ф sin ф д« д'а д f ди . , ди cos го \ дг . д f ди . , ди cos ф \ дф ~з-г = -5— т— Sin ф + -з — Нг- +-5—I ~ Sin®+ -5 Lhr = д$2 дг \дг т ' дф г у д(/ ' дф \ дг т ' ftp r j ду д2м . 2 I 2 cos ф sin ф д2м . cos2 ф д2м , = "d72'Sln Ср~| г дТдф" г2 дф2"" , cos2 ф д« 2 cos ф sin ф ди i - ~Qj pa ^ф~ Подставив получившиеся выражения в D1.109), будем иметь Л д% , 1 д2и . 1 ди.
84 § 41. Неявные функции В случае, когда в преобразуемое выражение входит не одна, а несколько производных данного порядка, удобно применять метод вычисления не производных, а дифференциалов. Например, считая независимыми переменными х и у, найдем выражения для диффе- дифференциалов dr и dф. Из формул D1.110) имеем dx = cos ф dr — г sin ф йф, dy = sin ф dr -\- r cos ф dф, отсюда dr = cos <р dx-\-sin q>dy, йф =—-^JEdx + -^-^d# D1.114) 'отметим, что из этих формул также сразу получаются формулы D1.113)). Для функции и = и(х, у) имеем , ди . . ди . du = -5— wr + -»— аф = dr ' Зф Y "(-sin?+|"^^Uy. D1.115) »¦ т аф г ) В выражении для дифференциала d« коэффициенты d.v и di/ являются производными ~ и -^А, поэтому из D1.115) сразу полу- получаются обе формулы D1.112). Найдем далее вторые дифферен- дифференциалы d2r и а2ф из D1.114): d2r = — sin фd ф dx + cos ф dф dy = sin2 ф dx2 — 2 cos Ф sin ф dx dy -f- cos2 ф ifi/2 2 cos ф sin ф dx2 — 2 (cos2 ф — sin2 ф) dx dy — 2 cos ф sin ф dy* _ . Теперь из D1.115) для d2u получим д-и , 2 i о д-и , , , дги , » , 3« ,, , du dr> + 2drdq + d<p*+d>r + _ / 2 52u 2 cos ф sin ф 32« , вт2ф д2и Отсюда и получаются выражения для вторых производных г^( | и ^-2 как соответственно коэффициенты при dx2, 2dxdy и Аналогичные методы применимы, конечно, и в случае, когда производится какая-либо другая замена переменных х = х(и, v),
42.1. Понятие зависимости функций 85 y=zy(u, v), когда имеются производные высших порядков, а также когда речь идет о функциях большего числа псфеменных. Упражнение 22. Преобразовать выражение | Vu 2, где и = и (х, у), к ортогональным координатам |, т), т. е. таким координатам, что дх дх дуду _. 23. Преобразовать уравнение у"—ху'3 + еУу'3 = 0, приняв у за новую неза- независимую переменную, а х—за функцию от у. (Рг дЧ 24. D уравнении у^ — я7»=0 перейти к новым независимым переменным и — х+у, v = x—y. 25. В выражении ' « [\ ~ + \ ?Й + I I"fL ?^ + fL ?У I - 1 / 1 дг , 1 dz\ , ~~г\ ' й~"*"«^~) пеРеити к переменным и, р, а) = а»(ы, у), если и=х2, „ . / д-w , d2w\ *=¦?' "^{жекш + д*)- Задача 27. В n-мерном просгранстве преобразовать выражение | Хи ;2, гдг и = и(х1 хп), к ортогональным координатам |х |я, т. е. таким коор- координатам, что при i^k выполняется равенство 2дх/ дх/ § 42. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ 2.1. ПОНЯТИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ Определение 1. Пусть на открытом множестве С с: R" заданы непрерывно дифференцируемые функции У, = %(х), t = l, 2, .... т, х = (хъ .... xn)EEG. D2.1) Если существуют открытое множество D в пространстве #1^7.!., ут_х и непрерывно дифференцируемая на D функция Ф(<Jl, ¦ • •. Уш-i). такие, что в любой точке x^G выполняются Условия (Щ(Х) фт_х (*)) €Е Z> U Ф(ф1(х), ..., 4>m-i(x)) = (fm(x), то функция фт называется зависимой на множестве G от функ- функций фь .... фт-Х. Определение 2. Если среди функций системы D2.1) есть функ- функция, зависимая от остальных на множестве G, то эта система называется зависимой на множестве G. Если ни одна функция системы D2.1) не зависит от осталь- остальных на множестве G, то эта система называется независимой на G.
86 § 42. Зависимость функций Иногда для краткости вместо выражения «зависимая (незави- (независимая) система функций» будем просто говорить «зависимые (соот- (соответственно независимые) функции». В вопросе зависимости системы функций D2.1) фундаменталь- фундаментальную роль играет матрица Якоби этой системы 1 = 1,2, ...,т; / = 1,2,..., л, D2.2) I — номер строчки, / — номер столбца. Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть т^л и система функций D2.1) зависима на открытом множе- множестве G. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби D2.2) *' этой системы меньше т. Доказательство. По условию, система функций D2.1) зависима на G, т. е. по крайней мере одна из этих функций зависит от остальных. Пусть для определенности фт зависит от Фь •¦•. фт-1: где Ф —непрерывно дифференцируемая функция от (т — 1) аргу- аргументов уи .... ут-х. Отсюда т-\ Эта формула показывает, что т-я строка матрицы Якоби D2.2) в каждой точке xeG является линейной комбинацией остальных строк этой матрицы, и, значит, ранг матрицы Якоби D2.2) меньше т в каждой точке хеС [] Следствие 1. Пусть т — п и система функций D2.1) зависима на G. Тогда ее якобиан ^У1 Уп\ равен нулю во всех точках мно- ° \Х1 хп> жества G. Следствие 2 (достаточные условия независимости функций). Пусть т^п и пусть ранг матрицы Якоби D2.2) хоть в одной точке открытого множества G равен т. Тогда система D2.1) независима на множестве G. Следствие 1 получается сразу из доказанной теоремы при т. —п. Следствие 2 легко доказывается от противного. Поскольку строки матрицы Якоби D2.2) являются координа- координатами градиентов функций D2.1), то теорему 1 можно перефрази- перефразировать следующим образом. *' Напомним, что рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк. Это число совпадает с максимальным порядком минора этой матрицы, не равного нулю.
42.2. Достаточные условия зависимости функций 87 Если система функций D2.1) зависима в области G, то гра- градиенты 7фь ..., ?фт этих функций линейно зависимы в каждой точке G. 42.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ В этом пункте сохраним обозначения предыдущего пункта и будем, как и раньше, предполагать, что функции D2.1) непре- непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G a Rn. Теорема 2 (достаточные условия зависимости функций). Пусть ранг матрицы Якоби D2.2) системы функций D2.1) в каждой точке открытого множества G не превышает числа г, г <.ms^n, а в некоторой точке х{0) е G равен г, иначе говоря, существуют такие переменные xlv ..., xjr и функцииyix = <pfl (x),..., yif = ф,г(х), что д(Уп У1Г) /А d(x/v D2.3) Тогда все г функций, входящих в условие D2.3), независимы на множестве G и существует окрестность точки х<-°\ такая, что любая из оставшихся т — г функций зависит на этой окрестности от указанных г функций. Доказательство. Пусть для простоты записи условие D2.3) имеет вид д (г/ь ¦ •., Уг) д(хъ Ф 0 D2.4) (этого всегда можно добиться, перенумеровав в случае необхо- необходимости функции и аргументы системы D2.1) в нужном порядке). Согласно следствию 2 из теоремы 1 п. 42.1., функции уъ ..., уг независимы в G. Покажем, что каждая из остальных зависит от них в неко- некоторой окрестности точки х@) = (х'Г, ..., х'?'). Пусть у\0) = ф,-(х<0'), i = 1, 2, ..., т. Рассмотрим систему первых г функций системы D2.1): у1 = щ{хъ ..., хп) D2.5) yr = yr(Xi, ..., хп). Прежде всего выберем такое ri0, чтобы всякая точка х = (х%, ..., х„), принадлежащая т]0-кубической окрестности точки х@), т. е. всякая точка х, для которой |х,- — хТ' |<щ, t = l, 2, ..., п, принадле- принадлежала множеству G : xeG. Это всегда возможно в силу его откры- открытости. Далее, в силу условия D2.4) и теоремы о неявных функциях (см. п. 41.3) система D2.5) разрешима относительно переменных
§ 42. Зависимость функций хъ .,., хг в некоторой окрестности точки (л^0), у{0)): Х1 = /1 (Уъ ¦ ¦ ¦ , У г, Хг+Ъ • • • 1 Хп), D2.6) xr = fr (Уи ¦ ¦ ¦ , Уг> хг+1, • • • > Х„). При этом функции /i, ..., fr определены и непрерывно дифферен- дифференцируемы в некоторой окрестности точки (г/Г,..., у?', х'г\ ь ..., xf). . Более подробно (если в качестве окрестностей брать кубиче- кубические окрестности) это означает следующее: можно выбрать такие числа 6 > О и т] > 0, причем для удобства взять их меньшими ц0: 8 < "По» Ц < t)oi чт0 если через f/ обозначить кубическую окрест- окрестность точки (г/Г, ..., у'1, х'г"+и ..., х^01), задаваемую неравен- неравенствами \У1-У'П<Ь, « = 1, 2 г, |дс,--хП'<в, / = г+1 п, то 1) на окрестности U функции fk, k = \, 2, ..., г определены и непрерывно дифференцируемы; 2) Для всех точек (г/ь ..., уг, хг+ъ ..., х„)е(/ справедливы неравенства I fk (Уъ ¦¦¦, Уг, Хм, ¦ ¦ ¦. х„) — хТ 1 < П. ^--=1,2,...,/-; 3) на окрестности ?/ выполняются равенства фг(/1, •••. fr, xr+1, ..., хл)==г/ь 1 = 1, 2, ..., г, где под fk, k=\, ..., г, понимаются правые части равенств D2.6). Рассмотрим композицию функций D2.6) и <рг+1 (х\, ..., х„), т. е. функцию i, .-., fr, xr+1, ..., х„), D2.7) где /* =/а (г/ь ..., yr, Xr+i х„), k = l, ..., г. Эта сложная функция заведомо определена и непрерывно дифференцируема на указанной выше кубической окрестности U точки /,.101 ..@1 „@) г( \У\ 1 •••» Уг > хг + \, •••> Х Покажем, что на самом деле функция D2.7) в этой окрест- окрестности U не зависит от переменных хг+ъ ..., х„, т. е. не меняется при их изменении, и тем самым является фактически лишь функ- функцией переменных уи ..., уг. Для этого достаточно показать, чтр для функции D2.7) на окрестности U выполняется равенство %f = 0, / = г + 1, ..., п D2.8) (см. п. 20.4 или формулу конечных приращений Лагранжа в п. 39.2, из которой сразу следует достаточность условия D2.8) для независимости функции от переменных хг+1, ..., х„ в выпук- выпуклой области, а следовательно, и в кубической окрестности).
42.2. Достаточные условия зависимости функций 89 Для доказательства равенства D2.8) зафиксируем одно из } (/ = г + 1, ..., п) и координаты xk с индексами k, принимающими значения r-j-l, ..., j — 1, / +1, ..., ft, обозначив их через х%, причем выберем х% так, чтобы \х% — *fe"|<S, & = r + l, ..., / — 1, /+1, ..-, п. Рассмотрим отображение Hi = У и D2.9) yr+i = 4>r+i(fu .... //, Хг+и ..-, л;;_ь xhxf+u ..., х^), где fl = fk(tji, ..., yr, xf+u .... jr?_i, x/, x|+I, ..., 4), куби- кубической окрестности ?/*/) точки (yi0', ..., г/7', Х/О)), задаваемой нера- неравенствами \Ук-уГ\<Ь, k = l,2,...,r, }xj-xf>\<6. Символически, чтобы подчеркнуть, какие именно переменные меняются, изобразим отображение D2.9) в виде (У и .... У г, *,)->-(г/ъ ••-, У г, Уг+i). Это отображение непрерывно дифференцируемо на U{>">; его матрица Якоби имеет вид и потому 1 0 дуг+ д(уи ¦ < НУъ 0 1 1дуг+г дуг • •> Уп ¦ ¦¦, Уп 0 0 d'/л-и dt дуг ( Уг+l) _ хл 0 0 дх^ D2.10) т. е. якобиан рассматриваемого отображения равен интересующей нас производной. На окрестности U(>"> это отображение можно представить в виде композиции двух отображений: непрерывно дифференци- дифференцируемого отображения ••> Х]—\, X], Уп X'f+U ..., Xf-U Xj, Xf+U ..-
90 . § 42. Зависимость функций окрестности UW и непрерывно дифференцируемого отображения yi = <Pi(xu .... х„ х?+ь .... xj-u xJt 4+1 xl). Уг = Ч>г(Х1, ..., Xr, X?+i Xj-l, X/, Уг+l = фл+1 (*1, ¦-., Xn X?+\, ..., X*-i, Xj, X*+i Xl) окрестности точки (хТ, ..., xr0), x'j"), задаваемой неравенствами {Ь-хГКч, f = l, 2, ...,/-, \Х/-х?Ч<8. В силу выбора чисел бит] композиция этих отображений, которую для наглядности можно символически изобразить в виде (Уъ ¦•-, У г, Xj)-^(Xi, ..., Xr, Xj)-*~(ylt ..., у r, yr+1), определена и непрерывно дифференцируема на окрестности Первое из этих отображений непрерывно дифференцируемо в окрестности ?/(/) точки (у\0>, ..., y'r0', x'f), а второе непрерывно дифференцируемо в соответствующей окрестности точки (х'{", ... ..., хг°\ xf). Поэтому из D2.10) и из свойств якобианов отобра- отображений (см. п. 41.7) имеем dyr+i _д(у1 у п уг+1) _д(ух у г, yr+i)d(xlt ..., хп xj) /49 1П дх/ д(уи .... уп х/) д(хъ ..., xr, Xj) д{у^ уп xj) к ¦" ' В силу условия теоремы ранг матрицы Якоби на множестве G меньше или равен г, следовательно, д(уъ ¦¦¦, у г, г/л+i) = 0 <Э(*1 xr, xj) всюду на G. Поэтому из D2.11) сразу следует, что для любой точки (уъ ..., уг, Xj) eUW и, следовательно, для любой точки {Уи •••) Уг> х*+\, ..., х*—\, Xj справедливо равенство D2.8). Поскольку координаты х% были фиксированы произвольным образом, лишь бы | х% — x'g' \ < б; k = r-\-\, ..., /—1, /+1, ¦••, п, то это означает, что равенство D2.8) справедливо на всей окрестности U. Таким образом, функция D2.7) зависит только от переменных Ух, ..., уг- Обозначив ее символом Ф, получим qv+i(/i. •••. fr, Xr+i, •••, хп) = Ф{уъ .... yr). Выберем теперь так б0, 60<6 я 80<г\, чтобы при \xi—x\m\<. < б0, i = l, 2, ..., п, выполнялись бы неравенства \У1-УГ\<8, /=1,2 г. Это возможно в силу непрерывности функций г/, = фу {хъ ..., хп), /=1, 2, ..., г, системы D2.5) в точке х<-°К
42.2. Достаточные условия зависимости функций 91 В силу доказанного для любой точки х 60-кубической окрест- окрестности точки х@), т. е. для любой такой точки х = {хи ..., х„), что |*i —*J0)|<80l t = l, 2, .... п, будет справедливо тождество фг+1 (X) = Ф (ф! (X), . . . , ф, (X)), т. е. в указанной окрестности точки а'@) функции <plf ..., ц>г, фг+1 зависимы. Аналогично доказывается и зависимость каждой из функций ф*+г. •••. Фт от ф1, ..., фг в некоторой окрестности точки х{°К ? Аналогично необходимому условию зависимости функций доста- достаточные условия также можно сформулировать в терминах гра- градиентов. Для простоты ограничимся случаем r — m — l. Если градиенты Уфь ..., Уфт линейно зависимы во всех точ- точках области G, то какова бы ни была точка xeG, в которой т — \ из указанных градиентоз линейно независимы, существует ее окрестность, в которой функции фь ..., фт зависимы. При этом, если, например, градиенты Уфь ..., Уфт_х линейно неза- независимы в рассматриваемой точке, и, следовательно, градиент Vq>m в этой точке является их линейной комбинацией, то в указанной окрестности функция ц>т зависит от функций фЬ ..., фт-1. Следует обратить внимание на то, что достаточные условия зависимости функций, установленные в этом пункте, имеют локаль- локальный характер в отличие от результатов предшествующего пункта, имеющих глобальный характер. Это означает следующее: если система т непрерывно дифференцируемых функций D2.1) зави- зависима на открытом множестве G с R", то согласно теореме I п, .42.1 в каждой точке этого множества ранг матрицы Якоби этой системы меньше т (соответственно если хотя бы в одной точке множества G ранг рассматриваемой матрицы равен т, то система независима на всем множестве G). Что же касается теоремы 2 настоящего пункта, то она утверждает лишь, что если в какой-то точке x<0) e G выполняются условия этой теоремы, то только на некоторой окрестности этой точки (а не на всем множестве G) данная система функций является зависимой системой. Таким образом, действительно, утверждение теоремы 2 имеет локальный характер. Добавим еще, что если в каждой точке х{0) открытого мно- множества G выполняются условия теоремы 2, то, конечно, в этом случае в некоторой окрестности каждой тючки рассматриваемая система функций будет зависимой. Однако теорема 2 не гаран- гарантирует, что эта зависимость будет одной и той же во всех ука- указанных окрестностях, т. е. из теоремы 2 не следует, что в разных точках одни и те же функции будут зависимыми от других и что функции Ф, «осуществляющие» зависимости одних и тех же функций, рассматриваемых на разных окрестностях, будут совпа-
92 § 43. Условный экстремум дать в точках пересечения этих окрестностей. Следовательно, из теоремы 2 не следует, что система функций, удовлетворяющая условиям этой теоремы во всех точках х'^ множества G, будет зависимой на всем множестве G в целом, в едином смысле, т. е. в смысле определения 1. Это и означает, что теорема 2 не имеет глобального характера. Заметим, что существует несколько более общий подход к поня- понятию зависимости функций, позволяющий построить глобальную теорию этого вопроса, однако мы не будем на этом останавливаться. Пример. Рассмотрим систему функций и = sin {x-\- у), а = cos (* + #). D2.12) Якобиан этой системы равен нулю на всей плоскости и, как легко видеть, ранг матрицы Якоби этой системы равен единице во всех точках плоскости. Согласно теореме 2, функции D2.12) зависимы в окрестности каждой точки плоскости. В данном случае зависимость функций легко находится в явном виде, например на открытом множестве точек (х, у), для которых cos (*+#);> 0, она может быть задана формулой v — У\ — и2. Упражнения 1. Пусть и==х1-\-уг-\-гг, v = xy-\-yz-\-zx, w=x-\-y-\-z. Доказать, что функции и, и, ш зависимы и найти уравнение, выражающее их зависимость. 2. Исследовать вопрос о зависимости функций и = |3+т|3+$3, w = grj?r Задача 28. Функция и = и (х, у) называется гармонической в плоской области, если во всех точках этой области она удовлетворяет уравнению Ди = 0 (см. D1.109)). Доказать, что две гармонические функции зависимы в плоской области тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. § 43. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 43.1. ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Пусть на открытом множестве G с R" заданы функции yt=fi(x), i = l, 2 m, D3.1) x = (xlt ..., xn)^G. Обозначим через Е множество точек хеб| в которых все функции /,-, t = l, 2, :.., пг, обращаются в ноль: E = {x:ft{x) = 0, i = l, .... m, x^G\. D3.2) Уравнения /,(*) = 0, t=l, 2, .... m, D3.3) будем называть уравнениями связи.
43.1. Понятие условного экстремума 93 Определение 1. Пусть на G задана функция y — fo{x). Точка х[0) е? называется точкой условного экстремума*^ функции fo(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи D3.3), если она является точкой обычного экстремума этой функции, рас- рассматриваемой только на множестве Е (см. п. 40.1). Иначе говоря, здесь значение функции fo(x) в точке х<°> сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, при- принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрест- окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов, можно, естественно, рассматри- рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго ус- условного экстремума. Примеры. 1. Рассмотрим функцию f(x, y) = x* + t/ D3.4) D3.5) и уравнение связи х + у-\=0. Найдем условный экстремум функции D3.4) при выполнении уравнения связи D3.5). Из D3.5) имеем у=\—х, откуда f(x, 1-х) = 2*2 Рис- 157 Таким образом, при выполнении условия связи функция D3.4) является функцией одного переменного. Ее экстремум находится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое условие экстремума), получим 2х— 1=0, откуда х — у."В этой точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум (она является многочленом второй степени с положительным коэффи- коэффициентом при старшем члене). Значению х = -^, согласно уравне- уравнению связи D3.5); соответствует у = -^. 1 Следовательно, в точке A/2, 1/2) функция D3.4) достигает минимума относительно уравнения связи D3.5). Геометрически это означает, что точка параболоида z = x2-{-y2, проектирующаяся в точку A/2, 1/2), является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой D3.5) (рис. 157). Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает условного экстремума, не является, вообще говоря, точкой экстремума этой функции. *' Принят также термин «относительный экстремум».
94 § 43. Условный экстремум 2. Рассмотрим функцию / (х, у)~у2~х2 и уравнение связи у = 2х. Имеем f{x, 2х) — 3хг, т. е. при выполнении уравнений связи рассматриваемая функция также является функцией одного пере- переменного и, очевидно, достигает минимума при х = 0 (рис. 158). Значению х = 0, согласно уравнению связи, соответствует значе- значение у = О, а поэтому функция / (х, у) = у% — х2 имеет в точке @, 0) условный минимум относительно уравнения связи у = 2х. Рис, 158 Следует заметить, что в этом случае сама функция f(x, у) не имеет ни максимума, ни минимума ни в какой точке плоско- плоскости. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что функция может не иметь экстремума, но при определенных уравнениях связи может иметь условный экстремум. В дальнейшем будем предполагать, что 1) все функции /о, /ъ .... fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G; 2) в рассматриваемой точке х(°\ векторы V/lt ..., V/m линейна независимы, т. е. ранг матрицы Якоби яг: , / = 1, 2 т, 1 = \, 2, .... п, равен т —числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов V/x, ..., V/m). Согласно результатам предыдущего параграфа это означает, что функции системы D3.1) независимы в некоторой окрестности точки xw. Поскольку в и-мерном пространстве не может быть
43.1. Понятие условного экстремума 95 Дольше чем п линейно независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше числа столбцов, то из условия 2) следует, что пг^п. Согласно условию 2) в точке х{0) хотя бы один из определи- определителей вида d(h, .... U ¦¦•- *im) отличен от нуля. Пусть для определенности в точке dgi. ¦••> U _^0- D3.6) Тогда;, в силу теоремы о неявных функциях (см. п. 41.3), систему уравнений D3.3) в некоторой окрестности точки хш — (х'Г,..., х'п') можно разрешить относительно переменных хи ..., х,„: Х\ = ф1 (-^яг+1) • • • ) Хп) D3.7) Хт = фт \%т+1г • • • » Хп). Подставив значения хь ..., хт, даваемые формулами D3.7) в y = fo(x), т. е. рассмотрев композицию функции /0 и фь ..., ц>т получим функцию li—ftmtv v \ гп (v г ^ v Y \^{ У — /О \Ч>1 \лт±Ъ • • • » Лл/> • • •) 4>т \лт+Ъ • • • > Лл/> Лт+Ъ • • ¦ i лп) -gix^i xn) D3.8) от п — т переменных xm+i, ..., хп, определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки Зс"" = (;$}+ь ... ..., х'п') в (п — т)-мерном пространстве R,n-m. Поскольку, согласно теореме о неявных функциях, условия D3.3) и D3.7) равносильны, то справедливо следующее утверж- утверждение. Точка х@> является точкой (строгого) условного экстремума для функции /о (х) относительно уравнений связи D3.3) в том и только в том случае, когда лН0) является точкой обычного (строгого) экстремума функции D3.8). Если х@) — точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции (см. п. 40.1): °>) = 0. D3.9) Напомним, что дифференциал— линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов, в данном случае — при любых dxm+1, dxm+2, ..., dxR. Это возможно, очевидно, в том и только в том случае, когда все коэффициенты при этих аргу- аргументах, т. е. производные -^—, k = l, 2 п — т обращаются
9ft § 43. Условный экстремум в ноль в точке xl0\ Условие D3.9) необходимо для условного экстремума в точке л-@). Таким образом, метод, основанный на решении системы урав- уравнений D3.3), позволяет свести вопрос о нахождении условного экстремума к уже изученному вопросу об обычном экстремуме. Именно таким образом мы и поступали в рассмотренных выше примерах. Однако выразить решение системы D3.3) через эле- элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом, позволяющим найти условный экстремум не решая системы D3.3). Такой способ изло- изложен ниже. 43.2. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА В этом пункте будет предполагаться, что все функции /0, fi, .... fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G: Теорема 1. Пусть х^0) — точка условного экстремума функции /о при выполнении уравнений связи D3.3). Тогда в этой точке градиенты V/o, V/b ..., V/m линейно зависимы, т. е. существуют такие, не все равные нулю, числа Ко, К, • ¦ •, hm, что /m = 0. D3.10) Следствие. Если в точке х^ условного экстремума функции /о относительно уравнений связи D3.3) градиенты V/lt ..., V/m линейно независимы, т. е. ранг матрицы (§?), /=1, 2, .... т, *=1, 2, ..., п, равен т, то существуют такие Яь ..., Хт, что в этой точке т Vo+ 2^ = 0, D3.11) /=i т. е: Vf0 является линейной комбинацией градиентов V/b .... Vfm. В координатной форме это условие имеет вид: для любого t=l, 2, ..., п в точке х{0> 1/ш=0- D3Л2> Функция f W-/oM+ S V/W, D3.13) где числа ku ¦•-, ^m удовлетворяют условию D3.12), называете» функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа ^¦ь • • •» ^т — множителями Лагранжа.
43.2. Метод множителей Лагранжа 97 Условие D3.12) означает, что если х<-0) является точкой условного экстремума функции /0 относительно уравнений связи D3.3), то она является стационарной точкой для функции Лаг- Лагранжа, т. е. ^ = 0, *=1, 2, ...,„. D3.14) Прежде чем доказать теорему, разъясним се смысл и покажем, как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то, что у функции вида D3.13) при произвольных числах Аь ..., Ят, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции /о, и наоборот. Мы выбираем такие значения Я,ь .... Я„, чтобы выполнялись условия D3.12)^ т. е. чтобы дан- данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой функции D3.11). Для отыскания точек условного экстремума следует рассмот- рассмотреть систему п + т уравнений D3.3) и D3.10) относительно неизвестных х\0>, .... х'п', К, .... hm и решить ее (если это ока- окажется возможным), найдя x'i\ .... х'п и по возможности исключив ^•1. • • ¦. Kt- Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находиться среди найденных таким образом точек (xf, • ¦-, *«'). Вопрос о том, какие же из них фактически будут точками условного экстремума, требует допол- дополнительного исследования; соображения об этом будут высказаны в пункте 43.5 *. Доказательство теоремы. Докажем утверждение, равно- равносильное теореме: если в точке х10' == (х'?', ..., х'п), удовлетво- удовлетворяющей уравнениям связи = 0, k=l, 2, ..., m, D3.15) градиенты-V/o, V/b ..., V/m линейно независимы, то ^@) не явля- является точкой условного экстремума. Итак, пусть V/o, V/b ..., V/m линейно независимы и, следо- следовательно, ранг матрицы Якоби Ь?1, / = 0, 1, ..., m, i— 1, 2, ... ..., п, равен т+1. Тогда в этой матрице существует минор порядка т + 1 не равный нулю. Для определенности будем считать, что он образован первыми т+1 столбцами, т. е. /(fc- h f™\\ фО. D3.16) д{хъх2 *m+i) !*=*;(» ^ Множество G — открыто, а поэтому существует такое 60 > 0, что при всех б, 0<6<60, куб <Я = {х:\ь-х1т\<6, 1=1, 2, .... п} лежит в G и, следовательно, на нем определены все функции /с. /ъ • • •, fm- 4 Кудрявцев Л. Д. т. 2
да § 43. Условный экстремум Зафиксируем 2, ..., *« = *«' и введем обозначения % , i=l, 2, ..., т+Ц. Очевидно, функции /у-{хъ ..., хт+и -С+ 2,..., х%'), j = О, 1,..., т, определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q%+1- Рас- Рассмотрим отображение OiQ^^-1 ->~Rm+1, задаваемое формулами , •¦•» Xп ) Ут+1 — /m4-l \xl> В силу D3.16) для точки д (Уи ¦¦¦, Ут+l) -f 2> D3.17) = (x(f, ..., хй+i) имеем Um*i а в силу D3.15) <3>(x*W) = (h(xW), 0, ..., О). Поэтому (см. тео- теорему 7 в п. 41.8 о локальной обратимости непрерывно диффе- дифференцируемого отображе- отображения в точке, в которой его якобиан не равен нулю) существует такое е >0, что на окрестности Рис. 159 (рис. 159) определено обратное к Ф отображе- отображение, и, следовательно, в любую точку этой ок- окрестности отображается какая-то точка из Q^+'. В частности, пос- поскольку при любом т), 0<т]<е, имеет место +l ] включение (f(xW)±i\, 0, .... 0)eV, то в кубе Qf+l найдутся точки х'* = {х'и ..., х'т+1) и х"* = (х,...,х"т+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестности V: Ф(*'*) = №0)) + П, 0, .... 0), Ф(*"*) = (/(*@))—П. 0, .... 0). Е ' (' ' C f?>) () №) + П, , . ), () (/(*)П. 0, .... Если положим для краткости х' = (х'и .... х'т+1, jC+2, ..., И x" (Xi X' + i x'm+2, ..., X™), ТО В КООрДИНЭТНОЙ ЗЭПИСИ И x" —
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 99 (см. D3.17)) получим /*(*') = О, k = \, 2 m, x'eQe* h(x") = 0, ft=l, 2, ..., m, В силу произвольности 6>0, 0<б<б0, это и означает, что не является точкой условного экстремума. Ц Доказательство следствия. Если векторы V/lt..., V/m линейно независимы, то в равенстве D3.10) имеем Х0ф0, так как в случае А0 = 0 указанные векторы в силу D3.10) оказались бы линейно зависимыми. Разделив обе части D3.10) на Я-о, полу- получим равенство вида D3.11). Q 43.3*. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА ЛАГРАНЖА Дадим теперь некоторые геометрические пояснения к тео- теореме 1. Рассмотрим для простоты случай условного экстремума функции двух переменных z — f(x, у) при выполнении уравнения связи ф (х, у) = 0. Пусть функции / и ф непрерывно дифференцируемы в окрест- ности точки (хо,уо), ^(xo,yo){d^^^) ф (хо, Уо) = 0- В силу условия Уф (х0, у0) Ф 0, согласно теореме о неявных функциях, уравнение <р(х, #) = 0 в окрестности точки (лг0, у о) задает некоторую гладкую кривую, обладающую явным представлением либо вида у = у(х), либо вида х = х(у). Поскольку нас интересуют только достаточно близкие к (х0, Уо) точки, то указанную кривую будем называть просто кривой ф (х, у) — 0 (т. е. попросту говоря, всюду в дальнейшем будем рассматривать сужение функции f и ф на указанную окрестность точки (х0, у0)). Градиент ?ф (х0, у0) является нормалью к кривой ф (х, у) — 0 в>точке (х0, уо) (п. 20.6). Обозначим через т единичный касатель- касательный вектор к кривой ц>(х,~у) в точке (х0, у0). Пусть для опреде- определенности рассматриваемая кривая задается уравнением у — у(х). Если (х0, уо) — точка условного экстремума, то х0 является точ- точкой?'обычного экстремума для функции g(x)^=f(x, g(x)) (см. п. 43.1) и поэтому g'(x) = 0, т. е. производная функции / в точке (*о. Уо) в направлении кривой ф (х, у) — 0, или, что то же (см. п. 20.7), в направлени и вектора т, равна нулю, ^ Уо), т).^ 4*
100 § 43. Условный экстремум Это означает ортогональность градиента V/(х0, у0) и касательного вектора т, что равносильно коллинеарности векторов V/(x0, у0) и Vcp(x0, УоУ- т. е. выполняется условие D3.11). Выполнение этого условия в точке условного экстремума можно пояснить и другим путем. Пусть f(x0, уо)^с. Если в точке (х0, у0) не выполняется усло- условие D3.11), т. е. градиенты V/ и Vcp не коллинеарны, то это означает, что в этой точке V/^О и линия уровня f(x, y) = c и кривая ф (х, у) = 0 в этой точке пересекаются под некоторым углом d, отличным от 0 и я (рис. 160). Поэтому в любой достаточно малой окрестности точки (х0, у0) часть кривой у(х, у) = 0 окажется расположенной в области f<.c (в «области меньших значений»), а часть —в области />с (в «области больших значений»). Это означает, что в точке (х0, у0) нет рассматриваемого условного экстремума. Рис. 160 Рис. 161 Рис. 162 В случае же, когда векторы V/ и Vq> коллинеарны, ?/ ф часть кривой (f(x, y) = 0 может принадлежать некоторой окрест- окрестности точки (х0, у0), целиком лежащей в области меньших зна- значений /<с (рис. 161) или в области больших значений f>c. В этом случае в точке (х<,, у0) достигается условный экстремум. Однако в случае коллинеарности векторов V/ и Уф кривая Ф (х, у) = 0 также может оказаться расположенной в любой до- достаточно малой окрестности точки (х0, у0) частично в области меньших, а частично в области больших значений функции / (рис. 162) —тогда в точке (х0, у0) снова-не будет условного экст-. ремума. Подобная ситуация возникает, например, когда кривые f(x, у) —с и ф(х, г/) = 0 имеют в точке (х№, у0) общую касатель- касательную, причем кривая f(x, у) —с расположена в достаточно малой окрестности точки (х0, у0) по одну сторону от этой касательной, а кривая ф (х, у) = 0 имеет в этой точке перегиб, переходя с одной стороны касательной на другую. Сказанное" поясняет то обстоятельство, что D3.10) является необходимым, но не достаточным условием для условного экстремума. Приведенные геометрические рассмотрения вопроса об услов- условном экстремуме распространяются и на многомерный случай.
