/
Author: Блехман И.И.
Tags: динамика кинетика колебания акустика механика физика математика прикладная механика вибрационная механика
ISBN: 5-02-014283-2
Year: 1994
Text
И.И.БЛЕХМАН
ВИБРАЦИОННАЯ
МЕХАНИКА
Москва
Издательская фирма
“Физико-математическая литература”
ВО “Наука”
1994
ББК 22.213
Б 68
УДК 531.3+>534
Книга издана при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
(проект № 94-01-01322)
и АО «Механобр-Техника»
Блехман И. И. Вибрационная механика.—М.: Физматлит, 1994.—400 с.
ISBN 5-02-014283-2.
Приводятся основные определения и теоремы, излагается математический аппа¬
рат вибрационной механики—нового направления в теории механических колебаний,
характеризуемого математическим подходом к описанию и исследованию широкого
круга явлений, имеющих место при действии вибрации на нелинейные механические
системы и лежащих в основе ряда современных машин и технологий. Специальные
разделы посвящены вибрационной механике механизмов и машин, синхронизации
роторов, вибрационному перемещению и смещению, виброреологии. Существенно
обобщается принцип автобалансировки Лаваля, рассматриваются приложения к тео¬
рии резонансов в орбитальных движениях небесных тел.
Для специалистов в области теоретической и прикладной механики и матема¬
тики, теории нелинейных колебаний и вибрационной техники, студентов старших
курсов и аспирантов механико-математических специальностей.
Табл. 4. Ил. 76. Библиогр. 476 назв.
Рецензент доктор технических наук М. 3. Коловский.
1603030000—055
053(02)-94
40-94
© И.И.Блехман, 1994
ISBN 5-02-014283-2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 11
Введение. Предмет вибрационной механики
§ В.1. Колебательные процессы в природе и технике 15
§ В.2. Вибрация вредная и вибрация полезная. Вибрационная техника ^
и технология
§ В.З. Теория вибрационных процессов и устройств - новый раздел
прикладной теории колебаний ^
§ В.4. Об эффектах, связанных с действием вибрации в нелинейных
колебательных системах 17
§ В.5. Вибрационная механика и вибрационная реология. Наблюда¬
тель О и наблюдатель V
§ В.6. Вибрационная механика как раздел механики систем со скры¬
тыми движениями 24
§ В.7. Ошибки и парадоксы, связанные с трактовкой рассматриваемо¬
го круга явлений; наблюдатель W 25
Часть первая
Теоретические основы вибрационной механики
Глава 1.0 механике систем со скрытыми движениями 30
§1.1. Общие положения и основные уравнения; теорема 1 30
§ 1.2. Частные случаи, примеры 34
1.2.1. Механика относительного движения (34). 1.2.2. Твердое тело с внутренни¬
ми (скрытыми) степенями свободы (34). 1.2.3. Системы с циклическими коорди¬
натами (38). 1.2.4. Движение тела в вязкой несжимаемой жидкости (41). 1.2.5.
Вибрационная механика - системы со скрытыми быстрыми движениями (43).
Глава 2. Основные положения и математический аппарат вибра-
ционной механики ^
§ 2.1. Вибрационная механика как механика систем со скрытыми быс¬
трыми движениями 44
§ 2.2. Метод прямого разделения движений - эффективный общий
метод решения задач вибрационной механики 4
2.2.1. Предварительные замечания (45). 2.2.2. Исходное уравнение и его приве¬
дение к системе интегро-дифференциальных уравнений для явной и скрытой
составляющих движения (45). 2.2.3. Случай, когда получается отдельное
уравнение для явной составляющей; теорема 2 (47). 2.2.4. Основное
предположение вибрационной механики, его формализация и условия выполне¬
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ния; теоремы 3 и 4 (49). 2.2.5. Основное уравнение вибрационной механики.
Вибрационные силы, наблюдатели О и V (52). 2.2.6. Способ приближенного
нахождения вибрационной силы и составления основного уравнения вибраци¬
онной механики, его обоснование; теорема 5 (53). 2.2.7. Важный частный случай;
теорема 6 (55). 2.2.8. О других упрощениях при решении уравнения для быстрой
составляющей движения. Чисто инерционное приближение (58). 2.2.9. Допол¬
нительные замечания, некоторые обобщения (59). 2.2.10. Сводка основных соот¬
ношений и результатов (61). 2.2.11. О процедуре практического использования
метода (64). 2.2.12. Краткая историко-библиографическая справка (65).
§ 2.3. О других способах получения выражений для вибрационных
сил и основных уравнений вибрационной механики 66
Глава 3. Потенциальные в среднем динамические системы и
экстремальные признаки устойчивости некоторых движений . 68
§ 3.1. О потенциальности в среднем и экстремальных признаках ус¬
тойчивости 68
§ 3.2. Системы с синхронизирующимися объектами. Интегральные
признаки устойчивости (экстремальные свойства) синхронных
движений 73
3.2.1. Системы с почти равномерными вращениями; синхронизация вибровозбу-
дктелей; теоремы 7 и 8 (73). 3.2.2. Системы квазиконсервативных объектов, ка¬
нонические системы; теорема 9 (82). 3.2.3. Системы с квазициклическими коор¬
динатами; теорема 10 (85).
§ 3.3. Системы с кинематическим возбуждением вибрации (минимакс¬
ный признак устойчивости), теорема 11 86
§ 3.4. Системы с динамическим возбуждением вибрации; теорема 12 . 91
Часть вторая
Вибрационная механика машин, механизмов
и маятниковых устройств
Глава 4. Устройства типа маятников 95
§4.1. Маятник с вибрирующей осью подвеса 95
4.1.1. Краткая библиографическая справка (95). 4.1.2. Уравнение движения (96).
4.1.3. Решение задачи методом прямого разделения движений (96). 4.1.4. Ис¬
пользование минимаксного критерия устойчивости (101). 4.1.5. Поведение маят¬
ника в зависимости от характера вибрации (102).
§ 4.2. Маятник Челомея с вибрирующей осью подвеса Ю7
4.2.1. Краткая библиографическая справка (107). 4.2.2. Маятник с абсолютно
жестким стержнем (108). 4.2.3. Поведение шайбы на деформируемом вибрирую¬
щем стержне (114)
§ 4.3. Некоторые обобщения и приложения. О вибрационной стаби¬
лизации и дестабилизации, вибрационное смещение (увод) ... 117
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 5. Роторные механизмы. Машинные агрегаты 122
§5.1. Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании - вибра¬
ционное поддержание вращения 122
5.1 Л. Краткие библиографические сведения (122). 5.1.2. Уравнение движении,
основное уравнение вибрационной механики (123). 5.1.3. Стационарные режимы
вращения ротора и их устойчивость (127). 5.1.4. Вибрационное поддержание
вращения ротора (128). 5Л .5. Вибрационное захватывание вращения неуравнове¬
шенного ротора электродвигателя. Как КПД двигателя может стать большим
единицы (133).
§ 5.2. Устройства “ролик (шар) в вибрирующей полости” и “кольцо
на вибрирующем стержне (хула-хуп)” - вибрационное поддер¬
жание планетарного движения 135
5.2.1. О рассматриваемых устройствах: краткая библиографическая справка
(135). 5.2.2. Уравнение движения, основное уравнение вибрационной механики
(136). 5.2.3. Обсуждение результатов, их приложения. Критическая щель вибро-
инерционных дробильно-измельчительных машин (138).
§ 5.3. Неуравновешенный ротор (механический дебалансный вибро¬
возбудитель) в колебательной системе - вибрационное тормо¬
жение вращения, эффект Зоммерфельда 140
5.3.1. О рассматриваемых эффектах: краткая библиографическая справка (140).
5.3.2. Простейший случай: колебательная часть системы линейна и имеет одну
степень свободы (142). 5.3.3. Общий случай: колебательная часть системы нели¬
нейна и имеет несколько степеней свободы (146). 5.3.4. О некоторых приложе¬
ниях (147).
§ 5.4. Машинные агрегаты 148
Глава 6. Самосинхронизация механических вибровозбудителей 153
§ 6.1. О явлении синхронизации неуравновешенных роторов (механи¬
ческих вибровозбудителей). Краткий обзор исследований .... 153
§ 6.2. Простейший случай: самосинхронизация вибровозбудителей в
линейной колебательной системе с одной степенью свободы 157
6.2.1. Уравнения движения и постановка задачи (157). 6.2.2. Основные уравнения
вибрационной механики (161). 6.2.3. Анализ основных уравнений. Вибрационные
моменты, парциальные угловые скорости; вибрационная связь между роторами
(163). 6.2.4. Стационарные режимы синхронного вращения и их устойчивость.
Интегральный признак устойчивости (экстремальное свойство) синхронных
движений (165) 6.2.5. Случай двух возбудителей. Еще раз о явлении вибрацион¬
ного поддержания вращения (169). 6.2.6.0 случае почти одинаковых возбудите¬
лей (170).
§ 6.3. Общий случай. Краткий обзор результатов исследований 171
6.3.1. Уравнения движения и основные уравнения вибрационной механики в об¬
щем случае (171). 6.3.2. Потенциальная функция и интегральный критерий ус¬
тойчивости (174). 6.3.3. Краткий обзор результатов по теории синхронизации
механических вибровозбудителей (174).
§ 6.4. Стабильность фазировки вибровозбудителей и адаптивное
свойство вибрационных машин при самосинхронизации 176
6.4.1. О понятии стабильности фазировки (176). 6.4.2. Оценка стабильности. Об
относительной силе вибрационной связи между неуравновешенными роторами
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
(176). 6.4.3. Адаптивное свойство вибрационных машин с самосинхронизующи-
мися вибровоэбудителями (178).
§ 6.5. О теоретическом исследовании устройств с само синхронизую¬
щимися вибровозбудителями. Пример использования интег- 17Q
рального критерия устойчивости
§ 6.6. О синтезе устройств с самосинхронизующимися вибровозбуди- .
телями
§ 6.7. Закономерности и парадоксы самосинхронизации дебалансных .
вибровозбудителей
§ 6.8. Дополнение: о явлениях синхронизации колебательных и вра¬
щательных движений в природе и технике. Современное со- 1R,
стояние проблемы
Глава 7. Обобщенный принцип автобалансировки 189
§7.1. Принцип Лаваля и его обобщение, вытекающее из теории само¬
синхронизации механических вибровозбудителей и некоторых
других исследований 1^9
§ 7.2. Приложение к теории групповых фундаментов под неуравнове¬
шенные машины 193
§ 7.3. Приложения к теории автобалансировочных устройств 195
Часть третья
Вибрационная механика процессов
(вибрационное перемещение и смещение)
Глава 8. Основные модели и общие закономерности процессов
вибрационного перемещения с позиций вибрационной
механики 198
§ 8.1. Об эффекте вибрационного перемещения, его теории и прило¬
жениях 198
§ 8.2. Простейшая модель процесса вибрационного перемещения .... 199
8.2.1. Движение частицы по шероховатой горизонтальной плоскости под дейст¬
вием продольной гармонической силы или продольной вибрации плоскости
(199). 8.2.2. Анализ решения. Эффект кажущегося вибрационного преобразова¬
ния сухого трения в вязкое. Движущая и вибропреобразованная вибрационные
силы (203).
§ 8.3. Физические механизмы и основные виды асимметрии системы,
обусловливающие вибрационное перемещение 204
§ 8.4. Более сложные основные модели и задачи теории вибрацион¬
ного перемещения 207
8.4.1. Одномерное движение частицы в сопротивляющейся среде при наличии
вибраций (207). 8.4.2. Задача п. 8.4.1 в случае гармонической вибрации (213).
8.4.3. Движение частицы по наклонной шероховатой плоскости, совершающей
гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
(215). 8.4.4. О вибрационном транспортировании тела (частицы) вверх по на¬
клонной плоскости. Предельный угол подъема (220). 8.4.5. О других моделях и
задачах (221).
Глава 9. Эффекты вибрационного перемещения в технике, тех¬
нологии и природе 222
§ 9.1. Вибрационное транспортирование 222
§ 9.2. Вибрационное разделение компонент сыпучих смесей 227
9.2.1. Факторы, определяющие эффективность использования вибрации в про¬
цессах разделения компонент сыпучих смесей (227). 9.2.2. О разделении частиц
в слое сыпучего материала под действием вибрации (сегрегация, расслоение,
самосортирование) (228). 9.2.3. Общая постановка задачи о разделении частиц
сыпучей смеси в вибрирующем сосуде. Краткая характеристика состояния про¬
блемы (230). 9.2.4. Движение тяжелой частицы в среде с сопротивлением типа
сухого трения, совершающей круговые горизонтальные колебания. Псевдорезо-
нансный эффект (232). 9.2.5. Задача п. 9.2.4 в случае вертикальных гармониче¬
ских колебаний среды. Эффект всплывания тяжелой крупной частицы в среде
из легких мелких частиц (235). 9.2.6. Кинетика вибрационного разделения мно¬
гокомпонентной смеси (континуальное описание) (238). 9.2.7. Разделение на
вибрирующих поверхностях (243). 9.2.8. О разделении частиц в вибрационных и
волновых полях, создаваемых в разреженных суспензиях (247).
§ 9.3. Вибрационное погружение и внедрение, вибрационное резание 247
§ 9.4. Вибрационное преобразование движения; вибродвигатели 252
§ 9.5. Вибрационное передвижение, вибрационные экипажи 257
9.5.1. Определения, предварительные замечания (257). 9.5.2. Вибрационное пе¬
редвижение по шероховатой поверхности. Самоходные виброуплотнители грун¬
та, передвижение на скейтбортах (257). 9.5.3. Вибрационное передвижение в
жидкости и газе. Вибролет, передвижение живых организмов (259). 9.5.4. Вибра¬
ционное передвижение в неоднородных силовых полях. Гравилет, магнитолет
(263).
§ 9.6. Виброструйный эффект, вибрационные насосы 265
Глава 10. Вибрационное смещение (увод) 271
§ 10.1. О понятии вибрационного смещения (увода) 271
§ 10.2. Эффект вибрационного смещения в приложениях; особенно¬
сти эффекта в системах с сухим трением 271
Часть четвертая
Вибро реология
Глава 11. О реологии и виброреологии 21А
§ 11.1. Реология как раздел механики 21А
§ 11.2. Определение виброреологии. Макро- и микровиброреология . . 21А
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 11.3. Виброреологические уравнения, виброреологические свойства
и эффективные виброреологические характеристики 275
Глава 12. Эффективные реологические характеристики при
вибрации 277
§ 12.1. Эффективные коэффициенты сухого трения при вибрацион¬
ном и ударном воздействиях; некоторые приложения 277
12.1.1. Эффективные коэффициенты трения покоя. Простейшая модель - абсо¬
лютно твердое тело при гармоническом воздействии (277). 12.1.2. Более слож¬
ная модель - твердое тело с внутренней степенью свободы (279). 12.1.3. Некото¬
рые другие модели; ударное воздействие, опыт ДМ.Толстого (280). 12.1.4. Виб¬
рационная концепция трения скольжения; вибрационное управление сухим тре¬
нием (281). 12.1.5. Приложение к теории и проектированию конструкций, рабо¬
тающих б условиях ударов и вибрации (284). 12.1.6. Возможные приложения к
сейсмологии и теории взрывных воздействий (284).
§ 12.2. Эффективное трение при вибрационном воздействии на сис¬
тему с позиционно-вязким сопротивлением 285
12.2.1. Вибрационная трансформация характеристики сопротивления колеба¬
тельной системы с одной степенью свободы (285). 12.2.2. Частные случаи -
асинхронное подавление и возбуждение автоколебаний; некоторые приложения
(287).
§ 12.3. Уравнение Рейнольдса как виброреологическое уравнение.
Эффективная вязкость жидкости при турбулентном движении;
влияние внешнего вибрационного воздействия 289
§ 12.4. О других случаях использования понятий об эффективной
вязкости при вибрационном воздействии 291
Глава 13. Виброреологическое преобразование нелинейных ме¬
ханических систем с разрывными характеристиками к си¬
стемам с вязким трением 292
§ 13.1. Виброреология систем с сухим трением 292
§ 13.2. Виброреология систем с периодическими соударениями 292
13.2.1. О вибрсреологическом моделировании виброударных взаимодействий
силами вязкого трения (293). 13.2.2. Приложения к расчету производительности
дробилок (295).
Глава 14. Виброреология сыпучих тел , .. .. 300
§ 14.1. Виброреологические модели слоя сыпучей среды 300
§ 14.2. Некоторые приложения 308
14.2.1. Процесс вибробункеризации сыпучих тел (308). 14.2.2. Движение слоя
сыпучего материала в прямоугольном лотке, днище которого неоднородно виб¬
рирует в поперечном направлении (к теории вибрационных грохотов с гибким
резонирующим ситом) (311). 14.2.3. Движение загрузки в вибрационных мельни¬
цах и аппаратах для объемной вибрационной обработки деталей (316). 14.2.4. О
приложениях к теории дробилок (316).
§ 14.3. О поведении сыпучей среды в сообщающихся вибрирующих
сосудах 3-7
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава 15. Проникновение вибрации в некоторые среды 319
§ 15.1. Предварительные замечания 319
§ 15.2. Проникновение вибрации в вязкую жидкость 319
§ 15.3. О проникновении вибрации в суспензии 324
§ 15.4. Проникновение вибрации в сыпучую среду 325
15.4.1. Случай круговых колебаний горизонтальной пластины в ее плоскости
(325). 15.4.2. Случай прямолинейных продольных колебаний горизонтальной
пластины (327). 15.4.3. Случай поперечных колебаний пластины (327).
§ 15.5. О проникновении вибрации в бетонные смеси 329
§ 15.6. О теории вибропроводности . 329
Глава 16. Микровиброреология: поведение суспензий при
вибрации, эффективная вязкость и эффективная плот¬
ность суспензий 331
§ 16.1. Предварительные замечания «... 331
§ 16.2. Бесструктурные суспензии - твердые частицы в вязкой жидко¬
сти 331
§ 16.3. Структурированные суспензии - частицы в среде с сопротив¬
лением типа сухого трения 334
Глава 17. Заключение. Дополнения 337
§ 17.1. Виброреологические эффекты в макроскопически однородных
средах (турбулентная вязкость, виброползучесть, виброрелак¬
сация, вибропластичность, усталость материалов) 337
§ 17.2. Некоторые общие виброреологические закономерности 339
§ 17.3. О проблеме формирования виброреологических свойств нели¬
нейных механических систем 339
Часть пзяпая
Некоторые другие задачи
Глава 18, Движение частицы в быстро осциллирующем не¬
однородном поле 340
§ 18.1. Простейший случай : прямолинейное движение в поле гармо¬
нической стоячей волны . . . 340
§ 18.2. Частный случай: маятник с вертикально вибрирующей осью
подвеса . t . . 344
§ 18.3. Обобщения задачи 345
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
363
Именной указатель 385Глава 19. Резонансы (синхронизация) в орбитальных движенияхнебесных тел 347§ 19.1. Предварительные замечания 347§ 19.2. Основные результаты общей теории синхронизации и теориипотенциальных в среднем динамических систем применитель¬
но к рассматриваемой проблеме 34819.2.1. Описание системы. Исходная и каркасная системы (348). 19.2.2. Потенци¬
альная функция и интегральный критерий устойчивости (экстремальное свой¬
ство) резонансных движений системы тел (350). 19.2.3. О теоретическом объяс¬
нении распространенности резонансов в Солнечной системе (352). 19.2.4. О
“принципе наименьшего взаимодействия” О венд ен а, Фиджина и Граффа и ро¬
ли диссипативных сил в системе (352).§ 19.3. Случай, когда орбиты тел лежат в одной или близких плоско¬
стях и имеют малые эксцентриситеты. О классификации резо¬
нансов 353§ 19.4. Случай двух обращающихся тел: сопоставление с результата¬
ми непосредственного аналитического исследования и с на¬
блюдательными данными 355§ 19.5. О резонансах в Солнечной системе. Гипотеза о простой резо-нансности 360§ 19.6. О других задачах (движение небесных тел с внутренними сте¬
пенями свободы) 361Литература Предметный указатель 391
Памяти Нины
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга имеет две цели. Первая - описать ряд удивительных явле¬
ний, происходящих при действии вибрации на нелинейные механические
системы. Вибрационное перемещение - направленное в среднем "медлен¬
ное" движение или изменение состояния системы под влиянием быстрых
ненаправленных в среднем механических воздействий (вибрации); измене¬
ние физико-механических свойств и характеристик тел под действием
вибрации по отношению к медленным воздействиям; трансформация по¬
ложений равновесия, в частности - их стабилизация и дестабилизация под
действием вибрации; изменение вследствие вибрации частот свободных
колебаний системы; вибрационное поддержание вращения и самосинхро¬
низация неуравновешенных роторов, имеющая неожиданный аналог в осо¬
бенностях движения небесных тел; кажущееся изменение величины и на¬
правления силы тяжести - вот далеко не полный перечень таких явлений.
Многие из этих явлений широко используются в технике и технологии;
можно ожидать их еще более эффективного использования в ближайшем
будущем. Хотелось бы надеяться, что книга в определенной мере станет
этому способствовать.
Вторая, и, быть может, главная цель книги - предложить общий меха-
нико-математический подход к описанию и исследованию очерченного
класса явлений - подход, который можно назвать вибрационной механи¬
кой. Вибрационная механика - это механика для наблюдателя, интересую¬
щегося только "медленными" движениями системы, - такие движения, на¬
ряду с быстрыми, возникают в нелинейной системе при наличии вибрации
и представляют, как правило, основной практический интерес. Оказывает¬
ся, что этот наблюдатель V (в отличие от "обычного" наблюдателя, кото¬
рого мы называем наблюдателем О) для правильного описания поведения
системы должен ко всем действующим на систему медленным силам до¬
бавлять некоторые дополнительные силы, называемые вибрационными
силами; эти силы вычисляются по определенным правилам. Таким обра¬
зом, вибрационная механика в некотором смысле аналогична механике от¬
носительного движения.
Возникновением вибрационных сил легко и естественно объясняются
все перечисленные выше явления; вместе с тем их неучет не раз приво¬
дил и до сих пор приводит к недоразумениям и ошибкам, примерами ко¬
торых могут быть известные истории с инерциоидом и с "машиной Дина".
Важным разделом вибрационной механики является виброреология,
которая в основном изучает изменение под действием вибрации реологи¬
ческих характеристик тел по отношению к медленным воздействиям и со¬
ответствующие медленные движения.
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вибрационная механика и виброреология играют важную роль в
сформировавшемся за последние годы новом разделе прикладной теории
колебаний - теории вибрационных процессов и устройств. Эта теория
изучает закономерности возбуждения и действия вибрации в различных
механических системах; она включает также теорию машин, в которых
вибрация используется для достижения полезных целей.
Добавим несколько слов о позициях наблюдателей О и V - позициях,
которые широко используются в книге и помечаются на ряде иллюстра-
обозкачения О и V можно толковать соответственно как первые буквы ан¬
глийских слов ordinary - обычный и vibrational - вибрационный). В мире,
воспринимаемом наблюдателем О, действуют в непосредственном виде
обычные законы механики. Составляя и решая на их основе дифферен¬
циальные уравнения движения, он правильно описывает рассматриваемые
в книге явления, но сравнительно сложно и с излишними подробностями,
в результате чего интерпретация результатов подчас крайне затрудни¬
тельна.
Наблюдатель V, как отмечалось, сознательно “не замечает” быстрые
силы и быстрые движения, но не забывает об их реальном существовании.
При этом, оставаясь в рамках “обычной” механики, он для правильного
описания явлений должен ко всем медленным силам добавить вибрацион¬
ные силы. Мир наблюдателя V гораздо проще, чем мир наблюдателя О.
В частности, многомерная система может представляться ему в виде сис¬
темы гораздо меньшей размерности, существенно неконсервативная сис¬
тема - как консервативная, разрывная - как “гладкая” и т.п. Как отмеча¬
лось, вибрационная механика и виброреология - это соответственно меха¬
ника и реология для наблюдателя V.
В связи с ошибками, нередко сопровождающими анализ рассматривае¬
мого круга явлений, можно говорить также о позиции наблюдателя W
(можно считать, что это первая буква английского слова wrong - ошибоч¬
ный). Этот наблюдатель упускает из вида некоторые существенные об¬
стоятельства, например, либо вообще не замечает вибрацию и действую¬
щие в системе быстрые силы, либо никак не учитывает возможные по¬
следствия их присутствия; в частности, при рассмотрении медленных дви¬
жений он не учитывает возможности возникновения вибрационных сил.
Мир этого наблюдателя полон “чудес”, загадок и парадоксов. Чтобы объ¬
яснить их, он иногда высказывает сомнения в справедливости основных
законов механики - закона сохранения энергии, равенства действия и про¬
тиводействия, допускает, что под действием вибрации изменяется вес те¬
ла, что можно изменять скорость центра инерции системы только за счет
внутренних сил и т.п.
Впрочем, и позиция наблюдателя W иногда может оказаться небеспо¬
лезной. В изобретательской деятельности Бременное игнорирование зако¬
нов физики и механики, препятствующих достижению поставленной це¬
ли, представляет собой эффективный методический прием, позволяющий
прийти к новым техническим решениям. Речь идет о так называемой фан¬
тастической аналогии, предложенной У.Гордоном [176].
ций символическими изображениями
и
(при желании
ПРЕДИСЛОВИЕ
13
Несколько слов также о терминах вибрационная механика и вибро-
рео.чогия. Представляется, что их введение оправдано, во-первых, своеоб¬
разием того большого круга явлений, которые могут быть рассмотрены в
их рамках, и, во-вторых, наличием общего методического подхода к изу¬
чению этих эффектов. Использованные автором в ряде публикаций и вы¬
ступлений [89, 92, 95, 100] эти термины не встретили какого-либо возра¬
жения коллег. Отметим, впрочем, что термин “виброреология” иногда ис¬
пользуется в ином смысле, чем в настоящей книге (см.с. 21 ).
Уравнения, описывающие медленные движения, называются нами ос¬
новными уравнениями вибрационной механики. Удивительное и весьма
примечательное обстоятельство состоит в том, что для сравнительно ши¬
рокого класса систем эти уравнения допускают запись в виде, характер¬
ном для потенциальной системы при наличии диссипации, тогда как ис¬
ходная система является существенно непотенциальной. Системы такого
типа названы нами потенциальными в среднем динамическими систе¬
мами; к их изучению сводится ряд важных прикладных задач, в частности
задачи о синхронизации (резонансах) при вращательном движении твер¬
дых тел.
Вибрационная механика рассматривается в книге как частный случай
более общей концепции, которую можно назвать механикой систем
со скрытыми движениями. Как в процессе механико-математического
моделирования реальных систем, так и при стремлении к упрощению мо¬
делей естественно возникает желание “не замечать”, “частично проигно¬
рировать” некоторые составляющие движений “полной системы” и даже
некоторые ее степени свободы, представляющиеся второстепенными. Воз¬
никает вопрос, какой механикой должен руководствоваться соответствую¬
щий наблюдатель, чтобы не вступить в противоречие с действительно¬
стью? Ответ аналогичен предыдущему: для этого в уравнения, описываю¬
щие учитываемые движения, должны быть добавлены некоторые допол¬
нительные силы. Как и выше, механику систем с частично игнорируемы¬
ми движениями можно интерпретировать с позиций трех наблюдателей
О*, V * и W *, соответствующих наблюдателям О, V и W.
Примечательно, что к вибрационной механике оказываются непосред¬
ственно причастными как классические работы Томсона, Тэта и Рауса по
механике систем с квазициклическими координатами, Рейнольдса - по те¬
ории турбулентности, Пуанкаре и Ляпунова - по небесной механике и тео¬
рии устойчивости движения, Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А*Митро-
польского и И.Г.Малкина - по методам усреднения и теории периодиче¬
ских решений дифференциальных уравнений с малым параметром, так и
современные работы П.Л.Капицы и его последователей о поведении маят¬
ника с колеблющейся осью, работы по теории вибрационных процессов и
устройств, а также по проблеме резонансов в Солнечной системе. Эта об¬
щность и преемственность систематически отражены в книге.
Первая часть книги посвящена теоретическим основам вибрационной
механики, в частности - изложению упоминавшегося выше общего подхо¬
да, опирающегося в основном на так называемый метод прямого разде¬
ления движений. Основные положения сформулированы здесь в форме
теорем; вместе с тем следует признать, что разработка математического
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
аппарата вибрационной механики еще не может считаться завершенной.
Последующие части книги посвящены многочисленным приложениям
вибрационной механики.
Книга снабжена подробным оглавлением; также несколько простран¬
ны подрисуночные надписи. Представляется, что и то, и другое - в инте¬
ресах читателя.
Книга адресована прежде всего специалистам по теоретической и
прикладной механике, теории нелинейных колебаний и вибрационной
технике. Возможно, она окажется полезной также математикам, занимаю¬
щимся теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, как источ¬
ник некоторых новых задач.
В 1988 г. вышла в свет и быстро разошлась небольшая книга автора
[95], которая с теоретической точки зрения может рассматриваться как
упрощенная версия, а с прикладной - как дополнение к настоящей книге:
различные конкретные вибрационные машины и процессы рассмотрены в
ней более подробно.
В процессе работы над концепцией и аппаратом вибрационной меха¬
ники я имел счастливую возможность обсуждать их основные моменты с
В.И.Бабицким, В.В.Белецким, В.В.Козловым, М.З.Коловским, П.С.Ландой,
Л.Г.Лойцянским, Я.Г.Пановко, А.А.Первозванским, В.В.Румянцевым,
О.А.Савиновым, Г.Ю.Степановым и К.В.Фроловым. Молодые коллеги
Е.Б.Кремер, О.З.Малахова, А.В.Печенев, АЛ.Фидлин и Н.ПЛрошевич как
по моей просьбе, так и по собственной инициативе выполнили ряд труд¬
ных исследований по проблеме, результаты которых нашли отражение в
книге. О.З.Малахова к тому же внимательно прочитала рукопись и помог¬
ла устранить ряд дефектов. Важные замечания сделал при рецензирова¬
нии книги М.З.Коловский. Пользуюсь случаем выразить этим ученым
свою глубокую благодарность.
Данная книга - итог многолетней работы. Возможностью заниматься
этой интересной работой я обязан неизменному пониманию и поддержке
коллег и руководства Всесоюзного научно-исследовательского и проект¬
ного института механической обработки полезных ископаемых “Меха-
нобр” (г.Санкт-Петербург). Не менее обязан я моей жене Нине Леони¬
довне Гранат, ушедшей из жизни, когда работа над рукописью была
практически завершена. Будучи сама талантливым исследователем
(читатель найдет в книге изложение ряда ее результатов), Нина само¬
отверженно освобождала меня от многих житейских забот. Светлой
ее памяти и посвящается книга.
Санкт-Петербург
29 ноября 1991 г.
И.Блехман
Введение. Предмет вибрационной механики
§ В.1. Колебательные процессы в природе и технике
Колебательные процессы характерны для всей живой и неживой при¬
роды от клетки до сообществ организмов и от атома до галактик. Они
играют заметную роль и в нервно-психической жизни человека и даже в
сфере социальных явлений. Несомненна поэтому и мировоззренческая
роль науки о колебаниях. Можно было бы привести много ярких высказы¬
ваний по этому поводу, принадлежащих как мыслителям прошлого, так и
нашим современникам (см., например, [10, 273, 397, 441]). Вопрос о том,
почему природа часто "предпочитает" колебания монотонному течению
процессов, несомненно заслуживает обсуждения не только с физических
и биологических, но и с философских позиций. Между тем это до сих
пор не сделано. Остается лишь догадываться, что колебательные процес¬
сы характеризуются определенной целесообразностью, а иногда и опти¬
мальностью.
§ В.2. Вибрация вредная и вибрация полезная.
Вибрационная техника и технология
Быть может, именно из-за отсутствия понимания упомянутой опти¬
мальности вибрация в технике долго рассм атривалась в основном как
вредный фактор - причина поломок, аварий, а также производственных
заболеваний*). И лишь в начале текущего столетия начинается период
бурного развития вибрационной техники, без которой сейчас немыслим
ряд важных производств при добыче и переработке полезных ископаемых,
в химической технологии, в металлургии, в промышленности строитель¬
ных материалов и при строительстве различных сооружений **). О мно¬
гообразии направлений использования вибрации можно судить даже
только по названиям некоторых разделов книги [95]: "Вибрация переме¬
щает", "Вибрация превращает (о виброреологии)", "Вибр щия разделяет и
упорядочивает", "Вибрация интенсифицирует процессы и обрабатывает
детали", "Вибрация упрочняет - вибрация разрушает", "Вибрация соединя¬
ет (самосинхронизация неуравновешенных роторов)", "Вибрация поддер¬
*) Под вибрацией мы будем понимать механические колебания, период которых значи¬
тельно меньше характерного промежутка времени, на котором рассматривается движение си¬
стемы, а размах значительно меньше характерного размера системы.
**) Отдельные примеры использования вибрации известны с очень давних времен: она
применялась, например, при просеивании сыпучих материалов, при производстве строитель¬
ных работ и даже в медицинской практике.
16
ВВЕДЕНИЕ
живает вращение - вибрация тормозит вращение", "Вибрация гасит вибра¬
цию - вибрация усиливает вибрацию (обобщенный принцип автобаланси¬
ровки)", "Вибрация стабилизирует - вибрация дестабилизирует", ’'Вибра¬
ция помогает измерять", "Вибрация лечит". Примечательно также назва¬
ние популярной книги И.Ф.Гончаревича: "Вибрация - нестандартный
путь" [153].
Использование вибрации позволило в буквальном смысле слова рево¬
люционизировать многие производства, обеспечив получение большого
технико-экономического эффекта. Возможности здесь, однако,, далеко не
исчерпаны, и еще больших успехов в применении вибрационной техники
можно ожидать в будущем. Общим и частным проблемам использования
вибрации в технике, помимо книги [95], посвящена обширная отечествен¬
ная монографическая и справочная литература (см., например, [35, 66, 115,
139, 151 - 153, 158, 168, 204, 238, 240, 244, 245, 256, 277, 303, 305, 315, 317,
334, 335, 337, 346, 360, 404, 416, 420]), из зарубежных изданий нам известна
лишь книга [442], вышедшая еще в 1968 году. Особенно выпукло дости¬
жения вибрационной техники отражены в четвертом томе шеститомного
справочника "Вибрации в технике" [125], выпущенного издательством
"Машиностроение в 1978 - 81 гг.
Следует отметить, что если с общих позиций некоторая оптималь¬
ность (или, по крайней мере, целесообразность) колебательных процессов
по сравнению с монотонно протекающими еще не понята и не раскрыта,
то в вибрационных процессах и устройствах она, как правило, легко ус¬
матривается. Так, эффективность использования вибрации в обогащении
полезных ископаемых часто связана с тем, что при вибрации силы типа
сухого трения, препятствующие разделительным процессам под действи¬
ем слабых факторов (например, различия в плотности частиц), как бы
превращаются в силы вязкого трения, при которых слабые факторы могут
проявиться.
§ В.З; Теория вибрационных процессов и устройств - новый раздел
прикладной теории колебаний
Потребности развития и совершенствования вибрационной техники, с
одной стороны, и необходимость объяснения и математического описания
ряда своеобразных явлений, связанных с действием вибрации на механи¬
ческие системы, - с другой, привели в последние годы к появлению ново¬
го быстроразвивающегося раздела прикладной теории колебаний - тео¬
рии вибрационных процессов и устройств [277], Основные заслуги в со¬
здании этой теории принадлежат советским ученым. Это не удивительно,
поскольку последняя базируется на прочном фундаменте теории нели¬
нейных колебаний и устойчивости движения, в развитии которых отечест¬
венная школа физшсов, механиков и математиков сыграла выдающуюся
роль. Речь идет о фундаментальных трудах А.М.Ляиуноьа, ЛИ.Мандель
штама, Н.Д.Папалекси, А.А.Андронова, А.А.Витта. Н.М.Крылова, П.Н.Бо-
голюбова, Н.Г.Четаева, И.Г.Малкина, Б.В.Булгакова, А.И. Лурье., Ю.А Мит¬
ропольского и других ученых.
§ В.4]
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАПРЕТЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ
17
Теория вибрационных процессов и устройств изучает закономерности
возбуждения и действия вибрации в различных механических системах;
она включает также теорию машин, в которых вибрация используется для
достижения полезных це лей.
Несмотря на то, что физические колебательные системы нелинейны,
ряд прикладных задач теории механических колебаний может быть ус¬
пешно рассмотрен в линейной постановке, то есть без учета нелинейных
факторов
Как известно, действие внешней вибрации на линейные системы в
принципиальном плане исчерпывающим образом изучено; главные каче-
ственные закономерности группируются здесь вокруг явления резонанса.
Однако даже эти относительно простые закономерности в вибрационной
технике (в отличие от электро- и радиотехники) используются еще дале¬
ко не полностью. Что же говорить о нелинейных колебаниях, которые ха¬
рактеризуются исключительным качественным разнообразием и при ис¬
следовании которых до сих пор обнаруживаются все новые замечательные
эффекты? Так, совсем недавно, с одной стороны, была осознана возмож¬
ность весьма сложного, стохастического поведения относительно простых
нелинейных систем всего лишь с полутора степенями свободы [142, 212,
308, 309, 339, 398], а с другой - возможность согласованного (синхронного,
когерентного) поведения сложных систем с очень большим числом степе¬
ней свободы.
Важная особенность нелинейных систем состоит в том, что их колеба¬
ния не обязательно должны "приходить извне '. Они могут возникать и ус¬
тойчиво поддерживаться в самой колебательной системе. Речь идет об
автоколебаниях, в изучении которых отечественная научная школа также
сыграла выдающуюся роль.
Действие вибрации в нелинейных механических системах приводит к
своеобразным, часто неожиданным эффектам, Эти эффекты, с одной сто¬
роны, могут быть использованы в технологии и лежат в основе принципов
действия ряда высокоэффективных машин; с другой стороны, те же эф¬
фекты могут явиться причиной нежелательных и даже катастрофических
ситуаций.
Цель настоящей книги - рассмотреть большую группу явлений, со¬
провождающих действие вибрации в нелинейных механических системах
и предложить единый эффективный методический подход и математиче¬
ский аппарат для их описания и исследования. Этот подход мы и называ¬
ем вибрационной механикой, а основной метод решения соответствующих
задач - методом прямого разделения движений.
§ В,4. Об эффектах, связанных с действием вибрации
в нелинейных колебательных система:
Б настоящей книге речь пойдет преимущественно о следующие четы¬
рех группах эффектов, которые возникают при действии вибрации в не¬
линейных механических системах.
18
ВВЕДЕНИЕ
1. Изменение поведения колебательных сис¬
тем и механизмов под действием вибрации.
К этой группе эффектов относятся исчезновение прежних и появление
новых положений равновесия и видов движения системы, смена характера
положений равновесия (то есть их устойчивости или неустойчивости), из¬
менение частот малых свободных колебаний вблизи положений устойчи¬
вого равновесия, эффекты вибрационной связи, в частности, самосинхро¬
низация неуравновешенных роторов (вибровозбудителей), эффект вибра¬
ционного поддержания вращения неуравновешенных роторов, своеобраз¬
ное поведение так называемых "колебательных систем с ограниченным
возбуждением" и некоторые другие.
2. Эффекты вибрационного перемещения и
смещения (увода). Сюда относятся эффекты вибрационного
транспортирования твердых тел и сыпучих материалов, вибропогружения
и вибровыдергивания свай, шпунта и оболочек, сепарации (разделения)
частиц материала по их свойствам на вибрирующих поверхностях и в ко¬
леблющихся сосудах с сыпучей средой или с жидкостью, возникновение
медленных потоков сыпучих тел или течений жидкости в вибрирующих
сосудах, своеобразное поведение сыпучих тел в таких сосудах (в частно¬
сти, явление вибробункеризации - заполнения бункера сыпучей смесью
снизу вверх), дрейф и локализация частиц в неоднородных вибрационных
полях, взаимные микросмещения и износ соприкасающихся деталей в но¬
минально неподвижных соединениях, увод стрелок приборов и осей ги¬
роскопов под воздействием вибрации основания, на котором они установ¬
лены.
3. Виброреологические эффекты. Это изменение
под действием вибрации реологических свойств тел по отношению к мед¬
ленным воздействиям или, как иногда говорят, кажущееся изменение рео¬
логических свойств тел под воздействием вибрации. Речь идет о таких
эффектах, как кажущиеся превращения в условиях вибрации сухого тре¬
ния в вязкое (псевдоожижение), снижение коэффициентов сухого трения,
кажущееся изменение коэффициента вязкости (классический пример -
переход от ламинарного к турбулентному течению жидкости), эффект
виброползучести и многие другие.
4. Возникновение интенсивного механическо¬
го взаимодействия между частицами и объе¬
мами многокомпонентных систем. К этой группе
эффектов относятся разрыхление сыпучей среды в вибрирующих лотках
и сосудах - образование так называемого виброкипящего слоя, возникно¬
вение интенсивных относительных колебаний твердых частиц, различаю¬
щихся по плотности и размерам, в колеблющейся жидкости или в сыпу¬
чей среде и т.п. Естественно, что подобные эффекты способствуют ин¬
тенсификации химических реакций, на них базируется использование виб¬
рации для тонкого измельчения материалов, а также для абразивной об¬
работки деталей.
§ В-51
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА И ВИБРАЦИОННАЯ РЕОЛОГИЯ
19
Отметим, что приведенная классификация до некоторой степени ус¬
ловна: некоторые из перечисленных эффектов, как нетрудно заметить,
могут быть отнесены одновременно к двум указанным группам. Отметим
также, что эффекты последней, четвертой группы иногда допускают ис¬
толкование посредством линейных моделей. Бели к перечисленным эф¬
фектам добавить уже упоминавшиеся фундаментальные явления резонан¬
са и автоколебаний, то мы получим почти исчерпывающий, хотя и не иск¬
лючающий дополнения, перечень эффектов, которые используются в
вибрационной технике и технологии.
На человека, впервые сталкивающегося с перечисленными эффекта¬
ми, они производят сильное впечатление. Можно ли оставаться равно¬
душным, видя, как в результате едва заметной вибрации верхнее положе¬
ние маятника делается устойчивым, тяжелый металлический шар "всплы¬
вает" в слое песка, свая легко погружается в грунт под действием собст¬
венного веса, тяжелое тело или слой сыпучего материала движется вверх
по наклонной плоскости, вращение ротора устойчиво поддерживается при
выключенном электродвигателе и т.п.? Часто (и, как мы увидим, не без
оснований) создается впечатление, будто сила тяжести изменила свое на¬
правление, утратило силу известное положение о невозможности уско¬
рить или замедлить движение центра масс системы только за счет внут¬
ренних сил, перестал действовать закон механики о равенстве действия и
противодействия, существенно неконсервативная система ведет себя как
консервативная и т.п.
Не удивительно, что перечисленные эффекты не раз служили пово¬
дом для заблуждений, в том числе для "ниспровержения" законов механи¬
ки (см. § В.7). Справедливости ради надо, однако, отметить, что иногда
такие "ниспровергатели" попутно делали остроумные и полезные изобре¬
тения и давали повод для интересных исследований (точно так же, как и
их предшественники - изобретатели "вечных двигателей").
§ В.5. Вибрационная механика и вибрационная реология.
Наблюдатель О и наблюдатель V
Для большинства перечисленных эффектов характерно, что возника¬
ющее в системе под действием вибрации движение естественно представ¬
ляется в виде суммы двух составляющих - "медленной", мало изменяю¬
щейся за один период колебаний, и "быстрой", "вибрационной", причем в
подавляющем числе случаев основной интерес представляет именно мед¬
ленное движение. Вообразим наблюдателя, который не замечает (или не
желает замечать) ни этих быстрых (как правило, малых) движений, ни бы¬
стрых сил, то есть наблюдателя, который либо надел особые очки, сквозь
которые не видны быстрые движения системы, либо следит за движением
при стробоскопическом освещении с частотой вспышек, равной частоте
вибрации. Такой наблюдатель V , в отличие от обычного наблюдателя О,
который "все видит", будет замечать лишь медленную составляющую
движения, и вполне естественно, что он, не желая вступать в противоре¬
чия с законами механики, должен будет объяснить все указанные пара¬
20
ВВЕДЕНИЕ
доксальные эффекты тем, что наряду с обычными медленными силами
начали действовать некоторые дополнительные медленные силы или мо¬
менты. Следуя П.Л.Капице [202, 203], будем называть их вибрацисншыми
силами. Именно эти силы, с точки зрения такого "необъективного" на¬
блюдателя, и приводят к перечисленным выше эффектам, лежащим, в ча¬
стности, в основе технического использования вибрации.
Если перейти на язык дифференциальных уравнений, то ситуация
представляется следующим образом. Пусть движение системы описывает¬
ся уравнением *)
тх = Fix, х, t) + Ф (х, ху t, со f), (5.1)
где т - масса, х - координата, F - "медленная", а Ф - "быстрая" силы; точкой
обозначается дифференцирование по "обычному", "медленному" времени L
Сила Ф , в отличие от F, зависит не только от t, но и от "быстрого" времени
otf, пропорционального "большому параметру1' со - частоте вибрации, при¬
чем в простейшем случае она является периодической функцией Ш с
периодом 2 к . Пусть далее движение представимо в виде
х=ЛВД + У(*,о*), (5.2)
где X - медленная, а у - быстрая (не обязательно малая по сравнению с
X) составляющие. Тогда наблюдателю У, не замечающему быстрых дви¬
жений у и силы Ф , будет казаться, что медленное движение описывает¬
ся уравнением
тХ = F(X, Ху t) + V(X, X, t), (5.3)
где V - вибрационная сила.
Как будет показано в гл. 2, уравнение (5.3), а также выражение вибра¬
ционной силы при определенных условиях действительно могут быть
получены аналитическим путем, причем возникновением этой силы как
раз и объясняются перечисленные выше парадоксальные эффекты.
Мы приходим, таким образом, к положению, во многом аналогичному
известной теореме механики относительного движения. Согласно этой те¬
ореме наблюдатель, связанный с ускоренно движущейся системой коор¬
динат, должен ко всем действующим на систему обычным силам добавить
силы инерции. В нашем же случае наблюдатель V, не замечающий ни бы¬
стрых сил, ни быстрых движений, обязан добавить ко исем обычным си¬
лам вибрационные силы. Если в механике относительного движения до¬
бавление ко всем обычным силам сил инерции является как бы штрафом
за использование неинерциальной (то есть движущейся ускоренно) систе¬
мы координат, fo в нашем случае добавление вибрационных сил пред¬
ставляет собой штраф за игнорирование быстрых (как правило, малых)
движений системы (подробнее об этом см. § 6).
Учитывая сказанное, будем называть механику, которой должен руко¬
водствоваться наблюдатель, не замечающий быстрых сил и быстрых дви¬
жений (то есть наблюдатель V), вибрационной механикой. Как отмеча¬
лось, определенным основанием для выделения вибрационной механики
*) Здесь мы приводим рассуждения для системы с одной степенью свободы, ибо сбоб-
щешге на случай систеьш с произвольным числом степеней свободы не представляет каких-
либо принципиальных затруднений.
§ BJ51
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА И ВИБРАЦИОННАЯ РЕОЛОГИЯ
21
является то обстоятельство, что в ее рамках находит объяснение и описа¬
ние широкий круг процессов, протекающих при действии вибрации на не¬
линейные механические системы. О таких процессах и идет преимущест¬
венно речь в настоящей книге. Уравнение вида (5.3) будем называть ос¬
новным уравнением вибрационной механики.
Как устанавливается в гл. 2, уравнение (5.3) получается в результате
определенным образом выполненного усреднения исходного дифферен¬
циального уравнения (5.1), при этом вибрационная сила отражает “накап¬
ливающиеся” эффекты от действия вибрации на нелинейную систему.
Под виброреологией (точнее - под макровиброреологией) мы будем
понимать раздел механики, а также одновременно - вибрационной меха¬
ники и реологии, в котором изучается изменение под влиянием вибрации
реологических свойств тел по отношению к медленным силам, а также
соответствующие медленные движения тел *). Иными словами, макровиб¬
рореологию можно определить как реологию для наблюдателя V.
При рассмотрении виброреологических эффектов уравнение медлен¬
ных движений типа (5.3), то есть основное уравнение вибрационной меха¬
ники, будем называть виброреологическим уравнением.
Рис.В.1. Соотношение между механикой, механикой систем со скрытыми движениями,
механикой относительного движения, реологией, вибрационной механикой и виброреологией
Изучение специфики поведения многофазных систем при вибрации
можно отнести к микровиброреологии.
Виброреология так же соотносится с вибрационной механикой,
как реология с механикой, а виброреология с реологией - как вибрацион¬
ная механика с механикой. Это обстоятельство схематически отражено на
рис. ВЛ. Впрочем, виброреологические (как и просто реологические) эф-
*) Приведенное определение дано в работах [76, 81, 92, 95], хотя сам термин “вибро-
реология", по-видимому, впервые был предложен ранее П.А.Ребиндером. Отметим, что
иногда этот термин употребляется в ином смысле (см., например, [152, 315]). Подчеркнем
также, что данное выше определение относится именно к макровиброреологии; о макро¬
виброреологии см. § 11.2.
22
ВВЕДЕНИЕ
Рис.В.2. Какой видит систему наблюдатель О (слева) и наблюдатель V (справа)
§ В-5]
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА И ВИБРАЦИОННАЯ РЕОЛОГИЯ
23
фекты не обязательно носят чисто механический характер: они могут
быть существенно связаны с тепловыми явлениями, химическими превра¬
щениями и т.п. Поэтому реологию часто считают областью физики.
Изложенное схематически иллюстрируется на рис. В.2. В левой части
рис. В.2> а представлена схема исходной системы, то есть системы, кото¬
рую видит наблюдатель О. Этот наблюдатель отмечает, что на систему
действует медленная сила F (х, х, t\ а также быстрая сила Ф (х, x't, cof) , а
движение системы х представляется ему состоящим из медленной со¬
ставляющей X и быстрой \\f.
Картина, которую видит наблюдатель V, показана на рис. В.2, а справа.
Этот наблюдатель видит только медленную часть движения X, причем
оно представляется ему происходящим под действием исходной медлен¬
ной силы F QC ,Х, t) и (тоже медленной) вибрационной силы V (X , X, t).
На рис. В.2, б,в приведены два конкретных умышленно разнохарактер¬
ных примера, иллюстрирующих описанное общее положение. В левой ча¬
сти рис. В.2, б изображен маятник, ось подвеса которого совершает верти¬
кальные гармонические колебания с частотой со и амплитудой А. В сис¬
теме координат, движущейся вместе с осью подвеса, на маятник действу¬
ет "медленный" момент силы тяжести F — mg I sin ф и "быстрый" момент
2
Ф=тЛш sin cof sin ф, обусловленный силой инерции в относительном
движении (ф - угол отклонения маятника от нижнего вертикального по¬
ложения, т - масса, I - длина маятника). Такой видит систему наблю¬
датель О.
В правой части рис. В.2, б показана картина, которую видит наблюда¬
тель V. Последний не замечает вибрации оси подвеса, и движение маят¬
ника ему представляется происходящим так, как будто к нему приложен
вибрационный момент
w 1 (mlА со)2 . ^
V = - ;—— sin 2 а
4 J
(см. п. 4.1.5), где / - момент инерции; а - медленная составляющая уг¬
ла ф . Если рассматривать движение маятника вблизи нижнего и верх¬
него положений равновесия oti = 0 и (Хг = я , то действие этого мо¬
мента эквивалентно действию пружин с поворотной жесткостью
су~ 1/2 (т 1А со) //. Естественно, что при наличии таких незримых пру¬
жин верхнее ("опрокинутое") положение маятника, неустойчивое при от¬
сутствии вибрации, может сделаться устойчивым, а колебания вблизи
нижнего положения будут происходить с большей собственной частотой
- маятниковые часы на вибрирующем основании всегда будут спешить.
Более подробно данная классическая система рассматривается в § 4.1.
На рис. В.2, в представлена "еще более классическая" система - вода,
протекающая по участку цилиндрической трубы некоторой длины L. В
левой верхней части рисунка схематически изображено ламинарное тече¬
ние, которое, как известно, имеет место в случае, если число Рейнольдса
не превосходит некоторого критического значения Re*. Нижняя часть ри¬
сунка соответствует турбулентному режиму, когда Re > Re* . Такой ре¬
жим характеризуется весьма сложными пульсациями жидкости, возникаю-
24
ВВЕДЕНИЕ
щеми "автономно", без внешнего колебательного воздействия. В итоге
для обеспечения того же расхода воды вместо перепада давления
Ар = (Ap)i необходим значительно больший перепад давления
Ар = (Ар)и Наблюдатель О справедливо объяснит этот факт тем, что
часть напора теряется при турбулентных пульсациях. Что же касается на¬
блюдателя V (см. правую часть рис. В.2, в), то он, не замечая пульсаций
воды, будет видеть осредненное движение по-прежнему ламинарным, но
объяснит потребность в большем перепаде давления Ар резким увеличе¬
нием коэффициента вязкости воды \l По образному выражению В.В.Но-
вожилова, для такого наблюдателя вода как бы превратилась в патоку.
В книге будет приведено много других примеров подобного рода.
Существенно, что уравнение вибрационной механики (5.3), в отличие
от исходного уравнения (5.1), не содержит информации, которая для на¬
хождения медленной составляющей является излишней; именно поэтому
уравнение (5.3) проще уравнения (5.1). Примечательно также, что
уравнение вибрационной механики может соответствовать консерватив¬
ной системе, тогда как исходная система существенно неконсервативна
(см. гл. 3). Подобно этому разрывной системе может соответствовать
"гладкая" система (см. гл. 13), системе с большим числом степеней свобо¬
ды - система с гораздо меньшим числом степеней свободы (см. § 5.3).
§ В.6. Вибрационная механика как раздел механики систем
со скрытыми движениями
Вибрационная механика и механика относительного движения могут
рассматриваться в рамках более широкой концепции, которую можно на¬
звать концепцией частичного игнорирования движений, или механикой
систем со скрытыми движениями [89, 95]. А именно, можно сказать, что
механика относительного движения представляет собой механику для на¬
блюдателя, не замечающего относительного движения системы, а вибра¬
ционная механика - механику для наблюдателя, не замечающего быстрых
движений и быстрых сил (см. схему на рис. В.1). Различие, однако, состо¬
ит в том, что в первом случае "скрытое" ("игнорируемое") движение счи¬
тается известным, а во втором - подлежит определению.
В главе 2 книги доказывается, в сущности, почти очевидное основное
положение обсуждаемой концепции. Оно состоит в том, что наличие
скрытых движений, как правило, связано с необходимостью добавления в
уравнение учитываемых движений дополнительных сил, в общем случае
зависящих от постоянных интегрирования. Отдельные элементы такой
концепции можно обнаружить уже в классических трудах Рауса, Томсона
и Тэта, посвяшенных динамике систем с циклическими координатами
(см 1.2*2;
В механику систем с частично игнорируемыми движениями естествен¬
но включить также очень часто (если не всегда) встречающуюся ситуа-
uwa, хсьгда игнорируюсь определенные степени свободы сис^емь-. Б это**
ftB.7?
ОБ СШИБКАХ И ПАРАДОКСАХ
25
смысле вся прикладная механика, по существу, является механикой сис¬
тем со скрытыми движениями (см. рис. В.1). Известно, что во многих слу¬
чаях подобное "пренебрежение" степенями свободы позволяет значитель¬
но упростить исследование и не приводит к существенным ошибкам. В
других случаях, наоборот, такое игнорирование степеней свободы приво¬
дит к неверным результатам (см. § В.7).
Важной и интересной математической задачей является четкое разгра¬
ничение указанных противоположных, а также некоторых промежуточных
случаев. Ряд исследований в данном направлении уже выполнен [26, 27,
239, 312 - 314, 380], однако проблема еще далеко не исчерпана. Как и иг¬
норирование быстрых движений в вибрационной механике, сознательное
игнорирование существенных или слабо влияющих степеней свободы (с
включением, если это необходимо, в уравнения учитываемых движений
приближенно или точно записанных выражений для дополнительных сил)
может явиться полезным методическим приемом. Если же определенные
движения или степени свободы игнорируются неосознанно, то часто воз¬
никает иллюзия нарушения законов механики. Ниже мы частично коснем¬
ся соответствующих поучительных парадоксов и ошибок, связанных с
трактовкой поведения нелинейных механических систем под действи¬
ем вибрации.
§ В.7. Ошибки и парадоксы, связанные с трактовкой
рассматриваемого круга явлений. Наблюдатель W
Представляется, что довольно многочисленные ошибки, которые де¬
лаются при изучении и истолковании изучаемых эффектов, связаны со
следующими двумя объективными обстоятельствами.
Во-первых, как уже отмечалось, почти все нелинейные эффекты, пе¬
речисленные в § В.4, кажутся парадоксальными, по крайней мере - на
первый взгляд.
Во-вторых, отмеченная парадоксальность во многих случаях обуслов¬
лена "сильным”, качественно ощутимым действием "слабых" факторов.
Как правило, слабые воздействия приводят к слабым же изменениям в по¬
ведении системы. Поэтому случаи, когда это не так, вызывают удивление.
И они действительно заслуживают удивления и повышенного внимания,
поскольку не раз служили толчком для новых постижений и открытий.
Вполне закономерно, что выдающимися математиками, механиками и фи¬
зиками, как известно, созданы специальные математические концепции
для анализа подобных ситуаций. Речь идет, в частности, об особых случа¬
ях в теории нелинейных дифференциальных уравнений с малым парамет¬
ром, а также о теории бифуркаций, многие положения которой иногда
теперь относят к теории катастроф; немало обсуждаемых ситуаций из¬
вестно и в теории устойчивости движения, тесно связанной с двумя пре¬
дыдущими. Не являются исключениями также химия и биология: малые
количества некоторых веществ, введенные в реактор или в живой орга¬
26
ВВЕДЕНИЕ
низм, способны привести к весьма значительным последствиям. Известны
подобные факты и в социологии *).
Как отмечалось в предисловии, обсуждаемые ошибки можно связать с
неправомерной позицией наблюдателя W, рассматриваемой наряду с пра¬
вомерными, хотя и различными позициями наблюдателей О и V.
Самые непростительные, на наш взгляд, ошибки состоят в нарушении
важного методического принципа современной науки, известного под на¬
званием бритва Оккама. Этот принцип может быть сформулирован так:
не вводи новых сущностей без необходимости. Применительно к рассмат¬
риваемой группе явлений нарушение этого принципа состоит в том, что
вместо тщательного анализа выражается сомнение в справедливости ос¬
новных законов механики. К сожалению, можно назвать немало случаев
таких ошибок. Достаточно вспомнить обсуждение так называемой пробле¬
мы инерциоида - экипажа, якобы приводимого в движение только за счет
внутренних сил, а также пресловутого эффекта Дина, о котором еще пой¬
дет речь ниже.
Как правило, к сомнениям в правильности законов механики и к жела¬
нию их поправить исследователей приводят ошибки, которые можно под¬
разделить на следующие четыре группы.
1) Н е у ч е т представляющихся несущественны¬
ми (а в действительности существенных) степе¬
ней свободы системы или движений. В результате
при теоретическом исследовании в уравнениях движения для учитывае¬
мых явных переменных и движений не учитываются дополнительные (в
частности, - вибрационные) силы, что и приводит к парадоксам при сопо¬
ставлении с экспериментом (в котором эти силы присутствуют). Ошибки
подобного рода обсуждаются в § 1.1. Так, например, если при рассмотре¬
нии тела с внутренней степенью свободы, лежащего на шероховатой по¬
верхности (см. п. 1.2.2 и рис 1.2, в), не учесть этой степени свободы, то
изменение направления движения тела при изменении частоты вибрации
представляется необъяснимым. Столь же необъяснимо будет движение
такой системы в направлении, противоположном направлению действия
импульсов (рис. 1.2, г).
2) Неучет наличия или влияния внешних
сил, действующих на систему. При этом возникает
иллюзия, что положение центра инерции системы и значение момен¬
та количества движения могут измениться при действии только внутрен¬
них сил.
В качестве примера рассмотрим чувствительные весы, схематически
изображенные на рис. В.З, а. Коробочка, в которую помещена муха, в точ¬
ности уравновешена гирькой, лежащей на другой чашке весов. Изменится
ли равновесие, если муха станет летать внутри коробочки? Автору эта за¬
дача была предложена на экзамене в институте, и он дал ожидаемый эк¬
заменатором ответ: не изменится, поскольку внутренние силы, возникаю-
♦) В повести Рэя Брэдбери [112] соответствующая мысль ярко иллюстрируется в фанта¬
стической форме: в доисторическом лесу герой раздавил сапогом бабочку; это привело через
несколько тысячелетий... к победе на президентских выборах весьма реакционного кандидата
§ В.71
ОБ ОШИБКАХ И ПАРАДОКСАХ
27
щие при полете мухи, не могут изменить момента количества движения
данной системы. И это действительно так, если не учитывать наличия
внешней силы - сопротивления воздуха движению чашек весов или допу¬
стить, что весы помещены в вакуум. Если же не делать такого допущения,
то равновесие может измениться! Это произойдет вследствие "аэродина¬
мической асимметрии" системы: естественно допустить, что сопротивле¬
ние воздуха движению чашек, во-первых, неодинаково при движении
вверх и вниз, а во-вторых, что эта неодинаковость различна для обеих ча¬
шек. Тогда при колебаниях чашек весов вблизи положения равновесия,
вызванных полетом мухи, средняя сила V\ , действующая на левую чашку
(то есть вибрационная сила), будет отличаться от такой же силы Vz, дей¬
ствующей на правую чашку. В результате равновесие нарушится.
Рис. В3. Нарушение равновесия чашек чувствительных весов вследствие вибрации. Слева
изображены картины, видимые наблюдателем О, справа - наблюдателем V
Академик Б.П.Константинов демонстрировал опыты, в которых вместо
коробки с мухой на весах уравновешивался обычный электрический зво¬
нок; при включении звонка равновесие нарушалось. Однако оно практи¬
чески сохранялось, когда звонок помещался на тех же весах под колокол,
из которого откачивался воздух. Таким образом, и здесь основной причи¬
ной нарушения равновесия были аэродинамические силы, возникающие
вследствие вибрации подвижных элементов звонка. Как справедливо от¬
мечает Г.Ю.Степанов [375], эффект мог бы наблюдаться также и при ра¬
боте звонка в вакууме вследствие вибрации подвижных деталей весов.
Иными словами, для чистоты опыта под вакуум следовало бы поместить
не только звонок, но и всю установку.
28
ВВЕДЕНИЕ
В качестве другого примера рассмотрим те же весы, на которых груз,
лежащий на левой чашке, в точности уравновешивается гирькой, поло¬
женной в правой чашке (рис.ВД б). Если сообщить основанию, на кото¬
ром стоят весы, вертикальную вибрацию, то равновесие может измениться
по тем же причинам, что в предыдущем случае. Автору известен случай,
когда наблюдение за системой, подобной описанной, привело экспери¬
ментатора к мысли, что вибрация изменяет вес тела.
Наконец, третий пример представляет курьезный случай, произошед¬
ший при обсуждении идеи космического корабля-гравилета, придуманно¬
го В.В.Белецким и М.Е.Гиверцем ([42], см. также рис. 9.16 и п. 9.5.4). Ав¬
торы показали, что если в космическом корабле, обращающемся, напри¬
мер, в виде спутника Земли по эллиптической орбите, с определенной
периодичностью сдвигать и раздвигать грузы-гантели, то в принципе
можно разогнать спутник, заставив его выйти за пределы земного тяготе¬
ния. Как рассказано в книге [42], один из читателей, узнав об этой идее,
заявил, что в силу теоремы о движении изолированной системы это не¬
возможно, а научное невежество авторов возмутительно. Читатель, конеч¬
но, заблуждался: на корабль и грузы гантелей действует внешняя сила -
сила всемирного тяготения, нелинейная зависимость которой от расстоя¬
ния до центра Земли и вызывает описанный эффект. Нетрудно показать,
что манипуляции с грузами-гантелями (на которые, кстати говоря, прихо¬
дится затрачивать определенную энергию) приводят при этом к возникно¬
вению вибрационной силы, подобной силе тяги. С точки зрения наблюда¬
теля V, эта сила и вызывает эволюцию орбиты корабля (см. п. 9.5.4). В
некоторое оправдание читателю следует заметить, что в первых публика¬
циях авторов обстоятельства, приводящие к обсуждаемому эффекту, не
были разъяснены достаточно подробно.
3) Н е у ч е т движущей вибрационной силы, воз¬
никающей при вибрационном преобразовании
нелинейного сопротивления, в частности - су¬
хого трения в вязкое. Стало почти расхожим положение о
том, что в результате вибрационного воздействия сухое трение переходит
в вязкое, - и это верно. Однако очень часто забывают, что наряду с вибра¬
ционным преобразованием сухого трения, как правило, возникает (вслед¬
ствие "асимметрии" системы и вибрационного воздействия) также и сила,
называемая нами движущей вибрационной силой (см. п. 8.2.2 и гл. 10).
Именно этой силой объясняется ряд эффектов, объединенных понятиями
о вибрационном перемещении и смещении; подробному анализу и прило¬
жениям этих эффектов посвящена часть 3 настоящей книги.
Неучет движущей вибрационной силы приводит к досадным ошибкам
и просчетам. Автору известны случаи, когда при создании точных прибо¬
ров делались попытки использовать вибрацию для ликвидации зоны не¬
чувствительности, обусловленной сухим трением. При этом забывали
о возможности попутного возникновения движущей вибрационной силы,
которая вызывала систематическую ошибку в показаниях прибора (см.
гл. 10). Приходилось либо отказываться от использования вибрации,
либо вводить специальные корректирующие устройства.
Другим примером может служить так называемая "потенциальная тео¬
§в.л
ОБ ОШИБКАХ И ПАРАДОКСАХ
29
рия вибрационного разделения частиц сыпучей смеси”, согласно которой
сыпучая смесь при вибрации стремится к состоянию, соответствующему
минимуму потенциальной энергии совокупности ее частиц в поле силы
тяжести или другом потенциальном поле. Тем самым не учитывается воз¬
можность возникновения движущей вибрационной силы (тоже иногда по¬
тенциальной), которая приводит к важным эффектам, не укладывающим¬
ся в рамки потенциальной теории (например, к ’'всплыванию" крупной тя¬
желой частицы в вибрируемой среде из мелких легких, в частности -
стального шарика в слое песка). Эти эффекты подробно рассматриваются
в п. 9.2.2 и 9.2.5.
Вместе с тем учет и возможное управление движущей вибрационной
силой создают ряд важных технических и технологических возможностей,
которые также рассматриваются в части 3 книги.
Подчеркнем, что движущая вибрационная сила может возникнуть и
при воздействии вибрации на системы с другими, в том числе с гладкими
характеристиками сил сопротивления движению.
4) Абсолютизация позиции наблюдателя V.
Речь идет о приписывании физического характера тем изменениям в ха¬
рактеристиках тел, образующих систему, которые обнаруживает наблюда¬
тель V, "не замечающий" быстрых сил и быстрых движений, но которые
остаются неизменными для обычного наблюдателя О. Так, иногда говорят
об ожижении сыпучей смеси под действием вибрации, тогда как в дейст¬
вительности имеет место псевдоожижение: для наблюдателя О трение
остается кулоновским или подобным ему.
Абсолютизация позиции наблюдателя V имеет место, когда в уже
упоминавшихся случаях нарушения равновесия чашек весов и всплывания
стального шарика в слое песка эти эффекты приписывают изменению ве¬
са тела вследствие вибрации. К этой же категории ошибок относится ис¬
тория с машиной Дина. На последней (комической истории) можно не ос¬
танавливаться, поскольку она подробно освещена в упоминавшейся яркой
статье Г.Ю.Степанова [375], а также в книге И.Ф.Гончаревича [153].
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
Глава 1. О механике систем со скрытыми движениями
§ 1.1. Общие положения и основные уравнения; теорема 1
Отмеченная выше аналогия между вибрационной механикой и механи¬
кой относительного движения неслучайна. Покажем, что их можно рас¬
сматривать как частные случаи общей концепции, которую назовем кон-
цепцией частичного игнорирования движений, или механикой систем
со скрытыми движениями [89,100].
Суть этой концепции состоит в следующем. Пусть движение динами¬
ческой системы описывается системой дифференциальных уравнений, ко¬
торые могут быть представлены в форме
m(x)x = R(x,x,0, (1.1)
где х - л-мерный вектор-столбец обобщенных координат, т(х) - невырож¬
денная положительная *) симметричная п х л-матрица инерционных ко¬
эффициентов, R (х, х, f) - вектор сил. Положим
Х\ =Х\ + xk = Xk + W, x*+i = Ajt+iXt+i = Xt+i',
**+i+i = V*+i+i,..., xn = yn (1.2)
и назовем X\,...,Xk+t явными (учитываемыми), a \|/i\|/*;
V*+/+i »•••» ¥* “ скрытыми (игнорируемыми) движениями. Обобщенные
координаты х *+1,..., х *+/ назовем явными, х \,..., х * - частично скры¬
тыми, axk+i+i = Щк+1+1,...,хп = Ул - скрытыми обобщенными коор¬
динатами. Перейдем по формулам (1.2) к новым обобщенным коорди¬
натам Х\ ,...,Xk+i; V*+/+1 »•••» Vn , а избыточные переменные у iу k
будем считать либо заданными функциями времени, либо удовлетворяю¬
щими некоторым к взаимно независимым дополнительным соотношениям
'¥s(X,y)= 0 (5=1,...,*), (1.3)
где X = (ATi,... ,Xk+i) и у - (у 1 ¥*+*+1 »•••»¥*) - соответст¬
венно (к + [)- и (п - /)-мерные вектор-столбцы.
Соотношения (1.3) можно задавать в значительной мере произвольно.
Вместе с тем эти равенства имеют весьма существенное значение, по¬
скольку они определяют принцип, согласно которому игнорируемые дви¬
жения отделяются от учитываемых в первых к соотношениях (1.3). Здесь
для упрощения рассуждений будем предполагать соотношения (1.3) ко¬
*) Под положительной здесь и ниже понимается симметричная квадратная
матрица, которой соответствует знакоопределенная положительная квадратичная форма.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
31
нечными, разрешимыми относительно у iу *, но в принципе они мо¬
гут представлять собой также некоторые дифференциальные или интег-
родифференциальные уравнения (см., например, § 2.2).
Пусть
m0(X>)Xo=Ro(Xo,Xo,t) <L4>
- система уравнений 2(к + Г)-го порядка, составленная в предположении,
что скрытые движения отсутствуют (/п0 - положительная симметричная
(к + Г) х (к + 7)-матрица; назовем эту систему упрощенной системой.
Подставим выражения (1.2) в уравнения (1.1). Используя п - к - I этих
уравнений и к соотношений (1.3), при сделанных предположениях всегда
можно найти производные vj/1,..., V|/*, V}/*+/+iу п и исключить их
из остальных к + I уравнений. С помощью соотношений (1.3) из
этих уравнений можно исключить также переменные
\\f 1,..., \\f к и \j/1,..., \j/ к . В результате указанные к + 1 уравнений мож¬
но записать в форме
m0(X)(X) = R0(X,X,t) + V! (X, X, у, у, t), <L5)
где \j? = (\j/*+/+iVn)* Уравнения (1.5) отличаются от (1.4) наличием
слагаемого V\ которое назовем вектором дополнительных сил.
Вместе с остальными дифференциальными уравнениями и соотноше¬
ниями (1.3) уравнения (1.5) образуют систему, эквивалентную в силу (1.2)
исходной системе (1.1). Если бы эти остальные дифференциальные урав¬
нения удалось полностью проинтегрировать при учете соотношений (1.3),
то определились бы функции \\г = у (X, X, t, С), зависящие от 2 (п - k - I)
произвольных постоянных
С- С(С2(к + [)+ 1,—I С2пУ, эти постоянные определяются начальными
условиями для функций у к+1+19—9 У п. В результате система (1.5) запи¬
шется в виде
то да X =R о (Х,Х, t) + V2 (Х,Х, t, С). О-6)
К системе типа (1.6) можно прийти также путем следующего рассуж¬
дения. Пусть xs * Xs (t, Cj,...f C2n)t s = 1,..., л; - общее решение исходной
системы (1.1), то есть функции, содержащие независимо Ъг постоян¬
ных и удовлетворяющие системе (1.1). Тогда из 2(к + 1) равенств
X 1 = X 1 (t, Cl,..., С2п),..., х к + 1 =Xk + l (t, Cl,..., С2п)\ Х\ = X 1 (t, Cl,..., С2п),...,
xk+i = xk+i (t, Ci,..., Cn ) можно найти 2(к + Г) постоянных С\,..., C2(k+l).
Подставив выражения для этих постоянных через t,
х 1 k+i;х 1 / и С2(к+1)+1,..., С2п в соответствующиек+l уравне¬
ний (1.1) и используя соотношения (1.2) и (1.3), как раз и придем к урав¬
нениям вида (1.6).
Конечно, приведенными общими рассуждениями и преобразованиями
система (1.1) 2л-го порядка не сведена к системе 2 (к+1)-го порядка: иск¬
лючение из (1.6) 2(п - к - I) постоянных С вновь приведет к системе 2л-го
порядка, как это и должно быть. И вообще системы (1.5) и (1.6) вместе с
дополняющими их дифференциальными уравнениями и соотношениями
(1.3) не проще исходной системы (1.1) и содержат всю информацию о
ней. Поэтому переход к системам (1.5) и (1.6) оправдан, например, при
32
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. i
условии, что такая информация избыточна: первостепенный интерес
представляют явные движения, а скрытые движения влияют на явные от¬
носительно слабо, и это влияние можно учесть приближенно. Тогда сис¬
темы (1.5) и (1.6) могут оказаться значительно удобнее.
Однако и при точном рассмотрении может быть полезным как бы не
замечать скрытые движения, сводя их наличие к действию некоторых до¬
полнительных сил, что для механики является привычным и удобным; так
обстоит дело, например, в
случае механики относитель¬
ного движения.
Особенно же существен¬
ны преимущества концепции
игнорирования движений в
случае, когда дополнитель¬
ные силы V 2 можно считать
не зависящими от постоян¬
ных С . Имеется в виду ситу¬
ация, характерная для сис¬
тем, встречающихся, в част¬
ности, в вибрационной меха¬
нике, когда изучаются дви¬
жения, асимптотически ус¬
тойчивые по скрытым обоб¬
щенным координатам
и скоростям
¥*+/+1,...,Ул ВО всей рас¬
сматриваемой области изме¬
нения переменных *). В этом
случае можно как бы "почти
забыть" о существовании в
системе скрытых обобщенных координат: система с течением времени
"забывает* соответствующие начальные условия, величины \j/ и \|/ в урав¬
нениях (1.5) становятся конкретными функциями времени. Уравнения
(1.5) и (1.6) при этом приобретают следующий вид:
т о(Х)Х =R0(XtX,t) + V(X,Xtt). (1.7)
Скрытые движения представлены в этих уравнениях только выраже¬
ниями для дополнительных сил V; при наличии нескольких упомянутых
асимптотически устойчивых движений выражения для V будут различ¬
ными для каждого типа такого движения. Преимущества перехода от ис¬
ходных уравнений (1.1) к уравнениям для явных движений в рассматрива¬
емом случае особенно значительны: здесь имеет место понижение поряд¬
ка изучаемых уравнений, что ниже будет проиллюстрировано на многих
примерах.
На рис. 1.1 схематически представлена ситуация, соответствующая
рассматриваемому случаю. В фазовом пространстве X, \j/, t изображены
Рис. 1.1. Фазовое пространство системы (схема).
Случай, когда фазовые траектории "притягиваются"
к цилиндрической поверхности \\i = \\i (t)
*) Основные положения теории устойчивости движения по части переменных изложены
и развиты в монографиях В.В.Румшщева и А.С.Озиранера [353] и В.ИВоротникова [134 а].
§1.1]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
33
траектории движения системы А 0А i,... и В 0, В iисходящие из не¬
которых точек А о и В о. Две представленные, а также все другие траек¬
тории притягиваются к цилиндрической поверхности \j7 - \j7 (t), и можно
считать, что после достижения соответственно точек А\ и Bi движение
изображающих точек происходит по этой поверхности или в ее малой ок¬
рестности. Естественно, что уравнения движения изображающей точки по
указанной поверхности отличаются от уравнений движения точки в про¬
странстве X, у, t.
Отметим, что при сформулированном условии, а также при условии,
что преобразование от исходных переменных xi,...,xn к переменным
X, vji и обратно, определяемое равенствами (1.2) и (1.3), является одно¬
значным и непрерывным вблизи изучаемого движения, имеется полное со¬
ответствие между свойствами устойчивости движений исходной системы
(1.1) по переменным х и х и движений системы (1.7) по переменным
X и X.
Заметим также, что к уравнениям вида (1.7) задача сводится и в тех
случаях, когда интерес представляют дополнительные силы в движениях,
соответствующих вполне определенным начальным условиям. Примером
может служить задача о движении шара в вязкой несжимаемой жидкости,
рассматриваемая в п. 1.2.4.
Уравнения типа (1.5) - (1.7) и являются основными уравнениями меха¬
ники систем со скрытыми движениями. Они свидетельствуют о следую¬
щем почти очевидном, но существенном положении, которое назовем ос¬
новной теоремой механики систем со скрытыми движениями.
Теорема 1. Дифференциальные уравнения явных движений от¬
личаются от уравнений упрощенной системы наличием некоторых
дополнительных сил, зависящих в общем случае как от явных, так и
от скрытых обобщенных координат и скоростей или от явных обоб¬
щенных координат и скоростей и соответствующего числа посто¬
янных интегрирования. В случае асимптотической устойчивости
движения по скрытым обобщенным координатам и скоростям при
любых X (t) из рассматриваемой области зависимость дополнитель¬
ных сил от указанных постоянных с течением времени становится
несущественной, и можно считать, что эти силы зависят только
от явных движений. При условии однозначности и непрерывности
преобразования от исходных переменных х к переменным X, у и об¬
ратно вблизи рассматриваемых движений между свойствами устой¬
чивости движений исходной системы (1.1) по переменным х и х и си¬
стемы (1.7) по переменным X и X имеется полное соответствие.
Подчеркнем, что появление в уравнениях явных движений рассматри-
гаемых дополнительных сил не поддается объяснению, если не учитывать
наличия скрытых движений. Естественно, что при наличии скрытых дви¬
жений основные законы и положения механики для основных движений,
если не учитывать в соответствующих уравнениях дополнительные силы,
не будут выполняться или же будут выполняться лишь приближенно.
Как отмечалось, это обстоятельство не раз служило поводом для пара¬
доксов и ошибок, вплоть до выражения сомнений в справедливости зако-
7 ЮЦБлехшщ
34
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. 1
нов механики. С другой стороны, сознательное игнорирование малосуще¬
ственных движений и степеней свободы позволяет значительно упростить
исследование. Такое игнорирование, в сущности, является необходимым
(и даже неизбежным) элементом в процессе построения модели системы.
При игнорировании же существенных степеней свободы возможны не
только количественные погрешности, но и неверные заключения качест¬
венного характера, например устойчивые движения могут быть приняты за
неустойчивые и наоборот (см., например, [319, 321]).
В связи со сказанным возникают следующие два важных вопроса:
1) Допустимо ли не учитывать скрытые движения, в частности, скры¬
тые степени свободы, то есть вместо уравнений (1.1) или (1.5) - (1.7) рас¬
сматривать упрощенные уравнения (1.4)?
2) Как практически получить выражения, хотя бы приближенные, для
дополнительных сил V ?
Первый вопрос тесно связан с проблемами моделирования, идентифи¬
кации и декомпозиции динамических систем. Его эффективное рассмот¬
рение часто может быть достигнуто на основе использования методов ма¬
лого параметра, в частности, методов теории сингулярных возмущений,
метода Пуанкаре, методов усреднения, метода интегральных многообра¬
зий. К сожалению, систематическому рассмотрению этого вопроса с об¬
щих позиций механики пока посвящено относительно мало исследований;
сошлемся, в частности, на работы [26, 27, 239, 291, 312 - 314, 380]. Важные
методологические положения изложены в [312, 364, 365]. Что же касается
второго вопроса, то его решение для задач вибрационной механики со¬
ставляет основное содержание настоящей книги: в общей форме он изу¬
чается во 2-й и 3-й главах. Преимущественно другие задачи рассмат¬
риваются в следующем параграфе в виде примеров и частных случаев.
§ 1.2. Частные случаи, примеры
1.2.1. Механика относительного движения. Название этого пункта
несколько условно. Имеется в виду случай, когда к ** nt а \|Л ,..., щ
являются заданными функциями времени, так что дcs = Xs + \\f s (t). Ис¬
ходное уравнение (1.1) в этом случае приобретает вид
т (X + y)(X+\\>) = R(X+\\i,X + y,t). (21)
Умножая это уравнение слева на невырожденную матрицу
т (X) m~l (X + \\f)t можно записать его в форме уравнения (1.5) (в этом
случае т 0 - т и R = R о):
т (X) X = R (X, X,t) + Vj (X Д, у, у, у, t), (2-2)
где
VI (X, X, у, у, у, t) = т (X) т (Х+ у) R (.Y+ у, Л'н- -
-m(X)\\r-R (X,X,t) (2-3)
- дополнительная сила, соответствующая силам инерции в относительном
движении.
§1.2]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ПРИМЕРЫ
35
1.22. Твердое тело с внутренними (скрытыми) степенями свободы.
Ряд основных физических эффектов, обусловленных наличием скрытых
степеней свободы, может быть проиллюстрирован на примере движения
твердого тела, обладающего внутренними (скрытыми) степенями свобо¬
ды. Соответствующая система играет, однако, не только иллюстративную
роль - она представляет интерес для небесной механики и теории косми¬
ческого полета, теории вибрационных устройств, теории систем с гиро¬
скопами, динамики транспортных средств и экипажей и даже для теории
некоторых цирковых трюков. Здесь мы кратко остановимся на примерах,
касающихся действия на тело с внутренними степенями свободы внешних
гармонических вынуждающих сил, то есть на случаях, непосредственно
относящихся к основному предмету данной книги; более подробно ряд
таких систем будет изучен в дальнейшем.
В качестве простейшего случая рассмотрим линейную систему - абсо¬
лютно твердое тело массы т i, которое может свободно двигаться вдоль
оси х и внутри которого находится другое абсолютно твердое тело с мас¬
сой т 2 (рис. 1.2, а). Это тело связано с первым телом посредством
упругого элемента с жесткостью с и может перемещаться в том же на¬
правлении. На внешнее тело действует гармоническая вынуждающая сила
F sin (Of. Данная система является простейшей моделью деформируемого
твердого тела, описывающей его поведение при динамических воздейст¬
виях; степень свободы, связанную с подвижностью массы т г, будем счи¬
тать скрытой.
Если частота свободных колебаний Х-- Vс/т»со
(т = т 1 т 2 / (т i + т 2) - "приведенная масса"), то есть если при задан¬
ных т 1, т 2 и со жесткость с достаточно велика, то система будет со¬
вершать колебания как сплошное абсолютно твердое тело массы т \ +т 2
в соответствии с уравнением
(mi + т2) Xi = F sin со t (2-4)
Здесь x\=X\ - координата внешнего тела (явное движение), совпадаю¬
щая в данном случае с координатой внутреннего тела (скрытое движе¬
ние). Уравнение (2.4) соответствует уравнению (1.4). Если условие
X»со не выполняется, то наличие внутренней степени свободы может
существенно влиять на явное движение. Так, например, в предельном
случае X«со явное движение достаточно точно описывается урав¬
нением
т\Х\ = Fsin cof, (2.5)
то есть происходит так, будто бы масса системы уменьшилась до значе¬
ния т ь
Уравнение (2.5) можно записать также в виде (1.5):
(mi +m2)Xi =Fsin cof + V , (2.6)
где дополнительная сила V = (m 2 / т i) F sin со t. Таким образом, соглас¬
но (2.5) наличие внутренней (скрытой) степени свободы твердого тела
приводит как бы к изменению массы тела по отношению к высокочастот¬
ным воздействиям. Это обстоятельство не противоречит общему положе¬
нию, сформулированному в § 1, поскольку, согласно (2.6), можно считать,
2*
36
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. 1
что масса осталась неизменной (равной mi+m2), но в уравнении явного
движения появилась дополнительная сила V. Отметим, что если бы вы¬
нуждающая сила действовала по оси у, вдоль которой система всегда дви¬
жется как одно целое, то наличие скрытой степени свободы никак не про¬
явилось бы. Оно не проявилось бы также, если бы нас интересовало толь¬
ко движение центра инерции системы, то есть если бы за учитываемую
Рис. 1.2. Твердое тело с внутренними степенями свободы при периодических воздействиях.
Слева изображены картины, видимые наблюдателем О, справа - наблюдателем У
координату была принята величина X = (т i X i + т 2Х2) / (т i+m 2), где
х 2 - координата массы т 2. При этом в соответствии с теоремой о движе¬
нии центра инерции, независимо от соотношения между X и со, справед¬
ливо уравнение
(т 1 + т 2) X = F sin со t.
§ 12}
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ПРИМЕРЫ
3/
Отметим, что видрое о целесообразной форме записи уравнений дви¬
жения твердого тела с внутренними степенями свободы рассмотрен в мо¬
нографии А.И.Лурье [267].
С эффектом изменения инерционных свойств систем, эквивалентным
действию некоторых добавочных сил, мы неоднократно столкнемся в
дальнейшем. В частности, этот эффект (а также возникновение добавоч¬
ной диссипативной силы) имеет место, если масса т i представляет собой
сосуд, полностью заполненный суспензией (рис. 1.2, б). Если на сосуд по-
прежнему действует гармоническая вынуждающая сила F sin со t, то
его установившееся движение будет происходить в соответствии с урав¬
нением
(mi+m2)X+v к*Х = F sin со £, (2-7)
где т2 = р* v и v к* = - соответственно эффективная масса и коэффи¬
циент демпфирования суспензии, v - объем сосуда, р* и к* - эффектив¬
ная плотность и коэффициент демпфирования, отнесенные к единице
объема суспензии (формулы для р* и к*> а также основные предполо¬
жения, при которых справедливо уравнение (2.7), приводятся в § 16.2).
Любопытно, что р* всегда не превышает плотность суспензии ps, то есть
масса т\ + р* v всегда не больше массы системы т\ ¥тп2 = тп\ + ps v.
Как и выше, уравнению (2.7) нетрудно придать форму
(mi + psv)X=Fsm(Qt+V(X, t), (2.8)
соответствующую форме записи уравнения (1.5), причем дополнительная
сила
(2.9)
Fsm со t .
mi + ps v
УЯСНИЛ*
mi + p v
-\k*X+ -ft -P— Fsin со t
Еще более своеобразно поведение системы типа изображенной на рис.
1.2, в, если внешнее тело тп \ находится на шероховатой плоскости; в этом
случае предположим, что направление возможного движения внутреннего
тела массы m 2 не совпадает с направлением оси дс, составляя с ним неко¬
торый острый угол р . Предположим, что плоскость совершает верти¬
кальные или горизонтальные колебания. Тогда, как удается показать
(см. п. 12.2.1) в зависимости от частоты вибрации со тело будет переме¬
щаться (транспортироваться) либо вправо, либо влево по плоскости; на¬
клонив последнюю, можно заставить тело перемещаться вверх по плоско¬
сти; эти выводы подтверждаются экспериментально.
Любопытно также, что сообщая периодические однонаправленные
импульсы телу m 2, например, стреляя по телу из автомата (плоскость в
этом случае считаем неподвижной; см. рис. 1.2, г), можно заставить тело
двигаться в направлении стреляющего [215, 216, 295].
Наблюдателю, не знающему о наличии у системы скрытой степени
свободы (напомним, что мы называем его наблюдателем V, в отличие от
обычного наблюдателя О; см. § 5 введения), будет казаться, что описан¬
ные эффекты возникают вследствие появления дополнительной силы V,
38
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. 1
действующей вдоль плоскости в том или ином направлении. Поверхност¬
ный наблюдатель может заявить даже, будто вследствие вибрации про¬
изошла "инверсия" (изменение направления) силы тяжести! О подобных
ошибках и кажущихся парадоксах уже говорилось выше.
Не менее своеобразной, как нетрудно догадаться, будете реакция на
внешние возмущения твердого тела, внутри которого помещен гироскоп;
интересны особенности движения искусственного спутника Земли, обла¬
дающего внутренними степенями свободы (см. § 19.6).
Интересна и практически важна обратная задача, то есть задача иден¬
тификации, которая по отношению к рассматриваемой системе - телу с
внутренними (скрытыми) степенями свободы может быть поставлена сле¬
дующим образом: как по реакциям тела ("черного ящика") на различные
"пробные" силовые воздействия установить содержимое этого "ящика". Не
менее интересна и важна также задача синтеза - как по заданному харак¬
теру реакции тела на возмущения сформировать его внутреннюю структу¬
ру. Однако на анализе этих задач в данной книге мы не имеем возможно¬
сти останавливаться.
1.23. Системы с циклическими координатами. Элементы механики
систем со скрытыми движениями можно обнаружить в классических тру¬
дах Рауса, Томсона и Тэта, относящихся к динамике систем с циклически¬
ми координатами (см., например, [283]); из указанных трудов нами заимст¬
вованы некоторые термины, употребляемые здесь, но в расширенном
смысле.
Напомним, что циклическими называются обобщенные координаты,
которые не входят явно в выражение для кинетической энергии системы
Ту а обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю.
Прочие обобщенные координаты называют позиционными. При этом по¬
зиционные координатых xt=Xi и соответствующие движения
рассматриваются как явные, а циклические х /+1 = у / +1х n = \\f п - как
скрытые. Особенность данного случая состоит в том, что преобразования,
приводящие к основным уравнениям типа (1.6), то есть к уравнениям, со¬
держащим только явные (позиционные) координаты, здесь удается точно
провести до конца в изящной аналитической форме.
В соответствии с определением уравнения Лагранжа для циклических
(скрытых) координат будут иметь вид
т,Ц,-° (s"+1 ">■ (2Л0)
и поэтому допускают следующие первые интегралы:
|J = CS + (2.11)
О \|fc
Уравнения же для позиционных (явных) координат будут
dt JTs ~ Ш = & (*' Х’ ^ ^ 0 (S= 1,-’/ Х (2Л2)
где Qs - обобщенные силы, соответствующие явным координатам. Эти си¬
лы в общем случае могут зависеть как от явных, так и от скрытых обоб¬
§1.21
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ПРИМЕРЫ
39
щенных координат и скоростей, причем через X обозначен вектор явных,
а через у - вектор скрытых движений.
Если ограничиваться рассмотрением систем с голономными и стацио¬
нарными связями, то кинетическая энергия системы может быть представ¬
лена в форме
II In п п
Т=2 arsXrXs+ ^ brsXs Vr + (2.13)
r=l 5=1 5=1 r=*+l Г=*+1$=*+1
где a = 11 a,rs 11 и с = 11 Crs 11 - положительные матрицы, причем ars, Ьщ
и с^зэвисят только от явных координат Xi,...,X[. Тогда соотноше¬
ния (2.11) представляют собой линейные уравнения относительно
V*+i »•••»¥ л> 03 К0т°рых всегда могут быть найдены выражения для этих
величин. Подставив указанные выражения в формулу (2.13), можно
выразить кинетическую энергию системы только через явные координаты
и скорости Xs и Xs, а также через постоянные интегрирования
Ci+\,...,Cn Интегрирование выражений для \j/5 приведет к появлению
еще п-1 произвольных постоянных С1+1,..С 'п в выражениях для \j7
Как показано в цитированных классических трудах, в результате пре¬
образований уравнения (2.12) для явных движений могут быть представ¬
лены в следующей форме:
Tt Ш ~ Ш = + + ignXr (s=l,...,l).(2.14)
S Г= 1
Здесь С - вектор с компонентами Q+1Сп\ Сы ,..., Сп ,
Qsl) (X, X, С(1), t) = Qs [ X, X, Ф ft См ,..., Сп), V ft См Сп, а 1 ,...,Сп)]9
R 0 " ~ 2 I с I X
1 1 5=/+lrW+l
11 -ч -ч
и — 1 VV / цЛ V — — flr
■*^2 2 \^FS ^ gfS ^|5Г ^ ^ "Хт *
Г=1 5=1
Л Л
Я* = -j—г ^ ^ CrCmrbmk. (2.15)
' С m=&-1 г^+1
причем Crs - алгебраическое дополнение элемента Crs определителя | с |
матрицы с = 11 Crs 11, а матрица с элементами + fl/s, где
л л
a'rs = - т—г X » (2.16)
p=f+l q=l+1
является положительной.
Уравнения (2.14) соответствуют следующему примечательному утвер¬
ждению: явное движение рассматриваемой системы происходит так,
как если бы система имела кинетическую энергию R г (то есть мат-
40
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. 1
рииу инерционных коэффициентов 11 ars + drs 11) и, помимо исходных
обобщенных сил, на нее действовали бы силы Г5 = ^grsXr , называе¬
мые гироскопическими силами, ы консервативные силы с потенциаль¬
ной энергией -R о.
Таким образом, при записи основных уравнений в форме (2.14) игно¬
рирование скрытых движений приводит не только к появлению в этих
уравнениях некоторых дополнительных сил, но также и к изменению мат¬
рицы инерционных коэффициентов (по отношению к матрице || ||,
соответствующей явным движениям при отсутствии скрытых движений).
С таким обстоятельством мы уже столкнулись в примере п. 1.2.2 настоя¬
щего параграфа. Матрицу dpq при этом можно назвать матрицей присо¬
единенных масс. Вместе с тем основные уравнения всегда можно записать
также и в виде, соответствующем форме записи основных уравнений (1.6),
когда матрица инерционных коэффициентов остается неизменной, а учет
наличия в системе скрытых движений приводит только к появлению до¬
полнительных сил. Для этого достаточно представить форму R2 в виде
R2= Тх+ Т\ (2.17)
i i
где Гх = ^ arsXrXs - кинетическая энергия системы, в которой
Г= 1 5=1
d ЭГ ЭГ
скрытые движения отсутствуют, и в выражения — —; -г— подста-
dt ЪХs дХ*
вить вместо вторых производных Xs их выражения, найденные из исход¬
ных уравнений движения (2.10), (2.12), а вместо у и f -их выражения
через X , X и постоянные С. Обозначив результат указанной подстановки
через (Г1)], представим уравнения (2.14) в виде
d Э Тх Э Тх * * m
dt дЖ " Э* = &о(Х,Х,0+ *ИХ,Х,С(1),0, (2.18)
где дополнительная сила
Vs(X,X,Cw,t) = - &s(T')-Qt0(X,X,t)+ _
+ ^1)(Х,Х1С(1),0+ Цг + 'ZgnXr, (2.19)
Т- 1
a Qso имеет тот же смысл, что и R0 в уравнениях (1.4).
Форма записи основных уравнений (2.14) для систем с циклическими
координатами (а также и в некоторых других случаях) удобнее, чем (2.18),
и поэтому именно она обычно и используется. Уравнения (2.18) приведе¬
ны нами лишь для того, чтобы показать, что случай систем с циклически¬
ми координатами укладывается в рамки общих положений, изложенных в
§ 1.1. Впрочем, в случае, когда bpq = 0 и поэтому также аь = 0, grs = 0 и
Г= 0, то есть когда система относится к классу так называемых гироско¬
пически несвязанных систем (для них grs = 0), обе записи основных
уравнений фактически совпадают. Примечательно, что функция -R о,
отражающая (хоть и не всегда полностью) влияние скрытых движений на
§1.2]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ПРИМЕРЫ
41
явные и играющая в уравнениях (2.14) роль потенциальной энергии, ока¬
зывается в случае гироскопически не связанных систем ни чем иным, как
кинетической энергией скрытых движений (см., например, [283]):
п п
-*о = -Х X Crs Vr Vs •
r=l+1 s=l+1
Именно это обстоятельство лежит в основе концепции Герца [442а], со¬
стоящей в том, что "...всякую потенциальную энергию можно рассматри¬
вать как кинетическую энергию некоторых скрытых движений, недоступ¬
ных нашему непосредственному наблюдению”.
Наличие функции Rq в уравнениях (2.14) приводит, в частности, к то¬
му, что при решении вопроса об устойчивости стационарных движений
систем с циклическими координатами роль потенциальной энергии игра¬
ет функция W- П -Roj где П- "обычная потенциальная энергия системы.
А именно, если в рассматриваемом стационарном движении W имеет ми¬
нимум, то это движение устойчиво по позиционным (явным) координатам
и скоростям, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения
циклических интегралов (2.11) (теорема Рауса - см., например, [283, 284]).
Забегая вперед, отметим также, что "потенциальность" влияния игно¬
рируемых движений на учитываемые движения играет основную роль при
установлении "потенциальности в среднем" и соответствующих экстре¬
мальных признаков устойчивости движения систем с игнорируемыми быс¬
трыми движениями; такие системы играют особую роль в вибрационной
механике (см. гл. 3).
1.2.4. Движение тела в вязкой несжимаемой жидкости. Система,
представляющая собой твердое тело, движущееся в вязкой жидкости -
среде с распределенной массой, обладает "©о + 6" степенями свободы. Ес¬
тественно, что в прикладных исследованиях, когда основной интерес
представляет движение самого тела, целесообразно рассматривать лишь
движение этого тела, пытаясь свести действие на него жидкости к неко¬
торым силам. Иными словами, в данном случае в качестве игнорируемых
(скрытых) выступает бесконечное множество координат, определяющих
движение жидкости.
При решении многих прикладных задач данного класса действие жид¬
кости на тело (то есть силу, названную выше дополнительной) сводят к
силе, зависящей только от скорости движения тела относительно жидко¬
сти, и линейно - от соответствующего ускорения, что приводит к понятию
о присоединенных массах и моментах инерции. В результате число рас¬
сматриваемых степеней свободы в точности совпадает с числом степеней
свободы твердого тела. При определенных условиях (впрочем, далеко не
всегда оговариваемых) подобное упрощение не ведет к существенным
ошибкам; в других случаях необходим более полный учет скрытых степе¬
ней свободы системы.
Рассмотрим ситуацию на примере классической задачи о неустановив-
шемся поступательном движении шара в неограниченном объеме вязкой
несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. Эта задача была
рассмотрена Буссинеском, а затем изучалась Озееном; изящное решение
42
СИСТЕМЫ СО СКРЫТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
[ГЛ. 1
посредством использования операционного исчисления дано А-И.Лурье
[266]. Задача сводится к решению системы дифференциальных уравне¬
ний,
й = — ~ grad /7 + v А и , div и = О,
представляющих соответственно уравнения Навье - Стокса с отброшен¬
ными конвективными членами и уравнение несжимаемости. Здесь
11 = 11 (дс, у, z, f) - скорость жидкости р - р (х, у, z, f) - давление, р - плот¬
ность жидкости, v = ji/р - коэффициент кинематической вязкости (|1-
коэффициент вязкости), А - оператор Лапласа. Граничные условия заклю¬
чаются в равенстве нулю скорости жидкости на бесконечном удалении от
центра шара и равенстве скоростей жидкости на поверхности шара S ско¬
рости шара v (it) :
ы|г-к»=0 (r= Vj^+Z + z2 ); u|s = v(f).
Эти соотношения должны рассматриваться совместно с дифференциаль¬
ным уравнением движения шара в жидкости:
то v (f) = F + V ь (2.20)
Здесь т о = масса шара, F - внешняя сила, a Vi - сила, действующая на
шар со стороны жидкости; последняя определяется путем интегрирования
давлений и напряжений, распределенных по поверхности шара. Кроме то¬
го, необходимо учесть начальные условия; здесь предположим, что в на¬
чальный момент времени t = 0 система покоилась:
u(x,ytz, 0) = 0, v (0) = 0.
Решение задачи приводит к следующей формуле для силы V i извест¬
ной под названием формула Буссинеска:
ЖТ 1 г & \ d\ (х) / d X , , /ллп
V1 = - -mi v (t) - бтс |i a [v (t) + т ]. (2.21)
Здесь m i - масса жидкости в объеме шара, а - радиус шара. Формула
(2.21) и определяет дополнительную силу, обусловленную наличием бес¬
конечного числа скрытых степеней свободы системы. Отметим в этой свя¬
зи, что выражение (2.21) является точным: уравнение (2.20) при учете
(2.21) вполне эквивалентно описанной выше исходной системе при ука¬
занных начальных условиях. Это уравнение имеет не второй порядок, как
может показаться на первый взгляд, а "бесконечный порядок", что связано
с наличием интегрального слагаемого в выражении (2.21) и легко выясня¬
ется, например, при вычислении интеграла по частям.
Таким образом, дополнительная сила, вообще говоря, не сводится к
первым двум слагаемым в формуле (2.21), определяющим присоединен¬
ную массу 1/2 mi и стоксово сопротивление 6 к jia v (t) . Роль последне¬
го слагаемого может оказаться весьма существенной в начальный период
движения, а также и в некоторых других случаях.
§1.2]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ПРИМЕРЫ
43
Закетим, что уравнение движения (220), как и соответствующие урав¬
нение в п. 1.2.2 и 1.2.3, может быть записано в виде
то v (t) = F + V, (2.22)
не содержащей в левой части присоединенной массы жидкости, то есть в
виде, соответствующем записи уравнения (1-5); при этом дополнительная
сила
V=- [v(0 + ^g—Р dyP/dXdt]+ \ ^f}.(2.23)
m0+2mi I к o 2 m0 J
1.2.5. Вибрационная механика - системы со скрытыми быстрыми
движениями. Данному классу систем со скрытыми движениями, в сущно¬
сти, как уже отмечалось, посвящено основное содержание книги; некото¬
рые частные примеры были рассмотрены в п. 1.2.2 настоящего параграфа.
Для таких систем явным движениям X в равенствах (1.2) соответствуют
медленные, а скрытым у - быстрые движения.
Глава 2. Основные положения и математический
аппарат вибрационной механики
§ 2.1. Вибрационная механика как механика систем
со скрытыми быстрыми движениями
Еще раз подчеркнем основные предпосылки, определяющие предмет
вибрационной механики:
1. Для большого круга принципиально и практически интересных
процессов и явлений, происходящих при наличии вибрации в нелинейных
механических системах *), характерно наложение "быстрых" высокоча¬
стотных колебаний на "медленное" движение **).
2. Основной интерес, как правило, представляет именно медленное
движение.
Под вибрационной механикой мы и условились понимать механику,
описывающую медленные движения, сопровождающие вибрацию в нели¬
нейных механических системах или, иначе говоря, механику, которой дол¬
жен руководствоваться наблюдатель, "не замечающий" быстрых сил и бы¬
стрых движений. Используя точку зрения и терминологию гл. 1, можно
сказать также, что вибрационная механика - это механика систем со скры¬
тыми быстрыми движениями. Естественно надеяться, что такая механика
окажегся проще той, которая описывает полное (суммарное) движение
системы; как мы неоднократно убедимся в дальнейшем, это действитель¬
но так.
В § 1.1 было установлено, что механика систем со скрытыми движе¬
ниями характеризуется необходимостью учета в уравнениях явных движе¬
ний некоторых дополнительных сил; в данном случае, следуя П.Л.Капице
[202, 203], будем называть их вибрационными силами. Нахождение выра¬
жений для вибрационных сил и составление уравнений медленных дви¬
жений, по крайней мере приближенных, представляют собой поэтому од¬
ну из основных задач вибрационной механики.
*) Отметим, что здесь и в дальнейшем речь идет не только о внешнем вибрационном
воздействии на нелинейные системы, но также и о воздействии вибрации, возникающей
внутри самой системы, то есть автоколебаниях. Примечательно при этом, что "быстрые" авто¬
колебания могут возникать в системе, в которой действуют лишь "медленные" силы. Класси¬
ческими примерами могут служить автоколебания в системах с сухим трением и
турбулентные пульсации в потоке вязкой жидкости.
*+) Математический смысл понятий "медленная переменная" и "быстрая переменная"
будет определен в п. 2.2.4 настоящей главы.
§22}
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
45
§ 22. Метод прямого разделения движений - эффективный
общий метод решения задач вибрационной механики
2.2.1. Предварительные замечания. В настоящем параграфе мы изло¬
жим эффективный метод получения выражений для вибрационных сил и
составления основных уравнений вибрационной механики. Этот метод
можно назвать методом прямого разде.аения движений; он будет систе¬
матически использоваться в данной книге. О других способах, приводя¬
щих к той же цели, кратко говорится в § 2.3.
Метод прямого разделения движений включает два этапа. Вначале в
духе механики систем со скрытыми движениями производится преобразо¬
вание исходных дифференциальных уравнений движения системы к сис¬
теме интегро-дифференциальных уравнений 'вдвое более высокого по¬
рядка" относительно явных (в дальнейшем - "медленных") и скрытых (в
дальнейшем - "быстрых") составляющих с выделением выражения для до¬
полнительных (в дальнейшем - "вибрационных") сил. Указанное преобра¬
зование делается с существенным учетом способа последующего прибли¬
женного решения уравнений, но оно справедливо вне зависимости с-т тем¬
пов изменения составляющих.
На втором этапе полученная система решается приближенным спосо¬
бом, существенно учитывающим отличие темпов изменения быстрых
(скрытых).и медленных (явных) составляющих.
После изложения способа на эвристическом уровне приводится его
обоснование в духе асимптотических методов.
2.2.2. Исходное уравнение и его приведение к системе интегро-
дифференциальных уравнений для явной и скрытой составляющих
движения. При достаточно общих предположениях дифференциальные
уравнения движения рассматриваемых систем могут быть представлены в
форме *)
т х = F (х, х, t) 4 Ф (х, х, t, со t), (2.1)
где х - п - мерный вектор обобщенных координат, т - положительная
постоянная ("масса"), со - положительный параметр (в дальнейшем -
"большой" параметр), F и Ф - п -мерные векторы сил, причем Ф яв¬
ляется почти-периодической функцией аргумента х - со t ( в частности -
периодической функцией х с периодом 2 тс ); в дальнейшем, то есть на
упомянутом втором этапе, время t будет называться медленным време¬
нем, F - медленной силой, ах- быстрым временем и Ф - быстрой си¬
лой. Относительно гладкости функций F и Ф будем предполагать вы¬
полняющимися обычные условия, обеспечивающие существование всех
рассматриваемых ниже решений дифференциальных уравнений; предпо-
*) Ниже, б п. ? 6 настоящего параграфа, мы рассматриваем также случай, когда
урзвнения движения дотясгны в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Все переменные и
постоянные величины, входящие в уравнения, там, где это необходимо, следует считать
безразмерными. Так, в неравенстве со >> 1 частота ш предполагается безразмерной:
о)= aw'cao, где со* - размерная частота, а соо - некоторая характерная для системы частота,
например наибольшая частота свободных колебаний линеаризованной системы.
46
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
латаются выполненными также условия существования вводимых ниже
средних. В ряде случаев указанные условия конкретизируются (см. напри¬
мер, сноску на с. 74).
В соответствии со сказанным в п. 2.2.1, положим
х = х (f, х) = X (t) + у (t, х), (2.2)
где X - явная (в дальнейшем - медленная), a \\f - скрытая (в дальнейшем -
быстрая) составляющая вектора обобщенных координат. При этом будем
предполагать, что \\f - есть почти-периодическая (в частности - периоди¬
ческая) функция т , причем для определенности положим *)
< у (t, х) > = О, ('23^
то есть будем считать равным нулю среднее значение скрытой составляю¬
щей по т при фиксированном ("замороженном") медленном времени t.
При условии (2.3) явная составляющая X согласно (2.2) является соответ¬
ствующим средним значением координаты х :
ЯГ(0 = <x(f,x)>. (2-4)
Подставим выражения (2.2) в дифференциальные уравнения ( 2.1), а затем
прибавим и вычтем в их правых частях выражение
F(X, X, у, t) - < Ф (Х+ у, Х+ у, t, х) > , (2'5)
где через
F (*,ЯГ,чг,у,0 - F(X +\jr, ЯГ + у, f)-F (*,*,*) (2.6)
обозначена функция, обращающаяся в нуль при \j/ = 0, \\f = 0.
Пользуясь теперь имеющейся свободой выбора (вместо одной неизве¬
стной функции х введены две: X и \\f ), потребуем обращения в нуль
некоторой группы членов получившегося соотношения. А именно потре¬
буем выполнения уравнения **)
т vjf = F 0С, X, у, у, t) + Ф (* + у, X + у, t, х) -
- < F (X, X, у, у, t)> - < Ф (X + \j/( X + у, t, х)> . (2.7)
Тогда должно выполняться также уравнение
тХ = F(XfXft) + <?(*,*, у, у, f)> + <Ф(Аг + у,Аг + \|/,Г,т)>, (2.8)
правая часть которого представляет собой, как нетрудно видеть, резуль¬
тат усреднения правой части исходного уравнения (2.1) по т . Довод в
*) Угловые скобки здесь и ниже указывают на усреднение по аргументу т = ш t, который
может входить в усредняемое выражение как явно, так и через посредство функций у,
Т 2л
причем <...> = lim — \... dz в случае почти-периодической и < .. .> = \... dz в случае 2 п
Т-х» о о
- периодической функции т .
**) Это уравнение соответствует соотношениям (1.3) гл. 1.
§22]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
47
пользу именно такого "расщепления" уравнения (2.1) будет указан ниже.
Пока же отметим, что получившаяся система интегродифференциальных
уравнений (2.7), (2.8) эквивалентна исходному уравнению (2.1), по крайней
мере в том смысле, что если имеется некоторое решение X, \у этой сис¬
темы, то функция х = X + будет решением уравнения (2.1). Иными
словами, для существования решения уравнения (2.1) вида (2.2) до¬
статочно, чтобы существовали соответствующие решения X, \у, системы
(2.7), (2.8).
К системе уравнений (2.7), (2.8) можно прийти также следующим пу¬
тем. Подставим выражение (2.2) в исходное уравнение (2.1) и усредним
обе его части по времени т , входящему как явно, так и через посредство
функции \\f . Тогда после выделения функции F (X, X, t) придем к уравне¬
нию (2.8). Уравнение (2.7) получится путем вычитания уравнения (2.8) из
исходного уравнения (2.1). Забегая вперед, можно сказать, что уравнения¬
ми (2.7) и (2.8) как бы отдельно "балансируются" члены исходного урав¬
нения, которые в дальнейшем будут считаться соответственно быстрыми
и медленными. Заметим, что именно этот последний способ рассужде¬
ний при получении уравнений (2.7), (2.8) был использован П.Л.Капицей в
уже упоминавшихся работах [202, 203] о маятнике с вибрирующей осью
подвеса.
Значительный интерес для приложений представляют случаи, когда
часть компонент вектора X в равенствах (2.2) тождественно равна нулю,
то есть часть обобщенных координат х представляет собой скрытые (в
дальнейшем - быстрые) обобщенные координаты. Положим для конкрет¬
ности
Х\ = Х\ + \\fi,..., хк = Хь + у*; xk+i = ,..., хп = Vn, (2.9)
так что число скрытых обобщенных координат г = п - к. Для скры¬
тых координат соответствующие компоненты функций F и средних
< Ф > равны нулю, вследствие чего уравнения (2.7) для этих координат
при учете равенств (2.2) совпадают с исходными уравнениями (2.1). Число
п уравнений (2.7) для скрытых составляющих \|/ при этом остается преж¬
ним, а число подлежащих рассмотрению уравнений (2.8) для явных со¬
ставляющих X оказывается равным к, то есть уменьшается на число скры¬
тых обобщенных координат г.
2.23. Случай, когда получается отдельное уравнение для явной со¬
ставляющей, теорема 2. Как отмечалось, интерес представляют решения
системы (2.7), (2.8), в которых являются периодическими или почти-пе-
риодическими по т = со t. Допустим, что удалось найти такие решения
у = у (*,*,*, т), ^ (2.10)
причем эти решения - изолированные при заданных X и X; пусть они
также асимптотически устойчивы по скрытым обобщенным координатам
, то есть координатам, не содержащим явных составляющих, а также по
соответствующим обобщенным скоростям \|7 во всей интересующей нас
области изменения прочих обобщенных координат и скоростей. Тогда для
48
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
каждого такого решения \\f = \\f* получается определенная дополнитель¬
ная сила
V(X, X, t) = <F(X, X, у*, t) >'+ < Ф (ДГ + y*. * + t) >, (2.11)
а уравнение (2.8) можно записать в виде
тХ = F(X,X,t) + V(X,X,t), (2.12)
соответствующем форме записи уравнения (1.7) гл. 1.
Выполнение указанного условия асимптотической устойчивости реше¬
ния \\f = \\f* не только обеспечивает при достаточно общих предположе¬
ниях определенность выражения для дополнительной силы в определен¬
ной области изменения начальных условий для скрытых обобщенных ко¬
ординат у при достаточно больших значениях t, но также и взаимное со¬
ответствие свойств устойчивости движений исходной системы (2.1) по х, х
и системы (2.12) по переменным X, X. А именно, если преобразование
переменных х, х к переменным X , X, у, у, определяемое соотношениями
Xs = Xs (t) + Ys (X, X, t, (01) (s= 1Jfc); Xs = Ys X, t, со f) (s + k+\k+r=n),
а также обратное преобразование обладают свойствами однозначности и
непрерывности вблизи рассматриваемых невозмущенных движений, то ус¬
тойчивым (асимптотически устойчивым) по Л" и Л" решением уравнений
(2.12) соответствуют устойчивые (асимптотически устойчивые) решения
х = X + \|/ исходной системы (2.1) и, наоборот, устойчивым (асимптоти¬
чески устойчивым) решениям х исходной системы (2.1) соответствуют ус¬
тойчивые (асимптотически устойчивые) решения X системы (2.12).
Таким образом, мы пришли к следующему утверждению, которое
можно рассматривать как специализацию к рассматриваемому случаю
основного положения механики систем со скрытыми движениями (те¬
орема 1):
Теорема 2. Пусть решения исходного дифференциального
уравнения (2.1) представлены в виде (22), где соответственно явная
и скрытая составляющие X и у разыскиваются как решения сис¬
темы интегродифференциальных уравнений (2.1), (2.8). Пусть, далее,
уравнения (2.7) допускаюгг при заданных X (t) из рассматриваемой
области изолированные почти-перисдические (в частности, 2п - пе¬
риодические) по т = со f решения \\f = \j/* , причем эти решения асимп¬
тотически устойчивы по всем скрытым обобщенным координатам
у и скоростям у при изменении всех прочих переменных во всей рас¬
сматриваемой области. Тогда явная составляющая X удовлетворя¬
ет уравнению (2.12), в котором дополнительная сила V находится по
формуле (2.11) и является при достаточно больших t вполне опреде¬
ленной функцией X, X и t во всей области притяжешля каждого из
указанных решений \jr* . При условии однозначности и непрерывности
преобразования от х, х к X , X, у, у и обратно вблизи рассматри¬
ваемых невозмущенных движений между свойствами устойчивости
движений исходной системы (2.1) по переменным кики системы
(2.12) по переменным X к X имеется полное соответствие,
§22]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
49
Приведенное положение можно сформулировать и так: если мы "не
желаем замечать" ни составляющей движения у, ни силы Ф , зависящих
от аргумента т = со t, то при принятом варианте "расщепления" исходного
уравнения (2.1) мы должны, во-первых, найти скрытую составляющую \\f ,
обладающую указанными выше свойствами, из уравнения (2.7), а во-вто-
рых, определить явную составляющую X из уравнения (2.12), в котором
сила Ф в непосредственном виде не фигурирует, а к силе F добавлена
некоторая дополнительная сила V.
Пока мы нигде не использовали предположение о величине парамет¬
ра со и соответственно о темпах изменения сил F и Ф , а также составля¬
ющих X и у . Вместе с тем при отсутствии такого предположения соот¬
ношения (2.7) - (2.12) имеют скорее формальное, нежели конструктивное
значение, поскольку решение системы (2.7), (2.8) в общем случае не про¬
ще, чем решение исходного уравнения (2.1).
2.2.4. Основное предположение вибрационной механики, его
формализация и условия выполнения; теоремы 3 и 4. Примем теперь
основное предположение вибрационной механики, под которым будем
понимать допущение о наличии у исходного уравнения (2.1) решений ви¬
да (22) или соответствующих решений X , у у системы (2.7), (2.8), причем
в этих решениях составляющая X "действительно является медленной", а
составляющая \|/ * "быстрой" *). Однако вначале следует определить ма¬
тематический смысл понятий "медленная" и "быстрая".
С этой целью обозначим через Х0 и у0 масштабы составляющих X и
определяемые так, чтобы величины X* = Х/Хо и \у* = \|f/\|/o имели
порядок единицы:
X* = Х/Хо -1, у* = у/у0 - 1, (2.13)
и пусть Т - наименьший промежуток времени t, на котором переменная
\\f претерпевает изменения порядка у0 . Тогда будем считать, что состав¬
ляющая X является изменяющейся медленно по сравнению с у ( или» для
краткости, просто медленной по сравнению с у ) и соответственно \|/ яв¬
ляется быстрой по сравнению сХ если выполняется соотношение **}
X jt+T~X 11 . У |t+r-V Ь _ X , р
Хо 1 Л-о i \|/Ь1
выражающее требование, чтобы относительная скорость изменена со¬
ставляющей X была величиной порядка е по сравнению с относитель¬
ной скоростью изменения у , причем е - малый параметр. Вычислив
*) Здесь, как и ранее, обычным (не жирным) шрифтом набраны обозначения компонент
соответствующих векторов, координат и сил. При этом, однако, индексы, указывающие ке-
меркомпоненты, для упрощения записи опущены.
**) В этом соотношении, а также б (2.14) - (2.19) под разпостсмч Х\ - X\t>
у \ t+T - \|/ i f и производными отлиу понимаются максимальные значения модулей этих
величин*
50
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
производную по t от функции V ((,
соотношение в виде
X / _у_ 1 dX /
ХоТ щТ ~ Х0 dt
at), представим рассматриваемое
Э_у/л
Vo
Э у
dt
+ СО
Эх
е.
(2.14)
Отсюда видно, что для справедливости предположения о темпах из¬
менения составляющих X и у достаточно (хоть и не необходимо!) отож¬
дествить малый параметр е с величиной 1/со (см. сноску на с. 45) и по¬
требовать, чтобы величины (1/уо) (Э у/^х) и (1 /Хо) (Э X/ Э t ) были од¬
ного порядка, a (1/уо) (Э у/Э t) имела тот же или более высокий порядок
относительно е = 1/со ; в частности, может быть (1/уо) (Э у/Э ()= 0 . При
этом
1
• е = —.
со
(2.15)
X \J£o
У Хо
Таким образом, мы приходим к следующему утверждению (через
0(х), как обычно, обозначаем порядок величины х).
Теорема 3. Если существуют решения исходного дифферен¬
циального уравнения (2.1) вида (2.2) или соответствующие решения
X, \j/системы (2.7), (2.8), то условия
1
со = - » 1,
е
О
_1_ Э у
Vo Эх
= О
о
Vo
Э у
Э t
>о
J_ ^ж
Vo Эх
(2.16)
L dX
Х0 dt
являются достаточными для справедливости основного предполо¬
жения вибрационной механики.
Аналогичным образом можно формализовать понятия о быстрых и
медленных силах, однако, как будет ясно из дальнейшего, в этом нет не¬
обходимости.
Простейшим примером пары функций X и v . удовлетворяющей ус¬
ловию (2.16), могут служить X = Хо sin t и v = Vo sin со Л В связи с этим
примером подчеркнем, что условия (2.16) и, значит, основное предполо¬
жение вибрационной механики в том виде, как оно выше сформулирова¬
но, не накладывает ограничения на относительную величину абсолютных
значений составляющих X и v : величина v о не обязательно мала по
сравнению с Xо, она может быть сравнимой с Х0 и даже существенно
большей, чем Х0. Иными словами, амплитуда высокочастотной вибрации
V о может быть того же порядка и даже гораздо большей, чем масштаб
изменения медленной составляющей. С таким случаем мы столкнемся, в.
частности, в гл. 19, где рассматриваются некоторые задачи небесной меха¬
ники.
Аналогично равенству (2.14) находим
/ J_ fd2 V ■ ~ - д2’
Vo ЭГ2
L
1
ХоТ* Vo Г" Хо dt
откуда, предполагая выполненными условия
d2X
+ 2со
1Ж_
Э t Эх
+ со
Э2 у
Эх2
(2.17)
О
Vo Эх2
= О
Хо
d2X4
dt2
О
э2
_L d2 V _L
Vo dt2’ Vo dt Эх
0L
>o
J_ V
Vo Эх2
,(2.18)
§ 22]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
51
получаем
£ш^,Е2_± (219)
V Хо со2 ‘ { ’
Из соотношений (2.15) и (2.19) следует, что если
Чо/Хо ~ е" (п =1,0,1,2,...), (2.20)
то есть если быстрая составляющая \\f - величина порядка п по сравнению
с медленной составляющей X, то
Х/м/ ~ е1", Х/у ~ г2^. (2.21)
В частности, в важном случае, когда у - малая 1-го порядка по сравне¬
нию с Xt имеем
л = 1, Х/у~ Х/у^ 1, X/\\f^Et (2.22)
а в случае, когда у и X одного порядка,
п - О, Х/у 1, Х/у~ £ , X/\\f -w е2. (2.23)
Сопоставляя теперь соотношения (2.21) с уравнениями (2.7) и (2.8), за¬
ключаем, что для справедливости основного предположения необходимо,
чтобы правая часть уравнения (2.7) имела порядок Еп~2, если порядок пра¬
вой части уравнения (2.8) принять за единицу, что, очевидно, всегда мож¬
но сделать. Иначе говоря, необходимо, чтобы указанные уравнения могли
быть представлены в виде
тХ = Q, ту = Р/е1гЯ9 (2.24)
где
Q = /Г+</?> + <Ф>, Р/^п = F~< F> + Ф - <Ф>,
причем | Р | и | С I " величины одинакового порядка.
