Контактные задачи в машиностроении - Александров В.М., Ромалис Б.Л.

Author: Александров В.М. Ромалис Б.Л.
Tags: детали машин передачи (механические) подъемно-транспортное оборудование крепежные средства смазка общее машиностроение машиноведение физика машиностроение механика теория упругости издательство машиностроение
Year: 1986
Similar
Детали машин в примерах и задачах
Динамические контактные задачи
Зубчатые передачи с задачами и примерами расчётов: Учебное пособие
Прочность шарнирных узлов машин: Справочное пособие
Text
                    . м. АЛЕкешцеоа б л. ромалис
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
Москва
< Машиностроение >
.1986
ББК 34.41
А46
УДК 621.8:539.3
Рецензент М. В. Коровчинский
Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в
А46 машиностроении. — М.: Машиностроение, 1986. — 176 с., ил.
55 к.
Приведены исходные уравнения для многих контактных зада^ теории упругости,
возникающих при прочностных расчетах различных деталей машин. Для этих урав-
I нений получены точные либо приближенные аналитические .решения в виде, удоб-
ном для непосредственного использования при проверке - контактной прочности и
жесткости элементов машиностроительных конструкций. Изложены современные Ме-
тоды решения-неклассических контактных задач. Рассмотрены контактные задачи
I в упругопластической постановке.
Для инженерно-технических работников машиностроительных предприятий, про-
ектных и научно-исследовательских организаций.
. 2702000000-196	ББК 34.41
А ----------------196-86
038(01)-86	6П5.3
© Издательство «Машиностроение», 1986 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные проблемы современного машиностроения повышение
надежности и снижение металлоемкости машин. Оптимальное
решение этих противоречивых проблем можно найти в результате
высокоточных прочностных расчетов на этапе конструкторской
разработки. Поскольку любая машина представляет собой сово-
купность взаимодействующих деталей, главной задачей расчетчика
является обеспечение их контактной прочности и жесткости.
В настоящее время теория контактных задач достигла, значи-
тельного совершенства-, однако вследствие математических труд-
ностей, возникающих при применении современных методов к
решению конкретных задач, возникает некоторый разрыв между
теорией и практическим применением этих решений. В книге осве-
щены вопросы, возникающие при решении прикладных контактных
задач. Приведены новые аналитические решения контактных задач
и результаты экспериментально-теоретических исследований. Ре-
шения задач в большинстве случаев доведены до вида, пригодного
для практического использования при прочностных расчетах эле-
ментов машиностроительных конструкций.
Рассмотрены важные задачи о взаимодействии упругих цилинд-
ров и .на основе их решения даны иллюстративные расчеты неко-
торых видов деталей машин.
е Для проверки контактной' прочности тел качения применены
идеи теории приспособляемости. Приведены результаты экспери-
ментов по оценке контактной прочности различных видов деталей
машин и проверке некоторых решений .контактных задач теории
упругости, полученных при определенных допущениях. Даны по-
становки и решения ряда неклассических контактных задач-теории
упругости для полосы, цилиндра, клина и конуса. Йзложены также
некоторые упругопластические контактные задами.
В гл. 1 приведено решение задачи о сжатии гладких упругих
цилиндров с начальным контактом вдоль прямой линии и на его
основе найдены конкретные решения, пригодные для машинострои-
тельных расчетов.
В гл. 2 рассмотрены частные решения задач о сжатии цилинд-
ров различного очертания. В’подразд. 2.3 рассмотрено 'влияние ше-
роховатости поверхностей сжимаемых цилиндров на решение кон-
тактной задачи.
Для проверки контактной прочности, решения задач приспособ-
ляемости и в некоторых других случаях необходимо . оценивать
3
яапряжения в теле под полосой контакта. В связи с этим в гл. 3
приведены методы определения этих напряжений для любого рас-
пределения поверхностных нормальных и касательных напряже-
ний.
' В гл.’4 приведены расчеты некоторых видов деталей машин:
фрикционных элементов муфт и тормозов прессов, зубьев колес,
шлицевых соединений и пр.
В гл. 5 развито решение задачи о вдавливании цилиндра в тело
с цилиндрической Полостью почти того же радиуса применительно
к расчетам деталей машин. Так как все известные решения этой
задачи найдены для охватывающего тела бесконечных размеров,
проведен также приближенный анализ контактных давлений, для
случая, когда наружное тело представляет собой замкнутый кри-
вой брус.
В глГ. 6 даны постановка и вывод интегральных уравнений ряда
неклассических контактных задач теории упругости для слоя, по-
лосы, цилиндра, клина и конуса.
В гл.-7 упрощенно изложены современные аналитические мето-
ды решения сложных контактных задач и приведены окончатель-
ные результаты решения задач, поставленных в гл. 6, в виде про-
стых формул или расчетных алгоритмов, удобных для приложений.
В гл. 8 изучен процесс вдавливания упругого индентора в упру-
гопластическоё тело, а также рассмотрена контактная задача для
предварительно напряженного упругопластического полупрост-
ранства.
ГЛАВА 1
ЗАДАЧА О СЖАТИИ ГЛАДКИХ ЦИЛИНДРОВ
1.1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ.
УСЛОВИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ДАВЛЕНИЯ
Рассмотрим упругие цилиндры’с параллельными осями, кото-
рые до приложения нагрузок соприкасаются по прямой линии или
по некоторой поверхности. Такой контакт между деталями часто
встречается на практике в различного рода машинах. Так, началь-
ный контакт по линии происходит между зубьями цилиндрических
колес, телами качения игольчатых и роликовых подшипников, на-
груженными деталями роликовых муфт обгона, деталями копир-
ных устройств, элементами цепных передач, между пальцем и про-
ушиной (при наличии зазора между ними) и во многих других слу-
чаях. Начальный контакт вдоль полосы происходит, например, в
направляющих устройствах машин, между прямобочными и эволь-
вентными зубьями зубчатых (шлицевых) соединений, в клиновых
и шпоночных соединениях, между зубьями кулачковых муфт и т. д.
На рис. 1.1 показаны упругие тела в форме цилиндров, контакт
которых до приложения нагрузки происходит по ' образующим.*
Считаем, что сжимающие силы, приложенные^ ним, не зависят от
z и не дают проекции на ось z„ т. е. деформированное состояние
является плоским. Тогда перемещения точек -упругих тел также не
зависят от координаты z и происходят только в плоскостях, парал-
лельных хОу. Силами трения в полосе контакта тел (|х| <«) пре-
небрегаем.
Пусть уравнения направляющих цилиндров до сжатия имеют
вид'
y=-/i(x); f/=/2U).
(1.1)
Вследствие деформации цилиндр 1 после приложения сжимающих
сил переместится поступательно на величину си и повернется на
угол pi, цилиндр 2— на —а2 и на —р2. Предположим, точки А и
В пришли в соприкосновение в точке С зоны контакта*. При этом
точка А получила упругое пе-	у
ремещение АА1г компоненты	"
которого по осям хну обозна-	ь,
чим —«1 и —v-l, и жесткое пе-
ремещение ai + PiX; точка В по-
лучила упругое перемещение
BBt с компонентами п2 и v2 и
Рис. 1.1. Расчетная схема для случая
начального контакта по линии
5
жесткое перемещение —а2—р2х. Новые ординаты точек А и В соот-
ветственно:
У1^=—fi(x-\~U\)—‘Z’l + ai+Pi-^;
'/2=/?U— к2) + ®2— «2 —₽2*-	С1-2)
Разложцв функции f i(x+ui) и f2(x—и2) в ряды Тейдора, по-
лучим
,	zz? ,
fi u+«i)=/i U)+4i/i Ос) 4—— fi (*)+•—
(1-3)
	, zz?
/2 (x — zz2)=/2 (x) — w2/2 (X) 4—— /2 (x) 4-... .
Для большинства металлов компоненты упругих перемещений
обычно малы и размеры зоны контакта незначительны по сравне-
нию с размерами взаимодействующих тел. Если к тому же направ-
ляющие цилиндры не имеют особых точек и f/(0) =/2'(0) =0, то
fi'(x) и fz'(x) при |х| са также малые величины. Тогда в разло-
жении (1.3) можно ограничиться лишь первыми членами, откуда
следует
/1(х4-ы1)^/1(х); /2(х —и^«;/2(х).	(1.4)
Точки Л и В по предположению совпадают после приложения
сжимающих сил, поэтому, приравняв правые части выражений
(1.2), с учетом (1.4) получим кинематическое условие контакта
®i4-'z’2=a4-₽x—/^х)—/2(х),	(1.5>
где ct=ai + a2—сближение цилиндров; Р = Р1-Ь₽2— угол относи-
тельного поворота цилиндров.	'	/
Ширина 2а полосы контакта является величиной относительно
малой. Так, при контакте стальных зубчатых колес, когда силы,
действующие в зоне контакта, весьма значительны, ширина поло-
сы, как правило, не превышает 0,4 мм. Радиус кривизны в полюсе
зацепления, например, для эвольвентного зубчатого колеса с мо-
дулем т=6 мм и числом зубьев z = 40 при угле зацепления a = 20°
составляет p = 0,5mzsin««41 мм и р/2п=102.’В приведенном при-
мере и в других случаях радиусы кривизны значительно больше
ширины полосы контакта, поэтому поверхность контакта нагру-
женных цилиндров считают плоской, а каждый из цилиндров рас-
сматривают как упругое полупространство, т. е. решают плоскую
задачу о соприкосновении двух упругих полуплоскостей. Такое
’допущение правомерно еще и потому, что контактная, прочность за-
висит главным образом от напряжений в точках, находящихся в
непосредственной близости от зоны контакта, а на эти напряжения
принятое допущение не оказывает существенного влияния.
В связи с этим примем следующие граничные условия: в зоне
контакта известна сумма вертикальных перемещений, заданная
выражением (1.5), а вне ее равны нулю нормальные и касательные
6
напряжения на границах упругих полуплоскостей. Кроме того, в
месте соприкосновения полуплоскостей касательных напряжений
также нет.
Если в зоне контакта возникает давление р(х), то перемещения
точек с абсциссой х [48]
v1.2—®1,2
И — х\
dt + const,
(1.6)
где 81,2=2 (1 — Ч2)/(лЕ1,2);
h — характерный размер; £1,2, vi,2 — упругие постоянные первого
и второго цилиндров.	4
Подставив выражения для перемещений граничных точек (1.6)
в условие (1.5), получим
\а
( 1(0In -h —dt=f(x)	(1.7)
J \t — *1
—a
/ (х)=[с ф- ₽х - Л (х)—/2 U) I (81 + 8?)-й,	(1.8)
где с — произвольная постоянная.
Уравнение (1.7) является основным интегральным уравнением
плоской контактной задачи, решение которого [48]:
р(х)= —1	[р—-[ f'(0 ^fl2 ~t2 dt\ (—а <х<а), (1.9)
nj/'a'2-x2	nJ	t — x
L	—a	J
где Р — сжимающая сила, отнесенная к длине цилиндров:
а
P = J p(x)dx.
—а
Согласно этому решению давление р(х) на концах участка контак-
та (прих=+о) неограниченно.
Чтобы решение (1.9) сохраняло физический смысл и в окрест-
ности точек х=±а, вводят условие ограниченности давления в ука-
занных точках
а
С f’(t)dt	Г f(t)tdt _
J ]Ла2^-(2	’ J Уа2— &
—а •	—а
Тогда решение (1.9) принимает вид
а
(1.10)
Р(Х) =--l_/~a2_X2f	.. .	(1.1,1)
7 Л2 Г	J ya2-t2(t-x)
—а
Для определения плеча е приложения сжимающей силь!, подуши,
рины а полосы контакта 'и угла поворота р используют
7
a	a
Pe=J p(x)xdx=~ j’ d2—t2dt. (1-12)
—a	'—a
1.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРОВ, СНАБЖЕННЫХ
УСТРОЙСТВАМИ, ПРЕПЯТСТВУЮЩИМИ ИХ ПОВОРОТУ
Рассмотрим решение контактной задачи для случая, когда на-
чальный контакт упругих тел происходит в плоскости хОу по не;
которому отрезку оси х (рис. 1.2, а), равнодействующая сжимаю-
щих сил проходит через середину этого прямолинейного участка
вдоль оси у, и цилиндры могут перемещаться вдоль этой оси лишь
поступательно, т. е. р=0.
Пусть направляющие цилиндров не имеют особых точек, и урав-
нения этих направляющих заданы зависимостями (1.1). Для точек
А и В, которые после приложения сжимающих сил совпадают,
справедливо условие (1.5), причем
...	/iU)=/2U)=0 (—*	(1.13)
В окрестности точек х=?Ь м х=—Ь прй |х| >6 просветы между
цилиндрами можно приближенно представить в виде функций
q (х)=/1(х)+/2(х)=А+(х — Ь)2 (х^Ь);
q(.x)=f1(x')-\-f2(x) = A~(x-\-b)2 (х< — Ь),	(1.14)
Л+=0,5 [/J(/>)+/2 0)] (x=#+‘O);
Л-=0,5[/(-й)+/Д-й)] (x=^b-ty.	(1.15)
В общем случае А+=£А~, поэтому просветы справа от точки
х—b и слева от точки х=—Ь неодинако-
вы при абсциссах, равных по абсолютно-
му значению, как это следует из выраже-
ния (1.14), т. е. q(x)=£q(—х). В связи с
этим зона контакта, которая образуется
после приложения сжимающих сил, рас-
полагается несимметрично относительно
начала координат О, середина полосы
контакта смещается на некоторую вели-
чину б, а начальная ее ширина 2Ь увели-
чивается на 2а (pjic. 1,2, б).
Интегральное уравнение для опреде-
ления давления p(t) в зоне контакта в
этой случае принимает вид
Рис. 1.2. Цилиндры с начальным контактом вдоль
полосы
8
{ p(t)\n——-j-dt=f(x)	(1.16)
J И - *1
—a,
Пределы интегрирования уравнения di =—а—Ь+б; d2 = a+b +
4-6, где б-—абсцисса середины полосы контакта. Приняв (=т4-б
и x = g + 6, получим уравнение с пределами, симметричными отно-
сительно нового начала координат О] (рис. 1.2, б):
[ /2(т-|-6)1п-——(/т=/а + В) (-а— &<£<«+/>)• (Г.17)
J	[т —$|	•
—а—Ь
Решение уравнения (1.17) при соблюдении условия Ограничен-
ности давлений да концах-участков контакта запишем на основа-
нии выражения (1.11):
а+Ь
р(?4-8)=-----—y/(« + 6)2->2 [ -r +	. (1.18)
'	' ’ л2 У ’ J /(o + i)2_T2(T-S)
•	— а—b
Подставив функции (1.14) в выражение (1.8), получим
/(л) = [—А+(х — fc)24-c] (©!-|-е2)—1 (х>б);
f (Л)=с(е1 + е2г1 (— 6<.Х<Ь);	(1.19)
f (х)—[—A (jc 4-Z>)2-j-<?[ (Oj 4^ О2)1 (х—b).
Решение (1.18) с учетом (1.19) принимает вид
—-б	Ь+а
4- а-  f .	4- д+ а 4- 8 - by f —. dx ----
J У(6 + а)2_т2	J	У(* + аР-т2(т-0
—Ь—а	Ъ—Ьг
У (Ь + а)2 — т2
dr
(1.20)
Приняв
2 (a +b)u s______2 (д + 1>) у \	_ 2(«+^)i'i
1 + «2	’	1 4- v2 я I + Vj
2 (fl 4- b)\>2
1 4-^2
И<1;
М<1 (М<а4-6; |$|<а4-б)/
9
найдем
С	rfT	_	1 +v2	ln 1 (V —V2)(l—Wi) I J 22,
J /(o 4-4)2—т2(т — $) (a 4-6)(l —v2)	| (V —vj)(l — w2) Г
Заметим, что для первого и третьего интегралов решения (1.20)
|i=—(a+Ь), g2=—(6 + 6) и gi=b—6, l,2=a+b. Тогда с учетом
(1.21) "и (1.22) решение (1.20) можно привести к виду [33]
2А~У(а + Ь)2-р
Я2 (61+62)
l+t,2	a— v2\
--------------In 	----
(a + b)(l—v2)-1—vv2
1	*
in4-~wj.
------1+w2~
A~	(a 4-4) (О—1/2)
60—/зТ —	»
(1.23)
причем

•V— -----------------
£2
®2
1;
* CL -г— Ь
Z>1 = ——
4 — 8
с '	4 — 8
0o=arccos--------
(и 4- 4)2
------—1; <p0=arccos
(4-8)2 то
; kil<i; М<1; 1®г|<1 (0<?0О; о<ео<».
(1,24)
и знак минус при g>0._
(1.24) можно вычислить давление в лю-
Здесь-знак плюс при Н<0
По формулам (1.23) и
бой точке контакта для различных вариантов взаимодействия ци-
линдров (рис. 1.3), -
Смещение середины полосы б и увеличение начальной ширины
этой полосы 2ц определим из условий (1.10) ограниченности давле-
ний на концах участков контакта х=—а—6+6; х=а+6 + б, кото-
рые в рассматриваемом случае принимают вид
Ь+а
С /'(^ + Ь)^ — _()•
J /(4 4-0)2-Т2
—Ь—а
Ь+а
С f (т +s)xdt
J /(4 4- е)2 — Т2
—Ь—а
яР.
(1.25)
Подставив соотношение (1.19). в (1.25), найдем
—ft—L	ft+a
С Л- Ъ Л~ b) dx । дС (т 4~ Ь — b) dx__________q
J-	/(4 4-а)2 — t’ ' J /(4 4-o)2- т2 ~ ’
—b-a	b-S
(1.26)
а)
Рис. 1.3. Схемы контактов цилиндров с симметричным (о) и несимметричным
(6) распределением давления
—ь— s
л- С
—6—а
(т + 8 4- 6) xdx
J/'(b 4- а)2 — т2
А+ "Г (т + 6- Ь) 1<1х = пр
J У (ь + a)i ~ т2
б-г
Вычислив значения интегралов в (1.26)получим уравнения для
определения бия:
, в 4- Ь ,	„ Л+ • с Л+ в — b _ п.
4- <?„-«>+^-sin 2То+.1±-‘sin То—j-	—i-^sinJOe—
z	4	ci 4- b	л л
Л+ 6 — 6	Л/5 (St 4- M
__ ——----------- 51П Un—— —	,vx •
A- a,+ b	‘2A~(a+by-
(1.27)
Выражения (1.23), (1-24) и (1.27) являются решением постав-
ленной задачи. Приведем пример на применение этого решения:
ч1'1
Рис. 1.5. Кривая распределения давле-
ния по поверхности контакта цилиндров
цилиндры, размеры которых указаны на рис. 1.4, сжимаются сила-
ми Р=920 кН/м, материал цилиндров — сталь.с упругими постоян-
ными Ei=£2 = 206 ГПа; Vi=v2 = 0,3.
По формулам (1.15) находим А+ = 0,04167 мм-1; А~=
= 0,2159 мм-1.' Решив уравнения (1.27) при приведенных исходных
данных и значениях А+ и А~, получаем увеличение ширины полосы
контакта 2и« 0,2 мм, смещение середины полосы 6=0,05 мм. Рас-
.пределение давления в зоне контакта находим по формулам (1.23)
и (1.24), Эпюра давлений, соответствующая этому решению, при-
ведена на рис. 1.5.
1.3. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ СВОБОДНО ПОВОРАЧИВАЕМЫХ ЦИЛИНДРОВ
Рассмотрим решение предыдущей задачи для случая, когда
цилиндры не только совершают поступательные перемещения, но
и поворачиваются (33, 34]. Пусть гладкие цилиндры соприкасаются
вдоль некоторой полосы шириной 26 (рис. 1.6) и направляющие
'цилиндров с прямолинейными
участками не имеют особых
точек. Равнодействующая сжи-
мающих сил проходит через
начало координат О вдоль оси
у, кроме того, цилиндры пово-
рачиваются один относительно
другого моментом М.
В данном случае в условии
(1.5) р#=0 и зона контакта пбс-#
ле приложения сжимающих’
сил и момента не симметрична
относительно начала коорди-
Рис. .1.6. Свободно поворачиваемые
цилиндры с начальным контактом
вдоль полосы
12
нат О, тогда исходным интегральным уравнением является урав-
нение (1.16), в котором согласно (1.8)
/(х)=[с+₽х—(a:)] (St-f-62)-Ч	-
g(-v)=/i(x)+/2(x) (^<л:<«/2Х
Подставив выражение f(x) из (1.28) в (1.18), получим
_________ а+Ь
рП1Ъ) = -1---Г (о + й)2-е2 С g'dr +	. (1.29)
~ ’ Л2 Bt+e2 J V{a+by — т2(т-е)
«Сравнивая (1.29) с (1.18) видим, что давление р здесь, как в слу^
«чае лишь поступательного перемещения цилиндров, можно опреде-
лить по формулам (1.23) и (1.24).
Момент М, приложенный к цилиндрам, найдем по формуле
М= f ptfytdt (<4 = —a —6-J-8; cf2=a+*+8),	(1.30)
которую с помощью подстановки /=т+б и (1.12) можно предста-
вить в виде
а+6
Ж=Р8 + — f /' (т+8) /(« -j- 6)2 -хЧх. 	(1.31)
*	л J
—а—6
С учетом (1.14) и (1.28) запишем
Г (х)=[-2Д+,(х - 6)+₽] (61 -j- б,)-» (х > by,
/'(xH(W* (~b<x^by, '	(1.32)
f (x) = [-2A- (x+b) + ₽] («!+62)-i (x < -by
Подставив (1.32) в (1.31), получим выражение для момента
относительно начала координат
'М=Р8 4- —+ *)г Г-^- 4--|- (а 4- by (A- sift3 % - А+ sin3 0О) 4-
4-А-(84-6) ^о_л-^^-)-А+(8-6)(0о-^')] . (1.33)
Для решения поставленной задачи кроме выражения (1.33)
«необходимо использовать условия ограниченности давлений на кон-
цах участков контакта (1.25). Подставив в них выражения (1.32)
.для f'(x), после интегрирования и некоторых преобразований полу-
чим следующие уравнения:
А~ (а+6) si« Фо4-	+ЬУ (%—л) — А+ (a -J~ by sia 0О -г-
— А+(8 — 6) 0О-0,5₽л =0;
V	(То“я) +VTF s,n2<Po + “ZT rr_A1sie 'Po^
2 А+ .	4 A+	А+ а 4- oj
.13
е0 sX2e0 ъ — ь й пр <е1 + е2)
-----т*--- —------51П Un— —----------:----- .
2 ,Р 4 a-pb	2(a+,t>)?A+
/
(1.34)
Значения' б, аир можно найти из уравнений (1.33) и (1.34)
при заданных геометрических характеристиках на границах А+ и
А~, известных упругих постоянных 0, и 02 и заданных нагрузках
Р и М. Зная б и а, можно определить давление в любой тоЧке'-зо;
ны 1коита|кта по формулам (1.23) и (1.24).
В рассматриваемом случае возможен частичный отрыв одного
цилиндра от другого, а при М>РЬ — опрокидывание одного из них.
Если да начало отрыва принять выход точки С из контакта (см.
рис. 1.6), то условием полного контакта цилиндров будет неравен-
ство б<а. В предельном случае, когда б — а, на основании (1.24)
и (1.33)
М=Ра Н—^±*)2 Г-^ —— (а б) Д+ sin 3 60 —
л(в1 + е2) L 2 з 1
- А+ (а - Ь) (б0	j .	(1.35)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1	.'Жесткий штамп с угловыми точками на границах поворачи-
вается моментом М и вдавливается силой Р в упругую полуплос-
кость. В этом случае середина полосы контакта не смещается (б =
=0) и ширина штампа 2Ь остается неизменной (а=0), тогда-по
формулам (1.24) получаем фо=л и 0о = О. Если считать, что кри-
визна штампа на границах велика, но конечна, то из выражения
(1.33) найдем
к уИ=0,'53&2/9.	(1.36)
2	. До приложения нагрузок контакт происходит лишь в начале
координат; и просветы справа и слева от точки О при абсцисса*,
равных по абсолютному значению, неодинаковы (А+у=А~; Ь = 0).
Давление в области контакта после приложения сжимающих сил
распределяется несимметрично относительно точки О, вследствие
чего возникают некоторые моменты относительно начала коорди-
нат, которые воспринимают направляющие цилиндров. Значения
этих моментов также можно найти из выражения (1.33) на осно-
вании следующего. Если цилиндры могут перемещаться лишь по-
ступательно (в направляющих), то р=6 и согласно (1.24) фе = 60 =
= arccos (—б/а). При этом выражение (1.33) с учетом (1.34) пос-
ле некоторых преобразований примет вид
/И==(2/3)Р8.	(1.37),.
Если цилиндры не имеют направляющих, их поворот ничем не
ограничен и М=0. Вследствие этого относительный угол поворота
цилиндров
p=4Pa~1(6i + e2)cos'f>0.	(1.38^
14
В качестве примера рассмотрим контакт цилиндров (см. рис.
1.6), когда линия действия сил (Р = 196 кН/м), параллельная оси
ц, проходит через точку D (хд=1,66 мм), т. ег Л1 = Рхс=0,3254 кН.
Упругие постоянные материала цилиндров E'i=E2=2,06 ГПа и
vi=*v2=0,3; начальная ширина полосы контакта 2а=8 мм; радиу-
сы кривизны на границах /?1 = 26 мм, /?2=46 мм, /?3 = 12 мм,.и Е* =
=30 мм; Л+=0,00836 мм-1, Л~=0,025 мм”1.
Подставив эти значения в уравнения (1.33) и (1.34)*, найдем
смещение середины полосы контакта 6, увеличение ширины ее 2а
и относительный угол поворота 0:6 = 0,09 мм; а = 0,12 мм и 0 =
=0,0002 рад.
Так как 6<п, отрыва нет, т. е. контакт является полным, и дав-
ление в точке с заданной абсциссой можно вычислить по форму-
лам (1.23) и (1.24).
Если 6>п, но М<РЬ, возникает частичный .отрыв, и при вычис-
лении значений 6,а и 0 следует принять Д_=0.
1.4. КОНТАКТНЫЕ НАГРУЗКИ В УПРУГИХ НАПРАВЛЯЮЩИХ МАШИН
При построении, решения контактной задачи для направляю-
щих машин (кривошипных прессов, некоторых станков и др.) (20,
35] используем решения, полученные в подразд. 1.2 и 1.3.
В зонах контакта вертикальных направляющих станин с под-
вижными деталями (в дальнейшем ползунами) возникают значи-
тельные поверхностные напряжения, существенно влияющие на
.долговечность машины. Эти напряжения возникают вследствие вне-
центренного приложения нагрузок к ползуну. В связи с этим рас-
смотрим модельную задачу о контактном взаимодействии гладких
тел, когда к ползуну приложена заданная пара сил, перекашиваю-
щая его. Силы трения, практически не влияющие здесь на давле-
ние, существенны при оценке контактной прочности, поэтому в
дальнейшем они учтены (см. гл. 3). '
При действии внешней и технологической нагрузок вдоль сред-
ней линии ползуна направляющие не нагружены, рели линии дей-
ствия этих-нагрузок не совпадают, образуется пара сил, повора-
чивающая ползун в направляющих (рис. 1.7). В результате в по-
верхностных слоях направляющих станины и ползуна возникают
значительные контактные напряжения. Кроме того, для обеспече-
ния движения ползуна вдоль направляющих станины необходим
зазор Д, от которого также зависят контактные напряжения [18, 35].
Зона контакта после приложения нагрузок несимметрична от-
носительно точки начального контакта О .(рис. 1.8), причем «в зону
жонтакта попадают точки, для которых упругие перемещения vi и
вдоль оси у удовлетворяют условию
®1 + ®2=а—/2W-	(1-39)
Выражение (1.39) получено из условия, что при вдавливании
ползуна в направляющие станины линия О А поворачивается вслед-
ствие упругих деформаций.
15
Рис. 1.7. Схема контакта пол-	Рис. 1.8. Расчетная схема к контактной
зуна с направляющими ста-	задаче для направляющих станины кри-
.  нины	вошипных прессов:
а — до-приложения нагрузок; б — после при-
ложения нагрузок
Таким образом, в рассматриваемом случае давление в зоне кон-
такта шириной 2а является решением
7^+8)=
Л2(в1+62)
dx
у' Т2(т — g)

f'2{x + 8) dx
1^02— т2 (Т — 5)
уравнения (1.16), правая часть которого имеет вид
I	•	
f(x)=\c — $x— /2(Л)] (ву-ргГ1-
(1.40)
(1.41)
Учитывая, что /г(0)=0 и f2'(0) =0, получим (см. рис. 1.8)
f ,v4_f 0,5х2/2(0) при —
J 2 Vл) — {	(
I Уо+vU—*о) при x0<x<a,
где х0, уь — координаты точки перехода криволинейной части края
ползуна в прямолинейную; у— угол между направляющими пол-
16
зуна и станины (у = A//); I — длина плоской части направляющей
ползуна. 	ч
Так как в выражении (1.40) первый интеграл в квадратных,
скобках равен нулю, с учетом (1.42) получим
рк+»=_г^.
1	Л2(61Ч>02)
—<8—лг0)
+«2 — t2(t— £)
a
dx
J |/«2 — т2 (Т — О
-сг-хо)
(1.43)
где 6— абсцисса середины полосы контакта.
Преобразовав первый интеграл в решении (1.43)
—(о—X о)	—( 8— Vo)
(т + 8) dx
ya*— т2(т — g)
—а	. —в
—(S-Л’о)	— (4—Хо)
, , ,	, Р	dX	, Р	dx
+1^(8-^)] j	+хо j /й-г—’
—а	—>а
(1.44)
получим*
/г(?+«>=
г -____ —(5—Хр)
fgL-rX. /;(0) f -
л2 (0J + 02)	J У «2 — т'2
—а
dx
У а2— т2(т— $)
а.
dx
Уа2— т2(т — J)
. (1.45)
+/г(0) [£+(8 — -*о)]
к)
—а
-(6-Хо)
+4/2(0) f г.......-----------F
1	\ J Уа2-т2(т-О 1
—а
Применив подстановку (121) и вычислив интегралы в решении
(1.45) с учетом того, что в задаче о направляющих Ь—0, оконча-
тельно получим
а/+°)	(
1~пТ (л-%) sin ? +
л2 (0j д- в2) 1
+ (cos <р — cos ?0) In I sin	/ sin ?	-° j 111.	(1.46)
При преобразованиях использованы следующие обозначения:
g=«cosq>i, 6—х0=—a cos <ро, причем величины а, <р, <р0 и х связа-
ны соотношением
. х=a (cos <р — cos <?о)+4fo	{1 4^*
17'
Условия ограниченности давлений (1.10) с
(1.41) и (1.42) принимают вид
учетом выражений
dr
Т2
/2(0)
——% о)	а
(-/НО) f	(Ly>/5-4-Y [ _
‘ J	J	/й2-Т2 1 J J/
—a	f	—(8—x0)
6—x0)	a
P (т + В)тДт: . . Г	/ xdx  
,1	У.д2 _ t2	J	]Ag2 — T2
—a »	— (S—x0>
=^==0;
a2— u2
(1-48)
л/2 (0J	02).
После интегрирования выражений,
следующие уравнения:
входящих в (1.48), получаем
л(т+3) — /г(0)« [cos <р0(л — <р0)-{-sin <р0[ = 0; •	(1.49;
[2л (0j + е2)]-1 а2/г (0) (л —	sin % cos 4ol—P.
Из условия равновесия ползуна (см. рис. 1.7) следует
Qk-Pl-\-2M=(V,.	(1.50)
а	а
М = р(т-J-S) (т—|-S) dr	-j- J р(т-|~S)xdx.	(1.51)
—а	'	—а
Используя соотношение (1Л2), запишем
J p(r-[-8)TcfT=-i-J f (т-|-8) |Лг2 — x2dx, •_	(1.52)
Таблица I f					
ф/л	Значения р(ф), МПа, при R=0,5 мм		ф/Л	Значения р(ф)» МПа, при R=500 мм	
				сталь-сталь, a=77,463 мм	сталь-бронза, д=105,17 мм
	сталь-сталь, | 0=77,382 мм	сталь-бронза, с=105,37 мм			
0 0,01 0,05 ; о,ю 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 ’ ' 0,96 0,97 0,98 0,99 1	0 0,22 0,73 1,47 8,93 6,09 9,08 12,33 16,8 24,6 38,6 79,4 160,2 201,0 269,8 ’ 412,0 928,6 0	0 0,091 0,62 1,09 2,79 4,19 6,11 8,68 12,3 17,5 27;5 - 56,5 114Д 143,0 191,8 • 292,1 642,1 0	0 0,01 ,0,05 ОДО 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,93 0,94 0,95 0,97 0,99 0 , •	—	0 0,21 1,04 2,08 4,28 6,71 9,57 13,2 18,2 26,1 41,7 97,0 189,3 190,5 175,3 117,8 41,2 0	0 0,15 0,74 1,49 3,05 4,79 6,83 9,41 13,0 18,6 29,6 67,1 133,9 149,6 142,5 98,5 34,8 0 	 »
тогда согласно (1.41) и (1.42) найдем
а
f Г (r 4-s) i^a2—t2t/T —--------—
J ,	fli + e2
—a
При любом значении момента Qk (см. рис. 1.7) должно быть
выполнено условие 2а<//2. С учетом других геометрических усло-
вий контакта [18] можно получить дифференциальное уравнение
( a2' I 'rd i
{т^-М+т)-
rf (g + 5) , g + В_____Z — n (р 4- у)
dy ~P + Y 2 (p 4- y)
(1.57)
— /г (0) a [cos % (n — %) + sin <?0] > -ф	9 sin3 <p0| - (1 • 53)
Из первого уравнения (1.49) получим
f z । j	/1(®)а2 о. sin3 /0	.. Су|.
\ p(X-\-b)xdx =------------------L0 .	(1.54)
J 1	гл^ + бг) з
~а
Подставив (1.&4) в (1.51), с учетом второго уравнения (1.49) и
соотношения 6=—acostpo+Xo получим
ri Г	asin3cp0	1
Л4=Р х0 — a cos % — ———— ---------------1.
L	3 (л — <р0 4- sm <р0 cos <j>0) J
одставив (1.55) в (1.50), окончательно получим
Р II — 2 [х0—cos <Ро--------Л‘.п --------11 — Qk=
I L ’	' 3(л — <f>0 + sin <p0 cos <p0) JJ
где n — ширина ползуна.
Решив совместно уравнения (1.49), (1.56) и (1.57), найдем
значения а, Р, р и д>0. Анализ решений этих уравнений показывает,
что для реальных конструкций (главным образом для направляю-
щих кривошипных прессов) [ЗСу, поэтому для оценки контактной
прочности ‘ направляющих можно ограничиться лишь решением
уравнений (1.49) и (1.56) при р = 0.
(1.55)
Таблиц» 1.2
Материалы ползуна и направляющих	R, мм	ф/Л	I	Рвах- МП«
Сталь-сталь Сталь-бронза	0,5	• 0,99365	1878
		0,99412 0,93520	1457 193
Сталь-сталь Сталь-бронза		 500	0,94010’	150
8
1®
Рта,. "Ла
Рис. 1.9. Зависимость ршах=Ф(/?, Д)
Рис. 1.10. Кривые распределения давления в зоне контакта направляющих пол-
зуна и станины при /?=0,5 мм (о) и 7?=0,5 м (6):
1 — материалы направляющх сталь-сталь; 2 — материал направляющих сталь-бронза
В качестве примера определим давление и размеры зоны кон-
такта для направляющих кривошипного пресса при следующих
исходных данных: материалы ползуна и направляющих—сталь-
сталь и сталь-бронза с упругими постоянными £Ст=206 ГПа; £сР=
=98 ГПа; vct=0,3; Тбр=0,33; Q=83333 кН/м, 1=2,5 м; л=1,9 mj
6=0,1 м.
20
Оис 1 11 Установка для приближенной
экспериментальной оценки контактных
давлений:
, ПОЛЗУН- 2 —станина; 3 —штырь; 4 и 5 —
нагрузочные клинья; 6-15 - тензорезисторы
Расчеты выполняем для раз-
личных радиусов закруглений
/?=Р2//(°)]-1 и зазоров А=у/,
считая, что рабочая длина на-
правляющих. ползуна при боль-
ших радиусах меняется незначи-
тельно и кромочный контакт ис-
ключен (см. рис. 1.7). В табл. 1.1
приведены значения контактного
давления в направляющих иссле-
дуемого пресса с зазором Л=
=0,5 мм. В табл. Г2 даны наи-
большие контактные давления в
исследуемых направляющих и со-
ответствующие им значения <р/зт
и R.
Анализ кривых на рис. 1.9,
1.10 и данных табл. 1.1 и 1.2 показывает, что максимальное давле-
ние в сильной степени зависит от радиуса R, область высоких дав-
лений очень мала и наибольшее давление возникает в зоне контак-
та вблизи угловых частей ползуна, а в незначительном удалении
от этих мест давление на натравляющие практически отсутству-
ет. Так, для сочетания материалов сталь-сталь при Д=0,5 мм и
различных радиусах R давления посредине участка контакта (см.
табл. 1.1) р^»12,3... 13,2 МПа, а у краев ползуна при /?=0,5...
500 мм наибольшие давления /д1гах~ 1878..-. 193 МПа. соответствен-
но (см. табл. 1.2). Такое Неравномерное распределение давлений
подтверждают результаты эксперимента, проведенного на установ-
ке, имитирующей силовое взаимодействие ползуна и станины (рис.
1,11). Приведем здесь показания тензорезисторов (в безразмерных
единицах при нагрузке Р=50 кН и А = 0,95 мм), наклеенных в
непосредственной близости от зоны контакта перпендикулярно на-
правляющим:
при расположении нагрузочного клина 5 слева
тензорезистор .	.	6	7_	8	9	10
показание ....	6,84	11,97 18,00 42,74	249,65
при расположении нагрузочного клина 5 справа
тензорезистор	. .	.	11	12	13	14	,15
показание .	. .	.	8,13	13,9	19,83	39,75	191,25
Результаты измерений подтверждают, что большая часть зоны
контакта очень мало нагружена, а на коротких участках ползуна
21
и станины в определенные периоды работы машины действуют
значительные контактные давления. Измерения этих давлений
трудно осуществить, так как ширина участка со сравнительно вы-
сокими давлениями составляет у стальных и бронзовых'деталей
лишь несколько микрометров.
Естественно, высокое давление может возникать лишь в неог-
раниченно упругих телах при малых радиусах скругления. В дей-
ствительности в этих местах возникают пластические деформации,
которые обычно не накапливаются и после некоторого числа цик-
лов нагружения материалы взаимодействующих тел -приспосабли-
ваются к упругому состоянию.
I
I
I
ГЛАВА 2	*
АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЙ
ПЛОСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ И УЧЕТ
МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЦИЛИНДРОВ
2.1.	СИММЕТРИЧНЫЕ И КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ •
С НАЧАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ ВДОЛЬ ПОЛОСЫ
4	ч
Для симметричной задачи, когда внешние силы приложены
вдоль плоскости симметрии, А+=А~=А; Ь^=0, согласно (1.14)
q(x)=q(—х) и смещение середины полосы 6 = 0, поэтому вместо
формулы (1.20) запишем
2А (Ь -|- л) Г. - о \	1 •	1 I sin (<р I ।
г ~2<Ро) cos ?+sin ? ln 15ш(У-ы I +
-f-sin%ln|tg^±^-otg^^^ ;
. 5=(A-|-a)sin ср^ —у-<<р<-у) ;	(2.1)
где
<p0=arcsin blb-^-a)-1.	_	'	(2.2)
Из условия ограниченности давлений найдем
(л — 2<р0) (2 sin2 Фо)"-1 ~ ctg 'Ро^ (°i + е2) (2А62)"1.	(2.3)
Итак, давление в любой точке зоны контакта определяют так:
по известной правой части выражения (2.3) вычисляет значение
<ро; при заданном значении" b по формуле (2.2) вычисляют значе-
ние а и по формулам (2.1) — давление в точке с заданной абсцис-
сой.	-
Это решение можно также использовать для определения дав-
ления при контакте двух упругих тел с закругленными краями,
если выполнено условие
/(2»Й-0)+72(^+0)=/1(-^-0)+/2(-^-0).	(2.4)
Область применения решения (2.1)—(2.3) можно расширить за
счет класса кососимметричных задач, для которых просветы справа
и слева от начала координат одинаковы, т. е. q(x)=q(—х). На
рис. 2.1-, а показаны такие варианты контакта тел.
Для плоского штампа с незакругленными краями f(x)==O, и
начальная ширина полосы контакта остается неизменной, т. е,
с=0. Вследствие этого из выражения (1.9) для указанного пре-
дельного случая получаем
р(х)=Р (л iZfc2—л2)-1.	(2.5)
23
Рис. 2.1. Схемы начальных контактов вдоль прямой линии
Рассмотрим контактную задачу о сжатии зубьев црямобочного
зубчатого (шлицевого) соединения (рис. 2.2). Эта задача является
плоской с начальным контактом вдоль полосы. Концы участков
контакта'—угловые точки, но для решения задачи выбираем рас-
четную схему с закругленными концами участков контакта (рис.
2.3), поскольку радиус закругления, равный нулю, технологически
выполнить невозможно. Кроме того, задача о сжатии упругих ци-
линдров с закругленными краямй является более общей.
Таким образом, для решения этой задачи (без учета скручива-
ния вала).следует исходить из того, что первоначальное касание-
гладких упругих зубьев осуществляется в плоскости хОу по неко-
торому отрезку оси Ох (см. рис. 2.3), равнодействующие сжимаю-
щих' сил проходят через середину этого прямолинейногсг участка
вдоль оси у, и зубья могут перемещаться лишь поступательно-,
вдоль этой оси. Здесь применимо решение (2.1) —(2.3) (оно спра-
. ведливо также для эвольвентных зубьев, высота которых незначи-
тельна по сравнению с радиусом кривизны их профиля). Эпюра
давления, соответствующая этому решению, приведена на рис.
11.3, а.	-
Такое распределение давления опасно с точки зрения износо-
стойкости и контактной прочности зубьев вследствие больших дав-
лений на границах участков контакта. При периодических нагруз-
24
Рис. 2.2. Форма пряма- Рис. 2.3. Расчетная схема для прямобочных
бочных зубьев зубчатого	зубьев зубчатого соединения
(шлицевого) соединения:
/ — вал; 2 — ступица
ках высокие напряжения у края детали часто являются причиной
возникновения трещин. Более приемлемо эллиптическое распреде-
ление давления, возникающее, когда начальный контакт происхо-
дит по прямой линии. При небольшой выпуклости одного из зубьев
несущая способность шлицевого соединения повышается, посколь-
ку вероятность кромочного контакте-, который в шлицевых соеди-
нениях возникает, например, вследствие неточности изготовления
зубьев, значительно снижена.
2.2.	СИММЕТРИЧНЫЕ И НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
С НАЧАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ ПО ЛИНИИ
Для симметричной задачи с начальным контактом' вдоль пря-
мой линии
Ь=0, Д+=Д-==Д = 0,5[/Д0)+/Н0)] .	(2.6)
Получим расчетные формулы для этого вида контакта. Выра-
жение (2.3) с учетом (2.2) представим в виде.
