вен χ
Пролетарии всех стран, соединяйте^!
Главное горно-топливное управление СССР
.і.
Библиотека „Горного журнала1'
ПРОТОДЬЯКОНОВ М. М-, проф.
г:,
у
ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД
РУДНИЧНОЕ КРЕПЛЕНИЕ
Часть первая
Давление горных пород
С 110 фигурами в тексте
д*ц^
Государственное Техническое Издательство
Москва

Ші
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ
' НАУЧ*1-ТЕл ■ :ИЧЕГ ' ■
і І^Т.и>Т.-.д,.» СГіС
во
и
ыъ4
Глазлпт № А—47201 Звкав К 504. 1930 г. Тираж 4100 эка. б и. л.
Типография „Красный Печатник" Гостехнвдата. Ленинград, Международный, 75.

ι
Давление горных пород.
ГЛАВА I.
Явления в породах при
проведении горных выработок.
§ 1. В породах, составляющих кору
земли, вышележащие слои давят своим
весом на нижележащие, вызывая тем
самый в них некоторое напряженное соетоя-
„ ние. Обычно, давление и возникающие
силы упругости находятся, конечно, в
равновесии, но проведение горных выработок
нарушает его. В окружающих породах
начинаются деформации, возникают новые
напряжения, которые могут дойти до
такой степени, что породы начнут
разрушаться, грозя опасностью работам. Могут
произойти обвалы, трещины и проч. как
в саиой выработке, так и в вышележащих
слоях, доходящие иногда до дневной
поверхности. Предохранить горные выработки
от вредных последствий подобных
явление—составляет задачу рудничного
крепления. Влияние же деформирующихся
пород на крепь выражается давлением на
нее'.
§ 2. Наблюдаемые при этом явления
находятся в непосредственной зависимости
прежде всего от характера породи.
Если выработка проведена в породе очень
крепкой, например, в крепком сплошном
песчанике, или имеет очень малые размеры,
как выкопанная в глине пещерка, то,
вообще говоря, мы не замечаем никаких
видимых проявлений давления: выработка
стоит неограниченное время в том
виде, как ее провели, без всяких іо-
менериы. Можно даже сказать, что в любой
породе, сколько нибудь связной, при
известных размерах и определенных
условиях потолок выработки будет держаться
сам собою, не оказывая никакого давления
на подставленную крепь.
,. Но если породы не столь крепки или
размеры выработки достаточно велики, то
начийается постепенное разрушение.
Сильнее всего оно обыкновенно обнаруживается
в кровле: иногда слышится треск,
появляются трещины (фиг. 1), могут выпадать
куски, кровля может оседать, прогибаться,
может происходить отслаивание и т. п.
Обстоятельством "этим даже пользуются
в качестве признака, по которому можно
обнаружить грозящее обрушение: рабочий
молотком стучит по породе - если звук
получается ясный, звонкий, то порода,
значит, держится крепко, еелн же звук
получается глухой («порода бунит»), то,
следовательно, имеется растрескивание и
отслаивание, и надо принимать
предупредительные меры.
Фиг. 1.
Ж на боках выработки можно бывает
видеть влияние давления: бока как бы
раздавливаются, порода трескается и
разрыхляется, может быть заметно
выпучивание и отслаивание и т. д.
Таким образом, как правгио,
прилегающие к выработке породи наяи-
на/іот разбиваться на части, которые
стремятся упасть в выработку.
§ 3. Если предоставить разрушению
развиваться дальше, то постепенно, по мере
ι*

4
ЧАСТЬ 1. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД,
обрушения отделившихся кусков, очертания
выработки изменяются: в потолке
образуется как бы свод, а бока, если она
достаточно слабы, скашиваются и
внутрь свода (фиг. 7). Могут выгибаться
также и слоистые породы, если они
подработаны на значительном протяжении, как
это бывает, например, в очистных
работах (фиг. 8), садясь на почву выработки
или на закладку, и т. д.
§ 4. Происходящие явления нетрудно
воспроизвести на опыте. Чтобы получить
свод, достаточно в ящик наложить сырого
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Фиг. 4.
могут принять несколько
расширенную кверху форму (фиг. 2).
Такова фигура естественного
равновесия. Б зависимости от обстоятельств она
изменяется. Если бока не раздавливаются.
песку, а в дне ящика сделать вырез,
закрытый сперва пластинкой; если затем ее
отнять, то часть песка вывалится,
оставшись на пластинке, а над отверстием
образуется совершенно отчетливый свод
Фнг. 5-
Фпг. в.
Фиг. 7.
свод образуется только в кровле (фиг. 3). (фиг. 9}. В наших опытах ') мы произво-
Чем порода крепче, тем свод положе (фиг, дили непосредственные измерения подоб-
4) ·). В трещиноватых глинистых сланцах ных сводов и нашли, что они прибли-
получается ряд уступов (фиг. 5). В лом- жаются к параболическим, только бы-
ких породах выработка принимает вид, вают вверху чуть чуть шире настоящей
Фиг. 8.
изображенный на фигуре 6. Вязкие по- параболы, что можно объяснить не вполне
роды не обрушаютея, а только выгибаются правильной геометрической фигурой сводов,
') См. статью: 8сЫи. Хіпіегзисітпдеп ііЬег
Бітепзіопеп йег ЗіеЬегЬеіІарГеіІет Піг йеп Бааг-
Ьгиекет 5іеіп](оЫепЬег£Ьаіі. ΖβίΙ. Г. йаз Вегд-Ніійеи
шиі Ва1іпепи<езеп іт РТизз. Зіааіе. 1867 г., стр.73.
!) И. Протодьяконов. Попытка опытного
исследования зановов давленая ворок а а горние
выработки. „Горв. Журн." 1013 г., кп. 4—5,
стр. 31.

ЯВЛЕНИЯ В ПОРОДАХ Π РЕ ПРОВЕДЕНИИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК.
5
I
неизбежно получаемой вследствие неполной
однородности сырого песка. При круглом
вырезе свод имеет фигуру вращения, при
квадратном же вырезе его горизонтальные
сечения сначала (снизу) имеют квадратную
форму, затем углы постепенно все более
округляются и сеченне принимает форму
круга.
§5.0 том, что происходит в случае
слоистых пород, дают представление опыты
Фейоля '). Он брал, например, ряд
плоских алойных канатов (фиг. 10), клал их
один на другой, а снизу подкладывал
деревянные баклушки. Чтобы концы были
зажаты, сверху накладывалась прочная
железная линейка, π все стягивалось
скобами. Если выдвигать баклушки, то полосы
каната над образовавшимся пустым местом
прогибаются; нижняя полоса—больше всего,
следующая .— меньше,- следующая еще
меньше и т. д. Наконец, прогиб уже
незаметен. Получилось, что полосы прогибаются
внутри некоторого свода. Подобных
опытов Фейоль произвел множество и все
они дают одинаковую картину.
§ 6. Сказанное достаточно ясно рисует
картину явлений, происходящих в породах
после проведения горной выработки. Над
выработкой сам собою образуется естествен-
тельствам: если порода состоит из
отдельных кусков, то части внутри свода просто
выпадают в выработку и свод образуется
из кусков, зажатых давлением (фиг. 11);
Фнг. 9.
если порода — слоистая, то слои внутри
свода прогибаются и свод является
границей, за которую прогибание не
распространяется (фиг. 10); если породы ломкие,
то части внутри свода мало-по-малу
распадаются на куски и свод является границей
разрушения (фиг. 1); в связных породах
ный свод, за которым порода остается
нетронутой. Внутри этого свода начинается
постепенное разрушение породы. Последнее
выражается различно, смотря по обстоя-
]) ІГауоІ. Νοίθ виг Іез шоиѵешепія йе (еггаіп,
ргоѵі^ийн рнг ГехрІоіШіоп Йез тіпез. Виіі. йе 1а
Зое. ύβ ΓίοϋΐϊΒίτίβ тіпегаіе, 1885 г., етр. 805.
Подробно он. глану вторую §§ 24—36.
части внутри свода стремятся оторваться
в виде купола от остальной массы (фиг. 9),
а в крепких породах, где части эти
оторваться не могут, они остаются
подвешенными к своду, и потолок выработки может
держаться плоско (фиг. 12). Как бы то ни
было, всякое разрушение ограничивается
сводом и упасть в выработку могут только
части внутри его.

6 ЧАСТЬ Т. ДАВЛЕНИЕ ГОРПЫК ПОРОД.
§ 7. Чтобы воспрепятствовать всему
этому и сохранить первоначальную форму
выработки, необходимо после проведения
ее так или иначе ее запретить. С этой
целью могущие давить и обрушаться
массы, так сказать, «подпираются» крепью,
Фаг. 11.
которая принимает на себя давление пород,
делает невозможным опускание и выпаде-
пне кусков и, вообще, задерживает
деформации, производящие процесс разрушения.
Для большей успешности действия
крепления следует пользоваться данными
многовековой практики, которая
выработала некоторые определенные правила. Так,
всякое крепление прежде всего должно
быть сделано возможно туже, т.-е., как
можно плотнее прилегать к породам. Дель
этого понятна: если между породой и
крепью остается промежуток, то порода
получает возможность прогибаться, прогибаясь
она будет ломаться, деформации будут
распространяться все дальше и дальше,
вызывая новые и новые разрушения, над
крепью будет появляться все больше
и больше отделившихся кусков, а
разрушенная порода давит всегда сильнее
нетронутой, ибо она потеряла связь с
остальной массой.
Затем, крепление должно
производиться возможно скорее после проведения
выработки. Деформации в породах
происходят не мгновенно, а требуют времени,
ипогда довольно продолжительного. Поэтому,
когда выработка только проведена, и в
окружающих породах еще не заметно
движения,—давление на крепь невелико. Именно
в это время и следует ставить крепь,
чтобы, по возмолшости, предупредить
разрушения.
Наконец, крепь всегда должна быть
достаточно прочна: слабая крепь, не
будучи в состоянии удержать пород,
позволяет им деформироваться, т.-е. опять-таки
вызывает усиленное давление, тогда как
сильная крепь, задерживая деформации,
останавливает распространение давления
на меньшей величине.
§ 8. Давление на крепь развивается не
сразу. Когда двшкение в породах
началось,—давление постепенно возрастает все
больше и больше и со временем
достигает некоторой наибольшей величнпы,
иногда весьма значительной, усиленно
ломая поставленную крепь. Конечно, это
зависит от того, что на крепь, кроме
отделившихся кусков, давят еще остатки
бывших до того в породе напряжений. Это
явление носит название «первичного
давления». Затем все мало по мал у
успокаивается: в породах заканчивается
перегруппировка напряжений, деформации
затихают, все приближается к новому
состоянию равновесия и давление па крепь
уменьшается. Поломок крепи становится
все меньше и меньше, обвалившуюся
породу убирают, поломанные оклады
заменяют новыми; где нужпо, — ставят
дополнительную крепь, и выработка начинает
служить хорошо, портясь в дальнейшем уже,
Фаг. 12.
главным образом, только от гниения
крепления и от случайных причин. На этом
основано даже существующее в последнее
время воззрение, противоположное
указанному выше старинпому правилу о
необходимости тугого креплепия: иногда умышленно
предпочитают устраивать первоначальное

ЯВЛЕНИЯ В ПОРОДІХ ПРО ПРОВЕДЕНИИ ГОРНЫХ ВЫРІЕОТОК.
7
крепление «податливым», т.-е. способным,
не ломаясь, несколько уетупать давлению.
Тогда первичное давление, все равно
непреоборимое, только деформирует крепь,
а потом, когда все приходит в
равновесие,—она будет стоять хорошо.
§ 9. Величина давления, прежде
всего и больше всего, зависит от
характера пород, от того, что называется их
крепостью. Чем слабее связь между
частями породы, тем большее давление
последняя оказывает на крепь. Породы
мягкие, вроде мягких глин, обломочные —
вроде осыпей, напитанные водою — вроде
плывунов, распадающиеся на куски—вроде
слабых сланцев, легко отстающие слоями—
вроде «ложной кровли»—все производят
наибольшее давление. Напротив, породы
плотные, вроде плотных песчаников и
известняков, и вообще породы, держащиеся
одной массой, обнаруживают наименьшее
давление.
Так же общеизвестна роль величины
подработанной площади. Чем меньше
размеры выработки, тем меньше и
давление на крепь. Во всякой породе (кроме
разве только разжиженных грунтов) можно
вообразить себе настолько малую
выработку, что она будет держаться совсем без
крепления, и наоборот, всякую породу
можно подработать на столь значительное
протяжение, что она- обвалится.
Вопросом исключительной важности
является влияние глубины. По всеобщему
мнению, в обычных случаях величина
давления не зависит от глубины, на
которой находится выработка. Это
непосредственно вытекает из представления об
образующейся сама собой некоторой фигуре
равновесия, почему на крепь могут давить
своим весом только отделяющиеся внутри
этой фигуры части. «О действительном
сопротивлении давлению, говорит, например,
Мендель1), в строгом смысле слова, не
может быть речи,' ибо крепление
препятствует лишь выпадению внутрь выработки
отделенных давлением больших или
меньших кусков». Основание такого взгляда
понятно: рудничная врепь слишком слаба,
чтобы выдержать громадный вес пород пад
выработкой. Легко рассчитать, что крепле-
*) Ы е и ζ е 1. „ТТеЬег гіеп СеЬіі^віІгиок іп йеп
(іеГегев бгиЪеп". ЗёсНвівсЬев .ТаЬгЪисЬ, 1894 г.,
стр. 92.
нив штреков обыкновенного типа могло бы
безопасно выдержать вес елоя пород
толщиною всего лишь 1 т*). Отсюда
естественно заключить, что если такая крепь
в руднике благополучно стоит иа глубине
сотен метров под землей, то, значит,
давление пород на нее всей массой не имеет
места,—значит породы, собственно говоря,
держатся сами собой, а на крепь давят
только отделившиеся куски. Прямым
следствием такого взгляда является то, что,
во-первых, давление на крепь
обусловливается породой, а не глубиной,
а, во-вторых, если порода над крепью
■не разбита трещинами на отдельные
куски, то крепь излишня.
То же подтверждают решительно все
опыты и наблюдения. Вот, например, наши
данные (площадь, на которую производится
давление 4χ4 ст'2):
а) вухоё песок:
глубина от поверхности ... в ото 8 15 80
давленое в д 38 38 39
б) льняное еемя:
глубина от поверхности . . в ем 8 16 33
давленое в д 2э 24 26
Таким образом, несмотря на изменение
вчетверо глубины, величина давления
несомненно осталась одной и той же (конечно,
в пределах точности опытов). То же самое
дают опыты Энгессера, Прантеидр.,
о которых речь будет дальше.
Что же касается обстоятельств,
необходимых для того, чтобы части породы внутри
свода отделились от него и упали в
выработку, то условие, чтобы вес
выпадающих кусков мог преодолеть силы
сцепления, подвешивающие их, так сказать,
к своду, очевидно само собой.
«Пока вес вышележащих пород,
обнаженных, при подработке и грозящих
обрушением, говорит Бернгарди % не
превосходит сил сцепления, нет никакой
надобности в креплении: обрушения кровли
не происходит; с другой стороны,
крепление необходимо, если вес подработанной
і) См- главу вторую § 12.
а) Протодьяконов. „Попытка опытного
исследования законов давленая пород на гарные
выработки". „Горн, нсурн.", 1912 г., кн. 4—5.
3) Бегппагаі.'„ІІеЬег аеи СеЬіграгисЬ іп
іЗеп ѵегзоЬіейепѳп ТеиГеп". Русский перевод см.
„Горн. Журн." 1903 г., кн. 9.

8
ЧАСТЬ I. ДАИ1ВНЕЁ ГОРНЫХ ПОРОД.
кровли превосходит силы сцепления, или
давление равно разности между силами
сцепления и весом подработанной кровли».
И этот взгляд господствует среди
работников горного дела. То же подтверждают,
как увидим далее, и опыты, и теория.
Поэтому, для расчетов можно принимать,
как правило, что давление на крепь
нравно собственному весу породи
внутри свода равновесия. Правда, иногда,
как мы видели, части внутри свода могут
остаться подвешенными к своду или
разбиться на куски только отчасти, ■— тогда
давление на крепь будет, конечно, меньше
указанного,·— но так как всегда можно
предполагать, что со временем
разрушение дойдет до конца, то для
расчета крепи можно принимать вес этот
полностью.
§ 10. Более внимательное изучение,
однако, показывает, что независимость от
глубины, имеющая место в огромном
большинстве случаев, не может быть принята
безоговорочно.
Так, при весьма большой глубине
это сказывается в целом ряде особых
явлений. Правда, наблюдать их не так-то легко:
в рудниках о величине давления судят
обыкновенно по толщине необходимого
крепления, но оно так зависит от усмотрения,
настолько может быть приписано
изменившейся крепости породы и выражается
в таком незначительном увеличении
толщины крепи (ибо диаметр переклада
пропорционален лишь кубическому корню
давления)—что нужно особенно внимательно
наблюдать, чтобы заметить разницу. Поэтому,
там, где рудники сравнительно неглубоки,
обычно зависимость между давлением на
скрепь и глубиной ускользает от
наблюдения. Впервые на серебро-свинцовом
руднике Гольцаппель, где имеется 16
горизонтов, нам пришлось слышать определенное
утверждение, что размеры крепи и
стоимость ее ремонта в ниясних горизонтах
заметно больше, чем в верхних.
Равным образом, Стассар *}
указывает на то, что при глубине 1150 т
стоимость леса на тонну возросла до 85
сантимов вместо обычных 45 сантимов.
!) Зіаязагі. „Ьез сопШопв а'ехріоііаііоп а
ягапгіе ргойгааег еп Венчав". ВиІІ. йе 1а Зое. άβ
Ι'ίοά. шіп. 1900 г. т. IV. .
Мнение по этому поводу Бернгарди ")
таково. В Верхней Силезии, пока глубина
не превосходила 100 т, штреки на
значительном протяжении стояли без всякого
крепления, при чем величиной их сечения
даже злоупотребляли. При работах между
горизонтами 100—200 от наблюдался
постепенный, часто едва заметный переход,
но в 1873 г. катастрофа в Кенигсгрубе
(глубина 160 м) открыла всем глаза и ясно
обнаружила факт возрастания с глубиной
давления, На глубине 200—300 т
пришлось уже заранее отказаться от
проведения широких штреков. Потолок в штреках,
только что пройденных, но еще не
закрепленных, сам собою начинал прогибаться
и нередко обрушался. При глубине 300 от
и более явления становились резче. Еще
глубже давление пород стало явственно
отражаться на более легкой добываемое™
угля и падении процента штуфных
кусков.
Аналогичные явления отмечает
цитировавшийся выше Мендель а). Рудники
около Цвиккау при глубине свыше 400 от
отличаются весьма большим давлением.
Когда проведена выработка, то непрерывно,
медленно, но неудержимо начинают
вдавливаться в нее—«расти»—грудь забоя,
кровля и почва. Концы перекладов
раздробляются почти немедленно, и только
особый род крепления может сопротивляться
этому действующему «как винта («всіігаіі-
Ьвпаіѣ§»), по выражению автора,
давлению. Оно имеет только одно преимущество,
а именно, облегчает добычу угля, который
«идет» почти сам собою, и ему нужно
только помогать.
Из приведенных примеров, число
которых нетрудно было бы увеличить, нельзя
вывести другого заключения, как то, что
при очень большой глубине давление
пород несомненно возрастает и что
независимость давления от глубины касается
только рудников не очень глубоких.
§ 11. Те же самые примеры
показывают, что при большой глубине изменяется
самая картина явлений: опоры уступают
давлению, и начинается выдавливание их
в выработку, так что главное давление
*) По русскому переводу „Горного Журнала"
1903 г., кн. 9, стр. 293 в др. Приводим в
сокращен нон наложен ив.
а) ЗасЬвізсЬ. ^ЬгЬиеЬ. 1894 г. стр. 92.

ЯВЛЕНИЯ Π ПОГОДАХ ПРП ПРОВЕДЕНИИ ГОРВНХ ВЫРАБОТОК. 9
получается уже не сверху, где свод равно- В горной практике и при проведения
вееия продолжает его разгружать, а сбоку, туннелей хорошо известны так называемые
Бот как, например, описывает Б ρ а н д а у «ВегйзеаІіЦе» («Іараиіе»— по польски; по
явления в Симплонском туннеле, где глу- русски—предложен термин * стреляние»).
бина от поверхности доходила до 2/ои1)- Явление это заключается в том, что, когда
проводится новая выработка, то в породах
. слышится треск, нередко достигающий по
силе звука ружейного выстрела, и от
обнаженной поверхности забоя отскакивают
чечевицеобразные осколки и даже целые
глыбы (фиг. 15). Эти обломки бывают
неправильного вида; они толще к середине
и тоньше к краям, при чем замечательно,
Фиг. 13.
Фиг. 14.
«На южной стороне от 5,3 до 6,9 Іст
туннель проходил по гнейсу и от 7,15 до
9,14 ~кт—по филлитовому сланцу. Оба
штрека (главный и параллельный) сначала
стояли крепко. Через некоторое время
в кровле стали отваливаться тонкие,
пластинки. Происшедшее продольное
сдавливание перекладов (фиг. 13), обнаружило
сдвигание боков. Отделение кусков
продолжалось. На переклады налегли
значительные массы сланцев и переклады местами
прогнулись (фиг. 14). При замене их
новыми оказалось, что большая часть
отделившегося сланца расслоилась и
образовавшиеся тонкие слои изогнулись в складки.
В то же время и в почве, вследствие
подобного же образования складок, стал
заметно подниматься рельсовый путь».
Все такие явления с несомненностью
указывают на существование при большой
глубине' значительного бокового давления.
§ 12. Вместе с тем обнаруживаются
признаки крайне напряженного состояния
породы.
что, отскочив, они изменяют свой объем и
уже не могут быть вложены в то место,
откуда они отскочили. Вся порода кажется
находящейся в состоянии крайнего внутрен-
Фиг. 15.
него напряжения; достаточно, например,
ударить молотком, чтобы вызвать
усиленное отделение кусков. Проф. Л. Ячев-
с к и й ]) сравнивает такое состояние породы
і) Приводим в иввлеченпп ив КоттегеП.
ЗІаІізсЬѳ ВегѳсЬпші£ ѵоп Тйпвѳітаиепѵдгк. стр. 56.
1) Л. Ячѳвс кий. О явлениях „томпанпя*
пін „стрелявпя" а каменноугольных рудниках
Донбровского басЕвйвз. .Горн. Журнал" 1Ѳ05 г.,
кн. 12.

10
ЧАСТЬ Ι- ДАВЛЕНИЕ ГОРИЩ! ПОРОД.
е состоянием закаленного стекла,
^подвергавшегося отжигу. Отскочив, порода уже
теряет свои напряженные свойства, точно
она была сдавлена, а тут получила
возможность свободно расшириться. Чаще всего
и сильнее всего куски отделяются с боков
выработки, реже в почве и еще реже—
в кровле. Отделение всегда параллельно
обнаженной поверхности забоя н
совершенно не зависит от напластования, слое-
ватостп или сдвиговых трещин.
Наблюдается описанное явление во всяких породах:
в Силезии и Домброве его наблюдают в угле,
при проведении Сеп-Готтардского туннеля
оно имело место в протогнне, в Баттин-
герском туннеле—в граннто-гнейсе, на
Пшнбрамеких серебро-свинцовых
рудниках—в граувакке; бывает π в известняке,
песчанике, в сланцах π т. д.
Обнаруживаться «стреляние» может и не тотчас
после проведения выработки, а иногда
спустя несколько недель и даже месяцев. ■
Равпым образом, продолжаться оно может
долгое время, даже несколько лет, хотя и
ослабевает со временем.
§ 13. Из сказанного следует, что при
большой глубине явления давления горных
пород происходят совсем иначе, чем при
' ι і ;
Фиг. 16.
глубине, сравнительно, пебольшой;
характерным является не образование в кровле
разгружающего свода, а выдавливание
боков в выработку. И в то время, как при
небольшой глубине важен лишь вес частей
породы внутри свода,—при больших
глубинах приходится иметь дело со всем
давящим столбом породы. Давление пород,
говорит А. Гейм1) в своей знаменитой теории
горообразования, есть ничто иное, как
тяжесть толщ породы. Давление внутри их
действует по всем направлениям
(гидростатически). Отличие от обыкновенного
гидростатического давления заключается
в том, что в породах нарушения равнове- ,
сия должны достигнуть значительной сте- -
пени, чтобы вызвать движение в них и что
последующее восстановление равновесия
происходит очень медленно, потому что оно
должно преодолеть значительные силы
сцепления и внутреннее трение, т.-е. должна
быть произведена большая механическая
работа.
Во всякой породе можно представить
себе етолб такой высоты, что его вес
превзойдет крепость породы, и подножие столба
будет раздавлепо. В зависимости от
большей или меньшей креаостп породы, высота
такого столба будет больше или меньше,
но всегда указанный случай возможен.
Подобным л;е образом и в земной коре
с глубиной должпо возрастать давление.
Давящий столб может быть мысленно
выделен из покрывающей толщи
соответственной мощности. Под такой толщей
существует, следовательно, давление, которое
раздробило бы в порошок породу, если бы ,
частицы ее были с какой-нибудь сторопы
свободны. Если же это, а, следовательно,
и раздробление невозможно (так как
частицы окружены со всех сторон другими
такими же), но предел крепости все же
превзойден, то внутренние силы при
внутреннем давлении настолько ослабевают,
что изменение формы может происходить
без излома: порода начинает течь, как
течет лед в глетчерах.
Таким образом, на известной глубине
всякая порода является с
скрыто-пластической». Если же с какой пибудь стороны
убрать окружающие частицы (проведена
выработка), то уравновешивающего
давления здесь уже не будет, и бывшие дотоле
внутренние напряжения выразятся в
разрушении породы. Это и есть явление
«стреляния в.
Изложенный взгляд находит
подтверждение в многочисленных примерах
равномерного сдавливания выработок. Фигура 16
') А. Неіш. МееНаЫзгоизЛевОаЫгцвЫЫиа^.
Ваш! 3878. Дптпруем в назначениях.

ЯВЛЕНИЯ В ПОРОКАХ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК. XI
--*^л \'> ί^ // ■-.
изображает тщательно произведенные
замеры туннеля Штарца в Италии;
фпг. 17—деформации туннеля Кристина
и т. д. -
Итак, приходится в корне
разделить изучение явлений при небольшой,
сравнительно, глубине и при глубине
весьма значительной. Для нас в
настоящей книге имеет значение лишь
первый случай, ибо подавляющее
большинство рудников еще не достигло
того предела, за которым напряжения
в породах подходят к пределу
«скрытой пластичности». Поэтому, все наши
дальнейшие разсуждения
основываются на образовании разгружающего
свода, а, следовательно, и независимости
■от глубины.
§ 14. Кроме описанного, так
сказать, нормального случая давления
горных пород, может быть множество
частных случаев, где местные
обстоятельства маскируют общее явление.
Пусть, например, в кровле
существует случайная трещина, отделяющая
кусок породы (фиг. 18] и являющаяся потолка выработки (фиг. 19) залегает проч-
местом наименьшего сопротивления. Тогда нал доска мощного крепкого песчаника А,
а непосредственно в кровле пласта
проходит нетолстый слой слабого сланца Д
который легко отстает от песчаника—так
Фиг. 17.
Фаг. 13.
Фиг. 19.
называемая «ложная кровля» («корж»).
Ясно, что отвалится π упадет в выработку
только плоский слой сланца В.
Возьмем третий елучай: пусть работа-
готся два пласта угля А а В (фиг. 20),
разделенные лишь нетолстым слоем сланца С.
Очевидно, что слой этот будет изгибаться
просто как балка с закрепленными концами.
Еще пример: пусть выработка проходит
под антиклинальной складкой (фиг. 21).
ясно, что видимым образом, вместо всякого Тогда в положении 1 выработка будет при-
свода выпадет просто этот кусок. крыта как бы естественным сводом и давле-
Бозьмем. другой, часто встречающийся ние здесь будет меньше, чем при
положена рудниках случай: пусть невдалеке от нии 3. Поэтому в выработке, пересекаю-
Фаг. 20.