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 101 43.4*. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА В этом пункте будет дано описание стационарных точек функ- функции Лагранжа D3.13) посредством функции g(xn+1, ..., х„), вве- введенной в п. 43.1 (см. D3.8)). Предварительно докажем одну про- простую лемму из линейной алгебры. Пусть задана система линейных однородных уравнений t=l, 2, ..., m, D3.18) и еще одно линейное однородное уравнение п = 0. D3.19) Систему уравнений, получаемую присоединением к системе D3.18) уравнения D3.19), будем называть расширенной системой D3.18) — D3.19). Лемма. Для того чтобы расширенная система D3.18)—D3.19) была равносильна основной системе D3.18) необходимо и доста- достаточно, чтобы уравнение D3.19) являлось линейной комбинацией уравнений системы D3.18). Следствие. Для того чтобы уравнение D3.19) было линейной комбинацией уравнений D3.18) или, что то же, чтобы вектор ЬЩЪЪ .... Ъп) D3.20) был линейной комбинацией векторов ъЩаа, .... Of»), f=l, 2, .... m, D3.21) необходимо и достаточно, чтобы каждое решение системы D3.18) являлось решением уравнения D3.19). Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы (а;/) коэф- коэффициентов системы D3.18) равен т0. Очевидно, что то^т. Если то-<.т, то т — т0 уравнений системы D3.18) являются линей- линейными комбинациями остальных. Отбросив те т — т0 линейные уравнения, которые являются линейными комбинациями остав- оставшихся, получим систему из т0 линейно независимых уравнений, равносильную системе D3.18), причем уравнение D3.19) является линейной комбинацией уравнений системы D3.18) тогда и только тогда, когда оно является линейной комбинацией указанной си- системы из оставшихся т0 уравнений. Поэтому будем с самого начала считать, что т = т0, т. е. что ранг матрицы (atj) коэффи- коэффициентов системы D3.18) равен т—числу уравнений этой системы. Пусть системы D3.18) и D3.18)—D3.19) равносильны. Это означает, что пространства их решений совпадают. Поскольку все уравнения основной системы D3.18) входят в расширенную систему D3.18)—D3.19), то каждое решение расширенной системы является и решением основной системы, т, е. пространство решений расширенной системы содержится в пространстве решений основ-
102 § 43. Условный экстремум ной системы. Следовательно, совпадение этих пространств равно- равносильно равенству их размерностей. Размерность s пространства решений системы линейных одно- однородных уравнений равна, как известно, числу неизвестных п этой системы, из которого вычтен ранг г матрицы коэффициен- коэффициентов системы: s = n — r. Отсюда следует, что равносильность систем D3.18) и D3.18)—D3.19) означает равенство рангов их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы D3.18) по условию равен т, т. е. векторы D3.21) линейно независимы. Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы D3.18)— D3.19) согласно сказанному в наших условиях также равен т. Поэтому векторы (см. D3.20) и D3.21)) Ь, аъ ..., ат D3.22) линейно зависимы. А это означает, что Ь является линейной комбинацией векторов аъ ..., ат. В самом деле, линейная зависимость векторов D3.22) озна- означает, что существуют такие числа цо> Mi» •••» Иди не все равные нулю, что = O. D3.23) Здесь заведомо [х0ф0, так как в противном случае векторы аг,... ..., ат оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство D3.23) на цо, получим, что Ъ является линейной комбинацией векторов аи ..., ат. Обратно, если Ъ является линейной комбинацией векторов D3.21), то в системах векторов D3.21) и D3.22) имеется в точ- точности по т линейно независимых векторов, т. е. ранги матриц «оэффициентов систем уравнений D3.18) и D3.18)—D3.19) равны. Итак, условие, что вектор Ь является линейной комбинацией векторов D3.21): эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматри- рассматриваемых основной и расширенной системы уравнений, а следова- следовательно, эквивалентно их равносильности. Ц Утверждение следствия сразу следует из леммы, поскольку системы D3.18) и D3.18)—D3.19) очевидно равносильны тогда и только тогда, когда каждое решение системы D3.18) является и решением уравнения D3.19) —остальные уравнения этих систем просто совпадают. Ц : , Замечание 1. Доказанная лемма и ее следствия имеют простую геометрическую интерпретацию в n-мерном евклидо- евклидовом векторном пространстве R", т. е. в я-мерном пространстве со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного произведения, систему D3.18) можно записать в виде (а,, *) = 0, 1 = 1, 2, .... т, D3.24)
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 103 а уравнение D3.19) в виде ф, х) = 0, D3.25) где векторы аи ..., ап и Ь определены в D3.20) и D3.21), &х = =: \Х\, . . . , Хп)- Множество всевозможных линейных комбинаций векторов аъ ... ..., am образует подпространство пространства Rn и называется подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его через %(alt .... ат). Множество решений системы D3.24) состоит из всех векто- векторов х, ортогональных подпространству X(аъ ..., ат). Обозначим это множество решений через Т. Оно также является подпро- подпространством пространства Rn. _ Подпространства L^=^(au ..., ат) и Т называются ортогог нальными дополнениями друг другу в пространстве Rn. . Поскольку L = X{ax, ..., ат), то представимость вектора b в виде линейной комбинации векторов аь ..., ат равносильна его принадлежности подпространству L пространства Rn: b <= L. Это условие, в свою очередь, равносильно ортогональности век- вектора Ъ подпространству Т: bJ_T, которая означает, что для всех х е Т имеет место равенство (Ь, х) — 0, т. е. что любое ре- решение х системы D3.24) является решением уравнения D3.25). Это и является утверждением следствия леммы. Замечание 2. Напомним метод, которым можно получить' все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть система D3.18) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен т. Это означает, что существует минор этой матрицы порядка т, не равный нулю. Пусть для определенности пи -aim =?0. D3.26) **/wl • • • ^tntn В этом случае все решения системы D3.18) можно получить, за- задавая произвольно последние п — т координаты вектора (х%, ... ..;, хп)- Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений D3.18). В самом деле, возьмем произвольное решение (*i°'> .... *я0)) системы D3.18). После подстановки xm+1 = .C+i, •••• ..., хп = х'п' в D3.18) получится система из т линейных уравне- уравнений (с т неизвестными хъ ..., хт), матрица коэффициентов кото- р'йи в силу условия D3.26) невырожденная. Поэтому существуют единственные значения Х\,..., хт, удовлетворяющие получившейся системе. Поскольку (х?\ ..., х'п) также было решением системы ytO.iOJy IО Ai = X\ , ..., Хт — Xfji . Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.
1Q4 § 43. Условный экстремум Теорема 2. Пусть функции f0, /ь ..., fm непрерывно диффе- дифференцируемы в области G cz Rn, ->cl0)eG, М*@)) = 0, i=l,2, .... m, ы ра«г матрицы Якоби функций /х, ..., /,„ в точке х@) рявен аи. Для того чтобы в точке xw = (xi0>, ..., -С1) градиент V/o яв- являлся линейной комбинацией градиентов V/lt ..., V/m необходимо и достаточно, чтобы точка х{0) = (x'm+i, ..., Лл1) бьаа стацио- стационарной точкой для функции g(x) — g(xm+i, ..., хп) (см. D3.8)). Напомним, что если в точке х@) градиент V/o является линей- линейной комбинацией V/o = X1V/1 + ... + AOTV/m, D3.27) градиентов V/x, ..., V/m, то это равносильно тому, что сущест- существует функция Лагранжа F = /o-*i/i-...-W*. D3-28) для которой точка х@^ является стационарной: ^ = °> '=1.2,...,». D3.29) Это просто координатная запись условия D3.27), ибо в силу D3.28) дР _<% . dfx а д]т . Доказательство. По условию ранг матрицы Якоби си- системы функций fi, ..., fm в точке х{0) равен т. Будем считать для определенности, как и в п. 43.1, что h, .... fm) д{хи .... хт) D3.30) Подставим в уравнение связи D3.3) функции D3.7), являющиеся решением этих уравнений, и продифференцируем получившиеся относительно переменных лгт+ь ..., х„ тождества. Получим для точки jc@' равенства d/,-(х<°>) = 0, i=l, 2, ..., т, справедливые для любых приращений dxm+1, ..., dxn независимых переменных хтц, ..., хп (напомним, что дифференциал является линейной функцией, определенной на всем пространстве). Использовав,ин- Использовав,инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, получим, что в точке х@) выполняются равенства ^ .+§-dxm + -^-dxm+l + ...+g-dxn^O, D3.31) oxm ¦ oxm?l ох„ i=i, 2 , m,
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 105 где dxm+i, ..., dxn произвольны, a dxlt ..., dxm находятся из формул D3.7). Таким образом вектор .... dxm, dxm^, ..., dxn) D3.32) m является решением линейной однородной системы D3.31). Отметим, что в силу условия D3.30) значения dxu ..., dx, при заданных dxm+u ..., dxn однозначно находятся и из системы D3.31). Из замечания 2 следует также, что указанным способом получаются все решения системы D3.31). Стационарность точки х*0) для функции g(x)=g(xm+u ..., хп) означает, что dg(xlo>) = 0. Это равенство, в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде Ц±dXl + ... + $-dxm + -j$s-dxm,x +... + g-dxn = 0, D3.33) axL axm oxmi ox m где dxm+i, ..., dxn можно задавать произвольно, a dxu ..., dx следует находить из формул D3.7) или, что дает тот же резуль- результат, из формул D3.31). Иначе говоря, любое решение системы уравнений D3.31) является и решением уравнения D3.33). Со- Согласно следствию из леммы это возможно тогда и только тогда, когда уравнение D3.33) является линейной комбинацией уравне- уравнений системы D3.31), т. е. когда существуют такие числа Яь... ..., Хт, что f fm. ? Замечание 3. Согласно замечанию 2 совокупность всех решений системы уравнений D3.31) образует подпространство Т пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к под- подпространству L — X (V/b ..., V/m). Любой вектор уеГ ортог о- нален каждому градиенту V/,-, а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке х@} к гиперповерхности /,-(л;) = 0, являющейся множеством уровня (см. § 19) функции /,-, /=1, ... ..., т. Таким образом, пространство решений Т системы D3.31), состоит из векторов, касательных одновременно ко всем гипер- гиперповерхностям /((х) = 0, i=\, ..., m, и потому его называют ка- касательным пространством пересечения всех гиперповерхностей /;(х) — 0, i = l, 2, ..., ш. Напомним, что векторы касательного пространства Т, т. е. решения системы D3.31), были обозначены через dx (см. D3.32)). Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение то
106 § 43. Условный экстремум Иначе говоря, градиент V/o одновременно ортогонален всем каса- касательным dx к гиперповерхностям /,(л:) = 0, t = l, 2, ..., m: (А/о, dx) = 0 (это другая запись уравнения D3.33)), т. е. градиент V/o перпен- перпендикулярен касательному пространству Т в точке х@\ Но мно- множество всех векторов, ортогональных к Yfo> образует (я —1)- мерное подпространство То, называемое касательным пространством к гиперповерхности fo(x) = f0(x(°'>). В силу сказанного выше* каждый вектор из Т, будучи ортогонален градиенту V/o, принад- принадлежит к То, т. е. Тс То. Итак, если х{0~> — точка условного экстремума, то Т с То, т. е. касательное пространство в точке xw пересечения всех гиперпо* верхностей, задаваемых уравнениями связи, содержится в касатель- касательном пространстве в той же точке гиперповерхности /0 (x) = f0 (л:@)). Замечание 4. Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1. В самом деле, если я@) является точкой условного экстремума, то ?("' является точкой обычного экстремума для функции g (см. п. 43.1) и, следовательно, ее стационарной точ- точкой. Поэтому согласно теореме 2 точка л:@> является стационар- стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. выполняется усло- условие D3.29). 43.5*. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения, наложенные на функции /0 и Д, { = 1, 2, ..., т,> в п. 43.1. Пусть — функция Лагранжа (см. D3.13)) для функции f0 и уравнений связи D3.3). Пусть д;@) е G удовлетворяет уравнениям связи D3.3) и является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е. точкой, координаты которой удовлетворяют системе уравнений D3.12) и D3.3). Нашей целью является получение метода, с помощью которого можно установить условия, достаточные для того, чтобы xw являлась точкой условного экстремума рассмат- рассматриваемой задачи. Заметим прежде всего, что если точка )(eG удовлетворяет уравнениям связи D3.3), то Л/ = / (ж) - / («(»)) = F (х) - F (tf °>) = AF. D3.34) Отсюда сразу видно, что если х@) является точкой обычноро экстремума для функции F, т. е. AF не меняет знака в некото-
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 107 рой окрестности точки х@), то х@' является точкой условного экстремума для функции f0. Действительно, из D3.34) следует в этом случае, что прира- приращение Д/о для допустимых значений х, т. е. удовлетворяющих уравнением связи, также не меняет знака. Это достаточное усло- условие, однако, накладывает слишком сильное ограничение на пове- поведение функции Лагранжа F (х) в рассматриваемой точке — она должна иметь обычный экстремум, что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач. Поэтому целесообразно получить более общий достаточный при- признак условного экстремума. Пусть х@) = (x'i\ ..., х^) удовлетворяет уравнениям связи D3.3). Вернемся к рассмотрению функции D3.8), т. е. функции g(x) = g(xm+1, .... х„), х = (хт+1, ..., хп), получаемой из /„(*) = = /o(*i> •••> хп) при условии, что Хг, ..., хт являются функ- функциями переменных дст+1, ..., хп, определяемыми уравнениями связи D3.3) в некоторой окрестности точки х{°К Будем дополни- дополнительно предполагать, что fo(x) и /,-(х), i=l, 2, ..., т, дважды непрерывно дифференцируемы- в точке х^К Выше отмечалось (см. п. 43.1), что х@'является точкой услов- условного (строгого) экстремума для функции /0 (х) относительно урав- уравнений связи D3.3) тогда и только тогда, когда х@> = (x'^+i,..., хТ) является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x). Поэтому, если например, в точке xw функция g(x) удовлетво- удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума, то в этой точке функция /0 (х) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи D3.3). Достаточные условия для обычного строгого экстремума были получены нами ранее (см. тео- теорему 2 в п. 40.2). Для нашего случая они имеют вид: = 0, i=m+\ «; D3.35) 2) .второй дифференциал является положительно или отрицательно определенной квадра- квадратичной формой. При выполнении этих условий х'°> является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x). В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы лг<°> являлась точкой условного строгого мини- минимума (максимума) для функции /0 (х) относительно уравнений связи ^43.3). Однако они неудобны для практического использо- использования, так как требуют знания функции g(x). Поэтому, исходи
103 § 43. Условный экстремум из полученных достаточных условий условного строгого экстре- экстремума, выраженных посредством функции g(x), получим достаточ- достаточные условия того же экстремума, но выраженные только через функцию Лагранжа и уравнения связи. Прежде всего заметим, что в силу условия D3.6) система D3.31) разрешима, и притом однозначно, относительно йхъ ..., dxm при произвольно фиксированных dxm+i, ..., dxn. Систему D3.31), выражающую равенство нулю дифференциалов функций ft{x) в точке х@): dfi = O, г=1, 2, ..., от, при выполнении условий D3.3), будем записывать кратко в виде df = O, D3.37) где f = (fi, ..., fm). Пусть лг<°> является стационарной точкой для функции Лагранжа F (х) (см. D3.13)). Это означает, что dF (х{-°') = 6, т. е. m что в этой точке V/o+ ^ ?Д=0. В теореме 2 п. 43.4* было по- казано, что в этом случае х(°> является стационарной точкой для функции g(x), т. е. dg (*«»>) =0. D3.38) Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что . D3.39) Это равенство следует понимать как рав иство функций п — пг переменных dxm+1, ..., dxn. В правой части равенства D3.39) остальные переменные dxu ..., dxm, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравне- уравнений D3.37) или, что равносильно (см. формулы D3.7)), dxk = dq>k(x1, ..., х„_т), k=l, 2, .... т. Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу D3.8), имеем /= 1 Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств D3.31), умноженных соответственно на постоян- постоянные Я,-, входящие в функцию Лагранжа F (х) (точнее, t-e равенство ¦D3.31) умножается на постоянную Я,). Тогда, использовав уело-
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 109 вне D3.13), получим 2 ._ ,Ю) Утверждение D3.38) доказано. Равенство D3.39) доказывается аналогичным приемом. Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке &° /. *=1 ' jf=l Далее, продифференцировав тождества, получающиеся в резуль- результате дифференцирования уравнений связи D3.3), т. е. тождества Ф-dxi-\-...-\--~dxn = 0, i=l, 2, ,.., n, будем иметь в точке х@): =1 7=1 Умножив 1-е равенство D3.41) на постоянную Xt, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившиеся выражения к правой части равенства D3.40); тогда получим - 2 где dxj, i—\, ..., n удовлетворяет системе уравнений D3.37). Поскольку точка x<°> стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в ноль, и тем самым формула D3.39) доказана. Будем говорить, что квадратичная форма d?F(xm) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxt, i—l, 2, ..., п, при условии, что эти перемен- переменные удовлетворяют системе уравнений D3.37), если для любых dxh t = l, 2, ..., п, удовлетворяющих этой системе уравнений и л таких, что 2(dx(J>0, выполняется неравенство d2F (*@>) > О (соответственно d?F (x^) <. 0). Пусть точка хт удовлетворяет уравнениям связи D3.3) и является стационарной для функции Лагранжа D3.13) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является
110 §43. Условный экстремум положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxlt ..., dxn при условии, что они удовлетворяют системе уравнений D3.37). Тогда из D3.38) и D3.39) следует, что х(°> является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке х@) является поло- положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой пере- переменных dxm+i, ..., dxn, и, следовательно, функция g(x) имеет в точке Зс'0» строгий минимум (максимум), а значит, функция fo(x) имеет в точке х@> условный строгий минимум (максимум) отно* сительно уравнений связи D3.3). Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема 3. Если xw = (х\0), ..., х'п") удовлетворяет уравнениям связи D3.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа D3.13) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxu ¦ ¦ •. dxn при условии, что они удовлетворяют системе уравнений D3.31), то xW является точкой условного строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи D3.3). Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функ- функции Лагранжа D3.13) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму D3.39), т. е. второй диф- дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи D3.3) (когда дифференциалы dxu i = l, 2, ..., п, связаны соотношениями D3.31)). При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматри- рассматриваемой точке окажется положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет таковым, конечно, и при их выполнении. Пусть, например, требуется найти точки экстремума функции / (х, у) = ху, когда точка (х, у) лежит на прямой х — у — О. Функ- Функцией Лагранжа в данном случае является F(x, y) = xy — %(х — у), и так как з- = у — ^, -г-=х-\-%, то для определения стационар- стационарных точек функции F (х, у), удовлетворяющих условиям связи, имеем систему уравнений из которых следует, что х — у = 1 = 0. Исследуем в точке @, 0) второй дифференциал функции F (х, у) при выполнении условий связи, т. е. когда dx — dy=^O. Имеем D3.4-2)
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума ПГ и, значит, при выполнении условий связи dx2^Q, D3.43) т. е. второй дифференциал D3.42), являясь неопределенной квад- квадратичной формой, при выполнении условий связи превращается в положительно определенную квадратичную форму D3.43). По- Поэтому @, 0) является точкой строгого условного минимума для рассмотренной задачи. Впрочем в данном случае это легко усмотреть и сразу: вдоль прямой х — г/ = 0 функция f(x, у) = ху примет вид f(x, х) = х2, имея, очевидно, в точке х = 0 строгий минимум. Упражнения: Найти точки условного экстремума функций при ука- указанных уравнениях связи: 1-Нг+! 2. * = *»+* 3. и=хуг, 4. u=2+#+, + y++ 5. и = 2дН-#— 2-И, х2+у2 — 2г2— 22=0. 6. Найти наибольшеезначениефункции2 = удруЬ4 7. В круг заданного радиуса вписать n-угольннк наибольшей площади. . 8. Представить число а>0 в виде суммы слагаемых хъ ..., хп так, чтобы произведение я?1* ... х"пп (а,->0, »=1 «) принимало наибольшее зна- значение.
ГЛАВА ШЕСТАЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 44. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 44.1. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА В и-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (МЕРА ЖОРДАНА). ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА Напомним кратко основные понятия, связанные с определением n-мерного объема (площади в случае и = 2) и дадим новое опре-. деление понятия объема (меры) множества, которое будет отли- отличаться от введенного ранее (см. п. 31.1). Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство (я = 1, 2,3,...). Его точки, как обычно, будем обозначать через x = (xi, ..., х„), где Xi, i=l,2,..., n — координаты точки х в некоторой раз и навсегда фиксированной системе координат. Зафиксируем целое неотрицательное число k, (k = 0, I, ...). Рассмотрим i-ю коор- координатную ось (i=l, 2, ..., /г), т. е. множество точек х с коор- координатами #1 = ... = JC/_i = xivi = .. . = хп — 0. Через ее точки с коор- координатами вида Xi = lQ-km, /л = 0, ±1, ±2, ... проведем ортогональные этой оси гиперплоскости размерности п — 1. Мно- Множество всех таких гиперплоскостей, построенных для всех коор- координатных осей xit i = l, 2, ..., п, порождает семейство я-мерных замкнутых кубов вида w*s>x'^!!!wL' '=1«2 »}• D4Л) где ть при i=l, 2, ..., п, пробегают независимо друг от друга множество всех целых чисел. Кубы D4.1) называются кубами ранга k, и их совокупность обозначается чергз Tk, k = 0, 1, Множество всех кубов ранга k, очевидно, покрывает все про- пространство, т. е. /?я= и о». Два куба одного ранга могут иметь в качестве общих точек лишь некоторые свои граничные точки. В случае п—1 куб D4.1) является, очевидно, отрезком, а в случае п = 2 — квадратом.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 113 Число 1/10*" называется n-мерным объемом куба D4.1) и обозначается через \iQn: Для множества S, представляющего собой объединение конечного или счетного числа различных кубов Q" данного ранга k, / = = 1, 2, ...: его n-мерный объем ц5 определяется равенством D4.2> Очевидно, [iS неотрицательное число или +оо. Пусть теперь Е — произвольное множество в R". Обозначим через Sfc = sfc(?) множество точек всех я-мерных кубов ранга k, целиком лежащих в Е, а через Sk = Sk (E) — множество точек всех л-мерных кубов ранга k, каждый из которых пересекается с множеством Е по непустому множеству (* = 0, 1, 2, ...): sk(E)= Q», ::::::::::::;::::::::::: ::::::::::;'.:::::::::: Sk(E)= Q», Рис. 163 Таким образом, все кубы ранга к, содер- содержащиеся в sk, лежат во множестве Е, а кубы ранга k, содержащиеся в Sk, обра- образуют покрытие множества Е (рис. 163), т. е. sk(E) c:E c:Sk(E). При этом мно- множество Е лежит «строго внутри» много- многогранника Sk — Sk (E), т. е. не пересе- пересекается с его границей dSk. Действительно, точка x^E[\dSk не может существовать, так как будучи граничной для Sk, она принадлежала бы грани некоторого куба ранга к. Поскольку рассматриваемые кубы замкнуты, то по опре- определению многогранника Sk к нему принадлежали бы и все кубы ранга к, содержащие указанную грань, ибо она содержит точку х е Е. Тем самым эта точка не была бы граничной для Sk. Очевидно, s0 ... cr s«. <= So
114 § 44. Кратные интегралы и, следовательно, в силу определения D4.2) ji50 =г [л5х =г... 5г |iSft =г |i5ft+13= D4.3) Таким образом, получились две монотонные последовательности, членами которых являются элементы расширенного множества действительных чисел /? (см. п. 2.5), а именно, либо неотрица- неотрицательные действительные числа, либо +сю. Поэтому для любого множества Е cz Rn всегда существуют конечные или бесконечные пределы lim iisk(E) и lim fi5ft(?"). k —»¦ 00 к —> СО Определение 1. Конечный или бесконечный предел lim (isA(.E) называется нижней или внутренней п-мерной мерой Жордана *> множества Е и обозначается через Е PtE%L lim psk(E), D4.4) а предел lim ^П-Е) называется верхней или внешней п-мертй fe-^-J-oo мерой Жордана множества Е и обозначается через ц*?, (i*??i lim jiS*(?). D4.5) fe->4-oo ?слы нижняя ц^Е и верхняя р*Е меры множества Е конечны и совпадают, то оно называется измеримым по Жордану. Общее значение нижней и верхней меры Жордана измеримого множества Е обозначается через [iE и называется п-мерной мерой Жордана или п-мерным объемом множества Е: Для пустого множества по определению полагается A0=0. Иногда вместо ]iE будем писать [inE, для того чтобы подчерк- подчеркнуть, что речь идет о мере множества. Е, рассматриваемого как подмножество именно я-мерного пространства. В дальнейшем для простоты меру Жордана будем часто назы- называть просто мерой, а множество, измеримое по Жордану, просто измеримым. Под измеримым множеством, как это показывает сам смысл слова «измеримый», в математике подразумевается такое точечаее множество в Rn, которое можно каким-то образом измерить, т. е. сопоставить ему, по определенным правилам, некоторое неотри- . дательное число, являющееся объемом в трехмерном случае, пло- площадью в двумерном и длиной в одномерном. Если размерность *• К- Жор дан A838—1922) —французский математик.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 115 пространства п ^= 3, то множество, измеримое по Жордану в этом пространстве, называется также аудируемым, а в случае я = 2 — квадрируемым. Термины кубируемое и квадрируемое множество отражают собой тот факт, что указанное выше измерение множе- множества осуществляется посредством кубов, соответственно квадратов. Простым вычислением нетрудно проверить, что если множе- множество Е представляет собой объединение конечного числа различ- различных и-мерных кубов (п = 1, 2, ...) данного ранга, то оно изме- измеримо и его мера Жордана совпадает с мерой, определенной ра- равенством D4.2). Для любого множества Е при каждом ? = 0,1,2,..., очевидно, Перейдя к пределу при ?-»-оо, получим \1„.Е^0, Отсюда вытекает следующее свойство меры Жордана. Свойство 1°. Для всякого измеримого множества цЕ^О. . Далее заметим, что в силу определений D4.4) и D4.5) для любого множества Е определена конечная или бесконечная ниж- нижняя и верхняя меры Жордана. При этом, по- поскольку для каждого k = 0, 1, 2, ... выполня- выполняется неравенство d^^sk(E)^\x,Sk(E), то, вы- выполнив предельный переход при k-+co, для любого множества Е будем иметь Отсюда очевидным образом следует, что если верхняя мера множества Е равна нулю, \i*E = О, то множество Е измеримо и ц,? = 0. Если у множества Е имеется внутренняя • точка, то найдется такой номер k0, что мно- множество Sk0 (E) будет непустым; следовательно [isu, (E) > 0, от- откуда в силу D4.3), D4.4) и D4.6) будет следовать, что щ-Е^О. В самом деле, если х — внутренняя точка множества Е, то су- существует такое е > 0, что сферическая окрестность U (х, г) со- содержится в Е. Поэтому достаточно взять такой ранг k0, чтобы длина диагонали куба*' ранга k0 была меньшее: Тогда куб Qn ранга k, содержащий точку х (такой куб, по край- крайней мере один, всегда существует) будет целиком лежать во мно- множестве Sko(E) (рис. 164). Поэтому Из сказанного следует, что нижняя мера Жордана любого открытого множества G всегда положительна: \k^G > 0. *' Диагональ -n-мерного куба с ребром длины а равна а^п*
Мб § 44. Кратные интегралы Отметим, что определенный нами ранее в п. 31.1 объем откры- открытого множества совпадает с его нижней мерой Жордана. Однако, для построения достаточно общего аналога интеграла Римана в случае функций многих переменных понятие только нижней: меры Жордана оказывается недостаточным. Для этой цели очень удобно понятие измеримого по Жордану множества. Если множество Е ограничено, то \и%Е и \х*Е всегда конечны. Действительно, из ограниченности множества Е следует, что оно пересекается только с конечным множеством кубов нулевого ранга и, следовательно, So (Е) состоит из конечного числа кубов. Поэтому согласно D4.2) ji50 (Е) < + со. Но при любом k = О, 1,... Поэтому О ^ nsk (E) =s? iiSk (E) === nS0 (E). Отсюда, перейдя к пределу при k-*--\-oo, получим О =s? щ?<pL*E =s? yS0 (Е)< + оз, т. е. меры ц^Е и ц,*Е конечны. Если же множество Е неограничено, то для любого k — = 0, 1, 2, ... множество Sk(E) состоит из бесконечного количе- количества кубов ранга k. Поэтому в силу формулы D4.2) для всех k имеем nSk (Е) = + оо, следовательно и ,и*?' = + со, т. е. множе- множество Е заведомо не измеримо. Отсюда: если множество измеримо по Жордану, то оно ограничено. Как нижняя, так и верхняя меры Жордана обладают так называемым свойством монотонности. Сформулируем его в виде леммы. Лемма 1. Если Ехс:Ег, то fx^fisg^fa, \1*Е!^ц*Е2. D4.7) Это вытекает непосредственно из того, что при всех k = = 0, 1, 2, ... справедливы включения **(?,) с: s*(?,), Sk(E1)^Sk(E2). D4.8) ибо первое из них означает, что куб ранга k, лежащий в ?ь лежит и в Е2, а второе, что куб ранга к, пересекающийся со множеством Elt пересекается и с ?2. И то и другое утверждения следуют из включения Et cr Е2. Из D4.8) в силу D4.2) вытекает справедливость неравенств Устремив здесь k к +°°. получим в пределе D4.7). Следствие 1. Если ?ic?8 и ц?2 = 0, то |a?i = 0.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 117 Действительно, в силу леммы 1 Следовательно, [i*Ex = 0, откуда и \iEi = 0. Q Следствие 2. Если |.i? = 0 и Е—замыкание множества Е (см. п. 18.2), то ц? = 0. В самом деле, из условия цЕ = 0 следует, что для любого г>>0 существует такой ранг k, что [iSk (E) < е. Многогранник Sk(E) состоит из конечного числа замкнутых кубов (если количество кубов ранга k, входящих в множество Sk(E), было бы бесконечным, то согласно D4.2) была бы беско- бесконечной и его мера: [iSk (Е) = + ос) и, следовательно, является замкнутым множеством: Sk(E) = Sk(E). Но Е cz Sk(E), поэтому ?c57(?) = S*(?). Отсюда n*E^ii*Sk(E) = nSk(E), т. е. для любого е>0: Это возможно только тогда, когда цЕ = 0. Ц Из леммы 1 для измеримых множеств вытекает следующее свойство. Свойство 2° (монотонность меры). Если Ег и Е$ —измеримые по Жордану множества и ?\ с: Е2, то Лемма 2 (полуаддитивность верхней меры). Для любой конеч- конечной совокупности множеств Еъ ?2, .... Ет имеет место нера- неравенство \\* U ?/=?= Q Р*Е- D4.10) /= 1 ' /=1 Доказательство. Для любого ранга ? = 0, 1, 2, ...спра- ...справедливо равенство т i= U 5*(?>)- В самом деле, каждый куб ранга к, который пересекается с мно- т жеством У Ej, пересекается хотя бы с одним из множеств Ej и наоборот. Поэтому в силу D4.2) т \ т ™ f=i / /=i
118 § 44. Кратные интегралы Перейдя здесь к пределу при k-*--\-oo, получим D4.10). Ц Следствие. Объединение конечного числа множеств меры ноль имеет меру ноль. Действительно, если \xEf = 0, / = 1, 2, ...,т, то в силу D4.10) U 2>2 m Следовательно, множество М ?} измеримо и его верхняя мера, а потому и мера равны нулю: Упражнения. 1. Показать, что объединение счетной совокупности множеств жордановой меры ноль может не иметь меру ноль. 2. Доказать, что если Е± и ?2 — открытые множества, то Указание. Полезно воспользоваться утверждением, содержащимся в упражнении 11 п. 18.3. Будет ли это неравенство всегда справедливым, т. е. без предположения об открытости множеств Е\ и ?2? 3. Привести пример таких непересекающихся множеств Ех и Ег, что Критерий измеримости множеств устанавливается следующей теоремой. Теорема 1. Для того чтобы множество Е было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и чтобы его граница дЕ имела меру Жордана, равную нулю: цдЕ = 0. D4.11) Для всякого множества Е обозначим через оА — 0А (Е) множе- множество точек тех и только тех кубов ранга k, которые содержатся в Sk(E) и не содержатся в sk(E): Таким образом, множество ak (E) состоит из замкнутых кубов, и теоретико-множественная разность Sk (E)\sk (E) содержится bq множестве о,,(Е) и, вообще говоря, не совпадает с ним! С дру- другой стороны *> Черта над множеством, как всегда, обозначает его замыкание (см. п. 18,2).
