УДК 517.5
ББК 22.16
Д 27
Действительный анализ в задачах / П.Л. Ульянов, А Н. Бахвалов,
М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
416 с. - ISBN 5-9221-0595-7.
Книга является учебным пособием по действительному анализу. Все основ¬
ные утверждения курса изложены в виде системы задач, снабженных полными
решениями. Основное содержание книги составляет изложение теории меры и
интеграла Лебега.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, в том
числе для самостоятельного изучения курса действительного анализа, а также
для преподавателей, ведущих по этому курсу семинарские занятия.
Библиогр. 15 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© П.Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов,
М. И. Дьяченко, К. С. Казарян,
ISBN 5-9221-0595-7	П.	Сифуэнтес,	2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		4
Глава 1. Операции над множествами		7
Глава 2. Мощности множеств		13
Глава 3. Множества в IRn и других метрических пространствах. ...	30
Глава 4. Непрерывные функции на метрических пространствах ....	68
Глава 5. Системы множеств		85
Глава 6. Меры на системах множеств		97
Глава 7. Продолжение меры		113
Глава 8. Измеримые функции		160
Глава 9. Сходимость по мере и почти всюду		180
Глава 10. Интеграл Лебега		200
Глава 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана		241
Глава 12. Теорема Фубини		261
Глава 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения интеграла
Лебега		272
Глава 14. Функции ограниченной вариации		315
Глава 15. Абсолютно непрерывные функции		347
Глава 16. Интеграл Римана-Стилтьеса		384
Список литературы		414
Предметный указатель		415

Предисловие
Если в классическом анализе изучались, в основном, функции,
имеющие определённую степень гладкости, то со второй половины
XIX века возникли новые постановки задач, которые требовали совер-
совершенно других способов решения. В это время создавалась теория мно-
множеств, на базе которой в начале XX века была построена теория меры
и найдено чрезвычайно плодотворное определение интеграла Лебега.
Родоначальниками этого направления были французские математики
Борель, Лебег, Бэр. Такое развитие событий привело к необходи-
необходимости по-новому решать различные задачи, связанные с проблемами
представления и приближения функций, с понятиями первообразной
и интеграла, с вопросами интегрирования и дифференцирования рядов,
изучением свойств функций, полученных в результате предельного
перехода и др. Исследования в этих областях заложили фундамент
метрической теории функций действительного переменного (действи-
(действительного анализа). Совершенно очевидно, что действительный анализ
является продолжением классического анализа.
В Москве действительным анализом занимались различные мате-
математики, но наибольшего успеха добился Н. Н. Лузин, который с 1914 г.
стал читать в Московском университете факультативный курс по тео-
теории функций действительного переменного, а также вести различ-
различные исследовательские семинары, где обсуждались актуальные науч-
научные вопросы. К исследованиям были привлечены многие студенты.
На семинарах происходил широкий обмен идеями, обсуждались новые
задачи и подходы к их решению. Тем самым была создана научная
школа, оказавшая большое влияние на весь дальнейший ход развития
математики.
Эту школу Н.Н. Лузина прошли крупнейшие математики СССР
(П. С. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, П. С. Но-
Новиков, Н.К. Бари, Л. В. Келдыш, Л. А. Люстерник, Д.Е. Меньшов,
М.Я. Суслин, А. Я. Хинчин, А. А. Ляпунов, П. С. Урысон, B.C. Фёдо-
Фёдоров, Л. Г. Шнирельман, В. В. Немыцкий и др.).
Идеи и методы исследований действительного анализа нашли
применение в различных областях математики (комплексный ана-
анализ, функциональный анализ, теория вероятностей, дифференциальные
уравнения, вариационное исчисление, теория чисел, вычислительная
математика и др.).
Основам действительного анализа посвящено много книг, где да-
даются общие понятия меры множества, определение интеграла Лебега
и его обобщений. Мы упомянем здесь первые книги на русском языке
А. Лебега [1], П. С. Александрова и А.Н. Колмогорова [2], Н.Н. Лу-
Лузина [3], а также некоторые из более поздних изданий: С. Сакс [4],
П. Халмош [5], Ф. Рисе и Б. Сёкефальви-Надь [6], И. П. Натансон [7],
А.Н. Колмогоров и СВ. Фомин [8], Г. П. Толстов [9]. Отметим также
недавно изданную книгу М.И. Дьяченко и П. Л. Ульянова «Мера

Предисловие
и интеграл» [10]. Авторами предпринята попытка создания учебника,
содержание которого близко к курсу, читаемому студентам-математи-
студентам-математикам МГУ по действительному анализу. Книга уже была переиздана
в России, а её перевод на испанский язык вышел в издательстве
«Аддисон-Весли».
Здесь уместно напомнить, что с начала пятидесятых годов XX века
на механико-математическом факультете МГУ стал читаться большой
курс «Анализ III», который включал в себя теорию меры, теорию функ-
функций, функциональный анализ, интегральные уравнения и вариационное
исчисление. Аналогичные курсы вводились и в других университетах
страны. Освоение столь большого курса было достаточно трудным,
и зачастую студенты плохо овладевали основными понятиями. Так,
например, многие не видели различия между интегрируемостью по
Риману, по Лебегу и по Риману в несобственном смысле даже для
простейших функций, не говоря о более сложных вопросах. Всё это
привело к тому, что из курса «Анализ III» были выделены и стали
читаться отдельно курсы «Теория функций» и «Функциональный ана-
анализ», а более 10 лет назад стал читаться «Действительный анализ» D-й
семестр, со сдачей экзамена) для математиков в МГУ. Практика чтения
данного курса показала его несомненную полезность. В то же время
выявились и определённые проблемы. Прежде всего к ним можно от-
отнести отсутствие так называемых типовых задач (таких, например, как
вычисление интегралов от рациональных функций в математическом
анализе или решение линейных уравнений в курсе дифференциальных
уравнений). В действительном анализе, как правило, каждая задача
носит индивидуальный характер, хотя, разумеется, существуют и об-
общие методы решения. Другая проблема не является специфической для
курса действительного анализа, но от этого её острота не снижается.
Речь идёт о том, что зачастую студенты не улавливают тесной вза-
взаимосвязи между лекционным материалом и задачами, решаемыми на
семинарах.
В связи с этим, по мнению авторов, возникла необходимость в на-
написании книги, которая помогла бы хотя бы частично разрешить упо-
упомянутые проблемы. Предлагаемая книга «Действительный анализ в за-
задачах» состоит более чем из 900 задач и составлена новым способом по
сравнению с традиционными пособиями такого типа. В каждой главе
после перечисления основных определений идёт изложение свойств
рассматриваемых понятий путём решения системы следующих друг за
другом задач и таким образом излагается теория, составляющая курс
«Действительный анализ», а также приводятся другие задачи, углуб-
углубляющие эту теорию. Многие задачи просты, но имеются и достаточно
сложные, решение которых требует серьёзных размышлений. В конце
каждой главы приведено решение всех задач, и если у использующего
этот задачник нет возможности прорешать все задачи, он может позна-
познакомится с их решениями.

Предисловие
Большинство из приведённых в книге задач предлагалось студентам
и аспирантам-математикам МГУ на протяжении многих лет. Следует
отметить, что по рассматриваемой тематике уже написан ряд задач-
задачников, пользующихся заслуженной популярностью. Наиболее извест-
известными из них являются [11]-[15]. Многие из приведённых там задач
вошли и в нашу книгу. Однако мы надеемся, что наш задачник будет
более подходящим для студентов, изучающих действительный анализ,
по следующим причинам. Задачник А. А. Кириллова и А. Д. Гвиши-
ани [11] ориентирован прежде всего на изучение функционального
анализа, задач из действительного анализа там не очень много и они
не охватывают всех его разделов. Задачник С. А. Теляковского [12]
содержит много интересных задач и весьма близок по набору задач
к предлагаемой вниманию читателей книге, но в нём нет решений,
что существенно затрудняет его использование в качестве пособия для
изучения действительного анализа. Лишь небольшая часть решений
приведена и в задачнике [13]. В задачнике Ю.С. Очана [14] очень
подробно рассматриваются вопросы теории множеств и меры, но го-
гораздо скуднее представлены задачи по теории интеграла, а задачи по
приложению этой теории практически отсутствуют. Авторы задачни-
задачника [15] стремились охватить широкий круг тем из разных разделов
математического анализа, в т.ч. специфические вопросы, мало пред-
представленные в учебной литературе (асимптотика, выпуклые функции,
мера Хаусдорфа). Поэтому лишь сравнительно небольшая часть этого
задачника относится к вопросам, затрагиваемым в нашей книге.
Мы надеемся, что наш задачник будет также полезен студен-
студентам, аспирантам и преподавателям тех университетов и институтов,
где обучающихся знакомят с понятиями меры множества, измеримых
функций, интегралов Римана-Стильтьеса и Лебега, т. е. с основными
понятиями действительного анализа. Будущим специалистам в области
теории функций, функционального анализа и смежных областей стоит
ознакомиться с решениями возможно большего количества задач. Для
студентов, далёких от теории функций, наш задачник тоже может слу-
служить источником полезной информации по действительному анализу.
Эта книга полезна и преподавателям: она содержит богатый набор
задач, которые преподаватель по своему выбору может предложить
студентам и аспирантам.
Вероятно, при столь большом наборе задач книга не лишена по-
погрешностей. Авторы будут признательны за указания на неточности и
сообщения способов их устранения.
М. И. Дьяченко благодарит Российский гуманитарный научный
фонд за финансовую поддержку (грант 05-06-06423а).
Авторы

Глава 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Мы будем использовать обычные обозначения для операций над
множествами. Если А и В — произвольные множества, то A U В —
объединение этих множеств, А П В — их пересечение, А\В — их раз-
разность, и А Л В = (А\ В) U (В \ А) — их симметрическая разность,
Ах В — их декартово произведение, т.е. множество всех пар (а, Ъ),
где а G Aw Ъ е В. Декартовым произведением п множеств называется
множество наборов (а\, а,2,..., ап), где dj Е Aj для j = 1, 2,..., п. Если
множества А и Б не пересекаются, то их объединение называется
дизъюнктным и обозначается через Аи В.
Для конечной или бесконечной последовательности множеств ис-
используются обозначения: [J А^ для объединения, |_| А^ для дизъ-
k	k
юнктного объединения (объединения попарно непересекающихся мно-
п
жеств), Р| Ak для пересечения множеств, а также (^) А^ для декартова
к	к=\
произведения п множеств.
Верхним пределом последовательности множеств {Ап} называ-
называется множество limsup^, состоящее из точек, принадлежащих бес-
бесконечному числу различных множеств {Д^}.
Нижним пределом последовательности множеств {Ап} называ-
называется множество liminf An, состоящее из точек, принадлежащих всем
множествам {Ап}, кроме, быть может, конечного числа.
ЗАДАЧИ
Пусть А, В, С и D — произвольные множества. Доказать следую-
следующие равенства A.1-1.21).
1.1.	(A U В) П С = (А ПС) U (В ПС).
1.2.	(АПВ)иС = (AU С) П (В U С).
1.3.	АПВ = А\(А\В).
1.4.	A\(B\C) = (A\B)U(AnC).
1.5.	(A\B)\C = A\(BUC).
1.6.	(А\В)\С=(А\С)\(В\С).

Гл. 1. Операции над множествами
1.7.	А\(ВиС) = (А\Б)П(А\С).
1.8.	А\(ВпС) = (А\В)и(А\С).
1.9.	(АиВ)\С = (А\С)и(В\С).
1.10.	(АПВ)\С=(А\С)П(В\С).
1.11.	(A\B)n(C\D) = (AnC)\(Bl)D).
1.12.	ААВ = {Аи В) \ {АП В).
1.13.	А Л {А А Б) = В.
1.14.	(А А Б) АС = А Л (Б А С).
1.15.	{А\В)ПС={АпС)\{ВпС).
1.16.	(ААВ)ПС=(АПС)А(ВПС).
1.17.	{ААВ)\С = {А\С)А{В\С).
1.18.	(A U С) хБ = (АхВ)и(СхВ).
1.19.	(АПС) хБ = (АхВ)П(СхВ).
1.20.	{АхВ)П{С xD) = {AnC)x{BDD).
1.21.	(A U С) х (Б U D) = (А х Б) U (A x D) U (С х Б) U (С х ?>).
Доказать следующие вложения A.22-1.31). Построить примеры,
показывающие, что обратные вложения, вообще говоря, неверны.
1.22.	AU(B\C)D (A U Б) \ (A U С).
1.23.	A U {В А С) D (A U Б) A (A U С).
1.24.	А \ (Б U С) С (А\Б)и(А\С).
1.25.	А\(БПС)Э (А\Б)П(А\С).
1.26.	А\{В\С)^{А\В)\{А\С).
1.27.	А А (Б U С) С (А А Б) U (А А С).
1.28.	А А (Б ПС) 2 (А А Б) П (А А С).
1.29.	АА(Б\С) D (А А В) \ (А А С).
1.30.	(АхБ)и(Сх?>)С (A U С) х (В и ?>).
1.31.	(А\С) х (Б\1?) С (АхБ)\(Сх?»).
Пусть А — некоторое множество и {Вш}шеП — некоторая система
множеств. Доказать следующие равенства A.32-1.34).
1.32.
1.33.

Гл. 1. Операции над множествами
1.34.
Пусть даны множества А, В и С. Выразить следующие множества
через А, В и С при помощи операций U, П, \ и Л A.35-1.42).
1.35.	Множество элементов, принадлежащих всем трём множе-
множествам.
1.36.	Множество элементов, принадлежащих хотя бы двум из мно-
множеств А, В и С.
1.37.	Множество элементов, принадлежащих ровно двум из мно-
множеств А, В и С.
1.38.	Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из
множеств А, В и С.
1.39.	Множество элементов, принадлежащих ровно одному из мно-
множеств А, В и С.
1.40.	Множество элементов, принадлежащих А, В, но не принад-
принадлежащих С.
1.41.	Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из
множеств А, В, но не принадлежащих С.
1.42.	Множество элементов, принадлежащих ровно одному из мно-
множеств А, В, но не принадлежащих С.
1.43.	Выразить множество limsupAn через множества Ап с помо-
помощью операций U и П.
1.44.	Выразить множество liminf An через множества Ап с помо-
помощью операций U и П.
РЕШЕНИЯ
1.1.	х е (Аи В)пС ^^ {х е А или х е В} и х е С ^^ {х е А
и х е С} или {х е В и х е С} ^^ х е (А п С) и (В п С). ?
1.2.	х е (АпВ)иС ^^ {х е А и х е В} или xgC ^^ {хеА
или ж G С} и {ж G Б или xgC} <^> x e (A U С) П (Б U С). ?
1.3.	ж G А П Б ^^ xei и ж G Б ^^ жеА и х ? А\В
^^хеА\(А\В). ?
1.4.	хеА\(В\С)^^хеАихфВ\С^^{хеАих
или {ж е А и ж G С} ^^ х е (A\B)U(AnC). ?
1.5.	хеD\Б)\С^же4\Бих^<^{жеАи^
H^C^>xei\EUC). ?
1.6.	хеD\Б)\С^1е4\Бих^С<^{^Аи^
и х ф С <^^> {х е А и ж^С} и х ф В <^^> {х е А и ж ^
?

10	Гл. 1. Операции над множествами
1.7.	х е А \ (В U С) <^> х еА и х ф BUC <^> {х е А и х ф В}
и {х е А и х <? С} ^^ х е (А \ В) n (A \ С), п
1.8.	х е А \ (В П С) ^^ х еА и х ф ВПС ^^ {х е А и х ф В}
или {х е А и х ? С} ^^ х e(A\B)U(A\C). D
1.9.	х е (A U В) \ С ^^ х е AUB и х (?С ^^ {х е А и х (?С}
или {х е В и х ? С} ^=> х e(A\C)U(B\C). ?
1.10.	хе(АпВ)\С ^^хеАпВ их^С ^^{хеАих^С}
и {х е В и х i С} ^^ х е (А \ С) П (В \ С). П
1.11.	х е (А\В) п (C\D) ^^ {хеА и х ? В} и {х е С
и х ф D} ^^ {х е А и х е С} и {ж^Б и х ^ D} ^^ х е (А П
nC)\(BUD). D
1.12.	жеАДБ ^^ {же4и^5} или {х G Б и ж ^ i} ^^
^^ {ж G А или х е В} и ж ^ А П Б ^^ х е (A U Б) \ (А П Б). П
1.13.	жеАА(ЛАБ) ^^ {жеАиж^ААБ} или {ж е А Л Б
и х ^ А} ^^ {х е А и х е В} или {х е В и х ф А} <^^> х е В. ?
1.14.	же(АА5)ЛС^>{а;еААБ и ж <? С} или {ж G С
и ж^ААБ} ^^ {xg4h{x^h^ С}} или {х G Б и {ж ^i
и ж ф С}} или {ж е С и {х ^ А и х ^ Б}} или {х е С и {хеА
иже Б}} ^^ {хеЛих^БАС} или {хеБАСих^А} ^^
^>жеАА(ВАС). п
1.15.	ж е (А \ В) п С ^^ же4\БижеС ^^ {хе^их^Б}
и х е С ^^ {х е А и х е С} и х (? ВПС} ^^ х е (АПС)\(ВП
ПС). П
1.16.	х е (А Л Б) п С ^^ жеААБижбС ^^ {{хеАихе
G С} и ж ^ Б} или {{ж G Б и ж G С} и ж ^ А} ^^ {х еАпС ихфВ}
или {жеБПСиж^} ^^ {жеЛпСиж^БПС} или {х е ВПС
и х ф АП С} ^^ х е {А П С) Л (Б П С). П
1.17.	^(ААБ)\С^жеАА5и^С<^{{а;еАи^Б}
иж^С} или {{хеВ их фА}ихфС} <^^> {{х е А и х ф С} и х ф В}
или {{ж е В их ^ А} и х фС} <^^> {х е А\С их ф В} или {х е В \ С
их^А} ^^ {х еА\С их (? В \С} или {хе В \С их (?А\С} ^^
?
1.18.	(х, у) е (А и С) х Б ^^ {хеА или ж е С} и у е В ^^
^^ {х е А и у е В} или {х е С и у е В} ^^ (х, у) е (А х Б) и
и(СхБ). П
1.19.	(х, у) е (А ПС) х Б ^^ {хеАихеС}иуеВ ^^
^^ {х е А и у е В} и {х е С и у е В} <^> (х, у) е (А х Б) п
П(СхБ). П

Гл. 1. Операции над множествами	11
1.20.	(х, у) е (А х Б) п (С х D) ^=> {х е А и у е В} и {х е С
и у е D} ^^ {xeAnxeC}n{yeBnyeD} ^^ (х, у) е (An
nC)x(BnD). D
1.21.	(х, у) е (Аи С) х (В U D) <^> {х е А или х е С} и {у е В
или у е D} ^^ {х е А и у е В} или {х е А и у е D} или {xgC
и у е В} или {ж е С и 1/ G D} или ^^ (х, у) е (Ах В) U (Ах D) U
U(C xB)U(C х D). П
1.22.	Заметим, что (A U В) \ (A U С) С В \ С С A U (Б \ С). Но ес-
если, например, А = {1}, В = {2}, С = {3}, то A U (В \ С) = {1,2} ^
7^ {2} = (A U В) \ (A U С). ?
1.23.	Заметим, что (A U В) Л (A U С) С В Л С С A U (Б Л С). Ес-
Если, например, А = {1}, В = {2}, С = {3}, то A U (Б Л С) = {1,2,3} ф
ф {2, 3} = (A U В) Л (A U С). ?
1.24.	Вложение вытекает из задачи 1.7. Если, например, А = {1,2},
Б = {1}, С = {2}, то А \ (Б U С) = 0 ф {1,2} = (А \ Б) U (А \ С). ?
1.25.	Вложение вытекает из задачи 1.8. Если, например, А = {1,2},
Б = {1}, С = {2}, то А\(В ПС) = {1,2} ф 0 = (А\В)П(А\С). П
1.26.	Вложение вытекает из задачи 1.4. Если А = В = С — непу-
непустое множество, то А = А \ (В \ С) ф (А \ В) \ (А \ С) = 0. ?
1.27.	х е А Л (Б U С) ^^ {х е А и х ф В U С} или {х ф А
и х е В U С} =^ {х е А и х ф В} или {х ф А и х G Б} или {х е А
и х ^ С} или {х ^ А и х е С} ^^ хе(ААВ) или жеDЛС) ^^
^^ же(АДБ)иDА С). Если, например, А = {1,2}, Б = {1},
С = {2}, то А А (В U С) = 0 ф {1,2} = (А А В) U (А А С). ?
1.28.	жеDДБ)пDЛС)<^>хе^АБ и х е А А С ^^
<^> {жеА и х ф В и ж^С} или {ж ^ А и х е В
и ж G С} => ж G А А (В П С). Если, например, А = {1,2}, Б = {1},
С = {2}, то А А (В П С) = {1,2} ф 0 = (А А В) П (А А С). ?
1.29.	хе(ААВ)\(ААС)^^хеААВ и х^АДС^
<^> {жеА и х ф В и же С} или {ж ^ А и х е В
и х ^ С} => ж G А Л (Б \ С). Пусть А = Б = С — произвольное
непустое множество. Тогда 0 = (А А В) \ (А А С) ф А А (В \ С) =
= АА0 = А. П
1.30.	Вложение непосредственно вытекает из задачи 1.21. При
этом нетрудно видеть, что если А не пересекается с С, г В — с D и все
четыре множества не пусты, то непустое множество Ах D содержится
в (A U С) х (В U D), но не пересекается с (А х В) U (С х D). ?
1.31.	(х,у) е (А\С) х (B\D) ^ {хеАих(?С}и{уеВ
и у ? D} ^^ ^^ {xeAnyeB}n{x^Cny^D}^ {(х, у) е
е А х В} и {(х,у) (?С х D} ^^ (х,у) е(Ах В)\(С х D). Если, на-

12	Гл. 1. Операции над множествами
пример, А = В = {\,2}, C = D = {\}, то {А \ С) х (B\D) = {B,2)}^
D). D
1.32. х е Af}( у 5Ш <^> х е А и существует такое wGl
V шеп /
что ж G Д^ <^> существует такое wGll, что х ? А Г) Вш <^> ж
G U (АПДД D
1.33. ж G ^и( П Вш ) ^^ жеА или для любого о; G
х е Вш ^^ для любого wGOxGiUE^ ^^ х е f] {A U Bw). ?
1.34.	xei \ у 5Ш <^> жеА и для любого со е
V шей /
е О ж ^ Бш ^^ для любого и ей х е А\ВШ ^^ х е f] {А \ вш). п
шей
Задачи 1.35-1.39 могут быть решены по-разному. Мы приведём
только ответы, которые, как и ответы к задачам 1.40-1.42, можно
проверить непосредственно.
1.35.	{АП В) ПС.
1.36.	{АП В) U {А ПС) U {В ПС).
1.37.	{{A U В) U С) \ {{А А В) А С).
1.38.	{A U В) U С.
1.39.	{{ААВ)АС)\{{АПВ)ПС).
1.40.	(АПВ)\С.
1.41.	(A(JB)\C.
1.42.	{ААВ)\С.
1.43.	Формализуя определение верхнего предела последовательно-
последовательности множеств, получаем
оо оо
limsup Ап = {х : V п 3 m ^ п х ? Ат} = П U ^ш'
п=\ т=п
п
1.44.	Формализуя определение нижнего предела последовательно-
последовательности множеств, получаем
оо оо
liminf Ап = {х : 3 п V т ^ п xG Ат} = U П Ат.
п=\ т=п
п

Глава 2
МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ
Пусть А и В — два множества. Скажем, что А и В имеют равные
мощности (А ~ В), если между ними можно установить взаимно
однозначное соответствие А <—> В. Ясно, что ~ есть отношение экви-
эквивалентности. В данной главе эквивалентными будут называться мно-
множества, имеющие равные мощности. Равенство мощностей записывают
также формулой А = В. Будем говорить, что мощность А меньше или
равна мощности В (А ^ В), если А ~ В\ для некоторого множества
В\ С В. Естественным образом определяются обратное неравенство
и строгие неравенства для мощностей.
Можно показать (см., например, [7], гл. 14), что существует шкала
мощностей, т. е. такое линейно упорядоченное множество {а} так на-
называемых порядковых чисел, что для любого множества А существует
порядковое число а(А), для которого мощность А равна а(А). При
этом если А С В, то а(А) < а(В).
Если А ~ N, где N = {1,2, 3,...} — множество натуральных чисел,
то А называется счётным. Если А конечно (в частности, пусто) или
счётно, то говорят, что А не более чем счётно . Множество называется
несчётным, если его мощность строго больше, чем мощность счётного
множества.
Через Q, как обычно, обозначается множество всех рациональ-
рациональных чисел на прямой R = (—оо,+оо). Через Q[o;i] будет обозна-
обозначаться множество всех рациональных чисел из отрезка [0; 1]. Запись
Q[0;i] — {rn}^L\ будет означать, что множество Q[o;i] занумеровано
некоторым образом.
Если А ~ [0, 1], то говорят, что множество А имеет мощность
континуума, и пишут А = с (см. также задачу 2.9).
Пусть А — множество на прямой, с G R. Через А-\- с будем обозна-
обозначать сдвиг множества А на число с, т. е. {х: х = а + с, где a G А}. Для
множества А на [0; 1] через А + с (mod 1) обозначим сдвиг множе-
множества А на число с по модулю 1, т. е. {х: х = а + с (mod 1), где a G А}.
Утверждение, что не существует мощности, большей, чем счётная,
но меньшей, чем мощность континуума, называется континуум-гипоте-
континуум-гипотезой. Долгое время математики пытались доказать или опровергнуть её,

14	Гл. 2. Мощности множеств
пока не было доказано, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание
не противоречат аксиоматике теории множеств. Использование конти-
континуум-гипотезы при решении задач не предполагается.
Другое важное утверждение — так называемая аксиома выбора:
если дана система попарно непересекающихся множеств {Аш}сиеп, то
существует множество В = {а^}, где а^ е А^ для каждого ио е О,
т.е. множество, содержащее по одному представителю множеств Аш.
Аксиома выбора в данной книге принимается безоговорочно.
Напомним, что функция на промежутке вещественной прямой на-
называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей),
если для любых точек х и у, где х < у, выполнено неравенство
f(x) < f(y) (соответственно, f(x) < f(y), f(x) > f(y), f(x) > f(y)).
Характеристической функцией (индикатором) множества Е на-
называется функция хе(%), равная 1 на Е и 0 вне Е (её область
определения в каждом случае ясна из контекста).
ЗАДАЧИ
2.1. Пусть множества Aj, j G N, — не более чем счётные. Доказать,
что множество
не более чем счётно.
2.2.	Доказать, что множество Q[o;i] счётно.
2.3.	Доказать, что множество Q всех рациональных чисел счётно.
2.4.	Доказать, что любая монотонная на R функция непрерывна
всюду, кроме не более чем счётного множества, причём в точках этого
множества существуют пределы функции слева и справа.
2.5.	Пусть А и В — счётные множества. Доказать, что их декар-
декартово произведение счётно.
2.6.	Пусть {Aj}n=l — конечный набор счётных множеств. Дока-
Доказать, что их декартово произведение счётно. В частности, Qn счётно.
2.7.	Число a G R называется алгебраическим, если оно является
корнем некоторого уравнения вида
кп
хп + кп_\хп~х + ... + к\х + к0 = О
с целыми коэффициентами кп,...,ко. Доказать, что множество всех
алгебраических чисел счётно.
2.8. Пусть множество А в пространстве Rn таково, что существует
постоянная С > 0: |х — у| > С для любых xjgA Доказать, что А не
более чем счётно.

Гл. 2. Мощности множеств	15
2.9.	Доказать, что [0, 1] — несчётное множество.
2.10.	Доказать, что множества [0, 1), @, 1], @, 1) имеют мощность
континуума.
2.11.	Доказать, что множества R, [0, оо), @, оо), (—оо,0), (—оо,0]
имеют мощность с.
2.12.	Существует ли взаимно однозначное непрерывное отображе-
отображение отрезка [0, 1] на полуинтервал [0, 1)?
2.13.	Существует ли взаимно однозначное непрерывное отображе-
отображение полуинтервала [0, 1) на отрезок [0, 1]?
2.14.	Доказать, что любой невырожденный промежуток на R имеет
мощность континуума.
2.15.	Пусть А = [0, 1] \ {1, -,-,...}. Доказать, что А имеет мощ-
мощность континуума.
2.16.	Пусть А — бесконечное множество, В — не более чем счёт-
счётное множество. Доказать, что A U В ~ А.
2.17.	Пусть А — бесконечное множество. Доказать, что существу-
существует множество В с А, В ф А, мощность которого равна мощности А.
2.18.	Пусть А — множество последовательностей (а\,а2,а^, ...)>
где ctj = 0 или ctj = 1 для каждого j, которые не являются периоди-
периодическими с периодом A), т.е. не существует такого N, что cij = 1 для
всех j > N. Доказать, что А имеет мощность с.
2.19.	Пусть В — множество последовательностей (Ь\,Ь2,Ьз,...), где
bj = 0 или bj = 1 для каждого j. Доказать, что В имеет мощность
континуума.
2.20.	Пусть С — множество последовательностей (п\,П2,щ,...)>
где Uj — натуральные числа. Доказать, что С имеет мощность с.
2.21.	Пусть А — множество всех чисел из полуинтервала [0, 1),
в десятичном разложении которых нет цифры «8». Доказать, что А
имеет мощность континуума.
2.22.	Для интервала / через /i(/) будем обозначать его длину.
Рассмотрим следующее построение. Пусть j\ = [0, 1]. На первом шаге
выбросим из отрезка J\ такой интервал 1\ с тем же центром, что
/i(i"i) = х I^(J\) = ^, т.е. 1\ = (-, - ] . Обозначим оставшиеся отрезки
через J\ и J\. Пусть после п — \ (п > 1) шагов мы получили 2п~{
отрезков J™, ...,J^~_\. Тогда на п-м шаге мы выкинем из каждого
отрезка J%~1, где 1 ^ к ^ 2п~1, такой интервал /^ с тем же центром,
что fi(I%) = -fi(J%~1). Получим 2п отрезков J[\ ..., J%n. Обозначим
о

16	Гл. 2. Мощности множеств
теперь
п=\ к=\	п=\ к=\
Ясно, что G открыто, a Pq замкнуто. Множество Pq называется кан-
торовым замкнутым множеством, a G — канторовым открытым
множеством. Доказать, что Pq имеет мощность континуума.
2.23. Пусть даны попарно непересекающиеся множества А\, А2,...,
каждое из которых имеет мощность с. Доказать, что множество
имеет мощность с.
2.24.	Пусть {Aj}n=l — набор множеств мощности континуума.
Доказать, что их декартово произведение имеет мощность континуума.
В частности, Rn имеет мощность континуума.
2.25.	Пусть {А/}0^ — последовательность множеств мощности с.
Доказать, что множество последовательностей (а\, а^, аз,...), где dj E
G Aj при j e N, имеет мощность с.
2.26.	Пусть {Аш}шеп — система попарно непересекающихся мно-
множеств, где множество индексов п имеет мощность с и для каждого
wGO множество Аш имеет мощность с. Доказать, что множество
а= у к
имеет мощность с.
2.27.	Пусть А — множество всех конечных подмножеств N. Дока-
Доказать, что А счётно.
2.28.	Пусть В — множество всех подмножеств N. Доказать, что В
имеет мощность с.
2.29.	Назовём буквой «Г» фигуру на плоскости, состоящую из двух
перпендикулярных отрезков произвольной длины, выходящих из одной
точки (вершины буквы). Пусть А — некоторое множество попарно
непересекающихся букв «Г» одинакового размера, расположенных на
плоскости. Может ли это множество иметь мощность континуума?
2.30.	Пусть А — непустое множество, а В — множество всех под-
подмножеств А. Если А имеет мощность а, то через 2а будем обозначать
мощность В. Доказать, что В </ А и, как следствие, а < 2а.
2.31.	Пусть Aq, А\ и А2 — множества, причём А^ С А\ С А$
и ^2 ^ Aq. Доказать, что А\ ~ Aq.
2.32.	Пусть А и В — такие множества, что А \ В ~ В \ А. Дока-
Доказать, что А ~ В.

Гл. 2. Мощности множеств	17
2.33.	Пусть А, В и С — множества, причём А С В и А ~ Аи С.
Доказать, что В ~ В U С.
2.34.	Пусть А, В, С и D - множества, С С A, D С Б, С U В ~ С.
Доказать, что A U D ~ А.
2.35.	Построить такие множества А, В, С и D, что В С A, D С С,
А~С, В ~ Д но А\В ^C\D.
2.36.	Построить такие множества А, В и С, что АСС, В С С,
А ~ Б, но С \ А / С \ В.
2.37.	Построить множества А, В и С, для которых С С А, С С Б,
А - Б, но А \ С / В \ С.
2.38.	Пусть А С [0, 1] — счётное множество. Доказать, что при
некотором a G [0, 1] выполнено условие А Г) А-\- a (mod 1) = 0.
2.39.	Построить такие множества А е [0, 1] и Б е [0, 1] мощности
континуума, что для любых различных точек 6A), 6B) G Б выполнено
условие А + Ь(\) П А + 6B) = 0.
2.40.	Теорема Кантора-Бернштейна. Доказать, что если А
и Б — множества, А\ С А, В\ С В, А ~ В\ и Б~АЬ то А~Б.
Другими словами, если А ^ Б и Б ^ А, то А = Б.
Замечание. В силу теоремы Кантора-Бернштейна в задаче 2.23
можно отбросить условие пустоты попарных пересечений множеств.
2.41.	Пусть {Аш}сиеп — система множеств, причём п имеет мощ-
мощность с и для каждого wGl] множество Аш имеет мощность с. Дока-
Доказать, что множество
А= U Л,
имеет мощность с.
2.42.	Пусть С([0, 1]) — множество всех непрерывных функций на
отрезке [0, 1]. Доказать, что С([0, 1]) имеет мощность с.
2.43.	Пусть А — множество всех монотонных функций на отрезке
[О, 1]. Доказать, что А имеет мощность с.
2.44.	Пусть А — множество всех последовательностей непрерыв-
непрерывных функций на [0, 1]. Доказать, что А имеет мощность континуума.
2.45.	Пусть А — множество всех вещественнозначных функций на
[О, 1]. Доказать, что А имеет мощность 2е (см. обозначение в зада-
задаче 2.30).
2.46.	Доказать, что на отрезке [0, 1] существует вещественнознач-
ная функция f(x), которая не может быть представлена как предел
всюду сходящейся последовательности непрерывных функций.
Замечание. Такая функция будет построена в явном виде в за-
задаче 4.36.

18	Гл. 2. Мощности множеств
2.47.	Пусть множество А имеет мощность с и А = В U С. Доказать,
что по крайней мере одно из множеств В, С имеет мощность с.
2.48.	Пусть множество А представлено в виде
сю
А= U Ап
п=\
и А имеет мощность с. Доказать, что хотя бы для одного щ множество
Ащ имеет мощность с.
2.49.	Можно ли расположить на плоскости континуум попарно
непересекающихся букв «О» (окружностей)?
2.50.	Можно ли расположить на плоскости несчётное множество
попарно непересекающихся букв «О» (окружностей) так, чтобы ни одна
из них не лежала внутри другой?
2.51.	Назовём буквой «А» на плоскости фигуру, состоящую из
двух боковых сторон равностороннего треугольника и произвольного
невырожденного отрезка, соединяющего эти стороны и параллельного
основанию, но не совпадающего с ним. Пусть F — некоторое мно-
множество попарно непересекающихся букв «А» (вообще говоря, разного
размера) на плоскости. Доказать, что F не более чем счётно.
2.52.	Назовём буквой «Т» на плоскости фигуру, состоящую из двух
перпендикулярных отрезков произвольного размера, середина первого
из которых является одним из концов второго. Пусть F — некоторое
множество попарно непересекающихся букв «Т» (вообще говоря, раз-
разного размера) на плоскости. Доказать, что F не более чем счётно.
2.53.	Пусть f(x) — функция на @, 1), и для любого ж G @, 1) суще-
существует такое 5 = 5(х) > О, что f(x) > /(?) для любого t ? (х — 5, х + 5)
(т.е. каждая точка интервала @,1) является точкой нестрогого ло-
локального максимума функции /). Доказать, что множество значений
функции f(x) не более чем счётно.
2.54.	Построить функцию f(x), которая удовлетворяет условиям
задачи 2.53 и имеет счётное множество значений.
РЕШЕНИЯ
2.1. Пусть В\ = А\ и
п-\
Вп = Ап \ U Aj
при п = 2,3,... Ясно, что тогда все Bj не более чем счётны и

Гл. 2. Мощности множеств	19
Пусть Bj = {bj^}\J=x ПРИ 3 ^ N, гДе Ъ' могут быть конечными или
бесконечными. Занумеруем элементы множества А следующим обра-
образом. ПуСТЬ п\ = &1Д, U2 = b\t2, &3 — ^2,Ь а4 = &l,3» а5 = ^2,2> аб = &ЗД
и т.д.: в порядке возрастания суммы индексов, а при фиксированной
сумме индексов — в порядке возрастания первого. Если очередной
элемент bij не существует, т.е. г > ij, то мы его пропускаем. Таким
образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие между мно-
множествами А и N (или между А и некоторым конечным множеством,
если ^2 Ч < °°)- О
з
2.2.	Пусть Ап = {— : т = 0, 1,..., п} при п G N. Очевидно, что Ап
конечно для каждого п и
сю
Q[0;l] = U Ап-
п=\
Так как множество Q[o;i] бесконечно, то в силу результата задачи 2.1
оно счётно. ?
2.3.	Пусть Q2n — множество всех рациональных чисел из [п — 1, п],
a Q2n-\ — множество всех рациональных чисел из [—п, —п + 1], где п G
G N. Так как каждое множество Qn, как нетрудно видеть, эквивалентно
множеству Q[o;i], то в силу результата задачи 2.2 каждое множество Qn
счётно, а тогда в силу результата задачи 2.1 счётно и множество
сю
Q= U Qn-
п=\
п
2.4.	Нетрудно видеть, что в каждой точке х G R для монотонной
функции / существуют односторонние пределы f(x — 0) = sup/(t)
t<x
и f(x + 0) = inf/(t). Рассмотрим множество точек, для которых
t^> х
f(x + 0) — f(x — 0) > 0. Каждой такой точке можно поставить в соот-
соответствие рациональное число q G (f(x — 0), f(x + 0)). При этом в силу
монотонности функции разным точкам разрыва будут соответствовать
разные рациональные числа, так как если х < у, то f(x + 0) ^ f(y — 0).
В силу счётности множества Q (см. задачу 2.3) множество точек
разрыва функции / не более чем счётно. ?
2.5.	Пусть С = А х В, А = {аиа2,...} и В = {ЬьЬ2,...}. Опре-
Определим для г G N множества Q = {(a^frj): j G N}. Ясно, что каждое
множество Ci счётно, и что
г=\

20	Гл. 2. Мощности множеств
поэтому в силу результата задачи 2.1 множество С тоже счётно. ?
2.6. Докажем это утверждение индукцией по числу множеств п.
Для п = 2 утверждение доказано в задаче 2.5. Предположим, что мы
доказали его для п — 1 множества. Определим для j G N множества
сз = {(ai j' &2, • • •, Ы, гДе h € Ак при к = 2,..., п}.
Поскольку Cj rsj А2 х ... х Ап, то по предположению индукции множе-
множество Cj счётно для каждого j. Так как
оо
А = А\ х А2 х ... х Ап = {J Cj,
то в силу результата задачи 2.1 множество А счётно. ?
2.7.	Пусть Ап — множество всех алгебраических чисел, являющих-
являющихся корнями уравнений с целыми коэффициентами, степень которых не
превосходит п. Из задачи 2.6 следует, что множество таких уравнений
счётно. Далее, по основной теореме алгебры количество различных
корней такого уравнения не превосходит п. Поэтому Ап счётно. Так как
оо
А = U Ап,
п=\
то А тоже счётно. ?
2.8.	Выберем для каждого элемента х ? А точку г = г(х) =
С
= (гь ... ,rn) G Qn так, чтобы |х — г| < —. Заметим, что если х ф у, то
г(х) т^ г(у) согласно неравенству треугольника. Следовательно, множе-
множество А эквивалентно некоторому подмножеству {г = (г\,...,гп)} С Qn.
В силу результата задачи 2.6 Qn счётно. Поэтому А не более чем
счётно. ?
2.9.	Предположим, что утверждение неверно. Это означает, что
все точки отрезка [0, 1] можно занумеровать, т.е. [0, 1] = {х\,х2,...}.
Выберем отрезок I\ = [ai,bi] С [0, 1] так, чтобы х\ $ 1\. Затем выберем
отрезок 12 = [^2,&2] ^ h так> чтобы х2 ^ h, и т.д. По индукции мы
получим такую последовательность отрезков I\ D I2 D ..., что хп ^ 1п.
Согласно принципу вложенных отрезков существует точка
сю
Х? f)In.
п=\
Но тогда для любого п выполнено неравенство х ф хп, и мы приходим
к противоречию. П

Гл. 2. Мощности множеств	21
2.10. Определим отображение
если х Ф —, где п Е N;
если х = —, где п Е N.
Тогда f(x) есть взаимно однозначное соответствие между [0, 1] и [0, 1).
Остальные утверждения проверяются аналогично. ?
2.11.	Согласно задаче 2.10, множество @,1) имеет мощность с.
Биекция @, 1) <—> R устанавливается отображением f(x) = tg (их —
— тг/2). Биекция R<—> @, оо) устанавливается отображением f(x) =
= In х. Биекция [0, оо) <—> @, оо) строится так же, как в зада-
задаче 2.10. Равенство мощностей остальных множеств проверяется анало-
аналогично. ?
2.12.	Предположим, что f(x) есть непрерывное взаимно одно-
однозначное отображение отрезка [0, 1] на полуинтервал [0, 1). Тогда
1 = sup f(x). Так как f(x) — непрерывная функция на [0, 1], то
же [0,1]
существует точка хо Е [0, 1], в которой достигается точная верхняя
грань функции, т.е. /(#о) = 1> что противоречит предположению. ?
2.13.	Предположим, что f(x) есть непрерывное взаимно однознач-
однозначное отображение полуинтервала [0, 1) на отрезок [0, 1], причём f(a) = 0
и f(b) = 1. Хотя бы одна из точек а и Ъ не совпадает с нулём. Пусть
а ф 0. Тогда, поскольку непрерывная функция принимает на отрезке
все промежуточные значения, то в произвольной левой окрестности
точки а функция / принимает все значения из интервала @, <5i),
а в правой — из интервала @,^). Таким образом, достаточно малые
по модулю значения принимаются дважды, что противоречит взаимной
однозначности /. ?
2.14.	Если данный промежуток — отрезок, то отображение f(x) =
= а + (Ъ — а)х является взаимно однозначным соответствием между
[0, 1] и [а, Ь]. Остальные случаи разбираются аналогично с использова-
использованием задач 2.10 и 2.11. ?
2.15.	Определим отображение
х, если х ф —-=, где п Е N;
-, если х =	=, где к Е N;
к	2ку/2
если х =	—, где к Е N.
у/2 к	Bк-1)у/2'
Тогда f(x) есть взаимно однозначное соответствие между А и [0, 1]. ?

22	Гл. 2. Мощности множеств
2.16.	Так как множество А бесконечно, мы можем последовательно
выбрать счётное множество А\ = {a\,d2,...} С А. Из задачи 2.1 сле-
следует, что А\ rsj A\ U (В \ А). Обозначим это соответствие через д(х).
Определим теперь функцию
Р, ч (х,	если х е А\ А\;
f(x) = <^ . .	А х
1<7(#)> если ^ ? А\-
Тогда / есть биекция множества А на множество Аи В. ?
2.17.	Выберем счётное подмножество Р = {p/cj^Li ^ А и пусть
С = А\Р. Положим Рх = {p2j-\}f=\ и Р2 = {p2j}f=v В = А\Р2.
Тогда в силу результата задачи 2.1 выполнено условие Р = Р\, откуда
следует, что В ~ (С U Д) ~ (С U Р) ~ А ?
2.18.	Пусть ж G [0, 1). Рассмотрим его разложение в двоичную
сю
дробь: х = (#ь#2,...) = ^2xj^~^ гДе ^j ? {0,1} для каждого j.
i=i
Если х е В% = {к/2п, где n G N и 1 < к < 2П}, то существуют два
различных разложения х: х = (х\,... ,хп-\, 0, 1, 1,...) и х = (х\,...
... ,жп_ь 1,0,0,...). Если х ^ Б2, то разложение единственно. Опреде-
Определим отображение
ь...,жп_1, 1,0,0,...), если ж G В2.
Тогда f(x) есть взаимно однозначное соответствие между [0, 1) и А.
Так как [0, 1) имеет мощность континуума (см. задачу 2.10), то и А
имеет мощность континуума. ?
2.19.	Пусть А — множество из задачи 2.18. Пусть
Вп = {(х\,Х2,...): Xj = 1 при j > n} и
сю
с = и вп.
п=\
Так как для каждого п множество Вп конечно, то множество С счётно.
Заметим, что В = Аи С. Тогда в силу результатов задач 2.16 и 2.18
множество А имеет мощность с. ?
2.20.	Пусть п = (п\,... ,пт,...) — некоторая последовательность
натуральных чисел. Определим последовательность нулей и еди-
единиц k= (fcb...,fcm,...) = /(п):
{1, если по + щ + ... +n/_i < j < щ + ni + ... + п/
для некоторого / ^ 1;
0, если j = no + ni + ... + п/ для некоторого / ^ 1,

Гл. 2. Мощности множеств	23
где по = О, т.е. мы последовательно пишем (щ — 1) единиц и один
нуль. Тогда / будет взаимно однозначным соответствием между С
и множеством всех последовательностей из нулей и единиц, которые
не заканчиваются единицей в периоде. В силу результата задачи 2.18
множество С имеет мощность континуума. ?
2.21.	Заметим, что множество А эквивалентно множеству всех
последовательностей {cij}^, где clj ? {О, 1,2, 3,4, 5,6, 7,9}, которые не
имеют 9 в периоде. Для каждой такой последовательности определим
последовательность {frj}^): bj = dj при aj ^ 7 и bj = 8, если aj = 9.
Получаем, что А эквивалентно множеству В последовательностей
{bj}^, где bj ? {О, 1,2,3,4,5,6,7,8}, которые не имеют 8 в периоде.
Но множество таких последовательностей задаёт девятичные разложе-
разложения всех чисел из полуинтервала [0, 1), поэтому В ~ [О, 1). ?
2.22.	Если
[О, 1) = Ux\,X2, • • •,хп,...), где Xj ? {0,1,2} и lim xn ф 2},
п^оо
то множество G содержит только последовательности, для которых
хщ = 1 при некотором щ. Отсюда следует, что множество Pq содер-
содержит все такие последовательности (х\, Х2,..., хп,...) с Xj ? {0,2}, что
хп -/+ 2 при п —> оо. Поэтому (см. задачу 2.18) множество Pq имеет
мощность континуума. ?
2.23.	Пусть fj — взаимно однозначное соответствие между мно-
множеством Aj и полуинтервалом 1 —-, 1 —	J (см. задачу 2.14).
Определим функцию / : А —> [О, 1) равенствами f(x) = fj(x) при х ? Aj
для j ? N. Тогда / есть биекция А на [О, 1). ?
2.24.	См. ниже решение задачи 2.25.
2.25.	Можно считать (см. задачу 2.19), что каждое Aj есть множе-
множество последовательностей из 1 и 0, т. е. aj = (а^-д, ctj^, • • •, o,j,i, • • •) для
j ? N, где djj ? {О, 1}. Занумеруем {a^j}^ в одну последовательность
(ibk}kL\> г^е Ь1 = а1,ь b2 = ai>2, ^з = а>2,\, h = ai>3, ^5 = «2,2 и т.д., как
в решении задачи 2.1. Тем самым мы построили взаимно однозначное
соответствие между А и множеством всех последовательностей из 1
и 0. Теперь утверждение следует из задачи 2.19. ?
2.26.	Пусть / — биекция О на R, и для каждого wGO пусть дш —
биекция Аш на R. Определим на множестве А функцию F следующим
образом: если х ? Аш, то F(x) = (дш(х), f(co)). Тогда видно, что F —
биекция А на R2. Так как R2 имеет мощность с (см. задачу 2.24), то
и А имеет мощность с. ?

24	Гл. 2. Мощности множеств
2.27.	Пусть Ап — множество всех подмножеств множества
{1,2,..., п}. Заметим, что Ап конечно для каждого п и что
сю
А = U Ап.
п=\
В силу результата задачи 2.1 множество А не более чем счётно, но А
содержит все одноточечные подмножества N и потому бесконечно. ?
2.28.	Определим отображение F множества В на множество D
всех последовательностей из 1 и 0 следующим образом. Для произ-
произвольного С G В положим F(C) = (х\, Х2,... ,хп,...), где
Г1, если п G С,
Хп = [О, если п е N \ С.
Заметим, что F — взаимно однозначное соответствие. Так как D имеет
мощность с, то и В имеет мощность с. ?
2.29.	Да. Например, разместим их следующим образом. Каждому
вещественному числу а поставим в соответствие букву «Г», вершина
которой лежит в точке @, а), а стороны лежат на лучах у = а + х,
х > 0, и у = а — х, х ^0, соответственно. ?
2.30.	Предположим, что утверждение неверно, и / есть биекция А
и В. Тогда А = С U D, где С = {х е А: х е /(»}, a D = {х е
G А: х ^ /(#)} ? -6. Пусть у = f~l(D) G А. Если у ? С, то по опреде-
определению множества С выполнено условие у G /(у) = D, и мы получаем
противоречие. Если же у е D, то по определению множества ?> мы
получаем, что у ^ f(y) = D, и вновь приходим к противоречию. Итак,
А ^ В. Но множество А биективно отображается на множество своих
одноточечных подмножеств, поэтому А ^ В. С учётом предыдущего
неравенства это и означает, что А < В. ?
2.31.	Пусть / — взаимно однозначное соответствие между мно-
множествами Ао и ^2, а A3 = /(Ai) С ^2. Тогда A3 ~ Аь Далее, пусть
Аа = /(А2),...,А2/с+2 = f(A2k) и A2/c+i = f(A2k-\) при всех fc ^ 1.
Получаем последовательность множеств
Ао 2 Ai D А2 2 А3 2 -..,
где А& ~ А&+2 ПРИ к = 0, 1,2,... Заметим, что по построению функ-
функция / задаёт при каждом к > 0 биекцию
Ак \ Ак+Х - Ак+2 \ А/с+з.	(i)
Если
сю
в = П лп,
п=\

Гл. 2. Мощности множеств	25
то мы получаем, что
U ^
) U([J	\ A2n+2)\ =BUDXUD2.
=1	4
Заметим, что С2 = ?>2> и из условия (i) следует, что С\ ~ D\. Поэтому
2.32.	Этот результат немедленно следует из формул А = (А П
ПБ)и(А\Б)иБ = (АпБ)и(Б\А). ?
2.33.	Пусть D = В \ А. Тогда В = DU А и BUC = DU(AU
U (С \ 5)). Таким образом, утверждение будет доказано, если мы
покажем, что А ~ Е = Аи (С \ В). Но эквивалентность этих мно-
множеств устанавливается, если применить задачу 2.31 к множествам
А С Е С A U С, где А - A U С. ?
2.34.	Так как С U Б ~ С и D \ А С Б, то из задачи 2.31 следует,
что CV(D\A)~C. Далее,
?
2.35.	Возьмём множества А = В = С = [0, 1] и D = [0,0.5). Тогда
(см. задачу 2.14) А~С, В ~ D, но А\В = 0 ^ C\D = [0.5,1]. ?
2.36.	Возьмём множества А = С = [0, 1] и Б = [0,0.5). Тогда А -
- В, но С \ В = [0.5, 1] ф С \ А = 0. ?
2.37.	Рассмотрим множества А = [0,2] и Б = С = [0, 1). Тогда
А~В, ноВ\С = 0/А\С= [1,2]. ?
2.38.	Пусть А = {а\,... ,ап,...}. Определим множество
В = {zn,kj =an-ak+ j, где п, к е N и j = 0, 1}.
Ясно, что Б счётно, поэтому существует число a G [0, 1] \ Б. Предполо-
Предположим, что существует х ? An A-\- a (mod 1). Тогда для некоторых к и j
выполнено либо равенство ак = clj + а, либо равенство а& = а^- + а — 1.
Это означает, что a G Б, и мы пришли к противоречию. ?
2.39.	Пусть А = {(аь ... ,ап,...)}, где a2n_i = 0 при всех n e N,
&2п ? {0, 1} при всех n e N и последовательность {а2п} не имеет
периода A). Пусть Б = {(аь ... ,an,...)}, где a2n = 0 для любого
n G N, a2n-i ^ {0» 1} Для любого n G N и последовательность {а2п_\}
не имеет периода A). Ясно, что оба множества имеют мощность с.
Отождествим множества А и Б с подмножествами отрезка [0, 1],

26	Гл. 2. Мощности множеств
поставив в соответствие каждой последовательности точку с соот-
соответствующим двоичным разложением. Поскольку ни А, ни В не со-
содержат последовательностей с единицей в периоде, то переход от
разложения к точке и обратно однозначен. Предположим, что Ь{\)
и ЪB) — две разные точки из В. Тогда найдётся такое п > 1, что,
например, b(lJn_i = 0 и 6BJn_i = 1. Предположим, что существует
точка z е (А + Ь(\)) П (А + ЬB)). Так как z е А + 6A), то 22n-i = О,
но так как z ? А + ЬB), то ^2n-i — 1- Мы получили противоречие,
следовательно, (А + 6A)) П (А + ЬB)) = 0. ?
2.40.	Пусть / — взаимно однозначное соответствие между В и А\.
Положим Аъ = f(B\). Тогда А ~ А^ и А2 С А\ С А. В силу результата
задачи 2.31 получаем, что А ~ Ai ~ В. П
2.41.	Пусть / — биекция О на R, и пусть для каждого ио G О
д^ — биекция Д^ на R. Для каждого ж G А, используя аксиому
выбора, найдём и(х), для которого х е Аи^ху Определим на А функ-
функцию F следующим образом: F(x) = (gu(x)(x)> f(u(x))). Тогда видно,
что F — биекция А на некоторое подмножество в R2. Так как R2
имеет мощность с (см. задачу 2.24), то А ^ с. С другой стороны,
каждое множество Аш С А по условию имеет мощность с. По теореме
Кантора-Бернштейна (задача 2.40) получаем, что А = с. ?
2.42.	Пусть С — множество всех постоянных функций на [0, 1].
Тогда мощность С равна с. С другой стороны, можно определить
на С([0,1]) отображение F(f) = (/(г,),...,/(г„),...), где {г„}~=1 -
последовательность всех рациональных чисел из отрезка [0, 1]. Так как
множество рациональных чисел плотно на отрезке, то F(f) ф F(g)
при / ф д. Таким образом, множество С[0, 1] эквивалентно некото-
некоторому подмножеству множества всех последовательностей веществен-
вещественных чисел, которое в силу результата задачи 2.25 имеет мощность с.
Применение теоремы Кантора-Бернштейна (задача 2.40) завершает
доказательство. ?
2.43.	Пусть {г\, Г2,..., гп,...} — занумерованное некоторым об-
образом множество Q[o;i], взята функция f(x) G А, множество Xf =
= {х\, Х2,..., хп,...} — множество всех точек разрыва функции f(x)
на [0,1] (оно счётно в силу результата задачи 2.4), Yf = {f(x\),...
..., f(xn),...} и Q/ = {/(n),..., f(rn),...}. Заметим, что если для двух
монотонных функций / и д выполнены равенства Xf = Xg, Yf = Yg
и Qf = Qg, то f(x) = д(х) на [0, 1]. Далее, из задачи 2.25 следует,
что множество троек (Xf,Yf,Qf), где f(x) e А, есть подмножество
некоторого множества мощности с. С другой стороны, А содержит мно-
множество всех постоянных на [0, 1] функций, которое имеет мощность с.

Гл. 2. Мощности множеств	27
Следовательно, по теореме Кантора-Бернштейна (задача 2.40) А имеет
мощность континуума. ?
2.44.	Утверждение следует из задач 2.42 и 2.25.
2.45.	Заметим, что множество А содержит характеристические
функции Хе(%) для всех множеств Е С [0, 1], т.е. А содержит подмно-
подмножество мощности 2е. С другой стороны, для каждой f(x) ? А рассмот-
рассмотрим её график Pf на плоскости. Ясно, что если графики функций /
и д совпадают, то и сами функции совпадают. Но {Р/}*еА есть под-
подмножество множества всех подмножеств плоскости. Так как плоскость
имеет мощность с (см. задачу 2.24), то множество её подмножеств
имеет мощность 2е, а тогда мощность А не превосходит 2е. Используя
теорему Кантора-Бернштейна (задача 2.40), получаем, что А имеет
мощность 2е. ?
2.46.	Утверждение следует из задач 2.45 и 2.44.
2.47.	Отметим, что так как В С А и С С А, то с учётом теоремы
Кантора-Бернштейна (задача 2.40) достаточно доказать, что мощность
хотя бы одного из множеств, А или В, не меньше чем с. Без ограни-
ограничения общности предположим, что В П С = 0. Пусть f(x) — взаимно
однозначное соответствие между множествами [0, 1] и А. Возможны
два варианта.
1)	Существует такое х ? [0, 1], что f(x, у) ? В для каждого у ? [0, 1].
Тогда В содержит подмножество мощности с (отрезок).
2)	Для любого х ? [0, 1] существует такое у = у(х) ? [0, 1], что
f(x, у) ? С. Тогда С содержит подмножество мощности с, а именно
{х,у(х)}хе[ол]. ?
2.48.	Отметим, что так как Ai С А, то с учётом задачи 2.40
достаточно доказать, что мощность некоторого Ai не меньше чем с.
Без ограничения общности можно считать, что Ai П Aj = 0, ес-
если i ^ 3- Пусть f(x) — биекция множества В последовательностей
{(а\,ct2,...,ап,...)}, где aj ? [0,1] при j ? N, на А (в задаче 2.25
показано, что В = с). Возможны два варианта.
1.	Для любого а\ ? [0, 1] существуют такие а2,а%,... ? [0, 1], что
/((аь &2, • • •)) ? ^-1- В этом случае множество А\ содержит подмноже-
подмножество мощности с.
2.	Существует такое а°{ ? [0, 1], что для каждого а2, аз,... ? [0, 1]
выполнено условие f((a°{, а^ ...)) ^ М- Тогда у нас опять возникают
две возможности:
2а) для каждого а^ ? [0,1] найдутся такие аз,а4, ••• ? [0,1], что
/((а?, п2, аз,...)) ? ^2- Тогда А2 имеет мощность с;
26) существует такое а\ ? [0, 1], что для любого аз,а4,... ? [0, 1]
выполнено условие /((а^, а!], аз,...)) ^ ^2.

28
Гл. 2. Мощности множеств
Повторяя этот процесс по индукции, мы получаем один из двух
случаев.
I. На некотором шаге нашлось Ап, имеющее мощность с;
П. Нашлись такие числа а^а!],... Е [0,1], что /(ао) =
= /((а^а^аз,...)) ^ Ап Для любого п. Но тогда /(а0) $ А. Это
противоречит условию, т. е. данный случай невозможен. ?
2.49.	Да, можно. Например, рассмотрим окружности с центром
в фиксированной точке хо и произвольным радиусом г е @, 1). ?
2.50.	Нет, нельзя. Если дано некоторое множество таких окружно-
окружностей, то можно выбрать внутри каждой из них точку с рациональными
координатами. Так как ни одна окружность не лежит внутри другой,
то разным окружностям будут соответствовать разные точки, т. е. мы
получили биекцию взятого множества букв на некоторое множество
Е С Q2. Но множество Q2 счётно в силу результата задачи 2.6. ?
2.51.	Нарисуем на плоскости букву «А» и обозначим через S\(A)
и S2(A) открытые множества, изображённые на рис. 2.1.
Тогда мы можем выбрать для каждой буквы «А» пару точек из Q2:
z\(A) G S\(A) и Z2(A) g #2(А). Предположим теперь, что две буквы А\
и А<2 не пересекаются. Тогда А^ либо лежит в области S\(A\), либо
не пересекается с этой областью. В первом случае ^2(^-2) т^ Z2(A\).
Во втором случае z\(A2) 7^ ^i(^-i)- Так как множество пар точек с ра-
рациональными координатами счётно (см. задачу 2.6), то множество букв
не более чем счётно. ?
S2(A)
Рис. 2.1
2.52. Для буквы «Т» определим точки А, В, С и D, как это
сделано на рис. 2.2.
Выберем в треугольнике ACD точку Z\ с рациональными координа-
координатами и в треугольнике BCD точку Z2 с рациональными координатами.
Затем выберем точку Z% с рациональными координатами, лежащую

Гл. 2. Мощности множеств	29
в угле, вертикальном с углом Z\DZ^. Заметим, что по построению каж-
каждая сторона треугольника Z\Z^Z^ пересекает ровно один из отрезков
DA, DB и DC, а точка D лежит внутри этого треугольника.
Так как множество шестёрок рациональных чисел счётно (см. за-
задачу 2.6), то нам достаточно доказать, что двум непересекающимся
буквам «Т» не может соответствовать один и тот же набор точек
(Z\, Z2, Z%). Предположим, что для другой буквы «Т», состоящей из
отрезков А'В' и CD', получилась та же тройка точек Zi. Тогда точка
D' лежит в одной из трёх частей, на которые треугольник ZxZ^Z^
разбит отрезками DA, DB и DC. Если она лежит с той же стороны от
АВ, что и точка Z^, то выходящий из неё отрезок не может пересечь
Z\Z2 и не пересечь при этом АВ, т.е. буквы Г и Г' пересекаются.
Если D' лежит в треугольнике ADC, то выходящий их неё отрезок,
пересекающий Z^Z^, должен пересечь либо AD, либо DC. Аналогично
рассматривается и третий случай. Таким образом, непересекающимся
буквам соответствуют разные тройки (Z\, Z2, Z%). ?
2.53.	Используя аксиому выбора, выберем для каждого
у Е /(@, 1)) такую точку х Е @, 1), что f(x) = у, и обозначим
множество этих точек через А. Далее, для любого х Е А выберем
пару рациональных чисел г\(х) < х < г^{х) так, чтобы для любого
t E (г\(х),Г2(х)) было выполнено неравенство /(?) ^ /(#)• Пусть
x,z ? А — две разные точки. Тогда по построению f(x) ^ f(z)-
Предположим, что f(x) > f(z). Тогда если г\(х) = r\(z) и Г2(х) = ^(z),
то f(x) ^ f(z). Противоречие. Таким образом, различным х Е А
соответствуют разные пары рациональных точек, и так как в силу
результата задачи 2.6 множество Q2 счётно, то А не более чем счётно,
а значит, и образ / не более чем счётен. ?
2.54.	Рассмотрим на интервале @, 1) следующую функцию: f(x) =
= —, если	 ^ х < — при некотором п Е N. Функция / удовлетво-
п	п + 1	п
ряет условиям задачи. ?

Глава 3
МНОЖЕСТВА ВГИ ДРУГИХ МЕТРИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Метрическим пространством называется пара (М,р), где М —
множество, а функция р : М х М —> [0, оо) (метрика) удовлетворяет
следующим условиям:
1.	р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2.	р(ж, у) = р(у, х) для любых ж, у G М;
3.	р(ж, у) ^ р(ж, z) + p(z, у) для любых х,у, z ? М (неравенство тре-
треугольника).
Если х G М и г > 0, то открытым шаром радиуса г с центром ж
называется множество Вг(х) = {у ? М: р(х,у) < г}, а соответствую-
соответствующим замкнутым шаром — множество Вг(х) = {у ? М: р(х,у) ^ г}.
Открытый шар с центром в точке х называют также окрестностью
точки х.
Множество G С М называется открытым, если вместе с каждой
своей точкой оно содержит некоторый шар с центром в этой точке.
В частности, пустое множество открыто. Множество F С М называет-
называется замкнутым, если M\G открыто.
Если множество А С М представимо в виде
сю
А= f]Gn,
где множества Gn открытые, то скажем, что А — множество типа G$.
Если множество А С М может быть представлено в виде
А= U К,
п=\
где множества Fn замкнутые, то будем говорить, что А — множество
типа Fa. Аналогично можно определить множества типов Gsa, Fa5
и т.д.
Последовательность X = {хп}™=1, хп е М, называется фундамен-
фундаментальной, если для каждого г > 0 существует такой номер N, что для
любых п,т> N выполнено неравенство р(хп,хт) < г.
Скажем, что lim хп = х, где х и все хп из М (х — предел
последовательности {хп}), если для любого г > 0 существует такой но-
номер N, что при всех п> N справедливо неравенство р(хп,х) < г. Если

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	31
каждая фундаментальная последовательность в (М, р) имеет предел,
то метрическое пространство (М, р) называется полным.
Если А — подмножество в М, а точка у Е М такова, что для любого
г > О множество (Br(y) \ {у}) П А непусто, то у называется предельной
точкой множества А.
Множество всех предельных точек А обозначается через А'. Замы-
Замыканием множества А называется А = A U А'. Если А = М, то скажем,
что А — всюду плотное в М множество. Если А1 = А, то А называется
совершенным.
Метрическое пространство (М, р) называется сепарабельным, если
в нём существует не более чем счётное всюду плотное множество.
Если множество А таково, что для любого шара Вг(х) с центром
xGM существует шар Bt(y) С Вг(х), не пересекающийся с А, то А
называется нигде не плотным в М.
Если множество А представимо в виде
оо
А= [j Ап,
п=\
где Ап — нигде не плотные множества в М, то А называется множе-
множеством первой категории (Бэра) в М. В противном случае А называ-
называется множеством второй категории (Бэра) в М.
Если точка х ? А С М такова, что Вг(х) П А = {х} для некоторого
г > О, то х называется изолированной точкой А. Если х G А такова,
что для любого г > 0 множество Вг(х) П А несчётно, то х называется
точкой конденсации множества А.
Точка х называется внутренней точкой множества А, если А
содержит некоторую окрестность этой точки. Совокупность всех внут-
внутренних точек множества А называется его внутренностью и обозна-
обозначается через А°.
Скажем, что множество А ограничено, если существует такая по-
постоянная С > 0, что р(х, у) ^ С для любых х,у G А.
Если А, В С М и х G М, то расстояние от х до А определяет-
определяется как dist(x,A) = inf p(x,y), а расстояние между А и В — как
уеА
dist(A, В) = inf р(х,у). Если найдётся такая точка уо G А, что
хеА,уев
dist(x, А) = р(х, уо), то мы будем говорить, что расстояние от точки х
до множества А достигается (в точке уо). Аналогично расстоя-
расстояние между А и В достигается, если найдутся такие точки xq e A
и уо е В, что dist(A,B) = р(хо,уо).
Пусть L — линейное пространство над полем К (где К = R
или К = С), а функция || • || : L —> [0, оо) удовлетворяет следующим
условиям:
1.	\\x\\ = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2.	||Аж|| = |А|||ж|| для любых ж Е L и А Е К;

32	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3. ||ж + ?/|| ^ ||ж|| + \\y\\ для любых х,у G L.
Тогда пара (L, || • ||) называется нормированным (линейным) про-
пространством, а функция || • || — нормой. Заметим, что любое норми-
нормированное линейное пространство порождает метрическое пространство
(L, р), где р(х,у) = \\х — у\\ для всех х,у G L — метрика, порождённая
нормой.
Если Е — линейное пространство, А с Е, а Е$ — подпространство,
то множество An Eq называется сечением множества А подпростран-
подпространством Eq.
Гильбертовым пространством называется пара (Я, (•,•)), где Я —
линейное пространство над полем К (где К = R или К = С), а функ-
функция (•,•): Я х Я —> К, называемая скалярным произведением, удо-
удовлетворяет следующим условиям:
1.	(х,х) ^ 0 при всех х G Я, и равенство имеет место лишь
при ж = 0;
2.	(х, у) = (у, ж) при всех х,у G Я (здесь черта означает комплекс-
комплексное сопряжение);
3.	(х + y,z) = (х, z) + (у, z) при всех х,у, z ? Я;
4.	Я полно относительно порождённой нормы \\x\\ = д/(ж, ж).
Всюду ниже нормированные пространства рассматриваются как
частный случай метрических пространств. Если нормированное про-
пространство полно относительно порождённой метрики, оно называет-
называется банаховым. Приведём наиболее важные примеры банаховых про-
пространств.
1.	Rn-npocTpaHCTBO, где п ^ 1, обычно с евклидовой нормой
ы\ =
2.	Пространства 1Р последовательностей. Если 1 < р < оо, то
(	оо	^|	/ оо	\ VP
1р = <х = {хп}™={ : J2 \хп\Р < оо I с нормой \\х\\р = I ^
I	п=\	)	\п=\
Пространство 1^ (иногда используются другие обозначения) опреде-
определяется как множество всех ограниченных последовательностей с нор-
нормой ||#||оо — SUP \xn .
п
3.	С{[а,Ъ]) — пространства непрерывных функций на [а,Ъ] С Rn
с обычной нормой II/H = max \f(x)\. Аналогичные пространства мож-
хе[а,Ь]
но рассматривать на неограниченных интервалах в Rn (конечно, в этом
случае следует брать только ограниченные функции и заменить max
на sup в определении нормы).
Ещё один важный пример нормированных пространств — функцио-
функциональные 1/р(?)-пространства — будет рассмотрен в гл. 13.

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	33
Множество А С L называется выпуклым, если для любых х, у G А
и для любого числа «G @, 1) точка ах + A — а)?/ принадлежит А.
Система множеств {Сш}шеп называется покрытием множества А,
если	Л . .
^4 С U Gw.
Если все G^ открытые, то и покрытие называется открытым. По-
Покрытие {G^}^^/, гДе ^ ^= ^' называется подпокрытием исходного
покрытия.
ЗАДАЧИ
3.1.	Доказать, что любая сходящаяся последовательность в метри-
метрическом пространстве фундаментальна.
3.2.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М, р).
Доказать, что множество А замкнуто.
3.3.	Пусть F — замкнутое подмножество метрического простран-
пространства (М, р). Доказать, что F = F (это эквивалентно тому, что F' С F).
3.4.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что А = А.
3.5.	Доказать, что если (L, || • ||) — нормированное пространство,
х е L и г > 0, то Вг(х) = Вг(х).
3.6.	Доказать, что если (М, р) — метрическое пространство, xgM
и г > 0, то множество Вг(х) замкнуто.
3.7.	Доказать, что если (М,р) — метрическое пространство, xGM
и г >0, то Вг(х) С Вг(ж).
3.8.	Построить метрическое пространство (М, р) и такой шар Вг(х)
в нём, что Вг(х) т^ Вг(х).
3.9.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что А' замкнуто.
3.10.	Пусть {Guj}^^ — система открытых множеств в метриче-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что множество
G= U Сш
также открыто.
3.11. Пусть G\,..., Gn — конечное число открытых множеств
в метрическом пространстве (М,р). Доказать, что
G= f] Gk
k=\
— открытое множество.
2 П. Л. Ульянов и др.

34	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.12. Построить такую последовательность {Gn}^=l открытых
множеств из интервала @, 1), что множество
k=\
не будет открытым.
3.13.	Пусть {FUJ}ujeu — система замкнутых множеств в метриче-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что множество
F= П F»
сиеп
замкнуто.
3.14.	Пусть F\,..., Fn — конечный набор замкнутых множеств
в метрическом пространстве (М,р). Доказать, что множество
F={JFk
k=\
замкнуто.
3.15.	Построить последовательность {Fn}^=l замкнутых множеств
на [0, 1] такую, что множество
сю
C=\JFk
k=\
не будет замкнутым.
3.16.	Пусть (М,р) — метрическое пространство, G — открытое
множество в М и F — замкнутое множество в М. Доказать, что G\F
открыто, a F\G замкнуто.
3.17.	Пусть дана система множеств А\,...,Ап в метрическом про-
пространстве (М,р). Доказать, что
п	\'	п
1М*) =U4
k=\ /	k=\
3.18.	Пусть даны множества А\,...,Ап в метрическом простран-
пространстве (М,р). Доказать, что
U Ak = U Ак.
к=\	к=\
3.19. Построить множества {Ak}^=l на отрезке [0, 1], для которых
)
к=\	\к=\ /	к=\	к=\

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	35
3.20.	Теорема Больцано-Вейерштрасса. Пусть А — бесконечное
ограниченное множество в Rn. Доказать, что А' ф 0.
3.21.	Построить бесконечное ограниченное множество А в банахо-
банаховом пространстве fo, не имеющее предельных точек.
3.22.	Пусть А — произвольное подмножество Rn. Доказать, что
А \ А' не более чем счётно.
3.23.	Пусть А — произвольное подмножество Rn. Доказать, что
если А' не более чем счётно, то А также не более чем счётно.
3.24.	Построить в банаховом пространстве 1^ множество А мощ-
мощности континуума, не имеющее предельных точек.
3.25.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что А!' С А!.
3.26.	Пусть А" = (А')', А^ = А'" = (A")f и т.д. Построить такое
А с [а, Ь], что А! ф 0 и А" = 0.
3.27.	Пусть п > 1. Построить такое А с [0,1], что А^ ф 0
и ^(n+i) _ 0 ^C]VL обозначения в задаче 3.26).
3.28.	Построить такое А с [0, 1], что А^ \ A^n+1) ф 0 для всех
п G N (см. обозначения в задаче 3.26).
3.29.	Построить счётное множество А С [0, 1], которое имеет кон-
континуум предельных точек, но не содержит ни одной из них.
3.30.	Пусть (М,р) — полное метрическое пространство, ВГ1(х\) 2
2 ВГ2(х2) 2 ВГз(хз) ^ ... — последовательность вложенных непустых
замкнутых шаров с радиусами тп —> 0 при п —> оо. Доказать, что
существует единственная общая точка
оо

{х}= П ВГгг(хп).
п=\
3.31.	Построить полное метрическое пространство (М,р) и после-
последовательность Вп(х\) 2 ВГ2(х<2) 2 ВГз(хз) 3 ... вложенных непустых
замкнутых шаров, не имеющих общей точки.
3.32.	Построить два шара ВГ1(х\) С ВГ2(х2) в некотором метриче-
метрическом пространстве, для которых г\ > т^-
3.33.	Доказать, что если (L, || • ||) — нормированное пространство
и два замкнутых шара вложены друг в друга: ВГх{х\) ^ ВГ2(х2), то
f\ ^ Г2 — \\х\ — о?21|• Доказать аналогичное утверждение для открытых
шаров.
3.34.	Пусть (I/, || • ||) — банахово пространство, ВГ1(х\) 2 ВГ2(х2) 2
3 ВГз(хз) 3 ... — последовательность вложенных непустых замкнутых
шаров. Доказать, что существует общая точка этих шаров.

36	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.35.	Пусть F\ 2 -?2 2 • • • — последовательность непустых ограни-
ограниченных замкнутых множеств в Rn. Доказать, что их пересечение F
непусто.
3.36.	Пусть F\, F2, F%, ... — такая последовательность ограничен-
ограниченных замкнутых множеств в Rn, что для любого N выполнено условие
N
п=\
Доказать, что пересечение всех Fn непусто.
3.37.	Построить последовательность F\ D F^ 2 ^з 2 • • • непустых
замкнутых ограниченных выпуклых множеств в 1\, пересечение всех
множеств которой пусто.
3.38.	Пусть (М, р) — полное метрическое пространство и Вп(х\) D
D ВГ2(х2) D ВГз(хз) D ... — последовательность вложенных непустых
шаров, причём тп —> 0 при п -^ оо и ВГп(хп) D ВГп+1(хп+\) для любого
п > 1. Доказать, что существует единственная общая точка:
сю
П ВГп(хп) = {х}.
п=\
3.39.	Построить такую последовательность непустых интервалов
(a\,b\) D (a2,&2) D ... из [0, 1], что bj — aj -^ 0 при j -^ оо, но
сю
П (ап,Ъп) = 0.
п=\
3.40.	Пусть F — замкнутое множество в метрическом простран-
пространстве (М,р). Доказать, что F — множество типа G$.
3.41.	Пусть G — открытое множество в метрическом пространстве
(М,р). Доказать, что G — множество типа FG.
3.42.	Доказать, что множество А в метрическом пространстве
(М, р) имеет тип Fa тогда и только тогда, когда множество М \ А
имеет тип G$.
3.43.	Пусть А\,..., Ап — конечная система множеств типа G$
в метрическом пространстве (М,р). Доказать, что
А= [JAk
k=\
— множество типа G$.

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	37
3.44.	Пусть А\,..., Ап — конечная система множеств типа Fa
в метрическом пространстве (М,р). Доказать, что
F=f]Fk
k=\
—	множество типа Fa.
3.45.	Пусть G — открытое всюду плотное множество в метриче-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что для любого непустого шара
Вг(х) существует шар Bt(y) с радиусом t > О, вложенный в Вг(х) П G.
3.46.	Пусть G\,... ,Gn,... — последовательность открытых всюду
плотных множеств в полном метрическом пространстве (М,р). Дока-
Доказать, что множество
оо
А= П Gn
п=\
всюду плотно.
3.47.	Пусть G\,... ,Gn,... — последовательность всюду плотных
множеств типа G$ в полном метрическом пространстве (М,р). Дока-
Доказать, что множество
сю
А= П Gn
п=\
—	всюду плотное множество типа G$.
3.48.	Доказать, что множество всех рациональных чисел на R не
является множеством типа G$.
3.49.	Доказать, что произвольное счётное всюду плотное множе-
множество на R не является множеством типа G$.
3.50.	Доказать, что произвольное счётное множество на R являет-
является множеством типа Fa.
3.51.	Доказать, что множество всех иррациональных чисел на R
не является множеством типа Fa.
3.52.	Построить множество на R, которое не является ни множе-
множеством типа Fa, ни множеством типа G$.
3.53.	Построить множества А\,..., Ап,... типа G$ на R, объедине-
объединение которых не является множеством типа G$.
3.54.	Построить множества В\,..., Вп,... типа Fa на R, пересече-
пересечение которых не является множеством типа Fa.
3.55.	Построить последовательность {Ап}^=1 всюду плотных мно-
множеств на R, пересечение которых пусто.
3.56.	Пусть А — всюду плотное множество типа G$ в банаховом
пространстве (L, \\ • ||), где L ф {0}. Доказать, что А имеет мощность
не меньше, чем мощность континуума.

38	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.57.	Пусть А — нигде не плотное множество в метрическом
пространстве (М,р). Доказать, что множество М\А всюду плотно
в(М,р).
3.58.	Построить такое множество А в R, что 4иМ\А- всюду
плотные в R.
3.59.	Пусть А — открытое всюду плотное множество в метриче-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что множество М\ А — нигде не
плотно в (М, р).
3.60.	Пусть А — нигде не плотное множество в метрическом про-
пространстве (М,р). Доказать, что множество А также нигде не плотно
в(М,р).
3.61.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р)
и Aj — множество всех изолированных точек А. Доказать, что Aj —
множество типа Fa.
3.62.	Привести пример множества А С [0; 1], множество изолиро-
изолированных точек которого незамкнуто.
3.63.	Пусть А — такое множество в метрическом пространстве
(М,р), что любая его точка является изолированной. Доказать,
что А — множество типа Fa.
3.64.	Пусть А — множество в метрическом пространстве. Дока-
Доказать, что
А= П F,
Fen
где п — множество всех замкнутых F D А.
3.65.	Пусть F — замкнутое множество в Rn. Доказать, что суще-
существует не более чем счётное множество А С F, замыкание которого
совпадает с F.
3.66.	Пусть F — замкнутое множество в сепарабельном метри-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что существует не более чем
счётное множество А С F, замыкание которого равно F.
3.67.	Пусть Вх = {х е loo: \\x\\ < 1}. Доказать, что В\ \ С ф 0 для
любого счётного множества С С В\.
3.68.	Пусть (М, р) — сепарабельное метрическое пространство.
Доказать, что существует такой счётный набор В = {Cj}°°=x открытых
множеств в (М,р), что любое открытое множество G С М может быть
представлено в виде
сю
G= \JCnk
k=\
для некоторой последовательности натуральных чисел

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	39
3.69.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что А° открыто.
3.70.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что А° есть объединение всех открытых G С А.
3.71.	Пусть G — открытое множество в метрическом пространстве
(М,р). Доказать, что (G)° 2 G.
3.72.	Построить такое открытое множество G С [0, 1], что (G) ф
Фо.
3.73.	Пусть F — замкнутое множество в метрическом простран-
пространстве (М,р). Доказать, что F° С F.
3.74.	Построить замкнутое множество F С [0, 1], для которого
W фР.
3.75.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р),
а В — замкнутое множество в этом пространстве. Доказать,
что (A°\JB)° = (A\JB)°.
3.76.	Построить такие А, В с [0, 1], что (А° U В)° ф (A U В)°.
3.77.	Пусть А — множество в сепарабельном метрическом про-
пространстве (М,р), a {GujJuj^q — открытое покрытие А. Доказать, что
из этого покрытия можно выбрать не более чем счётное подпокрытие.
3.78.	Теорема Гейне-Бореля. Пусть F — замкнутое ограничен-
ограниченное множество в Rn, a {GUJ}ujeQ — открытое покрытие А. Доказать,
что из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.
3.79.	Построить неограниченное замкнутое множество F С R и его
открытое покрытие множествами {Gn}, из которого нельзя выбрать
конечное подпокрытие.
3.80.	Построить множество А С [0, 1] и его открытое покрытие
множествами {Gn}, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.
3.81.	Построить счётное покрытие отрезка [0; 1], из которого нель-
нельзя выбрать конечное подпокрытие.
3.82.	Пусть {FUJ}ujeQ, — система ограниченных замкнутых мно-
множеств в Rn, и для любых uj\,... ,ujn выполнено условие
П F^ + 0
к=\
(такая система называется центрированной). Доказать, что
F = П Рш ф 0.
шей
3.83.	Пусть А — множество в метрическом пространстве (М,р).
Доказать, что dist(x,A) = dist(x,A).

40	Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах
3.84.	Построить множество А С R и точку xq ? R1, для которых
dist(xo, A) < dist(xo, A°).
3.85.	Пусть А и В — множества в метрическом пространстве
(М,р). Доказать, что
dist(A,B) = inf dist(x,B).
3.86.	Пусть F\ и F2 — непустые замкнутые множества в метри-
метрическом пространстве (М,р), причём dist(F\, F2) > 0. Доказать, что
существуют открытые множества G\ D F\ и G^ D F2, которые не
пересекаются.
3.87.	Пусть F\ и F2 — непустые замкнутые множества в мет-
метрическом пространстве (М,р), причём F\ П F2 = 0. Доказать, что
существуют открытые множества G\ D F\ и G2 D F2, которые не
пересекаются.
3.88.	Построить два замкнутых множества F\, F2 С R, для которых
dist(Fb F2) = 0, но F\ П F2 = 0.
3.89.	Пусть А и В — замкнутые множества в Rn и А ограничено.
Доказать, что расстояние от А до В достигается.
3.90.	Пусть А — множество в Rn. Доказать, что А замкнуто тогда
и только тогда, когда для любой точки у е Rn расстояние от у до А
достигается.
3.91.	Построить пример замкнутого множества А и точки у в про-
пространстве I2, для которых расстояние от у до А не достигается.
3.92.	Пусть Н — гильбертово пространство, х,у G Н. Доказать,
что справедливо тождество параллелограмма:
\\x + yf + \\x-y\\2 =2\\xf +2\\yf.
3.93.	Пусть Н — гильбертово пространство,	Щ — его замкну-
замкнутое подпространство, х G Н \ Щ, а точки уп	G Щ таковы, что
р(уп,х) —> dist(#, Яо) ПРИ п -^ °°- Доказать, что	последовательность
{уп} сходится в Н.
3.94.	Пусть Н — гильбертово пространство, Щ — его замкнутое
подпространство, х G Н \ Щ. Доказать, что существует единственная
точка у G Щ, на которой достигается расстояние от х до Щ.
3.95.	Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, Щ —
его замкнутое подпространство, х G Н \ Щ, и расстояние х до Щ
достигается на точке уц. Доказать, что (уо — x,z) =0 для всех z G Щ.
3.96.	Построить пример такого замкнутого подпространства Е\
в банаховом пространстве L, что для произвольной точки х G L\E\
расстояние от х до Е\ не достигается.

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	41
3.97.	Построить пример такого замкнутого подпространства V\
в банаховом пространстве V, что для одних точек х G V \ V\ расстояние
от х до V\ достигается, а для других — нет.
3.98.	Построить пример такого замкнутого подпространства V\
в банаховом пространстве V, что для некоторого х G V \ V\ расстояние
от х до V\ достигается на бесконечном множестве точек.
3.99.	Пусть на Rn заданы две нормы: р\(х) и Р2(х). Доказать, что
существует такая постоянная С > О, что
-piO) ^p2(x) < Срх(х)
для любого х G Rn. В частности, понятие сходимости в Rn не зависит
от выбора нормы.
3.100.	Пусть L — банахово пространство, Е\ — его конечномерное
подпространство. Доказать, что для любого х G L\E\ расстояние от х
до Е\ достигается.
3.101.	Пусть G — открытое множество в Rn, a P — подпростран-
подпространство в Rn. Доказать, что сечение G П Р множества G открыто в Р.
3.102.	. Пусть F — замкнутое множество в Rn, a P — подпро-
подпространство в Rn. Доказать, что сечение F П Р множества F замкнуто
в Р.
3.103.	Построить неоткрытое множество А в R2, сечение которого
любой прямой / открыто в /.
3.104.	Построить незамкнутое множество S в R2, сечение которого
любой прямой / замкнуто в /.
3.105.	Пусть А — множество в сепарабельном банаховом простран-
пространстве (I/, || • ||,) а А — множество всех точек конденсации А. Доказать,
что множество А \ А не более чем счётно.
3.106.	Пусть А — несчётное множество в сепарабельном банахо-
банаховом пространстве. Доказать, что множество А Г) А (см. задачу 3.105)
непусто.
3.107.	Пусть А — непустое совершенное множество в банаховом
пространстве (L, || • ||), где L ф {0}. Доказать, что А имеет мощность,
не меньшую мощности континуума.
3.108.	Пусть {Ап}кп=х — набор совершенных множеств в метриче-
метрическом пространстве (М,р). Доказать, что множество
А= U Ап
п=\
— также совершенное.

42	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.109.	Пусть G — открытое множество в R. Доказать, что его
можно представить в виде
сю
G= U4,
где 1п = (ап, Ьп) при п G N. Здесь одно из а& и (или) из bj может быть
бесконечным, а объединение может быть конечным.
3.110.	Доказать, что не существует представления отрезка [0,1]
в виде	^
[О, 1] = U Fn,
п=\
где Fn — замкнутые множества и более чем одно из них непусто.
3.111.	Пусть (I/, || • ||) — банахово пространство. Доказать, что L
не может быть представлено как счётное объединение попарно непере-
непересекающихся замкнутых множеств, более чем одно из которых непусто.
3.112.	Пусть Р — совершенное множество на R, даны числа а и Ь,
причём а < Ь, и при некотором 5 > 0 выполнены условия (а — 5, а) П
П Р = 0 и (b, b + 5) П Р = 0. Доказать, что Р П [а; 6] — совершенное
множество.
3.113.	Пусть Р — совершенное нигде не плотное множество в [0, 1],
a A — конечное множество. Доказать, что Р\А можно представить
как не более чем счётное объединение совершенных попарно непересе-
непересекающихся множеств.
3.114.	Доказать, что [0,1] можно представить как объединение
континуума попарно непересекающихся непустых совершенных мно-
множеств.
3.115.	Теорема Бэра. Пусть (М,р) — полное метрическое про-
пространство. Доказать, что М не является множеством 1-й категории
Бэра в себе.
3.116.	Доказать, что множество нигде не дифференцируемых
непрерывных функций является множеством 2-й категории Бэра
в С([0, 1]). В частности, существует нигде не дифференцируемая
функция из С([0, 1]).
Замечание. Первые примеры непрерывных, но нигде не диффе-
дифференцируемых функций на [0, 1] были построены Б. Больцано и К. Вей-
ерштрассом, а утверждение задачи 3.116 было доказано С. Банахом.
РЕШЕНИЯ
3.1. Пусть в метрическом пространстве М выполнено условие
lim хп = х. Тогда для любого г > 0 найдётся такое N, что при п > N

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	43
имеет место оценка р(хп,х) < -. Но тогда по неравенству треугольни-
треугольника при п,т> N выполняется условие р(хп,хт) < г. ?
3.2.	Пусть х е G = М \ А. Предположим, что для любого г > О
существует точка уг е Сг = Вг(х) П А. Заметим, что уг ф х. Пусть
R = г — р(уг,х) > 0. Тогда или yr G А, или yr G А' и, следовательно,
во втором случае существует zr G (Вц(уг) \ {уг}) П А. По неравенству
треугольника
p(zr, х) < p(zr, уг) + р(уг, х) < R + р(уг, ж) = г.
Итак, в обоих случаях (Вг(х) \ {х}) П А непусто для каждого г, откуда
следует, что х G А!. Мы получили противоречие, т. е. существует такое
го > 0, что ВГо(х) П А пусто, и, таким образом, G открыто. ?
3.3.	Множество G = М \ F открыто, поэтому если у G G, то у ^
GF' и у ^ F U Ff = F. Таким образом, F С F. Обратное вложение
тривиально. ?
3.4.	Утверждение следует из задач 3.2 и 3.3. ?
3.5.	По определению шара Br(x) = {z = х + у: \\y\\ < г} и Вг(х) =
= {z = х -\- у: \\y\\ ^ г}. Заметим, что если \\y\\ = г, то при 0 < г <
< 1 вектор х-\-гу лежит в открытом шаре и \\(х-\-у) — (х-\-еу)\\ =
= |1 — ?| \\y\\ —> 0 при г —> 1—0. Поэтому Вг(х) 2 Вг(х). Поскольку
из неравенства треугольника следует, что ||жп|| -^> ||ж|| при жп ^ х, то
справедливо обратное вложение. ?
3.6.	Пусть у ^ Вг(х). Тогда 7 = /о(ж, у) > г, поэтому 5 = ^ — г > 0.
В силу неравенства треугольника В$(у) П Бг(ж) = 0 и, следовательно,
множество G = М \ Вг(х) открыто. П
3.7.	Так как Вг(х) С Вг(х), то (см. задачи 3.6 и 3.3)
Вг(х) С Вг(х) = Вг(х)
?
3.8.	Пусть М = {ж, у} и р(х,у) = 1, р(х,х) = р(у,у) = 0 (такое
метрическое пространство называется дискретным). Тогда ^i(x) = М,
но i?i(#) = {х} и (Б^ж)/ = 0, поэтому В\(х) = {ж}. П
3.9.	Пусть G = М \ А! и xG(j. Предположим, что для любого
г > 0 существует yr G Ах П (Br(x) \ {х}). Но в этом случае существует
также zr е АП (Вг(х) \ {х}) при всех г > 0 (см. решение задачи 3.2),
поэтому х е А\ и мы приходим к противоречию. Отсюда следует, что
множество G открыто, а множество А' замкнуто. ?

44	Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах
3.10.	Пусть xGG. Тогда х принадлежит некоторому G^, uoq G
G О. Так как G^ открыто, то существует такое г > О, что Вг(х) С
С G^o CG. D
3.11.	Пусть G ^ 0 и ж G G. Тогда xGft при /с = 1, 2,..., п. Далее,
существуют такие r& = rk(x) > О, /с = 1, 2,..., п, что ВГк(х) С G& для
каждого /с. Положим г = min (гьГ2,... ,гп). Тогда Бг(ж) С G& для
всех /с, и, следовательно, Вг(х) С G. Таким образом, множество G
открыто. ?
3.12.	Пусть Gn = Q - i^, i + ^) при n e N. Тогда С = {^} не
является открытым. ?
3.13.	Справедливо равенство
G = M\F= \J(M\FU).
Так как множество М \ F^ открыто, то (см. задачу 3.10) множество G
также открыто. Поэтому множество F = М \ G замкнуто. ?
3.14. Результат выводится из задачи 3.11 с использованием тех же
рассуждений, что и в решении задачи 3.13. ?
3.15.	Пусть Fn = l±-, 1 - ^-1 при п е N. Тогда С = @, 1) -
незамкнутое множество. ?
3.16.	Заметим, что G\ = М \F открыто, a F\ = М \ G замкнуто.
Так как G\F = G П Gi и F\G = F Г) F\, то утверждение вытекает из
задач 3.11 и 3.13.
3.17.	Достаточно доказать утверждение для п = 2. За-
Заметим, что А\ U А'2 С (Ai U 742)х. Докажем обратное вложе-
вложение. Пусть ж G (Ai U A2). Тогда для любого п существует
Уп е (Bi/n(x) \ {х}) П {Ах U Л2). Пусть {уп} = {znk} U {?Пт}, где
{^nfc} ^ ^-1 и {^nm} ^ ^-2- Хотя бы одна из этих подпоследователь-
подпоследовательностей бесконечна. Если, для определённости, {znk} бесконечна, то
х е А\ С А\ UAf2. D
3.18.	Используя задачу 3.17, можно записать цепочку равенств
U Ак = ( U Ak\ U ( U Ак ) =
/с=1
= ( U Ak) U (О А'Л = U (AkU A'k) = U Ак.
п

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	45
3.19. Пусть Q[o;i] = {гп}^=1 — множество всех рациональных чи-
чисел отрезка [0, 1] и4 = {rn}kn=x для к е N. Тогда А'к = 0 и А^ = А^
при к е N. Поэтому
к=\	к=\
НО
\JAk) = (Q[0;1])'= [0, 1] = (\JAk .
?
3.20. В силу ограниченности множества А существует куб /од =
= [—N,N]n, содержащий А. Разделим куб /од на 2п равных кубов
1\,\> ••• >1\,2п с вдвое меньшим ребром (например, I\f\ = [—N, 0]n):
к=\
По крайней мере один из /i?i,... ,/1,2™ содержит бесконечно много то-
точек множества А. Повторяя этот процесс, получим последовательность
вложенных замкнутых кубов /Од D 1\^х Э ..., причём ребро Ij^. равно
——-г, и каждый куб содержит бесконечно много точек множества А.
2
Если х — общая точка этих кубов (существует по принципу вложенных
отрезков), то х G А'. ?
3.21.	Пусть А= {еп}™=1, где еп = @, ...,0, 1,0,...) A стоит на п-м
месте). Тогда А бесконечно, но А! = 0. Действительно, всякая точка
хп G А! есть предел некоторой последовательности {еПк} различных
точек. Но ||еп — ет\\ = л/2 при п ф т, и никакая подпоследователь-
подпоследовательность {еПк} не фундаментальна и тем более не сходится (см. зада-
задачу 3.1). ?
3.22.	Пусть х G С = А \ А'. Тогда существует такое г = г(х), что
(Вг(х) \ {х}) П А = 0. Докажем, что если х,у е С — две различные
точки, то Ех„ = В]_ . Ах) П В]_ . Лу) = 0. Пусть существует точка
z ^ -^ж,2/> и» Для определённости, г (ж) ^ т(^)« Тогда \х — у\ ^ \х — z\ +
+ |z — ?/| < - (г(х) + г(?/)) ^ г(ж), поэтому у G (Br(x) \ {х}) Г) А, и мы
пришли к противоречию. Выбирая в каждом шаре В\_ Ах) точку
с рациональными координатами, получаем, что множество А \ А' не
более чем счётно. ?
3.23.	Утверждение немедленно вытекает из задачи 3.22. ?

