ЬЖАлександров, В.Б.Соколинский
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ
и
РАСЧЕТЫ
УДАРНЫХ
СИСТЕМ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
МИНИСТЕРСТВО УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ СССР
ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА им. А. А. СКОЧИНСКОГО
Е. В. Александров, В. Б. Соколинский
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ
И РАСЧЕТЫ
УДАРНЫХ СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 19 6 9

УДК 621:621.8.02.031.3
Прикладцая теория и расчеты ударных систем. Александров Е. В., Соко-
линский В. Б. Изд-во «Наука». 1969 г. стр. 201.
Настоящая монография посвящена теории и методам расчета ударных систем.
В начальной части работы рассматривается процесс соударения твердых тел
с позиций классической теории удара. Приведен подробный "критический анализ этой
теории и область рационального применения полученных формул. Комбинацией
методов теории упругости с классической теорией удара получены решения для
соударения тел через упругие промежуточные элементы с учетом сжимаемости тел.
В работе приведены основы волновой теории плоского продольного удара,
введено понятие ударной жесткости тела, изложен метод составления и решения системы
волновых уравнений на граничных поверхностях с применением вспомогательных
волновых диаграмм.
На основе предлагаемого метода получены аналитические решения для многих
разновидностей применяемых ударных систем, в число которых входят впервые
рассмотренные случаи одновременного соударения нескольких тел и неторцевого
продольного удара. Особое значение имеет полученное общее решение для ударной
системы с двумя граничными поверхностями, позволившее установить характер
изменения ударного импульса при наличии участка другой ударной жесткости — мягкой
прокладки, соединительной муфты, сужения и утолщения стержня и т. д.
В связи с этим изложена прикладная теория соударения стержней с неплоскими
торцами, включая: вывод основного уравнения, методы и результаты его решения
для различных торцов, вопросы передачи энергии при реальном ударе, вопросы
распространения реальных импульсов через неплоские границы, расчет ступенчатых
ударников при неплоском ударе, намечены границы рационального применения
формул плоского удара и т. д.
Работа предназначена для инженеров, конструкторов, работников
научно-исследовательских учреждений, встречающихся с ударными процессами и необходимостью
их расчета. Рис. 62; табл. 6; библиогр. 34. *-
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
канд. техн. наук А. М. ШТЕЙНБЕРГ
3-13—3
630—68(1)

ПРЕДИСЛОВИЕ
Человек встречается с явлением удара прежде, чем с каким-либо иным
явлением механики. Использование этого явления известно с незапамятных
времен, но к нему прибегали, не ведая о законах механики, так же, как
плавали и строили ладьи, не предполагая, что делают это в строгом
соответствии с законом, открытым Архимедом.
Если сказать, что человек достиг современного совершенства
благодаря тому, что нашел применение удару, то это будет шутка, в которой,
однако, большая доля правды. Человек стал могуществен и потому, что смог
развивать силы, намного превосходящие его естественные. Два
обстоятельства послужили этому: применение рычага и удара. Там, где оказывалась
недостаточной сила, развиваемая мышцами человека, приходил на помощь
рычаг, умножая его силовые возможности, но когда было недостаточно и
этого, вступал в свои права удар.
Найдя возможность использовать различные виды энергии, кроме
энергии собственных мускулов, человек все же не отказался от рычага и удара,
а лишь совершенствовал средства их использования. Действительно, так
хорошо знакомые всем зубчатые передачи есть не что иное, как сочетание
рычагов, входящих в действие попеременно один за другим, т. е. зубчатая
передача является рычагом непрерывного действия.
До сих пор очень мало людей даже с высшим техническим образованием
знакомо с необходимыми сведениями об ударе, хотя именно в технике это
явление встречается на каждом шагу. Достаточно сказать, что в
подавляющем большинстве случаев именно удар является причиной поломки
деталей машин, ибо силы и напряжения, возникающие при ударе, ничего
общего не имеют с силами и напряжениями, его порождающими. Так, при ударе
слесарным молотком по наковальне возникающая сила достигает
десятков тысяч килограммов, сила же, действующая на молоток во время его
разгона перед ударом, составляет всего 2 кГ. Если провести аналогию с простым
рычагом, то для достижения такого же эффекта трансформации силы
потребовался бы рычаг с соотношением плеч, равным 1 : Е00О (т. е. если малое
плечо равно 20 см, то большее необходимо иметь длиной 1 километр).
Следовательно, чтобы уметь правильно использовать явление удара,
необходимо научиться им управлять.
В предлагаемой вниманию читателей книге дается определение явления
удара, проводится анализ современных представлений сущности этого
явления и излагаются методы расчета и способы управления им. Книга отражает
з

результаты исследований авторов в Лаборатории удара и вибрации
Института горного дела им. А. А. Скочинского.
Методы теории упругости дают более правильный и точный результат,
чем классической механики, и тем не менее на практике пользуются
«классическим вариантом» ввиду сложности понимания и громоздкости расчетов
по первому направлению. Однако такое положение нетерпимо, ибо очень
часто встречаются задачи, для которых решения классической механики
дают совершенно неправильные результаты.
В данной книге, в отличие от других работ по механическому удару,
предложены методы расчета, достаточно просто объясняющие
физический смысл протекающих процессов и обеспечивающие
удовлетворительную точность при решениях.
По мнению авторов, книга может быть полезной для инженеров, науч.
ных работников, студентов технических вузов, изучающих теоретические
вопросы или работающих в области практического использования явления
удаэа.

Глава первая
УДАР. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Прародителями удара являются сила и перемещение, а характер
последствия их действия зависит целиком от условия формирования удара,
определяемого жесткостью тел. Десятки лет может проработать машина,
медленно старея от износа деталей или от их усталости, но если в каком-либо
сочленении ее деталей возникает зазор, т. е. действующие силы обретут
возможность относительно перемещать детали, рождается удар, и его
разрушающее действие тем больше, чем больше зазор и выше жесткость деталей.
Возникающие при этом нагрузки превосходят в десять, сто, тысячу раз
расчетные, и машина разрушается. Поэтому первым требованием при
эксплуатации машин является подтяжка всех соединений. Этот прием
исключает причину возникновения удара. Однако когда удар неизбежен или
необходим и возникает в каком-либо элементе или элементах машины, для
предотвращения его распространения или снижения действующих сил
необходимо обратиться к искусственному подбору жесткости.
Люди наблюдают и изучают удар не одно столетие. Однако несмотря на
это, в специальной литературе по вопросам, связанным с явлением удара,
нет не только необходимой упорядоченности в информации уже имеющихся
знаний, но встречаются даже и противоречия. Одни авторы, и их
большинство, базируются на принципах классической механики Ньютона, другие —
исходят из основных положений теории упругости и опираются на теорию
Сен-Венана. Первые считают, что тела абсолютно твердые, а это значит, что
любая сила, напряжение, импульс, иначе говоря, информация о любом
событии, происходящем на одном участке тела, распространяется по всему
телу с бесконечной скоростью. Это дает право оперировать в расчетах с
точечными массами, т. е. условно переносить всю массу тела в центр тяжести.
Вторые утверждают, что в любом теле, в том числе и твердом, всякая
информация распространяется с конечной скоростью и что удар — явление
не мгновенное, а протекающее во времени.
Совместимы ли эти теории в принципе? Ответ на этот вопрос может быть
только отрицательным: в принципе они не совместимы. Например, согласно
основным положениям классической механики при упругом и центральном
ударе двух тел равных масс из одного и того же материала должен
произойти полный обмен скоростями, в то время как теория упругости утверждает,
что ничего подобного не произойдет.
Одним из основных положений классической механики является
постулат о том, что при упругом ударе коэффициент восстановления скорости
равен единице. Понятие вполне упругого удара и значение коэффициента
восстановления скорости, равное единице, здесь воспринимаются как
синонимы. А теория упругости это основное положение опровергает и разоб-
5

щает эти понятия, за исключением частного случая, когда происходит
упругий удар между телами равных масс, одинаковой формы и если материал
обоих тел обладает одинаковой акустической жесткостью.
Таково положение вещей с принципиальной точки зрения.
И тем не менее, если исходить из интересов инженерных задач, так
сказать, с прикладной точки зрения, у этих принципиально разных
направлений есть не только свои сферы применения, но и примиряющие условия,
предопределяющие их «мирное сосуществование».
Однако прежде чем говорить об этом примирении, необходимо коснуться
еще одного вопроса, не потерявшего до сих пор своей остроты. Мы говорим
об определении удара.
Творцом теории удара на основе классической механики бесспорно
является Христиан Гюйгенс (XVII в.), а основоположником теории удара,
исходящей из основ теории упругости, можно считать Сен-Венана (XIX в.).
Но, несмотря на это, до сих пор не существует четкой формулировки явления
удара. Вот несколько примеров современных формулировок:
«В некоторых случаях материальная точка в весьма малый
промежуток времени получает конечное изменение скорости,
а следовательно, и количества движения. Такое явление называется ударом,
и силы, развивающиеся при этом,— ударными или мгновенными» (И. Н. В е-
селовский. Курс механики. Гостехиздат, 1947, стр. 199). «В
некоторых случаях движения материальная точка или точки механической
системы перемещаются так, что за достаточно малый промежуток
времени у рассматриваемых систем происходит конечное приращение
количества движения. Такое движение называется ударом» (Г. М. Ф и н к е л ь-
штейн. Курс теоретической механики. Учпедгиз, 1959). «Если
движущаяся материальная точка мгновенно изменяет свою скорость на
конечную величину, то говорят, что она претерпевает удар» (Л. Г. Л о й ц я н-
ский и А. И. Лурье. Курс теоретической механики, т. II, ГИТТЛ,
1955, стр. 125). «Удар имеет место во всех тех случаях, когда очень
большая сила действует в течение очень короткого
промежутка времени, и притом так, что произведение этих обеих
величин остается конечным» (Т. П ё ш л ь. Техническая механика для
инженеров и физиков. ГИТТЛ, 1934, стр. 321—322). «Явление, при котором за
ничтожно малый промежуток времени скорости
точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом» (А. А. Я б-
л о н с к и й. Курс теоретической механики, ч. II. Изд-во «Высшая
школа», 1962, стр. 273). «Сущность явления удара заключается в том, что при
ударе происходит конечное изменение скорости, а следовательно, и
количества движения за весьма малый промежуток
времени, практически измеряемый тысячными и меньшими долями секунды»
(Н. Н. Бухгольц. Основной курс теоретической механики, т. П.
Изд-во «Наука», 1966).
Разумеется, такие формулировки не могут нас удовлетворить. Что
значит «за малый», «очень короткий» и т. п. промежуток времени или очень
большие силы? Все это слишком неопределенно и зависит от того, с какими
процессами ведется сравнение, не говоря уже о том, что и время удара может
изменяться в больших пределах. Действительно, удар корабля о стенку
причала длится в'тысячи раз дольше, чем, например, удар биллиардных
шаров или молоточка рояля по струне, да и возникающие при этом
напряжения также разнятся на несколько порядков. Никакие количественные
оценки не в состоянии дать определение явлению удара.
Но все эти случаи имеют общие характерные черты, а именно:
относительную скорость тел к моменту их соприкосновения и наличие процесса
перехода кинетической энергии в потенциальную энергию деформации.
Поэтому, для определения удара предлагается следующая
формулировка: Механическим ударом называется явление, возникающее при столк-
6

ловении тел, сопровождающееся полным или частичным переходом кинети-
ческо|Ьанерищ~з^^
ТЛомент встречи тел, движущихся до этого с различными скоростями,
называют началом удара; момент, когда взаимодействие тел прекращается,—
концом удара. Интервал между этими двумя моментами называют временем,
или продолжительностью удара.
Рис. 1. Распространение напряжений в телах при ударе
В тексте 0i обозначено как vol; v2 — как v02
На рис. 1, а показаны положение и начальные скорости тел до удара
и01 и v02 и их составляющие, параллельные осям произвольно выбранной
системы координат,
001 = £>01* + v01y + v{
J0lZi
^02 — ^02* 4" V02y ~h V02Z-
^ В результате встречи (рис. 1, б) тела не могут более продолжать движение
с прежними скоростями, их скорости изменяются, точки тел испытывают
ускорения. Причиной появления ускорений является сила
взаимодействия N, возникшая во время удара. В свою очередь эта сила определяется
суммой напряжений, действующих в точках контактной площадки Sk'.
N = \ edS.
Поскольку тела сплошные, напряжения передаются и другим точкам
соударяющихся тел, находящимся вне площадки контакта. Таким образом,
все точки обоих тел в результате удара получают определенные деформации
и испытывают напряжения. Величины возникающих напряжений и
деформаций в телах связаны известными уравнениями теории упругости
(уравнениями Ламэ), которые при отсутствии объемных сил из-за малости имеют
вид
для первого тела
дх ^
дх
дх
xyi
дх
XZt
yxi
дх
дХ2Хх
дх
+
ду
дз„
ду
дх.
, _!_
yZi
zyi
ду
+
дг
д^
дг
дг
Pi
dt*
d2u
= Pi
Ух
= Pl"
dt2
d2uy
dt2
(1)
7

для второго тела
дву дхУ1. дхуу d2uy
}v ~Г Л» ~Г
дх 1 ду * dz ^ dt2
dx1JY дв„ dxfiy d2ufJ
дх ^~ ду ~*~ dz ~р* Л2
~дх ' '" ду ' dz Р2' д(
(1а/
где а, т с различными индексами — проекции нормальных и касательных
напряжений в любой точке соударяющихся тел на соответствующие оси коор-1
дв дх ]
динат; к- г-> ^ ^ их частные производные по соответствующему
0\X,y,z) о\х,у ,Z)
направлению (отношение приращений напряжений в данном направлении к<
длине участка, на котором это приращение произошло); ux,y,z — проекция
перемещения (деформация) точек тел на соответствующую ось координат
за время удара.
Таким образом, du/dt — скорость точки; o2u/dt2 — ее ускорение; рхи р2 —
плотности тел.
Если умножить обе части уравнений на элементарный объем дх-ду-дг,
нетрудно увидеть, что их правая часть есть произведение массы точки на ее
ускорение, а левая — сумма проекций сил, действующих на эту точку.
Уравнения в форме (1), (1а) являются наиболее общими, они применимы
к любому телу.
Для того чтобы общие уравнения соответствовали форме данных
конкретных тел, к ним необходимо добавить граничные условия — уравнения
граничных поверхностей тел, на которых нормальные и касательные
напряжения равны нулю.
Начальные условия до удара (при t = 0), также добавляемые к общим
уравнениям, содержат начальные напряжения а01 и а02, которые тела имели
до удара (в частном случае они могут быть равны нулю), а также
предударные скорости точек тел, которые могут быть заданы в форме:
для первого тела
duY du„ duy
~dT ~ v°lx> ~dT ~ 01yi ~~dT ~~ ou'
для второго тела
duX2 __ duy2 _ duZ2 __
~~dT - U°2X> ~ЧГ ~ u°2y> dt
После начала удара с появлением контактной площадки, по которой тела
взаимодействуют друг с другом, появляются дополнительные граничные
условия локального порядка, относящиеся главным образом к точкам,
находящимся на контактной площадке Sk, общей для обоих соударяющихся
тел.
На этой площадке перемещения, скорости, ускорения точек, имеющие
одинаковые координаты, но принадлежащие к разным телам, во время удара
равны между собой. Кроме того, в силу равенства действия и
противодействия напряжения в точках обоих тел, соприкасающихся на контактной
площадке, равны по величине и противоположны по направлению.
Другими словами, в пределах контактной площадки Sk = f (х; у\ г) при
_ \du-i du2 d2u± d2u2
Ul ~ "2' ~df ~ ~df ' IF ~ ~dF '
°1 = ^2> Tl == T2>
8

что соответственно относится и к проекциям этих величин на оси одной
системы координат.
Таким образом, решение задачи соударения тел в общем виде сводится к
совместному решению уравнений (1) и (1а) с учетом перечисленных
граничных и начальных условий.
СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МЕХАНИЧЕСКОМ УДАРЕ
Имеющиеся решения некоторых динамических задач теории упругости
показывают, что напряжения и деформации распространяются от площадки
контакта в соударяющихся телах не мгновенно, а с конечными скоростями,
причем скорость распространения отдельных видов напряжений различна
[1]. Так, например, скорость распространения волны сжатия (растяжения)
определяется формулой
а=У~т> (2>
где Е — модуль упругости материала; р — плотность.
Скорость распространения волны сдвига
где G — модуль сдвига материала.
Поэтому в результате удара в телах возникает весьма сложное поле
напряжений, изменяющееся не только от точки к точке, как при статической
нагрузке, но и в данной точке тела со временем. Поле напряжений еще более
усложняется в результате отражения волн от границ тела. Вследствие этого
напряжение и деформации в точке приходится рассматривать как сумму
последовательных ударных волн, таких, как продольная, поперечная,
коническая, поверхностная (волна Релея) и т. д.,и волн, отраженных от границ,
тел.
В силу этих причин математическое описание процесса удара в общем
виде оказывается настолько сложным, что выходит за рамки современных
возможностей теории упругости, и потому для решения частных, прикладных
вопросов теории удара приходится применять такие упрощения и
допущения, которые, давая удобные инженерные решения, не вели бы
одновременно к недопустимым ошибкам количественного и качественного характера.
Причем следствия последних оказываются, как правило, более ощутимыми,,
поскольку ведут не только к неверному расчету той или иной конструкции,
но и к неправильному выбору направления при решении тех или иных
проблем, связанных с ударом.
В связи с этим особое значение приобретает правильный выбор такой
методики расчета из числа существующих, которая бы в наибольшей мере
соответствовала физическим особенностям рассматриваемой ударной системы.
Ниже приводится систематическое изложение основ приближенных
методов расчета ударных систем: %
классического ньютоновского метода [2] (гл. II, IV);
метода Герца, предполагающего области контакта упругими, а тела
твердыми [3] (гл. III, IV);
метода, предполагающего тела полностью упругими, но распространение
напряжений по телам мгновенным (гл. III);
метода плоской волны Сен-Венана [4] (гл. V, VI);
и наконец комбинированного метода, сочетающего статические решения
теории упругости для приконтактной зоны и метода плоской волны для
остальной части соударяющихся тел [5] (гл. VII, VIII).

Глава вторая
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ.
УДАР ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Классическая теория удара исходит из предположения, что соударяющиеся
тела являются твердыми, т. е. все точки тела, включая и центр тяжести, при
поступательном движении имеют одинаковую линейную скорость, а при
вращательном — одинаковую угловую скорость. Последнее, естественно,
не относится к центру вращения: его угловая скорость всегда равна нулю.
На рис. 2 изображена система соударяющихся тел. Для простоты
принято, что центры вращения Gx и G2 совпадают с центрами тяжести тел, а
направление начальных скоростей тел v01 и v02 — с направлением
действующих сил N, силы трения отсутствуют. Тогда направление силы
взаимодействия определяется конфигурацией тел в точке контакта, оно совпадает с
направлением перпендикуляра к касательной, проведенной к контуру тел
в точке контакта.
Перечисленные допущения не являются принципиальными, однако они
помогают избежать применения для расчетов громоздких векторных
выражений. \
Приняты следующие обозначения (рис. 2):
vl9 v2 — скорости центров тяжести (вращения) тел во время удара;
(£>ъ о)2 — угловые скорости тел во время удара;
h-ь ^2 — плечи сил относительно центров тяжести тел;
^i2> N21 — силы ударного действия первого тела на второе и второго на
первое;
rl9 г2 — радиусы точки контакта относительно центров вращения обоих
тел;
Щ> Щ — массы соударяющихся тел;
1ъ h — моменты инерции тел относительно их центров тяжести.
Если известны конфигурация тел, плотность и местоположение точки
контакта, то определение направления и плеча сил, центра тяжести,
моментов инерции и радиуса точки контакта трудностей не представляет.
Предполагаем, что ударная система является замкнутой, т. е. никакие внешние
силы во время удара на тела не действуют.
Составим дифференциальные уравнения движения для первого тела:
для поступательного перемещения
dvi КТ
для вращательного движения
ю

при следующих начальных условиях (до удара):
v± = v01; о)! = со01.
Аналогично для второго тела эти уравнения имеют вид
dV2 кг
m24F = N12;
h^=Nnh2,
а начальные условия до удара
Щ = v02] «2 = ю02.
Вследствие равенства действия и противодействия силы N21 и N12
равны по абсолютной величине и противоположны по направлению, т.
е.,обозначая N12 = N, можем записать N21 = — N. За положительное
направление силы выбираем направление большей скорости, а за положительное
направление момента силы] Nh — направление против часовой стрелки.
Тогда дифференциальные уравнения движения соударяющихся тел можно
представить в виде системы дифференциальных уравнений
m1dv1 = — Ndt, m2dv2 = Ndt, 1^аг = h±Ndt9 I2d®2 = hJNdt.
Интегрируя уравнения с учетом начальных условий, имеем
t vx
— j Ndt = m3 J dv-i = m± (vx — v01),
0 V0l
t v2
\ Ndt = m2 § dv2 = m2 (v2 — v02),
0 V02
t C0I
— hi j Ndt = Ii) 'dtox = Iг (щ— co0i),
О сол
h2 j Ndt = h\ ds)2= I2 (co2—co02).
0 COo2
Окончательно
t
Щ^ох—^) = }Ndt,
о
t
tn2{v2 — vQ2) = ^Ndt,
0
t
h («01 — %) = h1^Ndt,
о
t
h{®2 — «02) =h2\Ndt.
0
Полученная система из четырех уравнений
содержит пять неизвестных: v±\ v2, ос^; со2и J Ndt.
Следовательно, для ее решения необходимо введе- Рис. 2. Нецентральный удар
ниееще одного дополнительного условия. твердых стержней
11

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ И РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УДАРА
В классической механике принято одно из следующих условий:
1) после удара соударяющиеся тела движутся с одинаковой скоростью;
2) суммарная кинетическая энергия тел до удара равна суммарной
кинетической энергии тел после удара.
Исходя из этих положений, становится возможным определить скорость
и энергию тел после удара.
Первоначально рассмотрим более простой случай соударения, когда
направление действия силы и начальных скоростей совпадает с прямой,
соединяющей центры тяжести тел.
В этом случае h± = О, h2 = 0 и из уравнений (Зв) — (Зг) следует, что
ю1 = ^oi и (о2 = (о02, т. е. угловая скорость тел до и после удара остается
неизменной.
После исключения \ Ndt из уравнений (За) — (36) система (3) приводится
о
к одному уравнению с двумя неизвестными
mi (yoi — 0i) = т2 (Щ — %*)> или m1v01 + m2v02 = m1v1 + т&2, (4)
что является аналитическим выражением известного закона сохранения
количества движения в замкнутой системе.
Аналитическое выражение первого условия после удара
v± = v2 = v. (5)
Подставляя выражение (5) в (4), получаем
тги01 + m2v02 = (тх + т2) vy
откуда скорость тела после удара
v = (т&01 +m2v02)/(m1 +'щ). (6)
Если второе тело до удара было неподвижно, т. е. vQ2 = О, то
v = m&oJimi +т2). (6а)
Кинетическая энергия системы до удара
л _ ты!2 m2PQ2g
Кинетическая энергия системы с учетом выражения (6) после удара
А -(т 4- т \ — 4- (miPo1 + тхНл)*
Лг - (Шх + т*) х + 2(т1 + т2) '
если ударяемое тело до удара неподвижно (v02 = 0),
1 ~~ т1 + т2 2
Коэффициент передачи энергии удара
т| = AJA0 = mj (т1 + т2). (66)
Потеря кинетической энергии в результате удара
12

Одним из показателей ударного процесса также является коэффициент
восстановления, равный отношению относительных скоростей тел после и
до удара, т. е. *
k= (v1~v2)/(v01 — v02).
В рассматриваемом случае равенства скоростей после удара vt = v2
коэффициент восстановления относительной скорости обращается в нуль,
т. е. k = 0.
Практическое равенство скоростей тел после удара наблюдается, если
соударяющиеся тела выполнены из хорошо слипающихся пластичных
материалов типа пластилина. В связи с этим потери кинетической энергии при
ударе таких тел относят (и совершенно справедливо) на счет энергии,
затрачиваемой на пластические деформации.
Поскольку в случае соударения пластичных тел коэффициент
восстановления оказывается равным нулю, был сделан и обратный вывод: если
коэффициент восстановления относительной скорости равен нулю, оба или одно
из соударяющихся тел язляется совершенно пластичным. Однако, как будет
показано далее, такой вывод ошибочен — тела могут оставаться совершенно
упругими и при k = 0.
Рассмотрим решение задачи при соблюдении второго предположения
условия сохранения кинетической энергии при ударе.
Аналитическое выражение этого условия:
тгУог2 , т2р0а2 __ Ш\У^ , т2а22 /у\
2 ~г~ 2 ~~ 2 "• 2 ^ '
Решаем его совместна с выражением закона сохранения количества
движения (4). Для этого сначала преобразуем выражение (7) следующим образом:
miPoi2 mxVi2 _ m2a22 m2Vo22
~2 2 ~" 2 2 '
тг (£>oi — t>i) Ki + ^ i) = m2 (v2 — v02) (t>2 + У02).
Произведем сокращение в соответствии с уравнением (4)
001 + vi = v2 + Со2> или v01 — v02 = — (vx — v2). (8)
Тогда коэффициент восстановления относительной скорости в этом
случае должен быть
k = (Vl — v2)/(v01 — v02) = — 1, \k\ = 1. (9)
Для определения скоростей тел после удара решаем совместно
уравнения (4) и (8), получаем
01 = °о. + ^^-Оо, (Ю)
где относительная скорость тел до удара
^oi. ^02 = ^о«
Если ударяемое тело до удара неподвижно, т. е. v02 = 0 и v01 = v0,
выражения (10) и (11) упрощаются:
тп\ — т2 /1о\
Л = 5ЙТЙГ,0°' (12)
13

Проанализируем полученные выражения (12) и (13).
1- mi > т2- Скорость ударника после удара vx (12) положительна,
следовательно, ударник продолжает движение в прежнем направлении. Тот же
знак, а следовательно и направление, имеет и скорость ударяемого телг
v2> которая согласно (13) растет с уменьшением массы т2. В предельном
случае при массе ударника, неизмеримо большей массы ударяемого тела, т. е,
при т1^>т2 и ^--^0,
tn2
— т 9
Vi= -±--v0~v0, v2 = —- v0~2v0, i
mi гп\
т. е. скорость движения ударника в результате соударения практически
не уменьшается, а ударяемое тело после удара получает скорость, равную
удвоенной скорости ударника.
2. т1 = т2. Согласно выражениям (12) и (13), vx = 0, v2 = v0, т. е.
ударник останавливается, а ударяемое тело приобретает скорость ударника.
3. т2 > тг. Скорость ударника после удара изменяет знак на обратный
(отскок) vx <С 0. Ударяемое тело, как и раньше, движется в направлении
удара, но скорость его v2 (13) ниже, чем скорость удара. Эта скорость теп,
меньше, чем больше масса ударяемого тела.
В предельном случае масса ударяемого тела несравненно больше массы
ударника т2 ^$> тъ —-^ 0
т2 ш2 '- п
vi = — v0 ^ — v0, v2 = — v0 = 0.
El +1 -^- + i
m2 tn2
В этом случае ударяемое тело в результате удара остается практически
неподвижным, а ударник отскакивает от него со скоростью, равной
скорости удара.
Наряду с коэффициентом восстановления при расчетах нередко
используется коэффициент отскока £. Этот коэффициент представляет собой
отношение скорости ударника после удара vx к его скорости до удара v01.
Если ударяемое тело до удара неподвижно, то на основании (12)
С = vjv0 = (тх — т2)/(т1 + т2). (14)
Согласно этому выражению при ударе о массу, значительно большую массы
ударника, т. е. т^\т2 ~ 0,
т\ __
Г = т1 — т2 т2 1 /1Г\
т1 + т2~т1~~' ^
ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПРИ СОУДАРЕНИИ ДВУХ ТЕЛ
В результате удара ударник теряет часть (или всю) своей энергии, а
ударяемое тело соответственно приобретает дополнительную энергию.
Если, как и раньше, обозначить v01 и v02 скорости ударника и ударяемого
тела до удара и v± и v2 — скорости тех же тел после удара, то
дополнительное количество энергии, которую получит ударяемое тело после удара (Л J,,
выразится как
л _ /п2р22 т2у022
^1 — о о— •
14

Подставим значение v2 из уравнения (11)
Al = (mi + m2)2 (Vqi ~ v°2^ (ЩЩг + т^ог).
Энергия, которой обладал ударник до удара,
А0 = ^. (16>
Делением Л! на А0 получаем так называемый коэффициент передачи
энергии при ударе
Ч л
Ло (mi + /п2)2
fl_5»Vi + m2V°2) . (17)
V ^01 у V mi0oi у
В частном случае, когда ударяемое тело до удара неподвижно, т. е.
v02 = 0, выражение (17) переходит в известную формулу
т] = 4m1mJ(m1 + щ)2. (18)
Соотношение масс, при котором коэффициент передачи будет
наибольшим, может быть определено следующим образом:
обозначаем соотношение масс
щ/щ = а> откуда т1 = ат2\
подставим значение m± в формулу (18)
г\ = 4т^т21(тх + т2)2 = 4т22-а/(ат2 + т2)2 = 4а/(1 + а)2; (19)
(20),
найдем производную
dr\ _ 4 (1 — а)
Иа~~ (1+а)3 '
приравнивая нулю выражение
dr\ _ 4 (1 — а)
da (1 + af
= 0, l_fl = 0f
находим, что наибольший коэффициент передачи энергии удара
соответствует соотношению масс
а = тх\т2 = 1.
Подставляя это значение в соотношение (19), находим, что в этом случае
т| = 1. Наиболее неблагоприятным с точки зрения передачи энергии удара
является случай удара о неподвижную массу, очень большую по сравнению*
с ударником. При этом а = mjm2 = 0 и согласно (19) ч\ = 0, а коэффициент
восстановления с учетом выражений (9) и (15) равен коэффициенту отскока.
k = £ = — 1. = vjv0, или vx = — vQ,
т. е. скорость ударника после удара по абсолютной величине должна
быть равна скорости ударника до удара. Следовательно, в результате
удара о бесконечно большую массу в соответствии с принятыми
принципами расчета ударник после отскока должен полностью сохранить свою
начальную (предударную) энергию.
Экспериментальная проверка этого вывода позволяет достаточно просто
оценить, насколько правильны принципиальные основы классической
системы расчета.
IS

РАСЧЕТ НЕЦЕНТРАЛЬНОГО СОУДАРЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Прежде чем перейти к экспериментальной проверке формул центрально
удара, рассмотрим расчет нецентрального удара стержней, схема которо
изображена на рис. 2. Свободный стержень /, имеющий массу т1 и начал
ную скорость поступательного движения v01f наносит удар по неподвижно!
до удара телу 2, масса которого /я2. Ударяемое тело лишено возможное
вращаться благодаря плотным направляющими. Gl9 G2 — центрытяжес
ударника и ударяемого тела; G — точка удара; г — радиус ударник
/ — его длина; h — плечо силы удара относительно точки Gl9 а — у л
между осями тел.
Известен также момент инерции ударника / относительно точки С
В соответствии с принятыми обозначениями запишем уравнения дин
мики для системы
dvi АГ dv2 ,т j dcoi АТ1
при начальных'условиях до удара t = 0; vx=vQ1\ v02 = 0; со01 = 0; со02 =
после удара вследствие действия направляющих со2 = 0.
,Интегрируя полученные уравнения с учетом начальных условий, л
лучаем
m1{v01 — v±) = ^ Ndt
m2v2 = \ Ndt
I^ = h\Ndt
К этим уравнениям добавляем условие сохранения кинетическ
энергии системы
/tti^oi2 mi^i2 . /coi2 , m2V22
+ ^ + -
2 2 ' 2 ' 2 '
Из первых двух уравнений системы находим
из третьего —
^Ndt = I<ox/h.
Подставляя интеграл импульса силы в полученные выражения скор
стей, находим
/CDi /C0i
Входящая в эти выражения угловая скорость о*! определяется из услов
сохранения кинетической энергии системы
"i-Wt^-F (£ + £)]*•
В результате вращения ударника, возникшего при ударе, он нанеа
удар по своим направляющим 4 (рис. 2) со скоростью
Окончательно
/ / 1 1 \
2pqi 1 1 ~~ h2 \ тг ~ ш2 )
h ' _L(A- АЛ ~~ / / 1 1 \
1 + Л2 \тх + т2) 1+ Л2 \тх + т2 )
16
^1 — yoi — -—£ • —рг ' i / \ ГТ — Т~~Г\ Т\ ' Уо1'

v* =
2/pqi
m2Hl
2v0
1 + h2 l mx
1
m2
m^2
Энергия, полученная ударяемым телом,
Аг =
m2v22
= 2m.
У012
2 / m2h2 т2
\—
1 /щ
т2
mi
Коэффициент передачи энергии удара
г»= А = 4^ -
1 Л0 т1 (m2h2 т2
Из этого выражения следует, что передача удара ухудшается с
увеличением нецентренности удара (плеча Щ и уменьшения момента инерции
ударника.
Так, например, если ударник представляет собой цилиндрический
стержень,
'-*("+-f
Если к тому же / ^> г,
, mi/^_ pjxr2/2
12 "" 12 *
При малых углах а—/г~г и выражения для угловой скорости ударника,
скорости ударяемого тела и коэффициента передачи энергии преобразуются:
со = 2^01
v2 = 2v01
яр^/jL М"
1 12 \mi т2)
/\
1 Ш\ '
12т2
яр/2
ч ['+3r (w
1
т2
/*,
г| = 4
т2
mi / 12m2
(-
р/2
mi
+ 1
Из последнего выражения, в частности, видно, что при прочих равных
условиях в случае нецентрального удара коэффициент передачи энергии
удара возрастает с увеличением длины ударника.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ У£АРА
Выводы классической теории удара могут быть проверены путем простого
эксперимента (рис. 3,Л).
На рисунке обозначены ударник /, ударяемое тело очень большой массы
2, мерная линейка 3. Шарообразная форма ударника обеспечивает всегда
центральный удар и тем самым гарантирует от потерь энергии на вращение
ударника после удара. Поверхность ударяемого тела выполняется гладкой
и устанавливается строго горизонтально с тем, чтобы отскок был вертикален.
Энергия ударника до удара определяется его начальной высотой (Н^)
над поверхностью ударяемого тела
2 Е. В. Александров, В. Б. Соколинский
17

[33
■^
До удара
и о
□
^
После
Hz удара
А Б
Рис. 3. Экспериментальная проверка классической теории удара
А — определение коэффициента восстановления;
Б — схема опыта по проверке гипотезы Ньютона
В точке удара вся его потенциальная энергия подъема переходит в ki
нетическую (сопротивлением воздуха пренебрегаем) согласно уравнению (Id
m1gH1 = mi— ,
откуда
t>oi = YWh. :
После удара кинетическая энергия ударника
Л2 --2-.
По мере подъема ударника при отскоке эта энергия переходит в потеи
циальную и в наивысшей точке
JTliVi2
откуда
= migH*,
vx = V2gH2.
Тогда коэффициент отскока, равный в этом случае коэффициенту вех'
становления, может быть определен ]
Исходя из представлений классической теории удара, в рассматриваемо!
случае коэффициент восстановления должен быть равен единице, т. е. Я2 =.
= /л-
Однако в действительности начальная высота ударника Н1 оказываете
всегда больше высоты отскока #2. В литературе \ например, приводят
следующие данные:
Материал ударника H2/Hi k
слоновая кость .... 0,f8 0,94
сталь ........ 0,30 0,55
дерево (по гуттаперче) 0,068 0,26
1 Л. Г. Л о й ц я н с к и й, А. И. Лурье. Курс теоретической механики. ГИТТЛ
1955, 129.
18

Возможность существования коэффициентов восстановления, меньших1
единицы, несовместима с исходными положениями классической теории
механики упругого удара. Напомним, что в основе этой теории лежат
следующие положения.
1. Принцип твердого тела, все точки которого, включая и центр тяжести,
могут двигаться лишь как одно целое, имея одинаковые скорости, что дает
основание применить закон сохранения количества движения в замкнутой
системе, относимый к движению центров тяжести тел.
2. Принцип сохранения суммарной кинетической энергии тел при ударе2.
В соответствии с результатами экспериментов высказано предположение,
что второй принцип неверен и часть начальной кинетической энергии
переходит при ударе в другие виды энергии.
В связи с этим предположением закон сохранения энергий при ударе
miP012 . m2v022 тгУг2 . m2v22
2 ~+~ 2 ~~ 2 ^~ 2
получил вид
Wi^oi2 , rn2v022 triiVi2 , л
2
+ А, (21)
где Л — потери кинетической энергии при ударе.
Закон же сохранения количества движения по-прежнему дает равенство
ЩЩг +^2^02 = ЩУ± + tn2v2, или т1 (v01 — v±) = —т2 (v02 — v2).
ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ УДАРА
от коэффициента" восстановления
Для решения задачи удара (т. е. определения vl9 v2 и А) недостаточно двух
имеющихся уравнений, поскольку число неизвестных стало равным трем.
В качестве третьего уравнения было использовано аналитическое
выражение коэффициента восстановления
* = (vi — v2)/(v01 — v02).
Таким образом, решения, основанные на принципе сохранения
кинетической энергии при ударе, оказавшиеся неприемлемыми, были заменены
решениями, в которых фигурирует коэффициент восстановления. При этом
предполагалось, что этот коэффициент зависит только от материала
соударяющихся тел и поэтому может быть определен экспериментальным
путем для каждой пары материалов.
Решая совместно это выражение с выражением закона сохранения
количества движения, получим
vi = (m^oi +/ВД>2 + km2v0)/(m1 +m2),
v2 = (m1v01 + m2vQ2 — ktnxv^l (тг + m2);
при k = —1 они переходят в выражения (10) и (11).
Если ударяемое тело до удара неподвижно (v02 = 0, v0 = v01), выражения
скоростей несколько упрощаются
v± = v01 (тг + km2)/(m1 + т2), v2 = v01m1 (1 — k)j(mx + m2).
Энергия ударяемого тела после удара
А m2v22 т12т2 п ,ч2 2
Л* = -2~ = 2(т1 + т^ ' <! ~k?voS-
1 В специальной литературе при определении коэффициента восстановления часто
принимают во внимание только его абсолютное значение. v.j
2 Иногда этот принцип отождествляется с законом сохранения энергии, что неверно,
поскольку последний учитывает все виды энергии, здесь же говорится лишь о ее
кинетической форме.
2* 19

Коэффициент передачи энергии удара
2
Кинетическая энергия, потерянная при ударе, согласно формуле (21)
« __ тгу012 m2v022 m^i2 m2v22
Л ~ 2 ^ 2 ~ 2 2 #
Подставляя сюда найденные величины скоростей тел после удара, полу
чаем
л_ 1 _m^ t_
2 mi + т2 v ' и
Определяем коэффициент потерь
Л т2
Ло tti\ -\- т2
(1-й2). (23
При ударе о бесконечно большую массу {mjm^ = 0)
_А_
Л0
А=1—**. (24
Таким образом, величина 1 — k2 характеризует долю начальной кине
тическои энергии, перешедшей в результате удара в другие виды энергии
Приведенные в этом разделе формулы пригодны для расчетов лишь i
том случае, если известен коэффициент восстановления. Согласно приведен
ной гипотезе этот коэффициент зависит только от материала соударяющихся
тел. Однако даже простые эксперименты показывают, что и эта гипотеза
вообщэ говоря, ошибочна. Так, например, взяв пару тел, выполненных и:
одного материала, но различных конфигураций и размеров, нетрудно убе
диться (рис. 3), что коэффициент восстановления: близок к нулю (рис. 3, Л)
близок к единице (рис. 3); занимает промежуточное положение между эти
ми двумя и зависит от радиуса закругления, длины и диаметра тел (рис. 3, Б)
Таким образом, оказывается, что коэффициент восстановления, харак
теризующий долю потерянной кинетической энергии, в большой степеш
зависит от конфигурации и размеров соударяющихся тел. Другие экспери
менты показывают, что коэффициент восстановления зависит от скоросп
соударяющихся тел. Иначе говоря, каждой конкретной ударной систем!
соответствует свой коэффициент восстановления, определить который можн(
построив и испытав эту систему. Но в таком случае расчеты оказы
ваются уже излишними.
В связи с этим возникает необходимость теоретического определена
коэффициента восстановления, которое бы учитывало не только свойств;
материала, но также конфигурацию, размеры и скорости соударяющихся тел
Отмечено, что коэффициент восстановления тесно связан с величиной по
терь кинетической энергии при ударе. Однако для теоретического определе
ния этих потерь необходимо знать их природу, без этого расчет потерь не
возможен.
Терминология классической механики удара ясно указывает природ)
потерь кинетической энергии при ударе. Так, если коэффициент восстано
вления равен единице, удар называется вполне упругим. Если коэффициен'
восстановления равен нулю, удар называется вполне неупругим. Все про
межуточные случаи называют не вполне упругим ударом. Синоним слова не
упругий — слово пластичный. Поэтому с неменьшим основанием говорят о(
упругом, упруго-пластичном и, наконец, пластичном ударе, исчерпывав
этим возможные случаи удара.
20

СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ БАЛАНСЕ
И ЗАКОНЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПРИ УДАРЕ
Баланс энергии, соответствующий положениям классической механики
(тела после удара могут обладать только двумя видами энергии —
кинетической и энергией пластических деформаций, если они имеются) приведен
в табл. 1. Следовательно, предполагается, что кинетическая энергия,
потерянная при ударе, может перейти только в энергию пластических
деформаций. Известно, что под пластическими понимают такие деформации,
которые не исчезают после снятия нагрузки. Поэтому тело, подвергшееся
пластическим деформациям, должно изменить после удара форму и размеры.
Вернемся теперь к эксперименту, схема которого изображена на рис. 3
(случай а). Легко убедиться, что в этом случае отскок практически
отсутствует, следовательно, коэффициент восстановления равен нулю
соответственно случаю вполне неупругого (пластичного) удара.
Исходя из вышеизложенного, следует предполагать, что начальная
кинетическая энергия ударника в результате удара полностью
преобразовалась в энергию пластических деформаций соударяющихся тел. Однако
исследование тел, участвующих в ударе, даже если нанесена серия таких
ударов, показывает, что размеры их после удара не изменились и,
следовательно, пластические деформации отсутствуют — пластичность оказалась
мнимой. На что же в таком случае израсходована начальная кинетическая
энергия ударника?
Ответить на этот вопрос возможно, установив на ударяемом теле датчики
напряжений. Показания датчиков отметят упругое сжатие ударяемого тела
и после окончания удара. Следовательно, кинетическая энергия ударника
перешла в потенциальную энергию упругого сжатия. Конечно, при
достаточно высоких нагрузках в телах наряду с упругими могут появиться и
пластические деформации, однако становится ясно, что величина коэффициента
восстановления не может служить определителем упругого или неупругого
характера удара.
Поэтому баланс энергии при ударе должен быть записан так, как это
изображено в табл. 1 справа.
Если нагрузки не превосходят предела упругости, энергия пластических
деформаций П = 0.
Для этих случаев баланс энергии до и после удара упрощается
Aq = лк -\~ лп.
Следует напомнить, что здесь имеется в виду потенциальная энергия,
оставшаяся в телах после удара.
Выражения баланса энергии при ударе, приведенные в табл. 1,
показывают, что основное отличие современных представлений об энергетическом
балансе при ударе от представлений классической ^механики заключается
в том, что современные представления отмечают существование в теле после
удара наряду с кинетической также и потенциальной энергии, в то время как
классическая теория исключает такую возможность.
Одновременное существование в теле потенциальной и кинетической
формы энергии после удара становится возможным благодаря тому, что
напряжения и деформации от точки контакта распространяются по телу не
мгновенно, а с некоторой конечной скоростью — скоростью волны [см.,
например, формулу (2)]. В связи с этим та часть тела, которая уже
охвачена волной напряжения, обладает потенциальной энергией, а та часть,
которой волна напряжения еще не достигла, сохраняет начальную
кинетическую энергию.
Аналогичным образом к моменту окончания удара, когда ударная
нагрузка снимается, часть тела не успевает разгрузиться от напряжений, а
следовательно, и от потенциальной энергии. Эта необратимая часть
потенциальной энергии, остающаяся в теле после удара А1П, и обусловливает запись
21

Т А Б Л И ЦАр
Классическая теория удара
Характер
удара
Упругий
Упруго-пластичный (не вполне
упругий)
Пластичный (вполне неупругий)

Коэффициент
восстановления
0<&<1
До
удара
Во время
удара
После
удара
Ло
Ло
Ак + К
Лк + Лт + П
Ах
Л1+П 1
Лг+П
Современные представления теории удара
Характер
удара
Упругий
Упругий
Упруго-пластичный
Упругий
Упруго-пластичный
Пластичный
До
удара
Ло
Ло
Ло
Ло
Ло
Ло
Во время
удара
^к"Г Ап
\+К
К + А„+ П
Ак + К
Ак + Ап+П
\ Ак + П
г
После 1
удара
С
At
Ах + А1п
А, + Л1п+П
Аг + А1п
Ai + Ain+H}
At + U 1
Примечание. А0—суммарная кинетическая энергия тел перед ударом; Лк—суммарная ю]
нетическая энергия тел во время удара; Ап—суммарная потенциальная энергия тел во время удар^
П—энергия, затраченная на пластические деформации и немеханические потери энергии; Л
Л1П—соответственно суммарные кинетическая и потенциальная энергия тел после удара.
>
I
баланса энергии для действительного упругого удара х в виде i
Ло = Аг + А1П (2?
вместо
Aq = Лх, К^К
принятого в классической механике. 1
Таким образом, формулы классической механики удара оказываются
вообще говоря, неверными. Они тем более приближаются к истине, чем
ближе выражения (25) и (25а), т. е. чем меньше необратимая часть потен»
циальной энергии Л1П, не успевшая во время удара перейти в кинетическую
При сжатии тела деформируются и скорости точек изменяются. Благо
даря волновому характеру распространения деформаций поле скороста
точек тела становится неоднородным. Те области, которые уже охвачен!
волной деформаций, изменяют свою скорость, в тех же областях тела, ко
торых волна еще не достигла (сюда может войти и точка центра тяжести)
сохраняется прежняя скорость.
В связи с этим запись закона мгновенного количества движения тел.
в форме, принятой в классической механике удара,
J — mvG (26
(vg — мгновенная скорость центра тяжести тела; т — масса всего тела
представляется, вообще говоря, неверной.
Количество движения тела должно выражаться в более общей форм!
J =\ vdm,
(27
1 Удар других видов (пластичный, упруго-пластичный) в ударных механизмах, рассчитан
ных для более или менее длительной работы, не используется.
22

где v — скорость данной материальной точки в данный момент времени;
dm — ее элементарная масса.
Если скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра тяжести
тела
v = vg = constх, (28)
выражение (27) переходит в (26).
Следовательно, выражение (26) является характерным для описания
твердого тела — понятия классической механики удара.
т
Г»
Если же ^ vdm=f=mvG, то формулы классической механики удара
о
становятся неверными, в тем большей степени, чем больше различие между
правой и левой частью.
Соответственно кинетическая энергия тела во время удара не может
быть записана в форме Ак = —» а должна иметь интегральную форму
т
Ак = ) ^-dm.
о
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ УДАРА
В связи с изложенным возникает вопрос, можно ли вообще для расчетов
применять формулы классической механики удара.
Оказывается, в р-ядр случаев можно, и притом с хорошим приближением2.
Дело в том, что если время удара достаточно велико, в результате
многократных отражений волн от контактной площадки и границ тела
постепенно происходит затухание и дисперсия волн напряжений. Вследствие
этого поле скоростей становится более однородным, а потенциальная
энергия напряжений переходит в кинетическую.
Обычно формулы классической механики успешно применяют в том
случае, если время удара ty в несколько (3—5) раз превышает наибольший
период собственных колебаний соударяющихся тел Т. Другими словами,
время удара должно быть достаточно велико, чтобы соударяющиеся тела успели
прореагировать между собой. Период србственных колебаний тел зависит
от их размеров и скорости распространения в них волн напряжений
[формула (2)]. Для стержней, например,
Таким образом, критерий применимости формул классической теории
удара можно выразить
Р = /у/Г > 3 -г- 5.
Чем больше Р, тем точнее расчеты.
Однако в формулы классической теории удара время .не входит. Кроме
того, с помощью этих формул нельзя рассчитать силу удара, напряжение
в соударяющихся телах, их перемещения и ускорения. Для их определения
приходится комбинировать методы классической механики удара с
элементами теории упругости.
1 Здесь подразумевается постоянство скорости не по времени, а по массе тела.
2 Здесь не имеются, конечно, в виду формулы, в которые входит коэффициент
восстановления k, не равный нулю или единице,— продукт позднейших «усовершенствований»
классической теории удара.