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 119 Доказательству теоремы 1 предпошлем лемму. Лемма 3. Для любого ограниченного множества Е с Rn спра- справедливы включения dEczok(E)czSk(dE). D4.12) Доказательство леммы. Покажем сначала, что dEczok{E). D4.13) Поскольку Е cz Sk(E), то Е cz Sk (Е). Множество 5А (Е) состоит, в силу ограниченности множества Е, из конечного числа замкну- замкнутых кубов и поэтому замкнуто: Sk (Е) = Sk (E). Следовательно, для любого & = 0, 1, 2, ..., E_czSk(E), а зна- значит и dEczSk (Е), ибо дЕ cz E. Возьмем какую-либо граничную точку х множества Е: х е дЕ. В силу включения дЕ cz Sk (E) существует по крайней мере один такой куб Q" ранга k, что х е Qn и Qn cz Sk(E). Если Qn не содержится в sk(E), то, очевидно, Qnczak(E), а следовательно, и ,teoj(?), Если же Qnczsk(E) (рис. 165), то в силу Рис. 165 включений х е Q" и Q" cz sk (Е) cz E имеем хе?. Поэтому в этом случае все кубы ранга k, содержащие точку х, лежат в Sk (E), ибо пересечение всякого такого куба' со множеством Е содержит точку х и, следовательно, не пу- пусто. Все эти кубы не могут принадлежать множеству Е — в противном случае точка х была бы внутренней, а не гранич- граничной точкой множества Е. Поэтому среди всех кубов ранга k, содержащих точку х, найдется по крайней мере один куб Q?, ко- который не содержится в sk(E), т. е. Qj czSh(E), но Q"<?sk(E). Отсюда следует, что Qau cz ok (Е), и поскольку х е Qj} то и в этом случае х<=ок(Е). Точка х была произвольной точкой границы дЕ, а поэтому включение D4.13) доказано. Второе включение D4.12), т. е. включение ак (Е) cz Sk (дЕ) доказывается проще и даже без предположения об ограниченности множества Е. Всякий куб Qn ранга к, лежащий в ak (E) имеет заведомо точки как из множества Е (ибо в силу определения множества ок (Е) всякий куб ранга к, содержащийся в этом мно- множестве, содержится hbS4 (Е), а следовательно, пересекается с Е), так и точки, не принадлежащие Е (ибо согласно тому же опре- определению никакой куб ранга к, целиком лежащий в Е, т. е. при- принадлежащий к sk(E), не содержится в oh (E)). Поскольку куб Q" —* линейно связное множество, то в нем заведомо имеются точки> границы множества Е (см. лемму 9 в п. 1.8.2). Это и означает, что Q" cz Sk (дЕ), а поскольку Qn был произвольным кубом ранга k, лежащим в ок (Е), то xyk(E)czS!l(dE).C] D4.14)
120 § 44. Кратные интегралы Док аз ательство теоремы. Необходимость. Пусть Е — измеримое множество. Тогда, как доказано выше, оно огра- ограничено. Далее, согласно определению измеримого множества нижняя и верхняя меры множества Е конечны и равны: yi^E = = \i*E, т. е. lim iisk (E) = lim y,Sk (E). D4.15) ft—>--j-00 k—> CO Поскольку, согласно определению множества ok (E) и формуле D4.2) ]UJk(E) = ]LSk(E)-nsk(E), D4.16) то из D4.15) следует, что lim рок(Е) = 0. D4.17) В силу включения D4.13) и монотонности верхней меры (см. D4.7)) при любом k = 0, 1, 2, ... справедливо неравенство Перейдя к пределу при k-+ + oc, в силу D4.17) получим ц*дЕ=О. Следовательно, множество дЕ измеримо по Жордану, и цдЕ=О. Достаточность. Пусть Е — ограниченное множество и ]хдЕ = О. Тогда, по определению меры lim nS*(d?) = O. D4.18) fe_>.-foO В силу включения D4.14) и монотонности меры (см. свойство 2 меры) справедливо неравенство [ю^ (Z;)?5jiSft (дЕ) и, следовательно, (см. D4.16)) неравенство vSk(E)-ViSll{E)^\iSl,{dE). D4.19) Поскольку множество Е — ограничено, то его нижняя мера ц^Е и верхняя ц*Е конечны и поэтому (см. D4.4) и D4.5)) в нера- неравенстве D4.19) можно перейти к пределу при &->- +со. В силу D4.18) получим ц*?-!*»? = О, т. е. Это и означает измеримость по Жордану множества Е. Ц С помощью теоремы 1 легко показать, что при теоретико- множественных операциях объединения множеств, пересечения и вычитания их измеримость не нарушается. Предварительно заме- заметим, что для любых двух множеств Ег и Е2, лежащих в прост- пространстве Rn, справедливы включения (рис. 166) U Ег) с дЕг U дЕ2, D4.20) d(E1(]E2)czdE1\JdE2, D4.21) D4.22)
44.1. Понятие объема в п-мерыом пространстве 121 Докажем, например, включение D4.21). Пусть \[\) Тогда, прежде всего, ie?,fl?2, ибо из того, что х <= д {Ег П Е2) следует, что в любой окрестности точки х имеются точки, одно- Еременно принадлежащие к Е1 и к Е2, т. е. х является точкой прикосновения как множества Еъ так и Е2. Если х е дЕг, или х^дЕо, или и то и другое, то, очевидно, х е дЕу \] дЕ2. Если же х ф dEi и х <ф дЕг, то поскольку х е Ех и х <ф. дЕъ то х является внутренней точкой для множества Ег и аналогично, внутренней точкой для множествл ?2 (ибо замыкание всякого множества состоит только из внутрен- внутренних точек этого множества и его гра- граничных точек; каждое из них может, конечно, оказаться пустым). В этом случае у точки х существуют окрест- окрестности U1 (х) а Ех и On (x) cz Е2, пересе- пересечение 0 (х) = иг (х) П Uo \х) которых будет также окрестностью точки х, и, очевидно, U (х) а Ех П Е2. Таким образом, у точки х нашлась окрестность U (х), все точки которой принадлежат мно- множеству Ех{\Е2, т. е. х— внутренняя, а не граничная точка этого множества: х<фд(Ех[\Е2). Полученное противоречие показывает, что случай х ф дЕх и одновременно х ф. дЕ2 невозможен, если 6?f Упражнение 4. Доказать включения D4.20) и D4.22). Из. включений D4.20) и D4.21) методом математической индук- индукции для любого конечного числа множеств легко устанавливается справедливость включений mm mm д U Ej <= U dEj, д П Е} cz П дЕ]. D4.23) /= 1 /= 1 /= 1 /= 1 Свойство 3°. Объединение и пересечение конечного числа изме- измеримых по Жордану множеств, а также разность двух таких множеств являются измеримыми по Жордану множествами. В самом деле, если множества ?} измеримы, то согласно тео- теореме 1 fid?} = 0, ч' = 1, 2, ..., т. Поэтому в силу следствия из т леммы 2 fi U dEj —0, а тогда (см. следствие 1 леммы 1) из вклю- D4.23) следует соответственно, что т т уд U Е, = 0, »д П ?,=0. Оторда следует, что в силу той же теоремы 1 множества (J
122 § 44. Кратные интегралы и f] Ej также измеримы. Аналогично доказывается измеримость f=i. разности измеримых множеств. Теперь можно легко доказать, что для меры Жордана спра- справедливо неравенство, аналогичное неравенству D4.10) для верх- верхней меры. Сформулируем соответствующее утверждение. Для любой конечной совокупности измеримых множеств Еъ Е2,... ..., Ет справедливо неравенство т т nU^Si^- D424> Действительно, если множества Et измеримы, то \i*Ei — nEi, т и согласно выше доказанному объединение (J Et также изме- t = i т т римо, и следовательно, \х* И ?, = ц И Et. Поэтому формула t=i >=1 D4.24) в рассматриваемом случае совпадает с формулой D4.10). Свойство 4° (аддитивность меры). Мера объединения конечного числа попарно непересекающихся измеримых по Жордану множеств равна сумме мер этих множеств. Таким образом, если ?,• — измеримые множества, Ei(]Ej = 0', *.=?/» '. /=1> 2 т' то т т fi О ?«= S ^'- <4425) i=i »=1 Докажем это. Поскольку для любого ранга k справедливо включение sk(Ei)(\sil(Ej) cz Ei(]Ej, то из условия Eif\Ej — 0 при f Ф j следует, что sk (?/) f) sk (Ef) = ф, t =? у; поэтому со- согласно D4.2) Если куб ранга k лежит в некотором множестве ?,-, то он лежит т и в объединении \J Ei} следовательно, 1= 1 т I m \ 1 = 1 ' W=l / Отсюда в силу D4.26) и монотонности меры (в данном случае — даже из формулы D4.2)) вытекает, что U ?« • 1 /
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 123 Перейдя к пределу при &-> + оо, получим 2 рЕ^р U Et. D4.27) ( = 1 i=1 С другой стороны для любых измеримых множеств справедливо обратное неравенство D4.24). Очевидно, что из D4.24) и D4.27) и следует равенство D4.25), т. е. аддитивность меры. Замечание. Из свойств 3 и 4 меры вытекает, что если к измеримому множеству присоединить или вычесть из него мно- множество меры ноль, то полученное множество будет также изме- измеримым, и его мера будет равной мере исходного множества. Действительно, если Е — измеримое множество, а цЕ0 = 0, то, по свойству 3 меры, множества Е\Е0 и Е[]Е0 также измеримы. Далее по свойству 4 при EoczE и \хЕ0 = 0 имеем цЕ = ц [(Е\Е0) U Ео] = \1 (Е\Е0) + fi?0 = ц (Е\Е0). В силу же монотонности меры и неравенства D4.24) для любого Ей, |a.Z:o = O справедливы неравенства ц,Е ==S ц (Е U Ео) г=? ц,Е + цЕ0 = цЕ, откуда \х(Е[]Е0) = цЕ. В свою очередь из сказанного следует, что если к измеримому множеству присоединить или вычесть из него какое-то множество его граничных точек, то получится снова измеримое множество с той же мерой, что и данное. Это вытекает из того, что в силу теоремы 1 граница измеримого множества, а значит и любое ее подмножество, имеют меру ноль. Таким образом, в частности, если множество Е измеримо, то его замыкание Е = Е\]дЕ также измеримо, причем \iE-\iE. Обратное утверждение неверно: существуют неизмеримые по Жордану множества, замыкания которых измеримы. Простым примером подобного множества является множество рациональ- рациональных точек на некотором отрезке. Оно неизмеримо (почему?), а его замыканием является отрезок, который измерим. Примеры измеримых множеств сколь угодно большой размер- размерности можно получить с помощью построения цилиндров, осно- основаниями которых служат также измеримые множества. Сформу- Сформулируем определение цилиндра. Определение 2. Пусть Ео — множество, лежащее на гипер- гиперплоскости R"-1 = \х: хп = 0} пространства Rn,a и Ъ действитель- действительные числа, а^Ь. Множество Е = {х: (xlt х2, ..., хп-г, 0) <= Ео, а<хп ==sЬ] называется п-мерным цилиндром с основанием Ео и образующей (параллельной координатной оси хп) длины h = b — a.
124 § 44. Кратные интегралы Очевидно, что, используя понятие произведения множеств (см. п. 1.2* или 41.2) можно сказать, что цилиндр Е является произведением множеств Ео и отрезка [а, Ь]: Е = Ео X [а, Ь]. Цели Ей — ограниченное множество, то и цилиндр с основанием ?<> является ограниченным множеством. Отсюда следует, что всякий цилиндр, в основании которого лежит измеримое множество, ограничен, ибо измеримое множество ограничено. Теорема 2. Если Ео — измеримое по Жордану множество про- пространства Rn~x, то всякий п-мерный цилиндр Е с основанием Ео является измеримьш по Жордану множеством в пространстве Rn, и 11я? = А11я_1Ео. D4.28) где h — длина образующей цилиндра Е. Следствие. Если основание цилиндра имеет (п — \)-.мерную меру, равную нулю, то сам п-мерный цилиндр имеет п-мерну/о меру, также равную нулю. Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что проекция*' каждого «-мерного куба Qn ранга k является (я —1)- мерным кубом Q"'1 также ранга k и 1. D4.29) Обозначим через а"~\ ..., q"~~l (n — 1)-мерные кубы ранга k, составляющие множество sk (Ео), а через Q"~',..., Qm~' — (я — 1)- мерные кубы, составляющие Sk (En). Пусть q"u .... q% суть n-мерные кубы из sk(E), проектирую- проектирующиеся в куб q"~l с sk(E0). Поскольку Е — цилиндр, то число р таких п-мерных кубоз qnr одно и то же для всех г = 1, 2, ..., /, поэтому М?)= U U я,- D4-3°) i= 1 /= 1 Аналогично, число г n-мерных кубов Q," из Sk(E), проектирую- проектирующихся в один и тот же куб Q?~l из Sk(E0), одинакозо для всех ( = 1, 2, ..., т, поэтому m r Sk{E)= U [}Q?,. D4.31) i= 1 /= 1 р Проекция множества \J qnit на ось хЛ является отрезком длины р/10*, причем lO^fc, D4.32) *' Проекцией ЩХпЕ множества ?cz Rn на гиперплоскость Rn l= {x: xn=Q\ называется множество точек вида (лс1( ...-,-дсд-ь 0) Ддя каждой из которых существует такое хп, что (хь ..., хп_х, хп) е Е.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 125 ибо все кубы <7?. содержатся в sk (Е) и, следовательно, в цилиндре Е. Проекция же указанного множества на гиперплоскость R'1'1 пред- представляет собой один из кубов qf~l, поэтому 2 .-= i j=\ 7"/= 2 10* ^j (= 1 1 10* Проекция «столбика кубов» (J Q",- (рис. 167) на ось х„ есть /= 1 отрезок длины 1(Нг, причем D4.34) Далее, каждый такой столбик проектируется на гиперплоскость R"-1 в куб Qi~\ либо содержащийся в s(((?'o), л 7) либо в ак (Ео) — Sk (Ео) \sk (Ео) (множество ок (Еа) /-\-^л- было введено при доказательстве теоремы 1). Поэтому =ж 2 •i»-i(^ '=w D4.35) Наконец, заметим, что каждый из столби- г ков у Q"j, который проектируется в куб qn~l a /= 1 р с: sft (?¦<))» отличается от столбика у q" проектирующегося в тот же куб qn~x, лишь двумя кубами, добавленными к нему снизу и сверху (в смысле убывания, соответственно возрастания, коор- координаты хп (см. рис. 148). Поэтому г = р-\-2. Отсюда и из неравенств D4.32) и D4.34) имеем г „, , 2
126 § 44. Кратные интегралы В силу этого из неравенств D4.33) и D4.35) получим HnSk (Е) — \insk (Е) = r-^? fA^s* (Ей) + цЕ + {h+ ) }iorA (?„), и поскольку lim тт^ = О, lim \xek (Ео) = О, то lim [finSft(?)-finsft(?)] = O. D4.35) Множество Ео, как всякое измеримое множество, ограничено. Нетрудно убедиться, что диаметры d(E0) и d(E) множеств Ео и Е связаны соотношением d(E) = Y[d(E0)f-\-hi, из которого сле- следует, что множество Е также ограничено. Поэтому, как было упомянуто выше, оно имеет конечные верхнюю и нижнюю меры. Из формул D4.4), D4.5) и D4.36) следует, что они равны: ц*Е=* = }1%Е, т. е. множество Е измеримо. Докажем теперь формулу D4.28). Для этого умножим нера- неравенство Цп-xSk (Ео) =SS>?0 =SS \kn-lSk (Ео) на h. Применив неравенства D4.32) и D4.34), будем иметь (см. также D4.33) и D4.35)) Hnsk (Е) = j^ n^Sk (Ео) =? h\iE0 =? -щ fAn-iSft (Ей) = \inSk (E), причем обе части получившегося неравенства в силу D4.36) стре- стремятся при &->-оо к одному и тому же пределу \хЕ, откуда и следует формула D4.28). Задача 29. Построить пример неизмеримой по Жордану области. Задача 30. Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора декартовой системы координат. 44.2. МНОЖЕСТВА МЕРЫ НОЛЕ В предыдущем пункте было установлено, что множество изме- измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру ноль. Поэтому важно иметь признаки, по которым можно было бы установить, что множество имеет меру ноль. Достаточно общим примером множеств меры ноль являются цилиндры, в осно- основании которых лежат множества меры ноль (см. следствие из теоремы 2). Другой широкий класс множеств меры ноль дается в нижеследующей теореме. Теорема 3. График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру ноль. Доказательство. Пусть функция y = f(x) = f(x1,,..,xn) непрерывна на компакте A a R". Пусть Е — ее график, т. е.
44.2. Множества меры ноль 127 множество таких точек (х, у) = (хъ ..., х„, у) в /г-мерном про- пространстве Я"/1, что (хъ ,.,,л„)е4 a y = f{xu ..., *„): Покажем, что (я + 1)-меРная мера Жордана множества ? равна нулю. Множество А будучи компактом, ограничено. Поэтому существует такое натуральное число /п, что я-мерный куб Р,п = {х: -m m, i = 1, 2, .... л} содержит множество /i:Pmz3y4. Тем более куб также содержит А : Pm±i zd A n, более того, каким бы ни был k 0 12 й р m куб Q некоторого ранга k = 0, 1, 2, жеством А, т. е. Qcz Sk (А), он также содержится в Pm+i:Qc= с~Рт+1. Поэтому при любом k имеем Sk (А) с: Рт+1. Здесь и в дальнейшем через Sk (A), Sk (E), как и в п. 44.1, обозначаются множества точек всех кубов ранга k, соответствующих про- пространств, пересекающихся с мно- жествами A cz Епх, Е с Rtf1. Множество Sh (E) распадается на конечное число «столбиков» пересекающийся со мно- мноy\ ш -А -« Рис. 168 3f Sk , каждый из которых состоит из (п-\- 1)-мерных кубов ранга k, имеющих одну и ту же проекцию (см. сноску на с. 124)Q'Jb про- пространство R" (на рис. 168 изображен случай п = \): 1°, npySl° = Qf, ? = 0, 1, 2, Sh (Е) = <44.37) Обозначим через со (б) модуль непрерывности функции /на А. Замечая, что диагональ (диаметр *') я-мерного куба с ребром длины 1/10* равна ]/n/10fe, для высоты Л*0 каждого столбика S^ имеем (см. рис. 149) оценку /V"/t\ 2 Tib s^^- СО \ I ~т~ • Ттгт.С/б! \10*/ 10* Действительно, для оценки высоты Ajj,'1 к расстоянию соAО*-*}/гл) между наибольшим и наименьшим значениями функции f(x) на *' Определение диаметра мвожества см. определение 11 в п. i9.fi,
128 § 44. Кратные интегралы кубе 0{С) достаточно добавить длины ребер самого нижнего и са- самого верхнего кубов рассматриваемого столбика SlfeJ) (эта оценка достигается, когда точки графика, соответствующие указанным экстремальным значениям, окажутся на гранях кубов ранга k). Из D4.37) и D4.38) получаем: Поскольку функция / непрерывна на компакте, она равномерно непрерывна на нем, и поэтому lim со(l(h*]/~/i) = 0, и поскольку fe— + 00 2 lim — = 0, то из D4.39) имеем lim \iSk(E) = O, а это и озна- fc_4-oo 10* fe^oo чает, что [д,*? = 0, следовательно, и jj.?" == 0. Q В силу теорем 2 и 3 всякое ограниченное множество, границу которого можно представить как объединение конечного числа множеств, каждое из которых представляет собой либо часть гра- графика непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции, либо часть цилиндра с основанием меры ноль, является изме- измеримым множеством, ибо, в силу аддитивности меры, мера гра- границы указанного множества равна нулю, и, следовательно, согласно теореме 1 оно измеримо. Таким образом получено описание доста- достаточно широкого класса множеств, измеримых по Жордану и часто встречающихся в математическом анализе и его приложениях. Так, например, плоские множества (криволинейные трапеции, «секторы» кривых, заданных в полярных координатах, а также тела вращения, площади и соответственно объемы которых вычис- вычислялись в § 32 с помощью одномерного интеграла Римана, являются измеримыми по Жордану множествами, ибо, как нетрудно убг- диться, их границы имеют меру ноль. Подобным же образом измеримы по Жордану параллелепипеды и эллипсоиды, в частности — шары, так как их границы можно представить в виде объединения графиков непрерывных на ком- компактах функций. Заметим, что в § 31 было введено понятие меры mesG для открытых множеств. Сравнивая ее определение с определением, приведенным в п. 44.1, видим, что mes G = n#G, т. е. введенная в § 31 мера является нижней мерой Жордана. Однако в силу сказанного выше все рассмотренные в примерах § 32 множества были измеримыми по Жордану и, следовательно, для них мера mesG являлась мерой Жордана, т. е. для них имело место G G f Представляет интерес обобщить теорему 3 на случай пара- параметрически заданных множеств, в частности —на случай пара-
44.2. Множества меры ноль 129 метрических кривых. Оказывается, что даже в этом случае одной лишь непрерывности рассматриваемых кривых недостаточно для того, чтобы они имели меру ноль. Существуют, например, кривые Xi = xt(t), a^t^b, t = l, 2, ..., п (XjG) — непрерывные на неко- некотором отрезке [а, Ь] функции), называемые кривыми Пеано*', которые проходят через каждую точку некоторого n-мерного куба и, следовательно, не имеют меры ноль. Задача 31. Построить пример кривой Пеано. Теорема 4. Всякая плоская спрямляемая кривая имеет меру ноль. Доказательство. Пусть задана спрямляемая кривая у, длина которой равна S. Пусть, далее r — r(t), a «g t ==g b, — неко- некоторое представление кривой у. Разобьем ее последовательно, т. е. в порядке воз- возрастания параметра t, точками г (tt), tt <= [a, b], i = 0, 1, ..., т, t0 = a,tm = b, на т равных по длине частей, т. е. возь- возьмем такое разбиение х = {Щ^™ отрез- отрезка [а, Ь], чтобы длина каждой части у,- (кривой у), задаваемой представлением Г = ГЦ), *,_!</*=?*!, 1=1, 2, .... Л1, имела длину S/m. Обозначим через /С,- замкнутый круг с центром в точке г (tt-i) и радиусом S/m. Поскольку дуга yt имеет длину S/m и ее начало является центром круга Кг, то вся она лежит в этом круге (рис. 169). Отсюда вытекает, что вся кривая у содержится в объединении кругов /(,¦: т У^ U *'• 1 = 1 Следовательно, в силу монотонности и полуаддитивности верхней меры (см. леммы 1 и 2 в п. 44.1) рис> 169 т U D4-4°) — 1 , i = 1,..., т **\ поэтому из D4.40) имеем ц*у ==g nS2/m. Левая часть неравенства не зависит от т, а пра- правая—стремится к нулю, при т-> + °°, вследствие чего 0 Ц = 0. *' Д. Пеано A858—1932) —итальянский математик. **' Действительно, окружность С, являющуюся границей круга К,, можно представить как объединение двух полуокружностей, каждая из которых пред- представляет собой график непрерывной на отрезке функции. Поэтому согласно теореме 3 (лС = 0, следовательно, всякий круг К является измеримым множе- множеством. 5 Кудрявцев Л. Д. т. 2
130 § 44. Кратные интегралы Упражнение 5. Доказать, что всякая спрямляемая кривая в трех- трехмерном пространстве имеет меру ноль. Из теорем 1 и 4 следует, что всякое ограниченное плоское множество, граница которого является спрямляемой кривой, изме- измеримо. 44.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА Сформулируем определение кратного интеграла Римана. Для этого введем прежде всего понятие разбиения измеримого мно- множества и понятие мелкости этого разбиения. Пусть Е ¦— измеримое по Жордану множество, EaRn. Конеч- Конечная система т = {?(}*= i° непустых измеримых по Жордану мно- множеств Ei, i = 1, 2, ..., г0. называется разбиением множества Е, если 1) попарные пересечения множеств Et имеют меру ноль: o\ I I P. — F- z/ U '~~ ' Число 6T = max d {E{), где d (Et) - диаметр множества Eit i=\, 2 ?„ называется мелкостью разбиения т. В силу аддитивности меры Жордана для всякого разбиения т = {?,•}!•= i° множества Е имеем >=1 Действительно, пусть при фиксированном i Е* = \j Et f) ?) и Е* — II Е*. Тогда, в силу п. 1) определения разбиения множе- i= 1 ства ii (Ei fl Ej) = 0, 1ф j, поэтому pEf ^ 2 Iх № П Ei) = °> т- е- / цЕ* = 0. Отсюда [хЕ* ^ ^ \iE* = 0, следовательно ц,Е* = 0. Кроме того, множества ?*, Е(\Е* = ЕГ »==!. 2, ...,i0, попарно не <о 'о пересекаются и в силу п. 2) \J Ef*\JE*= \J Et = E. Поскольку i= I i— I то из всего этого, вследствие аддитивности меры следует, что
44.3. Определение кратного интеграла 131 Для простоты обозначений иногда вместо {?*}!•= i° будем писать Пусть т= {?,} и т' = {?¦/} — разбиения измеримого множества Е. Разбиение т' называется вписанным в разбиение т, если для каждого Е) е т' существует такой элемент Ei e т, что Е] с ?,-. В этом случае пишут т'J- т или т —^т'. Отметим два свойства разбиений множества. 1°. Если х -$%' и х' Нт", mo x -$х\ f 2°. Для любых двух разбиений х' = {Е'с] и х" = {?'/} измеримого множества Е существует такое его разбиение х, что х^-х' и тЬ- т". Свойство 1° очевидным образом следует из определения вписан- вписанного разбиения. В качестве же указанного в свойстве 2° разбиения т можно взять множество всевозможных непустых пересечений E't[\E;. Примером разбиения измеримого множества является совокуп- совокупность всевозможных непустых пересечений данного множества с кубами некоторого фиксированного ранга k. Отсюда видно, что для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости. Определение 3. Пусть на измеримом по Жордану множестве Е czRn задана функция у — f (х) = / (хъ ..., х„) и х = {Ei}l= i° — неко- некоторое разбиение множества Е; выберем произвольным образом точки ^'' ?Е Е{, i = 1, 2, ..., i0. Сумма вида |] D4.42) i= l называется интегральной суммой Римана функции f. Подобно случаю функции одного переменного определение кратного интеграла можно сформулировать, используя понятие предела последовательности или «язык е —б». Определение 4. Число А называется интегралом Римана от функции f по измеримому по Жордану множеству Е с: Rn, если какова бы ни была последовательность разбиений Tm — {E?}\z\ , т — \, 2, ..., множества Е такая, что мелкости разбиений хт стремятся к нулю при /и->-}-оо: lim 6Tm = 0, и каковы бы ни были точки ?(<1 m> e Ef, i=\,2, ..., f(m), последовательность инте- интегральных сумм crTm(/; ?<'• m>, ..., g('(m)> m)) при m->-fco имеет своим пределом число А: lim fftm(/; E<I'm), ...,?('<m)'m)) = ^. D4.43) Интеграл от функции / по множеству Е обозначается через \ f (x)dE или § ...\f (*ь хй, .... дся)dxtdx% ... dxn.
132 § 44. Кратные интегралы Если существует интеграл \ f (x) dE, то функция / называется интегрируемой по Роману на множестве Е. Интегрируемые по Риману функции часто будем называть просто интегрируемыми. Равенство D4.43), т. е. определение интеграла, кратко запи- записывается в виде формулы \f(x)dE=Umax. D4.44) т В терминах е и б этот предел означает следующее: для любого е>0 существует такое 8г^>0, что каково бы ни было разбиение х = {?¦«}}= i° множества Е мелкости 6t<6s и каковы бы ни были точки Ц') е Е{, / = 1, 2, ..., i0, выполняется неравенство D4.45) Обычным путем доказывается, что определения D4.43) и D4.45) предела интегральных сумм эквивалентны. Отметим, что определение интеграла D4.44), в случае, когда п — 1, а множеством, по которому производится интегрирование, является отрезок, формально не совпадает с данным ранее опре- определением интеграла Римана от функции одной переменной, так как там рассматривались лишь разбиения отрезка на отрезки, а теперь рассматриваются всевозможные разбиения отрезка на измеримые по Жор дану множества. Однако, можно показать (это будет сделано в п. 44.7*), что при я=1 оба определения для случая, когда множество, по которому производится интегриро- интегрирование, является отрезком, равносильны, т. е. приводят к одному и тому же понятию интегрируемости функции и к одному и тому же понятию интеграла. При определении интеграла по множеству Е cz Rn можно для составления интегральных сумм использовать не все элементы разбиений т множества Е, а отбрасывать те слагаемые, которые соответствуют элементам разбиения, замыкания которых пересе- пересекаются с некоторым фиксированным множеством меры ноль. Про- Проанализируем это обстоятельство подробнее. Пусть Е — измеримое множество, Еос:Е и т = {?,•}!•='i° — раз- разбиение множества Е. Обозначим через х(Е0) совокупность тех элементов разбиения т, замыкания которых не пересекаются со множеством Ео: x{Eu) = {Ei:Ei[\Eo^0, f.-et}, D4.46) а через т0 (Ео) — наоборот, совокупность тех ?,¦, для которых их замыкания E-t пересекаются с Ео: ¦го(Ео)^{Е1:Е1(]Еофф, ?гет). D4.47)
44.3. Определение кратного интеграла 133 Лемма 6. Пусть Е—измеримое по Жордану множество про- пространства Rn, Eocz E и цЕо — 0. Тогда lira D4.48) Суммирование в формуле D4.48) происходит только по тем индексам i, для которых Et ее т0 (Ео)- Доказательство. Пусть Ео с: Е и цЕ0 = 0; тогда и ^? = 0 (см. в п. 44.1 замечание после доказательства аддитивности меры). Поэтому для любого е >> 0 существует та- такой ранг k, что nSft(?0)<e. D4.49) Здесь, как всегда, Sk(E0) обозначает сово- совокупность точек всех кубов ранга k, пере- пересекающихся со множеством Ео и, следова- следовательно, покрывающих его: Ео с: Sk (Eo). Напомним, что Ео лежит строго внутри многогранника Sk (Ео), т. е. не пересека- пересекается с его границей (см. п. 44.1). По- Поскольку множество Ео ограничено и замк- замкнуто, а граница dSk(E0) многогранника Рис- 17° Sk(Eo), как играница любого множества, замкнута, то Ео и dSk(E) находятся на положительном расстоя- расстоянии б друг от друга (см. лемму 7 в п. 18.2). = р(?0, dSk(E))>0. D4.50) Поэтому всякое множество D с диаметром A (D), меньшим чем 6, пересекающееся со множеством Ео cz Eo, будет целиком лежать в Sk(E0) (рис. 170). Действительно, если d(D)<<5 и существует x<EEDf\E0, то (см. D4.50)) D cz U (х, б) a Sk (Eo), где, как обычно, U (х, 8) — шаровая окрестность точки х радиуса б. Пусть теперь т= {?,} — разбиение множества Е мелкости бт <6\ Тогда для всякого элемента Et этого разбиения, замыкание кото- которого пересекается с множеством Ео, т. е. для каждого Et ge т0 (?о), будем иметь Et a Sk (Eo)- Поэтому Следовательно, в силу D4.49) 2 ц?, = |1 U e. ? Введем еще одно обозначение. Пусть Е — измеримое множество, т ={?,¦};= t — некоторое его разбиение, Е^сЕ. Для всякой функ-
134 § 44. Кратные интегралы ции /, определенной на Е, положим (см. D4.46) и D4.47)) = %,)№ ЕA) Ew)= 2 /ОТ ^. D4.51) Эта запись означает, что суммирование в правой части равенства происходит только по тем индексам i, для которых ?;ет(Ео). Как всегда ?<'> <= ?г. Для симметрии записи обычные интеграль- интегральные суммы Римана можно по аналогии записывать в виде Вместо символа суммирования 2 иногда для краткости будем i писать 2- х Теорема 5. Пусть Е —измеримое по Жордану множество про- пространства Rn, т= {?;},¦ = i° — его разбиение, ?,с Е и |л?о = О. функция / ограничена на множестве Е, то риманов интеграл ^f(x)dE= lim ax существует тогда и только тогда, когда существует предел lim При этом, если последний предел существует, то он равен интегралу § / (х) dE. Доказательство. Для всякого разбиения т—{Е{}'=\° мно- множества Е у каждого элемента Et либо его замыкание Ei не пере- пересекается со множеством Е„, и тогда ?;Ет(?0) (см. D4.46)), либо — пересекается (см. D4.47)), а тогда ?г-ето(?о). Следова- Следовательно, х = х(Ео)\}хо(Ео), причем ъ(Е0) и То^о) не имеют общих элементов. Положим Здесь суммирование в правой части равенства происходит только по тем индексам i, для которых ?;ето(?о). Очевидно, что для любой интегральной суммы Римана ах справедливо равенство (см. D4.42) и D4.51)) От = 0т (в.) + <Tt. (в.)- D4.52) В силу ограниченности на Е функции / существует такая постоян- постоянная Л4>0, что для всех хе? выполняется неравенство \f(x)\^M.
44.3. Определение кратного интеграла 135 Поэтому Поскольку согласно лемме 6 lim 2 ц?, = 0, то lim аТо(Ео) = О. В силу этого из равенства D4.52) следует, что интегральные суммы ат и at(?0) одновременно имеют или нет пределы при 6t->0, причем, если эти пределы существуют, то они равны. ? Из этой теоремы следует, что, если функция определена и огра- ограничена на некотором измеримом множестве Е, то при определении интеграла, как предела интегральных сумм, в них можно отбра- отбрасывать все слагаемые, соответствующие элементам разбиения, замыкания которых содержат граничные точки, ибо множество Еа=дЕ имеет меру ноль (см. теорему 1 в п. 44.1). Из теоремы 5 следует также, что если функция / определена и ограничена на измеримом множестве Е, то изменение ее зна- значений на некотором множестве EQcz E меры ноль, в результате которого снова получается ограниченная на Е функция, не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла от функции, если он существует. Это сразу следует из того, что, при указанном изменении функций сумма оХ(е0) не меняется, а в силу теоремы 5, если ее предел при 6t->0 существует, то он равен интегралу jj / (x) dE: lim Из этого замечания, в частности, следует, что функция / является интегрируемой на измеримом множестве Е тогда и только тогда, когда на этом множестве Е интегрируема всякая функция, получающаяся из f произвольным изменением ее значе- значений в граничных точках, т. е. на множестве Ef\dE, таким, что эти значения остаются, однако, ограниченными. При указанной операции не меняется и значение интеграла \f(x)dE. Все это следует из того, что граница измеримого множества, а значит, и любая ее часть, имеют меру ноль. Таким образом, интегрируемость и значение интеграла от функции по множеству Е не зависят от значений функции в гра- граничных точках измеримого множества Е, если только эти значе- значения ограничены.
136 § 44. Кратные интегралы 44.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА Простейшим примером интегрируемой по Риману функции является произвольная числовая функция /, определенная на некотором множестве Е czR", мера Жордана которого равна нулю: ^? = 0. В этом случае для любого разбиения x — {Ei\li=\' мно- множества Е будем иметь ц?'1 = 0 для всех i=l, 2, ..., ?, и потому при любом выборе точек ?<<>?=?•; получим / (^(l)) fx?"j = 0, и, следо- следовательно, (см. D4.42)) Отсюда, согласно определению интеграла, он существует в этом случае и равен нулю: $/(je)d?=limat = 0. бт—>о Поскольку функция / произвольна, то в частности, она может быть и неограниченной. Иначе говоря, условие ограниченности функции не является необходимым для ее интегрируемости по Риману на произвольном измеримом по Жордану множестве. Вспомним, что для интегрируемости функции по Риману на отрезке условие ограниченности функции было необходимым (см. теорему 1 в п. 27.2). Однако, с некоторым видоизменением теорема об огра- ограниченности интегрируемой функции оказывается справедливой и для рассматриваемого здесь интеграла. Предварительно докажем лемму. Лемма 7. Пусть функция f определена на измеримом по Жор- Жордану множестве Е, т = {?,-}!•= I" — разбиение этого множества и Е* — объединение всех элементов этого разбиения, имеющих поло- положительную меру: Е* — (J Е(. ц?,. >0 Если функция f неограничена на множестве Е*, то каково бы ни было число М>0, можно так выбрать точки I'^ef,-, что будет справедливо неравенство ? = 1 ¦ м. Следствие. Пусть функция f определена на измеримом по Жор- Жордану множестве Е. Если у множества Е существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых функция f неограничена на объе- объединении всех их элементов положительной меры, то функция f неинтегрируема на Е. Доказательство леммы. По условию леммы множе- множество Е* является объединением элементов Et положительной меры
44.4. Существование интеграла 137 разбиения т. Поскольку всякое разбиение состоит из конечного числа элементов, то Е* является конечной суммой указанных множеств Et <= т. Поэтому, если функция / неограничена на мно- множестве Е*, то она неограничена и на некотором множестве Et положительной меры. Пусть для определенности им будет мно- множество Е\. В силу неограниченности функции / на Ег можно выбрать такую последовательность |„" е Ej, n = \, 2, ..., что будет иметь место равенство lim /(|^') = oo. Зафиксируем каким- п—»со либо образом остальные точки |1'> ее Et при г = 2, 3, ..., /0. п Поскольку сумма 2 / (?(()) \^Et — фиксированное число и i = 2 > 0, то в сумме при п->оо первое слагаемое стремится к бесконечности, а вто- второе—постоянное; отсюда lim л->оо = -f- CO. Поэтому для любого числа М>0 можно подобрать такой номер iio = iio(M), чт0 будет справедливым неравенство Доказательство следствия. Если функция / интегри- интегрируема на множестве Е, т. е. существует предел lim ^l то для любого е > 0, например для е = 1, существует такое б„ >0, что для всех разбиений т = {?',-}1=10 множества Е мелко- мелкости б < бп при любом выборе точек |1'> е ?,- е т выполняется неравенство и, следовательно, неравенство (х) dE + D4.53)
138 § 44. Кратные интегралы Если же функция / удовлетворяет условиям следствия, то у множества Е существует разбиение т мелкости 6t<60, для которого функция / неограничена на объединении всех элементов положительной меры этого разбиения. Тогда по лемме 7 сумму 2 /A('')мД" можно сделать сколь угодно большой по абсолютной i=i величине за счет выбора точек ?('> е Ei e т. Поэтому такая функ- функция не может быть интегрируемой —для нее не выполняется усло- условие D4.53). ? Покажем теперь, что если пренебречь множеством меры ноль, то всякая интегрируемая функция будет ограниченной. Теорема 6. Если функция f интегрируема на множестве Е, то существует такое множество ЕйаЕ меры ноль: \iE0 = Q, что функция f ограничена на Е\Е0. Доказательство. Пусть функция / интегрируема на Е, и указанного в теореме множества Ео не существует. Возьмем любое бо>0 и какое-либо разбиение т множества Е мелкости бт<б0. Обозначим через Е* объединение всех элементов поло- положительной меры. Тогда множество Е\Е* является объединением конечного числа множеств Et <= т меры ноль, и поэтому оно само имеет меру ноль: ц (Е\Е*) = 0. Вследствие этого по сделанному предположению функция / неограничена на множестве Е*. Отсюда, согласно следствию из леммы 7 получаем, что функция / неин- тегрируема. Q Покажем теперь, что для важного класса измеримых по Жор- дану открытых множеств теорема об ограниченности интегрируе- интегрируемой функции полностью сохраняется. Для доказательства этого нам понадобится одна геометрическая лемма. Лемма 8. Непустое пересечение замкнутого п-мерного куба с открытым множеством п-мерного пространства имеет положи- положительную нижнюю меру Жордана. Следствие. Для любого открытого измеримого по Жордану мно- множества существуют сколь угодно мелкие разбиения, все элементы которых имеют положительную меру. Доказательство леммы. Пусть Q — л-мерный куб, G — открытое множество пространства Rn и Qf|G=/=0. Какова бы ни была точка х ее Q f) G, в силу открытости множества G существует такая ее окрестность U (х), что U(x)c:G. D4.54) Нетрудно убедиться, что во множестве U (х) всегда имеется внут- внутренняя точка у куба Q. В самом деле, может случиться, что сама точка х является внутренней для куба Q и тогда можно взять у — х. Если же х — граничная точка Ky6aQ. то она является граничной и для множества его внутренних точек. Поэтому ее окрестность V (х) заведомо содержит внутреннюю точку у куба Q
44.4. Существование интеграла 139 (рис. 171). В силу определения внутренней точки (см. п. 18.2) существует такая ее окрестность V (у), что V (у) с Q. D4.55) В силу D4.54) и D4.55) справедливы включения U(x) (]V(y)^U (х) с G, U(x)f]V (у) с= V (у) с Q; поэтому D4.56) Поскольку yeE.U(x) и j/e У ((/), то пересечение U(x)[]V(y) не пусто, ибо содержит во всяком случае точку у. Далее, будучи пересечением двух открытых множеств, оно также является открытым и потому (см. п. 44.1) В силу свойства монотонности нижней меры (см. лемму 1 в п. 44.1) из D4.56) имеем т. Рис. 171 Из двух последних неравенств явствует, что n,(QnG)>0. ? Доказательство следствия. Пусть G — измеримое открытое в Rn множество. Зафиксируем разбиение пространства #я на кубы некоторого ранга k. Множество кубов Q этого ранга, имеющих непустое пересечение со множеством G, является конеч- конечным, ибо множество G, в силу его измеримости, ограничено. Перенумеруем все указанные кубы: Qi. Qz, • ••> Qh- Множества Ei = Qi f]G Фф, t = l, 2, ..., г'о. измеримы и образуют разбиение т ={/;,•}'•=I" множества G. Действительно, с одной стороны ?; = •о <=Qi(\GczG, следовательно, \J EtczG, а с другой — каждая точка xeG, как и всякая точка пространства Rn принадлежит хотя бы одному кубу Q ранга k: х е Q f) G. Тогда Q fl G ^ х, т. е. при некотором i Q = Qi, поэтому х ^Qt(]E = Et cz \J E{. i= 1 h Таким образом, \J Et=^G. t=i Далее, Ei{\Ej cz QiOQj- Если пересечение Q^flQ/ непусто, то оно представляет собой куб размерности, меньшей чем п, и, сле- следовательно, является графиком непрерывной (даже линейной) функции на компакте. Поэтому его мера равна нулю: iiQt f| Qj — О, откуда и [xEi (] Ej = 0, 1Ф j. Наконец, согласно лемме 8 цЕ; > 0.