46	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.24.	Пусть А — множество всех последовательностей из 0 и 1
в Zoo. Тогда А имеет мощность континуума (см. задачу 2.19), но если
х, у G А и х ф у, то \\х — у\\ = 1. Поэтому никакая последовательность
различных точек из А не фундаментальна, и (см. задачу 3.1) А! =
= 0. ?
3.25.	Утверждение следует из задач 3.3 и 3.9. ?
3.26.	Пусть А = [а + ^4)°° . Тогда А' = {а} и А" = 0. ?
3.27.	По индукции докажем, что для любого невырожденного
отрезка [а, Ъ] С R1 и для любого п существует такое множество
А с (а, Ь), что А^ = {а}, и, следовательно, A(n+1) = 0 (такое мно-
множество будет удовлетворять условиям задачи). При п = 1 утвержде-
утверждение доказано в задаче 3.26. Предположим, что утверждение доказано
для п — 1. Определим отрезки Ik = \a-\- ^-r—г, а +	и выберем,
используя предположение индукции, такие множества А^ С Ik, что
СЮ
= U
к=\
Заметим, что А^п~^ = < а +	 > U {а}. Действительно, если ж ^
I к + 1J /c=i
^ а, то в достаточно малой окрестности точки х содержатся элементы
не более чем одного из множеств Ak, так что х принадлежит одному
из Ау либо вообще не принадлежит А^п\ Таким образом, А^ = {а},
и мы доказали существование указанного множества. ?
3.28.	Пусть 1п =	-, — для п е N, и пусть (см. задачу 3.27)
\_АТХ ~\ 1 ATX\
Ап с 1п таковы, что А^ = { l \ и А{п+Х) = 0. Если
сю
А = U Ап,
то	G А^п^ \ А^п+1\ так как эта точка принадлежит А^ \ А)? ,
но в достаточно малой её окрестности нет точек из А \ Ап. П
3.29.	Пусть Pq — канторово множество на [0, 1] (см. задачу 2.22) и
сю
G=[0,l]\P0= UK'M-
п=\

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	47
Положим А = < -^—-—- > . Ясно, что А счётно и i' = Pq. Так как
L 2 J п=\
Pq П А = 0 и Pq имеет мощность континуума, то мы получили искомый
результат. ?
сю
3.30.	Так как тп —> 0, то множество А = Q ВГп(хп) содержит не
п=\
более чем одну точку. Далее, последовательность {хп}^=1 фундамен-
фундаментальна, поскольку p(xn,xn+k) ^ гп. Так как пространство М полно, то
существует элемент х = lim xn. Поскольку (см. задачу 3.6) множе-
п^оо
ство ВГгъ(хп) замкнуто для любого п, то х е ВГп(хп) при каждом п.
Поэтому ж? А П
3.31.	Пусть M = N и
, ч I 1 —|	, если m Ф п\
р(т, п) = < т + п
[О,	если т = п.
Нетрудно видеть, что р — метрика. Пространство (М, р) полно, так как
р(х,у) ^ @, 1) для любой пары элементов, поэтому для любой фунда-
фундаментальной последовательности {хп} все элементы начиная с некото-
некоторого номера N совпадают. Последовательность шаров
?,^J_W = {n,n+ 1,...}
удовлетворяет условиям задачи. ?
3.32.	Пусть М = [0,1] с обычной метрикой. Тогда Б3/4О) ?
3.33. Если х\ = х2, то утверждение очевидно. Пусть х\ ф х2. За-
Заметим, что
СВГ2(х2).
\\Jb\ X2||
Поэтому
r2>\\z-X2\\ = \\xi-X2\\(l+ ¦¦ П ¦¦ )=Г1 + \\Х1-Х2
и, следовательно, выполнено неравенство ri ^ г2 — ||xi — х2\\. П
3.34. Из задачи 3.33 следует, что ri > r2 > ... и что ||жп — xn+i || <
^ тп — rn_|_i. Поэтому последовательность {жп} фундаментальна, и,
в силу полноты пространства, существует х = lim жп. Заметим, что
х G ВГгг(хп) для любого п, т. е. ж — общая точка шаров. ?

48	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.35.	Выберем для каждого п точку хп G Fn С F\. В силу теоремы
Больцано-Вейерштрасса (задача 3.20) существует подпоследователь-
подпоследовательность {ykj'kLi = {#пЛь=1> сходящаяся к некоторой точке у = lim y^.
Так как у^. е Fn при к > к(п) и Fn замкнуты, то у е Fn для каждого п,
т. е. у е F. ?
3.36.	Пусть
Тогда к последовательности {Кп}™=1 применимо утверждение зада-
задачи 3.35, т. е.
сю	сю
П Fn = П Кп ф 0.
п=1	п=1
п
3.37.	Пусть
Fn = <х = (х\,... ,хп,...) е l\: Xi = 0 при 1 < г < п,
Xi ^ 0 при г > п и - ^ ||ж|| ^ 1 >.
Нетрудно видеть, что эта последовательность удовлетворяет условиям
задачи. Выпуклость множеств Fn следует из того, что если все компо-
компоненты последовательностей {хп} и {уп} неотрицательны и а е @, 1),
то ||аж + A -а)у\\х =a||x||i + A -a)||y||i. D
3.38.	В силу результата задачи 3.30 существует единственная
точка
сю
X (z I I ±ЭГг1\Хп).
п=\
Поскольку х е ВГг1+1(хп+\) С ВГг1(хп) для любого п, то х — общая
точка открытых шаров. ?
«1 \ л СЮ
0, — ) > удовлетворяет
условиям задачи. ?
3.40. Пусть
Gn = \ х е М: р(х, F) = inf р(х, у) < - \.
yeF	n
Очевидно, что все множества Gn открыты и F С Gn. Далее, пусть
сю
S= f]Gn.
п=\

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	49
Заметим, что F С S. С другой стороны, если х G S, то для любого п
выполнено неравенство p(x,F) < -, и, следовательно (см. задачу 3.3),
xeFUFf = F = F. ?
3.41.	Пусть F = М \G. Тогда F замкнуто и, в силу результата
задачи 3.40,
сю
F= C\Gn,
где множества Gn открытые. Поэтому, положив Fn = М \ Gn, полу-
получим, что
сю	сю
G= \J(M\Gn)= U Fn,
п=\	п=\
где все Fn замкнуты. Таким образом, G — множество типа Fa. D
3.42.	Пусть множество А представимо в виде
сю
А= \jFn,
где все множества Fn замкнуты. Тогда
сю
М\А= \J(M\Fn)
п=\
и множества M\Fn открыты при всех п. Поэтому множество М \ А —
типа G§. Обратное утверждение доказывается аналогично. ?
3.43.	Достаточно доказать утверждение для п = 2. Пусть
сю
Ак = р| Gk,s при к= 1,2,
где все множества Gk,s открыты. Тогда
сю сю
А= П n(Gl.^UG2,r).
s=lr=\
откуда видно, что А — множество типа G$. D
3.44.	Утверждение следует из задач 3.42 и 3.43. ?
3.45.	Так как G всюду плотно в (М, р), то существует у G Вг(х) П
П G. Поскольку G открыто, то можно выбрать t > 0 так, чтобы Bt(y) С
СВДПС. ?
3.46.	Пусть Вг(хо) — произвольный непустой шар в (М, р).
Используя задачу 3.45, выберем такой непустой шар ВГ1(х\), что
ВГх(х\) С Br(xo) DG\ и ri < 1. Вновь используя задачу 3.45, найдём

50	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
такой непустой шар ВГ2(х2), что ВГ2(х<2) С Вп(х\) П G% и г2 < -.
Продолжая этот процесс, построим по индукции такую последова-
последовательность непустых шаров Вп(х\) D БГ2(ж2) Э ... D ВГп(хп) D ...,
что ВГп+1(хп+\) С ВГп(хп) П Gn и тп < - для каждого п. В силу
результата задачи 3.38 существует точка
п=\
Так как ВГп(хп) С Gn при каждом п, то х G А П Вг(хо), т.е. А —
всюду плотное множество. ?
3.47. Для любого п по определению найдутся открытые множества
Gn>fc, для которых
Тогда
оо оо
А = П П G«.b
n=lfc=l
т. е. А — множество типа G§. Заметим, что Gn^ 2 Gn при любых пик,
поэтому каждое множество Gn^ всюду плотно. Тогда в силу результата
задачи 3.46, и множество А всюду плотно. ?
3.48.	Пусть Q = {гп}^=1 — занумерованное некоторым образом
множество всех рациональных чисел на R1. Предположим, что Q —
множество типа G$. Положим Qk = {rn}^=k для к = 2, 3,... Так как
Qk = Qri(Rl\{rn}kn-=\)=qnsk,
где Sk открыты, то Qk — также множества типа G$ для любого к.
Заметим, что все Qk являются всюду плотными. В силу результата
задачи 3.47 множество
оо
0= f]Qk
к=2
было бы всюду плотно, что неверно. ?
3.49.	Решение аналогично решению задачи 3.48. ?
3.50.	Если А = {ап}™=1, то
оо
А = U К},
п=\
где одноточечное множество, очевидно, замкнуто. ?
3.51.	Утверждение следует из задач 3.42 и 3.48. ?

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	51
3.52.	Заметим, что для любых чисел а и Ь, где а < Ь, множество
всех рациональных чисел из интервала (а, Ь) не является множеством
типа G$, а множество всех иррациональных чисел из отрезка [а, Ь] не
является множеством типа FG (доказательства такие же, как в реше-
решениях задач 3.48 и 3.51 соответственно). Пусть А — множество всех
рациональных чисел из интервала (—1,0), а В — множество всех
иррациональных чисел из [0, 1]. Положим С = A U В. Если С — типа
G§, то множество А = СП (—1,0) — тоже типа G§, и мы пришли
к противоречию. Если С — множество типа Fa, то (см. задачу 3.44)
множество В = С П [0, 1] — типа Fa, что тоже приводит нас к проти-
противоречию. Поэтому С — искомое множество. ?
3.53.	Пусть Q = {гп}™=1 — занумерованное некоторым образом
множество всех рациональных чисел на R1, а 4 = {rk} при k G N.
Тогда
оо
Q= \JAk
к=\
и каждое множество А^ является множество типа G§ (см. задачу 3.40),
но в силу результата задачи 3.48 множество Q не является множеством
типа G$. ?
3.54.	В силу результата задачи 3.42 условиям задачи удовлетворя-
удовлетворяют множества В^ = М1 \ Ак, к ? N, где А^ были определены в решении
задачи 3.53. ?
3.55.	См. решение задачи 3.48.
3.56.	Пусть множество А представимо в виде
сю
А = П Gn,
п=\
где все множества Gn открыты. Так как А всюду плотно, то и Gn всюду
плотны. На первом шаге выберем два непустых шара Bq = ВГо(хо)
и В\ = ВГ1(х\) так, чтобы Во П В\ = 0, Bq,B\ с G\ и го,г\ < 1. На вто-
втором шаге для j е {0, 1} выберем два непустых шара Bj$ = Br.0(xj$)
и Bjt\ = Brjtl(xjt\) так, чтобы В~^ П Б~7 = 0, В~о,Щл С G2 П Bj
1
Продолжая этот процесс по индукции, получим континуум по-
последовательностей Bjx С Bjuj2 С Bjuj2j3 С ... непустых шаров, где
jk ^ {0,1} для каждого к, Bjltmmmtjk_lt0 П Bjummmjk_u\ = 0, Bjummmjk С
С GknBju...jk_x и r(Bju...tjk) < - для всех к.

52	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
В силу результата задачи 3.47 для каждой последовательности j =
= (jb J2> •••)' 3k ? {0, 1}, существует общая точка последовательности
сю
Х3 = П B3u...,U-
Заметим, что х\ ф Xj при i ф j. Так как BjUmmmjn С Gn для каждого п,
то все точки х-Л принадлежат множеству А. Поэтому А содержит
подмножество мощности континуума, т. е. А ^ с. ?
3.57.	Пусть Во = ВГо(хо) — произвольный непустой шар в про-
пространстве (М,р). Тогда существует непустой шар В\ = Вп(х\) С
С ВГо(хо) \ А. Поэтому х\ е Во П (М \ А), и, таким образом, М\А
всюду плотно. ?
3.58.	Условиям задачи удовлетворяет множество Q всех рациональ-
рациональных чисел. ?
3.59.	Пусть Во = ВГо(хо) — произвольный непустой шар в про-
пространстве (М,р). Тогда существует точка х\ G А П Во. Так как мно-
множество А открыто, то, согласно задаче 3.45, найдётся такое г\ > 0,
что ВГх (х\) С А П Во. Следовательно, ВГх (х\) П (М \А) = 0, и, таким
образом, множество М\А нигде не плотно. ?
3.60.	Пусть Во = ВГо(хо) — произвольный непустой шар в (М,р).
Тогда существует непустой шар В\ = Вп(х\) С Bq\A. Ясно, что
х\ ^ А, поэтому существует такое т^ Е @, г\), что ВГ2(х\) П А = 0, т. е.
Д.2(ж1) СБО\А П
3.61.	Если А! = 0, то множество A = Aj замкнуто, и утверждение
верно. Пусть А! ф 0. Определим множества
Сп =
и Ап = А \ Сп = А \ Сп при n G N. Заметим, что все множества Сп
открыты, а множества Ап замкнуты. Любая точка х G Aj попадёт
в некоторое Ап, а любая точка х G А! — в каждое Сп, т. е.
Ai = 0 ^п.
п=1
Поэтому А/ — множество типа Fa. D
3.62.	Положим А = {1/п}?°=1. Тогда А/ = А, но Ах = {0}.
3.63.	Утверждение вытекает из задачи 3.61. ?

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	53
3.64.	Согласно задаче 3.13,
В= f] F
Fen
замкнуто, и В D А, поэтому В D А. С другой стороны, согласно
задаче 3.2, А ? О, поэтому В С А. П
3.65.	Во-первых,
Жп= \_\ f[[mj,mj + \)= U h,m.
Если F П 7i>m т^ 0, то выберем точку z\jm ? F П 7i>m. Далее,
тп»п _ | | тт Г771:/ rnj ~1~ М _ | | г
К ~ U П "»—2—J~ LI 2'm*
meZn j=\	mGZn
Если F П 72?m t^ 0, то возьмём точку ^2,m ?^ П 72?m и т.д. Наконец,
определим не более чем счётное множество
оо
Л = U	U	Km}-
По построению i С F и i = f. ?
3.66. Пусть {2/j}°^! — всюду плотное множество в (М, р). Опре-
Определим множество {Enj = B\/n{yj)}™^. у Если для некоторой пары
(n,j) множество F П Enj непусто, то выберем точку znj ? FC\Enj.
Положим
сю
а= U U К.Л-
n=l
Тогда ACFhZ = F. D
3.67.	Пусть А — замкнутое множество, построенное в решении
задачи 3.24. Тогда А с В\, а шары {B\j2{x)}x A расположены так,
что В\/2(х) П В\/2(у) = 0 при х ^ у. Так как С счётно и А имеет
мощность с, то существует такое х ? А, что В\/2(х) П С = 0. Следова-
Следовательно, х ^ С. ?
3.68.	Пусть А — счётное всюду плотное множество в (М, р)
и Б = {Бх(ж)}°°	. Тогда В счётно. Пусть В = {Сп}™=х. Возьмём
т	т=\,хЕА
открытое множество G С М и определим числа
{nk}^=l={neN:CnCG}.

54	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
оо
Тогда [J СПк С G. Заметим, что для любой точки у G G найдётся шар
к=\
В\/п(у) ^ G, где п натуральное. Выберем точку z G Afli?j_(?/). Так
4п
как у е B_L(z) С В\/п(у) С G, то
2п
оо
Поэтому
G У Cnfc> и> следовательно, GC |J C^^..
к=\	к=\
G= \JCnk.
к=\
?
3.69. Определим множество
Вг{х){х),
где г(х) > 0 таковы, что Вг^(х) С А. Тогда AJ Э А°. С другой
стороны, Вг(х)(х) С А° для каждого ж G А°. Действительно, если
У ^ Вг{х)(х), то Вг{х)_р{х,у)(у) С Вг{х)(х) С А. Поэтому А^ = А°.
Но в силу результата задачи 3.10 множество А^ открыто. ?
3.70.	Пусть Go — объединение всех открытых множеств G С А.
В силу результата задачи 3.69 выполнено вложение А° С Go- С другой
стороны, если G открыто и G С А, то G С А°, поэтому Go С А°. П
3.71.	Если G открыто, то по определению G° = G. Но (G) D
DG°. D
3.72.	Пусть G — канторово открытое множество на [0, 1] (см. за-
задачу 2.22). Тогда G = [0, 1] и (G)° ф G. П
3.73.	Если множество F замкнуто, то (см. задачу 3.3) F = F. Но
F° CF = F. П
3.74.	Пусть F = Ро — канторово замкнутое множество на [0, 1]
(см. задачу 2.22). Тогда F° = 0hF=0^F. ?
3.75.	Так как А° U В С Аи В, то вложение (А° U В)° С (Аи В)°
очевидно. Пусть х G (A U 5)°. Тогда существует такое г > 0, что
Вг(х) С A U Б. Следовательно, множество G = Br(x) \ В вложено в А
и (см. задачу 3.16) открыто. В силу результата задачи 3.70 множе-
множество С вложено в А°, откуда получаем, что Вг(х) С А° U В, т.е.
хе(А°ив)°. п

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	55
3.76.	Пусть А = Pq — канторово замкнутое множество на [0, 1]
(см. задачу 2.22) и В = [О, 1] \ А. Тогда А° = 0, поэтому (А° U В)° =
= В° = В. В то же время (A U В)° = [О, 1]° ф В. П
3.77.	Пусть {Сп}™=]_ — счётная последовательность открытых ша-
шаров, построенная в решении задачи 3.68. Возьмём точку х G А. Тогда
существует такое и = и(х) ? О, что х G G^. Выберем множество Сп(ж)
так, чтобы (см. задачу 3.68) х G Сп^ С Gu. Так как множество
{п(х)}хеА есть подмножество в N, то оно не более чем счётно. Выберем
теперь для каждого п(х) некоторое ujn G О так, чтобы Сп(ж) С G^^.
Так как
Асу Сп(а)С у ОШп,
хеА	п{х)
то счётная подсистема {GUn} удовлетворяет условиям задачи. ?
3.78.	В силу результата задачи 3.77 можно считать, что п —
счётное множество, например, О = N (если О конечно, то утверждение
тривиально). Пусть
оо
FC\JGt.
i=\
Положим
Ап = U Gx
\=\
и Fn = F \ Ап. Тогда F\ 2 -^2 2 -^з 2 • • • и каждое Fn — замкнутое
ограниченное множество. Если для любого п множество Fn непусто,
то в силу результата задачи 3.35
сю
П Fn Ф 0-
п=\
и мы приходим к противоречию. Поэтому для некоторого щ множество
Fno пусто, т. е.
FcAn=\JGl.
П
3.79.	Множества F = N и Gn = (п — -, п + -) при п G N удовле-
творяют условиям задачи. П
Г1100	/1 11 1 \
3.80.	Множества А= < -> и Gn = [ - — —^, - + —^ при п =
1п)п=2	\п 4п п Ап )
= 2, 3,... удовлетворяют условиям задачи. ?

56	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
3.81.	Например, множества А\ = {0} и Ап = ( —,	 при п =
\п п— 1J
= 2,3,... П
3.82.	Выберем параллелепипед [а, Ъ] Е Rn, содержащий одно из
множеств системы — множество FUQ. Без ограничения общности мож-
можно считать, что Fu С [а, Ь] для всех wGl). Пусть Gu = Rn \ F^ для
всех (jgD. Тогда вш — открытое множество. Предположим, что
Тогда
[а, Ь] С
В силу результата задачи 3.78 существуют такие и\,... ,uin, что
[а,Ь]с \JGUk,
k=\
откуда следует, что
П F^ = 0-
к=\
Это противоречит центрированности системы. ?
3.83.	Так как А С А, то г = dist(x,A) < dist(x,A). Выберем точ-
точки zn G А и уп G А, где n E N, так, чтобы p(x,zn) < г -\—, где
77/
—	1	2
г = dist(#, А), и р(^п, уп) < -. Тогда р(х, уп) <г -\—, и, следовательно,
2
dist(#, А) < г + — для любого п. Поэтому dist(#, А) ^ г. П
3.84.	Пусть А — канторово множество на [0, 1] (см. задачу 2.22),
объединённое с отрезком [—1,0], a xq = -. Тогда dist(xo> А) — 0> но
А° = (-1,0), и поэтому dist(x0, А°) = i D
3.85.	Пусть r\ = dist(A, Б), т^ = inf distfx, Б) и дано е > 0. Вы-
берем точки ^i G А и у\ ? В так, чтобы р(х\,у\) < г\ -\-е. Тогда
dist(#i, Б) < ri + ?, и, следовательно, Г2 ^ ri + е. Так как ? > 0 произ-
произвольно, то Г2 ^ п. С другой стороны, пусть точка Х2 Gi такова, что
dist(#2> Б) < Г2 + ?. Выберем У2 ? В так, чтобы p(^2,2/2) < Г2 + ?• Тогда
dist(A, Б) < Г2 + ?, так что r\ ^ Г2. ?
3.86.	Пусть г = dist(Fi,i72). Определим множества Gi = < х Е
Е М: dist(x, i7^) < - > для i = 1,2. Нетрудно видеть, что множества Gi

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	57
и G<2 открытые, G{ D Fi при г = 1,2 и Gi nG2 = 0 в силу неравенства
треугольника. П
3.87. Если F — замкнутое множество в метрическом пространстве
(М, р) и х ^ F, то dist(#, F) > 0. Поэтому для любого х ? F\ суще-
существует такое г = г(х) > 0, что Вг(х) Г) F2 = 0, и для любого у ? F^
существует такое г = г (у) > 0, что Вг(у) Г) F\ = 0. Пусть
*г(х)(*) и G*= и **-(„)(»)•
Тогда множества G\ и G^2 по построению открытые. Предположим,
что существует точка z G Gi П G^. Тогда найдутся такие точки х е F\
и |/G i^2, что ^ G 5j_ , Ах) П 5j_ . Ay)- Без ограничения общности
предположим, что г(х) ^ г(?/). Тогда
р(х, У) < /о(ж, z) + р(у, ^) < - (г(ж) + г(г/)) < г(ж).
Таким образом, у G Вг^(х), и мы пришли к противоречию. Поэтому
GiHG2 = 0. ?
3.88. Например, множества F\ = N и F2 = <l + -,2+-,...
I 2	3
D
п
3.89.	Если АП В ^ 0, то утверждение очевидно. Пусть АП В =
= 0. Существует такое натуральное N, что А с [—iV, 7V]n и г =
= dist(A, В) < у. Положим Ei = Б П [-27V,27V]n Тогда Bi — ограни-
ограниченное замкнутое множество. Выберем последовательности {хп}^=1 С
С4и {^п}^1 CI В так, чтобы |жп — уп\ < N для всех и и |жп — ?/п| —> г
при п ^ оо. Заметим, что yn G Bi для всех n G N. В силу результата
задачи 3.20 существуют такие точки х и у и подпоследовательность
{fifc}j?Li> что ^nfc ^ ^ и ynfc ^ у при /с —> оо. Так как множества А и В\
замкнуты, то х е А и у е В\. При этом
\х-у\= lim |xnfc - 2/nfc I = г = dist(A, В).
п
3.90.	Пусть множество А замкнуто. Если dist(?/, А) = г, то суще-
существует такая последовательность {xnj^Lj точек из А, что |?/ — жп| -^ г
при n ^ оо. Заметим, что {хп} ограничена, поэтому существуют такие
подпоследовательность {хПк}^=1 и точка х, что хПк -^ х при к —> оо.

58	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
Так как множество А замкнуто, то х G А. Наконец,
\у-х\= lim \у - хПк\ = г = distB/, A).
Обратно, пусть х е А. Предположим, что х ^ А, тогда х е А', при
этом dist(#, А) = 0. По предположению существует такое z ? А, что
|z — х\ = 0, т. е. х = z ? А. Полученное противоречие доказывает, что
множество А замкнуто. ?
3.91. Пусть у = 0 и
п=\
где элементы еп определены в решении задачи 3.21. Множество А за-
замкнуто (доказывается аналогично решению задачи 3.21) и dist(O, A) =
= 1, но р@, A + \/п)еп) = 1 + \/п > 1 при всех п. П
3.92.	Пусть х,у G Н — произвольные точки. Тогда по определению
порождённой нормы выполнены равенства
||x + vll2 + ll^ — v\\2 = (х -\-у, х -\-у) -\- (х — у, х — у) =
II	' с/ 11 'II	t/ II	\	' t/ '	' t/ / ' \	t/ '	t/ /
= ((ж, ж) + (ж, у) + (у, ж) + (у, у)) + ((ж, х) - (х, у) - (у, х) + (у, у)) =
= 2(х,х) +2(у,у) =2\\х\\2
П
3.93.	Рассмотрим произвольную последовательность {уп}, Уп
для которой р(уп,х) —> d = dist(x, ifo)- Применяя тождество паралле-
параллелограмма (см. задачу 3.92) к элементам х — уп их — ут, получим, что
/ _ 7/ II2 | А \\т Уг
Уп Угп || ^ х
^ 11X Уп || ~г ? 11X Ут 11 •
Так как подпространство линейно, то	G if о, следовательно,
ж —	^ d. Если теперь задано е > 0, а т и п столь велики,
что ||ж — ?/п||2 < d2 +? и \\х — уп\\2 < d2 +?, то
||2/гг — ym||2 ^ 2(d2 + г) + 2(d2 + г) — 4d2 = 4г.
Тем самым мы доказали, что последовательность {уп} фундамен-
фундаментальна, и в силу замкнутости ifo она сходится к некоторой точке
3.94. Пусть точки уп е Щ образуют минимизирующую последо-
последовательность, т.е. \\уп — х\\ -^ d = dist(x, ifo). Тогда в силу результата
задачи 3.93 выполнено условие уп —> уо е Щ, причём по свойствам
нормы \\х — 2/о|| — lim \\х — Уп\\ — d, т. е. расстояние достигается в точ-

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	59
ке уц. Если уо и у'о — две точки, на которых достигается расстояние,
то последовательность {уо, у'о, у$, у'о,...} — минимизирующая и в силу
результата задачи 3.93 сходится, откуда следует, что Уо = Уо- П
3.95.	Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, Щ —
его замкнутое подпространство, х G Н \ Щ и расстояние х до Щ
достигается на точке у$. Рассмотрим произвольную точку z G Щ
и квадратный трёхчлен
fz(t) = \\х - уо ~ tz\\2 = \\х - уо\\2 - 2t(x - уо, z) + t2\\z\\2.
Так как t = 0 — точка минимума этого трёхчлена, то (х — уо, z) = 0. ?
3.96.	Пусть L = C([0, 1]) и
(ж) е С([0, 1]):
Видно, что ?^i — замкнутое подпространство в L. Рассмотрим функцию
f(x) G L\E\. Предположим, что мы нашли такую функцию g(x) G Si,
Положим h(x) = /(ж) — д(х). Предположим, что существует такая
точка хо Е [0, 1], что |/г(жо)| < d. Тогда, поскольку h(x) ? С([0, 1]),
то существуют такие 5 > 0 и 7 > 0> что 1^(^I < d ~ 7 ПРИ # ^
G [жо — 5,хо + 5] = Is С @, 1). Нетрудно выбрать функцию t(x) ? E\,
для которой t(x) = /г(ж) при х ? [0, 1] \ 1$. Пусть \\t(x)\\ = а > 0.
Положим д\(х) = д{х) + ——-t(x); тогда #i(#) G Si. Обозначим
Л, (ж) = /(а:) -51 (ж) = Л(аг) - ^-Lt(ar). Если ж 6 [0, \}\15, то
а для точек х ? Is выполнено условие
Поэтому ||/ — gi|| <d= \\f — д\\, и мы пришли к противоречию.
Таким образом, \h(x)\ = d при всех х ? [0, 1]. Поскольку функция h(x)
непрерывна, то либо h(x) = d, либо h(x) = —d на [0, 1]. Но обе эти
функции лежат в Si, следовательно, и f(x) ? E\. Полученное проти-
противоречие доказывает, что расстояние от / до Si не достигается. ?
3.97. Рассмотрим пространство V = С([0, 1]) х Я, где Н — гиль-
гильбертово пространство, т.е. V состоит из пар (t,s), где t ? С([0, 1])
и s ? Н, с нормой ||(t, 5)|| = \\t\\c + ||<5||я. Пусть Si — подпространство
в С([0, 1]), описанное в решении задачи 3.96, а Н\ — произвольное

60	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
замкнутое непустое подпространство в Н и V\ = Е\ х Н\. Нетрудно
видеть, что В — банахово пространство, a V\ — его замкнутое подпро-
подпространство. Тогда если х = @,5), где s e Н\Н\, то (см. задачу 3.94)
существует такой элемент у G V\, что \\х — y\\v = dist(#, Vi), но для
точек вида z = (t,0), где t G L\E\, такого элемента не существует
(см. задачу 3.96). ?
3.98.	Рассмотрим пространство R2 с нормой ||(ж, ?/)|| =
= тах{|ж|, \у\}, подпространство V\ = {@,у)}уе^ и точку е\ = A,0).
Тогда dist(ei,Fi) = 1 и достигается на всех точках вида @, у), где
\у\ <1. П
3.99.	Пусть е\,... ,еп — произвольный базис в Rn. Тогда для любой
точки хеМп справедливо представление
Х = Yl
k=\
Достаточно доказать наше утверждение в случае, когда первая из норм
есть стандартная евклидова норма:
1/2
Имеем
k=l
С другой стороны, из этого же неравенства вытекает, что норма р2
является непрерывной функцией (относительно р\) на Rn, поэтому
существует такая точка хо ? S\ = {х: р\(х) = 1}, что minp2(^) =
— Р2(хо) = С^2. В силу свойств нормы C<i > 0. Тогда для любого х G Rn,
х ^ 0 имеем
/	\	/ \
Р2{х) =р2 -t7ZaP\(x) =Р\{ф2 -4-т > С2р\{х).
Взяв С = тах(Сь —), получим утверждение задачи. П
3.100. Пусть dist(x,E\) = d. Тогда существует такая последова-
последовательность Y = {уп}(^=\ С Е\, что ||ж — 2/11 < d-\— для п G N. Заметим,
77/
что для любого п имеет место оценка \\уп\\ ^ ||^|| +d+ 1, поэтому У —
ограниченное множество. Из всякой ограниченной последовательности

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	61
в конечномерном пространстве можно выбрать сходящуюся по стан-
стандартной норме подпоследовательность (см. задачу 3.20). Пусть это
подпоследовательность {ynk}'kLi и уПк —> у G Е\. Так как Е\ конечно-
конечномерно, то (см. задачу 3.99) у будет пределом этой последовательности
и по норме пространства L. Наконец, \\х — у\\ = lim \\х — уПк || = d. ?
/с—*-оо
3.101.	Пусть z ? G П Р. Тогда для некоторого г > 0 шар Br(z)
вложен в G. Заметим, что Br(z) П Р — шар радиуса г в G Г) Р
с центром z. Поэтому G П Р открыто в Р. ?
3.102.	Заметим, что G = Rn \ F — открытое множество в Rn и F П
П Р = P\(G П Р). В силу результата задачи 3.101 множество G П Р
открыто в Р, поэтому F П Р замкнуто в Р. ?
3.103.	Пусть А = Вх (@,0)) \ 5, где
см2.
Ясно, что множество А неоткрыто, потому что @,0) ? А не является
внутренней точкой. Однако любое непустое сечение имеет вид А П / =
= В\(@,0)) П / \ Ki, где К/ состоит из не более чем из двух точек.
Таким образом, сечение А П / открыто. ?
3.104.	Пусть S — множество, определённое в решении зада-
задачи 3.103. Тогда S незамкнуто, поскольку @,0) ? Sf \S, но любое сече-
сечение S П / содержит не более двух точек и, следовательно, замкнуто. ?
3.105.	Пусть Y = {уп\(^=\ — счётное всюду плотное множество
в L, {rj}O(^l — множество всех положительных рациональных чисел,
и х ? А \ А. Тогда существует такой шар Br.^(yk(x)) = Brj(yk),
где Tj рационально и у^ ? Y, что х ? Brj(yk) и А П Brj(yk) не более
чем счётно. Так как множество С = {Вг.(х\(у^(х))\ ЛХ ^ является
подмножеством счётного множества {Brj(yk)}cj^D._l, то С не более
чем счётно. Поэтому множество
А\АС у (ВгЛх)(ук(х))пА)
не более чем счётно. ?
3.106.	Так как множество А несчётно, а в силу результата зада-
задачи 3.105 множество А\А счётно, то существует точка х ? А П А. ?
3.107.	Выберем вначале произвольную точку х ? А. Так как А
совершенно, то для любого г > 0 множество А П Вг(х) бесконечно.
Далее, можно выбрать два шара Бо = ВГо(хо) и В\ = Вп(х\) так,
чтобы Щп Щ = 0, Щ С Вг(х) и An Bj бесконечны, j = 0, 1. За-

62	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
тем для каждого j = 0 и для j = 1 выберем два непустых шара
Bjto = Br.tO(xjto) и Bjti = Brjl(xjti), для которых Bjfi П BjA = 0,
Б^о, Bjf\ С Б^ и Б^2 П А бесконечно для J2 ? {0» !}•
Продолжая этот процесс по индукции, построим континуум по-
последовательностей Bjx D ^jbj2 2 Bjuj2j3 2 ••• непустых шаров, где
jfc ^ {0> 1} для каждого k, ?jb...,jfc_bo П ?ji,...,jfc_bi = 0 и Bjltmmmtjk П А
бесконечно.
Для каждой последовательности j = (ji, J2> •• •)' гДе jfc ? {0> 1}>
и для каждого /с существует точка
п=1
Ясно, что х\ т^ Xj, если i ^ j. Так как множество А совершенно (в част-
частности, замкнуто), то х-Л ? А. Поэтому А имеет подмножество мощно-
мощности с, т. е. А имеет мощность не меньше мощности континуума. ?
3.108.	Достаточно доказать утверждение для к = 2. В силу ре-
результата задачи 3.14 множество А = А\ U А^ замкнуто, поэтому
А! С А. С другой стороны, если х G 4, то х ? А\ или ж е ^2.
Пусть, для определённости, х G А\. Поскольку А\ совершенно, то
хеА[с {Ах и А2У = А', и
3.109.	Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на мно-
множестве G: х ~ у, если [х, у] С G. Тогда G является объединением по-
попарно непересекающихся классов эквивалентности. Так как любой на-
набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счётен (в каж-
каждом можно выбрать рациональное число), достаточно доказать, что
каждый класс эквивалентности есть интервал (или луч, или прямая).
Рассмотрим множество К — один из этих классов. Положим а = inf x
хек
и Ъ = sup у. Предположим, что а > —оо и Ъ < +оо; в противном
случае доказательство только упростится. По построению К С [а; Ь].
Если с G (а,Ь), то найдутся такие х G (а, с) П К и у G (с,Ь) П К,
что (х, у) С G, поэтому с ? К. Следовательно, (а, 6) С К. Предпо-
Предположим, что а ? К. Тогда, так как G открыто, то для некоторого
d ? (О, Ъ — а) интервал (а — d, a + d) содержится в множестве G. При
этом, поскольку а е К, то а — - е К, и мы пришли к противоречию
с определением а. Аналогично показывается, что Ь (? К. Таким образом,
К = (а,Ь). ?
3.110. Предположим, что такое представление возможно. Без огра-
ограничения общности точки 0 и 1 принадлежат F\ U F2. Множество
[О, 1] \ (F\ U F2) открыто и непусто, так что в силу результата за-
задачи 3.109 найдётся интервал 12,т0 — (ab^i) ^ [0» 1] \ (-^l L-l F2), Для

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	63
которого a\,b\ G F\ U ?%. Тогда для любого N справедливо условие
N
п=3
(здесь в правой части стоит замкнутое множество, и если бы оно
содержало интервал, то оно содержало бы и отрезок [ai,bi], т.е. мно-
множества Fk пересекались бы). Выберем множества F^2 и F/v2 (k^ < N2),
которые пересекаются с J\. Тогда в силу результата задачи 3.109 имеет
место равенство
ЛГ2	оо
Ji \ U рп = U hr
n=3	r=l
и найдётся интервал /з?Го = (п2, Ьг) = «^2> Для которого ai < a2 < 62 < &i-
Продолжая этот процесс, получим последовательность интервалов
{^}°Li и возрастающую последовательность чисел {Ni}°^0, для кото-
которых 7V0 = 0, N\ = 2, Jg с Jg_i при g = 2, 3,... и
Тогда (см. задачу 3.38) существует точка
оо	оо
х е р| Jif но ж <? у Fn.
г=1	п=1
Это противоречие доказывает, что разбиение отрезка на непересекаю-
непересекающиеся непустые замкнутые множества не существует. ?
3.111.	Без ограничения общности предположим, что 0 G F\ и ^
непусто. Выберем точку х G F^. Заметим, что отрезок / = [0,х], т.е.
множество {A#}aG[o,i] представляется в виде
оо
J= U(^nJ).
k=\
Множества А^ = F^ П / замкнуты для каждого к (см задачу 3.13).
Пусть Rk = {t G [0, 1]: tx G A&}. Тогда ^ — замкнутое множество
(на [0, 1]), причём R\ и R^ непустые. Поэтому получившееся равенство
оо
[0,1] = U Rk
к=\
противоречит задаче 3.110. ?
3.112.	Если х G Р П (а;Ь), то х одновременно является или не
является предельной точкой множеств Р и Р Г\[а;Ь]. Пусть a G Р. Так

64	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
как а — предельная точка для Р, но в некоторой левой окрестности нет
точек из Р, то найдутся хп G Р, сходящиеся к а справа. Тогда, начиная
с некоторого номера, они лежат и в РП [а; Ь], т.е. а е (Р П [а;Ь])'.
Аналогично разбирается случай Ь G Р. ?
3.113. Достаточно доказать утверждение в случае, когда А = {а},
т.е. множество А состоит из одной точки. Утверждение тривиально,
если а ф Р. Пусть а е Р и
сю
[o,i]\p= UK,/U
п=\
Рассмотрим сначала случай, когда а не совпадает с 0, 1 и ни с каким ап
или /Зп. Так как множество Р нигде не плотно, то существует такая
подпоследовательность интервалов {(«ь &fc)}j?Li = i(ank,Рпк)}^=\> что
&2m-l < а < а2т При ТП G N И
lim b2m-\ =a= lim a2m.
ттг^сю	ттг^сю
Положим Cfc = —^—г—- для всех к, и пусть Р\ = Р Г\[0,с\], Р2 = Р П
П [С2, 1], P2fc-1 = ^П [c2fc-l,C2fc+l] ИР^ = РП [с2/с+2,С2/с] При fc G N.
Тогда все множества Рп совершенны в силу результата задачи 3.112 и
сю
Р\{а}= \_\РП.
Если, например, а = 0, то существует такая подпоследовательность
интервалов {(ак,Ък)}^=х = {(anfc,/?nJ}?Lp что 0 < 6fc+i < afc для к е
GN и
lira 6m = a.
тп^сю
Положим с/с = ^^—- для каждого к, Р\ = Р П [с\,1] и Рк = Р Г)
П [с&, Cfc_i] для /с = 2, 3,... Тогда Рп — совершенные множества и
п=1
В случаях а = 1, a = an или a = /Зп доказательство аналогично. П
3.114. Пусть А = {а = (ai,a2,...)} — множество всех последова-
последовательностей из нулей и единиц. Для элемента aGi определим мно-
множество
Ха = {(х\,Х2,...): x2j-\ ^ {0» 1} и ^2j = aj Для j G N}.
Отобразим Ха на множество точек отрезка [0, 1] с соответствующими
двоичными разложениями. Очевидно, что Ха не имеет изолирован-

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	65
ных точек ни для какого а. Докажем, что Ха замкнуто. Рассмотрим
фундаментальную последовательность Z = {z{l)}^x С Ха. Пусть для
некоторого нечётного г при каждом N существуют такие j\ > N
и 32 > N, что z(ji)r ф z(j2)r. Тогда, поскольку z(j\)r+x = z(j2)r+v
то \z(j\) — z(j2)\ ^ 2~r — 2 • 2~r~2 = 2~r~1, что противоречит предпо-
предположению о фундаментальности Z. Поэтому для любого нечётного г
существует такое N, что при всех j\ > N и j2 > N выполнено ра-
равенство z(j\)r = z(j2)r. Обозначая это значение через zr, получаем,
что, z(l) -^ z = (z\,a,z2,a,...) ? Ха при / —> оо. Таким образом, мы
доказали, что Ха совершенно. Заметим также, что Ха нигде не плотно.
тто ^ о / 2к + an 2к + an + 1 ч	• т\т
Действительно, любой интервал вида (—^/>	г	)» где ^ ^ ^
и к = 0, 1,..., 22-7', не пересекается с Ха. Заметим далее, что
[О, 1] = U Ха,
аеА
причём А имеет мощность континуума. Так как множества Ха, рас-
рассматриваемые как множества последовательностей нулей и единиц,
попарно не пересекаются, то на отрезке в множество Ха^ П Ха^)
могут попасть лишь двоично-рациональные точки. При этом сами
последовательности аA) и аB) должны иметь в периоде 0 или 1. Обо-
Обозначим множество последовательностей а, не имеющих таких периодов,
через А\, и пусть А^ = А \ А\.
Рассмотрим более подробно, сколько точек может быть в множестве
Ха(!) ШаB). Предположим, что аA) ф аB), но Ха^ П 1аB) ф 0.
Пусть з = min{i: a(\)i ф аB)^}. Можно считать, что аA) - = 1
и аB) • =0. Для некоторых последовательностей (у\,у2,...) ? ^a(i)
и B:1, 2:2,...) ^ -^аB) имеем
n=l	r=j+l
сю	сю
= 53 zn2-<2n-') + 53 «B)r2-2r. (i)
n=l	r=j+l
Ясно, что если (у\,у2,...) = (z\, z2,...), то равенство (i) не выполняется.
Пусть г = шт{к: у^ ф z^\. В силу (i) возможен лишь случай yi = 0
и ^ = 1.
Тогда из (i) получаем, что
сю	сю
2i+ E (Уп-г„J-B"-1)=2-2'-1+ 53 (aB)r-a(l)rJ-2)-. (и)
п=г+1	r=j+l
3 П. Л. Ульянов и др.

66	Гл. 3. Множества в IRn и других метрических пространствах
Заметим, что если г < j — 1, то правая часть (ii) больше, чем левая,
а если г > j, то левая часть (ii) больше, чем правая. Если г = j — 1, то
из (ii) следует, что а(\)г = 1, аB)г = 0 для всех г > j, уп = 1 и zn = О
для всех п > г. Если г = j, то а(\)г = 0, аB)г = 1 для всех г > j,
уп = 0 и zn = 1 при всех п > г. Таким образом, при фиксированных
аA) и аB) из А2 множество -^аA) П 1аB) состоит не более чем из
одной точки.
Множество A<i счётно. Занумеруем его элементы: А^ = {а(г)}^1.
В силу предыдущих рассуждений для любого a(r) G А^ множество
Fr = Ха{г) П U Xa(fe)
/с<г
состоит не более чем из г — 1 точек. Тогда согласно утверждению
задачи 3.113 существует представление
оо
Xa{r)\Fr=[]Prh
/=1
где все Рг\ — совершенные множества.
Окончательно получаем, что
= их*=(u
аеА	^aeA
=l
r=\r=\
?
3.115. Предположим, что
сю
М = [J Ап,
п=\
где все множества Ап нигде не плотны в пространстве (М,р). Найдём
такой непустой замкнутый шар ВГ{(х\), что г\ < 1 и ВГх(х\) П А\ =0.
Выберем такой непустой замкнутый шар ВГ2(х2) С Вп(х\), что Г2 < -
и ВГ2(х<2) П ^2 = 0. Продолжая этот процесс по индукции, получим
такую последовательность замкнутых шаров ВГх(х\) D ВГ2(х2) D ...,
что тп —> 0 при п^ оо и ВГгг(хп) П Ап = 0 для всех п. В силу
результата задачи 3.30 существует точка
х G П ^г„(жп), НО X ? U Ап.
п=1	п=1
Полученное противоречие доказывает, что М не представимо в виде
счётного объединения нигде не плотных множеств. ?

Гл. 3. Множества в Шп и других метрических пространствах	67
3.116. Обозначим через F множество всех функций из С([0, 1]),
которые имеют конечную производную хотя бы в одной точке из [0, 1]
(если х = О или х = 1, то имеется в виду односторонняя производная).
Пусть также
Fm = {f(x) е С([0,1]) :
3 х е [0, 1] : |/(ж) - f(y)\ ^т\х-у\ Ууе [О,1]},
где т 6 N. Ясно, что
оо
FC U Fm.
Докажем, что каждое множество Fm нигде не плотно в С([0, 1]).
Для данного п ^ 1 определим вначале непрерывную функцию дп(х).
( к \	k
Пусть дп ( — 1 = (— 1) при к = 0, 1,..., п и дп(х) линейна на каждом
отрезке 	, - для к = 1, 2,..., п. Видно, что дп(х) ? С([0, 1]).
\_ TL TL J
Рассмотрим произвольную функцию f(x) ? С([0, 1]) и число г > 0.
Нам нужно доказать, что существует шар Bt((f) С Br(f), для которого
Bt{ip) П Fm = 0. Так как f(x) равномерно непрерывна на [0, 1], то
существует такое 5 > 0, что для любых y,z ? [0, 1] при \у — z\ < 5
г	1
выполнено неравенство \f(y) — f(z)\ < -. Выберем щ так, чтобы — < 5
о	щ
и гпо > Ют.
Пусть t = ^ и <р(ж) = f(x) + ^по(ж). Поскольку ||0По||с = 1, то
BtM С Вг(/). Пусть Л(ж) G Bt{v). Тогда Л(ж) = /(ж) + ^дщ(х) +
+/0(ж)' гДе llV^^OIIc ^ Тй* ^ля лю^ого х ^ [0» 1] существует такое
у ? [0, 1], что \х - у\ < — и |рПо(ж) - РпоB/)| ^ 1- Для этого У получа-
получало
ем, что
\h(x) - h(y)\ > r- \gno(x) - дпо(у)\ - \f(x) - f(y)\ - \ф(х)\ -
г г г г г т
>	>
поэтому h(x) (? Fm. Таким образом, Bt((f) П Fm = 0 и потому Fm
нигде не плотно в С([0, 1]). Следовательно, множество F имеет первую
категорию в С([0, 1]). Но всё множество С([0, 1]) не является множе-
множеством 1-й категории (см. задачу 3.115). Таким образом, С([0, 1]) \F —
множество второй категории.
Так как (см. задачу 3.115) С([0, 1]) не является множеством 1-й
категории, то F — множество 2-й категории в С([0, 1]), в частности,
существует нигде не дифференцируемая функция из С([0, 1]). ?

Глава 4
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть (М, р) — метрическое пространство, множество А лежит
в М и функция f(x) отображает А на R. Функция f(x) называется
непрерывной в точке у, если у е А и для любого г > О существует
такое г > 0, что для любой точки х е Вг(у) П А выполнено неравенство
\f(x) — f(y)\ < г. Если f(x) непрерывна в каждой точке множества
В С А, то она называется непрерывной на В. Для краткости будем
обозначать метрическое пространство через М вместо (М,р), а норми-
нормированное пространство — через L вместо (L, || • ||).
Для данной конечной функции f(x) на метрическом простран-
пространстве М обозначим через Af множество всех точек её непрерывности.
Если I = (а,Ь), а с, d — некоторые вещественные числа, то че-
через l(I;c,d,x) будем обозначать линейное отображение отрезка [а, Ь]
на отрезок [min{c, d},max{c, d}], переводящее а в с и Ъ в d, т. е.
7/т- л \	. (x — a)(d — c)
1A; с,а,х) = с +	г^	-.
6 — а
Пусть F = {/n(#)}^Li ~~ последовательность непрерывных функций
на полном метрическом пространстве М. Определим следующие мно-
множества:
Ср = {xgM: существует конечный lim fn(x)}
называется множеством сходимости последовательности F,
Dp = {х е М: не существует конечного lim fn(x)}
называется множеством расходимости F, а
dp = {х G М: существует {п^} -^ оо: lim fnk(x) —
/с^оо
называется множеством неограниченной расходимости F.
Множество К в полном метрическом пространстве М называется
компактом, если для любой последовательности {хп}^=х точек из К
существует подпоследовательность {хПк}™=1, сходящаяся к некоторой
точке х G К.

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	69
Колебанием функции / в точке х называется величина
ш(х) = Jim^up A/B,) - f(z)\: у, z Е Bl/n(x)}.
Скажем, что f(x) полунепрерывна сверху в точке а Е М, если
для любого г > О существует такое г > О, что для любого х Е Вг(а)
выполнено неравенство f(x) — f(a) < e. Если функция полунепрерывна
сверху в каждой точке a Е М, то она называется полунепрерывной
сверху.
ЗАДАЧИ
4.1.	Пусть f(x) — конечная функция на полном метрическом
пространстве М. Доказать, что xq Е Af тогда и только тогда, ко-
когда ш(хо) = 0.
4.2.	Пусть f(x) — конечная функция на метрическом простран-
пространстве М. Доказать, что Af — множество типа G§.
4.3.	Пусть Q[o;i] — множество всех рациональных чисел на [0, 1].
Построить конечную функцию f(x) на [0, 1], удовлетворяющую усло-
условию Af = [0, l]\Q[0;i].
4.4.	Пусть А — произвольное множество типа G$ в полном сепа-
рабельном нормированном пространстве L. Построить такую конечную
функцию f(x) на L, что Af = A.
4.5.	Пусть f(x) — непрерывная функция на полном метрическом
пространстве М, a Nf = {х Е М: f(x) = 0}. Доказать, что Nf —
замкнутое множество.
4.6.	Пусть F — замкнутое множество в полном метрическом про-
пространстве М. Построить такую непрерывную функцию f(x) на М, что
(см. задачу 4.5) Nf = F.
4.7.	Пусть f(x) — непрерывная функция на полном метрическом
пространстве М. Доказать, что для любого с е R множество Gc(f) =
= {х е М: f(x) > с} открыто, а множество Fc(f) = {х е М: f(x) > с}
замкнуто.
4.8.	Пусть f(x) — такая конечная функция на полном метрическом
пространстве М, что для любого с Е R множества Ас = {х Е М: f(x) ^
^ с} и Dc = {х Е М: f(x) ^ с} замкнуты. Доказать, что f(x) —
непрерывная функция на М.
4.9.	Построить на [0, 1] такую разрывную функцию f(x), что для
любого с Е R множества {х Е М: f(x) ^ с} и {х Е М: /(ж) = с} за-
замкнуты.
4.10.	Пусть К — компакт в полном метрическом пространстве М,
а функция f(x) непрерывна на К. Доказать, что f(x) ограничена на К.

70	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
4.11.	Пусть К — компакт в полном метрическом пространстве М,
а функция f(x) непрерывна на К. Доказать, что существует точка
хо ? К, в которой достигается точная верхняя грань функции, т. е.
f(x0) = maxf(x).
хек
4.12.	Теорема Кантора. Пусть К — компакт в полном метриче-
метрическом пространстве М, а функция f(x) непрерывна на К. Доказать, что
f(x) равномерно непрерывна на К, т. е. для любого г > 0 существует
такое 5 > 0, что если х, у е К и р(х, у) < 5, то \f(x) — f(y) | < е.
4.13.	Построить пример ограниченного замкнутого множества F
в банаховом пространстве L и непрерывной функции f(x) на F, неогра-
неограниченной на F и не равномерно непрерывной на F.
4.14.	Пусть А — компактное множество в метрическом простран-
пространстве М, a f(x) — непрерывная функция из М в метрическое простран-
пространство N. Доказать, что множество f(A) компактно в N.
4.15.	Построить функцию f(x) G C(R) и замкнутое множество
Act, для которых f(A) незамкнуто.
4.16.	Построить пример ограниченного замкнутого множества
А С 1ч и непрерывной функции j{x) из 1^ в R, для которых f(A) —
незамкнутое множество в R.
4.17.	Пусть К — компакт в полном метрическом пространстве М,
множество А — всюду плотное в К, a f(x) — непрерывная функция
на К. Доказать, что f(A) — плотное в f(K) множество.
4.18.	Пусть функция f(x) не убывает на [а, Ь], /(а) = с, f(b) = d
и множество /([а, Ь]) всюду плотно на [с, d]. Доказать, что / непрерыв-
непрерывна на [а; Ь].
4.19.	Построить нигде не плотное множество А на [0, 1] и такую
непрерывную функцию f(x) : [0, 1] —> [0, 1], что f(A) всюду плотно
на [0,1].
4.20.	Доказать, что если f(x) — непрерывная строго возрастающая
функция на [а, Ь] С R, a А — нигде не плотное множество на [а, Ь], то
f(A) — нигде не плотное множество на [/(a), f(b)].
4.21.	Пусть f(x) — непрерывная функция на замкнутом множестве
F С R. Доказать, что существует такая функция h(x) ? C(R), что
h(x) = f(x) при х е F.
4.22.	Пусть f(x) — непрерывная функция на компакте F в полном
метрическом пространстве М. Доказать, что существует непрерывная
на М функция h(x), совпадающая с f(x) при х G F.
4.23.	Пусть F\ и F<i — два замкнутых множества в метрическом
пространстве М, функция j{x) определена на F\ U F^ и j{x) непре-
непрерывна на каждом из Fj. Доказать, что f(x) непрерывна на F\ UF2.

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	71
4.24.	Построить такие множества А\,А^ е [0,1], что
[0, 1] = А\ U А^, и разрывную всюду на [0, 1] функцию f(x),
непрерывную на каждом из Aj.
4.25.	Пусть п > 1, a f(x) — непрерывная функция на замкнутом
множестве F С Rn. Доказать, что существует функция h(x) e C(Rn),
совпадающая с f(x) на F.
4.26.	Пусть F = {fn(x)}™=\ — последовательность непрерывных
функций на полном метрическом пространстве М. Доказать, что мно-
множество её неограниченной расходимости dp имеет тип G§.
4.27.	Построить такую последовательность F = {/n(#)K?Li непре-
непрерывных функций на R, что множество dp совпадает с множеством всех
иррациональных чисел из R.
4.28.	Построить такую последовательность F = {fnix)Yn=\ непРе~
рывных функций на R, что Ср = Q.
4.29.	Для заданного множества А типа G$ в полном метриче-
метрическом пространстве М построить последовательность F = {fn(x)}™=\
непрерывных на М функций, множество неограниченной расходимости
которой равно А.
4.30.	Пусть F = {/n(#)K?Li ~~ последовательность непрерывных
функций на полном метрическом пространстве М. Доказать, что мно-
множество Ср имеет тип F^s.
4.31.	Построить такую последовательность F = {fn(x)}™=\ непре-
непрерывных функций на R, что Dp = Q.
4.32.	Пусть (М, р) — полное метрическое пространство, а / —
функция М —> R. Доказать, что f(x) на R полунепрерывна сверху
тогда и только тогда, когда для любого у G R множество Еу = {t G
G M: f(t) < у} открыто.
4.33.	Пусть (М,р) — полное метрическое пространство, функция
/ : М —> R полунепрерывна сверху и ограничена сверху. Доказать, что
существует такая невозрастающая последовательность непрерывных
на М функций {/пЫГ,, что fix) = lim fn(x) для каждого х е М.
п^оо
4.34.	Пусть А — множество типа FG в полном метрическом про-
пространстве (М,р). Построить равномерно ограниченную последователь-
последовательность непрерывных на М функций {/n(#)K?Li> которая сходится к ну-
нулю на А и расходится на В = М \ А.
4.35.	Пусть А — множество типа Fa§ в полном метрическом про-
пространстве (М, р). Построить такую равномерно ограниченную последо-
последовательность непрерывных на М функций F = {/n(#)}^Li> что Ср = А.

72	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
4.36. Построить функцию на [0; 1], которая не может быть пред-
представлена как поточечный предел последовательности непрерывных
функций.
РЕШЕНИЯ
4.1.	Если f(x) непрерывна в точке хо, то для каждого г > 0 су-
существует такое п, что для любого у е В\/п(хо) выполнено неравенство
\f(xo) ~ f(y)\ < |- ТогДа \f(y) ~ f(z)\ < ? Для любых y,z e Bi/n(x).
Следовательно, u(xq) = 0.
С другой стороны, если lj(xq) = 0, то для каждого г > 0 суще-
существует такое п, что для любого у G В\/п(хо) выполнено неравенство
\f(xo) — f(y)\ < ?, т-^. f(x) непрерывна в точке х$. П
4.2.	Определим множества Gk = uGM: u(x) < —>. Нетрудно
I	/с J
видеть, что Gk открыто для каждого к. Но, согласно задаче 4.1,
оо
Af = П Gk,
к=\
поэтому Af — множество типа G§. D
4.3.	Пусть f(x) = 0 на множестве [0, 1] \ Q, а для х е Q[o;i], x =
= —, где кит взаимно просты, положим fix) = — (эта функция
т	т
обычно называется функцией Римана). Тогда f(x) разрывна на Q[o;i]
и непрерывна на [0, 1] \ Q. П
4.4.	Пусть множество А имеет вид
оо
А = П Gn,
п=\
где все Gn — открытые множества. Без ограничения общности можно
считать, что G\ D G^ D ... Тогда множества Fn = L\ Gn, где n G N,
замкнуты. Выберем для каждого п не более чем счётное всюду плотное
множество Еп С Fn и определим функции
{0 при х G Gn,
1 при х е Еп,
2 при х е Fn\En,
а затем — функции
f ( \ — \^ ^ f ( \
п=\
Ясно, что ряд сходится в каждой точке множества L.

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	73
Докажем, что функция f(x) подходящая. Пусть xq Е А. Тогда
/Оо) — О- ДЛЯ заданного г > О найдём такое TV, что
n=7V+l
Заметим, что множество
1
КГ
N
= П Gn
п=\
открыто, поэтому существует такое 5 > О, что при х Е В§(хо) и к =
= 1,... ,7V выполнено условие Д(ж) = 0. Но, следовательно, для тако-
такого х имеем: 0 < f(x) = f(x) — /(#о) < ?> т-е- /(^) непрерывна в точ-
точке жо.
Пусть теперь хо Е L \ А. Тогда существует такое по, что хо Е
Е Gno_i \ Gno (здесь Go = I/). Поэтому /(жо) > 10~п°. Рассмотрим
5 > 0, для которого В§(хо) С Gno_i. Возможны два случая.
1)	Существует точка у Е Д$(ж) П Gno. Тогда
оо 2
/B/) ^ Е Yo^'
n=no+l
и поэтому /Оо) - /(^) > 5 • КГ710.
2)	Множество В$(хо) П Gno пусто. Тогда, поскольку Б^(жо) \ Gno
имеет мощность континуума (здесь мы пользуемся тем, что простран-
пространство линейное, а не просто метрическое), а Ещ не более чем счёт-
счётно и плотно, то существуют точки у Е В§(хо) П ?^По и z Е 5^(жо) П
n(Fno\?no)- Поэтому
п=по + 1
Таким образом (см. задачу 4.1), о;(#о) > \0~щ~1, поэтому f(x) разрыв-
разрывна в точке хо. П
4.5.	Пусть х Е (Nf)'. Тогда для любого натурального п существует
точка уп Е Nf П В\/п(х). Поскольку функция f(x) непрерывна, то
f(x) = lim f(yn) = 0.
n—s-oo
Поэтому ж Е TV/. ?
4.6.	Пусть f(x) = dist(#, F). Тогда /(ж) — непрерывная функция,
так как \f(y) — f(z)\ < p{y,z) для любых y,z, и /(ж) = 0 для любой
точки х Е F. Но так как F замкнуто, то f(x) > 0 при х ^ F. ?

74	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
4.7.	Пусть х G Gc(f). Так как f(x) непрерывна, то существу-
существует такое г > О, что для любого у G Вг(х) выполнено неравенство
\f(x) - f(y)\ < f(x) - с. Тогда f(y) > с, т.е. Вг(х) С Gc(f). Поэто-
Поэтому множество Gc(f) открыто. Как следствие, множество Fc(f) =
= М \ G-c(—f) замкнуто. ?
4.8.	Пусть х G М. Тогда для любого г > 0 множество
С? = {у 6 М: /(а:) - е < f(y) < f(x) +s} = (M\ Af{x)+?) \ Df{x)_e
открыто и х ? C?. Поэтому для некоторого 5 > 0 имеет место вло-
вложение В$(х) С С?, т.е. для любого у G В$(х) выполнено неравенство
\f(x)-f(y)\<e. ?
4.9.	Функция
= /2	при х = О,
л; \1-ж при xG @,1]
удовлетворяет условиям задачи. ?
4.10.	Предположим, что для каждого п существует такой элемент
уп е К, что \f(yn)\ > п. Выберем подпоследовательность {упк}^=\^
сходящуюся к уо е К при к -^ оо. Тогда f(x) разрывна в точке уо, что
противоречит условиям задачи. ?
4.11.	Пусть С = sup f(x). В силу результата задачи 4.10 чис-
хек
ло С конечно. Найдём для каждого п такую точку уп G К, что
1(Уп) > С	. Если выбрать подпоследовательность {уПк}^=\^ сходя-
сходящуюся к некоторой точке уо G К при к —> оо, то в силу непрерывности
функции
/Ы= Hm f(ynk)=C.
?
4.12.	Предположим, что f(x) не является равномерно непрерыв-
непрерывной на К. Тогда для некоторого г > 0 существуют такие две по-
последовательности {уп}^=\ С К и {zn}^=x С К, что p(yn,zn) < -, но
\1(Уп) — f(zn)\ > ? Для всех п. Дважды применяя определение ком-
компакта, найдём такие подпоследовательности {уПк}^=\ и {znkl}Tv что
Упк —> Уо ? К при /с —> оо и ?ПА,г ^ zo ? К при / ^ оо. (Сначала выби-
выбирается подпоследовательность ynfc, а затем выбирается подпоследова-
подпоследовательность гПк .) По построению уо = zq. Мы получили, что о;(?/о) ^ ^»
т.е. согласно задаче 4.1 f(x) разрывна в точке уо, что противоречит
условиям. ?

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	75
4.13. Пусть L = I2, и е(п) = (е(п)р е(пJ,...) — последовательность
с е(п)к = 0 при к ф п и е(п)п = 1 для каждого п G N. Определим
множество
n=\ IV	nj	)n=\
и функцию /: / (H— ) e(n) J = n и / ( ( 1	) e(n) J = — n для
\\	77//	/	\\	П /	/
всех п. Заметим, что все точки множества F изолированные, поэто-
поэтому F замкнуто, а любая конечная функция на F непрерывна. В то же
время f(x) неограничена на F и не является равномерно непрерывной
на F. ?
4.14. Пусть {уп}^=\ — последовательность элементов из f(A). Для
любого п найдём такой элемент хп ? А, что f(xn) = yn, и выберем
подпоследовательность {хПк}™=1, сходящуюся к некоторой точке хо ?
? А при к —> оо. Тогда
f(x0) = lim f(xnk) = lim уПк = y0,
т.е. {уПк} — искомая сходящаяся подпоследовательность. ?
4.15.	Пусть A = Rn f(x
4.16.	Пусть A = Bi(O) и
4.15. Пусть А = R и f(x) = -^—. Тогда /(А) = @, 1]. П
х + 1
VA _ Iw2
n=l
По определению А ограничено и замкнуто в 1^. Далее, для любых
элементов х,у G 1^ выполнено неравенство
сю
1/0*0 - /Ы1 < Е 14 - vl\ < Иж - 2/11 ¦ II* + г/11-
п=1
откуда следует, что f(x) непрерывна. Для любого х е А имеем f(x) <
< \\x\\ ^ 1, но если обозначить через е(п) последовательность из А
с е(п)к = 0 при к ф п и е(п)п = 1, то /(е(п)) = 1 — -. Поэтому 1 е
е (f(A)Y\f(A), т.е. f(A) — незамкнутое множество. ?
4.17.	Пусть задано некоторое г > 0. Так как множество К ком-
компактно, то (см. задачу 4.12) функция / равномерно непрерывна на
нём, т.е. можно выбрать 5 > 0 так, что если х,у е К и р(х,у) < 5,
то \f(x) — f(y)\ < е. Возьмём точку а = f(zo) ? f(K) и найдём такое
хо ? А, что р(хо, 2о) < 5. Тогда \f(x0) - а\ < е. ?
4.18.	Предположим, что / разрывна в точке х. Пусть для опре-
определённости х ? (а, Ь). В силу результата задачи 2.4 существуют не

76	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
совпадающие пределы /(#+) и f(x—). С учётом монотонности функции
это означает, что /(?) < f(x—) при t e [а,х) и /(?) > f(x+) при
? G (x, b]. Тогда /([а, 6]) П (/(#—),/(#+)) С {/(ж)}, что противоречит
условию плотности образа /.
4.19. Пусть А = Pq — канторово множество на [0, 1], построенное
в задаче 2.22.
Построим функцию (р(х), которую мы будем называть функцией
Кантора. Мы будем использовать введённые в задаче 2.22 отрезки Jj}.
Определим вначале вспомогательную функцию Тр(х) на множе-
множестве Е всех граничных точек отрезков Jj}, с п = 0, 1,... и 1 < к < 2П.
Проведём построение по индукции. На нулевом шаге определим функ-
функцию Тр(х) на концевых точках J® = [0, 1]. Пусть ^@) =0 и ^A) = 1.
Пусть после (г— 1)-го шага, где г > 1, функция Тр(х) определена на
множестве Ег-\ граничных точек отрезков J]} при п = 0, 1,... ,г — 1
и 1 ^ к ^ 2п и монотонна на этом множестве. Тогда на r-м шаге
определим функцию Тр(х) на концевых точках отрезков Jf,...,^,
которые не входят в Ег_\. Точнее, если Jrk~x = [a, b], JJfc-i = 1а'С1
и J?k = [d,b] с а < с < d < Ь, то положим
Заметим, что функция (р(х) монотонно не убывает на Ег. По индукции
получим функцию Тр{х), монотонную на Е. По построению множество
fp(E) содержит все точки вида —^, где п = 0, 1,... и 1 ^ к ^ 2П.
Определим теперь функцию
(р(х) = sup Jp(y).
По определению функция у?(ж) не убывает на [0, 1]. Так как <р(х)
монотонна на Е, то <р(х) = ~(р(х) для х ? Е. Следовательно, множество
значений функции <р(х) плотно на отрезке [0, 1]. Так как <р(х) монотон-
монотонна, то в силу результата задачи 4.18 ip(x) e С([0, 1]).
Возвращаясь к нашей задаче, заметим, что Pq нигде не плотно, но
() [0,1]. ?
4.20. Рассмотрим интервал (а,C) С [f(a),f(b)]. Тогда существуют
такие с, d G [а, Ь], что а = /(с) и /3 = /(d). Так как А нигде не плотно на
[а,Ь], то существует такой интервал (u,v) С (с, d), что (u,v) Г\А = 0.
Тогда (f (и), f(v)) С (а, /3) и (/(у), /(и)) П /(А) = 0. ?

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	11
4.21. Множество G = R \ F открыто на R, поэтому (см. зада-
задачу 3.109) его можно представить в виде
G= LKon.M-
Пусть In = (an,bn) при n G N. Положим h(x) = /(ж) на F. На множе-
множестве G определим функцию h(x) следующим образом. Если п таково,
что величины ап и Ъп обе конечны, то пусть h(x) = l(In, f(an), f(bn), x)
при x e In- Если ащ = —оо, то положим h(x) = f(bno) на /По. Если
bni = оо, то положим h(x) = f(ani) на /П1.
Функция /г(ж) непрерывна всюду на G как линейная на каждом ин-
интервале (ап,Ьп). Пусть у G .F, а последовательность У = {?m}^Li тако-
такова, что уп —> у при n ^ оо. Предположим, что /(уп) /* Мз/) ПРИ п "^ °°-
Тогда для некоторых г > 0 и подпоследовательности Z = {^ = ^nfc}^i
имеем |/i(^/c) — h(y)\ > ^ ПРИ всех к. Следовательно, только конечное
число членов последовательности Z принадлежит F или некоторому
фиксированному 1п. Поэтому существуют подпоследовательность раз-
различных интервалов {Jm = /Пт}^=1 и такие точки tm = Zkm G Jm, что
tm ^ у при m —> оо, но |/i(tm) — h(y)\ > г при всех га. С другой сто-
стороны, аПгп,ЬПгп -> у при га -> оо и /(аПт), /(ЬПт) -^ /(у) при га -^ оо.
Так как /г(ж) линейна на каждом /п, то для любого га выполнено
1М*т)-лЫ1 =
= \h(tm) - f(y)\ < max(|/(anm) - /(j/)|, |/(ЬПт) - /(j/)|) ^ 0
при га ^ оо. Полученное противоречие доказывает, что h(x) непрерыв-
непрерывна на F. П
4.22. Докажем вначале, что существует всюду плотное счётное
подмножество в F. Заметим, что для любого натурального к существу-
существует только конечные наборы точек {yj} G F, для которых р(уг,ут) ^ -г
при г т^ га, иначе мы придём к противоречию с определением компакта.
Обозначим через Y& некоторую максимальную систему таких точек,
сю
и пусть X = {хп}^=\ = IJ У/с- Тогда множество X счётно и всюду
к=\
плотно в F.
Для каждого у е М определим функцию г (у) = dist(y,F). Тогда,
так как f(x) ограничена на F (см. задачу 4.10), то мы можем опреде-

78	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
лить функцию
' f(x)	при х е F,
h(x) =
Е
п:хпеВ2г{х)(х)
F-
По построению h(x) = f(x) на F. Докажем, что h(x) непрерывна на М.
Пусть вначале у е G = М \ F. Положим Е(у) = {п: хп е В2Г(у)(у)}-
Если для некоторой последовательности у^ -^ у при к -^ оо, то без
ограничения общности можно считать, что все у^ принадлежат от-
открытому множеству G. Если щ G Е(х), то щ G E(yk) при достаточно
больших к, и наоборот. При к —> оо получаем, что
пеЕ(Ук)	пеЕ(х)
пеЕ{Ук)
Поэтому /г(ж) непрерывна на G.
Пусть теперь у е F, yk ^ у при /с —> оо. Так как /(ж) непрерывна
на F, достаточно рассмотреть случай, когда у^ G G для всех /с. Полу-
Получаем, что
!%)-%*)! =
пеЕ{Ук)
пеЕ{Ук)
Е 2
Е
sup \f(y)-f(xn)\,
пеЕ{Ук)
но для каждого п G
р(хп, у)
выполнено
р(ук, у) < 3pB/fc, у) -> О
при к ^ оо. Следовательно, в силу непрерывности / на множестве F
и выписанной выше оценки h(yk) -^ h(y) при к —> оо, и потому функ-
функция /г(ж) непрерывна на F.
Заметим, что предложенный метод позволяет продолжить любую
непрерывную ограниченную функцию с замкнутого множества в сепа-
рабельном банаховом пространстве на всё пространство. ?
4.23. Пусть у G F = F\ U F^. Предположим, что f(x) разрывна
в точке у. Тогда существуют г > 0 и последовательность {уп}^=\ С F

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	79
такие, что ук —> у при к —> оо, но \f(yk) — f(y)\ > ? Для всех к. Ясно,
что это невозможно при у G F\ П F2. Если же, например, у ? F\\F2, то
yk G Fi при к ^ ко в силу замкнутости F2, и функция разрывна на Fi
вопреки условию задачи. Поэтому /(ж) непрерывна на F. ?
4.24.	Пусть Ai = Q[o;i], А2 — множество всех иррациональных
чисел из [0, 1], a f(x) = D(x), т.е. f(x) = 1 на Q[o;i] и /(ж) = 0 на А2
(функция Дирихле). П
4.25.	Пусть Тдг = [-ЛГ,ЛГ]П и FN = F DTN для TV e N. Тогда
каждое F/v — компакт в Тдг. Используя задачу 4.22, построим такую
функцию h\(x) ? С(Т\), что h\(x) = f(x) на Fi. Заметим (см. зада-
задачу 4.23), что функция
f (г) = [f№ ПрИ Х е Еъ
ПУ } \hi(x) прихеТ{
непрерывна на Т\ U F2. Поэтому её можно продолжить до непрерывной
функции Ii2(x) на Т2. Функция
(г) = [f№ ПрИ Х е Fs'
У } \h2(x) прихеТ2
непрерывна на Т2 U F3 и т. д. Наконец, пусть h(x) = Hn(x) на Тдг. Тогда
h(x) e C(Rn) и h(x) = f(x) на F. ?
4.26.	Пусть
Gkfn = {xeM: \fk(x)\>n}
для k,n^ 1. Заметим, что все множества Gfc>n открыты. Так как
сю сю сю
п=\ m=\ k=m
то множество dp имеет тип G$. П
4.27.	Пусть
/п(ж) — n' sin (ъп\х)
при n G N. Тогда fn(x) G C(R) для каждого п, и последовательность
F = {fn(%)}™=\ сходится (к нулю) в каждой рациональной точке.
Докажем, что она неограниченно расходится в каждой иррациональной
точке.
Пусть х иррационально. Тогда для каждого к ^ 1 имеем пк\х =
= ZfcTr + tk, где Ik — целое и 0 < |t/c| < -. Для любого заданного N > 2
обозначим s(iV) = minjs > TV: \ts\ > —	—}. Заметим, что если для
SyS ~г 1J

80	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
некоторого s > N выполнено неравенство \ts\ ^ —,	г, то
s(s+ 1)
Следовательно, невозможно, чтобы ts < —,	-г для всех s > N.
s(s + 1)
Поэтому конечное число s(N) существует для каждого N. Наконец,
\fs(N)(x)\ = s(iV)!|sinGr/sW +ts(N))\
при TV —> оо. П
4.28.	Пример тот же, что и в задаче 4.27. ?
4.29.	Пусть множество А имеет вид
А = П Gn,
п=\
где все Gn открыты. Без ограничения общности будем считать, что
G\ D G2 D ... Вначале построим для каждого п следующую последо-
последовательность функций на М. Пусть
{О,	если х ^ Gn,
к • dist(x, M \ Gn), если 0 < dist(>, M \ Gn) < р
1	— иначе.
Очевидно, что функции /п>&(#) непрерывны на М при всех пик,
и fntk(x) ~^ 1 на Gn при к —> оо. Рассмотрим функции {/г(^)}, где
п=\
для г G N. Тогда каждая функция fr(x) непрерывна на М. Заметим,
что если х ^ А, то существует такое N, что ж ^ Gn при п > N. При
этом |/г(ж)| < TV для любого г, поэтому ж ^ dp.
Если ж Gi, то xG Gn для любого п. Зафиксируем некоторое
натуральное М. Так как fn,r(x) —> 1 при г —> оо для каждого п, то
существует такое R, что для любого г > max (i?, M) выполнены нера-
неравенства f\,r(%) > п> •••, /м,г(х) > о- Отсюда следует, что при таких г
выполнены неравенства
м М
[ 71 I > \	т	[ т1 I ^>
г\х) ^ 2-^ Jn,r\x) ^ 2 '
п=1
поэтому х ? dp. ?

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
81
4.30.	Пусть EkXn = {xeM: \fk(x) - fi(x)\ < ^} при к,1,п> 1.
Заметим, что все множества Ek,i,n замкнуты. Далее, в силу критерия
Коши
сю сю
CF = П U П ЕкЛ,п,
n=l т=1 к,1^т
откуда следует, что Ср — множество типа Fas. ?
4.31.	Пусть Q = {rk}^=v Сначала для каждого к построим по-
последовательность фуНКЦИЙ {fk,n(x)Yn=\- ПуСТЬ 1(к,П, 1) = (
—,
I(k,n,2) = (rk,Tk -\—) при п ^ 1. Определим функции
при х ? (rk - -/>
-)
1	при х = rk,
l(I(k,n, l),0, l,x) при x e l(k,n, 1),
i,2), 1,0, ж) при ж G l(k,n,2)
и функции fk,2n(x) = ~fk,2n-i(x) ПРИ n ^ ^- Затем определим функции
(x) =
к=\
для n G N. Нетрудно видеть, что fn(x) G C(R), и они ограничены
в совокупности, т. е. dp = 0.
Докажем, что последовательность F = {fn(x)}^L\ сходится в каж-
каждой иррациональной точке. Для заданного г > 0 найдём такое К, что
Ю~К < г.
Так как fk,n(x) — О Для каждого фиксированного /с при п > щ(к), то
можно найти такое N, что при п > N выполнено равенство
/с=1
Поэтому lim /п(ж) = 0.
п^сю
Пусть теперь х = г&0. Заметим, что
fc = fco+l
i10"

82	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
В то же время для достаточно больших N для любого п > N выпол-
выполнено равенство
/с0—1
? ю-*л,п(я) = о.
к=\
Поэтому при п > N получаем, что
\ 10"fc» > 1(Г\
Таким образом, х е Др. ?
4.32.	Пусть вначале множество Еу открыто для любого у G R, a G
G М и задано ? > 0. Тогда множество Е° = Ef^+? открыто, и a G
G ?^°. Поэтому для некоторого г > 0 шар Вг(а) вложен в Е°, т.е. /(ж)
полунепрерывна сверху в точке а. Обратно, пусть f(x) полунепрерывна
сверху и задано у G R. Если t ? ?^, то для некоторого г = г(?) > 0 шар
Br(t) вложен в Еу. Поэтому множество
Еу = U Br(t)(t)
teEy
открыто. ?
4.33.	Без ограничения общности предположим, что f(x) ^ 0. Для
каждого t > 0 определим функцию
gt(x) = mp(f(z)-tp(x,z)).
гем
Ясно, что 0 > gt(x) > f(x) — tp(x,x) = f(x). Для любого x,y,z e M
в силу неравенства треугольника
/(^) - tp(x, z) > f(z) - tp(x, у) - tp(y, z),
откуда gt(x) > gt(y) —tp(x,y). Меняя ролями х и у, получаем, что
\gt(x) — gt(y)\ ^ Щр(х>у) Для любых х,у е М, откуда следует, что
функции gt(x) непрерывны на М. Пусть теперь t = n G N. Рассмотрим
{gn(x)}™=i — невозрастающую последовательность непрерывных на М
функций. Тогда f(x) < дп{х) < 0 для любого натурального п и для
любого х G М. Поэтому функция h(x) = lim gn(x) определена для
каждого х е М и 0 > h(x) > f(x). Далее, для любых натурального п,
xGMhoO найдётся такое zn G М, что
Рп(ж) < /(^п) - Пр(х, Zn) + ?.
Так как дп(х) ^ /(ж) и /(z) ^ 0 для любого z G М, то /(ж) <
< —пр(х, Zn) + ?. Отсюда следует, что р(ж, ^п) ^ 0 при п -^ оо для

Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах	83
каждого фиксированного х G М. Поскольку fit) полунепрерывна свер-
сверху в точке х, то f(zn) < f(x) + г для достаточно больших п. Поэтому
9п(х) < f(x) +e- np(x, zn) + г < f(x) + 2e,
откуда вытекает, что h(x) ^ fix). Следовательно, h(x) = fix). D
4.34. Пусть множество А представлено в виде
сю
A=\JFU
г=\
где F\ С F<i С ... и все i^ замкнуты. Пусть /г(ж) = 1 при х ? F\,
h(x) = - при х ? Fi\ Fi-\, где г = 2, 3,..., и /г(ж) = 0 при х G В.
Тогда для любого у G R множество ?^ (см. задачу 4.32) открыто.
Следовательно (см. задачу 4.32), /г(ж) полунепрерывна сверху. При-
Применяя задачу 4.33, получаем, что существует невозрастающая после-
последовательность непрерывных на М функций {V>n(#)K?Li> сходящая-
сходящаяся к h(x) для любого х е М. Заметим, что ф'п(х) =
и i/j'n(x) = max (^(х), —) при п G N — также непрерывные на М функ-
ции, и невозрастающие последовательности {ф'^х)}^=х и {^пЧ^)}^!
сходятся к h(x). Поэтому можно считать, что — ^ ipnix) ^ 1 для всех
натуральных п и всех х е М. Пусть теперь (рп(х) = -г-г^г для п е N.
Тогда (рп(х) -^ -гг^: ПРИ ^ ^ оо на А, <Рп(х) -^ оо при n ^ оо на Б,
h(x)
1 ^ Vnix) ^ п и, следовательно, 0 ^ </?n_|_i(a;) — (рп(х) ^ п для любого
натурального п и для любого х е М. Определим теперь функции
для р = 1, 2,..., 2п — 1 и занумеруем двойную последовательность
{^п+^-(^)}°°' П~ в естественном порядке. Обозначим полученную
последовательность через {gkix)}^=v Тогда 1 = д\(х) < ^(^) ^ •••,
^fc+i(a;) — gk(x) ^ х для любого натурального /с и для любого ж G М,
последовательность {gkix)}^=l сходится к некоторому натуральному
числу в каждой точке х G А и расходится к оо в каждой точке х G В.
Наконец, пусть fk(x) = smGrgk(x)) при fc E N. Тогда fk(x) -^ 0 при
/с —> оо для каждого х? А Если ж G Б, то для любого натурального /
1 3
существует такое к = fc(Z), что ^(ж) G [/ + j,/ + j]. Отсюда следует,
что бесконечно много членов последовательности {fk(x)}^=i больше

84	Гл. 4. Непрерывные функции на метрических пространствах
чем —=г и бесконечно много членов последовательности {fk(%)\T-\
меньше чем ——. Поэтому последовательность расходится на В. П
v2
4.35. Пусть множество А представлено в виде
г=\
где все Si — множества типа Fa, и Ti = М \ Si. Тогда (см. решение
задачи 4.34) определим для каждого натурального г такую последо-
последовательность непрерывных функций {fi,n(%)}^L\, что \fi,n\ ^ т на М
ъ
для всех п, fitn(x) —> 0 при п —> оо для х е Si, и {fi,n(x)}^=x рас-
расходится на Ti. Занумеруем двойную последовательность {fi,n{x)}^n=\
в некотором порядке и обозначим полученную последовательность че-
через {gk{x)Yk=\- Заметим, что если х G А, то для любого е > 0 только
при конечном числе значений к выполнено условие \дк(%)\ > ?, поэтому
последовательность сходится к 0 в точке х. С другой стороны, если
xq е В, то х G Ti0 для некоторого го- Поэтому последовательность
{fio,n{x)}^L\ расходится в точке хо, т.е. {дк{х)}^={ тоже расходится
в точке хо. П
4.36. Докажем, что никакая последовательность {дп(х)}^=\ непре-
непрерывных на [0, 1] функций не может сходиться всюду на [0, 1] к функции
Дирихле D(x) (см. решение задачи 4.24). Заметим, что если такая
сходимость имеет место, то
:i] = {х 6 [0, 1]: D{x) >Jk limsupf* e [0, 1]: дп(х) > U С
Поэтому
сю сю	1
[0:l] = П U {х?[0,1]:дп(х)>±},
т=1 п=т
и так как дп(х) ? С([0, 1]), то множества <х ? [0, 1]: ^п(ж) > - \ —
открытые, а тогда Q[o;i] имеет тип G$. Это противоречит результату
задачи 3.48. ?

Глава 5
СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Система множеств S называется полукольцом, если выполнены
следующие условия:
1)	0 eS;
2)	если А и В из 5, то А П В е 5;
3)	если А и Ai из 5 и Ai с А, то существует такой конечный набор
множеств A<i,..., ^4П из ^> что А\ LJ A.2 LJ... U Ап = А.
Множество X называется единицей системы множеств S, если
X G 5 и для любого множества 4 G 5* выполнено условие АС I.
Если в полукольце имеется единица, то оно называется полукольцом
с единицей.
Непустая система множеств R называется кольцом, если для лю-
любых А, В g R выполнены условия А А В ? R и А П В е R. Кольцо
с единицей называется алгеброй.
Система множеств R называется а-кольцом E-кольцом), если R —
кольцо и для любых множеств {А^}^ из R выполнено условие А =
сю	сю
= {J Ai ? R (соответственно, А = Q Ai ? Д); сг-кольцо с единицей
г=1	г=1
называется а-алгеброй, а 5-кольцо с единицей называется 5-алгеброй.
Запись [а, Ь] будет означать, что мы рассматриваем один из четырёх
промежутков: [а,Ъ], [а,Ъ), (а,Ь] или (а,Ь).
ЗАДАЧИ
5.1.	Доказать, что система всех подмножеств произвольного фик-
фиксированного множества является сг-алгеброй.
5.2.	Доказать, что система В всех конечных подмножеств задан-
заданного множества А является кольцом.
5.3.	Найти в задаче 5.2 условие на множество А, необходимое
и достаточное для того, чтобы кольцо В являлось алгеброй.
5.4.	Пусть А — бесконечное множество, а В — система всех не бо-
более чем счётных подмножеств А. Доказать, что В является сг-кольцом.
5.5.	Найти в задаче 5.4 условие на А, необходимое и достаточное
для того, чтобы В являлось сг-алгеброй.

Гл. 5. Системы множеств
5.6.	Пусть А — множество, В — система всех таких множеств
С С А, что либо С, либо А \ С не более чем счётно. Доказать, что В
является сг-алгеброй.
5.7.	Пусть А — множество, В — система всех таких множеств
С С А, что либо С, либо А \ С конечно. Доказать, что В является
алгеброй.
5.8.	Пусть а и Ъ фиксированы. Доказать, что система всех полуин-
полуинтервалов {[а,/3) С [а, Ь)}, включая пустой полуинтервал [а; а), является
полукольцом с единицей X = [а, Ь).
5.9.	Доказать, что система всех интервалов, отрезков и полуинтер-
полуинтервалов {|_а,/3] С [а,Ь]} образует полукольцо с единицей [а,Ь].
5.10.	Доказать, что системы в Rn, аналогичные определённым в за-
задачах 5.8 и 5.9, где
[а,/31 = [аьА1 х L^2,/321 x ... х [ап,(Зп],
также являются полукольцами с соответствующими единицами.
5.11.	Доказать, что система всех интервалов (включая пустой)
и система всех отрезков (с добавлением пустого множества) в М не
являются полукольцами.
5.12.	Доказать, что система всех открытых множеств в R не явля-
является полукольцом.
5.13.	Пусть R — полукольцо (кольцо), A G R. Доказать, что систе-
система R\ = {А П В: В g R} — полукольцо (алгебра) с единицей А (эту
систему мы будем обозначать через RDA).
5.14.	Доказать, что если R — кольцо, множества А и В из R, то
AuB eRn A\B e R.
5.15.	Доказать, что если R — кольцо, то оно является полу-
полукольцом.
5.16.	Построить систему множеств, которая замкнута относитель-
относительно операций П и U, но не является даже полукольцом.
5.17.	Пусть S — полукольцо и для любых А и В из S выполнено
условие A U В ? S. Доказать, что S — кольцо.
5.18.	Пусть S — полукольцо, множества А, А\, А^, ..., Ап из S;
множества А\, А%, ..., Ап вложены в А и А\, А%,..., Ап попарно
не пересекаются. Доказать, что существуют множества Ап+\,..., Ат
т
из S, для которых А = |_| А{.
г=\
5.19.	Пусть S — полукольцо и А\,А2,... ,Ап — множества из S.
Доказать, что существуют такие попарно непересекающиеся множе-
множества В\,В2,... ,Bk из S, что каждое А{ является объединением неко-
некоторых из Bj.

Гл. 5. Системы множеств	87
5.20.	Пусть R — кольцо. Доказать, что если мы возьмём Л за
сложение и П за умножение, то R будет коммутативным кольцом
в алгебраическом смысле с 0 = 0.
5.21.	Пусть S — полукольцо. Доказать, что система
Г п	1
R = < {J Aii Ai g S,i = 1,2,..., n > является кольцом.
г=1
5.22.	Пусть S — полукольцо. Доказать, что система
R\ = < у Аг: Ai e S, г = 1,2, ...,ni совпадает с кольцом R,
г=1
определённым в задаче 5.21.
5.23.	Доказать, что пересечение произвольной непустой системы
колец является кольцом (возможно, кольцом {0})
5.24.	Доказать, что пересечение произвольной непустой системы
ст-колец является сг-кольцом.
5.25.	Доказать, что пересечение произвольной системы алгебр
с одной и той же единицей является алгеброй.
5.26.	Привести пример двух сг-алгебр, пересечение которых не
является алгеброй.
5.27.	Пусть X — система множеств. Доказать, что существует
такое кольцо R(X), что X С R(X) и для любого кольца R\ D X
выполнено R(X) С R\. Это кольцо называется минимальным кольцом,
содержащим систему X.
5.28.	Доказать, что если система X содержит единицу Е, то
(см. задачу 5.27) R(X) является алгеброй.
5.29.	Пусть X — система множеств. Доказать, что существует
такое сг-кольцо L(X), что X С L(X) и для любого сг-кольца L\ D X
выполнено L(X) С L\. Это сг-кольцо называется минимальным а-коль-
цом, содержащим систему множеств X.
5.30.	Доказать, что если система множеств X обладает единицей,
то (см. задачу 5.29) L(X) является сг-алгеброй.
5.31.	Пусть S — полукольцо. Доказать, что R(S) — минимальное
кольцо, содержащее S, совпадает с кольцом, описанным в задачах 5.21
и 5.22.
5.32.	Доказать, что любое сг-кольцо R является 5-кольцом.
5.33.	Доказать, что если R — 5-алгебра, то R — и сг-алгебра.
5.34.	Построить пример ^-кольца, которое не является сг-кольцом.
5.35.	Определим борелевскую алгебру Бп в Rn как минимальную
сг-алгебру, содержащую все открытые множества в Rn. Доказать, что
Бп совпадает с минимальной сг-алгеброй, содержащей все замкнутые
множества в Rn.

Гл. 5. Системы множеств
Замечание. Можно доказать (см., например, [5], гл.1), что
Бп = с для любого п. Так как система всех подмножеств Rn имеет
мощность 2е, то существует неборелевское множество в Rn. Такое
множество будет построено в явном виде в задаче 8.38.
5.36.	Пусть R — сг-алгебра, А\, А2,..., Ап,... — множества из R,
L\ = limsup An, и 1/2 = liminf An (см. определения в гл. 1). Доказать,
п^оо	п-юо
ЧТО Ь\ D Ь2.
5.37.	Построить пример такой последовательности множеств, что
(см. задачу 5.36) Ь\ ф L2.
5.38.	Пусть R — сг-алгебра, А\, А2,..., Ап,... е R и А\ 2 А2 2 • • •
Доказать, что (см. задачу 5.36) L\ = L2. Доказать это равенство
в случае А\ С А2 С ...
5.39.	Привести пример такой последовательности множеств {А^},
что (см. задачу 5.36) L\ = L2, но ни для каких к ф j не выполнено
вложение А^ С Aj.
5.40.	Для любого натурального п построить полукольцо, содержа-
содержащее ровно п различных множеств.
5.41.	Пусть А\,А2,... ,Ап — конечная система непустых множеств.
Найти минимально и максимально возможное количество множеств
в минимальном кольце, содержащем эту систему (см. задачу 5.27).
5.42.	Доказать, что не существует кольца, содержащего ровно 3
различных множества (включая пустое).
5.43.	Пусть S\ и S2 — полукольца, a S = S\ x S2 = {А х В: А е
? S\,B e S2}. Доказать, что S — полукольцо.
5.44.	Построить пример сг-алгебр R\ и R2 таких, что R = R\ x R2
(см. задачу 5.43) не является кольцом.
5.45.	Доказать, что произведение R = R\ x R2 сг-алгебр R\ и R2
с единицами Х\ и Х2 (см. задачу 5.43) является кольцом тогда и только
тогда, когда хотя бы одна из этих сг-алгебр содержит не более двух
множеств.
5.46.	Пусть даны множества X и Y, функция / : X —> Y, а Т —
система множеств в Y. Положим f~l(A) = {х ? X: f(x) ? А} для А С
СУи/ч(Т) = {f~l(A): А ? Т}. Доказать, что если Т — полукольцо,
то f~x(T) — полукольцо.
5.47.	В условиях задачи 5.46 доказать, что если Т — кольцо, то
f~l(T) — тоже кольцо.
5.48.	В условиях задачи 5.46 доказать, что если Т — сг-алгебра, то
f~l(T) — тоже сг-алгебра.