л —2<р0 —2 sin <р0 cos <Ро= ЛР (бг+^г) М (а + £)2]~’•
Поскольку <р0 = 0 при Ь = 0, получим
«=V2P (0! + 02) [/; (0) + /2 (0)]-1.	(2.7)
Согласно (2.6) и (2.7) А = Р(0i4-e2)а~2, тогда на основании
(2.1)'получим
р=2Р (ла2)-1 V^a2—х2.	' (2.8)
Таким образом, давление в любой точке зоны контакта и шири-
ну полосы определяем по формулам (2.8) и (2.7), которые следу-
ют и' из- решения плоской задачи Герца. Это решение можно рас-
25
Рис. 2.4. Схема контакта в начале (конце) зацеп-
кулачка' распределитель- ления зубьев цнлиндри-
ного вала с толкателем	ческих колес
пространить и на класс кососимметричных задач (см. рис. 2.1, а).
Для несимметричной задачи с начальным контактом по линии
Ь = 0, А+#=Д-, где
А+=0,5 [/;<0) + /Д0)] (х>0);
Д-=0,5[/;(0) + /Д0)] U<0).	(2.9)
Следовательно, функция fi"(x) + f2"(x) в точке начального кон-
такта О (см. рис. 1.1) имеет разрыв. Решение задачи Герца для
упругих цилиндров с начальным контактом вдоль их образующих
[48] получено из условия, что суммы fi'(x)+f2'(x) и fi"(x)+f2"(x)
не имеют разрыва в указанной точке. Рассматриваемый случай,
когда первая из этих сумм непрерывна, а вторая имеет разрыв,
также представляет практический интерес. Приведем примеры
контактов такого рода.
Кулачок распределительного вала касается толкателя какой-
либо из- точек А, В, С, D (рис. 2.4). Рассмотрим этот пример под-
робнее для точки А. В непосредственной близости справа и слева
от нее сумма кривизн	.
1>==/?(0)+/;(0)= 1/оо+ 1/гь= 1/г; Хл= 1/OO-J- 1/7?= 1//?.	(2.10)
Аналогично для точки О цепной передачи (рис. 2.5)
*«=1/^-W	(2.П)
В начале и конце зацепления пары зубьев эвольвентных цилинд-
рических колес возникает подобный вид контакта цилиндров, так
как вершина зуба в действительности представляет собой не угло-
26
вую точку, а некоторый участок с малым радиусом закругления.
Для этого контакта (рис. 2.6)
+ W *л=1/г+1>2-	(2.12)
В приведенных примерах распределение давления в зоне кон-
такта несимметрично относительно точки начального контакта.
Действительно, просветы, симметрично расположенные справа и
слева от начала координат, согласно (1.13) и (2.5)-т(2.7), неоди-
наковы, ибо При A+^A~q(x)=£q(—x). Середина полосы контакта
в. данном случае сместится на величину д и решение задачи (1.20)
примет вид
_____	—в
Р(И8)Д Ч^..^ л-fi+S) ( -7 ё--------------+
L	—а
— 6	а	а	-
4-л- f гdx—ЬА+а-Н) f —-------------------М+- f —..•
J /в2_т2~	1 ' J /д2_т2(т-£) J уа2-т2
—а	—8	— 8 .	• -
(2.13)
Использовав условия ограниченности давлений и вычислив ин-
тегралы в выражении (2.13), получим систему формул, определя-
ющих решение в рассматриваемом случае:
tg?o —	[С4+/Д-) — I]-1;	(2.14)
a=(sin (fop1 }ЛлР(91-|-02)[(Д+ — A-)tg<p0]-1; .	(2.15)
х=a (cos <р — cos ®0);	(2.16)
РWёТ {sin ?!А+%+А~(л — %)]+(“S'Т“соь %)X
Х<А+ — А~) In | sirr у Уо ^sin ~~2 ~ j * } •>	(2.17)
' Таким образом, давление в произвольной точке зоны контакта
с абсциссой х следует определять так: по заданным упругим по-
стоянным 01 и 02, геометрическим характеристикам контактирую-
щих тел вблизи места контакта А-+ и А~ и удельной сжимающей
силе Р вычислить <р0 и а по формулам (2.14) и (2.15) соответственно,
затем по формуле (2.16) найти значение ф, соответствующее задан-
ной абсциссе х и по формуле (2.17) подсчитать давление в указан-
ной точке.
Это решение применимо для задач о контакте цилиндров, пока-
занных на рис. 2.1, б.
Пример. Пусть материалы контактирующих Цилиндров (рис. 2.7) одинаковы,
т. е. Ei=.E2=E и Vi=V2=v. Согласно (2.9) 2А+=0,1937?-1; 2А~=3/?~*;
Л+/Д-=0,0643. Подставив значение А+/А~ в (2.14), получим <ро=2,3562 рад.
Согласно (1.6) и (2.15) с учетом равенства 6=—acos<p0 найдем (в мм) а=
= 2,28]/PR/E, 6 = 1,61}'РR/Е. Ran&e по формулам (2.16) и (2.17) в безразмерных
координатах строим эпюру давления (рис. 2.8).
27
Рис. 2.7. Форма направляющих Рис. 2.8. Эпюра давления • для контакта
нагруженных цилиндров	цилиндров, показанных на рис. 2.7
Если эпюра давления несимметрична относительно линии дей
ствия сжимающих сил, момент относительно произвольной точки
расположенной на этой линии, отличен от нуля. Этот момент (см
формулу (1.36)] сравнительно мал, поскольку смещение серединь
полосы б является величиной относительно малой, как и ширине
полосы. 2а. Однако если такой момент существует, необходимс
1„ предусмотреть устройства, препятствующие повороту тел.
Если на цилиндры не „наложены указанные связи, каждый иг
них, кроме поступательного перемещения, совершает некоторый
поворот относительно начала координат, в результате в зоне кон-
тактапроисходит перераспределение давления. Однако математи-
ческое выражение для определения давления остается прежним,
изменяются лишь формулы для определения-значений а и 6. По-
следние в этом случае получают из условия ограниченности давле-
ния, учитывая, что функция f(x), заданная выражением (1.8).
здесь совпадает с выражением (1.28). Таким образом,
tg?o+sin 2?о — 3<р0=Зл[(А+/Д-) — I]-1;	(2.18)
«=*= (sin сроГ1 /ЗРл (014-0^ [(Д+ — А~) tg <р0]-^;	(2.19)
rzcoscpo; '	(2.20)
3=4P(01-J-02)<2-1cos<po.	(2.21)
При заданных значениях Р, Qi, 62, Д+ и Д- по формуле (2.18)
вычисляют фо, по формуле (2.19)—ширину полоск контакта и по
формуле (2.17)—давление в заданной точке с абсциссой х, свя-
занной с углом ф соотношением (2.16); затем по формуле (2.20)
находят б и пб формуле (2.21) относительный угол поворота р.
Итак, рассмотренные решения применимы для контактов двух
видов: упругие цилиндры могут совершать лишь поступательные
28	-
Рис. 2.9. Эпюры давления при <р—
=.120° (буквенные обозначения кри-
вых соответствуют схемам на рис.
2.10, причем а! контакту первого ви-
да, д"— второго)
Рис. 2.10. Схемы контактов цилин-
дров первого и второго видов
перемещения вдоль оси у; упругие цилиндры могут совершать по-
ступательные перемещения и поворачиваться относительно начала
координат [34].	-
Согласно (2.17) запишем
/7(<Р)=2аД-^[л2(014-е2)]_1,	(2.22)
где
k= sin <р	<Ро+л — <Ро)+(cos <? — cos %)	— 1 j X
><ln|sin^tJt^sin't^oj_1|.	(2.23)
Так как множитель 2аЛп[л2(01 + О2)]-1 в формуле (2:22) не зависит
от абсциссы х или угла <р, то ординаты эпюры давлений пропорцио-
нальны k. Например, если при первом виде контакта значения. Л4*
и Л-таковы, что <ро=12О° и согласно (2.14) Л+/Л~=0,1795, то. по
формуле (2.23) для различных углов <р получаем следующие значе-
ния k:
Ф°............ 0	30	60	90	100	123	125
k,............ 0	0,354	0,656	0,876	0,946	1,322	.1,348 и т.д.
По этим данным в безразмерных координатах построены эпюры
давления при <р0=120° (рис. 2.9) для различных схем контакта
(рис. 2.10).
Если упругие свойства цилиндров одинаковы, формулу (2.22)
с учетом (2.15) и (2.19) можно привести к формулам, по которым
можно непосредственно вычислить максимальное давление. Для
контакта первого вида
/2тах=0,334^ах (sin /РЛ-£1(Л+7Л--1)(8<р0]-1; . (2.24>
для контакта второго вида
29»
Таблица 2.1
Вари ант	Форма соприка- сающихся цилин- дров			Максимальное давление рт^х				
I				'		*		
						P£(/?2+«4)		
				0,237feniaxn sin %	p/	d n Г ^2^4<^1 + ^?2)	,1 2^41^з№+/?4)- гТо		
	 -							
2	L-g.							
						PE(/?2+/?4)		
				0,237fenlax sin ?0	у	R’/Ri	T?2#4 (R3 — Ri) _ j . P1R3 (P2R4)	tg<Po
								
3				,-0,237/г„1ах ~1 sin ?0 1				
		Чу ''М'У	х>			PE(R4-Ri)		
						R2R4	^2^?4'(^?3 — Rl) j RiR3(P4 — R’R)	tg?O
4	ъу			Р,237*фах 1 sin <f0	1	/			
			Ц рч/\			RiRi\	, PEf/b-R^ P2 (R3 — Ri)	J _ Рз (.R2 — Ri)	J	‘£¥0
5	«			V 0,237Л|11аХ ~1 sin <fD 1	\^l			
			Sb>			PE^R^Ri)		
						PiP2	. ^3 (Pi +P2) t	tg%
6	4 $ /С?			0,237-femax. sin <f0				
						/ PE (Pt+P2)2 ' /	^2tg«Fo <		
7		Л		0,237femax "I sin ?0	/			
			4»			PE		
							P2-R1 x .1. L s2	
			wV					
8				0,237Лтах 1 sin <f0		Г	PE	 V	D Pj — Rl V	. Rr	tg<f,°		
								
30
Рис, 2.11. Зависимость йтах от
А+/Л- для контактов:
1 — первого вида; 2 — второго вида
Рис. 2.12. Расчетные схемы для зубь-
ев исследуемых колес:
а — контакт в начале или конце зацепле-
ния; б — контакт в полюсе зацепления
/’max=°«578^riax(sin%) '-/РА Е[(А+/А~— l)tg<p0] *.	(2.25>
В табл. 2.1 приведены формулы для определения максималь-
ного давления ртах в зоне контакта для различных вариантов кон-
такта цилиндров. Преобразуем формулы (2.24) и (2.25) для вари-
анта 5. Согласно (2.9) имеем
Л+ = _1_/_1_____1 \ ; ^3-^1 . л- _ 1 Г 1 ,1	/?1+/?2
2 (	/?3) 2RtR3 ’	2 I. /?! ‘ R2) 2RxR2
(2.26>
Подставив значения Л+/Д- и А~ в формулы (2.24) и (2.25), полу-
чим для контакта первого вида
_0,237^пах -1 / Р£(/?! + /?2) Г(/?3- RJ/?2	л-1	2 27
sin% г RtRztgvo	J
Здесь фо и kmax определены по формулам (2.14), (2.18) и (2.23)
при известных значениях отношения А+/А~. Кривые изменения
kmax приведены на рис. 2.11.
Для контакта второго вида также справедлива формула (2.27) г
в которой коэффициент 0,237 следует заменить коэффициен-
том 0,41.
Соотношения, справедливые для особых случаев контакта ци-
линдров, могут быть использованы д*ля определения давления в
зоне контакта, когда один из цйлиндров выполнен со срезом»у
начала координат, в частности для определения давлений в начале
или конце' зацепления пары зубьев цилиндрических колес (если
возможен кромочный контакт). Так как в действительности угло-
вые точки не могут быть выполнены, будем рассматривать верши-
ну зуба как некоторый участок с очень малым радиусом закругле-
ния. Для упрощения расчета примем конкретные исходные данные:
числа зубьев прямозубых цилиндрических колес Z!=22 = 30, модуль-
31
.т=8 мм, угол зацепления а=20°, материалы колес одинаковы с
v—0,3.
Для указанных исходных данных.получим
г ^(Д+/Д-) [0,0638-0,0474 (Д+/Д-)]-1.	(£28)
Зубья колес не могут самопроизвольно поворачиваться вокруг
точки О (рис. 2.12), поэтому следует принять, что в начале или в
конце зацепления возникает контакт первого вида. Тогда по фор-
мулам (2.14) и (2.28) для.<ро='12Ор получаем Л+/Л~=0,1795 и г=
= 3,25 мм. Затем по формуле (2.23) вычисляем /?тах= 1,358 и по
формуле (2.24) находим ртах-
2.3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ
МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ '
Поверхности деталей машин после обработки не являются иде-
ально гладкими, так как режущие кромки" инструментов и зерна
шлифовальных кругов оставляют .на поверхности следы в виде
неровностей и гребешков с относительно малыми шагами. Сово-
купность неровностей на рассматриваемой поверхности называют
шероховатостью. Поскольку качество поверхности существенно
вдияет на эксплуатационные показатели машин, при решении кон-
тактных задач необходимо учитывать шероховатость поверхностей.
В зависимости от задачи исследования применяют различные
способы учета шероховатости поверхностей. Так, при оценке кон-
тактной прочности, в значительной мере зависящей от фактиче-
ской площади касания, размера контактных пятен, сближения по-
верхностей и других факторов, неровности моделируют в виде гео-
метрических тел определенной конфигурации, чаще всего принимая
сферическую модель [10]. На основании результатов исследований,
проведенных на выбранной модели, определяют параметр дискрет-
ного контакта.
' - Оценим влияние шероховатости поверхностей на решение зада-
чи о сжатии цилиндров с начальным контактом вдоль .прямой
.линии.
Перемещения двух произвольных точек негладких поверхностей,
.которые после приложения нагрузок совпадают, должны удовлет-
ворять условию (1.5). Кроме того, вследствие местных деформаций,
предопределяемых микрогеометрией поверхностей цилиндров,
возникают дополнительные нормальные перемещения, которые
можно оценить количественно с помощью расчетной модели осно-
вания, предложенной И. Я. Штаерманом [48].
Вследствие шероховатости поверхности- сплошность наружных
слоев контактирующих цилиндров нарушена, поэтому можно счи-
тать, что вертикальное перемещение произвольной точки, вызван-
ное давлением р(х), складывается из упругого смещения, опреде-
ляемого формулами теории упругости для сплошной среды, и мест-
ного перемещения kp(x), т. е.
32
®i = 6i С р (/) In-i-dt-\- к^р (x) const;
J H — -*1
s	(2.29)
®2— 62 f p(t) In ‘---dt -}- k2p (x) 4-const,
J I —x I	_
s -	*
где &i и kz — коэффициенты контактной податливости, зависящие
от шероховатости поверхностей цилиндров; |х| «а.
Подставив выражения (2.29) в (1.5), получим интегральное
уравнение для решения симметричной задачи
kp (х) — (614-бг) J /ДО In 1 t—х | dt = a — Ax2, (2.30)
" —a
где	/г—£14*^25 Л—0,5 [/i (0)f2(0)] •
Продифференцировав почленно уравнение (2.30) по х, исклю-
чим из' рассмотрения постоянную а:
-1
f ^-ds=*-2Aay ( | у | <1),	(2.31)
J S — y
—1
где z=to-1(6i4-e2)-1; y=xa~u, ?(y)=(614-e2)/?(x).
Уравнение (2.31) следует дополнить условием
i
Pa~1(614-62)=.V=j 4(s)ds,	(2.32)
где P —сжимающая сила.
Решение интегрального уравнения (2.30) известно [2]. Для иссле-
дования интегрального уравнения (2.31) применяем метод ортого-
нальных многочленов [26], а именно ищем решение уравнения
(2.31) в виде ряда
. <Р (У)=2 а«р2« (у)’	<2-33)
п=0
где Рт(у) — полиномы Лежандра.
С учетом ортогональности полиномов Лежандра получаем
=2а0. Далее найдем [9]
со
У(Ю=-^йл^2и(Ю(1-!/2)-1/2; у=—^Ркууа-у2)-1^, ‘
пШ1
1 °°
f ^-rfs=2V\a„Q2n(y),	.	(2.34)
J S-у
— 1	n=0
33
k '	Элементы матрицы bhn при n					e*	
	1	2		4	5		
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,47222 —0,23264 —0,05694 —0,02758 —0,01663 -0,01122 —0,00812 —0,00616 —0,00484 —0,00391	—0,04158 0,22833 —0,104'34 —0,0253’5 —0,01240 —0,00758 —0,00519 —0,00380 —0,00292 -0,00232	—0,003'14 —0,03449 0,'15485 -0,06630 —0,01575 —0,00766 —0,00468 —0,00321 —0,00237 —0,00183	—0,00068 —0,00375 —0,02952 0,11806 —0,04810 —0,01116 —0,00537 —0,00327 —0,00224 —0,001'65	—0,00022 —0,00097 —0,00371 —0,02545 0,09545 —0,03760 —0,00857 —0,00408 -0,00247 —0,00169	1,37500 1,08333 . 1,037'50 1,02143 1,01389 1,00974 1,00721 1,005'56 1,00441 1,00359	1,20000 2,22222 3,23077 4,23529 5,23810 6,24000 7,241'38 8,24242 9,24324 10,2439
где Pmv(y) — присоединенные функций Лежандра; Qm(y) — функ-
ции Лежандра 2-го рода.
Подставив (2.34) в уравнение (2.31), получаем
' со	со
anQ2n(y)VT^^NQ0(y)^r^=
П=1	П=1
— АаР^у).	(3.35)
о
Умножим соотношение (2.35) на (у) (k 1) и проинтегри-
руем по у в пределах от —1 до 1. Использовав соотношение [9]
Qm-1 (y)-Qm+i(y)=(2m-^ 1)/1 —y2Qm(y)	(2.36)
где Qmv(у) — присоединенные функции Лежандра 2-го рода, а так-
же
интегралы (m>l, i>l, fe>l) [9]
О при т
при т—1
РМ (У) У
VT^2
J Pm(y)P\(y)dy=
—1
f <Л. W p', w	; 
J	(i — m) (i -b m -b 1) (m — 1) !
—i
i	______ i
J PlHy)Q0(y)/l-y2rfy=^ “J P2ft(y)Q?(y)dy-
i	i
f Рм(У)Qi(У)dy + f Pm(y) ydy= 	- 42>
—1 ‘ —1
(2.37)
|34
Таблица 2.2
k	Элементы матрицы bhn при п					ck	
	6	7	8	9	10		
1	—0,00009	—0,00004	—0,00002	—0,00001	—0,00001	1,37500	1,20000
2	—0,00035	—0,00016	—0,00008	—0,00004	—0,00002	1,08833	2,22222
3	—0,00107	—0,00042	—0,00020	—0,00010	—0,00006	1,03750	3.23077
4	—0,00350	—0,00108	—0,00044	—0,00022	—0,00012	1,02143	4,23529
5	—0,02226	-0,00325	—0,00105	—0,00045	—0,00023	1,01389	5,23810
6	0,08013	—0,01973	—0,00300	—0,00100	—0,00044	1,00974	6,24000
7	—0,03082	0,06905	—0,01769	—0,00278	—0,00096	1,00721	7,24138
8	—0,00692	—0,02608	0,06066	—0,01603.	—0,00259	1,00556	8,24242
9	—0,00326	-0,00579	—0,02260	0,05409	—0,01464	1,00441	8,24324
10	—0,00196	-0,00271	—0,00497	—0,01993	0,04881	1,00359	10,2439
получим относительно коэффициентов ап- разложения (2.33) сле-
дующую бесконечную алгебраическую систему:
---^-АаЪ1к (£=1, 2,...);
n^l
_ 2fe(2fe+ 1)	. ,	•	3_________.
’ * k 4A+1	. k + 2(2* — 1)(2* 4-2) ’
b _	1 Г__________________t + (2n) I
k" 2n(2n4-l) [ (2й — 2n 4-1) (2й 4-2r) (2n — 2)!
1 4“ (2n + 2)!	1
— (2n — 2* + 1) (2* 4- 2n 4- 2) (2n)l ] *
(2.38)
Здесь 6,/ — символ Кронекера.
При 1/5 для решения бесконечной системы (2.38) достаточ-
но эффективен метод редукции. В табл. 2.2 приведены значения
элементов матрицы бЛя, а также значения Ck и dk. Связь между
безразмерной силой N и произведением Аа (т. е. уравнение для
определения полуширины а зоны контакта) найдем, решив систему
(2.38), из условия
<р(± 1)==2 «п + 0«5ЛГ=0-	(2.39)
и=1
При я< 1/5 приближенное решение уравнения (2.31), удовлетво-
ряющее условиям ср(±1)=О и (2.32), можно представить в виде-
<р(г/)=2л"*Ма	1— z/2 [-1 — хс^— MZ3(0,5-|-f/2)];	(2.40)
аг л /i	3	Л	12	15	15	20
N = Аа 11—xcti----------ха3 ; а1 =--------; а3= —------------
\	4	)	Я	-4	2	л
35
Погрешность формул (2.40) не превышает 5%. Для идеально
гладких поверхностей сжимаемых упругих цилиндров х=0 и фор-
мулы. (2.40) дают классическое решение.
В реальных условиях параметр х обычно мал. Ддя его опре-
деления находят сначала параметры шероховатости Ra и Rz} ха-
рактеризующие среднюю высоту всех неровностей профиля и сред-
нюю высоту наибольших неровностей. Затем приближенно вычис-
ляют коэффициент податливости k [47]. Например, для стальных
цилиндров с Е—210 ГПа, v—0,3 и Ra= 1,25...2,5 мкм в'качестве
первого приближения принимают &]=&2= 10-10: м3/Н. Задав и, в
соответствии с выражением (2.31) находят значение х. Так, при
а=0,2 мм х=0,018. На основании формул (2.40) можно заклю-
чить, что для заданной шероховатости решение контактной задачи
практически совпадает с решением, полученным для идеально
гладких поверхностей.
В заключение отметим, что в настоящее время активно разви-
вается нелинейная теория учета шероховатостей контактирующих
поверхностей [8, 19]. Выводы этой теории в качественном отно-
шении совпадают с вышеизложенными.
ГЛАВА 3
ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ СЖИМАЕМЫХ ЦИЛИНДРОВ
ВБЛИЗИ МЕСТА ИХ КАСАНИЯ
3.1.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НОРМАЛЬНЫХ
И КАСАТЕЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ, РАСПРЕДЕЛЁННЫХ ПО ПОЛОСЕ
КОНТАКТА
Наибольшие контактные напряжения обычно возникают в де-
талях. машин, изготовленных из легированных сталей, т. е. из
. пластичных материалов, для которых наиболее приемлемы сле-
дующие гипотезы пластичности:
наибольших касательных напряжений (условие пластичности
Треска — Сен-Венана);
потенциальной энергии формоизменения (условие пластичности
Мизеса).
Различными исследователями применительно к контактным за-
дачам проведены подробные вычисления для выявления наиболь-
дпих эквивалентных напряжений по этим, а для хрупких мате-
риалов— и по другим гипо'тезам.
При произвольном распределении нормальных и касательных
напряжений по поверхности контакта выражения для компонент
напряжения можно получить из решения задачи о приложении
сосредоточенной силы к границе упругой полуплоскости [43].
Если эта сила перпендикулярна к границе (рис. 3.1, а), распре-
деление напряжений’ является простым радиальным. При этом
элемент А, расположенный на расстоянии г от точки приложения
Рис. 3.1. Кривые распределения давления р(.х)н касательных напряжений q(x)
по поверхности контакта
37
силы, сжат в радиальном направлении, окружное нормальное од
и касательное тге напряжения равны нулю, т. е.
ог=—2Р(лг)~1 cos 6; ое—0; тге=0.	<3.1)
Эти напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия, усло-
виям совместности и граничным условиям, если исключить из раЬ-
смотрения точку приложения силы. Перейдя от полярных коорди-
нат к прямоугольным, получим из выражений (3.1) следующие
компоненты напряжения:
2Р х2у	2Р уз
Л (х2+г/2)2 V	л (х2 + г/2)2
2Р ху2
ху	Л (х2 + «/2)2
и для плоской деформации
°г = ^(°х + а//Е 
(3.2)
(3.3)
где Ох, (Уу и о2 — нормальные напряжения; тху — касательное на-
пряжение.
Если к цилиндру приложена нагрузка, распределенная вдоль
некоторого участка (—db й2), напряжения в произвольной точке,
поверхности согласно выражениям (3.2) и (3.3) можно вычислить
по формулам
2_(-	.
«J [j/2+(*^O2]2
fp(O----——- ;
J [j/2 + (x-O2J2 •
—d,
(3.4)
y2(x-g)de .
[//2 + (х- о-’]2’
az = ^ (ал + °</)-
Относительное скольжение деталей машин обычно сопровож-
дается их изнашиванием, интенсивность которого зависит от кон-
тактного давлейия. Следовательно, в зоне контакта кроме нор-
мальных возникают касательные напряжения, которыми во мно-
гих случаях пренебречь нельзя. Такие напряжения появляются
также при качении цилиндров, при буксовании ходовых колес
и т. д. Их необходимо учитывать'при расчете зубчатых'передач,
кулачковых муфт и направляющих станков, значительная часть
энергии на перемещение которых расходуется на преодоление сил
такого рода.
Уточненные расчеты деталей машин с учетом касательных на-
пряжений проведены главным образом для начального контакта
в'виде прямой линии; наиболее полно такое исследование прове-
дено М. М. Савериным [-36].
При действии на цилиндр лишь горизонтальной касательной
силы Qx распределение напряжений также является простым pa-
ss’
диальным [43]. Компоненты напряжения в этом случае можно
получить из выражений (3.1), если cos6 заменить на sin 0, и Р
на Qx. Если касательная нагрузка также является распределенной,
составляющие напряжения в прямоугольной системе координат
(X-£)3rf£
[(х_£)2+г/2]2
(* — е) .
[(х-$)2+Г/2]2’
(3.5)
« . .1	((*-Е)!
—dv

где q — интенсивность касательных сил.
Наряду с решениями, приведенными в гл.' 2, значительный ин-
терес представляют решения, полученные для равномерного рас-
пределения давления, при котором износ деталей машин является
наименьшим. Рассмотрим этот наиболее простой случай для глад-
ких тел, когда р (х) =ро= const.
Для произвольной точки М (х, у) под зоной контакта по фор-
мулам (3.4) получим
(arctg-^- +arctg -Ь-Ц----------^(^-Д...-
л- k s у 1 S У )	Л[(Х2 + у2-Ь2)2+Ы2у1\
(3.6)
а =—^(arctg-^+arctg	. 26т (*2 ~ У2-/2).
У	Л \	& У {	У )  Л [(х2 + у2 - 62)2,+4621/2J г
т _____________4bxy2pG /	.
ху	Л [(х2 + У2 — 62)2 4- 462^2] ’
где —b и b — абсциссы границ участка контакта цилиндров.
Посредине полосы контакта в плоскости х=0 напряжения ох.
Оу и oz являются главными; кривые их изменения вдоль оси у
показаны на рис. 3.2. В общем случае главные напряжения опре-
деляют по формулам
а' = ог; д"=0,5(ад.-|-зг/)-]-0,5'|/(ах —аг/)24-4т%;
.	 (3-7)
a,/z=0,5 (a^-J-a^) —0,5	— ау)2~^4тху.
39
Рис. 3.2. Кривые изменения главных напряжений
в ПЛОСКОСТИ Л'=0
Эквивалентное напряжение определя-
ют согласно гипотезе наибольших каса-
тельных напряжений
аэкв = 8ир(|а' — а"); |б" —а"'|; |а' —а"'|)
(3.8)
либо гипотезе потенциальной энергии
формоизменения
=/0,5 [(а' - а")2 + (а" - а'")2 _|_- а'")2].
(3.9)
Здесь для главных напряжений введены
обозначения о', о" и а'", отличные от об-
щепринятых, поскольку их значения до
расчета неизвестны. -
Наибольшие значения эквивалентных напряжений вычисляют
по формулам (3.6)—:(3.8):
а9квтах~О,64ро. при 1/^Ь;
<?эквтах~О,59ро ГфИ 1/^0,95Й.
(3.10)
3.2.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ КОНТАКТА
ЦИЛИНДРОВ
Напряжения под полосой контакта определяют на основании
решения задачи Герца для симметричного контакта с начальным
касанием по линии. Однако эти формулы применимы не всегда.
Так, для определения напряженного состояния в зоне, контакта
толкателя е кулачком в точках А, В, С или D (см. рис. 2.4) 'не-
обходимы дополнительные исследования, основанные на решении
для особого случая. Для гладких цилиндров, например, компо-
ненты напряжения определяют по -формулам (3.4) с пределами
интегрирования —d\ =—а+6, (/2 = 0+6, соответствующие главные
|И эквивалентные напряжения по формулам (3.7.)—(3.9).
Рассмотрим контакт стальных цилиндров (Е\=£2=210 ГПа,
vi=V2 = 0,3). Дл-я-определения напряженного состояния используем
расчетные формулы (3.8) и (3.9). Принимаем параметры асим-
|Метрии распределения давления: для контакта первого вида
А+1А~ = 0,179; 0,435; 0,644; для контакта второго вида А+/А~=
1=0,180; 0,414; 0,719. Проведем подробный расчет для контакта
первого .вида при +771-=0,179 и <ро=2,0944 рад [см. формулу
(2.14)]. Перейдя в интеграле (3.4) для ох к безразмерным коорди-
40
натам т=!;/а; и=х)а-, v=yfa, с.учетом равенств (2.15) и
получим-
(2-18)
аЛ=—233800Да
1,5
j [1,4221/1-(т-0,5)2-
—0,5 L
0 821т 1 n I sin ^0’5 arccos (т ~ 0-5) + 1 ,Q472] 11
’	|’ sin f0,5 arccos (т — 0,5)— 1,0472] |J
v (и — т)2 dx
[V2 + (U — Т)2]2
(3.11)
Проводя аналогичные вычисления для остальных значений
А+/А~, для контактов первого и второго вида окончательно
получим
Д	й>Я	— <02
,_Г у («—т)2^т	С wv3dx
J [t,2 + (u_T)2]2 У J [v2 + (a_T)2]2	{3
СО 2
; ».=<>,3fc+»,>.
J И + <Й - T)2j2	1	Л У
0>i
где, например, для Л+/Д_=0,179
w = -233 800а Д~[1,4221 /1 - (т — 0,5)2—
-0,821т In I-	[0.5arccos (т-0,5) + 1,0472] П
I sin [0,5arccos (т —0,5) — 1,0472] |]
и пределы интегрирования coi——0,5; „102= 1,5.
Задача определения компонент напряжения, а также наиболь-
ших эквивалентных напряжений сводится к вычислению интегра-
лов (3.12) на ЭВМ. Действительно, для стальных цилиндров
упругие постоянные 0/ и 62 и йх геометрические характеристики
в месте контакта Л+ и А- являются известными, и при . заданной
сжимающей силе Р по формулам (2.14)—(2.17) можно опреде-
лить значения <р0 и а. В основу программы расчета для контакта
первого вида положены формулы (3.12), (3.13) (и аналогичные
последней), а также (3.7) — (3.9). Таким образом получены наи-
большие значения оЭкв и аЭкв и безразмерные координаты соответ-
ствующих им точек и и V.
Рис. 3.3. Зависимость <тОвв =
=((4+М_) при Et=£2=210 ГПа
для контактов:
1 первого вида; 2 — второго вида
4!
Рис. 3.4. Эпюра давления для сим-
метричной задачи с начальным
контактом вдоль пцлосы
В аналогичных расчетах,
проведенных для контактов
второго вида, рассмотрена
зона —а+6<х<а+б; 0<
Кривые зависимо-
сти Оэкв=/(Л+/Л-), постро-
енные по результатам этих
вычислений, приведены на
рис. 3.3. Анализ графических
зависимостей показывает,
что при Л+<Л- (Л- фикси-
меньше, чем при А+.=А-
(контакт симметричный). Таким образом, эквивалентные напряже-,
НИЯ Оэкв И G экв являются наибольшими при симметричном контак-
те. Следовательно, контактную прочность цилиндров необходимо
проверять не в точках асимметрии давлений (точки Л и О на рис.
2.3 и 2.4), а в-местах с симметричным распределением давлений
и наибольшей суммарной кривизной. Так, наибольшие эквивалент--
яые напряжения возникают при контакте торцовой части толкате-
ля с точкой кулачка, расположенной правее точки Л (см. рис. 2.4),
при контакте ролика и зуба звездочки: левее точки О (см. рис. 2.5).
3.3.	ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
ДЛЯ СИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ
С НАЧАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ В ВИДЕ ПОЛОСЫ
Пусть гладкие цилиндры с направляющими, симметричными
относительно оси у, до приложения нагрузок касаются вдоль по-
лосы шириной 2Ь. После приложения сжимающих сил, направлен-
ных вдоль оси у, ширина полосы увеличится на 2а (рис. 3.4).
Определим напряженное состояние вблизи мест контакта на ос-
новании решения, приведенного в гл. 2, а также решения о при-
ложении распределенной нагрузки к границе полуплоскости.
Теоретическое определение нпряжений вблизи мест контакта.
Напряжения в точке с координатами х,'у вычислим по формулам
(3.4), в которых пределы интегрирования —c?i=—а—b, d2=a+b.
Рассмотрим случаи, когда sin <р0=0,2588; 0,5000; 0,7660; 0,9703. Для
sin <р0=0,2588, подставив выражение (2.1) в первую формулу - (3.4)
и приняв |= (а+&)т; х= («+&) щ у= (a+b) v, получим
ох=- 0,129
1
А {а + Ь) С
61 + 62 J
—1
2,618 т/Т^т2ф-т In
s'n (arcsin т+0,2618)
sin (arcsin т—0,2618)
1+
42
-I 0 2588In It arcsin T + 0.2618 f arcsinr —0,2618 11 v(u — x)2dx
’	|Ig	2'	g	2	/	|][v2+(u —r)2]2 '
(3.14>
Проведя аналогичные вычисления при всех указанных значе-
ниях sin фо, представим компоненты напряжения в виде
1 1
Р , „ v(u — т)2 dx -	С , . tftdx	,
а, = с	; а —с |w„(T)-----ч--------- ; (3.15>
j [v2-(«-T)2}2 у . J П \[v2 + (4-.T)2]2’
1
С z х «2.(и— x)dx	,	.
Т = С \W„ (Т)----Л----; а = v (а -4-а ).
У J [V2 + (и- т)2]2 Z Х 1 У’
Здесь
£=—0,129Л (а-фй)(01-ф62)“1; А=0,5 [/(6)-ф/ЛЬ)] ;
Wn=en/ j—f2 +1 ln I Jsin (arcsin т +/„). I
| sin (arcsin x — fn) |
, i+g-i-'h""T- tg "“I"»-/» ,
где
£1=2,6180; £2=2,0944; e3= 1,3963; £4=0,4887; fi = 0,2618; fi=0,5236;
f3=0,8727; f4= 1,3265; gt =0,2588; g2.=0,5000; g3 = 0,7660; g4=0,9703.
Ha основании формул (3.15) и (3.7) — (3.9) составлена про-
грама расчета на ЭВМ главных о', о", о'" и эквивалентных (»акв,
Сакв' напряжений. С помощью этой программы исследована зона
контакта —1,2 (а+&)^х^С1,2 (а+b); О^г/^1,5 (а+Ь).
Наибольшие эквивалентные напряжения определены по фор-
мулам	-	
шах аэкв=£j А (а -}- Ь)/^ -ф 02);
шах о'экв=с^А (а ф- Ь)/^ -ф 62).	(3.16)
Некоторые результаты вычисления коэффициентов Ci и £2, входя-
щих в формулы (3.16), приведены на рис. 3.5 и в табл. 3.1. В табл.
3.1 даны также безразмерные координаты точек, в которых экви-
валентные напряжения максимальны. При 6 = 0 £1=0,382 и с2=
= 0,355.
Пример. Пусть цилиндр вдавливается в упругую полуплоскость (£1=В2=
= 210 ГПа, Vi=v2=0,3) распределенной силой Р=2000 кН/м (рис. 3.6).
Для симметричной задачи Д+=Л-=Д=0,5(1/Д+;1/оо) =8,34 м-1, откуда
по формулам (2.2) и (2.3) <ро=0,9425 рад и Ь](а+ Ь) =0,809. Так как в рас-
сматриваемом случае Л(а+6)/(01+02)=б6ОО МПа, то по кривым на рис. 3.5
получаем о8КВ тах=294 МПа, о'экв max — 258 МПа.
Экспериментальное определение напряжений' и перемещений
вблизи зоны контакта. Теория контактных задач получила в на-
43
Рис. 3.5. Зависимости ко-
эффициентов С] И С2 от
отношения b/(a+b)
3.6. Схема контакта ци-
линдра с упругой полу-
плоскостью
стоящее время -Значительное развитие [27, 39]. Эксперименталь-
ные исследования на натурных моделях вследствие их сложности
проведены лишь для ограниченного числа случаев. Такие экспери-
менты обычно сводились лишь к измерению размеров зоны кон-
такта или определению действительного сближения тел при
сжатии. Известны эксперименты, в которых в результате прямых
измерений получены перемещения и деформации [25]. Приведем
описание экспериментов по частичной проверке решения плоской
контактной задачи и определению смещений непосредственно в
зоне контакта.	’ ’
Для проверки решений контактных задач можно использовать
результаты измерений не только в зоне контакта, но и в ее ок-
рестности. При решении задачи о плоской деформации стальных
деталей, когда начальный ^контакт происходит вдоль прямой ли-
нии, такая проверка невозможна, так как ширина полосы-контак-
та, которая образуется после приложения нагрузок, почти на
пбрядок меньше' наименьшей базы тензорезистора. В связи с этим
в качестве объекта исследования ’быЛа' выбрана пластина (рис.
Таблица 3.1
sin (р0		Координаты точек ,с °экв max		С2	Координаты точек с G экв max	
		и	V		и	V
0,2588	0,240676		0,588	0,219604	±0,795	0,424
0,5000	0,151693	! 1	0,372	0,435658	±0,891	0,240
0,7660	0,066472		0,160	0,058454	±4	0,161
0,9703	0,008082		0,037	0,007075	±1	0,037
44
3.7), у которой ширина прямолинейной части равна 20 мм, а кри-
визна на границах конечна и одинакова. Контрдеталь соответст-
вовала упругой полуплоскости. Поверхности контакта и места
перехода прямолинейной части' в криволинейные были тщательно
притерты и окончательные размеры проверены на  специальной
установке. На пластину были наклеены прямоугольные розетки
I и IV—VI тензорезисторов с базой 5 мм и в местах, в которых
направления главных напряжений известны, розетки II и III двух
таких же тензорезисторов. Симметрично расположённые розетки
были использованы здесь для контроля приложения нагрузки вдоль
геометрической оси. Сжимающую нагрузку Р=2000...8000 кН/м соз-
давали на прессе.
Если одну из сжимаемых пластин (нижнюю) можно' рассматри-
вать как упругую полуплоскость, а. кривизна на концах участков
контакта другой „пластины конечна и одинакова, давление опре-
деляют по формулам (2.1) — (2.3), причем A = 0,5/R, где R— ра-
диус кривизны верхней пластины.
При Е|=Е2=200 ГПа; vi=.V2=0,3; /?=50 мм; Ь = 10 мм и ука-
занных нагрузках были вычислены угловые параметры контакта
<ро, увеличение ширины полосы 2 а, давление р (х) в различных
. /	’ ’	45
р(х), МПа
Рис. 3.8. Кривые распре-
деления давления р(х)
по поверхности контакта
и эпюры нормальных на-
пряжений Оу вдоль ли-
нии d—d при нагрузке,
кН/м:
I — 2000; 2 — 4000: 3 — 6000;
4 — 8000
точках'зоны контакта и ho формулам (3.4) определены компонен-
ты напряжений вдоль линии d—d (рис. 3.8). Так, при Р=
= 6000 кН/м получено: <ро=И,0987 рад; «=1,2287 мм и для х—
= 5 мм и у=4 мм (розетка V) ау=—218 МПа. В этой же точке из-
мерены деформации: ец =—530-10“6; е12= 103,5-10~6;	е13=
=—1060-10-6. Здесь в индексах указаны номера тензорезисторов,
показанных на рис. 3.7. Так как главные напряжения [40]
°1—13 “И ГТ-(е12~е1з)2 + 2 [6П ~ (е12 + е13)|2| ;
2(1 — V 1 + v	J
02 = —|	--->//'(е12~е1з)24-[2Е11 — (е12 + е1з)12| 1 (3-17)
tg 2а — — [2еп — (е12 -|- е13)] (е12 —	1
(а — угол наклона напряжения о2 к линии действия сил), тр О; =
=—47 МПа, а2=—227 МПа, откуда су=—225 МПа.
Расчетные напряжения в точке III отличаются от измеренных,
поскольку рассматриваемая пластина недостаточно точно отра-
жает свойства упругой полуплоскости. Действительно, если счи->
тать эту точку удаленной, то ой=—2Р/(лг), где г — расстояние
от начала координат до точки III. По этой формуле для указан-
ных нагрузок получены следующие напряжения су в горизонталь-
ной площадке, МПа: —61,5; —123; —184,5; —246. В результате
измерений найдены следующие знамения напряжений оу, МПа:
—63,5; —136; —199; —266.
46
Кроме того, было измерено смещение в средней точке зоны
контакта верхней плиты' для чего был использован измеритель-
ный преобразователь в виде струны из константана диаметром
40 мкм. Один конец преобразователя с поверхностью, изолирован-
ной тонким слоем клея БФ-2, был приварен к верхней плите у
зоны контакта, другой припаян к медной пластине (см, рис. 3.7).
Перед пайкой проволока была растянута до напряжения 220 МПа.
После приложения контактной нагрузки предварительно растяну-
тая проволока укорачивается,. в результате чего изменяется ее
электрическое сопротивление. Преобразователь был включен в
схему моста с заземленной точкой приварки. Градуировку выпол-
* яяли способами, отличными от способов градуировки наклеивае-
мых тензорезисторов [25, 41].
Расчетное смещение w точки зоны контакта относительно сме-
щения точек сечения I—I при нагрузке Р=.6ООО кН/м составило
30 мкм, смещение, полученное при измерении, отличается от этого
.значения на 12—17%. С увеличением расстояния сечения Z—I от
зоны контакта смещения w, как показывают измерения, логариф-
мически возрастают, что согласуется с теорией Герца.
3.4. НАПРЯЖЕНИЯ ПОД ПОЛОСОЙ КОНТАКТА
ДЛЯ СИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ
ПО ЛИНИИ
Решение симметричной задачи (при А+=А~—А) совпадает с
решением Герца, которое согласно (2.7) и (2.8) можно предста-
вить в виде
(3.18)
(3.19)
(3.4) с уче-
р=рйа 1 а2—х2; а=уР(в1-^в2)А
po=p(0)=2f>/jta.
Приняв |=от; х=ащ у=аи, на основании формул
том (3.18) получаем
а =—0,6366/70 (^Г^т2 v(u~ 'c)2^-
Х	J	[v2 + («-T)2]2
—1
<
в = -о,6366/70 С/Т^т2—-------------
у	J	rv2 + (U_T)2 2
(3.20)
<«=-o.6w«
’ 1
47
В основу программы решения симметричной задачи, когда
А+=А~ и цилиндры гладкие, положим формулы (3.7)—(3.9) и
(3.20). В результате расчетов находим оЭкв=0,6004 р0; «1 = 0;
Oi=0,8;a'SKB =0,5575ро; «2=0; «2=0,7.
