АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ
КНИГА ПЯТАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 19 66

51.3 (03)
Э68
УДК 513.0 (03)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ЭНЦИКЛОПЕДИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ
П. С. АЛЕКСАНДРОВ,
А. И. МАРКУШЕВИЧ,
А. Я. ХИНЧИН
РЕДАКТОРЫ КНИГИ ПЯТОЙ:
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ,
И. М. ЯГЛОМ
Scan AAW
ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
КНИГА ПЯТАЯ — ГЕОМЕТРИЯ
М., 1966 г., 624 стр. с илл.
Редакторы В. И. Битюцков, И. Е. Морозова.
Техн. редактор С. #. Шкляр. Корректор С. Н. Емельянова.
Сдано в набор 20/XI 1965 г. Подписано к печати 24/Ш 1966 г. Бумага 60x90Vi6.
Физ. печ. л. 39. Условн. печ. л. 39. Уч.-изд. л. 41,18. Тираж 25 000 экз.
Т-04630. Цена книги 1 р. 56 к. Заказ № 336.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Главполиграфпром Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 1 «Печатный Двор» им А. М. Горького,
Гатчинская, 26 с матриц Первой Образцовой типографии им. А. А. Жданова,
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-2
8-65

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
(В. А. Рохлин)
§ 1. Введение: что такое площадь? 7
§ 2. Класс многоугольных фигур 13
§ 3. Площадь на классе многоугольных фигур 21
§ 4. Класс квадрируемых фигур 33
§ 5. Площадь на классе квадрируемых фигур 44
§ 6. Другое построение теории площадей 56
§ 7. Объем 65
Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия 81
Литература 86
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
(В. Г. Болтянский)
§ 1. Длины ломаных линий 89
§ 2. Простые дуги 100
§ 3. Спрямляемые линии 109
§ 4. Длина на классе спрямляемых линий 117
§ 5. О понятии площади поверхности . 130
Литература 140
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
(В. Г, Болтянский)
§ 1. Введение 142
§ 2. Равносоставленность многоугольников 158
§ 3. Равносоставленность многогранников 165
Литература 180
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
(В. Г. Болтянский у И. М. %глом)
§ 1. Определение и основные свойства 182
§ 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур .... 195
§ 3. Выпуклые многоугольники и многогранники 207
§ 4. Периметр, площадь, объем 219
§ 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах 239
§ 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии 247
Литература 267

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМА МИНИМУМ
(В. Г. Болтянский, Я. М. Яглом)
§ 1. Наибольшие и наименьшие значения функций 270
§ 2. Знаменитые геометрические задачи 307
§ 3. Задачи на максимум и минимум, связаннее* с выпуклыми фигурами 338
Литература 347
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(Б. А. Розенфельду И. М. Яглом)
§ 1. Определение многомерного пространства 349
§ 2. Прямые и плоскости 354
§ 3. Шары и сферы 373
§ 4. Многогранники 378
Литература 391
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
(Б, А. Розенфельду И. М. Яглом)
§ 1. Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского 394
§ 2. Неевклидова геометрия Рима на 404
§ 3. Псевдоевклидова геометрия 420
§ 4. Неевклидова геометрия Лобачевского 439
§ 5. Неевклидова геометрия Галилея 452
§ 6. Неевклидовы геометрии и группы преобразований 458
§ 7. Некоторые другие геометрические системы 465
Литература 474
ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
(В. А. Ефремович)
Введение 477
§ 1. Линии и поверхности 484
§ 2. Многообразия 516
§ 3. Общие топологические понятия 536
Литература 555
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
(3. А. Скопец)
§ 1. Различные определения конических сечений 557
§ 2. Эллипс 569
§ 3. Гипербола ' 587
§ 4. Парабола 598
§ 5. Некоторые общие свойства конических сечений 603
Литература 607
Именной указатель 609
Предметный указатель 612

ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение: что такое площадь? 7
1.1. Основные свойства площади 7
1.2. Квадрируемые фигуры 8
1.3. Аксиоматическое определение площади 9
1.4. Проблема существования площади 10
1.5. Конструктивные определения площади 10
1.6. Сравнение площади с элементарными функциями
действительного переменного , 12
1.7. Итоги 12
§ 2. Класс многоугольных фигур 13
2.1. Внутренние, внешние и граничные точки 13
2.2. Открытые и замкнутые множества 15
2.3. Выпуклые многоугольники 16
2.4. Многоугольные фигуры 17
2.5. Операции над многоугольными фигурами 18
§ 3. Площадь на классе многоугольных фигур 21
3.1. Определение площади 21
3.2. Простейшие следствия определения 21
3.3. Вычисление площади прямоугольника 22
3.4. Вычисление площади треугольника и трапеции 23
3.5. Вычисление площади произвольной многоугольной фигуры 23
3.6. Строгая монотонность 24
3.7. Теорема существования и единственности 24
3.8. Поведение площади при преобразовании подобия 29
3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании ... 29
3.10. Поведение площади при аффинном преобразовании 30
§ 4. Класс квадрируемых фигур 33
4.1. Определение квадрируемой фигуры , 33
4.2. Замечание о выборе фигур Р и Q 33
4.3. Нуль-множества 34
4.4. Лемма о граничной точке 35
4.5. Критерий квадрируемости 35
4.6. Операции над квадрируемыми фигурами 36
4.7. Линии 36
4.8. Квадрируемость классических фигур 40
4.9. Круг 41
4.10. Примеры неквадрируемых множеств 41
§ 5. Площадь на классе квадрируемых фигур 44
5.1. Определение площади 44
5.2. Простейшие следствия определения 44
5.3. Площадь как точная грань 45
5.4. Площадь как предел 46

6
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
5.5. Теорема существования и единственности 47
5.6. Нуль-множества 48
5.7. Полнота класса квадрируемых фигур 48
5.8. Поведение площади при аффинном преобразовании 49
5.9. Вычисление площади 50
5.10. Площадь на классе квадрируемых замкнутых областей ... 54
§ 6. Другое построение теории площадей 56
6.1. Введение 56
6.2. Площадь относительно сетки 57
6.3. Критерий квадрируемости 59
6.4. Операции над квадрируемыми фигурами 60
6.5. Основные свойства площади 61
6.6. Теорема единственности 63
6.7. Инвариантность площади 64
6.8. Эквивалентность двух определений площади 64
§ 7. Объем 65
7.1. Введение 65
7.2. Класс многогранных тел 66
7.3. Определение объема на классе многогранных тел 68
7.4. Вычисление объема на классе^ многогранных тел 68
7.5. Существование и единственность объема на классе
многогранных тел 72
7.6. Поведение объема многогранного тела при геометрических
преобразованиях 75
7.7. Класс кубируемых тел 75
7.8. Объем на классе кубируемых тел 76
7.9. Цилиндры и конусы 77
7.10. Шар 78
7.11. Тела вращения 80
7.12. Другое построение теории объемов 81
Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия 81
1. Метрическая геометрия и геометрия подобия 81
2. Преобразование площади и объема при замене единичного
отрезка 83
3. Переход к геометрии подобия 84
4. Единицы длины, площади и объема 85
Литература 86
Эта статья посвящена основным вопросам теории площадей и
объемов — их определению, свойствам и вычислению. Площадь
изучается только на плоскости. Определение площади кривой
поверхности требует совсем других средств1).
Предполагается, что читатель знаком с теорией длин
прямолинейных отрезков (см. стр. 89—94). Напомним, что в основе этой
теории лежит выбор единичного отрезка. Если единичный отрезок
заменяется другим отрезком, то длины всех отрезков делятся на старую
длину нового единичного отрезка. Площади и объемы тоже зависят
от выбора единичного отрезка. Эта зависимость изучается в специ-
г) См. статью «Длина кривой и площадь поверхности» в этом томе
ЭЭМ. (Прим. ред.)

введение: что такое площадь?
7
альном добавлении, помещенном после статьи. В самой статье
единичный отрезок считается фиксированным раз и навсегда.
Требования к общей подготовке читателя почти всюду
ограничиваются самыми начальными сведениями о множествах, функциях
и последовательностях (свойства сложения, вычитания и
пересечения множеств; общее понятие числовой функции; границы числовых
множеств; предел последовательности). Немногие менее
элементарные пункты отмечены звездочкой и могут быть пропущены без
ущерба для понимания остального.
Наименее элементарной проблемой теории площадей и объемов
является их вычисление: сколько-нибудь полное рассмотрение этой
проблемы требует интегрального исчисления, притом привлечения
не только простых, но и кратных интегралов, включая переход
к криволинейным координатам. Понятно, что такие сложные вещи
не могут излагаться в элементарной статье. Приходится
ограничиться несколькими формулами, выражающими площади и объемы
через простые интегралы.
§ 1. Введение: что такое площадь?
1.1. Основные свойства площади. Площадь принадлежит к числу
наиболее широко известных математических понятий — тех, с
которыми все мы встречаемся в практической жизни. Практическое
знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надежным
в наших глазах. Площадь представляется нам физической
реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы.
Значительно менее известен тот факт, что площадь —очень не
простое понятие. Точное определение площади представляет
значительные логические трудности и почти неизвестно за пределами
узкого круга профессиональных математиков. Многим самый вопрос
покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное
понятие, не подлежащее определению.
Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще
в древности. До сравнительно недавнего времени этого взгляда
придерживались и математики. На протяжении многих столетий
они видели свою задачу в вычислении площадей; им не приходило
в голову, что площадь нуждается в специальном определении.
Между тем их вычисления должны были на чем-то
основываться—если не на прямом определении, то на чем-то, его
заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий
раз получать в качестве площади определенное число. И такие
принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались.
Это — основные свойства площади. Они широко известны, потому
что служат основой всех применений —теории площадей. Мы
выскажем их в следующей форме, наиболее удобной для наших целей.

8
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
(а) Площадь фигуры есть неотрицательное число.
(Р) Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур без
общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур,
(у) Равные фигуры имеют равные площади.
(б) Площадь единичного квадрата равна единице.
Свойство (а) называется положительностью, ((5) —
аддитивностью, (у) — инвариантностью, (б) — нормированностью. Под
единичным квадратом понимается квадрат, построенный на единичном
отрезке. Подчеркнем, что в этой статье речь идет исключительно
о площадях плоских фигур.
Конечно, в действительности четыре свойства не были
единственными, которыми математики пользовались при вычислении
площадей. Но все другие свойства площади, которые они явно или
неявно использовали, оказались следствиями этих четырех. В
качестве примера укажем на широко известное свойство, называемое
монотонностью: площадь части фигуры не превышает площади
всей фигуры. Монотонность есть следствие положительности и
аддитивности. Действительно, пусть F — фигура и О—ее часть.
Обозначим через G' дополнительную часть. Так как О и G' вместе
составляют фигуру F и не имеют общих внутренних точек, то
пл. /7=пл. G+пл. G', а так как пл. G'^0, то пл. ^^пл. G.
1.2. Квадрируемые фигуры. Методы, позволяющие вычислять
площади на основании свойств (а) — (б), в своих наиболее общих
чертах также были созданы еще в древности.
Сначала математики научились вычислять площади
многоугольных фигур. Было установлено, что площадь треугольника равна
половине произведения основания на высоту и что для вычисления
площади произвольной многоугольной фигуры достаточно разбить
ее на треугольники без общих внутренних точек и сложить
площади этих треугольников.
Перейдя к фигурам, ограниченным кривыми линиями, математики
стали приближать их многоугольными фигурами. Пусть F— фигура,
площадь которой должна быть вычислена. Рассмотрим, с одной
стороны, всевозможные многоугольные фигуры, содержащиеся в F,
с другой стороны,— всевозможные многоугольные фигуры,
содержащие F. Первые называются входящими в F, вторые —
объемлющими F. В силу монотонности площади, для любой входящей
многоугольной фигуры Р и любой объемлющей многоугольной
фигуры Q справедливо неравенство
пл. Р^ пл. F^. пл. Q.
Таким образом, площади фигур Р и Q служат приближенными
значениями площади фигуры F с недостатком и с избытком.
Погрешности обоих приближений, т.е. разности пл. F—пл. Р и
пл. Q —пл. Z7, не превышают разности пл. Q — пл. Р. Предположим,

введение: что такое площадь?
9
что путем надлежащего выбора многоугольных фигур Р и Q мы
можем сделать последнюю разность сколь угодно малой. Тогда и
погрешности наших приближений могут быть сделаны сколь угодно
малыми. Это значит, что площадь фигуры F может быть вычислена
с произвольной степенью точности.
Ясно, что этот метод применим только к таким фигурам F, для
которых существуют входящие многоугольные фигуры Р и
объемлющие многоугольные фигуры Q со сколь угодно малыми разностями
пл. Q — пл. Р. Такие фигуры F называются квадрируемыми.
Например, круг-—квадрируемая фигура. Для него в качестве Р и Q
могут быть взяты правильные 2"-угольники — вписанный и
описанный. Известно, что разность площадей этих 2п-угольников
стремится к нулю при п—*оо.
Класс квадрируемых фигур очень широк. Только с
квадрируемыми фигурами и имеет дело теория площадей, которой мы
будем заниматься.
1.3. Аксиоматическое определение площади. Оказывается, что
сведений, которыми мы уже располагаем, достаточно для
определения площади. Нужно лишь взглянуть на них с новой точки зрения.
Отделим прежде всего чисто математические сведения о
площади, содержащиеся в пп. 1.1 и 1.2, от исторических и иных
соображений. Эти сведения сводятся к трем положениям: (1) Каждой
квадрируемой фигуре отвечает определенное число — ее площадь.
(2) Эти числа-площади обладают свойствами (а)— (б). (3) Площадь
любой квадрируемой фигуры можно вычислить с произвольной
степенью точности на основании свойств (а) — (6). Первое
положение означает, что площадь есть функция, определенная на
классе квадрируемых фигур. Согласно второму эта функция
обладает свойствами (а) — (б). Третье положение показывает, что
на классе квадрируемых фигур не существует другой функции со
свойствами (а) — (б). Следовательно, площадь может быть
определена как функция квадрируемой фигуры, обладающая
свойствами (а) —(б).
К сожалению, эта краткая формулировка не безупречна: она
предполагает, что класс квадрируемых фигур уже определен,
тогда как определение этого класса само опирается на понятие
площади, правда, только на понятие площади многоугольной
фигуры. Чтобы устранить это затруднение, достаточно предварительно,
с помощью тех же условий (а) — (б), определить площадь на классе
многоугольных фигур. Полная формулировка определения площади
состоит, таким образом, из трех частей: сначала площадь
определяется как функция со свойствами (а) — (б) на классе
многоугольных фигур; затем определяется класс квадрируемых фигур;
наконец, площадь определяется как функция со свойствами (а) —(б)
на классе квадрируемых фигур.

10
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Как видно из предыдущего, это определение представляет собой
лишь перевод на современный математический язык тех
представлений о площади, которые достались нам в наследство от
математиков прошлого. Конечно, такой перевод не мог обойтись без
уточнений. Наиболее заметное уточнение касается класса фигур,
которым приписывается площадь. Мы должны были точно указать
этот класс, тогда как прежде математики не ставили перед собой
такой задачи.
Нетрудно заметить, что свойства (ос) — (б) играют в изложенном
определении площади роль аксиом. Иногда их называют аксиомами
площади, а само определение называют аксиоматическим.
1.4. Проблема существования площади. Вернемся к трем
положениям, сформулированным в начале предыдущего пункта.
Положения (1) и (2) были приняты нами как очевидные; положение (3),
согласно пп. 1.1 и 1.2, представляет собой теорему, которая может
быть доказана. Из положения (3) вытекает, что на классе квадри-
руемых фигур не может быть двух различных функций со
свойствами (ос)— (б); утверждение, содержащееся в положениях (1) и (2),
состоит, очевидно, в том, что по крайней мере одна такая функ~
ция существует.
Поскольку положение (3) может быть доказано, единственность
нашей функции не вызывает сомнений. Но так ли уж очевидны
положения (1) и (2)? Разве в действительности очевидно, что на
классе квадрируемых фигур, или хотя бы на классе многоугольных
фигур, существует функция со свойствами (а) — (б)?
Конечно, это вовсе не очевидно. До сих пор положения (1) и (2)
представлялись нам очевидными просто потому, что мы исходили
из старого взгляда на площадь как на нечто данное. В
действительности существование функции со свойствами (а) — (б) требует
доказательства. Сначала должны быть доказаны существование и
единственность такой функции на классе многоугольных фигур,
затем должен быть определен класс квадрируемых фигур и, наконец,
должны быть доказаны существование и единственность такой
функции на классе квадрируемых фигур. Только после того как все это
проделано, слова «площадь есть функция квадрируемой фигуры,
обладающая свойствами (а) — (б)», становятся полноценным определением.
1.5. Конструктивные определения площади. Все известные
доказательства существования функции со свойствами (а) — (б)
заключаются в прямом построении этой функции, т. е. в описании
процесса, позволяющего по фигуре F найти число пл. F. После
того как функция построена, устанавливается, что она обладает
свойствами (а) — (б). Разные доказательства отличаются друг от
друга, конечно, не тем, что приводят к различным функциям,—
функция всегда одна и та же, — а тем, что в них по-разному
строится эта функция.

введение: что такое площадь?
И
Одно из возможных прямых построений функции со свойствами
(а)— (б) на классе многоугольных фигур фактически было описано
в п. 1.2: заданная многоугольная фигура разбивается на
треугольники без общих внутренних точек, затем для каждого треугольника
составляется половина произведения какой-нибудь стороны на
соответствующую высоту и результаты складываются. Тот факт, что
этим путем действительно получается функция многоугольной
фигуры со свойствами (а)—(б), требует, конечно, доказательства.
После того как площадь построена на классе многоугольных
фигур, ее уже сравнительно нетрудно продолжить на класс квад-
рируемых фигур. Способ продолжения опять-таки был фактически
описан в п. 1.2: за площадь квадрируемой фигуры принимается
то единственное число, для которого площади входящих
многоугольных фигур служат приближениями с недостатком, а площади
объемлющих многоугольных фигур — приближениями с избытком.
Свойства (а) — (б) для продолженной функции выводятся из ее уже
установленных свойств на классе многоугольных фигур.
Всякое прямое построение функции со свойствами (ос)— (б) само,
очевидно, может служить определением площади. Такие
определения называются конструктивными, и любое из них может быть
положено в основу теории площадей. Если при аксиоматическом
определении площади должны быть доказаны ее существование
и единственность, то при конструктивном определении становятся
теоремами и подлежат доказательству свойства (ос)— (б). С
логической точки зрения конструктивное построение теории площадей
эквивалентно аксиоматическому и в конечном счете отличается от
него лишь порядком изложения. Методически каждое построение
имеет свои достоинства и свои недостатки.
Для начинающего очевидным недостатком намеченного выше
конструктивного определения площади является его
психологическая неубедительность: площадь треугольника по определению
объявляется равной половине произведения основания на высоту.
Более естественным является конструктивный подход к понятию
площади, содержащийся в широко известной наивной формулировке:
площадь фигуры есть число единиц, площади, заключенных в этой
фигуре. Этой формулировке можно следующим образом придать
точный смысл. Разобьем плоскость горизонталями и вертикалями
на квадраты со стороной 1, затем каждый из них на 100
квадратов со стороной г/10, затем каждый из полученных квадратов —на
100 квадратов со стороной 1/100, и т. д. Пусть ап—число
квадратов со стороной 1/107г, целиком содержащихся в заданной фигуре F,
и а'п — число квадратов со стороной 1/10п, пересекающихся с этой
фигурой (см. рис. 19 на стр. 57), Положим sn= a"/ioon и sn = an/100n.
С наивной точки зрения sn есть «число единиц площади,
заключенных в F», взятое с недостатком, а s'n—«число единиц площади,

12
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
заключенных в Z7», взятое с избытком. Если существует
единственное число, заключенное между всеми числами sn и всеми числами s'n ,
то фигура F называется квадрируелюй и указанное число
называется площадью фигуры F. Доказывается, что эта площадь обладает
свойствами (а) — (б) и что это второе определение квадрируемости
эквивалентно определению п. 1.2.
1.6. Сравнение площади с элементарными функциями
действительного переменного. Логическая ситуация, с которой мы имели
дело в предыдущих пунктах, встречается в математике довольно
часто. Многие известные функции могут быть определены как
своими свойствами («аксиоматически»), так и прямым построением
(«конструктивно»). Геометрическими примерами могут служить,
наряду с площадью, длина и объем. Не лишним будет и пример из
другой области.
Рассмотрим показательную функцию f(x) = ax (а>0). Хотя
с ее точным определением знакомы лишь немногие, ее основные
свойства широко известны. Мы выберем следующие три свойства:
(а) Если х<у, то f{x)<,f(y) при а^\ и f(x)^f(y) при
а<1. (b) f(x+y)=f(x)f(y). (с) /(1) = а.
Можно показать, что эти три свойства позволяют с
произвольной степенью точности вычислить значение функции ах при любом
действительном значении х. Следовательно, на множестве
действительных чисел не существует двух различных функций с
этими свойствами. Иными словами, ах можно аксиоматически
определить как функцию действительного числа, обладающую
свойствами (а), (Ь), (с).
Доказательство существования такой функции состоит в ее
прямом построении. Сначала ее значения определяются для целых,
затем для дробно-рациональных и, наконец, для иррациональных
значений х. Это построение, правда лишь в самых общих чертах,
излагается в школе. Оно представляет собой не что иное, как
конструктивное определение функции ах.
Аналогично могут быть определены и другие основные
элементарные функции: логарифмические, степенные, тригонометрические
и обратные тригонометрические. Например, \ogax можно
определить как функцию положительного числа, обладающую тремя
свойствами: (а) если х<.у, то f(x)<f(y) при а>\ и f(x)>f(y)
приа<1; (Ъ) f(xy)=f(x)+f(y); (c)/(a) = l.
1.7. Итоги. Главный итог состоит в том, что площадь, которую
прежде математики считали первичным понятием, может быть
определена через более простые понятия и в конечном счете сведена
к основным понятиям геометрии и арифметики. Это сведение не
просто и добавляет к проблеме вычисления площади, которая
раньше была единственной в теории площадей, ряд новых
проблем логического характера.

КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
13
Без сомнения, эти новые проблемы представляют для
начинающего известные трудности. Задача настоящего введения — помочь
читателю преодолеть их. Построение теории площадей,
намеченное в предыдущих пунктах, будет подробно развито в дальнейшем.
Систематическое изложение начнется со следующего параграфа.
§ 2. Класс многоугольных фигур
2.1. Внутренние, внешние и граничные точки. Пусть
М—произвольное множество точек плоскости. Точка плоскости называется
внутренней по отношению к М, если существует круг с центром
в этой точке, целиком лежащий в М. Точка плоскости называется
внешней по отношению к М, если существует круг с центром
в этой точке, не имеющий с М общих точек. Точка плоскости
называется граничной по отношению к Ж, если всякий круг с
центром в этой точке содержит по крайней мере одну точку,
принадлежащую множеству Ж, и по крайней мере одну точку, не
принадлежащую множеству М. Ясно, что каждая точка плоскости
является по отношению к М либо
внутренней, либо внешней, либо граничной. Точки
всех трех типов показаны на рис. 1.
Всякая точка, внутренняя по
отношению к М, принадлежит множеству Мщ
Совокупность всех внутренних точек
называется внутренней частью множества М.
Ни одна точка, внешняя по отношению к М,
не принадлежит множеству М. Что
касается граничных точек, то они могут
принадлежать и могут не принадлежать множе- Рис. 1. Внутренние,
ству М. Совокупность всех граничных точек внешние и граничные
(как принадлежащих, так и не принадле- точки,
жащих множеству М) называется границей
множества М. Сумма внутренней части множества М и его границы
называется замыканием множества М. Нетрудно дать и прямое
определение замыкания: точка плоскости в том и только в том случае
принадлежит замыканию множества М, если всякий круг с центром
в этой точке содержит по крайней мере одну точку множества М.
Примеры. 1. М — круг радиуса г с центром в точке Л, т. е.
множество тех точек В, для которых расстояние р (Л, В) не
превышает г. Пусть, далее, С—произвольная точка плоскости. Точка С
является внутренней, если р (Л, С)< г, внешней, если р (Л, С)>г,
и граничной, если р (Л, С) = г. Таким образом, граница круга еоть
окружность с тем же центром и радиусом.
2. М — полуплоскость, т. е. множество, состоящее из точек
некоторой прямой L и всех точек плоскости, лежащих от L по ту же

14
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
сторону, что и некоторая заданная точка. Границей
полуплоскости М является прямая L.
3. Прямая, отрезок, ломаная, окружность вовсе не имеют
внутренних точек. Все их точки являются по отношению к ним
граничными, а все остальные точки плоскости — внешними. В частности,
точки, лежащие внутри окружности, являются по отношению к ней
внешними,—обстоятельство, указывающее на несовершенство
нашей терминологии.
Внутренняя часть множества М будет обозначаться через МВУ
граница — через Жг, замыкание—через М3. Согласно изложенному
выше1), ЖвсуИсЖ3, М3 = Мв + Мг = М+Мг.
Ясно, что если М с N, то Мв с WB и Ж3 с N3. Покажем, что
для любых двух множеств М и N
(MN)B = MBNB, (1)
(M+N)3 = M3 + N3, (2)
(M+N)r cz МГ + ЛГГ, (MN)r с Mr + NTJ (3)
(М—N)TczMr + NT. (4)
Доказательство формулы (1). Если Л ? (MN)B, то
существует круг с центром в точке Л, лежащий в MN, т. е.
лежащий в М и в N. Тогда А?МВ и A?NB, т. е. A?MBNB.
Следовательно, (MN)BczMBNB. Если A?MBNB, то А?МВ и A?NB, т. е.
существует круг с центром в точке А, лежащий в М, и существует
круг с центром в точке Л, лежащий в N. Меньший из этих двух
кругов есть круг с центром в точке Л, лежащий в MN, так что
Л ? (MN)B. Следовательно, MBNB cz (MN)B.
Для доказательства формул (2), (3) и (4) мы воспользуемся
операцией образования дополнения множества. Через доп. М будем
обозначать дополнение множества Му т. е. совокупность всех точек
плоскости, не принадлежащих к М2). Ясно, что точки, внешние по
отношению к М, являются внутренними по отношению к доп. М и
х) Через M + N в дальнейшем будет обозначаться сумма (или, иначе,
объединение) множеств М и N, т. е. множество, состоящее из всех тех
точек, которые принадлежат хотя бы одному из множеств М, N; через
MN будет Обозначаться пересечение множеств М и N, т. е. множество,
состоящее из всех тех точек, которые принадлежат обоим множествам М, N;
наконец, через М—N будет обозначаться разность множеств М и N, т. е.
множество, состоящее из всех тех точек, которые принадлежат
множеству М, но не принадлежат N. (Сумма, пересечение и разность
множеств М и N обозначаются также через MU7V, МП/V и M\N.) Запись
А?М выражает тот факт, что точка А принадлежит множеству М;
запись McN означает, что множество М содержится в множестве N (и,
может быть, совпадает с ним). (Прим. ред.) _
2) Дополнение множества М часто обозначают также через М.
(Прим. ред.)

КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
15
наоборот, и что множества М3 и (доп. М)в служат дополнениями
друг друга:
доп. (М3) = (доп. М)ВУ М3 = доп. ((доп. М)в). (5)
Ясно также, что множества М и доп. М имеют одну и ту же
границу:
АГг=(доп.АОг. (6)
Напомним еще, что
доп.(М+Л0 = (доп.АГ)(доп.Л0, доп. (МЛГ) = (доп. АГ) + (доп. N). (7)
Доказательство формулы (2). Согласно формулам (5), (7)
и (1),((Л1 + Л0з = Доп. ((доп. (М+N))B) = доп.( ((доп. М) (доп. N))B) =
= ((доп. М)в (доп. N)B) = доп. ((доп. М)в) + доп. ((доп. N)B) = М3 + N3.
Доказательство формул (3) и (4). Согласно
формуле (2), (M + N)rc(M+N)3 = M3 + N3 = MB + NB + Mr + Nr. Но
MBcz(M + N)BnNBc: (M+N)B (так как McM+N и NaM + N).
Следовательно, Мв и NB не имеют общих точек с (M-\-N)v и
потому (M + N)raMr + NT.
Далее, согласно формулам (6) и (7) и первой из формул (3),
(МЫ)г = (яоп. (МЛ0)г = (доп. М+доп.ЛОгс:(доп. Ж)г + (доп. N)r =<
= Mr + NT.
Наконец, М—N = M(доп. N) и, согласно второй из формул (3)
и (6), (M-N)r=(M(jxon. Л0)гсЛГг-Идоп. N)r = Mr + tir.
Соотношения (1), (2), (3) очевидным образом переносятся на
любое конечное число множеств.
Множество М называется ограниченным, если оно содержится
в некотором круге. Если К—такой круг, то М3 а К3 = К.
Следовательно, замыкание ограниченного множества есть ограниченное
множество. Очевидно также, что сумма конечного числа
ограниченных множеств есть ограниченное множество.
2.2. Открытые и замкнутые множества. Множество, не
содержащее ни одной своей граничной точки, т. е. состоящее из одних
внутренних точек, называется открытым. Множество, содержащее
все свои граничные точки, т. е. совпадающее со своим замыканием,
называется замкнутым. Так как множество и его дополнение
имеют одну и ту же границу, то множество замкнуто в том и
только в том случае, если его дополнение открыто.
Внутренняя часть любого множества есть открытое
множество.
Действительно, если А?МВ, то существует круг К с центром
в точке Л, лежащий в М. Пусть К' — круг меньшего радиуса
с тем же центром. Ясно, что K'<z.KB. Так как КаМ, то КваМв.
Таким образом, круг К' с центром в точке А целиком содержится
в множестве Мю и потому А — внутренняя точка множества Мв.

16
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Замыкание любого множества есть замкнутое множество.
Действительно, каково бы ни было множество М, множество
(доп. М)в открыто. Следовательно, его дополнение М3 замкнуто.
Сумма и пересечение конечного числа открытых множеств
открыты.
Доказательство достаточно провести для случая двух множеств.
Если множества М и N открыты, то M = MBa(M + N)B, N=NBa
a(M + N)B, M+Nc(M + N)B, (MN)B = MBNB = MN, и потому
множества M-\-N и MN также открыты.
Сумма и пересечение конечного числа замкнутых множеств
замкнуты.
Если М и N замкнуты, то их дополнения доп. М и доп. Л/"
открыты. Следовательно, (доп. М) (доп. N) и (доп. М) + (доп. N)
также открыты, а их дополнения M + N и MN замкнуты.
Примеры. Круг, окружность, полуплоскость, прямая, отрезок,
ломаная — замкнутые множества. Круг, лишенный граничной
окружности, и полуплоскость, лишенная граничной прямой,— открытые
множества.
Замыкание открытого множества называется замкнутой
областью. Например, круг и полуплоскость — замкнутые области.
Заметим, что открытое множество, замыканием которого служит
данная замкнутая область, не единственно. Например, круг есть
замыкание своей внутренней части и той же внутренней части,
лишенной центра.
Всякая замкнутая область является замыканием своей
внутренней части.
Действительно, пусть F=G3, где G—открытое множество. Так
как G с F, то G= GB cz FBi и потому (G)3 cz (FB)3. Таким образом,
F cz (FB)3. Обратно, так как FBczF, то (FB)3a F3 = F.
Следовательно, F=(FB)3.
Сумма конечного числа замкнутых областей есть
замкнутая область.
Действительно, если /71 = (G1)3, ... , Fn=(Gn)3, где Ои ...
..., Gn — открытые множества, то Ох+ .. . + Gn есть открытое
множество и /71+...+/7я==(01+...+0||)8.
2.3. Выпуклые многоугольники. Выпуклым многоугольником
называется пересечение конечного числа полуплоскостей при условии,
что это пересечение ограничено и не лежит на одной прямой.
Если пересечение конечного числа полуплоскостей ограничено
и лежит на одной прямой, то оно представляет собой либо
отрезок, либо точку, либо пустое множество, т. е. совсем не
содержит точек. Следовательно, пересечение выпуклого многоугольника
с полуплоскостью или другим выпуклым многоугольником есть либо
выпуклый многоугольник, либо отрезок, либо точка, либо пустое
множество.

КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
17
Простейшими выпуклыми многоугольниками являются
треугольники. Пусть Л, В, С—три точки, не лежащие на одной прямой.
Обозначим через Пл полуплоскость с граничной прямой ВС,
содержащую точку Л, через Пв — полуплоскость с граничной
прямой СЛ, содержащую точку В, через Пс — полуплоскость с
граничной прямой АВ, содержащую точку С. Треугольник с вершинами
Л, В, Сможет быть определен как пересечение полуплоскостей Пл,
П5, Пс. Это — ограниченная замкнутая область, границей которой
служит ломаная АВСА.
Всякий выпуклый многоугольник можно разложить на конечное
число треугольников, не имеющих общих внутренних точек.
2.4. Многоугольные фигуры. Многоугольной фигурой мы
называем всякое множество точек плоскости, которое может быть
разложено на конечное число треугольников, не имеющих общих
внутренних точек. По формальным соображениям мы причисляем
к многоугольным фигурам пустое множество. Можно считать, что
оно разлагается на треугольники, число которых равно нулю.
Так как треугольник является ограниченной замкнутой областью,
то и сумма конечного числа треугольников есть ограниченная
замкнутая область (см. пп. 2.1 и 2.2). Следовательно, многоугольная
фигура является ограниченной замкнутой областью.
Мы говорим «многоугольная фигура», а не «многоугольник»,
потому что слову многоугольник обычно придают другое значение.
Чаще всего многоугольник определяют как «часть плоскости,
ограниченную не пересекающей себя замкнутой ломаной». Это весьма
сложное понятие, к тому же бесполезное для теории площадей. Нам
Рис. 2. Многоугольные фигуры, не являющиеся многоугольниками.
нужен лишь класс выпуклых многоугольников, определенный в
предыдущем пункте. Впрочем, можно показать, что всякий
многоугольник (в только что указанном смысле) является многоугольной
фигурой. Обратное, конечно, неверно — см. рис. 2.
Всякое разложение многоугольной фигуры на треугольники, не
имеющие общих внутренних точек, мы будем кратко называть
разбиением. Разбиение называется правильным, если пересечение
любых двух его треугольников есть либо их общая сторона, либо

18
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Рис. 3. а) Неправильное
разбиение; б) правильное разбиение.
их общая вершина, либо пустое множество (см. рис. 3). При
правильном разбиении отрезки, служащие сторонами треугольников
разбиения, могут быть двух типов. Отрезок первого типа
служит стороной только одного треугольника разбиения. Отрезок
второго типа служит общей стороной двух треугольников
разбиения, лежащих по разные стороны от проходящей через него
прямой. Отрезки первого типа
составляют границу многоугольной
фигуры. Отрезки второго типа, за
возможным исключением своих
концов, лежат во внутренней части
многоугольной фигуры.
Одно разбиение многоугольной
фигуры называется измельчением
другого, если всякий
треугольник первого разбиения содержится
в некотором треугольнике второго
разбиения. Например, разбиение,
изображенное на рис. 3, б, является измельчением разбиения,
изображенного на рис. 3, а.
Всякое разбиение многоугольной фигуры обладает
правильным измельчением.
Для доказательства воспользуемся следующим очевидным
необходимым и достаточным условием правильности разбиения: если
общая точка двух треугольников разбиения служит вершиной
одного из них, то она служит вершиной и другого. Пусть п — число
«неправильных» вершин, для которых это. условие не выполнено,
А — одна из таких вершин и Т—треугольник разбиения,
содержащий точку Л не в качестве вершины. Ясно, что точка А лежит
на одной из сторон треугольника Т. Отрезок, соединяющий точку А
с вершиной треугольника Г, противоположной этой стороне,
разбивает Т на два треугольника и этим определяет новое разбиение
нашей многоугольной фигуры, служащее измельчением исходного
разбиения. У нового разбиения число неправильных вершин равно
уже п—1. Продолжая этот процесс, мы придем через п шагов
к правильному разбиению.
2.5. Операции над многоугольными фигурами. Речь идет об
операциях сложения, пересечения и вычитания. Что получится,
если мы будем производить эти операции над многоугольными
фигурами?
Пересечение. Пересечение двух многоугольных фигур
может не быть многоугольной фигурой. Например, два треугольника
могут пересекаться в одной точке или по отрезку. Если
исключить эти случаи, то пересечение двух треугольников будет
выпуклым многоугольником или пустым множеством и, значит,

КЛАСС МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
19
Приведенное
пересечением]
Фигуры PuQ Пересечение PQ
Рис. 4.
многоугольной фигурой. Пересечение двух любых многоугольных
фигур, разбитых на треугольники, есть сумма попарных
пересечений этих треугольников. Следовательно, пересечение двух любых
многоугольных фигур представляет собой многоугольную фигуру,
к которой присоединено
конечное число отрезков и р
отдельных точек (рис. 4).
Эту многоугольную
фигуру, служащую «главной
частью» пересечения, мы
называем приведенным
пересечением исходных
многоугольных фигур. Чтобы
получить ее, достаточно взять
внутреннюю часть
пересечения и затем замкнуть ее.
Приведенное пересечение
многоугольных фигур PhQ будет обозначаться через [PQ\ Таким
образом,
[PQ] = ((PQ)B)3. (8)
Если, в частности, Q=P, то [PQ] = Р. Предыдущие
рассмотрения представляют интерес и в этом случае: они показывают, что
всякие два разбиения многоугольной фигуры обладают общим
измельчением.
Вычитание. Разность Р—Q двух многоугольных фигур Р
и Q есть, вообще говоря, незамкнутое множество. Например,
разность двух треугольников замкнута лишь в том случае, если эти
треугольники не имеют общих точек или первый содержится
во втором. Таким образом, разность Р—Q не является, вообще
говоря, многоугольной фигурой. Мы покажем, однако, что ее
замыкание (Р— Q)3 есть многоугольная фигура.
Предположим сначала, что Р — треугольник, и разобьем фигуру Q
на треугольники. Прямые, на которых лежат стороны
треугольников, составляющих фигуру Q, делят треугольник Р на выпуклые
многоугольники, попарно не имеющие общих внутренних точек. Эти
выпуклые многоугольники распадаются на два класса: к первому
классу мы относим многоугольники, лежащие в Q, ко второму —
остальные многоугольники. Многоугольники второго класса
покрывают разность Р—Q и лежат в Р—Q своими внутренними точками,
но своими границами могут пересекаться с Q. Их сумма и есть
замыкание (Р—Q)3 разности P—Q. Разбивая эти многоугольники
на треугольники, мы разобьем на треугольники и множество (P—Q)3.
Следовательно, множество (Р-—Q)3 является многоугольной
фигурой.

20
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
В общем случае многоугольная фигура Р разбивается на
треугольники Тг, .. ., Тт, и мы имеем:
P-Q = {Tl-Q)+. . .+(Tm-Q);
(P-Q)3 = (T1-Q)3+ . . . +(re-Q)a.
Согласно только что доказанному, (Тг — Q)3, . .., (Tm — Q)3~-
многоугольные фигуры. Разбивая их на треугольники, мы разобьем на
треугольники и множество (Р—Q)3. Следовательно, множество (Р—Q)3
является многоугольной фигурой.
Многоугольную фигуру (Р—Q)3 мы называем приведенной
разностью многоугольных фигур Р и Q. Она будет обозначаться
через [Р—Q]. Очевидно, [Р — Q] а Р.
Приведенные пересечения и разности найдут применение в
теории площадей многоугольных фигур, которой посвящен следующий
параграф. Хотя в терминах теории множеств они описываются
сложнее, чем обычные пересечения и разности, с точки зрения
элементарной геометрии они естественнее. Более полно они будут
рассмотрены в п. 5.10.
Сложение. Сумма конечного числа многоугольных фигур
есть многоугольная фигура.
Доказательство достаточно провести для случая двух фигур Р
и Q. Если они не имеют общих внутренних точек, то
справедливость утверждения очевидна. Общий случай сводится к этому
частному случаю, если воспользоваться следующей леммой:
Каковы бы ни были многоугольные фигуры Р и Q,
многоугольные фигуры [Р—[PQ]] и Q не имеют общих внутренних
точек и
p + Q = [P-[PQ]]+Q. (9)
Доказательство. Формула (9) аналогична соотношению
P+Q = (P-PQ)+Q, (Ю)
связывающему операцию сложения с обычным вычитанием и
обычным пересечением. Так как [PQ] с PQ, то P—PQ с P—[PQ] с:
a[P-[PQ]l и из (10) следует, что P+Q с [Р— [PQ]] + Q.
Обратно, так как [Р — [PQ]] <= Р, то [P — [PQ]]+Qcz P + Q. Остается
доказать, что фигуры [Р—[PQ]] и Q не имеют общих внутренних
точек. Так как [Р—[PQ]] cz P, то точка, внутренняя по
отношению к [Р—[PQ]] и к Q, была бы внутренней по отношению к Р
и к Q. Такая точка принадлежала бы открытому множеству PBQB =
:= (PQ)B и потому была бы внутренней точкой его замыкания [PQ].
Она была бы, следовательно, внешней по отношению к множеству
Р — [PQ] и не могла бы принадлежать его замыканию [Р—[PQ]].
Важный частный случай. Пусть Q с Р. Тогда P-f-Q = P,
[PQ] = Q- Таким образом, если многоугольная фигура Q является

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
21
частью многоугольной фигуры Р, то фигуры [P—Q]uQne имеют
общих внутренних точек и Р = [Р—Q] + Q.
Доказанная теорема позволяет лучше понять определение
многоугольной фигуры, данное в п. 2.4. Согласно этому определению,
многоугольная фигура есть сумма конечного числа треугольников,
попарно не имеющих общих внутренних точек. Теперь мы видим,
что сумма конечного числа треугольников всегда является
многоугольной фигурой, независимо от того, как эти треугольники
расположены относительно друг друга.
§ 3. Площадь на классе многоугольных фигур
3.1. Определение площади. Площадь на классе многоугольных
фигур есть функция, определенная на этом классе и обладающая
свойствами (а) — (б). Формулировку этих свойств см. в п. 1.1. Под
фигурой в них следует понимать многоугольную фигуру.
Существование и единственность нашей функции будут
доказаны в п. 3.7. Пока они не доказаны, мы будем понимать под
площадью какую-нибудь функцию многоугольной фигуры,
обладающую свойствами (ос) — (S), предполагая ее существующей.
Площадь будет обозначаться через s, площадь многоугольной
фигуры Р — через s (P).
3.2. Простейшие следствия определения. Площадь есть
монотонная функция: если многоугольная фигура Q есть часть
многоугольной фигуры Р, то s(Q)^s{P).
С этим свойством мы уже встречались в п. 1.1. Однако мы не
можем сослаться на данное там изложение, так как оно не было
достаточно отчетливым: не был разъяснен точный смысл таких
выражений, как «фигура», «дополнительная фигура», «внутренняя
точка». F и G молчаливо предполагались принадлежащими к классу
фигур, на котором определена площадь, но мы не смогли бы
доказать, что к этому классу принадлежит дополнительная фигура G'
или что она не имеет с G общих внутренних точек.
Теперь, когда речь идет о многоугольных фигурах, эти
пробелы нетрудно восполнить. Положим R = [P—Q]. Как показано
в п. 2.5, фигуры Q и R не имеют общих внутренних точек и Р==
— Q + R. Следовательно, s(P) = s(Q)-{-s(R)1 и так как 5 (R)^ О,
то s(P)^s(Q).
Для любых двух многоугольных фигур Р и Q имеет место
соотношение
s{P+Q) = s(P) + s(Q)-s([PQ]). (1)
Для доказательства положим Р' = [Р — [PQ]]. Как было
показано в п. 2.5, P-fQ = P'-fQ, P=P' + [PQ]J причем фигура Р'

22
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
не имеет общих внутренних точек ни с Q, ни с [PQ].
Следовательно, s(P + Q) = s(P') + s{Q), s(P) = s(P') + s([PQ]). Исключая
из этих соотношений s(P'), мы получаем соотношение (1).
Для любых многоугольных фигур Рг, ..., Рп справедливо
неравенство s(Px+ . .. +PnXs(P1) + . .. +s(Pn).
При п=г2 это следует из соотношения (1), при п>2
устанавливается индуктивно.
3.3. Вычисление площади прямоугольника. Площадь прямо-
угольника равна произведению двух соседних сторон.
Доказательство. Пусть Р —прямоугольник, а и Ь— его
соседние стороны.
Предположим сначала, что Р—квадрат со стороной 1/#, т. е.
что а = Ь=\/п (п — натуральное число). Пусть Е— единичный
квадрат. Разобьем его прямыми, параллельными сторонам, на п2
частичных квадратов, равных Р. Так как эти квадраты составляют Е
и попарно не имеют общих внутренних точек, то, согласно
свойству (Р), сумма их площадей равна s (E). Но, согласно свойству (у),
площадь каждого из них равна s (Р), так что сумма их площадей
равна n2s(P), а согласно свойству (б), s(E) = \. Следовательно,
n2s(P) = \ и s(P)=\/n2.
Предположим теперь, что а и b — любые рациональные числа.
После приведения к общему знаменателю они представятся в виде
а — 11п, Ь = т/п, где /, т, п — натуральные числа. Разобьем
прямоугольник Р прямыми, параллельными его сторонам, на 1т равных
квадратов со стороной \1п. По доказанному, площадь каждого из
них равна \/п2, так что сумма их площадей равна lm/п2, а согласно
свойству (Р), эта сумма равна s(P). Следовательно, s (Р) = 1т/п2.
Рассмотрим, наконец, общий случай. Пусть е — произвольное
положительное число. Так как произведение ху непрерывно
зависит от х и у, то существует такое положительное число б, что
\ху — аЬ\<г/2, как только
|*-а|<6, |.у-*|<6. (2)
Придадим х и у сначала какие-нибудь рациональные значения
x = alt у = Ьг, удовлетворяющие неравенству (2) и неравенствам
аг <; а, Ьх < #, а затем какие-нибудь рациональные значения х = а2,
у = Ь2У удовлетворяющие неравенствам (2) и неравенствам а2^а,
Ь.2^Ь. Ясно, что
а2Ь2 — афх < s, (3)
#!#! <,ab^ а2Ь2. (4)
Построим прямоугольник Рг со сторонами аъ Ь1У содержащийся
в Я, и прямоугольник Р2 со сторонами а2, Ь2, содержащий Р. По
доказанному, s (Р±) = a±bl7 s (P2) = a2b27 и, в силу монотонности

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 23
площади,
а А <5(Я)< а2Ь2. (5)
Из неравенств (4), (5) и (3) следует: \s(P) — ab\<s. Так как е
произвольно, то $ (Р) = ab.
3.4. Вычисление площади треугольника и трапеции. Площадь
треугольника равна половине произведения произвольной стороны
(«основания») на соответствующую высоту. Площадь трапеции
равна произведению полусуммы оснований на высоту] в
частности, площадь параллелограмма равна произведению произвольной
стороны на соответствующую высоту1). Мы докажем оба
утверждения одновременно. Пусть Р—треугольник или трапеция, а —
средняя линия, h — высота. Нужно доказать, что s(P) = ah.
Предположим сначала, что одна из боковых сторон фигуры Р
перпендикулярна к основанию. Проведем параллельные прямые через
основания фигуры Р, если это трапеция, и через основание и
противоположную вершину, если это треугольник. Затем на
расстоянии 2а от прямой, проходящей через
боковую сторону, перпендикулярную к
основанию, по ту же сторону от нее, по которую
лежит фигура Р, проведем параллельную
ей прямую (рис. 5, а). Мы получим
прямоугольник с основанием 2а и высотой /г,
разложенный на две равные фигуры Р и Р'
без общих внутренних точек. Согласно
свойствам (Р) и (у), площадь этого
прямоугольника равна 2s (P). Ряс. 5.
Следовательно, 2s(P) = 2ah ns(P) = ah.
Рассмотрим теперь общий случай. Проведем снова
параллельные прямые через основания фигуры Р, если это трапеция, и через
основание и противоположную вершину, если это треугольник.
Затем проведем какой-нибудь перпендикуляр к этим прямым, не
пересекающий фигуры Р (рис. 5, б). Мы получим фигуру Р2,
разложенную на две фигуры Р и Рх без общих внутренних точек.
Фигуры Р2 и Рх являются трапециями с высотой h и со средними
линиями а2 и аг, разность которых равна а. Так как общая
боковая сторона этих трапеций перпендикулярна к их основаниям, то,
по доказанному, s (P2) = a2h, s(Px) = axh. Согласно свойству ф),
s(P2) = s(P) + s(P1)1 и потому s(P) = a2h — a1h = ah.
3.5. Вычисление площади произвольной многоугольной фигуры.
Пусть Р — произвольная многоугольная фигура. Если Р—пустое
множество, то P-f Р=Р, причем слагаемые не имеют общих точек;
следовательно, s(P)+s(P)=s(P) и <?(Р) = 0. Таким образом,
ND
КС
*) Параллелограмм мы считаем частным случаем трапеции.