Гл. 5. Системы множеств
5.49. Построить множества X, Y, функцию / : X —> Y и кольцо R
подмножеств X такие, что f(R) = {f(A): A G R} не является полу-
полукольцом.
РЕШЕНИЯ
5.1, 5.2. Утверждения проверяются непосредственно. ?
5.3.	Докажем, что система В является алгеброй тогда и только
тогда, когда множество А конечно. Если А конечно, то В совпадает
с алгеброй всех подмножеств А с единицей А. Пусть теперь В —
алгебра с единицей Е. По определению Е конечно. Если А бесконечно,
то существует точка a G А \ Е. Тогда множество Е\ = Е U {а} конечно
и вложено в А, поэтому Е\ G В. Но Е\ не вложено в Е, и мы пришли
к противоречию. Поэтому А конечно. ?
5.4.	Результат вытекает из утверждения задачи 2.1 (о том, что не
более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не
более чем счётно). ?
5.5.	Система В является алгеброй тогда и только тогда, когда
множество А счётно. Доказательство аналогично решению задачи 5.3.
5.6.	В случае не более чем счётного множества А утверждение
вытекает из решения задач 5.4 и 5.5. Пусть А несчётно. Заметим, что А
является единицей в В. Пусть В\ = {С е В: С не более чем счётно}
и В2 = {С е В: А\ С не более чем счётно}. Если С\, С2 е В\, то С\ П
П С2 е В\ и С\ Л С2 е В\. Аналогично, если С\, С2 е В2, то С\ П С2 е
eB2nCiAC2eBi.
Наконец, если С\ ? В\ и С2 G В2, то С\ Г)С2 С С\, поэтому С\ П С2
не более чем счётно. К тому же
С\ АС2 D С2\СХ еВ2,
поэтому С\ Л С2 е В2. Пусть теперь Q е В, г е N. Если Cio e В2 для
некоторого го, то	^
U d е в2 с в.
г=1
Если Ci G ^i для всех г, то в силу результата задачи 2.1
сю
U С{ е Вх с Б.
г=1
п
5.7.	Доказательство аналогично решению задачи 5.6.
5.8.	5.9, 5.10. Определение полукольца непосредственно проверя-
проверяется. ?
5.11. Например, @, 1) \ (О, -J = ^Л), и поскольку это неот-
неоткрытое множество, то оно не может быть представлено как конеч-

90	Гл. 5. Системы множеств
ное объединение интервалов (тем более попарно непересекающихся).
Во втором случае, [0, 1] \ 0, - = (-, 1 , и так как это незамкнутое
множество, то оно не может быть представлено как конечное объеди-
объединение отрезков. ?
5.12.	См. решение задачи 5.11. ?
5.13.	Утверждение проверяется непосредственно. ?
5.14.	Если А,В eR, то АиВ = (А А В) A (An В) eRn А\ В =
= (AAB)nAeR. ?
5.15.	Имеем: 0 = А А А е R. По определению кольца второе
условие в определении полукольца выполнено. Далее, если А, А\ е R
и А\ с А, то А = А\ U А^, где А^ = А \ А\ е R согласно задаче 5.14. ?
5.16.	Например, система всех открытых подмножеств интервала
@, 1) (см. задачу 5.11). ?
5.17.	Достаточно проверить, что для любых А, В G S выполнено
А А В е S. Но А А В = (А \ В) U (В \ А). Далее, так как А П В е S
и АП В с А, то
А\В = А\(АпВ)=1]Аг,
i=2
где все Ai из S. Из предположений по индукции следует, что А \ В е S.
Аналогично В \ А е S, откуда А А В е S. П
5.18.	Проведём доказательство по индукции. При п = 1 утвержде-
утверждение входит в определение полукольца. Пусть п > 1 и утверждение
справедливо для п — 1 множеств. Тогда
г=\
Положим Dj = Ап П В j g S при j = \,... ,s. По определению полу-
полукольца дл
из S, что
кольца для любого j = 1,..., s можно найти такие множества {Cjj}^
Тогда имеем
= (n\JAl)u(\JDj)u(\J
\г=\ У \i = \ У \j=\

Гл. 5. Системы множеств	91
Для завершения доказательства заметим, что так как
/га-1 \
Ann[\J Аг)=0
\г=1 /
s	s
и Ап С А, то Ап С у Bj, откуда следует, что Ап = \_\ Dj. П
5.19. Проведём доказательство по индукции. При п = 1 утвержде-
утверждение тривиально. Предположим, что оно выполнено для любого набора
из п — 1 множества, где п > 1, и B\,...,Bq — система множеств,
которая удовлетворяет условиям задачи для А\,... ,Ап_\. Обозначим
Cs = Bs П Ап при s = 1,2,... ,q. В силу результата задачи 5.18 суще-
существует представление
An=(lJCs)u(l\Dp),
\s=l / \р=\ /
где Dp G S для каждого р. По определению полукольца получаем, что
(
\г=1
при 5 = 1,..., q, где Bsr e S для всех г, 5. Тогда множества
попарно не пересекаются, лежат в полукольце и при 1 < г < п мы
можем представить каждое множество Ai как объединение некоторых
элементов этой системы. ?
5.20.	Заметим, что Ап В = В П А и А А В = В А А для лю-
любых А и Б из Д. Далее, (Ап В) П С = Ап (В П С), (А А В) А С =
= А А (В А С) и АП (В АС) = (АП В) А (АПС) для любых
А, В, С G Д (см. задачи 1.14, 1.16). Наконец, для любого А выполнено
А А А = 0, т. е. А = А. ?
5.21.	Докажем вначале, что R — полукольцо. По построению 0 G
п	к
е R. Пусть А и Б из R. Тогда А = (J А{ и Б = (J Bj, где ^, Я,- е S.
г=1	j = l
Положим Cij = А^ П 5j для г = 1,..., п и j = г,..., к. Тогда Cij G 5 и

92	Гл. 5. Системы множеств
Пусть теперь В с А. В силу результата задачи 5.19 существуют такие
попарно не пересекающиеся множества D\,... ,DS ? S, что для любого
г ? [1,п] и для любого j ? [1,ш] выполнены условия
Ai=\JDt и Bj = U А,
где Ti,Qj С {1,2,..., s} для всех г, j. Так как В с А = \^j Ai, то можно
считать, что
A={]Dl и B=\_\Dh
где F С {1,2,..., s}. Поэтому
A = Bu(\_\Dl
и, следовательно, R является полукольцом. Но если А, В ? R, то
A U В ? R, откуда в силу результата задачи 5.17 следует, что R —
кольцо. ?
5.22.	По построению R\ С R. Пусть А ? R, т. е. существует пред-
п
ставление А = у Ai, где Ai ? S. Согласно задаче 5.19 существуют
г=1
такие D\,D2,... ,Dr ? S, что для каждого г выполнено равенство
Ai= [J Д, где Ti С {1,2,...,г}. Тогда А = Ц Д еДь П
ZGTi	1 = 1
5.23.	Пусть {i^ajcKG^ ~~ система колец, и
Тогда для каждого а ? О выполнено 0 G i?a, т. е. 0 G R, следовательно,
система R не пуста. Пусть А, В ? R. Тогда А, В ? Ra для каждого
а ей. Так как Ra — кольца, то А А В ? Ra и А Г) В ? Ra. Поскольку
это верно для каждого а е п, то AABeRnAnBeR. П
5.24. Пусть {Ra}aen — система сг-колец и R = Da^QRa. Как пока-
показано в задаче 5.23, R — кольцо. Пусть А\, А^,..., Ап,... ? R. Тогда все
Ап ? Ra для каждого а ? п. Поскольку Ra являются сг-алгебрами, то
сю
U An e Ra.
п=1

Гл. 5. Системы множеств	93
Поскольку это верно для каждого a G О, то
сю
\JAneR,
п=\
т.е. R является сг-кольцом. ?
5.25.	Утверждение очевидно, поскольку если Е — единица каждо-
каждого Ra, то Е — единица R. ?
5.26.	Пусть S\ — сг-алгебра всех множеств А С [0,2], для которых
либо А, либо [0,2] \ А не более чем счётно (см. задачу 5.6), a S^ —
аналогичная сг-алгебра для отрезка [1,3]. Тогда S\ П S^ — сг-кольцо всех
не более чем счётных подмножеств отрезка [1,2], которое не является
алгеброй (доказательство аналогично решениям задач 5.3 и 5.5).
5.27.	Пусть X = {Аа}ае^. Введём обозначение В = иае^Аа,
и пусть М(Х) — множество всех подмножеств В. Тогда М(Х) — коль-
кольцо и X С М(Х). Пусть Р = {P/g}/gGr — система всех колец, которые со-
содержатся в М(Х) и содержат X. Положим R(X) = ПрегРр- В силу ре-
результата задачи 5.23 R(X) — кольцо. Ясно, что X С R{X). Если R\ —
кольцо, содержащее X, то согласно задаче 5.23, R^ = R\ П М(Х) —
также кольцо. Но R^ G Р, и поэтому R(X) С Д2 С Д1# П
5.28.	В этом случае (см. задачу 5.27) В = Е, поэтому для любого
/3 G Г кольцо Р^ имеет единицу i?. Тогда (см. задачу 5.25) Е является
и единицей R(X). D
5.29.	Доказательство повторяет решение задачи 5.27 с использова-
использованием задачи 5.23 вместо 5.24. ?
5.30.	Доказательство такое же, как в решении задачи 5.28. ?
5.31.	В задаче 5.22 доказано, что R\ — кольцо. Но любое коль-
кольцо R, содержащее S, должно содержать (см. задачу 5.14) множества
п
вида |_J Ai, где Ai ? S при i = 1,2, ...,п. Поэтому R\ С R, т.е.
г=1
R(S)=Ri. D
5.32.	Пусть R — cr-кольцо и Ai e R для г = 1,2,... Тогда
сю	сю
П Аг = А{ \ U {Ах \ Ai) e R.
г=\	i=2
Поэтому R является 5-кольцом. П
5.33.	Пусть R — 5-алгебра с единицей Е и Ai e R для г = 1,2,...
Тогда
сю	сю
U ^ = Е
г=1	г=1
т.е. R является ст-алгеброй. П

94	Гл. 5. Системы множеств
5.34. Рассмотрим систему Т всех ограниченных подмножеств R.
Тогда Т является 5-кольцом, но так как Ап = [п, п + 1) G Т при п ^ О
сю
и у Ап = [0, оо) ^ Т, то Т не является сг-кольцом. П
п=0
5.35.	Всякое замкнутое множество имеет вид F = Rn \ G, где G
открыто, поэтому F ? Бп. Если некоторая сг-алгебра D содержит все
замкнутые множества из Rn, то по тем же соображениям она содержит
все открытые множества, и, следовательно, содержит Бп. ?
5.36.	Пусть х G 1/2- Тогда существует такое TV, что для любого
сю
п ^ N точка ж принадлежит Ап. Поэтому х G [J Ап для каждого /с и,
п=к
следовательно, х € L\. D
5.37.	Пусть А^п-х = 0, -) и А2п = -, 1 при п е N. Тогда L\ =
= [0, 1]и!2 = 0. ?
сю
5.38.	В первом случае Li = Р| Ап = L2. Во втором случае Ь% =
п=1
сю
= и к = и. и
п=\
5.39.	Рассмотрим множества Ak = {к}. Тогда Li = L2 = 0. ?
5.40.	Пусть А\,А2,... ,Ап — такие множества, что Ai П Aj = 0
при г ф j. Тогда {0, А\,..., Ап} — полукольцо. ?
5.41.	Минимально возможное число множеств равно 2 в случае,
если А\ = А% = ... = Ап. Тогда R = {Ai, 0}. Максимально возможное
число множеств равно 22 -1. Действительно, пусть
Ai = ^1 \ U ^ при ii = 1,..., п,
кфгх
DilM = (Аи nAi2)\ U Ак при ii + i2
кфг\,12
и т.д. Число таких множеств равно Схп + С^ + ... + С™ = 2п — 1.
Пусть О — система всех Dib...,u> гДе ЦК^и
=i
(включая пустое множество). Так как Ei П Ej = 0 при i ^ j, то R —
кольцо (действительно, R — минимальное кольцо, содержащее по-
полукольцо, построенное в решении задачи 5.40). Ясно, что R D
D {А\,А2,...,АП} и R < 22П~К В случае, когда Ab...,u 7^ 0 Для

Гл. 5. Системы множеств	95
всех к и всех гь...,г&, выполнено равенство R = 22n~K Этот случай
реализуется, например, если
Ai = {(xi,...,xn) : Xi = 1 и хк е {0, 1} при fc ^ г}
при г= 1,2,..., п. Наконец, любое кольцо i?i, содержащее А\, А2,...
...,Ап, должно содержать множества Ei, и поэтому R\ D R, т. е. R —
минимальное кольцо. ?
5.42.	Предположим, что существует кольцо R = {0, А\, А2}, где
все множества различны. Если А\ П А2 = 0, то А\ U А2 G R, и мы
пришли к противоречию. Если С = А\ Г) А2 ф 0 то С С А\ и С С А^,
и так как А\ ф А^, то хотя бы одно вложение строгое. Пусть, например,
D = А\ \ С ф 0. Тогда D e R, но D ф {0,^1,^2}. Мы вновь пришли
к противоречию. ?
5.43.	Нетрудно видеть, что 0 = 0 х 0 е 5. Пусть А = А\ х А%
иВ = В{х В2, где AuBi e S\ иА2,В2 е 52. Тогда An В = (А\ ПВ\) х
х (А2 П В2) G 5 (см. задачу 1.20). Наконец, если Б С i, то 5i С Ai
и ^2 С ^2. Следовательно, существуют такие С\,... ,Ск ? S\ и D\,...
... ,Dn е S2, что
4=1
Отсюда следует, что (см. задачу 1.21)
А = Ы U (	) (	(
= Б U (у (Сг х Б2)) U f LJ (Si х ^)) U (
\г=1	/ \j=\	/ Vi=lj=l
п
5.44.	Пусть R\ = R2 — cr-алгебры всех подмножеств [0, 1]. Тогда
2 1 2	2	1 2
[0, 1] , [0, -] G .R, но [0, 1] \ [0, -] не может быть представлено как
Ах В ни для каких А е R\ и В е R2. ?
5.45.	Если Rx = {0} или R2 = {0}, то и Rx х Д2 = {0} —
сг-алгебра. Пусть i?i и i?2 содержат непустые множества, в частности
свои единицы Х\ и Х2 соответственно. Если R2 = {0,X2}, то
Эта система множеств естественным образом отождествляется с R\,
и потому тоже является сг-алгеброй. Случай, когда выполнено условие
на R\, аналогичен.

96	Гл. 5. Системы множеств
Пусть нашлись множества Ак G Rk\ {&,Хк}, где Хк — единицы
а-алгебр Rk,k=l,2. Тогда Вк=Хк\АкеВ,к\ {0, Хк}, иАкПВк =
= 0. Теперь нетрудно видеть, что (А\ х А2) U (В\ х В2) ^ R\ x Д2. П
5.46. Заметим, что 0 = /-1@) G f~l(T). Если C,DG f~l(T), то
существуют такие множества А,ВеТ, что /-1(А) = С и f~l(B) = D.
Тогда
11	11
Пусть теперь С, Ci G f~l(T) и С\ С С. Тогда существуют такие мно-
множества А, А\ е Т, что С = f~\A) и Ci = f~\Ax). Так как Ci С С, то
мы получаем, что А\ С А. Поэтому
где ^2,..., Ап е Т, откуда следует, что
4=2
п
5.47.	В силу результата задачи 5.46 система множеств /-1(Т) —
полукольцо. Если C,D ? /-1(T), то существуют такие А,В^Т, что
/-'(А) = С и /-^В) = D. Тогда
С AD = Г\А) А Г\В) = Г\ААВ) е Г\Т).
п
5.48.	В силу результата задачи 5.47 система множеств f~l(T) —
кольцо. Очевидно, что если Е — единица Т, то f~l(E) — еди-
единица f~l(T). Если Ci,C2,... ,СП,... G /-1(Т), то существуют такие
АЬА2,...,АП,... еТ, что /"ЧЛО =^п при n GN. Тогда
оо	оо	/ оо	\
U cn= U Г1(Л,) = Г1( U А„
п=1	п=1	\п=1
п
5.49.	Пусть X = {xx,x2,x^,Y = {yx,y2}w R = {0,{xx},{x2,x^X}-
Пусть f{x\) = f(x2) = 2/i и /(ж3) = 2/2- Тогда Д - кольцо, и /(Д) =
= {0, {?/i},y}. Заметим, что Y \ {ух} = {у2} не может быть представ-
п
лено в виде Ц Biy где Б^ G /(Д). Поэтому /(Д) — не полукольцо. П
г=2

Глава 6
МЕРЫ НА СИСТЕМАХ МНОЖЕСТВ
Пусть S — полукольцо множеств, am — функция, отображающая S
в [0, +оо) U {+оо} и не равная тождественно +оо. Скажем, что т —
мера, если для любого представления
А = U Аг,
г=\
где А,А\,... ,Ak — множества из S, выполнено равенство
к
т(А) = J2m(Ai)-
г=\
При этом сумма считается равной +оо, если хотя бы одно из сла-
слагаемых бесконечно. Если к тому же для любых таких множеств
А, А\,..., Ак,... из 5, что
А = О At,
г=\
выполнено равенство
т(А) = Y^ т(Аг),
г=\
то мера т называется а-аддитивной. Сумма ряда из мер считается
бесконечной, если хотя бы одно из слагаемых бесконечно либо если
ряд расходится.
Мера т на полукольце S с единицей X называется конечной, если
т(Х) < +оо.
Мера т на полукольце S называется сг-конечной, если существует
такое множество X, что А С X для каждого А е S (вообще говоря,
X ф S, т.е. X — не единица S), причём X может быть представлено
в виде
сю
X = U Ап,
п=\
где Ап G S и т(Ап) < +оо при всех п. Нетрудно видеть, что конечная
мера является частным случаем сг-конечной.
4 П. Л. Ульянов и др.

Гл. 6. Меры на системах множеств
ЗАДАЧИ
6.1.	Построить пример полукольца S и такой функции (р : S —>
-> [0, +оо), что для любых ДБе^с АПБ = 0 и С = АиБе^
выполнено равенство <^(С) = <р(А) + <^(Б), но у? — не мера на S.
6.2.	Пусть m — мера на полукольце S, множества А и В принад-
принадлежат S и В С А. Доказать, что т(В) < т(А).
6.3.	Пусть т — мера на полукольце S. Доказать, что т@) = 0.
6.4.	Пусть т — мера на полукольце S, множества А, В и A U В
принадлежат S, причём т(А П В) < +оо. Доказать, что т(А U В) =
= т(А) + т(В) - т(А П Б).
6.5.	Пусть m — мера на полукольце S, множества А, В и А А В
принадлежат S и т(А А В) = 0. Доказать, что т(А) = т(В).
6.6.	Пусть 5 — полукольцо с мерой т, a S\ = {A e S: т(А) = 0}.
Доказать, что S\ — полукольцо.
6.7.	Пусть R — кольцо с мерой т и R\ = {A e R: т(А) = 0}.
Доказать, что R\ — кольцо.
6.8.	Пусть т — мера на полукольце S, множества А,А\,... ,Ап
принадлежат S и
п
г=\
Доказать, что
г=1
6.9. Пусть т — мера на полукольце S, множества А,А\,... ,Ап
принадлежат S и
г=\
Доказать, что
Y,m(Ai) ^m(A).
г=\
6.10. Пусть т — мера на полукольце S, множества А и Ап из S и
U М с А.
г=\
Доказать, что
г=\

Гл. 6. Меры на системах множеств	99
6.11. Пусть т — мера на полукольце S. Доказать, что т является
сг-аддитивной тогда и только тогда, когда для любых таких множеств
А,А\,...,Ап из 5, что	^
AC{JAU
г=\
выполнено неравенство
г=\
6.12.	Пусть [А, В] С R и S — полукольцо всех отрезков, интерва-
интервалов и полуинтервалов [а,Ь] С [А, В] (включая пустой). Доказать, что
функция т : S —> [О, оо), где т([а, b\) = b — а, является сг-аддитивной
мерой на S. Ниже мы будем называть её классической мерой на [А, В].
6.13.	Пусть т — сг-аддитивная мера на полукольце S, принимаю-
принимающая только конечные значения, множества А,А\,... ,Ai,... принадле-
принадлежат S, причём А\ 2 ^2 2 • • • и
Доказать, что	, ч	, ч
га(А) = lim m(Ai).
Это свойство меры называется непрерывностью.
6.14.	Пусть m — мера на кольце R и для любых таких множеств
А,А\,... ,Ai,... из R, что Ai D A% 2 • • • и
сю
Л = П М,
г=\
выполнено равенство
т(А) = lim ra(^).
Доказать, что т является сг-аддитивной мерой на R.
6.15.	Построить пример меры на полукольце, которая не является
сг-аддитивной.
6.16.	Показать, что утверждение задачи 6.14 может не быть спра-
справедливым для меры на полукольце.
6.17.	Пусть т — сг-аддитивная мера на полукольце S, множества
А,А\,... ,Ai,... из S, причём А\ С А^ С ... и
A=\JAt.
г=\
Доказать, что
т(А) = lim m(Ai).

100	Гл. 6. Меры на системах множеств
6.18.	Пусть т — мера на кольце R и для любых таких множеств
А,А\,... ,Ai,... из R, что А\ С А2 С ... и
сю
А = U Л*.
г=1
выполнено равенство
т(А) = lim га(^).
¦г—*-оо
Доказать, что т — ст-аддитивная мера на R.
6.19.	Показать, что утверждение задачи 6.18 может не выполнять-
выполняться для меры на полукольце.
6.20.	Пусть А — счётное множество, а М — сг-алгебра всех под-
подмножеств А. Привести пример конечной сг-аддитивной меры на М, не
равной нулю ни на каком непустом подмножестве в А.
6.21.	Пусть дано полукольцо S = {[а, Ь): — оо < a <b < оо} U {0},
д(х) — неубывающая непрерывная слева функция на R, а функция
тд : S —> [0, оо) определена формулой mg([a,b)) = g(b) — д(а). Дока-
Доказать, что nig является сг-аддитивной мерой на S.
6.22.	Пусть m — сг-аддитивная мера с конечными значениями
на полукольце S = {[а, Ь): — оо < а < b < оо} U {0}. Доказать, что
существует такая неубывающая непрерывная слева функция д(х) на R,
что га([а, Ь)) = д(Ь) — д(а) для каждого полуинтервала [a, b) e S.
6.23.	Пусть п ^ 1 и S — полукольцо всех промежутков (замкну-
(замкнутых, открытых, полуоткрытых)
[а, Ь] = [а\,Ь\] х ... х [ап,6п] С А,
где А = [а,/3] = [а\,C\] х ... х [ап,/Зп] — замкнутый промежуток в Rn.
Пусть также	п
т([а,Ъ]) = mn([afb]) = JJ (h -ai).
г=\
Доказать, что тп является мерой на S. Построенная мера т называ-
называется классической мерой на А.
Замечание. Мера, определённая в задаче 6.12, является частным
случаем этой меры при п = 1.
6.24.	Доказать, что мера т из задачи 6.23 является сг-аддитивной.
6.25.	Пусть гп\ и ТП2 — меры на полукольце S, а числа а и b
неотрицательны. Доказать, что функция атп\ + bm^ является мерой
на S. В случае, когда обе меры, гп\ и Ш2, сг-аддитивны, эта мера тоже
будет сг-аддитивной.
6.26.	Пусть m — мера на полукольце S, R(S) — минимальное
кольцо, содержащее S (см. задачи 5.22, 5.31) и функция v : S —>
к
-^ [0, оо) П {+оо} определена на множестве А = |_| Aj, где Aj G S,

Гл. 6. Меры на системах множеств	101
формулой
к
v
Доказать, что функция v корректно определена на S.
6.27.	Доказать, что функция v из задачи 6.26 является мерой
на R(S).
6.28.	Построить пример такой алгебры R с мерой га, что система
R\ = {A e R: т(А) = 0} — не алгебра.
6.29.	Доказать, что если мера т на полукольце S сг-аддитивна, то
мера v (см. задачи 6.26-6.27), определённая на минимальном кольце
R(S), также сг-аддитивна.
6.30.	Доказать, что для любой меры т на полукольце S существу-
существует единственная мера (р на минимальном кольце R(S), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям ip(A) = т(А) для всех А е S.
РЕШЕНИЯ
6.1. Пусть X = {а\, с&2, «з, С14},
S = {0, {а,}, {а2}, {а3}, {а4}, {аиа2}, X},
ip@) = 0, ip({ai}) = 1 для г = 1,2,3,4, ^({аьа2}) = 2 и ip(X) = 5.
Нетрудно видеть, что S — полукольцо и (р удовлетворяет условиям
задачи. В то же время
г=\	г=\
поэтому ip — не мера. П
6.2. Так как S — полукольцо, то
A = Bu(\JAj
где все множества Aj принадлежат S. Отсюда следует, что
т(А) = т(В) + jr m(Aj) ^ m(B).
?
6.3. Так как по определению меры найдётся множество А е S
с т(А) < +оо, то в силу результата задачи 6.2 выполнено нера-
неравенство т@) < +оо. Далее, т@) = т@ U 0) = 2т@), поэтому
m@)=O. D

102	Гл. 6. Меры на системах множеств
6.4. Так как S — полукольцо, то
В = {АПВ)и([]вХ
где Bj e S при j = 2, 3,..., п. Тогда
Отсюда получаем, что
п
т(А UB) = т(А) + J2 m(Bj) = т(А) + т(А п В)
+ ^ ^i(^j) - гп(А П В) = ш(А) + ш(Б) - ш(А П Б).
J=2
п
6.5.	Если АЛБе^, то A\B = (AAB)nAeS
и А = D \ Б) U (i П Б). Далее, в силу результата зада-
задачи 6.2 выполнено условие т(А \ В) < ш(А Л В) = 0. Отсю-
Отсюда следует, что т(А) = ш(А П Б). Аналогично получаем, что
т(В) = т(А П В) = ш(А). ?
6.6.	В силу результата задачи 6.3 пустое множество принадле-
принадлежит S\. Если множества А и В из S\, то в силу результата задачи 6.2
имеет место оценка тп(А П В) < ш(А) = 0, поэтому АПВ е S\. Нако-
Наконец, пусть 4 и 4j из 5 и 4i С А Тогда
A = Alu((]Aj
4=2
где Aj G 5 для j = 2, 3,..., п. Согласно задаче 6.2 получаем, что
rn(Aj) < m(A) = 0 для каждого j, поэтому все множества Aj принад-
принадлежат S\. П
6.7.	В силу результата задачи 6.6 система R — полукольцо. Если
А, В е R\, то Аи В е R и А Л В е R. Используя задачу 6.4, получаем,
что m(A U В) = 0. Так как А А В С Аи В, то в силу результата зада-
задачи 6.2 мера множества (А Л В) равна нулю, поэтому А А В ? R\. ?
6.8.	Существуют (см. задачу 5.19) такие попарно не пересекающие-
пересекающиеся множества B\,...,BS G S, что каждое из множеств А\,..., Ап, А

Гл. 6. Меры на системах множеств	103
может быть представлено как объединение некоторых из Bj. Пусть
А = U BJ
Аг = у Bj
при г = 1, 2,..., п, где Г^ С {1, 2,..., s} при г = О, 1,..., п. Так как
п
г=\
то можно считать, что
п
Л О	<Л — I I О.
г=1
Тогда
n	n	s
г=1
п
6.9. Как было доказано в задаче 5.18, существуют такие множества
Ап+и ...,AkeS,4TO
А=[]АЪ.
г=1
Поэтому получаем, что
г=1	г=1
п
6.10. Для любого 7V выполнено условие
U Аг С Д
г=1
поэтому в силу результата задачи 6.9 имеет место неравенство
m(A)>Em(^)-
г=1
Так как 7V произвольно, то неравенство верно и для бесконечной
суммы. ?

104	Гл. 6. Меры на системах множеств
6.11. Достаточность данного условия для сг-аддитивности меры т
следует из задачи 6.10. Докажем его необходимость. Пусть т —
сг-аддитивная мера на S, множества А,А\,..., Ап,... принадлежат S и
г=1
В силу результата задачи 5.19 существует представление
j=l	к=\
при i = 2,3,..., где все В^к ? S. Положим формально к\ = 1 и В\\ =
= А\. Тогда
ОО	ОО ki
А = U (Аг П А) = U U (^i.fc n ^).
г=1	г=1/с=1
и мы получаем (см. задачу 6.9), что
ОО ki	ОО ki	СЮ
тА = Е Е m(fia п А) < Е Е т(в«) < Е т(^)-
г=\ к=\	i=\k=\	г=1
п
6.12. Ясно, что т(А) ^ 0 для любого А ? S. Если
La, 61= \J[ak,bk],
к=\
то можно считать, что промежутки \[ак,Ьк \\к=\ удовлетворяют усло-
условиям а = а\ ^ Ъ\ = п2 ^ ... ^ Ъг = Ъ. Отсюда следует, что
г	г
т{[а, Ь]) = Ъ — а = ^ (Ък — ак) = ^ m([ak, bk~\),
к=\	к=\
поэтому т — мера. Докажем её сг-аддитивность. Пусть
сю
[а,Ь] = у [пг,Ьг].
Зафиксируем произвольное г > 0 и выберем такой отрезок [а, /3] С
С [а,Ь], что ш([а,/3]) > т([а,Ь]) — -, и такие интервалы (а^А) 2
1, что ш((аь А)) < ^(Lai'^l) + ^+г для * ^ ^- ^ак как
2
сю
[а,0\ С U(«i.A).

Гл. 6. Меры на системах множеств	105
то по лемме Гейне-Бореля можно выбрать конечное число N интер-
интервалов (ai,Ci), которые покрывают отрезок [а,/3]. Применяя задачу 6.8,
получим, что
Е Е N	E °°
m( La, Ь1)<ш([а,/?]) + !< | + Еш((а*'&Ж § + ?™(КАЖ
г=1	г=1
< f + E (mCLabbil) + т
г=1	Z	i=1
и, так как г > 0 произвольно, то
оо
т([а,Ъ\) < ^ш([а^,^]).
г=1
Следовательно, в силу результата задачи 6.11 мера т сг-аддитивна. ?
6.13. Заметим, что
для г G N, где все Bij принадлежат S. Имеем
( дг
А{ = Ai+i U [J B
для любого г и
ОО ji
Поэтому
ОО ji
т{А\) = т{А) + ^ Е m(B».i) = т(А)
i=\j=\	г=1
= т(А) + Ш^ f: (m(Ai) -
m(A\)— lim
откуда следует утверждение задачи. ?
6.14. Пусть множества В, В\,..., Bj,... принадлежат R и
ОО
в = U вг

106	Гл. 6. Меры на системах множеств
Определим множества
/1-Х
при / = 2,3,... Так как С^ 2 Сз 2 • • • и
оо
П с, = 0>
/=2
то мы получаем, что lim га(С/) = 0. Если нашлось такое п, что
оо
т(Вп) = +оо, то заведомо т(В) = ^m(Bj). В противном случае
-/-I
= т(±!) - т[ \_\ Ьп ) и
/Z-1 \	оо
О = т(В) - lim ml [_\ВА = т(В) - ]Г m(Bj).
l^°° V7=i /	7=i
п
6.15. Рассмотрим множество Q[o;i] всех рациональных чисел из
отрезка [0, 1], полукольцо S = {[а, Ь] П Q[o;i] • 0 ^ a ^b ^ 1}U {0} (т. е.
полукольцо пересечений промежутков с множеством рациональных
точек) и функцию т([а, Ь] П Q[o;i]) = b — а. Ясно, что S — полукольцо.
Докажем, что т — мера на S. Действительно, из плотности Q[o;i] на
[О, 1] следует, что если
[a,b]nqm = [_]([ak,bk]nqm),
к=\
то
[a; b)= \J[ak,bk),
к=\
и в силу результата задачи 6.12 функция т — мера.
Множество Q[o;i] счётно, пусть Q[o;i] = {rn}^=l. Заметим, что
тЦггиТп]) = 0 для любого п. Поэтому
оо
i=m(Qm)=ml U [rn,rn]\ ф 5Z m([rn,rn]) = О,
\п=1	/ п=1
и т не является сг-аддитивной мерой. ?

Гл. 6. Меры на системах множеств	107
6.16. Пусть S и т — полукольцо и мера на нём, построенные
в решении задачи 6.15. Пусть А,А\,..., Ai,... ? S и
сю
А=Г)Аг.
г=\
Если А = [а, Ь] П Q[o;i] и Ai = [^, Ь^~| П Q[o;i] для г G N, то а^ | а и ^ | 6
при г -^ оо. Следовательно,
lim m(^) = lim (bi — а^ = b — а = т(А).
woo	woo
woo
Но в решении задачи 6.15 показано, что мера т не сг-аддитивна. ?
6.17. Если т(Ап) = +оо при некотором п, то утверждение верно.
В противном случае рассмотрим разложение
Зг
Ai+i\Ai= IJ Bij
i=i
для г G N, где все множества ^?J- принадлежат 5. Тогда
з
In..
и*.
¦J=l
для каждого г, а
' ОО ji
Поэтому
оо
т(Л) = т{А{) J2 Е
i=lj=l	г=1
ЛГ-1
= т(А\)+ lim V (m(^+i) — т(АЛ) =
лг^оо ?—;
г=1
= m(Ai)+ lim ш(т4дг) — т(А\) = Нт
N^oo	N^oo
п
6.18. Пусть множества В,В\,... ,Bj,... принадлежат R и
оо
в = U ?;¦

108	Гл. 6. Меры на системах множеств
Определим множества
для т е N. Так как С\ С С^ С ... и
оо
\JCl = B,
1=1
то мы получаем, что
/ I	\	оо
га(Б) = lim га(С/) = lim ml |J Bj 1 = ]Г ™№)-
/-KX)	/-KX) Vj=i / j=i
п
6.19.	Пример тот же, что и в решении задачи 6.16. Доказательство
аналогично. ?
6.20.	Пусть А = {а\, а^,...}. Для любого Т С А положим
т(т)= Y1 2~1-
г:агеТ
Поскольку сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка
суммирования и способа группировки его членов, то m является кор-
корректно определённой конечной сг-аддитивной мерой на М. ?
6.21.	То, что nig — мера, проверяется так же, как и в задаче 6.12.
Докажем её сг-аддитивность. Пусть
сю
[a, b)= l\[aitbi).
г=\
Зафиксируем произвольное г > 0 и выберем положительные числа
Мь-.-Л,... так, чтобы \д(Ъ) - д(Ъ - 5)\ < | и \д(ап) - д(ап - Si)\ <
< -^r-r для г G N. Так как
с\1>-\-1
ОО
[а,Ъ-5] С и(аг-*г,Ьг),
г=1
то по лемме Гейне-Бореля можно найти конечное число 7V таких
интервалов (а^ — 5i, bi), что
[а, b - 5) С [а, b - 5} С у (аг - 5if 6г) С (J [аг - 5if ^).
г=1	г=1

Гл. 6. Меры на системах множеств	109
Применяя задачу 6.8, получаем, что
т([а, Ь)) = д{Ь) - д(а) < д(Ь -5)- д(а) + | = т([а, Ь - 5)) + | <
N
? i x—> / г
— + > 771 \CL
2 J
г=\
i-Subi)) =
N
: - + у (m(
г=1
TV
- + E(^(^) ~~ 5м
г=1
[аг,Ьг)) + -^т) ;
z /
сю
^ + Е
г=1
и, так как е > 0 произвольно, то
г=1
Теперь cr-аддитивность меры т^ следует из задачи 6.11. П
6.22. Пусть д(х) = т([0,х)) для х > 0, р@) = 0 и #(ж) =
= — т([—х,0)) для ж < 0. Ясно, что д(х) — неубывающая на
вещественной прямой функция и что для любого полуинтервала
[а, Ъ) выполнено: т([а,Ь)) = д(Ъ) — д(а). Докажем непрерывность
слева функции д(х). Пусть для определённости х > 0 и дана
последовательность Xi] x при г -^ оо. Тогда
г=1
В силу результата задачи 6.17 получаем, что
д(х) = ш([0,х)) = lim m([0,Xi)) = lim g(xi).
г—s-сю	г^сю
п
6.23. Проведём доказательство по индукции по п. При п = 1 утвер-
утверждение было доказано в задаче 6.12. Предположим, что утверждение
уже доказано для размерности п — 1, где п > 1. Пусть
[а, 6] = |_аA), Ь@1 U... U |_a(fc),b(fc)l С А С Rn
Рассмотрим точки апA), ЬпA), апB), ЬпB),... ,ап(к), bn(k) e [an,bn].
Расставляя их в неубывающем порядке, получим разбиение отрезка
[ап,Ьп]: ап = с@) < сA) < ... < c(Z) = Ьп. Пусть теперь
[aubi] х ... х L^n-i^n-il x (an
[ai,bil x ... х Lan_bbn_il x (c(l
x ... x

ПО	Гл. 6. Меры на системах множеств
и E(j,s) = [a(j), b(j)] П A(s) при j = 1,..., к, s = 1,...,/. Обозначим
через Fn проекцию множества F на (п — 1)-мерное пространство,
порождённое первыми п — 1 координатами. Получаем, что
если (c(s - 1), ф)) С Lo(j)n, b(j)nl
— иначе.
Для каждого s имеем
A(s)n= UE(j,s)n.
По предположению индукции получаем, что
m([a,b]) = fl(bi- ai) = Е ("П(Ь* " а*))(Ф) " c(s - 1)) =
i=\	s=\ i=\
= ^тг,.,(Л(8)п)(ф)-с(«-1)) =
s=l
= ^ ^ mn-{{E{j,s)n){c{s) - c(s - 1)) =
s=\j=\
= E	E	n'W)i - а(Лг)(Ф) - Ф - i)) =
= E (
j = l \г=1	s:(c(s-l),c(s))C[a(j)n,b(j)n~\
= E СЕМА ~ a(J)i))(bU)n - аШ = E
П
6.24.	Доказательство практически такое же, как в задаче 6.12. ?
6.25.	Утверждение проверяется непосредственно. ?
6.26.	Пусть множество А принадлежит R(S) и имеются два его
разложения:
A=l}Aj=l]Br
j=\	Г=\

Гл. 6. Меры на системах множеств	111
где все Aj и все Вг из S. Тогда Djr = Aj П Br e S для всех j и г,
причём
^ = LJ dj.v и вР = ц я,>
r=\	j=\
для всех j и г. Следовательно,
r=\	j=\
Поэтому
к	к s	s к	s
Emf А Л — V^ V^ rn( D • ^ — V V m( D • ^ — V m( ~R \
V J /	/ v / v	V J ¦>' /	/ j / j	V J '' /	/ v	V ' / 7
j = l	j = l r=l	r=lj = l	r=l
откуда следует, что функция v корректно определена.
6.27. Неотрицательность функции v очевидна. Пусть А, А\,..., Ап
из R и
п
/1 	 I I /1
Л - \_\ Лг.
Тогда для каждого г выполнено
где А/д G 5. Поэтому
LJ
A=l}Ai=\J \JAjfieR(S)9
и, так как это есть одно из возможных представлений множества А
в виде дизъюнктного объединения элементов S, то в силу результата
задачи 6.26
1У(А) = ? Е ™(АЬг) = Е ^(^)-
г= 1.7 = 1	г=1
п
6.28. Пусть S — полукольцо всех промежутков (открытых, замкну-
замкнутых и полуоткрытых) {а,Ь} С [0, 1], включая пустой, и
г=1

112	Гл. 6. Меры на системах множеств
— минимальное кольцо, содержащее S, с мерой (см. задачи 6.12, 6.26
и 6.27)
п
т(А) = "^2(bi — di).
г=\
Тогда для любого a G [0,1] отрезок [а, а] принадлежит R\. Следова-
Следовательно, если мы предположим, что R\ имеет единицу Е, то Е = [0, 1].
Но ш([0, 1]) = 1, поэтому [0, 1] ф R\, и мы пришли к противоречию. ?
6.29.	Пусть
сю
А=\_\Лг,
г=\
где множества А, А\,..., Ai,... принадлежат R(S). Тогда
к	и
А= \_\ Bj и Ai = Ц Biti
з=\	i=\
для г = 1,2,..., где все Bj и Вц из S. Если обозначить Cj^j = Bj П Вц
для всех j, г и /, то
СЮ /г	к
г=1/ = 1	j=l
для j = 1,..., к; г = 1,2,... и / = 1,..., 1^. Так как мера т сг-аддитив-
на, то
к	к сю U
и(А) = У mfBi) = У У У т(Сп i i) =
j=\	j=\i=\l = \
сю U / к	\	сю U	сю
= УУ У m(Cai) = УУт(Вц) = У и(АЛ.
?
6.30.	Так как каждый элемент А е R(S) можно представить в виде
A=UAj,
где все множества Aj принадлежат S, то мы получаем, что
к	к
для любого множества A G R(S), где мера z/ была определена в зада-
задаче 6.26. ?

Глава 7
ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
Пусть S — полукольцо с единицей X, а т — конечная сг-адди-
тивная мера на S. Пусть v — продолжение меры т на минимальное
кольцо R(S) (см. задачи 5.31, 6.26, 6.27). Для произвольного А С X
определим верхнюю меру Жордана, порождённую мерой га, формулой
Л(А)= inf f>(^),
ЛС Q АгЪ=\
г = 1
где точная верхняя грань берётся по всем конечным покрытиям мно-
множества А множествами Ап из S. Верхнюю меру Лебега, порождённую
мерой га, определим формулой
V*(A)= inf ^m(Ai),
AC U Aii=\
i = \
где точная верхняя грань берётся по всем не более чем счётным
покрытиям множества А множествами Ап из S.
Скажем, что множество АС X измеримо по Лебегу (по Жордану),
если для любого г > 0 существует такое множество А? е R(S), что
/i*(AA А?) < е (соответственно, /i*j(A А А?) < е). Обозначим через
Ш и OTj системы всех множеств А С X, измеримых по Лебегу
(по Жордану). Для множества А е SDT (A G fflj) его мерой Лебега
(мерой Жордана) называется величина fi(A) = /i*(A) (соответствен-
(соответственно, /xj(A)=/x}(A)).
В случае, когда S — полукольцо промежутков из замкнутого па-
параллелепипеда [а, Ъ] С Rn, a мера т — классическая (см. задачу 6.23),
мы будем и соответствующие меры и верхние меры называть классиче-
классическими.
Пусть теперь т — сг-конечная сг-аддитивная мера на полукольце S,
т. е. существует такое множество X, что А С X для каждого А ? S и
сю
X = U Ап,
п=\

114	Гл. 7. Продолжение меры
где все Ап е S. В этом случае можно ввести а-конечную меру Лебега
на классе подмножеств X. Пусть А С X. Скажем, что A G ШТ, если
А П Ап G 9Jtn для п G N, где ШТП — класс измеримых множеств от-
относительно меры /in — меры Лебега, порождённой т на полукольце
S П Ап с единицей Ап. Если A е SDT, то за его меру Лебега берётся по
определению
сю
1л(А) = J2^n(AnAn).
п=\
Корректность определения доказана в задаче 7.46. В случае, когда S —
полукольцо всех промежутков из Rn с классической мерой т, то
соответствующую сг-конечную меру \± называют классической мерой
Лебега на Rn.
ЗАДАЧИ
В задачах 7.1-7.27, 7.30-7.33 предполагается, что т — некоторая
конечная сг-аддитивная мера на полукольце S с единицей X.
7.1.	Доказать, что для любого множества А С X выполнено нера-
неравенство p*j(A) > /i*(A).
7.2.	Доказать, что для множества А е R(S) имеют место равенства
7.3.	Доказать, что если, вопреки определению верхней меры, ме-
мера т не сг-аддитивна, то найдётся множество А е S, для которо-
которого /л* (А) < т(А).
7.4.	Доказать, что если
сю
ff(A)=	inf	^m(^),
{At} : AiESAQU Aii=l
i = \
то ~p*(A) = /i*(A) для любого АС X.
7.5.	Доказать утверждение, аналогичное задаче 7.4, для меры
Жордана.
7.6.	Пусть А С X и ВСХ. Доказать, что ц*(А U В) <
7.7.	Пусть А С X и ВСХ. Доказать, что p*j(A U В)
х}(Л)+/х}(В).
7.8.	Пусть Б С I и ^ С I, причём
1=1

Гл. 7. Продолжение меры	115
Доказать, что
г=1
7.9.	Пусть n*j — классическая верхняя мера Жордана на [0, 1].
Построить такие множества Ai С [0, 1], что
/ оо
л и А
\г=1 / г=1
7.10.	Пусть /i} — классическая верхняя мера Жордана [0, 1]. По-
Построить такие множества А с [0, 1] и В с [О, 1], что АП В = 0,
7.11. Пусть Ai С X, ^2 С X и задано ? > 0. Доказать, что су-
существует последовательность {С^}^ элементов S и такие множества
Ть Т2 С N, что Q П Q = 0 при г ф I,
для j = 1,2.
7.12.	Пусть А\ С X, A<i С X и задано ? > 0. Доказать, что су-
существуют набор {Сг}^ элементов 5 и такие множества ТьТг С
С {1,2, ...,ЛГ}, что dnCi=0 для %ф1,
AjC U Q и ^j(Aj)^ Y1 гп(Сг)-е
при j = 1,2.
7.13.	Пусть 4С1иБС1 Доказать, что |/х*(А) -/х*(В)| <
^*(АЛВ).
7.14.	Доказать, что утверждение задачи 7.13 остаётся справедли-
справедливым, если заменить верхнюю меру Лебега на верхнюю меру Жордана.
7.15.	Пусть А С X и В С X. Доказать, что
»*(А U В) + ц*(А П В) < /х*(А) + /
7.16.	Доказать, что утверждение задачи 7.15 остаётся справедли-
справедливым, если заменить верхнюю меру Лебега на верхнюю меру Жордана.
7.17.	Доказать, что если /i*(A) = 0, то А е ЯЛ, а если /i}(A) = О,
то Ае VJtj.
7.18.	Пусть А С 1. Доказать, что А е ЯЛ тогда и только тогда,
когда X \ А е ЯЛ.
7.19.	Пусть АСХ Доказать, что А е ЯЛJ тогда и только тогда,
когда Х\Ае

116	Гл. 7. Продолжение меры
7.20.	Доказать, что VRj С Ж.
7.21.	Доказать, что R(S) С Mj и, если A е ДE), то
7.22.	Пусть А е Mj. Доказать, что fij(A) = fi(A).
7.23.	Доказать, что SDT — алгебра.
7.24.	Доказать, что OTj — алгебра.
7.25.	Пусть В, С е ЯЛ, Б П С = 0 и 4 = Б U С. Доказать,
7.26.	Пусть Б, С е ЯЛ./, В ПС = 0 и i = 5 U С. Доказать,
что fij(A) = fij(B)^fij(C).
7.27.	Доказать, что 9Л является сг-алгеброй.
7.28.	Доказать, что в случае классической меры Жордана на [0, 1]
система 9JTj не является сг-алгеброй.
7.29.	Привести пример меры га, для которой система 9JTj является
сг-алгеброй.
7.30.	Доказать, что /i является сг-аддитивной мерой на Ш.
7.31.	Доказать, что jij является сг-аддитивной мерой на fflj.
7.32.	Пусть В, С еШ, ВПС = 0, D СХ и А = BUC. Доказать,
что ii*{A HD)= ii*{В flI})+/i*(Cn D).
7.33.	Пусть Б, С е ЯЛ./, 5ПС = 0,1)С1иу1 = БиС. Доказать,
что /i}(A HD)= {i*j(B nD)+ /i}(C П D).
7.34.	Пусть G — открытое множество на [a, b] С Rn. Доказать,
что G измеримо относительно классической меры Лебега на [a, b].
7.35.	Пусть А е ЯЛ, /х(А) = 0 и Б С А. Доказать, что В е ЯЛ
и /х(Б) = 0. (Это свойство меры называется полнотой.)
7.36.	Доказать, что утверждение задачи 7.35 выполнено для меры
Жордана.
7.37.	Пусть F — замкнутое множество на [а, Ъ] С Rn. Доказать,
что F измеримо относительно классической меры Лебега на [a, b].
7.38.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [a, b] С Rn, F —
замкнутое множество на [а, Ь] и /i(F) = 0. Доказать, что F e OTj
и fij(F) = 0.
7.39.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [а,/3] С Rn и А С
С [а, 6] С (а,/3). Положим /if (A) = inf {/x(G): открытое G D A, G С
С (а,/3)}. Доказать, что /if (A) =/i*(A).
7.40.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [а,/3] С Rn и АС
С [а, 6] С (а,/3). Положим /л\^(А) = sup{/i(F): замкнутое F С А}.
Доказать, что /ii?*(A) < /i*(^4).

Гл. 7. Продолжение меры	117
7.41. Пусть /i — классическая мера Лебега на [а,/3] с Г и 4 С
С [а,Ь] С (а,/3). Доказать, что (см. обозначения в задачах 7.39, 7.40)
7.42.	Пусть \i — классическая мера Лебега на [а,/3] С Rn и 4С
С [а, Ъ] С (а,/3). Доказать, что A G ЯЛ тогда и только тогда, ко-
когда ц{(А) =/zi,*(A).
7.43.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [а, Ъ] С Rn и4С
С [а, Ь]. Доказать, что A ? ЯЛ тогда и только тогда, когда для лю-
любого множества Б С [а, Ь] выполнено равенство fi*(B) =/1*(БП4) +
В задачах 7.44 и 7.45 предполагается, что т — некоторая сг-адди-
тивная мера на полукольце S с единицей X.
7.44.	Пусть Ai, С X для всех г G N, имеют место вложения
Ai С А2 С ... и
оо
А = U ^-
г=1
Доказать, что
/х*(А)= lim /х*(А»).
г^оо
7.45.	Пусть A G ШТ. Доказать, что А может быть представлено
в виде
А=(П
где множества Aij e R(S) для i,j e N, a Aq е ЯЛ, /i(A0) = 0 и для
каждого г выполнено А^д С А^?2 ^ ••• Более того, Aij можно выбрать
оо
так, что если Bi = [J Aij при г G N, то В\ D В2 2 • • •
i=i
В задачах 7.46-7.55, 7.57, 7.60 рассматривается сг-конечная сг-адди-
тивная мера т на полукольце S и её продолжение по Лебегу. Через X
обозначается объединение всех множеств из S (см. подробности в тео-
теоретических сведениях, приведённых в начале этой главы).
7.46. Доказать, что класс измеримых множеств и значение сг-ко-
нечной меры не зависят от представления
п=\
где Ап е S для всех п.
7.47. Пусть /i — сг-конечная мера, а ЯЛ — соответствующая система
измеримых множеств. Доказать, что ЯЛ является сг-алгеброй.

118	Гл. 7. Продолжение меры
7.48.	Пусть /i — сг-конечная мера Лебега. Доказать, что /i сг-адди-
тивна.
7.49.	Пусть /i — классическая сг-конечная мера Лебега на R. По-
Построить неограниченное измеримое множество A G Ш конечной меры.
7.50.	Пусть \i — сг-конечная мера, А G ШТ и /jl(A) < оо. Доказать,
что А может быть представлено в виде
где Aij G R(S) для г, j G N, Aq g SDT, причём /i(Ao) = 0, и для любого г
выполнено Aif\ С А^2 ^ ••• Более того, А^ можно выбрать так, что
сю
если Bi = у A^j при г G N, то Ei ^ Б2 2 • • • и /i(i?i) < оо.
i=i
7.51. Пусть /i — сг-конечная мера Лебега на сг-алгебре SDT, A^ G SDT
при всех г, причём А\ С А2 С ... и
сю
л = и 4.
г=1
Доказать, что
= lim
(возможно, с обеих сторон равенства стоят бесконечные значения).
7.52. Пусть \i — сг-конечная мера Лебега на сг-алгебре SDT, Ai G SDT
при всех г, причём Ai ^ А2 2 • • •, /^(^-l) < оо и
А=Г)Аг.
г=1
Доказать, что
= lim
7.53. Пусть /i — классическая сг-конечная мера Лебега на R.
Построить такую последовательность {Ai} множеств из SDT, что
сю
^-1 2 А% 3 ... и для множества А = Q А^ выполнено неравенство
г=1
lim /i(^).
7.54. Пусть /i — сг-конечная мера Лебега, не являющаяся конечной
(т.е. /i(X) = оо.) Построить такую последовательность {Bi} множеств

Гл. 7. Продолжение меры	119
оо
из ЯЛ, что В\ D В<2 2 • • • и для множества В = f] Bi выполнено нера-
г=1
венство
/х(В) ^ Um fi(Bi).
woo
7.55.	Пусть /i — сг-конечная мера Лебега на сг-алгебре ЯЛ и {^} —
последовательность множеств из ЯЛ. Доказать, что (см. обозначения
в гл. 1)
/i(liminf An) ^ lim fJi(Ai).
п^°°	woo
7.56.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Построить
такую последовательность {Ai} множеств из ЯЛ, что
< lim
7.57.	Пусть /i — конечная мера Лебега на сг-алгебре ЯЛ и
последовательность множеств из ЯЛ. Доказать, что
>	lim
7.58.	Пусть /i — классическая сг-конечная мера Лебега на R.
Построить такую последовательность {Ai} множеств из ЯЛ, что
/л(Ап) < оо для каждого п и
< lim
7.59.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [О, 1]. Построить
такую последовательность {Ai} множеств из ЯЛ, что
>	lim
7.60. Пусть /i — сг-конечная мера Лебега на сг-алгебре ЯЛ и
последовательность множеств из ЯЛ, причём
Кп) < 00.
п=\
Доказать, что
/i(limsup Ап) = 0.
7.61.	Пусть т — полная сг-аддитивная мера на сг-алгебре S. Дока-
Доказать, что ЯЛ = S, т. е. что продолжение по Лебегу меры т совпадает
с ней самой.
7.62.	Пусть п ^ 1. Доказать, что любое открытое и любое замкну-
замкнутое множество в Rn измеримо относительно классической меры Лебега.

120	Гл. 7. Продолжение меры
7.63.	Пусть п ^ 1. Доказать, что любое борелевское множество
в Rn измеримо относительно классической меры Лебега.
7.64.	Доказать, что любое счётное множество Е с Rn (п ^ 1)
измеримо относительно классической меры Лебега \± и /jl(E) = 0.
7.65.	Пусть А — измеримое множество относительно классической
меры Лебега \± на Rn, п ^ 1. Доказать, что его можно представить
в виде А = А\ U А2, где А\ — множество типа Fa и fi(A2) = 0.
7.66.	Пусть А — измеримое множество относительно классической
меры Лебега /i на Rn, n > 1. Доказать, что его можно представить
в виде А = А\ \ А2, где А\ — множество типа G§ и 1л{А2) = 0.
7.67.	Пусть Pq — канторово замкнутое множество (см. зада-
задачу 2.22), a /i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Доказать,
что /i(P0) = 0.
7.68.	Доказать, что канторово замкнутое множество Pq нигде не
плотно на [0, 1].
7.69.	Пусть а > 0 и множество Р(а) построено тем же способом,
что и канторово замкнутое множество, но
(га + а)
при п е N и к = 1, 2,..., 2п~\ Найти
7.70.	Пусть a G @, 1)- Построить такое нигде не плотное множе-
множество Ра на [0, 1], что /л(Ра) = су-
7.71.	Пусть А — нигде не плотное множество на [0, 1], которое
измеримо относительно классической меры Лебега на [0, 1], причём
fi(A) > 0. Доказать, что А неизмеримо по Жордану относительно
стандартной меры на [0, 1].
7.72.	Поставим в соответствие каждому числу х е [0, 1) его
двоичное представление (х\,х2,... ,хп,...) без 1 в периоде. Пусть
{п/с}^ — некоторая строго возрастающая последовательность нату-
натуральных чисел, {ak}^=l — некоторая последовательность из 0 и 1,
а А = {х е [0, 1): хПк = а& при к е N}. Доказать, что fi(A) = 0.
7.73.	Пусть Р — замкнутое канторово множество на [0, 1], а
A=(\J(x- 0.05; х + 0.05)^ П @, 1).
Доказать, что А измеримо относительно классической меры Лебега /i,
и найти fi(A).

Гл. 7. Продолжение меры	121
7.74.	Пусть А — множество таких точек из [0, 1], что их десятичное
разложение без 9 в периоде не содержит цифры 6. Доказать, что А
измеримо относительно классической меры Лебега /i, и найти fi(A).
7.75.	Пусть /i — классическая мера Лебега на Rn, п > 1, F —
замкнутое множество на Rn и fJi(F) = 0. Доказать, что F нигде не
плотно на Rn.
7.76.	Построить такое нигде не плотное множество А С [0, 1], что
fi(A) = 0, но fi(A) > 0.
7.77.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1] и А е ЯЛ.
Доказать, что функция f(x) = [г(АП [0,х]) непрерывна на [0, 1].
7.78.	Пусть 0 < а < 1. Построить множество А С [0, 1], которое
измеримо относительно классической меры Лебега, причём /л(А) = а,
но для любых а < Ь, для которых [а,Ь] С [0, 1], выполнено неравен-
неравенство 0 < /л(А П [а, Ь}) < Ь - а.
7.79.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Построить
на [0, 1] такую последовательность измеримых множеств {Ап}^=х, что
Ап П Ak = 0 при п т^ к и для любых числа п и невырожденного отрезка
[а, Ь] С [0, 1] выполнено неравенство fi(An П [а, Ь]) > 0.
7.80.	Пусть \i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Построить на
[0, 1] такую последовательность измеримых нигде не плотных множеств
{Ai}™=\, что Ап П Ак = 0 при п ф к и
7.81.	Пусть пI и/i- классическая мера Лебега на Rn, F — за-
замкнутое множество в Rn и /jl(F) > 0. Доказать, что F имеет мощность
континуума.
7.82.	Пусть п ^ 1 и/i — классическая мера Лебега на Rn, А е Ш
и /i(A) > 0. Доказать, что А имеет мощность континуума.
7.83.	Пусть п > 1 и/i — классическая мера Лебега на Rn, A e
G SDT и /i(A) = а > 0. Доказать, что для любого Ъ G @, а) существует
измеримое множество Аь С А, для которого 1л(Аъ) = Ь.
7.84.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Для данного
«G @, 1) построить такое измеримое множество А С [0, 1], что
г ц( А П\0,х])
hm —	L^^z = a.
7.85.	Пусть п > 1, /i — классическая мера Лебега на Rn, A e ЯЛ —
ограниченное множество и a G Rn. Доказать, что А-\- а = {ж + а: х G
G A} g ЯЛ и /i(A + а) = fi(A).

122	Гл. 7. Продолжение меры
7.86.	Пусть п > 1, /i — классическая мера Лебега на Rn, A e ЯЛ
и a G Rn. Доказать, что А + a G ЯЛ и /i(A + а) = /i(A) (здесь оба
значения могут быть бесконечны).
7.87.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1], а множество
A е ЯЛ таково, что /i(A) > 0. Доказать, что существуют х и у из А,
для которых х — у — рациональное число.
7.88.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1], дано множе-
множество А е ЯЛ, причём /i(A) > 0. Доказать, что существуют точки х и у
из Д для которых х — у — иррациональное число.
7.89.	Пусть /i — классическая мера Лебега на [0, 1]. Доказать, что
существует неизмеримое множество Е С [0, 1].
7.90.	Пусть п > 1 и /i — классическая мера Лебега на Rn, A e ЯЛ
и /i(A) > 0. Доказать, что существует неизмеримое множество В с А.
7.91.	Пусть n ^ 1. Построить такую конечную сг-аддитивную меру
на Rn, что любое подмножество в Rn измеримо.
7.92.	Построить такие неизмеримые относительно классической
меры Лебега на [0, 1] множества А\ и А%, что А\ U А% измеримо.
7.93.	Построить такие неизмеримые относительно классической
меры Лебега на [0, 1] множества А\ и А2, что А\ П А2 = 0
и fi*(Ai U А2) < /i*(^i) + /i*(A2).
7.94.	Построить множество А С [0, 1] , измеримое относительно
классической меры Лебега на [0, 1] , обе проекции которого на ко-
координатные оси неизмеримы относительно классической меры Лебега
на [0,1].
7.95.	Построить множество А с [0, 1] , неизмеримое относительно
классической меры Лебега на [0, I]2, обе проекции которого на коорди-
координатные оси измеримы относительно классической меры Лебега на [0, 1].
7.96.	Пусть а и Ь — вещественные числа, а множества А С [а, Ь]
и В С [а, Ь] измеримы относительно классической меры Лебега jjl\ на
[а, Ь]. Доказать, что множество Ах В измеримо относительно класси-
классической меры Лебега /i2 на [а, Ь] .
7.97.	Пусть множества А С R и В С R измеримы относительно
классической меры Лебега /ii на R. Доказать, что множество А х В
измеримо относительно классической меры Лебега /i2 на R2.
7.98.	Привести пример измеримого множества А и неизмеримого
множества В относительно классической меры Лебега на R, декартово
произведение которых измеримо относительно классической меры Ле-
Лебега на R2.

Гл. 7. Продолжение меры	123
7.99. Пусть Q[o;i] — множество всех рациональных чисел из [0, 1] и
А = {(ж, 2/) е [О, I]2: х е [О, 1] \ Q[0;i] и siny < ^
Найти /i(A), где /i — классическая мера Лебега на [О, 1] .
7.100. Пусть п > 1, /i — сг-аддитивная мера на сг-алгебре ЯЛ, АеШ
и /i(A) = 1. Пусть также А\, А^,..., Ап — множества из ЯЛ, вложенные
в А, и
Доказать, что
/c=l
7.101. Для заданного п > 1 построить такие подмножества
А\,А2,... ,Ап отрезка [0,1], измеримые относительно классической
меры Лебега на [0, 1], что
к=\
НО
fl Ak = 0.
/с=1
7.102.	Пусть множество А измеримо относительно классической
меры Лебега на [0, 1], взято число а > 0 и а А = {ах: х е А}. Дока-
Доказать, что аА измеримо относительно классической меры Лебега на R
и fi(aA) = а • /i(A).
7.103.	Пусть А = {(х, у):а^х^ЬиО^у^ /(»}, где /(ж) - по-
положительная непрерывная функция на [а, Ь]. Доказать, что А измеримо
относительно классической меры Лебега на R2 и
и
fi(A)=jf(x)da
(интеграл понимается в смысле Римана).
7.104. Теорема Витали. Пусть /i — классическая мера Лебега
на R, дано множество Е С R и /л*(Е) < оо. Пусть также дана такая
система невырожденных отрезков То = {I(x) = [x,x -\-t(x)]}xeE, что
t(x) > 0 для каждого х G Е. Доказать, что существует такая конечная

124	Гл. 7. Продолжение меры
система попарно непересекающихся отрезков {/& = [х^,х^ +t/c]}fc=1 С
С То, для которой
/ N \	N	1
/4 UJ*) = ?**>*/**№)¦
\fc=l / k=\
7.105. Теорема Витали. Пусть /i — классическая мера Лебега
на R и дано ограниченное множество ^сМ. Пусть То — такая система
невырожденных отрезков, что для каждой точки х G Е и для любого
? > 0 существует такой отрезок / = 1(х,г) е То, что /iG) < ? и ж е /
(скажем в таком случае, что Е покрыто системой То в смысле Ви-
Витали). Доказать, что существует такая не более чем счётная система
отрезков {h}^L\ ^ То, что 7& П 7/ = 0 при к ^ I и
M*(^\U4j=o.
7.106. Доказать, что в условиях задачи 7.105 для любого г > О
дествует такая ко
П 7/ = 0 при к ф / и
существует такая конечная система отрезков {7/c}fc=1 С То, что 7& П
\ U
к=\
7.107. Привести пример открытых всюду плотных множеств {Ап}
на [0; 1], пересечение которых не является открытым множеством (ср.
с задачей 3.46).
РЕШЕНИЯ
7.1.	Утверждение немедленно следует из определений этих верх-
верхних мер, так как для внешней меры Лебега класс соответствующих
покрытий шире, чем для внешней меры Жордана. ?
7.2.	В силу результата задачи 7.1 выполнены неравенства: /i*(A) <
< H*j(A) < и (А) (второе неравенство следует из того, что А С А —
одно из допустимых покрытий). Пусть A G R(S) и
г=\
где все множества В{ из S. Тогда (см. задачу 6.11)
оо	оо
u(A)^'?u(Bi) = '?m(Bi).
г=\	г=\
Переходя к точной верхней грани, получим, что v(A) ^ /i*(A). D

Гл. 7. Продолжение меры	125
7.3. Если мера т не сг-аддитивна, то для некоторых множеств A G
G S и An G 5 одновременно выполнены условия
п=\	к=\
Тогда в силу результата задачи 6.9 возможно неравенство только в одну
сторону, а именно
к=\
?
7.4. Из определений ясно, что /л*(А) ^ ~р*(А) для каждого мно-
множества Л С 1. Докажем обратное неравенство. Пусть А С X, Ai —
множества из S и {^Ц} — покрытие множества А. Обозначим В\ = А\ и
при г = 2, 3,... Тогда
сю
АС у^
г=1
и Bi ? R(S) для каждого г. Поэтому при каждом г G N существует
представление
где все Cij ? S. Отсюда следует, что
ОО ji
И
СЮ ji	СЮ	СЮ
i=\ j = \	i=\	i=\
Таким образом,
сю	сю
Д*(А) = inf ^ тп(Сг) ^ inf У^'
AC [J Ci	AC U А,
г = 1	г = 1
П

126	Гл. 7. Продолжение меры
7.5.	Доказательство повторяет решение задачи 7.4 с заменой счёт-
счётных покрытий {Ai} на конечные. ?
7.6.	Пусть дано некоторое г > 0. Тогда существуют такие множе-
множества Ai и Bi из S, что
сю	сю
AC{JA{ и В С у Вг,
г=1	г=1
причём
1
г=1	г=1
Тогда
сю
г=1
откуда следует, что
сю	сю
/х*(Л U Б) < 5Z ™(^i) + Е ш(^) < »*(А) +
Так как г > 0 произвольно, то верна и оценка /i*(A U Б) < /i*(^4) +
+ ju*(B). ?
7.7.	Доказательство аналогично решению задачи 7.6. П
7.8.	Пусть г > 0. Тогда для любого г существуют такие множества
Aij из 5, что
сю	сю
^ с и Aifj и 53 m(^i) < ^^) + Ь-
Следовательно,
сю сю
в с и U ^,,'
j=H=l
откуда по определению внешней меры следует, что
»*{В) < Е Е m(^.i) < Е М*№) + г.
i=\j = \	г=1
Но ? > 0 было выбрано произвольно. П
7.9.	Пусть Q[o;i] = {^г}^1 — множество всех рациональных чисел
из [0, 1] и Ai = {74} для г G N. Тогда
сю
0;l] = U

Гл. 7. Продолжение меры	127
и n*j(Ai) = 0 для каждого г. В то же время, если предположить, что
[0;l] С U *3>
где Bj = [aj,bj] при j = 1,2, ...,7V, то можно занумеровать Bj так,
что 0 < а\ < Ъ\ < а2 < ... < bjy ^ 1. Поскольку Q[o;i] всюду плотно на
[0; 1], то предыдущее вложение возможно лишь при а\ = 0, bk = ajfe
и bjsf = 1, откуда вытекает, что
Поэтому /x}(Q[o;i]) = 1. ?
7.10. Рассмотрим множества А = Q[o;i] и Б = [0, 1] \ Q[o;i]- Тогда
(см. решение задачи 7.9) /i}(A) = 1 и, аналогично, /i}E) = 1. Поэтому
, 1]) = /х}(А U Б) ^ /х}(А) + /х}(В) = 2.
П
7.11. Из задачи 7.4 следует, что существуют две последовательно-
последовательности таких множеств {Dj^}^{ С S (j = 1,2), что 1}^ П Djj = 0 при
j = 1,2 и г ^ Z,
сю
Aj С у ?>,-,, и М* (^) ^ ^ m(DjA) - s
г=1	г=1
для j = 1,2. Пусть E<2i = Di,/ и ?^2/-1 — -^2,/ ПРИ ' ^ N. Заметим, что
(см. задачу 5.19) найдутся такие множества Fq^s e S, что
2r\l
/2r-l
U ep
\p=\
\
)=E2r\
I
/ r
(LK^
\t=\
?2t-l П?2г
\
)
/
S2r
= \_\
S=\
при r G N и, аналогично,
/2fj \ _	/r
Vp=l /	\t=\	/	s=l
при г G N. Теперь нетрудно видеть, что множества ?q,
{?^2г П ?^2/-i}^°/=i и {^д,в}^2^=1 образуют искомую последователь-
ность {Ci}°^v Существование множеств Tj, j = 1,2, следует из
построения. ?
7.12. Доказательство повторяет решение задачи 7.11, лишь после-
последовательность {Сг} в данном случае конечна. ?

128	Гл. 7. Продолжение меры
7.13.	Так как А С (А А В) U В, то (см. задачу 7.6) мы получа-
получаем, что ii* {А) < 11* (А А В) +/х*(В). Следовательно, /х*(А) -/х*(В) <
< /i*(A Л Б). Аналогично, /х*(В) - /х*(А) < /х*(А Л В). П
7.14.	Доказательство то же, что и в задаче 7.13, с использованием
задачи 7.7 вместо задачи 7.6. ?
7.15.	Пусть г > О, а {С^}^ и ТьТг — последовательность и мно-
множества, построенные в задаче 7.11. Заметим, что
Аи В С (J d и АПБС (J Q.
iGTiUT2	ieTiHT2
Отсюда следует, что
/x*(AUB)+/x*(AnB)< ? гп(С{)+ ? гп(С{) =
В силу произвольности г > 0 отсюда вытекает утверждение задачи. ?
7.16.	Доказательство то же, что и в задаче 7.15, с использованием
задачи 7.12 вместо задачи 7.11. ?
7.17.	Для любого г > 0 можно взять в определении измеримости
множество А? = 0. ?
7.18.	Заметим, что А Л В = (X \ А) Л (X \ В) для любых мно-
множеств АС1иБСХ Далее, если С е ДE), то!\Се ДE). Поэто-
Поэтому если е > О, А С X, А? е R(S) и /х*(А Л Ае) < ?, то X \ А? е ДE)
и /х*((Х \ А) Л (X \ Ае)) < е. П
7.19.	Доказательство такое же, как в задаче 7.18. ?
7.20.	Утверждение немедленно следует из определений систем ЯЛ
и OTj и задачи 7.1. ?
7.21.	Измеримость следует из того, что при А? = А е ДE) выпол-
выполнено равенство /i*j(A А А?) = /i}@) = 0, а равенство мер — из зада-
задачи 7.2. ?
7.22.	Согласно задаче 7.20 множество А принадлежит SDT, и в силу
результата задачи 7.1 выполнено неравенство fi(A) < fij(A). С другой
стороны, для любого г > 0 существует такое множество Б G R(S), что
А В) < г. Следовательно (см. задачи 7.14, 7.21 и 7.13),
Л В)
поэтому fij(A) < /i(A). D
7.23. Заметим, что 0,Х G SDT в силу результата задачи 7.21. Пусть
множества А и В из УЛ. Для данного г > 0 найдём такие А? и Дг из

Гл. 7. Продолжение меры	129
R(S), что [л* (А А А?) < | и fi*(B Л Б?) < |. Тогда 4ПБ?иА?Л Б?
из ДE),
(А П Б) Л (А? П Д.) С (А Л А?) U (Б Л Б?),
(А Л Б) Л (А? Л Б?) С (А А Ае) U (Б Л Б?).
Следовательно (см. задачу 7.6),
{1*((АпВ)А(А?ПВ?))<е
/i*((AAB)A(A?AB?)) <е.
Так как е > О произвольно, то отсюда следует, что А П Б е ШТ
и А Л Б е ШТ. П
7.24.	Доказательство практически такое же, как в задаче 7.23. ?
7.25.	Заметим, что в силу результата задачи 7.23 множество Б U С
принадлежит ШТ. Из задачи 7.6 следует, что fi(A) < fi(B) + /i(C).
Зафиксируем ? > 0 и найдём такие множества В?,С? е R(S), что
Л Б?) < е и /х(С Л С?) < е. Так как
А А (В? U Се) С (Б Л Б?) U (С Л С?),
то согласно задаче 7.6 получаем, что
fi(AA(B?UC?)) <2г.
Далее, так как Б и С — непересекающиеся множества, то
В?ПС?С [С? \ С) U (Б? \ Б) С (Се Л С) U (Б? Л Б),
откуда вытекает, что /х(Б? П Се) < 2г. Поскольку (см. задачу 7.21) на
R(S) функция /i совпадает с аддитивной функцией z/, то с учётом
задачи 7.13 и равенства
Б?иС? = Б?и(С?\(Б?ПС?))
получаем оценку
ц(Ве U Се) = 1л(В?) + fi(C?) - fi(B? П Се) >
> fi(B) + /х(С) -2е- fi(B? П Се) > fi(B) + /х(С) - 4г.
Отсюда следует, что (см. задачу 7.13)
lS(A) > м*(Ве U Се) - v*{A Л (Ве U С?)) > М*(В) + /м"(С) - 6г.
Так как е > 0 произвольно, то мы получаем, что /х(Л) > /л(В) +
+ ц(С). ?
7.26. Доказательство практически такое же, как в задаче 7.25. ?
5 П. Л. Ульянов и др.

130	Гл. 7. Продолжение меры
7.27. Пусть множества Ai из ШТ и
оо
A={JAt.
г=\
г-1
Положим Ei = Ai, Bi = М \ U ^ для * = 2, 3,... Тогда Б^ е ЯЛ и
/с=1
= у
г=1
Заметим, что
г=1
для любого п, поэтому, согласно задаче 7.25,
г=1	\г=1 /	\г=1
Отсюда следует, что
г=1
Теперь для любого ? > 0 найдём такое число N, что
Далее, существует такое множество С G R(S), что
г=1
Так как
AACc(cAl\B%)(j( [} вХ
V	г=1 /	Ч=ЛГ+1 '
Ч=ЛГ+1
то (см. задачи 7.6 и 7.8)
Чг=ЛГ+1 /	г=ЛГ+1
Это и означает, что А Е 9Л. П
7.28. Пусть Q[o;i] = {rn}^^ — множество всех рациональных то-
точек из [0, 1]. Если мы предположим, что Q[o;i] E SDTj, то в силу резуль-

Гл. 7. Продолжение меры	131
тата задачи 7.19 множество Р = ([0, 1] \ Q[0;i]) измеримо по Жордану,
но тогда (см. задачи 7.26, 7.9 и 7.10)
1 = /ij([0,1]) = MQ[o;i]) + »АР) = /*j(Q[o;i]) + fi(P) = 1 + 1=2.
Из этого противоречия вытекает, что Q[o;i] ^ 9Jtj. В то же время
п=\
где {rn} G S С OTj для каждого п. ?
7.29.	Рассмотрим на сг-алгебре S всех подмножеств пространства
Rn меру
1, если 0 G А;
0, если 0 ^ А.
Тогда 5 = 9Л = ЯЛ./. П
7.30.	Если {^Ц} — последовательность попарно непересекающихся
измеримых по Лебегу множеств и
г=\
то (см. задачу 7.27) A G Ш, и в силу результата задачи 7.8 мы получа-
получаем, что
г=1
Поэтому, согласно задаче 6.11, мера /i сг-аддитивна. П
7.31.	Утверждение вытекает из задач 7.30, 7.22 и 7.20. ?
7.32.	В силу результата задачи 7.6 /л*(А П D) ^*(БП1)) +
+ /i*(Cn.D). Зафиксируем ? > 0 и найдём такие множества В?,С? е
е R(S), что /i(B АВ?) < ^ и ii(C АС?) < ^. Тогда (см. реше-
решение задачи 7.25) /iEe П Се) < —. Рассмотрим теперь множества
Bl=B?\C?e R(S) nd=C?\B?e R(S). Так как
В{АВ? = В?ПС?С(ВПС)и (В? \ В) U (Се \ С),
то /i(i?i А Б?) < — и, аналогично, /i(Ci Л С?) < —. Более того, В\ П
П Ci =0, из вложения
В Л Bi С (В Л Ве) U (Bi Л Ве)

132	Гл. 7. Продолжение меры
следует, что ц(В Л В\) < -, и, аналогично, /i(C Л С\) < -. Обозначим
о	о
А\ = В\ U С\. Так как
/х(Л А Ах) < /х(В Л ВО + fi(C Л Ci) < |,
то мы получаем (см. задачу 7.13), что
II*(A HD)^ /x*(Ai П D) - ii*((A A Ax) П D) ^ ii*(Ax П D) - |.
Оценим теперь снизу внешнюю меру множества (Ai П D). Пусть
Bi = \JEi и Ci = U Fj>
где все множества Ei и Fj из S, а множества {G/}^p Gi ? S тако-
таковы, что
и
оо
/x*(Aini5)^^m(G|)-^.
Рассмотрим системы элементов из 5:
Заметим, что
Поэтому
оо	сю
^ > /i*(Bi П D) + /x*(Ci П D) - ^
l	g=l
х*(В nD)+/i*(CnD)- /х*(В Л ВО - II*{С Л СО - ^ >
Поскольку ? > 0 произвольно, то /х*(А nD))/i*(^nD) + /л*(С П
nD). D
7.33. Доказательство практически такое же, как в задаче 7.32. ?

Гл. 7. Продолжение меры	133
7.34. Пусть {z(k)}^=l — множество таких точек из G, что все их
координаты рациональны, ar^ = dist(z(fc), Rn \ G) и tk = -^- при к G N.
Заметим, что если
для всех к, то
Действительно, Ik С.
Положим d = dist(#, ]
Тогда p(z(k),x) < —
Следовательно, z(k)
G
, a
G
в силу
сю
= u^
к=\
выбора tk.
\ G). Найдётся такое
значит,
-Xj)\ <
Рассмотрим
к, что z(k)j
гочку
— г Л
хз)
по неравенству треугольника 7
1 Ы гк
2п 10 2п
т.е. ж G Ik-
Так
<
'А; >
как
-G.
d
Ш,'
ы
10'
все
параллелепипеды /& принадлежат S, а тем более ЯЛ (см. задачи 7.21
и 7.20), а система ЯЛ согласно задаче 7.27 является сг-алгеброй, то
множество G измеримо. ?
7.35.	Так как /л*(В) < /л*(А) = /л(А) = 0, то утверждение следует
из задачи 7.17. ?
7.36.	См. решение задачи 7.35. ?
7.37.	Заметим, что (a, b)\F — открытое множество. Из задачи 7.34
следует, что (a, b) \F ? ЯЛ. Нетрудно видеть, что граница параллеле-
параллелепипеда имеет классическую меру 0. Поэтому [a, b] \ F G ЯЛ, а тогда
в силу результата задачи 7.18 и Fg ЯЛ. ?
7.38.	Пусть fJi(F) = 0. Тогда для любого г > 0 существует последо-
последовательность таких n-мерных промежутков {/& = {а(к),Ь(к)}}^=1, что
сю	сю
F С U h и ? тAк) < е.
к=\	к=\
Для каждого к выберем такой открытый интервал Gk 2 1к,
m(Gk) < m(Jfc) + ^г. Тогда
FC{JGk
к=\
и, используя лемму Гейне-Бореля (задача 3.78), мы найдём такое
N, что
N
FC{jGk.
к=\

134	Гл. 7. Продолжение меры
Отсюда следует, что
/i}(F) < Y, m(Gk) < E mih) +e<2e.
к=\	к=\
Так как г > О произвольно, то fi*j(F) = 0, а тогда в силу результата
задачи 7.17 множество F измеримо по Жордану и /jlj(F) = 0. ?
7.39. Для любого заданного г > 0 найдём такую последователь-
последовательность n-мерных промежутков 7*. = {|_a(&)>bWI}b=i> что
AC\JIk и /z*(A) >$>(/*)-§.
к=\	к=\
Для каждого к выберем открытый промежуток Gk 2 А;> G^ С (а, C)
так, чтобы m(Gfc) < m(Ik) + -^j-. Тогда
и, так как G открыто, то
сю
/л* (А) > Yl m(G/c) -О v(G) - г > /х* (А) - ?.
/с=1
Поскольку г > О произвольно, мы получаем, что /i*(A) ^ /i*(A). С дру-
другой стороны, пусть открытое множество Е С (а,/3) таково, что АСЕ
и /i*(A) ^ /^(^) — ^- Далее (см. решение задачи 7.34), мы можем
представить Е в виде
сю
S = U Jb
где все 7^ суть открытые промежутки и поэтому 7& G 5. Пусть теперь
к-\	h
г=\	1 = 1
для к = 2, 3,..., где все Dk,i из S и L\ = I\. Мы получаем, что
СЮ /fc
?=UU D«-
Тогда
СЮ /fc
fc=U = l

Гл. 7. Продолжение меры	135
и, следовательно,
ОО Ik
к=\1 = \
Поскольку г > О произвольно, то мы получаем, что /i*(A) ^ /if (A). ?
7.40.	В силу результата задачи 7.39 /i*(A) = /if (А). Пусть замкну-
замкнутое множество F и открытое множество G таковы, что F С А С G С
С (а,/3). Тогда (см. задачу 6.2) /i(F) < /i(G). Следовательно, /i(F) <
< /if (А). Так как это неравенство выполнено для любого замкнутого
множества F С А, то мы получаем, что /j,\f*(A) ^ /if (A) = /i*(A). D
7.41.	Для заданного г > 0 выберем такое открытое множество
G С (а,C), что 4CG и Ц*(А) > /x(G) - г. Тогда F = [а, Ь] \ G —
замкнутое множество, и F С [а,Ь]\ А. Мы получаем, что
\а,Ъ\) — е = и([а, Ы) -
Так как ? > 0 произвольно, то /i*(A) > /i([a, 6]) — /ii,*([a, 6] \ А). С дру-
другой стороны, если замкнутое множество F С [а,Ь]\ А таково, что
/Ч*(К Ь] \ А) ^ К^) + ?' то открытое множество G = (a,b)\F содер-
содержит в себе АП (а,Ь). Заметим, что так как /i — классическая мера
Лебега, то /x(G) = /x([a, Ь] \ F) и /if (А) =//{(Ап (а, Ъ)). Поэтому
/i([a, 6]) - /ii,*([a, Ь]
Так как г > 0 произвольно, то /i*(A) < /i([a, 6]) — /ii,*([a, 6] \ А). П
7.42. Пусть вначале A G SDT. Тогда (см. задачу 7.39) fi(A) = /i*(A)
= /if (А). Далее (см. задачу 7.18), [a, b] \ А е ЯЛ и (см. задачу 7.41)
д([а, Ь]) - ц(А) = ц([а, Ъ]\А) = tf([a, Ъ]\А)= ц([а, Ь]) - /х,,»(А),
поэтому jjl(A) = jjli^(A). Пусть теперь А С [а, 6] и /if (A) = /ii^(A).
Тогда для заданного г > 0 существуют такое открытое множество G
и такое замкнутое множество F, что F С А С G С (а, /3) и /i(G \F) =
= /iG — /iF ^ -. Так как G ? ЯЛ, то существует множество Б е R(S),
для которого /i(G Л В) < |. Так как G АА = G\A С G\F, то
мы получаем, что /i*(A Л Б) ^*DДС) + /x*(G А В) ^ г, откуда
следует, что А е ЯЛ. П
7.43. Необходимость условия следует из задачи 7.32. Чтобы дока-
доказать его достаточность, возьмём В = [а,Ь]. Тогда /i([a, Ь]) = /J>*(A) +
+ fi*([a, b] \ А). Можно считать, что мера определена на некотором
параллелепипеде [а,/3], где (а,/3) D [а,Ь]. Применяя задачи 7.39 и 7.41,

136	Гл. 7. Продолжение меры
мы получаем, что /i*(A) = jjli^(A). Теперь из задачи 7.42 следует, что
А е ЯЛ. п
7.44. Очевидно, что
li"(A) > lim ц*(Аг) =а.
¦г—*-оо
Пусть задано г > 0. Выберем такую возрастающую последовательность
натуральных чисел {ik}™=l, что /i*(^) > а	^ ПРИ * ^ ^- Построим
теперь по индукции последовательность множеств {Bi} из ШТ. Пусть
В\ е ЯЛ таково, что А^ С Ei и /i*(A^) > /i(^i) — -. Обозначим А[2 =
= А^2 \ В\. Так как А^2 Г) В\ ^> А^, то из задачи 7.32 следует, что
Теперь мы можем выбрать множество В^ G ЯЛ так, чтобы А^ С^2 и
т.е. /i(^2) < -. Предположим, что мы уже выбрали множества
В\,В2,...,Вг_\ е ЯЛ, для которых /х(В/) < ^ и 4-; = А^ \ Б/_1 С В\
при 1 = 2, ... ,г — \. Тогда мы можем выбрать множество Br G ЯЛ так,
чтобы
4r = Alr \\jBiC Вг
Так как
то мы получаем, что
г

Гл. 7. Продолжение меры	137
т.е. 1л(Вг) < ^г. Построив по индукции последовательность множеств
{Вг}, получим, что
А С Q Ви
г=\
поэтому
г=1	г=2 ^
Так как г > 0 произвольно, то /i*(A) ^ а. П
7.45. Для каждого натурального г существует такое множество
ОО	j
Q = IJ A j ^ А что Dij^S и /i(Q \ А) < -. Действительно,
i=i
по определению внешней меры Лебега найдутся такие множества
{A,j}SLi из ^> покрывающие А, что
Но так как Ш ^ S и Ш1 является сг-алгеброй (см. задачу 7.27), то
множество Сг = у Di,j измеримо по Лебегу, и по свойствам меры
з
выполнены оценки
О < fi(Ci \A) =
i	oo
Обозначим Bi = P| Cr при г G N. Тогда ?>^ = [J Ец, где все множе-
г=\	1 = 1
ства ^,/ из S. Далее, последовательность множеств {Bi} не возрастает
/ОО	\
(т.е. Bi 3 -B^+i), и /il P| Bi \ A J =0. Если для j G N обозначить
\г=1	/
J
Aij = у ^/ g R(S), то мы получаем искомое представление множе-
i=\
ства А. ?
7.46. Предположим, что есть ещё одно представление
где все множества 5j из S, которое порождает другую сг-аддитивную
меру fif на некоторой системе множеств Ш'. Пусть Cij = Ai П 5j для
всех таких пар (i,j), что Cij ^ 0. Заметим, что ШП Cij = Ж' П Cij
(обозначение из задачи 5.13) и ц'(А) = fi(A) для каждого А е ЯЛ П Qj,
поскольку /iH/i' - продолжения по Лебегу одной и той же меры m

138	Гл. 7. Продолжение меры
на полукольце S П Cij с единицей Cij. Пусть теперь множество А
из ШТ. Тогда для любых таких i,j, что Cij ^ 0, выполнено условие
А п С^ е Шг с ШТ, и
сю	сю сю
^ М(А П Аг) = Е Е
г=1	i=lj = l
Но, как мы отмечали, А П С^- G ШТ' и /х(А П С^-) = //(А П Cij). По-
Поэтому А П Вj g SDTj для каждого j, откуда следует, что А е Ш1Х и
j = l	j = \i=\
п
7.47. Пусть
сю
где все множества Aj из S, и Ш^ = ШТП Л,- для всех j. Заметим, что
в силу результата задачи 7.27 каждая система Ш^ является сг-алгеброй.
Ясно, что X е ШТ. Пусть С, D е ШТ. Тогда С П A j e Mj и Dn Aj e
е Mj для всех j. Отсюда следует, что (С П D) П Aj = (С П Aj) П (D П
П Aj) e Mj и (С Л D) П ^ = (С П ^-) A(Dn Aj) е ЯЛ^-. Поэтому С П
П^^ШТи С A D ? ШТ. Таким образом, ШТ — алгебра. Пусть теперь
{Bi} — множества из ШТ. Тогда Bi П Aj e !3JTj для всех г и j. Отсюда
следует, что
\г=1 / г=1
для каждого j. Поэтому
сю
U вг е т.
г=\
и
сю
7.48. Пусть В = |_| -Bj, где множества {^г} из Ш. Так как все
меры jii — ограничения меры \± на Ш П А^ — являются сг-аддитивны-
ми, то
оо / оо
г=1	г=1
сю сю
= Е Е ^взп л<) = Е Е №(?; п Л) = Е
i=lj=l	j=i г=1	j=\
U

Гл. 7. Продолжение меры	139
7.49. Пусть
А= у
п=\
Тогда А неограничено, но
-^ < оо.
?
7.50.	Мы можем повторить рассуждения из решения задачи 7.45.
Условие 1л(В\) < оо следует из того, что /jl(Bi) = /л(С\) < /л(А) + 1 <
< 00. ?
7.51.	Если существует такое п, что /i(An) = оо, то утверждение
верно. Предположим, что fi(An) < оо для всех п. Пусть В\ = А\ и
при г = 2, 3,... Тогда все множества Б^ из ЯЛ,
оо
I I Б,- и
Мы получаем, что
?
7.52.	Заметим, что множество А и все множества Ai — из Ш\, где
сг-алгебра есть Ш\ = ШП А\, и fi — конечная сг-аддитивная мера на
ffl\. Теперь утверждение следует из задачи 6.13. ?
7.53.	Пусть Ai = [г, оо) при г е N. Тогда А\ D A^ D ..., fJi(Ai) = оо
для каждого г, но
?
7.54. По определению cr-конечной меры найдутся такие множе-
сю	сю
ства Ai из S, что fi(Ai) < оо и X = Ц А^. Положим Б^ = |J A^. Тогда
г=1	г=/с

140	Гл. 7. Продолжение меры
В\ 2 ^2 2 • • •, ц(Вк) = оо для каждого к, но
7с=1
?
7.55. Заметим вначале, что
В = liminf Ап = (J р| Ап е Ж.
ОО	ОО
Так как Q Ап С р| Ап, то в силу результата задачи 7.51 получа-
п=к	п=к-\-\
ем, что
\п=к
п
7.56.	Пусть А^п-х = @>п) и ^2п = (п'О ПРИ п ^ ^* Тогда
= - при каждом п. Но так как А2П-\ П А2Ш = 0 для всех п
и т, то
/i (liminf An) = /i@) = 0.
П
7.57.	Заметим, что
оо оо
В = limsup Ап = р| у Ап е Ш.
п^°°	к=\п=к
оо	оо
Так как [J An D [J Ап, то, используя задачу 6.13, получаем, что
п=к	п=к-\-\
оо
= lim n[\J Ап \> lim fi{An).
k^OO \	7	/	П^ОО
\n=k '
U
7.58. Пусть Ап = [n,n+ 1) при n G N. Тогда /i(An) = 1 для каж-
каждого n, но
oo oo	oo
limsupAn = p| U Afc = p| [fc,oo) = 0.
n^°°	fc=ln=fc	fc=l
П

Гл. 7. Продолжение меры	141
7.59. Пусть А2п-\ = (®Л) и А2п = (^,l) при п е N. Тогда
1л(Ап) = - при каждом п, но
/i(limsup Ar) = /i([0, 1]) = 1.
п
7.60. Для каждого натурального N имеем
оо оо	\	/ оо
( limsup Ап ) = цm U Л„ U ц U
\к=\п=к /	\n=N
V п-
Последняя величина стремится к нулю при 7V -^ оо. Поэтому
/i I lim sup An I = 0.
\ n^oo	/
П
7.61. Пусть т — полная мера на сг-алгебре S, а \± — её продол-
продолжение по Лебегу на сг-алгебру ШТ. Рассмотрим вначале случай, когда
A g SDT и /i(A) = 0. Тогда для любого п существуют такие Ап^ G 5,
что А С Ап = у An>fc и ^ m(An?/c) ^ —. В силу результата задачи 6.11
к ' к	п
I	оо
т(Ап) ^ —. Полагая Б = Р| Ап, получим, что А С В, где В ? S
п=\
и ш(Б) = 0. Так как мера т полна, то отсюда следует, что А е S.
Пусть теперь А ? ШТ произвольное. Тогда в силу результата зада-
задачи 7.45 множество А может быть представлено в виде
/оо оо	\
А= П \JAiA\Ao,
где множества Aij G R(S) = 5 для г, j G N, a Ao G ЯЛ и /i(Ao) = 0.
Выше установлено, что Aq E 5. Тогда и 4g^. Следовательно, 5 =
= ЯЯ. ?
7.62.	Пусть G — открытое множество в Rn. Тогда в силу результата
задачи 7.34 множество G П (—г,г)п из ЯЛ для каждого натурального г.
Так как ЯЛ — сг-алгебра, то тогда и Gg ЯЛ. Если F — замкнутое
множество в Rn, то G = Rn \ F открыто, поэтому G е ЯЛ. Тогда и F е
еЯЛ. п
7.63.	По определению борелевской сг-алгебры Бп — минимальная
сг-алгебра, содержащая все открытые множества. В силу результата
задач 7.47 и 7.62 ЯЛ — сг-алгебра, содержащая все открытые множества.
Поэтому Бп С ЯЛ. ?

142	Гл. 7. Продолжение меры
7.64.	Пусть Е = {xk\^=\- Заметим, что каждое одноточечное мно-
множество {xk} измеримо по Лебегу и /i({xk}) = 0. Так как в силу
результата задачи 7.47 система ЯЛ является сг-алгеброй, а мера fi в силу
результата задачи 7.48 сг-аддитивна, то Е е ЯЛ и fi(E) = 0. ?
7.65.	Пусть А(к) = А П [-к, к]п при к е N. Ясно, что А(к) е ЯЛ
и fi(A(k)) < оо. Поэтому (см. задачи 7.39 и 7.42) для каждого г суще-
существует такое замкнутое множество Fr(k) С A(fc), что fi(A(k) \ Fr(k)) <
< \/г. Обозначим
сю
Р(к) = U Fr(k).
г=\
Тогда Р(к) имеет тип Еа и /i(A(k) \ Р(к)) = 0. Заметим, что
сю
A=\JA(k).
к=\
Если
сю
к=\
то А\ имеет тип Fa и [i(A \А\)=0. П
7.66.	Если А е ЯЛ, то Б = Rn \ A e ЯЛ. В силу результата зада-
задачи 7.65 Б = В\ U Б2, где Б1 имеет тип Fa, a /х(Б2) = 0- Но тогда
А = Rn \ Б = (Rn \ Вх) \ Б2 = Ах \ Б2
и в силу результата задачи 3.42 множество А\ имеет тип G$. ?
7.67.	Из построения немедленно следует, что /i(/^) = ^г для
всех пик. Поэтому
^,	3" З^ЛЗ; 3,2
п=\	п=\	1 — —
3
и, следовательно, /i(Po) =0- П
7.68. Пусть дан интервал (а, Ъ) С @, 1). Предположим, что (а, Ъ) П
П Р ф 0. Тогда для каждого п выполнено условие
т.е. существует такое х G (а,Ь), что для каждого п найдётся на-
натуральное число кп е [1,2П], для которого х е J% . Выберем п
так, чтобы n(J%n) < minF - х, х - а). Тогда Т^1 С J%n С (а, Ъ)
и iT+1 П Р = 0. П

Гл. 7. Продолжение меры	143
7.69. Так как
оо 2п
Р(а) = [О, l]\G= р| U Jk(a),
п=\к=\
то в силу результата задачи 7.52
/*№))= Пт J\J J%(a)) = lim 2"/x(jp(a)).
n-oo \k={	J n-oo
Докажем по индукции, что
При п = 0 и Jj1 = [0; 1] утверждение верно. Если оно верно для неко-
некоторого п, то
_ ((га + la + IJ - I2)(n + a + l)a _	(ra + a + 2)a
Подставляя выражение для /i(jp(a)) в формулу для /i(P(a)), получим,
что
7.70. Возьмём такие положительные числа {ап}, что
п=\
Из середины отрезка [0; 1] удалим интервал длины а\. Затем из се-
редины каждого из оставшихся отрезков удалим интервал длины —.
Если после (п — 1) шага у нас осталось множество Fn-\, состоящее из
п-\
2п~х равных отрезков суммарной меры 1 — ^ а& > ап, то удалим из
к=\
середины каждого из них интервал длины -^-. В пересечении всех
множеств Fn получим искомое Ра. Тот факт, что любое Ра нигде не
плотно на [0, 1], доказывается так же, как в задаче 7.68. ?
7.71. Пусть /jl(A) = а > 0. Предположим, что A G SDTj. Тогда
(см. задачу 7.22) ц/(А) = а и (см. задачу 7.19) В = [0, 1] \ А е Ж3.
Но В — всюду плотное множество на [0, 1]. Отсюда следует, что

144	Гл. 7. Продолжение меры
= n*j(B) = 1 (доказательство аналогично приведённому в реше-
решении задачи 7.9). Поэтому
1 = hj([0, 1]) = fjLj(A) + fij(B) = а + 1,
и мы пришли к противоречию. Это означает, что А ^ SDTj. ?
7.72. Пусть A(N) = {х е [О, 1): хПк = ак при к = 1, 2,..., 7V}. За-
Заметим, что А(\) D AB) D ... и
А = П
ЛГ=1
Поэтому /х(А) = lim /jl(A(N)). Но ясно, что /a(A(N + 1))) =
ЛГ^оо
= - fi(A(N)) для каждого iV. Следовательно, в силу результата
задачи 7.62 мера множества А равна нулю. ?
7.73. Поскольку множество А открыто, то A G УЛ. Пусть
сю
G=[0,l]\P=\J(aitbi).
г=\
Если Ъп -ап <0.1, то (ап,Ьп) С (ап - 0.05, ап +0.05) U (Ъп - 0.05, Ъп +
+ 0.05) С А. Если 6п-ап ^0.1, то (ап,Ьп)\А= [ап+О.О5,6п -0.05].
Отсюда следует, что
@,1) \А =
= [1 + 0.05, | - 0.05] U [i + 0.05, | - 0.05] и [| + 0.05, | - 0.05]
и М(@, 1) \ Л) = | - А = |. поэтому »(А) %
7.74.	Если Aj = {х = (ж1,ж2,...) 6 [0, 1): хк ф 6 при к = 1,2,...
..., j}, то Ai D Лг D ... и
оо
A=f]Ar
g
Поэтому A g SDT и, так как /i(A/+i) = — /i(Aj) при всех j, то
М(А) = lim niAj) = lim (IK = 0.
П
7.75.	Предположим, что множество F не является нигде не плот-
плотным. Тогда существует такой невырожденный отрезок [а, Ъ] С Rn, что F
всюду плотно на [а, Ъ]. Так как F замкнуто, то [а, Ъ] С F. Поэтому

Гл. 7. Продолжение меры	145
/i(-F) ^ /i([a, Ь]) > 0. Мы пришли к противоречию, следовательно, F
нигде не плотно. ?
7.76.	Пусть P\j2 — нигде не плотное множество меры 1/2, постро-
построенное в задаче 7.70, а А с Pi/2 — множество всех граничных точек
дополнительных к P\j2 интервалов. Так как P\j2 нигде не плотно, то
и А нигде не плотно. Так как А счётно, то /jl(A) = 0. Но А = Р\/2- ?
7.77.	Если t > 0, то
[x,x + t]) <?.
Отсюда следует непрерывность функции /. ?
7.78. Вначале (см. задачу 7.70) мы построим замкнутое нигде не
OL	1
плотное множество F\ на [0, 1] с /i(Fi) = — < -. Дополнением к нему
будет открытое множество
п=\
и, поскольку /i(Gi) > a/2, то можно построить замкнутые нигде не
плотные множества ^п С (c\n,d\n) с iiiF^n) = ^ Ч1;П для n G
4/x(Gi)
G N. Докажем, что множество
F2 = Fx U И] F2
Vn=l
замкнуто и нигде не плотно. Действительно, если а — предельная
сю
точка множества Ц F2?n, то она либо лежит в некотором интервале
п=\
(ci,n0' ^i,n0) и является предельной точкой множества ^2,по> либо лежит
в F\ = [0; 1] \ Gi. В обоих случаях а е F2. Множество F2 нигде не
плотно; это следует из того, что для любого интервала / найдётся
интервал J С /П (ci>no,di>no) при некотором по, а ^2,п0 нигде не плотно
на (ci,no,di>no). Пусть теперь
n=l
Заметим, что ^{F^) = a ll — -) и jiiG^) = I — a (l — -) > —.