140 § 44. Кратные интегралы Очевидно, что существуют сколь угодно мелкие разбиения т ука- указанного вида. Действительно, каково бы ни было 6>0, достаточно взять такой ранг к, чтобы "j/"n/10*-<6 (d (Q) = 10-*}/~п — диаметр куба Q ранга k) и тогда й(Et) = d(Qi ПG)^d(Qi) = 1(HVn<6, /=1, 2, .... t0, и поэтому бт <С б. Ц Теорема 7. ?сш функция интегрируема на открытом мно- множестве, то она ограничена. Доказательство. Пусть функция / интегрируема на откры- открытом множестве G. Тогда, согласно определению интеграла, мно- множество G измеримо по Жордану, а на основании следствия из леммы 8, существуют сколь угодно мелкие его разбиения, все элементы которых имеют положительную меру. Очевидно, что в силу леммы 8 для разбиений, построенных при доказательстве следствия из указанной леммы, объединение всех их элементов положительной меры совпадает с самим множеством G. Если функция / была бы неограниченной на G, то, согласно следствию из леммы 7, она была бы неинтегрируемой. Замечание. Как видно из приведенного доказательства теоремы 7, открытость множества G потребовалась лишь для того, чтобы показать, что существуют его разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. Тем самым для всех множеств, обладающих этим свойством, интегрируемость на них функций влечет за собой их ограничен- ограниченность. Легко, например, можно убедиться в том, что замыкание G любого измеримого открытого множества G также имеет сколь угодно мелкие разбиения, мера всех элементов которых положи- положительна. Действительно, достаточно снова взять все кубы Q; ранга k, имеющие с G непустое пересечение. Тогда они будут и подавно иметь непустое пересечение с замыканием G множества G: Qi fl G zd Qi П G =5^ 0 ¦ При_ этом, поскольку Sk (G) — замкнутое мно- множество hGcSj(G), to G cz Sk(G). Следовательно, если положить Ei = Qif\G, где Qt(]G^ ф, то т = {?,¦} образует покрытие замы- замыкания G множества G, ибо многогранник Sk(G) состоит только из указанных кубов Qit и по лемме 8 Упражнение 6. Построить пример функции, неограниченной и интег- интегрируемой на множестве положительной меры. Если функция / ограничена на измеримом множестве то, как и в одномерном случае, можно определить верхние и нижние суммы Дарбу.
44.4. Существование интеграла 141 Определение 5. Пусть f — функция, ограниченная на измери- измеримом по Жордану множестве Е,х= {?*}!•=i° — разбиение множества Е, пц= inf f(x), Mi= supf(x), i=l, 2, ..., i0. Тогда суммы называются соответственно нижними и верхними суммами Дарбу. Для сумм Дарбу и интегральных сумм Римана справедливы очевидные неравенства sT s=s ox sg Sx. Как и для функций одной переменной, для любых двух раз- разбиений Ti и т2 справедливо неравенство st, sS STa. Теорема 8. Для того чтобы ограниченная на измеримом по Жордану множестве Е cz R" функция f была интегрируемой по Риману на этом множестве необходимо и достаточно, чтобы lim (ST-sT)=0. D4.57) При выполнении этих условий lim S, = lim sT = \f (x) dE. D4.58) Условие D4.57) равносильно следующему lim 2 со (/;?,) ixEt = 0, D4.59) «0 где (о(/; ?;) — колебание функции / на множестве ?,• ет= { Доказательство этой теоремы проводится аналогично одномер- одномерному случаю и рекомендуется проделать читателю самостоятельно. Упражнение 7. Сформулировать определения пределов D4.57) — D4.59) с помощью последовательностей и используя «е-б-язык». Теорема 9. Если функция непрерывна на измеримом по Жор- Жордану компакте, то она интегрируема на нем. Доказательство. Пусть Е — измеримый компакт, Е a R'1, а / — непрерывная на нем функция. Всякая функция, непрерыв- непрерывная на компакте, ограничена (см. п. 19.5) и равномерно непре- непрерывна (см. п. 19.6) на нем. Поэтому и здесь доказательство
142 § 44. Кратные интегралы. протекает аналогично одномерному случаю (см. п. 27.5): легко получается оценка где со (б, /) — модуль непрерывности функции /. Из этой оценки сразу следует выполнение условия D4.59), а поэтому, согласно теореме 8, и интегрируемость функции /. Q 44.5*. ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Непрерывность функции не является необходимым условием интегрируемости: существуют и разрывные интегрируемые функ- функции. Достаточно широкий класс разрывных интегрируемых функ- функций устанавливается следующей теоремой. Теорема 10. Если функция ограничена на измеримом по Жор- дану компакте и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру ноль, то эта функция интегрируема по Риману. Доказательство. Пусть функция / определена и ограни- ограничена на компакте, т. е. на ограниченном замкнутом множестве Е a R". В силу ограниченности функции / на Е существует такая постоянная М > 0, что для всех х е Е выполняется неравенство \f(x)\^M. D4.60) Пусть Ео — множество точек разрыва функции f. По условию теоремы цЕ0 = 0, а поэтому для любого фиксированного 8 > 0 существует такой ранг k, что Это следует из того, что в данном случае, согласно определению меры, lim iiSk(E0) = 0. Пусть многогранник Sk(E0) состоит из Й-+ + СО кубов Qi, Q2,..., Qi. Обозначим через Pj куб, получающийся из Q/ преобразованием подобия с центром в центре куба Q/ и коэф- коэффициентом подобия равным трем; тогда /=1, 2, ...,/. D4.62) Положим Р— (J Pj. В силу неравенств D4.61) и D4.62) имеем I S S цР = и\\ Р,^У [хР,= У 3rau,Q/ = 3"Li5ft(?o)<-r^r. D4.63) Отметим, что множество Р получается из Sk (Ео) окаймлен!1ем последнего полосой кубов с ребрами длины 10"*, поэтому всякое
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 143 множество А с диаметром d(A), меньшим чем 1(Н, пересекаю- пересекающееся с множеством Sk(E0), содержится в Р (рис. 172): 1(Н, A()Sk(Eo)^0=>AcP. D4.64) Обозначим теперь через G множество внутренних точек мно- многогранника Sk (Ео). Очевидно, G — открытое множество, а поскольку Е • по условиям теоремы Е замкнуто, то множество F = E\G также замкнуто, причем в силу ограниченности Е мно- множество F ограничено, поэтому F — ком- компакт. Далее, множество Ео лежит внутри многогранника Sk(Ea), т. е. ?0с:О | (как отмечалось выше, см. п. 44.1, это | справедливо вообще для любого мно- | жества Е и вытекает из определения {- многогранника Sk (?)). Отсюда явствует, | что функция f непрерывна на ком- [_ пакте F, а поскольку, кроме того, мно- множество F измеримо, как разность двух измеримых множеств Е и G, то сог- согласно теореме 9 функция / интегрируема на F. Поэтому для выбранного выше е>0 существует такое б>0, что для любого разбиения хр множества F мелкости 6tF<6 выполняется неравенство SXF-sXF<~, D4.65) где Stp и sXF — верхние и нижние суммы Дарбу функции /, соот- соответствующие разбиению хр множества F. Пусть S0 = mm{l(H, 6} D4.66) т= {?«•}!=1° — какое-либо разбиение множества Е мелкости 6т<бй. Очевидно, что xF^{Ei(]F}, где Ei(\F=?0, является разбиением множества F мелкости STFss;6t<6o, и поэтому в силу D4.66), для Хр выполняется неравенство D4.65). Положим Mi = sup / (х), т( = inf / (х), Sx = 2 Mi= sup f(x), tn[= inf f(x), EnF ezEnF min(Etf]F).
144 § 44. Кратные интегралы Каждое множество ?j?t либо пересекается с G, либо нет. В случае непересечения, т. е. если Ei[\G=0, то EtczF, и для таких индексов i имеем Mi = M'i, mi = mi, Ei(]F = E[. Поскольку Е{Фф и Et с: Е = F U G, то из ?,- f] G — 0 сле- следует, что EicF и, следовательно, Ei(]F=^0. Поэтому, заме- заметив, что в ниженаписанных суммах все слагаемые неотрицательны, получим: 2 Fp^. D4.67) Б. Если же Е^вФф, то в силу D4.64) и D4.66) ?;сРи поэтому для этих индексов i (см. еще D4.63)) 4 = |1 U ?,- Использовав очевидные неравенства (/П; [ sgM, \ Mi\^M, i = = 1, 2, ..., t0, непосредственно вытекающие из D4.60), и при- применив неравенство D4.68), будем иметь <у- D4-69) Из D4.67) и D4.69) вытекает, что Отсюда, согласно теореме 8, следует интегрируемость функции / на множестве Е. Q 44.6. СВОЙСТВА КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА В этом пункте будут рассмотрены свойства кратного интеграла, аналогичные свойствам интеграла от функции одного переменного по отрезку. Напомним, что интегрируемость какой-либо функции (по Риману) на некотором множестве предполагает его измери- измеримость по Жордану.
44.6. Свойства кратного интеграла 145 1°. Пусть Е —измеримое множество; тогда \dE = \x,E. Действительно, в данном случае подынтегральная функция тождественно равна единице. Поэтому, если т = {?,-}!¦= \° — некоторое разбиение множества Е, то (см. D4.41)) \ dE = lim ^ V-Ei — F1^' 2°. Пусть Е и Е* — измеримые множества, Е* а Е и функ- функция f ограничена и интегрируема на Е; тогда она интегрируема и на Е*. В самом деле, множество Е**—Е\Е* также измеримо, как разность двух измеримых множеств. Пусть т* = {?*} — разбиение множества ?* мелкости &%* и т** = {?**} — разбиение множества Е** мелкости 8г**^8г*- Тогда т = {?*, ?**} является разбиением множества Е мелкости бт = 6т*. Если сот = 2_j w(/. -с») V't-i + 2j ' X* х** И х* то, очевидно, 0 sc; (Ox* sg сот. Но lim cot = O, а поэтому lim coT» = 0, откуда и следует интегрируемость функции / на множестве Е* (см. D4.59)). 3°. Аддитивность интеграла по множествам. Если Е' и Е" — измеримые множества, Е = ?' U Е", ?' [}Е"=ф и функция f ограничена и интегрируема на множестве Е, то интегралы \f (x) dE' и ^ (a) dE" существуют и dE = \f(x)dE' + \f(x)dE". D4.70) Поскольку существование интегралов \if(x)dE' и ^f(x)dE" следует из свойства 2°, то нуждается в доказательстве лишь фор- формула D4.70). Пусть т' = {?,•} и х" = {Я/} — разбиения соответственно множеств Е' и ?"'. Тогда т = {Е'(, Е]} является разбиением мно- множества Е, и его мелкость равна наибольшей из мелкостей раз- разбиений 6х- и 6t":6T = max{6x', fix"}- Пусть gi» е ?,', лУ) е ?/. D4,71)
146 § 44. Кратные интегралы В силу интегрируемости функции / на множествах Е, Е' и Е" lim ax = U (х) йЕ, lim о> = \ f (х) dE', lim crx» = \f(x) dE". 6->0 б'->0 6>0 Поэтому, переходя к пределу в равенстве D4.71) при бт->-0 получим D4.70). Замечание. Следует обратить внимание на следующее обстоятельство: может случиться, что функция f определена на множестве E = E'[jE", где Е' и ?" —измеримые множества, Е' П (]Е" = ф, интегралы \f(x)dE' и \f(x)dE" существуют, а интеграл \ f (x) dE не существует. Поясним сказанное на примере. Пусть (г, <р) — полярные коор- координаты точки на плоскости, 0, если г<1, ?' = {(г, ф): г < 1} —открытый круг, Е" = {{г, ф): /- = 1} — окруж- окружность. Очевидно, \iE" = 0, а поэтому, несмотря на то, что функ- функция / неограничена на Е" она интегрируема и \f(r, ф)сШ" = 0. Существует и интеграл § / (г, ф) d?' = 0. Однако, интеграл ^ / (г, ф) йЕ по замкнутому кругу Е — Е'\] Е" не существует. Действительно, множество Е представляет собой замыкание области, поэтому у него существуют сколь угодно мелкие разбиения, все элементы которых имеют положительную меру. Следовательно (см. замечание к теореме 7), всякая интегрируемая на Е функция ограничена, а заданная функция f неограничена и потому не интегрируема. Важно отметить, однако, что для ограниченных функций подобной ситуации быть не может: если функция / ограничена и интегрируема на измеримых множествах Е' и Е", Е'[}Е"=ф, то она интегрируема и на множестве E — E'\j E", причем справедлива формула D4.70). Это будет доказано в п. 44.7*. Заметим лишь, что в случае, когда одно из множеств Е' или Е" имеет меру ноль, то интегрируемость ограниченной функции / на их объединении, в предположении ее интегрируемости на каж- каждом из них, можно получить почти дословным повторением рас- рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 10. В самом деле, пусть f интегрируема и ограничена на измеримых множе- множествах Е' и Е", ц?" = 0, E = E'\JE". Тогда, если, как и в указан- указанном доказательстве, построить множество G гэ ?" (множество Е' играет здесь роль множества Ео из теоремы 10) и положить F = = E\G, то будем иметь F с: Е" и, следовательно, в силу свой- свойства 2° интегралов, функция / окажется интегрируемой на мно- множестве F, откуда, как и выше, вытекает ее интегрируемость на
44.6. Свойства кратного интеграла 147 множестве Е, а, значит, в силу свойства 3°, и справедливость формулы D4.70), где \f{x)dE' = Q. Подобным методом, только более сложным путем, можно дока- доказать и общее утверждение. 4°. Линейность интеграла. Если функции Д и Д. интегрируемы на множестве Е, то для любых чисел Ях и А2 существует интеграл \ (x) + А2/2 (х)] dE и справедливо равенство *)] dE = kx\h(x) dE + Цh (x) dE. 5°. Если функции fug интегрируемы и ограничены на неко- некотором множестве, то и их произведение и отношение f/g (при in{|g"|>-0) интегрируемы на этом множестве. 6°. Интегрирование неравенств. Если функции fug интегри- интегрируемы на множестве Е, и для всех х ^.Е выполняется неравенство f(x)^g(x), то ]f(x)dE^lg(x)dE. Т. Если функция f интегрируема и ограничена на множестве Е, тогда и ее абсолютная величина |/| интегрируема на нем, причем | \ f (x) dE | < $ | / (х) | dE. Доказательство свойств 4°, 5°, 6°, 1° проводится совершенно аналогично одномерному случаю (см. п. 28.1). 8°. Монотонность интеграла от неотрицательных функций по множествам. Если Е и Е* —измеримые множества, ?*сЯ, функ- функция f неотрицательна, ограничена и интегрируема на Е, то lf(x)dE*^f(x)dE. D4.72) Действительно, в силу свойств 2° и 3° интегралы ^f(x)dE* и ^ f (x) d (Е\Е*) существуют и \ f (х) &E = \f (x) dE* + \ f (x) d (E\E*). Поскольку f(x)^O, то в силу свойства 6Q а отсюда и следует неравенство D4.72). 9°. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на изме- измеримом открытом множестве G, x° e G, функция f непрерывна в /почке х^ и /(jc(o')>0. Тогда \f{x)dG>Q. D4.73) Действительно, в силу непрерывности функции / в точке для любого е > 0 существует такая окрестность U = U (x@)) этой точки, что для всех x^U выполняется неравенство /(л;@)) — е< <.f(xXf(xw) + e. При этом в силу открытости множества G окрестность U всегда можно выбрать так, чтобы U czG.
148 § 44. Кратные интегралы f (xl0>) Выбрав е = „ получим для него такую окрестность U, что для всех х, принадлежащих этой окрестности будем иметь / (х) > > 2— Отсюда, применяя последовательно свойства 8°, 6° и 1°, найдем, что ибо fxf/>0, как мера всякого открытого множества. Ц Отметим непосредственное следствиг из свойства 9°. Следствие. Если функция f непрерывна, интегрируема и неот- неотрицательна на измеримом открытом множестве G и не является тождественным нулем, то \jf(x)dG'>0. 10°. Полная аддитивность интеграла по множествам. Пусть функция f ограничена и интегрируема на множестве Е, a {Ek}, k—l, 2... — последовательность таких измеримых множеств Eka E, что lim цЕк = \хЕ. *> D4.74) Тогда lim \f(x)dEk = \f{x)dE. D4.75) feJ В силу аддитивности интеграла имеем: \f(x)dE-]f (x) dEh = \f (х) d (E\Ek). Поскольку по условию функция / ограничена, т. е. существует такая постоянная М у> 0, что \f{x)\^M для всех х е Е, то $ | / (*) | d (E\Ek) <: At] d (Е\Е„) = По аддитивности меры имеем ц (Е\Еk) = цЕ — \xEk, следова- следовательно Отсюда в силу D4.74) и следует D4.75). Q 11°. Теорема о среднем. Пусть функции fug ограничены и интегрируемы на множестве Е. Если функция g не меняет знака на Е и т s=s / (x) sg M, х^Е, то существует такое число А, т s^ Я sg M, что *> С последовательностями измеримых множеств, обладающих свойством D4.74).мы уже встречались, см. например, теорему 2 в п. 31.2.
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 149 Следствие. Пусть Е — измеримое линейно связное множество или замыкание линейно связного множества. Тогда если функция f ограничена, интегрируема и непрерывна на Е, то существует такая точка | <= Е, что \jf(x)dE — f (|) цЕ. Теорема о среднем доказывается совершенно аналогично одно- одномерному случаю (см. п. 28.2). Для получения следствия надо использовать теорему о промежуточных значениях функции, непрерывной на линейно связном множестве или на его замыкании (см. п. 19.5). 44.7*. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ РИМАНА II ДАРБУ И ИХ СЛЕДСТВИЯ Пусть функция / определена и ограничена на измеримом по Жордану множестве Е, т = {EiY^f — его разбиение, mi = mif, to to Mi = sup f, st = 2 tn,iiEi, ST=2 Mi[iEi — нижняя и верхняя E c= i i= i суммы Дарбу, соответствующие разбиению т. Положим , /* = infST; D4.76) /* называется нижним, а I* —верхним интегралом Дарбу функ- функции /. Оказывается, что нижний и верхний интегралы Дарбу являются не только соответственно верхней и нижней гранью интегральных сумм Дарбу, но и их пределом при условии, что мелкость разбиений стремится к нулю. Теорема 11. Если функция f ограничена на измеримом по Жор- Жордану множестве Е, то /* = lim su I* = lim 5T. Доказательство. Установим справедливость первой фор- формулы (вторая доказывается аналогично). Пусть \f(x)l^M, x<=E, а е>0 задано. В силу определения D4.76) существует такое разбиение т* = {Е*\ множества Е, что Sx*>/*-y. D4.77) и Здесь Sx*=Y. mfiiEf, mf = inff, t = l, 2, ..., t0- Пусть (=i в? Eo = M dEf. D4.78) ti
150 § 44. Кратные интегралы Поскольку каждое множество Е* измеримо, то \xdEf = 0> поэтому цЕ0 = 0. Следовательно, существует такой ранг k = k(z), что D4.79) Покажем, что для любого разбиения т = {?/}/={' множества ? мелкости 6т-<10~* выполняется равенство /,-e<st</». D4.80) В силу произвольности s>0 это и означает, что lim sT = /.,.. Неравенство s^s^I^ непосредственно вытекает из определения нижнего интеграла /„. (см. D4.76)). Поэтому надо доказать лишь неравенство St>/s_e D4.81) при условии 6T<10-fe. Пусть Sft = Sk(Ео) состоит из кубов Qlt ..., Qm. Аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 10, обо- обозначим через Р] куб, получающийся из Qj преобразованием подобия с центром в центре куба Q/ и коэффициентом подобия, равным 3, / = 1, 2, ..., т. Положим т Р=[)Р„ G = E\P. D4.82) Из определений множеств Р и G следует, что множество G отделено от многогранника Sk (Eo) «полосой» кубов с ребрами длины 10~fe. Прежде всего оценим меру цР. Из определения мно- множества Р (см. 44.82)) и неравенства D4.79) имеем (сравните с D4.63)) =з» Далее заметим, что для любого множества A cz E с диаметром й{А) < 10^*, пересекающимся со множеством G : А П G ф 0, суще- существует и притом единственное множество Ef e т* такое, что AczEf. D4.84) Действительно, выберем какую-либо точку х е Л П G. Поскольку Л с Я, то ,?е ?, и поэтому точка х содержится в некотором элементе ?* разбиения т*. Для этого элемента и выполняется
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римма и Дарбу 151 включение D4.84). В самом деле, если это включение не имело бы места, то нашлась бы точка г/еЛ\?*. Поскольку х^Л, у^А и d (A) < 10~ft, то р (х, у) < 10-*. Следовательно, отрезок с концами в точках х и у, имея длину, меньшую, чем 10"*, и один конец х во множестве G, не пересекается со множеством Sk (Ео), ибо оно отделено от G полосой ширины 10-*. Однако из того, что один конец отрезка принадлежит некоторому множеству, в данном случае — множеству Е*, а Другой нет, следует (см. лемму 9 в п. 18.2), что на этом отрезке существует точка zed?*. Но (см. D4.78)) dE'faEoaSh(Eu), т. е. zeaSk(E0). Следовательно, указанный отрезок пересекается со множеством Sk (Eo). Полученное противоречие и доказывает вложение D4.84). Докажем единственность множества Ef, удовлетворяющего включению D4.84). Пусть существует еще одно множество ?| е т*, такое, что АаЕ%, k=?i. Тогда АсЕ*{]Е?- Если пересечение Et П Е% содержало бы хоть одну точку, являющуюся одновременно внутренней для множеств Ef и Е%, то эта точка была бы внут- внутренней и для пересечения Ef f| Е%, а тогда имело бы место нера- неравенство \iEf П Е% >¦ 0. Это неравенство противоречит определению разбиения (см. п. 44.3), в силу которого ц,?*П?1 = 0 при 1фк. Следовательно, каждая точка пересечения Е*(]Е%, поэтому и каж- каждая точка множества А, является граничной точкой по крайней i * мере для одного из множеств Ef, El- Но тогда A cz (J дЕ* — EoczSk (Ео)- Это невозможно, так как множество Л пересека- пересекается со множеством G, которое не пересекается с Sk (Eo)- Проти- Противоречие получилось из предположения о существовании второго элемента Е% из г*, содержащего множество А. Следовательно такой элемент единственен. Возьмем теперь произвольное разбиение т = {?)}/= i° множества Е мелкости 6T<10'ft. Нижнюю сумму Дарбу /о mJ= inf fM' /=1) 2) •••' i°' разобьем на два слагаемых, соответствующих тем Е/, которые пересекаются со множеством G, и тем, которые с ним не пересе- пересекаются и, следовательно, целиком лежат в множестве Р (см. D4.82)). D4-85) Использовав очевидное неравенство \щ\^М, / = 1, 2, .... /о, D4.86)
152 § 44. Кратные интегралы где \f(x)\^M, xe?, и оценку D4.83), получим 5 2 \mj\ PEJ ^ M S ^^у ^ E.czP В частности, У ШуцЕу > — -|-. Поэтому из D4.85) имеем Теперь заметим, что d (?,) гс; 8Х < 10~ft, поэтому для каждого Ej, пересекающегося со множеством G, в силу D4.84) существует такое ?*ет*, что EjdEf. Обозначим через G,-объединение всех тех Ej, которые пересекаются с G и содержатся в Ef: Gi= U Ej. Группируя в сумме 2 rtyy^Ej слагаемые, содержащиеся в одном и том же множестве G,-, запишем ее в виде ? D4.88) Для оценки внутренней суммы, заметим, что для любого ?=1, 2, ..., ?0 согласно очевидному равенству Ef = (?? П GO U (Е?\Од = G, U (??\С,-) (второе равенство следует из включения G,- с: ?*) имеем D4.89) ?.cG J Оценим второе слагаемое. Каждая точка х е ?*\G,- принадлежит некоторому множеству ?ует:хе?/. Это ?) не может пересе- пересекаться с G, так как всякое ?;-ет, пересекающееся с G, целиком содержится в некотором элементе разбиения т* (см. D4.84)). Поскольку пересечение ?) fl Ef непусто: х е ?) П ?*. то в данном случае этим элементом может быть только множество Е*, т. е. Ej cz Ef. Но тогда, в силу определения множества G,-, имело бы
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 153 место включение Е/ a G,- и, следовательно, х е G,-. Это противо- противоречит предположению, что х е Ef\Gi. Итак, множество ?} не пересекается с G и поэтому Е/ с: Р. Отсюда, в частности, вытекает, что ieP. Поскольку х — произвольная точка множества ?7\G,-, то E?\Gi с: Р, и поэтому ??\G,- с: ?? П Р. Использовав это включение и неравенство D4.86), получим Подставив это неравенство в D4.89), будем иметь Теперь заметив, что из включения Ej aGt a Ef следует нера- неравенство mf^mj (нижняя грань подмножества не меньше, чем нижняя грань самого множества), получим 2! откуда Просуммировав обе части по i от 1 до г0. в силу D4.88) будем иметь |] mfpE, - М 2 № Л Р = Ь* - М S M^f П Р. Поскольку, согласно D4.83) то D4.90) Применив теперь последовательно неравенства D4.87), D4.90) и D4.77), получим > ^ m#?/ — з^ > «х т. е. неравенство D4.81), а следовательно, и теорема 11, дока- доказаны. ? С ее помощью можно установить два критерия интегрируе- интегрируемости ограниченной функции.
154 § 44. Кратные интегралы Теорема 12 (критерий Дарбу). Ограниченная на измеримом по Жордану множестве функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний интегралы Дарбу равны. Доказательство. Пусть /^ и /*—соответственно ниж- нижний и верхний интегралы Дарбу функции f, ограниченной на измеримом множестве Е. Следовательно, для любого разбиения т множества Е выполняются неравенства (см. D4.76)) =?=/*=s=St. D4.91) Необходимость условия '1^ = 1*. Если функция / интегрируема на множестве Е, то (см. D4.57)) lim (Sx — st) = 0, и поскольку О «S /* — /* s=S Sx — sx, то /,. = /*. Достаточность условия /„. = /*. Если 1^ — 1*, то в силу теоремы 11 lim (ST —st)= lim St — lim sx = I* — /* = 0, 6t->o и поэтому, согласно теореме 8 из п. 44.4, функция / интегриру- интегрируема. Ц Теорема 13 (критерий Римана). Ограниченная на измеримом по Жордану множестве Е функция f интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для любого е>0 существует та- ког разбиение т множества Е, что St-st<8, D4.92) где sx и St —нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f, соот- соответствующие разбиению т. Доказательство. Если функция f интегрируема на мно- множестве Е, то для нее выполняется условие D4.57) (см. теорему 8 в п. 44.4). Справедливость D4.92) следует из определения пре- предела сумм Дарбу при бт->0. Если, наоборот, выполняется условие D4.92), то в силу D4.91) при любом е>0 справедливо неравенство 0«^/* — /#<в и потому /„. = /*. Отсюда, согласно теореме 12 и вытекает, что функция / интегрируема на множестве Е. Q Итак, вспоминая определение кратного интеграла, данное в п. 44.3, теорему 8 из п. 44.4 и теоремы 12 и 13 этого пункта, получаем эквивалентность следующих пяти утверждений: 1) функция f интегрируема на множестве Е, т. е. сущест- существует предел lim ах = \ f (x) d?'» 2) 6,
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 155 U 3) lim 2 ю(/> ?"/)n^j = 0, т — {Ei}\"=\ —разбиение множе- ctnea E; 4) для любого г >• О существует такое разбиение т множества Е, что Sx — st<;e; 5) /* = /*. Таким образом выполнение каждого из этих условий равно- равносильно существованию интеграла ^f(x)dE, причем \f(x)dE= limoT= lim sx= lim Sx. J бг-»о 6t^o 6t^o Замечание 1. Доказанные теоремы позволяют теперь без труда доказать аддитивность интеграла по измеримым множест- множествам для ограниченных функций (см. п. 44.6, свойство 3) в сле- следующем виде: если ограниченная функция f интегрируема на не- непересекающихся множествах Ех и Е2, то она интегрируема и на множестве Е = Е1[)Е2. Действительно, если функция f ограничена и интегрируема на множествах Е± и Е2, то, в силу теоремы 13, для любого е> >0 существуют разбиения тх и т2 соответственно множеств Ех и Е2 такие, что 5т, - *, < |, 5tl - *, < |. D4.93) Поскольку т = Т!ит2 является разбиением множества ? = и соответствующие ему верхняя Sx и нижняя st суммы Дарбу выражаются через аналогичные суммы Дарбу, соответствующие разбиениям ti и т2, по формулам S^ —STl-[-ST2, st = sTl + sX!!, то вычитая из первого из этих равенств второе, получаем в силу D4.93) St-st= Etl - Из выполнения этого условия следует (снова согласно тео- теореме 13), что функция / интегрируема на множестве Е. Замечание 2. Как уже отмечалось в п. 44.3, для функций одной переменной, определенных на отрезках, мы располагаем двумя определениями интеграла, а именно, определением, данным в п. 27.1—с помощью разбиений отрезков только на отрезки, и определением из п. 44.3 —с помощью разбиений отрезков на лю- любые измеримые по Жордану множества. Эти два определения эквивалентны. Докажем это. И при первом и при втором определении необ- необходимым условием интегрируемости является ограниченность рассматриваемой функции: см. теорему 1 в п. 27.2 и замечание к теореме 7 в п. 44.4. (отрезок является замыканием интервала, т. е. замыканием открытого множества). Поэтому рассмотрим
156 § 44. Кратные интегралы ограниченную на некотором отрезке [а, Ь] функцию /. Пусть «о для этой функции существует интеграл /= lim У! ft^A^Et в 6° = t t\ смысле п. 44.3, т. е. для всевозможных разбиений т = {?;}[•=V отрезка [а, Ь] на измеримые по Жордану множества ?,-. Тогда, если ограничиться лишь частью разбиений т, для которых все множества ?/ являются отрезками, то при 6t->0 предел инте- тральных сумм ^ / A«)^» по указанной части разбиений также будет существовать и будет равен тому же числу /. Следова- Следовательно, если существует интеграл в смысле п. 44.3, то он су- существует и в смысле п. 27.1. ь Пусть, наоборот, существует интеграл I = '\f(x)dx в смысле а п. 27.1. Тогда согласно теореме 2 из п. 27.4 lim (ST — st) = 0, где т —разбиение отрезка [а, Ь] на отрезки. Следовательно, для любого е >¦ 0 существует такое б > 0, что для всякого разбиения т отрезка [а, Ь] на отрезки длин, не пре- превышающих б, справедливо неравенство Sx — st<e. Но уже из того, что существует по крайней мере одно разбиение т, для ко- которого выполняется неравенство Sx — st<Ce, следует, согласно теореме 13 из этого пункта, что функция / интегрируема в смы- смысле определения п. 44.3. Итак, оба определения интеграла по отрезку действительно эквивалентны. Замечание 3. Из доказанного вытекает также следующее усиление достаточных условий интегрируемости функции, дока- доказанных в теореме 2 из п. 27.4: для интегрируемости функции f на отрезке [а, Ь] в смысле определения интеграла в п. 27.1 до- достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось хотя бы одно такое разбиение т отрезка [а, Ь] на отрезки, что для нижних и верх- верхних сумм Дарбу соответствующих этому разбиению, выполня- выполнялось бы неравенство Sx — st<8. Действительно, в этом случае функция f интегрируема на отрезке [а, Ь] в смысле п. 44.3, а потому, согласно доказанному, и в смысле п. 27.1. Замечание 4. Из предыдущего замечания непосредственно следует, что функция f, ограниченная на некотором отрезке [а, Ь] и интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, ч\], а< <т]<&, интегрируема и на всем отрезке [а, Ь] (это факт был отмечен нами без доказательства в п. 33.1). Действительно, если \f(x)\^M, х<=[а, Ь], и задано е>0, то выберем б, 0<б<й — — а, так, чтобы б<^. Тогда в силу интегрируемости функции
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 157 / на отрезке [а, Ъ — 8] существует такое его разбиение т, что если st и Sx — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для этого разбиения, то Обозначим через т0 разбиение отрезка [а, Ь], получающееся из разбиения т0 отрезка [а, Ь — 8] добавлением точки Ь: то = = тиШ, и пусть mo= inf f(x), Mo= sup f(x). Если sTo и [Ь-6, Ь] [Ь-6, Ь] 5То —нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для разбиения То, ТО Поэтому и, следовательно, согласно замечанию 3, функция / интегриру- ex\ia по Риману на отрезке [а, Ь]. § 45. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ Перейдем теперь к свойствам кратного интеграла, связанным со специфическими чертами, отличающими многомерный случай от одномерного. Использование этих свойств часто существенно облегчает вычисление конкретных кратных интегралов. Полные доказательства будут проводиться лишь для случая функций двух переменных. Общий, и-мерный случай, в идейном отноше- отношении не отличается от плоского, однако рассуждения там прини- принимают более громоздкий и трудно обозримый вид. 45.1. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ В настоящем параграфе будет показано, что интегрирование функций многих переменных может быть сведено к последова- последовательному интегрированию функций одной переменной. Начнем с того, что определим понятие повторного интеграла. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы непрерывные функции ц>(х) н i|)(#), такие, что q>(x)^ty(x), a&^x&cb, и пусть на множестве (рис. 173) Е = {(х, у):а^х^Ь, у(х)^у^Ц(х)} D5.1) определена функция f(x, у). Если для любого фиксированного xe[e, b] функция f(x, у), как функция переменного у, интегрируема на отрезке [ср(.г), О]
158 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному т. е. при любом х е [а, Ь] существует интеграл § / (х, у) dx и функция F(*) = $ /(х, y)djf D5.2) интегрируема на отрезке [а, Ь], то интеграл J S /(*, y)dy\dx D5.3) называется повторным интегралом и обозначается через Ь ф(*> D5.4) Функция F(x), задаваемая равенством D5.2), называется интегралом, зависящим от параметра х. Таким образом, повтор- повторный интеграл D5.4) является интегралом от интеграла, зависящего от параметра (см. так- также § 53, 54). Заметим, что множество Е, задаваемое формулой D5.1) измеримо в смысле плоской меры Жордана и замкнуто. Действительно _ fc_ из непрерывности функций ф и if» на отрез- п * х ке [а, Ь] следует их ограниченность, а по- Рис 173 этому множество Е ограничено. Далее, его граница дЕ состоит из графиков указанных функций ф и *$, а также, быть может, отрезков прямых х = а и х — Ь. Каждое из указанных множеств имеет меру ноль (см. теорему 3 в п. 44.2), а поэтому и граница дЕ множества Е также имеет меру ноль. Наконец, множество Е задается с помощью нестро- нестрогих неравенств а «^ х <; Ь, ф (х) <; у <; г|э (х), где функции ф и % непрерывны, следовательно, эти неравенства сохраняются и при предельном переходе, откуда и вытекает замкнутость множества Е. Таким образом, Е — измеримый компакт. Достаточные условия для возможности сведения двукратного интеграла к повторному даются следующей теоремой. Теорема 1. Пусть функция / (х, у) непрерывна на множестве Е, заданном формулой D5.1). Тогда Ь t|j (x) \\f(x, y)dxdy=[dx \ f{x, y)dy. D5.5) Е а <р(х) Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму. Лемма 1. В предположениях теоремы 1 функция D5.2) непре- непрерывна на отрезке [а, Ь].