24
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
площадь пустого множества равна нулю. Если фигура Р не является
пустым множеством, то ее можно разбить на треугольники
7\, ..., Тп с л^1. Пусть ах, ..., ап — как-либо выбранные
основания этих треугольников и Ах, ..., ^-—соответствующие высоты.
Из свойства (Р) и теоремы п. 3.4 следует:
п
*(^) =-§-?*«•*/• (G)
Формула (6) справедлива и при я = 0: в этом случае Р есть пустое
множество и обе части формулы (6) равны нулю.
3.6. Строгая монотонность. Если многоугольная фигура Q есть
часть многоугольной фигуры Р, отличная от Р, то s(Q)<is (P).
В частности, пустое множество есть единственная
многоугольная фигура, площадь которой равна нулю.
Справедливость второго утверждения непосредственно следует
из формулы (6). Чтобы доказать справедливость первого, будем
рассуждать как в п. 3.2. Пусть R = [P — Q]. Так как Q и R не
имеют общих внутренних точек и P = Q-\- R, то s (P) = s(Q) + s (R).
Но s(R)>0. Следовательно, s(P)> s(Q).
3.7. Теорема существования и единственности. На классе
многоугольных фигур существует одна и только одна функция
со свойствами (а) — (б).
Докажем сначала единственность. Пусть 5 и 5' —две функции,
определенные на классе многоугольных фигур и обладающие
свойствами (а) — (S). Возьмем произвольную многоугольную фигуру Р,
разобьем ее на треугольники и обозначим через аг, ..., ап
как-либо выбранные основания этих треугольников и через къ ..., hn—
соответствующие высоты. Согласно формуле (6),
п п
s (р) = т Z «А, *' (Р)=\ Е «А-
/=1 1=1
Следовательно, s'(P) = s(P) и s' — s.
Обратимся к доказательству существования. Его идею
доставляет нам та же формула (6). Мы видели, что если на классе
многоугольных фигур существует функция со свойствами (а) —(б), то
она может быть вычислена по формуле (6). Нельзя ли доказать,
что правая часть формулы (6) и есть требуемая функция?
Мы увидим, что доказать это действительно можно, но что
доказательство совсем не просто. Вансно хорошо понять, в чем
заключается трудность. Пусть Р—многоугольная фигура. Чтобы
вычислить для нее правую часть формулы (6), мы должны разбить
ее на треугольники и в каждом из них выбрать основание.
Предположим, что это сделано двумя различными способами, и пусть
а и о' — соответствующие значения правой части формулы (6).

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
25
Будут ли они равны между собой? Пока на этот вопрос не дан
положительный ответ, мы не можем утверждать, что правая
часть формулы (6) есть функция фигуры Р. Этот положительный
ответ был бы очевиден, если бы мы могли опираться на
существование площади: мы сказали бы тогда, что каждое из чисел а, о'
равно площади фигуры Р. Но мы не можем опираться на то, что
хотим доказать. Мы должны, таким образом, установить равенство
в = о' непосредственно.
Лемма 1. Произведение стороны треугольника на
соответствующую высоту одинаково для всех трех сторон.
Действительно, пусть ABC—произвольный треугольник и В',
С —основания перпендикуляров, опущенных из вершин В, С на
прямые АС, АВ (рис. 6). Из соображений
подобия следует, что р (С, С): р (А, С) =
= р(В, В'):р(А, В), и, следовательно,
p(A,B)p(Q, С') = рИ, С)р(В, В).
Условимся обозначать через (ABC)
половину произведения длины отрезка АВ
на длину перпендикуляра, опущенного
из точки С на прямую АВ, если
точки ABC не лежат на одной прямой, и
положим (АВС) = 0 в противном случае.
Если точки А, В, С служат вершинами
треугольника Т, то наряду с (ABC) мы
будем писать также (Г). Такая запись
не приведет к недоразумению, так как, согласно лемме 1, (АВС) =
= (ВСА) = (САВ).
Фиксируем на плоскости какую-нибудь точку О и обозначим для
произвольного треугольника ABC через (АВ\С) число (АВО), если
С лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и О, и число
—(АВО), если О и С лежат но разные стороны от прямой АВ (если
прямая АВ проходит через точку О, то (АВ \ С) = 0).
Лемма 2. Если треугольник ABC не содержит точки О, то1)
Рис. 6.
(ABC) = (ВС | А) + (СА | В) + (АВ \ С).
(7)
Доказательство. Пусть ПА, Пв, Пс — полуплоскости с
граничными прямыми ВС, СА, АВ, содержащие точки А, В, С. Прямые
ВС, СА, АВ делят плоскость на восемь непересекающихся частей
ПД№, UAUB (доп. Пс), Пл(доп.П5)Пс, Пл (доп. Пв) (доп. Пс),
(доп. П4) UBUC, (доп. ЛА) Лв (доп. Пс), (доп. ЛА) (дол. Ив) Пс,
(доп. Пл) (доп. UB) (доп. Пс),
1) Можно было бы доказать, что соотношение (7) справедливо при
любом расположении точки О, но нам этот факт не понадобится.

26
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
первая из которых представляет собой треугольник ABC. Покажем,
что множество (доп. Пл) (доп. Пв) (доп. Пс) пусто. Пусть
D ? (доп. Пл) (доп. ПБ) (доп. Пс) и D' — какая-нибудь внутренняя
точка треугольника ПЛПВПС. Так как точки D и D' лежат по
разные стороны от каждой из прямых ВС, СА, АВ, то отрезок DD'
пересекают все три прямые. Но продолжение отрезка DD' за точку D'
снова пересекает по крайней мере одну из них, что невозможно.
Так как точка О лежит вне треугольника ABC, то она
принадлежит одному из шести множеств ПЛПВ (доп. Пс), Пл (доп. Ив) Пс,
Пл (доп. UB) (доп. Пс), (доп. Пл) ПВПС, (доп. Пл) Лв (доп. Пс),
(доп. Пл) (доп. Пд) Пс. Первое, второе и четвертое, а также третье,
Рис. 7.
пятое и шестое множества однотипны. Следовательно, достаточно
рассмотреть два случая: О ? ПЛПВ (доп.Пс) и О ? (доп. Пл)(доп.Пв)Пс.
Первый случай. 0?ПЛПВ (доп. ПС) (рис. 7, а). Так как
О^Пл, 0?ПВ, 0?доп.Пс, то
(ВС | А) = (ВСО), (СА | В) = (САО), (АВ \ С) = - (ABC). (8)
С другой стороны, так как 0?доп.Пс, то отрезок ОС пересекает
прямую АВ в некоторой точке С, а таккакО?ПлПв иС?ПлПв,
то отрезок ОС лежит в ПЛПВ. Таким образом, точка С лежит на
прямой АВ и в ПЛПВ, т. е. на прямой АВ и в треугольнике ABC,
т. е. на отрезке АВ. Следовательно,
РИ, В) = р(Л, С') + р(С, В), р(0, С) = р(0, С') + р(С\ С),
и потому
(ABC) = (ACQ + (С ВС), (АВО) = (АС О) + (С ВО),
(ОСА) = (ОСА) + (ССА), (ОСВ) = (ОС В) + (ССВ).
Пользуясь соотношениями (8), перепишем последние четыре

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
27
равенства следующим образом:
(ABC) = (АСС) + (СВС), (АВ \ С) = - (АСО) - (СВО), \
(СА | В) = (АСС) + (АСО), (ВС \ А) = (СВС) + (СВО). j ^
Из соотношений (9) следует равенство (7).
Второй случай. 0? (доп. Пл) (доп. Т1В) Пс (рис. 7, б). Так как
О^доп.Пд, Оедоп.Пв, ОбПс, то
(ВС \А)=— (ВСО), (СА | В) = - (САО), (АВ \ С) = (АВО). (10)
С другой стороны, так как 0? (доп. Пл) (доп. Пв) и так как
в точке С прямая ОС пересекает обе прямые ВС, СА, то
полупрямая, служащая продолжением отрезка ОС за точку С, лежит
в пересечении ПЛП5. Эта полупрямая должна пересекать прямую
АВ, так как в противном случае она целиком лежала бы вместе
с точкой С в полуплоскости Пс и, значит, в треугольнике ПЛПВПС.
Пусть С —точка пересечения этой полупрямой с прямой АВ. Так как
С ? UAUB, то точка С лежит на отрезке АВ. Следовательно,
р (А, В) = р (А, С) + р (С, В), р (О, С) = р (О, С) + р (С, С),
и потому
(ABC) = (АС С) + (С ВС), (АВО) = (АС О) + (С ВО),
(ОСА) = (ОСА) + (ССА), (ОС В) = (ОСЯ) + (СС'В).
Пользуясь соотношениями (10), перепишем последние четыре
равенства следующим образом:
(ABC) = (АСС) + (СВС), (АВ | С) = (АСО) + (СВО), \
(СА | В) = (АСС) — (АСО), (ВС \ А) = (СВС) - (СВО), j 01)
Из соотношений (11) следует равенство (7).
Лемма 3. Если
P=Sl+...+Sm=T1+...+T„ (12)
— два разбиения многоугольной фигуры Р на треугольники, то
(6\) + ... + (SJ = (Тг) + ... + (Тп). (13)
Доказательство. Предположим сначала, что /»=1 и что
Р= 7\+ . . . + Тп — правильное разбиение треугольника Р=5Х.
Пусть Ln, Li2, Liz — стороны треугольника Tt (i=\, ...,/г) и ln,
li2, li3 — их длины. Выберем вне фигуры Р точку О, обозначим
через p;j (j=\, 2, 3) длину перпендикуляра, опущенного из Она
прямую, содержащую сторону Ьц, и положим e/;.= + i> если
точка О лежит по ту же сторону от этой прямой, что и
треугольник Tt, и 8/у-=—1 в противном случае. Выписывая для каждого
из треугольников Tt формулу (7) и суммируя по /, мы получим:
П 3
(T-i) + ... + (Тп) = Z Z T ttjhjPtj- (14>

28
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Пусть А, В, С—вершины треугольника Sv Сумму, стоящую
справа в формуле (14), мы разобьем на четыре частичные суммы.
Член -^ZijlijPij мы отнесем к первой сумме, если отрезок L-- лежит
на отрезке ВС, ко второй, если он лежит на отрезке СА, к третьей,
если он лежит на отрезке АВ, и к четвертой, если Z,.. — отрезок
второго типа (см. п. 2.4.)- Для первых трех частичных сумм мы
будем употреблять знаки ^?, 2с> 2л* ^ всех членов первой
частичной суммы множители р^ и 8/;. имеют одинаковые значения
р и е, а именно, р есть длина перпендикуляра, опущенного из
точки О на прямую ВС, а е есть -f 1, если точка О лежит по
ту же сторону от этой прямой, что и треугольник Sly и — 1 в
противном случае. Следовательно,
HbT8'vV.7 = T^Eb/'V=T^P(B' C) = (BC\A). (15)
Подобным же образом
ScTV//P// = (CA I B)> Ел46'А^7=ИБ I С). (16)
Если Ltj — отрезок второго типа, то он служит общей стороной
двух треугольников, лежащих по разные стороны от содержащей
его прямой. В соответствии с этим члены четвертой частичной
суммы распадаются на пары членов, имеющих одинаковые
множители 1ц и рц, но противоположные множители е/у-. Следовательно,
четвертая сумма равна нулю, и формулы (7), (15), (16) и (14) дают:
(S1) = (BC\A) + (CA\B) + (AB\ С) = (Т1)+...+(Тп).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть
P=Ux+... + Ua (17)
¦—правильное общее измельчение разбиений (12). Каждый из
треугольников Slt ..., Sm правильно разбит на треугольники
разбиения (17). Если, например, S1 = Ukl+ ... +Uksi то, согласно только
что доказанному, (5Х) = (Ukl) -f . .. + (Uks). Выписывая такие же
соотношения для треугольников S2, ..., Sm и суммируя, получим:
(S1) + ...+(SJ = (Ul) + ...+(Ur).
Подобным же образом
(T1) + ...+(Tn) = (U1) + ...+(Ur).
Из этих двух соотношений следует равенство (13).
Доказательство существования. Пусть
Р—произвольная многоугольная фигура и
Р=Тг+...+Тп (18)

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 29
— какое-нибудь разбиение ее на треугольники. Положим s(P) =
==(7n1)-j- . . . +(Тп). Согласно лемме 3, это число не зависит от
выбора разбиения (18). Следовательно, s есть функция,
определенная на классе многоугольных фигур. Очевидно, что она
обладает свойствами (а) — (б).
3.8. Поведение площади при преобразовании подобия. Как
известно, преобразованием подобия с центром О и коэффициентом
А>0 называется такое преобразование плоскости, которое
переводит точку О в точку О, а всякую другую точку Л—в точку А'
луча ОА, для которой р (О, А') = лр (О, А). Более общим образом,
преобразованием подобия с коэффициентом а>0 называется всякое
отображение / одной плоскости на другую, при котором расстояние
любых двух точек А, В первой плоскости и расстояние их образов
Л'=/(Л), Bf=f (В) во второй плоскости связаны соотношением
р(А', В') = Хр(А, В). (19)
Такое отображение взаимно однозначно, и обратное отображение
есть преобразование подобия с коэффициентом К"1 г).
Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник
и многоугольную фигуру в многоугольную фигуру. Равенство (19)
показывает, что отображение / переводит круг с центром А в круг
с центром f(A). Следовательно, преобразование подобия
переводит внутренние точки во внутренние точки и множества без
общих внутренних точек в множества без общих внутренних точек.
Если Р' —образ многоугольной фигуры Р при преобразовании
подобия с коэффициентом а, то
$(Р')=,л2*(Р). (20)
Доказательство. В силу теоремы единственности,
достаточно доказать, что функция s\ определенная на классе
многоугольных фигур формулой s,(P) = tk"2s(P')i удовлетворяет
условиям (а) —(б). То, что она удовлетворяет условиям (а), ф), (y),
очевидно. Займемся условием (б). Ясно, что образ Е' единичного
квадрата Е есть квадрат со стороной К. Следовательно, $(Е') = Х2
и s'(E') = k-2s(E') = \.
3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании.
Если Р! — проекция многоугольной фигуры Р на плоскость,
образующую с ее плоскостью острый угол а, то
s (Р') = s (P) cos а. (21)
Доказательство. Если а=0, то формула (21) очевидна.
Пусть а> 0.
Предположим сначала, что Р—треугольник со стороной,
параллельной линии пересечения наших плоскостей. Тогда сторона
г) См. стр. 55 и 60-61 кн. IV ЭЭМ. (Прим. ред.)

30
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
треугольника Р\ служащая проекцией этой стороны, равна ей, а
соответствующая высота треугольника Р проектируется на высоту
треугольника Р' и умножается при этом на cos а (рис. 8, а).
Следовательно, s (Pr) = s (P) cos a.
Общий случай сводится к этому частному случаю, так как
всякую многоугольную фигуру можно разбить на треугольники
рассмотренного вида. Для этого достаточно как-нибудь разбить
ее на треугольники и затем каждый треугольник, не
удовлетворяющий нашему условию, разбить на два треугольника,
удовлетворяющие ему (рис. 8, б).
/>
а) й)
Рис. 8.
ЗЛО. Поведение площади при аффинном преобразовании. Как
известно, аффинным преобразованием называется такое
отображение одной плоскости на другую, которое в прямоугольных
декартовых координатах х, у первой плоскости и прямоугольных
декартовых координатах х\ у' второй плоскости имеет вид
х' = ах + $у + а, у' = ух + 8у + Ь. (22)
Если это условие яинейности выполнено при одном выборе
координатных систем, то оно выполнено и при всяком другом их
выборе. Аффинное преобразование взаимно однозначно, и обратное
преобразование также является аффинным1). Определитель Д =
=аб — Py с точностью до знака не зависит от выбора
координатных систем. Он отличен от нуля, и определитель обратного
преобразования равен Д"1.
Заметим, что переход от одной прямоугольной декартовой
системы координат к другой есть частный случай преобразования (22).
х) Ср. стр. 61—62 и 76-77 кн. IV ЭЭМ. (Прим. ред.)

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
31
Действительно, преобразование координат можно рассматривать
как тождественное отображение плоскости на ту же плоскость,
снабженную другой системой координат. Определитель такого
преобразования равен ±1. В частности, если преобразование (22) есть
поворот осей, то А = 1.
Аффинное преобразование переводит треугольник в треугольник,
треугольники без общих внутренних точек в треугольники без общих
внутренних точек и многоугольные фигуры в многоугольные фигуры.
Если Рг —образ многоугольной фигуры Р при аффинном
преобразовании с определителем А, то
8(Р) = 8(Р)\Ь\.
Доказательство опирается на две леммы.
Лемма 1. Если
(*i, J'i), (*». Уг), (хз> Уз)
— произвольные точки плоскости и
(х[, y'i), (*'„ у»), {х'3, y't)
— их образы при преобразовании (22), то
(23)
(24)
(25)
Хг-Х! У2 — У1
г / / /
Х3 Л?! у3 Ух
Доказательство.
*2 —*i У2—Ух
*8-*i Уз— Уг
х2 хг у 2 У\
/ / г /
•^з %i Уз Уг ,
a(xi-x1) + ^(y2—y1) Y (*"в—-*?i) + 6(у* —J'i)
а (*, - хх) + Р (у3 -уг) у (х3 -Xj) + 8 (ys —yj
хг—хх у2—Уг
x3—xL y3-yl
Лемма 2. Если Р—треугольник с вершинами (24), то
в(Я) = абс. вел. -J-I*""*"*1 Уг~У^
2 \х3—хг y3-yL
(26)
Доказательство. В силу леммы 1, определитель (26) не
меняется при повороте осей координат. Следовательно, лемму 2
достаточно доказать для случая, когда направление оси абсцисс
совпадает с направлением стороны треугольника Я, соединяющей
первую вершину со второй (рис. 9). В этом случае х2 — хх = а9
Уг—^1 = 0, у3—y1 = -^-hi где а — длина указанной стороны, а

32
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
h — соответствующая высота, и потому
*i —*i У*—Ух
*з~*1 Ув—У1
= ±±ah=±s(P).
(27)
Заметим, что знак определителя (26) определяется порядком,
в котором записаны вершины треугольника Р. Если этот порядок
таков, что треугольник обходится против часовой стрелки, то
определитель положителен; если этот
порядок таков, что треугольник обходится
по часовой стрелке, то определитель
отрицателен. Действительно, в первом
случае (при нашем специальном
расположении координатных осей) у3>уг и
в формуле (27) стоит знак + > во
втором случае у3<у± и в формуле (27)
стоит знак —.
Доказательство формулы (23).
В силу аддитивности площади,
достаточно рассмотреть случай, когда Р есть треугольник. Пусть
(24)—вершины треугольника Р и (25) — вершины его образа Р'.
Согласно лемме 2,
У
0
^
fa.ft)
кл2'У2)
X
Рис. 9.
s(P) — абс. вел. •7г
x% — *i Уъ—Уг
хг-*1 Уз—Ух
s(P') = абс. вел. у
Хо
Рис. 10.
Х1 У 2—У1
/ / / /
хз х\ Уз Уг
7
и равенство (23) является следствием
леммы 1.
Частные случаи. 1. Пусть
/—преобразование подобия с
коэффициентом А (п. 3.8). Если выбрать в
рассматриваемых плоскостях оси ху
у и х\ у' так, чтобы ось х переходила в ось х\ а ось у — в
ось у\ то / представится как аффинное преобразование х' — 'кх,
у' = \у с определителем Д = Х2. Таким образом, формула (20) есть
частный случай формулы (23).
2. Пусть /—проектирование одной плоскости на другую,
образующую с первой острый угол а. Если выбрать в этих плоскостях
системы координат х, у и х\ у' так, чтобы оси х и х' совпали,
а оси у и у' составили угол а (рис. 10), то / представится как
аффинное преобразование х' — х, у' = у cos a с определителем
A = cosa. Следовательно, формула (21) есть частный случай
формулы (23).

КЛАСС КВАДРЙРУЕМЫХ ФИГУР
33
§ 4. Класс квадрируемых фигур
4.1. Определение квадрируемой фигуры. Множество Ж,
лежащее на плоскости, называется квадрируемым множеством или
квадрируемой фигурой, если для всякого положительного числа 8
существуют такие многоугольные фигуры Р и Q, что
PcATczQ, s(Q)-s(P)<e. (1)
Фигура Р называется входящей, фигура Q — объемлющей.
Если множество М само является многоугольной фигурой, то
в качестве Р и Q можно взять М. Следовательно, всякая много*
угольная фигура квадрируема.
Всякая квадрируемая фигура ограничена. Действительно,
согласно своему определению, квадрируемая фигура содержится в
некоторой многоугольной фигуре, а многоугольная фигура ограничена.
Обратное утверждение неверно: ограниченное множество может
не быть квадрируемым. Пример будет дан в п. 4.10.
4.2. Замечание о выборе фигур Р и Q. Границы Рг и Qr
многоугольных фигур Р и Q, входящих в определение квадрируемости,
могут иметь общие точки с границей МГ множества М> Однако
фигуры Р и Q всегда можно выбрать и так, чтобы Рг и Qr не
пересекались с Мг. Другими словами: если М—квадрируемая фигура,
то для всякого положительного г существуют такие много-*
угольные фигуры Р и Q, что
РсЖв, M3czQB, s(Q)-s(P)<s. (2)
Доказательство. Пусть Р' и Q' — такие многоугольные
фигуры, что Р' с McQ', s(Q') — s(P')<e/3. Разобьем фигуру Р'
на треугольники, подвергнем каждый из них преобразованию
подобия с центром в какой-нибудь его внутренней точке и коэффициентом
X < 1 и полученные новые треугольники соединим в
многоугольную фигуру Р. Разобьем фигуру Q' на треугольники,
подвергнем каждый из них преобразованию подобия с центром в какой-
нибудь его внутренней точке и коэффициентом |х > 1 и полученные
новые треугольники соединим в многоугольную фигуру Q. Так как
каждый треугольник из Р целиком лежит внутри некоторого
треугольника из Я', то каждая точка многоугольной фигуры Р является
внутренней по отношению к Я', а потому и по отношению к Ж,
т. е. Р с Мв. Так как каждый треугольник из Q' целиком лежит
внутри некоторого треугольника из Q, то каждая точка
многоугольной фигуры Q' является внутренней по отношению к Q, т. е. Q' с QB.
Но Мс Q'. Следовательно, М3 с Q'3 = Q', и потому М3 с: QB. Таким
образом, первые два из соотношений (2) выполнены. Остается

34
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
выбрать числа X и \х таким образом, чтобы было выполнено и
третье соотношение.
Треугольники, составляющие фигуру Р, не пересекаются;
треугольники, составляющие фигуру Q, могут пересекаться. В
соответствии с этим s (Р) = k2s (Р'), s (Q) < \x2s (Q') (см. п. 3.8 и п. 3.2),
и потому
s(P,)-s(P) = (\-l*)s(P'), 5(Q)_5(Q')<(^2-l)s(Q').
Пусть Я. и ц настолько близки к единице, что (1 — Я2) 5 (P') <z -о- ,
(ц2 — l)s(Q')<-|-. Тогда
s(Q)-5(P) =
= [s(Qi-s(Q')] + [s{Q')-s(Pf)] + [s{P')-s{P)]< |+| + | = 8.
4.3. Нуль-множества. Множество М называется
нуль-множеством, если для всякого положительного числа 8 существует такая
многоугольная фигура Р, что
АГсР, s(R)<e. (3)
Нуль-множества квадрируемы.
Действительно, пусть М-^ нуль-множество и е — положительное
число. Найдем многоугольную фигуру Р, удовлетворяющую
условиям (3), и примем за Р пустое множество, а за Q — фигуру R.
Ясно, что фигуры Р и Q удовлетворяют условиям (1).
Квадрируемая фигура в том а только в том случае является
нуль-множеством, если она не содержит внутренних точек.
Действительно, если квадрируемая фигура М не содержит
внутренних точек, то единственной содержащейся в ней многоугольной
фигурой Р является пустое множество, и соотношения (1)
превращаются в соотношения (3), если за R принять фигуру Q. Если же
множество М содержит внутреннюю точку, то оно содержит целый
квадрат, и всякая многоугольная фигура Р, содержащая М,
содержит этот квадрат и потому имеет площадь, по меньшей мере
равную площади этого квадрата.
Сумма конечного числа нуль-множеств есть
нуль-множество. Часть нуль-множества есть нуль-множество.
Второе очевидно, первое достаточно доказать для случая двух
слагаемых. Пусть М и М' — нуль-множества и 8 — положительное
число. Найдем такие многоугольные фигуры R и R', что М с Р,
М' с R', s (R) < s/2, s (R') < е/2, и рассмотрим многоугольную
фигуру R + R'. Ясно, что
М + Ж'сР-Ь Р', s(P + P')<s(P)-f s(P')<s,

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
35
Примерами нуль-множеств могут служить конечные множества
точек, отрезки прямых и ломаные. В дальнейшем мы увидим, что
и дуги кривых линий, с которыми мы обычно встречаемся в
математике и ее применениях, являются нуль-множествами.
4.4. Лемма о граничной точке. Отрезок, соединяющий
внутреннюю точку множества М с внешней точкой, пересекается с
границей множества М.
Доказательство. Пусть А — внутренняя, В—внешняя точка.
Установим на прямой ЛВ направление от Л к Б и обозначим через N
множество точек отрезка АВ, внутренних по отношению к
множеству М. Так как A?N, то множество N не пусто. Пусть С—его
точная верхняя грань. Ясно, что С—точка отрезка АВ. Покажем,
что она является граничной относительно множества М.
Точка С не может быть внутренней точкой множества М. Если
бы она была внутренней, то существовал бы целый круг с центром
в точке С, состоящий из внутренних точек множества М. Этот круг
пересекался бы с прямой АВ по отрезку с серединой в точке С,
состоящему из внутренних точек множества М. Вследствие этого
между точками С и В нашлись бы внутренние точки множества
М{СфВ, так как В—внешняя точка) и точка С не была бы
точной верхней гранью множества N.
Точка С не может быть внешней по отношению к множеству М.
Если бы она была внешней, то существовал бы целый круг с
центром в точке С, состоящий из внешних точек. Пусть С—какая-
нибудь точка этого круга, лежащая между А и С (АфС, так как
А — внутренняя точка). Так как между С и Б нет внутренних точек
множества М, а отрезок С С состоит из внешних точек, то между
С и В также нет внутренних точек множества М. Следовательно,
С — верхняя грань множества N, и потому точка С не является
его точной верхней гранью.
4.5. Критерий квадрируемости. Множество М квадрируемо
в том и только в том случае, если оно ограничено и его
граница МТ есть ну ль-множеств о.
Доказательство. Предположим, что множество М
квадрируемо, и покажем, что МГ — нуль-множество. Пусть 8 —
положительное число и Р, Q — многоугольные фигуры, удовлетворяющие
условиям (2). Рассмотрим многоугольную фигуру /? = [Q — Р]. Ясно, что
МГ = М3 — MBdQ — Pa R и s(R) = s(Q) — s(P)<e.
Следовательно, Мг есть нуль-множество.
Предположим теперь, что множество М ограничено и его
граница Мг есть нуль-множество, и покажем, что множество М
квадрируемо. Пусть S — прямоугольник, содержащий множество М, е—
положительное число и R— такая многоугольная фигура, что МТ а /?р,
s(R)<c&. Рассмотрим многоугольную фигуру [S— R]. Разобьем ее
на треугольники и обозначим через Рмногоугольную фигуру, состар-

86
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
ленную из треугольников, целиком лежащих в М. Оказывается, что
треугольники, не вошедшие в Р, не имеют с М общих точек.
Действительно, пусть А и В—такие точки, принадлежащие некоторому
треугольнику из [5 — /?], что А?М, а В? М. Так как точки,
граничные по отношению к множеству М, являются внутренними по
отношению к R, то они не могут принадлежать треугольнику,
входящему в [5 — R]. Следовательно, А — внутренняя, а В — внешняя
точка по отношению к множеству М. Но в таком случае отрезок,
соединяющий А с В, пересекает границу множества М (п. 4.4) в
некоторой точке нашего треугольника, что приводит к противоречию.
Положим Q=P-|-/?. Ясно, что РаМ. Покажем, что MaQ.
Пусть А?М. Тогда либо A?R, либо А?М—Rcz[S —R]. В
первом случае A?Q; во втором случае точка А лежит в одном из
треугольников, составляющих фигуру [5 — R]. Так как этот
треугольник имеет с М общую точку, то он целиком лежит в М, т. е.
входит в Р. Следовательно, во втором случае А ? Р. Таким образом,
в обоих случаях A?Q, а это и значит, что MaQ. Наконец,
s(Q)-s(P) = s(R)<e.
4.6. Операции над квадрируемыми фигурами. Сумма и
пересечение конечного числа квадрируемых фигур являются
квадрируемыми фигурами. Разность двух квадрируемых фигур есть ква-
дрируемая фигура. Множество, равное квадрируемой фигуре,
есть квадрируемая фигура.
Справедливость последнего утверждения очевидна. Теорему
о сумме и пересечении достаточно доказать для случая двух фигур.
Итак, пусть М и N—квадрируемые фигуры; покажем, что фигуры
M-\~N, MN и М — N квадрируемы. Согласно нашему критерию
квадрируемости, нужно доказать, что если МТ и Nr — нуль-множества,
то (M-{-N)r, (MN)r и (M — N)r — также нуль-множества.
В п. 2.1 было доказано, что (М + М)Г с Mr + Nr, (MN)TcMr + Nr,
(М — N)rczMr-\-N.r Но сумма двух нуль-множеств есть
нуль-множество и часть нуль-множества есть нуль-множество (п. 4.3).
Следовательно, (M-{-N)r, (MN)r-vL (M — Af)r — нуль-множества.
4.7*. Линии. Поскольку ограниченное множество квадрируемо в том
и только в том случае, если его граница есть нуль-множество, а
границы наиболее часто встречающихся фигур состоят из линий,
важно выяснить, какие линии являются нуль-множествами.
Первая трудность, с которой мы здесь встречаемся, состоит
в недостаточной определенности понятия линии. Мы ограничимся
рассмотрением простых линий, т. е. линий, не имеющих
самопересечений. В этом пункте определяется и изучается с интересующей
нас точки зрения несколько классов таких линий.
Простые дуги. Пусть А — отрезок числовой прямой и / —
некоторое отображение этого отрезка в плоскость. Снабдим
плоскость системой координат х, у и обозначим через xf(t), yf(t) коор-

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
37
динаты точки f(t), t ? Д. Ясно, что функции хр yf определяются
отображением /ив свою очередь определяют его. Если эти
функции непрерывны, то они будут непрерывными и при всяком другом
выборе системы координат, потому что преобразование координат
линейно; в этом случае и отображение / называется непрерывным.
Нас будут интересовать непрерывные и взаимно однозначные
отображения отрезка в плоскость. Множество точек плоскости, на
которое можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить
отрезок, называется простой дугой. Взаимная однозначность есть как
раз то свойство отображения, которое обеспечивает отсутствие
самопересечений.
Определению простой дуги можно дать следующее наглядное
истолкование. Представим себе, что отрезок сделан из материала,
способного как угодно изгибаться, сокращаться и растягиваться,
но неспособного рваться и склеиваться. Простая дуга есть то, что
можно изготовить из такого отрезка.
Как будет показано в п. 4.10, простая дуга может не быть
нуль-множеством.
Элементарные кривые. Множество точек плоскости
называется элементарной кривой, если существует система координат,
в которой это множество является графиком функции,
определенной и непрерывной на некотором отрезке.
Элементарные кривые являются простыми дугами.
Действительно, пусть Г — график функции ф, непрерывной на отрезке А.
Ясно, что отображение / этого отрезка на Г, определяемое
функциями Xj (t) = t, yf(t) = (f(t) (t?A) (т. е. относящее каждой
точке отрезка А лежащую над ней точку графика Г), непрерывно
и взаимно однозначно.
Элементарная кривая является нуль-множеством.
При доказательстве буквой Г, как и выше, будет
обозначаться график функции ф, непрерывной на отрезке А. Запись
Д = Aj-j- ... + Ап означает, что отрезок А разбит промежуточными
точками на частичные отрезки Д1? ..., А„. Через mt и М(
обозначаются наименьшее и наибольшее значения функции ф на отрезке А,-
(они существуют в силу известной теоремы Вейерштрасса). Буква /
обозначает длину отрезка.
Лемма. Для всякого положительного числа г существует
такое разбиение А = Аг+ • • • +ДЯ> что
S(Af,-»,)/(A,)<8. (4)
1 = 1
Доказательство леммы. Согласно известной теореме
Кантора, функция ф равномерно непрерывна на отрезке А.
Следовательно, существует такое положительное число 8, что для любых
двух точек х7 хг отрезка А, удаленных друг от друга менее, чем

38
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
на 6, справедливо неравенство <р (х') — ф (х) < г/1(A). Оказывается,
что неравенство (4) имеет место для всякого разбиения Д = Дх+ . . .
.. . +Д„, у которого длины всех частичных отрезков А{ меньше б.
Действительно, из неравенства 1(А()<Ь следует, что точки
отрезка Ah в которых функция ф принимает значения т{ и Мь как и
всякие две точки этого отрезка, удалены друг от друга менее чем
на б. Таким образом,
п),
и потому
S w— »/)/ (д<) < гш Ё' (д/)=е
«=1
i=i
У
0
\,
кюШ
d?&.
ШХЬ
X
Рис. И.
Доказательство теоремы. Пусть е—положительное
число. Построим разбиение Д = Дх + .. . + Д„, удовлетворяющее
условию (4), и обозначим
через Rt прямоугольник,
ограниченный горизонталями y — tnh
y = Mt и вертикалями,
проведенными через концы
отрезка А( (на рис. 11
прямоугольники R( заштрихованы). Пусть
Г,- — часть графика Г,
лежащая в прямоугольнике Rt.
Ясно, что Г = Г1+.-.+Г„.
Следовательно, ^многоугольная
фигура R=RX+ . . . +/?„
содержит множество Г, и так как
п
s(Ri) = (Mi — mi)l(Ai), то s(R)= % (М; — т{) I(А{) <&. Правда, на
некоторых из отрезков А{ функция ф может оказаться постоянной,
так что соответствующие прямоугольники R{ выродятся. У таких
прямоугольников достаточно слегка опустить нижнюю сторону или
приподнять верхнюю (рис. 12). «Слегка» — значит меньше,чем на г/1 (Д).
Кусочно гладкие простые дуги. Простая дуга Г
называется гладкой, если существует такое взаимно однозначное
отображение / некоторого отрезка на Г, что функции xf, yf имеют
непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. Ясно,
что если отображение / удовлетворяет этому условию в одной
системе координат, то оно удовлетворяет ему во всех системах
координат. Название «гладкая» объясняется тем, что такая дуга
плавно меняет свое направление и, в частности, не имеет угловых
точек. Простая дуга называется кусочно гладкой, если ее можно
разбить на конечное число гладких простых дуг.

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
39
Всякую кусочно гладкую простую дугу можно разбить на
конечное число элементарных кривых.
Доказательство достаточно провести для гладких простых
дуг (рис. 13). Пусть Г—гладкая простая дуга, Д—отрезок и /—такое
взаимно однозначное
отображение отрезка А на Г, что у\
производные х\, у\
непрерывны и не обращаются
одновременно в нуль.
Предположим сначала, что
одна из производных х^ у\
нигде не обращается в нуль
на отрезке А. Если это х'р то,
как известно из анализа,
функция х, взаимно однозначно
Рис. 12.
Ъ
отображает отрезок А на
некоторый отрезбк А' и обратная функция непрерывна.
Обозначим эту обратную функцию через ф и положим: g(t)=f(q>(t)),
/?Д'. Ясно, что g есть отображение
отрезка А' на Г, определяемое
функциями xg(t) = t, yg(t) = ${t) [teА'), где
if (t)^=yf(cp (t)). Следовательно, если х\
не обращается в нуль на отрезке А, то
дуга Г является графиком функции г|)
и, значит, элементарной кривой.
Подобным же образом, Г есть элементарная
кривая и в случае, когда у' не
обращается в нуль на А; доказательство —¦
такое же, только нужно поменять ролями
оси х и у.
Переходя к общему случаю,
предположим, что дугу Г нельзя разбить на
конечное число элементарных кривых, и
разделим отрезок А пополам. Тогда Г
разобьется на две простые дуги, из которых по крайней мере одну
нельзя разбить на конечное число элементарных кривых. Половину
отрезка А, которому отвечает такая дуга, мы опять-таки разделим
пополам, и т. д. В результате мы получим последовательность
отрезков А, Дх, Д2, ..., каждый из которых, начиная со второго,
является половиной предыдущего, и соответствующую
последовательность Г, 1\, Г2, ... частей дуги Г, не допускающих
разбиения на конечное число элементарных кривых. Пусть tQ — точка г
принадлежащая всем отрезкам А, Дх, Д2, . . . Так как
производные лг' у' непрерывны и по крайней мере одна из них не
о
Рис. 13. Разбиение гладкой
простой дуги на
элементарные кривые.

40
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
обращается в нуль в точке tQ, то существует окрестность точки t0,
в которой одна из этих производных нигде не обращается в нуль.
При достаточно большом п отрезок Ап целиком лежит в этой
окрестности, и поэтому при достаточно большом п одна из
производных Xf, yf не обращается в нуль на Art. Следовательно, при
достаточно большом п дуга Гп является элементарной кривой, д это
очевидным образом противоречит тому, что ее нельзя разбить на
конечное число элементарных кривых.
Кусочно гладкая простая дуга есть нуль-множество.
Действительно, кусочно гладкую простую дугу можно разбить
на конечное число элементарных кривых, а элементарная кривая есть
нуль-множество и сумма конечного числа нуль-множеств есть
нульмножество.
Простые замкнутые кривые. Множество точек
плоскости называется простой замкнутой кривой, если существует
непрерывное отображение отрезка на это множество, переводящее
концы отрезка в одну точку, но в остальном взаимно однозначное.
Простая замкнутая кривая называется кусочно гладкой, если ее
можно разбить на конечное число гладких простых дуг. Например,
окружность и контур квадрата являются кусочно гладкими простыми
замкнутыми кривыми.
Кусочно гладкая простая замкнутая кривая есть
нульмножество.
Действительно, из предыдущего следует, что кусочно гладкую
простую замкнутую кривую можно разбить на конечное число
элементарных кривых.
4.8*. Квадрируемость классических фигур. Цель этого
пункта—доказать, что «классические» фигуры, т. е. фигуры, с которыми мы обычно
встречаемся в геометрии и классическом анализе, квадрируемы.
Прежде всего мы должны точнее определить интересующий нас класс
фигур. Всякий скажет, что фигура в классическом смысле есть часть
плоскости, ограниченная линчей или несколькими линиями. Попытаемся
придать этим словам точный смысл. Ясно, что под «линией» здесь следует
понимать простую замкнутую кривую. Пусть Г—такая кривая; что такое
«часть плоскости, ограниченная кривой Г»?
Конечно, это не просто множество с границей Г, потому что таких
множеств существует сколько угодно. Если, например, Г—окружность, то
такими множествами являются замкнутый круг, открытый круг, часть
плоскости, внешняя по отношению к кругу, сама окружность Г и многие
другие множества Можно, однако, доказать, что, какова бы ни была
простая замкнутая кривая Г, на плоскости существует единственная
ограниченная замкнутая область с границей Г. Эта замкнутая область и есть
часть плоскости, ограниченная кривой Г. Ее называют также фигурой,
ограниченной кривой Г.
Мы не будем доказывать эту теорему, потому что ее доказательство
трудно и длинно (оно очень не просто даже в случае, когда Г—ломаная)
и потому что мы можем без нее обойтись. Действительно, мы можем прямо
определить классическую фигуру как ограниченную замкнутую область,

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 41
граница которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых;
при этом, чтобы исключить патологические случаи, мы будем считать эти
кривые кусочно гладкими.
Классические фигуры квадрируемы. Действительно, согласно пп. 4.7 и
4.3, граница классической фигуры есть нуль-множество, так что применим
критерий квадрируемости из п. 4.5.
Следует подчеркнуть, что в этой теореме кусочная гладкость
граничных кривых существенна. В п. 4.10 будет построена фигура, ограниченная
простой замкнутой кривой, но не квадрируемая.
4.9. Круг. Из уважения к традиции мы приведем здесь
классическое элементарное доказательство квадрируемости круга.
Пусть Рп — правильный 2п-угольник (п ^2), вписанный в круг
радиуса г, и Qn — правильный 2п-угольник, описанный около этого
круга. Пусть ап — сторона и сп—апофема многоугольника Рп и
Ьп — сторона многоугольника Qn. Согласно п. 3.5,
5 (/>„) = i- 2"a„cn, s (<?„) = -1 ГЬпг. (5)
Из соображений подобия следует, что
Если Рп — квадрат (т. е. п = 2), то это отношение равно У2;
при возрастании п оно убывает, Так как ап<.2ап+ъ bn>2bn+L.
Следовательно,
г <2. (7)
Далее из неравенства 2bn+1<.bn следует (индуктивно), что
2n~2bn<:b2 = 2r. Наконец, ап<.Ью г — сп<-^аю и потому
fl»<2»=8» г~~ сп<2^2- (8)
Из (5), (6), (7), (8) получаем:
= 2»-1ая^(г-ся) <4г.3~
-2«-4
Следовательно, каково бы ни было положительное число е, при
п, настолько большом, что 2""4>—, справедливо неравенство
5 (Q„) — 5 (Рп) <С8. Этим доказано, что круг —квадрируемая фигура.
4.10*. Примерынеквадрируемыхмножеств. Пример 1.
Ограниченное неквадрируемое множество. Направим оси

42
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
координат по двум соседним сторонам единичного квадрата Е и
обозначим через М множество тех точек квадрата Е, у которых
абсциссы являются рациональными числами.
Множество М не квадрируемо.
Доказательство. Всякий круг с центром в квадрате Е
содержит как точки квадрата с рациональными абсциссами, так
и точки с иррациональными абсциссами. Следовательно, каждая
точка квадрата является граничной для множества М. Так как
квадрат не является
нуль-множеством, то, согласно п. 4.5,
множество М не квадрируемо.
Конечно, множество М
мало похоже на фигуры в
классическом смысле. Ниже будут
построены неквадрируемые
множества, более близкие к
классическим фигурам.
Пример 2. Неквадри-
руемая простая дуга.
Возьмем какой-нибудь треугольник F0 с вершинами А, Я, Си, выбрав на
стороне АВ две такие точки Alt Bv что
РМ. ЛхХ-тгрСЛ, Б),
р(В, ДхХ-g-pCA,
В),
обозначим через F± многоугольную фигуру, составленную из
треугольников АСАг и ВСВг (рис. 14). Операцию, переводящую F0 в Flf мы будем
называть вырезанием с
фокусом в вершине С. Каждый из
треугольников, составляющих
фигуру Flt мы опять
подвергнем операции вырезания,
приняв за фокусы только что
возникшие вершины Аг и Blt
и т. д. (рис. 15). Этим путем мы
построим бесконечную
последовательность мнигоугольных
фигур F0, Flt F2, ..., в
которой фигура Fn является
суммой 2п треугольников. Чтобы
превратить Fn в Fn+lt нужно
подвергнуть каждый из этих треугольников операции вырезания с
фокусом в вершине, возникшей при предыдущем вырезании.
Обозначим через Г пересечение всех фигур Fn и покажем, что Г есть
простая дуга (см. п. 4.7). Для этого мы построим непрерывное взаимно
однозначное отображение отрезка [0, 1] на множество Г.
Назовем треугольники, составляющие фигуру F„, треугольниками
ранга п. Ясно, что их можно, и притом единственным образом,
занумеровать так, чтобы каждые два треугольника с соседними номерами имели
общую точку и чтобы первым был треугольник, содержащий точку А
(последним будет треугольник, содержащий точку В). Разделим отрезок
[О, 1] на 2п равных отрезков, назовем их отрезками ранга п, занумеруем
Рис. 15.

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
43
их слева направо и отнесем каждому отрезку ранга п треугольник ранга
п с тем же номером. Тогда множество отрезков всех рангов взаимно
однозначно и с сохранением ранга отобразится на множество
треугольников всех рангов. Ясно, что:
(a) Один треугольник в том и только в том случае является частью
другого треугольника, если отрезок, которому отвечает первый
треугольник, является частью отрезка, которому отвечает второй треугольник.
(b) Два треугольника в том и только в том случае имеют общую
точку, если отрезки, которым они соответствуют, имеют общую точку.
(c) Длина наибольшей из сторон треугольников ранга п стремится
к нулю при неограниченном возрастании п.
Пусть t — произвольная точка отрезка [0, 1]. Если существует
единственный отрезок ранга п, содержащий точку t, то пусть Д„ (t)—этот
отрезок и Tn(t)—соответствующий треугольник ранга п; если существуют два
таких отрезка, то пусть Ап (t)—сумма этих отрезков и Тп (t)—сумма
соответствующих треугольников. Так как Ах (t) Z) Д2 (t) 3 ..., то
Тг (t) Z) T2 (t) 3 ... (см. (а)). Из этих включений и того факта, что
наибольшее расстояние между точками множества Тп (t) стремится к нулю
при неограниченном возрастании п (см. (Ь) и (с)), следует, что пересечение
всех множеств Тп (t) состоит из единственной точки. Отнесем эту точку
точке t и покажем, что определенное таким образом отображение / отрезка
[О, 1] в множество Г является непрерывным взаимно однозначным
отображением на все множество Г.
Пусть по-прежнему t—произвольная точка отрезка [0, 1] и 8 —
положительное число. Из определения отображения / следует, что / (&n(t))cz Tn (t),
и так как при неограниченном возрастании п наибольшее расстояние между
точками множества Tn(t) стремится к нулю, то существует такое т, что
расстояние любой точки множества f(Am(t)) от точки f (t) меньшее. Пусть
б—расстояние точки t до ближайшего конца отрезка Am (t). Ясно, что если
| V — t К б, то р (/ (*), f (О) < е и, значит,
I xf(t')-xf(t) | < е, | yf(t')-tff(t) | < е.
Этим доказано, что отображение [ непрерывно в точке t.
Пусть А—произвольная точка множества Г. Если существует
единственный треугольник ранга я, содержащий эту точку, то пусть Тп—этот
треугольник и Д„—отрезок ранга я, которому он соответствует; если
существуют два таких треугольника, то пусть Тп—их сумма и Ап—сумма
отрезков, которым они соответствуют. Так как 74 Г) Т2 Z3 ..., то
AiZ)A23 ... (см. (а)). Из последних включений и того факта, что длина
отрезка А„ стремится к нулю при неограниченном возрастании /г, следует,
что пересечение отрезков А„ состоит из единственной точки, скажем t. Ясно,
что А =/ (/), и что t — единственная точка с этим свойством. Следовательно,
I — взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на все множество Г.
Итак, Г — простая дуга. Посмотрим, будет ли она квадрируемой.
Очевидно, что множество Г не содержит ни одного круга: такой круг должен
был бы при каждом п содержаться в некотором треугольнике ранга я, а
это невозможно в силу (с). Согласно п. 4.3, отсюда следует, что дуга Г
квадрируема в том а только в том случае, если она является
нуль-множеством.
Так это или нет—зависит от того, большие или малые части фигур Fn
удаляются при вырезаниях. Пусть оп—площадь фигуры Fn. Ясно, что
последовательность а0, ах, ... убывает и что для всякой строго убывающей
последовательности положительных чисел а0, alf ... можно построить
указанным выше способом такую последовательность многоугольных фигур
F0» ^i» ••-, что s(Fn) = Gn. Оказывается, что дуга Г является
нуль-множеством в том и только в том случае, если lim о"я = 0.