12
часть ι. дли лен пи гогаы.х дорох
щей всю эту складку, давление
распределится как показано на чертеже.
Наконец, когда выработка проходит
близко от поверхности, над ней может
образоваться просто воронкообразный провал
(фиг. 22).
Подобных случаев может быть
множество, во все они оказываются, конечно,
чисто местными и для общей картины,
давления на крепь не характерными.
Фяі·. 21.
§ 15. Кроме рассмотренного обычного
давления, вызываемого весом толщи пород
над выработками, бывают случаи, когда
давление вызывается совеем другими
причинами. Таково, например, «поддувание»
породы: некоторые горные породы способны
увеличиваться в объеме,
после пропитывания водой.
Поэтому, если закрепить
их до пропитывания, то
впоследствии получается
давление на крепь, иногда
чрезвычайно большое.
При этом, в одних
случаях имеет место просто
физическое вапитывание
породы водою, как,
например, некоторые мер-
гелевые породы. В других
случаях соединение с водой бывает
химическое; Таков ангидрит удельного веса 3,2,
дающий гипс удельного веса 2,2—2,4. Для
вспучивания некоторых пород, как,
например, соленосных мергелей, достаточно
бывает уліе влажного рудничного воздуха;
мергеля с юяковкрапленным серным
колчеданом, а равно уголь, увеличиваются
в объеме, вследствие окисляющего действия
кислорода воздуха и т. п.
§ 16. Кроме явлений в самой
выработке, влияние горных работ отражается
и на всей толще пройденной породы
иногда до самой поверхности. Это—так
называемые „оседангія поверхности",
имеющие чрезвычайно важное значение
для сооружений над рудниками. Явление
заключается в том, что после проведения:
горных выработок поверхность над ними
покрывается трещинами на значительное
пространство и оседает,
а ивогда и образует
воронки и провалы (фиг. 23).
При этом, конечно,
страдают имеющиеся постройки
π сооружения—дома,
мосты, железнодорожные
линии и пр. Столкновение
интересов владельцев
поверхности и владельцев
рудников порождает
многочисленные тя;кбы, и
вопрос постоянно
привлекал к себе особое
внимание.
Вопрос об оседании поверхности имеет
несколько сторон. Прежде всего,
необходимо выяснить направление трещин -
излома пород в зависимости от различ-,.
ных обстоятельств. Затем с этим
непосредственно связан вопрос о предохранитель-
Фяг. 2Ξ.
них целиках, которые необходимо
оставлять при горных работах под теми
сооружениями, которые желают предохранить от
повреждения, и, наконец, вопрос .о
безопасной глубине, иначе сказать, на какой
глубине подземные работы перестают
оказывать влияние на' поверхность.
§ 17. Такова фактическая картина
явлений, наблюдаемых в породах при
проведении горных выработок, которую можво

овэор существующих ткогпіі давлкііня пород. іЗ
установить, если скомбинировать известные
ныпе факты.
Резюмируя, можно сказать, что, когда
выработка проведена,—около нее в
породах происходит перегруппировка
существовавших до того напряжений. Над выра-
/боткой сам собой образуется естественный
'свод, принимающий на себя все давление
вышележащих толщ, так что эти
последние на крепь уже не давят. Давить же
могут своим собственным весом только
отделяющиеся внутри свода части, при чем
бывшие здесь до того напряжения
способствуют разрушению и отделению от свода
этих частей. Глубина не влияет на
величину давления, а влияет лишь крепость
пород и величина подработанной площади.
В дальнейшем явление видоизменяется
в зависимости от обстоятельств. Когда
бока, служащие опорой своду, даста-
точно крепки, —свод образуется только
в кровле; когда лее бока способны уступать
давлению, — свод включает в себя и их,
получая расширенную от почвы форму.
При очень большом давлении налегающих
толщ, начинается выдавливание пород в
выработку, а сами породы обнаруживают
■^.признаки крайне напряженного состояния.
/ От верхних углов выработки в толще пород
распространяются плоские трещины,
могущие доходить до поверхности, вызывая ее
оседание и повреждение поверхностных
сооружений. Что касается явлений внутри
свода, то иногда породы могут полностью
разбиться на куски и упасть в выработку,
так что давление на крепь равно полному
весу их, иногда же—только отчасти;
слоистые породы могут провиснуть. В
некоторых случаях эти части могут оказаться
подвешенными к своду, а
потолок—держащимся совершенно плоско и на крепь
давления не оказывающим.
Остается к наблюденным явлениям
применить обобщающую теорию, которая
осветила бы различные стрроны явлений и
дала бы их количественную величину.
ГЛАВА П.
' Обзор существующих теорий
давления пород.
1 § 1. Обыкновенно бывает бесполезно
. ' излагать предложенные в свое время тео-
I рии, ибо это значило бы излагать оставлен-
Еовейшяе ониоженил
породы. ι ?//
Г
Фпг. 23.
боток колоссальна и принадлежит
представителям нескольких дисциплин. При этом
замечательно, что каждая дисциплина имеет
свою собственную литературу и, вообще
говоря, мало осведомлена о литературе других.
Прежде всего, вопрос этот касается
горняков, которые интересовались, главным
образом, давлением пород на крепь,
обрушениями над выработками и оседаниями
поверхности. Чтобы показать, каких
размеров достигает эта литература, укажем,
что в 1908 г., занимаясь этим вопросом,
мы выделили 60 наиболее капитальных
сочинений'), а в 1912 г. П. М. Л!е,он-
то вский, отмечавший и более мелкие,'
насчитал 206 сочинений 2).
Работали над тем же вопросом и
путейцы, поскольку им приходится иметь
дело е железнодорожными туннелями и тру-
}) М. М. Протодьяконов. Давление
горных пород на рудничную крэпь. Екатернносдав,
1908.
г) И. ЙТ. ЛвонтовскнЕ. Литература об
обрушении и оседанпп пород в рудниках а о
влиянии их на дневную поверхность. Екатернносдав,
1912.
ные заблуждения. Но в данном случае
приходится поступить именно так, потому
что пока еще нет теории настолько
бесспорной, чтобы она позволила остальные
отнеети в разряд заблуждений. А потому,
читатель долясен сам, ознакомившись
достаточно подробно с различными подходами
к решению вопроса, выбрать тот, который
покажется ему наилучшим.
§ 2. Литература по вопросу о явлениях
в породах при проведении горных выра-

Η
ЧЛСТІі I. ДЛПЛЕНПЕ ѴОРНЫІ ΠΟΡΟΙ.
бани под высокими насыпями. Б эхом
отношении Лукас в своей книге,
относящейся к 1920—26 г.'), пз общего числа
87 сочинений,—по одному только вопросу
о давлении в туннелях выделяет 21
главнейшее сочинение и 13 капитальных
сочинений вообще по туннельному делу.
Евдоким ов-Ро к отовекпй в 1927 г.
^приводит список в 119 сочпнеппй.
Далее, близкой областью является
давление зерна на дно и стенки
зернохранилищ, где, например, Лгаффт3)
рекомендует 30 сочинений.
Обширнейшая и солпдпейшал
литература имеется у специалистов по
строительной механике,- при чем по одному вопросу
о давлении грунта на подпорные стенки
К ρ е й 4) указывает 176 сочинений.
Наконец, пе надо забывать и геологов,
которые, впрочем, ограничивались, главным
Л Я |
Фиг. Ξ4.
образом, общими соображениями. Здесь
проф. Ф. Ю. Лсвнисон-ЛессппгБ)
перечисляет 55 сочнпенпй.
') Ѳ. Ьисав. Бег ТиппеІ. Ваи<1 Г, 1920 г,
Вансі II ЫеГ. I, 1924 г. Βααϋ іі ЬіеГ. II. 1826.
2) Ε в д о к и ы о в - Ρ о ко то в ка Й. Давление
горвых пород и расчет туннельвых обделок.
Томск, 1927 г.
8) В. ЬиГГІ. „ВгисІіѵегиаІІліие іо Зііогеііеп"
Вегііп, І92Ѳ.
4) В. К г е у. ВгеЫгиск, ЕгсЫс!егз(ап<1 ипсі
ТгавйЬщкеіІ (іе8 Ваиагшкіев. БгіМе АиДа^е. 19Ξ6.
») Ф. 10. Л е в и н е и н ■ Л е с с я я г. О эяаче-
ннн геологии при проведении тоннелей. Труды
II Съезда но прикладной геологии. Вып. I. 1913.
Даже военные инженеры в минном
деле и при постройках крепостей
встречаются с темп же вопросами').
Само собой разумеется, что некоторые
из указанных сочинений повторяются и в
других списках, а, с другой стороны, при
желании, к каждому списку можно было
бы прибавить ряд еще других названий.--
Яспо одно, что вопросы давления горпых
пород приплекали и привлекают внимание
самых обширных н разнообразных кругов.
Ыз всего этого множества сочинений,
мы разберем только несколько теорий,
которые являются наиболее
правдоподобными, типичными и оригинальными, так
что другие, в сущности, представляют
только варианты тех же идей.
Напряжения в породах до проведения
горных выработок.
а. Сыпучие породы и мягкий
грунт.
§ 3. Теория Еулона.
Необходимые соотношения получаются из
рассмотрения теории давления грунта на
подпорную стенку 2).
Имеется вертикальная подпорпая степ- -
ка АВ (фиг. 24), па которую давит сыпу- -'
чнй грунт, ограниченный сверху
горизонтальной плоскостью. Давление
обусловливается тем, что по пекоторой плоскости ВС,
наклоненпой к горизопту под углом Θ,
сползает треугольная призма АВО.
Обозначим вес призмы через ζ>, давление грунта
на стенку, которое считаем нормальным
к поверхпостп стенки через Д и силу,
действующую на плоскость сползания,
через Е. Эти три силы или, точнее, сила с£
π вызываемые ею реакции: стенки—1>
и плоскости сползания—Я, должны взаимно
уравновешиваться.
Если обозначить высоту стенки АВ
через Я", то, по чертежу, АС^Н-аЫВ
и площадь АВС=—ъ οί§Θ. Стало быть,
вес сползающей призмы на погонную едн-
!) Например, Коханов. Фортификационные
постройки пещерного типа в пересеченной
местности. СГІВ 1009.
2) С и. любое изложение давления грунта на
подпорную стенку. Например, В. Кек. Основы
расчета строительных сооружений по методам
теории упругости. Москва 1898 стр. 303.

ΟϊΒΟΡ СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ІДВІЕВПН ПОРОД.
15
ницу ее длины будет §='/2ВЯа · й§Ѳ,
где о—вес кубической единицы породы.
Сила Ε может быть разложена на
нормальную прижимающую силу N и
сдвигающую по плоскости ВС силу ]?. Так как
при сползании неизбежно возникает
трение, которое равно, по общему правилу,
нажимающей силе Ν, умноженной на
коэффициент трения Д а этот последний есть
не что иЕОе, как тангенс соответственного
угла трения <р, то сила трения в нашем
случае будет ІѴ· 1§<р. Совершенно очевидно,
что сползание начнет происходить в тот
момент, когда сдвигающая сила окажется
равной по величине, но обратной со знаку
силе трения, т.-е. когда ]?·=Ν·Ιξγ.
Отсюда условие сползания выразится
уравнением
т,-е. ^ ΝΜΈ в треугольнике ΝΜΕ
должен быть щ. А так как угол ΝΜΕ между
нормалью V и вертикалью ЖЕ равен θ
(углы с взаимно перпендикулярными
сторонами), то угол В.МЕ есть θ—φ.
Для равновесия, вертикальная сила Я
(см. чертеж), горизонтальная сила І> и
наклоненная ж вертикали под углом θ—<р
сила Я должны составлять замкнутый
треугольник сил, поэтому (см. чертеж)
2>=ρ.^(θ-φ).
Подставив значение ζ), имеем
___ЬЮ )£(» —φ)
2 ΐξθ~~ · · ■
■ а)
Таким образом, сила Ζ> зависит от
величины угла Ѳ. Очевидно, что из всех
возможных значений Ѳ, действительной
плоскостью сползания будет та, при
которой Ώ будет наибольшей. Поэтому, для
определения угла θ надо, найти максимум
ΰ, т.-е. взять первую производную Ώ по
θ и приравнить ее нулю.
Так как выражение 1/28ίΓ2 есть
величина постоянная, то достаточно найти
максимум только І£(Ѳ—φ):ί£θ. Производя
дифференцирование, имеем
і|*в(Ѳ—τ):*κθΐ
ав
ігѲ
МЕД (θ φ)
ί£ (θ — φ)
" ооаа θ ~
Приравнивая числитель нулю, получим
ίΕθ те—У)
С082 (θ — φ) СОЗ2 θ '
Пли, заменяя тангенсы через зіп: соз
и освобождаясь от знаменателя
зііі θ ■ соз θ = зіп (θ — ω) ■ соз (θ — ψ)
т.-е/
зіп2Ѳ = ш2(Ѳ — φ)
Если синусы равны, то углы или
должны быть тоже равны или составлять
в сумме 180°. По так как 2 θ не может
равняться 2(θ—φ), то должно быть
2θ + 2(θ-φ) = 180°,
откуда
Ѳ=е-^ (2)
Таков угол наклона плоскости
сползания. Вставив найденное значение в (1),
получим
, /00° + -? \
Ώ =
ι Я»'
, 90°
*3 Б
а, замечая, что углы в числителе и в
знаменателе взаимно дополняют друг друга
до 90° и что, следовательно,
равняется
зя° во°-у
... (3)
ФѲ
найдем окончательно
Такова величина давления грунта на -
подпорную стенку.
Если дать бесконечно малое
приращение высоте стенки йИ, то и величина В
получит бесконечно малое приращение άϋ,
но, разделив силу άΟ на площадь ЙЛГ,
в которой она приложена, мы получаем
давление на единицу площади в этом
месте ;
ΑΏ ., ■
р=ш "-
Производя же дифференцирование по Л
выражения (3), имеем
Р = ЬЕ.^^1 . . .(4)

г' ■
ЧАСТЬ Г. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
Таково давление па единицу
вертикальной площади стенки, имеющееся на
глубине Л от поверхности.
§ 4. Применяя все изложенное вообще
к массе сыпучей породы, ограниченной
сверху горизонтальной плоскостью ΜΝ,
рассечем ее мысленно вертикальной плоскостью
и будем рассматривать породу влево от этой
плоскости, как подпорную стенку, на
которую давит правая сторона грунта. Тогда
все выведенные формулы будут в точности
подходить к данному случаю, и
горизонтальное давление на вертикальную пло-
л
систему напряжений о, определяемых из
выражения
:^,,0г№—*
- ... (1)
Μ
Фиг. 25.
тцадку, равную единице, на глубине Η
«τ поверхности будет выражаться
формулой (4).
Итак, в сыпучих телах на глубине Ж
■от поверхности мы имеем боковое
горизонтальное напряжение
вертикальное же давление на
горизонтальную площадку, равную единице, будет,
-очевидно, просто равно весу столба породы
§ 5. Полученная выше
сила—выражение (3} сопротивления стенки
была достаточна для того, чтобы
предупредить сползание грунта. Сопротивления
трения, развивающиеся внутри земляного тела,
помогали этой силе в деле поддержания
равновесия. Но если бы мы
" вообразили, что сама стенка
движется в сторону грунта,
выпирая его вверх, то
потребовалась бы гораздо
большая сила, ибо сопротивления
от трения стали бы
затруднять движение. Все
рассуждения тогда можно
оставить прежними, но при
построении силу Ρ придется
(фиг. 25} отложить в
противоположную сторону, т.-е.
не вверх, а вниз, а от этого
сила и отклонится от
нормали к плоскости сползания .
на угол φ в противоположную сторону, так
что составит с вертикалью угол θ-(-φ.
а не θ — φ. Таким образом, весь вывод
останется прежним, но в формулах
придется—φ заменить через + φ. Тогда угол
наклона плоскости сползания получится
Ѳ;
90° —φ
(8)
или
т° — ψ
Рг=Ра- Ц?
. . . .(5)
. . . .(6}
и давление будет:
На единицу поверхности стенки это
дает:
=р, · 1£
,^Н
■ -00)
Таковы напряжения в сыпучей массе
породы.
Выведенную формулу можно обобщить
.и сказать, что если в неограниченной массе
сыпучего тела имеется какая-нибудь
система параллельных напряжений -г, то она
вызовет в перпендикулярном направлении
Такое давление, или, вернее,
сопротивление грунта носит название «пассивного»
давления. О ним, обычно, приходится иметь
дело в тех случаях, когда грунт служит
опорой для каких-либо сооружений,
например, для арок, сводов и т. п.

ОВВОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ИОРОА.
17
§ 6. Необходимо заметить, что
изложенная теория давления грунта, так
называемая теория Кулона, является простейшей,
распространеннейшей и для цели
настоящей книга вполне достаточной- Ео в ней
имеются и неточности. Так, мы считали,
что реакция Ώ стенки АВ нормальна к ее
поверхности и никакого трения здесь не
принимали во внимание. На самом «се
деле, очевидно, что трение будет иметь
место и сила Ώ будет составлять с
нормалью к поверхности стенки угол, равный
углу трения грунта о стенку.
Обстоятельство это весьма усложняет формулы.
Например, при всех прочих одинаковых условиях
и угле трения о етенку, равном углу
трения самого грунта, вместо выражения (3)
получается >)
д = ана Уьр!І___ (П)
Поэтому, обыкновенно, прибегают к
графическим приемам.
Надо заметить, впрочем, что численно
разница с прежним получается
незначительная: например, при обычном угле φ^
г) В. Кѳк. Основы расчета строительных
сооружений, стр. 318.
ЗДвдеапо горііьіхпород- ч-і.
= 30° по формуле (3) 1> = 0,333^,апо
і*
(И) Ώ = 0,297 -тр что и дает нам право
довольствоваться более простой теорией.
§ 7. Справедливость изложенной теории
неоднократно проверялась на опыте.
Опишем здесь только один из новейших
опытов Крей 1). В деревянный ящик,
открытый сверху, с передней стенкой из
зеркального стекла, насыпается песок.
Передняя стенка ящика—подвижная и может
быть уперта железным стержнем под
любым углом, так что давление песка на
стенку должно быть направлено именно
под этим углом. Особым винтом можно
стенке сообщить поступательное движение.
Фотографируя аппарат во время движения
стенки, получим, что там, где песчинки
остаются неподвижными, они будут
воспроизведены отчетливо, а там, где происходит
движение—они смажутся; граница
покажет плоскость сползания (фиг. 26).
Произведенные опыты дали вполне
достаточное согласование с теоретическими
предположениями и не только с поправкой
') Н. К г е у. Вкісігпсіі н. а. τϊ., стр. 214
и далее.
2
Фиг. 23.

.15 ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
ва трение между грунтом и стенкий, но должен получиться треугольник сил ΣΜΝ,
и без нее. Таким образом, изложенной где МіѴ= (} и ΣΜ. — Ό. Так как внешний
теорией можно пользоваться даже в про- .угол Л'КІ в треугольнике ΝΒΚ равен θ
стейшеи ее виде. (по взаимной перпендикулярности сторон) и
■ § 8. Для пилноты приведем еще общий втожевремя.равенсуиме внутреннихуглов,
случай, когда 1) стенка наклонна, 2) между не смежных с ним, то ΒΝΜ=Θ—ср.
1>
' / зѵѴ4^
Фиг. 27.
грунтом и стенкой имеется трение, 3)
поверхность земли не горизонтальна, а
произвольна и і) кроне того, имеется еще
добавочная нагрузка.
Пусть имеется стевка АВ (фиг. 27) ^
на которую давит грунт, ограниченный
сверху поиерхностью ВС и несущий
произвольную нагрузку. Грунт этот
производит некоторое давление на стенку В, при
чем направление давления образует с
нормалью к поверхности стены угол р,
определяемый из опыта. Давление
обусловливается сползанием призмы грунта ЛВС,
весом (2, по некоторой шіискости АС,
образующей с горизонталью угол Ѳ. Угол
между направлением В и вертикалью
обозначим β. Угол трения грунта—ш.
Сползание произойдет тогда, когда в
плоскости АС будет преодолена сила тр<-ния
грунта. А это будет тогда, когда
равнодействующая Μ будет составлять с
нормалью к АС угол φ. Для равновесия
то
В таком случае
/>:<2 = 8ш (Ѳ — <р):аіп ΜΒΝ.
Λ так как
■<:МШ=19Ѵ—(Ѳ— ср + р) і):
Г)—П ЗІП (Θ— φ)
') Сы. КоттетсІІ. ЗіаіІзсЬе ВегвеЬгшпд ѵоп
Тлшпеітаиепѵегк, стр. 4 π др.
Каждому значению θ соответствует
некоторое значение В. Истинной плоскостью
сползания будет та, при которой В
получает наибольшее значение. Поэтому,
вычислив значения В для ряда произвольно
задаваемых углов θ и найдя максимум,
получим величину давления грунта на
стенку В и определенный угол
сползания Ѳ.
Необходимо отметить, что вес
сползающей призмы О, зависит от угла Ѳ.
Пример. Пусть поверхность земли
горизонтальна, внешней нагрузки нет, угол
і) Сумма угюв в треугольнике бев двух
других.

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
19
= 4 т, вес 1 тъ породы 8 = 2 000 кд
и угол трения ш = 31).
Возьмем размер в плоскости,
перпендикулярной чертежу, равным 1 т. По
чертежу видно, что объем призмы равен
Ѵа АВ ■ ВО, а так как
АВ = Н и ΒΟ — ΒΕ·\·ΕΟ-*ΆϋίΖ$-\-
-\-И ύ% θ
то
ρ=-5-&Η» (гіеР+гіеѲ)
Фиг. 28.
следовательно,
р=0, так что сила О нормальна к по- 0 = ^-%В? (с(§ β+сів Ѳ}^П(Ѳ_?_^·
верхности стенки (фиг. 28). Пусть, далее,
β = 80°, вертикальная высота стенки М=> Подставляем зиачения букв
В=±Ш0.Р (сіё80о + сі?Ѳ)з-і^^^) =
= 16000 («,176 + с^в}^|^
Будем давать θ различные значения, начиная с θ = 30°, когда, как видно
0 = 0.
40°
1,368
0,174
1,000
0,174
0,248
3 420
45°
ІІІІ
0.306
4900
' 50°
1,015
0,712
0,985
0,350
0,355
5 690
60°.
0,753
0,500
0,9 Ю ■
0,530
0,400
6 400
75°
ІІІІ
* 0,346
5 540
90°
0,176+ 6% θ . .
Зіп (Θ — 30а)
8іп (Ѳ + 50")
ян (Ѳ — 30°>:віп (Ѳ-|-50°) .
(0,176+ еіВѲ, *Μβ-80°)
І>
Таким образом, оказывается, максимум Ώ
получается при θ = 60° и ранен 6 400 кд.
Итак, всегда возможно найти величину
Ώ давления грунта на' подпорную стеняу.
При прочих одинаковых условиях, она,
как ясно из.фигуры 27, зависит от
высоты стенки АВ, ибо последняя влияет на
вес сползающей призмы ($. Дав АВ
приращение &.АВ, получюі некоторое
увеличение давления грунта Δ Ώ, Разделив
же Δ ΰ на Δ АВ, мы получим давление
на единицу площади в промежутке АА',
т.-е. в пределе давление ρ на 1 кв.
единицу вертикальной проекции в
будет άΏ
0,176
0,806
0,643
1.250
0,220
3520
Я
точке А \ V
давления
получим
У
Поэтому, взяв производную
грунта по высоте стенки, мы
давление на 1 кв. единицу внизу стенки.
§ 9. Для определения углов трения
существуют различные методы. Для тел
сыпучих самих по себе пользуются
обыкновенно измерением углов естественного
откоса. Если мы возьмем наклонную плоскую
поверхность сыпучего тела (фиг. 29} и на
2*

20
ЧАСТЬ 1. ДАПДБвЯК ГОРНЫХ ПОРОД.
ней частицу того же тела А, то вес этой
частицы (3 разложится на силу Ν,
нормальную к поверхности тт, и
параллельную ей—Т. Первая будет прижимать ча-
т
Поэтому, если насыпать сыпучее тело кучей,
возможно круче, то угол у основания, так
называемый угол естественного откоса,—
и будет искомым углом трения φ. Угол
Фпг. 29.
Фиг. 30.
стицу к поверхности, вызывая силу трения
.Р, равную, по общему правилу,
прижимающей силе Ν~, умноясенной на коэффициент
трения /Ί равный і§ φ, т.-е.
Фиг. 31.
а вторая будет стремиться сдвинуть
частицу вниз.
Пока сдвигающая сила Τ меньше силы
трения Ж, частица будет неподвижна.
Когда Т>Р, частица будет скользить по
поверхности тела. Предельным моментом
является, когда Т=І", т.-е.
Т=Я-1& (12)
Из чертежа видно, что в этот момент
а = φ. Отсюда следует, что предельный
угол а, при котором частицы сыпучего
тела начинают скатываться с поверхности
его, иявляетсяравным искомому углутрения.
этот легко измерить. Кучу можно нас ыпать
или коническую (фиг. 30—пшеница), или
плоско присыпать к стенке (фиг.31—песок).
Для определения угла трения ρ между
грунтом и стенкой Μ ю л л е р-Б ρ е с л а у ')
употреблял следующий прибор (фиг. 32).
На квадратный ящик, площадью около
0,25 ота и высотой 15 ст накладывалась
открытая рама такой же формы высотою
\&ш&т&ъ:
■7^'^'//^^ί>ί}ί)ί1>ί)ίίίί>}>
Фиг. 32.
6,5 сот. Все наполнялось
испытуемым сыпучим телом.
Затем, поверхность сыпучего
тела тщательно
выглаживалась линейкой и рама
осторожно снималась. На
выровненную поверхность укладывалась
пластинка испытуемого материала стенки и на
нее ставился некоторый груз 0,. Пластинка
соединялась с натяжной лентой,
действующей по плоскости скольжения, и на чашку
весов, соединенную коленчатым рычагом
с натяжной лентой, накладывались гири
до тех пор, пока не получалось сдвигания
пластинки. Если вес гирь равен Р, то,
очевидно, і% р = Р: 6.
В практике расчетов угол р принимают,
обыкновенно, просто равным углу φ.
і) Сы. Кгеу. ЕпЗйгисЬ и. а. №., стр. 6.

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДЛВЛЯНЕЯ ПОРОД.
21
Таблица веса 5 и углов трения φ различных грунтов1).
Наеынная земля сухая
„ „ естественно! влажности
„ , завышенная водой . . .
Песок сухой
„ естественной влажности
, насыщенный водой
Илистая земля су.чал
„ „ мокрая
Глнпа сухая
„ мокрая
Гравий сухой
„ мокрый
Галька угловатая
„ округленная
Газовый уголь
Водь
1,40
1,60
1,80
1,58-1,65
1,80
2,00
1,50
1,90
1-60
1,90
1,80—1,85
1,86
1,80
1,80
0,90
1,00
35—40
45
27
30—35
40
25
40-45
20—25
40-50
20—25
35-40
25
45
30
45—50
О
0,70—0,84
1,00
0,51
0,58-0,70
0,84
0,46
0,84—1,00
0,36-0,46
0,84-1,19
0,36—0,46
0,70—0,84
0,46
1,00
0,58
1,00-1,19
О
0,211—0,217
0,172
0,372
0,333-0,271
0,217
0,406
0,217—0,172
0,490—0,406
0,217—0,132
0,490—0,406
0,271-0,217
0,406
0,172
0,333
0,172—0,132
Π р и м е ч а н и е. Из обстоятельных
сочинений по теории давления грунта можно
указать: Мііііег—ВгевІ ап. ЕпЫтск аиг
ЙШІгщаиѳгп, 8іи((§аг(, 1906 или на более
новую книгу Н. К г е у. Егоагіюк, Епітѵі-
<1шІаіі<1 шиі ТгаёГйЫ§ке1£ йез Ваи§гищіев,
книгу В- Кек. Основы расчета
строительных сооружений перевод Страхова и др.
б. Сплошные упругие по[роды.
§ 10. Выделил мысленно г) на глу-
поверхности кубнк породы
к=.р
Фиг. 33.
1926, также КошшегеП. 81а£івс1іе Веге-
с1тш§ ѵоп Тштеішаиегчгегк.
Наиболее простое изложение на
русском языке—см. упоминавшуюся выше
1) Нііііе. Русское издание, 1921 г., т. III,
стр. 233.
(фиг. 33), у которого ребра были бы
') О. Д. Хводьсон. Курс физики, т. 1.
Любое издание от первого 1897 г. (стр. 573) до
последнего, пятого, 1923 г. (втр. 590). Изложение
упрощено (по А. Н. Д и н π π к у см. дальше). См.
такта статью П. Е. Добровольского.
Артемовен. 1927 г. № 5, Стр. 69 π др.

,/'■' ν
22
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
раввы 1 ши были бы параллельны трем
координатным осям. Давление рв сверху
на этот кубик будет, очевидно, равно весу
давящего столба породы до поверхности,
т.-е. оЖ. Под влиянием этого давления
кубик будет сжинаться в направлении осп Ζ
и раздаваться в поперечном направлении,
т.-е. в направлении осей X и Υ, при том,
вследствие симметрии, одинаково в ту
и другую сторону. А так как кубик с
боков окружен массой породы и фактически
расширяться не может, то с боков
возникнут напряжения, которые мы обозначим
через ρτ.
Величина поперечного расширения, по
общему правилу сопротивления материалов
будет пропорциональна давлению р9=8Л,
обратно пропорциональна модулю упругости
породы Ε и прямо пропорциональна
коэффициенту поперечного сжатия т
(постоянная Пуассона), т.-е. будет равна
т
5Я
Ε
Кроме того, боковое усилие рг по
направлению осп Υ. вызовет также
расширение по оси X, равное
т
Ε
и обратно. Стало быть, общее расширение
по направлению каждой из боковых осей
будет равно сумме
оЛ" ι р.
Напротив, сжимающее усилие р. в
направлении каждой из своих осей вызовет
Р,
непосредственное сжатие равное-р-.
А так как фактически кубику
расширяться вбок невозможно и он должен
сохранить свои прежние размеры, то
расширение от первых двух усилий должно
равняться сжатию от третьего,
как раз
т.-е.
откуда
т
Ε
?!_— ^1
™1Г =
Ε
Р,=
ЬЕ
.(14)
Таково будет боковое напряжение в
породе на глубине Я от поверхности,
вертикальное же напряжение, как сказано,
равно
Р.= № (15)
§ 11. Теоретически постоянная
Пуассона т = 0,25, на самом же деле величина
эта различна для разных тел, колеблясь
от 0 до 0,5 ]). Вторая цифра является
предельной, так как дает боковое
давление равным вертикальному, что нормально
имеет место в жидкостях.
Пробка .... О,
Стекло 0,197—0,319
Цинк .... 0,205
Желево . . . 0,243—0,ЗЮ
Медь гальванопл. . . . 0,250
„ обыкновенная . . 0,348
Сталь 0,294- 0,304
Свинец
Эбонпт
Парафин
Каучук.
Жидкости
. 0,375
. 0,389
. 0,500
.0,500
.0,500
Для горных пород коэффициент этот,
к сожалению, изучен очень мало -):
кремень 0,03
литографский камень . . 0,25
обсидиан 0,18
песчаники 0,10—0,25
. Можно также определить эту величину
вообще для пород, составляющих верхнюю
кору земли по распространению упругих
волн при землетрясениях. Тогда, как для
самых верхних слоев, так и для более
глубоких, получается близкая к
теоретической величина т=0,27.
§ 12. Сопоставление сыпучих
и упругих тел. Из изложенного видно,
что и в сыпучих и в упругих телах
вертикальное давление одинаково равно:
Ре = ^
горизонтальное же давление выражается
однородными формулами
р! = ЬЗ-^^^- = К- ЬВ . (4)
Р1 = ЬИ^ = К.Ш . .(И)
г) О. Д. Хво л ьсо п. Курс финики. Издание
5. Берлин, 1923, стр. 587.
а) А. П. Динни к. О давлении горных
пород и расчет крепи круглой шахты. .Инженерный
Работник". 1925, № 7, стр. 3.