Глава треть
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УДАРА
СОУДАРЕНИЕ ДВУХ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИХ ТЕЛ
С УПРУГИМ ПРОМЕЖУТОЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Рассмотрим вначале относительно простой случай — центральное соударе
ние двух абсолютно жестких (недеформируемых) тел через промежуточны;
упругий элемент (рис. 4).
Наиболее близка к этому случаю такая ударная система, у которой про
межуточный элемент настолько мягок, а соударяющиеся тела настолько
жесткие, что деформациями соударяющихся тел можно пренебречь i
учитывать лишь деформацию промежуточного упругого элемента.
На рис. 4, а изображено положение тел перед ударом. На это
этапе ударник /, имеющий массу т1 и скорость v01, приближается i
ударяемому телу 2, имеющему массу т2 и скорость v02. Скорости
v01n v02 имеют все точки тел, в том числе и их центры тяжести Gx и G2.k
Промежуточный упругий элег
мент 3 пока не сжат. Его свободна^
длина а.
Положение, показанное на рис
4, б пунктиром, соответствует мо
менту касания упругим элементен
ударяемого тела — началу удара.
От этого положения производите*
отсчет перемещения центров тяже
сти тел во время удара хг и х2.
Поскольку тела твердые,
перемещения внутренних торцов тел ух i
у2 равны перемещению центров тя
жести тел, т. е.
у1 = хх\ у2 = а:2.
После касания длина упругого
элемента изменится. Длина его вс
время удара обозначена на рис. 4, с
1как /.
• . п Из рис. 4, б очевидно равенстве
Рис. 4. Соударение жестких тел через упру- г > ^ г
гий элемент а = Хг + I — Х2,
а — положение до удара; б — во время удара
24

откуда изменение длины (сжатие) упругого элемента
а = а — I = хг — х2. (29)
Сила сопротивления сжатию упругого элемента N зависит от его
конструкции
N = f(a). (30)
Так, например, если упругим элементом является винтовая пружина,
сила сопротивления пропорциональна сжатию и зависимость силы от
смещения
/ (а) = с а,
где с — жесткость пружины.
Сила сжатия упругого элемента действует на оба тела, сообщая им
ускорения. Вследствие этого скорость центров тяжести тел изменится и после
dx
удара будет иметь значения: для ударника v1 = хг' =-^ , для ударяемого
тела v2 = х2 = -^ .
Обозначим соответственно ускорения ударника wi = ~7f = ~ш и УДа~
dv2 d2x2
ряемого тела w2 = — = —^.
За положительное направление сил, скоростей, ускорений примем
направление первоначальных перемещений. Тогда дифференциальные
уравнения движения тел во время удара получат вид
d2Xi хт d2x2 хт
Принимая для простоты, что ударяемое тело до удара было неподвижно
'р01 = 0), а упругий элемент до удара не имел начального сжатия (а0 = 0),
фисоединяя к дифференциальным уравнениям движения тел уравнения
29) и (30), получим систему дифференциальных уравнений
m1%£ = -N или mi^ = -N, (31а)
m2d^l=N шш m2d^ = N, (316)
N = f(a), (31в)
Ч — х2 = <*• (31г)
При начальных условиях t = 0; хг = 0; х2 = 0
* = § = *, „=£ = 0, « = 0, N = 0.
Интегрируя уравнения (31а) и (316) при указанных начальных условиях,
олучаем
Vt t t
Щ\ dv± = — \ Ndt, тг(vx — v0) = —\ndt,
V0 0 0
v2 t
m2^ dv2 =.\Ndt, m2v2 = }N dt.
2S

Исключая интеграл силы по времени, находим
mxv0 = mxvx + m2v2. (3
Это известная запись закона сохранения количества движения. Из это
выражения определяем
dxi _ т2 dx2
Дифференцируем уравнение (31 г) по времени
da dxi dx2 r.
dt dt dt
»
откуда
dx2 dxi da
~dt ~~~di' ~ ' dt'
Подставляя значение ^
dx* m2 dx2 dot .^
~dF~V°~l^"di If' ^
находим
dx2 tri\ ( dot,
~df ~~ mT+~m2 \V° ~ Wj
Дифференцируем полученное выражение по времени
d2x2 _ тх d2v\
~dW~ ~ т1 + т2'Ч^%
(S
Подставляя последнее в формулу (316), в которой, в свою очередь, си,
выражена через сближение (31 в),
d2x2 т\Ш2 d2cc £, ч ,<
приводя последнее выражение к виду,1] обычному для дифференциальи
уравнений, имеем
£+=£?«•>-о- <*
или
a, + m1+m!/(a) = 0 (3:
Для преобразования уравнения (356) к более общей форме использу
часто применяемую зависимость
dt ~zaa ~za dt '
откуда
d{*'Y = 2a"dx, av=^(a,)
2da '
Подставляя полученную величину a" в формулу (356), получаем
Ш\ТП2
26

Прежде чем приступить к интегрированию, найдем начальное значение
(а')2. Из выражения (33а) следует, что при t = О, когда
dx± _ dx2 п
а' = -jf = v0 — О, тогда (а')3 = v02.
Интегрируя выражение (36), находим
V)2 О
а
* ' ГП1ГП2 J V '
О
/^-2^jj/(a)da. (37)
О
Откуда, разделяя переменные и интегрируя, получаем
a
С doi
г тхт2 у
а ~ dt
t=[ - dot (38)
If (a) da
0
Это выражение дает зависимость сжатия (сближения) тел а по времени,
а следовательно, и силу удара (31 в), перемещения, скорости и ускорения
гел во время удара (33).
Максимальному сближению тел во время удара a = am соответствует
/словие экстремума
da/dt = 0.
В этом случае равенство (37) дает
dt
Г ат
)ткуда
ё/(<х)Лх=_^_.^ = Л„, (37а)
о
деЛп —часть кинетической энергии ударника, которая в процессе удара
преходит в потенциальную энергию.
Необходимо отметить, что в момент достижения максимального сближе-
шя тел их скорости оказываются одинаковыми. Это можно видеть из усло-
шя экстремума, которое на основании уравнения (31 г) равно
da. _ dxi dx2 п dx\ _ dx2
тг-ж~чг-К)> или Чх~-ЧГ
. е. при a = am vx = v2 = v.
Величину скорости тел в этот момент нетрудно определить из выражения
33а)
v (тх + т2) I т1 = v0, откуда v = vtfm I (mi + m2). (38а)
27

Время, соответствующее максимуму сжатия tl9 получаем из выражен
(38), подставляя в качестве верхнего предела интегрирования a =i
ат ат
, _ f da 1 С dot ...
h~ ) Г а - W ) Г —* ^
о о
Однако получить полное время удара подобным методом невозмож*
Дело в том, что в момент окончания удара N = 0, а = 0, т. е. верхний п|
дел интегрирования оказывается равным нижнему. Но в этом случае \
теграл тождественно оказывается нулем. Вследствие этого целесообраз
разбить время удара на два периода: первый — от момента начала уда
/ = 0 до момента максимального сближения t = tx\ второй — от момен
максимального сближения t = tx до момента окончания удара ty, ког
N = 0. Обозначим продолжительность второго периода t2. Тогда ty
= *i + t2.
Уравнения, описывающие первый и второй периоды, совершенно одш
ковы. Отличны только начальные условия. Для второго периода начальны
условиями будут параметры ударной системы в конце первого периода, т..
при t = t± а = dm, da/dt = 0, (da/dt)2 = 0; а в конце этого периода:
при t = ty а = 0.
Поэтому не будем повторять решения системы дифференциальных ура
нений. Подставим эти пределы в выражение продолжительности первого i
риода удара
о о
_ J_ ? da _ J_ С da
*° j /—л—" Vo j /—^—
W am W a
Докажем теперь равенство выражений (39) и (40), т. е. t2 = tv Для эк
интеграл, находящийся под корнем выражения (40), представим в виде дв
интегралов ' [
j-n jj /(*)<** = ^ J /(a)da-i-jj/(a)da.
Однако согласно формуле (37а) первый интеграл равен единице. Так
образом, идентичность выражений (39) и (40) доказана. .,
Следовательно, независимо от типа промежуточного элемента (вида:
висимости N =/ (а)), сближение тел, а значит, и сила, и ускорения при у;
ре имеют во времени симметричный характер.
Таким образом, полное время удара
ty = *i -\- t2 — £t\ == £*2>
т. е.
da 2УТГП }"
da
/a V0 J Г a
(з) da
ИЛИ
ty =
2/Лп У da ;
28

Максимальная сила удара Nm соответствует наибольшему сжатию упру-
)го элемента, т. е
Nm = f{am). (42)
Наибольшие напряжения при ударе
Sm = NmlFm
це F — площадь сечения, в котором определяется напряжение.
Наибольшие ускорения, естественно, соответствуют наибольшей силе
согласно уравнениям (31а), (316) равны
**=-Ил (43)
d* т-, ' к '
d^-=^L. (43а)
dt2 т2 v
Перемещение тел во время удара может быть найдено путем интегриро-
;ания выражений (33) и (33а) по периодам удара. Найдем сначала перемеше-
ше ударяемого тела т2 в первом периоде х21. Пределы интегрирования для
[ервого периода: перемещение — от нуля до *21, время — от нуля до tlf
жатие — от нуля до ат.
В интегральном виде выражение (33а) для первого периода имеет вид
х21 U агг.
О 0 0
интегрируя, получаем
*2i = Щ Шг — «m)/(^i + Щ)~ (44а)
Перемещение ударяемого тела во втором периоде определяется следую-
дими пределами интегрирования: перемещение от х21 до x2mf время — от t±
{о /у, сжатие — от ат до нуля.
Подставляя эти пределы в выражение (44), получим интегральное
выражение
х2т *у О
Интегрируя, получаем
*2m — х21 = т1 [v0(tu - tx) + aml/(m3 + m2), (45а)
>ткуда полное перемещение ударяемого тела]
%№ = Х21 + -т ■ т ■ [V0 (ty — t-j) -|- am].
Подставляя значение х21 из формулы (44а), окончательно найдем
x-im = Щ^у/(т1 + m2), (46)
де tv определяется выражением (41) или (41а).]
Перемещение ударника вовремя удара х1т определяется формулой (33).
исходя из нее, найдем перемещение ударника в течение первого периода
дара. Тогда пределы интегрирования: для перемещения ударника — от ну-
[я до хп, время — от нуля до tl9 для перемещения ударяемого тела — от
29

нуля до х21. Тогда в интегральном виде выражение (33) имеет вид
\dx1 = \v0dt—t^-\ dx2.
Интегрируя в указанных пределах и подставляя вместо последнего инл
рала его величину из формулы (44), получаем i
хи = Voti — -^- • —^т (voh — ат) = —^г voh +
11 и L mi mi + т2 v ' mt + m2 х
. m* a _ m* Vy | "** д a-
^ тг + т2 m~ mi + m2 2 ^ пц + т* m' [\
Во втором периоде пределы интегрирования: для перемещения уде
ника — от хп до х1т\ время — от t± до ty\ для перемещения ударяемого i
ла — от х21 до х2т.
Тогда в интегральном виде выражение (33) получает вид
~im -у "-am
\ dxi= \ v0dt — -^- \ ^аг2.
t-ty
Интегрируя и подставляя значение последнего интеграла из форму,
(45а), имеем
Vy ma /Уу 1 „ ^ _1 mi
Таким образом, полное перемещение ударника во время удара рав'
полному перемещению ударяемого тела, т. е. х1т = х2т.
К моменту окончания удара потенциальная энергия в системе ото
ствует (сжатие упругого элемента а = 0, а соударяющиеся тела были при^
ты несжимаемыми). Поэтому после удара ударная система имеет энерп
только в кинетической форме — энергию движения соударяющихся те
Если пренебречь гистерезисными потерями энергии в упругом элемегс
можно утверждать, что для определения коэффициента передачи энерг;
от одного тела к другому вполне применим принцип сохранения кинетщ
ской энергии классической теории удара, которая для скоростей после $
ра дает зависимости (12) и (13), а для коэффициента передачи энергии удара
уравнение (18).
Если же промежуточный элемент является совершенно неупругим, т.
если он не способен восстанавливать свои размеры, удар закончится в щ
вом периоде. Тогда время удара определится формулой (39); максимальн
сжатие — формулой (37а); перемещение тел во время удара — выражени
ми (44а) и (47а); скорость тел после удара — формулой (6а); коэффицие
передачи энергии — по формуле классической механики (66). Напомни
что для расчета времени и сил при неупругом ударе необходимо знать 2
кон изменения N = f (а) для промежуточного элемента.
Основные расчетные формулы для подобных систем — (37а), (41), (41
(48): максимальное сжатие
] f(*)d* = Anj
0 i
максимальная сила удара
Nm = /(аот),
30

ремя удара
2 YX, Т da
у v„ J
У0
" f(a) da
о
еремещение тел во время удара
*im = *2m = ^i v^yf(m1 + m2).
}АВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА СОУДАРЕНИЯ
)Т ТИПА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
'ассмотрим примеры расчета по приведенным формулам при различных
ипах промежуточных элементов, соответствующих зависимостям силы от
жатия вида
N = са, (49)
N = kxal>,
-"•[л-1]
^ = ^oU-^—г-1 • (50)
:ИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ Г!РОМЕЖУТОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА,
1РОПОРЦИОНАЛЬНАЯ СЖАТИЮ
лучай имеет место, если упругий элемент выполнен в виде пружины, от-
.осительно мягкой прокладки или выступа с линейной характеристикой:
1 = f (а) = са. Коэффициент с — жесткость эквивалентной пружины,
хли упругий элемент выполнен в виде прокладки постоянного сечения, ко-
ффициент с нетрудно определить, пользуясь законом Гука, согласно кото-
ому укорочение (сжатие) прокладки
А/ = NljFE = а, (51)
де /0 — начальная толщина прокладки; F — площадь ее поперечного се-
ения; Е — модуль упругости прокладки.
Таким образом, в этом случае
с = FE/l0. (52)
1одставляя выражение N = f (а) = са в формулу (37а), имеем
(* СУ, 2
An=yada=^-, (53)
0
огда
наибольшее сжатие
"--/^-«Угн
ГПхГПъ
(mi + m2)
м
с
1
= WV-^r-^r; <54>
[аксимальная сила удара
Мт = с*т = о^Щ;< (55)
31

максимальное ускорение ударника и ударяемого тела
d2Xi __ Nm -,/ ст2
-*>Y\
dt2 mi ° У mi (mi + m2) '
й2Х2 _ Nm _ -ш/~ cmi .
dt2 m2 ° V m2 (mi + m2)
время удара по формуле (41)
4 _*УК7 da __2YTn? dz
v0
Г da =2y Ап r
0 Л/ An-^cxd* ° j/ ^n--y-
' о
1
с
1
• 1 J_ '
mi ~^~ m2 |
/—— am .
- — i ,/2^ = ^ ^ — ЗГС 5Ш F 217 '^ =
=2 i/z^z:arcsinl=3x1/zwez=л a
Г с (/«i + m2) Ус (mi + m2) 1 /
перемещение тел во время удара согласно выражению (46)
*lm ~ *2m " /щ + m2 Vofy - TO° mi + m2 К c(mi + m2) ' (*
закон изменения силы ударного взаимодействия по времени определи
ся выражением (38), подставляя в которое / (а) = са, получаем
а а
, С d% С da
С — da =с
J/ и 111x1712 J
/?Zi + m2
mim2
о
-/■
mim2 f di
(mx -f m2) с
игл
V с (m}
m,m0
12 — а2
(Ш! + /я2)
= л/~ mitrl2
-arc sin-
(mi + m2)c "xv-^Wi ту^ mim2
y° К с (mi + /л.
откуда
-, /" mim2 . ч /" mi + m2,
a = u0 I/ -7—, ч sin I/ c——!—-t i
v У с (mi + m2) У mim2
и
#
т /л mim2 . t /" mi + m2 . .T . cu0 ^
Полученные выражения показывают следующее.
1. Величина наибольшего сжатия тем больше, чем больше скорость уд?
и массы соударяющихся тел. Сжатие уменьшается с увеличением жест
сги промежуточного элемента.
2. Максимальная сила удара также возрастает с увеличением скора
удара, массы соударяющихся тел и жесткости промежуточного элемев^
32

3. Время удара растет с увеличением массы соударяющихся тел и умень-
ается при увеличении жесткости промежуточного элемента. Время удара
* зависит от начальной скорости ударника.
4. Перемещение тел за время удара увеличивается с ростом скорости
о,ара и массы ударника. При увеличении жесткости промежуточного эле-
ента перемещение тел во время удара уменьшается.
5. Сила удара изменяется по синусоидальному закону.
Найдем критерий применимости формул классической механики для
ассматриваемой ударной системы из условия:
[е Т = 2L/a — наибольший период собственных колебаний соударяю-
ихся тел; L — длина тела; а — скорость распространения в нем продоль-
эй волны. " :*
Подставляя известное время удара ty из формулы (56), находим
р * „^_2!i^>3-^5. (58)
r 2L V с (mi -f т2) ^ v '
Пример. Соударяются тела весом 6 и 10 кГ через пружину жесткостью 100 кГ/см, длина
ибольшего тела 100 см, скорость распространения продольной волны в телах
- \00 000 см/сек.
Масса первого тела шх = 0,006 кГ-сек2/см; второго гп2 = 0,010 кГ-сек2/см.
Подставляя эти значения в формулу (58), находим
_ Ю5 у/" 1 0,006-frOf
3-Я2.100К ЮО* 0,016 ^Ю>3-^-5.
Таким образом, доказано, что в данном случае расчеты по полученным формулам вполне
зможны. Однако, если увеличить жесткость пружины до 2000 кГ/см, найдем для данной
стемы Р= 1,5, и применение изложенной методики расчета может привести к крупным
шбкам.
^МЕЖУТОЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ —УПРУГАЯ ПОЛУСФЕРА
[висимость N = k1a2 представляет известное решение контактной задачи
ории упругости (формула Герца) 1 [6].
Для сферических торцов, например,
k = 4
е£\, Е2 — модули упругости материала тел; \il9 \i2 — коэффициенты Пуас-
на; Ru R2 — радиусы закругления торцов.
Таким образом, в данном случае характеристика промежуточного эле-
;нта выражается зависимостью, соответствующей соударению тел со сфе-
[ческими торцами.
Подставляя значение (49) в формулу (37а), находим
апг _п_ _5_
Ап = \ kid 2 da = — k-iOLm .
о
Ьдробнее об этом см. гл. VII.
Е. В. Александров, В. Б. Соколинский 33

Тогда максимальное сжатие
максимальная сила удара согласно уравнению (42)
Nm-ЧЛт ~ [2 ffll + т, ] '
максимальные ускорения ударника и ударяемого тела по формулам (31(
(316)
#хг Nm _ 1/5 V^VV
А. \ 2 " mi+ m2 / '
<
d*2 mi
d2x2 = ^ = _i_ fb_ ^ hm&J \f л
dt2 nu 2_ \ 2 ' mi + /n2 / ?
m25
время удара с учетом формулы (41)
г ат
J А ее
Су
l &ia 2dot
2 V Лп f da 2 f da
£ da _ 2 P
J -. f~ 2~T ~ yo J
yo h/ 2 e/ yo J , f 2 kx ъ.
Сопоставляя это выражение с формулой (59), замечаем, что
2 kx _ _1_
тогда
am
da
л
«о J
<• v.-m"
5/2
am
Разделим числитель и знаменатель полученного выражения на ат
введем вспомогательную переменную z = a/am. Получаем
a
• /-(£
Заменим пределы интегрирования. Нижнему пределу a = 0 соотв(
ствует предел z = — =0; верхнему пределу a = am соответствует пред
2=1,
тогда
2а„ Х
34

Получен табличный определенный интеграл [7], его решение
^гп 2 ~г- Г
Vo
ПЖ
Пользуясь известными таблицами для вычисления гамма-функции Г (*),
аходим
Г: 4 =4Г.( 1 + 4 = 4Г<1,4) = т -0,88726;
1 \Н)
F(i + ^] = 4r(1'9) = JF-°'96177-
10
]одсгавим найденные величины в выражение времени. Окончательно
а
а„
4 5 _9_ 0,88726 у- ^_ = о 92 • — =
*У ~ Т'" "2 " "10* " 0,96177 " ^ »о ' уо
= 4,2 [■
mim2
(mi + m2) &i J
• -V (6°)
Перемещение тел во время удара
.Xi
Чт — л2т
Хът. —
Ш\
•Do-4,2.
=4,2.-(-
Шх + /«2
г.* Гг)о,8
ni\m<i
(mi + m2) Л:
-I5— =
1 J Vo»
тг
1,4 /m2X0,4
-2-.mM-4 2- ^ - — • ^°'8 (61)
£ришери;й .применимости полученных формул
а/.
-2-= 2 Ь —
2L 1 I
mi
mi + m2
1,4 / m \0,4
' / m2 x '
, , • V0'8
kx J о
1РОМЕЖУТОЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ—ВОЗДУШНАЯ КАМЕРА
лучай соответствует соударению тел через воздушную подушку.
Приведенная ранее зависимость (50) сопротивления промежуточного эле-
ента сжатию может быть получена путем следующих преобразований.
Приняты следующие условные обозначения (рис. 5):
/0 — начальная длина воздушной камеры; Р0 — абсолютное начальное
авление в воздушной камере; F — площадь поперечного сечения камеры;
— абсолютное давление в воздушной камере во время удара; I = 10 — а —
пина воздушной камеры во время удара; п —показатель адиабаты; в за-
исимости от условий теплоотдачи стенок камеры при сжатии колеблется
Рис. 5. Удар через воздушную камеру
3* 354

от 1 до 1,4. Тогда начальный объем воздушной камеры U0 = Ft0, а во врел
удара U = FL
Согласно основной формуле термодинамики,
P0Un0 = PU\ или Р0 (Fl0)« = Р (FI)",
откуда
P=PMl)n =PolWo-*)ln- |
Так как давление на внешних торцах тел остается постоянным и равнь
начальному давлению, то
N = (Р-Р0) F = ^г-РоЛ или N = P0F[(j^J- l] .
(/о -а)
Итак, силовая функция уравнения (50)
N = f(*) = P0F
h у 1
LVo
/о— а
характеризует сопротивление сжатию воздушного промежуточного эл
мента.
Находим максимальное сжатие, подставляя значение (50) в форму;*
(37а)
'■-?*'Ь£?-1]'ь:
интегрируя, получаем
А 1 п л
-р-р — п_ 1 1(/0 — ат) — h J—am,
после алгебраических преобразований находим .
Л- +^т-^(т±г-)"+^- <*
Fl0Po ' п-\ п-\ \lQ — <xmJ ' /0
Величина l0/(l0 — am) = rm> входящая в последнее равенство, есть t(
что иное, как степень наибольшего сжатия газа. Вводя это новое обозначу
ние, перепишем уравнение (62) в виде
-^- + -5— = _!_ гм + _L. №
Я0Ро ^ /2 —1 дг —1 [m ^Тт ^
Из этого уравнения нетрудно определить Чт> а затем и am, пользуя^
очевидным равенством ]
ат=/о(1-тт)- \
Если степень сжатия достаточно велика, в уравнении (63) можно щ
небречь последним членом. Тогда
г-«[(—»)(тоГ + т^)]"- <•
i
Определив ут и am, находим максимальную силу удара
h_
36
Nm = P0F\(— Y-l] =PoF(yl-l). (6i

Максимальное ускорение ударника и ударяемого тела
** = _ Oil = _ EsL (rn _ 1) ^L-^n^EaLirn — u
dt* тх mY И/л ' А'' d/я m2 т2 Wm L)-
Полное время удара определяется выражением (41), в которое необходимо
подставить силовую функцию, соответствующую газовому упругому
элементу, согласно уравнению (50),
ат
, 2 р doc
ly- v0
I
• /«-iWG^r
da
dot
ИЛИ
am
= — ^ d* , (66)
= -- *T , (66a)
1 ±ry 1-т7(тггг^1 + т-^—г)
где т = /о/(/0 — а) — степень сжатия газа в промежуточном элементе.
Скорости тел после окончания удара и коэффициент передачи энергии
удара определяются формулами классической механики удара (12), (13) и
(18).
Перемещение тел во время удара рассчитывается по формулам (46) и
[48).
СОУДАРЕНИЕ СЖИМАЕМЫХ ТЕЛ
ПРИ МГНОВЕННОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ
В приведенной методике расчета принималось, что соударяющиеся тела
совершенно жесткие и лишь промежуточный элемент податлив. Однако в
действительности совершенно жестких тел не бывает, все тела в той или
зной степени эластичны. Поэтому принятое допущение оправдано лишь в
гом случае, если жесткость промежуточного в конкретной ударной системе
элемента остается в любой момент времени несравненно меньше жесткости
:амихтел. В противном случае нельзя не учитывать сжимаемости соударяю-
цихся тел. Кроме того, в любом случае учет сжимаемости самих тел,
несомненно, повысит точность расчета — степень приближения его к точному
)ешению.
При выполнении таких расчетов (они изложены ниже) воспользуемся
статическими решениями теории упругости. Эти решения предполагают,
ito в соответствии с изменением усилий и напряжений на контакте соуда-
)яющихся тел одновременно изменяются напряжения во всем теле (в любой
ючкетела). Или, что то же, усилие, действующее на контакте, одновременно
действует в любом поперечном сечении тела.
Такое положение, естественно, не соответствует истинной ка]ртине
провеса удара, характеризующегося постепенным распространением сил, на-
37

пряжений и деформаций от площадки контакта, когда запаздывание оп(
деляется удаленностью точки от места контакта и скоростью распростри
ния волн для данного материала.
Однако получаемые таким приближенным методом решения оказывают
во многих случаях значительно проще волновых методов динамической те
рии упругости. Точность таких приближенных методов зависит от тех;
ггг:
хеЧ
"IT
Л
ул//////;;//7/////;;//7Т7*
i_J-
ли
T°ILZZZZ
Y//////////////////ZZ
"F
Г, V,
41
1**1
У/////////////Л
oG,
Ft
Ui
(
Рис. 6. Перемещение центра тяжести
твердого тела во время удара
Рис. 7. Перемещение центра тяж
сложной фигуры относительно удар
щего торца ^
временных критериев удара, о которых говорилось выше. Если время уд;
существенно превышает период собственных колебаний тел, точность pat
тов также оказывается достаточно высокой. г
Удар одновременно сжимаемых тел имеет некоторые особенности. F
смотрим, например, стержень (рис. 6), который во время удара движс^
и одновременно сжимается по всему объему. Приняты обозначения: ^
перемещение; v = dx/dt — скорость ударяющего торца стержня; N —с
удара. Под действием этой силы (во всех сечениях стержня и, как мы ус
вились, одновременно) возникнут напряжения а = N/F, где F — плош
поперечного сечения стержня.
Под действием этого напряжения стержень сожмется. В результате tf
тия, согласно закону Гука, верхний торец стержня переместится навел*
ну А/ = LN/EF, а любое среднее сечение стержня, находящееся на[
стоянии / от ударяющего торца, переместится относительно ударяюц
торца на величину А/ = IN/EF.
В частности, центр тяжести, находящийся у стержня на расстоя:
/ = L/2 от торца, переместится на величину
А/ = LN/2EF. (8
Полное перемещение любого сечения стержня во время удара скла
вается из перемещения ударяющего торца и перемещения данного сече
38

иносительно торца, т. е.
Xi = x + Al = x-\- -£f N.
Тогда мгновенная скорость любого сечения
_^i__dx_ J__ dN_ _ , /__ dN_
Щ ~ dt ~ dt + EF dt ~V + EF dt '
i скорость центра тяжести на расстоянии / = L/2 от ударяощего торца
L dN
vG = v
2EF dt
Таким образом, оказывается, что после удара точки тела имеют
различие скорости, зависящие от их расстояния до ударяющего торца /. Вслед-
твие этого упругое ударяющее тело уже не соответствует понятию
«твердого тела» классической механики, все точки которого, включая и центр
яжести, движутся с одинаковой скоростью. Покажем, что несмотря на это
»бщее количество движения такого тела характеризуется так же, как и
твердого тела», скоростью его центра тяжести.
Общее количество движения тела
J = y^dm = ylpFdl = pF\^ (v + ~^j-jfjdl =
m 0 0
n ( r . L2 • dN \ P r ( . L dN \
днако pFL = m, т. е. равно общей массе тела, а величина, заключенная
скобках,
. L dN
V + -2EF'-dT = VG'
аким образом,
J = ^ Vidm = mvG,
т
то и требовалось доказать.
Этот вывод действителен не только для тел, сечение которых постоянно
о длине, но и для других тел, например для фигуры (рис. 7), состоящей
з двух цилиндров произвольной длины, сечения и материала.
Перемещение любой точки нижнего цилиндра, как и раньше,
XU = X + Д/jl = X + jr^- ,
корость
ll dt dt ^ F& dt и ^ FxEx dt
В частности, скорость центра тяжести при lx = LJ2
U dN
VGx=V +
2FiEi dt
Абсолютное перемещение верхнего торца нижнего цилиндра при lx = L}
*.-*+&
39

Абсолютное перемещение любой точки верхнего цилиндра складывав
из перемещения верхнего торца нижнего цилиндра и деформации ежа
верхнего цилиндра, т. е. и
скорость любой точки верхнего цилиндра
_ , U dN /2 dN
V^ — V -Г f^ • dt + /72£2 dt '
В частности, скорость центра тяжести верхнего цилиндра I
— d± _j_ li i^_ i l* dN ' i
V°* ~ dt + FA ' ЧГ + 2F2£2 d* ' (
Количество движения согласно классической механике (твердого те
J = J,+J2l .
где Уь У2 — количество движения соответственно нижнего и верхнего
линдра. i
Поскольку (согласно полученным выражениям) скорости сечений т*
не одинаковы для вычисления общего количества движения, необход!
воспользоваться интегральными выражениями типа \
J = \vidm.
т
Мы уже убедились в том, что для нижнего цилиндра это выражение^
жет быть выражено через количество движения центра тяжести, т. е. J\
= myVOf
Для верхнего цилиндра (
■ \
J2 = J Vl2dm2= {j (v + -А- • ^ + -А. . *^ P2F2 Л,=
г. Г / ! ^2 dN . /2о „ _ dtf 1 U
= p*f* [vl*+ та • ЧГ + Т F*E* ЧГ}о
Li dN . U dN
= p.2F2L2(v+T-w--- + ^
FA dt ' 2F2.E2 dt
Сравнивая выражения (68) и (69), нетрудно убедиться, что действител!
J2 = m2VG2: Таким образом, доказано, что общее количество движения а
маемого тела
J = mivGl + m2vGt = (mi + m2) vG,
где vq — скорость общего центра тяжести тела, положение которого он
деляется известными методами.
Этот вывод можно распространить и на тела любой конфигурации,
скольку каждое тело вращения можно представить в виде суммы элем
тарных цилиндров. Поэтому дифференциальное уравнение движения те
сжимаемого одновременно по всему объему, может быть записано в кг
сической форме:
ит d (Mvn) dvr d-xn
dt dt dt dt2
Сделанное допущение об одновременном охвате напряжениями всего и
при ударе равносильно утверждению, что после удара тела могут облад
40

олько кинетической энергией. Действительно, во время удара напряжения
каждой точке тела определяются контактными напряжениями. В соот-
етствии с принятыми допущениями любое изменение напряжений на кон-
акте мгновенно скажется на величине напряжений во всех точках тела.
1оэтому в момент окончания удара, когда тела перестают контактировать
руг с другом, силы и напряжения на площадке контакта падают до нуля,
ызывая тем самым и исчезновение напряжения во всех точках тела. Од-
ако без напряжений потенциальная энергия существовать не может. Сле-
рвательно, после удара тела могут обладать только кинетической энерги-
й. Это полностью отвечает принципу сохранения суммарной кинетической
нергии тел до и после удара, принятому в классической механике. Ана-
;итическая запись его
2
/П2У022
т&г2 т2у22
~1 9
2
Излишне доказывать, что одна и та же система уравнений при одних и
ех же начальных условиях должна дать одни и те же решения.
Поэтому для расчета скоростей и коэффициента передачи энергии при
даре одновременно (по объему) деформируемых тел можно воспользоваться
[звестными формулами классической механики удара. Что же касается вре-
1ени удара и усилий при ударе, то для их определения необходимо
составить системы дифференциальных уравнений, учитывающих ударные де-
юрмации тел.
:оударение ДВУХ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ
: УПРУГИМ ПРОМЕЖУТОЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
1бсолютное перемещение центра тяжести ударника хг складывается из
.еремещения внутреннего его торца Хг и сжатия ударника Д/х под действием
илы удара N (рис. 8), т. е. хх = Хг + Д/х;
налогично для ударяемого тела
Хо — А о
Л'
це также А/2 = / (N).
Перемещение центра тяжести под действием сжимающей силы зависит
г конфигурации тел.
Для стержней, например, i
Д/ = LN/2EF,
(67>
fi/
h
U1
s2
__.u
1~
ХгТ~
в,
f/V
4 •
i
~j
i
T
XMit
X2-M2
a b 8
Рис. 8. Сближение сжимаемых цилиндров при ударе
4'Г

где L — длина стержня; F — площадь поперечного его сечения; Е— мод;
упругости.
Известен также закон изменения силы сопротивления промежуточн
элемента от сжатия
a = X1-X2 = f (N).
Таким образом, система дифференциальных уравнений, описываюи
движение тел во время удара, включает восемь уравнений:
Г*
mi
т2-
*i =
Х2 ~-
Mi
Alt
N --
а =
^L = — N
dt* '
dt*
= Х1 + Д/1>
= х2-м2,
= /l(tf),
= W),
= /(«),
= хг— x2.
]
В эту систему (не считая времени) входят 8 неизвестных: хх\ х2\ N]
Х2\ А^; А/2; а. Следовательно, она принципиально разрешима.
Сведем эту систему к трем уравнениям с тремя неизвестными: переме
«ие ударника хъ перемещение ударяемого тела х2 и сжатие промежу,
ного элемента а. Для этого подставим в уравнения (70а), (706), (70д), f
-системы значения силы удара N из формулы (70ж)
A/i = к (N) = h [f (а)] = Ф1 (а), А/2 = /2 (N) = /2 [/ (а)] = ф2 (а)
Тогда система получает вид
d2xi с , ч d2x2 с, ч ■ v , / \
nh~dF = ~/ W' т*~№ = ^(а)' *i = *i + ф1 (а),
х2 == Х2 —ф2(а), а = Хг — Х2.
Вычитая далее из третьего уравнения четвертое, находим [
*i — х2 = Хг — Х2 + ф! (а) + ф2 (а) = а + ф1 (а) + ф2 (а).
В результате получаем три уравнения с тремя неизвестными
i
mi ^г = —/(«)> С
m2-Jr = /(a), j;
*i — -^2 = * + ф1 (а) + ф2 (а) = F (а). (!J
Дифференцируем обе части последнего выражения по времени
d%\ dx2 _ dF (а)
~dt~~dt~ dt "
Согласно выражению (33),
42
d/ Po mi * Л '

тогда
dx2 mi Г dF (a)l /7оч
Дифференцируя это выражение по времени, имеем
<Рь _ __ mi flf2F (а)
dt2 ~ m1 + m^' dt2 '
Подставляя это выражение в формулу (716), приходим окончательно к
дифференциальному уравнению
__ т1т2 d2F(a) _ , , ,
mi -f m2 dt2
'ИЛИ
<нии,
и, приводя последнее к виду, обычному для дифференциальных уравне-
gFW, тг + т,
dfi + mim2 /W-u-
Посредством подстановки
dt
JL = 2df (a) d2f (ct) -
•откуда
р(а)12
gfjcQ _ 1 d jdHj
^2 2 <tf?(<x)
получим
d[T_(a)]_2_ omx + m,^^
d[F(a)]-=-2?^/(a)rfF(a)f
обозначим -^- = ф (a), тогда
dF(a) = ?(a)d(X и d[F' (a)]2 = _2^±^2/(а)ф(а) / 4, (74)
при t = 0
Следовательно,
Интегрируя уравнение (74), получаем
J d[F>)]* = -2^±^/(a)<p(a)dac,
Uo2 О
откуда
f=/^-2^5/(a)cp(a)da. 75)
df (a
о
43

Условие максимального сжатия 3
dF(aL) п 1
dt
откуда \
^ = 2^-2$/(«)ф(«)^ I
О
Г г ^ miV°2 — Л I
\ /(а)ф(а)с(а = т] + т2- -у-- лп. р
о
После интегрирования и подстановки пределов это уравнение своди
к алгебраическому, решая которое относительно am, находим максимал^
сжатие. Максимальная сила удара Nm = f (am). «
Для определения времени удара воспользуемся очевидным равенство?
dF (a) _ dF (a) da _ q?(ct) da Ц
~~5Г~ "" da ' dt — d/
Тогда выражение (75) получает вид
*<«)£ = /*«-2^$/(«)Ф(«)*х.
О
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
и _ £ ф (op da
о|/ ^02_2mi + m2ff(a)9(a)da
V mlm2 О
Полное время удара
ф (a) da
ty = 2\
0 l/po2-2mi+,"«b(a)q>(o0<fa
mim2 о
где
ф («) = ^ = 1 + d-^W + ^^
T v ' da ' da ' da
i
Для определения перемещения воспользуемся выражением (73), кото,
при умножении обеих частей на dt получает вид J
dx2 = г— ^оdt }— dF (a).
т± + m2 mi + m2 v y
За полное время удара t = ty ударяющиеся тела переместятся на $
чину хт. За это же время сжатие изменится от a = 0 (в момент началаf
ра) до a = 0 (в момент окончания удара). Интегрируя в указанных пр[
лах, получим [
хт ^у О
С dx2 = т} v0 [dt Zl—{dF(a), \
0 0 0
откуда '
44

'Скорости тел после удара, коэффициент передачи энергии удара так же,
i и для несжимаемых тел, определяются по формулам классической
мешки.
Сопоставляя полученные решения для твердого и сжимаемого тел (64)
76) , нетрудно заключить, что, поскольку <р (а) в формуле (79) всегда боль-
единицы, максимальное сжатие и максимальная сила, рассчитанные из
ювия жестких тел, окажутся всегда больше, чем те же величины с уче-
& сжимаемости тел.
То же самое относится и ко времени удара, которое увеличивается с
еньшением жесткости соударяющихся тел. Соответственно возрастает
1уть тел во время удара.
Примеры расчета
Соударяются упругие стержни через пружину жесткостью с. Размеры ударника: длина
сечение Flf масса ударника mx = FiLiPi; модуль упругости ударника Ег. Ударяемое тело
;ет длину L2, сечение £2> массу т2у модуль упругости £2. Перед ударом ударник имеет
рость v0, а ударяемое тело неподвижно.
Поскольку промежуточным элементом является пружина с линейной характеристикой,
N = / (а) = са.
Так как соударяющиеся тела являются стержнями, согласно формуле (67),
и
L\c
&ll = *W=2ttN= 2£Л
и
L2c
M1 = <hW = 1Ej?-N=1Ej-<i.
Показатель жесткости системы (71 в,)
v ' ' 2>E\Fi 2t2F2
dF (a)
и
Максимальное сжатие (76)
*m
J/w<p(«)^= S-c[1 + -r(w + "^
о 0
вгрируя, получаем
с ( L\
2
2 V FiF
iri
E2F2
a2 =A
adz = A,
ia
1 l V £ifi ' £2£2 J
с ( Li
* = ! + — -p^- +
2 \£i£i
£2
£i£i
E4.F1 ,,
= Ф(а).
(31)
(81a)
Следовательно, показатель b определяется перемещением центров тяжести тел при их
ни.
Если соударяющиеся тела жесткие, т. е. £i= ос, £2 = ос, Ь = 1, то уравнение (81)
ходит в формулу (54).
Максимальная сила удара
:№m)=cctm =
V^-
(816)
45

Полное время удара, согласно формуле (78),
г-^—ш— л,п
da
(,-2
S , ш . -i/^S
/a v0 у С \ Г 2Л
о
="^|/ -r-arc-sinl/ ЖГ^'
1У = -^]/ -^■arcsinl=l^l/ — = ТУ 2(m1 + m2) • —•
Путь, проходимый телами за время удара, с учетом формулы (57)
*т — 2 mi + m2 J/ с '
где
m2 m^p2
п_ mi + m2 ' 2
Из этих выражений видно, что время удара и путь тел во время удара возрастают с
личением податливости тел, характеризуемой показателем Ь.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА УДАРНЫХ СИСТЕМ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ СЖИМАЕМЫХ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Аналогичные решения имеют ударные системы, состоящие из тел слож
формы, но с линейной зависимостью деформаций от усилий, например, пр
ставляющие собой комбинацию цилиндров различного сечения и дли!
Порядок расчета в этом случае следующий.
Находим положение центров тяжести тел.
Получаем зависимость перемещения центров тяжести относительно j,
ряющего торца в результате сжатия тела силой N
д/х = h (ло и д/2 = /2 (ло. ;
Заменяем N в этих выражениях N = / (а) силовой функцией промежуТ|
ного элемента и получаем
А/х = фх (а) и А/2 = ф2 (а).
Находим силовую функцию системы
F (а) = а +фх(а) + ф2(а) '
и показатель податливости системы ]
Если ф (а) = const = &, подставляем полученные значения в форм}
(81), (82), (83) и находим максимальную силу удара, время удара и пере
щение тел при ударе. *
Например, если одно из соударяющихся тел представляет собой \
ченную призму, у которой В и А — ширина верхнего и нижнего основам
L — высота, h — длина, LG — координата центра тяжести, перемещеР
последнего в результате сжатия может быть найдено следующим образ
Разобьем призму по высоте сечениями, параллельными основаниям, че*
интервалы длины dx. Площадь каждого такого сечения Fx зависит от [
46

яния хх до основания Л. Оно определяется для данной фигуры очевидным,
гношением
FX = (A +2^tgT)A.
Сжатие элементарной призмы согласно закону Гука
Ых = Ndx/EFX = Ndx/E (А + 2х^ г) h.
Полное перемещение центра тяжести складывается из перемещения
ментарных призм
Мг = { Мх = (». *\ = -J— In (1 + A LG tg г).
1 J х J Eh Л + 2*i tg т 2ЕЛ tg 7 \ ' Л a s ' у
о о
Для усеченной призмы
LG=L(3A +4Ltgr)/6(A +Ltgy).
Из этих выражений видно, что функция перемещения центра тяжести
1змы от силы имеет линейный характер. Эти формулы являются
приблизивши. Точное решение можно найти в курсе теории упругости [12].
Критерий применимости полученных формул определяется, как и рань-
выражением
т
Тт — наибольший период собственных колебаний соударяемых тел.
Подставляя значение ty из формулы (82), находим
>-гУ-
т\тъ Ь ^
(mi -\- то) 2с
Для облегчения анализа последней зависимости положим, что соударяю-
еся тела имеют одинаковое сечение и выполнены из одинакового мате-
1ла, т. е. Fx = F2 = F, Ег = Е2 = Е, рх = р2 = р. Тогда а = Y Е/р,
= pFLlf т2 = pFL2> Ъ = .т^_ ' и - Ll + U
2EF ' 2EF 2EF
Подставляя эти значения, находим
R — Л Л/ ^х^2
?-2LmV с '
iHL1>L2,'ToLm =Ll9
P 2 V U с '
ли L2 >Lb ToLm = L2,
P 2 V L2 с *
В обоих случаях точность формул повышается с уменьшением жестко-
промежуточного элемента и с приближением длины одного тела к дли-
другого. Полагая длины тел одинаковыми, но сечения разными, находим
Р = т/
с ' Fi+F,'
47

Из этого выражения следует, что точность формул увеличивается, ч
более сечение одного тела приближается к сечению другого. Это дает прг
для тел простой формы из одинакового материала сделать вывод, что ъ
ность расчетных формул повышается с приближением размеров одного т<
к соответствующим размерам другого.
СОУДАРЕНИЕ ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ
С НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ ПРОМЕЖУТОЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Рассмотрим теперь систему линейно-упругих тел, но с нелинейно-упруг
промежуточным элементом. Таким нелинейным элементом, например,:
ляются сферические торцы, силовая характеристика которых
N = /(а) = ко*.
Поскольку соударяющиеся тела являются стержнями, согласно ф
муле (67)
Д/1 = ф1(а) = ^=^«*-,
Д'. = Ф.(«)=^_* = 2Й;«;
U
2E2F2
Показатель жесткости системы согласно формуле (71 в)
Uk
-ос
F (а) = а + ф1 (а) + ф2 (а) = а +
Lok
, ч dF (а) л
Ф (ос) = ,v ; = 1
4
2E1F1 ^ 2E2F2
1
doi л ' 4 V FiFi г E2F2 J
Максимальное сжатие с учетом выражения (76)
ат
1 1 ^k ( Lx I ^2
1 Т~ / гг. Г
4 Ui/7! ^ E2F2
( L
а
da = Ап,
А — — hi 2 4- — № ( Ll 4- L-
X 3
или, обозначив cu = z,m,
5 ^ ^ 4 к \Ш1 +
E2F2]Z™ ~ Ап'
Подставляем значение ф(а) и /(а) в формулу (77), получаем измене;
сжатия со временем
а
-5
1_t" 4 UiFi + fc/7!
da'
3/г / Li
4 Ui^i
' £2^
ki dx
а
(1 + ga 2 ) da
Y'-e
а
—=-V
(l+ga-2)d:x
(1 + gx2)-**2 da
T'-t
2 -j ■*
48

Время удара согласно формуле (78)
h-hl . " + g'''f <*>
Взять этот интеграл без разложения в ряд не удается, поэтому прибе-
ают к графическому интегрированию в указанных пределах.
Если промежуточным элементом является воздушная камера, силовая
арактеристика которой
n=p0f\-^— ll
соударяющиеся тела — стержни, то согласно формуле (67)
Показатель жесткости системы
+ 2£2F2 [^Г^ ~ 1 j - « + ~2- [ElFl +
U \ 1 PpF I U . U \
+ £.JV(/0_a)" 2 Ui^i -Ei-Pj*
десь
Ф(а)=^=1-г(/0-аГ^,
'=4^«(А- + ^. (87>
Максимальное сжатие, определяемое формулой (76), выразится
О о
х [i_^ W(^ + _^)(/o_.a)-<->] da =
am
=vi[^-iii-'i'*-»"Mi4*=
о
am am a/n
0 v о 0
E. В. Александров, В. Б. Соколинский 49

+ r j" (/о _ a)-<«+D da] = ро/71Jl- [{i0 _ am)1-" - /Г] -
О
-*.-!§-№-«».)""- '.""1 +-£-!('•- «™Г - '"""'} =
=^{А[(^Г-']+'"^-''+
4- * Г/ *о У" — 14- %°П —21} =
+ Г 2п/„" |\t„-a„J ^ (/„_„„,)" Jl
-v{^rft«- '>+^-''+^«'-'+l|'-t
откуда
С"1 , l - л^
m —0 j
1
I
Здесь Tm — максимальная степень сжатия
Гт = Kl(h — «m), откуда am = /0 (rra — l)/ Гт- *
Определив из уравнения (88) ут, нетрудно, пользуясь предыдущими
ношением, найти am, а затем и время удара, пользуясь интегральным^
ражением (78), в которое ат входит как предел интегрирования \
3
. _ 2 С [l-r(lo-*r(n+1)]d<x
S
[•-три*
С
= _2_ Г L *iTL ' J I
или, поскольку — = -^-, а при a = 0 г = 1, a = <*m т = rm, то 5
U
О-ф-т")-.
= — ^ ——-==========^^
У Лп Ь-1^ Т +2<"U J л-1|
В таком виде выражение для определения времени более пригодно
графического интегрирования.
Расчеты показывают, что при достаточно больших степенях сжатия Ti
= 10-^-15 величина интеграла, входящего в выражение (89). близка к»
нице.
В этом случае
ty = 2l0/vQ \
и согласно выражению (80)
х2т = х1т = miVotyKrri! + m2) = 2mil0/(m1 + m2).