44
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Доказательство. Пусть сначала lim ал = 0. Возьмем для задан-
П -> оо
ного положительного 8 такое /я, что от < е, и положим R = Fm. Ясно,
что Г cz R и s(#) = aw<8. Следовательно, Г есть нуль-множество.
Пусть теперь Г—нуль-множество. Возьмем для заданного
положительного е такую многоугольную фигуру R, что R Г) Г и s(R)<&/2,
разобьем ее на треугольники и подвергнем каждый треугольник преобразованию
подобия с центром в какой-нибудь внутренней точке и коэффициентом,
большим единицы; этот коэффициент мы выберем так, чтобы многоугольная
фигура R', составленная из новых треугольников, удовлетворяла условию
s (R') < е (ср. п. 4.2). Ясно, что фигура R' содержит не только множество Г,
но и все точки, лежащие от точек множества Г на расстоянии, меньшем
некоторого положительного числа б. Так как длина наибольшей из сторон
треугольников ранга п стремится к 0 при неограниченном возрастании п и так
как каждый из этих треугольников содержит точки множества Г, то при
достаточно большом п каждая точка множества Fn лежит от некоторой точки
множества Г на расстоянии, меньшем б. Следовательно, если п достаточно
велико, то Fn CLR' и on^s (R') < 8, а это значит, что limart = 0.
п -*• во
Подведем итоги: если lim оп > 0, то Г—неквадрируемая простая дуга,
п ->¦ со
Пример 3. Неквадрируемая фигура, ограниченная
простой замкнутой кривой. Пусть Г—неквадрируемая простая
дуга, построенная из треугольника ABC, как в примере 2, и С—точка»
симметричная с точкой С относительно прямой АВ. Обозначим через Г'
простую замкнутую кривую, составленную из дуги Г и отрезков АС и
ВС, и через F—фигуру, ограниченную кривой Г' (см. п. 4.8). Так как Г—
не нуль-множество, то и Г'—не нуль-множество. Следовательно, фигура
F не квадрируема.
Очевидный недостаток этого рассуждения состоит в том, что оно
опирается на трудную общую теорему, изложенную в п. 4.8 без
доказательства. Желательно иметь прямое определение множества F. Вот это
определение: F есть сумма дуги Г, треугольника ABC и всех треугольников,
вырезаемых из фигур Fn с четными номерами п. Нетрудно показать, что
это—замкнутая область с границей Г'.
§ 5. Площадь на классе квадрируемых фигур
5.1. Определение площади. Площадь есть функция,
определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами
(а) —(б). Так как многоугольные фигуры квадрируемы, то такая
функция определена, в частности, на классе многоугольных фигур.
Там она также обладает свойствами (а) — (б) и потому совпадает
с функцией s, изученной в § 3. Новую функцию мы также будем
обозначать через s.
Существование и единственность нашей функции будут
доказаны в п. 5.5. Пока они не доказаны, мы будем понимать иод
площадью какую-нибудь функцию квадрируемой фигуры со
свойствами (а)-—(б), предполагая ее существующей.
5.2. Простейшие следствия определения. При переходе к классу
квадрируемых фигур площадь сохраняет свойство монотонности:
если квадрируемая фигура N есть часть квадрируемой фигуры
Ж, то s(N)^s(M).

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
45
Действительно, положим N' — M— N. Согласно п. 4.6, ЛГ—
квадрируемая фигура. Так как TV и N' составляют М и не имеют
общих внутренних точек (даже вообще не имеют общих точек),
то, согласно свойству (|3), s(M) = s(N)-\- s(N'), а согласно
свойству (а), 5 ЛГ)^0. Следовательно, s (M)^s (N).
Мы увидим, однако, что свойством строгой монотонности
площадь на классе квадрируемых фигур уже не обладает.
Для любых двух квадрируемых фигур М и N справедливо
соотношение
s(M + N) = s(M) + s(N) — s (MN). (1)
Действительно, множество M-\-N можно представить как
сумму непересекающихся множеств М и N—MN, так что, согласно
свойству (Р),
s(M+N) = s(M) + s(N—MN). (2)
Далее, множество N есть сумма непересекающихся множеств
N—MN и MN, так что, согласно тому же свойству (Р),
s(N) = s(N — MN) + s (MN). (3)
Из (2) и (3) следует (1).
Для любых квадрируемых фигур М1} ..., Мп справедливо
неравенство s (М± + . . . -f Мп) < s (Мг) + ...+$ (Мп).
При я = 2 это следует из формулы (1), при п>2 доказывается
индуктивно.
Читателю рекомендуется сопоставить доказательства
монотонности площади и соотношения (1) с соответствующими
рассуждениями п. 3.2.
5.3. Площадь как точная грань. В силу монотонности площади,
для всякой квадрируемой фигуры М и всяких двух
многоугольных фигур Р и Q, удовлетворяющих условиям Р с М c:Q>
справедливы неравенства
s(P)<:S(M)^s(Q). (4)
Таким образом, площадь квадрируемой фигуры заключена между
площадями всех входящих многоугольных фигур и площадями
всех объемлющих многоугольных фигур. Она служит верхней
гранью первых и нижней гранью вторых.
Следующая теорема дает точное выражение площади
квадрируемой фигуры через площади входящих и объемлющих
многоугольных фигур.
Площадь квадрируемой фигуры есть точная верхняя грань
площадей входящих многоугольных фигур и точная нижняя
грань площадей объемлющих многоугольных фигур:
s (М) = sup 5 (Р) = inf 5 (Q). (5)

46
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Другими словами, площадь квадрируемой фигуры есть
единственное число, заключенное между площадями всех входящих
многоугольных фигур и площадями всех объемлющих
многоугольных фигур.
Для доказательства положим sups(P)=p, infs(Q)— q. Из
неравенства (4) следует, что для всякой входящей многоугольной
фигуры Р и всякой объемлющей многоугольной фигуры Q
«(Р)< р < ^ (АО < ? < 5 (Q). (6)
С другой стороны, согласно определению квадрируемости, для
всякого положительного е существуют такая входящая
многоугольная фигура Рк такая объемлющая многоугольная фигура Q, что
s(Q)-s(P)<s. (7)
Из (6) и (7) следует: O^q—Р<8> и так как 8 произвольно, то
p = q = s(M).
5.4. Площадь как предел. Если М — квадрируемая фигура и
Я, Q — такие многоугольные фигуры, что PcAfcQ, то в силу
неравенств (4)
s(M)-s(P)^s(Q)s(P), s(Q)-s(M)*?s{Q)-s(P). (8)
Сопоставляя неравенства (8) с определением квадрируемости, мы
видим, что для всякой квадрируемой фигуры М при любом
положительном 8 существуют такая входящая многоугольная фигура Р
и такая объемлющая многоугольная фигура Q, что $(М)—s(P)<8,
s(Q) — s{M)<b.
Возьмем какую-нибудь последовательность положительных чисел
еп, сходящуюся к нулю, и построим многоугольные фигуры Рп и
Qn, удовлетворяющие соотношениям PncMc:Qn, s(M) — s(Pn)<C.eny
s(Qn) — s(M)<.zn. Ясно, что
s(M)= lim s(Pn)= lim s(Qn). (9)
П -> 00 П -> 00
Таким образом, для всякой квадрируемой фигуры М существуют
такая последовательность входящих многоугольных фигур Рп
и такая последовательность объемлющих многоугольных фигур
Qn, что справедливо соотношение (9).
Если, например, Ж—круг, а Рп и Qn — вписанные и описанные
правильные 2"-угольники, то согласно п. 4.9,
lim [s(Qn)-s(Pn)} = 0. (10)
П-> 00
Из соотношений (10) и (8) (в последнем под Р и Q нужно
понимать Рп и Qn) следует (9). Таким образом, площадь круга может
быть вычислена как предел последовательности площадей
правильных вписанных или описанных 2п-угольников.

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
47
5.5. Теорема существования и единственности. На классе
квадрируемых фигур существует одна и только одна функция
со свойствами (а) — (б).
Доказательство единственности. Пусть s и s' — две
функции, определенные на классе квадрируемых фигур и
обладающие свойствами (а) — (б). Согласно формуле (5), для всякой
квадрируемой фигуры М
s(М) == sups(P), s' (M) = sups' (P).
Но, по теореме единственности, доказанной в п. 3.7, s' (P) = s(P)
для всякой многоугольной фигуры Р. Следовательно, s' (M) = s(M).
Доказательство существования. Мы будем
пользоваться теоремой существования площади на классе многоугольных
фигур, доказанной в п. 3.7. Пусть Ж —квадрируемая фигура, Q —
какая-нибудь объемлющая многоугольная фигура и
Р—произвольная входящая многоугольная фигура. Так как Р содержится
в Q, то s(P)^s(Q). Следовательно, множество площадей входящих
многоугольных фигур ограничено сверху. Рассмотрим его точную
верхнюю грань sup 5 (Я). Если фигура М сама является
многоугольной, то, очевидно, sups(P) = s(./kf), в общем же случае
sups(P) есть некоторое число, однозначно определяемое
квадрируемой фигурой М. Таким образом, sup s (P) есть функция,
определенная на классе квадрируемых фигур и совпадающая на классе
многоугольных фигур с функцией s. He возникнет недоразумений,
если мы и ее обозначим через s, т. е. положим для произвольной
квадрируемой фигуры М
s(M) = sups(P). (11)
Очевидно, что эта функция обладает свойствами (а), (у) и (б).
Покажем, что она обладает и свойством (|3). Пусть Мъ ..., Мп—
квадрируемые фигуры, попарно не имеющие общих внутренних
точек, М—их сумма и 8 — положительное число. Согласно
определению квадрируемости, существуют такие многоугольные фигуры
Pi,Qi, ...,P„,Q„,4to
Р{аМ{ a Qhs(Qi) -s(P{) < г/п (/= 1, ..., л),
и из определения (И) следует, что s (P() ^ s(M;)^.s (Q{). Поэтому
2 s (Рд < 2 s (м,) < 2 s (Qi), 2 s {Qt) - 2 s (/>,) < 8.
/= 1 /=1 /= 1 Ы1 i = l
Положим Px+ ... + Рп= Я, Qx+ ... +Qn=Q. Ясно, что PczMcz Q,
и, в силу того же определения (11), s(P)^s (M)^s(Q). Но
п п
9(Р)= 2 s(P{), 5(Q)< 2 s(Qi). (Фигуры Plt ..., Рп попарно не

48
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
имеют общих внутренних точек.) Таким образом, оба числа s (M)
п п п
и 25W) заключены между числами 2^(Л') и S5(Q/)» Раз"
ность которых меньше е, и потому
п
как е произвольно, то s(M)= 2 sWf).
8(М)-^8{М?)
<s. Так
5.6. Нуль-множества. Класс нуль-множеств (п. 4.3) совпадает
с классом квадрируемых фигур нулевой площади.
Действительно, согласно п. 5.3, площадь квадрируемой фигуры
равна точной нижней грани площадей объемлющих многоугольных
фигур, а определение нуль-множества как раз и заключается в
требовании, чтобы эта нижняя грань была равна нулю.
На классе квадрируемых фигур площадь не является строго
монотонной функцией. Действительно, если М—квадрируемая
фигура и N—непустое нуль-множество, не имеющее с М общих
точек, то s(M+N) = s(M), хотя М -\-Ыф М.
5.7. Полнота класса квадрируемых фигур. Принцип, при помощи
которого мы расширили в п. 4.1 класс многоугольных фигур до
класса квадрируемых фигур, можно сформулировать следующим
образом: множество М в том и только в том случае
причисляется к расширенному классу, если для всякого
положительного е существуют такие фигуры Р и Q прежнего класса, что
Р с Мcz Q, 5 (Q) — 5(Я)<8.
Ясно, что в такой формулировке этот принцип не связан с
предположением, что исходный класс есть класс многоугольных фигур.
Это — общий принцип расширения, применимый к любому классу
множеств, на котором определена функция s. Он носит название
принципа пополнения. Мы можем, таким образом, сказать, что
класс квадрируемых фигур есть пополнение класса
многоугольных фигур. Возникает вопрос: что произойдет, если мы применим
этот принцип к классу квадрируемых фигур?
Оказывается, что класс квадрируемых фигур не расширится,
т. е. что он уже содержит все множества, получающиеся при его
пополнении. Другими словами: если для множества М при любом
положительном г существуют такие квадрируемые фигуры L и N,
что
LczMaN, s{N) — s{L)<e, (12)
то М—квадрируемая фигура. Это свойство класса квадрируемых
фигур называется полнотой.
Чтобы доказать квадрируемость множества М, построим для
заданного положительного е такие квадрируемые фигуры L и N,

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
49
что
LczMdN, s{N) — s(L)<-j, (13)
и затем такие многоугольные фигуры Р и Q, что
PczL, s(L)-s(P)<±, AfczQ, s(Q)—s(N)<±. (14)
Из (13) и (14) следует: Р с М с: Q, s(Q) — s(P)<e. Таким
образом, М—квадрируемая фигура.
5.8. Поведение площади при аффинном преобразовании.
Аффинное преобразование переводит квадрируемую фигуру в
квадрируемую фигуру. Если М'—образ квадрируемой фигуры М при
аффинном преобразовании с определителем А, то s (Mf) = s (M) | A J.
Доказательство. Пусть е—положительное число и Р,
Q—такие многоугольные фигуры, что
Р с М с Q, 5(Q)-s (Р)<| А |-хе. (15)
Обозначим через Р', Q' образы фигур Р, Q. Ясно, что
P'cM'cQ', (16)
и так как, согласно п. 3.10, s (P') = s(P).| A J, s (Q') = s (Q)-\ A |, то
s(Q')--s(P') = [s(Q)-s(P)]'\/H<b.
Таким образом, М'—квадрируемая фигура.
Из включений (15)* (16) следует: 5 (Р') = s (Р) • | А | < 5 (М) • | А | <
< 5 (Q) • / А | = s (Q'), s (Р') < 5 (М') < 5 (Q'). Поэтому имеем
| 5 (Ж') — s (М) • | А || ^ 5 (Q') — 5 (Р') <8, и так как 8 произвольно, то
s(M')*=s(M)'\b\.
Частные случаи (см. п. 3.9). 1. Преобразование подобия
переводит квадрируемую фигуру в квадрируемую фигуру. Если
М' — образ квадрируемой фигуры М при преобразовании подобия
с коэффициентом X, то s{Mr)=-s(M)'k2.
2. При невырожденном ортогональном проектировании
плоскости на плоскость образы и прообразы квадрируемых фигур
квадрируемы. Если а—угол между плоскостями и М' —
проекция квадрируемой фигуры М, то s (Mr) — s (M) cos a.
Примеры. 1. Площадь круга. Пусть Кг—круг радиуса
1 и К—круг радиуса г. Так как К можно получить из Кх
преобразованием подобия с коэффициентом г, то s (К) = s (K^ г2.
Полагая s(K1) = n, получаем обычную формулу; s(K)~nr2.
2. Площадь эллипса. Пусть а и Ь—положительные числа.
Аффинное преобразование х' = ах, у' = by переводит круг радиуса 1,
определяемый неравенством х2-\-у2*^\, в эллипс с полуосями а
и Ь, определяемый неравенством
х2 и2

50
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Так как определитель этого преобразования равен ab, то площадь
эллипса (17) равна nab.
5.9*. Вычисление площади. До сих пор мы занимались главным
образом логическими вопросами теории площадей. Проблеме
вычисления площади уделялось мало внимания — она была рассмотрена
только для многоугольных фигур. Теперь мы займемся
криволинейными фигурами.
Проблема вычисления площади намного старше логических
проблем теории площадей. Если понятием площади
заинтересовались в прошлом столетии, то вычисление площадей благодаря
своему практическому значению находилось в центре внимания
математиков уже десятки столетий назад. И задолго до того, как
логические проблемы теории площадей были поняты и
сформулированы, математикам уже были известны эффективные методы
вычисления площадей криволинейных фигур.
Эти методы были созданы после многовековых усилий и
принадлежат к числу самых выдающихся достижений человеческой
мысли. Они оказались очень общими, т. е. пригодными для
вычисления не только площадей, но и многих других геометрических
и физических величин. Со временем они обрели самостоятельность
и стали ядром новой науки. Эта наука называется
математическим анализом и представляет собой в настоящее время
универсальный инструмент точного естествознания.
Изложение математического анализа не входит в задачи
настоящей статьи. Мы ограничимся тем, что дадим простейшие формулы,
позволяющие вычислять площади криволинейных фигур средствами
анализа. Эти формулы выражают площади через интегралы, и их
применение требует умения вычислять интегралы.
Для сравнения заметим, что и площадь прямоугольника мы
вычислили в п. 3.3 лишь в том смысле, что доказали формулу
$(Р) = аЬ. Применение этой формулы требует умения перемножать
числа и является делом арифметики, которая, как и анализ, не
излагается в настоящей статье. Добавим, что задача вычисления
площади прямоугольника в не меньшей степени способствовала
развитию арифметики, чем задача вычисления площади
криволинейной фигуры—развитию анализа.
Сначала мы рассмотрим основной случай, когда наша фигура
является «криволинейной трапецией», а затем, кратко, случай
произвольной классической фигуры.
Площадь криволинейной т р а пе ци и. Пусть ф —
некоторая функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке А = [а,Ь].
Снабдим плоскость системой координат и обозначим через F
множество точек, координаты х, у которых удовлетворяют
неравенствам а*^х^Ь, О^у <: ф (л:) (рис. 16). Множество Fназывается
криволинейной трапецией, определяемой функцией (р.

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
51
Рис. 16.
Криволинейная трапеция квадрируема.
Действительно, множество F содержится в прямоугольнике
а^х^Ь, 0 z^y ^L, где L — верхняя грань функции ф, и потому
ограничено. Граница множества F состоит из отрезка оси абсцисс,
двух вертикальных отрезков (которые могут вырождаться в точки)
и графика функции ф и потому
является нуль-множеством (см.
п. 4.7). Согласно п. 4.5, из этих
двух фактов следует
квадрируемость множества F.
Если функция ф строго
положительна внутри отрезка [а, Ь],
то граница криволинейной
трапеции F является простой
замкнутой кривой, а сама криволинейная
трапеция есть фигура,
ограниченная этой кривой в смысле п. 4.8. Если, кроме того, функция ф
имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь] или этот
отрезок может быть разложен на конечное число частичных отрезков,
на каждом из которых функция ф имеет непрерывную производную,
то F — классическая фигура.
Площадь криволинейной трапеции F дается формулой
ь
s(F) = \q>(x)dx. (18)
а
Доказательство. Пусть, как в п. 4.7, Д = А± + ... + Дя —
произвольное разбиение отрезка Д на конечное число частичных
отрезков и ть М(—наименьшее и
у к наибольшее значения
функции ф на отрезке Д,- (/= 1,
.. ., п). Пусть
Р.—прямоугольник (может быть,
вырожденный), ограниченный
горизонталямиву = 0, y — mt
и вертикалями, проведен-
-^ ными через концы отрезка
х &h и Q.—прямоугольник
(может быть, вырожденный),
ограниченный
горизонталями у = 0, y = Mi и
вертикалями, проведенными через концы отрезка Д,- (рис. 17). Положим
P=P1+_.+Pni Q = Qi+...+Qrt. ЯСНО, ЧТО
и
^4
Рис. Г/.
5 (Р) = 2 m,l (Д,), s (Q) = J, Щ (Д,-),
*=1 *=1
(19)

52
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
и так как, очевидно, PcFcQ, то
s (Р)< 5 (/=¦)< s (Q).
(20)
Теперь мы должны обратиться к определению интеграла, стоящего
в правой части формулы (18). Первая из сумм (19) называется
нижней, вторая — верхней интегральной суммой функции <р
относительно разбиения Д = А1+...+Ая- Одна из теорем анализа,
так называемая «теорема существования интеграла»,
утверждает, что существует единственное число, служащее одновременно
верхней гранью нижних сумм и нижней гранью верхних сумм. Это
число и есть, по определению, интеграл (18). Согласно
неравенству (20), таким числом является площадь s (F), что и доказывает
формулу (18).
Добавим, что в наших рассуждениях содержится и
доказательство теоремы существования интеграла. Действительно, согласно
лемме из п. 4.7, для всякого положительного 8 существует такое
п п
разбиение А = Д1+...+Аяэ что 2 Щ(&д— 2 m H&i) <8>
и потому s(F) — единственное число, заключенное между нижними
и верхними суммами.
Формула (18) может считаться основной формулой теории
площадей. Конечно, сама по себе она не является глубоким
математическим предложением: понятия площади и интеграла настолько
близки друг другу, что она почти
очевидна. Однако в соединении с мощными
методами вычисления интегралов,
которыми располагает анализ, это формула
оказывается чрезвычайно эффективной.
Площадь классической
фигуры. Можно доказать, что всякая
классическая фигура (п. 4.8) может быть
разбита горизонталями и вертикалями на
конечное число криволинейных трапеций
(некоторые из этих трапеций будут
повернуты относительно положенной в
основу системы координат на 90, 180 или 270°
и сдвинуты—см. рис. 18). Если такое
разбиение произведено, то площадь фигуры может быть вычислена
как сумма площадей этих трапеций, а к последним применима
формула (18). В этом смысле формула (18) является универсальной
формулой теории площадей.
Если рассматриваемая фигура достаточно проста, то этот путь
быстро ведет к цели, но в более сложных случаях он может
оказаться малоэффективным. Существуют формулы, позволяющие прямо
Рис. 18. Разбиение класси
ческой фигуры на
криволинейные трапеции.

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
53
вычислить площадь классической фигуры по уравнениям граничных
кривых. Пусть F—ограниченная замкнутая область, границей
которой служит простая замкнутая кусочно гладкая кривая Г, и пусть
x(t) = xf(t), y(t)=yf(t), a^t^b, (21)
—функции, определяющие кривую Г (п. 4.7). Предположим, что
отображение / определяет на кривой Г положительное
направление, т. е. такое направление обхода, при котором фигура F лежит
слева. Тогда площадь фигуры F может быть вычислена по любой
из трех формул:
ь
s{F) = [x{t)y'{t)dt, (22)
а
Ъ
s(F) = — ijiy(t)x'(t)dt, (23)
а
Ь
s (П = | $ [х (/)/ (t)-y (t) x' (t)} dt. (24)
a
Доказательство этой теоремы уже довольно сложно и опирается
на ряд общих теорем интегрального исчисления. В общих чертах
оно может быть описано следующим образом.
Правые части формул (22) и (23) получаются друг из друга
интегрированием по частям (так как кривая замкнута, то
x(a)z=x(b), у (а)=у (Ь), и потому x(b)y(b)—х(а)у (а) = 0), а
правая часть формулы (24) есть полусумма правых частей формул (22)
и (23). Следовательно, правые части всех трех формул равны
между собой.
Определитель х (t)y' (t) —у (t) x' (t), стоящий под интегралом
в правой части формулы (24), не меняется ни при параллельном
переносе, ни при повороте координатных осей. Следовательно,
правые части всех трех формул не меняются при этих
преобразованиях.
Предположим сначала, что F—криволинейная трапеция,
определяемая функцией у — (р(х), а^лг^Р, которая положительна
внутри отрезка а^лг^р и имеет на нем непрерывную
производную. Разложим кривую Г на три прямолинейных отрезка и график
функции ф, проходимый справо налево (ср. рис. 17), и рассмотрим
соответствующее разложение интеграла (23) на четыре интеграла.
Первые три интеграла равны нулю (в интегралах, соответствующих
вертикальным отрезкам, л;'(^) = 0, в интеграле,
соответствующем отрезку оси абсцисс, y(t) = 0), четвертый, как показывает
подстановка x = x(t)7 равен —\(p(x)dx=—5(F). Следовательно,

54
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
формула (23) верна для криволинейных трапеций рассматриваемого
вида.
В общем случае фигуру F можно разложить горизонталями
и вертикалями на конечное число таких трапеций. Некоторые из
этих трапеций будут повернуты на 90, 180 или 270° и сдвинуты.
В силу предыдущего к каждой из них применима формула (23), а
потому она применима и к фигуре F.
5.10. Площадь на классе квадрируемых замкнутых областей.
В этом пункте будет показано, что на классе квадрируемых
замкнутых областей площадь сохраняет свойство строгой монотонности.
Согласно пп. 2.4 и 4.1, класс квадрируемых замкнутых областей
содержит все многоугольные фигуры. Излагаемая ниже теория
является естественным продолжением теории площадей
многоугольных фигур.
Так как сумма конечного числа замкнутых областей есть
замкнутая область (п. 2.2) и сумма конечного числа квадрируемых
множеств есть квадрируемое множество (п. 4.6), то сумма
конечного числа квадрируемых замкнутых областей есть квадрируемая
замкнутая область. Однако с пересечением и вычитанием дело обстоит
сложнее: уже пересечение и разность двух треугольников могут
не быть замкнутыми областями. В п. 2.5 мы определили
приведенное пересечение и приведенную разность многоугольных фигур,
всегда являющиеся многоугольными фигурами. Эти определения
мы перенесем теперь на произвольные замкнутые области, т. е.
положим для любых двух замкнутых областей F и F'\
[FF'] = ((FF\)3, [F-F'] = (F-F%. (25)
Очевидно, что [Z7/7'] —замкнутая область. Покажем, что и [F—F']
есть замкнутая область, а именно, покажем, что
[F-F') = ((F-F')B)3. (26)
Пусть A ?F — F'. ТаккакЛ ? FylF={Fb)3 (см. п. 2.2), то всякий
круг с центром в точке А пересекается с множеством FB. Так как
точка А не принадлежит замкнутому множеству F', то существует
круг с центром в точке Л, не пересекающийся с F'. Следовательно,
всякий круг с центром в точке А пересекается с FB — F', т. е.
A C(F F')
Таким образом, F—F'c:(FB—F')3, и потому (F—F')3c:(FB—F')3.
Но FB — F' = FB (доп. Т7'), а доп./7/ = (доп. F )в, и потому
/7.-'7/ = /7»(доп.П. = (/7(доп.П)» = (^-П..
Следовательно, (F—F')3a ({F—Fr)B)3. Обратно, (F—F')Bcz
с F-F', и потому ((F-F\)3 с (F-F')a.
Свойства операций приведенного пересечения
и вычитания. При изучении этих свойств мы ограничимся клас-

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
55
сом квадрируемых замкнутых областей. Предварительно
сделаем одно замечание. Рассмотрим соответствие, относящее каждому
квадрируемому множеству М замкнутую область [М] = (МВ)3. Как
показывают формулы (25) и (26), обозначение [М] согласуется
с ранее введенными обозначениями [FF'] и [F—F']. Оказывается,
что [М] лишь на нуль-множество отличается от М (т. е.
разности М—[М] и [М]—М являются нуль-множествами) и что [Ж] —
единственная замкнутая область, обладающая этим свойством.
Для доказательства заметим, что оба множества М и [М]
содержат Мв и содержатся в М3. Следовательно, обе разности М—[М]
и [М] — М содержатся в М3—МВ = МГ и потому являются
нульмножествами. Если бы существовали две замкнутые области F и F',
отличающиеся от М лишь нуль-множествами, то они отличались бы
лишь нуль-множествами и друг от друга, т. е. разности F—F'
и f — F были бы нуль-множествами. Внутренние части этих
разностей были бы тогда пусты, а с ними, в силу формулы (26), были
бы пусты и сами разности.
Так как [М] отличается от М только нуль-множеством, то [М]—¦
квадрируемая фигура. В частности, приведенные пересечения и
приведенные разности квадрируемых замкнутых областей являются
квадрируемыми замкнутыми областями.
Операции приведенного пересечения и приведенного вычитания
квадрируемых замкнутых областей обладают всеми
алгебраическими свойствами обычного пересечения и обычного вычитания
множеств. Например:
[[*V4] F»] = l^i [^ЛВ, [Pi-?,] = [^i - [JV7.]],
№ ± Ft) F3] = [Ff,] ± [FtF,], [/yy + F3 = [(/4 + F3) (Ft + F3)];
см. также формулу (9) в п. 2.5.
Доказательство. Достаточно доказать, что при
отображении М—>[М] сумме, пересечению и разности двух
квадрируемых множеств отвечают сумма, приведенное пересечение и
приведенная разность их образов, т. е. что для любых двух
квадрируемых множеств М и N
[M+N] = [M] + [N], [MN] = [[M\[N]], [M-N] = [[M]-[N]].
Так как [М] и [N] лишь нуль-множествами отличаются от М
и N, то правые части этих формул лишь нуль-множествами
отличаются от M-\-N, MN и M—N. А так как эти правые части
являются замкнутыми областями, то они совпадают с [уИ+ЛГ], [MN]
и [M—N].
Строгая монотонность площади. На классе
квадрируемых замкнутых областей площадь строго монотонна. В

56
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
частности, если квадрируемая замкнутая область F не пуста,
то s(F)>0.
Докажем сначала второе утверждение. Так как F=(FB)3i то
из непустоты множества F следует непустота множества FB.
Следовательно, s(F)>0 (см. пп. 4.3 и 5.6). Доказательство первого
утверждения дословно совпадает теперь с соответствующим
рассуждением п. 3.6.
Поскольку для всякого квадрируемого множества существует
квадрируемая замкнутая область, отличающаяся от него лишь
нуль-множеством, переход от класса всех квадрируемых фигур к
классу квадрируемых замкнутых областей не является
существенным сужением области определения площади. Существуют
вопросы, в которых класс квадрируемых фигур предпочтительнее;
таково положение в теории интегрирования, которая, впрочем, давно
уже не удовлетворяется и классом всех квадрируемых множеств и
продолжает площадь далеко за пределы этого класса. Однако с
элементарно геометрической точки зрения класс квадрируемых
замкнутых областей является более естественной областью
определения площади, чем класс всех квадрируемых множеств.
§ 6. Другое построение теории площадей
6.1. Введение. Цель этого параграфа — познакомить читателя
с построением теории площадей, основанным на естественном
конструктивном определении площади, которое было кратко описано
в п. 1.5. Многоугольные фигуры не играют в этом построении
специальной роли. Определение площади дается сразу для
произвольной квадрируемой фигуры, и одновременно определяется
сам класс квадрируемых фигур. Свойства (а)—(б) доказываются
как теоремы. В заключение устанавливается, что новое
определение эквивалентно аксиоматическому определению, данному в
предыдущих параграфах.
Эта эквивалентность избавляет нас от необходимости вторично
рассматривать все проблемы теории площадей. Заново строится
лишь логический костяк теории. Таких вопросов, как вычисление
площади, поведение площади при геометрических
преобразованиях, квадрируемость классических фигур, построение неквадри-
руемых множеств с теми или иными свойствами, полнота и строгая
монотонность, мы вовсе не касаемся.
То обстоятельство, что площадь определяется сразу для
квадрируемых фигур, делает теорию более компактной, и в этом
состоит главное преимущество второго построения перед первым.
Преимущества первого построения заключаются в его
сравнительной элементарности и в близости к историческому развитию
теории площадей и школьному преподаванию.

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ
57
6.2. Площадь относительно сетки. В этом параграфе мы будем
пользоваться прямоугольной декартовой системой координат х, у,
оси которой направлены по двум соседним сторонам единичного
квадрата Е. Точки квадрата Е характеризуются, таким образом
неравенствами O^x^l, O^y^l. '
Пусть п — неотрицательное целое число. Рассмотрим
горизонтальные и вертикальные прямые, определяемые уравнениями
x = kA0~n, у = 1.\0-п,
(1)
где к и / — всевозможные целые числа. Эти прямые образуют
сетку, подобную той, которую мы видим на миллиметровой бумаге.
Они разбивают плоскость на равные квадраты со стороной 10"",
называемые квадратами ранга л. Чем больше я, тем гуще сетка
и тем мельче квадраты.
Пусть М— ограниченное множество, лежащее на плоскости.
Обозначим через ап число квадратов ранга л, целиком входящих
в множество М (под квадратом мы понимаем, как всегда,
замкнутый квадрат), и через а'п — число квадратов ранга л, задетых
множеством Ж, т. е. имеющих с М хотя бы одну общую точку
(из ограниченности множества М следует, что тех и других
квадратов конечное число). Положим:
*„=а„.1о-2«, 5;=a;.io-2".
(2)
Откуда взялись эти числа? Всякий, знакомый с понятием
площади, скажет, что 10 2п есть площадь одного квадрата ранга п
и что поэтому sn есть площадь
многоугольной фигуры Рп,
составленной из входящих
квадратов ранга п, a s'n — площадь
многоугольной фигуры Qw,
составленной из задетых
квадратов ранга п (рис. 19). Мы, однако,
еще только строим теорию
площадей и не можем
пользоваться понятием площади. Числа
(2) как раз и послужат нам для
определения этого понятия.
Установим, прежде всего, два
основных свойства чисел (2).
1. Последовательность
Рис. 19.
s09 s2, ... возрастает, последовательность s'Q, s[, ... убывает.
Действительно, всякий квадрат ранга п распадается на 103
квадратов ранга п+ 1. Если исходный квадрат —входящий, то и все
полученные квадраты будут входящими; если хотя бы' один из

58
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
полученных квадратов задет, то и исходный квадрат задет.
Следовательно, ccn+1^\02an, an+i <: Ю2ап, и потому
$Я + 1>*Я Sn+l<:Sn. (3)
2. Я/ш любых тип справедливо неравенство
su<s'n> (4)
Так как всякий входящий квадрат задет, то ап^а*'п, и
потому sn^sn. Таким образом, при т = п неравенство (4)
справедливо. Если т<Сп, то sm^sn^sn; если же т>п, то sm^s'm^s'n.
Неравенство (4) показывает, что каждый член последователь-
ности s0, sly ... служит верхней гранью последовательности
sQj sx, ..., а каждый член последовательности s0t sl9 ... служит
нижней гранью последовательности s0j su ... Пусть s к s —
точные грани этих последовательностей: s = supsnt s='mfs'n. Так
как точная верхняя грань есть наименьшая из верхних граней^
то s^sn. Следовательно, s— нижняя грань последовательности
s^s^, ... Но точная нижняя грань есть наибольшая из нижних
граней, и потому
5^< ^ (5)
Добавим к этому, что вследствие монотонности
последовательностей sQ, sx, . .. и ?0, sl9 ... их точные грани служат их пределами:
s = lim sn, s = lim s'n. /g)
Если s = s, то М называется квадрируемым множеством или
квадрируемой фигурой, а число s = s — площадью этой фигуры.
Площадь квадрируемой фигуры М будет обозначаться через
s(M). Вместо ап, ал, sn, s'n, s, s мы будем писать иногда ап(Л4)у
а'п(М), sn(M), sn{M), s_(M),~~sTm)-
Для того, кто уже владеет понятием площади, неравенства
(3) и (4) имеют простой геометрический смысл. Неравенство (4)
представляет собой соотношение между площадями
многоугольных фигур Рт и Qn. Оно следует из соотношения PmczQn,
справедливого при любых тип. Подобным же образом неравенства
(3) следуют из соотношений Pn+lZ2Pn, . Qn+1aQn. Так как
PncMczQnJ (7)
то площадь квадрируемой фигуры М должна быть заключена между
площадями sn всех многоугольных фигур Рп и площадями sn всех

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ
59
многоугольных фигур Qn. Определение площади, содержащееся
в равенствах 5 (М) = s (M) = s (М), означает, что площадь квадриру-
емой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством.
Пример. М—квадрат ранга т. Как нетрудно подсчитать,
при п^т
ап=\0^п'т\ а'п = \0*(п-т) + 4(\0п-т+1).
Следовательно, sn= КГ2*, s'n = 10~2ОТ + 4 (\0-п-т+10~2П), и потому
lim sn= limsn=\0~2m. Таким образом, квадрат ранга т является
Л->-со я-* со
квадрируемой фигурой с площадью 10"2/л. В частности,
единичный квадрат Е является квадрируемой фигурой с площадью 1.
6.3. Критерий квадрируемости. Определению квадрируемости
можно придать другие формы, более близкие к определению
п. 4.1. Прежде всего, согласно соотношению (6), lim (sn — sn) = s—s.
П-> со ~
Следовательно, множество М квадрируемо в том и только в
том случае, если
\\m{s'n-sn) = 0. (8)
rt->co
Точный смысл соотношения (8) состоит в том, что для всякого
положительного 8 существует такое N, что при n^>N справед-
ливо неравенство sn — sn<C&> Но последовательность sn — sn
убывает, и потому это неравенство, будучи справедливо при некотором
значении я, автоматически справедливо и при всяком большем
значении п. Следовательно, множество М квадрируемо в том и
только в том случае, если для всякого положительного е
существует такое п, что sn — sn<e.
Множество М называется нуль-множеством, если s = 0. Так как
в этом случае и s = 0 (см. неравенство (5)), то нуль-множества
квадрируемы и имеют нулевую площадь. Обратно, квадрируемое
множество нулевой площади есть, очевидно, нуль-множество.
Следовательно, М в том и только в том случае есть
нуль-множество, если \\msn — 0\ M в том и только в том случае есть нуль-
множество, если для всякого положительного г существует
такое п, что sn < 8.
Критерием квадрируемости мы называем, как и в п. 4.5,
следующую теорему:
Множество М квадрируемо в том и только в том случае,
если оно ограничено и его граница МГ есть нуль-множество.
Доказательство. Предположим, что множество М
ограничено и его граница Жг есть нудь-множество, и покажем, что

60
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Ж — квадрируемая фигура. Для этого заметим, что если
некоторый квадрат ранга п задет множеством Ж, но не входит целиком
в Ж, то он задет множеством Жг. Если бы это было не так, то
он содержал бы по крайней мере одну точку, внутреннюю по
отношению к Ж, и по крайней мере одну точку, внешнюю по
отношению к Ж, и отрезок, соединяющий эти точки, все-таки
пересекал бы множество Жг (см. п. 4.4) в некоторой точке квадрата.
Следовательно, число квадратов ранга л, задетых множеством Ж,
но не входящих в Ж, не превышает числа квадратов ранга #, задетых
множеством Жг, т. е.
а'п (Ж) - ап (Ж) < ап (Жг), s'n (Ж) -sn (Ж) < sn (Мг).
Так как Жг — нуль-множество, то sn(Mr)—*-0. Следовательно,
sn(M)—sn(M)—5-0, и потому Ж —квадрируемая фигура.
Предположим теперь, что Ж—квадрируемая фигура, и
покажем, что Жг есть нуль-множество. Для этого заметим, что если
квадрат ранга п задет множеством Жг, то либо он сам, либо один
из соседних с ним восьми квадратов задет множеством Ж, но не
входит в Ж. Если бы это было не так, то каждый из указанных
девяти квадратов либо входил бы в Ж, либо не имел бы с Ж
общих точек; более того, так как наш квадрат имеет с соседними
квадратами общие точки, то либо все девять квадратов входили
бы в Ж, либо ни один из девяти не имел бы с Ж общих точек.
Но каждая точка нашего квадрата может быть окружена кругом,
целиком покрытым этими девятью квадратами и потому либо
входящим в Ж, либо не имеющим с Ж общих точек (например,
кругом радиуса 10""). Следовательно, все точки нашего квадрата
были бы либо внутренними, либо внешними по отношению к Ж и
наш квадрат не был бы задет множеством Жг.
Так как число квадратов ранга я, задетых множеством Ж, но
не входящих в Ж, равно ап(М) — ап(М), то общее число этих
квадратов и всех соседних с ними квадратов не превышает
9(ап(М) — ап(М)). Согласно только что доказанному, среди них
находятся все квадраты ранга я, задетые множеством ЖГ.
Следовательно,
ап (Жг) < 9 [а'п (Ж) - ап (Ж)], sn (Жг) < 9 [sn (Ж) - sn (Ж)].
Так как множество Ж квадрируемо, то s'n(AI) — $n(M)—>0.
Следовательно, sn (Жг) —> 0, и потому Жг есть нуль-множество.
6.4. Операции над квадрируемыми фигурами. Часть
нульмножества есть нуль-множество. Сумма конечного числа
нульмножеств есть нуль-множество. Множество, равное нуль-мно-
жеству} есть нуль-множество.

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ
61
Справедливость первого утверждения очевидна. Докажем
справедливость второго. Достаточно рассмотреть случай двух множеств.
Пусть М и N—нуль-множества. Так как каждый квадрат ранга пу
задетый множеством M-\-N, задет по крайней мере одним из
множеств М, N, то
atl(M+N)^an(M)+an(N), s'n{M+N)^sn{M)-ys'n (N).
Так как М и N—нуль-множества, то sn(M)—у О и sn(N) —^0.
Следовательно, sn(M-\-N)—э*0, и потому M-\-N есть нуль-множество.
Пусть теперь М — нуль-множество, N—равное ему множество.
Покажем, что TV есть нуль-множество. Движение, переводящее
множество М в N, переводит квадраты ранга п, задетые
множеством М, в какие-то квадраты, покрывающие множество N.
Каждый из этих новых квадратов задевает не более девяти квадратов
нашей сетки. Действительно, расстояние от любой его точки до
его центра меньше 10"и, вследствие чего он может иметь общие
точки только с квадратом сетки, содержащим его центр, и с
восемью соседними квадратами сетки. Так как число новых квадратов
равно ап(М), то общее число квадратов сетки, задетых новыми
квадратами, не превышает 9ап(М). Следовательно, и число
квадратов сетки, задетых множеством N, не превышает 9ап(М), т. е.
<2/i (N) <; 9ал (М), sn (N) ^ 9s'n (M). Так как /И — нуль-множество, то
sn{M)—у0. Следовательно, sn(N)—>0, и потому N есть
нульмножество.
Сумма и пересечение конечного числа квадрируемых фигур
являются квадрируемыми фигурами. Разность двух
квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура. Множество, равное
квадрируемой фигуре, есть квадрируемая фигура.
Теорему о сумме и пересечении достаточно доказать для
случая двух фигур. Пусть М и N—квадрируемые фигуры. Покажем,
что фигуры M-\-N, MN и М—N квадрируемы. Согласно нашему
критерию квадрируемости, мы должны доказать, что если МТ и
NT — нуль-множества, то (M-\-N)T, (MN)T и (Ж —N)r —также
нульмножества. Но это сразу следует из соотношений
(M+N)rcMr + Nr, (MN)vdMv + NT, (M-N)raMr + Nr,
(см. п. 2.1) и только что установленных свойств нуль-множеств.
Пусть, наконец, М — квадрируемая фигура и N — равное ей
множество. Из квадрируемости фигуры М следует, что МГ есть
нуль-множество. Следовательно, и равное ему множество Nr есть
нуль-множество, и потому N—квадрируемая фигура.
6.5, Основные свойства площади, (а) Площадь квадрируемой
фигуры есть неотрицательное число, ф) Площадь суммыг конеч-

62
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
ного числа квадрируемых фигур, попарно не имеющих общих
внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур.
(у) Равные квадрируемые фигуры имеют равные площади, (б)
Площадь единичного квадрата равна 1.
Предложение (а) очевидно. Предложение (б) было доказано в
п. 6.2. Докажем предложение (|3). Пусть Ml9 . .., Мр—
квадрируемые множества, попарно не имеющие общих внутренних точек.
Никакой квадрат ранга п не может входить сразу в два множества
М( и Mj (иначе центр квадрата был бы общей внутренней точкой
этих множеств), и всякий квадрат ранга п, входящий в одно из
множеств Мг, ..., Мр1 входит в их сумму. Следовательно,
ап(М1)+--.+ап(Мр)^ап(М1+...+Мр). (9)
Если квадрат ранга п задет множеством M1Jr .. . + Мр, то он задет
по крайней мере одним из множеств Мг, ..., М . Следовательно,
ап(Мг)+... +а'п(Мр)^а'п(М1+ ... +Мр). (10)
После умножения на 10~2ге неравенства (9) и (10) дают:
2 sn (Mt) < sa (S Mt) < s'„ (S Mt) < S s'n (Mt).
При п—> oo крайние члены последнего неравенства имеют предел,
равный s (М1)+ ... -\-s(Mp), а средние члены—предел, равный 5 (Мг+
. .. + Мр). Следовательно, s (Мг + ... + Мр) = s (Мг) + .. ,+s (Мр).
Наиболее глубоким является предложение (у). Его полное
доказательство мы отложим до п. 6.7. Здесь мы установим лишь
следующий частный случай этого предложения:
(у') Квадрируемые фигуры, получающиеся друг из друга
параллельным переносом, имеют равные площади.
Пусть М, N — эти фигуры и ?, г\ — координаты вектора
переноса, переводящего фигуру М в N. Возьмем произвольное
натуральное число п, заменим !¦ и т] конечными десятичными дробями
|' и г]', содержащими п знаков после запятой и отличающимися
от | и т] меньше чем на 10~п, и разложим наш перенос на два
переноса: перенос I, производимый вектором с координатами ?', г|',
и перенос II, производимый вектором с координатами ?^—?',
т|—г]'. Перенос I переводит фигуру М в некоторую квадрируе-
мую фигуру ЛГ, перенос II переводит фигуру N' в N. Так как
|| —Б1< Ю"", |т|—г)' | < 10"", то при переносе II всякий
квадрат ранга п переходит в квадрат, имеющий со своим исходным
положением общие точки. Следовательно, всякий квадрат ранга /г,
содержащийся целиком в множестве N, задет множеством ЛГ.
Так как число квадратов ранга л, входящих в N, но не ехо-

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИЙ ПЛОЩАДЕЙ
63
дящих в N\ рзвно an(N)— an(NN'), а число квадратов, задетых
множеством N', но не входящих в N\ равно an(N')—an(N'), то
отсюда следует, что
an(N)-an(NN')^a'n(N')-an(N'). (11)
Подобным же образом
ап (N') - ап {Ж') < а'п (N) - ап (N). (12)
Абсолютная величина разности левых частей неравенств (11) и
(12) не превосходит суммы левых, а потому и суммы правых
частей этих неравенств. Следовательно,
\an(N)-an(N')\^[an{N')-an(N')] + lan(N)-an(N)]. (13)
Так как числа ?', т)' имеют вид ?' = /-10"~", т)'=у-10"*", где
/, j—целые числа, то сдвиг I переводит прямые вида (1) друг в
друга, не меняя образованной ими сети. Следовательно, an(N') =
= ап(М), an(N') = an(M). Вставляя эти значения в неравенство (13)
и умножая обе его части на 10~2", получим: \sn(N)— sn (M)\ ^
^ [s'n(M) — sn (M)] + [s'n {N)—sn (N)]. При п —>• оо левая часть
последнего неравенства имеет предел \s(N)—s(M)\, правая часть —
предел 0. Следовательно, \s(N)—s(M)\ = 0 и s(N) = s(M).
Площадь обладает свойством монотонности: если множества
М и N квадрируемы и NaM, то s(N)^s(M).
Это сразу следует из очевидного неравенства ап (N) ^ ап (М)
и определения площади. Важно, однако, подчеркнуть, что
монотонность площади является следствием свойств (а) и (р).
Действительно, положим N' — M— N. Это — квадрируемая фигура,
не имеющая общих точек с N, и M — N-\-N'. Следовательно,
s(M)=s (N) + s (ЛГ) ^s(N).
6.6. Теорема единственности. Площадь —единственная
функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладаю-
щая свойствами (а), (|3), (у), (б).
Мы докажем более сильное утверждение:
Площадь — единственная функция, определенная на классе
квадрируемых фигур и обладающая свойствами (а), (|3), (у'), (б).
Пусть а — Другая такая функция. Единичный квадрат Е
распадается на 102п квадратов ранга п, которые квадрируемы (см. п. 6.2),
попарно не имеют общих внутренних точек и получаются друг
из друга параллельными сдвигами. Обозначая эти квадраты через
?1? ..., Е102п1 мы можем написать на основании свойств ((3), (у'), (б):
102П
2 в(Е{) = о (Е), о(Ег) = о(Е2)=...=(у(Е10*п)} а(Я) = 1.
Из этих соотношений следует: 102'7а (?х) = 1, а (Ег) = 10"2Я.