146	Гл. 7. Продолжение меры
Предположим теперь, что мы уже определили замкнутые нигде не
плотные множества F\ С ... С F/_i с iiiFA =а[\	i—r для г < / — 1,
V 2 /
и пусть
сю
п=\
Тогда /i(G/_i) = 1 — а ( 1 — -737) > ~7^Т- Построим замкнутые нигде не
плотные множества F/?n С (q_i>n,d/_i>n) с /z(F/>n) = ^-
Аналогично предыдущим рассуждениям доказывается, что множество
п=1
замкнуто и нигде не плотно. При этом /i(F/) = а ( 1	И . Наконец,
пусть
Покажем, что множество А удовлетворяет условиям задачи. Имеем
fi(A) = lim fi(Fj) = а. Рассмотрим невырожденный отрезок [а, Ъ] С
С [0, 1]. Так как множество Fk нигде не плотно для каждого к
и тах(с1к,п — Ск,п) —> О ПРИ к —> оо, то существуют такие числа fco
п
и п0, что /0 = (cko,no,dko,no) С (а,Ъ) и 1 - -^—^	 > 0. Тогда
2 иA — а)
Fko+hno С [а, Ь], поэтому /i(ifl [а, Ъ}) > /x(Ffco+i>no) > 0. С другой сто-
стороны, /i(A П [a,b]) ^ Ъ — а — /i(([0, 1] \ А) П /о) и в силу очевидного
неравенства /i(Gk) ^ I — а при всех к мы получаем, что
] \ Л) п /0);
п
7.79. Пусть {-Fn}^=i ~~ последовательность замкнутых множеств,
троенная i
к. Пусть
построенная в решении задачи 7.78 для а = -. Тогда Fn П Fk = 0 при
п = U
г=1

Гл. 7. Продолжение меры	147
для п G N, где рп — n-е простое число (р\ = 2). Очевидно, что Ап П
П Ак = 0 при п ^ к. Рассмотрим невырожденный отрезок [а, 6] С [0, 1].
Если
оо
Gk = @,l)\Fk= \J(ck,r,dk,r),
r=\
то (см. решение задачи 7.78) существует такое К, что для каждо-
каждого к > К существует г = г(к), для которого (ск,г^к,г) С [а, Ь]. Для
каждого и найдём такое I, что р1п > К. Затем найдём такое го, что
(cpin,r0>dpi Го) С [а, Ь]. Тогда (см. решение задачи 7.78)
п П [а, Ь]) ^ /i(-F^ П (срг >г , ^рг >г )) > 0.
а
7.80. Построим вначале (см. задачу 7.70) замкнутое нигде не плот-
плотное множество F\ С [0, 1] с fi(F\) = -. Пусть
r=l
Затем для каждого г построим нигде не плотное замкнутое множество
F%r С (с1>г,б?2,г) с /^(^2,г) = п М(с1,г>^2,г))- Аналогично рассуждениям
из решения задачи 7.78 показывается, что множество
оо
771 	 771 | | / I I 771
.г2 ^ -^1 I—' I |	| -^2 ?
\г=1
замкнуто и нигде не плотно. Пусть теперь
оо
G2 = @,l)\F2= U(c2
r=l
Так как множество
оо
г'2 г
Fin Ш
\г=1
пусто, то fi{F2) = 1 — -. Предположим, что мы уже определили за-
замкнутые нигде не плотные множества F\ С ... С F/_i с /i(i^) = 1	^
при г ^ / — 1, и пусть
г=1

148	Гл. 7. Продолжение меры
Построим замкнутые нигде не плотные множества F^r С (c/_i>r, d/_i?r)
с /i(F/>n) = ^ г~1;П —г~1;П^. Так как все F^r лежат на непересекающих-
непересекающихся интервалах, то множество
г=\
замкнуто и нигде не плотно. При этом /i(F/) = 1	j. Наконец, пусть
Ах = Fx и
Ясно, что все множества Ап нигде не плотны и Ап П А^ = 0 при п ф к.
При этом
\п=1
П
7.81.	Существует такой замкнутый невырожденный отрезок J,
что /i(F П J) > 0. На первом шаге, используя задачу 7.77, выберем
два невырожденных отрезка Jo, Ji С J, для которых Jq П Ji =0
и /i(F П 4) > 0 для к = 0, 1. Предположим теперь, что на (п — 1)-м ша-
шаге мы выбрали такие невырожденные отрезки Jiu...,in_l, где г& ? {0, 1},
что Jiu...,in-i Л Jki,...,kn-i — ^> если для некоторого / G [1,п — 1] вы-
выполнено г/ т^ fc/> и [i(F Г) Jii,...,in-i) ^ 0 для всех этих отрезков. То-
Тогда на п-м шаге для каждых i\,... ,гп_\ мы выберем два невы-
невырожденных отрезка Jiu...fin_uo, Jiu...,in_ui С Jiu...,in_l, для которых
Jiu...,in-u0 n Ль...,гп_ь1 = 0 и /i(F П Jiu...,in-uk) > 0 при /с = 0, 1. Те-
Теперь для каждого набора у = (г/i, г/2» • • •)» ГДе 2/j ^ {0> 1}> определим
множество
оо
2/ = I I ^У\,У2,---,Уп-
п=\
Заметим, что Еу ф 0 для каждого у и ЕуП Ez = 0 при у ф z. Так как
множество F замкнуто и F Г) Jyuy2,...,yn Ф & для любых у\,..., уп, то по
принципу вложенных отрезков существует точка ху е F П Еу. Таким
образом, F содержит подмножество мощности континуума. Но так как
F С Rn, то мощность F не превосходит мощности континуума. ?
7.82.	Выберем замкнутое F С А с /i(F) > 0 (такое множество
существует в силу результата задачи 7.40) и применим к нему зада-
задачу 7.81. ?

Гл. 7. Продолжение меры	149
7.83. Пусть f(x) = fi(A П [-х,х]п) при х > 0. Тогда /@) = 0
и f(x) — неубывающая функция на [0, оо). Заметим, что при t > 0
выполнена оценка
\f(x + t)- f(x)\ < /х([-ж - t, x + t]n \ [-ж, x]n) < 2nBx + 2?)n~1? -> 0
при t —> 0+. Поэтому /(ж) G C([0, оо)). Далее, так как
сю
A=\JAk,
к=\
где Ak = А П [—к, к]п при к G N и Ai С А2 С ..., то мы получаем,
что (см. задачу 7.51) а = ii(A) = lim ц(Аь). Отсюда следует, что
к^оо
lim f(x) = а. Следовательно, существует такое число у е [0, оо), что
f(y) = b. Тогда Аь = А П [—у, у]п есть множество меры Ь. ?
7.84. Пусть
л= М [-,-+ а }.
I—' \п' п п(п — 1) '
п=2 L	-1
Ясно, что A G ШТ. Пусть теперь ж ? @, 1]. Тогда существует такое щ ^
^ 2, что — < х ^ 	. Имеем
по	по — 1
'11, а
гь гь	гь [ гь 1 )
11,	а
, л	а , «
. Поэтому
w ч ^ /х(Ап[0,х]) = а | /3ПО
и, так как — < х ^ 	, то
щ	щ - 1
Отсюда следует, что существует lim /(ж) = а. П
х^0+
7.85. Заметим вначале, что если множество А из ДE), то утвер-
утверждение выполнено. Пусть теперь г > 0 и А? ? ^(б') таково, что
/i*(A Д А?) < г. Тогда множество А? + а, принадлежащее ДE), удо-
удовлетворяет условию /i*((A + а) Л (А? + а)) =/i*(iA A?) < е. Поэтому

150	Гл. 7. Продолжение меры
А + a G ШТ. Более того, так как т(В) = т{В + а) для каждого В ? S,
то /i(A + а) = /i*(A + а) = ii*{А) = /х(А). П
7.86. Пусть А^ = А П [—/с, &]п при к G N. В силу результата зада-
задачи 7.85 Ak + a G SDT для каждого /с. Отсюда следует, что
сю
А + а = U (Ак + а) е Ш.
к=\
При этом (см. задачу 7.51),
а) = lim /i(Afc + а) = lim
/с—*-сю	/с—*-сю
а
7.87.	Пусть Q[o;i] = {гп}(^)=1 — последовательность всех рациональ-
рациональных чисел из отрезка [0, 1]. Обозначим Ап = А-\-гп. Тогда (см. зада-
задачу 7.85) все множества Ап из SDT и /л(Ап) = /л(А) = а > 0. Заметим, что
Ап С [0, 2]. Пусть АпП Ак = 0 при п^к. Тогда
оо
и )
П=1	/	П=1
Из полученного противоречия следует, что существуют такие п ф к,
что АпПАкф 0, т.е. для некоторых х,у е А выполнено равенство
х + гп = у + г/с. Это эквивалентно утверждению задачи. ?
7.88.	Предположим, что ж-i/GQ для любых х,у е А. Тогда, взяв
произвольное xq G А, получим, что А С Q + xq. Но в силу результата
задач 7.64 и 7.86 мера множества /i(Q + жо) равна нулю. Тогда и /i(A) =
= 0, что противоречит условиям задачи. ?
7.89.	Определим на [О, 1] отношение эквивалентности: х ~ у, если
х — У ^ Q- Нетрудно видеть, что свойства рефлексивности, симметрич-
симметричности и транзитивности действительно выполнены, поэтому
[о, 1] = U на,
где На — соответствующие классы эквивалентности. Используя ак-
аксиому выбора, возьмём по одному элементу из каждого класса На;
получим множество Е = {ха}аеи. Обозначим через {rn}^L0, где
го = 0, множество всех рациональных чисел из отрезка [—1, 1], и пусть
Еп = Е + гп, и = 0, 1,2,... Пусть для некоторых и ф к выполнено
условие Еп Г) Ek ф 0. Тогда существует число а, которое имеет два
представления: ха + тп = а = хр + г^. Поэтому ха — хр G Q, но так
как ?^ не содержит двух элементов из одного класса, то ха = хр
и гп = г/е, т.е. п = /с. Мы пришли к противоречию, следовательно,
Ek П ?^п = 0 при и ф к. Далее, для каждого х G [О, 1] существует

Гл. 7. Продолжение меры	151
такое хш ? Е, что х ~ хш. Так как \х — хш\ ^ 1, то х — хш = гп при
некотором п. Тогда х е Еп. Таким образом,
оо
[0,1] С \jEnC[-l,2].
п=0
Предположим, что Eq е ЯЛ и /i(i?o) = а- Тогда (см. задачу 7.85) все
множества Еп измеримы по Лебегу и fi(En) = а. Если а = 0, то
п=0
что невозможно. Если а > 0, то
сю
оо=$></х([-1,2])=3,
п=0
и мы вновь пришли к противоречию. Поэтому Eq неизмеримо по
Лебегу. ?
7.90. Проведём доказательство по той же схеме, что и в зада-
задаче 7.89. Без ограничения общности будем считать, что А с [0, 1]п.
Определим на А отношение эквивалентности: х ~ у, если Xj — уj ? Q
при 1 ^ j ^ п. Свойства рефлексивности, симметричности и транзи-
транзитивности выполнены, поэтому
А= U На,
где На — классы эквивалентности. Применяя аксиому выбора, возьмём
по одному элементу из каждого класса На и получим множество
Е = {ха}аеи- Обозначим теперь через {г(к)}^=0, где г@) = 0, все
точки с рациональными координатами из промежутка [—1, 1]п, и пусть
Ek = Е + г(к), к = 0, 1,2,... Если для некоторых j ^ к выполнено
условие E(j) П Е{к) ^ 0, то существует вектор а, который имеет два
представления: ха + r(j) = а = х@ + г (к). Тогда ха — х$ — вектор, все
координаты которого рациональны. Так как Е не содержит двух экви-
эквивалентных элементов, то ха = хр и r(j) = г (к), т. е. j = /с. Полученное
противоречие доказывает, что Е(к) П E(j) = 0 при j ^ к. Для любого
х е А существует такое хш е Е, что х ~ хш. Пусть х — хш = г (к). Тогда
х ^ Ek. Поэтому
fc=0

152	Гл. 7. Продолжение меры
Предположим, что Eq е ЯЛ и ц(Ео) = а. Тогда (см. задачу 7.85) все
множества Ek из ЯЛ и fJi(Ek) = а. Если а = 0, то
О < /х(А) < ]Г 0 = О,
/с=0
что невозможно. Если а > О, то
сю
00= ]Ta</i([-l,2]n) = 3n,
к=0
и мы вновь пришли к противоречию. Поэтому Eq ^ ЯЛ. Заметим, что
в множестве Eq нет измеримых подмножеств положительной меры, так
как это приводит к тому же противоречию, что и в случае а > 0.
Данным фактом мы воспользуемся ниже. ?
7.91.	Пример тот же, что и в задаче 7.29. ?
7.92.	Пусть А\ — неизмеримое множество, построенное в решении
задачи 7.89 и А% = [О, 1] \А\. Тогда (см. задачу 7.18) множество А%
также неизмеримо относительно классической меры Лебега на [О, 1],
но А\ UA2 = [О, 1] еЯЛ. ?
7.93.	Пусть А\ — неизмеримое множество, построенное в решении
задачи 7.89 и А% = [О, 1] \А\. Тогда, как отмечено в указанном реше-
решении, в А\ нет измеримых подмножеств положительной меры, тем более
замкнутых. Поэтому fi\^(A\) = 0 и, так как А\ неизмеримо (см. зада-
задачи 7.39 и 7.42), то ц*(А\) = /4(^0 = a > °- Также (см. задачу 7.41)
Тогда
1 =/i([0, 1]) = fi*(Ai Ui2) < li*(A\) +/x*(A2) = 1 +a.
a
7.94. Пусть i? — неизмеримое множество на [0, 1] и А =
= {(ж,ж): ж G ?^}. Тогда обе проекции А на координатные оси
равны Е и, следовательно, неизмеримы. В то же время для
каждого п множество А может быть покрыто объединением квадратов
1
. Сумма их мер равна —. Поэтому множество
к=\	п
А измеримо относительно классической меры Лебега на [0, 1]
(см. задачу 7.17) и его мера равна нулю. ?
2
ГА; — 1 kV
[ п ' п\
Г1 2~|
7.95. Пусть Е — неизмеримое подмножество квадрата -, -
(см. задачу 7.90) и А = Е U ({0} х [0, 1]) U ([0, 1] х {0}). Нетрудно

Гл. 7. Продолжение меры	153
видеть, что А неизмеримо относительно классической меры Лебега
на [О, I]2, но обе его проекции равны [0, 1]. ?
7.96. Пусть S\ и S2 — полукольца всех промежутков из R1 и R2
соответственно и дано г > 0. Найдём такие множества А\ и В\ из
R(S\), что ц(А А А\) < е и ц(В А В\) < е. Это означает, что суще-
существует системы {Ci}^! и {Di\^x элементов S\, для которых
AAAiC\JCi9 В А Вх С у
г=\	г=\
? т(С{) < е, ?
г=\	г=\
Заметим, что А\ х В\ е R(S2), а системы {Q х [а,(
и {[а, Ъ] х A}^i состоят из элементов S2. Кроме того,
/ оо	\	/ °°
{Ах В) А {Ах хВх) С \J(Ci х [а,Ъ])\ U \J([a,b] x A)
Поэтому множество Ах В измеримо относительно классической меры
Лебега на [a, b] . ?
7.97.	Из задачи 7.96 следует, что множество (Ах В) П [—к, к}2 из-
измеримо относительно классической меры Лебега на R2 для каждого к.
Поэтому множество Ах В измеримо относительно классической меры
Лебега на R2 ?
7.98.	Пусть А — неизмеримое подмножество отрезка [0; 1] (см. за-
задачу 7.89), а В = 0. Тогда А х В = 0 — измеримое. Более того, в ка-
качестве В можно взять произвольное множество В С R, мера которого
равна нулю. ?
7.99.	Заметим, что А = А\ \ А2, где
А{ = [{х,у) б [0,1]2: siny < 1} = [0, 1] х [о, ?

154	Гл. 7. Продолжение меры
Ясно, что 1л(А\) = — и
МК}х[0,1])=0.
Поэтому fi(A) = -. П
7.100. Заметим вначале, что
п
к=\
Далее,
к=\
Отсюда следует, что
/ п	\ \	п	п
л \ | /^ /4/11^ \ Л (п(А\	п(Ai W = Т7	\ Л it( л \ <^ 1
к=\ )) к=\	к=\
Следовательно,
»[ П Ам >0-
п
7.101. Пусть Аг = [0,11 \ 1"^—^-,-1 для г = 1,2, ...,п. Тогда
п — 1
	 при всех г, поэтому
С другой стороны,
(;) =П-
г=1
П Л = 0.
г=1
п
7.102. Заметим, что если множество А принадлежит S, то аА е S
и т(аА) = а • тп(А). Далее, если А е R(S), то аА е R(S) и и(аА) = ах
х г/(А). Для данного г > 0 выберем Б G Д(й') так, чтобы [i(A AB) < -.
Тогда существует такая система множеств {Сг}^ С S, что
оо	оо
AABC\Jd и ]Г
г=1	г=1

Гл. 7. Продолжение меры	155
Но тогда система {aQ}^ элементов S такова, что
(аА) Л (аВ) С (J aQ и ]Г ш(аСг) < г.
г=1	г=1
Поэтому аА G ШТ. Аналогичные рассуждения показывают, что fi(aA) =
= ц*(аА) = ац*(А) = fi(A). D
7.103. Ясно, что А — замкнутое множество на R2, поэтому оно
измеримо. Пусть дано г > 0. Найдём такое разбиение отрезка а = xq <
< х\ < ... < хп = Ь, что если Д& = [х^~i,Xk], M^ = max f(x) и
= min fix) при /с = 1,..., п, то
к=\
Определим два множества из R(S):
AM=\J (Afe x [0, Мк]) и Am=\J(Akx [0,
Тогда Аш CiC Am, поэтому fi(Am) < fi(A) < ^(Ам)- В то же время
а
и jLt(Aj^) — fi(Am) < г. Отсюда следует, что
ъ
< е.
Но г > 0 произвольно. ?
7.104. Для невырожденного отрезка / обозначим через 5/ проме-
промежуток с той же серединой и длины 5/iG). Пусть вначале
а\ = sup /лA(х)) = sup ?ж.
ВД	()
Если а\ = оо, то можно выбрать отрезок /j G То с /лA\) > /л*(Е),
и утверждение доказано. Пусть а\ < оо. Выберем тогда такой отрезок
I\ G То, что /i(/i) > -ai. Определим множество
Т1={/еТо:/П/1=0}.

156	Гл. 7. Продолжение меры
Предположим, что уже выбраны системы Tq D Т\ D ... D Тш, опреде-
определены числа
ctj = sup /iG) > О
iT
для j = 1,..., m и выбраны такие непересекающиеся отрезки 1\, 72,...
• • • , Im € Tq, ЧТО /i(/j) > -z CLj При j = 1, . . . , Ш. ЕСЛИ Tm = 0, ТО ПО-
ПОЛОЖИМ am+i = am+2 = ... = 0 и завершим построение. В противном
случае, пусть
am+i = sup
и мы выберем такой отрезок 7m+i e Тт, что /iGm+i) > -am+i. Опре-
Определим систему
Продолжая этот процесс, мы построим систему Q = {7^} непересекаю-
непересекающихся интервалов, которая конечна или счётна. По построению а& не
возрастают при к —> оо. Если существует с > 0, для которого ai ^ с
при всех г, то
/ оо
м
при достаточно больших N. Пусть a& j 0 при /с —> оо (или а/е = 0 при
достаточно больших /с). Докажем, что в этом случае
ЕС II 54.
Пусть х ? Е. Тогда ц{1(х)) > аг при некотором г, т. е. существует такое
/ < г, что I(x) e T/_i \ Т/. Поэтому /(ж) П 7/ ^ 0. Пусть ^ е 7(ж) П 7/,
ad — центр отрезка 7/. Тогда для каждой точки у G 7(ж) выполнены
неравенства
откуда следует, что 1{х) С 57/. Тогда
г=1	г=1

Гл. 7. Продолжение меры	157
При достаточно большом N отсюда вытекает, что
и
7.105. Так как множество Е ограничено, то можно считать, что все
отрезки системы То содержатся в некотором интервале (а, Ъ). Проведём
построение по индукции. Возьмём число
а\ = sup /iG) ^ Ь — а < оо.
Выберем отрезок I\ Е То так, чтобы /jl(I\) > -a\. Затем определим
множество
Тх ={IeT0:lnli =0}.
Пусть мы уже выбрали системы То D Т\ D ... D Тш, определили номера
dj = sup /iG) > 0
для j = \,... ,m и выбрали такие непересекающиеся отрезки I\,l2,...
..., 7Ш Е То, что /iGj) > - dj при j = \,... ,m. Если Tm = 0, то поло-
положим am+i = am+2 = ... = 0 и завершим процесс. В противном случае,
пусть
am+i = sup /iG) > О,
и мы выберем отрезок 7m+i E Tm так, чтобы /iGm_|_i) > -am+i. Пусть
также
=0}.
Продолжая этот процесс, мы построим не более чем счётную систему
Q = {Ik} попарно непересекающихся отрезков. Так как Е ограничено,
то аь | 0 при к —> оо. Для невырожденного отрезка 7 обозначим
через 57 отрезок длины 5/iG) с той же серединой. Пусть вначале
последовательность построенных отрезков конечна: 1\, 72,... ,7П. Если
существует точка
п
xeE\F, где F= [J 7fc,
то мы рассмотрим отрезок 1(х, е) е Тп, где е > 0 — расстояние между ж
и замкнутым множеством F, и придём к противоречию с предполо-
предположением, что Тп = 0. Следовательно, в этом случае Е С F, и утвер-

158	Гл. 7. Продолжение меры
ждение задачи выполнено. Пусть теперь система отрезков счётна. Обо-
Обозначим	оо
s = и 4-
к=\
Пусть / — натуральное число и х G E \ S. Тогда, поскольку
х $FX = U h
к=\
и множество 7} замкнуто, то существует отрезок 1(х,е{) G То, который
содержит х и не пересекается с F/. Поэтому I(x,si) G Т/. Так как
fi(I(x,si)) > ak при достаточно больших /с, то существует такое нату-
натуральное т> I, что 1(х, е{) ? Tm_i \ Тт. В этом случае 1(х, е{) П 7Ш ф 0
и fi(I(x,si)) < ат < 2/iGm). Но тогда I(x,si) С 57т. Следовательно,
Поскольку
сю
Е M-^fc) < ь — а < оо
к=\
и / произвольно, то jj,*(E \ S) = 0. ?
7.106. Пусть (см. задачу 7.105) система {7^}^ С То такова, что
1к п 7/ = 0 при к ф I и
Ясно, что
Найдём такое iV, что
сю
Е
/с=ЛГ+1
Тогда (см. задачу 7.6)
k=l /	V	fc=l /	\/с=ЛГ+1
п

Гл. 7. Продолжение меры	159
7.107. Пусть Q[0;i] = {rk}f=\- Положим
Ап= [
к=\
Тогда Ап — открытые множества, Ап D Ап+\, каждое Ап всюду плот-
плотно, поскольку содержит Q[o;i], и fi(An) ^ 2~п. В силу результата зада-
задачи 7.52 мера пересечения всех Ап равна нулю, так что это пересечение
не имеет ни одной внутренней точки. В то же время оно непусто, так
как содержит Qro;ii- ?

Глава 8
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Измеримым пространством называется тройка (X, М, /i), где М —
сг-алгебра с единицей X, a /i — сг-аддитивная мера на М. Если
fi(X) < оо, то мы будем называть пространство конечным, а если
мера /i сг-конечна на М, то мы скажем, что оно а-конечно. Через
Ш будет обозначаться сг-алгебра измеримых по Лебегу множеств для
классической меры Лебега на R1.
Пусть теперь (X,M,fi) — измеримое пространство hAg M. Функ-
Функция / : А —> R U {—оо} U {+оо} называется измеримой на А (относи-
(относительно измеримого пространства (X, М, /i) или просто относительно
меры /i, но мы будем часто опускать это уточнение), если для любого
с G R выполнено условие
fXl((c,+oo\) = /((с,+оо]) = {хеА: с< f(x) < +00} е М.
Заметим, что мы допускаем бесконечные значения функции. Иногда
для краткости мы будем говорить, что функция f(x) измерима относи-
относительно меры /i. Если функция принимает только конечные значения на
множестве А, то будем называть её конечной на А. Предположим, что
функция f(x) измерима на множестве А, множество В принадлежит
М, В С А, ц(А \ В) = 0 и f(x) обладает некоторым свойством на В
(например, конечна). В этом случае скажем, что f(x) обладает этим
свойством почти всюду (п.в.) на А. Если функции f(x) и д{х) опреде-
определены на некотором А е М и таковы, что [i({x e A: f(x) ^ д(х)}) = О,
то мы будем называть их эквивалентными на А.
Так как рассматриваемые функции могут принимать бесконечные
значения, мы будем использовать следующие естественные соглашения
об арифметических операциях с измеримыми функциями:
оо ± а = оо для любого a G R;
—оо ± а = —оо для любого a G R;
а х (±оо) = ±оо при а > 0;
а х (±оо) = Т°° ПРИ а < 0;
-— = 0 для любого a G R;
±оо
оо + оо = оо — (—оо) = оо;
—оо — оо = —оо + (—оо) = —оо;
оо х оо = (—оо) х (—оо) = оо;

Гл. 8. Измеримые функции	161
— 00 X 00 = 00 X ( — 00) = —00.
Также для определённости положим
О х (±оо) = 0;
00 — 00 = —00 — ( — 00) = 0.
Можно также считать, что все функции конечны или, в случае
полной меры, конечны почти всюду. В последнем случае нам будет
неважно, как определены операции на множестве меры 0.
ЗАДАЧИ
8.1.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, множества А и А\
из М, причём А\ С А, а функция f(x) измерима на А. Доказать, что
f(x) измерима на А\.
8.2.	Пусть (Х,М,[г) — измеримое пространство, множества Ai из
М, а функция f(x) измерима на Ai при г G N. Доказать, что f(x)
оо
измерима на множестве А = [J А^.
г=\
8.3.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М,
а функция f(x) измерима на множестве А. Доказать, что множества
f~l({+oo}), f~l({-oo}) и f~l(R) измеримы.
8.4.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А ? М, а функ-
функция f(x) измерима на множестве А. Доказать, что для любых чисел а
и Ь, где —оо <а <Ь < +оо, множество f~l((a,b)) принадлежит М.
8.5.	Пусть (X, М, /i) — измеримое пространство, А е М, а функ-
функция f(x) измерима на множестве А. Доказать, что для любого множе-
множества В е В1 множество f~l(B) принадлежит М.
8.6.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, АСХи f(x) =
— Ха{х). Доказать, что f(x) измерима на X тогда и только тогда,
когда A g M.
8.7.	Пусть \i — классическая мера Лебега на [О, 1]. Построить
такую неизмеримую функцию / : [О, 1] —> R, что для любого с G R
множество /-1({с}) измеримо.
8.8.	Пусть (X,M,/i) — измеримое пространство, А е М, а функ-
функция / : А —> R U {—оо} U {+оо} такова, что для каждого с G R множе-
множество /^([с,+оо]) принадлежит М. Доказать, что /(ж) измерима на А.
8.9.	Пусть (X,M,/i) — измеримое пространство, А е М,
{ап}^1 — некоторое всюду плотное множество в R, a функция
/ : А —> R U {—оо} U {+оо} такова, что для каждого п множество
fXl((a>n,+оо\) еМ.
Доказать, что f(x) измерима на А.
6 П. Л. Ульянов и др.

162	Гл. 8. Измеримые функции
8.10.	Пусть п ^ 1 и G С Rn — открытое множество. Пусть также
функция /(х) непрерывна на G. Доказать, что /(х) измерима на G
относительно классической меры Лебега.
8.11.	Построить функцию f(x) на [0, 1], измеримую на [0, 1] отно-
относительно классической меры Лебега, но разрывную в каждой точке.
8.12.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, Ае М, a f(x) —
конечная измеримая функция на А. Пусть также f(A) С G С R,
где G — открытое множество, и g(t) непрерывна на G. Доказать, что
композиция функций g(f(x)) измерима на А.
8.13.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М, п > 2
и /i(#),..., fn(x) — конечные измеримые функции на А. Пусть также
f(A) С G С Rn, где G — открытое множество, и /i(t) G C(G). Доказать,
что композиция функций h(f\(x),..., fn(x)) измерима на А.
8.14.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М, a f(x)
и д(х) — измеримые функции на А. Доказать, что В = {х G A: f(x) >
> д(х)} е М и С = {х е A: f(x) = д(х)} е М.
8.15.	Пусть (X,M,fi) — полное измеримое пространство (т.е. ме-
мера /i полна), A G М, а /(ж) — измеримая функция на А. Пусть д(х) —
функция, эквивалентная f(x) на А. Доказать, что д(х) — измеримая
функция на А.
8.16.	Построить такую измеримую относительно классической ме-
меры Лебега на [0, 1] функцию f(x) на А, что любая эквивалентная f(x)
функция д(х) всюду разрывна на [0, 1].
8.17.	Пусть (Х,М, ji) — измеримое пространство, А е М, a G R1,
а / — измеримая функция на А. Доказать, что f(x) + а — измеримая
функция на А.
8.18.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М, а е R,
а / — измеримая функция на А. Доказать, что af(x) — измеримая
функция А.
8.19.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М, a f(x)
и д(х) — измеримые функции на А. Доказать, что f(x) + д(х) — также
измеримая функция на А.
8.20.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, Ае М, a f(x) —
измеримая функция на А. Доказать, что /2(ж) — также измеримая
функция на А.
8.21.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М, a f(x)
и д(х) — измеримые функции на А. Доказать, что f(x)g(x) — также
измеримая функция на А.

Гл. 8. Измеримые функции	163
8.22.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М, f(x) —
измеримая функция на А и f(x) ^ О при х G А. Доказать, что -тгт —
J\x)
также измеримая функция на А.
8.23.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М, f(x)
и д(х) — измеримые функции на А и f(x) ф О для х G А. Доказать,
о(х)	,	Л
что Yr^ — измеримая функция на А.
J\x)
8.24.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М
и /3(ж) — измеримая функция на А. Доказать, что f(x) — также
измеримая функция на А.
8.25.	Построить такую функцию f(x) на [0, 1], что /2(ж) измерима
относительно классической меры Лебега на [0, 1], но f(x) неизмерима
относительно этой меры.
8.26.	Пусть (X,M,/i) — измеримое пространство, А е М, f(x)
и д(х) — конечные измеримые функции на А и f(x) > 0 на А. Дока-
Доказать, что (/(#)) — измеримая функция на А.
8.27.	Пусть [а, Ъ] С R и функция f(x) монотонна на [а, Ь]. Доказать,
что f(x) измерима относительно классической меры Лебега на [а, Ь].
8.28.	Пусть (X, М, /i) — измеримое пространство, А — множество
конечной меры из М и f(x) — конечная измеримая функция на А.
Доказать, что функция g(t) = /jl({x G A: f(x) > t}) не возрастает на R
и непрерывна справа в каждой точке.
8.29.	Построить такую функцию f(x) G С([0, 1]), что
g(t) = /jl({x e [0, 1]: f(x) > t}) — не непрерывная функция.
8.30.	Построить функцию f(x) e С([0, 1]), для которой функция
g(t) = fi({x e [0, 1]: f(x) > t}) непрерывна на [0, 1].
8.31.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М, ц(А) = 1
и f(x) — конечная измеримая функция на А. Построить невозрастаю-
щую функцию h(y) на [0, 1], для которой /i({# G A: f(x) > ?}) = 1л({у G
е [0, 1]: h(y) > t}) при каждом t e R.
8.32.	Пусть f(x) G С([0, 1]), а невозрастающая функция h(x) на
[О, 1] такова, что /х({ж G [0, 1]: /(ж) > t}) = /х({ж G [0, 1]: ft(x) > t}) для
каждого t e R. Доказать, что /г(ж) G С([0, 1]).
8.33.	Построить непрерывную неубывающую функцию <р(х) на
[О, 1], не являющуюся на этом отрезке постоянной, для которой
ip'(x) =0 п.в. на [0; 1].
8.34.	Построить такую функцию f(x) e С([0, 1]), что для неко-
некоторого измеримого А С [0, 1] меры нуль множество f(A) измеримо
и /i(f(A)) > 0, где /i — классическая мера Лебега.

164	Гл. 8. Измеримые функции
8.35.	Построить такую строго возрастающую функцию f(x) G
G С([0, 1]), что для некоторого измеримого множества А С [0, 1] меры
нуль множество f(A) измеримо и fi(f(A)) > О, где /i — классическая
мера Лебега.
8.36.	Построить функцию f(x) G С([0, 1]) и измеримое множество
А С R, для которых множество f~l(A) неизмеримо относительно клас-
классической меры Лебега.
8.37.	Построить такую функцию д(х) ? С ([О, 1]), что для некото-
некоторого измеримого А с [0, 1] с ц(А) = 0 множество д(А) неизмеримо
относительно классической меры Лебега.
8.38.	Построить множество А с [0, 1], которое измеримо относи-
относительно классической меры Лебега, но не является борелевским. Таким
образом, Ш \ Бх ^ 0 для классической меры Лебега на R.
8.39.	Построить функцию f(x) е С([0, 1]), / : [0, 1] -> [0, 1] и из-
измеримую относительно классической меры Лебега на [0, 1] функцию
д(х), для которых g(f(x)) неизмерима относительно классической меры
Лебега на [0, 1].
8.40.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А е М
и {/n}^Li — последовательность измеримых на А функций. Доказать,
что функции
ср(х) = supfn(x) и ф(х) = inffn(x)
п	п
также измеримы на А.
8.41.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М
и {/n}^Li — последовательность функций, измеримых на А. Доказать,
что функции
д(х) = lim fn(x) и h(x) = \jm fn(x)
п^оо	п
также измеримы на А.
8.42.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М
и {fn}^L\ — последовательность функций, измеримых на А. Доказать,
что множество
В = {х ? А: существует lim fn(x)}
n—s-oo
измеримо, и что функция f(x) = lim fn(x) измерима на В.
8.43.	Пусть (X,M,fi) — измеримое пространство, А е М, мера fi
полна, {/n}^i — последовательность функций, измеримых на А,
и fn(x) -^ f(x) п.в. на А. Доказать, что функция / измерима на А.

Гл. 8. Измеримые функции	165
8.44.	Пусть (Х,М,ц) — измеримое пространство, А Е М
и {/n}^Li — последовательность функций, измеримых на А. Доказать,
что множество
С = {х е А: существует конечный lim fn(x)}
n—s-oo
измеримо и что функция fix) = lim fn(x) измерима на С.
п^оо
8.45.	Построить такую функцию f(x, у) на (О, IJ, что она измерима
относительно классической меры Лебега на @,1), функция f(xo,y)
измерима относительно классической меры Лебега на @, 1) для каж-
каждого хо Е @, 1), функция f(x,yo) измерима относительно классической
меры Лебега на @, 1) для каждого уо Е @, 1), но
(р(х) = sup f(x, у) и ф(х) = inf f(x,y)
2/G@,l)	2/?@,l)
неизмеримы относительно классической меры Лебега на @, 1).
8.46.	Построить такую функцию f(x,y) на @, 1) , измеримую отно-
относительно классической меры Лебега на @, 1) , что f(xo,y) измерима от-
относительно классической меры Лебега на @, 1) для каждого xq Е @, 1),
функция f(x, уо) измерима относительно классической меры Лебега на
@, 1) для каждого уо Е @, 1), но
д(х)= lim f(x, у) и h(x) = lim f(x, у)
неизмеримы относительно классической меры Лебега на @, 1).
8.47.	Пусть f(x,y) е С(@, 1) ). Доказать, что функции (р(х), ф(х),
д(х) и h(x) (см. задачи 8.45-8.46) измеримы относительно классиче-
классической меры Лебега на @, 1).
8.48.	Пусть (а, Ь) С R и f(x) E С((а,Ь)). Доказать, что множество
А = {х Е (а, Ь): существует конечная f'(x)}
измеримо относительно классической меры Лебега на (а, Ь) и что f'{x)
измерима на А.
8.49.	Пусть (а, Ъ) С R и f(x) — конечная функция на (а, Ь), из-
измеримая относительно классической меры Лебега на этом интервале.
Доказать, что функции
т> ( ч т^ f(x + h)-f(x) .f f ч r f(x + h-f(x)
f+(x) = hm ^	1—^^ и f ix) = hm ^
измеримы на (a, b).

166	Гл. 8. Измеримые функции
8.50.	Пусть (а, Ь) С R и f(x) — конечная функция на (а, Ь), из-
измеримая относительно классической меры Лебега на этом интервале.
Доказать, что множество
А = {х G (а, 6): существует конечная f'(x)}
измеримо относительно классической меры Лебега на (а, Ь) и что f'(x)
измерима на А.
8.51.	Пусть В — борелевское множество в Rn, где п ^ 1, a f(x) —
функция на В, измеримая относительно классической меры Лебега.
Доказать, что существует функция д(х), эквивалентная f(x) на В, для
которой д~1((с, +оо]) — борелевское множество при каждом с G R.
8.52.	Пусть [а,Ь] С R и функция f(x) G С([а, Ь]). Индикатрисой
Банаха называется функция д(у) на R, равная количеству корней
уравнения f(x) = у на [а, 6] (возможно, #(?/) = оо при некоторых у).
Доказать, что д(у) измерима относительно классической меры Лебега
на R.
8.53.	Пусть х = (х\,... ,хп,...) — десятичное разложение (без 9
в периоде) точек из [0, 1). Рассмотрим функцию
, , Гоо,	если Хг Ф 6 при всех г,
[min{i: X{ = 6} — иначе.
Доказать, что f(x) измерима и п.в. конечна относительно классической
меры Лебега на [0, 1).
8.54.	Пусть п > 1, a /ii и /in — классические меры Лебега на [0, 1]
и [О, 1]П соответственно. Пусть также Ш\ и Шп — соответствующие
сг-алгебры. Построить такое взаимно однозначное соответствие f(x)
между [0, 1] и [О, 1]п, что для каждого А С [0, 1] множество А принад-
принадлежит Ш\ тогда и только тогда, когда f(A) G Шп, и если А е Ш\,
РЕШЕНИЯ
8.1. Для каждого с е R выполнено условие
?
8.2. Для каждого с G R выполнено условие
и

Гл. 8. Измеримые функции	167
8.3. Заметим, что
/-'({+00})= П/ -\(г,+оо])еМ.
г=\
Далее,
и /-'(R) = (А\/-'({+оо})) \/-'({-оо}) ем.
8.4. Утверждение вытекает из того, что
оо
(а,+оо]) \
\г=1
а
8.5. Обозначим Е = {?> С R: /^(D) G М}. Тогда (см. задачу 8.3)
R е Е. Если D и С из Е, то
поэтому DnC G S и D AC G Е. Это означает, что Е — алгебра.
Далее, если {А} — множества из Е, то
Dn)= U r\Dn)GM.
п=1	п=1
Поэтому Е является сг-алгеброй. Более того, в силу результата за-
задач 8.4 и 3.109 система Е содержит все открытые подмножества R.
Но по определению борелевская сг-алгебра Б1 есть минимальная сг-ал-
сг-алгебра, содержащая все открытые подмножества R. Поэтому Б1 С Е. ?
8.6.	Заметим, что
{X, если с < О,
А, если (К с <1,
0, если с ^ 1.
Но множества 0 и X заведомо измеримы. Поэтому функция f(x)
измерима тогда и только тогда, когда измеримо множество А. ?
8.7.	Пусть А — неизмеримое подмножество на [О, 1] и
+ 1, если х е А,
-х, если же [0,1]\А
Тогда для любого с G R множество /-1({с}) состоит не более чем из од-
одной точки и, следовательно, измеримо. В то же время /-1(A/2, +оо]) =
= АФШ. U

168	Гл. 8. Измеримые функции
8.8. Для каждого с G R выполнено условие
г=1
п
8.9.	Пусть дано с ? 1. Найдём такую подпоследовательность
{Q>nk}kL\, что аПк I с при к —> оо. Тогда
сю
/"'((с,+оо])= иГ'((Ч.Н)б^
/с=1
п
8.10.	Для каждого с е R множество /-1((с, +оо]) = /-1((с,+оо))
открыто, а все открытые множества измеримы относительно классиче-
классической меры Лебега. ?
8.11.	Рассмотрим на [0; 1] функцию Дирихле (см. решение зада-
задачи 4.24). Она разрывна в каждой точке, но в силу результата задач 7.64
и 8.6 измерима относительно классической меры Лебега. ?
8.12.	Заметим вначале, что функция g(f(x)) конечна на А. Для
каждого с G R имеем
Fe = E(/))-1((с,+00]) = E(/))-1((С)+00)) =
Так как g(t) — непрерывная функция, то множество Ес = д~1((с, +оо))
открыто и, следовательно, является борелевским. Тогда в силу резуль-
результата задачи 8.5 Fc = f~\Ec) e M. ?
8.13. Заметим, что функция h(f\(x),..., fn(x)) конечна на А. Для
каждого с е R множество Gc = {t = (t\,..., tn) e G: h(t) > с} открыто.
Пусть Тс = Gc П Qn и для г еТс положим p(r) = dist(r, Rn \ Gc). Тогда
Отсюда мы получаем, что
{хеА: (/((i)	Ш)€СС}= \J{xeA:
у П {х 6 А'- Ш 6 {п - ^'П + ^г)} 6 м-
Поэтому (Л(/ь..../п)Г1((с,+оо]) еМ. ?

Гл. 8. Измеримые функции	169
8.14. Занумеруем некоторым образом все рациональные числа: Q =
{rn}^_i. Тогда
В = U ({x e A: f(x) > rn} П{хеА: д(х) < rn}) е M.
п=\
Аналогично, D = {х е A: f(x) < д(х)} е М. Следовательно, и С =
= A\(BUD)eM. ?
8.15.	Пусть Д) = {х G A: f(x) ф #(#)}• Так как мера /i полна,
то любое множество В С Aq принадлежит М. Далее, для каждого
с G R выполнено равенство д~1((с, +оо]) = (/-1((с, +оо]) U.Bi) \ Б2,
где В\,В2 G М. Действительно, достаточно взять ?>1 = {ж : /(ж) ^
< с, #(#) > с)} С Ао и Б2 = {ж : д(х) < с, /(ж) > с)} С Aq. Отсюда
следует, что функция д(х) измерима на А. ?
8.16.	Пусть А — такое множество на [0, 1], что (см. задачу 7.78)
/л(А) = - и для любого невырожденного отрезка [а, Ъ] С [0, 1] выполне-
выполнено условие 0 < fi(A П [а, Ь]) < Ъ — а. Пусть f(x) = Ха(х). Тогда (см. за-
задачу 8.6) f(x) измерима относительно классической меры Лебега на
[О, 1]. Предположим, что д(х) эквивалентна f(x) на [0, 1]. Тогда для
каждого интервала / С [0, 1] найдутся такие точки у, z G /, что д(у) = 1
и g(z) = 0. Поэтому функция д(х) разрывна в каждой точке. ?
8.17.	Для каждого с G R выполнено условие (/ + а)~\(с, +оо]) =
= Г1((с-а,+оо])еМ.
Замечание. Для конечных функций этот результат, так же как
и результаты задач 8.18, 8.20 и 8.22, немедленно следует из зада-
задачи 8.12, а результаты задач 8.19 и 8.21 — из задачи 8.13. ?
8.18.	Если а = 0, то af(x) = 0 и, очевидно, измерима. При
а > 0 для каждого с G R выполнено условие (а/)~ ((с,+оо]) =
G М. При а < 0 для каждого с G R аналогично
= /"Ч!0' ~)) ? ^- п
8.19.	Пусть Б — множество, где обе функции f(x) и д(х) конечны.
Заметим (см. задачу 8.3), что В ? М. Тогда в силу результата зада-
задачи 8.13 (при п = 2 и h(s,t) = s + t) функция f(x) + g(x) измерима
на В. Пусть теперь D = {х G A: f(x) = +оо}. Тогда согласно нашим
определениям операций над бесконечными величинами для всех х G D
получаем
'+ОО, если д(х) > —оо,
f(x) +д(х) = ,	, .
10,	если ^(ж) =—оо.

170	Гл. 8. Измеримые функции
Отсюда следует, что если Е = {х ? D: д(х) = —оо}, то
(,	если с < 0,
Поэтому f(x) ± #(#) измерима на D. Аналогично доказывается, что
эта сумма измерима на множествах, где f(x) = —оо или д(х) = ±оо.
Применение задачи 8.2 завершает доказательство. ?
8.20.	Измеримость /2(ж) на множестве, где f(x) конечна, немед-
немедленно следует из задачи 8.12 (при g(t) = ?2). Если D = {х : f(x) =
= ±оо}, то f2(x) = +оо на D, поэтому она измерима на D. Теперь
утверждение следует из задачи 8.2. ?
8.21.	Пусть В — множество, где обе функции f(x) и д(х) конечны.
Заметим (см. задачу 8.3), что В е М. Тогда в силу результата зада-
задачи 8.13 (при п = 2 и h(s,t) = st) функция f(x)g(x) измерима на В.
Отметим также, что на множестве, где хотя бы одна из функций равна
нулю, функция f(x)g{x) равна 0 и, следовательно, измерима. Пусть
теперь D = {х е A: f(x) = +оо,д(ж) ф 0}. Тогда, согласно данным
определениям операций над бесконечными значениями, для х G D
имеем
гГ \ г \ Г+00' если 9(х) > О»
/Шх) = {_00> еслид\х)<0.
Поэтому если Е = {х е D: д(х) > 0}, то (fg)^\(c, +оо]) = Е е М для
каждого с G R, т. е. f(x)g(x) измерима на D. Аналогично доказывается,
что это произведение измеримо на множествах, где f(x) = —оо, д(х) ф
Ф 0 или д(х) = ±оо, f(x) ф 0. В силу результата задачи 8.2 функция
/ • д измерима. ?
8.22.	Измеримость функции —^ на множестве, где f(x) конечна,
J\x)
следует из задачи 8.12 (при g(t) = -). Если D — множество, где f(x) =
= ±оо, то -Г(-^ = 0, поэтому она измерима на D. Применяя задачу 8.2,
получаем измеримость функции	П
8.23.	Утверждение вытекает из задач 8.21 и 8.22. ?
8.24.	Для каждого с G R выполнено равенство /-1((с,+оо]) =
= (/3)((c3,±oo])GM. ?
8.25.	Пусть Е — неизмеримое подмножество на [0, 1], а
1, если х G Е,
¦&[0,1}\Е.

Гл. 8. Измеримые функции	171
Так как /-1(@, +оо]) = Е ф М, то функция f(x) неизмерима, но
/2(ж) = 1 на [0, 1] и, следовательно, измерима. ?
8.26.	Имеем: (f(x))g{x) = e^^Xп^x\ В силу результата задач 8.12
и 8.21 функция g(x)\nf(x) измерима на А. Вновь применяя зада-
задачу 8.12, получаем, что (/(#)) измерима. ?
8.27.	Пусть, для определённости, f(x) — невозрастающая функция
на [а, Ь]. Тогда для каждого с G R множество /-1((с, +оо]) является
либо полуинтервалом [a,d), de (a,b\, либо отрезком [a,d], de [a,b],
либо пустым множеством. Поэтому f(x) измерима. ?
8.28.	Если t\ > ?2, то, очевидно, g(t\) ^ gfa)- Пусть t ? R и tn [ t
при п -^ оо. Тогда
сю	сю
{х 6 A: f(x) > t} = U {x e A: f(x) > tn} = \J En.
n=l	n=l
Так как Е\ С Е2 С 	, то (см. задачу 6.17) o(t) = lim u(En) =
n^oo
= lim g(tn). П
n^oo
8.29.	Пусть f(x) = 0 на [О, 1]. Тогда
1, если t < О,
0, если t > 0.
Эта функция разрывна в точке t = 0. ?
8.30.	Пусть f(x) = х на [О, 1]. Тогда
{1,	если t < О,
1-?, если ?? [0,1],
О,	если ? > 1.
Мы видим, что g(t) е С([0, 1]). П
8.31.	Пусть д(и) = ц({х G А: /(ж) > г^}) при mgR. Это невозрас-
невозрастающая функция на R. Определим функцию
h(y) = inf{^: g(u) ^y}.
Ясно, что h(y) — невозрастающая функция на [0, 1]. Докажем, что
/л({у G [0, 1]: h(y) > t}) = g(t) для всех t G R. Если для данного у
выполнено неравенство h(y) > t, то inf {?/: д(и) ^ у} > t, и поэтому
g(t) > у. Аналогично, если h(y) < t, то g(t) ^ у. Поэтому
М({у 6 [0, 1]: %) > *}) = sup {у 6 [0, 1]: h(y) > t} = git).
U

172	Гл. 8. Измеримые функции
8.32.	Предположим, что h(x) ф С([0, 1]). Так как h(x) — невозрас-
тающая функция, то существует такой непустой интервал (а,Ь), что
[а, Ь] П h([0, 1]) = 0, а некоторые числа end, c< а и d> b принадлежат
h([0, 1]). Тогда получаем, что
/х({ж е [0, 1]: f(x) > Ъ}) = ^({х е [0, 1]: f(x) > а}).
Так как f(x) е С([0, 1]), то отсюда следует, что (а, Ь) П /([0, 1]) = 0.
Поэтому либо f(x) > Ъ для каждого х е [а,Ь], либо f(x) < а для
каждого х G [а, Ь], и мы приходим к противоречию с условием
{c,d}cfc([o,i]). а
8.33.	Пусть (р(х) — функция Кантора (см. задачу 4.19), a G -
канторово открытое множество (см. задачу 2.22). Мера его дополнения,
т.е. мера канторова замкнутого множества, равна нулю (см. зада-
задачу 7.67). Но функция ip(x) постоянна на каждом интервале из G,
поэтому tpf(x) = 0 для xGG. ?
8.34.	Пусть f(x) — функция Кантора (см. решение задач 4.19
и 8.33) и А = Pq — канторово замкнутое множество. Тогда /jl(Po) = 0.
Так как /([0,1]) = [0, 1] и /([0,1] \ Ро) = Цг}^^, то /(Ро) = [0, 1].
Поэтому /(Ро) измеримо и /i(/(Po)) = 1. ?
8.35.	Пусть (р(х) — функция Кантора (см. решение задачи 8.33)
и ф(х) = ^ (ф(х) + х) на [0» 1]- Тогда ^(ж) ~~ строго возрастающая
непрерывная функция на [0, 1], и она переводит отрезок [0, 1] в себя.
Пусть
сю
с = [о,1]\л>= иК,Ы-
п=\
Ясно, что [1(ф((ап,Ьп))) = - (Ъп — ап) для каждого п, поэтому
M(V(G)) = \. Так как ^([0, 1]) = [0, 1], то д(^(Р0)) = 1 - ^ = \.
8.36.	Возьмём функцию ^(^)> построенную в решении задачи 8.35.
Тогда существует непрерывная функция f(y) = ф~1(у) из [0, 1] на [0, 1].
Пусть В — неизмеримое подмножество в ф(Ро) (оно существует в силу
результата задачи 7.90) и А = ф~\В) = f(B). Тогда А с Ро, поэтому
A g SDT в силу полноты меры Лебега, но /-1(т4) = В ^ Ш. ?
8.37.	Пусть А — множество, построенное в решении задачи 8.36,
и #(#) = ^(ж) (см. решение задачи 8.35). Тогда д(А) = В ф Ж. ?
8.38.	Возьмём функцию /(ж) и множество А из решения зада-
задачи 8.36. Тогда А ? УЛ. Предположим, что A G В. Тогда, так как f(x)
измерима, то (см. задачу 8.5) В = f~l(A) e УЛ. Но по построению

Гл. 8. Измеримые функции	173
(см. задачу 8.36) В ^ ШТ, поэтому А не является борелевским множе-
множеством. ?
8.39.	Возьмём функцию f(x) и множество А из решения зада-
задачи 8.36 и множество д(х) = ха(%)- Тогда д(х) измерима относительно
классической меры Лебега, но g(f(x)) = Хв(%) неизмерима. П
8.40.	Для каждого с ? R выполнено равенство
оо
{х е А: <р(х) е (с, +оо]} = у {х е A: fn(x) е (с, +оо]} е М,
п=\
откуда следует, что ip(x) измерима. Так как ф(х) = — sup(—/п(ж)), то
п
она тоже измерима. ?
8.41.	В силу результата задачи 8.40 функция фп(х) =
измерима для всех п G N. В силу той же задачи д(х) = inf
измерима. Аналогично, функция h(x) = sup inf Д(ж) измерима. П
8.42.	В силу результата задачи 8.41 функции
д(х) = lim /п(ж) и ft (ж) = Ит /п(ж)
7WOO	^^^ОО
измеримы на А. Тогда в силу результата задачи 8.14 множество
В = {х ? А: д(х) = h(x)} из М. На Б функция f(x) совпадает с изме-
измеримой функцией д(х). Поэтому f(x) измерима на В. ?
8.43.	Пусть
В = {х ? А: существует lim /n(#)}.
В силу результата задачи 8.42 множество В измеримо. Через В\
обозначим множество тех точек из В, где указанных предел равен
f(x). Так как ц(В \ В\) = 0, то В\В\ е М в силу полноты меры,
а тогда В\ е М и (см. задачу 8.1) функция / измерима на В\. Далее,
fi(A \ В\) = 0. В силу полноты меры любая функция измерима на этом
множестве, в частности функция /. А тогда (см. задачу 8.2) / измерима
на множестве А. ?
8.44.	Пусть В — множество, определённое в задаче 8.42. То-
Тогда f(x) измерима на В. В силу результата задачи 8.3 множество
С = /^(R) принадлежит М. Наконец, в силу результата задачи 8.1
функция f(x) измерима на С. ?
8.45.	Пусть Е — неизмеримое подмножество @, 1) и

174	Гл. 8. Измеримые функции
{1, если х = у Е Е,
— 1, если х = у ф Е,
О — иначе.
Так как f(x, у) = О при х ф у, то в силу результата задачи 8.15 /(ж, у)
измерима на (О, 1) . При каждом xq E (О, 1) функция f(xo,y) отлична
от нуля не более чем в одной точке @, 1), поэтому функция изме-
измерима. Аналогично, f(x,yo) измерима на @, 1) при каждом у$ Е @, 1).
Но (р(х) = sup f(x, у) = хе(х) и ф(х) = inf f(x, у) = ~Х(ол)\е(х)
з/е(о,1)	з/е@,1)
и обе функции неизмеримы на @, 1) в силу результата задачи 8.6. ?
8.46. Пусть множество Е и функция f(x, у) — из решения за-
задачи 8.45. Обозначим Вп = @, 1) х (	, — ) и для п Е N опреде-
\п+ I nj
лим функции ип(х,у) = f [хАу	—-)п(п+1)) при (х,у) Е Вп
и г^п(ж, у) = 0 при (ж, у) Е @, 1) \ Бп. Положим теперь
сю
и{х,у) = J2 ип{х,у).
п=\
Так как (см. решение задачи 8.45) f(x,y) измерима на @,1), то
каждая функция ип(х,у) измерима на Вп и, следовательно, на
@,1). Тогда в силу результата задачи 8.44 функция и(х,у) так-
же измерима на @,1). Аналогично, функция и(хо,у) измерима на
@, 1) для каждого xq Е @, 1), и функция и(х,уо) измерима на @, 1)
для каждого уо Е @, 1). В то же время д(х) = lim u(x,y) = Хе{%)
и h(x) = lim u(x,y) = — Х(о,\)\е{%), так что обе функции неизмеримы
на @, 1). ?
8.47. Пусть cGM. Определим множества
Е(с) = {хе @, 1): ф) > с} и Еу(с) = {х 6 @, 1): f(x, у) > с}.
Тогда Е(с) = у Еу(с). Так как множество Еу(с) открыто для каж-
дого у Е @, 1), то множество Е(с) также открыто и, следовательно,
измеримо. Поэтому ip(x) — измеримая функция. Аналогично, ф(х) —
измеримая функция на @, 1). Отсюда следует, что функции
д(х) = lim sup f(x,y) и h(x) = lim inf f(x,y)
™ye(o,i)	^°°i
измеримы на @, 1). П

Гл. 8. Измеримые функции	175
8.48. Доопределим функцию f(x) на всю вещественную ось:
f(x) = /(а) при х < а и f(x) = f(b) при х > b. Положим
¦п( \ f(x + h) — f(x) ~ <
р(х,у) = —	^—^-^-. Эта функция непрерывна на прямоугольнике
[а — 1,6 + 1] х [—1, 1]. Тогда, применяя задачу 8.47 с линейной заменой
переменных, получим, что функция
i1 { \ г-— f(x + h) — fix) т-.— ,-,, , ч
/ , ж = hm —	f—J-A-J- = hm F(x,h)
измерима относительно классической меры Лебега на (а,Ь). Аналогич-
Аналогично, функции
?' ( \ т f(x + h) — f(x) г „/ ,ч
/ (ж) = hm —	^—-^-^ = hm F{x,h)
измеримы относительно классической меры Лебега на (а, Ь). Заме-
Заметим, что
А = {х 6 @,1): ]'+{х) = ]'_{х) = f'+(x) = f'_(x) и ]'+(х) конечна }.
Отсюда следует, что множество А измеримо. Так как f'(x) = /+(ж)
на А, то функция f'(x) измерима на А (см. задачи 8.3 и 8.14). ?
8.49. Доопределим функцию f(x) на всю вещественную ось:
f(x) = /(а) при ж < а и /(ж) = f(b) при х > Ь. Для каждого фикси-
фиксированного с G R рассмотрим функцию у(х) = /(ж) — сх. Заметим, что
для любого натурального п и для каждого t ? R множество
G (а, 6):	sup	?/(# + /г) > t
открыто. Поэтому функции дп(х) =	sup y(x + h) измеримы
на (а, Ь) для п е N. Следовательно, функции
уп(х) = дп(х) - у(х) =	sup (y(x + ft) - 2/(ж
при n G N также измеримы. А поэтому измеримо множество
/ 7ч	fix + h) — f (ж)	i
ж е (а, 6):	sup	L—~^ > с ( =
)

176	Гл. 8. Измеримые функции
= [хе(а,Ъ):	sup
Таким образом, мы доказали, что функции
г ( \ f(x + h)- f(x)
fn(x) =	sup	^	> JK J
he(o,±)n(o,b-x)
измеримы для п е N. Отсюда вытекает, что функция
также измерима. Аналогично, функция
+
h
измерима на (а, Ь). ?
8.50. В силу результата задачи 8.49 функции
/+(*) = Ш Z^ + ^-ZW, f(x) = Hm
+	h^+	h
7f ( \ л^- f(x + h)-f(x) „I ( ч r f(x + h)-f(x)
f _(x) = hm —	^—-^-^ и /_(ж) = hm —	{¦—J-^-^-
измеримы относительно классической меры Лебега на (а, Ь). Заме-
Заметим, что
А = {х е (а, Ь): ]'+(х) = ]'_(х) = f+(x) = f_(x) и ]'+(х) конечна }.
Поэтому множество А измеримо (см. задачи 8.3 и 8.14). Так как
f'(x) = f+(x) на А, то функция f'(x) измерима на А. ?
8.51. Пусть {rk}^=i — все рациональные числа из R и 4 =
= 1~1((гк, +оо]) ^ ^ Для каждого /с G N. В силу результата задачи 7.65
для каждого к существует представление Ak = 5^U Dk, где Bk ? В
и fi(Dk) = 0. Аналогично, если ^ = Б \ А^, то А'к = BfkU Dfk, где
Б^ е Б, и /i(D^) = 0. Теперь
Hk = DkUD'k = B\(BkUB'k)eB

Гл. 8. Измеримые функции
177
= 0 при к е N. Пусть
H=\JHk.
k=\
Заметим, что Н — также борелевское множество и 1л(Н) = 0. Опреде-
Определим функцию
fO,	если х G Н,
х) — иначе.
Ясно, что д(х) эквивалентна f(x) на В. Мы получаем, что
''Bk \ Н, если г/с > 0,
д-1((гк,+оо]) =
Вк U Я, если г/с < 0
при каждом /с, поэтому д~\(гк, +оо]) G ?>. Следовательно, для произ-
произвольного с G R мы получили, что множество
<7-1((с,+сю])= U ^-'((г
также является борелевским. ?
8.52. Для заданного п ^ 1 пусть А/с,п —
= 1,2, ...,2П - 1 и А;
, (Ъ-а)к ,
+ v ^, J I при
= [а
Обозначим
1, если существует такое х е Afc,n> что f(x) = у,
0 — иначе
9п{у) = J2 9к,п{у)
к=\
для всех п. Так как f(x) e С([а,Ь\), то каждая функция дк,п(у) —
характеристическая функция некоторого промежутка (замкнутого или
полуоткрытого), поэтому функции дп(у) измеримы. Докажем теперь,
что дп(у) -^ д(у) при п -^ оо для каждого у е R, тогда утверждение
будет сразу следовать из задачи 8.42. Если д(у) = / < оо, то существует
такое N, что 2~N < min хк — хА, где \хг\^_л — множество всех
корней уравнения f(x) = у. Тогда при п > N все хг лежат в разных
промежутках Д&>п, и поэтому дп(у) = /. Если д(у) = оо, то аналогично
показывается, что дп(у) -^ оо при п -^ оо. ?

178	Гл. 8. Измеримые функции
8.53.	Так как (см. задачу 7.74) ц({х G [0, 1): Xi ф 6 при всех г}) =
= О, то функция f(x) конечна п.в. на [0, 1). Далее, пусть
„ , ч fl, если Хп Ф 6 при 1 ^ j ^ п,
\0 — иначе
для п G N. Ясно, что каждая функция /п(ж) измерима и
сю
/Ы = 1 + У Ux).
п=\
Поэтому утверждение следует из задачи 8.42. ?
8.54.	Для каждого х G [0,1) обозначим через (х\,. ..Xk, •• •) его
двоичное разложение без 1 в периоде. Введём вспомогательное отобра-
отображение д(х) = (уи..., уп), где yj = (xj, xj+n, xj+2n,...) для j = 1,..., n
при х < 1 и g(l) = A,..., 1). Ясно, что для каждого z = (z\,..., zn) G
G [0, l]n существует такое х = #(z) G [0, 1], что ^(ж) = z. Предположим,
что жA) ф хB), но ^(жA)) = д(х{2)). Тогда хотя бы одна из координат
точки д(х) двоично-рациональна, т. е. для некоторых j и го выпол-
выполнены равенства x(l)ron+j = 1, x(l)rn+j = 0 при г > r0, xB)rQn+j = 0
и жB)гп+ • = 1 при г > го. Обозначим
Ek,j,o = {x G [0, 1): xrn+J- = 0 для г > к}
и
Sfc,:M = {^ е [0, 1): xrn+j = 1 для г > к},
где j = 1,..., п и к G N. Пусть тогда
сю п 1
/с=1 j = H=0
В силу результата задачи 7.74 мера множества /j,(Ek,j,i) равна нулю
для любых к, j и г. Поэтому 1л(Е) = 0. Нетрудно видеть, что и Е,
и д(Е) имеют мощность континуума. Поэтому существует взаимно
однозначное соответствие (р между множествами Е и д(Е). Заметим
также, что д есть взаимно однозначное соответствие между [0, \]\Е
и [0, 1]п \д(Е). Далее, д отображает любой двоичный интервал вида
к — 1 к
[ , -^г) с г ^ 1 и 1 ^ к ^ 2пг на n-мерный двоичный интер-
интервал с ребром —рг, т.е. той же меры. Поэтому для любого А С [0, 1]
выполнено равенство ц*(А) = /1^(д(А)) (в частности, /j,n(g(E)) = 0).

Гл. 8. Измеримые функции	179
Следовательно, А е Ш\ тогда и только тогда, когда д(А) ? Шп, и если
А е SDti, то /xi(A) = /in(g(A)). Пусть теперь
f/ \ _ №(х)> если х е Е,
1[Х)~ \д(х), еслихе [0, 1] \ Е.
Тогда f(x) есть взаимно однозначное соответствие между [0, 1] и [О, 1]п.
Более того, так как ip(x) есть отображение множеств нулевой меры, то
f(x) сохраняет класс измеримых множеств и значения меры, поскольку
д(х) обладает этими свойствами. ?

Глава 9
СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ И ПОЧТИ ВСЮДУ
Мы будем рассматривать пространство с мерой (X,M,fi) (конеч-
(конечной или сг-конечной) и предполагать, что все функции измеримы на
множестве А ? М и конечны в каждой точке. Если мера \± полна,
то достаточно считать, что функция конечна почти всюду на А. При
этом несущественно, как операции над функциями определены на
множестве, где хотя бы одна из них бесконечна.
Пусть А — множество из М, a {/n(#)K?Li и f(x) ~ измеримые
конечные функции на А. Скажем, что fn(x) => f(x) на А при п —> оо
(что последовательность функций {fn} сходится к f(x) no мере
на А), если для любого г > О выполнено условие.
JKm/tt* e A: \fn(x) - f(x)\ > s}) = 0.
Напомним, что последовательность функций {/п} называется сходя-
сходящейся к функции f(x) почти всюду (п.в.) на множестве А, если
fi{x e A : fn(x) 7^ /(#)} = 0- Если последовательность {tn} сходится
к числу t и при этом является монотонно неубывающей или монотонно
невозрастающей, то будут употребляться обозначения tn | t и tn | t
соответственно.
ЗАДАЧИ
9.1.	Пусть fn(x) => f(x) и fn(x) => g(x) при п -^ оо на А. Доказать,
что f(x) и д(х) эквивалентны на А.
9.2.	Пусть fn(x) =^ f(x) и дп(х) =^ д(х) при п -^ оо на А. Доказать,
что fn(x) + дп(х) => f(x) + д(х) при п -^ оо на А.
9.3.	Пусть fn(x) =5* f(x) при п -^ оо на А и а, Ъ G R. Доказать, что
afn{x) ~\-Ь ^ ctf{x) + 6 при n ^ оо на А.
9.4.	Пусть /i(A) < оо, функция д(у) непрерывна на открытом мно-
множестве GCR, последовательность fn(x) сходится по мере к f(x) при
п -^ оо на А и все функции /п и / отображают А в G. Доказать, что
g(fn)(x) => #(/)(ж) при п -^ оо на А.

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	181
9.5.	Пусть 1л(А) < оо и fn(x) => f(x) при п —> оо на А. Доказать,
что fn(x) => f2(x) ПРИ n ^ оо на А.
9.6.	Пусть ц(А) < оо, fn(x) => f(x) и gn(x) => g(x) при п -> оо
на А. Доказать, что fn(x) • gn(x) => /(#) • g(x) ПРИ n ^ оо на 4.
9.7.	Пусть ц(А) < оо, fn(x) => f(x) при п ^ оо на 4, f(x) ^ О
на А и /п(ж) т^ 0 на А при каждом п. Доказать, что . , ^> -т-^- при
Jn(X)	j(X)
п -^ оо на А.
9.8.	Пусть /i(A) < оо, /п(ж) ^> f(x) и ^п(ж) ^> ^(ж) при п -^ оо
на Д причём /(ж) ^ 0 на 4 и все fn(x) ^ 0 на 4. Доказать, что
fn(x)	f(x)
9.9.	Построить функции {/n(#)K?Li и функцию /(ж), конечные
и измеримые относительно классической меры Лебега на R, для кото-
которых fn(x) =^ f(x) при п -^ оо на R, но /^(ж) т^ /2(^) ПРИ n ^ оо на R.
9.10.	Построить последовательность {/n(^)}^=i и функцию f(x),
конечные и измеримые относительно классической меры Лебега на
(О, оо) и положительные на этом луче, для которых fn(x) =5* f(x) при
п —> оо на @, оо), но	т^ ТГТ ПРИ п "^ °° на (^' °°)*
/п(ж) }(х)
9.11.	Построить последовательность {/n(^)}^=i и функции
/(ж), ^(ж), конечные и измеримые относительно классической
меры Лебега на R, для которых fn(x) => f(x) при п —> оо на R,
но fn(x)g(x) ф f(x)g(x) при п -> оо на R.
9.12.	Пусть последовательность {/n(^)}^=i сходится по мере на
множестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т. е. для
любых г > 0 и 7 > 0 существует такое iV, что при п,т^ N выполнено
неравенство
({eA: \fn(x) - fm(x)\ >e})<r
9.13.	Пусть последовательность {/n(#)K?Li фундаментальна по ме-
мере на множестве А (см. задачу 9.12). Доказать, что существует такая
конечная измеримая функция f(x) на А, что fn(x) =5* f(x) при п —> оо
на А.
9.14.	Пусть /(ж) и {/n(#)K?Li ~~ конечные измеримые функции на
множестве А, а Е = {х ? A: fn(x) -^ f(x) при п -^ оо}. Доказать, что
ОООООО^	i^OOOOOO
^\^= U flU {xZA:\fk{x)-f{x)\>±}= U П U Ъ,т.
т=\п=\к=п	т=\п=\к=п
9.15.	Пусть f(x) и {/n(#)K?Li ~~ конечные измеримые функции на
множестве А, где /i(A) < оо. Доказать, что fn(x) -^ f(x) при п -^ оо

182	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
п.в. на А тогда и только тогда, когда для любого е > О выполнено
условие
\J{xeA:\fk(x)-f(x)\>e})=0.
9.16.	Пусть f(x) и {/n(#)K?Li ~~ конечные измеримые функции на
множестве А, где fi(A) < оо, и fn(x) —> fix) при п —> оо п.в. на А.
Доказать, что /п(ж) => fix) при n —> оо на А.
9.17.	Построить такие функции {/n(#)K?Li и функцию /(ж), ко-
конечные и измеримые относительно классической меры Лебега на R,
что fn(x) —> /(ж) при п —> оо для каждого ж G R, но /п(ж) т^ /(ж) при
п —> оо на R.
9.18.	Построить функции {/n(#)}^Li и /(ж)> конечные и изме-
измеримые относительно классической меры Лебега на R, для которых
fn(x) => fix) ПРИ п ~^ °° на [0> 1]> но /п(ж) расходится в каждой
точке х G [О, 1].
9.19.	Теорема Ф. Рисса. Пусть /(ж) и {/n(#)K?Li ~~ конечные
измеримые функции на множестве А и fn(x) =5* fix) при п -^ оо на А.
Доказать, что существует возрастающая последовательность натураль-
натуральных чисел {nk}^=i, для которой fnkix) —> fix) при к ^ оо п.в. на А.
9.20.	Доказать, что последовательность {sinnx}^=l не сходится по
мере на [0, тг].
9.21.	Пусть Q[o;i] = {rn}^=l. Доказать, что последовательность
если х = гп,
если х е [0, 1] \ {гп},
где п G N, сходится по классической мере Лебега на [О, 1].
9.22. Доказать, что последовательность {/n(#)K?Li> гДе /п(ж) — #п>
сходится по классической мере Лебега на [О, 1], но не сходится по мере
на [0,2].
{v Л °°
гп — г > гДе Рп И Уп — взаимно про-
^n J п=1
стые натуральные числа, п е N. Доказать, что последовательность
{/n(#)K?Li> гДе /п(ж) = е~(рп~ЯггХ\ сходится по классической мере
Лебега на [О, 1].
9.24. Доказать, что последовательность {/n(#)}^Lp определённая
в задаче 9.23, расходится в каждой точке х G [О, 1].

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	183
9.25.	Пусть последовательность неотрицательных функций
{fn(x)}^L\ сходится по мере к f(x) на А. Доказать, что f(x) ^ 0 п.в.
на А.
9.26.	Теорема Егорова. Пусть ц(А) < оо, и fn(x) —> f(x) п.в.
на А. Доказать, что для любого г > О существует такое измеримое
множество Е? С А, что /i(A \ Е?) < г и последовательность {/п(#)}
равномерно сходится на Е?.
9.27.	Построить пример, показывающий, что утверждение теоремы
Егорова не выполняется для классической меры Лебега на R.
9.28.	Построить пример, показывающий, что утверждение теоремы
Егорова не выполняется ни для какой сг-конечной меры, не являющейся
конечной.
9.29.	Пусть f(x) — измеримая неотрицательная функция на А
(возможно, f(x) = +оо на некотором множестве). Доказать, что суще-
существует последовательность {fn(x)}™=\ измеримых конечных неотрица-
неотрицательных функций на А, для которой каждое множество fn{A) конечно,
/л({х ? A: fn(x) т^ 0}) < оо при каждом п и fn(x) | f(x) при п —> оо
для любого х е А.
9.30.	Пусть f(x) — измеримая конечная функция на А. Доказать,
что существует последовательность {/n(^)}^Li измеримых конечных
функций на А, для которой при любом п множество fn(A) конечно,
fi({x e A: fn(x) ^ 0}) <оои/п(х)^ f(x) при п —> оо для каждого х е
еА.
9.31.	Теорема Лузина. Пусть п > 1, [а, Ъ] С Rn, a функция f(x)
измерима и конечна п.в. на [а,Ь] относительно классической меры
Лебега /i. Доказать, что для любого г > 0 существует такая функция
д(х) = де(х) 6 С([а, Ъ]), что М({ж е [а, 6]: f(x) ф д(х)}) < г.
9.32.	Пусть п ^ 1, функция f(x) измерима и конечна п.в. на Rn
относительно классической меры Лебега /i. Доказать, что для любого
г > 0 существует такая функция д(х) = д?(х) G С(Мп), что /i({x G
еГ:/(х)/5(х)})<?.
9.33.	Пусть п ^ 1, [а, Ь] С Rn, a функция /(ж) на [а, Ъ] такова, что
для любого г > 0 существует функция д(х) = #е(ж) G С([а,Ь]), для
которой множество {ж G [а, 6]: /(ж) т^ ^(ж)} измеримо, и
где /i — классическая мера Лебега. Доказать, что f(x) измерима
относительно fi и конечна п.в. на [а, Ь].
9.34. Пусть п ^ 1, [а, Ъ] С Rn и f(x) — функция на [а, Ь], измери-
измеримая и конечная п.в. относительно классической меры Лебега на [а,Ь].

184	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
Доказать, что существует такая последовательность {fn(x)}^L\ непре-
непрерывных функций на [а, Ь], что fn(x) —> f(x) при п —> оо п.в. на [а,Ь].
9.35.	Пусть f(x) — конечная измеримая относительно класси-
классической меры Лебега функция на [—1,1]. Доказать, что fn(x) =
= / (х	) =Ф f(x) при п —> оо на [О, 1].
V ft J
9.36.	Построить конечную измеримую относительно классической
меры Лебега функцию f(x) на [—1, 1], для которой последовательность
( 1 \
{дш{х) = / (х	} расходится на множестве положительной ме-
ры Ас [О, 1].
9.37.	Пусть двойная последовательность {fn,k{x)}™k=v последова-
тельность {fn(x)}™=\ и функция f(x), определённые на А, таковы, что
fn,k(x) => fn(x) ПРИ fc^ оо на i для каждого п и fn(x) => f(x) при
п —> оо на А. Доказать, что существует возрастающая последователь-
последовательность натуральных чисел {кп}^=1, для которой fntkn(x) => f(x) ПРИ
п -^ оо на А.
9.38.	Пусть двойная последовательность {fn,k{x)}^k=\> последова-
последовательность {/n(#)K?Li и функция f(x), определённые на А, таковы, что
fn,k(x) —> fn(x) при к -^ оо п.в. на А для каждого п и fn(x) —> f(x)
при п -^ оо п.в. на А. Доказать, что существует возрастающая последо-
последовательность натуральных чисел {кп}™=1, для которой fn,kn(x) ~^ f(x)
при п —> оо п.в. на А.
9.39.	Построить двойную последовательность {fn,k(x)}^k=v по~
следовательность {fn(x)}™=\ и функцию f(x), конечные и измери-
измеримые относительно классической меры Лебега на [О, 1], для кото-
которых fn,k{x) —> fn(x) при к —> оо всюду на [О, 1] для каждого п
и fn(x) -^ f(x) при п -^ оо всюду на [О, 1], но для любой возрастающей
последовательности натуральных чисел {кп}^=1 последовательность
fn,kn(x) расходится на непустом подмножестве [О, 1].
9.40.	Построить такой ряд
сю
Е Ых),
к=\
где все Рк(х) — полиномы, что для любой функции f(x) G С ([О, 1])
существует возрастающая последовательность натуральных чисел
{кп}^=1, для которой функции
Rn(x) = ]Г Рк(х)
к=\
равномерно сходятся к f(x) при п —> оо на [О, 1].

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	185
9.41. Пусть f(x) — измеримая конечная функция на А. Доказать,
что существует такая последовательность {fn(x)}^L\ измеримых ко-
конечных функций на А, что для любого п множество fn(A) не более
чем счётно и fn(x) —> f(x) при п —> оо равномерно на А.
РЕШЕНИЯ
9.1.	Для любого е > О и для каждого натурального п имеем
{х е A: \f(x) - д(х)\ > е} С
С {ж е A: \fn(x) - f(x)\ > |} U [x e A: \fn(x) - д(х)\ > |} .
Но мера множеств в правой части этого включения стремится к нулю.
Поэтому /i ({x e A: \f(x) — д(х)\ > г}) = 0. Так как
{х е A: \f(x) - д(х)\ > 0} = U Ь е A: \f(x) - д(х)\ > ^
к=\ l	/C
то f(x) и д(х) эквивалентны на А. П
9.2.	Для любого ? > 0 и для каждого п имеем
{х е A: \(fn(x) + дп(х)) - (f(x)+g(x))\ > e} С
С {х е А: |/„(х) - /(х)| > |} U {х б A: |fln(a;) - 5(х)| > |}.
Отсюда следует, что
nlim/({* ^ А: |(/п(ж) +^п(ж)) - (/(ж) +д(х))\ > е}) = 0.
П
9.3.	Если а = 0, то утверждение очевидно. Пусть а ф 0. Тогда для
любого ? > 0 и для каждого п имеем
{х е A: \(afn(x) +Ь)- (af(x) + Ъ)\ > е} =
откуда следует утверждение задачи. ?
9.4. Пусть даны г > 0 и 7 > 0. Найдём такие компакты Кп С R, что
сю
G = IJ ifn, причём ifn С Кп+\ при каждом n G N. Для этого заметим,
п=\
что в силу результата задачи 3.109 имеет место представление
сю
G= LJ(an.M.
n=l

186	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
где одно из чисел а& и (или) bj может быть бесконечным, а объ-
объединение может быть конечным. Положим Jn и = \ап + Т>Ъп — — для
L /с /cj
конечных ап и Ьп. Если, например, а\ конечно, г. Ъ\ = +оо, то поло-
положим J\^ = КН + тД • Аналогично определим отрезки Jn^ и в дру-
других случаях — так, чтобы были выполнены условия: Jn^ С Jn^-\-\
п
и (ап,Ьп) = у Лг,/с- Теперь можно взять компакты Кп = у J/c,n-
Рассмотрим множества Еп = f~x(Kn) для n G N. Ясно, что, Е\ С
С Е2 С ... и
оо
п=1
Применяя результат задачи 7.51, получаем, что существует N, для ко-
которого
Пусть р — расстояние между компактом К = [J Кп и замкнутым
п=1
множеством F = R \ G. В силу результата задачи 3.89 величина р
положительна. Определим компакт
K' = {yeRl: mm\x-y\^?}cG.
хЕК	Z
Так как функция д(у) равномерно непрерывна на К', то существует
такое 5 > 0, что для любых z,y G К' при \z — у\ < 5 выполнено
неравенство \g(z) — д(у)\ < s. Далее, найдём такое натуральное L, что
при п > L выполнено неравенство
Тогда при п > L выполнена оценка [i(B U Вп) < 7, и если х G А \ (В U
U Вп), то f(x) e К С К\ fn(x) e К' и |/п(ж) - /(ж)| < 5, откуда сле-
следует, что \g(fn(x))-g(f(x))\ < е. Это означает, что g(fn)(x) => р(/)(ж)
при п ^ оо на А. П
9.5.	Утверждение следует из задачи 9.4, если взять G = R
и рB/) = У2- ?
9.6.	Утверждение следует из задач 9.2, 9.3, 9.5, а также тождеств
?

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	187
9.7. Утверждение следует из задачи 9.4, если взять G = R \ {0}
= 1. ?
9.8.	Утверждение вытекает из задач 9.7 и 9.6. ?
9.9.	Пусть fn(x) = х + - при х е R и n G N. Ясно, что fn(x) => ж =
77/
= /(ж) при п ^ оо на I, более того, имеет место равномерная сходи-
сходимость. В то же время
У2() /2() + Л * о
при п —> оо на R. П
9.10. Пусть f(x) = - при х > О и
-, если х G @, п),
-, если ж G \п, оо),
, ж
при n G N. Ясно, что /п(ж) ^> /(ж) при п ^ оо на @, оо). В то же время
1	1 _ х . п
f(x) fn(x) 2 " 2
при х ^ п, т. е. сходимости по мере нет. ?
9.11.	Пусть fn(x) = х + - для х G R и n G N, а /(ж) = р(ж) =
= ж. Тогда /п(ж) => f(x) при п ^ оо на R. В то же время fn(x)g(x) —
— f(x)g(x) = - т^ 0 при п -^ оо на R. ?
9.12.	Пусть fn(x) =5* f(x) при п -^ оо на А. Для любых заданных
г > 0 и 7 > 0 найдём такое натуральное 7V, что при n > N выполнено
неравенство
Тогда при п,т ^ N получаем, что
е^: \fn(x)-fm(x)|>е})<
М ({ ? А:
п

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
9.13. Выберем вначале по индукции возрастающую последователь-
последовательность натуральных чисел {щ}^{ так, чтобы для множеств
Bi = {xeA:\fni+l(x)-fni(x)\>2-i}
было выполнено условие /л(Вг) < 2~\ Пусть
сю сю
В= П U Вг.
т=\ г=7тг
Так как
\г=т
то (см. задачу 7.60) ijl(B) = 0. Если х ? А\ В, то числовая последо-
вательность {fm(x)YiL\ фундаментальна и, следовательно, существует
конечный предел
lim fn.(x) =f(x).
г^оо
Функция f(x) измерима на множестве А\В (см. задачу 8.44). Если
положить f(x) = 0 при х G 5, то /(ж) будет измерима на А. Докажем,
что fn(x) =5* f(x) при п —> оо на А. Заметим, что если для некоторого m
сю
точка х не принадлежит множеству [J Б^, то при i,j ^ ш+ 1
г=?тг+1
получаем, что
сю
If СтЛ _ f Гт^! < \^ о-г _ r>-m
\Jnj\'L) Jni\'L)\ ^ Z^	~	'
r=m+l
откуда следует, что |/(ж) — /ni(^)| ^ 2~т. Следовательно, при г ^ m + 1
имеем
Теперь для заданных г > 0 и 7 > 0 найдём такое число N, что при
n, r ^ N выполняется неравенство
Затем выберем т так, чтобы 2 т < min f -, -^ ), и зафиксируем щ> N
ci^m+1. Тогда при п^ N получаем, что

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	189
х 6 A: \fni(x) - f(x)\ > I}) < \ + \ = 7.
Это и означает, что /п(ж) => /(ж) при п —> оо на А. П
9.14.	Заметим, что xGi\^ тогда и только тогда, когда /п(#) ~h
/» /(ж) при п —> оо. Это означает, что для некоторого то и для
каждого п > 1 существует такое к > п, что !/&(#) — f(x)\ > —. Равен-
Шо
ство в формулировке задачи является формальной записью последнего
утверждения. ?
9.15.	Возьмём множества Fk,m из задачи 9.14. При каждом т
оо
обозначим Gn,m = [J Fk,m для п е N. Тогда Gi>m 2 ^2,ш 2 ••• Утвер-
fc=n
ждение задачи состоит в том, что сходимость fn(x) к f(x) п.в. на А
эквивалентна условию
lim /x(Gn>m) = 0
для каждого натурального т. В силу результата задачи 9.14 fn(x) -^
-^ f(x) п.в. на А тогда и только тогда, когда /i(A \ Е) = 0, т. е.
сю сю	\
U П G«.™ =°-
ш=1п=1	/
Последнее утверждение эквивалентно тому, что
l Gn,m) =0
n=l	/
для каждого т. Так как /л(А) < оо, то, используя задачу 7.52, мы
получаем, что
/сю	\
О = fi П Gn,m = lim /x(Gn,m)
V ' '	/ n^oo
\n=l	/
\n=l
для каждого m G N. П
9.16.	Утверждение немедленно вытекает из задачи 9.15 и опреде-
определения сходимости по мере. ?
9.17.	Пусть fn(x) = - при х е R и п е N, a f(x) = 0. Тогда fn(x) ->
—> f(x) при п -^ оо для каждого х е R, но fn(x) i> f(x) при n —> оо
на R. П
9.18.	Пример Ф. Рисса. Пусть f(x) = 0 на [О, 1] и
Фп h\X) = УГ /г UI1 (Х)
2гг , 2^

190	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
при п = 0, 1,... и к = О, 1,..., 2П — 1. Заметим, что для любого на-
натурального т существует единственная пара целых чисел (п,к), для
которой п>0, 0 ^ к ^ 2п — 1 и т = 2п + к. Определим функции
/i ({х G [0, 1]: |/ш(ж)| > 0}) = —п 	> 0,
поэтому fm(x) =>¦ 0 на [0, 1]. С другой стороны, в каждой точке отрезка
[0, 1] бесконечное множество членов последовательности {fm{x)}^=\
равно 0 и бесконечное число её членов равно 1, откуда следует, что
fn(x) расходится в каждой точке ж G [0, 1]. ?
9.19. Предположим вначале, что /jl(A) < оо. Возьмём щ = 1 и при
к G N выберем по индукции натуральные п& > пь-\, для которых
Докажем, что fnk(x) ~^ f(x) ПРИ к ^ оо п.в. на А. Для данных г > 0
и 5 > 0 найдёд
получаем, что
и 5 > 0 найдём такое то, что — < ? и 	г < 5. Тогда при т >
т0	2т°
\к=т	/
^
В силу результата задачи 9.15 получаем, что fnk(x) ~^ f(x) п-в-
сю
Пусть теперь \± — сг-конечная мера на А, т.е. А = |_| Ai, где
г=1
/i(A^) < оо при г G N. Так как fn(x) =5* f(x) на А, то /п(ж) ^> f(x) на
каждом т4^. По доказанному выше, существует подпоследовательность
f\,m(x) ~^ f(x) п-в- на ^-ь Далее, эта подпоследовательность сходится
по мере на каждом Ai, поэтому из неё можно выбрать подпоследо-
подпоследовательность /2,п2(ж)' сходящуюся к f (х) п.в. на А%. Продолжая этот
процесс по индукции и выбирая диагональную подпоследовательность
{fk,nk{x)}^L\, получим, что эта подпоследовательность сходится к f(x)
п.в. на каждом Ai, т.е п.в. на А. ?
9.20. Предположим, что последовательность {sin nx}^={ сходится
по мере на [0,тг]. Тогда (см. задачу 9.12) существует такое N, что при
т,п ^ N выполнено условие
[0, тг]: | sin пх — sin тх \ > - > J < —.

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	191
При этом можно считать, что N > 4. С другой стороны, для любого
1, — ] имеем
/ Г2тг/с _т^_ 2тг/с ЗтП \ _ тг
Отсюда следует, что
* е [0.7Г]: |siniVz-sin2iVz| > \
^ ? = ^ > .
Полученное противоречие доказывает, что последовательность не схо-
сходится по мере. ?
9.21. Пусть дано г > 0. Тогда
Еп = {хе [0, 1]: |/п(х)| >е}= ((гп - ^гп + -±-\ \ {гп}\ П [0,
2
для п е N. Поэтому и(Еп) < —=	> 0 при п -^ оо. П
9.22. Пусть дано ? > 0. Тогда
Поэтому /jb(En) —> 0 при п^ оо и, следовательно, жп ^> 0 на [0, 1].
С другой стороны, для каждого п > 2 имеем
Bn = {xe[0,2]:x2n-xn>\}D g,2],
откуда следует, что последовательность {хп} не сходится по мере на
отрезке [0,2]. ?
9.23. Пусть 5 е @, i). Если ж G [0, 1] \ (гп - 5,гп + 5), то /п(ж) <
2 е2
^ е~9^ —> 0 при п ^ оо. Поэтому для любого ? > 0 существует
такое N, что при п > N справедлива оценка
ж б [0,1]: fn(x) > е}) < д((г„ - J, г„ + <5)) = 25,
из которой следует, что fn(x) =5* 0 при п -^ оо на [0, 1]. ?
9.24. Из решения задачи 9.23 и из задачи 9.19 следует, что для
любого xq е [0,1] найдётся подпоследовательность fnk(xo) —> 0 при

192	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
к —> оо. С другой стороны, для любого простого q существует такое
v	1
рациональное гт = — с qm = q, что 0 < \гт — xq\ < -. Тогда
Qm	Q
?
9.25.	В силу результата задачи 9.19 существует такая подпосле-
подпоследовательность {fnk(x)}^L\y что fnk{x) ~^ f{x) ПРИ к -^ оо п.в. на А.
Поэтому f(x) ^ 0 п.в. на А. ?
9.26.	Из задачи 9.15 следует, что для любого т существует чис-
число пт, для которого
J U U е X: \fk(x) - f(x)\ >^
\k=nrn
Введём обозначение
Е?=Х\ U G
т=\
Тогда
оо
сю
Gm.
Для заданного ^ > 0 найдём такое натуральное ш, что — < 7- Тогда
при к > пт получаем
\fk(x) ~ f(x)\ < — < 7 Для каждого х е Е?,
что и означает равномерную сходимость на Ее. ?
9.27. Пусть /п(ж) = Х[-п,п](х) ПРИ ж ^ ^ и ^ ^ N. Ясно, что
fn(x) ~^ 1 ПРИ п ~^ °° Для любого ж. В то же время
для любого п, поэтому утверждение теоремы Егорова не выполняет-
выполняется. ?
9.28. По определению сг-конечной меры найдутся такие множества
сю	сю
Ai е М, что fi(Ai) < оо и X = \_\ Ai. Положим Вк = \_\ Аг и fk(x) =
г=\	г=к
= Хвк(х)- Тогда fn(x) -^Ов каждой точке, но
fi(LeX: \fn(x)\ >

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	193
для любого п, поэтому утверждение теоремы Егорова не выпол-
выполняется. ?
9.29. Представим вначале множество А в виде
оо
А= \JAn,
п=\
где fjb(An) < оо при п е N (если fi(A) < оо, то можно взять А\ = А
т
и А2 = А3 = ... = 0). Пусть fm(x) = О при х ? LJ Ап и
п=\
если ^i < f(x) < А, Где^=1,2,...,22-,
771
при х G |_| Ап. Докажем, что эта последовательность монотонна
п=\
на А Пусть m — натуральное число и xG А Если fm(x) = 0, то
/m+i(s) > 0 = /ш(ж). Если /ш(ж) = 2- то х е U ^ и /(ж) > 2-
/с=1
откуда следует, что fm+\{x) > 2m. Пусть f(x) = ^г, где 1 < к < 2т,
т
тогда х е \_\ Ak и
2т' 2т	2	2
2к	2к + 1
Следовательно, /m+i(x) = —^ или fm+\(x) = х , и в обоих слу-
случаях /m+i(x) > /ш(ж).
Докажем теперь, что fm(x) -^ f(x) при m -^ оо для xGi. Если ж G
е4и /(ж) < +00, то для некоторого то имеем: х е \_\ Ak и f(x) < 2m°.
k=\
Следовательно, при п ^ то получаем, что \fn(x) — f(x)\ ^ 2~n. Если
/(ж) = оо, то для достаточно больших т имеем: fm(x) = 2т -^ +оо
при т —> оо. П
9.30. Пусть U(x) = тах(/(ж),0) и /_(ж) = -тт(/(ж),О). Ясно,
что функции f+(x) и f-(x) неотрицательны, измеримы и конечны
на А и /(ж) = f+(x) — f-(x). В силу результата задачи 9.29 суще-
существуют такие последовательности {/n,+ (#)K?Li и {/п,-(^)}^р что
множества /П>+(А) и /П>_(А) конечны для каждого п, /п>+(ж) | /+(ж)
и fn,-{%) Т /-(#) ПРИ п -^ °° Для любого xG А Тогда последова-
7 П. Л. Ульянов и др.

194	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
тельность fn(x) = /п>+(#) — /п>+(#), п G N, удовлетворяет требованиям
задачи. ?
9.31. Без ограничения общности будем считать, что f(x) конечна
всюду на [а,Ь]. В силу результата задачи 9.30 существует такая по-
последовательность {/n(#)K?Li> что /п([я>Ь]) конечна при всех п и всех
xG [а, Ь], и /п(ж) —> /(ж) при п —> оо на [а, Ь]. Тогда
fn(x) = Yl an,kXA(n,k)(X)>	ГДе	U А(П> к) = 1а' Я
к=\	к=\
при всех п G N. Для любых заданных пик выберем такое замкнутое
множество F(n,k) С A(n, fc), что fi(A(n,k) \F(n,k)) < -^— (суще-
ствует в силу результатов задач 7.40 и 7.42). Обозначим
F(n)= U F(n,k)
к=\
для п G N. Тогда Fn — замкнутое множество, и /i([a, 6] \ F(n)) < —^ при
каждом п. Так как fn(x) постоянна на F(n,k) при к = 1,2, ...,кп, то
/п(ж) G C(F(n)). Для заданного ? > 0 найдём 7V такое, что 2-ЛГ+2 < ?,
и обозначим
сю
п=ЛГ
Тогда /i([a, 6] \ Б) < - и /п(ж) ^ /(ж) при п ^ оо на Б, причём
функции /п непрерывны на В начиная с номера N. По теореме Егорова
найдём такое множество D С В, что [i(B \ D) < - и сходимость
равномерна на D. Более того, используя задачи 7.40 и7.42, можно вы-
выбрать D замкнутым. По теореме Вейерштрасса f(x) G C(D). Наконец,
используя задачу 4.22, построим такую g(x) G С ([а, Ь]), что д(х) = f(x)
на D. Так как /i([a, b] \ D) < г, то д — искомая функция. ?
9.32. Пусть задано г > 0. Разобьём Rn на счётное количество
единичных кубов, пересекающихся лишь по границам:
Rn=	U [fcl,fcl + l] X...X [fen, fen +1]= U tm-
На каждом кубе 1т в силу результата задачи 9.31 можно построить
такую функцию hm(x) е СGШ), что /х({ж G /ш: /(ж) ф hm(x)}) <
< 2~т~2г. Далее, построим такие функции дт(х) е СAт), что

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	195
fi({x ? Im : hm(x) ф дт(х)}) < 2~т-2е и hm(x) = 0 на границе куба 1т.
Определим функции
fO,	при t <0,? > 1;
1,	при 5 ^ t ^ 1—5;
t/6,	при 0 < t < 5;
. -t)/5,	при 1 - 5 < t < 1.
Тогда функции дш можно задать следующим образом:
п
(\	7	/ \ Т—Г /	/	7 \
где 5{т) выбраны достаточно малыми. Теперь нетрудно видеть, что
функция д(х), равная дт(х) на каждом 1т, удовлетворяет условиям
задачи. ?
9.33.	Найдём такие функции fn(x) ? С ([а, Ь]), что
для n G N. Покажем, что функция / измерима. Действительно,
fn(x) = f(x) всюду на множестве Ап = [а, Ь] \Еп. Поэтому f(x) из-
измерима и конечна на каждом Ап. В силу результата задачи 8.2 функ-
функция / измерима и конечна и на их объединении, т. е. на множестве
с дополнением нулевой меры. Но так как классическая мера Лебега
полна, то тогда f(x) измерима на всём отрезке [а, Ь] (см. решение
задачи 8.43). ?
9.34.	Найдём, используя теорему Лузина, такие функции fn(x) ?
?С([а,Ъ]), что
ц(Еп) < 2~п, где Еп = {х е [а, Ъ]: f(x) ф fn(x)},
для п ? N. Заметим, что
оо	\	/ оо	\
{J{x€[a,b}:\f(x)-fn(x)\>0} )=J [j ?„ U 2"fe+1 ^ 0
¦п=к	/	\п=к /
при к -^ оо. Поэтому fn(x) -^ f(x) п.в. на [а, Ъ] в силу результата
задачи 9.15. ?
9.35.	Пусть заданы е > 0 и 7 > 0- Вначале, используя теорему Лу-
Лузина, выберем д(х) ? С([— 1, 1]) так, что если Е = {х е [—1,1]: f(x) Ф
Ф д(х)}, то 1л(Е) < ^. Далее, опираясь на теорему Кантора, выберем п
так, что если х, у ? [— 1, 1] и \х — у\ ^ —, то \д(х) — д(у)\ < s. Обозначим

196	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
F = (е U (е + -)) П [О, 1]. Ясно, что /i(F) < 7, и если х е [О, 1] \ F,
то х, х	G [— 1, 1] \ Е, поэтому
п
-±)-9(х)
< е.
?
9.36. Мы будем строить функцию f(x) на [0, 1], считая, что
f(x — 1) = f(x) при х G @, 1]. Для произвольного п ^ 10 положим
Л	/fc- 1 /с\ Л/	//с- 1 /с- 1 , 1 \	, , о
Afc,n = 	,- и Axfcn = 	,	+ -2 при к = 1,2, ...,п.
Обозначим также fk,n(%) — XA'fc (ж)- Докажем теперь, что для любого
ж G А^п = (	1—г' / сУЩествУет такое натуральное / G (п,п2),
что Л,п (^ — у) = 1. Действительно, пусть у = х	. Тогда
у е (-о, - ) • Следовательно,
п2	I 1 = п2^/ - п2у2 -п2у + у+\ = -п2/ + у + 1 q
1 =	=
пу-\ У	(пу-\)у	(пу-\)у
откуда следует, что существует натуральное /, для которого
- <1 < -i^	, или - < у < - + -т.
2/	п2?/ - 1	I	I п2
Заметим, что при этом I > п и I < п2.
Перейдём к построению функции /. На первом шаге возьмём про-
произвольное щ ^ 10, и пусть
Затем возьмём щ = 2п^, и пусть
Далее возьмём щ = 2n^, и пусть
В3 = {ке[\,щ]:А1Пз
Мх)= Е A.n,W и Е3=

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	197
и т. д. Наконец, пусть
г=\	г=\
Так как supp/^ попарно не пересекаются, то f(x) корректно определена
(на самом деле, f(x) — индикатор некоторого множества). Так как
00 1
EiD E2D ... и ^ — < оо, то
з=1 Щ
ц(Е) = lim n(Ei) = lim П (l - —\ > 0.
woo	woo , V	7i7- /
Заметим также, что f(x) = 0 при х е Е. По построению для любого
xGEh для любого г существует такое /^ ^ (щ, ^|), что
Если предположить, что дт(х) = f (х — — ) -^ д(х) при m —> оо п.в.
V ту
V	у
на [О, 1], то в силу результата задач 9.16 и 9.35 д(х) = /(ж) п.в. на
[О, 1]. Следовательно, дт{%) —> О П-В- на ?^, что противоречит предыду-
предыдущим рассуждениям. Таким образом, последовательность {дт{%)}^=\
расходится на множестве положительной меры. ?
9.37. Найдём такую возрастающую последовательность
6 A: \fn,kn(x) - fn(x)\ >l
при п G N. Докажем, что fn,kn(%) => f(x) ПРИ n ^ оо на А. Пусть даны
г > 0 и 7 > 0- Тогда можно выбрать натуральное 7V так, чтобы
({
are Л:
при n ^ iV, — < | и 2-ЛГ < ^. Если теперь п ^ iV, то
A: \fn,kn(x) ~ Ux)\ > ^}) + \ < ^ + \ < 7-
?