Для негладких цилиндров составляющие напряжений для эле-
мента с координатами х, у, вызванные давлением р (х) и поверх-
ностными касательными напряжениями q(x) =fp(x):
y(x-e)2 + (x-o3r ~
(3.21)
уЦх~ €)+у(х-е)2/
[У2 + (X - е)2]2
dt.
Перейдя в выражениях (3,21) к безразмерным координатам,
получим окончательные выражения для компонент напряжений с
учетом сил трения
ол=-о,6366А	(«-тЯг+(Ц-т)/]
J	[v2 + (K-T)2]2
а = -0,6366/70 [/Т=т2 [« + (И-т)/]у2
У	У	И + («-т)2]2
—1
48	*
txy=—0,6366р0 С У1 — т2 —+ v {и — т) dr;
У	J	[V2 + (M-T)2]2
Ог = <(°х + °Д
Аналогично найдем наибольшие эквивалентные напряжения
Оэкв при различных'значениях f:
Оэкв/ро .... 0,6 0,65 0,68 0,71 0,76
f . . -.......... 0	0,15 0,2 0,25 0,3
По формулам (3.20) вычислим компоненты напряжений в точ-
ках гладких цилиндров, в которых напряжение <тЭкв достигает
максимума (рис. 3.9). На рис. 3.9 показан также характер распре-
деления давления по полосе контакта.
ГЛАВА 4
РАСЧЕТ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ
ДЕТАЛЕЙ МАШИН
4.1. РАСЧЕТ ФРИКЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУФТ И ТОРМОЗОВ ПРЕССОВ
Надежность кривошипного пресса в сильной степени зависит
от надежности муфты и тормоза (рис. 4.1). Их фрикционные эле-
менты, часто изготовляемые в виде овальных вставок (рис. 4.2)
из материала типа ретинакс, относительно быстро выходят из
«строя [20]. Это происходит вследствие смятия боковой поверхно-
сти, а также в результате разрушения (скола кромок, растрески-
вания) вставок. Из-за указанных разрушений возможно закли-
нивание узла, поэтому особое значение приобретает проверка
лрочности вставок, которая сводится к определению контактных
напряжений на боковой поверхности и предела выносливости.
Экспериментальные исследования материалов этих вставок пока-
зали, что их с достаточным основанием можно считать линейно
упругими и для расчета пригодны полученные ранее решения.
По заданным размерам и энергетическим характеристикам
муфты определим напряжения в зоне контакта вставки с дисками
(см. рис. 4.1). Еёли по торцам вставки действует давление
р' (х, У), то момент относительно точки О (рис. 4.3) от элемен-
тарной силы трения dF=p' (х, у) fdxdy можно определить по фор-
муле
.dM=p' (x,y)fdxdyOA,	(4.1)
50
где f =- коэффициент трения;
ОА = (x+ytgy)cosy; y=arctg//(%+/? )-1; 7? — радиус окружно-
сти центров тяжести фрикционных' элем сигов.
Учитывая (4.1), получим момент, приложенный к единице тол-
щины вставки,
с е
M=-^-Sdy С р' (х, y)(x-\-ytgy)cosydx	г2—у2)
* J J	г
-с -Е
(4.2Х
и удельную сжимающую силу
с Е
2/	(
Р=—^~ \dy \ р' (х, у) cos ydx,
-с -Е
(4.3)
где t — толщина вставки, г и с—размеры вставки (см. рис. 4.3).
Таким образом, задача сведена к случаю, рассмотренному в
подразд. 1.3.
Если к рабочей поверхности вставки приложена нормальная
нагрузка, на гранях ее элементов возникают напряжения, опреде-
ляемые по формулам (3.4), в которых —йл ——а—Ьф-б; d2=
= а+&-|-б. Значения р (х), б и а вычисляем по формулам (1.23),
(1.24), (1.33) и (1.34) при Р и М, найденных по формулам (4.2)
.и (4.3) для геометрических характеристик А+=Д_=0,5/г и упру-
гих ПОСТОЯННЫХ '61 и 62~0.	.
Соответствующие главные напряжения согласно (3.7)
а'=р'(Х, У); {а",	=0,5 (о^ф-о^) + 0,5 У(сх — а^ф-Фт^.	(4.4)
Эквивалентные напряжения можно найти по формулам (3.8)
и. (3.9).
 Для муфт и тормозов больших диаметров момент, поворачи-
вающий вставку, очень мал. Тогда для определения контактного
давленйя и размеров збны контакта можно воспользоваться фор-
мулами (2.1)—(2.3). Напряжения под зоной контакта исследова-
ны в подразд. 3.3.
Рис. 4.3. Вставка муфты в нагруженном состоянии
51
Проведем проверку прочности вставки пневмофрикционной
муфты кривошипного ковочно-штамповочного пресса К8540.
Напряжения на боковой поверхности вставки обычно больше,
•чем на торцовой, что подтверждает и опыт эксплуатации. На бо-
ковой поверхности повреждения возникают гораздо чаще, чем на
торцовой. Для указанной муфты принятый запас сцепления ₽ = 1.1;
число поверхностей трения &=2; коэффициент трения вставки по
•стали f=0,3; число фрикционных вкладышей в диске п=36; диа-
метр окружности центров тяжести фрикционных элементов D—
= 1,47 м; площадь одной поверхности трения вкладыша F—
= 0,0136 м2.
Среднее давление на торцовых поверхностях, необходимое для
передачи максимального крутящего момента Л4юах без проскаль-
зывания,
v	(4.5)
Здесь Мтах=400 кН-м, тогда’ рср'«2,04 МПа и боковое усилие,
действующее на одну вставку, Р=25 Н/м. Для некоторых мате-
риалов вставок модуль упругости Е\Ш 120 МПа, коэффициент
Пуассона v=0,35, тогда для симметричной задачи получаем
Л—0,5 [/1(0)+/2(0)] =0,5 [/1’(-»)+/2(-й)] =
= 1/(2г)+1/оо==1/(2г),	(4.6)
где 2г=0,03 м.
Так как пР (Oi+Ог) (2Д52)-1=0,175, то по формуле (2.3)
чро~62° и изменение ширины зоны контакта согласно (2.2) состав-
ляет а~3,2 мм. Вычислив А (а+6)/(0| + е2)« 100 МПа, с помощью
зависимостей, приведенных на рис. 3.5, найдем азкв~6 МПа.
Результаты экспериментов, проведенных для оценки прочност-
ных характеристик материала исследуемых вставок, показывают,
что во многих случаях разрушение является хрупким и пределы
прочности имеют некоторый разброс. С некоторым приближением
можно принять предел прочности при сжатии ов. с= 13...18 МПа,
т. е. запас- прочности по статическому состоянию достаточно ве-
лик.
Для материалов, у которых пределы прочности на растяжение
и сжатие различны, наиболее приемлемой является теория проч-
ности Мора [28]. В рассматриваемом случае это отличие весьма
значительно, поэтому расчет следует вести по первой теории проч-
ности, т. е. определять наибольшее контактное давление и срав-
нивать его с допускаемым.
42. ПОСТРОЕНИЕ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ ШЛИЦЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
ч
Расчет, основанный на номинальных размерах соединения.
Шлицевые соединения (рис. 4.4), широко применяемые в стан-
ках, автомобилях, тракторах и в других машинах, имеют значи-
тельные преимущества по сравнению со шпоночными. Основная
52
Рис. 4.4. Зубчатое соединение:
3 — вал; 2 — ступица; 3~^8 — проволочные тейзорези-
«торы
313 них — высокая несущая способность
по контактной прочности.
Анализ повреждений рабочих по-
верхностей зубьев, возникающих при
работе машин, указывает на исключи-
тельную важность расчета их на кон-
тактную прочность. Обычно такой рас-
чет, называемый расчетом на смятие,
проводят исходя из предположения,
что сила, передаваемая одной парой
Зубьев, распределяется практически равномерно по поверхности
контакта. Условие прочности при этом имеет вид [30, 38]
а—M(Frty)-1 <[о],
(4.7)
где о — давление между зубьями; М — передаваемый крутящий
момент; F — площадь контакта боковых поверхностей зубьев;
коэффициент, учитывающий неравномерность распределения уси-
лий между зубьяМи (условно принимают ф=0,7...0,8); г — сред-
ний радиус соединения; [о] —допускаемое напряжение на смятие.
Такой расчет следует считать условным, поскольку давление
но высоте шлица распределено неравномерно.. Кроме того, момент,
передаваемый соединением, вызывает неодинаковые нагрузки на
зубья вследствие неточности шага. Если на соединение действует
радиальная нагрузка, часть ее воспринимается направляющими
поверхностями вала и ступицы. Кроме того, существенное влия-
ние на распределение давления между каждой парой зубьев ока-
зывает точность формы рабочей боковой поверхности каждого
зуба, скручивание зубчатого вала и др. Естественно, что учет всех
перечисленных факторов весьма усложняет задачу.
Рассмотрим соединение, передающее только крутящий момент,
как в зубчатых муфтах, когда кручение внутренней детали можно
не учитывать и нагрузка вдоль зуба постоянна. Проведем этот
расчет сначала для идеального случая, когда шаг зубьев по ок-
ружности остается неизменным и размеры зубьев абсолютно точ-
ные.
Решение этой задачи сводится к решению (2.1)— (2.3) симмет-
ричной задачи с начальным контактом вдоль полосы (см. рис.
2.2). При выводе. расчетных формул 'принимаем, что на концах
участков контакта (в точках А и В на рис. 2.3) имеются малые
закругления, для которых sin <р0=0,9703., При этом значении фо
радиусы кривизны г на границах больше действительных. Это
допущение практически не влияет на результаты исследования,
поскольку при отношениях b/(a + b), близких к единице, ординаты
эпюр давления значительно различаются лишь на границах участ-
ков (рис. 4.5).
53
Рис. 4.5. Эпюры давления для различных значе-
' ний отношения 6/ (а+Ь):
/ — 0,8333; 2 — 0,9091; 3 — 0,9524; 4 — 0,9703; 5— 1,0000
Рис. 4.6. Кривые изменения аэкв
-**	‘Л
Выполнив такие же .вычисления, как при решении симметрич-
ной задачи с начальным контактом вдоль полосы (см. подразд..,
3.3), найдем максимальные эквивалентные напряжения для ряда
безразмерных абсцисс и. По результатам этих вычислений состав-
лена табл. 4.1, в которой даны значения наибольших эквивалент-
ных напряжений в долях A (b + a) (6i+02)~1 и соответствующие
им безразмерные координаты и, v и v'. В этих же долях построена
кривая изменения наибольших эквивалентных напряжений оакв
по ширине полосы контакта (рис. 4.6).
В рассматриваемом случае проверку на контактную прочность
зубьев шлицевого соединения нельзя , проводить по наибольшим
эквивалентным напряжениям оЯКв или Овкв', так как если в осно-
вание расчета положить указанные напряжения, то -условия проч-
ности не будут соблюдены даже для нормально работающего сое-
динения.
Расчет зубьев цилиндрических колес на контактную прочность
обычно проводят по наибольшим эквивалентным напряжениям
оЭкв или Оэкв'' у полюса зацепления, хотя теоретически эти напря-
жения максимальны в начале или в конце зацепления.
Таблица 4.1
и	°экв	V	о,экв	V/
0	0,001692	1,21,6	0,001538	1,162
±0,5	0,001,682	1,054 ,	0,001544	0,954
±0,9	0, 002936	0,072	0,00^706	0,080
±1,0	0,008082	0,037	0,007075	0,037
±1,1	0,002904	0,212	0,002546	0,214
54
Аналогично проводят проверку на контактную прочность зубьев
шлицевых соединений — по максимальным эквивалентным напря-
жениям посредине зуба [32]
аэкв=846- Ю-%[г(0! + 02)]-i; 0^=769.10~6Й[г (0j -% 02)]~i.	(4.8)
Выражения (4:8) получены с учетом того, что начальная полуши-
рина полосы b при малыхч радиуса^ кривизны г на границах не-
значительно отличается от Ь + а и, кроме того, А = 0,5/г.
Так как при b/(b + a)= sin<р0 = 0,9703 (2 sin2<po)-1X (л—2<р0) =
=0,0102, то согласно формуле (2.3)
г=0,0 UW [лР^ + 02)]-1.	(4.9)
' Окончательные выражения для определения эквивалентных
напряжений принимают вид
чЭКв=0,26Р/й; аэКВ=0,237Р/А	(4.10)
Если предположить, что давление р во всех точках зоны кон-
такта, одинаково^ то ро=О,5Р./Ь и согласно (3.10)
°ЭКв = 0,32Р/6; а;кв=0,295Р/й.
(4.П)
Наибольшие эквивалентные напряжения в плоскости симмет-
рии, вычисленные по формулам (4.10) (точное решение), отли-
чаются от наибольших эквивалентных напряжений, вычисленных
при равномерном распределении давления во всей области кон-
такта по формулам (4.11), примерно на 25%.
Статистический метод оценки контактной прочности. При вы-
воде формул (4.10) и (4.11) использовано предположение о том,
что все зубья соединения передают одинаковую силу Р. В против-
ном случае в формулы (4. ГО) и (4.11) следует подставлять Р=Ро,
где Ро— максимальная нагрузка на зуб, которую рассчитывают
из. условия, что весь крутящий момент передается одним зубом.
В действительности сила, передаваемая зубьями шлицевого сое-
динения или кулачковых муфт, является некоторой случайной
величиной [38] и изменяется от 0 до Ро. Для расчета зубьев на
контактную прочность, анализа работы зубчатых соединений и в
других случаях необходимо знать закон распределения этой слу-
чайной величины. Поскольку опыт эксплуатации таких сведений
не дает, при расчете указанных конструкций следует исходить из
некоторых общих положений теории вероятностей, а также из
результатов специально поставленных экспериментов, из которых
могут быть получены статистические ряды этих величин.
Точно измерить силу, передаваемую одной парой зубьев соеди-
нения с большим числом зубьев, практически невозможно. Пред-
положим, что в работе соединения участвует одна пара зубьев.
Разность между сопротивлениями тензорезистора (например, 3 на
рис. 4.4), наклеенного, вблизи зоны контакта, ib нагруженном и
разгруженном состояниях соединения ^является некоторой мерой
силы, передаваемой этой парой зубьев. Вследствие сплошности
55
Рис. 4.7. Установка для испытания зубча-
того соединения, нагруженного момен-
том:
I — вал; 2 — ступица; 3 — вал иагружателя;
4 — рычаг иагружателя; . 5 — выталкиватель;
6 — корпус
материала охватывающего тела
,(Ступицы) остальные тензорезис-
торы 4—8 также получат опреде-
ленную деформацию. Например,
тензорезистор 8 зафиксирует де-
формацию растяжения. Таким об-
разом, если в работе соединения
участвует несколько пар зубьев,.
то разность сопротивлений одного
тензорезистора является резуль-
татом взаимодействия всех работающих зубьев, т. е. она не может
быть точной мерой силы, передаваемой одной парой зубьев. Этот
вывод справедлив при любом способе измерения силы. Следует
учитывать, что наибольшее влияние на показание тензорезистора
оказывают силы, передаваемые ближайшими парами зубьев. Влия-
ние сил тем меньше, чем дальше расположены от датчика' пары
зубьев, в которых они возникают. Кроме того, влияние передавае-
мых сил может быть взаимно компенсировано. Например, сила,
передаваемая парой зубьев у тензорезистора 8, вызывает дополни-
тельное сжатие тензорезистора 3, а сила, возникающая у тензоре-
зистора 4, — растяжение тензорезистора 3. Таким образом, погреш-
ность измерения силы указанным способом является вполне прием-
лемой.
В качестве объекта для исследования было выбрано шлице-
вое соединение [38] с числом зубьев z=6, внутренним диаметром
d=28 мм, наружным диаметром £>=34.мм, толщиной зуба Ь=
= 7 мм с центрированием по внутреннему диаметру, с посадкой
по диаметру центрирования H7/g6 и по размеру b D9/f9. Чтобы
исключить влияние закручивания, вала и неточности толщины зуба
по длине, вал й ступицу выполнили тонкими — толщиной 8 мм.
Для измерения силы применяли устройства, с помощью которых
соединение можно нагружать крутящим моментом и, радиальной
силой и только моментом (рис. 4.7). Результаты проведенных
экспериментов показали, что радиальные силы не оказывают су-
щественного влияния на распределение окружных сил между
зубьями.
Крутящим моментам M=Ql=75, 150 и 210 Н-м соответствова-
ли условные давления 47; 94 и 430 МПа. После каждого измере-
ния вал 1 поворачивали на один зуб. Таким образом, испытав
18 валов с 36 зубьями каждый, получили по 648 результатов при
каждом из трех приведенных давлений.
Рассмотрим некоторые результаты эксперимента, проведенного
при давлении 130 МПа. Учитывая, что разность между сопротив-
56/
«пениями тензорезистора в нагруженном и разгруженном состоя-
ниях является числовой мерой исследуемой силы Р, среднее ее
значение определяем по формуле
т = п 1
п
2 ^-=7,17 кН/м,
(4.12)
где Xi — значение случайной величины в i-м опыте; п — число изме-
рений (в рассматриваемом примере п—648).
Статистическая дисперсия
а2=/г’12(%'~^)2=81,81,	(4ЛЗ)
i=i
откуда среднее квадратическое отклонение о=9,04.
Кроме указанных числовых характеристик о и т статистиче-
ского распределения, значительный интерес представляют и дру-
гие параметры, например коэффициент, учитывающий неравно-
мерность распределения усилий: ф = т/Апах=0,35 (РтахС/’о), где
/°шах — наибольшее усилие. При условных давлениях 47 и 94 МПа
этот коэффициент составляет соответственно 0,39 и '0,32; вероят-
ность того, что одна пара зубьев не работает, равна 0,23, что
две пары зубьев не работают—0,028 и т. д.
Силы, передаваемые парой зубьев заданного соединения, зави-'
сят от многих факторов: погрешности шага, закона- распределе-
ния этой погрешности по окружности, отклонений формы и распо-
ложения боковой поверхности зуба и др. Эти погрешности подчи-
нены различным законам распределения и в данном случае осо-
бенности их распределения не нивелируются.
Из сравнения гистограммы, соответствующей статистическому
ряду, с функцией нормального распределения [6] следует, что
распределение случайной величины Р качественно совпадает с
нормальным и плотность этого распределения с точностью, доста-
точной для практических расчетов, можно аппроксимировать вы-
ражением
f(P)=s'+----^-ехрГ-^"^-] (0<Р<Р0).	(4.14)
а у ZJt L	1
Здесь в соответствии с (4.12) и (4.13) т=7,17 и о=9,04.
, Значение s подберем, из условия
р«
f f(P)dP = \,	(4.15)
о
которому должна удовлетворять функция f (Р) [6], Вычислив ин-
теграл (4.15), найдем	*
Ф	—Н— Ф (—1=1,	(4.16)
2 , \ a J 2	\ а ]
57
где Ф (х)—функция распределения нормально
случайной величины х:
X
,)
о
распределенной
Учитывая, что Ро=20,48, из (4.16) получим s=0,01389.
Для построения вероятностного расчета на контактную проч-
ность зубчатого соединения по наибольшим эквивалентным напря-
жениям посредине площадки контакта воспользуемся формулой
(4.10). Так как сила Р, передаваемая зубьями, является случай-
ной величиной, то и эквивалентное напряжение оЭкв также слу-
чайная величина. На основании соотношений теории вероятностей
[6] запишем
f* P53K^=f [^ (аэкв)] \dP (авкв)/^аэкв]>	.
(4.1 If
р (°ЭКВ) = ЧКВ/О,26,
где f* (оэкв)—плотность вероятности случайной величины сгакв-
Оценку контактной прочности соединения получим из следую-
щего выражения:
/ а \ >1п
^*^экв	/*(°эквМ°Экв-'	(4.18>
о
Здесь Р* — вероятность того, что оЭкв<от/л; от — наименьшее
значение пределов текучести вала и ступицы; п — коэффициент
запаса по контактной прочности.
4.3. ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ ДЕТАЛЕЙ
МАШИН
Вопросы контактной прочности при периодическом нагруже-
нии (контактной усталости) приобретают большое значение для
широкого круга конструкций, и особенно они важны для таких
деталей машин, как зубья зубчатых колес, ролики и кольца под-
шипников, тела качения фрикционных передач, детали копирных
устройств и др. Усталостное разрушение поверхностных слоев
указанных деталей, связанное с накоплением усталостных повреж-
дений, сопровождается образованием трещин. Если при этом пла-
стическая деформация весьма незначительна, число циклов до
разрушения достигает нескольких миллионов. Если уровень на-
пряжений достаточно велик, разрушение может произойти после
нескольких тысяч или даже сотен циклов (малоцикловая уста-
лость), при этом в макрообъемах возникают упругопластические
деформации [37].
Однако появление пластических деформаций не всегда свиде-
тельствует об исчерпанной несущей способности конструкции, так
как при определенных условиях возможна приспособляемость [22].
58
приспособляемости какой-либо детали, подвергающейся дейст-
вию периодических нагрузок, можно говорить, когда после опре-
деленного числа циклов пластических деформаций дальнейшее
нагружение вызовет лишь упругую деформацию. Пластическое
деформирование системы приводит к появлению остаточных на-
пряжений, которые можно рассматривать как начальные, так как
Юнн существуют без приложения внешних сил. Распределение
этих самоуравновешенных напряжений в сильной степени влйяет
на приспособляемость- конструкции. Согласно теореме Мелана,
приспособляемость обусловлена наличием' произвольной системы
остаточных напряжений, не зависящих от времени, которые в со-
вокупности с «упругими» напряжениями, возникающими под дей-
ствием переменных нагрузок, не вызывают ий в одной точке на-
пряжений, достигающих предела текучести^ Указанную теорему
всегда можно применить для определения нижних границ допу-
скаемых периодических нагрузок, что значительно упрощает про-
верку контактной прочности некоторых деталей машин.
Из теоремы Мелана следует условие приспособляемости для
поверхностных слоев цилиндра, которое на основании критерия
текучести Треска можно записать в виде
0,25^-аз)2	(4.19)
где тт — предел текучести при чистом сдвиге; oi и оз— наиболь*
шее и наименьшее главные напряжения:
л1 = 0,5 (ox-|-(3x-|-a0-]-tjj/)-|-O,5	—(?г+ах/)] ~Ь4(тлу!
«Зз=0,5 (°x-J-ax_bar'l_az/) —0,5	—(a^"Tai/)] "Ь 4	;
(4.20)
Здесь одним штрихом обозначены, упругие напряжения, определяе-
мые из условия неограниченной упругости материала, двумя — ос-
таточные.	'
Подставив (4.20) в (4.19), найдем
0,25 [ojf	“Ь(fx#-|-Tv</)	Тт. (4.21)
Из анализа упругих и остаточных напряжений вблизи точек
контакта цилиндров получено условие, при котором возможна при-
способляемость гладких цилиндров[11ф
Ро<4гт,	(4.22)
где ро — наибольшее контактное давление.
Известно, что пренебрежениехкасательными контактными на-
пряжениями,- т. е. предположение о гладкости цилиндров, при ис-
следовании. напряженного состояния у зоны контакта приводит
к недостаточно точным результатам [36]. Так, по условию Треска
текучесть вблизи мест контакта гладких цилиндров начинается,
когда 0,6 р0 = от, для негладких цилиндров с коэффициентом трения
/ = 0,2 по тому же условию 0,68 р0==от.
59
, Составляющие упругих напряжений, вызванные давлением
р(х) и поверхностными касательными напряжениями д(х)=//(х)
для элемента с координатами х, у имеют вид (3.2*1). Приняв
р(х)=рйа~'1 а2— х2, после перехода к безразмерным величинам
получим окончательные формулы для компонент упругих напряже-
ния в форме (3.22).
Система остаточных напряжений в рамках допущений, которые
обычно принимают в теории контактных задач, в исследуемом слу-
чае та же, что в работе [11], так как имеют силу исходные предпо-
сылки, на основании которых
<4.2з>
•
Таким образом, имеем, лишь остаточные нормальные напряже-
ния Ох" и аг", которые не зависят от координаты z (рассматриваем
задачу о плоской деформации) и могут меняться по глубине неза-
висимо одно от другого, т. е. '
°z—F<i(.yY	(4.24>
Подставив (4.23) и (4.24) в (4.21), приведем условие приспособ-'
ляемости к виду
0,25 (ojf-j-Ojf — ay) -j-tx,/	^т*	(4.25>
При (тх!/)тах=тт условие приспособляемости (4.25) соблюдает-
ся, когда остаточное напряжение gx"=gv'—сх'.
В соответствии с формулами (3.22) была составлена программа
вычисления на ЭВМ максимальных по абсолютному значению ка-
сательных напряжений в площадках, расположенных под . полосой
контакта и параллельных координатным плоскостям. Результаты
вычислений (табл. 4.2) свидетельствуют о том, что для гладких ци-
линдров условие приспособляемости совпадает с условием, полу-
ченным Джонсоном [П]. При учете трения результаты отличаются,,
причем тем больше, чем больше коэффициент трения, т. е. приспо-
собляемость возможна, когда
(/=0); /?0<3,78< (/=0,05);
(4.2о>
А<3,58тт (/=0, 1); А<3,21тг (/ = 0,2).
Результаты вычислений на ЭВМ подтверждают, что выражения
(4.26) практически совпадают с другйми условиями текучести и
Таблица 4.2
f		Ox'/Po	ov'/Po	x/a	yla
0	+'0,25	—0,299	—0,433	•±0,866	0,500
0,05	—0,265	—0,331	—0,446	0,866	0,475
0,1	—0,280	—0,365	—0,459	0,865	0,452
0,2 60	—0,312	—0,437'	 —0,485 .	0,864	0,415
Рис. 4.8. Роликовая обгонная муфта
(вид на торцовую часть при снятой
щеке):
1 — звездочка; 2 — наружная обойма; 3 —
пружина подвижного устройства; 4 — су-
харь подвижного устройства; 5 — ролнк
абсолютные значения упругих
эквивалентных' напряжений
род полосой контакта по  при-
емлемым для стали условиям
пластичности не 'превышают
удвоенного предела текучести
при растяжении. ч
Проверка контактной проч-
ности механизмов свободного
хода. Роликовые обгонные
муфты называют также меха-
низмами свободного хода, так как они передают момент в одном
направлёнии и допускают свободное относительное вращение в про-
тивоположном. В настоящее время их применяют в металлорежу-
щих станках, подъемно-транспортных машинах, нагнетателях дви-
гателей, импульсных вариаторах, различных пусковых приспособ-
лениях и" других -устройствах. Из всешо Многообразия таких
устройств рассмотрим муфту одностороннего действия с внутренней
звездочкой (рис. 4.8). Основными деталями ее являются звездочка
/, обойма 2 и ролики 5. Последние пружинами 3 и пальцами 4
прижаты к- звездочке и обойме для обеспечения постоянной готов-
ности муфты к заклиниванию.
Муфта Включается при вращении наружной обоймы 2 против
часовой стрелки или звездочки 1 по часовой стрелке, поскольку при
этом ролики силой трения затягиваются в узкую часть пространст-
ва между наружной обоймой и звездочкой и происходит заклинй--
ванне их. При обратном вращении обойм происходит их раскли-
нивание.	V	V
При заклинивании ролик 5 касается обоймы 2 каждый раз в
разных точках, на звездочке же полоса -контакта не смещается,,
поэтому ее следует проверить на приспособляемость. Кроме того,,
для муфт с малым числом циклов включения уровень напряжений
может быть достаточно высок — допустимы напряжения, близкие
к пределу упругости, когда возможна приспособляемость.
Наибольшее давление между роликом 5 и звездочкой 1 [21]
^=0,418 /7Ир£ \zRlj tg (а/2)]-\	(4.27) .
где Мр—-расчетный момент, передаваемый муфтой; Е—- модуль
упругости материала указанных деталей; z —число роликов; R —
радиус отверстия обоймы; 1Р — длина ролика; г — радиус ролика;
а — угол заклинивания.
V- ’	- . 61
Для гладких роликов и звездочки согласно теории наибольших
1касательных напряжений на основании (4.27) получим
°экв~0,251 MvE\zRlprtg(al2)\-~\ -	(4.28)
Реализуемый коэффициент запаса по отношению к пределу текуче-
сти й = с5т/аэкв.
Для негладких деталей, например, когда коэффициент трения
/=0,1, перед корнем в формуле (4.28) коэффициент равен 0,263.
Для муфт с малым числом циклов включения, когда исключена
возможность усталостного разрушения, коэффициент запаса по от-
ношению к пределу текучести может быть меньше единицы. Чтобы
при этом на звездочке не образовались вмятины, должны быть со-
блюдены условия (4.22) и (4.26), т. е.
ро<4 (7=0);/>0<1,79От (/=0,1).	(4.29)
Таким образом, по формулам (4.27) и (4.28) можно определить
запас прочности и, а по формулам (4.29) — границы периодической
'нагрузки, при которой возможна приспособляемость. Так, если для
муфты (см. рис. 4.8) с редким включением Мр=200 Н-м; £=
=210 ГПа; г=3; 7? = 68 мм; /р=26 мм; г=8 мм; а = 7°; f=0,l и для
материала звездочки сгт= 1000 МПа, то согласно (4.27), (4.28)
До = 1675 МПа; оЭКв=1055 МПа и и = 0,95. Так как <тЭкв><Тг, то на
некоторой -глубине под полосой контакта ‘начнется 1пла1стичес|кая де-
формация. Однако это не представляет опасности, так как соблюде-
ние второго условия (4.29) указывает на то, что материал звездочки
приспособится к упругому состоянию после нескольких циклов плас-
тической' деформации.
Оценка контактной прочности прямых зубьев цилиндрических
колес. Наиболее распространенным видом разрушения зубьев яв-
ляется выкрашивание их рабочих поверхностей, которое иногда
называют питтингом. Этот вид разрушения является обычным для
закрытых передач, при работе которые в зоне контакта возникает
высокое давление. Наибольшую опасность представляет прогрес-
сирующее выкрашивание (30], природа которого недостаточно вы-
яснена, но бесспорно то, что оно является следствием усталости
рабочих поверхностей зубьев. Действительно, в зоне контакта,
в каждой точке рабочей части зуба давление изменяется по отну-
левому циклу, поэтому в поверхностных слоях возможны усталост-
ные повреждения. Таким образом, высокие контактные напряже-
ния- являются одной из наиболее важных причин повреждения ра-
бочих поверхностей зубьев [28, 30].
Радиусы кривизны направляющих (эвольвент) прямых зубьев
цилиндрических колес меняются от точки к точке, но так как это
изменение непрерывное, задача является симметричной и для нее
применимо решение Герца. Шероховатость поверхности рабочих
частей зубьев не ограничивает области применения этого решения,
поскольку зубья, передающие, значительную контактную нагрузку,
как правило, подвергаются поверхностной обработке. Работа зубь-
62	.
Ттах
Рис. 4.9. Характер изменения ттах при передвижении точки касания зубьев;
,	вдоль линии зацепления
ев, находящихся в зацеплении, сопровождается качением со сколь-
жением, поэтому в решении Герца необходимо учесть влияние ка-
сательных сил на напряженное состояние у мест контакта.
Часто в качестве критерия выносливости поверхностного слоя
принимают наибольшее касательное напряжение. При коэффици-
енте трения /==0,2; tmax=0,34 р0, где ма1коима1льное контактное дав-
ление р0 = 2Р/(ла). При. vi = v2 = 0,3
Ро=О,418/РЁ7р; ттах=0,142/РЁ^;
(4.ои)
E—^EiE^E^F^, l/p=l/pi ± 1/р2,
где Е — приведенный модуль упругости материала колес; р — при-
веденный радиус кривизны, причем знак плюс соответствует внеш-
нему зацеплению И минус — внутреннему.
Наибольшее касательное напряжение ттах зависит от положе-
ния точки контакта на линии зацепления. Учитывая, что теорети-
ческая длина линии зацепления A sina=pi + p2 (рис. 4.9), для внеш-
него зацепления согласно (4.30) получим
^тах^0,142 /ЕЕ A sin а (р^Г1,	(4.31>
где А — межцентровое расстояние. •
Таким образом ттах пропорционально выражению (pip2)—,/г- Ес-
ли принять коэффициент перекрытия e=sl, т. е. считать, что в. за-
цеплении находится лишь одна пара зубьев, то Tmax принимает
наибольшие значения в начале и конце зацепления, а наименьшее,,
когда точка контакта лежит посредине теоретического участка ли-
нии зацепления ССз- На рис. 4.9 наибольшим значениям тШах соот-
ветствуют точки Ct и С2 на линии зацепления, и для них, строго
63-
говоря, решение Герца неприменимо, поскольку здесь имеет место
особый случай контакта цилиндров' (штрихпунктирная линия
на рис. 4.9).
Для достаточно точно обработанных зубчатых кблес-при е>1 на
участках 'щС и а2С3 в зацеплении находятся две пары зубьев, по-
этому нагрузка на каждую пару несколько уменьшается.
Вследствие того, что выкрашивание рабочих поверхностей зубь-
ев происходит, в первую очередь, вблизи полюсной линии на ножке,
расчет выполняют по наибольшему касательи101му напряжению,
которое возникает при контакте зубьев в полюсе. Это напряжение
близко к максимальному, при е>1 (см. рис. 4.9).
Для гладких зубьев текучесть начинается при <тЭкв=0,6; ро=От,
•откуда	 j 
a8KB«0,251/W-	(4.32)
Реализуемый коэффициент запаса по отношению, к пределу те-
кучести п=От/оэкв. Для негладких тел, например, при /—0,1 полу-
чим
4КВ~ 0,263 VpeTp	(4.33)
U ц = от/оэкв.
Для передач с малым числом циклов включения, когда исклю-
чена возможность усталостного разрушения, коэффициент запаса
по отношению к пределу текучести может быть меньше единицы.
Чтобы на зубьях не образовались вмятины, должны быть соблюдем
ны условия (4.26) или (4.29).
Таким образом, по формулам (4.32) и (4.33) определяют запас
прочности по отношению к пределу текучести,.д по формулам (4.26)
или _(4.29) выполняют проверку передачи на приспособляемость.
Так, если для цилиндрической прямозубой передачи с редким вклю-
чением Р=55 Н/м; модули упругости £i=£2=210 ГПа; числа зубь-
ев z1 = z2=30; модуль т=5 мм; угол зацепления- а=20°, предел
текучести материалов колес от=750 МПа; коэффициент трения /=
= 0,1, то рс= 1250 МПа и согласно (4.33) °ЭКВ — 790 МПа и п'=0,95.
Так как OgKB>aT, то на некоторой глубине, под полосой контакта
начинается пластическая деформация. Однако в данном случае это
не представляет опасности, так.как соблюдение второго условия
(4.29) указывает на то, что материалы зубьев приспособятся к уп-
ругому состоянию.
ГЛАВА 5
ВНУТРЕННИЙ ПЛОТНЫЙ контакт
УПРУГОГО КРУГОВОГО ПДЛЬЦА
И НАРУЖНОГО ТЕЛА С КРУГОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
5.1. ЗАДАЧА О ВНУТРЕННЕМ КОНТАКТЕ
ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ ОХВАТЫВАЮЩЕМ ТЕЛЕ
В подвижных соединениях зазоры между внутренними и охва-
тывающими телами часто бывают весьма малыми. В связи с этим
расчет многих ответственных частей машин и. несущих конструк-
ций инженерных сооружений (рис. 5.1) можно свести к задаче
о вдавливании кругового пальца в тело с круговой полостью, ко-
Рис. 5.1. Примеры подвижных соединений, расчетную - схему которых можно
представить в виде внутреннего контакта упругих круговых цилиндров:
а —головка шатуна; б — проушина; б— ось и крановые ходовые колеса; г — цепная пере-
дача; д — мостовая опора
65
 Рис. 5.2. Внутренний контакт кругового
диска
Рис. 5.3. Расчетные схемы к задаче о внут-
реннем контакте упругих круговых цилии-
’ древ
торое после приложения нагрузок касается пальца по сравнительно
большому участку [40, 42, 52]. Размеры этого участка и контактное
давление нельзя определить по формулам, приведенным в гл. II и 2,
поскольку зону контакта в этой задаче даже при приближенном
решении нельзя представить как границу упругой полуплоскости.
Распределение давления и размеры области контакта. Пусть в
границу кругового отверстия упругой плоскости вдавливается уп-
ругий круглый диск (рис. 5.2). Точки В и С совпадут после прило-'
женПя нагрузок, если выполнено условие [48]
c'14-®2=ct cos —е (1 — cos <р),	(5.1)
где щ и v2 — радиальные смещения В и С; 8 —радиальный зазор:
8=Г2—л; И, г2— радиусы внутреннего и наружного тел; ф— угло-
вая координата совмещенных точек В й С; а — сближение взаимо-
действующих тел при сжатии.
66
Радиальные смещения щ и п2 можно получить, решив задачу
о сжатии кругового диска и.растяжении плоскости с круговым от-
верстием.
• Выражение для определения перемещения щ точки* С в направ-
лении к центру 01 (рис. 5.3, а), вызванного сосредоточенными си-
лами Р, имеет вид (48]
vi==-^-cosc?lntg-V!-+^-Psin и । —^7*	<5*2>
Формула (5.2) выведена для сжатия диска, т. е. для плоского
напряженного состояния. Для плоской деформации, возникающей
при сжатии цилиндров, радиальное смещение п] точки С получим,
заменив в (5.2) Е на Д/(1—v2) и т на v/(l—v):
=	—2&[1cos<plntg(0,5 | <p | )]4-xsin I <p | },	(5.3)
где
й—(1 — м2)/(лД); x=(l —2v)(l-(-v)/(2£).	(5.4)
Выражение для определения перемещения' v2 точки В в направ-
лений от центра О2 (рис. 5.3, б), вызванного сосредоточенными си-
лами Р, имеет вид	,
®2=—-^-cos<plntg(0,5 | tp | )—sin | <р | .	(5.5)
Для плоской деформации
и2—Р [ —US cos tplntg(0,5 I <р | ) — x sin | tp | ].	(5.6)
После приложения сжимающих сил между телами образуется
некоторая зона контакта <ре[—<род>о], ® которой действует контактное
давление р(<р). При выводе математических выражений для vt и v2
в этом случае принимают допущения Штаермана, а именно, счита-
ют, что внешние силы приложены к телам так же, как давления,
действующие в области контакта (рпс. 5.3)-. Таким образом,
®i= Р(?') П |—2&i р Д-cos (tp— <р') In tg — у ~y - j4- -
—?О
4дх1 sin | tp—tp' | jrftp';	(5.7)
f>0
•o2== j* P (<?') r2 — 2&2 cos (tp — tp') In tg -f y -! — X2 Sin J tp —tp' I j Jtp.
•HPo
(5.8)
- С учетом условия (5.1) исходное интегральное уравнение рас-
сматриваемой задачи принимает следующий вид:
67
Vo
Styn+Vs) J P (?') cos (? — ?') In tg
, -Vo .
I ? — ?' I
2
d<?' —
%	.	Vo
—(«iH^^) J p(?')sin I <? — <?’ I </?'-[-2»^ [ р(Ч>*)4?’=
—Vo	—Vo
=e (1 — cos ?)—a cos <p; — ?o<?<?o>	(5.9)
где '&!, •б’г и хь хг— упругие постоянные, определяемые по форму-
лам (5.4),.	।	.
Для решения задачи кроме ограниченной и непрерывной функ-
ции р(<р) необходимо определить границы участка контакта, т. е.
найти значение <р0, поэтому совместно с исходным уравнением (5.9)
рассматривают условие статической эквивалентности Силы Р и сил,
распределенных по зоне контакта:
Vo
г J p(?)cos ?d?=P,	(5.10)
—Vo . -	\
где г — номинальный радиус соединения (так как, по предположе-
нию, радиусы сжимаемых цилиндров почти равны, то г1 = г2=г).
Интегральное уравнение (5.9) можно привестиж виду [48]
Vo	V
(V1+V2) J P(?')ctg(<f> — <f>’’)d<f>'— (Vi— х2г2)
—<Ро	О
— ?0<?<?0.	(5.11)
где р — произвольная постоянная;
Y—^2Г 2
[ Р(?')^?'+0,5е.
—Vo
С учетом условия р(±<ро)=О уравнение (5.11) можно привести к
интегродифференциальному уравнению с ядром Гильберта
(V1 + V2) У Р'(?')ctg (? —?')«/?' —(х1г1 — х2г2)р(?)=у’ (5.12)
. —Vo
для решения"которого применимы результаты, полученные в работе
[2] (симметричная задача). С помощью метода ортогональных мно-
гочленов [26] интегро-дифференциальное уравнение (5.11) можно
привести к бесконечной алгебраической системе типа (2.38), в ре-
зультате приближенного решения которой можно найти коэффици-
енты ап разложения контактного давления в ряд
p(?)=sec?pA2(cos2tp —cos2?0) j? a„(/2„-2[tg?(tg %)?’], (5.13)
где Uklx) — многочлены Чебышева 2-го рода.
68
Затем по формуле (5.10) находят связь между Р/(Ее) и углом
контакта <р0-
Рассмотрим контакт стального пальца с бронзовым, чугунным
и стальным охватывающим телом при весьма малых зазорах. При-
нимаем коэффициенты Пуассона для бронзы, чугуна и стали соот-
ветственно: V6p=0,34; ,v4yr=0,25; vCT = 0,3; модули упругости Еб?=
= 100 ГПа; Ечуг=1115 ГПа; ЕСт = 210 ГПа.
Выполнив все вычисления при указанных характеристиках ма-
териалов и различных углах контакта ф0, строим кривые изменения
контактного давления р(<р) и находим значения PJ (Ee), по которым
также строим графические зависимости (рис. 5.4). При известной
удельной нагрузке /^радиальном зазоре е, модуле упругости Е для
заданного материала охватывающего тела определяем графически
угол контакта <р0 для стального пальца.
Построенные по (5.13) кривые,изменения контактного давления
хорошо аппроксимируются двучленным выражением вида
P(?)=«i cos (0,&nxp/(p0)4-a3cos (1,5л<р/<Ро).	(5.14)
Коэффициенты щи а3 определяем графически (рис. 5.5). Ана-
лиз кривых изменения давления для стальных контактирующих тел
при <ро=56° (рис. 5.6) показывает, что решение (5.13) (кривая /)
хорошо согласуется с решением (5Л4) (кривая 4).
Таким образом, для составления аналитического выражения
(5.14) для функции р(ф) необходимо предварительно установить:
значение действующей силы; материалы пальца й охватывающего
тела; радиальный зазор между ними; радиус пальца.
Пример. Радиус пальца г=0,04 м; длина образующей, по которой передает-
ся нагрузка, 6=0,025 м; средний радиальный зазор е=0,03 мм; материал паль-
ца — сталь, материалы охватывающих тел -— сталь, бронза и чугун; сила, при-
жимающая палец к наружному телу, Q=0,150 кН.
При P=Q/6=6000 кН/м и 10-3Р/(Ее)= 0,953 для стальных контактирующих
тел графически (см. рис. 5.4, 5.5) определяем: фо — 52°; щ = 1,7-105 е/г =
= 127,5 МПа и о3=—l,67i-104 е/г =312,5 МПа, откуда РтахММб МПа и р(ф) =
= 127,5cos (il,73<p)—12,5 cos (5,2ф).
Для стального пальца и бронзового охватывающего тела при 10-3Р/(Де) =2
получим <р0=54°, а, = 1,01 -105 е/г=‘120,7 МПа и а3= —1.7-.104 е/г=—il2,7 МПа,
откуда ртах=Ю8 МПа и р(<[) = 120,7 cos (1,67ф)—12,7cos (5<р).