Вместе с тем, если записать уравнения (2.7), (2.8) в относительных пе¬
ременных X* = Х/Хо, У* = у/уо, то, согласно (2.18), порядки их правых
частей всегда должны отличаться на две единицы, то есть эти уравнения
должны допускать запись в виде
/л X* — Q+i тп \|/* = /**/£2, (2.25)
где | Р+ | и \Q* | - величины одинакового порядка, связанные с | Р | и
| Q | соотношениями | Р* \ = \ Р\ eVyo, \ Q* \ = \ Q \ /Хо .
Следует иметь в виду, что при использовании переменных X* и \\f*
равенство (2.2) записывается в форме
х = Хо X* (t) + у0 у* (t, со f). (2.26)
Таким образом, рассматриваемое основное предположение приводит к
определенному требованию к относительному порядку правых частей
уравнений (2.7) и (2.8), зависящему от относительного порядка составля¬
ющих X и у. В конечном счете, как и следовало ожидать, это наклады¬
вает определенные условия на функции F и Ф в правых частях исход¬
ного уравнения (2.1).
52
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
Изложенное может быть сформулировано в виде следующего утвер¬
ждения.
Теорема 4. Для существования решений исходного дифферен¬
циального уравнения (2.1) вида (2.2) или соответствующих решений
X, \|/г системы (2.7), (2.8), удовлетворяющих условием (2.15), (2.19) и
таких, что у ~znX (п - целое число или нуль), необходимо, чтобы
система (2.7), (2.8) допускала запись в виде (2.24) или (2.25).
2.2.5. Основное уравнение вибрационной механики. Вибрационные
силы, наблюдатели О и V. Пусть выполняется основное предположение
вибрационной механики, то есть существует решение уравнения (2.1) вида
(2.2) или соответствующие решения системы (2.7), (2.8), удовлетворяю¬
щие условиям (2.16). Предположим далее, что выполняются условия тео¬
ремы 2. Тогда назовем уравнение (2.12), содержащее лишь медленную со¬
ставляющую движения, основным уравнением вибрационной механики,
или уравнением медленных движений, а выражение V (X, X, t) для допол¬
нительной силы - вибрационной силой *). Уравнение (2.8) при этом бу¬
дем называть уравнением быстрых движений.
Как уже отмечалось во введении, виорационную механику можно рас¬
сматривать как механику, которой должен руководствоваться наблюда¬
тель, не замечающий быстрых сил и быстрых движений, а воспринимаю¬
щий лишь медленные силы и медленные движения. Такой наблюдатель
(наблюдатель V) может быть противопоставлен побычномуп наблюдателю
О. который воспринимает как медленные, так и быстрые силы и движе¬
ния. В дальнейшем мы будем широко использовать эти образы, принимая,
в зависимости от обстоятельств, позиции либо первого, либо второго на¬
блюдателя. Согласно сказанному, наблюдатель V, чтобы не вступать в
противоречие с законами механики, должен кроме всех действующих на
систему "обычных" медленных сил F учитывать также дополнительные
медленные силы - вибрационные силы V.
Отметим, что согласно формулам (2.6), (2.9) и (2.11) вибрационная си¬
ла получается путем усреднения собственно быстрой силы Ф и того быст¬
рого вклада F, который выделяется из медленной силы F. В соответствии
с этим будем различать собственно вибрационную си.пу
Заметим, что индуцированная вибрационная сила может быть отлична от
нуля и при отсутствии быстрого внешнего возмущения - вследствие быст¬
рых автоколебаний, которые могут возникать в системах с медленными
силами (см. сноску на с.44 и п. 2,2.7 настоящего параграфа).
*) Заметим, что в работах [76, 81, 84] нами использоезно обозначение вибрационной силы
W, отличающееся знаком от введенного здесь обозначения V, так что V * - W.
v(s) = <Ф>
и индуцированную вибрационную силу
V® = <F>.
(2.27)
(2.28)
§22]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
53
Можно усмотреть непосредственно (а ниже это будет показано на
многочисленных примерах), что уравнение (2.12), по крайней мере в соот¬
ветствующем приближенном варианте, значительно проще исходного
уравнения (2.1); при этом медленная составляющая X, изменение которой
оно описывает, обычно представляет наибольший интерес для исследова¬
теля.
2.2.6. Способ приближенного нахождения вибрационной силы и со¬
ставления основного уравнения вибрационной механики, его обоснова¬
ние; теорема 5. Будем по-прежнему считать справедливыми основное
предположение вибрационной механики и условия теоремы 2. Тогда
представляется естественным следующий способ приближенного нахож¬
дения вибрационной силы V и составления основного уравнения (2.12),
который опишем вначале на эвристическом уровне. Вначале решается
уравнение быстрых движений (2.7). При этом, поскольку изменение вели¬
чин X, X и t за характерный период быстрого движения 2 л/со относи¬
тельно мало, то при решении уравнения (2.7) эти величины рассматрива¬
ются как "замороженные", то есть как фиксированные параметры.
Пусть уравнение (2.7) при замороженных X, X и t допускает одно или
несколько почти-периодических (в частности - 2 к - периодических) по
х = со t решений у = у* (Xt X, tf х), удовлетворяющих условию (2.3) и
асимптотически устойчивых по всем быстрым обобщенным координатам и
скоростям при изменении прочих быстрых составляющих во всей рассмат¬
риваемой области. Обычно это предположение легко проверяется и в ус¬
ловиях теоремы 2 действительно является справедливым. К тому же
уравнение (2.7) как раз таково, что для него автоматически выполняется
необходимое условие (2.3) существования почти-периодических (в част¬
ности - 2 7Г -периодических по х) решений. Чтобы убедиться в этом, до¬
статочно усреднить уравнение (2.7) по х = со t (при замороженных X , X и
t). В сказанном и заключается смысл принятого выше способа "расщепле¬
ния" исходного уравнения (2.1) на два уравнения (2.7) и (2.8).
Подставив определенное решение у = у (X tXf f, х) в выражения
(2.9), (2.11), найдем приближенное выражение для вибрационной силы
V (X, X, 0, после чего можно составить основное уравнение (2.12), которое,
конечно, также будет приближенным.
Покажем, что описанный приближенный способ может быть обосно¬
ван в духе асимптотических методов, по крайней мере в случае, когда
разыскиваются решения вида
х = X (t) + у (Г, со t)=Xo \Х* (t) + е у* (Г, х)], е = ” < < 1, (2.29)
то есть решения типа (2.22). Будем исходить из дифференциальных урав¬
нений (2.7), (2.8), записанных в относительных переменных X* и у* в
виде сксгемы (2.25). Перейдем в этой системе к независимой переменной
х = cof - i/z . Обозначив штрихом полную производную по этой пере¬
54
ПОЛОЖЕНИЯ и АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
менной, положим X * = £ У*, у * = ф*. Тогда система уравнений (2.24)
запишется в виде
m<p* = P*t \у* = ф*, mY*t = zQ*, X* = zY*f t' = e, (2.30)
где согласно (229)
Р* = Р* (X, X, Г, Т) = Р* \Хо (У* + Ф*Х Хо (X* + £ у*), £ Т, Т],
Q* = Q* (X, X, Г, т) = (2* [ЯЬ (У* + ((Ь), АГо (ЯГ* + £ V*), ет, т].
Система (2.30) относится к так называемым уравнениям с многомер¬
ными быстрыми движениями. Для таких систем В.М.Волосовым на осно¬
ве идей Н.Н.Боголюбова разработана общая схемы усреднения [129]. Ус¬
ловия применимости этой схемы, как нетрудно видеть, выполняются при
наличии у уравнения (2.7) при замороженных X, X и t почти-периодиче-
ских (в частности - 2 к -периодических) по т = of решений
\\f = у* (X, Xf t, т), асимптотически устойчивых по всем быстрым обобщен¬
ным координатам и скоростям при изменении прочих быстрых составляю¬
щих и замороженных X, X и t во всей рассматриваемой области. Именно
это нами и предполагалось выше. Можно показать также, что схема
В.М.Волосова распространяется и на рассматриваемые здесь интегро-
дифференциальные уравнения.
Уравнения первого приближения для медленных переменных
X* и У* согласно указанной схеме в рассматриваемом случае имеют вид
X'* = еУ.( mY' = ei5,, (2.31)
где через Q\ обозначено выражение для Q*, получающееся при подста¬
новке вместо функции у почти-периодического или периодического ре¬
шения первых двух уравнений, найденного в предположении, что медлен¬
ные переменные постоянны. Иначе говоря, согласно (2.9), (2.11), (2.23) и
(225)
Qx = F&X,t) + V(XtXj).
Но тогда уравнения (2.31) после возвращения к независимой переменной t
и исключения У* совпадут с уравнением (2.12), составленным изложенным
выше приближенным способом. Схема В.М.Волосова позволяет находить
также и следующие приближения к решению системы (2.7), (2.8), однако
в этом не возникает необходимости, по крайней мере во всех рассматрива¬
емых ниже многочисленных прикладных задачах.
Изложенное позволяет сформулировать следующее положение.
Теорема 5. Пусть для исходного дифференциального уравне¬
ния (2.1) или системы (2.7), (2.8) выполняется основное предположе¬
ние вибрационной механики и разыскиваются движения вида (2.29),
то есть движения, в которых быстрые составляющие у имеют по¬
рядок £ = I/o по сравнению с медленными составляющими X . Тогда
для получения выражения вибрационной силы (2.11) и уравнения мед¬
ленных движений (основного уравнения вибрационной механики) (2.12)
в первом асимптотическом приближении достаточно найти почти-
периодические (в частности 2 пчгериодические) по т = (о t решения
§22}
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
55
уравнения быстрых движений (2.7) при постоянных ("замороженных!')
значениях медленных переменных X, X, t, асимптотически устойчивые
по всем быстрым обобщенным координатам и скоростям при изме¬
нении всех прочих быстрых переменных и замороженных Х,Х и t во
всей рассматриваемой области.
Составленное таким образом уравнение (2.12) должно быть
справедливым, с одной стороны, при t > tо, где to - время установления
скрытых быстрых движений, а с другой - при t < Т0 , где Т0 - граница
интервала справедливости асимптотического приближения (естественно,
предполагается, что То» t0).
2.2.7. Важный частный случай; теорема 6. Рассмотрим случай,
когда исходная система (2.1) может быть представлена в форме (для уп¬
рощения рассуждений и записей сначала считаем, что х - скаляр):
mx = F (i, х, f) + о Ф1 (jc, t, т), о) > > 1, (2.32)
где почти-периодическая по т функция Ф имеет нулевое среднее по это¬
му аргументу при фиксированных х и t:
< Ф1 (х, t, т) >x,t, = const = 0. (2.33)
При этом, как и в п. 2.2.6, разыскиваются решения вида
х = X(t) + £ \\f\ (if, т), £ = l/o) < < 1, (2.34)
то есть решения типа (2.29). В этом случае, рассмотренном О.З.Малаховой
[274], нахождение функции \\f\ и выражения для вибрационной силы су¬
щественно упрощается, а обоснование изложенного в п. 2.2.6 приближен¬
ного способа получается путем непосредственного использования первой
и второй теорем Н.Н.Боголюбова.
Уравнение быстрых движений (2.7) в данном случае имеет вид
me\|/i = F(X+zyuX + e\|/i,0 ~ ^(X’+exjfi, AT+e\|/i,t)> +
+ J [Ф1 (X + e \|/i, t, x) - < Ф1 (X + e Yi, t, x) > ],
или при учете (2.33) и с точностью до членов более высокого порядка
относительно г
тщ = ^ Oi(AUt). (2.35)
Забегая вперед, отметим, что последнее уравнение соответствует так на¬
зываемому чисто инерционному приближению (см. п. 2.2.8).
Пусть \\f* = (AT, t, т) - какое-нибудь почти-периодическое решение
уравнения (2.35), найденное при замороженных АТ и t. Тогда, согласно из¬
ложенному в п. 2.2.6 приближенному способу, в основном уравнении виб¬
рационной механики (2.12), то есть в уравнении
т X = F (AT, Xt t) + V(Xt X, t\ (2.36)
записанном с той же точностью относительно е, что и уравнение (2.35),
56
ПОЛОЖЕНИЯ и АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
выражение для вибрационной силы (2.11) будет иметь вид
VCX.XI) = < F
О X
- F(X,X,t)> +
< Э «g™ V* «t, х)> (2.37)
(напомним, что согласно изложенному в п. 4 величины £ \yi и АГ имеют
одинаковый порядок, тогда как £ \\fi по предположению мало по сравне¬
нию с X). Покажем, что уравнение (2.36), в котором вибрационная сила
определяется согласно формуле (2.37), может быть получено посредст¬
вом использования первой теоремы Н.Н.Боголюбова. С этой целью преоб¬
разуем уравнение (2.32) к стандартной форме с помощью замены пере¬
менных
X = X + е\|1* QC,t,x), х' ■■= еУ + е Э'М-*’т) (
где штрихом по-прежнему обозначена полная производная по х . В ре¬
зультате получим систему
X' = е [У + zA{Y,X,t,x,z)\, У = е{—F [У + э У* С*> t, х) ^ f ] +
\тп о т
1 Э Ф1 (X, t, х) . дЧ’СХ^.х)
m Tz '•'.«>.<)- ЭхЭХ Y-
- + eSС = £, <2.38)
где А и В - некоторые функции указанных аргументов. Пусть функции F
и Ф1 таковы, что правые части уравнений (2.38) удовлетворяют условиям
первой теоремы Н.Н.Боголюбова. Тогда, применяя к этим уравнениям
принцип усреднения и сохраняя для усредненных переменных те же обоз¬
начения, получим следующие уравнения первого приближения:
Х[ = еУ, Y±zR(YfX,t), V = £, (2.39)
где
Эу* {XX ху а
R (У,X t) = — < (F + V) = —(F
57. m
У +
a Z j
ЭФ] (X. г. т) * _
+ Vi Ж ^ х) > .
Нетрудно заметить, что из последних уравнений вытекает уравнение
(2.36), в котором V(X,X7f) определяется согласно (2.37); это и требова¬
лось показать. Отметим, что иным способом соотношения типа (2.36).
(2.37) были получены С.В.Челомеем [409].
Рассмотрим вопрос об устойчивости положений равновесия V = 0,
X = X*, определяемых уравнениями (2.39), то есть так называемых поло¬
жений квазиравновесия для исходного уравнения (2.32) (см. § 3.3). При
§ 22]
метод ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
57
этом будем полагать, что функции F и Ф1 не зависят явно от t, и следо¬
вательно, R = R(Y, X). Указанные положения равновесия, если они суще¬
ствуют, определяются как решения уравнения
R (0,Х)= — [F(Q,X) + V(0,X) ] = 0. (2.40)
ТП
Тогда при несколько более жестких требованиях к правым частям уравне¬
ний (2.38) применима вторая теорема Н.Н.Боголюбова [106]. Если, соглас¬
но этой теореме, корни уравнения
-X
Э R
ЭХ
у=о,
\х=х.
Э R
ЭУ
у=о, - X
х=х.
= о
(2.41)
имеют отрицательные вещественные части, то стационарным решениям
Y = 0, X - X* уравнений первого приближения будут отвечать при доста¬
точно малых е на всем интервале - «> < т < ©о асимптотически устойчивые
почти-периодические решения исходного уравнения (2.32), то есть поло¬
жения квазиравновесия для этого уравнения.
Но система (2.39) эквивалентна уравнению (2.36), а уравнение (2.41) -
характеристическому уравнению для уравнения в вариациях, соответству¬
ющему стационарному решению уравнения (2.36). Отсюда следует, что
асимптотически устойчивым стационарным решениям X =0, X = X*
уравнения (2.36) соответствуют асимптотически устойчивые почти-перио¬
дические решения исходного уравнения (2.32), то есть положения квази¬
равновесия для этого уравнения.
Изложенное выше может быть сформулировано в виде следующего
положения.
Теорема 6. Пусть исходное дифференциальное уравнение
представимо в виде (2.32), где функция со Ф1 ("быстрая сила") удов¬
летворяет равенству (2.33) и функции F, Ф1 таковы, что правые час¬
ти уравнений (2.38) удовлетворяют условиям первой теоремы
Н.Н.Боголюбова и рассматриваются решения вида (2.34). Тогда в пер¬
вом асимптотическом приближении медленная составляющая X
удовлетворяет уравнению (2.36) (основному уравнению вибрационной
механики), в котором быстрая составляющая \|/* находится как поч-
ти-периодическое решение дифференциального уравнения (2.35) при
фиксированных ("замороженный') X и t.
Если функции F и Ф\ не зависят явно от времени t, а правые час¬
ти уравнений (2.38) удовлетворяют условиям второй теоремы
КН.Боголюбова, то асимптотически устойчивым положениям рав¬
новесия X =0, X = X* системы, определяемой уравнением (2.36), со¬
ответствуют асимптотически устойчивые положения квазиравно¬
весия (2.34) системы, определяемой уравнением (2.32).
Заметим, что в случае системы со многими степенями свободы, когда
функции F, Фих,Х, \|fi и V представляют собой векторы, выражение в по¬
58
ПОЛОЖЕНИЯ и АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
следних угловых скобках формулы (2.37) для вибрационной силы V сле¬
дует понимать как произведение матрицы Э Ф\/д X на вектор yi .
Отметим также, что иной подход к обоснованию изложенного при¬
ближенного метода в рассматриваемом частном случае предложен
А.В.Киргетовым, использовавшим введенное им понятие о \± -устойчиво¬
сти [201,211].
2.2.8. О других упрощениях при решении уравнения для быст¬
рой составляющей движения. Чисто инерционное приближение. По¬
мимо изложенного выше, целесообразны и другие приемы приближенно¬
го решения уравнения для быстрой составляющей у . С общих позиций
правомерность таких приближенных способов следует из сказанного в
§ 1.1 об уравнениях систем со скрытыми движениями: информация, со¬
держащаяся в исходном уравнении (2.1), а также в системе (2.7), (2.8), яв¬
ляется избыточной, если интересоваться только изменением медленной
составляющей X; естественно, что при этом можно ограничиться прибли¬
женным нахождением быстрой составляющей у . Конкретно же говоря,
возможность приближенного нахождения у усматривается из того факта,
что эта функция входит в выражение (2.11) для вибрационной силы толь¬
ко под знаком интегрирования.
Одно из возможных упрощений при решении уравнения (2.7) состоит
в нахождении у в виде суммы небольшого числа гармоник или неболь¬
шого числа членов ряда по степеням малого параметра, который не обяза¬
тельно должен совпадать с параметром е = 1/со . Подчеркнем, что речь
идет о приближенном определении у при "замороженных" X, X и t, то
есть в рамках способа, изложенного в п. 2.2.6. К тому же, как отмечалось,
часто можно считать, что у мало по сравнению с X, и линеаризировать по
у (а иногда и по у) выражения для сил F и Ф . В частности, во многих
случаях допустимо учитывать лишь линейные члены в разложении функ¬
ции F по степеням у и у,- полагая согласно (2.6)
Гэf) . fop}
Jk •'*,+ v
V У V У
где производные вычисляются при у = 0, у = 0. Следует, однако, иметь
в виду, что при этом в силу (2.28) и (2.3) имеется лишь собственно вибра¬
ционная сила V®, а индуцированная сила V® отсутствует. Иными слова¬
ми, индуцированная составляющая имеется в случае, когда медленная си¬
ла F нелинейна по х и х.
С другой стороны, даже при отсутствии в исходном уравнении (2.1)
быстрой силы Ф вибрационная сила может быть отлична от нуля за счет
своей индуцированной составляющей. Такая ситуация характерна для ав¬
тономных систем, в которых быстрые автоколебания возникают, несмотря
на наличие в системе лишь медленных сил (см. сноску на с. 44 ).
Особое значение имеет приближение при решении уравнения быстрых
движений (2.7), которое можно назвать чисто инерционным. Оно основа¬
но на предположении, что "колебательная составляющая" быстрой силы в
§2J2]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
59
этом уравнении значительно больше "колебательной составляющей" мед¬
ленной силы, то есть
| Ф - <Ф> | >> | F - <Р> |, (2.43)
и поэтому второй можно пренебречь по сравнению с первой. Во многих
случаях соотношение (2.43) естественно возникает из самой постановки
задачи; оно может быть формализовано путем введения малого параметра
(одним из примеров может служить система, рассмотренная в п. 2.2.7).
В часто встречающемся случае, когда 4/ = Ф- <Ф>не зависит от
у и \\f и является почти-периодической функцией т , представленной
в виде суммы
р
Ч> = (2.44)
5=1
ГД6
fs(X tX,ttx) = As (X, Xt t) cosvst + BS(X tXft) sinv5r,av5 >0-
некоторые числа, искомое приближенное решение уравнения (2.7)
имеет вид
v = - 1 у йЙфй, (2.45)
т ^ .v|
5=1
В дальнейшем мы будем широко пользоваться чисто инерционным
приближением и, в частности, представлениями (2.44) и (2.45).
2.2.9. Дополнительные замечания, некоторые обобщения. В связи с
изложенным в п. 2.2.6 - 2.2.8 настоящего параграфа способом приближен¬
ного получения выражения для вибрационной силы и основного
уравнения вибрационной механики сделаем следующие замечания и
дополнения.
1. Основное уравнение (2.12) не изменится, то есть ошибки не про¬
изойдет, если некоторые или все медленные силы отнести к быстрым.
2. Если исходное уравнение записано в форме уравнения Лагранжа
второго рода
6(7) = е, (2.46)
где
во-ЙЯ-П (г47>
-эйлеров оператор, Q - обобщенная сила, а Т - кинетическая энергия сис¬
темы, то уравнение медленных движений может быть записано в форме
< б (Тх+у )> = < Qx+у > , (2.48)
где через Тх+ у и Qx+ у обозначен результат подстановки в соответст-
60
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
вующее выражение значений х = АГ+ \|/ и х = ^ + vj/. Тогда уравнение
ние быстрых движений представится в виде
8 ( Тх+у) - < g ( 7a'+v) > = Q X+v - < Qx+v > • <249>
При этом уравнение (2.48) всегда может быть записано в форме, со¬
ответствующей форме записи основного уравнения вибрационной механи¬
ки (1.12):
£ (Тх) = F + V. (2.50)
Здесь выражение для вибрационной силы V = V (X, X, t) легко получает¬
ся путем сопоставления уравнений (2.48) и (2.50) и при учете того, что
исходное уравнение (2.46) всегда разрешимо относительно х; через
F (X, X, t) обозначена "обычная" медленная сила*
3. Изложенный приближенный способ пригоден и в случае, когда при
27Г-периодической по т функции Ф уравнение быстрых движений (2,7) до¬
пускает по т периодическое решение с периодом Т = 2л qlp (р и q - вза¬
имно простые натуральные числа), а также в случае автономного исход¬
ного уравнения (2.1). В первом случае усреднение соответствующих выра¬
жений следует вести по периоду 2к, а во втором - по заранее неизвестно¬
му периоду Tt определяемому в процессе решения уравнения. Отметим
также, что в случае, когда быстрые силы не зависят от т , уравнения (2.7)
или (2.49) допускают решение \|/ = 0.
Наконец, уравнение быстрых движений может допускать решения
стохастического характера; необходимым условием применимости метода
в этом случае является существование среднего
Г
<...> = lim ^ J (...) d х.
г->~1 о
4. В теореме 4 речь идет о необходимом условии существования ре¬
шений исходного дифференциального уравнения (2.1), представимых в
виде (2.2), или соответствующих решений X и \\f системы (2.7), (2.8),
удовлетворяющих основному предположению вибрационной механики о
темпах изменения составляющих X и у. Вопрос о действительном суще¬
ствовании таких решений может быть решен конструктивно - путем их
фактического построения в каждом конкретном случае и апостериорной
проверки предположения о темпах изменения составляющих X и \|/. Та¬
кая проверка желательна, поскольку движения, описываемые уравнением
(2.12), могут оказаться быстрыми, несмотря на то, что движения, описыва¬
емые тем же уравнением при V = 0, были медленными (см. например,
[61], где на это обстоятельство обращено внимание применительно к ме¬
тоду гармонической линеаризации).
Отметим также, что в часто встречающемся случае, когда силы Фи F
не зависят от медленного времени t (а значит, и V не зависит от t) и ког¬
да интерес представляют лишь устойчивые стационарные решения урав¬
нений медленных движений X =0, X = X* = const, как правило, можно
заведомо утверждать, что в достаточно малой окрестности таких решений
обсуждаемые условия выполняются. Действительно, для таких решений
§ 22}
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
61
правые части уравнений медленных движений обращаются в нуль, а в
указанной окрестности как угодно малы при соответствующем выборе
этой окрестности, В то же время правые части уравнений быстрых движе¬
ний при X = О, X = X* в нуль, вообще говоря, не обращаются.
При конкретных апостериорных оценках области справедливости
предположений в данном случае полезно сопоставление с частотой со ча¬
стот Xi малых колебаний системы с учетом вибрационных сил вблизи
стационарных состояний. Должно выполняться соотношение
Xi << со; (2.51)
впрочем, как показывает рассмотрение ряда конкретных задач, обычно до¬
статочно, чтобы было справедливо условие Xi < 3 со.
Если же представляют интерес иные области изменения X, X, то сле¬
дует произвести сопоставление порядков правых частей уравнений для
этих областей, после чего установить, при каком соотношении между по¬
рядками X и \|/ условия справедливости использованного способа бу¬
дут выполняться. Так, например, если оказалось, что правые части
уравнений (2.7) и (2.8) имеют одинаковый порядок, то можно ожидать,
что найденные решения будут справедливы при начальных условиях
для X, X и параметрах системы, которые обеспечивают выполнения
условия \|/ -— е2 X .
2.2.10. Сводка основных соотношений и результатов. Приведем
краткую сводку основных формул и результатов настоящего параграфа,
поскольку на них часто придется ссылаться в дальнейшем.
Исходное дифференциальное уравнение:
т х = F (х, х, t) + Ф (х, х, t, со f), (2.52)
где х - вектор обобщенных координат системы, т = const, со > 0 - пара¬
метр, а Ф - почти-периодическая (в частности, 2тс - периодическая) функ¬
ция аргумента х = со t. Разыскиваются решения этого уравнения вида
х = X(f) + \|/& со Г), (2.53)
где \|/ (t, со 0 - почти-периодическая (в частности, 2тс-периодическая)
функция х = со t, удовлетворяющая условию *)
< \|/(*, х)> = 0. (2.54)
Составляющая X (t) считается явной, а \|/ (t, со t) - скрытой. Часть
компонент вектора X (t) может быть равной нулю - соответствующие
обобщенные координаты называются скрытыми.
Составляющие X и \|/ подчинены системе интегродифференциаль-
ных уравнений
т X = F (X, X, t) + < F (X, X, у, \|/, t) > +
+ < ф (X + \j/, X + \|/, ty х) > , (2.55)
*)См. сноску *)нас. 46.
62
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
mv|> = F(X,X,\j/,y,f) - < F(X,X,у, \y,f)> +
+ Ф (X + \}/, X + у, t, x) - < Ф (X + \jf, X + у, t, х) >, (2.56)
где
F(X, X, v, v, t) = F(X + v, X + v, 0 - F(X, X, f). (2.57)
Если уравнение (2.56) допускает почти-периодические (в частности,
2л-периодические) по -т = со t решения \|/ = \|/*, асимптотически устойчи¬
вые по всем скрытым обобщенным координатам и скоростям при измене¬
нии всех прочих переменных в рассматриваемой области, то при достаточ¬
но большом t для каждого такого решения \\f = \\f* можно положить
V(X,X,0 = < F(X,X, у*, ¥*,')> + < Ф(Х + y*,X + y*.t х)> , (2.58)
и уравнение (2.55) записывается в виде, содержащем только явную со¬
ставляющую:
тХ = F(X, X, t) + V(X,X,t). <2-59)
Сила V представляет собой так называемую дополнительную силу, появ¬
ляющуюся в уравнении явных движений вследствие наличия скрытых
движений.
Приведенные уравнения и формулы справедливы вне зависимости от
темпов изменения составляющих X и \|/: они представляют собой об¬
щие соотношения механики систем со скрытыми движениями.
Основное предположение вибрационной механики состоит в допу¬
щении о наличии у исходного уравнения (2.52) решений вида (2.53) или
соответствующих решений у системы (2.55), (2.56), в которых
УоТ
е,
(2.60)
где Хо и
ХоТ
\|/о - масштабы составляющих X и \|/, определенные так, что
X* = Х/Хо 1, V* = \|//\|/о 1; (2.61)
Т - промежуток времени, на котором переменная \|/ претерпевает измене¬
ния порядка \|/0, е - малый параметр. Это предположение выполняется,
если частота со достаточно велика, причем можно принять *)
со = 1/e >> 1, (2.62)
и если к тому же выполняются следующие соотношения относительно
порядков производных:
rl_ <hj/4
\|fo Э t
> О
_L л
\|f0 э т
о
Хо dt
О
_L
\|/0 Эт
(2.63)
При выполнении указанных условий составляющая \|/ называется мед¬
ленной, а составляющая X - быстрой; уравнение (2.55) - уравнением мед-
*) См. сноску на с. 45.
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
63
ленных, а уравнение (2.56) - уравнением быстрых движений. Уравнение
(2.59), содержащее только медленную составляющую X , называется ос¬
новным уравнением вибрационной механики, а выражение (2.58) для до¬
полнительной силы - вибрационной силой. При этом
V = v(s) + V(0, V(5) = <Ф>, V(0 = < F>, (2.64)
где слагаемое называется собственно вибрационной силой, а слагае¬
мое -индуцированной вибрационной силой.
Если
Vo/До <265)
где п - целое число или нуль, то
X / \j/ — e1_n, X / \|) - е*Л (2.66)
При этом если принять порядок правой части уравнения (2.55) за единицу,
то для существования решений, удовлетворяющих условиям (2.65), (2.66),
необходимо, чтобы система (2.55), (2.56) могла быть представима в форме
тХ = Q, ту = Р/ е2Л (2.67)
где
Q = F + <Р> + <Ф> = F + V,
Р/е^" = F - <F> + Ф - <Ф> = F + Ф - V, (2.68)
причем | Р | и | Q | - величины одинакового порядка. В относительных
переменных X* = X / Хо, \|/* = \|/ / \|/о уравнения (2.55), (2.56) должны
допускать представление в виде
m X * = Q*, т \|/* = Р* / е2, (2.69)
где | Р* | = | Р | гп / \|/0 и |Q* \ = \ Q \ /Хо - также одинакового по¬
рядка. При этом для получения выражения вибрационной силы V и ос¬
новного уравнения вибрационной механики (2.59) в первом асимптотиче¬
ском приближении следует найти почти-периодическое (в частности, 2к -
периодическое) по т = со t решение \|/ = \|/* (X, X, t, т) уравнения быстрых
движений (2.56) при "замороженных" (постоянных) X, X и f, асимптотиче¬
ски устойчивое по всем быстрым обобщенным координатам и скоростям
во всей рассматриваемой области значений прочих переменных. Этим ре¬
шением и следует воспользоваться при нахождении выражения для V по
формуле (2.58). Указанный приближенный прием является обоснованным,
по крайней мере, когда быструю составляющую \|/ можно считать малой
порядка г по сравнению с медленной составляющей X, то есть когда в
соотношениях (2.65) - (2.67) - число п = 1. При этом в частном случае,
когда выражение для быстрой силы Ф представимо в форме
Ф = - Ф2 (х, t, т), г = 1 / со < < 1, (2.70)
г
где функция Ф1 имеет нулевое среднее по т при фиксированных х и t,
64
ПОЛОЖЕНИЯ и АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. 2
выражение для вибрационной силы имеет вид (см. замечание в кон¬
це с. 57)
где щ (X, t, т) - найденное при замороженных X и t почти-периодиче-
ское решение уравнения быстрых движений, которое в данном случае за¬
писывается в форме
При учете того, что функция \|/ входит в выражение (2.58) под знаком
усреднения, наряду с указанным возможно использование также и других
приближенных способов нахождения функции \|/ , приводящих к получе¬
нию выражения для вибрационной силы V с приемлемой точностью.
Изложенный подход легко распространяется на случай, когда исход¬
ное уравнение записано в форме уравнения Лагранжа 2-го рода (см. заме¬
чание 2 в п. 2.2.8 настоящего параграфа).
В случае, когда часть обобщенных координат являются быстрыми
(пусть для конкретности это координаты jc*+i = ,..., хп = Ул), число
подлежащих рассмотрению основных уравнений вибрационной механики
(2.59), записанных в скалярной форме, равно к. Иначе говоря, порядок си¬
стемы (2.59) на 2(п - к) единиц меньше порядка исходной системы (2.52).
22.11. О процедуре практического использования метода. Ис¬
пользование любого, даже безупречно строгого математического метода
или результата при решении прикладной задачи почти неизбежно вклю¬
чает ряд этапов, которые не относятся к математически строгим, а могут
быть отнесены к выполняемым на так называемом рациональном уровне
строгости *). Это, конечно, относится и к методу прямого разделения
движений, процедура использования которого, по крайней мере в изло¬
женном выше виде, включает ряд рациональных, в том числе эвристиче¬
ских элементов. Опишем схематично указанную процедуру. Подчеркнем,
что она допускает видоизменения и усовершенствования, однако в даль¬
нейшем будем стараться придерживаться ее при решении конкретных за¬
дач.
1. На основе данных эксперимента и (или) эвристических соображе¬
ний составляется предварительное заключение о том, представляет ли
движение рассматриваемой системы наложение быстрых колебаний на
*) Подробному обсуждению данного обстоятельства, а также других особенностей
прикладного математического исследования посвящена книга [100].
V(X,X,t) = <F X + Э^‘ t,%) ,X,t - F(X,X,t)> +
• tf(X,f, x)>, (2.71)
(2.72)
§2.2]
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
65
медленное движение. Иными словами, делается прогноз о выполнении
основного предположения вибрационной механики.
2. На основе исходных уравнений движения (2.52) составляется систе¬
ма уравнений (2.55), (2.56).
3. Делается предположение об относительном порядке величин быст¬
рой и медленной составляющих X и у , то есть предположение о показа¬
теле степени п в соотношении \|/ - еп Х> и производится оценка значе¬
ний параметров и групп слагаемых в этих уравнениях, выделяются боль¬
шие и малые параметры и группы слагаемых. С учетом этого предполо¬
жения и оценок производятся надлежащие упрощения в уравнениях.
4. Разыскиваются, как правило, приближенно, почти-периодические (в
частности, 2тг-периодические) по т = со t решения \|/ = \|/* (X, X, t, со t)
уравнения быстрых движений при замороженных (фиксированных) X, X
и t Из их числа выделяются решения, асимптотически устойчивые по
всем быстрым обобщенным координатам и скоростям во всей рассматри¬
ваемой области значений переменных. Эти решения используются при на¬
хождении приближенных выражений для вибрационной силы по формуле
(2.58), после чего составляются соответствующие основные уравнения
вибрационной механики (2.59).
Такой приближенный способ является обоснованным, по крайней ме¬
ре в случае, когда \j/ — гХ, то есть при л = 1. При этом, если выраже¬
ние для быстрой силы Ф представимо в виде (2.70), то нахождение функ¬
ции \|/ и вибрационной силы существенно упрощается.
5. Изучаются представляющие интерес решения уравнений (2.59).
6. В сомнительных случаях производится апостериорная проверка сде¬
ланных предположений (с учетом замечания 4 п. 2.2.9).
22.12. Краткая историко-библиографическая справка. Идея разде¬
ления движений на быстрые и медленные играет важную роль в совре¬
менной теории нелинейных колебаний. Наиболее законченное воплоще¬
ние и строгое обоснование эта плодотворная идея получила в методе ус¬
реднения, развитие которого связано с именами Н.М.Крылова, Н.Н.Бого¬
любова, Ю.А.Митропольского, Н.Д.Зубарева, В.М.Волосова, В.И.Арнольда
и их многочисленных учеников и последователей [14, 103 - 107, 129, 288 -
291]. Из других важных работ отметим публикации [136, 143, 184, 202, 203,
222, 223, 294, 326,333, 348, 361, 379, 399].
Метод прямого разделения движений в том смысле, как он трактуется
в настоящем параграфе, развит и обоснован в работах автора [75, 76, 81]
(см. также [84, 95; 125, т.2]); здесь изложение метода существенно уточне¬
но и дополнено. Первоисточником развитого подхода явились работы
П.Л.Капицы [202, 203], в которых с помощью эвристического приема рас¬
смотрена задача о поведении маятника с вибрирующей осью подвеса и
введено понятие о вибрационном моменте. В дальнейшем этот прием был
использован рядом авторов для решения различных прикладных задач
[137 - 139, 178, 193, 215, 341]; об этих исследованиях еще пойдет речь в
соответствующих разделах книги. В итоговых уравнениях ряда этих работ
3 И .И .Блехман
66
ПОЛОЖЕНИЯ И АППАРАТ ВИБРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ 2
фигурируют выражения, соответствующие вибрационным силам и момен¬
там, то есть эти уравнения, по существу, являются уравнениями вибраци¬
онной механики, хотя указанные выражения и уравнения получены иными
методами (см. § 2.3).
Следует отметить также, что отдельные элементы рассматриваемого
подхода к решению задач нелинейной механики и теории нелинейных ко¬
лебаний можно проследить и в работах, предшествующих появлению ра¬
бот П.Л.Капицы о маятнике, - в исследованиях по статистической физике,
теории турбулентности, нелинейной акустике (теории акустических тече¬
ний и радиационного давления), радиоэлектронике (теории детектирова¬
ния сигналов), а также в более поздних работах по колебаниям в нелиней¬
ных системах, в особенности в системах управления [333].
§ 2.3. О других способах получения выражений для вибрационных
сил и основных уравнений вибрационной механики
Метод прямого разделения движений, изложенный в § 2.2, представ¬
ляет собой лишь один из возможных способов получения выражений для
вибрационных сил и уравнений вибрационной механики. Соотношения,
содержащие в виде слагаемых вибрационные силы или моменты, в ряде
случаев получаются в результате решения задач иными методами - мето¬
дом малого параметра Пуанкаре, асимптотическими методами, методом
гармонического баланса. Естественно, что такие соотношения, в сущно¬
сти, представляют собой уравнения вибрационной механики. Укажем так¬
же на метод последовательных приближений, предложенный М.З.Колов-
ским для решения задач динамики машинных агрегатов, но допускающий
распространение на другие классы задач (см. § 5.4).
Отметим еще два в известном смысле полярно противоположных спо¬
соба, по отношению к которым метод прямого разделения движений за¬
нимает промежуточное положение. Первый способ относится к редким,
но все же встречающимся случаям, когда известно точное или прибли¬
женное решение исходного уравнения (2.52). Тогда нахождение вибраци¬
онной силы V сводится к выделению слагаемых X и \|/ в этом решении
при учете равенства (2.54) и к усреднению согласно формуле (2.58). По¬
добное вычисление небесполезно, в частности, в связи с тем, что полу¬
ченное выражение для V может быть использовано в качестве элемента
при приближенном решении более сложных задач. В сказанном мы убе¬
димся пи изучении теории вибрационного перемещения и виброреологии
(см. § 8.4 и § 14.1).
Выражения для вибрационных сил можно получать и с помощью ЭВМ
- путем численного решения соответствующих уравнений и подбора на
основе серии выполненных вычислений подходящей аппроксимирующей
формулы.
Второй способ относится к противоположному случаю, когда задача
столь сложна, что ни исходное уравнение (2.52), ни уравнение (2.56) для
быстрой составляющей \|/ удовлетворительным образом решить (а иногда
§2.3]
О ДРУГИХ СПОСОБАХ
67
даже и составить) не представляется возможным или целесообразным.
Тогда следует прибегнуть к гипотезам о виде функции V (X, X, t), осно¬
ванным преимущественно на экспериментальных данных и на соображе¬
ниях, вытекающих из теории размерностей и подобия. Примерами такого
подхода являются полу эмпирические теории турбулентности [264],
первые работы по теории вибропогружения свай, в которых грунт, находя¬
щийся под действием вибрации, рассматривается как жидкость с коэффи¬
циентом вязкости, зависящим от параметров вибрации [35], а также ряд
исследований по виброползучести и по изучению действия вибрации на
тела типа бетонных смесей [7, 360]. Несмотря на чувство неудовлетворе¬
ния, возникающее при таком подходе у теоретика, соответствующим ис¬
следованиям нельзя отказать в практической полезности, и их следует
рассматривать как приемлемые по крайней мере до тех пор, пока пробле¬
ма не будем разработана более обстоятельно. Заметим также, что изло¬
женные выше общие положения механики систем с игнорируемыми дви¬
жениями и вибрационной механики, по существу, являются обоснованием
принципиальной возможности представления "главных" результатов дей¬
ствия вибрации на систему как обусловленных действием вибрационных
сил. Поэтому и рассматриваемые феноменологический и полуэмпириче-
ский подходы к нахождению этих сил могут считаться состоятельными
также и с принципиальной точки зрения.
Подчеркнем к тому же, что "макроскопическое" уравнение (2.59), опи¬
сывающее лишь наиболее практически интересную медленную составля¬
ющую движения, требует для своего составления гораздо меньшего объе¬
ма информации, чем исходное "микроуравнение" (2.52) или соответствую¬
щая ему система (2.55), (2.56).
Наконец, в ряде случаев вибрационная сила может быть найдена пу¬
тем прямого или косвенного эксперимента (см., например, § 9.1).
Глава 3. Потенциальные в среднем динамические
системы и экстремальные признаки устойчивости
некоторых движений
§ 3.1. О потенциальности в среднем
и экстремальных признаках устойчивости
"Потенциальность в среднем" является замечательным свойством не¬
которых нелинейных систем, подверженных действию внешней или авто¬
номно возникающей вибрации. Она состоит в том, что, несмотря на воз¬
можную существенную неконсервативность исходной системы (2.52) или
(2.46), уравнения медленных движений этой системы имеют вид уравне¬
ний движения консервативной системы, то есть основные уравнения виб¬
рационной механики (2.59) или (2.50) допускают запись в форме
d д Тх Э Тх _ Э D _ 1 , /11\
dt dXs BXs ~ dXs ( ' ’ } ( *
Здесь, как и в (2.50), через Тх обозначена потенциальная энергия систе¬
мы, соответствующая медленным движениям, а через D = D (Xi -
функция, которую назовем потенциальной функцией; как обычно,# Тх
предполагается положительно определенной квадратичной формой X с
коэффициентами, которые могут зависеть от X.
Допустим сначала, что вибрационные силы Vs, а также медленные си¬
лы Fs зависят только*от медленных координат Х\ При этом для
существования потенциальной функции достаточно, чтобы потенциаль¬
ными были как исходные ("обычные") медленные силы FSi так и вибраци¬
онные силы Vs, то есть чтобы существовали функции и DVi удовлетво¬
ряющие соотношениям
Л = ~§Ж’ У, = ~Ж D = nP+Dv. (1.2)
Системы рассматриваемого типа, допускающие запись в форме (1.1),
то есть обладающие потенциальной функцией D, и назовем потенциаль¬
ными в среднем динамическими системами. Такое название оправдыва¬
ется тем, что функция Д как и выражение для вибрационных сил Vs, по¬
лучается в результате операции усреднения. Функция TlF при этом явля¬
ется потенциальной энергией исходных медленных сил; функцию Dv на¬
зовем потенциальной энергией вибрационных сил.
Таким образом, потенциальная функция D складывается из потенци¬
альной энергии исходных медленных сил и потенциальной энергии
вибрационных сил Dv.
§ 3.1]
О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ В СРЕДНЕМ
69
При существовании потенциальной функции для рассматриваемой ис¬
ходной (вообще говоря, неконсервативной!) системы будет справедлив
аналог классической теоремы Лагранжа - Дирихле об устойчивости поло¬
жений равновесия [87]: точкам минимума этой функции могут соответст¬
вовать (а при некоторых дополнительных условиях действительно соот¬
ветствуют) устойчивые движения исходной системы. Существенно также,
что как переменные^,..,,А* так и потенциальная функция отчетливо ин¬
терпретируются в терминах характеристик системы и изучаемых движе¬
ний: во всех рассматриваемых ниже случаях функция D или ее ’’основная
часть" представляют собой определенным образом усредненный лагран¬
жиан, гамильтониан, силовую функцию системы или ее частей. Эти об¬
стоятельства предоставляют большие преимущества при исследовании,
что в последующих главах будет неоднократно проиллюстрировано.
Для существования функции D с описанными свойствами вовсе не не¬
обходимо, чтобы система была потенциальной в среднем. Так, лз теорем
Томсона - Тэта - Четаева следует (см., например, [284]), что роль функ¬
ции D сохраняется, если уравнения медленных движений, наряду с потен¬
циальными, содержат также и диссипативные силы, то есть допускают за¬
пись в форме
d_ (Их _ Э Тх _ _ ЭФ _ дР .
dt dZ ЭХ* ~ dXs' ' ‘ ;
где Ф - диссипативная функция Рэлея, являющаяся положительной фун¬
кцией X. Более того, существование функции D с указанными свойствами
может быть и вовсе не обусловлено наличием уравнений типа (1.1) или
(1.3). В связи с этим заметим, что описанный выше путь получения функ¬
ции D - посредством использования метода прямого разделения движе¬
ний - не является единственно возможным: как будет показано ниже, к
функции с подобными свойствами можно прийти при решении задач ме¬
тодом Пуанкаре - Ляпунова и различными асимптотическими методами, а
также вариационными методами. При этом оказывается, что для некото¬
рых систем и классов их движений устойчивые движения могут отвечать
как точкам минимума, так и точкам максимума соответствующей функ¬
ции; иным может оказаться и смысл переменных Х\,..X*.
Поэтому, обобщая изложенную выше ситуацию, назовем признаки ус¬
тойчивости движения системы, основанные на существовании достаточно
гладкой функции D некоторых параметров движения системы и на анали¬
зе характера экстремумов этой функции по упомянутым параметрам,
экстремальными признаками устойчивости соответствующих движе¬
ний *). Функцию D будем называть потенциальной функцией также и в
этом общем случае.
Опишем схематически путь получения потенциальной функции при
использовании метода Пуанкаре; именно этим путем были впервые найде¬
ны некоторые экстремальные признаки устойчивости. Как известно (см.,
например, [72, 276]), при использовании метода Пуанкаре в случае, когда
порождающая система допускает семейство периодических или почти-
*) Термин экстремальные признаки устойчивости предложен В. В. Б ел едким [43 - 45].
70
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ
[ГЛ. 3
периодических решений, зависящее от параметров аь ..., а* , соответст¬
вующие решения исходной системы могут отвечать значениям этих пара¬
метров, удовлетворяющим некоторой системе уравнений
где функции Ps выражаются через правые части исходных уравнений и
порождающее решение. Далее при определенных предположениях о ха¬
рактере решений уравнений в вариациях, соответствующих порождающей
системе и порождающему решению, доказывается [54, 55, 72, 84, 276], что
определенному решению уравнений (1.4) действительно отвечает асимп¬
тотически устойчивое решение исходной системы, если все корни к ал¬
гебраического уравнения к-й степени ( bsj- символ Кронекера)
имеют отрицательные вещественные части. При наличии хотя бы одного
корня с положительной вещественной частью соответствующее решение
неустойчиво, а случай нулевых или чисто мнимых корней требует допол¬
нительного исследования.
Предположим теперь, что существует такая функция D (ai,..., а* ),
непрерывная вместе со своими производными до второго порядка включи¬
тельно, что выполняются соотношения
Тогда из уравнения (1.5) при учете сказанного сразу следует, что D как
раз и является потенциальной функцией. Отметим, что параметры а$ в
данном случае не выступают в качестве медленных переменных.
Обратим внимание также на случай, когда уравнения для медленных
переменных аи ..., а{\ bh ... ,Ь{ (I < п) записываются в канонической
форме
Здесь роль потенциальной функции D играет функция Гамильтона
Н = Н(аи ..., а/; Ьи ..., bt), причем устойчивые движения могут отве¬
чать как точкам строгого минимума, так и точкам строгого максимума
функции D.
По-видимому, первый результат, касающийся экстремальных при¬
знаков устойчивости, вытекает из классического сочинения Пуанкаре [340,
п. 42 и 79], изучавшего, однако, консервативные системы \ Пуанкаре рас¬
смотрел уравнения вида
(1.4)
1^- - §у-к =0 (i,j = 1 к)
о 0у
(1.5)
= - Pi а*) (i = 1,..., к).
О оц
(1.6)
(1.8)
*) Автор благодарен В.В.Козлову, обратившему его внимание на этот фрагмент труда
Пуанкаре.
§3.1]
О ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ В СРЕДНЕМ
71
где
H = Ho(xi ) + |1#1 ,х„ ; ) +112#2 ,хл; :Уь--*,;Ул)-
периодическая функция периода 2к переменных у\,..^уп\ |1 > 0 - малый
параметр. При |1 = 0 уравнения (1.8) имеют решение
xi = at, yi = со, t + а,-, (1.9)
где щ и а< - йостоянные интегрирования, со* - функции ai.., ап. Допу¬
стим, что при некоторых значениях сц частоты со* кратны со = 2п/Т
(такие решения (1.9) называются ниже синхронными с частотой со -
см. § 3.2), и пусть coi = - Э Но /д х\ ф 0. Предположим также, что при
соответствующих значениях at гессиан | Э2 Но/ Э х21 отличен от нуля.
Поскольку рассматриваемая система автономна, то можно положить
oti = 0 [276, 340]. Тогда, как показал Пуанкаре, если при некоторых значе¬
ниях а2 - ссг ,..., ап = с£ производные Э Н\/Ъ сц = 0 (/ = 2,..., п ), а
| Э2 Н\/ д а2 | = 0, где
Н1 (ai,..., ап ; аь ..., а* ) = < [Hi ] > ,
то при достаточно малых |i Ф 0 исходная система (1.8) будет иметь ре¬
шение периода Т, обращающееся при |i = 0 в порождающее решение
(1.9) с параметрами ai = 0, а$ = а2,--;Оп = Q-п . Исследуя устойчивость
рассмотренного периодического решения, Пуанкаре показал, что характе¬
ристические показатели этого решения представимы в виде разложений
цо степеням VjT : X - VjT + Х2 |i + ..при этом два характеристических
показателя всегда равны нулю.
Рассмотрев частный случай п = 2, Пуанкаре получил для ненулевых
показателей следующее равенство для определения Х\:
coUi =-
Э2Hi 2 Э2Яо „ Э До г ЪНо Л
(01 —— 2 C0i С02 3 з + т
dal • Эх! dxidx2 Эх]
а2 = а2 V У
(1.10)
Из рассуждений Пуанкаре, основанных на рассмотрении выражения (1.10),
следует, что устойчивым в первом приближении движениям будут соот¬
ветствовать либо точки минимума, либо точки максимума функции Н
Изложенный фрагмент классического сочинения Пуанкаре отделен от
предложенных впоследствии экстремальных признаков устойчивости до¬
вольно большим промежутком времени. Лишь с конца 50-х годов начали
появляться работы, в которых экстремальные признаки устойчивости
формулируются применительно к движению более сложных, по преиму¬
ществу - неконсервативных систем. Отметим, что для многих таких сис-
♦) Здесь и ниже скобки [ ] указывают, что заключенное в них выражение вычисляется на
г
порождающем решении; напомним также, что <...> “ — J... d t в случае периодических и
о
1 Г
<...>«lim — J... d t в случае почти-периодических функций.
г->~ Т
72
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИ311АКИ [ГЛ. 3
тем экстремальные признаки оказываются "более сильными" - они выра¬
жают как необходимые, так и достаточные условия устойчивости по Ля¬
пунову. то есть, по существу, представляют собой критерии устойчиво¬
сти Для гамильтоновых же систем соответствующие признаки выража¬
ют, вообще говоря, только достаточные условия устойчивости в первом
приближении по малому параметру, входящему в уравнения в вариаци¬
ях; движение в этих случаях может быть устойчивым по Ляпунову лишь
при выполнении некоторых дополнительных условий. Такая ситуация
имеет место, в частности, в изложенном фрагменте Пуанкаре. Вместе с
тем экстремальные признаки не утрачивают значения и в этих по¬
следних случаях, поскольку они определяют отбор постоянных cciа*
(или Х\,..., Xt), которым могут соответствовать устойчивые движения.
Напомним, что утверждая об устойчивости движения по первому
приближению (в смысле Ляпунова), имеют в виду ситуацию, когда на ос¬
нове анализа уравнений в вариациях (в предположении, что оно точно
описывает возмущенное движение) устанавливается асимптотическая ус¬
тойчивость этого движения. Как показал Ляпунов, в этом случае учет не¬
линейных членов в уравнениях возмущенного движения не может изме¬
нить суждения от устойчивости.
Говоря об устойчивости в первом приближении, имеют в виду, что
на основе указанного выше анализа устанавливается лишь неасимптотиче¬
ская устойчивость. Учет нелинейных членов в этом случае может сущест¬
венно повлиять на суждение об устойчивости по Ляпунову - движение
может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым.
Говоря об устойчивости в первом приближении по малому пара¬
метру jo, имеют в виду ситуацию, когда учет первых зависящих от }х чле¬
нов разложения характеристических показателей уравнений в вариациях
позволяет установить лишь неасимптотическую устойчивость движения в
предположении, что эти приближения к характеристическим показателям
дают точные значения этих показателей. Учет следующих приближении к
характеристическим показателям при этом может привести как к выводу
об устойчивости, так и неустойчивости по первому приближению. Под¬
робнее и более строго об этом см., например, [271, 284].
Как можно было частично усмотреть из предыдущего, условия суще¬
ствования потенциальной функции являются достаточно жесткими: уста¬
новить ее наличие удается далеко не всегда. Вместе с тем в § 3.2 - 3.4
рассматриваются три относительно широких и важных в прикладном пла¬
не класса систем, для которых к настоящему времени удалось найти фун¬
кцию D\ при этом основные результаты сформулированы в виде матема¬
тических утверждений, что, как правило, не делалось их авторами. Приве¬
денное изложение результатов, полученных методом Пуанкаре - Ляпуно¬
ва и асимптотическими методами, носит обзорный характер. Эта обзорная
часть в основном следует докладу [94] и работе [101].
§3 2}
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
17
§ 3.2. Системы с синхронизирующимися объектами.
Интегральные признаки устойчивости (экстремальные свойства!
синхронных движений
3*2.1. Системы с почти равномерными вращениями; синхрониза¬
ция вибровозбудителей; теоремы 7 и 8. Интегральный признак ус¬
тойчивости был сформулирован Б.П.Лавровым и автором для систем с са-
мосинхронизирующимися механическими вибровозбудителями [59, гл. 6]
и доказан автором методом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова [60]
(1960 г.); в книге [72] этот признак обобщен на системы с почти равно¬
мерными вращениями. Сформулируем соответствующий результат, не ос¬
танавливаясь на его доказательстве, после чего получим практически тот
же результат методом прямого разделения движений.
Пусть уравнения движения системы с обобщенными координатами
(ps (s = 1,..., к) и иг (г - 1,..., v), характеризующейся функцией Лаг¬
ранжа L и неконсервативными обобщенными силами Qи Qun могут
быть представлены в форме
Is'(i>s + ks((ps-<Jsns(D) = [1Ф5 (5 = 1,...,*), (2.1)
8ur (L) = QUr (г = (2.2)
где
-эйлеров оператор, соответствующий обобщенной координате q\ Is, ks и
со - положительные постоянные, os - ± 1, |1 > 0 - малый параметр, а
функции Ф определяются из условия тождественности уравнений (2.1)
соответствующей группе уравнений Лагранжа 2-го рода:
|1 Ф$ = Is 'фз + ks ( — 05 ris ) — Q фг (L) + (2фу. (2.4)
Числа cs введены для удобства записи соотношений, относящихся к зада¬
чам с синхронизацией вращающихся тел (см., например, § 5.1). Функции
L* бфу, Qur и Ф<? могут зависеть как от обобщенных координат и ско¬
ростей системы, так и от времени t\ эти функции являются 2к -периоди¬
ческими по фа и 2 л/апериодическими по t\ функции 0$,, QUr и Ф*
могут зависеть также от малого параметра *) fi. Координаты (р5 назовем
вращательными, а иТ - колебательными.
Описанные системы относятся к классу систем с почти равномер¬
ными вращениями. Соответствующие уравнениям (2.1) порождающие
уравнения (ji =0) допускают семейство решений
Ф? = Os(ns(Ot + OLs ), (2-5)
зависящее от к произвольных параметров ai;..., а*. Пусть порождающие
уравнения, соответствующие уравнениям (2.2) и решению (2.5), допускают
*) Относительно характера и гладхостй функций, входящих в рассматриваемые в настоя- .
74
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ 3
при любых од асимптотически устойчивое 2к / со - периодические реше¬
ние и °г. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Решения системы (2.1), (2.2) вида
С?s = Cs[(ns(Ot + ОД ) + \\fs ( t,\i ) ],
= и°(0 + vr(f, |I), (2.6)
где и \r - 2л / со -периодические функции t, обращающиеся в нуль
при |i = 0 (такие решения и соответствующие им движения называ¬
ются синхронными), то есть решения исходной системы, обращаю¬
щиеся при |i = 0 в порождающее решение с(£, w ?, могут отвечать
значениям постоянных ai,..., од, удовлетворяющим уравнениям *)
Ps(au...,a*) ^ < [цФЛ> = [-£%(/<) + 1 > = О
PCs Ks
(s= (2.7)
Каждому решению этих уравнений, для которого все корни к ал-
гебраического уравнения к-й степени
dPs
Э су ' ^ К
= 0 (sj = (2.8)
имеют отрицательные вещественные части, действительно отве¬
чает асимптотически устойчивое синхронное решение (2.6); л/ш на¬
личии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью
соответствующее решение неустойчиво; случаи, когда имеются ну¬
левые или чисто мнимые корни, требуют дополнительного исследо¬
вания.
Как следует из (2.7), для получения выражений Ps (ОД, ..., од ), играю¬
щих основную роль в приведенной теореме, достаточно усреднить правые
части уравнений (2.1) на порождающем решении (р?, и°г. Эти выражения
можно преобразовать к более удобной форме, после чего нетрудно будет
щей главе дифференциальные уравнения, для справедливости всех излагаемых результатов
достаточно предположить, что эти уравнения могут быть представлены в виде
xs = Xs0c\, ...,xn,t) + Ц) (5 = 1,
где правые части определены при всех вещественных значениях f, при значениях ц , лежащих
на некотором отрезке [0, цо ], и при значениях х\,...рп, лежащих в некоторой замкнутой обла¬
сти G пространства этих переменных. В указанной области правые части уравнений непрерыв¬
ны относительно f, причем функции fs допускают непрерывные частные производные 1-го
порядка по переменным х\,..., хп , Ц, а Xs от ц не зависят и допускают непрерывные производ¬
ные 2-го порядка по х\ ,...,хп . В некоторых случаях эти требования могут быть ослаблены.
Относительно t правые части могут быть либо периодическими с некоторым периодом Г, либо
почти-периодическими, либо не зависящими явно от этой переменной. В случае почти-перио¬
дических уравнений предполагается, что при любом фиксированном ц из отрезка [0, Цо ] и
любых почти-периодических х\,...рп, принадлежащих области G, функции Xs (xi,...^cn, t) и
fs(<x\,...jxn, t, ц) также почти-периодичны по t.
Все переменные и параметры считаются безразмерными.
*) См. сноску на с. 71.
§3 2]
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
75
получить формулу для потенциальной функции D и сформулировать те¬
орему в форме экстремального критерия устойчивости.
Введем функцию
Л = Л(а,,...,а*) = < [L]>, <2-9>
представляющую собой функцию Лагранжа системы, вычисленную для
порождающего решения и усредненную за период 2л/со . Вычисляя про¬
изводную этой функции по а/ , в результате несложных преобразований,
включающих интегрирование по частям при учете равенств (2.2), (2.5) и
периодичности соответствующих функций, получаем
ЭЛ Э < [L] > *
Э а/
Э аi
К
S= 1
~ъь~
Эф?
'ЭХ '
Э
Эоу
Эф*
э<£
Э а/
;>+
2Х
г= 1
' ьь'
Эи?
'ЭХ,'
дй г
Эа,+
диг
f$-Z<
5=1
-Х< 1С«,]^7>.(2.10)
Г=1 ^ Г=1
Э а/
Использование соотношения (2.10) позволяет представить уравнения (2.7)
в следующей форме:
у 0
'*<“■ °*> ■ i {It+ х<[«ь !^]>}= <2и>
1 Г= 1 j
Пусть, далее, существует функция В = В (аь..., ос*), называемая ло-
тенциалом усредненных неконсервативных обобщенных сил, такая, что
э£ “ <*<[g*]> + £<[<&*
Г=1
Тогда, обозначив
= D (ai a*)
(Л + В),
(2.12)
(2.13)
представим уравнения (2.7), (2.11) и (2.8) в следующей форме:
(s = 1,...,*),
р-<а' “*>■-£
1 д2 Р с .
As Э Os Э a/ J К
= О
(2.14)
(2.15)
Полученные соотношения позволяют сформулировать приведенную
выше теорему в следующей форме.
76
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГД. 3
Теорема 8. Интегральный критерий (экстре¬
мальный признак) устойчивости*). Каждой точке
грубого минимума **) функции D = D (cxi, , а*) = - (А + В) при до¬
статочно малых значениях ji соответствует единственное асимп¬
тотически устойчивое решение (2.6) исходной системы (2.1), (22), об¬
ращающееся при и = 0 в порождающее. Отсутствие минимума, обна¬
руживаемое путем анализа членов 2-го порядка в разложении функции
D по степеням а* вблизи стационарной точки, свидетельствует о
неустойчивости соответствующего синхронного решения; прочие
случаи требуют дополнительного исследования.
Иными словами, функция D для рассматриваемого класса систем и
движений играет роль потенциальной функции. При этом параметры
а* не выступают, по крайней мере явно, в роли медленных пе¬
ременных.
Сделаем некоторые дополнительные замечания к приведенным теоре¬
мам.
1. Если L, Qty, QUr и Ф$ - аналитические функции обобщенных ко¬
ординат и скоростей, а функции Q,ф, » Qur и Ф5 аналитически зависят
также и от малого параметра д, то решение (2.6) будет аналитическим по
д, то есть может быть представлено при достаточно малых \± в виде схо¬
дящихся рядов
с?s = а5[ (п5Сог + а5) + цср^1)(0 + Д2ф52) 1;
Ur — и г (t) + + у? u?^ (f) + ..., (2.16)
где ф sl\ Фi2\—; и г, и и г2\...- 27г/а>-периодические функции t
2. В случае автономной системы функция D зависит лишь от разно¬
стей ai - а*,..., а*1 - а*, и приведенное утверждение относится к ми¬
нимумам по этим разностям, причем речь идет об асимптотической ор¬
битальной устойчивости.
3. При дВ / д Os « ЭА/Эсь, в частности при В = const, можно по¬
ложить
D = -A, (2.17)
то есть потенциальной функцией является усредненный лагранжиан сис¬
темы, вычисленный для порождающего решения и взятый с противопо¬
ложным знаком.
4. Как явствует из приведенной теоремы, условия грубого минимума
функции D являются при указанных предположениях не только достаточ¬
ными, но и "грубо необходимыми" в том смысле, что отсутствие миниму¬
ма, обнаруживаемое путем анализа членов 2-го порядка в разложении
функции D вблизи стационарной точки, свидетельствует о неустойчиво¬
сти рассматриваемого синхронного решения.
;) Наличие б выражениях (2.14), (2Л5) положительных коэффициентов к* отсутствую¬
щих в равенствах (1.6), не препятствует утверждениям, содержащимся в данной теореме (см.,
например, [72, § 8 гл. V).
* *) Под грубим понимается строгий экстремум функция, обнаруживаемый путем анали¬
за членов 2-го порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки.
§32]
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
77
5. Если факт асимптотической устойчивости порождающего решения
и г не удается установить на основе анализа уравнения в вариациях для
системы (2.2) при |1 = 0, то для получения достаточных условий устойчи¬
вости к условиям грубого минимума функции D необходимо присоеди¬
нить некоторые дополнительные соотношения, получаемые путем анализа
последующих приближений; та же ситуация имеет место в случае, когда
система (2.1) квазиконсервативна. Вместе с тем условия, вытекающие из
требования грубого минимума Д и в этом случае являются основными,
поскольку именно они определяют отбор постоянных ai,..., ogt, которым
могут отвечать устойчивые решения.
6. Пусть функция Лагранжа системы может быть представлена в
форме
L = L' + L{1) + Lm, (2.18)
где
к v к
L* X -Мф* Ф*) + X fr (фь- • •» Ф*; ф1>- • Ф*) йг + X л (Ф*) -
5=1 Г= 1 5=1
L{!) = 2 X X ап “г щ - - XX bn Ur ui >
r=l j=\ r=l j= 1
7® = Ч* (ф],..., ф*; ф1,...,ф*). (2.19)
Здесь drj и brj - постоянные, a LSi fr, Fr и - функции перечисленных
переменных, причем Ls, fr и Fr периодичны по (р& с периодом 2л; пусть к
тому же [Qur] = 0, то есть неконсервативные обобщенные силы по коор¬
динатам иг в порождающем приближении отсутствуют; соответствующие
системы, таким образом, являются квазилинейными и квазиконсерватив-
ными по колебательным координатам. Тогда справедливы соотношения
•§*.„, |д=э<л^_лД
Э Os д Os das)
где
As = <[Ls]>, А(Т> = < [L(I) ]>, Л,Я) = < IL{U] ]>, Л = < [L ] >, (2.21)
и потенциальная функция может быть представлена в виде
D = А(1) - А(П} - В. (2.22)
В работе Р.Ф.Нагаева [2981.0 которой подробнее будет сказано в
п. 3.2.2, выражения LSi Is ' и Lr * названы соответственно собственными
лагранжианами синхронизирующихся объектов, лагранжианами сис¬
тем несущих и несомых связей между объектами. Примечательно, что
величины Л(/) и входят в выражения для D с противоположными
знаками.
В згдгче о синхронизации вибровозбудителей (см. гл. б) Ls - лагран¬
жианы не связанных между собою роторов, L * - лагранжиан упруго
78
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ 3
опертого твердого тела или системы упруто связанных твердых тел, на
которых размещены роторы, а слагаемое U ' обусловлено наличием не¬
посредственных соединений между роторами в виде упругих и демпфиру¬
ющих элементов.
Если L™ = О, В = const ИЛИ Э А ^/ д Os >> д В/ д Os , то можно по¬
ложить
D = Л(/) = < [L(/)]>, (2.23)
то есть потенциальная функция в этом случае представляет собой
усредненный за период лагранжиан упруго опертого твердого тела
или системы твердых тел, несущих роторы, причем функция b' ' вы¬
числяется в порождающем приближении , ы ?. Этот результат су¬
щественно облегчает исследование систем с самосинхронизирующимися
неуравновешенными роторами и имеет важные приложения (см. гл. 6 и 7).
7. В некоторых случаях, в том числе в важном случае «задачи о крат¬
ной синхронизации механических вибровозбудителей, связанных с линей¬
ной колебательной системой (см. п. 6.3.3), функция Д вычисляемая в ука¬
занном приближении, оказывается не зависящей от некоторых или всех а#
(или Os ~ а* ). Тогда минимумы так определяемой функции D по этим пе¬
ременным не могут быть строгими и из условия минимума указанные Os
(или Os - ojc ) не определяются. Упомянутое в теореме дополнительное
исследование необходимо, в частности, в указанных случаях.
Получение методом Пуанкаре - Ляпунова основного результата,
сформулированного в виде первой из приведенных теорем, достаточно
громоздко. Оно основывается на использовании специально доказанных
теорем о существовании и устойчивости периодических решений диффе¬
ренциальных уравнений с малым параметром в случае, когда порождаю¬
щая система допускает семейство периодических решений [54, 55, 276].
Значительно проще ко всем изложенным результатам, в частности, к
выражению (2.8) для потенциальной функции Д можно прийти, восполь¬
зовавшись методом прямого разделения движений [76, 84]; при этом од¬
новременно получаются также уравнения медленных движений (основные
уравнения вибрационной механики). Вместе с тем при использовании по¬
следнего метода приходится дополнительно предполагать малость пара¬
метра е = 1/ со и соответствующих членов в уравнениях движения.
Обращаясь к указанному методу, будем разыскивать решения системы
(1.1), (1.2) в виде
Ф5 = а5 [ ns со t + Os (t) + \\fs (t, со t) ], ur = ur (f, со t), (2.24)
рассматривая функции (t ) как 'медленные", a \\fs и ur - как "быстрые"
составляющие и считая, что \|fs и иг являются ^-периодическими функ¬
циями "быстрого времени" cot, удовлетворяющими условиям
< \|fs (f, со t)> = 0, < ur (f, со t)> = 0. (2.25)
Перейдем при учете (2.24) от системы (2.1), (2.2) к уравнениям соот¬
ветственно для медленных и быстрых движений (см. уравнения (2.55) и
§3.2]
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
79
(2.56) гл. 2):
Is Otfi — — ks &s + l-L Фя^ ,
/5 \\fs — ~ ks V|^5 + l-L Os (Фs ~ ^ Ф^^* ),
% ur (L) - Qr.
(2.26)
(2.27)
(2.28)
В силу одного из основных предположений метода прямого разделения
движений, правые части уравнений (2.27) должны иметь порядок
если Os и \\fs - величины одного порядка; если же \\fs имеет порядок
е по сравнению с о^, то порядки правых частей указанных уравнений дол¬
жны отличаться лишь на 1/ е и т.д. Поскольку в рассматриваемых за¬
дачах интерес представляют, как правило, устойчивые стационарные ре¬
жимы Os = const и их окрестности, то согласно замечанию 4 п. 2.2.8
можно считать, что эти условия выполняются.
В указанном предположении для получения уравнений медленного
движения в первом приближении достаточно найти приближенное асимп¬
тотически устойчивое периодически решение уравнений (2.27), (2.28) при
постоянных ("замороженных") a#, Os и t и воспользоваться им при вы¬
числении среднего в правых частях уравнений (2.26). Воспользовавшись к
тому же малостью параметра }х , ограничимся решением уравнений быст¬
рых движений (2.27) и (2.28) при |1 = 0, а уравнений медленных движений
(2.26) - с точностью до членов, содержащих |1 . Как будет ясно из даль¬
нейшего, указанных приближений окажется достаточно для получения
всех изложенных выше результатов, установленных методом Пуанкаре -
- Ляпунова. Дальнейшие приближения при решении уравнений (2.27) и
(2.28) потребуются лишь в некоторых особых случаях задач о синхрониза¬
ции, когда дополнительное исследование необходимо, как и при исполь¬
зовании метода Пуанкаре - Ляпунова (см. замечание 7 на с. 78).
В указанном приближении периодическим решением уравнений (2.27),
удовлетворяющим условию (2.25), будет \\fs = у? = 0; обозначим соот¬
ветствующее периодическое решение уравнений (2.28) через и °г. и на¬
помним, что последнее следует находить при "замороженных" и .
Подчеркнем, что решение и °г. отличается от рассматривавшегося выше
решения тех же уравнений и ? , которое считалось соответствующим
а$ = const и а^= 0.
Подставив функции \|/5 = у J = 0 и и г = и °г. в правую часть урав¬
нения (2.26) при учете равенств (2.4) и (2.24), получим следующее при¬
ближенное (в смысле метода прямого разделения движений и с точно¬
стью до членов, линейных относительно |1) уравнение медленных движе¬
ний:
9 9
1/ е = со , если порядок правых частей уравнений (2.26) равен единице и
Is Os + ks Os = (i Gs< [ Ф5 ] .> (s= 1,..., к),
(2.29)
где
Г= 1
80
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ. 3
причем функции с индексом ♦ вычисляются для решения \\fs = V? = 0,
и г- , а не для решение у 2 = 0, и ? , которому соответствуют обоз¬
начения без этого индекса.
В выражении (2.30) опущено слагаемое Is 6^ + ks о^. поскольку если
ограничиться указанным приближением по ji, то согласно уравнению
(2.29) это слагаемое в правой части уравнения можно считать равным ну¬
лю. Кроме того, при получении выражения (2.30) учтено, что соотноше¬
ние (2.10) остается справедливым и для решения \|/J, и Я, (то есть для
величин с индексом ♦), поскольку, как было оговорено, операция усред¬
нения (в отличие от операции дифференцирования!) производится толь¬
ко по быстрому времени х = со t.
Впрочем, основной результат данного исследования останется в силе,
если указанных упрощений выражения (2.30) и не использовать. Этот ре¬
зультат состоит в том, что из уравнения (2.29) легко следуют сформули¬
рованный выше в виде теоремы экстремальный признак устойчивости
синхронных движений и соответствующее выражение (2.13) для потенци¬
альной функции D. Действительно, стационарные решения уравнений
(2.29) оts= const должны удовлетворять уравнениям
где индекс ♦ при обозначениях функций опущен, поскольку здесь соот-
ветствующие функции вычисляются при б^= 0 и поэтому в точности сов¬
падают с введенными выше функциями без этого индекса.
Пусть oti = а?,..., а* = а? - какое-нибудь решение уравнений (2.31);
рассмотрим вопрос о его устойчивости. Полагая а$ = а °s + xS} составим
линеаризованные уравнения возмущенного движения для уравнений (2.26)
и указанного решения
где круглые скобки, в которые заключены производные от функций
< [Ф5] *> , указывают на то, что эти производные вычисляются при
af = а ?= const. При ц= 0 соответствующее уравнениям (2.32) харак¬
теристическое уравнение имеет к отрицательных корней
'Ks = ~ks/Is ($ = I,.-» к) и к нулевых корней Xl+S ~ 0, поэтому
решение вопроса об устойчивости будет зависеть от следующих прибли¬
жений к этим последним корням. Полагая в указанном характеристиче¬
ском уравнении X = X + ji к1 = [I к1, придем к следующему алгеб¬
раическому уравнению к - й степени для определения величин
(2.31)
h Xs + ksXs^ll <JS
(s=i,
(2.32)
§ 32]
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
81
к = IIK1 :
(2.33)
Здесь учтено, что согласно принятым выше обозначениям
Э< [Фд] »>
Э а/
Э< [Ф5]>
Э с^-
Бсли все корни уравнения (2.33; имеют отрицательные вещественные
части, то рассматриваемое движение устойчиво; при наличии хотя бы од¬
ного корня с положительной вещественной частью - неустойчиво, а слу¬
чаи нулевых или чисто мнимых корней требуют дополнительного иссле¬
дования. Но уравнения (2.31) и (2.33) совпадают соответственно с уравне¬
ниями (2.7) и (2.8), а значит, полностью совпадают и полученные обоими
методами результаты; справедливы и приведенные выше дополнительные
замечания.
Если существует потенциал усредненных неконсервативных сил, то
есть функция В = В (oti,..., а*), удовлетворяющая соотношениям (2.12), то
потенциальная функция Д как и ранее, определяется выражением (2.13).
Нетрудно заметить далее, что если существует функция В* (не обяза¬
тельно зависящая только от аь..., а*), такая, что
= оК ю*].> + 1< [&,!•
Э Os
г=1
Э а/
то уравнения медленных движений могут быть записаны в форме
Э D*
Is Os + ksOs = - ^ (s = 1 ,...,*),
Э Os
(2.34)
(2.35)
где
D* = -
(A* + В*). (2.36).
Отметим, что потенциальной функцией не является, поскольку
она, вообще говоря, зависит не только от oti,..., а*, но также и от
di,..., а*; необходимо помнить также, что правые части уравнений (2.35)
предполагались достаточно малыми.
Вместе с тем если заметить, что согласно (2.24) функции о* входят во
все выражения в правых частях уравнений лишь в комбинации ns о) + 6s,
то при выполнении соотношения бс^ « со можно принять
а?. - и°г, А* = Л, В, = В, [QcpJ. = t'2%], IQurh = [Qu,], (2-37)
и тогда уравнения медленных движений (2.29) и (2.35) запишутся соответ¬
ственно в виде
I Os
Is и*+ ks 6s - ^ ^ [Q(bp+ IQuJ dr > >
r=l
6D
Is Os + *s Qs — ~ ~\ >
O Os
(2.38)
(2.39)
где I? = D* ja1 = d2= ... = 0^ = 0 — D (oci, , a*) - потенциальная функция,
по-прежнему определяемая выражением (2.13).
82
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ. 3
В заключение отметим, что доказательство интегрального признака
устойчивости синхронных движений рассматриваемых систем на основе
использования вариационного соотношения дано А.И.Лурье [268].
Применительно к задачам о синхронизации механических вибровозбу¬
дителей в квазилинейных колебательных системах К.Ш.Ходжаевым и
Л.Шперлингом [401, 467, 468] были предложены удобные при практиче¬
ском использовании выражения для осредненного лагранжиана через гар¬
монические коэффициенты влияния (см. также [72, 84]). Геометриче¬
ская форма интегрального критерия устойчивости, также удобная при ре¬
шении указанных прикладных задач, предложена Б.П.Лавровым [251]. Ряд
результатов цитированных работ рассматривается в гл. 6.
3.2.2. Системы квазиконсервативных объектов, канонические си¬
стемы; теорема 9. В работе Р.Ф.Нагаева [298] (1965 г.) интегральный при¬
знак устойчивости методом Пуанкаре - Ляпунова получен для системы
слабо связанных квазиконсервативных объектов; при этом показано, что
выражение для потенциальной функции имеет вид (см. также [72, 84])
D = - (А + В) а, (2.40)
где
ст = sgn es (Ok), es Ш = ; (2.41)
a CDs
co5 - частота изолированного чисто консервативного 5-го объекта, hs (со5) -
его постоянная энергии. Примечательно, что знак в выражении (2.40) оп¬
ределяется знаком величин es (со). В зависимости от этого знака Р.Ф.На-
гаев различает: жестко анизохронные объекты (е5>0, а = 1; приме¬
ром могут служить вращающиеся роторы - см.гл. 6); мягко анизохронные
объекты ( е5<0, а = - 1; пример - точечные массы, обращающиеся
вокруг неподвижного центра под действием силы тяготения - см. гл. 19);
изохронные объекты ( es = 00 ; пример - линейные осцилляторы, для ко¬
торых со5 не зависит от hSi так что d со%/d hs = 0 ). Формула (2.40)
справедлива при условии, что характер анизохронизма всех объектов оди¬
наков.
Для систем с квазилинейными несущими связями при достаточно об¬
щих предположениях о характере несомых связей выражение (2.40) может
быть представлено в виде
D = (Л(/) - Л(//) - В) ст. (2.42)
Здесь и Л®, как и в (2.22), - усредненные лагранжианы соответст-
венно систем несущих и несомых связей, вычисленные в порождающем
приближении.
В задаче о синхронизации квазиконсервативных объектов условия ус¬
тойчивости, выражаемые интегральным признаком, являются лишь грубо
необходимыми (см. замечание 4 на с. 76). Достаточные условия получены
в работах Р.Ф.Нагаева и К.Ш.Ходжаева [298, 300, 301, 401].
Путем использования асимптотических методов и метода интеграль¬
ных многообразий результаты работы Р.Ф.Нагаева [298] обобщены
§3.2]
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
83
А.С.Гуртовником и Ю.И.Неймарком в статье [170] на случай так называе¬
мого неполного синхронизма (соответствующее понятие сформулировано
в той же статье).
Формулы (2.40) и (2.42) относятся к случаю существенно анизохрон-
ных объектов. Как показал Р.Ф.Нагаев в той же работе [298], соответству¬
ющий интегральный признак устойчивости может быть сформулирован и
в случае почти изохронных объектов, требующем специального рассмот¬
рения. Так же для случая почти изохронных объектов - квазилиней¬
ных осцилляторов - интегральный признак доказан К.Г.Валеевым и
Р.Ф.Ганиевым в статье [118]. Авторы предполагают, что лагранжиан сис¬
темы имеет вид
п
L (q, q,W = ! X (я! - яЬ + !^i (Я, Я, Ю , (2.43)
;'=1
где |i > 0 - малый параметр; h - периодическая функция времени t с пе¬
риодом Т\ - 2 тс/со. Рассматривается движение, близкое к резонансному:
- v? = (и). v; = apj/N (j = 1 п), где pj (j = 1 п) и N - целые
положительные числа. Уравнения движения имеют вид
rA. Ik _
dt д qr д qr
qr + vjqr = - |i
/2 (q, q, t, (I) = h (q, q, t, (I) + £ я] (v/ - (£>j )• (2.44)
Ц j= 1
Порождающее решение уравнений (2.44)
q°r = arcosvrt + — sinvrf (г=1,...,л) (2.45)
\V
(ar ubr - начальные значения q°r и q°r соответственно) периодично no t
с периодом Т = 2к N/ со.
Введя функцию А (а, Ъ), представляющую собой среднее значение
лагранжиана (2.43) вдоль порождающего периодического решения (2.45):
Г
Л (a, b) = ^ jLU°(f),«r°(fU|il<*f, (2.46)
о
авторы приходят к следующему утверждению.
Теорема 9. Если функция А (а, Ь) имеет в точке
а\ = а 1,..., а л = а л; Ъ \ = b\ t...tbn = Ъп минимум или максимум, то
эта точка определяет устойчивое по первому приближению периоди¬
ческое решение; другие стационарные точка функции А (а, b) требу¬
ют специального рассмотрения.
Это утверждение получено оригинальным способом, с использовани¬
ем конечно-разностных уравнений.
Необходимо отметить, что по смыслу приводимых в работе [118] рас-
суждений под словами “устойчивое по первому приближению” в соответ¬
ствии с принятой терминологией (см. с. 72) здесь следует понимать лишь
84
ПОТЕ1ЩИАЛЬНОСГЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЬШ ПРИЗНАКИ
[ГЛ.З
устойчивость в первом приближении по малому параметру \± , для ре¬
шения вопроса об устойчивости по первому приближению в обычном
смысле этого термина в данном случае необходимо изучение корней ха¬
рактеристического уравнения с точностью до более высоких степеней ц.
О.З.Малахова показала [94, 274], что признак КХ.Валеева й Р.Ф.Гание-
ва можно получить также с помощью теоремы И.Г.Малкина [276], опира¬
ющейся на методы Пуанкаре-Ляпунова. При этом, однако, в отличие от
приведенной выше формулировки, появляется дополнительное требова¬
ние грубости экстремумов функции Л (а, b ), обусловленное использова¬
нием теоремы ИХ.Малкина.
Не приводя доказательства, авторы работы [118] отмечают, что рас¬
смотренный признак устойчивости распространяется и на общий случай
канонических систем с функцией Гамильтона, являющейся почти-перио-
дической функцией времени t
В.В.Белецким [41] был выдвинут в качестве гипотезы принцип экс¬
тремальности резонансных ( по использованной выше терминологии -
синхронных ) движений в задаче о плоском вращении небесного тела от¬
носительно его центра масс, движущегося по эллиптической орбите вок¬
руг неподвижного центра. Им же введен и сам термин экстремальные
свойства резонансных движений. Предложенный принцип состоит в
следующем.
Пусть £/(0, t) - силовая функция системы, причем 0 - угол отклонения
оси инерции тела от радиус-вектора орбиты. Вводится среднее по време¬
ни значение силовой функции
t
<U> = U (90, 0о) = Urn у J {/[6 (00,00,0,* (2.47)
f->oo 0
Согласно указанной гипотезе предел (2.47) существует и достигает макси¬
мумов на множестве начальных данных 0о, Оо, отвечающих устойчивым
резонансным движениям. В качестве свидетельства в пользу выдвинутого
принципа в работе [41] приведены результаты численного эксперимента.
Позднее В.В.Белецким и Г.В.Касаткиным была доказана теорема, под¬
тверждающая в общей форме мысль о существовании экстремальных
свойств у синхронных (резонансных) движений [43] (1980 г.). Авторы рас¬
смотрели периодическую систему, несколько более общую, чем канони¬
ческая (систему с сохраняющимся фазовым объемом), и показали, что для
наличия устойчивых периодических или синхронных движений необходи¬
мо и достаточно существование функции ЭС(хо) начальных значений Хо
фазовых переменных х, имеющей строгий максимум или минимум по этим
начальным значениям. При этом указанная функция связана с некоторой
функцией фазовых координат и времени к (х, t) интегральным соотноше¬
нием типа (2.47). Вопрос о способе нахождения функций к и Л/ при
этом, однако, остается открытым. Отметим, что согласно изложенной ги¬
потезе В.В.Белецкого, такими функциями являются соответственно
U и < U> .
Заметим также, что теорема В.В.Белецкого и Г.Б.Касэткика [43] со¬
гласуется с результатами М.М.Хапаева и В.Н.Шинкин& [399, 423].
§3.21
СИСТЕМЫ С СИНХРОНИЗИРУЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
85
В работе В.В.Козлова [219] отмечено, что усреднение согласно (2.47)
вдоль точных, в общем случае невырожденных решений отличается от ус¬
реднения вдоль вырожденных (то есть зависящих от некоторого числа па¬
раметров) решений, о котором идет речь в остальных рассмотренных вы¬
ше случаях. На результат усреднения вдоль вырожденных решений ока¬
зывает влияние выбор усредняемой функции, тогда как на невырожден¬
ных устойчивых в линейном приближении периодических решениях для
любой периодической непрерывно дифференцируемой функции
т
lim ] к [x(f,x0),f]rff I = 0;
у_*оо О х0 | 1 0 J
в частности, если Ж(хо) существует и является непрерывно дифференци¬
руемой функцией, то % х0= 0 , то есть х 0 - стационарная точка функ¬
ции УС (хо). С другой стороны, это утверждение, доказанное В.В.Козло-
вым, не противоречит теореме В.В.Белецкого и Г.В.Касаткина [43], в кото¬
рой говорится о существовании функции к (х, t) и согласно которой х о
является не только стационарной точкой функции (х о), а представляет
собой точку минимума или максимума этой функции, причем данная
теорема дает как необходимые, так и достаточные условия существования
устойчивых периодических решений.
3.2.3. Системы с квазициклическнми координатами; теорема 10.
В работе [402] К.Ш.Ходжаевым был получен интегральный признак ус¬
тойчивости для системы с квазициклическнми координатами *)
Pr=Qr (г = 1,...,т ), (2.48)
gm+f(L) - Qm+r (г = l,...,/i-m ), (2.49)
где % s О, как и выше, - эйлеров оператор, соответствующий обобщенной
координате qSy функция L = T(qm+h...,qn; qit...,qn) - П (qm+u...tqn) -
функция Лагранжа; |1 > 0 - малый параметр; рг= Э 7УЭqr (г= 1,...,т) -
квазициклические импульсы; Qm+r . •> ; qu-.->qn) (г = 1,...,л-т)
- обобщенные неконсервативные силы, отвечающие позиционным коорди¬
натам; обобщенные неконсервативные силы, соответствующие квазицик-
лическим координатам, предполагаются представимыми в виде
Qx~Ut (0 + д/г ~ |±hrqr, Ur{t+ = ^ (/) 9 ^ Ur> = 0 (г = 1,..тп),
причем fr, hr - постоянные (hr > 0 ).
Порождающие уравнения, отвечающие уравнениям (2.4S), имеют се™
мейство 2тг/о>-периодических решений, зависящее от m произвольных по¬
стоянных aiam*
Pr = <Xr+Vr(t) (r=l,...,m), (2.50)
♦) Определение циклических координат см. б п.* • .2.3; под квазицшсличеасими понимают
координаты, которые не вход гг явно в выражение для кинетической энергии системы, но
которым соответствуют отличные от нуля обобщенные силы.
86
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ 3
где Vr= Ur) < Vr> = 0. Допустим, что соответствующие решению (2.50)
уравнения (2.49) (см. сноску на с. 71)
[%m+r{LR) ~ Qm+rl — 0 (г = 1 т), (2.51)
где
т
Lr — (Т— ^ pr Qr) | «г-вг(р1,...,рт; Ят+1< - .0п ; «т+iвг,) “ ^
г= 1
-кинетический потенциал Рауса, при любых ai,..., ат имеют асимптоти¬
чески устойчивое 2ти/(о-периодическое изолированное решение
Япнг = q тлг (di ctm) (г = 1 л-m). (2.52)
Предположим далее, что выполнены соотношения
п-т
[Qm+s ]) = 0 (г = 1,..., т). (2.53)
5=1
При сформулированных предположениях имеет место следующее ут¬
верждение.
Теорема 10. При достаточно малых значениях \± каждой точ¬
ке грубого минимума потенциальной функции
т
D = D(ah.... От) = - < [£,*]> - У £ tv (2.54)
Й Нг
отвечает единственное асимптотически устойчивое периодиче¬
ское *) решение системы (2.48), (2.49), обращающееся пръ \1 = 0 в по¬
рождающее решение (2.50), (2.52).
Данный экстремальный признак устойчивости использован К.Ш.Ход-
жаевым в теории электромеханических систем [402, 403].
§ 3.3. Системы с кинематическим возбуждением вибрации
(минимаксный признак устойчивости); теорема 11
Минимаксный признак устойчивости, предложенный Т.Г.Стрижак
[378], может быть сформулирован следующим образом (здесь эта форму¬
лировка приводится с некоторым видоизменением; см. ниже). Пусть
п п ^ 5 5
Т = 2 £ Хс (Я, и) Ят<ц + 2 X X a™i (Я, и) йт Uj +
т=1 /=1 т=1 у=1
п S
+ X X a3mj(q,u)qmuj (3.1)
т= 1 у=1
*) Периодическими здесь являются все обобщенные скорости и позиционные (но не
квазициклические) координаты.
§ 33]
СИСТЕМЫ С КИНЕМАТИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
87
- кинетическая, а
П (q, и) (3.2)
-потенциальная энергия системы, описываемой п +s обобщенными коор¬
динатами qu...,qn\ ии..., us, причем координаты и\,..., us заданы в виде
конечных сумм
. О)?
щ = М* X (91.-• •» Япу [L)elVk (j= К •S), (3.3)
к
где Vk * 0 , V-* = -\?к, и jf~jc = - и jtk, со = l/|i (|i - малый параметр).
Будем называть системы такого типа системами с кинематическим воз¬
буждением вибрации.
Таким образом, под кинематическим возбуждением вибрации здесь
понимается такое возбуждение системы, при котором можно считать за¬
данным закон колебаний части обобщенных координат. Это представля¬
ется более предпочтительным, чем способ введения вибрации, принятый в
работе [378], хотя и не приводит к изменению результата.
Допустим, что отвечающие переменным q\,..., qn силы вязкого трения
Rr (г = 1,..., п) имеют вид
п S
Rr = ^ Р rj qj + X Р П й; »
7=1 /=1
где матрица коэффициентов $rj является положительной *). Отметим,
что в системе, рассмотренной в работе [378], непотенциальные силы от¬
сутствуют; при этом речь идет о формальной устойчивости положений
квазиравновесия. Введение диссипативных сил позволяет сформулировать
признак асимптотической устойчивости.
Будем понимать под квазиравновесиями системы почти-периодиче-
ские движения вида qj = q] + |i \\fj (со t) (j = 1,..n), где q] - постоянные,
a < \\fj (со t)> = О, то есть движения, представляющие собой малые высо¬
кочастотные колебания вблизи положения qj = q]\ можно сказать также,
что квазиравновесия соответствуют положениям равновесия для медлен¬
ных составляющих движения (см. ниже).
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 11. Минимаксный признак устойчи¬
вости. Если в некоторой точке q\ = q\,..., qn = qn функция
< min L (q, q, t)> , где L (q, q, t) - лагранжиан системы, составленный с
q
учетом выражений (3.3), имеет грубый максимум, то этой точке при
достаточно малых значениях \± отвечает асимптотически устойчи¬
вое квазиравновесие системы.
Минимаксный признак устойчивости был установлен Т.Г.Стрижак с
помощью асимптотического метода для канонических систем [378, 379]
(1981 г.). Позднее 0.3.Малаховой этот признак доказан двумя другими
*) См. сноску на с. 30.
88
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ. 3
способами - методом Пуанкаре - Ляпунова (путем использования уже
упоминавшейся в п. 3.2.2 теоремы И.Г.Малкина [276]) и методом прямого
разделения движений, когда минимаксный признак устойчивости выступа¬
ет как критерий устойчивости некоторой потенциальной в среднем систе¬
мы. Приведем здесь именно это последнее доказательство, опущенное в
работе [101].
После подстановки в выражения для кинетической и потенциальной
энергии (3.1) и (3.2) выражений (3.3) получаем
п п
L(q,q,t) = T(q,q,t)- П (?,f) = 1 I I [any (q) +
m=1 j= 1
П
+ Д X amjjc (q) e ]qmqj + X X bmjc (q) e qm ~
к m=1 к
- П (q, 0) + Co (q) + X X Ckp (q) e l(v^)ot + [I Rt (3.4)
к P
{Ы-р)
где
amj - aimj(q,0)t amj,k - X
da
mj_
v=l
ди у
Hv,*,
U*=Q
Ьт, к ~ ^ °3 mJ 4/> kiVk ,
7=1
5 5
- 2 X Z Qimj (q, 0) ^ UmJcUj,-kVx,
m=l y=l *
5 5
Сф = “ ^ X X °2 m/ (?, 0) Um, к Uj, pVkVp ,
m=1 y=l
m=1 /=1 &
v=l
m=l y=l it
tty
« = 0
5
IVw(Df
-I
m=l
5
V=1
‘ I
ui,p( vj
ЭП
Э Um
L Um>k x
u=0 к
Э Ыу
и = 0
(3.5)
(3.6)
§33]
СИСТЕМЫ С КИНЕМАТИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
89
Выражение (3.4) записано при условии, что величины ujtk не зависят от
переменных и параметра \х. В случае Ujfk - ujtk (q, ^струк¬
тура лагранжиана (3.4) сохраняется, изменятся лишь выражения для
amj,к и R, что, как будет видно из дальнейшего, не влияет на конечный
результат.
Уравнения движения системы могут быть представлены в виде
п п
X {ап + М- X ап*е'Ук%)Я] + I1 X X an* iv*е (V*X q j +
j=l к j=l *
П
+ Д X brjcivke1^ + |i X Ql X e
к j= 1 к
П П i ~\ N
o arj _1 о Qmj
d brJc _ Э bjjc
Э qj Э qr
-XX
7=1 m=1
oqr
Э qm 2 d qr
l i 2 Э П (q, 0)
M-2Hr0> + (I2 X (Я}г1}9) +
j= 1
X X <M- U jmr * M-2 I7jmr) q) q'm * fi X p/7' ?J 1 О (M-3) - 0 (г - 1,..., л). (3.7)
7=1 m=1 7=1
Здесь H1P , HP , H j? , Ujmr, Vjmr - известные функции быстрого
времени т = со? и обобщенных координат qi9...9qn> = 0;
штрихом обозначено дифференцирование по т . Следуя методу прямого
разделения движений, будем искать решение системы (3.7) в виде
qj = Q (уIX) + цу/(т), (3.8)
где Qj = Qj (|i х) = Q\(t) - медленные составляющие движения, а |х \|/у (х) -
быстрые составляющие, удовлетворяющие условию < \|/у (х)> = 0. С точ¬
ностью до членов первого порядка малости относительно jll, что соответ¬
ствует чисто инерционному приближению (см. п. 2.2.5), можно по- лу¬
чить следующие уравнения соответственно быстрых и медленных
движений:
п
X ao(Q)yj + X brjciv*еIV*X = 0 (г=1,...,л), (3.9)
j=l к
п п п
X ап (б) Qj + X X
7=1 7=1 m=1
д Qrj _ _1 Э amj ^
Э Qm 2 Э Q/-
Q)QL
90
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ. 3
ddi
+ ^Х РаО+^К'Х X э~о~ X ап* (e)*ivttw +
7=1 /=1 m=l m /=1 it
X X an* (Q)* v* <*,VtX fj + XX |^7 j vt e,Vtt Vy
7=1 it j=l к ^
I Xv)^
i=i it
Э brjc Э fcy,*
Эф ЭОг
+ 11
y=l m=l
Э Qm 2 d Qr
+ ^a^- H} = 0 ('=1 ">■ <310)
Отметим, что матрица коэффициентов arj (Q) (Q - вектор переменных
Qu—9 Qn) является положительной. Из уравнений (3.9) находятся быстрые
движения
у, = -£<.;■«?)<r-i »>, (но
j=1 it
которые, очевидно, удовлетворяют соотношениям
< V/Vm + fjfm> = 0, < iv*e,Vttyj + = 0,
< i v* e IV*T yy + e,VtX y)> = 0,
7=1 Jt ^ 7=1 m=1 ^
л л
X I X (3-12>
7=1 m=l it
(a 1jl - элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов щ). После
перехода к медленному времени t уравнения медленных движений (3.10)
(основные уравнения вибрационной механики) запишутся в виде, соответ¬
ствующем уравнениям (1.3):
dQr
X ап (б) Qj + X X
7=1 7=1 m=1
Здесь
Э
I dflmy
Э Qm 2 Э Qr
Qj Qm ~
дР
dQr
X Pa'Qr (r=l n)
(3.13)
y=l
D = П (Q, 0) - Co (g) + X X aTm (Q) X bj* <Q) V-* (O- (3.14)
7=1 m=l it
§3.4]
СИСТЕМЫ С ДИНАМИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
91
Нетрудно убедиться [274, 378], что выражение (3.14) для потенциаль¬
ной функции представляет собой с точностью до величин порядка \± взя¬
тый с противоположным знаком осредненный минимум по переменным
Qi,..., Qn лагранжиана (3.4), то есть
D = D(Q) = - < min L (Q, Q, t) >. (3.15)
Q
В точках максимума функции cp (Q) = < muiL (£>,Q,t)> потенциальная
Q
функция D(Q) имеет минимум; следовательно, этим точкам соответству¬
ют устойчивые положения квазиравновесия исходной системы, как и дол¬
жно быть согласно признаку Т.Г.Стрижак.
Рассматриваемый признак устойчивости сформулирован выше как до¬
статочный. Отметим, что если координаты щ ,..., us периодичны по t с не¬
которым периодом Т = 0(|i) и имеют по t непрерывные производные 2-го
порядка, то условия, вытекающие из минимаксного признака, являются
также и необходимыми в том смысле, что при отсутствии в точке
Q\ - Q?»•••» Qn = Qn минимума функции D и при условии, что харак¬
теристическое уравнение системы, описывающей медленные движения
вблизи этой точки, не имеет корней с нулевыми вещественными час¬
тями, соответствующее периодическое решение исходной системы не¬
устойчиво [276].
Весьма примечательно, что для отыскания положений квазиравнове¬
сия посредством рассматриваемого признака нет надобности в составле¬
нии и решении уравнений движения системы; достаточно составить лишь
выражение для лагранжиана L (см. также § 4.1 и 4.2).
§ 3.4. Системы с динамическим возбуждением вибрации; теорема 12
Под системами с динамическим возбуждением вибрации будем по¬
нимать системы, движение которых описывается уравнениями
Э arj Э amj
Э qm 2 д qr
X aniq) 'qj + X I ^ <иЯт +
7=1 7=1 m=1
n
+ X bi<U = - §7 + ^ ХЛ*(?,Юе**“' (r=l,...,n), (4.1)
7=1 ЧГ ^ k
где vjc ^ 0, v_* - v* fr-k =7r,k\ П (q, |i) - потенциальная энергия
системы; со = l/|i (|i - малый параметр); матрица инерционных
коэффициентов arj(q) предполагается положительно определенной;
п
X Ptf 4J (г = !»• • •»Л) " силы вязкого трения с полной диссипацией.
7=1
Предположим, что выполнены соотношения
92
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАК ГГЛ- 3
При сформулированных условиях справедлива следующая теорема.
Теорема 12. Если в некоторой точке q\ - qQ\,...,qn - Qn
функция
имеет грубый минимум, то этой точке при достаточно малых зна¬
чениях |1 отвечает асимптотически устойчивое квазиравновесие си¬
стемы (4.1).
Здесь через а)т обозначены элементы матрицы, обратной матрице
коэффициентов аут.
Как и в случае кинематического возбуждения, О.З.Малахова рассмот¬
рела вопрос о существовании и устойчивости квазиравновесий системы
(4.1) двумя способами - с помощью теоремы И.Г.Малкина и посредством
метода прямого разделения движений [101, 274] (1990 г.). Ниже приво¬
дится доказательство посредством последнего способа, опущенное в ра¬
боте [101].
Система (4.1) может быть записана в виде *)
где штрихом обозначено дифференцирование по быстрому времени
т = со t . В соответствии с методом прямого разделения движений допу¬
стим, что решение системы (4.5) имеет вид (3.8), и перейдем к уравнениям
для быстрых и медленных составляющих движения. В чисто инерционном
приближении при решении уравнений быстрых движений получим
D = П |^ = 0 + Пу,
(4.3)
где
(4.4)
Ч X fit (Я, Ю е ,V*X - И X Р<7 я) - М2(Г = 1, •Л), (4.5)
(4.6)
и тогда уравнения медленных движений будут иметь вид
♦) См. сноску на с. 7 3
§3.4]
СИСТЕМЫ С ДИНАМИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
93
п
+ иХ РnQ'j + v?(-Vr +
j=i
где
как и ранее, - вибрационные силы. В общем случае вибрационные силы
(4.8) могут не иметь потенциала. Однако если выполнены условия (4.2),
то потенциальная энергия Пк вибрационных сил (4.8) существует и для
нее справедливо выражение (4.4).
После перехода к медленному времени t уравнения медленных движе¬
ний (4.7) ( основные уравнения вибрационной механики) примут вид
где функция D определяется соотношением (4.3). Таким образом, при вы¬
полнении условий (4.2), как и выше, точкам грубого минимума потенци¬
альной функции D будут соответствовать устойчивые положения квази¬
равновесия системы.
Если в уравнениях (4.1) вместо конечных сумм в правой части фигу¬
рируют некоторые функции fr (q, [i, t)y периодические no t с периодом
Т-О (|i), то при условии, что характеристическое уравнение системы,
описывающей медленные движения вблизи точек квазиравновесия, не
имеет корней с нулевыми вещественными частями, данный признак дает
не только достаточные, но также и необходимые условия асимптотиче¬
ской устойчивости квазиравновесий исходной системы.
Отметим, что выражение для потенциальной функции, аналогичное
(4.3), найдено при решении задач о поведении частицы в одномерном бы-
строосциллирующем поле в широко известном курсе JI.Д.Ландау и
Е.МЛифшица [255] (1958 г.). Однако предложенное там обобщение фор¬
мулы на случай систем со многими степенями свободы справедливо лишь
при выполнении дополнительных условий (4.2), обеспечивающих сущест¬
вование потенциала вибрационных сил; эти условия весьма существенны,
ибо они требуют выполнения равенств относительно амплитуд гармони¬
ческих составляющих поля. На данное обстоятельство указали К.Ш.Ход-
(4.9)
94
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ [ГЛ. 3
жаев и С.ДШаталов [419]. Практически одновременно с книгой [255] бы¬
ли опубликованы статьи А*В.Гапонова и М.А*Миллера [140, 141], где по¬
лучено выражение для потенциальной функции в задаче о движении за¬
ряженной частицы в трехмерном быстроосциллирующем поле.
Примечательно обнаруженное И.И.Воровичем существование потен¬
циальной функции - "потенциальной энергии амплитуд установившихся
колебаний" - при решении асимптотическими методами задачи о колеба¬
ниях круглой пластины под действием случайной нагрузки [130] (1964г.).
В.В.Белецким и М.Д.Голубицкой [46] (1987 г.) показано, что в изученной
ими модели двуногой ходьбы синхронным (резонансным) режимам отве¬
чают минимумы функционала, характеризующего энергозатраты в систе¬
ме. На этой основе удалось обнаружить ряд существенных периодических
режимов ходьбы.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА МАШИН, МЕХАНИЗМОВ
И МАЯТНИКОВЫХ УСТРОЙСТВ
Глава 4. Устройства типа маятников
§ 4.1. Маятник с вибрирующей осью подвеса
4.1.1. Краткая библиографическая справка. Как известно, вертикаль¬
ная вибрация оси маятника может дестабилизировать - сделать неустой¬
чивым - его нижнее положение равновесия; известно также, что вибраци¬
онное воздействие может вызвать потерю устойчивости прямолинейного
упругого стержня при значениях продольной нагрузки, существенно
меньших критического эйлерова значения (см., например, [321, 429]). В
работах [202, 203] (1951 г.), которые, как уже отмечалось, послужили тол¬
чком для развиваемого в настоящей книге подхода, П.Л.Капица получил
условие, при котором имеет место противоположный эффект: верхнее
(опрокинутое) положение маятника стабилизируется вертикальной вибра¬
цией его оси. П.Л.Капица ссылается также на предшествующую работу
[444](1950 г.), где решение получено иным, более сложным путем. Впро¬
чем, по-видимому, первое исследование задачи было опубликовано еще в
1934 г. [440]. В известной книге Н.Н.Боголюбова [104] (1950 г.) задача рас¬
смотрена асимптотическим методом с помощью удачного преобразования
переменных*
В дальнейшем данная задача использовалась рядом авторов в качест¬
ве эталонного примера при иллюстрации эффективности различных ме¬
тодов нелинейной механики (см., например, [104, 107, 129, 294, 298]), а так¬
же играла роль модельной задачи при изучении поведения некоторых ме¬
ханизмов при вибрации [193, 214, 341, 369]; при этом в книге К.М.Рагуль-
скиса [341] (1963 г.) для изучения таких систем был успешно использован
прием П.Л.Капицы.
Решение задачи о поведении маятника с вибрирующей осью и ряда
подобных систем дано в книгах Т.Г.Стрижак [377 - 379] (1981 - 82 гг.) по¬
средством применения асимптотических методов и предложенного ею ми¬
нимаксного признака устойчивости (см. § 3.3). Результаты обстоятельного
аналитического и численного исследования различных ( в том числе хао¬
тических) режимов движения маятника приведены в статьях З.С.Батало-
вой, Г.В.Беляковой и Н.В.Бухаловой (см., в частности, [36 - 38, 114]).
Помимо цитированных исследований, изучению поведения маятника с
вибрирующей осью посвящена обширная отечественная и зарубежная ли¬
тература, что объясняется как большим прикладным, так и принципиаль¬
ным значением этой задачи; соответствующие ссылки можно найти, на¬
пример, в работах [37, 38, 120, 190, 377, 429, 430]. Тем не менее проблему
до сих пор нельзя считать исчерпанной: постоянно появляются новые ин¬
тересные публикации.
96
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
В настоящем параграфе рассматривается при определенных ограниче¬
ниях задача о поведении маятника с осью, вибрирующей в двух взаимно
перпендикулярных направлениях по гармоническому закону с некоторой
частотой со, так что траекторией колебаний является эллипс. При этом
используется метод прямого разделения движений в форме, изложенной
в § 2.2, а также минимаксный признак устойчивости (§ 3.3). Вследствие
особенностей этих методов не удается изучить поведения маятника во
всем диапазоне изменения параметров и объяснить некоторые эффекты.
Вместе с тем, как будет показано, большинство практически важных за¬
кономерностей удается рассмотреть, и притом в простой и наглядной
форме.
4Л .2. Уравнение движения. Пусть ось подвеса маятника совершает
колебания по закону (рис. 4Л)
x = tfsincof, y = Gcos (со Г+0), (1.1)
где G и Н - амплитуды колебаний соответственно в вертикальном и го¬
ризонтальном направлениях, со -
частота, 0 - сдвиг фаз. Тогда дви¬
жение маятника описывается диф¬
ференциальным уравнением
/ф + h ф + т g I siiKp +
+ m / со2 [Н cos ф sin со t -
- G sin ф cos (со t + 0) ] = 0, (1.2)
где ф - угол отклонения маятника
от нижнего вертикального поло¬
жения, /, т и / - соответственно
момент инерции, масса и расстоя¬
ние от центра тяжести С до оси
подвеса маятника О, g - ускорение
свободного падения, h - коэффи¬
циент вязкого сопротивления.
4Л.З. Решение задачи методом прямого разделения движений.
В соответствии с изложенным в § 2.2 полагаем, что закон движения маят¬
ника под действием вибрации имеет вид
ф = a(f) + \|/(f,G>f), (1.3)
где а (t) - основная медленная, а \|/ (?, со t) - быстрая, 2п -периодическая
по со t составляющая, причем \\f удовлетворяет условию
< у (?, со?) > = О О-*)
и в данном случае считается малой по сравнению с а . К медленным при
решении интересующей нас задачи можно отнести момент сил вязкого
Рис. 4.1. Маятник с вибрирующей
§4.1]
МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩЕЙ ОСЬЮ
97
сопротивления к ф и момент силы тяжести т g I sin (p , а к быстрым - мо¬
мент силы инерции, обусловленный вибрацией оси подвеса маятника.
Уравнения (2.55), (2.56) гл. 2 в данном случае имеют вид
Id = - ha - mglsina + V, (1.5)
/V = % (L6>
причем
= ¥ (a, \j= - Л \j/ - mgl [sin (a + y) -
- < sin (a + у) > ] - m l со2 [Я cos (a + y) sin со t -
- G sin (a + \\f) cos (со t + 0) - < H cos (a + \\f) sin со t -
- G sin (a + \|/) cos (со t + 0) > , V = mgl [sin a - < sin (a + \|/) > ] -
- ml со2 < [H cos (a + \\f) sin со t - G sin (a + y) cos (со t + 0) ] > . (1.7)
Как отмечалось в гл. 2, эта система эквивалентна исходному уравнению
(1.2), по крайней мере в том смысле, что если найдено ее решение a, \\f ,
то функция ф = a + \|/ будет удовлетворять уравнению (1.2).
Примем теперь основное допущение о темпах изменения функций
а и \|/ и будем решать уравнение (1.6) приближенно, считая к тому же в
процессе решения величину а постоянной ("замороженной"); на вопросе о
допустимости такого приема в данном случае мы остановимся ниже, про¬
изведя апостериорную проверку сделанных допущений. Примем следую¬
щие предположения о малости безразмерных параметров:
ро ml VG2 -i- Н2 h /л оч
° - е , = г , — « е . (1.8)
со I /со
Здесь ро = Vm g l/I - частота малых свободных колебаний маятника, а
£ > 0 - малый параметр. Тогда уравнение (1.6) может быть записано в
форме
/у = £4*1, (1.9)
причем обозначено
(а, у, у, со Г). (1.10)
В исходном приближении, то есть при £ = 0, решением уравнения
(1.9), удовлетворяющим условию (1.4), является у = \|/0 = 0, а первое
приближение определяется как периодическое решение \|/ = \|Л урав¬
нения
7\|/i = - ml со2 [tfcosasincof - Gsinacos(cof + 0)]. (I ll)
Отсюда при учете условия (1.4) легко находим
т I
¥ = Vi = "у IP cos a sin со t - G sin a cos (со t + 0) ]. (1.12)
Этим приближением мы и ограничимся; нетрудно заметить, что оно
относится к приближениям, названным выше чисто инерционными
(см. п. 2.2.8). Используем теперь предположение о малости функции
4 ИКБлстшш
98
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
\|/ по сравнению с а и линеаризуем выражение для вибрационного мо¬
мента (1.7) по \|/. Учитывая, что < sin со t > = < cos со t > = 0, получим
V = т I со2 [Н sin а< \|/ sin со t > + G cos а< \|/ cos (со t + 0) > ]. (1.13)
Подставив сюда выражение (1.12) и приняв во внимание равенства
< sin 2 со ?> = < cos2 со? > = < sin со? cos со? > = 0, (1-14)
Z
найдем следующее выражение для вибрационного момента:
V=V(a) = -{mlt(f') [ (G2 - Я2) sin 2а + 2 G Я cos 2а sin 0]. (1.15)
41
Если ввести обозначения
gHg2 + Н2 = cosy, ННС2 + Н2 = siny, Vo = (ml Vg2 + Я2 со)2/41, (1.16)
то формуле (1.15) можно придать также следующий вид:
V - V(a) = - Vq (sin 2а cos 2 у + cos 2а sin 2 у sin 0 ). (1.17)
В результате уравнение медленных движений (1.5) (основное уравнение
вибрационной механики) представится в форме
/а + h а + mg /sin а - V(a) = 0. (1*18)
Если ввести потенциальную энергию медленных сил Цр, потенциаль¬
ную энергию вибрационных сил Пу и потенциальную функцию D по
формулам
Uf = - т g I cos а, Пк = - - Vq (cos 2а cos 2у- sin 2а sin 2ysin 0) =
z
2
= - im-~-[{G2 - Я2) cos 2а - 2 СЯ sin 2а sin 0], £> = nf+rv, (1.19)
О I
то уравнение (1.18) запишется в виде
J а + h а = - 4^~ (1.20)
da
Таким образом, изучаемая система относится к классу систем, рас¬
смотренных в § 3.1: несмотря на ее существенно неконсервативный харак¬
тер, соответствующее уравнение вибрационной механики допускает за¬
пись в виде, характерном для консервативной системы, находящейся под
действием диссипативной силы.
Согласно уравнению (1.18) положения квазиравновесия маятника, то
есть положения равновесия для медленной составляющей движения
а = а* , найдутся из уравнения
mgl sin а* - F(a*) = 0, (1-21)
причем определенное положение равновесия будет асимптотически ус¬
тойчивым при выполнении условия
mg /cos a* - V 1 (a*) > 0, (1-22)
которое при учете равенств (1.15) и (1.17) можно представить в одной из
§4.1]
МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩЕЙ ОСЬЮ
99
следующих форм:
mgl cos а. + [ (С2-Я2) cos 2а. - 2 С Я sin 2а. sin 0] > 0, (1.23)
Z 1
mgl cos а* + 2 V0 (cos 2а* cos 2 у - sin 2 а* sin 2 у sin 0) > 0 .
(1.24)
Соотношения (1.21) - (1.24), как нетрудно видеть, получаются также из
условия минимума потенциальной функции D.
Произведем теперь апостериорную проверку справедливости сделан¬
ных допущений, в том числе предположения о темпах изменения состав¬
ляющих а и \|Л В качестве примера остановимся здесь на этой проверке
более подробно, чем в последующем ( и даже более подробно, чем это
требуется при учете замечания 4 п. 2.2.8). Будем интересоваться решени¬
ями уравнения (1.18), соответствующими положениям устойчивого ква¬
зиравновесия маятника а = а*, а также колебаниями маятника
a (t) - а* + Р (t) вблизи этих положений. При этом для величины Р из
(1.18) получится линейное дифференциальное уравнение
/р + Лр + р\р = о
общее решение которого
р =
где р0 и р - постоянные, а
н
Р0e~i sin(pvt + р),
Ру
g I cos cu V 1 (cu)
/ / (L25)
- частота рассматриваемых колебаний. Теперь, используя формулу (1.12),
можно оценить отношение а / \\f. Обозначив через \\f0 = ml (G + Н) /1
масштаб изменения составляющей \\f и приняв за масштаб изменения со¬
ставляющей а величину р0 , будем иметь
а,
V
_Л h
о*е J [-jsin(pvt+p)+pvcos(pvt+p)]
У о СО
Я
G + Н
cos а* sin а* -
G + Н
sin а* cos (cirf + 0)
Cfo
Уо
JL + £у
/со со
(1.26)
Согласно формулам (1.16), (1.17) и (1.26)
Ру
<^Щ1.
2 Vo
Ро
J «>гт*?(Ог + Н*)
2?
Ро
Ро
V7
1 о/* o^+iF
2 Р2о ? '
(1.27)
В соответствии с предположениями (1.8) второе слагаемое под корнем
в последнем выражении представляет собой отношение двух малых вели¬
чин одного порядка. Поэтому можно считать, что ру — ро и, в силу тех
100
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
же предположений (1.8),
как и должно быть согласно соотношениям (2.60) гл. 2 для выполнения
основного предположения вибрационной механики. Поскольку мы пред¬
полагали выше, что \|/0 / Оо е , то в нашем случае
и порядок е должно иметь также отношение правых частей уравнений
(1.5) и (1.6). Нетрудно видеть, что и это последнее условие в силу соот¬
ношений (1.8) и (1.26) - (1.29) выполняется. Таким образом, можно счи¬
тать, что полученное решение задачи удовлетворяет всем сделанным
предположениям.
Заметим, что вывод о справедливости сделанных допущений, по край¬
ней мере для движений, лежащих в достаточно малой окрестности стаци¬
онарных режимов а = а* , можно было сделать, не прибегая к приведен¬
ным выше выкладкам (а именно такие режимы представляют основной
интерес). Для этого напомним (см. замечание 4 п. 2.2.8), что в такой окре¬
стности правая часть уравнения (1.5) остается заданным образом малой,
по сравнению в правой частью уравнения (1.6).
Отметим далее, что к полученным выше соотношениям (1.15) - (1.24)
можно прийти также путем сведения исходного уравнения (1.2) к рас¬
смотренному в п. 2.2.7 в качестве частного случая. С этой целью примем,
наряду с соотношениями (1.8), что в изучаемых движениях
справедливость данного предположения можно будет проверить апосте¬
риори. Тогда для отношения групп членов уравнения (1.2) получим
a/\j/~l, a/v|/~e,
(1.29)
Лф//со2 = Лф|//со ~ е2;
(1.30)
1
е ’
Лф//С02 + Р о / со2
и указанное уравнение можно записать в виде
/ ф = /Чф,ф) + соФ1 (ф,т),
соответствующем уравнению (2.32) гл. 2, причем
■Р(Ф» ф) = - Л ф - т g I sin ф,
Ф1 (ф, т) = ~ m / со [Я cos ф sin т - G sin ф cos (х + 0) ],
(1.31)
X — СО t, ^ ф -- const — 0,
и, как и выше, разыскиваются решения вида
Ф = a (t) + е \|/i (t, х), е = 1/со.
(1.32)
(1.33)
§4.1]
МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩЕЙ ОСЬЮ
101
Уравнение быстрых движений (2.35) гл. 2 при этом имеет вид
/VI = рФ1(а,х), (1.34)
и его периодическим решением при a = const будет
у * = ^~^[Ясos a sin т - G sin a cos (т + 0)]. (1.35)
Используя это решение, получаем согласно формуле (2.37) гл. 2 выра¬
жение для вибрационного момента
V{a) = F [а + ayv“,X), a ] - F(а, а) -
а X
/ Э А>1 (а,х) *, ч\ (ml со)2 /... .
+ (—^ ^ Vi (а, х)} = —j-^-^lHsmasmx +
+ G cos a cos (х + 0) ] ■ [Я cos a sin х - G sin a cos (х + 0) =
2
= - [ (G2- Я2) sin 2 а + 2 6Я cos 2 a sin 0], (1.36)
4/
совпадающее с ранее найденным выражением (1.15). Оценивая далее от-
2
ношение Л ф / / со аналогично тому, как это было сделано выше для
величин a / у и a / у , придем к выводу о справедливости предпо¬
ложения (1.30).
4.1.4. Использование минимаксного критерия устойчивости.
К результатам п.З приводит также решение задачи методом Пуанкаре -
- Ляпунова, а соотношения (1.21) - (1.24) достаточно просто получаются
из минимаксного критерия Т.Г.Стрижак (см. § 3.3). Для использования
этого критерия составим выражение для кинетической и потенциальной
энергии системы
Т = ^Зф2 + ^т(х с + Ус), П = mgyc. (1.37)
Здесь
хс - х - I sin (р, ус = у - I cos ф (1.38)
- координаты центра тяжести маятника С,3- момент инерции относи¬
тельно центра тяжести, а координаты оси подвеса х и у определяются
формулами (1.1). При учете равенств (1.38) получаем следующее выраже¬
ние для функции Лагранжа системы:
L = Г-П = ^/ ф2 + ^т[х2+<у2-2/ф(д:со8ф-
Z Z
-у sin ф) ] - mg (у - I cos ф), (1-39)
где I = й + ml2, как и ранее, - момент инерции маятника относительно
102
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
оси подвеса. Отсюда легко находим
/W2 / 2 • 2 1 '2 '2
minL = - -^-j-(xcosq>-ysmq) +mg/coscp + -m (X+y)-mgy. (1.40)
ф ^ ^
Учитывая теперь выражения (1.1), произведя усреднение за период 2л: по
со t и заменяя угол ф его медленной составляющей а , получаем:
2
minL = [(G2 - Я2) cos 2 а - 2 G Я sin 2 a sin 0] +
а 87
+ mgl cos а + С, (1-41)
или, принимая во внимание обозначения (1.16),
< min L> = ^V0 (cos 2a cos 2y - sin 2a sin 2y sin 0) + m g I cos a + С. (1.42)
d ^
Здесь через С обозначено не зависящее от а слагаемое, которое несуще¬
ственно для дальнейшего. В соответствии с признаком Т.Г.Стрижак и
формулой (3.15) гл. 3 потенциальная функция
D--< minL> = - ^F0(cos 2a cos 2y - sin 2 a sin 2y sin 0)- mgl cos a. (1.43)
a ^
Это выражение совпадает с выражением (1.19), найденным методом пря¬
мого разделения движений, что и требовалось показать. Примечательно,
что при использовании минимаксного признака не потребовалось состав¬
ления и непосредственного использования дифференциального уравне¬
ния движения системы (1.2).