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 159 Доказательство леммы. Прежде всего заметим, что интеграл D5.2) существует при любом х^[а, Ь]. Действительно, функция }(х, у), будучи непрерывной по совокупности перемен- переменных хну, непрерывна по каждому из них. Поэтому указанный интеграл существует как интеграл от непрерывной по у функции на отрезке [ф(д:)( ty(x)]. Выполнив в этом интеграле замену переменной у на t по формуле 0 = Ф(*)+Й(*)-Ф(*)]*, 0<*<1, D5.6) получим 1 F (*) = $/ [х, Ф (х) + (ф (х) - Ф (х)) Ц ($ (х) - Ф {x))dt. D5.7) о Положим g (х, t) = f[x, у (х) + ft? (дс) - Ф (х)) t] (\Ц (х) - ф (х)). Поскольку функция g(x, t) получается с помощью арифмети- арифметических операций и композиции из непрерывных функций /, ф, Щ> и D5.6), то в силу теоремы о непрерывных функциях (см. п. 19.3 и 19.4) g(x, t) непрерывна по совокупности переменных х, t на прямоугольнике Таким образом, для функции F (х) (см. D5.2)) в силу D5.7) имеет место более простое представление = \g(x, t)dt о (более простое в том смысле, что в нем постоянны пределы инте- интегрирования). Пусть теперь х^[а, b], x-\-Ax^[a, b]. Обозначим через «а (б; g) модуль непрерывности (см. п. 19.6) функции g(x, t). Тогда 1 с, t)dt-\g{x, t)dt < б о , t)-g{x, f)\dt^u>{\Ax\; g). D5.8) Функция g(x, t), будучи непрерывной на ограниченном замкнутом множестве А, равномерно непрерывно на нем, а поэтому (см. п. 19.6) Нтш(б; g) =0. Отсюда в силу неравенства D5.8) имеем: lim [F(x + Ax)-F(x)] = 0,
160 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному что и означает непрерывность функции F (х), определенной фор- формулой D5.2). ? Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что интеграл, стоящий в правой части равенства D5.5), т. е. f{x, y)dy, является интегралом от непрерывной функции (см. лемму) и потому существует. Разобьем теперь множество Е на части Еу, i, / = 1, 2, ..., k, следующим образом. Рассмотрим разбиение xk = {JCj}i=o отрезка [а, Ь] на k равных отрезков: а = х0 < хх <... < хк = Ь, Ь — а >1 — '| ^1 . . . , К, и пусть Фо (х) = Ф (х), Ф1 (х) = Ф (х) + ~ Й (*) - ф (л:)], ФУ (*) = Ф (X) + ^ (х) - ф (х)], X Рис. 174 Фа (х) = Положим Ец = {(л;, г/): х^г < л; s=sл:,-, ф,--1 (д;) ==с i/ sS фу (л:)}, и пусть т! = {?¦;;}, i, / = 1, 2, ..., k. Очевидно, что х% является разби- разбиением множества Е (рис. 174). Теперь имеем: f(x, ч>(х) dx \ fix, ft xi fix, Положим fe fc D5.9) и Aftf = , y), e, / = 1, 2, .... Лг.
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 101 Заметив, что X. р.Е{,= \ |ф,(х) - ф,^ (л:)] dx, xi-i получим xt 4j (л) к( ф,- (х) \ dx \ f(x, у)йу^Ми \ dr \ dy=x *i-i b-iU) xi-i ф/1(д:) xi = МЦ $ [<P/(x)-<pf-i(x)]dx=Mij\iEij, D5.10) xi-i и аналогично, \ dx \ f(x, y)dy^mijV.Eif. D5.11) С помощью неравенств D5.10) и D5.11) для повторного интеграла D5.9) получаем следующую оценку через нижние и верхние суммы Дарбу st* и 5Т* функции f(x, у): k ft Ь $(х) S ^niijuEij^dx ^ » = 1 ( = 1 a <j (a) Z, I, MwEy-Sr*. D5.12) Для мелкости б * разбиения т| области G имеем lim б * = 0. Действительно, как уже отмечалось, функции ф и ф в силу своей непрерывности ограничены на отрезке [а, Ь], т. е. сущест- существует такая постоянная М > 0, что j ф (х) \ ===: М и [ if) (.r) | «s M для всех х е [а, Ь]. Поэтому для диаметра d (?«,-) каждого множества ?f/ e т}; имеем в силу определения функций ф;- v^ где (о (б, \j;) и со (б, ф) — модули непрерывностей функций ф и ф. Следовательно, бт* = max d (?,7) ^S ^ V(b — аK + 4М2 ->¦ 0 при k -> -V + CX5- Поэтому, в силу интегрируемости функции f(x, у) на ? (см. п. 44.4), lim sT*= lim St*=JJ/(a:, y)dxdi/. Iz —* oo ft —»¦ оэ (j Переходя теперь к пределу в неравенстве D5.12) при fe-э-оо, получим формулу D5.5). ? 6 1{удрявцев Л. Д. т. 2
162 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному Если множество Е таково, что существуют такие непрерывные функции а (у) и Р(г/), а(у)^$(у), c^y^d, что <4513) a а функция f(x, у), как и раньше непрерывна на Е, то в силу равноправия переменных х и г/, из теоремы 1 следует, что а Ь Рис. 175 ? с а (у) D5.14) Если же для множества Е справедливо как равенство D5.1), так и D5.13) (рис. 175), то приравняя правые части равенств D5.5)_и D5.14), для непрерывной на множе- множестве Е функции f(x, у) получим формулу Ь ф М dp (У) \dx \ f(x, y)dy = \dy \ f (x, у)dx, а <р (х) с а ((/) D5.15) выражающую собой правило перемены порядка интегрирования в повторных интегралах. Отметим, что условия, при которых были доказаны форму- формулы D5.5), D5.14) и D5.15), могут быть ослаблены. у'=1 -1 о 1 Рис. 176 Рис. 177 Пример. Вычислим интеграл от функции z = x2y по конеч- конечной области G, ограниченной частью параболы у = х* и прямой у=1 (рис. 176). Имеем 1 1 ^ $ xlydxdy= \ х2dx $ t/dy — — i - 1 - 1 Если требуется вычислить двойной интеграл по множеству, которое нельзя задать в виде D5.1) или D5.13), то для того
45.2. Обобщение на п-мерный случай. 163 чтобы использовать полученные формулы, надо попытаться раз- разбить данное множество на части, каждая из которых будет уже иметь, вид D5.1) или D5.13) (рис. 177). Если это удастся сде- сделать, то в силу аддитивности интеграла по множествам (см. п. 44.6) вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, а последние с помощью фор- формул D5.5) и D5.14) могут быть сведены к однократным. Упражнения. Вычислить интегралы: 2. ^jfiyzdxdy, ? = {(*, у): у >0; ху < I; 'е 3. Цхйхйу, Е = {(х, у):х< 20; у<20; х-у+5>0, xy>Q\. 4. ^ 5. \\^dxdy. 8. \\ e-x' + 2x О у 0 Ь 1/2 1 11 6. $ \cos{x* + l)dxdy. 9. J J e"'/:idxdy. 0 2 </ 0 /у 11 10 7. ^ \ sin (лЗ -1) dx dy. 10. Изменением порядка интегрирования упростить выражения (функция f непрерывна во всей области интегрирования): 1 У 3 1 11. \dy \ f{x, y)dx+\dx \ f{x,y)dy, 0 > 1 т* 1 Yx 4 \lx 12. )dx [ f{x, y)dy + Stdx \ f(xf y)dy. 0 о l a 1 x' 3 C-*)/2 13. $ dx $ f {x, y) + ^ dx $ f(x, y) dy. ob 10 ь x с 14. Доказать формулу Дирихле \dx $ f (*, у) dy = ) dy \ / (>;, y) dx. a a ay 45.2. ОБОБЩЕНИЕ НА п-МЕРНЫЙ СЛУЧАЙ Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть Е czRs и функция f (х, у, z) определена на Е. Обозначим через Еху проек- проекцию множества Е на координатную плоскость переменных х и у
164 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному (рис. 178): Еху={(х, у, 0): существует такое г, что (л:, у, г)е?[. Если множество Е имеет вид Е = {(х, у, z):(x, у)<=Еху, , у)}. где функции фх (х, у) и tyi(x, у) непрерывны на множестве Еху, которое в свою очередь представимо, например в виде D5.1), а функция f (х, у, г) непрерывна на исходном множестве Е, то справедлива формула, аналогичная формуле D5.5), $ $ $ / (х, у, г) dx dy dz = е' Ь ф<*) $,(*, г/) = \&х \ dy J /(х, г/, z)dz. D5.16) а ф(х) rpi(x, (/) Объединив в правой части два внешних интеграла, можно переписать D5.16) в виде $$$/(.*:, у, z)dxdydz = >> f{x, y, z)dz. D5.17) Exy Ф1 (i. rt Обозначим, теперь, через ? (х) сечения множества Е плоско- плоскостями, перпендикулярными координатной оси Ох, Е (х0) = Е(] {(х, у, z):x = x0}. Объединив в правой части формулы D5.16) два внутренних инте- интеграла, получим: ь W\fix, у, z)dxdy dz =\dx jj § f(x, y, z)dydz. D5.18) k а Ё (a) Таким образом, формулы D5.17) и D5.18) показывают, что в трехмерном случае существует два способа сведения трехмер- трехмерного интеграла к повторному, содержащему интегралы меньшей кратности. В частном случае, когда f(x, у, z) = \, имеем (см. свойство 1° кратных интегралов в п. 44.6) \^\ dx dy dz = \х,Е, (\хЕ — объем множества Е), $$ dydz = \iE(x), (ju? (.v) площадь сечения Е (х)). Е (л) Таким образом ь p,E = \pE(x)dx. D5.19) а
45.2. Обобщение на п-мерный случай 165 — объем тела равен интегралу от переменной площади сече- сечений Е (х). Пример. Найдем объем эллиптического цилиндра высоты/г, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и Ь. Взяв за координатную плоскость ху плоскость од- одного из оснований цилиндра, а за ось г — его ось симметрии, перпендикулярную осно- основаниям (рис. 179), получим согласно фор- формуле D5.19) \хЕ — jj цЕ (г) dz. Но Е (г) эллипс б с полуосями а и Ь, а поэтому (см. пример 4 в п. 32.1) цЕ (z) = nab, следовательно цЕ = h б Аналогично трехмерному случаю кратные интегралы от функций любого числа пере- переменных п > 3 можно свести к повторным интегралам. Пусть R" — п-мерное простран- пространство, R'1'1 гиперплоскость х„ = 0, i:c:^, Рис. 179 Xl...xn проекция множества Е на гиперплоскость переменных хи ..., а-л_1, т. е. на R"-1: и .... хл_1( 0): существует такое д-„, что Пусть существуют такие непрерывные на Ех ...х функции ф(л'х, ..., xn-i) и ¦$(*!, .... -Vn-i), что мнон<ество Е состоит из точек x = (xlt .... xn-i, х„), для которых (хи ..., хп-1)^ЕХх...Хп %, ф(лгх, ..., *„_!) =scА'„<-ф(xi xn-i). Пусть множество Ех ...х измеримо в смысле (п — 1)-мерной меры Жор дана и замкнуто. Тогда аналогично двумерному слу- случаю (см. п. 45.1) доказывается, что Е также измеримо, но ужа в смысле n-мерной меры, и замкнуто, а потому является ком- компактом. Если функция / (х) = / (л-ь ..., х„) непрерывна на компакте Е, то справедлива формула я раз \ ... \ f (Aj, .. . , Хя) dXl .. . dxn = Е Xl... dxn-г / {xlt .... Jee-i) dxn, D5.20)
166 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному которая сводит интегрирование функции п переменных к после- последовательному интегрированию функции одной переменной и функ- функции п — 1 переменных. Если проекция EXi... х множества Е на гиперплоскость Я" в свою очередь может быть представлена в виде, аналогичном виду множества Е, то получившийся в правой части равенства D5.20) (п— 1)-кратный интеграл можно свести к (п — 2)-кратному. Продолжая этот процесс, если, конечно, это возможно, дальше, придем к формуле вида п раз J ... ^/(xi, ..., xn)dxx... dxn = \ хг) V-i dx3... V-l) i, ..., xn)dxn. Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование функции от п переменных сводится к последовательному инте- интегрированию п раз функций одной пере- переменной. Обозначим, теперь, через Ех ,..х про- проекцию множества Е в пространство R^... Xm% а через Е(xlt ..., xm) — сечение множе- множества Е гиперплоскостями размерности п — — пг, проходящими через точку (хи ..., хт, у^—-j-л—ц—*т 0, ..., 0) и ортогональными подпростран- / у I ству R71...xm- Объединив в формуле D5.21) /—— ч^ m первых и п — m последних интегрирова- П ний, получим 2, 1 ч V Рис. 180 т раз Е п — m раз dx1...dxm ... dxn i, .... xn)dxm+i...dxn. D5.22) xm) Если f(xlt ..., xn)^l на Е, то из этой формулы аналогично D5.19) получаем JJ ь ..., xm) dxt.... dxm. D5.23) Пример. Вычислим интеграл от функции f(x, у, г) = ху2г3 по конечной области G, ограниченной поверхностями г — ху, у — х, х=1 и 2 = 0 (рис. 180). Применив формулу D5.16), будем
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 167 иметь 1 к ху 1у4у \ z*dz = 0 Упражнения. Вычислить интегралы: 15. $$$ zdxdydz, ? = {(*, у, г): x*+ 16. \)\\j{x+y+z)xiy'iz'idxdydz, Е = {(х, у, г) : х^О; #2=0; гз=0; 17. J J J Dл: — у + г) dx dy dz; область Е ограничена частями поверхностей х=0, у = 0, г = 0, х+у=1, г==2—х2. 18. | J J г2 rfx dy dz; область Е общая часть шаров 45.3*. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО В качестве еще одного примера применения правила пере- перемены порядка интегрирования докажем одно часто приемняемое интегральное неравенство. Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике Д = = {(д:, у):а^х^Ь, c^y^d]. Тогда она, очевидно, при любом фиксированном у е [с, d] непрерывна по х на отрезке [а, Ь\ и при любом фиксированном х е [а, Ь] непрерывна по у на отрезке [с, d]. Для любого р > 1 справедливо обобщенное неравенство Мин- Минковского Ш!(х, y)\dx\dy\ ^\dx\\jf(x,y)\Pdy\ . D5.24) Положим F(y)=\\f(x, y)\dx. D5.25) а Функция F непрерывна (см. лемму 1 в п. 45.1) и неотрицательна на отрезке [с, d]. Поэтому ее р-я степень также интегрируема d и неотрицательна на этом отрезке, и 0==?^Fp(y)dy<i + oo.
168 § 46. Замена переменных в кратном интеграле d Если ^Fp(y)dy = O, то, в силу непрерывности функции F, с будем иметь (см. свойство 9 п. 28.1): F(y)s=0 на [с, d]. Поэтому из формулы D5.25) в силу того же свойства следует, что при любом у е [с, d] имеет место / (.г, у) == 0 на [а, Ь], т. е. / (х, у) == sO на Д. В этом случае неравенство D5.24) очевидно справед- справедливо. d Пусть \Fp(y)dy>0. Тогда, изменив порядок интегрирования с и применив неравенство Гельдера B8.48), получим в силу D5.25) \ 5 Fp (у) dy = I Fp-1 (y) \\ I / (x, y) | dx] dy = с [a J Л l/p rd ->\/q d -il/p rd ->\/q \\f(x, y)\pdy\ \\F^P-V(y)dy\ dx, D5.26) где —]— = 1 и, следовательно q(p—\) — p. Сократив обе части id \\/q равенства D5.26) на множитель (\Fp(y)dy\ фО, будем иметь \с I id \ lip Ъ xd -] 1/р ;, у)\Р dy\ dx. Подставляя сюда D5.25), получаем неравенство D5.24). Условие непрерывности функции / не является существенным для спра- справедливости неравенства D5.24) и может быть ослаблено. Для простоты доказательства в качестве области определения функ- функции / был взят прямоугольник. При более общих предположе- предположениях доказательство неравенства Минковского, основанноэ на той же идее, можно найти в монографии Г. Г. Харди, Д. Е. Литтль- вуда, Г. Полна «Неравенства». М., 1948, 179 — 180. § 46. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 46.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ ЯКОБИАНА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ Пусть G —открытое множество на плоскости Rlv, G* — откры- открытое множество на плоскости Щу, F — отображение G на G* и М = (а, »)еС, М* = (х, y)e=G*, F(M) = M*.
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 169 Отображение F задается парой функций х = х(и, v), y = y(u, v). D6.1) Будем предполагать, что F удовлетворяет следующим усло- условиям: 1) оно взаимно однозначно отображает G на G*; 2) оно непрерывно дифференцируемо на G; 3) якобиан J (и, е)~д!ц' v) не обращается в нуль на G. Заметим, что отображение F-1, обратное к F, также является непрерывно дифференцируемым взаимно однозначным отображе- отображением с якобианом, не равным нулю на G* (см. п. 41.7). Поэтому, в частности, отображение F является диффеоморфным отображе- отображением открытого множества G (см. определение 11 в п. 41.7) на G*. Если у — простой замкнутый контур, лежащий в G, то в силу взаимной однозначности отображения F его образ у* = F (у) также является простым замкнутым контуром. Лемма 1. Пусть Г — открытое ограниченное множество и TczG. Тогда T* = F(T) также ограниченное открытое множе- множество и D6.2) Доказательство. Поскольку F и F — гомеоморфные ото- отображения, то при каждом из них открытые множества отобра- отображаются в открытые. Следовательно, внутренние точки какого-либо множества, например, Г или, соответственно Г* переходят во внутренние точки его образа, а граничные —в граничные. В самом деле, пусть для примера М — внутренняя точка мно- множества Г, т. е. существует ее окрестность U = U(M), лежащая в Г: U с: Г. Тогда окрестность U* —F(U) точки М* = F (М) лежит в Г*: U* с: Г*, т. е. М* внутренняя точка множества Г**'. Пусть теперь М граничная точка множества Г, М* = F (М) и U*— окрестность точки М*. В силу гомеоморфности отображе- отображения F множество t/ = F-~1(F*) является окрестностью точки М, а поскольку МедГ, то в окрестности 11 имеются как точки, принадлежащие множеству Г, так и не принадлежащие ему. Сле- Следовательно, в окрестности U* точки M*—F(M) (поскольку эта окрестность является образом окрестности U = U(M) точки М при отображении F) также есть точки, как принадлежащие мно- множеству Г*, так и не принадлежащие ему, т. е. граничные точки действительно отображаются в граничные: F(dY)czdY*. D6.3) *' Мы получили это утверждение как прямое следствие только гомео- гомеоморфности отображения F. Конечно, в данном случае это следует сразу из Солее сильных сделанных выше предположений (см. следствие из теоремы 7 в п. 41.8).
170 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для об- обратного отображения, то в формуле D6.3) можно заменить знак включения знаком равенства, т. е. выполняется условие D6.2). Кроме того, из открытости множества Г в силу доказанного выте- вытекает и открытость множества Г*. Далее, поскольку Г —ограни- —ограниченное множество, то замкнутое множество Г также ограничено. Поэтому согласно лемме 3 из п. 41.4, множество F(T) ограни- ограничено. Из ограниченности множества F (Т) вытекает и ограничен- ограниченность множества Г* = /Г(Г), ибо F (Г) с: F (Г). ? Следствие. Если в предположениях леммы 1 граница Г состоит из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых, то открытые множества Г и Г* квадрируемы. Доказательство. Если у непрерывно дифференцируемая кривая, лежащая во множестве G, и и = и(t), v = v (t), a^t^b —- некоторое ее представление, то функции u(t) и v (t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь]. При отображении F кривая у перейдет в кривую у* = F (у) с представлением x(f) = x(u(f), v(t)), y(t) = y(u(t), v(t)), a^t^zb, у которого в силу формул дифференцирования сложной функции (см. п. 20.3) и теоремы о непрерывности композиции непрерыв- непрерывных функций (см. п. 19.4) функции x(t) и y(t) также имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Следовательно, кри- кривая 7* —также непрерывно дифференцируема. Отсюда, очевидно, сразу вытекает, что если у — кусочно-непрерывно дифференцируе- дифференцируемая кривая, т. е. является объединением конечного числа непре- непрерывно дифференцируемых кривых (см. п. 16.3), то у* —также кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая. Если теперь граница дТ открытого множества Г с G состоит из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых кри- кривых, то и граница ОТ* открытого множества Г*сС* также, в силу сказанного выше, состоит из конечного числа кусочно- непрерывно дифференцируемых кривых. Следовательно, как дГ, так и дТ* спрямляемы (см. теорему 1 в п. 16.5), вследствие чего они имеют меру ноль (см. теорему 4 в п. 44.2). Поэтому в рассматриваемом случае открытые множества Г и Г*, имея границы меры ноль, — квадрируемы. Q Пусть теперь (и0, !H)eG и h некоторое число. Рассмотрим замкнутый квадрат S (рис. 181) с вершинами в точках («о, v0), (uo + h, v0), (ив+к, vo + h), («о, vo + h). D6.4) Пусть S czG (при достаточно малом h это включение всегда вы- выполняется; почему?). Гранина dS квадрата S, состоящая из четырех его сторон, очевидно, является простым замкнутым ку- кусочно-гладким контуром. В силу следствия из леммы 2 множество
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 171 S*=F(S) (см. рис. 181) представляет собой замкнутую квадри- руемую область (то, что S* — замкнутая область, следует из принципа сохранения области, см. п. 41.8). Изучим поведение отношения pF(S)/nS*>, D6.5) при стремлении h к нулю. и. В Рис. 181 Введем обозначения: X (Uq, Vq) = Xq, у (Uq, Vq) = I/o, ди = 021, ди : Й221 U — Ыо — i В силу дифференцируемости функций D6.1) справедливы фор- формулы х = х(и, v) = xo+an(u-uQ) + a12(v-vo) + eir, где функции е( = 8|(и0, v0, Аы, Ау), i—l, 2, стремятся к нулю при /¦->0. Наряду с отображением F рассмотрим линейное отображение F плоскости Ruv на плоскость Rly, задаваемое формулами % = Хо + ап (и — и0) + а12 {о - v0), g = yo+<ki(u — uo) + a2i(v-vQ). ' ' ' Из аналитической геометрии известно, что при линейном отобра- отображении образ всякого параллелограмма, в частности — квадрата, является параллелограммом, причем отношение площади послед- последнего к площади отображаемого параллелограмма равняется абсо- абсолютной величине определителя отображения, который для отобра- *' Здесь, как всегда, цЕ обозначает меру (в данном случае —площадь} множества Е.
172 § 46. Замена переменных в кратном интеграле жения Р совпадает с якобианом J {и, v) отображения F в точке («о, v0). Таким образом, в рассматриваемом нами случае для ото- отображения D6.7) имеем Т^Н &"а" | = |У(«о, vb)\. D6.8) Непрерывно дифференцируемое отображение F в окрестности точки («о. Vo) отличается от линейного отображения F на беско- бесконечно малую функцию более высокого порядка, чем приращение аргументов (см. D6.6)). Покажем, что отсюда следует справедли- справедливость равенства lim ^ :, — | J (u0, vo)\. D6.9) h >0 ^ Более того, покажем, что стремление к пределу в этом равенствг происходит равномерно на любом компакте, лежащем в открытом множестве G. Сформулируем этот результат в виде теоремы. Теорема 1. Пусть отображение F открытого множества G cz czR'fw на открытое множество G* cz Ri,, взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо на G и пусть его якобиан J (и, v) не обращается в ноль на G. Тогда, если S — квадрат с верши- вершинами D6.4), то LL-^j^Mo, р0) |-I-e («о, t'o, h), D6.10) где функция е = е(ы0, v0, h) при h—>-0 стремится к нулю равно- равномерно относительно (и0, v0) на любом компакте AczG*K Следствие. Для любой точки (и0, v0) открытого множества G выполняется равенство D6.9). Доказательство. Покажем, что площадь образа квад- квадрата S при отображении F отличается от площади образа этого квадрата при линейном отображении F на бесконечно малую более высокого порядка, чем площадь h2 самого квадрата 5, и эта оценка равномерна на любом компакте AczG, т. е. что D6.11) где е стремится к нулю равномерно на множестве А, когда дли- длина h стороны квадрата S стремится к нулю (определение равно- равномерного стремления функции к пределу см. в п. 39.4). Поскольку (см. D6.8)) \iF(S)=\J(u0, vo)\\lS D6.12) то из D6.11) непосредственно следует утверждение теоремы, т. е.- формула D6.10). Таким образом, А э (и„, vu).
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 173 Переходя к доказательству формулы D6.11), зафиксируем прежде всего множество А. Поскольку А компакт и A czG, то функции е, = е,(«0, v0, Аи, Av), t=l, 2 (см. D6.6)) равномерно стремятся к нулю на множестве А при г-»-0 (см. замечание к теореме 4 в п. 20.2, а также п. 39.4). Множества А и Efl0\G не пересекаются и замкнуты, и кроме того, А ограничено, а по- поэтому (см. лемму 7 в п. 18.2) r\ = p(A, E'uV\G)>0. В дальнейшем будем h всегда выбирать таким, что |Л|<!-Д=. В этом случае из того, что (щ, уо)еЛ, следует, что SczG. Оценим расстояние между образами одной и той же точки квадрата S при отображениях F и F. Пусть = (x, у) и = (x, у). Тогда из D6.6) и D6.7) получим х = Х-\-гхг, у = у~\-?2г и, следо- следовательно, p(F(M), F(М)) = У{х-xf + (y- yf = г V^+Ц. Поскольку г — расстояние от вершины (и0, v0) квадрата S до точки М е S, a | h \ у — длина диагонали квадрата S, то, оче- очевидно, выполняется неравен- неравенство г sg; | h | У2, а потому Sg имеем ________^____ d = sup p (F (M), F (М)) ^ MeS ^\h\e3(u0, t»0, h), D6.13) где 83 = e3 (»q, v0, ft) = = sup 1/(е? + е|)при /i-^0 Ales стремится к нулю равномерно на множестве Л. Рис. 182 Построим замкнутый S/' и открытый S;**' параллелограммы со сторонами, параллельными сторонам параллелограмма S=F(S) и отстоящими от его соответствующих сторон на расстояние d (рис. 182), так, чтобы SiC:S = F(S)czSe. D6.14) Прежде всего покажем, что при достаточно малых h множе- множество St не пусто. Более того, покажем, что параллелограмм S,- содержит в себе круг радиуса d с центром в центре параллело- параллелограмма 5. *' «» —начальная буква латинского слова exterior (внешний). **' «/'» — начальная буква латинского слова interior (внутренний).
174 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Обозначим через а и Ь длины сторон параллелограмма 5, а через На и Нь — длины его высот, опущенных соответственно на стороны длин а и Ь (рис. 183). Для доказательства того, что при достаточно малых h круг радиуса d с центром в центре па- параллелограмма S содер- содержится в §i, очевидно, достаточно установить справедливость при до- достаточно малых h нера- неравенств 4d<Ha, Ы<НЬ. D6.15) Докажем это. Пусть для определенности сторона параллелограмма S дли- длины а соединяет вершины, являющиеся при отображении F образами вершин (щ, v0) и (uo-\-h, ve) квадрата S, т. е. соединяет точки (х0, у0) и (К + Н) Тогда Рис- 183 а = Уа\ф? + ay? =\h\ V Аналогично, D6.16) D6.17) Функции ау = Яу(ы0, v0), i, j—l, 2 являются значениями со- соответствующих частных производных функций х (и, v) и у (и, v) в точках («о. Vo) компакта А. В силу предположенной непрерыв- непрерывности этих частных производных они ограничены на множестве А, т. е. существует такая постоянная Ci>0, что на А выполняются || 1 2 неравенства О , i, /=1, 2. 1 р |y| / Отсюда и из формул D6.16) и D6.17) следует, что D6.ia> D6.19) Далее, по предположению, якобиан J {и, v) отображения F, являющийся непрерывной функцией, не обращается в ноль на множестве G, а следовательно, и на компакте А. Поэтому суще- существует (почему?) такая постоянная с2>0, что на множестве А выполняется неравенство J(u, D6.20)
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 175 Заметив, что \х§ = aHa = bHb = \J (ы„, vo)\h2, получим (см. D6.18), D6.19) и D6.20)): т. е. |А|^?^1яв, D6.21) ]h]^?lflHb. D6.22) Располагая этими оценками, легко доказать справедливость неравенств D6.15). Действительно, использовав неравенства D6.13), D6.21) и D6.22), получим V*Ha, D6.23) Hb. D6.24) Выберем теперь такое б > 0, чтобы при | h | < б и (щ, vQ) e A выполнялось условие — i—2-< I. DD.25) Это всегда возможно в силу того, что функция е3 = е3 («о, у0. Л) (см. D6.13)) стремится к нулю равномерно на компакте А при А-М). Из D6.23), D6.24) и D6.25) следует, что при |А|<6 выполняются неравенства D6.15), откуда, в частности, вытекает, что множе- множество Sj не пусто. В дальнейшем в ходе доказательства будем всегда предполагать, что | А | < 6. Множество Se\5/ назовем рамкой и обозначим через R: Рамка R представляет собой объединение четырех не обладающих общими внутренними точками трапеций, высоты которых имеют длину 2d, а средние линии совпадают с соответствующими сто- сторонами параллелограмма S. Поэтому i>,R — 4d(a + b). Заметим, что если множество S,- было бы пустым, то подсчет площади рамки R пришлось бы делать иначе: указанные выше трапеции превратились бы в треугольники, у которых стороны параллелограмма S уже не являлись бы, вообще говоря, средними линиями.
/76 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Из полученного для площади \iR paiviKH R выражения, в силу неравенств D6.13), D6.18) и D6.19), следует, что \iR =< sg8 [r2 Cie3/i2. Положив е4 = 8 У2 схг3, окончательно будем иметь: цЯ^е^2, D6.26) где функция е^ равномерно стремится к нулю на компакте А при /i->-0. Покажем теперь, что площадь множества F (S) отличается от площади параллелограмма S = F(S) не более чем на площадь рамки R. Для этого прежде всего установим, что Si с F (S) cz §е. D6.27) Действительно, если M^S, то Р(М)^§ и согласно D6.13) p(F(M), F(M))^d. Далее, по построению множество Se содержит все точки пло- плоскости, находящиеся от параллелограмма S на расстоянии, не превышающем числа d. Поэтому F (М) eS(u включение F (S) а cz §„ доказано. Осталось доказать, что 5, с: F (S). Прежде всего заметим, что F (dS) cz R. D6.28) Действительно, если Mi=dS, то F(M)^dS и, согласно D6.13), p{F(M), F(A4)) =sd. Но по построению рамка R содержит все точки плоскости, отстоящие от границы д§ параллелограмма 5 на расстояние, не превышающее числа d, а поэтому F (М) s R и включение D6.28) доказано. Поскольку при сделанных предпо- предположениях граница dF (S) образа F (S) квадрата S совпадает с об- образом F (dS) границы dS квадрата S (см. лемму 1 п. 46.1), то включение D6.28) можно переписать в виде dF (S) cz R. D6.29) Пусть теперь Мо — центр квадрата S. При отображении F он переходит в центр М0 = Р(М0) параллелограмма 5. Пусть Q — замкнутый круг радиуса d с центром в точке Мо (величина d определяется формулой D6.13)). Выше было доказано, что Qcz cz§t. Если Mt = F(M0), то согласно D6.13^ р (М|, Мп)<S d и, следовательно, МЩeQ, а поэтому и jM(*g S{. Таким образом, S~i содержит заведомо одну точку F (S), а именно образ М<; центра Мо квадрата S при отображении F. Покажем теперь, что и все точки §i принадлежат F (S). До- Допустим противное: пусть существует такая точка М* е S,, что
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 177 ^() (см. рис. 183). Всякий отрезок является, очевидно, линейно связным множеством, а поэтому, согласно лемме 9 из п. 18.2, на отрезке М%М* с концами в точках Mf, и М* найдется точка границы OF (S) множества F(S). Этой точкой не может являться М*, поскольку множество F (S) замкнуто (см. лемму 3 в п. 41.4), и следовательно, dF (S) с F(S), а по предположению, M*<^F(S). Поэтому точка пересечения множества dF(S) с от- отрезком Af*M* является внутренней точкой параллелограмма Sit а это противоречит включению D6.29). Таким образом, не существует точки М* е Sh для которой одновременно M*<s?F(S), поэтому §icF(S). Формула D6.27) доказана. Из D6.14) и D6.27) следует, что H§i < (xF (S) sg fxSe, n§i ^ ,uF (S) =sc ц§е, и, следовательно, | pF (S) - MF (S) К (xS, - MS, = n^. Поэтому в силу D6.26) ^:z4h\ D6.30) где е4 стремится к нулю равномерно на компакте А при /г->-0. Положим ifiti^L, D6.31) тогда из D6.30) следует, что | е | ==s | e41 и поэтому е равномерно на множестве А стремится к нулю при Л—>-0. Из D6.31) имеем т. е. мы получили формулу D6.11), откуда, как это уже отмеча- отмечалось, сразу следует D6.10). Ц 46.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВУКРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Вначале сохраним обозначения и предположения предыдущего пункта, в частности, будем предполагать, что F является взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отображением от- открытого множества G с Rauv на открытое множество С*с^й с якобианом, не равным нулю на G. Пусть Г и Г* квадрнруемые (и, следовательно, ограниченные) открытые множества, Г с: G, Г* с: G* и пусть при отображении F множество Г отображается на Г*. Тогда Г и Г* компакты, внутренние точки Г переходят во внутренние, а граница Г отображается на границу Г*.
