Лабораторная работа №1
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Цель работы: Получение временных характеристик элементарных
звеньев,
изучение
влияния
изменения
параметров
звеньев
на характеристики.
1. Теоретическая часть
1.1. Элементарные динамические звенья
Для определения динамических свойств автоматической системы
необходимо ее элементы различать по их уравнениям динамики. В теории
автоматического управления элементы автоматических систем, с точки
зрения их динамических свойств, представляют с помощью небольшого
числа динамических звеньев.
Под элементарным динамическим звеном понимается искусственно
выделяемая часть автоматической системы, соответствующая какому-либо
элементарному алгоритму, и описываемая дифференциальным уравнением
не выше второго порядка.
Каждое звено представляет элемент направленного действия. Это
значит, что преобразование в нем проходит в одном определенном
направлении: от входа к выходу звена.
Дифференциальное уравнение, отражающее характер преобразования
поступающего на вход сигнала, называется уравнением динамики звена.
Например, элемент системы описывается дифференциальным уравнением
вида
T12

d 2 y t 
d y t 
 T2
 y t   k xt 
dt
dt2

Левая часть такого уравнения характеризует динамический процесс,
происходящий в звене. Коэффициенты левой части уравнения – постоянные
времени. Величина k определяется отношением приращения выходной
величины y t  к приращению входной величины xt 
k

 y t 
 xt 

и называется статическим
передачи) звена.

коэффициентом

усиления

(коэффициент

Другой формой математического описания динамического процесса
является передаточная функция. Передаточной функцией звена или системы
называется отношение изображений по Лапласу выходной величины к
входной при нулевых начальных условиях W  p  

Y  p
, где Y  p   Lyt  –
X  p

изображение по Лапласу выходной величины; X  p   Lxt  – изображение
по Лапласу входной величины. Нулевые начальные условия состоят в том,
что в системе n -го порядка при t  0 выходная величина и все ее
производные от первой до n  1 -ой равны нулю.
В зависимости от характера протекания периодических процессов
элементарные динамические звенья делятся на безынерционные,
апериодические, колебательные, дифференцирующие, интегрирующие,
запаздывающие.
Безынерционное звено – это звено нулевого порядка, в котором в
каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между
входной и выходной величинами.
Апериодическое звено – это звено первого порядка, в котором выходная
величина при подаче на вход ступенчатого воздействия изменяется по
экспоненциальному закону.
Колебательное звено – это звено второго порядка, в котором выходная
величина при подаче на вход ступенчатого воздействия стремится к
установившемуся значению, совершая затухающие колебания или
монотонно приближаясь к нему.
Дифференцирующее звено – это звено, в котором выходная величина
пропорциональна скорости изменения входного воздействия. Реальное
дифференцирующее звено – это звено, обладающее инерционностью.
Интегрирующее звено – это звено, выходная величина которого
пропорциональна интегралу по времени от входной величины.
Запаздывающее звено – это звено, которое на выходе воспроизводит
входной сигнал без искажений, но с некоторым постоянным временем
запаздывания.
Неустойчивое звено первого порядка, в котором выходная величина при
подаче на вход ступенчатого воздействия будет неограниченно
экспоненциально возрастать. Неустойчивое звено второго порядка, в
котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия
будет неограниченно возрастать.
В таблице 1 приведены дифференцированные уравнения и передаточные
функции типовых динамических звеньев. В ней приняты следующие
обозначения: k – коэффициент передачи; T – постоянная времени;  –
коэффициент затухания;  – время запаздывания.
2

Таблица 1 – Математические модели типовых динамических звеньев
Вид звена

Передаточная
функция W  p 

Уравнение динамики

Безынерционное
звено

yt   k xt 

Апериодическое
звено

T2

d y t 
 y t   k xt 
dt

k
T p 1

Колебательное звено

T2

d 2 yt 
d yt 
 2T
 yt   k xt 
2
dt
dt

k
T p  2T p  1

Дифференцирующее
звено

y t   k

Реальное
дифференцирующее
звено

T2

Интегрирующее
звено

y t   k  xt  dt

k

d xt 
dt

2

2

kp

d y t 
d xt 
 y t   k
dt
dt


kp
T p 1
k
p

0

Запаздывающее
звено

yt   xt   

Неустойчивое звено
первого порядка

T2

d y t 
 yt   k xt 
dt

k
T p 1

Неустойчивое звено
второго порядка

T2

d 2 yt 
d y t 
 2T
 yt   k xt 
2
dt
dt

k
T 2 p 2  2T p  1

k e  p

1.2. Характеристики динамических звеньев
Динамические свойства звена могут быть определены на основании
дифференциального уравнения, описывающего поведение звена в
переходном режиме. Решение дифференциального уравнения дает
возможность получить переходную характеристику динамического звена,
представляющую зависимость выходной величины от времени при
ступенчатом входном воздействии.
Кроме переходной характеристики, динамические свойства могут быть
выражены и другими закономерностями:
- переходная импульсная (весовая) функция, представляющая собой
реакцию звена на импульсное входное воздействие;
- частотные характеристики, представляющие собой реакцию звена на
входные воздействия, имеющие характер гармонической синусоидальной
функции.
3