Заметим, что не представляет особого труда рассмотрение случаев,
когда колебания оси подвеса маятника вдоль направлений х и у являются
комбинациями гармоник или достаточно произвольными 2ти/о>-
периодическими функциями времени t Один из таких случаев рассмот¬
рен в цитированных выше статьях П.Л.Капицы [202, 203].
4.1.5. Поведение маятника в зависимости от характера вибрации.
Рассмотрим теперь основные закономерности поведения маятника под
действием вибрации его оси подвеса, остановившись на изучении ряда ха¬
рактерных частных случаев.
1. Вертикальная вибрация оси (G = А, Н = 0, А -
амплитуда вибрации). В этом случае согласно (1.15) уравнение (1.21) при¬
обретает вид
, . (mlА со)2 . „ л ...
mg /sin a* + -——у ■■■- sin 2 a* = 0 (1-44)
и из него находятся четыре положения квазиравновесия маятника:
г, (1)
a *
0, а*2>
л,
arccos
2 gl
ml (А со)2
(1.45)
§4.1]
МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩЕЙ ОСЬЮ
103
причем изолированные третье и четвертое положения существуют при
выполнении условия
allAft > 1. <1.46,
2 gl v '
Условие устойчивости (1.23) найденных положений квазиравновесия в
рассматриваемом случае сводится к неравенству
ml {А со)2 _ л
cos а* + —— cos 2 а* > 1. (1-47)
Отсюда непосредственно следует, что нижнее положение равновесия ма¬
ятника а = а (*1} = 0 всегда устойчиво, а верхнее ("опрокинутое") а *} = к
является устойчивым при выполнении условия (1.46). Это заключение и
представляет собой классический результат, о котором говорилось в § 4.1
настоящей главы. Нетрудно убедиться также, что положения квазиравно¬
весия а = а*^ , существующие при выполнении неравенства (1.34), яв¬
ляются неустойчивыми.
Те же заключения легко получаются из рассмотрения экстремумов
потенциальной функции Д которая в рассматриваемом случае принимает
вид
гл I {mlА со)2 „ ,,„04
D - - mgl cos а - -—-- 1 - cos 2 а. (1*48)
о I
2
Заметим, что для математического маятника, когда I = ml , условию
(1.46) можно придать одну из следующих форм:
, pz—г т (.А со)2 ,
Aco>V2g/, 2 > mgl,
то есть выразить как требование, чтобы скорость вибрации превосходила
скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника, или
как требование, чтобы кинетическая энергия вибрации превосходила по¬
тенциальную энергию, которую приобретает маятник при подъеме на вы¬
соту I [202, 203].
Установленные выше энергетические закономерности, вытека¬
ющие из наличия в данной задаче потенциальной функции
D = YI + YIv=-< тт(Г-П)> , можно рассматривать как обобщение
а
приведенных выше изящных интерпретаций.
Следует отметить, что вывод об устойчивости нижнего положения
маятника при вертикальной вибрации оси подвеса сохраняет силу, если
параметры системы удовлетворяют соотношениям (1.8), то есть в области,
где приведенное выше исследование справедливо. Как хорошо известно
(это также классический результат), в определенных областях изменения
параметров нижнее положение маятника становится неустойчивым. Речь
идет о явлении параметрической неустойчивости маятника, описыва¬
емой известной диаграммой Айнса - Стрэтта. На рис. 4.2 приведен фраг¬
104
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
Ъ=2т 1А/1~е
мент этой диаграммы, причем по оси абсцисс по традиции отложено от¬
ношение а = 4 ро / со2, а по оси ординат b = Ъп1Л / I. При этом положи¬
тельным значениям а соответствует нижнее, а отрицательным - верхнее
положение маятника. Заштрихованы области устойчивости положений
равновесия. Диаграмма построена для случая отсутствия демпфирования
(Л = 0), что не имеет в данном случае принципиального значения. Кривая
2 2
Ъ /2а - ml (А со) /2 gl =1 соответствует границе справедливости
неравенства (1.46).
Из диаграммы видно, что,
например, при а = 0,2, b = 1,0
нижнее положение маятника
неустойчиво, и это никак не
следует из приведенного выше
исследования. Не вытекает из
этого исследования и возмож¬
ность весьма сложного хаоти¬
ческого поведения маятника в
определенных областях изме-
нения параметров (см., напри-
'в2 мер, [37, 38]). Следует, однако,
отметить, что как параметри-
Рис. 4.2. Области устойчивости верхнего и нижнего веский резонанс, так И хаОТИ-
положений равновесия маятника с вертикально ческие колебания маятника
вибрирующей осью подвеса (фрагмент диаграммы имеют место при таких значе-
Айнса-Стрэтта) ниях амплитуд и частот коле¬
баний точки подвеса, которые
относить к вибрации в смысле принятого выше определения (см. сноску
на с. 15) было бы неправомерно.
Вместе с тем в области \a\-2p 2/со2^ е2 « 1, b = 2m IA/I~ е « 1,
где сделанные допущения выполняются и где параметры колебаний точки
подвеса отвечают указанному определению (эта область на рис. 4.2 услов¬
но ограничена полуовалом), из диаграммы следует в точности тот же вы¬
вод: условием устойчивости верхнего положения маятника является соот^
2
ношение Ъ / 2 а > 1, совпадающее с неравенством (1.46).
2. Прямолинейная гармоническая вибрация
гармоническая
(е = - \п, а - Vg2+h*).
Прямолинейная
под углом у к вертикали
Z
Рассмотрим сначала этот случай в предположении, что ускорение свобод¬
ного падения g пренебрежимо мало по сравнению с ускорением вибрации
А со или что маятник колеблется в горизонтальной плоскости. Положе¬
ния квазиравновесия согласно равенствам (1.17) и (1.21) будут опреде¬
ляться из уравнения
sin 2(ои - у) = 0, (1-49)
а условие устойчивости (1.22) сводится к неравенству
cos 2 (ou - у) > 0. (1.50)
§4.1]
МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩЕЙ ОСЬЮ
105
Таким образом, и в этом случае также имеется четыре положения квази¬
равновесия:
а(*1} = у, а? = у+л, а?^} = у ± (1*51)
первые два из которых устойчивы, а третье и четвертое - неустойчивы.
При у = 0 и g = 0 полученный результат, как и должно быть, совпадает с
найденным выше для случая вертикальной вибрации. Уравнение медлен¬
ных движений маятника (1.18) в рассматриваемом случае будет иметь вид
/а + h а + Vo sin 2 (а - у) = 0. (1-52)
Если ввести угол Р = а - у, являющийся углом отклонения маятника от
положения а = у и линеаризовать вибрационный момент вблизи по¬
ложений устойчивого равновесия а = a (*1} = у (то есть р = pi1} = 0) и
а = а 12) = у + л ( то есть р = р!? = 7г), то это уравнение примет вид
/р + Лр + 2 Fop = 0. (1.53)
Отсюда следует, что действие вибрации сводится к тому, что маятник как
© f
д-0, &>Н д=0,&>н
Рис. 4.3. В случае прямолинейной вибрации при отсутствии силы тяжести маятник ста¬
билизируется вдоль направления вибрации, в случае эллиптической вибрации - вдоль боль¬
шой оси эллиптической траектории. При наличии силы тяжести маятник "притягивается"
к указанным направлениям
бы "притягивается" к положениям а = а (*1} = у и а = а 5? = у + л пру-
Л 2 2
жиной жесткости Су - 2 V0 / а о = (т I со) /21 а о (ао - расстояние от
точки крепления пружины до оси маятника - см. рис. 4.3). Именно так
может объяснить ситуацию наблюдатель V. Наличием притяжения к ука¬
занным положениям наблюдатель V объяснит также "увод" (смещение от
правильного положения) стрелок прибора, например, компаса, находяще¬
гося на вибрирующем основании.
106
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
При наличии силы тяжести наклонная вибрация вызовет смещение
нижнего устойчивого положения равновесия маятника в сторону кратчай¬
шего поворота к направлению вибрации и, более того, может стабилизи¬
ровать маятник в окрестности неустойчивого верхнего положения.
Действием незримых пружин с жесткостью Су наблюдатель V объяс¬
нит также тот примечательный факт (на него обратил внимание П.Л.Ка-
пица [202, 203]), что маятниковые часы под влиянием вертикальной вибра¬
ции всегда спешат. Действительно, в этом случае уравнение медленных
движений маятника (1.18) вблизи нижнего устойчивого положения равно¬
весия будет иметь вид
2
/a + /ia + (mg/ + cva 0) a = 0, (1-54)
то есть частота свободных колебаний (без учета демпфирования)
pv = V(mg/ + Cvao) /1,
тогда как при отсутствии вибрации соответствующая частота
р0 = Vm g I /1 < pv.
3. Вибрация по эллиптической траектории.
Как и выше, рассмотрим вначале случай, когда маятник колеблется в го¬
ризонтальной плоскости или когда ускорение свободного падения пре¬
небрежимо мало по сравнению с ускорением вибрации. Тогда, очевидно,
не нарушая общности можно положить 0 = 0, причем амплитуды G и Н
будут полуосями эллиптической траектории. Уравнение (1.21) для опре¬
деления положений квазиравновесия а = а* в данном случае имеет вид
sin 2 а* = 0, (1.55)
а условие устойчивости этих положений (1.23) сводится к неравенству
(G2 - Н2) cos 2 a. > 0. (1.56)
Отсюда следует, что из четырех положений квазиравновесия
«^ = 0, а«2> = я, а5?'4) = ±^я (1.57)
при G > Н устойчивыми являются положения маятника, при которых он
располагается вдоль одной из полуосей G, а при Н > G - вдоль одной из
полуосей Н. Иными словами, в данном случае, когда при отсутствии виб¬
рации любое положение маятника является положением равновесия, при
наличии вибрации маятник стремится расположиться вдоль большой по¬
луоси эллиптической траектории, то есть имеет всего два устойчивых по¬
ложения квазиравновесия.
Более сложной является картина в случае наклонной оси подвеса ма¬
ятника и когда влияние силы тяжести ощутимо. Тогда описанный эффект
проявляется лишь в виде тенденции - маятник как бы притягивается к
направлениям больших полуосей эллиптической траектории вибрации.
Как и ранее, в этом случае вибрация может вызвать смещение положений
равновесия, устойчивых при отсутствии вибрации, и стабилизацию (быть
§ 4.2]
МАЯТНИК ЧЕЛОМЕЯ ПРИ ВИБРАЦИИ
107
может, также со смещением) неустойчивых положений. Все эти эффекты
могут быть просто объяснены в рамках вибрационной механики как ре¬
зультат действия соответствующих позиционных вибрационных моментов
(см. § 4.3).
§ 4.2. Маятник Челомея с вибрирующей осью подвеса.
4.2.1. Краткая библиографическая справка. Под маятником Че¬
ломея понимается система, состоящая из стержня, который может пово¬
рачиваться вокруг определенной оси ("оси подвеса"), и твердого тела
("шайбы"), которая может перемещаться вдоль стержня (рис. 4.4).
[406]; б) модель с абсолютно жестким стержнем; в) модель с деформируемым стержнем, со¬
вершающим заданные колебания
В.Н.Челомеем было экспериментально обнаружено [406] (1983 г.), что
вследствие вертикальной вибрации оси подвеса устойчивым при опреде¬
ленных условиях оказывается верхнее ("опрокинутое") положение стерж¬
ня, причем шайба занимает на стержне некоторое фиксированное по¬
ложение (рис. 4.4, а).
Статья Челомея сразу же привлекла внимание нескольких исследова¬
телей, изучивших описанную систему независимо и опубликовавших ре¬
зультаты почти одновременно. В работе А.И.Меняйлова и А.В.Мовчана
[282](1984 г.) поведение маятника Челомея было изучено с помощью ме¬
тода усреднения, причем предполагалось наличие как горизонтальной,
так и вертикальной вибрации стержня. В статье автора и О.З.Малаховой
[90] (1986г.) при тех же предположениях рассмотрено поведение шайбы
на абсолютно жестком стержне, а также на упругом стержне, вибрирую¬
щем заданным образом в режиме стоячей волны; при этом был использо¬
ван метод прямого разделения движений, а также минимаксный признак
устойчивости. В статье А.М.Курбатова, С.В.Челомея и А.В.Хромушкина
108
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[TJL4
[243] (1986 г.) приведены результаты численного интегрирования уравне¬
ний движения системы в случае чисто вертикальной вибрации точки опо¬
ры. Поведение шайбы на вибрирующем упругом стержне изучалось также
К.М.Рагульскисом и В.В.Нагинявичусом [343] (1986 г.). Иным аналитиче¬
ским методом условия устойчивости шайбы в верхнем положении стерж¬
ня получены А.В.Киргетовым [210] (1986 г.).
В дальнейшем В.КЛсташев, В.И.Бабицкий, А.М.Веприк и В.Л.Крупе-
нин [19] (1989 г.) рассмотрели методом прямого разделения движений по¬
ведение шайбы на струне или упругом стержне при возбуждении их коле¬
баний заданной распределенной нагрузкой. Основываясь на результатах
своего и предшествующих исследований, авторы выдвинули идею о воз¬
можности использования подвижной шайбы в качестве эффективного га¬
сителя колебаний; эта идея была проверена экспериментально.
В настоящем параграфе работа [90] воспроизводится с учетом допол¬
нений, сделанных О.З.Малаховой в диссертации [274] (1990 г.).
4.2.2. Маятник с абсолютно жестким стержнем. Будем вначале
предполагать, что стержень, по которому может перемещаться шайба, яв¬
ляется прямолинейным и недеформируемым (рис. 4.4,6). Пусть при этом
его ось подвеса колеблется по закону
£ (0 = a sin со Г, т\(t) = b sin(co t + 0) (2.1)
где а и b - амплитуды соответственно вертикальных и горизонтальных
колебаний: со - частота, а 0 - сдвиг фаз. Выражения для кинетической и
потенциальной энергии системы имеют вид
Т = ~ {У \ + У + m дс2) ф2 + ~ m х2 +
+ (m 1 /i + т х) (f| cos ф - 4 sin ф) ф +
+ т (Т) sin ф + 4 cos ф) х + - (mi + m) (42 + Ц2), (2.2)
Z
П = (mih + mx)g cos ф + (mi + m)g £. (2.3)
Здесь ф - угол поворота стержня; mi, 3 \ и h - соответственно его мас¬
са, момент инерции относительно оси подвеса и расстояние от оси подве¬
са до центра тяжести; х - координата шайбы, отсчитываемая вдоль оси
стержня от оси подвеса; m и масса и момент инерции шайбы; g - уско¬
рение свободного падения.
В предположении, что сопротивление колебаниям стержня с шайбой
и сопротивление перемещению шайбы по стержню носят характер вязкого
трения соответственно с коэффициентами hi и h2, уравнения движения
системы запишутся в форме
(J+J i + m х2) ф + 2тхх ф + Zii ф-(mi /1 +тх ) (g -
- а со2 sin со t) sin ф - (mi h + m x ) b со2 sin (со t + 0) cos ф = 0, (2*4)
x -x ф2 + h2x + (g - a со2 sin со t) cos ф - b со2 sin (со i + 0) sin ф = 0.
§4.21
МАЯТНИК ЧЕЛОМЕЯ ПРИ ВИБРАЦИИ
109
Считая, что частота вибрации велика по равнению с характерными час¬
тотами свободных колебаний
А* = V(mi + т) l\ g/('J 1 + й + т I£) , Х2 = Vg / h, (2.5)
положим
/*Ч ^2 Ь_ Л] f%2 ^ (2.6)
CO’ CO’ /i’ Tr (^1+J+ m/2)(0’ mco^6’
то есть будем считать указанные отношения малыми величинами по¬
рядка г.
Тогда уравнения движения (2.4) можно представить в форме
ф = ^ф(ф, ф,Х,*) + СО Ф1 ф (ф, Ху х),
X = Fx (ф, Ф, ХуХ) + со Ф1JC (Ф, Ху х), (2.7)
где
О
F^ = [- 2 т х х ф - hi ф + (mi /1 + т х) g sin ф]/СЛ +jf+ т х ),
Fx = * ф - h2x - gcos ф,
Ф1ф = (mi /1 +тх) [Ь cocos фsin (х + 0) -а со sin if>smz]/(^i +£f+mх2),
Фи = а со cos ф sin т + Ь со sin ф sin (х + 0), х = со ?. (2.8)
Поскольку нас будут интересовать решения уравнений (2.8) вида
Ф = а (?) + е у 1Ф (?, х), х =Х (?) + е у 1* (?, х), (2.9)
где а и АТ - медленные, ayi9 и yix - быстрые составляющие, и так
как
Ф] ф > |ф = const — 0, ^ Фцг^ I 9 = const = 0, (2.10)
I X = const I х = const
то рассматриваемая задача соответствует частному случаю, рассмотренно¬
му' в п. 2.2.7. При этом уравнения быстрых движений запишутся в виде
\|>1Ф = \ Ф1ф(а,^х), уи = ~Фи(аД,х), (2.11)
е г*
соответствующем чисто инерционному приближению. Согласно (2.8) пе¬
риодическим решением этих уравнений при замороженных аиХ будет
* mih + mX • / лч т
у. ф = - — г [Ъ со cos a sin (х + 0) - а со sin а sin т],
О i -f w/ + m X
У Г* = - & со cos а sin х - Ъ со sin а sin (х + 0). (2.12)
В рассматриваемом случае (две степени свободы) выражения (2.37)
гл. 2 для вибрационных сил будут иметь вид
Va. — < Fa, (а + ~^,а,Х + , X)-F« (а, а,Х ,Х)> +
а X о X
ЭФ]ф * ЭФ1Ф * ^
110
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[TJL4
Vx= < Fx(a + а,Х+
от от
,X)-Fx(a,a,X,X)> +
+ + (213>
Произведя по этим формулам вычисления с учетом выражений (2.8),
(2.12) и соотношений типа (1.14), придем к следующим выражениям для
обобщенных вибрационных сил:
со
Va = Va (ОС, X) =
(т: h+m X)
- т
х [ 2 а Ь cos 2 a cos 0 - {a2 -b2) sin 2 а],
со
Vx= Vx(onX) = ^т
mih+mX
r m\ h+m X ^
Vi +3 + mX2]
Ji + J + mA2
^ /
2 2 2 2 (2.14)
(a sin a + b cos a - a b sin 2 a cos 0).
В результате уравнения медленных движений (основные уравнения вибра¬
ционной механики) представятся в виде
(^/i+J+mZ^a + 2 mXX a + hi a = (mih + mX)g sina + Va,
mX - mXa2 + h2X = - mg cos a + Vx. (2.15)
Нетрудно заметить, что вибрационным силам (2.14) соответствует "потен¬
циальная энергия"
Пу =
(mi h+mX)
&i +J+mX?‘
m
^7- (a2 sin2 a + b2 cos2 a - a b sin 2 a cos 0), (2.16)
4
в то время как потенциальная энергия, соответствующая силе тяжести,
П = (mih + mX)gcosa. (2.17)
Поэтому положения устойчивого квазиравновесия системы могут быть
найдены как точки минимума потенциальной функции
D = D(а, Я) = П (%Х) + YIv(a,X), (2.18)
а уравнения медленных движений (2.15) представлены в форме
(У1 + У+ m Х>)И + 2 m XX a + hi а = - д D / д а,
mX- mX а + h2X
dD/dX.
(2.19)
Отметим, что то же выражение для потенциальной функции легко
получается путем использования минимаксного критерия Т.Г.Стрижак
§4.2]
МАЯТНИК ЧЕЛОМЕЯ ПРИ ВИБРАЦИИ
111
• * 7
т (т) sin a + £ cos а) +
(см. § 3.3). Действительно, согласно формулам (2.2) и (2.3)
minL (а, ос,X ,Х) = min (Т - П) =
а,Х а,АГ
J. (mi k + m X)2 (т) cos а - 4 sin а)2 I
2 3i+y+mX2 2
+ ^(mi + m)(i2 + r\2)-(m1h + mX)gcosa + (mi + m)g^, (2.20)
и в соответствии с выражением (3.15) гл. 3
D = D (а,Х) = - < min L (а, а,X ,X) >
ъх
Произведя усреднение с учетом формул (2.1), приходим к выражению для
функции £>, совпадающему с (2.18) с точностью до несущественной по¬
стоянной. Как и выше, при использовании минимаксного признака не по¬
требовалось рассматривать дифференциальное уравнение движения, что,
как уже подчеркивалось, является характерной особенностью этого при¬
знака.
Мы не останавливаемся здесь на апостериорной проверке предполо¬
жений о соотношении порядков слагаемых в правых частях уравнений
(2.7), поскольку она проводится аналогично выполненной в § 2 и подтвер¬
ждает сделанные предположения (см.также замечание 4 в п. 2.2.8).
О0ратимся к анализу полученных соотношений, причем будем интере¬
соваться устойчивостью квазиравновесий системы а = а*, X = X* , со¬
ответствующих вертикальному (верхнему и нижнему) положению стерж¬
ня, когда sin а* = 0 . Такие положения возможны, если a cos 0 = 0. При
этом X* является решением уравнения
b20)2 (mih + mX)(Ji+J-mihX)
± 8 ~ ~о 3 IT1 = <2-21)
2 (Сfi+y+mX)
Здесь верхний знак отвечает значению а* = к, а нижний - а* = 0. Усло¬
вия устойчивости рассматриваемых квазиравновесий сводятся к неравен¬
ствам
д2Р
да2
± (m 1 h +mX*)g +
а,
X.
(mi h+mX)
СЛ + Tf'mA?
— т
_j_ Id
m ЭА2
CO
2
{a2 - b2) > 0,
(2.22)
,2 2
b со
a = a.
X=X-
| [ m (С/1+CJ) — 2 m mi l\ X* — тп2 I2] (^i +
+ J + mx!) - 4mX* (mi h + m X*) 01 +J-
- m:hX*)}( Ji-f 7-fmAT?)-3 > 0. (2.23)
112
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
m I X
Пусть mi /1 * 0. Тогда, вводя безразмерную переменную q = —zrr
(ji+j)
и безразмерные параметры
_ а2 со2 mi /1 _ b2 co2mi/i _ m (Ji + ff)
fll " 2g(3i+3)' 1 “ 2g(Ji +*)’ C " mb? ’
уравнение (2*21) и неравенства (2.22), (2.23) можно представить в форме
±, _ iL+c.ilft-a) = о, <224>
<1+сЛ
... . 1+2 со-с. , . л (2.25)
± (1 + с q) + *-=— (а\ -bi) > 0,
1 + с?2
bic[(l + c92)(c-l-2c9)-4c9(l-9)(l+c^)] (l+ctfV^O.*2-26)
Нетрудно заметить, что при чисто горизонтальной вибрации (а\ = 0) верх¬
нее положение маятника (а* = 0) неустойчиво, поскольку в этом случае
q > 1 в силу уравнения (2.24) и, следовательно,
/1 ч l. с-1-2сд Л
- (l+cq) + b\ г1 < 0,
1+cq2
то есть неравенство (2.25) не выполняется. Отметим, что этого и следова¬
ло ожидать, исходя из результатов п. 4.1 «5.
Допустим далее, что Ь\ с * 0 и рассмотрим нижнее вертикальное по¬
ложение стержня при чисто горизонтальной вибрации оси подвеса.
Преобразуя неравенство (2.26) к виду
с2 q2 (3-2 q) - c(l-6q + 3g2) + l < 0
и учитывая, что q < 1 , можно получить
q < 1/9, ci (q) < с < с2 (?),
где
Ci {q) = l-6g + 3g2-(l-g)V(l-g)(l-9g)~ (2.27)
2qZ(3-2q)
С2 {q) = l-6q + 3q2+(l-gW(l-q)(l-9<7) . <2-28)
2q2(3-2q)
при этом соотношение (2.25) также выполняется.
На рис. 4.5^2 в плоскости параметров с, Ь\ изображена область суще¬
ствования устойчивого нижнего вертикального положения квазиравнове¬
сия маятника Челомея (ос* = л, X = АТ*, где 0 < X* < (й m\h)
при чисто горизонтальной вибрации оси подвеса. На отрезке
1 < с < 5,4 эта область ограничена снизу кривой b\ = b ^ (с), г на
§4.2]
МАЯТНИК ЧЕЛОМЕЯ ПРИ ВИБРАЦИИ
113
интервале 5,4 < с < «> - кривой b\ - b (с) . Здесь
Ь (с) = bi (с, q) \q=qi (с), b ? (с) = Ьх (с, д) |*=ft(C),
bi(c,q) = (1 + cq2)2/(l+cq)(l-q), q = qi(c) и q = q2(c) - функции,
обратные соответственно к функциям c = c\(q) и с = с2 (q), определяе¬
мым формулами (2.27) и (2.28).
Отметим, что условия существования и устойчивости нижнего верти¬
кального положения квазиравновесия в случае невесомого стержня были
получены в статье [460, а].
Предположим теперь, что имеет место как горизонтальная, так и вер¬
тикальная вибрация оси подвеса, причем cos 0 = 0, так что траекторией
Ъг Ъ2ш2т1Ъ}/(2д (U+ у7))
ОС*=Л
Ъ,’ ЪгФгт,1,/(2д(и+Ъ))
я*-О
b,*b,(c,q0)
5,4 cJq,)
omfwtfmfif)
Рис. 4.5. Области устойчивости квазиравновесия маятника Челомея, соответствующие верти¬
кальным положениям стержня: а) нижнее положение (а. = я); б) верхнее ("опрокинутое")
положение (а. = 0)
вибрации оси является эллипс с полуосями а и Ь. Рассмотрим квазирав¬
новесия системы, при которых стержень занимает верхнее положение, а
шайба локализуется на стержне в определенном месте. Для верхнего по¬
ложения стержня q > 1 и, следовательно, (1 + 2cq - с)/(1 + cq) > 0;
поэтому неравенство (2.25) можно удовлетворить, выбрав параметр а\ из
условия
(1 +cq) (1 +с<?2)
а{ > bi + •
1+2cq-c
Таким образом, для устойчивости верхнего вертикального положения ма¬
ятника Челомея необходимо, чтобы амплитуда вертикальной вибрации
точки опоры стержня превышала амплитуду горизонтальной вибрации; и
этот вывод согласуется с изложенным в п. 4.1.5. Отметим также, что со¬
гласно (2.23) устойчивая стабилизация шайбы на вертикально стоящем
стержне возможна только цри наличии горизонтальной составляющей
114
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
вибрации опоры (такой вывод, однако, относится лишь к изучаемой моде¬
ли, рассматриваемому типу движений и соответствующей области измене¬
ния параметров системы).
В дальнейшем будем считать, что выполнение условия (2.25) обеспе¬
чивается выбором соответствующего значения амплитуды вертикальной
вибрации. Из неравенства (2.26) получаем q > 3/2, с > сг (q), где
„ , . _ -а-бз + Зд2) + (q-l) V(q-l)(9g-l)
СЛФ~ 2^(2,-3)
(2.29)
Поскольку для стержня длины / должно быть выполнено неравенство
X* < I , то область существования устойчивого верхнего вертикального
квазиравновесия маятника определится соотношениями
3/2 < q < q<>, с > с2 (q), bi (с, q) = (1 + с (?)2 / (1 + с q) (q - 1),
где q0 = mi h I / 1 +£f). В плоскости параметров с, b (рис. 4.5,6) указан¬
ная область ограничена кривыми b\ = b\(c,qo) и Ъ\ = Ь\ (с, q) \ q = q2(c),
где q = q2 (с) - функция, обратная к функции (2.29).
Отметим, что в случае однородного стержня из условия q > 3/2 сле¬
дует X* > /, то есть на однородном вертикально стоящем стержне не су¬
ществует устойчивых положений квазиравновесия шайбы. Этот результат
вытекает и из исследований [282, 210], проведенных иными методами. В
статье [243], как отмечалось, приведены результаты численного интегри¬
рования уравнений движения системы в случае чисто вертикальной виб¬
рации опоры стержня; следует, однако, отметить, что область изменения
параметров в указанной работе не соответствует предположениям о мало¬
сти отношений (2.6) (см. также замечание в конце п. 4.2.3).
4.2.4. Поведение шайбы на деформируемом вибрирующем стержне.
В связи с изучением закономерностей поведения маятника Челомея под
действием вибрации, а также в связи с некоторыми приложениями пред¬
ставляется интересным рассмотреть иную, чем в п. 4.2.2, модель - шайбу,
насаженную на деформируемый прямолинейный стержень, совершающий
заданные колебания (вибрацию) в режиме стоячей волны (рис. 4.4,в).
Пусть ^ (х, t) и Т| (дс, t) - соответственно продольное и поперечное
смещения точки оси стержня с координатой дс, отсчитываемой от точки
опоры вдоль недеформируемого положения этой оси, при котором она
наклонена к вертикали на некоторый угол а . Координата х играет вместе
с тем роль обобщенной координаты шайбы.
Выражения для кинетической и потенциальной энергии шайбы имеют
вид
Т -
1
m
х +
д 4 (х, t)
дх
X +
d k (х, t)
dt
Эт| (x,t)
2J
Э2 Л (jc, t)
дх*
дх
X +
X +
3 Л (*, t)
dt
d*T\(X, t)
дхд t
П = m g { [jc + ^ (x, t) ] cos a - T| (x, t) sin a
(2.30)
(2.31)
§ 4.2]
МАЯТНИК ЧЕЛОМЕЯ ПРИ ВИБРАЦИИ
115
причем угол поворота шайбы с точностью до величин более высокого по¬
рядка малости относительно д£,/ дх , дг\ / дх принят равным Э Т[ / дх .
Уравнение движения шайбы, соответствующее выражениям (2.30), (2.31),
имеет вид (как и в п. 4.2.2, считаем, что сопротивление движению шайбы
по стержню носит характер вязкого трения)
>2-, S2.
х {т
1 +
дх
+ 2 х{т
Эл
дх
/ -1
■ \
Эх2
+ h2x -f
1 +
1л
дх
dxdt дх dxdt
+ m
m
1 +
,2 t Г
i£'
dx
?!
dt2
-l +
iA'
dx
dx2 dx2 dx
Э2 л Э t|
dt
2 dx
_д^Л_
dx2 dx2dt
Э21| Э3 л
dx2 dx3
Э3 T( d2^
+ mg
1 +
Э1'
Эх
ЭхЭг2 Эх2
Эд .
cos а - т—*- sin а
Эх
- 0. (2.32)
Пусть, как отмечалось, смещения £ и г\ носят характер стоячих
волн, то есть заданы в виде
£ = £ (х, t) = а (х) sin со t, г| = т| (х, t) — b (х) sin (со f + 0), (2.33)
где со - частота, 0 - фазовый сдвиг, а величина сц> - sup [а (х), b (х)] мала
по сравнению с длиной полуволны Ь0, так что отношение ао / Ь0 можно
считать имеющим порядок малого параметра е = 1 / со. Подобно пред¬
положениям п. 4.2.2, считаем также, что
_ Р 1 лДГ _ Р (2.34)
m со 1 со 'U
и что разыскиваются решения уравнения (2.32) вида
х = X (t) + е \|/i (t, т), 1 = со t. (2.35)
При сформулированных допущениях использование метода прямого
разделения движений приводит к рассуждениям и выкладкам, также
вполне аналогичным приведенным в п. 4.2.2. В результате придем к сле¬
дующему уравнению медленных движений (основному уравнению вибра¬
ционной механики)
mX+ h2X= - mg cos а + V(X), <2-36)
где
V(X) = Ъ (X) +
со2 db(X) d2b (X)
dX
dX1
(2.37)
Примечательно, что в рассматриваемом приближении вибрационная
сила V не зависит от амплитуды продольной составляющей вибрации
стержня а(х), а определяется только поперечной составляющей: в мед-
116
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
ленном движении шайба "не воспринимает" продольной вибрации. Поэто¬
му при чисто продольной вибрации положений квазиравновесия шайбы на
стержне не возникает; впрочем, здесь необходима оговорка, аналогичная
сделанной в п. 4.2.2. (см. с 114). При наличии же поперечной вибрации
положения квазиравновесия X - X* определяются из уравнения
т g cos а = V (АТ*). (2.38)
Вибрационной силе V отвечает "потенциальная энергия"
Ylv= -
т со
Ьг(Х) -
db (X)
dX
(2.39)
Следовательно, об устойчивости возможного положения квазиравновесия
можно судить по наличию минимума у потенциальной функции
v т со2 .г,™ Зсо2 \db (ДО12
D = 1\ + I\v = mgXcos а — b (X)
dX
(2.40)
где П = mgXcos a - "обычная" потенциальная энергия, соответствующая
силе тяжести.
Пусть
Ь(Х) = fcosin
Ьо
Тогда уравнение (2.38) принимает вид
(2.41)
g cos a =
к bo со2 r
TIT
1 -
т?й
mb2
sin
2rc AT*
U
(2.42)
и квазиравновесные положения шайбы будут существовать при выполне¬
нии условия
я2
.2 2
mb о со
4Lo
1 -
m L г
> g cos a.
Нетрудно заключить, что при справедливости неравенства
mb2 > тг2
(2.43)
(2.44)
устойчивыми будут те квазиравновесия, которые располагаются ближе к
пучностям формы поперечных колебаний b (X) = b0 sin к X/ Ьо, а при вы¬
полнении противоположного неравенства - те, которые ближе к узлам.
В случае горизонтального расположения стержня (а = ± к / 2) ус¬
тойчивым положениям квазиравновесия в первом случае будут в точности
соответствовать пучности, а во втором - узлы формы поперечных колеба¬
ний. Заметим, что соответствующий результат для случая = 0 был
получен и в цитированной выше работе К.М.Рагульскиса и В.В.Наги-
нявичюса [343].
Отметим также, что, как и в п. 4.2.2, выражение (2.40) для потенци¬
альной функции D, а следовательно, и результаты исследования устойчи-
§ 43]
ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
117
вости положений квазиравновесия системы могут быть получены с по¬
мощью минимаксного признака устойчивости Т.Г.Стрижак (см. § 3.3).
Действительно, согласно выражениям (2.30) и (2.31)
minL (X ,Х) = min(r - П) =
X X
LV У V У J V J
где £ = £ (Xt t) и г\ = г\ (X, t). Выполняя усреднение в соответствии с
формулой (3.15) гл. 3 и используя выражения (2.33), находим
2 2 Г
D= - lim < minL (X ,Х)> = - b 2(Х) - Г + mgXcosa, (2.45)
е-> о % 4 4 L d* J
что совпадает с формулой (2.40).
Подводя итог, следует признать, что эксперимент В.Н.Челомея
(рис. 4.4/г) остается пока не до конца объясненным. Теоретический ана¬
лиз, выполненный почти одновременно и независимо различными иссле¬
дователями [90, 210, 282], не обнаружил возможности стабилизации шай¬
бы при чисто вертикальной вибрации оси подвеса стержня. В рамках ука¬
занного анализа для этого оказывается необходимой также горизонталь¬
ная вибрация, что не вызывает особых сомнений, ибо чисто продольная
вибрация стержня шайбой "не воспринимается". Неясно, однако, явилась
ли стабилизация шайбы в опыте В.Н.Челомея результатом не замеченной
им поперечной вибрации оси подвеса стержня либо следствием возника¬
ющих под действием продольной вибрации поперечных упругих или
"твердотельных колебаний самого стержня. Последняя точка зрения от¬
стаивается в работе [243], в которой выполнено численное исследование в
более широкой, чем (2.6), области изменения параметров. Однако пред¬
ставляется, что вопрос еще требует дополнительного изучения.
§ 4.3. Некоторые обобщения и приложения.
О вибрационной стабилизации и дестабилизации,
вибрационное смещение (увод)
Несомненно, одним из самых ярких фактов, рассмотренных в настоя¬
щей главе на примере маятников, является вибрационная стабилизация
положений равновесия механических систем, которые при отсутствии
вибрации являются неустойчивыми. С другой стороны, как отмечалось,
118
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
положения равновесия, устойчивые при отсутствии вибрации, могут ока¬
заться неустойчивыми при вибрационном воздействии - примером может
служить явление параметрического резонанса.
Система при отсутствии вибрации может и вовсе не иметь положений
равновесия или иметь множество непрерывно распределенных положений
равновесия, а под действием вибрации приобретать одно или несколько
изолированных квазиравновесных или равновесных положений. Простей¬
шим примером может служить маятник с вертикально расположенной
осью подвеса, вибрирующей по эллиптической траектории. При отсутст¬
вии вибрации все положения такого "маятника" являются равновесными, а
при наличии вибрации, как показано в п. 4.1.3, маятник располагается
вдоль одной из больших полуосей эллиптической траектории колебаний,
то есть имеет лишь два положения устойчивого квазиравновесия. Если бы
на такой маятник действовал некоторый постоянный момент, то при от¬
сутствии вибрации он вращался бы вокруг своей оси, то есть вообще не
обладал положениями равновесия, тогда как достаточно интенсивная
вибрация может стабилизировать маятник вблизи направлений больших
полуосей эллиптической траектории вибрации.
Вибрация может вызвать смещение устойчивого положения равнове¬
сия системы, что также легко прослеживается на примере маятника с виб¬
рирующей осью подвеса. Этот эффект часто называют вибрационным
уводом; он проявляется, например, в отклонении под действием вибрации
стрелки компаса от правильного направления, а также в систематических
ошибках в показаниях ряда других приборов [193, 225, 272, 369, 410].
Эффект вибрационного смещения (увода) допускает в духе вибраци¬
онной механики рассмотрение в общей форме. Пусть при отсутствии виб¬
рации поведение системы описывается уравнением
тх = F{x) + Т(х\ (3.1)
где m - масса: Т{х) - некоторая медленная позиционная сила, a F (х) -
сила сопротивления, которую будем предполагать имеющей характер вяз¬
кого трения, то есть будем считать, что F (0) = 0, F1 (0) < 0 ; в данном
случае F (х) также является медленной. Положения равновесия системы
х = х* при этом определяются уравнением
Г(х*) = 0. (3.2)
При наличии вибрации, как было показано выше, при весьма общих пред¬
положениях медленная составляющая движения системы описывается
уравнением
mX = Т{Х) + F{X) + V(X,X), (3-3)
где V (X ,Х) - вибрационная сила. В результате положения равновесия
X = АТ*(положения квазиравновесия) будут определяться из уравнения
TQC+) + V(09X*) = 0, (3.4)
отличного от (3.2); поэтому, если V(0,X+) * 0 , что может быть не так
лишь в некоторых редких случаях, то значения X* будут, вообще говоря,
отличаться от х* , то есть будет иметь место вибрационный увод
§ 43]
ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
119
А = X* - х* . Разумеется, речь идет об устойчивых положениях равнове¬
сия, то есть значениях х* и X* , удовлетворяющих условиям
Г(х*) < О, V (ЖО + РИО,**) < о, F'(0) + VK0,A;) < О, (3.5)
где через Vx и Vxx обозначены соответствующие частные производные
от функции V (X , X). Если вибрационная сила мала по сравнению с Т (х) ,
то величину увода А можно определить по формуле
А = - V(0,x*)/T' (jc*). (3.6)
Проведенное простое рассмотрение легко обобщается на случай системы
со многими степенями свободы.
Легко интерпретируются с позиций вибрационной механики в общей
форме и все другие обсуждаемые здесь закономерности, характерные для
действия вибрации на нелинейные механические системы. А именно, до¬
пустим, что механическая система такова, что ее положения равновесия и
их устойчивость при отсутствии вибрации определяются потенциальной
энергией П (.х). При наличии же вибрации положения квазиравновесия и
их устойчивость, как было показано в гл. 3, во многих случаях определя¬
ются потенциальной функцией
DQC) = П(Х) + ПИ*), (3.7)
отличающейся от П (X) слагаемым П^ (Я) , представляющим потенциаль¬
ную энергию вибрационных сил. Естественно, что добавление функции
Пv QC) может привести как к появлению у D (X) новых, по сравнению с
П (Я), "потенциальных ям", отвечающих положениям устойчивого квази¬
равновесия, так и к смещению или даже полному исчезновению потенци¬
альных ям и т.п.
Рассмотренные в настоящей главе системы являются лишь простей¬
шими, в которых могут проявляться рассматриваемые примечательные за¬
кономерности. Приведем краткий обзор таких закономерностей, обнару¬
женных в более сложных системах, в том числе и рассматриваемых в по¬
следующих главах книги.
В.Н.Челомей обратил внимание на то обстоятельство, что, подобно
ситуации с маятником, можно повысить устойчивость параметрически
возбуждаемых упругих систем по отношению к постоянным или медленно
изменяющимся силам - так называемую статическую устойчивость
[405] (см. также [125, т. 2]). Им, в частности, установлено, что такая ус¬
тойчивость может быть обеспечена даже тогда, когда статические нагруз¬
ки, действующие на вибрирующую систему, превосходят критические
эйлеровы силы. Эти исследования были продолжены С.В.Челомеем [407 -
409], изучившим и случаи, когда вибрация вызывает потерю устойчивости
стержня при докритических нагрузках. Динамической стабилизации не¬
устойчивых систем посвящены также работы КТ.Валеева [119] и А.А.Зе-
вина и Л.А.Филоненко [191].
Помимо цитированных выше работ, относящихся к приборным систе¬
мам типа маятников, значительное число исследований посвящено уводам
под действием вибрации различных гироскопических приборов. Одно из
первых таких исследований принадлежит А.Ю.Ишлинскому, путем про¬
120
УСТРОЙСТВА ТИПА МАЯТНИКОВ
[ГЛ. 4
стых рассуждений и выкладок объяснившему возникновение прецессии
гироскопа вследствие вибрации его основания при наличии податливости
элементов подвеса [195]. Из числа исследований этого цикла, выполнен¬
ных позднее, сошлемся на работы [233, 410, 426].
Как своеобразное проявление эффекта вибрационного смещения
можно рассматривать интересные закономерности поведения инерционно
возбуждаемых нелинейных колебательных систем, исследованные в книге
Л.К.Рагульскиса и К.М.Рагульскиса [344].
Определенным своеобразием характеризуются эффекты вибрационно¬
го смещения в системах с сухим трением. При отсутствии вибрации в та¬
ких системах положения равновесия непрерывно заполняют некоторый
отрезок, часто называемый зоной нечувствительности; к тому же вибраци¬
онная сила в этих случаях существенно зависит от медленной компоненты
скорости АТ и не обращается в нуль при X = 0, что и приводит к смеще¬
нию. Такие системы подробно рассматриваются в § 10.2 и в § 14.3, в част¬
ности, в связи с особенностями поведения сыпучих тел в вибрирующих
сосудах.
Весьма интересны как с принципиальной, так и с прикладной точки
зрения эффекты, возникающие в системах "жидкость - газ - твердые час¬
тицы" при вибрационном воздействии. Описание ряда экспериментов с та¬
кими системами приведено в цитированной выше работе В.Н.Челомея
[406]. И в этих системах вибрация может вызвать как стабилизацию, так и
дестабилизацию состояний равновесия. Она может приводить также к из¬
менению формы свободной поверхности жидкости или поверхности раз¬
дела "жидкость - газ" в различных силовых полях, например в поле силы
тяжести; к разделению и устойчивой локализации жидкой, твердой и га¬
зообразной фаз в определенных зонах вибрирующего объема; в ряде слу¬
чаев такие эффекты носят парадоксальный характер, в частности, это от¬
носится к ситуациям, когда более тяжелые компоненты системы распола¬
гаются выше легких. Оригинальные результаты и обстоятельные обзоры
соответствующих исследований можно найти в книгах Р.Ф.Ганиева и
Л.Е.Украинского и их сотрудников [137 - 139], а также в работах Н.А.Без-
денежных, В.А.Брискмана, А.А.Черепанова и М.Т.Шарова [40], И.А.Луков-
ского и А.Н.Тимохи [265], Д.В.Любимова и А.А.Черепанова [269].
Значительный прикладной интерес представляют, в частности, иссле¬
дования поведения твердых частиц и пузырьков воздуха в вибрационных
полях типа стоячей волны; одна из таких работ - статья С.С.Духина [178]
уже упоминалась выше. Примечательно, что в зависимости от обстоя¬
тельств частицы дрейфуют как к устойчивым состояниям квазиравновесия
либо к узлам, либо к пучностям волньц подобно тому как это происходит
в случае шайбы на вибрирующем стержне ([90, 406]; см. также п. 4.2.3).
Несомненно, что обнаруженные закономерности поведения частиц и пу¬
зырьков могут быть использованы для организации процесса в химиче¬
ской технологии, обогащении полезных ископаемых и других производст¬
вах; что же касается особенностей поведения шайбы на вибрирующем
стержне или струне, то на возможности их использования для гашения
колебаний было обращено внимание в работе [19], упоминавшейся в § 4.1.
§ 431
ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
121
Эффекты стабилизации и локализации систем при вибрационных воз¬
действиях распространяются не только на состояния равновесия, но также
и на движения. Одним из примеров такого рода эффектов является синх¬
ронизация вращающихся тел, в частности, неуравновешенных роторов,
подробно рассматриваемая в гл. 6. Другой яркий пример - стабилизация и
управление движением заряженных частиц в электромагнитных полях.
Известно, что в статическом электромагнитном поле такие частицы не
могут иметь положений равновесия; это составляет содержание соответ¬
ствующей классической теоремы. Наложение же высокочастотного пуль¬
сирующего поля приводит к появлению устойчивых состояний квазирав¬
новесия, что в случае "движущейся стоячей волны" может быть использо¬
вано для ускорения частиц. Указанная идея была выдвинута и обоснована
в уже упоминавшихся работах А.В.Гапонова и М.А.Миллера [140, 141]. Ес¬
ли воспользоваться образом концепции потенциальных в среднем дина¬
мических систем, то можно сказать, что в данном случае посредством вы¬
сокочастотной пульсации поля для частицы создаются движущиеся по¬
тенциальные ямы, которыми последняя и увлекается.
В работах Р.В.Линькова и Ю.М.Урмана [258 - 260] в связи с теорией
бесконтактного магнитного подвеса рассмотрено поведение проводящих
магнитных тел в магнитном поле. В частности, показано, что если в по¬
стоянном поле устойчивым является только быстрое вращение динамиче¬
ски симметричного тела (волчка) вокруг оси с большим моментом инер¬
ции, то в переменном поле устойчивым может стать также и вращение
вокруг оси с меньшим моментом инерции, а также вокруг осей, не совпа¬
дающих с главными осями инерции.
Конечно, упомянутые эффекты оказываются возможными благодаря
нелинейности уравнений, описывающих поведение заряженной частицы и
указанных тел в электромагнитных полях; в некоторой общей форме они
будут рассмотрены в гл. 18.
Подводя итог, еще раз подчеркнем, что все рассмотренные закономер¬
ности, имеющие своими простейшими аналогами особенности поведения
маятника с вибрирующей осью подвеса, допускают простое истолкование
и математическое описание в рамках вибрационной механики и концепции
потенциальности в среднем, что в некоторых случаях и сделано авторами
соответствующих исследований. Вместе с тем представляется, что воз¬
можности и преимущества указанных концепций при описании рассмот¬
ренного круга явлений используются пока далеко не полно.
Глава 5. Роторные механизмы. Машинные агрегаты
§ 5.1. Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании -
вибрационное поддержание вращения
5.1.1. Краткие библиографические сведения. Вибрация оси неурав¬
новешенного ротора с некоторой частотой со может устойчиво поддержи¬
вать его стационарное вращение со средней угловой скоростью
<ф> = ±(р/^)со , гдер и q - целые положительные числа. Для этого
замечательного явления характерно, что мощность,"отбираемая" от коле¬
баний и переводимая во вращение, реально может быть достаточно вели¬
ка, особенно в основном режиме, когда средняя угловая скорость враще¬
ния равна по модулю частоте вибрации со (p = q, < ф > = со). Последнее
обстоятельство явилось основой для многочисленных важных приложе¬
ний.
Условие, при котором возможно вибрационное поддержание враще¬
ния неуравновешенного ротора в указанном основном режиме и при пря¬
молинейных гармонических колебаниях оси, получено Н.Н.Боголюбовым
[104, 106] (1950 г.) с использованием асимптотического метода.
В работе автора [51] (1954 г.) рассмотрен более общий случай, когда
ось совершает сдвинутые по фазе гармонические колебания в двух взаим¬
но перпендикулярных направлениях. Условия существования и устойчиво¬
сти основного режима получены методом малого параметра Пуанкаре -
- Ляпунова.
Д.Д.Баркан и ОЛ.Шехтер наблюдали, а затем ОЛ.Шехтер исследова¬
ла случай <ф> = со/2 [422] (1959 г.); М.К.Бирюковым тот же случай
рассмотрен методом Пуанкаре - Ляпунова (1959 г.) (см. [72]). Т.К.Кауги
исследовал эффект применительно к теории игры-упражнения "хула-хуп"
[436] (1960 г.) (см. также § 5.2).
В монографии К.М.Рагульскиса [341] (1963 г.) режимы <ф> = со,
2 со и 3 со рассмотрены методом прямого разделения движений; эти ре¬
жимы наблюдались К.М.Рагульскисом также в лабораторном эксперимен¬
те и были воспроизведены на электронной моделирующей установке.
В работах Л.Д.Акуленко, В.М.Волосова, Н.Н.Моисеева, а также
Б.И.Моргунова и Ф.Л.Черноусько (1963 г. и позднее) рассмотрены враща¬
тельные движения обобщенного маятника - системы, описываемой
уравнением вида
z + /(z) = д cp(z,z,f),
где / (z) - периодическая функция z, ср - периодическая функция t, a |i -
малый параметр. В ряде этих работ, основные результаты которых отра¬
жены в книге Н.Н.Моисеева [294], рассмотрены также примеры, относя¬
щиеся к отдельным частным случаям задачи о собственно маятнике (ро¬
торе) с гармонически колеблющейся осью.
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
123
Важный вопрос об областях притяжения определенных стационарных
режимов вращения ротора с вибрирующей осью рассматривался в работах
Э.ААграновской [3] (1963 г.), А.А.Митулиса [292] (1965 - 66 гг.), З.С.Бата-
ловой [36] (1967 г.), А.Л.Кумпикаса и К.М.Рагульскиса [242] (1966 г.), в
которых аналитическое исследование сочетается с численным анализом
на ЭВМ. Наиболее полно в этом плане задача рассмотрена в работах
З.С.Баталовой, Г.В.Беляковой и Н.В.Бухаловой (см., в частности, [36 - 38,
114]), в которых также обнаружены весьма сложные ("хаотические") ре¬
жимы движения.
Вопросы теории явления, результаты экспериментов и некоторые при¬
ложения рассмотрены в работах Д.Иноуэ, И.Араки, С.Хаяси, С.Мияура
[443] (1966 - 1974 г.).
И.И.Быховским изучено вибрационное поддержание вращения неурав¬
новешенного ротора с эксцентрично присоединенным маятником [116]
(1971 г.).
Приведенный краткий обзор не претендует на полноту. Изложение и
обобщение основных результатов исследований явления, полученных за
соответствующий период, можно найти в [72, 84, 95, 125, т.2].
В настоящем параграфе решение задачи получается методом прямого
разделения движений в той форме, как он изложен в первой части книги,
причем существенно используется работа Н.ПЛрошевича и автора [93] и
результаты анализа решения, изложенные в цитированных выше книгах.
Несколько слов о названии параграфа. Как известно, под механизма¬
ми понимают устройства, преобразующие движение. С этой точки зрения
роторы, как и рассмотренные в гл. 4 маятники, сами по себе механизмами
не являются. Однако здесь они могут быть отнесены к механизмам, так
как выступают как своеобразные преобразователи колебательного движе¬
ния: в одном случае - во вращательное, а в другом - в квазиравновесное.
5.1.2. Уравнение движения, основное уравнение вибрационной
механики. Пусть, как и в случае маятника (гл. 4), горизонтально распо¬
ложенная ось неуравновешенного ротора 0\ совершает гармонические
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях по закону
х = Я sin со у = Geos (cof + 0). (1.1)
где Н, G - амплитуды, о- частота, 0 - угол, характеризующий сдвиг фаз
между составляющими колебаний (рис. 5.1, а). Тогда уравнение движения
ротора имеет вид
/ ф = т g Ei cos ф - m £i со2 [H sin со t sin ф +
f G cos ф cos (со t + 0)] + L (ф) - R (ф). (1.2)
Здесь ф - угол поворота ротора, отсчитываемый по ходу часовой стрелки,
m, I и £i - соответственно масса, момент инерции относительно оси вра¬
щения и эксцентриситет ротора, g - ускорение свободного падения;
R (ф) = Я° (| ф |) sgn ф (1.3)
- момент сопротивления вращению, который может учитывать не только
сопротивление в подшипниках, но и полезную нагрузку, причем
(I Ф I) > 0 " модуль этого момента. Для общности предполагается так-
124
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
же, что на ротор может действовать вращающий момент L (ф) , соответ¬
ствующий, например, статической характеристике электродвигателя асин¬
хронного типа *).
Будем рассматривать вращения ротора с частотой ф, близкой к часто¬
те равномерного вращения ар со / q , где а = 1 или -1 в зависимости от
направления вращения ротора в изучаемом режиме, а р и q - небольшие
Рис. 5.1. Неуравновешенный ротор с вибрирующей осью
ф = а
+ а (0 + у (Г, со t)
(1.4)
взаимно простые натуральные числа, характеризующие кратность режима.
А именно, изучим движения вида
р at
Я
где а - основная медленная, а у - малая быстрая 2 к q - периодическая по
быстрому времени со t составляющие, причем
2 nq
j— j y{t,x)dx = < y(f,т)> = 0.
4 о
Соответствующие движения назовем режимами типа р / q.
Используя метод прямого разделения движений, отнесем к медлен¬
ным силам моменты L (ф) и R (ф) , а к быстрым - все прочие и перей-
*) Как обычно, при решении задач, рассматриваемых в настоящей главе, а также задач о
синхронизации вибровозбудителей (гл. 6) мы ограничимся именно статическими характери¬
стиками двигателей.
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
125
дем от уравнения (1.2) к системе двух уравнений для функций а и у
(см. уравнения (2.55) и (2.56) гл. 2)
Id + ка = Vp/q (а) + аЬ (ар со / q) - R° (р со/ q), (1.5)
/ \|> + k\\f = (а, у, со f). (1.6)
Здесь обозначено
Vp/q (а) = < Ф (а, \|/, со 0 > ,
Ф (а, у, со t) = am g £i [cos (р со f / q + a) - \\f sin (p со Г / + a)] -
— m £i со2 {Я sin со t [sin (pcof/<? + cx) + \|/cos(pcof/<7 + a)] +
+ {a G cos (со t + 0) [cos (p со f / <? + a) - \|/ sin (p со f / ^ +- a)]},
¥ (а, у, со 0 = Ф (а, у, со t) - < Ф (а, у, со t)> . (I*7)
При получении равенств (1.5) - (1.7) произведена линеаризация правой
части уравнения (1.2) по \|/ и выражения L - R вблизи точки ф = <зр со/q ,
причем обозначено к = - d(L-R)/dq> | ф = а р ш/? > 0 . Вопроса о при¬
менимости метода прямого разделения движений в рассматриваемом слу¬
чае, состоящего в анализе относительных порядков правых частей уравне¬
ний (1.5) и (1.6) по параметру г = 1/со , мы коснемся ниже.
Выражение Vp/q(a) в уравнении медленного движения (1.5) является
вибрационным моментом, соответствующим режиму типа p/q. Как отмеча¬
лось, в рамках используемого метода для достаточно точного определе¬
ния этого момента можно решить уравнение быстрого движения (1.6)
приближенно, считая к тому же медленную переменную а фиксирован¬
ной ("замороженной"). С этой целью запишем уравнение (1.6) в виде
Iy = [i'¥ 1 Gi = (1.8)
рассматривая величину |1 > 0 как малый параметр; отметим, что в данном
случае его не обязательно отождествлять с малым параметром £ = 1/со.
Нетрудно выписать условия, налагаемые на параметры системы указан¬
ным предположением; они аналогичны условиям (1.8) гл. 4.
В исходном ("нулевом") приближении решением уравнения (1.8),
удовлетворяющим условию (1.4), будет у = уо = 0 . При этом по форму¬
лам (1.7) легко получается выражение для вибрационного момента
т Ei со2 „ ^
-—-—Я cos a + oG cos (a- 0)] при p = q= 1 ^9^
0 при p *q
Примечательно, что даже в самом грубом приближении при определении
функции у получилось то же выражение вибрационного момента для ос¬
новного режимар = q = 1, что и при использовании метода Пуанкаре [51,
72]. Вместе с тем при использовании нулевого приближения оказывается
возможным найти вибрационный момент только для этого режима.
(«) = -
126
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[TJI5
Вычислив первое и второе приближения для функции у, после не¬
сложных, однако несколько громоздких вычислений получим по формуле
(1.7) следующие выражения для вибрационных моментов
i/i
т со
[Н cos а + а G cos (а - 0)] +
(mg г 0 т ei 3 ГТТ „ ,
+ -—- ---■- ~z — [Я cos а - а G cos (а - 0)] +
/2 со2 32
3 2
+ (m El) “ [Я cos а + а G cos (а - 0)] [Я2 + (72 - 2 а G Я cos 0] -
512/^
к (т ер'
/2С03
^2 + ^(Я2 + С2)
1/2
2(т ер g
[а Н sin 2 а + G sin(2 а - 0)],
V2/\ = amgei(7£l) [5Я2cos а + 22 G2cos (а-2 0) +
576 Г
+ 18 a G Я cos (а - 0)] - к El.) х
Z2 со 3
Х + Ш [14(я2 + с2> + 1ЭаСЯсо50]^
Vi/з =
729 (т g ер т £i
32/2 со2
[Я cos 3 а + a G cos (3 а - 0)] -
729 (т ei)3 со2 Г1.гз „ з Л
г— [Я cos 3 а - a G cos (3 а - 0)] +
2048 /2
+ G Н [2 а Я cos (3 а - 0) + G cos (3 а - 2 0) - 2 G cos За] -
гг2 ru А:(теО2 [27 2
- аСЯ cos (За+ 0) - % ’ \-^г g -
Га? I2
[ 7 (Я2 + G2) + 18 а ОЯсов 0] f,
Vj/1 = —-£l) [Я3 cos а + а <7 Я2 cos (а - 0)
2048 /
- G2#cos(a-2 0) - aG2cos(a-3 0)] -
*) Приводимые выражения получены 0.3.Мал аховой, уточнившей соответствующие
формулы статьи [98] и исправившей ряд вкравшихся в них погрешностей.
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
127
+ G2cos(3a-2 0) + 2 a GHcos (3 a - 0)] -
Таким образом, при учете двух приближений для функции \|/ уда¬
ется получить выражения вибрационных моментов в кратных режимах
p/q = 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 2/3 и уточнить выражение для вибрационного мо¬
мента в основном режиме p/q = 1. Вычисление следующих приближений
вряд ли оправдано, так как соответствующие поправки к значениям вибра¬
ционных моментов малы, а режимы с большими значениями р и q трудны
для практической реализации (см. ниже).
5.1.3. Стационарные режимы вращения ротора и их устойчивость.
Имея выражения (1.10), из уравнения медленных движений (1.5) - основ¬
ного уравнения вибрационной механики получаем следующее соотноше¬
ние для нахождения значений угла a , соответствующих возможным ре¬
жимам стационарного вращения ротора:
Условие наличия у уравнения (1.11) вещественных решений относительно
а и будет являться условием существования соответствующего режима
вращения. Определенному значению a = а*а, найденному из уравнения
(1.11), будет отвечать устойчивое движение, если
при выполнении противоположного неравенства рассматриваемое движе¬
ние неустойчиво. Такой вывод получается, если составить уравнение в ва¬
риациях для уравнения (1.5) и решения a = а* .
На рис. 5.1,в представлена графическая интерпретация изложенного:
стационарным режимам соответствуют точки пересечения кривой
у= Vp/q (а) и горизонтальной прямой у = - a L + R°\ знаком "плюс" поме¬
чены точки, соответствующие устойчивым, а знаком "минус” - неустойчи¬
вым режимам. Если прямая у= -gL + R° не пересекает кривую
У = Vp/q (a) , то изучаемый режим невозможен. Поскольку в случаях ре¬
жимов типа p/q = 1/1, 2/1 и 3/1 в выражение для Vр/я (а) входят только
sin а и cos а , то в этих случаях может иметь место только один, суще¬
ственно отличный от прочих ( с отличающимися на 2 тс л значениями а*,
где п = ± 1, ± 2,...) устойчивый стационарный режим. В случае p/q = 1/2
таких устойчивых движений может быть два, а в случаях p/q = 1/3 и
p/q = 2/3 - три.
Vp/q (a) + aL(ap со/q) = R* (р со/q).
(1.11)
d a
< 0;
(1.12)
128
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[TJI5
Нетрудно построить потенциальные функции, соответствующие выра¬
жениям (1.10) и равенству (1.11), то есть такие функции D р/я, что
dDp/q / d а = - [Vp/q (тх) + oL (op со/q-R° {p со / q)\ ;
устойчивые движения рассматриваемого вида будут соответствовать точ¬
кам минимума этих функций.
Апостериорная проверка справедливости основных предположений
метода прямого разделения движений в данном случае проводится впол¬
не аналогично тому, как это было сделано в § 4.2. Однако в ней нет осо¬
бой надобности, поскольку мы интересуемся лишь окрестностями устой¬
чивых стационарных режимов вращения ротора, которым соответствуют
d = 0 и а = а* (см. замечание 4 п. 2.2.8). Что же касается других обла¬
стей значений а и а , то в них основные предположения, как нетрудно
видеть, справедливы при условии, что у * г а. Нетрудно также убе¬
диться, что для основного режима частота колебаний ротора X вблизи
стационарного значения а = а* имеет порядок V т zfJb +Н2 /7\о,
то есть X « со в силу сделанных предположений.
5.1.4. Вибрационное поддержание вращения ротора. Рассмотрим
наиболее интересный случай, когда вращающийся момент отсутствует, то
есть L (ф) = 0 . В этом случае уравнение (1.11) принимает вид
Vp/q (а) = R 0 (р m/q) (1ЛЗ)
то есть выражает условие, чтобы момент сил сопротивления компенсиро¬
вался вибрационным моментом. При наличии у этого уравнения вещест¬
венных решений а = а* существуют стационарные режимы вращения ро¬
тора с частотой р со/q\ соответствующие движения устойчивы при вы¬
полнении неравенства (1.12). В свою очередь, для существования у урав¬
нения (1.13) вещественных решений относительно а необходимо и доста¬
точно, чтобы выполнялось неравенство
(Ур/q) вк > R 0 (р со/*) <1Л4>
где (Vp/q) max “ наибольшее значение по а вибрационного момента (мо¬
дуль вибрационного момента). Эта величина согласно (1.13) определяет
максимальный момент сопротивления, который может быть преодолен
ротором в рассматриваемом режиме, а также максимальную мощность
(Np/q) max = (Vp/q) max СО, (1.15)
которая может быть передана вибрацией на вал ротора.
Неравенство (1.14), таким образом, представляет собой основное усло¬
вие возможности вибрационного поддержания вращения неуравновешен¬
ного ротора. Входящие в это условие величины (Vp/q) max согласно (1.10)
определяются формулами (пренебрегаем слагаемыми, пропорциональны¬
ми коэффициенту демпфирования к, которые обычно невелики по срав¬
нению с остальными; впрочем, эти слагаемые могут быть легко учтены
путем их добавления к моменту сил сопротивления R 0 (р со/q)):
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
129
(Vl/i) max — TYl Zi (О Л \/\ ,
(Vvi) mm
(mei)3i42ig
576 Г
(m eO3 со2Л |/i
_ 4 (m Ei) A i/2 g
BX — у »
= 729 (m ei)3 со2 (Лиз)3
204SI2
729 (m ei)3g/4
(1.16)
2048 /2 64/"
здесь через Ли, Л Л 2/3 обозначены положительные величины с
размерностью амплитуды, определяемые соотношениями
Л i/icos х 1/1 =
1 — V
1 +
1
2 С2
Я2
+ ^ctGcos 0
Л i/isin Х1/1 = 2 ст G sin 0
1 — v
1-
1 + V
2 С24
j 2С2л
J?2
И
А 1/2 cos Х1/2 = | (Я+ ст G cos 0), Л i/2 sin х 1/2 = | ст G sin 0 ;
Л 21 cosХ2/1 = 5tf2+18crGtf cos 0 + 22G2cos20 ,
Л 21 sin х 2/1 = 18CTGtfsin0 + 22G2sin20;
о
Л 3/з cos Xi/з = ^ 2 (Я + ст G cos 0) + ст G cos 0 (G 2 - tf ^ _
- Я3 + G2Н{2 - cos2 0),
Л f/э sin Xi/з = ст G sin 0
2
^В2 + G2-ЗН2-2а G Н cos 0
Л з/1 cos х 3/1 = Н2 {Н +СТ G cos0)-G2 (Яcos 20 + ctG cos 30),
л|/1втхз/1 = CTG(tf2sin0 - CTGtfsin20-G2sin3 0);
•423COsX2/3 = .//2 + G2cos20 + 2CTGtfcos0,
^i»^sinX2/3 = G2sin20 + 2CTGffsin0
(v= 3 (m eig)2/16/2(04, B2-%g2/co4, C2=G2+H2-2oGHcos 0). (1.17)
Выражения (1.16) существенно упрощаются в случае вибрации по кру¬
говой траектории радиуса R, когда G = Н = R, 0 = 0 или 0 = тс:
mе 1 со2Л * 3 (mei)3g2 .
(Kl/i)„u = (1 + ст )- — г—(1 — ст ),
2 32 /2 со2
2(mеi) ♦ (mei) gR
(У 1/2) та = :— — (1+СТ ) , (Кг/Оиих = ? (3 + 2 СТ ),
1 64/
... . 729 (mei)3g2/? .. *ч ,Т, ч .
1/з) шах — ^ о о (1 + С ) , (Кз/i) щах — 0,
32 /2Ю2
5 ИЛБлашан
130
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[HL5
(V2/3) = Щ (me^gR2 (1 + (1Л8)
а* = asgn(cosG) = ± 1 0*19)
Нетрудно заметить, что введенная таким образом величина a* = 1 ,
если рассматривается вращение ротора в направлении, совпадающем с на¬
правлением движения оси ротора по эллиптической траектории (1.1), и
а* = - 1 при несовпадении указанных направлений.
Из формул (1.17), (1.18) следует, что условие поддержания вращения
ротора в направлении движения его оси по эллиптической траектории
для всех режимов является более “мягким”, чем соответствующее усло¬
вие для случая, когда указанные направления противоположны (в первом
случае вибрационные моменты больше, чем во втором). При колебаниях
оси по круговой траектории вращение ротора в противоположном направ¬
лении для большинства кратных режимов вообще невозможно. Режим
вращения ротора типа 3/1 в случае круговых колебаний в принятых
предпо-ложениях также невозможен, независимо от направления враще¬
ния.
Рассмотрим подробнее случай основного режима р = q = 1, наиболее
интересного для приложений. Если пренебречь обычно малой по сравне¬
нию с единицей величиной v , то согласно формулам (1.17) будем иметь
А 1Л = А = \ VG2 + tf2 + 2aGtf cose, (1.20)
Z
и тогда
(Р1/1) ши = те1ш2А = FA, О-21)
2
где через F - тг i со обозначена центробежная сила, развиваемая при
вращении ротора, если его ось неподвижна. Воспользовавшись известны¬
ми формулами аналитической геометрии, нетрудно выразить полуоси эл¬
липтической траектории вибрации а и Ъ через параметры G, Н и 0 :
V2 GH |cos9|
а =
V-<72 + Н2 - л/(С2 + Я2)2- 4 G2H2 cos2 0
ь = , — (I-22)
V-G 2 + Я2 + V(G 2 + Я2) 2 + 4 G Н2 cos ^ 0
и придать формуле (1.20) следующий простой вид:
А т = А = |(а + о*6). (1.23)
Величину А можно назвать эффективной амплитудой колебаний оси
ротора. В соответствии с (1.23) эта амплитуда равна полусумме полуосей
эллипса (1.1), если рассматривается вращение ротора в направлении дви¬
жения его оси по эллиптической траектории (а* = 1), и равна полуразно-
сти полуосей при несовпадении указанных направлений (а* = - 1).
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
131
Таким образом, формула (1.21) допускает следующее простое истол¬
кование: модуль вибрационного момента в основном режиме приближен-
но равен произведению центробежной силы F = те i со на эффективную
амплитуду вибрации оси ротора. В случае прямолинейной вибрации
оси Ъ = 0, и А = 1/2 а, то есть эффективная амплитуда попросту равна
половине амплитуды колебаний оси. При вибрации оси ротора по круго¬
вой траектории радиуса R = а = Ъ эффективная амплитуда А = R, если
рассматривается вращение ротора в том же направлении, что и движение
оси по окружности. В случае же, когда указанные направления противо¬
положны, эффективная амплитуда, а вместе с нею и приближенное зна¬
чение модуля вибрационного момента (V щ) щах обращаются в нуль.
Из формулы (1.23) следует, что условия вращения ротора в направле¬
нии движения оси ротора по эллиптической траектории (а* = 1) более
благоприятны, чем условия его вращения в противоположном направле¬
нии (а* = - 1). Исключением является лишь случай прямолинейной виб¬
рации Ъ = 0, когда оба направления вращения "равноправны".
Формула (1.21) может служить для грубой оценки вибрационного
момента, передаваемого на неуравновешенный ротор с вибрирующей
осью, и в более сложных случаях, например, при исследовании самосинх¬
ронизации (см. § 6.2 и 6.4). Заметим также, что условие возможности виб¬
рационного поддержания вращения (1.14) для основного режима приобре¬
тает особенно простой вид в случае, когда сопротивление вращению ро¬
тора обусловлено преимущественно сопротивлением в подшипниках. Так,
для подшипников качения Rc (со) = \-fFd, где/ - коэффициент трения
Z
в подшипнике, d - диаметр его внутреннего кольца. В результате при уче¬
те (1.21) неравенство (1.14) сводится к требованию
2a/d >/. (1.24)
— 3 — 2
Если учесть, что обычно 10 < / < 10 , то отсюдд видно, что вращение
ротора может поддерживаться колебаниями, амплитуда которых значи¬
тельно меньше размера его подшипников.
Отметим и весьма важное для приложений обстоятельство: величина
максимальной мощности (N \/\) щах , которая может быть передана вибра¬
цией на вал ротора в основном режиме, при практически реализуемых па¬
раметрах вибрационных устройств весьма значительна. Так, например, при
mti = 10 кГ м, А = 0,25 10"2 м и со = 314 с"1 получаем
(N l/l) щах — (V1/1) may СО = ТТ1 £ 1 .А (0 —
= 10 0,25 10-2 З143 - 0,8 • 106 Н • м/с - 800кВт!
При учете соотношений (1.10), (1.20) и (1.21) уравнение (1.13) для основ¬
ного режима примет вид (напомним, что мы пренебрегаем величиной
9 9 9 4.
v = 3 (т е 0 g / 16 I со по сравнению с единицей)
- FA cos (а - х) = R ° (со) (1.25)
где угол % определяется равенствами (1.17). При выполнении условия
(1.14), то есть неравенства FА > R° (со) (или в случае подшипников ка¬
132
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[TJL5
чения - неравенства (1.24)), это уравнение имеет два существенно различ¬
ных решения:
<хР> = Х + 8, а!2) = х - 6, (1.26)
где
1 к
— п < о = arccos
Л°(С0)
FA
< л,
(1.27)
причем согласно (1.12) условие устойчивости сводится к неравенству
sin (а - х) < 0 . так что решению а I1’ отвечает неустойчивое, а решению
(2)
а V - устойчивое движение.
Обратимся к рассмотрению прочих ("кратных") режимов. Из формул
(1.16) - (1.18) следует, что режимы типа 1/2, 2/1 и 2/3 невозможны при
отсутствии ускорения свободного падения g, то есть в случае, когда ось
ротора вертикальна; напротив, все прочие рассматриваемые режимы могут
существовать и при g = 0. Далее, численный анализ выражений (1.16) по¬
казывает, что значение модуля вибрационного момента и максимальной
передаваемой мощности для основного режима значительно превышает
эти значения для кратных режимов. Так, в случае круговой вибрации при
совпадающем с нею направлении вращения ротора (а* = 1) и при значе¬
ниях параметров m ei = 10 кГ м , R = 0,25-10 2 м, I = 1кГ м2,
со = 147 с-1 по формулам (1.18) получаем
— (У 1/1) шах (0 — 79 кВт , (N1/2) max = (V 1/2) шах ТГ ~ 0,7 кВт ,
(N1/з)шах - (Yl/з):
тят 0 ~ 2,5* 10 кВт,
(NvOi
со
3
(^2/l)maT(^2/l)max 2 СО ~ 1,4*10 кВт, (Л/з/Опмиг21 0.
Поэтому если основной режим находит
многочисленные практические приложе¬
ния, то реализация кратных режимов, по
крайней мере без использования дополни¬
тельных устройств, затруднительна.
Одна из идей состоит здесь в приложе¬
нии а ротору момента, периодически зави¬
сящего от угла поворота ротора ср, напри¬
мер, путем использования эксцентрично
связанной с ротором пружины [74, 93]. При
наличии такой пружины (рис. 5.2) в соот¬
ветствующих формулах для Vp/q вместо ве¬
личины mg г 1 будет фигурировать величи¬
на т g ei + То I , где То - натяжение пружи¬
ны, а I - расстояние от точки шарнирного
крепления пружины до оси ротора. Так, на-
Рис. 5.2. Один из способов улуч- пример, если принять Т01 = 60mg ei, то
теки» условий вибрационного под- Тех же условиях получим:
держания кратных режимов r J J
вращения неуравновешенного (W1/2) дм* ~ 43 кВт, (N1/3) may ~ 93 кВт,
ротора (N 2/1) max = 0,085 кВт.
§5.1]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
133
Возможны и другие пути повышения значений (Np/q) max при p/q ф 1,
основанные на увеличении степени неравномерности вращения ротора в
стационарных режимах.
В заключение следует отметить, что для роторов, установленных в
обычных подшипниках качения, характерно "жесткое" возбуждение рас¬
смотренных режимов - они возникают и устойчиво поддерживаются лишь
при условии предварительного разгона ротора до значения частоты вра¬
щения, относительно близкой к частоте стационарного вращения.
Заметим также, что неуравновешенный ротор на вибрирующем осно¬
вании можно рассматривать как своеобразный синхронный двигатель, не
требующий подвода электроэнергии: каналом, передающим энергию, слу¬
жит само вибрирующее основание, на котором ротор установлен. Такой
двигатель можно назвать вибродвигателем синхронного типа (о вибро¬
двигателях асинхронного типа см. § 9.4).
5.1.5. Вибрационное захватывание вращения неуравновешенного
ротора электродвигателя. Как КПД двигателя может стать боль¬
шим единицы. Рассматривая основной режим, запишем уравнение (1.11)
в виде
gL (асо) - Д°(со) + FA cos (а- %) = 0. (1.28)
Условием наличия у этого уравнения вещественных корней является не¬
равенство
| gL (а со) - R0 (со) | < FА = (Vm) max , (1-29)
при выполнении которого уравнение (1.28) допускает два существенно
различных режима: один из них устойчив, а другой неустойчив (см. также
рис 5.1 ,в). Неравенство (1.29) и является условием, при котором происхо¬
дит захватывание вращения ротора электродвигателя внешней частотой
со, тогда как при отсутствии вибрации он вращался, вообще говоря, с не¬
которой иной частотой.
Чтобы придать этому условию более отчетливую с физической точки
зрения форму, введем в рассмотрение так называемую парциальную угло¬
вую скорость вращения ротора электродвигателя (Оо, понимая под тако¬
вой частоту вращения ротора на неподвижном основании, отсчитываемую
в отличие от ф (см. рис. 5.1,а), в направлении вращения ротора в рассмат¬
риваемом движении. Очевидно, что так определенная скорость соо удов¬
летворяет уравнению
gL{g со о) = R0 (со о) sgn со о. (1.30)
Отметим, что вибрация основания, на котором установлен двигатель с
неуравновешенным ротором, может вызвать вращение ротора в направле¬
нии, противоположном тому, в котором его стремится вращать двигатель.
В этом случае, отвечающем работе двигателя в генераторном режиме,
афо=со0<0,то есть парциальная скорость отрицательна. Отметим,
что понятие о парциальной скорости можно рассматривать как обобщение
понятия о частоте автоколебаний на вращающиеся объекты. Существен¬
ное отличие, однако, состоит в том, что парциальная скорость вращения
может быть как положительной, так и отрицательной.
134
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
Пусть, однако, 0)о > 0 , то есть двигатель работает в нормальном ре¬
жиме. Тогда если частота вибрации со совпадает с С0о, то согласно (1.30)
и условие (1.29) непременно выполняется. Иными словами, если при от¬
сутствии вибрации основания ротор вращался в установившемся режиме с
частотой ф о = С7 (Оо , то при наличии вибрации с частотой со = С0о ротор
также сможет вращаться с той же частотой. Рассматриваемый режим, од¬
нако, будет существовать и в случае, когда частота колебаний отлична от
парциальной скорости (Оо , но не слишком от нее отличается, так что
вибрационный момент может скомпенсировать "избыточный момент"
aL(aco) - Л°(со) . Таким образом, будет, вообще говоря, существовать
интервал изменения частоты вибрации
внутри которого вращение ротора захватывается внешней частотой; шири¬
ну этого интервала называют полосой захватывания. В случае относи¬
тельно малых А 1 и А 2 , линеаризовав зависимости a L (а со) - R 0 (со)
и F = me 1 (О2 вблизи со = соо, из неравенства (1.29) находим
причем обычно к > 2 т Е\ соо > 0.
Из формул (1.32) следует отсутствие порога захватывания - такого
значения эффективной амплитуды вибрации А, при котором полоса за¬
хватывания пропадает. Для обычной простейшей автоколебательной
системы аналогичный факт был установлен А.А.Андроновым и
А.А.Виттом [9].
Заметим, что полоса захватывания для рассматриваемой системы мо¬
жет быть достаточно широкой. В частности, как следует из изложенного
в п. 5.1.4, парциальная скорость соо может быть равной нулю (двига¬
тель отсутствует или выключен из сети), и несмотря на это, вращение ро¬
тора может захватываться вибрацией. Более того, помимо интервала
(1.31), содержащего частоту соо, могут быть и иные промежутки измене¬
ния частоты со , в которых имеет место захватывание. Эти области можно
выявить путем построения графиков функций aL(aco), Я°(со)
и mei(D2A [72].
Из приведенных соотношений видно, что при со < соо вибрационный
момент подтормаживает ротор, а при со > С0о подталкивает его. В этом
последнем случае с вала двигателя снимается мощность, превышающая
подводимую из сети. В результате экспериментатор, не заметивший виб¬
рации основания и неуравновешенности ротора, то есть наблюдатель W
(см. предисловие), придет к ошибочному выводу о том, что коэффициент
оЬ(о со) - R0 (со) = oL (a соо) - R0 (соо) = 0,
-Ai<co-cOo<A2 (А 1 > 0 , А 2 > 0)
(1.31)
А 1 = (Оо - а>1 =
А 2= а>2- Wo =
к + 2 т ei Юо
где
к = -
d [gL (a to) -R ° ((о)
(1.33)
d со
С0= (Но
§52]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛАНЕТАРНОГО ДВИЖЕНИЯ 135
полезного действия двигателя превышает единицу. Наблюдатель V легко
объяснит этот парадокс наличием вибрационного момента.
Заметим, что в случае кратных режимов исследование эффекта захва¬
тывания проводится вполне аналогично; аналогичными будут и результа¬
ты, с той, однако, оговоркой, что эффект оказывается выраженным, вооб¬
ще говоря, значительно слабее вследствие меньших значений модулей
вибрационных моментов (см. п. 5.1.4).
§ 5.2. Устройства "ролик (шар) в вибрирующей полости”
и "кольцо на вибрирующем стержне (хула-хуп)" -
вибрационное поддержание планетарного движения
5.2.1. О рассматриваемых устройствах: краткая библиографиче¬
ская справка. Неуравновешенному ротору, вращающемуся в подшипни¬
ках, который был рассмотрен в § 5.1, родственны два других устройства,
изображенные на рис. 5.3. Первое устройство (рис. 5.3/2) представляет со¬
бой круговой цилиндрический ролик или шар, лежащие с зазором в ци¬
линдрической полости; второе (рис. 5.3,6) состоит из кругового кольца,
Рис. 5.3. Вибрационное поддержание планетарного движения, а) ролик (шар) в вибрирующей
полости; б) кольцо на вибрирующем стержне ("хула-хуп")
также с зазором сидящего на цилиндрическом стержне. В первом случае
вибрация тела, в котором расположена полость, а во втором - вибрация
стержня с частотой со при определенных условиях вызывает и устойчиво
поддерживает обкатку ролика или шара в полости и кольца по стержню,
причем центры тяжести обкатывающихся тел С движутся по окружностям
вокруг центров 0\ полости или стержня со средней частотой
< ф > = ± р а)/£, где, как и выше, р и q - некоторые целые положитель¬
ные числа. Иными словами, в этом случае имеет место эффект вибраци¬
онного поддержания планетарного вращения. Хорошо известным при¬
мером второго устройства является игра - упражнение "хула-хуп".
Эффект вибрационного поддержания стационарного планетарного
движения нашел важные применения в технике, в частности, в новых ма¬
136
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
шинах для дробления и измельчения руды и других твердых материалов -
в виброинерционных дробилках и мельницах [68, 347, 443]. Процесс
дробления или измельчения материала в таких машинах происходит в за¬
зоре между поверхностями полости и обкатывающегося ролика, шара или
другого тела вращения. Принципиальной основой для указанных прило¬
жений является, во-первых, возможность передачи посредством вибрации
обкатывающемуся телу значительных мощностей, особенно, как и для не¬
уравновешенного ротора, в основном режиме (р = q = 1), а также тот
факт, что в данном случае стационарное планетарное движение в указан¬
ном режиме является мягко возбуждающимся - оно быстро устанавлива¬
ется при всех практически встречающихся начальных условиях, соответ¬
ствующих пуску машины.
Эффект поддержания планетарного движения ролика в полости, со¬
вершающей двухкомпонентные гармонические колебания, рассмотрен ме¬
тодом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова в работе автора [51] (1954
г.). Исследованию эффекта применительно к теории дробильно-измель-
чительных машин посвящены статьи Б.Н.Дубровина, А.Д.Рудина, А.К.Рун-
дквиста и автора [62, 63, 177, 355] (1960 - 61 гг.). Экспериментальное исс¬
ледование режимов установления планетарного движения ролика под
действием вибрации методом скоростной киносъемки выполнено в работе
автора [72] (1960 г.). Перечисленные исследования изложены и обобщены
в книгах [72, 84, 95]. Теория игры-упражнения "хула-хуп" рассмотрена в
работе Кауги [436] (1960 г.). Исследование планетарного движения ролика
в вибрирующей полости выполнено Д.Иноуэ, И.Араки, С.Хаяси и
С.Мияура [443] (1966 - 1967 гг.).
В настоящем параграфе задача рассматривается методом прямого раз¬
деления движений, причем результаты совпадают с полученными ранее
другими методами.
52.2. Уравнение движения, основное уравнение вибрационной
механики. Будем предполагать, что в рассматриваемых движениях ролик
или шар не отрывается от поверхности полости, а кольцо - от поверхно¬
сти стержня, причем как то, так и другое тело обкатываются по соответ¬
ствующим поверхностям без проскальзывания; условия, при которых эти
предположения выполняются, будут рассмотрены ниже. Тогда движение
ролика (шара) и кольца можно рассматривать как движение системы с
одной степенью свободы. Колебания тела, в котором расположена по¬
лость, а также стержня предполагаем, как в § 5.1, заданными форму¬
лами (1.1). В результате движение рассматриваемых тел будет описывать¬
ся уравнением
I ф = т g £i cos ф - т £i со2 [Я sin со t sin ф +
+ G cos (со t + 0) cos ф] - R (ф, ф, со t). (2.1)
Здесь ф - угол между прямыми 0\ С, соединяющими центры полости
(стержня) с центрами ролика или шара (кольца) и осью Ох неподвижных
осей координат хОу (рис. 5.3); т - масса ролика или шара (кольца);
Ъ 1 - радиус ролика (внутренний радиус кольца); 6i = 0\ С - эксцентриси¬
§5.2]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛАНЕТАРНОГО ДВИЖЕНИЯ
137
тет, причем в случае ролика или шара R\ = b\ - Е\ - радиус полости, а в
1+ /с
случае кольца R\ = Ъ\ - ei - радиус стержня; I = т е i х т 2
I mb 1
приведенный момент инерции ролика или шара (кольца), причем 1с есть
момент инерции соответствующего тела относительно оси, проходящей
через его центр тяжести. Через R обозначен момент сопротивления пере¬
катыванию ролика (кольца):
R = R (ф, ф, to t) = /' eiTVsgn ф, (2.2)
где /1 - коэффициент сопротивления перекатыванию, а N - нормаль-
ная реакция между контактирующими телами, определяемая формулой
N = т (ei ф2 -I- g sin ф - х cos ф + у sin ф), (2.3)
в которой х и у заданы равенствами (1.1). Формула (2.3) получается из
уравнения движения центра тяжести ролика или шара (кольца) С в про¬
екции на нормаль к его траектории, рассматриваемой в подвижных осях,
параллельных осям неподвижной системы хОу.
При учете равенств (2.2) и (2.3) дифференциальное уравнение (2.1)
принимает следующий окончательный вид:
I ф = т g ei cos ф - т ei со2 [Я sin со t sin ф + G cos (со t + 0) cos ф] -
-m/'ei [Ясо2sin cof cos ф-G со2cos (cof + 0) sin ф + e ф2 + £ sin y]s&i ф. (2.4)
По типу это уравнение такое же, как и уравнение движения ротора (1.2);
по-прежнему будем разыскивать его решения вида (1.3), ограничиваясь к
тому же основным режимом (р = q = 1). Поэтому выпишем сразу основ¬
ное уравнение вибрационной механики для рассматриваемой задачи, не
останавливаясь на процессе его получения методом прямого разделения
движений:
la + ka = V\п (а) -/'те2со2. (2.5)
Здесь к = 2/1 mefco > 0 - коэффициент демпфирования, а
V i/i (а) = - ~ m £i со2 {Я (cos а - /1 sin а) +
id
+ а G [cos (а - 0) - /'sin (а - 0)]} (2.6)
- вибрационный момент, учитывающий (в усредненном виде) наличие бы¬
стро изменяющейся части момента сопротивления R (ф, ф, со t) и поэтому
имеющий несколько более сложную структуру, чем соответствующее вы¬
ражение (1.10), составленное с той же точностью (принимается
v = 3 (m е0 2gz / 16/2 со4 - 0).
Если воспользоваться обозначениями (1.19) - (1.23), а также ввести
угол р' согласно равенству
.*Р' =/'. (2.7)
то формуле (2.6) можно придать следующий простой вид:
ут (а) = - cos (« + Р1 - X) • (2.8)
138
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
Значения угла а = а* , соответствующие стационарным режимам плане¬
тарного движения тел, определяется, таким образом, из уравнения
cos (а* + р1 - X) = - ^ sin р 1, (2.9)
которое получается из уравнения (2.5) при а = а* = const и при учете
обозначения (2.7). Условие наличия у этого уравнения вещественных ре¬
шений £i sin р1 / А < 1 и будет условием возможности рассматриваемого
стационарного режима планетарного движения ролика, шара или кольца,
поддерживаемого вибрацией. С учетом обозначения (2.7) этому условию
можно придать следующий простой вцд:
£i Vl + (f')2
А < Т
~< V ’ . (2.10)
При выполнении последнего неравенства уравнение (2.9) имеет два суще¬
ственно различных решения относительно ои ; согласно условию вида
(1.12) одно из них соответствует устойчивому, а другое - неустойчивому
движению. Как и в § 5.1, для рассматриваемого случая не составляет тру¬
да построить потенциальную функцию D (а) , то есть такую функцию,
что
dD / da = - Vin (a) + /'mei со2.
Остается рассмотреть условия, при которых ролик, шар или кольцо
обкатываются по соответствующим поверхностям без отрыва и проскаль¬
зывания. Эти условия выражаются неравенствами
^>0, | Fl\<flNi (2.11)
где F1 - сила трения в точке контакта между телами , а/1 - коэффициент
трения покоя. Выражение для силы трения, получаемое аналогично выра¬
жению (2.3) для силы N, имеет вид
F1 = m (g cos ф + х sin ф + у cos ф). (2.12)
При учете выражений (1.1) нетрудно заключить, что для выполнения ус¬
ловий (2.11) достаточно выполнения неравенства
1 +/1
\
/i
Это условие обычно выполняется с достаточным запасом.
El со2
V
< 1 . (2.13)
5.2.3. Обсуждение результатов, их приложения. Критическая
щель виброинерционных дробильно-измельчительных машин. Рас¬
смотрим условие возможности изучаемых движений (2.10) несколько под¬
робнее. Смысл этого условия состоит в том, что эксцентриситет Е\ не
должен превышать эффективную амплитуду колебаний А более чем в
Vl + (/*')2 //' раз. Учитывая, что по экспериментальным данным (см.,
например, [72, с. 678]) коэффициент /' варьирует для цилиндрического
ролика в пределах 0,1 </' < 0,4 , получаем, что величина
♦) Здесь в соответствии с дополнительными данными, полученными в институте “Ме-
ханобр”, указан несколько более широкий диапазон изменения/, чем в книге [72].
§5.2]
ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛАНЕТАРНОГО ДВИЖЕНИЯ
139
V = Vi + if)2 //' заключена в пределах 10 > г\* > 2,7 ; при этом зна¬
чения /' = 0,1, Т|* = 10 соответствуют качению цилиндрического роли¬
ка по гладкой металлической поверхности, а значения/' = 0,4, Т|* = 2,7
- качению ролика по находящемуся в полости слою разрушаемого
материала.
Изложенные результаты приводят к понятию критической щели виб-
роинерционных дробильно-измельчительных машин [62, 63, 177], которое
состоит в следующем. Под щелью S в такой машине понимается удвоен¬
ное значение эксцентриситета Е\ , то есть величина S = 2, а под кри¬
тическим значением этой щели S* - ее значение, максимально допусти¬
мое по условию (2.10). Иными словами,
5* = 2еГ = = ЦА, (2.14)
причем согласно (2.10) для нормальной работы машины в рассматривае¬
мом режиме должно выполняться неравенство
S<S = t\*A. <2Л5>
Учитывая приведенные выше реальные пределы изменения величины г\* ,
заключаем, что S* = (2,7 -*■ 10) А, то есть критическая щель практически
не может превысить десятикратное значение эффективной амплитуды
вибрации, но может оказаться и близкой к 2,7 Л.
Понятие критической щели играет существенную роль при расчете и
проектировании виброинерционных дробильно-измельчительных машин.
Отметим при этом, что условию (2.14) нетрудно придать энергетическую
форму, то есть выразить как условие, чтобы мощность, расходуемая на
процесс дробления или измельчения, не превосходила некоторого пре¬
дельного (критического) значения.
Уточнение понятий о кри¬
тической щели и критической
мощности применительно к
конкретным виброинерционным
машинам можно найти в цити¬
рованных выше публикациях.
Там же, в докладе [347] и в
книге [95] приводятся сведения
о самих машинах этого типа,
позволяющих надеяться на су¬
щественный прогресс в технике
и технологии дробления и измельчения. Подчеркнем, что важным обстоя¬
тельством при создании таких машин является установление рассмотрен¬
ного режима планетарного движения тел (обкатки) при начальных усло¬
виях, соответствующих пуску машины, то есть мягкое возбуждение этого
режима [72].
Отметим в заключение следующее любопытное обстоятельство. При
изучении движения шарика, помещенного в закрытую на концах трубку,
совершающую гармонические колебания с амплитудой А (рис. 5.4), полу¬
чается (см., например, [72, 214, 215]) следующее условие существования
2 Si
Ф тр
Рис. 5.4. Шарик в вибрирующей трубке
140
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ5
стационарного режима с двумя последовательными соударениями шарика
о противоположные концы трубки за каждый период ее колебаний:
Нтт!- (2Л6)
^де R - коэффициент восстановления при ударе, а - половина длины
хода шарика в трубке. Иными словами, получается аналог формулы (2.10),
причем роль коэффициента сопротивления перекатыванию играет вели¬
чина р. Более того, значения р при изменении коэффициента восстанов¬
ления R в наиболее широких пределах 0,2 < R < 0,55, приводимых для
систем, подобных рассматриваемой в справочной литературе, лежат в ди¬
апазоне 0,2 < р < 0,4, сравнительно близком к указанному выше диапазо¬
ну изменения коэффициента/1. Неравенство (2.16) играет при проектиро¬
вании ряда виброударных дробильно-измельчительных машин ту же роль,
что и неравенства (2.10) и (2.15) при проектировании виброинерционных
конусных дробилок и мельниц.
Таким образом, налицо примечательное соответствие между результа¬
тами, полученными для двумерных "гладких" систем, и для одномер¬
ной виброударной системы. Это соответствие еще не получило истолко¬
вания: можно предположить, что здесь имеет место не просто случайное
совпадение.
§ 5.3. Неуравновешенный ротор (механический дебалансный
вибровозбудитель) в колебательной системе -
вибрационное торможение вращения, эффект Зоммерфельда
5.3.1. О рассматриваемых эффектах: краткая библиографическая
справка. В большинстве существующих вибрационных машин и устройств
колебания возбуждаются механическими дебалансными вибровозбудите¬
лями. Такие возбудители, устанавливаемые на одном из тел системы,
представляют собой неуравновешенные роторы, приводимые во вращение
электродвигателями асинхронного типа (рис. 5.5, а - е). Поведение коле^
бательной системы с механическим вибровозбудителем характеризуется
рядом примечательных закономерностей, имеющих важное практическое
значение.
1. Если возбудитель, ось вращения которого совершает заданные пе¬
риодические колебания (см. п. 5.1.5), либо отдает энергию источнику виб¬
рации (вибрация тормозит вращение), либо отбирает энергию от этого ис¬
точника (вибрация поддерживает вращение), то в рассматриваемом случае
всегда имеет место вибрационное торможение ротора. Этот эффект легко
понять: при наличии в колебательной системе диссипации двигатель дол¬
жен затрачивать энергию не только на преодоление момента сопротивле¬
ния в подшипниках ротора, но и на поддержание возбуждаемых колеба¬
ний. Естественно также, что вибрационное торможение ротора резко воз¬
растает вблизи резонансов колебательной части системы (предположим
вначале, что колебательная часть системы линейна): частота вибрации со
при этом стабилизируется вблизи одного из собственных значений /?, то
§5.3]
ВИБРАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ
141
есть почти не изменяется по мере увеличения подводимой к ротору мощ¬
ности, оставаясь меньшей р (рис. 5.5, в).
2. При достижении подводимой мощностью некоторого критического
значения N*, а частотой со - значения, весьма близкого к р, происходит
срыв колебаний, сопровождающийся резким ростом частоты вращения ро¬
тора до значения со* и столь же резким падением амплитуды колебаний.
После этого при уменьшении или увеличении подводимой к двигателю
мощности частота изменяется плавно. Правый склон пика резонансной
кривой при данном способе возбуждения колебаний оказывается нереали¬
зуемым (рис. 5.5, г).
Вторая из отмеченных закономерностей, не поддающаяся объяснению
в рамках линейной теории вынужденных колебаний, по-видимому, впер¬
0
N* N
О
(£)*& р со* си
г
Рис. 5.5. Неуравновешенный ротор в колебательной системе
142
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
вые была описана А.Зоммерфельдом еще в 1902 г. [465], а затем С.П.Ти-
мошенко [384] (1934г.); ее часто называют эффектом Зоммерфельда.
Экспериментальное исследование этого эффекта было выполнено
A.К.Калишуком [200] (1939 г.) и В.С.Мартышкиным [278] (1940 г.), которы¬
ми сделаны также первые попытки теоретического исследования вопроса.
Однако полного объяснения наблюдаемых закономерностей в этих рабо¬
тах получено не было, поскольку в них фактически не рассматривался
вопрос об устойчивости движения. В дальнейшем И.Рокар [458] (1949 г.)
дал постановку задачи об исследовании эффекта Зоммерфельда как за¬
дачи о взаимодействии возбудителя колебаний с колебательной системой,
но вследствие допущенной ошибки пришел к неправильному заключению
об области устойчивости движения.
Строгое исследование эффекта методом Пуанкаре было выполнено
автором в работе [50] (1953 г.), а применительно к родственной системе-
регулятору Буасса - Сарда - в совместной работе Г.Ю. Джанелидзе и авто¬
ра [53] (1955 г.). Обобщение результатов этих работ дано в книге [72].
Необходимо отметить также исследование эффекта в монографии Р.Ма-
зета [454] (1955 г.) и обстоятельное математическое рассмотрение в статье
B.М.Болыиакова, Е.С.Зельдина, Р.М.Минца и Н.А.Фуфаева [108] (1965 г.).
Всестороннее развитие теория соответствующих систем (колебатель¬
ных систем с ограниченным возбуждением) получила в работах В.О.Ко-
ноненко [231], К.В.Фролова, их учеников и последователей (1958 г. и поз¬
днее). Наиболее полные библиографические сведения о работах этого на¬
правления приведены в монографии А.А.Алифова и К.В.Фролова [6], а
также в книге [72] и в справочнике [125, т. 2]. Краткое обсуждение опи¬
санных эффектов приводится в книгах Я.Г.Пановко и И.И.Губановой [319]
и автора [95]. Из последних работ сошлемся на статью А.В.Печенева [329],
в которой дается существенное дополнение результатов ранее выполнен¬
ных исследований (см. также п. 5.3.3).
В данном параграфе показано, что описанные закономерности доста¬
точно просто получаются и истолковываются с позиций вибрационной ме¬
ханики. С точки зрения наблюдателя V все они объясняются возникнове¬
нием вибрационного момента, действующего на вал ротора (рис. 5.5,6).
Преимущества такого подхода в данном случае особенно ощутимы, по¬
скольку рассмотрение сложной нелинейной системы с п + 1 степенью
свободы (л - число степеней свободы колебательной части системы) сво¬
дится к рассмотрению одного автономного уравнения медленных дви¬
жений, имеющего первый порядок, то есть соответствующего системе с
”1/2 степенью свободы”.
53.2. Простейший случай: колебательная часть системы линей¬
на и имеет одну степень свободы. Наиболее простая система, в кото¬
рой, однако, в полной мере проявляются описанные выше эффекты, пред¬
ставлена на рис. 5.5, а. На платформе массыЛ1 , связанной с неподвиж¬
ным основанием линейным упругим элементом жесткости с и демпфиру¬
ющим элементом с коэффициентом вязкого трения Р, установлен неурав¬
новешенный ротор, приводимый во вращение от электродвигателя асинх¬
§5.3]
ВИБРАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ
143
ронного типа* Уравнения движения такой системы имеют вид
/ ф = L (ф) - R (ф) + т ei (х sin ф + g cos ф),
Мх + pi + сх = т ei (ф2сов ф + фвш ф). (3.1)
Здесь ф - угол поворота ротора, отсчитываемый от горизонтального на¬
правления; х - смещение платформы от положения, соответствующего
недеформированному упругому элементу; т, / и Ei - соответственно мас¬
са, момент инерции и эксцентриситет ротора; М =А+ т - масса системы,
L (ф) - момент, передаваемый на ротор от электродвигателя, R (ф) - мо¬
мент сопротивления вращению ротора, который, как и в § 5.1, может
включать сопротивление в подшипниках и полезную нагрузку.
Используя метод прямого разделения движений, будем интересовать¬
ся решениями уравнений (3.1) вида
ф = со (t) + \|/ (Г, со t), х = х (f, со t), (3.2)
где со - медленно, а \|/ и х - быстро изменяющиеся функции времени,
причем \|/ и х являются 2 к - периодичными по х = со t и их средние за
период по т равны нулю:
< у (f, т) > = О, < х (t, х) > = 0; (3-3)
предполагаем также, что \|/ « со . Как и в § 5.1, линеаризуем раз¬
ность L - R вблизи ф = ф о = со:
L (ф) - R (ф) - L (со) - R (со) - к (ф - со), к - к (со) > 0. (3.4)
Тогда уравнения (2.55), (2.56) гл. 2 представятся в виде
/со = L (со) - R (со) + V: (со), (3.5)
/\|/ = - k\\f + (Jc, ф), (3.6)
Мх + Р х + с х - т ei (ф2 cos ф + ф sin ф), (3.7)
где обозначено
V1 (со) = т Ei < х sin ф + g cos ф > , (3.8)
(х, ф) = т ei [х sin ф + g cos ф - < х sin ф + g cos ф > ] ,
и имеется в виду, что вместо ф, ф и ф подставлены выражения, соот¬
ветствующие равенству (3.2).
Предполагая, согласно изложенному в § 2.2, что со(t) достаточно вели¬
ко, будем разыскивать решения системы (3.6), (3.7) при замороженных f,
со (t) и co(f); кроме того, примем, что выражение ¥ (х, ф) мало и можно
положить
У&ф) - дЧ^&ф), (3.9)
где |1 > 0 - малый параметр. В первом приближении решением уравнения
(3.6), удовлетворяющим условию (3.3), будет \|/ = \|/0 = 0 . Тогда соглас¬
но (3.2) будем иметь ф0 = со (t) , и можно принять
t
Ф = ф0 = J со (0 d t = со (t) t + а (0 , (ЗЛО)
о
где а (0 - некоторая функция t. Подставим выражение (ЗЛО) в урав¬
нение (3.7), учитывая, что согласно принятому предположению
144
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
ф = со (t) « со 2 (t) = ф 2 ; поэтому в рассматриваемом приближении мож¬
но пренебречь вторым слагаемым в правой части этого уравнения по срав¬
нению с первым. Тогда асимптотически устойчивым при J1 достаточно ма¬
лых 2 л -периодическим по со t решением уравнения (3.7) при заморожен¬
ном t, удовлетворяющем условию (3.3), будет
х = х0 (t9 со t) = 77V cos (со t + а + у), (3.11)
М А
где обозначено
А = V(1 - Хг )1 + 4 л z, X = /7/ со, р = Vc /М, л = (5/2М со,
8шу=-2л/А, cos у = - (1 - X2) / А . (3.12)
Подставив выражения (3.10) и (3.11) в (3.8) и выполнив усреднение, по¬
лучаем следующую приближенную формулу для вибрационного момента:
(со) = F(w) = - (т £,1.а>) 2 -Д (3.13)
м (1 - X2)2 + 4л2
Итак, основное уравнение вибрационной механики в рассматриваемом
приближении имеет вид
/со - L (со) - R (со) + К(со), (3.14)
то есть соответствует системе с “1/2 степенью свободы”, тогда как исход¬
ная система (3.1) имела две степени свободы. Отметим также, что это
уравнение отличается от классического уравнения машинного агрегата
[15, 124] наличием слагаемого К(со), которое и определяет своеобразие
поведения системы.
Выражение для вибрационного момента (3.13) может быть представ¬
лено в форме
V = - ^:Fa sin у = - Fmax sin у, (3.15)
где F = т 6i со 2 - амплитуда вынуждающей силы, развиваемой ротором
при неподвижной платформе, а
а = тех / М[(1-Х2)2 + 4л2]1/2
- амплитуда колебаний платформы. Эта формула вполне соответствует
выражению (1.21), поскольку согласно (1.23) в случае прямолинейных ко¬
лебаний эффективная амплитуда Л -\а.
Мы сознательно получили здесь основное уравнение (3.14), опустив
для краткости ряд рассуждений по обоснованию вывода: при желании эти
обоснования могут быть легко воспроизведены. Отметим лишь, что по¬
лученный результат вполне согласуется с результатами, найденными дру¬
гими методами, в частности, в отношении стационарных режимов - мето¬
дом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова [72].
Остановимся на рассмотрении таких режимов. Частота вращения ро¬
тора в этих режимах определится из уравнения
L(со) = Л (со) - К(ю). (3.16)
§5.3]
ВИБРАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ
145
На рис. 5.5,5 изображены зависимости R (со), R (со) - V(со) и L (со),
причем L (со) примерно соответствует статической характеристике асинх¬
ронного электродвигателя; на рисунке представлены три таких характери¬
стики - L,L 1 и Ь2- Из рисунка и непосредственно Тнз формул (3.12) и
(3.15) видно, во-первых, что вибрационный момент, как и следовало ожи¬
дать, всегда является тормозящим, и, во-вторых, что его зависимость от
частоты вращения носит резонансный характер: | К(со) | имеет максимум
вблизи со = р . Существенно ( и на первый взгляд парадоксально), что
этот максимум тем больше, чем меньше безразмерный коэффициент де¬
мпфирования л, то есть тормозящее действие вибрации может быть тем
большим, чем меньше демпфирование в колебательной части системы.
Однако данная закономерность вполне понятна, исходя из формулы
(3.15): резонансная амплитуда a max также возрастает с уменьшением л.
Стационарным режимам, согласно (3.16), на рис. 5.5, д соответствуют
точки пересечения кривых!/ (со) и R (со) - К(со), причем при рассматри¬
ваемом характере кривых таких точек может быть одна или три. Составив
уравнение в вариациях для определенного стационарного решения
со = со* уравнения (3.14), заключаем, что этому решению будет соответст¬
вовать устойчивое движение, если
R' (со*) - V1 (со*) > 1}(со*). (3.17)
Отсюда сразу следует, что точкам типа со S* и со *3) соответствуют ус¬
тойчивые, а точкам типа со *2) - неустойчивые движения. В итоге как раз и
оказывается, что правый склон пика резонансной кривой является нереа¬
лизуемым (рис. 5.5,г).
Если бы ротор был установлен на неподвижном основании, то частота
его установившегося вращения со о (парциальная угловая скорость -
см. 5.1.5) определялась бы из уравнения
L (со) = R (со).
Как видно из рис. 5.5,5, со о > со (s = 1, 2, 3); это соответствует сделан¬
ному выше заключению, что в рассматриваемой системе всегда имеет ме¬
сто торможение ротора.
Вообразим теперь, что мы плавно увеличиваем вращающий момент
двигателя L, а тем самым и подводимую мощность N = Leo , стремясь
увеличить частоту вращения ротора со ; в условиях рис. 5.5,5 это соответ¬
ствует переходу от кривой L i к кривым L и Ь2- Если ротор установ¬
лен на неподвижном основании, то со плавно возрастает (кривая 1 на
рис. 5.5,в). Если же ротор связан с колебательной системой (кривая 2), то
наблюдается закономерность, о которой в начале параграфа говорилось
как об эффекте Зоммерфелъда: на начальном участке О А, когда вибра¬
ционный момент относительно мал, частота со увеличивается примерно
так же, как при вращении ротора на неподвижном основании. Затем, ког¬
да частота со приближается к частоте свободных колебаний р, увеличе¬
ние со происходит очень медленно, несмотря на существенное увеличе¬
ние подводимой мощности N (участок АБ), сопровождающееся ростом
амплитуды колебаний а. Наконец, при определенном значении N - N*
происходит скачкообразное увеличение частоты до некоторого послере-
146
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
зонансного значения со = со * ; амплитуда колебаний резко падает. При
дальнейшем плавном увеличении N частота со снова изменяется плавно
(участок Cd).
Таким образом, на основе уравнения (3.14) и формулы (3.12) для виб¬
рационного момента, играющего роль своеобразной дополнительной на¬
грузки, получают объяснение все закономерности поведения системы, о
которых говорилось в п. 5.3.1.
53.3. Общий случай: колебательная часть системы нелинейна и
имеет несколько степеней свободы. Результаты п. 5.3.2 естественно
обобщаются на случай гораздо более сложной системы, представленной
на рис. 5.5,е. Колебательная часть системы в этом случае представляет
собой несколько твердых тел В i ,...,2?л, связанных одно с другим и с не¬
подвижным основанием упругими и демпфирующими элементами; эта
часть системы может иметь и бесконечное число степеней свободы и
быть нелинейной. Основное уравнение вибрационной механики (3.14) при
этом сохраняет свой вид, то есть по-прежнему соответствует системе с
“1/2 степенью свободы”; более сложную структуру имеет лишь выраже¬
ние для вибрационного момента К(со). Алгоритм получения этого соотно¬
шения методом прямого разделения движений при этом остается преж¬
ним, возрастают только чисто технические трудности; приведем здесь
лишь соотношения общего характера.
Уравнения движения системы могут быть представлены в форме:
/ф = £(ф)-Я(ф)+М(ф,Й1), Du = ф, ф). (3.18)
Здесь обозначения ф, /, L (ф) и R (ф) имеют тот же смысл, что и в урав¬
нениях (3.1); и - вектор обобщенных координат колебательной части сис¬
темы; М(ф, й 0 - момент сил, действующих на ротор вследствие ко¬
лебаний тела, на котором он установлен ( и i - вектор обобщенных коор¬
динат этого тела; его компоненты являются частью компонент вектора и);
D - некоторый дифференциальный оператор, не обязательно линейный;
F - вектор обобщенной вынуждающей силы, действующей на колебатель¬
ную систему со стороны ротора. Тогда формула для вибрационного мо¬
мента в основном уравнении (3.14) имеет вид
V(со) = < М (со н ?) > , (3-19)
где и J - значение вектора и ь соответствующее асимптотически устойчи¬
вому периодическому решению уравнения
D и0 = F (0, со, со f), (3.20)
найденному при замороженных со = со (t) и t; в случае нелинейной ко¬
лебательной части системы таких решений может быть несколько, при¬
чем каждому решению будет соответствовать отдельное выражение для
У (со).
В заключение отметим, что предельно простое уравнение (3.14), по¬
зволяя объяснить основные закономерности поведения системы, вместе с
тем дает ответ не на все вопросы, связанные с ее поведением. Обстоя¬
тельное исследование, выполненное А.В.Печеневым в цитированной выше
§5.3]
ВИБРАЦИОННОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ
147
работе [329], позволило обнаружить более сложную иерархичность дан¬
ной системы - наличие в ней не только быстрых и медленных, но также и
"полумедленных" движений. При этом удалось построить область притя¬
жения устойчивого околорезонансного режима и описать процесс "кача¬
ний" ротора вблизи такого режима.
5.3.4. О некоторых приложениях. Рассмотренные эффекты сущест¬
венны для ряда приложений; остановимся вкратце на некоторых из них.
Одно из наиболее важных приложений связано с весьма распростра¬
ненным в вибрационной технике способом возбуждения вибрации - по¬
средством использования вращающихся неуравновешенных роторов ( ме¬
ханических инерционных вибровозбудителей). Значительная неуравнове¬
шенность ротора в этом случае создается преднамеренно, и поэтому по¬
лезный эффект стабилизации частоты и весьма нежелательный эффект
срыва резонансного режима при колебаниях нагрузки здесь весьма суще¬
ственны [72, 125, т. 4].
Внешне другой системой, в которой эти эффекты также играют ос¬
новную роль, является регулятор Буасса - Сарда (рис. 5.6). В этом регу¬
ляторе благодаря стабилизации частоты колебаний "малого" груза mg
вблизи резонансного значения р =Vc / т обеспечивается примерное по¬
стоянство скорости опускания основного груза Mg [53].
Рис. 5.6. Вибрационный стабилизатор скорости опускания груза (регулятор Буасса-Сарда)
Другая группа приложений связана с вредным эффектом вибрацион¬
ного торможения неуравновешенного ротора или другого источника виб¬
рации в колебательной системе. Если в случае, рассмотренном в п. § 5.2,
наблюдатель, не заметивший неуравновешенности ротора двигателя и
вибрации его оси, то есть наблюдатель W (см. предисловие), мог прийти
к ошибочному заключению, что КПД двигателя больше единицы, то в
148
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
рассматриваемом случае неучет этих факторов может привести его к вы¬
воду (также ошибочному) о существенном снижении мощности двигателя
или о значительном увеличении сопротивлений вращению ротора. В ли¬
тературе описаны интересные проявления этого эффекта. Так, известен
случай, когда судовой двигатель упорно не выходил на номинальное чис¬
ло оборотов Ло, несмотря на вполне нормальное достаточно низкое трение
в валопроводе, измеренное в статических условиях. Причина обнаружи¬
лась случайно. Выяснилось, что подводимую мощность "отсасывает" уча¬
сток стального каната, лежащего на палубе: частота его свободных коле¬
баний оказалась несколько меньшей л о, и при приближении к ней он на¬
чал интенсивно вибрировать.
Известны также случаи, когда машинисту локомотива не удавалось
увеличить скорость движения поезда до желаемого значения, несмотря на
существующее передвижение ручки контроллера. Скорость скачкообраз¬
но увеличивалась лишь при заметном превышении подводимой мощно¬
стью обычно требуемого уровня. Причина состояла в том, что вблизи оп¬
ределенного значения скорости частота колебаний вагонов, возбуждаемых
прохождением колесами стыков рельсов, оказывалась близкой, например,
к частоте колебаний жидкости в не полностью заполненных цистернах.
Этот случай интересен, в частности, тем, что колебания "отсасывающие",
энергию, обусловлены не неуравновешенностью ротора, а другой причи¬
ной, хотя механизм явления остается прежним. На данное своеобразное
проявление эффекта вибрационного торможения указали Ю.Г.Минкин и
С.А.Вольфсон, которые рассмотрели также его теорию [287].
§ 5.4. Машинные агрегаты
Зависимость приведенного момента инерции и момента сил сопротив¬
ления в машинном агрегате от угла поворота вала, упругость звеньев ме¬
ханизма, а также неидеальность характеристики двигателя и некоторые
другие факторы могут существенным образом повлиять на работу агрега¬
та как в установившемся, так и в нестационарных режимах [15, 123, 124,
214, 227 - 229]. В стационарных режимах эти факторы приводят к колеба¬
ниям частоты вращения агрегата, к некоторому изменению среднего зна¬
чения этой частоты относительно номинального значения, а при пуске - к
ситуации, вполне подобной описанному в § 5.3 эффекту Зоммерфельда.
Обратив внимание на два последних эффекта, М.З.Коловский отметил,
что они могут быть истолкованы как результат действия вибрационного
момента, выражение для которого было получено им методом малого па¬
раметра Пуанкаре [227]. М.З.Коловский обратил также внимание автора
на целесообразность использования концепции и аппарата вибрационной
механики для решения ряда задач динамики машинных агрегатов и робо¬
тотехники. Для иллюстрации соответствующих возможностей рассмотрим
изученную в работе [227] систему методом прямого разделения движений.
Схема системы представлена на рис. 5.7. Роторный двигатель асинх¬
ронного типа 1 связан с механической системой машины 2 упруго-де-
МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
149
мпфирующим элементом (муфтой) 3. Момент инерции ротора двигателя
/1 предполагается постоянным, а приведенный к валу двигателя момент
инерции машины /г(Ф 2) - 2 ni - периодически зависящим от приведен¬
ного (умноженного на i) угла
поворота главного вала ф 2 (* -
передаточное отношение). Вра¬
щающий момент двигателя L,
как и выше, считается заданным
его статической характеристи¬
кой L (ф О, а приведенный мо¬
мент сил сопротивления
R 2 (ф 2, Ф 2) полагается 2 к i -пе¬
риодической функцией угла ф г-
Упруго-демпфирующий элемент
считается безынерционным; его
жесткость и коэффициент со¬
противления обозначены соответственно через с и р.
Уравнения движения описанной системы имеют вид
/1Ф1 + р (ф 1 - ф2) + с(ф!-ф2) = L(<pi),
J 2 (ф 2) ф 2 + X ^Г^^ф2+Р(Ф2-ф1)+С(ф2-ф1) = -Л2(ф2,ф2). (4.1)
Z а ф 2
Периодические функции / 2 и R 2 представим в виде
/г(фг) = 12,0 + М-/ г(фг),
R 2 (Ф 2, ф 2) = R 2,0 (Ф 2) + М-R 2 (Ф 2, ф г),
Рис. 5.7. Схема машинного агрегата
(4.2)
где
2тп
2 ni
12.0=-J-т \ /2(ф2)^ф2, Лло(ф2 = Г^Т j Лг(ф2,ф2)^ф2; (4.3)
Zm i Zki т
I 2 (ф 2) = X 7*" Sil1 (-П Ф 2 + Y") >
П=1
Л 2 (Ф 2, ф 2) = X Л 2,я (ф 2) Sill (Л ф2+6п),
п=1
(4.4)
причем величину |1 > 0 будем рассматривать как малый параметр, пред¬
полагая тем самым, что отклонения функций /2 и R 2 от их средних за
период значений / 2,0 и Л 2, о (ф 2) малы. Кроме того, подобно соотноше¬
ниям (3.4), заменим моменты 1/(ф0 и Лг.оСфг) вблизи "рабочего" зна¬
чения частоты вращения ф1,о=ф2,о = со, заранее неизвестного вследст¬
вие автономности системы (4.1), их линейными выражениями
L (ф i) = L (to) - А:* (ф 1 - со), Л2,о(ф2) = -К2,о(ш) + £°(ф2-со) (4-5)
где к* > 0 и к ° > 0. При учете равенств (4.2) и (4.5) уравнения движения
150
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
(4.1) запишутся в форме
/1 Ф1 + Р (ф 1 - ф г) + с(ф!-ф2) + А: * (ф 1 — со) = L( со),
/г,о фг + Р(фг-Ф0 + с (фг-фО + А:0(фг-со) =
- Л 2,о (со) + цФ(ф2,ф2, фг), (4.6)
где обозначено
Ф(ф2,ф2,ф2) = -[/2(ф2)ф2 + \ d/A(CP2) Ф2+ ^ СФ 2, ф 2) ] - (4.7)
Z и ф 2
Будем интересоваться решениями уравнений (4.6) вида
ф5 = со t + a* (t) + \\fs (f, со t) (s = 1,2), (4.8)
где oti и a2 - медленно, а \|/1 и \|/ 2 - быстро изменяющиеся функции
времени, причем \|/1 и \|/2 имеют период 2ni по соt и удовлетворя¬
ют равенствам
<\|/!> = о, < у2> = о, (4-9)
в которых (а также и всюду ниже) усреднение по со t предполагается про¬
изводящимся за тот же период, а предположение о медленности измене¬
ния oti и а2 понимается в том смысле, что a i « со и а 2 « со.
Используя для разыскания решений (4.8) метод прямого разделения дви¬
жений, будем считать в уравнениях (4.6) все моменты, кроме |1 Ф , мед¬
ленными и запишем уравнения (2.55) и (2.56) гл. 2 в виде
/1 a 1 + р (ot 1 - ot 2) + с (oti - a2) + к* ot i = L (со),
12,0 Ot 2 + P (Ot 2 — Ot i) + С (Ot 2 — Oti) + k°(X2 =
= - R 2(o (со) + д < Ф > ; (4-1°)
7i\|/i + POjfi - \jf2) + с (\|/1 - у*) + fc*\j/i = 0,
12,0 ^ 2 + P (vj/ 2 “Vi) + c(\\f2 - Vl) + k°y 2 = Д(Ф “ <ф>). (4-11)
Разыскивая 2 ni -периодические по со f решения уравнений (4.11) при
замороженных ot i, a 2, oti, ot2 и t в виде рядов по степеням малого па¬
раметра
V* = V® + (XV® + ... (я = 1,2), (4.12)
получим
V® = о,
ОО
= - £ { а.г12,ns-M's(n со) sin [л (cof+ a2) +
Л=1
+ 7п + е*(ли>)] + ^ (w + а 2)2 л /(п со) cos [л (соt + аг) +
+ Уп + е * (л со) ] + R 2,я (со + a2)Jls (л со) sin [л (со t + a2) +
+ 8n + e,(n(o)]}, (4.13)
§5.41
МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
151
где через Ж5 (п со) и г5(п со) обозначены соответственно амплитудно-
и фазочастотные характеристики линейной части системы, то есть выраже¬
ния, входящие в периодическое решение ys=AMs (со) sin [otf + е^(со) ] сис¬
темы уравнений (А - постоянная)
I\'y\ + Р (у 1 - у г) + c(yi - У 2) + к* у \ = О,
/2,0^2 + Р (у 2 - ji) + с(У2 - у 1) + к°у 2 = л sin со Г. (4.14)
Использование формул (4.13) при учете соотношений (4.6) - (4.8) при¬
водит к выражению для вибрационного момента следующего вида (с точ¬
ностью до слагаемых порядка ц2):
V(a.2,av(a) = |i2 V2 (a 2, a 2, со) = |1<Ф> =
ОО
= 2 (л со) Fn(a 2, a 2) • (4.15)
n=l
Здесь через Tv* (a 2, a 2) обозначены функции a 2 и a 2 , получающиеся
в результате несложных, однако громоздких вычислений, на которых
здесь не будем останавливаться.