64
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЁМ
Пусть теперь Ж —произвольная квадрируемая фигура и Рп%
Qn — многоугольные фигуры, определенные в п. 6.2. Так как
квадраты ранга п квадрируемы, то Рп и Qn также квадрируемы
(п. 6.4) и, согласно свойствам ф) и (у'),
G(Pn) = an-\0-*» = sn(M), <7(Qn) = a;.10-2" = 5;(yM).
В силу монотонности функции а (которая является следствием
свойств (а) и (р), (см. п. 6.5) и соотношения (7), мы имеем:
sn (M) = a (Pn) < а (М) < a (Qn) = sn (M).
При п—>оо крайние члены этого неравенства имеют общий предел
s (M). Следовательно, о (M) = s(M).
6.7. Инвариантность площади. Докажем, что площадь обладает
свойством (у). Параллельные переносы были рассмотрены в п. 6.5.
Остается рассмотреть повороты вокруг начала координат.
Пусть U—такой поворот. Мы должны доказать, что для всякой
квадрируемой фигуры М справедливо соотношение s(UM) — s(M).
Рассмотрим на классе квадрируемых фигур функцию
Если бы квадрат UE был нуль-множеством, то равный ему
квадрат Е тоже был бы нуль-множеством (см. п. 6.4), тогда как s(E) = 1.
Следовательно, s(UE)^0 и формула (14) имеет смысл.
Непосредственная проверка показывает, что функция а обладает свойствами
(ее), (Р), (у'), (б). Согласно теореме единственности (п. 6.6),
отсюда следует, что a = s, т.е. что s(UM) = s(UE)s(M).
Таким образом, в результате поворота U площади всех
квадрируемых фигур умножаются на одно и то же число q = s(UE).
В результате п раз повторенного поворота U они умножатся,
следовательно, на qn. В частности, единичный квадрат Е перейдет
в квадрат с площадью qn. Если q>\, то эта площадь
неограниченно возрастает вместе с /z, тогда как единичный квадрат,
сколько бы он ни вращался вокруг начала координат, остается
частью квадрата |л:[^2, |.у|^2, площадь которого равна 16.
Следовательно, предположение #>1 отпадает. Если q<Cl, то
q"1>\, и мы приходим к тому же противоречию, заменяя
поворот U обратным поворотом. Следовательно, # = 1 и s(UM)=s(M).
6.8. Эквивалентность двух определений площади. Класс
квадрируемых фигур, определенный в этом параграфе, совпадает с
классом квадрируемых фигур, определенным в § 4. Площадь,
определенная в этом параграфе, совпадает с площадью,
определенной в § 5.
В силу теоремы единственности, достаточно доказать первое
из этих утверждений.

ОБЪЕМ
65
Покажем сначала, что всякая многоугольная фигура квадрируе-
ма в смысле п. 6.2 и что на классе многоугольных фигур площадь,
определенная в п. 6.2, совпадает с площадью, определенной в § 3.
Очевидно, что всякий отрезок, лежащий на оси абсцисс, есть
нуль-множество в смысле п. 6.3. Согласно п. 6.4, отсюда следует,
что всякий вообще отрезок является нуль-множеством. Но граница
многоугольной фигуры состоит из конечного числа отрезков.
Следовательно (см. п. 6.4), граница многоугольной фигуры есть
нульмножество, и потому (п. 6.3) всякая многоугольная фигура квадри-
руема в смысле п. 6.2. Совпадение наших площадей на классе
многоугольных фигур следует из теоремы единственности (п. 3.7).
Покажем теперь, что класс нуль-множеств, определенный в
п. 6.3, совпадает с классом нуль-множеств, определенным в п. 4.3.
Если М — нуль-множество в смысле п. 6.3 и 8 — положительное
число, то существует такое я, что sn{M)<^z. Рассмотрим
многоугольную фигуру Qn, определенную в п. 6.2. Мы имеем: М с Q„,
5 (Qn) = s'n (M) < 8. Следовательно, М есть нуль-множество в смысле
п. 4.3. Обратно, если М — нуль-множество в смысле п. 4.3 и 8 —
положительное число, то существует такая многоугольная фигура R,
что М cz R и s (R) <Z -?. Так как фигура R квадрируема в смысле
п. 6.2, то существует такое п, что s'n(R) — s(R) <C-^ . Из этих
неравенств следует, что s'n (R)<Z s. Так как М cz R, то и s'n(M) <Cs.
Следовательно, М есть нуль-множество в смысле п. 6.3.
Согласно критерию квадрируемости, изложенному в п. 6.3,
класс квадрируемых фигур, определенный в п. 6.2, совпадает с
классом квадрируемых фигур, определенным в п. 4.1.
§ 7. Объем
7.1. Введение. Теория объемов строится в основном так же,
как теория площадей. Сначала объем аксиоматически определяется
и изучается на классе многогранных тел, затем вводится класс
кубируемых тел и, наконец, объем аксиоматически определяется
и изучается на классе кубируемых тел. Аксиомы — такие же, как
на плоскости*. Имеется и второе построение теории, основанное
на конструктивном определении объема.
Не только общий план, но и многие детали изложения
повторяют теорию площадей. Это позволяет произвести значительные
сокращения. Там, где повторение является дословным или почти
дословным, мы ограничиваемся перечислением основных фактов.
Менее очевидные изменения и новые факты излагаются подробно.
С наиболее существенным отличием теории объемов
многогранных тел от теории площадей многоугольных фигур мы встречаемся

66
ПЛОЩАДЬ Й ОБЪЕМ
тогда, когда приступаем к вычислению объема тетраэдра.
Напомним, что при вычислении площади на классе многоугольных фигур
нам только один раз, а именно при вычислении площади
прямоугольника, приходится пользоваться оценками, т. е. аксиомой (ос).
Все дальнейшие вычисления основываются уже только на формуле
для площади прямоугольника и аксиомах ($) и (у). При вычислении
объема на классе многогранных тел оценками и, значит, аксиомой
(а) приходится пользоваться дважды: при вычислении объема
прямоугольного параллелепипеда и при вычислении объема
тетраэдра. Тот факт, что объем тетраэдра не удается вычислить без
новых оценок, делает всю теорию существенно менее
элементарной и по этой причине давно привлекал внимание математиков.
После многочисленных исследований выяснилось, что получить
формулу для объема тетраэдра из формулы для объема
прямоугольного параллелепипеда с помощью одних только аксиом (|3) и
(Y) принципиально невозможно. Более того, на классе
многогранных тел существует бесчисленное множество функций со
свойствами (Р) и (у), совпадающих с объемом на классе
прямоугольных параллелепипедов. К сожалению, доказательство этой теоремы
не просто и не может быть здесь изложено.
Более элементарное классическое объяснение того, что объем
тетраэдра не удается вычислить такими же простыми средствами,
как площадь треугольника, связано с понятием
равносоставленности. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют
одну и ту же площадь, и равносоставленными, если их можно
разбить на конечное число попарно равных треугольников. Два
тела называются равновеликими, если они имеют один и тот же
объем, и равносоставленными, если их можно разбить на конечное
число попарно равных тетраэдров. В силу аксиом ф) и (y) из
равносоставленности следует равновеликость, и сравнительно
нетрудно доказать, что равновеликие многоугольные фигуры равно-
составлены. Оказывается, однако, что уже правильный тетраэдр
не равносоставлен ни с каким прямоугольным параллелепипедом г).
Конечно, это объяснение далеко не исчерпывает вопроса.
За пределами класса многогранных тел мы занимаемся
проблемой вычисления объема только в самых простых частных случаях
(цилиндры, конусы, тела вращения). Более полное рассмотрение
этой проблемы потребовало бы привлечения кратных интегралов.
7.2. Класс многогранных тел (ср. § 2). Внутренние, внешние и
граничные точки определяются в пространстве так же, как на
плоскости, только слово «круг» заменяется словом «шар». Поэтому для
г) Доказательства вместе с подробным рассмотрением этого круга
вопросов читатель найдет в статье «Равносоставленность многоугольников и
многогранников» в этой книге ЭЭМ. (Прим. ред.)

ОБЪЕМ
67
пространства справедливо все, что было сказано в пп. 2.1 и 2.2 о
внутренней части, границе и замыкании множества, об
открытых и замкнутых множествах и замкнутых областях.
Множество называется ограниченным, если его можно заключить
в шар.
Выпуклым многогранником называется пересечение конечного
числа полупространств при условии, что это пересечение
ограничено и не лежит в одной плоскости. Пересечение выпуклого
многогранника с полупространством или другим выпуклым
многогранником есть либо выпуклый многогранник, либо выпуклый
многоугольник, либо отрезок, либо точка, либо пустое множество.
Простейшими выпуклыми многогранниками являются тетраэдры.
Пусть А, В, С, D — четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Обозначим через Пл, Ив, Пс, UD полупространства с граничными
плоскостями BCD, CDA, DAB, ABC, содержащие соответственно
точки А, В, С, D.
Тетраэдр с вершинами А, В, С, D может быть определен как
пересечение полупространств НА, Лв, Пс, П^. Это —
ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из треугольников
BCD, CDA, DAB, ABC.
Многогранным телом называется множество точек пространства,
которое можно разложить на конечное число тетраэдров без общих
внутренних точек. Всякий выпуклый многогранник является
многогранным телом. Всякое многогранное тело является ограниченной
замкнутой областью.
Разложение многогранного тела на тетраэдры без общих
внутренних точек кратко называется разбиением. Разбиение называется
правильным, если пересечение
любых двух его тетраэдров есть
либо их общая грань, либо их
общее ребро, либо их общая
вершина, либо пустое
множество (рис. 20). При правильном
разбиении треугольники,
служащие гранями тетраэдров
разбиения, могут быть двух типов.
Треугольник первого типа
служит гранью только одного те- Рис. 20. Неправильное разбиение и
траэдра разбиения. Треугольник его правильное измельчение.
второго типа лежит (возможно,
за исключением своих сторон) во внутренней части
многогранного тела.
Одно разбиение многогранного тела называется измельчением
другого, если всякий тетраэдр первого разбиения содержится в
некотором тетраэдре второго разбиения (см. рис. 20). Всякие

68
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
два разбиения многогранного тела обладают общим измельчением,
и всякое разбиение многогранного тела обладает правильным
измельчением.
Сумма двух многогранных тел всегда есть многогранное тело,
но пересечение и разность двух многогранных тел могут не быть
многогранными телами. Формулы [UV] = ((?/V)B)a> [U— V] = (U— V)3
определяют приведенное пересечение и приведенную разность
многогранных тел U и V, всегда являющиеся многогранными
телами. Как и на плоскости (п. 5.10), эти операции переносятся на
произвольные замкнутые области.
7.3. Определение объема на классе многогранных тел (ср. пп.
3.1 и 3.2). Объемом на классе многогранных тел называется
функция, определенная на этом классе и обладающая следующими
четырьмя свойствами:
(а) Положительность: объем тела есть неотрицательное
число.
(Р) Аддитивность: объем тела, составленного из нескольких
тел без общих внутренних точек ^ равен сумме объемов этих тел.
(у) Инвариантность: равные тела имеют равные объемы.
(б) Нормированность: объем единичного куба (т. е. куба,
построенного на единичном отрезке) равен 1.
Объем будем обозначать буквой v.
Простейшие следствия аксиом. Из аксиом (а) и (Р)
следует монотонность объема: если многогранное тело V является
частью многогранного тела ?/, то v (V) ^v(?/). Из аксиомы (Р)
следует, что v(U+V)=v(U)+v (V)—v([UV]) для любых двух
многогранных тел U и V. Из аксиом (а) и (Р) следует, что для
любых многогранных тел иг, ..., Un
v(U±+ ... +Un) *iv(U1)+ ...
...+v{Ua).
7.4. Вычисление объема на
классе многогранных тел (ср. пп.
3.3—3.6). Призмы. Пусть Я —
многоугольная фигура и А
—положительное число. Проведем через
все точки фигуры Р прямые,
перпендикулярные к ее плоскости, и
рассмотрим отрезки этих прямых
между этой плоскостью и
параллельной ей плоскостью,
проходящей от нее на расстоянии h (рис. 21, а). Множество всех
точек всех этих отрезков называется прямой призмой с
основанием Р и высотой h. Если вместо прямых, перпендикулярных к
плоскости фигуры Р, взять параллельные между собой прямые,
образующие с этой плоскостью положительный угол, меньший

ОБЪЕМ
69
прямого, то получится наклонная призма с основанием Р и
высотой h (рис. 21,6). Отрезки, из которых, согласно этому
определению, состоит призма, называются ее образующими. Призма,
основанием которой служит выпуклый многоугольник, например
треугольник, является выпуклым многогранником и, следовательно,
многогранным телом. В общем случае разбиение фигуры Р на
треугольники приводит к разбиению призмы с основанием Р на
выпуклые многогранники и затем
на тетраэдры. Следовательно,
призма есть многогранное тело.
Прямая призма, основанием
которой служит прямоугольник,
есть прямоугольный
параллелепипед.
Объем призмы равен
произведению площади основания на
высоту.
Доказательство распадается
на четыре части.
Прежде всего доказывается,
что объем прямоугольного
параллелепипеда равен произведению
трех ребер, выходящих из одной
вершины. Доказательство вполне
аналогично рассуждениям п. 3.3.
Второй шаг — доказательство 6)
теоремы для прямой призмы,
основанием которой служит тре- Рис- 22-
угольник или трапеция. Если один
из углов основания является прямым, то основание можно
дополнить равной ему фигурой до прямоугольника (ср. п. 3.4) и, значит,
призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного
параллелепипеда (рис. 22, а). Объем призмы равен половине объема
параллелепипеда (аксиомы (|3) и (у)), площадь основания призмы
равна половине площади основания параллелепипеда и высота
призмы равна высоте параллелепипеда. Следовательно, из
справедливости теоремы для параллелепипеда следует ее
справедливость для призмы. Если у основания нет прямого угла, то
оно может быть дополнено трапецией с прямым углом до
большей трапеции с прямым углом (ср. п. 3.4) и, значит, призма
может быть дополнена призмой только что рассмотренного вида
до большей призмы того же вида (рис. 22, б). Объем нашей
призмы равен разности объемов построенных призм (аксиома (Р)),
площадь основания нашей призмы равна разности площадей
оснований построенных призм, и все три призмы имеют одну и ту же

70
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
высоту. Следовательно, объем нашей призмы равен произведению
площади основания на высоту.
Третий шаг состоит в очевидном распространении теоремы с
прямых треугольных призм на произвольные прямые призмы. Он
опирается только на аксиому ((3).
Последний шаг — перенесение теоремы с прямых призм на
наклонные. Продолжим образующие призмы в одну сторону и
пересечем двумя плоскостями, перпендикулярными к образующим и
расположенными друг от друга на
расстоянии, равном длине образующих
(рис. 23). Мы получим прямую призму,
отделенную от наклонной призмы
некоторым многогранным телом. Если
присоединить это тело сначала к прямой
призме, а затем к наклонной, то
Рис. 23.
получатся равные многогранные тела. Следовательно (аксиомы ф)
и (у)), объем наклонной призмы равен объему прямой призмы,
т. е. произведению площади ее основания на ее высоту. Но,
согласно п. 3.9, площадь основания прямой призмы равна площади
основания наклонной призмы, умноженной на косинус угла между
плоскостями этих оснований, высота же прямой призмы равна
высоте наклонной призмы, деленной на косинус того же угла.
Следовательно, объем наклонной призмы равен произведению
площади ее основания на ее высоту.
Пирамиды. Пусть Р—многоугольная фигура и А — точка,
не лежащая в ее плоскости. Соединим все точки фигуры Р
отрезками с точкой А (рис. 24) и рассмотрим множество всех точек
всех этих отрезков. Это множество называется пирамидой с осно-
Рис. 24.

ОБЪЕМ
71
ванием Р и вершиной А. Пирамида, основанием которой служит
треугольник, есть тетраэдр. В общем случае разбиение фигуры Р
на треугольники приводит к разбиению пирамиды с основанием Р
на тетраэдры. Следовательно, пирамида есть многогранное тело.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади
основания на высоту.
Для доказательства нам потребуется следующая
арифметическая лемма: при всяком натуральном п
12 + 22+... +(/z-l)2</z3/3, 12 + 22 + . . .+я2>л3/3.
Доказательство леммы. При п — 1 неравенства очевидны.
При переходе от п к я+1 первая сумма возрастает на /г2,
вторая—на (я+1)2, а я3/3 возрастает на
(/г+1)3 /г3
¦ п2+ п +
1
что больше /г2, но меньше (п-\-\)2.
Следовательно, неравенства верны при
любом п.
Доказательство теоремы.
В силу аксиомы ф) достаточно
рассмотреть случай тетраэдра. Пусть
Т — тетраэдр, Р—его основание и
А —высота. Разделим одно из
боковых ребер тетраэдра на п равных
частей, проведем через точки деления
плоскости, параллельные плоскости
основания (рис. 25), и обозначим
треугольники, получившиеся в сечениях,
через Ръ . .. , Ря_х, считая от
вершины к основанию. К ним мы
присоединим еще треугольник Рп= Р.
Ясно, что каждый из треугольников
Ръ ..., Рп подобен треугольнику Р
и что для Pk коэффициент подобия рааен
Рис. 25.
Следовательно,
s(Pk) = s(P)
П2
Построим для каждого ft=l,
Pk, высотой — и образующими,
.., п две призмы с основанием
параллельными взятому ребру
ту же сторону от своего осно-
тетраэдра. Призму, лежащую по
вания PkJ что и вершина тетраэдра, обозначим через Vk, вторую
призму— через Uk. Согласно предыдущей теореме,

72
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Рассмотрим многогранные тела
Ясно, что UczTaV. Следовательно,
v(U)*s?v(T)*s?v(V). (1)
С другой стороны, в силу аксиомы (Р),
я-l п-1 п-1
k-1 k = l k = l
n n n
*,(!/) = ? v(Vk) = ^ s(P)h% = s(P)h^ k\
/2 = 1 k = l k-1
и потому, согласно лемме,
v(U)^^s(P)h^v(V). (2)
Наконец,
v(V)-v(U) = \s(P)h. (3)
v(T)-±s(P)h
1
уо^ ,,., -^ — s (P) /г. Так как
n
Из (1), (2) и (3) следует:
я произвольно, то v (Г) = у5 (Я)й.
Объем произвольного многогранного тела. Объем
многогранного тела Т, разбитого на тетраэдры 7\, ..., Тп без
общих внутренних точек, дается формулой
п
;=i
где Р{ — основание тетраэдра Т{ и ht — его высота.
Это вытекает из предыдущей теоремы и аксиомы (Р).
Следствие: строгая монотонность объема. Если
многогранное тело V есть часть многогранного тела U,
отличная от U, то v(V)<iv(U). В частности, пустое множество есть
единственное многогранное тело, объем которого равен нулю.
Второе утверждение является прямым следствием формулы (4),
доказательство первого повторяет рассуждение п. 3.6.
7.5. Существование и единственность объема на классе
многогранных тел (ср. п. 3.7). На классе многогранных тел существует
одна и только одна функция со свойствами (а) — (б).
Доказательство единственности дословно повторяет п. 3.7
с заменой формулы (6) п. 3.5 только что доказанной формулой (4).
Доказательство существования также повторяет п. 3.7, но с
некоторыми усложнениями.

ОБЪЕМ
73
Лемма 1 теперь утверждает, что произведение площади грани
тетраэдра на соответствующую высоту одинаково для всех четырех
граней. Для доказательства опустим из вершин А и D тетраэдра
ABCD перпендикуляры АА' и DD' на плоскости BCD и ABC и
перпендикуляры АА" и DD" на прямую ВС
(рис. 26). Нужно проверить, что
1р(Я, С)9(А, A")9(D, D') =
= ~р(В, C)p(D, Я")р(Л,Л'),
т. е. что
р(А, А"):р(А, A')=--9(D, D"):p(D, D'),
а это следует из подобия
треугольников А А'А" и DD'D".
Символы (ABC) и (АВ\С), введенные
в п. 3.7, теперь заменяются символами
(ABCD) и (ABC\D), которые
определяются следующми образом. Предположим,
что в пространстве фиксирована
некоторая точка О. Если точки А, В, С, D не
лежат в одной плоскости, то (ABCD)
обозначает одну треть произведения
площади треугольника ABC на длину
перпендикуляра, опущенного из точки D на
плоскость ABC. Если точки А, В, С, D лежат в одной плоскости,
то (ABCD) = 0, а символ (ABC\D) не определен. Если точки А, В,
С, D не лежат в одной плоскости и точки D и О лежат по одну
сторону от плоскости ABC, то (ABC\D) = (ABCO). Если точки
А, В, С, D не лежат в одной плоскости и точки D и О не лежат
по одну сторону от плоскости ABC, то (ABC\D)=—(АВСО).
Лемма 2 теперь утверждает, что для всякого тетраэдра ABCD,
не содержащего точки О,
(ABCD) = (BCD | А) + (CDА \ В) + (DAB \ С) + (ABC \ D). (5)
Для доказательства рассмотрим полупространства Пл, Пв, Пс, П^,
определенные в п. 7.2. Плоскости граней тетраэдра делят
пространство на 16 частей:
ПлПвПсПд, ПАПвПс(доп. UD), ...
..., (доп. UA) (доп. UB) (доп. Пс) (доп. UD),
первая из которых есть тетраэдр ABCD, а последняя пуста.
Остальные 14 пересечений распадаются на три группы однотипных
пересечений: пересечения трех полупространств с дополнением
Рис. 26.

74
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
к четвертому, пересечения двух полупространств с дополнениями
к двум другим и пересечения одного полупространства с
дополнениями к трем другим. Таким образом, достаточно рассмотреть три
случая: O^UAUBUc (доп. П^), O^UAUB (доп. Пс) (доп. UD)
и 0?(доп. Пл)(доп. Пв)(доп. ПС) UD (рис. 27). В первом и третьем
случаях прямая OD пересекает грань ABC во внутренней точке D',
во втором случае плоскость OCD пересекает ребро АВ во
внутренней точке Е. В каждом из трех случаев вся конфигурация
распадается на шесть частичных тетраэдров, и каждый из пяти
Рис. 27.
символов, входящих в формулу (5), оказывается комбинацией
символов, относящихся к этим частичным тетраэдрам. В первом
случае
(ABCD) = (ABD'D) + (BCD'D) + (CAD'D),
(BCD | A) = (BCDO) = (BCD'D) + (BCD'O),
(CDA | B) = (CDАО) = (CADfD) + (CAD'O),
(DAB\ C) = (DABO) = (ABD'D) + (ABD'C),
(ABC\D)= —(ABCO)= —(ABD'0) — (BCD'0) — (CAD'0),
откуда и следует (5). Аналогично проводятся вычисления во втором
и третьем случаях.
Лемма 3 теперь утверждает, что при всех разбиениях
многогранного тела на тетраэдры сумма символов (ABCD), отнесенных
к этим тетраэдрам, принимает одно и то же значение.
Доказательство опирается на существование у двух разбиений многогранного
тела общего правильного измельчения и проводится так же, как
доказательство леммы 3 з п, 3.7,

ОБЪЕМ
75
В силу Леммы 3, указанная сумма символов (ABCD) является
функцией, определенной на классе многогранных тел. Очевидно,
что она обладает свойствами (а) — (б).
7.6. Поведение объема многогранного тела при геометрических
преобразованиях (ср. пп. 3.8 и ЗЛО). Преобразование
подобия. Преобразование подобия переводит многогранное тело
в многогранное тело. Если Т — образ многогранного тела Т при
преобразовании подобия с коэффициентом X, то v(T') = №v (Г).
Доказательство—такое же, как в п. 3.8.
Аффинные преобразования. Аффинное преобразование
переводит многогранное тело в многогранное тело. Если Т' —
образ многогранного тела Т при аффинном преобразовании
с определителем А, то v (T') = v(T)-\ А |.
Как и в п. ЗЛО, доказательство опирается на две леммы.
Лемма 1 утверждает, что если аффинное преобразование
с определителем А переводит точки
Уы Z2fy \X3i Уз-> Zs)i (*4. У*> Z*) (6)
в точки (х[, у'и z[), (x't, yi z2), (xi yi z's), (xl, У4, zl), то
x2 хг y2—yx z2 ?i
ЛГ3 Xi y3 yi Z$ Zi
x* %\ Уь У\ %ь zi
•*1 У2—У1 *2—*1
•*l Уз—У1 *з—Ц
~*i У*—У1 z±—4
A.
Лемма 2 утверждает, что если Т—тетраэдр с вершинами
(6), то
г;(Г) = абс. вел.
1
Х2 Хх у 2 уг Z2 Z±
хз xi У в Уг z3 zi
х* — *! У4-У1 z* — zi
Как и в п.ЗЛО, лемма 1 доказывается прямым вычислением, а лемма 2—
с помощью специального выбора координатной системы (ось
абсцисс параллельна прямой, проходящей через две первые
вершины тетраэдра, а плоскость х, у параллельна плоскости,
проходящей через три первые вершины тетраэдра).
7.7. Класс кубируемых тел (ср. § 4). Множество Ж, лежащее
в пространстве, называется кубируемым множеством или куби-
руемым телом, если для всякого положительного 8 существуют
такие многогранные тела U и V, что UaMaV, v(V)—tj(?/)<8-
Всякое многогранное тело кубируемо.
Нуль-множества. Если для всякого положительного 8
существует такое многогранное тело Г, что M<z.T, г;(Г)<е, то М
называется нуль-множеством.

76
ПЛОЩАДЬ И ОЫЬЁМ
Всякое нуль-множество кубируемо. Кубируемое тело в том и
только в том случае есть ну ль-множеств о, если оно не
содержит внутренних точек.
Сумма конечного числа нуль-множеств есть ну ль-множеств о.
Часть ну ль-множеств а есть нуль-множество.
Критерий кубируемости. Множество кубируемо в том
и только в том случае, если оно ограничено и его граница
является нуль-множеством.
Операции над кубируемыми телами. Сумма и пе р е-
сечение конечного числа кубируемых тел кубируемы. Разность двух
кубируемых тел кубируема.
Проблема кубируемости. Тела, с которыми мы
встречаемся в геометрии и классическом анализе, обычно бывают ограничены
конечным числом поверхностей, удовлетворяющих определенным
условиям гладкости. Такие поверхности являются нуль-множествами,
и потому «классические» тела кубируемы. Поверхность, не
удовлетворяющая условиям гладкости, может не быть нуль-множеством,
и в соответствии с этим существуют тела, ограниченные
поверхностями, но не кубируемые. Положение здесь таково же, как на
плоскости (ср. пп. 4.7, 4.8 и 4.10), но детали менее элементарны,
и мы не будем ими заниматься.
7.8. Объем на классе кубируемых тел (ср. § 5). Объемом
называется функция, определенная на классе кубируемых тел и
обладающая свойствами (а) — (б) (п. 7.3). Такая функция определена,
в частности, на классе многогранных тел и совпадает там с функцией v,
изучавшейся в пп. 7.3 — 7.6. Новую функцию мы также будем
обозначать через v.
Простейшие следствия аксиом. Из аксиом (а) и ф)
следует монотонность объема: если кубируемое множество N
является частью кубируемого множества М, то v (N) ^ v (M). Из
аксиомы ф) следует, что для любых двух кубируемых множеств М и N
v (M + N)--=v(M) + v(N)—v (MN).
Из аксиом (а) и ф) следует, что для любых кубируемых множеств
Мъ ..., Мп
v(Ml+...+Mn)<iv(M1)+...+vWn).
Объем как точная грань. Объем кубируемого тела есть
точная верхняя грань объемов входящих многогранных тел и точная
нижняя грань объемов объемлющих многогранных тел.
Существование и единственность объема. На
классе кубируемых тел существует одна и только одна функция
со свойствами (а) — (б).
Нуль-множеств а. Класс нуль-множеств совпадает с классом
кубируемых множеств нулевого объема.
Из существования таких множеств следует, что на классе
кубируемых тел объем не является строго монотонной функцией.

ОБЪЕМ
77
Полнота класса кубируемых тел. Если для
множества М при любом положительном е существуют такие кубируемые
тела L и N, что LczMaN, v (N)—v (L) < 8, то Ж —кубируемое
тело.
Поведение объема при преобразовании подобия.
Преобразование подобия переводит кубируемое тело в кубируемое
тело. Если М!—образ кубируемого тела М при преобразовании
подобия с коэффициентом X, то v(M') = №v(M).
Поведение объема при аффинном
преобразовании. Аффинное преобразование переводит кубируемое тело в
кубируемое тело. Если М' — образ кубируемого тела М при
аффинном преобразовании с определителем А, то v (M') = v (M) | А |.
Объем на классе кубируемых замкнутых
областей. Для всякого кубируемого множества существует кубируемая
замкнутая область, отличающаяся от него лишь нуль-множеством.
На классе кубируемых замкнутых
областей объем является строго
монотонной функцией.
7.9. Цилиндры и конусы. Если в
определении призмы (п. 7.4) заменить
многоугольную фигуру произвольным
плоским множеством, то получится
общее определение цилиндра. Если
в определении пирамиды (п. 7.4)
заменить многоугольную фигуру
произвольным плоским множеством, то
получится общее определение конуса.
Цилиндр с квадрируемым
основанием—кубируемое тело. Его объем
равен произведению площади
основания на высоту.
Конус с квадрируемым основанием—кубируемое тело. Его
объем равен одной трети произведения площади основания на
высоту.
Доказательство. Пусть Z—цилиндр с основанием F
и высотой h и 8—положительное число. Построим такие
многоугольные фигуры Р и Q, что
PaFaQ, s{Q)-s{P)<^, (7)
и обозначим через U и V призмы с основаниями Р и Q, высотой h
и образующими, направленными так же, как у Z (рис. 28). Ясно, что
UczZczV, (8)
и так как v(U) = s(P)h, v(V) = s(Q)h} то v (V)— v (?/)< е. Таким
образом, Z —кубируемое тело.

78
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Из включений (7) и (8) следует:
v (U) = 5 (Р) h < 5 (F) h < s (Q) h = * (I/), * (tf) < v (2) ^ v (K).
Поэтому
\v(Z)—s(F)h\^v(V) — v(U)<e,
и так как 8 произвольно, то v(Z) = s(F)h.
Для конуса доказательство аналогично. В неравенстве (7)
достаточно вместо е//г взять Зг/h. В качестве U и V нужно взять
пирамиды с основаниями Р и Q и
вершинами в вершине конуса (рис. 29).
7.10. Шар. Шар — кубируемое
тело. Объем шара радиуса г равен
4 з
Т™ •
Доказательство. Пусть S —
полушар радиуса г. Достаточно
доказать, что S—кубируемое тело с
объемом 2яг3/3.
Пусть 8—положительное число.
Возьмем натуральное число п,
большее, чем яг3/&, и разделим радиус,
перпендикулярный к экваториальной
плоскости, на п равных частей. Через
точки деления проведем плоскости,
параллельные экваториальной
плоскости (рис. 30), и обозначим круги,
получившиеся в сечениях, через
Рис. 29.
*i.
К
считая от
соединим
плоскости
еще
к полюсу
экваториальный круг К0-
п-Ъ
К этим кругам
Так как
круга Kk от экваториальной плоскости
экватора
мы при-
расстояние
равно kr/n, тс
Рис. 30.
Рис. 31.
квадрат радиуса круга Кк равен г2—( —г) (Рис- 31), и потому
s(Kk) = nr*[l-?

ОБЪЕМ 79
Построим для каждого k — 0, ..., п—1 два прямых цилиндра
с основанием Kk и высотой г/п. Цилиндр, лежащий по ту же
сторону от своего основания Kk, что и полюс, обозначим через Vk
второй цилиндр—через Uk. Согласно предыдущему, '
v{Uk) = v{Vk) = s{Kk)^ = ^{\-^). (9)
Рассмотрим ступенчатые тела
f/=f/1+...+C/„_1) V=V0 +...+Vn.1.
Ясно, что
UcSczV. (10)
Согласно п. 7.7, тела U и V кубируемы, и в силу аксиомы (Р)
v(U)=j?v(Uk), v{V)=J?v(V& (И)
v(V)-v(U) = v(V0) = ^<e. (12)
Так как класс кубируемых тел полон (п. 7.8), то отсюда следует
кубируемость тела S.
Те же включения (10) показывают, что
v(U)^v(S)^v(V). (13)
С другой стороны, согласно формулам (11) и (9),
k=l \ k=l S
k=o \ k=i /
и потому в силу леммы из п. 7.4
v(U)^2nr3/3^v{V). (14)
Соотношения (13), (14) и (12) дают: |tf(S)— 2яг3/3 | <е. Так как е
произвольно, то v (S) = 2лг3/3.
Следствие. Эллипсоид — кубируемое тело. Объем
эллипсоида с полуосями а, Ь, с равен ~^nabc.
Действительно, аффинное преобразование х' = ах, у' = by, z' = cz
переводит шар радиуса 1, определяемый неравенством х2-{-у2 +
+ ?2s^l, в эллипсоид с полуосями а, Ъ, с, определяемый неравен-
ством —s + Tir+-s-^ 1, так что можно воспользоваться теоремой
а2 02 сг
о поведении объема при аффинном преобразовании (п. 7.8).

80
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
7.11*. Тела вращения. Пусть ф—функция, непрерывная и
неотрицательная на отрезке А = [а, Ь\. Рассмотрим криволинейную
трапецию, определяемую функцией ф (п. 5.9), и обозначим через Т
множество точек пространства, описываемое этой трапецией при
вращении вокруг оси х. Множество Т называется телом вращения,
определяемым функцией ф.
Множество Т кубируемо, а его объем дается формулой
v(T) = K^[(p{x)]2dx.
(15)
Доказательство. Пусть А = Дх + . . . + Д«—произвольное
разбиение отрезка А на частичные отрезки и mh Mt—наименьшее
и наибольшее значения
функции ф на отрезке
А/(/ = 1, . . ., п).
Построим, как в п. 5.9,
прямоугольники Ph Q. и
обозначим через Uh Vt
цилиндры, описываемые
этими прямоугольниками
при вращении вокруг
оси х (рис. 32).
Согласно п. 7.9 они кубируе-
мы и v(Ui) = nm2.l(Ai),
v(Vt)= яЖ2/(Д.).
Следовательно, ступенчатые
тела U=UL+...+Un,
V=V1+... + Vn куби-
руемы и
Рис. 32.
V(U)= S лтУ№()>
v(l/)=Srt^(A,).
(16)
Ясно
также, что
UcTcV.
(17)
Суммы (16) представляют собой не что иное, как нижнюю
и верхнюю интегральные суммы функции яф2 относительно
разбиения Д = А1+...4-Ал. Согласно лемме из п. 4.7, для всякого
положительного 8 существует такое разбиение A = A1+...+A ,
что v(V) — v(U)<Cs. Так как класс кубируемых тел полон, то
отсюда следует кубируемость тел$ Т,

ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 81
Те же включения (17) показывают, что v(U) ^v(T) ^v(V),
т. е. что v(T) есть верхняя грань нижних интегральных сумм
и нижняя грань верхних интегральных сумм. Так как единственным
числом, обладающим этим свойством, является интеграл функции яср2
по отрезку А (ср. п. 5.9), то этим доказана формула (15).
7.12. Другое построение теории объемов (ср. § 6). Направим
оси координат по трем ребрам единичного куба, выходящим из
одной вершины, и рассмотрим плоскости, определяемые уравнениями
л; = &.10~", y = l-\0~n, z = m-\0~n, где я—неотрицательное целое
число, a k, /, т—всевозможные целые числа. Эти плоскости
разбивают пространство на равные кубы, называемые кубами ранга п.
Пусть М—ограниченное множество, лежащее в пространстве.
Обозначим через ап число кубов ранга /г, содержащихся в Му
и через а'п число кубов ранга я, пересекающихся с М, и положим:
vn = an- 10~3W, v'n = a'n- 10"~3и. Последовательность v0, v±i ...
возрастает, последовательность v'Qi v'x, . .. убывает, и при любых
ряд справедливо неравенство vp^v'. Следовательно, точные
грани v = supvn, v—\nivn служат пределами
последовательностей v0, vly ... и v'Q, v'x, ..., и vj^v. Если v = v, то
Мназывается кубируемым множеством или кубируемым телом, а число
v = v называется объемом этого тела и обозначается через v (M).
Дальнейшее построение теории шаг за шагом повторяет § 6:
доказывается кубируемость куба ранга п и вычисляется его объем;
определяются и изучаются нуль-множества; дается критерий
кубируемости; рассматриваются операции над кубируемыми телами;
устанавливаются свойства объема; доказывается теорема единствен
ности. При этом, как и в § 6, свойство (у) устанавливается
сначала в ослабленной форме (у') (кубируемые тела, получающиеся
друг из друга параллельным переносом, имеют равные объемы),
затем в усиленной форме доказывается теорема единственности и,
наконец, свойство (у) устанавливается полностью. В заключение
доказывается, что это второе определение кубируемости и объема
эквивалентно первому.
Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия
1. Метрическая геометрия и геометрия подобия. Определения
площади и объема, изложенные в этой статье, в одном пункте
расходятся с представлениями, вынесенными нами из школы: согласно
этим определениям, площади и объемы являются числами, тогда
как в школе нас учат, что это —особые величины, измеряемые
специальными единицами,

82
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Это расхождение, конечно, не означает, что одно из двух
представлений ошибочно. Просто мы имеем здесь дело с двумя
разными теориями площадей и объемов, и более того, с двумя
разными, хотя и близкими геометриями. Эти геометрии имеют
специальные названия: одна называется метрической геометрией
Евклида, другая — евклидовой геометрией подобия1).
Геометрия подобия — это та, которую мы изучаем в школе и
которая излагается во всех учебниках геометрии от Евклида до
наших дней. В ней нет метрики, т. е. числовых длин, а есть лишь
отношения отрезков и, конечно, все то, что может быть выражено
через эти отношения, например углы.
Напротив, в метрической геометрии каждый отрезок имеет
определенную числовую длину. Чтобы превратить геометрию
подобия в метрическую геометрию, достаточно фиксировать какой-
нибудь отрезок и объявить длиной всякого другого отрезка его
отношение к выбранному «единичному» отрезку. Нужно только
иметь в виду, что в метрической геометрии длины даны раз и
навсегда, как точки или прямые. Если мы сменим единичный
отрезок и введем новую метрику, т. е. новые длины, то получится
новая метрическая геометрия. Она совпадет с прежней лишь в
случае, если новые длины совпадут со старыми, т. е. если новый
единичный отрезок будет равен старому. Можно, таким образом,
сказать, что метрическая геометрия Евклида представляет собой
евклидову геометрию подобия, в которой дополнительно
фиксирован класс равных отрезков.
Конечно, метрическую геометрию Евклида можно построить и
независимо от геометрии подобия. Это делается, например, в
курсах линейной алгебры. Там метрика предполагается заданной
с самого начала, т. е. включается в аксиоматику.
Метрическая геометрия удобнее геометрии подобия, и в
современной научной литературе под «евклидовым пространством»
понимают пространство, снабженное метрикой. Однако и геометрия
подобия занимает прочные позиции: достаточно сказать, что
геометрия физического мира, поскольку она может считаться евклидовой,
является не метрической геометрией, а геометрией подобия. Правда,
мы пытаемся сделать ее метрической с помощью искусственных
«единичных отрезков» вроде парижского метра, однако выбрать
такой отрезок «раз и навсегда» по многим причинам невозможно.
Теория площадей и объемов, изложенная в этой статье, есть
теория площадей и объемов метрической геометрии. Цель
настоящего добавления — указать на те изменения и дополнения, которые
должны быть внесены в эту теорию при переходе к геометрии
подобия.
г) Ср. стр. 98 и след. кн. IV ЭЭМ. (Прим. ред.)

ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБИЯ 83
2. Преобразование площади и объема при замене единичного
отрезка. Известно, что если единичный отрезок заменяется другим
отрезком, то новая длина /' (Д) любого отрезка Д получается из
его старой длины 1(A) по формуле
/'(Д) = а-Ч(Д), (1)
где а — старая длина нового единичного отрезка. Задача этого
пункта — выяснить, как ведут себя при замене единичного отрезка
площади и объемы. Следующая теорема дает полное решение
этого вопроса.
Класс квадрируемых фигур и класс кубируемых тел не
зависят от выбора единичного отрезка. Если единичный отрезок
заменяется другим, имеющим относительно прежнего длину а,
то новая площадь s' и новый объем v' получаются из старой
площади s и старого объема v no формулам
s'(F) = a-*s{F), (2)
v'(T) = a-*v(T),' (3)
где F — произвольная квадрируемая фигура и Т—произвольное
кубируемов тело.
Доказательство. Мы рассмотрим только площадь. Для
объема доказательство аналогично.
Покажем сначала, что соотношение (2) справедливо на классе
многоугольных фигур. В силу единственности площади на этом
классе достаточно доказать, что функция a~2s(F) удовлетворяет
на нем условиям (а), (р), (у), (б), последнее из которых отнесено
к новому единичному отрезку. То, что она удовлетворяет первым
трем условиям, очевидно; займемся последним условием. Пусть
Е'—квадрат, построенный на новом единичном отрезке. Так как
относительно старого единичного отрезка его сторона имеет
длину а, то б*(?') = а2 (см. п. 3.3). Следовательно, a~2s(E') = \.
Покажем теперь, что всякое множество, квадрируемое
относительно старого единичного отрезка, квадрируемо и относительно
нового единичного отрезка; поскольку новый и старый отрезки
равноправны, этим будет доказано, что класс квадрируемых фигур
не зависит от выбора единичного отрезка. Пусть F — множество,
квадрируемое относительно старого единичного отрезка, и 8 —
положительное число. Найдем такие многоугольные фигуры Р и
Q, что PczFczQ, s(Q)—s(P)<:a2E. Согласно уже доказанному,
s'(P)-=a-2s(P), s,(Q) = a-2s(Q)i s' (Q)-s' {P) = a-*[s(Q)-s(P)].
Следовательно, $' (Q) — sf (Я)<8, и множество F квадрируемо
относительно нового единичного отрезка.
Остается доказать, что соотношение (2) справедливо на классе
квадрируемых фигур. Это делается опять с помощью теоремы

84
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
единственности, с тем упрощением, что соотношение a^2s(E/) = \
уже было доказано.
Следующие предложения являются очевидными следствиями
доказанной теоремы:
Класс нулъ-множеств (на плоскости и в пространстве) не
зависит от выбора единичного отрезка.
Отношение площадей двух квадрируемых фигур и отношение
объемов двух кубируемых тел не зависят от выбора единичного
отрезка.
Фигуры или тела, равновеликие относительно одного
отрезка, равновелики и относительно другого отрезка.
3. Переход к геометрии подобия. В геометрии подобия нет
единичного отрезка и потому нет площади в смысле §§ 1—6. Так
как, однако, любой отрезок можно принять за единичный отрезок
некоторой метрической геометрии, то каждому отрезку е отвечает
своя функция se со свойствами (а) — (S). Согласно п. 2, все эти
функции определены на одном и том же классе квадрируемых
фигур. Мы получаем, таким образом, функцию se(F) двух
аргументов: отрезка е и квадрируемой фигуры F. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, мы вместо se (F) будем писать s (F, е).
Функция s(F, e) и называется площадью в геометрии подобия.
Если фиксировать фигуру F, то она превратится в функцию
отрезка е, называемую площадью фигуры F.
Таким образом, в геометрии подобия, как и в метрической
геометрии, имеется класс квадрируемых фигур и имеется
площадь, определенная на этом классе, — только площадь фигуры
представляет собой не число, а функцию отрезка.
Сказанное о площади с очевидными изменениями переносится
на объем и, конечно, на длину. Объем v(T, e) — ve(T) есть
функция кубируемого тела Т и отрезка е, длина /(А, е) = 1е(А) есть
функция отрезков А и е. Объем тела Т и длина отрезка А
являются функциями отрезка е.
Зависимость длины /(А, е), площади s(F, e) и объема v(T,e)
от е была рассмотрена в п.2. Из имеющихся там предложений, в
частности, следует, что длины /(Ах, е), /(А2, е) двух любых отрезков
А1? А2, площади s (Ft, e), s (F2, e) двух любых квадрируемых
фигур F±, F2 и объемы v(Tl9 е), v{T2, e) двух любых кубируемых
тел Т1у Т2 отличаются друг от друга лишь постоянными
множителями. Формулы (1), (2), (3) представятся теперь в виде
/(А, е) = 1(А, О /(«', е), (4)
s(F, e) = s(F, e') [/(*', е)}\ (5)
v(T, e) = v(T, el) [l(e', e)f, (6)
где е и е' — любые отрезки. Подчеркнем еще, что в геометрии

ДОБАВЛЕНИЕ. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЁМ В ГЕОМЕТРИЙ ПОДОБИЯ 85
подобия (на плоскости и в пространстве), как и в метрической
геометрии, имеется класс нуль-множеств и имеется отношение
равновеликости.
Все вычислительные формулы теории площадей и объемов,
начиная с формулы для площади прямоугольника и кончая
интегральными формулами, переносятся в геометрию подобия.
Действительно, обе части каждой из этих формул могут рассматриваться
как функции единичного отрезка, и они равны при любом выборе
единичного отрезка. Заметим, что число я, входящее во многие
из этих формул, не зависит от выбора единичного отрезка, т. е.
является абсолютной постоянной. Действительно, согласно п. 5.8,
число я при любом выборе единичного отрезка равно площади
круга радиуса г, деленной на г2, а согласно формуле (2), эта
площадь умножается при замене единичного отрезка на то же
число, что и г2.
4. Единицы длины, площади и объема. То обстоятельство, что
длины отрезков, а также площади фигур и объемы тел отличаются
друг от друга только числовыми множителями, позволяет ввести в
геометрию подобия единицы длины, площади и объема. За единицу
длины принимают длину какого-нибудь отрезка А0, т. е. функцию
/(А0, е) отрезка е, за единицу площади —площадь какой-нибудь
квадрируемой фигуры F0, т. е. функцию s(F0, e) отрезка еу за
единицу объема — объем какого-нибудь кубируемого тела Г0, т. е.
функцию v(T0, e) отрезка е. Единственное условие, налагаемое на
F0 и Г0, состоит в том, что они не должны быть
нуль-множествами. Длина всякого другого отрезка, площадь всякой другой
квадрируемой фигуры, объем всякого другого кубируемого тела
оказываются тогда равными выбранной единице, умноженной на
некоторое число. Эта привычная запись (единица длины, площади
или объема с числовым коэффициентом) представляет собой, таким
образом, не формальное, а самое обычное произведение —
произведение числовой функции на число.
Единицы длины, площади и объема не являются независимыми
друг от друга: каждые две из них выражаются через третью.
Действительно, полагая в формулах (5), (6) е' = А0, F — FQy
Г= Г0, мы получаем:
s(F0, e) = s(F0, Д0) [/(А0, e)f, v(T0, e) = v(T0, Д0) [/(Д0, е)]\
Обычно в качестве F выбирают квадрат, построенный на отрезке
Д0, а в качестве Т0—куб, построенный на отрезке А0. В этом
случае «(fo, А0) = «(Г0, A0) = l ns(F0, е) = [/(Д0> e)f, v(T0, ё) =
= [/(До, «)]»•
Окончательное выражение площади и объема через единицу
длины не будет, конечно, зависеть от выбора F0 и Т0. Его можно
получить прямо из формул (5), (6), если положить в них е' = Д0.

86
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
Обозначая единицу длины через е, мы находим: $ (F, е) = $ (F, А0) е2,
v(T, e) = v(T, Д0)е3 и, по формуле (4), /(А, е) = /(Д, Д0)е.
Таким образом, коэффициентами при е, е2 и е3 служат длина,
площадь и объем относительно Д0.
Чтобы получить физические примеры, примем за Д0 парижский
метр, а за F0 и Т0 — построенные на нем квадрат и куб.
Соответствующие единицы /(Д0, е), s(F0, e) и v{T0, e) называются
метром, квадратным метром и кубическим метром. Метр
обозначается буквой м, квадратный и кубический метры равны,
согласно предыдущему, л2 и м3. Таким образом, м2 и л3 — не
только обозначения единиц площади объема, но и обыкновенные
степени функции м.
Изложенные определения геометрических единиц делают
очевидными обычные правила перехода от одних единиц к другим.
Как известно, правила эти в том именно и состоят, что с единицами
следует обращаться как с числовыми множителями, а с их
формальными степенями — как с настоящими степенями. Например, км
(километр) есть единица длины, равная 1000 м, и потому
±-км2 = -^(Ш0 л*)2 = -^-10002 м2 = 200 000 м2.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. Лебег, Об измерении величин, перев. с франц., М., Учпедгиз,
1960.
Книга выдающегося французского математика, обращенная к
учителям французской школы; содержит широкое обсуждение теории длин,
площадей и объемов и ее преподавания в средней и высшей школе.
[2] В. Ф. Каган, Очерки по геометрии, М., изд. Московского
университета, 1963.
Сборник работ выдающегося советского геометра, обращенных к
широкому читателю. К теме настоящей статьи примыкают «Этюды по
основаниям геометрии».
[3] Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. I, М.—Л.,
Гостехиздат, 1948.
Обстоятельный и весьма тщательно написанный курс планиметрии,
содержащий, в частности, изложение вопроса о площадях
многоугольников (§§ 53—60, гл. VII).
{4] Ж. Адам ар, Элементарная геометрия, перев. с франц., ч. I, M.,
Учпедгиз, 1957; ч. 2, М., Учпедгиз, 1958.
Подробный курс элементарной геометрии. К теме настоящей статьи
примыкает прибавление D к первой части книги «О понятии площади»
и прибавление F ко второй части «О понятии объема».
[5] И. М. Яг лом, О площади многоугольника, в книге: Я. С. Дубнов,
Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1962, стр. 79—100.
Популярная статья, рассчитанная на широкого читателя
{6] Д. Гильберт, Основания геометрии, перев. с нем., М—Л.,
Гостехиздат, 1948.
Классическое сочинение знаменитого немецкого математика,
посвященное вопросам обоснования геометрии. Глава IV этой книги
посвящена учению о площадях многоугольников.