Для стального пальца и чугунного охватывающего тела при 1.0~3Р/(Де) =2
получим фо—'52°, «! = 116 МПа и о3= —112,7 МПа, откуда рШах =1103,3 МПа и
р(ф) = 1.16 cos (1,73ф)—12,7 cos (5,2ф).
Распределение давления, а также его максимальные значения в сильной
степени зависят от радиального зазора. Можно доказать аналитически, что мак-
симальные давления даже для соединений с одинаковой посадкой при предель-
ных значениях зазоров отличаются на 20—30%. Это отличие становится несрав-
ненно большим при замене одной посадки другой.
Экспериментальная проверка решения задачи о внутреннем кон-
такте. Исходное интегральное уравнение (5.9) задачи о внутреннем
контакте получено на основании предположения о том, что силы,
действующие на цилиндр и наружное тело, приложены так же, как
контактные нагрузки (см. рис. 5.3). Поскольку это предположение
не является очевидным, была предпринята попытка подтвердить его
приемлемость экспериментально.
69
Рис. 5.4. Зависимость для определения угла
контакта <р<> при различных материалах ох-
ватывающего тела:
1 — сталь; 2 — бронза; 3 — чугун
Рис. 5.5. Кривые для определения ко-
эффициентов «1 (а) и Оз (б) при раз-
личных материалах охватывающего
тела:
1 — сталь; 2'— чугун; 3 — бронза
Рис. 5.6. Кривые изменения давления,
соответствующие выражениям:
1 - (5.13); 2 —р,(ф) = 1,0846Х .
Хйег-1 cos (0.5л<р/<ро);	3 — рз(Ф)=—0.I12X
K£er~> cos (ЦбЛф/фо); 4 —р(<р)=р1(ф)+рз(<₽)
70
Рис. 5.7. Установка для исследова-
ния внутреннего плотного контак-
та:
1 — диск; 2—сменные шайбы для по-
лучения различных радиальных зазо
ров; 3—7 — датчики смещения; 8—10 —
розетки тензодатчиков; 11 — стойка;
12 — опорные цилиндры; 13 — нажимной
штырь
Рис. *5.& Нажимные штыри
В диске 1 установки, показанной на рис. 5.7, было просверлено
пять радиально направленных отверстии, диаметр которых вблизи
расточки равен 0,3—0,35 мм. Измерения проводили методом, из-
ложенным в работе [25]. Для измерений "Использованы преобразо-
ватели в виде струн из константана диаметром 40 мкм, которые по-
мещали в указанных отверстиях. ч ,
В непосредственной близости от зоны контакта были установ-
лены две розетки 8 и 9 проволочных тензорезисторов й одна розет-
ка 10 — в отдалении от нагруженной области.. Для Экспериментов
были подобраны шайбы диаметром 30 мм, при которых зазор со-
ставлял: 0,01; 0,02; 0,03; 0,05; 0,1; 0,42; 1,15; 1,62; 2 мм. Формы шты-
рей у концов, через которые передавались нагрузки на шайбу, по-
казаны на рис. 5.8. Когда штырь охватывает шайбу (рис. 5.8, а),
нагрузка такая, как-предполагалось в исследуемом решении;'при
плоской торцовой части (рис, 5.8,6) нагрузка сосредоточенная и.
приложена к верхней образующей; при сложной конфигурации
штыря (рис. 5.8, в) нагрузка приложена в центре шайбы.
. При всех видах приложения нагрузки результаты измерений
практически одинаковы. Кроме того, влияние зазора на напряже-
ния проявляется не только при значительных зазорах, но и при
достаточно плотном контакте. Такие результаты получены как с
наклеиваемыми тензорезисторами,-так и со струнными преобразо-
вателями смещения.
Таким образом, место и характер приложения внешней нагрузки
практически не влияют на перемещения точек контакта, а также на
напряжения в их окрестности, т. е. исследуемое решение является
достаточно точным для практических расчетов. В подтверждение
71
Рис. 5.9. Зависимость перемещений точек контакта
внутреннего контура диска относительно его внеш-
него контура от угловой координаты
этого рассмотрим следующий пример.
Пусть к контуру диска приложена нагруз-
ка интенсивностью р(ф) вида (5.14),
распределенная по дуге [—<ро, Фо]. Значе-
ния «ь йз и фо определим графически (см.
рис. 5.4 и 5.5).
Радиальные перемещения точек внут-
реннего контура диска 1 относительно
внешнего (см. рис. 5.7) вычислим при
удельной нагрузке Р=3140 кН/м, ради-
альном зазоре е=0,015 мм и упругих постоянных Е— 210 ГПа,
v=0,3. По результатам этих.вычислений построим зависимость ра-
диальных перемещений v точек контура отверстия диска от угло-
вой координаты <р (рис. 5.9). Экспериментальные значения переме-
щения достаточно хорошо согласуются с теоретическими (наиболь-
шие отклонения наблюдаются лишь при очень малых перемеще-
ниях).
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ОТ СИЛ ТРЕНИЯ
ВО ВРАЩАТЕЛЬНОЙ ПАРЕ
Контактные давления мало зависят от касательных сил [8, 48]^
Давление ’изменяется по поверхности контакта в соответствии с
выражением (5.14), касательные силы в зоне контакта пропорцио-
нальны нормальным, т. е.
g/P=<Jo/Po=f=const,	,	(5.15)
где q — интенсивность касательных сил в произвольной точке; q® —
их наибольшая интенсивность; f — коэффициент трения.
Решение (5.14) можно использовать для определения момента
от сил трения во вращательной паре, по которому часто определяют
МонГность, затрачиваемую на преодоление этих сил.- Момент от сил
трения вводят также при силовом расчете механизмов, при иссле-
довайии колебаний вращающихся валов и во многих других слу-
чаях [28]. При определении этого момента обычно принимают ка-
кую-либо гипотезу о распределении давлений между элементами
данной пары. Так, если предположить, что силы, действующие.меж-
1ду элементами пары, сосредоточенные, то радиус круга трения
можно вычислить по формуле p=fr, где г — радиус пальца, f —
। коэффициент трения для плоских поверхностей тел из материалов,
из которых изготовлены элементы данной пары. В действительно-
сти эти силы распределены по поверхности контакта, поэтому ра-
диус круга трения будет другим. Так, при равномерном распреде-
лении давления между элементами пары
Р=0,5лг/; /'=0,5л/;
72
при косинусоидальном распределении давления
р=4г//л; /'=4//л, /
где f' — коэффициент трения во вращательной паре.
Момент трения определяют по формуле AfTp=Qp, где Q —
равнодействующая внешних сил, приложенная к оси шарнира.
Таким образом, если момент от сил трения или радиус круга
трения при сосредоточенной силе принять за единицу, то при рав-
номерной распределенной нагрузке получим 1,57, а при косинусо-
идальной 1,27, т. е. учет сил трения на основании различных гипотез
приводит к существенно различным результатам./Уточнить момент
от сил трения можно, выяснив действительное распределение дав-
ления по поверхности контакта элементов рассматриваемой пары.
Элементы пары (палец и охватывающее тело) обычно представ-
ляют собой упругие тела; радиальный зазор между ними в совре-
менных шарнирных соединениях весьма мал. В связи с этим для
определения радиуса трения необходимо более обоснованное ре-
шение.
Радиус круга трения при любом распределении давления мож-
но определить из следующего выражения:
Vo	/Vo	\—1
р —J prdy’fr I J prdy cos <р I .	(5.16)
О	\0	/
Подставив в (5516) выражение (5.14) для р, с учетом (5.15) полу-
чим •
?0	f
P~rf C/aicos-^- + a3cos^-p<p П (ajCos-^-4-
J \	2?o	2<Po /	\ ’ \	' 2?o
0	•	x0
4- «3 cos	cos ?(/?),	(5.17)
2<Po / J
откуда после интегрирования	*
__( ai_____________Здз
3 ) \ Л2 — 4<f>g	9л2 —
Например, для контактирующих тел из разных материалов (сталь-
;бронза) по формуле (5.18) при различных значениях <р0 получим
следующие значения коэффициента с:
р== frc\ с=----------
n&cos <ро
(5.18)'
Фо, °	. ... 16	24	32	40	46	56	60
с................. 1,01	1,0175 1,035 1,05 1,08 1,11 1,13
и для контактирующих тел из одинаковых материалов при ф0=64°
с= 1,143.
На основании решения (5.14) получаем, что в нагруженных со-
единениях с посадкой типа H7/f6 (когда возможно относительное
скольжение внутреннего и охватывающего тел) угол (р0^56°; для
73
Рис. 5.10. Замкнутая круговая головка (проушина) и соответствующая ей рас-
четная Схема
посадок по более грубым квалитетам ф0^25°. Следовательно, если
исходить из того, ’что при наличии сил трения распределение дав-
ления р в зоне контакта сохраняется и касательные силы пропор-
циональны нормальным, то для подвижных соединений типа H7/f6
можно принять ,р= 1,13fr; 7WTP=:l,13Qfr; f'= 1/13/. Для более грубых
соединений силы, действующие между элементами рассматривае-
мой пары, можно считать сосредоточенными, т. е. p—fr и MTV=Qfr.
5.3. НАПРЯЖЕНИЯ В ЖЕСТКИХ ГОЛОВКАХ ШАТУНОВ, ПРОУШИНАХ
И ДРУГИХ ДЕТАЛЯХ
Согласно принципу Сен-Венана напряжения в стержневой части
шатуна можно сравнительно точно определить по равнодействую-
щим силам, приложенным к головке (при статических нагрузках).
Напряжения в головке в сильной степени зависят от характера
приложения внешней нагрузки, т. е. от распределения давления по
поверхности контакта ее с охватываемым телом (пальцем, валом).
Результаты экспериментов *40] подтверждают, что при оценке
напряжений в жестких головках шатунов и проушинах (когда
/?1/г>1,5, где Ri — радиус наружного контура; г — радиус пальца)
можно принять распределение давления (5.14). Расчеты по форму-,
лам, выведенным при этом распределении давл.ения, носят чисто
оценочный характёр, но имеют большое значение, так как-дают воз-
можность определить предельно допускаемые размеры конструк-
ции. Для вычисления относительных напряжений при различных
зазорах такой метод приобретает особую значимость.
При действии силы Р вдоль оси шатуна по внутреннему контуру
головки возникает давление /?(<р)., распределенное по дуге 2г<ро
(рис. 5.10, а). В деформации головки в основном участвует лишь
ее часть (соответствующая углу 2cto), которую можно считать за-
щемленной в стержневой части шатуна. В качестве расчетной схе-
мы можно принять часть головки, ограниченную сечением А—А и
74	-	'
защемленную в сечении С—С (рис. 5.10,6), при этом следует счи-
тать, что к центру тяжести сечения А— А приложены момент Xt и
нормальная сила Х2. Так как сечение А—А не совершает углового
и касательного перемещений, то
dU/dX^O- dU/dX2=0,	(5.19)
где (/ — полная потенциальная энергия рассматриваемой части
бруса:
1/=У С(_«_+_№—	(5.20)
J \2EFeR 1 * 2EF . EFR ' 2GF /
-	1. s.
п — число участков; «ь s2— координаты начала и конца участков;
М, N, Q — изгибающий момент, нормальная и поперечная силы от
внешней нагрузки; Е, G — модули упругости; F — площадь попе-
речного сечения головки; е — расстояние от нейтральной оси до оси
бруса' радиусом /?; k — коэффициент, зависящий от формы попереч-
ного сечения головки.
Выражения для определения изгибающего момента, нормальной
и поперечной сил, возникающих от заданной радиальной нагрузки
р(ф), силы Х2 и момента в сечениях первого участка (ф^фю)
 имеют вид
	<р
Mr— —Xi—X2/?(l — costf>)4-r/? j" /?(у) sin (<p —y)(Zy;
. о
^=%2cos<p4-r |\»(Y) sin (ср— y) dy,	(6.21)
6
Qi — —	sin <?4-r J‘/2(Y)cos.(<p — \)dy.
0
Значения M2, N2 и Q2 в-сечениях второго участка. (ф>ф0) вычисля-
ют также по формулам (5.2Г), верхний предел в интегралах при-
нимают равным фо.	'	.	-
Подставив (5.21), а также выражения для М2, N2 и Q2 в (5.20),
после дифференцирования получим йз (5.19) с учетом распределе-
ния "давлений (5.14) следующие уравнения для определения неиз-
вестных Xi и Х2:
75
-- ^9в,«о) Ч- Г Ч~	— £>Ро ~ М?о. <*о) ~^'Г (^?о ~Ь •^'Ро.ао) О»
где
А^=- fll fsin у0----М-|---——(sin УоЧ—М ;
° Z2—1\ Т0 Z /	9/2 — 1 \	3Z /
^в,«0 =7^711 -cos («о-?о)14-<sin «о- sin Уо) (т~г+ 0/2а'т)~1
Чг-^2т 1со&<ао- %) - М;
sin 2у0	[~ atZ 3a3Z
4	)	[(Z2 — 1)2 ~~ (9/2 _ 1)2
cosy0;
(5.23)
/ d\l 3zz3Z )
Z2—1 —’gz2—ij
—i£l£_ sjn tp _|—£1—|—3^з£_ sin y04-—-
'V Z2—1	™ 1 /2-1 1 9Г2-1	yo~9Z2-1
\z/ao~?o  s>n2«q — sin2<p0 \ .
cos y0
cos 2a0 — cos 2<p0
Lft—I cos y0
4
al"	Зл3 *1
(/2 - 1)2 ~ (9/2 -1)2 J
AIf„,aQ---
¥o sin 2yo \ .
^4 2	4 J’
^?) | ~ (COS 2a° ~ cos 2(fo) +
VZZ—1/ 1	4
2
4
a3| '
9/2 — 1 J.'
где /=0,5л/фо-
При распределении давлений (5.14) выражения (5.21) для
<p^<po примут вид
А!1= —Xv — Хг/?(1 — cos у)Ч"г/?Г——1—(cosy — cos/y)4~
|_/2 — 1
а3
912— I
(cos у —COS
-^"1 = -^2 COS у 4“ Г Г.- fll (COS у — cos Zy) -----------—
Г*2 — 1	9/? —
76
(cosy — cos3/y)j •
(5.24)
Qi= — X2 sin<p+rf—(Z sin/cp —sin<p)+
— 1
-|~——— (3Z sin 3Zcp — sin <p)l .
‘ 9/2 — 1	T T'J
Аналогично для <p><po
M2= - Xi—X2R (1 - cos <?)+# [	Sin (<f>- ?o) +
+(	—I———) cos <p] ;
1 v2—1	9/2—1/ j
JV2=X2cos	sin (?-%).+
4—cos <pl;	(5.25)
V2—1	9/2—1 / TJ
'	Q2= - X2 sin <P+r [(^T “ 9^7 ) COS (? ~ “
Таким образом, напряжения в произвольном- сечении жесткой
круговой головки Шатуна определяют в следующем порядке: сна-
чала графически (по рис. 5.4 и 5.5) находят значения <ро, а\ и аз,
затем по формулам (5.22) — (5.23) вычисляют неизвестные Xi и Х2,
по формулам (5.24) и (5.25)—изгибающий момент, нормальную и
поперечную силы в этом сечении. Напряжения в произвольной точ-
ке рассматриваемого сечения можно найти по известным формулам
сопротивления материалов для кри-
вого бруса.
Пример. Определить напряжения в
крайних волокнах головки (см. рис. 5.10),
нагруженной осевой силой Р=4000 кН/м.
Размеры головки: /?;=75 мм; г=35 мм;
R—55 мм; «о—135е; максимальный зазор
между пальцем и головкой етах=0,045 мм,
минимальный етт =0,015 мм, материалы
пальца и головки — сталь (£=210 ГПа;
<5=820 ГПа).
При наибольшем зазоре Р/(£етах) =
=0,423  и по рис. 5.4 получаем <р0=
=0,733 рад и /=2,143, а по рис. 5.5
= 116 МПа, «3«—12 МПа. Радиус кривиз-
аы нейтрального слоя [28] ri=h In (£/r) =
=52,5 мм, откуда смещение нейтрального
Рис. 5.11. Эпюры нормальных напряжений
для точек наружного (оя) и внутрениегс
(Ов) контуров головки:
« — при emln—0,015 мм; б —при етах=0,045 мм
77
слоя e=R—Г]=2,5 мм. Затем по формулам (5.23) иаходим коэффициенты
^(Рв’ —’ ^?о>«о’ по формулам (5.22) — неизвестные Х]=24,6 кН и Х2=995 кН/м.
По формулам (5.Й4) и (5.25) определяем значения' изгибающих моментов и
нормальных сил в различных сечениях, а затем нормальные напряжения ,в на-
ружных и внутренних-точках головки. Выполнив аналогичные расчеты при мй-
нимальном,зазоре, строим эпюры нормальных напряжений (рис. 5Л1).
5.4. ПРОВЕРКА КОНТАКТНОЙ ПРОЧНОСТИ ВКЛАДЫШЕЙ ШАТУНОВ
Вкладыши и втулки шатунов двигателей, кривошипных прессов
и других машин часто заменяют вследствие их разрушения или
выдавливания, поэтому необходим анализ напряженного состояния
втулки и вала у месТа их контакта. В основание такого анализа
следовало бы положить решение контактной задачи о вдавливании
цапфы в некоторое двухслойное (бронза-сталь) основание. Однако
Иа основании существующих решений можно достаточно точно вы-
числить нижнюю и верхнюю границы реализуемого коэффициента
запаса по контактной прочности [3.1].
При внутреннем плотном контакте упругого пальца с упругим
наружным, телом возникает давление р(<р), которое можно вычис-
лить по формуле (5.14). При относительном скольжении контакти-
рующих тел в зоне касания пальца и втулки появляются и поверх-
ностные касательные напряжения q(q>) =Jp (<(>).
При внедрении стального пальца в сплошное бронзовое _тёло
угол контакта 2<р0' больше, чем при внедрении того же пальца с тем
же усилием в бронзовую втулку, досаженную в стальной корпус;
при сплошном стальном охватывающем теле угол контакта 2<р0"
меньше, чем в исследуемом случае. Таким образом,
?о<?0<?о; °ЭКВ °ЭКВ °экв>	(5.26)
где ^экв» °экв ’ наибольшие эквивалентные напряжения для сплош-
ного бронзового и стального охватывающих тел соответственно
(значения о'экв практически совпадают с о"экВ, поэтому в дальней-
шем все расчеты проводим для бронзового охватывающего тела).
Если к упругой плоскости, ослабленной круговым отверстием
радиусом гя, приложена нормальная к контуру отверстия сила Р>
отнесенная к единице длины, то [ЗГ]
2Р  Г х	с (cos-8 — >;)	1
-----------------------iqcos 04---------4-^—--------;
[-	1 + х	1 — 2-г] cos 6 + ч2 J
р г	2х
°в — аг= —-------------- — Д2---------г- дЗCOS 6-|-(7)2 — 1) X
зт/*a L 1	%

\z чС! + K]2)cos6 — 2ц2 ) \
(1 — 2r, cos 6 + Tj2)2 J ’
2x	'
----4 (1,— Д2) sin 0 4- (1 —7)2)2
+ x .	‘	(1-2^05 6+^2)2
(5.27)
>) sin 6
.78
где г, 6 — полярные координаты точки >4, в которой вычисляют на-
пряжения; т\=га1/ — относительная радиальная координата точ-
ки А.
При действии на контур отверстия касательной Силы Т
°'+3e==^Hctg т+тЬ71 sin е);
Г Г1 — х	• с 1  2-цЗ Sin 0	|
о — аг=------ ------т sin 6 J--—------------k
лг„ Н+х'	1 — 2т; cos 0 + т;2
I (1 — X2) (У? — 2) sin 0 I .	(5.28)
(1 — 2r- cos 0 +1]2)2 J
T =	L 4- 2iq2 (cos 0л) I („2 _ 2) t1 +^2)c°s *6—24 I
re 2лга I ‘ 1— 2т; COS 0 + t;2 '	7 (1 —2ц cos 0 + J2)2 ‘
.	, Г 2x(l — г;2) iil)
-4- cos 6 —-----— -f-1В .
L i + x j)
 Когда внешние нормальные и касательные нагрузки являются
распределенными, напряжения в точке А (г, ’0) при распределении
давления (5.14) определяют по формулам
Vt>	То "
Ог=—j— [	(0 —?)/?(?)</?; ае=;—~ ( Fe(0 — <p)p(<p)d<p;
2Л J	-	‘	zit J
—'Po	— ?o
(5.29)
?o 
Tre = 4- f
2л J
где .Fr, Fe и Fre — функций, определяемые по формулам (5.27)
и (5.28).
Дальнейшие вычисления проводим для вкладыша верхней го-
ловки шатуна однокривошипного
пресса (рис. 5.12) с внутренним ра-
диусом га=450 мм и длиной Ь =
= 300 мм; при радиальной силе
<2~Ю МН, действующей на вкла-
дыш и сжимающей стержневую
часть шатуна; распределенная на-
грузка	33,333 МН/м, диа-
метр шейки вала ЭСЮ^о’з® мм и от-
верстия во вкладыше 900+17 мм. Так
как вкладыш Hiaia6cwiee нагружен
при максимальном зазоре е, то рас-
чет ведем для етах=0,245 мм.
S
Рис. 5.12. Верхняя головка . -шатуна одно-
кривошипиого пресса
79
При сплошном бронзовом охватывающем теле с модулем упру-
гости £бр=100 ГПа и Р/(£'бретах) ~ 1,3606 <р0~51° (см. рис. 5.4).
При этом значении угла контакта для бронзового наружного тела
вычисляем П!== 126 369,1 ЕтахЛа и п3=—13 223,8 Ещах/^в. Эти коэф-
фициенты можно определить с несколько меньшей точностью гра-
фически (см. рис. 5.5).- Зная коэффициенты щ и а3, легко найти
распределение давления (кривая 1) и касательных напряжений
(кривая 2).
Программу для вычислений на ЭВМ наибольших эквивалентных
напряжений составляем по формулам (5.29). Согласно теории наи-
больших касательных напряжений при f=0; 0,1; 0,2 соответственно
получаем оЭКв max=54,4; 55,4; 59,2 МПа. Например, для бронзового
вкладыша с от=120 МПа", при f = 0,l коэффициент запаса п=
= От/оэквтах=2,17. При проектировочном расчете для приближен-
ного вычисления коэффициента запаса можно принять, что при
f=0,l
°Ьэквтах ^(0,85...0,9)(ai-j-a3).	(5.30)
С увеличением, температуры вкладыша Предел текучести от умень-
шается, а следовательно, снижается реализуемый коэффициент, за-
паса на контактную прочность. Например, для бронзы ВрОФЮ—1
при температуре 20; 100; 150; 200 и 250°С соответственно от=1150,
150, 150, 127, 100 МПа. Кроме этого, зазор между цапфой и вкла-
дышем влияет также на грузоподъемность вкладыша. Так, в при-
веденном примере при максимальном радиальном зазоре коэффи-
циент запаса «=2,17, а при минимальной зазоре — на 20—25%
больше. Следовательно, при наибольшел! зазоре, превышающем
предельно допускаемое значение, контактные напряжения сущест-
венно возрастают и несколько снижаются лишь при приработке
вкладыша к цапфе.
ГЛАВА 6
ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
6.1. ПОСТАНОВКА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОЛОСОВОГО ШТАМПА
Рассмотренные ранее контактные задачи в большей (гл. .1—4)
или меньшей (гл. 5) степени можно считать классическими. Стрем-
ление к увеличению точности прочностных расчетов приводит все
чаще к новым постановкам контактных задач теории упругости, ко-
торые принято называть неклассическими. Основная особенность
неклассических контактных задач, которым посвящены данная и
последующая главы,— более точный учет-^геометрии взаимодейст-
вующих тел.
В теории упругости уравнения Ламе равновесия бесконечно ма-
лого .элемента сплошной среды в перемещениях имеют вид (массо-
вые силы отсутствуют)
2(1 — v) grad div u —(1 —2v)rotrotu=0.	(6.1)
Здесь v — коэффициент Пуассона; и — вектор перемещения точек
среды с компонентами и, V, йу в декартовой системе координат х,
У, г. 
Деформации связаны с компонентами перемещения зависимо-
стями Коши
 ди  dv  dw
(6.2)
ди	.	dv	ди	.	dw	dv	,	dw
Yxy	"T	I	T	’	. YXz	T	7 ~»	Yu г	t	t	t	»
y	dy	dx	dz	\	dx v	dz	dy-
а напряжения с деформациями — формулами закона Гука
□x=2Gex + X&; Op==2Ge, + X&; 0,=2Ge,+X®;
r>	(6.3)
xy	^xz — -Yjrz> . ^yz — ^Ууг‘
Здесь G —модуль сдвига; X,=2Gv/(iL—2v); •&=8x+ea+e2.
Решение уравнения (6.1) ищем в форме интеграла' Фурье
u—e_/₽z—, [ U (а, у)e~iaxda,
2л J
— со
(6.4)
тогда относительно компонент U, V, W вектора U (а, у) получаем
уравнения
—2 (1 — v) a^U Д- (1 — 2v) (U" — p2t/) — iaV' — аВ(|7=0;
81
- 2 (1 - v) fW+(1 - 2v) (W" - a2lT) - a$U - i$V'=0;	(6.5)
2 (1 - v) V" - (1 — 2v) (a2+p2) V — iaU' — i$W'=0.
Общее решение системы обыкновенных дифференциальйых
уравнений (6.5) имеет вид
U—Qty	(х^ — ауВу,
W=ev (ха2+,руД)+е~™ (xf>2-^уВу,	(6.6)
V == еу (ха3+iyyA)+e~w (х£3-|- iyyB).
Здесь y=^д2 + Р2; x=3—4v; а, и b^i—X, 2, 3)— произвольные функ-
ции от a и P; Л—ay^^-j-pY'^+^s! ^=ау~1^1-]-Ру_1^2 — ib3.
Подставив (6.6) в (6.4), найдем решение уравнений Ламе, а за-
тем согласно зависимостям (6.2), (6.3) запишем выражения, для'
определения напряжений:
а =-^-е~‘₽г f {ew [—гхя3-]-уг/Л-ф(1 —2v) Л]4-
л J
'ч‘	—• оо
-j-е-1У [i*b3— ууВ-[~.(Х —2v)Z?]] ye~iaxda;
-ох=—e~'|i2 -J {ет4'(ахл1-]-а2уЛ-]-2^уЛ)
— оо
-j-е-Ху (тЬх —аРуВ-^ууВ)} e~iaxda;
az=——ег-t^ ( {е^(Рш2+Р2М+2>уЛ) +
Я J
— со
-j- е~1У (рх&2—р2уВ -[- 2ууВ)} e~iaxda;	(6.7)
оо
^2=—^е-'₽г J {ew (ava2+fah + 2аруА) -J-
— Ср	,
-j- е~'!У (ах^2-[- р«&! — 2ару£)} e~iaxda;
хху=-^~ е-/₽г С {[ух«1 — гаха3 + а (2уу -j-1) А ] +
/л J
’	-—оо
_|_е-то j—— imb3-}-a(2yy — 1) Z?]} е~ iaxdd;
со
гед=УГ“ е-'₽г f '{е™[Уад2—i^3+? (2?У +1) Л]+
. 2л J
_|^е—т»[——/рх#3-|-р(2у^ —.1)7?]'} e~iaxda.
82
Рис. 6.1. Схема взаимодействия жесткого поло-
сового штампа’£ упругим слоем
Рассмотрим задачу о взаимодейст-
вии , жесткого полосового в плане
штампа с упругим слоем толщины h,
лежащим без трения йа недеформиру-
емом основании. Предполагаем, что
силы трения между штампом и слоем
отсутствуют и вне штампа поверхность
слоя не нагружена. Пусть область кон-
такта Q между, штампом и слоем опи-
сывается неравенствами |х| ^а, |а|<оо, а форма основания штам-
па в области контакта определяется функцией y—f(x, z). Кроме
того, пусть- штамп вдавливается в слой- силой Р, отнесенной к еди-
нице длины и приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.1).
Граничные условия задачи при сделанных предположениях име-
ют вид (здесь и далее, как принято в задачах линейной теории
упругости, граничные условия сносим на недеформированную по-
верхность тела)
v(x, 0, z)—0; txy(x, 0, z)=0; xyz(x, 0, z)=0;
тху(х, ht z)=0; xyz(x, h, z)=0; ay(x, h, z)=0 ((x, z)e£2); (6.8)
v(x, h, z)= —8(x, z)= — [fc-f-ax—f (x, z)] ((x, z) e Й),
Причем напряжения при |x|—>oo отсутствуют. Здесь 6 — поступа-
тельное перемещение штампа по оси у под действием силы Р; а —
угол поворота штампа вокруг оси z под действием силы Р.
Найдем распределение нормальных контактных напряжений
под штампом оу (х, h, z) =—q(x, z) [(x, г)£Й] и связь между „Р, е
и 6, а.
Допустим, что функцию б(х, z) можно представить в виде ряда
или интеграла Фурье по г. Тогда достаточно решить задачу (6.8)
для частного "случая	'	,
8(х, 2)=S(x)e=-'₽z	‘	(6.9)
и составить суперпозицию решений, полученных при различных зна-
чениях параметра р.
Для решения задачи с граничными условиями (6.8),- (6.9) можно
использовать результаты (6.4), (6.6) и (6.7). При этом целесооб-
разно сначала рассмотреть вспомогательную задачу ' со следую-
щими граничными условиями:
v(x', 0, z)=0; xiy(x, 0, z)=0; хуг(х, 0, z)=0;
Хху(х, h, z)=0; xyz(x, h, z)=0-
Oy(x, h, z)=—q(x^~1^,	(6.10)
где q(x)=q(x) (|x|<a); q\x)=G (|x|>a),
83
причем напряжения при |х|->оо отсутствуют.
Приняв у=0 в формулах (6.4), (6.6) и (6.7) для v, хху и xyz и
приравняв нулю подынтегральные выражения, удовлетворим пер-
вые три граничных условия (6.10). При этом получим
Ьг~— а3; Ь2—аъ bx=ai.	(6.11)
Приняв y=h в формулах (6.7) для хху и xyz и приравняв нулю под-
ынтегральные выражения, удовлетворим следующие два гранич-
ных условия (6.10). При этом получим
xza3sh уА — [2(1 —v)sh yA + yAch уА] Д=0;	(6.12)
а2а.
Представим функцию q(x) в форме интеграла Фурье
q(x)——f Q(a)e~iaxda.	(6.13)
2л J
— ©о
Обратное представление с учетом последних формул (6.10)
можно записать в виде
Q(a)= J	(6.14)
Удовлетворим последнее граничное условие (6.10), приняв y=h
в формуле (6.7) для <уу и приравняв затем нулю сумму подынте-
грального выражения полученного соотношения и подынтеграль-
ного выражения (6.13). В результате получим
хш3сйуЛ —[(1 — 2v)ch уАЦ-уАэЬуй] A=Q(d)/(4iOy). (6.15)
Решив систему уравнений (6.12), (6.15) относительно су (i=l,
2, 3), получим
“=d^5'I-<’_2<)shTft+1"ichv*I=“2T':
ibxvMTt) I2(1 -»ShV*+т*Chv*l; <6-16)
Д (уА)=s.h 2уЛ 2уА.
Подставив выражения (6.11) и (6.16) в формулы (6.7), найдем
выражения для определения напряжений в слое, соответствующие
вспомогательной задаче (6.10):
©о
ар==—е-;₽г J {—shyAdiyy—yAchyAchyy +
— e~iaxda-,
-д(и)
84
+УУ sh уг/sh уА)
at=—е~'₽г С {—(a2-]-2i$2)ch Y«/sh уА-|-
л J
— оо
+«х2 (yh ch yh ch у у —yy sh у у sh yh)}	— e~iaxda;
у2Д (yh)
a,.= —е-;₽г
г_ л
{—ф2 -j- 2va2) ch у у sh yh -j-
-|- ₽2 (yh ch yh ch yy — yy sh yy sh yh)}	e~''axiZa;
тЛ.г=—е_'₽г f [yhchyhchyy —yy shyyshyh —
л ,1
— (1 — 2v)shyhchyy]	e~iarda-,
,	у2Д (у ft)
T™=—e~'₽z f {yAchyAsh yz/ — yychyt/shyA}e-'^rfct;
• я J	уД (yh)
(6.17)
co
тг(,—X-e~'₽z f (yAchyAshyy— yychyt/shiyA) ^^^—t~iaxda.
л J	уД(уй) .
Можно показать, что напряжения, определяемые по формулам
(6.17), в силу известных свойств интегралов  Фурье при |х|->-оо
обращаются в нуль. Подставив выражения (6.11) и (6.16) в фор-
мулы (6.4) и (6.6), найдем выражения для определения перемеще-
ний в слое. В частности,
v(x, А, г) = --!-'е-'₽г .[ -----сЬ2уй~~1-----Q(a)e-laxda, (6.18)
2л0 J у (sh 2yh -k 2yft)
где e=O/(l—v).
Таким образом, первые шесть граничных условий (6.8) контактной
задачи для слоя удовлетворены в ходе решения вспомогательной
задачи, удовлетворены также условия при |х|->оо. Подставив
функцию Q(a) вида (6.14) в формулу (6.18) и приравняв сумму
полученного выражения дляГо(х, A, z) и функции б(х, z), опреде-
ляемой по формуле (6.9), нулю при (х, z) eQ, удовлетворим послед-
нее граничное условие (6.8). После несложных преобразовайий по-
лучим следующее интегральное уравнение первого рода относитель-
но функции распределения контактного давления q (х):
85
( Я ® f ‘ о \ cos 4 G~х) ds = л68 (х),	(6.19)
J •'J и (shzzz 4-2u)	h
—а	О
где |х| -<а; и=у/ s2-]-A2p2.
Рассмотрим контактную задачу для слоя, жестко защемленно-
го по‘основанию. Для этой задачи можно использовать граничные
условия (6.8), 'заменив второе и третье условия следующими:
и(х, 0, z)=0; w(x, 0, z)=0.	(6.20)
Решив вспомогательную задачу (6.10), в которой второе и тре-
тье граничные условия заменены условиями (6.20), получим
Aj = — ZZjj	Аз==—’^3» ZZjp = ZZ2^»
_ — taQ(a)— J |— 2 sh — ch yA ];	/C O1
-	1 GyZDfyft)	(6.21)
«з=------7Д77ТГ [2<! — v)chyA+‘YAshYAl;
Gy£>(yA)
D (yA)=2x ch 2yA -j-.l -}- x2 -|- 4y2A2.
Подставив (6.21) в формулы (6.7), найдем выражения для оп-
ределения напряжёний в слое:
со
Оу — ——e~i^ ( {[2(1--7)сЬуА-|-уА8Ь yA] X
л J
— со
Х[2 (1 —• v) ch у у — уу sh yz/J — [(1 — 2v) sh yh—yh ch yh ] [(1—2v) sh у у -}-
4-yz/chy//]} e-‘aXJa;
co
ax=—{{(1 —2v)shyA — yAchyA][(xa2-j-2vy2)shyz/-|-
— co
4-a2yz/ch yz/]-f-[2(l — v)chyA4-yA shyA](a2yz/shyy-|-
+ 2vy2 chyz/)}-‘^(a) e-'?xJa;
*	V2D (yh)
az——~е-'/₽г J {[(1 — 2v)sh yh — yAch yA] [(xB2-[~2vy2)sh y^-f"
-ф- ₽2 у у ch yz/J -f- [2 (1 — v) ch yh -j- yh sh yA] (₽2yz/ sh у у -f-
-f- 2vy2 ch yy))	— e_/oxz/a;
Y2P(tA)
86
2	С
xxz=-----fc~z₽z I j[(l — 2v)sh yA—yAch уй[(х8йуу-|-уусЬу^) +
Л	J
— co	»
-J- [2 (1 — v) ch yh yh sh yA J у у sh у#}	(6.22)
xxy———е~‘?г j {[(1 —2v)sh уА—yAch уй[[2(1 —v)chy^-[-
— co
-pyz/sh yy] — [2(1 — v)ch yh-\-yh sh yAj [(1 —2v)sh yy —
— у у ch yz/J I —e~iaxda\
11 YZ>(Yft).
xZy——— e~& f {[(1 —2v)shyA—yAchyA][2(l—v)chy«/ +
Jt	J
— co
-j-yz/sh yy] — [2(1 — v)ch yh-j-yhsh yAj[(1 —2v)sh yy —
—yy ch yz/]}	e~iax a a.
yD (yh)
Напряжения, определяемые по формулам (6.22), в силу известных
свойств интегралов Фурье при |х|->оо обращаются в нуль. Подста-
вив (6.21) в формулы (6.4)» и (6.6)„ найдем перемещения в слое,
в частности
v(x, h, z)=-----— е_/₽г Г------2xsh2yA —4уА-----Q(a)e-‘axda.
2пв -J у (2% сК2уЛ 4-1 4- *2 + 4у2Д2)
(6.23)
На основании выражения (6.23) для контактной задачи (6.20)
с учетом граничных условий (6.8) запишем следующее интеграль-
ное уравнение первого рода относительно функции распределения
контактного давления q (х):	’	•
Г ~ С 2zsh2w —4u „ s /и . , •
-A q (О di 1-------------------cos — (i — x) ds =
J	.) и (2z di 2u 4-1 4-v-2 + 4//2)	ft
—a	0
=л68 (x) (|x| < a).	.	(6.24)
При p = 0 (u=s) интегральные уравнения (6.19) и (6.24) вырож-’
даются в интегральные уравнения соответствующих плоских кон-
тактных задач для слоя [7], при этом формулы (6.17) и (6.22) зна--
' чительно упрощаются.. Если h—^oo и р#=0, уравнения (6.19) и (6.24)
принимают вид
[ ?(О/Со[?(<— x)]d^—л68(л) (|х| <«),	(6.25)
х->0 [9]
Рис. 6.2. Схема взаимодействия упругого
штампа с упругой полосой
где Ко(х) —цилиндрическая функ-
ция мнимого аргумента (9].
Интегральное уравнение (6.25) со-
ответствует задаче о вдавливании по.-
лосового в плане штампа в упругое
полупространство [27, 29].
-Устремив в (6.25) р к нулю, с уче-
том асимптотики функции К0(х) при
Ко —in W+0(1)
(6.26)
получим интегральное уравнение
а
[ ?(О[-1п|!--х|4-С]^=лв8(*) (И<«),
(6.27)
соответствующее плоской контактной задаче (плоская деформация)
для упругой полуплоскости [48]. Постоянная С в уравнении (6.27)
бесконечна,^однако, как было указано в подразд. 1.1, это не мешает
нахождению закона распределения контактного давления q(x) при
заданной силе Р, вдавливающей штамп.
Рассмотрим два варианта плоской задачи о взаимодействии уп-
ругого штампа (6Ь v() с упругим слоем (G, v) толщиной h; а) ле-
жащим без трения на недеформируемом основании, б) жестко за-
щемленным по основанию. Считаем, что силы трения между штам-
пом и слоем в области контакта |х,| отсутствуют -и поверхности
тел вне. области контакта не Загружены (рис. 6.2). Пусть штамп
вдавливается в слой силой Р, приложенной с эксцентриситетом е,
'и форма основания штампа в области контакта описывается функ-
цией y=f(x). Предполагаем также, что штамп представляет собой
массивное тело, размеры которого намного превышают размер об-
ласти контакта 2а. Как и в теории Герца [48], вертикальные пере-
мещения точек поверхности штампа от контактного давления
q(x) ([х|^п) аппроксимируем вертикальными перемещениями то-
чек поверхности упругой полуплоскости от того же давления.
Условия контакта между штампом и слоем запишем в виде
Ш, Л)4-Т1(л:, й) = —В(х) (|х|<д);
(6.28)
8 (л)=В 4- их — f (х),
где v(x, h) и V](x, h) — вертикальные пе^мещения точек поверхно-
сти слоя и полуплоскости; б+пх— жесткое перемещение штампа.
На основании условия контакта (6.28) и уравнений (6J19),
(6.24), (6.27) приведем рассматриваемую задачу к следующему
интегральному уравнению относительно контактного давления
<?(*): . ' . .
88
f q ($) K de=л68 (x) (W < a)>	(6-29)
где '
K(t)=n(— In И4-С) + /г(/); Л=00Г1;
k (/)= j" £1Д cos stds.	(6.30)
о
В формуле (6.30) постоянная С — бесконечна и для вариантов
а) и б) соответственно имеем	•
т, .	ch 2s— 1	, . . -2xsh2s —4s	,с O1.
L ($)=-----------; L (s)---------------------•	(6.31)
sh2s+2s	2z ch 2s 4-1 + 7.2 4-4s2
К интегральному уравнению (6.29) следует добавить условия
равновесия штампа
Р=ф(М; Ре=^ q(£)№..	(6-32)
—а .	— а
Если бы постоянная С в уравнении (6.29) была конечна, первое
условие (6.32) позволило бы определить связь между поступатель;
ным перемещением штампа б и вдавливающей силой Р; второе ус-
ловие (6.32) служит для определения связи между эксцентрисите-
том е приложения силы и углом а поворота штатмпа. Рассмотрим
случай, когда правый край 'Области контакта (л'=^=й) фиксирован
(угловая точка штампа врезается в полосу, см. рис. 6.2), а левый
(х=—а) подвижен и его положение зависит от значений Р и е. Для
определения полуширины а области контакта в этом' случае ис-
пользуем условие, согласно которому контактное давление на по-
движном крае обращается в нул'ь, т. е. q(—а)=0. Кроме того,
вследствие отсутствия сил сцепления между штампом и полосой
в области контакта при правильной постановке задачи при |х|
должно быть выполнено условие q(x)^0, а при |х|>а поверхно-
сти штампа и слоя не должны пересекаться.
6.2. ПОСТАНОВКА КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА
И УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ШАХТОЙ
_ В цилиндрической системе координат операторы rot u, grad О
и diyu, входящие в уравнения Ламе (6.1), имеют вид
,	/ 1 dw	dv ' rotu=f	 \ г d<f	dz,	\ i I du ' e'+ A	dw \ ЙГ /		' dv . v , dr 1 r
grad&=	= -^e+-	1	 0 1	
		r d<?		V/7 i dz z
	ди } и	i 1 .	dv ।	dw
	dr 1 r	1 r	d<f	dz
ди \
— е2;
(6.33)
89
Здесь и, v, w и ег, е,,, ez — компоненты перемещения и единичные
векторы соответственно по направлениям г, ф, г.
, Аналогично можно определить оператор rot о=rot (rot u).
Деформации связаны с компонентами перемещения зависимо-
стями	•
er =		du	1 dr	v *r	dv . dy ,	U r	dw Zz~~~d7’'		(6.34)
dv	_ V _L	I du	dtr ।	1	1 r	dw ।	। dv
rr? dr	r +	л  » trz r dy		' dr		d<t	dz ’
а напряжения ог, <&, oz, т»®, trz и — с соответствующими дефор-
мациями формулами (6.3)7
Решение уравнений Ламе (6.1) ищем'в форме интеграла Фурье"
оо
u==e-z₽? — С и (а г) e~iazda,
2л J
— со
(6.35)
тогда относительно компонент U, V, W вектора U(a, г) получим
уравнения
2 (1 - v)W —-(! ~2>) (-^- + а2)^ +
_|_(3 __4v) 21 у V'-iaW=0;
(l-2v) y' _JLy_a2yj__2(l
_(3__4v)2Lf7—51^—£₽.£/'=0;
r2 г Г	(6.36)
(1 - 2v) (W"+— W' -	ir) - 2 (1 - V) aW -
\	Г	Г2 J
+	--^-V=0.