Глава четвертая
1Цк? В СИСТЕМЕ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ
[ЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ЮСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ УДАРА
оударение двух тел — частный, наиболее простой случай ударной систе-
ы. Здесь одно из тел (ударник) является носителем первоначальной ки-
этической энергии, второе (ударяемое тело — наковальня) — потре
*телем энергии. В сложных системах, состоящих из трех и более тел,
меду начальным и конечным элементами
фарной системы находятся промежуточ-
ае элементы.
При несовершенной" системе передачи
шргии удара промежуточные элементы
ши становятся ее потребителями,
перекатывая часть энергии, предназначенной
ш конечного элемента системы.
При расчете сложных ударных систем
зедставляют интерес не только скорости
л после удара, но и доля энергии, полу-
1емая каждым элементом системы, силы,
шикающие при ударе между элементами системы, продолжительность
>ударений и путь, на котором происходит передача энергии.
Решение этих задач методами классической теории удара наталкивается!
1 значительные трудности, суть которых нетрудно представить при рас-
ютрении ударной системы из трех тел (рис. 9).
Пусть тъ т2, тъ — массы ударника, промежуточного элемента и уда-
шмого тела; v0 — скорость ударника до удара; vl9 v2f v3 — скорости тел
) время удара.
Полагаем, что до удара скорости промежуточного элемента и ударяемого
ла равны нулю.
Составляем дифференциальные уравнения движения тел во время удара
dvi
Ударная система из трех
dV2 AT AT
т21Г = Nl — N2,
(90)
щ
dt
N2
i положительное направление силы принято направление начальной от-
(сительной скорости. Получаем три уравнения с пятью неизвестными:
► v2> Щу Nl9 N2. Для решения этой системы необходимы по меньшей мере
а дополнительных условия. Так, например, можно предположить, что
4* 51

удар совершенно пластичный, т. е. тела после удара, обладая одинако!
скоростью, не способны отделиться одно от другого
vi = Щ = Щ = v. ;
Тогда число неизвестных будет соответствовать числу имеющихся урав
НИИ. i;
Это предположение по сути дела сводит задачу соударения трех те
задаче соударения двух тел, поскольку второе и третье тела оказываю
механически одним телом. j
Физически такая система возможна, например, если промежуточное т
имеет структуру пластилина, мягкой глины и т. д. Однако для ударной,
стемы, состоящей из упругих тел, указанное предположение неприменим
Далее, следуя классической механике удара, можно использовать п|
положение о сохранении кинетической энергии тел в результате уд£
Это дает четвертое условие:
т&о2 niivi2 . m2v22 , msvs2
2 2.. ,
Пятое условие для частного случая равенства всех масс может быть п!
чено в результате симметрии системы при т1 = т2 = т3 = т
Nx= N2 = N. i
Тогда система уравнений получит вид \
dvi ЛГ
т—гг = — N
at
dv-z Ar
dvz xj
m4T = N
mv02 tnvi2 ,
N = 0
mv22 ,
mvs2
При начальном условии t = 0, v± = v0, v2 = v3 = 0 получаем из btoj!
уравнения v2 = 0, а из первого и третьего v0 = vx + v3; v3 = v0 -;
Четвертое уравнение при v2 = 0 принимает вид vl = v\ + v\, i
^o — v\ = v3 = (v0 — Ux)2.Сокращая на (v0 — v^, получаем v0 -fr
= ^o — vv откуда v1 = 0. s
Таким образом, согласно классической теории удара в ударной сиа
состоящей из тел одинаковой массы, ударяемое тело или наковальня щ
чает скорость ударника, который после удара останавливается, а промеж
точный элемент остается неподвижным. Однако следует вновь подчерки^
что такая ударная система является частной. В более общем случае ме^
классической теории удара оказываются недостаточными, и решение пог(
ных задач требует привлечения методов теории упругости. ;
Приведенный вывод, естественно, не относится к таким системам, в|
торых между телами существуют столь значительные зазоры, когда f.
промежуточного элемента по наковальне происходит уже после того, г
закончилось соударение ударника и промежуточного элемента. Тогда в{
ре одновременно участвуют только два тела, а весь процесс передачи уд
по системе можно рассматривать как серию последовательных соударе
двух соседних тел [2]. ь
Этот случай рассматривался во II главе, где установлено, что скорс
ударяемого тела после удара определяется выражением (13), а коэффищ
передачи энергии удара — формулой (18).
52

В ударной системе из нескольких тел вслед за первым соударением по-
ледует второй — удар второго тела по третьему, масса которого т3.
Прием второе тело (промежуточный элемент) в этом случае становится ударни-
ом, а его скорость после первого соударения v2 становится начальной ско-
остью для второго соударения. Поэтому по аналогии с первым ударом
огласно формуле (13) можно записать
>
v3 = 2mv2/(m2 + т3) = 4m1m2v0}(m1 + m2) (m2 + m3). (92)
'огда кинетическая энергия, которой обладает третье тело, после удара
л _j_. m3vs2 __ m3 Г 4m 1/722 1 2 «
3 " "Г" "" ~2~ L (mi + ma) (m* + m8) °J * ^ '
коэффициент передачи энергии удара в системе из трех тел
г\3 = А3/А0 = \^тхп^т3\(тх + т2)2(т2 +т3)2. (94)
Как видно из выражения (94), классическая теория удара утверждает,
то полная передача энергии удара (rj = 1) в системе возможна лишь в слу-
ае равенства масс тел, составляющих систему.
Предположим, что массы крайних тел системы т1 и т3 заданы. Выяс-
им — при каких условиях введение промежуточного элемента способно
лучшить передачу энергии удара от массы т1 к массе т3у т. е. при какой пц
3>Л2-
Здесь г]2 — коэффициент передачи энергии от массы т1 к массе т3 при не-
осредственном ударе без промежуточного элемента; %—коэффициент
ередачи при установке между ними промежуточного элемента массой т2,
огласно выражению (18)
т|а = 4/7z1m3/(m1 + тя)2.
огда условию г\3 ^> т]2 соответствует
16mim22m3 ^ 4mim3
(mi + m2)2(m2 + m3)z^ (т1 + т3)2 •
ли после алгебраических преобразований
(щ — т3) (т1 — т2) > 0.
Чтобы выполнить это условие, необходимо т2^> т3 и т4 ^> т2, или
!2 <Щ И ttli <ГП2.
Эти неравенства можно записать в виде т^ ^> т2 ^> т3 и т^ <т2 <С т3.
Отсюда следует, что введение промежуточного элемента повышает коэф-
ициент передачи удара в случае, если массы в ударной системе изме-
яются монотонно, т. е. убывают или возрастают.
Эффект введения промежуточной массы зависит также от ее величины
i2. Для того чтобы коэффициент передачи энергии был максимальным,
еобходимо, чтобы величина промежуточной массы находилась в опреде-
енном соотношении с массами крайних элементов системы.. В этом можно
эедиться: достаточно найти максимум т]3 при заданных тл и т3. Для этого
1ределяем
dT)3 32mim2m3 v а\ а I
г куда оптимальное значение т2 удовлетворяет условию
т{тг — т\ = 0,
ни
т2 = Утхт3. (95)
53

Следовательно, передача энергии удара в ударной системе оказывг
наилучшей, если масса промежуточного элемента составляет среднее
метрическое от масс крайних элементов, другими словами, если массы
ментов системы составляют геометрическую прогрессию, члены кот
т2 = т^, т3 = т^2,
отсюда
Из этого выражения видно, что показатель прогрессии q может I
больше единицы, если массы элементов системы возрастают, и меньше
ницы, если массы убывают.
Результаты исследования оптимальных условий передачи удара в
стеме из трех тел можно распространить на систему из любого числа пс
довательно соударяющихся элементов..
Такую ударную систему можно всегда разбить на элементарные сиа
из трех элементов. Например, система из пяти элементов может быть п
ставлена как сумма систем mt — т2 — m3; т2 — m3 — mk, и m3 — я
m5. Тогда наилучшая передача удара во всей системе достигается в слу
если она одновременно является наилучшей для каждой из элементар
систем. Для этого, как показано выше, необходимо соблюдение усл(
монотонности для каждой системы и оптимального подбора масс.
Условие монотонности для элементарных систем имеет вид
ич ]> т2 ^> т>з, т>2 ^> т>з ^> #*4» #*з ^> ^4 ^> я*5>
или
Я*1 <#*2 <^3» ^2 <^3 <^4, #*3 <^4 <#*5-
Эта система неравенств, очевидно, может быть объединена в Hepai
ства
tfii ^> т2 > т3 ^> т4 > тъ или т{ <Ст2 < т3 < т4 < т5,
что представляет собой условие монотонности всей системы. Оптималь
подбор масс для каждой элементарной системы
т2 = Утхт3, (!
т3 = У т<2,т,ь, (j
га4 = Угтть, (!
Как показано ранее, для первой системы
т2 =т$ и т3 =т^2.
Тогда из выражений (96) и (976)
m4 =mllm<i =т$31
г из выражений (96) и (97в) с
тъ =m\lmz =miqlk.
И вообще в ударной системе из i тел, в которой условия передачи f
являются наилучшими, величины масс тел должны составлять геометр!
скую прогрессию:
Шп = m1qn'1, [
где п — порядковый номер тела, считая от ударника. ]
Если заданы массы начального и конечного г-го тел, а также общее*
личество тел системы it то показатель прогрессии q может быть получек
S4

^отношения
-1/ ГП; /ПГ\\
«=1/^г- (99)
V
Так, например, если необходимо передать наивыгоднейшим образом
•нергию удара от тела массой 1 ед. к телу массой 10 ед., имея по конструк-
ивнымсоображениям^в системе не более пяти элементов,то[показатель прог-
>ессии для данного случая
[, следовательно, массы промежуточных элементов системы должны быть
4=m,iq =1,8; т3 =т^2 =3,26; т4 = /ni<73 =5,9.
Коэффициент передачи энергии удара системы для пяти тел по
аналоги с коэффициентом передачи для системы из трех тел может быть записан
\ виде:
256mim22m32m42m5
Лб:
(mi + т2)2 (та + т3)2 (т8 + т4)2 (m4+m5)2 '
i для системы из *'-тел
п=г—1
i^mitrii П т *
П=2 1, (100)
n=i—1
П К:+<+1)
п=1
де П — знак произведения.
Наибольший коэффициент передачи энергии удара в рассматриваемой
истеме из пяти тел, где массы подобраны наилучшим образом: т2 =miq;
h ~Щ(\г\ m4 =mi<73, т5 =т$к
_ 2Ь6т1т12д2т12д*т1*д*т1д* 256q4 .
115 ~~ (mi + tnYqY (miq + тк/2)2 (m^2 + m^3)2 (тк/3 + mi^)2 ~~ (1 + </)* »
для системы из * элементов наибольший коэффициент передачи энергии
дара
1,1 (1+^(^) L (i + ^7)2J " к }
Для рассмотренной системы из пяти тел
4-1,8
%:=
(1+ 1,8)2J
= 0,72.
[ри непосредственном ударе масс т{ и т5 коэффициент передачи удара
эставил бы всего
т|2 =4mim5/(m1+;m5)2 =0,298.
Таким образом, путем введения промежуточных элементов с определен-
ыми массами удалось повысить коэффициент передачи удара в 2,4 раза.
Следует еще раз подчеркнуть, что полученные решения относятся лишь
системам, в которых имеет место последовательное соударение тел, т. е.
огда удар между последующей парой элементов начинается только тогда,
огда закончился удар предыдущей пары элементов. Таким образом,
повременно в процессе участвуют только два тела системы. Расчет такой
ютемы сводится к последовательному расчету серии элементарных двух-
55

массовых систем. Если же происходит одновременное соударение тре
более элементов, такая система становится, как показано выше, недост
ной расчету методами классической теории удара. Для решения та]
задач необходимо привлечь методы теории упругости i.
СИСТЕМА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С УПРУГИМИ ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Рассмотрим систему, состоящую из трех твердых тел с двумя упруп
промежуточными элементами (рис. 10). Массы т2 и т3 перед ударом ^не
движны, а тело с массой т^ движется с начальной скоростью vQ.
"\
с,
Рис. 10. Удар в системе из трех твердых тел с упругими промежуточными
элементами
■ а — положение тел до удара; б — положение тел в момент
жение тел во время удара; г — положение тел после удара.
Удара;
Тела считаются жесткими, т. е. несжимаемыми, а промежуточные»
менты совершенно упругими. Такое представление тем более приближав
к действительности, чем более податливы промежуточные элементы с|
нительно с жесткостью самих тел.
До удара никакие силы на тела не действовали (объемными силаЦ
сидой веса, магнитными силами и т. д.— пренебрегаем). Во время у!
ударник, имеющий массу ти стремится двигаться дальше по первонач?
ной траектории, однако этому препятствуют из-за инерционности те?
массами т2 и т3, связанные через второй упругий элемент. Вследствие щ
ционного сопротивления этих масс между ударником и промежуток
массой т2 возникает сила ударного взаимодействия Ni9 а между масс
т2 и т3 — сила N2.
Дифференциальные уравнения движения соударяющихся. тел, счг
положительным направление начальной скорости, имеют вид (90). Ю
уравнениям теперь можно добавить даваемые теорией упругости щ
сжатия упругих элементов
Ni =/i (<*i). N2 =f2 (a2), |
где о&! и a2 — сжатие первого и второго упругих элементов t
O&i =Xi — Х2$ (Х2 = X2 — #3, tr
Тогда
Ni =fi(xi — x2), N2 =f2(x2 — x3). |
1 Здесь имеется аналогия со статически определимыми и неопределимыми системами^
56

'Добавив к этим уравнениям дифференциальные уравнения движения
yi (90), получим.систему из пяти уравнений с пятью неизвестными
*ь х2, х3, Nu N2.
та система может быть сведена к системе трех уравнений путем исключе
ия Ni и N2.
mi-nr = —fi(x1 — x2),
dt*
Щ —fit = /i (#1 — Х2) — /2 (х2 — ^з)»
тз ~ш — /г {х2 — х3).
(105)
Поскольку число неизвестных теперь соответствует числу уравнений,
элученная система принципиально может быть решена, хотя и ее реше-
ie представляет известные математические трудности. Для облегчения
;едем полученную систему к системе двух уравнений, выбрав0в качестве
временных сжатие упругих элементов а4 и а2.
Для замены xiy х2 и х3 новыми переменными а4 и а2 прибегнем к следую-
им преобразованиям:
Ct{ =Xi — Х2у <Х2 = х2 — х3г
•куда -
Х\ = х2 + ccit х3 ==Х2 — ос2;
[фференцируем эти выражения повремени
* '■ ' * ' '
Х\ — а1 Т" х2, х3 = х2 — 0&2*
Выражение закона сохранения количества движения для трехмассовой
стемы
т&0 =mix[ + т2х2 + tn3xz:
дставим полученные выражения мгновенных скоростей в последнее
ЩЩ =т! (х2 + а[) + т2х2 + т3 (х2 — а2),
куда
=(m1u0—тхах + тзо4)/(т!4- ^2 + /я8) = (т^о — т^^-т^/М, (106а)
г М — общая масса системы.
Подставим значение х2 в выражения мгновенных скоростей
х[ =[mxVo + (т2 + т3) а[ + т3у,'2]/М, (1066)
х3 = [тц)0 — m^i — (тг + т2)<х'2]М. (106в)
Полученные выражения связывают мгновенные скорости тел во время
ара с величинами сжатия упругих элементов.
Дифференцируя еще раз по времени, находим ускорения тел во время
ара
А" =[{т2 + m8) arv-f- т3а2"]/М, х2 = (— т^х" + т3а2")/М,
*з" = -[ ?W + (mi + т2) а2"]/М. (107)
Подставим эти выражения в дифференциальные уравнения движения
)вого и третьего тел, в которых силы выражаются одновременно как
5?

функции сжатия упругих элементов,
d2xi (tn2 -
м
= -#i,
fn3
d*x3
dt*
= тя
— tniOLi
(mi + m2) a2" _ Л,
— iv2,
M
или
a2" = — /iW»
mi (m2 -f m3) „ , mim3
м ai + ~ЛГ~
mim3 ,, . m3 (mi + m2) „ f .
al И м a2 = /2(<X2J.
M
Начальные условия для этой системы дифференциальных уравне
получаем при t = 0 из следующих соображений:
*i = 0, х2 = 0,
*2 =0, *з = 0,
^2Г = 0, л:3' = О,
(Х][ = Х\ — Х<£ = U ]
#2 — ^2 *^3 = ^7
#1 = Xi — Х2 = £V>
ОС2 = ЛГ2 — Х$ — U.
Решение уравнений зависит от вида силовой функции упругих эле)
тов. Если зависимости носят линейный характер, т. е. N± =ciai и №
= с2ос2 (где Ci и с2 — коэффициенты пропорциональности), возможно'
ное решение системы уравнений методами теории колебаний [8]. В осп
ных случаях, как правило, приходится приводить систему к линейной,
пользуя приближенные методы.
Таким образом, наиболее точные решения получаются в том слу
если промежуточные элементы выполнены в виде цилиндрических вн»
вых пружин (они имеют линейную характеристику), цилиндрических'
ступов или упругих прокладок. Жесткость винтовых пружин
с = Gd*/8D4, f
где G — модуль сдвига материала пружины; i — число рабочих вин
D — средний диаметр пружины; d —диаметр прутка.
Для выступа и прокладки
с = EF/l0.
Для приведенных случаев соударения с линейными промежуточн
элементами система уравнений получает вид у
Ш\ (т2
М
т9) „ г, _> тхтъ „
ai Н—м~ а2
— Cl<Xb
minis
М
OCi
т3 (mi + tn2) »
М
— — С20(2,
ИЛИ
mi (т2 + т3) „ mim3 „
"ai +-7"Xra2 =—«ь
CiM
mz (mi + т8)
a2 = — ос2.
с2М х ' с2М
Обозначим постоянные коэффициенты
mi (m2 + m3) _ А mim3 _ R mim3
ciM
A,
ciM
Б,
c2M
R m3 (mi + m2) _ r
Тогда
ka{ + Бос2" = — <xb J
Ba/' -f- Га2" = — cx2. J
58

оложим, что решения системы этих уравнении имеют вид
obi =g{ sin (at + P), \
a2=g2 sin (cof+P), J (113a)
*e gi> fo о) и p — еще неизвестные величины. Для их определения нахо-
ш
ах = — giO2 sin (со^ + Р), ag = — g2co2 sin ((о£ + Р).
одставляя аи а2, ах и а2 в уравнения (113), получаем
A&atein (Ы + Р) + Bg2co2sin (tot + р) = gisin (cot + р),
Bft©2sin (ю/ + Р) + Г£2о>2 sin(co* + р) =g2sin(co/ + Р)-
Сокращая обе части уравнений на sin(co^ + Р)> приходим к алгебраи-
>ской системе двух уравнений
AgiG)2+Bg2CD2=gl,\
Bgico2+rg202=g2.| (114)
[з второго уравнения
& =B(D2g1/(l — ГО)2), ИЛИ g2/gl = В0)2/(1 — Г(02) = |ie.
13 первого уравнения
ёг =ft(l - Асо2)/Бсо2, или ft/gx = (1 — А(о2)/Бсо2 = ^.
Приравниваем эти "выражения
Во)2/(1 — Го2) = (1 — Асо2)/Б(о2.
Освобождаемся от знаменателя и приводим к виду, обычному для уравне-
ий
(АГ - БВ)со4 — (А + Г)со2 +1=0.
Полученное биквадратное уравнение называют частотным. Его решение
1 _ А + Г±/(А + Г)«-4(АГ- БВ) _
С°1'2~~ 2(АГ-БВ) -
Cic2M
2mim2m3
[(А + Г)±УГ(А-Г)2+4БВ]. (115)
<орни этого уравнения дают два значения квадратов частоты со2 и со2,.
>тим величинам, называемым частотами главных колебаний, отвечают
оответственно два возможных значения отношения амплитуд
|i1=(l- Аа)2)/Бсо2 = g21/giu щ = В(о2/(1 — Гсо2) = g22/g12, (116)
ткуда g2l = jj-ig-ц, g22 = ji2gi2.
Полученные решения для а{ и а2, хотя и удовлетворяют уравнениям
И4), являются частными. Общими решениями уравнений являются
выражения
а{ =gnsin ((Oit + Pi) + gi2 sin (co2/ + p2),
a2 =g2isin (©!< + Pi) + g22 sin (co2/ + (32).
десь
В этом можно убедиться, подставив а4 и а2 в уравнения (113). Неизвест-
1ые gH, g12, Pi, р2 дадут начальные условия, которые мы до сих пор не ис-
юльзовали: t = 0, аА = 0, а2 =0, а[ =v0y а2 =^=0.
59

При t = О
<*i = gn sin Px + g12 sin (32 = 0,
<** = Hign sin px + \i2gl2 sin (32 = 0,
откуда Pi=0, р2=0и
<*i = gn sin co^ + g12 sin a2t
<*2 = Jiifti sin w^ + [x2g12 sin (o2/,
<V = gll^l C0S ®lt + gl2<*>2 COS (02f,
аг' = ^lgu»! cos (oxt + \i>2gi2®2 cos co2/;
при t = 0
<*l' = Oigii + C02g-12 = У0,
<4' F= [Xlgll^l + l*2£l2<«>2 = О,-
откуда
gu = H*0o/<*>i (И-2 — (*i), gi2 = — ^i^o/«2 (H* —
Неокончательно
ai = 8n sin<*>i* + gi2 sin co2^ = „ Po„ (77- sin (ott — -£- sin (o2i) r
1*2 — H'l \ ^l ^2 /
a = ^1^2 /sincoi/ sin_02^\ ь
2 jx2 —И-i °\ CDi CO2 y#
Скорость изменения сжатия первого и второго упругого элемента
«/ = "ЗГ = ц,-^ ^2 cos ^ ~ t*icos ©20f
a2' = ^-= ^^- y0 (cos co^ -cos ©2f).
Теперь нетрудно, воспользовавшись соотношениями (1066) и
определить скорости я' и перемещения х тел во время удара. Так, н|
мер, скорость третьего тела
х3' = -д|- [т&о — т^ — (mi + m2) a2'] =
= Ж {mi ~ 1*2-1*1 [т* + (mi + т^ Vd cos °^ +
-1--- ^ -[/72! + (/7Zi +^2)^2] COS С02/
Ии — |*i
Перемещение первого тела во время удара
t t
xi = fadt = щ\ \-тгЩ + (m% + m3) a/ + m^'] dt =
о 0
= ж H+^W^)[m2 + ms (1 + *» sin ^ ~
l*i
~со2(Ды [^2 + ^(1+Msinco2/}
Подобным же образом могут быть найдены перемещения, ско)
ускорения и других тел системы.
В момент окончания так же, как и в момент начала удара, сила,
довательно, и сжатие упругого элемента равны нулю. Поэтому вре|
ударения первого и второго тела ^ определится равенством
a1 = —^IL-f-eLsinoA — -^sinco^Wo, f1=f0,
1 1*2 — \ll\ CDi X 0)2 2 7 » 1 T- »
60

икуда для определения t± получим тригонометрическое уравнение
HL 8тюЛ = ^- sin оу1# (120)
Соответственно определяем время соударения второго и третьего элемен»
OB t2
а^ № /s!nfl)1/a_sinm>M = 0 f ^0
И-2 —JXl \ ©1 ©2 У
ткуда
€t>2sina>1^2 = (0iSina)2^2. (121)
Подставляя найденные значения времени удара в выражения скорости
[ перемещения, найдем скорости тел после удара, перемещения тел за
фемя соударения.
Коэффициент передачи энергии через промежуточный элемент
Ц = Щ(Х'^\ (122)
Ж hm — послеударная скорость третьего элемента, получаемая подста-
ювкой времени соударения t2 в выражение (118).
Момент наибольшего сжатия первого упругого элемента xt может быть
айден из условия
Ж = y^=t^ (1*2 COS СОЛ — |Д,Х COS (02Хг) = 0, Ti =f= 0.
ткуда
^COSCOiTi = (J^COSCl^i. (123)
Подставляя найденные таким образом t =т1 в выражение (119а),
наедим максимальное сжатие первого элемента осши, следовательно, макси-
альную силу ударного взаимодействия между первым и вторым элемен-
1МИ
Nlm = clalm. (124)
Аналогичным образом определяется момент максимального сжатш вто*
ого упругого элемента т2
4 <%' = t № V0 (COS C0it2 — COS G)2T2) = 0,
гкуда
cos ЩХ2 = COS (02T2, 12 =£= 0,
(0хТ2 = o)2t2 + -у-, т2 = я/2(©1 — co2). (125)
Подставляя t =т2 в выражение (117), находим максимальное сжатие
юрого упругого элемента a2m и максимальную силу ударного взаимодей-
вия между вторым и третьим элементами
N2m=c2a2m. ^26)
Критерий применимости полученных формул
[Ы^>3. (127)
max
tecb /min — меньшая из продолжительностей удара; Гтах —
наиболfaro период собственных колебаний соударяющихся тел.
61

Пример расчета ударной системы из трех тел с линейными упругими элемент
Задача — определить основные параметры удара в системе, состоящей из трех сталк
стержней, разделенных двумя пружинами (рис. 11а).
1. Массы элементов
mi = 7,8.10-e-2-6 = 93,5-10-e кГсек*/см,
т2 = 7,8.Ц-6.2-10 = 156.10-6 кГсек2/см,
т3 = 7,8.10-6.2.5 = 78- 1(Г6 кГсек2/см.
Общая масса системы ]
М = mi + т2 + т3 = 327,5-Ю-6 кГсек2/см.
2. Жесткость пружин согласно формуле (109)
Ci — c2—8DSi— g.1,188.13 "~4'85 кГ1см-
3. Определяем постоянные коэффициенты системы (112)
/щ (т2 + т8) 93,5.10-6 (156 + 78)-10^
А~ схМ — 4,85-327,5.10-6 —ia,8-iu ,
mim3 93,5.10-6.78-10-6
R — A -fi. 10~6'
D~ CiM — 4,85.327,5-10-6 ~4'D iU '
mim3
В^-дй-^4.6-10-;
m3 (mi + m2) 78-1Q-» (93,5 + 156)-10^
1 — c2M — 4,85.327,5-10-6 —l^-iu .
4. Находим частоты главных колебаний по формуле (115)
. А + Г±/(А-Г)2 + 4БВ
^ — 2(АГ — Б В) —
(13,8 + 12t2)-KT« ± /(13,8 — 12,2)2.10-12 + 4-4,6-4,6-10-и
~" 2(13,8-12,2-10-" —4,6-4,6-10"")- ~ I
26-10-6 ± 9,351:
"" 29 4-10-и •:
©!« = 12-104 се/с-2, 0)1 = 3,46-102 сек"1;
©2« = 5,66-10* сек'2, ©2 = 2,38-102 сек"1.
5. Находим отношения амплитуд главных колебаний по формуле (116)
Р
1 — Ao)i2 __ 1 — 13,8-10-6.12-Ю4__
^1= Бо)12 — 4,6-10-6.12-10* = 1,18, :1
]
Во)22 4,6-10-6-5,66.10*
^2_ 1 —Гсо22 — 1 — 12,2.5,66-10-2 — °»84- 1
6. Получаем зависимости сжатия пружин от времени с учетом выражения (117)&
i
eq Ги-2 . . и-i . Л
«1=i^=nu L^rsincoi/—^sin^J =
Уо Г О»84 —1,18 1 *
;0,84--FT7i8} [ 3,46-102 sin3,46-102/- 2>38.10> sin 2,38.10»./] = ;
v0
■1,18) [с
= 0,495у0 [0,242-10-2sin 3,46-102/+ 0,496 sin 2,38-lof
IXi|x2 [sin coi/ sin о)2П
a2= [Л2 — |Xl °° [ «I ~~ 0)2 J =
= 0,49^0 [0,29-10-2 sin 3,46-102/ — 0,42-10"» sin 2,38-Щ
62

7. Определяем продолжительность соударения.
а. Находим время соударения первого и второго элементов t\ из уравнения (120)
Ъ . Hi .
— sln ©1*1 = ТГ sln ©2*1,
COi (D2
0,84 1,18
3,46-102 sin 3,46>10^i = -~ 2,38»102 sin 2,38-10^,
sin3,45.102^ = — 2,05 sin 2,38.102/b
Для того чтобы это равенство имело место, необходимо, чтобы синусы имели разные
си, что, в свою очередь, возможно, если
2jt>3,46.102/i>jt, я>2,38.102/!>0,
1,82-10-2 > /i > 0,91-10-2, 1,32-10-2 > /х > 0.
Из этих неравенств получаем
1,32-10-2>*!> 0,91 -Ю-2 сек,
3t>3,46.102/i > 0, 2я > 2,38-102/! > я,
0,91-10-2>/1>О, 2,64-10-2>/1> 1,32-Ю-2.
Эти неравенства несовместимы, поэтому для грубого определения t\ остается неравенство
1,32-10-2>/1>0,91-10-2.
Более точное решение дает следующий результат:
/i = l,14.10-2.
б. Находим время соударения второй и третьей массы t2 по формуле (121)
sin сМ2 . (o2t2 sin3,46.102/2 sin2,38.102/2
■ = sin-
(Oi -аш ©a ' 3,46-102 "" 2,38-102 '
sin3,46-102/2=l,455sin2,38.102/2.
Для согласованности знаков необходимо
я>3,46-102/2>0 и jt>2,38.102/2>0,
0,91-10-2 >/2> 0 и 1,32.10^2>/2>0,
2я>3,46-102/2>л; и 2я>2,38.102^2>я,
1,82-10-2>*2>О,91.1О-2 и 2,64.10-2>/2> 1,32.10-2.
ледние неравенства дают
1,82-10-2>/2> 1,32-10-2 сек.
Более точное решение дает
^2 = 1,6.10-2 сек.
Экспериментальное определение продолжительности соударений электроконтактным
юбом (рис. 11) дало следующие-результаты:
/i = l,18-10-2 сек и /2 = 1,6-10-2 сек.
8. Скорость третьей массы в момент окончания удара согласно формуле (118)
u2
mi — „2_ц)1 [wi + (™i + m*) N cos 0)i/2 +
1^1 1
+ n2_n1 [mi + (mi + m2) \i2] cos <oa*2j=
63

:327
^Л^{93'5 "0,84 -(- 1,18) [93,5-(93,5+ 156)1,18] 0083,46-1
1,18
X 1,6*10-2—Q 84_/ i 18) [93,5+ (93,5+ 156) 0,84] cos 2,38-102.1,6.1
v0
32^у [93,5 + 84 cos 318° — 177 cos 218°] =
Коэффициент передачи энергии удара к последнему элементу, определяемый по ф<
<122),
тз(*зт)2 0,78.10^.0,792.^
Г\— т,г)Л П Q4^.^n-4.fl.2 0,52.
m&tf
О^Зб.Ю-4.^2
9. Момент наибольшего сжатия упругого элемента xlt расположенного между
и второй массами, находится по формуле (123)
fx2 cos CDiti = \л2 cos G)2ti, 0,84 cos 3,46.102ti = — 1,18 cos 2,38 • 102ti.
Соответствие знаков может быть соблюдено при следующих условиях:
-2-rt>3,46.10*ri>-]f-, -|">2,38.102т1>0,
1,36.10-2>Tl> 0,455-Ю-2, 0,66-10-2 >п> 0,
что приводит к неравенству
0,66.10"2>Tl> 0,455-10-2.
Более точное решение тригонометрического уравнения дает
ti = 0,555-10-2 сек.
Подставляя полученное время в выражение ах формулы (117), находим наиб
сжатие первого упругого элемента
alm = 0,495^ [0,242.10-2sin 3,46.102.0,555-10-2+ 0,496.Ю-2sin 2,38-0,555]
= 0,003
При скорости v0= 100 см!сек а1т = 0,35 см = 3,5 мм.
Максимальная сила ударного взаимодействия между первым и вторым тело!
Nim = с&\т = °' ООЗбс^о кГ\
при d = 4,85 кГ/см и v0 = 100 см/сек
Nlm = 4,85-0,35 = 1,7 кГ.
-0-
Шлейф N1
■о-
/77,
Шлейф N2
Рис 11. Определение времени удара в системе из трех элементов
а — электрическая схема измерения; б— осциллограмма времени удара
64
б

10. Момент максимального сжатия второго упругого элемента, расположенного между
эым и третьим телом системы (125),
Хг = 2(щ-<*2) = 2 (3,46-2,38).10* = 1 -46'ЮТ«*.
Подставляя найденную величину т2 в выражение Og формулы (117), находим максималь
сжатие второго элемента
<х2т = 0,145-Ю-2.v0 см.
Максимальная сила ударного взаимодействия между вторым и третьим элементом
N2m = c*y2m = 4,85-0,145.10-2у0 = 0,705 кГ.
11. Проверим возможность применения полученных формул для данной системы
)еделим критерий применимости
Р— ^min" max»
Входящее в р минимальное время соударения
/inin = fi = 1,4-10-2 сек.
Наибольший период собственных колебаний Т будет иметь средний элемент, являющий*
самым длинным, / = 10 см. Для стали скорость продольной волны а= 5-106 см/сек
21 2-10
ГтахааТ"= 5.105 =4'10 5 сек'
да
п 1,4-10-2
Р= 4.10-5 = 350>3.
%•
Поэтому возможность применения полученных формул для расчета данной системы
нений не вызывает.
Следует напомнить, что пружины приняты безынерционными. В действительности же,
, как и все тела, имеют массу и инерцию. Поэтому для более точной оценки нужно срав-
ь время удара с наибольшим периодом собственных колебаний стальных пружин, кото-
[, как известно, определяется формулой [9]
Гпр = 2,72.10-5D2//dГпр = 0,276.10-2 сек.
В данном случае D = 1,18 см, i= 13, d = 0,18 см.
1,4-10-2
Р - 0,276-10-2 = 5>°>3-
1СТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
таким системам, например, относится система стержней со сферическими
рцами. Как уже говорилось, силовая характеристика торцевого
упруго элемента выражается функцией Герца
i k — коэффициент, зависящий от радиуса и материала контактирующих
рцов. В системе из трех тел радиусы и материалы обоих торцевых участ-
в могут быть, вообще говоря, различными. Поэтому •
JVi = h (<xi) = k&b, N2 = f2 (oa) = k&I\
Подставляя эти значения в систему уравнений для случая трех тел с
оизвольными упругими элементами (108), получаем
И1%+тз) а/ + » а2" = - W,
^«1" + тз(СТ1м+тг)< = - W- (128)
Е. В. Александров, В. Б. Соколинский 65

В результате введения в систему уравнений нелинейных сш!
характеристик система стала нелинейной. Решение подобной систем
замкнутом виде представляется невозможным. В связи с этим приб|
к линеаризации силовых характеристик. Для этого представим !
kyp^t* = kx(x^cLu &2а28/г = ^2а21/4а2. j
Заменим далее корни квадратные из сближений некоторыми средние
значениями, а1ср и а2ср \
k&i1* на kxY^icp ах, f
£2а23/' на &2]/а
2ср &2» г
Подставляя эти выражения в формулу (128), получим систему лине
уравнений
тх (m2 + m8) п , mima „ _ * -,Л-
т^ а1 п тг а2 — — % Г а1ср «1,
М 1 ' М
^1^з.. // | тз (mi + m2) „ ь лг-
-тга1 Н м а2 = — *2 К а2сРа2.
М ^ ' ЛГ
С физической точки зрения в результате приведенной линеариз
сферические торцы, имеющие нелинейные силовые характеристики, за|
ются эквивалентными пружинами жесткостью с[ = kt Yaicp и с2 = k2
Решение такой системы приведено выше. Отыскание приближЛ
средних величин сближений а1ср и а2ср ^ожет быть проведено различ
методами. Например, можно предположить, что среднее значение сб|
ния в системе из трех тел совпадает со сближениями, получающимис!
последовательном ударе первого тела по второму, а затем второк
третьему. В этом случае можно воспользоваться имеющимися peuiei
для системы из двух тел, которые при сферических, торцах выглядя|
дующим образом согласно формуле (59):
„ _ OLm 1 Г 5 mim2 12/6 4
аср-^"-"2 LT(m7T^y^J V° '
Для определения сближения второго и третьего тел (массой тЛ
можно воспользоваться подобным выражением, в котором, однако!
рость удара v0 необходимо заменить скоростью voi =v2, полученно!
рым телом в результате предыдущего соударения. Согласно вырая!
(13)
001 =v2 = 2m1v0J(m1 + m2),
тогда
ТП2ТП$
-м-
2ср 2 [2 (m2 + m3)k2
2/ttj УД
Ttl\ -\- ТП2 J
В результате эквивалентная жесткость упругих торцов оказыи
равной
Cl' = 0,865 ( m_f2 Y'VWS
m2m3 \U ( mi \2U u 4,_t 2/
V m2 + m3 J V mi + m2 J 2 u
Далее вычисляются постоянные коэффициенты согласно формуле!
которые дают возможность приближенно определить любые пара!
удара в данной системе, как и в линейной. |
Аналогично, как доказывается теорией колебаний, может быть m
тана ударная система с любым числом тел и упругих элементов. |

Глава пятая
ЮРМИРОВАНИЕ
I РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН 1
аспространение волн напряжений в твердых телах не поддается, вообще
эворя, непосредственным наблюдениям из-за быстрого изменения напря-
;ений во времени, малости смещений и высокой скорости волнового фрон-
а. Общую картину распространения волн можно визуально наблюдать
ишь в длинной мягкой спиральной пружине, горизонтально подвешенной
а тонких нитях. При ударе по одному из концов пружины создается на
екотором ее участке сгущение витков, которое «бежит» по пружине и,
ойдя до последнего витка, отражается — конец пружины делает резкий
ывок вперед и останавливается; начинается разрежение витков, «бегу-
tee» в обратном направлении. Когда разрежение «добегает» до первого
итка, происходит отражение — резкий рывок конца пружины в направ-
ении удара, остановка и вновь образовавшееся сгущение «пробегает» по
ружине. И так повторяется до затухания процесса.
Возможность прюследить изменение напряжений, деформаций, скоро-
тей и смещений, происходящих в твердом теле, по которому проходит
олна, с помощью обычных механических средств измерений весьма огра-
[ичена, а применение высокоскоростной фотографии и электрических ме-
одов измерений весьма сложно [10, 11].
К сожалению, в специальной технической литературе не уделяется долж-
юго внимания подробному описанию физики процесса формирования и
)аспространения волн в твердых телах, тогда, как обычно, особенно труд-
ю воспринимается именно физическая сущность волнового процесса. Так,
[апример, не всегда четко представляют, что определяемая лишь свойст-
ями материала волновая скорость обычно на несколько порядков превос-
юдит скорость смещения частиц, зависящую от скорости соударения; фор-
шрование волны происходит за счет инерции, которая проявляется либо
i торможении, либо в ускорении частиц соударяющихся стержней; время
гдара, т. е. время, в течение которого сохраняются напряжения на кон-
акте стержней, не всегда соответствует продолжительности соприкоснове-
[ия стержней; что при волне разгрузки, совпадающей по направлению
массовой скоростью, свободный конец стержня притормаживается или
станавливается (а не отскакивает назад), тогда как при-волне разгрузки,
дущей в противоположном направлении, скорость частиц на свободном
юнце стержня увеличивается; и что формирование волн как растяжения,
ак и сжатия происходит не у концов стержня, а на некотором расстоянии
т них и т. д. Без ясного представления физики процесса нельзя
перехода к оценке тех сложных явлений, которые имеют место в реальных ус-
овиях соударения тел.
В настоящей работе с помощью упрощенных графических приемов ил-
юстрируется природа упругих возмущений, которые возникают в резуль-
ате приложения ударных нагрузок.
Р написании этой главы принял участие С. М. Сенюк.
5* 67

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Природа ударных явлений чрезвычайно сложна. На ударные нагрузки:
териалы реагируют иначе, чем на статическое нагружение. Такие свойс
как скорость распространения волн или плотность материала, не имею
существенного значения при медленных нагрузках, становятся Bet
важными при ударе. Различное поведение материалов является следа!
проявления его динамических свойств инерции и упругости. Статичее
подход к решению задач на ударные нагрузки часто приводит к соверши
неверным результатам, так как прочность зависит от размеров поперечц
сечения, т. е. от линейных размеров во второй степени, тогда как Щ
зависит от объема — размеров в третьей степени. [
Величина, длительность и распределение возникающих усилий В;
чительнои степени определяются реакцией материала и формой тела, i|
торому прилагается ударная нагрузка. Распределение напряжений, в|
ваемое этой нагрузкой, локализовано и в то же время подвижно. j
Действие ударной нагрузки не передается мгновенно всем частям т|
вначале отдельные участки последнего остаются невозмущенными, в|
жаясь образно, они еще «не знают», что произошло нагружение. При|
напряжения и деформации движутся в теле в виде волн, распростра|
щихся, например, в металлах со скоростями порядка нескольких ii
метров в секунду. g
По прекращении явлений, связанных с возмущением, тело может|
вратиться в свое начальное состояние или получить необратимые из1|
ния. В первом случае это будет упругий удар, во втором — не вполне у|
гий, а при переходе всей энергии удара в остаточную деформацию — I
стичный. *" f
В зависимости от того, совпадает ли направление*движения~частиц£
с направлением распространения волн или происходит перпендикул|
к нему, различают два типа упругих возмущений: в первом случае ош|
зывается продольной волной (продольным возмущением, волной pacil
ния, безвихревой волной, первичной волной), во втором — поперечной!
ной (сдвиговой волной, волной искажения, вторичной волной) [10, 12]|
Продольные волны распространяются в материале путем сжатия |
стяжения, а поперечные — с помощью сдвиговых перемещений. Ско|
первичной продольной волны превышает обычно скорость распрост|
ния поперечной волны примерно в 2 раза. [
Известны и другие типы волн, например, плоские поверхностные в|
Релея, распространяющиеся вдоль границ полубесконечного упр|
тела, сдвиговые поверхностные волны Лява и другие, еще недостач
изученные. L
В дальнейшем будут рассмотрены только продольные волны, уясн|
физической сущности которых облегчает понимание природы и други|
дов волн. ^
Следует различать случаи, когда^волна проходит по телу безграни|
протяженности и по телу конечных размеров. В первом случае при[
дольных волнах благодаря боковому отпору, возникающему при объо[
сжатии, имеют место напряжения как в направлении распространения^
ны сгь так и в'перпендикулярном ему направлении сг2, связанные за!
мостью L
Ох = (1— [a)32/|x, гДе Iх — коэффициент Пуассона: и
Во второмТслучае отсутствует боковой отпор, движение свобод
поверхностей тела ничем не ограничено, и возмущение распространи
несколько медленнее.;
В табл. 2 приведены средние величины скоростей распространения*
дольных и поперечных волн для некоторых материалов, взятые в осно!
из справочников по физике [33,34] и из данных собственных лаборато|
измерений.
68

ТАБЛИЦА 2
Материал
Скорость продольных волн,
м/сек
в стержнях,
в
неограниченной среде, аср
Скорость попе-|
Речных волн в
Неограниченной
среде ап, м/сек
Металлы и сплавы
!Алюминий . .
вольфрам . .
Дюралюминий
Й(елезо. . . .
Золото . . . .
'Латунь. . . .
№дь
докель . . .
Олово . . . .
[латина . . .
1инец
Серебро . • •
Сталь инструментальная
шъ нержавеющая • . •
1итан • •
кром
рк
5200
4300
5200
2100
3100—3500
3700
4800
2700
2800
2600
2800
5100
5900
3800
6300
5500
6400
5900
3200
4300—4700
4700
5600
3300
4000
3600
3700
6100
5700
6000
6200
4200
3100
2600
3100
3200
2000—2100
2300
3000
1700
1600
1700
3300
3100
3000
3800
2400
Горные породы и
1урый железняк
tone
ранит
[звестняк
Ценная соль ......
||арц кристаллический . .
|)амор
есчаник
WW
г ль (брикетированный) .
1д
!Т0Н
I
фево
чуб
рсна
пролит
рролон
учук
рамические изделия . . .
рпич
жеиглас
твинил
(истирол
1иэтилен
бка
5400
3800
2800
3300
4100
3600
1400
1600
3700
400—500
минералы
1800
5000
5400—6000
5500—6100
4500
5700
6200
2900—4900
7800
3700
4000
4200—5200
1500
4600—9900
2700
2700
2300
2000
2400
3200
3300
1800
2200
2000
2000
1100
1200

Продолжение таблицы
Материал
Скорость продольных волн,
м/сек
в стержнях,
в
неограниченной среде, аср
Скорость
поперечных волн
в
неограниченной среде
ап, м/сек
ап/ас
Резина . . ,
Стекло: . . ,
кварцевое
оконное .
Фарфор
Шифер
Эбонит
Вода . . . .
46
5400
—
5000
4500
1600
1000
5600
6800
5300
5900
2500
1440
30
3500
3200
3100
2800
0,03(
0,62;
0,43(
0,525
0,47а
Приведенные величины следует рассматривать как ориентировочн|
Из теории упругости известно, что скорость распространения волн
висит от упругих постоянных Еу G и плотности материала р.
Для продольных волн в полубесконечной среде она определяется вы]
жением <
=/;
£(1-ц)
P(l + |i)(l-2|i) '
в цилиндрическом стержне *
-/-!-
Действительно, предположим, что ударная сила N мгновенно нагруя
торец упругого стержня сечением F. Тогда за время dt, прошедшее с мо|
та соприкосновения, успеет сжаться только некоторый слой dl, остали
часть стержня остается не деформированной и потому ненапряжен]
Относительное укорочение первого слоя
du
~аТ
JL
FE
а
сжатый слой будет оказывать давление на следующий за ним слой и та|
образом сжатие образует волну, которая проходит вдоль всего стер!
Граница между напряженным и ненапряженным участками стержня п
вается фронтом волны, а расстояние, которое проходит фронт волн{
время удара,— длиной волны.
Если время, необходимое для распространения напряжения на а\
слоя dl, равно dt, то скорость распространения возмущения будет а
За это же время dt сжатый слой сократится на величину du и скоросп!
формации будет
du _ du_ dl _ dl Na
dt
dl dt
= e
dt
FE
E
Для сжатого слоя уравнение количества движения 2 mv = Ndt
Fpdl -yg- = Ndt, откуда a -^ = a2 = — и скорость распространения
дольной волны а ~ г~
•-VE/P.
1 Стержнем называется тело, имеющее длину, намного превосходящую его поперечны!
меры.
2 Количество движения системы (mv) равно импульсу силы (Ndt) для любой системы Щ
симо от взаимодействия ее составных частей.
70

Скорость перемещения частиц тела v (т. е. массовая скорость — ско-
ость, с которой материал в данной точке движется в какой-нибудь момент
ремени при прохождении через нее волны) пропорциональна напряжению
,тогда как скорость распространения самой волны а не зависит от величины
апряжения, а зависит только от модуля упругости и плотности материала.
то станет совершенно очевидным, если представить передачу импульса
ерез упругую связь — скорость передачи будет прямо пропорциональна
;есткости связи Е и обратно пропорциональна массе (в нашем случае
лотности р).
Возмущающие импульсы могут вызывать как сжатие материала, так
его растяжение в зависимости от чего они и называются волнами сжатия
ли волнами растяжения.
В волне сжатия направление скорости перемещения частиц совпадает
направлением распространения волны, в волне растяжения оно противо-
оложно движению волны. При встрече волны со свободной поверхностью
рследняя приходит в движение и возникают новые возмущения. Если
олна сжатия падает нормально, то dT этой поверхности отражается волна
астяжения той же интенсивности, и наоборот. Во время отражения волны
гражающая поверхность свободна от напряжений, а скорость частиц
атериала на поверхности равна алгебраической сумме скорости частиц
волне и скорости перемещений частиц в результате перехода потенциаль-
ой энергии в кинетическую.
Если в среде, по которой проходит волна, резко меняется акустическая
(есткость (т. е. ар = УЕр).9 то в результате отражения от поверхности
аздела материалов возникают две волны — одна проходит через границу
аздела материалов, а другая отражается (при EiPi ^> Е2р2 сжимающие
апряжения отражаются как растягивающие, и наоборот).
Отраженные волны, распространяясь по телу, интерферируют одна с
ругой. Волны проходят «одна сквозь другую» без всяких взаимных влия-
ий. Каждая волна распространяется, как будто другой не существует.
то явление носит название суперпозиции. Величины напряжений и ско-
остей в области интерференции можно получить, векторно складывая
апряжения и скорости частиц в отдельных волнах.
ЮРМИРОВАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
ОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
аспространение возмущения (волн) при соударении реальных тел конеч-
ых размеров является весьма сложным и трудно представляемым процес-
шкак в период его формирования, так и распространения и интерферен-
ш. Изучение этих явлений может быть существенно облегчено на упро-
енных графических примерах, которые позволят проиллюстрировать
шствительные процессы и общую природу упругих возмущений [13].
Рассмотрим, постепенно усложняя, несколько случаев соударения
юлне упругих однородных стержней. Предположим, что торцевые поверх-
)сти совершенно плоски и нормальны к осям, благодаря чему при соуда-
шии одновременно контактируют все точки этих поверхностей. Тогда
:илие на единицу площади поверхности контакта будет постоянным в про-
шжении удара, а напряжения — равномерно распределенными по
сечено стержней.
Поперечными деформациями — сужением или расширением стержней
)жно пренебречь, так как при длине волны, значительно превосходящей
шетр стержней, они очень малы и практически не имеют никакого
знания.
Во всех дальнейших рассуждениях речь будет идти только об абсолютно
[ругом ударе, т. е. ударе, при котором соблюдается пропорциональность
71

между силой и деформацией и совершенно исключается возможность
никновения остаточных деформаций (т. е. пластического удара) и рас
вания энергии.
Напомним, что волной сжатия называется возмущение, при коте
потенциальная энергия волны выражена деформацией сжатия. Если
она выражена деформацией растяжения, то такая волна называется boj
растяжения.
Иногда распространение процесса полного или частичного снятия
ряжений (а — а =0) называют волной разгрузки.
СОУДАРЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
РАВНЫХ СЕЧЕНИЙ (ОДНОМЕРНЫХ)
Для принципиального рассмотрения упругих возмущений, возникаю
в системе из двух однородных стержней, зададимся условными величин
скорости и допустимой упругой деформации, отличными от свойствен
реальным материалам. <
Такое допущение позволит более наглядно проиллюстрировать физ!
скую сторону явления и нисколько не помешает при решении приклад
задач, так как метод остается приемлемым для любых численных зн<
НИИ.
Удар коротким стержнем по длинному i
Стержень — ударник с массой 4 кГсек2/м движется со скоростью у0=6 д
стержень, воспринимающий удар и обладающий массой 12 кГсек\
неподвижен (v =0). «,
Скорость распространения волны в обоих стержнях а= У Е/р = 12 д]
так как условно принимаемые значения плотности материала стерн
р =1/12 кГсек2/м* и модуль упругости Е = 12 кГ/м2.
Стержни по длине мысленно разбиты на участки (элементы), рая
пути, проходимому волною в 1 сек (I =а). Жесткость каждого участка!
ленно равна £//, т. е. с = 1 кГ/м. Массу т, заключенную в стержне]
ною /, принимаем равной 1 кГсек2/м. I
На рис. 12 изображено последовательное состояние стержней J
каждую секунду. До удара все сечения стержня — ударника перемещ!
ся с одинаковой скоростью. При столкновении ударник, преодолевая в|
контакта инерцию частиц неподвижного стержня, сообщает им ускорш
а элементы самого ударника соответственно замедляются — начина!
формирование волны. [
Возникающая в нагруженном конце неподвижного стержня ежи!
щая сила N должна быть равной силе инерции ударяющего тела. Bel
ствие этого на тех участках стержней, до которых успело распространи
действие силы, неизбежны деформации. I
Поскольку сила действия равнгГТиле противодействия, а жести
стержней одинакова, оба стержня, и ударяющий со скоростью v0, и на
вижный (v02 =0), будут деформированы одинаково. I
Насколько нагруженные концевые сечения неподвижного стержня!
реместятся в направлении удара, настолько же меньший путь пройду!
чения стержня — ударника (по сравнению с тем, который они проходил!
то же время до удара), т. е. скорость всех сечений этого участка по ера
нию с начальной скоростью удара уменьшится вдвое (v =v0/2). I
Если происходит деформация стержней, то, следовательно, часты!
тической энергии ударяющего стержня переходит в потенциальную з|
гию деформации сжатия, оставшаяся же часть сохранится в кинетиче!
форме, при этом скорость частиц стержня станет равной v = v0i/2. Этя
ложение находится в полном соответствии с законом количества движа
72

^ 1г0=См/сек v^O
ZZU I i г—i
TZD
I I I 1
•г- Va)2+~vi>№-*-
i—Г
v-0
I I I
0-0/2-
i i i—i—Г
ir-0
ур/г-
H I \
ПИШИ I
I I I I
ir=Q vp -
I I I I I I I
I I I
i ' I
t£2__3_
I I I
T I
I I I I I I i~r
Vp-
"I—г
ilia
toe. 12. Волновые процессы при ударе короткого стержня по длинному
Действительно, вернемся к рис. 12. Исходя из принятых условий за*.
1-ю сек сжатие стержней успеет распространиться от места контакта на
12м (I =at) в каждую сторону. При этом охваченная сжатием масса,
равная 2 /я, примет общую скорость v =v0/2 =3 м/сек; следовательно,
tnv0 =2 то = const.
Деформация каждого стержня вправо и влево от плоскости контакта
за 1 сек составит и =vt = 3 м. Энергия в потенциальной форме при такой
деформации и жесткости элементов стержней с = 1 кГ/м .будет равна.
Ап =2си2/2 =9 кГм (при этом напряжение в сжатых участках стержней
73>

'определится из условия Nt =mv)\ подставляя значения eF—- =Flpv^
получим о = v0/2-pa или a = y0/2-'j/£,p.
Согласно закону сохранения энергии потенциальную энергию вол
Аи можно определить и по разнице между общей энергией, которой об,
дал концевой участок стержня длиною / до соударения, А0 = му\\1
= 18 кГм и оставшейся после удара частью кинетической энергии Ак
= 2mv2/2 = 9 кГм
Ап = Л0 — Лк = 9 кГм.
Итак, при формировании волн напряжения, являющихся следств!
абсолютно упругого удара, всегда происходит разделение энергии уд;
на кинетическую и потенциальную формы. Это относится как к волнам а
тия, так и к волнам растяжения 1. Процесс частичного превращения ки
тической энергий в потенциальную последовательно распространяется
прилегающие слои стержней и таким образом деформация будет расп
страняться по стержню от одного сечения к другому. Каждый следуюи
неподвижный объем (v = 0) деформируется и приобретает скорость вы
ствие взаимодействия с предыдущим, энергетический баланс которого i
этом остается неизменным. Это происходит из-за уменьшения энергии m
еще ненапряженного объема стержня — ударника, двигающегося с нача
ной скоростью v0 и наталкивающегося на уже деформированную (возмуш
ную) его часть. Граница между сжатыми и ненапряженными частями сте]
ня перемещается в обе стороны от контакта со скоростью звука в.дан]
материале (в нашем примере а = 12 м/сек)/~
Каким образом это происходит — удобнее проследить в направлен
обратном распространению волны. Передний сжатый и двигающийся
скоростью у0/2 = 3 м1 сек участок стержня граничит слева с таким же с:
тым участком (т. е. с этой стороны имеется полное равновесие сил и нап
жений), а справа — с ненапряженным и неподвижным (а =0, v = 0) уч;
ком. Поэтому естественно, что он стремится расшириться вправо за с
деформации пока еще ненапряженной части длинного стержня. Одн
насколько он смещается вправо, настолько же его поджимает с левой (
роны аналогичный ему напряженный участок стержня, который, в ci
очередь, будет на такую же величину поджат предшествующим ему сжат
участком; и так будет продолжаться до последнего напряженного учг
ка, граничащего с левой стороны с пока еще ненапряженной частью уд
ника.
Таким образом, каждый напряженный участок волны ведет себя
абсолютно твердое тело, которое, перемещаясь, не меняет своих раз
ров и напряжения, а передает лишь энергию (в форме упругой дефор
ции и кинетической энергии движения частиц), не высвобождая и не noi
щая ее.
Ненапряженная часть ударника (сг =0), движущаяся со скорое
v0 = 6 м/сек, наталкивается на сжатый участок, перемещающийся в том
направлении со скоростью v0/2 = 3 м/сек, поджимает его, теряя полов]
своей скорости и деформируясь до такой же величины, как и напряжен]
участки справа.
Кинетическая энергия этоТго участка mul/2 = 18 кГм уменьшается
mv2/2 = 4,5 кГм, часть ее переходит в потенциальную энергию деформац
равную ш%=4,5 кГм, а остальная часть передается через напряжен]
участки к фронту волны.
Такое разделение происходит независимо от формы соударяющихся тел, а следовател
и формы волны.
74