1.3. Требования к временным характеристикам
Переходная функция
представлена на рис. 1.

динамической

системы

второго

порядка

Рисунок 1. – Переходная функция динамической системы второго порядка

Время нарастания Tr определим как время, необходимое для изменения
переходной функции от 10% до 90% от ее установившегося значения x s .
Максимальное значение переходной функции обозначим M pt , время
достижения максимума T p , а процентное превышение установившегося
значения будем рассчитывать по формуле:
превышение процентное 

M pt  xs
xs

100% .

На примере переходной функции, представленной на рисунке 1,
установившееся значение выходной величины xs  1 .
Время установления Ts – это время, необходимое для того, чтобы
выходной сигнал вошел в определенную зону xs  d , прилегающую к
установившемуся значению, и далее оставался в пределах этой зоны.
Ширину зоны обычно принимают равной 5% или 2% от
установившегося значения.
Время достижения максимума T p или максимальное перерегулирование
определяется как время от начала воздейтсвия до времени,
соответсвующему максимальному значению переходной функции.

4

2. Задание к лабораторной работе
2.1. С помощью программы MathCAD рассчитать реакцию каждого из
звеньев (таблица 1, кроме дифференцирующих и запаздывающего) на
единичное ступенчатое воздействие, для чего решить описывающее его
дифференциальное уравнение (пример решения дифференциального
уравнения в программе MathCAD представлен в приложении 1). Построить
график. Параметры звеньев выбрать согласно варианту (таблица 2).
2.2. С помощью программы CLASSIC 3.01 провести моделирование
процесса воздействия на исследуемые звенья (таблица 1, кроме
дифференцирующих) единичного ступенчатого воздействия; проверить
соответствие результатов моделирования и результатов, полученных в 2.1.
При сопоставлении графических результатов масштаб и сетка
соответствующих графиков должны быть одинаковыми, для удобства
сравнения и анализа.
2.3. С помощью программы MathCAD для апериодического и
колебательного звена определить значения времени установления Ts , время
достижения максимума T p и время нарастания Tr ; параметр d выбрать
согласно варианту.
2.4. С помощью программы
MathCAD,
увеличивая каждый
из параметров k , T , в отдельности на 10 20% , а параметр  на 40  50%
(по 4-5 значений каждого параметра) применительно к апериодическому
и колебательному звеньям, определить влияние данных параметров на
Ts , T p и Tr .
3. Варианты заданий
Варианты заданий представлены в таблице 2.
4. Требования к отчету
Отчет оформляется на белой бумаге формата А 4. Текст, формулы и
необходимые графические материалы располагаются на одной стороне
листа. В случае рукописного оформления допускается вклейка
графического материала.
Отчет должен содержать:
1) титульный лист;
2) цель работы;
3) задание к лабораторной работе (в соответствии с вариантом);
4) полученные расчетные значения и необходимые графики;
5) листинг компьютерной программы;
6) выводы по работе (строго в рукописном виде).
5

Таблица 2. Варианты заданий для выполнения лабораторной работы №1 и №2.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

k

T





d %

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6

0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5

15
14,5
14
13,5
13
12,5
12
11,5
11
10,5
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

5. Контрольные вопросы
5.1. Классификация типовых звеньев АСУ (включая уравнение
динамики). Общие виды переходных характеристик.
5.2. Исследование характеристик звеньев (систем) с помощью
переходной характеристики. Математическая модель функции Хэвисайда.
Нахождение переходной характеристики звена. Нахождение реакции звена
(системы) на произвольный входной сигнал.
5.3. Исследование характеристик звеньев (систем) с помощью
импульсной характеристики. Математическая модель дельта-функции
Дирака. Нахождение импульсной характеристики звена. Нахождение
реакции звена (системы) на произвольный входной сигнал.
5.4. Требования к временным характеристикам динамических звеньев.
6

Приложение 1.
Пример решения дифференциального уравнения и построения реакции
на единичное ступенчатое воздействие.

7