ооэор существующих гворий дівлепня ' пород. 23
если обозначать множители при ЬН одной
буквой Ж. *>
Если бы когда-либо коэффициенты эти
численно оказались равными, т.-е. если бы
90°
что бывает, как легко убедиться, когда
т = і&Ю=1
или
φ= -д- — 2 агс віп і/Ѵи
то распределение усилий в обоих случаях
оказалось бы совершенно одинаковым.
Такал аналогия в некоторых случаях может
оказаться небесполезной.
Давление пород на кровлю штольно-
образных выработок.
а. Сыпучие тела и мягкий грунт.
§ 13. Давит полный столб
породы. Самое простое и старое воззрение,—
что на потолок птгольнообразной
выработки давит своим весом столб породы,
ограниченный вертикальными плоскостями,
проходящими через бока выработки
(фиг. 34).
Тогда вертикальное давление в каждой
точке будет равно весу столба породы,
высотою равного расстоянию этой точки до
поверхности земли, пусть а, т.-е.
боковое же горизонтальное давление, при
этом, считается равным нулю.
При плоском перекрытии давление над
всеми точками кровли будет, очевидно,
равномерным
где Я—расстояние кровли выработки от
поверхности земли.
Несмотря на всю простоту и
естественность такого предположения,
действительность решительно ему противоречит. Если
взять самое обыкновенное деревянное
крепление дверными окладами, толщиною
й = 15 ет из круглого соснового леса,
при чем ширина выработки 2а = 2(1.0 ст,
и расстояние между окладами Х.=70 ст,
то, как легко подсчитать, переклад такого
крепления, представляющий собою балку
на двух опорах, изгибаемую равномерной
нагрузкой, должен сломаться при нагрузке
Ршях, которая определится из
общеизвестного выражения изгибающего момента
М=^-
АЪлУ
1=ТѴК
при чем для круглого сечения
1Ѵ=±Ы*
т.-е.
'^70=^262
32
где -К"й = 262 — есть временное
сопротивление материала крепления (сосна) в Іід/ст2
Отсюда
Рш
3,14-153-262·8
0,248 Ндіст?
Фиг. 34.
Так как удельный вес пород можно
принять равным 2,5, то вычисленное
давление соответствует весу столба породы,
высотою
0,246
0,0025
= 100 я» = 1,0 от
Таким образом, слой породы, толщиною
только в 1,0. т уже должен сломать крепь,
а между тем каждодневный опыт
показывает, что указанная крепь отлично стоит
на глубине сотен метров, Стало быть,
предположение о полном давлении столба

24
ЧАСТЬ I. ДА ВЛ Ι! Η ПИ ГОРНЫХ ПОРОД.
породы ни в какой мере не согласуется
с действительностью.
Все дело в том, что формула (5) дает
прямую пропорциональность давления
глубине выработки Ε от поверхности, между
тем в главе I, § 9 мы уже имели случаи
говорить, что основное впечатление
горняков-практиков, выработанное многовековой
практикой, ■—что давление на крепь от
глубины не зависит. Получается
непримиримое противоречие теории с практикой.
Наши опыты с песком и льняным семенем,
о которых речь будет итти дальше, с
полной наглядностью это подтверждают и
показывают как на саном деле изменяется
давление при изменении глубины.
Например, давление песка на
площадку 4 χ 4 ст'2 оказывается
Внсота
давящего слоя
ст
1
2
3
4
5
6
7
15
30
Наблюден вое
давление
3
28
37
43
45
46
48
38
38
39
Вычислен нов
давление
9
26
52
78
104
130
156
309
390
780
тельным (Я—от 0 до 1 ст), затем они
начинают расходиться, так как
действительное давление растет гораздо
медленнее вычисленного {Н— от 1 до 4 ст). После
этого, они решительно расходятся, ибо
действительное давление стремится к
постоянной величине, а вычисленное
непрерывно возрастает.
Полученные результаты показывают,
что при глубинах небольших
практически можно вести расчеты на полный
вес столба грунта, мирясь с тем, что
получается все больший и больший запас,
но за некоторым пределом запас этот
возрастает настолько, что мириться
оказывается уже невозможным. Поэтому,
указанный расчет имеет место, например, при
расчете труб под железнодорожными
насыпями, расчете туннелей в сыпучем и
мягком грунте на небольшой глубине и пр.,
но абсолютно непригоден в рудниках, где
глубины значительны.
§ 14. Таков же по существу способ,
когда, кроме вертикального, учитывается и
боковое давление грунта (фиг. 36). Тогда
в любой точке на глубине Л от
поверхности имеется система двух напряжений:
вертикального
Р, = Ш (5)
и горизонтального
ρ,-ιπ.ν™^.
.(4)
θ/
Фиг. 36.
Если нанеста эти результаты на
диаграмму (фиг. 35), то видно, что сначала
вычисленное давление совпадает с дейетви-
Способ этот дает
возможность учитывать давление не
только на потолок, но и на
бока выработки (фиг. 37).
Так как и при этом
способе оба вида давления
пропорциональны глубине, то
и к нему относится в
полной мере все сказанное о
предыдущем случае: его
можно применять при
небольших глубинах,
сознательно допускал все
больший и больший запас, но
при значительных глубинах
он дает абсурды.
§ 15. Опускание
столба породы над
выработкой ослабляется
трением его о соседние части
пород. Сюда относятся две теории: Вир-

овэор оущвотвующпі творцВ дівіеиіш пород.
2&
баумера и Янсена, близкие по
идее, но совершенно различные по
формулам.
Бирбаумер *) рассуждает
следующим образом. Если в дне ящика, куда
насыпано сыпучее тело, (фиг. 38) сделан
вырез шириною Ία и длиною I, то, пред- 2 " "° 2
положив мысленно столб породы над вы- по теории давления грунта (см. § 3, фор-
резом отвердевшим, инеем, что вниз дей- мула 3).
ствует его вес 5, а сопротивляется трение, Подставляя, имеем
вследствие бокового давления Ό. Давление
на вырез тогда будет
Ио Р=0—22>·*εφ
а <З^Ь-2аШ,
>=ь-ъан[і-■§%<?.&
90°—а
(16)
Формула эта показывает,
что при
2а
= (£?'
„2 90° ~ ?
Ρ обращается в нуль и,
стало" быть, давящий столб
должен висеть. Очевидно,
что это могло бы иметь место
только, если бы столб этот
был монолитом. А так как
он состоит из несвязанных
между собой частичек, то
к подвижной пластинке,
закрывающей вырез снизу,
надо приложить некоторое
усилие, которое могло бы
восстановить равновесие. Мыслимо не- щая на его боковую поверхность сила В,
сколько возможностей этого: слагающаяся из давления Ζ» и силы^тре-
1) Так как у этой пластинки в сы- ния 1?, составляющей с ней угол φ, до
пучем теле существует горизонтальное тех пор будет направлена кверху, а стало
напряяіение быть будет разгружать вес клина, пока
Фиг. 37.
рѣш=ъНА£
90° —у
2]
.(4)
-9. α-
ΤΟ оно, в свою очередь, может произвести
на пластинку вертикальное давление (по
формуле 7, но вместо ι подставив рг).
а-Л-^^^-ВЯ.Іб*
90° — о
и, стало быть, давление на вееь вырез
будет ;
р=з-;ыя-іЕ*9-^р · -(17)
2) Если вообразить себе над вырезом
клин породы ЛОБ (фиг. 39), то действуго-
*) ВіегЬаишог. ϋϊβ ВітепяіопіепіБц (Іен
Тітиеітішегтегііез. Ьеіргіи іикі ВегЩ 1913.
ШІ!
і-
\з>_
\ ί м
}іЩШН*
=ϊ3
л
1 1
\/
А
ОС
I
I
ііЬшіі
(3
Фиг. 38,
угол α будет меньше ір. Действительно,
сила Я будет горизонтальна тогда, когда
угол α равен углу <р (углы со взаимно
перпендикулярными сторонами). Если α<φ,
то В направлено вверх и давления на
подставку не производит. Если же а > о,

26 ЧАСТЬ I. ДЛВЛВНИБ ГОРНЫ* ПОРОД.
то В. направлено вниз и клин будет
давить на подставку. Поэтому, в пределе,
сила Ρ может иметь еще новое значение,
равное весу клина, когда α = φ.
1 2а-а-Ь-1 ЬаЧ ,. 0-,
■ (Щ
Р=-
йа
*е?
Если попробовать для проверки
считать опыты, хотя бы Энгессера
дальше § 25) по каждой из этих
формул, то получится
ч = зб°зо';
і£и = 0,74;
под-
(см.
трех
2а = 4 ст
Н — 40 ещ 15 от Ε 6 ст
I = 20 ст
3 = 1,5 дІсііФ
Рв=о(2я + 28)
что на 1 тг площади ІК дает
боковое же давление будет
,90° — о
Η
н
Формулы
Л" = 40 СИ . .
Η =15 „ . .
Н= 6 „ . .
(16)
— 4 800 д
450 „
504 „
(17)
300 д
112,5 „
45 „
(18)
160.?
160 „
160 „
Опыт
140 д
150 „
180 ,
Табличка с очевидностью показывает,
что, кроме третьего случая, ли о каком
согласовании вычислений с данными
опытов не может быть и речи. Однако, Бир-
Оаумер объясняет это существованием
напряжений, обязанных своим
происхождением некоторой связи между частицами,
чего в идеальных сыпучих телах, какие
имеет в виду его теория, не должно бы
быть. И в дальнейшем он все-таки берет
за основу первый случай π
менее—второй, а третий—оставляет в стороне.
§ 16. Переходя собственно к туннелям,
Бнрбаумер рассуждает так. Около
проводимого туннеля (фиг. 40) образуются две
плоскости сползания АМ π ΒΝ. накло-
_ до0 — φ
ненные под углом Ѳ= ——"- к горизонту.
Столб ІКВ.Ѳ производит на площадь ІК,
по предыдущему, давление (на 1 ног. т
туннеля)
І6Ч»- *Й* —5—"-
2а -1-Зв
2(β + ·)
і§<р-і§г
90° —
Ч
(19)
р, =ІѴІёг
роме того
2
90°-φ
2
Обозначая для краткости
Иг"*
*ет-(е'
Таким образом формула получает вид
где К<\.
Далее Бирбаумер указывает еще. один
вариант. Вместо того, чтобы определять β
по углу плоскостей скольжения, можно
еще рассуждать так:
Пусть влево от ѵп'гі и вправо от т"п"
(фиг. 41) существует ненарушенное
горизонтальное давление грунта
имеем
.а зо° - τ
(20)
(21)
Ш-Щ
Действие его на тп аналогично прежнему
действию вертикального давления. Поэтому,
горизонтальному действию на бока тун-

ОЕВОР СУЩЕСТРИОЩПХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД. 27
неля необходимо преодолеть трение по бо- Имея; кроме того, выражение для ра
новым плоскостям аз, вызываемое верти- (см. 19) и выражение для
кальным давлением р„ т.-е. ρβ·ίξψ на эо° —о
1 кв. единицу поверхности трения. !Р, =Рв *Й2—%—
»тгі ,90°-? η . имеем три уравнения с тремя неизвестными.
р, .тп^Ж-ір—^ѵт-ъвр,-^ ршая ^хДайдем для ^ выражение
£=!■
К2Ж~\-2а
2
+п
КгН — 2а\г
+ ЯАЯ^
3 А**·*"^ о
Фнг. 40.
(22)
Подсчеты по (20) и по (22) дают не
совсем одинаковые величины для К. Бир-
баумер советует брать из двух значений—
большее.
Теория Бирбаумера представляется нам
искусственной, а
рассуждения—сомнительными.
Сама по себе идея опускающегося своим
весом столба, испытывающего трение по
своей боковой поверхности,—проста и
понятна, почему постоянно приходит в
голову. Но, чтобы явление в телах,
лишенных связи между частицами, происходило
так, как если бы сыпучий столб стал
монолитным,—с этим никак нельзя
согласиться, и само обилие вариантов
показывает неустойчивость мысли автора.
Затем подсчеты по выведенным
формулам решительно не сходятся ни с
опытами Энгессер, ни с еще более
обстоятельными опытами—нашими, за которые мы
можем поручиться. Вот результаты
вычислений по формуле (16) и данные опытов
при <? = 31°40'·, 2а = 4ст; 3=1,62.
Высоте.
давящего столба
от
0
1
2
3
4
5
6 .
8
15
30
Вычисленное
давление
Ρ
0
25
47
67
83
98
112
133
109
—
Наблюденное
давление
Я
0
28
37
43
45
46
43
38
33
39
Наконец, совершенно нельзя помириться
с тем, что при некоторой глубине (см.
формулу 16) давление на крепь полу-

28
ЧАСТЬ 1. ДАВДКапВ ГОРНЫХ ПОРОХ.
чится равным нулю л даже будет
отрицательно. Нас удивляет только, что Бирбаумер,
получив формулу 18, результаты которой
близко сходятся с известными ему опытами
Энгессера, оставляет этот случай в стороне,
тогда как, по нашему мнению, именно он
ближе подходит к. действительности.
т'
А =
л'
Λίί—
Ре
т
1
іп
—ри
\
\
Ж
1
1
1
*
і
пі'
2а
Фиг. 41.
§ 17. Вторая, схожая по идее, теория
принадлежит Я н с е н у. Пусть в ящик
(фиг. 42) насыпано сыпучее тело
удельного веса δ!). На горизонтальную
площадку ЛВ, находящуюся на расстоянии г
от поверхности, вышележащая масса
сыпучего тела производит некоторое
вертикальное давление рг (на кв. единицу). По
свойству еыпучих тел, на той же высоте
Фиг. 42,
будет существовать некоторое
горизонтальное давление на стенки рг. Тогда между
сыпучим телом и стенками ящика
возникнет трение, коэффициент которого
обозначим через ^=і£<р. Трение это будет
препятствовать опусканию сыпучего тела
вниз. Поэтому, если мы выделим на
глубине г горизонтальный слой, высотою άζ,
а площадью равный площади сечения
ящика .Р, то на него будут действовать
следующие силы: сверху .вниз давление
') ТапвзеЕ. ѴегзисЬе ііЬвг Сеіге Шей гаек іп
8!1οζθ11βα. Ζβϊί. й. Ѵег. ϋβαίβοΐι. Іс£. 1895.
вышележащих слоев ро ¥ и вес самого
слоя З-Р.сЦ снизу вверх сопротивление
нижележащих слоев, которое будет по
величине отличаться от давления сверху на
гёр,, т.-е. будет [ре-\~аре)Р, а по
периферии—вызванная горизонтальным
давлением рі по периметру Ζ7—вертикальная
сила трения ρζυ/·άζ. При известном
соотношении все силы будут находиться в
равновесии и сыпучее тело не будет
опускаться
&й + ар,)Г—рЙІІ=И'-<Іг-ГргѴ-а*
или, деля все па У и обозначая /ρι:ρί
через к, получаем:
аріі=Ь-Оз — !сре -у аз.
Разделяем переменные
і-Др.
= 8.ώ
Интегрируем теперь
Ч*-*£».)=-*■£*
Так как при ζ= 0 давление рс должно
равняться нулю, то постоянная при
интегрировании равна нулю. Полученное
выражение можно переписать так
и
е--4-=1~к^р.
Откуда
*.-ί£(ι-.-ί·
. .(23)
А на все сечение давление будет равно
р_5£(і_.-4.) . .(М)
Давление на дно получается, когда
*-£<і-
!-*7') . .(25)
Так как, по обозначению й=/р8:р(, то
Г
Стало-быть, вставляя значение р„ из (23),
имеем
Ж боковое давление у дна:
(27)

ОВЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДДВДВВВЯ ПОРОД.
29
§ 18. Теория Ян еена имеет в виду
случай, когда площадью давления является
все дно ящика, а боковое трение возникает
между разнородными телами—насыпанным
сыпучим телом и материалом ящика. Но
не трудно, пользуясь его методом, получить
формулы, более подходящие к нашему
вопросу. Именно, представим себе, что под
неограниченной с боков массой сыпучей
породы проведена выработка, площадь
потолка которой равна Р. Тогда боковые
части сыпучей породы, окружающие
вертикальный столб ее над выработкой, будут
играть роль ящика, а вместо трения
сыпучего тела о ящик будет трение между
одной,и той же породой. Боковое давление
ρ по общей теории грунта равно
(формула 6)
, , 9о°—φ
,где φ есть угол трения самого сыпучего
тела.
Поэтому, коэффициент й, который Янеен
определял из опыта, здесь будет . просто
следующий
, й»г . , , ео°—ε ,„□·.
* = — = І£<Р-і§а -γ-* · -(28)
Зная угол трения <р, для любого
сыпучего тела легко вычислить и определить
давление Ρ
со стороны зерна эта коробка
отгораживалась резиновой мембраной о, поверхность
которой совпадала е внутренней стенкой
элеватора. Коробка Ъ наполнялась какой-
нибудь жидкостью и от нее вели через
стенку наружу две трубки е и ά. Первая
оканчивалась краном е для выпускания
набравшегося воздуха, а вторая вела к
обыкновенному ртутному манометру.. Легко
видеть, что зерно, надавливая на жидкость
в &, заставляло подниматься ртуть в мано-
Рв
ьр
г-и*^и
X
Х(і_е-,.*!=^.)
ъв·
Р.-п і—-'■
Ρ-£ί1-
&
,90°-? а
(29)
.«-,.*=£■» п
Т*).'(30)
§ 19. Теория Янсена имеет всеобщее
распространение в деле постройки
элеваторов. Были произведены и опыты, даже
в крупном масштабе. В Буенос-Айресе
в 1902 г. Люффт ') применял аппарат,
изображенный на фиг. 43. В каменной
стенке элеватора было сделано сбоку
углубление, куда вставляли чугунную коробку Ь;
1) Е. Ьи??і. ВгискѵегІіШпівзв іп Шогеііеп
Бегііп, 1920.
Фаг. 43.
метре до тех пор, пока не наступало
равновесие. По высоте ртутного столба можно
было судить об имевшем место боковом
давлении.
Линия о на фигуре 44 изображает
непосредственно опытную кривую бокового
давления для легкой пшеницы в круглом
элеваторе при отношении высоты засыпки з
и диаметру не свыше 1,4. Чтобы сравнить
полученные данные с вычислениями, надо
знать величины β, φ и /е. Когда взяли
обычные справочные цифры 8 = 0,72;
/■=ίίτφ = 0,45 и й = 0,14, т.-е. отношение
рг :ра = 0,31, то получилась вычисленная
кривая, не вполне совпадавшая с наблю-

30
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
денной. Если же для 1&? взять величину
0,66, а для Λ— 0,3,то получится кривая с,
близкая к наблюдаемой. Другой опыт для
пшенвцы с удельным весом 3 = 0,78 дал
3^1 14 (К>
'■Ч Ν4'2
\ \
\ \
ЧІ
(30)
38 (М)
»°з «а
\ >і ибй І*бИ
•Π >λι ЗВ (И)
5Ζ \і И (и)
55Й 8>5«ί (МЙ)
Фиг. 44,
кривую бокового давления, изображенную
на фиг. 45, которая чрезвычайно близко
соответствует величинам Ι&φ = 0,57 и
ι і I Г
с она) для давления на дно при .засыпке
песком. При этом & = 0,2 и 8 = 1,6.
Весьма интересны опыты,
показывающие, что давление на дно не распределяется
^-%,
^к.
и ^ѵ
\
^
I
3
ζ
β ; . ' . 1
1
γ
— . μ
Фиг. 46.
равномерно, а в середине, как правило,
больше, чем у стенок. Так, по Б о в э
давление на дно представляло следующие
изменения (фиг. 47).
-а/6
_^- д/6 ~|— а/С -4" э/Е -4— а/1 —ί~ "^ "^
Фиг, 45.
/с = 0,3, т.-е. отношению горизонтального
давления к вертикальному р, :рІ = 0,53,
вместо обычных 0,3. Наконец, на фиг. 46
показана кривая из других опытов (Дж е м-
едина епюроны квадрата
основания = а
Фнг. 47.
Распределение бокового давлрния от
середины стенки к углам показывает такую
же картину (фиг. 48). Янсен дал и
теоретическое выражение этому явлению: он

ОМОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
31
ечитал.чтораспределение давления
происходит лучеообразно по отношению к середине
помещения, при чем нормальное к стенке
давление пропорционально синусу угла,
составляемого лучем со стенкой (фиг. 49).
Таких опытов было произведено много:
.'ΐΠΙψΙΉΒ ешсмкъ ^ и
Фпг. 48-
Исаак Роберте—в 1882 г., Янсен—
в1 189$ г., Пранте—в 1896 г., Жило
Кеткум —в 1902 г., Джексон —
в 1902-1903 г., Бовэ—в 1901 г.,
Лгаффт—в 1902—1903 г.,Плейсснер—
"в 1902—1905 г и т. д. ]), и все они, как
будто, подтверждают, правильность теории
Янсена.
. §..20. Тем не менее, ни опыты автора
настоящей книги, ни опыга Энгессера
решительно не сходятся с вычислениями
Янсена. I разница настолько велика, что
не может быть объяснена никакими
неточностями наблюдений.
Так, в наших опытах 1912 г. 2) с
песком мы имели в = 31°40', 8 = 1,62 и
вырез 4χ4 ст. По формуле (28)
величина к получается
& = ί§31040'·^90°~231040' =0,192
Вставляя это значение к в (25), как
и значения остальных букв
получаем
^ 0,192· 16 ^
-М«і|л)
Давая Я различные значения, получаем
для £\
Л 1 2 3 4 5 6 8 16 32 от
вычисления . 24 42 59 73 83 ѲЗ 107 116 ІЗа д
наблюдения . 28 37 43 45 46 48 38 38 39 ,
Таким образом, уже начиная с Я=3 сто,
наблюдается явное несоответствие,
увеличивающееся все более и более и
доходящее до 346%, при чем наблюдения меньше
вычислений.
—
7^
рьр,шз<
ρ ΐϊΐΐ <*\ \ч /-
'ч / **і
рь ЯІІЛУ \
ръшіп<^йра
Фиг. 49.
Подсчитывая опыты Энгессера подобным
■же образом имеем (<р = 36°30'; 8 = 1,5;
вырез 4 χ 20 ст).
ж
вычисления .
ваблю дев пя
40
■ 1052
. 140
15
Ш
142
6 ст,
524 д
180 „
Как видно, вычисления совершенно не
сходятся с наблюдениями и опять
наблюдения дают меньшие цифры, чем
вычисления. Это расхождение Энгессера и Янсена
отмечает также Вильман ')-
С делыо проверить указанное
расхождение мы в 1929 г. вновь поставили
специальные опыты. Был опять взят песок.
Угол трения φ оказался равным 32с30',
вес 1 сто3 δ = 1.65; вырез был взят
8X8 ст, глубина слоя насыпки была
ІГ=30 сто. По формуле (30) вычисления
дали
Непосредственные жь наблюдения были: Как видно, разница громадна: наблю-
285, 265, 270, 280, 265, 270, 265, 245, денпя почти вчетверо меньше вычислений
260, 260, 260, 270, в среднем, 265 д. по Янсену.
') См. упоминавшуюся уже книгу ЬиШ. і) Е. у. ТЛППшапп. ИеЬѳг еіпщв СеЬігез-
2) „Горвыи журнал" 19і2,книга4—5, стр. 15. йгисІіегвсЬеІвипееп и. в, тт. стр. 6—7.

32
ЧАСТЬ Ь ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
Тогда была поставлена задача
проверить, не ошибочно ли представление о
мысленно выделенном столбе и взгляд на
окружающие массы песка, как на ящик,
окружающий выделенный столб. С этой
целью была сделана квадратная труба,
как раз по вырезу, внутренняя
поверхность ее была обмазана клеем и обсыпана
.песком, чтобы, по возможности, сохранить
тот же угол трения между стенкой и
песком в столбе. Получилось: 305, 320, 325,
320, 305, 298, 300, 325, 305, 295, в
среднем, 310 д.
Произошло, таким образом,
незначительное увеличение {на 17°/п) давления,
что легко объяснить, так как приклеенные
более крупные песчинки легко осыпались,
и поверхность трубы была более гладкой,
чем поверхность массы песка. Коренное же
расхождение с вычислениями по Япсену
■осталось попрежвему.
§ 21. При таком разногласии, тем
■более непонятном, что, как сказано, теория
Янсена также проверялась на опытах,
необходимо попробовать выяснить причины
противоречия. К сожалению, из описания
чужих опытов невозможно полностью
установить всю конкретную обстановку
производства их, а именно, здесь, вероятно,
и кроется объяснение. Можно только
усмотреть, что, прежде всего, измерялось
давление не на всю площадь дна элеватора,
лак подразумевает, по идее своей, теория
Янсена, а на некоторое отверстие в дне.
Жежду тем, те же опыты показывают, что
давление не распределяется равномерно, а
потому совсем не безразлично, в какой
точке дна давление это измерять.
Затем, из книги Люфф та !)
усматривается, что близкое совпадение
наблюденных и вычисленных кривых получается
только в том случае, если в формулы
вместо величин, определяемых
самостоятельно, вставить значения умышленно
подобранные, так, чтобы совпадение было
наилучшим. Например, для случая
изображенного на диаграмме (фиг. 44) Люффт
указывает, что хороший результат получается,
■если вместо обычных значений /"=0,45
и 4 = 0,14 вставить £=0,66 и к =0,3,
т.-е. увеличить /' в 1,47 и к даже в 2,14
раза. Тем самым, вычисляемое по (23)
вертикальное давление уменьшается обратно
пропорционально ■ к в 2.14 раза, и даже
несколько более, ибо уменьшается
вычитаемое в скобках. Равным образом, изменение /,
согласно (27), во столько же раз изменяет
горизонтальное давление и т. д. Конечно,
подобная постановка дела лишает опыты
всякой убедительности. И сам Люффт,
замечая несоответствие, пытается объяснить это
изменением величин 8, /Ή А: под влиянием
давления массы зерна '). Гораздо проще
и естественнее думать, что на самом деле
теория Янсена опытами не оправдывается,
и единственно, что она дает,—это
правдоподобный характер кривых: при
возрастании высоты засыпки давление возрастает
сначала быстро, затем все медленнее и
приближается к некоторому постоянному
пределу. Но таким свойством обладает не
только кривая Янсена, а и целый ряд
других, как, например, кривая Энгессера
и автора настоящей книги, при чем эти
последние кривые имеют то преимущество,
что подсчитанные по ним абсолютные
величины давления оправдываются опытами
без всяких натяжек.
Нелишне обратить внимание также на
то, что давление на стенку, по теории
Янсена выражаемое формулами (26) и (29),
а также диаграммами (фиг. 44 и 45),
совсем не похоже на обычную формулу
давления грунта на подпорную стенку
(§ 4, выражение 4).
§ 21. В сыпучей породе
образуется свод равновесия, со
ответствую щий линии давления
грунта. Теории, изложенные до сих пор,
обходились без предположения об
образующемся в породе естественном своде.
Переходим к теориям, построенным на понятии
о таковом.
Самое простое и естественное
предположение,—что образующийся свод
соответствует линии давления грунта, ибо
линия давления вообще характеризуется
тем, что по ней имеются лишь сжимающие
усилия и никаких сдвигающих. Поэтому,
частицы сыпучего тела будут просто
прижаты друг к другу, а потому можно думать,
что, ■ несмотря на отсутствие связи между
частицами, равновесие все же может быть.
') Ьиίίΐ ВшскѵегііаІіпідБВ іп ЗіІояеІЬіі
•втр. 8 н др.
') Там же, стр. 7 и др.

Опэор существующих теорий д.тлинпи порпд.
Возьмем весьма большую высоту
давящего слоя, так что вертикальное давление
над любой точкой свода можно принять
постоянный и равный рв — Ы£, где 3—
вес единицы породы, а И—толщина
давящего слоя. В то ліе время в породе будут
существовать горизонтальные напряжения
, , 90°—щ
(по формуле 6 настоящей главы).
Рассмотрим левую половику свода
(фиг. 50) д). В вершине свода С действует
реакция Τ правой половины, при чем
направлена она горизонтально, ибо левая
и правая половины совершенно симметричны.
А
А
Тогда можно написать следующее
уравнение моментов относительно некоторой
произвольной точки Μ с координатами χ и у:
момент силы Τ равен' Ту и направлен
против часовой стрелки; момент
вертикального давления, действующего на
горизонтальную проекцию рассматриваемой части
«вода МС есть р-х · ~, ибо, вследствие
равномерности этого давления,
равнодействующая проходит как раз через середину х,
т.-е. плечо равно х\^х. Направлен ' этот
момент по часовой стрелке. Подобным же
\
■ *) См. лгоОой курс строительной механики,
например, К е к- основы расчета строительных
сооружений, стр. 389; изложение несколько
-изменено.
Ддвлѳиле гориых пород. τΙ, 1.
образом .момент горизонтального давления
есть рй у -|- и направлен также по
часовой стрелке. Все моменты должны взаимно
уравновешиваться, поэтому
ρ χΔ
-*-- · ■ -(ω)
Далее, проекция сил на горизонтальную
ось для точки Μ равна
а на вертикальную ось
Отношение этих сил есть тангенс угла
равнодействующей Я с горизонталью в
точке Μ и, если задаться условием, чтобы
"никаких сдвигающих усилий не было, то
равнодействующая эта должна совпасть
с касательной И, кривой свода в этой точке,
т.-е.
'Іу_ Υ Р я &
ах;~~~ X ~~ Т—р^
Ери некотором значении у = Ъ
касательная становится вертикальной, т.-е.
или
1 Т-рр.
Вставляя значение в (а) получим
2Рі ъу=:р/р+р у* . . (31)
Это есть уравнение эллипса,
отнесенного к вершине. Вертикальная полуось
его = Л, а горизонтальная найдется из
выражения (31), если положить у = Ь
и х = а
%рР=р.&-ЬрР*
отсюда
а = Ьі/^>г>Ѵ~^ .(32)
§ 22. Из сказанного, как-будто, -моашо
заключить, что, когда имеется выработка Л
(фиг. Ы), то, очертив вокруг нее эллипс
с отношением полуосей
мы получим, что на переклады будет давить
своим весом заштрихованный объем В,
который не трудно рассчитать.
Необходимо заметить, однако, что не-
. посредственно в изложенном виде идея
эта в литературе нам не встречалась, но
з

34
ЧАСТЬ I. ДАРЛЕВПВ ГОРНЫ* ПОРОХ.
она напрашивается сама собой, а
окружение выработки линией давления (правда
для твердых пород) имеется, например, у
Доборжин с к о го '). Та же идея в основе,
лежит у Ко и мере ля 2) и т. д.
Выводы из полученных результатов,
однако, неправдоподобны: для воды, когда
рв =р., эллипс обращается в круг, но
давление на
переклад, очевидно, не
будет равно весу
сегмента воды: а
будет равно весу
полного столба.
Равным образом,
при очень
значительном трении,
когда р1 пало
сравнительно ср,, эллипс
удлиняется в
вертикальном
направлении, т.-е. давление
нп переклад, как
будто бы, должно
увелпватьея, чего,
деле не может быть,
что приведен-
Фиг. 51,
конечно, на самом
Поэтому, надо полагать,
ные рассуждения, совершенно правильные
в отношении линии давления, как таковой,
нельзя применять к образующемуся
естественному своду и к давлению на крепь.
§ УЗ. В сыпучей породе
образуются разгружающие своднкн,
■ и о, ■ к ρ о м с того, необходимо
предупредить скольжение частиц.
Э н г е с се ρ 3) рассматривал специально
тела, лишенные связи, т.-е. сыпучие. Он
считает, что в таких телах сам собою
образуется разгружающий давление свод, но
полагает, что свод этот принял бы на себя
все давление вышележащих толщ
полностью, и на внутреннюю поверхность евода
никакого давления не было бы в том только
1) Η і. Π о Ь о г ζ у α β к і. Ргаусгуоек ііолѵу^вя-
иіепіа ροιίΌΐΙόιν іѵггазіи сізпісиіа зкаі * тіаге
яіѵіекмеиіа яіе ёІеЬоковсі гоЬоі ^іІгиіегусЬ. Ргге-
§1ас1 Тесііаіегпу 1903 г., стр. 28? π 294, а равно
его же статья: Тгп-аіове іѵугоЬівк §огиіогуеЬ і ріесгаг
роіІміетпуеЬ, π- гаісгпозеі оіі сіяоіепіа іѵвгзііг
істаеі ІегасуеЬ. Там міе, 1903 г., стр. 523 и 543.'
') КоттсгѳН. ЗіаШеЬе ВегесНпип^ и.
з. іс. стр. 69 и 70.
3) 1йп§ез8ог. ИеЬег (Іеп ЕічЫгиск ёщеа
іпаеге 8іііШѵгіп(1е (Тішпеііѵатіе). Оеиівеке Баи-
геіІип§. 1882 г.
случае, если бы он состоял из настоящих
твердых клинчатых камней, но так как в
действительности свод этот состоит из
отдельных частиц/несвязанных одна с
другой, то сдвигание частиц вниз возможно,
если только не воспрепятствовать ему
специальными вертикальными силами, пусть
о на единицу горизонтальной проекции,
приложенными к нижней поверхности
свода. Эти силы должно дать сопротивление
крепи, которой, кроме того, придется
выдержать еще вес породы внутри свода,
которая свободно будет на ней лежать.
Если обозначить угол трения сыпучего
тела через <р, удельный вес через 3, то
вертикальное давление крепи σ. вызовет
пассивное горизонтальное давление на
единицу в точках Л и θ (фиг. 52)
определяемое формулой (9) § 4
τ = σ.^Κ±?
или
90" — φ
. . . . (а)
90-V
Фиг. 52.
Давление же на всю горизонтальную
поверхность АВ будет
о · АВ = 2 а · а.
Форму свода Энгесеер считает
параболической, поэтому, высота такого свода,
.по свойству параболы, будет
I,— "' ^Ф
ибо парабола делит пополам отрезок 0Ώ до
пересечения осп У-ов с касательной; поэтому
, ., 2 ь
1§г- = -7-

01І30Г СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД. 35
Площадь параболического свода будет
а вес, давящий на крепь,
|8йз
Полное давление на крепь сложится из
этоі'о веса и суммы вертикальных сил
о
Возьмем теперь самый нижний
элементарный сводик, высотой йИ. Наименьшее
α будет, очевидно, в том случае, если
сводик должен выдерживать только себя, т.-е.
если он находится под действием своего
веса (8. сШ на единицу горизонтальной
проекции) и, конечно, давления снизу
вверх, оказываемого крепью ^ ЛН —
на единицу горизонтальной проекции1}]·
Тогда обща-я нагрузка на единицу
горизонтальной проекции сводика будет;
д=ан{ь-^)
Распор параболического свода, по
обычным формулам, равен 2):
гіт =
^&
или, подставляя значение у и Ь, получаем:
άτ= ■
отсюда
1) Реакция крепп σ равна суаіме скольясенпя
частиц породы вплоть до поверхности, т.-е. на
высоту И. Стадо быть, на единицу высоты
приходится вертпкальпое усилие а:Й, а на высоту
сШ элементарного сводпка придется (а:Н) άΗ.
2) Момент сил относительно точки опоры
сводика равен: горизонтальная сила распора Λτ
действует на плечо, равное высоте сводика Ь, т.-е.
равен Ь - гіт π действует против часовой стрелка.
Равномерное вертикальное давление на
горизонтальную проекцию ЛВ левой поливаем сводпка
да паіеет равнодействующую, проходящую через
середину ЛВ, т.-е. момент '/5 дп2, π действует по
часовой стрелке. Для равновесия сумма
моментов должна равняться нулю, т.-е. '/·. дв3 = ігі τ.
Отсюда получается указанное выражение для άτ.
иоо -с есть горизонтальное давление на
единицу высоты, а это и получится, если
силу άτ разделить па площадь аЯ, на
которую она действует.
Так как распор должен равняться
пассивному сопротивлению грунта, то,
вставляя полученное значение τ в (я),получим
<?
откуда можно определить о
ааН ■ №-
3 =
«Для минимума а, говорит Энгессер,
можно принять ψ = <!!>, и тогда
получается, что давление на крепь равно по (δ)
- о- . "90°-?
Р=2а 4**-- +
дИ)°-т
или
Р=2 8а»
Я- *ва
90° — ·
#.іЕР + а.^Е°1_?
+ ΐ]
(33)
Это решает вопрос.
Если глубпна Я велика, сравнительно
с а, и угол ψ не очень мал, то вторым
членом в знаменателе можно пренебречь,
и тогда получается
Ρ = 2 3^(ί^?^οοΙ§φ + -^).(34)
§ 24. Формулы предыдущего
параграфа выведены в предположении, что"
продольная ось выработки в направлении,
перпендикулярном к плоскости чертежа,
простирается неограниченно, и мы
выделили лишь часть, равную единице. Если же
площадь, на которую приизводптся давлепие,
ограничена в указанном направлении, то
вместо длинного цилиндрического свода
получается свод куполообразный, и
формулы видоизменяются.
Возьмем круглую площадь диаметром а,
тогда свод получит вид параболоида вра-
з*