Процесс передачи энергии от стержня — ударника через контактное се-
ше к свободному концу ударяемого стержня происходит до тех пор, пока
ае будет напряжен весь стержень—ударник. За 2, 3 и 4-ю сек сжатие
распространяется на 48 м (I = at) в обе стороны от контактных плоскостей и
достигает левого конца стержня — ударника. На этом заканчивается
формирование волны сжатия, продолжающей свое движение вправо.
Одновременно со свободного конца стержня — ударника начинается
разгрузка. Если на предыдущих участках набегающая с начальной скоростью
и0 еще ненапряженная часть ударника поджимала деформированный и
двигающийся вправо с массовой скоростью участок стержня, то теперь у
свободного торца сжатый объем ничего не поджимает и он мог бы расшириться
влево, но скорость смещения влево гасится равной ей и направленной
вправо массовой скоростью v0/2. Благодаря этому левый крайний участок
ударника полностью разгружается, а его свободный конец остается
неподвижным (v = 0), хотя правее этого участка стержень все еще сжат и
частицы продолжают двигаться вправо со скоростью v0/2.
Таким образом, по стержню вслед за волной сжатия с той же скоростью
(й = \2 м/сек) слева направо идет волна разгрузки, которая снимает
напряжения (а =0) и останавливает движущиеся частицы стержня
(»=о).
За счет высвобождающейся при этом в каждую секунду энергии в форме
упругой энергии деформации и кинетической энергии движения частиц
Лп -+- Ак = си2/2 + mv2/2, равной в нашем примере 9 кГм, продолжается
распространение волны сжатия по ударяемому стержню. Происходит
перенос энергии волны.
Этот процесс протекает аналогично описанному, отличаясь лишь тем,
что последний левый сжатый участок стержня находится уже в иных
условиях — слева от него располагается ненапряженный и неподвижный участок
(и = 0, у =0, а не а0 =0, v0 =6 м/сек); смещение вправо не
сопровождается одновременным поджатием слева и этот участок стержня
полностью освобождается от напряжений (а = 0, v =0), а его энергия
передается через все сжатые участки к фронту волны. Напряжение
распространяется последовательно вправо на новые участки невозмущенной части
стержня.
Волна разгрузки за 5, 6, 7 и 8-ю сек полностью освободит от
напряжений стержень — ударник, все еще остающийся в соприкосновении с
ударяемым стержнем. На этом процесс удара стержней заканчивается. В нашем
примере время удара / = 8 сек.
Дойдя до стыка стержней, волна разгрузки проходит его как по целому
телу и продолжает свое движение вправо по длинному стержню. К концу
12-й сек фронт волны сжатия достигает крайнего правого торца длинного
стержня. С этого момента, поскольку уже нет необходимости
преодоления инерции невозмущенных сечений, находившихся на пути волны,
стержень получает возможность начать разгрузку от сжимающих напряжений.
Конец стержня, разжимаясь, перемещается вправо и возвращается в
нормальное состояние (о =0).
Скорость сечений, обусловленная нагрузкой, как было указано выше,
составляет v0/2 м/сек; суммируясь с массовой скоростью той же величины,
она удваивается и становится равной начальной скорости стержня —
ударника v0. При этом потенциальная энергия деформации сжатия полностью
Преходит в кинетическую форму. А так как исчезает напряжение, то
Неизбежно возникает волна разгрузки, распространяющаяся справа
налево.
Таким образом, волна разгрузки от сжатия, идущая слева,
останавливает каждое сечение стержня, доводя его скорость до нуля; волна же
разгрузки, идущая справа, удваивает существующую скорость сечений, до-
юдя ее до начальной скорости ударяющего стержня.
75

Обе эти волны движутся навстречу друг другу и, встречаясь на 16-й;
полностью разгружают стержень (а =0). Однако правая часть стержш|
длине, равной половине длины волны, приобрела скорость v = 6 м!
а левая его часть неподвижна (v = 0), поэтому в этом сечении во
кает растягивающая сила Np, которая, преодолевая инерцию непсщ
ной части стержня, сообщает ей ускорение. Элементы же правой ч|
соответственно замедляются, охваченная деформацией часть стер)
примет общую скорость и0/2, влево от нее стержень неподвижен, а сп|
частицы продолжают двигаться в ту же сторону (т. е. вправо) со{
ростью v0. |
Действие силы за 1 сек успеет распространиться вправо и влево отэ
сечения на длину / =12 ми стержень будет растянут на величину 2u \
•v0/2-t =6 м. Половина кинетической энергии Ак =mvl/2=l&\
перейдет в потенциальную форму Ап =2 ш2/2 =9 кГм и деформ!
растяжения будет распространяться по стержню в обе стороны. (
Таким образом, процесс формирования волны растяжения проте|
совершенно аналогично описанным явлениям, которые возникают на (
такте соударяемых стержней при формировании волны сжатия. [
Следует особо отметить, что волна растяжения, как и волна сжатия!
ниже^т начинает формироваться не у конца стержня, а на некотором]
стоянии от негоГв нашем примере равном-ЛШше1ГО"луволны. Ооычнов!
тературе при описании распространения волн этот момеьГГ'^бпуска
и говорится, что волна сжатия, дойдя до свободного конца стержня, I
жаетсяГЪ виде~в"олны рягт^урния. "~ " • ■——~~Н
* tla ^и-й сек растяжение (— а) распространится до правого свобод!
конца стержня и стержень начнет разгружаться. У торцового сеч!
растянутый объем стержня ничто не удерживает, и он стремится смеет!
влево, но скорость этого смещения погашается массовой скоростью,!
равленной вправо, поэтому крайний участок стержня полностью раж
жается (— о* =0). Торец же остается неподвижным (и =0). Левее!
участка стержень пока еще растянут и частицы продолжают двига!
вправо со скоростью v/2. I
Таким образом, за волной растяжения с той же скоростью (а = 12 А
справа налево по стержню следует волна разгрузки, которая снимает!
ряжение растяжения и останавливает] двигающиеся частицы стер!
(v =0). Теперь волна растяжения распространяется за счет пере!
энергии Ак + Ап =mv2/2 + cu2/2 =9 кГм, освобождающейся при!
хождении волны разгрузки, и на 24-й сек доходит до стыка соударяй
стержней. Начинается разгрузка стержня от растягивающих напряж|
и с левого конца. Стержень у стыка начинает сжиматься, смещаясь впр|
скорость этого смещения складывается с массовой скоростью, направй
ной в ту же сторону, и в результате стержень постепенно принимает!
мальное состояние (а =0), частицы же движутся вправо с удвоенной^
ростью (v0). Вся энергия волны разгрузки, идущей слева, суммируй
высвобождаемой энергией волны разгрузки, идущей справа, и nepexf
в кинетическую форму j
mvo2 , cu2 . mv02 . cu2 mv02 юг-
-8- + ^-+ —+ -2" = —=18 КГМ- i
На 25-й сек длинный стержень отходит от ударника (стержни рази
няются). Продолжительность контакта (в нашем примере) составе
24 сек. На 28-й сек идущие навстречу друг другу волны разгрузки от т
гивающих напряжений встречаются и весь стержень полностью оевщ
дается от напряжений (а =0), при этом левая часть стержня на щ
равной половине длины волны, имеет скорость, равную начальной скор|
стержня-ударника (v0 =6 м/сек), а остальная часть неподвижна (in
76

Вследствие этого на 29-й сек вновь начинается сжатие, которое за 1 сек
спеет распространиться на 12 м в обе стороны от границы между
движущейся и неподвижной частями стержня. Формируется волна сжатия, ко-
эрая в точности повторяет все фазы распределения напряжений,
описание выше.
Если пренебречь дисперсией, то последовательное прохождение волн
жатия и растяжения должно продолжаться до бесконечности.
Итак, при соударении короткого стержня с покоящимся длинным рав-
:ого сечения, вся его кинетическая энергия передается длинному, который
тскакивает от остающегося неподвижным короткого стержня и
перемещается в направлении удара; при этом по длинному стержню попеременно
! противоположные стороны пробегают волны сжатия и растяжения.
ЮУДАРЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Jbap коротким стержнем по длинному вдвое большего сечения
тержень-ударник массой 4| кГсек/м ударяет со скоростью v0 =6 м/сек
о неподвижному стержню массой 16 кГсек?/м вдвое большей длины и сече-
ия.
Напомним, что стержни однородны, а принятые условно (отличные от
зойств реальных материалов) значения плотности и модуля упругости
ютветственно равны р =1/12 кГсек2/м^у Е = 12 кГ/м2, скорость распро-
гранения волн в стержнях а = УЕ/р = 12 м/сек. Стержни по длине мыс-
йню разбиты на участки, равные пути, проходимому волной в 1 сек
= а). Массу т, заключенную в элементе длиною / стержня-ударника,
зимем равной 1 кГсек2/м. Тогда масса элемента такой же длины ударяе-
)го стержня вдвое большего сечения будет равна 2 т кГсек2/м. Соответ-
венно и жесткости этих элементов будут равны 1 и 2 кГ/м.
На рис. 13 изображено последовательное состояние стержней через
вдую секунду с момента столкновения. Все сечения стержня-ударника
i удара перемещаются с одинаковой скоростью v0 = 6 м/сек. При столкно-
!нии ударник, преодолевая в зоне контакта инерцию частиц
неподвижно стержня, сообщает им ускорение, а элементы самого ударника соот-
тственно замедляются — начинается формирование волны сжатия. На
х участках, до которых успело распространиться действие силы, неиз-
жны деформации. Поскольку сила действия равна силе противодействия,
жесткость стержней заведомо не одинакова, различны будут и деформа-
м (ибо деформации всегда обратно пропорциональны жесткостям стерж-
й, как и при статическом нагружении). Следовательно, скорости дефор-
щии стержней в данном примере будут относиться как 1 : 2.
Охваченная волной напряжения часть ударника потеряет 2/3 началь-
й скорости, скорость деформации стержня составит при этом 4 м/сек.
ютветственно часть ударяемого стержня такой же длины будет деформи-
вана со скоростью 2 м/сек, т. е. приобретет скорость, равную 1/3 на-
льной скорости ударника.
Следует обратить внимание, что плоскость контакта является общей для
рих стержней, поэтому сумма массовых скоростей (скорости частиц в
йне) в процессе'удара^равна относительной скорости до удара, что одноз-
нно следует из закона количества движения — перераспределение
скорей происходит обратно пропорционально массам, охваченным ударным
пульсом.
[В 1-ю сек конец ударника притормозится, при этом скорость его сни-
Рся до 2 м/сек; такую же скорость приобретет] ударяемый конец стерж-
! воспринимающего удар.
77

ix0 = 6 м/сек v=0
llll
tr0=6+.
1—1—1—1—
p ^
V
= 0
ТЛИ
Рис. 13. Удар короткого стержня линейного сечения по длинному
большого сечения

Нагруженные концевые сечения ударника и ударяемого стержня пере-
естятся в направлении удара в 1-ю сек на 2 м.
Невозмущенный же участок ударника, который еще «не знает», что
роизошло нагружение, продолжает свое движение со скоростью v0 =
Ml сек, в результате часть ударника длиною I =(12 м будет сжата до 8 му.
такой же участок более жесткого ударяемого стержня будет сжат до
О м. Таким образом, часть кинетической энергии ударника переходит в
отенциальную энергию деформации сжатия стержней. Оставшаяся же
асть сохранится в кинетической форме и сообщит частицам стержней мас-
овую скорость v0/3. Согласно принятым условиям за 1-ю сек сжатие
стержней распространится в обе стороны от места контакта на 12 м (I =at);
охваченная сжатием масса, равная т + 2т, примет общую скорость v =.
= v0/3 =2 м/сек, что также согласуется с законом количества движения
w0 =3mv = const и постоянством энергетического баланса. Кинетичес-
:ая энергия концевого участка стержня, составлявшая до соударения
1ко =tnvl/2 = 18 кГм, уменьшится до 3mv2/2 =6 кГм за счет перехода
ie в потенциальную энергию деформации ударника cul/2 = 1 -42/2 == 8 кГм
[ ударяемого стержня 2си%/2 =2-22/г =4 кГм.
Процесс частичного перехода кинетической энергии в потенциальную
юследовательно охватывает прилегающие сечения стержней и деформация
>аспространяется по стержню от одного сечения к другому. Каждый
яедующий неподвижный объем стержня деформируется и приобретает
корость вследствие взаимодействия с предыдущим (без изменения его
нергетического баланса) за счет лишь уменьшения энергии пока еще не
япряженного объема стержня-ударника, двигающегося с начальной
скоростью v0 и наталкивающегося на уже деформированную его часть. Гра-
ица между сжатыми и ненапряженными частями стержня перемещается
обе стороны от контакта со скоростью звука в данном материале (в нашем
римере а =12 м/сек). Это происходит совершенно аналогично описан-
ому выше соударению однородных упругих стержней равных сечений, до*
ix пор пока не будет напряжен весь ударник (за 1, 2, 3 и 4-ю сек), т. е.
ока не закончится формирование волны, продолжающей свое движение
право, и не начнется разгрузка стержня-ударника с его свободного конца,
десь процесс разгрузки уже несколько отличается от случая (стр. 74).
жатый объем у свободного торца ударника стремится восстановить свои
азмеры, расширившись влево со скоростью 4 м/сек. Но скорость этого
«ещения уменьшается за счет противоположно направленной массовой
юрости v =2 м/сек. Благодаря этому левый крайний участок ударника
)лностью разгружается (а = 0) и приобретает скорость, равную 2 м/сек.
травленную влево, хотя правее этого участка стержень сжат и частицы
юдолжают движение вправо с массовой скоростью v = 2 м/сек. Таким
•разом, по стержню вслед за волной сжатия с той же скоростью (а =
■ 12 м/сек) слева направо идет волна разгрузки, которая снимает напря-
вние (а =0) и изменяет направление движения частиц стержня-ударника
[ обратное.
За счет высвобождения в каждую секунду энергии упругой деформации
, = cul/2, равной в этом примере 8 кГм, продолжается распространение
лны сжатия по ударяемому стержню.
Волна разгрузки за 5, 6, 7 и 8-ю сек полностью освободит от напряже-
й ударник, сообщив ему скорость 2 м/сек, направленную в сторону, про-
зоположную удару. На 9-й сек разгруженный ударник отходит от ударяе-
го стержня и продолжает удаляться влево.
В данном примере время удара совпадает с продолжительностью кон-
гга стержней; продолжительность процесса удара составляет 8 сек.
В то же время фронт волны сжатия к концу 8-й сек достигает крайнего
того торца ударяемого стержня, который одновременно с обоих кон-
79"

нов начинает разгружаться от сжимающих напряжений. Свободный т
левый торец сжатого стержня уже ничто не поджимает, он мог бы р,
риться влево, но скорость этого смещения гасится равной ей проти
ложно направленной массовой скоростью v0/3. Благодаря этому j
крайний участок полностью разгружается, а его свободный конец ост
неподвижным (v = 0), хотя правее этого участка стержень все еще
и частицы продолжают двигаться вправо со скоростью v0/3. Крайний
вый участок ударяемого стержня, полностью разгружаясь, перемещ
вправо и переходит в нормальное состояние (а = 0); скорость сеч»
обусловленная разгрузкой и равная v0/3, суммируясь с массовой а
стью той же величины, удваивается и становится равной 2и0/3 = 4 л
Таким образом, волна разгрузки от деформации сжатия, идущая а
останавливает каждое сечение, т. е. доводит его скорость до нуля, ij
же разгрузки, идущая справа, удваивает существующую скорость,
волны движутся навстречу друг другу и на 12-й сек полностью разгру]
стержень (а =0). Правая часть ударяемого стержня на длине, щ
полуволне, приобретает скорость 2у0/3 = 4 м/сек9 а левая остается н|
вижной (v = 0). Это обстоятельство обусловливает возникновение рая
вающей силы Npy которая, преодолевая инерцию неподвижной части!
жня, сообщает ей ускорение при соответствующем замедлении элем!
правой части. Так, с середины ударяемого стержня начинает формиря
ся волна растяжения. Охваченная деформацией растяжения часть сте!
примет общую скорость v = 2t;0/3 : 2 = 2 м/сек, влево от нее стеш
неподвижен, а справа частицы продолжают двигаться вправо со скор!
2и0/3 = 4 м/сек. I
Действие силы Л/р, как и при сжатии, успеет распространиться за!
в обе стороны на длину / = 12 м и стержень будет растянут на вел!
2ир = 2v0/3-t =4 ж. Половина] кинетической энергии участка дли
Ак = -у f-^pj = 16 кГм [перейдет] в потенциальную форму Лп = 24
= 8 кГм и деформация растяжения будет распространяться по ста
в обе стороны. I
На 16-й сек растяжение — а распространится вправо и влево и о!
весь стержень, после чего с обоих концов стержня одновременно на!
разгрузка от напряжений. С торцов растянутые стержни ничто не yi
вает, и они стремятся сжаться, сместившись к середине. Но скорость!
ния правого участка v0/3 погашается противоположно направ!
{вправо) и равной ей массовой скоростью. Поэтому крайние участки!
ня полностью разгружаются (—а = 0), частицы стержня у правого)
останавливаются (v = 0), у левого же удваивают свою скорость, ш
становится равной 2и0/3 =4 м/сек. I
Энергия волны разгрузки, идущей слева, суммируясь с высвом
мой энергией волны разгрузки, идущей справа, переходит в ки|
скую форму
На 20-й сек идущие навстречу волньГразгрузки от растягивают»
ряжений встречаются и весь стержень освобождается] от напри
(—а =0). При этом левая часть стержня на длине, равной половга
ны волны (в данном примере, половине стержня), приобретает см
равную 2/3 начальной скорости v0 стержня—ударника, т. е. 2/3 vd
остальная же часть остается неподвижной.
Вследствие этого на 21-й сек вновь начинается сжатие, которое!
успеет распространиться на 12 м (I =at) в обе стороны от границе
движущейся и неподвижной частями стержня. Формируется волна(
80

Итак, при ударе коротким стержнем по более длинному стержню боль-
то сечения короткий стержень, передав часть своей кинетической энер-
и длинному, отскакивает от него и свободный от напряжений двигается
противоположном направлении. Длинный же стержень перемещается в
правлении удара наподобие гусеницы — по нему последовательно в про-
воположные стороны пробегают волны сжатия и растяжения.
дар тонким коротким стержнем
1 тонкому концу стержня ступенчатой формы
'ержень-ударник массой 4кГсек2/м сталкивается со скоростью v0 = 6 м/сек
неподвижным стержнем (р =0) переменного сечения массой 18 кГсек2/м
ис. 14). Сечение передней части ударяемого стержня равно сечению
{арника, остальная его часть имеет вдвое большее сечение.
Напомним, что, как и в предыдущих примерах, стержни по длине раз-
1ты на участки, равные пути /, проходимому волною в 1 сек, и приняты те
е условные величины (масса элемента стержня длиною I в малом сечении
= 1 кГсек2/м, жесткость с = 1 кГ/м, в большом — соответственно 2т
2с; плотность материала стержней р = 1/12 кГсек2/м!к, модуль Юнга
= 12 кГ/см2 и, следовательно, скорость распространения волн а =
:(£/ру, = 12 м/сек).
В первые две секунды после соударения стержней распределение напря-
*ний и скоростей совершенно аналогично приведенному случаю соударения
нородных стержней равных сечений, скорость v0/2 =3 м/сек, деформа-
я сжатия элемента ис = 3 м. Когда же в 3-ю сек сжатие распростра-
тся до большего сечения ударяемого стержня, в тонкой его части напря-
яше повысится, деформация станет равной и =4 м, а массовая скорость
еньшится до 2 м/сек. Это можно представить себе следующим образом:
ремещение частичек деформированной (ис = 3 м) тонкой части стержня
кассовой скоростью 3 м/сек равносильно перемещению тонкой свободной
напряжения части стержня со скоростью 6 м/сек; при соотношении со-
аряемых сечений 1 : 2 в тонкой части стержня скорость уменьшится на
i/сек и общая массовая скорость станет равной 2 м/сек. С этой скоростью
атие будет распространяться вправо по еще не напряженной толстой
:ти стержня и влево, накладываясь на уже деформированную тонкую
:ть и доводя скорость сечений до 2 м/сек.
К концу 4-й сек первичная волна сжатия распространится до свобод-
го торца ударника и начнется разгрузка слева направо — сечения оста-
вятся (у =0) и напряжение будет снято (а =0); но в 6-ю сек волна раз-
узки встретится с распространяющимся влево сжатием от наложения
рвой и второй волн. В результате элемент длиною / свободного от напря-
ний участка стержня-ударника будет сжат до 11 м (ис = 1 ж), а соседний
атый элемент на столько же разгрузится. Общая их скорость будет иметь
давление, противоположное направлению удара, и равна v = 1 м/сек.
чинается формирование третьей волны сжатия, идущей уже влево.
3-й сек волна охватит весь стержень-ударник, после чего с левого конца
шется разгрузка стержня от напряжений (а =0). Скорость, обуслов-
шая разгрузкой (1 м/сек), и массовая скорость (1 м/сек), имеющие одина-
юе направление (справа нелево), суммируются: v =2 м/сек. К концу
и сек, когда третья волна сжатия распространится до сопряжения тон-
i части ударяемого стержня с толстой, вправо и влево от этого сечения
шнаются разгрузка от сжимающих напряжений (сг = 0) и остановка
ений (и=0). В это же время происходит разгрузка с правого торца
фяемого стержня, частицы которого освобождаются от напряжений
рой волны и приобретают скорость v = 4 м/сек, и продолжается
разика ударника слева направо (а =0). В результате ударник приобре-
• общую скорость 2 м/сек и на 13-й сек отскакивает от неподвижного
В. Александру, Е. Б. Соколинский
81

v 0=6 м/сек ^=£
ii P* i i—f~
i i i i x:
2
3
4
5
6
7
8
3
10
11
12
13
14
15
16
17
<18
13
20
21
22 [
23
rir=2 ~*rir4 +v=
-*rlf=2 -<:V=f-*V=1l
I I ' HIIHIIIIIIIIIIIII
v=2-*~
-v=2 ir=0 £zO
I I I I I I
^v=2
I I I I II I
v=0
HI
v=L
I
IIIIIL
v=t^—
I I I I—I
I I I I -I
I I
I I
v- = L
v = C
7 »=2+-
)
14
14
ir=2
v=5,33 у-Ч.чч^у^Ш
14—14—12 1111
1 1 1
щщт
Imj,
злтпу.
nimiii
biiii
Ш
11111!
v =0
Рис.
11,55 13,33 13,33 11,33 12
14. Волны при ударе коротким по длинному ступенчатому стержню

шкого конца длинного стержня. Таким образом, время удара в этом при-
ере совпадает со временем контакта стержней и составляет 12 сек.
На 14-й сек и ударяемый стержень полностью освобождается от напря-
;ений (а=0), левая его часть (включая и тонкий конец) неподвижна
) = 0), тогда как правая обладает скоростью v = 4 м/сек. Поэтому в 15-ю
л с середины толстой части стержня начинается формирование волны ра-
гяження — каждый элемент длиной 12 м растягивается до 14 м (ир =2 м).
В 18-ю сек растяжение охватит всю толстую часть длинного стержня,
в следующую 19-ю сек с правого конца начинаются разгрузка от
напряжений (а =0) и остановка сечений (v =0); волна же растяжения,
продолжая свой путь влево, растянет тонкую часть стержня. Толстая часть стерж-
я напряжена (деформация растяжения ир = 2 ж), массовая скорость
= 2 м/сек. Как уже отмечалось, это равносильно случаю движения ненап-
яженного стержня со скоростью сечений 4 м/сек. А так как жесткость тон-
:ой неподвижной части стержня вдвое меньше толстой, то скорость сечений
оследней возрастет и станет равной [(2 + 2)-2]/3 =2,66 м/сек (вместо
м/сек), а напряжение несколько снизится (ир = 1,33). Этот процесс бу-
ет распространяться по толстому стержню вправо. В тонкой части стерж-
я при той же скорости v = 2,66 м/сек деформация растяжения будет вдвое
олыне нр =2,66 м.
К концу 20-й сек волна растяжения дойдет до левого (тонкого) торца
даряемого стержня и начнется разгрузка. А так как массовая скорость
овпадает по направлению и величине со скоростью, обусловленной раз-
рузкой от напряжений, то конец стержня, освобождаясь от напряжений
J=0), удваивает свою скорость (v =5,33 м/сек).
К концу 22-й сек волна разгрузки слева дойдет до сопряжения тонкой
асти стержня с толстой, а волна разгрузки, идущая справа,— до середины
элстой части стержня.
Массовая скорость в тонком сечении (v = 5,33 м/сек; о = 0) превосхо-
ит скорость частиц, обусловленную разгрузкой и имевшей место массовой
хоростью v = 1,33 + 2,66 = 4 м/сек в толстом сечении. Поэтому тонкое
сеяние подожмет растянутые частицы утолщенной части и притормозится.
овая скорость будет равна [5,33 + (2,66 + 1,33)2]/3 = 4,44 м/сек;
формируется четвертая волна сжатия. С правой же стороны различие скоростей
напряжений вызывает формирование еще одной (пятой) волны сжатия,
1стицы приобретают скорость v =(2,66 + 1,33)/2 =0,66 м/сек, эле-
шт стержня длиною / сожмется до 11,33 ж (ис =0,66 м) и процесс
протест далее.
Итак, при соударении короткого стержня малого сечения с более
длинам стержнем ступенчатой формы в стержне-ударнике происходит форми-
•вание нескольких волн сжатия различной интенсивности, пока ударник
шностью не освободится от напряжений и не отскочет от ударяемого
ержня. Концы ударяемого стержня попеременно перемещаются с
различай скоростью, чередуясь, одновременно проходят в противоположные
ороны волны сжатия и растяжения. При этом торцы стержня колеблются
носительно центра инерции с различной амплитудой.
)ар упругим стержнем по абсолютно жесткой плите
епосредственный удар упругим стержнем по
есткой плите. Стержень-ударник массой в 4 кГсек2/му двигаясь
раво со скоростью v0 = 6 м/сек, ударяет по абсолютно жесткой плите.
тальные условия такие же, как и в приведенных примерах (а = 12 м/сек,
-at =12 м).
На рис. 15 изображено состояние стержня на разных стадиях удара
)ез каждую секунду с момента столкновения с жесткой плитой. Перед-
и конец стержня, встречая плиту, останавливается (р =0); остальная
6* 8S

Щ-6 м/сек
EZE
8
I
rzi
хч
%
^^ш
■ш
*=0
-щ.
=Иш
тт
же часть ударника продолжает свое движение со скоростью v0 =6 д
Напряжение, возникшее в стержне, распространяется со звуковой с:
стью.
За 1-ю сек сжатие успеет распространиться вдоль стержня от места
гакта на 12 м (I =at); при этом охваченная сжатием масса теряет
скорость (v = 0). По стержню проходит волна сжатия, каждое се1
стержня в момент прихода фронта волны останавливается.
В 4-ю сек волною сжатия охвачен
стержень. В этот момент он приходит)
стояние покоя (v =0) и подобен еж
пружине. I
Но уже в 5-ю сек, так как со сто
свободного конца его ничто не поджи]
стержень начинает разгружаться, щ
ряясь (перемещаясь) влево. По стер!
в противоположном направлении с то|
скоростью С = 12 м/сек проходит
разгрузки, сечения же стержня послй
тельно приобретают скорость, ра|
начальной скорости ударника (v0 =
но с обратным знаком.
К 8-й сек весь стержень будет paj
жен от напряжений и приобретает ско|
v0, с которой и будет удаляться от
влево. Таким образом, время удара
сит от длины ударника и равно вр|
взаимодействия стержня и плиты,
ляя в данном примере 2- 41/а =8 ш[
Удар упругим корот!
стержнем по жесткой гы|
через промежуточный д
ный упругий стержень
ного сечения. Стержень-уд|
массой 4 кГсек2/м движется со скоростью vQ = 6 м/сек; стержень, bocii
мающий и передающий удар плите, неподвижен (v = 0); масса eif
ставляет 12 кГсек2/м. Все остальные величины прежние.
В данном примере (рис. 16) формирование и распространение!
сжатия до 12-й сек, пока фронт волны не подойдет к правому концу!
ного стержня, упирающегося в плиту, совершенно аналогичны ц
(стр. 74—79). Скорость частичек в волне составляет v =3 м/сек, де#
ция элемента стержня длиною I иа = 3 м.
В 13-ю сек, когда волна сжатия доходит до жесткой опоры, пер|
конец стержня останавливается (v =0), а интенсивность напряжения!
ласти наложения на первую волну образующейся второй волны а!
повышается. Ударник и левая часть длинного стержня ненапряженыр'
и неподвижны (v =0). Сжатая часть длинного стержня (ма = 3 м) щ
жает двигаться вперед со скоростью v0/2 = Зм, а крайняя правая его
неподвижна (v =0), но сжата более сильно (a =f= 0), деформация иа={
В 16-ю сек, когда заканчивается интерференция волн сжатия, обас|
ня по всей длине неподвижны (и =0), но правый конец большого d
на длине, равной длине ударника, сжат (иа =6 м). Сжатый участор
ня граничит справа с абсолютно жесткой плитой, т. е. с этой стороны?'
место равновесие сил, а слева граничит с ненапряженным и неподвк
(о =0; v =0) участком, поэтому естественно, что он стремится f
риться влево.
С 17-й сек сжатая часть стержня начинает разгружаться за счет|
мации граничащей слева ненапряженной и неподвижной части, щ
Рис. 15. Непосредственный
стержня по жесткой плите
1^
Удар
84

v0 = 6 м I сек
i ~T i
ir=0
w
др
1?=0
v=Q
i—Г
-y^T
3
5
6
7
8
9
10
11
11
13
1H
15
IS
17
18
19
го
21
22
23
IH
25
25
27
28
29
30
31
32
33 1 I 1 1—I
=6 v=3^ v= 3 -
шшшжяшшвшм
v^6 -*- v=0
— 1 1
vp/Z u-q/2 v=0
i I I
i i i
I Г
I
it
1 IIIIHIPlflli
v-=3-^9 v=3-
\ 1
I I I
I I I Г
I I I I 1 I
i-"^^^!;^:!^!^;--^^^'^^^.'!-^
ir=Q
-*r.£z
I I I Г
i—TIT—
v=o
v=3-
I 1 I L
v=0
i—Г
I I I I
v = 0
v=0
I ! T
! I I
v=0
I I I Г
Шр
18 1111"
v=3+ v=0
1 I I I
P,-fl
-12-
Ж
i i i r
i i i
- V=3 fr=i
I I I
[ I I
~i—г
I I I I I I
I I I I n
TF=T
I I I
I I I
т~т
=!
I II
v=0 -<-p-=j
a
i i i i—г
v=0
II I i—Г
I I I
■v=3 -*-.v^3
IIIIIII
I I I
II I I I Л
I I I
v=0
I I I
I I I I
V = 0
J ( L
I I I Г
^
^
lp
1
1
*g
v>.
i
Рис. 16. Удар коротким ударником по жесткой плите через промежуточный
длинный стержень

дит отражение волны сжатия — вдоль стержня в обратном направо
идет волна такой же интенсивности (v =3 м/сек, ис = 3 м). Эта вол1
25-й сек проходит стык стержней, как по цельному стержню, и на 28-i
достигает левого свободного конца ударника. С этого момента стеи
получает возможность начать разгрузку от сжимающих напряжении
скольку уже нет необходимости преодоления инерции невозмущенны
чений, находившихся на пути волны. Конец ударника, разжимаясь,
мещается влево и переходит в нормальное состояние (а = 0); скорое]
чений, обусловленная разгрузкой и равная v0/2, суммируется со CKopJ
частичек в волне, также равной v0/2, становясь равной начальной
рости стержня-ударника v0.
Потенциальная энергия деформации полностью переходит в кина
скую форму и на 32-й сек ударник отходит от остающегося неподви]
длинного стержня, продолжая удаляться влево со скоростью v0. 1
образом, время удара, равное в данном примере времени взаимодеи!
(контакта) стержней, составляет [2(4 + 12)/]/а =32 сек. Нетрудно!
диться, что с увеличением длины ударяемого стержня, упирающегося!
сткую плиту, время удара возрастает и в пределе стремится к бескоЛ
сти при бесконечно длинном стержне. I
Рассмотренные примеры достаточно четко иллюстрируют следу!
время удара, т. е. время, в течение которого сохраняется напряжем
контакте стержней, не всегда соответствует продолжительности сопш
новения стержней; I
в волне сжатия направление перемещения частиц совпадает с напр!
нием распространения волны, в волне растяжения оно противопо!
движению волны; * а
при отражении волны от конца стержня отражающая поверж
свободна от напряжений, а скорость частиц материала на поверж
равна алгебраической сумме скоростей частиц в волне и скорости пере|
ния частиц в результате перехода потенциальной энергии в кинетиче|
В приведенных примерах рассматривается распределение сообщи
стержням энергии и количества движения. Перенос энергии волны|<
связан с наличием в волне двух форм энергии: потенциальной и кин|
ской. Напряженные слои стержня, перемещаясь, совершают работу,!;
рая превращается в энергию упругой деформации и кинетическую!
гию частиц соседнего слоя. Каждый напряженный участок волны веде»
как абсолютно твердое тело, которое, перемещаясь, не изменяет ii
размеров и напряжения, а передает лишь энергию, не высвобождая!!
поглощая ее. К
Рассматривая приведенные примеры, можно сделать следующие вьфе
1. При соударении короткого стержня с покоящимся длинным и|
ного и того же материала и равных сечений вся кинетическая энерг|
роткого стержня передается длинному, который отскакивает от ост|
гося неподвижным короткого стержня и перемещается в направлении!
ра, при этом по длинному стержню попеременно в противоположны*
роны пробегают волны сжатия и растяжения. ^
Начальная энергия системы полностью передается от тела, нанос*
удар, телу, воспринимающему его.
2. При соударении длинного стержня с покоящимся коротким i|
ного и того же материала и равных сечений часть кинетической эн|
длинного стержня передается короткому стержню, который отскащ
и удаляется от следующего за ним длинного стержня, по которому rat
менно в противоположные стороны пробегают волны сжатия и растяж
Начальная энергия системы частично передается от тела, нанос|
удар, телу, воспринимающему его.
3. При соударении однородных стержней равной длины и
происходит полный обмен скоростей и энергии. Стержень-ударник
86

ливается, а ударяемый стержень удаляется от него со скоростью, равной
:корости удара.
Распространенное мнение, что при соударении тел равных масс
обязательно должен произойти обмен скоростей и энергии (как в описанном
случае), не состоятельно. При различной длине стержней, несмотря на
равенство масс, полной передачи энергии и скоростей не происходит.
4. При ударе коротким стержнем по более длинному стержню большего
сечения короткий стержень, передав часть своей кинетической энергии
длинному, отскакивает от него и свободный от напряжения двигается в
противоположном направлении. Длинный же стержень перемещается в
направлении удара наподобие гусеницы — по нему последовательно в
противоположные стороны пробегают волны сжатия и растяжения.
5. При ударе длинного стержня по короткому меньшего сечения
длинный стержень передает часть своей кинетической энергии короткому,
отскакивающему от него со скоростью, превосходящей начальную скорость
ударника. Сам же ударник продолжает следовать за ударяемым стержнем,
причем концы его попеременно перемещаются с различной скоростью.
6. При соударении стержней разных длин, из которых один или оба
имеют ступенчатую форму, происходит формирование нескольких волн
различной интенсивности. Последние образуются при прохождении
первичной волной переходных сечений при отражении от свободных торцов
стержней и интерференции волн. В обоих стержнях, либо перемещающихся
в направлении удара, либо расходящихся, создается весьма сложная
картина подвижных напряжений сжатия и растяжения.
7. При ударе стержнем по жесткой плите непосредственно или через
промежуточный упругий стержень равного сечения вся кинетическая
энергия стержня-ударника переходит в упругую энергию .деформации; в этот
момент стержёнь-'ударник или правая часть промежуточного стержня,
равная длине стержня-ударника,"подобны сжатой пружине.
Затем сообщенная энергия возвращается в кинетической форме
(промежуточный стержень постепенно разгружается) и ударник приобретает
скорость, равную начальной скорости, но с обратным знаком.
С увеличением длины промежуточного стержня, упирающегося в
жесткую плиту, время удара возрастает и в пределе стремится к бесконечности.
Материалы, изложенные в данной главе, и примеры, иллюстрирующие
формирование и распространение волн при соударении стержней, носят
описательный характер. Все внимание уделено физической стороне
явления, чтобы помочь глубже проникнуть в природу волнового процесса и
полнее охватить физическую картину. В дальнейшем, используя
математический аппарат, нетрудно восполнить необходимую общность и строгость
в выкладках и рассуждениях. Этому посвящена следующая глава.

Глава шес\
ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ УДАРА.
ПЛОСКИЙ УДАР
Волновые методы расчета ударного процесса основываются только
шениях динамических задач теории упругости без привлечения клаЛ
ской механики твердого тела [14].
Как уже сообщалось (гл. I), теория упругости описывает состо|
любого тела системой уравнений (1)
да у дхуп дхуу д2иу
дх ^ ду "" dz ~ р dt2
дХху , toy , dXyz _ &иу
дх ' ду ' dz г д^ '
дх7У дхУ1] дву д2и7
дх ^ ду ^ дг р <?Г2
В правые части этих уравнений входят проекции ускорений точек,
деформация тел происходит весьма медленно, ускорениями точек пре|
гают, приравнивая правую часть уравнений нулю.
В этом случае, естественно, получают только статические peiii
Однако специфической особенностью ударных процессов являютс!
быстротечность, резкие изменения напряжений и деформаций, знаш|
ные ускорения. В этих условиях пренебрегать правой частью ни в
случае нельзя. Но решение уравнений с правой частью неминуемо ni
дит к выводу о том, что напряжения и деформации распространяются!
лах не мгновенно, а с конечной скоростью, называемой обычно скор([
звука, скоростью волны и т. д.
Это качественно новый вывод, который дают решения уравнений с[
вой частью. Вместе с тем эти решения оказываются более сложным»!
статические решения, поскольку в них входит еще один параметр —врг
Кроме того, как отмечалось в главе I, решения получаются в виде!
мы волн различных типов, момент прихода которых к тому же неодш
менен. [
Задача существенно упрощается, если ее конкретные условия позв|
пренебречь действием всех типов волн, кроме одной. Так, например,'
считывая достаточно тонкую пластинку, ударяемую перпендикулярн!
верхности, можно пренебречь всеми волнами, кроме поперечной. Нк
рот, рассчитывая достаточно тонкий и длинный стержень, подвергА
осевому удару, можно учитывать с достаточным приближением тольк»
ствие продольной волны. В этом случае скорости и напряжения |
принадлежащих одному и тому же поперечному сечению тела, оказьщ
одинаковыми. [
Погрешности расчета, вносимые этими приближениями, естесж
оказываются меньшими, чем допущения механики твердого тела, naw
щей, что скорости всех точек тела одинаковы, а распространение напк
ний — мгновенно. й
i
83

Молоток
1 \^ Ударник Пика
Г^~1 I
Промежуточная
Ударник масса Штанга (пика)
?н
\^
Перфоратор
Системе защиты корпуса от ударов
Составной бур
Соединения штанг
^тш^
tsacksssf
I
ic. 17. Схема некоторых ударных систем
Резьбовое
С буртиком в торец
Теорию удара, исходящую из постоянства скоростей и напряжений в
поскостях, перпендикулярных направлению избранной волны, называют
юрией плоского удара.
Буровые ударные системы (рис. 17) обычно состоят из тела типа стерж-
i,y которого продольные размеры больше поперечных. Поэтому в настоя-
ей главе уделено основное внимание теории плоского продольного удара,
зи котором учитывается только продольная волна [15, 16].
РАВНЕНИЕ ПЛОСКОГО УДАРА
полной мере условиям плоского продольного удара отвечает соударение
Щ изотропных полупространств. В этом случае все точки,
расположение на поверхности контакта обоих тел, находятся в одинаковых условиях
следовательно, скорости и напряжения в них будут одинаковыми.
8?

Вследствие однородности и безграничности тел это постоянство d
стей и напряжений сохранится в каждом сечении, которого достигни
на, распространяющаяся от поверхности контакта в перпендикул|
направлении. Реальные тела имеют границы, и потому в них не можел
идеально плоской волны. Однако такие тела, как достаточно тонкие и
ные стержни, хорошо отвечают условиям плоского удара. Чтобы убед
в этом, рассмотрим соосные соударения стержней. Направим ось х ш
стержней, а оси у и г — ей перпендикулярно. Поскольку жесткости
духа — среды, граничащей со стержнями, ничтожна по сравнению с
костью твердых и жидких тел, а силы трения воздуха о стержни я
малы, то напряжения на поверхности, нормальные к ней оу = О, А
и касательные %ух = 0,т2Х = 0. Следовательно, взаимные касательно
пряжения ТуХ = 0 и %Х2 = 0.
Поскольку поперечное сечение (диаметр) стержня принято весы!
лым, можно полагать, что напряжения в центральной части сечении
отличаются от соответствующих напряжений на поверхности. Дм
словами, приближенно можно считать, что для любой точки стержня
ведливы условия оу = о2 = 0; хху = %Х2 = хух = %2Х = 0.
Таким образом, в силу принятых допущений из рассмотрения иси
ны все напряжения, кроме направленного вдоль оси стержня норма]
напряжения ох. Заметим, что, поскольку оу = 0, а2 = 0, напряже!
является главным. Оно может быть разложено по другим направла
В частности, максимальные касательные напряжения в стержне нап[
ны под углом 45° к его оси и имеют величину
т = ох/2. fc
Напряжения, направленные вдоль оси стержня ох, вызывают
продольных их и поперечные деформации иу и иг, вызванные nyaccoj
поперечным увеличением тел под действием продольной нагрузки
формации могут быть найдены из известных в теории упругости cooj
ний
ди \
ди 1
Поскольку в данном случае принято оу = 0 и о2 = 0, эти уравнения!
разуются
dllv е.с. ±i_ slc !
dy Е *' dz Е
откуда
f
иу = — ) -jr°xdy Uz=z~) "£"°xdz' I
—г —г
где г — поперечные размеры (радиус) стержня по осям у и z. \
Вследствие сделанных допущений ах распределяется равномек
поперечному сечению стержня, т. е. не зависит от координат у и z.j
вынося ох за знак интеграла и интегрируя в указанных пределах,]
иу = и2 = ^ ах2г = yGx(1,
где d = 2г — диаметр стержня.
Обозначая иу=и2= Ad, найдем
Ad |л
~d ~ F
&■%.
90

Если по стержню пробегает волна сжатия, то ах имеет отрицательный
нак и правая часть равенства оказывается положительной величиной.
1оложительное Ad соответствует увеличению диаметра стержня. В случае
олны растяжения ох > О Ad <С 0; отрицательное Ad соответствует суже-
ию стержня.
Рис. 18. Поперечное расширение
стержня продольной волны
Для беспрепятственного прохождения волны по стержню, помещенному
\ отверстии каких-либо деталей (рис. 18), необходимо, чтобы зазор по
диаметру не был меньше величины, определяемой равенством
1з выражения (135) также следует, что
-£-
М
|i = .
Ad
du
dx
/
\ ■
Л
(136)
оскольку
б - - F du
)днако величины, входящие в числитель и знаменатель формулы (136),.
сть не что иное, как одновременные показания датчиков относительных
еформаций, расположенных по окружности и вдоль оси стержня. В связи
этим выражение (136) может быть использовано для экспериментального
пределения коэффициента поперечного расширения (коэффициент Пуас-
эна), материала путем осциллографирования при ударе (рис. 19).
Вернемся, однако, к уравнениям (1). Вследствие сделанных допущений,
риведших к условиям (стр. 92), общая система уравнений значительно
простится. Второе и третье уравнения системы обратятся тождественно в
уль, а первое примет вид:
dx Р dt*
(137)
du
оскольку вх = Е-г-,
dx
„ d4i d2u
dx*
dP
пи
ffiux
p dx2
= — -гт- = а*
dx2
(138)
Vi
91

Рис. 19. Определение коэффициента Пуассона u = hjhl zz 0,30
Полученное уравнение (138) (уравнение Лапласа) называется вол]
уравнением или уравнением продольной волны, а входящий в него кс
циент а — скоростью продольной волны или скоростью звука в д;
материале.
Как видно из выражения (139), скорость врлны зависит только от ев
материала тела.
Анализ волнового уравнения показывает, что напряжения и дефор:<
от поверхности контакта распространяются по всему телу со скор:
звука а.
Этот важный вывод лежит в основе волновой теории продо;
удара.
Опыт показывает, что расчеты по формулам этой теории дают уз
ворительное совпадение с экспериментом, если продольные размер--
намного больше поперечных 4.
Ударные системы, состоящие из таких тел, встречаются довольно:
Как отмечалось, в горнобуровых работах применяются многие раз;.
ности таких систем, некоторые из них изображены на рис. 17. (
I
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ J
ПЛОСКОГО УДАРА
Решение волновых уравнений в частных производных точными мети
лишает его должной наглядности и часто оказывается недоступны)3
среднего читателя. Поэтому прибегнем к элементарному изложению4
решения, используя лишь основные законы динамики и исходное ш1(
ние волновой теории удара, утверждающей конечность и определи
скорости распространения напряжений и деформаций в теле. с
Допущениям плоской теории продольного удара в наибольшей с:*
отвечает совершенно соосное соударение стержней одинакового или3
кого сечения, имеющих идеально плоские торцы, абсолютно перле-
лярные осям стержней. В этом случае (рис. 20) удар произойдет о;:<
менно по всей плоскости торца. Следовательно, все точки, лежащие?
1
с
1 Точнее, если длина ударной волны намного больше поперечных размеров тела.
92

iepxHocTH контакта, с самого начала окажутся в одинаковых или почти
удинаковых условиях. Вследствие этого они получают одинаковые
перемещения, скорости, напряжения и, таким образом, полностью удовлетво-
)яют основным допущениям плоского продольного удара.
| +£Г
a nu б
Рис. 20. Плоский удар бесконечных стержней
Следует сразу же оговорить, что идеально плоское соударение, тре-
^ющее одновременного выполнения ряда практически невыполнимых
:ловий, неосуществимо или, по крайней мере, весьма маловероятно.
Однако, рассматривая этот идеальный случай, необходимо иметь в виду:
1) подобная идеализация процесса, существенно упрощая аналитиче-
юе описание, во многих случаях не вносит значительных погрешностей
результаты расчета;
2) зависимости, полученные для идеально плоских торцов, как будет
жазано ниже, дадут возможность перейти к методике расчета стержней
неплоскими торцами, т. е. к условиям реального удара.
На рис. 20, а изображено положение стержней до удара; на рис. 20, б —
и же стержни во время удара. Приняты следующие условные обозначе-
1я: Fi и F2 — площади поперечных сечений стержней; Pi и р2 — плот-
)сти материалов, из которых изготовлены стержни; N\ и Nu— началь-
ie силы, сжимающие стержни до удара; v0i и v02 — начальные скорости
*ржней (они могут быть направлены и навстречу друг другу); а4 и а2 —
орости распространения продольной волны по стержням; v — мгновен-
я скорость контактной площадки; N — сила ударного взаимодействия
жду стержнями или сила удара.
На рис. 20 указаны также принятые положительные направления сил
скоростей.
Причиной возникновения сил на поверхности контакта соударяющихся
1 является их инерция, противодействующая любому изменению
скости тел: как ускорению, так и замедлению. Но, вступив в непосредствен-
|й контакт, имея общую контактную площадку, стержни не могут сохра-
ть прежние скорости и потому в результате удара контактная площадка
93

получает некоторую среднюю скорость v, которая меньше voiJ но оол
У)2- I
Возникновение силы удара на контакте стержней приводит к одн!
менному появлению напряжений на торцах стержней. I
Согласно основному положению волновой теории удара эти I
ряжения распространяются от поверхности контакта по стержня!
скоростью звука. Распространение представляется в виде последова!
ного соударения соседних сечений стержней, идентичных предшествую!
соударению торцевых поверхностей. А поскольку ни сечение, ни сво!
материала по длине стержня не меняются, в результате соударения!
чениях появляются те же силы и скорости, что и на торцах. I
Через время dt волна скорости v, распространяющаяся по стержн!
скоростями cii и а2у охватит объемы: в первом стержне F^aidt и во вт!
F2a2dt, что соответствует массам т^ = Fipi^dt и m2 = F2p2a2dt. I
В результате изменения скоростей с v0i до v в первом стержне и|
до v во втором стержне количество движения этих масс изменится на!
чину I
mi (v01 — v) = Fipididt (v0l — v) I
в первом стержне, I
т2 (v02 — v) = F2p2a2dt (v02 — v) I
во втором стержне. I
Это изменение количества движения произойдет под действием сил!
Af i для первого стержня и — N -\- Nu — для второго (знаки сил оп|
ляются принятым положительным направлением), которые действ!
в течение времени dt. I
Приравнивая изменение количества движения импульсу сил, н!
для первого стержня
(N — Mi) dt = FiPiuidt (v0i — v),
или, сокращая на dt,
N — N\ = Fipi^ (v0i — v).
Для второго стержня
(— N + Nu) dt = F2p2a2dt (v02 — v),
или
N — Nn = — F2p2a2 (v02 — v).
Входящие в выражения (139) и (140) произведения плотности та[
скорость продольной волны (pa) называют акустической жесткостью!
риала, или его импедансом, или его волновым сопротивлением. [
Произведение акустической жесткости на площадь поперечного!
ния тела, входящее в выражения волновой теории удара, назовем уд»
жесткостью тела и будем обозначать С. Тогда выражения (139) и (140)1
мут вид !
N — Ni = Ci (v0i — i/), N - Nu = — C2 (^02 - v),
где
Ci = Fipifli, C2 rz= F2p2a2.
Полученные N — N\ и N — Nu в выражениях (140) и (141) есть!
ность между конечными и начальными силами удара, а a0i — v Ц
v — разность между начальными и конечными скоростями сечений. |
Из этих выражений видно, что приращение силы удара пропорция
но ударной жесткости тела и потере начальной скорости. J
94 !