198	Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду
9.38. Пусть
А = \_\ Bi, где /Ji(Bi) < оо при г е N.
г=1
Обозначим
Ап= \_\Bi при п е N.
г=1
Тогда /i(An) < оо для любого п и /п>&(#) —> /п(#) ПРИ & —> °° п-в-
на Ап, поэтому fntk(%) => fn(%) ПРИ ^ оо на Ап. Следовательно,
можно найти такую возрастающую последовательность {кп}™=1, что
при п е N. Достаточно доказать, что fn,kn(x) —> f(x) п-в- на каж-
каждом Aj, тогда и утверждение задачи будет установлено. Зафиксируем j.
Пусть даны г > О и 7 > 0. Так как /п(ж) —> /(ж) при п ^ оо п.в.
на Aj, то для некоторого натурального N в силу результата задачи 9.15
выполнено неравенство
сю (
UJr г Л . . If /^
.n=N
При этом мы можем считать, что N > j. Тогда выберем К > N так,
что — < | и 2~к+1 < ^ При этом
сю
\J {xeAJ:\fn(x)-f(x)\>?-})<
\n=K L	V
Применяя задачу 9.15, получаем, что fn,kn(x) ~^ f(x) ПРИ п ~^ °° п-в-
на ^. ?
9.39. Пусть Qm={rk}T=v
О — иначе.

Гл. 9. Сходимость по мере и почти всюду	199
Тогда fn(x) —> D(x) при п —> оо для каждого ж G [0, 1], где D(x) —
функция Дирихле.
При чётных п построим такие последовательности {fn,k{x)Y^k=\
непрерывных функций, что fn^{x) ~^ fn{x) ПРИ к —> оо для всех х G
G [0, 1] (нетрудно построить такую последовательность, например, из
кусочно-линейных функций). При нечётных п положим /п>&(#) = fn(x)
для произвольного к G N.
Предположим, что существует сходящаяся в каждой точке последо-
последовательность {fn,kn(x)}%Li- Так как f2j+i,k2j+i = hj+i(x) -^ D(x) в каж"
дой точке при j —> оо, то предельной функцией может быть только
функция Дирихле. Тогда и f2j,k2j(x) ~^ D(x) при j —> оо. Но согласно
задаче 4.36 никакая последовательность {дп{х)}(^=\ непрерывных на
[О, 1] функций не может сходиться всюду на [О, 1] к функции Дирих-
Дирихле. ?
9.40. Из теоремы Вейерштрасса следует, что существует счётное
всюду плотное множество многочленов {Qk(x)}^=l в С([0, 1]). Пусть
Р\(х) = Q\(x) и Рп(х) = Qn(x) - Qn-\(x) при п = 2,3,... Тогда для
любого п имеем
к=\
Для заданной f(x) e С ([О, 1]) найдём такую возрастающую последова-
последовательность {fenj^p что Qkn(x) —> f(x) при п -^ оо равномерно на [О, 1].
Это и означает, что
при п —> оо равномерно на [0, 1]. П
9.41. Пусть АпМ = ix е А: ^^ < f(x) < -| при п е N и /с е Z.
Ясно, что An>fc G М при любых пик. Пусть тогда
+о° А-- 1
п(х)= Е ~^— ХАп,Лх)
к= — оо
при n G N. Заметим, что каждая функция fn(x) конечна и измерима
на А, множество fn(A) счётно и \fn(x) — f(x)\ ^ — при всех х G А. Та-
Таким образом, последовательность {fn(x)}™=\ удовлетворяет условиям
задачи. П

Глава 10
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
В этой главе мы будем считать заданным сг-конечное измеримое
пространство (X, М, /i) и множество A G М. Мы будем также считать,
что все рассматриваемые функции отображают А в множество R U
U{-oo}U{+oo}.
Пусть конечная функция f(x) определена на А. Будем называть
её простой функцией на А, если она измерима на А, множество
f(A) конечно и, если а е f(A) и а ф 0, то множество f~l({a}) имеет
конечную меру; или, эквивалентно, f(x) — простая функция на А, если
/О) = Е °kXAk(x)>
k=\
где Ak G M, AkH Aj = 0 при k ф j и, если с^ ф 0, то fi(Ak) < oo. При
п
этом можно считать, что с\ < с^ < ... < сп и что |_J Ak = А.
к=\
Если f(x) — простая функция на А вида
f(x) = J2ckXAk(x), где LJ Ак = А,
к=\	к=\
то мы определяем интеграл Лебега от этой функции по множеству А
формулой
(L) J /(ж) ф = J f(x) ф = Х; Cfe/i(Afe)
(где, формально, 0 • оо = 0). Здесь мы не предполагаем, что ск ф Cj
при к ф j.
Если f(x) — неотрицательная измеримая функция на А, то мы
обозначим через Qf = Q/,a множество всех простых функций h(x)
на А, удовлетворяющих всюду на А условию 0 ^ h(x) ^ /(%)•

Гл. 10. Интеграл Лебега	201
Определим интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функ-
функции f(x) по множеству А формулой
f(x) dpi = sup h(x) dpi
(заметим, что мы допускаем бесконечное значение интеграла). Если
интеграл конечен, то скажем, что f(x) G L(A) (что f(x) интегрируема
по Лебегу на А).
Для произвольной измеримой функции f(x) на А мы определим две
функции:
/+(ж) =тах(/(ж),0) и f_(x) = тах(-/(ж),0) = -(f(x) - f+(x)).
Скажем, что f(x) G L(A) (что f(x) интегрируема по Лебегу на А),
если /+(#) G Ь(^4) и /_(ж) е L(A). Назовём интегралом Лебега от
функции f(x) G Ь(А) по множеству А величину
х) dfi = t+\x) dfi — j-(x)dfi.
Корректность этого определения будет показана в задаче 10.13.
Ниже через Ь([а,Ь\), где [а,Ь] С Rn, n > 1, будем обозначать мно-
множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно классической
меры Лебега на [а, Ь]. Отметим, что в этом случае, как будет следовать
из задачи 10.18, нет разницы между классами L([a, b]) и Ь((а,Ь)).
ЗАДАЧИ
10.1. Пусть f(x), д(х) — простые функции на А и а, Ъ G R.
fix)
Доказать, что функции af(x) + bg(x), \f(x)\, f(x)-g(x), ^7—г (если
д(х)
0 ^ ^(А)) также простые на А.
10.2.	Пусть f(x) и #(#) — простые функции на А. Доказать, что
функция max (f(x),g(x)) также простая на А.
10.3.	Доказать, что определение интеграла Лебега от простой
функции корректно, т. е. его значение не зависит от выбора мно-
множеств Ak.
10.4.	Пусть f(x), д(х) — простые функции на А и а, Ъ е R. Дока-
Доказать, что
J (af(x) + bg(x)) dfi = a J f(x) dfi + b J р(ж) dfi.

202	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.5. Пусть f(x) — простая функция на А и f(x) ^ 0 на А.
Доказать, что
10.6. Пусть f(x) и д(х) — простые функции на А, причём f(x)
д(х) на А. Доказать, что
г	г
f(x) dfi ^ g(x
10.7. Пусть f(x) — простая функция на А, /л(А) < оо и С\ ^ f(x)
С2 на А. Доказать, что
А
10.8. Пусть f(x) — простая функция на А. Доказать, что
f(x) dfi
А
10.9. Пусть f(x) — простая функция на А и А = В U С, где В, С е
G М. Доказать, что
Л	Б	С
10.10. Пусть {дп{%)}^=\ — неубывающая последовательность про-
простых неотрицательных функций на А, д(х) — простая неотрицательная
функция на А и
lim gn(x) > д(х)
п^оо
для каждого х G А. Доказать, что
lim \ gn(x)d/i > [ д(х) d/i.
А	А
10.11. Пусть f(x) = -» и /i — классическая мера Лебега на @, 1).
х
Доказать, что
J f(x) dfi = оо,
(ОД)
используя только определение интеграла Лебега.

Гл. 10. Интеграл Лебега	203
10.12.	Пусть f(x) = - и /i — классическая мера Лебега на @, 1).
Доказать, что
f(x) dfi = оо,
(ОД)
используя только определение интеграла Лебега.
10.13.	Доказать, что если f(x) — простая функция на А, то зна-
значения интеграла Лебега от неё как от простой функции и полученное
согласно общему определению совпадают.
10.14.	Пусть f(x) — измеримая функция на А, дано множество
В С А и В ? М. Доказать, что f(x) ? L{B) тогда и только тогда, когда
!(х)хв(х) е L(A), и если f(x) e L(B), то
J f(x) dfi = J J(x)xb(x) dfi.
в
10.15.	Пусть {gn(%)}^L\ — неубывающая последовательность
неотрицательных простых функций на А и д(х) = lim gn(x) на А.
п—*-оо
Доказать, что
lim gn(%) dfi = g(x) dfi.
А	А
10.16.	Пусть f(x) и д{х) — неотрицательные измеримые функции
на А. Доказать, что
J (/(» + д{х)) dfi= J f(x) dfi + J g{x) dfi.
A	A	A
Здесь, как обычно, оо + оо = оо.
10.17.	Пусть f(x) — неотрицательная измеримая функция на А
и А = BUC, где В,С е М. Доказать, что
\f{x)dfi=\f{x)dfi+\f{x)dfi.
ABC
10.18.	Пусть функция f(x) измерима на А и fi(A) = 0. Доказать,
что f(x) e L(A) и
10.19. Пусть мера fi полна, f(x) G L(A) и функция д(х) эквива-
эквивалентна функции f(x) на А. Доказать, что д(х) ? L(A) и
J g(x) dfi = J f(x) dfi.

204	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.20. Пусть f(x) e L(A). Доказать, что
10.21. Пусть f(x) G L(A). Доказать, что для любого a G R1 функ-
функция af(x) принадлежит L(A) и
J af(x) dfi = а \ f(x) dfi.
10.22. Пусть функции f(x) и д(х) из L(A). Доказать, что f(x) +
д(х) eL(A) и
J (f(x) + g(x)) dfi = J f(x) dfi + J g(x) dfi.
A	A	A
10.23. Пусть функции f(x) и д(х) из L(A) и a, b G R. Доказать,
что а/(ж) + Ь#(ж) G L(A) и
(af(x) + Ъд(х)) dfi = a\ f{x) dfi + b \
10.24.	Пусть /(ж) — измеримая функция на А. Доказать, что
) G Ь(^4) тогда и только тогда, когда \f(x)\ e L(A).
10.25.	Пусть f(x) e L(A). Доказать, что
10.26.	Пусть f(x) и д(х) — такие измеримые функции на А, что
f(x) e L(A) и \д(х)\ < |/(ж)| при жеА Доказать, что д(х) е L(A).
10.27.	Пусть f(x) e L(A) и f(x) > 0 при х е А. Доказать, что
10.28.	Пусть функции f(x) и д{х) из L(A) и ^(ж) < f(x) при жеА
Доказать, что
J g{x) d/x < J /(ж) d/i.
10.29.	Пусть f(x) — измеримая функция на А, где fi(A) < оо,
и |/(ж)| ^ С для некоторого С ^ 0 при всех xG 4. Доказать, что

Гл. 10. Интеграл Лебега	205
f{x) e ЦА) и
А
10.30. Пусть f(x) — такая измеримая функция на А, что f(A)
счётно, т. е.
сю	сю
f(x) = J2aiXAi{x), где А=|_|^.
г=1	г=1
Доказать, что f(x) G L(A) тогда и только тогда, когда
< 00,
г=1
и если /(ж) G 1/(^4), то
10.31. Пусть /i(A) < оо, а /(ж) — такая измеримая функция
на А, что —оо < а < f(x) < Ъ < оо при ж G i. Пусть Т — раз-
разбиение отрезка [а, Ь], т.е. а = уо < у\ < г/2 < ... < уп = Ь. Поло-
Положим Rk = {x G A: y^-i ^ /(ж) < у/е} при к = 1, 2,..., п, и пусть
Л(Т) = max (?д. — Ук-\)- Доказать, что если
Ft =
(эта величина называется интегральной суммой Лебега), то суще-
существует
10.32. Теорема Б. Леви для неотрицательных функций. Пусть
ifn(x)} — такие измеримые функции на А, что 0 < f\(x) < /2(ж) <
< ... < fn(x) < ... при всех xG А Доказать, что если f(x) =
= lim fn(x), то
I f(x)dfi = lim I fn(x)dfji
J	n^oo J
(здесь допускаются бесконечные значения функций и интегралов).

206	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.33. Теорема Б. Леви для интегрируемых функций. Пусть
{fn(x)} — такие функции из L(A), что —оо < f\(x) < /2(ж) < ... <
^ fn(x) ^ • • • для всех xG А Пусть существует такое С > 0, что
sup [/п(ж)ф < С.
п ^
Доказать, что функция /(ж) = lim fn интегрируема по Лебегу на А
п^оо
(в частности, функция f(x) конечна п.в. на А) и
f(x)dfi= lim \fn(x)dfji.
10.34.	Теорема Б. Леви для рядов. Пусть {fn(x)}^L\ ~ последо-
последовательность измеримых неотрицательных функций на А, а
оо
ЛтЛ = V^ f (г}
п=\
Доказать, что
Г	°° Г
f(x)d/jJ= J2 fn(x)dii.
A	n=1 A
10.35.	Теорема Фату. Пусть /i — полная мера, a {/n}^Li — такая
последовательность неотрицательных измеримых функций на А, что
fn(x) ~^ f(x) ПРИ п -^ °° п-в- на А- Доказать, что
f(x) d[i < liminf [ fn(
n^oo J
Замечание. Теорема Фату, так же как и теорема Лебега (за-
(задача 10.37), остаётся справедливой, если заменить условие полноты
меры /i на условие измеримости предельной функции f(x).
10.36.	Доказать, что теорема Фату A0.35) остаётся справедливой,
если заменить условие «fn(x) —> f(x) ПРИ п ^ оо п.в. на А» условием
«fnipc) => f(x) ПРИ п ~^ °° на А».
10.37.	Теорема Лебега. Пусть /i — полная мера, a {fn(x)}™=\ —
такая последовательность измеримых функций на А, что fn(x) —> /(ж)
при п ^ оо п.в. на А. Пусть к тому же существует такая функция
F(x) G L(A), что |/n(^)| ^ F(x) при всех п для всех х ? А (функция F
называется мажорантой). Доказать, что f(x) G L(A) и
\f(x)dfjL= lim |/п(
J	n^oo J

Гл. 10. Интеграл Лебега	207
10.38.	Доказать, что теорема Лебега A0.37) остаётся справедли-
справедливой, если заменить условие «fn(x) —> f(x) при п —> оо п.в. на А»
условием «/п(ж) => f(x) при n —> оо на А».
10.39.	Построить такую последовательность {/п (ж) 1^=1 неотрица-
неотрицательных функций из 1/([0, 1]), что /га(ж) —> 0 при n ^ оо для каждого
ж G [О, 1], но
J
[ОД]
при п ^ оо.
10.40. Построить такую последовательность {fn(x)}^L\ неотрица-
неотрицательных функций из 1/(@, 1)), что fn(x) —> 0 при п -^ оо для каждого
ж G [О, 1] и |/га(#)| ^ - при всех п для всех х е (О, 1), но
X
[ОД]
при п —> оо.
10.41. Построить такую последовательность {/n(^)}ra^=i неотрица-
неотрицательных функций из 1/(@, 1)), что /га(ж) —> 0 при n ^ оо для каждого
ж G [О, 1] и
[ОД]
при п ^ оо, но F(x) = sup/n(x) ^ 1/@, 1).
п
10.42. Пусть f(x) e L(A) и
A=\JAn,
п=\
где все Ап е М. Доказать, что f(x) e L(An) для каждого п и
10.43. Пусть
n=1
А = U Л,,
П=1

208
Гл. 10. Интеграл Лебега
где Ап G М, и f(x) — неотрицательная измеримая функция на Ап при
п ? N. Доказать, что
n=1
10.44. Построить такую функцию /(ж) на @, 1), что если Ап =
	-, - j при п ? N, то f(x) ? L(An) для всех п,
оо
Е
п=1
< ОО,
но f(x) ф L(@,1)).
10.45. Пусть f(x) — измеримая неотрицательная функция на А и
[х), если f(x) ^ п
— иначе
при n G N. Доказать, что
= lim |/n(
A
10.46. Построить такую последовательность {/n(#)}^Li функций
из L(R), что fn(x) -^ 0 при п -^ оо равномерно на R, но
оо
при п ^ оо.
10.47. Пусть f(x) ? L(A), g(x) — измеримая функция на А
и \д(х)\ < С для некоторого С при всех же А Доказать, что f(x) x
х #(ж) ? L(A) и
10.48. Пусть f(x) ? L(A), f(x) > 0 на А, д(х) — измеримая функ-
функция на А и а < д(х) < /3 при некоторых а, C для всех жеА Доказать,
что существует 7 ? [се,/3], для которого
J f(x)g(x) dji = 7 J

Гл. 10. Интеграл Лебега	209
10.49. Построить пример таких функций f(x) G L((Q, 1)) и д(х),
что д(х) — измеримая ограниченная функция на @, 1) и а ^ д(х) ^ /3
для некоторых а, /3 при всех х ? @, 1), но не существует 7 ? [се,/3], для
которого
10.50.	Пусть f(x),g(x) ? L(A) и /г(ж) = тах(/(ж),^(ж)) при всех
х е А. Доказать, что h(x) ? L(A).
10.51.	Неравенство Чебышёва. Пусть функция f(x) ? L(A) неот-
неотрицательна на А и А\ = {х ? A: f(x) ^ Л} при Л > 0. Доказать, что
А
10.52.	Пусть /0) ? L(A), f(x) > 0 на А и
[ f(x) d/i = 0.
А
Доказать, что f(x) = 0 п.в. на А.
10.53.	Пусть f(x) ? L(A) и для любого множества В с А, В ? М
выполнено равенство
Доказать, что f(x) = 0 п.в. на А.
10.54.	Пусть 1л(А) < оо, а функция f(x) измерима и конечна на А.
Пусть также Ek(f) = {х ? А: к < \f(x)\ < к + 1} при /с = 0, 1,...
Доказать, что f(x) ? L(A) тогда и только тогда, когда
сю
? МВД)) < оо.
к=\
10.55.	Построить функцию f(x), которая измерима относительно
классической меры Лебега на R, неотрицательна и конечна на R
и (см. задачу 10.54)
<
но /(ж) ^ L(R).

210	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.56.	Пусть 1л(А) < оо и функция f(x) измерима на А. Пусть
также Fk(f) = {х е A: \f(x)\ > к} при к = 0, 1,... Доказать, что f(x) e
е L(A) тогда и только тогда, когда
сю
? МВД)) < оо.
к=\
10.57.	Построить функцию f(x), которая измерима относительно
классической меры Лебега на R, неотрицательна и конечна на R,
и (см. задачу 10.56)
сю
? МВД)) < оо.
к=\
но f{x) i L(R).
10.58.	Пусть функция /(ж) измерима на множестве А, и Dk(f) =
= {хе4: |/(ж)| > 2~к} при /с = 0, 1,2,... Доказать, что f(x) e L(A)
тогда и только тогда, когда (см. задачу 10.56)
сю	сю
^ МВД)) < сю и ^ 2"*МВД)) < оо.
/с=1	/с=1
10.59.	Пусть /(ж) G L(A). Доказать, что (см. задачу 10.56)
=°(г) ПРИ ^^оо.
10.60.	Построить такую измеримую функцию f(x) ^ L(@, 1)), что
(см. задачу 10.56) fi(Fk(f)) = о (- ) при /с —> оо.
\ /с /
10.61.	Пусть /(ж) — конечная измеримая функция на А. Доказать,
что существует положительная измеримая функция д(х) на А, для
которой f(x) • д(х) е L(A).
10.62.	Пусть А\,А2,... — измеримые подмножества А и
Вп = {х ? А: х принадлежит не менее чем п различным Ai}.
Доказать, что
г=1
10.63. Пусть {fn(x)}™=\ и /(^) — неотрицательные функции из
L(A), fn(x) => f(x) при п -^ оо на А и
lim I fn(x)dfji = I f(x)dfi.

Гл. 10. Интеграл Лебега	211
Доказать, что для любого В С А, В ? М, выполнено
lim I fn(x)dfji = I f(x)dfi.
n^oo J	J
В	В
10.64.	Построить пример, показывающий, что в задаче 10.63 нель-
нельзя отбросить условие «fn(x) ^ 0 на А».
10.65.	Пусть /л(А) = оо и f(x) ? L(A). Доказать, что для любого
г > 0 существует такое множество В с А, В е М, удовлетворяющее
условию /i(.B) < оо, что
J \f(x)\d^<8.
А\В
10.66.	Пусть f(x) G L(A). Доказать, что существует непрерывная
положительная неубывающая функция Ф(и) на [0, оо), для которой
Ф(и) -^ оо при и —> оо и в то же время
10.67. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Пусть
f(x) e L(A). Доказать, что для любого г > 0 существует такое 5 > О,
что для каждого множества В е М, В с А, с fi(B) < 5 выполнено
неравенство
10.68.	Пусть fi(A) < оо, {fn(x)}™=i и f(x) - функции из L(A),
fn(x) =5* f(x) при п -^ оо на А и функции {fn(x)}^L\ имеют равносте-
равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на А, т. е. для любого г > О
существует такое 5 > 0, что для любого В е М, В с А, с /iE) < 5
и для любого п выполнено неравенство
fn(x)dfji < г.
в
Доказать, что
lim \ fn(x)d/i= \ f(x)d/i.
А	А
10.69.	Доказать, что утверждение задачи 10.68 не выполняется
для А = R.
10.70.	Пусть дана система {fUJ(x)}UJ^u С L(A) и функции из этой
системы имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на А

212	Гл. 10. Интеграл Лебега
(см. задачу 10.68). Доказать, что система {1/^(^I}^^ обладает тем
же свойством.
10.71.	Пусть {/п(ж)}~=1 и f(x) - функции из L(A), fn(x) > f(x)
п.в. на A, fn(x) => f{x) ПРИ п —> оо на А и
Г	Г
lim fn\X) d\i = f(x)d/ji.
Доказать, что функции {fn(x)}^L\ имеют равностепенно абсолютно
непрерывные интегралы на А.
10.72.	Пусть дана система V = {/ш(х)}ше^ С L(A) и существует
такая непрерывная положительная неубывающая функция Ф(и) на
[О, оо), что Ф(и) —> оо при м^оо и
sup
J |/(аг)|Ф(|/(ж)|) d/z = С < оо.
Доказать, что функции системы имеют равностепенно абсолютно
непрерывные интегралы на А.
10.73. Построить измеримое пространство (X,M,fi), где jiX < оо,
и систему измеримых функций {fn{x)}^L\ из L(X) с равностепенно
абсолютно непрерывными интегралами на X, для которых
sup fn(x)dn = оо.
10.74.	Пусть к ^ 1, i С R , /i(A) < оо, дана система V =
= {/cc;(^)}Cc;G^ ^ ^(^-) и функции из системы имеют равностепенно аб-
абсолютно непрерывные интегралы на А. Доказать, что существует такая
непрерывная положительная неубывающая функция Ф(и) на [0, оо), что
Ф(и) —> оо при и -^ оо и
sup
10.75.	Доказать, что результат задачи 10.74 не выполняется при
РЕШЕНИЯ
10.1. Проверим только первое утверждение; остальные проверяют-
проверяются аналогично. Пусть
fix)
п
= J2 СкХАк (х)
к=\
И
д(х)
т
= y^

Гл. 10. Интеграл Лебега	213
где
п	т
U Ак = у в, = а.
к=\	j=\
Тогда
п т
af(x) + Ъд{х) = Е Е (аск + bdj)XAknBj (х).
к=\j=\
Заметим также, что если ack + bdj y^ 0, то хотя бы одно из чисел с&,
^ отлично от нуля. Поэтому fi(Ak П Б^) < min (fi(Ak), fi(Bj)) < oo.
Следовательно, af(x) + Ь^(ж) — простая функция на А. ?
10.2. Пусть
k=l	j=\
^e	n	m
k=\	j=\
Тогда	п т
max(f(x),g(x)) = J2 Emax(Cfc'^i)
Если max (с&, dj) 7^ О при некоторых к и j, то хотя бы одно из чисел с&,
dj отлично от нуля. Поэтому /i(Afc П Б^) < min (fi(Ak), fi(Bj)) < 00.
Следовательно, тах(/(ж),^(ж)) — также простая функция на А. ?
10.3. Пусть
n	m
к=\	j=\
где
U л, = у Bj = a
к=\	j=\
и с\ < С2 < ... < сп. В этом случае каждое число dj равно одному из
чисел с/с. Определим множества Г/с = {j: dj = с/с} при /с = 1,2,..., п.
Ясно, что
Аи = у вз-
Следовательно,
к=\	к=\ jerk	k=\jerk	j=\
откуда следует утверждение задачи. ?

214	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.4. Пусть
п
f(x) = ]
к=\	j=\
гДе
\JAk=\jBj=A.
к=\	j=\
В силу результата задачи 10.1 функция af(x) + bg(x) — простая.
Мы будем использовать выражение для неё, полученное в решении
задачи 10.1. Получаем
п т
(af(x) + Ьд{х)) d^=J2J2 (ack + bdj)n{Ak n
A	k=\j=\
JJ
= aJTckJT fi(Ak П Bj) + b f; dj f: KAk П Bj) =
k=\ j=\	j=\ fe=l
n	m	r	r
= aJ2 Ck^{Ak) +bJ2 d3^Bj) = a J f(x) dfi + b^ g(x) dfi.
k=\	j=\	A	A
П
10.5. Пусть
n	n
f(x) = ]Г СкХАк(х)>	ГДе U Ak = A'
k=\	k=\
Тогда все числа с^ неотрицательны, поэтому
A	k=l
П
10.6.	В силу результата задачи 10.1 функция f(x) — д(х) простая
на А. Более того, f(x) — д(х) ^ 0 на А. Применяя результаты задач 10.4
и 10.5, получаем, что
J f(x) dfi - J g(x) dfi = J (f(x) - g(x)) dfi > 0.
A	A	A
П
10.7.	Так как fi(A) < oo, то функции д\(х) = C\ и g^ix) = C^
простые на А. Далее,
J gj (x) dfi = Cjfi(A) при j = 1, 2.
A
Применяя результат задачи 10.6, получаем нужные неравенства. ?

Гл. 10. Интеграл Лебега	215
10.8.	Так как — \f(x)\ ^ f(x) ^ |/(#)| при всех х G А, то утвержде-
утверждение следует из задачи 10.6. ?
10.9.	Пусть
п	п
/О) = Е скХАк(х)> гДе \_\ Ак = А.
к=\	к=\
Тогда на множестве В имеет место представление
f(x) = J2 скХАкпв(х), где LJ (Ак ПВ)=В,
к=\	к=\
а на множестве С — представление
f(x) = JT скХАкпс{х), где [J (Ак ПС)=С.
к=\	к=\
Отсюда следует, что
п	п
f(x) dfi=J2 CkV(Ak) = Е °кКАк П В) +
/с=1	/с=1
к=\
-\f(x)dfi.
в	с
?
10.10. Если предел интегралов бесконечен, то утверждение оче-
очевидно. Пусть
lim дп(х) dfi < оо.
А
Возьмём произвольное г > 0. Пусть
где Ак Г) Ai = 0 при к ^ I, fi(Ak) < оо при всех /с и 0 < а\ < ... <
< аш. Определим множества Fn = {х ? А: дп(х) < д(х) — г} при п G N,
и пусть
F= \JAh.
к=\
Так как последовательность {дп} монотонна, то F\ D F^ 2 • • • При этом
п=\
и /jl(F\) < /i(i^) < оо. Отсюда, согласно задаче 7.52, следует, что
fi(Fn) —> 0 при п -^ оо. Следовательно, для каждого п получаем

216	Гл. 10. Интеграл Лебега
J д(х) ф = J д(х) ф + J р(ж) ф < J р(ж) ф + \(дп(х) + е) ф =
Fn	F
п(ж) ф
< amfjL(Fn) + Jim^ I gn(x) ф -
A
Так как числа n G N и ? > 0 произвольны, то утверждение задачи
доказано. ?
10.11.	Пусть fn(x) = п2Х@ j_\(x) при n e N и хе @,1). Тогда
/п(ж) G Qf. Поэтому
f(x) d/ji > sup fn(x) d/ji = supn = oo.
(од)	^^o.i)	n^1
?
10.12.	Пусть ipk(x) = kxf_L_ i\ (x) при к е N и ж G @, 1), a
J2	ПРИ ^^N.
Тогда все функции fn(x) принадлежат множеству Qf. Поэтому
f	f	n 1
/(ж) ф > sup fn(x) ф = sup ^ - = oo.
^	n^l J	n^l^_, ^
@,1)	@,1)	/c-1
a
10.13. В силу результата задачи 10.4 достаточно доказать утвер-
утверждение для случая f(x) ^ 0 на А. Если h(x) ? Qf, то (см. задачу 10.6)
С другой стороны, в нашем случае f(x) e Qf, поэтому
sup [ h(x) ф = [ f(x) ф.
a
10.14. Достаточно доказать утверждение для неотрицательных
функций. Из определения ясно, что утверждение верно для про-
простых функций. Но если простая функция h(x) удовлетворяет усло-
условию 0 < h(x) < f(x) на В, то простая функция к(х)хв{%) удовле-

Гл. 10. Интеграл Лебега	217
творяет условию 0 ^ к(х)хв(х) ^ /(х)хв(%) на А. Обратно, если
О < h(x) < /(х)хв(х) на А, то h(x) = 0 на множестве А \ В, т.е.
h(x) = Н(х)хв(х), и 0 < h(x) < f(x) на Б. Поэтому значения интегра-
интегралов f(x)dfi и f(x)xB(%)dn совпадают. ?
в	А
10.15. Существование функции д(х) очевидно (возможно, д(х) =
= оо на некотором множестве). В силу результата задачи 8.44 функция
д(х) измерима на А. Так как дп G Qg, то по определению интеграла
получаем, что
lim \ gn(x)d/i < \ g(x)d/i.
А	А
Пусть h(x) ? Qg. Тогда lim gn(x) > h(x) при х ? А, откуда следует,
что (см. задачу 10.10)
Г	Г
lim gn(x) da > h(x) da.
n^oo J	J
А	А
Переходя к точной верхней грани по всем h(x) ? Qg, получаем утвер-
утверждение задачи. ?
10.16.	Используя результат задачи 9.29, построим такие две
последовательности неотрицательных простых функций {fn(x)}^L\
и {9п(х)}™=1 на А, что fn(x) | f(x) и дп(х) | д(х) при п -> оо
на А. Тогда (fn(x) + дп(х)) Т (f(x)+g(x)) и, применяя результаты
задач 10.15 и 10.4, получаем, что
\(f(x)+g(x))dii= lim \(fn(x) + дп(х)) ф =
= lim /п(ж)ф+ lim
n^oo J	n^oo
Л	А	А	А
?
10.17.	Используя задачу 9.29, построим такую последовательность
неотрицательных простых функций {fn(x)}™=l на А, что fn(x) | /(ж)
при п^оо на А = В U С. Тогда, применяя результаты задач 10.15
и 10.9, получаем, что
|/(ж)ф= lim |/п(ж)ф =
= lim /п(ж)ф+ lim /п(ж)ф= /(ж) ф + /(ж) ф.
Б	С	Б	С
?

218	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.18.	Достаточно доказать утверждение для неотрицательной
функции f(x) на А. Но в этом случае для любой h(x) ? Qf имеем:
h(x) dfi = 0, поэтому f(x) dfi = 0. ?
А	А
10.19.	Заметим, что функция /+(#) эквивалентна функции д+(х)
на A, a f-(x) эквивалентна д~(х) на А. Поэтому достаточно доказать
равенство интегралов для неотрицательных функций f(x) и д(х). За-
Заметим, что функция д(х) измерима (это единственное место, где мы ис-
используем полноту меры fi). Обозначим А\ = {х ? A: f(x) = д(х)} G М.
Тогда ц(А\А\) = 0, и мы получаем (см. задачи 10.17 и 10.18):
J д(х) dfi = J д(х) ф + J д(х) dfi = \ д(х) dfi =
А	Ах	А\АХ	Ах
= j f{x) dfi = j f{x) d^l + j fix) d^l = j fix)
Ax	Ax	A\Ax	A
U
10.20.	Можно считать, что f(x) ^0 на А. Пусть А\ = {х G
G A: f{x) = +00} G М. Предположим, что /л(А\) > 0. Положим
А% = А\, если /i(Ai) < 00, иначе выберем множество А% с А\, А% G М
с 0 < /л(А2) < оо. Определим простые функции hn(x) = пха2(х) Для
n G N. Ясно, что 0 < hn(x) < f(x) при n G N и ж е Е, т. е. hn(x) e Qf.
Тогда по определению интеграла Лебега получаем, что
f(x) dfi > sup hn(x) dfi = sup пц{А<2) = 00,
J	n J	n
A	A
а это противоречит условию интегрируемости /. ?
10.21.	В силу результата задачи 8.18 функция a fix) измерима
на А. Если а = 0, то af(x) = 0 на А, поэтому
Пусть теперь а > 0. Тогда af(x) = (а/)+(ж) — (af)_(x) =
— af-(x). Заметим, что /г(ж) G Q/+ тогда и только тогда, когда а/г(ж) G
? Qa/+- Следовательно,
f+(x) dfi = sup
1	Г	I
= — sup	ah{x) dfi = —
а	{	a

Гл. 10. Интеграл Лебега	219
Аналогичное равенство верно для функции /_(#). Поэтому при а > О
утверждение верно. При а < 0 доказательство аналогично. ?
10.22. Рассмотрим вначале случай, когда f(x) H и д(х) ^ 0 при
х е А. Пусть А\ = {х е A: f(x) + д(х) > 0} и А2 = {х е A: f(x) +
+ #(#) < 0}. Тогда мы получаем (см. задачи 10.16 и 10.21)
fix) da = (f(x)-\-q(x))du-}L- (—qi
J	J	J
= |(/О*О+0(я))ф- J
Аналогично,
- J g(x) ф = j (-/(ж) - #(ж)) ф + J /(ж) ф =
= - |(/(ж)+^(ж))ф+ J
Отсюда следует, что /(ж) + #(ж) G Ь(^4) и (см. задачу 10.16)
J(/O) + 9(х)) ф = J (/(ж) + #(аО)+ ф - J (/ + р)_ (ж) ф =
А	А	А
= J (/ + д)(х) Ф + J (/(ж) + #(ж)) ф = J /(ж) ф +
Ai	Л2	Ai
Г	Г	Г	Г	Г
+ #(#) ф + f(x) d\i + ^(ж) ф = /(ж) ф + д(ж) ф.
Ai	A2	A2	A	A
В общем случае имеем
Л/т» | I nlT*] 	 | f , I /7 . I I O^ I 	 I j I /7 1 1 rp \ 	 1 f\( rp\ 	 'JUT']
При этом в силу результата задачи 10.16
J ф) ф = J U(x) ф + J g+(x) d/i
А	А	А
ip(x) d/i = f-(x) d/i + д~(х) d/i.
А	А	А
Отсюда следует, что <р(х) и ф(х) из L(A). Но у?(ж) ^0 и ^(ж) ^ 0. То-
Тогда, согласно предыдущим рассуждениям, f(x) + д(х) = <р(х) — ф(х) е
е L(A) и

220	Гл. 10. Интеграл Лебега
+ J #+0*0 Ф - J /-(ж) Ф ~ J #-0*0 Ф = J /0*0 Ф + J #0*0 Ф-
л	л	л	л	л
п
10.23.	Утверждение немедленно следует из задач 10.21 и 10.22. ?
10.24.	По определению f(x) ? Ь(А) тогда и только тогда, когда
е L(A) и /_О) G L(A). Более того, так как \f(x)\ =
ж), то согласно задаче 10.16 получаем, что
Так как интегралы в последнем неравенстве неотрицательны, то
|/0*0| ? L(A) тогда и только тогда, когда /+0*0 ^ ^(^) и /-(
откуда следует утверждение задачи. П
10.25. Имеем
А
J /+(ж) ф + J /_(ж) ф = J |/(ж)| ф.
П
10.26.	Из задачи 10.24 следует, что достаточно доказать результат
для неотрицательных функций f(x) и д(х). Но в этом случае Qg С Q/,
поэтому
J р(ж) ф < J /(ж) ф < оо.
Л	А
?
10.27.	Утверждение сразу вытекает из определения интеграла Ле-
Лебега для неотрицательных функций, поскольку множество Qf содер-
содержит функцию h(x) =0. ?
10.28.	Утверждение следует из задач 10.23 и 10.27. ?
10.29.	Так как д(х) = С — простая функция на А (/л(А) < оо), то
С е L(A) и
А
Теперь утверждение следует из задач 10.26, 10.25 и 10.28. ?

Гл. 10. Интеграл Лебега
221
10.30. Достаточно доказать утверждение для неотрицательных
функций f(x). В этом случае ai > 0. Если а^0 > 0 и /л(Аг0) = оо,
то одновременно
и f(x)$L(A).
г=\
Пусть теперь
< оо при всех щ ф 0. Определим функции
fn(x) =
г=1
ДЛЯ П Е N.
Тогда все /п(ж) G Q/ и fn(x) | /(ж) при п —> оо для xG А Мы полу-
получаем, что (см. задачу 10.15)
f(x
fn(x
и
10.31. Пусть для данного разбиения Т
/тО) = Е УкХяк(х).
к=\
Тогда fr{x) — простая функция на А и
Так как для любого х G А выполнено неравенство \/т(%) ~ f(x)
^ А(Т), то в силу результата задачи 10.29 имеет место оценка
FT-(L)\f(x)d»
откуда следует утверждение задачи. ?
10.32. Обозначим дх(х) = f\(x) и дп(х) = fn(x) - fn-\(x) при
п ^ 2. Ясно, что эти функции неотрицательны и измеримы на А.
Применяя результат задачи 9.29, построим при каждом фиксиро-
фиксированном п последовательность неотрицательных простых функций
Фт,п(х) Т 9п(х) ПРИ т ~^ °° на А. Определим также для т G N простые
функции
п=\

222	Гл. 10. Интеграл Лебега
Тогда для т ^ 1 и х G А получаем, что
т
Fm+\{x) -Fm{x) = ^
п=\
С другой стороны, для каждого т
т
Fm(x)^J2 9n(x)=fm(x)^f(x).
п=\
При этом для каждого фиксированного N
N	N
lim Fm(x) > J2 lim ФтАх) = J2 9n{x) = fN(x),
n=l	n=\
откуда следует, что всюду на А существует функция f(x) =
= lim Fm(x). Применяя результат задачи 10.15, получаем, что
msoo
\f(x)dfjL= lim \Fm(x)dfjL.
В то же время, так как для любого т и всех х G А выполняется
неравенство 0 ^ Fm(x) ^ fm(%) ^ /(#)> то
г	г	г
Т-Р (НГ\ (ill <^ Т (НГ\ A11 <^ Т A* I A11
АЛЛ
при каждом т. Следовательно,
^lirn^ J fm(x) dfi = J /(ж) d/x.
A	A
П
10.33. Определим функции фп(х) = /п(ж) — f\(x) для n G N. Ясно,
что последовательность функций {фп(х)} удовлетворяет условиям за-
задачи 10.32. Следовательно, измеримая неотрицательная функция
ф(х) = \\т^фп(х) = f(x) - fi(x)
удовлетворяет равенству
I ф(х) dfi = lim I фп(х) dfi = lim I fn(x) dfi- I /i (x) dfi.

Гл. 10. Интеграл Лебега	223
Так как правая часть равенства конечна, то ф(х) ? L(A). Следователь-
Следовательно, f(x)=il>(x) + fi(x)eL(A) и
А
?
10.34. Пусть
f(x)dfi = lim \
= ? Л0*0
к=\
при п = 1,2,... Тогда эта последовательность удовлетворяет условиям
задачи 10.32, поэтому
Г	Г	п Г	°° Г
/(ж) d/i = lim ipn(x) d/i = lim Y^ fn(x) d/i = У^ fn(x) d/i.
J	n^oo J	n^oo ^ J	^ J
A	A	rC^i ^	ti^i ^
П
10.35. Обозначим (pn(x) = inf Д(ж) для n e N и х е А. Тогда О <
^() /+() для всех п и х, и
lim <рп(ж) = lim inf fn (x) = f(x)
n^oo	n^oo
при x G Ai, где /i(A\ Ai) = 0. Применяя задачу 10.32, получаем, что
Г	Г	Г
= /(ж) d/i = lim ^n(^) ^ = Hm inf tpn(x
J	n^oo J	n^oo J
Л	Ai	Ai	A
Так как
А	А
при каждом п, то мы приходим к утверждению задачи. ?
10.36. Предположим, что утверждение задачи неверно. Тогда най-
найдутся полная мера \± и такая последовательность неотрицательных
измеримых функций {/n}^Li на А, что fn(x) =5* f(x) при п —> оо п.в.
на А, но
г	г
/(ж) d/i > lim inf fn(x) d/i.
J	J
A	A
Выберем такую подпоследовательность {/nfc}, что
lim I fnk (x) dfi = lim inf I fn(x) dfi.
k^oo J	n^oo J
n^oo
A

224	Гл. 10. Интеграл Лебега
Согласно теореме Рисса (задача 9.19), найдётся подпоследовательность
{fnk }> сходящаяся к f(x) п.в. на А. Тогда
7lim [ fnkj (x) dfi = lim [ fnk (x) dfi < \ f(x) dfi,
A	A	A
что противоречит теореме Фату. ?
10.37. Заметим вначале, что в силу результата задачи 10.26 функ-
функции fn{x) из L{A) при п е N и (см. задачу 10.19) f(x) e L(A).
Рассмотрим функции (рп(х) = F(x) + fn(x) и фп(х) = F(x) — fn(x) при
п = 1,2,... Все эти функции неотрицательны на А и интегрируемы по
Лебегу на этом множестве. К тому же
lim (pn(x) = F(x) + f(x) и	lim фп(х) = F(x) - f(x)
п.в. на А. Применяя теорему Фату (задача 10.35), получаем, что
F(x) dfi + J f(x) dfi = J(F(x) + f(x)) dfi <
A	A
Г	[	[
< liminf (F(x) + fn{x)) dfi = F(x) dfi + liminf /п(ж) d/i
n^oo J	J	n^oo J
A	A	A
F{x) dfi — f(x) dfi = (F(x) — f{x)) dfi
A	A	A
<
liminf (Fix) — fn(x)) da = Fix) da — lim sup fn(x) da.
n^oo J	J	n^oo J
Следовательно,
lim sup fn(x) dfi ^ fix) dfi ^ liminf fn(x) dfi,
откуда следует, что существует
г	г
lim fn(x)dfi = f(x)dfi.
n^oo J	J
A	A
и
Замечание. Из доказательств теорем Фату (задача 10.35) и Ле-
Лебега (задача 10.37) видно, что условие полноты меры fi используется
лишь для доказательства измеримости предельной функции f(x). По-
Поэтому вместо полноты меры fi можно потребовать измеримость f(x).
10.38. В силу теоремы Рисса (задача 9.19) найдётся подпоследова-
подпоследовательность {/nr(#)}^Li> которая сходится к f(x) при г —> оо п.в. на А.

Гл. 10. Интеграл Лебега	225
Тогда в силу результата задачи 10.37 функция f(x) из L(A). Пред-
Предположим, что утверждение теоремы несправедливо. Тогда существуют
такие sq > 0 и подпоследовательность {fmk(x) = дк{х)}^={, что
gk(x)dfi- f(x)dfi
>
при каждом к. В то же время дк(%) => f(x) при к —> оо на А, и,
вновь применяя теорему Рисса, найдём такую подпоследовательность
{gki(x)}^Z{, что дкг(х) —> f(x) при / —> оо п.в. на А. Используя теорему
Лебега (задача 10.37), получим, что
lim \ gkl(x) dfi = \ f(x) ф,
A	A
что противоречит предыдущему неравенству. ?
10.39.	Пусть fn(x) = ^Xf0 n(^) ПРИ ж G [0, 1] и n e N. Тогда
/п(ж) -^ 0 при п ^ оо для каждого х G [О, 1], но
J fn(x)dfji = 1
[ОД]
при всех п. ?
10.40.	Тот же пример, что и в решении задачи 10.39. ?
10.41.	Пусть Ап = B-п,2-п+1) и fn(x) = -2пхап(х) Для neN.
Ясно, что fn(x) -^ 0 при п -^ оо для каждого ж Е (О, 1) и
fn(x)dfi= - ->0
(ОД)
при п ^ оо, но
п	п=\
и поэтому
j	^
(ОД)	П=1(ОД)	n=1
?
10.42. Достаточно рассмотреть случай, когда f(x) ^ 0 на А. Имеем
\f(x)XAn(x)\ < f(x) при каждом п и всех х е А, откуда следует, что
8 П. Л. Ульянов и др.

226	Гл. 10. Интеграл Лебега
f(x)xAn(x) Е L(A), т.е. (см. задачу 10.14) f(x) e L(An) при всех п.
Более того,
Применяя теорему Б. Леви (задача 10.34), получаем, что
сю	сю
i	к^\ i	^	к^\ \
A	h~l A	h~l Ak
п
10.43. Утверждение немедленно следует из теоремы Б. Леви (за-
(задача 10.34) и представления
?
10.44.
и
при п е N.
Возьмём множества
Л Г * М R
сп - [\ (- ч
Определим функцию
Г 1 1 /1 1
[п+ Г 2 U п+ 1
1 ) 1)
Ясно, что /(ж) G L(Afc) и
при каждом /с. При этом множество /(@, 1)) счётно и
? {к + 1)(р(Ск) + ц{Вк)) = ? ^|±1^ = сю,
откуда следует (см. задачу 10.30), что f(x) ф L(@, 1)). П
10.45. Утверждение немедленно вытекает из теоремы Б. Леви (за-
(задача 10.32). ?

Гл. 10. Интеграл Лебега
227
10.46. Пусть fn(x) = — Х(о,п2)(х) ПРИ п ^ N. Ясно, что все функции
fn(x) интегрируемы по Лебегу на R и fn(x) —> 0 при п —> оо равномер-
равномерно на R, но
/п(ж) dji = n ^ оо
при п ^ оо. ?
10.47. Так как f(x) • д(х) — измеримая функция на А и (см. зада-
задачи 10.21 и 10.24) |/0) • д\х)\ < С|/(ж)| е L(A), то (см. задачи 10.26
и 10.24) /(ж) • #(ж) е L(A). Применяя задачи 10.25 и 10.28, мы полу-
получаем, что
\f(x)g(x)\dfi^C^\f(x)\dfi.
A	A
U
10.48. Заметим, что согласно задаче 10.47 функция f(x) • д(х)
интегрируема по Лебегу на А. Так как af(x) < f(x) • д(х) < /?/(#), то
мы получаем, что (см. задачу 10.28)
a J f(x) dfi < J f(x)g(x) dfi < /3 J
Если
то можно взять 7 = а. В противном случае имеем
f(x)g(x
т.е.
A
J f(x)g(x) dfi
7 =

228	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.49. Пусть f(x) = ^X(ol)(x) ~ i Хм Л 0*0 и
= 2х/п i\ (х) + xri Л W- ТогДа 1 < #0*0 < 2 при ж G @, 1),
г
f(x) dfi = 0
(ОД)
и f(x)g(x) = Xfoi\ (x) - ^ Хм Л (ж), поэтому
(x)g(x)d/i= -.
(ОД)
Но не существует такого 7 ? [1> 2], что - = 0 • 7- П
10.50.	Пусть Ai = {х е A: f(x) ^ д(х)} и А2 = {х е A: f(x) <
< д(х)} = А \ А\. Тогда f(x) e L(A\) и д(х) е L(A2), откуда следу-
следует, что
J \h(x)\dn = J |/0)| d/i + J |#0)| ф < оо.
А	Ах	А2
п
10.51.	Имеем
откуда следует утверждение задачи. ?
10.52. Из задачи 10.51 следует, что
fi (<x e A: f > ->) = 0 при каждом п.
{х G A: f(x) > 0} = U {^ е A: f(x) > 1},
Так как
сю
и
п=1
то мы получаем, что
II ({х е A: f(x) > 0}) < jr II (\х е A: f(x) > -)) = 0.
n=i Vl	n))
Следовательно, f(x) = 0 п.в. на А. ?
10.53. Пусть А\ = {х е A: f(x) > 0}. Тогда А\ е М и А\ С А,
поэтому

Гл. 10. Интеграл Лебега	229
Так как f(x) ^ 0 на А\, то из задачи 10.52 следует, что f(x) = 0 п.в.
на А\. Аналогично, f(x) = 0 п.в. на А^ = {х е A: f(x) < 0}. ?
10.54. В силу результата задачи 10.24 достаточно рассмотреть
случай, когда f(x) ^ 0 на А. Пусть
к=\
Тогда 0 < (р(х) < f(x) < (р(х) + 1 при всех х е А. Отсюда мы получаем,
что (см. задачу 10.30)
А	А	А
Поэтому f(x) G L(A) тогда и только тогда, когда
сю
Y, ЫЕк(Л) < оо.
/с=1
п
10.55.	Пусть f(x) = - при ж е R. Очевидно, что /(ж) ^ L(R), но
?^(/) = 0 при всех fc G N. П
10.56.	В силу результата задачи 10.24 можно считать, что f(x) ^ О
на А. Пусть
сю
к=\
Нетрудно видеть, что 0 < h(x) < f(x) < h(x) + 1 для любого х е А.
Тогда (см. задачу 10.30)
j/i(x)dM = f n(Fk(f))
A	fc=1
и	г	г	г
Л(ж) dfi < /(ж) ф < h(x) dfi + /i(A).
АЛЛ
Поэтому /(ж) G Ь(А) тогда и только тогда, когда
?
МВД)) < оо.
/с=1

230	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.57.	Пример тот же, что и в решении задачи 10.55. ?
10.58.	Можно считать, что f(x) > 0 на А. Пусть В = F\ = {х е
е А: /О) ^ 1} и С = А\В = {х е А: 0 < f(x) < 1}. Ясно, что
f(x) e L(A) тогда и только тогда, когда f(x) e L(B) и f(x) e L(C).
Предположим, что /л(В) = оо. Тогда f(x) ? L(A) и
к=\
и утверждение справедливо. Пусть теперь 1л(В) < оо. В этом случае
(см. задачу 10.56) f(x) G L(B) тогда и только тогда, когда
<
Определим функцию
к=\
для х ? А. Рассмотрим произвольное х G С. Если f(x) = 0, то
w(x) = 0. Если /(ж) > 0, то существует такое г ^ 1, что х G С П
П (А-(/) \ Dr-i(f)). Это означает, что 2~г < /(ж) < 2~r+1 и гу(ж) =
= 2~г. Следовательно, всюду на С справедливо неравенство w(x) ^
< f(x) < 2w(x). Поэтому f(x) e L(C) тогда и только тогда, когда
w(x) G L(C). С другой стороны, гу(ж) = - на Б и /^(^) < оо, поэтому
w(x) G Ь(С) тогда и только тогда, когда гу(ж) G Ь(А). Но, в силу
теоремы Б. Леви,
откуда следует утверждение задачи. П
10.59. Обозначим а& = /х(^(/)) для fc G N. Тогда в силу результата
задачи 10.58
^ а/с < оо.
к=\
Возьмём произвольное г > 0. Тогда можно выбрать N так, чтобы
zL afc < г-

Гл. 10. Интеграл Лебега	231
Следовательно, при п > N справедливы оценки
2
2~;
откуда следует, что n(Fk(f)) = о(\/к). ?
10.60. Пусть Ап = B-n,2-n+1), fn(x) = -2пХаЛ%) при n G N и
п=\
Тогда
г	оо	оо «
= > - = оо.
| /(ж)ф=? |
@,1)	п=1@Д)	n=1
В то же время Fk(f) С @,2 r+1) при каждом к, где г = г (к) =
Г 2г ]	2lnfc
= min < /: — > /с > . Поскольку ——¦ -^ 0 при к —> оо, то r(fc) растёт
I	6	I	1П /С
/ 1 \
быстрее, чем In к, при /с —> оо, откуда следует, что /х(^(/)) = о ( — I
V /с /
при /с —> оо. П
10.61. Пусть
п=1
где /i(An) < оо при п е N. Введём обозначения Вп^ = {х
е Ап\ \j{x)\ > 2к} при п е N и fc e N. Пусть теперь
оо
— V
Z^ 2П(
n=l V
1
X
+ 1)
/
\Ха,
X
,\в„,,(
ОО 1
^ 22fc(/x(?n,fc) + l)
ХВп,к\Вп,к+1 (
Заметим, что функция д(ж) измерима и положительна на А. При этом
ХАп\впЛ

232	Гл. 10. Интеграл Лебега
оо
n=l
n,k) + 1)
оо
П
10.62. Пусть /„(ж) = хл„(ж) и
ОО
^/^Л __ V^ f („Л
J \ ) 2-^ ^nv /•
n=\
Если
oo
^ li{An) = oo,
n=l
то утверждение тривиально. Пусть эта сумма конечна. Тогда по теоре-
теореме Б. Леви (задача 10.34)
оо
f(x) dfi = J2 J fn(x
n1
J
@,1)	n=1@,l)	n=1
При этом по неравенству Чебышёва (задача 10.51)
1 оо
fi(Bn) =fi({xeA: f(x) > п}) < ^ ? fi(An) < oo.
n=l
П
10.63. Предположим, что утверждение неверно. Тогда для некото-
некоторого измеримого множества В с А существуют го > 0 и подпоследова-
подпоследовательность {fmk(x) =gk(x)}kL\, ДЛЯ КОТОРЫХ
gk(x)dfji- f(x)dfi
при каждом к. В силу теоремы Рисса (задача 9.19) можно считать,
что gk(x) —> /(ж) при /с -^ оо п.в. на А. Заметим, что по теореме Фату
(задача 10.35)
[ f(x) dfi < liminf [ дк(х) ф,
откуда следует, что существует такое fco, что при к ^ ко выполнена
оценка
J дк(х) dfi - J f(x) dfi > г0.

Гл. 10. Интеграл Лебега	233
С другой стороны, применяя теорему Фату к множеству В \А, полу-
получаем, что существует такое fci, что при к ^ к\
А\В	А\В
Это означает, что при к ^ max(fco,fci) выполнено неравенство
А	А
Мы получили противоречие с условием. ?
10.64. Пусть А = @,1), В = @,^) и fn(x) = nxrQ]_\(x) -
— nx(l_i {)(х) при п = 2, 3,... Тогда fn(x) —> 0 при п -^ оо на @, 1),
при каждом п, но
|/п(ж)ф= 1
при каждом п. П
10.65. Можно считать, что f(x) > 0 на А. Пусть
сю
Л 	 I I Л
п=\
где все Ап G M, fi(An) < оо при каждом п и А\ С Аг С ... Определим
функции /п(ж) = /(ж)х^гг(ж) для п G N. Тогда /п(ж) | /(ж) при n ^ оо
на А Следовательно, по теореме Б. Леви (см. 10.32)
J f(x) dji = J /п(ж) ф -^ J /(a
при n ^ оо. Это означает, что существует по, для которого
А	А
Взяв В = Ащ, получим утверждение задачи. ?

234	Гл. 10. Интеграл Лебега
10.66. Можно считать, что f(x) > 0 на А. Пусть En(f) = {х е
е А: п < \f(x)\ < n+ 1} для п = О, 1,... и
сю
В= \J En{f) = {х <= A: f{x) 2 I}.
Нетрудно видеть, что fi(B) < оо и f(x) e L(B), поэтому, применяя
задачу 10.54, получим, что
сю
п=\
(п+1)
Е ^(ВД)) <
п=1
сю
fi(En(f)) = J^ n/i(^
п=1
С оо
оо.
Мы можем выбрать возрастающую последовательность натуральных
чисел {nk}^=l, для которой
? (п+1)МВД))<^ примем.
Пусть теперь ап = 1 при 0 ^ п ^ щ и ап = к для п^ < п ^ п^+ь
где fc G N. Определим функцию Ф(и) следующим образом: Ф@) = 1,
Ф(п) = ап-\ для n G N и Ф(и) линейная на каждом [п,п-\- 1]. Тогда
Ф(гх) G С(М), Ф(гх) > 1 и Ф(и) f оо при г^ —> оо. При этом
А	^=0 En(f)
СЮ	П1
+ Е (" + 1)а„м(^п(/)) = С + ? (п
п=1	п=1
СЮ	^fc + 1
к=\ п=пк + \	к=\
а
10.67. Достаточно рассмотреть случай f(x) ^ 0. Найдём такую
простую неотрицательную функцию h(x) ? Qf, что
Тогда
к=\

Гл. 10. Интеграл Лебега
235
где множества А^ попарно не пересекаются. Пусть
г) —	?
2A + max ak)'
Пусть теперь В е М, В С А и fi(B) < 5. Тогда мы получаем, что
Г	Г	Г	Г
f(x) d\i = f(x) d\i — h(x) d\i + h(x) d\i ^
в	в	в	в
Г	Г п
< (f(x) - h(x)) ф + Е afcXAfcns(^) ф <
^	^ 7. 1
k=x
/с=1
E ^(^ n
П
10.68. Пусть задано г > 0. Положим 7 =
и (см. за-
дачу 10.67) выберем 5 > 0 так, чтобы для любого В е М, Б с А
с /i(.B) < 5 и для любого п выполнены условия
<4
Далее, в силу сходимости по мере найдётся такое N, что для множеств
Ап = {х е A: \fn(x) — f(x)\ > 7} выполнена оценка /л(Ап) < 5 при
каждом п ^ N. Тогда при п ^ N мы получаем, что
fn(x)d/i- f(x
А
A\An
\Ux)-f{x)\dli
f(x
П
10.69. Пусть fn(x) = -=X{p,n)(x) для х е М1 и n G N. Тогда
ж) =4 0 = /(ж) при п ^ оо на R и
fn(x)d/i = Vn -^ оо

236
Гл. 10. Интеграл Лебега
при п —> оо. В то же время, если заданы е > О и измеримое множество
В g R, причём ji(B) < г, то
при каждом п. П
10.70. Пусть задано г > 0. Выберем 5 > 0 так, чтобы для любого
Б G М, Б С А, с /i(.B) < 5 и для любого wgO выполнялась оценка
в
<!¦
Пусть теперь даны uj G О и измеримое множество Б С А с
< 5. Обозначим В+ = {х е В: /ш(х) ^ 0} и В_ = В\В+. Ясно, что
< 5 и /л(В-) < 5. Следовательно,
fUj(x)dfj> =
Поэтому
<
П
10.71. Пусть ^п(ж) = fn(x) — f(x). Из задачи 10.63 следует, что
для любого измеримого множества В С А выполнено равенство
lim \gn(x)dfjL= lim I fn(x) dfi - I f(x) dfi = 0.
(i)
Предположим, что утверждение задачи неверно. Тогда существует та-
такое го > 0, что для любого 5 > 0 и любого N существуют измеримое
множество AE,N) и число п> N, для которых /i(AE,N)) < 5 и

Гл. 10. Интеграл Лебега
237
Зафиксируем вначале такие щ и А\ с А с /л(А\) < оо, что
Затем найдём такое 5\ > О, что для любого измеримого F с А с /jl(F) <
< 5\ справедлива оценка
<?¦
(х)
Далее, возьмём щ > щ и А^ С А с /i(^-2) < -у, для которых
gn2(x)dn ^г0.
Затем найдём такое 5% > 0, что для любого измеримого множества
F с А с fi(F) < 52 выполнено
дП2 (х
<!¦
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность измеримых
множеств {Ak}^=l из А, строго возрастающую последовательность на-
натуральных чисел {щ}^=1 и последовательность положительных чисел
{5k}™=i, для которых
дПк (х
Ак
% и
9пк (х) dfi
<т
для любого измеримого F С А с /i(F) < 5k, где fc G N. Заметим, что
5/с, откуда следует, что 5k+\ < -у для любого /с. Следова-
СледоваU
тельно,
Отсюда следует, что если
Q
, ТО

238
Гл. 10. Интеграл Лебега
для всех к. Итак, если Ck = А^\В^, то
9пк (х) dfi
ск
при всех к. К тому же,
U Q
Пусть теперь fc(l) = 1 и к B) > fc(l) таковы, что
Если мы уже определили индексы fc(l) < fcB) < ... < fc(r — 1), то по-
положим
г-\
и пусть к (г) > к (г — 1) таково, что
г
9nk{r) (x
Наконец, пусть
U'
г=\
и Gr = D \ Dr для г G N. Тогда для любого г выполнена оценка
fi(Gr) < 5цг), и мы получаем, что
gnk{r)(x)dfi >	gnk{r)(x)dfi -
D	Ck(r)	?>r-
9nk(r) (x
Gr
4 4 4 4 '
что противоречит условию (i). ?
10.72. Для любого г > 0 выбе]
Для произвольной функции f(x) G Т определим множества Ai = {x G
10.72. Для любого г > 0 выберем натуральное /с так, что	< -.
Ф[к) 2

Гл. 10. Интеграл Лебега	239
G A: f(x) > к} и А<2 = А \ А\. Пусть также 5 = -—-г——-. Тогда для
2(к + 1)
любого измеримого множества F с А с jjl(F) < 5 получаем
\\f{x)\dn
\f(x)\dn+	|/(ж)|ф<
| + | = s.
П
10.73. Пусть X = {х0}, М = {X, 0} и fi(X) = 1. Пусть fn(x0) = п
при п G N. Тогда если 4gMh М^4) < т^ то ^ = ^' П0ЭТ0МУ
при всех п, но
sup fn(x) d\i = оо.
П
10.74. Определим для каждой функции j{x) G У множества
Fn(f) = {ж G i: 1/0*01 ^ П1 ПРИ n ^ N. Вначале докажем, что
fi(Fn(f)) —> 0 при п ^ оо равномерно на V. Для отдельно взятой
интегрируемой функции /i(Fn(/)) —> 0 при n ^ оо по неравенству
Чебышёва. Предположим, что равномерной сходимости нет. Тогда
существует го > 0, для которого найдётся последовательность
{/nO*OK?U ^ У с А^(^п(/п)) ^ ^о при всех п. В силу равностепенной
абсолютной непрерывности существует такое 5 > 0, что если Б с А
измеримое и /iE) < 5, то
при всех п. Мы можем считать, что 5 < го. Тогда выберем измеримое
Ап с Fn(fn) с /i(An) = 5 (здесь мы используем, что А с Rfc), и мы
получим, что
при достаточно больших п. Полученное противоречие доказывает, что
/i(Fn(/)) —> 0 при п —> оо равномерно на V.

240	Гл. 10. Интеграл Лебега
Пусть теперь {5п}^=1 — такая убывающая последовательность по-
положительных чисел, что если В с А измеримое и 1л(В) < 5п, то
А
для всех f(x) G V, где п G N. Пусть также {tv}^ — такая строго воз-
возрастающая последовательность натуральных чисел, что jj,(Fnr(f)) < 5Г
при всех f(x) G V, где г G N. Определим теперь функцию Ф(и).
Пусть Ф(и) = 1 при 0 ^ и ^ П2, Ф(и) = г при пг + - ^ и ^ nr_|_i, где
г = 2, 3,..., и Ф(и) линейна на каждом отрезке [пг, пг + -], где г G N.
Ясно, что Ф(м) — непрерывная положительная и неубывающая функ-
функция на [0, оо). Далее, для любой функции f(x) e V мы получаем, что
= J
J
r=2Fnr(f)\Fnr+{(f)
J	^
Г=2 Fnr(f)	r=2
П
10.75. Пример тот же, что в решении задачи 10.69. ?

Глава 11
СРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛЕБЕГА И РИМАНА
Пусть п ^ 1, I = [а,Ь] С W1 — промежуток, a f(x) — веществен-
нозначная функция на /. Пусть Т = {7^ = [а(г), b(i)]}i=l — разбиение
промежутка [а,Ь] с отмеченными точками {<^}i=1, т.е.
г=1
(а(г),Ь(г)) П (a(j),b(j)) = 0 при г ?? j и & е 7* для г = 1,2,... ,fc.
Диаметром разбиения Т назовём величину А(Т) = max diamG^), а гш-
тегралъной суммой Римана — величину
г=1	/=1
Будем говорить, что f(x) G 7?([а, Ь]) (что /(ж) — интегрируемая по
Риману функция на [а, Ь]), если существует
ь	ь
lim 5(/; Т) = (П) \ f(x) dx = \ f(x) dx.
а	а
Ниже мы будем считать известными основные свойства интеграла
Римана такие, как линейность интеграла Римана относительно f(x)
и 7, а также следующий критерий Дарбу.
Теорема. Пусть Т — разбиение, Mi = sup f(x) ишг= inf f(x) при
xeii	xeIi
i = 1,2,..., k. Назовём верхней и нижней суммами Дарбу величины
S(f;T) = Y,Mi1[[(bl(i)-al(i)), 5(/;Т) = ? шг Д(Ь|« - <*iW)
г=1 / = 1	г=1 /=1
соответственно. Функция /(ж) интегрируема по Риману на [а; Ь] тогда
и только тогда, когда

242	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
В одномерном случае мы будем также рассматривать несобственный
интеграл Римана. Пусть (а, Ъ) С R (здесь а и Ъ могут быть конечными
или бесконечными) и f(x) — такая вещественнозначная функция на
(а,Ь), что f(x) G 7Z([c,d\) для любого отрезка [c,d] С (а,Ь). Скажем,
что f(x) G 7?((а+,Ь_)) (что /(ж) интегрируема по Риману в несоб-
несобственном смысле на (а, Ь)), если существует конечный предел
hm fix) dx.
J J K >
m fix)
а+ J J K >
b
Значение этого предела называется несобственным интегралом Римана
от f(x) no (a,b) и обозначается
Ь-	Ь-
(П) J f(x)dx= J f(x)dx.
a+	a+
Аналогично определяются множества функций TZ([a,b-)) и H((a+,b\).
Ниже мы будем обозначать через L([a,b\), где п > 1 и [а, 6] С Rn,
множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно класси-
классической меры Лебега /i на [а, Ь].
ЗАДАЧИ
11.1.	Пусть [а, Ь] С R и /(ж) е Щ[а,Ь\). Доказать, что f(x) e
eL([a,b]) и
ъ
(L) | f{x)dli={TZ)\f{x)dx.
[а,Ь]	а
11.2.	Пусть п > 1, [а, 6] С Rn и /(ж) е ?г([а,6]). Доказать, что
f(x)eL([a,b])*
ъ
Щ J f(x)dfi=(n)\f(x)dx.
[а,Ъ]	а
11.3.	Критерий Лебега. Пусть п > 1, / = [а, Ъ] С Rn, a /(ж) —
конечная вещественнозначная функция на [а, Ь]. Доказать, что f(x) e
G 7?([а, Ь]) тогда и только тогда, когда f(x) ограничена на / и непре-
непрерывна п.в. на / относительно классической меры Лебега /i.

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	243
11.4. Пусть f(x) e 7Z((a+,b]) и f(x) ^ 0 на (а, Ь]. Доказать, что
f(x) e Ща,Ь)) и
(a, b)	a+
11.5.	Построить функцию f(x) е 7?(@+, 1]) такую, что f(x) ф
i д(о, 1)).
11.6.	Пусть f(x) e 1Z([a',b\) для любого а1 е (а,Ь). Доказать, что
|/| G 1Z((a+,b]) тогда и только тогда, когда / G L((a,b)), и если инте-
интегрируемость имеет место, то
ъ
Г	Г
(L) f(x) dfi = A1) f(x) dx.
(a,b)	a+
11.7.	Пусть а е R и задана функция
\xa при x e @,1],
Найти все такие а, что:
a) f(x) е Я([0, 1]); б) f{x) € Щ@+, 1]); в) fix) 6 L([0,1]).
11.8. Пусть а е R и /(ж) = жа при х е [1,оо). Найти все такие
а, что:
11.9. Пусть a g R, /3 > 0, a
при ж G @, 1],
Найти все пары (а,/3), для которых: a) f(x) e 1Z([O,\]); б) /(ж) е
g7J(@+,1]);b)/(x)gL([0,1]).
11.10. Пусть a GR, /3 <0, а
при ж G @, 1],
Найти все пары (а,/3), для которых: а) /(ж) е 7^([0,1]); б) /(ж) е
6 7г(@+) 1]); в) fix) 6 L([0,1]).
11.11. Пусть а, C G R, а /(ж) = жа sinx^ при ж G [1, оо). Найти все
пары (а,/3), для которых: а) /(ж) G 7?([1,оо)); б) f(x) e L([l,oo)).

244	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
11.12. Найти
lim (L) \ -
@)
@,оо)
11.13. Пусть Q[o;i] = {rn\^x и задано е > 0. Доказать, что ряд
п=\
сходится п.в. на [0, 1].
11.14. Пусть х G [0; 1] \ Q[0;i]• Доказать, что найдётся нумерация
{rn}^L\ множества Q[o;i], при которой ряд
ОО	т
Е
к
разойдётся в точке х для любого г > 0.
11.15. Пусть (X,M,fi) — пространство с мерой, А е М, 0 <
< /л(А) = а < оо, дана функция f(x) G L(A), f(x) > 0 на А, и число
/3 е @, а). Доказать, что
inf	[ fix) da > 0.
ВСА:ц(В)>в) JV '
11.16.	Построить пример такой положительной функции f[x) G
G I/((l,oo)), что для любого г > 0 существует измеримое множество
В = В? С A, оо), для которого 1л(В) = оо, но
J f(x) dfi < г.
в
11.17.	Построить такие конечные неотрицательные функции
{/n(#)}^Li и f(x)> измеримые относительно классической меры
Лебега ц на @, 1), что f(x) = lim fn(x) на @, 1),
(ОД)
для некоторого С при всех п, но /(ж) ^ Ь(@, 1)).
11.18.	Пусть D(x) — функция Дирихле на [0,1] (см. решение
задачи 4.24). Доказать, что D(x) e L(@, 1)) \?г([0, 1]).
11.19.	Построить функцию f(x) G 7?([0, 1]), множество точек раз-
разрыва которой всюду плотно на [0, 1].

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	245
11.20. Пусть А — замкнутое нигде не плотное множество в [0, 1]
и 1л(А) = 0 (jjl — классическая мера Лебега). Доказать, что ха{%) ?
11.21.	Построить такое замкнутое нигде не плотное множество А
на [0,1], чтоХа(х)(?Щ[0,1}).
11.22.	Построить такое нигде не плотное множество А на [0,1],
что ц(А) = 0, но ха(х) i Щ[0, 1]).
11.23.	Пусть Ро — замкнутое канторово множество на [0, 1], а
{1, если х е Ро,
х, если х е [О, i
х2, если х е (-, 1
Найти
(L) /(ж) dfi.
(ОД)
11.24.	Пусть Ро — канторово замкнутое множество на [0, 1],
оо
g = [o,i]\po= UK,y.
п=\
Определим функции /n: fn(x) = 0 при х е [0,1] \ (ап,Ьп),
n n = 1 и /п(ж) непрерывна и линейна на отрезках
^rL,^] при n G N. Положим
п=\
Найти
(L) J f(x)dfi.
(ОД)
11.25. Пусть Ро ~~ канторово замкнутое множество на [0, 1],
оо
G=[0,l]\P0= УК,У.
п=\
Определим функции /n: fn(x) =0 при х е [0,1] \ (ап,Ьп),
jn ( —-— 1 = —-— и jn(x) непрерывна и линейна на отрезках

246	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
\ап,—-— и —-—,оп\ при п е N. Положим
п=1
Найти
(ОД)
11.26. Пусть
1, если (ж,?/) G @, 1) H
Найти
0, если (ж, у) G (О, IJ n
(L) J f(x)dti,
(ОДJ
где /i — классическая мера Лебега на @, 1) .
11.27.	Пусть
х = ? хг2~г
г=\
— двоичное разложение числа х G [0, 1), где Xi G {0, 1} и lim
Положим fk(x) = 2ж/с — 1 при к G N и ж G @, 1). Доказать, что
г
(ОД)
при к ф j'и
(L) J fk(x)dfi=l
(ОД)
при каждом к, где /i — классическая мера Лебега на @, 1).
11.28.	Пусть
г=1
— двоичное разложение числа xG [0,1), где все xi G {0, 1} и lim
г^сю
7^ 1. Пусть дк(х) = ж/с для к е N и ж е @, 1). Найти
(L) J gk(x)gj(x)dfi
(ОД)
при всех к и j.

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	247
11.29. Построить последовательность {fn(x)}^L\ конечных функ-
функций из 1/(@, 1)) и конечную измеримую по Лебегу функцию f(x)
на @, 1), для которых fn(x) —> f(x) при п —> оо для любого же @,1),
fn(x)d/i = 0,
(ОД)
при всех п, но f(x) ф L(@, 1)).
11.30. Построить такие функции f(x),g(x) е 7?(@+, 1]), что
11.31. Построить такую функцию f(x) на [0,1], что f'(x) суще-
существует всюду на [0, 1] (в точках 0 и 1 существуют односторонние
производные), f'(x) ограничена на [0, 1], но f'(x) ф 7?([0, 1]).
РЕШЕНИЯ
11.1. Для каждого г ? N мы определим точки х(к) = а + —^ (Ь — а),
где к = 0, 1,..., 2Г. Обозначим
Д(й) = [ж(й- 1),ж(А;)) при к= 1,2,...,2Г- 1
и АBГ) = [жBг - 1),хBг)]. Пусть также
mrk= inf /(ж) и Mrk= sup /(ж)
при г ^ 1 и 1 ^ /с ^ 2Г. Теперь при г G N рассмотрим функции
_	2Г
/гW = Ц М
к=\
к=\
Заметим, что функции fr(x) и fr(x) — простые на [а, Ь] при каждом г
и, согласно определению интеграла Римана,
суг
lim (L) \ fr(x) d/i = lim ]Г Mr?/c—^ = J =
= lim V тг,к^А = lim (L) I fr(x) dfi.
fe=1	[a,b]

248	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
Далее, для любого х ? [а,Ь] выполнены неравенства fr(x) ^ f(x) ^
^ fr(x), последовательность {/r(^)}^=i невозрастающая, а после-
последовательность {/r(#)}J^Li неубывающая. Следовательно, для любого
х G [а, 6] существуют их пределы:
lim п{х) = ]{х) > /(ж) > /(ж) = lim /г(ж).
г—s-oo	—	г—*-оо—
Применяя теорему Леви (см. задачу 10.33) получаем, что
(L)
[а,Ь]	[а,Ь]
Отсюда следует, что
\f(x)-f(x)\dfi= | (f(x)-f(x))d» = 0.
[a,b]	[a,b]
Поэтому (см. задачу 10.52) f(x) = f(x) п.в. на [а, Ь]. Это означает, что
J(x) = f(x) = f(x) п.в. на [а, Ъ] — измеримые функции и
(L)
[а,Ь]
а
11.2. Доказательство аналогично одномерному случаю (зада-
(задача 11.1). Приведём его.
Пусть [a,b] = [ai,bi] x [a2,^] х ... х [ап,Ьп]. Для каждого г =
к
= 1, 2,... и s = 1, 2,..., п определим точки xs{k) = as + -^ (bs — as) при
к = 0, 1,..., 2Г. Обозначим
As(k) = [xs(k- l),xs(k)) при к= 1,2, ...,2Г- 1
и ДвB') = [жвB^ - 1),жвB0]. Пусть
Ек = Ai(fei) х A2(fc2) x ... х An(fcn),
mr?fc = inf /(ж) и Mr?/c = sup f(x)
при r ^ 1 и /с = (к\, &2,..., fcn)> гДе 1 ^ ks ^ 2r и 5 = 1, 2,..., п. Теперь
при r G N рассмотрим функции
Ш= Е ••¦ Е ^,
fcl=l	fcn=l

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	249
2	2
/гО) = Е ••• Е ™>г,кХЕк(х)-
fci=i fcn=i
Заметим, что функции /г(ж) и fr(x) простые на [а, 6] при каждом г и,
согласно определению интеграла Римана,
T	2r	n
Далее, при любом ж G [а,Ь] выполнены оценки fr(x) > f(x) > /г(ж),
последовательность {/r(^)}^=i невозрастающая, а последовательность
{/r(^)}^=i неубывающая. Следовательно, при каждом х е [а,Ь] суще-
существуют их пределы:
lim fr(x) = f(x) > f(x) > f(x) = Hm fr(x).
По теореме Леви (см. задачу 10.33) имеем
\ f(x)dfi.
[а,Ь]	[а,Ь]
Отсюда следует, что
} \f(x)-f(x)\dn= j(f(x)-f(x))dfi = O.
[a,b]	[a,b]
Поэтому (см. задачу 10.52) f(x) = f(x) п.в. на [а,Ь]. Это означает, что
/(ж) = /(ж) = /(ж) п.в. на [а, Ъ] и
(L)
[a,b]
П
11.3. Пусть {/»}"„ ШХК=Г f№ и /(ж) - Функции, опре-
делённые в решении задачи 11.2. Заметим, что если х G [а, Ъ] и
к	°°'2Г
xs ?{as + -^ (bs - as)}	при s = 1, 2,..., n,
Z	r=l,fc=0

250
Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
то f(x) непрерывна в точке х тогда и только тогда, когда ]{х) = f(x).
Но если f(x) G TZ([a,b]), то (см. решение задачи 11.2) f(x) = f(x) п.в.
на [а,Ь]. Отсюда следует, что f(x) непрерывна п.в. на [а, Ь]. Далее, если
f(x) неограничена на [а, Ь], то для любого разбиения Т отрезка [а,Ь]
хотя бы одна из сумм Дарбу, S(f;T) или S(f;T), бесконечна. Таким
образом, если f(x) e lZ([a,b\), то f(x) ограничена на [а, Ь].
Пусть теперь f(x) — ограниченная вещественнозначная функция,
непрерывная п.в. на [а, Ь]. Предположим, что f(x) ^1Z([a,b\). Тогда
существует ?0 > 0 и последовательность разбиений {Т^}^ отрезка
[а, Ь], для которых Л(Т^) —> 0 при г —> оо, но S(f; Ti) — S(f; Ti) > ?0 Для
всех г. Пусть Т{ = {Д(г, к)}1% где
к(г)
[а,ъ]=
/с=1
при г G N,
= inf
при г ^ 1 и 1 ^ к ^ fc(i). Пусть также
точек прямоугольников {Д(г, fc)}fc:Lj и
Ма = sup f(x)
xeA(i,k)
— множество всех граничных
г=1
Обозначим
к=\
для каждого г. Мы получаем, что
[а,Ь]
при г G N. Пусть теперь
/*(ж) = limsup/(t)
к=\
[а,Ь]
= liminf /(t).
Ясно, что /*(#) = /(ж) = f*(x) в каждой точке непрерывности /(ж).
Далее, для любого х G [а, Ь] \ 5 выполнены условия f*(x) -^ f*(x)
и /*,г(ж) —> /*(ж) ПРИ * -^ °°- При этом |/*(ж)| < sup \f(x)\ = С и,
хе [а, Ь]

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	251
аналогично, |/*,г(#)| ^ С для каждого г при всех х G [а,Ь]. Применяя
теорему Лебега (см. задачу 10.37), получаем, что
lim f*(x)d/jL = f*(x)dii= f*(x) d/i = lim f*,i(x) d/i.
i—*-oo J	J	J	i—s-oo J
[a,b]	[a,b]	[a,b]	[a,b]
Следовательно, S(f;T) — S(f;T) —> 0 при i —> oo, и мы пришли к про-
противоречию. Это означает, что f(x) G lZ([a,b\). ?
11.4. Пусть вначале а конечно. Возьмём Ап = а+—,6 при
п ^ щ >	. Определим функции fn(x) = f(%)XAn(%) Для п — Щ>
щ + 1,... Так как /(ж) ^ 0, то /п(ж) | /(ж) на (а, Ъ). Далее, в силу
результата задачи 11.1 функция fn(x) из L((a,b)) при каждом п и
(L) J fn(x) dii = (L) J f(x) dii = (П) I f(x) dx < (?г) f f(x) d
(b)	A
() x = J.
a+
Тогда по теореме Леви (см. задачу 10.32)
(L) \ f(x)dn= lim(L)
(a, b)	(a,b)
Если a = —oo, то возьмём An = [—n,b] при n > no > |Ь|, и далее
доказательство аналогично. ?
11.5. Пусть
1\ о_
\(
при n G N. Определим
/с=1
Тогда (см. решение задачи 10.44) /(ж) ^ -^(@, 1)). Пусть теперь
!/е@,
Имеем
, 1). Существует такое натуральное п ^ 1, что 	 ^ у < —.

252
Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
(П)
1
jf(x)dx
У
+
=
I
Ы)
f(x) d/i
f(x)d»
=
I
=
n— 1 j
f(x) d/i
f(x) d\i
¦i)
:(n+.)fi
1 ^
l П+ \)
1
n'
поэтому существует
f(x)dx =
П
11.6. Будем считать, что а конечно; при а = —оо доказательство
практически не изменяется (ср. с решением задачи 11.4). Если функ-
функция |/| G 1Z([a',b]) при всех а1 > а, то она измерима (см. решение
задачи 11.1) на каждом [а',Ь], а значит и на (а, Ь].
Пусть |/| G 7?((а+,Ь]). Тогда в силу результата задач 11.4 и 10.24
функция / интегрируема по Лебегу на (а,Ь). Пусть, напротив, / G
G L((a,b)). Положим формально ао = 6. Тогда для любой последо-
последовательности ап I а, используя результаты задач 11.1 и 10.42, полу-
получим, что
lim (П)
n^oo
f(x) dx = lim (L) f(x
n^oo	J
[an,b]
[afc,afc_i]
(a,6]
Таким образом, существует несобственный интеграл Римана от f(x)
и он равен интегралу Лебега. Но так как эти же рассуждения приме-
применимы к функции \f(x)\, то существует несобственный интеграл Римана
и от неё. ?
11.7. а) Так как f(x) e С(@, 1]), то в силу результата задачи 11.3
функция f(x) интегрируема по Риману на [0, 1] тогда и только тогда,
когда а ^ 0.
б) При каждом Ъ G @, 1) имеем
1 -6a4
-In 6,
если а ^ — 1,
если а = — 1.

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	253
Следовательно, f(x) ? 7?(@+, 1]) тогда и только тогда, когда а > — 1,
так как лишь в этом случае существует конечный предел вычисленных
интегралов.
в) Так как функция неотрицательна и непрерывна на @, 1], то
в силу результата задачи 11.6 ответ тот же, что и в п. (б).
11.8. а) При любом Ъ > 1 получаем
-1	/ 1
—-—, если а Ф — 1,
1пЬ,	если а = — 1.
Следовательно, /(ж) ? 7?(A,оо)) тогда и только тогда, когда а < —1,
так как лишь в этом случае существует конечный предел вычисленных
интегралов.
б) Так как при любом а функция неотрицательна и непрерывна
всюду, кроме точки 0, то в силу результата задачи 11.6 ответ тот же,
что и в п. (а).
2
11.9.	Заметим, что — ха+@ ^ f(x) ^ ха+@ при ж G @, 1). Поэтому:
а)	по критерию Лебега (задача 11.3) f(x) e Щ[0, 1]) тогда и только
тогда, когда а + /3 ^ 0;
б)	в силу результата задачи 11.7 (б) и указанного выше неравенства
f(x) е 7?(@+, 1]) тогда и только тогда, когда а + /3 > —1.
в)	так как /(ж) > 0 при 0 < х < (тг/2I/^ и непрерывна при х > 0,
то в силу результата задачи 11.6 ответ такой же, как в п. (б).
11.10.	а) Функция f(x) непрерывна на @,1] при всех а и /3,
а ограничена на @, 1] тогда и только тогда, когда а ^ 0. Поэтому
(см. задачу 11.3) /(ж) ? 7?([0, 1]) тогда и только тогда, когда а ^ 0,
независимо от /3.
б) Пусть а е @, 1) и С/ = а^. Тогда
1	1	и а_^
J(a) = G?) f(x)dx = #asina^d# = — - t ^ s'mtdt.
a	a	1
Из признака Дирихле сходимости несобственного интеграла следует,
а — Р + 1	г\	п	л
что если	 < 0, т. е. если а — р > — 1, то существует конечный
предел lim J(a). С другой стороны, если 5 = 	^	 > 0, то для

254	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
любого натурального п имеем
(П)
Bтгп+тг)^
27ГП + 7Г
1 Г S	2
-- j t smtdt^--
2тгп
при п —> оо. Следовательно, /(ж) G 7?(@+, 1]) тогда и только тогда,
когда а — /3 > — 1.
в) Заметим, что (см. задачу 11.7 (б), (в)) если а > — 1, то
|/0)| < ха е L(@, 1)), поэтому /О) G L(@, 1)). Пусть а < -1. Если
предположить, что f(x) e L(@, 1)), то L?H^ ^ |/(ж)| е ^((о, 1)). Сле-
Следовательно, для любого a G (О, 1) при U = а@ имеем
1
sin яг
л	If I sint| ,.
ах = — —	 at —> оо
@,1)	а	1
при а —> 0+. Полученное противоречие показывает, что f(x) G L(@, 1))
тогда и только тогда, когда а > — 1, независимо от /3. ?
11.11. а) Заметим, что хаБтх^ G 7?([1,оо)) тогда и только тогда,
когда х~2~а бшх~@ G 7?(@+, 1]). Действительно,
а	1
жа sin (ж^) ^ж = У~2~а sin (y~P) dy.
1	1/а
Применяя результаты задач 11.9 (б) и 11.10 (б), получаем, что
\ г\ -\- Я <с —1 еспи В $С О
ж) G /v( 1,оо)) <^> < _	,	_
1 u уу	\/3-а > 1, если /3 > 0.
б) Если /3^0, то подынтегральная функция неотрицательна при
х > (тг/2I/^. Поэтому несобственный интеграл Римана не может схо-
сходиться условно, и в силу результата задачи 11.6 ответ тот же, что
и в п. (а), т. е. а + /3 < — 1.
Если же /3 > 0, то в силу результата задачи 11.6 функция
хаБтх^ интегрируема по Лебегу на [1,оо) тогда и только тогда, когда
х~2~а\Бтх~Р\ е 7?(@+, 1]). Как показано в решении задачи 11.10 (в),
это имеет место при —2 — а > — 1, т. е. при а < — 1.

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
255
11.12. Пусть
F(x) =
-^=7,	если х ? (О, 1),
если х ? [1, оо).
х
т
Тогда в силу результатов задач 11.7 (в) и 11.8 (б) выполнено усло-
условие F(x) ? L(@, оо)). Обозначим fn(x) = —	 при п = 2, 3,...
Заметим, что 0 <
ж G @, 1) и что
О < fn(x)
1
= F(#) для любого п > 2 и любого
для любого п ^ 2 и для любого ж G [1, оо). Заметим также, что /п(#) -^
—> е~ж при п ^ оо для любого ж G @, оо). Применяя теорему Лебега
(задача 10.37) и задачу 11.6, получаем, что
lim (L)
х) dfj, = (L) e~x dfj, = (П) e~xdx=\.
@,оо)
@,оо)
П
11.13. Пусть fn(x) = —
п -
гласно задаче 11.6,
о+
при п ? N. Заметим, что, со-
fn(x)d/i
1
l+?
(ОД)
Г	фл	2 Г da; _ 4
J	y/\x-rn\ ~ n1+? J VS ~ n1+?
¦l,r-n+l)	0+
для каждого п. Поэтому если
oo	oo
Ef (x\ _ V^
</n\ / ^/^, i_|_e
то по теореме Леви (задача 10.32)
(ОД)
n=l
fn(x) d/i
< OO.
(ОД)
n=l
Следовательно, f(x) ? L(@, I)), откуда следует, что f(x) конечна п.в.
на @,1). ?

256	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
11.14. Выберем последовательность различных чисел ук G Q[o;i]
так, чтобы \х — yk\ ^ 2~к. Положим т^к — Ук, а остальные точки из
Q[o;i] занумеруем произвольным образом нечётными числами. Тогда
^ ra1+VI* - rn\ fc=i BfcI+Vl* - ^| fc=i Bfc)
n=l
П
11.15. Пусть An = {x e A: f(x) e A: f(x) > -} при п е N. Тогда
A\ С А2 С ... и
сю
/1 	 I I /1
^ — U ^n'
n=\
Поэтому (см. задачу 7.51) fi(An) -^ a < оо при n ^ оо. Следовательно,
для некоторого по имеем /i(Ano) > а — ^-. Теперь для любого множе-
множества В е М, вложенного в А, с ji(B) > C имеем ji(B П Ащ) > ^. Тогда
в
?
1	2
11.16. Пусть f(x) = -г при х е A,оо) и В? = (-,оо) для некото-
X	?
рого г G @,2). Тогда (см. задачу 11.8 б)) /(ж) G L((l,oo)), и /л(В?) =
= оо, но
сю
При ? > 2 можно взять множество В? = A, оо). ?
11.17. Пусть gn,k(x) = Xu fc+ii (ж) для п = 2, 3,... и /с = 1,2,...
[n' n J
...,п — 1. Определим для m ^ 2 функции hm(x) = дп,к(х)^ гДе п и ^
находятся из условий m= l+2 + ... + n — 2 + /си 1 ^ fc ^ n — 1. Пусть
теперь /ш(ж) = hm(x)- при ж G (О, 1). Ясно, что
но (см. задачу 11.1)

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	257
fc+i
п
fm(x)dLL=	-da = - dx = In	— In - = In —-— < In2.
J ж	J ж	п	п	к
(ОД)	г^ fc+n	A
|_ n ' n J	n
П
11.18.	Заметим, что D(x) — простая функция на @,1), поэтому
D(x) e L(@, 1)) и
[ D(x)d/jJ= I ./i(Qn@,l)) =0.
(ОД)
В то же время D(x) разрывна в каждой точке [0, 1], поэтому в силу
результата задачи 11.3 D(x) ф 1Z([O, 1]). ?
11.19.	Примером такой функции является функция Римана, раз-
разрывная на множестве Q[o;i] и непрерывная в остальных точках отрезка
[0, 1] (см. решение задачи 4.3). ?
11.20.	Ясно, что 0 < ха(х) < 1. Если G = [0, 1] \ А, то /x(G) = 1.
При этом ха(х) непрерывна в каждой точке х е G, так как G открыто.
По критерию Лебега (см. задачу 11.3) ха(х) ? 7?(@, 1]). ?
11.21.	Пусть А — множество канторовского типа из [0, 1] с /л(А) >
> 0 (см. задачу 7.69). Тогда ха(х) разрывна в каждой точке х G А,
и по критерию Лебега ха(х) ф Щ[0, 1]). П
11.22.	Пусть F — множество канторовского типа в [0, 1] с /jl(F) > 0
(см. задачу 7.69). Найдём счётное множество А С F, плотное в F. Тогда
/jl(A) = 0, множество А нигде не плотно на отрезке, но ха(х) разрывна
в каждой точке х G F, поэтому (см. задачу 11.3) ха(х) ^ 7?([0, 1]). П
11.23.	Заметим вначале, что так как /i(P) =0, то функция f(x)
эквивалентна на @,1) функции д(х) = хх<0 и(х) + Х<1Х(\. хл(х)- По-
Поэтому
(L) J f(x)d»=(L) J g\
@Д)	(ОД)
1/2	1
= (П) [ xdx+(U) [ x2dx = i + ^ = ^
J	J
0	1/2
?
11.24.	Имеем
f(x)dfi=\f(a
(ОД)	Ро	п=1ап	п=х
и
9 П. Л. Ульянов и др.