Л'ИТЕРАТУРА
87
[7] Г. Б. Г у реви ч, Измерение площадей многоугольников в евклидовой
геометрии, сборник «Математическое просвещение», вып. 5, 1960,
стр. 161—177.
Статья, содержащая изложение учения о площадях
многоугольников, базирующееся на аксиоматике Гильберта (см. [6]).
[8] А. М. Лопшиц, Об измерении площадей ориентированных фигур, М.,
Гостехиздат, 1956.
Общедоступная брошюра, посвященная важному понятию
«ориентированной площади» плоской фигуры
[9] А. М. Л о п ш и ц, Теория площадей ориентированных многоугольников
(в аффинной плоскости), сборник «Математическое просвещение», вып. 3,
1958, стр. 183—198.
Методическая статья, примыкающая по своему содержанию к
брошюре [8].
См. также книгу Г. Хадвигера, указанную в списке литературы
к статье «Равносоставленность многоугольников и многогранников».

ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Длины ломаных линий 89
1.1. Основные свойства длины 89
1.2. Длина отрезка 89
1.3. Ломаные линии и их длины 94
1.4. Отрезок—кратчайшая ломаная 95
1.5. Отклонение ограниченных множеств 96
1.6. Полунепрерывность длины 97
§ 2. Простые дуги 100
2.1. Обзор содержания параграфа 100
2.2. Расстояние между простыми дугами 103
2.3. Доказательство свойства (а) 105
2.4. Доказательство свойств (б), (в), (г), (д) 106
2.5. Доказательство свойства (е) 107
2.6. Доказательство свойства (ж) 107
2.7. Доказательство свойств (з) и (и) 107
§ 3. Спрямляемые линии 109
3.1. Вписанные «ломаные» 109
3.2. Определение спрямляемой простой дуги 111
3.3. Спрямляемость и вписанные «ломаные» 111
3.4. Спрямляемость составной дуги 112
3.5. Функции с ограниченным изменением ИЗ
3.6. Связь с теорией площадей 115
3.7. Простые замкнутые линии 116
§ 4. Длина на классе спрямляемых линий 117
4.1. Аксиоматическое определение длины 117
4.2. Доказательство теоремы существования 117
4.3. Доказательство теоремы единственности 119
4.4. Основные свойства длины 121
4.5. Другие определения длины 127
§ 5. О понятии площади поверхности 130
5.1. Основные свойства площади поверхности 130
5.2. Простые куски 131
5.3. Полунепрерывность площади 133
5.4. Определение квадрируемых простых кусков 134
5.5. Вписанные «многогранники» 134
5.6. Аксиоматическое определение площади поверхности 136
5.7. Квадрируемость гладких простых кусков и определение
площади поверхности с помощью интеграла 137
5.8. Заключение 140
Литература . f , . . 140

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
89
§ 1. Длины ломаных линий
1.1. Основные свойства длины. Как и понятие площади,
понятие длины постоянно встречается в нашей практической
деятельности, но является весьма сложно определяемым математическим
понятием. Наиболее просто определяется длина прямолинейного
отрезка или ломаной линии. В этом случае определение длины
совершенно аналогично определению площади, но отличается от
него значительно большей простотой. Свойства, на которых в этом
случае основывается определение длины, в точности повторяют
условия (а) — (6), определяющие площадь плоской фигуры (см.
стр. 7—8 настоящей книги ЭЭМ). Эти свойства следующие:
(а) Длина линии является неотрицательным числом.
(Р) Длина линии, составленной из конечного числа линий,
последовательно примыкающих друг к другу, равна сумме
длин составляющих линий.
(у) Равные линии имеют равные длины.
(б) Длина единичного отрезка равна единице.
(Как и в предыдущей статье, мы предполагаем, что
единичный отрезок раз и навсегда фиксирован.) В следующем пункте мы
покажем, что свойства (а) — (б) однозначно определяют длины
отрезков (а также и ломаных, см. п. 1.3). Однако для определения
понятия длины на более широком классе «линий» (а именно, на
классе спрямляемых простых дуг, см. п. 3.2) этих
свойств, оказывается, уже недостаточно, и к ним приходится
присоединить еще одно свойство («полунепрерывность»), которое мы
рассмотрим ниже, в п. 1.6.
1.2. Длина отрезка. В этом пункте мы покажем, что условия
(а)—(б) однозначно определяют длину отрезка. Более точно:
существует одна и только одна функция I {называемая
длиной), определенная на классе всех прямолинейных отрезков
и удовлетворяющая условиям (а)—(б).
Доказательство существования. Возьмем прямую р,
на которой расположен единичный отрезок,— для наглядности
будем ее считать «горизонтальной»,— и обозначим через О один
из концов единичного отрезка. Далее, разбив единичный отрезок
на 10п равных частей и взяв одну из этих частей, будем
последовательно откладывать вправо и влево от точки О отрезки,
равные этой части. В результате вся прямая р будет разбита на
равные отрезки, которые мы назовем отрезками ранга п. Пусть
теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р.
Обозначим через ап число отрезков ранга п, целиком
содержащихся в отрезке АВ, а через ап—число отрезков ранга п,
имеющих с отрезком АВ хотя бы одну общую точку. Ясно, что если
мы возьмем самый «правый» из содержащихся в АВ отрезков

90
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
ранга п, то примыкающий к нему справа отрезок ранга п имеет
с отрезком АВ общие точки, но не содержится целиком в АВ.
Аналогичное положение вещей имеет место для самого «левого»
из содержащихся в АВ отрезков ранга п. Следовательно,
ап—а„ = 2. (1)
Положим
/я = ав.10-я, 1'п = ап-10-п.
Числа 1п и 1п (так же как и ап, ап) определены для любого
л=1, 2, 3, ...
Легко видеть, что имеют место соотношения 1г «^ L <;/3^ . ..
/ / /
и /х ^ /2 ^ /3 ^ ... Действительно, всякий отрезок ранга п
разбит на 10 отрезков ранга п-\-\. Если исходный отрезок (ранга п)
содержится в АВ, то каждый из этих десяти отрезков ранга
/z + 1 содержится в АВ; если хотя бы один из десяти отрезков
ранга /z+1 имеет общую точку с отрезком АВ, то и исходный
отрезок ранга п имеет общую точку с отрезком АВ.
Следовательно, а„+1^10ап, ая+1<10а„, и потому /я+1>/„, /я+1</я.
Из очевидного соотношения ln<Lln (см. (1)) мы находим, что
монотонная последовательность 1Ъ /2, /3, ... ограничена:
ln^ln^h для любого /г, и потому существует предел lim ln.
П-+ 00
Аналогично /я^/п^/1э и потому существует предел lim /„ .
Я-* 00
Из соотношения (1) мы теперь получаем: 1п—/л=2-10~/г, и
следовательно,
lim/n= lim 4 (2)
я->оо /г-^оо
Получаемое таким образом число (2) мы обозначим через /(ЛВ)
и будем называть длиной отрезка АВ.
Покажем, что построенная функция I удовлетворяет всем
условиям (а) —(б).
Выполнение условия (а) очевидно (причем ясно, что /(ЛВ)>0
для любого отрезка АВ).
Условие (Р) достаточно проверить для случая отрезка АС,
составленного из двух отрезков АВ, ВС. Будем у чисел 1п и ап
ставить сверху индексы, указывающие, к какому отрезку они
относятся; например, /ЛЛВ) , /ЛБС) и т. п. Если точка В является
общим концом двух смежных отрезков ранга п, то, как легко
видеть (рис. 1, а), а„4С> = а„лв) + ая5С), в противном же случае
(рис. 1,6) аяЛС) =алЛЛ) + алВС) + 1. Таким образом, в любом слу-

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
91
чае справедливы неравенства а{пАС) — I ^а(п )-\-а{п )^а{пС), из
которых мы находим: 1{пАС)— \0~n^l{nAB) + 1{ВС) < 1{пАС). Переходя
в этих неравенствах к пределу при п—*оо, мы получаем /(ЛС)==
=1(АВ) + 1(ВС), что и доказывает свойство (|3).
Установим справедливость свойства (y). Пусть
АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р. Сдвигая оба конца
этого отрезка вправо (или оба влево) на 10"-ю часть единичного
отрезка, мы перенесем отрезок АВ в новое положение, но числа
а{пЛВ) и l\fB) при этом, очевидно, не изменятся. Следовательно,
если АВ и CD—два равных отрезка, расположенных на прямой /?,
'б)
Рис. 1.
то мы можем, не меняя чисел ah В) и ah ), переместить эти
отрезки в такие положения, что точки А и С будут расположены
на одном отрезке ранга п. Из равенства отрезков АВ и CD
вытекает, что AC=BD (рис. 2), и потому отрезок BD меньше,
чем 10"-я часть единичного отрезка. Следовательно, точки В и D
расположены либо на одном и том же отрезке ранга п, либо же
на соседних отрезках ранга /z, и потому числа ah В) и ah )
отличаются друг от друга не более чем на одну единицу. Таким
образом, \ 1(пАВ) — 4CD)|^10~n, откуда, переходя к пределу, мы
и получаем требуемое соотношение l(AB)~l(CD).
Свойство (б) вытекает из справедливых для единичного
отрезка соотношений an=10w, /n=l.
Итак, функция /, определенная для расположенных на
прямой р отрезков, обладает свойствами (а) — (б). Если теперь АВ —
произвольный отрезок на
плоскости или в пространстве и _
А'В'— равный ему отрезок, рас- Тс ' ' ' Ы
положенный на прямой р, то мы
положим 1(АВ) = 1{А'В'). В ре- Рис. 2.
зультате длина / оказывается
определенной для любого отрезка АВ, причем свойства (а)— (б),
как легко понять, выполняются. Таким образом, теорема
существования полностью доказана.
Доказательство единственности. Пусть К—какая-
либо функция, заданная на множестве всех прямолинейных
отрезков и обладающая свойствами (а)— (б). Покажем, что она

92 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
совпадает с построенной выше функцией /. Обозначим через А
единичный отрезок; в силу свойства (б), мы имеем Л(Д) = /(Д)=1.
Далее, разделим отрезок А на \0п равных частей Дх, ... , Дю«.
В силу свойства (у), мы имеем: к (Аг) = к (А2) = ... = к (А10п),
7(А1) = /(Д2)= ... =/(Аю»), а в силу свойства ф) находим:
к(Аг) + к(А2) + ...+к(А10п) = к(А) = \,
/(Д1) + /(Да) + ...+/(Аю») = /(А) = 1.
Следовательно, 1(Аг) = к (Дх) = 10"".
Пусть теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на
прямой р. Рассмотрим, как и в доказательстве существования,
разбиение прямой р на отрезки ранга п и определим числа ап и
ап. Обозначая через ММ отрезок, образованный всеми ап
отрезками ранга п, целиком содержащимися в АВ, мы найдем, согласно
свойствам (у) и (Р), к (ММ) = I (ММ) = ап-10"•* = /„. Точно так же
для отрезка М'М', образованного всеми ап отрезками ранга п,
имеющими с АВ общие точки, мы найдем, согласно свойствам
(Y) и (Р), k(M'N') = l(M'N') = an-\0-n = l'n. Заметим теперь, что
{(АВ)'ЦАС) + ЦСВ) + 1Ш>1(№)
Рис. 3.
из свойств (Р) и (а) вытекает монотонность функций / и Я,
т. е. вытекает, что если отрезок CD является частью отрезка АВ,
то l(CD)^l(AB), k(CD)^k(AB) (рис. 3). Так как отрезок ММ
содержится в отрезке АВ (может быть, совпадает с ним), то
l(AB)^l(MM) = ln, k(AB)^zk(MM) = l„. Точно так же
l(AB)^l(M'M') = l'ni k(AB)^k(M'M') = ln (ибо отрезок АВ
содержится в отрезке М'М'). Таким образом, ln^l(AB)^ln ,
/„< к (АВ) < 4 и потому j/(ЛВ) — к (АВ) \ < 1п—1п=2-10""
(см. (1)). Ввиду произвольности числа п отсюда вытекает
равенство 1(АВ) = к (АВ). Итак, для отрезка АВ, расположенного на
прямой р, функции к и / принимают одно и то же значение.
Из этого в силу свойства (у) вытекает, что функции к и /
совпадают.
Замечание 1. Рассмотрим, в частности, расположенный на
прямой р отрезок ОВ, левый конец которого совпадает с точкой О.
Обозначим через а0 число отрезков ранга 0 (т. е. равных
единичному отрезку), целиком содержащихся в отрезке ОВ, и пусть
С—правый конец последнего из этих отрезков. Обозначим, далее,
через аг число отрезков ранга 1, содержащихся в «первом

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
93
остатке» СВ, и пусть D — правый конец последнего из этих
отрезков (рис. 4). Затем мы обозначим через а2 число отрезков
ранга 2, содержащихся во втором остатке DB, и т. д. В
результате мы определим некоторую последовательность целых
неотрицательных чисел а0, аъ а2, . . . , в которой каждое число, кроме,
может быть, а0, не превосходит девяти. Как легко видеть, числа
1п и 1п, определенные выше, имеют следующие значения:
In = а0 ~Г Jq + JO! "Г • • • + YqH > *л == 'п \ цуг •
Таким образом, числа /„ и 1п—это те самые хорошо известные
приближения с недостатком и избытком, которые получаются
uq=2 , ci] = 3,
Рис. 4.
при обычном десятичном процессе измерения. Длина отрезка ОВ
выражается бесконечным рядом
Z(OB) = a0 + ^+^+...+§+...,
т. е. бесконечной десятичной дробью, которая, разумеется,
в некоторых случаях может оказаться и конечной. Если эта
десятичная дробь бесконечна, но является периодической, то, как
показывается в арифметике, эта дробь представляет собой
рациональное число, т. е. может быть представлена в виде отношения двух
целых чисел. Если же бесконечная десятичная дробь не является
периодической, то она представляет собой иррациональное число
(число, не являющееся рациональным). Таким образом, процесс
измерения является одной из причин введения иррациональных
чисел.
Замечание 2. В вышеприведенных доказательствах
существенно была использована аксиома Архимеда (см. ЭЭМ, кн.
IV, стр. 37). Действительно, мы откладывали от точки О в обе
стороны равные отрезки и говорили при этом, что «вся прямая будет
разбита на равные отрезки». Без аксиомы Архимеда это
заключение было бы необоснованным. В связи с тем, что описанный выше
процесс измерения существенно опирается на аксиому Архимеда,
ее часто называют также аксиомой измерения.
Тесно связана с процессом измерения и вторая аксиома
непрерывности— аксиома Кантора. Именно, если аксиома
Архимеда позволяет каждому отрезку сопоставить положительное

94
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
число — его длину,— то аксиома Кантора позволяет доказать, что
и, обратно, для каждого числа />0 существуют отрезки,
имеющие длину /. Это позволяет установить сохраняющее порядок
взаимно однозначное соответствие между точками прямой линии
и действительными числами (см. стр. 42—43 кн. V ЭЭМ).
1.3. Ломаные линии и их длины. Термин ломаная всегда
будет обозначать в этой статье простую незамкнутую
ломаную линию (на плоскости или в пространстве). Такая
линия представляет собой сумму
конечного числа отрезков, скажем
отрезков Аг = АгВъ Д2 = А2В2,. . . , Дл =
р —AkBk, расположенных таким образом,
что Ai+l = Bh /=1, 2, . .. , k— 1, а
/h других общих точек отрезки Дх, Д2,...
... , Ak попарно не имеют. Отрезки
Аь А2, . . . , Ak называются звеньями
рассматриваемой ломаной. Звенья А{
и Д,Ч1 (1 <;/<;&— 1) называются
соседними. Как видно из
приведенного определения, мы не исключаем
Рис- 5. случаев, когда соседние звенья
составляют продолжение одно другого.
Ломаную, составленную из отрезков А1 = А0А1, А2 — А1А2,... ,
Ak = Ak_1Ak, мы будем обозначать символом AQA±A2 ... Ak_1Ak.
Точки Л0, Аг, . .. , Ak называются вершинами ломаной А0 Ал ... Ak.
Вершины AQ и Ak называются концевыми точками, или концами
этой ломаной.
Пусть С0, Сх, ..., Ct—некоторые точки. Предположим, что
для каждого /=1,..., / выбрана некоторая ломаная Lt с
концевыми точками Cimml и Q. Если ломаные 2,ь L2, . . . , Lt других
общих точек не имеют, то они образуют, вместе взятые,
некоторую ломаную линию L* (рис. 5). В этом случае мы будем
говорить, что ломаная ?* составлена из ломаных Lu Z,2, ... ,LU
последовательно примыкающих друг к другу.
Длина ломаной L = A0A1 ... Ak определяется как сумма
длин ее звеньев:
1Щ = ЦА0А1)+1(А1А2)+. .. +l(Ak_1Ak). (3)
Таким образом, длина / является функцией с действительными
значениями, заданной теперь уже на классе всех ломаных линий.
Эта функция обладает свойствами (а) —(б), так как свойствами
(а)—(б) обладают длины отрезков. Далее, / является
единственной функцией с этими свойствами, так как свойства (а) — (б)
определяют длины отрезков однозначно, а из свойства ф)
вытекает, что длина произвольной ломаной L = AQA1...Ak должна

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
95
определяться формулой (3). Итак, справедлива следующая
теорема существования и единственности:
На классе всех ломаных линий существует одна и только
одна функция, обладающая свойствами (а)—(б).
1.4. Отрезок — кратчайшая ломаная. Пусть А и
Б—произвольные точки (на плоскости или в пространстве). Длину отрезка A3
называют в геометрии также расстоянием между точками А и В.
В соответствии со сказанным выше, расстояние между точками
А и В можно обозначать символом 1{АВ). Однако обычно в
математике расстояние между точками А и В принято обозначать
через р(А, В). Этим обозначением мы, как правило, и будем
пользоваться.
Для любых трех точек А, В, С (на плоскости или в
пространстве) справедливо соотношение
р(А, В) + р(В, С)^р(А, С).
В самом деле, если точки А, В, С не лежат на одной прямой,
то р(Л, В) + Р(А С)>рМ, С), так как сумма длин двух сторон
треугольника больше длины третьей стороны*). Если же точки
А, В, С лежат на одной прямой, то р (Л, Б) + Р(А С) = р{А, С)
при условии, что точка В лежит на отрезке АС, и р (А, В) +
+ р (А С)>р(Л, С) в противном случае.
Доказанное соотношение (оно называется в математике «н е-
равенством треугольника») легко обобщается и на
большее число точек. Именно, для любых точек А0, Аг, ... , Ak,
k^2, справедливо соотношение
р(А0, i41) + p(i41> Ла)+...+рИЬ1, Ak)^p(A0, Ak). (4)
Доказательство проводится индукцией по числу точек. Например,
для четырех точек
р{А0, Л^ + рИх, Л2) + р(Л2, А3)^
>РИо, Л2) + р(А2, А3)^р(А0, Аъ).
Пусть теперь L = A0A1 ... Ak—произвольная ломаная. Тогда
сумма р(Л0, А1) + р(А1, А2)+ ... + р (Ак_г, Ak) представляет
собой, по определению, длину ломаной L, а число р (А0, Ak)
является длиной отрезка, соединяющего концы этой ломаной.
Таким образом, неравенство (4) показывает, что длина любой
ломаной не меньше, чем длина отрезка, соединяющего концы
г) Обычное доказательство этого факта, приводимое в учебниках
геометрии, как легко проследить, не использует никаких других свойств длины,
кроме (а), (р), (у), (б). Это же относится и ко всем другим теоремам
элементарного курса геометрии, в которых говорится о длинах отрезков и
ломаных. Таким образом, всеми этими теоремами мы можем пользоваться
в дальнейшем.

96
ДЛИНА КРИВОЙ Й ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 6.
этой ломаной. Иначе говоря, среди всех ломаных, соединяющих
заданные точки А и В, отрезок АВ имеет наименьшую длину.
1.5. Отклонение ограниченных множеств. Пусть М—некоторое
множество на плоскости и г—положительное число. Для каждой
точки А множества М мы рассмотрим открытый круг (т. е. круг
без границы) радиуса г с центром в точке А. Сумма всех этих
кругов (рис. 6) представляет
собой множество, которое мы
будем называть г-окрестно-
стыо множества М и будем
обозначать символом 0(М, г).
Иначе говоря, точка В в том
и только в том случае
принадлежит множеству 0(М,г),
если в множестве М найдется
такая точка Л, что р (А, В)<С
</*. Аналогично (с заменой
кругов шарами) определяется r-окрестность множества М,
расположенного в пространстве.
Ясно, что если MaN (т. е. множество М является частью
множества Л/"), то при любом г>0 справедливо соотношение
0(ЛГ, r)czO(N, г). Далее, если гг<г2, то 0(М, гх)<=0(М, г2).
Докажем теперь следующую лемму:
Для любого множества М и любых положительных чисел
гг, г2 выполнено соотношение г)
0(0(М, /ч), г2)сО(Л*, г± + г2). (5)
В самом деле, пусть А?0(0(М, гх), г2). Тогда существует
такая точка В?0{М, гх), что р (А, В)<г2. Так как В?0(М, гх),
то существует такая точка С?М, что р (В, C)<Zrlt Мы имеем
(см. п. 1.4): р(Л, С)<р(Л, В) + р(В, С)<.г,+г2, и потому
А^О(М,г1~{-г2). Таким образом, соотношение (5) установлено.
Пусть теперь М и N—некоторые ограниченные множества.
Ясно, что при достаточно большом г выполнены соотношения
M<z.O(N, r), N(z.O(M, r). Точная нижняя грань положительных
чисел г, для которых выполнены эти соотношения, называется
отклонением множеств М и N и обозначается символом d(M, N).
На рис. 7 показан пример нахождения отклонения:
ЛГсО(М, г) при г>р(С, D);
MaO(N, r) при г>р(Л, В);
г) В действительности, для любого множества М, расположенного на
плоскости или в пространстве, справедливо равенство
О (О (Mt гг), г2) = 0(М, гг + г2)\ в случае же множества М,
расположенного в произвольном метрическом пространстве (см. стр. 537 этой книги
ЭЭМ ), это равенство может не выполняться.

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
97
следовательно,
d(M, Л0 = р(Л В).
Отклонение ограниченных множеств обладает следующим
свойством (которое, как и соотношение, доказанное в п. 1.4,
называется «неравенством
треугольника»):
Для любых трех
ограниченных множеств М, М,
Р выполнено соотношение
d(My N) + d(N, P)>
>d(Af, P).
В самом деле, пусть
8—произвольное положительное чи- рИС: 7.
ело. Положим гЛ = d (М, N) + 8,
r2 = d(M, Р) + г. Тогда, по определению отклонения, выполнены
включения: MaO(N, г^Л^сОЩ гх), NaO(P, r2), PcO(N,r2).
Следовательно, в силу (5), имеем: Мс 0(/V, rt) с 0(0(Р, г2), гг) с
:0(Р, гг + гг), P^O(N} r2) с: 0(0 (АГ, гх), гя) с О (М, г, +г2),и по-
тому tf(Af, Р)^г1-\- г2. Таким образом, d (M,
произвольности е,
P)<(d(M9 N)+
отсюда вытекает
+ e) + (d(W, Р) + г). Ввиду
требуемое соотношение.
Заметим, что доказанное предложение дает интересный пример
метрического пространства: «точками» этого метрического пространства являются
всевозможные замкнутые ограниченные множества на плоскости (или в
пространстве), а за «расстояние» между двумя ограниченными множествами
М и N принимается число rf(M, Лг). Выполнение первых двух условий*
определяющих метрическое пространство (см. стр. 537 этой книги ЭЭМ)
очевидно; выполнение последнего условия (неравенства треугольника) только что
доказано. Это метрическое пространство играет важную роль во многих
вопросах геометрии (см., например, статью «Выпуклые фигуры и тела» в
этой книге ЭЭМ).
1.6. Полунепрерывность длины. В этом пункте мы рассмотрим
еще одно свойство длины ломаной. Мы будем пользоваться им
только в § 4, но для полноты и ясности картины сформулируем
его здесь. Интересующее нас свойство длины (так называемую
полунепрерывность снизу) можно наглядно описать следующим
образом. Пусть L—некоторая ломаная, может быть, сильно
извилистая, и г—очень маленькое положительное число. Рассмотрим
г-окрестность 0(L, r) линии L. Тогда ясно, что всякая ломаная Z/,
проходящая внутри множества 0(1, г) от одного конца линии L
до другого, должна в основном повторять все извилины линии L
(рис. 8), и потому длина ломаной V не может быть намного
меньше, чем длина ломаной L. В точной формулировке это
означает, что длина ломаной обладает следующим свойством (е):

98
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
(г) Пусть L — некоторая линия и г — положительное число.
Тогда существует такое число б > 0, что для всякой линии Z/,
удовлетворяющей условию d (I, L') < б, выполнено соотношение
l(L')>l(L)—e. (6)
Доказательство того факта, что длина ломаной обладает
свойством (е), мы приведем в § 3 (см. п. 3.1). Таким образом, после
доказательства этого свойства мы сможем следующим образом
Рис. 8.
уточнить теорему существования и единственности длины ломаной
(см. п. 1.3):
На классе всех ломаных линий существует одна и только
одна функция /, обладающая свойствами (а) —(б); эта функция
I обладает также и свойством (г).
Присоединение свойства (е) к сформулированным ранее
свойствам (ос)— (б) будет иметь принципиальное значение в дальнейшем.
Дело в том, что при определении длины на более широком классе
линий, чем ломаные (а именно, на классе так называемых
спрямляемых линий, см. § 3), свойств (а) — (б) уже оказывается
недостаточно, т. е. существует много различных функций со
свойствами (ос)— (б), определенных на классе спрямляемых линий
(хотя на классе ломаных линий все эти функции совпадают
с обычной длиной). В то же время свойства (ос)— (е) определяют
на классе спрямляемых линий единственную функцию,
которая и называется длиной (см. § 4).
Важно отметить, что, каковы бы ни были ломаная линия L и
положительное число б, существуют ломаные L' произвольно
большой длины, удовлетворяющие условию d(L, Z/)<6 (рис. 9). Таким
образом, условие d (L, Z/)<Сб ограничивает длину ломаной V
снизу (см. (6)), но не накладывает никаких ограничений сверху,

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ ЛИНИЙ
99
в связи с чем свойство (е) и называют полунепрерывностью снизу.
Можно сформулировать свойство полунепрерывности снизу и в
других терминах. Будем говорить, что последовательность
ломаных Ll9 L2i ..., Ln, ... сходится к ломаной L, если выполнено
Рис. 9.
соотношение lim d{L, Z,„) = 0. He следует думать, что если ПО-
следовательность ломаных Ьъ L2i ... сходится к ломаной Z,,
то непременно выполнено соотношение
lim l(La) = l(L). (7)
В действительности соотношение (7) (которое, если бы оно было
всегда справедливо, можно было бы назвать непрерывностью длины),
вообще говоря, не выполняется.
Можно лишь утверждать, что если
предел lim l(Ln) существует, то он в
удовлетворяет неравенству
lim l(Ln)^l(L). (8)
П->00
Это утверждение эквивалентно свой- В]
ству (е); таким образом, неравенство
(8) и означает полунепрерывность дли- в>
ны снизу.
Тот факт, что длина только
полунепрерывна снизу, но не непрерывна, а
хорошо иллюстрируется одним
известным софизмом1). Рассмотрим квадрат Рис. 10.
ABCD (рис.10), сторона которого равна
единице. Тогда ломаная LX — ABC имеет длину 2. Длина не
изменится, если мы заменим Ьг ступенчатой ломаной L2 = AB1B2BSC.
Мы можем удвоить число ступеней — получим ломаную L3=*
= АВгВ2В8В2В^ВъВ6С той же длины 2. Продолжая это удвоение
г) См. В. Литцман, Где ошибка?, Физматгиз, 1962, стр. 128 и
Я. С. Дубнов [5], стр. 48,

100
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
ступеней до бесконечности, мы будем получать все новые и новые
ломаные длины 2, которые все более приближаются к диагонали
АС, в пределе сливаясь с ней. Отсюда «следует», что длина этой
диагонали равна двум. (Таким же путем можно «доказать», что
диагональ параллелограмма равна сумме двух прилегающих его
сторон.) Основой этого софизма является следующее заключение:
так как последовательность ломаных Ьг, L2, L3, ... сходится
к отрезку АС, «то» l(AC)= l\ml(Ln). В этом заключении неявно
используется равенство (7). Так как равенство (7), вообще говоря,
не выполняется, то приведенное заключение является
необоснованным. И действительно, lim/(Z,) = 2, /(ЛС) = ]/2, что отнюдь не
противоречит неравенству (8).
§ 2. Простые дуги
2.1. Обзор содержания параграфа. Напомним, что простой
дугой называется множество (на плоскости или в пространстве),
на которое может быть взаимно однозначно и непрерывно
отображен отрезок (см. стр. 37). Мы установим в этом параграфе
некоторые важные для дальнейшего свойства простых дуг, связанные
главным образом с вопросом о последовательном расположении
точек на простой дуге. Все свойства простых дуг, о которых идет
речь, достаточно наглядны; в то же время строгие доказательства
этих свойств (пп. 2.2 — 2.7) несколько кропотливы и утомительны.
К тому же эти свойства не имеют прямого отношения к понятию
длины (хотя и будут
существенно использованы в
дальнейшем). Поэтому для
удобства читателя мы приведем в
этом пункте формулировки и
наглядные пояснения
интересующих нас свойств.
Дальнейшие пункты этого
параграфа (посвященные доказа-
Рис- 11- тельству сформулированных
свойств), если они покажутся
трудными или неинтересными, мы рекомендуем при первом чтении
пропустить.
(а) Пусть Л — некоторая простая дуга и/—непрерывное взаимно
однозначное отображение числового отрезка Д = [а, Ь] на
множество Л. Точки f(a) и f(b) мы будем называть концами простой
дуги Л. Далее будем говорить, что точки Л0, Аг, .. . , Ak
расположены последовательно на простой дуге Л (рис. 11), если числа

ПРОСТЫЕ ДУГИ
101
^о> *ъ • • ч h^ удовлетворяющие условиям /^{) = А{, 1 = 0, 1, .. ., /5,
образуют монотонную последовательность (т. е. либо ^0<^i<- • -<^>
либо /0> t1> ... > tk). Эти определения, наглядно вполне
понятные, страдают, однако, некорректностью. В самом деле, эти
определения связаны с выбором какого-то одного
непрерывного взаимно однозначного отображения / числового отрезка на
множество Л, и заранее не ясно, не изменятся ли, например,
концевые точки простой дуги, если отображение / заменить другим
аналогичным отображением. В действительности, как и следует
ожидать, концевые точки и
последовательное расположение точек
определяются самой простой дугой, а от выбора
отображения / не зависят, но этот факт
требует доказательства (оно проведено
в п. 2.3). Кроме того, если точки Л0,
Аг,. . ., Ak последовательно расположены
на простой дуге А, то точки Ak, ..., Аг,
А0 также последовательно
расположены на этой простой дуге.
(б) Пусть Л—некоторая простая дуга
и А, В, С—три различные ее точки.
Будем говорить, что точка В расположена на Рис. 12.
дуге Л между точками А и С, если точки
Л, В, С последовательно расположены на дуге Л. Из трех
различных точек, взятых на простой дуге А, всегда одна и только
одна расположена на дуге А между двумя другими.
(в) Пусть Л — некоторая простая дуга и А, В — две ее различные
точки. Обозначим через ААВ множество, состоящее из точек А, В
и всех точек простой дуги Л, расположенных на ней между Л и В.
Полученное множество ААВ является простой дугой с концевыми
точками А и В (рис. 12). Эту простую дугу ААВ мы будем
называть частью простой дуги Л, расположенной между точками А и В.
(г) Пусть Л0, Аг, ..., Ak — точки, последовательно
расположенные на простой дуге Л, причем Л0 и Ak — ее концевые точки.
Обозначим через А/ часть дуги Л, расположенную между точками
А(_г и Аь i = \, 2, ... , k (см. рис. 11). Тогда дуги Аь и Лу
с несоседними номерами i и j [т. е. такими номерами, что
\1— /|>1) не имеют общих точек, а дуги At и Л/+1 имеют
единственную общую точку А( (/ = 1, 2, ... , fe — 1). Сумма
Аг + А2-{- ... -\- Ak совпадает с простой дугой А. Мы будем
называть дуги Л1? Л2, .. . , Ak частями, на которые простая дуга Л
разбивается точками Л0, AL, .. . , Ak.
(д) Пусть Л0, Л1? . . . , Ak — различные точки и пусть для
каждого /= 1, 2, .. . , k построена некоторая простая дуга At с
концевыми точками А(_г и At. Предположим при этом, чтр простые

102
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
дуги Лг- и Лу с несоседними номерами i и j не имеют общих точек,
а дуги Лх- и Ai+1 имеют единственную общую точку Аь /=1,2, ...
. . ., k—1. В этом случае мы будем говорить, что простые дуги Л1э
Л2, .. ., Ak последовательно примыкают друг к другу. Тогда
сумма Л = Л1 + Л2 -{- . .. + Ak представляет собой простую дугу
с концевыми точками AQ и Ak, причем точки А0, Аг, . .., Ak
последовательно расположены на простой дуге А, а части, на
которые дуга А разбивается этими точками, совпадают с Лх,
Л2, . . . , Ak. Мы будем говорить, что простая дуга Л составлена
из последовательно примыкающих друг к другу дуг Лх, Л2, .. ., Ak.
(е) Диаметром ограниченного множества М называется точная
верхняя грань расстояний р (А, В), где А?М, В?М. При любом
е>0 всякую простую дугу А {на плоскости или в пространстве)
ложно конечным числом точек разбить на части (см. (г)),
диаметр каждой из которых меньше 8.
(ж) Пусть А, В, С—три различные точки, Аг — некоторая
простая дуга с концами А, В и Л2 — некоторая простая дуга
с концами В, С. Тогда существует такая общая точка В0 дуг
Лх и Л2 (возможно, совпадающая с В), что часть Лх простой
дуги А±, заключенная между точками А и В0, и часть Л2
простой дуги Л2, заключенная между точками В0 и С, составляют
вместе простую дугу Л^ + Л^ с концевыми точками А и С (рис. 13).
Перед формулировкой последних двух свойств мы дадим
наглядные пояснения. Пусть Л—некоторая простая дуга и А, В, С—
три последовательно
расположенные на ней точки.
Предположим, что участок ABC
простой дуги Л
представляет собой «петлю», так что
точки А и С близко
расположены друг от друга, а точка
Б—далеко от них (рис. 14, а).
Выберем положительное
число г и рассмотрим некоторую простую дугу Л', расположенную в
r-окрестности дуги Ли идущую от одного конца линии Л до другого.
Если г больше половины расстояния между точками А и С, то
круги радиуса г с центрами в точках А к С имеют общие точки,
и потому дуга Л' может «миновать» точку В (как показано,
например, на рис. 14, б). Но если г достаточно мало, то
/--окрестность линии Л повторяет в основном извилины этой линии (рис. 14, в),
и потому линия Л' должна пройти вдоль всей петли ABC. Иначе
говоря, если г достаточно мало, то не только линия Л'
расположена вся вблизи линии Л, но и сама линия Л не может далеко
отходить от линии Л'.
Рис. 13.

ПРОСТЫЕ ДУГИ
103
Сформулируем теперь точные утверждения.
(з) Пусть А—простая дуга, А0, Al9 ..., Ak — последовательно
расположенные на ней точки и 8 — положительное число. Тогда
существует такое б>0, что на всякой простой дуге А'сО(А, б),
концы которой отстоят от концов дуги А менее чем на б,
найдутся последовательно расположенные точки В0, Bv ..., Bk,
для которых р (Ah B/)<e, / = 0, 1, ..., k.
(и) Пусть А—простая дуга и е— положительное число. Тогда
существует такое б>0, что всякая простая дуга А'с:0(Ау б),
концы которой отстоят от концов дуги А менее чем на б,
удовлетворяет условию d(A, Л')<е.
2.2. Расстояние между простыми дугами. При формулировке свойств
(е) и (и) использовались диаметр простой дуги и отклонение d(A, Л') между
двумя простыми дугами Л, Л'. Для рассмотрения этих понятий необходимо
знать, что
всякая простая дуга является ограниченным множеством.
Докажем это. Пусть Л—простая дуга, расположенная на плоскости
(в случае пространства доказательство аналогично), и f—взаимно
однозначное непрерывное отображение некоторого отрезка Д = [а, Ь] на
множество Л. Введем на плоскости систему координат дг, г/ и обозначим для
каждой точки t ? А координаты точки f (t) через Xf(t) и tjf(t). Тогда Xf(t)
и tjf(t) представляют собой непрерывные функции, заданные на отрезке А
(см. стр. 37). Так как всякая непрерывная функция, заданная на отрезке,
ограничена (см. ЭЭМ, кн. III, стр. 217), то существует такое число М, что
— M<Xf{t)<M, —M^tjf(t)^M для любой точки t отрезка А. Иначе
говоря, для любого ??Д точка f (t) расположена в квадрате, определяемом
неравенствами \х\<М, \ у | <; Л1, и потому множество Л ограничено.
Пусть Л —некоторая простая дуга и А —не лежащая на ней точка.
Тогда существует такое положительное число г, что для любой точки
В?А выполнено неравенство р(А, В)^г.
Для доказательства рассмотрим непрерывное взаимно однозначное
отображение f некоторого отрезка А на множество Л и положим ф(0 =
= р(Л, /(/)), *?Д. Получаемая таким образом функция ср (t), определенная
на отрезке А, непрерывна, что видно, например, из ее записи в координатах
Ф (0 = ^(*/(0-в1)2 + (М0-в2)2

104
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
(а± и а2—координаты точки А, см. рис. 15). Из непрерывности этой
функции вытекает существование такого значения 9?А, для которого функция
ф(?) принимает наименьшее значение (см. ЭЭМ, кн. III, стр. 218): ф (9)<1ф(0
для любого ??Д. Иначе говоря, ф(6)^р(Л, В) для любой точки В?Л>
и потому число г = ф(9) = р(Л, /(9))—искомое (это число положительно,
так как точка А не лежит на
линии Л и, следовательно,
Пусть Лх и Л2—две простые
дуги, не имеющие общих точек.
Тогда существует такое
положительное число г, что для любых
точек А ? Аг и В ? Л2 выполнено
неравенство р(А, В)^г.
Для доказательства
рассмотрим непрерывное взаимно
однозначное отображение /
некоторого отрезка Дх на множество Лх
и непрерывное взаимно
однозначное отображение g некоторого
отрезка Д2 на множество Л2.
Для любых точек tx ? Ax,
t2 ? Д2 мы положим:
Ф(*1. *«) = P(f(*i). gib))-
получаем таким образом функцию ф двух переменных tt ? Дх,
Эта функция непрерывна, что видно, например, из ее записи
Рис. 15.
U
Мы
€Л2.
в координатах:
Ф(*i. У = УГ(^/(^1)-^и2))2 + (г//(/1)-^(У)2.
Из непрерывности этой функции вытекает существование таких значений
@1 € Ai» ^2 € ^2» Для которых функция принимает наименьшее значение г):
Ф(9Х, 92)«^ф(/1, t2) для любых t-i ? Ai, t2 ? A2.
Иначе говоря,
P(/(Gi), ё(®2))*^р{А> В) для любых точек A?AV B?A2i
и потому положительное число /*==р(/(91), g(92))— искомое.
Символом М3 мы будем, как и на стр. 14, обозначать замыкание
множества М, т. е. множество, получающееся, если к М присоединить все его
граничные точки. Мы докажем следующее важное для дальнейшего свойство
окрестностей.
Пусть Аг и А2—две простые дуги, не имеющие общих точек. Тогда
существует такое число 8 > 0, что множества (О (Alf е))3 и (О (Л2, е))3
также не имеют общих точек (рис. 16), Для доказательства обозначим
через г такое положительное число, что р (А, В)^г для любых точек A?Alt
f
??Л2 (см. выше), и положим ъ = -г ' Покажем, что множества (0(ЛХ, е))3
и (О (Л2, е))3 не имеют общих точек. Допустим противное: существует
точка С, принадлежащая обоим этим множествам. Так как С^(0(А1, е))3,
*) Для случая непрерывных функций от одного переменного
доказательство существования наименьшего значения приведено в ЭЭМ, кн. III,
стр. 218. В случае функций двух (или большего числа) переменных
доказательство аналогично; оно использует теорему Больцано—Вейерштрасса
(ЭЭМ, кн. III, стр. 156).

ПРОСТЫЕ ДУГИ
105
то круг радиуса 8 с центром в точке С содержит внутри себя хотя бы одну
точку множества О (Alt е), т. е. существует такая точка DgO(Ax, e), что
р (С, D) < 8. Аналогично существует такая точка Е ? О (Л2, е), что р (С, Е) < е.
Так как D?0(Alt е), то существует такая точка А?Аъ что р(Л, D) < е.
Аналогично, так как ??0(Л2, е), то существует такая точка ??Л2, что
р (Е, В) < 8. Теперь мы получаем (см. п. 1.4):
р(Л, Д)<р(Л, D) + p(D, C) + p(C, ?) + р(?, ?)<е + 8 + е + е = 4е,
т. е. р(Л, В)<г. Но это противоречит тому, что р(Л, В)^г для любых
точек А?ЛЬ В?Л2.
Совершенно аналогично доказывается, что если точка А не лежит на
простой дуге Л, то существует такое число г > 0, что множества О (А, г)
и (О (Л, 8))3 не имеют общих
точек (рис. 17).
2.3. Доказательство
свойства (а). Пусть f—непрерывное
взаимно однозначное отображение
числового отрезка Ax=[a, b] на
простую дугу Л и g — некоторое
другое отображение числового
отрезка А2 = [с, d] на то же
множество Л. Для каждого ??АХ
выберем такое значение т?Д2, что
g(t) = f(t), и положим т = (р(0-
Мы получаем, таким образом,
некоторую функцию <р, заданную
на отрезке At и принимающую
значения на отрезке А2. Мы
изучим некоторые свойства
функции ф.
Функция ф взаимно однозначно отображает отрезок Дх на весь отрезок
А2. Действительно, для любой точки т?Д2 мы имеем g(x) ?Л, и потому
найдется такое число t?Alt что f(t) — g(t), т. е. т = ф(?). Следовательно,
функция ф отображает отрезок Дх на весь
отрезок А2. Далее, если tx Ф t2i то / (tx) Ф f (t2)
(в силу взаимной однозначности отображения f),
и потому числа t1 и т2, удовлетворяющие
соотношениям g(*i) = /4fi), g(^2) = J5(W»
различны между собой, т. е. ф (^) ф ф (t2). Таким
образом, отображение ф взаимно однозначно.
Функция ф непрерывна. В самом деле,
пусть t0—произвольная точка отрезка Дх и
8—положительное число. Для доказательства
непрерывности функции ф нам достаточно
установить существование такого числа бх > 0, что
для любой точки *?АХ, удовлетворяющей
условию \t — t0\<61, выполнено соотношение ф(0<ф(*о) + 8» и
существование такого числа б2 > 0, что для любой точки ??Ai,
удовлетворяющей условию | t—t0 | < б2, выполнено соотношение Ф (0 > Ф (*о)—8-
Существование чисел б-t и 62 доказывается одинаково; докажем существование
числа 6t.
Положим т0 = ф (t0). Если ф {t0) + &> ^» то соотношение ф (t) < <p(t0) + e
выполнено для любой точки t отрезка Дх и существование числа бх
очевидно. Пусть ф (t0) + s^d. Образ отрезка [т0 + е, d] при отображении g
представляет собой простую дугу Л', не содержащую точки g(r0) (или, в
случае TQ4-8 = d, представляет собой точку, отличную от g(t0)). Поэтому
Рис. 16.
Рис. 17.