Выражения (141), связывающие скорость и силу при ударе в любом
чении стержня, являются основными в волновой теории плоского удара,
го касается знака перед ударной жесткостью тела, то он может быть опре-
:лен с помощью несложного правила: если расположить элементы удар-
)й системы по направлению большей скорости сверху вниз, то ударная
есткость тел, лежащих выше рассматриваемой контактной плоскости,
ыжна в уравнениях иметь знак плюс, а лежащих ниже — минус.
ИЛА, СКОРОСТЬ, НАПРЯЖЕНИЯ.
НАЛИЗ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
1ЛОСКОГО УДАРА
ля решения системы (141) относительно силы делим первое уравнение
a Ci,a второе — на С2. Получаем
N Ni _
кладывая эти уравнения и объединяя N, находим
куда
N = c^cX-cT + -cr) + ^Tc^~v^- (143)
Если стержни не имели начальных напряжений, т. е. N: = 0, Nn = О,
^ = CxC2MCi + С2), (144)
е Vq = v0i — &02 — относительная скорость стержней перед ударом.
Скорость контактной площадки и сечений, охваченных ударом, опреде-
ш, вычитая одно уравнение системы из другого
v = T^rc; (ciyoi + C2v02 + Ni-Nn).
Если начальные напряжения в телах отсутствуют, т. е. Ni = 0, Nn = Uf
» = (CiU0i + C2Uo2)/(Ci + C2).
Если к тому же второй стержень до удара был неподвижен, т. е. v02 = 0,
1 = 00, то
v = C1Vol(C1 + Ci). (145)
Перемещение контактной площадки за время t
u=vt = C1/v0il(C1 + С2). (146)
Ускорение в момент плоского удара оказывается бесконечно большим,
скольку скорость сечений стержней в момент удара изменяется скачком
Uoi или v02 до v = const за время t = 0.
Энергия, передаваемая от одного стержня другому через контактную
ощадку за время t,
A = Nu. (147)
95

Подставляя значения силы N и перемещения и из выражений (
(146), получим
А = ClC.vlt/iC, + С2)\
Энергия, передаваемая за единицу времени (ударная мощность),
W = Alt = Nv = СХС&ЪиРг + С2)2.
Напряжения в стержнях при ударе определяются известными со|
шениями
а! = N/F^ а2 = N/F2,
или, подставляя сюда значение силы удара из выражения (144),
°2 - cT=Fc"2 " ~~fTv° " с7+с"2р2а2Уо-
Рассмотрим три частных случая.
1. Удар очень мягкого стержня по очень жесткому, т. е. ударная
кость ударяемого стержня С2 намного больше ударной жесткости уда|
С4: С2 > Си С,/С2 ж 0.
Тогда сила удара, определяемая выражением (144),
N = сг+с;Vo = d/c2+i "° - СЛ); -
скорость контактной площадки согласно формуле (145)
_ [CiPq _ [Ci/C2 _ q.
передаваемая энергия с учетом формулы (148)
А = Nvt = 0.
Таким образом, при ударе о весьма жесткий стержень торец уда)
мгновенно останавливается, а сила удара достигает максимальной дл|
ной системы стержней величины, передачи энергии не происходит.
2. Ударная жесткость ударяемого стержня намного меньше жес|
ударника: Ci ;§> С2, C2/Ci^0.
Тогда сила удара
N =CiC&0/ (d + С2) = C2v0;
скорость контактной площадки
d _ 1 _
г У0 "^ 4 _L Г /Г ' ^0 — ^0»
d+C*" i + Ct/Ci
передаваемая энергия
A =Nvt = C2v0v0t = C2vlt.
При очень малой абсолютной величине С2
N = 0, v =v0, A =Nvt = 0,
Эти два случая показывают, что чрезмерная жесткость приемника!
гии (ударяемого стержня), так же, как и чрезмерная его мягкость,(j
ково приводит к ухудшению передачи энергии. ,
3. Промежуточный случай — ударные жесткости стержней одив|
С\ = С2 = С. j
96

Тогда сила удара
жорость контактной площадки
С4-С
V0 =
Vo
предаваемая энергия
A = Nvt = C^_. Ц-t
4.
Покажем, что при С1 = С2 передача энергии, определяемой за одно и
о же время, будет наибольшей для данной системы. Для этого обратимся
; (149). Обозначив С2 =kCu по формуле (149) получим
kCn
1ифференцируя no k, находим
vQ.
dW __ (i-k)
dk ~ (l + k)*
Civ0.
Приравнивая производную dW /dk нулю, находим соотношение C2 и
i, отвечающее максимуму передаваемой энергии:
1-ft =0, k =C2/Ci =1, С2
го и требовалось доказать.
■-Си
\СЧЕТ МНОГОСТЕРЖНЕВЫХ УДАРНЫХ СИСТЕМ
элученные решения позволяют перейти к расчету более сложных систем,
»гда в ударе участвует больше двух стержней. Покажем это на примере
стемы из трех стержней (рис. 21). Стержень У, имеющий начальную ско-
•сть и0 и ударную жесткость Ci, через жесткую прокладку 4 наносит
lap по двум неподвижным до удара (v02 = 0, v03 = 0) стержням 2 и 3, име-
цим ударные жесткости С2 и С3.
Ni, N2y N3 — силы, действующие
стержни во время удара, vu v2,
— скорости торцов стержней во
емя удара. Точка удара отстоит от
и стержня 2 на расстоянии а, а от
гржня 3 — на расстоянии Ь.
Прежде всего составим волновые
авнения для всех стержней. Пос-
льку стержни 2 и 3 расположены
I плоскостью удара 0 — 0, их удар-
:е жесткости должны иметь знак
нус (стр. 97). По аналогии с сис-
лой (141), учитывая, что начальные
орости стержней 2 и 3 равны ну-
), запишем
tfi=Ci(0oi —t>i),
N2=-C2(0-v2) =C2v2, (151)
^з =— C3 (0 — V3) = С3У3. Рис. 21. Трехстержневая ударная система
Е. Б. Александров, В. Б. Соколинский
97

К полученной системе трех уравнений с шестью неизвестными нем
димо добавить уравнения, связывающие силы Ыъ Л'2, N3- Допущение п|
кого удара о том, что положение оси стержней во время соударения на
меняется, т. е. изгиб их невозможен, позволяет воспользоваться теор{|
моментов:
N%(a + b) = N±b, N2 = -^ Ni, Nta = N3(a + b), N3 = ^Nv
Для получения недостающего уравнения воспользуемся законом!
хранения энергии, согласно которому энергия Ль отдаваемая стержн!
стержням 2 и 5, определяется формулой
At =А2+ Л3,
где
Ai =NtVit, А2 = N2v2t, Az = N3v3t,
откуда
NiVi = N2v2 + N3v3.
Решая совместно системы уравнений (151), (152) с уравнением
найдем
Ni =Cti>o/(l + п), Vi =nv0/(l + n)t
N2 =ЬС&0/{а + b) (1 + n), v2 =Cbv0/ (a + 6) (1 + n)C2,
N3 =aCiV0/{a + b) (1 + n), v3 =Cav0/{a + b) (1 + n)C2f
где
СгС2а2 + C3b2
C2C3(a + b)2
В частном случае, если стержни 2 и 3 одинаковы и расположены hi
наковом расстоянии от оси стержня 1, т. е. С2 =С3 =С, а —Ь, то1
п =d/ 2С, Ni =2CiOV(Ci -f 2С).
Подобными методами решается система с любым числом стержне!
РАСЧЕТ НЕТОРЦЕВОГО ПРОДОЛЬНОГО УДАРА
Одна из ударных систем, в которой происходит неторцевой удар, из|
жена на рис. 22. Ударник 1 имеет трубчатую форму. Ударяемый стер|
2 до удара неподвижен.
Плоскостью 0—0 разобьем мысленно ударяемый стержень на
полустержня — верхний с ударной жесткостью С3 и нижний с
. , ной жесткостью С2. Пусть iV3 Ч
rvV|—П^~ +/V д i действия нижнего полустержня на :
Ni — сила действия нижнего полусте!
на ударник, N2 — сила действия ущ
на нижний полустержень, v — скорость
тактной плоскости 0—0, при плоском
одинаковая для всех точек.
Составляя волновые уравнения, за»
что ударная жесткость верхнего полуа
ня С3, находящегося выше плоскости у
должна входить в уравнение со знаком]
а нижнего, лежащего ниже плоскости]
ра,— со знаком минус. Тогда волновые
нения получат вид:
V-
I +v
Рис. 22.
система
Неторцевая ударная
98

для ударника
Ni=Ci(v0-v),
для нижнего полустержня
JV2=-C2(0 — v) = C2v,
для верхнего полустержня
Л^з = С3 (0 — ^) = —C3v.
ак последнего уравнения показывает, что в плоскости, разделяющей по-
:тержни, действует растягивающая сила.
К полученным трем уравнениям с четырьмя неизвестными добавим урав-
яие равенства проекций действующих сил на ось стержней
Nt+N3-N2=0. (155)
Решая систему уравнений (155), найдем
^=Civ0/(C1+C2 + ,C3)9
A'1=d (v0 - v) =v0C1 (C2 + C3)/ (d + C2 + C8),
N2=C2v =--v0CiC2 I (d +[C2 + C3),
Л/3 =- С8» =—vQdC3/ (Ci.+ C2 + C3). (156)
Если сечение ударяемого стержня в плоскости удара не изменяется или
меняется мало С2 =С3 — С, тогда
Nl=2C1Cv0/ (Сх + 2С).
Сопоставление этого выражениях формулой (144) доказывает, что удар
i стержню в средней части эквивалентен удару по двум стержням, имею-
ш каждый сечение, равное сечению первого стержня, или по одному
стерло, сечение которого равно удвоенному сечению первого стержня. Воз-
[кающие при этом напряжения растяжения определяются формулой
cz=N3/Fz =— ClP3a3v0/ (d + С2 + С8). (157)
Полученные аналитические выражения показывают, что во всех рас-
отренных случаях (удара двух стержней, нескольких стержней, боково-
удара) характер изменения силы удара, скорости стержней и напряже-
й одинаков — параметры удара изменяются скачком и в течение всего
емени удара остаются постоянными.
Однако продолжительность удара определена не была. Для ее нахож-
йия необходимо учитывать то обстоятельство, что'кроме торцевой поверх-
сти, участвующей в ударе в первую очередь, у соударяющихся стержней
еются и другие граничные поверхности, ограничивающие продольные
змеры стержня или в случае составных стержней, имеющих различную
арную жесткость.
ЮХОЖДЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН
ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ВОЛНОВЫЕ ДИАГРАММЫ
)и движении ударной волны по стержню от плоскости удара параметры
(сила удара, скорость сечения, напряжения) несколько изменяются
ледствие дисперсии, потерь энергии на внутреннее трение (гистерезис),
пучение волн в окружающую среду и внешнее трение. Величина этих
менений зависит от свойств материала стержня, уровня напряжений,
рактера окружающей среды, а также от длины стержня. Однако для
7* 99

Рис. 23. Типы граничных поверхностей
а —разный материал, разные сечения;
б — контактные границы
многих материалов,в томч
еле и сталей,при нагрузка
не превышающих предел yi
ругости,искажения волны и
велики даже при значите^
ных длинах стержней
В связи с этим предпо-j
гается, что параметры вол!
при движении по стержню|
таются неизменными до
пор, пока она не достиг|
граничной поверхности
Под граничными пове(
ностями понимают те плоа
сти, где ударная жестко|
изменяется.
Граничные поверхно|
могут проходить как вн)|
стержня, так и совпадая
торцами стержней, при
тых один к другому, cocl
ляющих ударную систему"
которой перемещается в<
Примеры граничных внутренних поверхностей показаны на рис
На рис. 23, б показан пример границы, разделяющей элементы уда]
системы.
С точки зрения физики прохождения волн тип границы не
существенного значения. Однако границы типа (рис. 23, б) не в с<
нии противостоять растягивающим усилиям, поэтому появление на
границах волн растяжения немедленно приводит к разделению а
касающихся тел — ударная система распадается. К граничным ш
ностям, естественно, может быть отнесена и начальная контактная пл!
ка во время удара. I
При существовании нескольких граничных поверхностей проис|
многократное отражение, преломление и наложение ударных волн, в|
зи с чем общая картина волнового процесса во времени значительно у|
няется. В связи с этим удобно и целесообразно построение вспомоп
ных волновых диаграмм, достоинством которых является их нагляд!
Волновые диаграммы являются также основой для составления
волновых уравнений, указывая временную последовательность в(
данной границы.
Изложим метод расчета ударных систем с несколькими граничны»!
верхностями для относительно простого случая — системы с двумя т
ными поверхностями (рис. 24). На рисунке изображен ударник Ус!
тупом длиной /. Ударник выступом ударяет о штангу 2. Известны уя
жесткость ударника Си выступа С0, штанги С2, а также скорость р|
странения волны по выступу а0. I
Построение волновой диаграммы производим следующим образ!
1. Выносим граничные поверхности А к В. |
2. На линии поверхности первоначального контакта а намечаем!
вольную точку О, служащую началом отсчета времени /. [
3. В принятом масштабе времени откладываем от точки В время!
ния ударной волны к граничной поверхности О, которое равно IjaA
где Т =21/а0 — период собственных колебаний выступа. [
4. Из этой точки t = 1/а0 восстанавливаем противоположно наш
ные векторы, показывающие направление движения первоначальны»
ных волн от площадки контакта. Около векторов волн указываю!
100
(

Рис. 24. Система с двумя граничными поверхностями
раметры — сила N и скорость v. Параметры волн, возникающих в дан-
й плоскости одновременно, одинаковы как по силе (действие равно про-
водействию), так и по скоростям (общая контактная площадка).
5. Находим точку пересечения вектора волны с линией граничной по-
эхности В, соответствующую моменту достижения волной этой поверх-
сти.
6. В этот момент, ввиду отражения и преломления, на поверхности В
зникают новые волны с параметрами щ и \1^1,одна из которых распрост-
няется дальше по ударнику, а другая — по выступу обратно к плоскос-
А.
7. Точку, соответствующую моменту достижения этой последней вол-
й плоскости Л, найдем, отложив от точки прихода волны_^NyVi по линии
время // А0.
8. Аналогично строим векторы последующих волн N2> v2; N3t v3; Af4, vk
т.д., последовательно рождающихся на поверхности А> и векторы волн
, w2\ я3> wz\ ^4> Щ, рождающихся на поверхности В.
Во время рождения новых волн предыдущие волны продолжают рас-
юстраняться по штанге и ударнику — на диаграмме они отмечены пунк-
ром. Однако отмечать их перемещение на данной волновой диаграмме не-
язательно, поскольку к граничным поверхностям они не возвращаются.
эугими словами, внешние волны, распространяющиеся за пределами уча-
ка, ограниченного граничными плоскостями, интересуют нас только в
)мент их возникновения.
\СЧЕТ УДАРНОЙ СИСТЕМЫ
ДВУМЯ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
построением волновой диаграммы приступим к расчету системы. Зада-
i расчета — определение сил, действующих на граничных поверхностях,
скоростей их перемещения в любой момент времени. Для этого нужно
феделить параметры волн, возникающих на этих поверхностях. Расчет
фаметров можно вести прямым, обратным и полуобратным методами,
В первом случае параметры волн рассчитываются в их хронологиче-
ой последовательности. Во втором случае—в обратной последовательности,
1чиная с определенного момента. В качестве такого момента целесообраз-
i выбрать момент, когда волновой процесс установился, о чем свидетель-
1.01

ствует повторяемость участков волновых диаграмм через определена
периоды. I
В третьем случае часть волн (обычно внешние волны) рассчитываем пи
мым методом, а другую часть (внутренние волны) — обратным. I
Второй и третий методы предпочтительнее при отыскании общих |
кономерностей. I
Для определения параметров волн используем уравнение (Н
связывающее начальные и текущие параметры волны. Запишем его в|
щем виде
N-Nn=±C(vn-v), (I
где Nn — начальное (предыдущее) значение силы; vn — начальное (npej
дущее) значение скорости; N — текущее значение силы; v — текущее з
чение скорости; С — ударная жесткость того стержня, для которого d
тавляется уравнение.
Чтобы не загромождать расчет дополнительными членами, примем,
ударник и штанга не имели начальных напряжений, штанга до удара бы
неподвижной, т. е. не имела начальной скорости, начальная скорость yJ
ника с выступом v0.
Уравнения для определения Niy vt имеют вид
для выступа Nn =0, vn =у0, С =С0,
tfi — 0 = С0 (v0 — v±), Ni = Со (v0 — v±); (I
для штанги Nn =0, vn = 0, С =— Съ
Nx — 0 = —C2 (0 — v±), Ni = C2v£ (
Решая систему уравнений (159) и (160), находим
#i = C0C2v0/(C0 + С2), (
V! = C0v0/(C0 + С2). |
Заметим, что
N1 — C2v1 = 0.
Далее составляем систему уравнений для определения п± и W\.
Для ударника Nn =0, vn =v0, С =СЬ
тогда n1 — 0 = C1 (v0 — Wi);
для выступа
n1 — N1 = —Co(v1 — W1)3
поскольку для выступа теперь (см. рис. 24) Nn = Nu
vn = V\\ С = — Gq.
Решая эту систему, находим
„ 2CqCiC2 . ттр Г, 2С0С2 1
П1 ~ (Со + Сг) (Со + С,) У°' Wl - L ~ .(Co + GHCo + C,)] Щш
Заметим, что
v° = "сТ + w*
Система уравнений для определения Nz и vz:
выступ
Nn = nt, vn = Wu С = Со,
N2 — n1 = C0(W1 — v2),
N<i — N1 = —Ci (t»i — ий);
102

штанга
Mn = N1, vn = Vi, C = —C2.
Решаем эту систему, используя соотношение (163),
дг _ С0С2 f~i 7 £i —Со I (Ci — Со) (С2 — Ср)"]
iV« - - ■ - L1 i- d:+ Со + ;(d + с0) (c2 + Co)J "°'
Со + С2
7| ^2 Г1 , Ci — Со | (Ci — Со) (С2 — Со)
Г1 | ^1 — Со . (Ci — Ср) (С2 — Ср) 1 /1«Л\
L1 "*" Сх + С0 "Т" (Ci + С0) (С2 + С0) J • v100^
мечаем, что
N2 — CoUo =Ni — CoVi = 0. (167)
Так, последовательно переходя от узла к узлу, возможно определить
раметры ударных волн. При этом выражения для сил и скоростей стано-
тся все более громоздкими и их упрощение требует значительных усилий
в некоторых случаях даже удачи. Соответственно усложняется и поиск
щих закономерностей.
Для решения такой задачи удобнее применить полуобратный метод.
Определим Л/"4 и vk. Составляя систему уравнений тем же методом, что
[раньше, получим
N,-n3=C0(W3-vtk), (168)
N4 -N3=— С2 (v3 — я4).
ыразим Af4 во втором уравнении системы (168)
Ni=N3 — C2v3 + C2Vky
t iV3 я v3 — параметры внешней волны распространяющейся в штанге.
Ья нее предыдущей является волна с параметрами N2, v2- Для этой
последуй предыдущей волной является волна с параметрами Ni9 i;1# Составляя
[равнения для волн в штанге, получим
^з — N2 = — С2 (v2 — v3), или N3 — C2v3 =N2 — C2v2;
JV2 — Mi =—C2 (vx — v2), или N2 — C2v2 =Ni — C2Vu
JV< - 0 = — C2 (0 — ui), или Ni — C2Vi = 0;
ткуда
^з - C2v3 =N2 — C2v2 =Ni — C2vt = 0
вообще
Ni-C2Vi = 0, т. e. (167),
ю существенно упрощает решение уравнений.
При этом условии получаем решение системы уравнений (168):
tf4=C0C2(g-+ W3)/(C0 + C2)l
Vlk=NJC2 J (169)
Для определения п3 и W3 составим систему уравнений для соответству-
Ш волн на плоскости В.
h-n2=Ci(W2-W3)"i
h-Nz=-Co(v3-W3)j (170)
Определим п3 в первом уравнении (170)
h=n2+CiW2 — CtW3y
103

где п2 и CiW2 — параметры внешних волн, распространяющихся в удар
ке. Составляя уравнение, связывающее эти параметры с значениями
и Wu находим
п2 — /ц = Сг (Wx — W2) или n2 + CiW2 = /i4 + CiWi.
В свою очередь
n1 — 0 = C1(v0 — Wl), или n1 + C1W1 = v0C1,
откуда
гн + Сг\У2 = пг + CJ/V\ = vQCx
или вообще
щ + CyWi = у0Сь |
что существенно упрощает решение уравнений. При этом условии pemeq
системы уравнений (170) примет вид
CoCi Г i Л^з "] ТТ7 Пз
откуда
г+^=г+^-»+^"-^+
1 Ci — Со f , Л^з
лг ^з
Уравнения для определения -~ — v3
Ns-n2 = C0(W2-v3),
N3 — N2 = —C2 (v2 — u8).
Решаем эти уравнения с учетом условия (167)
^ = С^(-Й + Ч»з = ЛГ3/С2,
тогда
#з _ #з ЛГ3 _ С2 — Со л. _ С2 — Со / п2 . т,7
Со"-^ ~ Со" ~СГ ~ -Со^Г^3 - СГ+сДсо~ + W<
Уравнения для определения — + W2
n2 — nl = Cl{Wl — W2)
п2-
Решаем эти уравнения, учитывая условие (165),
^C^(*o + t-*2)HT*W0-£,
тогда
П* | ГТТ «2 , „, п2 . Ci —Со
,,-ny = Cl{W1-Wi) |
,_#, = —C0(o, — W,) /'
Ci — Cof . ЛЛ>
,~n1 = C0(W1 — v2) J
Л/.
Co
Уравнения для определения ~ —
N2~n1 = C0(W1 — v2)
N2-
2
104

Решаем эти уравнения с учетом условия (167)
N,=
Со + Сг \ Со
+ Wx) и *, = -£,
тогда
N2
Со
N2
Со
С2
?2 Ср
СоСг
N,
Шл%+цг\
Уравнения для определения ^ + W\
n1 — 0 = C1(v0 — W1)
nl-N1 = —C0(vl — Wl)
Решаем эти уравнения, учитывая условия (165),
гогда
"1
ст + Wl = Со" + у° —сГ = Уо + -cZT ni
Vo +
Ci-
Ci+C,
*(*.+ *
C„
•»i
c2
(«равнения для определения -g у4
I ^-0 = Со(о0-01)
1^-0 = — C2(0 — 0l), »i:
Решая эти уравнения, получим
it С0С2
югда
I. #i_ = #1 Wi = C2 — Co _
l Co Co C2 C2C0 C2 + Co
доставляя уравнение (178) в формулы (177) и (177а), находим
Ni
С г — Со
•V0.
h =
CnCi
С0 + Сх
V0 +
Сг — С(
Со + С,
Н"
Ч
Cl_C°t»ofl+ Сг
Ci+Co
CqCi
Со + Сх
Со
■Mi
•Со
Сг + Со
Сг + Со
Pi — Со (л . С2
(176)
(176а)
(177)
(177а)
(178)
Ci + C»
кдставляя последнее выражение в формулы (176) и (176а)
С\ — Со ■ ( С\ — Со \ / С2 — Со
с2 + с,
■Со\\
Со yj'
J\f — СрС2
! Со + Сг
/V,
7 Уо =
0о [l
Сг — Со fi , Ci — Со Л ,
с^+с7УЧ1+"сТ+Со-11 +
Ci + Со \ Ci + Со / \ Сг + Со
Сг — Со
■00 И
Сг + Со
Ci — Со
С\ — Со
С»
Сг + С0 i Ci + С0 \ Ci + Со У V С2 + Со
вставляя последнее выражение в формулы (175) и (175а), находим
CflCi | f ! Сз — Cq i С2 — Со С\ — Со
П. =
Со + Сх
»o[l
Сг — Со • С
Сг + Со Сг + Со Ci + Со
+
+
Ci + Co
Сг — Со
Сг + Со
105

£+v> = 4' + fro ['
+(£
— Co \ ( С2 — Co
+ Co / V C2 + Co
]}-*[
C2 — Co , С2 — Ср Ci — Co ,
C2 -}~ Co C2 ~{~ Co C\ -\~ Co
1 _i C\ — Co , Ci — Co C2 —
Co
+
C1 + C0 "f" C1 + C0 ',C2 + C0
Ci — Co
+
Ci + Co / C2 + Co \ C\ + Co
Подставляем это выражение в формулы (173) и (174)
N* =
С0С2
Со + С2
V0
[■+§
-Со
+ С0
Ci — Со \ / С2 — С|
Cl + Со / \ С2 + С
+
+
Cj-
^1_л -я ГС^-С° |
с "'""Чс + с, +
Ci + Co
Ci — Со
U2 Со
Сз Ч~ Со
Сг — Со
+
Ci -J- Со / \ С 2 -j- Со
-Со
+
+
+
Ci — Со
С! + С0
Ci — Ср
Ci + Со / \ Сг + Со
w — Со \ / С2
С 2 + Со у
Сг — Со \
Ci + Со / V Съ -\- Со } \ Ci + Со
Последнее выражение подставляем в формулу (171)
CqCi j 1 , С2 — Со , / С\ — Со \ ( С% — Со
С 2 + Со
П3 =
Со + С
Tv0[
С2 + Со
+(£
+ Со у \ Сг + Со
+
С\ — Со \ / С2 — С
Ci + Со J \ С2 -f- С
+
с2-
^!+
Ci — Ср
Ci + Со J \ С2 + Со / \ Ci + Со J \ С2 + С(
Сгруппируем по отдельности четные и нечетные члены этого выражени!
из суммы четных членов вынесем множитель ' °
Пъ
СрС\
Со + Сх
С2 — Со
С2 + С0
CqCi
Со + d
Ч'+й
Ci — Со
^
+ Со / \ С2 + Со
Со \ ( Сг — Со
Сг — Со \ _|_ ( С\ — Со \ / Сг — Со
Ci + Co
С2 + Со
Со — Со
J-
^о
\_ Ci + Со / \ Сг + Со
Сг — С(
J^Vci + CoJ ^Сг+с»;J/
Сг + С{
*)['+(&
. Ci + Co у \ Сг + Co (
■ Co \ / C2 — Co
+ Co / V C2 + Co
+
+
Ci — Co
Ci + Co
C2 — Co
C2 + Co,
Члены, находящиеся в квадратной скобке, являются членами убываю
геометрической прогрессии, поскольку q <1.
Сумма этой прогрессии
S = (l-cf)/(l-q),
где / — число членов, соответствующее в данном случае номеру пери|
в течение которого действует сила т.
Знаменатель прогрессии
2С0 (Сг + С2)
Я
С\ — Со
С± + Со / \ Сг + Со
С 2 — Со
1-а =
(Ci + Co)(C2 + C0)#
Подставляем эти величины в выражение для п3 и производим npeoj
зования
CoCi „ 2С2 (Ci + Со) (С, + Со) (] зч = С*С2
2Co(Ci+Ca) ^ Ч) Ci + C2
Л3 =
0<г
Co + Ci "° Сз + С,
Vo(\-
106

и вообще для силы, действующей на ударник в течение i-ro периода
*' = &Tkv<>ll-rt' (180)
где
q = (d — Со)(С2 - Со)/(Сх + С0)(С2 + С0).
Скорость поверхности В согласно условию (165)
Г'= "о-^ = ,о [l-c^(l-<?<)]• (181)
Для определения общего выражения сил Nt, действующих на штангу,
[обратимся к формулам (169), (173), (176), из которых следует, что между
IVi и т существует зависимость
С0С2 /Л/-1 . w/ \ С0С2 /«/-I , „ «/-I
^=7^71 + ^М=7гтГ7^+»о-«
Со + С2 \ Со / Со + С2 \ Со Ci
^2^0 Л, | Ci — Со \
С2 + Со
(Подставляем сюда найденное значение щ из формулы (186)
С2 Со -f- С2
При этом следует иметь в виду, что в ударнике сила удара появляется
несколько позже, чем в штанге. Это запаздывание зависит от длины
выступа и определяется соотношением
Д^ = 1/а0.
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ.
(УДАР СТЕРЖНЯ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ О БЕСКОНЕЧНУЮ ШТАНГУ
Случай С0 =Сь изображенный на рис. 20, соответствует случаю удара
бесконечного ударника без выступа о штангу.
\ Действительно, подставляя С0 =Ci в формулы (179) и (180), получаем
(=0 и, следовательно,
I Ni=ni=C1C2v0/(C1 + С2),
ко, как и следовало ожидать, в точности соответствует выражению (144).
Исходя из полученных общих выражений можно также получить
решете задачи о плоском ударе ударника ограниченной длины / о бесконечную
чгангу (рис. 25) [17, 18].
В этом случае сила взаимодействия ударника со штангой определяется
з выражения (182), если положить Ci =0.
Тогда
*=ътк ^ = ~£тк (-ет&Г0- <184)
К при d = 0
Ч = ~ (Са - С0)/(С2 + С0) = (Со - СОДСо + С2),
щ = Ni/C2 = Catf-4(C0 + С2) (185)
107

Рис. 25. Удар стержня конечной длины о бесконечную штангу
а - С2 > О,; б - С, > С2
Согласно выражению (184) в течение первого периода собственных i
лебаний ударника, т. е. при i = 1, что соответствует времени 2l/a0 ^> t >
Ni =C0C2v0/(C0 + C2).
Характер же изменения силы в течение последующих периодов завис
от величины q. Если q < О, С0 < С2, то N2 — сила удара во втором перн
де становится отрицательной, т. е. сила сжатия сменяется силой растяж
ния. Поскольку поверхность контакта ударника и штанги не в состояня
противостоять силам растяжения, ударник отскакивает от штанги ера
же после прихода первой отраженной волны, т. е. при
t =2t/a0 =tV9
где / — длина ударника; а0 — скорость волны в ударнике.
В этом случае по штанге пойдет импульс П-образной формы, интенси
ность которого
tfi=C0C2i;c/(Co + C2),
а длительность tv. Тогда длина ударного импульса (волны) в штанге (pi
25, а)
/в = tya2 = 21а2/а0.
Энергия, полученная штангой при соударении, складывается из .„
тической энергии частиц и потенциальной энергии сжатия. В волне,!
известно [4], кинетическая часть энергии равна потенциальной. 1
Суммарная энергия, полученная штангой за время соударения I
= 2//а0, определяется формулой (148)
Л,=
ДО
2/ 2
а0 -
(С0 + С2)2
Энергия ударника перед соударением
А0:
PoFolv*
oq 2
2 "~ 2
где m =p0F0 / — масса ударника,
108

Коэффициент передачи удара т] при подстановке найденного значения
N1 в формулу (148) определится равенством
т| = А2 I А о = 4С0С2 / (С0 + С2)2. (187)
Из выражения (187) видно, что полная передача энергии возможна при
С0=С2.
В этом случае т] = 1 и скорость отскока v0TC = 0. Согласно выражению
(58а) при С0 =С2 ==С
Nt = Cv0/2, vt =v0/2.
Следует заметить, что длина штанги /2 принималась бесконечной.
Однако это условие не обязательно. Достаточно, если 12/а2 ]> h/aiy так как в
этом случае волна, отраженная от противоположного конца штанги,
придет к контактной поверхности только после отскока ударника и,
следовательно, не сможет оказать на удар никакого влияния. Поэтому длину /i
называют критической, а массу штанги, соответствующую этой длине,—
-критической массой ткр
wKp = pF2/кр = pF2li -^.
В случае q > 0, т. е. С0 > С2, характер изменения силы по времени
/имеет ступенчатый вид (рис. 25, б).
Поскольку согласно формуле (184) сила в течение удара остается
всегда положительной и достигает нуля лишь при / -» оо, длительность удара
(бесконечно велика
I ^у = оо .
I Полная энергия А2, полученная штангой, в этом случае складывается
|«з энергий участков протяженностью 21, т. е. в соответствии с
выражениями (148), (184), (185).
со оо
Аг = %- (NlVl + N2v2 + N3vs + ... + Nfflt) = £ 2 Ntvt = %- 3"^=
21 £... 91 ClClvl ~ 2lClC,vl
_- - f ' aoC2 (Co + C2)2 ^ V a0 (Co + C2)2 ^J 4
oo
Выражение 2 92(i"~1) представляет собой не что иное, как сумму членов
1
(бывающей геометрической прогрессии, которая определяется равенством
| со
1 _ 1 _ (Со + С2)з
<Р . /Со-С^2
1 1_
\ Со + Сг
югда
__ 2/ CSC2°S (Со + С2)* _ С0< _ *02 _ mvl _
2~ а0 ' (С0 + С2)2 " 4С0С2 ~ ~1^~ ~ аð' Т" ~ ~~2~ " Л°
Здесь m — масса ударника.
Коэффициент передачи энергии удара
Л = Л2/Л0 = 1.
Скорость отскока соответственно равна нулю.
109

Таким образом, анализ приведенного решения плоского удара гладкого
ударника (в противоположность ступенчатому) о бесконечную штангу,
позволяет сделать следующие выводы.
1. Интенсивность (сила) удара и напряжения, пропорциональные
скорости удара, не зависят от длины ударника.
2. Длительность удара может быть либо бесконечно велика (С0 ]> С2),
либо равна периоду колебаний ударника (С0 < С2), т. е. зависит только от
его длины и скорости волны.
3. При С0 > С\ удар передается полностью, отскок отсутствует.
4. Форма ударного импульса либо прямоугольная, либо ступенча-i
тая. |
Уместно заметить, что ни один из этих выводов теории экспериментами
не подтверждается [3]. Оказалось:
1. Интенсивность удара существенно зависит от длины ударника.
2. Длительность удара никогда не равна периоду колебаний ударника|
или бесконечности, а лежит в промежутке между этими крайними
величинами, причем длительность удара зависит помимо длины от соотношения!
всех упругих и геометрических параметров ударника и даже от скорости)
удара (см. рис. 49—53).
3. Упругий удар никогда не передается полностью, всегда имеется от-|
скок, причем величина коэффициента передачи удара зависит не тольм
от сечения и упругих свойств штанги и ударника, но также от длины удар]
ника и скорости удара.
4. Форма ударного импульса никогда не бывает П-образной или ступен]
чатой, она всегда имеет плавные округлые формы (см. рис. 49—53).
Отмеченное очевидное расхождение выводов*,теории плоского удара
практикой неоднократно отмечалось исследователями и явилось осн(
ванием для критики ее исходных положений. Однако уже анализ зависим(
сти (182), полученной при рассмотрении удара стержня с выступом, показ!
вает, что наблюдаемое постепенное нарастание силы удара со временем ш
жет быть объяснено относительно более мягким выступом на конце стерЛ
таким выступом можно считать и край стержня при неизбежной несоосш
ти соударяющихся стержней.
Зависимость (182) можно записать следующим образом:
ЛЛ
— я [ СоС2
СЦСг-Со)
(С0 + С2)(Сг + С2)
= v0C2
(1-Н]
Г Со_
С2
С2
С2
1 +
Со
1 + -
1 +
Сг
(1-Г1)
Полагая жесткость выступа С0 малой сравнительно с жесткостью стержн|
т. е. i \
С0<С2, С0<СХ; С0/СажО,
можем записать
С\Съ
N£ =
Ci + C2
(l—qt-*)v0,
т. е. сила, действующая на ударник согласно формуле (180), равна сн
действующей на штангу, имея однако смещение по времени, равное пер|
ду собственных колебаний выступа *.
1 Если к тому же частота собственных колебаний выступа велика (т. е. период мал),м
говорить, что эти силы равны в любой момент времени.
110

Если длина выступа / весьма мала, т. е. когда период Т весьма малх,
ломаную линию / можно заменить плавной кривой 2, асимптотически
стремящейся к предельному значению силы, равной согласно формуле (144)
силе при непосредственном ударе стержней без выступа, т. е. влияние
выступа со временем уменьшается.
Обозначим N0 = CAt^d + С2), / = JL- = -|L.
Выражения (180), (182) можно записать
at
Ni = ni = N = NQ{\-q*),
или
N = N0(i — (г**)ч (188>
где t — время от начала удара,
2/ "V Я J 2/ 1Х' (F1-F0)(F2~-Fo) '
т. е. зависимость силы по времени при наличии выступа постоянного
сечения носит экспоненциальный характер. (Следует заметить, что при q < 0
сила удара не повышается, а уменьшается со временем.)
Пояснив постепенное нарастание силы удара со временем, нетрудно
объяснить, как ранее отмечалось, связь силы ударах длиной ударника, от
которой зависит время удара.
Таким образом, расхождение результатов изложенной элементарной
теории плоского удара от эксперимента свидетельствует не о том, что неве-
!Н принцип постепенного распространения напряжений, лежащий в осно-
волновой теории, а о том, что волновая теория удара должна учитывать
(фактическую невозможность касания одновременно по всей поверхности
горцов стержней.
Теория ударных процессов, учитывающая неплоское касание торцов,
вложена в гл. VII настоящей работы.
>АСЧЕТ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ.
1ТУПЕНЧАТЫЕ УДАРНИКИ
Усмотрим ряд более сложных вопросов плоского удара. Начнем с расче-
Iступенчатого ударника грибообразной формы (рис. 26, а), нередко при-
йшющегося в конструкциях пневматических перфораторов.
Построим волновую диаграмму, полагая l0 =2h; примем за масштаб
|емени наименьший период колебаний ударника, т. е. Т4 =2li/a;
(означим, как и раньше: Ро^о^о =С0, pi^i^i =Сь Рг^г^г =С2, скорость
арника перед ударом v0; разумеется, если ступенчатый ударник од-
|оден, р0а0 =piax.
С учетом принятых обозначений составим систему уравнений.
Для первого узла
Jfj — 0 = С0 {v0 — t;i), Ni = Со (v0 — tfi),
W1 = -Ca(0-t;1)1 N^C,vu
h = C0C2v0/(C0 + C2), Vl = C0v0(C0 + C2),
}ixJrCQv1= v0C0, vl = vQ — ~J
»i—CaUj = 0.
е. частота собственных колебаний выступа велика.
111!

Для второго узла
N2 — 0 = Сг (v0 — v2), NJd = v0 — v2j
N2~Ni = —C0(v1~v2),
N2 N1 ,
1 , 1 \ , N! mt _ тл , Nx , N1 2Ni
Ni = 2C1N1/(C1 + Co) = 2C0CiC2v0/(C1 + C0)(C2 + C0),
N2 = 2C1N1/(C1 + C0), v^Vo-^-^Vo-f^r-.
Ci Ci -f- Co
При составлении системы уравнений для третьего узла необходимо иметь!
в виду, что этот узел находится на граничной поверхности, разделяющей)
воздух й ударник.
г
h
t
IN
■'Я
"г
\N.
■Fz-A
-*■
t/v,
> Кг
Мц
ir¥\irs
/V,
N*\N5
Ns
4
N5
"8
™9
7 \v9
Nb
,*«
N7
J??
a
Рис. 26. Ударная система со ступенчатым ударником
а — волновая диаграмма; б — характер ударного импульса
в штанге
Обозначив акустическую жесткость воздуха рвав, запишем сю
уравнений в виде
для воздуха
Л^з — 0 = pBaB/4(0 — »,),
для ударника
N3 — Ni = — C1(v, — v,),
112

Nb
2 (С, —Co)
C0C2
(Ci + Co) C© Co + C2
#i +
C0C2
Co + C2
^0 =
2C2
Co + C;
= Nt
1 +
Ci + Co
2C2
C0 + C2
N! + ffl =
C\ — Co 1
Ci + CoJ*
(192)
или, обозначая подобно Арндту [15],
2С2/(С0 + С,) = 6, (d — СоМСх + Со) = R;
N6 = NX{\ +bR).
Проводя подобные расчеты, можно найти, что в случае /0 = 2/i
^ = ^[1+&(/?• + /?— 1)].
Результаты расчетов показывают, что параметры волн, проходящих)
последовательно по штанге в результате действия ступенчатого ударника
определяются формулами (применяя новую нумерацию волн)
Nt = СоОо/(С0 + С,), Vi = NJC, = C0v0/(C0 + С,);
(193)1
Параметры второй и третьей волн (по старой нумерации соответствен'
но N& и Ne)
N* = Ni(l+ bR), V2 =Ni (1 + M?)/C2;
(191
[l+b(R* + R-l)]; (1Я
Л^з = tfj [1 + & (R2 + Я - 1)], V3
№л = iVx [1 — & + W + W]; (19
W 5 = tfx [1 — b + 2£>tf + bR* — 2ЬЩ + PR* + 2bzR3 — bR3 + fc#4]; (19|
jVe =N1[i—b + 2bR — 3b2R* + 3bR* — 2b2R — bR3 + b3R3 +
+ 362/?4 — 26/?* + M?e]. (1S|
Скорость в любом периоде определяется по формуле
V„ = NnlC2.
Характер ударного импульса в штанге при R > 0 изображен на рис.|
б. Подобный характер ударного импульса в штанге получается при 1л
= 3/ь хотя в этом случае сила удара по периодам определяется форму|
ми
Ni = C0C2v0/(C0 + C2); Vl=Nl/C2;
N2 =Ni(l+ bR);
N3 = Nill +b(R* + R- 1)]; v„ = N„/C2;
Nb = Nx [1 + b (R3 +R2- 1)];
N6 = Ni [1 — b — bR* + b*R* + bR3 + 6/?*];
Nt = Л^х [1 — b + 2bR — 2ЬЩ — bR* + ЬЩ* — 2&/?3 + 2b*R3 +|
W?* + W?B].
Причем сила N2 сменяет силу Nx через T = 2lQ/a = 6lja, а остал|
силы сменяются через Т\ =2/i/ci.
Из сравнения формул (195) и (199) видно, что сила удара в течение)
вых трех периодов не зависит от соотношения длины тонкой и толстой
тей ступенчатого бойка. Причем именно две из этих сил являются я
мальными: Ni при R <0 (т. е. d <С0)или N2 при 7?]>0 (т. е. С А
114
I

Рис. 27. Осциллограмма силы удара в штанге при ударе стальным ступенча^
тым ударником
v0 = 500 см/сек; F0=F2 = 9cm2; Г1 = ЗЬсма; 10 = 14 см; 1Х = 1 см; /0 = 2/,;
35 q
Nt = 9000 кГ; e=l; R = Q——f = 0,59; //2 = 9000(1 + 1-0,59) = 14-300 /сГ.
Экспериментальное N2 = 9000 /сГ
В последнем можно убедиться, доказав неравенство N2 > N3, т. е.
N1(l+bR)>N1[l+b(R* + R-l)h
\
1суда /? > #2 + /? — 1 или /?2 < 1, # < 1. Как следует из выражения
•2), это неравенство соблюдается всегда и, следовательно, N2 S> N3> что
требовалось доказать.
Из формул (193)—(199) следует, что величина максимального усилия (а
довательно, и максимального напряжения) не зависит от длин ступеней
фжней. Однако эксперименты (рис. 27) показывают, что при малой длине
эрой ступени U повышение силы удара во втором периоде удара мало
сравнению с расчетным.
С увеличением же длины второй ступени максимальная сила удара по-
ренно увеличивается, приближаясь к расчетной величине. Причина
щ явлений заключена в отклонении формы поверхности первоначального
штакта от плоской. Это явление иногда называют «торцовым» эффектом.
Относительная сложность расчета удара ступенчатого ударника по штан-
обусловлена тем, что количество граничных поверхностей увеличива-
ся до трех. К этому же классу трехграничнйх систем относится и систе-
f двух соударяющихся стержней конечных размеров.
[СЧЕТ СОУДАРЕНИЯ
р СТЕРЖНЕЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Ьема двух соударяющихся стержней конечной длины имеет три
травные поверхности — одну контакта и две концевые свободные.
iРассмотрим случай, когда волна разгрузки от свободного конца
ударна достигает плоскости контакта раньше, чем волна разгрузки в ударя-
зм стержне, т. е. 21х1^ <212/а2.
На рис. 28 изображены соударяющиеся стержни и волновая диаграмма
№ системы. Волны, отраженные от свободной поверхности ударника,
Значим одним штрихом (не путать со знаком производной в дальнейшем).
Цшмер, волна Nu vi9 отражаясь, дает волну Л/\, v±; волна jV2; v2 —
8* 115

ч
I \
т
h
о,
в/
и
%
, I,
-'v
V «/Г
0
Pi
^-
VZ,
0 '
»Z
*3
'о \o
J l •? i
Т \Nr \Нг ]N3 \0 ~J0~'
]
Pi
о \o lo \o T
Уз jfo Уз Ya 1
T \0 \0 h t
*2 \u2 \УЗ \*3 1
холЫ \o ]o \o ]o
1 \ 3 [^2 \*>f [^3 \^2
v"\vz.
T
0
it"
"a'
Y
'0 ]o t
Ft \ 2 l
V
4r
Рис. 28. Схема с тремя граничными поверхностями. Соударения двух
стержней конечной длины ( Сг > С2; _ . —L = 3 ]
V к а*
N2\ Щ и. т. д. Волны, отраженные от свободной поверхности ударяемо^
стержня, обозначим двумя штрихами.
При построении волновой диаграммы нетрудно заметить, что волновой,
процесс в ударяющем стержне (ударнике) до момента прихода первой вол-J
ны, отраженной от свободного (нижнего) торца ударяемого стержня, ни-
чем не отличается от случая удара о бесконечно длинный стержень, при
тором сила, действующая на контакте, и скорость контактной площадки]
определяются выражениями (184) и (185) *■
*'-*■(£?§■)"■
С\Сч
V; =
CiVo
Ci + C2
/-1
^о
Ci — С2
v/-l
Ci + C2 \С! + С2
= 01
Ci + C2J
Cl-C2^г^-1
Ci + C2
Из этого выражения видно, что при С2 > Ci сила N2 становится отри]
цательной и ударяющий стержень уже через время t =2li/ai отскакивг
ет от ударяемого. При этом передача энергии определится выражений!
(187).
В противном случае, т. е. при Ci — С2У> 0, удар будет продолжат!
еще некоторое время. Попытаемся определить, закончится ли удар для сл|
чая Ci > С2 через время t = 212/а2у т. е. после прихода волны разгрузку
от свободного конца ударяемого стержня.
Определим параметры этой волны Ыг и vx. Составляя, как обычк|
систему уравнейий, находим
Nl — Ni = С2 (v± - vx).
При отражении от свободной поверхности, как мы уже знаем,
N[ =0.
Отсюда
C2v[ =C2v, + Ni=N1+ Ni =2NU
v[ =2Ni/ C2.
К моменту прихода волны с параметрами Nx =0; vx =2Ntl\
отраженной от свободного конца ударяемого стержня к поверхности т
такта , к ней подойдет очередная волна, отразившаяся от свободной пове|
ности ударника и имеющая параметры (см. рис. 28). Ns =0; v3.
116

Вообще номер волны в ударнике, приходящей одновременно с первой
волной, отраженной от свободной поверхности ударяемого стержня
длиной /2, определяется равенством
2/i/i/ai = 2/2/а2,
откуда
п = /2я 1 / /itf2-
Составляя систему уравнений аналогично (189), найдем ее параметры
0 — Ns = —C1(vB — v3')9
откуда
N3 2NS
поскольку
ЛГ3 = Cx (vQ — v3), v3 = v0 — -^-.
Нетрудно показать, что сила падающей и скорость отраженной волны
(связаны равенством
vn' = v0-^. (200)
Используя это равенство, составляем систему уравнений, связывающих
(параметры волны N, v% образовавшейся на площадке контакта после
природа обеих отраженных волн с параметрами
Nn' = 0; vn' = v0- 2^- и Nn" = 0; v{ = 2NJC2,
tf — 0 = Ci (vn' — v)
N — 0 = ~C2(vl"~v)
(Откуда
2^Vi _ 2C2 /Ci —С2\п^ 2Ci _
— vo r. _l г. vo [ г. _±_ r- ) ~ r. _l r. yo —
C2 Ci + C2 \ Ci + C2 у Ci -f- c2
= ГС, —Ci 2C2 (Сг — СЛ"-1! _Г Ct —& 2C2
LCj + C, -Ci + C^Ci+cJ J° L Cj + Сг Ci + C, A
v/Cx-CN""1] fi _ /Сг-С,\ , Г, , 2C2 ^Ct-C^l
xl"cT+"c7j Jt'0-~l"cT+c2-Jy4 +"сТ+с2"1"сГТсТ; J-
Установлено, для того чтобы ударник не отскочил раньше чем t =-^ ,
((обходимо условие ~ ,J ^> 0. Однако при этом же условии полученное
Сражение имеет всегда отрицательный знак.
Л7<0.
Отсюда можно сделать следующие выводы:
1) при q xq ^ 0, т. е. при С2 > Сх удар закончится через время ty =
2) при-^1 , ^ > 0, т. е. при С^ ]> С2 удар закончится через время /у =
117

Коэффициент передачи энергии для первого случая определяется
формулой (187) (в данной задаче С0 =Ci).
Для второго случая коэффициент передачи энергии можно подсчитать
следующим образом.
К моменту окончания удара ударяемому стержню переданы волны с
параметрами: Nu vt; N2,v2; N3, v3,..., Nn, vn. I
Продылнительность каждой волны t =21г/ах. Общая переданная энер
гия согласо формуле (148) (см. также стр. 111)
а±
%Nnvn
2/i
CLiC2
S^2
2/iCi2C2
ax (Ci + C2)2 fJ V Ci + C2
Cl_C2\2(^
где n =l2ai/ ha2, i =1, 2, 3, 4,..., /г.
Выражение для A2 представляет собой не что иное, как сумму
геометрической прогрессии
2/iCi2C2y02
MCi+C2)2
1-
\2п_
C! + C2i
-(£
2ai
['-
Ci — c2
Ci + C2
4 =
Ci/it;02
1 —
+ c2; j
Ci + C2
2ai
Энергия, оставшаяся в ударнике после удара,
2 hai
miVi2 t < ч miVo2 f Ci — C2
Af
(1-Т)) =
Ci + C2
/A
(Й
Если обозначить величину Ai/A0 = 0 (назовем ее коэффициентом!
терь энергии при передаче удара), то
е
1—Т| =
С\ — с2
Из этого выражения видно, что только при Сх =С2 (плоский уда!
достигается полная передача энергии, например, стержней равного cef
ния и одинакового материала *.
В формулу (201) не входят непосредственно массы соударяющихся!
жней, поэтому можно утверждать, что вопреки классической механ!
упругого удара величина переданной энергии не зависит от масс соудар«(
щихся стержней.
Более того, можно показать, что соударение стержней равной id
не всегда дает полную передачу энергии удара. Например, возьмем|
стержня, изготовленных из одинакового материала. Однако сечение щ
ника превышает в 4 раза сечение ударяемого стержня, а длина cooi
ственно меньше, чем у ударяемого стержня, т. е. p4ai = р2а2 = рд, f\\
= 4/^2, /2 =4/. В этом случае
mi =pFili = pF2l2;
d = 4paF2; С2 = paF2\
12а11га = Mxall^a = 4;
Ci — C2 _ 4paF2 — paF2 _ 3
C\ + C2 4pa/72 + paF2 5
1 Напомним, что этот вывод справедлив только в случае, если /2/a2 > tJaX9
t18