При учете формулы (4.15) уравнения медленных движений (4.10) - ос¬
новные уравнения вибрационной механики для рассматриваемой задачи -
приобретают вид
/1 a 1 + Р (a 1 - a 2) + с (а 1 - a2) + к * a 1 = L (со),
12,0 cx2 + P (cx2 — cx 1) + с (cx2 — ai) + k° ct 2 —
= ~ Я 2,o (со) + V(ii2, a2>ui), (4*16)
Отметим, что применимость метода прямого разделения движе¬
ний, согласно замечанию 4 п. 2.2.9, гарантирована при достаточно
больших со, по крайней мере вблизи стационарных режимов
ai = a 1 = const, a2 = a 2 - const, которые и рассмотрим ниже. Для таких
режимов из уравнений (4.16) получаем
с( ai - a2) =L( со), c(a2-a0 =-Л 2,0 (со) + V(Q, 0, со). (4.17)
Складывая эти равенства, приходим к следующему уравнения для опреде¬
ления частоты вращения со = со* в стационарных режимах:
L (со) = R 2,о (аз) - 7(0, 0, со). (4.18)
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения L (со) = R2>о (со)
при отсутствии зависимости приведенного момента инерции / 2 и момента
сил сопротивления R 2 от угла поворота ф 2 наличием вибрационного мо¬
мента V ; соответственно отличными оказываются и определяемые ими
значения частот вращения со* и со о. По своему смыслу уравнения
(4.18), как и аналогичные уравнения (1.11), (1.28) и (3.16) настоящей гла¬
вы, являются уравнениями равновесия средних моментов или (после ум¬
ножения на со ) - уравнениями энергетического баланса в системе.
152
РОТОРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, МАШИННЫЕ АГРЕГАТЫ
[ГЛ. 5
При учете " пикового" характера зависимости (4.15) момента V от
со как раз и можно прийти к заключению о возможности в рассматривае¬
мой системе эффекта Зоммерфельда, описанного в § 5.3. Такое заключе¬
ние вытекает из рассмотрения хода кривых L(co) и R 2,0 - V (0, О, со), абс¬
циссы точек пересечения которых со* соответствуют возможным устано¬
вившимся режимам; эти кривые вполне подобны кривым, изображенным
на рис 5.5,5 (где, однако, использованы несколько иные обозначения ве¬
личин). Как и в задаче § 5.3, в общем случае возможны три точки пересе¬
чения со , со i2) и со *3), соответствующие трем различным режимам. При
этом устойчивые режимы отвечают двум крайним точкам со*1* и (о(3) ,
что устанавливается путем несколько более полного решения данной за¬
дачи (с учетом процесса установления по переменной со), на котором, од¬
нако, здесь не будем останавливаться.
Нетрудно видеть, что приведенные результаты вполне соответствуют
полученным в цитированной работе М.З.Коловского [227]. В дальнейшем
М.З.Коловский исследовал динамику машинного агрегата В значительно
более общей постановке, охватывающей специфику задач робототехники
[228, 229]. Для решения нелинейных задач им предложен метод, при кото¬
ром уравнения движения агрегата реализуются на ЭВМ посредством алго¬
ритмов, основанных на использовании метода кинетостатики или уравне¬
ний Лагранжа 2-го рода, после чего уравнения интегрируются методом
последовательных приближений. За исходное приближение при этом
принимается закон программного движения агрегата; для указанного за¬
кона вычисляются обобщенные силы и находится закон движения в пер¬
вом приближении и т.д. Как отмечается, сходимость процесса последова¬
тельных приближений обеспечивается дискретизацией моментов времени,
для которых производится отыскание решений, и использованием сплайн-
интерполяции на интервалах между этими дискретными моментами.
Метод М.З.Коловского позволяет после получения первого или
более высоких приближений найти вибрационные моменты, то есть
получить основные уравнения вибрационной механики для данного
класса систем.
Глава 6. Самосинхронизация механических
вибровозбудителей
§ 6.1. О явлении синхронизации неуравновешенных роторов
(механических вибровозбудителей). Краткий обзор исследований.
Самосинхронизация неуравновешенных роторов представляет со¬
бой одно из удивительных явлений, обусловленных вибрацией. Это явле¬
ние состоит в том, что два или более кинематически и электрически не
связанных между собой ротора, установленные на общем подвижном ос¬
новании и приводимые в движение от независимых асинхронных двигате¬
лей, вращаются синхронно, то есть с одинаковыми или кратными средни¬
ми угловыми скоростями и с определенными взаимными фазами. При
этом согласованность вращения роторов возникает, несмотря на различие
между их парциальными угловыми скоростями, то есть теми скоростями,
с которыми они вращаются, будучи установленными на неподвижном ос¬
новании (см. п. 5.1.5). Тенденция к синхронному вращению оказывается во
многих случаях столь сильной, что даже выключение одного или не¬
скольких двигателей не приводит к выпадению из синхронизма: роторы с
выключенными двигателями могут продолжать вращаться неограниченно
долго. Энергия, необходимая для поддержания их вращения, передается
от включенных в сеть двигателей благодаря вибрации основания, на кото¬
ром роторы установлены. Эта вибрация может быть едва заметна; у на¬
блюдателя V складывается впечатление, будто между роторами имеются
упругие валики или пружины (рис.6.1). Заметим, что простейшее прояв¬
ление (можно сказать - и простейшая идеализация) этого эффекта было
рассмотрено в § 5.1, где речь шла о поддержании вращения неуравнове¬
шенного ротора под действием заданной вибрации его оси.
Рис. 6.1. Самосинхронизация механических вибровозбудителей, а) Два или более неуравно¬
вешенных ротора, установленных на общем подвижном основании и приводимые от асинхрон¬
ных двигателей, вращаются с одинаковой средней скоростью со, тогда как те же роторы на не¬
подвижном основании имеют разные скорости вращения coi и сог. (верхний рисунок).
Синхронность вращения может сохраняться даже при выключении одного из двигателей
(coi = 0 или сог = 0); б) у наблюдателя V создается иллюзия, будто роторы соединены
пружиной
154
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
Толчком к обнаружению явления самосинхронизации неуравновешен¬
ных роторов как раз и послужило случайное наблюдение описанного эф¬
фекта. При длительных испытаниях вибрационной машины с двумя меха¬
ническими вибровозбудителями, то есть именно неуравновешенными ро¬
торами, приводимыми от асинхронных электродвигателей, оборвался про¬
вод, подводящий напряжение к одному из двигателей. Наличие обрыва,
однако, выяснилось лишь спустя несколько часов, ибо установка продол¬
жала нормально работать.
Сделанное наблюдение было зафиксировано Д.А*Плиссом и И.М.Аб-
рамовичем в отчете института ,fMexaHo6p" [331] (1948 г.). Первая из изве¬
стных нам зарубежных публикаций, касающихся самосинхронизации виб¬
ровозбудителей, появилась позднее - в 1950 г. в виде патента на конкрет¬
ные простейшие вибрационные устройства, выданного на имя шведского
изобретателя Сигнула [463, 464]; соответствующая заявка была сделана в
Швеции в 1946 г., однако материалы по ней до выдачи первого патента
[464] (1950 г.) не публиковались.
В 1953 г. автором дано физическое объяснение и математическое опи¬
сание явления самосинхронизации механических вибровозбудителей [50],
причем были использованы методы малого параметра и теории устойчи¬
вости движения Пуанкаре и Ляпунова. Затем результаты этой статьи бы¬
ли развиты и дополнены как в работах автора, так и других отечественных
исследователей - П.М.Алабужева, М.Д.Алимжанова, А.М.Арзамаскова,
М.М.Афанасьева, Л.К.Балабатько, О.П.Барзукова, Е.С.Брискина,Р.М.Брум-
берга, И.И.Быховского, Л.А.Вайсберга, И.И.Виткуса, Л.И.Гендлиной,
Б.В.Годованника, П.С.Гольдмана, Л.А.Гольдина, Г.Г.Григоряна, Ю.Ю.Гя-
цявичюса, В.В.Гузева, Г.А.Денисова, П.Д.Денисова, А.Т.Джакашова,
Л.Б.Зарецкого, А.К.Зуева, Е.Н.Иванова, М.Ш.Кирнарского, А*Н.Косолапо-
ва, И.И.Круша, Б.И.Крюкова, А.Л.Кумпикаса, Б.П.Лаврова, Н.В.Лебедева,
И.Н.Луговой, А.И.Лурье, В.А.Макарова, О.З.Малаховой, Ю.И.Марченко,
Р.Ф.Нагаева, К.А*Олехновича, БЛ.Опирского, А*В.Печенева, О.Г.Пирцха-
лаишвили, Е.И.Плохотнюка, И.А*Поповой, В.Н.Потураева, К.М.Рагульски-
са, А.Д.Рудина, В.М.Соболева, Н.Г.Тимофеева, ВЛ.Туркина, А.Д.Учителя,
К.В. Фролова, К.Ш.Ходжаева, А.Г.Червоненко, З.Г.Чунца, О.Я.Шехтер,
Л.М.Шифрина, Н.П.Ярошевича. Из зарубежных публикаций по теории са¬
мосинхронизации, появившихся после 1965 г., отметим работы В.Богуша и
З.Энгеля, Р.Миклашевского, Л.Шперлинга, И.Араки, Д.Иноуэ, С.Мияура,
Ю.Окада, С. Теруо, С. Хаяси, С. Мори, Т.Маевского. Обзор и изложе¬
ние некоторых основных результатов перечисленных исследований дан в
книгах автора [72, 84, 95] и в справочнике [125, т.4]; ряд результатов с
соответствующими ссылками будет рассмотрен по ходу изложения в на¬
стоящей главе или упомянут в обзоре, приводимом в п. 6.3.3.
Существенное значение в теории и приложениях самосинхронизации
механических вибровозбудителей имеет интегральный признак устойчиво¬
сти (экстремальное свойство) синхронных движений. Обзор и изложение
соответствующих исследований приведены в § 3.2.
Большинство теоретических исследований и экспериментально-кон¬
структорских разработок устройств с самосинхронизирующимися вибро¬
возбудителями выполнено в Санкт-Петербургском институте "Механобр";
§6.1]
ЯВЛЕНИЕ СИНХРОНИЗАЦИИ, ОБЗОР
155
этому институту и его сотрудникам выдано свидетельство на научное от¬
крытие явления синхронизации вращающихся тел (роторов) [1].
Обнаружение и теоретическое объяснение явления самосинхрониза¬
ции неуравновешенных роторов создало новые возможности в вибрацион¬
ной технике. Это связанно с тем, что в значительном числе вибрационных
машин и установок применяется не один, а несколько механических воз¬
будителей \ Так, использование многих относительно маломощных воз¬
будителей вместо одного более мощного позволяет рассредоточить вы¬
нуждающую силу по "нежесткому" вибрирующему органу значительных
размеров и тем самым обеспечить его колебания как абсолютно твердого
тела. В других случаях установка нескольких вибровозбудителей обуслов¬
лена ограниченной работоспособностью освоенных промышленностью
подшипников качения - с этой проблемой приходится сталкиваться при
создании тяжелых вибрационных машин.
Применение двух неуравновешенных роторов, вращающихся в проти¬
воположных направлениях с одинаковой частотой, позволяет получить
вынуждающую силу постоянного направления (рис. 6.2, а,б); при соответ¬
ствующих направлениях вращения можно получать также круговые, пово¬
ротные и винтовые колебания тела. Наконец, в ряде вибрационных ма¬
шин, в частности, предназначенных для дробления и измельчения твер¬
дых материалов, наряду с обычными вибровозбудителями, приводимыми
от двигателей, используются тела качения (ролики, конусы, кольца), ко¬
торые, будучи лишены двигателей, должны в рабочем режиме обкаты¬
ваться синхронно с вращением роторов обычных возбудителей (рис. 6.2,в);
такие устройства уже рассматривались в § 5.2.
До обнаружения эффекта самосинхронизации неуравновешенных ро¬
торов единственным распространенным способом согласования их враще¬
ния в вибрационных машинах было установление между роторами жест¬
ких кинематических связей в виде зубчатых зацеплений, цепных передач и
т.п. (см., например, рис. 6.2, а). Недостатком такого способа является зна¬
чительный шум и быстрый износ, сопровождающий работу зубчатой или
цепной передачи вследствие наличия знакопеременных или пульсирую¬
щих нагрузок. Кроме того, кинематический способ синхронизации сдер¬
живал развитие вибрационной техники, поскольку он не мог быть целесо¬
образно применен во многих практически важных случаях, например, при
значительных расстояниях между вибровозбудителями. При использова¬
нии самосинхронизации кинематические связи между роторами оказыва¬
ются излишними (рис. 6.2,6). Обнаружение явления самосинхронизации
неуравновешенных роторов и последовавшая затем разработка теории и
методов расчета устройств с самосинхронизирующимися вибровозбудите¬
лями привели к созданию нового класса вибрационных машин - конвейе¬
ров, питателей, грохотов, дробилок, мельниц, концентрационных столов,
специальных стендов и др. К настоящему времени зарегистрировано ( в
основном в СССР) около трехсот изобретений, основанных на использова¬
нии эффекта самосинхронизации. Многие из этих изобретений, по-види-
*) Как уже отмечалось, такие возбудители, часто называемые также дебалансными,
используются в настоящее время в большинстве вибрационных устройств.
156
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
Рис. 62. Возможности использования самосинхронизации роторов, а) "Старый" способ согла¬
сования вращения роторов вибровозбудителей для получения направленных колебаний; б)
новый способ достижения той же цели (зубчатое зацепление излишне); в) обеспечение
синхронной обкатки тел вращения (7 - дебалансный вибровозбудитель; 2 - ролик, обкатываю¬
щийся в цилиндрической полости 3; 4 - кольцо, обкатывающееся на оси 5)
§6.2]
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ
157
мому, не могли бы быть сделаны при отсутствии теоретических исследо¬
ваний и методов расчета. Дело в том, что, как будет ясно из дальнейшего,
ряд закономерностей самосинхронизации вибровозбудителей вряд ли мо¬
жет быть предсказан на основе чисто интуитивных соображений или об¬
наружен на основе нецеленаправленного экспериментирования.
Вместе с тем возможности использования самосинхронизации вибро¬
возбудителей еще далеко не исчерпаны - постоянно появляются новые
идеи, разрабатываются новые и совершенствуются известные устройства.
Обнаружение и развитие теории синхронизации неуравновешенных
роторов привело к пониманию тендещцш к синхронизации как общего
свойства материальных объектов различной природы - тенденции к са¬
моорганизации, противоположной тенденции к хаотическому поведению.
По сути дела, возник новый раздел современной нелинейной механики -
теория синхронизации динамических систем. В частности, было уста¬
новлено, что интегральный критерий устойчивости (экстремальное свой¬
ство) синхронных движений описывает тенденцию к синхронизации и за¬
кономерности движения не только вибровозбудителей, но также и орби¬
тальных движений тел Солнечной системы. Об этих исследованиях гово¬
рится также в § 6.8 и § 19.1 - 19.5.
Большая часть упомянутых выше результатов теории синхронизации
механических вибровозбудителей получена методами Пуанкаре и Ляпу¬
нова, значительно меньшее число - с использованием асимптотических
методов; метод прямого разделения движений использован лишь в
цитированной выше книге К.М.Рагульскиса [341], а затем в работах ав¬
тора [75, 76, 81, 84].
В настоящей главе показано, что для решения задач о синхронизации
вибровозбудителей и простого физического истолкования результатов
может быть успешно использован метод прямого разделения движений и
экстремальные признаки устойчивости в том виде, как они изложены в
главах 2 и 3 книги.
§ 6.2. Простейший случай: самосинхронизация вибровозбудителей
в линейной колебательной системе с одной степенью свободы
6.2.1. Уравнения движения и постановка задачи. Большинство
особенностей постановки и решения задачи о синхронизации механиче¬
ских вибровозбудителей могут быть выяснены на простейшем примере,
относящемся к самосинхронизации дебалансных вибровозбудителей на
жесткой платформе с одной степенью свободы [50, 84].
Схема системы изображена на рис. 6.3, а,б. Жесткая платформа В
(несущее тело) связана с неподвижным основанием посредством упругого
элемента с жесткостью с и линейного демпфирующего элемента с коэф¬
фициентом сопротивления Р . На платформе установлено некоторое чис¬
ло к дебалансных вибровозбудителей - неуравновешенных роторов, при¬
водимых во вращение от электродвигателей асинхронного типа; оси рото¬
ров перпендикулярны направлению колебаний платформы.
158
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
За обобщенные координаты примем смещение платформы х от поло¬
жения, соответствующего ненапряженному упругому элементу, и углы по¬
ворота роторов (р*, отсчитываемые от направления оси Ох по ходу
часовой стрелки.
0)<р
0)>Р
У
fi
Ш
& ш
В
Рис. 6.3. Самосинхронизация вибровозбудителей в линейной колебательной системе с одной
степенью свободы
Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии системы за¬
пишутся в форме
к к
Т= ^Мх2 + \ ]Г Зъ Ф* + о Z m * с, +у С,) ,
2 2 ^ Y 2
5=1 S=1
(2.1)
П = \сх2 + ]Г mszs g(l-sin9j).
(2.2)
5=1
Здесь-Л^-
масса платформы, m s и СЗ с, - соответственно масса и момент
инерции ротора s-ro вибровозбудителя относительно оси, проходящей че¬
рез его центр тяжести Cs, g - ускорение свободного падения, es - эксцент¬
риситет, а
хс, = us+x + escos(?s у Ус, = v0-e*sii^5 (2.3)
- координаты центра тяжести s-ro ротора в системе неподвижных осейхОу
(и 0\ v - оси, жестко связанные с платформой и совпадающие с осями хОу
при х = 0; us и v о - постоянные, представляющие собой координаты осей
вращения роторов у 5в осях и 0\ v).
При учете формул (2.3) выражение для кинетической энергии преоб¬
разуется к виду
к к
Т = ~Mx2 + ~Y, Is Ф1 - rnses Ф^шф*, (2.4)
S=1
S= 1
§6.2]
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ
159
где обозначено
к
М =-d+ ^mSl I „ = Ос, + ms£s.
S= 1
Обобщенными неконсервативными силами в данном случае являются
Qx — — Р*> Qs — L s (ty s) — Л5(ф5), (2.5)
где, как и в § 5.1 и 5.3, L (ф5) - вращающий момент асинх¬
ронного электродвигателя (его статическая характеристика *), а
R s (фs) -Rs ( | ф s |) Sgn ф5 - момент сил сопротивления вращению, обус¬
ловленный, как правило, сопротивлением в подшипниках. Составляя те¬
перь при учете соотношений (2.2), (2.4) и (2.5) уравнения Лагранжа 2-го
рода, придем к следующим дифференциальным уравнениям движения
рассматриваемой системы:
Is ф5 = L s (ф 5) - R (ф 5) + т s zs (х sin ф5 +g cos ф5) (s = 1,..., к), (2.6)
к
Мх + Р х + с х = ^ ту еу (фу sin фу + фу cos фу). (2.7)
;=1
Основная задача о самосинхронизации вибровозбудителей состоит в
выяснении условий, при выполнении которых роторы всех возбудителей
вращаются с одинаковыми по абсолютной величине средними угловыми
скоростями, несмотря на отсутствие каких-либо непосредственных связей
между ними и на различие параметров, характеризующих возбудители и
действующие на них моменты. Иными словами, речь идет о выяснении
условий существования и устойчивости решений системы (2.6), (2.7) вида
ф, = аЛа>* + а, + \|Ма>*)] (s=l,...,k)9 х = х(ыt), (2.8)
где со - абсолютная величина средней угловой скорости вращения рото¬
ров, a j - постоянные (начальные фазы вращения), \\f s и х - периодиче¬
ские функции времени t с периодом Т = 2 п / со , а каждая из величина 5
равна либо 1, либо -1; первому случаю отвечает вращение ротора s-ro воз¬
будителя в положительном, а второму - в отрицательном направлении \
Величина синхронной частоты со заранее неизвестна, она подлежит опре¬
делению в ходе решения задачи.
Движения типа (2.8) назовем простыми синхронными; могут
представить интерес и кратно-синхронные движения, когда
< ф j > = о sP s ю/q s у где ps и qs - целые положительные числа. Об
этом более сложном случае будет сказано ниже.
Помимо выяснения условий существования и устойчивости синхрон¬
ных движений, представляет интерес также отыскание, по крайней мере
*) См. сноску на с. 124.
**) Величины Os введены для универсальности записи результативных соотношений.
Они характеризуют тип исследуемого синхронного движения. Так, если
Oi = l, 02=1, су з = - 1 и т.д., то это означает, что изучается движение, в котором первый и
второй роторы вращаются в направлении, принятом за положительное, третий - в направле¬
нии, принятом за отрицательное, и т.д.
160
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
приближенное, закона движения роторов и платформы в устойчивых син¬
хронных движениях, а также решение обратной задачи ("задачи синтеза"),
состоящей в таком выборе параметров (а иногда и структуры) системы,
при котором обеспечивается существование и устойчивость синхронного
движения определенного вида.
Как показывает опыт и аналитические оценки, в изучаемых синхрон¬
ных движениях реальных систем вращение роторов мало отличается от
равномерного. Поэтому функции Ls (ф5) и R 5 (ф *) , как и в § 5.1 и 5.3,
можно линеаризовать вблизи значения ф5 = со, положив
£,(ф,)-1Мф,) = Ls(<ps)-R°s( | ф, | )sgnф, =
= Ls(Os со) - csRs(со) - ks(<f>s - а* со), (2.9)
где
ks=-
Ul, ^
kt =
dR° л
S
<*|ф
S
= *КШЛ2.щ
Jq>, = o, со
d со
причем ks и k°s - соответственно коэффициенты электрического и
механического демпфирования; обычно ks и k°s , а значит, и суммар¬
ный коэффициент демпфирования k s , положительны, что и будем ниже
всегда предполагать.
Также учитывая близость рассматриваемых движений к движениям с
равномерным вращением роторов и принимая во внимание равенство (2.9),
представим уравнения (2.6), (2.7) в виде
/5ф5 + Аг5(ф5-а5С0) = |1Ф5(ф5,Зс) (s=l,...,*), (2.11)
к
Мх +Рх + сх= £ (фу sin фу + фу cos фу), (2.12)
/= 1
где
\i<&s (<рs ,х) = Ls (о* ы) - оsRs (ы) + тs zs (х sin уs + g cos ф,),(2.13)
а ц > 0 - малый параметр. Используя метод прямого разделения движений,
будем интересоваться решениями системы (2.11), (2.12) вида
Ф^ = а Лео t + а 5 (0 + у, ft со t) ], x=x(t,u>t), (2.14)
где а s — медленные, a \\f s и х - быстрые 2 к -периодические по со t состав¬
ляющие, удовлетворяющие условиям
< V* ft со t) > = 0, <х ft со 0 > = 0; (2.15)
предполагаем также, что а 5 « со.
Очевидно, что синхронным движениям (2.8) будут соответствовать
стационарные значения медленных переменных as = const.
§6.23 ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ 161
6*2.2, Основные уравнения вибрационной механики. Выражение
(2.13), согласно (2. 2), (2 .4), (2.5) и (2.9), может быть представлено в форме
11Ф(у=/^ф5 + ^5(ф^ — ст^со)— (L) + Q (2.16)
где
_ d Э Э
ф' " di Эф7 " Эф5
- эйлеров оператор, L = Т -П - функция Лагранжа системы, обобщенная
сила. Q = Ls((ps) - Rs(S?s) определяется согласно (2.9). Учитывая
также, что уравнение (2.12) может быть записано в виде
x(L) = Qx, Qx = - pi, (2.17)
заключаем, что система (2.11), (2.12) относится к системам с почти равно¬
мерными вращениями, которые были рассмотрены методом прямого раз¬
деления движений в п. 3.2.1. Поэтому здесь можно непосредственно вос¬
пользоваться результатом проведенного там исследования.
Уравнений медленных движений (основные уравнения вибрационной
механики) запишутся в виде (см. уравнения (2.38) гл. 3)
Is'ds + к sas = дсь<[Ф,]> (s = l,...,A:), (2.18)
где
ц.а,<[Ф,]> = osLs(Os<i))-Rs(®) + ms е* <jc°sin(p?> =
= + +< [с*1 ^г>. (2-19)
О CLs d OLs
причем квадратные скобки, в которые заключены функции, означают, что
эти функции вычисляются при ф5 = ф? = as((£>t + CLs) и значении
х =х °, удовлетворяющем уравнению
к
Mjc°+ pi° + cjc0^ ^ my£yco2cos(G)f+(Xy); (2.10)
j= 1
через
A = < [ Г - П ] > f (2.21)
как и в § 3.2, обозначено среднее за период значение функции Лагранжа
системы, вычисленное при ф = ф ? а х = х°.
Асимптотически устойчивое периодическое решение уравнения (2.10)
имеет вид
к
х° = х ^“icos(G)f+ay +У), (2.22)
;'=1
где использованы обозначения (3.12) гл. 5. Произведя усреднение по пер¬
вой из формул (2.19), при учете равенств
<5S = 1 /<5ss sma5a* = a*sinaj, cosa*a* = cos as,
< sin (со t + as) cos (со t + ay) > = ^ sin (as ~ ay),
6 КИБлехман
162
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ- 6
<sin(cof+af)sin(a>f+ay)> = <cos (соt + a*)cos (cof+a;)> =
= “ cos (ос $ - ay) (2.23)
получаем
дст*<[Ф*> = aiLi(aico) - Rs(со) -
2 k
-x mj£jsin(“«-aJ-v>- (224>
;=i
Как и должно быть, та же формула после более громоздких выкла¬
док, получается при использовании второго выражения (2.19). Действи¬
тельно, с учетом (2.21), (2.2), (2.4), (2.23), обозначений (3.12) гл. 5 и соот¬
ношения
к к
£ X т s zs mj tj sin (a* - ay) = 0 (2.25)
s=\ j= 1
находим
2 к к
1 Ш cosy V V
4 МА ^ ^ ms£smj£jcos(as-aj),
s= 1 ;=1
_ 7 к
д А 1 to cos у V1
= " 2 I myeysin(af-ay)>
it
, r ,, .Эх® т*е*со25ту v
ЭоГ = 2МД 2, cos(“*“aД <226)
у=1
откуда получается то же выражение (2.24). Если через L Г'Т> обозначить
"лагранжиан несущего тела" (платформы), то нетрудно прийти к соотно¬
шению
ЭЛ = _ ЭЛ^
das das
( А(/> = < [L m ] > = < [ Т® - П « ]> = < \м(х °)2 - \ с (х °)2 > ). (2.27)
Z Z
В итоге основное уравнение вибрационной механики (2.18) для рассматри¬
ваемой задачи приобретает вид
Is a s + к s a i = a * L s (ст * со) - R f (со) + Vs (a i - a *.., a *-i - a *, со), (2.28)
где
mszsw> ^
Vs = - - 2Ma ^ mitJsm(a*-ai-y) s
M
2 k
§6.2]
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ 163
= ^_ (3< i°f^> = - - р< х°|^> (2.29)
6as о as о as о as
- вибрационные моменты.
Формулы (2.22) и (2.29) упрощаются, если, рассматривая движение
вдали от резонанса колебательной части системы (когда X = /7/со в до¬
статочной мере отлично от единицы), пренебречь диссипацией энергии
при колебаниях. Полагая п = (3/2МО) = 0, получаем при учете тех же
обозначений (3.12) гл. 5
х° = - —^cos (cof + ay), (2.30)
to — р .л М
j=1
jjr
т, 1 со4 ms£s -г • / ЭЛ эл«
v‘ ’ г^-р -ИГ 2 - аТ,Ш-ЛГГ-
j= 1
л к к
1 0)
А (7) = - А = X X msesmjEjCos (a5-ay). (2.31)
Р s= 1 у=1
Иными словами, в этом случае вибрационные моменты приобретают по¬
тенциальный характер. Введя потенциальную функцию
it=l
£> = Л (i) (ai - ot*,..., а*ч - а*, со) - £ [а515 (ст5 ю) - Л J (a))](Os - а*), (2.32)
5=1
запишем основное уравнение (2.28) в виде
Isds + kscts = - (s=l,...,k), (2.33)
О ОС s
соответствующем форме записи уравнений для потенциальных в среднем
динамических систем (см. уравнения (1.3) гл. 3).
6.2.3. Анализ основных уравнений. Вибрационные моменты, пар¬
циальные угловые скорости; вибрационная связь между роторами.
Обратимся к анализу основных уравнений. Прежде всего подчеркнем, что
система (2.28) значительно проще исходной системы (2.6), (2.7) и притом
не только потому, что имеет меньший порядок, но также и потому, что
при указанном условии допускает запись в виде (2.33).
Рассмотрим выражение для вибрационных моментов, играющих ос¬
новную роль в рассматриваемой теории. Согласно формуле (2.31) виб¬
рационный момент VSy действующий на 5-й ротор, представляет собой
сумму
к
V, = '£vtJ, (2.34)
/=•
слагаемые которой
1 m,e,my£yco4 . , ч
Vsj = - Vjs = ~ 2J J2 sin (a* - ay) (2.35)
2 M(a> -p )
6-
164
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. с
являются "частными вибрационными моментами; v sj есть момент, дей¬
ствующий на 5-й ротор со стороны у-го. При этом имеет место свойство
взаимности vSj = ~ Vjs, vB = 0, вследствие которого сумма всех вибра¬
ционных моментов тождественно равна нулю:
к к к
= I Iv* = fl. (2.36)
5=1 5=1 j= 1
Отметим, что выражения (2.29). в которых учитывается диссипация
энергии в колебательной части системы, соотношениям (2.35), (2.36) не
удовлетворяют; им в этом случае удовлетворяют лишь "консервативные
части" вибрационных моментов = д А / д a s = - 3 Л ^ / 3 а * . Как и
должно быть, вибрационные моменты обращаются в нуль, если М —» «> ,
то есть когда платформа становится неподвижной, а также при отсутст¬
вии неуравновешенных роторов (т s £ * = 0).
Из выражений (2.35) следует также, что действие частных вибрацион¬
ных моментов v $, то есть "вибрационной связи" между роторами, вполне
подобно тому, как если бы между 5-м и у-м роторами была установлена
пружина, создающая на роторах момент, пропорциональный углу сдвига
фаз | а* - а у |. Поворотная жесткость с Sj, соответствующая этой неви¬
димой пружине при | as - ay j =0, равна по модулю величине
с $ — (У sj)max —
Эуц
Э(а^-ау)
2 2, . (2.37)
_ I m^£^my£yco4
~2 М|со2-/7
-ау=0 1 ^
то есть наибольшему значению (v^)max частного вибрационного момента
v Sj\ Устойчивое взаимное расположение роторов под действием только
этой пружины соответствует, в зависимости от знака разности со - р (до¬
или послерезонансное движение), либо углу сдвига фаз as - ay = 0, ли¬
бо углу as - ay = тс.
Действием описанных незримых пружин, как бы связывающих неурав¬
новешенные роторы, наблюдатель V, которому платформа представляется
неподвижной, и объяснит эффект самосинхронизации (см. рис. 6.1,6); та¬
кое представление часто удобно при качественном анализе. Существенно,
что момент, передаваемый от рассматриваемых "пружин" на роторы, то
есть удельный вибрационный момент v^*, во-первых, имеет нелинейный
характер, и, во-вторых, ограничен по модулю значением (v *у)шах. Как бу¬
дет ясно из дальнейшего, от этих предельных значений вибрационных мо¬
ментов существенно зависят возможности практического использования
эффекта самосинхронизации.
Заметим, что выражение (2.37) может быть представлено в виде (ср.
с формулами (1.21) и (3.15) гл. 5)
(У sj)max — F s Л у , (2.38)
где Fs = m .j е 5 со2 - амплитуда вынуждающей силы, развиваемой 5-м ро¬
тором при неподвижной платформе, а A j = 1/2 ay - эффективная ампли¬
туда колебаний оси 5-го ротора, возбуждаемых у-м ротором
(ay = т у £у со 2/М |со2-р 2| - "обычная" амплитуда указанных колебаний).
§6.21
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ
165
Чтобы сделать анализ уравнений (2.28) более наглядным, используем
также понятие о парциальных угловых скоростях вращения возбудителей.
Под парциальной углевой скоростью 5-го возбудителя, как и в § 5.1 и
5,3, будем понимать угловую скорость при условии, что его ротор уста¬
новлен не на вибрирующем теле, а на неподвижном основании, и что за
положительное направление угловой скорости принято направление, в
котором вращается ротор 5-го возбудителя в рассматриваемом синхрон¬
ном движении.
Угловые скорости вращения роторов, установленных на неподвижном
основании ф*о, определяются в стационарном режиме из уравнений
£*(Ф*о) = -К“( I Ф*о| )sgncj>iO, (2.39)
а парциальные угловые скорости, согласно приведенному определению,
будут иметь величину '
аь = фл(ь, (2.40)
то есть удовлетворяют уравнению
а51,,((Хх<о,) = Rs (юх) sgn со* • (2-41)
Отсюда следует, что угловая скорость со* положительна, если 5-й ротор,
будучи установлен на неподвижном основании, вращается в том же на¬
правлении, что и в рассматриваемом синхронном движении. В случае, ког¬
да указанные направления вращения противоположны, со s отрицательно;
при этом двигатель асинхронного типа работает в генераторном режиме.
Парциальные угловые скорости вибровозбудителей с выключенными дви¬
гателями (или вообще не имеющих двигателей) равны нулю.
Пусть теперь парциальные скорости со s, будучи положительными,
не слишком сильно отличаются одна от другой. Тогда выражение
osLs(Gs со*) - Rs(d)s) можно линеаризовать вблизи со* = со и соглас¬
но обозначениям (2.10) записать
(Т s I* s (ф s со *) ~ R s (со *) — (Т * L * (ст * со) ~ R * (со)— k * (со * — со).
Но вследствие (2.41) при со* > 0 левая часть этого равенства обращает¬
ся в нуль, и поэтому
asLs (а, со)-Я? (со) = ks( а),-со). (2.42)
При учете последнего равенства основные уравнения (2.28) могут быть
представлены в форме
Is&s + ks6.s = $ (со j — со) + 7,(ai-a*,...,a*-i-a*,co)
(со, > 0, s = I,..., к). (2.43)
62.4. Стационарные режимы синхронного вращения и их ус¬
тойчивость. Интегральный признак устойчивости (экстремальное
свойство) синхронных движений. При as = aj = const, основные урав¬
нения (2.28) приводят к следующим соотношениям для определения
*) См. сноску **).на с. 159.
166
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
(к - 1) - го сдвига фаз a i - а * ,• •сх к-\ - ос * и частоты со вращения рото¬
ров в возможных синхронных движениях:
osLs (os со) - R °s(со) + Vs (ai - a* a*-i - a*, со) = 0 (5=1,..к), (2.44)
а из уравнений (2.43) соответственно получается
к Лео * - со) + Vs (а 1 - а кa к-\ ~ ос к , со) = 0 (2.45)
Наличие у уравнений (2.44) или (2.45) решений, вещественных относитель¬
но a 1 - а ксх к-\ ~ ос к и положительных относительно со, является не¬
обходимым условием возможности самосинхронизации вибровозбудите¬
лей. Что же касается со, то, как нетрудно видеть, эта частота независимо
определяется из указанных уравнений. Действительно, складывая эти урав¬
нения и учитывая равенство (2.36), получим соответственно
к к
£ asLs(ascо) = £ Я? (со), (2.46)
5=1 5=1
к к
СО = £ ksUs/'Z (2-47)
5= 1 5=1
Равенство (2.46) (после умножения на со) представляет собой уравнение
баланса энергии в системе: суммарная мощность, подводимая к роторам от
двигателей, равна суммарной мощности, расходуемой на преодоление со¬
противлений вращению роторов. Вибрационные моменты в рассматривае¬
мых системах в общем балансе энергии не участвуют, они лишь перерасп¬
ределяют энергию между вибровозбудителями, добавляя ее "более мед¬
ленным" возбудителям и отнимая от "более быстрых". В результате и про¬
исходит выравнивание частот вращения возбудителей - их самосинхрониза¬
ция.
Действительно, из равенств (2.45) видно, что если парциальная скоро¬
сть некоторого вибровозбудителя со* меньше синхронной скорости со, то
вибрационный момент подталкивает его ротор (Vs > 0), а если со* боль¬
ше со, то - подтормаживает (V s < 0), причем | Vs\ (и передаваемая или
отбираемая посредством вибрационной связи соответствующая мощность
I v,\ со ) тем больше, чем больше разность | со ^ — со | .В результате и
обеспечивается синхронное вращение роторов, несмотря на различие их
парциальных скоростей. Как уже отмечалось, это различие может быть
весьма существенным: так, даже вибровозбудитель с выключенным из се¬
ти двигателем ( в этом случае со * = 0) может не выпадать из синхронизма.
Более того, двигатели отдельных возбудителей могут работать в генера¬
торном режиме ( в этом случае со * < 0, то есть на неподвижном основа¬
нии соответствующий ротор вращается в направлении, противоположном
его вращению в изучаемом синхронном режиме). В иной форме этот эф¬
фект был рассмотрен в § 5.3.
С описанными закономерностями тесно связан тот факт, что переда¬
ваемые в режиме самосинхронизации мощности реально могут быть до¬
статочно велики; это обстоятельство, в сущности, и определяет возмож¬
§ 6.2]
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ
167
ности использования самосинхронизующихся вибровозбудителей в про¬
мышленных вибрационных машинах.
Вместе с тем из уравнений (2.45) следует, что наибольшее значение
вибрационного момента | V s |max = V * определяет то наибольшее отли¬
чие парциальной скорости от синхронной, при котором еще возможна са¬
мосинхронизация. Что же касается вибровозбудителей с одинаковыми и
положительными парциальными угловыми скоростями, то, как мы увидим,
их самосинхронизация в системах рассматриваемого типа всегда имеет ме¬
сто.
Согласно равенству (2.47) угловая скорость синхронного вращения со
равна средневзвешенному значению от парциальных угловых скоростей,
причем роль весовых коэффициентов играют положительные суммарные
коэффициенты демпфирования ks. Отсюда, в частности, вытекает, что
со не меньше, чем наименьшая, и не больше, чем наибольшая из парци¬
альных скоростей со*. При одинаковых парциальных скоростях со* синх¬
ронная скорость соравна этим скоростям.
Рассмотрим вопрос об устойчивости синхронных решений. Пусть име¬
ется некоторое вещественное решение уравнений (2.44)
а 1 - а*= а Г - а£ a*-i - а*= a*-i - a* , co = co*>0,
то есть стационарное решение основных уравнений (2.28). Уравнения в ва¬
риациях для этих уравнений и указанного решения являются линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами: поэ¬
тому нетрудно составить и соответствующее характеристическое уравне¬
ние 2к-н степени, к изучению корней которого сводится исследование ус¬
тойчивости. Однако, как установлено в п. 3.2.1,при учете специфики зада¬
чи (малость правых частей уравнений (2.28)) дело сводится к рассмотре¬
нию алгебраического уравнения к-й степени
где, как и выше, 8*у- символ Кронекера (это уравнение соответствует
уравнению (2.33) гл.З). Один корень данного уравнения в рассматривае¬
мом случае непременно равен нулю, что является следствием автономно¬
сти исходных уравнений задачи о самосинхронизации. Конкретно это об¬
стоятельство вытекает из равенства
получающегося путем дифференцирования выражения
V s (a i - а кol к-\ ~ а к, со) по а к'- прибавив все строки определителя
в выписанном алгебраическом уравнении к какой-нибудь определенной
строке, получим строку с элементами к. Отделив указанный корень, не
влияющий на суждение об устойчивости, приходим к алгебраическому
уравнению (к - 1)-й степени
(2.48)
168
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВО?Б УДИТЕ ЛЕЙ
[ГЛ. 6
Если все корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные час¬
ти, то рассматриваемое движение устойчиво; при наличии корней с поло¬
жительной вещественной частью - неустойчиво; при наличии нулевых
ели чисто мнимых корней требуется дополнительное исследование.
Если применим интегральный критерий устойчивости, то есть дисси¬
пацией в колебательной части системы можно пренебречь* так что спра¬
ведливы уравнения (2.33), то вопрос о существовании и устойчивости ста¬
ционарных режимов решается на основе этого критерия: устойчивые син¬
хронные движения отвечают точкам грубых минимумов функции D по
разностям фаз oti-a*,..., a*-i-a* . (Напомним (см. § 2.3), что под
“грубыми” здесь понимаются строгие минимумы, обнаруживаемые путем
анализа членов 2-го порядка в разложении функции вблизи критической
точки.) При отсутствии минимума, обнаруживаемом также на “грубом
уровне”, соответствующее движение неустойчиво, а неопределенный слу¬
чай требует дополнительного исследования. И при наличии потенциаль¬
ной функции условия устойчивости могут быть сформулированы как ус¬
ловия отрицательности корней уравнения (2.48); тогда это уравнение при¬
нимает вид
Э2£> s
+ 6Л
д (a s-а к) д (а / - а *)
’SJ
= О
а5-a* = ct5 - а* , со = со
= (2.49)
и вследствие симметрии коэффициентов все его корни вещественны.
Значение интегрального критерия устойчивости (экстремального
свойства) синхронных движений состоит не только в упрощении и прида¬
нии наглядности исследованию устойчивости, но также и в том, что с его
помощью удается установить наличие тенденции к синхронизации для
широкого класса динамических объектов, если понимать под такой тен¬
денцией наличие у системы по крайней мере одного устойчивого в том
или ином смысле синхронного движения [84, 95, 101]. Идея доказательст¬
ва в рассматриваемом и других аналогичных случаях, когда речь идет об
устойчивости по отношению к относительным углам поворота тел, доста¬
точно проста. Применительно к данному случаю она состоит в следую¬
щем. При положительных и не слишком сильно отличающихся парциаль¬
ных скоростях возбудителей выражение (2.32) для потенциальной функ¬
ции D согласно (2.42) может быть представлено ч виде
k-1
D = Aw(ai-a* a*-!-a*,co)- (со*-со) (a*-a*). (2.50)
5=1
Но A ^ является непрерывной 2тс-периодической функцией разностей фаз
a*-а* , и поэтому непременно имеет минимумы, притом, как правило,
грубые. Но тогда при не слишком сильно отличающихся парциальных
схоростях со * второе слагаемое в (2.50) не слишхом велико, так что гру¬
бые минимумы будет иметь также и функция D. Поэтому согласно интег¬
ральному критерию и приведенному выше определению будет иметь мес¬
то тенденция к синхронизации.
§5.2]
ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ
169
Подчеркнем, что в случае одинаковых положительных скоростей виб¬
ровозбудителей роль потенциальной функции D согласно (2.50) играет
усредненный лагранжиан колебательной части системы А ^ :
D = A ^ (a i - ос*,.... а*-1-а*,а>). (2.51)
Эта формула служит "рабочим инструментом" для изобретателей и
конструкторов вибрационных машин с самосинхронизующимися возбуди¬
телями.
6.2.5. Случай двух возбудителей. Еще раз о явлении вибраци¬
онного поддержания вращения. Многие важные закономерности само¬
синхронизации вибровозбудителей можно проследить на простейшем
случае двух возбудителей. Ограничиваясь рассмотрением системы с
положительными и не слишком сильно различающимися парциаль¬
ными скоростями в нерезонансном случае, запишем при учете (2.31)
уравнения (2.45) при к =2 в виде
к 1 (СО 1 - СО) = - Vщах (со) sgn (со - р) sin а,
к 2 (со 2 - со) = Fmax (со) sgn (со -р) sin а, (2.52)
где обозначено
1 4
„ т г I \ ® m 1 е im 2Е2 -г- л па
cl — сх 1 а 2 , Vних (со) — — - 2 гг " ti — \ А 2 — F2 А.
2 | со -р j М
Fi =/п iEi со2, F2 = т2е.2<>У2, (2.53)
причем Vтийу (со) - модуль (максимальное значение) вибрационных момен¬
тов V\ и V2, величина А \ = ^a i (А2 = ~а2) - эффективная амшш-
JL Z
туда колебаний оси первого (второго) ротора, генерируемых вращением
второго (первого) ротора (см. формулы (2.38) и пояснения к ним), а
Fs - msEs со2 - амплитуда вынуждающей силк, развиваемой s-м ро¬
тором.
Из уравнении (2.52) находим
^: со 1 ч Д: 2 со з к i-г (со 2- со 0
— т г у sift сх — ,
/: 1 + к 2 FmaxfO^Sgn (СО --/?)
£ i-2 = к 1 к 2 / к 1 + к 2. (2.54)
Отсюда следует, что условием существования синхронного движения яв¬
ляется неравенство
& 1-2 | СО 2 ~ & 1 j < V max (г^) , (2.55)
которое, б соответствии с общи** заключением (см. п. 6.2.4), непременно
выполняется, если парциальные скорости достаточно близки.
Однако, как уже отмечалось, самосинхронизация может иметь месть к
при достаточно большом отличие этих величии, в частности, при
со 1 = 0 или из 2 = 0 ? то есть при выключенном из сети двигателе од¬
ного из возбудителей. Речь идет об уже рассмотренном в иной постанозке
в п. 5.1.4 явлении вибрационного поддержания вращения неуравновешен¬
170
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
ного ротора. Соответствующее условие в данном случае легко получается
путем рассмотрения уравнений (2.44) при к = 2; нетрудно видеть, что оно
полностью согласуется с соответствующим условием п. 5.1.5. В частности,
оказывается справедливым сделанный вывод о весьма значительной мощ¬
ности, которая практически может быть передана ротору с выключенным
электродвигателем от двигателя другого вибровозбудителя. Как отмеча¬
лось, это обстоятельство имеет важное значение для приложений.
Пусть, однако, парциальные скорости со i и со 2 одинаковы. Тогда
второе уравнение (2.54) допускает два существенно различных решения:
а = (ai-a2)i = 0, а = (a i- а2)2 = я. (2.56)
Вращение роторов, отвечающее первому решению, назовем синфазным, а
второму - противофазным. Согласно (2.51) в данном случае потенциаль¬
ная функция D = А ^ , и в соответствии с (2.31) эта функция имеет для
первого решения минимум при со < р\ при со > р минимум этой функ¬
ции соответствует второму решению. Таким образом, из интегрального
критерия устойчивости следует, что до резонанса устойчиво синфазное
синхронное вращение роторов, а после резонанса - противофазное
(см.рис. 6.3,6).
Примечательно, что при противофазном вращении, как видно из фор¬
мулы (2.30), колебания платформы в рассматриваемом приближении от¬
сутствуют. Здесь мы сталкиваемся с одним из замечательных парадоксов
синхронизации вращающихся тел - парадоксом неработающей связи
(см. также § 6.7).
При со 1 = со 2 устойчивые фазировки роторов, согласно (2.54), будут
отличаться от синфазной или противофазной.
6.2.6. О случае почти одинаковых возбудителей. Если парциаль¬
ные угловые скорости всех вибровозбудителей положительны и одинако¬
вы, то уравнения (2.45) при учете выражений (2.31) принимают вид
к
mj е/sin (as- ay) = 0 (5=1,...,*). (2.57)
7=1
Эти уравнения допускают группу решений
OLs = qsK + OLo (5=1,...,*), (2-58)
где q s - числа, каждое из которых может быть равно нулю или единице,
а о - произвольная постоянная. Назовем такие решения решениями пер¬
вой группы, причем решения, в которых т чисел q *s равны единице, бу¬
дем называть решениями типа (т).
Исследование устойчивости таких решений посредством уравнения
(2.48) в предположении, что параметрыms£s и кs также одинаковы для
всех возбудителей, приводит к следующим результатам [50]. В дорезонан¬
сной области (со < р) устойчивым является лишь решение типа (0), то
есть синфазное вращение роторов. В послерезонанской области (со > р)
устойчивые движение возможны лишь в случае четного числа возбудите¬
§6.3]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
171
лей к — 2/. А именно, устойчивыми могут быть решения типа (Г) ; при этом
в случае двух возбудителей (к = 2, / = 1) движение действительно устой¬
чиво, если со > р , что согласуется с результатом, полученным в п.6.2.5. В
случае же к > 2 для решения вопроса об устойчивости требуется допол¬
нительное исследование.
Возвращаясь к общему случаю возбудителей с одинаковыми положи¬
тельными парциальными скоростями, заметим, что уравнения (2.57) удов¬
летворяются, если выполняются равенства
Соответствующие решения уравнений (2.57) назовем решениями второй
группы. Несложное исследование показывает [84], что в случае двух и
трех возбудителей уравнения (2.59), вообще говоря, допускают единствен¬
ное решение. В случае же к >3 разности фаз а* - а* для решения вто¬
рой группы не определяются однозначно из уравнений (2.59) (а значит, и
из уравнений (2.57)); для их нахождения следует рассмотреть следующие
приближения. Дополнительного исследования в данном случае требует и
вопрос о существовании и устойчивости синхронных движений. Такая си¬
туация является следствием определенной вырожденности рассматривае¬
мой системы; эта вырожденность исчезает при учете неодинаковости пар¬
циальных скоростей возбудителей. Исследованию соответствующего осо¬
бого случая, потребовавшего преодоления ряда аналитических трудно¬
стей, посвящена работа О.З.Малаховой [275].
§ 6.3. Общий случай. Краткий обзор результатов исследований
6.3.1. Уравнения движения и основные уравнения вибрационной
механики в общем случае. Схема системы в общем случае задачи о
синхронизации вибровозбудителей представлена на рис. 6.4. Она отлича¬
ется от простейшей схемы, изображенной на рис. 6.3, во-первых, тем, что
возбудители могут представлять собой не только обычные неуравнове¬
шенные роторы 7, но также и планетарные возбудители - ролики 2 или
другие тела вращения, а также кольца 3, обкатывающиеся по соответству¬
ющим телам (см. также § 5.2); такие возбудители обычно лишены двига¬
телей. они моделируют рабочие органы некоторых машин; возможны так¬
же и поршневые возбудители 4, представляющие собой тела, которые
могу! возвратно-поступательно перемещаться вдоль прямолинейных на¬
правляющих. Общим требованием к возбудителям является, однако, усло¬
вие, что их положение в рассматриваемых движениях определяется одной
угловой координатой ср *, которая изменяется почти равномерно.
Во-вторых, предполагается, что возбудители размещены не на одном,
а на нескольких твердых или деформируемых телах 2? iкоторые
могут совершать пространственные колебания и связаны одно с другим,
вообще говоря, нелинейными упругими и демпфирующими элементами;
представляют интерес и случаи, когда в процессе движения тела
к
к
С2.59)
172
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
В 1.,, В п могут соударяться; однако такие случаи требуют специально¬
го рассмотрения. Определенной спецификой характеризуется и также ча¬
сто требует особого рассмотрения кратная синхронизация вибровозбу¬
дителей. Поэтому оба эти случая здесь рассматривать не будем; укажем
ниже лишь на работы, в которых такие случаи изучены.
Рис. 6.4. Общая схема системы с самосинхрониэующдмися вибровозбудителями
Уравнения движения описанной системы могут быть записаны в сле¬
дующей общей форме:
IS <р S + k S (у S ~ (й) = \1ф s (у s, и si) (s= 1,...Д) (3.1)
к
D и и = ^ (3*2)
5=1
где, аналогично уравнениям (2.11), (2.12), выражение (IФ5 (ф5, us\) и
уравнение (3.2) могут быть представлены в виде
|1ФПф5, us\) = L s (a s ы) - о s R°s (а) + М s (<? s, и s\) =
= Is<?s + ks(ys-Gsa)- фЛ£) + £?ф,> (3.3)
u(L) = Q и. (3.4)
Здесь и - вектор обобщенных координат несущих тел; и s - вектор, вклю¬
чающий компоненты вектора м, определяющие положение тела, на кото¬
ром установлен s-й ротор; Ms - момент сил, действующих на s-й ротор
вследствие колебаний тела, на котором он установлен; Fs - вектор обоб¬
щенной вынуждающей силы, действующей на колебательную систему со
стороны 5-го ротора; при этом функции Fs и Ms могут зависеть не только
от ф5 и us\ , но также от их производных; Q и - обобщенная сила,
§63]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
173
обусловленная наличием диссипативных элементов в колебательной час¬
ти системы; дифференциальный оператор; прочие обозначения те же,
что и в § 6.2. Заметим, однако, что в случае планетарных возбудителей
моменты R s (ф s) представляют лишь часть момента сопротивления пере¬
катыванию (см. § 5.2); другая часть, зависящая от вектора и sь предпола¬
гается включенной в выражение Ms; соответственно она входит и в выра¬
жение для обобщенной силы Q ^.
Как и в § 6.2, рассматриваемая значительно более общая система от¬
носится к системам с почти равномерными вращениями, изученными в
п. 3.2.1. Поэтому выпишем сразу уравнения медленных движений (основ¬
ные уравнения вибрационной механики), соответствующие уравнениям
(3.1) - (3.4):
Is Oti + kstts = <ysLs(<ys(0)-Rs((0) +
+ ^(ai - aa*-i-a*,(D) (s = l,(3.5)
где
Vs = <М*(ф?,и£>> <3-6)
- вибрационный момент, действующий на s-и ротор, причем
ф s = о s (со t + a s\ а u si соответствует асимптотически устойчивому
2 тг-периодическому решению уравнения
к
Duu° =Х Fs(<?°s). (3.7)
5=1
Если оператор D u нелинейный, то таких решений может быть несколько.
В случае когда планетарные вибровозбудители отсутствуют, выраже¬
ние для момента Vs представимо также в виде
^ = <3-8>
где, как и ранее, А = < [ L ] > , а квадратные скобки означают, что за¬
ключенная в них функция вычисляется при ф * = ф ° и и = и0 .
Анализ уравнений (3.5) и выражений (3.6) и (3.8) позволяет прийти к
тем же основным результатам, что и соответствующий анализ, проведен¬
ный в § 6.2 для рассмотренного там случая. В частности, стационарные
режимы синхронного вращения роторов по-прежнему определяются из
уравнений (2.44) или (2.45); условия существования решений этих уравне¬
ний, вещественных относительно разностей фаз ai-ou,..., а*-1-а*и
положительных относительно ах представляют собой необходимые усло¬
вия возможности самосинхронизации; вопрос об устойчивости стационар¬
ного режима по-прежнему решается в зависимости от знаков веществен¬
ных частей уравнения (2.48).
174
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
63.2. Потенциальная функция и интегральный критерий ус¬
тойчивости. Если существует потенциальная функция £>, то устойчивые
стационарные режимы синхронного вращения роторов соответствуют гру¬
бым минимумам этой функции.
В случае дебалансных вибровозбудителей с положительными и не
слишком отличающимися парциальными угловыми скоростями и когда
притом можно пренебречь диссипацией в колебательной части системы
к- 1
D = -A (а 1-а.к a*-i-a*, со)- (и5- со) (as- a*). (3.9)
S=l
Наконец, если при указанных условиях парциальные скорости одина¬
ковы или различаются весьма незначительно, а колебательная часть сис¬
темы линейна (то есть линейным является оператор D и), то, в силу
соотношений
4^ = - тр—, (З-10)
das das
аналогичных соотношениям (2.31), за потенциальную функцию можно
принять усредненный на решениях ф*=(р ?, и = и °, лагранжиан колеба¬
тельной части системы
D = A®, Vs = - дА®/да,. (3.11)
Более общие, а также и специализированные выражения для потенци¬
альной функции приводятся в [72, 84]. Здесь выпишем лишь выражение
для функции D, относящееся к случаю, когда при тех же оговоренных
выше условиях роторы вибровозбудителей связаны один с другим некото¬
рыми упругими и демпфирующими элементами, между которыми могут
иметься также и некоторые сосредоточенные массы. Следуя Р.Ф.Нагаеву
[298], будем называть такие связи между роторами несомыми, в отличие
от несущих связей - твердых тел В i,..., В л, на которых установлены ро¬
торы. Пусть L - лагранжиан системы несущих связей, то есть лагран¬
жиан системы, получающейся из исходной при неподвижных несущих те¬
лах. Тогда, как показано Р.Ф.Нагаевым [298], вместо выражений (3.11) бу¬
дут справедливы следующие формулы (см. также равенство (2.42) гл. 3):
D = Aw-Am, Vs = -d(A(I)-A{mydas, Aim = <[L{m]>. (3.12)
Пример применения интегрального критерия устойчивости для иссле¬
дования самосинхронизации вибровозбудителей в одной часто используе¬
мой на практике системе приводится в § 6.5.
6.3.3. Краткий обзор результатов по теории синхронизации ме¬
ханических вибровозбудителей. Упомянем кратко об исследованиях, ре¬
зультаты которых не были изложены или в достаточной мере представле¬
ны в настоящей главе. Самосинхронизация дебалансных и планетарных
вибровозбудителей на плоско колеблющемся твердом теле рассмотрена в
книге автора [84], а дебалансных возбудителей на пространственно колеб¬
лющемся мягковиброизолированном твердом теле - в работе Б.П.Лаврова
§6.3]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
175
[249], (см. также [72]). Теории принудительной электрической синхрони¬
зации, а также синхронизации посредством упругих и иных связей между
роторами посвящены работы автора [58], Р.Ф.Нагаева и автора [69],
М.М.Афанасьева, В.В.Макарова, А.В.Печенева и автора [21]. В последней
работе рассмотрена идея синхронизации роторов посредством временного
выключения из сети асинхронных двигателей "слишком быстрых" возбу¬
дителей. Заметим, что аналитическое исследование такой системы без ис¬
пользования метода прямого разделения движений оказалось бы крайне
сложным, если и вообще возможным.
Самосинхронизация дебалансных вибровозбудителей в системах с со¬
ударениями тел несущей колебателыюй системы рассмотрена в работах
Р.Ф.Нагаева и ВЛ.Туркина [302] и Л.Б.Зарецкого [186, 187], а синхрониза¬
ция в колебательной системе с распределенными параметрами - в статьях
Р.Ф.Нагаева и И.А.Поповой [299], а также Л.Шперлинга [467, 468]. Крат¬
ная синхронизация дебалансных вибровозбудителей исследовалась
К.М.Рагульскисом [341], Л.Б.Зарецким [188] и О.П.Барзуковым [31, 32], а
параметрически связанных возбудителей - К.В.Фроловым и автором [91].
Самосинхронизация кинематических вибровозбудителей рассматривалась
З.Г.Чунцем [418], а позднее А.Т.Джакашовым и Б.И.Крюковым [175]. Са¬
мосинхронизация дебалансных вибровозбудителей в колебательных сис¬
темах со значительным уровнем диссипации в колебательной части систе¬
мы изучалась Ю.И.Марченко и автором [70, 72], О.П.Барзуковым и
Л.А.Вайсбергом [33].
Использование гармонических коэффициентов влияния для получе¬
ния выражений вибрационных моментов при решении задач о синхрониза¬
ции механических вибровозбудителей, связанных с линейной колебатель¬
ной системой, в различной форме предложено в работах К.Ш.Ходжаева
[401] и Л.Шперлинга [467, 468]. Так называемая квазиконсервативная
теория синхронизации дебалансных вибровозбудителей развита в рабо¬
тах Р.Ф.Нагаева, К.Ш.Ходжаева и В.В.Гузева [169, 298, 306, 401].
Методы и теория синтеза вибрационных машин с само синхронизую¬
щимися вибровозбудителями рассмотрены в работах Б.П.Лаврова [249 -
251], Р.Ф.Нагаева и автора [69], В.В.Гузева [169] и других исследователей
(см. также § 6.6). Работы по установлению и развитию интегрального кри¬
терия устойчивости (экстремального свойства) в задачах о синхронизации
вращающихся тел были рассмотрены в § 3.2.
Ряд работ посвящен исследованию возможности использования само¬
синхронизации вибровозбудителей в конкретных практически интересных
системах, а также экспериментальным исследованиям устройств с само-
синхронизующимися вибровозбудителями. Систематическое изложение
теории и приложений явления самосинхронизации вибровозбудителей со¬
держится в книгах автора [72, 84], где, в частности, приведены таблицы
схем устройств и указаны условия устойчивости различных режимов синх¬
ронного вращения роторов вибровозбудителей. Более компактное изло¬
жение теории, однако также сопровождающееся подробными таблицами,
дается в справочнике [125, т. 4].
176
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
§ 6.4. Стабильность фазировки зиброЕозбудителей
и адаптивное свойство вибрационных машин
при самосинхронизации
6.4.1. О понятии стабильности фазировки. Устойчивости определен»
ной, вытекающей из условий работы машины фазировки вращения рото¬
ров вибровозбудителей в режиме самосинхронизации еще недостаточно
для возможности практического использования явления самосинхрониза¬
ции. Часто необходимо также, чтобы указанная фазировка была не слиш¬
ком чувствительной к разного рода несовершенствам - к случайному раз¬
бросу параметров вибровозбудителей (в том числе их двигателей) относи¬
тельно их номинальных значений, вызванному неточностями изготовления
и монтажа, а также к влиянию колебаний технологической нагрузки. Если
эти отклонения приводят к значительному изменению фазировки, то за¬
метно изменяется и характер колебаний рабочего органа машины, что, в
свою очередь, может вызвать нарушение технологического процесса.
Свойство вибрационного устройства с самосинхронизующимися виб¬
ровозбудителями сохранять в заданных допустимых пределах рассогласо¬
вания относительных фаз вращения роторов возбудителей при наличии
реально влияющих на эти фазы факторов называют стабильностью фа¬
зировки такого устройства.
6.4.2. Оценка стабильности. Об относительной силе вибрацион¬
ной связи между неуравновешенными роторами. Стабильность фази¬
ровки может быть изучена на основе рассмотрения уравнений типа (2.44)
или (2.45), определяющих фазы вращения роторов в установившихся син¬
хронных режимах. Зная возможные отклонения параметров системы, из
этих уравнений можно найти отклонения Д a s относительных фаз враще¬
ния роторов as~ olк от их значений а*- а* в устойчивых синхронных
движениях при отсутствии отклонений. При этом в случае малости откло¬
нений параметров и углов Даг уравнение можно линеаризовать относи¬
тельно отклонений, в результате чего нахождение Да* сведется к реше¬
нию системы к - 1 линейных алгебраических уравнении. После этого не¬
трудно оценить и соответствующие отклонения в законе колебаний рабо¬
чего органа машины, и их влияние на ход технологического процесса.
Исследование стабильности выполнено для некоторых простейших
систем с учетом вероятностного характера ряда отклонений, причем по¬
лучены необходимые для расчетов формулы [721; см. также [180]. Здесь
мы приведем более грубый, но более простой прием оценки стабильно¬
сти , предложенный Б.ПЛавровым (см. [84]). Этот прием основан ка физи¬
ческом соображении в духе вибрационной механики, состоящем в том, что
стабильность фазировки определяется противоборством двух фахторос.
Стабилизирующим фактором является вибрационная связь между ротора¬
ми, мерой которой, как отмечалось в п. 6,2.3, может служить наибольшее
значение ("модуль”) вибрационного момента (F)max. Дестабилизирующим
§ 6.4]
СТАБИЛЬНОСТЬ ФАЗИРОВКИ, АДАПТИВНОЕ СВОЙСТВО
177
фактором являются упомянутые вьлпе, как правило, нерегулируемые по¬
грешности изготовления и отклонения технологической нагрузки от но¬
минальной.
Указанные дестабилизирующие факторы в первом приближении мож¬
но считать пропорциональными номинальному моменту L 0 двигателя>
приведенного к ротору вибровозбудителя (при условии, конечно, что дви¬
гатель выбран правильно, то есть имеет достаточную, но не чрезмерную
мощность). Тогда приходим к выводу, что ориентировочной мерой ста¬
бильности фазировки самосинхронизующихся вибровозбудителей может
служить величина
(4.1}
L о
Для стабильности должно выполняться условие
*©>*£, (4.2)
где к © - минимально допустимое значение коэффициента к © , который
назван коэффициентом вибрационной связи.
Величина L 0 определяется по каталожным данным двигателей. Что
же касается модуля вибрационного момента (V) шях) то для ряда схем его
выражение можно найти в [72, 84, 125, т. 4] или приближенно оценить
согласно формулам (1.21) и (3.15) гл. 5 и формуле (2.38) настоящей гла¬
вы. А именно, в соответствии с указанными формулами можно принять
(У) шах = FА , (4.3)
где F = тг со2 - амплитуда вынуждающей силы, развиваемой ротором,
установленным на неподвижном основании, а А - эффективная амплитуда
колебаний оси ротора. Поскольку в большинстве вибрационных машин и
устройств точки несущих тел совершают колебания по эллиптическим
траекториям, то согласно упомянутым формулам
А = - (а: ± Ъ), (4.4)
где о, - большая, Ъ - малая полуось эллипса; знак (+) бсрстся при совпа¬
дении направлений вращения ротора с направлением движения его оси по
эллиптической траектории, а знак (-) - при несовпадение этих направле¬
ний. Величину А следует вычислять в предположении, что колебания не¬
сущего тела вызываются всеми вибровозбудителями, кроме рассматривае¬
мого (см. п. 6,2.3).
Важным является вопрос о нормировании стабильности, то есть с на¬
значении максимально допустимых значений углов рассогласования фаз
j А ос | та* или минимально допустимых значений коэффициента вибраци¬
онной связи Дгш для различных классов вибрационных устройств. Этот
вопрос, который должен рассматриваться не только на основе расчетов,
но с учетом опыта испытаний и эксплуатации машин, еще не может счи¬
таться в достаточной мере решенным. Согласно рекомендациям B.ILJIas-
рова (см. [250]) для вибрационных машин в зависимости от их назначения
следует принимать kt> = 0,5 - 4,0, что примерно соответствует макси¬
178
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
ГГЛ. 6
мальным углам рассогласования | Д а | ^ от 3 до 16°. В настоящее время,
однако, имеются основания считать, что эти рекомендации чрезмерно ос¬
торожны. Так, например, известны случаи успешной эксплуатации вибра¬
ционных грохотов с двумя самосинхронизующимися вибровозбудителями,
для которых | Д а | щах = 30° и к ш « 0,3.
Для ориентировочных прикидок можно предложить градацию относи¬
тельной силы вибрационной связи между вибровозбудителями в зависи¬
мости от значений коэффициента к ш (табл. 6.1). Во второй строке табли¬
цы приведены интервалы значений вероятности наступления самосинхро¬
низации, подсчитанные при соответствующих значениях к ш согласно [95].
Таблица 6.1
Степени относительной силы вибрационной связи между
неуравновешенными роторами, установленными на подвижном основании
Степень относительной
силы вибрационной связи
Очень слабая
связь
Сравнительно
слабая связь
Сравнительно
сильная связь
Очень сильная
связь
Интервалы значений ко¬
эффициента к ш
0-0,01
о
0
1
о
0,1-0,2
>0,2
Вероятность наступления
самосинхронизации
10%
10-50%
50 - 90 %
>90%
В случае очень сильной связи на возможность самосинхронизации и
сопутствующих ей явлений можно твердо рассчитывать; в случае сравни¬
тельно сильной связи этого сказать нельзя, но возможность таких явле¬
ний должна непременно учитываться. При очень слабой связи эти явле¬
ния можно не учитывать, а при сравнительно слабой связи - учитывать
или не учитывать в зависимости от конкретных обстоятельств. Разумеет¬
ся, эти рекомендации носят несколько условный характер.
6.4.3. Адаптивное свойство вибрационных машин с самосинхро¬
низующимися вибровозбудителями. АН.Косолапов [232] обратил внима¬
ние на то обстоятельство, что изменение устойчивой фазировки вращения
роторов самосинхронизующихся вибровозбудителей при изменении техно¬
логической нагрузки на машину может играть положительную роль: это
изменение при определенном расположении осей вращения роторов про¬
исходит таким образом, что машина “справляется” с возросшей нагрузкой
или с ее неравномерным распределением по рабочему органу машины.
В частности, если два одинаковых дебалансных вибровозбудителя, уста¬
новленных на мягковиброизолированном плоско колеблющемся твердом
теле ' В, будучи соосными, вращаются в противоположных направлениях,
*) Говоря о мягковиброизолированном твердом теле, мы имеем в виду, что упругие
элементы, связывающие тело с неподвижным основанием, являются столь “мягкими”, что
частоты свободных колебаний тела при фиксированных положениях роторов значительно
меньше угловой скорости синхронного вращения роторов со. В указанном случае жесткостями
упругих элементов при исследовании самосинхронизации можно пренебречь.
§6 S]
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ; ПРИМЕР
179
то их относительная фазировка
такова, что равнодействующая
развиваемых роторами центро¬
бежных сил всегда проходит че¬
рез центр тяжести тела. Тело
при этом совершает прямоли¬
нейные поступательные коле¬
бания в направлении перпен¬
дикуляра, опущенного из центра
тяжести тела С на общую ось
вращения роторов (рис. 6.5).
Иными словами, указанная рав¬
нодействующая "следит" за по¬
ложением центра тяжести тела.
Это "адаптивное свойство" в оп¬
ределенной мере сохраняется, если оси вращения роторов не слишком
сильно удалены одна от другой по сравнению с их средним расстоянием
до центра тяжести.
Рис. 6.5. Адаптивное свойство вибрационных
машин с самосинхронизующимися
вибр овозбудителями
§ 6.5. О теоретическом исследовании устройств
с самосинхронизующимися вибровозбудителями.
Пример использования интегрального критерия устойчивости
Уравнения (2.44), (2.45), (2.48), (2.49), а также формулы (3.6) - (3.11) и
(4.1) - (4.4) представляют собой основные соотношения, используемые
при исследовании и расчете машин и устройств с самосинхронизующими¬
ся дебалансными вибровозбудителями.
Прежде чем приступить к исследованию, полезно убедиться, что сис¬
тема не была изучена ранее. В частности, следует просмотреть таблицы,
приведенные в [72, 84, 125, т.4]; необходимо также иметь в виду, что ряд
классов систем рассмотрен в общей форме (см. п. 6.3.3), а также разрабо¬
тан ряд программ для выполнения исследования на ЭВМ (включая вывод
формул).
В качестве несложного, но практически важного примера исследова¬
ния самосинхронизации с использованием интегрального критерия устой¬
чивости рассмотрим систему, представленную на рис. 6.6д. Два дебаланс¬
ных вибровозбудителя, предполагаемых в точности одинаковыми, симмет¬
рично размещены на мягковиброизолированном твердом теле, которое
может двигаться параллельно плоскости, перпендикулярной осям враще¬
ния роторов возбудителей. Центр тяжести несущего тела В лежит в пло¬
скости, проходящей через указанные оси, и удален от них на одинаковые
расстояния г.
При вращении роторов по закону
ф 1 = ф 1 = cr 1 (со Г -ь a i), .(р2 = ф2 = <72(а)* + а2) (5Л)
180 САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВЯБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ [ГЛ 6
<*,<£ = 7, Mr2/l>2 Mr2/l<Z
О г П
В :—>■
,J r О
r^n
dj 62
г
Рис. 6.6. Самосинхронизация двух одинаковых дебалансных вибровозбудителей, симмет¬
рично расположенных на мягковиброизолированном плоско колеблющемся твердом теле
уравнения колебаний тела будут иметь вид
Мх° = F [cos (со t + а 0 + cos (со t + а 2) ],
Му0 = - F I а 1 sin (со t + a i) + ст 2 sin (со 14 а 2) ],
/ф° = Fr [ а i sin (со f + а О - а 2 sin (со f + а 2) ], (5-2)
где Ми/- соответственно масса и момент инерции тела с фиксированны¬
ми роторами, а F = т е со2 - амплитуда вынуждающей силы, развиваемой
каждым возбудителем. Установившиеся вынужденные колебания будут
х° = - F [ cos (со t + a) + cos (со ? + a 2) 1 / M со2,
у0 = F [ a i sin (со t + a i) + a 2 sin (со t + a 2) j / M со2,
Ф3 = - Fr I a i sin (со f + a i) - a 2 sin (со t + a 2) ] / / со2. (5.3)
§ 6-51
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ; ПРИМЕР
181
Поскольку парциальные скорости возбудителей о* и сог предполага¬
ются одинаковыми и положительными, то роль потенциальной функции
D в данном случае согласно (2.51) играет среднее за период функции
Лагранжа несущего тела А (7). Ввиду предположения о мягкости упруг их
опор, оно равно просто среднему значению кинетической энергии этого
тела. Производя осреднение при учете выражений (5.1) и (5.3), получаем
D = А {1) = < [ Тф] > = \ < М[ (х0)2 + СУ0)2] +
jL
p.
+ /(Ф )2> = ——2 (1 + Ст! а2-CTi а2 —;г-) COS (а2-а;) + С. (5.4)
2М0)
Здесь С - не зависящая от фаз oti и а2 величина
При выполнении условия
Mr*
1 + ai а2 - <Ji а2 —— < 0 (5.5)
функция D имеет грубый минимум при а2 - oti = 0 , а при выполнении
противоположного неравенства - при а2 - oti = к . Поэтому из интег¬
рального критерия устойчивости следует, что в первом случае устойчиво
синфазное, а во втором - противофазное синхронное вращение роторов.
Пусть сначала роторы вращаются в одинаковых направлениях, то есть
Ci а2= 1. Тогда при выполнении условия
Mr2 /I >2 (5.6)
устойчивым будет синфазное вращение роторов, обеспечивающее, как не¬
трудно видеть из равенств (5.3), круговые поступательные колебания не¬
сущего тела с амплитудой г0 = 2 m е / М (рис. 6.6, б). При выполнении
противоположного неравенства Mr2 /1 < 2 устойчивым будет противо¬
фазное вращение, приводящее к поворотным колебаниям тела с угловой
амплитудой фо = 2 тег// (рис. 6.6, в).
При вращении роторов в противоположных направлениях, когда
CTi а2 = - 1 , условие (5.5) никогда не выполняется, и поэтому всегда ус¬
тойчиво противофазное вращение, приводящее согласно (5.3) к прямоли¬
нейным поступательным гармоническим колебаниям несущего тела пер¬
пендикулярно плоскости, в которой лежат оси вращения роторов, с амп¬
литудой Л о — 2m е / М (рис. 6.6, г).
Согласно (3.11) и (5.4) выражение для модуля вибрационного момента
будет иметь вид
алт|
QJ
>
s
Э oti
max
F2
2Мсо2
Зсх2 j
1 max
, Mr21 /с_.
1 + CTiCT2 — (TiCT2 —— . (5.7)
182
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[Г Л 6
§ 6.6. О синтезе устройств с самосинхронизующимися
вибровозбудителями
Отрицательное заключение о возможности использования эффекта
самосинхронизации при заданной структурной схеме и параметрах устрой¬
ства еще не свидетельствует о невозможности решить задачу путем неко¬
торого видоизменения схемы или соответствующего выбора параметров. В
настоящее время известен ряд приемов таких целенаправленных измене¬
ний, то есть приемов синтеза машин с самосинхронизующимися вибро-
возбудителями [84, 169, 306]; эти приемы непосредственно вытекают из
закономерностей явления самосинхронизации, излагаемых в следующем
параграфе; они могут быть алгоритмизованы с целью их реализации на
ЭВМ. Вместе с тем следует отметить, что процесс создания работоспо¬
собных и эффективных схем вибрационных устройств с самосинхронизу¬
ющимися вибровозбудителями содержит ряд эвристических элементов,
вследствие чего является вполне справедливым, что на соответству¬
ющие решения выдаются авторские свидетельства на изобретения и па¬
тенты.
§ 6.7. Закономерности и парадоксы самосинхронизации
дебалансных вибровозбудителей
Перечислим в заключение основные примечательные закономерности
и парадоксы, характерные для самосинхронизации неуравновешенных ро¬
торов и представляющие интерес для приложений.
1. Тенденция дебалансных вибровозбудите¬
лей к синхронизации; вибрационное поддержа¬
ние вращения. Дебалансные вибро возбудители с достаточно близ¬
кими положительными парциальными скоростями со* , установленные в
некоторой механической колебательной системе с малой диссипацией,
обнаруживают тенденцию к синхронизации. Если валы дебалансных воз¬
будителей, приводимых от двигателей асинхронного типа, будучи уста¬
новленными на неподвижном основании, вращаются с близкими угловыми
скоростями со5, то такие возбудители будут непременно самосинхронизо-
ваться при установке в указанной системе колеблющихся тел.
Вместе с тем при определенных условиях самосинхронизация возмож¬
на и при сильной диссипации энергии в колебательной системе, а также
при резко различающихся со* и даже при некоторых со* = 0 или со5 < 0.
Первый случай отвечает выключенным из сети двигателям соответствую¬
щих возбудителей (эффект вибрационного поддержания вращения), а
второй - работе указанных двигателей в генераторном режиме, когда эти
двигатели оказываются втянутыми во вращение, направление которого
противоположно направлению их вращения на неподвижном основании.
2. Эффект усреднения парциальных скорос¬
тей. Угловая скорость синхронного вращения вибровозбудителей со в
§6.7]
ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ПАРАДОКСЫ
183
условиях, указанных в п. 1, не больше, чем наибольшая, и не меньше, чем
наименьшая из парциальных угловых скоростей со*.
3. Эффект передачи больших мощностей.
Выравнивание угловых скоростей вращения роторов, обладающих различ¬
ными парциальными угловыми скоростями со5, то есть самосинхрониза¬
цию, можно трактовать как проявление вибрационной связи между рото¬
рами, то есть передачи вращающих моментов или мощностей через коле¬
бательную систему от “более быстрых” возбудителей к “более медлен¬
ным”. Для практических приложений явления самосинхронизации и эф¬
фекта вибрационного поддержания вращения первостепенное значение
имеет тот факт, что указанные мощности могут быть реально достаточно
велики: они имеют порядок произведения амплитуды вынуждающей силы
F = т г со2, развиваемой ротором на неподвижном основании, на эффек¬
тивную амплитуду колебаний его оси Л и на угловую скорость со. В
частности, при F = 106 Н, А = 0,25- 10 2 м и со = 314 с_1, то есть при
реальных для современных вибрационных устройств параметрах, макси¬
мально возможная передаваемая мощность составляет около 800 кВт.
4. Установление определенных соотношений
между фазами вращения роторов. В устойчивых
синхронных движениях возбудителей устанавливаются некоторые вполне
определенные значения относительных фаз вращения роторов сх* - а* . В
ряде случаев, особенно при большом числе возбудителей, таких устойчи¬
вых ( в малом) фазировок может быть несколько. Каждой устойчивой фа-
зировке соответствует определенный закон движения колебательной час¬
ти системы, то есть несущих тел, на которых установлены роторы.
5. Интегральный критерий устойчивости (эк¬
стремальное свойство) синхронных движений.
В случае самосинхронизации дебалансных вибровозбудителей с одинако¬
выми парциальными скоростями вдали от резонанса и при малой диссипа¬
ции энергии в линейной колебательной системе устойчивые в малом фа¬
зировки соответствуют точкам грубого минимума относительно разностей
фаз as - cat средней за период функции Лагранжа колебательной части
системы, вычисленной в соответствующем приближении. Во многих дру¬
гих случаях устойчивые фазировки соответствуют точкам грубого мини¬
мума несколько более сложной по структуре функции разностей а* - а* -
потенциальной функции D.
6. Эффект взаимного уравновешивания рото¬
ров при их установке на мягковиброизолиро-
ванном твердом теле (принцип минимума средней кинетиче¬
ской энергии). Предположим, что вибровозбудители установлены на
твердом теле, которое связано с неподвижным основанием столь мягкими
упругими элементами, что частоты свободных колебаний тела значитель¬
но ниже синхронной скорости *) со. Тогда потенциальной энергией тела
можно пренебречь по сравнению с кинетической, и если к тому же возбу¬
дители обладают одинаковыми положительными парциальными угловыми
*) См. сноску на с. 178.
184
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ бизровозбудителей
[ГЛ 6
скоростями, то из интегрального критерия устойчивости вытекает, что ус¬
тойчивым синхронным движениям будут соответствовать минимумы сред¬
него за период значения кинетической энергии тела
Иными словами, устойчивыми будут такие фазировки роторов, при ко¬
торых неуравновешенные силы и моменты, ими генерируемые, взаимно
компенсируются в том смысле, что усредненная за период кинетическая
энергия принимает минимальное значение. В частности, если возможна
такая фазировка, при которой имеет место полная взаимная компенсация
неуравновешенных сил и моментов, то именно эта фазировка (которой со¬
ответствует нулевое значение кинетической энергии тела) и является ус¬
тойчивой; тело при этом практически не совершает колебаний (рис. 6.3,6
и 6.7/1). Указанную фазировку назовем компенсирующей.
Заметим, что данную закономерность можно рассматривать как свое¬
образное обобщение известного принципа Лаваля, состоящего в само-
уравновешивании диска, сидящего на гибком валу, в послекритической
области частот вращения. Этой закономерности и ее практическому ис¬
пользованию посвящена гл. 7.
7. Парадокс неработающих связей. Как следует из
изложенного в п. 6, при самосинхронизации вибровозбудителей с одина¬
ковыми положительными парциальными скоростями могут существовать
и быть устойчивыми синхронные движения, в которых несущие тела (или
тело) в синхронном движении остаются неподвижными (рис. 6.3,6 и 6.7/z).
Создается иллюзия, что колебательная часть системы в этих случаях не
выполняет никаких функций и вовсе не нужна для синхронизации. На са¬
мом деле это не так: при случайном возмущении движения, например,
при изменении какой-либо из фаз as, возникают колебания несущих тел,
которые не прекращаются до тех пор, пока возмущение не затухнет.
Описанный эффект характерен для самосинхронизации не только
вращающихся, но и колеблющихся объектов. Впервые он был описан
Х.Гюйгенсом, наблюдавшим самосинхронизацию маятниковых часов [171].
8. Зависимость характера устойчивой ф а з к -
Р о в к и возбудителей от числа степей ей свобо¬
ды колебательной системы (несущих тел).
Характер устойчивой фазировки вибровозбудителей может измениться
при изменении числа существенных степеней свободы несущих тел. Так,
например, присоединение к несущему телу дополнительного груза на
пружине или маятника и т.п. может привести к тому, что устойчивое син¬
фазное вращение роторов станет неустойчивым, а неустойчивое противо¬
фазное - устойчивым, к наоборот (рис. 6.7). Подобным образом характер
устойчивой фазировки возбудителей обычно меняется при переходз угло¬
вой скорости из одного диапазона между частотами свободных колеба¬
ний несущих тел, а также между некоторыми другими разграничительны¬
ми частотами в соседний диапазон (см. также гл. 7).
9. П а р а д о к с принуждения. Для иллюстрации этого
парадокса., а также предыдущей закономерности рассмотрим следующий
пример. Пусть необходимо обеспечить прямолинейные поступательные
колебания мягковиброизолированного твердого тела по закону, близкому
к гармоническому (рис. 6.7). Для этой цели могут быть использованы два
§6.7]
ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ПАРАДОКСЫ
185
одинаковых дебалансных вибровозбудителя с роторами, зращающимися в
противоположных направлениях. Для гарантии колебаний тела в нужном
направлении, на первый взгляд, представляется полезным поместить тело
з направляющие (рис. 6.7,а). Однако, как показывает исследование
(см. п. 6.2.5 и рис. 6.3,6) и следует из изложенного в п.6, в этом случае
возбудители будут устойчиво самосинхронизоваться с таким соотношени¬
ем фаз, при котором вынуждающие силы, развиваемые возбудителями,
взаимно уравновешиваются, а тело останется практически неподвижным
(эта фазировка показана на рис. 6.7/z сплошными линиями). Требуемая же
фазировка (показанная штрихами) является неустойчивой.
Vf
0, 3
А
\Щ ~5?рь =1
Mi
%С2
1
М,
S* 01
\С*ъО
Рис. 6.7. Зависимость характера устойчивой фазировки роторов при самосинхронизации
вибровозбудителей от числа степеней свободы колебательной системы и парадокс
принуждения
Исследование показывает, что существуют по крайней мере два спо¬
соба обеспечения устойчивости требуемой фазировки: либо присоединить
к основному телу посредством пружины некоторое добавочное тело *)
(рис. 6.7,6), либо, как это ни кажется парадоксальным, просто убрать на¬
правляющие (рис. 6.7,в). Можно, конечно, сказать, что з обоих случаях
желаемый результат достигается одним и тем же способом - изменением
числа степеней свободы колебательной части системы. Таким образом,
данный парадокс тесно связан с закономерностью, описанной в п. 8.
10. Зависимость характера устойчивой фази¬
ровки от числа возбудителей. Добавление одного или
нескольких возбудителей может существенно изменить характер их ус¬
тойчивой фазировки при самосинхронизации [72, 84].
11.Зависимость характера устойчивой фази¬
ровки от относительных направлений враще¬
ния роторов возбудителей. Представление об этой
закономерности дает пример, рассмотренный в § 6.5 (см. также рис. 6.6).
Исключение из правила представляет простейшая система, рассмотренная
в § 6.2: вибрационные моменты в этом случае не зависят от чисел
Gi. с, (^характеризующих направления вращения роторов (см. формулу
(2.29)).
*) Жесткость пружины, массы тел и частота должны при этом удовлетворять некоторо¬
му неравенству (см. [72, 84]).
186
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
12. Адаптивное свойство устройств с самоси
нхронизующимися вибровозбудителями. При
определенных условиях фазировка вращения роторов “благоприятным об¬
разом” изменяется при изменении параметров колебательной части систе¬
мы [232] (см. п. 6.4.3). Так, например, в условиях рис. 6.5 равнодействую¬
щая центробежных сил, развиваемых роторами, при устойчивом синхрон¬
ном вращении всегда отслеживает направление на центр тяжести тела, на
котором размещены роторы.
Все закономерности и парадоксы, о которых говорилось в данном раз¬
деле, широко используются в настоящее время при создании новых и со¬
вершенствовании существующих вибрационных машин и устройств; на
них основано много важных изобретений [72, 84]. Вместе с тем, как уже
отмечалось, возможности использования своеобразных' закономерностей
самосинхронизации еще далеко не исчерпаны.
§ 6.8. Дополнение: о явлениях синхронизации колебательных
и вращательных движений в природе и технике.
Современное состояние проблемы
По-видимому, первое наблюдение и описание явления синхронизации
колеблющихся объектов принадлежит Христиану Гюйгенсу, который еще
в начале второй половины ХУП века обнаружил, что пара маятниковых
часов, ходивших по-разному, самосинхронизовалась, когда их прикрепля¬
ли к легкой балке вместо стены [171].
В конце XIX века Рэлей заметил, что две органные трубы с располо¬
женными рядом отверстиями при близкой настройке начинают звучать в
унисон, то есть происходит взаимная синхронизация колебаний. Иногда
при этом трубы могут заставить почти полностью “замолчать” друг друга.
Аналогичное явление было обнаружено Рэлеем и для двух электрических
или механически связанных камертонов [376]. В конце предыдущего - на¬
чале текущего столетия были открыты явления синхронизации в электри¬
ческих цепях и в некоторых электромеханических системах. Взаимная
синхронизация электрических генераторов и генераторов электромагнит¬
ных колебаний до недавнего времени представляла собой главные техни¬
ческие приложения синхронизации, им посвящено значительное число те¬
оретических и экспериментальны* исследований.
Что же касается вращательных движений тел, то с незапамятных вре¬
мен была известна синхронизация вращательного и орбитального движе¬
ния Луны. Луна обращена к Земле всегда одной стороной своей поверх¬
ности, что свидетельствует о равенстве средних частот вращения Луны
вокруг своей оси и в движении по орбите вокруг Земли. Позднее стало
известно много таких ( и более сложных) примечательных соотношений
между частотами вращательных движений тел Солнечной системы
(см. гл. 19), однако к ним до недавнего времени относились как к изоли¬
рованным явлениям, не имеющим общего значения. Видимо, только этим
можно объяснить тот факт, что самосинхронизация вращающихся неурав¬
§6.8]
СИНХРОНИЗАЦИЯ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ; ОБЗОР
187
новешенных роторов была обнаружена, и притом случайно (см. § 6.1),
лишь в конце 40-х годов, то есть примерно через 300 лет после наблюде¬
ния Гюйгенсом синхронизации колеблющихся объектов (часов) и через
много лет после обнаружения синхронизмов ("резонансов") при движении
некоторых небесных тел.
Последовавшие затем исследования способствовали пониманию того,
что самосинхронизация вращений характерна не только для неуравнове¬
шенных роторов, расположенных на единой колебательной системе, но
также и для многих других классов вращающихся взаимодействующих
тел. Было установлено, что принципиально важно для возникновения
тенденции к синхронизации именно наличие сил взаимодействия, завися¬
щих, помимо прочего, от угловых координат тел. При этом синхронизация
вращений, сопровождающаяся установлением определенных фазовых со¬
отношений, часто возникает даже при весьма слабых взаимодействиях. В
частности, стало понятным, что в случае небесных тел речь, несомненно,
идет о некоторой общей закономерности - тенденции гравитационно вза¬
имодействующих вращающихся тел к взаимной синхронизации [42 - 45,
72, 84, 296, 434, 456], причем эта тенденция определяется общим для мно¬
гих классов вращающихся тел механическим принципом - интегральным
критерием устойчивости (экстремальным свойством) синхронных движе¬
ний (см. гл. 3). В области механики и теории машин, например, было
высказано и исследовано предположение о возможности самосинхрониза¬
ции сепараторов подшипников качения [2, 84, 183] и турбинных лопаток
[390 а], рассмотрена с позиции теории самосинхронизации вращающихся
тел динамика автобалансировочных устройств (см. гл. 7).
Наряду с некоторыми очевидными общими элементами обнаружился
ряд существенных отличий синхронизации вращающихся тел ( в частно¬
сти - неуравновешенных роторов) от синхронизации колеблющихся объ¬
ектов (в частности - маятников). Так, для роторов нет понятий о частотах
свободных колебаний и о верхних и нижних положениях, весьма сущест¬
венных для маятников, но есть понятия правого и левого вращения. Из
двенадцати закономерностей, перечисленных в § 6.7, общими для роторов
и маятников являются лишь вторая, четвертая, седьмая и частично -
первая; остальные характерны только для роторов. Качественные разли¬
чия имеются и в характере фазовых пространств соответствующих систем,
а также в поведении траекторий, отвечающих синхронным движениям в
этих пространствах.
С прикладной точки зрения особенно существенным является эффект
передачи больших мощностей (см. § 6.7): как показывают оценки, эти
мощности на порядок-два больше для роторов, чем для маятников. Види¬
мо, по этой причине открытая более трехсот лет тому назад самосинхро¬
низация механических объектов типа маятников еще не нашла серьезного
технического применения, тогда как недавно обнаруженная самосинхро¬
низация роторов широко используется.
С принципиальной точки зрения существенно, что для колеблющихся
объектов не найдено экстремальное свойство устойчивых движений того
типа, как для вращающихся тел. В связи с этим наличие тенденции к син¬
188
САМОСИНХРОНИЗАЦИЯ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
[ГЛ. 6
хронизации, доказанное для широкого класса вращающихся тел, для ко¬
леблющихся объектов пока в общей форме не установлено.
Обнаружение и исследование явления самосинхронизации вращаю¬
щихся тел стимулирозало развитие общей теории синхронизации динами¬
ческих объектов и способствовало формированию взгляда на тенденцию
к синхронизации как на общее свойство материальных объектов различ¬
ной природы - тенденцию к самоорганизации. Работы этого направления
принадлежат А.И.Лурье, Р.Ф.Нагаеву, Ю.И.Неймарку и А.С.Гуртовнику, а
также автору; эти работы частично уже упоминались в гл. 3. Взаимной
синхронизации хаотических движений посвящено исследование [12].
Появились интересные исследования явлений синхронизации в биоло¬
гии [350, 425].
Результаты большинства упомянутых исследований по теории синхро¬
низации, а также по ее экспериментальной проверке и практическим при¬
менениям обобщены в книгах [72, 84, 95] и в докладе [73]; там же обсуж¬
дается ряд еще не получивших полного подтверждения гипотез о роли
явлений синхронизации в микромире, в эволюции Вселенной, в биологии
и медицине.
Редко обращается внимание на то обстоятельство, что теория синхро¬
низации динамических объектов явно относится к современным концеп¬
циям о временной самоорганизации в неравновесных системах [142], то
есть к неравновесной термодинамике и синергетике [339, 398]. Между
тем многие принципиальные моменты, до сих пор обсуждаемые в рамках
указанных концепций на умозрительном уровне или на уровне гипо¬
тез, получили математическое обоснование в теории синхронизации
еще в 1962 - 64 гг.
Глава 7. Обобщенный принцип автобалансировки
§ 7.1. Принцип Лаваля и его обобщение, вытекающее из теории
самосинхронизации механических вибровозбудителей
и некоторых других исследований
Еще в 1884 году шведский инженер Лаваль обнаружил, что неуравно¬
вешенный диск, сидящий на гибком валу, в закритической области частот
вращения, то есть при частотах 0) , больших частоты свободных колеба¬
ний ротора р, самоцентрируется: его центр масс располагается практиче¬
ски на оси вращения (рис. 7.1,а). В результате существенно снижаются
неуравновешенные усилия, передаваемые на опоры вала. Этот эффект,
впервые теоретически объясненный в 1895 г. А.Фёпплем [393], успешно
используется при создании различного рода машин с быстро вращающи¬
мися роторами, например, центрифуг. Он проявляется и в *других, в том
числе более сложных роторных системах (рис. 7.1, б и в), что также нахо¬
дит важные применения (см.? например, изобретения [366 - 368], позволив¬
шие существенно усовершенствовать машины для стирки белья).
Из изложенного в п. 6.2.4 и в § 6.3 интегрального критерия (экстре¬
мального свойства) устойчивости синхронных движений механических де¬
балансных вибровозбудителей вытекает ряд практически важных следст¬
вий, которые можно рассматривать как существенное обобщение законо¬
мерности, обнаруженной Лавалем. Напомним, что согласно этому крите¬
рию, справедливому при достаточно общих условиях, устойчивые синх¬
ронные движения некоторого числа к роторов с одинаковыми положи¬
тельными парциальными угловыми скоростями (см. п. 6.2.3) обладают тем
замечательным свойством, что им соответствуют грубые минимумы сред¬
него за период значения функции Лагранжа системы L (i) = - П (7) ,
вычисленного для колебательной части системы (то есть для системы с
заторможенными роторами) и в предположении, что роторы равномерно
вращаются по закону
ср, = a,(o)f+ сь) (а, = ± 1; s = 1 , (1.1)
а колебательная система (несущие тела) совершает установившиеся коле¬
бания под действием неуравновешенных сил, развиваемых роторами в ука¬
занном движении. Из условия минимума выражения
0 = Л(Л = <[1Й1> = <[7'*-П(')]>, (1-2)
называемого потенциальной функцией, определяются разности началь¬
ных фаз вращения роторов в устойчивых синхронных движениях
oti - а*,..., а*ч-а*.
Если теперь учесть, что в закритической области частот со > р max
(р max - наибольшая частота свободных колебаний системы при затормо¬
женных роторах; мы рассматриваем здесь системы с конечным числом
степеней свободы), где потенциальной энергией можно пренебречь по
сравнению с кинетической, то получается первое важное обобщение об¬
наруженной Лавалем закономерности на многороторные системы:
190
ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП АВТОБАЛАНСИРОВКИ
[ГЛ7
Принцип минимума кинетической энергии в
теории автобалансировки. В зсисритической области
частот роторы с одинаковыми положительными парциальными уг¬
ловыми скоростями самоуравновегииваются в том смысле, что сред¬
няя кинетическая энергия колебательной части системы имеет ми¬
нимум; если при этом возможна такая фазировка роторов, при ко¬
торой несущие тела неподвижны, то есть = 0, то эта фазиров¬
ка непременно будет устойчивой. Такую фазировку назовем компенси¬
рующей.
Сказанное иллюстрируется рис. 6.3, б, 6.7, а и 7.1, д и 7.1, ul.
Другая важная закономерность, вытекающая из интегрального крите¬
рия, состоит в том, что весь диапазон частот вращения 0 < со < разби¬
вается на интервалы, разделенные частотами свободных колебаний систе¬
мы р 1 — р minл = р шах , и некоторыми другими частотами q 1q r
в которых поочередно имеет место то самоуравновешивание, то усиление
колебаний. При этом в закритической области со > р шах, как отмечалось,
непременно имеет место самоуравновешивание, а в области со < р шп-
усиление колебаний (в последнем случае можно считать, что
Т^ « П , так что устойчивым движениям отвечает максимум потенци¬
альной энергии). Эта закономерность иллюстрируется рис. 7.1, д и 7.1, ul.
Два одинаковых неуравновешенных ротора, расположенных посередине
шарнирно опертой балки (рис. 7.1, д), вращаются синфазно (усиление ко¬
лебаний) или противофазно (самоуравновешивание) в зависимости от ин¬
тервала, в котором лежит частота вращения со. При этом разграничитель¬
ными частотами служат нечетные частоты свободных колебаний рассмат¬
риваемой балки, а также некоторые другие значения [72, 84, 468].
Выше для упрощения рассуждений мы говорили о роторах с одинако¬
выми парциальными угловыми скоростями. Для роторов, парциальные
скорости вращения которых несколько отличаются, сформулированные
закономерности сохраняются в виде некоторой тенденции. Та же тенден¬
ция к взаимной компенсации неуравновешенностей в закритической обла¬
сти частот вращения была обнаружена для ротора с маятниковыми подве¬
сками (рис. 7.1, ж), автобалансиров (рис. 7.1, е\ см. также § 7.3) и некото¬
рых других роторных систем, в частности для таких своеобразных рото¬
ров, которые представляют собой сепараторы подшипников качения, уста¬
новленных в опорах некоторого вала (рис. 7.1, з) [84, 183].
Как установлено, при самосинхронизации в закритической области се¬
параторы обнаруживают тенденцию к взаимной компенсации вызываемых
ими колебаний вала в опорах. Особенность этого случая состоит в
том, что здесь колебания вызываются не неуравновешенностью сепарато¬
ров, а неточностями изготовления подшипников, вследствие которых по¬
тенциальная энергия колебаний системы зависит от углов поворота
сепараторов *) [183].
*) Идея о возможности использования эффекта самосинхронизации для снижения коле¬
баний роторов, вызываемых несовершенством подшипников качения, была сообщена автору
Ю.Ю.Гяцявичюсом
§7.1]
ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ЛАВАЛЯ
191
Рис. 7.1. Обобщенный принцип автобалансировки
192
ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП АВТОБАЛАНСИРОВКИ
[Г Л 7
Ел^зк^е лс характеру закономерности бьта обнаружены А.Ю.Ишлин-
ским и его учениками и коллегами в поведении иной, как оказалось, до¬
статочно сложной системы - твердого тела, вращающегося на струнном
подвесе (рис. 7.1 ,г) (см. [196 - 198], а также работу [352], где приведены
библиографические ссылки).
Таким образом, сразу несколько видов устройств с вращающимися ро¬
торами, вызывающими колебания системы, на которой они установлены,
обнаруживают общую закономерность поведения, которую можно рас¬
сматривать хак некоторый обобщенный принцип автобалансировки
и сформулировать следующим образом [95]:
Обобщенный принцип автобалансировки.
Отдельные роторы или несколько синхронно вращающихся роторов,
установленные в единой колебательной системе и вызывающие ее ко¬
лебания вследствие неуравновешенности или других факторов, обна¬
руживают в области частот вращения выше наибольшей частоты
свободных колебаний системы тенденцию к ослаблению колебаний, в
области ниже наименьшей частоты свободных колебаний - тенден¬
цию к максимальному усилению колебаний системы, а промежуточ¬
ный диапазон частот вращения распадается на интервалы, в кото¬
рых поочередно имеет место тенденция то к ослаблению, то к уси¬
лению колебаний.
Выше шла речь о поведении роторов в колебательных системах с ко¬
нечным числом степеней свободы. Исследования показывают (см., напри¬
мер, [72, 84, 174]), что сказанное о перемежаемости диапазонов самоурав-
новешивания и усиления колебаний распространяется также на случаи,
когда упругие валы и балка на рис. 1Л,д - ж обладают распределенной
массой (в этих случаях р max = 00 ). Аналогичное поведение, по крайней
мере при не слишком высоких частотах вращения, обнаруживает и еще не
достаточно полно изученная система с ротором, содержащим жидкость
(рис. 1Л jc): жидкость, частично заполняющая сосуд, вращающийся на уп¬
ругом валу, может образовать, в зависимости от частоты вращения
со , как предельно уравновешенную (-), так и предельно неуравновешен¬
ную (+) конфигурацию. Это обстоятельство использовано, в частности, в
изобретении [77] (см. также [172]).
Другое обобщение относюгся к случаю, когда роторы связаны также
некоторой системой так называемых несомых связей (см. § 6.3), В этом
случае согласно равенствам (3.12) гл. 6 будем иметь
I) = А{1) - А(Л) = < [L(I)]> - < [Lm ]>, (1.3)
где А(Л) = < [ L ] > - лагранжиан системы несомых связей, усреднен¬
ный таким же образом, как и лагранжиан L ("Г). Отметим, что выражения
А ^ и А ^ входят в формулу (1.3) с противоположными знаками; з ре¬
зультате и влияние несомых и несущих связей на устойчивость определен¬
ного синхронного движения в известном смысле противоположно. Естест¬
венно, что в данном случае приведенные выше формулировки должны
быть соответствующим образом видоизменены.
§ 12]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ ГРУППОВЫХ ФУНДАМЕНТОВ
193
Отметим, что в пределах каждого из рассмотренных выше типов сис¬
тем сформулированное положение представляет собой достаточно строго
теоретически установленный и экспериментально проверенный факт. Од¬
нако общего доказательства этого положения, охватывающего все разно¬
образные роторные системы, о которых шла речь, еще не существует. По¬
этому указанное положение отнесено нами к разряду принципов.
§ 7.2. Приложение к теории групповых фундаментов
под неуравновешенные машины
В последние годы все большее распространение получают единые
(групповые) фундаменты под несколько однотипных неуравновешенных
машин, которые жестко связаны с фундаментом и приводятся от двигате¬
лей асинхронного типа. Расчет таких фундаментов основывается, как пра¬
вило, на допущении, что фазы неуравновешенных сил, развиваемых маши¬
нами, носят случайный характер, и поэтому влияния неуравновешенностей
отдельных машин в определенной степени взаимно компенсируются [359].
Между тем известны случаи, когда, вопреки ожиданиям, возникала синх¬
ронная и синфазная работа машин, что приводило к аварийным состояни¬
ям. С точки зрения изложенных выше закономерностей самосинхрони¬
зации вибровозбудителей такие ситуации понятны: при определенных ус¬
ловиях машины обнаруживают тенденцию к синхронному вращению, при¬
чем не со случайным, а вполне определенным соотношением фаз. При
этом в одних случаях фазы могут оказаться близкими или совпадающими
(именно такой случай, по-видимому, имел место при упомянутых аварий¬
ных ситуациях), а в других - такими, что влияние неуравновешенностей
взаимно компенсируется.
Изложенные выше результаты теории синхронизации позволяют по¬
дойти к вопросу о том, в каких случаях вибрационная связь между маши¬
нами слаба, так что их самосинхронизация практически маловероятна, и
поэтому можно пользоваться обычными рекомендациями по расчету груп¬
повых фундаментов, и в каких случаях, напротив, вибрационная связь
сильна и необходимо считаться с возможностью самосинхронизации. В
последнем случае фундамент и установку машин на нем следует проекти¬
ровать так, чтобы происходила взаимная компенсация, а не усиление вли¬
яния неуравновешенностей [72, 78, 84, 85].
Ориентировочные рекомендации этого рода, основанные на принци¬
пах, изложенных в § 6.4 и § 7.1, приведены в табл. 7.1, представляющей
собой соответствующим образом дополненную табл 6.1 (с. 178); приво¬
димая таблица предложена в работе [78].
В этой таблице - введенный в § 6.4 коэффициент, характеризую¬
щий относительную силу вибрационной связи. Как отмечалось, случаю
очень слабой вибрационной связи к& < 0,01 соответствует вероятность
самосинхронизации менее 10%, а случаю очень сильной связи к & > 0,2 -
более 90% (см. табл. 6.1).
Как и ранее, в табл. 7.1 со- синхронная угловая скорость (частота), ко¬
торую можно считать совпадающей с номинальной скоростью вращения
7 И-И-Блехман
194
ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП АВТОБАЛАНСИРОВКИ
[ГЛ. 7
Таблица 7.1
Ориентировочные рекомендации по учету явления самосинхронизации
при проектировании групповых фундаментов под неуравновешенные машины
Интервалы значений коэффициента
Соотношение между частота¬
ми р min , р тпяу И (О
0 < к ш < 0,01
(очень слабая
вибрационная
связь)
0,01 < к ш < 0,2
(сравнительно слабая или
сравнительно сильная
вибрационная связь)
к а > 0,2
(сильная виб¬
рационная
связь)
(О > р тяу
(послерезонансная область)
-
- + О
+ О
Р min < (О < /7 max
(межрезонансная область)
+ О или У
+ О или У
W < р min
(дорезонансная область)
+ У
+ У
В ЗЛО В машин; р min И Р тяг “ соответственно наименьшая и наибольшая
частоты свободных колебаний фундамента с машинами. Знак указыва¬
ет, что расчет рекомендуется производить без учета вибрационной связи,
знак "+" указывает, что эту связь необходимо учитывать, а знаки "-+" ука¬
зывают, что расчет можно производить без учета вибрационной связи, од¬
нако он может дать сильно завышенные значения амплитуд колебаний.
Буквами О и У в табл. 7.1 отмечены случаи, когда при наступлении само¬
синхронизации эффекты от действия отдельных неуравновешенностей
соответственно ослабляются или усиливаются, причем усиление или ос¬
лабление понимается в смысле величины среднего за период значения
кинетической энергии колебаний фундамента.
При установке машин на фундаменте в виде единого твердого тела
ослабление колебаний в указанном смысле будет иметь место в случае
"мягкой" установки фундамента на основании (со > р щах). При этом в слу¬
чае возможности такой фазировки валов в синхронном движении, при ко¬
торой имеет место полное взаимное уравновешивание (компенсирующая
фазировка), машины будут обнаруживать тенденцию именно к такому
полному взаимному уравновешиванию.
Из сказанного следует, в частности, вывод о том, что при проектиро¬
вании групповых фундаментов под неуравновешенные машины следует
стремиться к тому, чтобы машины в принципе могли взаимно уравнове¬
шиваться при синхронном движении и чтобы установка фундамента на
основание была мягкой.
На рис. 7.2 представлены некоторые схемы установки неуравновешен¬
ных машин на фундаменте в виде единого твердого тела, при которых
возможно полное самоуравновешивание; рис. 7.2, а при этом соответству¬
ет случаю прямолинейно движущихся, а рис. 7.2, б - г - случаю вращаю¬
щихся неуравновешенных масс. На всех рисунках показаны компенсирую¬
щие фазировки. Согласно изложенному такие фазировки будут непре¬
менно устойчивы при "мягкой" установке фундамента на основание. Есте¬
ственно, что при неодинаковых значениях статических моментов неурав¬
§7.3]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ АВТОБАЛАНСИРОВ
195
новешенных масс msZs в условиях рис. 7.2, а - г компенсация неуравно¬
вешенностей будет, вообще говоря, неполной.
Отметим, что для схем с двумя машинами единственным устойчивым
синхронным режимом в закритической области частот является режим с
компенсирующей фазировкой. В случае трех и более машин могут иметь
место также и другие, нежелательные (то есть "не компенсирующие"), ус¬
тойчивые синхронные движения; соответствующим фазировкам, как и
компенсирующим, будут отвечать минимумы функции < [ Т] > .
Заметим также, что существует ряд систем, в которых компенси¬
рующие фазировки отвечают негрубым минимумам функции
Рис. 7.2. Примеры схем установки нескольких неуравновешенных машин на едином жестком
фундаменте, при которых возможно полное взаимное уравновешивание машин
< [7,(/)]> или < [Ь<л]> . Оба указанных случая требуют специально¬
го рассмотрения.
Более подробные сведения о расчете и проектировании групповых
фундаментов под неуравновешенные машины с учетом явления самосинх¬
ронизации можно найти в работах [72, 84].
§ 7.3. Приложения к теории автобалансировочных устройств
Одна из возможных конструктивных форм балансира для автоматиче¬
ской компенсации дебаланса вращающихся дисков схематически пред¬
ставлена на рис. 7.1,е. На гибком вращающемся валу закреплен диск,
центр масс которого С не лежит на оси вала ЛОВ. Диск имеет залитую
маслом цилиндрическую или тороидальную полость, ось которой совпа¬
дает с касательной к оси вала в точке крепления диска О. В полость по¬
196
ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП АВТОБАЛАНСИРОВКИ
[ГЛ. 7
мещены два шарика, которые при определенных условиях располагаются
во вращающемся диске таким образом, что компенсируют дебаланс диска,
причем сечение вала, в котором расположен балансир, остается на оси
подшипников. В результате существенно снижаются колебания вала и пе¬
редача динамических нагрузок на его опоры.
В иных конструктивных вариантах автобалансира вместо полости в
диске и шариков имеются либо кольца, надетые на вал с большим зазо¬
ром, либо рычажки, один из концов которых связан со свободно повора¬
чивающейся на валу втулкой, а другой несет неуравновешенный груз.
Описанные автобалансиры были изобретены Е. Сир л ем [472, V73] и нахо¬
дят применение в машинах типа центрифуг; они особенно эффективны в
случаях, когда дебаланс ротора может несколько изменяться в процессе
работы машины (см. также [319, 321]).
Исследование динамики автобалансира, выполненное различными ме¬
тодами, приводит к выводу, полностью согласующемуся с обобщенным
принципом автобалансировки: шарики занимают в диске устойчивое (ком¬
пенсирующее) положение в закритической области частот вращения вала
to > Р шах- В случае вала с распределенными параметрами, как отмечалось
выше, частотные диапазоны, где происходит компенсация неуравновешен¬
ности, чередуются с диапазонами, где имеет место усиление колебаний.
Наиболее полно динамика автобалансира рассмотрена в работе
Ф.М.Детинко [174]. Изучив классическими методами случай свободно
опертого вала с распределенной массой, снабженного посередине двух¬
шариковым автобалансиром, автор пришел к заключению, что необходи¬
мое условие нормальной работы автобалансира состоит в требовании,
чтобы угловая скорость вращения вала со лежала в диапазоне между его
нечетными критическими скоростями и четными критическими скоростя¬
ми вала с промежуточной опорой в сечении, снабженном автобалансиром,
то есть удовлетворяла условию
2 (Яг — 1)V -4Е I/M 14 < со < Г | I/M (± I)4 (*=1,2,...), (3.1)
где Е I - изгибная жесткость вала, I - его длина, М - погонная масса, а
числа Г к являются корнями уравнения thT = tg Г. К аналогичным резуль¬
татам приводит изучение случая вала с несколькими авто балансирами;
Ф.М.Детинко рассмотрел также вал с распределенным по его длине дебаг
лансом.
Исследование работы автобалансира, основанное на использовании
теории самосинхронизации вращающихся тел, приведено в [72, 84], при¬
чем получены результаты, вполне согласующиеся с результатами
Ф.М.Детинко. Согласуются с ними и результаты работы ЛШперлинга
[468], где рассмотрена самосинхронизация в системе, представленной на
рис. 7.1, д в случае балки с распределенной массой. И, конечно, налицо
согласие со сформулированным в § 7.1 обобщенным принципом автоба¬
лансировки.
Явление самосинхронизации роторов и обобщенный принцип автоба¬
лансировки могут быть использованы и для решения задачи компенсации
заданного динамического воздействия на твердое тело. Частный случай
этой задачи представлен на рис. 7.1, и2: на мягковиброизолированное те¬
§ 7.31
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ АВТОБАЛАНСИРОВ
197
л о действует гармоническая вынуждающая сила F sin со t ; необходимо
обеспечить компенсацию этой силы, чтобы тело оставалось практически
неподвижным. Как следует из теории синхронизации дебалансных вибро¬
возбудителей, решение задачи может быть достигнуто размещением на
теле двух одинаковых симметрично расположенных неуравновешенных
роторов, врашаюшихся в противоположных направлениях и развивающих
неуравновешенные силы F/2. Согласно распространяющемуся и на дан¬
ную систему обобщенному принципу автобалансировки, устойчивой явля¬
ется компенсирующая фазировка роторов, показанная на рис, 7.1, и2. Си¬
туация здесь во многом аналогична той, которая имеет место в случае ав¬
тобалансира.
Я.Г.Пановко обратил внимание автора на то, что описанное решение
задачи при определенных условиях может быть использовано вместо го¬
раздо более сложной и дорогостоящей системы активной виброизоляции,
при которой компенсирующее воздействие отрабатывается специальными
устройствами.
Исследование системы, изображенной на рис. 7.1, м2, без использова¬
ния результатов теории самосинхронизации выполнено в работе [23].
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА ПРОЦЕССОВ
(ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СМЕЩЕНИЕ)
Глава 8. Основные модели и общие закономерности
процессов вибрационного перемещения
с позиций вибрационной механики
§ 8.1. Об эффекте вибрационного перемещения,
его теории и приложениях
Под эффектом вибрационного перемещения понимается возникнове¬
ние "направленного в среднем" изменения (в частности - движения) за
счет ненаправленных в среднем (колебательных) воздействий. На этом
эффекте основаны: вибрационное транспортирование отдельных тел и
сыпучих материалов в вибрирующих лотках и сосудах; работа устройств,
называемых вибрационными преобразователями движения и вибродвига¬
телями; вибрационное погружение свай, шпунта и оболочек; вибрацион¬
ное разделение частиц сыпучего материала по плотности, размерам и не¬
которым другим параметрам; движение вибрационных экипажей; полет и
плавание живых организмов. В качестве примера вредного проявления
эффекта вибрационного перемещения можно указать на возникновение
под действием вибрации подвижности номинально неподвижных деталей
машин (в частности - самоотвинчивание гаек).
Термин "вибрационное перемещение" и его приведенное выше толко¬
вание были предложены Г.Ю.Джанелидзе и автором; этот термин был ис¬
пользован в качестве названия нашей книги [66], вышедшей в 1964 году, и
получил распространение в научной и технической литературе. Вместе с
тем данный термин начал употребляться в виброизмерительной технике в
совершенно ином смысле - в группе терминов "виброперемещение", "виб¬
роскорость" и "виброускорение", относящихся к кинематическим характе¬
ристикам вибрации. Естественно, ниже мы будем придерживаться первого
толкования.
Теории процессов вибрационного перемещения, особенно вибрацион¬
ному транспортированию отдельных тел и сыпучих материалов, посвяще¬
на обширная литература Обзор основных результатов и библиографиче¬
ские сведения можно найти в [66, 151, 245, 303, 335, 337, 373] и в справоч¬
нике [125, т.4]; ряд ссылок будет дан ниже по ходу изложения.
Большинство задач теории вибрационного перемещения сводится к
исследованию решений нелинейных дифференциальных уравнений с пе¬
риодическими по быстрому времени т = со t правыми частями, для кото¬
рых скорости изменения обобщенных координат имеют вид
х = X(t) + cof),
(1.1)
§8.2]
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ
199
где X (t) - медленно изменяющаяся, а у - быстро изменяющаяся состав¬
ляющие, причем
< \|/ (t, (dt)> = 0. (1-2)
Составляющую X(t) называют скоростью виброперемещения; в
большинстве случаев ее нахождение в устойчивых стационарных движе¬
ниях ( то есть когда X = const) представляет наибольший прикладной ин¬
терес. При этом в широком классе задач существенная нелинейность
дифференциальных уравнений обусловлена наличием в рассматриваемой
механической системе сил сухого трения и неудерживающих связей; в от¬
дельных областях фазового пространства системы уравнения движения
таких систем могут быть и линейными.
Вид разыскиваемых решений (1.1) делает естественным и целесооб¬
разным использование при решении задач теории виброцеремещения кон¬
цепции и методов вибрационной механики. Между тем до недавнего вре¬
мени такой подход практически не использовался; исключение составля¬
ют лишь работы автора [76, 81, 95]. Поэтому задачей настоящей главы яв¬
ляется проиллюстрировать плодотворность этого единого подхода к ис¬
следованию закономерностей процессов вибрационного перемещения и их
многочисленных приложений, упомянутых в начале параграфа.
Существенное место в теории вибрационного перемещения занимают
задачи о движении материальной частицы и простейших твердых тел по
вибрирующей шероховатой плоскости, а также задачи о движении тела
или частицы под действием вибрации в сопротивляющейся среде. Пред¬
ставляя и самостоятельный интерес для приложений, они играют роль ба¬
зовых модельных задач для теории ряда технологических процессов, в ча¬
стности, процессов вибропогружения свай и шпунта, вибрационного раз¬
деления сыпучих смесей, а также движения некоторых вибрационных эки¬
пажей. Другую группу образуют задачи о процессах виброперемещения в
сплошных и более сложных средах - задачи о медленных потоках, возни¬
кающих в жидкостях, газах и сыпучих средах под действием вибрации. В
настоящей главе и в гл. 9 будут рассмотрены модели и прикладные зада¬
чи первой группы; модели и задачи второй группы отнесены (в известной
степени - условно) к четвертой части книги, посвященной виброреологии.
§ 8.2. Простейшая модель процесса вибрационного перемещения
8.2.1. Движение частицы по шероховатой горизонтальной пло¬
скости под действием продольной гармонической силы или про¬
дольной вибрации плоскости. Ряд важных закономерностей вибрацион¬
ного перемещения может быть выяснен на примере простейшей задачи -
о движении плоского твердого тела (частицы) массы т по горизонталь¬
ной шероховатой плоскости под действием продольной гармонической
вынуждающей силы Oosinccf (рис. 8.1, а) или эквивалентной задачи о
движении тела по такой плоскости, совершающей продольные гармони¬
ческие колебания. Для конкретности рассмотрим вначале первую из этих
задач, причем на чисто качественном уровне.
200
МОДНЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
Рис. 8.1. Плоское тело (частица) на шероховатой горизонтальной плоскости при несим¬
метричном законе сухого трения под действием симметричной (гармонической) вибрации
перемещается в сторону наименьшего сопротивления
§82]
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ
201
Заметим прежде всего, что если коэффициенты /+ и /_ сухого тре¬
ния при скольжении тела вперед и назад по плоскости одинаковы и рав¬
ны /, то ясно, что при Ф о < mgf тело останется неподвижным, а при
Ф о > тп gf будет совершать симметричные колебания относительно не¬
которого среднего положения (g - ускорение свободного падения). Если
же допустить, например, что /_>/+, то симметрия нарушится, и, как
видно из рассмотрения характеристики силы сухого трения F на рис. 8.1/г,
при Ф о > т g/+ тело будет перемещаться в положительном направлении
(в случае/- < /+ при Фо > mgf - будет иметь место перемещение в от¬
рицательном направлении, то есть, как и ранее, в направлении, в котором
сила сопротивления меньше) *).
Действительно, в течение некоторого промежутка времени первого
полупериода 0 < (Ot < к , когда ФоБШСС t > mg/+ , тело сдвинется
вправо, а в течение второй половины периода п < (о£ < 2 к , когда
Ф о sin (Of < 0, тело останется на месте (если Ф0 < mgf - ), либо сдви¬
нется влево на меньшее, чем вправо, расстояние, поскольку сопротивле¬
ние движению влево больше, чем сопротивление движению вправо. Та¬
ким образом, за каждый период изменения силы будет происходить неко¬
торое смещение тела вправо. Наблюдатель V, не замечающий быстрой си¬
лы Ф о sin со t и силы сухого трения, которая также изменяется “быстро”,
припишет движение тела вперед появлению некоторой силы - вибрацион¬
ной силы V, действующей в положительном направлении (рис. 8.1, б). Эта
сила, в частности, может обеспечить движение тела даже вверх по пло¬
скости, то есть против силы тяжести, если наклонить плоскость на неко¬
торый не слишком большой угол.
Рассмотрим теперь задачу на основе уравнения движения тела:
- сила сухого трения, соответствующая характеристике, изображенной на
рис. 8.1, а. Уравнение (2.1) можно решить точно - путем использования
метода припасовывания или метода точечных отображений (см., напри¬
мер, [125, т.2 и 4 ]). Однако значительно более простое и наглядное при¬
ближенное решение получается методом прямого разделения движений.
Силу сухого трения F(x), которая может претерпевать существенные из¬
менения в течение периода, отнесем при этом, как и вынуждающую силу
Ф о sin cof , к быстрым силам. Разыскивая решения уравнения (2.1) вида
(1.1), запишем уравнения (2.55) и (2.56) гл. 2 в виде
*) Случай /+ */_ может показаться искусственные, однако это не так: он соответствует,
например, вибротранспортированию рыбы, для которой коэффициенты трения при скольже¬
нии в направлении чешуи и против чешуи существенно различаются. Этому же случаю соот¬
ветствует движение тела по ворсистой поверхности, а также простейшая модель сопротивле¬
ния грунта в задаче о вибрационной забивке свай и шпунта (см. § 9.3).
тх = F(x) + Ф о sin (О t,
(2.1)
где т - масса тела, а
(2.2)
-mgf+ < F(x) < mgf- при х = 0
202
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ 8
где
тХ= V,
m\\f = F(jt + у)- < F$ + V)> + Ф 0 sin со £,
V= < F(X+ \j/)>
(2.3)
(2.4)
(2.5)
- вибрационная сила, которая, как видно, представляет собой в данном
случае среднюю за период силу сухого трения, действующую на тело.