36
ЧАСТ!. [. ДЛ1МВН1ІЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
щения. Вертикальное давление от
скольжения на всю и.іощадь будет
Вес же породы в объеме параболоида
будет равен половине объела цилиндра,
имеющего одинаковое основание и высоту
пли, таи как δ в нашем случае равно,
аналогично прежнему, -^ д. ■ γ і§ ·}>, то
е-^.-і^**
Полное давление на крепь равно
Соотношение между о и т остается,
конечно, прежнее
ο = τ.Ι&
30й —φ
И далее, заменяя в (с) а через '/ой,
подучим
'-8Ч?'«-
■й
Вставляя полученное значение τ в
выражение для α имеем
г=2іЬ(а-г)
откуда
бсШ- І82
90° — φ
3Β-.Ϊ£ψ + ί·ίΕ=
00° —φ
Считая опять ψ = φ, получаем
Теперь полное давление на крепь
выразится
1 ίΖ И ■ ів2 -
Р —
■ 7[# ■ о ■ ί%φ
"> '~32
То же можно написать иначе
Р —
' π βΡ;
ίΓ.ίβ:
90° — а
2
00
ЗЛ-ПвЧ> + «г-І8а---:
*=і +
+¥]
. . .{35)
Еогда Η велико сравнительно с ά и
угол φ не слпшким мал, то
Для квадратной площади сам Э н г е с-
сер не выводит формулы, но пользуясь
его методом, не трудно вывести
, 00° - φ
Р=іаЧ
4
(37)
Соответственная сокращенная формула
будет
Р = 4 * 8 (і^рісЦ <? + '-?) .{38)
Формулы настоящего параграфа
необходимы для опытной проверки, так как
при опытах можно получить всегда лишь
ограниченную площадь давления,
обыкновенно четырехугольную или круглую.
Для воды φ = 0, и уравнение (31) дает
р=23«.£Г. Для свободно стоящего
параллелепипеда φ= 90°. Тогда по (а)
получается о^О, и по (Ъ) Ρ=-γοα2ί§φ.
Отрезок параболы тогда обращается в прлмо-
уюльнпк, шириною Іа и высотою Н. При
этом Ρ станивится равным 'АоаЛт&к же,
как и при φ = 11. Таким обр;шм,
изложенная теория, говорит Знгессер, дает
для обоих крайних случаев, φ = 0. и ір =
= 90°, правильный результат.
§ 25. Энгессер сделал несколько
опытов. Материалом служил песок удельного
веса 1,5, угол трения которого был равен
φ=3ίί°3ϋ'. Аппарат состоял из ящика на
ножках {фиг. 53), шириною 20 ст и
высотою 40 ст, дно которого имело вырез
4 ст шириною и 20 ст длиною. Вырез
этот закрывался задвинской поверх дна
ящика. Продольные стенки ящика были

01ІЭ0Р СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАИлиВПЯ ПОРОД.
37
выстланы стеклом, чтобы, согласно теории,
силы .трения имелись только с двух сторон
отверстия. После того, как ящик был
наполнен песком, под отверстие подставлялась
одна чашка весов, причем на другой
чашке имелся груз, состоящий из сосуда
с водой; чашка весов плотно прижималась
ко дну ящика. Затем, открывалась задвижка,
вода постепенно высасывалась, чел вес
груза уменьшался, и когда· достигалась
граница равновесия, чашка под отверстием
резко опускалась. Вес оставшегося груза
определял величину давления песка. «Надо
заметить, говорит Энгессер, что перед
наступлением равновесия постоянно
происходило небольшое движение в массе
песка, так как после открывания задвижки
небольшой слой песка высыпался из ящика
и чашка немного опускалась».
Фиг. 53.
При высоте засыпки 40 ста опыты
показали давление 150 д, за вычетом веса
слоя песка, который, как сказано,
опускался после выдвигания задвижки. Из
этих 150 д надо вычесть еще вес слоя
песка в толщину самой задвижки (0,6 ши),
так что действительное давление надо
считать 140—144 д. Формула (33) дает
для длины отверстия 20 ст, давление
Ρ = 140 д, что достаточно сходится с дант
ныли наблюдений. Приближенная
формула (34) дает 141,6 д. При высоте слоя
засыпки 15 ст наблюдалось, в общем, то
же самое давление, быть может даже
имелось некоторое- незначительное
увеличение, но это не могло быть твердо
установлено вследствие колебаний результатов
наблюдений. При высоте слоя засыпки
6 ст наблюдаемое давление возросло до
180 д, в то время, как формула (33) дает
только 133 д. «Отсюда следует, говорит
Энгессер, что для малой высоты засыпки
(Н"== 1,5 ■ 2(і) предпосылки теории не
соблюдены, что впрочем, можно было
предвидеть и заранее. Во всяком случае, и
полученная величина давления, 180 д,
гораздо ближе подходит к вычисленным
133 д, чем обычно принимаемый полный
вес столба 4 ■ 20 ■ 6 ■ 1,5 = 720 ду>.
Следующий ряд опытов имел целью
уяснить влияние ширины выреза 1а. При
высоте засыпки 40 свд и ширине выреза
1,2 ст давление, за вычетом
высыпавшегося слоя песка, было 52 д. Выкидывая
отсюда 4 д на толщину задвижки и
учитывая еще неблагоприятное влияние
неровной высоты краев отверстия, видим, что
и в этом случае наблюдения достаточно
хороши согласуются с даваемой
вычислением величнн"й Ид. Для круглого выреза
диаметром 5 ет, при высоте засыпки 30 ст
наблюдения дали давление 34 д, откуда
надо скинуть 2—3 д на задвижку.
Вычисления дают 26 д. Разница может быть
отнесена на счет нарушений в песке-из-за
передвиганий задвижки.
Таким образом, опыты, по мнению
Энгессера, достаточно подтверждают теорию.
Подтверждается и теоретическое
заключение, что при большой высоте засыпки
давление не зависит от глубины и
пропорционально квадрату ширины пролета.'
§ 26. Что касается давления на
вертикальную стенку выработки, то прежде
всего возникает, вопрос о направлении
давления. Так как нет никаких оснований
судить, будет ли обращено это давление
кверху или книзу, то самое естественное
предположить, что оно будет направлено
нормально и стенке.
-"-->?
Фяг. 54.
И здесь первоначальное давление
массы породы, главным образом, принимается
образующимся естественный сводом РАВН
(фиг. 54), который перекрывает проетран'·

38
ЧАСТЬ Г. ДАВЛВНПВ ГОРНЫХ ПОРОД.
ство между плоскостями сползания боков
ЕС и ВО. Вертикальная боковая стенка АО
оказывается загруженной давлением
сползающего мина породы АВ'С, который по
своей верхней поверхности нагружен
давлением з, соответствующим силе
скольжения частиц, как это толкуется в § 23.
Положение плоскости сползания π
разгружающего свода может быть найдено путем
проб, при помощи метода, описанного
в «ХеіІвсІігіГі Піг В іиі\ѵс8біі» 1880 г., но ради
простоты, с небольшой погрешностью,
примем, что свод опирается на плоскости
сползания на уровне потолка выработки Ев-, а
плоскости сползания наклонены под углом
с вертикалью АСЕ, равный (90 — φ):2 ').
Тогда пролет разгружающего свода будет
ЕѲ = 2а -|- 2* · і<* — ~? , и сила
скольжения по [а) (см. § 23) определится
%вІа + к.ч*1=Х)Ѵ?Г=2
и-ъч+и+к-ь
Для значительной глубины В и не
слишком малого угла ψ приблизительно
■г-1 О
{Щ
Суммарное давление будет:
(41)
Точка приложения силы (2 лежит между
Ѵз и 7а высоты іі, что зависит от
соотношения между (Зі и (32.
Таким образом, давление на стенку
штрека зависит не только от высоты
выработки й, но и от ее ширины 2а. Для
воды в=0 и уравнения (39 и 37) дают
гидростатическое давление
Для -свободно стоящего
параллелепипеда <р= Ж и β по (41) равно нулю.
§ 27. Теория Энгессера замечательна
во многих отношениях. Во-первых, Энгес-
сер был выдающимся исследователем
80° — φ\, , Ш° —
(39)
Это вертикальное давление α производит
горизонтальное давление на стенку АС
Кроме того, сползающий клин АЕС
производит давление (см. § 3 настоящей
главы, выражение 3)
в области строительной механики, перу
которого принадлежит решение ряда весьма
тонких вопросов в этой области 2), тан
что компетентность его не подлежит
сомнению; во-ьторых, вычисления по этой
теории дают результаты, близкие к
действительно наблюдаемым, и в этом
убеждают нас не только опыты самого
Энгессера, но и наши собственные. Между
тем, в выводе имеется целый ряд
сомнительных пунктов и неясностей. Прежде
всего, что такое по существу за
таинственная сила о, которая должна быть
приложена, чтобы воспрепятствовать сдвиганию
частиц? Как известно, в сыпучих телах
имеется только сила трения и никакой
другой. Силу σ еще можно было бы
понять, как запас, как некоторое, большее,
чем необходимо, сопротивление крепи на
случай, если бы какая нибудь другая
сила заставила частицы сыпучего тела
двигаться. Но такой запас не может
действовать активно, не может вызывать
в поперечном направлении пассивное
давление грунта.
Далее, почему на высоту
элементарного сводика άΗприходится сила α·άΗ:α,
т.-е. как будто бы сила α доходит до
поверхности на всю высоту В, так что
σ: н есть то, что приходится на .единицу
высоты? Весьма трудно себе представить,
чтобы при большой высоте засыпки
влияние маленького выреза внизу доходило
равномерно до самой поверхности.
') См. теорию давления грунта § 3
2) Например, пепрос о продольном сжатии
составных стеркней, об пягпбе за пределами
упругости и т. д. см. Тимошенко. Куре
сопротивления материалов, изд. 1928, стр. 546, стр. 581-

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮ I [(ПХ ТКОРнЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
39
Крайними границами возможных
случаев Энгессер считает, когда ® = 0 и
когда φ = 90 . Первый случай понятен:
это—вода, и тогда давление действительно
равно полному весу столба воды, но
второй случай—непонятен. Он не однороден
построению' всей теории: там берется
масса еыпучего тела и небольшой вырез
в дне. так что боковые массы действуют
на части породы над вырезом; здесь же
берется одиноко стоящий на чашке весов
параллелепипед, без действия боковых
масс, а совершенно лсно, что если бы
боковые массы составляли с частями над
вырезом одно целое, то при угле трения
ср = 90° или коэффициенте трения /"=со,
части над вырезок держались бы сани
собой, и давление на вырез было бы
равно нулю, а не полному весу
параллелепипеда.
Наконец, почему ψ приравнивается φ?
«Для минимума о может быть 4
приравнено φ», говорит Энгессер. Однако, из
выражения (а) § 23 видно, что а
непрерывно уменьшается с возрастанием ψ и
между О5 и 90° минимума не имеет. Его
имеет Ρ по выражению (33), но не при
ψ = φ, а при
ъф^іЫв^-жіВ'
90° —(
и формулы получают совсем другой вид.
На это же обстоятельство обратил
внимание и Бирбаумер (см. его книгу,
стр. 12 и далее).
Да и самые опыты, несмотря на все
старания Энгессера, как достаточно
видно из дословного описания их,
приведенного в настоящей книге (§ 25) явным
образом дают большие цифры, чем
вычисления, обнаруживая весьма странное
повышение давления при уменьшении
давящего слоя, что, как увидим далее,
нельзя считать случайностью.
Итак, удивительным образом, самая
лучшая по результатам теория, пожалуй
болыпе.чем другие, сомнительна по выводу.
б. Тела со связью между частицами.
§ 28. От массы породы
отрывается своим весом некоторый
объ-ем породы —теория Риттера ').
') 'Щ. КіЫаг. Оіе ЗіаШі ііег Типпе1цѳ«'б1І>е.
Вегііп, 1879.
В порода:·;, имеющих некоторое
сцепление между частицами, стремится
оторваться сод влиянием своего веса и упасть
в выработку сводообразный объем породы
АСВ (фиг. 55). Нужно определить, по
какой кривой произойдет это отрывание.
Λ—а;
Φнг. 55.
Возьмем начало координатных осей в А\
ось £с-ов направим по АВ, ось
г/-ов—вертикально вверх. Уравнение кривой
выразится некоторой функцией
у = Г(х)
Площадь кривой АСВ будет тогда
За
,5= Су-ώα
о
Тому же будет равен объем на одну
погонную единицу длины выработки, вес
же этого объема будет
е=-[/?/
= т / и-ах
(а)
. Здесь мы обозначили вес 1 куб.
единицы объема через γ, вместо обычного 3,
чтобы не смешивать с употребляемым,
далее знаком вариации.
Выделим теперь бесконечно малую
часть поверхности отрывания аз с
координатами χ ж у. Если обозначить через ζ
на 1 кв. единицу сопротивление породы
разрыву, то разрывающее усилие на
элемент дуги будет ζ·άδ и направлено будет
по нормали. Для удобства заменим з

40 ЧАСТЬ I. Д.ШДКНПИ ГОРІШК ПОРОД.
через к-\, где коэффициент к
определится из условия ζ = /εγ. Разложил теперь
ΜΝ=ζ ■ аз на тангенциальную ЬА! = 0№
и вертикальную МО составляющие.
Обозначая угол между касательной в Μ и
горизонталью через а, получим из
чертежа, что
МО = ΜΝ = ;'т,|Ьі
сов ι
Общее вертикальное сопротивление
разрыву по всей поверхности АСВ будет
//ίγ-ііз
СОЗа
По малости дуги аз ее можно принять
за гипотенузу треугольника, катеты
которого ах и ау, т.-е. принять, что
ав2 = άχ2 -)-- ау* и что соз α = άχ: аз,
тогда:
Но Ьу'-ах^йЬу, следовательно
ЗР=тУ" Ъу-ах — 2 /(γ / г/'-(% . (й)
Интегрируя со частям, получаем
У* у'-аЪу= [у'Щы — у* Ву-йу'
Так как кривая проходит через
неизменяющиеся точки А и В, то вариация
у для пределов 0 и 1а равна нулю,
следовательно, член в скобках исчезает, и
остается
уѴ-<%=-у"б>%'=
= -/ъуу"
•ах
ал
ах
~ = йх-\~
+
%\**г.=г
аеІ с1х=(1х + у"--ах = {1 + у'*) ах
где у' обозначает первую производную у
по х.
Получаем, что
2=_р;-;(1 + у'*).ах . . ,{Ь]
Ь
Если 0,> Ζ, то произойдет отрывание
объема АСВ и, чтобы воспрепятствовать
ему, придется составить крепь, которая
приняла бы на еебя избыток веса
Ρ=0,-Ζ.
Это и будет искомое давление на крепь.
Подставляя значения (? и Ζ, имеем
2в 2а
Ρ=Ί/У-ах-кт Г(ί + τ/ζ) άχ. . (с)
§ 29. Из различных мыслимых форм
кривых разрыв, очевидно, произойдет по
такой, при которой Ρ будет наибольшее.
Но определить вид -кривой по .условию ее
максимума составляет
задачу'вариационного исчисления. Взяв, поэтому, вариацию Ρ
со у, имеем
2α ία
' ір=т /" ъу-άχ — к-: ру'-Ц'-йх
Подставляя полученное выражение
в (й), находим
ία 2я
8Ρ = γ Г' Ъу-ах + Чхч ί Ьу-у"-йх
или
8Ρ = γ І'ъу {1-\-%ку")ах
Чтобы Ρ было максимумом, его
вариация должна равняться нулю. Для этого
должно быть, чтобы
1 + 2 ку" = Ъ
"куда „ _ _±_
У — η
(«)
т.-е. вторая производная от у должна
быть постоянной.
Интегрируем первый раз
.Вследствие очевидной симметрии
кривой", при χ =0 касательная в вершине
должна быть горизонтальна, т.-е. г/' = 0,.
поэтому
отсюда
стало быть,
Ък ~ 2к

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРЗЁ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
4»
Интегрируем второй раз
У = -
2й
Постоянная при интегрировав и и Сг
определится из условия, что при χ=ϋ,
т.-е. в точке А, и у должен быть = О,
поэтому, Сг =0 и окончательно
_ я3 . ах
У~ 4ίΓ~Γ~2ΪΪ~
Это можно написать так
у--^ (Ь-Ж) . . .(42)
Таким образом, кривая свода еетьпяра-
йола. Высоту ее найдем, положив χ = а.
Ъ = ^$а-а)=4- - .(43)
Остается найденное выражение для у
подставить в (с) и произвести
интегрирование.
Найден сначала у'. Беря производную
(42), получим
, 2а 2х а — χ
У ='
4іс
возводим в квадрат
4Й
24
у'і=*'-2«и+«'
4Р
Подставляем в (с) значение у и у'2
2п
* = т/-£ (**-*)<**-
-кг/
о2 — 2 оя -[- ж2
4#
с&с
Производим интегрирование отдельно:
2) &γ / йж = /с-[я;
Ю ы/ а2-2^+и3 д—
= 7£Т
αχ3
^
ік3
4Аа
12*
Соединяем все вместе. Постоянные при.
интегрировании всюду ■ равны нулю, ибо
при χ = О и Ρ должен быть нулем
Р=тТ^ —^_
. Ί.4Ϊ 12*
ІСХ ~~ \ ЛіГ ~~ "ЗіГ ~Г іоьі „
Приводим κ одному знаменателю и делаем
приведение подобных членов
Р = -^[6 оя8 —2я^ —12АЛв-Зв»жЙ"
Подставляем пределы
Р = ^[24ва-16а8 — 24/с2о— 6оа]=.
= 4[2й8-24Н ·.
• -(44)
Р=£(в»-І2*>).
Таково давление на крепь.
Давление это равно нулю, т.-е. кровля
держится сама собою плоско, когда
Φ = 12 №
или
2а = к V 48 ^ 1 к . . . (45)
§ 30. Для подсчетов необходимо знать
численную величину коэффициента к или
непосредственно величину сопротивления
породы разрыву. К сожалению, для пород,
которые бо.іее всего имел в виду Риттер,
так называемых мягких грунтов со связью
между частицами, достаточных данных не
имеется. Только Коммерелль ') указывает,
что по его п,осьбе иепытательная станция
В. Михаелис в Гроес-Іихтерфельде, около·
Берлина произвела испытания глины с
различным содержанием песка и получила
следующие цифры в Іідіст" *).
Чистая глпна бее примеси песка.
Смесь 1 части глины π 1 части
песка .
Сыесь 1 части глпиы π 2 частп
веска -
Смесь 1 частп глпны π 3 часта
песка
Сразу
0,5
0,5
0,4
0,2
Через
8 дня·
6,9
4,2
5,6
4,5
Таким образом, даже в свежем
состоянии получилось .сопротивление в 0,2—'
0,Ысд!ст*, или 2 000 — 5 000 кд\т2 "Пои
весе одного кубического метра 1800 %д
это дает величину к равной
1і=- от
2000_1 ι .„ 500О_9К
т.-е. по (45) кровля должна была бы
держаться сама собию плоско, не оказывая
4Й ' ІЩ\о
1) КоздтегеП. 81а£інсЬѳ Всгесітші£ ѵоп
Тпппеітаиегіѵегк; стр. 44.
а) Приводим в сокращенном виде.

42
ЧАСТЬ I. . ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
давления па крепь, при пролете от 7,7 до
19,6 ж. Однако, это не правдоподобно:
всякий, сколько-нибудь знакомый с рудничной
практикой, знает, что это невозможно, что
при таких пролетах глина кровли
держаться плоско не будет, и необходимо
крепление, которому придется выдержать
весыіа большое давление.
Для сырого песка автор настоящей
книги в своих опытах нашел цифру ? =
= 0,003 кд/ст* *).
Казалось бы, что ту же теорию, по
идее, можно распространить и на
сплошные крепкие породы, для которых данных о
сопротивлении разрыву имеется множество.
Бог например, средние цифры {кд/ст2 3).
Породы
Порфир . .
Гранит . .
Песчаник .
Известняк .
Доломит . .
По ! По
Баупшнгсру і Ганппіу
— 60
18,5 — 45,8 39 — 51
5,8 — 19,5 13 — 36
31,0—65,0 39 -81
15,0 — 31.0 —
В среднем, принимают, что
сопротивление разрыву камней равно Ѵас
сопротивления сжатию 3).
Однако, попытка пользования этими
цифрами, дает сплошь абсурдные
величины: для давлепия на крепь получаются
отрицательные значения, а пролеты, при
которых кровля может держаться плоско,
получаются неимоверно большими.
Необходимо заметить, что, помимо теории,
приведенные цифры, которые получились из
опытов над сплошными кусками пород, не
могут непосредственно относиться к массе
породы, которая отнюдь не· представляет
собою монолита, а вся разбита
трещинами. Поэтому заключают, что г есть
какая-то иная величина.
§ 31. Сам Риттер, в виду того, что
опытных данных пет, принимает «для
простоты», как он говорит (стр. 80 его
') „Горный Журнал" 1912, апрель-маП,стр.27.
3) І. Η і г 8 с Γι (ν αϊ сі. ПапіІЬисіі гіег ВаиІесЬ-
оізсііеп иезІетргііГіші;, стр. 75- Вообще для
пород, употребляемых, как строительный материал,
данныэ имеются всюду.
8) Η іі ί I е. Русское издание, 1921 г. т. Г,
стр. 547. Ненецкое па.іанпе, т. I, стр. ό53,
1925 г.
книги), что сопротивление разрыву равно
сопротивлению ъдвиганіѵіо, для которого
имеются коп-кааие данные и для
определения которого он дает метод.
Пусть порода ограничена сверху
плоскостью ВО- (фиг. 56), а сбоку —
свободным откосом АВ. Предполагая, как и
в случае давления грунта
на подпорную стенку
(наш § 3), что по
некоторой плоскости АѲ
сползает, под влияпием
собственного веса,
треугольная призма
породы АВО, и что
сползанию сопротивляется
сила трения в этой
плоскости, плюс сила
сцепления в ней же,
найдем, что при этом должны
уравновешиваться
следующие четыре силы, образующие
замкнутый многоугольник сил.
Во первых, вертикальный вес призмы (2,
который, по чертежу, равен
Фаг. 50.
Ц = ^ АО-ВС
.(а)
где ΒθχΑβ:_ во-вторых, нормальная
К плоскости АО- прижимающая сила Ν,
которая тем самым будет параллельна ВС\
в-третьих, лежащая в плоскости
сползания, а потому перпендикулярная к Ν,
сила трения Р, которая, как говорилось
в § 3, равна Щ или, что все равно,
А7-І£<р, так что в многоугольнике сил
против 1Р, приходится угол ψ, и, наконец,
в-четвертых, сила сцепления Ό, равная
по всей длине АѲ.
υ=ιι-Αθ (Ь)

ОВЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ Д9ПЛЕНПЯ ПОРОД.
43
где и — сила сцепления на 1 кв. единицу.
■ Для удобства опять папишем и в виде εγ,
где с определяется из условия и = су.
Если теперь провести горизонтальную
линию СЕ, то треугольник ВСЕ будет
подобен треугольнику сил ОНО.
Действительно, приведя Βΰ_[^ΑΏ, имеем, что
2.ВЕС равен ^ ВІК, как
соответственный при двух параллельных линиях ЕС
и АК, а угол ВиК, как внешний в
треугольнике ΑΣΜ, равен 90° + φ,
следовательно, <£ВЕС=Ж-\-у. Тому же
равняется и угол между силами XI и В, к;ік
внешний в треугольнике ΒΕΝ. Итак,
угол ВЕС равен углу между Ό и В. Далее,
угол ВСЕ равен углу между (2 и ϋ, так
как д^ЕС и 11 _]_ВС. Итак,
треугольники ВЕС и І7ЙІЗ подобны между собой.
Отсюда
0.:ВС=и:ЕС
но из (а) имеем
следовательно,
'а на единицу длины АѲ приходится сила
сцепления
Ό
« = *Τ = -& = -£-#С
или
2
С = ~ ..... .(С)
Сделанный вывод имеет место при
любом угле наклона плоскости АО.
Действительной же плоскостью сползания,
очевидно, будет та, при которой ЕС
получится наибольшей. Тогда, заметив, что
угол АСВ всегда прямой, мы получим
полуокружность ΑΏυΒ, как'
геометрическое место точек С при вращении
плоскости АС вокруг точки А.
При этом, так как линия ΒΏ
сохраняет свое положение, то наибольшая
величина ЕС будет тогда, когда точка С
будет лежать посредине дуги ВСВ >).
!) Это легко сообразпті., опуская пз ряда
положении точки С, т.-ѳ. пв раадпчных точек дуги
ПСБ, перпендикуляры на лпнпго ΒΌ. Получится
между втпмп перпендикулярамп π лпнпяып,
соответствующими МО ряд подобных прямоугольных
треугольников. Наибольшим будет тот, у которого
перпендикулярным к ΏΒ катетом будет стрелка
дуги ΒΟΣ), т.-е. у которого точка -С попадет
в еередпну втой дуги.
Пусть это будет точка Сх и, стало-быть,
е = ^- (<0
Продолжим теперь линию ВС, до
пересечения с АС. ^.^ ВАС, и С^АС
равны между собой, ийо опираются на
равные дуги ВС, и С,І). Поэтому,
прямоугольные треугольники АВСг и АСХ С,
имеющие общую сторону АС,, равны
между собою, и ВСг равно С, С Отсюда
следует' что
Е' С" = 2 Λ С,
и
¥,· с . ,
с=-4- 00
Сделанный вывод позволяет находить
величину сцепления грунта и. Пусть
наблюдается, что даппый грунт начинает
сползать при высоте стенки АН = ]г0,
составляющей с углом естественного откоса
угол а, тогда, по чертежу, АС' = АВ-\-
+ ВС'=--К НоАІ> = /іо-сова и ΏΟ' =
= Е' С'-со8!р=4 е-ши,
откуда
Л0 = йо ■ сов "■ -{- 4 с - сов φ
стало-быть,
■ 1 Я
°- 4со5? ^Λ<>Γέο^- - <№)
Для частного случая, когда откос
вертикален,
α = 90°— φ
и
СОВ φ = 8ІН α = 2 8ІП -г- С08 —
поэтому
с =
л.
=Λ0
4
3ίη!
4 8ІП —
Λ»
2~
00
ίϊ
Ο
3_
90° —
2
4
¥
(47)
стало-быть,
« = <Ч = ІМв^-*.'.<48)
Высоту Λ0, так называемую «высоту
свободного столпил», Риттер дает для
плотной насыпной земли 1--2 т, а при
крепком суглинке и глинах 2 —4 т.