Общее решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (6.36) имеет вид
U=а/р (ar)—a2P2 (ar)-1 /₽ (ar) — a3arl ₽ (ar) — a4K ₽ (ar) -f-
-\-a5^(ar)~^K9(ar)-[-a6arK^(ar)\	(6.37)
V = z’B [a2/₽ (ar) — aj (ar)-1 /₽ (ar) — a5K'? (ar)-j-a4 (ar)-1 К₽ (ar) j;
W=i {a3arl'? (ar) — [yzj — («+1) a3] (ar) —
— a6arK? (ar) [a4 — (x -j-1) a6].K ₽ (ar)),
90
Рис. 6.3. Схема взаимодействия жесткого
бандажа с упругим цилиндром
где ai (i=l, ..., 6)—произвольные
функции от а и р: /е(х) и Л'в(х) —
цилиндрические функции мнимого
аргумента [9].
Подставив (6.37) в (6.35), полу-
чим решение уравнений Ламе (6.1)
и затем по формулам (6.34) и (6.3)
найдем напряжения. Б частности,-
г
дг=е-'> — С )[«!—(1—2м)я3|/р(аг)4-(а14-а2)-—-
л j 1	, и2г2
С (-4-(а2+«з)-/’₽(аг) + (а1-|-Р2а3)—/₽(аг) —
J v z	d*r
—<z3ar/p (ar) —	-ф B2a2) — I₽ (ar) — [a4 — (1 — 2v) a6]	(ar) —
— (a4+a5)	К p (ar) -f-a6ar/C ₽ (ar) -]- (a4 -J- (32as) —К p (ar)]ae~iazda;
a/r*	ar	) *
tr2 = e-'^ ~	[ai— 2(1— v)a3]/p(ar)+a3ar/p(ar)-{-
— co
+ («2+«з)	(ar) + la4—2 (1 — Л «б! Kp (ar) —a^irKp (ar) —
— (a5-[-a6) Kp (ar)} ae~ia2da;	(6.38)
Л у p - v
—(«1 + «2) — f'p'(ar) —tr(a5‘+a6)K9 (ar) — (a4 + p?a5) -J— Kp(ar)-f-
df"	Z	dzr^
+ (a4 -j- a5)	A'p (ar)| ae~iaz£la.
. Рассмотрим, задачу о взаимодействии жесткого бандажа с бес-
конечным упругим цилиндром радиусом (рис. 6.3). Предполага-
ем, что силы трения между цилиндром и бандажом отсутствуют и
вне бандажа цилиндр не нагружен. Ширина области, контакта бан-
дажа с цилиндром равна. 2а. Уравнение внутренней поверхности
бандажа
г’=/?—B(z, <р).	(6.39)
Граничные условия задачи при сделанных предположениях
имеют вид
91
xrz(R, z)=0; Trv(R, V, z)=0;-
<3r(R, <P, z)=0 (|z|>a); u(R, <p, z)=— 8(zr <?) (|z|<a),	(6.40)
кроме того, при r=0. напряжения ограниченны, при |z|—>оо отсут-
ствуют.
Найдем распределение контактных нормальных напряжений
под 'бандажом ог(Д, <р, z) =—q(z, <p) (|z| ^a),
Допустим, что функцию 6(z, <р) можно представить в Виде ряда
Фурье по <р. Тогда достаточно решить задачу (6.40) для частного
случая
S(2, <р)=8 (г)е-'>,	(6.41)
а затем составить суперпозицию решений, полученных при различ-
ных целых значениях параметра р.
Для решения 'задачи с граничными условиями (6.40), (6.41)
можно использовать результаты (6.35), (6.37) и (6.38). При этом,
как и в подразд. 6.1, целесообразно сначала рассмотреть вспомога-
тельную задачу со следующими граничными условиями:
Ъг(Я, ?, Z)=0; 1^(7?, <Р, z) =0; ar(R, ср, z)=— 4(z)e-‘>;
_	~	(6.42)
q(z}—q(z) (|z|<a);~ q(z)=0 (|z|>a),
причем напряжения при г=0 ограниченны, а при |z|->oo отсутст-
вуют.
По формулам (6.38) из условия ограниченности напряжений при
г=0 найдем
#4=a5=a6—0,	(6.43)
а из граничных условий (6.42) получим
<?(«)
1 2GaAj
(6.44)
а2= —'
г 2GaAi Is 1 (	1 2s2) 1
92
Рис. 6.4.. Схема взаимодействия жесткого
вкладыша с поверхностью шахты в упругом
пространстве
Здесь аргумент s у функций /е($)
для краткости опущен, трансфор-
манта Фурье Q(a) и функция q(z)
связаны соотношениями вида (6.13),
(6.14).
Подставив (6.43) и (6.44) в фор-
мулы (6.38), получим выражения
для определения напряжений в ци-
линдре. Можно убедиться, что при |z|—>-оо эти напряжения отсут-
ствуют. На основании решения (6.35) с учетом формул (6.37),
(6,43) и (6.44) найдем выражения для определения перемещений
в цилиндре, в частности
u(R, <р, z)—---— е-'^ С Q(a)—р	e~fa*<Za,* (6.45)
2лв J  a/p (s)
— со
где
+_L/(UpTjL+(i+JLy_JLl+^^-i)_i;
2 P[s2 1 (	1 S2j s4 J 1 s2
p=2(l—v); w₽(s)=/p(s) [/₽(s)]-1;
Таким образом, три первых граничных условия (6.40) контакт-
ной задачи для цилиндра удовлетворены в ходе решения вспомога-
тельной задачи, удовлетворены также условия при г=0 и при
,|г|->оо. Подставив функцию Q(a) вида (6.14) в формулу (6.45) и
приравняв полученное выражение для u(R, <р, z) функции 6(z, ф),
определяемой по формуле (6.41), удовлетворим последнее граничное
условие (6.40). С учетом нечетности функции и₽(«) при целых
значениях р получим следующее интегральное уравнение первого
рода относительно функции распределения контактного давления
<7(z):
Рассмотрим другую задачу о взаимодействии жесткого вклады-
ша с поверхностью бесконечной цилиндрической шахты радиусом R
—------cos — (C -
s/p(s) R
—z)ds=nfil(z) (|z| а).	(6.46)
93
в упругом пространстве (рис. 6.4). Предполагаем,.что силы трения
между вкладышем и поверхностью шахты отсутствуют и вне вкла-
дыша поверхность шахты не\нагружена. Ширина области контакта
равна 2а, поверхность вкладыша описывается уравнением (6.39),
в котором знак минус следует заменить знаком плюс.
Граничные условия задачи при сделанных предположениях име-
ют вид
<р, £)=0; xrAR, <р, z)=0;
or(R, <р, z)=0 ( | z | >а);	(6.47)
«(/?, <р, z)=8(z, <Р) ( | z I <а),
кроме того, напряжения при r2-\-z2-^cx> исчезают.
Как и ранее, достаточно решить задачу (6.47) для функции
d(z, ф) вида (6.41). Граничные условия вспомогательной задачи,
соответствующей основной с граничными условиями (6.47), имеют
вид (6.42), причем напряжения при у г2-(-„.г2—«со отсутствуют. Из
последнего условия (точнее из условия, что при г—>~оо напряжения
стремятся' к нулю) по формулам (6.38) найдем
й1=а2=йз—(6.48)
а удовлетворив с помощью формул (6.38) граничные условия
(6.42), получим
 -(’+Я+М2<] -С+-&):1 -
2s2 J s )
<?(«) ( 1	\	^p(I-v)	1 Л г ₽2
5
+	—(s=aR), (6.49)
2СаДг 1 2s3	2	\ s2 / s J <
Здесь аргумент -s у функций Kp(s) для краткости опущен, тран-
сформанта Фурье Q(a) и функция q(z) связаны соотношениями
вида (6.13), (6.14). Подставив (6.48) и (6.49) в формулы (6.38),
94
получим выражения для'определения напряжений в_пространстве
с шахтой. Можно убедиться, что эти напряжения отсутствуют не
только при г—>оо, но и при |z|->oo. На основании решения (6.35)
с учетом соотношений (6.37) (6.48) и' (6.49) найдем выражения для
определения перемещений в пространстве с шахтой, в частности
оо
u(R, <р, z)——— e'P'f I Q(a)— -е-‘агda,	(6.50)
2л0. J	 ал₽ (s)
— Ой -
где	4
m,(S)=-J^aj(i+4)-4S’-iSe(i—e_Y+_L;
2p.s2	\ s2 / s3 2	\	/	5
и₽ (s)= L s2| рЕ _(i +Лу+Г +Я)1_
2	4 s4 I -®2 ) s4 \ ' «2 /J
L\ «2 Д «2 ) *4 J 2	[ s2 \	J
HP2-1) । p
p==2(l — V); 2p(s) = /Cp(s) [A'p(s)]-1.
Таким образом, три первых граничных условия (6.47) контакт-
ной задачи для пространства с шахтой удовлетворены в ходе ре-
шения вспомогательной задачи, удовлетворены также условия при
/r24-z2—*оо. Подставив функцию Q(a) вида, (6.14) в формулу-
•(6.50) и удовлетворив с помощью (6.50) последнее граничное усло-
вие (6.47) при б (г, <р) вида (6.41), с учетом нечетности функции
fip(s) при целых значениях р получим следующее интегральное
уравнение первого рода относительно функции распределения кон-.-
тактного давления q(z)r: —
f qWdr. f cos (С -	=л 68 (z) ( | z | <a). (6.51)
J	.1 snB(s) R •
При p=0, t. e. для осесимметричной задачи, интегральные урав-
нения (6.46), (6.51) значительно упрощаются:
а	оо
f ?(C)dC С Li	COS — (С —-Z) ds = л 68 (z) ( | z | <а), (6.52)
J	J	s R	"
—а	0
где для первой задачи (для цилиндра)
Zj(s)=?=s [s2(o)o—1) —2(1 —v)]-1;	(6.53)
для второй задачи (для пространства с шахтой)
Z2(s)=s-[2(1-v)-s2(2?-1)]-1.	(6.54)
, 96
Рис. 6.5. Схема взаимодействия упругого бандажа
с упругим цилиндром
Рассмотрим осесимметричную задачу
о взаимодействии упругого бандажа (Gb
vi) радиусом <=$—6(z) с бесконечным
упругим цилиндром (G, v) радиусом R.
Предполагаем, что силы" трения между
бандажом и цилиндром в области кон-
такта	отсутствуют и вне области
контакта поверхности тел не нагружены
(рис. 6.5)/.
Условие контакта между бандажом и цилиндром запишем
в виде
,	«(/?, z)~UxtR, z)—— 8(z) ( |х|<й),	(6.55)
где u{R, z) и Ui[R, z) — радиальные перемещения точек поверхно-
сти цилиндра и бандажа соответственно.
Предполагаем также, что упругий бандаж является достаточно
массивным теломт размеры которого значительно превышают раз-
мер области контакта 2а. Согласно теории Герца радиальные пе-
ремещения поверхности бандажа от давления q(z) с достаточной
степенью точности можно аппроксимировать радиальными переме-
щениями от того же давления поверхности бесконечной цилиндри-
ческой шахты радиусом R в упругом пространстве. Тогда на осно-
вании условия (6.55) и формул (6.52) — (6.54) приведем задачу к
следующему интегральному уравнению относительно контактного
давления q(z):
d(.=n%{z) ( | z | <а),
(6.56)
где
К (/) = \ £1<£) + пМ cos tS(ls- п=— ,	(6.57)
J S	61
о
причем в выражении.(6.54) нужно заменить vHavt.
Для схемы контакта, показанной на рис. 6.5, на которой левый
край области контакта (z=—а) фиксирован (угловая точка бан-
дажа врезается в поверхность цилиндра), а правый (z = a) подви-
жен и его положение зависит от натяга (вида и значений функции
6(z)), условие на подвижном крае имеет вид' q(a) =0. Кроме того,
при правильной постановке задачи при	должно быть вы-
полнено условие q(z)^0, а при |z| >а поверхности бандажа и ци-
линдра не должны пересекаться.
96
«3. ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
Используем уравнения (6.1), (6.33) и (6.34), в которых примем
а»=0, u—u(r, <р), v=v(r, ф). Решение указанных уравнений ищем
в форме интеграла Меллинй
с+1 со
и=—— f U(s, <?)r~sds,	(6.58)
2га' J
C—/co
тогда относительно компонент вектора U(s, ф) получим уравнения
<x+l)(s2-l)t/+(x-l)£/'_2(s+x)V;=0;	(6.59)
(х — l)(s2 —1)1/ (х -j-1) У* — 2 (s — х)(7у=0,
где z	х=3—4v.
Общее решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (6.50) имеет вид
/7=(s + x)[a! sin (s+l)<p + a2cos ($-|-1)<р] +
-|-(s — l)[a3sin(s — 1) -|-#4 cos (s —	(6.60)
l/=(s—x) [tfj cos (s-f-l)<p — a2sin(s-{-l)?l —
—(s —l)[a3cos (s —l)<p—a4 sin(s — 1)<p],
где «»<(£= 1,2, 3, 4) — произвольные функции s.
Подставив (6.60) в (6.58), получим соответствующее решение
уравнений Ламе. Затем по формулам (6.34> найдем деформации
«г» «•» Ш И ио формулам закона Гука типа (6.3) определим напря-
жения:	I
c+i СО
•*г=--------	{(s+3)[a1’sin(s + l)cp-|-a2cos(s-|-l)cp]4-
111	2
С—ico
' -|-(s — 01йз sin (s — 1)<р+а4 cos (s — 1) <р]} sr-*-1 ds;
C+Zoo
—- I [flj sin (s-f-1)? + ^ cos (s-|- l)<p-f-a3 sin (s— l)<p-f-
Л/ J
C—Zoo
-j-a4cos(s —l)<f>]a(s—l)r—Ms;	((э.61)
C+Zco
4vG P
'az=-----— I [a1sin(s + l)<f>+£Z2cos(s4-l)<p]sr-i!-1ds;
Ш ' J
c—Zoo
C+Zco
*rf=— f {(s+l)[OiCos(s-|-l)q> — a2sin(s+l)<p] +
3tl J
°0
4~(s — 1) [a3cos (s — 1) <p—a4 sin (s — 1)<p]) sr-s-'ds.
97
н _____ «р	Рис. 6.6. Схема взаимодействия жесткого штампа
I*----~	*1.	.с упругим клин.ом
1’^3-----] Рассмотрим-теперь задачу о взаймо-
/ действии жесткого штампа с упругим кли-
< ном с углом раствора а (0Ка<2л)._ Счи-
j таем, что грань клина <р=0 жестко за-
/ щемлена, а в грань <р—а вдавливается
штамп силой Р (здесь сила отнесена к
единице длины штампа), приложенной на
расстояний Н от вершины клина (рис. 6.6).
Предполагаем, Что силы трения между штампом и поверхностью
клина отсутствуют и вне штампа поверхность клина ф==а не нагру-
жена. 'Ширина области контакта штампа с клином определяется
неравенством a^r^.b,' а форма основания штампа в области кон-
такта— функцией f(г).
Граничные условия задачи при сделанных предположениях име-
ют вид	
' >п(г, 0)=0; м(т, 0)=0;
тг9(г, а)=0; Оу(г, а)=0 (0<г<а; Ь<^г<^со);	(6.62)
-у (г, а)= — 8(f) — — [8-[~рг--/(г)] fo<F<>),
где ё+рг —жесткое перемещение штампа под действием силы Р.
Чтобы завершить постановку задачи, следует иайти пределы
интегрирования в зависимостях (6.58), (6.61), т. е. значение по-
стоянной с. Для этого интегралы типа
5(s, <p) = ja(p, ?)PM?,	(6.63)
о
определяющие трансформанты Меллина напряжений [о (р, ф)— лю-
бое из напряжений (6.61)] должны быть сходящимися. Относитель-
но поведения напряжений при г->0 известно' [45], что они отсутст-
вуют при a <6* и стремятся .к бесконечности при а>«*, где
.a*=arcsifi— V. При этом порядок стремления к бесконечности
в худшем случае составляет НА. Когда г->-оо, напряжения исчеза-
ют [45], в худшем случае порядоф их стремления к нулю составляет
г-5/». На основании изложенного мржно сделать вывод, что Res = c
в (6.63) находится в пределах
I Re s ] < 1 /4.
(6.64)
Отметим, что указанная постановка задачи, основанная на. зави-
симостях линейной теории упругости, справедлива, если выполнено
неравенство '	-
0<f-18(f) < min(l‘ tga), г(=[а, b\.	(6.65)
98
В итоге требуется найти распределение нормальных контактных
напряжений под штампом o<p(r, а)=— q(r) (a^.r^b), а также
связь'между величинами Р, Н и б, р.
Сначала, как в подразд. 6.1 и 6.2, найдем решение вспомогав
тельной задачи, с граничными условиями:
г>(г, 0)=0; и (г, 0)=0;
Тг¥,(г, а)=0; а¥(г, а)= — q{r)^	(6.66)
q(r)=q(r) (а <г <b); q (г)=0 (0<г<а; б<г<оо),
считая выполненным неравенство (6.64).
Введем в рассмотрение трансформанту Меллина функции q(r):
Q(s)= [q(p)psdp; q(r)=—f Q (s)r~s-lds..	(6.67)
J	2ш J
a '	c—i co
Используя зависимости (6.58); (6.60),-(6.61) и (6.67), запишем гра-
ничные условия (6.66) в виде системы- алгебраических уравнений
для’йпределения функций a(-(s) (1=1, ..., 4):	"
(s4-x)a2 + ($ — 1)«4—0; (s — x)aj-|-(s— 1)а3—0;
(«Цг-iXfljZ—a2^)-|-(s—1)(а3«—а4/и)=0;	(6.68)
a1^-j-«z/-]-a3m-|-a4tt= — Q(s)[2Gs (s — I)]-1.
Здесь введены обозначения
A=sin («4-1)0; Z=?=cos(s-J-l)a;
in—sin(s—1)a; n = cos(s—l)a.	(6.69)
..Решив систему (6.68), найдем
«1 = —sin (S — 1) a — (S 4-1) sin (s 4-1) a];
a2= —	- f(s — x) cos (s — l)a —(s4-l) cos (s-|- l)a];
a3= — (s — x)(s — l)-1aj; a4= —(s-j-xHs—l)-ia2;	(6.70)
A (s) = 2s2 cos 2a 4- 2x cos 2sa — 2s2 4-1 + *2-
, Подставив (6,70) в зависимости (6.58), (6.60) и (6.61), получим
выражения для определения перемещений и напряжений в клине.
В частности,
f c-Н со
•V(r, а)=----— f _______( — 2s sin 2a 4-2х sin 2sa) Q (s)
2ni0 J s (2s2 cos 2a + 2x cos 2sa — 2s2 + 1 + x.2)	’
C-=-ico
(6.71)
где
6==O/(l — v).
99
нение первого рода
Рис. 6.7. Контур интегрирования в комплексной плоско-
сти s
Таким образом, четыре первых граничных
условия (6.62) контактной задачи для клина
удовлетворены в ходе решения вспомогатель-
ной задачи. Подставив функцию Q(s) вида
(6.67) в формулу (6.71) и приравняв сумму
полученного выражения для v (г, а) и функции
6 (г) нулю при	удовлетворим послед-
нее граничное условие (6.62). В результате
получим относительно функции распределения
контактного давления q(r) интегральное урав-
b	c+i'oo
__________— 2s sin 2а 4- 2х sin 2sa____________
S (2s2 cos 2a 4- 2x cos 2sa — 2s2 4- 1 4- x2)
a	c—i «о
j5 ds—2лг08 (r).
(6.72)
Заметим, что на мнимой оси плоскости комплексного перемен-
ного s знаменатель подынтегрального выражения ядра интеграль-
ного уравнения (6.72) не имеет нулей, поэтому можно принять с—
=0 и выполнить замену переменной & на is. Тогда уравнение (6.72)
можно записать в виде [7]
ь
а
(6.73)
где
ОО	г
Л1(() —j	cos stds, Z=ln— ;	(6.74)
о
. ,	,	2xsh2sa — 2s sin 2a	.„-r.
Z,, (s a)—------:---------------------.	(6.7o)
2x ch 2sa — 2s2 cos 2a 4- 2s2 4- x2 4- I . .
Рассмотрим вторую контактную задачу для клина, одна грань
которого (<р=0) шарнирно защемлена (Скользящая заделка), т. е.
второе граничное условие (6.62) заменено следующим:
тг?(г>0)==0. ’	(6.76)
Для определения пределов интегрирования в зависимостях
(6.58) и (6.61) заметим [45], что напряжения при а<л/2 отсут-
ствуют, а при а>зт/2 — стремятся к бесконечности, когда г-»-0. По-
рядок стремления к бесконечности в худшем случае равен
Когда г—>оо, напряжения отсутствуют [45], причем в худшем случае
порядок их стремления к нулю равен г-1. Таким образом, получаем
-0,5<Res=c<0.	(6.77)
100	.
В результате решения соответствующей вспомогательной задачи
находим
ч	л	(s +1)sin (s+ 1) а
а = а3=0; а4 — — а2 - ---------	;
(s — 1) sin ($ — 1) а
_ Q(s)sin(s-l)a	(6.78)
2Gs (s sin 2а + sin 2as)
Подставив (6.78) в выражения (6.58), (6.60), найдем
У с+/оо
z	1	. cos 2а cos 2as	_л./г. zz? 7G\
я (г, а)=--------\  ---------------——Q(s)r Sds, (6.79)
2nZB J s (sin 2as 4-s sin 2a)
r—i<»
На основании (6.79) получим для определения контактного давле-
ния q (г) интегральное уравнение первого рода
Ь	c+i<x>
Cq()dp С cos 2a — cos 2as _ Z _РУ = 2щ№ (г)	<6.80)
J	J s (sin 2p.s + s sin 2a) \ Г j
a	c—i co
(a r b).
't
Заметим', что на мнимой оси плоскости комплексного переменного s
подынтегральное выражение ядра интегрального уравнения (6.80)
имеет двукратный полюс s=0 (исключение составляют случаи,
когда а=2л, а=л и а->0).
Преобразуем ядро уравнения (6.80). Для этого рассмотрим ин-
теграл по контуру Г, расположенному в плоскости комплексного
переменного s (рис. 6.7):
J, (/)=-[ - (-’ -1 esZ ds,	(6.81)
6	. J «2+е2
г
.	1 p rr, v (cos 2as — cos 2a) s
где	7=ln—; /7(a, $)?=	- ------—.
r	sin 2as + s sin 2a.
Внутри области, очерченной контуром Г, функция Н (a, s) регу-
лярна. Применив.к интегралу (6.81) теорию вычетов, найдем
(/)=niH (a, ze) r1 sin et.	(6.82)
Устремив l к бесконечности (см. рис. 6.7) и приняв во внимание/го,
что интегралы по отрезкам АВ и CD обращаются в нуль, получим
/,(/)=- С Я(а’ erfds-|- f Я(а' S~estds. (6.83)
J S2 + e2	' J jr2 + e2
c—i co	~—i oo
Па основании (6.82), (6.83) при e->0 придем к соотношению
c+fco	/ ОО	\
_ г ^(a, s)_e^g==2/ / г	Я(а> 0)/] .(6.84)
J S2	I J «2	2	I
с—/оо	\о „	*
101
Подставив (6.84) в интегральное уравнение (6.80); приведем его
к виду [27]
ь	•
( Я (р)[л?(1п—	В2(а) In — ] dp=n6B (г) (а-^г <.&),	(6.85)
J L \ г J 2	г J
а
где.
k2(t)=\L3{s’ а) coss/ds; Д2(а)= -~cos2a ;	(6.86)
.1 s •	2а 4- sin 2а
о
, , ч.	ch 2as — cos 2а	.« о-,.
Z2(s, а)= 	.----—— .	(6.87)
.sh 2as + s sin 2a	—-
Рассмотрим третью контактную задачу для клина, одна грань
которого (<р = 0) свободна от напряжений, т. е. два первых гра-
ничных условия (6.62) заменены следующими:
<зт(г, 0)=0; тг9(г, 0)=0.	(6.88)
Здесь при а<л напряжения отсутствуют, а при «>л — стремятся
к бесконечности, когда г->0 [45]. .Порядок стремления к бесконеч-
ности в худшем случае равен г_1/2. Когда г->-оо, напряжения отсут-
ствуют [45],~.и в худшем случае порядок их стремления к.нулю ра-
вен г-1. Таким образом, как и в предыдущей задаче, для Res —с
имеем оценку (6.77).	_
Решение соответствующей вспомогательной задачи дает
а3= — (s-|-l)(s — l)"1^; a4= —
а ——(s+ l|sin (s+ l)a +(s— 1) sin (s — 1) a] . g g9
	8Gs (s2 sin2 a — sin2 as)	’
__ Q (s) (s + 1) [cos (s 4- 1) a — cos (s— 1) a]
2 .	8Gs (s2 sin2 a — sin2 as)
Подставив (6.89) в выражения (6.58) и (6.60), найдем
c+i со	' \
-,	.	1 С s sin 2a 4- sin 2as	,	.	„„„
n(r, a)=-------\ ------------—----------Q(s)r-Ms. (6.90)
 2ni0 J 2s (s2 sin2 a — sin2 as)
C—too
На основании (6.90) получим слёдующее интегральное уравне-
ние первого рода для определения контактного давления q(r):
t)	r+loo
С , ч г С s sin 2a 4- sin 2as / ? \s .
A fl (p) dp I -------—-----— H- ds = 2sw0B(r) (fl-<r^fe),
J 2s(s2sin2a- sin2 as) \ r )	,
<L	C—i CO __
. .	(6.91)
Как и в предыдущей задаче, здесь на мнимой оси плоскости
комплексного переменного s подынтегральное выражение ядра ин-
тегрального уравнения (6.91) имеет двукратный полюс s=0< Пре-
102
образуем это ядро, представив интегральное уравнение (6.91)
в виде [27]
6	•
^?(р) pfe3pn —	7?3(a)ln-y-j<Zp=n68(r) (a<r<6), (6.92)
fi
где
, ... CL-i(s, a) , ,	„ , . 2a + sin 2a	,c no.
*«>“, coss/rfs; Д»<“)"2,„г	•	<6.93)
6	v
£3(s, a)= asin2a+sh2«? . ..	'	(6.94)
2s (sh’ as — s2 sin2 a)
Можно показать, что интегральные уравнения (6.73) — (6.75),
(6.85) — (6.87) при а—И) и фиксированном h=atga вырождаются
в интегральные уравнения соответствующих плоских контактных
задач для упругого слоя (см. уравнения (6.19) и (6.24) при 0=0).
Интегральное уравнение (6.92) при а=п соответствует задаче
о вдавливании штампа в упругую полуплоскость, причем выраже-
ния L3(s, а) и B3(a) сильно упрощаются:
£3(s, n)=s-1cth л$; В3(л)=л-1.'	(6.95)
Используя выражения (6.95) и интеграл [9]
cth--ft- cos stds =c — In (2 sh C,	(6.96)
s	\	20 /
0
где С — бесконечная постоянная, уравнение (6.92) для а=л при-
ведем к виду [ср. с. (6.27)] 4	'
ь
<7(р)^ — 1п^—-lj-|-C]rfp= л68(г) (a^r-s^b).	(6.97)
а
К интегральным уравнениям (6.73) — (6.75), (6.85)—: (6-87). и
(6.92) — (6.94) рассмотренных контактных задач для упругого кли-
на следует добавить условия равновесия штампа
6	ь
P=^q(r)dr; PH—
а	а
Первое условие (6.98) для первой и второй задач (при а=л
и а —2л) позволяет определить связь между поступательным пере-
мацением штампа 6 и вдавливающей силой Р. Для второй задачи
при 6<а<л и л<?а<2л, а также для третьей задачи связь между
Р и 6 нельзя установить, поскольку ядра (6.86), (6.87),-(6.93) и
(6.94) определены с точностью до бесконечной постоянной, как и
в частном случае (6.97) (подробнее см. подразд. 7.1). Второе ус-
103
J rq (r\dr.	(6.98)
ловие (6.98) служит для нахождения связи между' величиной Н
и. углом р поворота штампа. в (6.62). На рис. 6.7 показана схем»
вдавливания штампа в клин, на которой правый край области кон-
такта фиксирован, а левый подвижен. При этом для определения
координаты а начала области контакта следует поставить дополни-
тельное условие q(a) =0. В случае корректной постановки рассмот-
ренных задач при	q(r)~^:O, а при 0<г<а и Ь<г<оо по-
верхности штампа и клина не должны пересекаться.
6.4. ПОСТАНОВКА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УПРУГОГО КОНУСА
В сферической системе координат операторы rot u, rot о, grad#
и div и, входящие в уравнения Ламе (6.1), имеют вид
(<о„	1 ды_ \	i дш	\
+—-f-)er-H—---------4е*;	<6-">
г	г dty )	\	dr	г )
.«д*	. \ d’b	'
grad & = — е, И--еф;
& дг . г dty *’
,. да . 2« . , , v . 1 dv
divu=—Н-----hctg<]>---— •
dr г	г г dtp
о	'
Здесь и и и — компоненты перемещения по направлениям гиф (пе-
ремещение в направлении <р в силу осевой симметрии отсутствует^
перемещения и и v не зависят от координаты <р), ег, е<р и — еди-
ничные векторы в направлении г, <р и ф. Деформации связаны с
компонентами перемещения формулами
ди -	. , v . и	1 dv . и
er=—; Ev=ctg<p-----------; еф= —— 4------;	(6.100>
дг	г г	г оф г
______dv	v । 1 ди
. дг	г г Эф ’
а напряжения ог, о<р, оф и тгф — с соответствующими деформациям»
формулами (6.3).
Решение уравнений Ламе (6.1) ищем в форме интеграла^ Мед-
лина
и=—-— С U(s, i))r~sds,
2л/ J т
(6.101>
тогда относительно компонент вектора U (s, ф) получим уравнения
• 0,5(х—l)(t/j4-ctg<J»t7^) —(s + x)(^4-ctg<|iV)4-
.04
+o,5 (x+ l)(s4;l)(s- 2) £7=0;	(6.102>
0,5(*+1) [Гф + (ctg<pH)'J -(s-x- l)t4+0,5(x- l)s(s — 1) V=0.
Общее решение системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (6.102) имеет вид
U=—(s— 1) Ф —(s-[-x)cos фТ; 1/'=Фф+соэ фЧАь+.х sin фФ;
Ф=at (s) Ps_2 (cos ф)+а2 (s) Qs_2 (cos ф); '	(6.103>
)¥=a3(s)Ps_1 (cos ф)+а4(«)(?а-1 (cos Ф),
где at (i=l, ..., 4) — произвольные функции s; РДсоэф) и
Qv('Costy) —функции Лежандра первого и второго рода [9].
Подставив (6.103) в (6.101), получим соответствующее решение
уравнений/1аме (6.1). Затем по формулам (6.100) и формулам
типа (6.3) найдем выражения для определения напряжений, в част-
ности /
e+i’co
бф = -^— ( I—— (S — 1)2Ф — с1§ффф— S [s + COS ф’Г +
nz J L	\	2 )
C—Zoo
4- sin ф<-----------— <| r-s-!rfs;	(6.104>
1	2	/ 9 sin ф J
C±i eo
тгф=-^- С Г—«Фф—s sin фЦГ —
J L
c—
— (s~i~X cos ф’Гф! r-^ds.
Рассмотрим теперь задачу о взаимодействии Жесткого бандажа
с бесконечным упругим конусом с углом раствора 2а, где 0<а<лс
(рис. 6.8). Предполагаем, что силы трения между бандажом и ко-
нусом отсутствуют и вне бандажа поверхность конуса не нагру-
жена. Бандаж вдавливается в конус окружной силой Q, параллель-
ной оси конуса и отнесенной к единице
длины окружности радиусом R. Ши-
рина области контакта бандажа с ко-
нусом определяется неравенством
а форма основания бандажа
в области контакта описывается функ-
цией f(r).
! Граничные условия задачи при
сделанных .предположениях имеют
вид
Рис. 6.8. Схема взаимодействия жесткого бан-
дажа с упругим конусом
105
тГф(г, а) 4-0; сф(г, а)=0 (0<r<jz, b<^r<^<x>)\	(6.105)
»(г, а)= —5(г) = —[8 — /(г)] (а<г <Ь);
напряжения при ф=0 ограниченны (6 — жесткое перемещение бан-
дажа под действием усилия Q).
Найдем пределы интегрирования в-зависимостях (6.101) и
(6.104), т. е. значение постоянной с, из условия, что интегралы ти-
па (6.63), определяющие трансформанты Меллина напряжений,
должны быть сходящимися. Относительно поведения напряжений
в вершине конуса (г—>-0) при 0<а<л известно [44], что они отсут-
ствуют при а<п/2 и стремятся к бесконечности при а>л/2. При >
этом порядок стремления к бесконечности в худшем случае состав-
ляет г~х. Когда г->оо, напряжения отсутствуют [44], причем в худ-
шем случае порядок их стремления к нулю составляет г-2. На ос-
новании изложенного можно сделать вывод, что Res = c находится
в пределах
0<Res<l.	(6.106)
Отметим,- что указанная постановка задачи, основанная на зави-
симостях линейной теории упругости, справедлива, если выполнено
неравенство (6.65)./
В итоге требуется найти распределение нормальных контактных
напряжений-под штампом	а) =—q(r)	и связь меж-
ду Q и 6.
Сначала найдем решение вспомогательной задачи
тг^(г, а)—0; а<р (г, «)= —q(r);	(6.107)
q(r)=q(r) (a -^r^b); q(r)—0	b<^r<^co),
считая, что напряжения при ф=0 ограниченны и выполнено нера-
венство (6.106):	'	.
Формулами (6.67) введем в рассмотрение трансформанту Мел-
лина Q(s) функции q(s). По. формулам (6.103) и (6.104) из усло-
вия ограниченности напряжений при ф—0 найдем
a2(s)=«4(s)—0.	(6.108)
Удовлетворив граничные условия (6.107), получим следующую
систему двух алгебраических уравнений для Определения величин
zzi(s) и a3(s):
sPL-2 (cos а) 4- рЧр s sin aPs_t (cos а)
-h^ + ^y-^cos аР’-1 (cos a)ja3—0;
[(s — 1)2Ps_2(cos a)-|-.ctg<i/J'-2(cos a)]
—1 sin aPj_i(cos a).-|-
r f	x__
s Is — 14—I cos aPs-i (cos a)
106
• Здесь учтено,, что [9]
[P/cos (cos ф).	(6.110)
Решив систему (6.109) и использовав соотношения [9]
Ps_2(cos a)=cos aPs_j (cos a)'— (s — I)-1 sin aP^ (cos a); (6.11)
, Ps-2 (cos a) = (s — 1) sin aPs_x (cos ,a) -J- cos aP'_i (cos a),
найдем
«з (s)=q79a(") S - I(s - 1) p + ctg api].
2С/Д gin a	.
Здесь введены обозначения
A = s2 (s — l)2ctga(P)2 —s(s — \)PP' -|-
+ctg a [s (s -1) -0,5 (*+1) (1 +ctg2 a)] (P1)2;	(6.113)
P—Ps-i (cos a); Pl=Ps-i (cos a).
Подставив (6.108), (6.112) и <6.113) .в формулы (6.101), (6.103)
и (6.104), определим перемещения и напряжения в конусе. В част-
ности,	.
v ,г ________L_ С +Г” [-s (s - 1) р (Р)2 - (х -Ц)-1 р ctg aPPl +
’	2nie* J s2(S_ i)2ctga(P)2 —S(S —1)PP1 +
C—ico
"	+(l-p)(Pl)2]Q(s)r-^S
+etga[s(s-l)-(-z.+ l)(2-i)-i](Pi)2 ’
где 6*=pG/(l — v), p= l/(l-|~ptg2a).
Таким образом, два первых граничных условия (6.105) контакт-
ной задачи для конуса удовлетворены в ходе решения вспомога-
тельной задачи. Подставив функцию Q(s) вида (6.67) в формулу
(6.114) и приравняв сумму полученного Выражения для v(r, a)
и функции 6 (г) нулю при	удовлетворим последнее гранич-
ное условие (6.105). В результате получим относительно функции
распределения контактного давления q(r) следующее интегральное
уравнение первого рода:
C«(p)rfp С	—s (s — 1) р (Р)2 — (х ц--i)-i р ctg aPPi +	,
J	J f s2 (s _ 1)2 ctg a (P)2 — s (s — 1)PP1 -b ctg a [s (s — 1) — "'
Л	C—-1 oo
107
+Х1-РХР1)2
- (х + 1) (2₽)-l] (Pl)2
—У ds—2nZ6*B (r) {a^r^b).
(6.115)
Можно показать, что на прямой s'= 0,5-pis' в плоскости ком-
плексного переменного s знаменатель подынтегрального выраже-
ния ядра интегрального уравнения (6.115) не имеет нулей. В связи
с этим примем в (6.115) с=0,5, и перейдем во внутреннем интеграле
к интегрированию по s'. В результате уравнение (6.115) примет вид.
ь
Ср(р)А (in — dp=л6*у(г)
J \ г )
а
(6.116)
где
£(O=f L(<s’ cos stds	(6.117)
o’ S	 1 r)
L(S, a)=-_________(0.25+W(P)2-_______________ __
(0,25	S2)2ctg a (P)2-p (0,25 + s2) PPi—
- (X + 1)-1 p ctg aPPi + (1 - P) (P1)2	.	6 118
- ctg a [0,25 + s2 + (x + 1) (2p)-i] (Pi)2 ’	? ’	'
p(p)=?(p)/p; Y(r)=8(r)/r.
Здесь учтено, что функдии конуса P=P_o,5+zs (cos-a); P1—P1-oi5+iS!
(cos ,a) являются вещественными и четными по s [9].
Можно показать, что при «->0 и а->-л, а также фиксированном
R=atga, интегральное уравнение (6.1:16) вырождается соответст-
венно в интегральные уравнения осесимметричных контактных за-
дач для упругого цилиндра и упругого пространства с цилиндриче-
ской шахтой [см. уравнения (6.52) — (6.54)]. При а=л/2 интеграль-
ное уравнение (6.116) принимает вид
ь
р(р)6 ^1п—^£/р‘==л6у(г) (а^г^Ь),	(6.119)
а
где
.... Г Г(0,25 — 0,5is)r(0,25+0,5/s)	,с
k (/) = \ --—------- ’	’	—— cos st ds	(6.120)
J 2Г(0,75 — 0,5zs) Г(0,75 + 0,5zs)	'
о
и соответствует осесимметричной задаче о вдавливании кольцевого*
штампа в упругое полупространство [27]. Здесь Г(г) — гамма-функ-
ция [9].	. ,
108
При решении контактной задачи для конуса к интегральному
уравнению (6.116) необходимо добавить условие равновесия штам-
па
 ь
RQ=sma^q(r)rdr,	(6.121)
а
позволяющее определить связь между Q и § в (6.105). На рис. 6.8
показана схема вдавливания жесткого бандажа в конус, когда ле-
вый край (г=а) области контакта подвижен, а правый {jr=b) фик-
сирован. При этом для Определения значения а необходимо поста-
вить дополнительное условие q(a) =0. При корректной постановке
контактной задачи при	^(г)^=0, 'а при всех 0<г<а
и й<1Г<оо поверхности бандажа и конуса не должны пересекаться.
ГЛАВА 7
МЕТОДЫ “И РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
7.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
неклассических контактных задач
Рассмотрим некоторые контактные задачи, поставленные « гл. 6.
По структуре интегральных уравнений и свойствам их ядер эти
задачи целесообразно разделить на три группы: А, Б и В.
К группе А отнесем:	-
1)	плоскую контактную задачу для упругого слоя, лежащего без
трения на жестком основании (уравнение (6.19) при р=0];
2)	плоскую контактную задачу для упругого слоя, защемленно-
го 'по основанию (уравнение (6.24) при р = 0];
3)	задачу о действии полосового штайпа на упругое полупро-
странство [уравнениё (6.25)];
4)	осесимметричную задачу о взаимодействии упругого бандажа
с упругим цилиндром (уравнение (6.56), (6.57) прип=1];
5)	плоскую контактную задачу для упругого клина с защемлен-
ной гранью (уравнение (6.73), (6.74)];
6)	осесимметричную задачу о действии кольцевого штампа на
упругое полупространство (уравнение (6:119), (6.120)].
К группе Б отнесем:
1) плоскую задачу о действии упругого штампа на упругий слой»
лежащий без трения на жестком основании [уравнение (6.29),
(6.30) для варианта «а»]; '	•	• ’
2) плоскую задачу о действии упругого штампа на упругий слой,
защемленный по основанию (уравнение (6.29), (6.30) для вариан-
та «б»].
К группе В отнесем:
1) плоскую контактную задачу для упругого клина с шарнирно
защемленной гранью (уравнение (6.85), (6.86)];
2) плоскую контактную задачу для упругого клина со свобод-
ной от напряжений гранью [уравнение (6.92) , (6.93)].
Все задачи группы А сводятся к решению интегрального урав-
нения первого рода
1 _•
J	(|х|<1), '	(7.1)
—1
где
©о
L — cos st ds.	(7.2)
,) s
о
110
Для задачи А (1)
<p(x')=^(x)6-1; x'=xa~l\	g (х') = В (х)а~\ (7.3)
а функцию L(s) определяют по первой.формуле (6.31).
Для задачи А (2) справедливы соотношения (7.3), а функцию
L(s) определяют по второй формуле (6.31).
Для задачи А(3) также справедливы соотношения (7.3), при-
чем
фа)-1; 7. (s) = s (s2 + l)vV2.	(7.4)
Для задачи А (4)	‘	'	
<?(x)—q(z)Q~'-, x=za~l\ ~k=Ka~u, g(x)=l(z)l2a)~1-,
s3 (ш2_ e?)
L (s)=—:------r----------5_2-2!----------------.	(7.5>
2 [2 (1 — v) — «2 (q2 —. 1)] [s2 (b)2 — 1) _ 2(1 — v)]
<eo(s)=/o(s)/r!(s); QO(S)=-Kots') KV'is).
Для задачи A (5)
9(x)=_^(±; x=Xln —-1; X=2fln—Г1; g(x)=^; (7.6}
aO	a	\ a )	a
а функцию L(s) определяют по формуле (6.75).
• ' Для задачи A (6) величины x и'Х имеют вид (7.6) и, кроме .того,
9 (х)=r^q (г) а-~й12Ъ~ъ, g (х)=Х8 (г) д/га-3/2;
яГ (0,25 - 0,57s) Г (0,25 + 0,5is)	~
?	2Г(0,75 — 0,5ts) Г(0,75 + 0,5ts) *	( ‘ *
Для всех задач группы А при $->0
L (s)=As+0(s3),	-	(7.8)
где для задач А(1)—А(6) соответственно
А=0,5; А=4(х-1)(х+1)-2;
Д = 1; A=0,5(l-v2)-i;	(7.9)
А—2 (2xct — sin 2а) (х-|-1)-2;
1	А=0,25Г4(0,25)(2л)-2.
При s-^-oo функция L(s) задач А(1), А (2) и А (5) ведет себя
следующим образом:
£(s)=l-O(e-^),	•	(7.Ю)
где у.=2 — для задач А(1) и А(2); ц —2а — для задачи А(5*).