Подставляя полученные значения в формулу (201), находим, что
коэффициент передачи энергии удара
т| = 1 — (3/5)8 = 1 — 0,017 =0,983,
вопреки существующему мнению, что при соударении тел равной массы
всегда происходит полная передача энергии.
Кроме того, из зависимости (201) видно, что коэффициент передачи
удара растет с величиной 2/2/а2, которая является [не чем иным, как
временем удара.
Отсюда можно сделать следующий вывод — при заданном
ударнике передача энергии улучшается с увеличением продолжительности удара.
Скорость ударника после разделения можно определить из выражения
2/2Qi
miV _ m^pg / Сг — С2 \ '^2
2 ~ 2 \С1 + С2)
откуда
Скорость движения торца ударяемого стержня; который контактировал
с ударником после прихода волны, отраженной от свободного конца
2Ci Л , !Ci — СЛ
Сопоставляя скорости vy и vu нетрудно заметить, что
Таким образом, разделение происходит вследствие того, что ударяемый
стержень опережает ударник. После удара (разделения) ударник
продолжает двигаться в том же направлении, но уже с меньшей скоростью..
Что касается ударяемого стержня, то скорость его обоих торцов будет
постепенно уменьшаться. Так, с приходом к свободному торцу через время
2/i/ai волны N2 его скорость упадет до величины
щ = 2N2/C2.
Спустя время 2hlau эту же скорость получит ударяемый торец,
поскольку после разделения стержней (когда оба торца свободны и могут давать
лишь волны N =0) уравнение волны в ударяемом стержне будет иметь вид
0 — 0 =—C2(v"2 — vy),
откуда
vy =v2.
Используя это равенство, нетрудно доказать, что волна скорости
отражается от свободной поверхности (при силе, равной нулю) без изменений.
Из волновой диаграммы (рис. 28) видно, что волны скорости длитель-
юстью /i/0i поочередно с периодичностью 2/2/а2 охватывают, чередуясь,
частки ударяемого стержня. При этом в данный момент времени каждый
часток движется со своей скоростью:
пкт irt 2Wi Ci — С2 2Wi (Сг — С2\2
2Nl/c2 или тг-Т7ТсГ или T7lc7+c7j;
шчество таких участков равно-р • — •
119

Вследствие этого на непрерывно перемещающихся границах участков
образуются волны растяжения и сжатия. Определим их величину.
Составим систему уравнений для момента прохождения волны через сечение
(рис. 28) (на рисунке крестиками обозначены узлы рождения волн на
постоянных границах — торцах стержней; точками — на границах волновых
фронтов) i.
Для этого сечения начальными условиями будут
N = 0, v"v
где
#» = tfi (§тЙ")' щ = N*IC^ Vl"= 2Nl,C2] I
Nl — N2 = C2(v2~vi),
Ni — 0 = —C2(v1' — vi),
откуда I
2.Vi = N2 + C2v2 — C2v{ = 2N2 — 2Wb I
Отрицательный знак силы свидетельствует о напряжениях растяжения!
Покажем, что в узле вторая волна растяжения будет еще более интенсив!
ной I
Nu _ ЛГ3 = С2 (v3 — on), 2JVn = 2N3 — 2Ni, ^ I
Поскольку * * <^ 1, очевидно I #n | > I #i |. I
Покажем, что в узле III происходит сжатие. Для этого узла начальным!
условиями являются сверху N = 0, v[ =2Ni/C2; снизу N =0; v34
= 2N3/C2. I
Составляем систему волновых уравнений I
Nm — 0 = C2{v1" — Vm), I
ЛГш — 0 = — С2 (v3 — viu), I
2Nm = C2v{ - C2v3" = 2NX - 2N3 = 2NX [l - (e^§)*] > 0, I
^-^[1-(-§St)2]>°^ I
т. е. волна растяжения сменяется в движущемся стержне волной сжая
и наоборот, стержень как бы пульсирует. Эту картину движения стерж!
можно наглядно наблюдать в пружине при ударе. I
Рассмотрим теперь удар длинного стержня по короткому рис. 29 ш
точнее (поскольку стержни могут быть выполнены из разного материал
h v. h
Сила Ni и скорость vu как и раньше,
TV, = СгС^оЦСг + С2), vx = ^/(d + Са), N± = С2пъ
1 Как показывает анализ волновой диаграммы для расчета мгновенных параметров
на границах тел и фронтов волн применимы одни и те же методы расчета.
120

<11
if
ll_
Ft
tf777777b
с,
1 i
l/v? b; \Nz k/ fa 1
I */
4
«7
4-
^2
^U'fak'l
,
w, T , К 1
»з I hi
щ 1 »t к 1 ^ k/i*sW\** 1
1 ■ 1 I * * *—I * *—*
Vc
^
H'
Рис. 29. Соударение двух стержней (IJa^ > /2/я2)
Волна Ni9 vi9 отражаясь от свободной поверхности ударяемого стержня,.
рождает новую волну с параметрами iV = 0, vv
Скорость vx определяется уравнением
О — Nt = С2 (v± — vf); C2v{ = Nt + C2vx = 2NX.
Параметры волны N2, v2 определяются системой
N2 — N1 = C1(v1 — v2),
N2 — 0 = —C2.(v1" — v2),
(откуда
лт , х , х , # 1 , „ N! , N! 2Ыг ы ( 1 М.
Ci
c2
■Ci
C2 + Ci
N2
2 = cT ~*~ *
C2 VC2 + CJ ~+~ C2 C2 V "^ C2 + C1
Если Ci > C2 и ЛГ2 <0, тотчас же после прихода волны, отраженной от*
юбодного конца ударяемого стержня, последний опередит ударяющий и
Jiap на этом закончится. В результате при таком соударении удается
печать лишь энергию первой волны
- ;Vi22/2 ICfCJv^h = 2CJCJ U_
2~ F2P2fh* ~ (С! + С2)*а2С2 (Ci + C2)2 * а2 '
(Если начальная энергия ударника
Л =
m^o2 _ Pi^i/i^o2 = Сг^Ур2
2 ~ 2 2аг
(коэффициент передачи энергии удара составит в этом случае
4CiC2/2ai = 4CiC2 h jh_
(C1 + C2fa2h (Cx + C2f h а2 9
г---
(203)
При соударении стержней равного сечения из одинакового материала г
i при Ci =С2 и di = а2
Такие соотношения имеют место при Ct > С2. В противном случае (при
<С2) Л^2 > 0 и удар будет продолжаться.
Волна с параметрами N2, v2, отразившись от свободной поверхности,
t новую волну N =0, v2". Ее параметры определяются системой
121'

уравнении
0 — N2 = C2(v2 — v2"),
C2v2" = C2v2 + N2=N, fc£ + ?* ~ Cl
C2 + Ci C2 + Cl
2Ыг
C2 + Ci
+ 1
Определим N3 и v3
N3 — N2 = C1(v2 — v3);
N3~0 = —C2 (v2" — v3);
N3(±
'3*Ci
M _ „ , JVi „ ., _ W /Ci-Ci , 0\ , AT, /C,-Ci
2Wj /C2 — Ci
' C2 \^-2 + Cl
, ATi (Ct-Cj
"^ Ci VC + Ci.
i)=^[&^-:+2'
|_c2 + Ci
iVi /C2 —Ci
2(C, —Ci)
C, + Ci
С 2 \^2 + Ci
, nj_[c2-c1
tfl
C2 — Ci
C, + Ci
Ci \C2 + Ci
C2 — Ci
J i_\ _ N
Ci C2 J C2 + Ci
-Ci
CiC2
N3 = Nt
C2 — Ci\2
C, + Ci
Уз
~ c2 + у* - -c7 V
Wl /C2 —Cl\2
c2
['
+ 1+2
C2 + d
C2 + Ci
+
_2Wi
C,
c2 - с
гЙте + 'Ь
c2 — CiV
C2 + Ci
Для того чтобы проверить наметившуюся закономерность, составим ypij
«ение для определения v3"
0-N3 = C2(v3-v3");
C2v3" = N3 + C2v3 = N,. [1
-Ci
+ 2 + 2
= 2Nt
• Ci "\ , (Ci — Ci
C2 ~\~ Ci J \C2 -}~ Ci
С2 — Ci , / C2 — Ci V
».-['-fet)*]
[>+
C2 + Ci \С2 + С]
Уо-
Сопоставляя значения скорости площадки контакта для различных]
риодов vt; v2; v3; v,k, можно для t'-ro периода записать
2УХ Г, , С» —Ci , (С
Сг L "l"C, + Ci"1"^
+ +
iiY-1l МСг~Ч
:J J с2 Vc2+t|
^Сг + Ci/ *'*'. \Сг + Ci
Замечаем, что первый член представляет собой сумму членов геоме|
•ческой прогрессии
fc2 — c1\q
N! [С2 — Сг V-i
Vi =
^2 1. \^2-Г W/ J
1-,
Ci
" С2 + Ci
2С1С2 (Ci + С2'
(Ci + С2) C22Ci
»0
1 —
С,-
Сг \C2 + Ci
C2-C1Y
С2 + Ci
CiY'-1
Ci
Vq
c2 — Ci Y"1
C2 + Ci.
Ci + C2 \C2 + Ci
Ci fC-CiV-il
Ci + C, vc+cj J
= »o [l
Ci + C2 \C2 + Ci
122

Таким образом, для t'-ro периода соударения
Ni =
C2Ci
Vo
(Ci + C.) °\С2 + С
'Ct-C:
'тГ- «- ['
Ci + C2 \C2 + С
ГС,-С-
гь
«-[•-MK
(204)
Однако проверим будет ли соударение продолжаться после прихода
волны с параметрами N =0, а/, отраженной от свободного конца ударника
через время t =2/1/а1.
Для решения этого вопроса определим первоначально скорость
отраженной волны Vi из уравнения1 для узла Г.
0 — tfi = — Ci (vt — v^C^ = C1v1 — Nx = CiuQ — 2tfb
.v1' = v0—-^=v0\l-
2C2
Ci + C2
£>o
C2 + C±
= — ^
4C2 + G1.
Теперь составляем и решаем систему уравнений для узла IV, что
соответствует моменту прихода волны, отраженной от свободного торца
ударника с параметрами N. =0, и/, к площадке контакта
, — 0 = C1(v1'-—vA) 1
Nt-0 = C1(v1'~Vt)
1 , J^
C2
M* +
Vi' — V, =
Г С, —Ci _ j ,
L Ci + c2 ^
С2-СЛз _ {С2 — СЛ _ 1 ]
I
Однако, как показано выше (стр. 129), для того чтобы соударение не
окончилось в момент t = 2/2/а2, необходимо чтобы С2 > Ci или
I р /-•
1 ]> /п,2 , ^ ^>0» При этом условии всегда Л/4 <0.
^2 "Г W
Таким образом, доказано, что если ударяемый стержень не отскочит от
Парника через время 2/2/а2, то ударник непременно сам отскочит от
одаряемого стержня через время 21^1 а^. В этом случае отраженная волна
[параметрами N =0; v3" встретит свободную поверхность контакта, т. е.
fk = 0, скорость которой у4 определится из уравнения
0-0=-С2(1;3,,-^4),
|гкуда
vk =v3".
Аналогично скорость свободной поверхности ударяемого стержня оп-
делится из уравнения
Q-0=C2(vk-vS),
(куда Vi? =vk =v"3.
Таким образом, скорости обоих торцов ударяемого стержня быстро урав-
|шаются до величины
СЛ8
в общем виде
-I"— 1~1 (с*~ Cl
П = /l«2 / /2^1-
123

Энергия ударяемого стержня
m2vn2 р2/У2ад2
А =■
2 2
Начальная энергия ударника
- _ т^о2 _ PiFi/iPq2 _ Ci/i 2
Л° 2~ " 2 ~~~2НГ ° *
С2/2 [\ /^«-CiYT 2
Тогда коэффициент передачи энергии удара
А_ С4£лх Г, __ (Съ — СЛп! 2
П CiZio, L \Ct + Ci) J •
(2C
Во время удара ударяемый и ударяющий стержни вместе проход
некоторый путь, на котором происходит обмен энергиями. Этот путь
может быть найден, если известна скорость контактной площадки v и Bf
мя удара ty
и = vty.
Как мы видели в ряде случаев, скорость меняется во время удара в т
чение каждого периода колебаний 2/2/а2 (или ^Ija^ как в предыдуще
случае).
Тогда
/ п
^1 2/2 2/2 Гл С2 , л
/=1
+ 1-
■Сг
С2 — Ci \2
2/2
= —-/Wo —
а2
2/2
Ci + С2 \С2 + Ci
2/2С2^о
02 (Ci + С2)
['+
+...+ 1
С2 — Ci
^1 + С2 \С2 + ^1
С2 /С2 — СЛ«-:
+
С2 + Ci \С2 + Ci
с2 — CiV
C2 + Ci
d + c2 vc2 + с J J
\С2 + Ci
+('fe£r+
Ci + C2
C2 — Ci
C2 + d
2/2 f 1 (C2 [\
-Ci\
C2 + Ci
где /г = Ijadhcii.
Следует заметить, что для определения переданной энергии удара
можно воспользоваться и другой известной зависимостью A =Nu,i
N — сила удара, и — перемещение контактной площадки во время удар|
В свою очередь и =vty.
Поскольку в течение удара через каждый период 2/2/ а2 скорость и^
ла удара меняются, то
А = У, Nrf = 2 NlVt %- = ^ 2 NiV,
/=1
124

Подставляя сюда найденные значения силы и скорости из уравнений
(204), находим
Л V° L1 d + C» УСг+Сг) \ ~ а% (d + С2) Л
- ^ [> -*(§№§)"+ШЛ - £*• [4?-s§)T •
Коэффициент передачи энергии удара
ha2
2
Ц~ Ло ~Ci/i2a2 L \C% + cJ J ~ dadi |_ VC2 + С J J
|или, обозначая C1/C2 =r, Z1a2//2^i=^, получаем
"-^['-(пЗТ-^о-->••
|где а=(1 —г)/ (1 + г).
Пользуясь полученном выражением, можно для данной системы
подобать параметры, обеспечивающие получение максимального коэффициента
рредачи энергии удара.
Например, отношение длин стержней, обеспечивающих максимальную
[ередачу энергии удара (при заданных поперечных размерах и материалах,
которых выполняются стержни), можно определить из отношения
dr\/ dn = 0,
|оторое приводит к трансцендентному уравнению
ап (1 — 2п In а) =1.
Таким образом, в случае плоского соударения двух стержней в зависи-
:ти от соотношения их геометрических размеров и свойств материалов
ювые, энергетические и прочие показатели могут определяться по
разным формулам (табл. 3).
РЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПО УДАРНОЙ СИСТЕМЕ
предыдущих разделах рассмотрены методом плоского удара вопросы
формования первичных ударных импульсов и передачи энергии удара во
рш непосредственного соударения.
(Вместе с этим нередко оказывается необходимым передавать
получений ударную энергию] к потребителю через промежуточные стержни или
taiy стержней. Помимо гистерезисных потерь, зависящих от длины
стерки, по которым передается данная волна (в данной работе они не
распиваются), энергия и амплитуда ударной волны могут уменьшаться при
вде через участки с переменным сечением или участки с другими
упруго свойствами.
Для количественного анализа описанных явлений рассмотрим часто
речающийся волновод с двумя граничными поверхностями. При рас-
прений вопросов передачи энергии будем пользоваться тем же методом
местного решения волновых уравнений, что и раньше.
125

продольные
й2 ^ Cli
0,2 ^ d\
a2 ^ ai
ax ^ a2
поперечные
c2>c1
С2<Сг
C2<Ci
C2>Ci
Примечание Ci = SiQiFi, C2 = s2a2F2!
Путь удара
Коэффициент передачи энергии
Скорость ударника после удара
«1
d
d
2d-It
(Ci + C3)ai J»
Г. (Ci-Ct
2/2cl
2/2Д1
h f ^1^2 1 C2
^2~ V° \haT ~ ~2 ~CT X
/1^2
NW]}
4CiC2
(d + d)2
Ci — C2
d + d
4dc2/2al
(d + dfka2
a Я2 /1 L "~"
2/2fli.
ha2
/lfl2
/2^11 2
f Ci-CiV*' 1
ЛС1 + С1У J
»o
сГ+сГГ0<0
/гД1
Ci —c2Via2
Ci + C2
>o
1 — C2 ^ •■ /^ hai
(■
^1—c21
сГТс^°0<0

На рис. 30 показан случай, когда к неподвижному ранее (N0i =N02 =
= W"o3 = 0j Щ\ = ^02 = ^оз = 0) участку измененного сечения (или
материала) длиной /по очень длинному стержню приходит импульс с параметрами
Nu'Vi и длиной L = а^у. Если импульс возбужден ударником с ударной
жесткостью Су = pyayFy и скоростью удара v0, то, как показано выше,
в случае, например, Су <Ci сила импульса
Ny=CyCiVo/ (Су + Сх)\
скорость движения сечений в импульсе
vy = Cyv0/(Cy + С г).
М
^
4s>
«5"
н
Nj_
т
^
l Г
и
РП
кч
1 /
СК 2
сз 3
1
т— i
\
'
i
1*3
v3
k i
S
/У,
щ
Ч
*.
VS
S
"в
1
N8
v8
N7 \N8 I
N7
V7
1
T
No
Рис. 30. Прохождение ударного импульса через участок
с иной ударной жесткостью
Продолжительность импульса
/у =2ly/ fly.
Длина импульса в стержне 1
L =aity =2lyai/ ау.
Построив волновую диаграмму и обозначив, как и ранее,
Сг = PxClxFi, С2 = Р2#2^2; Сз = Рз#3^3,
ставим систему уравнений для первого узла
Nt-N^diVi — Vt),
N2 — Л^02 = — Сз (l>02 — V2).
Поскольку до прихода импульса N02 =0, v02 = 0, то решение этой си-
мы получает вид
М2 = ClC<1
Ci~\- Сг \ С±
2Ci
* + ,Л = 2^c2
Су^о
d + C2 Cy + Ci
С! + С2
Vo,
Су + С,
Ci + C
= 2СУ/(Су + d)
Vo
2Ci
Ci + C2
Ь0,

Vl =
Составляя и решая волновые уравнения для последующих узлов,
получаем, что силы, действующие в сечениях I и II, и скорости сечений I и II,
изменяющиеся с периодом t =21/ а2, могут быть представлены как сумма
членов геометрической прогрессии и потому определяются формулами
кт С\Сз « |~i Ci (С2 + С3) Л
Nj_ _ CiCJtvp Г, _ Ci(C, + C) ,'
С2 C2(d + C3) L C?(Ci-C2) V
Ar C1C3 f /1 /\ II ClkVo /1 /v
тде
? = (Cx — C2) (C8 - Са)/^ + Ca) (C3 + C2). (206)
Или
N^Noll-Sq*], Vl=!£ll-Sq'],
Nn = NQ[l-q'l vn = !£[l—qth (207;
где
N0 = C1Cskv0/(C1 + C3) = 2C1C3Cyv0/(C1 + C3) (Сг + Cy),
5 = Cx (Ca + C3)/C3 (Cx — Ca). (208)
Полученные формулы полностью определяют характер прохождения
ударного импульса через участок стержня, имеющий две граничные
поверхности.
Эти формулы показывают, что характер изменения сил на граница^
зависит от сочетания Сь С2, С3.
Например, при С2 < Сь С2 < С3 1 >► q > 0, 5 > 0. В этом случае
силы (напряжения) по обеим границам с увеличением п (со временем) будут]
возрастать и достигнут максимума при
— _^Z_ • 2L — : 1Уа*
ау ' а2 ~ 1ау
Тогда
/у ^2 /у 02
Nlm=N0(l-Sq14); NUm = N0(\- q7^),
откуда видно, что силы (напряжения) в стержнях увеличиваются с увели]
чением длины импульса (длины ударника) и уменьшаются с увеличение|
длины тонкого участка и его поперечного сечения.
При безграничном возрастании L силы удара N\ и Nu стремятся 1
величине N0, которая равна силе удара при непосредственной передач|
импульса от стержня 1 стержню <?, если бы участок измененного сечения
материала отсутствовал.
При С2 > Ci и С2 > С3 1 ]> q > 0; S < 0 сила Nu продолжает со вре|
менем возрастать, а сила N\ получает максимальное значение при i =1|
затем начинает уменьшаться, стремясь к N0. I
Максимальная сила N\ получается при подстановке i = 1 в формул!
<206)]
При других сочетаниях d, С2, С3 характер зависимости силы от врем|
ни будет соответственно иной.
Рассмотрим один из интересных частных случаев, когда С3 = 0. Это!
случай соответствует, например, работе буровой штанги с припаянным щ
128
I

цом в моменты, когда резец не опирается на забой (рис. 31). Определим силу,
действующую на припой. Согласно формуле (207) сила, действующая в
сечении I,
Внося С3 в скобки, получим
Полагаем С3 =0, тогда
"cTFcilci + cJ ет°-
Из этой формулы видно, что при С2 ]> СА N\ > 0, поэтому в припое
могут возникать только сжимающие напряжения, постепенно убывающие со
временем. Максимальная их величина
С1С2
kv0
^mp
Сг + С2 Fn '
где Fn — площадь поверхности припоя.
При С2 < С± в прийое возникают знакопеременные
спряжения. При нечетных i эти напряжения являют-
я сжимающими, при четных i — растягивающими.
Максимальная величина растягивающих напряже- /
1ий (при i =2)
<W =
CiC2 (Ci — С2) ko0
(Сг + Ctf # Fn
(209)
Припой
ти обстоятельства необходимо учитывать при констру- напряжения в^сое-
ровании буровых наконечников. динении штанги и
При ударе по весьма жесткому телу (С3 —> оо), рас- резца
|ывая неопределенности, найдем
^cirkM'-t;
С2 ~Ь ^з (С\ — СгV / ^3 — Съу
С\ — Сг \С\ + Съ) \Сз + С;
Сх
Сг
-kv0
+ 1
\1+ C8
и C3 -^ 00
1гда
0.
»" - *!¥* * ['-«У (&&)']!-<Ч'-(&&Л-
Из этих выражений видно, что сила, действующая в сечениях, посто-
но растет при d > С2 или имеет знакопеременный характер при С2 >
Е. В. Александров, В. Б. Соколинский
129

ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ЧЕРЕЗ УЧАСТОК
С ИЗМЕНЕННОЙ УДАРНОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ
Время, протекающее от начала прихода фронта импульса к участку,
заключенному между плоскостями I и II (см. рис. 30), до момента прихода к
этому участку заднего фронта импульса, составит t = ly/au
соответствующее числу п периодов собственных колебаний этого участка
п = 1уа2/с1112>
За это время стержень 3 получит энергию
и 1 2 з 2 1
- cs(c1+c3)^kv° bv-q
Энергия, заключенная в импульсе, приходящем к участку 2,
Тогда коэффициент передачи удара
in, 4- Г„\ъ ' п. 'r./Mn.sZll1 4 ) —
С3(С! + Сз)2 02 dZyftW
l
_ 4CiC, J2_ d [„ 2g(l-gB) , ^(l-<?2,
"-?^ir[1-^-!V=9-p+«-H- <2
где
g = (d - C2) (C8 - Ca)/(d + d) (C8 + d).
Эта формула должна применяться также для определения потерь эт
гии в мягких прокладках, разделяющих стержни. Из этого выражения ся
дует, что передача энергии улучшается при увеличении длины импуль|
/у, уменьшении длины участка /2, приближении ударных жесткостей
к d или d (в этом случае q стремится к 0, a d к С3).
Другими словами, передача энергии тем лучше, чем более система сдв|
мя граничными поверхностями приближается к гладкому однородно)]
стержню.
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ОТРАЖЕНИЯ УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ
В заключение приведем расчет некоторых крайних случаев отражения уда
ного импульса от свободного и жесткого промежуточного торца.
В результате удара ударника 1 по стержню 2 в последнем начал расщ
страняться импульс напряжения длительностью ty (равной времени удар]
и длиной Ly = a2tyi где а2 — скорость волны в ударяемом стержне
Параметры импульса Afy; vy. Перед передним фронтом импульса of
жень неподвижен v = 0 и напряжений не имеет N = 0. За задним фронтГ
импульса восстанавливается предударное состояние N =0; v =0, так|
скорость vy и напряжения Ny/Fz имеет только тот участок стержня
торый находится между передним и задним фронтами. В связи с этиммо|
но говорить также о том, что вслед за волной с параметрами Ny\
распространяется волна с параметрами N =0; v =0. В момент прим
130

,ffe
0O\
N-0\
\\vi
I
1
ML
\ IT,
i
Ы
v-D
N-0
NU
WN-0
t;
N-0
*' *
i"2
»3
N5
ix-0
б
[Рис. 32. Отражение ударного импул ьса от свободной поверхности
переднего фронта импульса к граничному свободному торцу (рис. 32, а)
рержня, на последнем, как обычно, возникает новая волна с параметрами
№i=0; vu определяемыми уравнением
0-
рткуда
Nv
C^Vy — Vi),
Civi =NY+ dvy = 2Ny, vt = 2Ny/ d, С&±/ 2 = Ny,
(юскольку при ударе ударника о покоящийся стержень
Mv = С&у.
Образовавшаяся волна с параметрами N =0; vt движется к противопо-
I'жному концу стержня. Навстречу ей движется волна с параметрами
= 0; v = 0. В точке, отстоящей от отражающего конца на расстоянии
/ 2, обе золны встречаются. С этого момента действующая сила и ско-
рь плоскости их встречи определяются системой уравнений
N2 — 0 =d (0 — v2);
руда
N2=—Civi/2 =—Ny.
N2 — 0=—Ci(vi — v2),
(211)
•i найдено выше.
Таким образом, волна сжатия Ny сменилась волной растяжения Nyr
(хранив прежнюю скорость.
Однако вопреки довольно распространенному мнению смена знаков
|лн произошла не на торце стержня, а на удалении от него, равном
полоне длины импульса.
Волна N2y v2, приходя к свободному торцу ударника, образует новую
(пну N3 =0, i;3, определяемую системой уравнений
'— N2 =Ci (v2 — v3),
уда
| dv3 = C\v2 + N2 = Ny — Ny = 0, vs = 0.

Таким образом, через время ty = Ly / а{ после прихода переднего
фронта импульса свободный торец стержня снова приходит в состояние покоя.
За это время торец переместится на величину
и - vf _ 2му Lv _ 2NyLv
U - Vlty _-_._- —_ .
Приходя к торцу стержня, по которму был нанесен удар, волна N2,
v2 получает новые параметры Af4 =0, у4, определяемые уравнением
0 —ЛГа = —d (1>а — 04),
откуда I
Сги* = C±v2 — N2 = NY — (— Ny) = 2Ny, v± = 2Ny/C1 = 2vy.
Таким образом, если к моменту прихода волны N2, v2 к ударяемому
торцу стержня ударник снова попытается нанести удар по стержню, ударнику
придется догонять перемещающийся торец ударяемого стержня. Поэтому!
новая точка встречи ударника со стержнем переместится в направлении!
удара. Можно показать, что в результате прохождения волн ударник при-1
обретает скорость в направлении, совпадающем с направлением удара!
на который и будет затрачена энергия ударника. I
Рассмотрим теперь случай, когда торец стержня опирается о совершен!
но жесткую среду, не способную перемещаться (рис. 32, б), поэтому и4 =0|
Исходя из этого составим систему для определения параметра волны Л|
Nx~Ny = d (vy — 0), Nx = Ny + Cxvy = 2Ny. I
I
Параметры волны N2, v2 определяются системой I
N2 — 0=Ci(0 — v2)=— Сръ I
N2 — Ni = — Ci (0 — v2) = C,v2l I
N2 = Nj2 = Nyi C1v2 = — N2 = — Ny, v2 = — Ыу/Сг = — vv. I
Таким образом, на расстоянии половины длины первоначального импул!
са родилась новая волна,, восстанавливающая силу удара до первоначал!
ной величины Ny и меняющая направление первоначальной скорости А
обратное. I
С приходом этой волны к жесткой опоре образуется волна с параметр!
ми N3y vs = 0, определяемыми уравнением I
N3 — N2 = С, (v2 — 0), I
откуда I
N3 =N2+ CiV2=N2 — N2=0y N3 =0. I
Другими словами, через время t =Ly/ a^ у жесткой опоры восстан!
ливается предшествующее состояние покоя. I
Приходя же к противоположному (ударяемому) торцу стержня, вол!
N2f v2 порождает волну с параметрами Af4 =0, и4, определяемыми ур!
нением I
O — N^—Ctivt — Vt),
откуда I
См = Cxv2—N2 = — Ny — Ny = — 2Ny,
Vi = — 2NylC1 = — 2vy.
Таким образом, ударяемый конец стержня получил на время I
= L/cii встречную скорость. Если в это время ударник снова нанесет удар!
132

стержню со скоростью v0 (рис. 32), то скорости сложатся и сила удара
увеличится. Это можно показать решением системы уравнений
N5 — 0 = Cy(v0 — v5),
N5 — 0 = —Cl(—2vy-v5).
Получаем
v5 = v0 — jA
(212)
Ci + Cy
Величины N5 и v5 определяют параметры нового ударного импульса,
который через время Т =2Lt/ at (Li —длина ударяемого стержня)
придет к преграде аналогично тому, как ранее к ней пришел импульс с
параметрами iVy и vy
My = CiCyiWCCi + Су), ■ vy = Ny/Сг = CyVo/id + Су). (213)
Сопоставляя выражения (212) и (213), нетрудно видеть, что в результа-
te повторных ударов, частота которых совпадает или кратна периоду соб-
явенных колебаний стержня, усилия и напряжения в стержне усилились
П +Су/(^ + Су) раз.
НЕТОДЫ РАСЧЕТА, ОСНОВАННЫЕ _ __
\к КОМБИНИРОВАНИИ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ ПЛОСКОГО" УДАРА
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
•ормулы и методы волновой теории удара, как можно было убедиться,
отя и отражают истинную картину, тем не менее довольно громоздки и
(удоемки. Вместе с тем в ряде случаев использование громоздкого аппара-
i волновой механики для обоих тел является излишним. Расчеты
значимо упрощаются, если по крайней мере одно из соударяющихся тел
жно считать твердым. В этом случае движение тела можно заменить дви-
ншем его центра тяжести [19, 20].
Признаком твердого тела является одновременное равенство скоростей
ех его точек.
Полученные волновые выражения показывают, что после удара скорос-
точек в один и тот же момент времени, вообще говоря, неодинаковы.
вьмем, например, удар стержня конечной длины о бесконечную штангу
|. рис. 24, 25). Скорости точек, принадлежащих к ударяющему и свобод-
му торцам, W и v ударника получим, положив в выражениях (181) и
В) Ct = 0. Тогда
У| = »о[1 — (1— 9')] = ?Ч,
согласно формуле (185)
( = (С0-С2)/(Со + С2).
да выражение vi можно представить в виде
133

Отсюда видно, что скорости торцов ударника в действительности нео;
наковы и отличаются между собой на величину
А = °< - *< = С~С,*°* - ^о = ^.-C^ ^. =
/
Со — Сг\ 1 /Со — С2\ х / ч>и ^а 1 - г,
уо = т^ 7Г-Т-7Г уо = 7-?г Гл-гт: v°>
Со — С2 \Со + Сг/ Со \Со + ^2/ /Со Л \^о ~~Ь С2
С2 \ С2
поскольку i = t/T.
Переходя к относительной ошибке, получаем
t
А 1 /Со — С2\Т
vo Со . \Со -\- Со
(21
Чем меньше А, тем ближе скорости точек тела, тем более приближают
его свойства к свойствам твердого тела классической механики удар
Из выражения (214) видно, что тело конечной длины приобретает свойс
ва твердого тела классической механики удара в тем большей степени, ч(
больше его ударная жесткость С0 по сравнению с ударной жесткостью вк
рого тела, больше время удара / и меньше период собственных колебаний!
Согласно формуле (214) относительная ошибка скорости при соотнош
нии ударной жесткости тел С0/ С2 =2 и t/ Т = 1 составит 33%, при
/Т =2—11%, при t/T =4 всего 1,2%.
При использовании комбинированного метода, полагая одно из 4
твердым, считают, что перемещение и скорость* центра тяжести тела рав|
перемещению и скорости его ударяющего торца, т. е.
Vq = V, Xq = Xq,
где XG — истинное перемещение центра тяжести; Х0 — перемещение ул|
ряющего торца.
Оценим величину относительной ошибки, возникающей при таком )|
рощении
Д = Х0 XQ I Xq = Х0 / Xq — 1.
Истинное перемещение центра тяжести в течение периода собствен)
колебаний Т складывается из двух составляющих, соответствующих Д1
различным скоростям, с которыми движется центр тяжести по мере сме|
волн скорости.
В течение времени Т / 2 центр тяжести перемещается со скоростью!
и его перемещение, таким образом, составляет v/T/2. В течение послед!
щего полупериода он движется со скоростью Wi и его перемещение сос|
ляет WiT/2. Тогда общее перемещение центра тяжести
v.T W.T
Xg = -2~+ —•
В течение того же периода ударяющий торец перемещается на велич|
Х0=и£Т.
Соотношение истинного и принимаемого перемещения
Хо
134
-С^+^-К^

Подставляя в это выражение значения Wi и и*, находим
40+с-^
= iH2-^
1—£") =
Со j
1 £2
1—2С"о*
(215)
Из этого выражения видно, что замена Xg на Х0 ведет к некоторому
завышению перемещения по сравнению с действительным. Поскольку
соотношение между перемещениями оказывается постоянной для данной
системы величиной, в таком же отношении находятся и другие
кинематические параметры тела с большей частотой собственных колебаний — его
[скорости и ускорения.
Из выражения также видно, что если соотношение С2 / С0 достаточно
(мало, разница в скоростях центра тяжести и ударяемого (ударяющего)
торца невелика. Так, например, при соударении длинного водяного
стержня (акустическая жесткость 0,15 кГ-сек/см3) с равным ему по сечению
стальным цилиндром (акустическая жесткость 4,0 кГ- сек/см3)
С2/ С0 = 0,15/4,0 = 0,0375.
Следовательно, в этом случае отношение
Хо
= 1—-^-= 1
2С0
,0,0375
:0,98,
(относительная ошибка расчета АХ ^0,02 = 2%.
Тогда с достаточной точностью можно считать перемещения Xg = Хо>
корости Xg = Х'0 = Х'у ускорения] Xg = Х0 и, следовательно, iuXg =
\tnXo = тХ"\
Это обстоятельство широко используется в теории гидроударных ма-
|ин, представляющих из себя периодическую ударную систему,
состоящую из движущейся жидкости, заключенной в подводящем трубопроводе
:идкий стержень) и стального цилиндра относительно небольшой длины
Inc. 33). Жидкий стержень 1 наносит удар по стальному стержню, назы-
рому поршень-боек, в момент закрытия клапана 3.
Рис. 33. Расчетная схема
гидроударной системы
Запишем дифференциальное уравнение движения стального стержня
в соответствии с изложенным
иХ" = N — Nu
Л/ — сила ударного действия жидкого стержня на поршень-боек,
- прочие силы, действующие на боек (сила возвратной пружины, тре-
!,гидравлические сопротивления и т. д.). Если перед ударом боек
неполон, начальные условия следующие: t = 0, X = 0, X' = 0.
135

Сила удара жидкости по поршню-бойку после закрытия клапана сог
ласно формуле (158)
N = C(v0- X'),
здесь С = paFT — ударная жесткость жидкости; FT — площадь сеченм
трубопровода, в котором перемещается жидкость; v0 — скорость жидкое^
до закрытия клапана; X' — скорость ударяющего торца жидкого стержня]
которая, как доказывалось выше, может быть принята равной скороси|
центра тяжести поршня-бойка.
Подставляя эту формулу в уравнение движения поршня-бойка, полу]
чаем уравнения для перемещения бойка во времени
X" +^x = Cv0-Nl
(Щ
и для силы удара
1 т т
(21
Пользуясь этими уравнениями, нетрудно определить силу удара, да^
ление жидкости, скорость, перемещение, энергию поршня-бойка при
вестных параметрах системы и характере сил сопротивления.
В некоторых случаях комбинированный метод используют и при ху|
ших соотношениях С2/С0, например,решая задачу о продольном ударе маГ
сивного груза по балке [19]. В этом случае, естественно, ошибка буд(
соответственно больше, например, уже при С2 / С0 = 1/3
X,
■ =1-^ = 0,83,
и, следовательно, ошибка при определении перемещения, скорости м|
сы и силы удара может достигнуть величины
Д = (7^з- 1 = 1,2-1,0 = 0,2 = 20о/0,
а энергии — примерно 45%.

Глава седьмая
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА СТЕРЖНЕЙ
С НЕПЛОСКИМИ ТОРЦАМИ
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В предыдущих главах показано, что методами теории плоского удара
стержней может быть удовлетворительно решен ряд вопросов удара.
Однако в тех случаях, когда ударную систему нельзя представить в виде
системы стержней постоянного по длине сечения, когда сечения, через
которые передается сила удара, изменяются в процессе удара и даже в
некоторые моменты времени становятся равными нулю, применение методов
плоского удара невозможно.
Расчеты, произведенные без учета участков переменного сечения,
как показывалось выше, в ряде случаев ведут к серьезным
погрешностям, особенно при определении максимальных напряжений, времени
соударения, коэффициента передачи энергии удара, коэффициента отскока.
Положение усложняется тем, что существование таких особых
участков неизбежно, уже хотя бы потому, что удар стержней
одновременно по всей поверхности плоских торцов практически невозможен.
Реальные торцы соприкасаются сначала в точке боковой кромки, затем в
результате деформации этой кромки и торца ударяемого стержня площадь
контакта постепенно возрастает.
Нетрудно видеть, что темп возрастания контакта зависит главным
образом от начального угла между осями соударяющихся стержней.
Поскольку обеспечить
стабильность этого угла практически
невозможно, невозможно обеспечить и
ггабильность точки встречи стерж-
1ей (центричность удара) и стабиль-
юсть результатов удара.
В связи с этим торцам стержней
аблаговременно придают форму,
йеспечивающую стабильность уда-
й, обычно сферическую.
Ударная система с торцами
роизвольной формы показана на
ис.34.
В систему входят три
геометрических участка: стержневая часть
йрника У, оканчивающаяся пло-
юстью а\ стержневая часть
удалого стержня 2, имеющая ПОСТО- Рис. 34. Ударная система с
шое сечение F2, ограниченная торцами произвольной формы
неплоскими
137

плоскостью b\ заключенный между плоскостями а и b контактный участок
3 переменного сечения.
Если же рассматривать эту ударную систему с точки зрения
распределения напряжений в поперечных сечениях, то можно разбить ее на
следующие участки по длине: участки с существенно неравномерным
распределением напряжений; участки, где распределение напряжений практически
равномерно.
Принято считать, что длина при контактного участка с неравномерным
распределением напряжений [21]
А=2
.6/4.
(218)
где F — площадь поперечного сечения стержня; I отсчитывается от
ударяющего сферического торца стержня.
Если стержень в сечении имеет форму круга радиуса г, из формулы
(218) получаем
h= 2,5 г.
i
Выражение (218) является приближенным. Оно соответствует случаю,
когда величина контактной площадки очень мала по сравнению с сечением
стержня.
В действительности, длина участка h зависит не только от сечения
стержня, но и от величины контактной площадки, которая в свою очередь за-
Рис. 35. Определение границ области с равным распределением напряжений
по сечению (границы начала плоской волны)
а — схема эксперимента; б — осциллограмма напряжений в точках, расположенных
на различных расстояниях от ударного торца штанги
138

висит от радиусов закругления торцов, упругих свойств материалов и,
наконец, от силы удара. С увеличением контактной площадки длина
участка h несколько уменьшается. В пределах участка h напряжения резко
изменяются как по сечению, так и в продольном направлении.
Это подтверждается экспериментом, схема которого изображена на рис.
35, а.
Показания тензодатчиков приведены на рис. 35, б, наибольшие
напряжения в сечениях датчиков даны в табл. 4.
ТАБЛИЦА 4
Номер
датчика
1
2
3
4
5
6
7
Расстояние от торца
абсолютное
h
10
20
30
40
50
60
120
относительное
hfr
0,6
1,2
1,8
2,4
3,0
3,6
7,2
Амплитуда
напряжений о,
кГ/см*-
— 33
+155
+225
+233
+242
+246
+248
Примечание. Знак плюс указывает напряжение сжатия,
минус — растяжения.
При скорости удара v0 = 125 см/сек площадь контакта по расчету FK =
= 0,04 см2, т. е.
!±= °>04 =0 0047
F я-1,652 v^**1-
| РезульФаты эксперимента показывают, что даже при малых площадках
контакта выражение (218) дает удовлетворительные результаты, поскольку
после
/ix= 2,5, г = 2,5-1,65 = 41 мм
напряжения по длине стержня изменяются очень медленно. Это
свидетельствует о том, что за пределами участка /ix напряжения и скорости по сече-
|нию распределяются равномерно, т. е. фронт волны практически плоский,
|что дает право для расчета таких систем использовать комбинированный
метод, состоящий из волновой теории плоского удара для стержней
(называемой иногда теорией Сен-Венана) и статических решений контактной
задачи теории упругости для приконтактного участка (выполненные впервые
(Герцем). Впервые этот метод применил английский ученый Сире [5].
I Предложенный Сирсом метод (расчет) дает хорошее совпадение с
экспериментом. Однако трудности математического порядка заставили его
[отказаться от обобщающих аналитических решений и прибегнуть к
численному методу расчета, который оказался настолько громоздким, что не
портил сколько-нибудь широкого практического применения и поэтому
известен лишь узкому кругу специалистов.
I Использованию же аналитических методов и современной
счетно-решающей техники препятствовало то обстоятельство, что сам Сире не дал
досрочно общего математического описания предложенного им метода.
I В связи с изложенным попытаемся, использовав только основную идею
|ирса, восполнить этот пробел, тем более, что метод составления и совме-
рого решения волновых уравнений (гл. VI) позволяет без особого труда
ролнить и эту задачу.
I 139

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Расчетная схема системы с неплоскими торцами показана на рис. 36.
Использованы следующие обозначения: F1 — поперечное сечение
стержневого участка ударника длиной 10, рхах — его акустическая жесткость; F3 —
сечение остальной части; р3а3 — ее акустическая жесткость; v01 — скорость
ударника к моменту удара; F2 — сечение ударяемого стержня, р2а2 — его
акустическая жесткость, v02 — начальная скорость.
\n
'
"fw
/v,
tfo
t J
N2
"вг
t )
"3 1
»вз
Рис. 36. Расчетная схема ударной системы
с неплоскими торцами
1 — ступенчатый ударник; 2 — ударяемый стержень
Предположим (это не имеет для вывода существенного значения), что
начальные напряжения в обоих стержнях отсутствуют, т. е. N01 = О,
NQ2 = о, а начальная скорость ударяемого стержня v02 = 0.
В силу сделанного допущения о незначительности массы контактного
участка силы, действующие в плоскостях а — а и Ъ — Ьу в любой момент,
времени равны по величине (и противоположны по направлению).
Полагая, что в стержневой части ударной системы распространяю^
только плоские волны, для расчетов удара в стержнях возможно
использовать уже известные волновые уравнения плоского удара (158).
Обозначим jFiPifli = Сг; F2p2a2 = С2\ F3p3a3 = С3, скорость плоскости]
а — а — va\ скорость плоскости Ь — b — Vb. Построим волновую
диаграмму и составим систему уравнений, связывающих силы и скорости уда-j
ра в течение первого периода Т
для ударника
Nx-0 = Cb(vo-val),
для ударяемого стержня
N1 — 0 = —C2(0 — vBl),
откуда
#1
Val=Vo—-£L, Nx — C2VB1 = 0,
Nl = T^rxV t^O — {Val — 1>bi)].
Ci+C2
Разность мгновенных скоростей сечений в первом периоде обозначи)
Vai — itoi = Д»1, тогда
Сг + С2
N,
ClC2 [vo-bvi), ^1 = и0-Ц?^Ы1ч
Ci + C2'
С1С2
140

или
откуда
где tf0 = CA»o/(Ci + C,).
Волна Nlt Vai, отразившись от плоскости ступени, породит волну с
раметрами/Zj, Wx, которые могут быть найдены из системы уравнений
nl-0 = C3(v0~W1),
n1 — N1 = —C1(va—Wl).
Тогда
Л1=С»(°о-СГТС-,^)' ^ = У°-СГТС-а^-
Составим систему уравнений для определения силы N2 и скоростей
N2 — n1=[C1(W1 — va2), N2 — Nl = —C2(vbl — vb2),
тогда
» /1 . 1 \ 2 Л7 . 2С3 Wi , v
Лп . Cj + C2 Л7 г, , 2(03-^) Nx
be Ai>2 = иа2 — а&2.
| Определяем параметры волны я2, й?2 из системы
| n2 — n1 = C3(W1 — U78), ■ л2 — ЛГ2 = — d(t;fla— Wa).
Получаем
В>, = „. - * = „. - ^ (JV, - g=g Л,,).
Составляем систему уравнений для определения Ns, va3i ^з
N3 — n2 = С± (W2 — yfl3), N3 — N2 = —C2 (vb2 — vb3).
огда
fi Au3 = yfl2 — i;*,.
Далее определяем n3 и U?3 из системы
h~n2 = C3{W2 — W3),
h-N3 = -Cl(va3-W3).
лучаем

Для определения NA9 Ua4, Vb4 составляем систему уравнений
N4—n3=C1(W3 — Vat),
Nu — N3 = —C2 (vb3 — Vbd,
откуда
4°«+($re) *« = *+£ [gfi *■ - (ёти)'*+(ста)" "•]
где Ди4 = ufl4 — %4-
Таким образом, найдено, что сила удара определяется уравнением
в первом периоде
во втором периоде
At;2+ £+£2ЛГ2 = *о + 4- • fe£ #i5
в третьем периоде
*«■+ ^"--*+£[-£*£*•-(от)" "Ф
в четвертом периоде
*- + 3£г "-'»+1 fcr *•- (§SS)* "■ + (етё)* 4
Следуя намечающейся закономерности, можно записать для пятого!
периода I
4 * + %£?"-* + £ [с-й? *• - (<&§)' "■ + (ятё)""■ J
для шестого периода I
для i-ro периода I
A v, + ^t£2 iV, = оо + -А №_х - /■*#«_, + г^н -... + (-1 Yr<*№
где г = (С, — С!)/(С3 + Са). I
Преобразуем входящий в это уравнение член I
&Vi=Vai-VM =-%---$- --^(Ua-Ub), (211
где иа и щ — пути, пройденные плоскостями а — а и b — 6с момента н!
чала удара. С другой стороны, иа — т есть не что иное, как сближен!
плоскостей а — а и Ь — Ъ под действием силы удара. I
Решения так называемых «контактных» задач теории упругости дад
зависимость между сближением тел и силой. Так, например, Герц наше!
142 I

что сближение между двумя сферическими поверхностями а = А — В
(рис. 34) связано с действующей силой N соотношением г [6]
N = 4 : — , - (220)
£\ Ьг J г Ai А2
где Е19 Е2 — модули упругости, \il9 \i2 — коэффициенты Пуассона
материалов тел, Rl9 R2 — радиусы сферических поверхностей.
Из формулы (220) следует, что для того чтобы сблизить полусферы на
единицу длины, например на а = 1 см, нужно приложить силу
4 1
если El9 Е2 выражено в кг/см2, a Rl9 R2 — в см.
В основном сближение тел происходит за счет деформации приконтакт-
ной зоны. Обозначая знаком k постоянный для данной системы
коэффициент, выражение (220) можно переписать в виде N = ka я^ или, решая его
относительно а,
а = №*№*.
В работах [3, 9, 22] получены зависимости между сближением и силой
\т конуса и плоскости, клина и плоскости, эллиптического штампа и
плоскости, выпукло-вргнутых сферических поверхностей, цилиндра и
цилиндра, цилиндра и плоскости и т. д. (см. ниже). Во всех случаях эти зависимости
меют вид а = f (N)9 где характер функции зависит от формы, размеров и
других свойств материалов контактирующих тел.
Это дает нам право записать
иа — ub = a = f(N).
Однако в формулу (219) входит не сближение, а его производная по вре-
ени
d(ua-ub) df(N) df (N) dN da_JN_ ,„,
dt dt dN dt dN dt '
I
dfW) N,= JN_
dN ' dt '
гда
tiVi = aW/.
Общее уравнение получит вид
, приводя его к виду, обычному для дифференциальных уравнений и
at ^~>V~'2
значая N0 = ■ * zr v0,
Vi' + Ш0 = ?{* + -dt [^i-i-^i^+^iTS- • • .(-1)'/"^^]. (221)
^полагается, что радиус контактной площадки много меньше радиусов сферических
ерхностей.
143

Если ударник не имеет ступеньки С3
несколько упростится
О и г = — 1, тогда уравнение
ЛЛ' ' ° . 1 1 = °
г ' <ч' К!.. гч'
Ni_
N{)
1
v0d
■(M1 + M2 + N3 + N,+ ... + IVU)
(222)
СИЛЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
И УСКОРЕНИЯ ПРИ НЕПЛОСКОМ УДАРЕ
Вид полученных дифференциальных уравнений говорит о том, что эти урав
нения следует решать последовательно — цепочкой. Другими словами
сначала нужно решить уравнение для первого периода и определить Nx =
= /х (/); затем, подставив найденное значение Nly составить уравнение для
второго периода. Решив его, найти N2 и подставить его в уравнение третьего
периода и т. д. При этом в качестве начальных условий для каждого
последующего этапа принимается значение силы предыдущего этапа при / = Г.|
Скорость движения плоскости а — а в течение i-то периода может быть]
определена по формуле
v0 ■
С!
[/Wbl-rW;_2 + ... +ri-1tf1];
при гладком (бесступенчатом) ударнике
Vai = V0 ■
j^{Nl + N2+Ns+ ...+ЛГЬ1).
b в течение i-то периода находик
Скорость движения плоскости Ь
по формуле
Vbi = Ni I С2.
Ускорение плоскости (а — а) в течение j-го периода, которое со скоро]
стью аг охватывает все сечения ударника,
wn
dvn
_2r_
dtfil,
dNi-t
+ r2
dNus
dt d \ dt dt
для бесступенчатого ударника (г = — 1)
2 / dNi , dN2 , , dNj-i
dt
wni = — -
Ci V dt
dt
+ ... +■
dt
Ускорение плоскости b — b ударяемого стержня в течение i-то перш
(которое со скоростью а2 охватывает все сечения ударяемого стержня)!
Wu =
dvbi
С2
dNi
dt C2 dt '
Перемещение плоскости a — а во время t'-го периода
/ t
"ai = $ vaidt = Voi + -%-l (N^- rNi_2 + ... + r^Nj) dt;
о 0
для бесступенчатого ударника (г = —1)
t i-\
uai = v0t — -^- § 2 Nidt-
1 0 1
Полное перемещение плоскости a — а в i-ом периоде за время Т I
т т
Ki = \^aidt =vQT + -^r\ (Ыы-rNM + rWM —...)dt.
144