106
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
(см. п. 2.2) существует такое положительное число г, что р (g (т0), В) > г
для любой точки ??А'. Иначе говоря, р (g (t0), g(i))>r при т^т0 + е.
Так как отображение I непрерывно, то существует такое число Ь1 > 0, что
для любой точки t отрезка Alf удовлетворяющей условию \ t0—?|<6,
выполнено соотношение р (/ (?0)> / (0) < г- Пусть t—точка отрезка Д1э
удовлетворяющая условию \t0—t | < 6X; положим т = ф(/). Мы имеем
Р(/(*о). lit))<r- Далее, так как т = <р(*), т0 = ф(*0). то f(t) = g{%),
fi(t0)=g(r0)1 и потому р(?(т0), ?(т))<г. Из этого, в силу определения
числа г, вытекает, что точка т не лежит на отрезке [т0 + е, d], т. е.
Т<Т0 + е.
Итак, при | ^0—* I < 6\ мы имеем т < т0 + е, т.е. ф(0<ф(^о) + 8- Тем
самым непрерывность функции ф доказана.
Функция ф монотонна. Пусть t0, tlt t2—такие точки отрезка А1э что
to<ti <t2. Покажем, что значение Ф (Д) заключено между ф (tQ) и ф (t2)
(т. е. либо ф (*0) < ф (tx) < ф (/2), либо ф (*0) > ф (tx) > ф (t2)). Допустим,
что это не так; пусть, например, значение ф (t0) заключено между ф (^)
и ф(*2). Тогда на отрезке [tl9 t2] найдется такая точка t'v что ф(*') = ф(*о)
(см. ЭЭМ, кн. III, стр. 216). Так как ^0<^i^^^^2» то t0^t'. Но тогда
соотношение ф(0 = ф(^о) противоречит взаимной однозначности
отображения ф. Полученное противоречие доказывает, что значение Ф(^) заключено
между ф (t0) и ф (t2).
Из доказанного вытекает монотонность функции ф. Действительно мы
имеем ф(а) Ф ф (Ь); пусть, например, ф (а) < ф (Ь). Тогда для любых точек
t' < t" отрезка [а, Ь] мы находим а < t" < Ь, откуда ф (а) < ф (t") < ф (Ь)\
далее, а < t' < t", откуда ф (а) < ф (f) < ф (Г). Итак, при ? < t" мы имеем
ф (f) < ф (t")> т. е. ф—монотонно возрастающая функция. (При ф (а) > ф (Ь)
функция ф будет монотонно убывающей.)
Значения у (а) и ф (Ь) совпадают с концами отрезка [с, d]. Это
непосредственно следует из того, что функция ф монотонна и отображает
отрезок Ах на весь отрезок А2.
Из доказанного предложения вытекает, что точки / (a), f (b)
совпадают, с точностью до порядка, с точками g (с), g(d), и потому приведенное
в п. 2.1 (а) определение концевых точек простой дуги корректно. Точно
так же корректным является и определение последовательного
расположения точек на простой дуге. В самом деле, пусть Аъ Л2, ... ,
Ak—некоторые точки простой дуги Л. Выберем на отрезке Ах точки tlt t2, ... , tk>
удовлетворяющие условиям /(^) = Л/, 2 = 1, ...,&, а на отрезке А2—точки
%ъ т2, ... , т^, удовлетворяющие условиям б(т?-) = Л/, /=1, ... , k. Тогда
Т/ = ф (t{), i = l, ... , k, и потому (в силу монотонности функции ф) из
монотонности последовательности ?х, t2, ... , tk вытекает монотонность
последовательности Tlf т2, ... , xky и обратно.
2.4. Доказательство свойств (б), (в), (г), (д). Пусть Л, В, С—три
точки простой дуги Л. Выберем непрерывное взаимно однозначное
отображение числового отрезка А —[а, Ь] на множество Л, и пусть tl9 t2, ts—такие
точки этого отрезка, что f(t1) = Ai f(t2) = B, /(*3) = C. Так как из трех
различных чисел tl9 t2i t3 всегда одно и только одно лежит между двумя
другими, то из трех точек А, В, С одна и только одна лежит между двумя
другими. Свойство (б) доказано.
Для доказательства свойства (в) сохраним те же обозначения Л, /, Л,
В, tlt t2. Будем для определенности предполагать, что tt< t2. Из свойства
(а) ясно, что точка D дуги Л в том и только в том случае лежит между Л
и В на дуге А, если она имеет вид D = f(t), где t±<t<t2. Присоединяя
к точкам, лежащим между Л и В, еще сами точки A = f(t1) и B = f(t2),
мы найдем, что точка D в том и только в том случае принадлежит
множеству ААВ, если она имеет вид ?> = ?(?)> где tx<t<t2. Иначе говоря,

ПРОСТЫЕ ДУГИ
107
множество Кдв представляет собой образ отрезка [tlt t2] при отображении /
и потому является простой дугой.
Перейдем к доказательству свойства (г). Пусть /—непрерывное взаимно
однозначное отображение числового отрезка Д = [а, Ь] на множество Л и
пусть tj—такая точка отрезка А, что /(*/) = А/, / = 0, 1, ... , k. Тогда точки
t0, h> • • • » Н образуют монотонную последовательность, причем t0 и tk —
концы отрезка А. Будем для определенности предполагать, что a = t0<
< t-L< ... < tfr_i< tk = b. Дуга Л/ представляет собой образ отрезка
A/= [?/_i, t[] при отображении /. Из свойств числовых неравенств легко
вытекает, что отрезки А/ и Ау с несоседними номерами не имеют общих
точек, а отрезки А; и A/+i имеют единственную общую точку ti9
/ = 1, 2, ... , k—1. Отсюда и следует справедливость свойства (г).
Наконец, свойство (д) легко установить сначала для k = 2, а затем по
индукции—для произвольного k.
2.5. Доказательство свойства (е). Пусть /—непрерывное взаимно
однозначное отображение числового отрезка Д=[а, Ь] на простую дугу Л.
Введем на плоскости прямоугольную систему координат (в случае
пространства доказательство аналогично) и обозначим координаты точки f (t)
через Xf(t) и t)f(t). Так как функции Xf(t) и y/(t), заданные на отрезке А,
непрерывны, то существует такое число 6>0, что при \tf — t" \ < б мы
имеем:
\*/(П-х/(П\< в/з, \у/(П-у/(П Ке/3
(свойство «равномерной непрерывности»; см. ЭЭМ, кн. III, стр. 220), и
потому
Р (/(*'). /(**))< 2в/3 при|Г~Г|<6. (9)
Выберем теперь на отрезке А такие точки a = t0< t±< ... < tk_x< h — b»
что t(—t(mm\<zi / = 1,2, ... , k. Точку f (t() мы обозначим через Л/, / = 0,
1, ... , k, а образ отрезка [^-_х, t(] при отображении /—через Л/, / = 1, ... , k.
Таким образом, простая дуга Л разбивается точками Л0, Ax, ... , Ak на
последовательно примыкающие друг к другу части Лх, Л2, ... , Ak. Из
неравенства (9) вытекает, что диаметр каждой дуги Л/ не превосходит 2е/3,
т. е. меньше е.
2.6. Доказательство свойства (ж). Пусть /—такое непрерывное
отображение числового отрезка Д=[Ь, с] на простую дугу Л2, что f(b) = B, f(c) = C.
Обозначим через Q множество всех тех значений ??А, для которых/ (?)?Ale
Множество Q содержит точку Ъ и потому не пусто. Обозначим через т точную
верхнюю грань множества Q и положим 50 = /(т). Мы покажем прежде
всего, что t?Q, т. е. что B0 = f(i)^A1. Допустим, что это не так. Тогда
существует круг некоторого радиуса г с центром в точке В0, не содержащий
точек дуги Лх (см. п. 2.2), и потому существует такое 8 > 0, что f {t)<?0 (B0t r)
при | t—т | <; е. Следовательно, точка f (t) не лежит на дуге Лх при 11—т | <: г.
Но тогда на отрезке [т—е, т] нет ни одной точки множества Q, а это
противоречит тому, что т—точная верхняя грань множества Q. Итак, t?Q,
т. е. B0 = f (t)?Ai. По определению числа т, при t>% точка [(t) не
принадлежит дуге Alf т. е. часть Л2 дуги Л2, заключенная между точками В0
и С7 не имеет с Аг других общих точек, кроме В0. Следовательно, часть
Аг дуги Ах, заключенная между точками А и В0, и часть Л2 дуги Л2
составляют вместе простую дугу Ax + A2 (см. свойство (д)).
2.7. Доказательство свойств (з) и (и). Проведем сначала доказательство
свойства (з). Мы можем считать (добавив, если нужно, к точкам Л0, Аг, ... , Ak
еще конечное число точек), что А0 и Ak—концевые точки дуги Л и точки
Л0, Лх, ... , Ak делят дугу А на части, каждая из которых имеет диаметр

108
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
< -у . Обозначим эти части через Л1} Л2, ... 8ЛА (дуга Л/ имеет своими
концевыми точками А/_! и А{). Пусть f — непрерывное взаимно однозначное
отображение числового отрезка Д на множество Ли/0, ^ tk—такие
точки отрезка А, что /(/;) = Л/, / = 0, 1, ... , к. Тогда последовательность
*о> ^i» • • • » tk монотонна, причем t0 и tk—концевые точки отрезка А. Мы
можем без ограничения общности считать, что эта последовательность —
возрастающая, т. е. t0 < tx < ... < tk и А = [^0, tk]. Ясно, что
Л/ = /([*/_!, М), /=1, 2 А.
Выберем такое положительное число г, что выполнены следующие
условия:
множества (О (Л/, г))3 и (О (Лу, г))3 не имеют общих точек при \i — /| > 1;
множества О(А0, г) и (О (Л2, /))3 не имеют общих точек;
множества 0(Aky r) и (0(Ак_ъ г))3 не имеют общих точек.
Существование такого числа г вытекает из сказанного в п. 2.2.
Наконец, выберем положительное число б, удовлетворяющее условиям б < г,
о
б < -jr. Мы покажем, что это число б удовлетворяет условиям, указанным
в формулировке свойства (з).
В самом деле, пусть Л'с О (Л, б) — простая дуга, концы которой
отстоят от концов линии Л менее чем на б. Обозначим концы дуги Л' через
В0 и Bk, так что р (Л0, В0)< б, р (Ak, Bk)< б. Выберем некоторое
непрерывное взаимно однозначное отображение g числового отрезка А' на
простую дугу Л' и обозначим через q0 и qk концы этого отрезка. Мы можем
без ограничения общности считать, что g(q0) = В0, g(qk) = Bk. Для каждого
i=l, 2, ... , к— 1 обозначим через Q/ множество всех точек t > q0 отрезка
А', удовлетворяющих условию g ([q0, t])d Uh где L// = 0 (Л1э 6) U О (Л2, б) U
U... U О (Л/, б). Ясно, что Q/ представляет собой некоторый отрезок
(возможно, без правого конца), содержащийся в отрезке А', причем
Следовательно, обозначая правый конец отрезка Q/ через q-t (т. е*
<7/ = sup Qi, / = 1, 2, ... , к— 1), мы получим q^<q\.<q<2,< ... <qk-i<Qk-
Положим Bi = g(qi)y / = 1, ... , /г—1 (точки В0 и Bk уже были определены
выше). Мы покажем, что точки В0, Въ ... , Bk различны между собой,
последовательно расположены на линии Л' и удовлетворяют условиям
р(Л/, В/)<8, 1 = 0, 1, ... , к.
Пусть /—какое-либо из значений 1, 2, ... , к — 1. Так как при t < qi
мы имеем g(t)^Uft то как угодно близко к точке #(<?/) найдутся точки
множества ?//, и потому ?/ = g(<7/)6(?//)3- Точка Bk принадлежит множеству
О (Ak, б), которое не пересекается с (?//)3 (ибо б < г и / < к). Следовательно,
В[фВк, и потому qi<q& Далее, точка В/ не может принадлежать
множеству U';, так как это множество открыто, и потому из включения g(qi)?U;
вытекало бы существование такой точки t?[q0, q^l, что t > qi и
g([<7o» *])с^/» а это противоречит определению числа <7/ как точной
верхней грани множества Qt. Итак, точка Bt не принадлежит множеству ?/;,
т. е. не принадлежит ни одному из множеств О {къ* б), ... , О (Л/, б).
Далее, так как В/?(?//)3, то точка В{ не принадлежит ни одному из
множеств (О (Л/+2, б))3, ... , (О (Лд,, б))3. Таким образом, ни одно из множеств
О (Лу, б) не содержит точки Bt при /^г-f-l. Но мы имеем:
В(€А'СО(А, б) = 0(Лъ 6)UO(A2, 6)и...иО(ЛА, б).
Следовательно, В;?0 (Л? + 1, б). Из включения 5/€(?//)з вытекает теперь,
что В/?(0(Л/, б))3, так как при /</ множества (О (Лу, б))3 и 0(Л/+1, б)
не пересекаются. Итак,
Я,6(О (Л,, б)),, Я/€0(Л/+1, б), /=1, 2, ... ,*-1.

СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ
109
В частности, Bi_1?(0 (Л,- 1э б))3, ?/?0(Л/ + 1, б), откуда вытекает, что
В(__хФ В;, т. е. <7,-_i ?? <7/, / = 2, 3, ... , /г — 1. Из включений в0^О(Л0, б),
Вг?0(Л2, б) вытекает, что В0Ф ВЪ т. е. <70 # <7i- Наконец, как мы выше
видели, &?_i # Bk, т. е. <7fc_i ^ qk. Вспоминая теперь неравенства q0^qi^
<; ... <;??, мы находим, что qQ < q± < ... < qk, т. е. точки ?0, ?ь ... , Bk
различны между собой и последовательно расположены на дуге А'т
Так как Bq?0 (Л0, б), то р (Л0, В0) < б < е. Аналогично р (Л#, ЛА) < е.
Наконец, при /=1, 2, ... , ? — 1 мы имеем ?/?0(Л/+1, б), т. е. существует
такая точка С/?Л/+1, что р (В/, Q) < б < е/2. Кроме того, р(Л/, С/) < е/2,
так как диаметр дуги Л/+1 (содержащей обе точки Л/, С/) меньше е/2.
Таким образом, р (Л/, Q) < е/2, р (С,-, Б/) < е/2, и потому р (Л/, ?/) < г.
Тем самым неравенство р(Л/, ?/) < е доказано для всех / = 0, !,...,&.
Перейдем к доказательству свойства (и). Разобьем дугу Л
последовательно расположенными на ней точками Л0, Alt ... , Ak(AQ и
Ak—концевые точки) на части Л1} Л2, ... , Ak, диаметр каждой из которых меньше е/2.
Выберем такое б > 0, что на всякой простой дуге А' С О (Л, б), концы
которой отстоят от концов дуги Л менее чем на б, найдутся точки В0>
Вг, ... , Bk, для которых р (Л/, В/) < е/2, / = 0, 1, ... , k (такое число б
существует в силу уже доказанного свойства (з)). При этом мы будем
предполагать, что б < е. Покажем, что это число б—искомое.
Пусть Л' С О (Л, б)—простая дуга, концы которой отстоят от концов
дуги Л менее чем на б. Выберем на дуге Л' такие точки BQ, Вг, ... , В&
что р (Л/, В() < е/2, / = 0, 1, ... , k. Так как диаметр дуги Л/ меньше е/2,
то Л/ с: О (А;, е/2). Кроме того, А;?0(В;, е/2). Следовательно,
AlCO(Ah е/2) C0(0{Bh е/2), е/2) CO(Bh e) С20(А', е).
Это соотношение справедливо для любого / = 1, 2,..., k, и потому
АСО(А', е). Кроме того, А'с^О(А, б) С О (Л, е). Таким образом,
d(A, Л')<е.
§ 3. Спрямляемые линии
3.1. Вписанные «ломаные». Пусть Л0, Ах, ... , ЛА —какие-либо
&-{-1 различных точек (на плоскости или в пространстве),
рассматриваемых в указанном порядке. Сумму
отрезков A0Al7 AxA2i ... , Ak_xAk с
отмеченными на ней точками Л0, Alt ... , Ak
(в указанном порядке) мы будем
называть цепочкой отрезков и будем
обозначать
ее через А0Аг
Аь. Точки Л(
о»
, Ak называются вершинами
рассматриваемой цепочки отрезков. Всякая
ломаная L = BqBx . . . Bt является также
цепочкой отрезков (с вершинами 50,
Вц • • • , #*)• Обратное, вообще говоря, Рис 18.
неверно: цепочка отрезков может не быть
ломаной (в смысле п. 1.3), так как отрезки, составляющие цепочку,
могут иметь пересечения, наложения и т. п. (рис. 18). Тем не менее
мы часто в дальнейшем будем вместо термина цепочка отрезков
употреблять слово «ломаная», заключая его в этом случае в кавычки.

110
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Таким образом, ломаная будет всегда пониматься в том же смысле,
что и в п. 1.3, а термин «ломаная» будет употребляться как синоним
термина «цепочка отрезков».
Длиной цепочки отрезков Г = А0А1...Ак мы будем называть
число
/ (Г) = Р (A0i Аг) + р (Аъ А2) + ... + р (Ак_ъ Ак);
в случае, если цепочка отрезков является ломаной, мы получаем
обычную длину ломаной (см. п. 1.3).
Таким образом, цепочка отрезков и ее длина определяются
выбором вершин Л0, Л1? . . . , Ak, в качестве которых можно взять любую
конечную совокупность различных точек,
рассматриваемых в определенном порядке.
Пусть теперь Л — некоторая простая
дуга и Л0, Аг, ... , Ak — точки, последо-
А3 вательно расположенные на дуге Л,
причем Л0 и Ak— ее концевые точки. В этом
случае цепочку отрезков
мы будем называть вписанной «ломаной»
дуги Л с вершинами в точках А0, Аъ . ..
рис |9 • • • э Ак- (Эта «ломаная» может иметь
самопересечения и самоналожения, рис. 19.)
Докажем теперь следующую лемму:
Пусть Л—простая дуга и Т = А0А1 ... Ak — некоторая ее
вписанная «ломаная». Тогда для любого 8>0 можно найти
такое б > 0, что всякая ломаная L, для которой d (Л, L) < б,
удовлетворяет условию /(/,)>/(Г) —е.
В самом деле, пусть б>0 — такое число, что на всякой
простой дуге А'аО(А, б), концы которой отстоят от концов дуги Л
менее чем на 6, найдутся последовательно расположенные точки
В0, Въ ... , Bk, для которых р (Лг-, В{)< ^ , / = 0, 1, ... , k (см.
свойство (з) в п. 2.1). Пусть, далее, L — произвольная ломаная,
удовлетворяющая условию d (Л, L) < б. Тогда LaO(A, б) и AaO(L, б).
Из включения ЛсО(1, б) вытекает существование на ломаной L
таких точек Р и Q, что р (А0, Р) <б, р (Ak, Q)<6. Обозначим
часть ломаной L, заключенную между точками Р и Q, через Л'.
Тогда A' aLaO(A, б) и концы дуги Л' отстоят от концов дуги Л
менее чем на б. Следовательно, на ломаной Л' найдутся такие
последовательно расположенные точки В0, В±1 .. . , Bk, что
р (Ah Bt) <2?, *' = 0» 1, ... , k. Обозначим через Li часть ломаной
Л', заключенную между точками В[тт1 и В((1 = 1, 2, ... , &), а через
V — часть ломаной Л', заключенную между точками В0 и Bk. Тогда

СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ
111
V является частью ломаной L, и потому l(L)^l(L') (см. свойства
(а) и (Р) в п. 1.1). Далее, ломаная V составлена из ломаных
Ьг, L2, . .. , Lk, последовательно примыкающих друг к другу, и
потому (см. свойство (Р)) /(/,') = / (Lx) + l(L2)+ ... -\-l(Lk). Так как
ломаная Lt соединяет точки В;_г и Вь то l(Li)^p(Bi_1, Bt),
/= 1, 2, . .. , fe (см. п. 1.4). Наконец, из соотношений р (А{, Bt) < oz »
/ = 0, l,...,ft, мы получаем: р (В;_г, B,-)> P И/-и ^/)""2'^ •
Из записанных соотношений непосредственно вытекает, что
/(1)>рИв.Л) + РИ1.^.)+..-+РИ*-1.^*)-2*-э = /(Г)-8,
и лемма полностью доказана.
Доказанная лемма позволяет очень просто установить, что длина
ломаной обладает свойством (е) (см. п. 1.6). Действительно, пусть
Л — ломаная линия и А0, Аг, ... ,Ak — ее вершины, последовательно
расположенные на линии Л. Тогда вписанная «ломаная» Г =
= А0Аг . . . Ak совпадает с Л, и доказанная лемма утверждает
существование такого числа б>0, что всякая ломаная L, для
которой d(A, L)<8, удовлетворяет условию /(?)>/(Л) — 8.
3.2. Определение спрямляемой простой дуги. Отмеченные выше
свойства длины ломаной послужат нам теперь для определения
класса спрямляемых линий. Именно, мы будем говорить, что
простая дуга Л является спрямляемой, если выполнено следующее
условие.
Существует такое положительное число М, что при любом
б > О найдется ломаная L, для которой d (L, Л) <С б и / (L) ^ М.
Иными словами, простая дуга Л называется спрямляемой, если
существует такое положительное число М и такая
последовательность Lx, Lz, ..., Ln, ... ломаных, что lim Ln = Л (т. е. d (Ln, Л)—* О
П -> 00
при п—юо) и l(Ln)^M для любого п.
3.3. Спрямляемость и вписанные «ломаные». В этом пункте мы
докажем следующую теорему:
Простая дуга Л в том и только в том случае спрямляема,
если существует такое положительное число М', что длина
любой вписанной в Л «ломаной» не превосходит М'.
Эта теорема вытекает, очевидно, из следующих двух
предложений:
а) Пусть Л—спрямляемая простая дуга и М>0—такое
положительное число, что при любом б > 0 найдется ломаная L,
для которой d (Л, Ц<.8 и 1(Ь)^М. Тогда длина любой
вписанной в К «ломаной» не превосходит М.
б) Пусть Л—такая простая дуга, что длина любой
вписанной в нее «ломаной» не превосходит М\ Тогда при любом б > О

112
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
найдется ломаная L, для которой d (Л, L)<6 tt /(?)<; Ж'.
Следовательно, простая дуга А спрямляема.
Докажем эти предложения.
(а) Пусть Т = А0А1 ... Ak—произвольная вписанная в дугу Л
«ломаная» и е—положительное число. Выберем число б,
существование которого утверждается в лемме п. 3.1. В силу спрямляемости
дуги Л, существует такая ломаная Z,, что d (Л, L)<6 и l(L)^M.
Из соотношения d (Л, Ц<6 вытекает в силу леммы п. 3.1, что
/(?)>/(Г)—8. Таким образом, / (Г)</ (L) -fe<M-fe. Ввиду
произвольности 8 отсюда следует, что / (Г) <, М.
(б) Пусть S — произвольное положительное число. Выберем такое
положительное число е>0, что всякая простая дуга Л' с О (Л, е),
концы которой отстоят от концов дуги Л менее чем на 8, удовлетворяет
условию ^(Л, Л')<6 (см. свойство (и) в п. 2.1). Число 8 будем,
кроме того, предполагать меньшим, чем б. Разобьем дугу Л
точками Л0, А1у ..., Ak (A0 и Ak—концевые точки) на части, диаметр
каждой из которых меньше 8, так что, в частности, р (Aimml, А{)<Се,
/ = 1, 2, ..., k. Тогда вся вписанная «ломаная» Г = Л0Л1 ... Ak
содержится в множестве О (Л, е):
ГсО(Л, е) с 0(Л, б).
Согласно предположению, / (Г) ^ М1'.
Докажем теперь по индукции, что существует ломаная Li с: Г
с концевыми точками А0 и А{, длина которой не превосходит длины
«ломаной» А0Аг ... А{. При / = 1 это утверждение очевидно:
можно за Ьг принять отрезок A0AV Пусть уже построена ломаная
Ь;_г с Г с концевыми точками А0 и А(_±, длина которой не
превосходит длины «ломаной» А0АХ . . . А{_±. Обозначим через В0
ближайшую к А{ общую точку ломаной L{_x и отрезка А-^^А^ Тогда
отрезок В0А> имеет с ломаной LI_1 единственную общую точку В0.
Поэтому часть L'lmml ломаной Lh заключенная между точками А0
и В01 составляет вместе с отрезком В0А{ ломаную, содержащуюся
в Г и имеющую А0 и А{ своими концевыми точками. Ее длина
I (^•-1) + ^ (АИ/) he превосходит числа / (?/_i) + /04/-И/), т. е.
не превосходит длины «ломаной» Л0ЛА .... At. Таким образом, за Lt
можно принять ломаную L'._1-{-B0Ai.
Проведенная индукция позволяет найти ломаную LkaA с
концевыми точками А0 и Aki длина которой не превосходит длины
«ломаной» Г = Л0Л1 ... Ak, т. е. / (Lk) ^ / (Г) <* М'. Так как Lk с Л,
то LkaO(A, e), и потому, согласно выбору числа 8, мы имеем
d(A, Lk)<c8. Таким образом, ломаная Lk — искомая.
3.4. Спрямляемость составной дуги. Пусть А—простая дуга,
составленная из простых дуг Аг Л3, ..., Л^, последовательно

СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ
113
примыкающих друг к другу. Если длина всякой «ломаной», вписанной
в дугу Л/, не превосходит М'р то длина всякой «ломаной»,
вписанной в дугу Л, не превосходит М\ + М'2 + ... +M'k.
Доказательство достаточно провести для случая двух
примыкающих дуг Лх и Л2. Обозначим общий конец дуг Лх и Л2 через С,
а вторые их концы—через А и В. Пусть Г = А0А1 ...
Ak—произвольная вписанная в дугу Л «ломаная» (А0=А, Ak — B). Если
точка С не является вершиной «ломаной» Г, то существует такой
номер / (\ ^i^k), что точки А0, А±, ..., А(_г, С, Аь ..., Ak
последовательно расположены на дуге Л. Обозначим «ломаную»
А0А± ... А;_ХС, вписанную в дугу Ль через Г1э а «ломаную»
СА{ . . . Aki вписанную в дугу Л2, — через Г2. Тогда мы
имеем:
1(Г) = р(А0, i41)+... + p(i4/_„ Л,.)+...+рИы-4)<
< р (А0, At) + ... + (р (At_lt С) + р (С, Л,-)) + ... + р (Ak_lt Ak) =
=/(г1)+/(г2)<ж;+ж;.
Если же точка С является вершиной ломаной Г, например C—Ah
то / (Г) = / (1\) +1 (Г2), где Гх = А0 . .. Аь T2 = At ... Ak, и потому
l(F)^Af +Af' Таким образом, в любом случае / (Г) < М' -\- М .
Следствие. Если простая дуга Л составлена из
спрямляемых простых дуг Аъ Л2, ..., Ak, последовательно
примыкающих друг к другу, то дуга Л спрямляема.
3.5. Функции с ограниченным изменением. Пусть
f(t)—некоторая функция, заданная на отрезке [а, Ь]. Напомним, что
/называется функцией с ограниченным изменением, если существует
такое положительное число М", что для любых точек a = t0<it1<C.
<...<tk=b (k произвольно) выполнено неравенство
\f(h)-J(h)\ + \f(h)-/(h)\+---+\f(h-i)-/(h)\^M'.
Если функция f(t) монотонна на отрезке [а, Ь], то она
обладает ограниченным изменением. Например, если
f(t)—возрастающая функция (т. е. f(i')>f(f) при t'>t"), то мы
имеем:
i/('e)-/('i)i+i/('i)-/('.)i+-..+i/('*-i)-/('*)i=
= (f(h)-f(h))+(/С) -Ah))+¦¦¦+(f(h)-f(h-i)) =/(*)-/(«)•
Если функция f(t) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную
производную, то функция f(t) обладает ограниченным изменением.

114
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Действительно, так как производная f (t) функции f(t)
непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена, т. е. существует такое
число К, что |/' (f)\^K для любой точки t?[a, b]. Следовательно,
для любых точек /', f отрезка А мы имеем: f(t')—f{t") =
= f'(?j)(t'— t"), где ?— некоторая точка отрезка А, лежащая
между V и f, и потому \f{t')—J (П|<К-\ ? — ?'\ • Таким образом,
l/(<o)-/('i) l+l/('i)-/('t) 1+ • • • +|/(**-1)-У (У |<
<^(Uo-'il + l'1-<2l+...+!'*-i-^l)=^(&-«).
Установим теперь следующий к р и т е р и й спрямляемости
простой дуги:
Теорема. Пусть Л—некоторая простая дуга на
плоскости и f—непрерывное взаимно однозначное отображение числового
отрезка А —[а, Ь] на множество Л. Введем на плоскости
декартовы координаты х, у и обозначим координаты точки f(t) через
xAt) и yf(t). Простая дуга Л в том и только в том случае
спрямляема, если обе функции xf(t), yf(t), определенные на
отрезке А, обладают ограниченным изменением.
Доказательство. Предположим, что простая дуга Л
спрямляема, и пусть М' — такое число, что длина всякой вписанной в Л
«ломаной» не превосходит М\ Выберем на отрезке А точки
a = t0<.t-l <. . .<Jk = b и положим f(t{)=Ah / = 0, 1, ..., k.
Тогда для вписанной «ломаной» Г = А0Л1 ... Ak мы имеем / (Г) ^ М\
т. е. р(Л0, ЛхНрИи ^42)+...+р(^_1, Ла)<ЛГ. Но так как
точка At имеет координаты #/(*,•), у^(), то
l-M'/-i) —*/(</) |<РМ/-1, Л/)>
(ибо катет прямоугольного треугольника не превосходит его
гипотенузы). Таким образом,
k k
2l*/('/-i)-*/('/)l<2pM/-i, Ai)^M',
k k
2|.М'/-1)-.У/('/)К Sp(A--i> At)^M\
i=l i=1
и потому каждая из функций л^(/), yf(t) обладает ограниченным
изменением.
Обратно, пусть Л —такая простая дуга, что функции xf(t)
и yj(t) обладают ограниченным изменением. Обозначим через М"

СПРЯМЛЯЕМЫЕ ЛИНИИ
115
такое число, что для любых точек а .= ^0<^<.. .<* =ft
выполнены неравенства
1
к k
Пусть, далее, Г = Л0Л1 ... ^ — произвольная вписанная «ломаная»
дуги Л. Выберем такие числа a = tQ<tx< ... <^ = ?, что
f(ti) = Ah * = 1, ..., /г. Так как гипотенуза прямоугольного
треугольника меньше суммы его катетов, то p(Aimml, A()^ \xf(t- ) —
— */(*/) l + |JV(*/-i) — У/{^)\. Следовательно,
; 2ЛГ.
t=i
2e
Таким образом, длина любой вписанной «ломаной» Г не
превосходит 2ЛГ, и потому простая дуга Л спрямляема.
Следствие 1. Всякая гладкая простая дуга (стр. 38)
спрямляема.
Следствие 2. Всякая кусочно гладкая простая ду'га (стр 38)
спрямляема (см. п. 3.4).
3.6. Связь с теорией площадей. Всякая спрямляемая простая
дуга Л является нуль-множеством в смысле теории площадей
(т. е. может быть заключена
в многоугольную фигуру
произвольно малой площади, см.
стр. 34).
В самом деле, пусть М—
число, участвующее в
определении спрямляемости (п. 3.2),
и 8 —некоторое
положительное число. Выберем ломаную Z,, удовлетворяющую условиям
/(?)<Af, d(L, Л)<е. Тогда мы имеем AcO(L, e), и
доказываемое предложение непосредственно вытекает из приводимой ниже
леммы.
Лемма. Пусть L —произвольная ломаная. Тогда множество
0(L г) представляет собой квадрируемую фигуру площади
<(/(?)+-? в) 2в.
Доказательство легко провести индукцией по числу звеньев
ломаной L. В случае одного звена оно ясно из рис. 20 [площадь
фигуры 0(1, s) в этом случае равна (/(I)-f-Je) 2el. Пусть лемма
уже доказана для ломаных, имеющих < k звеньев, и L = А0Аг ... Ak—
Рис. 20.

116
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
ломаная, имеющая к звеньев. Положим Lf = A0A1
Lf, = Ak_1Ak. Тогда
¦ч-i»
s(0(L, e)) = s{0(L', е) + О (L", e)) =
= 5 (О (Г, 8)) + s (О (L", е)) s (О (L\ 8). О (Г, 8))
(см. стр. 45). В силу предположения индукции, мы имеем:
s(0(L\ e))< (/(//)+-? в) 2в,
s (О (Г, 8)) <(/(L")+f е)28;
кроме того, s(0(L\ e)-0(L'\ 8))^ле2, так как пересечение
0(L', е)-0(1", е) содержит по крайней мере круг радиуса 8 с
центром в точке Ак_г (рис. 21). Таким образом,
s(0(L, в)) >(/(//) + -? в)2е +
+ ^(Г) + -^е)28-яе2 =
= (/(Г) + /(П + т е)2е =
= (/(?) + -?е)2в,
и лемма доказана.
На стр. 42—44 приведен пример
простой дуги, не являющейся
нуль-множеством в смысле теории площадей.
Рис. 21. Следовательно, эта простая дуга не-
спрямляема.
3.7. Простые замкнутые линии. Часто приходится
рассматривать значительно более общие «линии», чем простые дуги.
Например, естественно рассматривать фигуры, являющиеся
объединением конечного числа простых дуг, попарно не имеющих общих
внутренних (т. е. неконцевых) точек. Особый интерес представляют
простые замкнутые линии, т. е. линии, представляющиеся в виде
объединения двух (не имеющих общих внутренних точек) простых
дуг с общими концами (рис. 22). Примерами являются окружность,
эллипс, контур треугольника или квадрата и т. п.
Как и в случае простых дуг, на простой замкнутой линии
можно рассматривать последовательное (циклическое) расположение
точек, вписанные «ломаные» (которые будут уже замкнутыми

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
117
цепочками отрезков, рис. 23) и т. д. Определение спрямляемости
(п. 3.2) и предложения, доказанные в пп. 3.1, 3.3,3.4, 3.6,
непосредственно обобщаются на случай простых замкнутых линий.
Простую замкнутую линию
можно также определить как образ ak-i
отрезка [а, Ь] при таком
непрерывном отображении /, которое
А
*ч
Рис. 22. Рис. 23.
переводит концы a, b отрезка в одну и ту же точку, а на
полуинтервале [а, Ь) взаимно однозначно. Это позволяет рассматривать
функции xf и yf (ср. стр. 40). Теорема п. 3.5 (с тем же
доказательством) сохраняется и для простых замкнутых линий.
§ 4. Длина на классе спрямляемых линий
4.1. Аксиоматическое определение длины. Длиной мы будем
называть функцию /, заданную на классе всех спрямляемых
простых дуг и удовлетворяющую условиям (а) — (е) см. стр. 89 и 98).
Мы покажем в следующих пунктах, что на классе всех
спрямляемых дуг такая функция / существует и притом только одна (т е о-
рема существования и единственности).
4.2. Доказательство теоремы существования. Пусть
Л—произвольная спрямляемая простая дуга. Тогда существует такое
положительное число М', что длина любой вписанной в Л
«ломаной» не превосходит М' (см. п. 3.3), т. е. длины вписанных
«ломаных» ограничены. Точную верхнюю грань длин вписанных в Л
«ломаных» обозначим через К (Л). Мы покажем в этом пункте, что
определенная таким образом функция к является длиной, т. е.
удовлетворяет условиям (а) — (е).
Условие (а). Пусть Л—произвольная спрямляемая простая
дуга. Обозначим ее концевые точки через А и В. Так как
отрезок ЛВ является вписанной «ломаной» линии Л, то X (Л) ^ / (АВ) =
= р(Л, Я)>0.

118
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Условие (Р) достаточно доказать для случая, когда простая
дуга Л составлена из двух дуг Аг и Л2, имеющих общую
концевую точку С и не имеющих других общих точек. Любая «ломаная»,
вписанная в дугу Л1? имеет длину ^ Я (Лх) (по определению
верхней грани), а любая «ломаная», вписанная в дугу Л2, имеет длину
=^Я(Л2). Следовательно, любая «ломаная» Г, вписанная в дугу Л,
имеет длину / (Г) ^ Я (Ах) + Я (Л2) (см. п. 3.4), и потому Я(Л)^
Пусть теперь T1 = AQA1 ... Ак_гС и Г2 = СВ1 ... В1 — такие
«ломаные», вписанные в дуги Лх и Л2 соответственно, что /(Гх)>»
> Я (Лх) — е, / (Г2) > Я (Л2) — е (такие «ломаные» существуют при
любом 8 > 0, в силу определения точной верхней грани). Тогда
Т = А0А1 .. . Ak_1CB1 .. . Bt представляет собой «ломаную»,
вписанную в дугу Л, и для ее длины мы имеем неравенство /(Г) = /(Г1) +
+ / (Г2) > Я (Лх) + Я (Л2) — 2s. Из этого в силу определения
функции Я, мы получаем Я (Л) > Я (Лх) + Я (Л2) — 2е. Ввиду
произвольности е отсюда следует, что Я (Л)^Я (Лх) + Я (Л2).
Таким образом, Я (Л) = Я (Лх) + Я (Л2).
Условие (у) очевидно.
Условие (б). Всякая «ломаная», вписанная в единичный
отрезок А, представляет собой разбиение единичного отрезка
несколькими точками деления на конечное число отрезков. Следовательно,
длина всякой вписанной «ломаной» равна единице, и потому Я(Д) = 1.
Условие (е). Пусть Л — спрямляемая простая дуга и е —
положительное число. Выберем такую вписанную в дугу Л
«ломаную» Г = А0АХ ... Ak, что /(Г)>Я(Л)—-—. Пусть, далее, 8>0 —
такое число, что всякая ломаная Z,, для которой d(A, /,)<б,
удовлетворяет условию /(?)>/(Г)—^- (см* п- **.1) и>
следовательно, условию / (L) >> Я (Л) — е.
Пусть теперь Л' — произвольная спрямляемая простая дуга,
удовлетворяющая условию d (Л, Л')<;-^-« Выберем такую лома-
ную L, что d (Л', 1)<С-о- и /(/,)=< Я (Л') (см. предложение (б)
в п. 3.3). Из соотношений d (Л, А')<?, d(A', L) <-^ вытекает,
что d(A, ?)<с8 (см. п. 1.5). Следовательно, l(L)>X(A) — 8.
Сопоставляя это неравенство с соотношением Я(Л')^/(?), мы
получаем Я (Л') > Я (Л)— 8. Итак, для любой спрямляемой простой
дуги Л', удовлетворяющей условию ^(Л, Л')<^> мы имеем
Я (Л') > Я (Л) — s, и условие (е) выполнено.
Таким образом, теорема существования полностью доказана.

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
119
4.3. Доказательство теоремы единственности. Пусть Я
—функция, построенная в п. 4.2, а / — произвольная функция,
определенная на классе всех спрямляемых простых дуг и удовлетворяющая
условиям (а) — (е). Мы должны доказать, что функции Ли/ совпадают.
Прежде всего заметим, что для любой ломаной L мы имеем
k(L) = l(L), так как обе функции л, / удовлетворяют условиям
(а) —(б) (см. п. 1.3).
Пусть теперь Л — произвольная спрямляемая простая дуга и
8 — положительное число. Пусть, далее, 6>0 — такое число, что
всякая спрямляемая простая
дуга Л', для которой d (Л, Л')< б, ^^Sr^V-^V^^V—>^\
удовлетворяет условию / (Л') > / /Г /у С/ и /у У
> 1(A) —г (см. условие (е)). Вы- в, в, ве в^} вя м
берем такую ломаную Z, что
d (Л, ?)< б и l(L)^X (Л) (см. Рис> 24.
предложение (б) в п. 3.3). Тогда
мы имеем: Я (Л) ^ A (L) = / (L) >/ (Л) — 8. Так как 8 > 0
произвольно, то л(Л)^/(Л).
Остается доказать, что для любой спрямляемой простой дуги Л
справедливо и обратное неравенство к(А)^1 (А). Допустим, что
это неверно, т. е. что существует простая дуга Л0, для которой
а(Л0)>/(Л0). Положим е=^(Л^)(~/)(Ло))2, так что /(Л0) =
= (l — ]/"е)л(Л0). Пусть, далее, А — единичный отрезок и б —
такое положительное число, что для любой спрямляемой простой
дуги Л, удовлетворяющей условию d(A, Д)<б, выполнено
соотношение /(Л);>/(Д)—- 8= 1 — 8 (см. условие (г)). Наконец, пусть
а>0 — такое число, что всякая простая дуга ЛсО(А, а), концы
которой отстоят от концов отрезка А менее чем на а,
удовлетворяет условию d(A, Д)<б. Число а мы будем, кроме того,
предполагать меньшим, чем б. Выберем такую «ломаную» Г = ^40Л1 ... Aki
вписанную в дугу Л0, что л (Г) > А (Л0) = к (Л0), т. е.
1 + V в
(l +l/e) л(Г)> МЛ-о). Тогда мы имеем:
/(Л0) = (1—l/"i)X(A0)<(l —1/^)(1 +У^)Л(Г) = (1-8)Я(Г).(10)
Так как добавление к точкам Л0, Аъ ..., Ak новых точек может
только увеличить длину а (Г) = /(Г) вписанной «ломаной» Г (см.
соотношение (4)), то мы можем предполагать дополнительно, что
точки Л0, Аъ .. ., Ak разбивают дугу Л0 на части Аъ Л2, . . ., Ak,
каждая из которых имеет диаметр <<?, так что, в частности,
Р И/-!, At) < а. Если бы для каждой из дуг Л?- было выполнено
соотношение 1{А[) ^(1 — 8)р (>!/_!, А;), то, складывая эти соотношения и

120
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
пользуясь свойством (Р), мы получили бы / (Л0) ^ (1 — е) X (Г), что
противоречит соотношению (10). Следовательно, по крайней мере для
одного i = 1,2,..., kвыполнено соотношение/(Л/)<(1 — е)рИ/-1» А?).
Выберем такое значение i и отложим на единичном отрезке А,
начиная от его левого конца BQ, отрезки В0В1у ВгВ2, ..., Bq_1Bg,
равные отрезку А{_гА(, причем откладывание произведем столько
раз, что остаток ВдМ (от точки Bq до правого конца М отрезка А)
будет меньше, чем А{_±А{, так что р (Bq, M)<iG. Далее, для
каждого у'=1, 2, . .., q построим дугу Л'., имеющую концы В;_г и Bj
и равную дуге А{ (рис. 24). Тогда мы имеем / (Л'Л = / (Л?-) <
<(1— e)p(i4,_lf Л,) = (1 — e)p{BJ_1, Bj), и потому
/(л;)+/(л;)+...+/(л;)<(1~е)Р(50, ^)<i-8. (ii)
Кроме того, множество Q = A'1 + A'2+ ... +Л^ содержится в О (А, а),
так как диаметр каждой дуги Л', меньше а.
Разумеется, множество Q может не являться простой дугой
(рис. 24). Однако мы докажем, что для любого у=1, 2, ..., q
существует простая дуга A*.aQ с концами в точках В0 и В-,
длина /(Л!) которой не превосходит /(Л^)+.. .+^(Л'.). В
самом деле, при /=1 за дугу Л* можно принять Л^. Пусть уже
построена простая дуга At^czQ с концевыми точками В0 и Bj_u
для которой /(Л! jj ^/(Л^)+ .. . +^(Л' ). Рассматривая дуги
Л! х и Л'., мы, согласно свойству (ж) п. 2.1, найдем такую точку С,
принадлежащую обеим дугам А*._±, Л'., что часть Л!^1? дуги Л! ,
заключенная между точками В0 и С, и часть Л", дуги Л'., заключенная
между точками С и Бу, имеют единственную общую точку С.
Таким образом, мы получаем простую дугу A*S1 + A'.aQ1
имеющую В0 и Bj своими концевыми точками. Ее длина l(A*1j\-\-
-\-1(К'\ не превосходит /(Л! 1) + /(Лу), т. е. не превосходит
/ (Л^) + ... + /(Л'). Таким образом, за Л! можно принять дугу
Проведенная индукция позволяет найти такую спрямляемую
простую дугу A*cQ с концевыми точками В0 и Bq, что /(Л*)=^
</(Л/1) + ... + /(Л^)<1— е(см. (И)). НотаккакЛ*с=рс:0(А7, a),
а концы дуги Л* отстоят от концов отрезка А менее чем на сг, то
d(A, Л*)<6, и потому /(Л*)> 1—8 (см. определение чисел о и б).
Полученное противоречие показывает, что соотношение X (Л0) > / (Л0)
не может иметь места. Тем самым теорема единственности полностью
доказан^.

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
121
Замечание. Из доказательства теорем существования и
единственности ясно, что длина спрямляемой простой дуги Л равна
верхней грани длин вписанных в нее «ломаных». Поэтому из
предложений (а) и (б) п. 3.3 вытекает также, что длина спрямляемой
дуги Л равна нижней грани чисел М, входящих в определение
спрямляемости (см. п. 3.2). В случае выпуклых линий (как
замкнутых, так и незамкнутых), можно определять длину также
с помощью описанных ломаных1).
В приведенном доказательстве теоремы единственности
условие (г) было дважды использовано. Естественно возникает вопрос,
насколько существенно условие (е) для доказательства теоремы
единственности. Может быть, существует другое доказательство,
не использующее свойства (е)? Если бы такое доказательство
существовало, то это означало бы, что свойство (е) несущественно для
определения длины, и потому длина любой спрямляемой линии
определялась бы теми же аксиомами (а) —(б), что и длина
прямолинейного отрезка (см. п. 1.2). Нижеследующий пример
показывает, что доказать теорему единственности без условия (г)
невозможно. Именно, мы приведем примеры функций, заданных на классе
всех спрямляемых простых дуг, удовлетворяющих условиям (а)—
(б), но не совпадающих с длиной.
Пусть Л — произвольная спрямляемая простая дуга. Обозначим
через /* (Л) точную верхнюю грань таких чисел fx, что существует
конечное число прямолинейных отрезков с суммой длин fx,
содержащихся в множестве Л и попарно не имеющих общих точек. Легко
проверяется, что функция /* удовлетворяет условиям (а) — (б). Кроме
того, 0^/*(Л)^/(Л) для любой простой дуги Л (где / —
обычная длина, определенная в п. 4.1); равенство /* (Л)=/(Л)
выполняется, например, для ломаных, а равенство /*(Л) = 0—
только для простых дуг, не содержащих ни одного прямолинейного
куска.
Вообще, для любого неотрицательного значения а функция
al+(\—a)l* удовлетворяет условиям (а) —(б), но при а^=1 не
совпадает с /. В частности, при а = 2 мы получаем функцию
/**г=2/ —/*, обладающую тем свойством, что /**(Л)^/(Л) для
любой простой дуги Л; если дуга Л не содержит ни одного
прямолинейного куска (например, если Л — полуокружность), то
/**(Л) = 2/(Л).
4.4. Основные свойства длины, а) Отрезок — кратчайшая
линия. Если Л — простая дуга с концевыми точками А и В,
то для ее длины 1(A) мы имеем неравенство /(Л)^р (Л, В);
равенство имеет место в том и только в том случае, если
дуга Л совпадает с отрезком АВ.
L) См. статью «Выпуклые фигуры и тела» в этой книге ЭЭМ.

122 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
В самом деле, отрезок АВ является одной из вписанных
«ломаных» дуги Л, а так как 1(A) представляет собой верхнюю грань
длин вписанных «ломаных», то /(Л)^р(Л, В). Если дуга Л
содержит хотя бы одну точку С, не принадлежащую отрезку АВ, то,
обозначая через Г вписанную «ломаную» АСВ, мы получим
/(Л)^/(Г) = р(Л, С) + р(С, В)>р(А, В). Таким образом,
равенство I (А) = р (А, В) может иметь место только в том случае, если
вся дуга Л содержится в отрезке АВ. Но простая дуга с
концами А, В, содержащаяся целиком в отрезке АВ, должна совпадать
с этим отрезком. Действительно, пусть /—непрерывное взаимно
однозначное отображение числового отрезка [с, d] на простую
дугу Л. Для любой точки t?[c, d] положим ф(г?) = р (A, /(/))•
Тогда ф(^)—непрерывная функция (см. стр. 103), которая в концах
отрезка [с, d] принимает значения 0 и р(Л, В). Так как
непрерывная функция принимает все промежуточные значения (см. ЭЭМ,
кн. III, стр. 216), то для любой точки С отрезка АВ найдется
такое значение t?[c,d], что f(t) = C. Таким образом, простая
дуга Л совпадает со всем отрезком АВ, и сформулированное
предложение полностью доказано.
б) Положительность и монотонность длины. Длина
любой спрямляемой простой дуги является положительным
числом. Действительно, пусть А и В—концы простой дуги Л. Тогда
/(Л)^р(Л, Я)>0.
Если простая дуга Л' является частью спрямляемой простой
дуги А, то /(Л')<;/(Л), причем равенство имеет место только
тогда, когда А! совпадает с Л.
Доказательство очевидным образом вытекает из
положительности длины.
в) Поведение длины при преобразованиях
подобия. Если простая дуга Л' получается из дуги А
преобразованием подобия с коэффициентом X (см. стр. 29), то
/(Л') = Я/(Л).
В самом деле, пусть а — преобразование подобия с
коэффициентом К. Тогда, по определению подобного преобразования,
длина любого отрезка АВ и длина отрезка А'В', в который он
переходит при преобразовании а, связаны соотношением 1(А'В') =
=Х1(АВ). Иначе говоря, если Л—прямолинейный отрезок, то
/(Л') = М(Л), в силу определения подобного преобразования.
Свойство в) утверждает, что это же соотношение справедливо
и для любой спрямляемой простой дуги Л. Для доказательства
заметим прежде всего, что из справедливости свойства в) для
отрезков вытекает его справедливость для ломаных. Ломаная,
вписанная в дугу Л, переходит при преобразовании а в ломаную,
вписанную в дугу Л'. Из этого и вытекает справедливость
свойства в) в общем случае.

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
123
Из доказанного вытекает, что при преобразованиях подобия
сохраняется отношение длин, т. е. если а —преобразование
подобия, то /(Л1):/(Л2) = /(а(Л1)):/(а(Л2)) для любых
спрямляемых простых дуг Ль Л2 *).
г) Длина как предел. Пусть Л—произвольная спрямляв-
мая простая дуга и е— положительное число. Тогда существует
такое число а > О, что всякая вписанная в дугу Л «ломаная» Г,
каждое звено которой меньше а, удовлетворяет неравенству
/(Г)>/(Л)-е.
В самом деле, обозначим через б число, существование
которого утверждается в условии (е). Пусть, далее, а>0 — такое
число, что всякая простая дуга Л' с О (Л, о), концы которой
отстоят от концов дуги Л менее чем на а, удовлетворяет
условию d(A, Л')<6. Покажем, что число а —искомое.
Пусть Г = А0А±. . .Ak — вписанная в дугу Л «ломаная», каждое
звено которой имеет длину < а. Тогда, очевидно, Г с О (Л, а).
Выберем такую ломаную LcT с концевыми точками А0 и Аь что
l(L)^l(T) (см. доказательство предложения (б) в п. 3.3). Тогда
L а Г с О (Л, а), и так как концы ломаной L совпадают с концами
простой дуги Л, то б? (Л, 1)<6. Из этого, в силу условия (е),
вытекает, что /(?)>/(Л)— 8, и потому, подавно, /(Г)>/(Л) — 8.
Доказанному предложению можно также придать следующую
форму:
Пусть Гх, Г2, ..., Г„, ...—такая последовательность
«ломаных», вписанных в спрямленную простую дугу Л, что длина
наибольшего из звеньев «ломаной» Тп стремится к нулю при
п —> оо. Тогда I (Л) = lim / (Г„).
Эти предложения справедливы также и для простых замкнутых
линий (см. п. 3.7).
д) Длина окружности. Пусть Л — окружность радиуса г.
Согласно сказанному в п. 3.7, окружность является спрямляемой
линией. Обозначим через Ln правильный 2"-угольник, вписанный
в эту окружность, через 1п — длину его периметра, через sn — его
площадь, а через hn — апофему, т. е. длину перпендикуляра,
опущенного из центра на сторону 2п-угольника. Величины ln, hn и sn
связаны очевидным соотношением
sn=M2lnhtt. (12)
При п—> оо величина sn имеет своим пределом площадь круга К,
ограниченного окружностью Л (см. стр.46—47): lim^^^/Q; далее,
я-> а>
величина /„ имеет своим пределом длину окружности (см. выше,
г) Как известно, аффинные преобразования этим свойством не обладают.
Однако отношение длин параллельных отрезков сохраняется при аффинных
преобразованиях (см. стр. 11 и 104).