258	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
11.25. Имеем
/О) dji =
(ОД)	п=1ап	Ро
00 (I) _ а J | оо 2к~1
n=l	/c=l n=l	k=\
и
П.26. Пусть Q = {гп}™=1. Обозначим Ап = {(х,у) е (О, IJ: ху =
= гп} при n G N. Ясно, что для любого ? > 0 можно покрыть Ап
конечным набором прямоугольников, сумма мер которых меньше г.
Поэтому /jb(An) = 0 при каждом п. Если теперь
оо
А = U Ап,
п=\
то 1л(А) = 0. Таким образом, f(x) эквивалентна на @, 1) функ-
функции д(х) = 0. Поэтому f(x) e L(@, 1J) и
(ОДJ
п
11.27. Так как /|(х) = 1 на @, 1) для каждого к, то второе равен-
равенство очевидно. Пусть к < j. Обозначим А+ = {х е @, 1): fr(x) = 1}
и А~ = {х е @, 1): fr(x) = — 1} для г = /с, j. Пусть также А^ ¦ = {х е
е @, 1): fk(x)fj(x) = 1} и A~kj = {х е @, 1): fk(x)fj(x) = -1}. Ясно,
что /л(А^) = /i(A~) = - при г = k,j и что
Аналогично, /л(А^, П А^) = -, Откуда следует, что /л(А^ •) = -. Ана-
Аналогично показывается, что /л(А^ •) = -. Поэтому
Л()/,() ^ /х(А+,.) - /х(А^) = 0.
@Д)
п

Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана	259
11.28. Так как (см. задачу 11.27) gk(x) = - (fk(%) + 1) ПРИ каж-
каждом к, то
(L) J gk(x)gj(x)dfi=l-h fk(x)fj(x)dli+ J fk(x)dli +
@,1)	\o,l)	@,1)
l / f
\oi)
если fe =
\oi)
П
11.29.	Пусть /О) = - на @, 1/2), f(x) = /A - ж) = p^ на
A/2,1) и /A/2) = /@) = /A) = 0. Из задачи 10.12 следует, что
/ ^ L(@, 1)). Положим fn(x) = f(x)x(i_ i_i\ (х)> где n = 3,4,... Тогда
fn(x) -^ f(x) при п -^ оо для каждого xG @, 1), но из соображений
симметрии
J fn(x)dfi = O
(ОД)
при всех п. ?
11.30.	Пусть /(ж) = -sin- при х е @,1]. Тогда (см. зада-
задачу 11.10 (б)) f(x) еП(@+,1]), но (см. задачи 11.6 и 11.10 (в))
\f(x)\ ^ ?г(@+,1]). Пусть также д{х) = -f(x) е ?г(@+, 1]). Тогда
11.31. Пусть F — замкнутое множество канторовского типа на
[О, 1] с /i(F) > 0 и
G=[0,l]\F= U
п=\
Пусть также
*) = {х- ап)\х - bnf sin {b_a){xl_a){x_b) Х(ап,ьп)(х).
Тогда fn(x) существует всюду на [0, 1], frn(x) — О ПРИ
хе [0,1]\(ап,Ьп) и
fn(x) = 2(х - ап)(х - Ьп)Bх - ап - Ьп) sin
- ап)(х - ап)(х - Ъп)
- ап	{Ьп - ап){х - ап){х - Ьп)

260	Гл. 11. Сравнение интегралов Лебега и Римана
о
при х е (ап,Ьп). Поэтому \f^(x)\ < 2(Ьп - ап) +2 < 4 и	^
[ОД]
= С < 4. Пусть теперь
оо
п=\
Если ж G G, то ж G (ап,Ьп) для некоторого п, и, следовательно, суще-
существует f'(x) = /^(ж) G [—4,4]. Пусть х е F. Тогда /(ж) = 0. Пусть для
некоторого /г ^ 0 выполнено /(ж + К) ф 0. Без ограничения общности
можно предположить, что h > 0. Далее, ж + h ? (ап, Ъп) для некоторо-
некоторого nnh>x-\-h — an. Тогда
\f(x + h)- f(x)\ = \fn(x + h)\^(x + h- anf < h\
Поэтому существует f'(x) = 0. Следовательно, f'(x) существует всюду
на [0, 1], \f'(x)\ ^ 4 на [0, 1]. Но f'(x) разрывна в каждой точке F,
где /jl(F) > 0, поскольку в сколь угодно малой окрестности точки ап
или Ъп производная принимает значения, близкие к 1 и к —1. Поэтому
Г(х)?Щ0,1]). а

Глава 12
ТЕОРЕМА ФУБИНИ
Мы напомним, что, как доказано в задаче 5.43, если даны полу-
полукольца S\ и S2, то система множеств
5 = Si х S2 = {Ах х А2: Ах е Sx и А2 е S2}
также является полукольцом.
Пусть (Х\, М\, fi\) и (Х2,М2,{12) — сг-конечные измеримые про-
пространства, X = Х\ х Х2, S = М\ х М2. Определим на S функцию
т = т\ - т2 формулой т(А\ х А2) = пг\(А\)т2(А2), где Aj G Sj при
j = 1,2. Ниже в задаче 12.1 будет доказано, что т — мера. Че-
Через fji = fix x fi2 будем обозначать продолжение меры т по Лебегу
(см. задачи 12.1 и 12.2) с полукольца S. Соответствующее измеримое
пространство будет обозначаться через (X, М,/i).
Пусть АС X = Х\ х Х2. Тогда для любого х е Х\ через А2 (х) С Х2
будем обозначать его соответствующее сечение, т. е.
Аналогично определяется сечение А1 (у) С Xi для у ? Х2.
Ниже мы будем обозначать через L((a,b)), где п ) 1 и (а, Ц С Rn,
множество функций, интегрируемых по Лебегу относительно класси-
классической меры Лебега \± на (а, Ь).
ЗАДАЧИ
12.1.	Пусть S\ и S2 — полукольца, S = S\ x S2, а т\ и т2 —
меры на #1 и ^ соответственно. Доказать, что функция т = т\ • т2
является мерой на S.
12.2.	Пусть в условиях задачи 12.1 меры т\ и т2 сг-аддитивны
на S\ и S2 соответственно. Доказать, что мера т сг-аддитивна на S.
12.3.	Пусть (Xi,Mi,/ii) и (Х2, М2, fi2) — сг-конечные измеримые
пространства с полными мерами ц\ и \±2, а мера \± = /ii x /i2 опреде-
определена на сг-алгебре М. Пусть А ? М и /jl(A) < oo. Доказать, что при

262	Гл. 12. Теорема Фубини
почти всех (относительно /ii) x G Х\ сечение А2(х) принадлежит М2,
функция [12(А2(х)) интегрируема по Лебегу на Х\ и
12.4. Теорема Фубини. Пусть (Xi,Mi,/ii) и (Х2,М2, /12) —
сг-конечные измеримые пространства с полными мерами /ii и /i2,
/i = /ii x /i2, M — соответствующая сг-алгебра, A ? M, a f(x,y) —
измеримая неотрицательная функция на А. Доказать, что функция
f(x,y) /^-измерима для почти всех х G Х\ (относительно меры /ii),
функция
АЦх)
\ -измерима и
(ж,2/) ф = J Ф(ж) d/xi = J J f(x,y) dfi2 d[i\.
А	Хх	ХхА2{х)
Аналогичное утверждение верно, если поменять ролями fi\ и /i2.
12.5. Теорема Фубини. Пусть (Х\, М\, [i\) и (Х2, М2, [12) —
сг-конечные измеримые пространства с полными мерами jjl\ и [12, /i =
= fi\ x /i2, M — соответствующая сг-алгебра, А ? М и /(ж, у) G 1/(Д /i).
Доказать, что f(x,y) ? L(A2(x)) для почти всех xelj (относительно
меры /ii), причём
= J f(x,y)dfi2eL(Xl),
АЦх)
= J Ф(x)d|JJl= J J f(
A	Xi	XxA2{x)
Аналогичное утверждение верно, если поменять ролями fi\ и fi2.
12.6. Построить такую функцию f(x,y) ^ L((Q, 1) ), что f(xo,y) ?
? L((Q, 1)) при каждом фиксированном xq как функция от у и одновре-
одновременно f(x,yo) ? 1/(@, 1)) при каждом фиксированном уо как функция
от х, причём при любых xq и уо верны равенства
f(x0, у) dfi(y) = J f(x, уо) dfi(x) = 0.
@,1)	@,1)

Гл. 12. Теорема Фубини	263
12.7. Построить такую конечную измеримую на @, 1) функцию
f(x, у), что
@,1) @,1)
f(x,y)dfi(y) )dfi(x) =
@,1)
12.8. Пусть а, Ъ G R и а ф Ъ. Построить такую конечную измеримую
что
f(x,y)dn(x)\ dji(y) = a
на @, 1) функцию f(x,y), что
@,1) @,1)
r f г	\
f(x,y)d/jJ(y) dfi(x) = b.
J V J	/
@,1) @,1)
12.9.	Пусть f(x,y) = e~xy smxsiny на @, oo) . Доказать,
что /О, у) GL(@,ooJ).
12.10.	Пусть (Х\, М\, fi\) и (X2,M2,/i2) — сг-конечные измеримые
пространства с полными мерами /ii и /i2, /i = ц\ х /i2, /(ж) G I/Ml(Xi)
и рB/) G Ь^2(Х2). Доказать, что /(ж) • #(?/) е Ь^(ХХ х Х2).
12.11.	Пусть f(x) и д(ж) из L(R). Доказать, что h(x,t) =
= f(t)g(x — t) G L(R) для почти всех xgM1 и что свёртка f и д —
функция
— принадлежит
12.12. Пусть i С R, /ij — классическая мера Лебега на W для
j = 1,2, f(x) e L(A) — конечная неотрицательная функция и
Е = {(ж, у) eR2: хеАиО^у^ /О)}.
Доказать, что Е — измеримое подмножество R2 и
12.13. Пусть (Xi,Mi,/ii) и (X2,M2,/i2) — сг-конечные измеримые
пространства с полными мерами /ii и /i2, /i = ji\ x /i2, M — соответ-

264	Гл. 12. Теорема Фубини
ствующая сг-алгебра. Доказать, что если множество А = А\ х А% изме-
измеримо и имеет положительную меру, то множества А\ и А% измеримы.
12.14. Пусть (Х\, М\, fi\) и (X2,M2,/i2) — сг-конечные измери-
измеримые пространства с полными мерами fi\ и /i2, /i = /ii x /i2, M —
соответствующая сг-алгебра, функция / измерима на X = Х\ х Х2
и существует повторный интеграл
Доказать, что / ? L(X, M, fi).
РЕШЕНИЯ
12.1. Ясно, что га(А) > 0 для любого А е S. Пусть
п
А = А1 х А2 = у Ак, где Ак = Alk x А\ при к е N. (i)
к=\
Тогда (см. задачу 5.19) существуют такие системы попарно непересе-
непересекающихся множеств {Ci}i=l С S\ и {Dj}-=1 ^ ^2» что множества А\
А\, при к = 1, 2,..., п и А2, А| при /с = 1, 2,..., п представляются как
объединения некоторых из Ci и из Dj соответственно. Пусть
41 — | | п.	л1 — I I С
М= U dj '•••' Al= U
jer(i)
Можно считать, что
N	К
А1 = у Q и А2 = у
г=1	j=l
Тогда
U Q (Сг X ?>,•) = Л1 X Л2 = LJ (А{ X 4) = LJ U	U
i=\j=\	k=i	k=
В силу разложения (i) для любых фиксированных г е [1, N] и j G [1, К]
существует единственное к G [1,п], при котором г G O(fc) и j G r(fc).
Тогда

Гл. 12. Теорема Фубини	265
? т(Ак) = ? т(А1к х А\) = ? m,(A')m2D) =
к=\	к=\	к=\
=
?
12.2.
п
V V V таЛС
k=\ieu(k)jer(k)
N
= ^mi(
Пусть
i)m2(Dj)
к
:^)Е"
N К
= Е Е
i2(Dj) =
k=\
где A\A\,Al2,... E^i и А2,А\,А\,... е S2. Рассмотрим полукольцо
S[ = S\ Г) А1 с единицей А1. Тогда m\ — сг-аддитивная мера на S[, и её
можно продолжить по Лебегу. Обозначим это продолжение через Ль
Обозначим теперь fk(%) = гп2(А\)хах (х) пРи х е А1 и к е N. Тогда
fk{%) — простая функция на А1 и, так как для любого xGi1 выпол-
выполнено равенство
то мы получаем, что
оо
к=1	к:
Более того, в силу результата задачи 6.10
оо
Е
< 00.
к=\
Отсюда по теореме Б. Леви следует, что
оо	оо
]Г т(А{ хА2к) =
к=\	к=\
оо
оо
J2 fk{x)d\
\ =
п

266	Гл. 12. Теорема Фубини
12.3. Ясно, что утверждение справедливо, если А ? S = М\ х М2,
поэтому оно справедливо и для A G R(S). Предположим, что утвержде-
утверждение верно для последовательности вложенных множеств А\ С А2 С ...
из М. Пусть
сю
в = U Aj и
Докажем, что тогда утверждение верно для В. Имеем
сю
В\х) = U А) (х)
i=i
для каждого х ? Х\. Поэтому В2 (х) ? М2 для почти всех х ? Х\.
Далее, /12(А2(х)) | /12(В2(х)) при j -^ оо для почти всех х ? Х\.
Поскольку мера fi\ полна, то (см. задачу 8.43) функция fi2
измерима на Х\. Тогда в силу теоремы Б. Леви (задача 10.32)
[ fi2(B2(x))dfii = lim [ fi2(A2(x)) dfii = lim
Xx	Xx
Аналогично, если утверждение верно для последовательности вложен-
вложенных множеств А\ D А2 2 • • • из М, где 1л(А\) < оо и
то оно справедливо и для В.
Пусть теперь А ? М. Тогда (см. задачу 7.50) А может быть пред-
представлено в виде
сю сю
A = F(A)\A0=f] [jAhj\A0,	(ii)
где Aij ? R(S) при i,j ? N; A^\ С Aij2 С ... для любого i; если Bi =
сю
= (J Aij при г G N, то Ei D Б2 2 ...; /x(Bi) < oo; Ao ? M и /i(A0) =
i=i
= 0. Предыдущие рассуждения показывают, что для множества F(A)
утверждение задачи верно.
Пусть вначале fi(A) = 0. Так как fi(A) = 0, то множество F(A)
также имеет меру 0. Тогда
H2(F(AJ(x))dfM1(x)=O,

Гл. 12. Теорема Фубини	267
откуда следует, что ^{F{Af {х)) = 0 для почти всех х G Х\ относи-
относительно меры ji\. Поскольку мера /12 полна и AC F(A), то fi2(A2(x)) = О
при почти всех х е Х\. Так как мера fi\ полна, то функция /i2(^42(#))
fi\ -измерима, и мы получаем, что
ц(А)=0=
Наконец, пусть дано произвольное A G М с 1л(А) < оо. Тогда
справедливо разложение (ii). Заметим, что для множеств Aq и F(A)
утверждение уже доказано. Но так как и мера, и интеграл аддитивны,
то утверждение верно и для А. ?
12.4.	Заметим, что в силу результата задачи 12.3 утверждение
верно для индикаторов измеримых множеств с конечной мерой. То-
Тогда оно верно и для любой простой функции на А. Применяя зада-
задачу 9.29, построим последовательность простых неотрицательных функ-
функций дп(х,у) | f(x,y) на А. Из её существования следуют условия на
измеримость. Теперь применим к обеим частям равенства теорему Леви
и получим утверждение задачи. ?
12.5.	Утверждение немедленно следует из задачи 12.4. ?
12.6.	Пусть
при п G N. Тогда положим An(i,j) = Ап^ х Anj для i,j = 1,2, п G N,
и определим функцию
n=l ^J = l
Для каждого xG @, 1) функция <р(у) = f(x,y) измерима и ограниче-
ограничена и
J <р(з/) ф(з/) = 0.
(ОД)
Действительно, при фиксированном х функция либо является тожде-
тождественным нулём, либо принимает два ненулевых значения п4 и —п4 на
множествах равной меры. Аналогично, для каждого у G @, 1) функция
ф[х) = f(x,y) измерима и ограничена и
[ ^(ж) ф(ж) = 0.
(ОД)

268
Гл. 12. Теорема Фубини
В то же время
(ОДJ	n=1
?
12.7. Пусть Ап = B-n,2-n+1) для п е N и
If
= оо.
/(ж,2/) =
я,2/) -2XAn+lxAn(x,y)).
п=\
Нетрудно видеть, что функция ф(х) = f(x, у) измерима и ограничена
для каждого фиксированного у G @, 1), причём
ф(х) dfi(x) = 0.
(ОД)
Действительно, если у G Ап, то
(ОД)
= \ 4ndfi- J
2•
а для остальных ж функция есть тождественный нуль. Следовательно,
(ОД) (ОД)
С другой стороны,
f(x,y)d/i(y) =
(ОД)
откуда следует, что
О,
1
1
\ х ^ 2'
= 2, i<x<l,
1/2
(ОД) (ОД)
п
12.8. Пусть д(х,у) — функция, построенная в решении зада-
задачи 12.7. Тогда f(x, у) = (Ь — а)д(х, у) -\- а — искомая функция. ?

Гл. 12. Теорема Фубини	269
12.9. Функция / измерима в силу своей непрерывности. Предста-
Представим рассматриваемый интеграл в виде
J \f(x,y)\dli = \ \f[x,y)\dli + \ \f(x,y)\dli +
@,ооJ	(ОДJ	@,1)хA,оо)
A,оо)х@,1)	A,ооJ
Ясно, что J\ < оо. Далее, используя результаты задач 12.4 и 11.4,
получаем, что
оо
-— dy < оо.
У
1 Ч1	'	1
Наконец,
оо
I
	Т7/ 717	°	7		Т7
е" /77/ I /7 0" — I Т*	 /7 0" — /э /7 0" <Г ГУ")
Сосу I С6«л^ — I JU	yJbJU — о С6«л^ ^\ UVJ
/	J	X	\
о	о
и, аналогично, J3 < оо. Поэтому f(x,y) G L(@, 00) ). ?
12.10.	Пусть X = X\ x X2. Заметим, что /(ж) и ^(?/) — измеримые
функции на X. Тогда /г(ж, у) = /(ж) • ^(?/) — измеримая функция на X.
В силу результата задачи 12.4 получаем, что
\h(x,y)\dfi= J \f(x)\dfjii- J \g(y)\dfjL2< 00.
X	Xx	X2
Поэтому h(x,y) e L(X). П
12.11.	Докажем вначале, что h(x,t) измерима на R2. Ясно, что
f(t) измерима на R2. Заметим, что любая полоса а ^ х — t < Ъ явля-
является измеримым множеством на R2, откуда следует, что любое мно-
множество {(x,t) eR2: х — t e A e M} также измеримо. Следовательно,
д(х — t) — измеримая функция на R2, а тогда и h(x,t) измерима на R2
как произведение двух измеримых функций. Используя задачу 12.4,
получим, что
< 00.
?

270	Гл. 12. Теорема Фубини
12.12. Предположим вначале, что функция f(x) ограничена на Д
т. е. 0 ^ f(x) < С для каждого х G А. Возьмём разбиение Т отрезка
[0,С]: 0 = t0 < U < ... < tn = С. Обозначим Л(Т) = max \U - U-\\.
Далее, пусть А{ = {х е A: ti-\ < f(x) < U} и E(i,T) = А{ х [0,и] при
г G N. Обозначим
Е(Т) = \J E(i,T).
Нетрудно видеть, что Е(Т) измеримо относительно /12 и (см. зада-
задачу 10.31)
г=1
при Л(Т) -^ 0. С другой стороны,
Е Л Е(Т) = Е(Т) \ Е С LJ (Ai х [t,_b ?,]).
г=1
Отсюда следует, что
ц2(ЕАЕ(Т))
г=1	г=1
Так как Т произвольно и А(Т) может быть сколь угодно мало, то мы
получаем, что Е измеримо относительно ц<2 и
Пусть теперь / — неограниченная функция. Положим Бп =
= {х е А: п < /(ж) < п + 1}, ^п = {(ж, 2/) G Е: х е Вп}
и fn(x) = f(x)xBn(x) ПРИ n G ^
п=\
и, как показано выше, Еп измеримо относительно /i2 при каждом п.
Поэтому Е также измеримо относительно /i2, и по теореме Б. Леви
п=1	п=1А	А
п
12.13. Рассмотрим функцию f(x,y) — индикатор множества А.
Она измерима относительно произведения мер, как и любой индикатор
измеримого множества. По теореме Фубини (задача 12.4) функция
f(x,yo) ji\ -измерима как функция от х при почти всех значениях уо

Гл. 12. Теорема Фубини	271
(относительно меры /i2). Следовательно, либо найдётся уо, при котором
функция f(x,yo) /ii-измерима, либо 112А2 = 0. Нетрудно видеть, что во
втором случае fi*A = 0, что противоречит условию. Но при любом уо
функция f(x,yo) есть индикатор множества А\, т.е. её измеримость
эквивалентна измеримости множества А\. Аналогично доказывается
измеримость множества А^. ?
12.14. В силу результата задачи 10.24 достаточно рассмотреть слу-
случай неотрицательной функции /. Возьмём такие множества Ахп из М\
и множества А2п из М^, что их мера конечна, А^ С А^+1 при к = 1,2
и всех натуральных j. Определим функции
fn(x, у) = min {f(x, у),п}ха11
Эти функции измеримы и интегрируемы по Лебегу на X, поскольку
fn(x,y)dfi ^nfjLi(Aln)fjL2(Al) < оо.
X
По теореме Фубини
¦JO
Заметим, что fn(x,y) | f(x,y) всюду на X при п —> оо. Применяя
теорему Б. Леви, получаем, что / е L(X,M, /i). П

Глава 13
ПРОСТРАНСТВА Lp И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
В этой главе мы будем использовать следующие обозначения. Пусть
р ^ оо. Для заданного р положим
q = q(p) =
если 1 < р < оо,
P-V
00,	если р = 1,
1,	если р = оо.
Отметим, что во всех случаях —|— = 1, если считать, что — = 0.
р q	оо
Мы будем считать, что нам дано сг-конечное измеримое пространство
(Х,М,/1) и множество А е М. Через Ь{{а,Ъ)), где (а, Ъ) С Rn при
некотором п > 1, будем обозначать множество функций, которые инте-
интегрируемы по Лебегу относительно классической меры fi на (а,Ь).
Напомним, что если Е — линейное пространство, a Eq — линейное
подпространство в нём, то фактор-пространством E/Eq называется
множество классов эквивалентности элементов из Е относительно сле-
следующего отношения эквивалентности: х ~ у, если х — у G Eq, с инду-
индуцированными линейными операциями.
Пусть J(A) — линейное пространство всех измеримых функций
на А (с поточечным сложением и умножением на скаляр), a Jo (A) —
подпространство всех измеримых функций на А, равных нулю п.в.
на А. Обозначим
Lp(A) = Sf(x)eJ(A):
1
Пространством LP(A) =Ьр(А,М,ц) называется фактор-пространство
Lp(A)/Jo(A) с нормой

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	273
Корректность этого определения будет показана в задаче 13.4. Там, где
это не приводит к недоразумениям, мы будем называть элементы этого
пространства функциями.
В этой главе будут встречаться также конечные сг-аддитивные
функции на сг-алгебрах {заряды). Различие между зарядами и ко-
конечными сг-аддитивными мерами состоит в том, что для первых не
требуется неотрицательности. Пусть М — сг-алгебра и Ф — конечная
сг-аддитивная функция на М. Множество A G М называется поло-
положительным (относительно Ф), если для любого В G М, В С А, вы-
выполнено условие Ф(В) ^ 0. Аналогично, если А е М и для любого
В е М, В С А, выполнено условие Ф(В) < 0, то множество А назы-
называется отрицательным. Предположим, что \± — сг-аддитивная мера
(конечная или сг-конечная) на М и для любого такого A G М, что
fi(A) = 0, выполнено условие Ф(А) = 0. Тогда Ф называется абсолютно
непрерывной относительно ц.
ЗАДАЧИ
13.1.	Пусть I < р < оо и a,b ^ 0. Доказать, что
, , ар , bq
ab < — + —.
Р Q
13.2.	Неравенство Гёльдера. Пусть 1 < р < оо, функции f(x)
и д(х) измеримы на А и таковы, что \f(x)\p и \g(x)\q из Ь(А). Доказать,
что f(x)g(x) e L(A) и
|/(ж)р(ж)|ф< ( \f(x)\pd/i) х f |р(ж)|9ф| .
j	\ j	/	\ j	/
А	А	А
13.3.	Неравенство Минковского. Пусть 1 ^ р < оо, функции /(ж)
и #(#) измеримы на А и таковы, что |/(ж)|р и \д(х)\р из Ь(А). Доказать,
что|/(Ж) + G(Ж)|реДЛ)и
13.4.	Доказать, что LP(A) с введённой в нём нормой — корректно
определённое линейное нормированное пространство.
13.5.	Пусть J(A) — множество всех измеримых функций на А,
a Jo (A) — множество всех измеримых функций на А, равных нулю п.в.
на А, и

274	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
?оо(А) = {/(ж) е J(A): 11/11^ = ess sup |/(x)| =
х<ЕА
= inf {a > 0: /х({ж G А: |/(ж)| > а}) = 0} < оо}.
Доказать, что L^A) = Loo(A)/Jq(A) с нормой Ц/Ц^ — линейное
нормированное пространство.
13.6. Пусть / — измеримая функция на множестве А. Дока-
Доказать, что
inf {а > 0: /х({ж е А: |/(ж)| > а}) = 0} = inf sup |#(ж)|.
9fА
13.7.	Пусть 1 < р < оо. Доказать, что неравенство Гёльдера
(см. задачу 13.2) обращается в равенство тогда и только тогда, когда
для некоторых а>0и/3>0са + /3>0 равенство a\f(x)\p = C\g(x)\q
выполнено п.в. на А.
13.8.	Пусть 1 < р < оо. Доказать, что неравенство Минковского
(см. задачу 13.3) обращается в равенство тогда и только тогда, когда
для некоторых а > 0 и /3^0 с а + /3>0 п.в. на А выполнено
равенство af(x) = /3g(x).
13.9.	(Расширение неравенства Гёльдера.) Пусть /(ж) G -?>i(A)
и #(#) g Loo(A). Доказать, что f(x)g(x) G L(A) и
13.10. Пусть ц(А) < оо, 1 < р\ < р2 < оо и /(ж) е ЬР2(^4). Дока-
Доказать, что f(x) G I/Pl (А) и
13.11.	Пусть 1 ^ р < оо. Построить такую функцию
/(ж) G Lp((Q, 1)), что для любого г > р выполнено уело-
вие f(x) ? LP(@, 1)).
13.12.	Пусть 1 < р ^ оо. Построить такую функцию /(ж) ^
<? Lp(@, 1)), что /(ж) g Lr(@, 1)) при всех г е [1,р).
13.13.	Пусть 1 < р ^ оо. Построить такую функцию
/(ж) G Lp((l, оо)), что /(ж) ^ Lr((l, оо)) для любого г G [1,р).
13.14.	Пусть 1 ^ р ^ оо. Построить такую функцию
/(ж) G Ьр((О, оо)), что f(x) ? Lr(@, оо)) для любого г е [1, оо] \ {р}.
13.15.	Пусть fi(A) = оо, 1<5<г<р<оои f(x) e LS(A) П LP(A).
Доказать, что /(ж) G Lr(A).

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	275
13.16.	Пусть 1 ^ s < р ^ оо и [s,p] Ф [1,оо]. Доказать, что суще-
существует такая функция f(x), что f(x) G Lr(@, оо)) при г G [s,p], но
f(x) ф Lr(@,oo)) при г ф [s,p].
13.17.	Пусть f(x) e LP(A) при всех р > ро > 1. Доказать, что
существует конечный или бесконечный предел величин ||/|| причём
в случае его конечности / G L^A) и
Дт||/11Р = 11/1100.
а если предел бесконечен, то / ф LOO(A).
13.18.	Пусть fi(A) < 1 и f(x) — измеримая функция на А. Дока-
Доказать, что функция ф(р) = ||/|L не убывает на [1,оо] (мы допускаем
бесконечные значения).
13.19.	Пусть 1 ^ р < оо и {/n(#)K?Li ~~ фундаментальная последо-
последовательность в LP(A). Доказать, что существует подпоследовательность
{/nfc}b=p сходящаяся п.в. на А к некоторой конечной измеримой на А
функции f(x) при к —> оо.
13.20.	Пусть 1 < р < оо. Доказать, что пространство 1/р(А) полно.
13.21.	Доказать, что пространство L^A) полно.
13.22.	Пусть 1^р<оои/п^/ при п —> оо в LP(A). Доказать,
что /п(ж) ^> f(x) при n ^ оо на А.
13.23.	Пусть 1<р<оои/п^/ при п^оо в LP(A). Доказать,
что существует подпоследовательность {/nfc}^p сходящаяся к f(x)
при к —> оо п.в. на А.
13.24.	Построить такую последовательность {/nO*O}^Li ограни-
ограниченных функций на (О, 1), что fn(x) -^ 0 при п -^ оо при каждом
х G @, 1), но ||/n||i -^ оо при п —> оо.
13.25.	Пусть 1 ^ р < оо, дана последовательность {/п(ж)}^=1 С
С LP(A), функции f(x) и F(x) из LP(A), /п(ж) =Ф f(x) при п -^ оо
на А и |/п(#)| ^ 1^(^I ПРИ всех xGin всех п. Доказать, что fn^f
при п —> оо в 1/р(т4).
13.26.	Пусть /i(A) < оо, 1 ^ г < р < оо, дана последовательность
{/п(^)КГ=1 с ^р(^)' Функция f(x) e LP(A), причём fn(x) => f(x) при
п -^ оо на А и существует такое С > 0, что ||/n|L ^ С при всех п.
Доказать, что fn^f при п —> оо в Lr(A).
13.27.	Пусть 1 ^ р ^ оо, дана последовательность {/n(#)}^Li
функций из 1/р(А) и
п=1

276	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
Доказать, что ряд
сю
Е /nW
п=\
сходится в Lp(A), сходится абсолютно п.в. на А и что
сю
Е.
п=\
п=\
13.28. Пусть {/n(^)}^=i и /(#) ~~ конечные измеримые функции
на А, где /i(A) < оо. Доказать, что fn(x) => f(x) при п —> оо на А тогда
и только тогда, когда
[ \Mx)-f(x)\ , :Q
при п ^ оо.
13.29. Построить такие конечные измеримые функции {/n(
и /(ж) на R, что /п(ж) ^> /(ж) при п -^ оо на R, но
+ |/п(х)-/(х)|^/
А
при п —> оо.
13.30. Пусть J(A) — множество всех конечных измеримых функ-
функций на А и Jo (А) = {/(ж) е J: /(ж) = 0 п.в. на А}. Доказать, что
— метрика на фактор-пространстве Lo = J(A)/Jq(A).
13.31.	Доказать, что не существует метрики на фактор-простран-
фактор-пространстве L = J([0, l])/Jo([O, 1]) (с классической мерой Лебега), сходимость
по которой эквивалентна сходимости п.в. на [О, 1].
13.32.	Пусть l^p^oo, —|— = 1, даны последовательность
Р Q
{/п(»КГ=1 Функций из LP(A), функции f(x) e LP(A) и g(x) e Lq(A).
Пусть также /n -^ f в Lp(A) при п -^ оо. Доказать, что fng -^ fg
в L\(A) при п -^ оо.
13.33.	Пусть l^p^oo, - + - = 1, даны последовательность
сю	Р Q	сю
{fn(x)}™=\ функций из Lp(A), последовательность {дп(х)}(^=х функ-
функций из Lq(A), функции f(x) e Lp(A) и д(х) G Ьд(А). Пусть при этом

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	277
fn —> / в Lp(A) при п^ооидп^дв Lq(A) при п —> оо. Доказать,
что /n#n -> fg в Li(A) при n ^ оо.
13.34. Пусть Ф(и) — неотрицательная неубывающая непрерывная
на [0, оо) функция, причём Ф@) = 0 и Ф(и) > О при и > 0. Пусть f(x)
и {/n(#)K?Li ~~ конечные измеримые функции на А и
Л
при п -^ оо. Доказать, что /п(#) ^ /(^) при n ^ оо на
13.35. Пу
Доказать, что
13.35. Пусть 1<р<оо, —|— = 1 и дана функция f(x) G LP(A).
H = sup
g(x)ebq(A):
\\g\\^
\f(x)g(x)dfi
и что существует такая функция до(х) е Lq(A) с \\go\\q = 1, что
А
13.36. Пусть 1<р<оо, - + - = 1, дана функция f(x) e Lp(A)
и ll/llp > 0- Доказать, что элемент (см. задачу 13.35) д(х) е Lq(A), для
которого Ц^оЦд = 1 и
А
единственен.
13.37. Пусть дана функция f(x) e L\(A). Доказать, что
= sup
\ f(x)g(x)dfi
9(x)eLoo(A): A
и что существует такая функция до(х) ? LOO(A), что ЦдоНоо = 1 и
11/11, = \f(x)go(x)dfi.
А
13.38. Построить такие функции f(x) ? Li(@, 1)) и д\(х),д2(х) ?
? Loo ((О, О), что Uglily = Halloo = ! и
0<||/||i = J/(x)fli(x)d/i = J/(x)(/2(x)d/i>
Л	А
НО 01 (ж) ^020*0 В Loo ((О, О).

278	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
13.39. Пусть f(x) e LOO(A). Доказать, что
II/IL = SUP \ f(x)g(x)d/i.
13.40. Построить такую функцию f(x) G Loo ((О, 1)), что для любой
g(x) G L\((О, 1)) с \\g\\ j ^ 1 выполнено неравенство
f(x)g(x)dfi
(ОД)
<
13.41. Построить такие функции f(x) ? I/qo(@, 1)) и д\(х),д2(х) ?
[/l(@, 1)), ЧТО ||<7l||i = ||^2 Hi = 1 и
Г	Г
О II ? 11	?( \ ( \ 7	?( \ ( \ 7
<L 7"	— 1\пГ\Пл\пГ\п\\ — Т \ ПГ \ По I T* I fill
но ^i(x) ф д2(х) bLi(@,1)).
13.42.	Пусть 1 < р < оо, g = -^-—, функция f(x) измерима
на А и f(x)g(x) G Ь(А) для любой функции #(#) G Ьд(А). Доказать,
что/(ж) GLP(A)-
13.43.	Пусть функция /(ж) измерима на А и f(x)g{x) G Ь(А) для
любой функции д(х) G Loo(A). Доказать, что /(ж) G I/i(A).
13.44.	Пусть функция f(x) измерима на А и f(x)g(x) ? L(A) для
каждой #(#) G I/i(А). Доказать, что f(x) ? LOO(A).
13.45.	Пусть 1 ^ р < оо, функция f(x) измерима и неотрицательна
на А и F/(t) = F(t) = /х({ж ? A: f(x) > t}) при t > 0. Доказать, что
J(/(x))pd/x=p J t*-lF(t)d»l9
А	@,оо)
где /ii — классическая мера Лебега на @, оо) (возможно, обе части
равенства бесконечны).
13.46.	Пусть (Xi,Mi,/ii) и (X2,M2,/i2) — сг-конечные измеримые
пространства, Ai ? М\, А% ? М2, конечная неотрицательная функция
f(x) измерима на А\, конечная неотрицательная функция д(у) измери-
измерима на А% и
е Ах: f(x) > t}) = /х2({2/ е А2:

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	279
при всех t ^ 0. Доказать, что для любого р G [1,оо) выполнено ра-
равенство
J \f\p d/xi = \\9\р Ф2
A,	A2
(возможно, оба интеграла бесконечны).
13.47. Пусть (Х\,М\,fix) и (Х2, М2, fi2) — сг-конечные измеримые
пространства, А\ ? М\, А2 G M2, /ii(Ai) = ^2(^2) < °°> конечная функ-
функция f(x) измерима на А\, конечная функция д(у) измерима на А2 и
Ц\ ({х е Ах: f(x) > t}) = Ц2({у е А2: д(у) > t})
при всех t G R. Доказать, что f(x) G L(A\) тогда и только тогда,
когда д(у) G Ь(А2), и что в случае, когда обе функции интегрируемы,
выполнено равенство
J f(x)dii\ = J g(y)dij,2.
Ах	А2
13.48.	Построить две конечные измеримые относительно класси-
классической меры Лебега /i на R функции f(x) и д(х), для которых
/х({ж е R: /(ж) > t}) = //({j/ G R: р(ж) > t})
при всех t e R, и /(ж) g L(R), но р(ж) ^ L(R).
13.49.	Пусть f(x) и ^(ж) — измеримые неотрицательные функции
на А, Ау = Ау(д) = {х ? А: д(х) > у} при у > 0 и
"J.
Доказать, что
= J
@,оо)
где fi\ — классическая мера Лебега на @, оо).
13.50.	Пусть п ^ 1, дан конечный промежуток [а,Ь] С Rn, fi —
классическая мера Лебега на [а,Ь], 1 ^ р < оо и дана функция
f(x) ? Lp([a,b]). Доказать, что при любом г > 0 существует функция
д(х) ? С([а, Ь]), для которой ||/ — д\\ < г, т. е. множество непрерывных
функций всюду плотно в Lp([a,b]).
13.51.	Пусть дан конечный отрезок [а,Ь] С R и число р ? [1;оо).
Доказать, что множество всех многочленов всюду плотно в Lp([a,b\).

280	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
13.52.	Пусть п > 1, дан конечный отрезок [а,Ь] С Rn, ц — класси-
классическая мера Лебега на [а,Ь] и 1 ^ р < оо. Доказать, что пространство
Lp([a,b]) сепарабельно.
13.53.	Пусть 1 ^ р < оо и Cb(R) — множество всех таких функций
f(x) e C(R), что существует N = N(f), для которого f(x) = 0 при
\х\ > N. Доказать, что (^(R1) — всюду плотное множество в LP(R).
13.54.	Пусть 1 < р < оо. Доказать, что пространство Lp(Rl) сепа-
сепарабельно.
13.55.	Пусть (Х,М,р) — пространство с конечной мерой,
и р(А, В) = р(А А В) для А и В из М. Доказать, что (М, р) —
квазиметрическое пространство, т. е. что р — неотрицательная сим-
симметричная функция и для неё выполнено неравенство треугольника.
13.56.	Пусть (X, М, р) — пространство с конечной мерой и 1 ^ р <
< оо. Доказать, что нормированное пространство LP(X) сепарабельно
тогда и только тогда, когда квазиметрическое пространство (М, р)
с р(А, В) = ц(А А В) при А и В из М сепарабельно.
13.57.	Доказать, что пространство ^^([О, 1]) несепарабельно.
13.58.	Пусть 1 < р < оо, р(А) < оо и f(x) e LP(A). Доказать, что
существует такое со G R, что inf II/ — с\\ = II/ — co|L.
13.59.	Пусть 1 < р < оо, /л(А) < оо и f(x) G LP(A). Доказать, что
число со G R, для которого inf II/ — ell = II/ — cqL (см. задачу 13.58),
сем1	^	^
единственно.
13.60.	Построить функцию f(x) e L(@, 1)), для которой мно-
множество
A = {c6RI: jnRf||/-ci||p=||/-c||p}
||p}
состоит более чем из одной точки.
13.61.	Пусть f(x) e LOO(A). Доказать, что существует единствен-
единственное с0 е К, для которого inf ||/ - сЦ^ = ||/ - соЦ^.
13.62.	Пусть [а, Ъ] С R, 1 < р < оо, дана функция f(x) e Lp([a,b\).
Определим её модуль непрерывности в Ьр формулой
/Г	1/
u(f',6)p= sup	\f(x + h)-f(x)\pd»
[a,b-h]
Доказать, что co(f; 5) -^ 0 при 5 -^ 0+.
13.63.	Пусть [a, b] С R, 1 ^ p < оо, дана функция f(x) G Lp([a, 6]),
причём её модуль непрерывности (см. задачу 13.62) удовлетворяет

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	281
условию u{f\S) = 0(8) при 5 —> 0_|_. Доказать, что f(x) = с п.в.
на [а,Ь].
13.64. Пусть f(x) e L(R). Доказать, что
при t —> 0.
13.65.	Пусть f(x),g(x) ? L(Rl), причём f(x) — ограниченная
функция на R. Доказать, что их свёртка (/ * д)(х) (см. задачу 12.11)
непрерывна на R.
13.66.	Пусть f(x) ? L(R), дано h > 0 и
(x—h,x+h)
Доказать, что ЦД^ < \\f\\v
13.67.	Пусть 1<р<оо, ft > 0 и /(ж) G I/P(R). Доказать, что
(см. задачу 13.66) ||Д||р < ||/||р.
13.68.	Пусть 1 < р < оо и /(ж) G ^(R1). Доказать, что (см. зада-
задачу 13.66) ||/-Л||р^0при/1^0+.
13.69.	Пусть/(х) gLi(@,1)) и
fk(x) = k	f{t)dfi при х ? \—j—, Т 1, где г = 1,2,...,/с
для fc G N. Доказать, что ЦЛ!^ ^ \\f\\\ ПРИ всех /с.
13.70.	Пусть 1 < р < оо и /(ж) G 1/р(@, 1)). Доказать, что (см. за-
задачу 13.69) \\fk\\p < 11/Цр Для любого к.
13.71.	Пусть 1 < р < оо и /(ж) G 1/р(@, 1)). Доказать, что (см. за-
задачу 13.69) ||/ - fk\\p -+ 0 при к -+ оо.
13.72.	Пусть М — сг-алгебра, а Ф — заряд на М. Доказать, что
для любых множеств А{ из М таких, что А\ D A% 2 • • •, выполнено
равенство
13.73. Пусть М — сг-алгебра, Ф — заряд на М и А ? М. Дока-
Доказать, что
7(А) = sup Ф(Б) < оо.
вем,всл

282	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
13.74.	Пусть М — сг-алгебра, Ф — заряд на М, А е М и Ф(А) < 0.
Доказать, что существует отрицательное множество В С А.
13.75.	Пусть М — сг-алгебра с единицей X, а Ф — заряд на М.
Доказать, что существуют положительное множество А+ е М и отри-
отрицательное множество А_ е М, для которых X = А+ U А_ (это пред-
представление называется разложением Хана множества X относительно
заряда Ф).
13.76.	Привести пример заряда Ф на сг-алгебре с единицей X,
относительно которого множество X имеет два различных разложения
Хана.
13.77.	Пусть М — сг-алгебра с единицей X, Ф — заряд на М
и X = А+ U А_ = Б+ U Б_ — два разложения Хана. Доказать, что для
любого Е е М выполнены равенства Ф(Е П А+) = Ф(Е П Б+) и Ф(Е П
П А-) = Ф(Е П В-). Это означает, что можно определить две меры
на М, связанные с Ф: Ф+(Е) = Ф(Е П А+) и Ф_(Е) = -Ф(Е П А_).
Выражение Ф = Ф+ — Ф_ называется разложением Жордана заряда Ф.
Замечание. Из утверждения задачи видно, что разложение Жор-
Жордана единственно.
13.78.	Пусть М — сг-алгебра с единицей X, \± — сг-аддитивная
мера на М, Ф — заряд на М, который абсолютно непрерывен относи-
относительно /i, а Ф = Ф+ — Ф_ — разложение Жордана заряда Ф (см. зада-
задачу 13.77). Доказать, что меры Ф+ и Ф_ также абсолютно непрерывны
относительно меры р.
13.79.	Пусть М — сг-алгебра с единицей X, \± — конечная
сг-аддитивная мера на М, а Ф ф 0 — конечная сг-аддитивная мера
на М, которая абсолютно непрерывна относительно меры р. Доказать,
что существуют такие натуральное число п и множество В е М, что
р(В) > 0 и В — положительно относительно заряда фп = Ф — — р.
13.80.	Теорема Радона-Никодима. Пусть (Х,М,р) — простран-
пространство с конечной мерой, а Ф — заряд на М, который абсолютно непреры-
непрерывен относительно р. Доказать, что существует функция f(x) G L(X),
для которой
Ф(А) = f(x) dp для всех А е М.
А
13.81.	Доказать теорему Радона-Никодима в случае, когда
(Х,М,р) — сг-конечное измеримое пространство.
13.82.	Пусть (Х,М,р) — сг-конечное измеримое пространство,
функции f(x) и д(х) из L(X) и
f(x) dp = д(х) dp для всех А е М.
А	А
Доказать, что f(x) = д(х) п.в. на X.

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	283
13.83.	Пусть ([О, 1],М,/i) — пространство с классической мерой
Лебега. Построить такую сг-аддитивную меру Ф на М, что не суще-
существует функции f(x) G L(@, 1)), для которой
Ф(А) = f(x) dfi при всех А е М.
А
13.84.	Пусть (Х,М,ц) — пространство с конечной мерой, а Ф —
заряд на М, который не является абсолютно непрерывным относитель-
относительно II. Доказать, что не существует функции f(x) G L(X), для которой
= f(x) dfi для всех А е М.
А
РЕШЕНИЯ
13.1. Ясно, что достаточно рассмотреть случай положительных а
и Ъ. Рассмотрим кривую на плоскости у = хр~1, где х ^ 0. В силу
соотношения на р и q эта же кривая является графиком функции х =
= yq~\ Пусть S\ — площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью
ОХ и прямой х = а, а % - площадь фигуры, ограниченной той же
кривой, осью OY и прямой у = Ъ. Тогда нетрудно видеть, что
а	ъ
\xp-ldx+ \yq~ldy = — + —.
J	J	p q
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда Ь =
= ар~\ Данным фактом мы воспользуемся ниже. ?
13.2. Заметим, что если хотя бы один интеграл в правой части
неравенства, скажем первый, равен нулю, то f(x) = 0 п.в. на А. В этом
случае f(x)g(x) = 0 п.в. на А, и неравенство принимает вид 0^0.
Пусть теперь
[ \f(x)\pdfi = ар>0 и	[ \g(x)\q dfi = bq > 0.
А	А
Обозначим (р(х) = - f(x) и ф(х) = -д(х). Тогда

284	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
Применяя результат задачи 13.1, получаем, что
q	p q
A	A	A
откуда вытекает неравенство Гёльдера. ?
13.3. При р = 1 утверждение следует из свойств интеграла Лебега
(задача 10.23). Пусть р > 1. Так как
\f(x)+g(x)\p < 2pmsx(\f(x)\p, \д(х)\р) < 2Р (\f(x)\p + \д(х)\р)
при всех х е А, то \f(x) + д(х)\р е L(A). Заметим, что
\f(x)+g(x)\p < \f(x) +g(x)\p-]\f(x)\ + \f(x) + д(х)Г ]\g(x)\
для каждого х е А. Поскольку (р — \)q = p, то, применяя неравенство
Гёльдера, получаем, что
\f(x)+g(x)\pdvL) х
Если
a=\\f(x)+g(x)\pdfi = O,
А
то справедливость неравенства Минковского очевидна. В противном
случае поделим обе части последнего неравенства на axlq и получим
неравенство Минковского. ?
13.4. Множество Lp(A) является линейным пространством (см. за-
задачу 10.21 и начало решения задачи 13.3). Так как для функций /
и д, равных нулю п.в., их сумма тоже равна нулю п.в., то Jo(A) —
его подпространство, т. е. фактор-пространство определено. Из свойств
интеграла Лебега ясно, что если f(x) = д(х) п.в., то \\f\\p = |Ы|р, т.е.
норма определена корректно. Отсюда же вытекает, что ||/|L = 0 тогда
и только тогда, когда f(x) = 0 п.в, т. е. f(x) = 0 в смысле LP(A). Неот-
Неотрицательность нормы очевидна из свойств интеграла Лебега. Далее,
lla/llp = Nll/llp для каждого элемента f(x) e Lp(A) и любого числа
a G R. Наконец, неравенство треугольника в Lp — это неравенство
Минковского (с точностью до замены функции на класс эквивалентных
функций). ?

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	285
13.5.	Линейность LOO(A) очевидна. Ясно также, что Ц/Ц^ ^ 0, что
ll/lloo = ^ Т0ГДа и только тогда, когда f(x) = 0 в L^, и что Цсе/Ц^ =
= \а\II/IIqq для любого элемента f(x) ? LOO(A) и любого числа a ?
G R. Пусть теперь /(ж) и д(х) из 1/^(^4), а = Ц/Ц^ и 6 = ЦдЦ^. Тогда
/i({# G А: |/(ж)| > а}) = 0 и /i({# G А: |^(ж)| > Ъ}) = 0. Следовательно,
fi({x e A: \f(x) + д(х)\ > а + 6}) = 0, откуда следует, что ||/ + #11^ <
< а + 6. ?
13.6.	Положим Аа = {ж G А: |/(ж)| > а}. Пусть /iAa = 0. Возьмём
функцию д, равную нулю на Аа и совпадающую с / вне этого множе-
множества. Тогда д ~ f и д(х) ^ а всюду на А. Обратно, если нашлась такая
функция д ~ f, что д(х) ^ а всюду на А, то Аа С {ж : д(х) Ф f(%)},
и потому \±Аа = 0. Таким образом, если хотя бы одна из указанных
в условии величин конечна, то конечна и вторая, и они равны. ?
13.7.	Пусть вначале а + /3 > 0 и а|/(ж)|р = /3|^(ж)|9 п.в. на А.
Предположим, что /3 > 0. Тогда
Л	А
С другой стороны,
,/ЗУ |Ш|Р Ч/5У ||Л|^'
поэтому в неравенстве Гёльдера имеет место равенство. Пусть теперь
Ир М# \\q \\J Wp \ о )
Будем считать, что обе функции не эквивалентны нулю на А, иначе
доказывать нечего. Из доказательства неравенства Гёльдера (см. ре-
\а(х)\ {\f(x)\\p~l
шения задач 13.1 и 13.2), следует, что	= (	j п.в. на А
при а = ||/||р > 0 и 6 = |Ы|, > 0. Поэтому а?\д(х)\ч = W\f(x)\p п.в.
на А. ?
13.8. Пусть вначале а + /3 > 0 и а/(ж) = /3^(ж) п.в. на А. Можно
считать, что /3 > 0. Тогда
Пусть теперь ||/ + #Цр= ||/||р + ||^||р- В этом случае (см. решения
задач 13.3 и 13.7) имеем a{\f(x)\p = fc\f(x) + д(х)\р и а2\д(х)\р =
|(О +^(Ж)|Р п-в- на ^' гДе «ь«2,А»^2 > 0, ai +/3i > 0 и а2 +
> 0- Отсюда непосредственно следует утверждение задачи. ?

286	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
13.9. Пусть а = II^IIoq. Тогда \f(x)g(x)\ < a\f(x)\ п.в. на А. Поэтому
f(x)g(x) e L(A) и
- \\J 111 \\y\\oo-
A	A
?
13.10.	Если p2 = оо, то утверждение выполняется при
\,P2,A) = (/i(A)) . В противном случае согласно неравенству
Гёльдера получаем
Ч	^
?
13.11.	Пусть Ап = (	-, - ) при п е N и
\п + 1 п )
Заметим, что
при всех s G [1,оо). Следовательно,
Jl/(g)r^=Eln2P(" )
В то же время для любого г > р выполнены равенства
оо	г/р-\
П
Замечание. В задаче 13.11, так же как и в задачах 13.12-13.14,
можно также подобрать ответ в виде f(x) = ха \пс(х + Ъ)хе(х).
13.12. Определим множества Ап = (	г> —) Для ^ ? N. Пусть
\п+1 п/
вначале р < оо. Тогда положим
п=1

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	287
Получим, что
оо	оо ^
(f(x)fdii = ]Г пц(Ап) = ]Г —ГТ = °°-
А	п=\	п=\
С другой стороны, для любого г G [1,р) имеем
f(x))r dfi = ^2 	i_r/ < °°-
Если р = оо, то положим
п=1
Ясно, что /(ж) ^ Lqo(@, 1))' но Для любого г G [1,оо) выполнены
условия
j (f(x)) dfi=J2 n(n+l\ < °°-
A	n=1
П
13.13. Если p = оо, то положим f(x) = 1 на A,оо). Ясно, что
f(x) e Loo((l,oo)), но f(x) ? Lp((l,oo)) ни при каком р < оо. Пусть
теперь 1 < р < оо. Определим функцию
Заметим, что
i
п=\
поэтому f(x) e Lp((l, оо)). Пусть 1 < г < р. Тогда
= 00.
?
13.14. Если р= 1, то можно использовать пример из задачи 13.11.
Если р = оо, то положим f(x) = 1 на @, оо). Нетрудно видеть, что
f(x) G Lqo(@, °°))> но /(#) ^ Lp(@, оо)) ни при каком р < оо.
Пусть теперь 1 < р < оо. Тогда (см. задачу 13.11) найдём такую
функцию g(x) e Lp(@, 1)), что д(х) ф Lr(@, 1)) при каждом г > р. По-
Положим д(х) = 0 при ж ^ 1. Далее, найдём функцию (см. задачу 13.13)

288	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
h(x) G I/p((l,oo)), не принадлежащую ни одному из Lr((l,oo)) при
г е [1,р). Пусть h(x) = 0 для х е (О, 1] и f(x) = g(x) + h(x). Если г > р,
то /(ж) ^ Lr(@, оо)), поскольку д(х) ? Lr(@, оо)). Если г Е [1,р), то
/(ж) ^ Lr(@, оо)), поскольку /г(ж) ^ Lr(@, оо)). П
13.15. Положим Ах = {х: \f(x)\ > 1} и А2 = {х : \f(x)\ < 1}.
Тогда А = А\ U ^2. Заметим, что если 5 < г < р < оо, то на множе-
множестве А\ выполнено неравенство \f(x)\r < |/(ж)|р, а на множестве А% —
неравенство \f(x)\r < |/(^)|s- Поэтому при р < оо выполнены оценки
J	J
Ai	Л2
Если же р = оо, то по неравенству Чебышёва /Mi < оо, и выполняются
оценки
оо.
п
13.16.	Пусть для простоты 1 < s < р < оо. Тогда (см. задачу 13.11)
найдётся такая функция д(х) ? Lp(@, 1)), что д(х) ^ 1/г(@, 1)) для
каждого г > р. Положим д(х) = 0 при х ^ 1. Затем найдём функ-
функцию (см. задачу 13.13) h(x) G Ls((l,oo)), не принадлежащую ни
одному из 1/г(A,оо)), г е [1,5). Положим h(x) = 0 при х е @,1]
и /(ж) = д(х) + h(x). Тогда, аналогично решению задачи 13.14, пока-
показывается, что f(x) — подходящая функция. ?
13.17.	Пусть вначале
liminf ||/||р = а < оо.
Это означает, что существует такая последовательность рп | оо при
п —> оо, что
Л ИД* =°-
Для любого ? > 0 и для каждого п по неравенству Чебышёва имеем

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	289
при п —> оо. Отсюда следует, что Ц/Ц^ ^ а + е, поэтому Ц/Ц^ ^ а.
Следовательно, если Ц/Ц^ = оо, то ||/||р —> оо при р —> оо. Если
р < оо, то для любого р > ро получаем
II р -II f II р
Про 11/Цоо
А
откуда вытекает, что
Утверждение задачи следует из полученных неравенств. ?
13.18. Заметим (см. задачу 13.10), что множество {р G
G [1,оо]: ф(р) < оо} либо пусто, либо является полуинтервалом
[1,а), либо является отрезком [1,а] (возможно, а = оо). Из решения
задачи 13.10 также следует, что если 1 < г < s и ip(s) < оо, то
13.19. Выберем такую последовательность {nfc}j?Lp что
||/п — /nfc||p < l/2fc при п > nfc. Предположим вначале, что fi(A) < оо.
Тогда (см. задачу 13.10) выполнены оценки ||/nfc+1 — /nj|i < C/2k, где
величина С зависит от р и /i(A). Рассмотрим сумму
/с=1
По теореме Б. Леви (задача 10.34)
< 00,
поэтому функция Ф(х) конечна п.в. на А. Тогда ряд
абсолютно сходится, а значит, и сходится п.в. на А. Но его N-я
частичная сумма совпадает с fnN+l (x) ПРИ каждом N. Поэтому, если
положить	^
fix) = /П1 (х) + ? (fnk+[ (х) - fnk (х))
к=\
в точках, где ряд сходится и f(x) = 0 в остальных точках, то мы
получаем утверждение задачи для случая /л(А) < оо. В общем случае
пусть
сю
/=1
10 П. Л. Ульянов и др.

290	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
где ia(Ai) < оо при Z Е N. Из вышеизложенного следует, что при
каждом / существует конечная измеримая функция gi(x) на Ai, для
которой fnk(x) —> gi(x) при к —> оо п.в. на А/. Полагая /(ж) = #/(#) при
х е Ai, где I е N, получим требуемое утверждение. ?
13.20. Пусть {/n}^Li — фундаментальная последовательность
в LP(A). Используя задачу 13.19, найдём подпоследовательность
fnk(x), которая сходится п.в. на А к конечной измеримой функции
f(x). Заметим, что числа \f{%)\p d/i ограничены в совокупно-
А
сти в силу фундаментальности последовательности {fn}^L\- Но
\fnk(x)\P ~^ \f(x)\P ПРИ ^ ^ оо п.в. на А, и тогда по теореме Фату
(см. задачу 10.35) f(x) e LP(A). Пусть дано е > 0. Найдём такое Ко,
что для любых q,r > Ко выполнено неравенство \\fq — fr\\ < х- Так
как \fnk(x) - fni(x)\p -^ \fnk(x) -f(x)\p при /^оо п.в. на А, то
?
2
по теореме Фату \\fnk — /|| ^ ^ при rik>Ko. Отсюда следует, что
\\fr - f\\p<s при г >К0. П
13.21.	Пусть am?n = ||/n -/mlloo при m,n G N и
Ат,п = {х еА: \fn(x) - fm(x)\ > am?n}.
По определению нормы в пространстве L^A) имеем: /i(Am>n) = 0 для
каждых тип. Заметим, что последовательность {/n(#)}^Li равномер-
равномерно фундаментальна на множестве
В = А\ у ^™,«.
771,П=1
Как известно из курса математического анализа, в этом случае по-
последовательность {fn(x)}™=\ равномерно сходится на В к некоторой
функции f(x), которая измерима на В. Пусть f(x) = 0 при А\В. Так
как fi(A \ В) = 0, то тем самым утверждение задачи доказано. ?
13.22.	Пусть дано г > 0. В силу неравенства Чебышёва (см. зада-
задачу 10.51) получаем оценку
ц {{х е А: |/„(х) - f(x)\ >е})=^({хеА: |/„(х) - f(x)\p > г*}) <
при п -^ оо. П
13.23. Утверждение немедленно вытекает из задачи 13.22 и теоре-
теоремы Рисса (см. задачу 9.19). ?

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	291
13.24.	Пусть fn(x) = n3X(_j_ n (х) ПРИ ^ ^ N. Ясно, что fn(x) —>
п3
—> 0 при п —> оо для каждого ж G (О, 1), но ||/n||i = —?	тт —> оо при
ТЪуТЪ \~ 1 j
п —> оо. П
13.25.	Ясно, что |/п(ж) — f(x)\ => 0 при n ^ оо на А, поэтому
\fn(x) - f(x)\p =Ф 0 при п -^ оо на А. Более того, |/п(ж) - f(x)\p <
< 2p|F(x)|p G Ь(^4) при всех жЕ^и при любом п. Применяя зада-
задачу 10.38, получаем сходимость в Lp. ?
13.26.	В силу результата задачи 9.19 (теорема Ф. Рисса) найдётся
подпоследовательность {fnk(x)}, сходящаяся к f(x) при к —> оо п.в.
на А Тогда \fnk(%)\P —> |/(^)Г ПРИ ^ "^ °° п-в- на ^-» и по теореме Фату
(см. задачу 10.35) ||/|| < С. Пусть дано произвольное е > 0. Возьмём
такое 5 > 0, что 51/г~1/р < ————-. Рассмотрим измеримое множество
В С Ac /i(B) < 5. Тогда (см. задачу 13.10)
в
Аналогично,
1/г
в
Найдём теперь такое N, что при n > N для множеств
г
L:|/n(x)-/(x)|>
выполнены неравенства fi(An) < 5. Тогда для таких п получаем оценки
1/г / г	Х \/г
\fn(x)-f(x)\T
\(\Л Г< ? + ? + ?
?
13.27. Пусть
/с
п=1
10*

292
Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
при k G N. Тогда по неравенству Минковского
\\sm-sk\\p =
Е /»(
п=к+\
т
Е
п=/с+1
для каждого т > к ^ 1. Отсюда следует, что последовательность
{Sk}^=l фундаментальна в Lp(A), поэтому (см. задачи 13.20 и 13.21)
существует 1/р-предел
lim Sk(x) = f(x) e LP(A).
/с—s-oo
Аналогично, если рассмотреть последовательность
Як(х) = Е |/п(аг)|,
где к G N, на произвольном множестве конечной меры Б С А, то с учё-
учётом задачи 13.10 мы получим, что она сходится в L\(B) к некоторой
функции Fix), а тогда по теореме Б. Леви п.в. на В эта последова-
последовательность сходится. Поэтому ряд
сю
Е /nW
п=\
абсолютно сходится п.в. на А. Наконец, так как
к
п=\
при к —> оо п.в. на А и так как
к
п=\
\f{x)\P
СЮ
Е \\Ш
п=\
при всех /с, то из теоремы Фату (см. задачу 10.35) получаем утвержде-
утверждение задачи. ?
13.28. Пусть вначале fn(x) => f(x) при п —> оо на А. Для любого
г > 0 выберем такое N, что при каждом п^ N множество Ап = {х е
eA:\fn(x)-f(x)\2
имеем
\Ш ~.
1 -I- I f (т) —
|/п(Ж)-/(Ж)|
+ \fn(x)-f(x)\
-jrdfi^ fi(An) i
An) < s.
A\An

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	293
Пусть теперь
при п —> оо. Тогда по неравенству Чебышёва для любого г G (О, 1)
выполнена оценка
И
при п —> оо, откуда следует, что fn(x) =>¦ f(x) при п ^ оо на А. ?
13.29. Пусть f(x) = 0 и fn(x) = - Х(-п,п)(х) для ж G R и n G N.
Тогда fn(x) —> f(x) при п -^ оо равномерно на R, поэтому /п(ж) =Ф /(ж)
при п -^ оо на R. В то же время
при п -^ оо. ?
13.30. Ясно, что p(f,g) = p(g,f) и р(/,^) > 0 при всех f,g eL.
Если р(/, ^) = 0, то (см. задачу 10.52) f(x) = g(x) п.в. на А, т. е. / = g
в L. Докажем неравенство треугольника. Заметим, что если а, Ь и с —
неотрицательные числа и а ^ 6 + с, то
а	6+с	6 , с
1 + а 1 +6 + с 1+6 1 +с'
Отсюда следует, что
+
А
для любых функций /,дикизЬ. ?
13.31. Предположим, что такая метрика p(f,g) существует. Рас-
Рассмотрим последовательность {fn(x)}™=\ конечных измеримых функций
на [0, 1], которая сходится по мере к 0 при п —> оо на [0, 1], но расходит-
расходится в каждой точке (см. задачу 9.18). Тогда существуют подпоследова-
подпоследовательность {gk(x) = fnk(x)}^L\ и число ^ > 0, для которых р(д^,О) ^ г

294
Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
при всех к. Но gk(x) => 0 при п —> оо на [0, 1], и по теореме Рисса
(задача 9.19) существует подпоследовательность {^(ж)}^, которая
сходится к 0 п.в. на [0, 1]. Тогда по предположению р(д^,О) —> 0 при
I —> оо, что противоречит выбору последовательности {п/с}. ?
Замечание. Аналогично доказывается, что сходимость почти
всюду на отрезке не может быть задана никакой топологией.
13.32. Заметим, что в силу результата задач 13.2 и 13.9 функции
f(x)g(x) и fn(x)gn(x) принадлежат L\(A) при всех п. При этом
\\fn9 ~
= \\Ux)g{x)-f{x)g{x)\dli
A
- /|L||5|L ^ О
при п —> оо. П
13.33. Заметим, что в силу результата задач 13.2 и 13.9 функция
f(x)g(x) и все функции fn(x)gn(x) принадлежат L\(A). Так как дп -^ д
при п -^ оо в 1/д(А), то существует такое С > 0, что ||^п||д ^ С Для
всех п. Следовательно (см. задачу 13.32),
n9n
Il/n5n " /5п||,
+ \\9п - g\\q\
при п -^ оо. П
13.34. Заметим, что Ф(м
следует, что Ф(|/П(ж) — /(ж)
г > 0 и 7 > 0. Положим 5 =
6 А:
при п^ N. Пусть 4n = {xG
^-п CI Бп при п ^ N, поэтому
13.35. Если
/п " Пр\\9п
0 при и -^ 0+. Далее, из задачи 13.22
^> 0 при n ^ оо на А. Пусть заданы
) > 0. Затем найдём такое N, что
7
< 7-
> ^} Для таких п. Тогда
> 0.
\\p = 0, то утверждение очевидно. Пусть \\f\\p
Применяя неравенство Гёльдера, получаем, что
f(x)g(x
для любой функции д(х) G Lq(A) с \\g\\q ^ 1. С другой стороны, пусть

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	295
Ясно, что до(х) — измеримая функция на А. Далее, так как (р — \)q =
= р, то
А
Наконец,
\f(x)go(x)dfi=	\\f(x)\pdfi =
а	т* а
П
13.36. Так как
: WJ Ир \\Zf\\q ~~ WJ Ир'
А	А
то из условий следует (см. задачу 13.7), что f(x)g(x) = \f(x)g(x)\ п.в.
на А и что существуют такие а > О и /3 > 0, что a\f(x)\p = /3|^(ж)|9
п.в. на А. Так как ||/|| > 0, то C > 0. Поэтому |#(ж)| = т1/(жI =
= j\f(x)\p~ , где 7 = 7з* Поскольку ||д|| = 1, то 7 —	—• Наконец,
^	II«/ Пр
sgn^(x) = sgn/(#) п.в. на А. Таким образом, мы однозначно восстано-
восстановили функцию д. ?
13.37. Ясно, что если #(#) G 1/оо(^4) и Ц^Ц^ < 1, то
А
Для #о(ж) = sgn/(x) G Lqq(А) имеем
п
13.38.	Положим f(x) = дх(х) = х,п и(х) и д2(х) = 1 на @, 1). П
v '2 ^
13.39.	Если II/IIqq = 0, то утверждение очевидно. Пусть а =
: 11/11™ > 0- Заметим, что
/(ж)р(ж
для любой функции #(#) G L\(A) с Ц^^ < 1. Пусть дано некото-
некоторое е > 0 и 4 = {ж G i: \f(x)\ > a - е}. Тогда /х(Ае) > 0. Мож-
Можно считать также, что /jl(A?) < oo, иначе вместо него рассмотрим
измеримое множество В? С А? с 0 < /jl(B?) < oo. Пусть теперь

296
Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
1
)- Заметим, что g?(x) e L\(A) и \\д?\\х = 1.
Далее,
f(x)g?(x)dfi=
а
Так как е > 0 произвольно, то точная верхняя грань равна а. ?
13.40. Пусть f(x) = х на @, 1). Тогда Ц/Ц^ = 1. Пусть д{х) е
е I/i((O, 1)) и 0 < \\д\\х < 1. Выберем 7 ? (О, 1) так, что (см. зада-
задачу 10.67)
(ОД-7)
Тогда
f(x)g(x
@,1)
x\g(x)\dli
(ОД-7)
A-7.1)
(ОД-7)
A-7.1)
П
13.41.	Положим gi(x) = 2%/n i\ (x), g2(x) = 2\( \_ л (х) и f(x) = 1
на (О, 1). ?
13.42.	Докажем вначале, что f(x) конечна п.в. на А. Если
\f(x)\ = оо на множестве Е с fi(E) > 0, то можно выбрать измеримое
множество Е\ С Е с 0 < /i(^i) < оо. Пусть ^(ж) = Хех(%) ^ ^д(^)-
Тогда f(x)g(x) ^ ^(^4), и мы приходим к противоречию. Итак, f(x)
конечна п.в. на А. Представим теперь А в виде
А =
к=\
Обозначим
где
= U Ак,
/с=1
< оо для всех к.
где n e N.
Предположим, что f(x) ф LP(A), и определим множества Е(п) = {xG
G Бп: |/(ж)| < п} для n G N. Пусть также /п(ж) = f(x)xE(n)(x) при
всех п. По предположению (см. задачу 10.32) ||/n|L -^ оо при п —> оо.

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	297
Поэтому мы можем выбрать такую возрастающую последовательность
натуральных чисел {п/}^, что
ci=	\
E(ni+l)\E(ni)
при / е N, где щ = 1. Определим функции
с/д	1
при / G N. Тогда ||<7/|| = —1-^1Т = -^. Обозначим
В силу результата задачи 13.27 функция д(х) принадлежит Lq(A).
Ясно, что f(x)gi(x) — измеримые неотрицательные функции на А для
каждого /, поэтому по теореме Б. Леви
г	оо	оо 1	г
J f{x)g{x)dli = E J f(xMx)d» = Е ^г	J
l=lA	l = Xl2CP E(ni+l)\E(ni)
оо \Iv	оо c\lIv
У" А- > У" —*- = оо.
Полученное противоречие доказывает, что f(x) G Lp(A). D
13.43.	Достаточно взять д(х) = 1. П
13.44.	Аналогично решению задачи 13.42 показывается, что f(x)
конечна п.в. на А. Предположим, что f(x) ^ LOO(A). Тогда можно вы-
выбрать такую последовательность непересекающихся множеств {Ak}^=l
с 0 < /ji(Ak) < оо, что \f(x)\ > к2 при х G А^, где к G N. Возьмём
9к(х) = 2	XAfc(^)sgn/(^) ПРИ каждом /с, и пусть
Из задачи 13.27 следует, что д(х) G I/i(A). Ясно, что f(x)gk(x) —
измеримые неотрицательные функции на А для каждого к, поэтому
с учётом теоремы Б. Леви получаем, что

298	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
I f(x)g(x) d/i = J2 I f(x)dk(x) d/i =
A	k=^A
oo If	°°
Полученное противоречие доказывает, что f(x) e L\(A). D
13.45. Пусть вначале f(x) — простая функция. Тогда
f(x) =
к=\
где 0 < с\ < С2 < ... < сп, а измеримые множества конечной меры
попарно не пересекаются. Заметим, что
F(t) =
ц(Ап)
О
к=\
+ ... +/x(An) при 0 < t < сь
+ . . . + /л(Ап) ПрИ Ci ^ ? < С2,
при cn_i < ? < сп,
при t > сп.
Полагая cq = 0, получаем, что
Р
(О.оо)
п / п
к=\\г=к
}
= ?(?
- 4-i) = Ё
и мы доказали в этом случае требуемое равенство. В общем случае
построим (см. задачу 9.29) такую последовательность hn(x) простых
неотрицательных функций, что hn(x) | f(x) при п —> оо на А. Приме-
Применяя теорему Б. Леви, получаем, что
Далее, последовательность {Fhn(t)}™=l неубывающая для каждого t G
G @,оо), и (см. задачу 7.51)
lim Fhn(t) = Ff(t)

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	299
для любого t ? @,оо). Поэтому, вновь применяя теорему Б. Леви,
получаем, что
lim
п—>-оо
@,оо)	@,оо)
В то же время из предыдущих рассуждений следует, что
А	@,оо)
Из трёх полученных равенств следует утверждение задачи. ?
13.46.	Утверждение следует из задачи 13.45. ?
13.47.	Пусть f(x) G L(A\). Тогда функции /+(#) и f-(x) — из
L(A\). Заметим, что
/XI ({ж е Ах: U(x) > ?}) = /12({у е А2: g+(y) > ?})
для каждого t ^ 0. С другой стороны, при всех t ^ 0 выполнено ра-
равенство
{хеА{: f_(x) >t} = {xeA{: f(x) < -t} =
= Al\{xeAl: f(x) >-t} = Al\p[\xeAl: f(x) > -t - - \ ,
где указанное счётное пересечение является пересечением вложенных
множеств. Аналогичное равенство верно для функции д. Так как
fi\(A\) = //2(^2) < 00, то по свойствам меры мы получаем, что
А2: д_(у) > t}).
Отсюда следует, что (см. задачу 13.46) д+(х), д~(х) G L(A\) и что
J f+(x)dnx = J g+(y)dn2, J f-(x)dfix = J g-(y)d/jj2.
A,	A2	A,	A2
Из полученных формул следует утверждение задачи. ?
13.48. Пусть /О) = —Х{1)(х) и д(х) = ^ХA,ооH)
X	X
+ -Х(-оо,о)(я). ясно, что f(x) e L(R), g(x) ф L(R) и
/х({ж G R: /(ж) > t}) = /х({ж G R: р(ж) > t})
для любого t ^ 0. Но при ? < 0 выполнены равенства
/х({ж G К: /(ж) > ?}) = оо = /х({ж G К: р(ж) > t}).
?

300	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
13.49. Пусть вначале д(х) — простая функция. Тогда
п
к=\
где 0 < с\ < С2 < ... < сп, а измеримые множества конечной меры
попарно не пересекаются. Получим, что F(y) = 0 при у ^ сп и
Пу) =
при Сг-\ < у < Ci, где г = 1, 2,..., п и со = 0. Поэтому
j
@,оо)
г=1
В общем случае построим (см. задачу 9.29) такую последовательность
дп(х) простых неотрицательных функций, что дп(х) | д(х) при п -^ оо
на А. Так как
оо
ЛЫ = U ауЫ
п=\
и Ay^i) С Ау(д2) С ..., то по теореме Б. Леви
Fn(y) =	f(x)d/ji | -FB/)
при n ^ оо для каждого у G @, оо). Так как fn(x)g(x) | f(x)g(x), то,
вновь применяя теорему Б. Леви, получаем, что
I F(y)dfii= lim I Fn(y)dfjL\ =
J	n^oo J
@,oo)	@,oo)
= Jirn^ J f(x)gn(x) ф = J f(x)g(x) dfi.
A	A
П
13.50. Ясно, что достаточно доказать утверждение для неотрица-
неотрицательных функций f(x). Пусть последовательность {/n(#)K?Li простых
неотрицательных функций на [а, Ъ] такова, что fn(x) | f(x) при n ^ оо

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	301
на [а,Ь]. Тогда, применяя теорему Лебега (см. задачу 10.37), получа-
получаем что
II/"/nil? = J
ем, что
[а,Ъ]
при п —> оо. Отсюда следует, что достаточно доказать утверждение для
простых f(x). Но простая функция является линейной комбинацией
характеристических функций измеримых множеств. Поэтому достаточ-
достаточно доказать утверждение для f(x) = ха(х), где А С [а,Ь] измеримое.
По определению измеримого множества существует такое множество
= U
q=\i=\
что /i(A Д А\) < ( - J . Отсюда следует, что
Теперь при достаточно малых 5 > 0 рассмотрим непрерывные функ-
функции hitqts(xi), равные 1 при Х{ е (di(q) + 5,bi(q) — 5), равные нулю
при Xi (? (ai(q), bi(q)) и линейные на оставшихся интервалах, где
q = 1, 2,..., т и г = 1, 2,..., п. Положим
q=\i=\
Заметим, что h§(x) j xax{x) всюду. По теореме Лебега при доста-
достаточно малом 5 > 0 выполнено неравенство \\хах — h§\\p < ^- Поэтому
\\ха — h\\p < ?, откуда следует утверждение задачи. П
13.51. Пусть даны f(x) e Lp([a, b}) и г > 0. Тогда (см. задачу 13.50)
существует такая функция д(х) G С([а,Ь]), что ||/ — д\\р < -. По тео-
теореме Вейерштрасса существует такой многочлен q(x), что
max \q(x) — q(x)\ ^
Тогда \\д - q\\p < |, поэтому ||/ - q\\p < е. П
13.52. Пусть вначале п = 1. Тогда в силу результата задачи 13.51
множество всех многочленов всюду плотно в Lp([a,b\). Но тогда счёт-
счётное множество всех многочленов с рациональными коэффициентами

302	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
также всюду плотно в Lp([a,b\). Действительно, если даны два много-
многочлена
Р(х) = ? ckxk и Q(x) = ? dkx\
k=0	k=0
то имеет место оценка
sup \P(x) - Q(x)\ < max{l, \a\n, \b\n} ? \ck - dk\.
[a,b]	k=0
Поэтому, заменяя коэффициенты многочлена достаточно близкими ра-
рациональными числами, получим достаточно близкий в метрике про-
пространства Lp([a,b]) многочлен с рациональными коэффициентами.
При п > 1 можно провести аналогичное доказательство с исполь-
использованием многомерных аналогов теоремы Вейерштрасса. Мы проведём
другое рассуждение.
Как показано в решении задачи 13.50, любую функцию из Lp
можно сколь угодно точно приблизить в Lp([a,b]) функцией вида
п
f(X) = Ц CkXEk(x),	(О
к=\
где Ек — измеримые множества. Обозначим через W совокупность
п
всех множеств вида В = [J [ак,Ьк], где ак е Qn и bk e Qn. Нетруд-
к=\
но видеть, что совокупность W счётна и для любого измеримого А
при каждом г > 0 найдётся такое В G W, что ц(А Л В) < гр, т. е.
\\ха — Хв\\р < ?• Поэтому любую функцию вида (i) можно сколь угодно
точно приблизить в метрике Lp функцией вида
9(х) = Е QjXB3 (х), qj е Q, Bj е W,
к=\
а множество таких функций счётно. ?
13.53. Пусть даны f(x) e LP(R) и е > 0. Тогда в силу теоремы
Лебега (см. задачу 10.37) найдётся такое N, что
\x\>N
Применяя задачу 13.50, найдём такую функцию h(x) ? С([—N, N]), что
| \f(x)-h(c
x)\pd,,

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	303
Выберем 5 > 0 так, чтобы max(|/i(—N)\, \h(N)\Ml/p < -, и определим
функцию g(x) Е C(R), совпадающую с /г(ж) при х Е [—N,N], g(x) = 0
для \х\ ^ N + 5 и линейную на оставшихся интервалах. Тогда д(х) Е
Е Cn(R) и
\g(x)\pd»
Из полученных оценок вытекает, что ||/ — д\\ < г. П
13.54. Пусть Рп>д. — множество функций, равных многочлену с ра-
рациональными коэффициентами степени не выше к на [—п, п] и нулю
при \х\ > п, где п Е N и /с Е N. Ясно, что множество
оо
Р= U ^
счётно. Пусть теперь даны функция f(x) Е L^R1) и число г > 0. В си-
силу результата задачи 13.53 найдётся такая функция д{х) е Co(R), что
II/ ~ 9\\р < 9* ВЬ1?)еРем такое п, что ^(ж) = 0 при \х\ ^ п. По теореме
Вейерштрасса найдётся такой многочлен q\(x), что
max \g(x)-qi(x)\
xe[-n,n]	2Bn) /p
Можно считать (см. решение задачи 13.52), что q\(x) имеет рацио-
рациональные коэффициенты. Обозначим через q(x) произведение q\(x) на
индикатор отрезка [—п,п]. Тогда q(x) Е Р и ||^ — д|| < -, так что
13.55.	Ясно, что р(А,В) Hи р(А,В) = р(Б,А) для любых мно-
множеств А и Б из М. Далее, так как А Л Б С (А Л С) U (Б Л С) для
любых множеств А, В и С из М, то р(Д Б) < р(Д С) + р(В, С). П
13.56.	Пусть вначале пространство Lp(X) сепарабельно. Тогда
его подмножество {хл{х)}АеМ также сепарабельно. Поскольку
/i(A А Б) = ||ха — Хв\\Рр для любых множеств А и Б из М, то
пространство (М, р) сепарабельно. Обратно, пусть пространство
(М, р) сепарабельно. Тогда сепарабельно и множество всех простых
функций. Но простые функции всюду плотны в LP(X), так что и всё
пространство LP(X) сепарабельно. ?
13.57.	Пусть ft(x) = X[o,t](x) Для каждого t E [0, 1]. Множество
таких функций имеет мощность континуума, но если t\ ^ t^, то

304	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
Wftx — ft2\\oo = *• Поэтому 1/оо([0, 1]) — несепарабельное простран-
пространство. ?
13.58. Пусть а = inf ||/ — с\\ . Тогда найдётся последовательность
вещественных чисел {сп}^=х, для которой ||/— сп||р < аН— при
п е N. Она ограничена, так как
_ \\Сп\\р	||/||р+ \\f - Сп\\р	\\f\\p +Q^+ 1
при всех п. Поэтому можно выбрать такую подпоследовательность
{cnfc}j?Lp что существует lim сПк = со. Тогда сПк —> со при к -^ оо
в Lp(A) и, следовательно,
II/ - со||р = ^Игп^ ||/ - сПк \\р = а.
?
13.59. Предположим, что существуют два различных веществен-
вещественных числа с\, С2, для которых
ll/-ci||p=||/-c2||p=inf||/
-c|L =
т-г	С\ + СО rj.
Пусть сз = —-z—. 1огда
Отсюда следует, что ||/ — сз||р = а. Поэтому в предыдущей оценке име-
имеет место равенство. Тогда в силу результата задачи 13.8 существуют
такие неотрицательные /3 и 7> что /3 + 7 > 0 и P{f{x) ~ с\) — 7(/(ж) ~
— сг) п.в. на А. Поскольку ci 7^ С2, то /3 ^ 7» а тогда п.в. выполнено
равенство /(ж) = ^—	— = С4. Но ясно, что в этом случае с\ —
единственное число, для которого ||/ — с±\\р = 0 = inf ||/ — с\\р. Мы по-
получили противоречие. П
13.60.	Пусть f(x) =X(aiH) -ХAД))(^)- Тогда \\f - с\\х = 1 для
любого с е [-1, 1] и ||/ - с\\х > 1 при |с| > 1. ?
13.61.	Пусть
Ьх = inf {Ъ е R: /х({ж G А: /(ж) > 6}) = 0}
и
6GR: fi({xeA: f(x) < b}) =0}.

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
305
Ясно, что Ц/Цоо = max(|b
= max(|bi — с
), и для любого с ? R имеем: ||/ —
— с|). Поэтому
||г	II	61—62
||/с|| =
6l + 62
и искомое число со = —-— единственно. ?
13.62. Пусть дано г > 0. Используя задачу 13.50, найдём такую
функцию д(х) ? С([а, 6]), что ||/— д\\ < -. По теореме Кантора най-
найдётся такое 5 > 0, что
<
3F - а)
при \х — у\ < 5. Тогда при 0 < h < 5 получаем, что
\/р
Для любых х,у ? [а, Ь]
откуда следует утверждение задачи. П
13.63. Пусть вначале р > 1 и, как обычно, g =
. Возьмём
некоторое число h ? @, Ъ — а). Тогда для любого натурального п по
неравенствам Гёльдера и Минковского получаем
(х + h) - /(х)| d/x < F - сО
[a,b-h]
k=\
kh
п
(/с- \)h
при п -^ оо. Поэтому
[a,b-h]
для любого h ? [О, Ъ — а). Поскольку функция
f(T \ h\ _ f(T\ n < г <У
О	— иначе
Lp([a,b-h})

306	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
измерима на [a,b] x [0,6 —а], то в силу результата задачи 12.14 и тео-
теоремы Фубини имеют место равенства
0= | ( | \f(x + h)-f(x)\d»(x)\d»(h) =
[0,Ь-а) [a,b-h]
= \( \ \f(x + h)-f(x)\d»(h)\d»(x), (ii)
[а,Ь] [0,Ь-х]
откуда следует, что для почти всех х G [а, Ъ] выполнено равенство
J |/(ж + Л)-/(ж)|ф(Л)=0.	(ш)
[а,Ь-х]
Для р = 1 равенство (ш) можно получить ещё проще. Используя
теорему Фубини (задача 12.4), получаем
0=J J \f(x + h)-f(x)\d»
[0,Ъ-а] [a,b-h]
= J J
[a,b] [0,b-x]
Поэтому для почти всех х G [а, Ъ] выполнено (ш).
В обоих случаях из условия (ш) вытекает, что f(x + К) = f(x) для
почти всех х G [а, Ъ] и почти всех h ? [0, 6 — ж]. Положим уп = а -\—-—
для каждого натурального п. Тогда найдутся такие точки хп е [а,уп),
что f(x) = f(xn) для почти всех ж е (хп,Ь\. Обозначим через Еп мно-
множество тех точек х из (хп,Ь\, где равенство /(ж) = f(xn) справедливо.
Поскольку /i([?/i,b] \-Ё7П) — 0 ПРИ каждом п G N, то пересечение всех
множеств ?^п непусто, а тогда все значения f(xn) совпадают и функция
сю
f(x) постоянна на множестве Е = |J Еп, где /i([a, 6] \ Е) = 0. ?
п=1
13.64. Пусть дано е > 0. Найдём такое 7V, что
Обозначим через д(х) ограничение f(x) на [—N — 1,7V + 1] и найдём
такое 5 G @, 1), что uj(g\5)x < -. Теперь, если \t\ ^ 5, то
о
J	J
п

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	307
13.65. Пусть С = sup |/|. Заметим, что и(х) = (/ * д){х) существу -
R
ет в каждой точке х е R. Тогда (см. задачу 13.64)
и(х + Л) - h(x)\ < I [f(t)(g(x + h-t)-g(x-
< С [ \g(x + h-t)-g(x- t)\d/i(t) -^ 0
R
при /г —> 0 для каждого ж G R. ?
13.66. Заметим, что в силу интегрируемости существует повтор-
повторный интеграл
В силу результата задачи 12.14 и теоремы Фубини (задача 12.4) по-
получаем
\ f(x
)
J =
(-h,h)R
В то же время
f \f(
)
(-h,h)
\\f(x)\dfi(x)dv(t)=2h\\f\\
f{t)dlx{t)=2hfh{x).
(-h,h)	{x-h,x+h)
Отсюда следует, что J = 2/111/^1^ ^ 2/г||/|| j. Отметим, что для неотри-
неотрицательной функции /, как нетрудно видеть из доказательства, имеет
место равенство ЦД!^ = Ц/Цр ?
Т)
13.67. Пусть q = —-—. По неравенству Гёльдера
(x-h,x+h)
откуда следует, что
\f(t)\pd»t
(x-h,x+h)
1/р
x — h,x+h)

308
Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
Применяя результат задачи 13.66, получаем, что
?
13.68. Пусть дано г > 0. Тогда (см. задачу 13.53) существует такая
функция д(х) е Со (К), что ||/— д\\р < -. Так как д(х) G Со (К), то
в силу её равномерной непрерывности дн(х) —> д(%) при h —> 0+ равно-
равномерно на любом отрезке. Но существует такое N, что д(х) = ди(х) = 0
при \х\ > N и h ? @, 1). Следовательно, можно найти такое ho, что
\\д — дн\\р < ^ ПРИ 0 < h < ho. Тогда при таких h, учитывая, что
(/ — d)h = fh — 9h, получаем (см. задачи 13.66, 13.67)
II/ -
- д\\р + \\д - дн\\р + ИЛ -
- д\\
п
13.69. По теореме Фубини
flfelli
@,1)
/(ж
k 'ki
г=1
г-1 г
k >k
?
[г — 1 г
—h~' Т>
выполнена оценка
' г-\ г_\
v к 'fc>
Используя задачу 13.69, получаем, что
<ll(l/lpblli<lll/rili =
п
13.71. Пусть дано г > 0. Тогда (см. задачу 13.50) существует такая
функция д(х) е С([0, 1]), что ||/ - д\\р < |. Поскольку д(х) е С([0, 1]),
то дк(х) -^ д(х) при к —> оо равномерно на [0, 1]. Следовательно, можно

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	309
найти такое ко, что \\д — 9н\\р < ^ ПРИ к ^ ко- Тогда для таких к
получаем (см. задачи 13.69, 13.70)
II/ - fk\\p< II/ - 9\\р + \\9 ~ 9к\\р + \\9к - fk\\p< 2||/ - д\\
| < е
п
13.72.	Доказательство такое же, как для мер (см. решение зада-
задачи 6.13). ?
13.73.	Заметим, прежде всего, что j(A\JB) ^ j(A) + j(B). Пред-
Предположим, что j(A) = оо. Тогда существует такое множество В\ с А,
В\ е М, что Ф(В\) > 1. Пусть А\ = А\В\. Если 7(^1) = оо, то
существует такое множество Б2 С А\, В2 G М, что Ф(Б2) > 2. При
этом полагаем А2 = A\\B2. В противном случае j(B\) = 00 и можно
выбрать такое В2 С В\, В2 е М, что Ф(В2) > 2. При этом полагаем
А2 = В\ \ В2. Продолжая этот процесс, мы получим один из двух
вариантов.
1. Бесконечное число раз реализуется случай Bk С. А^-\. Тогда для
таких к множества Bk-\ не пересекаются со всеми последующими В\
и будет построена такая последовательность {В^}°^{ С М, что В^г П
П Bjij = 0 при г т^ J'и Ф(В^) > 1 при всех г. При этом
г=1
что противоречит условию.
2. Начиная с некоторого номера к = ко реализуется случай Bk С.
С Б^_1. Тогда будет построена такая последовательность {Bi}^ С М,
что Б^о 3 ^го+1 — ••• и Ф(В{) > i при всех г ^ го- В этом случае
(см. задачу 13.72)
ф(Г\Вг)>п
\i=in /
для любого натурального п, и мы вновь пришли к противоречию. ?
13.74. Если для любого D с A, D е М, имеем Ф(Б) < 0, то А
отрицательно. Пусть это не так. Тогда (см. задачу 13.73) 0 <
< 00. Возьмём такое множество В\ С А, В\ е М, что Ф(В\) >
и обозначим А\ = А\В\. Тогда Ф^) < Ф(А) и 7(^1) < ^^- Если
7(^-1) = 0, то можно взять В = А\, иначе мы повторим предыдущую
операцию. Продолжая этот процесс, мы получим один из двух случаев:
либо не некотором шаге мы найдём отрицательное подмножество В С
С А, В G М, либо мы построим такую последовательность множеств

310	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
из М: A d A\ D A2 D ..., что Ф(А^+\) < Ф(А,-) и
7(Af) < ^) при j g N.
В этом случае положим
в = п *•
г=1
Заметим, что в силу результата задачи 13.72 имеет место оценка
Ф(В) ^ Ф(А) < 0, в частности, В непусто, и так как j(B) ^ 7(Л?)
при всех j, то из предыдущих выкладок следует, что не существует
множества D С В, D е М, с ФA)) > 0. ?
13.75. Пусть М_ = {А е М: А отрицательно }, и пусть а =
= inf Ф(А). Если М_ = 0, то можно взять А + =1иА_=0. Иначе
а < 0, и пусть {Ап}^=1 — такая последовательность множеств из М_,
что lim Ф(Ап) = а. Обозначим
п^оо
сю
А_= [J АП6М_.
п=1
Тогда Ф(А_) ^ Ф(^4П) ПРИ всех натуральных п, откуда следует, что
Ф(А_) = а (заметим, что поэтому а > —оо). Докажем, что множество
А+ = X \ А- положительно. Если это не так, то существует множество
D С А_|_, DgMc Ф(^) < 0. В силу результата задачи 13.74 отсюда
следует, что существует отрицательное множество В С D с Ф(^>) <
<	0. Но в этом случае множество Е = A- U Б отрицательно и Ф(.Е) <
<	Ф(А_) = а, что противоречит определению а. ?
13.76. Рассмотрим сг-алгебру всех измеримых по Лебегу относи-
относительно классической меры подмножеств отрезка [0,2] и на ней —
функцию множества
В силу результата задачи 10.42 это заряд. В то же время нетрудно
видеть, что отрезок [0, 2] допускает два разложения Хана:
[0,2] = [0, 1)U [1,2] = [0,1] LJA,2],
где первые множества отрицательны, а вторые — положительны. ?
13.77. Заметим, что Е П (А+ \ В+) С А+ и Е Г) (А+ \ В+) С В_.
Отсюда следует, что Ф(ЕГ)(А+\В+)) = 0. Аналогично,
Ф(ЕП (В+ \ А+)) = 0. Следовательно,
Ф(ЕГ)А+) = Ф(ЕП (А+ П В+)) = Ф(^ПБ+).
Второе равенство доказывается аналогично. П

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	311
13.78.	Пусть В е М, /х(В) =0 и I = i+ U i_ — разложение
Хана относительно заряда Ф. Тогда [л(В П А+) = 0, откуда следует, что
Ф+(Б) = Ф(В П А+) = 0. Аналогично, Ф_(В) =0. П
13.79.	Пусть X = А_|_(г) U А-{г) — разложение Хана относительно
функции фг, где г G N. Без ограничения общности можно считать, что
А+(\) С А+B) С ... Обозначим
г=1	г=1
Ясно, что X = Z}+ U D-. Мы получили, что ipi(D_) < 0 для каждо-
каждого г, т.е. Ф(^О-) < -/i(D_), откуда следует, что Ф(^О-) =0. Тогда
> 0 и, следовательно, /i(D_|_) > 0. Поэтому (см. задачу 6.17)
существует такое п, что /i(A+(n)) > 0. Но по определению множество
А+(п) положительно относительно фп. П
13.80. В силу результата задачи 13.78 достаточно доказать утвер-
утверждение для случая, когда Ф — сг-аддитивная мера. Обозначим
F= j/O) eL(X): f(x) >0 на X;
^	А
и пусть
S= sup
Тогда существует такая последовательность {/n(#)}^Li ^ F> что
lim fn(x)dfi = S.
Пусть gn(x) = max Д(ж) для n G N и x G I. Тогда (см. задачу 8.40)
gn(x) измерима на X. Так как
/с=1
то #п(ж) G Ь(Х) при всех п. Ясно, что дп(х) — неотрицательная
функция на X. Далее,
9п(х) = Е fk(x)XEk(x)> где X = \J Ek.
fe=i	fc=i

312	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
Отсюда следует, что для каждого АеМ
k=lEknA	k=l
поэтому gn(x) G F. Заметим, что последовательность {gn(x)}^L\ —
неубывающая на X. Определим функцию fix) = lim gn{x)- Так как
п^оо
дп(х) d/ji < S при п е N,
х
то по теореме Б. Леви (см. задачу 10.33) f(x) конечна п.в. на X,
f(x) e F и
S = lim /п(ж) d/i < f(x) d[i = lim gn{%) d[i < 5,
n^oo J	J	n^oo J
XX	X
откуда следует, что
J f(x) d/i = S.
x
Рассмотрим теперь сг-аддитивную функцию Л на М, определённую
формулой
Эта функция неотрицательна (т. е. является сг-аддитивной мерой) и аб-
абсолютно непрерывна относительно меры /i. Предположим, что Л ф 0.
Тогда в силу результата задачи 13.79 существуют такое число п и та-
такое множество В G М, что /jl(B) > 0 и для любого А С В, 4g M,
выполнено неравенство (А — — jij (А) > 0. Тогда - ц(А) < А(А). Опре-
делим функцию h(x) = f(x) -\— Хв(х) при х е X. Для любого АеМ
получаем
h(x) dfi = \ f(x) dfi + - /i(A П В) <
I	77/
i
[	П S)< f(i \ В) + Ф(Л П В) =
Следовательно, /i(x) 6 F, но
h(x) dfi = I f(x) d/j, + ^ ц(В) > S.
x
x	x

Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения	313
Полученное противоречие показывает, что А = 0 на М, что эквивалент-
эквивалентно утверждению задачи. ?
сю
13.81. Пусть X = у Еп, где fi(En) < оо при п е N. В силу
п=\
результата задачи 13.80 для каждого п существует такая функция
fn(x) ? L(En), что для любого множества А ? Мп = {В П Еп: В G М}
выполнено условие
Заметим, что fn(x) неотрицательна на Еп, п G N. Продолжим fn(x)
нулём на X \ Еп и положим
п=\
Тогда
f{x) d/i = E J
X	п=\х	п=\
поэтому f(x) G L(X). Но для произвольного
n=1	n=lАПЕП	А
п
13.82. Обозначим
Х{ = {х е X: f{x) > g(x)} и Х2 = {хеХ: f(x)
Тогда
\(f(x)-g(x))dfi =
Поэтому /jl(X\) = 0. Аналогично, /i(^) — 0» так что f(x) = ^(ж) п.в.
на X. ?
13.83. Пусть
{	Ь
{
[0 — иначе.
Ясно, что Ф — сг-аддитивная мера на М. Предположим, что существует
такая функция f(x) G L(@, 1)), что

314	Гл. 13. Пространства Lp и некоторые другие приложения
для любого А е М. Тогда
' f(X) dfl = 0
для любого А е М, для которого - ф А. Отсюда следует, что f(x) = О
п.в. на [0, 1], а потому Ф(А) = 0, и мы пришли к противоречию. ?
13.84. Предположим, что такая функция / существует. Так как
заряд Ф не является абсолютно непрерывным, то найдётся такое мно-
множество А, что fiA = 0, но Ф(А) ф 0. В то же время согласно свойствам
интеграла Лебега интеграл по множеству нулевой меры всегда равен
нулю. Таким образом,
А
и мы пришли к противоречию. ?