Для. задач А(3), А(4) и А(6) при s->-oo для функций L(s) име-
. ем разложения	. '
Z(s)=l+c1s-2+c2s-4+O(s-6),	(7.11)
'' 11!1
772(О=2а</2‘’
где Ci=—’/2; С2=3/в для задачи А(3); С] = —0,965, с2=—2,910 для
задачи А(4) (при v = 0,3) и Ci = 0,125, с2=0,0859- для задачи А(6).
С учетом свойств (7.8), (7.10), (7.11) функций L(s) ядро (7.2)
задач группы А можно представить в виде
AtfWlnl/IFjW+Fatf);	(7.12)
для задач А(1), А (2) и А (5)
b0= — 1; ^=0(/>1);
(—1У-1 с
а, = - zO... \ [ 1 — L (s)| s2i~lds (i 1);
(2z)l J
о
для задач А(3), А (4) и А (6)
*0=-1; Ьх = -^\	g0=C 1 ±-e^rfs;
о	1	2	24	0 J s
. - ’ -	‘	' о
O1 = -J-C1+_L-jIs2_S2£(s) + C1(l_e-<)]^.;	(7.14)
0
L (s) — 1'+ е s .
а0= I	-----dS',
J S
о
Формулу (7.12) можно переписать следующим образом:
/>(/) =—ln|Z|+F(/),	(7.15)
где
' F(/)=f
i . s
Нетрудно доказать, что на любом конечном интервале изменения
|/| четная функция F(t) непрерывна со своей первой производной.
Тогда на основании (7.12) при /->0 получаем
k (/) ~ — In |/| -ф- «0.	(7.16)
Можно также доказать, что для задач группы А ядро k(t) экс-
поненциально убывает при |/|-»-оо.
Задачи группы Б сводятся к решению интегрального уравнения
первого рода
112
1
(И<1), (7.17)
где п—66Г1 и введены обозначения (7.2), (7.3), функция L(s) оп-
ределена соотношениями (6.31); для k(t) справедливы формулы
(7.12), (7.15) и (7.16), причем, очевидно, F.i(t) =—1 и F2(t) =F(t).
Кроме того, можно показать, что при |/|->оо функция k(t),имеет
асимптотическое представление
k (t)	лА8 (/) | jt8(/)=Jcoss/ds j ,	(7.18)
\ о	/
где постоянная А определяется по двум первым формулам (7.9);
6 (/) — дельта-функция Дирака.
Задачи группы В сводятся к решению интегрального уравнения
первого рода
1
((И<1), (7.19)
J L \ А /	*	л J
* —1
где введены обозначения (7.6) и для k(t) и В (а) справедливы со-
отношения (6.86) и (6.93), причем функции L(s, а) вида (6.87) и
(6,94). при s->0 ведут себя так:
£(s, a)=S(a)s-i+O(s),	(7.20)
а при s->oo, как (7.10), где р=2а.
С учетом P-Ю) и (7.20) функцию k(t) в уравнении (7.19) мож-
но, как и ранее, представить в виде (7.15) и (7.16), vp$F(t) =
=F2 (t); a0 — бесконечная постоянная^ Кроме того, можно показать,
что при jif |—>-оо функция k(t\ для^задач группы В имеет асимптоти-
ческое представление:
&(/)££?—0,5л2? (а)	(7.21)
где D — бесконечная постоянная.. Следующий за постоянной D член
в представлении (7.21), как можно показать, экспоненциально убы-
вает.
7.2. РЕГУЛЯРНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОЙТАКТНЫХ ЗАДАЧ
Для всех контактных задач, рассмотренных в подразд. 7.1, при
больших значениях безразмерного параметра X, входящего в ядра
соответствующих интегральных уравнений, могут быть получены
аналитические решения с помощью регулярного асимптотического
метода (асимптотического метода больших X [7, 27]).
Рассмотрим применение этого метода на примере задач А(1),
А(2) и А(5), для которых ядро k(t) интегрального уравнения (7.1)
согласно формулам (7.12) и (7.13) можно представить в виде
-113
k (/)=- In |/1 + 2 ai?1-	(7.22)
x=0
На основании (7.10) для коэффициентов а,- при i—>оо можно
получить следующую оценку:
at=(-I)'-10 ((2Z)-i р-2').	(7.23> '
Тогда с учетом неравенства. |/| ^2Д, можно заключить, что в пред-
ставлении (7.22) ряд равномерно сходится по t при Х>2/р. Следо-
вательно, решение задач с использованием формулы (7.22) приве-
дет к результатам, справедливым лишь при достаточно больших л.
Подставив (7.22) в интегральное уравнение (7.4), представим
его в виде
rf$=ng(x) —
- 2	J <Р «)	(И<1).	(7.24)
—1
При весьма большом, но конечном значении интегралом в пра-
вой части (7.24) можно пренебречь. При этом получаем интеграль-
ное уравнение такое же, как в случае классической контактной
задачи для полуплоскости, но с конечной постоянной С=1пА+ао.
Это уравнение имеет решение [48]	,
У (•*)=  J===T ро - f g'Г1 ~Z2 dt\, (7,25)
Л / I — Jf2	J t—X
где
1
/1-/2	ва
In 2л 4“
лг0= J'
—1_
P — сила, определяемдя по первой формуле (6.32).
Если правую часть уравнения (7:24) обозначить ng(x), то с
учетом выражения (7.25) получим интегральное уравнение второго
рода '
лХ
?(*)= 1
No-
mn.-*2 di_
t \2Z-1
(7.26)
Л V1 — Л2
1

114
которое эквивалентно уравнению (7.24) при дополнительном усло-
вии
1
In 2k -р uq
g (0 dt
/1 —/2
Структура правой части уравнения (7.26) такова, что его реше-
ние при больших Z следует искать в виде
(7.27)

оо
<р(Х) = 2 <Рл(*)Х“2"-
л=0
(7.28)
Подставив (7.28) в (7.26) и приравняв члены левой и правой час-
тей при одинаковых-степенях кг2; получим'следующую систему со-
отношений для определения функций <ри(х):
<Ро(*)	'
Л у 1 — х2 .

1 г____ . 1
Т1(х)=_—f 7~г2 dt Ьоа)(В-/)Л; (7.29)
«2у 1 — х2 J t — X J
—1	— I
Фо (X)	. ..V.
Л2/1—Х2
1 л---------	1
y'tlx dt
V1—/2
t — X
dt ^№-tydt
Используя сингулярный интеграл
i „ r	— лх при т—0;
\—f_x-----dt— nQn(x) при /п=2п-|-1;
-1	InxQn(x) при т=2п-[-2,-
(7.30)
где
д-2п—2k.
[х|	1,

по формулам (7.29) последовательно найдем <po(*)» •PiW, ф2.(х)-
и по формуле (7.28) при больших % получим асимптотическое реше-
ние задач с точностью до членов порядка Z-6
115
Т(х)
—-L [2а2 (6л* - 6x2/ _|_ 2л/2 _ 2х + 3/)+2а?х] j dt + О Ш .
(7.31)
Подставив (-7.31) в (7.27), с той же точностью найдем
Afo= 1п2к-|-Яо-т
Qi ai , 9д2
Х2	, 4X4 "Г 4X4
лШ1 1 Г S(t)dt
J/1—/2
L.—1
i- (<1-*<0/(».+^+^)л+о[-Ц].	(7.32)
J	\	№ AM]	\ Л / I
—1
Используя сингулярный интеграл
tmdt
(/—х)/1^Й
О при т=0;
яРп(Х) при т—2п-\Л\	~	(7.33)
лхРп(х) iipir пг~2п-[-2,
где
п
м<1’
& О
по второй формуле (6.32) на основании (7.31) получим
М= .(<pG)W5=^;
J	а
•	.	'(7-34)
2У,=	[I +^(| а2+а?)+^]<»+0 (^) .
—I	*
Для задачи А (5) в соответствии с первой формулой (6.98) так-
же придем к выражению (7.32), причем
N0=^Pl(aG)~\	(7.35)
а в соответствии со второй формулой (6.98) ролучим
1
Х= f
J	у ab.
116	~
Таблица 7.1
Значение постоянной для задач
Постоянная	А(1)	А(2)	А (Б) при а		
			Л 2	Л	Зл 2
«0 «1 ^2	—0,352 0,521 —0,135	—0,527 о,Vis —0,245	0,522 —0,144 0,0'163	-<1,315 —0,0230 —0,000349	—1,708 —0,0108 —0,0000837
Значения постоянных а,.(табл. 7.1), входящих в формулы (7.31),
(7.32) и (7.36), получены по формулам (7.13) для задач А(2) и
А (5) при V— 0,3. Результаты вычислений показывают, что при 7^
^4/р. формулы (7.31), (7.32), (7.34) и (7.36) дают погрешность
не более 5 %.
При решении задач А(1) и А(2) для плоского штампа Ь?(х) =
s=g=corist] на основании (7.31) й (7.32) имеем
Т л /1 — х2 L ~ Х2 ( 2	) Г Х4 ( 8	) Г Цб )'
(7.37)
[2	"’—1
ln2X-(-a0-}- ——-fL+J^-4-оШ	.
г 1 Х2 4X4 1 4X4 1	(Х6 У]
Решения задач А(1) и А(2) для наклонного штампа (g(0—
=F рх], ограниченные соответственно при х=1 и х=—1, на основа-
нии формул (7.31) и (7.34) "можно представить в виде
Т(*М]Лр
Г 1 ± X
1 . 3g! .. 25а2 . 5а1
Г Х2 + 2X4 “Г Х4
2g! . 14а2 . ^в1\
.’кг--’”iS' *Х4~ )
(7.38)
117
AT__ -j-	1 I gl I I ,gl I n / 1 V
1	+ 2	X2 ' X4 + X4 + ( X6 )] *
Кроме того, для этих задач справедлива вторая формула (7.37).
Решения задач А(1) и А (2) для параболического штампа (§•(/) =
=g—ух2), ограниченные при х=±1, на основании формул (7.31),
(7.32) и (7.34) можно представить в виде
<р(Х)=2уу<Ь=^[1 + ^+^4-^4-^л-2+0(— Я ;
т	L X2 2X4 1 Х< г Х4 '	\ Хб JJ
2	Т
^o="V l + a-+^+^.+o(i) ;*	(7.39)
АГ0=до-Г1п2Х4-а0+—+-^1---^4-оШГ1.
L -	2 г 4X2 . 4X4 ~ V Хб Л
Конкретные решения задачи А (5) удобно представить в следу-
ющих безразмерных величинах: "
<f(r')=q(r)6~l; r^—r^by-'P-,
g(r')=l{r){ab)~^	(7.40)
X=(ln£)—I; k=--/b/a- 7VO=P6-I(aft)-1/2; H=H(ab)-'P
(тильды и штрихи далее опускаем).
Для плоского штампа (g(r) =g=const] на основании (7.31),
(7.32), (7.36) и (7.40) имеем
<р (г)—-- .—N°	= Г14- 2«! (— -In2 г) 4-
л/-1<1п (A/а) In (ЙЛ-) L.	1 \ 2X2	) ‘
+ 4а2(—----Lin2r_ln4r)_Lo(_L)l;	(7.41)
1 kW. Х2	к Хб /J ’	'
A^0=rtg
I fl / J \
4Х4-Г 4X4_	X6)
In 2X-|~a0-f--^-
Для наклонного штампа (g(r) —g+₽r) решения, ограниченные
соответственно при r—k и г=А-1, можно представить на основании
формул (7.31), (7.32), (7.36) и (7.40) в виде
?(Г)= —
яг
In (k/r)
In (kr)
CO(X)=1-|—!-----------------1----Д- I---1---1 .§£1. i Z?L.
2X	4X2 1 X2 1 48X3	x3 ' 48X4 ) 4X4	2X4
118
______7 llfl! . ai 21д2 I 1 \.
960X5	48X5 7"2X5	4X5 "Г- Де / ’
2a-i 1 _______2д] !	1	, af* .| 14д2 ।	1_| 5gt
~~~ 6X2 Х2++ 2X3 + Дз ‘ 120X4*" 24X4
, ai	27д2  с / । \ •
"* Х4 Х4 Д Х5) ’
1 _ 1 2ад  20а2 	1	 5at ' 6д2 I л И V
~ бГ 8Х2~ хГ"* “хГ"* 20X3 "*" 6X3 X3 *" \ Х4 )’
сз(Х)=1—<7-42>
3	4Х Г X 10X2 Х2 . Ц3/
С4(Х)=Ь—ЦоД] ;
4	юх/* к Х2)
н=1 zp—+— т — ± — -i—-——+'——'± —1 ±
2Х 1 2X2	8X3	2X3 1 64X4 Х4 384X5	16X5
± ^4о(1).
4X5 1. Хб j
Для параболического штампа [g.(г) =g+pr—yr2] решение, огра-
ниченное при r=k и r='k~{, на основании формул (7.31), (7.32),
(7.36) и (7.40) можно представить в виде
<р	Д1п (Л/r) In (kr) Г1 —
3	0,2 . ।
32М~ 2кГ^24Г4
^Ащз^Л^^оШ!;	(W
Г 8	1 120	1 U5 /J
-W2 Г, 1 (а
л L	.2X2 \ 1
119
—1п2Х —а[}—аА
'23 . 11
192	4
\ хь / j
1_______1	I Cl _ #2
2X2	120X4 Г8Х4 . 2X4
_1_\
Хв )'
Рассмотрим задачи А(3), А (4) и А (6). Подставив
ядра (7.12) в интегральное уравнение (7.1), запишем
С ?(0'Г —In	|4-g0]tZ$ = ng(x)—	bj ( <?(£) (-
выражение
его в виде
- х .
ГЛ(|Х|<1). (7.44)
t=i -1
Интегральное уравнение второго рода
?(*)=
Г(ОИ-« м_
1
лХ
2ibt
x \2i-i
. X J
Ц | х | < 1)	(7.45)
I t —X
1
1
эквивалентно уравнению (7.44) при дополнительном условии
No= 1
dt Г
1 — /2 J
-1
In 2Х ар J
2«.
I 1Ч
X \21
.	(7.46)
л
i — x
X z
Структура правой части уравнения (7.45) такова, что его реше-
ние при больших А, следует искать в виде
s^o п
?(•*)=2 S<Pnm (Л) к-2л lnm х'
Л=0т=0
Подставив (7.47) в (7.45), получим систему уравнений для после-
довательного определения функций <рПт(х), подобную (7.29). За-
120
(.7А7)
тем по формуле (7.46) найдем No. Таким образом, для задач А(3)
и А(4) при g(x) =g=const имеем (27J-
4 w=Vifer[1 + (“‘+Т b‘ -2X)'1 - 2x2> i+
+ (Fi + F2 In 2X) (1 — 2x2) J-+(F3+F4 In 2X) (1 + 4x> - 8x4) -b- -|-
A'*	•	A2*
Af о— nS ^1п2Х-|-Ло4“(а1_1_^1 — &i 1п2Х)-^- +
J_+O^r1
X4 1	( X6 /]
—^ln22X
4
(7.48)
где
F4—	—tZi^i—bi-\-~3a2-\- — b2, E2—— b\ — 3Z>2;
4	X
„	1 t. I 1 1.2 I 1 I 25 , r	1/2	1 ,
F3-----^'1^1 4-bl 4----ZZ24— ^2> Fz—----bi —1—b2i
3 12 1 1 1 '8	'2- 2 '24	4	12	2 2
„	1	2	3	,	9 ,2	9	. 21 ,
F5— —— ai —— axbx — — bi -f-—a2-\- — b*
4	4	16	4	8
c 1 t । 3 ,2	9 ,
F6=—	+ — bi - — b2.
ТГ	Tt
Формулы (7.48) при X^2 дают погрешность не более 5%.
Аналогично можно построить асимптотические решения задач
А(3) и А(4) при g(x)=g^^x n .g(x)—g—ух2. Решение задачи
А(6) в безразмерных величинах (7.40) для плоского штампа
[g(rj const] имеет вид (27]
ngX8(X) а(Х)== t_|_JL_|----3---1--Ё---р_35_
У^в(Х)	1 2Х 1 16X2 1 96X3 1 3072X4
121
1
32X4
ax -f- bx — bi In 2k
)+°(#
(7.49)
G (X)—In 2X -j- -j— —— (<Zj -j— b^ —~ bi
№
Согласно условию (6.121)
. k ’
No—2л С FT(r)dr=-^~[Q
«j	л f к \ l
k~l
ln2X)+° h7 •
.__3__|_5 	35
lexz^sex3 ‘ 3072X4
-Si(“>+ft‘-‘‘1??x)+o(v)]+57?[1+T+5s+ -
+#+^(1+т-)(й1+Т‘'-^"2к)+°(Й]Ь <7-эд
Формулы (7.49) и (7.50) при	дают погрешность не бо-
лее 5%-	'	- -
Аналогичные асимптотические решения можно построить для
неплоского кольцевого штампа.
Отметим, что при выводе формул (7.48) —(7.50) использованы
интегралы (7.30) и соотношения
С endk л (2л—1)11.	(_______С
} /ттгр - (2л)!!	’
2л-2й+1
(2 л)!!
л
'	, ч	(2*— 1)!!
ця..,, (Л) = Л ------------—
Г2П+1	(2k) I!	(2л —2*4-1)
й=0
(2* — 1)1!
,2л—2£-|-2
Нги+гС*) я	(2*)!!	(2 л- 2*4-2)
й=0
/i-е2
+ « ^.^н-Р(2д+3)	(7-51>
-	.	2(л+1)
р,0(л:)=лIn2; |3(2«-|-3)=1п2-|- V (—1)г£=1.
1=1
Таблица 7.2				Значения постоянных аг- и bi (табл. 7.2), входя- щих в формулы _(7.'48)—•,
	Значение постоянной для задач			
Постояв-				
ная	А(3)	А(4)	А(6)	(7.50), получены, по фор- мулам (7.14) [для задачи
			2,079	А (4) вычисления проведе-
Яо	0,116	-Х),506		ны при v=0,3J.
Ог2	0,279 О',0252	0,682 —0,00920	—0,1091 0,005'35	Рассмотрим задачи
bi	—0^250	—0,482	0,0625	группы Б. Подставив вы-
bi	—0,0156	0,121	—0,00358	ражение (7.22) в интег- ральное уравнение (7.17),
122
Таблица 7.3
Постояв- ная a	Значение постоянной для задач					
	В(1)				В (2)	
		2л . 3	4Л 3	5л ' 3	Л 2	Зл 2
ai	—0,00979	—0,0971	—0,0106	—0,0117	0,4*38	—0,0304
«2	—0,0273	0,00240	0,0000150	0,0000366	0,0211	—0,0000998
В (a)	0,507	0,451	0,162	0,156	1,070	0,222
получим уравнение (7.24),-в котором вместо g(x) и а,- следует при-
» нять:
g*(X)=g(х)(14-n)-1; <z*=a;(l-f-л)-1 (i > 1),	(7.52)
где по* — бесконечная постоянная.
Таким образом, асимптотическое решение при л^2 для задач
группы Б можно представить в форме (7.31), (7.34), где следует за-
менить g(x) на g*(x) й а, на а/. Значения постоянных at* (t^l)
для задач Б (1) и Б (2) при заданном « можно найти по соответст-
вующим значениям постоянных а, для задач А(1) и А (2), приве-
денным в табл. 7.1. Для частных случаев при указанных заменах
справедливы также: первая формула (7.37); формулы (7.38), две
первые формулы (7.39). Связь между No и g(x) типа (7.32) для
задач группы Б установить невозможно.	_ _
Рассмотрим задачи группы В. Подставив выражения (7.22) в
интегральное уравнение (7.19), получим уравнение (7.24), в кото-
ром вместо g(x) следует принять
.g*(x)=g(x) — B(a)(N1 —л?/0)('2Х)-1. ....	(7.53)
При этом постоянная «о бесконечна.
Таким образом, асимптотическое решение задач группы В при
Л^=2/а можно представить в форме (7.31), (7.36). Значения по-
стоянных си (i^l) и В (а), вычисленные для задач В(1) и В (2) со-
ответственно по формулам (7.13), (6.86) и (6.93), приведены-в
табл. 7.3. Связь между No и g(x) типа (7.32) для задач группы В
установить невозможно.
Конкретные решения задач В(1) и В (2) удобно представить в
безразмерных величинах (7.40). Например, для плоского штампа
(g (r)=g=const]	•
- — 1п2 r-ln4rUo/-jU-ZV0B(g)lnr	Г
k2	/	\ >-6 /] 1 2r p in (k/r) In (kr) L	k2 1
-	2	'	-	~
---In2r]_|_Q/J_Y|.	(7.54)
1 k4 X2 \4k2	/ '	k k6 / J
123
- yy___J I t I_____1____&1 I ЛВ (Ct) /1 .	1	|	\
~ "T” 4X2 "^64X4 8X4 "Г 4X2 ( "T 8X2 X2 J '
Нетрудно также получить формулы типа (7.42) и (7.43) для на-
клонного и параболического штампов.
При малых значениях угла а задачи А (5) и В(1) вырождаются
соответственно в задачи А(2) и А(1) для слоя с относительной
толщиной .
Х.=2а[1п(6/а)]"-1,	(7.55)
поскольку при а->0 для функций (6.75) и (6.87) справедливо асимп-
тотическое соотношение
Lj(s, а)=А7-(5а)[14-О(а2)] (/=!, 2),	(7.56)
где L2(s) и Li(s) определены по формулам (7.31).
Это замечание весьма существенно, т§к как при малых значе-
ниях а область применения формул (7.41) — (7.43) и (7.54) для за-
дач А (5) и В (1) сильно сокращается. Тогда следует использовать
формулы (7.37) — (7-39), полученные для задач А (2) и А(1) с па-
раметром X вида (7.55). Отметим также, что решения задач В(1)
при л=!л/2; л; Ззт/2; 2л и В (2) при а=л, 2л найдены в замкнутом
виде (см. подразд. 7.6).
7.3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД МУЛЬТОППА — КАЛАНДИЯ
РЕШЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
Широкое распространение при решении неклассических контакт-
ных задач получил метод Мультоппа — Каландия [15], позволяю-
щий с помощью определенной дискретизации интегральных урав-
нений свести их к системам линейных алгебраических уравнений.
Изложим одну из модификаций этого метода.
С помощью соотношения (7.15), интегральное уравнение (7.1)
для задач группы А можно представить в виде
1 1
£—Х I
X I
•(7.57)
а интегральные уравнения (7.17)‘и (7.19) для задач групп Б и
В — в виде
 1	1.
JE — х	' X J \ л /
-1	-1
( | X |<1;	(7.58)
причем для задач группы Б	•
|»=1 + «; g*(x)=£'(•*),	(7.59)
124
dz=^g(x) — f	( | x | < 1),
J \	/
—1
J ?(B) ln|
—1
для задач группы В
P=l; g*(x)=g'(x)-{-^-B(a)N0
(7.60)
^o=J <Р«)^
—i
Пусть функция g(x) такова, что ее производная удовлетворяет
условию Липшица, т. е.
I g'Ui) —g'U2) I I xt^-x2 | (m=const)	(7.61)
при любых значениях xj, x2e[—1, 1]. Тогда можно доказать, что
если решение уравнения (7.57) или (7.58) при данном значении
ле (О, оо) существует в классе функций, для которых интеграл
I ?(?) I pdl (1</?<2)	(7.62)
сходится, то это решение представимо в форме
?’(Х)=Ф (х) (1 — X2)-1/2,	(7.63)
причем функция Ф(х) по меньшей мере непрерывна.
Построим для Ф(х) интерполяционный полином Лагранжа по
узлам
x„=cos s„=jt(2n- 1)/2N (п= 1, 2,..., N),	(-7.64)
которые являются нулями полинома Чебышева TN(x). Такой по-
лином имеет вид [15]
х	,	N-1	х
Ф ($) ~ Ф (&„) I 1 -f-2 cos т(ьп cos mb ); Ф (&) s Ф (cos S).
П=1	'	т=1	'
'	(7.65)
В частном случае, когда Ф(х)—четная или нечетная функция и
N=‘2i+1 (iZ^l), формулу (7.64) можно записать следующим об-
разом:
для четной функции
г+i	z	i	V
Ф (&) ~ —— ----V Ф (0я) 8 | 14~2 V cos 2mbn соэ2/и& ]
г+ 0,5	I	/
/г=1	x	/
где	8„=l(n^Z4-1);	8n=0,5	(«—z-f-l);	«=!,...,z'4~^
(7.66)
.для нечетной функции
Ф(&)
2
i +0,5
I	i	•«
Ф (&„)^^ cos (2 m — 1) S„ cos (2m — 1)
n=l	m=l
(7.67)
125
Перейдем в уравнениях (7.57) и (7.58) к новым переменным О
и -ф согласно формулам
x=cos&, 5==cos<J>.	(7.68)
На основании (7.63) имеем
It	-к
Р'д;.,,. I COS ф—COS ft I ,,	~,о. f Д. г? /cOS-ф— COS ft\ , ,
— I Ф (ф) In -1------ с?ф=ng(&)— Ф (ф)г - т --------- dф
J I	J \	*	/
о	°
(0<9<л; г(л-) - к(9));	•	(7.69)
J созф— COS &	Л J	\ Л У
-о	о
(0<&<л; £*(*)=£(&))•	(7.70)
Функции g(x) и g*(x) всегда можно представить в виде суммы
четной ( + ) и нечетной (—) функций:
£(*)==£+(*)+£-(*)> g*(x)—g+(x)-\-g*~(x).
Например, для задач группы В при g(x)=const имеем g+*(x) =
= (2X)_IB(a)uVo; g~*(x)=0. При этом решения уравнений (7.57)
и (7.58) следует также искать в виде линейной суперпозиции чет-
ного (четная Ф(х)) и нечетного (нечетная Ф (х)) решений.
Подставив в уравнения (7.69) и (7.70) приближённое выраже-
ние Ф('&) вида (7.66) для четной функции g(x) (нечетной g*(x))
и (7.67) для нечетной функции 'g(x) (четной g*(x)) и использовав,
соотношения [26]
, . | cos ф — cos & I , fnln2X(s=0);
cos $ф In —------ аф — {
.1 X I	(л$—1 cos (s
(7.71>
It	.
J cos 5ф<?ф _ sin sft
cos ф — cos 8. sin ft ’
0 . -
где 0^0'^л и s=0, 1, вычислим точно интегралы, стоящие в;
левых частях (7.69), (7.70). Для приближенного вычисления интег-
ралов, стоящих в правых частях этих соотношений, используем
квадратурную формулу Гаусса [15]:
”	jv
^Х(ФИФ=^^Х(&л)-	(7.72>
В результате для уравнения (7.69) в случае четной функции по-
лучим
126
о
z+l	r	I
V®(&„)8Jln2X+^
cos cos 2/n&
m
1 [г / cos $n cos &
2~L \
4-F ( cos&«+cos& \j =6_|__L'j ^ (&) (0 < & < Jt). (7.73)
\ A /J \ ..	2 /	*
Применив метод коллокации, т. е. приняв &=&&, получим сис-
тему i+1 линейных алгебраических уравнений для определения
значений Ф (&„) (п=1,	i+1):
Ы-1
+F(^±cos^j]j=^.+_l_p(&ft) (Л=и_>/+1)> (7.74)
где
I
ф+ (ф &) = cos 2т^ cos 2т&
’	'т
т—1
Уравнение (7.69) для нечетной функции сведем к следующей
системе i линейных алгебраических уравнений для определения
значений Ф ((hi) (п=1, ..., i):
ш- /а ял = X1 cos (2т —. 1) ф cos (2т — 1) »
‘	т — 0,5
Аналогично уравнение (7.70) для четной, и нечетной функций
соответственно сведем к следующим системам линейных алгебраи-
ческих уравнений для определения значений Ф (&„):
Z+1
_y®(&„)8„{^-x^(®». &*)+4-[g(cos*"7cos4)-
. (sm а*	2Л t \	a .	/
n=i
_ Qc°s	(7.76)
• -Уф xF +4 (C°S Г C°S )+
\ sin v#	2Л l \ A j
n=l
. 127
+ q(S°s»« + «*<>*.)]}=(*+ -j-)g (*U	<7-77>
где
i
(ф, й)=[Чг?’(ф, S)]^=== — 2^ cos 2тф sin 2m&; „
rra=l •'
Х?(ф, ®)=[®7’(Ф» &)]#=— 2 V cos(2m—1)фsin(2/?г—1)8.
*	m=l
К системе (7.76) необходимо добавить уравнение, определяю-
щее согласно (7.63) и (7.66) усилие
я	г+1
No= ( Ф (Ф) 4/ф=—яп	У ф (Ы 8„.	(7.78)
J	1+0,5
0	и=1
Решив одну из систем алгебраических уравнений (7.74) —
(7.78), приближенное решение соответствующего интегрального
уравнения (7.57) или (7.58) найдем по формулам (7.63) и (7.66)
или (7.63) и (7.67); Момент Nit заданный соотношением (7.34), в
соответствии с (7.63) и (7.67) запишем в виде
i
Ni = f cos фФ (ф) dty=- — л  У Ф (&„) cos (7.79)
'	J	I + 0,5
0	и=1
Решения уравнения (7.57) или (7.58), ограниченные при х=1
(х=—1) или х=±1, можно легко построить после нахождения
приближенных решений в форме (7.63), (7.66), (7.67).
Математическое обоснование изложенного метода дано в ра-
боте [15]. Метод характеризуется высокой эффективностью, для
получения практически точных результатов при 7^0,5 достаточно
решить систему из четырех-пяти алгебраических уравнений. Значе-
ния функций F(t) и G(f), необходимые для практической реализа-
ции метода, даны в табл. 7.4—7.8. В табл. 7.4—7.6 даны значения
функций F(t) для задач А(1), А(2) и А(4), в табл. 7.7, 7.8 — зна-
чения функций G(f) для задач Б(1) и Б(2). В задачах А(2), А(4),
Б(1) и Б (2) принято т=0,3. Промежуточные значения функций
F(t) и G(t) можно получить соответственно с тремя и двумя точ-
ными значениями после запятой' с помощью линейной интерполя-
ции. При дальнейшем увеличении t с принятой выше точностью
функции F(t) ведут себя как In t, а функции G (() — как М.
7.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ОБЛАСТИ КОНТАКТА (ГРУППЫ А И В)
Изложенные в подразд. 7.2 и 7.3 методы решения неклассиче-
ских контактных задач эффективны лишь при достаточно больших
значениях безразмерного параметра X. Чтобы построить решения
128
Таблица 7.4
i	Fit)	t	Fit)	i	Fit)	t	Fit)
0,00 .	' —0,3516	0,90	—0,0029	1,80	0,5679	2,70	0,9878
0,05	—0,3503	0,95	0,0294	1,85	0,5958	2,75	1,0067
0,10	—0,3464	1,00	0,0621	'1,90	0,6231	2,80	1,0252
0,15	—0,3400	1,05	0,0951	1,95	0,6498	2,85	1,0434
0,20	—0,3311	1,10	0,1283	2,00	0,6760 .	2,90	1,0612
0,25	—0,3197	1,15,	0,1615	2,05	0,7016	2,95	1,0787
0,30	—0,3059	1,20	0,1947	2,10	0,7267	3,00	1,0958
0,35	—0,2899	1,25	0,2278	2,15	0,7512	3,10	1,1292
0,40	—0,2717	1,30	0,2607	2,20	0,7751	'3,20	1,1645
0,4'5	—0,2515	1,35	0,2934	2,25	0,7985	3,30	1,1927
0,50	—0,2294	1,40	0,3257	2,30	0,8214	3,40	1,2229
0,55	—0,2056	1,45	0,3576	2,35	0,8438	3,50	1,2522
0,60	—0,1802	1,50	0,3891	2,40	0,8657	3,60	1,2805
0,65	—0,1534 .	1,55	0,4202	2,45	0,8872	3,70	1,3080
0,70	—0,1253	1,60		0,4508	2,50	0,9082	3,80	1,3348
0,75	—0,0961	1,65	0,4809	2,55	0,9297	3,90	1,3609
0,80	—0,0658	d,70	0,5105	2,60	0,9488	4,00	1,3862
0,85	—0,0347	4,75	• 0,5395	2,65	0,9685 f	- • •	In/
Таблица 7.5
t	Fit)	t	1 f(t)	t	’ Fit)	t	Fit)
0,00	—0,5266	1,00	0,0052	2,00	0,6779	3,40	1,2221
0,05	—0,5248	1,05	0.0446	2,05	0,7038	3,50.	1,2512
0,10	—0,5495	1,10	0,0838	2,10	0,7290	3,60	1,2795
0,15	—0,5107	1,15	0,1226	2,45	0,7535,	3,70	1,3070
0,20	—0,4984	1,20	0,1610	2,20	0,7774	3,80	1,3338
0,25,	—0,4828	1,25	0,1988	2,25	' 0,8008'	3,90	1,3599
0,30	—0,4644	1,30	0,2360	2,30	0,8237	4,00	1,3853
0,35	—0,44'25	1,35	0,2726	2,35	0,8460	4,10	1,4101,
0,40-	—0,4,181	1,40	0,3085	2,40	0,8678	4,20	1,4343
0,45	—0,3914	1,,45	0,3437	2,45	0,8891	4,30	1,4579
0,50	—0,3648	1,50	0,3781	2,50	0,9099	4,40	1.4809
0,55 •	—0,3304	1,55	0,4147	2,55	0,9302	4,50	1,5034
0,60	—0,2972	1,60	0,4444	2.60	0,9501	4,60	1,5254
0,65	r—0,2625	4,65	0.4763	2,70	6,9887	4,70	1,5470
0,70	—0,2265	1.70	0,5074	2,80	1,0257	4,80	1,5681
0,75	—0,1894	1,75	0,5377	2,90	1,0613	4,90	1,5888
0,80	—0,1514	1,80	0,5672	3,00	1,0956	5,00	1,6090
0,85	—0,4427	1,85	0,5960	3,110	1,1288	5,10	lfc6288
0,90	—0,0736	1,90	0,6240	3,20	1.1609	5,20	1,6483
0,95	—0,0'342	1,95	0,6513	3,30	1,1'920	—	In/
129
Таблица 7.6
t	ПО	t	НО	t	F(t)	t	НО
0,00	—0,5055	1,20	0,2688	2,40	0,8968	4,70	1,5506
0,05 .	—0,5000	1,25	0,3026	2,45	0,9164	4,80	1,5715
0,10	—0,4872	1,30	0,3356	2,50	0,9357	4,90	1,5919
0,16	—0(4689	1,35	0,3679	2,60	0,9732 -	5,00	1,6119
. 0,20	—0,4463	!,40'	0,3994	2,70	1,0093	5,20	1,6508
0,25	—0,4202	1,45	0,4302	2,80	 Ц0442	5,40	1,6882
0,30	—0,3912	1.50	0,4602	2,90	1,0780	5,60	1,7244
0,35	—0,3597	1,55	0,4896	3,00	1,1108	5,80	1,7593
0,40	—0,3262	1,60	0,5182	ДДО	1,1426	6,00	'	1,7930
0,45	—0,291'0	1,65	0/5462	3,20	1,11734	6,20	1,8257
0,50.	—0,2546	1,70	0,5735	.3,30	1,2033	6,40	1,8573
0,55	—0.2173	1,75	0,6001.	3,40	1,2324	6,60	1,8880
0,60	-0.1793	1„80	0,6261	3,50	1,2607	6,80	1,9177
0,65	—0,1408	1,85	0,6516	3,60	1,2882	7,00	1,9467
0,70	—0,1021	1,90	0,6764	3,70	1,3150	7,20	11,9747
0,75	—0,0633	1,95	0,7006	3,80	• 1,3411	7,40	2,0020
0,80	—0,0246	2,00	0,7244	3,90	1,3666	7,60	2,0287
0,85	0,0138	2,05	0,7476	4,00	1,3915	7,80	2,0546
0,90	0,0519	2,10	0,7703	4,10	1,4158	8,00	2,0799
0,95	0,0896	2,115	0,7924	4,20	1,4395	8,20	2,1045
1,00	0,1267	2,20	0,8142	4,30	1,4627	8,40	2,1286
1,05	0,1633	2,25	0,8355	4,40	1,4854	8,60	2,1520
1,10	0,1992	2,30	0,8564	4,50	1.5076	8,80	2,1750
1,45	0,2344	2,35	0,8768 ,	4,60	15293	...	In t
этих задач при малых значениях л; необходимо научиться решать
интегральные уравнения типа (7.1) и (7.19) (для задач групп А и
В) на полубесконечном интервале интегрирования. Рассмотрим для
задач группы А интегральное уравнение типа	’
С (?)£(/ — x)dx^=nh(t) (0<7<оо)	(7.80)
с ядром вида (7.2), (7.8), (7.10) или (7.11), а для задач группы В
интегральное уравнение типа
Таблица 7.7
t	0(0	< t.	0(0 	t	6(0	t	G(O
0,00	0,000	0,40	0,385	0,90	0,642	2,20	0,473
0,05 •	0,052	0,45	0,424	1,00	0,658	2,40	0,434
0,10	0,103	0,50	0,460	1,10	0,664	2,60	0,398
0,15	0,1'53	0,55	0,493	1,20	0,664	2,80	0,367
0,20	0.203	0,60	0,523	1,40	0,642	3,00	0,340
0,25	0,253	0,65	0,550	1,60	0,607	3,20	0,317
0,30	0,300	0,70	0,574	1,80	0,563	3,40	0.297
0,35	0,344	0,80	0,615	2,00	0,518	...	z-*
130
Таблица 7.8
t	' G(O	t	G(Z)	i	G(O	t	G(b
0,00	0,000	0,40	0,516	0,90	0,787	2,20	0,472
0,05	0,071	0,45	0,566	1,,00	0,789	2,40	0,432
0,10	0,142	0,50	0,610	1,10	 0,782 .	2,60	0,394
0,16	0,243	0,55	0,649	1,20	"0,762	2,80	0,362
0,20	-0,281	0,60	0,682	1,40	0,712	3,00	0,337
0,25	0,345	0,65	0,710	1,60	0,646	3,20	0,316
0,30	0,405	0,70	0,733	1,80	0,583	3,40	0,296
0,35	0,462	0,80	0,769	2,00	0,525		t-1
—Jc(T)p(/ — т) ± ~£(а)]#т==лЛ*(О (0</<оо), (7.81).
>	во	*
/ (®)=J z (Sj а) siH surfs,	(7.82)
о
причем для L(s, а) справедливы соотношения (7.10) и (7.20).
С помощью метода Винера — Хопфа (23] можно получить ре-
шения интегральных уравнений (7.80) и (7.81) в замкнутом виде.
Чтобы представить эти решения в форме, удобной для практиче-
ского использования, прибегнем к идее приближенной факториза-
ции’ Койтера [23]. С этой целью аппроксимируем функции L (s),
входящие, в соотношение (7.2), с учетом (7.8), (7.10) и (7.11) выра-
жениями вида
Z* (s)=s Ys2 + D2 . £* (s) = u,S___ Г(у —Zp,s)r(y 4-f[xs)
s2 + C2’	F(v+0,5 —Zgs)r(v+0,5 4-ip.s)
-	'	(7.83)
Положительные постоянные D, С й v и ц найдем из условия
lims~V(s)==lims-i£*(s)==A (s-*0)	(7.84)
и потребуем, чтобы величина
0=sup|l —Z(s)/Z*(s)|, 0<s<oo.	(7.85)
принимала наименьшее значение или же выполнялось одно из соот-
ношений -
lim [s-1Z (s)]"=lim [s-i£* (s)]" (s -»0);
lims2 [£($)— l]=lims2 [£*($) — l]=q (s—»oo),	(7.86)
причем второе соотношение (7.86) можно использовать лишь для
задач А(3), А (4) и А (6).
. Заметим, что'первое выражение (7.83) при£)=С=1 точно сов-
падает с функцией A(s) для задачи А-(3), а второе выражение
1I3L
Таблица 7.9
Задат ЧИ	a	D	C	o. %
A(l)			1	№	13,4
A(2)	—.	1,037	1,594	13,0
A (4)	—	2,996	2,335	8,5
	n/4	1,035	0,847	'3,0
A(5)	Jt/2	0,814	0,531	3,0
	Зл/4	0,522	0,347	3,0
Таблица 7.10
Задачи	a	p	c	O, %
Bfl) в (2)	n/3 2n/3 4n/3 5n/3 Л/2 3л /2	0,2950 0,3357 0,1033 0,1338 2,5465 0,4828	0,3866 0,3893 0,1295 0,1553 1,6510 0,3275	14,0 4,5 4,1 12,8 1,5 0.5
(7.83) при у=0,25 и р=0,5 точно совпадает с функцией L(s) для
задачи А (6). Значения постоянных D и С, входящих в первую ап-
проксимацию (7.83), для остальных задач группы А даны в табл.
7.9. Для задач А(2), А(4) и А(5) принято т=0,3. При указанных
значенцях D и С максимальная погрешность аппроксимации не пре-
вышает & (см. табл. 7.9).
Функции L(s, а), входящие в соотношение (7.82), аппроксими-
руем с учетом их свойств (7.10) и (7.20) выражениями вида
L*(s, а) = ^,+ Ci_.	а)=г Г(у+0,5^)Г(у + 0,5+М...
S / s2 £)2	[Л8Г (V — ips) г (V 4- ins)
(7.87)
Положительные постоянные D, С,-у и ц находим из условия
HmsZ(s, a)=limsL*(s, /а)=В(а) (s—*0).	(7.88)
Кроме того, потребуем, чтобы величина 0 вида (7.85) принима-
ла наименьшее значение либо выполнялось соотношение
Нгп [sZ, (s, a)]"=lim[sZ,*(5, a)]" (s—>0).	* (7.89)
Значения постоянных D и С, входящих в первую аппроксимацию
(7.87), для задач группы В даны в табл. 7.10. Максимальная по-
грешность аппроксимации не превышает О1 (см. табл. 7.10).
Приведем результаты решения интегральных уравнений (7.80),
(7.2) и (7.81), (7.82) при аппроксимаций'функций L(s) и L(s, а)
выражениями (7.83) и (7.87). Решения интегрального уравнения
(7.80) при h (0 = е-£/ имеют вид:
для первой аппроксимации (7i83)
„ С (t)-^7=- 4-	е~е< erf j/(D — е j /
'	]/£> + « Ynt 1	—s2
(—min(P, CXRes^P);
-£>)£]	(e==Z?).	(7 90)
/2£>	/nt
X.(t) = —-еЕ/erf i/(e-P)Z + £±4--	(^<Res);
K«2-£>2	r	1 /» + £> У nt
132
для второй аппроксимации (7.83)
Г/А— r(0,5+v + fxe)e-er(l-e-W)-l/2
Ur,~ r^r(v+w	Х
х/7(т—v+rs’ _Т’ Т’ 1-«"*)♦
i —<Ree<"—; — <^ Re е < —+ °:5 . Re е=— при Im е^о) ;
\ Р	Р Р	Р	Р	)
(7.91)
= Г<1/2.+ 2у)е-^^ (1_e_t/|t)_1/2 /	И
YлрГ(2у)	\	[х )
Г (0,5 + v + мв) e-C’+O-WH-(1 _ e-VH)-l/2
с, (г)	г— ,	7	X
]7 П|л1 (V 4- рв)
X F —ре, 1, -А-, 1—e-1/pj (Ree3>(v-|-O,5)/p).
Здесь erfx — интеграл вероятности:
2 С
erfi х=—/erf(zx)——= I
Ул J
о
F(а, р, у, х) — гипергеометрическая функция [9].