44
ЧАСТЬ 1. 1ЛВДВНЕЕ ГОРНЫХ ПОГОД.
Вот вычисленные подобным образом данные Отт ]).
Породи
Мелкий песок . . .
Крупный песок, хрящ.
Насыпная яемля . .
Гядька
Сухаіі глпна ....
То же мокрая , . .
Ломкие породы . . .
Крепкая скала ,. . .
Вес 1 и*3 ,,
породы , Ъд У™ ТРеВПЯ
1500
1700
1 600
1 900
1 800
1900
1950
2 400
35°
35°
35°
38°
35°
20°
45°
45°
Спла
сцеилеппя
кд/т2
и
"Г
Высота
свободного стоя-
бия ц т
"о
50
100
250
1500
600
400
40 000
80 000
0,03
0,06
0,16
0,79
0.33
0,21
20,00
33,00
0,15
0,30
2,00
5,00
3,00
1,00
300,00
4 000,00
!) См. Котта-еіі, Йіаііасііо ВегесЪип§ ѵои Тпппеітаиепѵегк, стр, 44.
Другой автор Іеве дает следующие цифры а).
Породы
Насыпная земля уплотненная, сухая 1
То же, естественная, влажная ' I
Глинистый грунт уплотненный, сухой ι
Глинистый грунт естественный, влажный |
Бес 1 т3
в 1:д
7
1700
1 700
1700
Сцепление
в кд чч'
540
560
520
930
860
и
ϊ —
0,32
0,33
0,31
0,55
0,51
2) Там же.
Если пользоваться указанными
данными, то совпадение вычислений с
действительными наблюдениями получается
лучше, чем прежде.
§ -32. Подобно друпш теориям, и
теория Рнттера, несмотря на имя автора,
бывшего профессора Рижского
политехникума, и его большую эрудицию, а также
. логичность и правдоподобие основной идеи,
все же внушает ряд сомнений. Прежде
всего, никак нельзя согласиться с тем
положением, что «для простоты» можно
сопротивление разрыву заменять
сопротивлением сдвиганию.
Такое заключение, конечно, совершенно
произвольно и наблюдениями над теми
породами, для которых таковые имеются,
ни в какой мере не оправдываются.
Например, для сырого песка автор
настоящей книги нашел, как говорилось, цифру
сопротивления разрыву 0,003 ісдіст?, а для
сопротивления сдвиганию—0,010 1сд\вт3^
или- втрое больше. Для глинистого грунта
сопротивление сдвиганию дается Отт
около 0,05 кд\ст?, а сопротивление разрыву,
как мы видели выше, оказывается
равным 0,2 — 0,5 Ъд/стР, или первое в
4 — 10 раз меньше второго. Для крепких
пород, употребляемых в строительном деле,
сопротивление -сдвигу, в среднем, считается
вдвое больше, чем разрыву и т. д.
Кроме несоответствия вычислений с
действительностью, теория Рнттера имеет
и логическую несообразность.
Когда /с = 0, т.-е. когда порода
состоит из частиц, лишенных связи (песок,
зерно и т. п.), то парабола свода, как
указывает и сам Риттер, обращается в две
вертикальные прямые, доходящие до
поверхности и на крепь долніев давить
полный столб породы над ней, а мы уже
говорили, что этого на самом деле не
бывает,- Кроме того, в теории отсутствует
давление вышележащих масс, что совер-

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
45
шеино не π ра ижш о до о но, так как трудно
'логически допустить, чтобы такое крупное
обстоятельство не имело влияния.
Таким образом, и теория Рнттера,
несмотря на все свое остроумие, не дает
возможности действительно рассчитывать
крепь, почему теория эта, включая и
далее изложенные рассуждения о боках
выработки, осталась мертвой и в жизнь
не вошла.
; ι) Все-таки, на наш взгляд,
рассмотренная теория является одной из наилучших,
так как прямые наблюдения над
обрушением потолка заставляют предполагать,
что части пород внутри некоторого свода
действительно отрываются от находящихся
выше масс. Нам кажется, что вопрос
только в том, соответствует ли кривая
Риттѳра именно своду равновесия, или же
отрывание масс происходит по какому-то
другому своду, который определяется из
других условий, но внутри, которого все
же породы, отделяясь, должны оторваться.
§ 33. Тот же Риттер рассматривает
вопрос о давлении в боках выработки х).
Пусть будет ΑΒΟΌ (фиг. 57)
прямоугольное сечение штольни. Очевидно, что
окружающая порода имеет стремление
обвалиться как и в потолке, так и с
боков. Рассмотрим боковую стенку АВ и
зададимся вопросом: при каких условиях
выпадения боков не произойдет? Иначе
говоря, каково должно быть сцепление
частиц, чтобы воспрепятствовать
отваливанию породы? \
Будем считать, что выпасть стремится
трехгранная призма ЛЕВ. Тогда
действуют пять сил; долженствующих
составить замкнутый многоугольник сил. Прежде
всего, это —вертикальный вес призмы О,
затем нормально ·. к АЕ давление ІѴ,
далее, шзванное этим давлением трение Ё
в плоскости сползания, так что угол
против этой силы будет φ, в четвертых, сила
сцепления Ό по плоскости АЕ и, в-пятых,
сопротивление разрыву О по верхней
плоскости призмы ВЕ, которое должно
быть преодолено, чтобы призма АВЕ
отделилась от массы породы; последняя
сила, очевидно, параллельна направлению
сползания, т.-в. АЕ.
Допустим, что плоскость АЕ остается
постоянной, а ВЕ вращается около В.
Тогда все силы сохраняют свои
направления и многоугольник сил остается себе
подобным. А так как сила сцепления £7
пропорциональна длине АЕ и
вес призмы (2 также
пропорционален этой длине (ибо площадь
треугольника АВЕ равна
основанию АЕ, умноженному на
высоту, которая остается
постоянной), то и сила О будет
пропорциональна той же длине АЕ,
т.-е. можно написать
& = К-АЕ
где К есть некоторая постоянная.
Обозначим теперь, попрежнему,
сопротивление разрыву грунта на 1 кв.
единицу через г=х;, тогда сопротивление
разрыву по всей плоскости ВЕ,
направленное нормально іі ней, будет
г=Щ-ВЕ
Разложим эту силу параллельно
направлениям ВЕ и АЕ и, заметив, что угол
ЛЕВ по чертежу равен я-[-β, получим,
что слагающая, параллельная АЕ, будет
а.
А. _ - *т-Дд = к- АЕ,'
"8іп (α+β) 8ІП(Я-Н)
отсюда.
*-
К-ЛЕ-зів (а+|
') Стр. 28 а далее его книги.
или, так как АЕ: ВЕ представляет собою,
из треугольника АВЕ, отношение синусов
противо.іея:ащих углов, т.-е. 8іп(90° — β):
: 8І[і{9!}° — а), или со8р:совя, то
и — Κζ03 Нід (? + О
γ-вовα

46
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ НОРД.
Из различных возможных углов β,
действительным, очевидно, будет тот, при
котором выражение это получит
максимальное значение. Поэтому, возьмем
первую производную по β, считая α
постоянным, и приравняем нулю
^=^-|созр.еов(а4-р)-
в(1 - γ ■ СОВ ϊ и г *■ ' г-
—- 3ΪΙ1 (α + Ρ)·8ίηβ] = 0
Отсюда, замечая, что выражение в скобках
есть косинус суммы двух углов, инеем
соз (« + 2β) = 0
следовательно.
α4-2β = 9ϋπ
или
α + ρ = 90° — β
стало-быть, треугольник АВЕ получается
равнобедренный.
Теперь исследуем влияние угла а,
выразив его предварительно через β. Из
силового многоугольника имеем:
ρ-сов (90° — л) = <і-ъ\тіа=Ѳ-\-ТІ-\-Я
Но сила трения
& = У-%ѵ = СІ-Ш (і)|)' —а)-Г§<э =
Сопротивление сдвиганию ио плоскости АЕ
Ѵ=с-і-ЛЕ
и слагающая сопротивления разрыву
Ѳ =
т (3 + в)
поэтому
ѵ Зіп (а 4-3)
-\- щ- АЕ-\- Ο,-ΐ&ΒίΛΐ®
Подставим сюда значения АЕ = 1і\
ζ) = ι/2 γή"--Μ>8β (ибо площадь
треугольника АЕ£ равна половине произведения
сторон ή и АЕ, что равно 7і2,
умноженному на зів угла между ними (90° — а)
или, что то же, на соз а); наконец,
ВЕ = П-сов а: &іп (а + Р)
таі; как отношение сторон ВЕ: ѣ равно
отношению синусов противолежащих углов
БІП (90" — а) : ВІП (а + Р^
или
сов а: віп (а -|- Р)
Тогда
,'-/Н-С08а-ЗШа = - ■'——- — 4-
-)" ογ/ΐ 4- Ι № ■соза α' *ё <рі
а так как « = 90°— 2р л а + Р^
= 90° — β, то, сокращая на γΛ., получил
4-с4"|віп«ар.ів<р
Как уже упоминалось, Риттер
предлагает, в виду полного отсутствия опытных
данных о величине отношения к и с
просто приравнять их («для простоты»,
как он выражается). Тогда, вынося с одной
стороны за скобки с, а с другой Ч„ 1і-ш 2 β
и замечал, что
віп 2β :еоа'-р =
= 2 зіп β '■ соз р : сов3 р = 2 і§ β
получаем
с (14-21§р)=~ віп 2р(еов 2β —
— ЗІП 2 р ■ І§ φ)
Заменим 1§<р через віп«:сов<р
Λ ·. о „сов £В-оо8'о—зіп 23'3іаш
о = -Ξ- зіп. 2 р..—Ε——^ =,
_А·8'" 2?-С05 (^З + '-рі
~~ 2 соза (1 + 2 1§3)
По обычному методу определяем угол Р,
при котором произойдет сползание, по
условию максимума с. С этой целью берем
производную по р правой части и после
соответственных преобразований получаем
выражение
«08=342 віп 2р-8іп2[
ели
іё(4Р4-Р) =
віп3 2 3
-(«)
Из этого уравнения, к сожалению,
нельзя определить р, как было бы
желательно, по заданному φ. Но можно,
обратно, задаваясь различными углами р,
вычислить соответственные φ π тогда
интерполированием вычислить следующую
табличку, в которой даются как угол β, так

ОЕЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВДЕВПЯ ПОРОД.
47
и отношение высоты /ι (обозначенной для
, отличия через Л.0'), при которой стенки
выработки могут держаться сами по себе,
не обрушаясь, — к величине,
характеризующей сцепление частиц породы е.
Для сравнения приведено соответствен-
; ное отношение для поверхности.
Угол
треппя
ψ
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
45°
Ρ
іе°4'
15°Ю'
14°1В'
13°22'
12с28'
11с33'
І0°37'
а°40'
V : с
под
вемлей
7,9
8.4
9,0
9,6
10 3
11,1
12,1
13,2
!(0:с
на
поверхности
4,8
5,2
5,7
6,3
6,9
7,7
8,6
9,7
Обратно, зпая высоту свободного
стояния вертикальной стенки в подземных
выработках, ложно вычислить величину
сцепления с.
в. Слоистые породы.
§34. Слой породы
рассматривается, как изгибающаяся
балка. Случай этот на первый взгляд всего
ближе подходит к действительным
рудничным условиям, и потому еще в 1Вв7 г.
Шульц ') дал свою теорию.
«Если совершенно однородные слои,
говорит он, имеют малое сцепление между
собою, то каждый слой над выработанным
пространством будет изгибаться сам по себе
под влиянием собственного веса, и при тол
так, как изгибается нагруженная балка,
которая закреплена наглухо по концам».
Фпг. 58.
Пусть АВ (фиг. 58)—один пластообраз-
иый слой, лежащий над выработанным
пластом угля; пусть 2 ω—длина пролета,
й—мощность слоя, къ — коэффициент
предельного сопротивления изгибу. Тогда
максимальный груз^ф на погонную единицу
г) ЗеНиІг ишгзисМтдеа Ш>ег а\е Вітеп-
йіопеп ύιτ ЗіЫіегпеКзрГеіІег й. з. «г- „Ζβϊΐ. Г. (I.
В. И. іі, 8. \Ѵвкеп іт Ргвиввіясііѳп Зіааіе. 1867,
стр. 86,
в продольном направлении, который .может
выдержать, не ломаясь, слой А В,
определится из условия изгиба балки с заделанным
концом. Нагрузка считается равномерной
Для данного случая поперечное сечение
расматриваемой части пласта представляет
прямоугольник, а потому момент
сопротивления сечения Ш будет, по общеизвестной
а, следовательно,
12 — 6 ь
или
О = -?-*,. . - . (50)
На основании этой формулы можно
решать некоторые задачи. . Сам Шульц
решает одну: какова может быть предельная
длина пролета при условии, чтобы пласт
держался сам собою, не обрушаясь? Для
этого, очевидно, необходимо, чтобы вес
слоя был как раз равен <^. Ио этот вес,
очевидно, равен
6=5- 2 ак
следовательно,
8-2ίΛ=~ Аь
отсюда
** = УЩ (51)
Других вопросов автор не касается, но,
развивая его идею, мижно сказать, что,
когда величина пролета больше
вычисляемой по формуле (51), то слой должен
обрушиться, и избыток давления надо
принять на крепь. Взяв такой случай и
называя давление на крепь через Р, получим,
что сам по себе слой может выдержать
нагрузку
ϋ — Р = Ь-2а1і— Ρ
а это по смыслу выражения (50) должно
равняться
І.2оА-Р=^-Л,
откуда дагление на крепь на 1 ног.
единицу длины выработки будет
Р = 3.2.вй—-£л. . (52)

48
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ЛОРОД.
Против теории Шульца для отдельного
упругого слоя ничего нельзя возразить, но
в рудничнык условиях такого случая не
■бывает. Во-первых, обычно имеется не
один, а ряд слоев зиаштельной общей
мощности; опыты же Фейоля (см. дальше)
неоспоримо показываю г, что ряд слоен
изгибается совсем не так, как изгибается
отдельная балка. Далее, пласты пород
обычно бывают разбиты поперечными
трещинами и не могут прогибаться, как
«плотная упругая балка, а отваливаются
кусками. Кроме того, слон пород, обыкно-.
веино, не лежат свободно один па другом,
а, до известной степени, связаны между
«обою. Наконец, практически всегда
встречается затруднение в вопросе, какую
мощность слоя следует принимать за величину ]і
и чему . равняется численный
коэффициент кь π т. д. Поэтому, теория Шульца
к действительности неприложпма.
взять ряд наложенных друг на друга
железных полос, то наибольший прогиб имеет
нижняя по.юса {фиг. 59). Именно, когда
полосы были в 51) тт ширины и 5 тт
ФіІГ. 59.
толщины, то при величине свободного
пролета в 1200 тт нижняя полоса
прогнулась на 5 тт, десятая — на 3,25 тт
и двадцатая на 1,75 тт\ начиная
с тридцатой полосы, прогиб незаметен.
§ 35.. Опыты Фейоля. В 1885 г.
молвилась имеющая существенное
значение·: обстоятельная и интересная работа
■Фейоля'), не содержащая никакой
математической теории, но заключающая в себе
многочисленные опыты и непосредственные
наблюдения, выясняющие качественную
картину происходящих явлений. Мы
отчасти уже ссылалась на эти опыты в
предыдущей главе.
" Прежде всего, автор выясняет как
изгибается подработанный снизу ряд
горизонта іьных слоев. Оказывается, что если
'1 Ряуоі. ΝοΙο зиг Іоз шоиѵстеиів гіе Іеггаіп,
-рготоциёз раг І'ехріоііаііои (Іев тіосв. ВиІІ. άα Іа
Зое. йе Ι'Ίαύ. тіабг. 1885 стр. 805.
Предел изгиба полос представляется
сводообразной приплюснутой кривой.
Следующий опыт имеет целью выяснить,
как протекает совместный изгиб слоев.
При указанных выше условиях, когда
изгибалась только одна полоса, то она
прогнулась на 2 тт; если полос взять две,
то нижняя прогнется уже на 2'/4 тт,
при четырех .полосах — на 2,ЧД тт, при
восьми—на 3 тт, при 16—на 4а/., тт, при
32—на 5 тт и при 30—тоже па 5 тт.
Если вместо железных полое взять
плоские рудничные канаты, то картина
(фнг. 60) остается той же, но только прогиб
получастея более сильный, а кривая,
ограничивающая область изгиба,—более выпукла.

оваор существующих теории давления пород.
49
Так же точно происходят явления
іг в действительной рудничной практике,
только изгибающиеся слои пород по своей
хрупкости ломаются еще на куски (фиг. 61).
Фаг. 61.
Следующий опыт относится к вопросу
о направлении плоскости излома бруса,
закрепленного на одном конце. Оказалось,
что в восьми случаях из десяти, плоскость
излома была наклонена вперед (фиг. 62).
§ 36. Далее, Фейоль занимался
вопросом об увеличении объема пород при раз-
Фиг. 82.
дроблении. Он искусственно измельчал
различные породы и наблюдал происходившее
увеличение их объема.
Породы
Сланец
Полуразрушен вый
песчаник и сланец ....
Каменный уголь ....


начальный
объем
100
100
100
100
100
При
измельчен ив
в порошок
ІѲб
243
219
245
207
При
зервах
2 — 3 тт
209
210
214
240
224
При
верпах
10—15 мм
226
221
211
217
199
При
зернах
15—20 тт
225
224
210
220
223 ■
Смесь
зерна
с
порошком
2іа
229
214
218
202
Породы
Глина
Сланец
Песчаник
Прокален, песчаник и сланец . .
Камеипыіі уголь ........
4

Первоначальные
объем
100
100
100
100
100
Объел пород, предварительно измельченных, при
давлении кдіст2
100
101
128
136
141
130
200
90
не
125
130
125
500
75
НО
120
119
118
1000
70
97
105
109
109
Таким образом"; в среднем, увеличение и уплотняются. Интересно выяснить, как
-объема при раздроблении бывает несколько далеко может птти это вторичное уплотне-
больше 100%, доходя иногда до 150%, ние? Φ
Разрыхленные породы затем слеживаются
е й 6 л ь приводит данные из другой
своей статьи о сжимаемости пород.
Доімэппс гориик пороя. Ч. ].
4

50 ЧАСТЬ I. ДАШЕНИВ ГОРНЫХ ПОРОД,
Даш ев π в
Ьдіат1
1,5
4,5.
6,0
Осадка— % %
Глина
16
26
28
Смесь
песчаника в главна
10
15
16,5
СплОшц ЫВ
πироды
4
6
7,7
Затеи Фейоль производил опыты,
вдавливая измельченную породу в стальных'
цилиндрах (см. табличку на пред. стр.)).
Таким образом, при глубине рудников
не свыше 1000 г», в которых давление не
превышает 250 /ср/сга2, раздробленная
порода, например, закладка, будет
сохранять до известной степени увеличенный
объем. Остающееся сжатие бывает,
примерно, 30%.
§ 37. Следующий ряд опытов был по-,
священ более близкому выяснению явлений
в пластах, подработанных горными
выработками. Фейоль брал деревянный ящик,
передняя стенка которого была стеклянная.
На дно его клались сначала в три ряда
деревянные плашки, которые сбоку можно
было выдвигать, а затем помещался ряд
искусственных пластов: из сухого и мокрого
песка, глины, гипса и других материалов.
Выдвигая плашки, мы тем самым как бы
подрабатываем пласты. Через стеклянную
стенку легко наблюдать происходящие
явления.
Опыты указывают на то, что слон
пород над выработкой прогибаются (фиг. 63),
при чем облаеть распространения этих
прогибаний ограничена некоторой
куполообразной поверхностью, книзу несколько
суяіенной. Чем больше плашек мы
видением, тем больше размеры этого купила,
так что он может выходить и на поверх-
ность. Если вместо одного ряда плашек
выдвинуть два ряда (фнг. 64), то размеры
купола остаются теми же, но величина
прогиба увеличивается и усиливается
разрушение прогибающихся слоев; выдвигая
третий ряд плашек, получим те же
явления в еще более сильной степени
(фиг- 65).
Если вместо горизонтальных слоев
взять наклонные, то ось купола получает
некоторое промежуточное между
вертикалью и нормалью к пласту положение
(фиг. 66). То же явление сохраняется и
при очень крутых пластах (фиг. 67). Яри
перемене наклона слоев меняется
соответственно и отклонение оси купила (фиг. 68).
Когда плашки вынуты под всем ящц-. .
ком, то слон опускаются горизонтально, -
при чем нижние опускаются сильнее
следующих (фиг. 69). удерживаясь трением
о стенки ящика. При вертикальных слоях
наибольшее опускание имеют средние слои
(фнг. 70).
Существующие трещины нарушают
правильность купола, так как являются слабым
местом, но которому идет оседание π за
которое оседание не распространяется
(фиг. 71).
При изломе изгибающихся слоев
наиболее опасным местом являются середина
и место у границы купола (фнг. 72).
Кроме опытов, Фейоль приводит еще
многочисленный ряд наблюдений. Фиг. 73
показывает, как садится на закладку кровля
около штрека. Кривизна изгийа здесь
двоякая, при чем точка перегиба лежит
у самого штрека и здееь имеется напболь- ,
шее количество трещин; далее, кровля '.
плавно садится на закладку,
спрессовывая ее.
На фиг. 74 видно, как отражается
постепенное вырабатывание горизонтальными
слоями мощного пласта. Кровля (висячий
бок) плавно выгибается все больше и
больше; закладка верхнего этажа
опускается сильнее также у висячего бока.
Фнг. 75 показывает, как над
вырабатываемым, почти горизонтальным, пластом
кровля оседает в виде чашки и
разбивается трещинами.
На фиг. 76 видно, как оседание
поверхности увеличивается по мере выработки
мощной залежи горизонтальными слоями.
Фнг. 77 показывает, как передвигается
оседание поверхности вслед за выработкой
горизонтального пласта.
Фиг. 78 изображает, как.
многочисленные трещины на поверхности
располагаются вокруг контура разработки.
Опыты Φ ей оля драгоценны тем, что
чрезвычайно наглядно показывают картину
явлений в породах при проведении горных
выработок.

я
Α* Ά*
Фдг. 63.
шшіцшюш.ішлтлмѵжъм-мшмісіі.чг/.іт/л
Т'.І.„І.'-І.-ГГ7Г
■ι I I щі I \ \ і_-| ι ρ
Фиг. 65.
* » г г
Фиг. 64.
Фиг. 66.
о
Μ
оз
о
■ч
о
в
и
о
сз
«<;
5
о
И
о
а
Ю
Ь
К
и
о
I
ел

Фиг. 67.
. ^ «■ **.
К:
т
Фиг. 69.
/
А*
:Г^РЯтР— -ЦГТ
Фиг. 68.
¥?л/ши?гяіРЛ7ігимгліаг.*мгаммглг#
Фиг. 70.

Μ Ι Ι Ι Μ Ι Ι-ΙΤ 1 Ι П-К
Фиг. 71,
Фиг. 72.
Фил 74,

54
ЧАСТЬ I. ЛАВЛЕІІПЁ ГОРНЫХ ПОРОД.
о
А .1
ѣ¥%#$^,
Фнг. 77.
Фнг. 78.

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИИ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД. 55
г. Определение давления пород по
наблюдениям.
§ 38. Высота свода
определяется по прогибу кровли
выработки. Теория эта принадлежит Ком-
мереллю1) Он считает, что над выра-
' боткой образуется свод, внутри которого
порода растрескивается и разбивается на
куски (фиг. 79). При этом происходит
увеличение объема, ибо порода в массиве
занимает меньший объем, чем в кусках.
Обозначим относительное линейное
увеличение через с, тогда каждая ордината
Фиг. 79.
свода у обратится в (1-\-с)у. Б
результате получится прогибание кровли в этом
месте су. Отсюда, обратно, наблюдая
происходящее прогибание кровли, мы можем
судить о фигуре свода. К о м м е ρ е л л ь
полагает, что свод должен быть
параболический, но для удобства подсчетов
предлагает заменить его эллиптическим, имеющим
такую же ширину и высоту.
Берем уравнение эллипса с полуосями
а н Ъ
Если наблюденное прогибание кровли
в середине равно е, то, по сказанному
выше, оно должно равняться линейному
приращению высоты свода Ь
е = еЬ
или
^ = -1 ..... .(53)
Ч О * і о КотиегвМ. ЗЫізоІіе Ве-
гес1іпип£ топ Типпеіщаиепѵегі;. Вегііп. 1912 т.
откуда уравнение эллипса будет
■ * + (тТ
площадь половины его АСВ~
и вес, равный давлению на крепь
Р=~оаЬ. . . . (54)
Здесь все величины известны:
β — половина ширины выработки;
е—наблюдаемое понижение середины
кровли;
е—относительное линейное увеличение
данной породы при раздроблении, которое
может быть взято из справочников:
Песок и гравий . . . 0,010 — 0,015
Суглинок и т. п. . . . 0,030 — 0,040
Квйпер,мергельит.н. . 0,040 — 0,050
Крепкая глина . . . . Ο,ΟΘΟ— 0,070
Скалистые породи . . 0,080—0,150
§39. Теория Коммерелля подкупает
своей простотой π кажущейся реальностью,
поэтому, в литературе она встречается
всюду. Однако, практически пользоваться'
ею почти невозможно. Чтобы ее применить,:
надо иметь уже пройденную выработку!
и наблюденное провисание кровли. По-!
этому, для проектирования, когда
выработка имеется только в предположении,!
теория Коммерелля непригодна. Да
собственно теории-то, пожалуй, никакой и нет.
Основной идеей у Коммерелля является
по существу мысль, что давление на крепь
пропорционально прогибу кровли и
некоторому коэффициенту, зависящему от породы:
чем порода крепче, тем величина давления
меньше (см. выражение (53) и табличку
значений с). С тем же успехом можно
было бы исходить и из других
предположений, например, из представления об изгибе
слоев: и там прогиб пропорционален
действующей силе и обратно пропорционален
модулю упругости породы, так что
сомнительного представления об увеличении
объема породы в самом массиве вовсе и не
требуется, как не требуется и
представления о своде.

56
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
§ 40. Подсчет давления пород
со поставленной крепи. Гр е-
гер !) пробовал подсчитывать величину
имеющегося давления по излому
поставленной крепи. Наблюдая, какой толщины
и какая крепь ломается, нетрудно
вычислить какое усилие для этого требуется.
Таким путей он нашел, что в Раткоянй-
ском туннеле имело место следующее
давление (в І1тг):
Породы
Крепко слежавшейся гравий π песок .
ПегчанпстыН желтый суглинок . . .
Сухая крепкая голубая глпна со слю-
Мокрая рыхлая голубая глпна со
Явление в
В передовой
штольне
(3)
7
28
ВО
кровле
При
полной
сечен π π
(3)
(7)
36
54
Давление в почве
В
передовой
штольне
(4)
1В
32
При пол-
пом
сеченпп
(4)
(18)
(32)
Боковое
В
передовой
штольне
(3)
(10)
20
давлевпе
При
полном
сѳченпп
(3)
(10)
15
Наблюдения производились как в
передовой штольне, шириной в проходке
3,50 т, закрепленной дверными окладами,
так л при окончательной сводообразной
форме туннеля шириною 11 т в проходке,
закрепленной сложной деревянной формой.
Числа, заключенные в скобки, получены
не непосредственно, а путем
интерполирования.
11а основании полученных результатов
Грегер заключает: во-первых, что
давление на 1 тг как в передовой штольне,
так и при полном сечении туннеля
приблизительно одно и то же, т.-е. как бы
не завискт от величины подработанного
пространства", во-вторых, что давление
в мокрой глине, примерно, вдвое больше,
чем в сухой, крепкой; в-третьих, что
давления в кровле, в почве и в' боках
относятся, как 1: '/3: Чв, но, при этом,
Грегер полагает, что е течением времени это
неравенство давлений несколько
сглаживается. В точке перехода от кровли к
бокам Грегер считает давление равным
одной трети суммы давления кровли
и двойного давления с боков.
§ 41. К подобным подсчетам прибегают
часто. При проходке туннелей, их,
обыкновенно, сначала крепят временной
деревянной крепью. Найдя опытом, какая крепь
') 1. Ого^ег, ОІе 8іаіік йег ТиппеІееіѵоІЬе
іо (Іпіскгеісііет ОеЫгее. Рга§. 1881 г.
держит, вычисляют, затем, какому
давлению соответствует такая крепь, и тогда
по этому давлению расчитывают
постоянное каменное крепление, Например, в
описании проходки Сурамского туннеля на
Кавказе >) мы читаем: «Относительно
вертикального давления земли, т.-е. величины
ρ — мы пользуемся указанием
технических условий на устройство крепей в
нижнем направляющем ходе. По этим условиям,
при грунтах среднего давления, крепи',
предупреждающие обвалы 'земли,
устраиваются из 6-вершковых бревен (250 тіп),
расположенных через 0,50. с. (1,07 т)
и подпертых по концам стойками, при
чем перекрываемый пролет не превышает
1,25 с. (2,65 то). Положив вес 1 куб.
земли в 1 000 п. (1,7 Цт% пролет в 1,25
е., момент сопротивления 6-вершкового
бревна равным і/33 πΙ)Β и временное
сопротивление дерева на изгиб в 280 п.,
определяем толщину ζ слоя земли,
достаточную для перелома бревна из уравнения
280 = *'25 " °'5 ' о
откуда
3 = 3,ί
ζ ■ 1 000 ■ 105
32
πίΟ,δ»
') О. Τ ρ а в ч е τ 0 в. Графический расчет
сводов по вакону наименьшей работы π
применение его к обделке Сурамского туннеля. (Журнал
мпн. пут. сообщения. 1889, № 33, стр. 181).

ОВЭОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД. Д7
Принимаем толщину давящего слоя земли
в 4,00 с. или вертикальное давление ρ
земли в 4000 п. иа 1 вв. с».
Как видно, здесь даже не искали
опытом потребную толщину крепи, а, держась
официальной почвы, просто взяли ту,
которая полагается по техническим условиям.
Ло всяком случае, способ подсчета
совершенно ясен. Это — тот способ, которым мы
пользовались в примере § 13 настоящей
главы. Пользовался им и
Кржижановский '); в несколько измененном виде
пробовали пользоваться и мы.
§ 4'2. Все такие -способы, на первый
взгляд бееепйрные, при ближайшем
рассмотрении, однако, встречают большие
практические затруднения. Прежде всего, если
крепь стоит прочно, то мы не знаем,
какой в ней имеется запас прочности, а это
не позволяет вычислить и имеющееся
действительно усилие; во-вторых, коэффициент
сопротивления изгибу берется, обычно,
общий из справочников, а по существу,
надо иметь величину его именно для
'данного леса; в-третьих, часто временная крепь
имеет сложную форму, где самый
статический подсчет усилий, которые она может
выдержать, весьма сложен, и т. д.
Обращаем внимание на то, что даже у Грегера
большинство цифр получено путем
интерполяции, а не из наблюдений.
Сплошные упругие тела.
§ 43. Теория Леона 2) отличается
с точки зрения строительной механики,
полной строгостью вывода, ибо она решает
вопрос на основании общих уравнений
равновесия. Дана она, собственно, для
железных листов с отверстиями, но ее можно
распространить на круглые выработки в
породах, что имеет в виду и сам автор,
проделавший в дальнейшем целый ряд опытов,
именно с горными породами 3).
г) „Горный ^Журнал". 1895, кн. 8.
аІ Ьеоп. і)Ьег ііе δίοπιπ^βη ааг Зрштиивз
ѵеПеі1иа§, йіе іо еіавіізспеп ІСогрега аигсЬ Во-
пгипбеп ιιαιΐ Віозспеа еаізіеЬеп. Оезіегг. \ѴосІіеп-
всЫіИГііг (Зеп бГРш>аівІіеіі Ваийіѳпзі, 1908, Ηβίί
9 стр. ібЙ. Приближенное решение см. Τπωο-
шѳнко. Курс сопротивлении материалов, 1928,
стр. 568.
3) А. Ьеоо иоа Г. "ИППЬеіт. 'Оеаіегг.
■\ѴооЬепзолгіГ( Гіігйеп 3(ТеоШс1іеп ВаОаіепвб, 1910,
НеГі 44, стр. 641.
Если рассматривать бесконечно
простирающийся во все стороны сплошной слой
упругого тела, который равномерно
растягивается в направлении X напряжением р,
то радиальные и тангенциальные
напряжения э и о( будут для какой-нибудь
точки ш (фиг. 81):
ог=р—р-т-а . . . . (а)
0(=р-зіп2а . . . . (δ)
Действительно, выделив полосу слоя,
толщиной в единицу (фиг. 80) и имеющую
в направлении, перпендикулярном чертежу,
также протяжение в единицу, получим,
что в каком-нибудь направлении тп,
составляющим с направлением ρ угол а., се-
α Л _______
Фиг. 80.
чение тп полосы будет 1: вш а, а в
нормальном направлении аЪ — 1: сов о:. Сила.р
разложится на нормальную к тп
тангенциальную слагающую ρ ;ш. «, и лежащую
в плоскости тп радиальную слагающую
р-еози. Легко видеть, что растягивающее
Фиг. 81.
напряжение на единицу площади тп будет
о, =р.кіп а: (1; віп а)=р■ вШа а, арадналь-
ное напряжение на единицу ад будет
ізТ~р ■ сов«:(1 : сов а) = ρ ■ ш3и=р—
—р-зіп2а, что и требовалось доказать.
Скалывающее напряжение в аЬ будет
τ=—_р-віпя:(1:со8я)=) , .
=р-шя.сона / " ' ^
Обозначим теперь через ρ и ί
радиальное и тангенциальное перемещение точки Μ
. (фиг. 81), с полярными координатами г

58
ЧАСТЬ 1. ДАВЛВЕНЕ ГОРЦЫX ПОРОД.
и а. Тогда, так как перемещение равно
напряжению, умноженному на длину
растягиваемого волокна и деленному на
модуль упругости материала, то
ρ
Ε
ρ
\—Ь'-
шя-сова
Также точно скалывающее перемещение
где і?—модуль упругости
Если в слое сделано круглое отверстие
(радиус отверстия г,), то напряжения
изменятся. Для г = г{ исчезает радиальное
напряжение ат. Чем дальше лежит точка Μ
от края, тем слабее влияние отверстия.
Для г, = со мы снова имеем выражение (я).
Приходит на мысль, что решение должно
иметь вид
Соответственно же этому н перемещения
будут
р = С+Н-8шгаі ^
£ = .7-ВІПа-С08а /
где іі, Ми ЛТ,, О, И, 7
суть—некоторые функции от г. Эти функции так должны
быть определены, чтобы, с одпой, стороны
удовлетворять условиям равновесия, а с
другой—конечным усяовням. Если удастся найти
такого рода функции из соотношения между
напряжениями и удлинениями, то получится
правильное и единственное решение задачи.
Напряжения связаны с изменениями
■ормы, при условии подчинения закону
ука, следующими уравнениями:
лЩ%-
т — 2
-> — т ѵ \р 4- 1 й; _і_
2(м-[
+
(«)
т — есть отношение продольного растяя;е-
ния к поперечному сжатию при простом
растяжении ни — пространственное
расширение, при чем
Условия равновесия
^14-- -' -4-
-'=0 1
ІІ ι 1 дъ _ι_ 2τ _ η
} (?)
переходят, прпилмая во внимание (е) в
2т *'_і__1_ ЭЗ .,
2»ι
где
т — 2 г ' ді. ~сіг~Ѵ
1 τ ді вг »■
СО
.(*}
■у и β имеют, как функции г и а,
характер нормального и сдвигающего
напряжений. Мы подставим, поэтому, в (Л)
значения
2иі
:—5 ν = Ь -\- М- 8ІВ3 а
р = Л"-8Іаа-С08а
■<У)
Здесь Ь, Ж и N суть функции от г
и а, которые, будучи подставлены в (Л),
дают уравнения
(Й-)
откуда
'·£+*=«
-ι-»-»
2ϋί—>-4?—0
,
М = Аг»- + ^
Ν=Αί*—^
*-°-ϊ
Άτ*+-
Ι]
(0
Д 5 и О суть произвольные постоянные,
которые получатся из конечных условий.
Из сравнения первого и третьего уравнений:
получается
М-\-2Ь = 2С .... (т)
Приппмая же во внимание (I) а (;),
имеем
ад —2
ѵ =
т - 2
га — 1
2т
'В
° 2 ' 2г^
^ ВІП%
+т- а*!] -(Л .р = (^-|).8йіЯ.с«а
■ («)

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВІЕНВЯ ПОРОД. 09
Если, напротив, подставить (а) в'(/)
и б (г), то получается также ν и β, как
функции г н α
■%_ \№ , С- + І
ѵ =

топь-— 1
аИ , Н — 2-1 \
άτ
Г
Ш
си
"а?
1п»*1
$--
СОВа
(о)
(о) и! («■) дают соотношения между
известными функциями ЛГ, ίΓ и і и еще
неизвестными в, Η и .7 и притом
Ш , Я—2Л _ яі - 1 д,
й;· ~І г 2'ів
2Я - .7 гі./
= #
О)
ί· ίίί*
Отсюда молено напти С, Ξ и 7, кап
функции г. После некоторых
преобразований получается
в-
-£ЛІ(В+Щт +
+ ицт-1)С-#\т +
0т
ω
2г= 2г ~ 2
т_ І5 __ "'— ί ^ ι
2гВ ~~ іпі г'
Л.*"*- Зда±і 4,-3
Д Ві? суть новые постоянные,
введение которых необходимо при определении ρ
по О, Ε и I. Надо только различать
модуль упругости Ε и постоянную Е,
Если подставить значения из (β) в (я),
то получается
+
е + ,;
Я—2^
ί Лт)
Ε
2. (ш + 1)
, 2Я-.Л .
Η —- ш к - еов я
Для определения постоянных служат
уравнения:
для г = г1 напряжение ог = τ = О
„ α = О и г = со напряжение сг = у н о( = О
„ о = 90° и г = со „ ^ = ОЧ|=ц
Эти условия выполняются, если
9рг£
' Ε
В:
2(ш+1)ргА
в =
тЕ
,__2(т + 1)р
тЕ
Р= — '
I»
Вместе с тем (#), (г) и (а) дают
следующие формулы:
»· 2 I1 г:
2(1-3^)^*
2
(ί)
+ 2(1 + 3^)81^»]
-1-(ι7ΐ)χ
χ(— 1 — З-^Звіпа.еобв
■ Напряжения, таким образом, совершенно
независимы от коэффициентов упругости:
для всех материалов одинаковы, если только
подчиняются закону Гука и закону
пропорциональности. Если обозначить —
через х, то
χ [2—3^-2 (1-3ж2)8іпг«1
«,= -|-[(1-За«>» +
(55)
+ 2(1 + 3я*)віп*а
т = -^-(1-я?)Х
Х(1 + 3^)8іп2а
а; может иметь значения между 0 и 1.
Для к = 1 имеем:
о( = ( — 1 -(- 3 ВІПа а)^>
τ = 0.