Будем решать задачу приближенно, считая, что амплитуда вынуждаю¬
щей силы Ф о значительно больше предельных значений силы сухого тре¬
ния F+ = mgf+ и F- = mgf - , так что последней при решении урав¬
нения быстрых движений (2.4) можно пренебречь. Тогда периодическим
решением этого уравнения, удовлетворяющим условию (1.2), будет
\|/ = — A sin со t, (2.6)
где
А = Ф0/т(й2. (2.7)
Произведем теперь усреднение по формуле (2.5) с учетом выражений
(2.2) и (2.6). Процесс этого усреднения графически представлен на рис.
8.1,в при X = 0 , а на рис. 7.1,г - в общем случае X *0 . Эти рисунки
наглядно иллюстрируют механизм возникновения вибрационной силы. В
результате получаем
V(X)
-mgf+ при X > А со,
со
2к
mgif-t- - /+£+) при | Х\ <Асо, (2.8)
т gf - при X < - А со,
где через t + и t - обозначены промежутки времени, в течение которых
тело движется по плоскости соответственно вправо (х = X + у > 0) и
влево (х = X + \\f < 0), причем
со*-
к - arccos
А со
соt- - 2arccos
А со
(2.9)
С учетом этих выражений формула (2.8) для вибрационной силы приоб¬
ретает следующий вид:
V(X) =
-mgf+ при Х>А(о,
[(/ + +/-) arccos -/+ л ] при \Х\ <Л(0, (2.10)
т gf - при X < — А со,
и основное уравнение вибрационной механики запишется в форме
тХ= V(X). (2.11)
§8.2]
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ
203
Скорость установившегося движения частицы по плоскости X = X *
- скорость виброперемещения найдется из уравнения V(X *) = 0, из
которого получаем
X « = А (0 cos у-?+г- = — cos , (2.12)
/++/- та /++/-
причем, поскольку V1 (X *) < 0 , то движение с этой скоростью устойчи¬
во. При /+ = /-по формуле (2.12) получается X * = 0, то есть, как и
должно быть, тело "в среднем” остается неподвижным (находится в со¬
стоянии квазиравновесия). Заметим также, что значению скорости вибро¬
перемещения X = 0 соответствует вибрационная сила
V(Q) = \mg<f- -f+). (2.13)
Все полученные формулы остаются справедливыми и в случае, когда на
тело действует вынуждающая сила Ф 0 sin со t, а плоскость совершает за¬
данные гармонические колебания с амплитудой А и частотой со.
Несложно выполнить и апостериорную проверку применимости мето¬
да прямого разделения движений, однако в данном случае в этом нет осо¬
бой надобности: сравнение полученных выражений с точными, на котором
здесь не останавливаемся, обнаруживает согласие результатов при усло¬
вии малости отношений Ф 0 / т gf± , что и предполагалось выше.
8.2.2. Анализ решения. Эффект кажущегося вибрационного
преобразования сухого трения в вязкое. Движущая и вибропреобра-
зованная вибрационные силы. Обратимся к анализу полученных зави¬
симостей. Прежде всего заметим, что согласно (2.8) зависимость V(X),
график которой представлен на рис. 8.1, б, является непрерывной - про¬
изошло вибрационное сглаживание разрывной характеристики сухого тре¬
ния (рис. 8.1, а) - эффект, хорошо известный в теории автоматического
управления (см., например, [222, 235, 333]). Далее отметим, что вибраци¬
онная сила V(X) может быть представлена в виде двух слагаемых
V(X) = V(0) + 7i(*), (2.14)
где V (0) определяется формулой (2.13). Силу V (0) естественно назвать
движущей вибрационной силой, а силу V\ (X) - вибропреобразованной
силой сопротивления *\ и поскольку согласно^ (2.14) V\ (0) = 0 , то эта по¬
следняя сила носит характер вязкого трения Таким образом, в резуль¬
*) Мы воспользовались здесь термином, введенным B.B.Андроновым, подробно исследо¬
вавшим с соответствующей точки зрения ряд интересных механических систем с сухим трени¬
ем как при отсутствии, так и при наличии вибрации [11].
**) Здесь и в дальнейшем мы говорим, что сила сопротивления движению тела но¬
сит характер сухого трения, если для того, чтобы вызвать движение тела, необходима
некоторая конечная сила. Если же движения вызывается сколь угодно малой силой, то будем
говорить о силе сопротивления типа вязкого трения.
204
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[Г Л 8
тате действия вибрации на рассматриваемую систему происходит не толь¬
ко кажущееся (то есть имеющее место только для наблюдателя V) преоб¬
разование сухого трения в вязкое, но также и образование движущей виб¬
рационной силы. О последнем обстоятельстве часто забывают, говоря
лишь об эффекте псевдоожижения системы с сухим трением под дейст¬
вием вибрации. Еще раз подчеркнем, что такое "ожижение" имеет мес¬
то лишь по отношению к медленным воздействиям; "в действительности"
(для наблюдателя О) система остается системой с сухим трением (рис.
8.1, а,б).
Таким образом, рассмотрение данной простейшей системы приводит к
объяснению и описанию не только эффекта вибрационного перемещения,
но также и других закономерностей, которые могут быть отнесены к виб-
рореологическим эффектам. Более подробному рассмотрению таких эф¬
фектов посвящена гл. 9.
В заключение отметим, что в случае X/ А со « 1 , когда в выражении
(2.10) можно ограничиться первыми двумя членами разложения
arccos X/ А со в ряд по степеням X/ А со , выражение для вибропреобра¬
зованной вибрационной силы принимает вид
V1 (X) = - (А + /-) , (2.15)
тогда как выражение (2.13) для движущей вибрационной силы V (0) оста¬
ется прежним.
§ 8.3. Физические механизмы и основные виды асимметрии
системы, обусловливающие вибрационное перемещение
На рассмотренной в § 8.2 простейшей модели выясняется основное ус¬
ловие возникновения эффекта вибрационного перемещения - наличие
асимметрии системы: при/+ = /- этот эффект отсутствует. Вместе с тем
изученный случай представляет лишь один возможный вид асимметрии,
приводящий к вибрационному перемещению. Другие виды асимметрии и
соответствующие им физические механизмы могут быть также охаракте¬
ризованы на модели плоского тела (материальной частицы), движущейся
относительно вибрирующей шероховатой плоскости; как уже отмечалось,
такая модель имеет для исследования процессов вибрационного переме¬
щения фундаментальное значение.
На рис. 8.2, а схематически представлены шесть видов асимметрии и
соответственно шесть способов реализации процесса вибрационного пе¬
ремещения ( в данном случае - вибрационного транспортирования).
Асимметрию вида I назовем силовой. Она может быть обусловлена
либо действием постоянной силы Т (вариант 7), либо наклоном плоскости
а о отношению к горизонту (вариант 2), что, в сущности, не отличается от
варианта 7, либо неодинаковостью модуля силы сопротивления движению
зправо F+ и влево F- (вариант 3, частный случай которого рассмотрен в
п. 8.2.3 - см. рис. 8,1). Стрелками на оси л:, имеющими одинаковую длину
а обоих направлениях, условно указано, что закон вибрации точек поверх-
§8.3]
ФИЗИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ, ВИДЫ АСИММЕТРИИ
205
а
I
x=Xt+<p(atJ
1)
Т
\rJ + \F+\
Ж
ж
Ут1
!Л.!= Л
[г = |л
ш
Т(х).
F_(x) F+(x)
\^_(х)\ = \Г+(х)\
V(x) sin [g>(x) t+efej]
с с
Рис. 8.2. Для возникновения эффекта вибрационного перемещения (транспортирования)
необходима та или иная асимметрия системы
ности совершенно симметричен, то есть представляет собой, например,
чисто гармонические колебания \ В случае асимметрии вида I траекто¬
рии колебаний к тому же симметричны по отношению к вибрирующей
плоскости: они представляю! собой отрезки прямых, либо перпендику¬
лярных, либо параллельных плоскости.
*) Понятия симметрии и асимметрии закона колебаний в случае однокомпонсн^яой виб-
рации уточняются в п. 8.4.1.
206
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
Асимметрию вида II назовем кинематической. Она обусловлена той
или иной асимметрией траектории вибрации точек^ плоскости или за¬
кона движения вдоль этой траектории. В качестве примеров на рис. 8.2
показаны: гармонические колебания по прямолинейной траектории, на¬
клонной к плоскости под некоторым углом, отличным от нуля и от 90°;
продольные негармонические асимметричные колебания - они условно
показаны разнонахфавленными стрелками различной длины; эллиптиче¬
ские колебания с осями, расположенными несимметрично по отношению
к вибрирующей плоскости; круговые колебания (асимметрия в этом слу¬
чае создается определенным направлением обегания траектории - по или
против часовой стрелки).
Асимметрия вида 1П может быть названа структурной, или конст¬
руктивной. На рисунке представлен случай, когда такая асимметрия воз¬
никает вследствие наличия у тела "внутренней степени свободы”: относи¬
тельно основного тела массы т \ может перемещаться тело массы т 2,
связанное с т i упругим и демпфирующим элементами. Угол, который со¬
ставляет направление возможного движения тела с плоскостью, предпо¬
лагается отличным от нуля и от 90° (именно это и создает асимметрию).
Системы, подобные представленной на рис. 8.2, а///, были кратко рас¬
смотрены в п. 1.2.2 (рис. 1.2, в).
Асимметрию вида IV назовем градиентной. В этом случае вибрацион¬
ное перемещение обусловлено существенной зависимостью от координа¬
ты х параметров, определяющих движение тел, например, амплитуды Ч',
частоты со и фазы е силового вибрационного воздействия, силы сухого
трения F, траектории и закона вибрации точек поверхности, угла наклона
поверхности к горизонту, силы Т и т.д.
Асимметрию вида V можно назвать волновой - тело здесь перемеща¬
ется в направлении распространения продольной или поперечной бегу¬
щей регулярной волны или отдельных волн импульсного характера.
Наконец, асимметрия вида VI может быть названа начальной: в этом
случае система сама по себе совершенно симметрична, но тело может
"предпочесть" движение вправо или влево под влиянием сколь угодно ма¬
лого начального смещения или толчка. Мы увидим, что такой, казалось
бы, маловероятный вид асимметрии встречается при вибрировании одина¬
ковых сообщающихся сосудов с сыпучим материалом (см. § 14.3).
Разумеется, возможно сочетание сразу нескольких, например, двух ви¬
дов асимметрии.
Вибрационное перемещение (транспортирование) во всех перечислен¬
ных случаях может быть трактовано в рамках вибрационной механики: на¬
блюдателю V представляется, что оно происходит под действием вибра¬
ционной силы V (рис,8.2,б).
Поясним вкратце, как возникает эффект вибрационного перемещения
тела в различных случаях, представленных на рис. 8.2. Для схемы 5, отно¬
сящейся к асимметрии вида I, механизм образования вибрационной силы
подробно рассмотрен в § 8.2. Что касается схемы 7, то в случае про¬
дольных колебаний она сводится к схеме 5, если положить
F- = F+ Т, F+ = F- Т\ а схема 2 представляет собой вариант схемы 7,
для которого Т = mg sin а, где mg - вес тела, а а - угол наклона плоско-
5 8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
207
сти к горизонту. При поперечной вибрации плоскости в случае схем 1 и 2
тело в течение одного полупериода колебаний либо отрывается от пло¬
скости, либо сила прижатия к ней уменьшается. В обоих случаях сила Т
может сдвинуть тело вдоль оси xt несмотря на то, что при отсутствии
вибрации тело оставалось неподвижным.
Асимметрия вида П является наиболее широко используемой в совре¬
менной вибротехнике. Здесь в случае прямолинейных гармонических ко¬
лебаний под некоторым углом Р к плоскости, отличным от нуля и от 90°,
механизм возникновения вибрационного перемещения состоит в следую¬
щем. В течение той половины периода, когда сила инерции в относитель¬
ном движении направлена вправо - вверх, она либо отрывает тело от пло¬
скости, либо ослабляет давление на нее, уменьшая нормальную реакцию,
а значит - и силу трения. В другую половину периода, когда сила инерции
направлена влево - вниз, эта сила, наоборот, дополнительно прижимает
тело к плоскости, увеличивая тем самым силу сухого трения. В результате
и происходит преимущественное движение тела вправо. Аналогично со¬
здается преимущественная возможность перемещения тела вправо в
определенном полупериоде колебаний в остальных трех случаях. Сис¬
темы с данным видом асимметрии рассматриваются в § 8.4.
Несколько сложнее понять механизм возникновения направленного
движения тела m i при асимметрии вида Ш. В этом случае тело тп 2 под
влиянием вибрации плоскости и движения тела m i само совершает коле¬
бания относительно тела m i и воздействует на него через упругий и де¬
мпфирующий элементы, а также и через направляющие. Это воздействие,
складываясь с непосредственным воздействием на тело m i вибрации пло¬
скости, может, в зависимости от соотношения между параметрами, приве¬
сти к движению тела m i как в положительном, так и в отрицательном
направлении. Этот эффект будет подробнее обсужден в гл. 12.
Механизм возникновения вибрационной силы при асимметрии вида IV
в частном случае со = const, е = 0 подробно выясняется в главе 18. Не
требует особых пояснений и случай асимметрии вида IV. Что же касается
асимметрии вида V, то в этом случае бегущая волна как бы подталкивает
или "несет" тело в направлении своего распространения. В первом случае
можно говорить об асинхронном, а во втором - о синхронном перемеще¬
нии тела бегущей волной.
Наконец при асимметрии вида VI роль вибрации сводится в основном
к ликвидации или уменьшению зоны нечувствительности, обусловленной
сухим трением (см. § 4.3, п. 8.4.1 и гл. 10).
§ 8.4. Более сложные основные модели и задачи
теории вибрационного перемещения
8.4.1. Одномерное движение частицы в сопротивляющейся сре¬
де при наличии вибрации [76, 81, 144, 125, т. 2 и 4]. В качестве моде¬
ли процесса виброперемещения, являющейся обобщением простейшей
модели, изученной в § 8.2, рассмотрим одномерное движение тела (части¬
цы) массы m 1 в среде с сопротивлением, характеризующимся силой F(x),
зависящей от относительной скорости частицы в среде и не обязательно
208
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
являющейся силой сухого трения. Будем также предполагать, что на час¬
тицу действует некоторая постоянная сила Т и быстро изменяющаяся си¬
ла Ф, которую зададим в виде Ф = - пг 2 £ (о) t) , где ^ (со t) - некоторая
2 к -периодическая функция быстрого времени х = со t, причем
<i> = 0, (4.1)
a m 2 имеет размерность массы и в общем случае m \ * m 2; более того,
иногда будет удобно считать, что m 2 может принимать отрицательные
значения. Однако в случае, когда рассматривается, например, движение
частицы по плоскости (рис. 8.3), m \ = m 2.
Уравнение движения частицы при указанных предположениях имеет
вид
m 1 х = Т - m 2 5 (0) t) + F (х). (4.2)
К такому уравнению сводятся многие практически важные "одномерные"
задачи теории вибрационного перемещения - задачи о вибрационном
разделении сыпучих смесей (п. 9.2.5), о движении вибрационных экипа¬
жей (§ 9.5), о вибрационном погружении свай (§ 9.3), о вибрационных на¬
сосах (§ 9.6), о движении тел в колеблющейся жидкости (§ 16.2).
Разыскивая решения уравнения (4.2) вида (1.1), перейдем от этого
уравнения к соответствующему уравнению вибрационной механики, вос¬
пользовавшись методом прямого разделения движений. Считая силу Т
медленной, а силы m 2 £ и F - быстрыми, запишем уравнения (2.55)
и (2.56) гл. 2 в виде
mlX=T+V, (4-3)
m 1 у = - m 2 ^ + ^(АГ + V) - < F(Ar+ vj>) > , (4.4)
где
V= < F(X + \j/)>.
Решая уравнение быстрых движений (4.4), будем полагать, как и в § 8.2, что
сила сопротивления F мала по сравнению с силой m 2 £ и ею в первом
приближении можно пренебречь. Тогда периодическим решением уравне¬
ния (4.4), удовлетворяющим условию (1*2), будет
ц! = - д ^ 0? = m 2 / m i). (4-6)
В случае необходимости (которой, однако, как правило, не возникает) это
решение можно уточнить, используя метод малого параметра.
При учете (4.6) выражение (4.5) для вибрационной силы можно пред¬
ставить з форме
V{X) = < F(X - q%)> = V(0) + V\(X ), (4.7)
где
F(0) = <F(-?4)>, = *M0) = 0, (4.8)
§8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
209
- соответственно движущая и вибропреобразованная вибрационные силы
(см. § 8.2). В результате основное уравнение вибрационной механики, по¬
лучающееся из уравнения медленного движения (4.3), примет вид
т \Х = Т + К (ЯГ), V(X) = F(0) + V\ (ЯГ). (4.9)
При изучении всех рассматриваемых ниже приложений достаточно
принять следующую зависимость силы сопротивления от скорости
F(x) = - к±\х\п-1х, (4.10)
где значение коэффициента к + > 0 соответствует х > 0 , а значение
к - > 0 соответствует х < 0, п > 0 , причем значению п > 1 отвечает
©
№ г
v(x)
X
m1 -m2£>(wt)
а
m7
V
v,№
-A to
V(X)--V(0)*V,(X)
/"1/(O)--(F- -FJ/2
-T
Х+Аш
Рис. 8.3. Движение тела (частицы) в сопротивляющейся среде при наличии вибрации.
а) Схема системы; б) картина, видимая наблюдателем V; в) характеристика силы со¬
противления типа сухого трения; г) соответствующая вибрационная сила в случае
гармонической вибрации
вязкое, а тг ~ 0 - сухое трение; можно считать, что п принимает целочис¬
ленные значения.
Рассмотрим сначала случай вязкого трения (л > 1). Тогда согласно
(4.7) и (4.9)
У(Л) = - < k±\X-qi\n-i(X-qb>,
V(Q) = -qn<k±\i\n-xt,>, V i (X) = V (X) - F(0), TM0) = 0. (4.11)
При линейном сопротивлении, когда п = 1 пк+ = к- = к, так что
F(x) - - кх , имеем V (0) = 0 и V\ (X) = - кХ , то есть, как и следова¬
ло ожидать, движущей вибрационной силы не возникает, и медленное
движение вообще не зависит от характера вибрации.
210
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
При п = 3 и £ + = к- = к (кубическое сопротивление)
F(0) = - kq3<i3>, Vi(X) = - к (AT3 + 3 q2X < k2>), (4-12)
то есть вибрация приводит к появлению движущей вибрационной силы и
дополнительного линейного сопротивления 3 q3 к< £2 > . Например, при
бигармонической вибрации
\ = A sin cot + В sin (2со t + 8) (4.13)
имеем
< £2> = Ia)2(А2 + 4В2), < £3> = ^Л2В со3cos 5,
Z Z
и поэтому
F(0) = - ^kq3A2Bcos5,
z
V\ (AT) = - Jt [AT3 + f q2(A2 + 4B2)®2X ]. (4.14)
Zd
Рассмотрим теперь случай сухого трения (л = 0), когда соотношение
(4.10) может быть представлено в виде
• _ [-F+ при х > 0,
при х < 0,
- F+ < F(x) < F+ при х = 0 (Ft = к ±). (4.15)
(В данном случае, когда коэффициенты к+ и к- имеют размерность и
смысл сил, вместо к ± будем использовать обозначение F± .) Предполо¬
жим, что при отсутствии вибрационного воздействия (^ = 0) выполняется
условие
- F~ < Т < F+, (4.16)
в результате чего частица остается неподвижной относительно среды; со¬
ответствующий условию (4.16) интервал значений силы Т иногда называ¬
ют зоной нечувствительности.
Простые рассуждения, аналогичные приведенным в § 8.2, позволяют
заключить, что необходимым и достаточным условием возникновения
вибрационного перемещения в рассматриваемом случае сопротивления
типа сухого трения является выполнение одного из двух следующих нера¬
венств:
Ф + + Т> F+, Ф- - Т> F-, (4.17)
где
Ф + = sup Ф = sup (- m 2 %) > 0 ,
Ф - = - ^Ф = sup(m2£) > 0 (4.18)
- соответственно наибольшее и взятое с противоположным знаком наи¬
меньшее значение функции Ф = - m 2 £ , характеризующей вибрацион¬
ное воздействие на частицу. При выполнении первого неравенства части¬
§8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
211
ца будет перемещаться вперед (.х > 0), а при выполнении второго - назад
(х < 0). При одновременном выполнении обоих неравенств также будет
иметь место вибрационное перемещение, за исключением того особо¬
го случая, когда перемещения частицы за период установившегося движе¬
ния в обоих направлениях окажутся одинаковыми, то есть X будет рав¬
но нулю.
В дальнейшем при выполнении одного или обоих условий (4.17)
мы для краткости будем говорить, что имеет место достаточно
интенсивное (для возникновения вибрационного перемещения) вибраци¬
онное воздействие.
В процессе приближенного решения уравнений быстрых движений,
как правило, будем предполагать (и уже предполагали ранее), что вибра¬
ционное воздействие значительно превосходит силы сопротивления, то
есть что можно ограничиться так называемым чисто инерционным при¬
ближением (см. п. 2.2.8). Применительно к случаю сухого трения это оз¬
начает, что предполагается выполнение неравенства
inf(0 + ,0-) » sup (F+ ,F~). (4.19)
В данном случае будем кратко говорить о высокоинтенсивной виб¬
рации. Нетрудно заметить, что выполнение условия (4.19) гарантирует
справедливость неравенств (4.17), если сила Т удовлетворяет условию
(4.16). Иными словами, высоко интенсивная вибрация в данном случае не¬
пременно является и достаточно интенсивной для возникновения вибра¬
ционного перемещения.
О влиянии на системы с сухим трением низкоинтенсивной виб¬
рации см. § 12.1.
Обратимся к нахождению выражения для вибрационной силы в слу¬
чае сопротивления типа сухого трения. Вычисление по формуле (4.7),
аналогичное выполненному в 8.2 (см. формулу (2.8) и рис. 8.1,в), приво¬
дит к следующему результату:
VQC) = V№ + ViQC) =
со
2к
F+ при X > q sup 4 (О > 0,
-(F-t--F+t+) при q inf 4 (t) <Х< q sup 4 (0 ,
F~ при X < q inf 4 (t) < 0 , (4.20)
где t+ и t- - суммарные продолжительности промежутков времени в каж¬
дом периоде, в течение которых частица движется соответственно вперед
(х = X - q 4 > 0) и назад (рс = X - q 4 < 0). Поскольку t+ не убывает, а
U не возрастает при возрастании X , то V (АТ) - невозрастающая функция
X, причем движущая вибрационная сила V (0), вообще говоря, отлична от
нуля. График функции V (АТ) , изображенный на рис 8.1, б для частного
случая £=i4sincof,0=lH F± = mgf±t характерен и для рассматрива¬
емого здесь общего случая. Как и должно быть, в указанном частном слу¬
чае формула (4.20) переходит в (2.8).
212
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
Обратимся к анализу полученных соотношений. Скорость вибрацион¬
ного перемещения в установившихся режимах определится из уравнения
Т + F(0) + Vi САГ) = 0, (4-21)
получающегося из основного уравнения (4.9) при X = const . Определен¬
ному решению X = X * уравнения (4.21) соответствует устойчивое устано¬
вившееся движение, если
V' (X *) < о. (4-22>
Нетрудно убедиться, что это неравенство всегда выполняется, поскольку,
как предполагается, Л: + > О и к- > 0. Условием возникновения устано¬
вившегося режима вибрационного перемещения, таким образом, является
наличие у уравнения (4.21) ненулевого корня X * .
Рис. 8.4. Примеры асимметричного (а) и симметричного (б) вибрационного воздействия
При вязком трении представляет интерес случай, когда постоян¬
ная сила отсутствует (Т = 0). Тогда вследствие равенства Vi(0) = 0
(см. соотношения (4.8)) получается, что необходимым условием возмож¬
ности виброперемещения является отличие от нуля движущей вибрацион¬
ной силы V (0). Для этого, в свою очередь, согласно (4.11) необходимо,
чтобы при к+ = к- закон изменения вибрационного воздействия
m 2 \ (со t) был "несимметричен" в том смысле, что не выполняется соот¬
ношение
4 (со t + 7с) = - 4 (со t), (4.23)
а значит, в силу (4.1) - также и равенство
4(cof + л) = - 4(cof). (4.24)
Иными словами, требуется, чтобы кривые ц (со t) я с, (со t) на некоторой
половине периода не повторяли с противоположным знаком ход этих кри-
зых на следующей половине периода (рис. 8.4). Симметричным является,
в частности, простое гармоническое воздействие. При к + = к -, то есть
при неодинаковости силы сопротивления движению частицы в положи-
§8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
213
тельком и отрицательном направлениях, вибрационное перемещение воз¬
можно также и при симметричном вибрационном воздействии.
В случае сухого трения возникновение вибрационного перемещения
может быть обусловлено тремя факторами:
1. Совместным действием постоянной си¬
лы Т и вибрации. Это случай, когда, с одной стороны, сила Т
относительно невелика и при отсутствии вибрации не приводит к возник¬
новению вибрационного перемещения вследствие выполнения условия
- F~ < Т < F+ , а с другой - наличие вибрации при Т = 0 также не при¬
водит к вибрационному перемещению, например, вследствие выполнения
условия (4.23). О данном случае можно сказать, что вибрационное пере¬
мещение обусловлено вибрационным сглаживанием характеристики сухо¬
го трения или кажущимся превращением сухого трения в вязкое. При
этом "зона нечувствительности" - F- < t < F+ как бы исчезает и сила Т
совместно с V (0) обеспечивает течение процесса. Данный случай особен¬
но важен, например, в обогащении полезных ископаемых, где вибрация,
производя "разжижение" сыпучей среды или структурированной суспен¬
зии, открывает возможность для проявления слабых разделяющих факто¬
ров (см. § 9.2). Аналогичная ситуация характерна для процесса вибропог¬
ружения свай или шпунта (§ 9.3), а также для ряда процессов вибрацион¬
ного транспортирования (§ 9.1).
На описанные закономерности уже обращалось внимание в § 8.2
(см. также рис. 8.1); их можно отнести к виброреологическим эффек¬
там, более подробному рассмотрению которых посвящена часть ГУ кни¬
ги. Там же эти закономерности обсуждаются с иной точки зрения -
как результат кажущегося снижения коэффициентов сухого трения
при вибрации (§ 12.1).
2. Неодинаковостью силы сопротивления
при движении тела в положительном и отри¬
цательном направлениях. В этом случае даже при
симметричном законе колебаний и при отсутствии силы Г, то есть когда
U = t- - я / со , по формуле (4.20) получаем V (0) =~ (F- - F+) * 0 , что
и приводит к вибрационному перемещению.
3. Несимметрией закона вибрационного воз¬
действия. При Т = 0, F+ = F- - F и X = 0 в этом случае проме¬
жутки времени U и t-, вообще говоря, неодинаковы, и тогда согласно
(4.20) V (0) = F (t- - t+) Ф 0, то есть также выполняется условие возник¬
новения вибрационного перемещения.
Проведенный анализ вполне согласуется с изложенным в § 8.2 отно¬
сительно тех видов асимметрии системы, которые могут обусловить виб¬
рационное перемещение. Естественно, что вибрационное перемещение
может возникнуть и при наличии сразу нескольких видов асимметрии.
8.4.2. Задача п. 8.4.1 в случае гармонической вибрации. Част¬
ный случай, соответствующий вибрационному воздействию вида
с - A sin со t , где А > 0 и со > 0 , часто встречается в приложениях и
214
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
поэтому заслуживает более детального рассмотрения. Дифференциаль¬
ное уравнение (4.2) при этом принимает вид
т\х = Т + т2Л со2 sin со f F (.х). (4.25)
Конкретизируем выражение для вибрационной силы V(X) в основном
уравнении (4.9), соответствующем этому случаю. При £, = Л sin со £ со¬
гласно (4.11) получаем
п/2 3 п/2
К(0) = - [А:+ J cosnxdx + (- 1)n_1 А:- f cos"TrfT] =
Z к
-п/2 п/2
(qAu)n(k- - *+)7 „
= cos Tax =
71 Jo
1 / ^ чЛ/, , ч Г(Л+1)
(,qA(o)n(k- - *+) —* L
г-
+ 1
(4.26)
где Г (jc) - гамма-функция.
Не представляет труда и получение выражений V(X) и V\(Х) . Ос¬
тановимся подробнее на случае п = О, соответствующем сухому трению.
В результате вычислений, аналогичных выполненным в § 8.2 (см. форму¬
лы (2.9) и рис. 8.1,г), находим
сot+ - 2
к - arccos
, со t- = 2 arccos
(4.27)
qAe>)' “ qA со’
результате __ формула (4.20) приобретает вид
F + при АТ > | g | А (0,
V(X) = V(0) + VlQC)-.
— [(7ч + F-) arccos — - F+ к] при |.Y | < | q | Аш,
тс qAiо
(4.28)
F- при X < - | q | А со,
причем
V(Q) = \<F-~ F+), К,(0) = 0.
(4.29)
Уравнение (4.21) для определения скорости виброперемещения X = X *
при \ Х\ < | q | А со согласно (4.28) примет вид
Т + — [ (F+ + F-) arccos — - F+ к ] = 0 ,
к qA со
откуда находим
X * = q А со cos
к (F+ - Т)
F+ + F-
(4.30)
(4.31)
§8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
215
Как и должно быть, формулы (4.27) - (4.31) переходят соответственно в
(2.9), (2.10), (2.13) и (2.12) при q = 1 и F± = mgf± .
Формула (4.31) справедлива при значениях Т, удовлетворяющих усло¬
вию 0 < к (F+ - Т) / (F+ + F-) < 71, то есть при
- F- < Т < F+. (4.32)
При невыполнении этого условия, согласно (4.9) и (4.28), имеет место ус¬
коренное движение частицы, причем наличие вибрации никак не влияет
на X ; этот случай особого интереса не представляет. Сказанное следует
и из рассмотрения рис. 8.3,в: точка пересечения X - X * кривой V(X) и
прямой V = - Т, соответствующая решению уравнения (4.21), существует
лишь при выполнении условия (4.32).
Полученные результаты согласуются также с общими заключениями
п. 8.4.1. В частности, условие (4.32) определяет так называемую зону не¬
чувствительности: при его выполнении в отсутствие вибрации частица ос¬
тается неподвижной.
О рассмотренной задаче см. также работу М.ДТершмана [144].
8.43. Движение частицы по наклонной шероховатой плоскости, со¬
вершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикуляр¬
ных направлениях. Значительное число работ по теории вибрационного
перемещения (см. [66, 303, 125, т. 4]) посвящено решению задачи о движе¬
нии тела (материальной частицы) массы m по вибрирующей шероховатой
плоскости, наклоненной к горизонту под некоторым углом а и соверша¬
ющей гармонические поступательные колебания в двух взаимно перпен¬
дикулярных направлениях по закону (рис. 8.5, а)
£ = A sin (со t + 5), т| = В sin со t. (4.33)
Здесь £ и Т| - смещения точек плоскости в неподвижных осях координат
£ О 1 Т|, причем ось О i £ параллельна, а ось О ^ перпендикулярна пло¬
скости; А и В - амплитуды соответственно продольной и поперечной со¬
ставляющей вибрации; 5 - сдвиг фаз между составляющими, причем зна¬
чениям 5 < 0 соответствует движение точек по эллипсам по ходу, а 5 >
0 - против хода часовой стрелки; со - частота вибрации; траекториями ко¬
лебаний точек плоскости при этом являются эллипсы.
Данная задача играет первостепенную роль в современной теории
виброперемещения: на основе ее решения изучаются процессы вибраци¬
онного транспортирования, вибросепарации, вибрационного погружения
свай и многие другие, о которых пойдет речь в гл. 9.
В подвижных осях хОу , жестко связанных с вибрирующей плоско¬
стью, уравнения движения частицы имеют вид
тх = т А со2 sin (со t + 5) - тg sin а + F (i), (4.34)
ту = т В со2 sin со t - т g cos а + N, (4.35)
где F (х) и N- соответственно сила сухого трения и нормальная реакция,
g - ускорение свободного падения.
216
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
При у = 0 , то есть в промежутке времени, когда частица находится
на плоскости, из уравнения (435) получается
N = mg cos a - m 2? со2 sin со (4.36)
а сила сухого трения определяется соотношениями
F(x) =fNsgnx при х Ф О,
-fiN < F(x) < fiN при х = 0, (4.37)
где/ и /1 - соответственно коэффициенты трения скольжения и покоя.
Рис. 8.5. Движение частицы по наклонной шероховатой плоскости, совершающей гармониче¬
ские колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, а) 1- исходная система; II -
система, на которую действуют дополнительные продольная и поперечная постоянные силы;
б) картины, видимые наблюдателем V
К приведенным соотношениям необходимо добавить равенства, опре¬
деляющие связь между продольной и поперечной проекциями скоро¬
сти частицы до к после соударения с плоскостью. Часто используют
равенства
у + /у- = - R, х+ = (1 - А,)*-, (4.38)
где х - е у- проекции скорости частицы до удара, а х + и у + - после
удара; R - коэффициент восстановления, а X - коэффициент мгновенного
трения (подробнее о подходящих гипотезах типа (4.38) см. [125, т. 4]),
Если выполняется неравенство
w = В со2 / g cos а < 1, (4.39)
то согласно (4.36) нормальная реакция N > 0 , и частица, однажды попав
на плоскость, продолжает на ней оставаться. Введенный параметр w иг¬
§8.4]
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
217
рает существенную роль в рассматриваемых задачах; его называют
параметром перегрузки.
Таким образом, решение поставленной задачи сводится к интегриро¬
ванию достаточно сложной системы дифференциальных уравнений, су¬
щественная нелинейность которой обусловлена наличием силы сухого
трения и неудерживающей связи. Наибольший практический интерес
представляют решения этих уравнений, соответствующие установившимся
режимам виброперемещения, то есть решения вида
х = X + \\f (со 0 , у = у (со О , (4.40)
где X - постоянная (скорость виброперемещения, в данном случае - ско¬
рость вибротранспортирования), a \j/ и у - периодические функции со t с
периодом 2кп (п - 1,2,...,), причем
< \jf > = 0, < у > = 0. (4-41)
При этом под определенным режимом понимается движение вида (4.40),
характеризующееся определенным набором и последовательностью эта¬
пов движения, то есть промежутков времени, в которых движение описы¬
вается "гладкими" (в данном случае - линейными) дифференциальными
уравнениями (скольжение вперед, назад, полет над плоскостью, относи¬
тельный покой). Особый интерес для приложений представляет нахожде¬
ние скорости X в указанных установившихся режимах.
В настоящее время точными аналитическими методами практически
исчерпывающим образом рассматриваемая задача решена для режимов
движения частицы при отсутствии подбрасывания, имеющих место при
выполнении условия (4.39) (см., например, [66, 125, т. 4, 303]). Что же ка¬
сается режимов с подбрасыванием, то ввиду их исключительного много¬
образия они изучены не полностью; установлено, что в определенных об¬
ластях пространства параметров, особенно при значениях коэффициента
R, близких к единице, имеют место хаотические или весьма сложные
длиннопериодические движения (см., например, работы С.П.Горбикова и
Ю.И.Неймарка [154, 155], В.А.Щигеля и А.С.Гринбаума [427]). Обзор ре¬
зультатов и библиографию можно найти в цитированных выше книгах.
Каждому определенному установившемуся режиму движения частицы
соответствует определенная область существования и устойчивости в
пространстве параметров системы и определенное аналитическое выраже¬
ние для скорости вибротранспортирования X, причем для движения
с подбрасыванием в определенных областях пространства параметров мо¬
гут существовать и быть устойчивыми в малом несколько установившихся
режимов.
Вместе с тем, несмотря на указанное осложняющее обстоятельство,
скорость вибротранспортирования X в установившихся режимах, будучи
интегральной характеристикой движения, как правило, обнаруживает оп¬
ределенную "устойчивость" по отношению к характеру режима, непрерыв¬
но изменяясь с изменением параметров системы, причем такая "устойчи¬
вость" имеет место даже для весьма сложных режимов [154, 155]. Это об¬
стоятельство позволило предложить для так называемых режимов с до-
218
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
статочно интенсивным подбрасыванием, характеризующихся значени¬
ями параметра w , удовлетворяющими условию
w =
> 2
1+/Г
Г* ’
(4.42)
geos а (1+J?)'
универсальную приближенную формулу для вычисления скорости вибро¬
транспортирования:
X * = Лео
71 р 1 (w, /?) 1 -R
W
1+Д
12"
cos 5
np'(w,R)
w
1 + д
sin5
71 р 1 (w, 2- A
со
где
71/7 '(W,R)
w(l+R) Vw2(l+i?)4 - 4(1 +R2)2
l-R
(1 - in
sin a, (4.43)
(4.44)
Графики этой функции представлены на рис. 8.6.
Формула (4.43) заменяется более простой при "еще более интенсив¬
ном подбрасывании", когда
► 2
w > 3,5
1+/Г
(1+R)2
В этом случае
■ . ~ 1+R 2-Х п
Х*~Аи> cos о- -—- —— В со tg a .
(4.45)
(4.46)
l-R X
Для ряда приложений представляет интерес обобщение приведенных
соотношений на случай, когда на частицу, кроме учтенных ранее, дейст¬
вуют постоянная продольная сила Т и постоянная сила Q, нормальная к
плоскости (рис. 8.5, all). Указанные обобщенные соотношения получают¬
ся из (4.43) и (4.46) путем замены выражения -mg sin а на
-m g sin a + T, а выражения mg cos а на m g cos a + Q :
кр' (w и R) l-R
w i
l+R
cos 5 -
■V
- VI-
np 1 (w 1 ,R)
W !
np ' (w i ,R)g 2-X T-mg sin a
CO
mg
2
'l-R
l+R
У
W 1 :
\
sin 5
l+R
d+R)2
v . 2 _ 1+/? 2-Г-m <? sin a
X * = .A со cos 6 + .0 w-—- —-— — &
l-Л A. Q + mg cos a
w i > 3,5
l+R
d+R)2
2 \
(4.47)
(*48)
§8.4] БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ 219
где параметр
Wi =
тВ со2
(4.49)
Q + т g cos а
играет ту же роль, что и параметр перегрузки w в исходной задаче.
Покажем теперь, что имея выражения (4.43), (4.46), (4.47), (4.48), не¬
трудно получить выражение для вибрационной силы V и составить основ¬
ное уравнение вибрационной механики. О такой возможности упомина¬
лось в § 2.3 (случай, когда известно точное или приближенное решение
исходной задачи). С этой целью заметим, что если интересоваться реше¬
ниями исходной системы уравнений (4.34), (4.35) вида
X = X(t) + \j/(f,cof), у = у (t, 0) t), (4-50)
гдeX(t) - медленная, a \j/ и у - быстрые составляющие движения, удов¬
летворяющие соотношениям (4.41), то основное уравнение вибрационной
механики для обобщенной задачи должно иметь вид
mX = - mg sina + Г + V
(4.51)
(медленными являются лишь сила тяжести и силы Q и 7). Поэтому ско¬
рость вибротранспортирова¬
ния в установившихся режи¬
мах X = X * = const опреде¬
лится из уравнения
mg sin a - Т = V. (4.52)
Но у этого уравнения не¬
пременно должно быть реше¬
ние X = X *, совпадающее (по
крайней мере приближенно) с
выражением (4.47) или в соот¬
ветствующем случае - с (4.48).
Отсюда следует, что для по¬
лучения формулы для вибра¬
ционной силы V в указанных
выражениях следует заменить m g sin a - T на V и разрешить пол¬
учившиеся равенства относительно V. В результате будем иметь
(4.53)
Рис. 8.6. Зависимость параметра р 1 от w и R
где
V = m v (к Л со — X),
со X
v =
п р (wi, R) 1 - R с
к = —-—- -—- cos 5
Wi 1 -Л
пр 1 (wuR) 2-Х’
пр ' (wuR)
i2
(l~R\
Wl
1 4- R
\ У
sin 5
при Wi > 2 (1 +Л2) / (1 +R)2;
(4.54)
220
МОДЕЛИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ
[ГЛ. 8
(Q } X 1-л 1
v-j^cosaj^^—, к — cos о
ири w 1 > 3,5 (1 + /?2) / (1 + R)2. (4.55)
Заметим, что условие устойчивости установившегося режима, которое
и в данном случае выражается неравенством (4.22), непременно выполня¬
ется, поскольку согласно (4.53) V1 (X) = - т v < 0 .
Выражение (4.53) будет использовано в гл. 14 при приближенном рас¬
смотрении ряда более сложных задач.
8.4.4. О вибрационном транспортировании тела (частицы) вверх
по наклонной плоскости. Предельный угол подъема. Нетрудно заме¬
тить, что в обоих рассмотренных выше случаях возможно вибрационное
транспортирование тела вверх по наклонной шероховатой вибрирующей
плоскости; этот эффект имеет существенное прикладное значение.
Так, в случае системы, рассмотренной в п. 8.4.1, скорость вибрацион¬
ного перемещения вверх по плоскости под углом а в установившемся ре¬
жиме определится из уравнения (4.21), если положить в нем
Т = -mg sin а:
-mg sin а + V(0) + Vi(X) = 0. (4.56)
Предельно возможный угол подъема тела a = a * , то есть угол, при ко¬
тором X = 0, при этом будет (напомним, что V i(0) = 0)
sin a * = V (0) / m g . (4.57)
Используя формулу (4.20) и учитывая, что в данном случае следует поло¬
жить F± = mgf ± cos а, где /+ и /- - соответствующие коэффициен¬
ты трения, получим
tea* = -/+*+)• (4-58)
L к
В случае симметричной, например гармонической вибрации,
t + = t — = к / со,и тогда
tga . = |(f _-/+). (4.59)
В случае системы п. 8.4.2 для определения установившегося значения
скорости X при подъеме вверх по плоскости, в соответствии со схемой
на рис. 8.5, all, следует положить 7=0. Тогда из (4.52) получается урав¬
нение
mg sin a = V(X), (4.60)
а для предельного угла подъема a = a * - соотношение
mg sin a* = ^(0). (4.61)
§ 3.4]
БОЛЕВ СЛОЖНЫЕ МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ
221
В случае режимов с интенсивным подбрасыванием согласно (4.53) бу¬
дем иметь соответственно
• л g sin а . vkAco /а ,^ч
X — к А со - ® , sin а * = . (4.62)
v g
Результаты более подробного исследования вопроса о предельном уг¬
ле подъема тела вверх по плоскости можно найти в [66, 125, т. 4. 303].
На практике удается транспортировать отдельные тела и насыпные
грузы вверх по поверхностям, наклоненным к горизонту до 20° и более,
хотя скорость вибротранспортирования с ростом угла наклона а доволь¬
но быстро падает. В § 9.1 гл. 9 будут рассмотрены иные схемы устройств,
позволяющих осуществлять транспортирование под значительно больши¬
ми углами и даже вертикально вверх.
8.4.5. О других моделях и задачах. Рассмотренные выше модели
процессов виброперемещения и результаты их исследования наиболее ча¬
сто используются при изучении приложений теории; сведения о других
моделях и задачах можно найти в [66, 303] и в справочнике [125, т.4]. Ряд
таких моделей будет рассмотрен применительно к различным приклад¬
ным задачам в гл. 9.
Описанные и упомянутые выше модели относятся к случаям, когда
возможна дискретная идеализация системы. Некоторые модели процессов
виброперемещения в жидкостях, газах и в сыпучих средах, а также соот¬
ветствующие приложения рассматриваются в четвертой части книги.
Глава 9. Эффекты вибрационного перемещения
в технике, технологии и природе
§ 9.1. Вибрационное транспортирование
Одним из наиболее широко используемых на практике процессов виб¬
рационного перемещения является вибрационное транспортирование -
направленное движение тел в трубах, лотках или сосудах под действием
вибрации. В различных производствах используются вибрационные транс¬
портеры, питатели и дозаторы; в ряде машин - в вибрационных грохотах,
сушилках, концентрационных столах, сепараторах - транспортирование
совмещается с технологическими операциями, составляя их важную не¬
отъемлемую часть.
Существенная особенность вибрационных транспортирующих машин
состоит, таким образом, в том, что перемещение грузов в них осуществля¬
ется не в результате их совместного движения с рабочим (грузонесущим)
органом - трубой, лотком, сосудом, а вследствие вибрации последнего;
это обстоятельство предопределяет ряд важных технологических и экс¬
плуатационных достоинств вибрационного способа транспортирования.
Наиболее часто - как относительно просто реализуемые - используются
прямолинейные поступательные гармонические колебания, траектории
которых наклонены к оси трубы или лотка под некоторым острым углом;
это соответствует первому случаю, представленному на рис. 8.2,all.
Принципиальные схемы, описания конструкции и фото различных
транспортных и транспортно-технологических вибрационных машин мож¬
но найти в [66, 72, 84, 115, 122, 151 - 153, 157, 158, 185, 335, 337, 373, 385,
420, 442] и в справочниках [124 а, 125, т. 4; 374]; там же изложены основы
их теории и методы расчета. Поэтому цель настоящего параграфа состоит
не в систематическом изложении вопроса, а в том, чтобы подчеркнуть до¬
стоинства использования концепции вибрационной механики при теорети¬
ческом объяснении и описании процессов вибротранспортирования. Осо¬
бенно ощутимы эти достоинства в сложных случаях; однако и в более
простых случаях, когда имеются точные решения задач, достигается фи¬
зическая наглядность и удобство использования результатов.
Несколько обобщая изложенное в § 8.4, основное уравнение вибраци¬
онной механики для одномерных процессов вибрационного транспортиро¬
вания отдельных твердых тел (частиц) можно записать в форме
тХ = - mg sina + Т + V(X), (1Л)
где m - масса тела, a - угол наклона поверхности к горизонту, g - ускоре¬
ние свободного падения, Т - некоторая постоянная или медленная про¬
дольная сила, а V(X) - вибрационная сила, которая в случае режимов с
подбрасыванием существенно зависит от параметра перегрузки
m | ii |шах
m g cos a + Q
§9.1]
ТРАНСПОРТИРОВАНИЕ
223
Здесь Q - постоянная или медленная поперечная сила, прижимающая те¬
ло к плоскости, а | т] | щах - максимальное значение поперечной составля¬
ющей ускорения плоскости. Силы Г и Q при этом введены для общности:
они могут представлять, например, действие воздуха при вибропневмати-
ческом транспортировании, действие центробежных сил инерции, элект¬
ромагнитных сил и т.п. Уравнение (1.1) соответствует картине, видимой
наблюдателем V, которая представлена на рис. 8.5, б.
Скорость вибротранспортирования в установившихся режимах
X = X * определяется из уравнения
т g sin а = Т + V (X); (1*3)
условием устойчивости таких режимов является неравенство V1 (X *) < 0.
Для режимов с интенсивным подбрасыванием в случае двухкомпонен¬
тной гармонической вибрации плоскости и при постоянных силах Т и Q
вибрационная сила определяется выражением (4.53) гл. 8; по формулам
(4.59) и (4.62) той же главы может быть подсчитан предельный угол
подъема тела по плоскости при отсутствии сил Т и Q.
Как отмечено в § 2.3 и показано на примере в 8.4.2, формулы для V
могут быть получены и в других случаях, когда известно точное или при¬
ближенное выражение для скорости вибротранспортирования.
Из равенства (1.3) вытекает и простой способ экспериментального оп¬
ределения вибрационной силы при транспортировании тела по шерохова¬
той плоскости, совершающей произвольные двухкомпонентные периоди¬
ческие колебания (рис. 9.1).
Между движущимися с задан¬
ной постоянной скоростью X
упором 1 и грузом 2 следует по¬
местить достаточно мягкую пру¬
жину 5. Когда с течением време¬
ни средняя скорость груза при¬
мет установившееся значение X,
среднее усилие в пружине Г, со¬
гласно равенству (1.1) при
а = 0, будет равно - V(X). В ча¬
стности, при неподвижном упо¬
ре это усилие будет равно
-F(0). Значение V (0) может
быть найдено также путем экспериментального определения предельного
угла подъема тела по плоскости: для этого достаточно воспользоваться
формулой (4.61) гл. 8.
Для расчета вибрационных устройств с поступательными колебания¬
ми рабочего органа, транспортирующих сыпучую среду не слишком
толстым слоем (порядка 20 - 30-кратного среднего размера частиц),
при коэффициенте перегрузки g < w < 10 g и частотах колебаний
200 кол/мин < п = 30 со / тс < 3000 кол/мин пригодны приведенные вы¬
ше формулы, полученные для случая одного твердого тела (материаль¬
Рис. 9.1. К экспериментальному определению
вибрационной силы в случае транспорти¬
рования тела по вибрирующей плоскости
224
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
ной частицы), иногда несколько скорректированные путем учета допол¬
нительных факторов, в частности, сопротивления воздуха [66, 125, т. 4].
Для иных, более сложных случаев, в гл. 14 предлагаются континуальные
модели медленных движений сыпучей среды под действием вибрации;
там же рассматривается ряд соответствующих задач теории вибротранс¬
портирования.
Здесь остановимся на вопросе о вибрационном транспортировании
тел вертикально вверх или под большим углом к горизонту и проиллюст¬
рируем эффективность предлагаемого подхода на примере исследования
одного из предложенных для этой цели устройств.
Обычное решение проблемы состоит в использовании спиральных
лотков с вертикальной осью, причем средний угол наклона дна лотка к
горизонту не превышает предельных значений для вибрирующей плоско¬
сти. Лотку сообщаются поворотные и осевые гармонические колебания.
Такие транспортеры получили довольно широкое распространение [123];
для их привода могут быть успешно использованы самосинхронизирую-
щиеся вибровозбудители [72, 84] ( см. также гл. 6).
Оригинальное устройство для вертикального вибротранспортирования
предложено Р.М.Брумбергом [111, 125, т. 4]. Оно представляет собой тру¬
бу (рис. 92, а), которой сообщаются поперечные и продольные колеба¬
ния, причем частота продольных колебаний вдвое больше частоты попе¬
речных колебаний со. Идея устройства состоит в том, что при надлежащей
фазировке колебаний продольная сила инерции, действующая на переме¬
щаемое тело т в относительном движении, направлена вверх как раз в те
промежутки времени, когда груз меньше всего прижат к стенкам трубы
действием поперечной силы инерции. В промежутки времени, когда про¬
дольная сила инерции направлена вниз, груз наиболее сильно прижат к
стенкам трубы.
В результате и возникает вибрационная сила, направленная вверх,
преодолевающая вес тела и обеспечивающая его подъем по трубе.
Исследование работы описанного устройства было выполнено
Р.М.Брумбергом [111] на основе построения точного решения дифферен¬
циального уравнения движения груза; это решение достаточно сложно.
Значительно проще получается приближенное решение путем построения
основного уравнения вибрационной механики методом прямого разделе¬
ния движений, если принять, однако, некоторое дополнительное предпо¬
ложение, представляющееся естественным.
Считая, что зазор между телом т и стенками трубы отсутствует, запи¬
шем дифференциальное уравнение относительного движения тела по
трубе в виде
тх = -mg - fm | т| (со t) \ sgnx - т £ (2 cof), 0-4)
где х - координата тела, отсчитываемая вверх по оси трубы; т - масса тела;
g - ускорение свободного падения; / - коэффициент трения скольжения;
£ (2 со t) и Т| = г| (со t) - периодические функции своих аргументов с пери¬
одом 2 71, характеризующие соответственно закон продольных и попереч¬
ных колебаний трубы.
§9.1]
ТРАНСПОРТИРОВАНИЕ
225
■ F(i)
6‘0,7t
В г
Рис. 9.2. Устройство для вибрационного транспортирования тела вертикально вверх [111,125].
а) Схема системы; б) картина, видимая наблюдателем V; в) графики безразмерной вибраци¬
онной силы V г (JCryb) в случае £ = А * sin 2(со t-&), Ti=AysincDf; г) зависимость Уг(0,6)в
том же случае
(1.5)
Будем интересоваться решениями уравнения (1.4) вида
x(t) = X(t) + \j/(f,2cof),
где X (t)- медленная составляющая скорости (скорость вибротранспорти¬
рования), а у (t, 2 со f) - быстрая 2 тс -периодическая по аргументу 2 со t со¬
ставляющая, удовлетворяющая условию
< \y(f, 2(at)> = 0.
Уравнения (2.55), (2.56) гл. 2 тогда запишутся в виде
mX = - mg + V,
т \|> = /т [ | rj (со t) | sgn (Х+ vj/) -
- < | "П (со f) | sgn (ХЧ vj/) > ] - m£(2cof), (1.8)
8 ИЛБлехман
226
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
где
V = - fm < | rj (со t) | sgn (X+ \jf) > . (L9>
Примем теперь, что сила трения fm | rj | мала по сравнению с про¬
дольной составляющей силы инерции т £. Тогда 2 тс- периодическим по
2 со t решением уравнения быстрых движений (1.8), удовлетворяющим ус¬
ловию (1.6), будет
v = - 4, <1Л0>
и выражение (1.9) для вибрационной силы примет вид
V = V(X) = - fm< I fi (со f) I sgn [АГ-4 (2cof)]>. (U1)
В случае гармонических колебаний трубы по закону
£ = А х sin 2 (Cl) t-8), Т| = А у sin Cl) f, (1-12)
введя безразмерную вибрационную силу Vг и безразмерную скорость
АГ г по формулам
Vr=V/(-fmAy со2), X г = Х/2Ах(й, (ЫЗ)
ТС
после усреднения выражения (1.11) получим (0 < 8 < ^тс) :
z
Vr=Vr(Xr, 8):
1 при X г ^ - 1 ,
- cos 8 V2 (1 +Х г) + 1 при - 1 < X < cos 2 8, (1-14)
sin 8^2(1 -X г) - 1 при cos 2 8 < AT r ^ 1.
Из этой формулы легко получить выражения для любых 8 , если учесть
соотношение
Vri-Xr, 8 ± = - Vr(Xr, 8),
вытекающее из (1.11) и (1.12).
Зависимости VT (X г, 8) и Кг(0,8) представлены на рис. 9.2, в,г. Как
видно, наибольшие положительные значения VT получаются при 8 = ^ тс ,
что при учете формул (1.12) соответствует приведенному выше качест¬
венному объяснению работы устройства; при 0<8<1/4тс и
3/4 тс < 8 < тс вибрационная сила отрицательна и, значит, транспортиро¬
вание тела вверх невозможно.
Основное уравнение вибрационной механики (1.7) при учете обозначе¬
ний (1.13) запишется в форме
qXr = ~gr + Vr(Xr,b), (1-15)
где
q = Ax/t-Ay со, qr = g/V-AyiS*2. (1.16)
ТС тс
§9.2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
227
Значения скорости в установившемся режиме движения определятся из
уравнения
Vr(jCr,b) = gr, <1Л7>
причем этот режим устойчив, поскольку согласно (1.14) V\ (X г) < 0 .
Решение уравнения (1.17) определится как абсцисса точки пересече¬
ния кривых на рис. 9.2, в и прямой, соответствующей равенству (1.17). Из
* 1
рисунка видно, что при о = - к скорость получается положительной, ес-
Z
ли g г < 0,4 , то есть поперечная вибрация достаточно интенсивна.
Рассмотрение рис. 9.2, виг показывает также, что изменяя параметры
8 и А у со2 , можно регулировать скорость подъема тела X в относи¬
тельно широких пределах, в частности, добиться обращения X в нуль, то
есть “зависания” тела в трубе. Значения параметра 8 = 8*, соответству¬
ющие такой ситуации, легко определяются по известному значению g г с
помощью графика рис. 9.2, г.
В книге А.Е. и А.А.Кобринских [215] получены условия, при которых в
рассмотренном устройстве вверх по трубе поднимается шарик с диамет¬
ром, меньшим внутреннего диаметра трубы. О другом устройстве см. [421]
§ 9.2. Вибрационное разделение компонент сыпучих смесей
9.2.1. Факторы, определяющие эффективность использования
вибрации в процессах разделения компонент сыпучих смесей. Тех¬
нологические процессы, цель которых состоит в разделении частиц сыпу¬
чего материала по крупности (классификация), плотности, форме, маг¬
нитным, электрическим и другим параметрам (их называют параметрами
разделения) занимают видное место при рудоподготовке и обогащении
полезных ископаемых, в промышленности строительных материалов, хи¬
мической промышленности, порошковой технологии, при переработке
зерна и зернопродуктов на пищевых предприятиях и ряде других произ¬
водств.
Начиная с древнейшего способа - классификации на ситах, важную
роль при организации разделительных процессов играет вибрация, что
обусловлено по крайней мере четырьмя факторами.
1. В смысле, указанном в п. 8.2.2, вибрация преобразует силы типа су¬
хого трения, характерные для взаимодействия частиц сыпучей смеси, в
силы типа вязкого трения. В результате создаются условия для проявле¬
ния различий (контрастов) в параметрах разделения: часто эти различия
сравнительно малы и в статических условиях, при отсутствии вибрации,
никак не проявляются.
2. В результате воздействия вибрации, наряду с преобразованием тре¬
ния, на частицы смеси начинают действовать движущие вибрационные
силы, которые при надлежащих условиях также приводят к увеличению
интенсивности процесса разделения и его “разрешающей способности” то
22S
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГП 9
есть к возможности разделять частицы с мало отличающимися парамет¬
рами разделения. Вибрационные силы обеспечивают и транспортирование
исходной смеси вдоль рабочих поверхностей, например сит, а продуктов
разделения - к соответствующим приемникам.
3. Вибрация является важным элементом процесса просеивания, по¬
скольку она, обеспечивая интенсивное движение частиц относительно от¬
верстий сита, увеличивает (конечно, при определенных условиях) вероят¬
ность прохождения частиц мелкой фракции через отверстия.
4. Частицы сыпучего материала с различными свойствами движутся по
вибрирующим поверхностям по различным траекториям, что лежит в ос¬
нове способа их разделения без использования сит.
При создании и совершенствовании устройств для вибрационного раз¬
деления сыпучих смесей приходится учитывать, что увеличение интенсив¬
ности вибрации может приводить не только к увеличению факторов, спо¬
собствующих разделению, но также и факторов, способствующих переме¬
шиванию. Впрочем, при разделении на ситах, представляющих собой как
бы поглощающие экраны для частиц проходовой фракции, интенсифика¬
ция перемешивания может оказаться полезной, поскольку увеличивает
вероятность попадания проходовых частиц на сито.
Теории и практике классификации сыпучего материала на вибрирую¬
щих ситах посвящено большое число исследований и ряд монографий
(см., например, [117, 157, 158, 185, 390], а также справочники [125, т. 4;
374]. Здесь мы рассмотрим два других способа вибрационного разделения
частиц сыпучих смесей - в слое материала и на вибрирующих поверхно¬
стях; использование подходов вибрационной механики при исследовании
и описании этих способов представляется особенно целесообразным.
92.2. О разделении частиц в слое сыпучего материала под
действием вибрации (сегрегация, расслоение, самосортирование).
Разделение частиц в слое материала под действием вибрации использует¬
ся и как самостоятельный процесс, и как составная часть более сложного
разделительного процесса, например, в вибрационных грохотах, о которых
говорилось выше, а также в концентрационных столах, отсадочных маши¬
нах и других устройствах.
Некоторые закономерности разделения в слое, называемые также
сегрегацией, расслоением и самосортированием, схематически пред¬
ставлены на рис. 9.3. При отсутствии вибрации находящаяся в сосуде
смесь разнородных частиц сыпучей среды в поле силы тяжести или дру¬
гом стационарном силовом поле может иметь вследствие действия сил
типа сухого трения бесконечное число непрерывно распределенных поло¬
жений равновесия: она располагается так или почти так, как ее засыпали
в сосуд. Если же подвергнуть вибрированию (не слишком интенсивному,
чтобы не преобладала хаотическая компонента процесса, то есть переме¬
шивание), например, смесь крупных и мелких частиц одной плотности, то
в результате воздействия вибрации крупные частицы расположатся над
мелкими (рис. 9.3,а). В случае смеси частиц одинакового размера, но с
различными плотностями легкие частицы расположатся над тяжелыми
§92}
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
229
(рис. 9.3Д), и, наконец, в случае смеси крупных и мелких частиц различ¬
ных плотностей нижнее положение займут мелкие тяжелые, затем распо¬
ложатся мелкие легкие, крупные тяжелые (или смесь мелких легких и
крупных тяжелых); в верхнем положении окажутся крупные легкие части¬
цы (рис. 9.3,в) (мы имеем здесь в виду случай, когда вследствие вибрации
не возникают некоторые медленные потоки среды - см., например, § 14.1).
шм
j
Рис. 9.3. Под действием горизонтальной симметричной или вертикальной вибрации сосуда с
сыпучей смесью происходит разделение частиц по крупности и плотности (сегрегация,
самосортирование)
Таким образом, во всех рассмотренных случаях под действием вибра¬
ции сыпучая смесь стремится к определенному квазиравновесному состо¬
янию. Это происходит, как отмечалось, в связи с преобразованием сил су¬
хого трения; вместе с тем на равновесное состояние могут существенно
повлиять возникающие при вибрации движущие вибрационные силы. В
результате равновесное положение смеси в потенциальном силовом поле
может не соответствовать минимуму потенциальной энергии, как это бы¬
ло бы при наличии только сил вязкого трения и как иногда ошибочно
полагают [453]; отчасти данное важное обстоятельство можно усмотреть
из рис. 9.3,в.
Простейшей моделью, иллюстрирующей поведение рассматриваемой
системы, может служить тело, лежащее на вогнутой шероховатой поверх¬
ности (рис. 9.4,а). В поле силы тяжести это тело может находиться в со¬
стоянии устойчивого равновесия в любой точке поверхности, в которой
230
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[г;L 9
угол наклона касательной к горизонту а не превышает по абсолютной ве¬
личине угла трения р = arctg/ (f - коэффициент трения скольжения).
При наличии вибрации картина резко меняется. В случае вертикаль¬
ной или горизонтальной симметричной, например, гармонической, вибра¬
ции поверхности (см. с. 212) положениями устойчивого квазиравновесия
("равновесия в среднем") будут точки минимумов на поверхности, то есть
точки, отвечающие минимумам потенциальной энергии в поле силы тяже¬
сти (рис. 9.4, б). Эта ситуация отвечает простейшему случаю. В более
сложных случаях, когда имеется та или иная асимметрия системы
а 5 6
Рис. 9.4. Простейшая модель поведения системы с сухим трением под действием вибрации -
тело на вогнутой шероховатой поверхности
(рис. 8.2), квазиравновесные положения уже не соответствуют точкам ми¬
нимума потенциальной энергии (рис. 9.4, в). Можно сказать также, что в
таких случаях имеет место эффект вибрационного смещения при дейст¬
вии вибрации на систему с сухим трением (см. гл. 10).
Представленная на рис. 9.3 картина является идеализированной:
обычно на практике приходится иметь дело не с малым, а с весьма боль¬
шим числом различных классов частиц, отличающихся к тому же не толь¬
ко по крупности и плотности, но также по форме и другим параметрам.
Кроме того, на поведение системы оказывает влияние ряд случайных
факторов. Поэтому границы расположения частиц в конечных состояниях
(рис. 9.3) являются более или менее размытыми. Отметим, что существен¬
ное влияние на характер обсуждаемых процессов оказывает газовая или
жидкая среда, в которой находится разделяемая смесь.
9.2.3. Общая постановка задачи о разделении частиц сыпучей
смеси в вибрирующем сосуде. Краткая характеристика состояния
проблемы. Из приведенного в п. 9.2.2 качественного описания вытекает
следующая общая постановка задачи о разделении частиц (фракций,
классов) сыпучей смеси в вибрирующем слое. Имеется сосуд со смесью
частиц, различающихся по крупности, плотности и другим параметрам,
совокупность которых обозначим через а. Заданы закон колебаний точек
поверхности сосуда, поле внешних сил и средняя за период колебаний
плотность распределения / (х, у, z, a, t о) частиц по параметрам в каждой
точке сосуда в некоторый начальный момент "медленного" времени to.
§9.2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
231
Необходимо найти плотность распределения/(х, у, z, a, t) в любой мо¬
мент времени t; в частности, особый интерес представляет конечное рас¬
пределение
/ * (дс, у, z, а) = lim/ (jc, у, z, a, t).
t—>00
Возможна и более простая постановка задачи, когда смесь характеризует¬
ся некоторым набором классов частиц bi,...,bn- Задаются начальные
концентрации с 1 (х,у, z, 10)с п (х,у, z, 10) частиц каждого класса и тре¬
буется найти их значения в произвольный момент времени t > t о и, в час¬
тности, предельные значения с с п при f —» «>.
В большинстве случаев поставленная таким образом задача не может
быть решена без учета как медленной, так и быстрой составляющей поля
скоростей среды в сосуде, причем приходится учитывать наличие газовой
или жидкой фазы в промежутках между частицами, а иногда - обоих фаз
одновременно, то есть изучать движение трехфазной системы "твердое -
жидкость - газовые пузырьки". Иными словами, попутно возникают задачи
о проникновении вибрации в одно- или многокомпонентные среды, а так¬
же о медленных потоках в этих средах.
В настоящее время рассмотрен лишь ряд весьма частных случаев по¬
ставленной общей задачи, соответствующих, например, ситуации, когда
концентрации интересующих исследователя частиц с i,..., с п-\ столь ма¬
лы по сравнению с концентрацией частиц некоторого класса сп ("среды",
"постели"), что можно не учитывать (или учитывать приближенно) взаи¬
модействие частиц первых п - 1 классов и рассматривать движение изоли¬
рованных частиц этих классов в среде из частиц "постели". При этом на¬
ряду с детерминистическим подходом (см. ниже, а также [67, 110, 157, 158,
167, 234, 316, 437, 453]) используется рассмотрение процесса как случай¬
ного: в последнем случае математической моделью служат уравнения ти¬
па уравнений диффузии или Фоккера-Планка-Колмогорова. Основная за¬
слуга в развитии такого направления принадлежит Е.А.Непомнящему
[310]. Недостатком первого подхода является неучет случайных факторов,
а второго - трудности в установлении функциональной зависимости пара¬
метров, входящих в дифференциальное уравнение случайного процесса
от параметров вибрации. Попытка сочетания указанных подходов, а также
учета взаимодействия отдельных классов разделяемых частиц сделана в
работе В.Я.Хайнмана и автора [67]. Популярное рассмотрение дано в [400].
Относительно хорошо изучена часть проблемы, касающаяся движения
многофазных сред; имеющиеся в этом направлении исследования и ори¬
гинальные результаты обобщены в монографии Р.И.Нигматуллина [311].
Значительно меньшее число работ посвящено проникновению вибрации в
различные среды (см. гл. 15).
Из самой постановки рассматриваемой задачи вытекает целесообраз¬
ность использования при ее решении подходов вибрационной механики и,
в частности - теории вибрационного перемещения: основной интерес
представляют медленные изменения в системе, однако для их рассмотре¬
ния необходимо знание быстрых процессов.
232
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
В настоящем параграфе посредством этого подхода рассматриваются
две задачи о движении частицы в однородной вибрирующей среде с со¬
противлением типа сухого трения, а также задача о вибрационном разде¬
лении многокомпонентной смеси с учетом как детерминированных, так и
случайных факторов; в последнем случае излагаются результаты цитиро¬
ванной выше работы ВЛ.Хайнмана и автора [67]. Исследования, по¬
священные проникновению вибрации в различные среды, кратко рас¬
смотрены в гл. 15.
92.4. Движение тяжелой частицы в среде с сопротивлением
типа сухого трения, совершающей круговые горизонтальные коле¬
бания. Псевдорезонансный эффект. Рассмотрим движение тяжелой ча¬
стицы, помещенной в среду, которая совершает горизонтальные круговые
поступательные колебания с частотой со и радиусом траектории г и оказы¬
вает частице сопротивление, подобное сухому трению (рис. 9.5). Соответ¬
ствующая задача была рассмотрена В.В.Гортинским, Г.Е.Птушкиной и ав¬
тором [64]; здесь приводятся основные результаты решения и их обсуж¬
дение с позиций вибрационной механики.
6 WzO>MM/°
5
*
О),
Ч]
Ю ZO 3О (о, с'
Рис. 9.5. Псевдорезонансный эффект
Обозначим силу сопротивления относительному смещению частицы в
любом горизонтальном направлении через i7/,, а в вертикальном - через
Fv Массу частицы с учетом присоединенной массы среды обозначим че¬
рез т i, а массу среды в объеме, равном объему частицы, - через т 0, от¬
ношение средних плотностей частицы и среды - через Д = р / р 0. Пусть
x:yyz - проекции на оси прямоугольной системы координат xyz относи¬
тельной скорости частицы в среде. Тогда дифференциальные уравнения
движения частицы относительно среды могут быть записаны в форме
т ix = т о (Д- 1)гсо2cos wt-Fh
ЧхТТуТТТ‘
miy = тп 0(Д- 1) г со sin со t- Fh
Vx +У2 -
§9.2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
233
т 1 z = т о (Д - 1) g - F v
w+y+k2 ф о.
Пусть выполняется соотношение
Fv
т og
> | А- 1 | >
( 2^
т0г(О
L\
Fh
f N2'
m og r
(2.1)
(2.2)
выражающее условие, что, с одной стороны, вес частицы в среде не пре¬
вышает силы сопротивления ее движению в вертикальном направлении, а
с другой - что сила инерции в относительном движении достаточна для
преодоления силы сопротивления типа сухого трения. Тогда, как нетруд¬
но видеть, уравнения (2.1) допускают точное решение
х = R со cos (со t + Р), у = R со sin (со t + f$), z = Z 0,
(2.3)
соответствующее движению частицы относительно среды по винтовой
линии. При этом для радиуса винтовой линии R и скорости вертикально¬
го погружения частицы Z 0 получаются выражения
R = г У
т о
т 1
(Д-1)
FH
т \г со"
(1-S2)
(2.4)
R (о,
(2.5)
(5 = m о (А - \)g / Fv),
Z --Л-
Zq~ ITT-
а выражение для сдвига фаз р в дальнейшем несущественно. Без особых
затруднений удается доказать, что найденное движение устойчиво [64].
Из формулы (2.5) сразу вытекает важный результат: частицы, более
плотные, чем среда (А > 1), погружаются, а частицы, менее плотные
(А < 1), всплывают. Здесь налицо эффект кажущегося превращения су¬
хого трения в вязкое. Если сопоставить формулу (2.5) с известным выра¬
жением для скорости свободного падения шарообразной частицы в вязкой
жидкости при малых числах Рейнольдса
т 0(А - l)g
Z =
Зяц d
(2.6)
(d - диаметр частицы,- коэффициент вязкости жидкости), то находим
эффективный (кажущийся) коэффициент вязкости среды:
FvJ[-^T „ ГГ Г „ Т^-1/2
М- =
3ndR со
Fv Г
1
3
о
>
1
1
2
Fh
Зяйгсо j
m.Vl-S2
т 1 г со2
(2.7)
Рассматриваемая система примечательна тем, что установившиеся
движения в ней естественным образом разделены: движение частицы в
горизонтальной плоскости является быстрым, а по вертикали - медлен¬
ным. К тому же уравнения быстрых движений (первые два уравнения (2.1)
234
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
допускают при Z = const точное периодическое решение вида
х* = R 1 со cos (со t + Pi), у * = R i со sin (со t + P i).
Подставив это решение в третье уравнение (2.1), приходим х уравне¬
нию медленного вертикального движения частицы (основному уравнению
вибрационной механики):
(2.8)
т iZ = mo (A - l)g + V(Z),
где
V(Z) = - FVZ (Rj со2 + Z 2)_1/2 (2-9)
- вибрационная сила, для получения которой в данном случае не требует¬
ся выполнять операцию усреднения. Как видно, эта сила носит ха¬
рактер нелинейного вязкого сопротивления 1У(0) = 0]. В чисто
инерционном приближении (см. п. 2.2.8), когда можно считать, что
Fh « т о (А- 1)г со2, из первых двух уравнений (2.1) получаем
Р 1 « - к/2, R 1 « r(A-\)m0/miVL согласно (2.9)
-|2 л - 1/2
V(Z) « - FVZ
т о
т 1
(А — 1) г (О
+ Z
(2.10)
Для завершения исследования остается выразить радиус колебаний
точек среды г через параметры колебаний стенок сосуда, в котором она
находится. Пусть сосуд совершает круговые поступательные колебания в
горизонтальной плоскости с частотой (О и амплитудой А. Примем про¬
стейшее предположение, что движение среды можно рассматривать как
движение по шероховатому дну сосуда абсолютно твердого плоского те¬
ла; это предположение приемлемо, если толщина слоя мала по сравне¬
нию с шириной сосуда и не слишком велика по сравнению с размерами
частиц среды. Решение соответствующей задачи было дано еще Н.Е.Жу-
ковским [182], который нашел, что в установившемся режиме тело совер¬
шает устойчивые круговые поступательные колебания с частотой со и ра¬
диусом траектории, определяемым соотношениями
г = \А при А 2 < f g,
]fg / со2 при А (й2 >fg,
где / - коэффициент трения скольжения. Согласно (2.11) радиус траекто-
рии с увеличением частоты (О до некоторого значения com = Vfg / А
остается равным амплитуде колебаний сосуда, а затем достаточно резко
уменьшается; как отмечалось выше, тело вследствие инерционности "не
поспевает" за колебаниями стенок сосуда. При учете выражений (2.11)
формула (2.5) для средней скорости погружения или всплывания частицы
примет вид
(2.11)
mo (A - l)g
Fv
. соЛ/
is, л/
mo (А-
mW 1 -
1)
тт
Fh
miAoi‘
при Аа>2 < fg ,
(2.12)
m о (й - 1)
m 1 Vl - 51
Fh
mi А й'
при А со > fg .
§9.2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
235
График зависимости Z 0 = Z 0 (со), построенный для значений
р = 2,65 г/см3, р о = 1,35 г/см3 , т 0 = 0,1 г, т i = 0,43 г, Fv = 1,67 10" Н,
Fh = 0,39-10"3 Н, / = 1 и А = 1,5 см, представлен на рис. 9.5, б, точки
соответствуют экспериментальным данным, полученным при тех же усло¬
виях. Найденная зависимость похожа на резонансную кривую, однако, как
явствует из изложенного, таковой не является: пиковый характер зависи¬
мости связан здесь со своеобразной игрой сил типа сухого трения и инер¬
ции. Поэтому рассмотренный эффект можно назвать псевдорезонансным.
Физическое объяснение этого эффекта, вытекающее из соотношения
(2.12), состоит в следующем. Пусть амплитуда колебаний сосуда А фик¬
сирована. Тогда при малых частотах колебаний со мала также амплитуда
ускорения А со2 и смесь практически движется вместе с сосудом. При
этом с ростом со увеличивается и ускорение А со2 среды, в результате че¬
го интенсивность относительного движения частиц, отличающихся, на¬
пример, по плотности, возрастает, что, в свою очередь, приводит к увели¬
чению скорости разделения. При дальнейшем увеличении частоты со и
ускорения колебаний сосуда А со 2 находящаяся в нем среда "не успевает"
за колебаниями стенок сосуда и при достаточно больших А со2 остается
практически неподвижной в пространстве; в результате процесс разделе¬
ния прекращается. Максимум скорости протекания процесса лежит вбли¬
зи значения со = сот , соответствующего наибольшему ускорению
А со2 при котором среда еще движется вместе с сосудом.
Псевдорезонансный эффект используется, в частности, в машинах
для очистки зерна от близких по размерам минеральных частиц. При
случайном попадании таких примесей в поступающее на помол зерно ис¬
печенный из муки хлеб весьма неприятно хрустит на зубах.
9.2.5. Задача п. 9.2.4 в случае вертикальных гармонических ко¬
лебаний среды. Эффект всплывания тяжелой крупной частицы в
среде из легких мелких частиц. Уравнение движения частицы в среде,
совершающей вертикальные гармонические колебания с частотой со и ам¬
плитудой А, запишем в виде
rrii 'z = то (А - 1) (g + A со2 sin со t) + F(z), (2.13)
где
= ■[-£♦ ПР“ (2.14)
{ F- при z < 0,
~F+ < F(z) < F- при z = 0 (F+ > F- > 0)
- сила сопротивления относительному движению частицы в среде, кото¬
рая предполагается, вообще говоря, большей при движении частицы вниз,
то есть в направлении дна сосуда. Такое предположение соответствует
ряду экспериментальных данных; при этом разность F+ - F- возрастает
по мере приближения к дну сосуда, что, однако, в уравнении (2.13) бу¬
дем учитывать чисто параметрически, ибо изменение координаты z, а зна¬
236
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
чит, и F + и F- за период колебаний незначительно. Обозначения
т i ,т о и А имеют тот же смысл, что и в п. 9.2.4.
На основе точного решения уравнения (2.13) данная задача была рас¬
смотрена в работе В*Я.Хайнмана и автора [66, 67]. Вместе с тем данная
задача соответствует изученной в п. 8.4.2 методом прямого разделения
движений. При этом уравнению (2.13) отвечают следующие значения па¬
раметров в уравнении (4.25) гл. 8:
т2 = m0 (А - 1), Т = /По (Л - 1) £ , т2/ тп\ = q = m0 (А - 1) / m i. (2.15)
Поэтому согласно (4.28) и (4.29) основное уравнение вибрационной меха¬
ники (4.9) представится в виде
rrti Z
m0(A-l)g - -(F +
F-) + Vi (Z) у
(2.16)
причем
V(Z) = V(0) + Vi(Z)--
F + при Z > | q
A со,
Z
— [ (F+ + F~) arccos .
71 ^Aco
+ F+ тс] при |Z | < |^| Л со ,
F- при Z < - \q\ A со;
K(0) = - | (F+ - F-), F, (0) = 0 . (2.17)
Уравнение (2.16) можно толковать как уравнение движения тяжелой
частицы в некоторой вязкой жидкости, причем роль веса частицы в этой
жидкости играет величина
Р* = т0(Д - l)g -|(F + - F-). (2Л8)
Иными словами, из "истинного" веса частицы в среде m о (А - l)g в мед¬
ленном движении вычитается некоторая положительная величина
\ (F + - F-) , соответствующая движущей вибрационной силе V (0): эта
сила направлена в сторону меньшего сопротивления движению частицы,
то есть вверх (см. также § 8.2). Если Р* > 0, то частица тонет, а если
Р < 0, то всплывает.
Полученный результат позволяет объяснить примечательный эффект
- всплывание тяжелой крупной частицы в слое легких мелких. Дейст¬
вительно, несмотря на то, что для такой частицы А > 1, величина Р * мо¬
жет оказаться отрицательной за счет второго слагаемого в выражении
1
(2.Ш - дополнительной выталкивающей силы ~z{F± - F-) , возникаю-
^ а
,цеи при вибрации вследствие большего сопротивления движению части¬
цы вниз, чем вверх. Может всплывать вверх также частица в среде более
мелких частиц из того же материала, поскольку крупная частица более
§90]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
237
плотна, чем среда (А > 1). Изложенное иллюстрируется рис. 9.6,а,б, где
сопоставлены картины, видимые наблюдателями О и V. Разумеется, изло¬
женное справедливо при условии, что интенсивность колебаний А со2 до¬
статочна, чтобы при данной разности плотностей частицы и среды
р о | А — 1 | обеспечивалось относительное движение частицы в среде
(при А = 1 согласно (2.13) такого движения не происходит при лю¬
бом А а)2 ).
© ?
Рис. 9.6. При определенных условиях тяжелая частица (например, стальной шарик)
всплывает в менее плотной среде, помещенной в вертикально вибрирующий сосуд
(например, в песке)
В соответствии с соотношениями (2.15) выражение (4.31) гл. 8 для
средней скорости установившегося движения частицы в среде в рассмат¬
риваемом случае примет вид
^ т0(Л-1) J k[F+- т0(Л-l)g]
Z * = А со cos .
т 1 F+ + F-
Эта формула справедлива при
-F- < /п0 (A- l)g < F+,
в противном случае имеет место ускоренное движение частицы. Заметим,
что согласно данной формуле при А > 1 скорость Z * < 0 , то есть час¬
тица всплывает, если
к [F+ - /По (А - 1 )g]/(F+ + F-) > тс/2 ,
то есть если
Р* = m0(A-l)g - - F-) < 0;
это соответствует заключению, сделанному ранее путем непосредственно¬
го рассмотрения уравнения (2.16).
238
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
9.2.6. Кинетика вибрационного разделения многокомпонентной
смеси (континуальное описание). Рассмотрим л-компонентную сыпу¬
чую смесь, промежутки между частицами которой могут быть заполнены
жидкостью или газом. Пусть под действием тем или иным способом воз¬
буждаемой вибрации ("быстрый процесс") в среде установилось некото¬
рое стационарное распределение средней суммарной объемной концент¬
рации частиц среды с < 1, которую будем предполагать не изменяющейся
в ходе рассматриваемого ниже процесса медленного расслоения компо¬
нент среды (сегрегации). Указанная концентрация считается достаточно
высокой, так что частицы расположены относительно плотно и "конкури¬
руют за занимаемый объем": изменение положения частиц, занимающих
некоторый объем, происходит в виде обмена на другие частицы с тем же
общим объемом. Это допущение, естественно, накладывает определенные
ограничения на гранулометрический состав рассматриваемых смесей. Виб¬
рация предполагается достаточно интенсивной, так что имеет место эф¬
фект псевдоожижения смеси.
В указанных предположениях в работе В.Я.Хайнмана и автора [67]
получены следующие нелинейные дифференциальные уравнения в част¬
ных производных, описывающие одномерный медленный процесс измене¬
ния объемных концентраций с \,..., сп компонент сыпучей смеси, то есть
соответствующие уравнения вибрационной механики:
Э с j
dt '
_Э_
Э t
д Ci
ч ч
j=1
__э_
'
dz
Ci
\
Э с j
dz
(/=!,.../г). (2.19)
X CJ+ X av
j=\ j=i
V у
Здесь z - пространственная координата, a aij и by - функции z, которые
определяются на основе изучения "быстрого" процесса или эксперимен¬
тально; они зависят от свойств и характеристик частиц, а также от пара¬
метров вибрации вблизи данной точки. При этом имеют место соот¬
ношения
(2.20)
Uij — Qri
»
by — bji.
Функции aji характеризуют соответственно интенсивность диффузион¬
ных, a bij - скорость упорядоченных движений частиц, причем aij > 0 по
смыслу пропорционально сумме, a bij - разности вероятностей обмена час¬
тиц i-й компоненты на одинаковое по объему количество частиц у-й ком¬
поненты за некоторый характерный промежуток времени т вблизи точки
с координатой z (подробнее см. [67]).
Сумма
Di = £ aycj (2.21)
i=i
в уравнениях (2.19) играет роль коэффициента диффузии, отвечающего
частицам i - й компоненты, а сумма
§9.2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
239
- роль скорости движения частиц i -й компоненты в соответствующих ус¬
ловиях. При использовании обозначений (2.21) и (2.22) уравнения (2.19)
могут быть представлены в виде
да Э (п ЭсЛ Э
Di 'а
OZ
dt dz
Сложив правые и левые части уравнений (2.19) или (2.23) в силу равенств
(2.20), получим
Э (с 1 +...+ с п) / dt = д с / д t = 0, (2.24)
что согласуется с предположением о стационарном распределении кон¬
центрации твердой фазы с = c(z). Таким образом, система (2.19) содержит
л-1 независимое уравнение для определения неизвестных концентраций.
Замыкающим эту систему соотношением является равенство
с 1 + ... + с п = С (z) < 1, (2.25)
в котором распределение суммарной концентрации фаз c(z) должно быть
определено из решения отдельной задачи о действии вибрации на рас¬
сматриваемую систему. Объемная концентрация заполняющей промежут¬
ки между частицами среды с п+\ (z) связана с c(z) очевидным равенством
с (z) + с л+1 (z) = 1.
Нелинейные уравнения (2.19) и (2.23) значительно отличаются от
уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова, использованных в цитиро¬
ванной выше работе Е.А.Непомнящего [310] и в работах его последовате¬
лей. Нетрудно показать, что лишь в предположении о существенном пре¬
обладании частиц одной компоненты (пусть это будет п-я компонента;
назовем ее постелью), то есть при
сп » ci (i= 1,...,л- 1); сп - c(z\ (2.26)
системы (2.19) и (2.23) распадаются на п - 1 несвязанных уравнений типа
Фоккера - Планка - Колмогорова для каждой из разделяемых компонент.
Действительно, в указанном предположении частицы компонент переме¬
щаются за счет обмена местами с частицами постели, поэтому в уравнени¬
ях (2.19) и (2.23) можно пренебречь членами, содержащими произведения
концентраций а на су и на производные от су по пространственной коор¬
динате (i, j = 1, . . . , п - 1). Тогда первые п - 1 указанных уравнений
примут вид
Э Ci Э_
Э t д z
fz
Э с
D i - a inC п у Zi = binCn + &in (i = 1,..., л — 1), (2.27)
о z
отвечающий уравнениям Фоккера-Планка-Колмогорова. Что же касается
последнего уравнения, то оно обращается в тождество в силу предполо¬
жения (2.26) и равенств (2.20).
Приведенные уравнения обобщаются на случай пространственной за¬
дачи, когда к тому же имеются медленные течения совокупности всех
фракций как единой среды, характеризующейся некоторой скоростью Vе,
240
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
которая может зависеть от пространственных координат; назовем ско¬
рость Ve скоростью переносного движения среды. В предположении,
что функции координат aij по-прежнему носят скалярный характер, a bij
заменяются вектором Ъ у, соответствующие дифференциальные уравнения
имеют вид
Yf = - div(Ve + Vri)Ci + div (D, grad a),
(2.28)
где
Vn = £ (b a q + a у grad q)
M
(2.29)
по смыслу является скоростью частиц i-ro сорта относительно среды, а
коэффициенты диффузии А’ по-прежнему определяются выражениями
(2.21). Как и должно быть, складывая уравнения (2.28), приходим к урав¬
нению неразрывности для среды в целом (по-прежнему полагаем, что
Э с / Э t = 0):
div (Ve с) = 0 . (2.30)
Рассмотрим два простейших примера использования приведенных
уравнений
Пример 9.2.1. Стационарное распределение частиц двухком¬
понентной смеси в замкнутом вибрирующем сосуде. При решении
данной задачи примем простейшие предположения - рассмотрим одно¬
мерный случай при отсутствии медленных течений среды в целом и бу¬
дем считать, что коэффициенты а \2 и b i2 не зависят от пространствен¬
ной координаты z. Не зависящей от этой координаты полагаем также сум¬
марную объемную концентрацию с = С\ + с 2; при этом, используя отно¬
сительные концентрации С\/ с и с2 / с и сохраняя для них те же обоз¬
начения, будем иметь с\ + с2 = 1.
В рассматриваемом случае уравнения (2.19) имеют вид
А.
dz
d_
dz
dc\
dz
>
dc2
dz
\
a 12 c2
<
dT d c2 _
~ , L с i xa i2 , + b i2 c2) ] - 0 j
dz dz
a 2i C\
d г ( dCi
~7~ I Ci (a 2i ~
dz dz
f b 2i ci) ] = 0 .
(2.31)
У
При учете соотношений а \2 -
тема сводится к уравнению
— Хг ^
dz dz
а 21, b 12 - - Ъ 21 и Ci = 1 — с2 эта сис-
С\ Ь 12 (1 - Cl) ] = 0 .
(2.32)
Проинтегрировав последнее уравнение при учете того, что потоки частиц
через верхнее и нижнее основания сосуда равны нулю, получим
Г * - - .-w- , / , Vi
I1
+ 1 - ехр {Ь и (h - hi)/a u]
exp {-b ahi/a i2) - 1
(2.33)
§9 2)
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
241
где через
h
h i = J C\dz (234)
о
обозначена высота слоя, соответствующая общему объему частиц первой
компоненты, a h есть общая высота слоя частиц обеих компонент.
На рис. 9Лд приведены рассчитанные по формуле (2.33) зависимости
концентрации частиц первой компоненты С\ от высоты h - z над уровнем
дна сосуда при общей толщине слоя h = 10 см и значениях отношения
Ь п/а и = 10, 5 и 1 см" (соответственно сплошные линии 1, 2, 3). Кривые
отвечают, таким образом, предположению, что b и > 0; согласно указан¬
ному выше смыслу коэффициента b \2 это может означать, например, что
первая компонента состоит из частиц примерно того же размера, что и
вторая компонента, но более тяжелых (ось z считается направленной вер¬
тикально вниз). Общее объемное содержание частиц обеих компонент
было принято одинаковым (Л i = 0,5/i). На том же рисунке для сравнения
приведены результаты расчетов концентрации без учета "конкуренции за
занимаемый объем" (соответствующие пунктирные линии). Как видно,
результаты в условиях удовлетворительного разделения (кривые 1 и 2)
получаются совершенно различными и сближаются лишь в условиях от¬
носительно слабого разделения.
a 5 Ъ-г,см
Рис. 9.7. Стационарное распределение "тяжелых" частиц дзухкомпонентной сыпучей смеси
в замкнутом вибрирующем сосуде
На рис. 9.7,6 приведены рассчитанные по той же формуле зави¬
симости распределения концентрации тяжелых частиц по высоте при
их содержаниях в смеси, равных 50, 20, 10, 5 и 1% (соответственно кривые
1-5). Иногда разделяемость частиц предлагается характеризовать вели¬
чиной площади, ограниченной ординатой с i = 0,5, кривой распределения
и осью абсцисс (заштрихованная площадь на рис. 9.7,6; см., например, ра¬
боту Н.Н.Виноградова [126]). Нетрудно показать, что в условиях рассмат¬
риваемого примера эта площадь равна Ъ \2 In 2/а п, то есть характеризует
242
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
соотношение коэффициентов, определяющих скорости упорядоченного и
хаотического движений.
Пример 9.2.2. Прохождение однородных частиц через виб¬
рирующий слой сыпучей среды. В качестве второго простейшего при¬
мера рассмотрим одномерный случай прохождения однородных частиц
сквозь слой других частиц. Пусть рабочий объем реакторного устройства
(рис. 9.8) заполнен частицами первой компоненты в количестве, отвечаю¬
щем толщине слоя h \ (см. формулу (2.34)). Частицы этой компоненты не
поступают в рабочий объем и не про¬
сыпаются сквозь решето, образующее
дно сосуда. Частицы второй компонен¬
ты (на рисунке они заштрихованы) по¬
ступают в верхнюю часть объема, про¬
ходят через слой частиц первой ком¬
поненты и просыпаются сквозь реше¬
то. Поток частиц второй компоненты
при отсутствии просыпания таков, что
повышает уровень частиц в рабочем
объеме на q см/с. Принимаем, что по¬
ток частиц этой компоненты через ре¬
шето пропорционален их концентра¬
ции вблизи решета. Тогда в стацио¬
нарном режиме
c2\z=h = q/$, (2‘35)
где Р - коэффициент пропорциональ¬
ности. Как и в первом примере, при¬
мем, что коэффициенты а п и b и
не зависят от координаты z и концент-
Рис. 9.8. Схема реакторного устройства Р“*ии Cl И ft Удовлетворяют равен¬
ству Ci + с2 =1.
Очевидно, что скорость переносного движения Ve в интересующем
нас стационарном режиме направлена вниз по оси z и равна q. При этом
уравнение для концентрации частиц первой компоненты согласно (2.28)
может быть записано в форме
-j-{a 12^ - cit9 + ftu(l-ci)]} = 0. (2.36)
a z a z
Граничные условия состоят в отсутствии потока частиц этой компоненты
через сечения z = 0 и z = Л; кроме того, согласно (2.35)
Cl 12=Л = 1 — С 2 |г=Л = 1 — q/р.
Интегрируя уравнение (2.36) при учете указанных условий и обозначений
(2.34), получим
О© ООО
о ® ®о®
о О о® о
оо ООО
о о © о
о ООО ®
глО О ® Opj
Ко оо ох
4d° ®оо
Cl =
г \
1 + т*-
1 +
1
1 + q/b\2
i-$/p
( (
ехр
ч
\
ьа\
^J"1
+ 1
§9 2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
243
-1
(2.37)
Анализ этого выражения показывает, что ограничение на величину
потока q, накладываемое условием существования стационарного режима,
связано не только с ограниченностью пропускной способности решета
(тривиальное условие q < Р), но и с пропускной способностью слоя час¬
тиц первой компоненты. Такое ограничение возникает при условии, что
частицы указанной компоненты "тонут" (Ь\2 > 0); при этом максимальное
значение потока q существенно зависит от величины коэффициентов, ха¬
рактеризующих упорядоченное (Ь\2) и хаотическое (<а\2) движение частиц,
а также от толщины слоя Л.
Решить подобные задачи, рассматривая линейные модели, нельзя, так
как ход процесса определяется максимально возможными концентрация¬
ми рассматриваемых частиц, а именно к таким случаям линейная модель
неприменима. В частности, последовательное использование линейной
модели к рассмотренной выше системе приводит к заключению, что про¬
пускная способность этой системы не ограничена при любых значениях
коэффициентов а^, bi2, Р и /г.
9.2.7. Разделение на вибрирующих поверхностях. Способ сухого
разделения на вибрирующих поверхностях [8а, 86, 331, 332] основан на ис¬
пользовании того обстоятельства, что частицы сыпучего материала, обла¬
дающие различными коэффициентами трения относительно поверхности,
различной формой, упругими свойствами, а при определенных условиях -
и различной плотностью и размерами, движутся по шероховатой вибриру¬
ющей поверхности по различным траекториям. Два варианта таких повер¬
хностей (дек) - вогнутая и плоская - представлены на рис. 9.9. Раме, на
которой укреплены деки, тем или иным образом сообщается поступатель¬
ная вибрация, как правило, прямолинейная гармоническая. В конструкции
соответствующих машин - вибрационных сепараторов предусмотрена воз¬
можность регулировки продольного и поперечного углов наклона рамы к
горизонту а о и у ; последний обычно не превышает 10°. Разделяемый
материал подается в зону вблизи нижнего края деки.
Рис. 9.9. Разделение частиц сыпучего материала на вибрирующих поверхностях
244
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ? И ПРИРОДЕ
1ГЛ. 9
В случае вогнутой деки (рис. 9.9,а), ввиду малости угла поперечного
наклона у, частицы материала движутся преимущественно вдоль деки. По
мере продвижения вперед-вверх угол наклона касательной к поверхности
деки а увеличивается, и поэтому продольное движение замедляется, на¬
читает преобладать поперечное движение, вследствие которого частица
постепенно сползает в одну из приемных ячеек на краю деки. Пример¬
ный вид траекторий частиц с различными параметрами представлен на
рис. 9.9д. В случае плоской деки все точки ее поверхности "равноправ¬
ны". В результате вектор средней скорости установившегося движения ча¬
стицы в каждой точке деки имеет одинаковую величину и направление, и
поэтому траектории частиц являются прямыми линиями, различными для
частиц с различными параметрами (рис. 9.9,6).
Исследование показывает, (см. ниже), что если рассматривать частицу
как материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха ее движе¬
нию, то вид ее траектории на деке не зависит от размеров и от массы
частицы, а определяется только коэффициентами трения о поверхность,
коэффициентом восстановления R и коэффициентом мгновенного трения
при ударе X , то есть в конечном счете свойствами материала частицы.
Если рассматривать частицу как твердое тело, то обнаруживается зависи¬
мость характера и траектории ее движения от формы - шарообразные ча¬
стицы движутся иначе, чем плоские: первые обычно скатываются вниз по
плоскости, а вторые движутся примерно так же, как материальные точки,
особенно в режимах без подбрасывания. Если учесть сопротивление воз¬
духа (а это необходимо делать для частиц достаточно малого размера,
см. [66]), то траектории начинают существенно зависеть от массы и разме¬
ров частицы. Характер этой зависимости можно регулировать в желае¬
мом направлении, если сделать деку пористой и подавать сквозь неб воз¬
дух; при этом можно добиться, например, того, чтобы тяжелые крупные
частицы поднимались вверх по плоскости, а мелкие легкие - сползали
вниз [95, 158, 217, 218, 280].
Вибрационные сепараторы успешно применяются для разделения ал¬
мазных зерен по форме, для выделения шарообразных частиц, используе¬
мых, например, при создании металлокерамических фильтров, для бесси-
товой классификации шлифзерна и шлифпорошков, для выделения мел¬
кой слюды из пегматитовых руд. Вибрационные сепараторы с подачей
воздуха сквозь деку применяются при переработке зерна [158, 280]. К до¬
стоинствам рассматриваемого способа разделения относятся отсутствие
надобности в ситах и в использовании воды, а также высокая чувстви¬
тельность к ряду параметров частиц, разделение по которым при других
способах практически неосуществимо, возможность легкой регулировки и
перенастройки процесса. Недостатками являются относительно малая
производительность, обусловленная поверхностным характером процесса,
а также необходимость стабилизации частоты и амплитуды вибрации,
влажности материала а т.п.; впрочем, при разделении на небольшое
число фракций последний недостаток менее существен. Для пре¬
одоления же первого недостатка применяют сепараторы с большим чис¬
лом дек [8а, 125, т.4].
§9 2]
РАЗДЕЛЕНИЕ СЫПУЧИХ СМЕСЕЙ
245
Вибрационные сепараторы работают при амплитудах ускорения
6g - 1 Qgt причем для сепарации более крупных частиц эффективнее ока¬
зываются большие амплитуды и меньшие частоты вибрации, а при сепара¬
ции мелких - наоборот. Сепарация частиц крупнее 0,3 - 0,5 мм осуществ¬
ляется лучше на поверхности с большим коэффициентом трения, напри¬
мер, покрытой шлифовальной шкуркой или слоем резины. Мелкие по¬
рошки разделяются лучше на гладких металлических поверхностях.
Инициатором создания вибрационных сепараторов является
Д.А.Плисс, которому принадлежит ряд важных изобретений и иссле¬
дований в этой области. Теории сухой вибросепарации посвящены рабо¬
ты [8 а, 8 6,49, 66, 148, 185, 217, 218, 331, 332] и ряд других исследова¬
ний (см. также [125, т.4]). Здесь остановимся на кратком изложении под¬
хода к этой теории, основанного на рассмотрении траекторий медленных
движений частиц на вибрирующих поверхностях, то есть подхода, харак¬
терного для вибрационной механики.
Будем считать, что из решения соответствующей задач# о вибротран¬
спортировании (см. § 9.1) известна скорость установившегося процесса
вибротранспортирования частицы по плоскости с продольным и попереч¬
ным наклоном по отношению к горизонту, как это имеет место в случае
плоской деки (рис. 9.9, 6). Проекции этой скорости на продольную ось X
и поперечную ось Z обозначим соответственно через X и Z. В случае
поступательно вибрирующей плоской деки эти проекции постоянны для
всех точек деки. В случае вогнутой деки можно считать указанные проек¬
ции параметрически зависящими от координат точки деки X и Z , по¬
скольку радиус кривизны деки весьма велик по сравнению с размерами
траектории вибрации точек деки и с перемещением частицы по деке за
период ее колебаний. Иными словами, движение частицы вблизи лю¬
бой точки вогнутой деки можно рассматривать как движение по соот¬
ветствующей касательной плоскости.
Тогда дифференциальное уравнение траекторий медленных движе¬
ний частицы по деке, то есть соответствующее уравнение вибрационной
механики, будет иметь вид
|| = ^. (2.38)
dX X
Рассмотрим в качестве примера случай, когда дека совершает прямо¬
линейные поступательные гармонические колебания с частотой со и амп¬
литудой А 1, траектории которых составляют некоторый угол р с осью X
(рис. 9.9). Пусть не учитывается сопротивление воздуха, а параметр пере¬
грузки (см. также формулы (4.42) и (4.46) гл. 8)
w = А 1 со2 sin р / g cos а (2.39)
удовлетворяет соотношению
w > 3,5 (1 + R 2) / (1 + R)2, (2.40)
где а - угол наклона поверхности деки к горизонту, g - ускорение свобод¬
ного падения, a R - коэффициент восстановления при ударе частицы о
плоскость. Тогда происходит движение с интенсивным подбрасыванием
246
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
частицы, в котором X и Z определяются приближенными формулами
[66, 125, т. 4]
(2.41)
V
аналогичными формуле (4.43) гл. 8, где у - угол поперечного наклона де¬
ки, X - коэффициент мгновенного трения при ударе, а р 1 (w, R) - функ¬
ция параметров w и R, которая в данном случае несущественна.
При учете выражений (2.41) уравнение (2.38) принимает вид
- величина, играющая роль обобщенного параметра, по которому в рас¬
сматриваемых режимах происходит сепарация частиц. Для нахождения с
помощью уравнения (2.42) траектории частиц при различных значениях q
теперь достаточно задать углы а и р. В случае плоской деки углы
аир постоянные, и согласно (2.42) траекториями частиц являются
прямые линии (рис. 9.9, б). В случае вогнутой деки а=а(Х) и р = р(АГ);
зная эти зависимости и задавшись начальными условиями
X = Хо и Z = Z0 , с помощью уравнения (2.42) нетрудно построить тра¬
ектории частицы для различных значений параметра q.
На рис. 9.9, а схематически показана серия таких траекторий, причем
q \ < q 2 < ••• < qп» Как видно, при приближении частицы к участку с
некоторым определенным углом наклона а, зависящим от q, траектория
частицы резко искривляется в направлении наклона деки. Как уже отме¬
чалось, это происходит в связи с уменьшением продольной проекции ско¬
рости X при приближении к предельному' углу а *, под которым возмож¬
но движение частицы вверх по наклонной плоскости (см. п. 8.4.4).
При обогащении полезных ископаемых, в пищевой промышленности и
ряде других производств находит широкое применение способ разделения
частиц в тонких слоях жидкости на вибрирующих поверхностях. Он ис¬
пользуется в концентрационных столах, шлюзах, некоторых центробеж¬
ных устройствах. Для такого способа характерно сочетание разделения
частиц в вибрирующем объеме и на вибрирующей шероховатой поверхно¬
сти. С теорией и практикой использования этого способа можно ознако¬
миться по монографии Б.В.Кизевальтера [209], а также по книге
А.М.Гольдиной и В.А.Карамзина [148], в которой обстоятельно изложены
результаты фундаментальных исследований Е.М.Гольдина в данной обла¬
сти. Из последних существенных исследований сошлемся на работу
А.А.Краснова [234].
d Z _ (1 -q) sin у
dX tfctgp-tga
(2.42)
где
xq-R)
(2.43)
§ 9.3]
ПОГРУЖЕНИЕ, ВНЕДРЕНИЕ, РЕЗАНИЕ
247
9.2.8. О разделении частиц в вибрационных и волновых полях,
создаваемых в разреженных суспензиях. О возможности разделения
частиц в быстро осциллирующих силовых полях кратко упоминалось
в § 4.3; по этому поводу см. также гл. 18. Теоретическими и эксперимен¬
тальными исследованиями, выполненными Р.Ф.Ганиевым, Л.Е.Украинским
и их последователями, выявлен ряд новых возможностей разделения раз¬
нородных частиц, образующих разреженные взвеси в жидкости и в газо¬
воздушных системах, путем сообщения системе колебательных или вол¬
новых движений. Обстоятельное изложение соответствующих результа¬
тов и подробные библиографические сведения об отечественных и зару¬
бежных исследованиях в данном направлении можно найти в [137 - 139].
Важной областью использования вибрационной техники является по¬
гружение свай, шпунта и оболочек, а также геологическое бурение; во
многих случаях применение вибрации позволяет резко снизить затраты
времени и средств на проведение этих операций.
Вибрационным погружением называют проникновение (как правило,
вертикально вниз) твердого тела в сопротивляющуюся среду под дейст¬
вием постоянной и знакопеременной сил. Под вибрационным внедрением
будем понимать внедрение твердого тела в сопротивляющуюся среду с
заданной средней скоростью.
Динамическая схема одного из простейших вибропогружателей свай
представлена на рис. 9.10. К погружаемому элементу 1 (для краткости в
дальнейшем будем называть его сваей) жестко присоединен вибровозбу¬
дитель 2, генерирующий гармоническую вынуждающую силу
Фо sin со t. С вибровозбудителем посредством очень мягких пружин связа¬
на пригрузка 5, оказывающая на систему чисто статическое воздействие
своим весом т *g (вес возбудителя и сваи обозначен через m\g).
Для выяснения основных закономерностей работы погружателя при¬
мем относительно сопротивления погружению сваи в грунт 4 простейшее
предположение: будем считать, что при движении сваи вниз сопротивле¬
ние равно -F+, а при движении вверх F-, причем F+ > F-f поскольку F-
обусловлено только силами сопротивления, распределенными по боковой
поверхности, a F+ учитывает также силы сопротивления, действующие на
торец сваи.
Дифференциальное уравнение движения сваи при сделанных предпо¬
ложениях имеет вид
§ 9.3. Вибрационное погружение и внедрение,
вибрационное резание
т\ Х - (mi + m*)g + Ф о sin со t + F (х),
(3.1)
где
(3.2)
-F + < F (х) < F- при х = 0.
248
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
Если положить
_ N . 7 _ 7712
T=(mi + m*)gt т2А со=Ф0, —
Ф о
Я,
(3.3)
mi mi Л со
то уравнение (3.1) совпадает с уравнением (4.25), рассмотренным в
п. 8.42. Поэтому выпишем сразу соответствующее уравнение вибрацион¬
ной механики (см. уравнение (4.9) и формулы (4.28) и (4.29) гл. 8):
(3.4)
miX = (mi + m*)g + V(0) + Vi (X),
где
V(X\ = F(0) + Vi(X) =
-F+ при X > Фо/mj to,
— [(.F+ + F~) arca»^"*1 Ш - F+ те] при \X | < Фо/mico,
К Фо
F- при X < - Фо / mi со,
V(0) = - ±(F- - F+) < 0,
Vi (0) = 0.
(3.5)
Уравнение (3.4) и выражения (3.5) справедливы при высокоинтенсивной
г—
sin cot
Ркс.9.10. Вибрационный погружатель [358,404]
вибрации (см. с. 211). Обратим внимание также на совпадение с точно¬
стью до значений коэффициентов уравнения (3.4) с уравнением (2.13),
описывающим соответствующее движение частицы. Это совпадение есте¬
ственно, поскольку при сделанных предположениях оба процесса вполне
аналогичны.
§9.3]
ПОГРУЖЕНИЕ, ВНЕДРЕНИЕ, РЕЗАНИЕ
249
При выполнении условия
(mi + m*)g < F+ (3.6)
свая в отсутствие вибрации не погружается, а при наличии вибрации ско¬
рость установившегося процесса вибропогружения X = X * = const оп¬
ределяется выражением
^ Фо _ л [F+- (mi + т*)g]
х •= —ктт-—■ <3-7>
которое аналогично выражению (2.19) для соответствующей скорости
движения частицы. Погружение сваи будет происходить, если X * > 0.
Отсюда из (3.7) получается условие вибропогружения
(mi + m*)g > ^(F+ - F-) = - V(0), (3.8)
которое легко усматривается также и непосредственно из уравнения (3.4).
Заметим, что в данном случае процесс вибрационного перемещения
осуществляется по схеме рис. 8.2, а,1,1 (силовая асимметрия).
Отметим также, что фактически вибрационная сила V(X) зависит от
текущей глубины погружения, то есть от координаты jc, поскольку силы
F+ и F-, вообще говоря, увеличиваются с глубиной погружения. Однако
поскольку перемещение сваи за период мало по сравнению с jc, то указан¬
ную зависимость можно учитывать в конечных формулах (3.5) - (3.8) чис¬
то параметрически.
Из формул (3.6) - (3.8) видно положительное значение пригрузки
m*g. Из них же следует, что вибрационное воздействие позволяет сни¬
зить статическую силу, необходимую для погружения сваи, от значения
F+ до значения 1/2* (F+ - F-). В этом состоит одно из основных досто¬
инств виброметода погружения, ибо преодолеть силу сопротивления по¬
гружению F+ только весом системы или иным статическим вдавливанием,
было бы чрезвычайно затруднительно и вообще вряд ли целесообразно.
Другое достоинство проистекает из того, что, как было обнаружено экс¬
периментально, сами силы сопротивления F+ и F- при погружении в во¬
донасыщенные грунты могут значительно уменьшиться вследствие вибра¬
ционного воздействия; физический механизм этого явления пока еще не¬
достаточно изучен. Наиболее убедительным свидетельством такого сни¬
жения сил сопротивления служат энергозатраты: легко понять, что если
бы силы F+ и F- оставались неизменными, то затраты энергии при вибра¬
ционном погружении были бы во всяком случае не ниже энергозатрат при
статическом вдавливании, поскольку при вибропогружении, как правило,
свая в течение цикла движется не только вниз, но и вверх.
Мы привели здесь лишь одну из наиболее простых, хотя и вполне це¬
лесообразную, схему вибропогружателя и рассмотрели, притом прибли¬
женно, только простейшую (чисто пластическую) модель процесса виб¬
ропогружения. Были предложены, теоретически изучены и успешно реа¬
лизованы также многие другие схемы, например схемы с одновременным
использованием как продольных, так и вращательных вибрационных воз-
250
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
действий, схемы, сочетающие вибрацию с ударом, и т.п. Идея вибрацион¬
ного внедрения используется не только в погружателях, но и в машинах
для прокладки подземных коммуникаций - в так называемых прокалываю¬
щих агрегатах и вибрационных кротах, а также в машинах для разработки,
рыхления и резания грунта.
Вибрационный и ударно-вибрационный метод погружения получили
развитие в нашей стране преимущественно благодаря работам Д.Д.Барка-
на, О.А.Савинова, М.Г.Цейтлина и их сотрудников и последователей. Пер¬
вые теоретические исследования выполнены Ю.И.Неймарком [307] и ав¬
тором [52, 66]. Более подробные сведения о данном направлении исполь¬
зования вибрации, а также литературные ссылки можно найти в [35, 66,
125, т. 4; 346, 358, 404].
а р
<PffSbnwt
F-
£ ч а
^ F(x)
1
F(X)
X
6 III'
'Г\Т| I *
!i I iT 1
T(Ohj(F+-F_),
Фв/т,а>^
T=-V
Фп/гл7(о
Рис. 9.11. Вибрационное внедрение тела в среду с сопротивлением типа сухого трения
Здесь остановимся лишь на использовании полученных выше соотно¬
шений применительно к задаче о вибрационном внедрении (рис. 9.11).
При прежних предположениях основное уравнение (3.4) для схемы, изо¬
браженной на этом рисунке, будет иметь вид
miX=T+V(X). (3-9)
Отсюда следует, что сила Г, необходимая для обеспечения внедрения те¬
ла в среду с некоторой постоянной средней скоростью X *, выражается
формулой
Т = - VQC ,), (310)
где вибрационная сила по-прежнему определяется согласно (3.5). Как и в
случае вибрационного погружения, V(X) фактически не остается посто-
§93]
ПОГРУЖЕНИЕ, ВНЕДРЕНИЕ, РЕЗАНИЕ
251
янной в процессе внедрения, как правило, увеличиваясь при увеличении
х , однако и в данном случае эту зависимость можно учесть в формуле
для V (X) чисто параметрически.
График функции Т = -V(X) схематически представлен на рис.
9.11,6. Из графика видно, что для обеспечения процесса внедрения при
высокоинтенсивном вибрационном воздействии [Ф 0 » sup (F+ , F-) ] не¬
обходима вдавливающая сила
Т> Т(0) = \(F+ - F-), (3.11)
тогда как при статическом вдавливании эта сила должна удовлетворять
условию Т > F+ . Из рассмотрения графика следует также, что внедрение
со средней скоростью X * > Ф 0 / mi со нецелесообразно, поскольку при
этом опять-таки должно быть Т > F+ .
Изложенные результаты с небольшими изменениями и дополнениями
переносятся на простейшую модель процесса вибрационного резания;
этот процесс получает в последние годы все более широкое распростра¬
нение (см., например, монографии В.Н.Подураева [334] и Д.Кумабе [240]),
между тем как его теория развита еще недостаточно.
Схема процесса представлена на рис. 9.12. При обычном резании
(рис. 9.12д) к резцу приложена сила резания Т = F+\ при сообщении рез¬
цу высокочастотных интенсивных колебаний (рис. 9.12,6) эта сила не¬
сколько выше значения ~ (F+ - F-) . Частота колебаний в различных уст-
Z
ройствах составляет от 50 Гц до десятков кГц, в качестве возбудителей
используются механические, электромагнитные, электрогидравлические,
гидромеханические, а также электро- и магнитострикционные устройства.
Для эффективности вибрационного воздействия необходимо, как и выше,
Рис. 9.12. Обычное и вибрационное резание: 1 - обрабатываемая деталь;
2 - режущий инструмент
чтобы скорость резания X не превышала скорости вибрации резца
Л со (в рассмотренной выше модели - величины Ф 0 / тп\ со):
Х< Л (0 = Фо/miCO. <3-12)
252
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
Помимо уменьшения необходимой силы резания, другим важным мо¬
тивом использования вибрационного резания является снижение уровня
суммарных колебаний резца, возникающих в процессе резания, и улучше¬
ние тем самым качества обрабатываемой поверхности. Дело в том, что при
обычной обработке, вследствие конечной жесткости системы “станок-
приспособление - деталь” и падающей “реальной” нелинейной характери¬
стики силы сопротивления резанию F ус), в системе возникают автоко¬
лебания *). Возникает мысль [95], что наблюдаемое на практике сниже¬
ние суммарного уровня колебаний при вибрационном резании объясняет¬
ся известным явлением асинхронного подавления автоколебаний [10,
252]: для относительно медленных (по сравнению с возбуждаемыми) ко¬
лебаний сила сухого трения .F(x) преобразуется в силу V(X) , составляю¬
щая которой V\ (АГ) и представляет дополнительное вязкое сопротивле¬
ние, что подавляет автоколебания (см. п. 12.2.2).
Впрочем, в некоторых случаях возникающие в процессе резания авто¬
колебания играют положительную роль, и их поэтому специально обеспе¬
чивают и усиливают (см., например, [132 - 134]).
§ 9.4. Вибрационное преобразование движения; вибродвигатели
Ряд важных применений в машиностроении и приборостроении нашли
устройства, в которых вращение или поступательное движение деталей
или узлов получается путем возбуждения вибрации либо в самих этих де¬
талях, либо в деталях, с ними соприкасающихся. Такие устройства назы¬
вают вибрационными преобразователями движения и вибродвигате¬
лями.
Прежде всего отметим, что транспортирование тел по вибрирующим
поверхностям, рассмотренное в гл. 8 и в § 1 настоящей главы, представля¬
ет собой не что иное, как преобразование колебательнбго движения в по¬
ступательное; тело (рис. 9.13, а) при этом играет роль ротора 7, а вибри¬
рующая плоскость - статора 2.
На рис. 9.13, б представлены схемы двух вибрационных преобразова¬
телей колебательного движения во вращательное, предназначенных для
привода некоторых роторных машин [4, 338]. В обоих преобразователях
барабан 1 (ротор) охвачен гибкой лентой 2, например клиновым ремнем.
В первом устройстве лента одним концом прикреплена к траверсе 4 не¬
посредственно, а другим - через упругий элемент 5, обеспечивающий
*) Выше, используя приближенные способы решения уравнения быстрых движений, мы
до сих пор фактически не учитывали различия между силами сухого трения при движении F+
TB.F-VL соответствующими силами трения покоя Fu и F ; этим различием, однако, как раз
приближенно учитывается указанный “падающий” характер зависимости F (х), что позволяет,
в частности, изучить автоколебания в системе (классическим примером могут служить авто¬
колебания маятника Фроуда [10, 173,272]). Интересным и практически существенным законо¬
мерностям процессов вибрационного перемещения, которые дает возможность выявить учет
менее идеализированной характеристики силы F (х), посвящена монография Э.Г.ГУдушаури и
ГЛ.Пановко [168]. Различие между силами трения и покоя принимается нами во внимание в
гл. 12 книги.
& 9.4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ; ВИБРОДВИГАТЕЛИ
253
при работе примерно постоянную силу натяжения ленты. Пусть траверсе
сообщаются гармонические поворотные колебания; предположим, что при
этом барабан остается неподвижным. Тогда ясно, что при отклонении
траверсы вправо при проскальзывании ленты по барабану будет разви¬
ваться больший момент сил сухого трения, чем при отклонении траверсы
влево. В результате возникает движущий вибрационный момент V(0), ко¬
торый в условиях рисунка будет стремиться вращать барабан против хода
часовой стрелки.
© ?
Рис. 9.13. Вибрационные преобразователи движения и вибр о двигатели
В другом устройстве, показанном на рис. 9.13, б, траверса отсутствует,
упругий элемент 5 связывает правый конец ленты с неподвижным основа¬
нием, а левому сообщаются продольные гармонические колебания. В этом
случае, очевидно, при неподвижном барабане также возникает вибрацион¬
ный момент, стремящийся вращать барабан против хода часовой стрелки.
При работе описанных устройств движение барабана представляет со¬
бой наложение "быстрых" поворотных колебаний на "медленное" равно¬
мерное вращение с некоторой частотой £1 . Именно такое движение часто
необходимо обеспечить рабочим органам ряда технологических вибраци-
254
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
о иных машин. Другое неожиданное и эффективное применение состоит в
следующем. Тела качения подшипников роторов тяжелых электрических
машин, вследствие тряски при транспортировке по железной дороге, вы¬
зывают вмятины в дорожках качения подшипников. Если снабдить вал ус¬
тройством, подобным одному из рассмотренных, то та же тряска вызовет
медленное вращение вала и устранит образование вмятин.
Ряд вибрационных преобразователей движения описанного типа пред¬
ложен, исследован и реализован В.В.Гортинским и его учениками [4, 338].
На рис. 9.13, в и г представлены принципиальные схемы двух типов
вибродвигателей. В первом случае вращение ротора 1 возбуждается
вследствие ударно-вибрационных воздействий пьезокерамического стерж¬
ня 2, наконечник которого, соприкасающийся с ротором, совершает коле¬
бания по траекториям 5, близким к эллиптическим. Во втором случае по¬
ступательное движение тела 1 (ротора) индуцируется бегущей волной,
создаваемой в детали 2 (статоре), с которой оно контактирует; аналогич¬
ный принцип используется и в ряде вибродвигателей вращательного дви¬
жения. Справа на рис. 9.13, как и выше, представлены картины, видимые
наблюдателем V. Для получения эффекта вибрационного перемеще¬
ния в описанных устройствах используются практически все виды асим¬
метрии, рассмотренные в § 8.3.
Вибродвигатели нашли важные применения в точном приборострое¬
нии, поскольку они позволяют осуществлять позиционирование и задан¬
ные дискретные перемещения с разрешающей способностью порядка ты¬
сячных долей мкм при скорости до 200 мм/с. Существуют конструкции,
обеспечивающие реверс, а также многомерные движения.
Различные схемы, конструкции и теория вибродвигателей в нашей
стране созданы преимущественно трудами В.В.Лавриненко, К.М.Рагуль-
скиса, Р.Ю.Бансевичюса, П.Е.Васильева, Р.Э.Курило, В.П.Рагульскене и
их последователей. С данным направлением использования вибрации
можно познакомиться по книгам [28, 29, 244, 248], где имеются также мно¬
гочисленные ссылки на отечественные и зарубежные публикации (см., в
частности, работы [109, 121, 325]).
Отметим, что вибрационное преобразование движения, по существу,
происходит и при вибрационном поддержании вращения неуравновешен¬
ного ротора, подробно рассмотренном в § 5.1. Соответствующие устройст¬
ва, однако, следует отнести к вибрационным преобразователям (двига¬
телям) синхронного типа, поскольку частота вращения роторов в них
связана целочисленными соотношениями с частотой вибрации со. Такая
связь отсутствует во всех перечисленных здесь устройствах, в связи с чем
их следует отнести к вибрационным двигателям асинхронного типа.
Покажем, что рассмотренные выше простые модели процессов вибра¬
ционного перемещения пригодны для описания главных закономерно¬
стей работы вибрационных преобразователей движения. Для схемы на
рис. 9.13, а сказанное не требует особых пояснений: основное уравнение
вибрационной механики для такого преобразователя может быть записано
в форме
mX = V(X) - Tr, (4Л)
§9.4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ; ВИБРОДВИГАТЕЛИ
255
где F(AT)- вибрационная сила, определяемая согласно формулам типа
приведенных в гл. 8 и в §9.1, аГд>0- полезная нагрузка, которую
будем предполагать постоянной. Средняя скорость движения якоря в ус¬
тановившемся режиме X = X * находится из уравнения
V{X)=TR, (4-2)
причем такие режимы устойчивы, поскольку, по крайней мере во всех изу¬
ченных случаях, V1 (X *) < 0 . Из уравнения (4.2) определится "статиче¬
ская характеристика" преобразователя X * = X * (Тr)\ рассмотрение этой
характеристики позволяет установить предельные возможности преобра¬
зователя (двигателя).