Решения интегрального уравнения (7.81), когда в его ядре меж-
ду слагаемыми стоит знак плюс, при h*(t) =e~et имеют вид:
. для первой аппроксимации (7.87)
С(О=- 1Х+*	^f2"*2 Ге-'еПтЛв-еН-
.' “ DD~-z e~Ci erf ^D~C) * (~min (Z)’ C) < Re e)’	(7-92>
(f)	+ VD -Ce-Ct erf /(Z?-C)(;
У JU
C (0—C u (0 + r-9+ C e~ct [ erf /(Д - Q i x
X (/ /D^+<^J=r) + |/Л
(e=C);
для второй аппроксимации (7.87)
Г (А .4 Г (*+*«)	(/) I 2мГ(у+р8)е-«Ч1-е-^)1/2
'	Г(у4-0,5+це)	}/пГ(У+0,5 + ре)
X f(1 — v4-Hs, 4г» '4"’ l —(——<Res<—);
\	2.2	/\Р-к	р- /
133
W (t) =	(1 — е-'Л*-)-1/2;	(7.93)
С(/) = T(v + (u).	*	. 2р.еГ(у +_^) е~^(1 - е-^)1/2
Г(у+0,5 + р.е) •	фяГ(у+0,5’+р.е)
XF (—-f-v— ^6, 1,1 — е~//р'| (— <^Ree).
 Решения интегрального уравнения (7.81), когда в его’ядре мену
ду слагаемыми стоит знак минус, при /i*(/)=e-Ei имеют вид:
для первой аппроксимации (7.87)
^(t)=Ч* (О + ————
e~eZ erf	—
e~ct erf / (£> - С) J (0 < Re е),
(7.94)
С(О=^(/)-ф^
erct erfj/(D — C)tX
х (t Ув-са- - Л 1 Ui
1 2фо—С)1 F
для второй аппроксимации (7.87)
Де-(О-СХ (, = Q;
Jt
£ (2)=х(;* (/) 4- 2tteI~ (v + Р«) е~е< (1 — е
ф лГ (V + 0,5 + р.е)
у, -у, 1-е-1/и) (о<
w=ч» от + W (у+Н
Ф лГ (V + 0,5 + ме)
ре, ф —, 1 — е-^ (-
2	J \ [
где к — произвольная постоянная. Если Ree>Z) или С>Р, то в
решениях (7.92) й (7.94) следует в соответствующих местах вместо
erf использовать erfi.
Заметим, что на основе формул (7.90)—(7.95) можно также по-
лучить решения интегральных уравнений (7.80), (7.2) и (7.81),
(7.82) при аппроксимациях (7.83) и (7.87) для h(t)=tae~et и
й*(() =Рге~Е/ (п>1). Для этого соответствующее выражение для
£(() необходимо продифференцировать по е п раз.
Рассмотрим прямой метод' решения интегральных уравнений
(7.80), -(7.2) и (7.81), (7.82). Представим функции L(s), входящие
в ядро (7.2), в виде суммы двух слагаемых:
L (s)=th A$ -ф т ($).
(7.96)
134
Здесь первое слагаемое характеризует основные свойства (7.8),
(7.10) и (7.11) функций L(s) и совпадает со вторым выражением
функции L*(s) вида (7.83) при v=0;5 и 'ц=А/л; второе слагаемое
мало по сравнению с первым. В соответствии с представлением
(7.96) и с учетом интеграла [9]-
С th j4s ,	, I,, sw
I----cos svds——In th------
s	I 4Л
о
для ядра (7.2) получим выражение
k (v) =—In I th	I + R (v),
I 4a I
r,, , f m (s)	,
где R(v)—\ —-—cos svds.
J .s
Первому слагаемому в (7.98) можно придать вид
—In th —------— =—In —............ —
| 4Д ]	J e—0,5irt/A । e—0,5я//А
(7.97)
(7.98)
(7.99)
С учетом (7.99) решение интегрального- уравнения (7.80) ищем в
виде
' « =	Z • <7-1ОД
Подставив (7.98) — (7.100) в (7.80) й выполнив замену перемен-
ных
г/=е-°’5я</Л; Tj=e-0’5,rt/^,	(7.101)
придем к уравнению
_f^Uln|^^
J /1— Д2	I v+y
d^nH(y)-2
- J /1 — ’’I2 I 2f/T] /
(0 <//<!),	(7.102)
где введены обозначения
h(t)=H (e-0’s,rf/A); R (t — r) = ‘2R*- f ch	(t — r)l.
L 2A J
Функции Z(y), H(y), определенные на интервале (0, 1], и функ-
цию R*(w), определенную на интервале [1, оо), продолжим нечет-
ным образом соответственно на интервалы (—1,0) и (—оо, —1].
Теперь уравнение (7.102) можно переписать в виде {ср. с уравне-
нием (7.57)]
(7.103)
lfi h - у\ d'h = ЯН (у) —
Г 1 — V
135’
Таблица 7.12
’ “ <7-104>
J F 1 —1]2	\ 2yrt )
Применив методику, изложенную в подразд. 7.3, сведем интег-
ральное уравнение (7.104) к следующей системе линейных алгеб-
раических уравнений:
У Z (&„) (чгг (&„, &fe)+/?*p°s2\+cosn2^U
I	\ 2 cos cos /J
п=1
= 0+т)^(&й)	»fc=Jt(2^-l)[2(2z + 1)]-1). (7.105)
Решив систему (7.105), найдем приближенное решение интег- '
рального уравнения (7.102) с помощью формулы (7.100) и следую-
щего соотношения:
* 1
%(.&)—%(&)~ ,	- У Z (&„) cos (2m — 1) &„cos (2m —
«=1	т=1	1
-1)& (y^cosS).	(7.106>
Значения функций R(у), необходимые длц практической реали-
зации метода при решении задач А(1) и А (2) (v=0,3), даны со-
ответственно в табл. 7.11 и 7.12.. Таблицы составлены так, что про-
межуточные значения функций R (о) можно получить с тремя точ-
Табмща 7.11
V	/?(«)	V	R(v)	V	R(v)	V	R(v)
0,00	0,11000	0,90	—0,0160	1,80	—0,0269	2,70	—0,0058
0,05	0,0992	0,95	—0,0205	1,85	—0,0254	2,75	—0,0053
0,110	0,0970	1,00	—0,0244	1,90	—0,0238	2,80	—0,0047
0,15	0,0933	1,05-	—0,0276	1,95	—0,0224	2,85	—0,0042
0,20	0,0883	1,10	—0,0302	2,00	—i0,0208	2,90	—0,0037
0,25	0,0823 .	1,15	—0,0323	2,05	—0,0194	2,95	-0,0033
0,30	0,0753	1,20	—0,0337	2,10	—<0,0179	3,00	—-0,0030
0,35	0,0675	1,25	—0,0347 •	2,15	—0,0166	3,10	—0,0023
0,40	0,0592	1,30	—0,0354	2,20	—0,01154	3,20	—0/0018
0,45	0,0506	1,35	—0,0355	2,25	—0,0141	3,30	—0,0013
0,50	0,0418	1,40	—0,0354	2,30	—0,0130	3,40	—0,0009
0,55	0,0331	1,45	—0,0350	2,35	—0,0118	3,50	—0,0006
0,60	0,0246	1,50	—0,0344	2,40	—0,0109	3,60	—0,0004
0,65	0,0164	1,55	—0,0335	2,45	—0,0098	3,70 ’	—0,0003
0,70	0,0087	1,60	—0,0323	2,50	—0,0089 .	3,80	—<0,0002
0,75	0,0015	1,65	—0,0311	2,55	—0,0081'	3,90	—0,0001
0,80	—0,0051	1,70	—0,0297	2,60	—0,0073	4,00	—0,0001 '
0,85	—0,0109	1,75	—0,0283	'2,65	—0/0066	...	r(v) /
136
V	R(v)	V	/гм .		R(v)	V	/гм.
0,00	0,1279	1,00	—0,0387	2,00	—0,0162	3,40	—0,0017
0,05	0,1266’	>1,05	—0,0394	2,05	—0,0148	3,50	—0,00116
0,1'0	0,1228	1,10	—0,0405	2,110	—0,0135	3,60	—0,0014
0,15	. 0,1166	1,15	—0.041ft	2,15	—0,0125	3,70	—0,0013
0,20	0,1084	1,20	—0,0410	2Д0	—0,0115	3,80	—0Д012
0,25 0,30	0,0985 0,0873 -	1,25 1,30	—0,0406 —0,0398	2,25 2,30	—0/0105 —0,0095	3,90 4,00	—0,00111 —0,00110
0,35	0,0750	1,35	—0,0386	2,35	—0,0086	4,10	—0,0009
0,40-	0,0624	1,40	—0,0371	2,40	—0,0079	4,20-	—0,0008
0,45	0,0497	1,45	—0,0354	2,45	—0,0072	4,30	—0'0007
0.50	0,0372	1,50	—0,0336	2,50	—0,0065	4,40	—0,0007
0,55	0,0254	1,55	—0,0317	2,55	—0,0060	4,50	—0,0007
0,60	0,0142	li,60	—0/0298	2,60	—0,0055	4,60 4,70	—0 0007
0,65	0,0040	1,65	—0,0280	2,70	—0,0046		—0,0006
0,70	—0,0052	1,70	—0,0261	2,80	—0,0039	4,80 	—0.0005
0,75	—0,0134	11,75	—<0,0243	2,90	—0,0034	4,90	—<0,0004
0,80	—0,0204	1,80	—0,0226	3,00	—0,0030	5,00	—ОДО04
0JS5	—0,0262	1,85	—0,0208	3,10	—0,0026	5,10	—0,0004
0,90	—0,0308	1,90	—0,0192	3,20	—0,0022	5,20	—0Д004
0,95	—>0,0346	1,95	—0,0176	3,30	—0,0019		r(t>)
ными знаками после запятой с помощью линейной интерполяции.
При о>4,00 для задачи А(1) и с>5,2 для А (2) значение функции
R (о) не превышает
r(-z))=pexp(— kv),	(7.107)
причем для задач А(1) и А (2) значения ри% соответственно рав-
ны: р=0,804; 0,0404; и=2,106; 0,913.
Представим функции L(s, а), входящие в ядро (7.82), в виде
суммы двух слагаемых:
L(s, a)=cth[s/A(a)]-|-m(s, a).	(7.108)
Здесь первое слагаемое характеризует основные свойства (7.10)
и (7.20) функций L (s; а) и совпадает со вторым выражением функ-
ции L*(s, а) вида (7.87) при v=0,5 и р,=[лВ (a)J-1; второе слагае-
мое мало по сравнению с первым.
В соответствии с представлением (7.108) и с учетом интегра-,
л а {9]
JcthSin s^--y-cth —	' (7.109)
о • -
Для ядра (7.82) получим выражение
ео
^(®)=-£7-cth —у + *5(1/); S('a)=J a) sin svds. (7.110)
о	-	'
137
С учетом тождества
» ’ лВ Г ,. лВи -j \	лВе~	/7 111 \
—(cih —± 1)=—ж—(7.111)
где'р=т при знаке плюс в левой части и y=t при знаке минус в
левой части, решение интегрального уравнения (7.81) ищем в виде:
при р,=т
С (/)=(! — e-^)“I/2 Z(e-°>5’^<);	(7.112)
при ц=/
С (0=(1 —	z (е-о-5^г) е-°>&£/.	(7.113)
Подставив (7,110) — (7.113) в (7.81) и выполнив зам,ену пере-
менных
y==e-0-5,t£/, Tj^e-0-5^,	(7.114)
придем к следующим уравнениям:
при ]Л=Т
_ С { 2r' I	2 s* Г(ч?у) ~ (у/ч)1) %(ч) d =
J 1ч2 — У2' лВц L 2 J)	—1]2
' =лН+(у) (0<«/<1); , -	(7.115)
при р,=£
_ F f 2у I 2 5* Г	11 zh) d„ =
]|Ч2_!/2'Г пВу L 2	Jj/l-^2
• ' ~яЯ_(у) (0<£/<1),	'	(7.116)
где введены обозначения
^^(еЧм^ h*	(е-о>5^)е-о,5х.в<;	(7.Ц7)
5 (t—x)—S* [shO,5nB(/ —т)].
Функции H+(y) и Н-(у)" продолжим на интервал —1^у<0 со-
ответственно четным и нечетнум образом. Функции Z(y) в уравне-
ниях (7.115) и (7.116) продолжим на интервал —l^z/<0 соответ-
етвенно нечетным и четным образом. Функцию 5*{0,5[(т]/у) —
— (у/ч])]} продолжим на интервал отрицательных Значений ц и у
следующим образ6|М: 5*[0,5(|т]/#| —|г//т]|)]. Теперь уравнения
(7.115) и (7.116) можно переписать- в виде (ср, с уравнением
(7.58)]	'
z (ч)
^1^(4-^)
= лЯ+ (у)—'
138
1
1 (
лВ ,J
—1
ZQj)
/1-7)2
s* f Ixi/yl — 1УЛ1
\ -	2
(7.118)
C
J /1 — 1)2 (7J — y)
лН_ (у) —
Г . ZQj)
1
ЛВ41 J /1 ----- 7)2
—i
ta/yl — lyftil
2
(7.119)
/ ч
Применив методику, изложенную в подразд. 7.3, сведем интег-
ральные уравнения (7.118) и (7.119) соответственно к "Следующим
системам линейных алгебраических уравнений:
i	.	_	,	’	1
VI g (& ) |	^п’ ______* S* Г —	sin \1) 
n (	sin 8*.	nBsin&n [2 \sinSfr. s'nSn;]j
n=l	i	.	
=(*+y)	(&=1,(7.120)
» Z (& ) 8 /  (^g> _______1	1	Y|)_
П n I sin лВ sin [2 (sinfy, sin&„/Jj
л=1
=^4-ij/7_(&ft) (^=1,...,/).	(7.121)
При решении системы (7.'121) для определения величины
Z ((Ь-н) необходимо дополнительное условие, связывающее неиз-
вестные Z(On), например:	’’
со	1	Z4-1
No = [ С(Т) dr=—— f d =-------------L_ VI z (&
J	ЛВ J /1-7)2 B(i +o,5)	"
0-	—1	n=l
(7.122).
Решив систему (7.1-20), найдем приближенное решение интеграль-
ного уравнения (7.115) с помощью формул (7.112) и (7.106), а ре-
шив систему (7.121) — (7.122), найдем приближенное решение ин-
тегрального уравнения (7.116) с помощью формул (7.113) и сле-
дующей:
гы
Z(S)=Z(»)^ ,^_yz(&„)6„x
I 4-0,5
/	x *
X I 1+.2 cos 2/гг&п cos2zra<M (y=cos&).	(7.123)
\ m=l	'
139
В заключение отметим, что для получения практически точных
результатов в системах (7.115), (7.120) и (7.121), (7.122) доста-
точно взять i ~5.
7.5.	СИНГУЛЯРНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ГРУПП А И В
Для всех контактных задач групп А и В при малых значениях
безразмерного параметра X, входящего в ядра соответствующих ин-
тегральных уравнений, можно получить аналитические решения с
помощью 'сингулярного асимптотического метода (асимптотического
метода малых к (7, 27].).
Рассмотрим этот метод в применении к решению задач группы
А. Основа метода — разбиение интегрального уравнения 47.1) на
два:
•е х	—1
(—1<л<оо);
J \ А /	J \ А / •
—1	— со
(7.124)
1 ' °?
f <P2(t)&[	= Я£2 (*) + 1 Ф1 (0£ ( 5 Г")	(— ОО < X < 1).
— оо	1
Здесь функции gi(x) и gz(x) таковы, что
£i(x)=O(e-'z-x) (х —оо);	g2(x)=O(е"=х) (х->—оо); (7.125)
й (*)+g2 W=g М (|х| < 1).
Функцию g(x) всегда можно разбить на два слагаемых gi(x)
и g2(x). Например, если g(x) — const, то решив уравнение (7.1)
с правой частью вида
.g. (X)=ge~e/x ch (ел/Х);
•	gi (л)=0,5g exp [ — е (1 -ф X)/X];
g2(x)=0,5gexp[—е (1 — х)/Х],	(7.126;
решение для исходного случая [g(x)= const] можно получить в ре-
зультате предельного перехода при е->0.
При выполнении последнего условия (7.125) решение интеграль-
ного уравнения (7.1) найдем как сумму решений интегральных
уравнений (7.124), т.е.
•	Т(*) = <Р1Ч*)+ф2(*)-	(7.127)
При этом естественно предположить, что согласно (7.125) справед-
ливы соотношения
<?х(х)=О	(х—»оо);	(*-*—оо). (7.128)
140
Если функция g(x) в уравнении (7.1) четная, то '	[
gi(.x)=g2(—х); <Pi(x) = <р2(—л).	(7.129)
Тогда после замен переменных:
в первом уравнении (7.124)
/ = (1-|-х)/Х, т = (1 -Н)/Х (слева), т=(1 — 0/Х (справа); (7.130)
во втором уравнении (7.124)
/=(1—х)/Х; т—(1 — £)/Х (слева); т=?(1 +5)/Х (справа). (7.131)
эти уравнения можно свести к одному уравнению
7	7/2	\	й
(т) k (t — x)dx — nh (/)-}- l C(t)AI —-1 — x )dx (0 t co),
0	2A , •	~
в котором введены обозначения
С (/)=?! (.Х/-1); /г(/) = Х-1^(Х/-1).	(7.133)
Если функция g(x) в уравнении (7.1) нечетная, то
gi(x)=—g2 (—х); <Р1(л)= — <р2(—х).	(7.134)
После замен переменных'(7.130), (7.131) уравнения (7.124) снова
сведутся к одному уравнению
ОО '	оо
J г (т) k (t—x)dx—ah(i)—Jc(t)^-^—t — x^dx (0<if<^oo), (7.135)
0	2/X
в котором также введены обозначения (7.133).
Интегральные уравнения (7.132) и (7.135) пригодны для ис-
следования контактных задач при малых значениях параметра X.
Действительно, на основе свойств ядра k(t), описанных в подразд.
7.1, а также соотношения (7.128) нетрудно показать, что справед-
лива равномерная по t асимптотическая оценка
оо
?/ 9	X
С (т) k I--1 — т j dx — О (е~2Р1/х).	(7.136)
2/Х
Согласно (7.136) уравнения (7.132) и (7.135) можно решать ме-
тодом последовательных приближений по следующей схеме:
со	’оо
CcnCt)/e(/— x)dx=nh(t) ± ^n_l(x)k(——t-x'\dx (7.137)
.1	.	J ’	\ X /
0	*	2/Х
(0</<оо; ra>0; Ci(/) = 0).
При этом на каждом приближении приходится решать интег-
ральное уравнение вида (7.80). Таким путем для £(() можно полу-
чить асимптотическое разложение
141
оо
С(о=2 ^<z)e“2₽,"/x- /	<7Л38>
п-0
Для рассматриваемых контактных задач группы А в разложе-
нии (7.138) можно ограничиться при 7,^4/р [относительно р см.
(7.10)] или при Х^2 нулевым слагаемым, которое определяется как
решение уравнения
?Со(т)А(/-т)Л=л/г(Л) (Со(0==СоЮ; 0</<ро).	(7.139)
о
Согласно (7.127) получим
т (а:)=С0	,	(7.140)
где знак плюс соответствует черному случаю; знак минус — нечет-
ному. Погрешность приближенного решения (7.140) не превышает
5%. Если для решения уравнения (7.139) использовать аппрокси-
мацию (7.83), погрешность приближенного решения (7.140) не бу-
дет превышать. (0+5) %, где О — погрешность аппроксимации.
Согласно формулам (7.90) и'(7.140) приближенное решение за-
дач А(1), А(2), А(4) и А(5) для плоского штампа или цилиндриче-
ского бандажа (g(x) =£= const] при малых % имеет вид
где
1	г—	еГы
С«(/)=4ег1/^ + ^=.
А	у- л At
Заметим, что вдали от краев х;=±1 штампа при достаточно ма-
лых значениях параметра X решение (7'. 141) принимает весьма про-
стой вид [назовем это решение вырожденным, и обозначим о(х)]
.	v{x)=g(Ak)-x.	(7.142)
При выводе решения (7.142) учтено, что [9]
erf у7?як 1 — (лО-172®-' (f—>оо).	у (7.143)
Чем меньше X, тем больше цаеть площади контакта, для кото-
рой справедлива формула (7.142). Результаты, полученные по фор-
мулам (7.141) й (7.142), различаются не более чем на 5% при вы-
полнении условия
|л|<1-ЗХ/Д.	(7.144)
С учетом (7.142) решение (7.141) можно представить в другой,
но асимптотически эквивалентной (7.141) форме
142
Результат (5.22) имеет более общее значение, поскольку можно
показать, что нулевой член асимптотического разложения решения
задач группы А при малых значениях параметра X представим в.
форме
<ри)=2^0(Ц^')±2С0(Ц^>--п(х),	(7.146)
эквивалентной (7.140).
Решение (7.141) можно еще представить в виде
? (х)=^	С° •	/	(7.147)
Результат (7.147) также имеет общее значение. Можно показать,
что нулевой член асимптотического разложения решения задач
группы А при малых значениях параметра Z, представим не только
в аддитивных* (7.140) и (7.146), но и в мультипликативной форме
<Р (jc)=4С° Со	<*>•	(7.148)
\ Л j \ Л ]
На основании'формулы (7.147) для усилия No, действующего
на плоский штамп, при малых X получим выражение
N0=gТ— -J-—L- (2 —Д=4+ /1 “	е~2О/х] ’ Г (7.149)
0 s [ АХ ' У AD \ Vad)'\ VAd) J
Заметим, что для задачи А(5)в формулах (7.141), (7.142),
(7.145) и (7.147) следует g заменить на На основании реше-
ния (7.141) для задачи А(5) можно -найти момент, действующий
на штамп:
Г-e-vxerf 1/erfl/+
2 A L	•Г X 1	У D + I ? X '
+е1/х erf - е-‘/х	erf]/• - (7.150)
Выражения (7.149) и (7.150) для задачи А(5) записаны ,в ве-
личинах, сопоставимых с соответствующими величинами в форму-
лах (7.41). Для задачи А(3) в формулах (7.141), (7.145), (7.147)
и (7.149) следует принять D—А = 1, при этом’выражение для. Л'о
значительно упрощается:
jVp=g(2X-i-|-l).	(7.151)
Рассмотрим частный случай задач А(1), А(2) и А(4), когда
g’(x)=g’+px (наклонный штамп или конический бандаж). На осно-
вании первого выражения (7.90) найдем решение уравнения (7.80)
143
для первой аппроксимации (7.83) при h(t)=i (дифференцируем
(7.90) один раз по е, умножаем На —1 и принимаем е=0):
C40=Z.ert/ro-^(i--L—*-),	<7.152)
где Л=1/у/АО.
По изложенной ранее схеме построим приближённое решение
типа (7.146)
?(Л)==т[(^ + ₽)С°(^п)+(^±	±
(7.153)
На основании выражения (7.153) найдем условие, при котором
решение <р (х) ограниченно на одном из краев х=±1 линии контак-
та. Приравняв нулю коэффициент при особенности (1+х)-'^ в точке
X— ± 1,- получим
(g- ₽) Д-1+₽М (Л£>)-1/2=0;
/—1-2-1 (Л£>)-1/2.	(7.154)
На основании решения (7.153) найдем также момент JVi, дей-
ствующий на наклонный штамп:
М = ±2р [erf	уГ 2Д /	•.2	/	М2	 -Л2/	Х2 \ . Г X (	ЗЛХ	УаЪ	D	' 2£>2	I 8AD3 J '
_l 1/^-2—e-w/H ' г Я£)Х	’ г	(	1	XZ	X	Х2/	Х2 \ .	1_4 [	ЗА	УАО	' 13AD	D	1 4Д£>2 J ' ЗЛХ J ' (7.155)
Вырожденное решение и условие обращения его в нуль на од-
ном из краев х=±1, как следует из (7.153), имеют в данном слу-
чае вид
^(x)=(g + ₽л:)/(ЛХ); g=p.
(7.156)
Рассмотрим частный случай задач А(1), А(2) и А (4), когда
g(x)—g—ух2 (параболический штамп или бандаж параболическо-
го профиля). На основании первого выражения (7.90) найдем ре-
шение уравнения (7.80) для первой аппроксимации (7.83) при
h(t)—t2 (дифференцируем (7.90) 2 раза по s и принимаем е=0):
( А D D) VnDt\ D	4D' 2 А)
(7.157)
144
Построим теперь приближенное решение типа (7.1 6) А
?U) = у- {(g-y) [с°	(LVL)]*+2XY[С1 р5г)+
। ri () + х '|1 _ vX2 Гб2 (——1 40 2 f-+ x 'll -
\ X /J L к X J \ X /1
---L (g+2yX2A - ул2)|,	(7.1§8)
У1	J
где	E=(A/D) — (0,5/D2).
На оснований выражения (7.158) найдем условие, при котором
решение <р(х) ограниченно на краях х=±1 линии контакта. При-
равняв нулю коэффициенты при особенностях (1=Рх)_1/г в точках
х— ± 1, получим
g —V _ 2Xyl . Х2ута_____ _
A VAD D VAD
(7.159)
где т = 1-—0,75 (AD) ~'А
Выражение для определения усилия No, действующего на пара-
болический штамп, при условии ограниченности давления на кра-
ях линии контакта имеет форму (7.155), если в нем р заменить на,
2у. Вырожденное решение и условие обращения его в нуль на кра-
ях х=±1, как следует из (7.158), имеют в данном случае вид
ц(л)—(^-|~2уХ2£ —ул2)/(ДХ); g-ф 2уХ2£=у.	(7.160)
Для задачи А(3)*в формулах (7.153) —(7-156), (7.158) — (7.160)
следует принять D—A— 1."
Получим еще приближенное решение при малых значениях па-
раметра X для задачи А (6) о контакте плоского штампа. Согласно
(7.7) и (7.40) имеем	j,
g(x)=g2(x)=^ge2^e-°>S(l-xV\ g1(x)=0.	(7.161)
В соответствии с выражениями (7.161) положим
<Р1(-^)=^е2/хС1 f—т^-Y; ?2(*)=ge2/42p—— ) •	(7.162)
\ -Л J	\ л )
Тогда система уравнений (7.124) после замен переменных
(7.130) и (7.131) примет вид (при 0^/<оо)
с»	со	/
С	Г	/	2	\
I С1(т)А(/ —т)^т=\ С2(г)^(-------------rlrft;
J	J	\	/
О	2/Х ' .
со	со
JС2(т)k(t — т) dx=л е_</2ф- J Ci(т)k	dx.
О	2/Х
(7.163)
145
Пренебрегая интегралом в правой части второго уравнения
(7.163) на основании второй формулы (7.91) при v= 1/4 и р=1/2
получаем
С2(/)—2л“1е_3//2(1 — е-2/)-1/2.	(7.164)
Для ядра k(t) вида* (7.2) и (7.7) можно получить разложение
k (/)=п V Г (2п~1)П I2 е- <2я+°>5) 1'1.	(7.165)
(2n) I! J
.л=°. '
Подставив (7.164) и (7.165) в правую часть первого уравнения
(7.163) и вычислив стоящий там интеграл, найдем .
Ci (т)/г(/ —T)dT=e-3/x
(2п—1)!! j2 е~' <2n+°,5)
(2n) I! | (n + 1)
(7.166)
' Решение этого интегрального уравнения на основании третьей
формулы (7.91) при v= 1/4 и ц= 1/2 представим в виде
г	e-3Ae-3'/2(l-e-2'y-v2 V (2n-1) п F(-n, 1,1/2,1-е~2')
1 Л2	(2n)!!(« + !)
n=0-
(7.167)
В соответствии с (7.127) главный член асимптотики решения
задачи А (6) для плоского штампа, при малых значениях параметра
X имеет вид
<р(х)= ge2/x	(^г)] ’	(7.168)
где £i(Z) и £2(0—решения, найденные по формулам (7.167) и
(7.164).
Аналогично можно построить приближенные решения при ма-
лых значения^ параметра А для неплоского кольцевого штампа, а
также для задачи А(5) в случаях наклонного (g(x)=XeVx[g qz
+ ре1/хе-(1-А’)/х]) и параболического (g(x)=Xe1/x[g-4-pe1/xe~ <1-х>/х—
— уе2/хе~2 х|) штампов.
В. (7.168) выражение £i(/) можно заменить более простым —
приближенным:
'	£,(/)=—е-^е-3'/2 (1-е-2')-1/2 (14-2 е-»).	(7.169)
Зл2
При этом погрешность решения (7.168) при Х^.б/л не превы-
шает 10%. В соответствии с, (7.164), (7.168) и (7.169) усилие [см.
формулу (7.50)], действующее на плоский кольцевой штамп, мож-
но найти по формуле
146
4- т X1 — /и2) + у71 — /и2
No-— п№ (* 6Л/2Хср (л) dx— —=	(2 arccos т4-
X J	т [ Зя
—1	4
(7Л70)
\т \	6 )I 
где	т—е~2^.
Для задач группы В интегральное уравнение (7.19) после по-
членного дифференцирования по х разобьем на два интегральных
уравнения:
ОО	-1
- [ <fi (0 [f (^-) + -Y-]	(х) =₽ f ?2 (О X
— 1	*	—оо
(—1<л<оо);	(7.171)
L \ л j z j’
- J ?2a)[/(^)+2^-]^= -nxi2u)-fcp1(S)X
Здесь 1(у) имеет вид (7.82); функции gi(x) и g2(x) таковы, что
Я1(л)=О(е-“*х) (х -^0); g2(x)=O(ea2X) (х~* —оо);
g'D — ~gi(x)— ~g2(x) ( | x |< 1).	(7.172)
Нетрудно установить, что при выполнении последнего условия
. (7.172) решение продифференцированного интегрального уравне-
ния (7.19) равно сумме решений уравнений (7.171). Естественно
также предположить, что для функций <pi(x) и фг(х) существуют
асимптотические оценки (7.128).
Введем обозначения
%(л:)=ф1 —-— ;	Т" I : Si (x)=gi ——
12Г)=^2(,Ц-^') »	(7.173)
и в уравнениях (7.171) выполним замену переменных (7.130) и
(7.131). В результате получим (при 0^7<оо)
со	со
—	(Т) /(/ — г)+-д- dT=ngi(/)— С <р2(Г)
0	2/Х
(7.174)

147
co
— f ?2 (t) к (Z — T) —-7-] dr=ng2 (t) — (' <P1 (T) Г/ Ц- т —^-1 dr .
J L	J	J I \ Л/ 2 j
0	’ 2/Xw
Согласно (7.21) ,и с учетом равенства l(t) =—К'(t) имеем
Z(/)^O,5nZ? sgn/ (/—*00)	*	(7.175>
(следующий член в асимптотическом представлении (7.175) экс-
поненциально убывает). При /->0 функция Z(Z) = O(1/Z). Для пер-
вой* аппроксимации (7.87) эти соотношения вытекают из следующе-
го представления функции/(Z):
I (t)=Dk\ (Di) +— С2 J /Со (Di) di (i > 0),
t •
где Kv(x) —цилиндрическая функция мнимого аргумента.
Таким образом, с учетом асимптотического поведения функций
<Р1(0 И <Р2 (/) на бесконечности можно утверждать, что интегралы
в правой части уравнений (7.174) при малых значениях параметра
Я и Z>6 представляют собой экспоненциально малые слагаемые
(ср. с оценкой (7.136)].	__
Рассмотрим задачу для плоского штампа [gi(Z) — g2(Z)s0].
Пренебрегая интегралом в правой части второго уравнения систе-
мы (7.174), представим его решение согласно первой формуле (7.94)
в виде
Т2(/.)=х [е-о'(л/)~1/2 +	е~с‘erf У(D—С)i\ .	(7.176)
Заменим интеграл, стоящий в правой части первого уравнения
(7.174), его значением при t-*-oo. Тогда в соответствии с (7.175)
первое уравнение (7.174) примет вид (при 0=^«оо).
се	со
—	T)+-y-]dr= — лВ J <p2(T)rfr. (7.177)
О	2/Х
Подставив в это уравнение выражение (7.176) для срг(О и вы-
числив интеграл в правой части, при малых значениях параметра
X получим (при 0^/<оо.)
во
— J
о
Решение интегрального уравнения (7.178) согласно формуле
(7.92) имеет вид
[a-Dt __________	'______т
-4-/D — С e~cz erf/(£)-(?)/ ,	(7.179)
у Jit	J
где	В—у7 (D—С), D.
148
Z(/-T) + -^
е-2С/Х#
(7.178)
С?Т= —
С
Таким образом, приближенное решение задач группы В для
плоского штампа при малых значениях параметра к, полученное
на основе формул (7.176) и (7.179), примет вид
<Р(л) = х^	,	(7.180)
где Z*(t) — решение, найденное.по формуле (7.92).
Аналогично можно получить при малых X асимптотические ре-
шения задач для наклонного и параболического штампов.
Решение (7.180) для плоского штампа можно также предста-
вить в асимптотически эквивалентной мультипликативной форме
, , х /1 — х\_ (1 -р х \ г /	„ 1 + х \1~1
у(Л)=~/7т—Чч-M"T" ех₽ -с^—	• (7J81>
F	\ -Л /	\ Л / |_	\	Л /J
Использовав представление (7.180), выразим постоянную и че-
рез усилие, действующее на штамп:
7V0=е-‘А / (1 ф-F е-2С/х)>	(7.182)
где	I=^DC~l erf V'ZDI'K — ^D—CC~l	erf p/2(D —С)/Х.
Погрешность формул (7.180) — (7.182) при 2,^2/а не превыша-
ет 10%. На основании формулы (7.180) найдем также .момент, дей-
ствующий на штамп:
N0H=*
Vd’— i
C-l
г 1 -	С+'1
X erf 1/	е~2 <C+W
* . Л
VD—С „_2(С-Н/Лс
C-l
2(D —С)
X
Здесь 7V0 и H — величины, аналогичные использованным в форму-
лах (7.54); при £><1 вместо erf следует употреблять erfi [см. фор-
мулы (7.90)].
В заключение заметим, что все результаты данного параграфа
можно было бы также получить, пользуясь не решениями (7.90) —
(7.95) уравнений (7.80) и (7.81), основанными на аппроксимаци-
ях (7.83) и (7.87), а решениями тех же уравнений, найденными
прямым методом, который был изложен в подразд. 7.4.
(7.183)
7.6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ГРУППЫ Б
Построим аналитические решения задач группы Б, применимые
при малых значениях параметра 7.
149
Продифференцировав интегральное уравнение .(7.17), справед-
ливое для задач группы Б, по х, получим
1
— J ?(£)£*
—1
Здесь введены обозначения
—)d£=n>.g^(JC) ( I х| < 1).	(7.184)
k* (f)=р (/) 4- Л-] = j1 Z* (s) sin stdt;
о
(7.185)
L* (s)=IL (s)+«](«+1)-.1; g'(*)=£'(*)(«+D“1»
причем для l(t) справедливо выражение (7.82), в котором функ-
цию L(s, а) следует заменить функцией L(s), определенной по фор-
мулам (6.31). В соответствии со свойствами'(7.8) и (7.10) функций
L(s) для£*(«) имеем
L* (s) = m-\- A*s -фО (s3)
(s—>0; m=n(n~l~l)~1; A*=A(n-(-I)-1);
L* (s) = 14-0 (e~Zj) (s —»oo).	(7.186)
С учетом асимптотического поведения функций L*(s). (7.186) ап-
проксимируем ее выражением
A«(s)^l —(1 — m)e~As	(7.187)
(возможны другие аппроксимации, например L‘(S)~(S + QX
X (s-j-D)-1), Тогда использовав интеграл [9] -	—•
С erAs sin stds —------(А О),1	(7.188)
• ,)	- /2 + Л2
о .
получим следующее приближенное представление для ядра (7.185):
(7.189)-
Интегральное уравнение (7.184) с ядром вида (7.189) подробно
исследовано в монографии {24]. Показано, что бели ввести -безраз-
мерный параметр т, связанный с % соотношением
Т= /2Х24-1-/2Х;
Х=(1 -т2) (2 /2т)-1,	(7.190)
то разложение решения уравнения (7.184) с ядром. (7.189) в ряд
йо те[0,1], аналогичное разложениям по V1, приведенным в под-
разд. 7.2, равномерно пригодно при всех- |х|^1. Таким образом,
ра-ссматривая значения т, близкие к единице, можно вычислить все
характеристики задачи при малых значениях параметра Z.
1150	 ‘
Построим решения интегрального уравнения (7.184) с обозначе-
ниями (7.185), (7.186) при малых значениях параметра X. Най-
дем вырожденное решение, подставив в уравнение (7.184) прибли-
женное представление ядра k*(t) при больших t
1л6'(0——; J s sin stds | ,	(7.191)
\	о	/
основанное на асимптотическом поведении (7.186) функции L*(s)
при малых s [ср, последний член в (7.191) с формулой {7.18)]. Ин-
тегральное-уравнение (7.184) с ядром (7.191) можно записать в
виде [ср. с (2.31)]
1 • "
’ —т f -У-Ф- rfg-^nXA*<p'(x)=ng'(x) ( | х | < 1).	(7.192)
J -X £	„	.	'
—1
Если вторым членом в левой части уравнения (7.192) пренеб*
речь, его решение имеет вид [48]
. .	1	[д' 1 е £i(O/i-f2 ,,1	,71QQ.
Фо(Л)=Nо---------------“*—7-------— dt •	<7-193)
Л У 1 — Л2	mJ t — X
L -	_i	J
В общем случае уравнение (7.192) можно привести к интеграль-
ному уравнению Фредгольма второго рода относительно функции
<р' (х):
1 „
зтХА*<р' (х)— т j <р'($)1п | х—£ | dl—ng(x) ( | х |. < 1),	(7.194)
где	" g (х)=gjx) — m [<р (1) In (,1 — х) — <р (— 1) In (1 -f- х)].
По виду уравнение (7.194) совпадает с интегральным уравне-
нием контактной задачи для шероховатой полуплоскости при ли-
нейном законе деформирования микронеровлостёй (см. подразд.
2,3), поэтому для его приближенного решения применимы все ме-
тоды, используемые для решения указанной задачи [2, 48].
Рассмотрим еще один из методов решения интегрального урав-
нения (7.184) при малых значениях параметра %. Введем неизвест-
ную функцию
ф(х)=<р(х) —%(х),	(7.195)
где <р0(х) —решение, найденное по формуле (7.193).
Тогда уравнение (7.184) примет вид
1 " 1	" ’ .
-J ’KOA*(£:=±)^=«Xg'(x)+J	(|х I <1).
—1 . —1
(7.196)
151
Использовав аппроксимацию (7.187), вычислим интеграл в правой
части уравнения (7.196). Например, для плоского штампа
(§'* (х)==0) получим
J- j	=	(7.197)
4nl'z	a +	+
а=Д2^2/Х-1-/2; | b | =2Д,| X“i-/ | .
^Здесь использованы интегралы [9]
1
C COS _______ w /j-к.
J л7о(/)>
j JO(T]S) sin $srZs==O (Tj>9;
о
j" Jo (vis) e~as ds—(a2 tj2)~*,
о
где J0(x) —функция Бесселя.
Уравнение (7.196) с правой частью в виде (7.197) разобьем на
два интегральных уравнения (ср. с (7.171)]:
J \ Л /	\ Л /	\ Л / J \ л /	\ л /
-1	'	—оо
(— 1 <;_х<оо);	(7.198)
XA*(^Y^)dS (—°°<-v<1)
при условии
Ф Гф	+Ф (1^-)] /X,
L \ Л J \ л /J
В результате замены, переменных (7.130) р (7.131)
ях (7.198) оба уравнения примут одинаковый вид:
(7.139)
в уравнени-
-?Ф(т)^(/-т)Яг = л^(/)- j* ф(т)А*^ + т-у^Я
0	2/Х
ях (0</<со).
(7.200)
152 '
Таблица 7.ТЗ
Задача	Посто- янная	Значение постоянной при п				
		1/4	1/2	1	2	4
Б(1)	F	0,834	0,695	0,521	0,347	0,208
	G	0,726	0,860	0,985	1,084 '	1,152
Б (2)	F	1,146	0,955	0,716	0,477	0,286
	G	0,863	1,024	1,172	11,290	1,371
При малых знамениях параметра X функцию g(t), заданную
выражением (7.197), можно упростить:
. g _ ^0Л(1-т) —	______ (7.201)
4Л '//2 + Л2 У t +	+ Д2
При /~>оо функция (7.201) ведет себя как t~'h. Тогда можно до-
казать, что решение интегрального уравнения (7.200) при ви-
да (7.201) убывает при /->оо не слабее, чем /-72. На основе пове-
дения функции &*(/) при /—>0 и /—>-оо согласно представлению
(7.189) нетрудно далее доказать, что интеграл в правой части
(7.200) при Л—>0 обращается в нуль. Таким образом, главную часть
функции ф'(т) при малых значениях параметра Л можно найти из
уравнения
— J<j»(T)£*(f—т)с?т==л£(/).	(7.202)
о
Решение интегрального уравнения (7.202) можно получить ме-
тодом Вйнера— Хопфа {23]. По формулам (7.195) и (7.199) при ма-
лых значениях параметра X построим асимптотическое решение
уравнения (7.184).
По изложений методике для плоского Штампа 1У*(х)=0] при
малых значениях параметра X найдем следующее решение для за-
дач группы Б:
<р(Л)
Л У1 — х2
F\
(К2 + G2)3/2
(7.203)
Нетрудно показать, что контактное давление в центре линии
контакта (х=0) достигает наибольшего значения при X=G/j/2.
Значения постоянных F и G для различных п указаны в табл. 7.13.
При ле[1/4, 4] и 7=^2 погрешность решения (7.203) не превышает
При более грубой, чем (7.187), аппроксимации функции L*(s),
а именно
£*(s)=(s24-C2)(s2+£>2)-1 (C2Z)-2=zn),	(7.204)
153
решение интегрального уравнения (7.184) можно получить в замк-
нутом виде. Для" этого интегральное уравнение (7.184) с обозна-
чениями (7.185) и (7.204)
1 'со
— f <p(E)J?C s2 + C2 sin(———)srfs —nXg-'(x) (|x|<l) (7.205)
J	J «2 + D2 \ X /
- -1	о
путем несложных преобразований приведем к системе уравнений:
интегрального-	.
— f	[
-1	6
sin (х — £) ш/ц = лф (х)
( | х I < 1)
•*
и дифференциального
—Х2ф" (х) + С2ф (х)	— X2g” (х) + £>2g' (х).
(7.206)
(7.207)
Из дифференциального уравнения (7.207) можно найти функ-
цию ф(х) с точностью до двух произвольных постоянных. Затем
можно получить точное решение [48] интегрального уравнения
(7.206), если учесть, что его ядро имеет вид (х—*g)_| [см. (7.188)
при Л=0]. Упомянутые произвольные постоянные можно найти из
условия, что полученная функция <р(х) должна удовлетворять ис-
ходному интегральному уравнению (7.205).
По описаннбй схеме для плоского штампа [g'*(х) =0] имеем
(7.208)
1
. .	°	। F С г I Ct \ tdt
<р (х)=--г.	4----\ / 0 -- — -	,
. п —х2 nJ. \ Х /)£2 —_к2
X
где постоянные F и G связаны соотношениями
Здесь Ц.(х) и Kv(x) —функции -Бесселя мнимого аргумента.