60
ЧАСТЬ I. ДЛВЛБНИВ ГОРВИХ ПОРОД.
Если, кроме того, а=0, то σ( = — р.
Напротив, если α = 90°, тос, = Зр. Таким
образом, на краях отверстия имеются
напряжения тангенциальные, значения
которых изменяются от Зр до— р; х = 0
соответствует случаю слоя без отверстий
(г( = 0).
Если пункт весьма удален от отверстия
(г = со), то получается, как и требовалось,
выражение (я)
ог = р—р-8\й2а
о,=р-&а?а
τ = —ρ ■ 8ІП α ■ С08 α
Напряжение ах в направлении растя- поэтому (фиг. 83)
жения получается из формулы
% = % · С082 а. -\- а( ■ ВІП2 а — 2τ · 8ІП α ■ СОВ а.
В А В С Μ
так что, если давать η различные значения,
то получается:
и = О Од. = 8р пункт А
η = 1 σκ = 0,859р „ В
η = 2 σχ = 0,892р „ О
»= 3 вя — 0,Шр „ Ώ
Отсюда видно, что отверстие, увеличивая
напряжения непосредственно около себя,
уменьшает их в некотором отдалении.
Если теперь брать точки поперечного
направления, т.-е. для α = 90°, то
0.= ^-[2 + ^+3^]. · -(57)
г
г
г
>■
= '*0
= 3»у>
= 5г0
= -1г0
σ* =
вг =
°,г =
"т =
- Зр пункт
= 1.074р
= 1,022р
= 1,011л»
»
»
л
і<
Ρ
ϋ
пі-
В
β
Фнг. 82.
Для ■ какого-нибудь расстояния пЬ, где
6 — некоторая длина и η — численный
коэффициент, в продольном и г, — в
поперечном направлении, т.-е. для
имеется (фиг. 82)
Г2
точки Μ
х*=^ =
1
пѴ + 1
ВІПЙ α = ж2
-(«)
!
-С
[
^\
• В
|
1
■ с
Фиг. 83.
здесь У = — -
Если подставить эти значения в
вышеприведенное уравнение для ах, то
получается
о* = 40-5^ + 3^ +
г
+ 2(11 — 12жв)л:2-8іп2а-|-
-4- 8 (— % -4- За2) ж2 · зіп1 а] =
= -|-[2 — 5я;а + 25ж* —
Напряжения в поперечном направлении,
таким образом, увеличиваются.
Для случая равномерно растягиваемого
по всем направлениям слоя формулы
сводятся к напряжениям в сосудах :с
толстыми стенками (формула Ляме)
■(56)
*(!-£
— 40^ + 243*]
Если Ь = 2г(, то получается значение
у2 = 4 и а?г —-,-Λ·ν-
" 4пг + 1 '
Для
*-ρ(ι+£)ί
«* = 2р
(58)
(59)

Обзор существующих теорлЙ давления пород.
61
§ 44. Следующая совместная работа
Леона и Вильгейма ]) носила
опытный характер. Она исследовали сжатие
прямоугольных кусков горных пород с
проделанными отверстиями, аналогичными
штольням.
Из теории следует, чтЪ отверстие
повышает напряжения на боковых стенках.
Допуская линейную пропорциональность -!^-
нежду удлинением и напряжением,
получаем наибольшее напряжение от сжатия _і_,
на стенках цилиндрического отверстия,
равным тройному общему (фиг. 84 а).
Почва и кровля отверстия испытывают
растяжение, равное по величине общему
«жатию (см. там же). Если в нетронутой
породе горизонтальное сжимающее
напряжение равно трети вертикального, то после
проведения отверстия зоны растяжения
отсутствуют (фиг. 84 &). Если давление
действует равномерно по вертикальному и
. по горизонтальному направлению, то
наибольшее напряжение равно двойному
первоначальному (фиг. 84 с).
Но камни не следуют выведенным
теоретически соотношениям. Чаще всего
удлинения принимают относительно более
быстрое изменение, чем это соответствует
линейному отношению к напряжениям.
Поэтому, влияние отверстий на напряжения
не бывает так велико, как это изображено
на фиг. 84 а, но бывает смягчено и при
том тем сильнее, чем блияіе наибольшие
напряжения к границе разрушения
материала.
Первый опыт. Кусок каррарского
мрамора 16X16X7 ет\ отверстие
круглое 2,5 ст диаметром. При 4й0 кдісіп2
появляется первая вертикальная трещина
через кровлю (фиг. 85); при 610 %/ст2
то же через почву. Образование разрывов ■
в кровле начинается впервые при давлении
в 500 Ьдіот2. После образования
плоскостей разрыва в них, естественно, исчезают
растягивающие напряжения. Образуется
новое состояние равновесия и прежнее от-
■ верстие действует уже слабее, чем в начале
опыта. При 950 кд/ст* начинает около
верхушки отверстия порода светлеть.
Развивается' ромбоэдрическая штриховка,
подобная той, какая образуется при
раздавливании чугуна. Угол с горизонтом
достигает в частях более удаленных от
отверстия 60°. Против кровли и почвы
1
') А. Ь о о а іша Р. V і 11Ь β і ш. ЦЬег йіе
2егз1огиа§еп іп ІшшеІаг(І£ ^еІосЫеа Оѳвіегаеп.
Оевіѳгг. \Ѵос1іѳп8с1ігіЙ Г. аав. ойеоіШЬеи Вашііеаві
1910, тетрадь 44, стр. 641. ~

62
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
направление этих сетчатых фигур явственно
нарушено. При дальнейшей нагрузке эти
сетчатые фигуры становятся все отчетливее
и область их увеличивается. Бее больше и
Іл іі· I/* [л V ѵ· Гі* ]/·
Фиг. 85.
■
■ щ
^%к
у'Ш
'у 7\..і?Л
Рт, Ч
Ί^
Фпг. 86.
больше порода у вершины разрушается.
От отверстия отходят наклонные трещины,
которые, видимо, имеют стремление в
дальнейшей становиться вертикальными, а за-,
тем сходятся над и под штольней и таким
образом предохраняют породу сверху и
снизу от дальнейшего разрушения |950—
990 кд) при этом, преясние трещины
через кровлю и почву закрываются. При
1075 кд/ст2 давление на ооках явственно
достигает предела—отскакивают чечевице-
образітые пластинки.
Второй опыт. Кусок каррарского-
мрамора 16 X 16 X 7 сто; в середине
его имеется квадратное отверстие 2,2 χ
X 2,2 ст.
Первые трещины попрежнеыу
появляются, как трещины разрыва, при давлении
670 кд/ст2 (фиг. 86) и проходят через
кровлю и почву штольни. При 870 кдіст2
появляются сетчатые фигуры, становящиеся
все отчетливее. Направление их в углах
отверстия круче (70 — 80э), чем в середине
боков. При 1080 кд\ст2 над кровлей и
под почвой появляются наклонные
сдвиговые трещины, которые пересекают
вертикальную плоскость симметрии штольни
примерно под 45° наклона и из камня вы-'
резывают две лишенных напряжения
треугольные призмы, почему вертикальные
трещины почти исчезают совершенно. При
давлении 1100 Ад/сто- отделяются все
более и более пластинки с боков, а при
/у
к
нЩ
ΐίδΙ
кЖ£Ь>-Ч1
Р-]
/ А
""№
:'іЩ
/ Щ&4"
Фпр 87.
1120 кд/ат* получается расслаивание
боков на тонкие пластинки во всю высоту
штольни.
Еще отчетливее все это было видно при
прямоугольном сечении (фиг. 87).

ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД.
■ 68
Поляризационный макроскоп проф. Кирпичева, и Зайцева
для оптического исследования распределения напряжений π дефорышщй
зиЛьралі істм ί мин.
шцил.
\№я
ішяЬчтик-
. ік О іиф ь
ггтпттгтЯ
а.
Фиг. 88.
§ 45· К изложенной теории и опытам
непосредственно примыкают опыты Ф. Ле-
винсон-Лессингаи А. Зайцева1).
Устроенный ими прибор изображен на
') Ф- Левивсов-Лесенні· н А.
Зайцев. К вопросу о давлении в туннелях. Летро-
град, 1915 г.
фигуре 88. Прибор состоит из двух
отдельных частей: поляризатора и анализатора,
которые представляют собой ящики с двумя
поставленными под пряным углом друг
к другу зеркалами. Зеркала эти заменяют
собой скрещенные призмы Николя. Силье
ный электрический свет падает на- перво-

64
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
зеркало, поляризуется и проходит в
анализатор сквозь поставленную между ними
испытуемую пластинку из прозрачного
целлюлоида. Пластинка имеет размеры
пунктах целлюлоидной пластинки
напряжений, получаются разнообразные фигуры,
позволяющие судить о величине и
распределении этих напряжений. Рядом имеется
Фиг. 91.
:ауу і
"Г МДК
60 X 200 X 3 «мп и
может при помощи
нажимного винта
подвергаться или
растяжению вдоль своей
длины, или сжатию в
направлении своей
ширины. В пластинке
проделаны отверстия разно-
ФИГ. до. образной формы.
Поляризованный свет,
проходя через пластинку принимается, затем, на
хроматическую фотографическую пластинку,
так что изображение получается в красках.
Смотря по различию возникающих в разных
*ЧТ*"м ІІйиК'-Мі &:
Фиг. 92.
вспомогательная пластинка—«компаратор»,
которая, растягиваясь определенным
грузом, дает для сравнения определенный
цвет в поляризованных лучах
I порядка—белый . ■ .
желтый . .
коричневый
голубой . .
II порядка—желтый . .
30-50 Ъд1спР
90—120 „
130—150 „
174- 200 „
240-250 „
Результаты получились, в общем, такие,
которые предуказываются и теорией Леона.
Сначала опыты имели целью выяснить
влияние прореза в пластинке и отверстий
различной формы. Оказалось, что щель,
направленная вдоль растягивающих усилий

ОЕЗиР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАІ1ЛЕІІПИ ПОРОД.
65
не вызывает особых напряжений (фиг. 89—
верхний прорез). Несколько сильнее
действует прорез в форме косого креста (тот
же чертеж— середина), зато поперечная
щелі· (нижний прорез) вызывает
значительные деформации. Далее, все формы
отверстий (фиг. 90) вызывают резкие
диагональные ■ (скалывающие) напряжения, как
и в опытах Леона и Вильгейма. Фиг. 91
показывает величину и распределение
напряжений около разных отверстий
различной формы. Совершенно отчетливо видно,
что наибольшие напряжения получаются
по бокам отверстия {по Леону—тройное
против общего сжимающего напряжения),
наименьшее—в направлении действующего
усилия (по Леону—растягивающее
напряжение, равное по величине действующему
сжимающему усилию). Те ясе фигуры
показывают, что наименьшие напряжения
получаются при овальном и подковообразном
сечении, вытянутом в направлении
действующего усилия. Наибольшие лее
напряжения возникают, когда форма отверстия
вытянута в поперечном направлении.. Это
обстоятельство весьма важно при выборе
формы сечения туннеля. Наконец, фиг. 92
показывает, что при слоистых породах
прилегающие к выработке слои прогибаются
внутрь, при чем сверху, да и снизу,
прогибание это происходит внутри свода, как
и в опытах Фейоля.
§ 46. Таким образом, в отношении
совершенно сплошных упругих тел, в
противовес всем остальным случаям, мы имеем
вполне строгую теорию, подтверждаемую
опытами. К сожалению, все это нисколько
не подвигает вопроса о давлении на крепь,
ибо рассматривает лишь напрялсенил в
самих породах, и основной исходной
точкой является условие, что радиальное
давление по периферии отверстия равно
нулю, т.-е. давления на крепь нет.
А повседневная рудничная практика
говорит нам, что этого то как раз и не
бывает. Нам кажется, что указанный путь
только тогда даст надлежащий результат,
когда, кроме пород, будет введена в рас-
сулсдения и сама крепь,—чашка весов,
переклад, свод, бока шахты и т. д. Напря-
жения на внутренней поверхности крепи
действительно могут быть приравнены нулю,
и давление пород будет неодинаково для
различных видов крепления. Затруднение
заключается в том, что крепь не составляет
одного целого с породой и не является ее
непосредственным продолжением. Это не
есть одно тело, охватываемое одними и теми
же уравнениями, а система двух
разнородных тел, хотя и действующих совместно.
Такой задачи никто еще не решал.
Заключение.
§ 47. Обозревая изложенные теории,
приходится прежде всего удивляться их
необычайному разнообразию: что ни автор,
то новое представление о характере
происходящих явлений. Один рассматривает
породы как сплошные упругие тела, другой—
как тела, лишенные связи между
частицами; один строит свои рассуждения на
предположении об образующемся
естественном своде равновесия, другой—об
опускающемся с трением столбе, третий—об
отрывающемся от общей массы некотором объеме
породы и т. д. И это не различные случаи
задания, а различные представления об
одном и том лее.
Теория давления полного столба породы,
теории Бирбаумера в трех вариантах^
Энгессера, линии давления грунта, автора
настоящей книги, можно считать даже
Янсена,—совершенно толсдественны по
постановке вопроса: определить давление
сыпучего тела на вырез в дне ящика.
Жоэтому, разнообразие теорий
обусловливается исключительно разнообразием
взглядов авторов. И каждый логически
рассуждает, пишет формулы, опирается на
полоясенил сопротивления материалов и
получает совершенно непохожий на другие
результат. Создается впечатление, что
задача в общем виде имеет неопределенный
характер, что логически можно себе
представить не одно, а много более или менее
правдоподобных случаев равновесия. Вопрос,
стало быть, в том, кто из авторов, строя
гипотезу, правильно угадает, ибо на самом
деле явление все таки совершенно
определенно. Совершенно ясно, что решить это
молсет только опит.
И вот, как это ни странно, оказывается,
что огромное большинство авторов, строя
свою теорию, только бросало мысль и не
пыталось даяіе посмотреть, что из этого
выходит и насколько она оправдывается
действительностью.
Давление горных парод. Ч. 1.
5

66 ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
А если попробовать это сделать салим, мы ложем поручиться; для него 8 было
то получается поразительная картина. определено равным 1,62 и /^^ 0,617 (ψ =
Возьмет песок, для которого нами были = 31°40'). Выберем размер отверстия в дне
сделаны еще в 1912 г. опыты, за которые ящика, куда насыпан этот песок, равным

О1І30Р СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОРОД- 67
4χ4 ст и попробуем подсчитать
давление на такой вырез по разным теориям,
при чей высоту слоя засыпки будем
постепенно увеличивать.
Тогда предположение о полном весе
столба породы дает цифры, уже
вычисленные в § 13 настоящей главы.
Р = 1,62 -4- 4-й
Ε 1 2 3 4 5 еда
Ρ 26 52 78 104 130 д
И 6 8 15 80 его
Ρ 156 208 ЗВО 780 д
На диаграмме 93 это дает прямую
линию I—I.
Теория Бирбаумера .(§ 15 настоящей
главы) дает несколько вариантов. Надо
только заметить, что при квадратном
вырезе сопротивление от трения будет с
четырех стороп опускающегося столба, а не
с двух, почему основная формула (16)
будет для данного случая
Р= 1,6-4-4 · К (і— ^0,617 Іё2 31°40'\
Я" 1 2 3 4 5 о»
Ρ 24 42 54 64 66 д
Ε 6 8 -15 30 ст
Ρ 60 48—223—1715 д
На диаграмме это дает кривую II—П,
сначала поднимающуюся вверх, а потом
резко спускающуюся вниз и становящуюся
отрицательной.
Второй вариант дает формула (17).
Р=1,62-4 -4 ■ Л"і§*
90°—31°40'
2
Ε 1 2 3 4 5 ст
Ρ 2,4 4,8 7,2 9,6 12,0 д
Н6 8 15 30 сад
Ρ 14,3 10,3 36,2 72,0 д
Получается прямая линия III—III, наклон
которой в 11 раз меньше, чем наклон 1-1.
В третьем варианте Бирбаумера
(формула 18), по смыслу вывода, при
квадратном вырезе выпадающий плоский клин
надо заменить четырехгранной пирамидой,
а потому давление, независимо от глубины
будет
На диаграмме получится прямая IV—ΙΥ,
параллельная оси Х-ов.
Переходим к теории Янсена. В § 20
уже приведены вычисленные по формуле (30)
цифры
Р =
1,62- іе
-Олю Η л
1-е 16
0,192-16
где 0,192 есть
Ь = ГІ~ = №Пі£~р -0,192
равным образом
.Р = 4Х4 = 16 π Ρ = 4Χ4=16.
Ε 1 2 3 4 5 см
Ρ 24 42 59 73 83 д
Ε
Ρ
6
93
8
107
15
116
30 ст
185 д
Получилась кривая У—V, сначала
плавно поднимающаяся вверх, а затеи
постепенно приближающаяся к параллельному
оси X направлению.
Линия давления сыпучего грунта (§ 21
формула 32) представляет собою эллипс
с полуосями
а = %ст и г> = 2:і§?^=|^ = 6,4 сот
Если бы вырезбыл круглый, площадью Р,
равновеликий данному 16 ст3, то
получился бы эллипсоид вращения, половина
объема которого была бы
7 = ^Л* =
16 - 6,4 = 68 сдав
а вес, стало быть,
Р= 1,62-68 = 110 д.
При квадратном вырезе фигура
получится более сложная, но, при равенстве
площадей оснований и высоты, можно
объемы их принять просто равными. Итак,
в этом случае давление постоянно и равно
110 д. На диаграмме получается прямая
УІ—У1, параллельная оси абсцисс.
По Энгессеру (§ 24) формула 37 дает:
ρ = 4-2"-1,62χ
, ,90"—31*40'
■І£2- =
X
к-
Я-^31°40'-{-2^а
%31°40'
9[>°-31°40'
Для различных Я получается
0 12 3 4 5
8 21,0 25,4 27,6 28,8 29,9
Я 6 8 15 30 от
Ρ 30,4 31,2 32,6 33,4 д
Ε
Ρ
ст
9

68
ЧАСТЬ 1. ДАВЛЕНИИ ГОРДЫХ ПОРОД.
Цифры эти дают кривую VII—VII, плавно
поднимающуюся кверху, а затем
постепенно приближающуюся к параллельному
. осп абсцисс направлению. Кривая эта по
внешнему виду напоминает кривую Янсена,
но, примерно, вчетверо ниже ее. Обращает
на себя внимание, что при Н= 0
получается абсурдное значение І*=8 д, т.-е.
если бы давящего слоя песка не было
совсем, все же имело бы место давление
в 8 д. Это объясняется тел, что при малых
глубинах форма сводпков уже не будет
параболическая, а другая, π потому одно
из исходных положений теории
становится неточным, так что теория Энгес-
сера принципиально не годится, как π
сам он отмечает для малых отношений
Η к а.
■ Чтобы применить теорию Рпттера (§■ 29,
формула 4ί) сначала надо знать
величину к. Беря данные фон Отта (§ 31),
цмеем для мелкого песку к = 0,03. Тогда
■ Получается параллельная осп абсцисс
прямая ТШ-ГІІП).
Пз следующих, теорией Коммерелля
нельзя пользоваться, ибо нет наблюдений
над прогибанием кровли, которое, кстати,
здесь очень сомнительно, а теории Щульца
н Леона не подходят, так как они даны
для твердых пород.
Одного взгляда на диаграмму
достаточно, чтобы видеть полнейшую разноголосицу.
Одна линия поднимается круто вверх,
другая, загибаясь, устремляется внпз.'получая
отрицательные значения; ряд линий
параллельны осп абсцисс, но все на совершенно
разной высоте π т. д. И все они (за
исключением теории Энгессера) решительно не
сходятся с действительностью. Отсюда
можно сделать только один вывод:
забраковать их все и попробовать создать свою
теорию, шаг за шагом сверяясь с
действительными наблюдениями. Это и составляет
предмет следующей главы.
Ч Риттер выводил свои формулы для длинной
выработки, но не для квадратвого варена. Поэтому,
нельвя поручиться что формула (44) применима
к данному случаю. Но иной формулы—нет.
ГЛАВА Ш.
Теория М. М. Протодьяконова1).
§ 1. Горные породы в массе
своей отнюдь не представляют собой
сплошных упругих тел, какие рассматриваются,
обыкновенно, в курсе сопротивления
материалов. Множество трещин, от
микроскопических до грандиозных, разбивают всю
толщу на отдельные куски, и даже там.
где связь остается—она в значительной
мере слабее, чем внутри самих кусков.
Особенно характерны напластование и
кливаж, а равно так называемая к отдельность»,
наиболее сильная в базальтах и гранитах.
Они образуют систему взаимно поперечных
трещин, определенно обращающих массу
породы в собрание отдельных кусков, лишь
отчасти связанных друг с другом. Фиг. 94
изображает, например, свежеобнаженную
поверхность базальтовой каменоломни. На
фиг. 95 (передний план) видно обнажение
гранитного массива. Фиг. 96 .представляет
ломки мрамора. Очень хорошо бывает видно
указанное явление на боках
железнодорожных выемок в скалистом грунте. Например,
фиг. 97 изображает выемку в сланце,
Фиг. 98—самое обычное обнажение в
слоистых породах. Даже там, где
породы на вид кажутся совершенно
сплошными, достаточно подвергнуть их какому
ннбудь механическому воздействию,
например, заставить их прогибаться над какой-
нибудь выработкой, подвергнуть
выветриванию на поверхности (фиг. 99), наконец,
просто взорвать,—и тотчас же обнаружится
присутствие незаметных трещин π т. д.,
н т. д.
Явление это настолько известно
всякому горняку пли геологу, что даже в
условных обозначениях пород вводятся указания
на их трещиноватость и разделение на
!} Ж. Протодьяконов. Давление горных
иород на рудничную крепь. Ивв. Екат. Высш.
Горн. Учил. 1908 г. т. I.
Статья под тем же заглавием в „Гора. Журн."
1909, кн. 8.
Попытка опытного исследований законов
давления пород па горные выработки. „Горн.
Журя." 1912, кн. 4—5.
К вопросу о давлении сыпучих тел. „Горн.
Журн.", 1916, кн. 6.
А также ряд других статей,которые указаны
в соответственных местах.

ТЕОРИЯ Μ. Η. ПРОТОДЬЯКОНОВ Λ.
69
куски (фиг. 100). Л знаменитый
Гейм прямо различает понятия
«Се8ІешГевІі|?;кеіЬ» крепость породы
в куске и «6еоіГ£зГе8ЬІ§кеІІ» крепость
пород в массе.
§ 2.. Указанное обстоятельство
имеет самое решающее значение
в· вопросе о том, можно ли к давящим
на крепь породам применять законы
сплошных упругих тел. Как бы ни
мала, ни незаметна была трещина,—
тело уже перестает быть сплошным.
Можно разломить кусок, затем
сложить его попрежпему настолько
плотно, что трещину трудно будет
заметить, но ясно, что такой
разломанный кусок все же потеряет
свойства сплошного тела: на
растяжение работать оп совсем пе
может, на изгиб—тоже; при
сдвигании будет сопротивляться только
трение и т. д. Ясно, что характерные
для сплошных упругих тел
соотношения между растягивающими и
сжимающими усилиями, между
продольными и поперечными
деформациями, между сжимающими или
растягивающими и скалывающими
напряжениями, между усилиями и
деформациями—уже изменятся.
Само собой разумеется, что
рассматриваемые породы нельзя считать
Фиг. 84.

70
ЧАСТЬ 1. ДАОДШШЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
Фнг. 96.
Й *
Фш\ 97.

ТЕОРИЯ >Г. И. П РОТ О ДЬЯКОНОВА
71
Фиг. 98.
также и настоящими несвязными (сыпучими)
телами, ибо в последних существует только
трение, а здесь имеется и некоторая связь
кусков между собою. Гранитный массив,
разбитый трещинами на отдельности, все
же отнюдь не является грудой гранитного
щебня и т. п., поэтому, горные породы
в массе представляют собою нечто среднее
между сплошными и сыпучими, то ближе
к первым, то ко вторым, и если
попробовать применить к ним законы сыпучих
тел, то сделать это можно лишь с
известными оговорками и поправками, подобно
тому, как это пришлось бы сделать,
принимая их за сплошные упругие тела.
Идея наша и заключается в том, что
мы рассматриваем горные породы, как
тела до известной степени несвязные,
и применяем к ним законы сыпучих тел,
но в характерный для последних
коэффициент трения вводим и связь между
частицами, отчего величина его
увеличивается. Так, если при движении по плоскости
сила возникающего трения на единицу
поверхности есть Р, равное нажимающей
силе, умноженной на коэффициент трения Д
Ρ^ϊΝ Фиг. 98а.
то прибавляя сюда еще силу "сцепления
частиц с, тоже на единицу поверхности,
получим общее сопротивление сдвиганию

72
ЧЛСТІі I. ДЛВЛЕНЛК ГОРНЫХ ПОРОД.
Фиг. 98-
I
Фиг. 100.
.или как ои увеличенный коэффициент
трения—«кажущийся коэффициент трения»
Г, равный
г=І-Щі ■ ■ - .(60)
Конечно, такое воззрение искусственно;
конечно, при этом возникает множество
затруднений, главным образом,
принципиального характера, но если бы оказалось,
что такой прием, с достаточной для
практики точностью, оправдывается,—цель наша
будет достигнута.
а. Давление на кровлю штольнообраз-
ных выработок.
§3. Вывод основных формул
для сыпучих тел. Пусть над вырезом
в дне ящика, нуда насыпано сыпучее тело
{или над проведенной в породах
выработкой) образовался разгружающий свод ЛОВ
{фиг. 101). Равновесие возможно и
наиболее устойчиво тогда, когда частицы
сыпучего тела просто прижаты друг к другу,
т.-е. когда существуют только
-тангенциальные усилия, без веяких сдвигающих
сил.
На какую-либо произвольную часть
свода МО действуют:
1) в О—горизонтальная реакция
Управой части свода;
2} посредине абсциссы χ проходит
равнодействующая рх равномерного
вертикального давления на горизонтальную
проекцию ж, если на единицу действует
давление р, которое равно весу столба
сыпучего тела ЬЩ когда Ξ достаточно

теория м. ы. протодьяконов л. 73
велико, чтобы пренебречь различием высот
над различными точками свода,
3) наконец, в Ж—касательная
реакция УѴ нижней части свода.
Момент силы Τ относительно точки Μ
есть Ту и действует против часовой
стрелки; момент силы рх есть рх2: 2 и
действует по стрелке, а момент Ψ равен
нулю, ибо плечо есть нуль. Значит
гм2_
Ту
И
Это есть уравнение параболы, а,
следовательно, свод получается
параболический. Вывод этоі давно известен и
собственно наша теория начинается дальше.
Чтобы он был устойчивее, надо, чтобы Τ
было меньше фа, і.-е. чтобы имелся
некоторый запас. Представим себе этот
запас, как ряд горизонтальных сдвигающих
усилий τ на единицу вертикальной
проекции свода, т.-е. на всю половину свода іЬ,
которые, если бы случайно возникли, могли
бы быть также поглощены существующим
трением. Так как силы эти только
предположительно возможные, то условия
равновесия, а, стало быть, и уравнение кривой
свода, остаются прежними, только сила
горизонтального распора будет меньше и
определится из условия
Г+Л = йм .... (6)
χ _._._.Ш
Фиг. 101.
В точке опоры А давление выразится
касательной силой Я, нормальная
слагающая которой Ρ прижимает частицу к опоре,
а горизонтальная слагающая Ц — сдвигает
ее. Сопротивляется, конечно, трение, угол
которого пусть φ, а коэффициент трения
/.= 1&<о. Чтобы свод не сдвинулся, а, стало
быть, и не разрушился, нужно, чтобы (2
было равно или меньше силы трения /Р.
Но, если взять сумму проекций на координат-
ныеоси, то ф = ТиР = ра, следовательно,
'■' ^ Т^Іра
Если Τ будет как раз равно силе
трения, то при подвижности частиц сыпучего
тела свод этот будет крайне неустойчив.
Подставляя отсюда значение Τ в (с),
получаем для точки опоры
Ц.=(Гра—й)Ь
откуда
τ=ρα
2іЬ — а
ЗЬ2
■ ■ -00
Определим высоту свода δ из условия,
чтобы запас τ был максимальный, т.-е.,
чтобы была обеспечена наибольшая
устойчивость свода. Для этого берем первую
производную по δ
άτ α — б/7
приравниваем ее нулю

74
ЧЛОІЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
следовательно
(61)
Вторая производная меньше нуля,—
стало быть, имеется действительно максимум
Ρ
аЬ"
Подставляя найденное значение Ь в (с),
получаем
ί~τ ■ ■ ■ ■
№
а вставляя значения & и χ в (δ), находим,
что
Т={ра-№=&
■ Ле)
т.-е. половина существующей силы трения
уравновешивает горизонтальный распор
свода, а половина остается, как запас.
Уравнение кривой свода (а) теперь будет
или
2 ~ 2 у
(62)
Выражения (61) и (62) суть наши
основные. Как видно, она идеальны по
простоте, а потому чрезвычайно удобны
для практических подсчетов.
§ 4. Давление на крепь. Так как
свод определен из условий его собственного
равновесия, то вся
вышележащая толща
пород давить на крепь
уже не может, а могут
давить только части
внутри свода, которые
при отсутствии связи
между частицами
будут стремиться упасть
в выработку, т.-е. про-
Фдг. юг. изведут давление на
крепь, равное их весу
(фиг. 102). Так как площадь параболы
равна двум третям соответственного
прямоугольника, т.-е.
то на 1 пог. единицу длины неопределенно
продолжающейся выработки, давление на
крепь будет
Р = Ъ8=±-ЪаЪ . . .(63)
или, вставляя значение Ъ из (61)
ρ=4-δΐ . . .
.(64)
Если же вырез имеет форму круга,
радиуса г, то свод получается куполообраз-
рый и его объем равен половине объема
цилиндра, имеющего то же основание и вы-
.соту
если через I" обозначить площадь
основания. А значит давление на крепь будет
Р=.-^.8*г«Ь = -|-8,Р& . .(65)
Подставляя значение Ь. получим
Наконец, если вырез квадратный, то, ,
не вдаваясь в рассуждения, примет просто,
что давление кушлообразного свода будет
так же, как при круглом вырезе, равно
половине веса соответственной призмы,
т.-е. будет:
Этими формулами и будем
пользоваться.
§ 5. Изложенная теория, подобно
остальным, основывается на априорном допуще-
щении вида происходящих явлений:
предполагается, что образуется свод, очерченный
по линии давления при вертикальной
равномерной нагрузке; предполагается, что
разрушение свода обусловливается
сдвиганием частиц в опоре, чему сопротивляется
возникающее трение; предполагается, что
сдвигающая сила в опоре меньше
возможного трения, а избыток трения
обеспечивает устойчивость свода от случайного
сдвигания частиц, при чем высота свода
такова, что этот запас оказывается
максимальным. На основании атих
предположений выводятся соотноше ия,
обусловливающие равновесие свода. Такое равновесие
возможно, так как выполнены основные