124
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
предложение г)): Ит/Я = /(Л); наконец, величина hn имеет, оче-
видно, предел г: Шп/гп = г. Таким образом, переходя в равен-
п -> оо
стве (12) к пределу при /г—>оо, мы получаем $(/С) = уГ«/(Л).
Так как s(K) = nr2 (см. стр. 49), то мы находим отсюда /(Л) = 2яг,
где я — то же самое число, которое участвует в формуле для
площади круга.
е) Близость первого порядка и роль вписанных
л о м а н ы х. Из доказательства теоремы существования (см. стр. 117—
118) и из приведенного выше
свойства г) длины
выясняется особая роль вписанных
ломаных. Почему же именно
вписанные ломаные так
удобны для определения
длины? Мы выясним этот вопрос
для случая гладких дуг.
Рис. 25. Первое объяснение,
которое приходит в голову,
заключается в том, что вписанная в гладкую дугу Л ломаная очень
«близка» к дуге Л, если звенья ломаной имеют малую длину. Однако
пример, приведенный на стр. 99, убеждает нас в том, что близкая
к дуге Л ломаная может иметь длину, весьма сильно
отличающуюся от длины линии Л. Правильное объяснение «хороших»
свойств вписанных ломаных заключается в том, что не только сама
вписанная ломаная близка к дуге Л, но и направления звеньев
вписанной ломаной близки к направлению линии Л в соседних
точках (рис. 25). В примере на стр. 99 это не было выполнено:
ступенчатые ломаные хотя и располагались все ближе и ближе
к отрезку ЛС, но направления звеньев ступенчатых ломаных не
были все более близкими к направлению отрезка АС (звенья
ступенчатой ломаной составляли с отрезком АС угол 45°). Именно
этим и объясняется тот факт, что предел длин ступенчатых
ломаных не равен длине отрезка АС.
Говорят, что ломаная L находится в г-близости нулевого по-
рядка от простой дуги Л, если LcO(A,e) и концы ломаной L
отстоят от концов дуги Л менее чем на 8. Ломаная L находится
от гладкой дуги Л в г-близости первого порядка, если она
находится от Л в е-близости нулевого порядка, и, кроме того, для
любых двух точек x?L, y?A, расстояние между которыми
меньше 8, звено линии L, проходящее через точку х, и
касательная к линии Л, проведенная через точку у, составляют между
собой угол, меньший 8 (рис. 26). Наконец, будем говорить, что
последовательность ломаных Lx> L2, ... сильно сходится к глад-

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 125
кой простой дуге Л, если для любого е>0 существует такое
натуральное число q%, что при n>qe ломаная Ln находится в е-бли-
зости первого порядка от дуги Л.
Имеют место следующие две теоремы, в значительной степени
проясняющие роль вписанных ломаных в определении длины:
1. Если последовательность ломаных L1? L,
сильно
сходится к гладкой простой дуге Л, то lim/(?„) = / (Л).
2. Пусть Г1? Г
2>
, Гп, ... —такая последовательность
ломаных, вписанных в гладкую простую дугу Л, что длина
наибольшего из звеньев
ломаной Тп стремится к
нулю при п—*оо. Тогда
последовательность ломаных
сильно сходится к дуге Л.
Доказательства этих
теорем сравнительно несложны,
но мы их приводить не будем.
ж) Вычисление длины с помощью интеграла.
Пусть А. —элементарная гладкая простая дуга (см. стр. 37),
являющаяся графиком функции у =/{х), а^х^Ь (рис. 27). Тогда
ь
l(A)=\V\ + (y')2dx. (13)
Рис 26.
В самом деле, пусть Y = AQA1...Ak— некоторая вписанная
ломаная дуга Л (она, очевидно, не имеет самопересечений). Обозначим
абсциссы точек Л0, Аъ ..., Ak через a — xQi xl9 ...,
xk — b (рис. 27). Угол, образованный отрезком Ai_1Ai с
абсцисс, обозначим через cpf. (рис. 28). Между точками At_x
^-i>
осью
и А,

126
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
имеется на дуге Л такая точка Bh что касательная к дуге Л
в этой точке параллельна прямой А{штЛА{ (рис. 28; см. также
теорему Лагранжа, ЭЭМ, кн. III, стр. 342—343). Абсциссу точки Bt
обозначим через %(. Тогда tgcp^y (?,). Далее, длина хорды Ai^vAi
равна (см. рис. 28)
Р (Л--ъ At) = V (Xi-Xi-i)*{l+tg*<p) = (*,-*,_!) Vl+(y'(h))2'
Таким образом,
/(Г)=2/1 + (/(Ш(^— АГ/.г).
/ = 1
(14)
Если ломаная Г меняется таким образом, что все звенья ее
делаются меньше и меньше, то левая часть равенства (14)
приближается к пределу 1(A); правая же часть, представляющая собой
интегральную сумму, приближается к пределу, равному
ь
\ Vl+(y')2dx. Это и дает равенство (13).
а
Аналогично доказывается следующее утверждение:
Пусть А—произвольная гладкая простая дуга и f—взаимно
однозначное дифференцируемое отображение числового отрезка
[а, Ь] на дугу Л. Обозначим
координаты точки f(t) через xf(t) и yf (t).
(rcQbt7rsint) Тогда длина дуги А имеет следующее
*" значение:
'(Л)
- J Y№
+Ш*
dt.
Эта же формула применима и к
простым замкнутым дугам (в этом слу-
чае/(а) =/(*)).
Пример. Полагая xf (t) = r cos t,
у (?) = rsin^, 0^^^2я, мы получаем
Рис. 29. дифференцируемое отображение отрезка
[О, 2я] на окружность Л радиуса г с
центром в начале координат (рис. 29). Таким образом, для длины
окружности Л мы получаем следующее значение:
1(A)
=1 /(?)'
+№'
dt--
¦¦ Г ]/(—r sin t)2 + (r cos t)2 dt =
2Jt 271

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
127
4.5. Другие определения длины. В этом пункте мы приведем два
других определения длины, принадлежащих Г. Минковскому и Ф. Хаусдорфу.
Эти определения ценны своей общностью: они позволяют приписать «длину»
значительно более общим множествам, чем спрямляемые простые дуги. Для
любой спрямляемой простой дуги длина в смысле Минковского и длина
в смысле Хаусдорфа совпадают с обычной длиной, определенной выше.
Однако, несмотря на все эти достоинства, определения Минковского и
Хаусдорфа страдают серьезными недостатками, о которых мы скажем ниже.
Мы рассмотрим определение длины по Минковскому только для случая
плоских множеств. Для этого мы сначала введем понятие меры
ограниченного открытого множества на плоскости. Разобьем плоскость на квадраты
ранга п (л = 1, 2, 3, ...) так же, как это было сделано на стр. 57. Если
теперь G—открытое ограниченное множестве на плоскости, то мы
обозначим через ап число квадратов ранга я, содержащихся целиком в
множестве G, и положим sn = an-10"~2". Числа llf /2, ..., /„, ... образуют
возрастающую последовательность (ср. стр. 57—58), причем эта последовательность
ограничена, так как G—ограниченное множество. Следовательно,
существует предел lim sw, который и называется мерой множества G. Меру откры-
того ограниченного множества G мы будем обозначать символом т (G).
Очевидно, что мера обладает -следующими двумя свойствами:
1) если Gx^ G2, то m(Gx)^ m(G2)\
2) если открытое множество G квадрируемо, то /tz(G) = s(G).
(Существуют и другие полезные и интересные свойства меры, но мы их
не упоминаем, так как они не будут использоваться ниже.) Заметим,
в частности, что если М — произвольное ограниченное множество плоскости,
то множество 0(М, г) при любом г > О открыто и ограничено, и потому
определено число т(0(М, г)).
Пусть теперь А — произвольный отрезок. Тогда множество О (А, г)
квадрируемо, и мы имеем (ср. рис. 20): m(0(A, r)) = s (О (A, r)) = 2rl (А) + яг2.
/и (О(А, г)) ,/дч ш ,. т(0(Д, г))
Следовательно, kz = /(Д) + -п-, и потому lim к- =/(Д).
Это соображение и лежит в основе определения длины по Минковскому.
Именно, длиной плоского множества М в смысле Минковского называется
предел
, т(0(М,г))
/Минк(М)= lim —У—^- " (15)
(если этот предел существует). Множества, для которых предел (15)
существует, называются спрямляемыми в смысле Минковского, прочие множества —
неспрямляемыми.
Теорема. Для всякой спрямляемой простой дуги А (в смысле п. 3.2)
выполнено соотношение /минк (А) = /(Л).
Для доказательства достаточно, очевидно, установить справедливость
следующей леммы:
Пусть А—спрямляемая простая дуга и г—положительное число. Тогда
существует такое число б > 0, что при г < б выполнены неравенства
1{А)-г<т{°^г))<ЦА) + в. (16)
Докажем эту лемму. Пусть а — произвольное положительное число и
L—ломаная, удовлетворяющая условиям: d (Л, L)<g, I (L) ^ / (Л) (см.
предложение (б) в п. 3.3). Тогда мы имеем: О (Л, г) с О (О (L, а), г) с
cO(L, г + а), и потому т(0(Л, r))^m(0(Lt г + а)). Далее, по лемме п. 3.6,

128
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
т\
Таким
Это неравенство
:(0lL.r + o))<(/(L) + -^r + a))[2(r + a)]<^(A)+^-(r + a)] [2 (г + а)].
образом, т (О (Л, г ))< ( / (Л) + -^- г J 2г + 2а/ (Л) + 2яга + яа2.
при любом а > 0, и потому
/п(0(Л, /*))< f/(A) + -9-M 2г. Из доказанного неравенства вытекает, что
о
при г < —е справедливо второе из неравенств (16).
Обратимся теперь к первому из неравенств (16). Прежде всего
заметим, что если L—ломаная с концами
А и Я, то
m(0(L, г))^2гр(Л, В). (17)
Доказательство этого соотношения
для случая двухзвенной ломаной
ясно из рис. 30, а далее идет
очевидная индукция. Пусть теперь Л—
произвольная спрямляемая простая
дуга и a—произвольное
положительное число, меньшее чем г.
Выберем такую ломаную L с концами А и
В, что d (L, Л) < а. Тогда мы имеем:
О(L,r—o) СО ((Л,а), г—а) СО(А, г),
и потому т(0 (Л, r))^m{0{L,r — а))^2(г — а) р (Л, В) (см. (17)).
Так как это неравенство справедливо для любого положительного числа
о < г, то
т(0(А, г))^2гр(Л, В). (18)
Пусть теперь Г== А0Аг.. .Л^—такая вписанная «ломаная» дуги Л, что
/(Г)>/(Л)— ~, Выберем на дуге Л такие точки Blt ?2, ..., Bk, что точки
Л0. #i> Лц #2» ^2, •••» Bk> Ak последовательно расположены на этой дуге
и, кроме того, р(Л/, ?/)<§?» /==1» •••> *• Тогда Р(л/-1> Bi)^
^Р(ЛМ, Л/) —р(Л/, В/)>р(Л/_1, Л/)-~. и потому
Рис. 30.
к к
?pM/-i. В/)>Х[р^-ь^)-^|=/(Г)-у>/(Л)~8.
(19)
Обозначим часть дуги Л, заключенную между точками Л/_х и В/, через М/,
1=1, 2, ..., &. Так как простые дуги Мх, М2, ..., Mk попарно не имеют
общих точек, то существует такое число б > 0, что при г < б множества
0(МЪ г), 0(М2,г), ...,0(Mk, г)
(20)
попарно не пересекаются (см, п. 2.2). Так как, кроме того, каждое из
множеств (20) содержится в О (Л, г), то (рис. 31) при г < 6 мы имеем:
т(0(Л, г))^т(0{Мь г)) + т(0(М2, г)) + ...+т(0(Мк, г)). (21)
Кроме того, учитывая, что концами дуги М/ являются точки Л/_2 и В;,
мы получаем, в силу (18), m(0(Mi, r))^2rp (Л/_х, В/), и потому,
согласно (19), т(0{М19 г)) + т{0(М2, г)) + ...+т(0(Мк, г))> 2г(/(Л)-е).

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ
129
Рис. 31.
вычислении этого предела число г
Таким образом, при г < 6 мы имеем (см. (21)): т(0(А, г)) > 2/* (1(A)—е),
откуда и вытекает первое из неравенств (16).
Сформулированная теорема полностью доказана.
Приведем теперь определение длины по Хаусдорфу.
Пусть М—произвольное ограниченное множество на плоскости и
г—положительное число. Выберем каким-либо образом конечное число кругов,
каждый из которых имеет радиус <*г и сумма которых содержит все
множество М (рис> 32). Обозначим через
2 сумму диаметров всех этих кругов.
Мы можем, конечно, по-разному
выбирать круги радиуса <: г, сумма
которых содержит все множество Му и
каждый раз будем получать
некоторое значение 2 (сумма диаметров
кругов). Обозначим через о> точную
нижнюю грань всех
получаемых таким образом величин 2 (при
неизменном г). Легко понять, что
если г' <г, то ar/^=iO>. Таким
образом, величина о> определена при
любом г > О и возрастает, если
число г убывает. Поэтому могут
представиться две возможности: либо
величина о> неограниченно
возрастает при г-^0, либо же
она ограничена, и тогда
существует предел lim o> (разумеется, при
г-*о
принимает только положительные значения). В первом случае множество М
считают неспрямляемым по Хаусдорфу; во втором случае множество М
спрямляемо по Хаусдорфу и число /хаусд(М)= Km ar называется длиной
Г->0
этого множества в смысле Хаусдорфа.
Для всякой спрямляемой простой дуги А выполняется соотношение
/Хаусд(Л) = /(Л).
Доказательство сравнительно несложно, но мы его приводить не будем.
Отметим еще (также без доказательства), что если плоская фигура имеет
положительную площадь, то она не
спрямляема ни по Минковскому, ни
по Хаусдорфу.
Определения Минковского, и
Хаусдорфа являются
конструктивными (а не аксиоматическими)
определениями длины. На классе
всех спрямляемых (в смысле § 3)
простых дуг эти определения
эквивалентны конструктивному
определению длины, приведенному в п. 4.2
(верхняя грань длин вписанных ло-
р оо маных). Поэтому для доказательства
теоремы существования в п. 4.2
можно было с равным успехом
воспользоваться любым из этих трех конструктивных определений; например,
можно было проверить, что длина по Минковскому обладает (на классе
спрямляемых простых дуг—в смысле § 3) свойствами (а)—(е). Однако определения
длины по Минковскому и Хаусдорфу имеют то преимущество, что они

130
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
значительно увеличивают класс множеств, которые считаются
«спрямляемыми». Определение Минковского ценно также и тем, что оно устанавливает
интересную связь между понятием длины и понятием площади.
Отметим в заключение, что, несмотря на сравнительную простоту
определения и большую общность, длина в смысле Минковского (или Хаусдорфа),
рассматриваемая на всем классе спрямляемых множеств, вряд ли может
считаться «геометрической» длиной. Дело в том, что взятое в такой
общности понятие длины не удовлетворяет указанным в § 1 свойствам (Р) и (е),
без чего, разумеется, трудно считать функцию /минк (или /хаусд) «длиной».
Так, например, если М±—множество всех рациональных точек
единичного отрезка А = [0, 1], а М2—множество всех его
иррациональных точек, TO /Mhhk(Mi)==/Mhhk(M2) = /Mhhk(A) = 1, /XaycA(Mi) =
=/хаусд (М2) = /Хаусд(А) = 1, хотя множества Мг и М2 не пересекаются
и дают в сумме А, так что можно было бы ожидать выполнения условия (р).
Впрочем, можно было бы построить класс множеств, более общих, чем
спрямляемые простые дуги, но менее общих, чем все спрямляемые (скажем, по
Минковскому) множества, причем так, что в этом классе сохранятся
свойства (а) — (е) (с надлежащими уточнениями). Однако рассмотрение этого
вопроса далеко выходит за рамки настоящей статьи.
§ 5. О понятии площади поверхности
5.1. Основные свойства площади поверхности. Площадь
поверхности определяется, в общих чертах, по той же схеме, что и длина
кривой. Однако здесь имеются некоторые (упоминаемые ниже)
обстоятельства, значительно усложняющие все построение и
делающие его неэлементарным. Ввиду этого мы опишем определение
площади поверхности лишь очень схематично. Заметим кстати, что
даже в университетских курсах математического анализа вопросы,
связанные с общим определением площади поверхности, сколько-
нибудь полно не разбираются.
Свойства, на которых основывается определение площади
поверхности, повторяют свойства (а) — (е) в определении длины.
Рассмотрим сначала первые четыре из этих свойств:
(а) Площадь s (L) произвольной поверхности L является не-
отрицательным числом.
(Р) Площадь поверхности, составленной из конечного числа
неперекрывающихся кусков, равна сумме площадей составляющих
кусков.
(у) Равные поверхности имеют равные площади.
(б) Плошддь единичного квадрата равна единице.
Из статьи «Площадь и объем» читатель уже знает, что
свойства (а) — (б) однозначно определяют площади квадрируемых
(плоских) фигур и, в частности, площади плоских многоугольных
фигур. Так как всякая многогранная поверхность (см. статью
«Многоугольники и многогранники» в кн. IV ЭЭМ) составляется из
конечного числа неперекрывающихся плоских многоугольников, то
свойство (Р) однозначно определяет и площадь любой многогранной

о понятии площади поверхности
131
поверхности. Таким образом, свойства (а)—(б) однозначно определяют
функцию s (площадь) на классе всех многогранных поверхностей.
Естественно возникает вопрос, будет ли эта функция 5 обладать
свойством, аналогичным свойству (е), сформулированному на стр.98.
Для того чтобы ответ на этот вопрос был утвердительным, нужно
иметь правильную формулировку свойства (е) для случая площади
поверхности. Первое, что приходит в голову — сформулировать
свойство (е) следующим образом:
Пусть L — некоторая поверхность и г —положительное число.
Тогда существует такое число б>0, что для всякой
поверхности Z/, удовлетворяющей условию
d (L, L') <C S, выполнено соотношение
s(L')> s(L) — &. Однако в таком виде
это свойство неверно. В самом деле,
пусть L — единичный квадрат, a L' —
узкая «змейка», достаточно густо
заполняющая этот квадрат (рис. 33).
Ясно, что при любом б > О можно
построить такую змейку Z,', для которой
d(L, Z/)<6, а площадь змейки s(Z/)
как угодно мала.
Для того чтобы правильно
сформулировать свойство (е), мы введем в
рассмотрение поверхности, которые будем
называть простыми кусками.
Понятие простого куска является
двумерным обобщением понятия простой дуги.
5.2. Простые куски. Пусть Р — некоторый прямоугольник и /—
отображение этого прямоугольника в пространство, т. е. правило,
сопоставляющее каждой точке Т прямоугольника Р некоторую
точку f(T) в пространстве. Если отображение / взаимно однозначно
и непрерывно1), то образ прямоугольника Р при отображении /
*) Напомним, что отображение / называется взаимно однозначным, если
всякие две различные точки 7\, Т2 прямоугольника Р переходят при
отображении / в различные точки / (7\), f (T2) пространства. Напомним, далее,
в каком случае отображение / называется непрерывным. Введем в
прямоугольнике Р координаты и, v (рис. 35), а в пространстве — прямоугольные
координаты х, у, г. Далее, для точки Т прямоугольника Р, имеющей
координаты и, v, мы обозначим координаты точки / (Т) в пространстве через
Xj(u, v), y/(u, v), Zf(u, v) Отображение / называется непрерывным, если
каждая из функций х<, ур 2f переменных a, v является непрерывной
(ср. стр. 37). Если каждая из этих функций имеет непрерывные первые
/dxf dyf dzf\ /dxf dyf dzf\
производные, причем векторы \^~9 — f —J я ^—9 — 9 ~J ли-
нейно независимы при любых и, v, то отображение / называется гладким^
так же как и рассматриваемый простой кусок.
Рис. 33.

132
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
называется простым куском (рис. 34). Иначе говоря, множество L,
расположенное в пространстве, называется простым куском, если
на него можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить
некоторый прямоугольник. Если простой кусок является многогранной
поверхностью, то мы будем называть его многогранным простым
куском.
Пусть L — некоторый простой кусок и / — непрерывное взаимно
однозначное отображение некоторого прямоугольника Р на
множество L. Обозначим через S контур прямоугольника Р (см. рис. 35),
Рис. 34. Рис. 35.
т. е. простую замкнутую линию, образованную сторонами этого
прямоугольника. Образ f{S) линии S при отображении /
называется краем простого куска Z,. Понятие края простого куска
является геометрически очень наглядным и кажется весьма простым
по своей природе. Однако данное выше определение страдает
некорректностью, аналогичной той, которая была отмечена на стр. 101.
В самом деле, не изменится ли «край» простого куска L, если
отображение заменить другим аналогичным отображением? Как
и понятие концевых точек простой дуги, понятие края простого
куска в действительности не зависит от выбора непрерывного
взаимно однозначного отображения /. Однако если в случае
простой дуги доказательство этого факта использует лишь простые
свойства непрерывных функций и сравнительно элементарно (см. п. 2.3),
то для случая простого куска такое доказательство
неэлементарно: в нем неизбежно используются некоторые сведения из
топологии1).
В дальнейшем мы удовлетворимся наглядной «очевидностью»
понятия края простого куска и будем свободно обращаться с этим
понятием. Край простого куска L мы будем обозначать символом
х) См. статью «Основные топологические понятия» в мой книге ЭЭМ

О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
133
кр. L. Отметим, что в силу своего определения край простого куска
является простой замкнутой линией. Край многогранного простого
куска является простой замкнутой ломаной.
Точки простого куска, не лежащие на его крае, мы будем
называть внутренними точками этого простого куска. Два простых
куска L и V мы будем называть неперекрывающимися, если они
не имеют общих внутренних точек. (О «неперекрывающихся кусках»
речь идет в свойстве (Р) п. 5.1.)
Пусть теперь К и К' — две простые замкнутые линии в
пространстве. Будем говорить, что эти линии являются 6-близкими, если
существует непрерывное взаимно однозначное отображение ф
линии К из. К', при котором р(Л, ф(Л))<6
для любой точки А?К. Заметим, что
если линии К и К' являются б-близкими,
то d{K, К')<Ь, но не наоборот (см.
рис. 36, на котором изображены не б-близ-
кие линии К и К').
5.3. Полунепрерывность площади.
Теперь мы можем дать правильную
формулировку пятого свойства площади
поверхности, которое, как и в случае
длины, будем называть
полунепрерывностью снизу:
(е). Пусть L —некоторый простой
кусок и е — положительное число. Тогда
существует такое число б>0, что
для всякого простого куска LrczO(Lt б), для которого линии
кр. L и кр. V являются Ь-близкими, выполнено соотношение
s(L')>s(L) — &.
Заметим, что точным аналогом сформулированного здесь
свойства (е) было бы в случае длины кривой следующее свойство:
Пусть L —некоторая простая дуга и е—положительное
число. Тогда существует такое число б>0, что для всякой
простой дуги V с 0(L, б), концы которой отстоят от концов
линии L менее чем на б (т. е. для всякой простой дуги Z/,
находящейся от L в б-близости нулевого порядка, см. стр. 124),
выполнено соотношение /(Z/) ;>/(!) —е.
Но это свойство эквивалентно (для простых дуг) свойству (е),
сформулированному в п. 1.6 (см. предложение (и) в п. 2.1).
Поскольку площадь определена пока только для
многогранных простых кусков, мы можем сейчас задаться вопросом о
справедливости свойства (е) лишь для многогранных простых кусков.
Можно доказать, что, действительно, свойство (е) для
многогранных простых кусков справедливо. Однако доказательство этого
факта неэлементарно и существенно использует некоторые
Рис. 36.

134
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
теоремы топологии 1). Поэтому мы отмечаем факт справедливости
свойства (е) без доказательства. Итак,
на классе всех многогранных простых кусков существует
одна и только одна функция s {площадь), обладающая
свойствами (а) — (б); эта функция обладает также и свойством (б).
5.4. Определение квадрируемых простых кусков. Будем
говорить, что простой кусок Л является квадрируемым, если
выполнено следующее условие:
существует такое положительное число М, что при любом
б>0 найдется многогранный простой кусок La О (А., б), для
которого линии кр. Л и кр. L являются 8-близкими и s(L)^M.
5.5. Вписанные «многогранники». Пусть Л—произвольный
простой кусок и /—непрерывное взаимно однозначное отображение
прямоугольника Р на множество Л. Выберем некоторое правильное
разбиение (см. стр. 17) прямоугольника Р на треугольники. Пусть
Д—какой-либо треугольник этого разбиения и Л, В, С—его
вершины. Мы обозначим через Af треугольник с вершинами /(А),
/(Б), /(С) (этот треугольник выродится в отрезок, если точки
/(A), /(B), /(C) лежат на одной прямой). Совокупность всех
треугольников Д^ (взятых для всех треугольников Д рассматриваемого
разбиения прямоугольника Р) мы будем называть вписанным
«многогранником» поверхности Л. Слово «многогранник» мы ставим в
кавычки, потому что поверхность, образованная всеми
треугольниками Д^, может иметь самопересечения, самоналожения и т. д.
Сумму площадей всех треугольников Ду мы будем называть
площадью рассматриваемого вписанного «многогранника».
Мы находимся теперь в положении, аналогичном тому, в
котором мы находились в начале п. 3.3 при построении понятия длины.
Поэтому кажется естественным сформулировать и доказать
следующую теорему:
Простой кусок Л в том и только в том случае является
квадрируемым, если существует такое положительное число М\
что площадь любого вписанного в Л «многогранника» не
превосходит М'.
Однако эта «теорема» неверна! В этом также заключается
одно из принципиальных различий между понятиями длины и
площади. Пример, показывающий, что сформулированная выше
«теорема» неверна, известен под названием гармошки Шварца (по
имени математика, предложившего этот пример). Мы опишем его
х) По существу, весь § 2 настоящей статьи посвящен изложению
некоторых простейших фактов топологии. Но эти факты сравнительно просты,
и их доказательство удалось провести, пользуясь лишь хорошо известными
свойствами непрерывных функций. При аксиоматическом определении поня-
тия площади поверхности такое упрощение невозм^щно.

0 ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
135
к
следующим образом. Рассмотрим цилиндр V радиуса R и высоты
h. Плоскостью, проходящей через ось этого цилиндра, рассечем
его на две половины и обозначим через Л часть его боковой
поверхности, расположенную по одну сторону
от этой плоскости (рис. 37). Множество Л
представляет собой простой кусок, причем,
как легко доказать, квадрируемый.
Обозначим теперь через Р прямоугольник,
получающийся при развертывании куска Л на
плоскость (этот прямоугольник имеет
основание nR и высоту К), а через /—обратное
«накладывание» прямоугольника Р на
простой кусок Л. Отображение /, очевидно,
непрерывно. Разобьем теперь прямоугольник Р
прямыми, параллельными основанию, на п
полос ширины h/n. Далее, разделив
основание прямоугольника на т равных частей
(длины nR/m), мы построим правильное
разбиение прямоугольника Я, показанное на
рис. 38. (Все треугольники этого разбиения,
кроме тех, которые примыкают к боковым
сторонам, являются равнобедренными.) Имея
это разбиение, мы можем построить
соответствующий вписанный «многогранник»
поверхности Л (этот «многогранник» не будет иметь самопересечений).
Для оценки площади этого «многогранника» рассмотрим какой-либо
равнобедренный треугольник разбиения. Пусть АВ — основание этого
треугольника, а С—вершина.
Середину основания обозначим через D.
Тогда точки /(Л), /(D), /(В) лежат
на одной окружности цилиндра V и
определяют на ней две дуги,
равные т—й части окружности. Точка /(С)
лежит на той же образующей, что и
/(D), на расстоянии h/n от точки /(D)
(рис. 39). Следовательно, обозначив
через М середину отрезка между
точками /(А) и /(В), мы найдем:
р (/(Л),/(В)Н2Д sin i p (/(С), М)>
и потому, обозначая через а
Рис. 37.
Рис. 38.
>p(/(D), M) = R [\ -cos ^
площадь треугольника с вершинами /(Л), /(?), /(С), мы получим:

136
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
V(B)
Рис. 39.
Каждая полоса ширины hjn содержит 2т—1 треугольников,
равных треугольнику ABC (и еще два «боковых» треугольника,
которыми мы пренебрегаем), а всего таких полос имеется п.
Поэтому в рассматриваемом вписанном «многограннике» имеется
п(2т-\-1) треугольников, равных треугольнику с вершинами/(Л),
/(Б), /(С), и потому площадь s вписанного «многогранника»
удовлетворяет неравенству s>n(2m-\- 1) R2sin^ f 1—cos^-j. Так
как в правой части неравенства
все множители отличны от нуля,
то, взяв любое т, мы можем
затем найти настолько большое п,
чтобы площадь вписанного
«многогранника» была столь велика,
как нам хочется. Заметим, что,
взяв числа т и п достаточно
большими, мы можем сделать все
грани вписанного
«многогранника» как угодно малыми.
Следовательно, существуют
вписанные в Л «многогранники»,
имеющие сколь угодно малые
грани и сколь угодно большую площадь (хотя простой кусок Л
квадрируем).
Таким образом, сформулированная в начале пункта «теорема»
неверна.
5.6. Аксиоматическое определение площади поверхности.
Площадью мы называем функцию s, заданную на классе всех квадри-
руемых простых кусков и удовлетворяющую условиям (а) — (е).
Можно доказать (примерно так же, как в § 4, но с
некоторыми усложнениями), что на классе всех квадрируемых простых
кусков существует одна и только одна функция s со
свойствами (а) —(б) (теорема существования и
единственности).
Отметим, что для доказательства теоремы существования нужно
фактически построить некоторую функцию s и доказать, что
она обладает свойствами (а)—(е), т. е. нужно дать
конструктивное определение площади. При этом, в силу причин,
изложенных в предыдущем пункте, мы не можем (по аналогии со
сказанным в п. 4.2) воспользоваться точной верхней гранью
площадей вписанных «многогранников», так как этой верхней грани может
просто не существовать. Однако мы можем воспользоваться другим
конструктивным определением длины, намеченным в замечании к
п. 4.3. Обобщая это определение на случай площади поверхности,
мы приходим к следующему определению:

О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
137
Площадью квадрируемого простого куска Л называется
точная нижняя грань чисел М, вхсдащих в определение
квадрируемости (см. п. 5.4).
Проверка (не слишком легкая!) показывает, что определенная
таким образом площадь действительно удовлетворяет условиям
(a)-(e).
5.7. Квадрируемость гладких простых кусков и определение
площади поверхности с помощью интеграла. Рассмотрим
элементарный гладкий простой кусок,
т. е. простой кусок Л,
однозначно проектирующийся на
некоторую область D плоскости
х, у [с кусочно гладкой
границей) и записываемый в
координатах уравнением z=f{x, у),
где /—функция, имеющая
непрерывные (и,
следовательно, ограниченные) первые
производные (рис. 40).
Мы докажем, что
элементарный гладкий простой ку- Рис. 40
сок является квадрируемым.
В самом деле, разобьем плоскость л:, у прямыми,
параллельными осям координат, на равные квадраты со стороной Лив
каждом из них проведем диагональ, параллельную биссектрисе
второго координатного угла. Мы получим
правильное разбиение всей плоскости л:,
у и, в частности, области D на
треугольники (рис. 41). Беря на поверхности Л
точки, расположенные над вершинами
этого разбиения, мы сможем построить
«вписанный многогранник». Ясно, что эта
многогранная поверхность не будет иметь
самопересечений, т. е. будет простым
Рис. 41. куском (возможные сложности вблизи
границы области D легко устраняются).
Ясно далее, что если h достаточно мало, то вписанный многогранник
будет находиться в О (Л, б), а его край будет б-близок к краю
простого куска Л.
Остается оценить площадь этого вписанного многогранника.
Пусть Л —некоторая вершина разбиения, изображенного на рис. 41.
Обозначим через лг0, у0 координаты точки А и рассмотрим
треугольник с вершиной в точке А (рис. 42). Пусть Б и С—две
другие вершины этого треугольника. Обозначив через Л', В', С точки
поверхности Л, расположенные над точками Л, В, С, мы найдем,

138
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
что координата z для точек А\ ?', С, имеет значения: z# — f(x0,y0),
**'=/(*<,, y0 + h), *С'=/(*о + *э Уо), и потому
Zff—ZA'-H щ , ZC ZA>-h—^ ,
где x0<d<ix0 + fi, y0<.4\<Zyo + h. Если мы обозначим через М2
максимальное значение величины
df\
ф\ в квадрате, содержащем
треугольник ABC, а через Мх —
максимальное значение величины
ду
У>
0
i
в
А
щш^.
с
а:
Рис. 42
в этом квадрате, то найдем
ZB' — ZA'\^hN[\> \zC' — zA'\^hM2.
Так как вектор А'В' имеет вид
(0, /г, zB> — Za')i а вектор А'С
имеет вид (h, 0, Zc/—zBf), то
площадь а треугольника А'В'С
легко вычисляется (например, с
помощью векторного произведения; см. стр. 354 кн. IV ЭЭМ):
о = \hV{zB, - zA,f + (zc, -zB,)* + h* < i- A2 }/"(Ml + Ml+l).
Аналогично для площади треугольника, примыкающего к
треугольнику ABC по гипотенузе, мы найдем ту же оценку для пло
щади. Следовательно, площадь той части вписанного
многогранника, которая расположена над квадратом, содержащим треугольник
ABC, не превосходит величины /г2 ]/l +(/И1)а + (Ж2)2, а площадь
всего вписанного многогранника не превосходит суммы
S^lA + W + W2,
(22)
где суммирование ведется по всей области D. Величины Мг и М2
ограничены в областиD (так как производные-— и —^ непрерывны ),
а сумма 2^2> взятая по всей области D, примерно равна площади
области D, и потому величины (22) ограничены. Тем самым
доказано, что в любой близости к поверхности Л найдется
многогранный простой кусок (а именно, вписанный многогранник) ограниченной
площади, и потому поверхность Л квадрируема.
Заметим теперь, что сумма (22) является интегральной суммой
для интеграла

о понятии площади поверхности
139
Следовательно, каково бы ни было еХ), при достаточно малом h
сумма (22) будет меньше, чем /+е, и потому число /+е можно
принять за число Ж, участвующее в определении квадрируемости
(см. п. 5.4). Из этого мы можем заключить, что точная нижняя
грань чисел /Мне превосходит числа /, т. е.
•<*><#/>+(2)'+(g)'<** Pi)
Обычно в курсах математического анализа этот (или
эквивалентный) вывод принимают за доказательство равенства
*<Л>-Я V *+№'+{%)''">¦ <25>
Из сказанного выше ясно, что с точки зрения аксиоматического
определения площади этот вывод не является полным, так как не
содержит доказательства неравенства, обратного неравенству (24).
А такое доказательство сложнее, чем приведенное
доказательство неравенства (24). Оно основывается на том, что грани
построенного выше вписанного многогранника «почти параллельны»
касательной плоскости поверхности в близких точках (т. е. этот
многогранник находится в достаточно малой «близости первого порядка»
от Л, ср. стр. 124), а увеличение углов между гранями и
касательными плоскостями может только увеличить площадь многогранника,
расположенного вблизи поверхности Л. Аккуратное проведение
такого доказательства требует привлечения теорем топологии.
Более того, можно доказать, что площадь любого вписанного
многогранника будет приближаться к интегралу (25) (т. е. к площади
поверхности), если грани становятся все меньше и меньше и,
кроме того, наклон каждой грани к касательной плоскости (в
близкой точке) также становится все меньше и меньше (т. е. если
вписанные многогранники сильно сходятся к поверхности Л, ср.
стр. 125). Именно отсутствием такого обстоятельства (уменьшения
наклона граней к касательной плоскости) и объясняется «парадокс»,
связанный с гармошкой Шварца. По сути дела, то же явление
(для случая длины кривой) наблюдалось в софизме, приведенном
на стр. 99—100 (см. обсуждение на стр. 124).
Можно также представить себе другой путь установления
разумности формулы (25): определить площадь гладкого простого
куска, разбивая его на конечное число элементарных кусков и
применяя к каждому из них формулу (25). Тогда площадь будет
определена с помощью формулы (25) на классе всех гладких простых
кусков, но надо будет показать геометрическую истинность такого
определения, т. е. установить свойства (а) —{г) как теоремы.

140
ДЛИНА КРИВОЙ Й ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Можно было бы определять площади более сложных
поверхностей, а именно поверхностей, допускающих разбиение на
конечное число неперекрывающихся простых кусков. Можно было бы
также привести единую формулу, использующую интеграл по
поверхности, формулу для вычисления поверхности вращения и т. д.
Нам кажется это излишним, так как принципиальная сторона
вопроса от этого не проясняется, а формулы при желании можно найти
в любом учебнике высшей математики.
5.8. Заключение. Понятие площади поверхности является, как
мы видим, наиболее сложным в теории измерения геометрических
величин. Выводы формул для площади кривых поверхностей,
имеющиеся в учебниках элементарной и высшей математики, являются
лишь наглядными пояснениями к этим формулам. И если студент-
математик в состоянии задуматься над этими «выводами», то
для школьника «вывод» формулы поверхности шара представляет
собой бессмысленное явление, поскольку ни понятия о точном
определении площади поверхности, ни объяснения принципов, на
которых основывается вычисление площади поверхности, он так и не
получает. Заметим кстати, что сохранение площади при
«распрямлении» боковой поверхности конуса или цилиндра является, конечно,
наглядно очевидным фактом, но, строго говоря, требует
математически точного обоснования.
Разумеется, все эти чисто математические сложности отнюдь
не умаляют практической важности понятия площади поверхности
и необходимости его изучения как в высшей, так и в средней школе.
Следует отметить, что определение площади поверхности,
содержащееся в пп. 5.4 и 5.6, а также формулировки свойств
(а) — (е) совершенно элементарны, в то время как доказательства
свойств (а) — (е) и доказательство формул для вычисления площади
поверхностей неэлементарны. Есть, впрочем, один важный частный
случай, в котором совершенно элементарными приемами можно,
исходя из элементарных определений пп. 5.4, 5.6, найти площадь —
случай выпуклой поверхности *). Это позволяет, в частности, найти
площадь сферы, цилиндра, конуса и их частей, т. е. найти все
формулы, изучаемые в средней школе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Я. С. Дубнов, Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1963.
Небольшая книга, обращенная в первую очередь к учителям
средних школ. Содержит подробное изложение теории измерения длин
отрезков и обсуждение связанных с этой теорией методических вопросов.
[2] Е. М. Ланд и с, О длине кривой, Сборник «Математическое
просвещение», вып. 1, 1957, стр. 33—44.
1) См. статью «Выпуклые фигуры и тела» в этой книге ЭЭМ, а также
книгу Ж. Адамара [4], стр. 512—515.

ЛИТЕРАТУРА
141
Эта статья содержит оригинальный вариант теории длины кривой,
отличный от приведенного здесь.
[3] А. А. Зыков, Об определении длины дуги, Известия Сибирского
отделения АН СССР, т. 12, 1959, стр. 3—10.
Научная статья, примыкающая по своему содержанию к работе [2].
f4] Ж. Адама р, Элементарная геометрия, перев. с франц., ч. 2, М.,
Учпедгиз, 1958.
Прибавление G «О понятиях длины, площади и объема для любых
линий и поверхностей» к этому превосходному учебнику содержит
элементарное изложение затронутого в настоящей статье круга вопросов.
[5] Я. С. Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах, М., Физ-
матгиз, 1961.
Популярная брошюра видного математика и педагога, содержащая
среди других примеров обсуждение некоторых вопросов, связанных с
понятием длины кривой и площади криволинейной поверхности.
[6] Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Основы математического анализа, М., «Наука»,
1964, т. I, стр. 370-378, т. 2, стр. 304-311.
Университетский курс математического анализа» затрагивающий и
вопросы измерения геометрических величин.
См. также книгу А. Лебега, указанную в списке литературы
к статье «Площадь и объем» и книгу Г. Хадвигера, указанную в
списке литературы к статье «Равносоставленность многоугольников и
многогранников».

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
И МНОГОГРАННИКОВ
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1 Введение ' 142
1.1. Аксиомы площади 142
1.2. Площадь прямоугольника (метод исчерпывания) 143
1.3. Методы разбиения и дополнения 146
1.4. Сравнение различных методов вычисления площядей 150
1.5. Вычисление объемов многогранников. Третья проблема
Гильберта 153
§ 2. Равносоставленность многоугольников 158
2.1. Теорема Бойяи — Гервина 158
2.2. Теорема Хадвигера—Глюра 162
2.3. Равносоставленность многоугольников и группы движений . . 164
§ 3. Равносоставленность многогранников 165
3.1. Теорема Хадвигера 165
3.2. Теорема Дена 168
3.3. Доказательство теоремы Хадвигера 170
3.4. Независимость аксиом (а) — (б) для площадей и объемов . . . 176
Литература 180
§ 1. Введение
1.1. Аксиомы площади. Учение о площадях в элементарной
геометрии основывается на следующих четырех положениях:
(а) Площадь s{X) фигуры X является неотрицательным
числом,
(|3) Если фигура X разбита на две части Хг и Х2, то
s(X) = s(X1)-\-s(X2) (аддитивность площади).
(у) Равные фигуры (т. е. фигуры, одна из которых может
быть переведена в другую некоторым движением) имеют равные
площади (инвариантность площади относительно движений).
(б) Площадь некоторого квадрата, сторона которого является
единицей длины, равна единице.
Вместо положения (а) часто используют следующее
эквивалентное ему положение:

ВВЕДЕНИЕ
143
(а') Если фигура Хх является частью фигуры X, то s (Xt) ^ s (X)
(монотонность площади).
Положение (а') вытекает из (а) и ф). Действительно,
обозначив через Х% часть фигуры X, не заполненную фигурой Хг, мы
получим, в силу (Р), s (X) = s(X1)-\-s(X2). Так как, в силу (а),
s(X2)^0, то отсюда следует, что s(X)^s (Xj). Обратно, из
(а') и (Р) вытекает, очевидно, положение (а).
Вместо положения (б) часто используют следующее
эквивалентное ему положение:
(б') Площадь любого квадрата, сторона которого является
единицей длины, равна единице.
Положение (б) требует, чтобы хотя бы один квадрат, сторона
которого имеет длину 1, имел площадь 1. Положение (б) требует,
чтобы любой такой квадрат имел площадь 1. Так как все квадраты,
имеющие сторону длины 1, равны между собой, то, в силу (у),
положения (б) и (б') эквивалентны между собой. Мы выбрали в качестве
основного положения (б), так как оно требует «меньше».
Разумеется, положения (а) — (б) могут быть использованы только
после того, как определено, что такое «фигура» и что значит
«разбить» фигуру на две части. Мы не будем в этой статье
касаться общего учения о площадях, имеющего дело с
произвольными «квадрируемыми фигурами»1), а ограничимся рассмотрением
лишь «многоугольных фигур», которые являются
наиболее простыми с элементарно-геометрической
точки зрения. Многоугольной фигурой (или просто
«многоугольником») называется часть плоскости,
ограниченная конечным числом отрезков. Из этого
определения следует, что к многоугольникам
причисляются не только многоугольники «в обычном
смысле слова», ограниченные одной замкнутой
линией (рис. 1), но также и более сложные фигуры,
ограниченные несколькими замкнутыми ломаными Рис. 1.
линиями (рис. 2, а, б), в том числе и «несвязные»
фигуры, состоящие из нескольких отдельных кусков (рис. 2, в).
Когда мы будем говорить о разбиении многоугольника на части, мы
всегда будем иметь в виду разбиение его прямолинейными
отрезками на конечное число многоугольников (рис. 3). Отметим, что
любой многоугольник может быть разбит на треугольники
(рис. 2, а).
1.2. Площадь прямоугольника (метод исчерпывания). Как
известно2), свойства (а)— (б) позволяют на классе всех
многоугольников однозначно определить понятие площади. Напомним
См. статью «Площадь и объем», стр. 44—54 этой книги ЭЭМ.
См. статью «Площадь и объем», стр. 21—29.

144 равносоставленность многоугольников и многогранников
вкратце, как производится вычисление площадей различных фигур
в традиционном школьном курсе. Разделим прежде всего единичный
квадрат на п2 маленьких квадратиков, сторона каждого из которых
Рис. 2.
имеет длину \/п (рис. 4). Из (у) следует, что все маленькие
квадратики имеют одинаковую площадь, — обозначим ее через s. Так как,
далее, из п2 маленьких квадратиков складывается единичный
Рис. 3.
Рис. 4.
о)
*)
Рис. 5.
квадрат, то из (Р) и (б) следует, что n2s=l, т.е. $=1/л2. Итак,
площадь квадрата со стороной \/п равна 1/#2. Рассмотрим теперь
какой-нибудь прямоугольник (рис. 5, а), длины сторон которого а
и b являются рациональными числами. Приведем числа аиЬ
к общему знаменателю:
а = р/п} (> = q/n.

ВВЕДЕНИЕ
145
Тогда рассматриваемый прямоугольник можно разбить на равные
квадратики со стороной \/п, причем вдоль одной стороны
прямоугольника укладывается р таких квадратиков, а вдоль другой
стороны —# (рис. 5, б). Всего, таким образом, в прямоугольнике
укладывается pq квадратиков, а так как площадь каждого
квадратика равна 1//г2, то из ф) следует, что площадь прямоугольника
п п
Итак, площадь прямоугольника равна произведению длин его
сторон в случае, если длины сторон являются рациональными
числами. Следующий шаг теперь состоит в том, чтобы установить
эту теорему для прямоугольни-
равна pq ^
WMMMM
\
МАМ'
ков с произвольными дли- n\ TiPr
нами сторон. Рассуждение,
которое для этого используется,
можно изложить следующим образом.
Рассмотрим прямоугольник ОАСВ,
длины сторон которого а и b
являются произвольными
(возможно, иррациональными)
числами. Возьмем произвольное
рациональное положительное число 8
(например,8= 1/10 или е= 1/100, Рис. 6
или 8=1/1000) и выберем на
прямой ОЛ такие точки Ми М\ что отрезок ОМ имеет
рациональную длину, отрезок ММ' имеет длину 8 и точка А расположена на
отрезке ММ'. Совершенно так же выберем точки N, N' на прямой
ОВ (рис. 6). Наконец, восставим в точках М, М\ N, N'
перпендикуляры к сторонам ОА и ОВ.
Площадь получившейся фигуры MM'P'N'NPM, которую можно
разбить на два прямоугольника, равна e*N'P' + s-MP=e(N'P' +
+ MP) = e(NP+MP+e). Так как AfP<a, МР<^Ь, то площадь
фигуры MM'P'N'NPM не превосходит г(а-\-Ь-\-г).
Обозначим теперь исходный прямоугольник ОАСВ через F.
Далее проведем построение, указанное на рис. 6, при е = 1/10 и
обозначим прямоугольник OMPN через Хг. Тогда часть фигуры F,
не заполненная фигурой Хг (т. е. заштрихованная на рис. 6 фигура),
имеет по л ожит е л ьную площадь, не превосходящую г)
площади фигуры MM'P'N'NPM, т. е. не превосходящую
-77г ( я + ? + -ттг) . Проведем теперь то же построение при б = тдд
и получающийся прямоугольник OMPN обозначим через Х2. Тогда
1) Здесь мы (в первый и последний раз!) используем положение (а)
(или (а')).