Рассмотрим снова задачи групп А и В. Решения интегральных
уравнений (7.1) и (7.19) при специальных аппроксимациях их ядер
также можно получить в замкнутом виде. Для задач группы А
аппроксимируем ядро (7.2), для которого справедливы оценки
(7.8) и (7.10),- выражением (7.97). Тогда после замены перемен-
ных типа (7.101) интегральное уравнение (7.1) примет вид
ь
т-1 dx—ag-(t) (а </-</»),	(7.210)
t -|- Т I
а
eg (т) In
154
где введены обозначения
/ — £^кг/(2Д X) • ££ .— £—гс/(2Д X) •
йх=е!=(2лм;	(7.211)
Ср (/) = 2АЛ“!ср (X) е“/(2ЛХ); g (t) = g (Х).
Интегральное уравнение (7.210) представляет, собой уравнение
контактной^задачи об антисимметричном вдавливании двух оди-
наковых штампов в упругую полуплоскость. Эта задача имеет
замкнутое решение (48]. Для плоского штампа [g(x)^g] найдем
ФРА— ________________nge*^*_________,_______ .
’ 2АКК (е-’/<ЛХ’)/2[ch (л/ДХ)- ch(лх/АХ)] ’
N,=gK' (е-*^) ]/С (е-^))]-1;
/С (<?)=/< (/Г=^) ,	(7.212)
где Л(е) —полный эллиптический интеграл первого рода.
Для задачи В(1) при а=л и а=2л решение (7.212) является
точйым. Для задачи А(5), погрешность аппроксимации функции
L(s, а) выражением thAs не превышает 10% при а^7,5°, и реше-
ние (7.212) также является практически точным при всех Хе(0,
°°)- - .
Для задач группы В продифференцируем почленно уравнение
(7.19) по х и аппроксимируем- ядро (7.82) со свойствами (7.10) и
(7.20) функций L (s, о) выражением (7.109). В результате получим
1 -
-2-f <?«) [cth ( пВ £)	11 dl-~g' (х) ( | х | <1). (7.213)
Z J L\2A / J D
—1
После замены переменных типа (7.114) уравнение (7.213) примет
вид
ь
— J	=	< 6)’	(7.214)
а
где введены обозначения-
*	/ —	0,5тсВл-/Х«	—0,5тсВ/Х«
£_-еО,5*В/Х;
g'(.t)=gr (X).	(7.215)
Интегральное уравнение (7.214) также соответствует контакт-
ной задаче об антисимметричном вдавливании двух одинаковых
штампов в упругую полуплоскость (в этом нетрудно убедиться, ес-
ли (7.210) продифференцировать почленно по t): Решив' уравнение
- 155
Рис. 7.1. ’ Подшипник
скольжения с полимер-
ным покрытием
Рис. 7.2. Обрезиненный
каток ходовой части ма-
шин
(7.214) и перейдя к старым, переменным и обозначениям, для плос-
кого штампа fc'(x)=0] найдем
ЛГ0В е°-БдД^х
(7.216)
<р (х)= —,	.. —  .
X j/2 [ch (лВ/Х) — ch (лВл/Х)]
Для задачи В(1) при а=л/2 и а=Зл/2, а также для задачй В (2)
при а=йт и а==2л решение (7.216) является точным. При других
углах и, близких к указанным, формула (7.216) дает практически
точные результаты.
7.7 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ
НЕКЛАССИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
В различных машиностроительных конструкциях широко при-
меняют детали с тонкими низкомодульными покрытиями. Это под-
шипники скольжения (рис. 7.1) с полимерными вкладышами и по-
крытиями, с поверхностными слоями в виде твердых смазочных ма-
териалов [5], обрезиненные катки (рис. 7.2), являющиеся важным
Таблица 7.14
Задача	Коэффи- циент Пу- ассона V	А	Е
А(1)			0,500	0
	0,1	0,494	0,028
	0,2	0,469	0,028
А(2)	0,3	0,408	—0,071
	0,4	0,278	—10,667
Рис. 7.3. Схема контак-
та обрезиненных валов
156
элементом ходовой части гусеничных машин и автопогрузчиков, об-
резиненные валы (рис. 7.3), применяемые в текстильной и целлю-
лозно-бумажной промышленности (4].	t
При расчете указанных конструкций решают контактную зада-
чу для упругого кольца, одна из поверхностей которого опирается
без трения или жестко соединена с недеформируемой основой. Ес-
ли толщина упругого кольца h^a, где а— полудлина дуги контак-
та, и 5/г^р, где р — наименьший из радиусов взаимодействующих
тел, то вместо контактной задачи для кольца можно решать кон-
тактную задачу для полосы, лежащей без трения' на жестком осно-
вании А(1) или жестко защемленной по основанию А (2). При этом
в правой части интегрального уравнения (7.1) следует принять
gU)=g-(x2/2/?),	(7.217)
где для схем, показанных на рис. 7.1—7.3, соответственно
/?-=Г1Г2/[(г2 —ri)a];
g=B/a; R^-rJcr,	(7.218)
g=0,58/<z; /?=0,5Г1Г^[(Г1-}-Г2)«1-
Здесь для первой и второй схем контакта 6 — сближение центров
О и О\, для третьей схемы 6 — сближение центров Oi и О2; кроме
того, механические свойства обоих покрытий валов (см. рис. 7.3)
приняты одинаковыми. ’
Как следует из формул (7.160) вырожденное решение интеграль-
ного уравнения (7.1) при малых значениях Параметра X для функ-
ции (7.217) имеет вид
<Р(х)=(2АХ/?Г» (1 -JC2); g=(2/?)-1 (1 -2ЕХ2).	(7.219)
Формулы (7.219) дают результаты, достаточно точные для прак-
тического использования при 0 <7^1/4. Постоянные А и Е^для
различных значений коэффициента Пуассона v даны в табл. 7.14.
Выражение для определения усилия в соответствии с (7.219)
представим в виде
ДГ0=2(ЗДХ/?)-1.	(7.220)
В размерных переменных первая формула (7.219) и формула
>(7.220) имеют вид
<7(.г)=6(2Дйр)-1(а2-х2); Р=29й3(ЗА/гр)-‘ (/?=рМ	(7.221)
Для сравнения приведем решение задачи Герца (Х=оо)
q* (jc)=6 (2p)-i /а\—х2; Р=лба* (2р)-\	(7.222)
На рис. 7.4 и 7.5 приведены эпюры давления, построенные для з'й-
дач А(1) и А (2) по формулам (7.221) и (7.222). Для задачи А (2)
принято v.=0,3.	.
Для оценки -контактной прочности при решении задач А(1) и
.А (2) следует иметь в виду, что наибольшие эквивалентные напря-
.157
Рис. 7.4. Эпюры давления [4,8; 3,4; 2,8;
2,2;	1 — максимальные значения
q(x)/q„(O)] для задачи А(1) при раз-
личных значениях X:
/ — 0,05; 2 — 0,1; 3 — 0,15; 4 — 0,25; 5 — °°
Рис. 7.5. Эпюры давления [5,4; 3,8;
3,1; 2,4; -1—максимальные значения
q(x)!qt (0)] для задачи А (2). при
т=0,3 н различных значениях X:
/ — 0,05; 2 — 0,1; 3 — 0,15; 4 — 0,25; 5—°°
жения, очевидно, возникают в плоскости симметрии эпюр контакт-
ных давлений, т. е. при х=0. На основании формул (1.17) для за-
дачи А(1) и формул (1.22) для задачи А (2). убедимся, что в плоско-
сти х=0 при 0=0 напряжения пж, ву и о2 являются главными, и
при малых значениях параметра Z имеют место'соотношения:
для задачи А(1)
су=— 9(0)= — 9max; ах=0; az= —	(7.223)
для задачи А (2)
9(0) = — 9max: °r=az='H1 —	(7.224)
Согласно теории прочности по наибольшим касательным напря-
жениям для задач А (1) и А (2) соответственно получим
°ЭКВ= I °1 — °з1 =(! + >) 9тах;
°экв= I 41 — °з I = (1 — 2v) (1 — v)-i ^nax.	(7.225)
Реализуемый коэффициент запаса соответственно
n = ar[(l-|-v)^raax];
и=а:г(1 —^)[(1—2^)^nax]-i,	(7.226)
где от — предел текучести материала покрытия.
В металлургической промышленности находят широкое приме-
нение бандажированные валки прокатных станов, изготовляемые
путем горячей посадки с натягом бандажа на профилированную.
158
Рис. 7.6. Взаимодействие
оси валка с бандажом й
кривые распределения'
давления в зоне контак-
та при различных натя-
гах (Й2<61)
Рис. 7.7. Схема контакта Рис. 7Х Схема контакта
направляющей и роликов зубьев-передачи
ось. Внутреннюю поверхность бандажа выполняют строго цилинд-
рической, а оси бандажных опорных валков холодной прокатки
имеют трапецеидальную (рис. 7.6) или сферическую форму. В ре-
зультате горячей посадки на поверхности сопряжения бандажа и
оси возникает значительное контактное давление, закон распреде-
ления которого необходимо знать для правильного-выбора пара-
метров_бандажа и* профиля оси валка. Для решения этой задачи
можно использовать результаты решения задачи А (4) (16]. ’На
рис. 7.6 показан, характер распределения контактного давления по
длине оси валка. Видно, что. при недостаточном натяге 6 может
нарушиться контакт между бандажом и осью в окрестности точек
z=±a.
•В заключение рассмотрим некоторые приложения результатов
решения задач групп Б и В. Решение задачи Б (1) можно использо-
вать для расчета на контактную прочность системы роликов и на-
правляющей (рис. 7.7). Здесь наибольшее количественное отличие
результатов расчета от решения Герца наблюдается, когда толщи-
на направляющей 2h соизмерима с длиной линии контакта 2а. Ре-
шение задачи' В (2) можно использовать для расчета -на контактную
прочность зубчатых передач (рис. 7.8). Когда точка контакта зубь-
ев приближается к вершине одного из них' (характерно для пере-
дач Новикова и гипоидных), эпюра давления в отличие от эпюры
пр Герцу становится несимметричной.
ГЛАВА 8
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
8.1.	КВАЗИСТАТИЧЕСКАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
О КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Рассмотрим осесимметричную задачу о сжатии двух идеаль-
ных упругопластических тел силой Р, произвольно меняющейся во
времени t. Построим простую модель, с помощью которой можно
аналитически определить зависимость местного смятия б от P(t)
и получить результаты, хорошо согласующиеся с эксперименталь-
ными и известными численными данными. Такие зависимости ши-
роко используют при решении задач трения и изнашивания, опре-
деления механических характеристик методами вдавливания, рас-
четах удара тел по теории Герца и Тимошенко. Однако упругоплас-
тическая задача об определении б(Р) полностью не была решена.
Для „сравнительно небольших значений Р известно численное ре-
шение, полученное сеточным методом [51]. Широкое распростране-
ние [12, 17] получили эмпирические и феноменологические зависи-
мости б(Р), однако они или применимы не для всех значений P(t),
или дают значительную погрешность. Изложим здесь результаты,
полученные в работах [1, 14, 46].
Введем цилиндрическую систему координат с началом в точке
касания тел (рис. 8.1). Считая радиус области контакта а малым
по сравнению с радиусами кривизн, начальную форму тел в окре-
стности точки касания представим в виде
z1(r')=0,5r2/R1; z2(r)=0,5r2//?2; /?2>/?р	(8.1>
'Используем условие текучести Треска — Сен-Венана. Пластиче-
ские константы тел &г=0,5сгтг- (i— 1, 2) считаем различными на-
столько, что пластические деформации возникают только во вто-
ром теле. Предполагаем, что трение в области контакта тел отсут-
ствует.
Приближенное решение исходной задачи
сведем к комбинации известных решений упру-
гой и жесткопластической задач на основании
следующих гипотез.
I.	Перемещение и любой точки контакти-
рующих тел можно представить в виде суммы
упругой ие и пластической ир составляю-
щих:
Рис. 8.1. Схема начального контакта упругопластических
тел
160
и=иг4-ир,	(8.2>
причем перемещение ие не зависит от- пластических деформаций
и однозначно определяется контактными давлениями, а перемеще-
ние ир не изменяется при разгрузке.
II.	Распределение давлений q(P, г) в зоне контакта ймеет вид
q(P, r)=\,bqQ(P) /1 — f2; 0о=Р/(ла2), £=г/а, г<а. (8.3>
III.	Среднее давление не превышает бринеллевского:
4—5,7.	(8.4)
IV.	Приращение пластических деформаций происходит при вы-
полнении условий
0о=4*; dP/dt^G.	(8.5)
V.	За пределами пластического отпечатка пластические смеще-
ния поверхности упругопластического тела совпадают со смещения-
ми жесткопластического тела, которые возникают при вдавливании
.штампа, копирующего отпечаток на упругопластическом теле.
Можно показать, что исходная задача при определении зависи-
мости 6(Р) эквивалентна задаче о вдавливании в первоначально
плоскую поверхность упругопластического полупространства с.ко-
эффициентом Пуассона v=0, пластической константой k—k2 и мо-
дулем упругости
E=EVE2 [(1 - V?) F2+ (1 - v22) ЕJ"1	(8.6)
«приведенного» штампа, форму которого' определяет зазор между
телами
z=0,5r2//?,	(8.7)
Далее рассматриваем последнюю задачу.
Изучим процесс нагружения из недеформированного состояния
при dPldt>G. При малых Р деформирование упругое и из решения
Герца [48] имеем
8=^р2/з. Ь=:^1РУР[3/(4Е)]^-,
q0=hP1/3; h=— [4£/(37?)]2/3;
л
fl=[3/?P/(4f)]V3.	(88)
На основании гипотез III и IV находим предельные значения
Р\ и ci, до которых справедливы формулы (8.8):
Р^^З/?/^)]2;
а1=Зт.ЦЦ4Еу, х—nkti.	.	(8.9)
При P>Pi согласно гипотезам II и IV значения а и q(r) одно-
значно. определяются силой Р:
161
-	a=(P/z)V2; ^=1,5^/1—^2. .	(8.10)
Упругое перемещение точек, контакта вдоль оси z, соответству-
ющее давлению (8.10), имеет вид [48]
*	®е.==8е(1—0,5^2); Ъе=0,75каЕ~1.	(8.11)
Полное перемещение точек контакта вдоль оси z определяется
формой штампа (8.7) и смятием 6:	.
й»=8—0,5а2^2//?; $<1.	'	(8.12)
Согласно гипотезе I из (8.11) и (8.12) получаем пластическое
перемещение в пределах зоны контакта
wp=w — we=lp—0,5a2?/Rp;
Зр=8-6е;	(8.13)
Для определения зависимости 8Р(а) используем гипотезу V и ме-
тод, изложенный в работе [46]. В основу метода положено характер-
ное для пластических задач о погружении пологого штампа свойст-
во поверхностных скоростей, согласно которому зависимость по-
верхностных скоростей vz от координаты g с малой, погрешностью
можно считать неизменной в процессе погружения и определять
ее из решения задачи предельного равновесия о действии пологого
штампа на полупространство
8
‘WpiafZ), г)—|пг(8, r)db.	(8.14)
-В частности, можно определить б (а), для чего в выражении (8.14)
переменную б следует заменить на
$=г/а(8),	'	(8.15)
после чего в подынтегральном выражении появляется неизвестный
множитель db/da. Зависимость бр (а) ищем в виде
. 8р=т2.	'	(8.16)
Из краевого условия на границе зоны контакта
wp{a, а) = 8р—0,5а2//?р	(8.17)
получаем
” 8р=0,5(1-₽)а2/^р; р=-Др /=2 р,6)Га//?. (8.18)
1
Если трение между штампом и телом отсутствует, то 2с=1—$=
=0,67 [14]. Использовав выражения (8.13), (8.17) и гипотезу IV,
определим б(Р) при Р>Р\:
8=^(14-₽)cP1/24-(l-^)tZP,	(8.19)
где с=Зх1/2Е'~1/8, rf=0,5/x.
162
Зависимость 6(Р) при разгрузке, когда dP/dt<S>, согласно ги-
иотезе I; находим из решения упругой контактной задачи о вдав-
ливании штампа с основанием (8.7) в поверхность пластического
отпечатка'. Эта задача эквивалентна задаче о вдавливании в перво-
начально плоскую поверхность упругого полупространства штампа,
радиус кривизны которого 7?ф определяется соотношением
Р^>Рл- .(8.20)
Из (8.20) следует, что процесс разгрузки при Рт^>Р\ не зави-
сит от начальной формы тел, а зависит от механических свойств ма-
териалов и значения -Ртах- Местное смятие
8ф=8 - 8р (апах)=(1//?ф)1/з [ 3/(4£)J^ Р^Ь^'\	(8.21)
где 8p(amax)==(l-₽)Pmax(2xPp)-1-
Зависимость 7о(Р) имеет вид
-	(8.22)
следовательно, в процессе разгрузки <7о<^Л> и согласно гипотезе
IV при последующем увеличении Р зависимость б(Р) определяет-
ся формулами (8:21) до тех пор, пока Р^Рщ'ах-
На основе изложенного зависимость. 6 (Р) можно определить
при произвольном Р(0- Если Р<Р] или Р(/)<supР(С) (£=^/), то
6(Р) можно, определить по формулам (8.18), (8.20), (8.21). Если
P>Pi и P(t) =’supP(g) (S^O, то Ъ(Р) можно определить по фор-
муле (8.19). Таким образом, общая зависимость б(Р) при произ-
вольном непрерывном Р(/) имеет вид
йр2/з; p^supPCCXPj;
^P2/3+Sp[supP(O]; P<supP(C);
(1 + ₽) сР№ + (1 — ₽) РсР,' Р=sup Р (С);
(
. (8.23)
sup,P.(Q>Pi
Проведем анализ полученных результатов. Зависимости (8.3)
и (8.8) являются точными до появления пластических деформаций,
момент появления которых определяется равенством ттах=&- Сила
Ро, при которой в какой-то точке среды появляются пластические
деформации:
Р0=4^/?-1/3,	(8.24)
где a0==TckR/(6,f>2E).
Отношение "РЦРо, не зависящее от геометрических и механиче-
ских параметров задачи, намного больше единицы:
Pi/Po=tai/ao)3=(0,46571)3	18,6.	(8.25)
Ясно, что начиная с Ро, истинное распределение давления и за-
висимость 6(Р) отличаются от полуденных Герцем. Однако ре-
163
Рис. 8.2. Зависимость среднего давления от
нагрузки в логарифмических координатах—
зультаты экспериментов [3] и чис-
ленного решения [51] показывают,
что формулы Герца справедливы (с
малой погрешностью) при Р, значи-
тельно превышающих Pq. При боль-
ших Р. истинное распределение
q(P,l) стремится к распределению
напряжений в жесткопластической задаче [13, 47]. Здесь распреде-
ление давлений аппроксимируется полуэллипсом (8.14). При этом
’перемещения we, вычисленные по давлениям, полученным в работе
[12] и пр формуле (8.4), различаются не более.чем на 5%. Отметим,
что среднее давление, найденное в работе [13], и среднее значение
давления по Бринеллю практически совпадают и мало меняются
при развитых пластических деформациях при внедрении пологого
выпуклого штампа в упругопластическое полупространство.
Рассмотрим плоскость у=1п qa(P)/q0(P()); X— (1/3)1п(Р/Р0)-
Проведем на ней прямые / и II, соответствующие упругому и жест-
копластическому решениям (рис. 8.2). Эти прямые пересекаются в
точке (Х1=0,975; у\—0,975). Истинная кривая III есть некоторая
гладкая монотонно возрастающая кривая у(х), расположенная не
выше ломаной I и //; при она стремится к кривой II, а при
дс>0 и х->0 — к кривой I. Максимальное удаление у(х) от ломаной
будет при х<=х\. Сравнение с результатами, полученными в рабо-
те [5Г], показывает, что это отклонение у\х) при x—Xi не превыша-
ет 0,12. Сравнение с результатами эксперимента [3] также показы-
вает, что заметные отклонения полных перемещений от герцевских’
! происходят именно в окрестности точки (Х\, у^). Это совпадение
свидетельствует о том, что описанная здесь модель хорошо отража-
ет реальное поведение упругопластических материалов в процессе
нагружения.
Для процесса разгрузки точность соотношений (8.23) зависит
от значения Ртах- Следует ожидать, что наибольшая погрешность
соответствует Дпах—Рь Экспериментальные данные [50] подтверж-
дают справедливость предлагаемой модели при Pmax>Pi?
Проведем сравнение полученных результатов с применяющи-
мися в настоящее время феноменологическими моделями зависи-
мости 6(Р). Распространенная модель б(Р) имеет вид [17]
8=
ЬР^3; Р<Р0;
bP2'3+Pd; Р>Р0;
dP[dt >0;
(8.26)
*p2/3+pmaxCr. Р1пах>Р0; dP!dt<S).
Согласно результатам экспериментов и численных расчетов за-
висимость Ъ—ЬР2!* справедлива (с малой погрешностью) при Р\>'
>Р. Если Pi>P>Pq, то можно определить пластические перемеще-
ния, причем погрешность вычисления тем больше, чем Р ближе к
1164
Рис. 8.3. Схема действия штампа на предва-
рительно напряженное упругопластическое по-
лупространство
Ро. Если же P>Pit то можно опреде-
лить упругие перемещения: погреш-
ность вычисления тем больше, чем
больше Р отличается от Рь Процесс
разгрузки при Praax^Pi значительно
отличается от экспериментальных данных. Наиболее близка к из-
лагаемой здесь модель Крука [50]
( dP-\-cP'P dPldt>G-
I а.пах-№/3; dPLdt<G..
(8.27)
8 =
Однако эта модель приводит к зйачнтельным погрешностям .при
P<Pi. Отметим также, что все предложенные ранее модели не учи-
тывают вытекания материала, что также ведет к заметным погреш-
ностям [14].
8.2.	ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА О ВДАВЛИВАНИИ ШТАМПА
В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВО
Изучим осесимметричную контактную задачу для предвари-
тельно напряженного упругопластического несжимаемого полупро-
странства. Рассматривая действие штампа на полупространство как
малое возмущение его основного напряженно-деформированного
состояния, поставим цель определить зависимость контактной жест-
кости^ от степени предварительного нагружения. Эта зависимость
позволяет судить о степени предпапряженного состояния элемента
конструкции по результатам простого неразрушающего контактно-
го эксперимента.
• Допустим, что полупространство нагружено равномерно распре-
деленными -на бесконечности усилиями щ-°=р. Затем в полупро-
странство силой Р вдавливается жесткий штамп (рис. 8.3). Счита-
ем, что действие штампа вызывает в полупространстве малое воз-
мущение основного напряженно-деформированного состояния, опре-
деляемого соотношениями
и° = Дг; те/>=—2Дг; е°=е°=Д;
е°=—2Д;	.	(8.28)
0	^0 п
&Z--^rz-V-
Связь между постоянными Аир можно найти из уравнений
деформационной теории пластичности:
. ег=ф(°г—°); е?=ф(°?—s);
ег=Ф(ог —о); У„=2фт„; е=0;
165
e:3=(e/+E$>+ez)/3;
<’ = (о,+а¥ + <5г)/3; ф=ф(т);
(8.29)
т = 6-V2 /(Of. _ av)2	(Ог _ а(а1р_аг)2_]_ бт^.
Характерный вид функции ф(т) на этане нагружения показан на
рис. 8.4. Зависимость, показанная на рис. 8.4, а, соответствует слу-
чаю, когда на диаграмме т—у (т — интенсивность девиатора на-
пряжений; у — интенсивность девиатора деформаций) имеется
участок упрочнения; зависимость, показанная на рис. 8.4, б, соот-
ветствует случаю насыщения, когда, на диаграмме т — у величина
т асимптотически достигает предельного значения т». Для зависи-
мости на рис. 8.4, а значение т* соответствует точке перегиба на
кривой ф(т), кроме того, ф(оо) =0,5/6оо, где — касательный мо-
дуль сдвига на диаграмме т — у. Для обеих зависимостей ф(0) =
=0,5/б, где G — модуль сдвига материала полупространства. На
этапе разгрузки ф==0,5/0,щричем для многих материалов на диа-
грамме т — у есть достаточно протяженная зона, где при разгрузке
-происходит плавный переход от ф(т) к ф—0,5/G, т. е. можно счи-
тать, что малая разгрузка идет по кривой нагружения. Уравнения
(8.29) необходимо дополнить уравнениями равновесия '
dr дг ' г
дг дг г
и зависимостями Коши
Поскольку, на начальном этапе разгрузки модуль сдвига при-
мерно тот же,’ что при нагрузке, то, учитывая малость возмущения
штампом основного поля, можно пренебречь изменением модуля
сдвига в областях полупространства, в которых после вдавливания
штампа происходит разгрузка. К тому же, если начальное поле на-
пряжений в полупространстве является растягивающим (р>0), то
при действии штампа разгрузка возникает в областях полупро-
странства, достаточно удаленных от границ области контакта, и
незначительно влияет на характер напряженно-деформированного
состояния вблизи зоны контакта*.
#-9 ф-

W0
11г(0)
Рис. 8.4. Зависимость коэффи-
циента деформируемости упру-
гопластического материала от
интенсивности касательных на-
 пряжений
166
Обозначим малые возмущения напряжений, деформаций и пере-
мещений: ог*, ..., ег*, .... и*, w*. Решение системы уравнений (8.29) —
(8.31) ищем в виде
0,=”°sr=£?+£r,..., и—и°-\-и*; w—w°-^w*. (8.32)
В результате линеаризации указанных уравнений относительно
возмущений получим
(8.33)
— (/-{-774) 1ez-|-a*;	хТг—0,5\rzll',
1*. т * I *
Z. ? 1 2Z(Z + m) 1
1 °* I - т & 1-g*
I ‘ 1 21 (I + т) 1
Л —
где
/ = ф (То) >0; т=Тоф' (т0) > 0; т0=З-1/2^).
(8.33) следует, добавить уравнения
К
'ди* . и* \ । до*
"7J • д7
(8.34)
равновесия
(8.30), условие несжимаемости и зависимости Коши (8.31), запи-
санные со звездочками.
Подставив (8.33) в уравнения равновесия и выразив деформа-
ции через перемещения, получим аналог уравнений Ламе
1	/ д?и*	.	1	ди*	и* \	.	1	д^и*	.	I 4-2/п	d^w* . да*___д.
I	\	г	dr	г )	21	dz’i	21(1 + т)	drdz	дг	’
(8.35)
d^w*		1	dw*	\	.	1	d^w*		1	д
~дг^	Г	~	dr	Rz + т	дг%	' 21	~дг
Добавив к (8.35) условие/несжимаемости
du*tdr-\-u*lr-\-d'W*ldz=0,	(8.36)
получим систему .трех уравнений для определения и*, и>* и о*. Ре-
шение системы уравнений (8.35) и (8.36) для полупространства
ищем в форме интегралов Ханкел-я [45]'
и* = С U (s, z) (sr) sds;
1 fi
w*= ? W (s, z)J0(sr)sds-,	(8.37)
fi
a* = ^2(5, z)J0(sr)sds,
о
при этом относительно трансформант Ханкеля U(s, z), W(s, z) и
S(s, z) получаем систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами
167
U4- — U" + ----m sU7'-22—0;
I '21	1 41(1 + m)
sU-YW'=0-,
-A-s2lF + -J-^+-^st/' + S'=0.	(8.38)
Исследование уравнений (8.38) показывает, что система урав-
нений (8.35) —(8.36) является системой эллиптического типа. Об-
ращающееся в нуль при z->oo решение уравнений (8.38) имеет вид
,tZ=A (s) е-^г+В (s) е-‘«г;
W=С (s)	+ О (z) e-^z;
S = [2/(/4-/n)]“1[£’(s)e-‘lsz+F(s)e-'rs2],	. (8.39)
где '	.
А~—рС; В——pD;	рС[/2 —р2(/-ф/и)];
/7=р£>{/ —p2(/-f-/n)]; р= -j/0,5(l-f-B)4-Z(l — By,
5=(Z-0,5/n)(Z+mF1; -0,5<£<1.
С помощью формул (8.39) получим решение вспомогательной
задачи с граничными условиями
т*г (г, 0)"=0; о* (г, 0) =—q (г).	(8.40)
Здесь также возмущения напряжений а,*, ... и q(r) стремятся к
нулю при г->оо и z->oo. Записав граничные условия (8.40) в транс-
формантах Ханкеля и удовлетвори^ их, найдем функции C(s) и
D(s) в-(8.39). В результате получим
оо
W*(r, 0)= —— f Q(s) Jo(sr)ds,	(8.41)
S J
о
где
6=Z-i /(1 + 0,25 m/'1) (14- ml-iy1;	(8.42)
Q(y) —трансформанта Ханкеля функции q(r).
'Удовлетворив с помощью (8.41) граничные условия контактной
задачи
. т*г(г, 0)=6; а г (г, 0)=0 (г>«);	(8.43)
W*(r, 0)=—[8 — /(г)( (г<а);
°г,... —»0 (г —> сю, z -*сю),
получим следующее интегральное уравнение относительно неизвест-
ного контактного давления q (г):
168
(?(р)К(-^гр	/(Г)] (г<н).	(8.44)
-J \ r+₽ Jr+₽. 2 1
Здесь 7C(e)—полный'эллиптический интеграл первого рода; 6 —
внедрение штампа в полупространство; f(r) —функция, описываю-
щая форму основания штампа; а — радиус области контакта.
Интегральное уравнение (8.44) отличается от интегрального
уравнения классической осесимметричной контактной задачи для
упругого полупространства лишь контактной жесткостью 0. Для
упомянутой классической задачи 0=26=ф-1(О). Если принять, что
f (г) =0,5г2/7? (сферический штамп радиуса R), то в случае изменя-
емой области- контакта из уравнения (8.44) с учетом условия рав-
новесия для штампа
Р=2л J<7(p)p£/p	(8.45)
найдем [48]
Р = 86н3/(3/?).	(8.46)
При наличии экспериментальной зависимости Р=Р(а) по фор-
муле (8.46) можно определить контактную жесткость 0. Тогда при
.известной диаграмме материала т— у, т. е. при известном виде
функции ф(т), можно судить о степени предварительного напряже-
ния элементов конструкции. Действительно, проведем достаточно
простой эксперимент по вдавливанию сферического штампа в по-
верхность элемента конструкции. Приложим к штампу относитель-
но малую силу Р и найдем область контакта. По формуле (8.45)
вычислим контактную жесткость 0. Если 0t=2G, то элемит рабо-
тает в упругой области, если 0#=2G, то от действия усилий р в
элементе возникают пластические деформации. При этом,, зная диа-
грамму материала т —у, с учетом формулы (8.42) ’ для 0 можно
определить степень развитости пластических деформаций в эле-
менте, т. е. степень его предварительного напряжения и выяснить
на каком участке диаграммы т— у работает элемент.
В качестве конкретного примера зависимости, показанной на
рис. 8.4, а, рассмотрим функцию
ф=(1 -ф ат2) (£4- ут2)-».	(8.47)
Здесь примем 1/р==ф(О) ==0,5/G; а/у=ф(о°) =0,5/<Лх,. Кроме.того,
из условия ф"(т,)=0 имеем т,2=р/(3у). Запишем зависимость
ф(т) в безразмерных величинах:
ф=] 1+О (ЗСсоГ1 т2] [ 1 + (1/3) т2 ]-1,	(8.48)
где ф=ф/ф(0); т=т/т*.	,	1
На рис. 8.5 приведены зависимости 0(т), построенные по форму-
169
Рис. 8.5. Зависимость контактной жестко-
сти от интенсивности касательного напря-
жения предварительно напряженного состо-
яния:
. /-с/б„=50; г-С/О^-гб
ле (8.42) с учетом (8.48). При уве-
личении степени предварительного
напряжения контактная жесткость
О уменьшается и ее Л, предель-
ное значение при т->оо равно
Goo/G.
В качестве конкретного примера
зависимости, показанной на рис.
8.4, б, рассмотрим функцию
Ф=<*(*! —т2) ".	(8.49)
Здесь примем ат»_2“=ф(0) — 0,5/G. Перейдя к безразмерным ве-
личинам, запишем
Ф = (1—т2)—>.	(8.50)
I	. 
По формуле (8.42) с учетом (8.50) найдем, что 0=1 при т=0 и
0->О при т—*!.
170
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров В. М., Кадомцев И. Г., Царюк Л. Б. Осесиммегричные кон-
тактные задачи для упругопластических тел.Трение и износ. 1984. т. V, № 1,
с. 16—26.' . " ' .	*
- 2. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонки-
ми покрытиями й прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.
3.	Багреев В. В. Упругопластический удар массивных тел. — Труды МНИТ,
1964, вып. 193* с. 53—70.
4.	Бидерман В. Л., Гоман А. М. К расчету обрезиненных валов. — Изв. ву-
зов. Машиностроение, 1973, № 5, с. 9—13.
5.	Брейтуэйт Е. Р. Твердые смазочные материалы и антифрикционные цокры-
тия. М.: Химия, 1967. 320 с. .	-
6.	Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973,
366 с.
7.	ВоровИч И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешан-
ные задачи теории упругости. М.: Наука, 11974. 456 с.
.8	. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.. М.:
Наука, 1980. 304 с.		•
9.	Градштейн И. С.. Рыжик И, М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
изведений. М.: Физматгиз,-1962. -1100 с.
10.	Демкин Н. Б*, Рыжов Э. В. Качество поверхности и контакт деталей ма-
шин. М.: Машиностроение, 1981: 244 с.
11.	Джонсон К. Л. Предел приспособляемости в случае контакта при каче-
нии.—• В кн.: Механика. М.: ИЛ, 1965, № 2, с. 137—=144.	”
12,	Инженерные методы исследования ударных процессов/Г. С. Батуев,
Ю. В. Голубков, А. К- Ефремов и др. М.: Машиностроение, 1977. 240 с.
13.	Ишлинский А. Ю. Осесимметричная задача Пластичности и проба Брц-
нелля. — ПММ. 1944, с. VIII, вып. 3, с. 201—224.	» k
14.	Кадомцев И. Г., Царюк Л. Б. Соударение жесткопластических тел вра-
щения.— В кн.: Расчет оболочек-и йластин. Ростов-на-Дону:- Рост; инж.-строит.'
ин-т, 1978, с. 189—494.
15.	Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М.: На-
ука, 1973. 304 с.
„	16. Капитанов Н: И., Саижаревский А. И. Контактные давления на бандажи
валков холодной прокатки. — В кн.: Динамика и прочность машин. Харьков:.
Изд-вб Харьковского ун-та. 1973, выи. 17, с. 126—130.
17,	Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар.
Киев: Наукова думка, 1976. 320 с.
"	18. Контактная задача для направляющих машин. Ромалис Б. Л1, Сибир-
ко Е. О. ВПИ.. Воронеж, 1982; 111 с. ил. Библиогр.: с. 11 (5 назв.). Рукопись деп.
в ВИНИТИ 26.08.82, № 3094—82 Деп.	'	'
19.	Крагельский И. В., Добычин М. Н., Камбалов В. С. Основы расчетов на
трение и износ. М.: Машиностроение, 1-977. 525 с.
20.	Кузнечно-штамповочное оборудование/А. Н. Банкетов, Ю. А. Бочаров,
Н. С. Добринский и др. М.: Машиностроение, 1982. 572 с.
21.	Мальцев В. Ф. Механические импульсные передачи. М.: Машинострое-
ние, 1978. 367 с.	. -
22.	Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.:
Наука, 1981. 344 с.	*
23.	’Нобл. Б. Метод Винера — Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.
171
- 24. Панченков А. Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наукова дум-
ка, 1965, 552 с.
25.	Пинегин С. В. Трение качения в машинах и приборах. М.: Машиностро-
ение, 1976. 264 с.
26.	Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов,
тонких'включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.
» 27. Развитие теории,контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 496 с.
28.	Расчеты на прочность в машиностроении/С. Д. Пономарев, В. Л. Бидер-
ман, К. К. Лихарев и др. М.: Машгиз, 1958, т. II. ©74 с.
29.	Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории, упругости для
нсклассичсских областей. Киев: Наукова думка, :Г977. 236 с.
30.	Решетов Д. Н. Детали машин. М.: Машиностроение, 11975. 656 с. *
31.	Ромалис Б. Л. К проверке контактной прочности бронзовых вкладышей
кривошипных прессов. — Кузнечно-штамповочное производство, 1977, № 3,
с. ГЦ—13.
3?.	Ромалис Б. Л. Напряжения у места контакта зубьев зубчатого (шлице-
вого) соединения, — В кн.: Математические методы в исследовании машин и тех-
нологии обработки. Воронеж: ВПИ, 1973, с. 183—190.
33.	Ромалис Б. Л. Некоторые случаи плоской контактной задачи..— В кн.:
Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1964. вьш. 10, с. 116—136.
34.	Ромалис Б. Л. Решение контактной задачи для цилиндров, сжимаемых и
поворачиваемых один относительно другого. —Механика твердого тела, 1967,
№ 1, с. 111—115.
35.	Рябов В. Г. Исследование влияния трения на распределение и величину
контактных напряжений и усилий в паре ползун — направляющие кривошипного
пресса. — Машиноведение, 1974, № 5, с. 83—87.
36.	Саверин М. М. Контактная прочность материала. М,—Л.: Машгиз, 1946.
148 с.
37.	Серенсен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
38.	Скуидин Г. И., Никитин В. Н. Шлицевые соединения. М.: Машинострое-
ние, 1981. 124 с. -
39.	Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Рос-
тов-н/Д: Изд-во Ростовского ун-та, 1983. 264 с.
40.	Сухарев И. П. Прочность шарнирных узлов машин. М.: Машиностроение,
1977. 168 с.	.
41.	Тензометрия в машиностроении /Р. А. Макаров, А. Б. Ренский, Г. X. Бор-
кунскйй и др. М.: Машиностроение, 1975. 288 с.
42.	Теплый М. И. Контактные задачи для областей с круговыми границами.
Львов: Вища школа, 1983. 176 с.	•
43.	Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
44.	Улитко А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных
задачах теории упругости. Киев: Наукова думка, 11979. 264 с.
45.	Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упруго-
сти. Л.: Наука, 1967. 404 с. - ~
46.	Царюк Л. Б. О вдавливании выпуклого осесимметричного штампа в
жесткопластическое полупространство. — Изв. СКНЦ, 1973, № 4, с. 89—92.
'47	. Шилд Р. Т. О пластическом течении Металлов в условиях осевой симмет-
рии. —Механика. М.: ИЛ, 1957, № 1, с.> 1'0.2—122.
48.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехтеор-
издат, 1949. 272 с. -
49.	Якушев А. И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измере-
ния. М.: Машиностроение, >1979. 344 с. .
50.	Crook A. W. A Study of Some Impacts between Metal Bodies by a Piezoe-
lectric Method. — Proc. Roy. bond., A, 212, 1952, pp. 377—390.
51.	Hardy C., Baronet C. N;, Tordion G. V. The elastic-plastic «indentation of a
halt-space by a rigid sphere. — International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 1971, 3, pp. 451—462.
52.	Hertel H. Ermudungsfestingkeit der Konstruktionen. — Springer-Verlag, Ber-
lin — Heidelberg — New-Jork, 1970, 649 p.
• ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . ..............................................     3
Глава 1. Задача о сжатии гладких цилиндров...........................   5
1.1.	Интегральное уравнение плоской контактной задачи. Условие
ограниченности давления.....................................   5
1.2.	Решение задачи для цилиндров, снабженных устройствами,
препятствующими их повороту..................... •............ 8
1.3.	Контактная задача для свободно поворачиваемых цилиндров	12
1.4.	Контактные нагрузки в упругих направляющих машин . .	15
Глава 2. Анализ некоторых решений, плоских контактных задач и учет
микрогеометрии поверхностей цилиндров ............................... 23'
2.1.	Симметричные и кососимметричные задачи с начальным кон-
тактом вдоль полосы . . *.................................... 23
2.2.	Симметричные и несимметричные задачи с начальным кон-
тактом по линии.............................................  25
2.3.	Решение плоской контактной задачи с учетом микрогеомет-
рии поверхностей . . . ...............................»-....	32
Глава 3. Оценки прочности сжимаемых цилиндров вблизи места их ка-
сания ........ ....................................................... 37
3.1.	Напряженное состояние при произвольных нормальных и ка-
сательных нагрузках, распределенных по полосе контакта .	37
3.2.	Напряженное состояние в особых случаях контакта цилин-
дров ..................................................... 	40
3.3.	Исследование напряжений для симметричной задачи с на-
чальным контактом в виде полосы ............................. 42
3.4.	.Напряжения под полосой контакта для симметричной задачи
с начальным контактом по линии............................... 47
Глава 4. Расчет некоторых видов деталей машин........................  50
4.1.	Расчет фрикционных элементов муфт и тормозов прессов .	50
4.2.	Построение расчета деталей шлицевых соединений.........	52
4.3.	Приспособляемость поверхностных слоев деталей машин .	58-
Глава 5. Внутренний плотный контакт упругого кругового пальца и на-
ружного тела с круговой полостью..................................... '65
5.1.	Задача о внутреннем контакте при неограниченном охватыва-
ющем теле................................................. -	65
5.2.	Определение момента от сил трения во вращательной паре .	72'
5.3.	Напряжения в жестких головках шатунов, проушинах и дру-
гих деталях.................................................. 74
5.4.	Проверка контактной прочности вкладышей шатунов ...	78
Глава 6. Вывод интегральных уравнений некоторых неклассических кон-
тактных задач ,t....................................................'	' 81
6.1.	Постановка контактных задач для упругого слоя при дейст-
вии полосового штампа........................................ 81
173»
6.2.	Постановка контактных задач .для .упругого цилиндра и уп-
ругого пространства с цилиндрической Шахтой . .......	89
6.3.	Постановка плоских контактных задач для упругого клина. 97
6.4.	Постановка осесимметричных контактных задач для упругого
• ко'нуса . .	............ ............. . . . .	104
Глава!. Методы и результаты решения неклассических контактных задач ПО
7.1.	Классификация интегральных уравнений иеклассических кон-
тактных задач..............................................ь	110
7.2.	Регулярный асимптотический метод решения неклассических’'
контактных задач............................................  113
7.3.	Модифицированный метод Мультоппа — Каландия' решения
неклассических контактных задач . . .'....................... 124
7.4.	Методы решения неклассических контактных задач для полу-
” бесконечной области контакта (группы А и В) . . . . -. .	128
7.5.	Сингулярный асимптотический метод решения иеклассических
контактных задач групп А н В ,............................... 140
7.6.	Аналитические методы решения иеклассических контактных
задач, группы Б . . . - . ..................................  149
7.7.	Некоторые приложения результатов решения иеклассических
контактных задач ............................................ 156
Глава 8. Осесимметричные контактные задачи для упругопластических тел 160
'	8.1. Квазистатическая осесимметричная задача о контактном вза-
имодействии упругопластических тел........................  160
'8.2. Осесимметричная задача о вдавливании штампа в предвари-
тельно напряженное упругопластическое полупространство .	165
Список литературы................................................'. . 171
Виктор Михайлович Александров,
Борис Львович Ромалис
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ В МАШИНОСТРОЕНИИ
Редактор О. Ф. Корсун
Художественный редактор И. К. Капралова
Обложка художника* С. И. Орлова
Технический редактор Л. П. Гордеева
Корректоры И, М. Борейша и О. Е. Мишина
ИБ № 4086	•
$
Сдано в набор 25.09.85. Подписано в печать 22.11.85. Т-20394. Формат 60X90V1B.
Бумага типографская № 3.. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл печ. л. 11,0.
Усл. кр.-отт. 11,25. Уч.-изд. л. 10,78.'Тираж>5900 экз Заказ. 1839. Цена 55 к.-
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Московская типография № 8 Союзполнграфпрома
при Государственном комитете СССР
. по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.