ТЕОРИЯ Μ. Ц. ПРОТОДЬЯКОНОВ Л.
75
условия равновесия: условие проекций сил
и условие моментов. Особенностью является
только то, что устойчивость равновесия
обеенечена с некоторым избытком. Но
теперь возникает вопрос, единственная ли
получаемая форма равновесия или нет?
'_. Решить это могут только факты: если
логические выводы из построенной теории
оправдываются опытами и наблюдениями,
то теория правильна. Бели нет, — теория
должна считаться ошибочной. Получается
типичный случай дедуктивного мышления,
когда строится априорная гипотеза и
провернется в своих выводах на опыте. Мы
уже применяли такой споеоб проверки
к изложенным ранее теориям, применим
■его и в данном случае.
§ 6. Проверка теории опытами.
С этой целью автором был сконструирован
прибор, изображенный на фиг. 103. При-
Фиг. ЮЗ.
бор этот представляет собой деревянный
ящик '), у которого передняя стенка
сделана стеклянной и может вдвигаться и
выдвигаться, скользя в пазах деревянной
рамы. Дно ящика образуют выдвияшые
пластинки толстого кровельного железа АА,
в которых сделаны вырезы желаемой ве-
1)" И. №. Лроигодълконов. Попытка опытного
исследования давлении пород на горные
выработки. „Горн. Журнал", 1912, кв. 4—5.
личины. Главнейшими являлись три: 4χ4,
5X5 и 6X6 ст. Пластинки эти одним
концом опираются на рейки, прибитые
к задней стенке ящика, а другим —на
железную полосу ВВ. Полоса, а с ней
вместе и пластинки, могут устанавливаться
не только горизонтально, но и под углом
30°, 45° и 60° к горизонту, при чем дно
ящика может быть, по желанию, и
наклонным, как показано на чертеже.
В ящик насыпается изучаемое сыпучее
тело. Оно производит давление на дно. Если
упомянутые выше вырезы закрыть снизу
пластиякой, прикрепленной к одному
концу С коромысла весов, то давление на
площадь выреза всегда молено уравновесить
гирями, положенными на чашку весов
у другого конца В коромысла и, таким
образом, измерить величину производимого
давления. Так как наклон дна изменяется,
то, чтобы всегда измерять давление,
нормальное к плоскости дна, коромысло
устроено с шарниром, так что может делаться
коленчатым с требуемыми углами наклона
между плечами. А так как его при этом
приходится устанавливать то выше, то
ниже,—все устройство весов
прикреплено к ползуну Е,
ψ который ходит в пазах и
на любой высоте может быть
Ъ закреплен помощью винтаί*.
Легко видеть, что насы-
с^=3 панное в ящик вещество
аналогично горным породам,
а закрывающая вырез пластинка —
подставленной рудничной крепи. Самый ход
наблюдений был таков: когда дно
установлено и стеклянная стенка вдвинута, —
на чашку весов кладутся гири в заведомо
большем количестве. Тогда отверстие плотно
закрыто прижатой этим грузом пластинкой.
Затем в ящик насыпается взятое вещество,
например, песок, до желаемой высоты.
Чтобы измерить полученное давление, гири
снимаются постепенно и очень осторожно
до тех пор, пока давление песка не окажется
больше. Тогда коромысло резко опускается.
Очевидно, что оставшиеся на чаше весов гири
непосредственно покажут величину давления.
Каждое измерение повторялось столько раз,
чтобы средняя ошибка не превосходила
несколько граммов, за исключением тех
случаев, когда само явление оказывалось
явно не устойчивым. В общем же, когда

76
ЧАСТЬ 1. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
ошибки суммируются, можно все же пола*
гать, что неточность опытов не
превосходит 10%.
§ 7. Влияние глубины. Был
взят: 1) сухой кварцевый песок, удельный
вес которого был определен 3 = 1,62,
с углом естественного откоса, также
тщательно определенным, е> — 31° 40', т.-е.
/"= і§ φ = 0,617, я 2) льняное семя,
удельный вес которого был 0,69 и угол
естественного откоса <? = 23° 30', т. е. /■ =
= 0.435. Те же вещества были взяты и для
остальных опытов.
Теоретические соображения показывают,
что глубина не влияет на величину
давления, ибо в формуле (67) пет совсем
члена, выражающего глубину. Чтобы
проверить это, высота слоя засыпки
изменялась в отношении 4:2:1. Дно было
установлено горизонтально и площадь отверстия
взята 4 χ 4 ст. Получилось следующее
(все числа в граммах):
а) Песок.
1
3
1
2
3
Π
11
30
15
8
аз
Наблюдения — о > §
:1
38, 38, 30, 40, 40, 40
38, 40, 39, 39, 40. 34, 38
36. 38, 35, 37, 38, 40, 40
39
38
38
38
6) Льняное семя.

ΓΟΟ
Е-
3
9
Я
Й
4
з
6
5 я
Iе
я и
£3
33
16
8
Наблюдения — д
25, 25, 36, 28, 24, 26
23, 2а, 24, 24, 25
27, 24, 28, 24, Й5
Среднее ....
са
αϊ
и
п.
О
26
24
25
25
Полученные цифры показывают с
несомненностью, что, несмотря на изменение
в четыре раза высоты слоя засыпки,
величина давления остается одной и той же,
а сходство цифр отдельных измерений
показывает, что здесь и речи быть не мот
жет об ошибках опыта. Таким образом^
наши теоретические предположения в этом
отношении надо считать подтверядон-?
ными.
§8. Граница постоянства
давления. Интересно теперь выяснить, -
начиная с какой глубины наблюдается
такое постоянство давления, так как,
очевидно, что при малой толщине,
стремящейся к нулю, и давление должно
стремиться к нулю же. Наша теория не говорила
об этом ничего, так как она предполагала
равномерное давление ρ над всеми точками
свода (§ 3); между тем, при небольшой
толщине давящего слоя разницей высот
над различными точками свода
пренебрегать уже нельзя. Заметим, что вместо
параболы тогда получается так называемая
линия Г а г е н а: формулы приобретают
сложный вид, высота давящего слоя в них
входит, и получается плавная кривая
давления от нуля до постоянной величины,
выведенной ранее. Формулы эти нами были
найдены, но так как для вычислений они
неудобны п. кроме того так как при
малых высотах, как сейчас будет показано,
наблюдаются некоторые особенности, то
мы их не публиковали. Итак, продолжаем
уменьшать высоту засыпки.
б) Песон.
о
=
о
7
8
δ
10
и
12
13
ІІ
в
5
4
■V
2
1
Наблюдения — д
41, Г>3 46,45,51,47,50
48, 43, 47,49,51,45,39,47
41, 45, 46,48,47,44,
44. 45, 44,46,47
44, 37, 44,43,45,48,43
38, 36, 36,
28, 26 29
Оз-
о
ш
и
Φ
Р.
О
48
46
45
45
43
37
28
При высоте слоя засыпки нуль, конечно,
и давление будет равно нулю.
"Опыты показали, таким образом
(фиг. 104). что при уменьшении глубины
сначала происходит некоторое возрастание
давления, а потом резкое его падение.
Та же самая картина получилась и
при опытах со льном.. . ...

ТЕОРИЯ Ы. »І. ПРОТОДЬЯКОНОВЛ.
б) Льняное сеііл.
а
и
о
14
15
16
Высота слоя
засыпка
см
6
4
2
Наблюдения
3
30 30 26 27 25
25 30 28 28 30
14 18 14 16 14
Среднее
. 9
'28
.28 ,
15
Графически результаты изображены на
фигуре 105.
Сходство диаграмм несомненно, но,
чюбы еще отчетливей уяснить характер
явления, была взята большая площадь
выреза, а иненно б X 6 ст.
а)
?й№
опытов 1
17
18
10
20
21
22
23
Песок.
Высота слон
засыпка
см
о
4
5
6
7
10
15
Наблюден яя
9
06 93
80 80
124 135
124 131
115
130 135
139 143
117 124
138 137
132 126
128 121
150 135
141 138
110 126
139 111
142 132
96 -88
ИЗ 118
124 121
142 140
138 135
133 138
150 124
142
130 136
147 138
120 122
130 Ϊ18
105 134 110 133
133 130 126
Среднее
д
89
123
138
133
138
125
126
Результаты изображены на фиг. 106.
Эти опыты производились со всей^воз-
можной тщательностью н при большом
числе наблюдений. Чтобы избежать легких
толчков при перекладывании гирь,
которые могли бы разрушить сводики раньше
времени, было введено новое
приспособление: к чашке весов, вместо гирь, была

78 члсть ι. дАБ.теапЕ горных пород.
подвешена градуированная бюретка, куда
наливалась вода. Снизу бюретки был кран
и оттянутая стеклянная труЛочка. При
опытах вода вытекала тонкой струйкой;
вес бюретки с водой уменьшался таким
образом без всяких толчков, и момент,
когда давление песка перевешивало, мог
быть уловлен совершенно точно.
Диаграмма показывает, что характер
явления был абсолютно тот же, что и
в предыдущих опытах, т.-е. при
увеличении слоя засыпки от нуля, давле-
5 6 7 в 9 10 II Й 15 1й 15сант
Высота слоя засыпки.
Фиг. 106.
ние сначала бистро возрастает (до
Ε = 5— 6 ст), затем дерэісится
некоторое время приблизительно'на одной
высоте (5 7) ст), при чем отдельные
измерения дают очень сильные колебания,
необъяснимые погрешностями опыта и
коренящиеся, очевидно, в самом явлении;
потом давление несколько падает и
устанавливается прочно, оставаясь
все время постоянным.
Если попробовать применить ту точную
теорию, о которой упоминалось выше, то
получатся линии, показанные на диаграмме
фиг. 107. Как видно, совпадение
вычислений и наблюдений, в обшем, не
оставляет желать лучшего. Совпадение таково,
с которым ни одна из других теорий и
сходного ничего не имеет (кроме, разве,
теории Энгеесера). Но при этом
обнаруживается одна особенность. Начиная с 8—
10 ст навлюдается парадоксальное
явление: давление при уменьшении давящего
слоя увеличивается вместо того, чтобы
уменьшаться, и имеет некоторый
максимум, примерно, около 6 ст. Обстоятельство
это впервые замечено нами и никак не
может быть объяснено погрешностью опыта,
ибо наблюдалось нами во всех решительно
случаях, и опыты производились
слишком тщательно.
Оказывается, что и другие
авторы натыкались на это
обстоятельство, но не обращали
внимания. Так, в опытах
Энгеесера (см. § 25) при высоте
засыпки 40 ста давление было
140 д, при высоте 15 ст почти
то же самое —141,6 д, а при
высоте 6 ст давление возросло
до 180 д, вместо
теоретических 133 д. Равным образом,
в опытах Пранте1) давление
зерна на 1 иг3 дна при высоте
засыпки 5,5 т было 4,4 —
5,6 Ъд, а при высоте 3,0 т
уже 5,2—6,0 кд. Стало быть,
указанное явление есть
действительно закономерное.
Не выяснив пока точно
у этого вопроса, мы пред-
Λ полагаем, однако, что в
этой части диаграммы
происходит следующее.
Образующиеся с в о д и к и
должны иметь определенную высоту и, кроме
того, некоторую толщину. При малой
толщине засыпки, меньшей, чем высота свода
плюс его толщина, сводики не могут зам-
квуться полностью, а потому и не могут
полностью разгрѵжать давление, как это имеет
место при большой глубине; поэтому,
давление повышается и все явление происходит
по каким-то иным законам- Бот почему мы и
не приводили наших формул для малой
глубины. Для грубых подсчетов мы
рекомендовали бы до толщины слоя, равного
высоте свода Ь, получающейся по формуле
*) Ргапіе. Мез5И£еп (Іез СеІгеісІиІгіісІшЕ
цеавп Зі1оігап(1ііпйеіі. „Ζβϋ. сі. Ѵѳг. Оеи&сЬ. Ια^·"-
1806.

ТйОРИП Μ. И. ДРОТОДЬЛКОНОВА.
79
(61) считать высоту параболического свода
просто равной толщине слоя, т.-е.
Ь = Я и Р=|йаЯ . . (68)
а после этого, считать высоту свода, а
/стало быть и величину давления постоян-
*ной и вычислять их по формулам (64),
(66) и (67).
Полученные результаты с полной
несомненностью показывают
пропорциональность кубу стороны.
§ 10. Влияние коэффициента
трения. Последней величиной, входящей
в формулу (67) и требующей проверки,
является коэффициент ?. Из формулы видно,
что при одной и той же площади выреза,
давления должны Оыть пропорциональны
величине 8: /\ Для песка величина эта
равна 1,62:0,617 = &,63, а для льняного
сеиени 0,69:0,435 = 1,59, стало быть,
отношение давлений должно быть равно
Х,63 :1,59 = 1,65. Сопоставляя
соответственные данные опытов имеем:
Сличение с диаграммами наблюдений
(фиг. 107) показывает, что подобное простое
правило совершенно достаточно для подсчетов.
§9. Влияние площади выреза.
Формула (67) показывает, что теоретически
давление должно быть пропорционально кубу
стороны квадратного выреза. Для проверки
этого был произведен новый ряд опытов
при значительной глубине (30—34 ст).
№Л° опытов
30 и 33
31 „ 34
32 „ 35
36 , 42
37 „ 43
38, 44
Песок
115
67
34
-33
34
19
Сре
Лен
69
40
23
17
15
12
днее. .
Отношение
1.67
1,68
1,48
1,94
1,60
1,58
1,69
Как видно, несмотря на отдельные
уклонения, отношение все время колеблется
около ожидаемого предела, средние же
величины совпадают вполне, и наши
предположения, оправдываются.
опытов
30
31
33
33
34
35
Вырев
ст
6X6
5X5
4X4
6X6
5X5
4X4
Куб
стороны
216
135
64
316
125
64
От
потение
1,00
0,58
0,3"0
б) Л ь
1,00
0,58
0,30
Наблюдения — д
і) Песок
115 115 114 116 116 114
65 66 67 71 70 69 66
36 36 31 36 30 38 31
н я и о е с ѳ м я
73 71 67 73 73 68 62
43 40 43 43 33 37 38
23 31 33 25 25 33
69
35
68
38
63
31
40
Среднее
9
115
67
34
69
40
33

Отношение
1,00
0,58
0,30
1,00
0,58
0,33
ю гг і* а га за
Фпг. 107.

§β ЧАСТЬ I- ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОІ'ОД.
§ 11. Влияние угла наклона.
О влиянии этого фактора наша теория не
говорила ничего. Устроенный прибор дает
возможность проследить его влияние
эмпирически. Опыты дали следующие
результаты.
а) Песок. Площадь выреза 4X4 ст:
высота засыпки 22 ст.
(а
ρ
•я
о
ЙІ
η
33
36
37
38
3
•т-
0°
30°
45°
60°
■
Наблюденное д
г
36 36 31 36 30 38 31 35
31
33 31 33 33 36
22 33 24 25 34
20 33 20 16 18
Ьі
о
□
2
В.
О
34
33
34
19
в) Песок. Площадь выреза 5 X 5 ст;
высота засыпки 22 ст.
К
V
а
η
о
5*
щ.
31
зѳ
40
41
Ч
α
-
0°
30°
45°
60°
- . . _-_—
НаСлюдвЕЕое д
65 66 67 71 70 69 69 66
69 63
60 67 62 64 62
49 44 45 43 45
45 37 39 40 40
=1
С5
0
£
о.
О
67
63
45
40
с) Льняное се и я. Площадь выреза
4X4 ст\ высота засыпки 20 ст.
ОПЫТОВ
35
43
43
44
Нал го Ε
0°
30°
45°
60°
Наблюденное д
23 21 32 31 25
23
18 16 16 15 18
17
13 15 16 16 16
15
12 9 И 13 12
13
Среднее
23
17
! 15
12
взяв в каждой группе отношения
давлений при разных углах к таковому же при
0°, получаем: χ
Опыты эти довольно ясно указывают
ва пропорциональность давления
косинусу угла наклона. Действительно,
о
и
Й
0°
30°
45°
60°
^**.
а
щ
% ■
а
о
1
0,97
0,71
0,56
.£2
Я
Я
η
о
1
0,94
0,67
0,60
^
Я
н
О
1
0,74
0,65
0,52
СО
5
сч
о
1
0,38
0,68
0,56
а
К,
§
&
м
1
0,87
0,71
0,50
Как видно, совпадение средних цифр
весьма близкое. Необходимо, однако, заме- .
тить, что при крутом наклоне давление не
может стремиться к нулю вместе с
косинусом, ибо на сцену неизбежно выступает
боковое давление. И действительно, уже
при 60° заметно некоторое превышение
давления, хотя и не особенно надежное
при неточности опытов.
Во всяком случае, для большого
разнообразия углов (вероятно до 70° от нуля)
давление измеряется близко к изменениям
косинуса.
§ 12. Дополнительные
неследования. Кроме опытов, произведенных
в 1912 г., с целью выяснения некоторых
пунктов изложенной автором теории, были
произведены в 1929 г. дополнительные
опыты.
Первый вопрос был таков. Насколько
точным можно считать определение
основной величины — коэффициента трения /?
С этой целью, прежде всего, определялся
угол естественного откоса путем
присыпания песка к вертикальвой стенке (см.
ίπΓ. 31), сначала без особой тщательности,
олучился ряд следующих цифр для
взятого на этот раз песка
0,583—0,556—0,622—0,578—0,624—
0,647-0,627-0,613-0,556-0,618-
0,586-0,587-0,617—0,640—0,581—
0,586-0,621—0,597—0,647—0,585-
0,575-0,631, — среднее у= 0,603.
Среднее отклонение отдельных
наблюдений+0,024 или 4<Ѵ
Такое лее определение, произведенное
при очень осторожном насыпании, чтобы

ТЕОРИЯ Μ. Μ. ПРОТОДЬЯКОНОВ*. 81
не влияла живая сила скатывающихся
частиц, дало:
0,637— 0.(585—0,670— 0.635—0,687—
0,645—0,684—0,675; — среднее' /■ =
— 0,665; среднее отклонение +0,18, или
2,7%.
При измерений откоса насыпанной
конусообразной кучки цифры получились еще
больше:
0,707-0,728 - 0,687-0,750-0,719—
0,687—0,716,-среднее / = 0,713 при
среднем отклонении+ 0,017 или 2,4%.
Мало того, измерения, произведенные
по первому способу с тем же песком, в той
же комнате, но в начале весны1) дали
среднюю цифру /'=0.637.
0,680—0,636—0,679—0,654—0,644—
0,609-0,623-0,594-0,617; среднее
отклонение+ 0,024, или 4%.
Таким образом, в зависимости от
влажности, от тщательности наеыпання и от
способа наеыпання (плоскостью или кучей)
величина / колебалась от 0,6 до 0,7, или
на 15%. Стало быть, очень тонких
количественных различий получить, даже от
,одной указанной причины, опыты не
могут. Так как, по смыслу величины Д это
есть предельная величина откоса, то за
истинную величину надо брать
наибольшие значения, т.-е. взять, как наивероят-
нейшее, среднее из наиболее тщательных
определений для плоской и конической
кучи, а именно:
. = С665+0,713 __ 06!)
ώ
Второй вопрос заключался в выяснении
влияния формы выреза. Был взят
квадратный вырез 5X5 сяг, т.-е. с площадью
в 25 ш3 и круглый вырез' диаметром
5,64 сзп, имеющий ту же площадь.
Давление оказалось:
а) при квадратном вырезе
63—63-70-59-64—65—52 — 62—
67-66-С1-64—62-62-58-58,
среднее 62 д.
б) при круглом вырезе
68-71 -71-76^68-67 - 68 - 67—
70-66—65-70-70-65-70-64, сред-
') Преинпе цифры были получены црп
установившейся жаркой сухой погоде в конце весны;
новые — прп сырой погоде в начале весны.
Давяоипс горних пороі. Ί. 1.
нее 68 д, или при круглом вырезе—больше
в 1,10 раза.
Теоретически же, сопоставляя формулы
((Ні) и (67), имеем
= г : в = 2,82: 2,50 = 1,13.
Отношение, таким образом,
подтверждается.
Третий ряд опытов имел целью
проверку теории Янсена, и о нем говорилось
в § 20 предыдущей главы.
13. Весьма интересным является вопрос
о сопоставлении теории Энгессеран нашей.
В то время, когда мы впервые
разрабатывали нашу теорию, статья Энгесеера
ускользнула от нашего внимания, будучи
помещена в немецком строительном, а не
горном журнале. Но, когда, впоследствии,
мы с ней познакомились, то оказалось, что
при полном различии вывода и получаемых
формул, численные результаты и туг и
там получаются весьма близкими, как
между собою, так и к данным опытов, —
настолько близкими, что нет возможности
установить, которая из теорий ближе
к истине.
Разбираясь в причинах такого
странного явления х), мы обнаружили, что, если
формулу (37) Энгесеера для квадратного
выреза написать так:
Р=
ігш
1 + .
-««•-у
С*Б<
■і§г<Р
К"" 2
а нашу формулу (67) следующим образом
р^р-%
то обе формулы имеют однородный вид
р=р^к
с той разницей, что у нас К равно
постоянной величине 2, а у Энгесеера—равно
функции, заключенной в квадратные
скобки, при чем оказывается, что значе
ния этой функции в весьма широких
пределах близки к 2. Вот значения К для
различных φ и различных отношений
Я к а.
*) См. нашу ездтмо: К вопросу о давлении
сыпучих тел, „Горв. Журн.". 1916. К в.

82
ЧАСТЬ 1. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.
О
10°
20°
30°
40°
50°
при
β
=10
а
2,04
1,85
1,59
1,55
1,94
Я
при — = со
а
2,85
2,09
1,67
1,57
1,94
Наибольшее отклонение от 2-х, как
видно, 29%.
Так как при φ = 0 (для воды) обе
теории одинаково дают давление полного
столба воды, и так иак для малых
отношений Γί и ■ а, ни наша теория,
ян теория Энгессера непригодны по самой
сути своей, а свыше φ = 50° не
существует настоящих сыпучих тел, то является
понятным, что во всей· области, которая
охватывается теорией Энгессера,—обе
теории должны давать близкие результаты').
Жало того, наши опыты показывают, что
обычно наблюдаемое в действительности
давление лежит между подсчетами по Эн-
гессеру и по нашим формулам, так что
фактический коэффициент Л, в среднем,
близок к 1,74а). Поэтому, при неизбежной
неточности опытов, никак не удается, как
сказано выше, установить, какая теория
ближе к действительности.
Вот результаты основных опытов для
значительной глубины:
Авто
Вещество
?
1-
и
йот
а
ПК
1
О»

Вычисления
но Эн-
гессеру
Иабл ю-
деііі'я

Вычисления
по
Прото-
дьнконову
Протодьяконов 1.1912).
Тоже (1929)
Эвгсссзр ■ . . . .
Песок
Лен
Песок
Песок
31° 40'
23° 30'
34° 40'
36° 30'
1,52
0.6Ѳ
1,35
1,50
30
33
30
40
2,0
2,0
2,5
2,0
2,0
2,0
2,5
2,0
33
33
58
140
39
2в
62
150
Резкое расхождение начинается с
φ = 5ІГ (вторая часть диаграммы фиг. 108);
наша теория дает постепенное уменьшение
давления, а по Энгессеру получается
снова возр.істание. Практически это
значения не имеет, так как, повторяем, нет
настоящих сыпучих тел с углом трения
свыше &0°, но принципиально
правдоподобнее наша теория, так как трудно
допустить, чтобы, по мере возрастания
внутреннего трения в породе, давление на
крепь возрастало бы.
Б результате можно сказать, что до
9=50''' каждый может одинаково
пользоваться и нашими формулами, и формулами
Энгессера, не рискуя сколько-нибудь
значительно разойтись с действительностью,
а за этим пределом наша теория
логически более правдоподобна.
А так как, кроме того, наша теория
и формулы несравненно проще, и дают,
обычно, некоторый запас против
наблюдений, то пригодность их к расчетам
давления сыпучих тел можно считать,
полагаем, доказанной.
42
25
75
205
§ 14. Заключение, Итак, мы
проследили шаг за шагом правильность
теоретических предположений и вытекающих из
них следствий. Ни одна из других теорий
не подвергалась такой систематической
проверке3) и ни одна из теорий, еще раз
повторяем, не давала хоть сколько-нибудь
похожего совпадения. Мы изменяли высоту
засыпки, изменяли размеры выреза,
изменяли вещество, изменяли все величины,
входящие в формулы,—и неизменно
получали результаты, близко совпадавшие.
Поэтому, какие бы сомнения не
высказывались кем либо, какой бы критике не
подвергался вывод, — совпадение
предлагаемых формул с наблюдениями, остается
незыблемым, как— факт, и всякий,
пользуясь нашими формулами, может быть
уверен, что он никогда не разойдется с
действительностью.
') Сы. первую часть диаграммы—фнг. 108.
2) Он. нашу статью: Попытка опытного
исследования ц т. д.
а) Кроме теорпп ЯііСЕиа в деле постройки
элеваторов, которая, однако, как выяснялось в свое
время, дает неподходящие для вас результаты,

ТЕОРИЯ Μ. Μ. ПРОТОДЬЯКОНОВ*.
83
Ρ
ш
1О0
80
ео
^
40
ао
рГГ
зЬ
ЛЧ
ч
и
і|
л 1
РІ
>
=Й
£
-г
1*
г
РК
■,-а
11
■V"1
V
Ρ
■
3
>
Л"
ν
\
33^
-<*
ІІі'
ΊΗ
\
α
-
ΐ?
^
^2
2£
і
| 1
>
'ч
■ь»
^
^
ѣ
•л
і-г
.' ί
"
ы
*,
. 9
9"
лі
У
■ϊ
/
/
/
г33
і
-"*
* іб
/
/
'
>*т
Φί
1
А
/ , ,
-^
іо°
30° 60°
Фиг. 108.
90 φ
Таблица углов естественного откоса сыпучих тел1)·
а) Свободно на сыпанные тела.
Садовая вем.ія сырая 37°
„ сухая 37°
Зерновой хлев 30е
Овес, ячмень -,...· 40°—45°
Просо . . 23°
Черный порох, сухой 50°
Голыш, крупный π мелкий 36е
Уголь π руда 45°
Глпна сухая
Рожь
Песок сырой
„ сухой
Пшеница, горох, кукуруза
Льняное сеян . . . ; .
Каменный щебень ....
Свинцовая дробь
40°
37°
27°
32°
30°
23°
Зз°—40°
23°~27°
[) ИМіе. Последнее немецкое издание 1925 г., "т. I, стр. 69δ η др.

84
ЧйСТЬ I. ДІВЛЕЕПЕ ГОРПЫХ ПОРОД.
б( П.ютво слежавшиеся тела.
Бурый уголь 35°—50°
Насыпнан земля, еыран 30е—37"
Чернозем, песок, галька 30°—45°
Руда 30°—50°
Еа лен но угол г. пая мелочь π орешник . 30°—45°
Рядовой уголь 30°—4э°
Газовый уголь .... - 45°
Ячмень, овес 25° —35°
Доменный шлак 35°—50°
Известь порошкообразная, сухая . . . 50°
Известняк 30°—45
Гааечнпк с водой 25°
Щебень битый 45е
Кокс 35°—50°
Илистая почва, сухая 40°—46е
сырая 20°—25°
Солод 22°
Мергель а глина 30°—45°
Озерная руда 45°
Рожь, пшенпші, кукуруза 25° —35°
Камеппан соль 35°—50"
Глинистая земля, сухая 40°—50°
„ „ сырая 20°—25°
Цедент 40°
Сахарная свекловнца 30°—45°
§ 15. Тела со связью между
частицами1). Для проверки
теоретических соображений в случае, когда между
частицами еыпучего тела имеется некоторая
связь, тот самый песок, который был
изучен в сухом виде, был смочен водою;
вследствие прилипания получилась связь между
песчинками, и наблюдаемые явления
видоизменились.
Сначала надо было выяснить свойства
взятого материала. Определить здесь
коэффициент трения по углу естественного
откоса было уже невозможно, ибо последняя
величина в телах с прилипанием частиц
не является величиной постоянной и
характерной. Пришлось поэтому применить
метод, напоминающий несколько метод ІІюл-
л ер-Бреслау для определения
коэффициента трения между сыпучим телом и
пластинкой (предыдущая глава, § 9).
На разровненную поверхность
испытуемого сырого песка ставится плашмя
кольцо опреде.іенного диаметра и высоты.
В пего насыпается такой же песок и
прижимается сверху определенным грузом.
Тогда, присоединяя к кольцу струну,
перекинутую через блок, на конце которой
имеется чашка для гирь, молено найти
усилие, которое в состоянии сдвинуть песок
:) Дроѵьодъяхонов. „Попытка опытного
исследования", стр. 2э π далее.
в кольце по поверхности подстилающего
песка. Очевидно, что сопротивление
слагается: 1) из силы трения, которая
пропорциональна коэффициенту трения { и
давления сверху Ц (нажимающий груз
плюс вес кольца и песка в нем), и 2) из
силы прилипания частиц с на квадратный
сантиметр, которая от давления не зависит,
а зависит от величины площади
соприкосновения сдвигаемых частей Р. Поэтому
сдвигающее усилие
Х = № + ер
Если изменять нагрузку $ и
наблюдать В, то получим ряд совместных
уравнений, решением которых найдем с и
/■, в чем, между прочим, заключается
особенность этого способа.
Из таких наблюдений оказалось:
сухой песок /* = 0,з8 в е= 0,28 д/ст%
сырой в /'—0,53 в с —10,00
Таким образом, коэффициент трения
песка при смачивании остался тем же, что
и прежде, но прибавилась сила сцепления.
Для наших целей еще было интересно
определить сопротивление сырого песка
разрыву. Для этого, то же кольцо,
наполненное песком, ставилось на выровненную
поверхность песка же и подвешивалось к
одному концу коромысла весов. Цели
положить на другую чашку весов; в известном
количестве, гири, то песок в кольце будет
оторван от подстилающего песка и,
удерживаясь трением о стенки кольца, будет
поднят вместе с ним. Вычитая вес кольца
с песком, получим разрывающую силу.
Величина эта г оказалась равной 3 д/ст'2,
при значительных колебаниях в отдельных
наблюдениях
§ 16. Опыты с сырым песком.
Здесь, при отнимании пластинки,
закрывающей вырез, песок вываливался,
оставляя лчетливый свод, который можно было
непосредственно измерить.
Это обстоятельство позволило, прежде
всего, выяснить форму сводов. Оказывается,
что при круглом вырезе они имели фигуру
вращения, а при квадратном вырезе — их
горизонтальные сечения впизу
соответствовали вырезу, выше—у них все более за'
круглялись углы, так что верхние части
их приближались опять-таки к фигуре
вращения. Некоторые из более отчетливых

ТЕОРИЯ И. Μ. ПРОТОДЬЯКОНОВ Α.
85
сводов были измерены по точкам и
изображены на фиг. 109, где сплошные
черные линии изображают вертикальные
сечения в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях. Для сравнения вычерчена
парабола, плеющая ту же высоту. Как видно,
. действительные своды вверху
несколько шире, чем парабола.
Происходит ли это от того,
что после вываливания, своды
сырого песка, естественно,
несколько садятся, или по
какой - нибудь другой
причине,—сказать трудно.
Вследствие указанного
обстоятельства и объем сводов
получается несколько больше
теоретического объела
параболоида вращения, а—именно
приближается к двум третям
соответственного цилиндра
(или призмы — смотря по
форме выреза), имеющего
одинаковое основание и
высоту, вместо теоретической—
половины.
§ 17. Самым важным
'размером является высота
сводов. Сначала была
испробована значительная площадь
выреза: 18X18 сто и
значительная высота засыпки (от
15 до 20 ст, в среднем 18 ст).
По смыслу построенной нами
теории (§ 3) на высоту свода
влияет сопротивление
сдвиганию в опорах. В настоящих
сыпучих телах действует
только трение. Здесь же надо
прибавить 'еще прилипание.
Поэтому на каждый
квадратный сантиметр площади опоры
при высоте засыпки 18 ст
и плотности сырого песка
8 = 2, приходится вертикальное
давление 2,18 = 36 д, что соответствует
трению (при 7 = 0,58) в 0,58 ■ 36 = 21 д.
'Гак как мы определили прилипание
частиц при сдвигании в Юл/см-, то общее
сопротивление будет 21-}-10~31 д. Таким
образом, коэффициент трения' как бы
увеличился в отношении ЗІ : 21, или его надо
считать ул;е равным 0,58 · 31: 21 = 0,856,
вместо прежних 0,580 (сравни § 2 π
выражение 60). Такому коэффициенту трения
соответствует по формуле (61)
теоретическая высота свода
ь = 7=сІав10'4
ет
^—^
^•^^^ -^ Λ
У'^-^ *^ѵ\
ТУ \\
ι ' '■ V
и-'' ' 3
,72 '· 1
1; ι V
и- 3
-4' V
? \
Г А
—- -з. *= —іг- \
у^ "■ ^щ^
-7-Р ^ ^
Ί-/ ">Х
І7 ^
7Т 15г-
17- Ж
ІГ X
ч_ ι
4Г ' \
ί X
г Л
измерения дали ряд
-11-11-5-15-$-
Фпг. 109.
Действительные
цифр: 10—7—9,5-
9—8, в среднем 9,5 сто.
Принимая во внимание возможное
оседание свода после его образования, о
котором уже говорилось, следует признать
результаты совпадения вполне
достаточными.
Затем площадь выреза была уменьшена
до 14 χ 14 сто, при высоте засыпки 20 сто.