Если общее время удара
ty = IT + т,
то общее перемещение плоскости (а — а) за / полных периодов и время
неполного последнего периода т
г т Г
"а = 2"а* + $#мЛ = v0Tt --g-l [(i-l)N1 + (i-2)N2+(i-Z)N3+
10 * о
т
+ ... + Л^|_1]Л+А^|+1Л.
О
Перемещение плоскости b — b за время i-ro периода Г
т
иы = -^\ Ntdt.
о
За полное время удара, состоящее из i полных периодов и времени т
неполного периода
г т / г Т т \
Иь=2им+$#|+1# = ^- 35 Ntdt + \ Ni+1dt).
1 о 2\1о о /
ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ. КОЭФФИЦИЕНТ ОТСКОКА
\ течение /-го периода ударяемому стержню по плоскости b — b передает-
1я энергия
I А,= j N<tub = \Ni*^dt= \ Nivbidt=-^\Ni4t,
] о о о 2 о
I
Ьскольку Vbt = Ni/C2.
Если общее время ty соударения состоит из i полных периодов и одно-
неполного длительностью т, то общая энергия, полученная ударяемым
[ержнем,
г -сТ т
Аг = ^ Аг = ^- S S ^ + тИ ^Л; <222а)
2 1 о 2 о
|ергия, которой обладал гладкий ударник до удара,
л _ miPpg piFiL , а __ CiLp0» _ CiTW
(гда коэффициент передачи энергии удара от первого стержня ко ^вто-
РУ
^=t = c^^ )• <222б>
Разделив и умножив последнее равенство на Nl = C\C\vll(Cx + Са)2
ручим
Г г Т
4CiC2 1
(Ci+Ca)2 Т
sS(£)'*+№■)'*
(222в)
1 о ч ' о
|t, В. Александров, В. Б. Соколинский 145

Энергия, не полученная ударяемым стержнем,
Л1== 4,(1-4)
в свою очередь расходуется на сжатие стержневой части ударника и его
торцевой части Ап. Эта последняя доля энергии может быть найдена из
равенства
г Т т г Т т г Т
1 о
i=lO
i)dt-\Ni+1{vai+1-vbM)dt.
•vb
Если вся энергия Al9 перешедшая сначала в потенциальную сжатия
торцевой и стержневой части ударника, затем перейдет в кинетическую энер
гию его отскока, то скорость отскока v0TC может быть найдена из равен
ства
mitfo2
т&2от
Л1==Л0(1-т1)=^р-(1-г,)_ 2 ,
откуда 1>отс = v0 У1 — т). Критическая масса
а коэффициент отскока **
Время удара может быть найдено из условия t = ty при N = 0.
Максимальная сила удара имеет место при tm, когда dNIdt = 0.
Таким образом, полученные дифференциальные уравнения принш|
пиально дают возможность определить любой интересующий нас пока]
затель удара, но при одном непременном условии — уравнения должн!
быть решены.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Не останавливаясь нк численных и машинных способах решения'этих ура|
нений, которые более или менее подробно изложены в работах [23—2(
перейдем к аналитическим методам решения, уделив основное вниманием
тоду линеаризации дифференциальных уравнений удара [27].
Далее будет показано, что именно линейный метод решения уравнен^
неплоского удара дает возможность точного или приближенного аналш
ческого решения большого круга задач формирования и передачи реалы
ударных импульсов.
Рассмотрим сначала методы решения уравнения (222) для гладкого щ
кика.
N
I +^^-^[1-^(^1 + ^ + ^ + ^+...+^
для первого периода удара уравнение имеет вид
a' No ~~ а' »
Ni'
146

для второго периода
* ' а' N0 а' \ t>oCi V '
для третьего периода
*''+^-&--3-['--!ет<»ь+А'4
для четвертого |
и т. д.
Уравнение для первого периода можно представить в виде
-тР—5-O-fe-) <223>
или,'разделяя переменные
I и интегрируя, получаем
Таким образом, независимо от вида функции а/ = da/dN уравнение
для первого периода всегда приводится к дифференциальному уравнению с
разделяемыми переменными, решаемому путем непосредственного
интегрирования. Еще до решения уравнений можно видеть, что при любом виде
функций о! при N± = N0;t -> оо. Другими словами, при безграничном
возрастании продолжительности первого периода сила стремится к своему
предельному значению N0. При этом сложность и вид решения определяются
видом функции а'.
'ЕШЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ
: ЛИНЕЙНО-УПРУГИМИ ТОРЦАМИ
ктему с линейно-упругими торцами можно представить, например, в ви-
$ ударника конечной длины, наносящего удар по бесконечному стержню
врез пружину.
В этом случае сила сопротивления прямо пропорциональна сближе-
ию торцов и определяется как
N = ga, (225)
eg — жесткость безынерционной пружины с линейной характеристикой,
штирующей торцевую часть ударной системы.
Из выражения а = N/g
а' = da/dN = l/g.
этом случае общее уравнение (222) для 1-го периода получает вид
/—i /—1
Kl + yNi = <pN0 (l - ~ S #/) = Ф {N? - b S NtJ, (225a)
10* 147

где
ф = gv01 N0, b^=2C2/ '(d + C2)
и для первого периода
С dN* /
(2256)
Производя интегрирование, получаем
1 Np — Nx _gv0 .
1П N0 ~ N0 '
или
— gvot
Nl = N0(l-e N° ) = N0(l—er*t),
или
N_
No
1= 1—^ф/.
<22fi)l
ЗД
Рис. 37. Характер зависимости
силы от времени в первом
периоде для стержней с линейной
торцевой жесткостью
Полученное выражение показывает, что в первом периоде зависимое^
силы от времени носит характер экспоненты, показанный на рис. 37. Сила|
со временем приближается к величине N0, тем быстрее, чем больше жест
кость торцевого участка g. Скорость движения сечений ударяемого стерж-j
ня в течение первого периода
<>Ьг
N±
С2
г = ^0-^) =
Ci + C2
Ml — *-*).
(227
а его ускорение
Wt
h = _$. - МЕа e-*t
bi dt ~ c2 '
(22|
Максимальное ускорение (/ = 0)
W&max = гг~ ^0?
U2
дифференцируя выражение (226) по времени, получаем
dt
при t = 0
dt
ф£-ф/
ф.
Таким образом, ф является тангенсом угла наклона касательной к(
ту силового импульса в начальной точке (см. рис. 37).
148

В конце первого периода, т. е. при / = Т, согласно уравнению (226)
сила удара будет
NlT = N0{l—er«T)=:NJiu
где hx = 1 — ег^т.
Подставляя в уравнение второго периода найденное значение Nx =
= JVo (1 — е~ф0, получим
N2, + ^N2 = ^[N0~bN0(l—e-^)].
Время, входящее в уравнение, отсчитывается от начала данного
периода. Сила, действующая в начале этого периода, равна силе, действующей
в конце предыдущего периода, т. е. во втором периоде при t = О
N2{t=0) = N1(i=T)= N0(l—e-*T) = ft^o.
Решая полученное линейное дифференциальное уравнение при
указанных граничных условиях, находим
N2 = N0[R + (hl~R+ bcpt) ег*<],
2C2 С1 — С 2
где* = 1- сГ+с-2-сГ+с"2-
Подставляя найденные значения Nx и N2 в уравнение третьего периода
и решая его при начальных условиях N3(t=o) = N2^=t,) = h2N0, получим
N3= No{R* + [h2~ R* + (l+R — hl) b<?t~ ^1<г«}.
Аналогичным образом получаем решения для последующих периодов
Ni = N0{R3 +\h3~R3 + {l +R+R2~hl~h2)bq>te-«t —
N6 = N0^Ri+[hi — R4 + (l+R + R2 + Rs — h1~h2 — h3)b<pt —
^{2 + {nR?^2h1-h2)^ + (3 + R-hl)^-b^iyt}.
Если byt мало, то можно записать следующее приближенное выражение
1пя силы в j'-om периоде
/—2
Ni^{Ri~1 + [/^-Я'-Ч (^=^ - S ^) Ht\ <r*} N0.
В частном случае Сх = С2, что может соответствовать соударению
стерней равного сечения, выполненных из одинакового материала (Ь = 1,
= 0); выражения для определения силы удара несколько упрощаются:
^ = #0(1-*-*);
iV3 = N0 [h2 + (1 - К) yt - Щ <r«\
JV4 = No [h3 + (1 - fh. - h) yt - (2 - кг) ¥f + Щ <r*>;
149

W5 = #o [ft* + (1 - hi — A, - h3) ^ — (3 — 2/t! — ft,) £p +
We = #„ [fte+(1 — fti-ft2—ft3—A«) Ф^ — (4 — 3ftx — 2ft2 — ft3)^ +
+ (6-3ft1- ft2)f-(4-ftO^ + ^f5]^.
СИСТЕМА CO СФЕРИЧЕСКИМИ ТОРЦАМИ.
ФУНКЦИЯ СИРСА
Перейдем теперь к расчету удара стержней со сферическими торцами.
Выше приводилась зависимость между сближением и действующей силой для
торцов этого типа (см. рис. 145)
a=N*u/kv\
где
k = 4
3 fi-tf 1-^
£i + Е2
Тогда
Vi-Л-к
(229)
dec
2 ЛГ
k'1*
'/зЛ/7з
khN
Подставляя это выражение в общее уравнение (222), получим для /-го|
периода
N£
/ + 4^»,*-5^№-»C. + ". + - + «'«I-
2 No "' - No
(230)
Уравнение для первого периода, как показано выше (224), приводится]
к уравнению с разделяющимися переменными, подставляя в которое a' =j
- f » получим
dNi
J (N0 - Ni)
3 ki/3v0
2 No
t.
(231)1
Интегрируя, получаем
^т
v0t
+
i
График этой трансцендентной функции N/iV0 = Sr($t)9 названной на]
мц [27] функцией Сирса, показан на рис. 38.
Подсчитав величину N0 и |3, пользуясь этим графиком, можно на]
силу удара в любой момент времени, при условии t < Т поскольку
Nx = NQSr(№,
где
>-NvU)'-
150

W5\
0,330
0,830
то
0,730
0,736
0,670
0,585
Л¥65
О
N_ _/V
No "о
10
0,9
[0,8
0,7
0,6
0,5
■0,4
0,3,
ОД
[0,1
О
0,5 1,0
1.5
2,0 2,5 3,0 .4
Рис. 38. График функции Сирса (tg у = 0,472)
График функции Сирса (рис. 38) свидетельствует о том, что сначала темп
нарастания силы со временем увеличивается, а затем, достигнув
максимума, уменьшается, становясь по мере возрастания времени весьма малым.
Темп нарастания силы в каждой точке характеризуется величиной
производной силы по времени, которую нетрудно найти,
продифференцировав по силе интегральное уравнение (231),
1 3 k2/3Vo dt
■N)
N4* (No
откуда
dN 3 k2/av0
2 No dN
dt
2 No
N/3(N0-N) = -f
3 k2/°v0 N^3
N1'
No'*
No?*
No'3
Из этого выражения следует, что в момент начала удара (t = 0, N = 0)
угол наклона касательной к оси абсцисс
dN
dt
= 0.
i/=o
Точку, где темп нарастания силы наиболее велик, находим из условия
d2N
N0 — fN[
-0,
ггкуда следует, что максимальная крутизна зависимости N = f (t) имеет
1есто в точке, где N = Ы0/4.
Подставляя эту величину в выражение производной, находим макси-
альную крутизну ударного импульса
dN
dtm
,(*
n*
N0
Мо-ЧЧ = w
1 fl-4r) = 0,472 (W0,
координатах N/N0 и fit максимальная крутизна фронта
dN/No
dm
= 0,472.
Для второго же и последующих периодов эта зависимость, естественно,
пригодна [27]. Получить решение для последующих периодов тем же ме-
юм, что и раньше, невозможно по двум причинам.
1. Из трансцендентного выражения (232) невозможно выделить Nx
1 подстановки в общее уравнение.
2. Если даже выполнить эту операцию каким-либо приближенным ме-
рм, левая часть уравнения останется все равно нелинейным неинтег-
)уемым уравнением.
151

Придя к такому уравнению, Сире отказался от дальнейших попыток
аналитического решения этой задачи и перешел к громоздкому и
практически неприемлемому численному методу.
Последующие работы Прауса, Смита и других в решении той же задачи
не привели к положительным результатам вследствие указанных
математических трудностей [25, 29].
Методы линеаризации уравнений
Указанные математические трудности можно преодолеть, если прибегнуть
к линеаризации исходного уравнения (230), что позволяет привести его
к линейному виду (225а), решения которого для любого периода нами уже
получены. Для этого представим уравнение в виде
(234)
Заменим входящее в это уравнение -\/~Ni некоторым средним его постоян
ным значением У Л^ср, метод нахождения которого будет изложен ниже,
Тогда уравнение (234) будет линейным
+ ...+#/-!)],
или, заменив
г Ч^Гк"^ = ?\/ж = ^ =const' ^
N/ + фсЛГ, = Фс[#о —&(#! + N2 + N3 + ... + Ni-J].
Аналогия полученного уравнения и уравнения''(225а) позволяет
использовать найденные решения этого уравнения для второго, третьего и после-]
дующих периодов, заменив в них <р согласно формуле (2256) на срс (235L
Чтобы определить фс, необходимо знать среднюю величину действующей
силы. Для определения средней величины могут быть" применены различны!
методы [21, 27]. * I
1. Среднеарифметическое определяется полусуммой наименьшего знм
чения силы и наибольшего. Поскольку наименьшее значение силы равн|
нулю, а наибольшее Nt = N0Sr (РГ), то
(231
Таким образом, определение среднеарифметического сводится кследуи|
щим операциям:
вычисляем р по формуле (233);
Т — по формуле Т = 21 / аг;
РТ;
152
Ncp
*cp
No
0 + NoSr фТ)
— 2
NoSrftT) .
"" 2
л^ = ^/§гЩ1

inn л.
W„ No
0,91
h 0,75V-
4p\
I No
0,793\
0,83
2Ne0U
Na
Щ
Ni
Ш
No
0,50Y
0,2S\
Среднеарифметическое
Среднее
ло времени
Рис. 39. График для определения среднеарифметического
и среднего по времени значения функции Сирса
находим на оси абсцисс графика (рис. 39) точку с координатой РГ,
восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой Сирса, от точки
пересечения опускаем перпендикуляр на ось ординат и по соответствующей
шкале находим у Sr фТ);
вычисляем -j/ NCp/N0 по формуле (236), а фс — по формуле (235).
2. Среднее значение силы по времени определяется следующим
образом:
находим р по формуле (233), затем Т и |3772;
на оси абсцисс фТ) рис. 39 находим точку £772, восстанавливаем
перпендикуляр до пересечения с кривой Сирса, из точки пересечения
опускаем перпендикуляр на шкалу VSr($t) и находим Ysr($f)l2 = YncpINq\.
по формуле (235) находим срс.
3. Среднее по площади (импульсу)
N<* = -lr\N<U = ±r^Nd№=±r\ N0Sr(р<)d(РО
£Т
О
&т
AT к ° / Л/ / f
l?t=fr\SrWdW,y ~^=У ±\sr®t)d№). (237)
о о
i Входящий в это выражение интеграл представляет собой не что иное,
ш площадь (рис. 39), ограниченную осью абсцисс, кривой Сирса и прямой
1= РТ. Тогда определение среднего по площади производится следую-
им образом:
вычисляем р по формуле (233), затем Т и РГ;
(находим на оси р/ графика Сирса (рис. 39) точку рт, из которой восста-
юливаем перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с кривой Сирса;.
подсчитываем j Sr ((#) d ($t) как площадь фигуры, ограниченной осью р/,
! о
[ивой Сирса и прямой fit = рТ;
— »
Л/л
затем, используя формулу (235), находим срс.
No
153-

4. Вычисляем среднее энергетическое.
Энергия, полученная штангой
т
О
где Мер — средняя сила удара.
Откуда
т рг &т
7Vcp2 = -±- \ Nx4t = JL J Njsr* (РО d W =-^^Sr> (PO rf (pO.
0 0 0
Тогда
iVCD 1
cp
No2 0Г
0
3 /*Д/ v p
(238)
Интеграл, входящий в последнее выражение, есть не что иное, как пло
щадь фигуры, ограниченной (рис. 39) осью абсцисс Р^, кривой Sr2($fj
и прямой fit = fiT.
Таким образом, для нахождения среднего энергетического NCp
вычисляем р по формуле (233), затем Т и fiT;
находим точку на оси абсцисс fiT (рис. 39), из которой
восстанавливаем перпендикуляр к оси fiT до пересечения с кривой Sr2 (fit);
подсчитываем площадь, ограниченную осью fit, кривой Sr2 (fit) и
перпендикуляром; *"
3
^fопределяем Yn^INq по формуле (238), а фс — по формуле (235).
Могут быть и другие виды определения средней силы и фс. Например,
можно положить (стр. 153)
Ф = 0,472 р. (239)
Все эти методы дают близкие результаты, поскольку в конечное выраже]
ние входит корень кубичный из средней силы.
Следует также заметить, что согласно предлагаемому методу линеарн-]
зации средняя сила, определяемая для первого периода, переносится и н|
остальные периоды, что не может не вносить в расчеты некоторую погреш'
ность, величина которой может быть установлена при сопоставлении
расчетных и экспериментальных данных.
Таким образом, при любом методе линеаризации истинная зависимосЛ
силы по времени, входящая во второй и последующие периоды, напримерГ
кривая Сирса для сферических торцев, заменяется эквивалентной экспо|
нентой.
Образно говоря, в результате л неаризации нелинейная пружина N4
=Ы1\ соответствующая сферическому торцу, заменяется эквивалентно!
пружиной с линейной характеристикой N = gxii. Жесткость эквивалент
ной пружины gx найдем, приравнивая ф к фс:
ф =
откуда
А =
-- Ч> N0
3
2
/v0
AT'3
IV0
*у*<$).
Ф cxc2
■rfsrffl
1 (С, + С).
(2381
^ Другими словами, эквивалентная линейная торцевая жесткость опр!
деляется всеми параметрами данного удара в данной ударной систем^
в том числе и сечением, длиной стержней, акустической жесткостью
даже скоростью удара.
154

В этом заключается существенное и принципиальное отличие
предлагаемого метода упрощения цепи дифференциальных уравнений от тех методов
[19, 26], где герцевская полукубическая парабола IV = kuif* заменяется
произвольной прямой или системой произвольных прямых. Благодаря этому в
жесткость эквивалентной линейной пружины (или группы последовательно
включаемых пружин) входят только показатели жесткости торцевой части
безотносительно к остальным параметрам ударной системы. Такая замена,
естественно, не может не снизить точности получаемых решений.
Нужно сказать, что предлагаемый метод расчета пригоден не только для
пружинного или сферических торцов, поскольку в настоящее время
известны решения контактной задачи теории упругости для поверхностей
конической, цилиндрической, клиновой, плоской, эллиптической, плоской
прямоугольной и т. д. в различных комбинациях.
УРАВНЕНИЯ УДАРА
ДЛЯ СИСТЕМ С ТОРЦАМИ НЕКОТОРЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
Формула (229) является наиболее общей для сферических поверхностей.
Из нее может быть получен ряд частных случаев. Так, положив Ег = Е2 =
t= £, \it = |х2 = (х, получим для поверхностей из одинакового
материна
N
2 Е а »
3 1 — |Л22 " ,/ 1 , 1
кТ
Если к тому же радиусы закругления равны, т. е. R1 = R2 = Rt то
/V 3 1 - \l22
Если одна из контактирующих поверхностей представляет собой упру-
ПЛОСКОСТЬ (R2 = оо), то
4 VR а3/2
N =
'U
3 " /1 — JXi2 1—[12S
Если же сфера и плоскость изготовлены из одинакового материала, то
v _ _2_ Е YR а3/2 , _ 2 Е VR
3 1 — [л2 3 1— ц2 '
\ k — постоянная Герца.
Если одно из соприкасающихся тел несравненно жестче второго (Е2 =
joo), то
4 т ЕУЪ
3 1 — |га *
Если одна из поверхностей контактной системы является вогнутой (име-
мрицательную кривизну), например, вал радиусом R и подшипник ра-
сом R2, то связь между сжимающей силой и сближением определяется
мулой
I у = ± сЛ»
I V Ei "*" £2 )V Ri R2
Я2> Rt.
1ависимости силы от сближения для шара и цилиндра, шара и цилинд-
(ского желоба, шара и крутого желоба (шарикоподшипник), ролика и
155

круглого желоба (роликоподшипник), цилиндров с перпендикулярными
осями, плоскости и поверхности, имеющих два радиуса кривизны, обладают
аналогичной структурой
N = ko?1*
и отличаются лишь постоянными для данной системы коэффициентами k.
Следовательно, при ударе стержнем с торцевой частью, имеющей
перечисленные конфигурации, закон возрастания силы удара со временем
определяется той же функцией Сирса.
Рис. 40. Изменение силы удара
при коническом торце
К группе торцевых поверхностей, имеющих начальное касание в щ
ке, относится и коническая. Для этого случая получена квадратичная за|
висимость [22]
Ег
+
где kK — коэффициент жесткости конического наконечника, у — половин]
угла при вершине конуса.
Из этого соотношения находим
, dct 1
а
dN 2YkKN "
Подставляя это выражение в уравнение (224) первого периода, определи!
Vpt = 1 Р
dNi
Интегрируя, получаем
/ e«*L i \2 о/
где
со
l/fe'°o.
Предельная сила удара, как и раньше (стр. 145),
W0 = С,С2и01 (С4 + С2).
График полученной зависимости изображен на рис. 40.
Приближенное линейное решение (см. стр. 154) имеет вид
156

при средневременнои линеаризации
* = *|/Ч**(т) =
а + £2
Начальное касание по линии происходит, если торцы цилиндрические
(оси цилиндров параллельны) или призматические.
В первом случае сближение определяется формулой
2 V £1 ' Ei
где Ь — ширина, I — длина торцевой контактной площадки; Ri и R2 —
радиусы цилиндров.
Если один из торцев плоский (/?2 = °°)
Если же при этом" они выполнены из одинакового материала ((i4 = ц2,
а_ £ * / Ш Ь ' °-^К 2,71 • £ * I •
При сближении треугольной призмы и упругой плоскости
ie ширина контактной площадки
njy/l-^ l-j-WA 1
/ V Ei ^ Е2 J tgT '
-длина призмы.
Зависимости силы и сближения для торцов с начальным касанием по
иии носит относительно сложный трансцендентный характер, что, по-
рмому, объясняется спецификой распространения решений плоских
нтактных задач на объемные.
Однако^ поскольку функции (239) и (240) дифференцируются по N,
можно определить а', подставить это значение в общее уравнение и най-
точное или приближенное его решение.
Другой путь — замена переменной силы, входящей под знак натураль-
го логарифма некоторым средним ее значением, например Ncp = Л/У2
юследующим уточнением, т. е. использование метода последовательных
яближений.
В случае такой замены вместо сложной трансцендентной зависимости
1ы от сближения получаем простую линейную зависимость вида а =
Ш, где в случае цилиндрических торцов
^=4(Ц^ + !^)1п4/*
2/ V Ег
^ср,
^СР [i-Vl2 , 1 — 1X2^ RlR2
"ср * У 2,71/ V Ег ^ Е2 J R1+R2 '
157

в случае призматического торца
Еще более оправдан метод усреднения в случае притуплённой призмы,
имеющей начальную ширину площадки контакта Ь0.
Тогда в процессе удара ширина площадки возрастает до величины
ь-Ьо + п^[—ёг+—ёг)- |
Если первый член этого равенства — постоянная часть площадки
затупления, много больше второго члена — прибавление ширины площадки
в процессе удара, то Ь ^ Ь0. Если же они соизмеримы, то находится средняя!
ширина площадки, соответствующая силе Ncp. I
Во всех случаях, как было показано, приводя зависимость силы от|
сближения к линейной, получаем экспоненциальную зависимость силы oil
времени типа N = N0 (1 — е~ф0, где ср = kv0 / N0, что в свою очередь!
дает возможность для расчета силы удара во втором и последующих перио]
дах пользоваться линейными зависимостями (стр. 151). I
Для торцов с постоянной площадкой контакта теория упругости также!
дает линейные зависимости сближения от силы. Однако при этом нужно!
иметь в виду, что эти зависимости получены для случая, когда сечение (лк>|
бые линейные измерения) торцевой плоскости ударяемого стержня много!
больше любого линейного измерения площадки контакта. I

Глава восьмая
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕПЛОСКОГО УДАРА
УДАР ПО УПРУГОМУ ПОЛУПРОСТРАНСТВУ
Решения контактных задач теории упругости оказываются тем точнее,
чем больше площадь поперечного сечения стержней.
При безграничном росте площади сечения ударяемого стержня (F2 —>
-» оо) он приближается к телу, которое в теории упругости называют
полупространством.
Вместе с тем с увеличением поперечных размеров ударяемого стержня
)величиваются другие погрешности, вызываемые статическим характером
ююльзуемых решений контактных задач
вории упругости, предполагающей, что
формации и напряжения не зависят от
>ремени действия силы.
В то же время точные решения задач об
Парном действии силы на полупростран-
шо[1] говорят о том, что использование
гатических решений возможно лишь в
1учае, если: 1) сила удара нарастает от-
шгельно плавно; 2) время удара доста-
чно велико.
Оговорив это, преобразуем исходное
)авнение для расчета удара стержня с
рцом (наконечником) произвольной фор-
i о полупространство (рис. 41). Поло-
F2 = оо, найдем С2 = Рг^г^г = °°
К
v
и
N
Рис. 41. Удар стержня с торцом;
произвольной формы об упругое
полупространство
Тогда предельная сила согласно формуле (221)
NQ
С\Сг
Ci + C2
v0
Ci
(£+')
Vq = CiUQ.
(241)*
В этом случае исходное уравнение примет вид
N,
" + ^-*['-&2*]
В первом периоде сила удара определится уравнением (224)
15^

твид решения которого по-прежнему зависит от типа наконечника [30].
Например, при сферическом наконечнике вид решения имеет вид функции
Сирса, в котором сила N0 имеет максимальное значение. Однако в связи с
этим показатель р (233), характеризующий темп роста силы, уменьшается.
Таким образом, при ударе об упругое полупространство при прочих равных
условиях (тот же материал соударяющихся тел, та же скорость удара, тот
же торец— наконечник) предельная сила удара увеличивается до величины
CiV0, но темп ее роста уменьшается. Согласно выражению (241) предельная
сила удара, соответствующая бесконечно длительному воздействию, не
зависит ни от свойств полупространства, ни от наконечника.
Для определения силы удара во втором и последующих периодах
собственных колебаний ударника следует пользоваться выражениями (225а)
положив
b = 7^%r=-r^— = 2> Я = 1—6 = —1,С2—оо.
W ~Г ^2 ^1 . .
В этом случае уравнения (стр. 151) получат вид
N2 = N0 (hi + 2ф/) «г*< = Ciflo [<А4 + 1 + 2q>0 er*— 1 ] (242)1
N3 = Ctv0 [1 + (A2 — 1 — 2hi<pt — 2ф2^2) er*)\
и т. д. I
Если для данного наконечника зависимость между силой и сближением!
нелинейна для линеаризации следует воспользоваться методами (гл. VII),I
имея в виду, что при ударе об упругое полупространство I
N0 = CiV0 = ptdiFiVo, I
где pitfi — акустическая жесткость материала ударника; F± — площадь!
•его поперечного сечения; v0 — скорость перед ударом. I
АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ УДАРА ГЛАДКОГО УДАРНИКА. I
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ УДАРА I
Анализируя уравнения (стр. 151) прежде всего необходимо отметить, что я
приближением торцов к плоским, т. е. при увеличении радиусов закруг!
лений (Ri — со, R2—> °°), угла конуса (у —> 90°) и т. д. согласно форму!
лам (220) и (238а) имеем |3 —> оо; со -> оо. I
Следовательно, согласно выражениям (235), ср -» оо. Тогда ег*1 -»01
равенства (на стр. 151) приобретают вид I
Nt = ЛГ0, I
N; = NoR^=N0^J-\
Таким образом, при ф = со полученные выражения преобразую»
в известные формулы плоского удара (184) — (185), которые оказываю»
частным случаем полученных нами выражений. I
При неплоском ударе ф конечно и тогда на основании полученных и
ражений можно построить зависимость силы удара от времени в течением
го времени удара. I
160 I

1/
-<-
\-R |
[-*
— ir0m
И 1
-L —5-
Рис. 42. Характер ударного импульса при неплоском ударе
I-ударник; 2 -штанга; 3 — пусковой тензодатчик; 4 — записывающий тензодатчик
Примерный ударный импульс изображен на рис. 42. Импульс характе-
шзуют следующие параметры: время возрастания силы удара; максималь-
ия сила (напряжение) при ударе: время удара; энергия ударного
мпульса.
После определения этих величин нетрудно найти: коэффициент переда-
и энергии при ударе; коэффициент отскока и критическую массу, соот-
етствующую данной ударной системе.
Формулы (на стр. 15lj позволяют при известных упругих и геометрических
фаметрах ударной системы, а также скорости перед ударом вычислить
ту удара в любой момент времени любого периода. После такого построе-
1я все параметры удара импульса могут быть найдены без особых трудно-
ей. Однако в ряде случаев эти параметры удобно определить аналитиче-
им путем, не прибегая к построению всего импульса.
При реальном ударе в противоположность идеальному плоскому удару
т удара, скорость ударяемого стержня плавно нарастают со временем.
>ичем максимума сила удара может достигнуть, вообще говоря, через
бое время от начала удара, соответствующее любому периоду собствен-
х колебаний ударника. Однако для конкретной ударной системы это
мя является совершенно определенным.
Время, соответствующее максимуму силы удара, как и любые
экстренные точки, находится из условия
iN I dt =
(243)
"юскольку заранее неизвестно в каком периоде сила достигает макси-
а, на максимум периоды должны проверяться последовательно. При-
;ом того, что максимум находится в данном периоде, является
веша времени tm, удовлетворяющая равенству (243)
<tm<T.
кхледуем аналитически первый период. Для этого воспользуемся ра-
гвом (223), определяющим первую производную силы по времени при
м виде функции торцов. В точке максимума
it
■Hi-%)-o-
-&=°. "'"f-
В. Александров, В. Б. Соколинский
161

0,2 %Ч
Рис. 43. График для определения времени достижения
максимальной силы удара, т. е. длительности переднего фронта ударного
импульса (Тт = ST= S2L/a)
Установлено (см. стр. 149), что это равенство может быть выполнено
только при t -» оо. Другими словами, сила удара в первом периоде
независимо от типа и размеров торца не может достигнуть максимума.
Точное или приближенное решение общего уравнения для второго пе-|
риода имеет вид (стр. 151)
N2 = NQ[l — b + (h1—l+b) ем + byter**]. (244j
Дифференцируя и приравнивая нулю это выражение, находим
dN.
= 0 при t = tm =
-ФГ
dt ~ "*"х '" by *
Чтобы максимум силы оказался во втором периоде, необходимо
-Фг
(245
U
by
<Г или 6>-
-фГ
уТ
Если это условие удовлетворено, подставляя tm в уравнение (244), по]
лучим максимальную силу удара
е-фГ
N2m=N0[l-b(l-e П]. (Щ
В случае стержней равного сечения (Ь = 1)
N2m=N0e-*-*T.
Время возрастания импульса (длительность переднего фронта)
:tm + T = T +
by
Выполняя подобные операции, если t2m > Т, для третьего периода щ
дем, что t3m определяется квадратным уравнением
2 (1 — Л2 — bh)
t2
l*m by
2 (2-AQ ,
rzi кч
-0.
Если окажется, что 0 ^ t3m •< 7\ то подставляя z1 = t3m в уравш
силы для третьего периода (на стр. 151),найдем максимальную силу р
Подобные расчеты можно провести и для других периодов. При Л
как показывают выражения (245) и (246), время нарастания еилп УЩ
сама максимальная сила удара зависят только от постоянных b и щ
В связи с этим для облегчения нахождения максимальной силы щ
и времени возрастания импульса построены заранее рассчитанные граШ
162 I

ч
1,5
0,5\
т —^1
171=0,35,
I f °>9\
\s
и ^-— °А
Чу' ^Г~~ ' _J
I^^^T I I __L. I I l I [
0,5
m=0,t
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,2 /,* 1,6 В
Рис. 44. График для определения максимальной силы удара {Nm = mN0)
(рис. 43 и 44). По этим графикам, зная Ь и фТ рассматриваемой системы,
можно найти коэффициенты т и S, а затем определить максимальную силу
удара по формуле Nm = mN0 и время возрастания импульса по формуле
Tm = ST = S.2L/C,
где L — длина ударника.
Если, например, Ь = 0,4, фГ = 0,75, то т = 0,7 и Afm = 0,7N0, S = 2,25
и Tm = 2,25, Т = 4,5-L /а.
В данном случае величина 5 найдена интерполяцией.
ОБЩАЯ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СОУДАРЕНИЯ
В момент окончания удара N = 0. Поэтому время окончания удара т,
отсчитываемое от начала соответствующего периода до момента N = 0,
находим, приравнивая последовательно нулю выражения силы для
второго, третьего, четвертого и т. д. периодов до тех пор, пока впервые не будет
выполнено условие 0 <^ т ^ 7\ или
4-<L
(248)
Тогда общая продолжительность соударения определится выражением
Ту = (i—l)T + т,
где i — порядковый номер периода, в котором впервые выполнено
условие (248).
МЛАС УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
!>орма ударного импульса для известных Ъ и фТ построена в виде атласа
ударных импульсов. В атласе даны импульсы в диапазоне изменения пока-
ателя Ь от 0 до 1,8. Импульсы построены в широком диапазоне срТ (0,25;
,5; 0,75; 1; 1,5; 2; 3; 5; 7). Разнообразие форм импульсов в зависимости
т показателей Ъ и фТ иллюстрируется рис. 45—48. С увеличением Ъ и срТ
юрма импульсов в диапазоне 0 < Ь < 1 приближается кП-образной, в диа-
азоне 1 < Ь < 2 — к ступенчатой. С уменьшением показателей Ъ и срТ
юрма импульсов все более сглаживается, приближаясь к синусоидальной.
Анализ атласа импульсов показывает:
) при равных предельных силах N0 амплитуда удара растет с увеличением
оказателей Ь и фТ; 2) сила удара растет тем быстрее, чем больше показа-
ели ф и Ъ.
11* 163

Wo.
0,4
в =0,2
9>T=0,2S\
в=о,ч a =p,6
в =0,8
M Nn
Wt
0,8
0,4
I 3
В = 0,2
5
1
3
8 = 0,4
5
"^-v^
9>T=0,5t
3
= 0,6
'4
;
^-
Щи 1 3 *1Т
%
8 = 0,8
J/J
U,0
0,4
—■—-
3 t/T 1
^
s
z_
8 =
0,4
3 5 ¥T=QJS 1 3_
8=~%6
И
No
6
= 0,8
—^L
Wo
0.8
0,4
1 3 t/T 1
NjN0l f?M
0,8
8-
*0,2
1 3 t/T
H 6=0,8
0,4
0,8
0,4
3. t/T
у
/
/
L
\
/
/
/
l
8 = 0,4
^
1 3 t/T 1 з 5 1 3^1
Рис. 45. Формы ударных импульсов в диапазоне Ь = 0 -г- 0,8;_(рТ =• 0,25 -*- 2,0
3 t/T
5 t/T .

s Н/Н
^ »н-н
Ш
!
Цй
II
<*
(
\
/
ч
А
г
V
А
si
csj
II
(
\
'
s
/
s
'
ч
У
о
CS5
1
/
/
'
л
cs
II
00
СЛ
(
\|
/
/
N
'
4
Л
J
К
КС
S
Он
О
е
си

HIN0
0,8
1 3
N/Nn 6 = 0,2
(1
6=0,2
<PT=3
6 = 0,4 8=0,6
ts
/
/
/
\
-^
^L
\,
\
5 1
6=0,4' 9T^B 6=0,6
s
/
/
/
V
4.
4W
N
8=0,8
S
/
/
/
f
\
V
\
sv
V
1 3 t/i
s
1
6=0,8
\
\
\
Vj
N.
13 5 13 13 1
Рис. 47. Формы ударных импульсов в диапазоне: Ь = 0 -*- 0,8; срГ = 3 -г-7
3 Ш
Атлас дает возможность установить и другие закономерности
изменения ударных импульсов в зависимости от параметров ударника. Для
проверки этих (расчетных) зависимостей была поставлена серия
экспериментов, схема которых изображена на рис. 42.
В процессе экспериментов параметры системы имели следующие
значения: **
Длина ударника L, см 5 10 20 40
Радиус торца R, см 1,75 2,5 15 30
Скорость удара, см/сек 200 300 400 500
Диаметр ударника 3,35 (Fi=8,8 см2) и 6,4 (Fi = 32 см2}
Штанга имела длину 250 см, заведомо большую длины полуволны
удара. Торец штанги плоский. Ударник и штанга изготовлены из стали Е =
= 2-106; jut = 0,3; акустическая жесткость ра = 4,0; скорость волны а-
= 500 000 см/сек.
Основной объем экспериментов проведен при сечении ударника, равном
сечению штанги, т.е. С{ = С2 = paF = 4-8,8, = 35,2 кГ сек/см. Тогда
согласно выражению (2256)
6 = 2C2/(Ci + С2)= 1.
На рис. 49 приведена запись силы удара во времени при постоянно^
скорости удара v0 = 500 см/сек и постоянной длине ударника L = 5 а
но при различных радиусах закругления торца ударника—1,75; 2,5;|
4,0; 15; 30 см.
Чтобы сопоставить полученные записи с расчетными, необходимо
ределить показатели ударной системы.
Показатель плоского удара известен (Ь = 1), найдем теперь показата
фГ. Для этого определяем
Т =
[2-L
2-5
500 000
= 2-10"5 сек,
далее находим по формуле (233)
Р = т>
k \2
No
0о,
166

N/N0
1,0
= 1,0
0,6
0,2
<PT=3
6=1,2
1 2^i/r 1 Г
N1QNo 6=1,0
0,6
0,2
6=
f
/
/
/
0
\ I
\
\
\
—SJ
Ш
/
/
/
/
I
6=1,1
\
\
\
\
^
NINQ
1,0
0,6
0,2
J
s
1
I
I
6=1,6
\
\
\
\
\
}
?T=7
6=1,2
1 2 t/T
m
Рис. 48. Форма ударных импульсов в диапазоне: Ь = 1 -4-1,8; фТ = 3 -=- 7
где
N0 =
Тогда
Р
3 1—(j.2 з ' 1— 0,32
v 1
Cl-C2
Vo
35,2-500 = 8800 кГ.
2К I i
юв- Vr у
500 = 0,228-105- yTR,
8800 /
рГ = 0,228 • 105 - J/"R ■ 2 -10"6 = 0,456 • y^#T
Например, радиусу торца R = 30 см соответствует
р = 0,228-105- у/Т = 0,228-105-^30 = 0,71 • 105 саС\
РГ = 0,7Ы05-2-10-5= 1,42.
Пользуясь далее методом средней по времени линеаризации (
VII; рис. 39) находим
1*1 = 1^ = 0,71; /5^=^26 = 0,65;
ф = py^S/-^ = 0,71 • 105-0,05 = 0,46- Ю5;
<рГ = 0,46-105 ■ 2 • Ю-5 = 0,92.
Для R = 1,75 находим
р = 0,228- 105-7lJ5 = 0,275-105;
рТ = 0,275-105-2-10~5 = 0,55;
рГ / 2 = 0,275;

V^Sr-0,275 ='0,4; ф = P>/Sr. 0,275 = 0,275-0,4 = 0,11 • 105;
фГ = 0,1Ы05.2.10-5 = 0,22.
Аналогично для # = 2,5, р = 0,31-105, срТ = 0,28; для R = 4,0, р =
= 0,362-105, фТ = 0,34; для # = 15,0 р = 0,562, фТ = 0,65.
Сравнивая расчетные и экспериментальные кривые, нетрудно
убедиться в том, что они схожи по форме. Сопоставляя количественные показатели,
находим расчетное соотношение амплитуд удара
0,68 (ФГ = 0,92) -
0,44 (фГ = 0,22) ,0°
и экспериментальное
48 (R = 30)
34(Д = 1,75)
= 1,41,
а соотношение продолжительности удара расчетное
0,630
3,7Г (фГ = 0,92)
5,9Г (фГ = 0,25)
и экспериментальное
28(^ = 30) _ов?
42(Я = 1,75)~ W'U/*
На рис. 50 приведена запись силы удара при тех же скоростях удара и
радиуса торца, что и прежде, однако длина ударника была значительно
увеличена до L = 40 см. При этом показатели Ь и р, в которые длина
ударника не входит, остались те же, что и раньше (&== 1; р3о = 0,325; Pi,?5 =
= 0,13- 105c£K-1), изменился только период собственных колебаний ударника
Т = ^ = Й£=16.10*с«с.
а 5-Ю5
Вследствие этого показатель (ЗГ значительно увеличился, достигнув'
величин для радиуса R = 30
Рис. 49. Зависимость ударного импульса от радиуса закругления торца; L = 5 см
168

Рис. 50. Зависимость ударного импульса от радиуса закругления торца; L—40 см
РГ = 0,7Ы05.16.10-5= 11,4; <рГ = 11,4 ^fsr^^ 11,4
для радиуса R = 1,75
(37 = 0,275-105.16- Ю-5 = 4,4; <р7 = 4,4 j/'sr^ - 4,05.
Согласно атласу ударных импульсов диапазону ср7 = 4-4-11,4 при
=1,0 соответствует практически одинаковая амплитуда силы удара, что>
видно на осциллограмме (рис. 50). Время удара при ср7 = 4 расчетное ty =
:2,Ю-Т = 2,10-16-10~5 = 33,5-10~5 сек, по осциллограмме ify = 32,8-
lO"5 сек. Форма импульсов также практически совпадает с расчетной.
На осциллограмме (рис. 51, а, б) дана запись ударных импульсов при
шенении только скорости удара v0 от 200 до 500 см/сек. При этом длина
!рника L = 40 см; радиус закругления торца R = 30 см (рис. 51, а).
цругом случае (см. рис. 51, б) ударник имел длину 5 см и радиус R =
1,75 см.
Изменение скорости удара согласно полученным формулам должно ска-
ься не только на амплитуде ударного импульса N0l но и на величине
определяющей относительный темп нарастания ударного импульса,.
в значительно меньшей степени.
Действительно, преобразуя выражение (233), получаем
Ц f ш *=1 угШ1 $ - ^ /fwy **.
! з
дгда видно, что (3 изменяется пропорционально Yvo- Следовательно, при
кенении скорости от v0t до v02 соответствующие им величины Pi и (32 от-
сятся как
169'

Рис. 51. Зависимость ударного импульса от скорости удара
а — L = 5 см; б — L = 40 см
Используя найденные значения, находим р2Т для скорости v02=-
= 200 см/сек.
Р
гТ = № J^-g- = 11,4 j/^ = 11,4-0,74 = 8,3; ФГ = 8,3.
Обратившись к атласу импульсов, можно видеть, что при 6= 1 в диа
пазоне 97=8-7-11 отношение Nm/N0 (максимальной амплитуды к предель)
ной) практически не изменяется
Nn
N„
No:
С1С2
1. Nmt
' N02
N„
CiC2
Сг + С2
1.
U02
Следовательно Nml/Nm2 = v0i / v02. Максимальные усилия в этом 0
пазоне фТ должны расти пропорционально скорости удара. Результата
мера максимальных сил по осциллограмме даны в табл. 5.
ТАБЛИЦА
R
V-,
500
400
300
200
= 30; L =
"m
71,5
58
43
| 29
40; /ЗГ=8-
2,5
2,0
1,5
1
Ml
2,46
2,0
1,48
1
»J
500
400
300
200
R = 1,75;
"tn
39
300
22
14
L = 5; фГ
Ui
Vl
2,5
2,0
1,5
1,0
= 0,22 -f- 0,4
2,78
2,14
1,57
1,00
1,11
1,0
1,0
l,f
170

Рис. 52. Зависимость ударного импульса от длины ударника
а — R = 30 см; б — R = 1,75 см
Результаты аналогичных замеров по осциллограмме (рис. 49) приведены
равой части таблицы. В последнем случае зависимость несколько отлича-
:я от пропорциональной, поскольку амплитуда удара растет быстрее ско-
гги удара. Это явление можно объяснить, приняв во внимание, что при
= 5 см, R = 1,75 см v0 = 500 см /сек Ц)Т = 0,22. Следовательно, при
3
-200 см/сек срТ = 0,22 "j/200/500 = 0,16.
Однако, как следует из атласа импульсов, при малых фТ изменение
= / Af0 происходит значительно быстрее, причем в том же направлении, в
юром изменяются результаты эксперимента; с возрастанием скорости
еличение Nm по сравнению со скоростью, определяемой пропорциональ-
й зависимостью происходит более интенсивно.
Зависимость параметров ударного импульса от длины ударника ха-
реризуется осциллограммой (рис. 52, а), соответствующей радиусу
= 30 см, и осциллограммой (рис. 52, б), соответствующей радиусу R =
1,75 см. В обоих случаях изменялась только длина ударников Li = 5 см,
= 10 см, L3 = 20 см, L4 = 40 см. При постоянной скорости v0 =
J500 см/сек, на величине (3 изменение длины ударника не сказывается,
|скольку в выражение (233) длина не входит. Поэтому, как и следует ожи-
|гь, осциллограммы подтверждают, что интенсивность нарастания
нагрузив первом периоде оказывается одинаковой для всех ударников данного
"куса независимо от его длины.