178 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Теорема 2 (формула замены переменных в двукратном интег- интеграле). Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна на Г*. Тогда / (x, y)dxdy=^f[x (и, v), у (и, v)] | !|?-g | Аи dv. D6.32) Доказательство. Заметим, что входящие в D6.32) интег- интегралы существуют как интегралы от функций, непрерывных на замыкании квадрируемых областей. Действительно, по условию функция f(x, у) непрерывна на Г* и якобиан д(хи' ^ — на Г, а функция f[x(u, v), у (и, v)] непрерывна на Г как композиция непрерывных функций. Возьмем разбиение ранга k плоскости Rav на квадраты. Ранг k выберем столь большим, чтобы всякий квадрат этого ранга, пере- пересекающийся с Г, целиком содержался в G (почему такой ранг существует?). Обозначим через Г,-, i = l, 2, .... ik всевозможные непустые пересечения внутренно- внутренностей (множества внут- внутренних точек) квадратов ранга k с множеством Г. Множества Г,- квадриру- емы и открыты, ибо их границы имеют меру ноль, так как состоят, вообще говоря, из части границы соответствую- соответствующего квадрата ранга k и части границы множества Г. Совокупность rk = {Г|-}'-~ 1* образует разбиение множества Г, причем, очевидно, i ь V i ( \ J t <i V и в У Рис. 184 lim6T =0. D6.33) Пусть далее, r* = F(T,); при этом граница Г,- отображается на границу Г*, а поэтому граница Г*, вообще говоря, состоит из части границы множества Г* (эта граница в силу предположенной квадрируемости множества Г* имеет меру ноль) и части кусочно- гладкой кривой, являющейся образом границы соответствующего квадрата и имеет поэтому также меру ноль. Из сказанного сле- следует, что Г* является квадрируемым открытым множеством. Из взаимной однозначности отображения F следует, что совокупность та = {Г*}|^!* образует разбиение множества Г* (рис. 184). Оценим мелкость разбиения т?. Пусть 8k диаметр квадрата ранга k [очевидно, bk = j3 и Afi=(xi, yi)(=Tf, M| = (x2, y2)
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 179 еГ?. Тогда существуют такие Л^еГ,- и М2еГ,-, что F(Mi) = — Mf, F (Мг) = М*, причем р(Мъ Мг)<6А. Следовательно, р (Af?, MS) = У (хг - х2K + (у, - у2? ^|/«2(^; x) + (o2Fk; у), D6.34) где со F; х) и со (б; г/) —модули непрерывности функций х — х(и, v) и у~у(и, v) на компакте Г. В силу непрерывности этих функ- функций на Г они равномерно непрерывны, и поэтому (см. п. 19.6) lim со (б*; х) = lim ю (б*; у) = 0. D6.35) Из D6.34) для диаметра й(Г*) получаем d(Tf)= sup p(Air, м?)^ ]/¦©»(«*; *) + юг(°*; у), и, следовательно, 6Т*= sup «f(r?)^y»«F*; *) + о>2(бу> * fl а поэтому в силу D6.35) Hm6T.=0*>. D6.36) Отберем теперь только те элементы разбиений xk и т|, замы- замыкания которых не пересекаются с границами дТ и дГ* множеств Г и Г*. Обозначим их соответственно через тА(дГ) и т!(дГ*): xk(дТ) = {Г,: Г, еть Г,ПдГ == 0}, т* (дГ*) = {Г?: ГГ е т|, ГГ П с5Г* = 0}. В силу сделанных предположений Г?ет|(дГ*) тогда и только тогда, когда Г,-етА(дГ); при этом тА(дГ) состоит из тех и только тех элементов r.-etj, которые являются целыми квадратами, содержащимися вместе с их границами в множестве Г. Составим интегральные суммы ox*(drt) (см. п. 44.3) для функ- функции f(x, у), взяв в качестве точек (&, т^еГ^ ет?(дГ*) образы каких-либо вершин {щ, vt) соответствующих квадратов Г,: Ь = *(«ь »*), ^ = У(«ь о,). D6.37) *' Нетрудно убедиться, что равенство D6.36) можно непосредственно по- получить из равномерной непрерывности непрерывного отображения компакта (см. лемму 4 в п. 41.4).
180 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Иначе говоря, рассмотрим суммы вида *,!(*••)= 2 fib. *№. D6-38) Как известно (см. теорему 5 в п. 44.3), в силу выполнения условия D6.36) . y)dxdy. D6.39) С другой стороны, для r* = F(r,-), для которых Г; является квад- квадратом, и, следовательно, для Г,-етА(дГ), согласно теореме 1 предыдущего пункта, |d7 = |J(«it о^ц^ + вцГ,, D6.40) где е = е(И(, у,-, бт ) на компакте Г равномерно стремится к нулю при ?->0. Подставляя D6.37) и D6.40) в D6.38), получим ЪПдг*)^ 2 /[*("«•. vi), У(Щ, Vi)]\J(uh Vi)\\iTi + е г(-ет/(<5Г) + ^ e/[*(u,-, о,-), y(ult t»,)]^,-. D6.41) Суммирование в этих суммах распространено на все индексы i, для которых Г,- не пересекается с границей Г. Для первой суммы, стоящей в правой части равенства D6.41), в силу условия D6.33) имеем (см. теорему 5 в п. 44.3) lim 2 f[x(tii, vt), y(uh Vi)]\J(tii, у,) к (ы, v), у (и, v)]\J(u, v)\dudv. Что же касается второй суммы в равенстве D6.41), то она стре- стремится к нулю при &->-сю. Действительно, в силу непрерывности функции f[x(u, v), у {и, v)\ на компакте Г она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная С>0, что \f[x(u, v), у (и, v)] |==? С, (и, !>)бГ. Если фиксировано произвольное ео>0, то в силу равномер- равномерного на Г стремления е к нулю при &->-сх> можно выбрать k0 так, чтобы при k^k0 выполнялось неравенство -^ для
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 181 всех (uh vi) <= Г,-, Г,- с: Г, тогда: г,.етА(аг) Итак, Iimo4(dr) = l\f[x(u, v), у (и, v)]\J(u, v)\dudv. D6.42) Из D6.39) и D6.42) и следует непосредственно формула D6.32). Q Доказанная теорема легко обобщается и на несколько более общий случай, когда якобиан отображения D6.1) может обра- обращаться в ноль на границе области интегрирования, а само отобра- отображение быть не взаимно однозначным на этой границе. Точнее, справедлива следующая теорема. Теорема 2'. Пусть G и G* открытые квадрируемые мно- множества: CciJit, G*czRxy, и X — X[U, V), у = у(и, v) — непрерывное отображение G на G*, взаимно однозначно и непре- непрерывно дифференцируемо отображающее G на G*, якобиан ^1*' У1 этого отображения не обращается в ноль на G и непрерывно про- продолжаем на G. Тогда, если функция f(x, у) непрерывна на мно- множестве G*, то $§/(*• y)dxdy= J J/[*'(«, v), у (и, v)] д (х, у) д {и, v) dudv. Доказательство. Пусть Г*, &=1, 2...—последователь- 2...—последовательность ограниченных открытых квадрируемых множеств, граница которых состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, и , Г» Н11 В качестве Г*, можно взять, например совокупность всех внутренних точек множества Sk(G) (см. п. 44.1). Пусть Г| = F(I\); тогда Ti также является ограниченным открытым квадрируемым множеством и оо n = F(rft)'cG*. ПсПи, [J H = G*. /t i
182 § 46. Замена переменных в кратном интеграле Из выполнения этих условий следует, что (см. теорему 2. п. 31.2) lim \iTk = nG, limp.ri = uG*. D6.43) Для каждого из множеств Г*, k = 1, 2, ..., выполняются все условия теоремы 2 этого пункта, поэтому $$/(*, y)dxdy=^f[x(ut v), у (и, v)}\P§rO)\dudv. D6.44) Функция /(х, у), как непрерывная на G* функция, интегри- д (х, у) по тем же руема на G*, а функция f[x(u, v), у {и, у)] соображениям интегрируема *) на G. Поэтому в силу выполнения условий D6.43) получаем (см. свойство 10° в п. 44.6): lim \\f(x, h —* СО —,^t lim C f f[x(u, v)y(u, v)] *^« iftJ , y)dxdy. 3 (x, y) 5^u, v) G* du dv = Переходя к пределу при &->оо, в равенстве D6.44) в силу фор- формул D6.45) мы получим искомую формулу замены переменного в интеграле. Ц Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследовгние и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования, даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции. Пример. Вычислим интеграл ЭД cosпУх* + у2dxdy. Для этого введем новые переменные г, <р (полярные коорди- координаты) по формулам . D6.46) Тогда д(х,у) д (г, <р) cos<p — r sincp rcoscp = г. Отображение D6.46) отобра- отображает прямоугольник G = {(г, ф):0<г<1, —л<;ф-<я} (здесь г *' Напомним, что в силу условий теоремы эта функция непрерывно про- продолжаема с множества G на G, причем значения продолженной функции на границе множества G не влияют на значение интеграла (см. п. 44.3).
46.2. Замет переменных в двукратном интеграле 183 и ф рассматриваются как декартовы координаты на плоскости г, ф) взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и с якобианом, не равным нулю, на круг К = {(*, у): *2 + г/2< 1}, из которого исключен радиус, лежащий на отрицательной части оси Ох, т. е. на множество (рис. 185) G* = •"**> >i {( у) 0 } Замкнутый же прямоуголь- ник G при отображении D6.46) переходит в замкнутый круг G* = K, причем на границе G это отображение уже не взаимно однозначно. Якобиан отображе- отображения D6.46) непрерывен на G, причем в одной точке границы, в начале координат, он обраща- ется в ноль. Все условия, на- накладываемые на отображение D6.1) выполняются для отображения 6 ' «-Я" Рис 185 ) в теореме 2' этого пункта D6.46), а поэтому можно приме- применить формулу замены переменного в интеграле: cosnYx2+У2dxdy= 0<г<1 — Я<Ч)<Я 2Я 1 Г 1 "I г sin яг t If- . 4 -jj— q--J smnrdr = --• Формула D6.32) замены переменных в двойном интеграле может быть доказана и для более общего случая, в частности, когда якобиан отображения обращается в ноль в области интегри- интегрирования, а подынтегральная функция имеет разрывы. Если мно- множества указанных точек имеют меру ноль и отображаются также во множества меры ноль, причем эти множества разбивают области интегрирования G и G* на конечное число открытых множеств, на каждом из которых подынтегральная функция продолжаема до непрерывной вплоть до границы функции, то формула D6.32) непосредственно следует из доказанного выше. Упражнения. 1. Пусть / (х, у) = 2я (a.2—i/2) sin it (x—yJ, a E — квад- квадрат с вершинами A, 0), @, 1), (—1, 0), @, — 1). С помощью замены пере- переменных и = х+у, v = x—y вычислить интеграл ЭД/(х, y)dxdy. 2. Переходом к полярным координатам вычислить интеграл *, y)dxdy, где а) /(*, у) = б) Цх, у) = , 0<x<y};
184 § 46. Замена переменных в кратном интеграле 46.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Формулы х — х(и, v), y = y(u, v) D6.47) можно рассматривать не только как отображение, но и как пере- переход от одной системы координат к другой, вообще говоря, криво- криволинейной. Поясним прежде всего понятие криволинейной системы координат. Пусть G — некоторое открытое множество на плоскости Щи и каждой точке М = (х, j/)eG, а значит, и каждой упорядоченной паре чисел (х, у), являющихся координатами точки М в выбран- выбранной прямоугольной системе координат, поставлена в соответствие пара чисел (и, v) таким образом, что разным точкам Мг и М2 соответствуют разные пары (иъ vi) и (ы2. v2). В этом случае говорят, что на множестве G задана система координат и, v. При этом если точке М соответствует пара (и, v), то пишут М = (и, v). Каждая пара (и, v) является функцией точки М е G, поэтому и каждый из ее элементов и и v также является функ- функцией точки М :и = и (М), v = v (M), или, что то же, ее декартовых координат: Ы=="!Х' У)' D6.48) v = v(x, у). Обратно, каждой паре (и, v) из рассматриваемого множества пар соответствует точка MeG, т. е. точка М есть функция пар (и, v): М = М (и, v), а поэтому ее декартовы координаты х и у также являются функциями указанных пар (и, v). Иначе говоря, справедливы формулы D6.47), задающие отображение, обратное отображению D6.48). Множества точек (х, у) е G, удовлетворяющих условию и (х, у) = иа и соответственно v (х, у) = va, где и0 и у0 некоторые фиксированные постоянные, называются координатными линиями в системе координат и, v. Используя формулы D6.47), координатные линии можно запи- записать в виде Х = Х{"- V); D6.49) v), соответственно в виде Х = Х{"- °t D6.50) у = у(и, Vo). В случае декартовых координат координатные линии суть пря- прямые, в общем же случае — некоторые кривые, задаваемые пред- представлениями D6.49) и D9.50). Этим и объясняется название «криво- «криволинейные координаты» (рис. 186).
46.3. Криволинейные координаты 185 Будем предполагать, что функции D6.47) удовлетворяют на G всем условиям, при которых была выведена формула D6.32) замены переменного в интеграле, в частности, что они непрерывно диф- дифференцируемы и что якобиан g *' У1 не равен нулю на G. В силу этого координатные линии в окрестности каждой точки из G являются непрерывно дифференцируе- дифференцируемыми кривыми. Исследуем, какой смысл будет иметь в этом случае модуль якобиана. Зафи- Зафиксируем какие-либо значения и0. Дм, v0, Av. Пусть Мо = («о, »о), Г —множество всех точек, криволинейные координаты и, v которых удовлетворяют неравен- неравенствам щ < и < «о + Дм, v0 < v < v0 + Ay, и пусть: Г cz G. Множество Г называ- называется координатным (криволинейным) параллелограммом. Множество Г открыто (почему?), и его граница представляет собой кусочно-гладкий контур (он состоит из кривых вида х — =х («о, v), у = у(и0, v), где v0 =C v ==?_vQ + Av и т. п.), поэтому Г квад- рируемая область. Вычислим ее площадь (см. рис. 186). Приме- Применив формулу замены переменного в интеграле и интегральную теорему о среднем (см. п. 44.6) получим Рис. 186 Г Mo < и < «о + A" t>0 < о < p0 + Да a («. t») C(x, C(u, if) V) 3(JC, J/) Л1 В силу непрерывной дифференцнруемости функций D6.47) д(х, у) а (и, v) х, у) д(и, v) jM» где lim e = 0. Таким образом, д (х, у) д(и, v) м. Аи Av -j- e Аи Av. D5.51) Формула D6.51) показывает, что модуль якобиана в точке («о, v0) представляет собой коэффициент главной части площади координатного параллелограмма с вершиной в точке (и0, у0) отно- относительно произведения AuAv при Аи--\- Ду2->-0. Это замечание часто используется на практике при вычислении якобиана пре- преобразования криволинейных координат в декартовы. Покажем
186- § 46. Замена переменных в кратном интеграле это на примере полярных координат г, q>. Зафиксируем какие- либо значения г, r-f-Ar, Ф и ф + Аф и рассмотрим координатный параллелограмм Г (рис. 187), образованный координатными линиями г, r-f-Ar, ф и ф + Аф. Длины двух его сторон равны соответственно Аг и г Аф. Вычислив площадь этого параллело- параллелограмма так, как если бы он был обык- обыкновенным прямоугольником, будем иметь [дГ?«г Аг Аф. Таким образом, коэффициент у произведения АгАф оказался рав- равным г, откуда естественно ожидать, Рис 187 что д *' л = г. В действительности (см. пример в п. 46.2) так и есть. Это произошло потому что при наших неточных вычислениях площади Г допущена ошибка более высокого порядка малости, чем произ- произведение АгАф при А/-а + Аф2->0. в самом деле, вычислив |дГ как разность площадей двух секторов, получим ^Г = ^ я (г + Л/-)* - ^ яг2 = г Аг Дф + \ Аг2 ДФ. 46.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В я-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Все сказанное в предыдущих пунктах этого параграфа вместе с доказательством переносится и на «-мерный случай, поэтому мы ограничимся лишь формулировкой соответствующих теорем. Теорема 3. Пусть Gx<^Rnx и GtczR?- открытые множества, x — F(t) = {xi = Xi(tu ..., tn), i = 1, 2,..., n\ — взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение Gt на Gx, якобиан J @ = д G/, ...', \) которого не равен нулю на Gt. пусть далее S — /г-мерный куб: ( = 1,2 n|cG(, Тогда lim ^^ = |У(^°')|; при этом, если ftO И0 ), h), то для любого компакта AczGt функция е(/<°>, h), № <= А, равномерно стремится к нулю на А при h-^0. Теорема 4. Пусть: 1) Gx и Gt — измеримые открытые множе- cmec^Gxcz Rnx, GtcR'}\ 2) х = F (t) — непрерывное отображение Gt на Gx, взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо отобра-
46.4. Замена переменных в п-кратном интеграле 187 жающее Gt на G/, 3) якобиан J(/) = dJ**' "" х.п]- этого отображе- 0 (Гъ ..., tn) ния не обращается в ноль на Gt и непрерывно продолжаем на G/. Тогда если функция f(x) непрерывна на множестве Gx, то Упражнения. Написать формулы замены переменных в тройных интегралах для преобразований координат: 3. x=/"cosit)cos(p, y = cos\Jj sin ф, г = г sin (сферические координаты). 4. x=acos ф, y = r sin ф, (цилиндрические координаты). = г, — со <С г Замечание. В силу формулы замены переменного для любого измеримого множества GczRn и любых криволинейных координат Uu ..., ип справедлива формула S д(хи ..., хп) В частности, если д(хи ..., хп) («1 и„) = 1, ux ... dun то д(иъ ..., ип) \ ... \dxx ... dxn = \ ... \du± ... dun- D6.52) D6.53) Условие D6.52) заведомо выполняется, если Ui, ..., и„ также являются декартовыми координатами в пространстве R", и следо- следовательно, выражаются через хъ ..., ха с помощью линейного пре- преобразования, определитель которого равен ±1; п i = 1 i=l, 2, ..., п, Левая часть формулы D6.53) равна мере p.G множества G «в координатах xlt ..., xnt> (см. свойство 1° кратного интеграла в п. 44.6), а правая часть этой формулы в случае, когда ии ... ..., ип — декартовы координаты, равна соответственно мере мно- множества G «в координатах ии ..., «„». Таким образом, формула D6.53) показывает, что мера открытого измеримого множества не зависит от выбора декартовой системы координат. Справедливости ради следует заметить, что при доказательстве формулы замены переменных в кратном интеграле мы использо- использовали тот доказываемый в геометрии факт, что при аффинных (т. е. невырожденных линейных) отображениях абсолютная вели- величина определителя преобразования равна отношению объема парал-
188 § 47. Криволинейные интегралы лелепнпеда, являющегося образом некоторого куба к объему этого куба. Упражнения. 5. Пусть G = {(a', у, г): 1 < х <. 2; 1 < х-\-у <С 3; С "[' (* dv с/и clz 1 < х-j-у + # + z <c 5}. Вычислить интеграл \ \ \ ;—:—' ;—-путем пере- J .' J (х + {/) (* + f/ i z) хода к переменным и, v, ш, связанным с х, у, z соотношениями х-\-у-\-г = и, x-\-y—uv, x—uvw. 6. Пусть G = \(x, у, г): х < yz < 2х; у < zx <1y; z < ху <: 1z). Вычислить интеграл \\\xyzdxdydz путем перехода к переменным (/, v, w, связанным с х, у, г соотношениями ux—yz, vy=zx, wz = xy. § 47. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 47.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Пусть в трехмерном пространстве R3 задана кривая у ={/•(/); a^t~~b) (см. § 16). Мы будем рассматривать однозначные функ- функции F, определенные на точках r(t) этой кривой: F = F(r(t)). Если p(t), а «с т <; ,6 — какое-либо другое представление той же кривой у и t = t(x), as^T^sp —отображение отрезка [a, P] на отрезок [a, b], осуществляющее эквивалентность этих представле- представлений (т. е. t — Цх), a < т ^ р — допустимое преобразование пара- параметра, см. п. 16.1), то, поскольку значение функции F опреде- определяется лишь точкой кривой, будем иметь Рассматриваемые функции F принимают, вообще говоря, раз- различные значения в точках кривой, соответствующих различным значениям параметра, но совпадающих как точки пространства (см. кратные точки в п. 16.1). Такая точка зрения соответствует физической интерпретации кривой у, например, как траектории движения материальной точки, а функции F — как некоторой силы, действующей на нее, и зависящей не только от положения точки в пространстве, но и от момента, в котором эта точка находится в данном месте. Кроме того, такой подход дает и определенные математические преимущества, которые будут видны в дальнейшем. Из сказанного следует, что указанные функции, заданные на кривой, нельзя рассматривать как функции, определенные на некотором множестве пространства R3 и потому, строго говоря, их нельзя обозначать через F (х, у, г), где х, у, г —декартовы координаты пространственных точек. Однако в рассматриваемых ниже вопросах такое обозначение является традиционным, поэтому мы будем его употреблять. Если всегда помнить, что в этих вопросах речь идет о функциях, определенных на точках кривых, то его использование не приведет к недоразумениям.
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 189 Пусть теперь задана спрямляемая ориентированная кривая у, причем r(s) = {x(s), y(s), z(s); 0sSs==s5} —ее представление, где в качестве параметра взята переменная длина дуги s и пусть А = г @) и B = r (S) — начальная и конечная точки этой кривой. В этом случае будем писать у = АВ. Противоположно ориенти- ориентированную кривую обозначим В А. Определение 1. Пусть на точках г (s) кривой у задана неко- некоторая функция F. Тогда выражение \ F (х, у, z)ds, определяемое АВ по формуле \ F(x, у, z)ds = $F(%(s), y(s), z(s))ds, D7.1) АВ « называется криволинейным интегралом первого рода от функции F по кривой АВ. Этот интеграл обозначается также символами \ F[r(s)]ds и §F[r(s)]ds, или, короче, ^ аЪ v v Таким образом, хотя определение криволинейного интеграла первого рода и связано с понятием кривой, т. е. с геометрическим образом, оно сводится к обычному интегралу по отрезку, и поэтому на криволинейный интеграл переносятся все свойства обычного интеграла. Отметим некоторые специфические свойства интеграла D7.1) 1°. I ds^S. АВ Это очевидно. 2°. Если функция F непрерывна в точках кривой у как функ- функция параметра s, т. е. если непрерывна функция F [r (s)], Oscss^S, то интеграл \Fds существует. v В самом деле, согласно определению D7.1), интеграл )Fds v S сводится к интегралу ^F[x(s), y(s), z(s)]ds от непрерывной функ- 0 ции по отрезку, который, как известно, существует. 3°. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориен- ориентации кривой: ^ F(x, у, z)ds= ^ F{x, у, z)ds. АВ ВА Действительно, пусть M = r (s) — точка кривой АВ as — длина дуги AM. Если а = S — s, то а равняется длине дуги ВМ (рис. 188).
190 § 47. Криволинейные интегралы Функция r — r(S — о), O^a^S, является представлением кри- кривой ВА, поэтому, выполнив в интеграле D7.1) замену перемен- переменного s — S — a и заметив, что ds — — da, получим s \ F(x, у, z)ds = \F[x(s), y(s), z(s)]ds = АВ О = -$ F[x(S-a), y(S-a), z(S-o)]do = s s = lF[x(S-o),y(S-o),z(S-o)]do= $ F (x, y, z) da. Это свойство криволинейного интеграла первого рода связано с тем, что, согласно определению, длина дуги кривой считается положительной независимо от конца, от ко- которого она отсчитывается. Прежде чем перейти к следующему свойству, заметим, что ^F ds, как и вся- v *г(о} кий интеграл, является пределом соот- соответствующих интегральных сумм; специ- Рис. 188 фика этого случая состоит лишь в том, что эти суммы можно описать в геометрических терминах, связанных с кривой у, по которой ведется интегрирова- интегрирование. Сформулируем это более точно. 4°. Пусть т¦= {s,-}f=o° — разбиение отрезка [О, S], & е [s,-_i, s,], As,- = st — s,--! — длина дуги кривой у от точки г (s,-_x) до точки t'o r(st)r i — l, 2, ..., k, u <sx— ^F[r(?,)]As,-. Тогда, если функция F[r(s)] интегрируема по Риману на отрезке [О, S], то lim ax = lFds. D7.2) Действительно, ах, очевидно, является интегральной суммой о Римана интеграла \F[r(s)]ds, и поэтому формула D7.2) непосред- о ственно следует из D7.1). Формула D7.1) очень удобна для изучения свойства интеграла ^F ds, однако она далеко не всегда удобна для его вычисления, так как нередко бывает очень сложно или даже практически невозможно найти представление данной кривой, где за параметр
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 191 взята переменная длина дуги. Укажем поэтому формулу для инте- интеграла \F ds при любом параметрическом представлении кривой у. v 5°. Пусть у —гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4), г (/)={ф @> Ф @> X @> а *S / «S Ь} — ее непрерывно дифференцируемое представление, и следовательно, ф'2@+^'2 @ + '2(^H Пусть функция F непрерывна на кривой у (в том смысле, что функция F [/¦(/)] непрерывна на отрезке [а, Ь]). Тогда (t)dt. D7.3) В самом деле, при сделанных предположениях кривая у спрям- спрямляема, и переменную длину дуги s = s(t) можно принять за пара- параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в п. 16.5) и потому интеграл [Fds имеет смысл. Выполнив замену переменного s = s(t) в пра- v вой части равенства D7.1) и вспомнив, что (см. п. 16.5) •ЗГ= Vxt +yt +zt , получим формулу D7.3). Из D7.3) следует, что для данной кривой значение интеграла, стоящего в правой части равенства D7.3), не зависит от выбора параметра на кривой, ибо при любом выборе параметра этот интеграл равен интегралу, стоящему в левой части этого равенства. 47.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Ряд математических и прикладных задач приводит к криво- криволинейным интегралам другого типа. Например, если г —г if) является радиус-вектором движущейся материальной точки, a F= ^F{f) — сила, действующая на эту точку, то естественно опре- определить работу силы F вдоль траектории Г рассматриваемой точки как интеграл \Fdr или, если F=(P, Q, R), a dr=(dx, dy, dz), г в координатной записи как интеграл \Pdx + Qdy + Rdz. D7.4) г Вспоминая, что (см. п. 16.5) *» Напомним, что это условие означает отсутствие особых точек иа кри-- вой (см. определение 15 в п. 16-4).