86
ЧАСТ], Г. ДЛ.ЕДЕЦИВ ГОРНЫХ. ПОРОД.
Кажущийся коэффициент трения по (60)
здесь будет
0,58 - 20 ■ 2 + 10 _ п о„
20·2 — и.йй
и теоретическая высота свода должна быть
ь=адз=8'4йт
Действительно наблюдаемая высота
сводов -оказалась: 8,0—3,5—6,5—8,0—
6,7—6,0, в среднем 6,4 ст, что несколько
более отклоняется от вычислении, чем в
других опытах π опять-так» в сторону
уменьшения, как и следует ожидать при оседании.
Теперь уменьшаем вырез еще больше:
8 X 8 ст. Высота засыпнп, в среднем,
17,2 ст.
Кажущийся коэффициент трения здесь
получается 0,87 π теоретическая высота спода
& = б|7 = 4>6ст
наблюдения же дали: 5,3 — 7,0 — 5,0 —
5,0-4,2 — 3,5 — 3,2 — 3,0, в среднем
4,5 сто, что вполне совпадает с теоретическим.
§ 18. Переходим к изучению влияния
глубины. Взяв вырез 14χΐ4 ст и
глубину засыпки 20 ст, мы получили
среднюю наблюдаемую высоту сводов 6,4 ст.
Уменьшив высоту засыпки до 10,6 ст,
получаем уже: 5,5 — 4,5 — 6,2 — 2,5—5,8
6,0 — 3,5 — 3,5 — 7,5 в среднем, 5,0 ст,
т.-е. уже заметно меньше.
При еще меньшей высоте засыпки—
в 5 ст высоты сводов оказались: 2,5 —
2,5, в среднем, 2,5 ст.
Таким образом, при наличии связи
между частицами глубина явно влияет,
при чей с уменьшением глубины
уменьшается и высота сводов.
Формула (60) показывает, что
теоретически так и должно быть, что
теоретически кажущийся коэффициент трения
должен изменяться с глубиной:
для глубины 20 ст
0,53-20-2-|- Ш
ст
0,58
0,58
20-2
■ΙΟ,Θ-2 4-ΙΟ
10,6-2
!■ 5,0.2+ 10
Соответственные высоты сводов должны
быть
, 7,0 ,. ,.
и
τ 7,0 . ,
&=1^8 = 4'4е'м-
Правильное уменьшение здесь
несомненно, но близкого совпадения с опытами
здесь ждать нельзя, так как имеется
налицо малая высота засыпки относительно
размеров выреза, когда в нашу теорию,
предназначенную для больших глубин
необходимо, как указывалось, вводить
уточнения и поправки (см. § 8). Здесь и
кривая свода должна быть иная, и высоты
принципиально должны зависеть от
глубины.
§ 19. Давление на подставку.
В сыпучих телах части внутри свода
немедленно вываливаются на подставку.
В телах же со связью, хотя бы свод и
образовался, части внутри его при
известном соотношении могут остаться
подвешенными к поверхности свода, и кровля
будет держаться плоско. Во всяком случае,
если сопротивление подставки будет равно
или больше разности между весом
выпадающих частей и силами сцепления, то
ибвала не должно быть. Можно
теоретически вычислить, когда это бывает1), по
для практических целей это бесполезно,
ибо благоразумие требует, чтобы крепь
рассчитывалась на полный вес могущих
вывалиться частей.
§ 20. Вы воды. Итак, произведенные
опыты показывают, что тела со связью
между частицами представляют собою
более общий случай, чем настоящие
сыпучие тела. По существу—явления
тождественны: образуется
параболический свод, принимающий на себя все
давление вышележащих масс; высота его
определяется из условий сдвигания в
опоре, и на подставленную крепь (пластинку
в опытах) давят своим весом лишь части
внутри свода. Различие имеется только
количественное: в телах со связью
высоту свода определяет каэюущийся коѳф-
') См. нашу: „Попытку опытного
исследования" стр. 34.

ТЕОРИЯ И. И. ПРОТОДЬЯКОНОВА.
87
фицгіент трения, выражающий
совокупное действие трения и связи между
частицами, а давление на крепь равно
разности между весом выпадающих
частей и силами сцепления, в настоящих же
сыпучих телах связь между частицами
равиа нулю, поэтому кажущивея коэффи-
■" циеит трения обращается в настоящий,
а давление па крепь равно проето весу
частей внутри свода.
§ 21. Горные породы. Представим
себе, что к воде, пропитывающей песок,
подмешивается все более и более сильное
склеивающее вещество. Ясно, что общая
закономерность явлений остается та же
самая, и разница будет лишь в величинах
коэффициентов трения и прилипания. Но
тогда мы можем логически подойти к
случаю, когда песчинки связаны каким-либо
крепким цементом, т.-е. к настоящим
песчаникам, крепкой горной породе. Мы
вправе, значит, непосредственно применить
все сделанные выводы ко всяким горным
породам, даже если бы они и были
сплошными, и вопрос сводится лишь к тому,
чтобы отыскать нужные коэффициенты.
Так как породы в маесе своей, как
выяснялось в § 1 настоящей главы,
состоят, по существу, из отдельных кусков,
лишь отчасти связанных друг с другом,
то, очевидно, что было бы совершенно без-
полезно и принципиально неправильно
пробовать применять в данном случае
цифры, получаемые в лабораториях
Испытания материалов из наблюдений над
отдельными сплошными кусками пород.
Равным образом, так как степень разбивания
массы породы на куски чрезвычайно
разнообразна и никак не может быть
определена для любого случая горной практики,
то следует сразу отказаться от всякой
попытки добиваться каких-либо точных цифр
и тонких отличий, а ограничиться лишь
доступным приближением, взяв из
изложенной теории главную суть, а для
кажущихся коэффициентов трения или, как мы
будем теперь их называть, «коэффициент
. тов крепости породы», подобрать просто
общие значения, даже не делая поправки
на глубину. В этом отношении положение
благоприятно в том отношении, что для
крепи, как всякого строительного сооружения,
должен быть дан значительный запас
прочности, покрывающий все неточности.
Итак, для практических расчетов, мы
будем считать только, что образуется
параболический свод, что высота его
определяется из выражения (61)
где « —полупролет выработки и
/"—коэффициент крепости породы, и что
давление на крепь должно быть принято
полностью равным весу породы в объеме этого
свода. .
§22. Расчетные
коэффициенты крепости пород. Для величин /
логично взять тангенсы углов откоса,
которые техника дает для выемок в
различных грунтах, ибо они, до известной
степени, аналогичны углам естественного
откоса сыпучих тел, при чем, однако, из
формулы (60) ясно, что в то время, как
для настоящих сыпучих тел этот
коэффициент меньше единицы,—для тел со связью
он может получаться и больше единицы.
Первыми данными для нас являлиеь
данные Ржиха1), выведенные им из
железнодорожных наблюдений. Затем, табличку
Ржиха мы пересмотрели, значительно
дополнили, расширили, уточнили и
систематизировали. Получилось следующее
(см. табл., стр. 88).
Относить каждую породу к той или
иной категории надлежит не по одному
только ее наименованию, но и по ее
физическому состоянию, сравнивая ее по
крепости с другими перечисленными в таблице
породами. Выветрившиеся, разрушенные,
разбитые отдельностью, перемятые
дислокацией, близкие к поверхности и т. п.
породы—надлежит относить к более
низким категориям, нежели соименные им
породы, поставленные в таблице, которая
имеет, вообще говоря, породы в плотном
состоянии.
Подробно о коэффициентах крепости
см. наши «Материалы для Урочного
Положения горных работ», часть первая, глава
первая.
§ 23. Теория давления и
практически е ρ а з и е ρ ы крепи. До сих
пор мы рассуждали о законах давления
') Р. йиіеЬа. Всчіепввикипйѳп ш ИЫ^е Вег£-
ЪаиЪеШеЪез тіі Ьезопйегег Вегііскзіс1ііі@:ип£ гіез
Маіігізсіі-Озігаиев Коіііепгеѵіегез. Οβείκτ. 2еіІвоЬ.
1882, стр. 43 и др.

88
ЧАСТЬ I. ДАВЛЕНИЕ ГОРНЫХ ПОРОД.

Категории
Степень крепости
Породы
1.
II.
ш.
Ш-а.
[V.
ІѴ-а.
V.
Ѵ-а.
VI.
Ѵ[-а.
VII.
ГП-а.
ѴШ
IX.
X.
В высшей степени
крепкие породы.
Очень креикие породы.
Крепкие породы.
Довольно крепкие породы,
■* ВТ)
Средние породы.
» π
Довольно мягкие породы.
Мягкие породы.
π а
Землистые породы.
Сыпучие породы.
Паыаучие породы.
На более крепкие, плотаые л вязкие кварциты и
базальты. Исключительные по крепости другие породы. 20
Очень крепкие гранитовые породы. Кварцевый
порфир, очень крепкий гранит, кремнистый сланец, ые-
нее крепкие, нежели указанные выше, кварппты. Самые
крепкие песчаники а ы ввести яки 15
Гранит (плотный) н гранитовые породы. Очень
крепкие песчаник π и известняки. Кварцевые рудиые жилы.
Крепкий конгломерат. Очонь крепкие железные руды ... 10
Известняки (крепкие). Некрепкие гранит. Крепкие
пвсчанпкп. Крепкий мрамор, доломит. Колчеданы .... 8
Обыкновенный песчаппк. Железные руды . . 6
Песчанистые сланаы. Сланцеватые песчанпкп . 5
Крепкий глинистый еланей. Некрепкий
песчаник и известняк, ѵягкпд конгломерат 4
Разнообразные сланцы (некрепкие). Плотный
мергель 3
Мягкий сланец, мягкий известняк, ыел, каменная
соль, гипс. Мерзлый грунт, антрацит. Обыкновенный-
мергель. Разрушенный песчаник, сцементирован нал галька η
хрящ — каменистый грунт 2
Щебенистый грунт: Разрушенный сланец,
слежавшаяся галька и щебень, крепкий каменный уголь
{/'=1,4—1,8), отвердевшая глина 1,5
Глина (плотная). Средний каменный уголь (/■=
= 1,0— 1,4). Крепкий нанос — г линистый грунт. . 1,0
Лег пая песчанистая глина, лесс, гравий.
Мягкий уголь (^= 0,6 — 1,0) : 0,5
.Растительная земля. Торф. Легкий суглинок,
сыроб песок 0,6
ІІ ѳ с о к, осыпи, мелкий гравий, насыпная земля,
добытый уголь 0,5
Плывуны, болотистый грувт разжиженный лесс и др.
разжиженные грунты (/"=0,1—0,3) ." . 0,3
пород совершенно теоретически. Является
желательным попробовать непользовать
многовековой опыт горной практики,
наблюдая, какую крепь в каких случаях
принято ставить в действительности. Похожий
споеоб уже встречался в предыдущей главе
(§§ 40—42), но здесь мы попробуем
обработать более систематически и научно
массовые данные по обыкновенному
деревянному креплению.
Переклад дверного оклада представляет
собою балку на двух опорах,
подвергающуюся поперечному изгибу давлением
пород. Обозначая давление на 1 пог.
единицу длины выработки через Р, длину
перекладов—I, толщину их й, расстояние
между серединами окладов—Ь и наибольшее
напряжение материала при изгибе ат—для
наибольшего изгибающего момента на одну
оогонную единицу длины выработки, имеем
М = КРІ
где К — некоторый коэффициент,
зависящий от распределения нагрузки: для
сосредоточенной нагрузки Х = ~2~, для
равномерной— -2Г=-г-; для параболической —
К = 55 и т. д. Момент же сопротивления
одного круглого переклада будет
~ 32 ™

ТЕОРИЯ Μ. Μ. ПРОТОДЬЯКОВОВЛ.
39
или на 1 пог. единицу длины выработки,
где имеется 1: Ъ перекладов
Ж=32Г °-
Приравниваем момент изгиба моменту
сопротивления
32Ь
откуда РвЖк (в)
Ни распределение нагрузки, т.-е.
коэффициент А, ни наибольшее напряжение
материала—5т нам заранее неизвестны, но
можно предположить, что они во всех
сравниваемых случаях одинаковы, ибо если брать
однородные выработки, то закон
распределения давления, очевидно, будет один и тот же,
различаясь лишь количественно; что касается
з„, то можно думать, что практика ощупью
находит один и тот же допустимый запас
прочности. Б таком случае, беря отношения
между различными значениями Р, мы
избавимся от мешающих нам величин
ρ ■ ρ - ρ — αΖ - **. - І£
Итак, мерилом относительного давления
является величина йв:1Ъ. Действительное
же давление отличается множителем
отм:32л", т.-е. относительное давление
можно принимать за действительное, только
вычерченное в масштабе, когда множитель
этот равен единице. Понимая так, будем
относительное давление обозначать теми
же буквами.
Установив мерило давления, обратимся
к наблюдениям над поставленной в
руднике крепыо.
Если взять данные для штреков,
собранные отделом экономики труда треста
Донуголь попутно при хронометрировании
работы крепильщиков, и разгруппировать
их по длине переклада, то получается
табличка, где вычислено и Р.
Длина I
переклада
т
Толщина ά
переклада
іи

Расстояние между
оклада·
мп Ь т
Члсдо

наблюден и 5
η
Р = 1Ь
1,40
1,57
1,82
2,08
2,36
2,54
0,18
0,15
0,15
0,19
. 0,18
0,17
0,87
0,88
0,90
0,95
1,07
0,78
30
37
30
6
16
7
0,0033
0,0024
0,0022
0,0035
0,0023
0,0025
Сглаживая значения Ρ по способу
наименьших квадратов, получаем, что
всего лучше они охватываются просто
средним значением
Ρ = сопзі = 0,0027.
Получился парадоксальный вывод, что
давление пород на погонную единицу
выработки не зависит от ее ширины. Так
как это логически невозможно и
противоречит наблюдениям, то надо заключить,
что запас прочности неодинаков и что
в широких выработках он меньше, чем
в узких. Здесь мы впервые встречаемся
с определенным свойством практики: она
никогда не следует точно за всеми
изменениями определяющих величин, а имеет
всегда склонность, если так можно
выразиться, к консерватизму, очень неохотно
отступая от установившихся примеров и,
обычно, смягчая колебания1). Поэтому,
чтобы на теоретической основе получить
привычные для практики размеры,.обыкно-
венно приходится в расчетные формулы
вводить запас в виде постоянного члена,
который и смягчает разнообразие размеров.
Зато средние случаи могут быть
прекрасным пробным камнем для теории. Так и
в- данном случае. Взяв средние величины,
имеем: I =1,84, й = 0,164 и £ = 0,91».
Наичаще встречающейся породой в
Донецком бассейне является крепкий
глинистый сланец"Ч&5 случаев из 124
наблюдений), имеющий коэффициент крепости по
нашей табличке ^=4. Затем идет
песчанистый сланец (36 случаев), у которого
І= 5; сравнительно редко, по крайней
мере в смысле крепления, встречается
песчаник (два случая) с коэффициентом
^=6. Таким образом, средний
коэффициент крепости
?=(4.75 + 5-36 + 6-2):Ш=4,5 -
Поэтому, приняв параболическую нагрузку,
согласно нашей теории, т.-е. К='~в
прочное напряжение для сосны, как обычно,
е. = 60 Ід]ст\ или 600 000 Ьдіст*- и
вес 1 «ί3 породы 2 500 кд, получим
давление на погонный метр выработки
Р= τ 2 500
І)'І_И5*
') Сравни нашу статью „О некоторых замечат
тельных соотношениях в деле крепления горных
выработок". „Горн. Жури." 1926 г. № 9.

90
члггь г. ллилгсяпе горних пород.
Вставляя это значение Рв(й)и
определяя а, получаем
, іѴ"б25- 32 ■5^091-1,84 ,,,,.,
ά- V 32-3,14-600000- = °>Ш т
Совпадение должно быть признано
превосходным, когда с одной стороны имеется
ощупью поставленная крепь, а с другой—
входит столько теоретических соотношений
и самостоятельно взятых числовых
величин, из которых каждая может совершенно
изменить результаты..
Ь. Давление пород на шахтообразные
выработки.
§ 1І. Исходя нз представления υ
горных породах, как телах несвязных, надо
рассматривать стенку шахты, как
подпорную стенку, на которую давит грунт
е коэффициентом трения і (кажущимся).
В таком случае давление на единицу
наружной поверхности шахты, на глубине Η
от поверхности выражается формулой (4)
§ 3 предыдущей главы
р-гв.ф^р- . . . (69)
При этом, так как. обычно, толщина
крепления делается одинаковой по всей
глубине шахты, то за Ж надо принимать
полную глубину шахты. Что же касается
угла ср, то, при разнообразии пересекаемых
шахтой пород, надлежит брать просто
среднее взвешенное значение. Например, пусть
шахта встретила в сумме 80 т крепких
глинистых сланцев (/'=4), 40 т—мягких
сланцев (/= 2), 20 т обыкновенных
песчаников (7= 6) и 10 т известняков
(У=8). Тогда среднее значение для (
будет
„_4·80 + 2·40 + 6-20 + 8·10._. , ..
' 80+40 + 20+10 " '
пли
?=агсі£4,0 = 76°
Это правило надо соблюдать всегда,
иначе получаются неприемлемые размеры
крепи.
Только в тех случаях, когда различие
пород вынуждает изменить самый род
крепления (например, в шахте,
закрепленной бетоном, встретился мощный слой
плывуна, закрепленный водонепроницаемой
крепью),— надлежит давление и крепь
рассчитывать отдельно.
Пусть АВ (фиг. ПО) будет слой
плывуна мощностью г, залегающий на
глубине 1і от поверхности земли. Тогда
верхние породы будут давить своим весом на
плывун, как некоторая равномерная
нагрузка 5 на 1 ст2 его поверхности, при
чем д = Ыі.
Часть шахты около плывуна мы можем
рассматривать, как подпорную стенку,
высотою АВ = 2, на которую давит грунт
с углом трения <р, равным углу трения
плывуна, нагруженный по поверхности ВШ
равномерной нагрузкой д.
Фиг. 110.
Тогда, при выводе формул давления
грунта (см. § 3 предыдущей главы) под
весом (Э надо подразумевать не только
вес самой сползающей призмы АВЕ,
равный
где ^—вес 1 куб. единицы плывуна, но
и прибавить вес столба породы СВЕВ·,
т.-е.
ЬфАВ-ъХ&Ъ
Значит
д = АВ-сі$Ѳ(Ь1^-{-Щ
тогда выражение (1) примет вид

ТЕОРИЯ Μ. Μ. ПРОТОДЬЯКОНОВ*.
91
Вывод величины угла сшшанші остается
прежним
Подставляя же это зпачение в (а)
инеем
Взяв производную Ώ по АВ, получим
давление породы в точке А иа 1 кв.
единицу площади
или, вставляя значение АВ — ζ, имеем
Если считать вес единицы объема
пород по всей глубине шахты одинаковым—
о, то
т.-е. давление пород в любой точке
наружной поверхности шахты равно тому
давлению, которое было бы, если бы шахта на
всю глубину была окружена прилегающими
^к данной точке породами.
§ 25. Исследование
существующего шахтного креп лепи я.
Подобно тому, как было сделано относительно
крепления штольнообразных выработок
(§ 23), можно и здесь сличить
теоретические рассуждения с действительно
существующими размерами крепи. Всего
удобнее иметь дело с деревянным креплением
(и при том дубовым, как имеющим
наибольшее распространение), лучше всякого
другого отвечающим имеющемуся давлепию.
Крепленные деревом шахты имеют
прямоугольное сечение, при чем длинпая
сторона бывает, обыкновенно, распертарасстре-
лами, а короткая — свободна. Поэтому,
удобнее всего иметь в виду именно
короткую сторону, у которой свободный пролет
оказывается наибольшим.
Каждый венец здесь представляет
собою изгибающуюся давлением пород балку
на двух опорах. Поэтому, мерилом
давления на 1 пог. едипицу длины шахты
является величина {полагая давление
равномерно распределенным по венцу)
р_8гоЮ>
Г~ Ъ21Ь
где Ь—расстояние между срединами
венцов, I—пролет короткой стороны шахты,
ά—толщина круглой крепи и А*—прочное
сопротивление изгибу, равное для дуба
800 000 кдіт2. Так как при сплошном
креплении Ь может быть принято
равным гё, то мерилом относительного
давления будет служить величина
р__8-ЗД4-й=-800000 _628О00 ,, , ,
1 —-- -А21.1 ^ — ~ Г " °" ία)
Если собрать имеющиеся в
распоряжении автора данные для сплошного
шахтного крепления из круглого дубового леса
и разгруппировать их по глубине шахты Ξ,
то получается следующая табличка:
Глубина
И
т
17
36
73
131
175
224
349
400
Пролет
г
Яі
1,45
і,60
2,10
2,83
2,45
2,58
2,80
3,24
Толщина
креии <1
т
0,114
0,120
0,145
0,184
0,171
0,185
0,229
0,207
Число

наблюдений
3
4
4
4
3
3
2
1

Вычисленное В
3 850
3 520
ЗОЮ
3 050
3 060
3 200
4220
2 560
Рассматривая эту табличку,
обнаруживаем поразительный факт, что
действительно ставимая на рудниках крепь,
подобно тому, как это оказалось и в
перекладах (см. § 23), ■ соответствует одному
и тому же давлению пород Р= 3 300 кд\п&
поверхности шахты, не взирая на
изменение глубины и пролета.
Далее, мы видим, что толщина
крепления возрастает с глубиною, но так как
в то же время возрастает и пролет I, то
неясно, чем вызывается это увеличение
толщипы крепи: глубиною или пролетом
и в какой мере каждым. Отсюда следует,
что придется определять существующее
давление как функцию сразу двух
величин В и 1. Предполагая, как обычно
делается, линейпую зависимость, как
наипростейшую, напишем
Р = А-В+В-1 + С
где А, В и С—постоянные коэффициенты,
определяемые из условия наименьшей

«2
ЧАСТЬ !. Я*ВЛЕНВЕ ГОРНЫХ ПОРОД-
суммы квадратов отклонений. Производя
необходимые вычисления ])і имеем
Р = 4,97Я+16Ш + 2<Ш...(72)
Знал Р, ложно, вычислить по (а) и
величину ά
Поставляя же величину Ρ из (71),
получаем (в метрах)
й= /(0,00000791 Я+0,0і)258 і + ОТЙЙбэТі . (73)
Такова эмпирическая формула для
толщины сплошной деревянной шахтной крепи
из круглого дубового леса.
Формула (72) показывает, что
фактическое крепление при одном и том же
пролете соответствует давлению, которое
не прямо пропорционально глубине, как
это дает теоретическая формула (69),
а значительно слабее, благодаря
присутствию других членов: 2,33£-|-5,12. Таким
образом, снова мы встречаемся с
указанной в § 23 тенденцией практики смягчать
изменения величин.
Действительно,' если подсчитать
крепление теоретически, вычислив давление ρ
по формуле (69) и рассчитав крепь, как
балку на двух опорах, то получается
следующее:
Глубина
)«
17
36
73
131 '
175
224
349
490
Пролет
ж
1,45
Ι,ΘΟ
2,10
2,63
2,45
2,58
2,80
3,24
Теоретп-
ческэе ίί
>п
0,041
ο,οββ
0,120
0,208
0,225
0,265
0,360
0,595

Эмпирическое ίί
т
0.112
0,120
0,150
0,130
0,176
0.184
0,202
0,235
При составлении этой таблички
принята средняя крепость пород Донецкого
бассейна, как это получается по многим
разрезам шахт, /' = 4,5 пли <в = 77°30';
вес 1 сда> пород 6 = 0,0025 кд\ формула
изгибающейся круглой балки при
равномерно распределенной нагрузке
Й = 1,Ш !/-£-. . . . (74)
^ __ ' 11
*) Формулы, которыми надлежит пользоваться,
сы. Башу статью: Горные нормы π метод их
получения. „Горн. Жури." 1928, Д° 10, стр. 683,
выражения 8, 9 н 10.
и коэффициент прочного сопротивления
дуба изгибу к, = 80 кдісиі\
§ 26. Полученные результаты
заставляют серьезно задуматься над некоторыми
вопросами. Прежде всего надо отметить,
что для средней глубины деревянных
шахт, примерно, от 50 до 200 т, т.-е.
для огромного большинства их;
теоретические размеры достаточно близки к
эмпирическим; во всяком случае, цифры
получаются одного порядка. Но для малых
глубин и весьма значительных—размеры
крепи резко расходятся. Спрашивается,
объясняется ли это неодинаковым запасом
прочности, даваемым эмпирической
формулой (большим в малых шахтах и
меньшим в глубоких), или же ошибочностью
теории? Возмоя:но и первое объяснение:
если разделить формулу (72) на І, то,
считая распределение давления по венцу
равномерным, получим давление на 1 кв.
единицу поверхности по эмпирической
формуле
что совершенно неправдоподобно, ибо
никак нельзя логически допустить, чтобы
давление на единицу уменьгиалось при
увеличении пролета. Кроме того, породы
у поверхности бывают, обыкновенно, мягче,
чем на глубине: по преимуществу это
бывают наносы и выветрившиеся породы,
вместо крепких сланцев и песчаников—
во втором случае. Поэтому, взятый нами
коэффициент крепости /= 4,5 слишком
велик для пород у поверхности, и его (по
нашей табличке см. § 22) следовало бы
взять от 1,0 до 2,0, что приблизило бы
теоретические размеры к эмпирическим.
Λ для больших глубин, можно считать,
что следовало бы переходить на каменное
крепление, так как фактически
устраиваемое деревянное крепление, можно допустить,
обладает недостаточным запасом прочности.
С другой стороны мы настолько
привыкли смотреть на выработанные
практикой размеры, как на непреложный факт,
что считали бы необходимым проверить
тщательно опытами самую
пропорциональность давления глубине, даваемую теорией
(см. формулу 69).;
Следующий вопрос относится к теории
давления на стенки шахты, построенной
на свойствах упругих тел (см. § 10 главы

ТЕОРИЯ Μ. И. ПРОТОДЬЯКОНОВ Д.
93
второй)—теории проф. А. Н. Дни ни к а.
Подобно вашей теории и здесь
предполагается прямая пропорциональность
давления с глубиной, так что сюда полностью
относится все сказанное выше по этому
поводу. Но самый интересный вопрос,—
выяснить из двух схожих формул — (69)
и (14), какая из них правдоподобнее по
абсолютным значениям.
Для средних пород, постоянная
Пуассона ί?ί = ϋ,25, стало быть
Ρ = І^ііб Ш= "а ■ 0>0025#ВДсш2 (76)
при чем Η должно быть выражено в
сантиметрах. Вычисляя по этой формуле ρ
и сопоставляя с вычислениями по нашей
формуле (69) π по эмпирической (75),
имеем
Глубина
т
17
36
73
131
175
224
349
490
Формула
(69)
0,051
0,108
0,220
0,392
0,530
0,670
1,050
1,470
Формула
(75)
0,373
0,355
0,317
0,296
0,315
0,317
0,327
0.327
Формула
(14)
1,42
3,00
6,10
10,90
14,60
18,80
29,10
41,00
Таблица показывает, что
эмпирическая формула-дает, как говорилось, одно
и то же давление, вне зависимости от
глубины и размеров шахты. Наша
формула (69) дает весьма сильное изменение,
сообразно глубине, но цифры получаются
того же порядка, как и эмпирические, так
что разница может обменяться
неодинаковым запасом прочности. Что же касается
теории проф. А. Н. Динника, то она дает
огромную разницу с действительным
креплением,— такую разницу, которая не
может быть объяснена никаким различием
запаса прочности. Самая малая разница
(при 11= VI т)—ъ 3,3 раза, так что,
считая временное сопротивление дуба в
четыре с половиной раза больше прочного
(360 кдіст2 вместо взятых 80 кд/ет2),
надо заключить, что материал крепи
напряжен уже почти до предела. При
Я—36 т давление по А. Н. Дпинику
превышает эмпирическое в 8,5 раза, т.-е.
предел прочности уже перейден вдвое.
Дальше это превышение вее увеличивается,
доходя при І1 = і% т до чудовищной
цифры в 125 раз больше эмпирического
прочного и в 28 раз больше предельного
напряжения. Конечно, это прямо говорит
о непригодности самой теории. Это можно
было бы заключить и сразу из формулы (76):
переписав ее в тоннах и метрах, имеем
р = 0,833#(/т>.
Таким образом, в средних породах
(/= 4,5) давление оказывается равным
почти полному весу столба воды, что,
очевидно, несообразно, так как давление
столба воды есть совершенно
исключительное давление, о котором и речи не может
быть в обычных случаях.
Стало быть, теорией А. Н. Динника
нельзя пользоваться для определения
давления на стенку шахтной крепи. Но она
вполне пригодна для определения
напряжения в породах до проведения горной
выработки. Более того, она несомиепно
дает то основное давление, под влиянием
которого возникают напряжения в породах
вокруг проведенной шахты. И если бы
шахтная крепь составляла одно
органическое целое с породами, то определение
напряжений в ней, по крайней мере для
круглых шахт, не представило бы труда.
Все дело только в том, что неизвестно как
передаются напряжения от породы—крепи.
Впрочем, к этому вопросу еще вернемся
при расчете круглого шахтного крепления,
а отчасти уже говорили в конце § 46 по
поводу штольнообразных выработок.
ϋ редактор „Горного журнала" Е. С. Гендлер.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
СТР.
ЧАСТЬ!.
Давление горных пород
I' л а в а I. Явления в породах при проведении горных выработок 3
Глава II. Обзор существующих теорий давления пород 13
Глава III. Теория М. М. Протодьяконова 68