В качестве примера рассмотрим случай чисто продольных гармониче¬
ских колебаний плоскости (статора) по закону ^ = A sin со t при несим¬
метричной характеристике силы сухого трения ^(д:). Этот случай был
изучен в § 8.4; ему соответствует график вибрационной силы V(X), пред¬
ставленный на рис. 8.3, в; решению уравнения (4.2) соответствует абсцис¬
са точки пересечения кривой V(X) с прямой V = Т = - Т r. Уравне¬
ние характеристики вибродвигателя получается из формулы (4.31)
гл. 8 при Т = - Тr , q = 1 и имеет вид
V л Я (F+ + Тr)
X * = А со cos "F+ + F ' > <4-3)
причем согласно соотношению (4.28) гл. 8 эта формула справедлива при
TR <F-. (4.4)
Из формулы (4.3), как и из рассмотрения рис. 8.3, в, следует, что положи¬
тельные значения скорости X *, то есть нормальная работа преобразова¬
теля, соответствуют значениям нагрузки Тr, лежащим в диапазоне
О < Tr < V(0) = \(F-~ F+). (4-5)
При этом X * не может превышать скорости вибрации А со:
X . < А ю . (4-6)
С последней общей закономерностью процессов вибрационного переме¬
щения мы уже сталкивались ранее (см., например, § 9.3). Из формулы
видно, что для повышения возможностей вибродвигателя данного типа
выгодно увеличивать асимметрию характеристики трения, то есть раз¬
ность F- - F+. Так и поступают на практике; встречаются даже конструк¬
ции с самоторможением обратного хода якоря, что соответствует
F- —> ©о. Последний случай, однако, требует специального рассмотрения,
ибо при этом вибрация не может считаться высокоинтенсивной в смысле,
указанном в § 8.4 (см. с. 211).
Несколько менее очевидна, на первый взгляд, применимость изучен¬
ных моделей к схемам с вращательным преобразованным движением, изо¬
браженным на рис. 9.13, б и в. Однако чтобы убедиться в этом, достаточ¬
256
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[TJL9
но заметить, что роль вибрирующей плоскости, то есть статора, в устрой¬
ствах на рис. 9.13, б играет лента, а в устройстве на рис. 9.13, в - наконеч¬
ник стержня. Рассмотрим, например, устройства с лентой. Уравнения дви¬
жения роторов этих устройств имеют вид
/ф = F«j> - у) г - R, (4.7)
где ф - угол поворота ротора,
Y=Yo-00sin cof (4.8)
- угол, определяющий положение некоторой фиксированной точки лен¬
ты (у о = const, Ф о - амплитуда, со - частота колебаний указанного уг¬
ла), / - момент инерции ротора, г - его радиус, R - момент полезной на¬
грузки, а сила сухого трения определяется обычными соотношениями,
аналогичными формулам (4.15) гл. 8:
F«p- v) = \~F+ °РИ (<P-j)>0,
Г V | F- при (<p - у) < 0 ,
- F+ < F (ф - у) < F- при ф - у = 0 . (4.9)
При этом, как отмечалось, F- > F+. Если перейти в уравнении движе¬
ния (4.7) от угла ф к углу поворота ротора относительно ленты
К = ф - Y = ф^о + ФовшсоГ,
то это уравнение примет вид
/к = /Ф о со2 sin со Г + F(k) - R. (4.10)
Уравнение (4.10) с точностью до обозначений совпадает с дифференци¬
альным уравнением (4.25) гл. 8, описывающим движение тела (ротора) в
случае схемы рис. 9.13, а. Совпадут с точностью до обозначений с форму¬
лами (2.2) гл. 8 также и соотношения (4.9).
Таким образом, исследование рассматриваемых устройств сводится к
изучению частного случая устройства, представленного на рис. 9.13д, -
случая, соответствующего продольным гармоническим колебаниям пло¬
скости. В частности, для скорости установившегося вращения ротора
О. зместо формулы (4.3) получится выражение
^ ^ тс сF+r + R)
П. = Ф0(Осю——--, (4.11)
а вместо формул (4.5) и (4.6) - соотношения
0 < R < 7(0) = \(F- - F+)r, Q « < Ф о to. (4.12)
Если считать в устройстве, изображенном на рис. 9.13. в, ротор и на¬
конечник абсолютно твердыми телами, ротор установленным в мягких
опорах (см. сноску на с. 178), а колебания наконечника заданными, то ис¬
следование этого устройства в системе координат, связанной с наконеч¬
ником, также сведется к рассмотрению уравнений движения тела враще¬
ния по вибрирующей плоскости (см., например, [66]). Изучая такую пре¬
дельно простую модель вибродвигателя, можно описать ряд важных зако¬
номерностей его работы, в частности, получить приближенные уравнения
§9.5]
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ; ВИБРАЦИОННЫЕ ЭКИПАЖИ
257
характеристики Q * = Q * (R). Между тем исследователи таких двигате¬
лей предпочитают использовать гораздо более сложные модели со мно¬
гими степенями свободы, учитывающие реологические свойства тел рото¬
ра и наконечника; это практически исключает возможность аналитическо¬
го исследования. Рассмотрение таких сложных моделей не лишено осно¬
ваний, поскольку в вибродвигателях данного типа используются высоко¬
частотные колебания (порядка десятков кГц и выше). Хотелось бы лишь
подчеркнуть, что возможности, предоставляемые изучением рассмотрен¬
ных простейших моделей, еще не исчерпаны. Плодотворным представля¬
ется и использование подхода к теории вибродвигателей и вибропреобра¬
зователей движения с позиций вибрационной механики, что мы и пыта¬
лись показать в настоящем параграфе.
Мы не касались здесь теории вибродвигателей, использующих бегу¬
щие волны деформации в соприкасающихся деталях ротора или статора
(рис. 9.13, г); эта теория требует особого рассмотрения [28, 29, 109, 325].
§ 9.5. Вибрационное передвижение, вибрационные экипажи
9.5.1. Определения, предварительные замечания. Под вибрацион¬
ным передвижением будем понимать передвижение тела в некоторой
среде или в силовом поле, происходящее вследствие периодических дви¬
жений тел, связанных с передвигающимся телом. Устройства или живые
организмы, передвигающиеся по этому принципу, будем условно называть
вибрационными экипажами [95].
Естественно, что взаимодействие самого устройства (организма) или
указанных тел с внешней средой или наличие внешнего поля совершенно
необходимо для изменения средней скорости движения центра инерции
подобного экипажа, ибо иначе нарушалось бы известное положение меха¬
ники о невозможности такого изменения только за счет внутренних сил.
Уже отмечалось, что о наличии внешних сил или полей иногда забывают,
и тогда это служит поводом для недоразумений, вплоть до выражения со¬
мнений в справедливости законов механики (см. в предисловии и § В.7
введения о наблюдателе W).
Вибрационное передвижение представляет собой одно из проявлений
эффекта вибрационного перемещения - получения направленных в сред¬
нем движений за счет ненаправленных воздействий. Энергия, необходи¬
мая для передвижения, может черпаться как из внутреннего по отноше¬
нию к экипажу источника, так и поступать извне.
В настоящем параграфе вначале дается описание различных экипажей
и физического механизма их передвижения на чисто качественном уровне
с позиции наблюдателя V. Затем на основе концепции вибрационной ме¬
ханики рассматривается теория этих экипажей.
9.5.2. Вибрационное передвижение по шероховатой поверхности.
Самоходные виброуплотнители грунта, передвижение на скейтбортах.
На рис. 9.14 представлены две схемы экипажей для передвижения по ше¬
роховатой поверхности; эти схемы соответствуют, в частности, самоход¬
9 НИБлошан
258
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
ГГ JL 9
ным вибрационным уплотнителям грунта [39, 66, 124,а; 125,т.4; 360]. В схе¬
ме на рис. 9.14,а установленный в корпусе экипажа вибровозбудитель -
устройство с периодически движущимися массами - генерирует гармони¬
ческую вынуждающую силу Ф о sin со t , направление которой составляет
некоторый острый угол р с поверхностью. Механизм возникновения
вибрационной силы в данном случае соответствует представленному на
рис. Ъ2д11 и описанному в § 8.3 (кинематическая асимметрия).
Ф0ъ\n<i)t
а, 5
X=Xt
Рис. 9.14. Вибрационные экипажи для передвижения по шероховатой поверхности
Схема на рис. 9.14, б более совершенна, но и более сложна. В ней
имеется дополнительная масса т2, связанная с массой т\ посредством уп¬
ругого элемента жесткости С\ъ и "статический пригруз" т* установлен¬
ный на пружинах жесткости С23; такой пригруз полезен в случае использо¬
вания экипажа в качестве виброуплотнителя. Жесткость с и при этом мо¬
жет быть выбрана из условия близости к резонансу, что позволяет не
только усилить вибрационное воздействие на грунт, но и повысить в слу¬
чае необходимости скорость передвижения уплотнителя. Жесткость же
с23 выбирается достаточно малой, чтобы обеспечить практически статиче¬
ское действие пригруза. Вибровозбудитель (не показанный на рисун¬
ке) связан с массой m 2. Вибрационная сила в данном случае формирует¬
ся одновременно по схемам рис. 8.2дН и аШ (кинематическая и структур-
§ 9-5]
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ; ВИБРАЦИОННЫЕ ЭКИПАЖИ
259
ная асимметрия). На рис. 9.14, б представлена картина, видимая на¬
блюдателем V в обоих случаях.
Дифференциальные уравнения движения экипажа по схеме рис.
9.14, а, как нетрудно видеть, получаются из уравнений (4.34), (4.35) гл. 8,
если положить в них
а = 0 , 5 = 0, А = Ф 0 cos Р /т со2, В = Ф о sin Р /т со2. (5.1)
При учете этих соотношений все изложенное в п. 8.4.3 относительно дви¬
жения частицы по вибрирующей плоскости непосредственно переносится
на случай рассматриваемого экипажа. В частности, основное уравнение
вибрационной механики будет иметь вид
mX = V(X), <5-2)
а скорость установившегося движения экипажа X = X* определится из
уравнения
V(X) = 0. <5-3)
О способах получения выражения для вибрационной силы V(X) также го¬
ворилось в п. 8.4.3; там же приведены выражения для V(X) , отвечающие
движению с интенсивным подбрасыванием частицы (применительно к
данному случаю - с интенсивным подпрыгиванием уплотнителя).
Что касается второй схемы, представленной на рис. 9.14, б, то при ее
изучении также можно воспользоваться решениями соответствующей за¬
дачи о вибрационном транспортировании (см. работы Р.Ф.Нагаева и
К.С.Якимовой [303, 428], а также С.А.Моласяна [295]). Как уже отмеча¬
лось, в этом случае существенно проявляются резонансные эффекты, от¬
ражающиеся на выражении для вибрационной силы V (X) в уравнении
(5.2), которое, естественно, относится и к данному случаю.
Простая и изящная теория передвижения на скейтборте - вибрацион¬
ным экипажем здесь является человек вместе со скейтбортом - предло¬
жена Б.А.Смольниковым и Ю.Г.Исполовым [194]. Периодическими дви¬
жениями ног человека здесь также генерируется действующая со стороны
дороги сила, которая направлена преимущественно вперед, что и приво¬
дит к возникновению соответствующей вибрационной силы.
В работе Р.Ф.Нагаева и Е.А.Тамм показано, что может передвигаться
по шероховатой плоскости также и колесный экипаж с установлен¬
ным на нем вибровозбудителем [382]. Теория такого экипажа, названного
виброходом, является более сложной, однако и здесь исследование мо¬
жет быть сведено к определению соответствующей вибрационной силы,
обусловленной кинематической, а при некоторой модификации - также и
конструктивной асимметрией системы.
9.5.3. Вибрационное передвижение в жидкости и газе. Вибро¬
лет, передвижение живых организмов. На рис. 9.15 изображено не¬
сколько схем для передвижения в жидкости или газе.
Схема на рис. 9.15, а соответствует так называемому вибролету. Ос¬
новным элементом такого "экипажа" является тело, форма которого тако¬
ва, что сопротивление среды его движению вдоль оси вверх значительно
меньше, чем сопротивление движению вниз (в этом смысле тело асиммет¬
260
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
рично; на рисунке оно изображено в виде зонтика). В результате осевых
колебаний тела, возбуждаемых тем или иным образом, возникает подъем¬
ная вибрационная сила V(X), которая при определенных условиях может
превзойти вес системы mg, так что аппарат будет подниматься вверх.
Принцип возникновения вибрационной силы в этом случае аналогичен
показанному на рис. 8.2,а/,3 (силовая асимметрия). Теория вибролета рас¬
смотрена Р.Ф.Нагаевым и Е.А.Тамм; ими же предложено название соот¬
ветствующего экипажа [304, 382].
Рис. 9.15. Вибрационные экипажи для передвижения в жидкости или газе и простейшие
модели движения живых организмов
Экипаж по схеме рис. 9,15,6 также характеризуется отличием сопро¬
тивления движению вперед от сопротивления движению назад вследст¬
вие наличия жестко связанных с ним плавников. Предполагается, что не
показанный на рисунке вибровозбудитель генерирует периодическую вы¬
нуждающую силу (не обязательно симметричную). Здесь механизм
возникновения вибрационной силы аналогичен показанному на рис. 8.2,а/,
1,3 и 8.2,а/77. Устройство, изображенное на данной схеме, можно на¬
звать вибрационным кораблем. Заметим, что если сила сопротивления
F(x) нелинейна, то вибрационная сила может генерироваться и при от¬
сутствии плавников (то есть при | F+ \ = \ F- |) за счет несимметрии за¬
4F(X)
'Vex;
1 Z
§ 9.5]
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ; ВИБРАЦИОННЫЕ ЭКИПАЖИ
261
кона изменекия вынуждающей силы Ф (со t) . Так, резкими движениями
своего корпуса в одном направлении и плавными - в другом человек мо¬
жет заставить медленно перемещаться лодку, в которой он находится.
Более общая схема 2 на рис. 9.15, б отличается от схемы 1 тем, что
плавники присоединены к корпусу шарнирно и связаны с ним также упру¬
гими элементами некоторой жесткости С, которая может быть выбрана из
условия резонанса плавника с частотой вынуждающей силы со [81]. Синх¬
ронно и синфазно работающие возбудители могут быть установлены и
непосредственно на плавниках. Естественно, что экипаж, осуществленный
по такой схеме, сможет развивать значительно большую скорость. Отме¬
тим, что этой схеме соответствует механизм образования тяги (и подъем¬
ной силы) в летательных аппаратах с машущими крыльями, а также при
полете насекомых и птиц и при плавании некоторых организмов.
Весьма примечательно, что устройства, подобные изображенным на
схемах рис. 9.15, б,в, могут передвигаться и без затрат внутренней энер¬
гии, и без внутреннего источника возбуждения. Действительно, предполо¬
жим, что в этих устройствах отсутствуют вибровозбудители, то есть
Ф (со t) = 0, но их корпуса систематически испытывают извне случайные
толчки, равновероятные во всех направлениях. Продвинуться вперед этим
устройствам, вследствие наличия наклонных плавников, "легче", чем на¬
зад. В результате и в данном случае возникает вибрационная сила, кото¬
рая заставит устройство медленно двигаться вперед. Этот эффект может
быть усилен, если выбрать жесткость упругих элементов в устройстве
рис. 9.15,в из условия близости частоты их свободных колебаний в жидко¬
сти к преимущественной частоте турбулентных пульсаций в водоеме.
Имеются данные о том, что китообразные могут регулировать жесткость
плавников и хвоста, увеличивая или уменьшая приток крови к соответст¬
вующим группам мышц [324]. Не исключено, что эти животные также
черпают часть энергии, затрачиваемой на передвижение, из "возобновляе¬
мого источника энергии" - турбулентного потока *).
Схема на рис. 9.15, г соответствует механизму плавания жгутиковых.
Эти организмы передвигаются в жидкости, придавая своему удлиненному
телу или его частям поперечные колебания в виде бегущей волны. Меха¬
низм образования вибрационной силы в этом случае подобен изображен¬
ному на рис. 8.2, dV (волновая асимметрия).
Заметим, что интересная и сложная биомеханическая проблема - изу¬
чение закономерностей передвижения живых организмов привлекает зна¬
чительное внимание крупных ученых (см., например, [220, 221, 247, 262,
270, 328, 349, 362, 449, 450, 459, 471, 475,135]).
Обширная литература посвящена также теоретическому и экспери¬
ментальному изучению закономерностей движения колеблющихся тел в
потоках жидкости и газа, а также теории соответствующих летательных и
плавательных аппаратов (см., например, [328, 372, 457, 461]). Здесь мы
преследовали лишь скромную цель - указать на органическую связь этих
*) Иной - волновой механизм получения животными энергии из потока рассмотрен в
[135] (см. также [220]).
262
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
F(x) = -*±|х|х-1ь . 2
проблем с теорией вибрационного перемещения и на целесообразность их
рассмотрения с позиций вибрационной механики.
Остановимся на теории экипажей, схематически изображенных на рис.
9.15,а и б, причем будем предполагать сопротивление среды квадратич¬
ным и неодинаковым при движении экипажа вперед и назад, а вынуждаю¬
щую силу Ф (со t) гармонической. Тогда уравнение движения экипажа
можно записать в форме
т\ х = - mi g + Ф о sin о) f + F (i), (5.4)
где mi- масса корпуса экипажа с учетом присоединенной массы, g - ускоре¬
ние свободного падения, Ф 0 - амплитуда, со - частота вынуждающей силы,
- к + х2 при х > 0 ,
к-х2 при х < 0.
Уравнение (5.4) является частным случаем уравнения (4.2) гл. 8, соответст¬
вующим
Т = - mi g , - m2 'i (0) t) = Ф о sin со t, n = 2 . (5-5)
Поэтому' основное уравнение вибрационной механики - уравнение (4.9)
гл. 8 - в данном случае будет иметь вид
тхХ = - mig + F(0) + Fi (X), <5-6)
где согласно формулам (5.5) и (4.11) той же главы
VgC) = - <к±\Х- qU (X- qb>, (5Л)
F(0) = < k±\qi\qi>, V,(X) - V(X) - F(0),
причем
q 4 = Ф° cos ait (q = m2/ m{). (5.8)
ТП2 0)
Введя обозначение
A = Ф0/т2(О2, (5.9)
запишем выражения (5.7) в виде
V(X) = - < к ± | X - А со cos со 11 (X - А со cos со t) >,
V(0) = (Л со)2 < к ± | cos со 11 cos со t > . (5.10)
Напомним, что эти приближенные выражения справедливы при условии,
что Ф о » F (х) .
Произведя вычисления по формулам (5.10), получим
(т 1 = arccosX/ А со):
2тс-т1
V(X) = 7(0) + Vi(X) = -^~ [-*+ 1 (Х-Л cocosxfdz +
2 К
ч
§9.5]
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ; ВИБРАЦИОННЫЕ ЭКИПАЖИ
263
2Я+Т1
+ к- J (X-Л со cost)2 dx] = — {-it + [ (2* 2 + Л 2со2)
2 к
2 п -xi
х (7Г - arccos АГ/ Л со) + ЗА со AT Vl -X 2 /А 2 со2 J +
+ *-[(2ЛГ2 + Л2 со2) arccos ЛГ/Л со-ЗЛ со AT Vl-ЯГ 2/Л2со2 ]} =
(Jt+ + Jt -) [ (2 AT2 + Л2 со2) arccos ЛГ/Л со -
2п
- ЗА соАГ Vl-i'2/Л 2соz ] - Ji/t + (2AT 2 + Л 2со2)} при | X \ < А со,
V(X) = - k±
А 2 2
X2 +
sgnX при \Х\ > А со ;
7(0) = 7 (А со )2 (it- - *+) = 7 (Ф о / mi со)2 (Jt- - Ъ). (5.11)
4 4
Из уравнения (5.6) и выражений (5.11) следует, что для подъема экипажа
вверх должно выполняться условие
^ (Ф о / mi со)2 (к- - к+) > mi g , (5.12)
то есть сопротивление движению тела вниз должно в достаточной мере
превышать сопротивление его движению вверх. При несимметричном за¬
коне вибрационного воздействия - т2 ^ (со t) , как отмечалось, это условие
необязательно - подъем тела возможен и при к+ = к- . Детальное рас¬
смотрение этого случая на основе точного решения соответствующего
уравнения дано в цитированной выше работе Р.Ф.Нагаева и
Е.А.Тамм [304].
9.5.4. Вибрационное передвижение в неоднородных силовых по¬
лях. Гравилет, магнитолет. На рис. 9.16 представлен наиболее экзоти¬
ческий из рассмотренных экипажей, названный его авторами В.В.Белец-
ким и М.Е.Гиверцем гравилетом [42]. Этот экипаж предназначен для
путешествий в космическом пространстве. Он представляет собой косми¬
ческий корабль, движущийся по первоначально эллиптической орбите
вокруг Земли. На корабле имеется гантель, образованная двумя одинако¬
выми массами т/2, ось которой, например, перпендикулярна к плоскости
орбиты.
Предположим, что длина гантели 21 изменяется по гармоническому
закону с некоторой амплитудой А и с периодом Т = 2 п/со , совпадающим
с периодом обращения корабля по орбите. Пусть при этом на полувитке
орбиты, который расположен на наименьших расстояниях от Земли (то
есть в окрестности перигея), массы гантели удаляются, а в течение друго¬
го полупериода (то есть в окрестности апогея) - сближаются. Нетрудно
сообразить, что вследствие неоднородности гравитационного поля (масса,
расположенная ближе к Земле, притягивается к ней сильнее) для обеспе¬
чения такого движения масс гантели придется совершать некоторую ра¬
264
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
боту против гравитационных сил, то есть затрачивать определенную энер¬
гию. Эта энергия, получаемая от внутреннего по отношению к кораблю
источника, будет переходить в энергию орбитального движения корабля,
то есть корабль будет удаляться от Земли и может даже уйти из ее поля
тяготения, несмотря на то, что он не имеет традиционного реактивного
двигателя !
Рис 9.16. Вибрационный аппарат для перемещения в гравитационном поле (гравилет).
Справа - картина, видимая наблюдателем V
Требуют некоторого пояснения включение нами гравилета в разряд
вибрационных экипажей, а также разграничение в этом случае быстрых и
медленных сил и движений. Действительно, период обращения спутника
Земли, а значит, и период колебаний масс гантели, имеют порядок не¬
скольких часов и более. Не видны, на первый взгляд, и быстрые силы.
Следует, однако, иметь в виду, что нигде в приведенных определениях
вибрации, медленных и быстрых движений, вибрационного перемещения
и вибрационного экипажа не шла речь об абсолютных величинах частот
или периодов колебаний, а подразумевались только относительные вели¬
чины (см. сноску на с45 и п.2.2.4). С этой точки зрения быстрыми в дан¬
ном случае являются движения корабля по его орбите и изменения рас¬
стояния между массами гантели, а медленным - эволюция орбиты, то есть
изменение среднего расстояния R от корабля до Земли и "долготы пери¬
гея" - угла (Oi (t) , показанного на рис. 9.16. При этом наблюдатель V
будет видеть хорабль медленно движущимся по некоторой кривой MN
(см. правую часть рисунка), резко отличающейся от действительной поч¬
ти эллиптической орбиты корабля (ср. с траекторией в левой части ри¬
сунка). Быстрыми силами являются те части гравитационных сил, которые
связаны с положениями масс гантели.
Наблюдатель V будет считать, что описанное медленное движение
вибролета происходит в результате возникновения вибрационной силы V,
представляющей в данном случае силу тяги. (Заметим, что при противо¬
положной, по сравнению с указанной, фазировке движения масс гантели
возникает не тяга, а торможение корабля.)
Не составляет особого труда получить выражение для тяги V. Вычис¬
ления показывают, что тяга возникает не только при наличии резонанса,
•о
т
f(R)
-^v
§9.6]
ВИБРОСТРУЙНЫЙ ЭФФЕКТ; ВИБРОНАСОСЫ
265
то есть совпадении периода изменения длины гантели и периода обраще¬
ния корабля по орбите, но и любом другом соотношении периодов. К со¬
жалению, однако, даже в описанном резонансном режиме эта тяга неве¬
лика, и поэтому гравилет не прост для реализации: согласно подсчетам,
приведенным в книге [42], для ухода гравилета из поля тяготения Земли
даже при длине гантели порядка километра требуется время порядка 10
тыс.лет; это, однако, ничуть не умаляет принципиального интереса, кото¬
рый представляет собой гравилет с точки зрения механики.
Не менее интересен экипаж для передвижения в магнитном поле пла¬
неты - магнитолет, предложенный Ю.М.Урманом. Тяга в этом случае
создается вследствие периодических поворотных движений магнита, на¬
ходящегося в экипаже. Как и в случае гравилета, имеются все основания
для причисления магнитолета к числу вибрационных экипажей, и поэтому
автор благодарен КХМ.Урману за пополнение коллекции.
С идеей гравилета связано поучительное заблуждение, состоящее в
том, что он будто бы грубо ошибочен, поскольку предполагает изменение
скорости движения механической системы за счет действия внутренних
сил, невозможное в силу законов механики. Это, конечно, не так: налицо
внешние силы - силы гравитационного притяжения масс гантели к Земле,
при отсутствии которых эволюция орбиты гравилета оказалась бы невоз¬
можной. Указанное заблуждение характерно для наблюдателя W, о кото¬
ром говорилось в предисловии и в § В.7 введения.
§ 9.6. Виброструйный эффект, вибрационные насосы
Под вибр о струйным эффектом понимают возникновение "направ¬
ленного в среднем" течения жидкости вследствие "ненаправленных в
среднем" (вибрационных) воздействий; речь идет, таким образом, об од¬
ном из проявлений эффекта вибрационного перемещения. Устройства,
предназначенные для создания потока жидкости путем использования
виброструйного эффекта, будем называть вибрационными насосами.
Наиболее простой и распространенный в приложениях способ реали¬
зации виброструйного эффекта состоит в сообщении колебаний поме¬
щенному в жидкость или газ твердому или деформируемому телу; эти
колебания и вызывают в общем случае некоторое направленное в среднем
течение среды вблизи этого тела. В предыдущем параграфе мы отмечали,
что такие колебания приводят, как правило, к возникновению вибрацион¬
ной подъемной силы или силы тяги (рис. 9.15). Подобное сочетание эф¬
фектов не случайно: согласно положениям гидромеханики, возникнове¬
ние направленного потока и осредненной силы, действующей на тело, со¬
путствуют одно другому. Не случайно поэтому также сходство схем ряда
вибрационных экипажей, представленных на рис. 9.15, и схем вибрацион¬
ных насосов, приведенных на ркс. 9.17.
На рис. 9.17, а представлен случай возбуждения потока несимметрич¬
ным (в том же смысле, что и в предыдущем параграфе) телом типа зонти¬
ка при симметричных чисто гармонических колебаниях; вместе с тем на-
правленный поток может возникать и в случае симметричного тела
вследствие несимметрии в законе колебаний тела или действующей на
266
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
Рис. 9.17. Вибрационные насосы. Вибрирующее в жидкости или газе тело может
служить вибрационным насосом
§9.6]
ВИБРОСТРУЙНЫЙ ЭФФЕКТ; ВИБРОНАСОСЫ
267
него силы (рис. 9.17, б); при этом, однако, как и в случае вибрационного
экипажа, сопротивление движению тела в среде должно носить нелиней¬
ный характер.
На рис. 9.17, в представлен распространенный на практике способ со¬
здания направленного потока жидкости - путем сообщения колебаний
(как правило, симметричных) перфорированной пластине 1 с сужающи¬
мися отверстиями или щелевыми каналами 2. Вследствие существенной
асимметрии системы (сопротивление движению жидкости при ее движе¬
нии в направлении сужения отверстий или щелей меньше, чем при дви¬
жении в сторону расширения) возникает пульсирующий поток жидкости,
направленный в среднем в сторону сужения. Наблюдатель V свяжет воз¬
никновение постоянной части этого потока с появлением некоторого до¬
полнительного перепада давлений (Д p)v; который, складываясь алгебраи¬
чески с имеющимся перепадом (Л/?)о, либо усилит поток, либо ослабит
его и даже может привести к прекращению течения {вибрационному пе¬
рекрытию отверстий в пластине) или к возникновению обратного тече¬
ния. Можно предположить, что именно этот эффект лежит в основе опи¬
санного в литературе явления прекращения подачи топлива из бензобаков
самолетов; такое явление приводило иногда к аварийным ситуациям.
Виброструйный эффект может быть усилен, если выполнить сужаю¬
щийся канал в виде деформируемых лепестков, жесткость которых вы¬
брана из условия близости к резонансу с частотой возбуждаемых колеба¬
ний. Лепестки играют роль своеобразных клапанов, которые при продоль¬
ных колебаниях пластины пропускают в направлении сужения канала
большее количество жидкости, чем в направлении расширения; в итоге и
образуется направленный в среднем поток, который может быть более ин¬
тенсивным, чем при недеформируемых стенках канала.
Данный способ используется в вибрационной флотомашине [285] и в
машине для отмывки частиц сыпучих материалов или металлической
стружки. В этих аппаратах необходимо обеспечить пульсирующий поток
жидкости, в котором, с одной стороны, обеспечиваются интенсивные ко¬
лебания частиц относительно жидкости, а с другой - медленное циркуля¬
ционное движение обрабатываемой среды. Вибрирующие перфорирован¬
ные пластины типа изображенных на рис. 9.15, в используются и в устрой¬
стве для перемешивания разнородных жидкостей или суспензий, схемати¬
чески изображенном на рис. 9.18 [125, т. 4].
На рис. 9.17, г представлена схема так называемого объемно-инерци-
онного насоса. Он состоит из корпуса 7, имеющего приемное отверстие 2
с обратным клапаном 5, и выпускное отверстие 4, к которому присоединя¬
ется гибкий шланг. Внутри корпуса расположен эластичный поршень спе¬
циальной формы 5, которому сообщаются вибрации вдоль оси корпуса от
герметичного (обычно - электромагнитного) вибровозбудителя. Жид¬
кость, в которую погружается корпус, поступает в приемную камеру 6 че¬
рез обратный клапан 3. При движении поршня вниз обратный клапан за¬
крывается, и жидкость через зазор между поршнем и корпусом выжимает¬
ся в надпоршневую камеру 7. При движении поршня вверх он прижимает¬
ся по окружности к корпусу. При этом давление в приемной камере пони¬
жается, клапан 3 открывается, и жидкость поступает в насос. Одновре¬
268
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
менно эластичный поршень выталкивает определенный объем жидкости,
находящийся в надпоршневой камере, через выпускное отверстие.
Насосы, подобные описанно¬
му, серийно выпускаются в Рос¬
сии и ряде других стран. Их важ¬
ными достоинствами являются
простота и надежность конструк¬
ции, пригодность (при специаль¬
ном исполнении) для подачи аг¬
рессивных жидкостей и пульп с
абразивными частицами. Значи¬
тельный вклад в разработку тео¬
рии, методов расчета и создание
конструкций вибрационных насо¬
сов внесен В.М.Усаковским [389;
125, т.4].
Особую группу образуют на¬
сосы и питатели для строго до¬
зированной подачи жидкостей и
порошков в очень малых количе¬
ствах; такие устройства крайне
важны, например, в медицине и в
порошковой металлургии. В ряде
УСТР°ЙСТВ Для этой цели труб-
ного на использовании виброструйного эффек- кам, содержащим подаваемую
та. 1 - корпус аппарата; 2 - шток; 3 - пластины среду, сообщают колебания ТИ-
с коническими отверстиями. Криволинейными па бегущей ВОЛНЫ. В качестве
стрелками показана осема потоков примера на рис. 9.17,0 изображен
перистальтический насос для
подачи жидкости. В этом насосе эластичная трубка 1 пережимается по¬
следовательно выдвигающимися стержнями 2. Ряд прецизионных вибра¬
ционных устройств для дозированной подачи жидких и сыпучих сред раз¬
работан и внедрен К.М.Рагульскисом и его сотрудниками (см., например,
[29, 113]). Нетрудно заметить, что способы генерации направленных пото¬
ков в устройствах, изображенных на рис. 9.17, вполне соответствуют прин¬
ципам создания вибрационного перемещения, представленным на рис.
8.2^/-/К
В правой части рис. 9.17, как и ранее, изображены картины, видимые
наблюдателем V: с его точки зрения, направленное течение жидкости воз¬
никает под действием некоторого дополнительного напора V, представля¬
ющего в данном случае вибрационную силу.
В качестве примера использования подхода вибрационной механики к
моделированию и исследованию виброструйного эффекта и вибрацион¬
ных насосов можно рассмотреть теорию устройств, изображенных на
рис. 9.17,в и 9.18, считая стенки отверстий или каналов в вибрирующих
пластинах недеформируемыми [96]. Случай деформируемых стенок кана¬
ла, образуемых жесткими пластинчатыми лепестками, укрепленными на
упругих шарнирах, изучен в работе [285].
§9.6]
ВИБРОСТРУЙНЫЙ ЭФФЕКТ; ВИБРОНАСОСЫ
269
Для удобства рассуждений обратим задачу - будем рассматривать
движение свободной перфорированной пластины в неподвижном цилинд¬
рическом сосуде (рис. 9.19), то есть/по существу, соответствующую зада¬
чу о вибрационном экипаже. При этом скорость движения пластины отно¬
сительно сосуда х будет связана с расходом жидкости через пластину Q
соотношением
Q = -Sx, (6.1)
где S - площадь пластины. Предполагается, что на пластину действует
гармоническая вынуждающая сила Ф 0 sin со t и некоторая постоянная си¬
ла Р, которой соответствует статический перепад давлений (Л/?)о вдоль
толщины пластины, так что
Р = - (Д/?)о S . (6.2)
Сопротивление движению пластины будем считать квадратично завися¬
щим от скорости движения пластины относительно жидкости jc, причем
© ?
— — ^
V/JV/IV/WM/A
^
bW'S-
'х
—А
\&0 siuxot
1V/JX/siVAY/lX/A
— —
? ^p)asl
Рис. 9.19. К теории виброструйного эффекта и вибрационного насоса
коэффициент сопротивления к+ при движении пластины в положитель¬
ном направлении оси х меньше коэффициента сопротивления к- при ее
движении в отрицательном направлении; это соответствует показанному
на рис. 9.18, а направлению сужения отверстий или щелей в пластине.
Иначе говоря, силу сопротивления будем определять формулой
F(x) = - к±х2 sgni = - к±х \ х \ (к- > к+). (6.3)
Заметим, что эта формула согласуется с известной формулой гидравлики
для расхода Q при истечении жидкости через отверстие
Q = jiso V2 Ар/р , (6.4)
где So - площадь отверстия в его узкой части, р - плотность жидкости,
Ар - перепад давления, 11 < 1 - безразмерный коэффициент расхода
жидкости, который при истечении жидкости в направлении сужения от¬
верстия больше, чем при истечении в направлении расширения, так что
[L- > \и . Формула (6.4) переходит в (6.3), если положить
Q = -Sx, Ар = -F/Ssgnx, |i = |i±
270
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТЕХНИКЕ И ПРИРОДЕ
[ГЛ. 9
и обозначить
к-
к+ ~~ 0 ^ 2 2 ^ й'- » ^ к—) •
2|1-5о
(6.5)
2дЬГ
Естественно, что коэффициенты |J+ и |1-, а также к+ и А:- могут су¬
щественно отличаться от их статических значений и зависеть как от час¬
тоты, так и от амплитуды вибрации пластины.
В указанных предположениях уравнение движения пластины будет
иметь вид
mix = Р + Ф о sin со t + F(х), (6.6)
где тп\ - масса пластины и жестко связанных с ней деталей, а силы Р и F
определяются выражениями (6.2) и (6.3). Это уравнение при Р - -m\g
совпадает с уравнением движения вибрационного экипажа (5.4), рассмот¬
ренным в предыдущем параграфе; поэтому здесь можно воспользоваться
полученным там решением задачи.
Основное уравнение вибрационной механики будет иметь вид
т\ Х = Р + V(X), (6-7)
где вибрационная сила V(X) определяется выражением (5.11), причем,
как и ранее, предполагается, что Ф0 » F(x) и обозначено
А = Фо/mi со2. В случае X «А со указанное выражение существенно
упрощается:
■ А со (к+ + к-) X .
(6.8)
V(X) = J (А (О)2 (к- - к+) -
4 2 7Г
В результате согласно (6.1), (6.2) и (6.7) получается следующая формула
для установившегося среднего расхода жидкости через пластину
А со (к— + к+) 2
Q* = -S<x>
■5ЛГ=|
Ot- -к+л
*- + *+
(6.9)
При (Др)о = 0, то есть в случае отсутствия статического перепада
давлений,
„ „ л
'-.А соS
гк- - к+л
к- + к+
(6.10)
Знак “минус” перед этим выражением указывает на то обстоятельст¬
во, что поток Q v направлен в сторону сужения отверстий в пластине (на¬
помним, что к- > к+).
Из формулы (6.9) получается также следующее простое выражение
для скорости А со = (А со)* = (Фо/miCO)* , соответствующей эффекту
вибрационного перекрытия отверстий в пластине:
(А со)* = (Ф о /mi со)* = 2^(Ap)oS / (к_ - к+) (6.11)
Эта формула может быть использована для экспериментального опреде¬
ления разности коэффициентов сопротивления к- - к+ .
*) Здесь и ниже исправлена арифметическая ошибка, вкравшаяся в работу [96].
Глава 10. Вибрационное смещение (увод)
§ 10.1. О понятии вибрационного смещения (увода)
Под вибрационным смещением, или уводом, понимается изменение
под действием вибрации положений устойчивого равновесия механиче¬
ской системы. При этом под положениями равновесия системы при нали¬
чии вибрации в общем случае имеются в виду положения равновесия для
системы, которую видит наблюдатель V, "не замечающий" быстрых дви¬
жений вблизи этого положения. Такие положения равновесия называют
квазиравновесными положениями (см. с. 87).
С точки зрения наблюдателя V, эффекты вибрационного смещения
объясняются возникновением вибрационных сил или моментов.
§ 10.2. Эффект вибрационного смещения в приложениях;
особенности эффекта в системах с сухим трением
С рядом проявлений эффекта вибрационного смещения мы уже стол¬
кнулись в предыдущем изложении и еще столкнемся в последующем. Пе¬
речислим такие проявления, имеющие существенное значение для прило¬
жений.
Так, в п. 4.1.5 было отмечено, что маятник с прямолинейно вибриру¬
ющей осью подвеса под действием вибрации стремится расположиться
вдоль направления вибрации: он как бы притягивается к этим положени¬
ям незримыми пружинами. В результате маятник с вибрирующей осью
подвеса будет, вообще говоря, отслеживать не вертикаль, а некото¬
рое иное направление (рис. 10.1, а). Аналогичное смещение (увод) бу¬
дет испытывать стрелка прибора, пэдьерженного действию вибрации
(рис. 10.1, б). Магнитная стрелка компаса, находящаяся под действием
не только магнитного поля Земли, но еще и под действием слабого пере¬
менного магнитного поля, обусловленного близостью электроустановок
переменного тока, может вместо направления на север показывать
направление на юг [272].
В общей форме механизм увода в подобных системах был рассмотрен
в § 4.3. В гл. 18 он обсуждается с иных позиций - а С1~:зч с поведением
материальной частицы в быстро осциллирующем стационарном поле. Как
будет показанЬ, частица притягивается к точкам мииимума амплитуды
стоячей волны | (дс) | (рис. 18.1). В результате если при отсутствии ос¬
цилляции поля частица имела некоторые положения устойчивого равно¬
весия, то при его наличии эти положения определенным образом сместят¬
ся по направлению к указанным точкам минимума функции | Ч* (х) | . Ма¬
ятник с прямолинейно вибрирующей осью подвеса можно рассматривать
как частный случай такой системы. В § 4.3 данная ситуация была обсуж¬
дена также с позиций концепции потенциальных в среднем динамических
систем - как следствие возможности появления в таких системах под дей-
272
ВИБРАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ (УВОД)
[ГЛ.10
ствием вибрации новых или смещения и даже исчезновения прежних "по¬
тенциальных ям" системы.
Характерным для всех рассмотренных и других эффектов вибрацион¬
ного смещения является наличие в системе позиционной силы, что по¬
нятно, исходя из приведенного в § 10.1 определения и из рассмотренных
1)
\тд
а+<р
V
wma|
’//////////А',
< х° >
2)
*
\
Ш
х0-Д
’ШШ
"Ч 6 V/
'//Л??/,
Хд~Л
Рис. 10.1. Вибрационное смещение (увод)
примеров. В связи с этим отметим связь между эффектами вибрационно¬
го перемещения и смещения. Предположим, что основное уравнение виб¬
рационной механики для системы имеет вид
тХ= Г+К(0) + ViiX), (2Л>
где Т - некоторая постоянная сила, a F(0) + V\ (.X) = V(X) - вибрацион¬
ная сила, причем V (0) Ф 0, а V i (0) = 0. Это уравнение типично для
процесса вибрационного перемещения, скорость которого X = X * опре¬
деляется из уравнения
Т + V(0) + V\ (X) = 0
(2.2)
§ 10.2]
ПРИЛОЖЕНИЯ. СЛУЧАЙ СУХОГО ТРЕНИЯ
273
(см., например, уравнения (4.9) и (4.51) гл. 8). Положений равновесия та¬
кая система не имеет. При наличии позиционной силы F(x), достаточно
плавно изменяющейся с изменением х, соотношение (2.1) заменится урав¬
нением
тХ = Т + F(0) + Vi(jC) + F(X), <2-3)
которому будут соответствовать положения равновесия X = X*, (то есть
положения квазиравновесия для исходной системы), определяемые из ра¬
венства '
Т + V(0) + F(X) = 0, (2.4)
тогда как положения равновесия системы при отсутствии вибрации опре¬
деляются уравнением
Г+ F(X) = 0. (2.5)
В случае гладкой позиционной силы, удовлетворяющей, например, усло¬
виям F(0) = 0, F1 (jc) ф 0, у уравнений (2.4) и (2.5) существуют единствен¬
ные и различающиеся одно от другого решения, то есть в системе имеет
место эффект вибрационного смещения (увода).
Особого рассмотрения требуют эффекты вибрационного увода в ги¬
роскопических системах; о них уже говорилось в § 4.3.
Существенным своеобразием характеризуются эффекты вибрационно¬
го смещения с сухим трением. Оно определяется тем, что при отсутствии
вибрации в таких системах имеют место не изолированные положения
равновесия, как в системах с вязким трением, а бесконечное число поло¬
жений равновесия, непрерывно заполняющих некоторый отрезок- В этих
случаях говорят о континууме положений равновесия; соответствующий
отрезок называют полосой, или зоной застоя. При достаточно интенсив¬
ной вибрации эта зона исчезает - сухое трение как бы переходит в вязкое,
и появляются одно или несколько положений квазиравновесия. Эти поло¬
жения, однако, как правило, смещены относительно положений равнове¬
сия, которые система имела бы при отсутствии сухого трения, и могут
располагаться вне зоны застоя системы с сухим трением. Причиной вибра¬
ционного смещения является здесь появление движущей вибрационной
силы V (0); эта последняя сила обусловлена наличием той или иной асим¬
метрии системы. Сказанное иллюстрируется рис. 10.1,6, а также рис. 9.4;
обсуждение последнего в связи с задачами теории вибрационного разде¬
ления частиц сыпучих смесей приведено в п. 8.2.2. Ярким примером виб¬
рационного смещения в системах с сухим трением является также ано¬
мальное поведение сыпучих тел в сообщающихся вибрирующих сосудах,
рассматриваемое в 14.3 (см. рис. 14.6).
Заметим, что иногда в качестве средства для ликвидации зоны застоя
в приборах рекомендуют использовать вибрацию. Как следует из изло¬
женного, к таким рекомендациям необходимо относиться с осторожно¬
стью, поскольку та или иная асимметрия системы может вызвать появле¬
ние движущей вибрационной силы V (0), приводящей к погрешности,
которая соизмерима или даже превышает погрешность, обусловленную
наличием зоны застоя; следует позаботиться об отсутствии такой асим¬
метрии. О данном направлении использования вибрации см. книгу
Р.-М.Канапенаса [201].
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ВИБРОРЕОЛОГИЯ
Глава 11. О реологии и виброреологии
§ 11.1. Реология как раздел механики
Под реологией понимают раздел механики, в котором изучается де¬
формация и текучесть вещества. Классическими моделями реологии яв¬
ляются упругое тело Гука, вязкая жидкость Ньютона, пластическое тело
Сен-Венана. Как простейшие вырожденные частные случаи или дискрет¬
ные аналоги двух последних моделей можно рассматривать линейное со¬
противление и сухое трение при движении твердых тел в среде или отно¬
сительно других твердых тел - случаи, о которых много говорится в на¬
стоящей книге.
Основное значение в реологии имеют так называемые реологические
уравнения, устанавливающие связь между силовыми и кинематическими
параметрами, характеризующими состояние изучаемых систем. В упомяну¬
тых классических моделях это соответственно уравнения, выражающие
обобщенный закон Гука, закон Ньютона и закон идеальной пластичности
Сен-Венана, а в их дискретных аналогах - закон Гука в простейшей фор¬
ме, закон сопротивления, пропорционального скорости тела, и закон сухо¬
го трения Кулона - Амонтона.
Постоянные, входящие в реологические уравнения (модуль упруго¬
сти, коэффициент вязкости, коэффициенты сухого трения), иногда назы¬
вают реологическими постоянными, или реологическими характери¬
стиками.
Различают макрореологию, имеющую дело с однородными или ква-
зиоднородными материалами, лишенными структуры, и микрореологию,
которая рассматривает реологическое поведение двух- и многофазных си¬
стем в зависимости от реологических характеристик и свойств их компо¬
нент.
§11.2. Определение виброреологии. Макро- и микровиброреология
Как было показано выше на ряде примеров, при действии вибрации на
нелинейные механические системы могут существенно изменяться по от¬
ношению к медленным воздействиям не только реологические характери¬
стики тел, но даже и сам характер реологического уравнения. В частно¬
§ 113] ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СВОЙСТВА, ХАРАКТЕРИСТИКИ 275
сти, как отмечалось, система с сухим трением может вести себя как сис¬
тема с вязким трением.
Под виброреологией (точнее - под макровиброреологией) мы будем
понимать раздел механики, в котором изучается изменение под влиянием
вибрации реологических свойств тел по отношению к медленным силам, а
также соответствующие медленные движения тел. Иными словами, мак¬
ровиброреологию можно определить как реологию для наблюдателя V, о
котором уже неоднократно упоминалось в настоящей книге.
Приведенное определение дано в работах [76, 81, 95], хотя сам термин
"виброреология", по-видимому, впервые был предложен ранее П.А.Ребин-
дером. Отметим, что иногда этот термин употребляется в ином смысле
(см., например, [152, 315]). Подчеркнем также, что данное определение
относится именно к макровиброреологии.
Изучение специфики поведения многофазных систем при вибрации
можно отнести к микровиброреологии.
Виброреология также соотносится к вибрационной механике, как рео¬
логия к механике, а виброреология к реологии - как вибрационная меха¬
ника к механике. Это обстоятельство схематически отражено на рис. В.1.
Впрочем, виброреологические (как и просто реологические) эффекты не
обязательно носят чисто механический характер: они могут быть сущест¬
венно связаны с тепловыми явлениями, химическими превращениями и
т.п. Поэтому реологию иногда считают областью физики.
Естественно, что виброреологические эффекты играют важную роль
в технике и технологии; они являются принципиальной основой многих
технических приложений вибрации.
Еще раз подчеркнем два существенных момента: 1) в большинстве
случаев о макровиброреологических эффектах целесообразно говорить
как о кажущихся, имеющих место только для наблюдателя V; 2) в резуль¬
тате действия вибрации на нелинейные механические системы в общем
случае происходит не только изменение реологических характеристик
или свойств тел по отношению к медленным воздействиям, но возни¬
кают также и движущие или смещающие медленные вибрационные силы
и моменты.
§ 113. Виброреологические уравнения, виброреологические свойства
и эффективные виброреологические характеристики
Как и в предыдущих разделах книги, основной идеей при исследова¬
нии виброреологических эффектов является переход от исходных диф¬
ференциальных уравнений движения системы к более простым диффе¬
ренциальным уравнениям, описывающим медленные движения, - к основ¬
ным уравнениям вибрационной механики. При рассмотрении задач вибро¬
реологии мы будем называть эти последние уравнения виброреологиче-
скими уравнениями.
В ряде случаев под действием вибрации происходит не коренное, ка¬
чественное изменение реологических свойств систем по отношению к
медленным воздействиям, а претерпевают лишь количественные измене¬
276
О РЕОЛОГИИ И ВИБРОРЕОЛОГИИ
[ГЛ. 11
ния реологические характеристики тел' Так, при действии на системы с
сухим трением вибрации относительно малой интенсивности еще не про¬
исходит кажущегося изменения вида трения, а изменяются лишь основ¬
ные характеристики - коэффициенты сухого трения. Не изменяется каче¬
ственно при действии вибрации и характер вязкого трения - оно продол¬
жает оставаться вязким *). В таких случаях мы будем говорить об эффек¬
тивных реологических характеристиках тел при вибрации.
Заметим, что при относительно длительном действии вибрации рео¬
логические (а значит, и виброреологические) характеристики и даже
свойства тел могут медленно (значительно медленнее, чем медленные ко¬
ординаты системы) изменяться (см., например, [226]). Вероятно, тот же
эффект имеет место и при вибропогружении свай и шпунта (см. с. 249).
♦) Напомним об основном качественном отличии сухого трения от вязкого - см.
сноску на с.. 203.
Глава 12. Эффективные реологические
характеристики при вибрации
§ 12.1. Эффективные коэффициенты сухого трения
при вибрационном и ударном воздействиях;
некоторые приложения
12.1.1. Эффективные коэффициенты трения покоя. Простейшая
модель - абсолютно твердое тело при гармоническом воздействии.
Эффект кажущегося снижения коэффициента трения покоя представля¬
ет собой простейшее проявление виброреологических закономерностей,
допускающих элементарное рассмотрение [56, 66].
Пусть абсолютно твердое тело прижато к шероховатой плоскости си¬
лой N и на него действует сила S, направленная вдоль плоскости
(рис. 12.1, а). Пусть на тело действует также продольная гармоническая
сила Ф = Ф<> sin со t ; тогда, для того чтобы тело начало двигаться вдоль
плоскости, необходима не сила S = Sо = f\N, как при отсутствии си¬
лы Ф, а лишь сила S =/iN - Ф0 (fi - коэффициент трения покоя). По¬
этому наблюдателю V, "не видящему" быстрой силы Ф (рис. 12.1, в), будет
казаться, что коэффициент трения покоя по отношению к медленной си¬
ле S уменьшился, приняв значение
• (=) г
;=>
Ьг->*
1 - -гг
ф о
N
Аналогично при действии силы Ф перпендикулярно плоскости
Фо'
N
/1-/1
1 -
(1.1)
(1.2)
Если сила Ф параллельна плоскости и направлена перпендикулярно силе
S, то есть плоскости рисунка, то
/tw = /1 VI- (O0//iA0z. (1.3)
Введем параметр
w = Фо/N, (1.4)
характеризующий относительную интенсивность вибрации и называе¬
мый параметром перегрузки, или просто перегрузкой. Тогда формулы
(1.1) - (1.3) запишутся в виде
/г =/,
, f? =fi( 1 -W), /« = /1VI - (w/frf.
(1.5)
Формулы (1.5) остаются справедливыми в случае, когда сила Ф отсутст¬
вует, но плоскость совершает гармонические колебания в соответствую¬
щих направлениях (рис. 12.1, б)\ при этом следует лишь вычислять пара¬
метр перегрузки по формуле
w = тА / N,
(1.6)
278
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
Рис 12.1. Эффективные коэффициенты трения покоя при вибрации
то есть положить в (1.4) Ф 0 = тА со2, где т - масса тела, А - амплитуда,
а со, как и ранее, частота вибрации. Наконец, если нормальная сила N
представляет собой вес тела mg, то
w - А со / g.
(1.7)
§ 12.1]
ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
279
Формулы (1.1) - (1.3) и (1.5) имеют смысл до тех пор, пока величины
/ГЧ/Р и/« , названные эффективными коэффициентами трения
при вибрации, положительны; при больших значениях параметра пе¬
регрузки w происходит уже кажущееся изменение характера трения
(см. § 13.2); в этом случае следует считать, что эффективные коэффици¬
енты трения равны нулю.
12.1.2. Более сложная модель - твердое тело с внутренней сте¬
пенью свободы. Более сложный и интересный результат получается, ес¬
ли тело, находящееся на вибрирующей шероховатой плоскости, обладает
"внутренней степенью свободы", то есть с ним посредством упругого эле¬
мента жесткости с и демпфирующего элемента с коэффициентом вязкого
сопротивления h связано некоторое тело массы т\ (рис. 12.1,г); пусть это
дополнительное тело может перемещаться относительно основного тела
вдоль некоторого фиксированного направления, образующего угол (3 с
его основанием. Как показывает выполненное С.А.Моласяном и авто¬
ром исследование [71], аналогичное проведенному выше, в рассматривае¬
мом случае вследствие конструктивной асимметрии системы (см. § 8.3 и
рис. 8.2/2/77), имеющейся, если (3^0, тс/2 и тг, условия начала сколь¬
жения основного тела вправо при увеличении силы S не совпадают с ус¬
ловиями начала скольжения влево. Поэтому здесь следует различать эф¬
фективные коэффициенты при скольжении вправо (fu) и влево (f i_)
(рис. 12.1,0).
На рис. 12.1,е изображены графики зависимости относительных эф¬
фективных коэффициентов трения от отношения частоты колебаний пло¬
скости со к частоте свободных колебаний внутреннего тела при непод¬
вижном основном теле р - ic/m . Из рассмотрения графиков следует,
что характер изучаемых эффектов резонансный: отличие коэффициен¬
тов /!? от /Р и/^} ot/(iX) существенно проявляется в диапазоне ча¬
стот 0,6р < со < 1,7/7. При р/со —> оо9 то есть в случае, когда внутреннее
тело, по существу, жестко связано с основным, как и должно быть,
/£=/£ и /£>=/£>.
Из рассмотрения рис. 12.1, е также следует, что в зависимости от зна¬
чения со наличие внутренней степени свободы может привести как к
уменьшению, так и к увеличению эффективных коэффициентов трения.
При этом если в определенных диапазонах изменения частоты/!? >/!?
(или/№ >/!-) ), то в других диапазонах могут выполняться противопо¬
ложные неравенства. Это свидетельствует о том, что путем изменения ча¬
стоты колебаний со при фиксированных значениях прочих параметров
можно добиться изменения направления движения тела по плоскости: ес¬
ли fu = 0 и /!=) > 0 , то система при отсутствии силы S движется по
плоскости вправо, а если /!_ = 0 и /!? > 0 , то влево. Этот вывод под¬
тверждается экспериментами. Наконец, из рассмотрения графиков следу¬
ет, что при со, больших некоторого значения, эффективные коэффициен¬
ты трения обращаются в нуль, что свидетельствует об "изменении харак¬
тера трения" - кажущемся переходе сухого трения в вязкое (см. § 13.2).
280
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
12.1.3. Некоторые другие модели; ударное воздействие, опыт
Д.М.Толстогов Наряду с описанными выше, рассмотрен ряд других сис¬
тем, моделирующих снижение коэффициента трения покоя под действи¬
ем вибрации и удара; опишем кратко некоторые из таких моделей.
На рис. 12.2, а два абсолютно твердых тела т\ и т2 прижаты упру¬
гими элементами с одно к другому силой, которая в состоянии покоя тел
равна N о. На тела действуют сдвигающие силы S; обойма, в которой рас¬
положена система, совершает заданные гармонические колебания с амп¬
литудой А и частотой со.
/77^-
Н()~Су С
в
\
b=b0€\x\tot
п cot
/-
m
% 1 ПТП
< 2а >
U
// Ti V г a J
4 J
j '
L
О
V >
-S
1
I
г
\
mz^0,453
L
fnt=f176e
Шшшт
Рис. 12.2. Эффективные коэффициенты трения покоя при вибрационных и ударных
воздействиях
Такая система является простейшей моделью, учитывающей упругие и
инерционные свойства зоны контакта соприкасающихся тел. Исследова¬
ние, выполненное К.М.Рыспековым [357] и автором, приводит к следую¬
щему выражению для эффективного коэффициента трения:
N о
Ч /
Здесь №*= m*w г Г[ - амплитуда переменной составляющей нормального
давления между телами,
mi т2 \ р \ р 2 \ Г2
т+
fP=fx
1 -
(1.8)
ТП1ТП2
ТП1+ТП2
2 C1 + C2
Р ~
т\ + т2
w = А со , г
(Р ф «),
_ 2 С1 2 _ С2
Р 1 - — . Р 2 - —
ТП\ ТП 2
(1.9)
§ 12.13
ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
281
Как видно, коэффициент / ^ может существенно снизиться и обратиться
в нуль даже при относительно слабом вибрационном воздействии, если
частота О) близка к частоте свободных колебаний р.
На рис. 12.2, б представлена модель в виде жесткого штампа, лежа¬
щего на упругом основании под действием переменной продольной силы
S = Sosin2(i)f и постоянной нормальной силы No с переменной точкой
приложения. Н.В.Флориной [396] получено следующее выражение для
эффективного коэффициента трения:
f ЗЬ0^
f\L)
/ i
1
2 а
при < 1
7 з\“ <U0>
О при - — > 1 .
2 а
Здесь bQ - амплитуда смещения точки приложения силы No, а а - полови¬
на размера тела.
На рис. 12.2, в изображена система с ударом: два однородных упругих
стержня с распределенной массой и длинами 1\ и /2 прижаты один к
другому силой N о; к стержням приложены сдвигающие силы S. Со стер¬
жнем 2 соударяется с некоторой скоростью v однородный стержень 3
длиной /3 . Выражение для коэффициентав этом случае получено в
упомянутой работе [357]; оно имеет вид
/P=/i
Сто
У
Здесь а^= N^/F - амплитуда переменной, а а о = No / F - постоянная
составляющая нормальных напряжений в граничном сечении между стер¬
жнями 1 и 2 (F - площадь сечения стержней), причем
CL= Т~Е, с = <Ё7^, (1.12)
L С
где с - скорость распространения звука в стержнях, Е - модуль упругости,
ар- плотность материала стержней. Формула (1.11) учитывает, что в оп¬
ределенные промежутки времени после соударения в рассматриваемом
сечении возникают динамические растягивающие напряжения.
Практически важный и, на первый взгляд, неожиданный вывод, выте¬
кающий из рассмотрения формулы (1.11), состоит в том, что относитель¬
но слабое ударное воздействие может на некоторое, пусть весьма корот¬
кое время обратить эффективный коэффициент трения покоя в нуль.
Этот вывод, однако, согласуется с результатом весьма примечательного
эксперимента, проведенного Д.М.Толстым [386, 387]: при падении шарика
с массой всего mi = 0,45 г на "ползун" с массой т2 = 1176 г с высоты 4 см
коэффициент/^ уменьшился на 25% ! (См. рис. 12.2, г.)
12.L4. Вибрационная концепция трения скольжения; вибрацион¬
ное управление сухим трением. В п. 12.1.1 речь шла о коэффициенте
трения покоя / ь Относительно коэффициента трения скольжения / изве¬
стно, что он всегда несколько меньше/i, однако до последнего времени
не существовало объяснения этого важного факта. В настоящее время
282
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
имеются основания говорить о том, что "физический" коэффициент тре¬
ния скольжения не отличается от коэффициента трения покоя, а измеря¬
емый коэффициент трения скольжения / является ни чем иным, как эф¬
фективным коэффициентом трения при вибрации/(^, в том смысле, в
каком это понятие было определено выше.
Возможность такой трактовки возникает в связи с представлением о
неразрывной связи трения скольжения и вибрации, развитым Д.М.Тол-
стым [95, 146, 166, 386, 387]. Согласно этому представлению, при скольже¬
нии шероховатых деформируемых тел (см. модель на рис. 12.3, а) неиз¬
бежно генерируются широкополосные случайные возмущения. При этом
возмущения, частоты которых лежат вблизи частоты свободных колеба¬
ний, обусловленных упругостью контакта, приводят, вследствие резонанс¬
ного усиления, к существенным, нормальным по отношению к соприкаса¬
ющимся поверхностям, относительным колебаниям тел (в сущности - к
автоколебаниям).
X
-ъ
f
ъ
■f-jr ш
Г= Tj
X
-s
и
1
i -Л
^ Е
Рис. 12.3. Вибрационная концепция трения скольжения
В процессе этих колебаний, действительно наблюдавшихся экспери¬
ментально, может даже нарушаться контакт между телами, подобно тому,
как это может происходить в модели, изображенной на рис. 12.1,г. В ре¬
зультате и происходит кажущееся снижение коэффициента трения /1 до
эффективного значения/^, обычно трактуемого как коэффициент тре¬
ния скольжения/(рис. 12Д б).
Любопытно, что в рассматриваемом случае позицию наблюдателя V,
не замечающего вибрации, занимают все специалисты-механики.Заметим,
что рассматриваемый эффект может иметь место не только вследствие
отрыва (нарушения контакта) соприкасающихся поверхностей в процессе
§ 12.1]
ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
283
колебаний, но также и вследствие нелинейного характера сил упругости в
контакте (пружинки на рис. 12.3, а; см. также работу [146]).
Построению и анализу волновых моделей, объясняющих нелинейный
характер зависимости силы сухого трения от скорости скольжения, посвя¬
щено исследование [318].
Если предположить в рассматриваемой модели наличие "внутренней
степени свободы" (масса на пружине, изображенная на рис. 12.3, а штри¬
хами) с конструктивной асимметрией (угол р отличен от 0 или к/2),
то можно предсказать различные значения коэффициента трения сколь¬
жения при движении в различных направлениях, как и в случае модели
рис. 12.1, г. Соответствующий эксперимент мог бы явиться еще одним
косвенным подтверждением рассматриваемой вибрационной концепции
трения скольжения. Что же касается эффективного (кажущегося) сниже¬
ния силы сухого трения при наложении специально возбуждаемой вибра¬
ции, то этот эффект нашел полное подтверждение и успешно использу¬
ется в технике (так называемые виброопоры, см., например, [29, 201]). В
понятном смысле можно говорить даже о том, что вследствие вибрации
коэффициент трения скольжения может принимать отрицательное значе¬
ние, то есть сила трения преобразуется в движущую силу - речь идет о.
вибродвигателях (вибрационных преобразователях движения), рассмот¬
ренных в § 9.4.
В связи с изложенным нельзя не упомянуть о способе управления
процессом виброперемещения тела, лежащего на шероховатой вибрирую¬
щей плоскости, путем управления коэффициентами трения покоя и
скольжения. Этот способ предложен А.Ю.Федаравичюсом [391, 432а]; он
состоит в том, что плоскости, вибрирующей с основной частотой со , сооб¬
щается дополнительная поперечная вибрация значительно более высокой
частоты Q и значительно более малой амплитуды, причем амплитуда из¬
меняется в течение периода Т = 2 ти/со по некоторому задаваемому зако¬
ну. В частности, в определенные промежутки периода дополнительный
возбудитель может вообще отключаться, и тогда указанная амплитуда
равна нулю. В результате коэффициенты трения /1 и / становятся управ¬
ляемыми функциями времени с указанным периодом. Выбирая закон уп¬
равления, можно, например, обеспечить наибольшую скорость вибротран¬
спортирования в избранном легко изменяемом направлении при заданном
характере основной вибрации (с частотой со ). При этом закон основной
вибрации может быть совершенно симметричным, в частности, гармони¬
ческим; силовая асимметрия обеспечивается здесь законом изменения во
времени коэффициентов /1 и / (см. § 8.2 и 8.3). Возможно решение и
иных задач оптимального управления. Представляется, что изложенная
идея весьма перспективна для различных приложений эффектов вибра¬
ционного перемещения.
Отметим, что в данном случае мы имеем дело с трехуровневой
иерархией скоростей протекания процессов: "очень быстрой" является
дополнительная микровибрация частоты Q , управляющая коэффициен¬
тами трения f\ и/; "просто быстрой" - основная макровибрация частоты
О) и, наконец, "медленным" - процесс вибрационного перемещения со ско¬
ростью X{t) . Асимптотические методы теории дифференциальных урав-
284
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
нений, описывающих такие иерархические процессы, разработаны с ис¬
пользованием идеи усреднения А-В.Печеневым [330].
12.1.5. Приложение к теории и проектированию конструкций,
работающих в условиях ударов и вибрации. В машинах иасто встре¬
чаются разъемные соединения деталей, относительная неподвижность ко¬
торых обеспечивается в расчете на силы сухого трения. К их числу отно¬
сятся разнообразные резьбовые соединения, соединения, обеспечиваемые
посадками с натягом, и многие другие. Механики-эксплуатационники
давно заметили, что если машина работает в условиях ударов и виб¬
рации, то эти "номинально неподвижные" соединения в действительности
обладают определенной микроподвижностью - с течением времени гайки
отвинчиваются, контактирующие поверхности деталей притираются и да¬
же изнашиваются, что ведет к нежелательным последствиям, а иногда и
к авариям.
Изложенное в настоящем параграфе, а также в главах 8 и 9 позволяет
объяснить эти факты, а в ряде случаев и выполнить оценочные расчеты.
Главные же качественные выводы из сказанного состоят в следующем:
1) в конструкциях, работающих в условиях ударов и вибрации, следует
с большой осторожностью рассчитывать на действие сил сухого трения,
даже при наличии специально создаваемого натяга;
2) в таких конструкциях желательно не допускать конструктивной
асимметрии системы, за исключением случаев, когда такая асимметрия га¬
рантированно способствует так называемому самозатягу соединения.
Несколько удивительно, что связанные с рассматриваемыми эффекта¬
ми ошибки при проектировании машин иногда допускаются даже опытны¬
ми конструкторами, тем более что в их распоряжении имеется достаточно
средств, чтобы предотвратить или существенно уменьшить влияние ука¬
занных нежелательных явлений.
Между тем снижение эффективного коэффициента сухого трения
при вибрации и ударах успешно используется в специальных устройствах
для завинчивания гаек - в так называемых гайковертах (см., например,
[125, т.4]).
12.1.6. Возможные приложения к сейсмологии и теории взрыв¬
ных воздействий. Цель настоящего пункта - обратить внимание спе¬
циалистов, занимающихся исследованиями землетрясений и последствий
взрывов, на результаты исследования моделей, представленных на
рис. 12.1 и 12.2. Из этих результатов следуют по меньшей мере два
вывода, которые, быть может, заинтересуют указанных специалистов:
1) Даже при кажущемся слабом ударном воздействии, а при наличии
резонансных явлений - также и в случае относительно слабого вибраци¬
онного воздействия - сопротивление сдвиговым процессам может практи¬
чески исчезнуть: указанные воздействия способны инициировать серьез¬
ные сейсмические события. Иными словами, не лишена оснований иногда
высказываемая мысль, что следует осторожнее относиться к взрывным ра¬
ботам в сейсмических районах или, наоборот, производить соответствую¬
щую "разрядку" преднамеренными взрывами в определенное время.
§ 12.2]
СИСТЕМЫ С ПОЗИЦИОННО - ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
285
2) Объекты или сооружения с внутренними степенями свободы (см.,
например, рис. 12.1,г), свободно стоящие на грунте или другом основании,
под действием относительно слабой вибрации основания могут приобре¬
сти нежелательную подвижность, особенно при наличии конструктивной
асимметрии системы и резонансных ситуаций [71].
Отметим, что идеи и гипотезы того же направления выдвинуты
В.А.Бабешко и КВ.Фроловым [22].
На состоявшемся в июне 1991 г. в г. Баку Международном совещании
А. Николаевым и И.Керимовым высказаны мысли о возможной связи зем¬
летрясений, происшедших на Кавказе и в Средней Азии, с подземными
ядерными взрывами и с массированными бомбардировками во время воен¬
ных действий в Персидском заливе [199].
§ 12.2. Эффективное трение при вибрационном воздействии
на систему с позиционно-вязким сопротивлением
12.2.1. Вибрационная трансформация характеристики сопротив¬
ления колебательной системы с одной степенью свободы. Как от¬
мечалось, при действии вибрации в системах с нелинейным вязким трени¬
ем не происходит качественного изменения кажущегося характера трения
- при медленных движениях трение по-прежнему остается вязким; суще¬
ственно изменяться, однако, могут при этом характеристики сопротивле¬
ния. С указанным вибрационным преобразованием характеристик вяз¬
кого трения мы уже сталкивались при рассмотрении движения части¬
цы в среде с нелинейно-вязким сопротивлением под действием вибрации
(см. § 8.3 и 9.5). Здесь рассмотрим случай колебательной системы с
одной степенью свободы, описываемой уравнением вида
предполагаем также, что частота вибрации со значительно больше часто¬
ты свободных колебаний системы р при отсутствии силы сопротивления;
постоянные а о,..., а 4 могут принимать как положительные, так и отрица¬
тельные значения; некоторые из них могут быть и нулями. Силу со¬
противления, которой в уравнении (2.1) соответствует слагаемое |i./(*)*,
условно назовем позиционно-вязкой: полином / (.х) при этом “оборван”
нами на четвертой степени х, поскольку этого достаточно, чтобы выявить
основные закономерности, существенные для приложений.
Будем интересоваться решениями уравнения (2.1) вида
где X - медленно, а у (f, со t) - быстро изменяющиеся функции времени,
причем \\f периодично по со t с периодом 2 я и удовлетворяет условию
X + Iif(x)x + р2X = А со2 cos со t,
(2.1)
X = X (t) + V (Г, со t)
(2.3)
< у {ty со t) > = 0 .
(2.4)
286
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
Используя метод прямого разделения движений, запишем уравнения
(2.55) и (2.56) гл. 2 в виде
х + р2х= д<(а:+ v)/cx+y)>, Vs)
V|/+р2 у = ylco2cosa)f + |i[ (АГ+у)/(АГ+ у)-< (Х+ у)/(Х+ у) > ]. (2.6)
При замороженных X и X и достаточно малом \± уравнение быстрых
движений (2.6) имеет единственное 2 к -периодическое по со t реше¬
ние вида
Л
w = —z 2 cos со t + О (|i), (2.7)
р - со
удовлетворяющее условию (2.4). Поэтому с точностью до членов порядка
11 включительно и при учете очевидного равенства
< vn\j/> = О <2-8)
получим
< (X + y)f(X + V) > = Xf(X) +
\вга2 + \в*а< + | ХВ2а3 + 3 Х2В2а4
Z о Z
X, (2.9)
где
В = A<£>2/(p2-<i>2) = A/(k2-l), \ = рАо. (2.10)
В результате виброреологическое уравнение (2.5) (основное уравнение
вибрационной механики) представится в виде
Х+ iifi(X)X + p2X= 0. (2Л1)
Здесь f\ (X) X - функция, которая характеризует вязко-позиционное со¬
противление медленным движениям системы, то есть является эф¬
фективной характеристикой трения. Для удобства сравнения с ис¬
ходной характеристикой f(x)x выпишем эти характеристики одну под
другой:
/(х)х = ( а0 + а\Х + а2х2 + а3 х3+ аАхА)х,
/i (X) Л= [(во*\в w | Д 4а4)+ (<*1+1Я 2)ЛГ+ (а2+ 35 2а4) АГ2+ а3АГ3+ а4АГ4)1Аг.
Z о 2d
(2.12)
Отсюда виден характер преобразования, который претерпела исходная
характеристика сопротивления: коэффициент линейной части сопротив-
1 3
ления Оо заменился выражением а$ + — В2 аг + ~^ВА а^ коэффициент а\
2d о
3
прихх - слагаемым а\ + -В2аъ и т.д. Этими изменениями и объясня-
Z
ются важные закономерности медленных движений системы, которые и
рассматриваются ниже.
§ 12.2]
СИСТЕМЫ С ПОЗИЦИОННО - ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
287
Уравнению (2.11) соответствует единственное положение равновесия
X = 0; это положение будет устойчивым или неустойчивым в зависимости
от вида функции / \(Х)Х. Если все коэффициенты Ооа4 положитель¬
ны, то из (2.12) следует, что эффективное демпфирование в системе мо¬
жет стать существенно больше исходного, а если отрицательны, то соот¬
ветственно усиливается “отрицательное сопротивление”, приводящее к
неустойчивости положения равновесия X = 0. Наиболее интересны, одна¬
ко, случаи, когда указанные коэффициенты имеют различные знаки. В
этих случаях положительному демпфированию вблизи точки х = 0 в ис¬
ходной системе (2.1) (ао > 0) может соответствовать отрицательное де¬
мпфирование вблизи X = 0 в системе, описываемой уравнением (2.10)
1 3
{ао + - В2а2 + -В*а* < 0) , и наоборот. Два таких случая и рассматри-
L о
ваются ниже.
Отметим, что апостериорная проверка справедливости допущений ме¬
тода прямого разделения движений здесь представляется излишней, по¬
скольку равенства (2.3), (2.7) и уравнение (2.11) можно рассматривать
просто как форму представления решения исходного уравнения по степе¬
ням малого параметра ц.
Заметим также, что при решении данной задачи мы не ис¬
пользовали непосредственно выражения для вибрационной силы
V = <(X+v)f(X+\ir) -Xf (X) > , поскольку в этом не было надобности.
12.2.2. Частные случаи - асинхронное подавление и возбуждение
автоколебаний; некоторые приложения. При решении классической
задачи об асинхронном подавлении автоколебаний обычно рассматри¬
вают дифференциальное уравнение
х - |i (1 + Р* - ах2)*+/? 2,х = А со2 cos cof (|i> 0, а> 0, Р> 0), (2.13)
которому в уравнении (2.1) соответствуют значения коэффициентов
ао = - 1, ai = -Р , а2 = а, а3 = а4 = 0. (2.14)
В этом случае виброреологическое уравнение (2.12) принимает вид
А 2
X - \1{\ - ^ + $Х - аХ2)Х + р 2Х = 0 , (2.15)
А *
где
А, = V2/a I 1 - Х2\, Х = 2-. (2.16)
11 СО
Как показывает несложное исследование (см., например, [252, 276]),
вследствие отрицательности демпфирования при малых х и наличия сла¬
гаемого ах2х исходное уравнение (2.13) при отсутствии вибрационного
воздействия (А = 0) описывает устойчивые автоколебания с частотой,
близкой к р\ положение равновесия х = 0 при этом является неустойчи¬
вым. Уравнению же (2.15) при выполнении условия
А > А * (2.17)
288
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
т при достаточно малых X соответствует положительное демпфирование,
вследствие чего положение равновесия X = 0) становится асимптотически
устойчивым, а автоколебания подавляются. Величина А * играет роль кри¬
тической амплитуды вибрационного воздействия, при которой начина¬
ется асинхронное подавление автоколебаний.
Таким образом, хорошо известный результат получен нами как след¬
ствие изменения эффективной реологической характеристики системы -
возникновения в результате действия вибрации дополнительного положи¬
тельного демпфирования.
Обычно при изучении асинхронного возбуждения автоколебаний
рассматривают дифференциальное уравнение [252]
5c + |i(l-ах2 + ух4)х+р2х=А co2coscof (д> 0, а> 0, у>0),(2.18)
которому в уравнении (2.1) соответствуют значения коэффициентов
До = 1, ai = 0, а2 = - a, а3 = 0, а4 = у. (2.19)
При этом виброреологическое уравнение приводится к виду
Х+ц(1-^аВ2 + ^В4у+ЗХ2В2у-аХ2 + уХ4)Х+р2Х=0, (2.20)
Z о
где В по-прежнему определяется равенством (2.10).
При А = 0 точка х = 0 является для уравнения (2.18) точкой устойчи¬
вого равновесия - автоколебания не возбуждаются. Для виброреологиче-
ского же уравнения условием неустойчивости точки равновесия X = 0
и одновременно условием возбуждения автоколебаний является нера¬
венство
54_J-52 + f <0, (2.21)
3 7 Зу v '
которое может выполняться, если
а2 > 6у. (2.22)
При выполнении этого условия неравенство (2.21) будет справедливо, ес¬
ли амплитуда А лежит в диапазоне
(1 - Х2)2В1 < А2 < (1-\2)2В22, (2.23)
где В2 и ВI - корни уравнения
В*~ 3 yB* + I Y=0’ (Z24)
то есть
„г _ 2 a
Bl>~3y
1 ± Vl - 6у/аА
(2.25)
Итак, в рассматриваемом случае выполнение неравенств (2.22) и (2.23)
приводит к возбуждению автоколебаний под действием вибрационного
воздействия, в то время как при его отсутствии они не возбуждались.
Полученные результаты совпадают с известными, найденными иным
путем (см., например, монографии [252, 276]); впрочем, в соответствую-
§ 123]
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ; ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ
289
щие соотношения книги [276] вкралась арифметическая ошибка при запи¬
си решений квадратного уравнения (2.24).
Касаясь приложений эффекта вибрационного подавления автоколеба¬
ний, отметим его использование при подавлении бегущих страт в газораз¬
рядных приборах путем наложения на разряд сверхвысокочастотного по¬
ля. Соответствующая теория рассмотрена в монографии П.С.Ланды [253],
где приведены также библиографические сведения.
В работе Л.И.Мачабели и автора [86] высказана гипотеза о том, что
явлением асинхронного подавления автоколебаний объясняется механизм
автоматизма и резервирования в системе возбуждения ритма
сердечных сокращений. В норме "водителем ритма" является синусовый
узел, возбуждающий сокращения мышц сердца с частотой примерно 60 -
80 сокращений в минуту, причем эти сокращения подавляют автоколеба^
ния, которые могут возбуждать запасные водители ритма - атриовентри¬
кулярный узел и волокна Пуркинье. В случае отказа синусного узла води¬
телем ритма с частотой 40 - 60 сокращений в минуту выступает атриовен¬
трикулярный узел и, наконец, при отказе последнего - волокна Пуркинье
(частота сокращений 30 - 40 в минуту). В связи с упомянутой статьей от¬
метим, что моделирование работы сердца нелинейными осцилляторами, в
частности, так называемыми релаксационными генераторами, восходит
еще к классическим исследованиям Ван дер Поля и Ван дер Марка [474].
Предположение о том, что явлением асинхронного подавления авто¬
колебаний объясняется снижение уровня вибрации инструмента при виб¬
рационном резании, было высказано в § 9.3.
§ 123. Уравнение Рейнольдса как виброреологическое уравнение.
Эффективная вязкость жидкости при турбулентном движении;
влияние внешнего вибрационного воздействия
Нетрудно показать [76, 81], что классическое уравнение Рейнольдса
можно толковать как виброреологическое уравнение. Как известно, ско¬
рость и и давление р при турбулентном движении жидкости во многих
случаях можно представить в виде
u = U+u‘, р=Р+р\ (3.1)
где U и Р - медленные, а и 1 и р'- быстрый пульсационные составляю¬
щие. Рассмотрим уравнение изотермического движения вязкой несжимае¬
мой жидкости при отсутствии объемных сил и уравнение неразрывности
р ^7- + p(u-V)u = -Vp + }iV2u, V ■ и = 0, (3.2)
о t
где р - плотность, д- коэффициент вязкости жидкости, а
э э э
V = — i + — j 4- — k - оператор Гамильтона. Уравнение движения в
дх д у д z
данном случае не содержит быстрых сил, и поэтому уравнения (2.55) и
10 ИЛБлсэшан
290
ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[ГЛ. 12
(2.56) гл. 2 представятся в форме
+ p(U-V)U = - VP + ^V2U + v, V • U = 0; (3.3)
О t
р + р [ (и 1 • V) и 1 + (и 1 • V) U + (U • V) и ') ] =
о t
т
j\u'rff = 0,
О
где
т
V = V(0 = - J \ (и1-V)u'dx (3.5)
О
- чисто индуцированная вибрационная сила, а Т - так называемый период
усреднения.
Получившееся уравнение медленных движений жидкости (3.3), по
терминологии § 2.3 - виброреологическое уравнение, в точности совпада¬
ет с уравнением Рейнольдса (см., например, [264]), причем вибрационная
сила v соответствует турбулентным напряжениям. Здесь, однако, урав¬
нение Рейнольдса входит в систему интегродифференциальных уравне¬
ний (3.3), (3.4), которая, как и исходные уравнения (3.2) является замкну¬
той. Следует, конечно, иметь в виду, что решение уравнений (3.4) для
пульсационных составляющих и 1 и р 1 даже при "замороженных" U и?1
и их производных, представляет существенные трудности, хотя и гораздо
меньшие, чем при непосредственном решении исходных уравнений (3.2);
к тому же, как неоднократно отмечалось, здесь допустимо приближенное
решение уравнений (3.4). Учитывая изложенное, автор питает лишь сла¬
бую надежду, что подход к проблеме с позиций вибрационной механики в
данном случае окажется полезным. Изложенное в настоящем параграфе
имело своей целью лишь проиллюстрировать связь указанного подхода с
хорошо известным классическим результатом.
Как и должно быть, уравнения (3.4) допускают для пульсационных со¬
ставляющих тривиальное решение и 1 = 0, р 1 = 0, отвечающее в случае
его устойчивости ламинарному движению. Поэтому речь шла о разыска¬
нии решений этих уравнений, соответствующих автоколебаниям хаотиче¬
ского характера.
По аналогии с уравнением (3.2), в прикладной теории турбулентности
иногда представляют турбулентные напряжения в виде
v = ц * V2 и , (3-6)
вводя коэффициент турбулентной вязкости ]± *; последний, по нашей
терминологии, является ни чем иным, как эффективным коэффициен¬
том вязкости при турбулентном течении жидкости; ему соответствует
вязкость, воспринимаемая наблюдателем V (см. рис. В.2, в); она значи¬
-V/? + |i.Vu'-v, Vu' = 0,
т
j\p'dt = 0, (3.4)
0
§ 12.4]
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
291
тельно превышает обычную вязкость жидкости. В связи с этим академик
В.В.Новожилов иногда говорил, что при турбулентном движении вода как
бы превращается в вар.
Весьма интересны возможности изменения (в том числе - снижения!)
турбулентной вязкости жидкости при ультразвуковом или вибрационном
воздействии на турбулентную струю [127]. Здесь просматривается анало¬
гия с изложенным в п. 12.2.2, хотя механизм явления, по-видимому, иной и
во всяком случае более сложен, нежели там рассмотренный. Представля¬
ется, однако, что виброреологический подход окажется небесполезным и
при изучении этого явления. Сведения о многочисленных эксперимен¬
тальных исследованиях в данном направлении приводятся в обстоятель¬
ном обзоре Е.В.Власова и А.С.Гиневского [128].
Заметим также, что переход к виброреологическим уравнениям ус¬
пешно используется в гидромеханике при рассмотрении влияния вибра¬
ции на конвективные течения и их устойчивость (см., в частности, моно¬
графию [145], а также работы [25, 208]). При этом, в отличие от рассмот¬
ренной классической задачи, во многих практически интересных случаях
удается построить удовлетворительное приближенное решение уравне¬
ний быстрых движений и получить выражение для вибрационных сил.
§ 12.4. О других случаях использования понятий
об эффективной вязкости при вибрационном воздействии
Коэффициенты эффективной вязкости иногда удобно вводить в слу¬
чае действия интенсивной вибрации на системы с сухим трением
(см. п. 9.2.4, а также гл. 13). Целесообразно воспользоваться понятием об
эффективном вязком сопротивлении и при изучении вибрации сосудов с
суспензией (см. гл. 16, где рассматриваются некоторые задачи микровиб¬
рореологии). Отметим, что в этом случае эффект может носить чисто ли¬
нейный характер.
Глава 13. Виброреологическое преобразование
нелинейных механических систем
с разрывными характеристиками
к системам с вязким трением
§ 13.1. Виброреология систем с сухим трением
Когда вибрация становится достаточно интенсивной, эффективные
коэффициенты сухого трения, вычисляемые по формулам § 12.1, обра¬
щаются в нуль, что свидетельствует о качественном изменении (для на¬
блюдателя V !) характера трения в системе - сухое трение преобразуется в
вязкое (о принципиальном отличии сухого трения от вязкого см. сноску
на с. 203).
Эффект вибрационного преобразования сухого трения в вязкое
был подробно рассмотрен по ходу предшествующего изложения. Поэтому
здесь напомним лишь главные положения и приведем основные ссылки.
Прежде всего еще раз подчеркнем, что речь идет о кажущемся эффекте,
имеющем место только по отношению к медленным силам и исчезающем
сразу же после прекращения действия вибрации; этот эффект, как прави¬
ло, сопровождается также и возникновением движущей вибрационной си¬
лы, причем по отношению к медленным воздействиям происходит сгла¬
живание разрывной характеристики сухого трения. На простейшей модели
эти эффекты были проиллюстрированы в п. 8.2.2 (см. рис. 8.1); как отме¬
чалось, они известны в теории автоматического управления [222, 235, 333].
Рассматриваемые эффекты играют важную роль в процессах вибраци¬
онного перемещения и смещения (гл. 8 - 10), а также в процессах разде¬
ления частиц сыпучих смесей (§ 9.2). В частности, ими объясняется яв¬
ление сегрегации (самосортирования) частиц сыпучих смесей при виб¬
рации, в том числе так называемый псевдорезонансный эффект (см.
п. 9.2.4). Те же эффекты играют отрицательную роль, вызывая самоотвин-
чивание гаек и другие нежелательные процессы в машинах, где сопряже¬
ние деталей рассчитано на действие сил сухого трения (п. 12.1.5).
Различные практически интересные случаи вибрационного преобразо¬
вания сухого трения, иногда называемого также псевдоожижением, рас¬
смотрены В.В.Андроновым [11]. В работах И.У.Альберта и О.А.Савино¬
ва [7] и В.Е.Кондакова [230] (см. также [360]) этот эффект исследован для
сред типа бетонных смесей. На рис. 13.1, а изображена обычная реологи¬
ческая, а на рис. 13.1, б - виброреологическая модель бетонной смеси при
сдвиговых деформациях. Как видно из рисунка, элементу т о с сухим тре¬
нием и элементу Т| i с вязким трением в обычной реологической мо¬
дели соответствует элемент с вязким трением rj * в виброреологической
модели. В работах [7, 230] приведены соотношения и графики, устанавли¬
вающие связь между характеристиками обычной и виброреологической
моделей и параметрами вибрации.
При рассмотрении эффектов вибрационного преобразования сухого
трения часто оказывается удобным вводить эффективные коэффициенты
§ 13.2}
СИСГШЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СОУДАРЕНИЯМИ
293
©
?
/t=T+A^>\Jr\Wt
t=T
5
CL
Рис. 13.1. Обычная (а) и виброреологическая (б) модели бетонной смеси при сдвиговых де¬
формациях (G 1 и G 2- упругие элементы, rj i и л 2 - элементы с вязким трением, т о -
элемент с сухим трением, т| * - элемент с эффективным вязким трением)
вязкого трения [64, 66, 164, 333, 360]; естественно: что такие коэффициен¬
ты существенно зависят от параметров вибрации.
§ 13.2. Виброреология систем с периодическими соударениями
13.2.1. О виброреологическом моделировании виброударных вза¬
имодействий силами вязкого трения. Выше мы уже сталкивались со
случаем, когда при изучении медленных движений виброударные взаимо¬
действия элементов системы оказалось возможным моделировать силами
вязкого сопротивления и некоторой постоянной силой. Речь идет о про¬
цессе вибрационного транспортирования тела при наличии интенсивного
подбрасывания, рассмотренном в п. 8.4.3: вибрационная сила в этом слу¬
чае оказалась приближенно представимой выражением (2.53) указанной
главы. Здесь изучим другую простейшую систему, также интересную для
ряда приложений.
Рассмотрим движение тела массы т в пространстве между двумя пло¬
скими поверхностями 1 и 2 под действием некоторой силы Q, кото¬
рая может включать также и силу сухого трения тела о поверхность 1
(рис. 13.2, а); эта поверхность предполагается неподвижной. Поверхность
2 совершает гармонические колебания частоты со , размах поперечной со¬
ставляющей которых А таков, что тело при сближении поверхностей один
раз в течение каждого периода колебаний Т = 2 к/со зажимается между
294
ВИБРАЦИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 13
поверхностями и мгновенно останавливается. При удалении поверхно¬
сти 2 от поверхности 1 тело освобождается и снова движется по поверх¬
ности 1 под действием силы Q. Эту силу будем считать постоянной
или весьма мало изменяющейся в течение периода колебаний Т. Постоян¬
ными или столь же медленно изменяющимися считаем и прочие парамет¬
ры системы.
,4\UAib
2 /77
<^У>ЗС с
-V=kX г
*777777777777777777^
~V=kX
Рис. 13.2. Моделирование виброударных взаимодействий силами вязкого трения при изу¬
чении медленных движений, а) Общая схема системы; б) движение тела под действием силы
тяжести. Справа - картины, видимые наблюдателем У
Обозначим через Т i < Т= 2 к/(0 промежуток времени свободного
движения тела под действием силы Q; тогда перемещение тела при таком
движении
х = £у (0 <t<T0, (2.1)
/71 Z
а средняя за период скорость (скорость медленного движения)
= Ч- <2'2>
О
Очевидно, что то же значение скорости установившегося движения долж¬
но получаться из соответствующего основного уравнения вибрационной
механики:
mX = Q + V. (2-3)
Сопоставляя это уравнение при X = const с соотношением (2.2),
находим следующее выражение для вибрационной силы, полученное
§ 13.2]
СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СОУДАРЕНИЯМИ
295
АА.Красновым и автором:
V = - кХ
г
\
(2.4)
Таким образом, мы приходим к заключению о возможности моделиро¬
вания рассмотренной виброударной системы при изучении ее медлен¬
ных движений простейшей системой с вязким трением (см. правую часть
рис. 13.2). Отметим, что формула (2.4) сохраняет силу в случае, когда
плоскости 1 и 2 вертикальны, a Q = mg, то есть представляет собой силу
тяжести (рис. 13.2,6); по формуле же (2.2) при этом получаем
Заметим, что все соотношения, относящиеся к рассмотренному приме¬
ру, являются точными: они вытекают из точного решения (2.1). Заметим
также, что соответствующее этому решению движение тела устанавлива¬
ется практически сразу - после момента первого зажатия между поверх¬
ностями.
Если вспомнить вывод формулы для силы вязкого сопротивления на
основе молекулярно-кинетических представлений, то заключение о воз¬
можности моделирования виброударных взаимодействий при рассмотре¬
нии медленных движений “макромеханических” систем не будет казаться
парадоксальным. Тем не менее, насколько нам известно, подобное заклю¬
чение до сих пор не было сформулировано. Можно сослаться лишь на
некоторые работы, где соответствующее представление успешно исполь¬
зовалось при решении некоторых конкретных задач. Речь идет, в частно¬
сти, о работе [81], в которой получена формула (2.63) гл. 8; о работах
Ю.И.Марченко и автора [70, 72] и О.П.Барзукова и Л.А.Вайсберга.[33,
117], где виброударные взаимодействия моделировались силами вязкого
сопротивления при исследовании самосинхронизации вибровозбудителей
на основе уравнений, характерных для вибрационной механики, то есть
уравнений медленных движений.
АЛ.Фидлиным показана применимость метода усреднения к изуче¬
нию виброударных систем изучаемого типа; в результате использования
этого метода медленные движения описываются дифференциальными
уравнениями с гладкими правыми частями. Выполненное им исследова¬
ние [395,а] можно рассматривать как математическое обоснование обсуж¬
даемой виброреологической модели для широкого класса виброударных
систем (см. также работу Н.А.Перестюка [326 а]).
13.2.2. Приложения к расчету производительности дробилок.
Помимо перечисленных выше приложений, виброреологическое модели¬
рование виброударных взаимодействий силами вязкого трения позволяет
приближенно подойти к решению ряда практических важных вопросов те¬
ории конусных и щековых дробилок для твердых материалов.
Процесс разрушения материала в таких дробилках осуществляется в
камере дробления - сужающемся вниз пространстве между двумя рабочи¬
ми поверхностями (бронями). На рис. 13.3/г изображено сечение таких по¬
(2.5)
296
ВИБРАЦИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 13
верхностей - поперечное для случая щековой и осевое для случая конус¬
ной дробилки. На рисунке для упрощения представлен случай броней с
прямолинейными сечениями 1 и 2; в действительности эти сечения не¬
сколько искривлены, однако и тогда часто можно считать брони "локаль¬
но прямолинейными", поскольку перемещение материала за один период
колебаний мало по сравнению с длиной и радиусом кривизны рабочей ча¬
сти броней.
Рис. 13.3. К оценке производительности конусных и щековых дробилок
Одна из броней (2) совершает холебания, возбуждаемые кинематиче¬
ски или (в новых конструкциях) - посредством механического дебаланс-
ного вибровозбудителя [72, 84, 189, 347, 374, 462]; другую поверхность (1)
в большинстве конструкций можно считать практически неподвижной
(впрочем, обобщение на случай подвижности обеих броней не вызывает
особых затруднений). При сближении броней относительно крупный кус¬
ковой материал зажимается между ними, останавливается и разрушается,
а при удалении - освобождается и падает вниз в направлении сужения
полости, затем снова зажимается и разрушается и т.д. С известным при¬
ближением можно принять, что при наибольшем сближении поверхно¬
стей, то есть один раз за период колебаний, останавливается весь
дробимый материал, то есть имеет место ситуация, аналогичная рассмот¬
ренной в п. 13.2.1 (см. рис. 13.2). Тем самым учитывается основной дис¬
сипативный фактор - систематические остановки материала в каждом пе¬
риоде движения.
Вместе с тем в действительности образующиеся при дроблении наи¬
более мелкие фракции, по-видимому, движутся безостановочно в проме¬
жутках между крупными кусками материала, что обусловливает некото¬
рое повышение производительности по сравнению с оценкой на основе
указанного допущения.
При сформулированном, а также некоторых других упрощающих
предположениях задача о движении и разрушении материала в камерах
§ 13.2]
СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СОУДАРЕНИЯМИ
297
дробления рассмотрена в работах [34, 80, 82, 88, 207] на основе теории
вибрационного перемещения (гл. 8). Составлены программы для вычисле ¬
ния на ЭВМ производительности дробилки, деформаций, усилий и интен¬
сивности износа материала броней в различных сечениях камеры дробле¬
ния. Вместе с тем при проектировании и эксплуатации дробилок возника¬
ют задачи о приближенной оценке влияния на производительность Q ма¬
шины ряда дополнительных факторов; такие оценки могут быть легко
выполнены при учете изложенного в п. 13.2.1.
Одна из задач состоит в оценке увеличения производительности
дробилки при наличии над камерой дробления "шапки” материала
(рис. 13.3,6). Опыт показывает, что такое увеличение действительно про¬
исходит и является существенным - до 50% и более, по сравнению с про¬
изводительностью при отсутствии шапки, однако теоретического объяс¬
нения этого эффекта до последнего времени не существовало.
Рассматривая медленное движение материала в камере дробления как
движение вязкой жидкости по соответствующей трубе и пренебрегая дви¬
жущей вибрационной силой и силой стаого трения при движении матери¬
ала в промежутках между зажатиями , можем считать, что производи¬
тельность дробилки (расход "жидкости") пропорциональна продольной
проекции веса материала mig, находящегося в камере дробления, сло¬
женного с весом m2g столба материала над камерой:
Q = к1 (mi cos а + т2) g (2.6)
(к1 - коэффициент пропорциональности). Разумеется, эта формула спра¬
ведлива лишь в случаях, когда высота столба материала не превышает
глубины проникновения вибрации в этот столб, то есть глубины, на кото¬
рой еще происходит псевдоожижение (см. гл. 15); в противном случае в
формуле (2.6) под массой т2 следует понимать массу столба с высотой,
равной соответствующей глубине проникновения.
Пусть Q о - производительность дробилки при отсутствии "шапки", то
есть при т2 = 0. Тогда согласно (2.6)
О о = к1 mi g cos а, (2.7)
О _ П п*1СЭ5а + 1И2 Л Г, . тг \
~ Sd о
где
mi cos а mi cos а
= к1 mi g* cos а = Q 0 —, (2.8)
f i . Шг
g* = !
mi cos a
V J
(2.9)
Формулы (2.7) - (2.9) в несколько ином виде получены Г.А.Денисовым; из
них, в частности, следует, что для оценки влияния столба материала ка
производительность дробилки в рамках описанной виброреологической
*) В нижних, определяющих зонах камер дробления современных дробилок материал
большую часть промежутка времени между зажатиями свободно падает в пространстве между
бронями и лишь небольшую часть этого промежутка скользит по броне.
298
ВИБРАЦИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 13
модели можно воспользоваться упомянутыми программами, заменив уско¬
рение земного тяготения величиной g* по формуле (2.9).
Такие вычисления были выполнены Я.М.Кацманом и Л.Г.Титовой для
дробилки КМДТ-2200 ПО “Уралмаш”. Они привели к следующим ре¬
зультатам. При отсутствии “шапки” производительность дробилки (про¬
пускная способность наиболее узкого сечения камеры дробления, распо¬
ложенного вверху так называемой параллельной зоны) составила Q 1 =
115 м/ч; подобный расчет на ЭВМ при “шапке”, соответствующей
значению g* = 15 м/с , привел к значению Q = 159 м /ч, тогда как по
приближенной формуле (2.8) получается Q1 = 115-15/9,81 = 176 м3/ч. Хо¬
рошее согласие двух последних результатов свидетельствует об адекват¬
ности виброреологической модели, лежащей в основе приближенной
формулы (2.8), более точной “микромодели”, лежащей в основе про¬
грамм для ЭВМ. Эти результаты удовлетворительно согласуются так¬
же и с данными эксперимента.
Другая задача относится к оценке производительности дробилок при
так называемом мокром дроблении (рис. 13.3, в). Теоретические сообра¬
жения и предварительные экспериментальные данные приводят к выводу,
что подача воды в камеру дробления может обеспечить получение ряда
существенных технологических преимуществ, в частности, увеличение
производительности (пропускной способности) дробилки. При решении
задачи аналогично предыдущему будем считать, что производительность
дробилки пропорциональна весу материала и воды, находящихся в камере
дробления, и приближенно полагать, что средняя скорость движения во¬
ды не отличается от средней скорости движения материала. Тогда
Qw = к' (migeos a + mwg). (2.10)
Здесь, как и выше, mi - масса дробимого материала в камере дробления, а
mw - масса содержащейся в ней воды. Обозначив через Q 0 = к: т\ g cos а
производительность дробилки при сухом процессе, будем иметь анало¬
гично (2.8)
л л miCosa + mw л f, , m*
- Уо — Уо 1 +
mi cos a
mi cos a
/
= k'migwcosa. = Q0 —, (2.11)
g
где
gw =
g. (2.12)
m i cos a
4 /
Если принять, что материал заполняет 0,6 объема камеры V0i то
максимальный объем, который может занимать вода, составит
0,4 F0 и mi = 0,6 р w V0, mw = 0,4 р w V0, где p и p w - соответствен¬
но плотность материала и воды. Тогда придем к следующей оценке мак¬
симальной производительности дробилки Q w при мокром дроблении:
3 р cos a
Qw — Q о
(2.13)
§ 132]
СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ СОУДАРЕНИЯМИ
299
Полагая здесь р / р w = 2,5, а = 60°, будем иметь
Qw - Q{
1 +
0,27
0,5
= 1,54 Q о.
(2.14)
Таким образом, на основе изложенного приближенного подхода мож¬
но ожидать примерно полуторного прироста производительности дробил¬
ки при переходе на мокрое дробление; этот вывод находится в согласии с
результатами предварительных экспериментов.
Глава 14. Виброреология сыпучих тел
§ 14.1. Виброреологические модели слоя сыпучей среды
Эффективное математическое описание поведения сыпучей среды
под действием вибрации представляет значительный прикладной интерес.
Этой задаче механики посвящен ряд интересных работ (см., например, [5,
16, 66, 125, т. 4; 151, 152, 179, 236, 237, 246, 345, 356, 370, 373, 392, 412, 431,
445 - 447], однако она еще далека от удовлетворительного решения. В на¬
стоящей главе на основе виброреологического подхода рассматриваются
некоторые модели, описывающие медленные потоки сыпучей среды, гене¬
рируемые вибрацией.
Остановимся вначале на описании некоторых основных закономерно¬
стей поведения сыпучей среды в вибрирующих сосудах. Определенное
распределение вибрации в сыпучей среде (включающее детерминирован¬
ную в среднем и случайную компоненты) в таких сосудах устанавливается
достаточно быстро - после истечения нескольких периодов колебаний.
Это - "быстрый" процесс, на фоне которого и разворачиваются медленно
протекающие процессы - возникают определенные потоки, происходят
процессы сегрегации (самосортирования). Ряд таких процессов рассмот¬
рен в § 9.1 - 9.2. Естественно, что для изучения этих медленных (видимых
наблюдателем V) и, как правило, наиболее интересных процессов, знание
быстрого процесса, то есть установившегося вибрационного поля, пред¬
ставляет первостепенное значение. Речь идет о задаче проникновения
вибрации в сыпучую среду, рассматриваемой в гл. 15. Здесь же оста¬
новимся на некоторых качественных закономерностях и соображени¬
ях. Пусть А - амплитуда, а со - частота гармонической вибрации сосу¬
да с сыпучей средой. При ускорениях А со2 < g для вертикальных и
А со2 < fig для горизонтальных колебаний (f \ - коэффициент трения по¬
коя, g - ускорение свободного падения) материал движется в основном
зместе с сосудом. При ускорениях А со2 « g частицы материала приобре¬
тают некоторую взаимную подвижность - начинается псевдоожижение,
приводящее сначала к уплотнению, а затем - при дальнейшем увеличении
Лео2- к разрыхлению и перемешиванию. Процессы разделения (сегрега¬
ции, самосортирования) происходят в стадиях псевдоожижения и разрых¬
ления.
Как показывает эксперимент, важным фактором, влияющим на пове¬
дение сыпучей среды в вибрирующих сосудах при интенсивности верти¬
кальной вибрации А со2 > g , то есть при движениях с отрывом, является
сопротивление воздуха (его фильтрация сквозь слой частиц) [356, 431.
446, 447]. Так, например, если отдельная крупная частила или относитель¬
но тонкий слой крупных частиц материала может находиться при
А со2 > 3,3 g в состоянии отрыва от дна сосуда промежутки времени, 66ль-
шие периода колебаний Т- 2тг/со , то для достаточно толстого слоя
эти промежутки обычно не превышают иериода колебаний. Перепады
давления воздуха на высоте слоя материала могут ка порядок превосхо¬
« 141]
МОДЕЛИ СЛОЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
301
дить атмосферное давление. Еще большее значение сопротивление воз¬
духа имеет в случае мелких частиц [66, 125, т. 4].
Изложенное дает представление о трудностях, связанных с моделиро¬
ванием поведения сыпучей среды при вибрации.
В § 8.4 и 13.2 было показано, что при изучении медленных движений
тел, взаимодействующих как посредством сил сухого трения, так и соуда¬
рений, указанные взаимодействия могут моделироваться силами вязкого
трения с учетом движущей вибрационной силы. Это приводит к излагае¬
мому ниже виброреологическому подходу к моделированию поведения
сыпучей среды в вибрирующих лотках и сосудах [95].
Как отмечалось в § 9.1, при толщине слоя /г, не превышающей некото¬
рого значения h*, и при параметрах вибрации, лежащих в определенных
пределах, движение сыпучей среды по вибрирующей плоской поверхно¬
сти можно рассматривать как движение твердого тела (частицы). При
этом виброреологической моделью является такое тело, на которое, наря¬
ду с другими медленными силами, действует вибрационная сила К Назо¬
вем такую модель моделью А (рис. 14.1, а).
Вибрационная сила V может быть найдена в результате решения соот>
ветствующей задачи о вибротранспортировании или с использованием
экспериментальных данных. Так, например, в случае режимов с достаточ¬
но интенсивным подбрасыванием материала над плоской поверхностью,
совершающей поступательные колебания по эллиптическим траекториям,
вибрационная сила определяется приближенной формулой (4.53) гл. 8.
Имея в виду дальнейшее рассмотрение, отметим, что перейдя в этой фор¬
муле от силы V к касательным напряжениям х v = V / F, где F - пло¬
щадь поверхности тела, соприкасающейся с вибрирующей поверхностью,
можно представить указанную формулу следующим образом:
Здесь постоянные т ^ и v то имеют простой физический смысл:
т и) = Хи (0), то есть равно напряжению при нулевой медленной касатель¬
ной составляющей скорости v х, a v то есть значение скорости v т , при ко¬
тором т v = 0, то есть т v (v то) = 0. При этом, в соответствии с формулой
где коэффициенты к и v определяются соотношениями (4.54) и (4.55)
гл. 8 при Q = 0; а прочие обозначения указаны в § 8.4. Подчеркнем, что
формула (1.1) отражает то неоднократно отмечавшееся обстоятельство,
что под действием вибрации происходит не просто "разжижение" сыпучей
среды, но возникает также и движущая вибрационная сила. Если бы име¬
ло место только "разжижение, то вибрационное транспортирование мате¬
риала по шероховатой вибрирующей поверхности, вообще говоря, не про¬
исходило бы. Между тем такое транспортирование реально наблюдается
и лежит в основе ряда устройств и технологий.
В случае, когда толщина слоя сыпучей среды h превышает указанное
выше значение л*, можно использовать более сложную модель (мо¬
дель Б), представленную на рис. 14.1, б. Тело с массой т*} непосредст¬
Т V — Xv(Vt) — т VD [1 — (v т / V то ) ] •
(1.1)
(4.53) гл. 3,
, v-я = кА (О,
(1.2)
302
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
венно контактирующее с вибрирующей плоской поверхностью, связано в
данном случае с телом массы то посредством упругих элементов весьма
малой жесткости с о ; при этом т* + то = ту где т - масса всего слоя.
На тело т*у таким образом, действует дополнительная постоянная сила
Q = то geos а ; при этом для вибрационной силы V и касательного на¬
пряжения т у справедливы те же формулы, что и в предыдущем случае,
но при Q = т og cos а Ф 0. В первом приближении можно принять
т* = р Fh*f то = pF(h-h*) (т =т* +mo = pFh), (1.3)
где р - насыпная плотность сыпучей среды, h* - как и выше, предельная
толщина слоя, при которой движение слоя по вибрирующей поверхности
еще может рассматриваться как движение твердого тела (частицы),
h > h* - общая толщина слоя, F - площадь плоской поверхности, зани¬
маемая сыпучей средой; для определенности будем считать, что зна¬
чения величин р, h и h* отнесены к состоянию среды при отсутст¬
вии вибрации.
t t
е ж
Рис. 14.1. Виброреологические модели слоя сыпучей среды, движущегося по
вибрирующей поверхности
Описанная модель, несмотря на крайнюю простоту, позволяет объяс¬
нить убывание средней скорости движения слоя, а во многих случаях и
§ 14.1]
МОДЕЛИ СЛОЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
303
удельной производительности, по мере увеличения толщины слоя h. Это
убывание объясняется уменьшением по мере роста h параметра перегруз¬
ки w 1, которому пропорциональна сила Q (см. формулу (4.49) гл. 8, а
также приводимую ниже формулу (1.14)). Модель объясняет также уве¬
личение "фазы отрыва материала" 8 0 = arcsin 1/Wi с увеличением h
(см., например, [125, т. 4; 411]). В определенных случаях рассмотренную
модель целесообразно уточнить введением демпфирующего элемента
между массами т* и т0.
Естественно, что при изучении описанных простейших моделей дви¬
жение (в том числе и интересующее нас медленное) может быть найдено
путем непосредственного использования решения задачи о вибротранс¬
портировании тела (частицы). Значение рассматриваемого подхода опре¬
деляется, однако, возможностью его применения для приближенного ре¬
шения в более сложных случаях.
Одним из таких случаев является движение слоя сыпучей среды по
неоднородно вибрирующей неплоской поверхности, когда толщина слоя,
вообще говоря, различна в различных точках этой поверхности. Соответ¬
ствующая задача представляет интерес для ряда приложений (см. § 14.2).
Изучая одномерное движение среды в лотке прямоугольного поперечного
сечения, предполагаем, что точки лотка совершают периодические коле¬
бания, параметры которых могут зависеть от дуговой координаты s точки
поверхности (рис. 14.1, в и г).
Рассмотрим сначала случай, когда толщина слоя h всюду меньше вве¬
денной выше величины h* (рис. 14.1, в). Составив уравнение движения
элемента слоя Д s, приходим в этом случае к следующему виброреологи-
ческому уравнению, описывающему медленное ("ползущее") движение
слоя среды (назовем соответствующую модель моделью A i):
где Vx = vT (,s, t) - медленная составляющая скорости среды, а Т = Т (s ,
t; h) - сила взаимодействия между элементами среды, отнесенная к
единице "ширины" слоя. Силу Т будем считать подобной гидростатиче¬
ской силе, действующей на боковую поверхность элемента, и определять
по формуле
приближенно справедливой при относительно небольших значениях уг¬
лов наклона а и производных dh / ds и hd а / ds по сравнению с
единицей *). Естественно, предполагается также, что изменение угла на¬
клона а и параметров вибрации поверхности за промежуток времени по¬
рядка периода колебаний Т = 2 ти/со незначительно, и поэтому при вы¬
числении вибрационного напряжения т v указанные величины могут рас¬
сматриваться как "замороженные". Как и выше, для определенности бу-
(1.4)
♦) Не представляет особого труда получение выражения для Т и при более общих пред¬
положениях.
304
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
tTJI 14
дем относить насыпную плотность среды р и высоту слоя h к состоянию
среды при отсутствии вибрации. Вибрационное напряжение т у зависит от
скорости v т, от толщины слоя k к от координаты 5.
К уравнению (1.4) необходимо присоединить соотношение
dh_ _ _ Э (у х/р
dt Э s
(1.6)
вытекающее из условия сохранения массы.
В случае колебаний точек по эллиптическим траекториям для режи¬
мов с интенсивным подбрасыванием, когда
W! = 2? ю2/g cos а > 3,5(1+Д2)/(1+Я)2, (L7)
по формулам (4.53), (4.55) гл. 8 и согласно (1.1) и (1.2) имеем следующее
выражение для вибрационного напряжения (учитываем, что при h < h*
должно быть 0 = 0):
/ \
Ту = р g h q\ cos a
1 -
где
=
1
2-X l+R В
R A ~
— cos о,
Ух
VxO
v то = А со cos 5.
(1.8)
(1.9)
При учете выражений (1.5) и (1.8) система дифференциальных урав¬
нений (1.4), (1.6) может быть представлена в следующей форме:
h Эух ,. 1 Э
ц— = -/isma-- —
g dt 2 ds
dh
3 t
cos a
Э (Vx/l)
ds
-i- tx q i cos a
'l_Vi'
V*°
V
(1.10)
Заметим, что здесь величины a , q\ и v хо, вообще говоря, являются фун¬
кциями дуговой координаты s. В качестве начальных условий могут быть
заданы начальное распределение толщины слоя h (s, 0) и скорости
V X (5, 0).
Для многих приложений представляет основной интерес стационар¬
ное течение слоя сыпучей среды под действием вибрации. В этом случае,
полагая в уравнениях (1.10) Э V т / Э t = 0 и dh/d t = 0, получаем для высо¬
ты слоя h следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
dh
ds
1 • о 1 I d
- sin 2 a - - h cos a —
2 2 ds
1
cos a
V У
+ q\ cos 2 a
1
(1.11)
b k v xo j
где через с = vxhb = const обозначен объемный расход среды через се¬
чения лотка (Ь - ширина лотка). Уравнение (1.11) представляет собой час¬
тный случай уравнения Абеля 2-го рода; оно, вообще говоря, не решается
в квадратурах.
Рассмотрим теперь случай, когда на всем протяжении слоя h > h*.
Как и в модели Б, будем считать, что инерционность сосредоточена в
§ 14.1]
МОДЕЛИ СЛОЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
305
нижней части слоя толщины Л*, непосредственно контактирующей с виб¬
рирующей поверхностью, а вышележащая часть действует на нижнюю по¬
средством сил, подобных гидростатическому давлению; соответствующая
модель (модель Б i) представлена ка рис. 14.1^.
Вследствие того, что толщина ’’инерционной части" слоя в рассматри¬
ваемом случае фиксирована, вместо уравнения движения (1.4) будем
иметь соотношение
«. ^v* «. ■ 3 Т ,л 10Ч
рh* —г— = -pg/isina - + xVi (1.12)
dt ds
причем приближенное выражение для силы Г, как и ранее, определяется
формулой (1-5).
Обращаясь к выражению для вибрационного напряжения т у, заметим,
что в данном случае в формулах (4.49), (4.53) и (4.55) гл. 8 ив (1.2) сле¬
дует положить
m = m* = р h* F, Q = p g (h - h*) F cos a,
h* Bo? Q Q g(h-h.)
w i = — , *. =-36-= cos a, (1.13)
h g cos a mm* h*
и для режимов с интенсивным подбрасыванием, при которых
w 1 > 3,5 (1 + R 2) /(1 + R)2, (1.14)
для т у по-прежнему оказывается справедливой формула (1.8). Подставив
в уравнение (1.12) выражения (1.5), (1.8) и присоединив уравнение (1.6),
приходим к системе
1 Эут h . 1 Э
=77“ =- Г" sin а- —— —
g dt h* 2h* ds
cos a
h
+ — q\ cos a
h
r
1- —
VtO
V / \ J
dh _ Э (vth)
3 t~~ Эs ’
(1.15)
описывающей движение слоя в рассматриваемом случае.
Для стационарного движения, когда Эут/Э£ = 0, dh/dt- 0 и
vzhb - const, первое уравнение системы (1.15) превращается б обыкно¬
венное линейное дифференциальное уравнение, совпадающее с соответ¬
ствующим уравнением (1.11) для модели А ь
Следует ожидать, что модели Б и Б i окажутся наиболее пригодными
для изучения именно стационарных движений слоя сыпучей среды, а так¬
же в случаях, когда угол а и параметры вибрации изменяются с коорди¬
натой s весьма медленно. Дискретные аналоги моделей А- и Б: рас¬
сматривались в работах [76, 81, 83].
Отметим, что модели А« и Б i легко обобщаются на двумерный слу¬
чай, когда сыпучая среда движется по нецилиндрической вибрирующей
поверхности. Уравнения (1.10) и (1Л2) в этом случае заменяются соответ¬
ственно векторными соотношениями
~ pgh -gr&dT+Xy, (1.16)
306
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
рлД^1 = - pg/i -gradr+Tv, (1.17)
|у = - div(vx/j). (1.18)
Здесь сила Т определяется формулой (1.5), а для получения выраже¬
ний для вибрационного напряжения Ту необходимо решение двумерной
задачи о вибротранспортировании (см., например, [66, 125,т.4]).
Наряду с рассмотренными случаями Л < h* и h > Л* могут предста¬
вить интерес ситуации, когда на одних участках по длине лотка выполня¬
ется первое, а на других - второе неравенство; тогда необходимо сопря¬
жение решений соответствующих дифференциальных уравнений.
Описанные выше модели не позволяют изучать внутрислоевое движе¬
ние в сравнительно толстых слоях среды, существенное для ряда прило¬
жений. Такие процессы могут быть исследованы на основе наиболее уни¬
версальной из рассматриваемых моделей (модель В; см. рис. 14.1, д). В
соответствии с этой моделью [95] медленное движение сыпучей среды
при достаточно интенсивной вибрации ее частиц рассматривается как
движение вязкой (не обязательно ньютоновской) жидкости, реологиче¬
ские характеристики которой, а также плотность зависят от характера
вибрации. При этом в областях, где вибрация недостаточно интенсивна и
псевдоожижения не возникает, сыпучую среду можно рассматривать как
твердое тело; при уточненном анализе возможно и рассмотрение переход¬
ной зоны, в которой имеет место не псевдоожижение среды, а лишь сни¬
жение эффективных коэффициентов сухого трения. Что же касается
условий на границе 5, то вместо обычных для вязкой жидкости условий
прилипания v |$ = 0 , как и в ранее рассмотренных моделях, на участках
соприкосновения среды со стенками, задается выражение для касательно¬
го напряжения т \s = iv(vx).
Как отмечалось, выражение для т у (v т) может быть найдено либо
аналитически, либо на основе достаточно простых экспериментов; в ряде
случаев выражение типа (1.1), полученное для режимов определенного
характера, можно рассматривать как аппроксимацию, пригодную при изу¬
чении также и иных режимов. Впрочем, как ясно из ранее изложенного,
величина m*/pF = h* (толщина слоя, контактирующего с вибрирующи¬
ми стенками), в сущности, может рассматриваться как некоторый эмпири¬
чески определяемый коэффициент. Отметим к тому же, что в ряде случа¬
ев зависимость т у (v х) от величины т* является относительно слабой, а
иногда ею и вообще можно пренебречь (см., например, формулу (2.16),
вытекающую из соотношения (2.15) гл. 8).
Как уже неоднократно отмечалось, на аналогию в поведении жидко¬
сти и сыпучей среды при вибрации давно обращалось внимание исследо¬
вателями; эта аналогия была обоснована и теоретически доказана для до¬
статочно разреженной среды “почти упругих” частиц в работе Х.И.Раски-
на [345]. Выше отмечалась также недостаточность этой аналогии, в част¬
ности - необходимость учета вибрационных сил при изучении медленных
движений. Это обстоятельство играет первостепенную роль при форму¬
§ 14.1]
МОДЕЛИ СЛОЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
307
лировании граничных условий, что и является основным в изложенном
выше предложении (модели В). В ряде случаев может оказаться необхо¬
димым учет не только поверхностных, но и объемных вибрационных сил в
жидкости, моделирующей сыпучую среду при вибрации. В частности, это
необходимо при изучении “медленных” процессов вибрационного разде¬
ления (сегрегации) компонент сыпучих смесей (см. также § 9.2).
Учет объемных вибрационных сил позволил А-Я.Фидлину объяснить
и описать медленные “конвективные” потоки, возникающие в симметрич¬
ном и симметрично вибрирующем сосуде [395] (рис. 14.1, е). А-Я.Фидлин
моделирует сыпучую среду в виде сжимаемой ньютоновской жидкости с
плотностью и другими параметрами, зависящими от характеристик вибра¬
ции в данной точке среды. При этом предполагается, что поле вибрации в
среде может быть описано одним скалярным параметром - “вибро¬
температурой”, которая согласно теории вибропроводности ([47, 322];
см. также § 15.6) подчиняется уравнению теплопроводности при наличии
стока тепла. В таких предположениях роль объемных вибрационных сил
играют входящие через зависимость плотности от вибротемпературы си¬
лы типа архимедовых.
Для оценки параметров предложенной модели А.Я.Фидлиным была
рассмотрена цепочка N одинаковых частиц, движущихся в поле силы тя¬
жести над вибрирующей плоскостью и неабсолютно упруго соударяю¬
щихся одна с другой (рис. 14.1, ж). Движение такой цепочки изучалось
численно на ЭВМ, что и позволило получить упомянутые оценки.
Численные эксперименты с цепочкой соударяющихся частиц послу¬
жили основой и для физической модели поведения сыпучей среды под
действием вибрации, предложенной Е.Б.Кремером и АЛ.Фидлиным [237];
эта модель (модель С) в известной степени также может быть отнесена к
числу виброреологических. Один из основных фактов, обнаруженных при
численном моделировании, состоял в том, что частота столкновения меж¬
ду частицами оказалась значительно превышающей частоту вибрации.
Это позволило провести статистическое усреднение уравнений переноса
энергии и импульса с использованием центральной предельной теоремы
теории вероятностей. Построенная на этой основе одномерная контину¬
альная модель приводит к достаточно сложной нелинейной системе диф¬
ференциальных уравнений в частных производных, которую, однако, уда¬
ется аналитически решить в некоторых простейших частных случаях.
На основе рассмотренных моделей оказалось возможным описать так¬
же хаотическое движение слоя сыпучей среды над вибрирующей плоско¬
стью. Такие движения, хорошо известные для жидкостей, действительно
удалось наблюдать и в случае сыпучей среды [392], что служит еще од¬
ним подтверждением возможности моделирования медленных движений
сыпучей среды при вибрации в виде движений вязкой жидкости (конечно,
со сделанными выше оговорками и дополнениями).
Описанные модели могут быть использованы и при рассмотрении
практически важной задачи о проникновении вибрации в сыпучую среду
(см. § 15.4).
308
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
Отметим, что определенные трудности связаны с обобщением моде¬
ли С на трехмерный случай, а также с формулировкой соответству¬
ющих этой модели граничных условий.
14.2.1. Процесс вибробункеризации сыпучих тел. В различных
производствах, перерабатывающих сыпучие материалы, нашли широкое
применение вибрационные питатели. Лоток такого питателя, помещенный
под выходным отверстием бункера с сыпучим материалом, может играть
роль бункерного затвора: при отсутствии колебаний лотка он “запирает”
бункер, а при наличии колебаний обеспечивает подачу материала из бун¬
кера (рис. 14.2,а). Описанная ситуация представляется вполне понятной и
естественной. Примечательно, однако, что при надлежащих условиях воз¬
можен и противоположный процесс - наполнение бункера сыпучим мате¬
риалом из расположенного под ним вибрирующего лотка (рис. 14.2, б);
такой процесс называют вибробункеризацией [65, 66, 95, 125, т.4; 371, 383].
Для перехода от режима виброистечения (вибровыпуска) материала к
режиму вибробункеризации может оказаться достаточным, например, из¬
менение направления вибрации лотка, как это показано на рис, 14.2. Не¬
трудно видеть, что естественное объяснение описанного поведения сыпу¬
чего материала при вибрации может быть дано в рамках вибрационной
механики - как результат действия соответствующим образом направлен¬
ных вибрационных сил.
Вибробункеризация непосредственно связана с эффектом накопления
и образования “горки” сыпучего материала перед стенкой, ограничиваю¬
щей его перемещение вдоль вибрирующей поверхности. Найдем форму и
высоту этой горки, воспользовавшись моделями § 14.1. Рассмотрим про¬
стейший случай, когда вибрирующая поверхность плоская, расположена
горизонтально и совершает интенсивные поступательные колебания по
эллиптическим траекториям (рис. 14.3).