Глава 14
ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
В этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнознач-
ные функции на отрезке [а, Ъ] С R. Для любого разбиения Т =
= {а = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} отрезка [а, Ь] обозначим
к=\
Вариацией функции / на отрезке [а,Ь] называется величина V?(f) =
= supVr(/) (точная верхняя грань берётся по всем разбиениям от-
т
резка). Если она конечна, то мы скажем, что f(x) — функция огра-
ограниченной вариации на [а,Ь]. Множество всех функций ограниченной
вариации на этом отрезке будет обозначаться через V([a, b]).
Пусть О < а ^ 1. Через Lip(a, [a, Ь]) обозначим класс веществен-
нозначных функций на [а,Ь], для которых существует такая положи-
положительная постоянная С = C(f), что для любых х и у из [а, Ъ] выполнено
неравенство \f(x) — f(y)\ ^ С\х — у\а.
Мы будем также использовать обозначения для односторонних пре-
пределов функции:
/О + 0) = lim /О + t) и /О - 0) = lim f(x +1).
Если в некоторой точке разрыва t функции f(x) существуют и конечны
оба этих значения, то будем называть t точкой разрыва первого рода.
Пусть на отрезке [а,Ь] заданы попарно различные точки {х^} (ко-
(конечный или счётный набор) и даны такие вещественные числа {а^}
и {bk}, что при каждом к выполнено условие |а&| + \bk\ > 0, но в то же
время
к
Тогда функция
S(X) = J2 акХ(хк,Ъ] (х) + J2 ЬкХ[хк,Ъ] (х)
к	к
называется функцией скачков (с соответствующими параметрами

316	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
ЗАДАЧИ
14.1.	Пусть f(x) — монотонная функция на [а,Ь]. Доказать, что
f(x) G V([a, b]), и найти её вариацию.
14.2.	Пусть f(x) G V([a, b]). Доказать, что f(x) ограничена на [а, Ь].
14.3.	Пусть f(x) e V([a,b\) и с е (а,Ь). Доказать, что f(x) e
е V([a, с]), f(x) e V([c, b}) и Vb(f) = Va%f) + Vb(f).
14.4.	Пусть а < с < b и функция /(ж) е V([a,c}) П V([c,b]). Дока-
Доказать, что /(ж) е У([а, 6]) и ^(/) = Кс(/) + Vcb(f).
14.5.	Пусть /(ж) G V([a,b}). Доказать, что f\(x) = V?(f) — неубы-
неубывающая функция на [а,Ь].
14.6.	Пусть f(x) G V([a, Ь]). Доказать, что её можно представить
в виде f(x) = f\(x) — /2(ж), где f\(x) и /2(ж) — неубывающие функции
на [a, b].
14.7.	Пусть f(x) G V([a, Ь]). Доказать, что её можно представить
в виде f(x) = /i(#) — /2(яО> где /l(^) и h(x) — строго возрастающие
функции на [a, b].
14.8.	Пусть
1 пРиж = ае I0'1!'
0 при х е [0, 1] \ {а}.
Представить /(ж) в виде разности двух неубывающих на [0, 1]
функций.
14.9.	Пусть f(x) = sin x на [0, 2тг]. Представить /(ж) в виде разно-
разности двух неубывающих на [0, 2тг] функций.
14.10.	Пусть f(x) e V([a,b]). Доказать, что f(x) — неубывающая
функция на [а,Ь] тогда и только тогда, когда Vb(f) = f(b) — /(a).
14.11.	Пусть f(x) — конечная функция на [a, b]. Доказать, что
f(x) G V([a, Ь]) тогда и только тогда, когда существует такая неубыва-
неубывающая функция д{х) на [а, Ь], что \f(x) — f(y)\ < g(y) — д(х) для любого
отрезка [х, у] С [а,Ь].
14.12.	Пусть f(x) — конечная функция на [а,Ь], а (р(х) — строго
возрастающая непрерывная функция на [а, Ь], причём (р(а) = а и (р(Ь) =
= Ь. Доказать, что f(x) e V([a,b]) тогда и только тогда, когда д(х) =
= fMx))eV([a,b}).
14.13.	Построить конечную функцию f(x) (? V([0, 1]) и стро-
строго возрастающую функцию (р(х), для которых <р@) = 0, (р(\) = 1
и 5(х) = /(^(х)) б V([0,1]).
14.14.	Пусть f(x),g(x) G V([a, Ь]). Доказать, что f{x)-\-g(x) G
6 V([a, 6]) и

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	317
14.15.	Построить такие функции f(x),g(x) e V([0, 1]), что
(f + g)<V(j(f)+Voi(g).
14.16.	Пусть f(x) e V([a,b\) и a G R. Доказать, что af{x) G
14.17.	Пусть f(x) — конечная функция на [а,Ь] Доказать, что
f(x) G V([a, Ь]) тогда и только тогда, когда её можно представить
в виде f(x) = f\(x) — /2(ж), где /i(#) и /2(ж) — неубывающие функции
на [a, b].
14.18.	Пусть f(x) и д{х) из V([a,b]). Доказать, что f(x) • д(х) е
eV([a,b\) и
Vb(fg)^ sup \g(x)\-V?(f)+ sup -|/(х)|КьЫ-
ccG[a,6]	ccG[a,6]
14.19.	Построить такие возрастающие функции f(x) и д(х) на
некотором [a, b], что /(ж) • д(х) — немонотонная функция на [a, b].
14.20.	Пусть f(x) e V([a,b\) и \f(x)\ > С > 0 при ж е [а,Ъ]. Дока-
Доказать, что —г^г G V([a, Ь]).
14.21.	Пусть f(x),g(x) e V([a,b\) и |/(ж)| > С > 0 при ж G [а, Ъ].
Доказать, что 4r\ ^ V([a,b\).
14.22.	Построить положительные функции f(x),g(x) G V([0, 1]),
для которых ^\ <? V([0, 1]).
J\x)
14.23.	Пусть f(x),g(x) e V([a,b\). Доказать, что h{x) =
= max(g(x),f(x)) eV([a,b\).
14.24.	Пусть f(x) e V([a,b\). Доказать, что |/(ж)| е V([a,b\)
14.25.	Построить f(x) ? V([0, 1]), для которой \f(x)\ e V([a,b\).
14.26.	Пусть f(x) e С([а,Ъ]) и \f(x)\ e V([a,b\). Доказать, что
14.27.	Пусть f(x) e Lip(l, [a, b}). Доказать, что f(x) e V([a,b]).
14.28.	Пусть 0 < а < 1. Построить такую функцию f(x) G
е Lip(a, [0, 1]), что f(x) ? ^([0, 1]).
14.29.	Построить функцию
f(x)<=( f|
^a€@,

318	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.30.	Построить функцию f(x) e V([0, 1]) П С([0, 1]), не принад-
принадлежащую классу Lip(a, [0, 1]) ни при каком a G @, 1].
14.31.	Пусть f(x) G V([a, b]), g(x) — функция на R, и существует
такое С > О, что \д(х) — д(у)\ ^ С\х — у\ для любых х, у ? R. Доказать,
14.32.	Для данного а е @, 1) построить такие функции
f(x) e V([0, 1]) и #(#) на R, что существует С > О, для которого
|0(я) - 0Ы1 <С\х-у\а при всех ж, j/ G R, но g(f(x)) i V([a, b}).
14.33.	Пусть f(x) дифференцируема на [a, b] и f\x) ограничена на
[a, b]. Доказать, что f(x) G V([a, b]).
14.34.	Пусть
asmxP при x e @, 1],
где a e R и /3 > 0. Найти, при каких а и /3 функция f(x) принадлежит
классу V([0, 1]).
14.35.	Пусть
при х G @, 1],
при ж = О,
где a G R и /3 < 0. Найти, при каких а и C функция f(x) принадлежит
классу V([0, 1]).
14.36.	Пусть f(x) e V([a,b]). Доказать, что f(x) непрерывна на
[a, b] всюду, кроме не более чем счётного множества точек, в которых
она имеет разрывы первого рода.
14.37.	Пусть f(x) e V([a,b]) и непрерывна в точке хо е [а,Ь]. До-
Доказать, что функция f\(x) = V?(f) также непрерывна в точке х§.
14.38.	Пусть f(x) G V([a, b]) и функция f\(x) = V^(f) непрерывна
в точке хо G [a, b]. Доказать, что f(x) также непрерывна в точке xq.
14.39.	Пусть f(x) e V([a,b\) П С([а,Ь]). Доказать, что её можно
представить в виде f(x) = f\(x) — /2(ж), где f\(x) и /2(х) — неубыва-
неубывающие непрерывные функции на [а,Ь].
14.40.	Доказать, что функция скачков корректно определена и яв-
является функцией ограниченной вариации на отрезке, где она задана.
14.41.	Пусть f(x) e V([a,b]) и {хп}^_х — множество всех точек
разрыва f(x) на [a, b]. Определим функцию s(x) следующим образом:
s(x) = 0 при х = а и
к : Хк<х

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	319
для х G (а, Ь]. Доказать, что s(x) — корректно определённая функция
скачков.
14.42.	Пусть s(x) — функция скачков:
s(x) = I
I
Доказать, что s(x) непрерывна всюду, кроме точек {xk}- Более того,
если аь = 0, то s{x) непрерывна в точке хь справа, а если bk = 0, то
six) непрерывна в точке хь слева.
14.43.	Пусть f{x) G V([a, b]) и s(x) — соответствующая функ-
функция скачков (см. задачу 14.41). Доказать, что д(х) = f(x) — s(x) G
eV([a,b])nC([a,b\).
14.44.	Пусть дано полукольцо S = {{a,b}: — оо < а < b < оо} U
U {0}, д(х) — неубывающая функция на R, а функция т : S —> [0, оо)
определена формулами т((а, Ь)) = д(Ь — 0) — д(а + 0), т([а, Ь}) = д(Ь +
+ 0) - д(а - 0), т([а, Ь)) = д(Ь - 0) - д(а - 0) и т((а, Ь\) = д(Ь + 0) -
— д(а + 0). Доказать, что т является сг-аддитивной мерой на S (мера
Стилтъеса).
14.45.	Пусть f(x) — неубывающая функция на [a, b], s(x) — соот-
соответствующая функция скачков (см. задачу 14.41) и д(х) = f(x) — s(x).
Доказать, что д(х) — также неубывающая функция на [а, Ь].
14.46.	Пусть {tn}(^)=l — не более чем счётное множество на [0, 1].
Построить неубывающую функцию f(x) на [0, 1], множество точек
разрыва которой совпадает с {tn}™=\-
14.47.	Пусть f(x) — строго возрастающая функция на [а, Ь], дано
множество Е С (а, Ь) и существует такое число р ^ 0, что
& г \ v • с fix-\-h) — fix) .
f (х) = hminf ———^—-^-^- < р
для любого х е Е. Доказать, что fi*(f(E)) < pfi*(E), где /i* — класси-
классическая верхняя мера Лебега.
14.48.	Пусть f(x) — строго возрастающая функция на [а,Ь], ко-
которая непрерывна в каждой точке множества Е С (а,Ь). Пусть также
существует такое число q > 0, что
т; ( \ v	f ix-\-h) — f ix) .
/ (х) = hm sup	/—-^-^ ^ q
при всех х е Е. Доказать, что fi*(f(E)) > q[i*(E), где /i* — классиче-
классическая верхняя мера Лебега.
14.49.	Пусть f(x) — неубывающая функция на [а,Ь]. Доказать, что
конечная f'(x) существует п.в. на (а,Ь).

320	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.50.	Пусть f(x) — неубывающая функция на [а,Ь]. Доказать, что
Г(х)еЩа,Ъ))и
J f'(x)dti^f(b)-f(a).
(а,Ъ)
14.51.	Пусть f(x) ? V([a,b\). Доказать, что конечная ff(x) суще-
существует п.в. на (а, Ъ) и f'(x) ? L((a,b)).
14.52.	Построить непрерывную монотонную функцию f(x) на
[О, 1], для которой
</(!)-ДО).
(ОД)
14.53.	Пусть дано множество А с (а, Ь), причём fi(A) = 0, где \± —
классическая мера Лебега. Построить непрерывную неубывающую
функцию f(x) на [а,Ь], для которой f'(x) = оо при всех х ? А.
14.54.	Пусть f(x) — неубывающая непрерывная функция на [а, Ь],
а множество А с [а, Ь] таково, что fi(f(A)) = 0, где /i — классическая
мера Лебега. Пусть также В = {t ? A: f'(t) = 0}. Доказать, что мно-
множество А \ В измеримо и /i(A \ В) = 0.
14.55.	Малая теорема Фубини. Пусть {fn(x)}™=\ ~ последова-
последовательность неубывающих функций на [а, Ь], ряд
п=\
сходится всюду на [а, Ъ] и f(x) — сумма этого ряда. Доказать, что
сю
п=\
п.в. на [а, Ь].
14.56. Построить такую последовательность {/n(#)K?Li непрерыв-
непрерывных неубывающих функций на [—1,1], что ряд
сю
Е Ux)
п=\
сходится равномерно на [—1,1] к функции f(x) и
п=\
но /х@) = оо.

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	321
14.57.	Пусть s(x) — функция скачков. Доказать, что s'(x) = 0 п.в.
на [а, Ь].
14.58.	Пусть дана последовательность {fn(x)}™=i С V([a,b\),
сю	сю
п=1	п=1
Доказать, что ряд
Е Ш
п=\
сходится к некоторой функции f(x) G V([a, b]) равномерно на [а, Ь],
и что
оо
VaU) < Е К?(/п).
п=\
14.59. Пусть h(x) — функция скачков,
k=\
где
сю
а= J2 \пк\ < °°
/с=1
и gk(x) = XLcfc,6](^)» гДе все ск ^ [а, Ь], функции gk(x) попарно различны
и не постоянны на [а, Ь]. Доказать, что V?(h) = а < оо.
14.60.	Назовём функцию f(x) G V([a, Ь]) сингулярной, если /(ж) G
G С([а,Ь]) П ^([а,Ь]), /(ж) ^ С на [а, 6], но /х(х) = 0 п.в. на [а,Ь].
Построить строго возрастающую сингулярную функцию f(x) на [0, 1].
14.61.	(Лемма к теореме Хелли (задача 14.62).) Пусть
{fn(%)}™=\ — такая последовательность неубывающих функций на
[а, Ь], что \fn(x)\ ^ С для некоторого С > 0 и всех х G [а, Ь], n G N.
Доказать, что существует подпоследовательность {fnk(x)}^L\y которая
сходится всюду на [а, Ъ] к некоторой неубывающей функции на [а, Ъ].
14.62.	Вторая теорема Хелли. Пусть {fn(%)}™=\ — последова-
последовательность функций из V([a, b]), причём \fn(x)\ ^Си Va(fn) ^ С для
некоторого С > 0 при всех х G [а, Ъ] и п G N. Доказать, что существует
подпоследовательность {fnk(x)Yk=v сх°ДЯ1Даяся всюду на [а, Ъ] к неко-
некоторой функции f(x) G V([a,b\).
14.63.	Пусть {fn(x)}™=\ С V([a, b}) и для любого г > 0 существует
такое JV, что V^(fn — fm) < г при всех п,т ^ N. Доказать, что
11 П. Л. Ульянов и др.

322	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
существует такая функция f(x) G V([a, b]), что
lim Vba{fn - /) = 0.
n—s-oo
14.64. Пусть f(x) e C([a,b\). Для заданного разбиения Т = {a =
= хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} отрезка [а,Ь] определим отрезки
Afc = [xk-\,Xk] и значения М& = max f(x) и т& = min /(ж) для
к = 1, 2,..., п. Пусть
Доказать, что
1/а6(/) = lim Vt(/) = Hm UT(f)
a w y Л(т)о w y A(T)o w y
(здесь вариация может быть конечной или бесконечной).
14.65.	Построить функцию f(x) ф V([0, 1]) и последовательность
{Тг}^{ разбиений отрезка [0, 1], для которых Л(Т^) -^ 0 при г -^ оо
и VrXf) = 0 ПРИ всех *•
14.66.	Пусть /(ж) G С([а, Ь]) и ^(?/) — её индикатриса Банаха
(см. задачу 8.52). Доказать, что
где \i — классическая мера Лебега на R.
14.67. Пусть f(x) e V([a,b]) и f(x) = ф(х) + s(x), где s(x) —
функция скачков для f{x) (см. задачу 14.41). Доказать, что V?(f) =
14.68.	Пусть {/n(#)K?Li С F([a, Ь]) — последовательность функ-
функций скачков. Пусть также f(x) e V([a,b]), f(a) = 0 и V^(f — fn) -^ 0
при п -^ оо. Доказать, что f(x) — также функция скачков.
14.69.	Пусть f(x) G C([a,b]) П V([a, Ь]). Доказать, что существует
разложение f(x) = /i(#) — f2(%)> гДе /l(^) и h(%) — неотрицательные
неубывающие непрерывные функции на [a, b], причём V?(f) = V^(f\) +
+ кь(/2).
14.70.	Пусть f(x) G V([a, Ь]). Доказать, что существует разложе-
разложение f(x) = /i(#) — f2{x), гДе /l(^) и /2(^) — неотрицательные неубы-
неубывающие функции на [а, 6], и Уа6(/) = Fa6(/i) +

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	323
РЕШЕНИЯ
14.1.	Без ограничения общности можно считать, что f(x) — неубы-
неубывающая функция на [а,Ь]. Тогда Vr(f) = f(b) — f(a) для любого раз-
разбиения Т отрезка [а, Ь]. Следовательно, V?(f) = f(b) — f(a) < оо. ?
14.2.	Для любого х G [а, Ъ] имеем
а
14.3. Пусть Т\ = {а = хо < х\ < ... < Xk-i < Xk = с} и Т2 =
= {с = уо < у\ < ... < Ут-\ < Ут = Ь} — разбиения отрезков [а,с]
и [с, Ь] соответственно. Тогда Т = {a = xq < х\ < ... < Xk-i < хи <
< у\ < ... < уш = Ь} — разбиение отрезка [a, b]. Следовательно,
^т(/) — Ут\ (/) + ^т2(/)- ^ак как разбиения Т\ и Т% произвольны, то
f{x) 6 V([a,c]), f(x) е У([с,6]) и УЛ/) + V?(/) < КЧ/)- С другой
стороны, пусть Т = {а = xq < х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} — разбиение
отрезка [а, Ь]. Определим новое разбиение Т'\ Т1 = Т, если Т содержит
точку с, и
Т' = {а = хо < х\ < ... < Xk < с < Xk+\ < ... < хп-\ < хп = Ь},
если с? (xk,Xk+\) для некоторого /с. Заметим, что разбиение Т' яв-
является объединением разбиений Т\ и Т2 отрезков [а, с] и [с, Ь] соответ-
соответственно. Следовательно,
Так как Т произвольно, то отсюда следует утверждение задачи. ?
14.4. Пусть Т = {а = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} — некоторое
разбиение [а, Ь]. Определим новое разбиение Т'\ Т1 = Т, если Т содер-
содержит точку с, и
Т' = {а = хо < х\ < ... < Xk < с < Xk+\ < ... < хп_\ < хп = Ь},
если с G (xfc,Xfc+i) при некотором /с. Заметим, что разбиение Тх явля-
является объединением разбиений Т\ и Т2 отрезков [а, с] и [с, Ъ] соответ-
соответственно. Следовательно,
VtU) < ^т'(/) = ^(/) + vT2(f) < Кс(/) + К6(Л-
Так как Т произвольно, то f(x) e V([a,b\). Равенство для вариаций
следует из задачи 14.3. ?
14.5. Пусть а < х < у ^Ь. Тогда (см. задачу 14.3) f\(y) — f\(x) =
= VV(f)>0. П
11*

324
Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.6.	Пусть fx{x) = V?(f) и f2(x) = f\(x) - f(x). Тогда (см. зада-
задачу 14.5) f\(x) — неубывающая функция на [а,Ь]. При этом для любых
а ^ х < у ^Ь имеем (учитывая результат задачи 14.3):
/2Ы - /2(х) = УУ(/) - (f(y) - f(x)) > 0.
п
14.7.	Из задачи 14.6 следует, что существует представление f(x) =
= f\(x) — f2(x)> гДе fi(x) и f2(x) — неубывающие функции на [а, Ь].
Тогда f(x) = (f\(x) + х) - (f2(x) + х), где f\(x) + х и f2(x) + х -
строго возрастающие функции на [а,Ь]. ?
14.8.	Положим, например, f{(x) = Х[а,\](х) и /2(ж) = Х(а,1](^)- ?
14.9.	Положим, например,
sin*
1
2 + sin x
'о
1 — sin x
2
при
при
при
при
при
при
(Ь
тг
~2
Зтг
2
0$
тг
2 '
Зтг
~9~
< х $
< X
: х <
< X
тг
2'
* Т'
<2тг
тг
2'
Зтг
2 '
^2тг
/2 (X) =
п
14.10.	Ясно, что если f(x) — неубывающая функция на [а,Ь], то
Vr(f) = f(b) — f(a) для любого разбиения Т отрезка [а, Ь]. Поэтому
Уа(Л = № - /(а). Пусть теперь f{x) 6 V([a,b}) и V*{f) = f(b) -
— f(a). Предположим, что существуют такие точки а ^ х < у ^ Ь, что
f(y) < f(x). Тогда
f(b) - f(a) = Vab(f) 2 (f(x) - f(a)) + (/(*) - f(y)) + (f(b) - f(y)) =
= f(b) - f(a) + 2(/(x) - f(y)) > f(b) - f(a),
и мы пришли к противоречию. ?
14.11.	Если существует такая функция д(х), то для любого раз-
разбиения Т отрезка [а,Ь] имеем: Vr(f) ^ д(Ъ) — д(а), поэтому f(x) G
G V([a, b]). Если f(x) G V([a, b]), то можно взять (см. задачу 14.5)
14.12.	Пусть Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ь} — разбиение отрезка
[а, Ь]. Тогда Т^ = {а = (р(хо) < р{х\) < ... < (р(хп) = Ь} — также разби-

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	325
ение [а, Ь] и VT(f(ip)) = VTtp{f). Поэтому V*(f(y)) < V*(f). Заметим,
что функция ф(х) = (р~1(х) — строго монотонная и непрерывная на
[а,Ь], причём ф(а) = а и -0F) = 6. Повторяя предыдущие рассужде-
рассуждения, получаем, что V^(f) = У^(/((р(ф))) < Kf(/(<^)). Окончательно:
П
14.13. Пусть /г(ж) ^ У ( -, - J (например, h(x) неограничена
на этом отрезке), f(x) = h(x) при х е -, - и /(ж) = 0 при
|_4 о J
х е [0, 1] \ Ц, i] . Тогда f(x) ? V([0,1]). Положим tp(O) = 0 и ^(ж) =
1	Ж
= - + — при х G @, 1]. Тогда у?(ж) — строго возрастающая функция на
[0,1], ip(l) = 1 и f(<p(x)) = 0e V({0,1]) на [0,1]. ?
14.14.	Для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] имеем: Vr(f + д) ^
< VtU) + VT(g). Поэтому Vab(f + g)<: Vab(f) + Vab(g) < оо. П
14.15.	Пусть /(ж) = х и 5(ж) = -ж для ж е [0, 1]. Тогда Vj(f) =
= Vol(g) = 1, но Vol(f + g) = V0l@) = 0. ?
14.16.	Для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] имеем: Vt(oiJ) =
= |а|ВД)- Поэтому Vb(af) = \a\Vb(f). ?
14.17.	Если f(x) G V([a, b]), то (см. задачу 14.6) существует раз-
разложение f(x) = f\(x) — /2(ж), где /i(#) и /2(ж) — неубывающие функ-
функции на [а, Ь]. Обратное утверждение следует из задач 14.1, 14.14
и 14.16. ?
14.18.	Пусть Т = {а = хо < х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} — некоторое
разбиение отрезка [а, Ь]. Так как согласно задаче 14.2 функции fug
ограничены, то
k=\
< ? I/Ы - f{xk-{)\\g{xk)\ + f: \g{xk)-g{xk_x)\\f{xk_{)\ <
fe=i	fc=i
<Vr(/)- sup |g(a:)|+ sup \f{x)\ ¦ VT(g) <
ccG[a,6]	ccG[a,6]
<Kb(/)- sup |^)|+ sup |/(ar)|-Vob(fl),
ccG[a,6]	ccG[a,6]
откуда следует утверждение задачи.
14.19. Пусть f(x) = g{x) = х на отрезке [—1,1]- Ясно, что они
строго возрастают на этом отрезке, но f(x) • д(х) = х2 — немонотонная
функция на [—1, 1]. ?

326	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.20. Пусть Т = {а = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} — разбиение
отрезка [а, Ъ]. Тогда
/ 1 \ п
(у ) = ?
W J k=\
1	1
f(xk) f(xk-i)
1	11
Отсюда следует, что j--^ е V([a,b}), и что V^(-) < — V^(f). D
j\x)	J С
14.21.	Утверждение немедленно следует из задач 14.20 и 14.18. ?
14.22.	Пусть д(х) = 1 на [0, 1] и
если х е @, 1],
Тогда /(ж) и ^(ж) — положительные функции на [0, 1], принадлежащие
V([0, 1]), но j^- — неограниченная функция на [0, 1], поэтому (см. за-
дачу 14.2) &\ i V([0, 1]). П
14.23. Заметим, что для любых а и /3 из [а,Ь] выполнена оценка
| max (/(/3), д(р))- max (/(a), g(a))\ ^
Поэтому для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] имеем: Vr(h) ^ Vr(f) +
+ Vt(#). Следовательно, Fa6(/i) < V^(f) + V;6(^) < oo. П
14.24.	Для любых a,/3 e [а,Ъ] имеем: ||/(/3)| - |/(a)|| < |/(/3) -
— /(ce)|. Поэтому для любого разбиения Т отрезка [а, 6] получаем, что
VT(\f\) < VT(f). Следовательно, ^A/1) < КЬ(/) < oo. D
14.25.	Пусть /(ж) = 1 для рациональных х е [0, 1] и f(x) = —1 для
иррациональных х е [0, 1]. Ясно, что f(x) ^ Т^([0, 1]), но \f(x)\ = 1 G
eV([0,i]). ?
14.26.	Пусть Т = {а = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} — раз-
разбиение отрезка [а, Ь], Г = {k e [l,n]: sgn(/(x/c) • f(xk-\)) = —1}
и Ф = {1, 2,..., п} \ Г. Заметим, что если к G Г, то в силу непрерывно-
непрерывности функции / существует такая точка г/k Е (ж^_ь^), что /(^/с) = 0.
Добавим к Т все точки {ук}к^г и обозначим новое разбиение через Т'.
Тогда
01 + Е

Гл. 14. Функции ограниченной вариации
327
= ?
- 1/Ы
Отсюда следует, что f(x) e V([a,b]) и V^(f) < V^(\f\). Обратное нера-
неравенство доказано в задаче 14.24. ?
14.27. Пусть Т = {а = xq < х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} — некоторое
разбиение отрезка [а, Ь]. Тогда
= ? \f(*k) - f(xk-i)
k=\
- xk.i\ = C(b - a).
k=\
a
1 — a
	.
A - a)(l - /3) = /3. Положим
14.28. Пусть /3 =
Тогда /3 > 0. Нетрудно проверить, что
\	и Жг = Со.5>
при каждом / G N. Определим функцию /(ж) на [0, 1] следую-
(—II
щим образом: /@) = 0, /(ж/) =	при / G N и /(ж) линейна
i
и непрерывна на каждом отрезке [xi+\,xi] при / G N. Ясно, что если
ТA) = {0 < xi < xi-i < ... < х\ = 1}, то
при / -^ оо. Поэтому f(x) ^ V([0, 1]). Пусть теперь 0 < х < у ^ 1. Тогда
найдутся такие натуральные числа п ^ гп, что ж G [жп+ьжп] и i/G
G [жш+1,жш]. Если п = гп, то
= (у - х)
- х)
х- у\°\Хп -

328	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
Если п = т + 1, то жп = жш-ь и по доказанному
1/0*0 - /Ml < 1/0*0 - /(*„)! + |/(хт+1) -
< 4 (|ж - ж„г + km+i - г/Г) < 4
со	со
Если же п ^ т + 2, то мы найдём такие точки z G [#n,#n_i] и t G
G [xm+2,a;m+i], что /B) = /(?) = 0 (если п = т + 2, то 2 = ?). Тогда,
согласно предыдущим рассуждениям,
1/0*0 - /Ы1 < |/(ж) - f(z)\ + \f(z) - f(t)\ + \f(t) - f(y)\ <
О
Теперь, если взять С = -^-, то |/(ж) — /(^)| < С|ж — у\а при 0 < ж <
со
< у ^ 1. Так как f(x) непрерывна в точке 0, то неравенство выполнено
и при х = 0. ?
14.29. Положим
/ оо	j	\-1
/ х—-\	1
Сп =
при каждом / G N. Определим функцию /(ж) на [0, 1] следующим
образом: /@) = 0, /(#/) =	при / G N и /(ж) линейна на каждом
отрезке [%i,xj, где / G N. Ясно, что если T(Z) = {0 < х\ < xi-\ < ...
... < Х\ = 1}, ТО
* 1
при / ^ оо. Поэтому f(x) (? V([0, 1]). Пусть теперь a G @, 1) и 0 < ж
< ?/ ^ 1. Тогда существуют такие натуральные числа пит, где п ^
что ж G [жп+ьжп] и у G [жш+1,жш]. Если п = т, то
= с0-
nln (п + 1)
и
\f(x)-f(y)\ = (y-x)-± "
^-\х- 2/|1п2(п + 1) < С(а)|ж - у\а,

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	329
где положительная величина С (а) зависит только от а. Здесь мы
воспользовались тем, что
1П2(П + 1). |Ж _ j,|i-« <; in2(n + 1) . 2*	 -О при п -> с».
п т у J{n + 1)
Если п = m + 1, то по доказанному
1/0*0 - /Ml < 1/0*0 - f(xn)\ + \f(xm+i) - f(y)\ <
< С(а)(\х - хп\а + \xm+i - у\а) < 2С(а)\х - у\а.
Если n ^ m + 2, то мы найдём такие точки z G [xn,xn_i] и t G
е [xm+2,xm+i], что /(^) = /(?) = 0 (если п = т + 2, то 2 = ?). Тогда,
согласно предыдущим выкладкам,
1/0*0 - /(уI < I/W - /WI +1/0*0 - /Wl + I/W - f(y)\ <
- уГ) < 4С(а)\х - у\
Если теперь взять С = 4С(а), то \f(x) — f(y)\ < С|ж — у\а при 0 < х <
< у < 1. Так как /(ж) непрерывна в точке 0, то неравенство выполнено
и при х = 0. ?
14.30. Пусть
(V при же @,1],
О	при х = 0.
Ясно, что f(x) е С([0, 1]) и /(ж) — возрастающая функция на [0, 1],
поэтому f(x) е ^([0, 1]). В то же время для любого а е @, 1] выполнено
равенство
г |/(ж) — /@I г	1
hm ^а	= шп ——g" = °°'
х^ +	ж^ + Xх In —
поэтому f(x) ф Lip(a, [0, 1]). ?
14.31. Для любого разбиения Т = {а = xq < х\ < ... < хп = Ь}
имеем
= ?1</(/Ы)-5(/0«*-1)I
к=\
откуда следует утверждение задачи. ?

330
Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.32. Пусть д(х) = \х\а. Пусть /@) = 0, /
^ линеина на отрезках
= 0, / (^) =
= п Х1а при п е N и
кеК Тогда
ГЬ ~\ 1	ГЬ
, - для всех
J
'ос < ОО.
п=\
о	/, / 1 \\	1	( г ( I
Заметим, что 9 [J \^~) ) = ~ и 9 [J [ ^
рального
Если х < |, то
Если ж > |, то
9 [f \^))	9 (/ ( ^г)) = 0 Для любого нату-
, поэтому g(f(x)) ^ V'QO, 1]). Наконец, пусть 0 ^ х < у < оо.
то
— у\
1~а
\д(х) - д(у)\ < max |
te[x,y]
, и потому
< ^ \у -
х
= а\х - у\а.
Так как функция д{х) четна, то она удовлетворяет наложенным в усло-
условиях требованиям и на всём R. П
14.33.	По теореме Лагранжа имеем: \f(x) — f(y)\ < sup \ff(t)\ x
te[x,y]
x \x — y\ при всех х и у из [a,b]. Поэтому f(x) G Lip(l, [a, b\). В силу
результата задачи 14.27 при этом f(x) e V([a,b]). ?
14.34.	Если C > 0, то в силу результата задачи 14.12 (применённой
1
к функции </?(#) = х@) получаем, что f(x) G V([0, 1]) тогда и только
тогда, когда функция
д{х) =
при ж G @,
при х = 0
принадлежит V([0, 1]). Положим 7 = ~б- Если 7 < —1, то д(х) неогра-
ничена на [0, 1], и поэтому (см. задачу 14.2) f(x) ф V([0, 1]). Так как
д-\\х) =
sin ж
0
при х е @, 1],
при х = О
— ограниченная единицей и убывающая функция на @, 1] и поскольку
#(#) = д-\(х)х1+х при 7 > — 1, то (см. задачу 14.18) f(x) e V([0, 1]) при
7 ^ — 1, т. е. при а + /3 ^ 0. Если /3 = 0 и a < 0, то /(ж) неограничена на
[0, 1], и поэтому (см. задачу 14.2) f(x) ф V([0, 1]). Если /3 = 0 и a > 0,
то f(x) — неубывающая функция на [0, 1], поэтому f(x) e V([0, 1]).

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	331
Следовательно, f(x) ? V([0, 1]) тогда и только тогда, когда а + /3 ^
> 0. ?
14.35. Применяя задачу 14.12 к функции <р(х) = х~1^, получаем,
что f(x) G V([0, 1]) тогда и только тогда, когда функция
х/Р 8щ _ ПрИ х ^ @, 1],
при х = 0
принадлежит V([0, 1]). Положим 7 = ~~о- Если 7 < 0, то ^(ж) неограни-
чена на [0, 1], и поэтому (см. задачу 14.2) д(х) ^ V([0, 1]). При 0 ^ 7 ^ 1
для любого натурального N имеем
N
П=1
при N —> оо. Поэтому в данном случае ^(ж) ^ ^([0, 1]).
Пусть теперь 7 ? 0>2]. Докажем, что в этом случае #(#) G F([0, 1]).
Заметим, что
// \	гу	 1	.	1	гу	О	1
q(x)=/yxJ sm	x1 cos-.
^ v ' '	х	х
Возьмём разбиение Т = {0 = хо < х\ < ... < хп = 1} отрезка [О, 1].
Можно считать, что разбиение удовлетворяет условию Xk ^ 2x/c_i при
всех к ^ 2, иначе добавим к нему достаточное количество дополни-
дополнительных точек. При этом условии верна оценка Хк — Хк-\ ^ Хк-\, и мы
получаем, что
Ут(д) = Е \д(хк) - д(хк_х)\ = \g(Xl)\ + ? |^(xfe) - д(хк_х)\ <
n	n
< ^7 + V |xfc -Xfc_i| • max \g'(t)\ ^ xj + V (xk - xk-i)
fc=2	tGfxfc-bXfc]	fc=2
x B + x2i?) <3 +22 E (^ - **-i) • ^Г2 <
1
\ x
J
dx ^ 3
откуда следует, что в этом случае д(х) G V([0, 1]). Так как д(х) =
= х2 sin - ж7 при 7 > 2, то мы получаем (см. задачу 14.18), что д(х) G
G V([0, 1]) и при 7 > 2. Следовательно, /(ж) G V([0, 1]) тогда и только
тогда, когда 7 > 1, т- е. при а + /3 > 0. П

332	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.36.	В силу результата задачи 14.6 достаточно доказать утвер-
утверждение для монотонных функций. Но для них оно уже доказано
в задаче 2.4. ?
14.37.	Пусть дано г > 0. Рассмотрим разность f\(xo + h) — /i(#o)-
Пусть xq < b и h > 0 (остальные случаи рассматриваются аналогично).
Возьмём такое разбиение Т = {хо < х\ < ... < хп = Ь} отрезка [#о>Ь],
что Vr(f) > V?Q(f) — -. Выберем 5 > 0 так, чтобы 5 < х\ — хо, и если
0 < h < 5, то \f(xo + h) — f(xo)\ < ^. При таких h получаем
?h	<	<+	VT{f) -
x0+h(f) + \ < |/(ar0 + ^ /Ы1 + |/(ar0 + h
)l Vxb0+h
~ Vxb0+h(f) + \ < |/(ar0 + ^ - /Ы1 + |/(ar0 + h) -
- Vxb0+h(f)
П
14.38.	Утверждение немедленно вытекает из неравенства
\f(x0 + h)- f(xo)\ < ^00+/l(/) = fi(x0 + h)- fi(x0)
при /г > 0 и аналогичного неравенства при h < 0. П
14.39.	Утверждение вытекает из представления (см. задачу 14.6)
f{x) = fi(x) - /2(ж), где /!(ж) = Vf(f), и задачи 14.37. П
14.40.	По определению
k : Xk<x	k :
Из условия
следует, что ряды в первой формуле абсолютно сходятся и их можно
переставлять как угодно. В частности, функция определена корректно.
Положим s(x) = s\(x) + «2(ж), где 5i — сумма положительных слагае-
слагаемых, а 52 (х) — сумма отрицательных слагаемых из формулы для s(x).
Функции s\(x) и 52(х) по построению монотонны, а тогда их сумма —
функция ограниченной вариации. ?
14.41. Указанную функцию можно переписать в виде
s(x)= Е (/0**+О)-/Ы)+ Е (Я**) -/О** - 0)).
/с : Хк<х	к :

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	333
Но нетрудно видеть, что при любом конечном N выполнено нера-
неравенство
N
{\f{xk + о) - /
Отсюда следует ограниченность суммы всего ряда, которая и означает
корректность определения. ?
14.42. Как было отмечено в решении задачи 14.41,
к=\
+ 0) -f(xk)\ + \f(xk) -f(xk -0)\) < V%(f) < oo.
Предположим, что f(x) непрерывна в некоторой точке t ? [а, Ь]. Без
ограничения общности можно считать, что t ? (а, Ь). Для заданного
г > О найдём такое 5 > 0, что
(\f(xk + 0) - /(ж*)| + |/Ы - f(xk -
4
Такое 5 можно найти, так как если 5 < \t — Xk\ при к ^ N, то все ж^,
попавшие в указанный отрезок, относятся к остатку сходящегося ряда.
Но тогда \s(t + h) — s(t)\ < г при h G [—5,5]. Остальные утверждения
задачи доказываются аналогично. П
14.43.	В силу результата задачи 14.41 функция д(х) — ограничен-
ограниченной вариации на [а, Ъ]. При этом в силу результата задачи 14.42 функ-
функция д(х) непрерывна в каждой точке непрерывности f(x). Пусть t —
точка разрыва f(x). Тогда (см. задачу 14.36) существуют f(t + Q)
и f(t — 0). Заметим, что по определению s(t) — s(t — 0) = /(?) —
-f(t-O) и s(* + 0)-s(*) = /(* + 0)-/(*-0)-/(*) + /(*-0) =
= f(t + 0) - f(t). Поэтому g(t - 0) = g(t) = g(t + 0), т. е. д(х) непре-
непрерывна в точке t. П
14.44.	Тот факт, что т — мера, проверяется так же, как в зада-
задаче 6.12. Покажем, что для любого промежутка / = [а, Ь] и для любого
5 > 0 найдётся такой интервал (с, с?) 2 /, что m((c,d)) < m(I) + 5.
Если Ъ G /, то возьмём d = b, иначе по определению правого предела
найдётся такое число d > b, что д(Ъ + 0) ^ g(d) < g(b + 0) + -. Если
a G /, то возьмём с = а, иначе по определению левого предела найдётся
такое число с < а, что д(а — 0) — - < д(с) ^ д(а — 0). Построенный
интервал (с, d) подходящий. Аналогично показывается, что для любого
промежутка / = [а, Ь] и для любого 5 > 0 найдётся такой отрезок

334	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
(х>у) ^ ^> что т((х>у)) > тпA) — 5. Теперь сг-аддитивность меры т
устанавливается по той же схеме, что и в решении задачи 6.21.
?
14.45. Ясно, что так как f(x) — неубывающая функция на [а, Ь],
то для любых а < у < z ^b имеем
k:xke(y,z)
+ f(z) - f(z - 0) = s(z) - s(y),
откуда следует утверждение задачи. ?
14.46. Пусть /@) = 0 и
= Е
при х G @, 1]. Ясно, что f(x) — корректно определённая неубыва-
неубывающая функция на [0, 1]. Если xq е [0, 1] \ {?n}^Li> T0 f(xo ~ 0) —
= f{xo) — /(^о + 0) (см- решение задачи 14.42), поэтому f(x) непре-
непрерывна в точке xq. Пусть х = tn при некотором п. Если tn > 0, то
f(tn) — f(tn — 0) = 2~п, поэтому f(x) разрывна в этой точке. Если
tn = 0, то f(tn + 0) — f(tn) = 2~п, и f(x) вновь разрывна в этой
точке. ?
14.47. Пусть ро > Р и г > 0 произвольны. Опираясь на опреде-
определение внешней меры, выберем такое открытое множество G С (а, 6),
что Е С G и fi(G) < №*(Е) + ?. Для любого х е Е существует такая
последовательность чисел {/гп = Лп(^)}^=1> что hn ф 0, /гп —> 0 при
при всех п. Можно считать hn(x) столь малыми, что [х, х + hn(x)] С G.
При hn(x) > 0 обозначим dn(x) = [ж, ж + Лп(#)] и Dn(x) = [/(ж), /(ж +
+ /гп(ж))] для х е Е и п е N. При /гп(ж) < 0 обозначим dn(x) =
= [х + /1п(ж),ж] и ДДж) = [/(ж + ftn(ж)),/(ж)] для ж G ?^ и п е N.
Так как f(x) строго возрастает, то отрезки Dn(x) невырожденные.
Поскольку fi(Dn(x)) < Po\hn(x)\ для всех х и всех п, то система отрез-
отрезков D = {^n(^)}^=i xGs покрывает f(E) в смысле Витали. Применяя
теорему Витали (см. задачу 7.105), выберем такую последовательность
непересекающихся отрезков {Dnk(xk)}^=i — D, что
к=\

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	335
В силу возрастания функции / отрезки {dnk(xk)}(^=i С G также не
пересекаются. Следовательно,
к=\
оо
k=\	k=\	k=\
k=\
Так как po > P и ? > О произвольны, то тем самым утверждение задачи
доказано. ?
14.48. Пусть даны д0 ? @> (?) и ? > 0- Возьмём такое откры-
открытое множество G D f(E), что fi(G) < fi*(f(E)) + ?. Для любого
х ? Е существует такая последовательность положительных чисел
{hn = hn(x)}™=l, что ftn -> 0 при п -^ оо и
для всех п. Пусть для простоты hn(x) > 0 для всех х е Е и всех n G N.
Обозначим б^п(ж) = [х, х + /гп(ж)] и Dn = [f(x), f(x + /гп(ж))] для ж G ?^
и n G N. Так как /(ж) непрерывна всюду на Е, то можно считать, что
все Dn(x) вложены в G. Система отрезков {dn(x)}™={ xeE покрывает Е
в смысле Витали. Применяя теорему Витали (см. задачу 7.105), выбе-
выберем последовательность непересекающихся отрезков {dnk(xk)}(^)=v для
которой
k=\
Так как функция f(x) строго возрастает, то отрезки
также попарно не пересекаются. Тогда
/ оо	\	оо
fi*(E) < /Л Ц dnk(xk) = Y: Kdnk(xk)) =
\k=\	/ k=\
OO	i OO	i OO
= E V(^) < ^- E (/(** + ^J - /(^)) = 7 E
fc=l	* fc=l	® fc=l
Поскольку ^о^(О>^) и ^ > 0 произвольны, то утверждение задачи
доказано. ?

336	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.49. Пусть д(х) = f(x) +ж при х е [а,Ь]. Тогда д(х) — стро-
строго возрастающая функция на [а,Ь]. Пусть Е — множество всех
точек непрерывности функции д{х) на [а,Ь]. Тогда [a,b]\ E не
более чем счётно. Обозначим через Q+ множество всех положи-
положительных рациональных чисел, положим Е^ = {х е Е: д'(х) = оо}
и Epq = х е Е : д'(х) < р < q < д'(х)} для всех таких р, q e Q+,
что р < q. Заметим, что д'{х) ^ 1 при всех х. Предположим, что
/i*(?^oo) = а > 0. Тогда в силу результата задачи 14.48 получим:
1л*(д(Еоо)) > га для любого г < оо, что невозможно. Следовательно,
Еоо измеримо и ^{Е^) = 0. Далее, в силу результата задач 14.47
и 14.48 получаем
при всех р < q, что возможно только в случае, когда [1*(Ер^д) = 0.
Заметим, что множество всех точек интервала (а,Ь), где д\х) не
существует, можно представить в виде
= ((a,b)\E)UEoou( \J
Из предыдущих рассуждений следует, что fi(A) = 0, поэтому функция
д(х) дифференцируема п.в. на (а, Ь). Следовательно, и функция f(x) =
= д(х) — х дифференцируема п.в. на (а, Ь). ?
14.50. Заметим, что в силу результата задачи 14.49 производная
fix) существует п.в. на (а,Ь). Продолжим функцию f(x) на R: пусть
f(x) = /(а) при х < а и f(x) = f(b) при х > b. Определим функции
Fn{%) = n{f{x H—) — /(#)) ПРИ х € [а,Ь] и п G N. Эти функции неот-
неотрицательны, и Fn(#) —> /'(#) п.в. на (а, Ь), по крайней мере во всех
точках дифференцируемости. Более того,
ъ	,ъ	ъ
Г	Г	/ Г / 1 \	Г	\
[ / Л	Тр (пг> ) /71 / — [ /7? ) Аг ( О" I /7 0" — 71 I I f I Т —I— 	 I /70" 	 I Г I О" I /7 0" I —
J	J	VJ^^^J
(a, b)	a	a	a
f(x) dx +
b
По теореме Фату получаем, что f'(x) e L((a,b)), и что
(а,Ь)
п
J f'(x)d»^f(b)-f(a).

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	337
14.51.	Утверждение вытекает из задач 14.6 (о разложении функ-
функции ограниченной вариации в разность монотонных) и 14.50. ?
14.52.	Если f(x) — функция Кантора на [0, 1], то (см. задачу 8.33)
f'(x) = 0 п.в. на [0, 1], откуда следует, что
(ОД)
В то же время /A) - /@) = 1. ?
14.53. Пусть {Gn}™=x — такая последовательность открытых мно-
множеств, что G\ D G2 D ... D А и fjb(Gn) < 2~п при каждом п. Пусть при
этом
сю
g(x) = Y1 п2хсЛх)-
п=\
Так как
дух) dfi = 2_^ п /i(Gn) = У j -^ < оо,
(а,Ь)	n=1	n=1
то д(х) G L((a,b)). Поэтому можно определить для х G [а, Ь] функцию
[а,х]
Ясно, что f(x) — неубывающая функция на [а,Ь], и в силу абсолютной
непрерывности интеграла Лебега (задача 10.67) f(x) e C([a,b]). Пусть
х е А. Тогда х е Gn для всех п. Так как множества Gn открыты, то
существует такая последовательность положительных чисел {hn}^=x,
что х + h ? Gn при |/г| ^ hn для n G N. Тогда для любого п при |/г| ^ hn
получаем
№+r/w-i f *«>*^
Отсюда следует, что /х(ж) = оо всюду на А. П
14.54. Пусть Dn = <х е А\В: f (х) ^ -\ для n G N. Тогда в силу
результата задачи 14.48 получаем, что /i*(/(Dn)) ^ —/i*(Dn). Так как
77/
сю
?>п С А, то /i*(L>n) < n/i*(f(A)) = 0. Но А \ В = у Dn. Поэтому
множество А \ В измеримо и /i(A \ В) = 0. ?
п=1

338	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
14.55. Заметим, что f(x) — также неубывающая функция на [а, Ь],
поэтому f'(x) существует п.в. на [а,Ь] (см. задачу 14.51). Поскольку
оо
9k(x) = Yl fn(x)
п=к
— неубывающая функция на [а, Ъ] при каждом к, дифференцируемая
во всех точках дифференцируемости функции /, то
для к G N. Отсюда следует, что ряд
сю
Е Ш
п=\
сходится п.в. на [а, Ь]. Более того, д[(х) ^ д'2(х) ^ ... ^ О п.в. на [а, Ь]
и (см. задачу 14.50)
сю	сю
j д'к{х) ф < дк(Ъ) - дк(а) = ? fn(b) - ^ Ш -+ 0
(а,Ь)	п=к	п=к
при к -^ оо. По теореме Б. Леви д'к(х) { 0 при к —> оо п.в. на [а, Ь].
Если сходимость имеет место в точке xq e (a,b), то
п=1
при к ^ оо, т.е. сумма ряда равна ff(xo). D
14.56. Все функции /п(ж) будут нечётны, поэтому мы постро-
построим их на [О, 1]. Определим вспомогательные функции дп: дп(х) = О
при 0 < х < 2~п-\ дп(х) = 2п+1л/^(ж - 2~п-1) при 2~п-1 < х < 2~п
и дп(х) = л/х при 2~п < ж < 1. Теперь положим /п(ж) = -^ дп(х) при
п
n G N. Ясно, что все /п(ж) — непрерывные неубывающие функции на
[О, 1] и /^@) = 0 для всех п. Более того, ряд
сю
п=1
сходится равномерно на [О, 1]. Пусть теперь h ? B~n,2~n+1] при неко-
некотором п. Тогда
№ - /@) _ f(h) gn(h) _ 1	2"/2
^	— ^ ^ 9 — 9 7=г' ^	9~	^^
^	^	п h n Vh An
при n ^ оо. Поэтому /х@) = оо. ?

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	339
14.57.	Без ограничения общности можно считать, что s(x) —
неубывающая функция на [а,Ь]. Заметим, что
сю
s(x) = Yl ak9k(x),
k=\
где все а& ^ О,
сю
к=\
и gk(x) = Х[ск,ь]{х) (все ск ? [й, b], a функции gk(x) попарно различны).
Тогда в силу результата задачи 14.55 получаем, что
сю
S'(X) = Е ак9к(х) =°
к=\
п.в. на [а, Ь]. П
14.58.	Заметим, что в каждой точке х G [а, Ь] выполнено
неравенство|/п(х)\ < \fn(a)\ + К6(/п) для n e N и что
сю	сю
Е I/»I + !*)<»¦
п=1	п=1
По теореме Вейерштрасса ряд
сю
п=1
равномерно на [а,Ь] сходится к некоторой функции f(x). Пусть
к
9к(х) =
п=\
для к е N, а Т — некоторое разбиение отрезка [а, Ь] из N то-
точек. Тогда для достаточно больших к имеет место неравенство
sup \f(x) — дк(х)\ < ?/BiV) и в силу результата задачи 14.14 получаем
VT(f) < VT(gk) + е < Т/?Ы + ? ^ Е КЧ/п) + ? < Е Va(U) + e.
п=1	п=1
Отсюда следует утверждение задачи. ?
14.59. В силу результата задачи 14.58 величина V^(h) не превос-
превосходит а. Пусть дано г > 0. Найдём такое N, что
Е Ы<|-
/с=ЛГ+1

340	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
Ясно, что если
к=\
для / G N, то
к=\
Отсюда следует (см. задачу 14.58), что
N	оо
*?W- Е
к=\	/с=ЛГ+1
Но е > 0 произвольно, и потому V?(h) > а. П
14.60. Пусть ip(x) — функция Кантора на [0, 1] (см. решение
задачи 4.19), до(х) = ip(x) при х е [0,1], до(х) = 0 при х < О
и #о(ж) = 1 при х > 1. Пусть {/nj^Lj — множество всех интервалов из
[О, 1] с рациональными концами. Для 1п = (а, 6) определим функции
fn(x) = —^ ^о (т	) • Затем определим функцию
оо
/W = Е /nW-
п=1
Ясно, что f(x) корректно определена и непрерывна на [0, 1]. Так как
каждая функция fn(x) неубывающая на [0, 1], то в силу результата
задачи 14.55
сю
п=\
п.в. на [0, 1]. Далее, пусть 0 < у < z < 1. Найдём такие рациональные а
и Ь, что у < а < b < z. Пусть (а, Ь) = 1Г. Тогда
f(z) - /(!/) > № - /(а) ^ /„(&) - /„(а) = -1.
п
Отсюда следует, что /(ж) — строго возрастающая на [0, 1]. ?
14.61. Пусть Е = {хг}^°={ — некоторое всюду плотное множе-
множество на [а, Ь], причём х\ = а и х^ = Ъ. Так как \fn(x\)\ < С при
всех п, то существует подпоследовательность F^ = {/^ (ж)}/=1, ко-
которая сходится в точке х\. Поскольку последовательность F^ рав-
равномерно ограничена в точке Х2, то существует её подпоследователь-
подпоследовательность F^ = {fi (x)}l=l, которая сходится и в Х2, и т.д. Положим

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	341
fnk(x) — fl \х) ПРИ к ?N. Заметим, что эта последовательность схо-
сходится в каждой точке хг. Пусть
ф(хг) = lim fnk(xr) Для г е N.
Тогда функция ф(х) неубывающая на Е. Положим
!ф(х),	если х ? Е,
sup ф(х), если х е [а, Ь] \ Е.
хк<х
Ясно, что д(х) — неубывающая функция на [а, Ъ] и fnk{x) ~^ 9{х) ПРИ
к —> оо на Е. Множество А точек разрыва функции д(х) не более чем
счётно. Пусть t ^ A U Е. Для заданного г > 0 найдём такие Xi < t < Xj,
что g(xj) — g(xi) < -. Далее, существует такое N, что
\fnk(xi) ~ 9(х{)\ < |	И	|/nfc(^j)-^(^)l < |
при к ^ N. Отсюда следует, что
g(t) -e<fnk(Xi) < /nfc(t) < /nfc(^) < g(t) + e,
т.е. \fnk(t) -g(t)\ < e при к > TV. Поэтому /nfc(x) -> #(ж) при /с -^ оо
на [a, b] \ А. Так как множество А не более чем счётно, а последо-
последовательность {/nfc (#)}?! 1 равномерно ограничена, то мы можем при-
применить к ней описанный выше диагональный процесс и выделить
подпоследовательность, сходящуюся всюду на [а,Ь]. Нетрудно видеть,
что предельная функция f(x) будет неубывающей на [а, Ъ]. ?
14.62.	Пусть дг(х) = Vf(fi) и Нг(х) = дг(х) - /г(х) при х е [а,Ъ]
и г G N. Тогда все g%{x) и все ЛДж) — неубывающие функции на
[а, Ь], причём \gi(x)\ ^ С и |/ц(^)| ^ 2С для всех х G [а, 6] и всех г.
В силу 14.61 существует подпоследовательность {<7гг(#)}/^р которая
сходится на [а, 6] к некоторой неубывающей функции д(х). Затем
применим задачу 14.61 к последовательности {/^(ж)}^ и найдём
подпоследовательность {hjk(x)}™=l, {jk}^L\ ^ Й}/^р которая схо-
сходится на [а, Ъ] к некоторой неубывающей функции h(x). Но тогда
fjk(x) —> ^(ж) — /г(ж) G V([a, b]) при /с —> оо всюду на [а, Ь]. П
14.63.	Рассмотрим вначале функции д%(х) = f%(x) — fi(ct). То-
Тогда существует такое го, что V^{gi — gi0) ^ 1 при г ^ го- Поэтому
К?(^) < Va(9k) + 1 при г > г0. К тому же,
\дг(х)\ < Fa6to) + |#(а)| = Fa6to) < V2(9io) + 1
для всех х G [а, 6] и всех г ^ го- Применяя задачу 14.62, найдём такую
подпоследовательность {gin(x)}™=v что gin(x) —> /(ж) G F([a, Ь]) при

342	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
п —> оо на [а, Ъ]. Пусть е > О и N таковы, что V^(fn — fm) < e при
п,т^ N. Тогда для любого разбиения Т = {а = xq < х\ < ... < хп-\ <
< хп = Ь} отрезка [а, Ь] и для любого m^ N имеем
VT(fm-f)= lim VT(fm-fin)<e.
n—s-oo
Поэтому V^(fm - /) < г при га > N. П
14.64. Ясно, что VT(f) < От(/) < V*(f) для любого Т. Возь-
Возьмём произвольное а < V?(f) и найдём такое разбиение Т\ = {а =
= жо < х\ < ... < хш-\ < хш = 6} отрезка [а, Ь], что Vr^/) > ol. Так
как /(ж) G С([а, Ь]), то можно найти такое 5 G @,	j , что если
y,z е [а, Ь] и \у — z\ < 5, то
JK n	Am '
где га — число точек в Т\. Предположим, что разбиение Т = {а = уо <
<у\ < ... < уп-\ < Уп = Ь} отрезка [а, Ъ] таково, что А(Т) < 5. Заметим,
что существуют такие числа щ < щ < ... < nm_i, что уПк ^ х^ < Упк+\
при к = 1,2,..., га — 1. Если разбиение Т2 — объединение разбиений Т
и Тх, то
fc=l
Отсюда следует, что
liminf Vrif) ^ ol.
A(T)O W У
Так как а < V^/) произвольно, то утверждение задачи тем самым
доказано. ?
14.65.	Пусть f(x) — функция Дирихле, т.е. f(x) = 1 в рациональ-
рациональных точках х G [О, 1] и f(x) = 0 в иррациональных точках х G [О, 1]. Яс-
Ясно, что /О) <? V([0,\]). Пусть ^ = |0 = ж0 < j < | < ... <Жг = ll.
Тогда Vriif) = 0 при всех г и А(Т^) = - —> 0 при г —> оо. П
14.66.	Для произвольного натурального п рассмотрим множества

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	343
при к = 1,2,..., 2п - 1 и А2.?п = [а + B" ~ ^пF ~ а), б] . Обозначим
m/c,n = inf /(ж) и Mfc>n = sup /(ж). Пусть
, ч _ i 1, если существует такое х е Afc,n> что f(x) = у,
9к,п\У) — л г.
in _ иначе
fc=l
при каждом п. Ясно, что дп+\(у) ^ #пB/) Для любого п и для любого
у G R. В решении задачи 8.52 было доказано, что дп(у) —> ^(^) ПРИ
п ^ оо для любого у G R1. Заметим также (см. задачу 14.64), что
2п
--J2(Mk,n-mk,n)^Vb(f)
к=\
при п —> оо. Применяя теорему Б. Леви, получаем утверждение зада-
задачи. ?
14.67. В силу результата задачи 14.43 функция ф(х) непре-
непрерывна на [а, Ь]. Согласно задаче 14.14, имеет место неравенство
К?(/) ^ ^а(Ф) + Va(s)- Пусть задано г > 0. Заметим, что (см. зада-
задачу 14.57)
к=\
где
сю
]Г \ак\ < оо
к=\
и дк(х) = XLcfc,6](^) (все ск ^ [а, Ь] и функции дк(х) попарно различны).
Тогда (см. задачу 14.59)
к=\
Выберем такое N, что
сю
Е К
/с=ЛГ+1
Обозначим
N
к=\

344	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
Положим Ai = -	min	сь — сЛ. Заметим, что если разбиение Т
5 \^j<k^Nc^C	J
содержит все точки {ск}^={ и Л(Т) < Ль то Vt(sn) = V%(sn) > a - |.
Пусть Л2 > 0 таково, что (см. задачу 14.64) если Т — разбиение отрезка
[а, Ъ] и А(Т) < Л2, то Ут(ф) ^ Уа{Ф) ~ ъ = Р ~ "о • При этом можно счи-
8	8
тать Л2 > 0 столь малым, что если у, z G [а, Ъ] и \у — z\ ^ Л2, то \ф(у) —
— ф(г)\ < -—. Пусть теперь разбиение Т = {а = xq < х\ < ... < хп = Ь}
OiV
отрезка [а,Ь] содержит все точки {ck}k=l и А(Т) < min(Ai,A2). Пусть
ск = хПк при к = 1,2,..., iV (если ск = Cj при к ф j, то число таких
точек будет меньшим). Заметим, что (см. задачу 14.59)
VT(f) > Ут(ф + sN) - VT(s - sN) > Ут(ф + sN) - |.
Обозначим через W множество всех пк и пк + 1, где к = 1,2, ...,7V,
и пусть С/ — множество всех таких натуральных / G [1,п], что / ^ W.
Если / G С/, то |5дг(ж/) — sjv(#z_i)| = 0. Отсюда следует, что
lew
1 = 1	1 = 1
lew
Отсюда следует, что Vr(f) ^ a -\- C — г, и, поскольку г > 0 произволь-
но, то Vab(f) > VM + Vab(s). D
14.68.	Пусть f(x) = ф(х) + «(ж), где «(ж) — функция скачков.
Тогда ф(х) е С([а,Ъ]) П F([a,b]), ^(a) = 0 и (см. задачу 14.67)
К?(/ - /п) = УМ + Fa6E - /п) для каждого п. Поэтому Fa6(VO = 0
и, следовательно, ^(ж) =0. П
14.69.	В силу результата задачи 14.39 существует разложение
f(x) = f\(x) — /2(ж), где /i(#) и /г(ж) — неубывающие непрерывные
функции на [a, b]. Заметим, что f\(x) и /2(х) порождают некоторые
сг-аддитивные меры щ и щ, которые являются продолжениями по Лебе-
Лебегу мер Стилтьеса, определённых в задаче 14.44 (такие меры мы будем
называть мерами Лебега-Стилтьеса). Обозначим через М\ и М^ сг-ал-
гебры, на которых определены эти меры. Тогда заряд v = v\ — щ опре-
определён на сг-алгебре М = М\ П М2. Заметим, что М содержит все боре-
левские подмножества [а, Ъ]. Пусть v = z/+ ~ v- ~ разложение Жордана

Гл. 14. Функции ограниченной вариации	345
заряда v (см. задачу 13.77). Определим функции д\(х) = и+([а,х])
и 92(х) — V-([a,%}) при х G [а,Ь]. Тогда д\(х) и д2(х) — неотрицатель-
неотрицательные неубывающие функции на [а,Ь].
Докажем их непрерывность. Непрерывность справа следует из сг-ад-
дитивности мер v±. Далее, как показано в задаче 13.77, существу-
существует разложение Хана [а,Ь] = Е+ U Е-, где Е+ положительно отно-
относительно v и Е- отрицательно относительно z/, ъ>+(А) = и (А П Е+)
и V-(A) = и (А П Е-) для всех А е М. Если бы функции д\ и д2
были обе разрывны в точке xq, to это означало бы, что одновременно
v+({xo}) > 0 и i/-({xo}) > О, но такое невозможно, поскольку точка xq
принадлежит только одному из множеств Е+ или Е_. Наконец, так
как дх(х) - д2(х) = v([a,x\) = f(x) - f(a) и f(x) e C([a,b\), то в фик-
фиксированной точке не может быть разрыва только у одной из функций д\
и д2. Следовательно, д\(х) и д^{х) непрерывны на [а, Ь].
Пусть дано г > 0. Выберем такое множество
Б+= \J[ak,bk],
k=\
что (z/+ + v-)(B+ Л Е+) < -. Положим Б_ = [а, Ь] \ В+. То-
Тогда ъ>+(В+ Л Е+) < - и v~{B+ Л Е+) < -. Следовательно,
v+{B- Л ?^_) < - и V-{B- Л ?^_) < -. Пусть Т — разбиение отрезка
[а, Ь], состоящее из всех точек а&, Ь& при /с = 1, 2,..., п и точек а и 6.
Тогда мы получим, что
VT(f) > v(B+) - и(В.) = i/+(B+) - i/_(B+) +
> z/+(E+) - v+(B+ A E+) - V-(B+ A
+ Jy-(E_) - v_{B_ A ?L) - !/+(?"-) - ^/+(B- A ?¦_
Так как ? > 0 произвольно, то отсюда следует, что V^(f)
+ Va(g2)- Обратное неравенство следует из простейших свойств вари-
вариации. ?
14.70. Возьмём разложение f(x) = ф(х) + s(x), где s(x) — функ-
функция скачков и -0(ж) G С([а,6])П7([о,6]). Тогда (см. задачу 14.67)
у^(/) = Vrab('0) + ^?E) и (см- задачу 14.69) существует разложение
ф(х) = ф\(х) — ip2{x), гДе Ф\{х) и Ф2(х) — неотрицательные неубываю-
неубывающие непрерывные функции на [a, b], причём V^(f) =

346	Гл. 14. Функции ограниченной вариации
Имеем
оо
s(x) =
k=\
где
к=\
и дк(х) = Х[ск,ь](х) (все ск ^ [а, Ь] и функции #&(#) попарно различны).
Обозначим
к:ак<0
Тогда s\(x) и «2(ж) — неубывающие неотрицательные функции на [а, Ь],
и (см. задачу 14.59)
Пусть /i(x) = ^i(^) + s\(%) и /2(ж) = ф2(х) + 52(ж). Эти функ-
функции — неотрицательные и неубывающие на [a, b], f(x) = f\(x) — /2 (ж)
и (см. задачу 14.67)
Vab(s2) = Кь(/,) + Vab(f2
п

Глава 15
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
В этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнознач-
ные функции на отрезке [а,Ь] С R. Через п([а;Ь]) будем обозначать
множество всех конечных систем попарно непересекающихся интерва-
интервалов S = {(ak,bk)}^={, принадлежащих [а, Ь]. Для системы S G О,([а, Ь])
положим
к=\	к=\
Скажем, что функция f(x) абсолютно непрерывна на [а, Ъ] (f(x) ?
G AC([a,b])), если для любого г > О существует такое 5 > О, что
для любой системы S ? fl([a;b\) с O(S) < 5 выполнено неравен-
неравенство Т(/; 5) < е.
Как обычно, через L([a,b]) обозначается множество функций, ин-
интегрируемых относительно классической меры Лебега на [а, Ь]. В этой
главе выражение «п.в. на [а, Ь]» всегда будет относиться к классической
мере Лебега на [а, Ь].
Скажем, что конечная функция f(x) на [а, Ь] обладает N-свой-
N-свойством Лузина на этом отрезке, если для любого измеримого относи-
относительно классической меры Лебега \± множества Е с [а, Ъ] с /jl(E) = О
множество f(E) измеримо и /i(f(E)) = 0.
Напомним, что функция f(x) называется сингулярной на отрезке
[а,Ь], если f(x) e C([a,b}) и f(x) e V([a,b\), f(x) ф С на [а,Ь], но
f'(x) = 0 п.в. на [а, Ь].
Пусть Е С R — измеримое относительно классической меры Лебе-
Лебега /i множество. Точка х G R называется его точкой плотности, если
lim №h* + h]nE)
2/i
Пусть f(x) G L((a,b)). Точка t G (a, 6) называется точкой Лебега
функции f(x), если величина /(?) конечна и
limi [ \f(u)-f(t)\dfi(u)=O.
(t,t+h)

348	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
ЗАДАЧИ
15.1.	Пусть /О) е АС([а,Ъ]). Доказать, что f(x) e С([а,Ъ]).
15.2.	Пусть f(x) и д(х) — функции из АС([а,Ь]) и а,C е М.К
Доказать, что af(x) + /Зд(х) G АС([а,Ь]).
15.3.	Пусть f(x) и д(х) — функции из АС([а,Ь\). Доказать,
что f(x)-g(x)eAC([a,b\).
15.4.	Пусть f(x) и д(х) — функции из АС([а, Ь\) и д(х) ^ 0 на
[а, Ь]. Доказать, что 1Щ е АС([а,Ь\).
д(х)
15.5.	Пусть /О) е АС([а,Ъ]). Доказать, что \f(x)\ e АС([а,Ъ]).
15.6.	Пусть f(x) e С([а,Ъ]) и \f(x)\ e АС([а,Ъ]). Доказать, что
f{x)eAC{[a,b}).
Замечание. Первое условие существенно, см. задачу 14.25 и её
решение.
15.7.	Пусть f(x) е АС([а,Ь]). Доказать, что f(x) e V([a,b\).
15.8.	Построить функцию f(x) е С([0, 1]) П V([0, 1]), не принадле-
принадлежащую классу АС([0, 1]).
15.9.	Пусть /О) е АС([а,Ъ]) и fx(x) = V?(f) для х е [а,Ь]. Дока-
Доказать, что f\(x) G AC([a,b]).
15.10.	Пусть f(x) e AC([a,b]). Доказать, что существует представ-
представление /О) = f\(x)-f2(x), гяе fi(x) eAC([a,b\) и f2(x) e AC([a,b\) -
неубывающие функции на [а, Ь].
15.11.	Пусть f(x) G AC([a,b]). Доказать, что для любого е > О
существует такое 5 > 0, что для любой счётной системы попарно
непересекающихся интервалов S = {(ak,bk)}^=i из [а,Ь] с
^2 \Ьп — ап\ < 8 выполнено неравенство ^ |/(^n) — f(an)\ < ?•
k=\	k=\
Замечание. Тривиальным образом выполнено обратное утвер-
утверждение.
15.12.	Пусть /О) eL([a,b\) и
F{x) = [ f{t)dfi при х е [а,Ь].
[а,х]
Доказать, что F(x) G AC([a,b]).
15.13.	Пусть f(x) e Lip(l; [a, b}). Доказать, что f(x) e АС([а,Ъ]).
15.14.	Построить функцию f(x) G АС([0, 1]), не принадлежащую
Lip(a; [a,b]) ни при каком a G @, 1].

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	349
15.15.	Пусть f(x) — конечная функция на [а,Ь] и для любо-
любого г > 0 существует такое 5 > О, что для любой конечной системы
S = {(йь bfc)}fc=i интервалов из [а, Ь], удовлетворяющей условию
п	п
^ |ЬП — ап\ < 5, выполнено неравенство ^ \fipn) ~ f(an)\ < ?•
k=\	k=\
Доказать, что f(x) ? Lip(l; [a,b]).
15.16.	Пусть /О) е АС([а,Ъ]) и д(х) ? Lip(l; [c,d]), где /([а, 6]) С
С [c,d]. Доказать, что g(f(x)) e АС([а,Ь]).
15.17.	Пусть д(х) — конечная функция на [с, d], причём для любого
[а, Ъ] С R и для любой f(x) G AC([a,b]), переводящей [а, Ъ] в [c,d], вы-
выполнено условие g(f(x)) ? АС([а, 6]). Доказать, что д(х) G Lip(l; [с, с(|).
15.18.	Пусть /(ж) G АС([а,Ь]), д(х) — неубывающая функция на
[с, d], д(х) ? AC([c,d]), д(с) = а и g(d) = 6. Доказать, что f(g(x)) ?
eAC([c,d\).
15.19.	Построить такие функции f(x),g(x) ? АС([0,\]), что
/([0,1]) С [0,1], но f(g(x)) ^ BV([0,l]). (Согласно задаче 15.7, тем
более f(g(x))$AC([0,l]).)
15.20.	Построить такую функцию д(х) на R, что для любо-
любого отрезка [а, Ъ] и для любой функции f(x) ? AC([a,b]) выполнено
условие g(f(x)) ? AC([a,b]), но не существует такого С > 0, что
\д(х) — д(у)\ < С\х — у\ при всех х,у eR.
15.21.	Пусть f(x) ? AC([a,b]). Доказать, что f(x) обладает
TV-свойством Лузина на [а, Ь].
15.22.	Пусть f(x) ? C([a,b\). Доказать, что f(E) измеримо (отно-
(относительно классической меры Лебега) для любого измеримого (в том
же смысле) Е С [а, Ъ] тогда и только тогда, когда f(x) обладает
TV-свойством Лузина на [а, Ь].
15.23.	Теорема Банаха-Зарецкого. Пусть f(x) ? C([a,b\) П
nV([a,b]) и f(x) обладает TV-свойством Лузина на [а, Ь]. Доказать,
что f(x) ?AC([a,b\).
15.24.	Пусть f(x) ? L([a, b]), F(x) = f f(t) dfi при х ? [a, b] и
[a,x]
F(x + h)- F(x)
M{x\f) = limsup
для x ? (a,b). Определим множества
Ex = {x ? (a, b): M{x\ f) > А} при А > О.
4
Доказать, что fi(Ex) < j \\f\\v

350	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
15.25.	Пусть /О) е Ща,Ъ]) и F(x) = [ /(*)ф для х е [а,Ъ].
[а,х]
Доказать, что F'{x) = f(x) п.в. на [а, Ь].
15.26.	Пусть дана функция F(x) e АС([а,Ь\). Доказать, что п.в.
на (а, Ь) существует производная F'(x) = f(x) G L([a,b]) и что
F(x) = \ f(t) dji + F(a) для всех х е [a, b].
15.27.	Пусть f(x) e AC([a,b\) и f(x) = 0 п.в. на [a, b]. Доказать,
что f(x) = С на [a, b].
15.28.	Пусть f(x) — неубывающая функция на [a, b] и
J f{t)dli = f{b)-f{a).
[а,Ъ]
Доказать, что f(x) e AC([a,b\).
15.29.	Пусть даны неубывающая на [а, Ь] функция f(x) G АС ([а, Ь])
и измеримое (относительно классической меры Лебега /i) множество
А С [a, b]. Доказать, что
15.30.	Пусть дана строго возрастающая на [а,Ь] функция f(x) G
е С([а, Ь])иА = {хе [a, b]: f(x) = оо}. Доказать, что f(x) е АС ([а, Ь})
тогда и только тогда, когда fi(f(A)) = 0.
15.31.	Пусть дана строго возрастающая на [а,Ь] функция f(x) G
е С([а,Ь]), /(а) = с, f(b)=d, А = {хе [а,Ь]: f'(x)=0} и д(у) = f~\y)
на [c,d]. Доказать, что д(у) е AC([c,d\) тогда и только тогда, ко-
когда fi(A) = 0.
15.32.	Пусть д(х) — конечная функция на [а,Ь], д'{х) ^ 0 п.в. на
[а,Ь] и д'{х) > —оо при всех х G [a, b]. Доказать, что д(х) — неубываю-
неубывающая функция на [a, b].
15.33.	Пусть функция f(x) на [а,Ь] такова, что конечная произ-
производная f'(x) существует всюду на [а,Ь] и f'(x) e L((a,b)). Доказать,
что f(x) e AC([a,b}).
15.34.	Построить такую функцию f(x) на [0, 1], что конечная
производная ff(x) существует п.в. на [a, b] и ff(x) G L((a,b)),
но f(x) $ АС([а,Ь]).
15.35.	Построить такую функцию f(x) на [0, 1], что конечная про-
производная f'(x) существует всюду на [0, 1], но f'(x) ? L(@, 1)).

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	351
15.36.	Пусть функция f(x) на [а,Ь] такова, что конечная произ-
производная f'(x) существует всюду на [а,Ь]. Доказать, что f(x) обладает
TV-свойством Лузина на [а, Ь].
15.37.	Доказать, что f(x) ? Lip(l; [a, b]) тогда и только тогда, когда
f(x) = C+ J g(t)dfi
[а,х]
для всех х G [а, Ь], где g(t) — ограниченная измеримая функция на [а, Ъ].
15.38.	Пусть f(x) ? V([a,b]). Доказать, что её модуль непрерыв-
непрерывности в Ь\ (см. задачу 13.62) удовлетворяет условию uo(f\5)x = 0E)
при 5^0+.
15.39.	Пусть f(x) е Lx([а, Ь\) и uo(f]5)x = 0E) при 5 -> 0+. Дока-
Доказать, что f(x) эквивалентна некоторой функции ограниченной вариа-
вариации на [а, Ь].
15.40.	Интегрирование по частям в интеграле Лебега. Пусть
даны функции F(x),G(x) G AC([a,b]). Доказать, что
[ F(x)G'(x)dn = F(h)G(b)-F(a)G(a)- \ G(x)F'(x) dfi.
[а,Ь]	[а,Ь]
15.41.	Замена переменной в интеграле Лебега. Пусть f(x) e
? L((a,b)), а функция G(y) ? AC([c,d]) строго возрастает на [с, d],
причём G(c) = a, G(d) = Ъ и обратная функция G~l(x) принадлежит
АС([а,Ь]). Доказать, что f(G(y))G'(y) e L((c,d)) и
f[x)dli=
[а,Ь]	[с4]
15.42. Замена переменной в интеграле Лебега. Пусть f(x) ?
? L((a,b)), а функция G(y) ? AC([c,d]) строго возрастает на [c,d],
причём G(c) = а и G(d) = Ь. Доказать, что f(G(y))G'(y) ? L((c,d)) и
[а,Ъ]	[с4]
15.43.	Пусть ^CR- измеримое относительно классической меры
Лебега fi множество. Доказать, что почти все точки Е являются его
точками плотности.
15.44.	Пусть Е С R — измеримое множество, a xq — его точка
плотности (см. задачу 15.43). Доказать, что для произвольной последо-

352	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
вательности {/& = [а&, bk}}^=i такой, что xq ? Ik при всех к и /i(/fc) —> О
при /с —> оо, выполнено равенство
lim "(J»nf> = 1.
15.45.	Пусть /(ж) G L((a,b)). Доказать, что почти все точки t ?
G (а, 6) являются точками Лебега функции /.
15.46.	Пусть f(x) e L([a, b]), F(x) = [ f(t) d/i при х е [а, Ъ] и t e
[а,х]
G (а, 6) — точка Лебега функции f(x). Доказать, что F'(t) = f(t).
15.47.	Построить такую функцию f(x) G L((—1, 1)), что /@) = 0 и
? J
00
при h —> 0, но если F(x) =	f(t)dfi на [—1,1], то существу-
существует F'@) = 0.
15.48.	Пусть f(x) G I/((a, 6)), ? G (а, Ъ) и /(ж) непрерывна в точке t.
Доказать, что t — точка Лебега функции f(x).
15.49.	Пусть р > 1 и f(x) e Lp((a,b)). Доказать, что
limi J \f(u)-№\pd»(u)=0
"* (t,t+h)
для почти всех t G (a, 6).
15.50.	Пусть /(ж) G L((a,b)) и t e (a,b) — точка разрыва первого
рода для f(x), причём f(t + 0) 7^ /(^ — 0). Доказать, что t — не точка
Лебега f(x).
15.51.	Пусть
(x) = j,«sinx
, ч _ 1 •" ОХ1ХЛ- при х е @,1],
/(Ж)"<!а	при х = О,
где а, C G R. Найти, при каких а и C выполнено условие /(ж) G
е АС({0,1]).
15.52. Пусть f(x) e АС([а,Ц). Доказать, что
(а,Ь)

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	353
15.53.	Пусть f(x) e С([а,Ь\) П V([a,b]). Доказать, что существует
единственное представление f(x) = д(х) + h(x), где д(х) G АС([а,Ь\),
h(x) — сингулярная функция на [а, Ь] либо h(x) = 0 на [а, Ь] и /(а) =
= д(а).
15.54.	Пусть f(x) — неубывающая функция на [а,Ь] и f(x) =
= д(х) + /г(ж), где #(#) G АС([а, Ь]), /г(ж) — сингулярная функция на
[а, 6] либо /г(ж) = 0 на [а,Ь]. Доказать, что д(х) и h(x) — неубывающие
функции на [а, Ь].
15.55.	Пусть f(x) — сингулярная функция на [а, Ь]. Доказать,
что её можно представить в виде f(x) = f\(x) — /2(ж), где f\(x)
и /г(^) ~~ неотрицательные неубывающие сингулярные функции на
[a,b}nVab(f)=Vab(fl)+Vab(f2).
15.56.	Пусть f(x) — сингулярная функция на [а, Ъ]. Доказать, что
её можно представить в виде f(x) = f\(x) - /2(ж), где f\(x) и /2(ж) —
строго возрастающие сингулярные функции на [а, Ь].
15.57.	Пусть f(x) — сингулярная функция на [а, Ъ]. Доказать, что
для любого 7 > 0 существует такое открытое множество
оо	оо
G=\J(ak,bk)c[a,b] с /x(G) = ? (bk - ak) < 7,
k=\	k=\
ЧТО
15.58.	Пусть /О) g С([а,Ь]) П F([a,b]) и /(ж) = #(ж) + h(x), где
^(ж) G АС([а, Ь]), h(x) — сингулярная функция на [а, Ъ] либо h(x) = О
на [а, Ъ]. Доказать, что V?(f) = V^(g) + V*(h).
15.59.	Пусть {/п(ж)}~=1 С АС([а,Ъ]), f(x) e V([a,b\), /(a) = 0
и Уа6(/ - /п) —> 0 при п ^ оо. Доказать, что /(ж) е АС([а, 6]).
15.60.	Пусть {fn(x)}™=\ — последовательность сингулярных функ-
функций на [а, Ъ]. Пусть f(x) e V([a,b\), /(а) = 0 и V*(f - fn) -+ 0 при
п -^ оо. Доказать, что /(ж) — сингулярная функция на [а, Ъ] либо нуль.
15.61.	Пусть f(x) е АС([а,Ь]) и невозрастающая функция д(х) на
[а, Ь] такова, что fi({x е [а, Ь]: f(x) > t}) = /л({х G [a, 6]: д(х) > t}) для
всех t e R. Доказать, что #(#) G AC([a, Ь]).
РЕШЕНИЯ
15.1. Если подставить в определение абсолютной непрерывности
системы 5, состоящие из одного интервала, то мы получим определе-
определение непрерывности функции. ?
12 П. Л. Ульянов и др.

354
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
15.2. Пусть дано е > 0. Найдём такое 5 > 0, что для любой системы
B(S) < 5 выполнены неравенства T(f;S) <
,
. Тогда для любой системы 5 G
2\а\ + 1
с 0E) < S
Т(а/
\C\Т(д; 5)
е.
S е п([а;Ь})
иТE;5)<-
получаем
?
15.3. В силу результата задачи 15.1 функции f(x) и д(х) непрерыв-
непрерывны на [а, Ь]. Тогда существует такая постоянная С > О, что \f(x)\ ^ С
и \д(х)\ ^ С на [а, Ь]. Для данного г > 0 найдём такое 5 > 0, что
для любой системы 5 G О([а;Ь]) с 0E) < 5 выполнены неравенства
Т(/; 5) < —	 и T(g;S) < —	. Заметим, что для любого интер-
интервала (с, d) С [а, Ъ]
\f(c)g(c) - f(d)g(d)\
W)\\f(c) - f(d)\
Поэтому для любой системы
с 0E) < 5 получаем
П
15.4. В силу результата задачи 15.3 достаточно доказать, что
АС([а,Ь]). Так как (см. задачу 15.1) д(х) е С([а,Ь\), то суще-
д{х)
ствует такое число С > 0, что \д(х)\ ^ С на [а, Ь]. Для данного г > 0
найдём такое 5 > 0, что для любой системы 5 G О([а;6]) с 0E) < 5
выполнено неравенство Y(g; 5) < С2г. Заметим, что для любого интер-
интервала (с, d) С [а, Ъ] имеем
1
1
_ \g{c)-g{d)\
\g(c)g(d)\ ^
\g(c)-g(d)\
С2 '
Поэтому для любой системы 5 G О([а; Ь]) с 0E) < 5 выполнена оценка
и
15.5. Для данного е > 0 найдём такое 5 > 0, что для произ-
произвольной системы 5 G fl([a;b\) с 0E) < 5 имеем: Т(/; 5) < ?. За-
Заметим, что для любого интервала (с, d) С [а, 6] выполнено неравен-

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	355
ство ||/(с)| — |/(d)|| < |/(с) — f(d)\. Поэтому для любой системы
S е п([а;Ь]) с B(S) < 5 выполнены оценки
П
15.6. Для данного г > О найдём такое 5 > О, что для любой
системы S ? О([а;6]) с Q(S) < 5 выполнено неравенство T(\f\;S) <
< г. Пусть S = {(а/с, 6/с)}^=1 — такая система. Пусть К+ = {k G
е [l,n]: f(ak)f(bk) ) 0} и К_ = ([1,^] ПК) \К+. В силу непрерывно-
непрерывности функции / для любого к G if- существует такое с^ G (а^,Ь^), что
/(Ос) — 0- Рассмотрим систему непересекающихся интервалов
Si = {(ак, Ьк)}кеК+ U {(аь cfc)}/cGK_ U
Ясно, что 6E'i) < ®(S) < 5. При этом для любого интервала (d,e)
из Sx имеем: \f(d) - f(e)\ = \\f(d)\ - |/(е)||. Тогда
?
15.7.	Пусть 5 > 0 таково, что для любой системы S ? О([а;6])
с O(S) < 5 справедливо неравенство T(f;S) < 1. Возьмём такое нату-
натуральное N, что	< 5. Обозначим у\ = а + ^ —- для / = 0, 1,2,...
...,7V. Ha каждом отрезке [yi,yi+\] по определению вариации имеет
место оценка V^f+1(/) < 1. Но вариация аддитивна как функция от-
отрезка (см. задачу 14.4). Следовательно, V?(f) ^ N. П
15.8.	Пусть Р — канторово замкнутое множество на [0, 1] (см. за-
задачу 2.22), a f(x) — канторова функция на [0, 1] (см. решение зада-
задачи 4.19). Тогда f(x) монотонна на [0, 1] и f(x) G С([0, 1]). Так как
/л(Р) = 0 и Р замкнуто, то (см. задачу 7.38) Р измеримо по Жордану
на [0, 1] и fij(P) = 0. Поэтому для любого 5 > 0 существует такая
конечная система S = {(а&, Ь^)}^=1 интервалов из [а, Ь], что
PC \J(ak,bk) и
fc=l	k=\
Более того (см. задачу 7.5), можно считать, что интервалы из S
попарно не пересекаются. Предположим, что а\ < Ъ\ < а^ < Ь^ < ...
... < ап < Ъп. Тогда по определению функции Кантора имеем: а\ = 0,
Ьп = 1 и f(ak) = f(bk-\) Для к = 2, 3,..., п. Поэтому Т(/; 5) = 1. Это
означает, что f(x) ф АС([0, 1]). ?
15.9. Для данного г > 0 найдём такое 5 > 0, что для любой си-
системы S е п([а;Ь\) с B(S) < 5 выполнено неравенство T(f;S) < -.
12*

356	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
Пусть S = {(ak,bk)}^=l E п([а;Ь\). Для любого к е [1,п] зафикси-
зафиксируем такое разбиение Т& = {а^ = Zk,o < ^fc,i < ... < ^fc,/fc = bk}, что
Утк(Л > Уак(Л	j^pr- Тогда S\ = {(zk,i-\, Zk,i)}^t\l=l принадлежит
?l([a;b}) и 6E'i) < 5. Следовательно,
O)^> К	( Г ) < > W ( / ) A	=
П
15.10.	Применяя задачу 14.6, получаем, что f(x) = f\(x) — /2(ж),
где /i(x) и /2 (ж) — неубывающие функции на [а, 6] и /i(#) = V*(f)
при ж G [а, Ь]. Тогда в силу результата задачи 15.9 f\(x) G AC([a,b]),
а в силу результата задачи 15.2 — и /г(ж) ? АС([а, Ь]). П
15.11.	Для данного г > 0 найдём такое 5 > 0, что для любой
системы S е п([а; Ь]) с B(S) < 5 выполнено условие Т(/; S) < -. Пусть
система S = {(^,6^)}^! такова, что
оо
J2 \Ьк ~ак\ < &
к=\
Тогда для любого N получаем: так как {(an,bn)}^=l G О([а, Ь}), то
откуда следует, что
к=\
П
15.12. Пусть г > 0. Тогда в силу абсолютной непрерывности инте-
интеграла Лебега (задача 10.67) существует такое 5 > 0, что для любого
измеримого множества А с [а, Ь] при 1л(А) < 5 выполнена оценка
А
Рассмотрим систему S е п([а;Ь\) с B(S) < 5. Тогда
к=\
П
U Ы,ьк)
к = \

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	357
15.13.	Пусть \f(x) — f(y)\ < C\x — у\ для всех х,у е [а,Ь]. Для
заданного г > 0 возьмём 5 = —	. Тогда для любой системы S ?
е П([а; Ъ]) с 6(S) < 5 получим, что Т(/; 5) < С • 6(S) < е. П
15.14.	Пусть д(х) = -^ на @, 1], f(x) = -\ на @, 1] и /@) =
ж1п —	In —
X	X
= g@) = 0. Заметим, что д(х) G Ь([0, 1]) в силу результата задачи 11.4,
д(х) > 0 на @, 1] и
/(ж)= J p(t)d/x(t) при же [0,1].
[о,*]
Поэтому (см. задачу 15.12) f(x) G АС([0, 1]). Возьмём теперь любое
а е @, 1]. Тогда
откуда следует, что f(x) ф Lip(a, [0, 1]). П
15.15. Предположим, что f(x) ^ Lip(l, [a, b]). Тогда для любого
I f(X ) _ f(y )\
т е N существуют такие точки хт, ут е [а, Ь], что и v ш)—J уушп > т.
У
Положим 7ш = \хт — Ут\- Докажем, что для каждого т и для
любого 7 ? @,7т) существуют такие точки хт{^),ут{^) G [0,1],
что 1 <: |ЖшG) - ym(j)\ < 7 и IM7m / ^^у > m. Пусть
2	FmG) -2/mG)l
[с, d] = [жш,?/ш], / — минимальное натуральное число, большее, чем
	? а ^j = с + ^-т—- при j = 0, 1,...,/. Предположим, что |/(zj) —
7	ь
- /(^-_i)| < m\zj - Zj-\\ для всех j. Тогда
l/M-/(c)l<E№)-/MI<E!
и мы пришли к противоречию. Поэтому существует такое jo e [1,/],
что 1/(^о) - /Ojo-01 > m\zjo - ^o-ll- Так как | < kio - Zjo-ll < 7, ТО
можно взять жшG) = ^jo-i и 2/ш(т) = ^j0- Выберем такое 5 > 0, что для
любой конечной системы 5 = {(а^, 6/с)}^=1 интервалов из [а, Ъ] с
п	п
J2 \К - ап\ < 5 выполнено	^ \f(bn) ~ /(«п)| < 1.
к=\	к=\

358
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
2 5
Затем зафиксируем т > -, и пусть 7 < 7т таково, что N =	целое
о	7
число. Возьмём систему из N одинаковых интервалов (хт(^),у
Тогда N\xm(-f) - 2/mG)| < ^7 = <*, но
Е 1/(^G)) - /(l/mG))l = ^l/(^mG)) - /G/mG))l > ^ш = |
г=1
Полученное противоречие доказывает, что / G Lip(l, [а, Ь}). П
15.16. Пусть С > О таково, что
С\у —
y,z G [с, d]. Для заданного ? > 0 найдём такое 5 > 0, что для любого
5 G О([а;6]) с 6E) < 5 выполнена оценка T(f;S) < —
если S — такая система, то
для любых
любого
. Тогда,
?(g(f);S)^C?(f;S)<e.
П
15.17. Полагая f(x) = х на [с, d], получим, что д(х) ? AC([c,d\).
Предположим, что д(х) (? Lip(l; [с, d\). Тогда из решения задачи 15.15
следует, что существует последовательность невырожденных отрез-
отрезков {[аьУ}^=1 из [c,d], для которой \g(bk) - g(ak)\ > k4\bk - ak\
и dk = bk — ak < k~A для к е N. Заметим, что из этой последова-
последовательности можно выбрать такую подпоследовательность	^
что существует a G [а, Ь], для которого \а — aki \ ^ -^ при г G N. Без
ограничения общности будем считать, что ki = г для всех г и либо
все ai больше а, либо все а^ меньше а. Тогда е^ = \	| <
ai —
1
12 ПРИ
г
всех г. Пусть rk = min{p: pd/c > —Л при fc G N. Тогда
/с
=Y <oo
и можно определить числа жт следующим образом: х\ = О,
771—1
для т = 2, 3,... и ут = жт + dmrm для всех т. Заметим, что
lim жт = lim ym = Y.
Построим функцию f(x) на [О, У] следующим образом. Если т —
натуральное число, х = хт + 2ldm, где / — целое число из отрезка
[О, гт], то пусть f(x) = ат. Если х = хт + B/ - l)dm, где 1 < / < rm,

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	359
то пусть f(x) = Ьт. Доопределим f(x) по линейности на каждом
отрезке [хт + qdm, xm + (g + l)dm] при шеМиО^^ 2rm - 1, и на
каждом отрезке [ут,хт+\], где га G N. Наконец, пусть /(У) = а. Тогда
/(ж) е Lip(l, [О, У]) (с константой 1). В то же время
сю	сю	сю
^о"(<?(/)) > Е 2rm|5Fm) -5(am)| > Е 2rmm4dm ^ ]Г 2т2 = оо.
771=1	771=1	771=1
Это означает, что g(f(x)) ^ V([0, У]), и мы пришли к противоре-
противоречию. ?
15.18. Для заданного г > О найдём такое 5 > О, что для любой
системы 5 G О([а;6]) с 6E) < 5 выполнено неравенство T(f;S) <
< г. Затем найдём такое j > 0, что для любой конечной системы
S" e ft([c;d\) с B(S) < 7 выполнено неравенство T(g;Sf) < 5. Пусть
Sf — {(cfc>^fc)}fc=i ~~ такая система. Тогда невырожденные интерва-
интервалы из системы g(Sf) = {(^f(c/c),<g(^/c))}^=1 попарно не пересекаются
и в(^E'/)) < 5. Следовательно,
п
15.19. Пусть д(х) = ^на [0, 1], /@) = 0, /(-!-) = 0 для п е N,
ATI
/(-	-) = —г при n G N и /(ж) продолжена по линейности на каждый
In— 1 гг
отрезок [-—-, -] для k G N. Тогда
/С ~р 1 /С
г^Ф при ж G [0,1],
поэтому (см. задачу 15.12) д(х) е АС([0, 1]). Далее, f(x) e Lip(l; [0, 1]),
поэтому (см. задачу 15.13) /(ж) е АС([0,\]). В то же время
2п)^ = ° и ^(/Bn t)) = ~ для n G N» 0ТКУДа следует, что
) ^ F([0, 1]). П
15.20.	Пусть ^(ж) = х2. Тогда ^^—^^- = х —> оо при ж -^ оо.
В то же время, если [а, Ь] С R и /(ж) е АС([а,Ь\), то (см. задачу 15.3)
f(x) = g(f(x)) е АС([а,Ъ}). П
15.21.	Пусть Е С [а, 6] и /i(^) = 0. Для заданного г > 0 най-
найдём такое 5 > 0, что (см. задачу 15.11) для любой счётной системы

360	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
bbjOlj^Lj попарно непересекающихся интервалов из [а,Ь] с
k=\
имеем
сю
к=\
Далее, существует открытое множество G D Е с /jl(G) < 5. Получаем
сю
G= U(abbfe).
Пусть /([afc,bfc]) = [сь4] = [/(^fc),/B/fc)] для всех i e N. Тогда со-
соответствующие интервалы {(min (#&, ^), тах^, y^))})^ попарно не
пересекаются и
В то же время
сю
ДД)С \J[ck,dk]-
к=\
Отсюда следует, что
сю	сю
/**(/(?)) < ? № - cfe) = ? 1/(^)
к=\	к=\
Так как г > 0 произвольно, то тем самым fi*(f(E)) =0. П
15.22. Пусть вначале /(ж) е С([а,Ь\) и обладает TV-свойством Лу-
Лузина на этом отрезке. Пусть Е С [а, 6] — измеримое относительно
классической меры Лебега /i множество. Тогда (см. задачу 7.65)
Е=[ \JFk UP,
\fc=i /
где все F^ замкнуты, и /i(P) = 0. В этом случае
f(E)=({Jf(Fk))uf(P).
\к=\	J
Так как f(x) непрерывна, то она переводит компакт в компакт (см. за-
задачу 4.14) т.е. множества f(Fk) замкнуты. Так как f(x) обладает
TV-свойством Лузина, то f(P) измеримо. Следовательно, множество
f(E) измеримо.