192 § 47. Криволинейные интегралы где f = (cosa, cosp, cos у) — единичный касательный вектор, инте- интеграл D7.4) можно представить формально в виде \ (Р cos а + Q cos р + R cos у) ds. Сформулируем теперь строгое определение интегралов вида D7.4). Пусть у — АВ — гладкая ориентированная кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без особых точек. Тогда существует такое ее непрерывно дифференцируемое представление г@ = {* = ф@. У = ${*), г = х@; а^*^Ь}, А = г(а), В = г(Ь), что Пусть s = s(t) — переменная длина дуги, 0 «=s s «S S, S — длина всей кривой у, отсчитываемой от конца A, (coscc, cosp, cosy) — единичный касательный вектор к кривой, a — a(s), p = P(s), Y = y(s). О-^st^S, и пусть функция F, как и в предыдущем пункте, определена на множестве {/¦(/), a^t^b] всех точек кри- кривой у. Определение 2. Интеграл ^ F (х, у, z) dx определяется по фор- АВ муле $ F(x, у, z)dx= § F (х, у, z) cos ads. D7.6) АВ АВ Аналогично, по определению, полагается \ F (х, у, z)dy= \ F (х, у, z) cos p ds, АВ АВ § F (х, у, z)dz= \ F (х, у, z) cosy ds. D7.7) АВ АВ Интегралы вида D7.6) и D7.7) называются криволинейными интегралами второго рода от функции F по кривой АВ. Естественность этих определений видна из формул D7.5). Отметим некоторые свойства криволинейных интегралов вто- второго рода, ограничиваясь для краткости только случаем инте- интеграла D7.6). 1°. Если функция F непрерывна на кривой у, т. е. непрерывна функция F[r (t)], a^ts^b, то интеграл D7.6) существует. Действительно, при сделанных относительно кривой у пред- предположениях функция t — t(s), (/ — параметр на кривой у, s — пере- переменная длина дуги) непрерывно дифференцируема на отрезке [О, S], а поэтому функция cosa = -jr-j- непрерывна на этом отрезке и,
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 193 следовательно, в силу свойства 2° криволинейных интегралов пер- первого рода (см. п. 47.1) интеграл D7.6) существует. Ц В дальнейшем в этом пункте для простоты будем предполагать, что функция F непрерывна на кривой у. В этом случае все написанные ниже интегралы заве- заведомо существуют. 2°. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при из- изменении ориентации кривой, т. е. $ F(x,y,z)dx = — \ F(x,y,z)dx. Гв в~а В самом деле, если а —угол, образованный положительным на- направлением касательной к кривой АВ с осью Ох, а а' — угол, обра- образованный положительным направлением касательной к кри- кривой ВА с осью Ох, то для соответствующих точек будем иметь а' = а+я (рис. 189), и, следовательно, coscc'= — cosa. Использовав теперь свойство независимости криволинейного интеграла первого рода от ориентации кривой (см. п. 47.1), получим \ F(x, у, z)dx= \ F(x, у, z)cosa'ds = — $ F(х, у, в~А ва Sa = _ $ F(x, у, z)cosads = — $ F(x, у, z)dx. Лв А~В Таким образом, это свойство криволинейного интеграла вто- второго рода вытекает из того факта, что криволинейные интегралы \ F (х, у, z) dx и \ F (х, у, z) dx ав iA равны соответствующим криволинейным интегралам первого рода, подынтегральные выражения которых отличаются только зна- знаком. П 3°. Если F — непрерывная на кривой у функция, то для инте- интеграла D7.6) справедлива формула ^ F(х, y,z)dx = \F[Ф (О, Ч>@, %@1Ф' @ dt. D7.8) Гв а Действительно, согласно определению D7.6), s ^ F(x, у, z)ds = \F[x(s), y(s), z (s)] cos a (s)ds. A~B °
194 § 47. Криволинейные интегралы. Выполнив в интеграле, стоящем в правой части этого равен- равенства, замену переменного s = s(t) и замечая, что (см. D7.5) cos«=j dx xt = ~ds = Т7"' ПОЛУЧИМ s $F|>(s), y(s), z (s)] cos a (s) ds = ft Отметим, что мы доказали также, что интеграл, стоящий в правой части этой формулы, не зависит от выбора параметра на кривой, сохраняющего ее ориентацию. В частном случае, когда за параметр t можно взять перемен- переменную х, т. е. когда кривая у обладает представлением у = у(х), z = z(x), a^x^b, и, следовательно, не имеет кратных точек, функция F является однозначной функцией не только точек кри- кривой, но и соответствующих точек пространства (в этом случае разным точкам кривой соответствуют разные точки пространства и наоборот). Формула D7.8) принимает в этом случае вид ь \F(x, y,z)dx = \F[x, у (х)г z(*)]dx. D7.9) V а 4. Интеграл § F (х, у, z) dx является пределом соответствую- АВ щих интегральных сумм, описываемых в терминах, связанных с кривой у, точнее: пусть % = Щ\\^ —разбиение отрезка [а, Ь], Ьх — его мелкость, 1,-е [/,-_ь t{\, i — \, 2, ..., i0, и где Axi = x(ti) — x(ti-1), тогда lim 0T= \ F(x, у, z)dx. D7.10) et-° Гв В самом деле, по формуле конечных приращений 'Лагранжа Axt = ф' (т]г) А^-, где r\i€E[ti-i, ti], Ati^ti-ti-u J = l, 2, .... to, поэтому 0T= ft Flr (tt)W (Ч) Ы,. i= 1
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра 195 Положим Сумма at является интегральной суммой Римана для функции F[r(t)]q>(t), поэтому ь \\mot = \F[r(t)\<f'{f)dt. D7.11) С другой стороны «о |5Т - ат | sc 2] \F[r (Ш! |ф' (Т1,-) - ф' (Ъ) | Mi ^ i= 1 «s;(oFT; ф') (b — a) sup где to (б; ф') —модуль непрерывности функции ср'. Так как из непрерывности функции F [r (t)] на отрезке [a, b] следует, что sup \F[r (t)]] <сю, а из непрерывности функции ф' на том же отрезке следует, что lim ю (бт; ф') = 0, то lim (aT — aT)=0. Поэтому бт^о бх-»о в силу D7.11) получим ь lim ot = 5F 6° Отсюда, согласно свойству 3, следует формула D7.10). Ц Мы остановились только на тех свойствах криволинейных интегралов, которые связаны со спецификой их определения, с кривой, по которой производится интегрирование. Естественно, что, поскольку рассматриваемые интегралы сводятся к обычным интегралам по отрезку, на них переносятся и различные их свой- свойства (линейность относительно интегрируемых функций, интег- интегральная теорема о среднем и т. д.). 47.3. РАСШИРЕНИЕ КЛАССА ДОПУСТИМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПАРАМЕТРА КРИВОЙ Непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без особых точек определялась нами (см. п. 16.1 и 16.2*') как кривая, имеющая непрерывно дифференцируемые векторные представления r(t), a^ts^b, такие, что r'(t)=?Q на отрезке [а, Ь]. В качестве допустимых преобразований параметра при этом рассматривались такие функции , t(a) = 7*
196 § 47. Криволинейные интегралы которые были непрерывно дифференцируемыми и имели положи- положительную производную на отрезке [а, Ь]. Это требование, однако, часто оказывается слишком обременительным. Например, для дуги у единичной окружности с центром в начале координат представления = 1, и x = sint, у = cost, оказываются неэквивалентными в этом смысле. Да и само пред- ставление г/ = 1/^1 — х2, Os^xs^l, не определяет в нашем смысле непрерывно дифференцируемую кривую, поскольку у него при х = 1 производная не существует. Поэтому естественно расширить класс допустимых преобразований параметров и допустимых представлений непрерывно дифференцируемых кривых. Это можно сделать следующим образом. Рассмотрим совокупность векторных представлений r — r(t), a^t^b, непрерывных на отрезке [а, Ь] и непрерывно диффе- дифференцируемых на интервале (а, Ь). Допустимым преобразованием параметра будем называть всякую функцию t = t(x), а^те^Р, t(a) = a, t($) = b, непрерывную на отрезке [а, Р], непрерывно дифференцируемую и имеющую положительную производную на интервале (а, Р). Как всегда, два представления называются эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью допустимого преобразования параметра. Определение 3. Класс эквивалентных представлгний указанного типа задает непрерывно дифференцируемую кривую, если в этом классе существует по крайней мере одно представление г = г (t), a^ts^b, непрерывно дифференцируемое на всем отрезке [а, Ь]. Определение 4. Непрерывно дифференцируемая кривая назы- называется кривой без особых точек, или, короче, гладкой кривой, если при некотором ее представлении r(t), a^t^b {а значит, и при всех ее представлениях) выполняется условие г'(()фО, a<it<ib. В смысле этого определения два вышеуказанных представления дуги окружности оказываются эквивалентны и задают гладкую кривую. Остаются в силе и все данные выше определения криволиней- криволинейных интегралов и их свойства, естественно, при учете того, что при некоторых представлениях кривых можем получить несоб- несобственный интеграл. Следует подчеркнуть, что расширение класса представлений кривой позволяет производить вычисление криволинейного интеграла при более разнообразных представлениях кривой. Например, интеграл \Р (х, y)dy, где v —рассматриваемая выше 7 дуга единичной окружности, а Р — непрерывная на у функция,
7.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым 197 можно вычислить, пользуясь обоими указанными представлениями: (х, у)dy = - я/2 ]Р(х, y)dy = — \ P(sint, cos t) sin tdt. V 0 В первом случае здесь может получиться несобственный интеграл. Вместе с тем при доказательстве теорем можно выби- выбирать «хорошие представления», т. е. непрерывно дифференцируемые вплоть до концов отрезка, а проведенные рассмотрения окажутся справедливыми и для расширенного понятия кривой. Упражнение 1. Доказать, что при новом определении непрерывно дифференцируемой кривой у = {х (О» У if), г (t)} ее длина выражается формулой ь $ У х'*-\-у'*-\-г'г dt, где написанный интеграл, вообще говоря, несобственный. а 47.4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КУСОЧНО-ГЛАДКИМ КРИВЫМ Определение 5. Если кривая у кусочно-гладкая, т. е. предста- вима в виде объединения конечного числа гладких кривых уи у2, ... ..., ук, а функция F (х, у, z) по-прежнему определена на точках кривой у, то, по определению, положим \ F (х, у, z)dx=]? \F (x, у, z) dx. Если у — кусочно-гладкая кривая и x — x(t), y = y(t), z = z(t), a^t^b, — ee кусочно-гладкое представление, то также будем писать \F(x, у, z)dx=\F[x(t), y(t), z(t)]x'(t)dt у а (здесь производная х' (t) может быть не определена в конечном числе точек отрезка [а, Ь]), понимая интеграл, стоящий в правой части равенства, вообще говоря, в несобственном смысле. Аналогичные определения имеют место и для интегралов вида D7.7). В дальнейшем придется иметь дело с суммами интегралов вида D7.6) и D7.7), т. е. с интегралами вида D7.4), где Р, Q и # —некоторые функции, определенные на точках кривой у. Согласно определениям D7.6) и D7.7), справедлива
}98 § 47. Криволинейные интегралы __^_____________—. , -.. .. i . i j ¦формула $ Р их + Q dy + R dz = \ (Р cos a + Q cos р + R cos у) ds. У V Замечание 1. Если Г обозначает конечную совокупность кусочно-гладких ориентированных кривых yh i=l, 2, ..., k, то, по определению к k \Fds= 2 \Fds' lFdx= 2 \Fdx н т. д. Замечание 2. Мы дали определение криволинейных инте- интегралов для кривых, лежащих в трехмерном пространстве ^3. Совершенно аналогично они определяются и для кривых, лежащих в любом «-мерном пространстве Rn, п — 2, 3, 4, ... . Криволи- Криволинейные интегралы в и-мерном пространстве обладают свойствами, аналогичными рассмотренным выше в трехмерном случае, причем доказательства их также совершенно аналогичны приведенным выше. Поэтому мы не будем останавливаться ни на формулиров- формулировках, ни на доказательствах соответствующих утверждений. Упражнения. 2. Доказать, что данные в настоящем пункте определе- определения криволинейных интегралов по кусочно-гладким кривым не зависят от способа разбиения этих кривых на гладкие дуги. 3. Вычислить криволинейный интеграл \ Vx + 2y dx + Vx + у dy, где Г — г треугольный контур с вершинами О @; 0); В B; 0), С B; 4). , „ „ ., С x^dy — y^dx 4. Вычислить криволинейный интеграл \ —Н?—\п > гДе Г —дуга астроиды x = acos3/, y = asm3t, ограниченная точками (а, 0) и @, а). 47.5. ФОРМУЛА ГРИНА Определение 6. Пусть простой замкнутый контур у является границей ограниченной плоской области G. Если ориентация контура выбрана таким обра- образом, что при обходе контура у, соответствующем возрастанию параметра, область G остается слева (такой обход обычно назы- Роломишельная Отрицательная вается обходом контура против ориентация ориентация направления движения часовой Рис 190 стрелки), то эта ориентация называется положительной, в противном же случае (т. е. когда обход контура производится по направлению движения часовой стрелки) — отрицательной (рис. 190). Положительно ориентированный контур будем обозначать у*, а отрицательно ориентированный — через у~. Эти понятия опреде-
47.S. Формула Грина 199 лены не строго, не в точных математических терминах. Однако мы не будем давать здесь точных определений, е одной стороны, потому что это нельзя коротко сделать, а с другой стороны, поскольку в дальнейшем во всяком отдельном случае рассматри- рассматриваемая ориентация всегда будэт конкретно указываться. Тем самым наше «общее» определение положительной и отрицательной ориентации простого замкнутого контура послужит лишь для геометрической наглядности рассматриваемых ниже вопросов. В дальнейшгм плоскую область G, замыкание которой может быть представлено одновременно в виде D5.1) и D5.13) (см. рис. 156), будем для кратности называть элементарной областью. ^ Теорема 1 (формула Грина *). ^ Пусть G — плоская область и ее граница у является кусочно-глад- кусочно-гладким контуром. Пусть область G с может быть разбита на конечное число элементарных областей G**' с кусочно-гладкими границами ~q -у,-, i = 1, 2, ..., k. Пусть, далее, в замкнутой области G заданы Рис- 191 функции Р (х, у) и Q (х, у), непре- непрерывные на G вместе со своими частными производными -=г- и -^-. ***' Тогда справедлива формула Ut С, |*О0 * G Р(Ж -\—; " '"¦¦ ¦ д—i i i И $-?)**-$ ""+«*• D7Л2> G у* Доказательство. Пусть сначала область G сама элемен- элементарна и, следовательно, ее границу можно представить как объединение графиков двух кусочно непрерывно дифференцируе- дифференцируемых функций ф(х) и ф(х), ф(х) ==со])(х), а^х^Ь, и, быть может, отрезков прямых х = а и х = Ь, а также как объединение двух графиков кусочно непрерывно дифференцируемых функций а, (у) и р (у), <х(у)^$(у), cs^y^d и, быть может, отрезков прямых у = с и y = d (рис. 191). В этом случае, применяя правило сведения двойного интеграла к повторному, теорему Ньютона —Лейбница (п. 29.3) и формулу *> Дж. Грин A793—1841) —английский математик. **' Это означает, что {Gijj-Ilf является разбиением замкнутой области G (см. п. 44.3). ***' Непрерывность частных производных на G понимается как их непре- непрерывность на открытом множестве G и их непрерывная продолжаемость на границу G (см. п. 39.3).
200 § 47. Криволинейные интегралы D7.9), имеем a Lq>(x) , * (*)] - Р [х, ф (х)]} dx = \p [х, с — $/>[*, (p(x)]dx = \ Р(х, y)dx— \ P(x, y)dx = a DC Яв ^- \Р{х, y)dx- \P(х, у)dx. D7.13) СО АВ Замечая, что для отрезков ВС и DA <\ Р(х, y)dx= J P(x, y)dx = 0 D7.14) ВС DA (это сразу следует, например, из формулы D7.6), ибо здесь x==const и потому cosa = 0), и, сложив равенства D7.13) и D7.14), получим dx- [ Pdx- [ Pdx- a аЪ bc cl) 6a v+ D7.15) При этом получилась ориентация граничного контура у, при которой следуют последовательно одна за другой точки А, В, С, D. Эта ориентация является положительной (см. определение 6) н обозначается через у+. Совершенно аналогично, исходя из того, что область G эле- элементарна, выводится формула ^ D7.16) Сложив D7.15) и D7.16), мы получим формулу Грина D7.12) для рассматриваемого случая. Рассмотрим общий случай. Пусть область G разбита на обла- области d, i = l, 2, ..., k, указанного в условиях теоремы вида. В силу доказанного для каждого i = 1, 2, ..., k Ш G vt
47.5. Формула Грина 201 Сложив эти равенства, получим 2 И (^-f- ,¦=1 С. В силу аддитивности двойного (см. п. 44.6) будем иметь D7-17) интеграла по множествам 2 Ш?~?Н»-И 1 = 1 С, #-¦?)**• D7Л8) В сумме, стоящей в правой части равенства D7.17), криво- криволинейные интегралы берутся дважды по всем внутренним частям границ yit областей G,-, т. е. таким дугам кривых yit которые являются частью границ двух областей Git t' = l, 2, ..., k, и, следовательно, не входят в границу области G; при этом ориен- ориентации этих дуг кривых Y» противоположны (рис. 192). В силу Рис. 192 Рис. 193 изменения знака криволинейШго интеграла второго рода при изменении ориентации кривой сумма двух криволинейных инте- интегралов по указанным частям кривых у,- равна нулю. Поэтому в правой сумме формулы D7.17) останутся только интегралы по положительно ориентированным частям границы у области G, дающие в сумме \ Pdx + Qdy. Таким образом, =\ Pdx + Qdy. 1=1 D7.18') Из D7.17), D7.18) и D7.18') следует формула D7.12) в общем случае. Ц Пусть G — ограниченная область на плоскости R2 и пусть ее граница состоит из конечного числа простых контуров, которые будем называть граничными контурами. Если граничный контур является одновременно и границей неограниченной области, лежащей в R2\G, то будем называть его внешним, а если он является одновременно и границей ограниченной области, лежа-
§ 47. Криволинейные интегралы щей в R2\G, то — внутренним. Так, нарис. 193 контур уе внеш- внешний, а контуры Yii и угг внутренние. Если граница области G состоит из .внешнего контура уе и внутренних контуров уп, yi2, ..., yim и если область G может быть разбита на конечное число элементарных относительно обеих координатных осей областей с кусочно-гладкими границами, т© справедлива формула Ve 1 = Чц Функции Р и Q, как и выше, предполагаются непрерывными 6Р 3Q „ - ^ вместе со своими производными -^— и -^ в замкнутой области G. Доказывается эта формула так же, как и D7.12), если только заметить, что в сумме, стоящей в правой части равенства D7.17), останутся криволинейные интегралы, по положительно ориентиро- ориентированным частям внешнего контура и по отрицательно ориентиро- ориентированным частям внутренних контуров (см. рис. 193,). Отметим еще, что в формуле D7.19) все контуры (как внешние, так и внутренние) ориентированы таким образом, что при их обходе область интегрирования остается слева. Определение 7. Пусть граница dG ограниченной плоской обла- области G состоит из конечного числа простых кусочно-гаадких кон- контуров. Совокупность этих контуров, ориентцрованных так, что при обходе по каждому из них область G остается слева (справа), называется положительной (отрицательной) ориентацией гра- границы G и обозначается также dG (соответственно —dG). Формулу Грина можно распространить и на еще более широкий класс областей. Для этого заметим, что в силу доказанного формула Грина справедлива для треугольника, а значит, и для любого многоугольника. Поэтому предельным переходом, аппрок- аппроксимируя границу области конечнозвенными ломаными, можно получить формулу Грина для любой области (и даже просто открытого множества), граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Мы, однако, не будем останавли- останавливаться на доказательстве этого факта, а ограничимся лишь его формулировкой. При этом, используя определение 7, мы запишем формулу D7.19) в более компактном виде. Теорема 1'. Пусть граница плоской ограниченной области G состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Тогда, если ¦функции Р, Q, -5— и -~ непрерывны на G, то •J j Л OX Oti I j G dG ¦где UG — положительно ориентированная граница области С
47.6, Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 20S Формула Грина является для кратных интегралов аналогом формулы Ньютона — Лейбница для однократных интегралов: и в той и в другой формуле интегралы от производных по области интегрирования выражаются через значения функции на границе указанной области (в случае формулы Грина эти значения еще интегрируются). Упражнения. С помощью формулы Грина вычислить следующие криволинейные интегралы, где Г — простой замкнутый контур, состоящий из частей кривыж, уравнения которых указаны для каждого интеграла (направление обхода контура — положительное 5. $| г -dxJ\-2\nxdy\ 2х + у = 4, х=\, у=0. dx dy. „о „__t 47.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Положив в формуле Грина Q •= х, Р = 0, получим* J J dx dy =. с s= ^ х dy и, следовательно,. v+ nG=\xdy. D7.20) т+ Аналогично, положив Р = —у,, Q = 0, получим цб = - \.y.dx. D7.21) v+ Складывая формулы D7.20) и D7.21), будем иметь dy-ydx. D7.22) Примеры. 1. Найдем с помощью формулы D7.22) площадь, ограниченную эллипсом -2 + п = 1. Используем его параметри- параметрическое представление: x = acos?, y — bsint. Применив формулу D7.22), получим искомую площадь: 2я S = \ {xdy-ydx = \ab \ (cos21 + sin21)dt = nab. 7* 0
204 § 47. Криволинейные интегралы Сравнивая этот метод вычисления площади, ограниченной эллипсом, с приведенным раньше (см. пример 4 в п. 32.1), легко убедиться, на сколько здесь меньше объем вычислений. 2. Найдем площадь, ограниченную астроидой (см. в т. 1, рис. 75) я = a cos3/, y = asin3t, 0^ts^.2n. Замечая, что здесь возрастание параметра t соответствует положительной ориентации контура, имеем: -ydx^—^ (cos4 sin21+ sin4 cos2 t)dt = о In Упражнения. С помощью криволинейного интеграла вычислить пло» щадь фигуры, ограниченной линиями: 8. x = t2, y = t3, x=\, </ = 0. 9. у- = 4 — х, х=\, у—\ (в первой четверти). 47.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА ЯКОБИАНА ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ Пусть F — взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение плоской области G с R2UV в плоскость Rly с якобианом, всюду в G не равным нулю. Тогда в силу принципа сохранения области множество G* =F(G) также является областью (см. п. 41.8), а якобиан, в силу его непрерывности, сохраняет знак на G (см. теорему 4 в п. 19.5), т. е. либо всюду на G положителен, либо всюду отрицателен. Пусть в координатной записи отображение F задается фор- формулами х = х(и, v), У = 9(и, v). D7.23) Лемма 1. Если у — кусочно-гладкая кривая, лежащая в G, то ее образ у* == F (у) при отображении F также будет кусочно-гладкой кривой. Доказательство. Пусть сначала у — гладкая кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (см. опре- определения 15 и 16 в п. 16.4), и пусть u = u(t), v = v(t), a^t^b, — некоторое ее представление. Тогда на отрезке [а, Ь] функции «@ и v (t) непрерывно дифференцируемы и f^j -f- \j() >0- Представлением кривой у* = F (у) будет являться пара функций
47Л. Геометрический, смысл знака якобиана-отображения 205 которые в силу свойств композиции непрерывно дифференцируе- дифференцируемых функций (см. п. 19.3 и 20.3) также будут непрерывно диф- дифференцируемыми. Покажем, что кривая у* также не будет иметь особых точек. В самом деле, поскольку их дхйи . дх dv dy ду du ду dv dt du dt dv dt ' то, рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений относительно ~ и -^, видим, что если в некоторой точке t e [a, b] выполнялись бы равенства -^ = ¦— — 0, то в силу необращения в ноль якобиана дхдх д (х, у) д(и, v) диди ду ду dudv указанная система имела бы единственное решение, которым является нулевое решение, т. е. в той же точке t были бы спра- du dv n ведливыми равенства -гг = -п = 0 и тем самым соответствующая точка кривой у была бы особой, что, по предположению, невоз- невозможно. Итак, если кривая у —гладкая, то кривая y*=^(y) также гладкая. Отсюда сразу следует, что образ кусочно-гладкой кривой при рассматриваемом отображении является также кусочно-гладкой кривой, ибо кусочно-гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4) представляет собой объединение конечного числа гладких кривых. ? Пусть, теперь, Г с G, Г — ограниченная область, и ее гра- граница дТ является простым кусочно-гладким контуром y (такие границы называются кусочно-гладкими). Пусть далее, T*=F(T). Тогда в силу принципа сохранения области множество Г* —также область, и кроме того, ее граница дТ* есть образ границы дТ области Г (см. лемму 1 в п. 46.1), т. е. дГ* —F(dT). Поэтому граница дТ* также является простым (в силу взаимной однознач- однозначности отображения F) кусочно-гладким (согласно лемме 1 этого пункта) контуром у*. Следовательно, по контурам у = дТ и у* = = д Г* можно вычислять криволинейные интегралы. Пусть обла- области Г и Г* таковы, что к ним применима формула Грина, например, они удовлетворяют условиям, налагаемым на область в теореме 1 п. 47.5. (На самом деле, как уже отмечалось, при сделанных предположениях формула Грина всегда применима, однако это не было доказано).
206 § 47. Криволинейные интегралы Обозначим через -у1" как обычно, положительно ориентирован- ориентированный контур у (см- п- 47.5). Пусть u = u(t), v = v(t), — представление контура у+ и, следовательно, x = x[u(t), o@], y = y[u{t), v(t)], a^t^b, D7.24) — некоторое представление контура у*. Будем предполагать еще, что существуют смешанные произ- дгу д*у водные ^^ и gjg^- и что они непрерывны, а следовательно, и равны друг другу во всех точках области G. Согласно формуле D7.20), 1 D7.25) где е = +1, если ориентация контура у* положительна, и е = — 1 в противоположном случае. Иначе говоря, е = —J- 1 (соответственно е =— 1), если положительному обходу данного контура у соответ- соответствует при отображении D7.23) положительный же (соответственно отрицательный) обход контура y* = F(y). Преобразовав интеграл D7.25) по формуле D7.8) и исполь- использовав представление D7.24) контура у*, будем иметь: К получившемуся интегралу применим формулу Грина (см. теорему 1 в п. 47.5). Положив Р = х~, Q — xM^ и заметив, что в этом случае Хди dv' dv ~~ ди ди + Х ди ~ ди ди + Хди dv' dv ~~ ди ди + Х dv ди (здесь нами используется потребованное выше существование д*у дЧ \ вторых частных производных ^^ и 5jj4-j, получим dQ_dP_d*cfy_axcty _ д (х, у) ди dv ди dv dv ди д (и, v)' откуда J
47Л. Геометрический смысл знака якобиана отображения 207 Левая часть этого равенства больше нуля, значит, правая часть также положительна, и так как якобиан отображения D7.23) не меняет знака, то это возможно лишь в том случае, когда *' 'd(u,v) НИ >0, т. е. когда число.е имеет тот же знак, что и якобиан в этом случае д(х, у) Тем самым знак е не зависит от выбора контура y. а определяется знаком якобиана, который один и тот же во всех точках области G. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Если выполнены сделанные выше предположения, то справедлива формула [д (и, v) dudv. D7.26) Кроме того, если Л*' Ц>® на Г, то е = + 1, иначе говоря, ест якобиан отображения F положителен, то положительному обходу всякого контура у с G, являющегося границей ограниченной области Г с: G, при отображении F соответствует положительный обход контура у* = F (у), являющегося границей ограниченной области T* = F(T). Если же якобиан ^ <*' VJ <0 на Г, те = -1, т. е. положительному обходу всякого контура у указанного типа соот- соответствует при отображении F отрицательный обход контура * F() y (y) Таким образом, геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случае положительного якобиана ориентация контура при отображении сохраняется, а при отрицательном — меняется. С помощью формулы Грина D7.19) формула D7.26) легко обобщается на случай, когда граница области Г состоит из конеч- конечного числа кусочно-гладких замкнутых контуров. Отметим еще, что с помощью формулы D7.26) можно без труда получить более простое доказательство теоремы 1 из п.46.1 о геометрическом смысле модуля якобиана. Действительно, пусть Мо е Г, d (Г) — диаметр области Г, и область Г каким-либо образом стягивается к точке Мо и, следовательно, d (Г) ->• 0. По теореме о среднем (см. п. 44.6) поэтому цГ* \д(х, у) иг [а(и, о) В силу непрерывности якобиана и lim d(D-»0 д(х, у) д(и, v) и д(х, у) д (ur v)
208 § 47. Криволинейные интегралы следовательно lim <*(Г)-0 д(х, у)\ д(и, v) \ма' D7.27) т. е. мы доказали формулу D6.9) и в некотором смысле даже в более общем виде; так, здесь Г — не обязательно квадрат (правда, на отображение F мы наложили несколько более сильные условия, ,, д*у дгу потребовав непрерывности смешанных производных д . и , \ ¦ и возможности применения формулы Грина для области Г*). Нетрудно убедиться и в том, что стремление к пределу в фор- формуле D7.27) происходит равномерно в смысле, указанном в тео- теореме 1 п. 46.1. Несмотря на простоту вывода формулы D7.27) (достигнутую во многом за счет более сильных предположений), следует отме- отметить, что доказательство теоремы 1, приведенное в п. 46.1, идейно предпочтительнее, так как оно лучше раскрывает сущность вопроса, связанную с тем, что дифференцируемое отображение в малом достаточно хорошо аппроксимируется линейным отображением. 47.8. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Все кривые (контуры), рассматриваемые в этом пункте, будут всегда предполагаться кусочно-гладкими; для краткости это не будет каждый раз специально оговариваться. Отметим еще, что во всякой области G любые две ее точки все- всегда можно соединить кусочно-гладкой кривой, например ломаной (см. лемму 5 в п. 41.4), лежащей целиком в G. Пусть задана плоская область G и на ней определены непрерывные функции Р = = Р(х, у) и Q — Q(x, у). Рассмотрим вопрос о том, при выполнении каких условий криво- Рис. 194 линейный интеграл \ Pdx + Qdy при про- Тв извольно фиксированных точках ^gG hBgG не зависит от выбора кривой АВ, их соединяющей и лежащей в G. Лемма 2. Условие независимости рассматриваемого криволиней- криволинейного интеграла от указанного пути интегрирования равносильно равенству нулю интеграла по любому замкнутому контуру, лежа- лежащему в области G. Доказательство. 1. Действительно, пусть для любого замкнутого контура у cz G имеет место равенство $Р dx + Qdy = O, и даны две кривые (АВI и (/ШJ, соединяю- v щие в G точки А я В (еж. рис. 194). Обозначим через (ВАK
47,8. Условия независимости криволинейного интеграла 209 кривую, получающуюся из (АВJ заменой на ней ориентации на противоположную. Объединение (АВ)Х U (ВАJ кривых {АВ)г и (ВА)ъ является замкнутым контуром, поэтому $ Pdx + Qdy = 0; D7.28) ( is)i U (ВА)г но ( ab)i = ^ Pdx + Qdy- \ Pdx-i-Qdy. D7.29) Из D7.28) и D7.29) следует, что $ Pdx + Qdy= ^ (ab)i т. е. криволинейный интеграл ^ Р dx-\-Qdy не зависит от пути интегрирования /4S с: G при фиксированных Леб и BgG. 2. Обратно, пусть интеграл \Р dx-\-Qdy не зависит от пути интегрирования в указанном смысле и задан замкнутый контур у, лежащий в G. Выберем на нем две точки А и В ф А; тогда \+ I = $- $ =0, лв ?й Тв ( где (Л?I обозначает кривую, получающуюся из кривой ВА заме- заменой на ней ориентации на противоположную. ? Сформулируем критерий независимости интеграла от пути интегрирования. Теорема 3. Пусть функции Р (х, у) и Q(x, у) непрерывны в плоской области G. Для того чтобы криволинейный интеграл ^ Р dx-j-Qdy при фиксированных точках A^GuB^GHe зави- Тв ^ сел от пути интегрирования АВ a G, необходимо и достаточно, чтобы выражение Р dx-\-Q dy являлось полным дифференциалом некоторой функции и = и(х, у), определенной в области G: D7.30) (это равносильно тому, что^ = Р, ^" = Q, (x, y)^G). При выполнении этого условия для любых двух точек А = (х0, ft)GG и В~(хъ yjEG и любой кривой АВ, соеди-
210 §47. Криволинейные интегралы няющей эти точки в G : АВ с= G, имеет место тождество ^Pdx + Qdy^u (хъ У1) - и (х0> Уо). D7.31) АВ Доказательство необходимости условия D7.30). Допустим, что рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего в обла- области G, а только от его начальной и ко- конечной точек. Пусть Мо = (х0, у0) е G, М = (х, j/)eG и М0М — некоторая кусочно-гладкая кривая, соединяю- соединяющая в G точки Мо и М (такая кри- кривая, даже ломаная, всегда суще- существует, см. лемму 5 в п. 41.4). По- Положим Л? Рис.195 и(М) = и(х, у)М Функция и(х, у) однозначна, так как значение и(М) = и(х, у) не зависит от выбора кривой, соединяющей в G точки Мо и М. Покажем, что Зафиксируем точку М = (х, у), а точку Mh = (x + h, у) , О, выберем так, чтобы отрезок MMh, соединяющий М и Mh (который, очевидно, параллелен оси Ох и имеет длину \h\), содержался в G (рис. 195). Для всех достаточно малых чисел h такой выбор всегда можно сделать (почему?). Тогда имеем u(x + h, y)-u(x, #) = = 5 Pdx+Qdy- J Pdx + Qdy^ \ Pdx + Qdy. ^ MM MMh Вдоль отрезка MMh координата у постоянна, поэтому \ Qdy = O и, следовательно, и (х -J- h, у) — и (х, у) = $ Pdx=* MMh MM. x+h " = \ P (t, y) dt. Применив интегральную теорему о среднем, х получим u(x + h, у)-и(х, у) = Р(х + Ыг, y)h, откуда «<*+», У)-и(*,У) в р {х+ т> у)
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 211 Правая часть этого равенства в силу непрерывности. функции Р (х, у) имеет предел при /i->0, следовательно, и левая часть при й-*0 имеет предел. Перейдя к пределу в D7.32), будем- иметь *?*> = />(*, 0. Совершенно аналогично доказывается и равенство и ?' = <=Q(x, у). Итак, существование функции и (х, у), для которой имеет место соотношение D7.30), доказано. Пусть теперь A gG, В gG, AB — некоторая кривая, сое- соединяющая в G точки Л и 5, и пусть x = x(t), y = y(t), at^t^b — ее представление и, следовательно, А = (х(а), у (а)), В = (х(Ь), уф)). Тогда \ Pdx + Qdy=\{P[x(t), y(t)]x'(t) + Q[x(t), y(t)]y'(t)}dt = AB " Г [du(x(t),y(t))dx , du(x(t), y(i))dy]Jf J L dx dt + Ту Tt\M=s a s=\ut(x{t), y(t))dt = u[x(b), y(b)]-u[x(a), y{a)] = u{B)-u{A), a т. е. формула D7.31) также доказана. Доказательство достаточности условия D7.30) для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования непосредственно следует из формулы D7.31). Действительно, начальная точка любого замкнутого контура у совпадает с конеч- конечной, а поэтому в силу D7.31) Согласно лемме 2 это и означает независимость соответству- соответствующего криволинейного интеграла от пути интегрирования. Ц Заметим, что хотя доказанная теорема и дает необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, эти условия трудно проверяемы. Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно полу- получить существенно более простой и эффективный критерий. Введем следующее определение. Определение 8. Плоская область G называется односвязной, если, каков бы ни был простой контур у a G, ограниченная область Г, границей которой является у, содержится в G. Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Круг является примером односвязной области, круговое кольцо — неодносвязной (рис. 196).