Для изучаемой задачи как в случае модели Атак и в случае модели
Б j, форма горки описывается дифференциальным уравнением (1.11). По -
§ 14.2. Некоторые приложения
Рис. 14.2. Виброистечение (а) и вибробункеризация (б)
§142]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
309
латая в этом уравнении а = 05 с - vzhb = 0 (отсутствие расхода через
сечения), получаем
dh
37 чЬ (2.1)
так что
h = hQ + qi s, (2.2)
где h0 - толщина слоя при s = 0, величина определяется формулой (1.9)
и предполагается, что параметры вибрации удовлетворяют условию (1.7).
Таким образом, "горка" у стенки имеет постоянный наклон (рис. 14.3, a), a
высота подъема материала
Н max = Лт« - Лс = qil = | ZcosS. (2.3)
Интересно сопоставить изложенные результаты с получаемыми на ос¬
нове рассмотрения простой модели, предложенной в работах [65, 66]
(рис. 14.3, б). Эта модель предполагает, что сыпучий материал заключен в
сосуд 1\ его дно образовано вибрирующей плоскостью, В нижней части
сосуда имеется отверстие, в которое входит твердое тело 2\ в виде по¬
следнего моделируется часть материала, лежащая на вибрирующем лот¬
310
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
ке. Предполагается, что воздействие на тело вибрирующей сыпучей сре¬
ды, находящейся в сосуде, подобно гидростатическому давлению
Т - рghS столба жидкости с плотностью р, равной насыпной плотности
среды, и с той же высотой h (через S обозначена площадь поперечного
сечения тела). Максимальная высота подъема материала Нта* определя¬
ется при этом как такая, которой соответствует нулевая скорость вибра¬
ционного перемещения тела, то есть находится из условия квазиравнове¬
сия в системе.
Из этого условия в работах [65, 66] для режимов с интенсивным под¬
брасыванием была получена формула (предполагалось, что вибрация пря¬
молинейная, направленная под углом р к вибрирующей плоскости)
Ятш = 2^1 тЛ 'CtgP' (2Л)
Как и должно быть, в точности то же выражение получается, исходя
из представлений вибрационной механики, то есть из равенства Т = Vy
где V - вибрационная сила, действующая на тело; для рассматриваемых
режимов эта сила согласно (1.1) определяется по формуле V = т vF, где
F - площадь основания тела, а вибрационное напряжение т v вычисляется
согласно (1.8) и (1.9) при
5 = 0, А = Aocosp, В = Aosinp, F = Ы , S = hb
(А о - амплитуда прямолинейной вибрации, h - толщина, а b - ширина
тела). Примечательно, что та же формула (2.4) получается при 8 = 0,
А = А0 cos Р , В = А0 sin Р из формулы (2.3), соответствующей моделям
А1 и Б 1.
Приведем также приближенную формулу для максимальной высоты
подъема материала, получающуюся из аналогичных соображений для ре¬
жимов со скольжением тела без подбрасывания материала, когда
w - Ао со2 sin р / g < 1. В данном случае
Яша* =/2/tgp, (2.5)
где / - коэффициент трения скольжения.
По-видимому, наиболее полное описание процесса вибробункериза¬
ции может быть получено на основе рассмотрения модели В, позволяю¬
щей учитывать внутрислоевые процессы. Примерная картина медленных
потоков среды, представляемой согласно этой модели вязкой жидкостью
при соответствующих граничных условиях, изображена на рис. 14.3, в. Ес¬
тественно, что соответствующая задача может быть решена с использова¬
нием современной вычислительной техники.
На рис. 14.3, г представлены результаты экспериментального иссле¬
дования рассматриваемого эффекта, выполненного В.А.Макаровым и
АЛФидлиным. Опыты проводились со средой из необработанных стек¬
лянных шариков диаметром 1,8 - 2,0 мм в горизонтальном вибрирующем
лотке из оргстекла, ограниченном вертикальной стенкой в направле¬
нии вибротранспортирования. Лотку сообщались прямолинейные по¬
ступательные колебания под углом Р = 60° к поверхности дна лот¬
ка с частотами в диапазоне 50 с"1 < со < 160 с"1 и амплитудой
Aq = VА2 + В2 =0,15 см; один опыт при частоте со = 108 с" был проведен
§ 14.2]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
311
при амплитуде А0 = 0,4 см. Таким образом, опытами был охвачен диапазон
изменения параметра перегрузки
0,33 < w = В со2 /g = Ао со2 sin р /g < 4,1 . (2.6)
Нижнему пределу изменения w соответствует режим движения без под¬
брасывания, а верхнему - с весьма интенсивным подбрасыванием. Коэф¬
фициент трения песка о днище лотка/ был определен экспериментально,
он оказался равным 0,36.
Как видно из рисунка, форма “горки", образовавшейся у стенки, близ¬
ка к прямой линии. Весьма примечательный результат экспериментов со¬
стоял в том, что во всем указанном диапазоне изменения параметров виб¬
рации (2.6) горки оказались настолько близкими, что на рис. 14.3,г их бы¬
ло нецелесообразно изображать отдельно для различных значений частот
и амплитуд - на этом рисунке представлена одна "средняя"..кривая; от¬
дельные экспериментальные точки отстоят от нее по высоте не более чем
на 1 см. При добавлении в лоток материала наклон горки не изменялся,
соответственно увеличивались лишь ее высота Лща* и длина основания /,
так что отношения h / I оставались неизменными. Во всех опытах наблю¬
далось циркуляционное движение материала, схематически, в проекции
на плоскость чертежа, показанное на рисунке стрелками (в действитель¬
ности у стенки имела место более сложная пространственная картина,
обусловленная влиянием бортов лотка).
Сравнивая данные эксперимента с изложенными теоретическими ре¬
зультатами, обнаруживаем, что выражения (2.4) и (2.5) также не зависят в
явной форме от частоты и амплитуды вибрации. По второй из этих фор¬
мул при указанных выше значениях параметров получаем
Яшах// = h max / I = 0,36 2 • tg 60 ° = 0,224,
тогда как экспериментально найдено (см. рис. 14.3,г) Hra&x/l - 4,2/20 =
= 0,21. По формуле (2.4), принимая коэффициент мгновенного трения
при ударе материала о лоток X = 0,6, а коэффициент восстановления
R = 0,1, находим
Н шах 0,6 1-0,1 по лот
Т М*1Годч® 0’203’
что также близко к значению, полученному при эксперименте.
14.2.2. Движение слоя сыпучего материала в прямоугольном
лотке, днище которого неоднородно вибрирует в поперечном на¬
правлении (к теории вибрационных грохотов с гибким резонирую¬
щим ситом). В последние годы были предложены и получили опреде¬
ленное распространение вибрационные грохоты с гибкой просеивающей
поверхностью [117, 336]. Рабочий орган таких машин (рис. 14.4, а) обычно
представляет собой прямоугольный лоток 7, днище которого набрано из
поперечно расположенных деформируемых стержней 2 ("струн"); на ри¬
сунке изображен один из таких стержней. Подбирая жесткость стержней
из условия близости к резонансу с рабочей частотой колебаний короба
грохота, удается обеспечить поперечные колебания стержней с амплиту¬
312
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
дой, превышающей в их средней части в два и более раз амплитуду коле¬
баний концов стержней, вибрирующих вместе с коробом.
В связи с теорией таких грохотов и некоторых друг их устройств воз¬
никает задача об установившемся движении слоя сыпучего материала в
лотке прямоугольного сечения, днище которого совершает вибрации, нео¬
динаковые в различных точках поперечного сечения лотка, тогда как в
каждом таком сечении, то есть в продольном направлении, распределе¬
ние вибрации одинаково.
Рис. 14.4. Движение слоя сыпучего материала в вибрирующем лотке с гибким днищем
Воспользуемся для решения задачи упрощенным одномерным вариан¬
том модели В [97]. Будем считать, что со стороны днища лотка на среду
действует касательное вибрационное напряжение т у (£/, х) , зависящее, в
соответствии со сказанным, от скорости медленного движения среды
вблизи днища U и от поперечной координаты х, но не зависящее от про¬
дольной координаты у (координата z отсчитывается вертикально вверх,
начало координат О находится на недеформироваяной поверхности дни¬
ща в продольной плоскости симметрии лотка). Толщину слоя h будем
считать постоянной, не зависящей отх и у величиной* а скорость медлен¬
ного установившегося движения среды U - не зависящей от вертикальной
координаты z3 а также, конечно, от у. Нахождение зависимости U = U (ре)
и является основной задачей исследования.
Выделим в движущемся слое элемент в виде прямоугольного парал¬
лелепипеда с размерами Дх, 1 и h (рис. 14.4,6). На нижнюю грань этого
элемента действует вибрационная сила х (.х) Д х. Обозначим силу, дейст¬
вующую на боковую грань элемента с координатой х со стороны соседне¬
го слоя, через Т\ (дс). Тогда на грань с координатой х +Ах будет дейст¬
вовать сила
7i (х + Ах) = - Тх (х) - Т!(х + Ах)
§ 14.2!
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
313
(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Д;с;
штрихом здесь и далее обозначаются производные по х). Из условия рав¬
новесия сил, действующих в установившемся медленном движении на бо¬
ковые грани элемента, получаем уравнение
т v(U,x) = Т[(х) + pg/isina, (2.7)
где а- угол наклона лотка к горизонту (не показанный на рис. 14 Ад и б).
Что же касается сил, действующих на переднюю и заднюю грани элемен¬
та, то они должны взаимно уравновешиваться.
Силу Т\ (х) в рамках модели В будем считать подобной вязкому со¬
противлению, то есть полагать, что 71 (.х) пропорциональна производной
U1 (х) с некоторым коэффициентом hr (х), зависящим от х:
TUx) = - hr(x)U'(x). (2.8)
Функцию г (х) при этом можно назвать эффективным коэффициентом
сопротивления.
Исключая 71 из соотношений (2.7) и (2.8), приходим к следующему
дифференциальному уравнению, описывающему закон изменения "мед¬
ленной" скорости движения среды по ширине лотка:
hr(x)U"{x) + h г1 (х) U1 (х) - рgh sin a + т v {U,x) = 0 . (2.9)
Относительно функции т v(U,x) уже говорилось в § 14.1. Что же касается
эффективного коэффициента сопротивления г (х), то наиболее простой
является гипотеза о постоянстве этого коэффициента во всех точках
слоя:
г (х) = г = const. (2.10)
Другое возможное предположение состоит в допущении, что коэф¬
фициент г(х) обратно пропорционален параметру перегрузки w =
=В (х) со2 / g cos а, где В (х) - амплитуда поперечных колебаний точек
днища, зависящая в данном случае от координаты х:
к к geos a /f хч
г(х) = — = —° г- (к = const). (2.11)
w В (х) со2 ' '
Фигурирующую здесь функцию В (х) - форму поперечных колебаний
днища лотка, от которой может зависеть также и напряжение х у, можно
задать, например, в виде первой формы свободных колебаний днища
или аппроксимирующего эту форму подходящего выражения. К уравне¬
нию (2.9) необходимо присоединить надлежащие граничные условия (см.
ниже). Это уравнение, вообще говоря, не допускает точного решения в
замкнутой форме; его решение можно строить в виде рядов или получать
с помощью ЭВМ.
Рассмотрим, однако, случай, когда уравнение (2.9) при определенных
упрощениях допускает простое аналитическое решение; это рассмотрение
носит преимущественно иллюстративный характер. Пусть лоток горизон¬
тален (а = 0) и имеет место режим с интенсивным подбрасыванием (см.
условие (1.7)). Колебания всех точек корпуса лотка и днища в продоль¬
ном по отношению к лотку направлении будем считать одинаковыми, то
есть положим А(х) = А = const; колебания точек днища, таким обра¬
зом, отличаются за счет своей поперечной (вертикальной) составляющей
314
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
В(рс)] постоянным полагаем и угол 8 в формулах (4.33) гл. 8, определяю¬
щих закон колебаний точек.
При указанных предположениях согласно формулам (1.8) и (1.9) выра¬
жение для т v(U,x) будет иметь вид
U
А со cos 8
Тогда при использовании предположения (2.11) уравнение (2.9) при¬
мет вид
zv(U,x) = pghqi
1
и" - и' - q 2 (U-А со cos 8) = О
f 2 р со X 1-R л
q A: cos 8 2-Х 1 +R
(2.13)
Наконец, пренебрежем в этом уравнении слагаемым - В' (х) U' / В (х),
учитывая, что для защемленных на коробе лотка деформируемых элемен¬
тов днища и первой формы их свободных колебаний В 1 (0) = В1 (Г) = 0
(21 - ширина днища). Тогда уравнение (2.13) обратится в простое уравне¬
ние с постоянными коэффициентами
U" - q2 (U-А со cos 8) = 0 . (2.14)
Граничные условия задачи запишем, используя условие симметрии про¬
филя скорости U (х) относительно плоскости yOz и условие равенства
силы Т\ (0 на стенке короба х = 0 соответствующему значению вибраци¬
онной силы V (/)•
£Г(0) = 0, = (2.15)
Для получения приближенного выражения вибрационной силы V (/),
которая в данном случае будет состоять лишь из вибропреобразованной
составляющей Vu можно воспользоваться формулой (2.15) гл. 9. Учиты¬
вая, что речь идет о вибрационной силе, приходящейся на единицу длины
короба, а также что для данного случая вес тела mg следует заменить
“гидростатической силой”
h
р g J hidhi = pgh2 /2
о
и положить X = U, для одинаковых в обоих направлениях значений коэф¬
фициента трения скольжения/+ = /- = / получаем
V(D = Vi [ U(l) ] = - £4т^Г • <216>
Л А (О
При учете выражений (2.8) и (2.11) граничные условия (2.15) записывают¬
ся в следующей окончательной форме:
и\0) = 0, - U'{t) = dU(l), (2.17)
§142]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
315
Решение дифференциального уравнения (2.14), удовлетворяющее гранич¬
ным условиям (2.17), имеет вид
d ohqx
U (х) = Л со cos 5
1 -
(2.19)
dchql + qshql
Проанализируем полученное выражение. Согласно (2.18) при отсутст¬
вии трения материала о стенки короба (f = 0) имеем d = 0 и
U (х) = А со cos 8, (2.20)
то есть скорость одинакова по всему сечению и совпадает со скоростью
вибротранспортирования изолированного твердого тела (частицы). При
значениях/, отличных от нуля, имеет место подтормаживание слоя стен¬
ками, нарастающее по мере приближения к ним. В предельном теоретиче¬
ски мыслимом случае/ —> что соответствует прилипанию материала к
стенкам лотка, подтормаживание особенно сильно; формула (2.19) при
этом приобретает вид
U (х) = Л со cos 5
1-
(2.21)
chqx
ch ql
Профили скоростей, соответствующие рассмотренным предельным и
некоторому промежуточному случаям, представлены на рис. 14.4, в.
С использованием формулы (2.19) легко получается выражение для
весовой производительности вибрационного устройства:
/
Q = 2pgA со J U(x)dx = Q 0 [1 - т| (р, q I) ], (2.22)
где
2pg/iMcocos8, г| (p,ql)
d I
q2l2
1 h В (I)
n I 1 A
2-Х 1+Д
X l-R
cos 8.
(2.23)
Графики зависимости T| (p, q Г) изображены на рис. 14.4, г. Величина
Q о представляет собой производительность устройства, вычисленную в
предположении, что скорость движения материала постоянна по всему
поперечному сечению лотка и равна А со cos 8. Поэтому величину
г| (p,ql) назовем коэффициентом снижения производительности.
Как видно из графиков и формулы (2.23), в рассматриваемом случае
достаточно интенсивной поперечной вибрации днища снижение произво¬
дительности обусловлено только подтормаживающим влиянием стенок
лотка. Действительно, при отсутствии трения материала о стенки (f = 0)
имеем р = 0, T|=OhQ = Q0-B другом предельном случае, соответству¬
ющем “прилипанию” материала к стенкам (f —> °°), будет р —> «> и сни¬
жение производительности максимально:
Л
316
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
В случае малой относительной толщины слоя h / I при реалы!ых значени¬
ях/, как и следовало ожидать, подтормаживающее влияние стенок оказы¬
вается несущественным.
Отметим, что при менее интенсивной вибрации лотка и его днища,
когда скорость транспортирования изолированной частицы U* (дс) сущест¬
венно снижается вблизи стенок дс = ± /, уменьшение производительности
может быть обусловлено также и этим фактором. Учет указанного факто¬
ра, однако, требует, вообще говоря, численного анализа дифференциаль¬
ного уравнения (2.9) с учетом соответствующего выражения для вибраци¬
онного напряжения т v(U,x).
14.2.3. Движение загрузки в вибрационных мельницах и аппара¬
тах для объемной вибрационной обработки деталей. Для теории
указанных в заголовке устройств представляет интерес решение задачи о
медленных (циркуляционных) движениях слоя сыпучей среды ("загрузки")
в цилиндрическом, тороидальном или
с осевой линией в виде спирали виб¬
рирующем барабане [24, 125, т.4; 206,
256, 257, 317]. В поперечном (мериди¬
ональном) сечении такого барабана
под действием вибрации возникает
“медленное” циркуляционное движе¬
ние загрузки, примерный характер ко¬
торого представлен на рис. 14.5. От
интенсивности этого движения зави¬
сят технологические показатели про¬
цесса Отметим качественное сходст¬
во характера потоков на рис. 14.5 и
14.3, в.
Построению и изучению моделей
циркуляционного движения загрузки
в рассматриваемых аппаратах посвя¬
щен ряд работ (см., например, [246,
381]). На основе дискретного вариан¬
та виброреологической модели задача
была изучена в работе В.Л.Левенгарца
и автора [83]. Значительно более точное описание процесса может быть
получено на основе континуальной модели В; на соответствующем иссле¬
довании, однако, здесь не будем останавливаться.
Рис. 14.5. Медленное циркуляционное
движение слоя сыпучей среды в
вибрирующем барабане
14.2.4. О приложениях к теории дробилок. В сущности, п. 13.2,2
мог бы быть включен в настоящий параграф, ибо в нем также идет речь о
моделировании медленных движений сыпучей среды (или суспензии) при
наличии вибрационных воздействий.
§ 14.33 СЫПУЧАЯ СРЕДА Б СООБЩАЮЩИХСЯ СОСУДАХ
§ 143. О поведении сыпучей среды
в сообщающихся вибрирующих сосудах
Особенности поведения сыпучей среды в сообщающихся вибрирую¬
щих сосудах, с одной стороны, представляют существенный принципи¬
альный интерес - как яркое проявление виброреологических закономер¬
ностей; с другой стороны, эти особенности служат основой ряда ориги¬
нальных технических решений.
Остановимся на чисто качественном описании соответствующих зако¬
номерностей и сошлемся на более обстоятельные публикации. При отсут¬
ствии вибрации возможно бесконечное число непрерывно распределен¬
ных положений равновесия определенного объема материала в сосудах -
положений, соответствующих различным уровням (1, 2, 3,...) свободной
поверхности среды в сосудах (рис. 14.6, а). В случае полной симметрии
системы - при одинаковости сосудов и симметричности вибрации относи¬
тельно вертикали, например при строго горизонтальных или строго вер¬
тикальных гармонических колебаниях (рис. 14.6, б), как правило (но не
всегда, см. ниже), в квазиравновесном состоянии устанавливаются одина¬
ковые уровни среды. В случае неодинаковости сосудов (рис. 14.6, гид)
или асимметрии вибрации (рис. 14.6, е) квазиравновесные уровни будут
различными.
°C>DoOo
OJOO О о
рУОо°с
|0 о O'О o' o°Q?S>r
° о о &L о Ооос
Р о о о °
О О Огл5 ХО О О о
з п осОро о ООО
/
Рис. 14.6. В сообщающихся сосудах с сыпучей средой при асимметрии системы zjif
вибрации устанавливаются различные уровни свободной поверхности
Модель ситуации, соответствующей рис. 14.6, г, была теоретически и
экспериментально изучена М.И.Липовским [125 ,т.4; 261], показавшим, что
в данном случае важную роль играет наличие воздушной среды (в усло¬
виях вакуума уровни оказывались одинаковыми), и предложившим ряд
оригинальных устройств. Модель, отвечающая рис. 14.6, д, предложена и
изучена в работе [236] в связи с интересными эффектами в подобных сис-
318
ВИБРОРЕОЛОГИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
[ГЛ. 14
темах, обнаруженными безвременно ушедшим талантливым инженером
В.Ф.Палиловым. Им было установлено экспериментально, а в указанной
работе объяснено теоретически, что в этом случае при различных часто¬
тах вибрации более высокий уровень среды может установиться в различ¬
ных сосудах.
Еще более любопытно, что при определенных условиях в совершенно
симметричной системе и при симметричной вибрации в сосудах могут ус¬
тановиться два или даже три различных состояния (рис. 14.6, в), причем в
двух взаимно симметричных состояниях 2 и 3 уровни различны. Это свя¬
зано с неустойчивостью (или устойчивостью лишь при достаточно малых
возмущениях) состояния 1 с одинаковыми уровнями; какое из двух (или
трех) состояний 1-3 установится в действительности - зависит от на¬
чальных условий движения (о возможности такой ситуации говори¬
лось в § 8.3 (см. рис. 8.2, alV). Что касается случая, представленного на
рис. 14.6, е, то он соответствует эффекту вибробункеризации, рассмотрен¬
ному в п. 14.2.1. Заметим, что существенная для приложений величи¬
на перепада уровней зависит как от геометрических параметров системы,
в том числе от размеров переходных элементов, так и от парамет¬
ров вибрации. Отметим также, что каждое из устройств, изображенных на
рис. 14.6, аув - е, может быть использовано как вибротранспортирующее,
если обеспечить удаление сыпучей среды из зоны вблизи наиболее высо¬
кого уровня устанавливающейся свободной поверхности.
Описанные эффекты еще раз убедительно свидетельствуют о том,
что вибрация приводит не просто к псевдоожижению сыпучей среды, но
вызывает также появление вибрационных сил. С позиции наблюдателя V,
именно этими силами объясняется несправедливость в данном случае за¬
кона сообщающихся сосудов для жидкостей. Несправедливо в данном
случае и утверждение, что положения устойчивого равновесия системы
соответствуют минимуму потенциальной энергии силы тяжести: при раз¬
личных уровнях среды в сообщающихся сосудах центр масс распо¬
лагается выше, чем при одинаковых. (Об ошибочности так называе¬
мой потенциальной теории по отношению к изучаемым системам
см. также § 9.2 и рис. 9.4.)
Глава 15. Проникновение вибрации в некоторые среды
§ 15.1. Предварительные замечания
Настоящая глава носит в известной степени вспомогательный харак¬
тер: в ней рассматривается "быстрый" процесс - установившееся поле виб¬
рации в некоторых средах, моделируемых как сплошные, под действием
вибрации твердых границ. Как следует из сказанного в гл. 14, решение
соответствующих задач необходимо при изучении медленных процессов в
средах, возникающих под действием вибрации, то есть при виброреологи-
ческим подходе. Вместе с тем решение таких задач представляет и само¬
стоятельный интерес для теории вибрационных процессов и устройств.
Несмотря на актуальность, задача о проникновении вибрации в раз¬
личные среды в настоящее время еще не может считаться удовлетвори¬
тельно решенной: рассмотрен лишь ряд важных частных случаев и по¬
строено несколько общих моделей; накапливаются экспериментальные
данные. Изложение некоторых из указанных результатов и приводится в
настоящей главе.
§ 15.2. Проникновение вибрации в вязкую жидкость
Задача о движении вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей по¬
лупространство над пластиной, совершающей продольные гармонические
колебания, рассматривалась еще Стоксом [469]; соответствующее реше¬
ние вследствие линейности задачи легко обобщается на случай произ¬
вольных периодических колебаний [254]. Аналогичная задача для цилин¬
дра, совершающего гармонические поворотные колебания в неограничен¬
ной жидкости, решена в работе [448]. В фундаментальном курсе Л.Д.Лан-
дау и Е.М.Лифшица [255] получено решение задачи о колебаниях слоя
вязкой жидкости конечной толщины, ограниченного свободной поверхно¬
стью. Известны также решения некоторых задач рассматриваемого класса
для ньютоновских жидкостей [388, 466]. Приводимое ниже изложение
следует работе Л.И.Блехмана и Б.В.Кизевальтера [102].
Рассмотрим сначала случай, когда бесконечная пластина горизонталь¬
на и совершает прямолинейные поступательные гармонические колебания
в той же плоскости по закону
где Т| - скорость колебаний пластины, Vo - ее амплитуда, а со - частота
(рис. 15.1,а). Для скорости несжимаемой вязкой жидкости над пла¬
стиной v = v (jc, t) из уравнений Навье - Стокса в этом случае получается
уравнение
Г) = v0 COS со t
(2.1)
Э v Э2 v
эч
Эх2’
(2.2)
320
ПРОНИКНОВЕНИЙ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. 15
Рис. 15.1. Проникновение вибрации в вязкую несжимаемую жидкость при продольных
колебаниях пластины, а) Схема системы; б) распределение скоростей в неограниченном
слое жидкости (7,5- со Г = 0, 2 п \ 2 - со t = л/2; 3 - со Г = л; 4 - t = 3 л/2); в) распреде¬
ление амплитуд скоростей в слоях конечной (сплошные кривые) и бесконечной
(пунктирная кривая) толщины
§152]
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
321
где v - кинематический коэффициент вязкости. Уравнение (1.2) аналогич¬
но по виду уравнениям диффузии и теплопроводности. Граничные усло¬
вия задачи имеют вид
где h - толщина слоя жидкости над пластиной; первое равенство пред¬
ставляет собой условие прилипания жидкости к пластине, а второе - ус¬
ловие на свободной поверхности. Стационарное решение уравнения (1.2),
удовлетворяющее условиям (2.3), имеет вид
v = U (х) sin со t + V (х) cos со t =
sin ф (х) = S (.х) JR2 (х) + S2 (х), cos ср (х) = R (х) /'iR2 (х) + S2 (х) . (2.5)
Для случая, когда жидкость занимает неограниченное пространство,
то есть h —» оо 9 получаем
Эта формула была получена Стоксом [424, 469]. Соответствующие ей
распределения скоростей жидкости в моменты времени, отстоящие один
от другого на четверть периода колебаний л/2со, представлены на
рис. 15.1, б (соответственно кривые 7,...,5); пунктирной линией показаны
амплитудные значения безразмерной скорости. Как отмечается в статье
[102], в книге [424] эти графики изображены неточно.
Обратимся к анализу приведенных соотношений, Из формулы (2.6)
следует, что пластина вовлекает жидкость в колебательное движение той
же частоты со с быстро (экспоненциально) убывающей по мере удаления
от пластины амплитудой. Толщину 8 слоя жидкости, вовлекаемого пла¬
стиной в колебания вследствие вязкости жидкости, можно характеризо¬
вать расстоянием от пластины, на котором амплитуда скорости со¬
ставляет 5% от ее значения на пластине. Эта величина, определяе¬
Э v
v (0, t) = Т) = v0 cos со t, т—- = 0,
дх
(2.3)
= v0 V/?1 (х) + S1 (х) cos [со t + (р (х) ], (2.4)
где
U (.х) = v0 S (х), V(x) = v0 R (х);
R(x) = АЬ(Рх) + MAi(P*) + 2NK3 (рх),
Кг (z) = ^ shz sinz, Кз (z) = j (chz sinz - shz cos z);
R(x) —>e p*cosPx, S(x)->e p*sinPx,
v = v. (x, t) = v0 e ~^ * cos (со t - Px).
(2.6)
11 ИЛБлехман
322
ПРОНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. 15
мая согласно (2.6) выражением
8 = 3,00/р = 3V2v/(0 = 3 5о, 80 = V2v/(0 , (2.7)
в работе [102] названа глубиной проникновения колебаний.
При значениях коэффициента вязкости v = (1,007+1,519)-10" см/с,
что соответствует изменению температуры воды от 20° до 5°С и частоты
колебаний п = 30 о)/тс от 150 до 300 колебаний в минуту (такие диапазо¬
ны изменения параметров характерны для ряда обогатительных аппара¬
тов), глубина проникновения составляет около 1 мм.
На рис. 15.1, в представлены графики распределения амплитуд без¬
размерных скоростей жидкости (v/vo)e = V/Г + в слоях конечной и бес¬
конечной толщины, построенные согласно формулам (2.4) и (2.6). Как
видно из рассмотрения графиков, при толщинах слоя h < 8 распределе¬
ние скоростей по высоте может существенно отличаться от соответствую¬
щего h —» ©о. Если же h > 8 то есть Р h > 3 , то это отличие мало; в
таком случае формулы (2.4) и (2.6) дают близкие результаты, и поэтому с
достаточной для практических расчетов точностью скорость жидкости в
пристенном слое толщины 8 можно определять по простой формуле
Стокса (2.6), считая жидкость вне этого слоя неподвижной. Если h < 8,
то для расчетов следует пользоваться более сложной формулой (2.4).
Слои жидкости, для которых h < 7 8 (Р h < 0,5), практически движутся
6
вместе с пластиной (как твердое тело).
В слое конечной толщины над гармонически колеблющейся
пластиной , для которого Р h > с ~ 3,69, где с - корень уравнения
sh с + со= 400, глубина проникновения, определенная прежним обра¬
зом, несколько больше значения 8 = 3/р , но не превосходит значения
с/Р , принимаемого ею при Р h - с . В слоях, для которых Р h > с, двад¬
цатикратное уменьшение амплитуды скорости не достигается.
Приведенные результаты вследствие линейности задачи легко обоб¬
щаются на случаи произвольных прямолинейных периодических колеба¬
ний и периодических колебаний в двух взаимно перпендикулярных на¬
правлениях, лежащих в плоскости пластины.
При периодическом прямолинейном движении пластины, представ¬
ленном в виде суммы гармоник с частотами к со (к = 1, 2,...,), глубина про¬
никновения для некоторой т-й гармоники согласно формуле (2.7) будет в
Vm" раз меньшей, чем для первой. Поэтому на достаточном удалении от
пластины колебания жидкости определяются первой гармоникой, то есть
приближаются к гармоническим независимо от закона периодических ко¬
лебаний плоскости (при условии, конечно, что h > 8 и амплитуды гармо¬
ник не возрастают с увеличением их номера).
Если пластина совершает произвольные периодические колебания в
двух взаимно перпендикулярных направлениях, лежащих в ее плоскости,
то скорости жидкости в каждом из этих направлений определяются неза¬
висимо одна от другой, причем остаются в силе изложенные выше каче¬
ственные закономерности. В частности, если периоды взаимно перпенди¬
кулярных колебаний одинаковы, то траектории частиц жидкости на до¬
статочном удалении от пластины приближаются к эллипсам, причем раз¬
§15.2]
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
323
меры этих эллипсов экспоненциально убывают. В случае, когда периоды
существенно различны, движение жидкости при удалении от пластины
приближается к прямолинейным гармоническим колебаниям в направле¬
нии и с частотой, соответствующим колебаниям с большим периодом.
Можно сказать, что слой жидкости обладает свойствами фильтра вы¬
соких частот.
Приведенные результаты интересно сопоставить с решением задачи о
затухании возмущений, производимых шаром, гармонически колеблющим¬
ся вдоль некоторого направления в безграничной несжимаемой жидкости
(рис. 15.2, а); эта задача в случае малых чисел Рейнольдса рассмотрена в
работах Н.Л.Гранат [160, 161, 164]. "Область возмущений", производимых
колеблющимся шаром, в этих работах определена как сфера вокруг шара,
в которой рассеивается 95% от полной потери энергии в жидкости.
Рис. 15.2. Проникновение вибрации в вязкую несжимаемую жидкость при поступательных
колебаниях шара в неограниченном объеме жидкости, а) Схема системы; б ) зависимость
глубины проникновения вибрации от параметра р
Пусть Rb - радиус этой сферы, а /о - радиус шара. Тогда величину
5 = Rb ~ Го можно рассматривать как соответствующую глубину проник¬
новения вибрации в жидкость. Согласно [161] для зависимости величи¬
ны 8/г0 от параметра (3 = Го/Ьо = /о Vсо/2 v получается график, изобра¬
женный на рис. 15.2, б сплошной линией (So = V2 v/co - та же величина с
размерностью длины, что и в формуле (2.7)). Тот же график в рассматри¬
ваемых пределах изменения Р достаточно хорошо аппроксимируется ана¬
литической зависимостью
S_33Se_3 V2 v/ш п оч
— - 75 v/-<v
Го Р Го Го
(пунктирная кривая на рис. 15.2,6). Эта зависимость после сокращения на
Го в точности совпадает с (2.7). Таким образом, имеется практически пол¬
ное соответствие результатов, получаемых для случая колебаний пласти¬
ны и шара.
324
ПРОНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. 15
Как указывается в работах [161, 164], результат исследования получа¬
ется близким, если область возмущений, производимых шаром в жидко¬
сти, определять не по диссипации энергии, а по выравниванию поля дав¬
лений или по затуханию поля скоростей, как это было сделано выше в
случае пластины. В работе [161] отмечается также, что зона возмущений в
случае поступательного движения шара в вязкой жидкости в условиях за¬
дачи на порядок больше по размерам, чем в случае колебаний; этот вывод
качественно согласуется с формулами (2.7) и (2.8), согласно которым зона
возмущений увеличивается по мере снижения частоты колебаний со .
В заключение отметим, что в предположении о несжимаемости жид¬
кости случай поперечных колебаний пластины является тривиальным:
жидкость в этом направлении колеблется вместе с пластиной. При нали¬
чии сжимаемости процесс описывается волновым уравнением, содержа¬
щим слагаемое, учитывающее диссипативные факторы.
Колебания системы, состоящей из симметричного твердого тела,
снабженного инерционным вибровозбудителем, и поглощающей жидкой
среды, рассмотрены в статье И.А.Кунина и В.Ф.Хона [241].
§ 153. О проникновении вибрации в суспензии
В той же работе [102] отмечается, что в случае суспензии глубину
проникновения вибрации можно оценить, считая суспензию эквивалент¬
ной некоторой жидкости, более вязкой, чем жидкость, несущая частицы
суспензии.
Учитывая, что эквивалентная вязкость V* при определенных услови¬
ях может на порядок и более превышать вязкость жидкости, заключаем,
что и глубина проникновения вибрации в случае суспензий может быть
значительно большей. Для вычисления эффективного динамического ко¬
эффициента вязкости V* предложен ряд формул; известна, в частности,
формула Ванда [209] (см. также § 16.2). В качестве примера в работе [102]
отмечается, что при характерном для некоторых аппаратов гравитацион¬
ного обогащения объемном содержании твердых частиц 30% найденный
указанным образом эффективный динамический коэффициент вязкости
оказывается в 2,85 раза большим, чем динамический коэффициент вязко¬
сти для воды. Соответственно кинематическая вязкость V* для суспензии
(пульпы) в Vl^f =1,4 раза больше, чем для воды, что приводит согласно
формуле (2.7) к значению глубины проникновения в 1,4 раза большему,
чем для воды.
Возможностям увеличения глубины проникновения вибрации в сус¬
пензии посвящены исследования А.А.Краснова [234].
§ 15.4]
СЫПУЧАЯ СРЕДА
325
§ 15.4. Проникновение вибрации в сыпучую среду
15.4.1. Случай круговых колебаний горизонтальной пластины в
ее плоскости. Некоторые важные качественные закономерности поведе¬
ния сыпучей среды в рассматриваемом простейшем случае выясняются из
рассмотрения решения соответствующей задачи Н.Е.Жуковского о движе¬
нии плоского твердого тела (материальной частицы) [182]. Если толщина
слоя сыпучего материала невелика, то указанным решением можно вос¬
пользоваться и при изучении его поведения, что и было сделано при рас¬
смотрении псевдорезонансного эффекта в п. 9.2.4. Согласно формуле
(2.11) указанной главы, если ускорение колебаний пластины А со2 (со - час¬
тота, а А - радиус круговой траектории колебаний) не превосходит вели¬
чины fg(f - коэффициент трения скольжения, g - ускорение свободного
падения), то тело движется вместе с колеблющейся пластиной. При
А со2 > fg ускорение, скорость и радиус траектории тела в установившем¬
ся абсолютном движении определяются соответственно формулами
w = gf, и = gf/ш, г = gf/<o2, (4.1)
то есть U и г быстро убывают с ростом со: при достаточно большой час¬
тоте колебаний тело остается практически неподвижным в простран¬
стве; максимальное значение ускорения абсолютных колебаний тела
Wmar — fg. Указанная закономерность в определенной мере проявляется
и при движении более толстых слоев сыпучей среды: существует диапа¬
зон ускорений колебаний плоскости, при котором вибрация проникает в
среду в определенном смысле наиболее эффективно; в частности, этим
обстоятельством и объясняется упомянутый псевдорезонансный эффект
при вибрационном разделении сыпучих смесей.
Задача о движении сыпучей среды в изучаемом случае была рассмот¬
рена В.В.Гортинским, результаты исследований которого [157, 158] и при¬
водятся ниже. Основное допущение, принятое В.В.Гортинским для объяс¬
нения движения элементарных горизонтальных слоев сыпучего материала
друг относительно друга, состоит в предположении, что коэффициент
сухого трения между слоями / зависит от нормального давления, то есть
от веса вышележащего тела, увеличиваясь при увеличении последнего;
наличие такой зависимости следует из ряда прямых и косвенных экспери¬
ментов, в том числе выполненных В.В.Гортинским и его сотрудниками.
Обозначив через G вес вышележащей части сыпучего тела, отнесен¬
ный к единице площади, В.В.Гортинский записывает соотношение между
силой сухого трения F ("силой сопротивления относительному сдвигу
слоев") и величинами G и/ в виде
F= Gf (G), (4.2)
где f(G), согласно принятому предположению, - некоторая возрастающая
функция G. Картина движения при увеличении ускорения колебаний
пластины А со2 тогда выглядит следующим образом. При
А со2 = (А со2) 1 < g/o, где /о = /(0) - значение коэффициента трения на
верхней границе слоя, весь сыпучий материал движется вместе с пласти-
326
ПРОНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ. 15
ной как одно твердое тело. После превышения ускорением А*со величины
gfo начинается относительное скольжение верхней части слоя по нижней,
которая продолжает двигаться вместе с пластиной. При дальнейшем уве¬
личении ускорения относительное движение распространяется на ниже¬
лежащие слои и при
Л со2 = (А со )2 = \Fr
i
(dF T
dG2
V J
dG
V J
> (A (02)i = gfo
достигает нижней границы слоя (индексом "т" снабжены величины, отно¬
сящиеся к этой границе). При А со2 > (А (02)2 весь слой скользит относи¬
тельно пластины, причем различным образом по высоте; абсолютная ско¬
рость частиц в слое при этом убывает от нижней до верхней границы.
Распределение абсолютных скоростей по высоте слоя в этом случае пред¬
ставлено на рис. 15.3. Модули скоростей в точках, характеризующихся оп¬
ределенным значением (7, да¬
ются выражением
U =
_ &L
со
d2 F
dG2
dF
dG
• (4-3)
Если материал однороден
по высоте слоя, то
О < и = G/Gm = x/h < 1 пред¬
ставляет собой относительную
координату, отсчитываемую вер¬
тикально вниз от верхней грани¬
цы слоя (х - абсолютная коорди¬
ната, Gm - общий вес слоя, от¬
несенный к единице площади
вибрирующей пластины, h -
толщина слоя; см. рис. 15.3). Ес¬
ли, далее, зависимость коэффи¬
циента трения / от G, то есть также и от и = x/h, линейна, то формула
(4.3) приобретает вид
Рис. 15.3. Распределение скоростей в слое
сыпучей среды на пластине при круговых
колебаниях пластины в ее плоскости (по
В.В.Гортинскому [157,158])
U(и) = V1+6ы$(1+и$),
(4.4)
где £ = (fm _/о)//о > 0 - относительная разность коэффициентов трения
на нижней и верхней границах слоя. На этих границах соответственно
U{\) = Um = ^
CD
U( 0) = и о =
^ Vl + б£ (1 +£).
(1)
(4.5)
Первое из приведенных выражений совпадает с формулой (4.1) для
скорости твердого тела, если заменить коэффициент трения / на его зна¬
чение/о для верхней границы слоя. И другие закономерности проникно¬
вения вибрации для рассматриваемой модели сыпучей среды также ана¬
§ 15.4]
СЫПУЧАЯ СРЕДА
327
логичны установленным для твердого тела: максимальное ускорение виб¬
рации среды
Wm»x = Um СО = gf о Vl + 6^(l + £) = {А С02)2
достигается на нижней его границе при том же значении ускорения коле¬
баний пластины А О)2 = (Л (02)2; при дальнейшем увеличении А со2 уско¬
рения точек среды остаются неизменными, а скорость и радиус траекто¬
рии при постоянной амплитуде вибрации А убывает с ростом частоты оо
соответственно пропорционально со и со2 . Иными словами, при ускоре¬
нии колебаний пластины А О)2 < (A (02)i - gf о колебания полностью
проникают в слой на всю его толщину, а при А со2 > (A (02)i - gf о -
лишь частично, причем "проникновение ускорения" с увеличением его
значения Л со2 стабилизируется на уровне gf о для верхней границы
слоя, а "проникновение скорости и амплитуды" снижается с увеличением
частоты со соответственно пропорционально со и со2.
Заметим, что для некоторых приложений важно не проникновение
вибрации в слой сыпучей среды, а обеспечение достаточно интенсивного
относительного движения среды по пластине - так обстоит дело, напри¬
мер, в задачах просеивания материала через сито (см., например, § 9.2).
Наибольшая амплитуда относительных колебаний, близкая к амплитуде
абсолютных колебаний пластины Л, имеет место при достаточно большом
значении ускорения колебаний Л со2, когда среда остается практически
неподвижной в пространстве.
15.4.2. Случай прямолинейных продольных колебаний горизон¬
тальной пластины. Случай прямолинейных продольных поступательных
колебаний пластины характеризуется теми же закономерностями проник¬
новения вибрации, что и рассмотренный выше случай круговых колеба¬
ний. Решение задачи, когда слой сыпучей среды может моделироваться
плоским твердым телом (материальной частицей), было дано Л.Г.Лойцян-
ским [263] (см. также [66, 95]), а исследование поведения слоя в том же
предположении, что и в п. 15.4.1, выполнено В.В.Гортинским [157, 158].
Решение задачи здесь более сложно, чем в случае круговых колебаний,
особенно для второй модели, вследствие того, что движение частиц про¬
исходит с двумя длительными или мгновенными остановками в каждом
периоде колебаний. Некоторые результаты исследования Л.Г.Лойцянско-
го приводятся в § 16.3.
15.4.3. Случай поперечных колебаний пластины. Иной характер
носит процесс проникновения вибрации в случае поперечных колебаний
пластины или дна сосуда. Экспериментальные данные указывают на экс¬
поненциальный характер убывания амплитуд вибрации частиц сыпучего
тела по мере удаления от вибрирующей поверхности (см., например, [192,
373, 416]).
АЛ.Фидлиным для теоретического решения задачи была использова¬
на несколько уточненная одномерная континуальная модель, предложен¬
328
ПРОНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[TJI 15
ная им и Е.Б.Кремером (модель С - см. § 14.1) [237]. Обозначив через v
пульсационную составляющую скорости частиц среды, автор обнаружил,
что если ввести функцию
и = vj1+*)/2*, (4.6)
где R, как и ранее, - коэффициент восстановления скорости при ударе, то
эта функция будет удовлетворять уравнению типа уравнения теплопро¬
водности, то есть играть роль квазитемпературы. Для пульсационной со¬
ставляющей скорости v получена формула
v = Vo.
2 (N- х)я/2 -
-Is
ГЛ1
Л (1 -Д)/(1 +Д) г
ь
R iN~X)
Г
N*'2
R I
~24T7rIs-1
Ч\ я2 ^
к "
\ )
2N ^ R ^
(4.7)
Здесь координата х отсчитывается от вибрирующей плоскости вертикаль¬
но вверх и представляет собой "распределенный номер частицы", так что
О < х < Ny где N - число частиц s = (1 + R) (2 - R) / 4R, I s (у) - модифи¬
цированная функция Бесселя порядкаs,av0 - некоторое характерное зна¬
чение скорости.
На рис. 15.4 представлены графики функции (х)/ vo^npn различных
значениях коэффициента восста-
V^iXj/VQ^ новления R\ как видно, "затуха¬
ние" пульсационной составляю¬
щей скорости частиц среды носит
экспоненциальный характер, что
согласуется с упомянутыми экс¬
периментальными результатами.
Рассматриваемый случай
представляет существенный при¬
кладной интерес в связи с тео¬
рией вибрационных мельниц, а
также аппаратов с виброкипящим
х слоем, используемых в химиче¬
ской технологии [156, 204, 256,
Рис. 15.4. Распределение скоростей в слое сыпу- 257, 356, 416, 417]. В случае от¬
чей среды при поперечных кол ратаях пластины носите льно мелких частиц на
(по . идлину , ]) "поперечное" движение слоя ока¬
зывает существенное влияние
воздушная среда. Наличие этой среды приводит к ряду примечатель¬
ных закономерностей, на рассмотрении которых мы здесь не можем
останавливаться.
§ 15.6]
О ТЕОРИИ ВИБРОПРОВОДНОСГИ
329
§ 15.5. О проникновении вибрации в бетонные смеси
Определенным своеобразием характеризуется процесс проникновения
вибрации в бетонные смеси; теоретическое и экспериментальное изуче¬
ние этого процесса представляет первостепенный интерес для таких важ¬
ных технологий, как вибрационное уплотнение и формование бетон¬
ных и железобетонных изделий, широко используемых в строительной
индустрии.
Бетонная смесь представляет собой многокомпонентную среду, состо¬
ящую из определенным образом подобранных по составу крупного и мел¬
кого заполнителей, вяжущего и воды. При приготовлении смеси в нее не¬
избежно вовлекается воздух. Несмотря на то что количество воздуха в
смеси относительно невелико (оно изменяется в процессе обработки),
физико-механические свойства самой смеси и затвердевшего бетона су¬
щественно зависят от его содержания [360]. В результате бетонная смесь
характеризуется достаточно сложными реологическими свойствами; важ¬
нейшими из них являются сопротивление типа сухого трения, а также вяз¬
кое трение и упругость - последняя определяется преимущественно со¬
держанием воздушной компоненты. Вибрирование приводит к вибрацион¬
ному преобразованию реологических характеристик и свойств смеси, в ча¬
стности, к ее псевдоожижению (см. § 13.1, рис. 13.1), что обеспечивает
эффективное уплотнение, необходимое для получения бетона с высокими
прочностными характеристиками, а при формовании - также и к хороше¬
му заполнению формы.
Естественно, что для изучения и практического обеспечения псевдо¬
ожижения бетонной смеси необходимо иметь четкие представления о за¬
кономерностях проникновения в нее вибрации. В соответствии со сказан¬
ным, в теоретических исследованиях бетонная смесь моделируется в виде
сплошной среды, обладающей упругими, пластическими и вязкими свой¬
ствами. Экспериментально установлено и теоретически подтверждено,
что важное значение в процессе вибрационного воздействия на смесь иг¬
рают отрыв смеси от вибрирующего элемента и разрывы ее сплошности.
Обзор современного состояния вопроса и библиографические сведения
можно найти в уже цитированной книге О.А.Савинова и Е.В.Лавринович
[360].
§ 15.6. О теории вибропроводности
В.АЛальмовым [322] развита интересная и заманчивая с точки зре¬
ния наглядности и простоты практического использования концепция
распространения вибрации в сложных механических системах, названная
им теорией вибропроводности; эта концепция распространена на более
общий случай в совместной работе А.К.Беляева и В.АЛальмова [47]. Ав¬
торы цитируют статьи американских исследователей, в частности, работы
[438, 439, 451, 460], где показано, что задача о распространении случайной
вибрации для широкого класса механических систем сводится к схеме ре¬
шения задач о распространении тепла. Далее ими предлагается общее
330
ПРОНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИИ В НЕКОТОРЫЕ СРЕДЫ
[ГЛ 15
уравнение стационарной вибропроводности для ортотропного макронеод-
нородного объекта
V -X- V5 - а5 = 0 (6.1)
и записывается граничное условие
N-X-VS = F, (6.2)
где V - оператор Гамильтона,*# - тензор вибропроводности (аналог тензо¬
ра теплопроводности), S - аналог температуры, F - внешний поток вибра¬
ции внутрь тела, N - вектор внешней нормали к поверхности объекта, а -
параметр, характеризующий интенсивность пространственного затухания
вибрации; точками обозначена операция скалярного умножения.
Рассмотрев задачу о распределении вибрации в некоторой среде со
сложной структурой (упругое тело, с каждой точкой которого связан бес¬
конечный набор невзаимодействующих изотропных линейных-осциллято¬
ров), авторы приходят к выводу, что "роль температуры в вибрационных
задачах играет усредненное по частоте средневзвешенное значение уско¬
рения вибрации вдоль осей ортотропии с весовыми коэффициентами,
равными соответствующим скоростям распространения продольных воз¬
мущений". При этом "для каждой частотной составляющей вибрации не¬
обходимо введение своей "температуры". В этом отличие вибрационной
задачи от тепловой". Для потока F получено выражение
F = со2 (S nn + S т + S т),
где со - частота, S т - спектральная плотность напряжения, нормального
по отношению к границе, a Sm и S м - спектральные плотности каса¬
тельных к границе напряжений, действующих по двум произвольным ор¬
тогональным направлениям.
Напомним, что в задаче § 15.2 настоящей главы роль температуры
играла скорость вязкой жидкости v, а для модели С сыпучей среды
(§ 15.4) - функция и = vS+RV2*, где - пульсационная составляющая
скорости частиц, a R - коэффициент восстановления при ударе. Здесь
нет противоречия с вышесказанным, поскольку очевидно, что и классиче¬
ская модель вязкой жидкости, и модель С сыпучей среды существенно
отличаются от модели сложной среды, рассмотренной в работе [47].
Представляется, что теория вибропроЪодности еще требует (и заслу¬
живает!) дальнейшего развития и конкретизации применительно к раз¬
личным средам.
Глава 16. Микровиброреология:
поведение суспензий при вибрации, эффективная
вязкость и эффективная плотность суспензий
§ 16.1. Предварительные замечания
Как отмечалось в § 11.1, к микровиброреологии естественно отнести
изучение специфики поведения при вибрации многофазных систем. В на¬
стоящей главе будут кратко изложены некоторые результаты, относящие¬
ся к поведению при вибрации бесструктурных и структурных суспензий -
систем, которые являются типичными в химических технологиях, при обо¬
гащении полезных ископаемых и в ряде других производств. Наряду с
главой 15, данная глава носит вспомогательный характер: во-первых, в
ней рассматриваются "быстрые" движения и, во-вторых, изучаемые задачи
не обязательно являются нелинейными.
§ 16.2. Бесструктурные суспензии -
твердые частицы в вязкой жидкости
В вибрационной технологии часто приходится иметь дело с заполнен¬
ными суспензией объемами, которым сообщаются гармонические колеба¬
ния заданной частоты со и амплитуды А (рис. 16.1,а).
При этом возникают по крайней мере три следующих важных вопроса:
1) каковы абсолютная и относительная амплитуды колебаний частиц
твердой фазы; 2) какую силу необходимо приложить к единичному объе¬
му суспензии для обеспечения указанных колебаний; 3) каковы при этом
затраты энергии.
Проще всего ответить на эти вопросы, если частицы являются шарами
одинакового диаметра d = 2г, взвешенными в вязкой несжимаемой жидко¬
сти, причем их объемная концентрация с в рассматриваемом объеме не
слишком велика, так что можно не учитывать взаимного влияния частиц.
Как показано в работе Н.Л.Гранат [161], упоминавшейся в § 15.2, для это¬
го с не должно превышать примерно 5%, что соответствует расстоянию
между частицами, не меньшему двух-трех диаметров (там же отмечается,
что в условиях равномерного прямолинейного движения шаров в непод¬
вижной жидкости это расстояние должно быть примерно в 30 раз боль¬
шим, что соответствует значительно меньшим концентрациям). Приведем
интересующие нас результаты работ [160 - 164] того же автора.
Закон колебаний объема жидкости считается заданным в форме
% - A sin со f, относительные колебания частиц получаются в виде
хт - А г sin (cof + ег), а абсолютные - в виде х а = Л а sin (со t + е а) ,
332
МИКРОВИБРОРЕОЛОГИЯ
[ГЛ. 16
б
Аа/А
Рис. 16.1. Если подвергнуть гармоническим колебаниям сосуд с суспензией, то твердые час¬
тицы будут совершать колебания относительно жидкости тем большей амплитуды, чем боль¬
ше плотность частиц отличается от плотности жидкости. Эффективная плотность суспензии
при колебаниях будет всегда меньше плотности суспензии
§ 16-2]
ТВЕРДЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЖИДКОСТИ
333
причем
А г/А =
Д-1 | [Д2 + Д(1 + ^а
-1
) + 4 +
81
+ Тб а
1(1+2а + 2а2 + ^а3) ]
1/2
А а/А =
А *
Д-1
1/2
е г - arctg -
1 + а
2 1 9 I
а(Д + - + -а)
arctg
-(А-!)(! +а) а'
, 3 .
2 а
1 9 _4
+ 3 + 4а
(1 + 2а + 2а2 + |а3)
/
(2.1)
Здесь А = р / р0 - отношение плотности материала частиц к плотно¬
сти жидкости, a а = r^co/2v , где v - коэффициент кинематиче¬
ской вязкости жидкости. Графики зависимостей (2.1) представлены
на рис. 16.1, б - д. Как следует из формул и графиков, амплитуда относи¬
тельных колебаний частиц А т тем больше, чем больше их плотность от¬
личается от плотности жидкости; колебания частиц, более плотных, чем
жидкость, отстают по фазе от колебаний объема - сдвиг фаз г Г лежит в
1
пределах от - - я до - к . С ростом параметра а эти амплитуды возра¬
стают, а сдвиг фаз £ г асимптотически приближается к - я . В абсолютном
движении частицы, более плотные, чем жидкость (А >1), будут, отставая
по фазе, колебаться с амплитудами А а, меньшими амплитуды колебаний
объема, а менее плотные (А < 1) - опережая по фазе, с абсолютными ам¬
плитудами, превосходящими амплитуды колебаний объема.
Сила Ру необходимая для обеспечения гармонических колебаний еди¬
ничного объема суспензии, может быть представлена в форме
р = р х + к Ху
(2.2)
где
р * = р i - р1 (2-3)
- величина, которую можно назвать эффективной плотностью суспен¬
зии при колебаниях [162]; вследствие подвижности частиц она оказывает^
ся меньшей плотности суспензии
ps = Ро (1 - с) + с р = р о [1 + С (А - 1) ] (2.4)
на положительную величину р1, определяемую по формуле
Рос (Д + ^ + ^а'1) (Аг/А)2.
(2.5)
Графики зависимости относительного эффективного (кажущегося!)
уменьшения плотности суспензии при колебаниях р '/ (р 0 с) от А и a
представлены на рис. 16.1, е. Для величины k*t которую можно назвать
334
МИКРОВИБРОРЕОЛОГИЯ
[ГЛ. 16
эффективным коэффициентом демпфирования, получается выра¬
жение
к*= ^р0ссо(1 + а)а'2Л?/Л 2. (2.6)
Мощность, которую необходимо затратить на поддержание колебаний
единичного объема суспензии,
N=<px> = \k* А2 = ^ ро с ш (I + а) а 2 А2 (А2г/ А2). (2.7)
Z о
Формулы (2.1) - (2.7) справедливы при условии, что либо число Рей¬
нольдса Re = А r(dd / v мало по сравнению с единицей, либо число
Струхаля Sh = d / А г достаточно велико по сравнению с единицей. В
работе [163] можно найти результаты, относящиеся к более общему слу¬
чаю. Заметим также, что в пределах справедливости указанных формул
нетрудно, пользуясь принципом суперпозиции, получить соответствую¬
щие результаты для случаев произвольного периодического закона коле¬
баний суспензии, а также для суспензии, состоящей из частиц различных
размеров и плотностей. Можно рассмотреть также задачу о колебаниях в
суспензии крупных, по сравнению с частицами твердой фазы и с
расстоянием между ними, твердых тел. В этом случае естественно возни¬
кает понятие о вибровязкости суспензии [164].
Отметим, наконец, что в случае, когда вязкостью жидкости можно
пренебречь, то есть когда а »1, формулы (2.1) и (2.5) резко упрощают¬
ся, принимая вид
Аг/А = |Д-1 |/(Д + |) = 2|р-ро|/(2ро+р),
Аа/А = 3/(2Д+1) = Зр/(2ро+р); ег = — тс,
р 1 / ро с = 2 (р - ро)2 / р0 (2 р + р0). (2.8)
Описанные закономерности поведения суспензий при вибрации ис¬
пользуются для интенсификации технологических процессов и ускорения
химических реакций [95, 156, 257], а также при создании приборов для
измерения запыленности среды [213].
§ 16.3. Структурированные суспензии - частицы в среде
с сопротивлением типа сухого трения
Рассмотрим теперь случай, когда твердые частицы находятся не в вяз¬
кой жидкости, а в среде с сопротивлением типа сухого трения, например,
в структурированной суспензии (рис. 16.2, а)\ в последнем случае будем
предполагать, что размер частиц значительно больше размера частиц, об¬
разующих суспензию. Дифференциальное уравнение относительного дви¬
жения частицы в такой среде, совершающей колебания по закону
Е, = A sin со t, имеет вид
т\ Х = m0 (А - 1) А со2 sin со t + F (х), (3.1)
§ 16J3]
ЧАСТИЦЫ В СРЕДЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ
335
где т\ - масса частицы с учетом присоединенной массы, т0 - масса среды
в объеме, равном объему частицы, А = р/ро - отношение средних плотно¬
стей частицы и среды,
Ffpc) = {"/ ^ * > °'
| F при х < 0,
-F1 < m0 (А - 1) А со2 sin со t < F i при х = 0 . (3.2)
Здесь F1 и F - постоянные, отвечающие силам сопротивления движению
частицы в среде соответственно из состояния относительного покоя и
при движении относительно среды (F i > F).
а
Asin(ot
/
0,8
0,6
0,4
0,2
Asinoit
N
X
Rr/(2A*) 5> А *=Щ (A~V
а)А -А
1
1
1
7)/
с=0,
\7F,
|ч
1
к
2) f- 0,7
ш
1
1
\
I
6J Z-F/ \т0 (Л -7)Аы
a)z=gf/(A(t)Z)
1
1
1
0,1 0,1 0,3 0,4 \0,50,6 0,7 0,8 0,9 10
0,472
Рис. 16.2. Твердая частица, лежащая на горизонтальной шероховатой плоскости или по¬
мещенная в среду с сопротивлением типа сухого трения, при достаточно интенсивных
колебаниях плоскости или среды совершает относительные колебания с полуразмахом R г
Уравнение (3.1) с точностью до коэффициентов совпадает с уравне¬
нием относительного движения плоского твердого тела (материальной
частицы) по горизонтальной шероховатой плоскости, совершающей про¬
дольные колебания по закону ^ = A sin со t (рис. 16.2, б):
тх = т А со2 sin со t + F(х), (3.3)
где т - масса частицы, а
\-mgf при х > 0,
mgf при х < 0,
Fix)
~т gfi < т А со sin со t < т gf\ при х = 0 .
(3.4)
336
МИКРОВИБРОРЕОЛОГИЯ
[ГЛ. 16
Через/i и / обозначены соответственно коэффициенты трения покоя и
скольжения.
Движения, определяемые уравнением (3.3), были подробно рассмотре¬
ны Л.Г.Лойцянским [263], а затем в книге [66], и поэтому здесь можно
воспользоваться результатами имеющегося решения.
На рис. 16.2 изображен график зависимости полуразмаха относитель¬
ных колебаний частицы в среде jRr от параметров системы. Величина
R г/2 А*, где А* = m0(A-l)A/mi, в рассматриваемом случае зависит
от двух безразмерных; параметров
то(А-1)Асо2’ Zl т0(А-1)Лсо2*
При построении графика принято F = 0,7/^ ь При z > 0,7 в условиях
рис. 16.2 частица движется вместе со средой (область 7), при
0,472 < z < 0,7 - скользит попеременно вперед и назад, останавливаясь
при перемене направления скольжения на конечные промежутки времени
(область II), а при z < 0,472 (область III) - мгновенно изменяя направле¬
ние скольжения. Тот же график, если под z i и z понимать величины
z \ = gfi / А (й2 и z = gf/ А со2 = 0,7 z 1, характеризует размах относи¬
тельных колебаний частицы по шероховатой плоскости.
Глава 17, Заключение. Дополнения
§ 17.1. Виброреологические эффекты в макроскопически
однородных средах (турбулентная вязкость, воброползучесть,
вибро релаксация* вибропластичность, усталость материалов)
Объединение в одном параграфе пяти перечисленных в его названии
эффектов, особенно первого и последнего - фундаментальных, может по¬
казаться необычным и даже сомнительным. Однако все они, бесспорно,
относятся к виброреологии в смысле определения, приведенного в § 11.2.
- во всех случаях под действием вибраций наблюдается существенное из¬
менение реологических постоянных тел.
О значительном увеличении эффективной (кажущейся, воспринимае¬
мой наблюдателем V) вязкости жидкости при переходе от ламинарного
режима течения жидкости к турбулентному как о виброреологическом
эффекте подробно говорилось в § 12.3; отличие от трех далее обсужда¬
емых эффектов здесь состоит в том, что пульсации элементов жидкости
возбуждаются не извне, а автономно возникают в самой жидкости. Как
отмечалось там же, в последнее время появились интересные работы,
свидетельствующие о существенном влиянии внешней вибрации на тур¬
булентное течение и на сопротивление движения тел в турбулентном по¬
токе [127, 128].
Под ползучестью понимают увеличение с течением времени дефор¬
мации при постоянном уровне напряжений. Эффект виброползучести
состоит в существенном ускорении процесса ползучести при наложении
дополнительных знакопеременных напряжений относительно небольшой
амплитуды (рис. 11 Ад): определенный уровень деформации г * достига¬
ется значительно раньше, чем при постоянном напряжении (а = а 0 + с а).
Под релаксацией понимают снижение с течением времени напряже¬
ний при неизменной заданной деформации. Соответственно эффект виб¬
рорелаксации состоит в существенном ускорении процесса релаксации
при наложении дополнительной знакопеременной деформации относи¬
тельно небольшой амплитуды (рис. 17.1,6): определенный уровень напря¬
жений а* достигается значительно раньше, чем при постоянной деформа¬
ции (е = е<> + £а).
Несомненно, родственно указанным эффектам кажущееся снижение
предела пластичности материалов при наложении высокочастотной (в ча¬
стности - ультразвуковой) вибрации (эффект вибропластичности).
Явление усталости материала состоит в том, что разрушение дета¬
ли или образца в случае знакопеременных или пульсирующих напряже¬
ний происходит при значительно меньших средних уровнях напряжений,
чем в случае напряжений, неизменных во времени.
Ввиду большого прикладного и принципиального значения перечис¬
ленных эффектов их изучению также посвящено огромное число экспе-
338
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. 17
римёнтальных и теоретических исследований; сошлемся лишь на некото¬
рые публикации, касающиеся относительно новых проблем - виброползу¬
чести, виброрелаксации и вибропластичности [18, 30, 205, 363]. Вместе с
тем задача построения моделей, объясняющих и описывающих механизм
всех упомянутых эффектов, еще не может считаться решенной. Быть мо¬
жет, понимание их виброреологической общности наведет исследовате¬
лей на некоторые полезные размышления.
а
Gr=G0-t-o^sin o)t
wwwvv
Б = £0 + £я SI n(Ot
rvru\AA/\j\Pv-
Рис. 17.1. Эффекты виброползучести и виброрелаксации. Скорость протекания процессов
ползучести и релаксации существенно повышается при наложении дополнительных зна¬
копеременных воздействий, а) Виброползучесть (слева - программа нагружения; справа -
изменение деформации во времени: I - при постоянном напряжении, П - при пуль¬
сирующем напряжении) б) виброрелаксация (слева - программа нагружения, справа - изме¬
нение напряжения во времени: I- при постоянной деформации; //-при пульсирующей
деформации)
Впрочем, во многих случаях оказывается, что для объяснения своеоб¬
разного поведения тел при вибрации нет надобности строить новые моде¬
ли, предполагающие изменение физических свойств этих тел под дейст¬
вием вибрации, а достаточно внимательно рассмотреть динамическое по¬
ведение системы в рамках существующих моделей. Примерами могут слу¬
жить работы по теории вибропогружения свай, по эффективным коэффи¬
циентам трения при вибрации (см. § § 9.3 и 12.1), а также работа В.КАста-
шева [18], где эффект вибропластичности объяснен в рамках обычной мо¬
дели упруго-пластического тела.
§17.31
СИНТЕЗ ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
339
§ 17.2. Некоторые общие виброреологические закономерности
Изложенное выше о действии вибрации на нелинейные механические
системы с трением можно кратко резюмировать в виде следующих поло¬
жений.
Для систем с сухим трением и виброударных систем:
Силы типа сухо¬
го трений воз¬
можность сис¬
тематических
ударных взаимо¬
действий
+ вибрация
медленные вибрационные силы ти¬
па вязкого трения [типа вибропре-
образованной силы V i (.X)] + допол¬
нительные медленные вибрацион¬
ные силы [типа движущей вибраци¬
онной силы V (0)] + случайная или
детерминированная вибрация.
Для нелинейных систем с вязким трением:
Силы вязкого
трения
+ вибрация>
медленные силы преобразованного
вязкого трения + дополнительные
медленные вибрационные силы +
случайная или детерминированная
вибрация.
Последние слагаемые в правых частях этих условных формул указы¬
вают на то, что результирующие колебания, даже при детерминированном
воздействии, часто носят случайный характер, например, вследствие ста¬
тистического характера микросвойств тел или элементов, из которых со¬
стоят эти тела. Напомним также, что, говоря о вибрационном воздейст¬
вии, мы имеем в ви^у не обязательно внешнее воздействие, но также и
воздействие случайной или детерминированной вибрации, возникающей
внутри автономной системы.
Сказанное относилось к макровиброреологии. Что же касается микро¬
виброреологии, то основным здесь является возникновение более или ме¬
нее интенсивных относительных колебаний разнородных компонент (фаз)
многофазной системы.
§ 17.3. О проблеме формирования виброреологических
евойств нелинейных механических систем
Почти все изложенное в настоящем разделе относилось к анализу
виброреологических эффектов. Методы синтеза виброреологических
свойств нелинейных систем, в частности - целенаправленного формиро¬
вания вибрационных сил, только начинают развиваться. Решение этой
важной проблемы - задача ближайшего будущего.
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Глава 18. Движение частицы в быстро осциллирующем
неоднородном поле
§ 18.1. Простейший случай: прямолинейное движение
в поле гармонической стоячей волны
Краткий обзор основных закономерностей поведения частиц в быстро
осциллирующих силовых полях и соответствующих публикаций был при¬
веден в § 4.3 в связи с задачей о маятнике с вибрирующей Ьсью подвеса и
ее обобщениями. Важнейшие из этих закономерностей могут быть уста¬
новлены при рассмотрении простейшей задачи - об одномерном движе¬
нии частицы в быстро осциллирующем стационарном силовом поле.
Уравнение движения частицы в таком поле запишем в виде
т х = F0 (х)-Лх + (x)sincof. (1.1)
Здесь x - координата частицы, т - ее масса, F о (х) - ’'медленная" позици¬
онная сила, h - коэффициент вязкого сопротивления, | 4* (х) | - амплиту¬
да быстро осциллирующей с частотой со силы, зависящая от координаты
х; быстро осциллирующее поле, таким образом, носит характер стоячей
волны (рис. 18.1, а).
Точки Ху где Ч* (х) = О , как обычно, будем называть узлами, а точки
х, где Ч* (х) имеет максимумы или минимумы, - пучностями волны; в та¬
ких точках 4*1 (х) = О (считаем, что Ч* (х) , так же как и F о (х), - доста¬
точно гладкая функция).
Будем предполагать, что частота со » 1 (см. сноску на с. 45), а сила
Ч* (х) велика по сравнению с F 0(х) и Лх, так что уравнение (1.1) может
быть представлено в форме
тх = F(x,x) + coOi(x, со0, (1.2)
где
F(x,x) = F0 (х) - hx,
C0Oi(X, СО 0 = Ч* (х) sin СО t, <ФХ>Х = const = 0. (1.3)
Будем интересоваться решениями уравнения (1.2) вида
х = X(t) + е у 1 (t, со t)\ < у 1 > = 0, е = 1/со « 1. ^-4)
Поскольку соотношения (1.2) - (1.4) имеют вид равенств (2.32) - (2.34)
п. 2.2.7, то, предполагая также, что выполнены соответствующие условия
первой и второй теорем Н.Н.Боголюбова, можно воспользоваться теоре¬
мой 6, приведенной в указанном подразделе. Согласно этой теореме в
§ 18.1] ЧАСТИЦА В ПОЛЕ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ 341
в
х~Х7 + ф, 9r(Xf)>0, Ф'(ХГ)>0
V(xf)<0
x-xz+<p, V(Xz)<0, V(Xz)>0
Wx)sin<ot V(Xz)>0
У//////////М ot
©
Рис. 18.1. Частица в быстро осциллирующем неоднородном поле "дрейфует" к точкам поля,
в которых амплитуда силы | Ч* (х) | имеет минимум
342
ЧАСТИЦЫ В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ НЕОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
[ГЛ. 18
первом асимптотическом приближении основное уравнение вибрационной
механики может быть представлено в форме
тХ = F0(X) - hX+V(X), (L5)
где при учете соотношений (1.3), (1.4) и формул (2.35) и (2.37) гл. 2 виб¬
рационная сила
V(X) = —< Ч'ООЧ* (X, tot) sin a>t>, (1.6)
0)
причем у * есть периодическое решение уравнения быстрых движений
mij/i = со ¥ ДО sin со t, (1.7)
найденное при X = const. Иными словами,
\|/Г = - Ч'ДОвтсог/тсо, 0*8)
что соответствует так называемому чисто инерционному приближению
(см. п. 2.2.8). В результате после усреднения по формуле (1.6) получаем
V(X) = - | -Ц ^(ДО^'СДО = (1.9)
2 т со 4т со
Если ввести “обычную” потенциальную энергию медленных сил П/?,
так что
^Y = -Fo(X), (1.10)
потенциальную энергию вибрационных сил
Пн= -~—2^г(Х), ^ = - V(X) = —!—2'V(X)'¥'(X) (1.11)
4т со аХ 2т со
и потенциальную функцию
D = П f + П v, (1.12)
то основное уравнение (1.5) представится в форме
тХ + hX = - (113)
аХ
характерной для потенциальных в среднем динамических систем при на¬
личии диссипации энергии (см. § 3.1), тогда как исходное уравнение (1.1)
даже при h = 0 соответствовало существенно неконсервативной системе.
Таким образом, согласно упоминавшейся теореме 6 п. 2.2.7 и теоремам
Томсона-Тэта-Четаева, точкам Х0 строгого минимума функции D соот¬
ветствуют положения асимптотически устойчивого квазиравновесия ис¬
ходной системы, то есть движения вида (1.4), для которых X = Х0 = const
(о понятии квазиравновесия см. § 3.3).
Обратимся к анализу полученного результата. Рассмотрим сначала
случай, когда сила F 0 (х) отсутствует, так что D = П v = (X) / т (й2.
4
Тогда если отсутствует также и силовое поле, то как для исходной, так и
преобразованной системы каждая точка оси х является положением рав¬
§ 18.1]
ЧАСТИЦА В ПОЛЕ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
343
новесия частицы. При наличии силового поля появляются изолированные
положения квазиравновесия, соответствующие узлам и пучностям волны,
то есть точкам максимумов и минимумов функции Ч*2 (X) - точкам, где
Ч* 1 (jc) = 0 , Ч* 11 (х) * 0 и *¥ (х) = 0 , (рис. 18.1,а). При этом точкам
минимумов амплитуды волны | Ч* (jc) | (в том числе и узлам функции
Ч* (jc)) отвечают положения устойчивого, а точкам максимумов - неустой¬
чивого квазиравновесия частицы. Иными словами, в силовом поле типа
стоячей волны частицы “притягивается” к точкам минимума амплитуды
поля | Ч* (jc) | и отталкивается от точек максимума | Ч* (jc) |.
Подводя итог, можно сказать также, что наличие стоячей волны при¬
водит к возникновению для медленных движений частицы “потенциаль¬
ных ям”, соответствующих ее устойчивым состояниям; эти ямы располага¬
ются в точках минимума амплитуды волны | Ч* (jc) | , включая узлы волны,
где Ч* (jc) = 0.
К сформулированным результатам можно прийти путем достаточно
простых рассуждений эвристического характера. Приведем эти рассужде¬
ния, поскольку они могут оказаться полезными при анализе многих задач
рассматриваемого типа.
Предположим, что частица находится вблизи некоторого положения
х = Х\ и совершает относительно него быстрые колебания \|/, обуслов¬
ленные действием силы Ч* (jc) sin со t. Эти колебания можно найти из урав¬
нения
т \|/ = ¥ (АТ 0 sin со f, (1-14)
откуда
\|/ = - A sin со t = A sin (cof + я), (1-15)
где
А = А(Х0 = ^(ХО/тш2. (1.16)
Таким образом, у представляет собой гармоническое колебание, проти¬
вофазное по отношению к силе 4J (X i) sin со t. Это обстоятельство
существенно.
Действительно, предположим, что в рассматриваемой точке jc = AT i
справедливы неравенства Ч* (X 0 > 0 , Ч*1 (X) > 0, то есть функция
(*)> будучи положительной, возрастает (рис. 18.1/5). Тогда за одну по¬
ловину периода 0 < со t < к , когда сила Ч* (jc) sin со t положительна,
среднее значение < (jc) sin со t > т/г этой силы будет по абсолютной ве¬
личине меньше, чем среднее значение той же силы за другую половину
периода, когда эта сила отрицательна. В результате среднее за период
значение силы Ч* (jc) sin со t , то есть вибрационной силы, окажется отри¬
цательным : V (X О = < (jc) sin со t > < 0 .
Аналогичным образом легко устанавливается, что если быстрое
движение происходит вблизи точки jc = X 2, в которой
Ч* (АГ2) < 0 и 1 (Х2) > 0 , то (рис. 18.1,в) V(X2) = < Ч* (х) sin со t > > 0.
И вообще, если в некоторой точке х = Хп знаки Ч* (Хп) и Ч*1 (ДГЛ) оди¬
наковы, то V(Xn) < 0, а если знаки различны, то V(Xn) > 0. Эта законо¬
344
ЧАСТИЦЫ В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ НЕОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
[ГЛ. 18
мерность иллюстрируется рис. 18.1, а, где первый знак на определенном
интервале изменения функции Ч* (.х) соответствует знаку *¥ (х), а вто¬
рой - знаку Ч* '(х). Стрелками над осью абсцисс и над графиком функции
Ч* (х) показаны направления действия вибрационной силы V (X). Но тогда
из рассмотрения рис. 18.1, а непосредственно следует, что в результате
действия силы Ч* (х) sin со t возникает медленная сила V, всегда “притяги¬
вающая” частицу к точкам минимума функции | Ч* (х) | и “отталкиваю¬
щая” ее от точек максимума этой функции.
Иными словами, вследствие действия силы Ч* (х) sin со t частицы бу¬
дут медленно двигаться ("дрейфовать") к точкам минимумов функ¬
ции | Ч* (х) | как к некоторым устойчивым состояниям квазиравновесия. В
числе таких устойчивых точек (на рис. 18.1, а они помечены буквой V* в
отличие от неустойчивых точек, помеченных буквой “и”) будут и точки,
где Ч* (х) = 0 , то есть узлы волны 4J (х). Таким образом, путем простых
рассуждений, которые не претендуют на строгость, мы приходим к тем
же результатам, что и полученные путем аналитического рассмотрения.
При наличии “обычной” силы F о(Х) появление вибрационной силы
V(X) может привести к существенным последствиям, которые уже были
обсуждены в § 4.3: могут исчезнуть прежние положения устойчивого рав¬
новесия и появиться новые положения устойчивого квазиравновесия,
прежние устойчивые положения равновесия могут стать неустойчивыми
положениями квазиравновесия и наоборот, прежние положения устойчи¬
вого равновесия могут сместиться и т.п. Все эти закономерности могут
быть трактованы с позиций вибрационной механики как результат добав¬
ления к “обычной” потенциальной энергии П F слагаемого П v, отвечаю¬
щего вибрационным силам; об этом также говорилось в § 4.3.
§ 18.2. Частный случай: маятник с вертикально
вибрирующей осью подвеса
Ставшая классической задача о поведении маятника с вертикально
вибрирующей осью подвеса (рис. В.2, б) представляет собой частный слу¬
чай задачи, рассмотренной в § 18.1. Действительно, дифференциальное
уравнение движения такого маятника имеет вид
/ф + Л ф + m/(g + Aco2sincof)sin(p = 0; (2.1)
оно получается из уравнения (1.2) гл. 4, если положить в немЯ=0,
G = А, 9 = п/2 , и отличается от уравнения колебаний маятника с непод¬
вижной осью лишь тем, что к ускорению земного тяготения g добавлено
ускорение вибрации (обозначения здесь те же, что и в п. 4.1.2). Сопостав¬
ляя уравнение (2.1) с (1.1), заключаем, что в данном случае можно поло¬
жить
^о(Ф) = - mg/sincp, Ч* (ф) = - т А со2/ sin ф, (2.2)
причем роль координаты х играет угол поворота маятника ф.
Согласно изложенному в § 18.1 “точками притяжения” маятника,
обусловленными действием вибрации, являются точки минимума
§ 183]
ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ
345
функции^ | Ч* (ф) | = т А со21 | sin ф |. Таких существенно различных то¬
чек всего две: ф i = 0 и ф 2 = л ; первая соответствует нижнему, а вто¬
рая - верхнему положению маятника. Если сила тяжести отсутствует (ось
маятника вертикальна) или мала по сравнению с силой инерции т А со2,
то этим точкам и соответствуют положения устойчивого равновесия маят¬
ника - маятник располагается вдоль направления вибрации. В другом
крайнем случае, когда т А со2 «mg, нижнее положение ф i = 0 устой¬
чиво, а верхнее неустойчиво. Эти выводы, естественно, совпадают с при¬
веденными в п. 4.1.5. Совпадают и соответствующие выражения для. виб¬
рационного момента, потенциальной энергии вибрационных сил, уравне¬
ния медленных движений, а также условия устойчивости верхнего
положения маятника, получаемые из соотношений § 18.1 при учете ра¬
венств (2.2).
§ 18.3. Обобщения задачи
Решение задачи в значительно более общем случае системы с произ¬
вольным числом степеней свободы п и когда быстро осциллирующее си¬
ловое поле представляет собой сумму любого числа к стоячих волн раз¬
личных частот v к со, по существу, приведено в § 3.4. Быстрая обобщенная
сила, соответствующая некоторой обобщенной координате q г, при этом
имеет вид
Фг(?1 Ц, (Of) =
ц к
i v* со t
(3.1)
где |i = 1/со - малый параметр, v * * 0,
показано, если выполняются соотношения
V-к = - V *, f г,-к - f г, к- Как
Э/ тк
Э frit
Э qr
1
о
II
=t
Э q т
(3.2)
ц = 0
то существует потенциальная функция
D — П | ц = о + Пк, (3*3)
грубым минимумам которой по обобщенным координатам q \,..., q п соот¬
ветствуют асимптотически устойчивые квазиравновесия системы, описы¬
ваемой дифференциальными уравнениями (4.1) гл. 3 (П- "обычная" потен¬
циальная энергия системы, то есть потенциальная энергия, отвечающая
медленным обобщенным силам).
Таким образом, и в общем случае роль потенциальной энергии при
наличии осциллирующего поля играет сумма (3.3), и поэтому здесь мож¬
но повторить все сказанное в § 18.1 и 4.3 о трансформации положений
равновесия под действием поля.
Медленные движения системы описываются дифференциальными
уравнениями (4.9) гл. 3, которые, как и уравнение (1.12), имеют вид, соот¬
ветствующий потенциальной в среднем системе при наличии диссипации.
346
ЧАСТИЦЫ В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ НЕОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
[ГЛ. 18
Заметим, что результаты, о которых идет речь в настоящем па¬
раграфе, а также в § 18.1, могут быть обобщены на случай "медлен¬
но бегущих" волн.
Обзор исследований [19, 40, 90, 95, 137 - 141, 178, 193, 195, 225, 233,
258 - 260, 265, 269, 272, 369, 405 - 410, 426] по затронутой в данной главе
проблеме и соответствующим приложениям приведен в § 4.3, где эти исс¬
ледования рассматриваются как развитие классического исследования по¬
ведения маятника с вибрирующей осью подвеса, а также в п. 2.2.12 и в §
3.4 в связи с работами по развитию метода прямого разделения движений
и по теории потенциальных в среднем динамических систем.
Глава 19. Резонансы (синхронизация)
в орбитальных движениях небесных тел
§ 19.1. Предварительные замечания
Проблеме резонансов (соизмеримостей периодов, синхронизации) в
движениях небесных тел, являющейся одной из основных в проблеме
многих тел, посвящено значительное число как классических, так и со¬
временных исследований (см., например, [8, 41 - 45, 79, 84, 147, 165а; 181,
293, 296, 340, 415, 434, 456]). В настоящей главе подходы вибрационной
механики, в частности, теории потенциальных в среднем динамических
систем, а также некоторые результаты теории синхронизации динамиче¬
ских объектов используются при изучении резонансов в орбитальных дви¬
жениях небесных тел. Особое значение при этом имеет интегральный
критерий устойчивости (экстремальное свойство) синхронных движений
(гл. 3), из которого при достаточно общих предположениях вытекает, что
устойчивые резонансные движения непременно существуют, то есть име¬
ет место тенденция к синхронизации. Тем самым факт относительно ши¬
рокой распространенности резонансов в Солнечной системе получает
объяснение в общей форме.
Из интегрального критерия устойчивости следует также "правило от¬
бора" устойчивых фазировок в резонансных движениях; результаты, выте¬
кающие из этого правила, хорошо подтверждаются наблюдательными
данными; в простых частных случаях эти результаты соответствуют по¬
лученным аналитически.
Если говорить более конкретно, то оказывается, что в случае орби¬
тальных движений системы к тел (точечных масс) под действием грави¬
тационных сил относительно некоторого тела значительно большей мас¬
сы потенциальная функция, аналогичная потенциальной энергии в зада¬
чах об устойчивости равновесия (см. гл. 3), приближенно равна усреднен¬
ному за период значению потенциала гравитационного взаимодействия
этих тел. Отсюда следует, что эвристический "принцип наименьшего вза¬
имодействия", сформулированный в статье [456] (1974 г.), вытекает как
приближенно справедливый из результатов, полученных ранее аналитиче¬
ским путем. В дополнение к "проверкам" принципа, приведенным в ука¬
занной статье, в настоящей главе показано, что для движения Урана и
Нептуна, спутников Сатурна Энцелада и Дионы, а также аналогичных пар
тел (резонанс типа 1:2), теоретически найденные значения разностей
времени прохождения телами через перицентры в устойчивых движениях
хорошо согласуются с наблюдательными данными.
Проведенное исследование позволяет предложить классификацию
резонансов в системах с малыми эксцентриситетами и малыми наклонени¬
ями орбит обращающих тел по "относительной силе" этих резонансов. На
основе такой классификации обсуждается гипотеза А.М.Молчанова о пол¬
ной резонансности орбитальных движений больших планет Солнечной
системы и выдвигается "более слабая" гипотеза о простой резонансности
348
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
движений тел в планетной и спутниковой системах. Рассматривается со¬
гласие этой гипотезы с наблюдаемым движением тел Солнечной системы.
Высказываются соображения о возможном способе проверки гипотез от¬
носительно близости движений небесных тел к резонансам и об установ¬
лении направления эволюции этих движений.
Примечательная особенность рассматриваемой системы состоит в том,
что масштабы быстрых движений (обращений тел вокруг центрального
тела) не малы, а скорее велики по сравнению с масштабами медленных
движений (эволюцией элементов орбит). Как отмечалось в п. 2.2.4 и 2.2.9,
это обстоятельство не препятствует использованию метода прямого раз¬
деления движений, хотя и изменяет требования к относительным поряд¬
кам правых частей уравнений медленных и быстрых движений при реше¬
нии задач этим методом. Впрочем, для справедливости всех приводимых
ниже результатов анализ справедливости этих требований не обязателен,
поскольку правые части уравнений движения не зависят от медленного
времени и рассматривается движение в достаточно малых окрестностях
устойчивых стационарных режимов (см. замечание 4 в п. 2.2.4).
В заключение обращается внимание на целесообразность использова¬
ния подходов вибрационной механики при решении задач о движении не¬
бесных тел со внутренними степенями свободы. В главе развиваются и
обобщаются результаты, изложенные в работах [79, 84, 101].
§ 19.2» Основные результаты общей теории синхронизации
и теории потенциальных в среднем динамических систем
применительно к рассматриваемой проблеме
19.2.1. Описание системы. Исходная и каркасная системы. Рас¬
смотрим систему, состоящую из к + 1 - го гравитирующих тел, идеализи¬
руемых в виде материальных точек (рис. 19.1, а). Однр из тел (назовем
его центральным) имеет массу т0, значительно большую масс
т s (5 = 1,..., к) всех прочих тел. При этом силы, с которыми взаимодейст¬
вуют тела ms, считаются малыми по сравнению с силой их притяжения к
т0 (здесь и далее тела обозначаются так же, как и их массы). В соответст¬
вии с этим предполагается, что все тела движутся в первом приближении
(то есть в так называемом невозмущенном движении) по эллиптическим
(кеплеровским) орбитам. Движение каждого из тел по такой фиксирован¬
ной орбите описывается Ts - периодической функцией времени t, в каче¬
стве которой можно принять, например, аргумент широты M?(f + T$).
Вследствие автономности уравнений невозмущенного движения каждого
тела эта функция определена с точностью до произвольной начальной
фазы Xs, за которую может быть принят, например, момент прохождения
телат«? через перицентр *).
*) В настоящей главе мы частично используем обозначения, принятые в исследованиях
по небесной механике. Например, параметрам a s гл. 3 и 6 здесь соответствуют параметры т S}
а вращательным (угловым) координатам (ps - координаты us..
§ 19.2]
СВЯЗЬ С СИНХРОНИЗАЦИЕЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬЮ В СРЕДНЕМ 349
Пусть частоты обращения тел в невозмущенном движении - средние
движения п s = 2 п/Тs связаны соотношениями
где л о - положительное число, a U - взаимно простые целые числа, то
есть в невозмущенном движении имеет место резонанс (синхронизация) с
общим наименьшим периодом обращений Т0 - 2 л л о.
Рис. 19.1. Гравитирующие тела mi к, движущиеся по орбитам вокруг центрального
тела то. а) Исходная (свободная) система; б) - идеализированная “каркасная” система
Приведем вначале результат, относящийся к простейшему аналогу
описанной системы, в котором тела ms движутся не свободно, а в жестких
трубках с осевыми линиями, совпадающими, например, с эллиптическими
орбитами невозмущенной исходной системы. При этом все трубки связа¬
ны одна с другой и с центральным телом посредством жесткого каркаса,
так что они образуют одно твердое тело (рис. 19.1,6). Тогда каждое из тел
ms вносит в систему всего одну степень свободы; его положение в трубке
полностью определяется угловой координатой us. В отличие от исходной
системы, которую для краткости будем называть свободной, описанную
упрощенную систему назовем каркасной.
Заметим, что, в сущности, подобная, хотя и несколько отличная идеа¬
лизация используется в небесной механике при решении задач о враща¬
тельных движениях тел, когда отбита центра инерции тела считается за¬
данной (как правило - кеплеровской) (см., например, [42, 45, 46,а]. При
решении многих вопросов такая идеализация допустима; необходимо, од¬
нако, учитывать, что мы имеем здесь случай игнорирования степеней сво¬
боды системы, а это может приводить (и действительно приводит - см.
ниже) к противоположным суждениям об устойчивости ее движений.
Пусть координаты Us могут быть выбраны так, что в невозмущенном
("порождающем") движении они удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
(2.1)
Isiis + ks(its - lsn0) = 0 (s
(2.2)
350
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
где Is и ks - положительные постоянные, то есть что невозмущенное
движение тел ms в координатах us представляет собой равномерное синх¬
ронное вращение
Us = I sn v{t + Is) (2‘3)
с некоторыми начальными фазами х *, не определяемыми из рассмотрения
только невозмущенного движения. Невозмущенное движение каркаса со¬
ответствует его малым чисто вынужденным колебаниям при отсутствии
сил сопротивления, возникающим при движении тел ms согласно (2.3).
19.2.2. Потенциальная функция и интегральный критерий ус¬
тойчивости (экстремальное свойство) резонансных движений систе¬
мы тел. Описанная система относится к системам с почти равномерными
вращениями, рассмотренными в п. 3.2.1; она весьма близка также к систе¬
мам с самосинхронизующимися вибровозбудителями, подробно изучен¬
ным в гл. 7. Согласно результатам п. 3.2.1 устойчивые синхронные движе¬
ния системы, обращающиеся при отсутствии взаимодействия тел ms в
синхронные движения (2.3) невозмущенной системы (2.2), могут соответ¬
ствовать точкам грубого минимума (см. сноску на с. 76) потенциальной
функции
D = D(- zk) = ~ (А +В), (2.4)
где А = < [ L ] > - среднее за период Т = 2 к/п 0 значение лагранжиана
системы, вычисленное на невозмущенном движении (2.3), а В - потенци¬
ал усредненных неконсервативных сил. При этом условия, вытекающие
из требования грубого минимума функции D по разностям фаз т * - т *,
являются основными в том смысле, что именно они определяют "отбор"
разностей фаз в возможных устойчивых синхронных движениях.
Эти условия являются и "грубо необходимыми", то есть необходимы¬
ми в том смысле, что отсутствие минимума, обнаруживаемого путем ана¬
лиза членов второго порядка в разложении функции D вблизи стационар¬
ной точки, свидетельствует о неустойчивости рассматриваемого синфаз¬
ного движения. Можно показать также, что наличие грубого минимума
функции D обеспечивает для рассматриваемой системы асимптотическую
устойчивость соответствующего синхронного движения по разностям фаз
Is ~ Xk (S= 1,1).
Заметим, что, как и в задачах о самосинхронизации вибровозбудите¬
лей, введение в рассматриваемую систему малых позиционных сил, обес¬
печивающих отличие от нуля частоты свободных колебаний каркаса, а
также малых диссипативных сил с полной диссипацией, гарантирует при
условии минимума функции D асимптотическую орбитальную устойчи¬
вость синхронных движений по всем координатам.
Поскольку функция Лагранжа L рассматриваемой системы может
быть представлена в виде суммы (2.18) гл. 3, то потенциальная функция
D может быть записана в форме
D = Aw - А(Л) - В. (2.5)
§ 19J2]
СВЯЗЬ С СИНХРОНИЗАЦИЕЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬЮ В СРЕДНЕМ
351
Здесь A w и Ада - усредненные лагранжианы соответственно несущих и
несомых связей между телами ms, причем для изучаемой системы
Д(/) = <[Г(7)]>, А (Ш) = <[Um]>, (2-6)
где Т(Г> - кинетическая энергия центрального тела m 0, а
t/W=l/y|^mi (2?)
2 = 1
- потенциал гравитационных сил взаимодействия между телами ms
(f - гравитационная постоянная, А,у- расстояние между телами ms и ту);
штрих при знаке суммы указывает на пропуск слагаемого, соответствую¬
щего s = у.
Обращаясь теперь к рассмотрению системы как свободной, воспользу¬
емся результатами Р.Ф.Нагаева, относящимися к задаче о синхронизации
слабо связанных квазиконсервативных объектов и изложенными в п. 3.2.2.
Их отличия от результатов, получаемых для каркасной системы, состоят в
следующем.
1. Для свободной системы условие наличия грубого минимума потен¬
циальной функции D дает лишь грубо необходимые (в указанном выше
понимании) условия устойчивости по разностям координат us - иь Вместе
с тем и для свободной системы указанное условие минимума D является
основным в том смысле, что именно оно, как и для каркасной системы,
определяет отбор комбинаций разностей начальных фаз т * - т *, которым
могут отвечать движения, устойчивые по us - иь
Совокупность необходимых и достаточных условий устойчивости сво¬
бодной системы вытекает из результатов работы [300]; следует, однако,
отметить, что эти условия, вообще говоря, не выполняются, ибо очевидно,
что по некоторым координатам рассматриваемая система неустойчива
(см., в частности, пример в § 19.4).
2. Для свободной системы функция D имеет вид
D = D{zx-xt,...,xk-x - х») = < [Um\> - < [Тф]> + В, (2.8)
что соответствует изменению знака перед первыми двумя (как прави¬
ло, основными) слагаемыми выражения (2.5). Иными словами, если
можно пренебречь величиной В, то устойчивые синхронные движения
в случае свободной системы отвечают минимуму функции
< [U{n)]> - < [Т(Л]> у тогда как для каркасной системы устойчивые
движения соответствуют максимуму этой функции.
Это обстоятельство представляет собой прямое следствие того, что
тела ms в каркасной системе, как и неуравновешенные роторы в задаче о
самосинхронизации, являются жесткоакизохронными объектами, тогда как
свободные тела представляют собой мягкоанизохронные объекты. Ска¬
занное легко устанавливается на основе определения и формулы
(2.41) п. 3.2.2. В связи с этим и изменяется значение числа а в приведен¬
ных там же формулах (2.40) и (2.42). На возможность такой ситуации, свя¬
352
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
занной с игнорированием степеней свободы системы, уже обращалось
внимание в начале параграфа.
Таким образом, интегральный критерий устойчивости (экстремальное
свойство) синхронных движений применим как для исходной системы, так
и для ее каркасной идеализации.
Отметим, что наличие выражений (2.4), (2.5) и (2.8) для потенциаль¬
ной функции D позволяет сразу составить основные уравнения вибраци¬
онной механики в форме уравнений (1.1) или (1.3) гл. З.
19.2.3. 6 теоретическом объяснении распространенности резо¬
нансов в Солнечной системе. Важное следствие из справедливости
для рассматриваемой системы интегрального критерия устойчивости со¬
стоит в том, что синхронные резонансные движения существуют при до¬
статочно общих предположениях [84, 101]. В частности, для изучаемой си¬
стемы, как и для систем с самосинхронизующимися вибровозбудителями
(см. п. 6.2.4), ввиду малости диссипативных сил и периодичности функ¬
ций < [ ] > и < [ Т® ] > по х5 - т* грубые минимумы функ¬
ции D, вообще говоря, непременно существуют (см., в частности, пример
в § 19.3). Тем самым факт относительно широкой распространенности ре¬
зонансов в Солнечной системе получает объяснение в общей форме. Бо¬
лее подробному обсуждению вопроса о таких резонансах посвящен § 19.5.
19.2.4. О "принципе наименьшего взаимодействия" Овендена,
Фиджина и Граффа и роли диссипативных сил в системе. Бели
масса центрального тела m 0 столь велика по сравнению с массами
а диссипативные силы столь малы, что в выражении (2.8)
можно пренебречь двумя последними слагаемыми, то потенциальная
функция D практически совпадает с усредненным потенциалом взаимного
тяготения тел
D = < [U™]> . (2.9)
В связи с этим соотношением отметим, что в работе М.Овендена,
Т.Фиджина и О.Граффа [456] (1974 г.) был выдвинут так называемый
принцип наименьшего взаимодействия, согласно которому движения
планетарных и спутниковых систем таковы, что большую часть времени в
процессе эволюции система движется так, что временное среднее от по¬
тенциала взаимодействия < [ Uт ] > имеет минимальное значение. Из
изложенных результатов и формулы (2.9) следует, что этот эвристиче¬
ский принцип вытекает как приближенно справедливый из установленно¬
го ранее интегрального критерия устойчивости (экстремального свойства)
синхронных движений [59, 60, 72, 298] (1960 - 1970 гг.).
Отметим в связи с обсуждаемой проблемой сложный, отчасти проти¬
воречивый, характер влияния диссипативных сил на поведение рассматри¬
ваемой системы. С одной стороны, тенденция к синхронизации, имеющая
место при условии малости усредненных диссипативных сил по сравне¬
нию с потенциальными, может быть подавлена диссипативными силами,
§ 19.3]
МАЛЫЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТЫ, БЛИЗКИЕ ПЛОСКОСТИ ОРБИТ
353
если это условие не выполняется. Иными словами, "недостаточно глубо¬
кие" потенциальные ямы, отвечающие определенным резонансам, могут
исчезнуть вследствие сравнительно сильной диссипации (подробнее об
этом см. в [84]). Далее, как известно, диссипативные силы в одних случа¬
ях приводят к асимптотической стабилизации движения, а в других (см.
пример в § 19.4) - к постепенному (в рассматриваемых системах - весьма
медленному) разрушению временной устойчивости.
Наконец, учет диссипативных сил в рассматриваемой системе приво¬
дит, вообще говоря, к изменению периода синхронных (резонансных) дви¬
жений. Однако при малости диссипативных сил это изменение, как и раз¬
рушение временной устойчивости, становится ощутимым лишь на весьма
больших интервалах времени по сравнению с характерными временами, на
которых изучаются интересующие нас здесь свойства движения.
В соответствии с изложенным вполне правомерной представляется
концепция о роли диссипативных сил в процессе эволюции движений не¬
бесных тел, описываемая, например, в работе [147]: вследствие диссипа¬
ции соотношения между средними орбитальными вращательными движе¬
ниями тел в ходе эволюции изменяются; захват в устойчивое резонансное
движение и последующее длительное "застревание" в нем происходят
(точнее - могут произойти) в случаях, когда эти соотношения становятся
близкими к соответствующим резонансным.
§ 19.3. Случай, когда орбиты тел лежат в одной ниш близких
плоскостях и имеют малые эксцентриситеты.
О классификации резонансов
Рассматриваемый случай относится, в частности, к движению тел
Солнечной системы. Пусть сначала орбиты лежат в точности в од¬
ной плоскости. Тогда выражение для потенциала Um можно записать в
форме
<ЗЛ)
где rs и us - полярные координаты тела ms относительно полюса О, совпа¬
дающего с центральным телом (рис. 19.2). Для кеплеровского движения
имеем известные разложения по степеням эксцентриситета орбиты:
г s = г? = a si l-e scosns(t-Ts) + ...},
Us = Us - со s + п s (t - X s) + 2 e s sin Л 5 (t - I s) + ... .
Здесь Us - аргумент широты тела ms\ со s - угловое расстояние перицентра
от узла (то есть от линии ON, направление которой в данном случае про¬
извольно); х 5 - момент прохождения через перицентр, играющий, как от-
мечалось, роль начальной фазы; as - большая полуось орбиты, связанная
со средним движением третьим законом Кеплера п s = {fm о)12 a s 3/2.
12 И.И.Блехмаи
354
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
Подставив выражения (3.2) в формулу (3.1) и произведя усреднение
по времени, получим с точностью до членов выше 1-го порядка относи¬
тельно эксцентриситетов es и несущественного в дальнейшем слагаемого,
не зависящего от т
ng/nj = l/(l± 1)
— Ъ Р (z sj) ]} cos р sj \ п j (х s — X у) — СО s + СО у ]. (3.3)
Здесь
2
ZjS = a j/a s = (п s/n j) з, р sj = п s/(n s - п у),
qSj = (2ns-nj)/(ns-nj), (3.4)
а через b Р (z) - Ъ (z) обозначены коэффициенты в разложении
оо
(1 + z2 - 2zcosX)“3/2 = X bPcosrX, (3.5)
Г — — 00
называемые коэффициентами Лапласа. Соотношение = лу, записан¬
ное под первой двойной суммой, указывает на то, что в ней учитываются
лишь слагаемые, соответствующие всем имеющимся в системе телам с
одинаковыми средними движениями ns (а значит, и с одинаковыми полу¬
осями as = а), а соотношение п s/n / = I / (l± 1) под второй двойной сум¬
мой - что учитываются лишь слагаемые, соответствующие всем имею¬
щимся парам тел, средние движения которых ns и nj относятся как после¬
довательные целые числа (/ - целое число, I Ф 0 , /±1*0).
Из выражения (3.3) следует, что в случае чисто кругового плоского
движения возможна лишь синхронизация тел с одинаковыми средними
движениями; при эллиптических орбитах с малыми эксцентриситетами es
рассмотрение членов первого порядка относительно es в разложении ус¬
редненного потенциала < [ U w ] > позволяет учесть взаимодействия, ко¬
торые могут привести к синхронизации тел со средними движениями, от¬
носящимися как последовательные целые числа (резонансы типа
I: (/ ± 1)).
Как показал А.В.Веретинский, если в случае неплоской системы найти
в разложении для < [ Um ] > также и члены, линейные относительно
v sj — sin 2 (Iq/2) (ISj ~ угол между плоскостями невозмущенных орбит
тел ms и ту), то будут учтены взаимодействия, которые могут привести к
резонансам до типа /: (/ ± 2) включительно, а если принять во внимание
и квадратичные относительно es и v $ слагаемые, то до типа /: (/ ± 4)
включительно. Разумеется, что при малых es и v Sj эти последние взаи-
§ 19.4]
ДВА ОБРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛА
355
Рис. 19.2. Случай, когда орбиты тел т\ т * лежат в одной плоскости (для упрощения
чертежа изображены только две массы
модействия будут более слабыми, чем обусловленные линейными относи¬
тельно £s и v sj членами.
Исходя из сказанного, представляется целесообразным следующая
классификация орбитальных резонансов по степени их "относительной
значимости" (при фиксированном /): к нулевому порядку будем относить
резонансы типа / : /, к первому - типа /: (/ ± 1) и /: (/ ± 2), ко второму -
типа /: (/ ± 3) и /: (/ ± 4) и т.д. Заметим, что по классификации Ю.М озе¬
ра [293], в отличие от предлагаемой, под резонансом порядка л понимае'г-
ся резонанс типа I: (/ ± п). Обе классификации, однако, оказываются
тождественными, по крайней мере до резонансов второго порядка вклю¬
чительно, если считать имеющими порядок es не величины v Sj , а углы
I sj. Разумеется, как и любая классификация, основанная на учете поряд¬
ков величин, предлагаемая классификация дает лишь условную оценку
"значимости резонансов". При конкретном анализе существенности резо¬
нанса необходимо учитывать конкретные значения масс тел и параметров
их орбит.
§ 19.4. Случай двух обращающихся тел:
сопоставление с результатами непосредственного
аналитического исследования и с наблюдательными данными
Рассмотрим простейшую систему, состоящую всего из двух тел
т 1 и т 2, обращающихся в одинаковых направлениях.
а) Случай круговой орбиты (резонанс нулевого
порядка). При этом п i = п 2 = п, т i = т2 = т, а\ = а2 - а и со-
356
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
гласно (3.3)
D
Минимуму
< [ и{П) ] >
1 I т
2^2 a Vl - cos [со 1 - со 2 л (т 2 - х О ]
(4.1)
данного выражения соответствует значение
coi-co2+n(T2-Xi) = 7r , а
поскольку в данном случае мож¬
но положить со Г - со 2 — 0 (лю¬
бую точку круговой орбиты мож¬
но принять за перицентр), то в
соответствии с интегральным
критерием заключаем, что необ¬
ходимые условия устойчивости
будут выполняться для “проти¬
вофазного” движения тел, при
котором они расположены по
концам диаметра круговой орби¬
ты (рис. 19.3).
Данный частный случай
представляет интерес с той точ-
Рис. 19.3. Устойчивое по разности фаз движе- ^ Зрения, что ОН может быть
ние двух тел по круговой орбите (резонанс легко рассмотрен обычным пу-
нулевого порядка) тем. С этой целью рассмотрим
дифференциальные уравнения
плоского движения тел т\ и т2 в полярных координатах п, и\, /2, и2
(рис. 19.2; центральное тело то считаем неподвижным):
г\~г\й 1 = - +Щ- [г2 cos (u\ - u2) - г i],
г 1 А 12
fm о fm
г2 - Г2 и 2 - -
(г 1 й О’
г\
(г1й2у
з [ri cos (Ui -
А 12
fm yt sin (Ui -
A 12
fm 7т sin (u2 -
A 12
U2) - r 2] ,
M2) ,
Wi),
где A 12 = Vr i + r2- 2/*i r2 cos (u\ — u2) - расстояние между телами
тп\ и тг. Как и должно быть, этим уравнениям удовлетворяет ин¬
тересующее нас невозмущенное движение
r\ = r2 = a, U\ = nt, и2 = nt + 7i,
причем выполняется соотношение
п -
- L
(Л1о + А) •
сГ 4J
Составив уравнения в вариациях для указанного невозмущенного движе¬
ния, придем к следующим двум группам линейных дифференциальных
§ 19.4]
ДВА ОБРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛА
357
уравнений относительно разностей х - и у - и сумм х + и у + соответ¬
ственно вариаций переменных г i и г 2, и 2 и и \\
i+ - 3п2х+ - 2лау + = О, ау + + 2лх + = 0; (4.2)
х- - 4(Зто + “г)*-- 2 л а у- = 0, ay- - 2пх~ = 0. (4.3)
а 4 4 а
Отсюда легко заключить, что изучаемое движение устойчиво в первом
приближении (не асимптотически) относительно "разностей фаз" и2 - и\
и радиусов-векторов г i, т 2, тогда как по отношению к сумме и i + и 2
оно неустойчиво. Иными словами, для этого движения выполнены необ¬
ходимые (в указанном выше смысле) условия устойчивости по разности
фаз и 2 - и 1, то есть результаты, получаемые путем использования ин¬
тегрального критерия устойчивости и путем непосредственного исследо¬
вания, совпадают.
Отметим, что согласно (4.3) устойчивость разностей
г 2 - г \ и и2 - и 1 является временной устойчивостью, ибо она обес¬
печивается гироскопическими членами; как известно (см., например,
[284]), такая устойчивость может быть разрушена диссипативными сила¬
ми; известно также, что при относительной малости диссипативных сил
процесс потери устойчивости протекает весьма медленно.
б) Случай эллиптических невозмущенных
орбит с малыми эксцентриситетами (резонанс
первого порядка типа 1 : 2). Предположив, что среднее движение тела т 2
происходит вдвое быстрее, чем тела т i, в данном случае будем иметь
п i = л , л 2 = 2л , z 12 = а\/а2 = (л г/п 0 2/3 = 22/3 = 1,59 ,
Z 21 = l/z 12 = 0,629 , Р ]2 ~ 1» Р 2\ ~~ 2 , 9 12 = о , 0 21 = 3;
b^(zn) = 1,23, bf{zn) = 0,913, bf{zl2) = 0,649,
b f (z 21) = 6,03, b p (z 2,) = 4,82, b ? (z ») = 3,66 , (4.4)
и выражение (3.3) примет вид
D = < [ Um ] > = fm'm2 [411 e ! cos (2n x - co*) -
4a2
- 3,00 e 2 cos 2 (л г - со*) ] = cos (2 n x - 6). (4.5)
4 £12
Здесь
x = x 2 - x i, со* = со 2 - со *;
cos о - 4Д1 e i cos a)* - 3,00 e 2 cos 2 со*,
,yL/ sin 5 - 4,11 e i sir со* - 3?0Q e 2 sin 2 со* (4-6)
Из (4.5), в соответствии с интегральным критерием, следуем что ус¬
тойчивому в указанном смысле синхронному (резонансному) решению со¬
358
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
ответствует значение разности моментов прохождения тел через перицен¬
тры
X = Х2 - Т 1 = (5 + 71)/2л . (4.7)
Рассмотрим два еще более частных случая. Сначала предположим,
что е 1 = 0, то есть "внешнее" тело т i в невозмущенном движении имеет
круговую орбиту (рис. 19.4, а). При этом, как и ранее, можно положить
со* = со 2* - со Г = 0 . Тогда из условия минимума выражения (4.5) нахо¬
дим, что устойчивому движе¬
нию соответствует значение
т = т2 - Ti = 0. Иными слова¬
ми, в устойчивом синхронном
движении соединения и про¬
тивостояния тел происходят
при прохождении внутрен¬
ним телом своего перицентра
(рис. 19.4^2).
Допустим теперь, что
б?2 ~ 0, то есть окружностью
является невозмущенная ор¬
бита внутреннего тела т 2.
Тогда, полагая, как и выше,
со* = 0 , из условия минимума
выражения (4.5) найдем, что
для устойчивого синхронного
движения т = т2 - Х\ = 71/2 л. В
этом случае соединение тел
происходит при прохожде¬
нии внешним телом апоцент¬
ра, а противостояние - при
прохождении им своего пе¬
рицентра (рис. 19.4,6). Ука¬
занные закономерности впол¬
не соответствуют наблюде¬
ниям (см. ниже, а также ра¬
боту [147], где приводятся
Рис. 19.4. Устойчивое по разности фаз плоское качественные соображения в
движение двух тел с малыми эксцентриситетами пользу устойчивости соответ-
(резонанс первого порядка типа 1:2) ствующих движений).
В качестве более конк¬
ретного примера рассмотрим данные, относящиеся к Нептуну и Урану
(табл. 19.1), средние движения которых п 2 и п i относятся примерно как
2:1. Поскольку взаимное наклонение орбит мало, то движение планет
можно считать происходящим в одной плоскости. Кроме того, ввиду от¬
сутствия других планет с отношением средних движений типа I: (/ ± 1)
(исключение составляет Плутон, но его масса более чем в 7000 раз мень¬
ше масс Урана и Нептуна) влиянием остальных больших планет на резо¬
нансы в системе Солнце - Нептун - Уран допустимо в первом приближе¬
§ 19.4]
ДВА ОБРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛА
359
нии пренебречь. Тогда можно ожидать, что к этой системе будут прило¬
жимы результаты, полученные для случая п 2 / п i = 2:1.
Проверим это предположение. При учете соотношений со* = к s - Q.s
os — Ti s it о — X s) между использованными ранее элементами орбит и
приведенными в табл. 19.1 находим:
со* - (0 2 - юГ = К2 - п2 ~ (Til - fli) * 170,12° - 74,01° -
- (61,63° - 1331,536°) - 166°,
пт = п (х 2 ~~ Xi) = —
JU 01 п М 01 П
п 2
п 1
М0
-Ло
= - (0,5 - 57,70° - 196,89°) = 171°.
По теоретическим же формулам (4.6) и (4.7) с учетом данных таблицы
получаем
Ж cos 8 = 4,11 • 0,00984 cos 166 0 - 3,00 • 0,0491 cos 332 0 = - 0,169 ;
М sin 6 = 4,11 • 0,00984 sin 166 0 - 3,00 • 0,0491 sin 332 0 = 0,0789 ;
8 = 155°, nx = 0,5(155° + 180°) = 167,5roman
Таким образом, теоретически найденное значение разности фаз прохож¬
дения планетами через перигелии пх ~ 167,5° всего на 3,5° отличаются
от наблюдаемого (пх ~ 171°). Очень близкий теоретический результат
п х* — со* — 166 ° получается, если приближенно считать орбиту Нептуна
круговой (е 1 ~ 0). (Заметим, что при рассмотрении этого примера мы не
полагаем, как ранее, со* = 0.)
Таблица 19.1
Элементы орбит Нептуна и Урана (на 7 января 1979 г.) [20]
Элемент
Планета
Среднее
Эксцент¬
Средняя
Долгота восхо-
Долгота
Наклоне¬
движение
пs
риситет е s
аномалия
ЭПОХИ Qe
дящего узла
Я,
перицентра
л»
ние! ,
Нешун
(S-1)
0,0060
0,00984
196,89°
131,53°
61,631“
1,772°
Уран ($ - 2)
0,0117
0,0491
52,7(Р
74,01°
170,12?
0,771°
Рассмотрим другой пример. Средние движения спутников Сатурна,
Дионы и Энцелада относятся примерно как 2 : 1 (п 2 : п i = 1,99734). Ор¬
биты обоих спутников лежат в одной плоскости, а их эксцентриситеты
составляют соответственно е \ = 0,0021 и е 2 = 0,0045. Если принять при¬
ближенно, что экцентриситет Дионы е i * 0 (как явствует из рассмотре¬
ния предыдущего примера, погрешность при этом не должна быть слиш¬
ком большой), то будем иметь ситуацию, также соответствующую перво¬
360
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
му из рассмотренных выше частных случаев, когда соединения и противо¬
стояния тел в устойчивом движении должны происходить при прохожде¬
нии внутренним телом перицентра. Это, как отмечалось, вполне соответ¬
ствует наблюдениям [147].
Таким образом, изложенные теоретические результаты находятся
в хорошем согласии с наблюдательными данными.
§ 19.5. О резонансах в Солнечной системе.
Гипотеза о простой резонансности
Изложенные результаты, объясняя факт относительно частой встре¬
чаемости резонансов в орбитальных движениях тел Солнечной системы,
делают понятным то обстоятельство, что подавляющее большинство яр¬
ких резонансов этого рода имеет порядок не выше второго по классифи¬
кации, предложенной в § 19.3. Так, например, для пар планет Нептун -
Уран и Плутон - Нептун ситуация близка к резонансам первого порядка
типов 1 : 2 и 2 : 3. Для пар Венера - Меркурий, Марс - Венера, Плутон -
Уран, Сатурн - Юпитер - к резонансам второго порядка типов 2 : 5 , 1 : 3,
1 : 3 и 2 : 5. Та же закономерность прослеживается в поясе астероидов, в
спутниковых системах и в кольцах Урана и Сатурна (резонанс типа 2 : 3
группы из 20 астероидов Хильды с Юпитером, типа 2 : 1 спутников Са¬
турна Энцелада и Дионы, типов 7 : 6 и 2 : 1 в кольцах Сатурна и др.;
см., например, [8, 434]).
На первый взгляд, не соответствует изложенным выводам наличие
люков Кирквуда в распределении астероидов по периодам обращения,
щели Кассини в кольцах Сатурна и т.п. Однако это несоответствие, быть
может, лишь кажущееся:
1. Не исключено, что наличие люков и щелей обусловлено "притяже¬
нием" тел к близлежащим резонансам.
2. Возможно, что соответствующие резонансные движения утратили
устойчивость в процессе эволюции: как отмечалось в § 19.4, здесь может
иметь место временная устойчивость, сравнительно быстрое разрушение
которой в рассматриваемых случаях могло произойти как вследствие от¬
носительно больших диссипативных сил, так и из-за относительно малых
масс астероидов.
В свете изложенных результатов известная гипотеза А.М.Молчанова о
полной резонансности движений больших планет Солнечной системы
[296] представляется теоретически вполне допустимой. Однако является
ли полностью резонансным или эволюционирует пи к таковому' действи¬
тельное наблюдаемое движение планет? Этого пока утверждать нельзя.
Исходя из указанных результатов, автором выдвинута иная, "более ос¬
торожная" гипотеза о простой резонансности движения ряда тел Сол-
нечной системы (не только больших планет). При этом под простыми ре-
зонансами мы понимаем резонансы нулевого, первого и второго порядков,
тс есть резонансы типа I: d ± о), где <7 = 0. 1.2, 3, 4. Согласно изложение-
§ 19.6]
О ДРУГИХ ЗАДАЧАХ
361
му именно такие резонансы "наиболее вероятны", что и подтверждается,
как отмечалось, фактическими данными.
По-видимому, не без учета изложенных выше результатов и сообра¬
жений. Н.Н.Горькавым и А.М.Фридманом была выдвинута гипотеза о ре¬
зонансной природе колец Урана, согласно которой положения этих колец
определяются резонансами типа 1:2, 2:3 и 3:4 от неоткрытых спутни¬
ков; такие спутники позднее действительно были открыты "Воядже-
ром-2" [159].
Заметим в заключение, что экстремальное свойство резонансных дви¬
жений позволяет осуществить своеобразную проверку гипотез о близости
движения планетной или спутниковой системы к резонансу: можно вы¬
числить с помощью ЭВМ значение потенциальной функции D для на¬
блюдаемого движения и сравнить его с соответствующими минимальны¬
ми значениями этой функции; представило бы также интерес определить
направление эволюционного изменения D.
В данной главе речь шла только о резонансах в орбитальных движе¬
ниях небесных тел, поскольку интегральный признак устойчивости, осно¬
ванный на формуле (2.42) гл. 3, не может быть использован в задачах об
орбитально-вращательных резонансах, так как характер анизохронизма
при движении свободного тела на орбите и вращательного движения
тела относительно его центра масс различный (для первого а = -1, a
для второго а =1). Между тем в экстремальном признаке устойчиво¬
сти, выдвинутом В.В.Белецким, характер анизохронизма не фигурирует
(см. п. 3.2.2, а также [41, 43]).
Отметим, что на основе иных, неклассических представлений пробле¬
мы устойчивости, резонансности и экстремальности, в том числе и приме-
нительнр к движениям небесных тел, рассмотрены А.М.Чечельницким
[415].
§ 19.6. О других задачах (движение небесных тел
с внутренними степенями свободы)
Задачи о движении естественных и искусственных небесных тел с
внутренними степенями свободы представляют значительный принципи¬
альный и прикладной интерес. Наличие таких степеней свободы может
быть обусловлено деформируемостью элементов тела, присутствием по¬
лостей с жидкостью, а также тел, которые могут двигаться относительно
основного те-^а, и т.п.; при этом может оказаться необходимым уче^
демпфирования при относительном перемещении внутренних подвижных
элементов
Важный класс задач относится к случаям, когда центр инерции тела
движется по определенной орбите вокруг некоторою центрального тела
или по близкой траектории, то есть когда рассматриваемое тело являетег
спутником центрального тела. Таким задачам посвящены, в частности,
циклы исследований Ф.Л.Черноусько и его коллег Л.Д.Акуленко, Д.Д.Л>'
щенко и А.С.Шамаева, а также М.К.Набиуллина (см. работы Р'Л L 4l.3i
414; 435], где приводятся подробные библкографические сведения). Соот¬
362
РЕЗОНАНСЫ (СИНХРОНИЗАЦИЯ) НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 19
ветствующие задачи уже упоминались нами в п. 1.2.2 как задачи механики
систем со скрытыми движениями, а также в п. 9.5.4 при описании принци¬
пов, лежащих в основе своеобразных вибрационных экипажей - гравилета
и магнитолета.
Цель настоящего краткого параграфа - обратить внимание на целесо¬
образность использования при решении рассматриваемого класса задач,
подходов и трактовок, характерных для вибрационной механики: пред¬
ставляется, что преимущества, доставляемые такими подходами и трак¬
товками, пока используются недостаточно. Необходимыми предпосылка¬
ми для применения аппарата вибрационной механики в данных задачах
являются "быстрый" характер движения центра инерции тела по орбите и
движений, соответствующих внутренним степеням свободы.
Своеобразие рассматриваемых задач, как и задач, которым посвящено
основное содержание настоящей главы, состоит в том, что по крайней ме¬
ре одно из быстрых движений - движение центра масс по орбите - не
мало по своему масштабу по сравнению с медленным движением,' соот¬
ветствующим изменению элементов орбиты тела. Тем не менее, как ука¬
зывалось в п. 2.2.4, подходы вибрационной механики оказываются приме¬
нимыми и в этом случае. В результате исключения быстрых движений
при использовании данного подхода получаются основные уравнения виб¬
рационной механики, в которых, помимо "обычных" медленных сил, дей¬
ствующих на тело, фигурируют дополнительные медленные силы (вибра¬
ционные силы), "интегрально" отражающие влияние на медленное движе¬
ние присутствия внутренних степеней свободы тела. В частности, как от¬
мечалось в п. 9.5.4, наличие внутренних движений может привести к по¬
явлению силы, имеющей характер тяги или сопротивления движению
центра масс тела. Разумеется, это последнее оказывается возможным бла¬
годаря присутствию неоднородного поля внешних сил - гравитационного
поля (см. там же).
Особый интерес представляет рассмотрение случаев соизмеримостей
(резонансов) между частотой обращения (средним движением) тела и ча¬
стотами его свободных колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамович И. М., Блехман И. К, Лавров Б.П., П л и с с Д.А. Явление
самосинхронизации вращающихся тел (роторов) // Открытия, изобретения, - 1988. - N1.
2. Авотиня К., Томашунс И. О синхронизации в подшипниках качения // Труды
Латв. с.-х. акад., вып. 109. - Елгава, 1977.
3. Аграновская Э. А. Решение на аналоговых вычислительных машинах нелиней¬
ных дифференциальных уравнений, содержащих периодические функции зависимой пере¬
менной // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. - 1963. - N 4.
4. Алабин Е.А., Гортинский В. В., Лондарский А.Ф. Вибрационное
перемещение в приводе роторных машин с гибкими связями // Второй всесоюзн. съезд по
теории механизмов и машин. 4.1. - Киев: Наукова думка, 1982.
5. А л а б у ж е в П. М., Я ц у н С. Ф. Математическое моделирование вибрационных
технологических процессов // П Всесоюзн. конф. “Нелинейные колебания механических сис¬
тем”: Тез.докл. 4.1. - Горький, 1990.
6. А л и ф о в А.А.,Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем
с источником энергии. - М.: Наука, 1985.
7. Альберт И. У., Савинов О. А. О реологических моделях вибрируемой бетонной
смеси // Известия ВНИИГидротехники. _ 1974. _ т. 105.