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	361
Пусть теперь функция f(x) G C([a,b\) такова, что для любого из-
измеримого Е С [а, Ь] множество f(E) также измеримо. Предположим,
что существует такое измеримое множество Eq с [а, Ь] с fi(Eo) = О,
что fi(f(Eo)) > 0. Из задачи 7.90 следует, что существует неизмеримое
множество В С f(Eo). Рассмотрим множество
Г1 (В) ПЕ0 = {хеЕ0: f(x) еВ} = АсЕ0.
Тогда А измеримо, но f(A) = В не измеримо. Мы пришли к противо-
противоречию. ?
15.23. Предположим, что утверждение неверно. Тогда существует
такое го > 0, что для любого натурального п существует система Sn =
= {di,n = (<4,nA,n)K=i ? П([а,Ь]) с B(Sn) < -g, для которой
п
T(f;Sn)>
s0.
Положим rriin= inf f(x) и M^n = sup f(x). Пусть
г=1
при п G N и
оо оо
г=\п=г
Тогда /jl(A) = 0, откуда в силу условия (N) следует, что /i(f(A)) = 0.
Пусть т = min f(x) и М = max /(ж). Рассмотрим функции
/ ч _ /1, если уравнение f(x) = у имеет корень на din,
ЬгЛУ) " \0 - иначе,
для n G N, г = 1, 2,..., гп и у G [m, M] и функции
г=1
Тогда
[рпB/)Ф = 5Z(^,n -mitn) > J] |/(Ьг,п) -/(<4n)| > ^0-
Заметим, что если д(у) — индикатриса Банаха функции f(x) (см. за-
задачу 8.52), то для любого п выполнено неравенство дп(у) ^ д(у)- По-
Положим D = {у е R: #(?/) = оо} и Z = {у е R: ^пB/) /* 0 ПРИ п "^ °°}-

362	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
Так как д(у) е L(R) (см. задачу 14.66), то fi(D) = 0. Пусть у е Z\D.
Тогда найдётся такая подпоследовательность {n^l^p что дПк(у) ^ 1
при к G N. Следовательно, для любого к существует такое Xk ? ЕПк,
что f(xk) = У- Поскольку у ^ D, то д(у) < оо, т. е. уравнение имеет
конечное число различных корней. Поэтому существует корень хо,
который принадлежит бесконечному числу множеств из последо-
последовательности {ЕПк}^=1. Тогда хо ? А, а у ? f(A). Следовательно,
fi(Z) < /i(f(A)) + fi(D) = 0. Мы доказали, что lim gn(y) = 0 для почти
всех у G [га, М]. Так как \дп(у)\ ^ ^(^) ^ 1/(М) при каждом у е R для
любого п, то по теореме Лебега получаем, что
lim \ gn(y) dp = 0.
Полученное противоречие доказывает, что / G АС([а,Ь\). П
15.24. Докажем вначале, что множество Е\ измеримо. Пусть
Е\,н = { х е (а, Ъ): х + ft e (а, Ъ) и
тогда
/г) -
771
= и n U
1 l
171=1 n=l
F(x + /г) -
непре-
Так как для всех ft ^ 0 функция Ф(ж, ft) =
рывна относительно х, то множества Е\^ открыты. Тогда множе-
множество Е\ — борелевское и, следовательно, измеримо. Заметим, что
для любого х е Е\ существует такая последовательность {hr(x)}^°={,
сходящаяся к 0, что Ф(х,Нг(х)) > Л, при всех г и всех х е Е\. Это
означает, что отрезки {[х - \hm(x)\,x + |Лт(ж)|]}^=1 хеЕх покрывают
Е\ в смысле Витали. В силу теоремы Витали (задача 7.106) суще-
существует такая конечная система попарно непересекающихся отрезков
st.in — пТ. _ \и | г. I \и \\\п что
г=1
Действительно, при цЕ\ = 0 утверждение очевидно, а в противном
случае согласно этой задаче можно выбрать отрезки так, чтобы
N ч	1
a\U70 <к/**(Да).
г=1 /	^

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
363
В силу измеримости здесь можно заменить внешнюю меру Лебега на
меру Лебега, а затем воспользоваться аддитивностью меры.
С другой стороны,
1
|
[а,Ь]
откуда следует утверждение задачи. ?
15.25. В силу результата задачи 13.50 существует такая последова-
последовательность {(pi(x)}
для г е N. Пусть
^{ непрерывных на [а, Ь] функций, что \\(pi — f\\{ < -j
г
Фг(х)=!(х)-^(Х) И Щх)= J \f{t)-^{t)\dfl
[a,x]
Пусть, к тому же,
В силу результата задачи 15.24 при каждом г получаем оценку
т ?
Далее, по неравенству Чебышёва
Обозначим
J_ j_ _ j_
J_ i4 i2
•2
Q=f]
k=\i=k
Для каждого к > 1 получаем
ОО
и (^ и в
г=к
Е 4
г=кг
Отсюда следует, что fi(Q) = 0. Пусть теперь Е = (а, Ь) \ Q и х е Е. То-
Тогда существует такое г = i(x), что х ^ Aj U Bj при j > г. Для заданного

364
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
г > О зафиксируем k > max (i, —= ] . Поскольку щ(х) G С([а,Ь\), то
найдётся такое 5 > О, что
(t) dfi(t) -
[x,x+h]
<
и так как Ф
задачи 15.12
есть неопределённый интеграл, то в силу результата
при 0 < \h\ < 5. Тогда для таких h получаем
№dVL-f(x)
[x,x+h]
№)-Mt))dn(t)
[x,x+h]
\f(x)-ipk(x)\
ipk(t) d\i - ifk(x)
[x,x+h]
1
/с2
откуда следует утверждение задачи. П
15.26. Из задачи 15.10 следует, что F(x) можно представить как
разность двух неубывающих абсолютно непрерывных функций на [а, Ь].
Поэтому достаточно доказать утверждение для неубывающей функции
F(t). Определим меру Стилтьеса тр([с, d)) = F(d) — F(c) на полуколь-
полукольце полуинтервалов {[с, d) С [а, Ь)} и рассмотрим её продолжение по
Лебегу и, определённое на сг-алгебре Mv. Пусть /i — классическая мера
Лебега, определённая на сг-алгебре ЯЛМ подмножеств [а, Ь). Тогда на
сг-алгебре SDT = Ш1М П дЯи определены две меры: /i и z/. Предположим,
что i? G ЯЛ и /i(^) = 0. Для заданного г > 0 найдём такое 5 > 0, что
(см. задачу 15.11) для любой счётной системы {(аь^)}^ попарно
непересекающихся интервалов из [а, Ь] с
выполнено неравенство
к=\
Заметим, что Е можно покрыть счётным набором полуинтервалов
г=1
г=1

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	365
Можно считать (см. задачу 7.4), что эти полуинтервалы попарно не
пересекаются. Так как F(x) неубывающая, то мы получаем, что
г=1	г=1
Таким образом, и(Е) = 0, т. е. мера v абсолютно непрерывна относи-
относительно меры /i. Тогда по теореме Радона-Никодима существует такая
функция f(x), интегрируемая по Лебегу на [а, Ь) по классической мере
Лебега /i, что
v(E) = f(t) d/ji для любого Е
Е
В частности,
u([a,x))=F(x)-F(a)= } f(t)dp= j /(«)d/z
[a,x)	[a,x]
при a < x ^b. Наконец, из задачи 15.25 следует, что F\x) = f(x) п.в.
на [a, b]. ?
15.27.	В силу результата задачи 15.26 для всех х G [a, b] выполнено
равенство f(x) = /(a). ?
15.28.	Заметим вначале, что для любого [c,d] С [а, Ъ] в силу ре-
результата задачи 14.50 выполняется оценка
J f'(t)d»^№-f(c).
[с4]
Предположим, что
| f(t)dii<f(co)-f(a)
для некоторого cq e [a, b]. При этом, в силу результата задачи 14.50,
J f'
[co,b]
и, складывая, мы получаем, что
[а,Ъ]

366	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
Полученное противоречие показывает, что
f(x) = f(a)+ \
[а,х]
для всех х е [а,Ь]. Следовательно (см. задачу 15.12), /(х) e
еАС([а,Ъ]). П
15.29. Заметим вначале, что в силу результатов задач 15.21 и 15.22
множество /(А) измеримо. Пусть v — мера, определённая в решении
задачи 15.26, заданная на сг-алгебре Mv. Заметим, что А = В U С,
где В — борелевское множество, a fi(C) = 0. Следовательно, В е Му,
и, как было показано в решении задачи 15.26, С G Му. Поэтому А е
G Mv и из определения меры v следует, что
п
15.30. Если f(x) e АС([а,Ь]), то согласно результату задачи 14.49
/л(А) = 0, а тогда (см. задачу 15.21) fi(/(A)) = 0. Пусть теперь /(х) e
е C([a,b]), f(x) — строго возрастающая функция на [а, Ь] и fi(f(A)) =
= 0. Определим множества Ап = {xG [а, Ъ]: f'(x) ^ п} для п G N.
Возьмём измеримое В С [а, Ъ] с ц(В) = 0. Обозначим Вп = В П Ап для
каждого п и Boo = В П А. Тогда
n=l
Так как /(Boo) ^ /(^4)> то МД^оо)) = 0. Но в силу результата за-
задачи 14.47 получаем, что /j,*(/(Bn)) ^ п/1*(Вп) = 0 при n G N. По-
Поэтому /i(/(B)) = 0. Теперь утверждение задачи следует из теоремы
Банаха-Зарецкого (см. задачу 15.23). ?
15.31.	Заметим, что если В = /(А), то В = {у е [с, d]: д'(у) = оо}
и д(Б) = А. Применяя задачу 15.30, получим нужное утверждение. ?
15.32.	Пусть Е = {х е [а,Ъ]: д'(х) < 0}. Тогда /i(E) = 0. Найдём
такую функцию ф(х) (см. задачу 14.53), что она не убывает на [а,Ь]
и ф'(х) = оо для всех х G Е. Теперь для произвольного е > 0 рас-
рассмотрим функцию h(x) = h?(x) = д(х) +еф(х). Ясно, что К'(х) > О
при всех х G [а, Ь]. Предположим, что существуют такие а ^ с < d ^ Ь,
что h(c) > h(d). Найдём такое ^ > 0, что h(c) > h(d) + 7(^ ~ с)»
и рассмотрим функцию у(х) = /г(ж) + jx на [а, Ь]. Тогда у'(х) > 7 Для
каждого х G [а, 6] и ?/(с) > 2/(d). Поэтому можно построить такую по-

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	367
следовательность вложенных отрезков {[cn,dn]}<^=l, что у(сп) > y(dn)
и dn — сп = п при п е N. Если
{хо} = П Icn^n],
п=\
то у(хо) — у{сп) < 0 или y(dn) — у(хо) < 0 для каждого п. Следователь-
Следовательно, у'(хо) ^ 0, и мы пришли к противоречию. Это означает, что h(x) —
неубывающая функция на [а, Ь]. Так как г > 0 произвольно, то д(х) —
также неубывающая функция на [а, Ь]. ?
15.33. Для каждого п G N определим функцию
Пх)' если Пх) ^п'
п	— иначе.
Ясно, что \hn(x)\ < \f'(x)\ для всех х е [а,Ь], поэтому hn(x) G L((a,b)).
Пусть
9п(х) = f(x) - J hn(t)dfji
[а,х]
для всех п. Тогда (см. задачу 15.25) п.в. на [а,Ь] существует д'п(х) =
= f'(x) — hn(x) ^ 0. С другой стороны, так как hn(x) ^ п на [а, Ь], то
для всех х е [а,Ь]. Применяя задачу 15.32, получаем, что дп(х)
неубывающая функция на [а, Ь], поэтому
для любого х G [а, Ь]. Это неравенство выполнено при всех п, поэтому
в силу теоремы Лебега (задача 10.37) с мажорантой |/'| получаем, что
[а,х]
для всех х ? [а,Ь]. Рассматривая функцию —/(ж) вместо /(ж), получа-
получаем, что

368	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
для всех х G [а,Ь]. Поэтому
f(x) = f(a)+ \ f'
[а,х]
всюду на [а,Ь]. В силу результата задачи 15.12 получаем, что f(x) G
еАС([а,Ъ]). П
15.34.	В качестве примера можно взять функцию Кантора (см. за-
задачу 4.19 и решение задачи 15.8). ?
15.35.	Пусть
J?2cos^-, если х G @, 1],
J\x) = <	х
[О,	если х = 0.
12 1
Ясно, что /'(О) = 0 и f'(x) = 2xcos^-	sin —г при х е (О, 1], по-
х х х
этому конечная производная f'(x) существует всюду на [0, 1]. При
этом 2xcos— — ограниченная измеримая функция на @, 1], поэтому
х
она интегрируема по Лебегу. В то же время (см. задачу 11.10 (в))
- sin \ <? L(@, 1)). Поэтому f(x) <? L(@, 1)). П
х х
15.36.	Пусть
Fn = {х е [а, Ъ]: \f(x) - f(y)\ < п\х - у\ для всех у е [а, Ъ}}
при п G N. Так как /х(ж) всюду конечна, то
[a, b}= U Fn.
п=\
Так как f(x) e С([а,Ь\) как всюду дифференцируемая функция, то
каждое множество Fn замкнуто. При этом точки а и Ъ лежат в Fn для
п ^ по- Как следствие,
сю
[a,b] \Fn = у (cnk,dnk)
к=\
при п > по- Теперь для п > щ определим функцию дп\ дп(х) = f(x)
при х е Fn, gn(x) продолжена по линейности на отрезки [cnk,dnk] для
к G N. Ясно, что \дп(х) — дп(у)\ ^ п\х — у\ ПРИ всех х, у G [а, Ь]. В силу
результата задачи 15.13 функция дп(х) принадлежит АС([а,Ь]). Пусть

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	369
А С [а, Ъ] — измеримое множество и /л(А) = 0. Обозначим Ап = А Г) Fn
при п ^ щ. Тогда
оо	оо
f(A) = U f(An) С у дп{Ап).
Так как /i(An) = 0 при п ^ щ и дп(х) ? АС([а,Ь\), то мы получаем,
что fjL(gn(An)) = 0 при п > п0. Поэтому /х(/(А)) =0. ?
15.37. Если f(x) ? Lip(l; [a,b]), то f(x) ? AC([a,b]), откуда следу-
следует (см. задачу 15.26), что
f(x) = /(а) + /'(?) d/ji для всех х ? [а, Ь].
[а,х]
Заметим также, что поскольку \f(x) — f(y)\ < C\x — у\ при всех х,у е
? [а,Ь], то \f'(x)\ ^Св каждой точке, где производная существует.
Поэтому \f'(x)\ ^ С п.в. на [а, Ь]. Предположим теперь, что
(х) = С+ J g(t)dfi
на [а, Ь], где g(t) — измеримая функция и \д(х)\ < С на [а, Ь]. Тогда для
любых а ^ х < у ^ b получаем
g(t) dji
<С\х-у\.
U
15.38. Достаточно доказать утверждение для неубывающих функ-
функций f(x). Заметим (см. задачу 14.1), что существует С > 0, для
которого \f(x)\ ^C на [а, Ь]. Тогда для любого h получаем
= J f(t)dfi- J /(*)ф= J f(t)dn- J f(t)dn^2Ch.
[a+h,b]	[a,b-h]	[b-h,b]	[a,a+h]
Отсюда следует, что
Ц/;<5),= sup f \f(x + h)-f(x)\dn =
при 5 -^ 0+. ?

370
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
15.39. Предположим, что oo(f)t)x ^ Kt при t > 0. Зафиксируем
некоторое 5 > 0 и рассмотрим функции
fn(x)=n
(О
при х G [a, b — 5] и п > -. Поскольку
/н(ж)=П f f(t)dn(t)-n
то в силу результата задачи 15.12 функции /п абсолютно непрерывны
на [a, b — 5]. Для указанных п при 0 < ? < 5 получаем
J \fn(x + t)-fn(x)\dtl(x) =
[а,Ъ-25]
= П
[а,Ь-25]
= n
L\ [a,b-25]
(o 1)
f f
Так как /n(#) G AC([a, b — 5]) для n > -, то по теореме Фату (см. за-
задачу 10.35)
[a,b-25]
[a,b-25]
Как следствие, для любого разбиения Т = {а = хо < х\ < х^ < ...
... < хш = b — 25} отрезка [a, b — 25] с А(Т) < 5 при п > - получаем

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	371
J2 \fn(Xr) ~ fn(xr-l)\ = J2
r=\	r=\
\
(xr-i,xr)
m f	f
< z2 \ 1/п(*IФ= J
r=l[xr-uxr]	[a,b-25]
Заметим, что fn(x) -^ f(x) при п -^ оо п.в. на [а, 6 — 5]. Обозначим
соответствующее множество через Е. Тогда /i([a, b — 25] \ Е) = 0, и для
любой системы непересекающихся интервалов {(а/,6/)}^=1 с концами
из Е выполнена оценка
Е \№) - /(a()K if-
Пусть теперь ж G [a, b — 25) \ Е. Если предположить, что не существует
то мы придём к противоречию с предыдущим неравенством. Аналогич-
Аналогично, если xG (a,b — 25] \ Е, то существует
lim fit).
Тогда можно определить функцию д(х): д(х) = f(x) на Е и д(х) =
= lira f(t) для xG [a, b — 35] \ E. Ясно, что д(х) эквивалентна
tx+QteE
f(x) на [a, b-35] и V^~36(g) ^ К. Но К - фиксированное, а 5 > 0 -
произвольно. П
15.40. В силу результата задачи 15.3 функция F(x)G(x) абсолютно
непрерывна на [а,Ь]. Тогда, применяя задачу 15.26, получаем
F(b)G(b) - F{a)G{a) = [ (FG)\x
[а,Ъ]
Наконец, заметим, что
(F(x)G(x))' = F(x)G'(x)+Ff(x)G(x
п.в. на [a, b]. ?
15.41. Обозначим
F(x)= \ f(t)dfieAC([a,b]).

372	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
Тогда в силу результата задачи 15.18 функция Н(у) = F(G(y)) аб-
абсолютно непрерывна на [с, d]. Применяя задачу 15.26, получим, что
H'(y)eL([c,d\)*
= F(b) - F(a) = H(d) - H(c) = J H\y)dli.
[a,b]	[c,d]
Пусть A — множество точек x e [a,b], где F\x) не существует
или F'{x) ф f(x). Поскольку G~\x) e AC([a,b\) и ц(А) = 0, то
H(G-\A)) =0. Поэтому
Н'(у) = F'{G(y))G\y) = f(G(y))G'(y)
при почти всех у G [с, d], откуда следует утверждение задачи. ?
15.42. Пусть S — полукольцо всех промежутков из отрезка [а,Ь]
иЕ= [а', V] = [G(a), G(C)} e S. Тогда
J XE(x)dn = n(E) = G(P)-G(a)= J G'(y)dn =
[а,Ъ]	К/3]
= J XE(G(y))G'(y)dn
[с4]
и аналогичные неравенства выполнены для интервалов и полуинтер-
полуинтервалов, откуда следует, что для функций вида Хе(х), где Е е S,
утверждение задачи верно. Так как интеграл Лебега линеен, то
утверждение выполнено и для характеристических функций множеств
Е е R(S). Пусть дана последовательность измеримых подмножеств
отрезка [а, Ь\: Е\ С Е^ С ...,
г=\
и для функций XEi{x), где г G N, утверждение задачи справедливо.
Тогда, так как XEi(G)(y)G/(y) | XE(G(y))G/(y) при г -^ оо п.в. на [с, d],
то функция XE{G{y))G'{y) измерима и по теореме Б. Леви (см. зада-
задачу 10.32) равенство
J XE(x)d» = rtE)= J XE(G(y))G'(y)d»	(i)
[а,Ь]	[c,d]
выполнено для Хе(х). Аналогично, если
сю
E=f]Eu
г=\

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	373
где Ei — такие измеримые подмножества [а, Ь], что Е\ ^ Е% 2 • ••,
и утверждение задачи выполнено для каждой хег{%), то оно верно
и для функции Хе(х). Если Е С [а, Ь] — измеримо по Лебегу, то (см. за-
задачу 7.45)
Е= П U^
Vi=ij=i
где Eij G R(S), для каждого г ?^д ^ -^,2 ^ •••! если
сю
^ = U Ей
то ^i 2^2 2 ••• и М^о) = 0- Можно считать, что ?^о С F(E). Ес-
Если ?^ измеримо, то, как мы показали, утверждение задачи верно для
характеристической функции F(E). Предположим, что измеримое Е
удовлетворяет условию fi(E) = 0. Тогда fi(F(E)) = 0. При каждом у
функция XF(E)(G(y))Gf(y) неотрицательна и
J
[Cd]
поэтому XF(E){G(y))G'(y) = 0 для почти всех у G [с, d]. Но тогда
XE{G{y))G'{y) = 0 для почти всех у G [с, d] и, поскольку классическая
мера Лебега полна, то эта функция измерима на [с, d] и выполнено
равенство (i). Поэтому для любого измеримого Е С [а,Ь] утверждение
верно для функций Xf(e)(%) и Хео(х), а значит,
се	г
J XE(x)dfi= J XF{E)(x)dfi= J XF{E)(G(y))G\y)dfi =
[а,Ь]	[а,Ь]	[c,d]
= J XF(E){G{y))G\y)dli+ \ XEQ{G{y))G\y)dli =
[cd]	[cd]
= J XE(G(y))G'(y)dn.
[cd]
Это означает, что утверждение верно для характеристической функ-
функции произвольного измеримого множества Е С [а, Ъ]. Тогда в силу
линейности интеграла Лебега оно верно для любой простой функции.
Пусть f(x) — неотрицательная измеримая функция на [а,Ь]. Тогда
(см. задачу 9.29) можно построить последовательность простых неот-
неотрицательных функций fn(x) | f(x) при п —> оо на [а,Ь]. Заметим, что
fn(G(y))Gf(y) T f(G(y))Gf(y) при п -> оо п.в. на [c,d]. Поэтому функ-

374	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
ция f(G(y))Gf(y) измерима, и по теореме Б. Леви (см. задачу 10.32)
получаем
I f(x)dfi= lim I fn(x)dfji =
[a,b]	[a,b]
= \ш^ J fn(G(y))G'(y)d»= J f(G(y))G'(y)d».
П^°° [c,d]	[c,d]
Наконец, произвольную функцию f(x) G L([a,b\) можно представить
как разность двух неотрицательных функций из L([a,b]), для каждой
из которых утверждение уже доказано. ?
15.43. Достаточно рассмотреть случай Е С [а,Ь]. Положим
F(x) = XE(t)dfi для xe[a,b].
Тогда в силу результата задачи 15.26 п.в. на [а, Ь] выполнено равен-
равенство F'(x) = Хе(х). Как следствие, F\x) = 1 для почти всех х е Е.
Но в каждой точке х, где F'(x) = 1, получим
х = Ит F(x + h)-F(x-h) = Um »([x-h,x + h]nE)
h^+0	2h	h^+0	2h
П
15.44. Пусть для краткости хо = 0. Возьмём г > 0 и найдём такое
h = h? > 0, что если 0 < t < h, то
fi([-t,t}nE) _e_
2t	2'
Отсюда следует, что /i([0, t] П Е) > /i([—t, t] П Е) - t > t - et, и, следо-
следовательно,
ПЯ) !	/x([-t,O]nE) -
> I - г и, аналогично, ^-^—^	^ > 1 - e.
> I г и, аналогично,
Если fcg таково, что bk — аи < h при /с ^ ко, то при таких /с получим:
/x([O,bfc] П Е) ^ A - ?Nfc и /i([ab0] П Е) ^ -A - 6:)afc. Тогда /xGfc П
n^)>(^-afc)(l-?). D
15.45. Пусть г — рациональное число. Тогда \f(x) — r\ G L((a,b)).
Поэтому п.в. на (а, 6) существует (см. задачу 15.25)
lim f \f{u)-r\dn{u) =

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
375
Пусть Е(г) — множество, где предыдущее равенство нарушено, и пусть
Е= U Е(гп),
п=\
то /jl(E) = 0. Пусть теперь t ? [а, Ъ] \ Е и выбрано г > 0. Найдём
такое п, что \f(t) — гп\ < -. По неравенству треугольника
о
\\f(u)-rn\-\f(u)-f(t)\\<?-
для всех конечных f(u), поэтому для достаточно малых h ^ 0 получаем
[t,t+h]
i J
[t,t+h]
<!¦
Так как t ф Е, то существует такое 5 > 0, что при 0 <\h\ < 5 выполнено
неравенство
h
[t,t+h]
откуда следует, что
h
\f(u)-rn\d»(u)-\№-rn\
<§¦
< e.
?
15.46. Утверждение задачи непосредственно вытекает из нера-
неравенства
F(t + h) - F(t)
h
-№
(f(u)-f(t))d»(u)
[t,t+h]
?
15.47. Мы построим функцию f(x) на @, 1), а затем продолжим
её на (—1, 1) до чётной функции. Пусть Е(п) = (	-, -) при п е N и
п=1
п=1
2п

376
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
Так как множество /(@, 1)) счётно и ц(Е(п)) =
чу 10.30)
2га - 1
1
\f(u)\d» =
(ОД)
га(га + 1)
2га+1
^ \2гаBга-1)\/2га
, то (см. зада-
< оо.
Если х G (О, 1], то мы найдём такое натуральное п, что
1
/ ~т~ 1
< х
2га- 1
. Ясно, что
|
[О.ж]
lyn ail =
4га - 1
Поэтому
F{x) - F@)
4угаBга+ 1) _ 4уга
4raz- I
2га- 1
при п —> оо, т.е. при х —> 0+. Таким образом, существует Fx@) = 0.
В то же время если п е N и х е (^	-, -z	 , то
|
[0,х]
откуда следует, что
[о,*]
00
при х -^ 0_|_. П
15.48. Пусть г > 0. Найдём такое 5 > 0, что |/(? + ft) - f(t)\ <
при |ft| < 5. Тогда
J_
/г
если 0 < |ft| < 5. П
15.49. Пусть вначале функция f(x) неотрицательна на (а, Ь). За-
Заметим, что для любых чисел 0 ^ а ^ Ъ < оо выполнено неравен-

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	377
ство Ьр — аР ^ (Ь — а)р (это следует, например, из того, что функция
g(t) = ptp~l возрастает на [0,+оо)). Как следствие (см. задачу 15.45),
1
h
(t,t+h)	(t,t+h)
при h —> О для почти всех t G (а, Ь). В общем случае пусть f(x) =
= f+(x) - f-(x), где f+(x) = тах(/(ж),0). Тогда /+(ж), /_(ж) G
G Lp((a,b)). При этом
\f(u) - f(t)\p < 2p(\f+(u) - U(t)\p + |/_(гх) - /_(?)Г)
для всех t,uG (a,b). Следовательно, утверждение задачи справедливо
и в этом случае. ?
15.50. Пусть а = f(t - 0) и /3 = f(t + 0). Если /(?) ^ /3, то для
достаточно малых h > 0 получим
'>-к
>a
Аналогично, если /(t) 7^ се, то для достаточно малых по модулю h < 0
получим
Но при а т^ /3 хотя бы один из этих случаев имеет место. ?
15.51. Поскольку для любых а, /3 G R и для всех 5 G @, 1) функция
/(ж) принадлежит Lip(l; [5, 1]), и тем более абсолютно непрерывна
(см. задачу 15.13), то для любых а, C G R функция /(ж) обладает
TV-свойством Лузина на [0, 1] (см. задачу 15.21). Нетрудно видеть, что
С другой стороны (см. задачи 14.34, 14.35),
\а + /3>0, если /3^0,
/(ж) G F([0, 1]) „ ,	д л	д л
JK J u Jy	\a + /3 >0, если /3 < 0.
Теперь из теоремы Банаха-Зарецкого (см. задачу 15.23) следует, что
f(x) G AC([a, b}) тогда и только тогда, когда а + /3 > 0. ?

378
Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
15.52. В силу результата задачи 15.26
f(x)=f(a)+ | f'{t)dn
(а,х)
при х е [а,Ь]. Отсюда следует, что для любого разбиения Т = {а =
= xq < х\ < Х2 < ... < хп = Ь} выполнено неравенство
vT(f) =
к=\
(Xk-l,Xk)
|
(а,Ь)
поэтому
Jlf(
(a,b)
Возьмём произвольное г > 0. Тогда (см. задачу 10.67) существует такое
5 > 0, что если А с (а, Ь) — измеримое множество и fi(A) < 5, то
J \f(t)\d/i < |. Пусть Е+ = {х е (а, Ь): f(x) ^ 0} и ?_ = (а, 6) \ Я+.
Тогда существует такое множество
B=\](ai,bi),
ЧТО
ц(В Л ?¦+) = /х(((а, Ъ)\В)А Е_) < 5.
Можно считать, что а\ < Ъ\ < а^ < ... < Ъг. Возьмём разбиение ТA) =
= {а < а\ <Ъ\ < CL2 < ... < br < Ь}, где формально bo = а и ar+i = b.
Тогда
г
) ~fe
{ л
1 Т ( ~t) П 11
1 J \ ) ^М7
t) d/i
>
I'
, v
J /'
АВ
f'(t)dn
Так как г > 0 произвольно, то
} !/'(*)! Ф.
откуда следует утверждение задачи. П

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	379
15.53.	Пусть
g(x)=f(a)+
для х ? [а,Ь]. Ясно, что д(а) = /(а) и (см. задачу 15.12) функция
д(х) абсолютно непрерывна на [а,Ь]. Обозначим h(x) = f(x) — д(х) ?
? С ([а, Ь]) П V([a, b]). Так как в силу результата задачи 15.25 равенство
Ь!(х) = f'(x) — д'{х) = 0 выполнено п.в. на [а,Ь], то мы доказали
существование искомого представления.
Предположим, что д\(х) + h\(x) = д2(х) + Ji2(x), где д\(х) и д^{х) из
АС([а,Ь]), функции h\(x) и Ii2(x) сингулярные на [а,Ь] и д\(а) = #2(а)-
Тогда д[(х) — д'2(х) = 0 п.в. на [а, Ь], откуда следует (см. задачу 15.27),
что д\ (х) — #2(х) = С на [а, 6]. Но так как д\ (а) = ^2(а)> то тогда ^i (ж) =
= д2(х) на [а, Ь], а тогда и /ii(x) = h,2(x) на [а, Ь]. ?
15.54.	Так как (см. задачу 15.53) представление f(x) = д(х) +
+ /г(ж), где ^(ж) ? AC([a,b]), h(x) — сингулярная функция на [а, Ъ] или
h(x) = 0 на [а, Ъ] и /(а) = д(а), единственно, то в нашем случае
9(х)=С+ J f'(t)dn
(а,х)
при х ? [а,Ь]. Так как f'(x) > 0 п.в. на (а,Ь), то д(х) — неубывающая
функция на [а,Ь]. При этом для а ^ х < у ^ Ъ в силу результата
задачи 14.50 получим, что
д(у)-д(х)=
(а,х)
откуда следует, что h(y) — h(x) ^ 0. П
15.55.	Как было доказано в решении задачи 14.69, функция f(x)
порождает сг-аддитивную функцию множества v (is([а, х]) = f(x) — f(a)
для всех х ? [а, Ь]), определённую на некоторой сг-алгебре М, содер-
содержащей все борелевские подмножества [а, Ь]. Пусть v = z/+ ~ v- ~
её разложение Жордана (см. задачу 13.77). Определим функции
f\(x) = z/+([a, ж]) и /2(ж) = z/_([a, ж]) для ж G [a, b]. Ясно, что /i(x)
и /2 (ж) — неотрицательные неубывающие функции на [a, b]. Согласно
результату задачи 13.77, существует разложение Хана [a, b]= E+U Е_,
где Е+ — положительно относительно z/, а Е_ — отрицательно отно-
относительно z/, ^+(^4) = ^(^4 П Е+) и г/_ (А) = z/(A П Е_) для всех AgM.
В решении задачи 14.69 было доказано, что V^(f) = V^(f\) + ^(/2).
Предположим, например, что f\(x) — несингулярная функция на [а,Ь].
Тогда (см. задачи 15.53 и 15.54) f%(x) = д%{х) + hi(x) для г = 1,2,
где gi(x) ? АС([а,Ь]), Ы(х) — сингулярные функции на [a, b], gi{x)

380	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
и hi(x) — неубывающие функции на [а, Ь], и дДа) = fi(a) для i= 1,2,
причём д\(х) ф С на [а,Ь]. Положим д(х) = д\(х) — д2(х). Заметим, что
на борелевской сг-алгебре выполнено равенство z/+ = z/+(l) + z/+B), где
z/+(l) — мера, порождённая д\(х), а г/+B) — мера, порождённая /ii(#).
Согласно задаче 15.29 получаем, что
0 =
Так как #{(?) ^ 0 п.в. на [а, Ь], то g[(t) = 0 п.в. на Е_. Совершенно
аналогично, g^if) — 0 п.в. на Е+. Так как f(x) = (#i(#) — gzix)) +
+ (fti(a;) - /12(ж)), то 0 = /x(t) = g[(t) - gf2(t) п.в. на Е+. Поэтому
g'(t) = 0 п.в. на [а, Ь], а тогда g[(t) = 0 п.в. на [а, Ь], откуда следует, что
д\(х) = С на [а, Ь]. Полученное противоречие доказывает сингулярность
функций /i и /2. ?
15.56.	Из задачи 15.55 следует, что f(x) = д\(х) — д2(х), где ^i(x)
и д2(%) — неотрицательные неубывающие сингулярные функции на
[а, Ь]. Пусть (см. задачу 14.60) ф(х) — строго возрастающая сингу-
сингулярная функция на [а, Ь]. Тогда fi(x) = gi(x) + ф(х) для г = 1,2 —
подходящие функции. ?
15.57.	Заметим, что если f(x) = f\(x) — /2 (ж) на [я, Ь], гДе все
три функции из V([a,b\) и Уа6(/) = V*(fi) + ^а6(/2), то для любого
[с, d] С [а, Ъ] выполнено равенство V^(f) = V^(f\) + ^/(/2). Отсюда
и из задачи 15.55 следует, что достаточно доказать утверждение для
неубывающих функций f(x). Пусть А = [a, b] \{x e [a,b]: f'(x) = 0}.
Тогда fi(A) = 0. Следовательно, для данного ^ > 0 существует такое
открытое множество
G=
что А С G. Для произвольного ? > 0 рассмотрим функцию д(х) =
= ^е(ж) = f(x) + гж. Это строго возрастающая функция на [а, Ь]. Имеем
V^f) = № - /(а) = д(Ъ) - д(а) - е(Ъ - а) =
ОО
= Е (9(h) - д(ак)) + ц(д([а, Ь] \ G)) - е{Ь - а).
к=\
Из задачи 14.47 следует, что ц(д([а, Ъ] \ G)) < e/i([a, Ъ] \ G). При этом
д(Ьк) - 9(ак) = №) - f(ak) + Фк - ак) = V% (/) + е(Ьк - ак)

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	381
для всех к. Следовательно,
К6(/КЕК6Л/)-
Обратное неравенство очевидно. ?
15.58. Предположим вначале, что f(x) — неубывающая функция
на [а, Ъ]. Тогда (см. задачу 15.54) д(х) и h(x) — также неубывающие
функции на [а, Ь]. Заметим, что д'(х) = f\x) ^ 0 п.в. на [а, Ъ] и (см. за-
задачу 15.52)
и	Г	Г
К(д)= \ gf(x)dfi= J f(x)dfi.
(a,b)	(a,b)
Для заданного г > 0 выберем такое 5 > 0, что если измеримое мно-
множество А содержится в [а,Ь] и /jl(A) < 5, то g/(x)diJJ < -. Затем
J	5
А
(см. задачу 15.57) найдём такое открытое множество
оо
G = \_\ (ак, Ък) С [а, Ъ] с /i(G) < 5,
к=\
что
к=\
Затем зафиксируем такое К, что
оо
Е Vak(h)<l'
к=К+\
Построим теперь разбиение Т отрезка [а, Ь]. Пусть Т содержит все
точки {dk,bk}k=l и точки а и Ь. Можно считать, что а ^ а\ < Ь\ ^
^ п2 < ... <Ьк ^Ь. Затем добавим к Т такие точки {%,/}, где
а — 2/о,о < 2/од < ... < 2/о,т(о) — аь
2/^,1 <•••< Ук,т{к) =
что

382	Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции
для i = 0,1,2,... ,К, где bo = а и a^+i = b. Тогда мы получим, что
К	К т{г)
vT(f) = Е №) - /Ы1 + Е Е 1/(ш) - Яш-01 >
/с=1	г=0 / = 1
> $3 IW - h(ak)\ - ? \9(bk) - 9(ak)\ +
k=\	k=\
К m(i)	К
+ E E \9(vi.i)-9(vu-i)\-Y,K+i(h)>
г=0 / = 1	г=0
E n!t+1 Ы - f - E K+l (Л) >
(^	г=0	г=0
> K"(M - у + Vo6(fl) - j g'(x) dix > Vab(g) + V?(h) - e.
G
Так как г > 0 произвольно, то мы получаем, что V?(f) ^ Уа{о) + KfCO-
Но поскольку обратное неравенство очевидно, то тем самым в случае
неубывающей функции f(x) утверждение доказано. В общем случае
(см. задачу 14.69) существует представление f(x) = f\(x) — /2(ж), где
f\(x) и /2 (х) — неотрицательные неубывающие непрерывные функции
на [а,Ъ] и V*(f) = V*(fi) + V2(f2). Заметим, что (см. задачу 15.53)
fi(x) = gi(x) + hi(x), где gi(x) e AC([a,b}), а hi(x) — сингулярные
функции на [а,Ь] либо h(x) = 0 на [а,Ь] при г = 1,2. Согласно преды-
предыдущим рассуждениям, V^(fi) = V^(^) + K?(^i) Для * — 1>2. Поэтому
Vab(f) = V?(9l) + V*(g2) + Vba{hx) + Vab(h2).
Из задачи 15.53 также следует, что д(х) = д\(х) — д^{х) + С и /г(ж) =
= /м(ж) — /i2(^) — С на [а, Ь], где С — некоторая постоянная. Отсюда
вытекает, что Vb(g) < KbEi) + Vb{g2) и что Уаь(Д) < Vb(h{) + Va\h2).
Следовательно, V?(f) ^ Va(g) + Vj(h). Обратное неравенство очевид-
очевидно. ?
15.59. Пусть f(x) = s(x) -\- g(x) + /г(ж), где s(x) — функция скач-
скачков, д(х) G AC([a, Ь]) и /г(ж) — сингулярная функция на [а,Ь] или нуль.
Тогда (см. задачи 15.58 и 14.67)
Vb(f - /„) = V?(s) + V?(/0 + Vb(fn - g).
Отсюда следует, что V?(s) = V^(h) = 0, что эквивалентно утверждению
задачи. ?

Гл. 15. Абсолютно непрерывные функции	383
15.60.	Доказательство аналогично решению задачи 15.59. ?
15.61.	Пусть задано е > 0. Найдём такое 5 > 0, что для любой
системы S ? fl([a;b\) с O(S) < 5 выполнено неравенство T(f;S) < г.
Рассмотрим конечную систему S = {(&г,^)}^=1 G О([а;Ь]) с O(S) < 5.
Пусть g(bi) < g(cii) для некоторого г. Рассмотрим множество Ai = {х G
G [а, Ь]: ^(^) < /(ж) < #(аг)}. Так как функция / непрерывна, то Ai
открыто, поэтому
сю	сю
Аг = U faj, ditj),	где J2 (dij - с^з) =bi-ai.
Заметим, что для любого j значения f(cij) и f(dij) совпадает либо
с g(bi), либо с gioLi). Докажем, что существует j = j(i), для которого
\f(ci,j) — f(di,j)\ = \9(h) — g(&i)\- Предположим, что это не так. Тогда
положим
T2 = {j:f(ci,j)=f(diJ)=g(ai)}.
По предположению Fi U Г2 = N и оба множества не пусты (иначе
f(x) > g(bi) либо f(x) < gifli) для всех х G [а, Ь], что невозмож-
невозможно). Предположим для определённости, что 1 G Fi и 2 G Г2, и что
Q,i < dif\ < Cif2 < dif2- Обозначим t = d^\ и s = q?2- Пусть
7 = inf{Q?j G [t,5]: j GF2}.
Тогда /G) = g(ai) по определению множества Т^. Пусть
{dij e [t,7]: j e Fi}.
Ясно, что /(у?) = ^f(bi) по определению множества Гь поэтому ра-
равенство 7 = (p невозможно. Следовательно, (р < j, f((p) = g(bi),
/G) = 9(o>i), и если х е (ip,i), то /(ж) ф (g(bi),g(ai)). Так как
/(ж) G C([a, Ь]), то это невозможно, и мы пришли к противоречию.
Следовательно, существует такое j(i), что |/(с^(г)) — /(^,j(^))l =
= |^(Ьг) — ^(^гI- Заметим, что система 5i = {(Q,j(i), ^,j(i))}^=1 состоит
из непересекающихся интервалов и 0E1) < 5. Поэтому T(g;S) =
,)<e. D

Глава 16
ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТИЛТЬЕСА
В этой главе мы будем рассматривать конечные вещественнознач-
ные функции на отрезке [а, Ь] С R. Напомним, что разбиение Т = {а =
= хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} отрезка [а, Ь] с точками ?& ? [xk-\, %к]
для к = 1,2,... , п называется разбиением с отмеченными точками. Как
обычно, А(Т) = max \хк — Хк-\\-
Пусть на отрезке [а,Ь] даны две функции f(x) и ip(x). Для каждого
разбиения Т = {а = хо < х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} отрезка [а, Ь] с отме-
отмеченными точками определим интегральную сумму Римана-Стилтьеса:
к=\
Если существует конечный lim St(/] ф), то мы скажем, что функция
А(ТH
f(x) интегрируема по Риману-Стилтьесу на [а, Ъ] по <р(х) (f(x) G
G 7^^([а, Ь])). В этом случае мы будем использовать обозначение
lim
Если ip(x) — неубывающая функция на [a, b], a f(x) — конечная
функция на [а, Ь], то мы будем использовать следующие обозначения.
Для любого разбиения Т = {а = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} отрезка
[а, Ь] определим значения
так = inf f(x) и Мк = sup f(x)
хе[хк-{,хк]	хе[хк-{,хк]
при к = 1,2,..., п. В случае, когда либо все rrik и Мк конечны (т.е.
f(x) ограничена на [а, Ь]), либо некоторые из тпк или М& бесконечны,
но (р(хк-\) = ^(^/с) Для этих к), положим
п
§тA'> Ф) = Е тк(фк) ~ фк-\))
к=\

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	385
ST(f; Ф) = Y, Мк(фк) - фк-\)),
к=\
считая, что оо • 0 = 0. В противном случае ST(f; ф) и Sr(f] ф) не опре-
определены.
ЗАДАЧИ
16.1. Пусть f(x) е7^([а,Ь]), д(х) е7^([а,Ь]) и а, C е R. Доказать,
что af(x)+/3g(x) e П^а.Ъ]) и
ъ
/Зд(х)) dip(x) = a J f(x) dip{x) + C
16.2. Пусть /(ж) е 7^([а,Ь]), /(ж) G ?г^([а,6]) и а,/? е R. Дока-
Доказать, что f(x) e Па(р+р>ф([а, Ь}) и что
ъ	ъ
г	се
f (т) г1(гу(п(т) -\- f~tih( т м — см f (т) г1(п(т) -\- Я flT) г/ч/нт)
J \^l Lv\LXys\tAjJ | f^J (у\*Aj J J 	 LX J \tXj J Uj^s \*L> 1 \ ^J J \<Aj J LL (y\*Aj J .
a	a	a
16.3. Пусть f(x) e 7?<p([a, b]). Доказать, что (p(x) e 1Zf([a,b\) и что
ь	ь
Г	Г
f(x) d(p(x) = f(b)(p(b) — f(a)(p(a) — (f(x) df(x).
J	J
16.4. Пусть (р(х) — неубывающая функция на [a, b]. Доказать, что
конечная функция f(x) принадлежит 7?<Д[а, Ь]) тогда и только тогда,
когда существует такое 5 > 0, что для любого разбиения Т отрезка
[а, Ъ] с А(Т) < 5 существуют ST(f;(p) и Бт^\ф), и
u= lira (ST(f;<p)-ST(f;<p))=O.
16.5. Пусть /(ж) G С([а,Ь]) и у?(ж) G ^([а,Ь]). Доказать, что /(ж) е
16.6. Пусть у?(ж) е V([a,b\), f(x) е П^([а,Ъ}) и \f(x)\ < С при х е
G [а, Ь]. Доказать, что
a
13 П. Л. Ульянов и др.

386	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.7. Пусть if\(x) и (f2(%) — неубывающие функции на [а,Ь]
и f(x) e 7^1+(^2([а,6]). Доказать, что f(x) e К^ ([а, Ь}) и f(x) e
16.8. Пусть (f{x) — неубывающая функция на [а, Ь],
f(x) G T^(p([a,b]) и f(x) ^ 0 на [а,Ь]. Доказать, что
и
16.9. Пусть (р(х) — неубывающая функция на [a, b], f(x),g(x) G
G 11<р([а,Ь]) и f(x) > д(х) на [а, Ь]. Доказать, что
f(x)d(p(x) ^ \g(x)d(p(x).
16.10. Пусть {/n(#)K?Li — последовательность непрерывных на
[а, Ъ] функций, f(x) е С([а,Ь]), <р(х) е V([a,b\) и fn(x) -^ f(x) при
п —> оо равномерно на [а, Ь]. Доказать, что
6	6
lim \fn(x)d<p(x)= \f(x)d<p(x).
16.11. Пусть {iPn{x)}(^=\ — последовательность функций из
V{[a,b]) и ф) 6 V([a,b\), f(x) 6 C([a,b]) и ^n-rf ^ 0 при
п -^ оо. Доказать, что
6	б
lim [/(ж)^п(ж) = \f(x)d(p(x).
J
16.12. Пусть функция f(x) ограничена на [a, b], cq = Ц/Ц^ (см. за-
задачу 13.5), (p(x) G V([a, Ь]) и /(ж) G 7^^([a, Ь]). Доказать, что
16.13.	Пусть D(x) — функция Дирихле на [О, 1] (см. решение
задачи 4.24) и (р(х) ф С на [О, 1]. Доказать, что D(x) ? ?г^([0, 1]).
16.14.	Построить такие функции f(x) и <р(х) на [О, 1], что f(x) G
G ^([0, 1]), но обе функции f(x) и ср(х) неограничены на [О, 1].

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	387
16.15.	Пусть ip(x) — конечная функция на [а,Ь] и f(x) G 7?^([a, b]).
Доказать, что существуют такие С > О и р > О, что если Т = {а = хо <
<х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} — разбиение [а, Ь] с Л(Т) < р,
Г = {г: ip(x) непостоянна на [а^-ья^]}
J=\J[xi-l,xi],
ier
то \f(x)\ < С при х е J.
16.16.	Пусть f(x) G 11ф([а, Ь]), с G [а, Ъ] и </?(#) разрывна в точке с.
Доказать, что f(x) непрерывна в точке с.
16.17.	Пусть а < с < Ь и </?(#) = Х[с,ь](х)- Д°казать» что конечная
на [a, b] функция f(x) принадлежит Т1^(х) тогда и только тогда, когда
f(x) непрерывна в точке сив случае интегрируемости
16.18. Пусть {xk}^=i — последовательность точек из [a, b],
оо	оо
J2 \ак\ < ОО,	J2 \Ьк\ < ОО,
к=\	к=\
определены функции (рк(х) = Х(хк,ъ](х) и Фк(х) = Х[хк,ъ](х) для к е
и задана функция скачков
к=\
Пусть f(x) — ограниченная функция на [a, b], непрерывная в точках х
при к е N. Доказать, что f(x) e ^([a, b]) и что
к=\
16.19. Пусть f(x) G C([a,b]), <pi(x) и (f2(x) — функции ограничен-
ограниченной вариации на [a,b], множество А = {х G [а, Ь]: <^i(#) ф Ц>2(х)} не
более чем счётно и А С (а,Ь). Доказать, что
ъ	ъ
f(x)dip{(x) =
13*

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.20.	Пусть (р(х) е V([a, b]) и ф{х) = У?(ф) на [а, Ъ]. Доказать, что
конечная на [а,Ь] функция f(x) принадлежит 7?<Д[а, Ъ\) тогда и только
тогда, когда f(x) e 11ф([а,Ь}).
16.21.	Пусть ф) е V([a,b\) и
для любой функции f(x) G С([а, Ь]). Доказать, что <р(х) = (р(а) всюду
на [а, Ь], кроме, быть может, не более чем счётного множества.
16.22. Построить три функции f(x), <р(х) и ф(х) на [0, 1], для
которых (р(х) = ф(х) при х ^ уо, где уо е [0, 1] — некоторая точка,
16.23. Построить такие функции f(x) G С([0, 1]) и <р(х), ф(х) из
, 1]) на [0, 1], что ф) = ф(х) при х ф 1, но
о
16.24. Пусть /(ж) G 7?<р([а,Ь]) и а < с < Ь. Доказать, что f(x) e
П^([а,с}), f(x) enrich]) и
J /(ж) d^(x) + J f(x) d<p(x).
16.25.	Построить такие функции f(x) е С([—1, 1]) и (р(х) G
е V([-l. 1]). что /(ж)х[о,1](а;) ^ ^([-1, 1]).
16.26.	Построить ограниченную функцию f(x) на [—1,1] и функ-
функцию ф) е V([-l,l}), для которых f(x) е ^([-1,0]) и f(x) е
G^([0,l]), но/(х)^7г^([-1,1])
16.27.	Построить конечную функцию f(x) на [—1,1] и непре-
непрерывную функцию </?(ж) G F([—1,1]), для которых /(ж) G ^([—1,0])
и/(ж) б ^([0,1]), но/(ж) ^^([-1,1])
16.28.	Пусть f(x) — ограниченная функция на [а, Ь], а < с < Ь,
функция (р(х) непрерывна в точке с, функция f(x) из IZ^([а, с]) и в то
же время из ^([с, Ъ\). Доказать, что f(x) е 7^([а, Ь]).
16.29.	Пусть
^(ж) е А = {д(х) е V([a, b}): g(x - 0) = д(х) на (а, 6)}

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса
389
и В = {f(x) е С([а,Ъ]): \\f\\c < 1}. Доказать, что
ъ
L = sup
f(x)eB-a
16.30. Пусть f(x) e C([a,b\). Доказать, что (см. задачу 16.29)
J =
sup
и
\!{х)йф) =
\\c-
16.31. Первая теорема Хелли. Пусть f(x) е С ([а, Ь]), а {(рп(х)} —
последовательность функций из V([a, b]), lim (fk(x) = ^р(х) для всех
/с—s-oo
х G [а, 6] и существует такая постоянная С > 0, что V^f (</?&) ^ С при
всех к. Доказать, что существует
и	и
lim \f(x)dVk(x)=\f{x)dV{x).
а	а
16.32. Пусть а > 0, (р(х) = ха на [0, 1], C е R и
f(^\- \x^ еслихе @,1],
Доказать, что f(x) e ^([0, 1]) тогда и только тогда, когда
16.33. Пусть а е М,
„, ч Гжа, если ж G @, 11,
f(x) = < л	\ J и
\0,	0
(cos-, если х е @, 11,
Найти все такие а, что f(x) G 7?^([0, 1]).
16.34. Вторая теорема о среднем. Пусть д(х) — монотонная
неотрицательная функция на [а,Ь] и f(x) G TZ([a,b]). Доказать, что:
1)	ь
f(x)g(x) dx < g(a) sup
J	ce[a,b]
a	a
если д(х) — невозрастающая функция на [a, b];
2)	ь	ь
f(x)g(x) dx
g(b) sup | I f(x) dx
се[а,Ъ]
если д(х) — неубывающая функция на [а, \

390
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.35. Пусть (р(х) е V([0, 2тг]). Доказать, что
2тг
(х) cos nxdx
для всех п G N.
16.36. Доказать, что существует функция </?(#) е V([0,2тг]), для
которой
cos пж dx
для бесконечного множества натуральных чисел п.
16.37. Пусть (р(х) е V([0, 2тг]). Доказать, что
2 _о.
для всех n G N.
16.38. Доказать, что существует такая функция ^р(х) G
е У([0,2тг]), что
2тг
для бесконечного множества натуральных чисел п.
16.39. Пусть ф{х) е V([0,2tt}) и <р@) = <^Bтг). Доказать, что
2тг
для всех п е N.
16.40. Построить такую функцию (р(х) е V([0,2тг]), что (р@) =
= у?Bтг) и
2тг
1
для бесконечного множества натуральных чисел п.

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	391
16.41.	Пусть f(x) е С([а,Ь\) и ср(х) е V([a,b]). Доказать, что
X
F(x)=\f(t)d^(t)eV([a,b})
а
и что функция F(x) непрерывна в каждой точке непрерывности <р(х).
16.42.	Пусть /О) е С([0,2]) и ф) е V([0, 1]). Доказать, что
1
16.43. Пусть (р(х) G V([a, b]) и для любой функции f(x) G С ([а, Ь]),
удовлетворяющей условию f{x) ^ 0 на [а, Ь], выполнено неравенство
Доказать, что функцию <р(х) можно изменить на не более чем счётном
множестве так, чтобы она стала неубывающей на [а, Ь].
16.44. Пусть f(x) и д(х) из С([а,Ь\) и <р(х) G V([a, b]). Положим
Доказать, что
16.45. Пусть f(x) е С([а,Ь]), а функция <р(х) такова, что (р'(х)
существует всюду на [а,Ь], причём (р'(х) G lZ([a,b]). Доказать, что
/О) G^([a,b]) и
16.46. Пусть /(ж) 6 С{[а,Ь\) и у?(ж) 6 ЛС([а,6]). Доказать, что
ь
\f(t)d<p(t) = W J f{xL>\x)d,i,
a	(a,6)
где /i — классическая мера Лебега на (а, 6).

392	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.47.	Пусть f(x) e V([a,b]) и ср(х) е АС([а,Ь]). Доказать, что
ъ
{L) J f(x)<p'
a	(a,b)
где /i — классическая мера Лебега на (а, Ь).
16.48.	Пусть
ip(x) =
х,	если х G [0, —),
2,	если х = — или ж = тг,
ж--, если хе (-,тг).
Найти
7Г
sin ж dy?(ж).
16.49. Найти
/ =
16.50.	Найти
7Г
/ = (ж — 1) (g)
о
16.51.	Пусть д(х) — функция Кантора на [0, 1] (см. решение зада-
задачи 4.19). Найти
1
16.52. Пусть д(х) — функция Кантора на [0, 1] (см. решение зада-
задачи 4.19). Найти
1
16.53. Пусть д(х) — функция Кантора на [0, 1] (см. решение зада-
задачи 4.19). Найти
1
/ = J#(l -x)dg(x).
о

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	393
РЕШЕНИЯ
16.1.	Для любого разбиения Т отрезка [а,Ь] с отмеченными точка-
точками имеем
ST(af + /Зд; <р) = aST(f; ip) + /3ST(g; ip),
откуда следует утверждение задачи. П
16.2.	Для любого разбиения Т отрезка [а,Ь] с отмеченными точка-
точками имеем
ST(f; ар + (Зф) = aST(f; <р) + /3ST(f; ф),
откуда следует утверждение задачи. ?
16.3.	Пусть Т = {а = xq < х\ < ... < хп-\ < хп = Ъ} — разбиение
отрезка [а,Ь] с отмеченными точками ^ G [хг-\,Хг] при г= 1,2,..., п.
Тогда
St(<p; Л = Е
г=\
= - Е
г=\
- f(a)ip(a) -
'	ЯаЫа) - STl (/;
г=1
где
— разбиение отрезка [а,Ь] с отмеченными точками xi G [&>&+i] при
г = 0, 1,..., п, и где формально ?о = а и ?n+i = 6. Ясно, что A(Ti) <
< 2А(Т) < 4A(Ti). Следовательно, существует
Ит о ST(<p; Л = ЯЪЖЬ) - f(a)g(a) - ^jim^ STl (/; <р) =
ъ
= f(b)g(b)-f(a)g(a)-\f(x)dp(x).
а
?
16.4. Необходимость условия и = 0 для интегрируемости функции
f(x) очевидна. Предположим теперь, что ST(f;(p) и вт{}\ф) суще-
существуют для каждого разбиения Т отрезка [а, Ь] с А(Т) < Ао и что
и = 0. Возьмём некоторое разбиение Т отрезка [а,Ь] с А(Т) < Ао-
Предположим, что мы добавили к Т новые точки и получили дру-
другое разбиение V. Тогда ST(f;(p) ^ ST,(f;(p) и

394	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
Как следствие, если даны два разбиения Т\ и Т% отрезка [а, Ь]
с A(Ti), А(Т2) < Ао, а Тз — разбиение [а, Ь], содержащее все точки из Т\
и Т%, то
Следовательно,
а= sup ST(f;(p) ^ inf
Т:Л(Т)<Л0	Т:Л(Т)<Л0
Из условия и = О вытекает, что а = C = I. Заметим, что для любого
такого разбиения Т отрезка [а, 6] с отмеченными точками, что А(Т) <
< Ао, выполнено условие
Отсюда следует, что
Так как правая часть этого неравенства стремится к нулю при А(Т) —>
->0, то f(x) G^([a,b]). D
16.5. Поскольку (см. задачу 14.6) существует представление
<р(х) = ^i(^) ~ ^(х), гДе ^lf!1) и (Р2{Х) — неубывающие функции
на [a, b], то в силу результата задачи 16.2 достаточно доказать
утверждение в случае, когда <р(х) — неубывающая функция на [a, b].
Заметим, что в силу ограниченности / как непрерывной функции
числа ST(f',ip) и 8т(/',Ц>) существуют для всех Т. Пусть дано г > 0.
Тогда по теореме Кантора найдётся такое 5 > 0, что если х, у G [a, b]
и \х-у\ < 6, то \f(x) - f(y)\ < —ттт—Е( , . При этом для любого
разбиения Т отрезка [а, Ъ] с А(Т) < 5 получим
ST(f; if) - ST(f; if) < max(Mfc - mk) • (cp(b) - cp(a)) <
Применяя задачу 16.4, получаем, что / G 7?^([a, b\). ?
16.6. Для любого разбиения Т = {a = xq < х\ < ... < xn_i < хп =
= 6} отрезка [а, Ъ] имеем
\StU;v)\ ^с? \Фк) - Фк-1)\ < cv?(<p),
к=\
откуда мы получаем требуемое неравенство для интеграла Римана
Стилтьеса. ?

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	395
16.7.	Если ф(х) = if\(x) + (f2(%), то так как на любом отрезке при-
приращение функций (fi не больше приращения функции ф, то для любого
разбиения Т отрезка [а,Ь] такого, что значения ST(f;i/j) и Зт(/',ф) су-
существуют, существуют и соответствующие значения для (р\(х) и (f2(x).
При этом
ST(f; <ф) - ST(f; V) > 5Т(/; ^) - ST(f; ^)
при г = 1,2. Применяя задачу 16.4, получим, что / G 7^^. ([а, Ь]), г =
= 1,2. а
16.8.	Для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] имеем: 5т(/;у?) ^ О,
откуда следует утверждение задачи. ?
16.9.	Утверждение вытекает из задач 16.8 и 16.1. ?
16.10.	Существование интегралов вытекает из задачи 16.5, а су-
существование предела и равенство — из задачи 16.6. ?
16.11.	Существование интегралов вытекает из задачи 16.5, а су-
существование предела и равенство — из задачи 16.6. ?
16.12.	Пусть п\ — множество всех разбиений отрезка [а,Ь] с от-
отмеченными точками, а О2 — множество всех таких разбиений отрезка
[а, Ь] с отмеченными точками {&}, что |/(&)| ^ ll/lloo ПРИ всех *•
Так как /i({# Е [а, 6]: |/(ж)| > H/Hod) = 0, то множество О2 содержит
разбиения со сколь угодно малым А(Т). Поскольку f(x) e ^([а, Ь]), то
lim ST(f;<p)= lim
Но если T G O2, то |Sr(/;<p)| ^ И/Иоо^М» 0ТКУДа следует утвержде-
утверждение задачи. П
16.13. Так как <р(х) ф С на [0, 1], то существуют такие точки у и z
из [0, 1], что (р(у) ф (f(z). Для заданного Ло > 0 возьмём такое разбие-
разбиение Т = {0 = хо < х\ < ... < хп-\ < хп = 1} отрезка [0, 1] с Л(Т) < Ло,
что Хг = у и Xj = ^. Затем найдём такие два набора отмеченных
точек U = {&}fc=i и V = {ткУ1=х, что ^ = тк е [хк-\,хк] при к < г
и при /с > j, ^ G [хк-\,хк] рационально при i<k^jnrk^ [хк-\,хк]
иррационально при г < к ^ j. Обозначим разбиение Т с отмеченными
точками U через Т\, а Т с отмеченными точками F — через Т2. Тогда
С > 0.
Поскольку Ло > 0 произвольно, то утверждение задачи тем самым
доказано. ?

396	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.14.	Пусть f(x) = —Ц- при х е [О, Ь, f(x) = О при х е [^ 1],
Х~ 3
2	12
(fix) = О при х е [О, -1 и (fix) = 	^ при х е (-, 1]. Тогда fix)
3	х--	3
3
и </?(#) — две конечные неограниченные функции на [0, 1]. Но если раз-
разбиение Т отрезка [0, 1] с отмеченными точками таково, что А(Т) < -,
о
то Srifw) = 0, откуда следует, что f(x) е 7^([0, 1]). П
16.15.	Поскольку f(x) G TS^Qa, Ь]), то существуют такие посто-
постоянные К > О и Ао > 0, что для любого разбиения Т отрезка [а, Ь]
с А(Т) < Ао и для любого выбора отмеченных точек \ST(f',y>)\ ^ К.
Возьмём некоторое разбиение То = {а = zo < z\ < ... < Zk-\ < Zk = b}
отрезка [a, b] с A (To) < Ao и обозначим
Го = {г: (f(x) ф Ci на А^ = [^-ь^г]}
и
Jo=\J[zt_l,zt].
Докажем вначале, что f(x) ограничена на каждом А^ при г е Го. Если
(f[zi) ф (f(zi-\), то это верно, так как тогда имеет место неравенство
\f(x)\ ^ |—-;—г	-;	гу. Пусть (fizi) = (f[zi-\). Тогда поскольку ср не
постоянна на А^, то существует такое и G (^_ь^), что (fizi) Ф р(и)
и (p(zi-\) ф ^{и). Добавив точку и к разбиению То, получим новое
разбиение W с X(W) < Ао и заметим, что f(x) должна быть ограничена
на [zi-\,u] и на [u,Zi]. Поэтому существует такое Со > 0, что \f(x)\ <
^ Со при х G Jo-
Теперь мы займёмся построением некоторой окрестности множе-
множества, на котором функция <f непостоянна. Построим точки fa и 7г
следующим образом. Пусть г G Го и г < к. Если f(x) ограничена на
\Zi,Zi + -^ , ТО ВОЗЬМём 0i = Zi, 7г — ^г + ~^ и Q = SUP |/(ж)|-
Пусть /(ж) неограничена на этом отрезке. Докажем, что если ^ =
Z' — \ -\- Z'
= ——-—-, то (f(x) постоянна на [yi,Zi]. Предположим, что это не так.
Тогда возьмём такое разбиение Т = {а = to < t\ < ... <ti-\ < t\ = b}
отрезка [a, b] с A(T) < Ao, что tj G [yi,Zi], tj+\ = Zi + -^ и ip(tj+\) —
— ifitj) Ф 0. Но в этом случае можно найти такую отмеченную точку
?j G [tj,tj+i], что \ST(f',<f)\ > К, и мы приходим к противоречию.
В рассмотренном случае мы возьмём Pi = Уг, ъ = zi и ^% — Q)- Если
/с G Го, то возьмём Pk = jk = b и Ck = Cq.

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	397
Теперь определим точки с^ и ^. Если г G Го, г > 1 и /(ж)
ограничена на [^-i —^,^-1], то возьмём с^ = ^_ь 5i = Zi-\ —^
и А = sup |/(ж)|. Если же f(x) неограничена на этом отрезке,
xe[5i,ai]
то р(х) постоянна на [zi-\ —^,2/г]> и мы возьмём с^ = ^, ^ = 2^-1
и Д = Со. Если 1 G Го, мы возьмём а\ = 5\ = а и D\ = Co.
Определим теперь множества
А= U К A], B= U [<М
(здесь по построению А С В) и постоянную С = max(Q + А + Со)-
гЕГо
Пусть также р = - min (zi — Zi-\) и
Заметим, что \f(x)\ ^ С на множестве Б и что </?(#) постоянна на
каждом (ti,si) по построению. Пусть теперь Т = {а = хо < х\ < ...
... < хш_\ < хш = Ь) — разбиение отрезка [а, Ъ] с Л(Т) < р и
Г = {j: ф) ф Cj на [xj-uXj]}.
Зафиксируем j G Г. Тогда существует такое г G Го, что хотя бы одна
из точек Xj-\ или Xj принадлежит [а^,/3^]; ведь отрезок [xj_\,Xj] не
может лежать целиком в некотором [?/,<§/], на котором ср постоянна.
Следовательно, [xj-\,Xj] С [^,7г] ^ В. Поэтому, если
To\f(x)\^C. D
16.16. Без ограничения общности можно считать, что с? (а,Ь).
Предположим, что f(x) и ip(x) обе разрывны в точке с. Из задачи 16.15
следует, что f(x) ограничена в некоторой окрестности точки с. Рас-
Рассмотрим её колебание в этой точке:
cj(f;c) = lim sup \f(x) - f(y)\ =a>0.
°^°+ x,ye[c-5,c+5]
Предположим вначале, что либо одного из значений (р(с — 0) или ^(с +
+ 0) не существует, либо (р(с — 0) ф (р(с + 0). Тогда существует та-
такое C > 0, что для любого 5 > 0 найдутся такие точки d\ G [а, с)
и^б (с, Ь], что ^2 — di < 5 и |у?(б?2) — <^(di)| > /3. Для заданного 5 > 0
возьмём такое разбиение Т = {а = xq < х\ < ... < xn_i < хп = b}

398	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса
отрезка [а, Ь] с А(Т) < 5, что xr_\ = d\ и хг = с?2 при некотором г. Затем
найдём такие два набора отмеченных точек U = {^кУк=\ и У = {т&}^=1,
что ?>к=тк е [хк-иХк] при к^г, ?г е [xr-uxr] = [d\,d2] и rr e [d\,d2]
таковы, что \f(?r) — f(rr)\ ^ т^- Обозначим Т с отмеченными точка-
точками U через Т\, а Т с отмеченными точками У — через Т2. Тогда
-/(тР)| > ^ > 0.
Поскольку 5 > 0 произвольно, то мы получаем f(x) (? IZ^([a, b]), что
противоречит условиям.
Пусть теперь существуют ср(с — 0) = (р(с + 0) ^ ^(с). Повторим
предыдущие рассуждения, взяв di = с, если функция f(x) разрывна
в точке с справа, либо d2 = с, если функция f(x) разрывна в точке с
слева. Мы вновь придём к противоречию. Это означает, что функция
f(x) непрерывна в точке с. ?
16.17. Необходимость условия следует из задачи 16.16. Если f(x)
непрерывна в точке с, то для заданного г > 0 найдётся такое 5 > 0, что
1/B/) ~~ f(z)\ < ? ПРИ 2/, г ? [с — 5, с + 5]. Возьмём разбиение Т = {а =
= хо < х\ < ... < хп = Ь} с отмеченными точками {^г}^=1 и с А(Т) < 5.
Найдём такое г, что хг-\ < с ^ хг. Тогда
Поэтому f(x) e 7^([а,Ь]) и
6
?
16.18. Пусть \f(x)\ ^ С на [а, Ь] и выбрано г > 0. Найдём та-
такое К, что
оо
Определим функции
9i(x) = ^2(dk?k(x) +Ькфк(х)) и д2(х) = Y1
к=\	к=К+\
Для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] с отмеченными точками имеем

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	399
Заметим, что
сю
\ST(f-g2)\^C Y. (Ы + \Ък\)<е
к=К+\
и что существует (см. задачи 16.2 и 16.17)
к
lim ST(f\Q\) = Y f(xk)(ak + h).
Утверждение задачи вытекает из этих равенств. П
16.19. Пусть <ф(х) = ч>\(х) - ip2(x) eV([a,b\) и А = {хк}™=1. Тогда
из предположений следует, что для чисел ак = (р\(хк) — <р2(хк) имеет
место равенство
сю
ф(х) = ]Г ак(х[хк,ь](х) - Х{Хкц(х))> где ]Г \ак\ < оо.
к=\	к=\
Следовательно (см. задачу 16.18),
b	сю
f(x) йф{х) = J2 КХк)Ы ~ CLk) = О,
откуда следует утверждение задачи. П
16.20. Как доказано в задаче 14.70, существует разложение (р(х) =
= (f\(x) — (f2(x), где (f\(x) и (f2(x) — неотрицательные неубывающие
функции на [а, Ь] и V*((p) = V*((pi) + V*((p2) Для всех х е [а; Ь]. Дока-
Докажем, что
ф(х) = (pi (х) + ip2(x) - Lp\(а) - (р2{а)	(i)
для всех х е [а,Ь]. Нетрудно видеть, что
<ф(х) < Vax(pi) + VZ(<p2) = <р{(х) + <р2(х) - ^i(a) - p2(a)
всюду на [a, b]. Предположим, что в некоторой точке с е [а,Ь] неравен-
неравенство строгое. Тогда
<ф(Ъ) = <ф(с) + V?(<p) <
< (pi(c) + (p2(c) -ip\(a) - ip2(a) + ip\(b) + ip2(b) - ip\(c) - ip2(c) =
= ^(b) + <p2(b) - pi (a) ~ Ma) = VbM + VZfa) = Vba{v) = m>
и мы пришли к противоречию. Поэтому тождество (i) справедли-
справедливо. Пусть теперь f(x) e Иф([а,Ь\). Тогда (см. задачу 16.7) f(x) e
^ П^-ф^И^Ъ]) и f(x) е 7г^2_^2(а)([а,6]). Это означает, что f(x) e
G TZ^da^b]) и f(x)eTZip2([a)b]). Применяя задачу 16.2, получим,
что f(x)en^([a,b}).

400
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
Докажем обратное. Пусть f(x) G IZ^([а, Ь}). Тогда в силу результата
задачи 16.15 существуют такие С > 0 и 5 > 0, что если мы хотим
найти вт{}\ф) для некоторого разбиения Т с отмеченными точками,
удовлетворяющего условию А(Т) < 5, то можно считать, что \f(x)\ ^ С
на [а, Ь]. Возьмём разложение <р(х) = д(х) -\- s{x), где s(#) — функция
скачков, а g(#) G C([a,b\) nV([a,b\). Заметим, что (см. задачу 14.67)
ф(х) = v\(x) +V2(x), где v\(x) = ^аж(^) и V2(x) = V^f(s) на [а, Ь]. При
этом (см. задачу 16.16) f(x) непрерывна в каждой точке разрыва <р(х).
Но функции скачков s(x) и у^{х) имеют разрывы в тех же точках, что
и ip(x). Применяя задачу 16.18, получим, что f(x) G Hs([a,b\) и f(x) G
G 7^U2([a, Ь]). В частности, отсюда следует, что f(x) e 1Zg([a,b]).
Пусть теперь задано г > 0. Найдём такое j > 0, что (см. зада-
задачу 14.64) для любого разбиения Т = {a = xq < х\ < ... < хп = Ь}
с А(Т) < 7 выполнено неравенство
и для любого выбора отмеченных точек выполнено неравенство
ъ
ST(f;g)-^f(x)dg(x)
Пусть 5\ = minE,7), а разбиение Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ь}
таково, что А(Т) < 5ь Пусть, как обычно,
Мк = sup /(ж) и mk= inf /(ж)
при /с = 1, 2,..., п, а
Г = {г G [1, п]: д(х) непостоянна на [жг-ь ^ill-
Определим числа
{М/с, если д(хк) - д(хк-\) > 0, к е Г,
0, если к ^Г,
тпк, если p(xfc) - ^(xfc-i) < 0, /с G Г,
{т/с, если д(хк) - д(хк-\) > 0, к е Г,
0, если к ^Г,
Мк, если #(a;fc) - p(xfc_i) < 0, fc G Г,

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	401
при к = 1,2,..., п. Далее, пусть
sT,\ = Yl dk(g(xk) - д{хк-\)) и sT,2 = Yl ek(g(%k) - д(хк-\)).
к=\	к=\
Заметим, что можно выбрать отмеченные точки U = {6с}&=1 и V =
= {ткУ1=х так, что если Т\ — разбиение Т с отмеченными точками U,
а Т2 — разбиение Т с отмеченными точками V, то |5тД/; #) — ^т,г| < s
о
при г = 1,2. Отсюда следует, что Sr,i — $т,2 < ^- Тогда получим
= ? (Mfc - mfc)V^_, (g) =
ST,i ~
Теперь из задачи 16.4 следует, что f(x) e TZVl([a,b]), откуда вытекает,
что f(x) env([a,b\). D
16.21. Рассматривая функцию f(x) = 1 на [а, Ь], найдём, что ср(Ь) =
= (р(а). Так как <р(х) G V([a, b]), то множество её точек разрыва на
[а, Ь] не более чем счётно. Обозначим его через А и возьмём точку
у ? (а, Ь) \ А. Выберем щ >	и для всех n ^ щ определим функции
fn(x). Пусть fn(x) = 1 на [а, у], fn(x) = 0 на [у + -, Ь] и /п(ж) линейна
на [у, у Н—]. Ясно, что fn(x) G С([а, 6]) при всех п > по- Тогда
где (см. задачи 16.6 и 14.37) |cn| < Vy п (ф) -^ 0 при n ^ оо. Поэтому
ср(у) = ср(а). П
16.22. Пусть (fix) = 0 на [0, 1] и fix) = ^(ж) = XrL\(x)- Тогда
/(ж) G ^([0, 1]). Так как f(x) и ^(ж) обе разрывны в точке -, то
в силу результата задачи 16.16 получаем, что f(x) ^ 7^([0, 1]). ?

402	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.23. Пусть (р(х) = 0 на [0, 1], f(x) = 1 на [О, 1] и ф(х) = Х{1}0*0-
Тогда
1	1
п
16.24. Пусть задано г > 0. Тогда существует такое 5 > О, что для
любых двух разбиений Т\ и Т2 отрезка [а, Ъ] с отмеченными точками,
удовлетворяющих условиям Л(Т^) < 5 при г = 1,2, выполнено нера-
неравенство IS^! (/;<?) — 5т2(/;<^)| < ?• Возьмём теперь два произвольных
разбиения Ti(l) и Т2A) отрезка [а, с] с отмеченными точками, удовле-
удовлетворяющие условиям А(ТЦ1)) < 5 при г = 1,2, и добавим к каждому из
них одно и то же разбиение ТB) отрезка [с, Ъ] с отмеченными точками,
для которого А(ТB)) < 5. Обозначим полученные разбиения через Ti
и Т2. Но тогда
Отсюда следует, что f(x) ? 7^^([а,с]). Аналогично получаем, что
f(x) G 7^^([с, Ь]). Заметим теперь, что если даны два разбиения: ТA)
для отрезка [а, с] и ТB) — для [с, Ь] с отмеченными точками, то
их можно объединить и получить такое разбиение Т отрезка [а, Ь]
с отмеченными точками, что А(Т) = тах(А(ТA)), А(ТB))). При этом
откуда следует, что
ъ	с	ъ
| /(ж) d^(ar) = | /(ж) ^(я) + | /(a:)
а	а	с
а
16.25. Пусть f(x) = 1 на [-1, 1] и р(ж) = Х[о,ф)- Тогда /(ж) G
G С([—1, 1]) и </?(ж) G ^([—1, 1]), но /(x)x[o,i](x) = ф(х) разрывна в точ-
точке 0. Поэтому (см. задачу 16.16) функция f(x)x[o,\](x) не принадлежит
классу ?г^([-1, 1]). П
16.26. Пусть f{x) = Х(сц](ж) и ф) = Х[0,ф) е V([-l, 1]). Тогда
существуют и равны нулю оба интеграла:
-1
1

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	403
(для каждого из них любая интегральная сумма равна нулю), но так
как обе функции f(x) и <р(х) разрывны в точке 0, то (см. задачу 16.16)
ДЖ) ^([-1,1]). ?
16.27.	Пусть /(ж) = ±х(о,1](а0 и ф) = хХ[-щ(х) 6 С([-1, 1]) П
П V([— 1, 1]). Ясно, что существуют и равны нулю оба интеграла:
о	1
\f(x)d<p(x) и	\f(x)d<p(x).
-1	0
В то же время для любого разбиения Т отрезка [—1,1], не
содержащего точку 0, сумма Sr (/;<?) не существует. Поэтому
f{x)$Hv{[-\,\}). U
16.28.	Пусть |/(ж)| < К на [а,Ь],
с	Ь
=\/(х)с1ф), 12=\/(х)Aф),
а г > 0 — заданное число. Тогда можно выбрать такое 5 > 0, что:
1)	для любого такого разбиения ТA) отрезка [а, с] с отмеченными
точками, что А(ТA)) < 5, выполнено неравенство |St(i)(/;^) —/i| < -;
2)	для любого такого разбиения ТB) отрезка [с, 6] с отмеченными
точками, что А(ТB)) < 5, выполнено неравенство |5тB)(/; ^) ~ ^2| < т5
3)	если |2/ - с\ < 5, то |^(у) - <р(с)| < g^y-
Рассмотрим теперь такое разбиение Т = {а = xq < х\ < ... < хп =
= 6} отрезка [а, Ъ] с отмеченными точками {<^}™=1, что А(Т) < 5. Если с
принадлежит Т, то Т — объединение разбиений ТA) отрезка [а, с]
и ТB) отрезка [с, Ь], и поэтому |5т(/;^) — (I\ + h)\ < ^- В противном
случае существует такое к G [1,п], что ж/c-i < с < Xk- Определим
Т(\) = {а = хо < х\ < ... < ж/c-i < х'ь = с} ~ разбиение отрезка [а,с]
с отмеченными точками щ = ^ при г = 1, 2,..., к — 1 и т^ = с. Анало-
Аналогично ТB) = {с = ж^ < Xk+\ < ... < хп = b} — разбиение отрезка [с, Ь]
с отмеченными точками щ = ^ при г = /с + 2, fc + 3,..., п и ry^+i = с.
Заметим, что А(Т(г)) < 5 при г = 1,2. Получаем, что
\ST{l)(f;<p) -/,|
^(с)| + \ф) - фк)\)
откуда следует утверждение задачи. ?

404
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.29. Из задачи 16.6 следует, что L < V^((p). Пусть задано
е > 0. Выберем такое разбиение Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ъ}
отрезка [а, Ь], что \V^((p) — Vr((p)\ < ~. Обозначим qu = sgn((p(xk) —
—	(р(хк-\)) при к = 1,2, ...,п. Пусть натуральное то таково, что
—	< - min \xk — Xk-\\- Для каждого m ^ mo определим функ-
цию fm(x) = qk на [xfc_b^ - —], где fc = 1,2,... ,n - 1, fm(x) =
= qn на [хп-\,хп] и продолжим fm(x) по линейности на отрезки
ж G [xk — —, Xk] для к = 1, 2,..., п — 1. Ясно, что /ш(ж) G С( [а, Ь])
и ||/т||с ^ 1- Поскольку (р(х — 0) = </?(ж) на (а, 6), то существует
такое гп\ > то, что УЖА; { (ср) < — и |</?(#& — —) — Lp(xk)\ < -7— при
ЖД; — —	4:71	ТП	4:71
к = 1,2,..., п — 1 и m ^ гп\. Тогда при m ^ гп\ получаем, что
n-1
k=\
n-1
k=\
\<1к(ч>{хк) -
k=\
n-1
-E
k=\
n-1
k=\
Поскольку е > 0 произвольно, то мы получаем утверждение задачи. ?
16.30. Из задачи 16.6 следует, что J < \\f\\c Пусть у е [а,Ь]
таково, что ||/||с = |/Ы|. Если у < Ь, то мы рассмотрим функцию
(р(х) = sgnf(y)x(y,b](x). Ясно, что (р(х) ? А и V^((p) < 1. В то же время
откуда следует утверждение задачи. Если у = Ь, то аналогично дока-
доказывается, что J ^ \f(b — 7)| при любом 7 > 0- Так как f(x) ? С ([а, Ь]),
то отсюда следует утверждение задачи. ?
16.31. Заметим, что для любого разбиения Т = {а = хо < х\ < ...
... < хп = Ъ} выполнено условие
~ 4>i{xk-\
к=\

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	405
откуда следует, что ip(x) ? V([a,b\), и поэтому (см. задачу 16.5)
f(x) ? Т1р([а, Ь]). Теперь для заданного е > 0 выберем такое 5 > 0, что
если х, у ? [а, Ъ] и \х — у\ < 5, то \f(x) — f(y)\ < w^,—г. Предположим,
что разбиение Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ъ} с отмеченными точ-
точками {ikYk=\ таково, что А(Т) < 5. Для каждого г в силу результата
задачи 16.6 имеем
к=\
Хк-\
^ ЗС+1
Аналогично,
Но ясно, что если Т фиксировано, то для достаточно больших г
выполнена оценка
Следовательно, существует
ъ	ъ
lim \f(x)dipk(x)=\f(x)dip(x).
а	а
?
16.32.	Так как (р(х) — строго возрастающая функция на [0, 1], то
согласно задаче 16.15 любая функция f(x) ? 72.^([0, 1]) ограничена на
[0, 1]. Следовательно, если /3 < 0, то f(x) (? 72.^([0, 1]). Если /3^0,
то f(x) ? V([0, 1]). Так как <р(х) ? С([0, 1]), то (см. задачу 16.5)
ip(x) ? 72./([0, 1]). Применяя задачу 16.3, получим нужное нам утвер-
утверждение. ?
16.33.	Если а ^ 0, то обе функции f(x) и <р(х) разрывны в точке 0.
Тогда (см. задачу 16.16) f(x) ф 72.^([0, 1]). Пусть а > 0. Для заданного
г > 0 найдём такое 5 > 0, что 5а < -. Затем найдём такое п, что
4
2	S
w =	 < -. Пусть Q\(x) = (p(x)Y\w \](х) и q^ix) = ф(х) — О\(х).
Ясно, что д\(х) ? С([0, 1]), поэтому ^i(x) G 72./([0, 1]). Отсюда сле-
следует, что существует такое j > 0, что для любых двух разби-
разбиений Т\ и Т% отрезка [0, 1] с отмеченными точками, удовлетво-
удовлетворяющих условию X(Ti) < 7 ПРИ ^ = 1,2, выполнено неравенство

406
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
\STx(g\',f) ~ ST2(g\\f)\ < |. Пусть теперь 71 = min G, 5). Для любых
двух разбиений Т\ и Т% отрезка [0, 1] с отмеченными точками таких,
что X(Ti) < 71 при г= 1,2, имеем
+ |5T2fe/)|<f+2 sup \4>{x)\.V${f)^^+2&a<e.
1 xe[o,w]	z
Как следствие, <p(x) ? 72./([0, 1]). Применяя задачу 16.3, получаем, что
f(x) G 11ф([а, b]). Итак, f(x) G 7^^([a, Ь]) тогда и только тогда, когда
a >0. D
16.34. Так как обе оценки устанавливаются одинаковыми рассуж-
рассуждениями, то мы докажем только первую. Заметим, что по критерию Ле-
Лебега (см. задачу 11.3) f(x)g(x) ? Щ[а, Ь]). Пусть задано г > 0. Выберем
такое 5 > 0, что для любого разбиения Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ь}
с отмеченными точками {^fc}^=1 и с А(Т) < 5 выполнена оценка для
разности сумм Дарбу: S(f; Т) — S(f; Т) < г. Тогда для любого с ? [а, Ь]
и любого такого разбиения Тс отрезка [а, с] с отмеченными точками,
что А(ТС) < 5, имеем: S(f;Tc) — S(f;Tc) < г. Следовательно,
f(x)dx-S(f',Tc]
< г.
Пусть теперь Т — разбиение отрезка [а, Ъ] с отмеченными точками
{6с}&=1 и с Х(Т) < 5. Применяя преобразование Абеля, получаем
\s(fg\T)\ =
к=\
к=\
r=\
г=\
< [ е + sup
x) dx
¦5F)-
Так как г > 0 произвольно и #(?1) ^ д(а), то утверждение задачи тем
самым доказано. ?
16.35. Пусть вначале ip(x) — неубывающая функция на [0,2тг].
Так как
2тг
cos nx dx = 0
о

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса
407
при всех п ^ 1, то можно считать, что ip@) = 0 и V^27r((?>) = </?Bтг).
Используя задачу 16.34, получаем, что
. 2тг
; (рBтг) sup cos nxdx
се [0,2тг] I J
и	с
В общем случае существует (см. задачу 14.69) разложение <р(х) =
= if\(x) — (f2(x), гДе ^i(^) и Ц>2(х) — неубывающие неотрицательные
функции на [0, 2тг], причём V^^Lp) = V^27r((^i) + У^7Т((р2). Тогда
.2тг
(р(х) cos nxdx
о	' о
cos nxdx
cosnxdx
?
16.36.	Пусть (р(х) = Х\о -](х)- Тогда У^{(р) = 1 и
.2тг
/ ч	7	1 . 7ТП	1
(p(x)cosnxdx = -sin-г- =-
п 2 п
для нечётных п. ?
16.37.	Пусть вначале </?(#) — неубывающая функция на [0,2тг].
Так как	2?г
sin nxdx = 0
о
для всех натуральных п, то можно считать, что (р@) = 0 и У^(^р) =
= (?>Bтг). В силу результата задачи 16.34 получаем, что
с) sin nx dx
(рBтг) sup
се [0,2тг]
В общем случае согласно задаче 14.69 существует разложение ip(x) =
= ^i(x) — ip2(x)> гДе V^il1) и (/:J(^) — неотрицательные неубывающие
функции на [0,2тг] и F02-((^) = F027r(^i) + V**(<p2). Тогда
2тг	2тг
<р(х) sin nxdx
(f\(x) sin nxdx
П

408
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.38. Пусть (р(х) = Х[о,тг](ж). Тогда V^(ip) = 1 и
.2тг
<р(х) sinnx dx
1 — cos тга
при нечётных п. ?
16.39. Согласно задачам 16.3 и 16.6 имеем
2тг
2тг
х) sin nxdx
0
(р{2тг) — (р{0
п
_ 1
77,
) 1
п
(p(x)dcosnx
0
2тг
cos nx dtp (x)
J
0
=
_ 1
п
2тг
cosnxd(?>(a;)
J
0
п
16.40. Пусть у?(ж) = X[2L>7r](a;). Тогда 1^027Г(^) = 2 и, если n = 2Bfc +
1), где к е N, то
cos тгп — cos -
2 1
71	71
?
16.41. Рассмотрим разбиение Т = {а = хо < х\ < ... < хп = Ъ}.
Тогда (см. задачу 16.6)
к=\
к=\
/с=1
Предположим, что <р(х) непрерывна справа в точке
дачи 16.6 и 14.37)
q. Тогда (см. за-
запри h -^ +0. Аналогично доказывается непрерывность слева. П

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
409
16.42. Из задачи 16.6 следует, что для любых х, у G [0, 1] выпол-
выполнены оценки
le
max \f(u)-f(v)\-V0\<p),
u,vE[0,2\:
\u-v\ = \x-y\
откуда (с учётом теоремы Кантора) следует утверждение задачи. ?
16.43. Пусть Е — множество всех точек непрерывности функции
<р(х) на (а,Ь), и х,у G Е. Пусть х < у, а натуральное щ таково, что
\/щ < min (х — а,Ь — у). Тогда при n ^ щ определим функцию fn(z) =
= 1 при z G [х, у], fn(z) = 0 на [а,х — 1/n] U [у + 1/п, Ь] и продолжим fn
по линейности на отрезки [х — 1/п,х] и [?/,?/+ 1/п]. Ясно, что каждая
fn(z) — неотрицательная непрерывная функция на [а, Ь]. Поэтому
ъ	х	у+\/п
a	x-\/n
Так как (см. задачу 14.37)
при п
х— 1/п
оо, и, аналогично,
2/+1/п
при п ^ оо, то мы получаем, что <р(у) — <р(х) ^ 0. Заметим, что
множество А = [а, Ь] \ .Е не более чем счётно. Если и G А, то пусть
«n = inf ip(x) и /3„ = sup у?(ж)
Х^Е:	хеЕ:
х>и	х<и
(при х = а формально положим (За = аа, а при х = b пусть а^ = $>.)
Ясно, что aw ^ /3W при всех «G А Определим функцию
ф(х) =
ж), если х ? Е,
п	А
\CХ, если х е А.
Тогда ф(х) — неубывающая функция на [a, b], a множество
{хе [а,Ь]: ф(х) ^ф)}СА
не более чем счётно. ?

410
Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
16.44. Так как (см. задачу 16.41) ф(х) е V([a,b\), то оба интеграла
существуют. Для заданного г > 0 выберем такое 5 > 0, что если х, у G
G [а, Ь] и \х — у\ < 5, то \f(x) — f(y)\ < s. Возьмём такое разбиение Т =
= {а = xq < х\ < ... < хп-\ < хп = Ь} с отмеченными точками {&}&=! >
что Л(Т) < 5. Тогда
/с=1
lie E
/с=1
J (/(*)-
откуда следует утверждение задачи. ?
16.45. Заметим, что (см. задачу 11.1) tp'(x) Gl/((o,6)), поэтому
(см. задачу 15.33) функция (р(х) принадлежит АС([а,Ь\), и тем более
принадлежит V([a,b\). Как следствие, f(x) е 7?<Д[а, Ь]). По критерию
Лебега (см. задачу 11.3) f(x)(pf(x) e 1Z([a,b}). Для заданного г > 0
выберем такое 5 > 0, что если Т — разбиение отрезка [а, Ъ] с отмечен-
отмеченными точками, удовлетворяющее условию А(Т) < 5, то
¦(/;«>)-
<§
Пусть теперь W = {а = xq < х\ < ... < хп_\ < хп = Ь} — некоторое
разбиение отрезка [а, Ъ] с A(W) < 5. Тогда по теореме Лагранжа
фк) ~ фк-\) =
- Хк-\)
при к = 1, 2,..., п, где у^ G (xk-\, х^)- Обозначим через Т разбиение W
с отмеченными точками ?& = у^ при к = 1,2,...,п. Тогда
= S(f(pf;T), откуда следует, что
< е.
Поскольку г > 0 произвольно, утверждение задачи тем самым доказа-
доказано. ?
16.46. Существование обоих интегралов очевидно. Для заданного
г > 0 выберем такое 5 > 0, что если х,у G [а, 6] и |ж — у\ < 5, то

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса
411
\f(x) — f(y)\ < ?, и если Т — разбиение отрезка [а,Ь] с отмеченными
точками {6с}&=1> удовлетворяющее условию А(Т) < 5, то
ъ
а
Тогда для такого разбиения Т получаем, что
и
STU\4>)-\f{x)dv{x)
к=\
Следовательно,
Г (fix)
J
(xk-i,xk)
f(x)<p'(x)d»
(a,b)
<Ce,
где С = С((р). Поскольку г > 0 произвольно, то утверждение тем
самым доказано. ?
16.47. Существование обоих интегралов очевидно. Для заданного
г > 0 выберем такое 5 > 0, что если множество А с [a, b] измеримо
и fi(A) < 5, то
и если Т — разбиение отрезка [а,Ь] с отмеченными точками
удовлетворяющее условию Л(Т) < 5, то
Тогда для такого разбиения Т получаем, что
о- J я
sup
I
max
(xk-i,xk)

412	Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтьеса
Следовательно,
ъ
/О) dip(x) - J f(x)cp'(x) dfi
(a,b)
<Сг,
где С = C(f). Поскольку г > О произвольно, то утверждение тем самым
доказано. ?
16.48. Имеем
sin xdip(x) = sinxdx — ^ sin ^ + B — ^
О	0	тг/2
П	°
= sin x dx — — =2— —.
2
о
16.49.	Имеем
О	7Т
/ = (-тг + 2)(-е-7Г) + J (x + 2)(-еж) dx + 4 + |(ж + 2)еж (to -
-7Г	О
- (тг + 2)ек = (-тг + 2)(-е~7Г) + 4 - (тг + 2^ -
О	тг
- [ (ж + 2) de* + [(ж + 2) dex = (-тг + 2)(-е~7Г) + 4 - (тг + 2)е7Т +
-7Г	О
О	7Т
+ (-тг + 2)e-7r + (тг + 2)е7Т - 4 + \ ех dx - \ех dx = 2 - е~* - ё«.
-7Г	О
?
16.50.	Имеем
тг	тг
/ = — 1 + \{х — 1) d cos х = — 1 — (тг— 1) + 1 — cos х dx = 1 — тг.
о	о
?
16.51.	Из определения д(х) следует, что д(х) -\- д{\ — х) = \ на
[О, 1]. Поэтому
1	1/2	О
I = g(l)-^g(x)dx=l- g(x)dx+ g(l - х) dx =
0	0	1/2
I/2
о
?

Гл. 16. Интеграл Римана-Стилтъеса	413
( х \ 1
16.52. Из определения д(х) следует, что д ( — 1 = -^ д(х) и что
2 х\ 1 1
- + - =о + о з(х) на ж G [0, 1]. Поэтому для любого натурально-
О О /	Z Z
го к получаем
1	1/3
4 = J ж* dg{x) = \ хк dg{x) + ^ dg{x)
О	2/3
1	1	-к
о	о	7	r=1
откуда следует, что
Ясно, что /о = 1 и (см. задачу 16.51) /i = 1/2. Следовательно,
65 5
П
16.53. Заметим, что
1
\g(x)dg(x)=g2(\)-\g(x)dg(x),
О
откуда следует, что
О
Но д(\ — х) = 1 — д(х) на [0, 1], поэтому
1 1
U

Список литературы
1.	Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. — М.-Л.:
ГТТИ, 1934.
2.	Александров П. С, Колмогоров А.И. Введение в теорию функций действи-
действительного переменного. — М.-Л.: ОНТИ, 1938.
3.	Лузин И.И. Теория функций действительного переменного. — М.: Учпед-
Учпедгиз, 1940.
4.	Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949.
5.	Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.
6.	Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.:
ИЛ, 1954.
7.	Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука,
1974.
8.	Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функциональ-
функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
9.	Толстое Г. П. Мера и интеграл. — М.: Наука, 1976.
10.	Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. — М.: Факториал, 1998,
2002.
11.	Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального ана-
анализа. — М.: Наука, 1979.
12.	Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного. — М.: Наука, 1980.
13.	Леонтьева Т.А., Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории функций
действительного пременного. — М.: Изд-во МГУ, 1997.
14.	Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. — М.: Просвеще-
Просвещение, 1981.
15.	Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избран-
Избранные задачи по вещественному анализу. — СПб.: Невский диалект, 2004.

Предметный указатель
^-кольцо 85
сг-алгебра 85
сг-кольцо 85
TV-свойство Лузина 348
Абсолютная непрерывность инте-
интеграла Лебега 211
	меры относительно другой ме-
меры 273
	функции 348
Аксиома выбора 14
Алгебра 85
—	борелевская 87
Вариация функции 315
Верхняя мера Жордана 113
	Лебега 113
Внутренность множества 31
Декартово произведение множеств 7
Единица системы множеств 85
Замыкание множества 31
Заряд 273
Измеримое пространство 160
	сг-конечное 160
	 конечное 160
Индикатор 14
Индикатриса Банаха 166
Интеграл Лебега от интегрируемой
функции 201
	неотрицательной функции
201
	простой функции 200
Интегральная сумма Лебега 205
	Римана 241
	Римана-Стилтьеса 385
Канторово множество замкнутое 16
	 открытое 16
Колебание функции 69
Кольцо 85
Компакт 68
Критерий Дарбу 241
—	Лебега 242
Мажоранта 206
Мера 97
—	сг-аддитивная 97
—	сг-конечная 97
—	Жордана 113
—	классическая 100
—	конечная 97
—	Лебега 113
	сг-конечная 114
—	полная 116
—	Стилтьеса 319
Метрика 30
Минимальное сг-кольцо, содержа-
содержащее систему множеств 87
—	кольцо, содержащее систему мно-
множеств 87
Множества с равными мощностями
13
—	сравнение мощностей 13
—	эквивалентные 13
Множество всюду плотное 31
—	второй категории Бэра 31
—	выпуклое 33
—	замкнутое 30
—	измеримое по Жордану 113
	Лебегу 113
—	мощности континуума 13
—	не более чем счётное 13
—	неограниченной расходимости по-
последовательности 68
—	несчётное 13
—	нигде не плотное 31
—	открытое 30
—	отрицательное относительно за-
заряда 273
—	первой категории Бэра 31
—	положительное относительно за-
заряда 273
—	расходимости последовательно-
последовательности 68
—	совершенное 31
—	сходимости последовательности
68
—	счётное 13
—	типа Fa 30
	Gs 30
Модуль непрерывности функции
280
Непрерывность меры 99
Неравенство Гёльдера 273

416
Предметный указатель
—	Минковского 273
—	Чебышёва 209
Норма 32
Объединение множеств 7
	дизъюнктное 7
Окрестность 30
Пересечение множеств 7
Подпокрытие 33
Покрытие множества 33
	в смысле Витали 124
	открытое 33
Полукольцо 85
—	с единицей 85
Предел последовательности мно-
множеств верхний 7
	нижний 7
Пример Ф. Рисса 189
Простая функция 200
Пространство 1Р 32, 272
—	банахово 32
—	гильбертово 32
—	квазиметрическое 280
—	метрическое 30
	 дискретное 43
	 полное 31
	 сепарабельное 31
—	нормированное 32
Разложение Жордана 282
—	Хана 282
Разность множеств 7
Расстояние достигается между дву-
двумя множествами 31
	от точки до множества 31
Свёртка функций 263
Сечение множества 32
Симметрическая разность множеств
7
Скалярное произведение 32
Суммы Дарбу 241
Сходимость по мере 180
—	почти всюду 180
Теорема Б. Леви для интегрируемых
функций 206
	неотрицательных функций
205
	рядов 206
—	Банаха-Зарецкого 350
—	Больцано-Вейерштрасса 35
—	Бэра 42
—	Витали 123, 124
—	Гейне-Бореля 39
—	Егорова 183
—	Кантора 70
—	Кантора-Бернштейна 17
—	Лебега 206
—	Лузина 183
—	о среднем вторая 390
—	Радона-Никодима 282
—	Ф. Рисса 182
—	Фату 206
—	Фубини 262
—	Хелли вторая 322
	 первая 390
Тождество параллелограмма 40
Точка Лебега (функции) 348
—	множества внутренняя 31
	 изолированная 31
	 предельная 31
	точка конденсации 31
	плотности 348
—	разрыва первого рода 315
Фундаментальная последователь-
последовательность 30
	по мере 181
Функции эквивалентные 160
Функция возрастающая 14
—	Дирихле 79
—	измеримая 160
—	интегрируемая по Лебегу 201
	Риману 241
	— в несобственном смысле
242
	Риману-Стилтьесу 385
—	Кантора 76
—	непрерывная в точке 68
—	неубывающая 14
—	ограниченной вариации 315
—	полунепрерывная сверху в точке
69
—	Римана 72
—	сингулярная 321
—	скачков 316
—	характеристическая 14
Шар замкнутый 30
—	открытый 30

Учебное издание
УЛЬЯНОВ Петр Лаврентьевич
БАХВАЛОВ Александр Николаевич
ДЬЯЧЕНКО Михаил Иванович
КАЗАРЯН Казарос Согомонович
СИФУЭНТЕС Патрисио
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.05.05. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,6. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0595-7
9 785922 105958