Однако величина L входит в выражение периода собственных
колебаний ударника Т = 2L / а, поэтому показатель pT=|3-2L/a оказывается
пропорциональным длине ударника. Зная (ЗГ для какой-либо длины
ударника, нетрудно пересчитать его для других длин.
В табл. 6 сопоставляются расчетные и экспериментальные данные (рис.
52, а,б), соответствующие изменениям длины ударника при сохранении
остальных параметров системы (b=l, v0 = 500 см/сек)
L
40
20
10
5
г.10-е
16
8
4
2
R
ФГ
11,4
5,4
2,36
0,92
= 30 см
Расчетное
"m 1
N0
-1
-1
0,92
0,7
т
2
2,15
2,6
3,5

Экспериментальное
iV m
~ж 1
-1
-1
0,95
0,68
т
2,00
2,60
3,0
4,0
ФГ
\
4,05
1,65
0,65
0,22
R = 1,75
Расчетное
iV m
~1
0,84
0,6
0,44
'у
т
2,2
2,85
1 4,2
6,0
ТАБЛИЦА 6
см

Экспериментальное
No
-1
0,87
0,63
0,49
'у
Т
2,2
2,75
4,05
6,0
Приведенные ранее осциллограммы удара получены для случая, когда
ударная жесткость ударника была равна ударной жесткости штанги, т. е,
d = С2 и Ъ = 2С2/ (Ct + С2) = 1.
На осциллограмме (рис. 53) представлена запись удара, когда диаметр|
ударника превышает диаметр штанги, что привело к изменению Ь. Условия;
эксперимента: стальной ударник длиной L = 20 см и диаметром 6,4 а\
ударяет со скоростью v0 = 500 см/сек по стальной штанге диаметра 3,35 с%\
радиус закругления торца ударника R = 30 см; торец штанги плоский.
Упругие характеристики стали: £ = 2-106; [х = 0,3; а = 500 000 см/сек\
ра = 4.
Произведем расчет удара, используя формулы (142), (220), (2256) и (233)1
Сг = paF1 =
4я-6,42
129
кГ • сек
см
с2 =
ь =
с, 4jt3,352 0г кГ-сек
par 2 = т = 35
2С2
4
2-35
см
N0 =
Ci + с2
С1С2
129 + 35
129-35
0,425;
k =
Ci + C2
2 Е VR
'V0 =
•500
129+35
2 2.10б.У30
13 800 кГ\
= 1,47.106;
-if(-
13 800
- J. 500 = 0,525-105;
r _ 2L _ 2.20
~~ a ~~ 500 000
= 8.10~5 сек;
PT = 0,525-10"5.8. IO75 = 4,2;
172

Рис. 53. Ударный импульс при различных сечениях ударника и штанги
1/ Sr(^r) = 0>9> Ф^ = Р^1/5г(^-) =4,2-0,9-3,8.
Отыскиваем в атласе ударных импульсов расчетный импульсе близкими
раметрами Ь = 0,4; ц>Т = 4. Сходство расчетного и экпериментального
пульса очевидно.
Пользуясь приведенным атласом, можно решать и обратные задачи —
известной форме импульса определить параметры ударной системы.
1РЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПРИ НЕПЛОСКОМ УДАРЕ О ШТАНГУ
ергия, переданная ударяемому стержню при ударе, определяется
формой (222а)
/ т т
10 о
и, обозначая^ соответствии с формулами (226а)
N1 = ВД(Ф7; Ъ\ t\ N2 = NoU(yT; b\ t), N3 = N0f3(yT; 6; 0,
N£ = NQfi(<pT\b;t),
йучаем
£ т т
k =4f И Л2№ ь\ о* + $/?+1(фГ; b t)dt\ =
Сг*С2
о
т
■Oo*[SS f'*(VT' b> vdi + $/'-" №' b> o# ].
(Ci + CJ»
Коэффициент передачи энергии удара согласно формуле (222в)
173

Гт
7
ч
3
2
/>1
0,5\
0,6 0,¥
7=Щ[0,9 0,8 0,7 0,5 7=0,3
1
U
^г
/
J
/
'X.
п
\
11
ы
п
1
у
/1
g
7^
7i
1
ш
ч\
1
'
п
'й
Л
те
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 у 6
Рис. 54. Диаграмма для определения коэффициента
передачи удара
Подставляя в эту формулу значения сил в периодах удара, можно вы^
числить величину, стоящую в квадратных скобках. Однако такое Bbipa^ej
ние получается довольно громоздким. Так, например, для наиболее просто]
го случая соударения стержней равного сечения и одинакового материал*]
с± = С2, b = 1. *,
Если удар заканчивается в третьем периоде, имеем
N± = N0(l~e^); /Х(ФГ; 6; t) = -g- = 1 —е^\
N2 = Nofa + фО^; /я(<рГ; 6; t) = -^- = (ftt + ФО^;
Л^з = ^о
[ht + il-bW-Щ; /з(фГ;М) = -|£- =
= h2 + (l—hl)fft^\
Отбрасывая малые члены после интегрирования и суммирования, найдш
^■-^г['+2ФУ2'-Г+'.5^ + 0,5],
где фТ = е^т + Ye-*T (2 — ег*т) + 2цТе-*т. \
При больших фТ (фГ ]> 2,5), когда т мало,
1
1
4фГ
>1
Для облегчения расчетов коэффициента передачи энергии удара п<
зуются диаграммой (рис. 54), с помощью которой, зная фТ и Ь, можно
расчетов определить коэффициент передачи удара т].
Из диаграммы так же, как из зависимости (222в), видно, что коэффи!
ент передачи удара возрастает с увеличением фТ и уменьшением ft, т.|
приближением торцов к плоским. Другими словами, наличие у стерж|
реальных неплоских торцов понижает силуудара и коэффициент пере!
174

^ергииудара по сравнению с плоским ударом, поскольку часть энергии
расходуется на сжатие относительно мягких торцевых участков. При b < 1
наличие неплоских торцов стержней увеличивает время удара, а при b >
> 1, наоборот, уменьшает по сравнению с расчетами плоского удара.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НЕПЛОСКОГО УДАРА.
ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Таким образом, для определения всех результатов соударения стержней с
торцами произвольной формы достаточно знать два показателя: b = 2С2/
l(Ci + С2), зависящий только от поперечного сечения и упругих свойств
самих стержней аналогично показателю плоского удара, и ф7\
являющийся специфическим для ударной системы с неплоскими торцами.
В показатель срГ согласно выражению (233) помимо параметров
стержней (сечения, свойств материала) входят также геометрические и упругие
параметры торцов, а также скорость удара.
Качественная сторона ударного процесса и его математическое
описание, изложенные выше, позволяют интерпретировать систему
соударяющихся стержней как систему колебательную, в которой стержневые части
представляют собой линейные колебательные элементы, присоединенные
I к торцевому контуру, который не всегда (а" = 0) является линейным.
Тогда показатель ср — линейная (или квазилинейная в случае линеаризации
уравнений) частота собственных колебаний торцевой части, со = 1/Г —
собственная частота колебаний ударника.
Тогда фТ = ф /to выражается как отношение собственных частот
торцевой части и ударника.
В торцевой колебательный контур поступают все возмущения, вносимые
ударником, в том числе и отраженные волны.
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ ПЛОСКОГО УДАРА
И УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Установлено, что неизбежное существование у стержней торцевой части
придает реальному ударному импульсу плавную криволинейную форму,
характеризующуюся непрерывной i зависимостью силы от времени в отличие
от идеальных прямоугольных импульсов плоского удара, терпящих разрыв
а конце каждого периода.
В связи с этим расчеты по формулам плоского удара могут привести к
югрешностям, тем более значительным, чем более действительная форма
юлучающихся ударных импульсов отличается от прямолинейной.
Однако отказываться во всех случаях от методов и формул плоского удара было
ы неразумным ввиду их относительной простоты, тем более, что
получение зависимости для удара с учетом жесткости торцов дают возможность
пределить границы, в которых применение формул плоского удара не
приедет к значительным погрешностям.
Рис. (44 и 54) показывают, что ошибка по амплитуде удара будет в пре-
*лах 5%, если срТ > 3, а по коэффициенту передачи энергии удара фТ >
>7при Ь= 1,1; фТ>5 при Ь = 1; фТ > 3 при Ь = 0,9; цТ > 2 при Ь =
: 0,75; фТ > 1 при b = 0,52; фГ > 0,5 при Ь = 0,3; ф7 > 0,25 при Ъ =
= 0,16.
Что не мешает функции dNldt терпеть конечный разрыв в конце каждого периода.
175

Атлас импульсов показывает, что форма импульсов приближается к пря*
прямоугольной при фГ >3. С другой стороны, синусоидальный или близкий
к синусоидальному (симметричному) характер ряда импульсов
свидетельствует, как показано в гл. III, о том, что в этих случаях ударник может
отождествляться с твердым телом классической механики удара. Атлас
ударных импульсов показывает, что близкие к синусоидальным импульсы
имеют место при следующих значениях:
Ь 0
<р7\..<0
'у
Л... оо
Т
0,2
<0,5
<7
0,4
<1,5
<5
о,ь
<2
<3,5
0,8
<з
<2,8
1,0
<з
<2,2
1,2
<з
<2,1
1,4
<2
<2,1
1,6
<2
<2,0
1,8
<2
<2,0
На основании подобного анализа построена ориентировочная
диаграмма (рис. 55) областей применимости для приближенных расчетов формул
классической механики удара твердого тела (//), волновой механики
плоского удара (/) и лежащей между ними области необходимого применения
изложенных в этой главе методов неплоского удара (///).
МЕТОД КОМБИНИРОВАНИЯ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
И НЕПЛОСКОГО УДАРА
В основе метода лежит представление о том, что одно из соударяющихся тел
обладает свойствами твердого тела, т. е. все его точки движутся в данный
момент с одинаковой скоростью. В то же времй другое тело — длинный
стержень с неплоским торцом1 — такими свойствами не обладает, так как
его период собственных колебаний Т настолько велик, что его показатель
<рТ выходит за пределы области классической теории удара (рис. 55).
На рис. 56 изображена такая ударная система. Стержень 2,
движущийся со скоростью v0, наносит удар по телу 2, которое можно считать твердым.
Приняты следующие обозначения:
Xi — перемещение граничной плоскости (плоскости равномерного
распределения напряжений по сечению стержня) во время удара; Х2 —
перемещение точки тела 2 во время удара; L — длина стержня; F — сечение
стержня; m — масса ударяемого тела; N — сила удара.
Составляем систему уравнений, описывающих движение тела 2,
граничной плоскости а — а (158) и известную зависимость между силой
взаимодействия от сближения а плоскостей а — а и б — б.
d*X2 АТ
N = 9aFU-dXf)=Cl
Vq
dXi
dt J ~Ч u dt
a = Xi-X2 = f (АО,
где Сi — ударная жесткость стержня 2.
Начальные условия t = 0; а = 0; N = 0; Xi = 0; Х2 = 0;
*Х\ __ dX2 _ п
1 Стержень может иметь и плоский торец, если твердое (но не жесткое) тело имеет упругий]
выступ.
176

Исключая функции координат, получаем дифференциальное уравнение для
определения силы удара
da
dN
dt* + dN*\dt J ~*~ Ci dt "^ m
при следующих начальных условиях t = 0; N = 0.
ST
7
6
5
Ч
3
2
1
0
~
г
Ш J
У"
Ss
>£'
^ , .
--55-
#
#/
4/
«/
/
/
/
и
I I I
/
ш
I I
0,4 0,8 1,2 1,6
Рис. 55. Диаграмма областей
применимости расчетных методов
Область расчетов: I — по формулам
плоского удара; II — по формулам
классической механики удара
Рис. 56. Ударная система
Полученное уравнение, вообще говоря, является нелинейным и его
|точное решение даже для первого периода собственных колебаний стержня
(невозможно.
Только при линейной зависимости между сближением и действующей
[силой вида N = ga; а = N/g уравнение преобразуется в линейное уравнение
(второй степени с постоянными коэффициентами, поскольку
da/dN = l/g = const; d2a/dN2 = 0;
(тогда уравнение получает вид
g dt* ~*~ Сг dt "^ т i
Ьли
N' + ^N' +-^N = 0.
Для его решения находим корни характеристического уравнения
1И
\2СГ)1 т >U' mg^1'
с.
pax т£
(248)
азовем величину mg / 4С2г показателем периодичности. Решение имеет вид
периодической функции
U=Q1e^+Qa^, (249)
|Е. В. Александров, В. Б. Соколинский 177

4r>2
Nn2
6
(
Рис. 57. Характер силы удара
а — апериодический; б — периодический
где Qi и Q2 — постоянные,подлежащие определению из начальных условий.
Из начальных условий имеем t = 0; ЛГ = 0, что дает уравнение Qi +
+ Q2 = 0, откуда Q2 = — Q4; подставляя которые в уравнение (249), имеем
N = Q (е* — ^20.
Вид этой функции представлен на рис. 57, а. Апериодичность функции,
которой^соответствует условие (248), свидетельствует о том, что тело 2 не
отскочит от тела 1 по крайней мере в течение первого периода собственных
колебаний ударника, т. е. время удара будет не менее ty <, Т = 2L / а,
рш Момент tm, соответствующий максимельному значению силы Nm, может
быть найден из условия *
dN L =№^-^Г201^т =0;
dt
откуда
гле
Ып
= г2е
Г*п
In
г2
t — rl
В случае
\2С ) m ^ и'
4Сг2
<^
(250)
решение уравнения имеет вид
N = e *с> (Q^inbt + Qzcosbt),
Из начальных условий / = 0; N = 0 находим Q2=0.
Тогда
N = qxe 2Clsin5/. Щ
График этой зависимости изображен на рис. 57, б. Момент перехода силы
удара через ноль (момент возможного окончания удара) находим из усло-j
вия
_ #
N = Qte 2С* .sin6^y = 0,
откуда
sindfy:
0;
6ty = Jt, ty = Я/6.
(2521
На рис. 57—р.
178

Подобные импульсы отчетливо видны на осциллограмме рис. 49, 51.
Время возрастания силы удара до максимума находим из условия
gt £t
^=Qfi"^ cos 6/m6 — -jL- Г "И" sin Ыт\ = О,.
откуда
б cos btm = g/2Ci sin 6/m,
tg btm = 2Ct6/g.
Тогда
, 1 x 2Ci5 , 1 / , x 2Схб\
U = -5- arctg -j- ; fmi = — (я + arctg-^-J.
Периодический характер зависимости показывает, что отскок в этом
случае возможен еще до того, как придет волна, отраженная от
противоположного конца ударника. Другими словами, время удара
i><T=*/v%-m
Особенностью периодического процесса, как видно из рис. 57, является
также появление периодических растягивающих напряжений в ударнике.
Пример. Стальной ударник, сечение которого F = 8,8 см2, длина 5 см,
радиус торца R = 1,75 см наносит удар по плоскому торцу штанги (L =*=
= 220 см) из того же материала и сечения. Требуется определить характер
ударного импульса и время удара.
1. Находим ударную жесткость ударника и штанги
d =С2 =paF =4-8,8 =35,5 кг сек/см.
2. Вычисляем показатель
Ъ =2C2/(Ci + C2) =1.
3. Определяем массу ударника
ту =р/г^7,8.8.,8^5.10"6=34.10-5.
4. Ранее для этого ударника найдено: Т = 2• 10~5 сек; Р = 0,275- 10в
ю простейшему методу ф =0,472 р =0,13-105; фТ =0,26. Согласно
)ис. 55 ударник попадает в ту область, когда для его расчета может быть
фименена механика твердого тела.
5. Штанга же имеет период
Т =2//а =88-10-* сек.
ледовательно, при р = 0,275-105 срТ =11,4. Таким образом, к штанге
[етоды классической механики применены быть не могут.
6. Находим эквивалентную жесткость торца
ё = <Рс^+2С2 = 0,13.10е. -|- .35,5= 2f-3-.105icr/cA«.
7. Определитель периодичности процесса с учетом формулы (248)
4С7 - £Г35^ = 0.0155< 1,
го доказывает, что ударный импульс заведомо периодичный.
12* 179

8. Находим время удара (252)
, Я. Я Jt
У~"Г~ l/g-fgf" -|/"2^1Qb _• 2,3 Y^g""""
К m V2'ci/ ' 34.16-° V 2-33,5 J
= %=~ П9?',п5 «12-10-* сю.
105 /0,068 0,26-105
Согласно осциллограмме (рис. 49)
*у == 11,2- 10г» сек.
9. Время достижения максимума
U = 4-arctg ^6 —J-arctg |g§- .0,26-10' = ^arctgS _
= 5,6-1(Гб сек.
Согласно осциллограмме tmi =5,6-10"5 сек.
Вернемся к системе уравнений (стр. 147) для того, чтобы найти
перемещение ударяемого тела Х2 во время удара. Для этого дифференцируем по
времени третье уравнение системы
а = Хг — Х% = N/g; Хг' - Х%' = ЛГ/g,
откуда
Хг'^^ + Хш*.
Дифференцируем по времени первое уравнение системы
N' = mX%".
Подставляя последнее уравнение в предыдущее, получаем
хг* = — х%т + х%:
Во второе уравнение системы подставляем N из первого уравнения и
найденное значение X/
ttlX% = СjpQ — —— Х% С^Х2 ,
«ЛИ
Решение этого уравнения имеет вид при
рде г4 и г2 определяются формулами (248)
L ri(n—fa) ^ f2 (fa —fi) .!
480

Подставляя эту величину в первое уравнение системы, находим
N = тХ2" = т -^- v0 (?* — ег*) = М. °»
Vo - ClVo (e^-ft).
r mg V mg
Таким образом, неизвестная постоянная, входящая в предыдущие
уравнения,
Q-O./j/,-^.
* Следовательно, в случае периодического импульса (—->1
N =
х;
При t--
N =
CiVq
У mg
- Vo [1 -
— *mx
--Nm.
-i
gt
e 2C*
*
2C1
sin Ы;
(cos6^ +
g
2Ci6
sin 6/
)]
Энергия, полученная ударяемым телом,
А = \ NdX2;
о
( 4Ci2 ^ 1
при апериодическом процессе ( <Т
о о I/ 1 —
Х [1 + г-^7 *#+ r-^V Н Л =
'у
-—Clt,°2 С (1 + -^— ^ + —£- ^ (^ -^)
V mg
'—eJ)dt.
щ) \ 1 i. — fa i't—11 /
О
mg
[Коэффициент передачи удара tv
■Л.2 Л .
-Л| =
pFLvo2 r v02 L
ry
„— 4 , С Yi + _£L. ^ + _Cl_ erA (fitter*) dt.
n 1/A1_4Ci2 JV Г1-Г2 r2 —n yv
y r mg
181

= ^NdX2 =
ei»o2
V mg
ir£l
s'mtit x
[l — e. «c« (cos6* + ^g-sin67)1 #;
'y<'-ff-.*
7 *
^l/A-i ^Y 2C,sin^[I~e aC'(cos^+!2frsin6/)]
V mg
dt.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА КУЛАЧКОВЫХ ПАР
Кулачковая пара служит для преобразования вращательного движения"^
поступательное. Она состоит из кулачка заданного профиля У и стержня-
толкателя 2 (рис. 58). При расчете кулачковой пары стремятся определить
i -х2
Рис. 58. К расчету кулачковой пары
усилия на контакте толкателя и кулачка, ускорение толкателя,
максимальный момент на валу кулачка, условия, при которых толкатель сохраняет]
постоянный контакт с кулачком и т. д.
Приняты следующие обозначения: г0 начальный радиус; г — радиус-
вектор профиля кулачка при повороте его на угол у от начального
положения; со — угловая скорость вращения кулачка; Х2 — перемещение
начального торцевого сечения стержня; L—длина стержня; Ni — постоянная]
сила, прижимающая толкатель к кулачку.
Перемещение точек кулачка, пересекающих ось X — X с момента нача-j
ла движения стержня (начала удара), равно г — г0. Принимаем, что кула|
чок твердый, т. е. все точки кулачка имеют одинаковую угловую скорость,
Полагая к тому же угловую скорость вращения со постоянной,
получаем возможность исключить из рассмотрения привод кулачка и крутильные^
колебания в нем.
Профиль кулачка задан, как обычно, функцией г = г0/(у)> у =co/j
Тогда перемещение точек недеформированного профиля кулачка
г = г - Го = г0[/(г) - 1) = г0[/(сог) - 1]. (253J
Сближение между начальным торцевым сечением стержня и поверхность!
кулачка вдоль оси X — X
а = г — Х2. (251
182

Сближение между этими поверхностями вызывает деформацию
кулачка и торца стержня, а следовательно, появление сил сопротивления этим
деформациям N, которые связаны с величиной деформации соотношением
N =f (а), или а =fx (N). (255)
Сила, действующая в торцевом сечении стержня, связана с его
скоростью волновым соотношением (158)
N
-Nl=-C2(v02-^y (256)
Если начальная скорость стержня v02 = О,
N = Ni+C2*£l. (257)
Дифференцируя (254) по времени, находим
Поскольку сближение а есть функция силы (255), то
doi dec dN
~Ж"~~Ш ' ~~dt%
Расстояние от центра кулачка (который принимается неподвижным)
до стержня г согласно формуле (253) зависит от закона выполнения
профиля кулачка, задаваемого углом у.
dr dr dy dr dat dr
Используя формулу (258), имеем
dX2 __ dr_ da^ _ dr dx_ dN
4f~4T ~dt~®~dri W ' W
Подставляя найденное значение скорости в формулу (257) и приводя
юлученное выражение к виду, обычному для дифференциальных уравне-
шй, получаем
^l.dN+N=^Nj_ 59
dN dt ' С2 dr С2 v '
Полученное уравнение является, вообще говоря, нелинейным дифферент
иальным уравнением первой степени. Относительно простые его решения
огут быть получены в двух случаях:
1) когда профиль кулачка выполнен таким образом, что радиус-вектор
улачка изменяется пропорционально углу отсчета у. Такой профиль на-
лвают спиральным, т. е. г =г0(у+\);
2) если зависимость сближения от времени является линейной, т. е.
\СЧЕТ СПИРАЛЬНОГО КУЛАЧКА
первом случае
d±- = r0 = const. (260)
правая часть уравнения становится величиной постоянной.
183

В связи с этим уравнение принимает вид, аналогичный уравнению-
(222г),
*' + та---И«'.+:&]. (2б0а>
или, обозначив
[о)Го + ^-] = V0- C2V0 =ЛГ0, (261>
имеем
1 <х No а
Это уравнение решается простым разделением переменных.
В частности, если функция сближения имеет вид a =kN2/3> как у
сферических и подобных им торцов, имеющих первоначальное касание в
точке, то в результате решения получаем функцию Сирса.
Для того чтобы пользоваться этими решениями, как видно при
сопоставлении исходных дифференциальных уравнений (260а) и (222г), нужно только
величину начальной скорости удара v0 заменить выражением V0i a N0 —
C2V0. Для определения закона движения во втором и последующих
периодах собственных колебаний стержня Т = 2L/a также используются
приведенные выше методы.
Таким образом может быть получена зависимость силы N от времени.
Причем моменту отрыва стержня от кулачка будет соответствовать условие*
N =0.
Следует иметь в виду, что радиус кулачка не может расти
беспредельно. Через некоторый угол поворота у0, что соответствует моменту ti =Vo/
/со, профиль кулачка при соблюдении условия (260) должен быть изменен;
так, чтобы восходящая ветвь спирали сменилась нисходящей. Тогда
dr г v Nl „г
Поэтому с этого момента исходное уравнение будет иметь новые
постоянные коэффициенты; кроме того, в этом случае уже нельзя считать и0ч2
равным нулю, а необходимо подставить в выражение (256) ту величину
начальной скорости стержня, которая будет иметь место при t =tit
Расчет кулачковой пары
с линейно деформируемой контактной областью
Если конструкция торца стержня такова, что
a =gN,
a'=J^ = £ = const'
и уравнение (259) становится линейным
dN , g К7 dr . Ni /O£0 J
_ + _|_iV=cD._+_f (262a)|
причем входящая в правую часть величина dr/dy представляет заданну^
функцию времени. Например, при r=r0(siny—1),
dr
-^7 = Го cos Г = r0 cos со/
184 !

уравнение (262а) получает вид
Решение этого уравнения при начальных условиях t = О, Л' — О
Ni = ~г—~2 (-^- cos со/ + (о sin at
co2 + ,^VVC2
Индекс при силе обозначает, что предыдущее равенство правомочно
лишь для первого периода собственных колебаний ударника.
Дифференциальные уравнения для второго, третьего, г-го и т. д. периодов, которые
учитывали бы волны, отраженные от свободного конца стержня толкателя,
могут быть по аналогии с формулой (222) записаны в виде
N\ + ^N = |((or0cos at + ^)~^rg [N± + N2 + N3 + ... + tfM].
Решение такой системы необходимо вести последовательно, учитывая
при этом, что начало действия каждой последующей волны сдвигается по
отношению к предыдущей по времени на период собственных колебаний
стержня толкателя
Т =2L/a2.
В результате этих расчетов может быть найдена максимальная сила
удара Nm, соответствующая моменту tm. Тогда максимальное ускорение
стержня-толкателя
IV7 1 dN , ,
^m = ~Cl~dt при t = t™-
Действие силы удара вдоль оси X — X должно уравновешиваться осью
кулачка. Кроме того, поскольку профиль кулачка наклонен к оси X — X,
появляется тангенциальная составляющая силы удара
где 0 — угол между нормалью к поверхности кулачка, восстановленной в
точке контакта, и осью X — X,
. л 1 йг
6 г dy *
Таким образом, момент, тормозящий кулачок, при разгоне толкателя
di
М = NTr = N ^-,
МЕТОД РАСЧЕТА СТУПЕНЧАТОГО УДАРНИКА
С НЕПЛОСКИМ ТОРЦОМ
Нередко встречаются системы с тремя и более граничными поверхностями —
удар двух стержней конечной длины, удар ступенчатого ударника
конечной длины по бесконечной штанге и т. д. Последний случай, изображенный
на рис. 59, представляет определенный интерес, поскольку ударники в
пневматических перфораторах нередко по конструктивным соображениям
выполняются именно такой формы.
13 Е. В. Александров, В. Б. Соколинский
185

\w,
\w
}w2
"/i
w.
\w;
h
"M"^"
\Ni
War,
W,
War
j—
)—
l^er
\W,
\"2
Гаг 1*2
\N2
w9
\»a3%
1^2
Щ
^
\N3
\»63
Рис. 59. Соударение ступенчатого ударника с неплоским торцом
и длинной штангой
Как видно из рис. 59 и соответствующей волновой диаграммы, система
имеет три граничных поверхности — неплоская поверхность контакта,
плоскость ступени, поверхность свободного торца ударника. На всех
поверхностях реальные криволинейные ударные волны претерпевают отражение
и преломление. Рассмотрение этих явлений при двух граничных
поверхностях — контактной и плоскости ступени (см. гл. VII) — позволило
получить дифференциальное уравнение для расчет* силы удара в любом
периоде собственных колебаний ступени конечной длины.
Однако решение этого уравнения определяет силу удара и отвечает
действительному процессу лишь до момента времени, соответствующего
приходу первой волны, отраженной от свободной поверхности ударника.
Дальнейший расчет требует включения в уравнения этих отраженных волн.
Таким образом, общее время удара можно разбить на два интервала —
до и после прихода волны, отраженной от свободного торца ударника.
В первом интервале, продолжительность которого
'i.= f- + f- = r1 + T,-rl
1 + тг
сила удара определяется дифференциальным уравнением (221)
где
r = (C1- С3)/(Сг + С,), b = 2C2/(CX + C2), N0 = C1C2v0/(C1 + C2).
Вид этого уравнения для первого периода, когда члены, заключенные в
квадратных скобках (отраженные волны), еще отсутствуют, ничем не
отличается от его вида для гладкого ударника (223). Следовательно, решение]
этого уравнения для первого периода производится также по формуле
(224).
Как было показано, решение этого уравнения трудностей не представ^
ляет, а вид его определяетсй конфигурацией торцов, т. е. видом функции
а'. В частности, при а' = const получаем линейное решение для первоп|
периода
# 1 = #о (1 - *-*<)-
186

Однако для получения приемлемых аналитических решений для второго
и последующего периодов уравнение (221) должно быть линеаризовано
методами, изложенными выше.
При v0/N0<x' =ф = const оно примет общий вид
N- + cptf, = ф{Wo + br [Ni^~ rNi.* + r*Ni_3- r* N{..4...]}. (262)
В частности, для второго периода (/ = 2)
N2' + ФЛ^2 = Ф {N0 + brNt); (263)
для третьего (/ = 3)
N3' + фЛ^з = Ф{#0 + br (N2- rNJ}: (264)
для четвертого (i = 4)
N,f + фЛ^4 = Ф{ЛГ0 + br (N3 — rN2 + rWi)} и т. д. (265)
Подставляя в уравнение (263) линейное решение первого периода, с
учетом формулы (226), получим
N2 + ФЛГ2 = Ф {N0 + brN0 (1 - е~*1)} = ФЛ^0 [1 + br (1 - е-*%
Решение этого выражения при начальных условиях
N2\t=0 = hlN0 = Nl\t=Ti;
N2 = N0[l +br — (1 —h1 + br)er^l — br(pter^t].
Обозначая постоянные коэффициенты 1 + br = АЪ B2=br, получим
N2 = N0[A2 — h1—A2fir^t — B2—^ter^t]. (266)
При t = T3 сила удара достигает величины
ЛЦ=Тз = N0[A2 — h1—A2e'^—B2^T3er^3] =
= N0 [ 1 + br — (1 — К + br + bryT3) ег*т>].
При плоском торце ф -> оо, фТ -» оо, N2 -> N0 (1 + br), что
совпадает с плоскими решениями, которые, таким образом,являются частным
случаем полученной зависимости.
В противоположность этому при мягких торцах или при коротких
ступенях (/3 мало), когда ф и Т3 =213/а3 мало, истинная величина
максимальной силы может оказаться значительно ниже, чем рассчитанная по
формулам плоского удара.
В пределе при фГ2 —> О N2 —> Nohi. Другими словами, вследствие
эффекта торца короткие ступени вопреки теории плоского удара не могут дать
Существенного повышения сил и напряжений при ударе. Подобным обра-
юм могут быть получены выражения сил для последующих периодов.
Ьднако, как уже указывалось, уравнение (262) и его решения справедливы
ишь до момента прихода волны, отраженной от свободного торца
ударника. Дальнейшее решение возможно лишь с учетом отраженных волн.
Vu vau vbi определены дифференциальным уравнением vai = v0—NjCi.
Составляем систему для определения волны, проходящей через границу
[тупени b — b
hi-0 = C3(v0~W1)\
h1-N1 = -C1(val-W1);
h1 = 2C3Nl/(C1 + Ci). "
I 13* t87

Определяем скорость волны после отражения от свободной поверхности
(сила равна нулю)
0~h1 = ~Cs(Wl-W1');
Находим
/t2_0 = C30iV-r2);
ht-h1 = — C1(W1-Wt);
и 2Сз Сз — С± Лг 2Сз и ,
Составляем систему уравнений для определения Af3, ^аз> vB3
N3~h2 = C1(W2-va3) |
N3 — N2 = —C2(vb2 — уЬз) J '
или в соответствии с ранее принятыми обозначениями
приводя это выражение к виду, подобному (264), получаем
или в линеаризованном виде '
N3f + yN =<p[N0 + b{r* + r—l) Nt].
Ф — показатель жесткости торца
b = 2d/(d + С2), г = (d — d)/(d + d), iV0 = dd iW(d + d).
Подставляя сюда линеаризованное выражение силы Afi = N0 (1 -4
—е~ф0, окончательно получаем i
AV + фЛГ3 = фЛ^о 11 + Ь (г2 + г — 1) (1 — <т")].
Таким образом, при наличии плоских и неплоских границ в систему
определение параметров удара производится при помощи совместного
шения алгебраических уравнений плоского удара и дифференциальны^
уравнений неплоского удара.
Решаем полученное линейное дифференциальное уравнение
N3 = N0[A3 + (h2 — А3) er*t + В3ф^'], (267J
где А3 = 1 + Ъ (г* + г — 1), В3 =Ь (1 — г - г*).
Для четвертого периода подобным образом находим
N, = NQ { А4 + [Л, - Л4 + B4q>; - pf^)2] <г*'},
1вв

где
Аь= l—b + br3 + b2r\ B4 = 6(l +rh1 — br2 — r3);
для пятого периода
N5 = NQ {A 5 + (A4 — ^5) ^ + В5Ф^Ф' + СбФ2/2 • <г»<},
Лб = 1 — 6 + 26r — br2 — 26V + б2/-2 + 26V3 — br3 + br\
B5 = b + 26 V + 6r2 + b (r2 — 1) hx + brh2 — b2r2 — 26 V3 + 6r3 — 6r4 — 26r,
C6 = 62(2r —r2 —2r3);
для шестого периода
N6 = N0[Ae + (hB — AB) er** + B^te^ + 1 CrfPer** — ^ cp3/V*'l ,
где
Л6 = 1 — 6 + 26r — 36V2 + 36r2 — 26V — 6r3 + 6V3 + 36V4 — 26r4 + 6r5,
B6 = 2b — b2 — 2br — 36/'2 + 36V2 + 26V + 6r3 + 26r4 — 36 V4 —
_ b*r3 — br5 — br(l+r — r2)hi + b(r2—l)h2 + brh3,
C6 = 26V — 62 + 36V2 — 6V3 — 36V4 + 6V2/ib
Для ударника, у которого отношение длин ступеней /3/ h =1/3,
аналогичным образом получены те же значения Nu N2> N3, что и для ударника
/3/Zi=l/2 (см. формулы (265), (266), (267)).
Для силы удара в четвертом периоде
N, = N0[A, + (h3 — Л4) (Г* + fi4<pfcr*'];
Л4= 1 +6(г3 + г2—1); Б4= 1—г2—т3.
Для пятого периода
N5 = N0[A5 + (Л4 — Л5) <г*< + £5<pfcr*< — 16V2(pVV*'];
Лб = 1 — 6 — br2 + b2r2 + br3 + 6r4;
Въ = b (1 + rhi + br2 + r2 — r3 — r4).
Для шестого периода
Л/6 = ЛГ0 {Л6 + (Лв - Л6) <г*' + ЯвфАг* + с6 ^-2 ^}.
А6 = 1 — 6 + 26г — 26V — б/-2 + 6V2 — 26r3 + 26V3 + br* + br5)
B6 = b(l—2r + 2br + r2 — br2 + 2r3 — 26r3 — r4— r5 + r2h±— ht + rh2);
C6 = b2r{2 — 2r2 — r).
Пользуясь методами плоского удара для расчета ступенчатых стерж-
й, необходимо иметь в виду, что в действительности плоскость перехода
чений в процессе удара не остается плоской, а искривляется (рис.60),
жривление плоскости ступени происходит не мгновенно, а со скоростью
перечной волны — волны касательных напряжений (сдвига) — т.
Приходя к боковой свободной поверхности стержня, где т =0, попе-
чная волна отражается и движется обратно. В результате сдвиговые нап-
жения снижаются и форма поверхности ступени приближается к плос-
й. Запаздывание поперечных волн разгрузки
M = 2(R — r)/aUi
1 ап — скорость поперечной волны.
189

-2R
-ZrA
g_J
WR-rA
Рис. 60. Искривление плоской
ступени бойка
Таким образом, чем меньше разница поперечных размеров ступеней
ударника, тем быстрее приходит волна выпрямления, тем более граничная
поверхность приближается к плоской. Поэтому методы плоского удара
оказываются тем более точными, чем ближе поперечные размеры ступеней.
В литературе, например, имеются данные о том, что
удовлетворительные результаты расчета ступенчатых стержней получаются в том случае,
если диаметры ступеней отличаются не более чем в 3 раза [15].
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРАХ УДАРНИКА
Удар о плоское полупространство (см. рис. 41) рассмотрен в гл VII.
В разделе было показано, что случаю удара об упругое
полупространство соответствует показатель Ь = 2, предельная сила N0 = Cv0. Тогда
максимальная сила удара согласно формуле (246) ^
N*m = ЛГо [l - b{\ - rV)] = Cv0 LI-2G - Г V")] =
( -£0L \ ( е paFa )
= Cv0 \2ё 2 — \) = paFvo \2е * — 1 / .
Здесь ра — акустическая жесткость материала ударника; F — площадь
поперечного сечения ударника, v0 — скорость удара; L — длина ударника;
р — плотность материала ударника; а — скорость продольной волны;
К — показатель жесткости контактного участка, зависящий от упругих
свойств горной породы и наконечника и его конструкции.
Если физические свойства материалов и конструкция наконечника
заданы, изменить силу удара возможно только путем изменения размеров
наконечника и его скорости.
Поставим задачу определить оптимальное соотношение между площадью
поперечного сечения и длиной ударника (п =L/F), при котором сила
удара будет наибольшей. Энергия ударника
A_mvl_9_FL , V_i/"U_
Я ~ 2 _ 2 V° ' V° ~ V 9FL '
Используя эти соотношения, запишем выражение максимальной силы
/ _2К_ l_ \
[ е pa* ' F ] Г
2K_L
' Е F
N.
2m
\2е
— 1
= а/2Лр
±Л2е
Уп
— 1
I
1 Максимум силы удара предполагается во втором периоде. Это соответствует данным эко|
пери ментов.
190

Условие максимума силы в зависимости от соотношения п
dN2.
dn
= аУ2Ар\
2Кп
4\ 2Кп
-щ-
Ъ 1
—1Л 2е
2_Кп
Е
+ Y" 2
a V2Ap
2Кп
2е
Е
2Кп
Е
+ 1
= о,
2/1*
или, обозначая 2 (К/Е) п = у,
е-У е-У
2е 2 егУу — 2е 2 +1=0.
Решая это уравнение, находим
у =2Кп/Е ^0,65,
откуда
/г =L/,F =0,325 Е/К.
Пример:
Призматический наконечник изготовлен из твердого сплава EL =
= 5-10е, и2 =0,2. Длина лезвия наконечника / =1 см, ширина площадки
притупления а =0,2 см.
По формуле (240) определяем жесткость призматического наконечника
1 1
#п = Г7ГГ
-^
21 \ Ех
)птимальное соотношение
1 /1— 0,22 1 —0,25я\ 4
2-1 I 5-106 + 0,6.106 У1п 0,2
=0,379- 10е.
/1 = ^ = 0f 325|-= 0,3255^" = 1,71.
Зная это соотношение, можно определить длину ударника, если задан
о диаметр. Следует отметить, что полученные оптимальные выражения
(змеров ударника пригодны и в том случае, если удар передается через
гангу, сечение которой равно сечению ударника.
РАБОТЕ ШАРОШЕЧНОГО ДОЛОТА
ема работы шарошечного инструмента показана на рис. 61. Система
лючает следующие элементы:
тяжелый низ или бурильная труба, представляющая собой длинный
ругий стержень, площадь поперечного сечения которого F, акустичес-
i жесткость ра; подшипник 2, через который осевое усилие передается
шарошку 5; зубцы 4 шарошки, контактирующие с поверхностью горной
юды 5, при вращении шарошки.
С точки зрения волновой теории удара наиболее существенны следующие
ты работы шарошечного долота.
1. З^гап, когда шарошечное долото устойчиво опирается о Горную породу
1С. 61, а). В этот момент сумма сил, действующих на резцы шарошки, на-
шщиеся в контакте с породой, равна начальной осевой нагрузкеNi,
191

прикладываемой к верхнему торцу стержня /. На этом этапе каждое
сечение системы от верхнего торца до поверхности породы подвергается
напряжениям сжатия, величина которых о = Nj/F, где F— площадь
поперечного сечения. На этом этапе вертикальная скорость любого сечения
стержня v равна нулю. ,
2. После прохождения точки равновесия (рис. 61, б) резцы теряют
опору о породу — шарошка опрокидывается. В этот момент сила реакции
забоя исчезает и сжатый до этого стержень / начинает расширяться.
Волна расширения распространяется от нижнего торца стержня к верхнему
со скоростью а.
Рис, 61. Схема работы шарошечного инструмента
В результате расширения сечения стержня У, которых достигла волна
расширения (рис. 61, в), получат некоторую скорость, направленную к
породе. Примерно эту же скорость будут иметь и резцы шарошки,
приближающиеся к поверхности породы, вплоть до момента удара о нее.
Величину скорости v0 нетрудно найти, пользуясь соотношением (158);
Af — Ni = paF (v\ — v).
До опрокидывания N = N\, v0 = 0, v = 0; после опрокидывания N =
= 0.
Тогда из выражения (158) 1
0 — Ni = — paFv0; v0 = N\/paF.
Таким образом, к моменту удара система будет представлять собой сво-1
бодный от напряжений ударник, движущийся со скоростью v0 к поверхноН
сти горной породы. Соударение такого ударника с горной породой рассмот-1
рено выше. В частности, найдено, что предельная сила такого соударения
No = Cv0 = paFv0.
Подставляя сюда полученное значение v0, находим I
N0 = paFv0 = paF -± = Nl.
\Ш Г j
Другими словами, при соблюдении изложенных условий задачи сш
удара не может быть больше начальной осевой нагрузки. Более того, полу]
ченные зависимости I
N = NY (1—^0 или N = NiSrfit)
192

для сферического наконечника показывают, что сила удара всегда меньше
начальной осевой нагрузки N\, лишь приближаясь к ней с возрастанием
времени удара.
При этом сила удара возрастает тем быстрее, чем меньше податливость
части системы, заключенной между нижним торцом тяжелого низа и
поверхностью породы.
Податливость этой части складывается в основном из податливости
пары резец — порода и податливости подшипника, которые являются, как
правило, наименее жесткими элементами системы. Методы определения
показателей жесткости элементов ср и Р приведены в главе VII, откуда
можно видеть, что жесткость системы (а следовательно, и при прочих равных
условиях и сила удара) возрастает с увеличением притупления резца,
модуля упругости материалов, радиуса, количества шариков или роликов и
длины роликов в подшипниках.
Кроме того, как видно из приведенных выражений, величина силы удара
растет с увеличением времени удара. Время удара ограничивается либо
длиной утяжеленного низа, определяющего момент прихода волны,
отраженной от свободного конца стержня, которая приводит к снижению
интенсивности нагрузки, либо к отрыву резца (зубка) вследствие вращения
шарошки.
Тогда время удара уменьшается с увеличением скорости вращения
шарошек. Поэтому, увеличение скорости вращения шарошек оказывает
на производительность бурения двоякое влияние, с одной стороны,
увеличивая частоту ударов, с другой — уменьшая силу каждого удара, что
эквивалентно уменьшению объема единичного разрушения.
Таким образом, неизбежно существование оптимальной частоты
вращения, при которой суммарный объем породы, разрушаемой в единицу
времени, будет наибольшим. Однако эта частота зависит, как и сила удара,
от всех параметров ударной системы и изменяется с изменением таких
параметров, как притупление наконечника и свойства горной породы.
Принудительный отрыв зубка (резца) вращением шарошки еще до того,
как она будет разгружена отраженными волнами, ведет к повышению
нагрузки на подшипники в момент отрыва. Поэтому число оборотов шарошки
должно быть согласовано с периодом, собственных колебаний
утяжеленного низа, определяемого его длиной. По-видимому, наилучший режим
может быть получен при равенстве времени свободного удара
(определяемом методами, изложенными в настоящей работе) и времени,
протекающего между последовательными ударами зубков шарошки при его
перекатывании, которое определяется конструкцией долота и числом его оборотов.
Это условие связывает размеры утяжеленного низа с кинематикой
шарошечного долота.
ПЕРЕДАЧА УДАРА В СИСТЕМЕ СТЕРЖНЕЙ
С НЕПЛОСКИМИ ТОРЦАМИ
В главе (VI) рассмотрено прохождение прямоугольного импульса через
плоские границы. Было установлено, что новые его параметры
определяются системой алгебраических уравнений.
В случае прохождения плавно изменяющегося импульса через плоскую^
границу, который рассматривался при расчете ступенчатого ударника с
неплоским концом,определение его новых параметров также свелось к
решению системы алгебраических уравнений, подобных уравнениям плоского
удара. В результате оказалось, что при прохождении плоской границы
следует ожидать лишь пропорциональное уменьшение или увеличение
амплитуды параметров ударного импульса — силы и скорости при сохранении
начальной формы импульса.
193

Рассмотрим теперь прохождение плавно
изменяющегося импульса через неплоскую границу (рис. 62).
В результате удара стержня 1 по неподвижной до
удара штанге 2, в последней распространяется импульс
с параметрами NiVi.
Как было показано выше, при наличии неплоского
торца эти параметры, плавно нарастающие со временем,
связаны соотношением
# i = С21>ь
где С2 — ударная жесткость штанги.
Достигнув второй торцевой области, импульс
частично отразится, частично пройдет в неподвижную
Рис. 62. Прохожде- штангу 3. При этом сила удара будет N2i а скорость
яие плавно изменя- крайних сечений — va и vb.
Для определения этих величин составим систему
волновых уравнений для стержней 1 и 2
NII — NI = C2(vi — va)J
Nu-0 = -C3(0-vb)f
яэщегося ударного
импульса через
неплоскую границу
откуда
Сг Сз
N. 2NT
ЛГп= с^- + Vi—{va — Ub) = -c^—(Va— Vb),
тогда
va-vb+C±±^Nu
2МТ
С2С3 С% i.
Разность скоростей крайних сечений торцевой области (стр. 145).
d (цд — ub) _ doi2 _ doL2 dNn
Va— Vb = Ua —Ub
dt
dt
dNu dt
= <x2Wn\
где ua и иь — перемещения крайних сечений во время удара; а2 —
сближение стержней, зависящее согласно решениям контактной задачи теории
упругости от силы Л/и, а также от формы, размеров, материала торцов (см.
гл. VII).
Заменив разность скоростей в полученном выражении на a'2t Nu и
приведя его к виду, обычному для дифференциальных уравнений, найдем
»*+{<&&£■
2NT
""или, обозначив
C2C3t»0/(C2+ C3)=N02,
Vo -- 2ЛГ.
С2&2
Nn' +
a2'iV0!
Nn =
C2a2' *
(268)
(269)
Откуда видно, что форма возникшего импульса определяется уже
новым дифференциальным уравнением.
Новому уравнению, естественно, соответствуют и новые решения.
Таким образом, при прохождении неплоской торцевой области форма
импульса в отличие от предыдущих случаев существенно изменяется.
Решение уравнения, если оно вообще возможно в замкнутом виде,
зависит как от вида зависимости N\ =/ (t), так и от характеристики второй
торцевой области — а2. В частности, если падающий импульс является
прямоугольным или ступенчатым (N\ = const), решение уравнения
выполняется простым разделением переменных (233).
194

Если вторая торцевая область имеет линейную характеристику, т. е.
хх2 = const, то v0/a'2N02 =Фг = const, и уравнение (269) превращается
в линейное
Nn' + Ф#п = 2y2N02NI/v0C2. (270)
Согласно уравнению (223) Ni может быть всегда представлено в виде
Л/i = N01f(t),
где
^01 = ^^0/^! +С,), (270а)
Подставляя эти зависимости в выражение (270) и заменяя
N0t = C£BVo/(C2 + CB),
окончательно найдем
Nn + ф2ЛГы = 2C1C2Csv0y2f (0/(Ci + Ся) (С, + С3), (271)
или,обозначая
jV0 = 2C1C2C3v0/(C1 + Ся) (С2 + С3),
^11, + Ф2^п = Л^оф2/:(0.
Если, например, фронт приходящего импульса определяется линейным
решением
тогда
f(t) = l-e-*'t,
где ф1 — показатель жесткости первой торцевой области (области удара),
то уравнение (271) получит вид
#п' + Ф2#н = #офв(1—<г*0;
если ф2 =h Фь
# п = tf0 ( 1 + -^hr ^ - ТГ^Г ^'У (272)
\ Ф2 — ф1 ф2 —ф1 У Ч
Если обе торцевых области совершенно идентичны, т. е. ф1 = ф2, ре-
пение уравнения будет [30]
Nu = N0 [ 1 — (1 + ф0er*] = N0[l~e-^ — yter**]. (273)
При стержнях одинаковой ударной жесткости d =С2 =С3, как
слезет из выражений (268), (270а),
Noi = N02 = N0.
В этом случае, сравнивая уравнения (226) и (273), нетрудно убедиться,
то в результате прохождения импульса через вторую торцевую область
го амплитуда] уменьшается на величину
Nj — Nu = N0 (1 — е-*') — N0 (1 — <г*< — qrfe-ф') = N^ter**,
сам импульс выполаживается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Во всех случаях теория упругости или волновая теория удара
обеспечивает более точное решение, нежели классическая механика, которая
часто приводит к совершенно неправильным ответам. Однако решение
многих инженерных задач с помощью теории упругости неоправданно сложно.
Выше рассмотрен наиболее рациональный метод расчета, объединяющий
методы двух теорий; достигаемая при этом точность в подавляющем
большинстве случаев удовлетворяет требования практики.
При решении конструкторских задач, когда практически невозможно
оперировать только волнами, теория, объединяющая методы классической
механики и теории упругости, оказывается также наиболее удобной и
целесообразной. Важно помнить, что коэффициент восстановления при
упругом ударе является величиной расчетной и зависящей, в первую
очередь, от формы соударяющихся тел и их масс. То же относится к
коэффициенту отскока.Коэффициент же передачи энергии удара
определяется соотношением масс только в тех случаях, когда время удара и
период собственных колебаний соударяющихся тел являются
величинами одного порядка.
В подавляющем большинстве прикладных задач формирование
параметров удара определяется лишь частью большего из соударяющихся
тел, которой и следует оперировать вместо большого тела.
Авторы надеются, что книга позволит читателю сделать правильный
выбор метода расчета той конкретной ударной системы, с которой он
встретится в своей практической инженерной деятельности.

ЛИТЕРАТУРА
1. А. М. Л я в. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.
2. X. Гюйгенс. Три мемуара по механике. О движении тел под влиянием удара.
Изд-во АН СССР, 1951.
3. А. Н. Д и н н и к. Удар и сжатие упругих тел. Избранные труды. Киев, Изд-во АН
УССР, 1952.
4. Saint-Venant. Sur le choc longitudinal de deux baures elastiques. J. en Mathe-
matique. Liouville, 1967, ser. 2, t. 12.
5. J. E. S e а г s. On Bongitudinal impact of metal rods with rounden ends. Ends.
Cambridge Phil. Soc, 1912, V. 21, N 2.
6. H. Hertz. Uber die Beruhrung fester elastischer Korper. Gesammelte Werke, Bd I.,
Leipzig, 1895.
7. И. H. Бронштейн, К. А. Семендяев. Справочник по математике. Физ-
матгиз, 1962.
8. С. П. Тимошенко. Теория колебаний в инженерном деле. ГОНТИ, 1932.
9. Н. М. Б е л я е в. Сопротивление материалов. ГИТТЛ, 1954.
10. Н. А. К и л ь ч е в с к и й. Теория соударения твердых тел. М.— Л., ГТТИ, 1949.
11. Г. Кольский. Волны напряжения в твердых телах. ИЛ, 1955.
12. М. М. Филоненко-Бородич. Теория упругости. Физматгиз, 1959.
13. С. О. Д о б р о г у р с к и й. К вопросу о напряжениях и усилиях при ударе.— Кн.
«Вопросы расчета и конструирования деталей машин». Изд-во АН СССР, 1942.
14. W. G о 1 d s m i t h. Impact, the theory and physical behaviour of colliding solid. L.,
1960.
15. Ф. К. A p н д т. Явление удара в поршнях и штангах при ударном бурении. «Gluckauf»,
1960, № 24, 1.
16. Н. F i s h е г. On Longitudinal Jmpact Applied Scientific Research, 1959, V8—A,
N 2—4.
17. Ch. Fairhurst. Wave mechanics of percussive drilling. Mine and Quarry Eng., 1961,
v. 27, N 3, 4, 7.
18. В. Б. С о к о л и н с к и й. Расчет динамики ударного инструмента волновым
методом.— Научные сообщения ИГД им. А. А. Скочинского, 1963, вып. XVIII.
19. В. А. Б и д е р м а н, Р. П. М а л ю к о в а. Усилия и деформации при продольном
ударе.— Сб. «Расчеты на прочность», вып. 10. М., Машиностроение, 1964.
20. В. Б. С о к о л и н с к и й. К вопросу о расчете гидроударных буровых механизмов.—
Геология и разведка, 1959, № 3.
21. С. А. 3 е г ж д а. О продольном ударе при учете местного сжатия в линейной
постановке.— Вестник Ленинградского университета, 1965, № 13.
22. И. Я. Ш т а е р м а н. Контактная задача теории упругости. М., Гостехиздат, 1949.
23. Е. В. А л е к с а н д р о в, Ю. В. Ф л а в и ц к и й. К. С. X о м я к о в.
Определение импульсов напряжений при продольном соударении упругих стержней
произвольной геометрической формы. ИГД им. А. А. Скочинского, 1965.
24. R. S i m о п. Diqital machine computtations of the stress waves produced by striker
impacts in percussion drilling machines. Rock Mechanise. Pergamon Press, 1963.
25. С м и т. Удар и распространение продольных волн.— Trans. ASME, 1955, 77, N 66.
26. Ю. В. Ф л а в и ц к и й, К- С. X о м я к о в. Определение импульсов напряжений при
продольном соударении упругих тел. ИГД им. А. А. Скочинского, 1964.
27. Е.В.Александров, В. Б. С о к о л и н с к и й. Прикладная теория соударения
стержней с торцами произвольной формы. ИГД им. А. А. Скочинского, 1964.
28. Ю.В.Беляев. Математическое исследование к.п.д. удара отбойных молотков,
т. XXII. ВНИИСтройдормаш, 1956.
29. W. А. Р г о w s е. The development of pressure vaves during the longitudinal impact
of bars. Phil. Mag., 1936, ser. 7, v. 22.
30. E. В. Александров, В. Б. Соколинский. Исследование процесса
ударного взаимодействия горной породы и инструмента. ИГД им. А. А. Скочинского, 1965.
31. Е. В. Александров. Коэффициент восстановления или коэффициент потери
относительной скорости.— Сб. «Совершенствование разработки угольных месторождений».
М., Углетехиздат, 1959.
32. В. Д. А н д р е е в, К. И. И в а н о в. К расчету напряжений при ударном бурении.—
Сб. «Взрывное дело», вып. 56/13. Изд-во «Недра», 1964.
33. Справочник по элементарной физике. Изд-во «Наука», 1966.
34. Справочник физика-экспериментатора. ИЛ, 1949.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глаеа первая.
УДАР. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 5
Современные представления о механическом ударе $
Глава вторая.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРА И ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. УДАР ТВЕРДЫХ
ТЕЛ 10
Дополнительное условие и решения основных уравнений классической
теории удара . , 12
Передача энергии при соударении двух тел 14
Расчет нецентрального соударения стержней 16
Экспериментальная проверка классической теории удара 17
Зависимость коэффициента передачи энергии удара от коэффициента
восстановления 19
Современные представления об энергетическом балансе и законе количества
движения при ударе. '. 21
Пределы применимости формул классической механики удара 23
Глава третья.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УДАРА 24
Соударение двух абсолютно жестких тел с упругим промежуточным элементом 24
Зависимость характера соударения от типа промежуточного элемента ... 31
Сила сопротивления промежуточного элемента, пропорциональная сжатию 31
Промежуточный элемент — упругая полусфера 33
Промежуточный элемент — воздушная камера 35
Содержание сжимаемых тел при мгновенном распространении напряжений 37
Соударение двух упругих цилиндров с упругим промежуточным элементом 41
Методика расчета ударных систем, состоящих из сжимаемых тел сложной формы 46
Соударение линейно-упругих тел с нелинейно-упругим промежуточным эле-
Глава четвертая.
УДАР В СИСТЕМЕ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 51
Классическая теория последовательной передачи удара 51
Система твердых тел с упругими промежуточными элементами 5&
Системы с нелинейными упругими элементами 65|
Глава пятая.
ФОРМИРОВАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН 67.
Общие положения Щ
Формирование и распространение волн в однородных упругих стержнях . 71
Соударение однородных упругих стержней равных сечений (одномерных) . . 72
Соударение однородных упругих стержней переменного сечении 77
198

Удар тонким коротким стержнем
по тонкому концу стержня ступенчатой формы 81
Удар упругим стержнем по абсолютно жесткой плите 83
Глава шестая
ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ УДАРА.
ПЛОСКИЙ УДАР 88
Глава седьмая
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА СТЕРЖНЕЙ
С НЕПЛОСКИМИ ТОРЦАМИ 137
Глава восьмая
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕПЛОСКОГО УДАРА 159
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 196
ЛИТЕРАТУРА
197