8. Альфвен X., Аррениус Г. Структура и эволюционная история Солнечной
системы. - Киев: Наукова думка, 1981.
8а. А н а х и н В. Д., П л и с с Д. А., М о н а х о в В. Н. Вибрационные сепараторы. - М.:
Недра, 1991.
86. А н а х и н В. Д., П л и с с Д. А. К теории вибросепараторов. - Новосибирск: Изд-во
Новосиб. ун-та, 1992.
9. Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания // Журн.
эксперим. и теор. физики. - 1930. - Т. 7, вып. 4.
10. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. - М.:
Физматгиз, 1959.
11. Андронов В. В. Динамика систем с преобразованным сухим трением: Дис.... д-ра
тех.наук. - М., 1984.
12. Анищенко В. С., ВадивасоваТ. Е., Постнов Д. Э., Сафонова М. А.
Взаимная синхронизация хаоса. Типичные бифуркации и их характеристики // П Всесоюзн.
конф. “Нелинейные колебания механических систем”: Тез. докл. Ч. 1. - Горький, 1990.
13. Арзамасков А.М., Брискин Е. С., Григорян Г. Г., Соболев В. М. О
теории и расчете шагающих транспортных и технологических машин опорной проходимости
// Седьмой Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. механике: Аннотации докл. - М., 1991.
14. А р н о л ь д В. И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989.
15. Артоболевский И. И. Теория механизмов. - М.: Наука, 1988.
16. А с е й н о в С. А. Исследование законов вибротранспортирования слоя насыпного
груза (на примере рыбных и сыпучих грузов): Дис.... канд.техн.наук. - М., 1973.
17. А с т а ш е в В. 1C, Г е р ц М. Е. К теории вибрационного перемещения // Изв. АН
СССР. МТТ.- 1978.-N1.
18. А с т а ш е в В. К. О влиянии высокочастотной вибрации на процессы пластического
деформирования // Машиностроение. - 1983. - N 2.
19. Асташев В. 1C, Бабицкий В. И., Веприк А. М., Крупенин В. Л.
Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной шайбой // ДАН СССР. -
1989.-Т. 304,. N1.
364
ЛИТЕРАТУРА
20. Астрономический ежегодник СССР на 1979 год. Пятьдесят восьмой том. - М.: Наука,
1976.
21. Афанасьев М. М., Блехман И. И., Макаров В. А.,Печенев А. В.
Динамика системы принудительной синхронизации механических вибровозбудителей с асинх¬
ронным приводом // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1983. - N 4.
22. Б а б е ш к о В. А. "Для меня небезразличны..." //Знание - сила. - 1990. - N 12.
23. Б а б и ц к и й В. И., Б у р д В. LLL Гашение плоских колебаний платформы при
помощи дебалансовых гасителей // Изв. АН СССР. МТГ. - 1982. - N 6.
24. Бабичев А. Я. Вибрационная обработка деталей. - М.: Машиностроение, 1974.
25. БабушкинКА., Заварыкин М. П., Зорин С. В., Путин Г. Ф. Управление
конвективной устойчивостью вибрационными полями // П Всесоюзн. конф. "Нелинейные ко¬
лебания механических систем": Тез.докл. Ч. 1. - Горький, 1990.
26. Б а н а х JL Я. Исследование динамики регулярных и квазирегулярных систем с
поворотной симметрией // Машиноведение. - 1984. - N 3.
27. Б а н а х JI. Я. Энергетические и спектральные связи в механических колебательных
системах// Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - N 3.
28. Бансевичюс Р. Ю., Рагульскис 1C М. Вибродвигатели. - Вильнюс:
Мокслас, 1981.
29. Бансевичюс Р. Ю., БубулисА. 1C, Волченкова Р. А., Курило Р. Э.
Вибрационные преобразователи движения // Вибрационная техника. Вып. 1 / Под ред. КМ.Ра-
гульскиса. - Л.: Машиностроение, 1984: - (Б-ка инженера).
30. Баренблатт Г. И., Козырев Ю. К, Малинин Н. И. и др. О
виброползучесги полимерных материалов // Журн. прикл. механики и техн. физики. -
1965.-N5.
31. Барзуюв О. П. Кратная синхронизация в системе слабосвязанных объектов с
одной степенью свободы // ПММ. - 1972. - Т. 36, N 2.
32. Барзуков О. П. Двухкратная синхронизация механических вибраторов, связанных
с линейной колебательной системой // Изв. АН СССР, МТТ. - 1973. - N 6.
33. Барзуков О. П., Вайсберг Л. А. О стабильности самосинхронного вращения
двух вибровозбудителей в устройствах с пространственной динамической схемой // Вибраци¬
онная техника. - М.: МДНТП им. Ф.Э.Дзержинского, 1977.
34. Барзуков О. П., Иванов Н. А., Кацман Я. М. Уточненный метод расчета
перемещения материала в камере дробления конусных дробилок // Обогащение руд - 1983. -
N4.
35. Б а р к а н Д. Д. Виброметод в строительстве. - М.: Госстройиздат, 1959.
36. Баталова 3. С. О движении ротора под влиянием внешней гармонической силы //
Инженерный журнал. Механика твердого тела. - 1967. - N2.
37. Б а т а л о в а 3. С., Беликова Г. В. Диаграммы устойчивости периодических
движений маятника с колеблющейся осью // ПММ. - 1988. - Т. 52, вып. 1.
38. Баталова 3. С., Б у х а л о в а Н.В. О структуре фазового пространстве
параметрически возбуждаемого ротора // Динамика систем: Качественно-численное исследо¬
вание динамических систем’ Межвуз. сб.науч.тр. - Горький: Горьк.гос.ун-т, 198S
39. Б а у м а к В. А, Б ы х с в с к и й И. И. Вибрационные машины ь пропессы ъ
строительстве. - М.: Высшая школа; 1977.
40. Б е з д е н е ж н ы х м. А., Б р и с к м а н В. А., Ч е р е п а к о в A. A., Hi а р о в М. Т.
Управление устойчивостью поверхности жидкости с помощью переменных полей /7 Гидроме¬
ханика и процессы переноса в невесомости. - Свердловск: УЦ АН СССР, f 983.
41. Б е л е ц к и й В. Б.. Щ л п х т и п А. К. Экстремальные свойств? пезонанснъос
движений // ДАН СССР. - 1576.' - Т. 331, N л.
42=БелецкЕ.й В< В. Очерки о движении космических тел, - М.: Наука, 1977.
ЛИТЕРАТУРА
365
43. Б с л е ц к и й В. В., К а с а т к и н Г. В. СХ5 экстремальных свойствах резонансных
движений // ДАН СССР. - 1980. - Т. 251, N 1.
44. Б е л е ц к и й В. В. Экстремальные свойства резонансных движений // Устойчивость
движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука, 1981.
45. Б е л е ц к и й В. В. Резонансные явления во вращательных движениях искусственных
и естественных небесных тел // Динамика космических аппаратов и исследование космиче¬
ского пространства. - М.: Машиностроение, 1986.
46. Белецкий В. В., Голубицкая М. Д. Стабилизация и резонансные явления в
модельной задаче двуногой ходьбы. - Препринт / Ин-т прикладной математики им. М.В.Кел¬
дыша. - М., 1987. - N 14.
46а. Белецкий В. В., Хентов АА Вращательные движения намагниченного
спутника. - М.: Наука, 1985.
47. Беляев А К., Пальмов В. А Теория вибропроводности // Вопросы динамики и
прочности. Рига: Зинатне, 1980. - Вып. 36.
48. Б е л я к о в а Г. В. Динамика систем маятникового типа с параметрическим возбужде¬
нием// Дис.... канд.физ.-мат.наук. - Горький, 1988.
49. Б л е х м а н И. И. Исследование процесса вибросепарации и вибротранспортировки //
Инженерный сборник. - 1952. - Т. П.
50. Б л е х м а н И. И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин //
Инженерный сборник. - 1953. - Т. 16.
51.Блехман И. И. Вращение неуравновешенного ротора, обусловленное гармониче¬
скими колебаниями его оси // Изв. АН СССР. ОТН. - 1954. - N 8.
52. Б л е х м а н И. И. Исследование процесса вибрационной забивки свай и шпунтов //
Инженерный сборник. - 1954. - Т, ХЗХ.
53. Б л е х м а н И. И., Д ж а н е л и д з е Г. Ю. Динамика регулятора Буасса - Сарда //
Изв. АН СССР. ОТН - 1955. - N 10.
54. Б л е х м а н И. И. К вопросу об устойчивости периодических решений квазилиней¬
ных неавтономных систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. - 1955. - Т. 104, N 6.
55. Б л е х м а н И. И. Об устойчивости периодических решений квазилинейных автоном¬
ных систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. - 1957. - Т. 112, N 2.
56. Б л е х м а н И. И., Д ж а н е л и д з е Г. Ю. Об эффективных коэффициентах трения
при вибрациях // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - N 7.
57. Б л е х м а н И. И. Инерционный грохот. - Авт. свид. N 112448 // Бюл. изобрет. - 1958. -
N4.
58. 5 л е х м а н НИ. Динамика привода вибрационных машин со многими синхрон¬
ными механическими вибраторами // Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. -
1960.-N1.
59. Б л е х м а н И. И., Л а в р о в Б. П. Об одном интегральном признаке устойчивости
движения // ПММ. - 1960. - Т. 24, N 5.
60. Б л е х м а н И. И. Обоснование интегрального признака устойчивости движения в
задачах о самосинхронизации вибраторов // ПММ. - 1960. - Т. 24, N 6.
61. Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Об устойчивости вибрационно-линеаризо¬
ванных систем // ПММ. - 1961. - Т. 25, вып. 1.
62. Б л е х м а н И. И. О критической щели вибрационной роликовой мельницы //
Обогащение руд. - 1961. - N 1.
63. Блехман И. И., Рудин АД., Рундквист А К. Об условиях движения с
обкаткой дробящих тел в вибрационных дробильно-измельчительных машинах // Обогащение
руд. - 1961. -N3.
64. Блехман И. Н, Гортинский В. В., Птушкина Г. Е. Движение частицы в
колеблющейся среде при наличии сопротивления типа сухого трения (К теории вибрационно¬
366
ЛИТЕРАТУРА
го разделения сыпучих смесей) // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1963. -
N4.
65. Б л е х м а н И. И. Некоторые вопросы теории вибротранспортирования и вибробунке-
ризации насыпных грузов // Сборник статей по вибропогрузочным машинам, вибробункериза-
ции и вибровыпуску насыпных грузов. - М.: ЦНИИТЭИ угля, 1963.
66. Б л е х м а н И. И., Д ж а н е л и д з е Г. Ю. Вибрационное перемещение. - М.: Наука,
1964.
67. Б л е х м а н И. И., X а й н м а н В. Я. О теории вибрационного разделения сыпучих
смесей // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - N 5.
68. Блехман И. И., Иванов Б. Г., Иванов Н.А., РундквистА. 1C Рундк-
в и с т 1C А. Конусная инерционная дробилка. - Авт.свид. N 184125 // Бюл.изобрет. - 1966. -
N14.
69. Б л е х м а н И. И., Н а г а е в Р. Ф. Оптимальная стабилизация синхронных
движений механических вибраторов // Тезисы докладов и сообщений на Всесоюзном межву¬
зовском симпозиуме по прикладной математике и кибернетике - Горький, 1967.
70. Б л е х м а н И. И., М а р ч е н к о Ю. И. Влияние реологических свойств рабочей
среды на самосинхронизацию механических вибраторов // Изв. АН СССР. - МТТ. - 1969. - N 5.
71. Б л е х м а н И. И., М о л а с я н С. А. Об эффективных коэффициентах трения
при взаимодействии упругого тела с вибрирующей плоскостью // Изв. АН СССР. МТТ. -
1970.-N4.
72. Б л е х м а н И. И. Синхронизация динамических систем. - М.: Наука, 1971.
73. Блехман И. И., Фролов 1C В. Синхронизация параметрически связанных
вибраторов // Всесоюзн. конф. по колебаниям механических систем: Тез.докл. - Киев: Наукова
думка, 1971.
74. Б л е х м а н И. И. Инерционный вибратор. Авт.свид. N 388947 // Бюл. изобрет. -
1973.-N29.
75. Б л е х м а н И. И. Действие вибрации на механические системы // Вибротехника.
Вып. 3 (20). - Вильнюс: Минтис, 1973.
76. Б л е х м а н И. И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии
вибрации на нелинейные механические системы /I Изв. АН СССР. МТТ. - 1976. - N 6.
77. Б л е х м а н И. И., Д а й ч И. Н. Возбудитель колебаний. - Авт.свид. N 539619 //
Бюл.изобрет. - 1976. - N 47.
78. Б л е х м а н И. И., Л у г о в а я И. Н. Явление самосинхронизации и вопросы
проектирования групповых фундаментов под неуравновешенные машины // Материалы IV
Всесоюзн. конф. по динамике оснований, фундаментов и подземных сооружений, Ташкент.
1977. - Ташкент: ФАН УзбССР. 1977.
79. Б л е х м а н И. И. Устойчивость орбитальных систем // Устойчивость движения,
Аналитическая механика. Управление движением. - М.: Наука, 1981.
80. Б л е х м а н И. И., И в а н о в Н. А. Движение материала в камере дробления
конусных дробилок как процесс вибрационного перемещения// Обогащение руд. - 1977. - N 2.
81.Блехман И. И. Развитие концепции прямого разделения движений в нелинейной
механике // Современные проблемы теор. и прикл. механики: Тр. IV Всесоюзн. съезда по
теорет. и прикл. механике, Киев, 21-28 мая 1976 г. - Киев: Наукова думка, 1978.
82. Б л е х м а н И. И., И в а н о в Н. А. О пропускной способности и профилировании
камеры дробления конусных дробилок// Обогащение руд. - 1979. - N 1.
83. Блехман И. И, Левенгарц В. Л. Динамическая модель процесса движения
загрузки в рабочих камерах машин для вибро абразивной обработки деталей // Вопросы дина¬
мики и прочности. - 1980. - Вып. 36.
84. Б л е х м а н И. И. Синхронизация в природе и технике. - М.: Наука, 1981. (Англ.
перевод см. [432].)
ЛИТЕРАТУРА
367
85. Блехман И. И., П и р ц х а л а и ш в и л и О. Г. Об одной закономерности
синхронизации дебалансных вибровозбудителей // Сообщения АН Груз ССР. Машиноведе¬
ние. - 1982.-N 3.
86. Блехман И. И, Мачабели Л. И. Об одной модели автоматизма и резервирова¬
ния при возбуждении ритма сердечных сокращений в норме и некоторых случаях патологии //
Третья Всесоюзн. конф. по проблемам биомеханики: Тез. докл. Т. 1. - Рига, 1983.
87. Б л е х м а н И. И. Обобщение теоремы Лагранжа - Дирихле об устойчивости
положений равновесия на некоторые классы периодических и вращательных движений //
IX Междунарлонф. по нелинейным колебаниям. Т. 3. - Киев: Наукова думка, 1984.
88. Блехман НИ., Иванов Н. А., Якимова К. С., Титова Л. Г., Кац¬
ман Я. М., К а р п у ш и н В. Н. Принципы профилирования камер дробления конусных
дробилок и результаты предварительных испытаний оптимизированных профилей в промыш¬
ленных условиях // Совершенствование процессов дробления, измельчения, грохочения и
классификации руд и продуктов обогащения: Междувед.сб.науч.тр. - Л.: Механобр, 1985.
89. Б л е х м а н И. И. Закономерности и парадоксы механики систем с игнорируемыми
движениями и их использование в технике // Шестой всесоюзн. съезд по теорет. и прикл.
механике: Аннотации докл. - Ташкент, 1986.
90. Блехман И. И., Малахова О. 3. О квазиравновесных положениях маятника
Челомея // ДАН СССР. - 1988. - Т. 287, N 2.
91. Б л е х м а н И. И., Ф р о л о в К. В. Нелинейные задачи теории инерционного
возбуждения колебаний // Всесоюзн. конф. по нелинейным колебаниям механических систем:
Тез.докл., 4. L - Горький, 1987.
92. Б л е х м а н И. И. Вибрационная механика и вибрационная реология (приложения к
технологии, новые результаты, нерешенные задачи) // Всесоюзн. конф. по нелинейным коле¬
баниям механических систем: Тез. докл., 4. Л - Горький, 1987.
93. Блехман И. И., Я р о ш е в и ч Н.П. - Вибровозбудитель. - Авт.свид. N 1597235 //
Открытия, изобретения. - 1990. - N 37.
94. Блехман И. И., Малахова О. 3. О потенциальных в среднем динамических
системах // Пятая Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчи¬
вость и управление движением" / Тез. докл. - Казань, 1987.
95. Б л е х м а н И. И. Что может вибрация? О "вибрационной механике" и вибрационной
технике. - М.: Наука, 1988.
96. Блехман И. И., Вайсберг Л. А., Коровников А. Н Анализ гидродинамики
вибрационного грохота с ситом, колеблющимся в водной среде // Исследование процессов,
машин и аппаратов разделения материалов по крупности: Междувед.сб.науч.тр. - Л.: Меха¬
нобр, 1988.
97. Блехман И. И., Вяльцева О. А., Вайсберг Л. А., Фидлин А. Я.
Производительность вибрационных грохотов с активными рабочими поверхностями // Иссле¬
дования процессов, машин и аппаратов разделения материалов по крупности: Между¬
вед.сб.науч.тр. - Л.: Механобр, 1988.
98. Б л е х м а н И. И., Я р о ш е в и ч Н. П. Кратные режимы вибрационного поддержа¬
ния вращения неуравновешенного ротора// Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1989. - N 6.
99. Б л е х м а н И. И. Самосинхронизация в природе и технике // Наука и человечество /
Международный ежегодник. - М.: Знание, 1989.
100. Б л е х м а н И. И., М ы ш к и с А. Д., П а н о в к о Я. Г. Механика и прикладная
математика: Логика и особенности приложений математики. - 2-е изд., испр. и доп. - М.:
Наука, 1990.
101. Блехман И. И., Малахова О. 3. Экстремальные признаки устойчивости
некоторых движений // ПММ. - 1990. - Т. 54, N 1.
102. Блехман Л. И., Кизевальтер Б. В. Распределение скоростей потока на
деках вибрационных сепараторов для гравитационного обогащения // Обогащение руд. -
1981.-N4.
368
ЛИТЕРАТУРА
103. Б о г о л ю б о в Н. Н. О некоторых статистических методах в математической
физике. - Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
104. Б о г о л ю б о в Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике /7 Сборник трудов
ин-та строительной механики АН СССР. - 1950. - N 14.
105. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н. Метод асимптотического приближения для
систем с вращающейся фазой// Укр. мат.журн. - 1955. - Т. УП, N 1.
106. Боголюбов Н. Н. Избранные труды в У-х томах. Т. 1. - Киев: Наукова думка, 1969.
107. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
108. Большаков В. М., 3 е л ь д и н Е. С., М и н ц Р. М., Ф у ф а е в Н. А. К динамике
системы осциллятор - ротатор // Изв. вузов. Радиофизика. - 1965. - Т. 8, N 2.
109. Бондин В. П., Весницкий АН, Лисенкова Е.Е. Элементарный
волновой движитель // ДАН СССР. - 1991. - Т. 318, N 4.
110. Б о ч к о в с к и й В. М. Расслаивание как наиболее важный раздел теории и практики
гравитации // Горн. журн. - 1954. - N 1.
111. Брумберг Р. М. О безотрывном движении твердого тела по вибрирующей трубе
// Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. - N 5.
112. Брэдбери Р. И грянул гром // О скитаньях вечных и о Земле. - М.: Правда, 1987.
113. Б у б у л и с А К., Юшка В. П., Р а г у л ь с к и с 1C М. - Новые конструкции
виброустройств для транспортирования жидкости // Всесоюзн. конф. по вибрационной техни¬
ке: Тез. докл. - Кутаиси, ноябрь 1981. - Тбилиси, 1981.
114. Б у х а л о в а Н. В. Исследование динамики параметрически возбуждаемого ротора //
Дис клнд.физ.-мат.наук. - Горький, 1989.
115. Быховский И. И. Основы теории вибрационной техники. - М.: Машиностроение,
1969.
116. Быховский И. И. Вибрационные машины производственного назначения Ч. 1. -
М.: МДНТП им. Ф.Э.Дзержинского, 1971.
117. Вайсберг Л. А. Проектирование и расчет вибрационных грохотов. - М.: Недра,
1986.
118. Валеев 1C Г., Ганиев Р. Ф. Исследование колебаний нелинейных систем //
ПММ. - 1969. - Т. 33, вып. 3.
119. Валеев К. Г. Динамическая стабилизация неустойчивых систем // Изв. АН СССР,
МТТ.-1971.-N4.
120. Валеев 1C Г., Доля В. В. О динамической стабилизации колебаний маятника //
Прикладная механика. - 1974. - Т. 10, N 2.
121. Васильев FLE. Вопросы теории, расчета и конструирования узлов вибрационных
лентопротяжных механизмов: Дис.... канд.тех.наук. - Каунас, 1974.
122. Васильева Л. П., Горшков С. Н., Козлов А. В., Лавров Б. П. Способ
вибрационного заполнения бесшовной трубчатой заготовки порошковым наполнителем. - Авт
свид. N 761208 // Бюл. кзобрет. - 1980. - N 33.
123. Вертикальный транспорт на горных предприятиях / Под ред. В.Н.Потураева; авт.
В.Н.Потураев, А.Г.Червоненко, Л.В.Колосов, В.В.Безпалько, Л.Ф.Завозин. - М.: Недра, 1975.
123а. В е й ц В. Л. Динамика машинных агрегатов. - Л.; Машиностроение, 1969.
124. Вейц В. Л., Кочура А Е. Динамика машинных агрегатов с двигателями
внутреннего сгорания. - Л.: Машиностроение, 1976.
124а. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительных материалов:
Справочник / Под ред. В.А.Баумана, КИ.Быховского и Б.Г.Гольдпггейна. - М.: Машинострое¬
ние, 1970.
125. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. - М.: Машиностроение, 1978 - 1981
ЛИТЕРАТУРА
369
126. Виноградов Н.Н. Статистический метод оценки эффективности расслоения
материалов в отсадочных машинах// Обогащение и брикетирование угля. - М.: Центр.на-
уч.-техн. ин-т информации и технико-экономич. исследований угольной промышленности. -
1963. - N 8.
127. Власов ЕВ., Гиневский А. С. Явление акустического ослабления
турбулентности в дозвуковых струях // Открытия, изобретения, промышленные образцы и
товарные знаки. - 1979. - N 30.
128. Власов Е. В., Гиневский А. С. Когерентные структуры в турбулентных струях
и следах // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Т. 20. - М.: ВИНИТИ. - 1986.
. 129. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных
колебательных систем. - М.: МГУ, 1971.
130. Ворович К И. Некоторые вопросы использования статистических методов в
теории устойчивости пластин и оболочек // Тр. 4-й Всесоюзн.конф. по теории оболочек и
пластин. - Ереван: Изд. АН АрмССР, 1964.
131. В о р о в и ч И. И. Некоторые вопросы преподавания основ классической механики в
университетском курсе. - Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. - Mr; 1985. - N 252.
132. Воронов С. А., Гуськов А.М., Светлицкий В. А. Возбуждение
поперечных автоколебаний в стебле инструмента при глубоком о сверлении // Расчеты на
прочность. - М.: Машиностроение. - 1979. - вып. 20.
133. Воронов С. А. Оптимизация процесса вибрационного сверления // Тр. МВТУ им.
Н.Э.Баумана. -1980. - Вып. 332.
134. Воронов С. А., Гуськов А М., Н а р а й к и н О. С., П а н о в к о Г. Я.
Вибрационная механика в технологических процессах обработки и сборки // УП Всесоюзн.
съезд по теор. и прикл. механике: Аннотации докл. - М., 1991.
134а. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части
переменных. - М.: Наука, 1991.
135. By Т., ЧуонгА. Получение рыбами и птицами энергии из волнового потока //
Механика. - 1980. - N23.
136. Гайцгорн В. Г., Первоззанский А. А. Разделение движений в марковских
системах//Динамика систем: Межвуз. сб. - Горький, 1975. вып. 6.
137. Ганиев Р. Ф., Украинский Л. Е. Динамика частиц при воздействии
вибрации. - Киев: Наукова думка, 1975.
138. Ганиев Р. Ф., Лапчинский В. Ф. Проблемы механики в хосмической
технологии. - М.: Машиностроение, 1978.
139. Ганиев Р. Ф., К о б а с к о Н. И., К у л и к В. В. и др. Колебательные движения в
многофазных средах и их использование в технологии. - Киев: Техника, 1980.
140. Гапонов А. В., Миллер М. А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в
высокочастотном электромагнитном поле//Журн, эксперим. и теор. физики. - 1958. - Т. 34.
141. Гапонов А. В., Миллер М. А. Об использовании движущихся высокочастопйлх
потенциальных ям для ускорения заряженных частиц // Журн. экспсрим. и теор. физики. -
1958.-Т. 34, N3.
142. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Нелинейная физика.
Стохастичность и структуры // Физика XX века: Развитие и перспективы. - М.: Наука, 1984.
143. Геращенко Е. И., Геращенко С. М. Метод разделения движений и
оптимизация нелинейных систем. - М.: Наука, 1975.
144. Гершман М. Д. Вибрационное перемещение в среде с нелинейным сопротивле¬
нием// Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1981. - N2.
145. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Н е п о м н я щ и й А. А. Устойчивость
конвективных течений. - М.: Наука, 1989.
1 § ЯИ. Блехман
370
ЛИТЕРАТУРА
146. Гладун А. Д., Чан Вьет Хунг. Математическая модель узла трения как
нелинейной колебательной системы // Проблемы автоматизации проектирования и изготовле¬
ния в машиностроении. - М.: Мосстанкин, 1983.
147. Голдрайх П. В. Объяснение частой встречаемости соизмеримых средних
движений в Солнечной системе // Приливы и резонансы в Солнечной системе. - М.: Мир,
1975.
148. Гольдин А. В., Чирков Н. Н. Оптимизация процесса вибрационной сепарации
сыпучих материалов // Производственно-технический бюллетень. - 1974. - N 6.
149. Гольдин А. М., Карамзин В. А. Гидродинамические основы процессов
тонкослойного сепарирования. - М.: Агропромиздат, 1985.
150. Гольдман П. С., Нагаев Р. Ф. Самосинхронизация многомерных неконсерва¬
тивных объектов с одной позиционной координатой//Прикладная механика. - 1987.-Т. 23,
N12.
151. Гончаревич И. Ф. Динамика вибрационного транспортирования. - М.: Наука,
1972.
152. Гончаревич И. Ф. Виброреология в горном деле. - М.: Наука, 1977.
153. Гончаревич И. Ф. Вибрация - нестандартный путь. - М.: Наука, 1986.
154. Горбиков С. П., Неймарк Ю. И. Основные режимы движения при
вибротранспортировании с подбрасыванием // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - N 4.
155. Горбиков С. П., Неймарк Ю. И. Результаты расчета средней скорости
вибротранспортирования//Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1987. - N4.
156. Городецкий И. Я., Васин А.А., Олевский В. М., Л у п а н о в П. А.
Вибрационные массообменные аппараты / Под ред. В.М.Олевского. - М.: Химия, 1980.
157. Гортинский В. В. Сортирование сыпучих тел при их послойном движении по
ситам // Труды ВИМ. Т. 34. - М.: 1964.
158. Гортинский В. В., Демский А. Б., Борискин М. А. Процессы
сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. - М.: Колос, 1973.
159. Горькавый Н. Н., Фридман А. М. Об открытии "Вояджером-2" предсказан¬
ных спутников, определяющих резонансную природу колец Урана // Письма в Астрон. ж. -
1987.-Т. 13, N3.
160. Г р а н а т Н. Л. Движение твердого тела в пульсирующем потоке вязкой жидкости //
Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1960. - N 1.
161.Гранат Н. Л. О возмущениях, производимых телом, движущимся в вязкой жидко¬
сти // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1961. - N 1.
162. Г р а н а т Н. Л. Установившиеся колебания сосудов с двухфазной смесью // Изв. АН
СССР. Механика и машиностроение. - 1964. - N 5.
163. Г р а н а т Н. Л. Немалые колебания шара в вязкой жидкости // Изв. Всесоюзн. н.-и.
ин-та гидротехники. - 1964. - Т. 76.
164. Г р а н а т Н. Л. Потери энергии при колебаниях шара в двухфазной смеси (вибро¬
вязкость и виброплотность смесей) // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - N 1.
165. Г р е б е н и к о в Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. - М.: Наука, 1986.
165а. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной
механике. - М.: Наука, 1978.
166. Григорова С. Р., Толстой Д. М. О резонансном падении силы трения // ДАН
СССР.- 1966.-Т. 163, N3.
167. Г р и н м а н И. Г., Б е к б а е в А. Б. Контроль и регулирование процесса дробления
и грохочения руд. - Алма-Ата: Изд-во "Наука" КазССР, 1977.
168. Г у д у ш а у р и Э. Г., П а н о в к о Г. Я. Теория вибрационных технологических
процессов при некулоновском трении. - М.: Наука, 1988.
ЛИТЕРАТУРА
371
169. Г у з е в В. В. Реактивная стабилизация синхронных вращений инерционных вибро¬
возбудителей: Дис.... д-ра техн.наук. - Рига, Рижск. политехи, ин-т, 1989.
170. Гуртовних АС., Неймарк Ю. И. О синхронизации динамических систем //
ПММ.- 1974.-Т. 38, вып. 5.
171. Гюйгенс X. Три мемуара по механике. - М.: Изд-во АН СССР, 1951.
172. Д а й ч И. М. Исследование неуравновешенности и виброизоляция осадительных
центрифуг: Дис.... канд.техн.наук. - Днепропетровск, 1968.
173. Ден-Гартог Д ж П. Механические колебания / Пер. с англ. - М.: Физматгиз,
1960.
174. Д е т и н к о Ф. М. Об устойчивости работы автобалансира для динамической
балансировки // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1959. - N 4.
175. Джакашов А. Т., Крюков Б. И. Самосинхронизация резонансных вибромашин
// Вибротехника. Вып. 60 (3). - Вильнюс: Мокслас, 1988.
176. Джонс Д ж. 1C Методы проектирования / Пер. с англ. - 2-е изд., доп. - М.: Мир,
1986.
177. Дубровин Б. Н., Блехман И. И. О критической щели инерционных конусных
дробилок // Обогащение руд. - 1960. - N 6.
178. Д у х и н С. С. Теория дрейфа аэрозольной частицы в стоячей звуковой волне. //
Коллоидн. журн. - 1960. - Т. 22, N 1.
179. Е н т у с Я. Б. Движение слоя сыпучего материала при вибрационном транспортиро¬
вании с подбрасыванием // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1981. - N 3.
180. Ж г у л е в А. С. Поле траекторий вибрационной машины, приводимой синхронно
вращающимися неуравновешенными роторами// Вибротехника. - Вып 4 (28). - Вильнюс. 1979.
181. Жидких С. А К устойчивости границ планетарных колец // Седьмой Всесоюзн.
съезд по теор. и прикл. механике: Аннотации докл. - М., 1991.
182. Жуковский Н. Е. Заметка о плоском рассеве // Собр. соч. H.R Жуковского.
Т.З. - М.: Гостехиздат, 1949.
183. Журавлев В. Ф., Лапин АА Явление самосинхронизации в скоростных
гироскопических опорах // Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. - N 4.
184. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории нелинейных
колебаний. - М.: Наука, 1988.
185. 3 а и к а П. М. Вибрационные зерноочистительные машины. - М.: Машиностроение,
1967.
186. 3 а р е ц к и й Л. Б. О самосинхронизации центробежных вибровозбудителей вибро-
ударного механизма// Машиноведение. - 1967. - N 1.
187. 3 а р е ц к и й Л. Б. Синхронизация центробежных вибровозбудителей в системах с
разрывными характеристиками// Инжжурнал. МТТ. - 1968. - N 1.
188. 3 а р е ц к и й Л. Б. Кратная синхронизация центробежных вибровозбудителей //
Изв. АН СССР. МТТ. - 1974. - N 4.
189. Зарогатский Л. П., Иванов Н. А., Финкелыптейн Г. А. Инерционная
дробилка КИД-1750 и перспективы использования дробилок этого типа // Обогащение руд. -
1982. - N1.
190. Зевин А. А., Филоненко Л. А Параметрические колебания маятника
относительно верхнего положения равновесия // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - N 5.
191. Зевин А. А, Филоненко Л. А Стабилизация статически неустойчивых
нелинейных систем с помощью периодических вынуждающих сил // П Всесоюзн.конф. "Нели¬
нейные колебания механических систем": Тез.докл. 4.1. - Горький, 1990.
192. Исламов М. С. О движении частиц сыпучей среды при воздействии вибрации //
Изв.вузов. Горный журнал. - 1983. - N 12.
372
ЛИТЕРАТУРА
193. И о р и ш Ю. И. Односторонний увод и вращение стрелок измерительных приборов,
возникающие при вибрации // Приборостроение. - 1956. - N 4.
194. Исполов Ю. Г., Смольников Б. А. Принципы неголономного разгона
подвижных объектов // Седьмой Всесоюзн. съезд по теор, и прикл. механике: Аннотации
докл. - М., 1991.
195. Ишлинский АЮ. Механика гироскопич. систем. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.
196. Иш лин с кий А. Ю., Малашенко С. В., Стороженко В. А., Темчен -
ко М. К, Ш и ш к и н П. Г. Метод балансировки вращающихся тел на струнном приводе //
Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. - N 5.
197. Ишлинский А. Ю. Движение твердого тела на струне // Механика, идеи, задачи,
приложения. - М., 1985.
198. Ишлинский А. Ю., Стороженко В. А, ТемченкоМ. Е.
Квазипар адоксальные движения твердого тела // Седьмой Всесоюзн. съезд по теор. и прикл.
механике: Аннотации докл. - М., 1991.
199. КадымбековЗ. Землетрясения по заказу. Газета “Правда” N 157 (26605), 2 июля
1991г.
200. К а л и ш у к А К. Элементарный способ изучения динамических свойств систем //
Журн.техн.физ. - 1939. - Т. 4, вып. 8.
201. Канапенас Р. -М. Виброопоры. - Вильнюс: Мокслас, 1984.
202. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. - 1954. -
Т. 44, вып. 1.
203. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке
подвеса//Журн. эксперим. и теор. физики. - 1951. - Т. 21, вып. 5.
204. Карамзин В. Д. Техника и применение вибрирующего слоя. - Киев: Наукова
думка, 1977.
205. Карнаухов В. Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б. П. Термомеханическое
поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. - Киев: Наукова думка, 1985.
206. Картынов И. Н. Обработка деталей свободными абразивами в вибрирующих
резервуарах. - Киев: Высшая школа, 1975.
207. Кацман Я. М. Определение механических параметров установившегося режима
работы конусных инерционных дробилок // Обогащение руд. - 1984. - N 6.
208. Келлер И. О., Тарузин ЕЛ. Управление устойчивостью конвективного
равновесия жидкости, подогреваемой снизу// Изв. АН СССР. МЖГ. - 1990. - N4.
209. Кизевальтер Б. В. Теоретические основы гравитационных методов обогаще¬
ния. - М.: Недра, 1979.
210. Киргетов А В. К вопросу об устойчивости квазиравновесных положений
маятника В.НЛеломея // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - N 6.
211. Киргетов А. В. О некоторых вопросах приводимости и устойчивости: Дис. ...
канд.физ.-мат.наук. - М.: МГУ, 1989.
212. Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход
к статистической теории открытых систем. - М.: Наука, 1990.
213. Ключининкас АЮ. Исследование виброоптического метода при измере¬
нии параметров частиц аэрозоля // Проблемы контроля и защиты атмосферы от загрязнения.
Вып. 9. - Киев: Наукова думка, 1983.
214. Кобринский АЕ. Механизмы с упругими связями. - М.: Наука, 1964.
215. Кобринский АЕ., Кобринский АА Виброударные системы (динамика и
устойчивость). - М.: Наука, 1973.
216. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Двумерные виброударные системы. -
М.: Наука, 1981.
ЛИТЕРАТУРА
373
217. Коган Э. А. Транспортирование и сепарация материала на шероховатой плоско¬
сти, совершающей продольно-поперечные эллиптические колебания // Всесоюзн. конф. по
вибрационной технике: Тез. докл. - Кутаиси - Тбилиси, 1981.
218. Коган Э. А. Закономерности движения материальной частицы по шероховатой
плоскости, совершающей продольно-поперечные эллиптические колебания, и их использова¬
ние в теории вибротранспортирования и вибросепарации. Дис.... канд.техн.наух. - Л., 1984.
219. К о з л о в В. В. Усреднение в окрестности устойчивых периодических движений //
ДАН СССР. - 1982. - Т. 264, N 3.
220. Козлов Л. Ф. Теоретическая биогидродинамика. - Киев: Вшца школа, 1983.
221. Кокшайский Н. В. Очерк биологической аэро- и гидродинамики // Полет и
плавание животных. - М.: Наука, 1974.
222. Коловский М. 3., Первозванский А. А.0 линеаризации по функции
распределения в задачах теории нелинейных колебаний // Машиностроение. - 1962. - N 2.
223. Коловский М. 3. О влиянии высокочастотных возмущений на резонансные
колебания в нелинейной системе // Труды Ленинградск. политехи, ин-та. - 1963. - N 226.
224. Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. - М.: Наука, 1966.
225. Коловский М. 3., С а б л и н АД., Троицкая 3. В. Колебания нелинейных
систем с переменными и случайными параметрами //Изв. АН СССР, МТТ. - 1971. - N 4.
226. Коловский М. 3., Сумачева 3. А. Об изменении динамических характери¬
стик механической системы под воздействием вибрации // Электронная техника. - 1975. -
Сер. 8, имтт- 3.
227. Коловский М. 3. Исследование динамики установившегося движения машинно¬
го агрегата с упругим передаточным механизмом // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1985. -
N2.
228. Коловский М.З., Слоущ А В. О^ювы динамики промышленных роботов. -
М.: Наука, 1988.
229. Коловский М. 3. Некоторые нелинейные задачи динамики, механизмов // П
Всесоюзн. конф. "Нелинейные колебания механических систем": Тез. докл. Ч. I. - Горький,
1990.
230. Кондаков В. Е. О вибрационном разжижении бетонной смеси при плоском
напряженном состоянии // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1984. - N 4.
231. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. - М.:
Наука, 1964.
232. Косолапое А. Н. Адаптивное свойство колебательной системы с самосинхрони¬
зующимися вибровозбудителями // ДАН СССР. - 1989. - Т. 309, N 2.
233. Кошляков В. Н. Двухроторный маятниковый гирокомпас на вибрирующем
основании // Вопросы устойчивости и управления навигационных систем: Сб.науч.тр. - Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1988.
234. Краснов А А. Сегрегация зернистого материала при сдвиговой деформации
слоя // Исследование процессов, машин и аппаратов разделения материалов по крупности:
Междувед.сб.науч.тр. - Л.: Механобр, 1988.
235. Красовский ААО вибрационном способе линеаризации некоторых нелиней¬
ных систем // Автоматика и телемеханика. - 1948. - Т. 9, вып. 1.
236. К р е м е р Е. Б., П а л и л о в В. Ф., Ш и ф р и н а Е. Б. Поведение сыпучего
материала в вибрирующих сообщающихся сосудах // Тез. Всесоюзн.конф. по вибрационной
технике. - Телави: Ин-т механики машин АН ГССР, 1984.
237. Кремер Е. Б., Фидлин А Я. Одномерная динамическая континуальная модель
сыпучей среды // ДАН СССР. - 1989. - Т. 309, N 4.
238. Крюков Б. И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. - М.:
Машиностроение, 1984.
374
ЛИТЕРАТУРА
239. Кузьмина Л. К. Методы теории устойчивости в сингулярно возмущенных
задачах механики // Седьмой Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. механике: Аннотации докл. -
М., 1991.
240. К у м а б е Д. Вибрационное резание / Пер. с яп. под ред. И.И.Портнова и В.В.Бело-
ва. - М.: Машиностроение, 1985.
241. К у н и н И. А., X о н В. Ф. К теории взаимодействия вибратора с поглощающей
жидкой средой // Изв. СО АН СССР. ОТН. - 1961. - N 1.
242. Кумпикас A. JI., Р а г у л ь с к и с КМ. Об областях захвата синхронных
вращений маятника с вибрирующей точкой подвеса // Вибротехника 2 (2) - Вильнюс: Минтис,
1966.
243. Курбатов AM., Челомей С. В., Хромушкин А В. К вопросу о маятнике
В.Н.Челомея / Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - N 6.
244. Курило Р. Э., Рагульскейе В. Л. Двумерные вибрационные приводы. -
Вильнюс: Мокслас, 1986.
245. Лавендел Э. Э. Синтез оптимальных вибромашин. - Рига: Зинатне, 1970.
246. Лавендел Э. Э., С у б а ч АП., Поплавский Г. Ю. Исследование движения
модели загрузки при объемной вибрационной обработке // Вопросы динамики и прочности.
Вып. 20. - Рига: Зинатне, 1970.
247. Лаврентьев М. А., Лаврентьев Н. Н. Об одном принципе создания тяговой
силы для движения // Журн. прикл. механики и техн. физики. - 1962. - N 4.
248. Лавриненко В. В., Карташов И. А., Вишневский В. С.
Пьезоэлектрические двигатели. - М.: Энергия, 1980.
249. Лавров Б. П. Пространственная задача о синхронизации механических вибраторов
// Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. - 1961. - N 5.
250. Лавров Б. П. Вибрационные машины с самосинхронизующимися вибраторами
(Конструктивные схемы и специфические особенности расчета) // Труды по теории и прило¬
жению явления самосинхронизации в машинах и устройствах. - Вильнюс: Минтис, 1966.
251. Лавров Б. П. Новая формулировка интегрального критерия устойчивости синх¬
ронных движений механических вибраторов и ее приложения // Вибрационная техника (мате¬
риалы науч.-техн. конф.). - М.: НИИИнфстройдоркоммунмаш, 1966.
252. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. -
М.: Наука, 1980.
253. Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах. - М.: Наука, 1983.
254. Ландау Л. Д., Лифшиц ЕМ. Механика сплошных сред. - М.: Гостехиздат,
1954.
255. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. - 1-е изд. -
М.: Физматгиз, 1958; 2-е изд. - М.: Наука, 1965.
256. Лесин А. Д. Современное помольное оборудование. Вибрационные мельницы.
Обзорная информация / Промышленность нерудных материалов. - Серия 7. - М.: ВНИИЭСМ,
1989.
257. Лесин АД. Вибрационные машины в химической технологии. - М.: ЦИНТИХИМ-
НЕФТЕМАШ, 1968.
258. Линьков Р. В., У р м а н Ю. М. Пондеромоторное взаимодействие вращающегося
проводящего шара в переменном неоднородном магнитном поле // Журн. техн. физики. -
1974.-Т. 44, N11.
259. Линьков Р. В., Урман Ю. М. Быстрые вращения проводящего магнитного
волчка в неоднородном переменном магнитном поле // Журн. техн. физики. - 1978. - Т. 48,
N6.
260. Линьков Р. В. О неустойчивости проводящих тел, подвешенных в переменном
магнитном поле // Журн. техн. физики. - 1979. - Т. 49, N 5.
ЛИТЕРАТУРА
375
261. Л и п о в с к и й М. И. Об одном виде вибрационного перемещения сыпучей среды //
Изв. АН СССР, МТТ. - 1969. - N 3.
262. Логвинович Г. В. Гидродинамика плавания рыб // Изв. СО АН СССР. - 1973. -
N8.
263. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Теоретическая механика. Ч. Ш. - Л.; М.:
ОНТИ, 1934.
264. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.:
Наука, 1987.
265. Луковский И. А., Тимоха А. Н. Нелинейная динамика поверхности раздела
жидкости и газа при наличии в газе высокочастотного акустического поля / Препринт. - Ин-т
математики АН УССР. - Киев, 1988. - NN 88.9 и 88.10.
266. Лурье А. И. Операционное исчисление в приложениях к задачам механики. - Л. ;
М.: ОНТИ, 1938.
267. Лурье А. И. Аналитическая механика - М.: Наука, 1961.
268. Лурье А. И. Некоторые задачи самосинхронизации // Тр. 5-й Междунар. конф. по
нелинейным колебаниям. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970. - Т. 3.
269. Любимов Д. В., Черепанов А А. Нелинейная устойчивость поверхности
раздела жидкостей в высокочастотных полях // Седьмой Всесоюзн. съезд по теор. и прикл.
механике: Аннотации докл. - М., 1991.
270. Люлька В. А. Гидродинамическое сопротивление периодической структуры.
Микроструктура пера птицы // Седьмой Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. механике: Аннота¬
ции докл. -М., 1991.
271. Ляпунов AM. Общая задача об устойчивости движения. - М.; Л.: Гостехиздат,
1950.
272. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем / Пер. с
нем. под ред. В.Д.Смирнова. - М.: Мир, 1982.
273. М а к ь яв е л л и Н. История Флоренции. - Л.: Наука Ленингр. отд-е, 1973.
274. Малахова О. 3. Экстремальные признаки устойчивости движения и их использо¬
вание при создании вибрационных устройств. Дис. ... канд.физ. - мат. наук. - Л.: Механобр,
1990.
275. Малахова О. 3. Об особом случай в теории самосинхронизации механических
вибровозбудителей // Изв. АН СССР, МТТ. - 1990. - N1.
276. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. - М.: Гостехиздат,
1956.
277. Мариничев Б. М. Становление и развитие теории вибрационных процессов и
устройств в СССР //Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 1989.
278. Мартышкин В. С. Установка для изучения динамических характеристик
строительных материалов // Динамические свойства строительных материалов. - М.: ЦНИ-
ИПС, 1960.
279. Мачабели Л. И. О движении диска с двумя маятниками // Изв. АН СССР.
Механика. - 1965. - N 2.
280. Мачихина Л. И. Теоретические предпосылки к анализу процесса камнеотбороч¬
ных машин вибропневматического принципа действия // Труды ВНИИЗ. Вып. 60. - М., 1967.
281. Мачихина Л. И. Научные основы сепарирования риса при его промышленной
переработке в крупу: Дис.... д-ра техн. наук. - М., 1989.
282. Меняйлов А И., М о в ч а н А. В. О стабилизации системы маятник - кольцо в
условиях вибрации основания// Изв. АН СССР. МТТ. - 1984. - N 6.
283. М е р к и н Д. Р. Гироскопические системы. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука,
1974.
376
ЛИТЕРАТУРА
284. М с р к и н Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. - 3-е изд., перераб. и
доп. - М.: Наука, 1976.
285. Механико-технологические особенности и некоторые вопросы теории вибрационной
флотомашины института Механобр / Э.А.Аграновская, И.И.Блехман, Г.А.Денисов, Р.Ф.Нага-
ев, АМФедотов, К.СЛкимова // Разработка и внедрение схем и режимов обогащения руд
цветных металлов: Тр. ин-та Механобр. - Вып. 144. - Л., 1976.
286. Миллер М. А Движение заряженных частиц в высокочастотных электромагнит¬
ных полях // Изв. вузов. Радиофизика. - 1958. - Т. I, N 3.
287. Минкин Ю. Г., Вольфсон С. А. Энергетический баланс при движении
железнодорожного экипажа по пути с неровностями // Повышение эксплуатационной надеж¬
ности локомотивов в условиях Урала и Сибири: Материалы сетевой научно-техн. конф. -
Омск: Омский ин-т инженеров ж.-д. транспорта, 1973.
288. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нелинейных
колебаний. - М.: Наука, 1964.
289. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. - Киев:
Наукова думка, 1971.
290. Митропольский Ю. А, Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в
нелинейной механике. -М.: Наука, 1973.
291. Митропольский Ю. А., Лопатин А К. Теоретико-групповой подход в
асимптотических методах нелинейной механики. - Киев: Наукова думка, 1988.
292. Митулис А. А Характер стационарного движения математического маятника с
вибрирующей точкой подвеса в зависимости от выбора начальных условий // Труды по теории
и применению явления синхронизации в машинах и устройствах. - Вильнюс: Минтае, 1966.
293. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир, 1973.
294. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука,
1969.
295. Моласян С. А. Скорость движения двухмассной системы по шероховатой
плоскости под действием периодических импульсов // Изв. АН СССР. Машиноведение. -
1985.-N1.
296. Молчанов А. М. О резонансной структуре Солнечной системы // Современные
проблемы небесной механики и астродинамики. - М.: Наука, 1973.
297. Набиуллин М. К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. -
Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1990.
298. Нагаев Р. Ф. Общая задача о синхронизации в почти консервативной системе //
ПММ.-1965.-Т. 29, N5.
299. Нагаев Р. Ф., Попова И. А Самосинхронизация нескольких механических
вибраторов, установленных на едином рабочем органе балочного типа // Инженерный жур¬
нал. - МТТ. - 1967. -N 1.
300. Нагаев Р. Ф., X о д ж а е в К.Ш. Синхронные движения в системе объектов с
несущими связями // ПММ. - 1967. - Т. 31, вып. 4.
301. Нагаев Р. Ф. Случай порождающего семейства квазипериодических решений в
теории малого параметра // ПММ. - 1973. - Т. 37, вып. 6.
302. Нагаев Р. Ф., Т у р к и н В. Я. Синхронный режим работы ударно-вибрационной
щековой дробилки // Обогащение руд. - 1973- - N 2.
303. Нагаев Р. Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. - М.: Наука,
1978.
304. Нагаев Р. Ф.,Тамм Е. А. Вибрационное перемещение в среде с квадратичным
сопротивлением // Машиноведение. - 1980. - N 4.
305. Нагаев Р. Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударения¬
ми. - М.: Наука, 1985.
ЛИТЕРАТУРА
377
306. Нагаев Р. Ф., Г у з е в В. В. Самосинхронизация инерционных вибровозбудите¬
лей / Под ред. КМ.Рагульскиса. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1990.
307. Неймарк Ю. И. Теория вибрационного погружения и вибровыдергивания //
Инженерный сборник. - 1953. - Т. XVI.
308. Неймарк Ю. И., Коган Н. Я., Савельев В. П. Динамические модели теории
управления. - М.: Наука, 1985.
309. Неймарк Ю. И., Л а н д а П. С. Стохастические и хаотические колебания. - М.,
Наука, 1987.
310. Н е п о м н я щ и й Б. А. Математическое описание кинетики процесса сепарирова¬
ния сыпучих материалов // Труды ВНИИЗ. Вып. 61 - 62. - М., 1967.
311. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. I и П. - М.: Наука, 1987.
312. Новожилов В. В. Две статьи о математических моделях в механике сплошной
среды. - Препринт / ИПМ АН СССР. - М., 1983. - N 215.
313. Новожилов И. В. О корректности ряда предельных моделей в механике. -
Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР, Моск. энергетич. ин-т. М., 1985. - N 253.
314. Н о в о ж и л о в И. В. Предельная модель системы с упругими элементами большой
жесткости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - N 4.
315. Овчинников П.Ф. Виброреология. - Киев: Наукова думка, 1983.
316. Олевский В. А. Параметры режима и производительность грохотов // Обогаще¬
ние руд. -1967, N 3.
317. Опирский Б. Я., Денисов П. Д. Новые вибрационные станки. Конструкции и
расчет. - Львов: Свит, 1991.
318. О р л о в А. Л. Волновые модели нелинейных зависимостей сил сухого трения от
скорости скольжения // П Всесоюзн. конф. "Нелинейные колебания механических систем":
Тез. докл. Ч. L - Горький, 1990.
319. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем:
Современные концепции, парадоксы и ошибки. - М.: Наука, 1979.
320. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1980.
321. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела - М.: Наука, 1985.
322. Пальмов В. А. Описание высокочастотной вибрации сложных динамических
систем методами теории теплопроводности // Избранные проблемы прикладной механики:
Сборник, посвященный 60-летию акад. В.Н.Челомея. - М.: ВИНИТИ, 1974.
323. Пальмов В. А Колебания упругопластических тел. - М.: Наука, 1976.
324. Паршин С. В., Соколов АС., Томилин А Г. О регулируемой
специальными сосудистыми органами упругости плавников дельфина // ДАН СССР. - 1970. -
N3.
325. Паташене Л. Р. Разработка и исследование вибродвигателей с кольцевым
возбудителем. Дис.... канд.техн. наук. - Каунас, 1979.
326. Первозванский А. А Случайные процессы в нелинейных автоматических
системах. - М.: Физматгиз, 1962.
326а. Перестюк Н. А Колебательные решения дифференциальных уравнений с
импульсным воздействием и их устойчивость: Дис.... д-ра физ.-мат.наук. - Киев, 1985.
327. Петрова И. М. Исследования в области бионики, проводимые с целью увеличе¬
ния скорости хода кораблей. - М.: ЦНИИТЭНС, 1968.
328. Петрова И. М. Гидробионика в судостроении. - М.: ЦНИИТЭИС, 1970.
329. Печенев А В. О движении колебательной системы с ограниченным возбуждени¬
ем вблизи резонанса// ДАН СССР. - 1986. Т. 290, N1.
330. Печенев А В. Осреднение систем с иерархией скоростей вращения фаз на
существенно больших интервалах времени // ДАН СССР. - 1990. - Т. 315, N 1.
378
ЛИТЕРАТУРА
331. Плисс Д. А., Абрамович И. М. Разработка вибрационного способа сухой
классификации полезных ископаемых // Отчет ВНИИ Механобр. - Л.: Механобр, 1948.
332. Плисс Д. А К теории вибрационной сепарации // Инж. журн. МТТ. - 1967. - N 4.
333. Попов ЕП.,Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных
автоматических систем. - М.: Физматгиз, 1960.
334. Подураев В. Н. Обработка резанием с вибрациями. - М.: Машиностроение, 1970.
335. Потураев В. Н., Ф р а н ч у к В. П., Червоненко А Г. Вибрационные
транспортирующие машины (Основы теории и расчета). - М.: Машиностроение, 1964.
336. Потураев В. Н., Р а в и ш и н В. П., Червоненко А. Г. Способ грохочения
сыпучего материала. - Авт.свид. N 761030// Бюл.изобрет. - 1980. - N 33.
337. Потураев В. Н., Волошин А. И., Пономарев Б. В. Вибрационно-пневма-
тическое транспортирование сыпучих материалов. - Киев: Наукова думка, 1989.
338. Привод возвратно-поступательного движения сита / В.В.Гортинский, Е.ААлабин,
А.Г.Балясов, А.Б.Демский, Е.В.Тамарив, Н.В.Лебедев, С. А. Черно ликов, А.Н.Васильев,
А.Ф.Лондарсхий, - Авт.свид. N 977060// Бюл.изобрет. - 1982. - N44.
339. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в
физических науках / Пер. с англ. Под ред. Ю.Л.Климонтовича - М.: Наука, 1985.
340. Пуанкаре А Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. 1. М.:
Наука, 1971.
341. Рагульскис К. М. Механизмы на вибрирующем основании (Вопросы динамики и
устойчивости). - Каунас: Ин-т энергетики и электротехники АН ЛитССР, 1963.
342. Рагульскис К. М., Виткус И. И., Рагульскене В.Л. Самосинхронизация
механических систем // Самосинхронные и виброударные системы. - Вильнюс: Минтис, 1965.
343. Рагульскис К. М., Нагинявичюс В. В. Трубообразный виброклапан,
управляемый колебаниями трубы как упругого тела // Деп. в Лит. НИ ИНТИ, N 1644. - Виль¬
нюс, 1986.
344. Рагульскис Л. К., Рагульскис К. М. Колебательные системы с
динамически направленным вибровозбудителем. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1987.
345. Р а с к и н X. И. Применение методов физической кинетики к задачам вибрационно¬
го воздействия на сыпучие среды // ДАН СССР. - 1975. Т. 220, N1.
346. Р е б р и к Б. М. Бурение скважин при инженерно-геологических изысканиях. - М.:
Недра, 1979.
347. Ревнивцев В. И., Денисов Г. А, ЗарогатскийЛ. П. Конусные
инерционные дробилки КИД-300 для измельчения гранул и фрезерной стружки из быстроре¬
жущей стали // Научно-технические достижения (НТД). Межотраслевой научно-техн.сб. - М.,
1984.
348. Розенвассер Е. Н. Периодически нестационарные системы управления. - М.:
Наука, 1973.
349. Романенко Е.В. Теория плавания рыб и дельфинов. - М.: Наука, *986.
350. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С.
Математическое моделирование в биофизике. - М.: Наука, 1975.
351. Рубановский В. Н. Устойчивость установившихся движений сложных механи¬
ческих систем // Итоги науки и техники. Общая механика - М.: ВИНИТИ, 1982. - Т. 5.
352. Румянцев В. В.К динамике твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН
СССР. МТТ.- 1983.-N 4.
353. Румянцев В. В., Озиранер АС. Устойчивость и стабилизация движения по
отношению к части переменных. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-*£атлит., 1987.
354. Рундквист А К. Механика инерционной дробилки Механобра // Механика и
расчет машин вибрационного тана - М.: Изд-во АН СССР, 1957.
355. Рундхвист А. К., Блехман И. И., Р у д и н А. Д. К теории критической щели
инерционных дробильно-измельчительных машин// Обогащение руд. - 1961. - N 2.
356. Р ы ж х о в А. Ф. Гидродинамика и массотеплоперенос в виброожиженных
дисперсных системах: Дис.... д-ра техн.наух. - Новосибирск, АН СССР, Сиб. отд., ин-т тепло¬
физики, 1991.
357. Рыспехов К. М. Исследование эхсплуатационной надежности и совершенствова¬
ние ремонтного обслуживания измельчительного оборудования (на примере обогатительной
фабрихи Джезхазгансхого ГМК): Автореф. дис.... ханд.техн.наух. - Л., 1982.
358. Савинов О. А., Лусхин А-Я. Вибрационный метод погружения свай и его
применение в строительстве. - М.;Л.: Госстройиздат, 1960.
359. Савинов О. А. Современные хонструхции фундаментов под машины и их расчет.
2-е изд. перераб. и доп. - Л.: Стройиздат, 1979.
360. Савинов О. А., Лавринович Е. В. Вибрационная техника уплотнения-формо¬
вания бетонных смесей. - Л.: Стройиздат. Ленингр. отд-е, 1986.
361. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсным
воздействием. - Киев: Вшца школа, 1987.
362. Свидерский В. Л. Полет насекомого. - М.: Наука, 1980.
363. Северденко В. П., К л у б о в и ч В. В., С т е п а н е н к о А. В. Ультразвук и
пластичность. - Минск: Наука и техника, 1976.
364. Седов Л. И. Мысли об ученых и науке прошлого и настоящего: Сб.ст. - М.: Наука,
1973.
365. Седов Л. И. Теоретические модели: Введение и перечень работ с аннотациями
Л.И.Седова и его сотрудников по построению моделей сплошных сред. - М.: 1974: Скопле,
1975.
366. Сергеев П. А., Блехман И. И. Исследование динамики центрифуг типа АД-5
и ЦА-5 // Труды ВНИИ Коммунмаш, вып. 2. - Л., 1970.
367. Сергеев П. А., Шишатский В. Н., Широков Н. А., Азерский Ш. Г.
Шарнирное устройство опоры и привода барабана прачечной центрифуги. - Авт. свид.
N308128//Бюл. изобрет. - 1971. - N21.
368. Сергеев П. А., Ермаков В. В., Прохоров В. А., Тимофеев В. П.,Ши-
шатский В. Н. Подвеска центрифуги для отжима белья. - Авт.свид. N 653319 // Бюл.изо-
брет.- 1979. -N11.
369. Синельников А. Е. Уводы маятника на вибрирующем основании в случае
действия эллиптической вибрации // Изв. АН СССР. Механика - 1965. - N 6.
370. С л и е д е П. Б. Послойное безотрывное движение сыпучего материала по вибро-
лотку при больших коэффициентах трения // Вопросы динамики и прочности. Вып. 23. - Рига:
Зинатне, 1972.
371. С о р о х о В. В. Работы института Гипронихель в области вибропогрузхи, вибробун-
херизации и вибровыпусха насыпных грузов // Сборник статей по вибропогрузочным маши¬
нам, вибробунхеризации и вибровыпусху насыпных грузов. - М.: ЦНИИТЭИ угля, 1963.
372. Сороходум Е.Д. Об усредненной силе, действующей на осциллирующее в
жидхости зонтообразное тело // Ахуст.журн. - 1981. - Т. 27, N 5.
373. Спиваховсхий А. О., Гончаревич И. Ф. Вибрационные и волновые
транспортирующие машины. - М.: Наука, 1983.
374. Справочник по обогащению руд. Подготовительные процессы. - 2-е изд. перераб. и
доп. - М.: Недра, 1982.
375. Степанов Г. Ю. Почему невозможен "аппарат Дина" // Природа - 1963. - N 7.
376. Стретт Дж. (Лорд Рэлей). Теория звука Т. И - М.; Л.: Гостехиздат, 1944.
377. Стрижак Т. Г. Методы исследования динамических систем типа “маятник". -
Алма-Ата: Изд. "Наука" КазССР, 1981.
380
ЛИТЕРАТУРА
378. С т р и ж а к Т. Г. Минимаксный признак устойчивости. - Препринт / Ин-т электро¬
динамики АН УССР. - Киев, 1981.
379. Стрижак Т. Г. Метод усреднения в задачах механики. - Киев-Донецк: Вища
школа, 1982.
380. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных
многообразий. - М.: Наука, 1988.
381. С у б а ч А. П. Математические модели загрузки контейнера объемной вибрацион¬
ной обработки при учете дополнительного силового поля и послойного движения загрузки //
Вопросы динамики и прочности. - 1973. - Вып. 25.
382. Т а м м Б. А Динамика самоходных вибрационных аппаратов: Дис.... канд.физ.-мат.
наук. - Горький, 1988.
383. Тимофеев И. П. Исследование вибробункеризации насыпных грузов // Сборник
статей по вибропогрузочным машинам, вибробункеризации и вибровыпуску насыпных гру¬
зов. - М.: ЦНИИТЭИ угля, 1963.
384. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. - М.: ОНТИ, 1934.
385. Тишков А. Я., Григорьев В. М. Выпуск руды с помощью виброленты
питателей “Волна” // Горн. журн. - 1975. N - 2.
386. Толстой Д. М. Собственные колебания ползуна, зависящие от контактной
жесткости, и их влияние на трение // ДАН СССР. - 1963. - Т. 153, N 4.
387. Толстой Д. М., Каплан Р. Л. К вопросу о фрикционных автоколебаниях и
скоростной зависимости силы трения // Теория трения и износа. - М.: Наука, 1965.
388. Трусделл К. Первоначальный курс механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975.
389. Усаковский В. М. Инерционные насосы. - М.: Машиностроение, 1973.
390. Учитель А.Д., Эстрайх В. Л. Определение вероятности попадания частиц
произвольной формы в отверстия сит грохотов // Исследования процессов, машин и аппара¬
тов разделения материалов по крупности: Междувед. сб.науч.тр. Л.: Механобр, 1988.
390а. Фазуллин Ф. Ф. К синхронизации механических систем, обладающих круговой
симметрией // Прикладная механика - 1976. - Т. 12, N1.
391. Федаравичюс А. Ю. Способ вибрационного транспортирования и устройство
для его осуществления. - Автхвид. N 1022895 // Бюл. изобрет. - 1983. - N 22.
392. Федоренко И. Я. Анализ поведения сыпучей среды при вибрациях на основе
теории аттрактора Лоренца// Изв. Сиб. отд. АН СССР, Сер. техн. наук. - 1990. - N3.
393. Феппль А, Феппль Л. Сила и деформация. В 2 т. - М.- Л.: ОНТИ. - Т. I, 1934,
Т. П, 1936.
394. Фидлин А Я. Моделирование поведения сыпучей среды, находящейся в вибриру¬
ющем сосуде// Всесоюзн. конф. по вибрационной технике. Тез.докл. - Тбилиси, 1987.
395. Фидлин А Я. Образование циркуляционных потоков сыпучего материала при
вибрационном воздействии // Обогащение руд. - 1991. - N1.
395а Фидлин А. Я. Об усреднении в системах с переменным числом степеней
свободы // ПММ. - 1991. - Т. 55, N 4.
396. Флорина Н. В. Штамп на упругом основании под действием переменных
нагрузок при наличии проскальзывания: Автореф. дис.... канд.техн.наук. - Л., 1964.
397. Фролов КВ. Вибрация - друг или враг? - М.: Наука, 1984.
398. X а к е н Г. Синергетика Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся систе¬
мах и устройствах / Пер. с англ. Под ред. Ю.Л.Климонтовича - М.: Мир, 1985.
399. X а п & е в М. М. Усреднение в теории устойчивости. - М.: Наука, 1986.
400. Хилькевич С. С. Физика вокруг нас. - М.: Наука, 1985. - (“Квант”. Вып. 40).
401. Ходжаев К.Ш. Синхронизация механических вибраторов, связанных с линейной
колебательной системой // И>в. АН СССР. МТТ. - 1967. - N 4.
ЛИТЕРАТУРА
381
402. Ходжаев К. ILL Интегральный критерий устойчивости для систем с квазицикли-
ческими координатами и энергетические соотношения при колебаниях проводников с токами
// ГОШ. - J 969. - Т. 33, выи. !.
40л. Ходжаев К. ILL Колебания нелинейных электромеханических систем // Вибрации
в технике: Справочник. Колебания нелинейных механических систем. - М.: Машиностроение,
- Т. 2. 1979.
404. Цейтлин М. Г., В е р с т о в В. В., А з б е л ь Г. Г. Вибрационная техника и
технология в свайных и буровых работах. - Л*: Стройиздат. Ленингр. отд-е, 1987.
405. Ч е л о м е й В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при
помощи вибраций // ДАН СССР. - 1956, - Т. 110, N 3.
406. 4 еломей В. Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. -
1983. - Т. 270, N 1.
407. Челомей С. В. Нелинейные холебания р параметрическим возбуждением // Изв.
АН СССР. МТТ. - 1977. - N 3.
408. 4 еломей С. В. О динамической устойчивости упругих систем // ДАН СССР. -
1980УГ. 252, N 2.
409. 4 еломей С. В. Динамическая устойчивость при высокочастотном параметриче¬
ском возбуждении // ДАН СССР. - 1981. - Т. 257, N 4.
410. Челпанов И. Б. Влияние случайной качки движущегося судна на гироскопиче¬
ские приборы. Изв. АН СССР. - МТТ. - 1973. - N 4.
411. Червоненко А. Г., Борохович Д. Е. Особенности виброперемещения
сыпучих грузов с отрывом от рабочей поверхности // Машиноведение. - 1978. - N 4.
412. Чередниченко И. И. Резонансное перемещение высокодисперсного сыпучего
тела пульсирующим потоком несущего газа: Дис.... канд.техн.наук. - М., 1989.
413. Черноусько Ф. Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными
элементами // ПММ. - 1978. - Т. 42, вып, 1.
414. Черноусько Ф. Л. Движение вязкоупругого тела относительно центра масс.
Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1980. - Т. 15.
415. Чечельницкий А. М. Экстремальность, устойчивость, резонансность в
астродинамике и космонавтике. - М.: Машиностроение, 1980.
416. Членов В. А., Михайлов Н. В. Сушка сыпучих материалов в виброкипящем
слое. - М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1967.
417. Ч л е н о в В. А., М и х а й л о в Н. В. Виброкипящий слой. - М.: Наука, 1972.
418. Ч у н ц 3. Г. Исследование динамики и совершенствование резонансных машин для
переработки полезных ископаемых: Дис.... канд.техн.наук. - Рига, 1979.
419. Ш а т а л о в С. Д. Разделение движений в электромеханических системах: Дис. ...
канд.физ.-мат. наук. - Л., 1985.
420. Шахтные вибрационные погрузочные машины и питатели / К.С.Гурков, А.Д.Косты-
лев, Я.Б.Кальницкий, В.И.Креймер и др. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд-е, 1970.
421. Ш а ш к о в И. П. Вибрационный конвейер. - Авт. свид. N 146235 // Бюл.изобрет. -
1962.-N 7.
422. Ш е х т е р О. Я. Об одном примере субгармонических колебаний // Труды совеща¬
ния по применению вибраций при устройстве оснований сооружений и бурении скважин в
строительных целях. - Л.: НТО Строительной индустрии СССР, 1959.
423. Шинкин В. Н.О поиске устойчивых резонансных режимов с помощью их
экстремальных свойств // Вестн. МГУ, Сер. Вычисл. математика и кибернетика. - 1981, - N 2.
424. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974.
425. Шноль Э.Э.О синхронизаяни биохимических колебаний в клетках, взаимо дейст¬
вующих через окружающую среду. - Препрют / Научный центр биологических исследований
АН СССР. - Пущине, 1985.
426. Шубин И. 1C Влияние вибрации на двухрежим!гый курсоуказатель. // Прикладная
математика. Межвузовский сборник N 71. - Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т, 1979.
382
ЛИТЕРАТУРА
427. Щигель В. А.,Гринбаум А. С. Режимы подбрасывания частицы на
гармонически колеблющейся плоскости // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1974. - N 6.
428. Якимова К. С. Вибрационное перемещение двухмассной колебательной системы
// Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. - N 5.
429. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972.
430. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в
линейных системах. М.: Наука, 1987.
431. В a a d е г W. Das Verhalten eines Schuttgutes auf schvingenden Siebrosten // Grundlagen
der Landtechnik. - 1961. -Hf. 13.
432. Blekhman LI. Synchronization in Science and Technology. - New York: ASME Press,
1988 (Англ. перевод книги [84]).
432a. Blekhman L, Fedaravicus A., R о t о v a s V. Vibratio transportavimo
harmoningai virpancia horizontalia plokstuma, esant valdomai sausajai trinciai, tyrimas // Taikomoji
Mechanika. Motolo darbai. - N 1. Kauna technology os universitetas Kaunas, “Technologija” 1991.
433. Bogusz W., Engel Z. Badania doswiadczalne urzadzen samosynchronizujacych //
Przeglad mechaniczny. - 1965. - No 8.
434. Borderies N., Goldreich P., Tremaine S. Sharp edges of planetary rings //
Nature. - 1982. - Vol. 299, No 5880.
435. Chernousko F. L. Evolution of Rigid Body Motions due to Dissipative torquer.
Nonlinear dinamics in engineering systems. IUTAM Symposium Stuttgart // Germany, 1989,
Springer-Verlag Berlin - Heidelberg, 1990.
436. Coughey Т. К Hula-hoop: one example of heteroparametric exitation // Amer. J. Phys. -
1960. - V. 28, No. 2.
437. D a i e r F. Reverse classification by Crobweed setting in Ore-Dressing // Engng. and
Mining J. - 1929. - V. 127, No 26.
438. Davies H. Random vibration of distributed systems strongly coupled as discrete points //
J. Acoust.Soc.Am. - 1973, - Vol. 54, No 2.
439. E i с h 1 e r E. Thermal circuit approach to vibration in coupled systems and noise reduction
of a rectangular box. - J. Acoust.Soc.Am. - 1965. - Vol. 37, No. 6.
440. E r d e 1 у i A. Uber die Kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierenden
Aufhangepunkt // ZAMM. - 1934. - Bd. 14.
441. Goldacre R. The Control of Rhythm and Homeostasis in Biology and Medicine //
Cibemetica. - 1960. - No. 2.
442. Gutman L Industrial uses of mechanical vibrations. - London, 1968.
442a. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik* - Leipzig, 1894.
443. Inoue J., Araki Y., Hayashi S.,M at s u shi t a O., MiyauraS., OkadaY.,
On the self-synchronization of mechanical vibrators // Trans. Japan. Soc.Mech.Eng. - Part 1 - 1966. -
Vol. 32, No 234; Part 2 - 1967. - Vol. 33, No. 246; - Part 3 - 1969. - Vol. 274, No. 35; - Part 4 - 1975. -
Vol. 41, No. 350.
444. Jeffereys H. a. B. S. Methods of Mathematical Physics. - Cambridge, 1950 (second
edition).
445. Josselin de Jong. Static and Kinematics in the failable zone of a granular material. -
Delft: Waltman, 1959.
446. К г о 1 1 W. Uber das Verhalten von Schuttgut in lotrecht schwingenden Gefassen //
Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens. - 1954. - No. 1.
447. К г о 1 1 W. Fliesserscheinungen auf Haufwerken in schwingenden Gefassen // Chemic
Ingenieur Technik. - 1955. - No. 1.
448. Li К, W., M a r f at i a A- C. Stokes second problem for tbs cylinde r // Trans. ASME.-
1971. - Vol. 93, No. 2. - D93 (Рус. пер.: Tp. амер. о-ва инженеров-механиков. - 1971. - Т. 93, N 2).
ЛИТЕРАТУРА
383
449. L i g ht h i 11 M. J. Hydrodynamics of Aquatic Animal Propulsion I I Annual Review of Fluid
Mech.- 1969.-No. 1.
450. L i g h t h i 11 M. J. Mathematical biofluid-dynamics. - Phyladelphia (Pa.): Soc. for Industr.
and Appl. Math., 1975.
451. L о t z R., С r a n d a 11 S. Prediction and measurement of the proportionality constant in
statistical energy analysis of structures // J.Acoust.Soc.Am. - 1973. - Vol. 54, No.2.
452. M a j e w s к i T. Synchronous vibration eliminator for an object having one degree of
freedom // Journal of sound and vibration. - 1987. - V. 112, No. 3.
453. Mayer E. W. Fundamentals of potential theory of the jigging process // VII
Intem.Mineral. Proc.Congr. - New York, 1964.
454. M a z e 11 R. Mecanique vibratoire. - Paris - Liege: Libr. politechnxh. Beranger, 1955.
455. Miklaszewski R. On possibility of self-synchronization of rotating eccentric
vibrators // NonliiLVibr.Probl. - 1962. - No. 4.
456. Ovenden M. W., Feagin Т., Graff O. On the principle of least interaction action
and the Laplacean satellites of Jupiter and Uranus // Celestial Mechanics. - 1974. - V. 8, No. 3.
457. Q u e с к U. Delphin-Luflschiff als Fliegender Kran// Flieger Revue. - 1974. - No. 6.
458. R о с a r d Y. Dinamique Generale des vibrations. - Paris: Masson, 1949.
459. Roth W. Eine Theorie uber die Sctovimmbewegung von Fischen // Acta Mechanica. -
1974. - No. 20.
460. Scharton Т.,Lyon R. Power flow and energy sharing in random vibration // J.
Acoust. Soc.Am. - 1968. - Vol. 43, No.6.
460a. Schmidt B. A Vibrated Pendulum with a Mass Free to move Radially // J. of applied
mech. - 1980. - V. 47.
461. S с h m i d t W. Delphinluftschiff mit Wellantrieb-Werkung Hastischer Wellerblatter //
TIZL. - 1974. - V. 10, No. 4.
462. Selective liberation of minerals in intertial cone crushers / V.I.Revnivtsev, G.A.Finkelstein,
L.P.Zarogatsky, I.I.Blekhman, N. Alvanov // Canada Power Technology. - 1984. - V. 38.
463. S i g n e u 1 R. A O. Apparat for behandling av t; objekt medel riktade vibrationer. -
Sverige, patent No. 163270, Kl. 80a: 49. Patenttid fran den 6 August 1946, pablicerat den 13 Maj 1958.
464. S i g n e u 1 R. A- O. Vibrating device for a directed vibratory effect by means of rotatable
vibratory members. - United States Patent Office, No. 2, 531, 706. Application May 25 1948, in Sweden
August 6, 1946, Patented Nov. 28, 1950.
465. Sommerfeld A- Beitrage zum dynamischen Ausbau der Festigkeitslehre // Zeitsch.
VDI. - 1902. - BdXXXXVI, No. 11.
466. Soundalgekar V. М., Dasgupta A.K. Flow past an oscillating plate in a
viscoelastic fluid // Indian J. Theor. Phys. - 1978. - Vol. 26, No. 2.
467. Sperling L Selbstsynchronisation unwuchtbehafteter Rotoren in elastiscten Ketten //
Internationale Tagung “Verfahren und Gerate der mechaniscten Schwingungstechnik”. - Magdeburg:
Techn. Hochschule Otto von Guericke, 1965. - Teil. П.
468. Sperling L Beitrag zur allgemeinen Theorie der Selbstsynchronisation umlaufender
Unwuchtmassen in Nichiresonanzfall // Wiss.Zeitschr. - Mp.gdeburg: Techn. Hochschule Otto von
Guericke, - 1967. - Heft 1, No. 11.
469. Stokes G. G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums //
Trans. Cambr. Phyl. - 1851. Vol. DC, No. 8. - P. 8. - 106; Math, and Ptys. Papers. - 1901. - Vol. Ш.
470. T e r u о S., MoriS. Mutual synchronization of two oscillators 11 Summaries of Papers Int.
Conf. Microwaves, Circuit Theory and Inform. Theory: Tokyo - 1964. Part 2. - Inst. Electr. Common
Eng. Japan. - S.a. 111-112.
471. Taylor, Sir Geoffrey L Analysis of the swimming of long and narrow animals //
Proc. Roy.Soc.Lond. - 1952. - A214, 158.
384
ЛИТЕРАТУРА
472. Thearle Е. LA new type of dinamic balancing machine I I Trans. ASME - 1932. - V. 54,
No. 12.
473. Thearle E. L Automatic dinamic balancers // Machine Design. - 1950. V. 22, No. 9-11.
474. Van der Pol B., Van der Mark M. Le battement du coeur considere comme
oscillation de relaxation et un modele electrique de coeur. // L’Onde electrique. - 1928. - No. 7.
475. W u Т., Y a о - t s u. Hydromechanics of swimming of fishes and cetaceans // Advances in
Appl. Mech. - 1971. - V. 11, No. 38.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович И.М. 154, 155,243,245, 363, 378
АвотиняК. 187,363
Аграновская Э.А. 123, 267,268, 363, 376
Азбель Г.Г. 16,248,250, 381
Азерский Ш.Г. 189, 379
Акуленко ЛД. 122,361
Алабин Е.А. 252, 254,363, 378
Алабужев П.М. 154,300, 363
Алимжанов М.Д. 154
Алифов А~А 142, 363
Альберт И.У. 67,292, 363
Альфвен (Alfven Н.) 347,360, 363
Анахин В. Д. 243,244,245,363
Андронов А*А. 15,134,252,363
Андронов В.В. 16,203,292,363
Аншценко B.C. 188,363
Араки (Araki Y.) 123,136,154,382
Арзамасков А.М. 154, 363
Арнольд В.И. 65,363
Аррениус (Arrenius G.) 347, 360, 363
Артоболевский И.И. 144,148,363
Асейнов С. А. 300, 363
Асташев В.К. 108,120,338, 346,363
Афанасьев М.М. 154,175,364
Баадер (Baader W.) 300,382
Бабешко В.А. 285, 364
Бабицкий В.И. 14,108, 120, 197,346,363, 364
Бабичев АЛ. 316,364
Бабушкин И.А. 291, 364
Балабатъко Л.К. 154
БалясовАХ. 252,254, 378
Банах Л Я. 25,34,364
Бансевичюс Р.Ю. 254,257,268,283, 364
Баренблатг Г.И. 338, 364
Барзуков О.П. 154,175,295,297, 364
Баркан Д.Д. 16, 67,122,250, 364
Баталова З.С. 95,104,123, 364
Бауман В.А. 222,258, 364: 368
Безденежных Н.А. 120, 346, 364
Безпалько В.В. 224, 368
Бекбаев А.В. 231, 370
Белецкий В.В. 14, 28,69, 84, 85, 187, 263, - 265,
347, 349, 361, 364, 365
Беляев АХ 307,329, 330, 365
Белякова Г.В. 95,104,123,364,365
Бирюков М.К-122
Блехман И.И. (Blekhman 11) 13- 16,21,30,52,
64, 65, 69 - 73, 88, 122 - 126, 132, 134, 136,
138, 139, 142, 147, 155, 157, 168, 170, 171,
174 - 179, 182, 185 - 192, 195 - 199, 215, 217,
221 - 224, 231,232, 236, 238,244, 245, 250,
252, 256 - 258, 261, 267 - 270, 275, 279, 282 -
285, 289, 293 - 297, 300, 301, 305 - 312, 316,
327, 334, 336, 346 - 349, 352, 353, 364 - 367,
371, 376, 379, 382
Блехман Л.И. 319,321,322, 324, 367
Боголюбов Н.Н. 13,16,54 - 57, 64, 95,122, 340
Богуш (Bogusz W.) 154, 382
Большаков В.М. 142, 368
Бондин В JL 254, 257, 368
Бордерис (Borderies N.) 187,347, 360, 382
Борискин М.А. 16,222, 228,231,244, 325 - 327,
370
Борохович Д.Е. 303,381
Бочковский В.М. 231, 368
Брискин Е.С. 154,363
Брискман В.А. 120, 346, 364
Брумберг Р.М. 154,224, 225, 368
Брэдбери P. (Bradbury R.) 26, 368
Буасс (Boisse) 147
Бубулис А.К. 254, 257, 268,283, 364, 368
Булгаков Б.В. 16
БурдВ.Ш 197,364
Буссинеск (Boussinesq J.) 42
Бухалова Н.В. 95,104,123,364
Быховский НИ. 16, 123, 154,222,258, 364, 368
Вадивасова Т.Е. 188, 363
Вайсберг Л.А. 154,175,228,268, 270, 295, 311,
312, 364, 367
Валеев К.Г. 83, 84, 95, 119,368
Ван-дер-Марк (Van der Mark М.) 289, 384
Ван-дер-Поль (Van der Pol В.) 289, 384
Васильев А.Н. 252,254, 378
Васильев П.Е. 254,368
Васильева ЛЛ. 222, 368
Васин А.А. 328,334,370
ВейцВЛ 144,148.368
ВеприкВЛ 108,120,346,363
Веретинский А.В. 354
Верстов В.В. 16, 248, 250, 381
Весницкий А.И. 254, 257, 368
Виноградов Н.Н. 241, 369
Виткус И.И. 154, 378
Витт А. А 15, 16, 134,252, 363
Вишневский B.C. 254, 374
Власов Е.В. 291, 337, 369
Волосов В.М. 54, 65, 95,122, 369
Волошин А.И. 16,198,222, 378
Волченкова Р.А- 254} 257, 283, 364
Вольфссн С. А. 148, 376
Ворович И.И. 94, 369
Воронов С.А. 252, 369
386
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ворсугников В.И. 32,369
By (Wu T.Y.) 261,369, 384
Вяльцева О.А. 312, 367
Гайцгорн В.Г. 65, 369
Ганиев Р.Ф. 16, 65, 83,84,120, 247,346, 369
Гапонов (Гапонов-Грехов) А.В. 17, 94,121,
188,346, 369
Гендлина Л.И. 154
Геращенко Е.И. 65, 369
Геращенхо С.М. 65, 369
Герц (Hertz Н.) 41, 382
Герпшан М.Д. 207, 215, 369
Гершуни Г.З. 291, 369
Гиверц М.Е. 28,263
Гиневский А.С, 291, 337, 369
Гладун А.Д. 282,283, 370
Годованник Б.В. 154
Голдрайх (GoldreichP.) 187,347, 353, 358, 360,
370, 382
Голубицхая М.Д. 94, 365
Гольдин А.В. 245, 370
Гольдин А.М. 246, 370
Гольдин Е.М. 246
Гольдин Л.А. 154
Гольдман П. С. 154, 370
Гольдштейн Б.Г. 222, 258, 368
Гольдэкр (Goldacre R.) 15, 382
Гончаревич И.Ф. 16,21,29,198,222, 275, 300,
327, 370, 379
Горбиков С.П. 217, 370
Гордон (Gordon W.I.I.) 12
Городецкий И.Я. 328, 334, 370
ГортинскийВ.В. 16,222,228, 231, 232, 244,
252, 254, 293, 325 - 327, 363, 365, 370, 378
Горшков С.Н. 222, 368
Горькавый Н.Н. 361, 370
Гранат Н.Л. 14, 293, 321,323, 324, 370
Граф (Graff О.) 187,347, 352, 383
Гребенников Е. А. 347, 370
Григорьев В.М. 222, 380
Григорьева С.Р. 282, 370
Григорян Г.Г. 154, 363
Гринбаум А.С. 217, 382
Гринман И.Г. 231, 370
Губанова И.И. 34, 142,196, 377
Гудушаури Э.Г. 16,252, 370
Гузев В.В. 154, 175,182, 371, 377
Гуменюк Б.П. 328, 372
Гурков К. С. 16,222, 381
Гуртовник А.С. 83, 188, 371
Гуськов А.М. 252, 369
Гутман (Gutman L) 16, 222, 382
Гюйгенс X. (Huygens Н.) 184,186,187, 371
Гяцявичюс Ю.Ю. 154,190
Даер (Daier F.) 231, 382
Дайч И.М. 192,366, 371
Дасгупта (Dasgupta А.К.) 319, 383
Девис (Davies Н.) 329, 382
Демский А.Б. 16, 222, 228,231,244, 252, 254,
325 - 327, 370, 378
Ден-Гартог (Den Gartog J.P.) 252, 371
Денисов Г.А. 136,139, 154,257, 268, 296,297,
376, 378
Денисов П.Д. 16,154, 316, 377
Детинко Ф.М. 192,196, 371
Джакашов A.T. 154, 175, 371
Джанелидзе Г.Ю. 16,142, 147,198,215,217,
221, 222, 224, 244, 245, 250, 256, 258, 277,
293, 300,301,306 - 310, 327,336,365, 366
Джеферис (Jeffereys H.a.B.S.) 95, 382
Джонс (Jones J.C.) 12, 371
Дирихле (Dirihlet P.G.L.) 69
Доля В.В. 95
Дубровин Б.Н. 136,139, 371
Духин С.С. 65, 120,346, 371
Ентус Я.Б. 300, 371
Ермаков В.В. 189, 379
Жгулев А. С. 176, 371
Жидких С. А. 347, 371
Жуковский Н.Е. 234,325, 371
Журавлев В.Ф. 65,187, 190, 371
Жуховицкий Е.М. 291, 369
Заварыкин М.П. 291,364
Завозин Л.Ф. 224,368
Заика П.М. 222,228, 245, 371
Зарецкий Л.Б. 154,175, 371
Зарогатский Л.П. (Zarogatsky LP.) 136,139,
296, 371, 378, 383
Зевин А.А. 95,119, 371
Зельдин Е.С. 142, 368
Зоммерфельд (Zommerfeld А.) 140,142,148,
152, 383
Зорин С.В. 291, 364
Зубарев Д.Н. 65, 368
Зуев А.К. 154
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
387
Иванов Б.Г. 136, 366
Иванов Е.Н. 154
Иванов Н.А. (Ivanov N.A.) 163,296,297, 364,
366, 367, 371, 383
Иноуэ (Inoue J.) 123,136, 154,382
Иориш Ю.И. 65, 95, 118,346, 372
Иоселин де Ионг (Iosselin de Jong) 300,382
Исламов М. С 327, 371
Исполов Ю.Г. 259, 372
Ишлинский А.Ю. 119, 120,192,346, 372
Кадымбеков 3. 285, 372
Калишук А. К. 142, 372
Кд.Л,кицкийЯ.Б. 16, 222, 381
Канапенас Р.-М. 273,283, 372
Капица П.Л. 13,20, 44,47, 65, 66, 95,102, 103,
106,372
Каплан Р.Л. 281,282,380
Карамзин В.А. 246, 370
Карамзин В. Д. 16,328,372
Карнаухов В.Г. 338, 372
Карпушин В.Н. 297, 367
Карташов 254,374
Картынов И.Н. 316,372
Касаткин Г.В. 69, 84, 85,187,347, 361, 364
Кауги (Coughey Т.К.) 122,136, 382
Кацман ЯМ. 297,298,364, 367, 372
Квек (Queck U.) 261,383
Келлер И.О. 291, 372
Керимов И. 285
Кизевальтер Б.В. 246,319,321, 322, 324,367,
372
Киргетов А.В. 58,108,114,417, 372
Кирнарский М.Ш. 154
Климов Д.М. 65,371
Климонтович Ю.Л. 17, 372
Клубович В.В. 338, 379
Ключинихас АЮ. 334, 372
Кобаско Н.И. 16, 65, 120,247,346, 369
Кобринский А. А. 37, 65, 139,148, 227,372
Кобринский А.Е. 37, £5, 95, 139,227, 372
Коган НЛ. 17, 377
Коган Э.А. 244,245, 373
Козлов А.В. 222, 368
Козлов В.В. 14, 70,85, 373
Козлов Л.Ф. 261, 373
Козырев Ю.И. 338, 364
Кокшайский Н.В. 261, 373
Коловский М.З. 14, 65, 66, 118, 148,152, 203,
276, 292,346, 373
Колосов Л Д 224, 368
Кондаков В.Е. 292, 373
Кононенко В.О. 142, 373
Константинов Б.П. 27
Коровников А.Н. 268, 270, 367
Косолапов А.Н. 154,178,186, 373
Костылев А.Д. 16, 222, 381
Кочура А.Е. 144,148, 368
Кошляков В.Н. 120,346, 373
Краснов А. А. 231,246, 324,373
Красовский А. А 203,292, 373
Креймер В.И. 16, 222, 381
Кремер Е.Б. 14, 300,307,317, 328, 373
Кренделл (Crendall S.) 329, 383
Кроль (КгоИ W.) 300, 382
Крупенин В.Л. 108, 120,346, 363
КрушИ.И. 154
Крылов Н.М. 13,16, 65
Крюков Б.И. 16, 154, 175,371, 373
Кузьмина Л.К. 25,34, 374
Кулик В.В. 16, 65, 120,247,346, 369
Кумабэ (СшпаЬе D.) 251, 374
Кумпикас А.Л. 123, 154, 374
Кунин И. А. 324, 374
Курбатов А.М. 107,114, 374
Курило Р.Э. 16, 254, 257,283, 364, 374
Лаваль (Laval) 184, 189
Лавендел Э.Э. 16, 198,300, 316, 374
Лаврентьев М.А. 261, 374
Лаврентьев Н.М. 261, 374
Лавриненко В.В. 254, 374
Лавринович Е.В. 16,67, 258, 292,293, 329, 379
Лавров Б.П. 73, 82, 154, 155,174 - 177, 222, 352,
363, 365, 368, 374
Лагранж (Lagrange J.L.) 69
Лайтхил (Lighthfll M.J.) 261, 383
Ланда П.С. 14, 17,288,289, 374, 377
Ландау Л.Д. 93, 94, 374
Лапин А. А 187, 371
Лапчинский В.Ф. 65, 120,247, 346, 369
Лебедев Н.В. 154,252, 254, 378
Левенгарц В.Л. 305, 316, 366
Лесин А.Д. 16, 316, 328, 334, 374
Лещенко Д.Д. 361
Ли (Li K.W.) 319, 382
Линьков Р.В. 121,346, 374
Лион (Lyon R.) 329, 383
Липовский М. И. 317, 375
Лисенкова Е.Е. 254,257, 368
Лифшиц Е.М. 93, 94,319, 374
Логвинович Г.В. 261, 375
Лойцянский Л.Г. 14, 67, 327,336, 375
Лондарский А.Ф. 252, 254, 363, 378
388
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лопатин А.К. 34, 65, 376
Лотц (Lotz R.) 329* 383
Луговая И.Н. 154,193, 366
Луковский НА. 120,346, 375
Лупаков П. А. 328, 334, 370
Лурье АИ. 16,37, 42,154,188, 375
Лускин АЛ. 248,250, 379
Лыкова О.Б. 65, 376
Любимов Д.В. 120, 346, 375
Люлька В.А. 261, 375
Ляпунов А.М. 13, 16, 69, 72, 73, 78, 79, 84, 88,
101, 122, 136,144,154, 157, 375
Магнус (Magnus К) 118, 252,271, 346, 375
Маевский (Majewski Т.) 154, 383
Маер (Mayer E.W.) 229,231, 383
Мазет (Mazett R.) 142, 383
Макаров В.А. 154,175, 310, 364
Макьявелли Н. (Machiavelli N.) 15, 375
Малахова О.З. 14,55, 72, 84, 87, 88, 91, 92, 107,
108, 117, 120, 126, 154, 168, 171, 346, 348,
352, 367, 375
Малашенко С. В. 192, 372
Малинин Н.И. 338, 364
Малкин И.Г. 13,16, 69-71, 78, 84, 88, 91, 92,
288, 289, 375
Мандельштам Л.И. 16
Мариничев Б.М. 16, 375
Мартышкин B.C. 142,375
Марфатья (Marfatia А.С.) 319; 382
Марченко Ю.И. 154,175,295, 366
Матсушита (Matsuchita О.) 382
Мачабели Л.И. 289, 367, 375
Мачихина Л.И. 244, 375
Меняйлов А. И. 107,114, 117, 375
Меркин Д.Р. 38, 41, 69, 72, 357, 375
Миклашевский (Miklaszewski R.) 154, 383
Миллер М.А. 94, 121, 346,369, 376
Минкин Ю.Г. 148, 376
Минц 142, 368
Митропольский Ю.А. 13, 16,34, 65, 95, 376
Митулис А. АЛ23,376
Михайлов Н.В. 16,327,328, 381
Мияура (Miyaura S.) 123,136, 154, 382
Мовчан А.В. 107,114,117, 375
Мозер Ю. (Moser J.) 347, 355, 376
Моисеев Н.Н. 65, 45, 122, 376
Моласян С. А. 37,259, 27$, 285, 366, 376
Молчанов AM. 187,347,360, 376
Монахов В.Н. 243 - 245: 363
Моргунов Б.И. 54, 65, 95,122, 369
Мори (Mori S.) 154,383
Мышхис АД. 64, 367
Набиуллин М.К. 361, 376
Нагаев Р.Ф. 16, 77, 82, 83, 95, 154, 174, 175,
182, 188, 198, 215, 217, 221, 259, 260, 263,
267, 268, 351,352,366, 370, 376
НагинявичюсВ.В. 108,116,378
Нарайкин О.С. 252, 369
Неймарк Ю.И. 17, 83, 188,217,250, 370, 371,
377
Непомнящий А.А. 291, 369
Непомнящий Е.А. 231, 239, 377
Нигматуллин Р.И. 231, 377
Николаев А. 285
Новожилов В.В. 24, 25, 34,291, 377
Новожилов И.В. 25, 34, 377
Овенден (Ovenden M.W.) 187,347, 352, 383
Овчинников П.Ф. 16, 21,275, 377
Озиранер А.С. 32, 378
Окада (OkadaY.) 154, 382
Оккам (Ockham W.) 26
Олевский В. А. 231, 377
Олевский В.М. 328, 334, 370
Олехнович К.А. 154
ОпирскийБЛ. 16,154, 316, 377
Орлов А.Л. 283, 377
Палилов В.Ф. 300, 317,318, 373
Пановко ГЛ. 16, 252, 369, 370
Пановко Я.Г. 14, 34, 95, 142, 196,197, 367, 377
Пальмов В.А. 307,329; 330, 365, 377
Лальтов И.П. 65, 66, 203, 292, 293, 378
Папалекси Н.Д. 16
Паршин С.В. 261, 377
Паташене Л.Р. 254, 257, 377
Первозванский А. А. 14, 65,203, 292, 369, 373,
377
Перестюк Н.А. 295, 377
Петрова И.М. 261, 377
Печенев А.В. 14, 142, 146,147,154, 175, 284,
364, 377
Пирцхалаипшкли ОТ. 154,193, 367
Плисс Д.А 154, 155, 243 - 245, 363, 378
Плохотнюх Е.И. 154
Подураез В.Н. lb, 251, 378
Пономарев Б.В. 16,198, 222, 378
Поплавский Г.Ю. 300, 316, 374
Попов Е П. 65, 66, 203, 292, 293, 378
Попова И. А. 154,175, 376
Постов Д.Э. 188,363
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
389
Потураев В.Н. 16, 154, 198,222,224, 311, 368,
378
Пригожин (Prigogine I.) 17, 188, 378
Прохоров В.А. 189, 379
Птушкина Г.Е. 232, 293, 365
Пуанкаре (Poincare Н.) 13,34, 69 - 73,78, 79,
84, 88, 101, 122, 136, 142, 144, 148, 154, 157,
347, 378
Путин Г.Ф. 291, 364
Рабинович М.И. 17,188, 369
Равипшн В.П. 311, 378
Рагульскене В.Л. 16,254, 374, 378
Рагульскис К,М. 65, 95,108, 116,120, 122, 123,
154, 157, 175, 254, 268, 275, 364, 368, 374,
378
Рагульскис ЛХ 120, 378
Раскин Х.И. 300,306, 378
Раус (RouthEJ.) 38,41
Ребиндер П. А. 21, 275
РебрикБ.М. 250, 378
Ревнивцев В.И. (Revnivtsev V.I.) 136,139,296,
378, 383
Розенвассер Е.Н. 65, 378
Рокар (Rocard Y.) 142, 383
Романенко Е.В. 261, 378
Романовский Ю.М. 188,378
Рот (RothW.) 261, 383
Ротовас (Rotovas V.) 283, 382
Рубановский В.Н. 361, 378
Рудин А.Д. 136, 139, 154,365, 379
Румянцев В.В. 14, 32,192, 378
Рундквист АХ 136,139,365,366, 378, 379
Рундквист К.А. 136, 366
Рыжов А.Ф. 300,328, 379
Рыспеков К.М. 280, 281, 379
Рябов Ю.А. 347, 370
Саблин А.Д. 118,346, 373
Савельев В.П. 17, 377
Савинов О.А. 14, 16, 67,193, 248,250,258,292,
293, 329, 363, 379
Самойленко А.М. 65, 379
Сарда (Sarda) 147
Сафонова М. А 188, 363
Светлицкий В.А. 252, 369
Свидерский В.Л. 261, 379
Северденко В.П. 338, 379
Седов Л.И. 34, 379
Сенченков ПХ 338, 372
Сергеев П.А. 189, 379
Сигнул (Signeul R.A.) 154, 383
Синельников АЕ. 95,118, 346, 379
Сир ль (Thearle E.L) 196, 384
Слиеде П.Б. 300, 379
Слоущ А.В. 148, 152, 373
Смирнов В.Д. 375
Смольников Б.А. 259, 372
Соболев В.А. 25, 34, 380
Соболев В.М. 154, 363
Соколов А.С. 261, 377
Сороко В.В. 308, 379
Сорокодум ЕД. 261, 379
Спиваковский А.О. 198,222,300, 327, 379
Старжинский В.М. 95, 382
Степаненко А.В. 338, 379
Степанов Г.Ю. 14,27,29,379
Степанова Н.В. 188,378
Стокс (Stokes G.G.) 319, 321, 383
Стороженко В.А. 192, 372
Стрижак Т.Г. 65, 86, 87, 91, 95,101, 102, 110,
117,379, 380
Стрэтг (Лорд Рэлей) (Strutt J.W. Baron
Rayleigh) 186, 379
Стрыгин В.В. 25, 34, 380
Субач А.П. 300, 316, 374, 380
Сумачева 3.А. 276, 373
Сундалжекар (Soundalgekar V.M.) 319,383
Тамар ив Е.В. 252, 254, 378
Тамм Е. А. 259, 260, 263, 376, 380
Тарузин Е.Л. 291, 372
Тейлор (Taylor, Sir Geoffrey) 261, 383
Темченко М.Е. 192, 372
Теруо (Teruo S.) 154, 383
Тимофеев В.П. 189, 379
Тимофеев И.П. 308, 380
Тимофеев Н.Г. 154
Тимоха А.Н. 120, 346, 375
Тимошенко С.П. 142, 380
Титова Л.Г. 297,298, 367
Тишхов АЯ. 222, 380
Толстой Д.М. 280 - 282,370, 380
Томашунс И. 187, 363
Томилин А.Г. 261, 377
Томсон (Thomson W.) 38, 69, 342
Тремайн (Tremaine S.) 187, 347, 360, 382
Троицкая З.В. 118, 346, 373
Трусдслл (Trousdell С.) 319, 380
Туркин В. Л. 154, 175, 376
Тэт (Tait P.G.) 38, 69, 342
390
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Украинский Л.Е. 65,120, 247, 346, 369,
Урман Ю.М. 121,265, 346, 374
Усаковсхий В.М. 268, 380
Учитель А.Д. 154, 228, 380
Фазуллин Ф.Ф. 187,380
Федаравичюс А.Ю. (Fedaravicus А.) 283,380,
382
Федоренко ИЛ. 300, 307, 380
Федотов А.М. 267, 268, 376
Феппль A. (Foppl А.) 189, 380
Феппль Л. (Foppl L) 189, 380
Фиджин (FeaginT.) 187,347, 352, 383
Фидлин АЛ. 295, 300,307,310, 212, 327,328,
367, 373, 380
Филоненко Л.А. 95,119, 371
Финкелыптейн Г.А. (Finkelstein G.A.) 296,
371, 383
Флорина Н.В. 281, 380
Франчук В.П. 16,198,222, 378
Фридман А.М. 361, 370
Фролов К.В. 14,15, 142, 154, 175,188, 285, 363,
366, 367, 380
Фуфаев Н.А. 142, 368
Хайкин С.Э. 15, 252, 363
Хайнман В Л. 231,232,236,238, 366
Хакен (HakenH.) 17,188, 380
Хапаев М.М. 84, 380
Хаяси (Hayashi S.) 123,136,154, 382
Хентов А.А. 349, 365
Хилькевич С.С. 231, 380
Ходжаев К.Ш. 82, 85, 86, 94, 154, 175, 351, 376,
380, 381
ХонВ.Ф. 324, 374
Хромушкин А.В. 107, 114,374
Цейтлин М.Г. 16, 248,250, 381
Чан Вьет Хунг 282,283, 370
Челомей В.Н. 107 - 114, 117, 119,120, 346, 372,
374, 381
Челомей С.В. 56,107, 114, 119,346, 374, 381
Челпанов И.Б. 118,120,346, 381
Червоненко АХ. 16,154,198, 220, 224,303,
311,368, 378,381
Чередниченко И.И. 300, 381
Черепанов А.А. 120,346, 364, 375
Чернавский Д.С. 188, 378
Черноликов С.А. 252, 254, 378
Черноусько Ф.Л. (Chemousko F.L.) 122, 361,
381, 382
Чертой (Scharton Т.) 329, 383
Четаев Н.Г. 16, 69, 342
Чечельницкий А.М. 347, 361, 381
Чирков Н.Н. 245
Членов В.А. 16, 327,328, 381
ЧунцЗ.Г. 154,175, 381
Чуонг (Chuong А.) 261, 369
Шамаев АС. 361
Шаров M.T. 120, 346, 364
Шаталов С.Д. 94, 381
Шашков И.П. 227, 381
Шехтер ОЛ. 122, 154, 381
ШинкинВ.Н. 84, 381
Широков Н.А. 189, 379
ШифринЛ.М. 154
Шифрина Е.Б. 300,317, 373
Шишатсхий В.Н. 189, 379
Шишкин П.Г. 192,372
Шлихтинг (Shlichting Н.) 321, 381
Шляхтин А.Н. 347, 361, 364
Шмит (Schmidt В.А.) 113, 383
Шмит (Schmidt W.) 261, 383
ШнольЭ.Э. 188, 381
Шперлинг (Sperling L.) 82,154,175, 190, 196,
383
Шубин И.К. 120, 346, 381
Щигель В.А. 217, 382
Эйхлер (Eichler Е.) 329, 382
Энгель (Engel Z.) 154,382
Эрделяй (Erdelyi А.) 95,382
Эстрайх В.Л. 228, 380
Юшка В.П. 268,368
Якимова К.С. 259, 267, 268,367, 376, 382
Якубович В.А. 95, 382
Яо-тсу (Yao-tsu) 261,384
Ярошевич Н.П. 14, 123,126, 154, 367
Яцун С.Ф. 300, 363
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 44
- , асинхронное возбуждение 287 - 289
-, - подавление 252,287
- , - -, критическая амплитуда 288
Автоматизм и резервирование при возбужде
нии ритма сердечных сокращений 289
Амплитуда колебаний оси ротора эффектив
ная 130, 183
Аналогия фантастическая 12
Балансир автоматический 195-197
Бритва Оккама 26
Вибрационная бункеризация 18,308 - 311
- вязкость суспензий, эффективная 334
- дестабилизация 117 - 121
- механика 11 - 13, 15,16,19 - 25
- - , основное предположение 49 - 52
- - , основные уравнения 13, 21,52, 63
- пластичность 337
- плотность суспензии, эффективная 332, 333
- ползучесть 18, 337, 338
- релаксация 337, 338
- реология 21,274, 275
- - основные закономерности 339
- - , макровоброреология 21, 274, 275
- - , микровиброреология 21, 274, 275
- связь между неуравновешенными роторами
163- 165,176- 178
- сегрегация (расслоение, самосортирова-
ние) сыпучего материала 228 - 230
-сила 11- 13, 20,44,52, 63
- - , индуцированная 52, 63
- - , потенциальная энергия 68
- - , собственно вибрационная 52, 63
- - , сопротивления вибропреобразованная
203,209
- -, экспериментальное определение 223
- стабилизация 117 - 121
Вибрационное внедрение 247 - 250
- захватывание вращения 133-135
- истечение сыпучего материала (вибровы¬
пуск) 308
- передвижение 257
- - живых организмов 261
- перекрытие отверстий в сосудах с жидко¬
стью 267
- перемешивание жидкостей 268
- перемещение 18,198
- - , асимметрия, обуславливающая процесс
204.-207
градиентная 206
кинематическая 206
начальная 206
силовая 204
структурная (конструктивная) 206
- - тела бегущей волной, асинхронное 207
, синхронное 207
- - , физические механизмы 204 - 207
- погружение 247
- поддержание вращения 124,135,169,170,
182
- преобразование движения 252
- - (кажущееся) сухого трения в вязкое 18,
203,204
- - реологических характеристик нелинейных
систем 18, 275 - 295
, приложения к сейсмологии и тео¬
рии взрывных воздействий 284 - 285
- разделение сыпучих смесей 18, 227 - 247
в сосудах 230 - 243
, псевдорезонансный эффект 232 -
235, 292
на вибрирующих поверхностях 243 -
246
-резание 251
- торможение вращения 140
- транспортирование 220 - 227
- - вертикально вверх 224 - 227
- - , предельный угол наклона плоскости 220
- - , скорость 222 - 227
Вибрационные аппараты для объемной обра¬
ботки деталей 316
- грохоты 308 - 311
- - с гибким резонирующим ситом 311
- двигатели 252, 253
- - асинхронного типа 254
- - синхронного типа 254
- корабли 260
- мельницы 316
- моменты 128,163 - 167, 173
- насосы 265, 266
- погружатели 248
- сепараторы 243 - 245
- уплотнители грунта 258
Вибрация (определение) 15
- , вибрационные воздействия высокоинтен¬
сивные 211
- , - - ассимметичные 212
- , - - , достаточно интенсивные (для воз¬
никновения вибрационного перемеще¬
ния) 211
- , - - симметричные 212
Вибровозбудители механические дебаланс-
392
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ные 155
- - планетарные 171
- - поршневые 171
Виброизоляция мягкая твердого тела 178
Вибролет 259
Виброход 259
Волокна Пуркинье 289
Время “быстрое” 45
- “медленное” 45
Г енераторы релаксационные 289
Гипотеза А.М.Молчанова о полной резонанс¬
но сти орбитальных движений больших
планет 347
- о простой резонансности орбитальных дви¬
жений тел Солнечной системы 360
Движения явные (учитываемые) 30
- скрытые (игнорируемые) 30, 61
- частично скрытые (игнорируемые) 24,30
- быстрые 19,44, 46,49 - 52
- медленные 19, 44,46, 49 - 52
- синхронные 71
Диаграмма Айнса-Стретта 103
Дрейф частицы в быстро осциллирующих
неоднородных полях 340 - 344
Дробилки 296 - 299
Закон Кеплера 353
Закономерности виброреологические 339
Захватывание вращения неуравновешенного
ротора 133 - 135
, полоса 134
, порог 134
Иерархия скоростей протекания процессов
233
Концепция частичного игнорирования дви
жений 24
Кооринаты обобщенные “быстрые” 47,49, 55
- - , вращательные 73
- - , квазициклические 85
- -, колебательные 73
- -, “медленные” 47,49, 55
- -, позиционные 38
- -, скрытые 30, 61
- - , циклические 38
- -, частично скрытые 30
- -, явные 30
Коэффициенты вибрационной связи 177
- влияния гармонические 82
- демпфирования механического 160
- - суммарные 160
- - электрического 170
-Лапласа 354
- сопротивления перекатыванию 137
- сухого трения покоя 277 - 281
скольжения 281 - 283
- турбулентной вязкости 290
- эффективные сухого трения при вибрации
и ударах 277 - 283
Лагранжианы собственные синхрони¬
зирующихся объектов 77
- системы несущих и несомых связей между
объектами 77
Локализация частиц в быстро осциллирую¬
щих неоднородных полях 340 - 344
Люки Кирквуда 360
Магнитолет 263,362
Макровиброреология 21, 274,275
Матрица присоединенных масс 40
Маятник обобщенный 122
- с вибрирующей осью подвеса 22,23, 95 -
107,344, 345
- Фроуда 252
- Челомея 107 - 117
Метод прямого разделения движений 13,45 -
66
, чисто инерционное приближение 55,
58, 89, 92
Механика относительного движения 20, 35,
- систем со скрытыми движениями 24,30 - 43
Микровнброреологиг 21, 274, 275
Наблюдатели О, V, W И - 13, 19, 20, 25, 26, 52
-0.,V*,W* 13
Напряжения турбулентные 290
Небесные тела со внутренними степенями
свободы 361
Неустойчивость параметрическая 103
Объекты жестко анизохронные 82
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
393
- изохронные 82
- мягко анизохронные 82
Оператор Лапласа 42
- Эйлеров 73
Опыт Д.М.Толстого 281
Планетная и спутниковая системы 347 - 361
, каркасная модель 348, 349
Пластичность 337
Положения квазиравновесия 56, 87, 271
Постоянные виброреологические 274
Потенциал усредненных неконсервативных
сил 75, 350
- гравитационного взаимодействия между
небесными телами 351
Признак, критерий устойчивости интег¬
ральный (экстремальное свойство) син¬
хронных движений 69, 72, 73, 76, 84, 165,
174, 179- 181,183,350, 360
-, - - минимаксный 86-91, 101, 110, 111
Принцип автобалансировки Лаваля 183
- - обобщенный 183,184, 189 - 197
- наименьшего взаимодействия 352
Проникновение вибрации в бетонные смеси
329
- - в вязкую жидкость 319 - 324
- - в суспензии 324
- - в сыпучую среду 325 - 328
Псевдоожижение 18
Пучности волны 340
Регулятор Буасса - Сарда 147
Резонансы (синхронизация) в орбитальных
движениях небесных тел ?А1 - 361
, классификация 355
Релаксация 337
Реология 274
Решения синхронные 71
Самосинхронизация механических вибро-
возбудителей (неуравновешенных
роторов) 153- 186
, адаптивное свойство 177-178
зависимость устойчивой фазировки
от числа степеней свободы колебатель¬
ной системы 184
- , возбудителей 185
( направлений вращения
роторов 185
, компенсирующая фазировка 184
, кратная 159, 172
, парадокс неработающих связей 170,
184
, - принуждения 184 - 185
, простая 159
, противофазное вращение 170
, синтез устройств 182
, синфазное вращение 170
, стабильность фазировки 176 - 178
, тенденция 168, 172
, установление определенных фазо
вых соотношений 183
, эффект взаимного уравновешивания
на мягковиброизолированном твердом те¬
ле 183-184
, - передачи больших мощностей 183
> - усреднения парциальных
скоростей 182
Связи между объектами несомые 174, 192
несущие 174
Силы гироскопические 40
- дополнительные 31
- консервативные 40
- позиционно-вязкие 285
- сопротивления типа вязкого трения 203
сухого трения 203
Символ Кронекера 70, 167
Синхронизация динамических систем 157,
186 - 188
, кратная 154, 172
простая 154
, тенденция 168,172, 187
- (резонансы) в орбитальных движениях не¬
бесных тел 347 - 361
Система упрощенная 31
- порождающая 69
Системы гироскопически несвязанные 40
- колебательные с ограниченным возбужде¬
нием 142
- потенциальные в среднем 13, 68
- с динамическим возбуждением вибрации
91-94
- с кинематическим возбуждением вибрации
86-91
- с многомерными быстрыми движениями 54
- с периодическими соударениями 293 - 295
- с почти равномерными вращениями 73
Скейтборт 257, 259
Скорость угловая парциальная 133,145; 163 -
167
Слой виброкипящий 18
Солнечная система 347 - 360
394
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Лагранжа - Дирихле 69
- Томсона - Тэта - Четаева 69, 34
Теория вибрационных процессов и устройств
12, 16
- бифуркаций 25
- вибропроводности 329, 330
- катастроф 25
Теории турбулентности полуэмпиричесхие
67
Узлы волны 340
Уравнение Абеля 2-го рода 304
- машинного агрегата 144
Уравнения быстрых движений 52
- виброреологические 21, 275
- медленных движений (основные уравнения
вибрационной механики) 21, 52, 53,59, 60
- Навье - Стокса 42, 319
- Рейнольдса 289, 290
- реологические 274
- Фоккера - Планка - Колмогорова 231, 239
Усталость материалов 337
Устойчивость асимптотическая 76
- - орбитальная 76
- в первом приближении 72
по малому параметру 72
-, критерии 72
- по первому приближению 72, 83, 84
- при достаточно малых значениях параметра
72, 76
-, признаки 72
- синхронных движений, интегральный
признак (экстремальное свойство) 69, 73,
76, 84, 165, 174, 179 - 181,183, 348 - 360
- статическая 119
- экстремальные признаки 68-94
Устройства автобалансировочные 195 - 197
Число Рейнольдса 23
Щели Кассини 360
Экстремум грубый 76
- строгий 76
Эффект виброструйный 265, 268 - 270
- Зоммерфельда 140 - 142, 145
- вибрационного преобразования (кажущего
ся) сухого трения в вязкое 18,203 - 209
- , машина Дина 26, 29
- псевдорезонансный 232 - 235, 292
Ямы потенциальные 272
Формула Буссинеска 42
Фундаменты групповые 193 - 195
Функция (кинетический потенциал) Рауса 86
- Гамильтона 70
- потенциальная 68,175, 183, 350
Характеристики виброреологические 276 -
293, 313
Хула-хуп, игра-упражнение 122, 135
Научное издание
БЛЕХМАН Илья Израилевич
ВИБРАЦИОННАЯ МЕХАНИКА
Редактор Д. С.Фурманов
Художник В.Я.Батищев
Художественный редактор Г.М. Коровина
Технический редактор Л.В.Лихачева
Коректоры О. А. Буту сова, Л.С.Сомова
Оригинал-макет выполнен Л.Б.Бондаренко
ИБ № 12618
ЛР № 020297 от 27.11.91.
Подписано к печати 18.04.94. Формат 60 * 90/16. Бумага типографская № 2.
Печать офсетная. Усл.печ. л. 25. Усл.кр.-отт. 25. Уч.-изд. л. 29,23. Тираж 1 000 экз.
Зак. тип. № 4729 . С-055.
Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука»
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии № 2 ВО «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., д. 6
VIBRATIONAL MECHANICS
Dya Blekhman
Moscow, Fizmatlit Publishing Company
Readership: Researchers specializing in the field of theoretical and applied mechanics,
nonlinear oscillation theory; men of science, engineers and inventors, studying the problems of
application of vibration in engineering; mathematicians - specialists on differential equations;
undergraduate and postgraduate students majoring in the corresponding field.
Summary: The unified physical and mathematical approach to studying of the nonlinear dynamic
systems behaviour under the effect of vibration is proposed. This approach has been developed mainly
by the efforts of the author and headed by him body of researchers. It has taken now the shape of a new
and rapidly developing part of analytical mechanics and nonlinear oscillation theory, which is proposed
to be defined as "the vibrational mechanics". Numerous problems, which may be effectually solved by
the vibrational mechanics methods, are examined.
Contents: Introduction (subject of the vibrational mechanics).
I. Theoretical principles of the vibrational mechanics: on the mechanics for the systems with
hidden motions; the vibrational mechanics main principles and body of mathematics, potential on the
average dynamic systems and extreme symptoms of the stability.
П. The vibrational mechanics for machines, mechanisms and pendulum systems: mechanisms of
pendulum type; mechanisms of rotor type; self-synchronization of mechanical vibration exciters,
generalized principe of self-balancing.
Ш. The vibrational mechanics for processes: Vibrational displacement and drift - models,
engineering use.
IV. Vibrorheology: on rheology and vibrorheology, effectual rheological characteristics during
vibration, vibrorheological transformation of nonlinear mechanical systems with discontinuous charac¬
teristics into the systems with viscous friction, granular materials vibrorheology, penetration of vibration
into certain media, microvibrorheology - behaviour of suspensions under the effect of vibration.
V. The other problems; motion of a particle in the rapidly oscillating non-uniform field,
resonances (synchronization) in the orbital motion of celectial bodies.
The author: Professor Dya Blekhman, Dr.Sc. (Phys. & Math), Academician of the Engineering
Academy of Russia, head of the Fundamental Research Department of the Research and Desing
Institute of Mechanical Treatment of Mineral Products "MEKHANOBR" (St Petersburg).
One of the leading experts in applied mathematics and mechanics, nonlinear oscillation theory
and vibrational engineering. The author of more than 100 papers and a number of monographs,
including German and American versions of Russian editions, he takes part in publishing of the
scientific periodical "Applied Mathematics and Mechanics".
SHORTENED CONTENTS
Preface 11
Introduction. Subject-matter of Vibrational Mechanics 15
Parti
Fundamentals of Theory of Vibrational Mechanics
Chapter 1. On the Mechanics of Hidden Motion Systems 30
Chapter 2. Basic Theses and Mathematical Apparatus of Vibrational
Mechanics 44
Chapter 3. Potential on Average Dynamic Systems and Extreme
Symptoms of Stability of Certain Motions 68
Part II
Vibrational Mechanics of Machines, Mechanisms and Pendulum Devices
Chapter 4. Mechanisms of Pendulum Type 95
Chapter 5. Rotor Mechanisms. Machinery 122
Chapter 6. Self-synchronization of Mechanical Vibroexciters 153
Chapter 7. The Generalized Principle of Self-balancing 189
Part III
Vibrational Mechanics of Processes
(Vibrational Conveyance and Drift)
Chapter 8. Basic Models and General Regularities of Vibrational
Displacement Processes in the context of Vibrational Mechanics ... 198
Chapter 9. Effects of Vibrational in Technology, Technique and
in Nature 222
Chapter 10. Vibrational Drift 265
Part IV
Vibrorheology
Chapter 11. On Rheology and Vibrorheology 274
Chapter 12. Effective Rheological Characteristics in case of
Vibrational 277
Chapter 13. Vibrogeological Transformation of Nonlinear Mechanical
Systems with Discontinued Characteristics into Systems with
Viscous Friction 292
Chapter 14. Vibrorheology of Granular Materials 300
Chapter 15. Penetration of Vibration into some Media 319
Chapter 16. Microvibrorheology, the Behaviour of Suspensions under
Vibration, Effective Viscosity and Effective Suspension Density .... 331
Chapter 17. Conclusion. Suppliments 337
PartV
Some other problems
Chapter 18. Motion of a Particle in Quickly Oscillating Nonunifbrm
Field 340
Chapter 19. Resonances (Synchronization) in Orbital Motions of
Celestial Bodies 347
Literature 363
Index of Names 385
Index of Subjects 391
Имеет многолетний опыт
работы и занимает ведущее
положение в России в
области использования
вибрационных эффектов при
решении технологических
задач рудоподготовки и
обогащения полезных
ископаемых.
Ре шает задачи применения
вибрации в строительной
индустрии, при переработке
техногенного и вторичного
сырья.
АКЦИОНЕРНОЕ
ОБЩЕСТВО
’ МЕХАНОБР-ТЕХНИКА
Телетайп для стран СНГ:
321 153 "Слайд";
122399 "Слайд"
Международный телекс:
121 419 meobr su
Телефоны:
(812) 213 99 09;
(812) 213 92 28
(812) 213 32 59
Телефакс:
(812) 213 32 59
Разрабатывает
принципиально новые и
совершенствует
существующие машины для
разрушения природных и
техногенных твердых
материалов, а также для
разделения сыпучих
материалов по крупности и
другим свойствам.
Располагает современной
вычислительной техникой,
совершенным программным
обеспечением и специальными
стендами для изучения
вибрационных процессов.
Выполняет теоретические
исследования и расчеты в
области динамики машин и
теории нелинейных колебаний.
Выполняет исследования
вибрационных процессов и
машин, включающие
рекомендации по выбору
параметров, обеспечивающих
наиболее эффективное
протекание процесса.
ОТДЕЛ
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
АО "МЕХАНОБР-ТЕХНИКА"
Телефон: (812) 213 99 62
Факс: (812) 213 32 59
E-mai!: blekhman@mtofi. spb. su
Выполняет прочностные
статистические и динамические
расчеты машин и конструкций, в
том числе методом конечных и
граничных элементов.
Специалисты отдела оказывают
консультации по всем вопросам
теории и расчета вибрационных
процессов и устройств,
рассмотренным в настоящей
книге.