212 § 47. Криволинейные интегралы Прежде чем формулировать другой критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, докажем лемму, которая понадобится при доказательстве этого критерия. Лемма 3. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области G,y — гладкая кривая, лежащая в G, х — х (t), y = y{t), a^t^b, — ее представление, т= {^}1-=о° — разбиение отрезка [a, b], kt —лома- —ломаная с вершинами в точках (x(ti), y(ti)), i = 0, 1, ..., /0 (см. п.16.5). Тогда lim J Pdx + Qdy=\Pdx + Qdy. D7.33) 6% Заметим, что в силу равномерной непрерывности на отрез- отрезке [а, Ь] функций х (t) и у {t) длины звеньев ломаной Кх, т. е. длины отрезков с вершинами в точках (*(*,--i). y(tt-i)) и (x(tt), y(t,)), при at-»-0 также стремятся к нулю. Доказательство. Кривая у явля- является компактом; поскольку этот компакт не пересекается с замкнутым множест- Рис 19б вом Rxy\G, то расстояние между ними больше нуля (см. лемму 7 п. 18.2). Пусть Ti — какое-либо число, такое, что Р(Т> Rxy\G) > т) >0. Обозначим через уп совокупность всех точек плоскости, находящихся от у на расстоянии, не большем, чем т). Множество уп ограничено, замкнуто (см. в п. 18.3 лемму 11) и В силу равномерной непрерывности функций x(t) и y(t) на отрезке [а, Ь] существует такое число бо>О, что для любых двух точек ? s [a, b] и t" e [а, Ь], удовлетворяющих условию | V — t" | < б0, выполняется неравенство р(ЛГ, М") = V[x (f) - х (t')f + [у it") - у (t')f < ть где M' = (x(t'), у (С)), ЛГ = (*(О. У(П) (сравнить с лем- леммой 4 в п. 41.4). Все точки отрезка с концами в точках М' и М", очевидно, также находятся от точки М' на расстоянии, не большем чем т] и поэтому лежат во множестве уп и, следова- следовательно, в G. Это означает, что если мелкость бх разбиения т отрезка [а, Ь] такова, что 8t ¦< б0> то все точки ломаной Кх лежат в G и для таких разбиений т имеет смысл интеграл J Pdx-\-Qdy. Рассмотрим интегралы § Р dx и \ Р dx. Положим v \ Xi = x(ti), yi = y{U), Pi = P(xh yt), Axi = xi-xi.1, i = l, 2, ..., i0, t=i
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 213 Как известно (см. п. 47.2, свойство 4), \ D7.34) Пусть, далее, Mi = (xh г/,) — вершины ломаной Яг; тогда $Pdx=2] S Pdx- D7-35> С другой стороны, заметим, что (употребляя обозначения из п. 47.2) $ dx = ^ cos a ds = \Mi-iMi\ cos a = Axit поэтому в,=2л^=2 5 ^d*- <47-36> Обозначив через Lx длину ломаной At, через 5 — длину кривой у, а через <о (б; Р) — модуль непрерывности функции Р (х, у) на компакте •уя и заметив, что в силу определения кривой: LS из D7.35) и D7.36) получим \Pdx-ox ^2 \ \P-Pi\dx Отсюда в силу равномерной непрерывности функции P(x, г/) на множестве уп имеем lim (\ Pdx — ox\ = Q, и, значит, в силу D7.34) lim ? Pdx = ^Pdx. D7.37) Аналогично доказывается и равенство lim \Qdy = \Qdy. D7.38) Из D7.37) и D7.38) непосредственно и следует утверждение леммы, т. е. формула D7.33). ? Замечание. Утверждение, аналогичное лемме, справедливо и для криволинейных интегралов в пространстве, причем дока- доказательство пространственного случая проводится по той же схеме, что и для плоского. Теорема 4. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны -, дР dQ вместе со своими частными производными ^- и ^— в плоской
214 §47. Криволинейные интегралы области G. Для того, чтобы криволинейный интеграл \ Pdx + Qdg при произвольно фиксированных точках Леб и В eG не зависел от пути интегрирования АВ с G, необходима, а если область G односвязна, — то и достаточно, чтобы во всех точках области G дР 6Q выполнялось равенство ^~ = ^-. Доказательство необходимости. Пусть рассматри- рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего в области G, а только от его начальной и конечной точек. Тогда согласно теореме 3 существует функция и = и(х, у) такая, что du — P dx + Qdy, т. е. такая, что ^ = Л щ — Q- Поскольку дР д2и дО д*и дР dj-dJd-х'й^дЧЬ-у и по Уровням теоремы производные ^ w дЬ дЧ дги ^р, а следовательно, и смешанные производные ^—j- и к—з- непре- непрерывны, то (см. гг. 21.1) они и равны, т. е. ;p=gj. Доказательство достаточности. Пусть теперь область G одно- связна и во всех ее точках g~ — g-- Если у — кусочно-гладкий простой замкнутый контур, лежащий в G, и Т>— ограниченная область, границей которой является у, то, применив формулу Грина (здесь используется односвязность области G), получим Если кривая у, лежащая в G, имеет конечное число точек самопересечения, то последовательно для каждой ее «петли» yk, k=\, 2, ..., k0, являющейся уже простым замкнутым конту- контуром1, в> силу доказанного имеем $ Р dx-\-Qdy = 0, откуда следует, что и для всей кривой у [Pdx + Qdy = 0. D7.39) v Переходя к рассмотрению общего случая-, обратим прежде всего внимание на то, что рассмотренным приемом равенств*» D7.39) доказывается и для случая, когда у является замкнутой конечнозвеннои ломаной. С геометрической точки зрения отличие состоит лишь в том, что самопересечение конечнозвеннои ломаной может состоять не только из конечного числа точек, но и конеч- конечного числа отрезков, что лишь незначительно усложняет рассужде- рассуждение. Возможность применения формулы Грина к конечной области, ограниченной конечнозвеннои ломаной, следует из того, что
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла S15 такую область можно разбить на треугольники, которые, оче- очевидно, являются элементарными ^ относительно -обеих' координата ных осей областями. Следовательно, в этом случае выполняются предпосылки теоремы 1 п. 47.3. Любая же замкнутая кусочно-гладкая кривая у, лежащая в G, может быть сколь угодно точно аппроксимирована замкну- замкнутыми конечнозвенными ломаными, поэтому предельным переходом равенство D7.39) может быть получено и для любой замкнутой кривой из й. Проделаем это. Пусть у — кусочно-гладкая замкнутая кривая в области G, заданная некоторым представлением г (t), a-s^ts^b, и являющаяся объединением тладких кривых уь ¦ ••>"?*¦ Впишгм в каждую кривую yf, / = 1, 2, .... к, ломаную Я,-. Объединение всех лома- ломаных Яу, / = 1, 2, ..., k, образует замкнутую ломаную Я, соответ- соответствующую некоторому разбиению т отрезка [а, Ь\. В силу дока- доказанного а, Но, согласно лемме, Нш \Pdx + Qdy= \Pdx + Qdy, / = 1, .... k, и, следовательно, lim поэтому 0. П r, dP dO -. , , Иногда условие g- = aj называют критерием полного диффе- дифференциала в односвязной области, поскольку согласно теоремам 3 и 4 это условие необходимо и достаточно для того, чтобы выра- выражение Pdx + Qdy в области G являлось дифференциалом некото- некоторой функции и{х, у), (х, у) eG. В заключение этого пункта отметим, что требование одно- односвязности рассматриваемой области при доказательстве достаточ- достаточности условий теоремы 4 для независимости кривояияейног® интеграла от пути интегрирования является существенным и его нельзя отбросить. Подтвердим это примером. Пример. Пусть Р(х, у)=— х2^у2 , Q(x, y)= ^^. Легко проверить, что
216 § 47. Криволинейные интегралы для всех точек плоскости, исключая начало координат @, 0). Это следует, например, из того, что D7.41) Таким образом, в этом случае за область G можно взять всю плоскость с «выколотым» началом координат: G — R2\{@, 0)}. Область G, очевидно, не односвязна. В качестве замкнутого контура возьмем единичную окружность Yo = {* = cost, y = sint, 0/2} тогда 2Я Vo V. О Следовательно, в этом случае условия D7.40) выполнены, и существует замкнутый контур у0, по которому интеграл не равен нулю. Нетрудно убедиться, что вообще по любой окружности уг радиуса г с центром в начале координат \Pdx + Qdy = 2n. D7.42) Далее, каков бы ни был простой кусочно-гладкий контур у, являющийся границей ограниченной области Г, содержащей начало координат (в этом случае говорят, что контур у содержит внутри себя начало координат), для него также \ 2n. D7.43) v Для доказательства этого возьмем окружность уг такого радиуса г, что угаТ; тогда 7 и Уг не пересекаются. Соединив контуры у и уг отрезками Хх и Я2, как показано на рис. 197,— получим два замкнутых контура уг и у2, не содержащих внутри себя начала координат и состоящих из дуг у'г и у" окружности уг, частей у' и у" контура у и отрезков кг и Я2. В силу условия D7.40) для этих контуров справедливы равен- равенства Сложив эти равенства и опустив для краткости подынтегральные выражения, получим (рис. 197): v2 v'+ 4 y'r~ Ч у"+ 4 1'r XT "S+S-J — S = S — y*± -у"-*- yfJf у"+ y+
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 217 Отсюда в силу D7.42) и следует D7.43). Более того, это равен- равенство выполняется и в случае, если контур у, обходя «один раз» вокруг начала координат, образует конечное число «петель», не охватывающих начало координат (рис. 198), ибо интеграл по этим петлям равен нулю. у Я7 \ ¦ > <-* -» >»¦ У —aj J г Рис. 197 Рис. 198 Если Мо — фиксированная точка рассматриваемой области G, jMogG, M^G, МйМ — какая-либо кривая, соединяющая в G точки Мо и М, то и(М)= \ Pdx + Qdy будет уже много- лим значной функцией, значения которой определяются выбором раз- различных путей, соединяющих точки Мо и М. Если Yo — какая-либо фиксированная кривая, соединяющая Мо и М, то все значения функции и в точке М задаются формулой n, n = 0, ±1, ±2, ... То — каждый обход вокруг начала координат изменяет значение функции и (М) на величину ±2я в зависимости от направления обхода. В данном случае в этом легко убедиться и непосредственно: из формулы D7.41) следует, что где поэтому Arctg—) —некоторое фиксированное значение Arctg —; X JQ X = Arctg -f. Вдумчивый читатель заметил, что многие рассуждения, про- проведенные в этом примере, не зависят от конкретного вида функ- функций Р и Q и являются справедливыми всегда, когда мы имеем
. 218 § 48. Несобственные кратные интегралы дело с одной изолированной «особой точкой», т. е; точкой, в кото- которой нарушается условие D7.40). Конечно, пр-и однократном «обходе» такой особой точки будет получаться не 2я, а, вообще говоря, какое-то другое число. Результат, аналогичный теореме 4, тшеет место и когда Y—' пространственная кривая (см. п. 52.6). Упражнения 10. Доказать формулу И, . . Г С (ди dv , ди dv\ , , , Г да , G О у\- где G — плоская область, для которой справедлива формула Грина, у— огра- ограничивающий ее контур, v — единичная внешняя нормаль к контуру у, а Д — оператор Лапласа (см. п. 41.10). 11. Вычислить интеграл \ 2 (х-{-у2) dx+Dx</ + cosу) dy, где Г— произвола г ная кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки A, 0) и (§, т)). 12. Пусть Г — произвольный простой замкнутый кусочно-гладкий контур, ограничивающий область, содержащую начало координат. Вычислить интеграл С ех \ при положительном направлении обхода контура Г. § 48. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 48.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Как и ранее для однократных интегралов, введем понятие несобственного кратного интеграла, т. е. кратного интеграла от функций, которые либо неограничены, либо определены на неогра- неограниченной области. Определение кратного несобственного интеграла сформулируем в таком виде, что оно будет охватывать оба ука- указанных случая (ср. с п. 33.1). Определение 1. Пусть G —открытое множество {ограниченнее или неограниченное) в п-мерном пространстве Rn. Последователь- Последовательность открытых множеств Gk, k=\, 2, ..., будем называть последовательностью, монотонно исчерпывающей открытое множв' ство Gx если: 1) GkczQM, k=\, 2, ...; оо 2) U Gk = G. k= i Здесь G, как всегда, означает замыкание (см. п. 18.2) мно- множества G. Определение 2. Пусть на открытом множестве G задана функция f (ограниченная или неограниченная), интегрируемая по Римаму на любом измеримом по Жордану открытом множестве D,
48.1. Основные определения 219 таком, что D aG. Функция f называется интегрируемой в несоб- несобственном смысле на открытом, множестве G, если для любой после- последовательности открытых измеримых множеств Gk, А = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество G, существует предел lim [fdGk, не зависящий от выбора указанной последовательно- k—>оо cmuGk, k=l, 2, Этот предел называется несобственным интегралом от функ- функции f по открытому множеству G и обозначается через ^fdG, или белее подробно^ \\\(ъ х2, . о Таким образом, \fdG= Wm\fdGk. D8.1) k*оо k—*-оо Если интеграл \f dG существует, то говорят также, что он сходится, а в противном случае —что он расходится. Следует заметить, что в случае п=1 данное определение несобственного интеграла не эквивалентно определению несобст- несобственного интеграла от функции одного переменного, данного в § 33. Это связано с тем, что. в указанном параграфе мы в качестве множеств Gk брали лишь интервалы, т. е. одномерные открытые измеримые множества весьма специального вида. Поэтому введен- введенное в настоящем параграфе понятие несобственного интеграла D8.1) будем применять только в случае п^ 2, сохранив для случая п = 1 прежнее понятие несобственного интеграла. Если открытое множество G измеримо по Жордаиу и функ- функция / интегрируема на G, то несобственный интеграл от функции / совпадает с обычным интегралом Римана, — это следует из полной аддитивности интеграла Римана (см. п. 44.6). Определение D8% 1) позволяет перенести на несобственные интегралы ряд свойств собственных интегралов: аддитивность интеграла по множествам, линейность интеграла, интегрирование неравенств, сведение кратного интеграла к повторному, формулу замены переменного и др. Например, если х = F (и) — непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное отображение открытого множества D с: R" на открытое множество G с: Rnx и якобиан / («) этого отображения нигде не обращается в ноль на D, то для любой непрерывной на G функции f справедлива формула замены переменного в интеграле:
220 § 48. Несобственные кратные интегралы Доказать это можно точно так же, как доказана теорема 2' в п. 46.2; следует только вместо полной аддитивности интеграла использовать определение D8.1). Используя аддитивность несобственного кратного интеграла, определение D8.1) можно переписать в другом эквивалентном виде. Замечая, что для измеримого открытого множества FcG справедливо равенство S/dG-$/dr = $fd(G\f), D8.2) можно сказать, что интеграл \f dG сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности измеримых открытых множеств Gk, k = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество G, существуют интегралы ^fd(G\Gk) и Упражнение 1. Доказать формулу D8.2); в частности, показать, что интегралы ^fdG и ^fd(G\f) одновременно сходятся или расходятся. 48.2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Теорема 1. Пусть функция f неотрицательна на открытом множестве G a Rn. Тогда, какова бы ни была последовательность {Gk} открытых измеримых по Жордану множеств Gk, монотонно исчерпывающих множество G, предел Vim \f(x)dG, D8.3) ft-»oo конечный или равный + оэ, всегда существует. Если он конечен, то интеграл ^f(x)dG существует, и, следо- следовательно, предел D8.3) равен этому интегралу, если же предел D8.3) бесконечен, то интеграл \f(x)dG не существует. В последнем случае пишут ^ f (x) dG —-\-оо. Это оправдывается тем» что в силу сформулированной теоремы для любой другой последовательности {Dk} открытых измеримых множеств Dk, монотонно исчерпывающих множеств G, имеем lim \f{x) dDk = +оо. Доказательство. Очевидно, что теорема будет доказана, если показать, что в предположении неотрицательности функции f на открытом множестве G для любой монотонно исчерпывающей область G последовательности измеримых множеств Gk, & = 1, 2,... существует конечный или бесконечный предел и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности.
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 221 Пусть Gk, k — \, 2, .... — последовательность измеримых мно- множеств, монотонно исчерпывающая открытое множество G. Тогда, согласно определению такой последовательности, Gk с: Gk+i, а так как /ЗгО, то $/dGk^\fdG^i, k = \, 2,... и, следовательно, всегда существует конечный или бесконечный предел Пусть теперь Dk, k = 1, 2, ..., — какая-либо другая последо- последовательность измеримых множеств, монотонно исчерпывающая открытое множество G. В силу доказанного выше существует конечный или бесконечный предел lim \fdDk = I2. Покажем, что /i = /.. D8.4) Для любого фиксированного элемента Gk первой последователь- последовательности существует номер k0 = k0 (k) такой, что GkczDko. D8.5) В самом деле, если бы указанного номера k0 не нашлось, то для любого натурального /л = 1, 2, ..., существовала бы точка x{m) e <=Gk\Dm. Открытое множество Gk, будучи измеримыми по Жор- дану, является ограниченным, поэтому его замыкание Gk представ- представляет собой замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт. В силу его ограниченности последовательность {х(т)} также огра- ограничена и, следовательно, согласно теореме Больцано — Вейершт- расса (см. п. 18.1, теорему 2), из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {jcC'v)}. Если х@) = lim х(т^, то из зам- _ V-*+co кнутости множества Gk вытекает, что xw еО4 и потому х0 е G. Но тогда в силу свойства 2 монотонно исчерпывающих последо- последовательностей (см. определение 1) найдется номер пг0 такой, что Дпоэл;(о!. Поскольку Dmo — открытое множество, то оно является окрестностью точки xw и, следовательно, содержит почти все точки сходящейся к л;@) последовательности {л;('п^}. Обозначим через v0 какой-либо такой номер, что mVo^m0 и хР"^ЕОт„ Тогда в силу свойства 1 монотонно исчерпывающих последова- последовательностей х^1^ е Dmv , но поскольку x(mv») e Gk, то это проти- противоречит выбору последовательности {x(m)}. Тем самым существова- существование указанного выше (см. D8.5)) номера k0 доказано (впрочем, его существование следует также непосредственно из леммы Гейне —Бореля, см. п. 18.3, так как система {Dk} образует откры- открытое покрытие компакта Gk).
222 § 48. Несобственные кратные интегралы Теперь заметим, что в силу условия /:>= 0 из включения D8.5) вытекает', что $ f dGk e? $ / dDkll. Но, очевидно, \ f dDka s? /2, поэтому при любом k — 1, 2, ... Перейдя в этом неравенстве к пределу при k-+co, получим Подобным же образом доказывается и неравенство /iS=/2. Q Пример. Рассмотрим интеграл I = §e~xt~ytdxdy. Положим Gk — {(x, у): x2-f-*/2<&2}. k = \, 2 Эта последовательность является последовательностью открытых квадрируемых множеств (в данном случае просто кругов), монотонно исчерпывающей всю плоскость R2. Пусть Ik = ^ егхг-Уг dxdy. Перейдем к полярным координатам: е* 2Л k Gk Ь О Отсюда, согласно определению D8.1), / = lim Ik = п. D8.6) Формула D8.6) позволяет найти величину интеграла +00 ^ erx*dx, —со называемого интегралом Пуассона*} и часто встречающегося в приложениях. Действительно, обозначая через Dk квадрат |х|==?&, \y\'^k, k=\, 2, ..., и применив к интегралу по Dk от функции е~х*~у2 формулу сведения кратного интеграла к повтор- повторному (см. п. 45.1), получим ft-»OO fe k k Ik \ lim ? dx \ e~*t-»*dxdy= lim \ \ erx*dx) Ik у /+оо \а- lira (у е~* dx U| e-*dx\. *» С. Пуассон A781 —1840) —французский физик и математик.
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 22Э Поэтому из D8.6) сразу следует, что Теорема 2 (признак сравнения). Пусть на открытом множе- множестве G выполняются неравенства 0«c/(x)sgg-(x), xeG. Тогда из сходимости интеграла § g (x) dG следует сходимость интеграла $ / (х) dG, а из расходимости интеграла § / (х) dG следует расходи- расходимость интеграла ^ g (x) dG. Эта теорема доказывается аналогично подобной теореме в одномерном случае (см. п. 33.3). В качестве примеров и эталонов для сравнения с другими интегралами рассмотрим интегралы D8.7) dXl...dxn D8.8) )a' Первый интеграл берется по внешности единичного шара; вто- второй — по его внутренности. Для исследования этих интегралов удобно ввести сферические координаты р, <pb ..., <рл_х в я-мерном пространстве. Они вводят- вводятся по формулам Х\ = р COS ф„_! COS ф„_2 ... COS ф2 COS <pi, х2 = р cos ф„_! cos ф„_2 • • • cos ф2 sin фх х3 = р cos фл_х cos ф„_2... cos фз sin <p2, Xt = р cos фя_!... cos фг sin ф;_х, D8.9) где я -~<Ф/<|, / = 2, 3, С помощью этих формул декартовым координатам хх, ¦ ¦ ¦, хп точки пространства сопоставляются сферические координаты р, Фь ..., ф„_ь и обратно. При этом следует иметь в виду, что, подобно полярным координатам на плоскости, здесь не существует полного взаимно однозначного соответствия между множествами п чисел (хь ..., х„) и (р, Фь ¦ ¦ ¦, Фя-i). Отметим, что р = YA + -.-+х%.
224 § 48. Несобственные кратные интегралы Элементарными, но несколько громоздкими вычислениями, которые не будем здесь приводить, можно показать, что якобиан этого преобразования имеет вид xu.'.:Xi) = рп~г cos ^со$г ?з • • •cosn ^ Положим для краткости Ф (ф2, • • •, фя-l) = COS ф2 COS2 ф3 . . . COS"-2 ф„-1. Легко убедиться, что Ф(ф2, ..., фя-^З^О и что 2я nil nil с==5 \ ••• S ф(ф2..-Ф«-1)с?ф1..-Жр™-1>0. О — я/2 — я/2 Это сразу следует из свойства 9 кратных интегралов в п. 44.6. Исследуем теперь сходимость интеграла D8.7). В качестве последовательности открытых измеримых множеств Gk, ?=1,2,..., монотонно исчерпывающей внешность единичного шара Q, возьмем последовательность множеств Gk = [х = (р, фь .... Фя-i): 1 + -?- < Р < Перейдем к сферическим координатам: k 2я Я/2 я/2 ==5 \ \ ... \ Р"-Х-аФ (ф2, .... фл-1. , 1_ О —Я/2 —я/2 Таким образом, вопрос о сходимости интеграла D8.7) свелся оо к сходимости интеграла J рга~1~аф, который, как известно (см. 1 п. 33.3), сходится при л—1—а<—1, т. е. при а>п, и расхо- расходится при а^п. Итак, доказана следующая лемма. Лемма 1. Интеграл D8.7) сходится, если а больше размерности пространства, и расходится в противном случае. Рассмотрим теперь интеграл D8.8). Положив !--?-}, ? = 3, 4, ....
48.2. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак 225 получим ¦-; "i ~2я 0 ... dx n 2 Л ~ 2 it n) я ? я "~ 2 ~ЙФ (ф2. • • • . фл- Таким образом, вопрос о сходимости интеграла D8.8) свелся к сходимости интеграла § р"-1-" ф. Этот интеграл, как известно, о сходится, если п—1—а> —1, т. е. если а<п, и расходится в противном случае. Полученный результат сформулируем снова в виде леммы. Лемма 2. Интеграл D8.8) сходится, если а меньше размер- размерности пространства, и расходится в противном случае. Подобно одномерному случаю (см. п. 33.3) с помощью интег- интегралов D8.7) и D8.8) можно сформулировать критерии сходимости несобственных кратных интегралов, однако мы не будем на этом подробно останавливаться. 48.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, МЕНЯЮЩИХ ЗНАК Определение 3. Несобственный интеграл $ / dG называется абсо- абсолютно сходящимся, если сходится интеграл §j/|dG. Для изучения абсолютной сходимости интеграла от функции / (л;) нам будут полезны функции {x)' если fW^0> f (x) = f—f№' если /(*)<°. 0, если /(x)<0, '~( ' \ 0, если/(х)>0. Легко видеть, что и = Щ±, f.=lUj±. D8.10) 0<М*)<|/(*)|, 0</_(х)<|/(*)|, D8.11) /(*) = /+(*)-/-(*), \f(x)\ = U(x) + f-(x). D8.12) Из формул D8.10) следует, что если функция / интегрируема, по Риману, на некоторой измеримой по Жордану области, то и функции /+ и /L интегрируемы по Риману на этой области; из 8 Кудрявцев Л. Д. т. 2
226 § 48. Несобственные кратные интегралы первой формулы D8.12) следует обратное утверждение. Поэтому из D8.10)— D8.12) следует, что интеграл \fdG абсолютно схо- сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы ]f+dG и Как и в случае несобственных интегралов от функции одного переменного, из абсолютной сходимости кратного интеграла сле- следует его сходимость (при этом, конечно, рассматриваются только такие функции, которые интегрируемы на каждом открытом измеримом множестве, содержащемся вместе со своим замыканием в открытом множестве, по которому производится интегрирова- интегрирование). Это сразу получается на основании формул D8.11), первой формулы D8.12) и из теоремы 2 настоящего параграфа (см. п. 48.2). Однако для кратных несобственных интегралов спра- справедлива и обратная теорема. Теорема 3. Если кратный интеграл \f dG (яЭ=2) сходится* то он и абсолютно сходится. Эта неожиданная на первый взгляд теорема связана с отли- отличием определения несобственных интегралов от функции одного и п переменных (я>1), указанных в начале этого параграфа*). Доказательство теоремы. Пусть интеграл \\ dG абсо- абсолютно расходится, т. е. для некоторой (а значит и для всякой, см. теорему 1 в п. 48.2) последовательности открытых измери- измеримых по Жордану множеств Gk, k=\, 2, ..., монотонно исчер- исчерпывающей открытое множество G, имеем lim S, \f\dGk — -\-oo. k—>со Без ограничения общности (переходя, если надо, к подпоследо- подпоследовательности) можно предполагать, что l\f\dGk+1>3\\f\dGk + 2k, k=l, 2 D8.13) Пусть Ak = Gkir^\Gk; тогда Ak — открытое измеримое множе- множество, и так как GhaGk+1, то (рис. 199) Gk+1==Ak\JGk, и, сле- следовательно, *' Отметим, однако, что можно было бы и в л-мерном случае получить ту же связь между сходимостью и абсолютной сходимостью интеграла, что и в одномерном случае, если соответствующим образом ввести определение несобственного n-кратного интеграла. Например, в случае интегралов по всему пространству для этого достаточно в определении интеграла в качестве эле- элементов монотонно исчерпывающей последовательности брать только п-мерные шары с центром в начале координат. Впрочем, если применить к одномерному интегралу определение несобственного интеграла, данное в п. 48.1, и понимать одномерный интеграл Римана в смысле § 44, то теорема 3 вместе с ее доказа- доказательством будет справедливой и нри я=1.
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак 227 Отсюда в силу неравенства D8.13) § |/| dAk>2 [ |/| dGkJr2k. Используя вторую формулу D8.12), получим Пусть для определенности и, следовательно, тогда D8.14) Нашей целью является получение неравенства подобного типа не для функции /+, а для функции /. Для этого, казалось бы, можно просто отбросить точки, в которых функция /+ обращается в ноль; тогда на оставшемся множестве мы имели бы / = /+. Однако получившееся множество может, вообще говоря, оказаться неизмеримым, а поэтому мы будем действовать несколько обходным путем. Из неравенства D8.14) следует, что при любом достаточно мелком разбиении т = = {?,}t=i° множества Ak (см. п. 44.3) для любой интегральной суммы Римана имеем JS /+ (|,) V.E, > ^ | /! dGk + k, t^ 1 Ь ^Eh i = 1, 2, ..., /о- Выберем указанное разбиение т открытого измеримого множе- множества Ak таким, чтобы все элементы ?,• этого разбиения также были открытыми измеримыми по Жордану множествами — это всегда возможно (см. п. 44.4). Обозначим через Е* те множества Ei е т, для которых f+ (|) > 0 во всех точках | е ?,-; тогда, выбирая 1г^Е{фЕ* так, что /(?;) = 0, получим D8.15) где (а также и в дальнейшем) знак «штрих» у суммы означает, что суммирование распространяется только на те индексы i, для которых Ei = Ef. Положим ?A = (J'?* (см. рис. 199). Очевидно, i что Bk — открытое измеримое множество, лежащее во множе- множестве Ak, а т* = [Ef} является его разбиением. На замыкании этого множества /+>0 и, следовательно, /+ = /. Из неравенства D8.15) следует., что для нижней суммы Дарбу Sx* функции f на 8*
228 § 49. Некоторые приложения кратных интегралов множестве Bk справедливо неравенство sT* 5э § / dGk + k. Отсюда, очевидно, следует, что . D8.16) Заметим, что /Ss—|/| и, следовательно, \fdGk^-\\f\dGk. D8.17) Сложив неравенства D8.16) и D8.17) получим: \\k. D8.18) Пусть Dk = Bk[]Gk, k = \, 2, Очевидно Dk — открытое измеримое множество и G*cD,cGft+1, * = 1, 2, .... D8.19) В силу того, что множества Bk и Gft не пересекаются (так как не пересекаются множества Ak и Gfe) из D8.18) имеем J/dDk^ ^zk, откуда lim ^/dDA = + oo. D8.20) fc-*oo J Из включения D8.19) следует, что множества Dk, k=\, 2, ..., образуют последовательность измеримых открытых множеств, монотонно исчерпывающую открытоз множество G, ибо таковой являлась заданная последовательность Gk, k=\, 2, ..., поэтому равенство D8.20) означает, что интеграл \fdG расходится. Ц Итак, для кратных интегралов сходимость несобственного интеграла ^fdG эквивалентна его абсолютной сходимости. Упражнение 2. Заменив в определении кратного несобственного инте- интеграла всюду открытые множества областями (в частности, рассматривая только монотонно исчерпывающие данную область последовательности, состоящие только из измеримых областей), покачать, что и при таком «более узком» определении кратного несобственного интеграла сохраняется теорема 3. § 49. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 49.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ Пусть Е — измеримое множество в Rn. Как известно (см. п. 44.6). ji? = $d?. D9.1) Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в я-мерном пространстве (площадь —
49.1. Вычисление площадей и объемов 229 в двумерном, объем —в трехмерном). Если л-кратный интеграл D9.1) можно свести к повторному (см. § 45), то вычисление меры измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычи- вычислению (я —1)-кратного интеграла. Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (л — 1)- мерном пространстве Rx~\.,*nl, *» = /(Xi, ..., хп.х) - неотрица- неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании D множества D, а G = {* = (*!, .... хп):(хг xn_i)<=D, 0<xn<f(xu ..., хп^)} (таким образом, G является л-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции, рассмотренной нами в п. 32.1). Тогда fiG^dG^dD \ dxn=\f(xu...,xn-.1)dD, о т. е. л—1 раз = \ ... \ f {хъ ..., xn-i)dxy... dxn-t. Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану) в частности неограниченных, открытых множеств пространства Rn, п 5; 2, если ее понимать в смысле определения п. 31.1 и 31.2, т. е. как нижнюю меру Жордана, можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть G — произволь- произвольное открытое множество в R" и Gk, k — \, 2, ..., — последова- последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпываю- исчерпывающих множество G (см. п. 48.1). Тогда, как известно (см. п. 31.2), lim yiGk = \iG. Но в силу D9.1) \iGk = \dGk, а поэтому ;xG == ft-> со = lim \dGk. По определению же кратного несобственного интеграла, lim \dGk = \dG. Таким образом ^G = ^fdG, где интеграл в пра- k k k +О0 вой части понимается, вообще говоря (а именно, если G не явля- является измеримой областью), как несобственный. Остается лишь показать, что для любого открытого множе- множества G всегда существует последовательность измеримых мно- множеств Gk, k—l, 2, ..., монотонно исчерпывающая заданное множество G. Докажем это. Рассмотрим последовательность Tk, k—l, ..., разбиений про- пространства Rn на кубы (см. п. 44.1) и обозначим через Qk л-мер- ный открытый куб, определяемый следующим образом: xn):\Xi\<k, f=l, 2 л}.
230 § 49. Некоторые приложения кратных интегралов Число кубов данного ранга k (см. п. 44.1), содержащихся в Qk, а следовательно, и подавно в пересечении G П Qk, конечно. Обо- Обозначим эти замкнутые кубы Ръ ..., Pjk\ P,<=Tk; Pj<^G[\Qk, /=1,2,...,/*. Через Gft обозначим множество внутренних точек множества 'k У Pj. Например, в случае, изображенном /= 1 на рис. 200, множество Gk состоит из внут- внутренних точек двух квадратов Рг и Я2 и ин- интервала, получающегося отбрасыванием вер- вершин этих квадратов из их общего ребра. Множества Gk, k=\, 2, ..., и являются открытыми измеримыми множествами, обра- образующими последовательность, монотонно ис- исчерпывающую данное открытое множество G. Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сече- нии: см. формулу D5.23). Упражнение 1. Доказать, что построенная последовательность множеств G^, k=l, 2, ..., дейст- действительно образует последовательность измеримых множеств, монотонно исчер- исчерпывающих данное множество G. 49.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С помощью кратных интегралов можно вычислить различные физические величины: массу и заряд тела, центр тяжести, момент инерции, поток жидкости, потенциал тела и т. п. Найдем в качестве примера центр тяжести плоской фигуры. Пусть в некоторой квадрируемой области G распределена неко- некоторая масса, вообще говоря, с переменной поверхностной плот- плотностью р (х, у), т. е. на замыкании G области G задана некото- некоторая неотрицательная и непрерывная функция р(х, у). Область G с распределенной в ней массой будем называть фигурой S, а величину М = Цр(х, y)dxdy D9.2) Рис. 200 — ее массой. Если p(.v, у) — не тождественный ноль, то М>0. Определим и найдем центр тяжести фигуры 5. Возьмем какое- либо разбиение t = {G,}, t = l, 2, ..., k, области G (см. п. 44.3). Множество G,- с распределенной в нем массой плотности р(х, у), (х, у) е G/, назовем фигурой S{. Выберем по некоторой точке (&, т),-) е G,-. Величину m; = p(|,-, T]r) \iGt назовем приближенным значением массы фигуры St (естественность такого названия еле-
49.2. Физические приложения кратных интегралов 231 дует из формулы D9.2)). Величины же т,-& и т,-т),- назовем при- приближенными значениями статических моментов фигуры Sh i = = 1, 2, ..., &, соответственно относительно координатных осей Оу и Ох (естественность этого названия следует из того, что статическими моментами материальной точки массы m с коорди- координатами (х, у) относительно осей Ох и Оу называются величины ту и тх, см. п. 32.6). Наконец, величины D9-3) назовем приближенными т-моментами фигуры 5 относительно осей Ох и Оу, а их пределы при 8т~»-0 1 im Sx (т) = SX, lim Sy (т) = Sy — статическими моментами фигуры S относительно осей Ох и Оу. Эти пределы при сделанных предположениях существуют. Действительно, из формул D9.3) видно, что Sx(x) и Sy(x) явля- являются интегральными суммами Римана для функций ур (х, у) и хр (х, у), а потому Sx =\\ур(х, у) dx dy, Sy = ^ \ хр (х, y)dxdy. D9.4) а а Определение 1. Точка (х0, у0) называется центром тяжести (центром масс, центром инерции) фигуры S, если статические моменты относительно координатных осей материальной точки массы М, равной массе всей фигуры S и находящейся в точке (Хо, Уо) равны соответствующим статическим моментам фигуры S, т. е. если Мх0 = Sy, Му0 = Sx. Из формул D9.2) и D9.3) получаем f f хр (х, у) dx dy \ \ ур (х, у) dx dy r _'G .._*<? Упражнение 2. Доказать, что центр тяжести фигуры не зависит от выбора системы координат. В качестве примера рассмотрим «криволинейную трапецию» G, порожденную графиками непрерывных неотрицательных функций f{x) и g(x), 0<g(*)eS/(*). a^x^b: G = {(.v, y):a<x<b, g(x)<y<f(x)}.
232 § 50. Элементы теории поверхностей Пусть р (х, #) = 1. Поскольку J J dx dy = \iG, то G f(x) J a g\x) a Ь f (x) b G a ? U) отсюда b b 2nyo\iG — n\fi{x)dx — n\g2{x)dx. a a Здесь в правой части равенства стоит объем тела, получен- полученного вращением криволинейной трапеции G вокруг оси х-в; — мы пришли ко втор ой теореме Гульдина. Теорема (Гульдин). Объем тела вращения плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры. Пример. Вычислим с помощью второй теоремы Гульдина объем jxQ тора Q, полученного вращением круга (х — af-\-у* ¦¦ О < г sg а вокруг оси Оу: Упражнения. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями: 3. </2 = 2х, *+4г = 4, у3=1; р(х, у)=х+у. 4. у = 2х, #=—2, у=4х-2; р(х, у) = 2\х\ + \у\. Найти статические моменты относительно осей координат однородной плоской фигуры (р = ро = const), ограниченной заданными линиями: 5. у2 = 4х, х + у^=3, х = 0. 6. у=х3, х + у = 2, х = 0. Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной указанными линиями: 7. x2-f</2 = 4, jc2 + i/2=1, y^sQ; p = p0 = const. 8. у* = 4х, у = 2, x=0; p(x, y) = x. 9. r — V2, r = 2 БШф @г?ф??я/2, r^Vty, p = p0=const (г, ф — поляр- полярные координаты). 10. x = acos>t, y — asin3t, y=Q (Osg^sgn), p = p0 = const. § 50. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 50.1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ Пусть в пространстве R3 фиксирована декартова система координат х, у, г. Декартовы координаты в плоскостях, в кото- которых лежат отображаемые области, будем обозначать буквами и, v, сами эти области — буквой D, рассматриваемые их отображе- отображения — буквами /, г, р (быть может, с теми или иными индексами),
50.1. Понятие поверхности 233 Как обычно, через D будем обозначать замыкание области D (напомним, что D называется замкнутой областью), а через dD— ее границу (см. п. 18.2). Для образов точек М = (и, ti)eD при указанных отображениях будет употребляться как запись вида f{M), так и вида f(u, v). Непрерывной поверхностью S называется всякое множество точек трехмерного пространства R3, заданное как непрерывный образ некоторой замкнутой плоской области D. Само рассматри- рассматриваемое непрерывное отображение г (и, v) замкнутой области D на множество S называется представлением поверхности (или, подробнее, параметрическим представлением) и пишется S ={/-(«, о): (и. v)e=D]. Переменные и, v называются координатами, или параметрами, непрерывной поверхности S. Для непрерывной поверхности S = {/¦ = /¦ (и, v):(u, c)eD} множество точек пространства R3, заданное как образ границы dD области D при отображении г (и, v), называется краем поверхности S и обозначается через dS: dS={r(u, v):(u, v)edD}. По аналогии с определением кривой можно ввести понятие эквивалентных отображений, но на этот раз не отрезков, а отобра- отображений замкнутых плоских областей в трехмерное пространство R3, и считать по определению, что два эквивалентных непрерывных отображения задают одну и ту же непрерывную поверхность (см. п. 50.2*). Отображения, осуществляющие эквивалентность двух представлений одной и той же поверхности, называются допустимыми преобразованиями параметров. При заданном представлении г (и, v), (и, v) e D, некоторой непрерывной поверхности и при фиксированных значениях пара- параметров и, v через г (и, v), естественно, обозначается точка этой поверхности, в которую npji рассматриваемом представлении отображается точка (и, v) e D. Подчеркнем, что представление непрерывной поверхности не является обязательно взаимно однозначным отображением. Точка непрерывной поверхности 5 = {r(w, v)\ (и, o)efl}, в которую при данном отображении г (и, v) отображаются по крайней мере две различные точки замкнутой области D, называется кратной точкой, или точкой самопересечения этой поверхности. Таким образом, если точка М непрерывной поверхности является кратной точкой последней, то при заданном представлении г (и, v), (и, и)еД этой поверхности существуют по крайней мере две такие точки (ыь а^еОи (ы3, v2) e D, что г (ии t»i) = г (и2, о2) = М- Отображение' г (и, v) можно задавать в координатном виде: г (и, v) = (x(u, v), у (и, v), z(u, v))
234 § 50. Элементы теории поверхностей и в векторном: r = r(u, v), где г (и, v) — радиус-вектор с концом в точке г (и, v) e R3. В дальнейшем будут изучаться прежде всего дифференциаль- дифференциальные свойства поверхностей определенных классов, состоящих из «достаточно гладких», т. е. достаточное число раз (непрерывно) дифференцируемых поверхностей. Определим, например, понятие непрерывно дифференцируемой поверхности. Непрерывно дифференцируемой поверхностью называется мно- множество 5 пространства R3, заданное как непрерывно дифферен- дифференцируемый образ некоторой замкнутой плоской области. Само рассматриваемое непрерывно дифференцируемое отобра- отображение замкнутой области D на множество S называется, как и выше, представлением этой поверхности, причем, по определению, считается, что два непрерывно дифференцируемых отображения замкнутых плоских областей задают одну и ту же непрерывно диф- дифференцируемую поверхность, если они эквивалентны относительно непрерывно дифференцируемых преобразований (см. п. 50.2*). Аналогичным образом определяются и другие специальные классы непрерывных поверхностей: дважды непрерывно диффе- дифференцируемые поверхности и вообще п раз непрерывно дифферен- дифференцируемые поверхности. Если за параметры в одном из представлений непрерывной поверхности можно взять какие-либо две координаты простран- пространства R3 (например, если существует замкнутая область D на пло- плоскости ху и функция » = /(*, у), (х, y)^D, являющаяся пред- представлением рассматриваемой непрерывной поверхности), то такое представление называется явным. Очевидно, что если непрерывная поверхность допускает явное представление, то она не имеет кратных точек. В дальнейшем непрерывную поверхность там, где это не смо- сможет привести к недоразумениям, будем называть просто поверх- поверхностью. Пример. Поверхность, задаваемая представлением # = /-cosi|)cosq>, # = является сферой с центром в начале координат и радиусом г, у которой весь меридиан q> = 0 состоит из кратных точек. В следующем пункте будет дано другое, в некотором смысле более детализированное, определение поверхности. Целесообразно, видимо, при первом чтении пропу