146 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
часть фигуры F, не заполненная фигурой Х2 (заштрихованная
фигура), имеет положительную площадь, не превосходящую
j^rf а+й + щг). Затем мы можем провести это же построение
при 8= 1/1000, обозначив получающийся прямоугольник ОАСВ через
Х3, и т. д. В результате мы получаем такую последовательность
фигур Хг, Х.2, Х3, . .., расположенных в прямоугольнике F, что
площадь той части прямоугольника F, которая не заполнена фигурой
Xk, стремится к нулю при неограниченном увеличении числа к.
Иначе говоря, площадь s (F) прямоугольника F и площадь s(Xk)
прямоугольника Хк связаны (в силу (Р)) соотношением s(F) =
— s(Xk)-{-sk, где величина sk (площадь заштрихованной фигуры)
стремится к нулю при увеличении k. Таким образом, s (F) = lims(Xk)y
т. е. s (F) = lim (ak$k), где ak и §k — длины сторон прямоугольника Xk.
fc->-oo
Но при k -> оо мы имеем ak —> а, рд -> Ь; следовательно, iim (afrpA) =
= liraaft limpft — a?, т. е. s(F) = ab, что и требовалось доказать.
&-> 00 &-> 00
Метод, который использован в этом доказательстве,—он носит
название метода исчерпывания,—в одном из своих вариантов может
быть сформулирован следующим образом: если Хъ Х2, Х3, ...—
такая последовательность фигур, расположенных в одной и той
же фигуре F, что часть фигуры F, не заполненная фигурой Xkt
имеет площадь, неограниченно уменьшающуюся при k -> оо, то
l\ms(Xk)=zs(F). (Иногда этот метод называют также методом
&->оо
пределов.)
1.3. Методы разбиения и дополнения. Обратимся к дальнейшему
построению теории площадей в школьном курсе. После того как
установлена формула для вычисления площади прямоугольника,
дальнейшее вычисление площадей проводится при помощи весьма
простого приема, называемого методом разложения и
основывающегося на свойствах (Р) и (у). Рассмотрим для уяснения этого метода
две фигуры, изображенные на рис. 7 (все отрезки, составляющие
фигуру креста, равны между собой; сторона квадрата равна отрезку
АВ). Пунктирные линии, проведенные на рисунке, разбивают эти
фигуры на одинаковое число равных частей (равные части обеих
фигур отмечены одинаковыми цифрами). Этот факт выражают
следующими словами: фигуры, изображенные на рис. 7, равносос-
тавлены. Иначе говоря, две фигуры называются равносоставлен-
ными, если, определенным образам разрезав одну из них на
конечное число частей, можно (располагая эти части иначе)
составить из них вторую фигуру.
Из свойств (Р) и (у) непосредственно следует, что две равно-
Составленные фигуры равновелики} т. е. имеют одинаковую пло-

ВВЕДЕНИЕ
147
щадь. На этом и основан простой способ вычисления площадей,
называемый методом разложения (или разбиения). Метод этот
(известный еще Евклиду, жившему свыше 2000 лет назад)
заключается в следующем: для вычисления площади пытаются разбить
А/Г
>i
5/
/
/
/
/
/3
ъв
4-.
Рис. 7.
фигуру на конечное число частей таким образом, чтобы из этих
частей можно было составить более простую фигуру
(площадь которой нам уже известна).
Напомним известные из школьного курса геометрии примеры
применения этого метода. На рис. 8 дан способ вычисления
'2
Рис. 8.
площади параллелограмма: параллелограмм и прямоугольник,
имеющие одинаковые основания и одну и ту же высоту, равносоставлены
и потому равновелики г). Таким образом, площадь
параллелограмма равна произведению длин его основания и высоты.
1) Следует отметить, однако, что такой простой прием (отщепление
одного треугольника) не всегда приво'дит к цели. В случае, показанном на
изображенном здесь рисунке
\?z±
JJ
приходится разбивать параллелограмм не на две, а на большее число частей,
чтобы из этих частей можно было сложить прямоугольник с теми же
основанием и высотой (см. ниже доказательство леммы 3 в § 2).

148 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Рис. 9 показывает, как можно вычислить площадь
треугольника: треугольник имеет такую же площадь, что и параллелограмм
с тем же основанием и вдвое меньшей высотой (так как эти две
фигуры равносоставлены). Наконец, на рис. 10 изображен прием
вычисления площади трапеции.
После того как определена площадь треугольника, легко может
быть найдена площадь любого многоугольника: достаточно разбить
его на треугольники. (Разумеется, при этом мы должны быть
уверены в том, что, различными способами разбивая многоугольник
n/j\\._J7 L ( М
А С К N
Рис. 9.
на треугольники, мы тем не менее будем всегда получать одно и
то же значение площади; этот факт, обычно в школе не
упоминаемый, вытекает из теоремы существования и единственности
площади, см. «Площадь и объем», стр. 24 — 29.)
Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равно-
составленных многоугольника равновелики. Естественно поставить
Рис. 10.
обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих
одинаковую площадь, равносоставлены? Утвердительный ответ на этот
вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фар-
кашем Б ой я и (1832 г.) и немецким офицером и любителем
математики Гервином (1833 г.): два многоугольника, имеющих равные
площади, равносоставлены. Доказательство этой теоремы мы
приведем в § 2.
Метод разбиения часто заменяют другим способом вычисления
площадей, являющимся в некотором смысле обратным. Этот способ,
называемый методом дополнения, мы сейчас и рассмотрим. Вместо

ВВЕДЕНИЕ
149
того чтобы пытаться разрезать две фигуры на равные части,
будем теперь дополнять две фигуры равными частями так,
чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.
Рассмотрим снова фигуры, изображенные на рис. 7. Они имеют
одинаковую площадь (в силу равносоставленности). Но равенство
площадей этих фигур можно доказать и по-иному (рис. 11): добавляя
и к кресту, и к квадрату по четыре равных треугольника, мы
получим одну и ту же фигуру. Отсюда следует, что исходные
фигуры (крест и квадрат) равновелики.
Метод дополнения можно с успехом применять для
доказательства теорем элементарной геометрии. Например, для
доказательства того, что параллелограмм
и прямоугольник, имеющие
одинаковые основания и
высоты, равновелики, достаточно
обратиться к рис. 12. Из
этого рисунка видно, что и
параллелограмм, и
прямоугольник могут быть с помощью
одного и того же треугольника
Рис. 12.
дополнены до одной и той же трапеции. Поэтому параллелограмм
и прямоугольник равновелики г).
!) Этот способ вычисления площади параллелограмма предпочтительнее,
чем обычно применяемый прием (см. рис. 8). Действительно, способ,
изображенный на рис. 12, применим всегда в отличие от приема,
изображенного на рис. 8 (см. сноску на стр. 147).
А
TL
в
/ I
\
ж
в
Рис. 13.

150 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Этим же приемом легко доказать теорему Пифагора. Пусть
ABC— прямоугольный треугольник. Для того чтобы доказать, что
площадь квадрата i, построенного на гипотенузе, равна сумме
площадей квадратов // и ///, построенных на катетах (рис. 13),
достаточно обратиться к рис. 14. На этом рисунке показано, что
как квадрат /, так и вместе взятые квадраты // и /// могут быть
дополнены четырьмя треугольниками, равными треугольнику ABC,
до одной и той же фигуры, а имен-
I /ч. I но, до квадрата, сторона которого
/ / \v 2 равна сумме катетов исходного пря-
/ >v моугольного треугольника. Этим
/ ^J теорема Пифагора доказана. Для
Рис. 14. Рис. 15.
сравнения приведем рисунок к доказательству теоремы Пифагора
при помощи метода разложения (рис. 15).
Условимся называть два многоугольника равнодополняемыми,
если, прикладывая к тому и другому одни и те же многоугольники,
можно получить две одинаковые фигуры. Ясно, что равнодополняемые
фигуры имеют одинаковую площадь. Естественно поставить
обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую
площадь, равнодополняемы? Утвердительный ответ на этот вопрос
легко получить из теоремы Бойяи — Гервина (см. § 2).
1.4. Сравнение различных методов вычисления площадей.
Мы рассмотрели три метода, применяющихся для вычисления
площадей фигур: метод исчерпывания (метод пределов), метод
разбиения и метод дополнения. При их сравнении бросается в глаза,
что метод исчерпывания гораздо более сложен, чем методы разбие-
чич v дополнения: он использует (иногда в завуалированной форме)

ВВЕДЕНИЕ
151
идею предельного перехода, в то время как методы разбиения и
дополнения весьма просты и геометрически наглядны. По сути дела,
метод исчерпывания близок к определению площади с помощью
интеграла (см; стр. 51—52 статьи «Площадь и объем») и потому
Неэлементарен. (Рассуждения, связанные с рассмотрением
предельного перехода, бесконечно малых величин и т. п., принято обычно
считать «неэлементарными».) Однако, к счастью, метод
исчерпывания применяется в теории площадей многоугольников лишь один
раз: как мы видели, он нужен лишь при выводе формулы
прямоугольника. Если же формула площади прямоугольника уже
установлена, то площади любых многоугольников находятся
элементарно (с помощью методов разбиения и дополнения) г). Тот факт,
что неэлементарный метод исчерпывания используется в теории
площадей многоугольников лишь один раз,—да и то при вычислении
площади прямоугольника, хорошо известной и понятной для
прямоугольников с рациональными длинами сторон,—делает
малозаметной неэлементарность этого метода. (Тем более, что многие
преподаватели стараются скорее «проскочить» общий вывод формулы
прямоугольника, «смазав» трудности этого вывода!)
Просматривая изложенные выше рассуждения, легко убедиться,
что аксиома (а), указанная в начале статьи, использовалась в них
только один раз, а именно при нахождении площади
произвольного прямоугольника методом исчерпывания. Все же остальные
1) Метод исчерпывания вновь становится необходимым при вычислении
площадей криволинейных фигур, например площади круга и его частей.
В самом деле, часть круга К, не заполненная вписанным многоугольником Х&
невелика и становится все меньше и
меньше, если наибольшая из сторон >х*\ Л\
вписанного многоугольника
неограниченно уменьшается (рис. 16). Поэтому
s(K)= lim s(Xk), где предел берется
в предположении, что при k -> оо все
стороны многоугольника Xk
неограниченно уменьшаются. Это условие
выполняется, например, если
Xk—правильный вписанный fc-угольник (или
2&-угольник). Но площадь правильного
многоугольника равна—р^, где/?fe—
его периметр, a ak — апофема.
Следовательно, s (К) = Нт _ pkak. При к -> оо
fc-x» 2
величина pk приближается к длине
окружности 2яг, а величина а^—к
радиусу л Таким образом, для площади круга К получаем формулу
Рис. 16.
^>
s(K)= lim -_ akpk = —~ lim pk lira ak = JL 2nr-r —7tr*.
ty-> 00 2 2 k-+ CO ^-> cp 2

152 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
рассуждения, и в частности применение методов разбиения и
дополнения, основаны только на аксиомах ф)— (6). Например, тот
факт, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковую
площадь, вытекает только из двух аксиом: (Р) и (у). Проведение
рассуждений методом исчерпывания невозможно без применения
аксиомы (а), так как в методе исчерпывания существенно
используется положение (а'), эквивалентное аксиоме (а) (см. стр. 145 и 179).
Таким образом, сложность и неэлементарность метода
исчерпывания обусловлены именно использованием аксиомы (а). В связи с
этим всякое рассуждение, использующее аксиому (а) и в этом
смысле эквивалентное методу исчерпывания, мы будем в теории
площадей считать неэлементарным. Элементарными же будем
считать те рассуждения и методы, которые основаны лишь на
аксиомах (Р)— (б). В частности, методы разбиения и дополнения
элементарны. Такое исключительное положение аксиомы (а) в теории
площадей объясняется тем, что в ней постулируется некоторое
неравенство для площадей, в то время как остальные аксиомы
формулируются в виде равенств. Использование же неравенств
для вычисления площадей, для решения вопроса о том, чему
равна площадь той или иной фигуры (т. е. использование
неравенств для установления некоторого равенства), так или иначе
связано с предельным переходом, с некоторыми оценками и т. п.
и потому неэлементарно.
Например, использование метода исчерпывания при вычислении
площади прямоугольника можно было бы заменить следующим
«оценочным» рассуждением, существенно основанным на применении
аксиомы (а) или эквивалентного ей положения (а'). Обозначим длины
отрезков ОМ и ON на рис. 6 через аир. Тогда мы имеем:
SOMPN^ SOACB ^ sOM'P'N', ИЛИ
ар<*0ЛСВ<(сс + 8)(Р+8). (*)
Но мы имеем а — е^а, а + е^а + 8 (ибо О^а — а^ е, см.
рис. 6) и аналогично b — e^fi, (3 + e^#-(-8. Следовательно,
неравенства (#) могут быть теперь усилены следующим образом:
(а-8) (^-б) < 50i4CB< (а + е) (Не). Раскрывая скобки и
вычитая из всех частей неравенств произведение ab, получаем:
— 8 {а +Ь — е) ^ $оасв — аЬ^ъ (а + ?-|-е). Эти неравенства
показывают, что число s0ACB — ab не может быть отличным от нуля
(ибо в качестве е можно взять как угодно малое
рациональное положительное число); таким образом soACB = ab.
Это «оценочное» рассуждение формально не содержит никакого
предельного перехода, но по существу столь же неэлементарно,
как и метод исчерпывания. Ведь заключительная часть этого
рассуждения предполагает, в сущности, ясное понимание того факта,
что никакое отличное от нуля число не является бесконечно малой

ВВЕДЕНИЕ
153
величиной, т. е. так или иначе связано с рассмотрением
переменной величины, с рассмотрением числа е, которое может быть
«произвольно малым», и т. п.
Естественно возникает вопрос: можно ли вывести формулу
площади прямоугольника элементарно (т. е. с помощью какого-либо
рассуждения, не использующего аксиомы (а))? Оказывается, что
этого сделать нельзя, т. е. при вычислении площади
произвольного прямоугольника ограничиться только использованием аксиом
(Р) — Ф) невозможно. Мы докажем этот факт на стр. 179.
1.5. Вычисление объемов многогранников. Третья проблема
Гильберта. Обратимся теперь к геометрии в пространстве, а
именно к вопросу о вычислении объемов многогранников.
(Под многогранником мы понимаем часть пространства,
ограниченную конечным числом многоугольников; любой многогранник может
быть разбит на конечное число тетраэдров, т. е. треугольных
пирамид.) Вычисление объемов базируется на аналогичных положениях:
(а) Объем v (X) тела X является неотрицательным числом.
(Р) Если тело X разбито на две части Хг и Х2, то
v(X) = v(X1)+v(X2).
(у) Равные тела имеют равные объемы.
(б) Объем куба, ребро которого является единицей длины,
равен единице.
Как и в случае площади, эти положения (а) — (б) позволяют
на классе многогранников однозначно определить понятие объема 1).
Вначале построение теории объемов в точности повторяет
построение теории площадей. Именно, устанавливается, что объем куба
с ребром \/п равен 1/#3; далее показывается, что объем
прямоугольного параллелепипеда с рациональными длинами ребер равен
произведению трех его «измерений» (т. е. произведению длин трех
ребер, выходящих из одной вершины); затем эта теорема
распространяется (с применением метода исчерпывания) на прямоугольные
параллелепипеды с произвольными длинами ребер. Все это
совершенно аналогично построениям теории площадей.
Далее возникает естественный вопрос: можно ли, имея в своем
распоряжении формулу объема прямоугольного параллелепипеда,
определить объем любого многогранника с помощью только метода
разбиения (или дополнения), без использования неэлементарного
метода исчерпывания? (Именно так обстояло дело в случае
площадей плоских фигур.) Как известно, учебная литература всегда
использует либо метод исчерпывания («чертова лестница», см. ниже,
рис. 20), либо какой-нибудь эквивалентный ему метод (например,
принцип Кавальери или какое-либо иное завуалированное
интегрирование). По существу ли это?
) См. статью «Площадь и объем», стр. 72—75.

154 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
При вычислении объемов пространственных фигур в некоторых
случаях применяется метод разложения (или дополнения).
Например, для доказательства теоремы о том, что объем наклонной
призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения
Рис. 17. Рис. 18.
на длину бокового ребра, применяют метод разложения (рис. 17)
или дополнения (рис. 18). Иначе говоря, всякая наклонная призма
равносоставлена (и равнодополняема) с прямой призмой, у которой
Рис. 19.
длина бокового ребра такая же, как и у наклонной призмы, а
основанием является перпендикулярное сечение наклонной призмы.
Далее, если основания двух прямых призм имеют одинаковую
площадь, а высоты этих призм равны, то эти две призмы равносостав-
лены (ибо по теореме Бойяи — Гервина их основания равносостав-
лены, рис. 19). В частности, всякая прямая призма равносоставлена

ВВЕДЕНИЕ
155
с прямоугольным параллелепипедом, имеющим ту же площадь
основания и ту же высоту, откуда и вытекает теорема об объеме
наклонной призмы.
Таким образом, для вычисления объема любой призмы (прямой
или наклонной) можно с успехом пользоваться методом разложения
(и методом дополнения).
Однако при вычислении объема пирамиды не пользуются
ни методом разложения, ни методом дополнения. На помощь
привлекается метод пределов:
рассматривают довольно
сложные ступенчатые тела (рис. 20)
и затем переходят к пределу
при неограниченно
возрастающем числе ступенек («чертова
лестница»). В чем здесь дело?
Рис. 20.
Рис. 21.
Может быть, это объясняется лишь тем, что до сих пор
математикам «не посчастливилось» найти простой вывод формулы
объема пирамиды методом разложения или дополнения? Чтобы
ответить на этот вопрос, вспомним вкратце, как обычно вычисляется
объем пирамиды. Пусть ABCD— треугольная пирамида. Построим
треугольную призму (наклонную) ABCDEF с основанием ABC и
боковым ребром AD (рис. 21). Эту призму можно разбить на три
треугольные пирамиды ABCD, BCDE, CDEF (рис. 22), которые мы
для краткости обозначим через Ml9 М2, М3. Легко устанавливается,
что каждые две из пирамид Мъ Af2, Мг имеют равные основания
и равные высоты. Таким образом, «остается» доказать, что две
пирамиды, имеющие равные основания и равные высоты,
равновелики.
Именно это предложение и доказывается с помощью метода
пределов. Можно ли доказать это предложение без применения

166 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
метода пределов (или метода исчерпывания), на основе только
методов разбиения или дополнения? Иными словами, любые ли два
тетраэдра с равными основаниями и равными высотами равно-
составлены или дополняемы равными частями до равносостав-
ленных многогранников! Эта проблема известна под названием
третьей проблемы Гильберта: в числе других важных
проблем математики, она была
высказана известным математиком Д. Г и л ь-
б е ртом в 1900 году.
Разумеется, можно было бы
поставить эту проблему и в иной форме,
сравнивая не два тетраэдра, а
тетраэдр и прямоугольный
параллелепипед (для которого формула объема
уже известна). Так мы приходим к
следующей формулировке по
существу той же проблемы: всякий ли
тетраэдр равно со став лен с некоторым
прямоугольным параллелепипедом
(того же объема)? Как установил еще
Рис- 22. в 1896 году английский математик
Хил л, тетраэдры, равносоставленные
с прямоугольным параллелепипедом, существуют. Пример
такого тетраэдра приведен на рис. 23, а; здесь АВ, ВС
и CD — взаимно перпендикулярные ребра, имеющие одинаковую
длину а. На рис. 23, б показано разбиение этого тетраэдра на
четыре многогранника; на этом чертеже отрезки ВМ и MN имеют
длину -г-. На рис. 23, в показано, как следует перегруппировать
эти четыре многогранника, чтобы из них сложить прямую
треугольную призму (рис. 23, г). Таким образом, тетраэдр ABCD равносо-
ставлен с прямой треугольной призмой, а потому и с
прямоугольным параллелепипедом. Если бы это оказалось так для любого
тетраэдра, то принципиально можно было бы построить теорию
объемов многогранников, ни разу (после установления формулы
объема параллелепипеда) не использующую метода пределов или
метода исчерпывания.
Однако на обе поставленные проблемы приходится дать
отрицательный ответ. Оказывается, что методы разложения и
дополнения вообще бессильны для установления формулы объема
пирамиды. Для вывода этой формулы необходим о применение
более сложного метода (метода исчерпывания, метода пределов или
иного эквивалентного метода). Это было установлено в 1901 году
М. Деном, который показал, что существуют многогранники,
имеющие равные объемы, но не равносоставленные. В частности, куб и

ВВЕДЕНИЕ
157
правильный тетраэдр одинакового объема не равносоставлены (и
не дополняются равными частями до равносоставленных
многогранников). Существуют также не равносоставленные тетраэдры с
равными основаниями и высотами. Тем самым обосновывается
необходимость привлечения неэлементарных методов в теории
объемов.
Доказательства самого Дена, очень сложные и, надо сказать,
довольно путаные, были существенно усовершенствованы В. Ф.
Каганом. В последние годы ряд интересных новых результатов
в теории равносоставленности был получен швейцарскими
геометрами (Г. Хадвигер и др.). Их результаты позволили значительно
упростить доказательство теоремы Дена. В § 3 читатель найдет
доказательство результатов Дена, представляющее собой сильно
переработанное доказательство Хадвигера. По поводу дальнейших
относящихся сюда результатов (некоторые из них кратко упомянуты
в конце §§ 2 и 3) мы отсылаем читателя к указанной в конце статьи
книжке В. Г. Болтянского [1].

158 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
§ 2. Равносоставленность многоугольников
2.1. Теорема Бойяи — Гервина. В этом параграфе мы докажем
теорему Бойяи — Гервина, упомянутую во введении, а также укажем
некоторые новые результаты, относящиеся к этому же кругу идей.
Докажем сначала несколько вспомогательных предложений.
Лемма 1. Если фигура А равносоставлена с фигурой В, а
фигура В равносоставлена с фигурой С, то фигуры А и С также
равно со став лены.
Действительно, проведем на фигуре В линии, разбивающие ее
на такие части, из которых можно составить фигуру А (сплошные
а) 6)
Рис. 24.
линии на рис. 24, а); проведем, кроме того, линии, разбивающие
фигуру В на части, из которых можно составить фигуру С
(сплошные линии на рис. 24, б). Те и другие линии вместе разбивают
фигуру В на более мелкие части, причем ясно, что из этих более
мелких частей можно составить и фигуру А, и фигуру С. Таким
образом, фигуры А и С равносоставлены.
Лемма 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым
прямоугольн иком.
В самом деле, пусть АВ — наибольшая сторона треугольника ABC
(рис. 25), CD — опущенная на нее высота. Тогда точка D находится
между А и В (иначе один из углов /_А или /_В был бы тупым и
сторона АВ не была бы наибольшей; см. рис. 26). Через середину
высоты CD проведем прямую, параллельную АВ, и опустим на эту
прямую перпендикуляры АЕ и BF. Тогда мы получим прямоуголь-

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
159
ник AEFB, который равносоставлен с треугольником ABC.
Действительно, треугольники, помеченные на рис. 25 цифрой / (так же
как и треугольники, помеченные цифрой 2), равны между собой.
Каждая же из фигур ABC, AEFB состоит из заштрихованной на
рис. 25 трапеции и двух треугольников /, 2.
Лемма 3. Два параллелограмма, имеющих общее основание
и одинаковую площадь, равносоставлены.
Пусть ABCD и ABEF— два параллелограмма, имеющих общее
основание АВ и одинаковую площадь. Тогда высоты этих
параллелограммов одинаковы, т. е. отрезки DC и FE расположены на
Рис. 25. Рис. 26.
одной прямой. На прямой АВ отложим последовательно ряд
отрезков, равных отрезку АВ, и через каждую точку деления проведем
прямые, параллельные отрезкам AD и AF. Тогда полоса между
Рис. 27.
параллельными прямыми АВ и DE разобьется на ряд
многоугольников (рис. 27). Каждый из этих многоугольников при сдвиге на
отрезок, равный АВ, совмещается с другим равным ему
многоугольником. (Докажите!) Равные многоугольники на рис. 27
отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый из
параллелограммов ABCD, ABEF содержит одну чдсть, помеченную

160 РАВНОСОСТАВЛеННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
цифрой /, одну часть, помеченную цифрой 2, цифрой 3 и т. д.
Таким образом, эти параллелограммы равносоставлены х).
Лемма 4. Два прямоугольника, имеющих равную площадь,
равносоставлены.
Пусть ABCD и EFGH—два прямоугольника одинаковой
площади. Из четырех отрезков АВ, ВС, EF, FG выберем наибольший,—
пусть это будет, например, отрезок АВ. Продолжим теперь
отрезок HG за точку Я и на этой прямой радиусом, равным АВ,
сделаем засечку из точки Е (так как АВ^ЕН, то окружность
радиуса АВ с центром в точке Е будет с прямой HG иметь общую
В
А В t F
Рис. 28.
точку). Обозначая полученную точку через L, будем иметь AB — EL
и, отложив отрезок LK=EF, мы построим параллелограмм EFKL
(рис. 28). Этот параллелограмм равновелик прямоугольнику EFGH
(и прямоугольнику ABCD). Из леммы 3 следует, что
параллелограммы EFGH и EFKL, имеющие общую сторону EF, равносоставлены.
Но параллелограммы ABCD и EFKL также имеют одинаковую
сторону AB = EL. Поэтому (в силу леммы 3) они равносоставлены.
Наконец, так как параллелограмм EFKL равно составлен с каждым
из прямоугольников ABCD и EFGH, то (лемма 1) эти
прямоугольники равносоставлены.
Лемма 5. Всякий многоугольник равносоставлен с
некоторым прямоугольником.
Всякий многоугольник может быть разбит на конечное число
треугольников. Обозначим их цифрами /, 2,3, ... (рис. 29).
Возьмем, далее, произвольный отрезок АВ и в его концах восставим
перпендикуляры АС и BD (рис. 30).
Проведем отрезок ALBL,
параллельный АВ, таким образом, чтобы пло-
¦А 'А'/'
г) Если параллелограммы ABCD,
v r и l ABEF, изображенные на рис. 27, таковы,
что стороны AF и ВС не пересекаются, то
рйс. 27 примет показанный здесь вид, т. е. достаточно отщепить от
параллелограмма ABCD один треугольник, чтобы из получившихся двух
частей можно было составить параллелограмм ABEF (ср. сноску на стр. 147).

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
161
щадь прямоугольника ABB±AL была равна площади треугольника
/. Тогда треугольник 1 и прямоугольник АВВ1А1 (помеченный цифрой
I) равносоставлены. Действительно, треугольник / равносоставлен с
некоторым прямоугольником (лемма 2), который в свою очередь равно-
составлен с прямоугольником /, имеющим ту же площадь (лемма 4);
поэтому (лемма 1) треугольник / и прямоугольник /равносоставлены.
Далее, построим отрезок А2В%, параллельный АВ, таким образом, что
прямоугольник Л1Б152Л2, помеченный цифрой Я, равновелик
треугольнику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник II равносоставлены.
Рис. 29. Рис. 30.
Затем мы построим прямоугольник III, равносоставленный с тре«
угольником 3, и т. д. Построенные прямоугольники /, Я, III, ...
составляют вместе один прямоугольник (заштрихованный на рис. 30),
который по построению равносоставлен с исходным многоугольником.
Теперь уже нетрудно доказать упомянутую на стр. 148 теорему.
Теорема Бойяи — Гервина. Два многоугольника,
имеющих равные площади, равносоставлены.
Доказательство. Согласно лемме 5, каждый из
многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные
два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно,
равносоставлены (лемма 4). Таким образом (лемма 1), два исходных
многоугольника равносоставлены.
В качестве простого следствия теоремы Бойяи — Гервина мы
докажем следующее предложение:
Теорема: Два многоугольника, имеющих равные площади,
равнодополняемы.
Доказательство. Пусть А и В — два многоугольника,
имеющих одинаковую площадь. Возьмем два одинаковых квадрата
настолько больших размеров, чтобы внутри них можно было
расположить фигуры А и В. Вырезав из одного квадрата фигуру А, а
из другого —фигуру В, имеющую такую же площадь, мы получим

162 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
две равновеликие фигуры С и D (заштрихованные на рис. 31).
Из равенства площадей фигур С и D вытекает их
равносоставленность (в силу теоремы Бойяи — Гервина). Таким образом, фигуры
С и D можно разрезать на попарно равные части, а это и означает
равнодополняемость многоугольников А и В.
2.2. Теорема Хадвигера — Глюра. Доказанные выше теоремы
показывают, что понятия равновеликости, равносоставленности и
Рис. 31.
равнодополняемости для многоугольников равносильны. Это
открывает ряд возможностей для дальнейшего исследования. В частности,
возникает интересный вопрос: нельзя ли наложить какие-то
дополнительные условия на число или расположение тех частей, из
которых составляются равновеликие многоугольники? Замечательный
результат такого рода был
получен в 1951 году швейцарскими
математиками Г. Хадвигером и
П. Г л ю р о м. Они установили, что
в теореме Бойяи — Гервина можно
еще дополнительно потребовать,
Рис. 32. чтобы части, на которые разрезан
один из двух равновеликих
многоугольников, и равные им части второго многоугольника имела
соответственно параллельные стороны. На первый взгляд этот
результат кажется неправдоподобным: трудно поверить, что два
равных треугольника, повернутых друг относительно друга на
произвольный угол (рис. 32), всегда можно разбить на равные части
с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее такое
разбиение существует и не только для треугольников, но и для
произвольных равновеликих многоугольников.
Для того чтобы пояснить содержание этой теоремы и получить
более точную ее формулировку, мы обратимся снова к
доказательству теоремы Бойяи — Гервина, изложенному выше. При доказатель-
z\

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
163
стве леммы 3 (рис. 27) мы разбили параллелограмм ABCD на
несколько частей (помеченных цифрами /, 2, 3, . ..), из которых
оказалось возможным составить параллелограмм ABEF. Из рис. 27
видно, что для составления параллелограмма ABEF достаточно
воспользоваться параллельными переносами1) частей. В частности,
равносоставленность двух параллелограммов, изображенных на рис. 8,
устанавливается с помощью параллельного переноса.
Для установления равносоставленности фигур, изображенных на
рис. 9 или 10, уже недостаточно одних параллельных переносов,
однако легко показать равносоставленность этих фигур, пользуясь,
кроме параллельных переносов, еще центральными симметриями2).
Действительно, заменив (с помощью центральной симметрии
относительно точки О) треугольник BOD треугольником СОЕ (рис. 9),
мы получим параллелограмм ADEC, который затем с помощью
параллельного переноса можно совместить с параллелограммом KLMN.
Аналогично доказывается равносоставленность фигур,
изображенных на рис. 10. При доказательстве леммы 2 мы также
пользовались центральной симметрией (рис. 25).
Возникает естественный вопрос: нельзя ли доказать
равносоставленность двух любых равновеликих многоугольников, не пользуясь
поворотом составных частей, т. е. применяя только центральные
симметрии и параллельные переносы? Как доказали Хадвигер и
Глюр, ответ на этот вопрос положителен. Более точно, будем
говорить, что два многоугольника S-равносоставлены, если их
равносоставленность можно установить с помощью одних только
параллельных переносов и центральных симметрии. Иначе говоря,
два многоугольника S-равносоставлены, если один из них можно
разбить на конечное число частей Мъ Ж2, М3, ..., а другой —
на такое же число частей M'v M'^, М'ъ, ..., причем
многоугольники ML и Мг получаются друг из друга с помощью
параллельного переноса или центральной симметрии; то же справедливо для
М2 и М2, для М3 и М3 и т. д. Оказывается, что справедлива
следующая
Теорема Хадвигера — Глюр а. Любые два
многоугольника, имеющие равные площади, являются S-равносостав ленными.
Из теоремы Хадвигера — Глюра и вытекает, что равновеликие
многоугольники всегда можно разбить на многоугольные части
с соответственно параллельными сторонами; достаточно
заметить, что если два многоугольника получаются друг из друга
с помощью параллельного переноса или центральной симметрии,
то их стороны соответственно параллельны.
1) Определение параллельного переноса см. на стр. 54 кн. IV ЭЭМ,
2) Определение центральной симметрии см. на стр. 54 кн. IV ЭЭЭД,

164 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Заметим, что доказательство теоремы Хадвигера — Глюра
может быть проведено совершенно так же, как и доказательство
теоремы Бойяи — Гервина. Мы уже видели выше, что при
доказательстве лемм 2 и 3 можно обойтись только параллельными
переносами и центральными симметриями. Напротив, в доказательстве
леммы 4 используется поворот фигуры на некоторый угол. Однако,
заменяя это доказательство другим, можно установить лемму 4,
также пользуясь только параллельными переносами и центральными
симметриями. Так же обстоит дело и с остальными леммами,
что и дает доказательство теоремы Хадвигера — Глюра.
Детали доказательств читатель может найти в названной выше книге
В. Г. Болтянского.
2.3. Равносоставленность многоугольников и группы движений.
Дальнейшие относящиеся сюда результаты связаны с понятием
группы движений. Заметим прежде всего, что совокупность всех
параллельных переносов и центральных симметрии является
группой движений] эту группу мы обозначим через S.
Действительно, если каждое из движений dud' является параллельным
переносом или центральной симметрией, то их произведение dd',
а также обратное движение d"1 являются параллельными
переносами или центральными симметриями. Совокупность всех движений
плоскости также, очевидно, является группой движений. Эту
группу мы обозначим через D.
Пусть теперь G—некоторая группа движений, а Л и А'—два
многоугольника. Предположим, что фигуру А нам удалось разбить
на такие части Мъ М2, ...,Mk, а фигуру Л'—на такие части M±,
М2, ...,Mk, что эти части получаются друг из друга с помощью
движений, принадлежащих группе G (т. е. в группе G
имеется движение gu переводящее многоугольник Мх в Ми имеется
движение g2i переводящее М2 в Ж2, и т. д.). В этом случае
многоугольники А к А' называются G-равносоставленными. Например,
если в качестве группы G рассматривается группа 5, то мы
получаем понятие 5-равносоставленности, рассмотренное выше; если
рассматривается группа D, то мы получаем обычное понятие
равносоставленности (D-равносоставленность). Всякие два многоугольника
одинаковой площади D-равносоставлены (теорема Бойяи — Гервина)
и даже 5-равносоставлены (теорема Хадвигера —Глюра). Вообще
же понятие G-равносоставленности можно рассматривать для любой
группы движений G. Например, имеет место предложение,
аналогичное лемме 1: если А и С — два многоугольника, каждый из
которых G-равносоставлен с многоугольником В, то А и С также
G-равносостав лены. (При доказательстве этой леммы существенным
является то, что G есть группа движений, а не произвольная
совокупность движений.)

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
165
Сформулируем теперь следующую теорему (доказанную
В. Г. Болтянским в указанной выше книге):
Теорема. Группа S является наименьшей группой движений,
позволяющей установить равносоставленность любых
равновеликих многоугольников. Иначе говоря, если G есть такая группа
движений, что любые два равновеликих многоугольника G-равно-
составлены, то группа G содержит всю группу S (т. е. содержит
все параллельные переносы и все центральные симметрии).
Интересно еще понятие Г-равносоставленности, основанное на
рассмотрении группы Г всех параллельных переносов. Иначе говоря,
многоугольники Г-равносоставлены, если их равносоставленность
Рис. 33.
может быть установлена с помощью одних только параллельных
переносов. Отметим следующее предложение: выпуклый много-
угольник в том и только в том случае Т-равносоставлен с
квадратом той же площади, если этот многоугольник центрально-
симметричен. Рис. 33 иллюстрирует достаточность
сформулированного условия: центрально-симметричный многоугольник можно
(разбив на части и применяя параллельные переносы) превратить
в несколько параллелограммов, а затем — в квадрат.
§ 3. Равносоставленность многогранников
Основной целью этого параграфа является доказательство
теоремы Дена о неравносоставленности куба и правильного тетраэдра.
В доказательстве используются остроумные идеи, принадлежащие
Г. Хадвигеру.
3.1. Теорема Хадвигера. Мы начнем с некоторых
алгебраических рассмотрений. Пусть ах, а2, ..., ak — какие-либо
действительные числа. Будем говорить, что эти числа зависимы, если
можно найти такие, не все обращающиеся в нуль, целые числа
nv nz,...,nk, что имеет место соотношение
пхаг + я2а2 + ... + nkak = °- 0)

166 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Соотношение (1) будем называть зависимостью. Подчеркнем еще
раз, что все числа пъ п2, ..., nk предполагаются целыми
(положительными, отрицательными или равными нулю), причем среди них
обязательно должны быть числа, отличные от нуля.
Между одними и теми же числами могут существовать
различные зависимости. Возьмем, например, числа 1,]/2—1,31/2 + 1,
2 "j/2. Легко проверить, что между этими числами имеются
следующие зависимости:
2-1 + 1 (у?-1>+(-1) (31/2+1) + 1.21/2 = 0,
4-1 +3(1/2-1) + (-1) (31/2+ 1) + 0.21/2 = 0,
0.1+(-1) (1/2- 1) + (— 1) (31/2+ 1) + 2.21/2 = 0.
Заметим, что два несоизмеримых числа aL и а2 (т. е. два
отличных от нуля числа, отношение которых иррационально) не
могут быть зависимыми. Действительно, из существования
зависимости пха± + п2а9 = 0 вытекло бы, что частное — равно отношению
а2
По
двух целых чисел, т. е. рационально.
Предположим теперь, что каждому из чисел а1? а2, ...,ал
поставлено в соответствие еще одно число:
числу аг поставлено в соответствие число /(ах),
» а2 » » » » /(а2),
» ak » » » » f(ak).
Будем говорить, что числа /(ах), /(а2), ..., f(ak) образуют
аддитивную функцию1), соответствующую числам аъ а2, ..., ak,
если они обладают следующим свойством: для каждой зависимости
/г1а1 + /г2а2+ ... -\-nkak = 0, существующей между числами аь а2,
.. ., ak, точно такая же зависимость имеется и между числами
/(«i), /Ы» ..../(«*)» т. е. n1f(a1) + n2f(a2)+...+nkf(ak) = 0.
В остальном же числа /(ах), /(os2), ...,/(a^,) могут быть
какими угодно.
г) С современной точки зрения имеем функцию, если каждому
элементу некоторого множества поставлен в соответствие (по некоторому
правилу) определенный элемент другого множества. Так, ставя в соответствие
каждому действительному числу х число sin л:, мы получаем функцию (синус);
ставя в соответствие каждому целому положительному числу наибольший
его простой делитель, мы получаем функцию; ставя в соответствие числам
«if • • • > <*? некоторые другие числа / (ах), .. . , / (а^)* мы также имеем
функцию.

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 167
Возьмем для примера числа ах = 1, а2 = ]/"5. Так как эти числа
несоизмеримы, то между ними никакой зависимости не существует.
Поэтому не требуется никакой зависимости и между числами f\a±)
и /(а2), т. е. для получения аддитивной функции можно выбирать
числа /(1) и /(У5 ) совершенно произвольно. Если же взятые
числа окажутся зависимыми, то значения аддитивной функции
также должны быть связаны зависимостями^
Пусть, наконец,
«1, Оа, • • •, «л (2)
— все внутренние двугранные углы некоторого многогранника Л,
выраженные в радианах, а /х, /2, ...,/# — длины ребер,
соответствующих этим двугранным углам (рис. 34).
Если выбрана некоторая аддитивная функция
/К), /(ос2), ...,/Ю (3)
для чисел (2), то сумму
/i/K) + '2/(02) + • • • + '*/(«*) (4)
мы обозначим через f(A) и будем
называть ее инвариантом многогранника А.
Инвариант f(A) зависит не только от
выбора самого многогранника Л, но также и от
выбора аддитивной функции (3). Теперь мы
можем сформулировать следующую теорему.
Теорема Хадвигера. Даны два многогранника А и В,
имеющих одинаковый объем. Обозначим через аъ ос2, .. ., ар все
внутренние двугранные углы многогранника А, выраженные
в радианной мере, а через рь Р2, ..., §q — все внутренние
двугранные углы многогранника В. К числам av a2, ..., а ,
Pi» Рг> • • •» §q присоединим еще число п. Если для полученной
системы чисел
я, а1э а2, ..., ар рх, р2, ..., р^ (5)
можно подобрать такую аддитивную функцию
/(я), /(ах), /(«,), ...,/(«,), /(Рх), /(р,), ...,/(р,), (6)
что выполнено соотношение
/И = 0, (7)
а соответствующие инварианты многогранников А и В
неодинаковы:
/(А)Ф/(В), (8)
то многогранники А и В не равно со ставлены.

168 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Доказательство теоремы Хадвигера мы рассмотрим ниже (стр. 170),
а сейчас покажем, как из нее вытекает теорема Дена о
неравносоставленности куба и правильной пирамиды.
3.2. Теорема Дена. Докажем прежде всего следующую лемму,
с помощью которой легко установить (на основании теоремы
Хадвигера) справедливость теоремы Дена.
Лемма 6. Число ф = агссоБ^- неизмеримо с я, т. е. не су-
ществует никакой зависимости
#1ф + #2я~0 (9)
с целыми, отличными от нуля коэффициентами пъ п2.
Доказательство проведем методом «от противного». Допустим,
что имеет место соотношение (9), в котором пхф0. Мы можем
считать, что п1>0 (иначе можно было бы в соотношении (9)
изменить знаки на обратные). Так как п^ — — п2п есть
целочисленное кратное угла я, то cos/^ф равен или + 1, или —1> т- е-
является целым числом. Это утверждение мы и приведем к
противоречию. Именно, мы покажем, при каком целом ky>0 число соб&ф
не является целым.
На основании теоремы сложения, известной из курса
тригонометрии, мы можем написать:
cos (k -f> 1) ф = cos (&ф -f- ф) ~ cos &ф cos ф — siii &ф sin ф,
cos (k — 1) ф = cos (&ф — ф) = cos &ф cos ф + sin &ф sin ф.
Складывая эти два равенства, получаем: cos(&+ 1)ф + соз(&
= 2 cos &ф cos ф, или
2
cos (k -f- 1) ф = y cos &ф — cos (? — 1) ф
(так как со$ф= 1/3).
Покажем (с помощью метода полной математической индукции),
что число cosfop выражается дробью, знаменатель которой равен
3й, а числитель не делится на 3; отсюда и будет следовать, что
число cosfop при &>0 не является целым. Для k= 1 и k = 2
это утверждение непосредственно проверяется соэф — -^-, соз2ф =
2 7
= 2со52ф — 1==-q—1= q-- Предположим, что для всех чисел
1, 2, .. ., k наше утверждение доказано, и докажем его для числа
k-\-\. Согласно предположению индукции, имеем: cos&p = -r,
о
cos (k—1)ф = —--, где а и b — целые числа, не делящиеся на 3.
1)Ф=
(10)

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 169
Отсюда на основании равенства (10) получаем: cos(^+l)9,==
2 а Ь 2а—9Ь „ 0
= ^ — =—-—. Так как число а и число 2 не делятся
3 з* Ък"г З**1
на 3, то числитель 2а— 9Ь также не делится на 3. Индукция
проведена.
Теорема Дена. Куб и правильный тетраэдр, имеющие
одинаковый объем, не равно состав лены.
Доказательство. В правильной треугольной пирамиде
ABCD опустим из точки D высоту DE (рис. 35). Точка Е является
центром равностороннего треугольника ABC,
так что отрезок AF, проходящий через
точку Е, есть медиана. Поэтому F—
середина ребра ВС, а отрезок DF является
медианой треугольника BCD. Отрезок EF
составляет третью часть медианы AF или
медианы DF, т. е. EF:DE=\:3. Иначе
говоря, обозначив через ф угол F прямоуголь- ^
ного треугольника DEF (т. е. двугранный
угол тетраэдра ABCD), мы найдем:
cos ф= 1/3. (П)
Теперь применим теорему Хадвигера. Рис. 35.
Каждый двугранный угол куба А равен — ;
двугранный угол правильного тетраэдра В мы обозначили через ф.
Поэтому числа (5), о которых идет речь в теореме Хадвигера,
здесь будут следующими:
я, -J-, ф. (12)
Найдем, какие зависимости существуют между этими числами.
Пусть имеется зависимость
rtitt + /z2-7r + /^=0, (13)
где пх, п2, п3 — целые числа. Тогда (2л1 + /г2) я + 2/г3ф = 0, т. е.
мы получаем зависимость между числами я и ф. Но такой
зависимости с ненулевыми коэффициентами не существует, так как,
в силу леммы 6, угол ф несоизмерим с я (см. (11)). Поэтому
2п1-\-п2~0, п3 — 0 и соотношение (13) принимает вид
п1п + {—2п1)^0. (14)
Других зависимостей между числами (12) нет.
Положим:
/(я)=/(т)=0' /(Ф)=1- (15>

170 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Это дает аддитивную функцию, определенную для чисел (12).
Действительно, для любой зависимости между числами (12), т. е.
для соотношения (14), мы имеем аналогичную зависимость между
числами (15): ntf{n) + (—2n1)f(n/2) = Q.
Итак, мы получили аддитивную функцию, заданную для чисел
(12) и удовлетворяющую соотношению (7). Остается установить
соотношение (8), и неравносоставленность куба и пирамиды будет
доказана.
Куб А имеет 12 ребер. Обозначим длину его ребра через /.
Тогда инвариант /(Л) имеет для куба А значение /(А) = 12//(я/2) = 0
(см. (15)). Длину ребра правильной пирамиды В обозначим через т.
Тогда инвариант f(B) пирамиды В примет вид /(В) = 6mf (ф) =
= 6тф0 (см. (15)). Таким образом, /(А)Ф/(В), и потому куб
А и пирамида В не являются равносоставленными. Теорема Дена
доказана.
3.3. Доказательство теоремы Хадвигера. Остается доказать
теорему Хадвигера. К ее доказательству мы и переходим.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 7. Пусть
«и а2> ..., ак (16)
и
Yi> Y2» -.-iY* 07)
— действительные числа, а
/(«!), /К), ...,/(<%*) (18)
¦—аддитивная функция для чисел (16). Тогда можно подобрать
такие числа
/(Yi), /(Y«), ¦•-,/№)¦ (19)
что числа (18) и (19) образуют аддитивную функцию для чисел
(16) и (17) вместе взятых. Иначе говоря, аддитивную функцию
для чисел (16) можно дополнить до аддитивной функции для
чисел (16), (17).
Достаточно рассмотреть случай, когда к числам (16)
добавляется только одно число y (так как числа (17) можно добавлять
не все сразу, а одно за другим). Итак, задана аддитивная
функция (18) для чисел (16) и, кроме того, дано число у. Мы должны
подобрать такое число /(у), что система чисел
/К),/К). ••.,/(«*), /(Y) (20)
будет представлять собой аддитивную функцию для чисел
а1э а2, ..., ал, у. (21)
Рассмотрим два случая.

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
171
Случай 1. Между числами (21) не существует никакой
зависимости пхаг + п2а2+ . . . + nkak+ny = 0, в которой
коэффициент п при числе у был бы отличен от нуля. Иначе говоря,
число у ни в одну зависимость не входит. В этом случае число
/(у) никакими условиями не связано, т. е. за f(y) можно принять
любое действительное число.
Случай 2. Между числами (21) имеется зависимость, в
которую входит число у:
ПгОц + п'2а2 + -.. + nkak + п'у = 0, п* ф0. (22)
В этом случае мы определим число f(y) из соотношения
n'1f(a1) + n'2f(a2)+... +n'kf(ak) + n'f(y) = 0, (23)
т. е. положим:
Покажем, что таким путем мы получаем аддитивную функцию для
чисел (21). Пусть
п1а1 + п2а2 + ... + nkak + пу = 0 (24)
— какая либо зависимость между числами (21) (отличная от
зависимости (22) или совпадающая с ней). Мы должны показать, что
такая же зависимость имеется и между числами (20), т. е. что
имеет место соотношение
"х/К) + л2/(а2)+ ... +л*/(аА) + л/(у) = 0. (25)
Покажем это. Умножим соотношение (24) на пг и вычтем из него
соотношение (22), умноженное на л: (п'пх — ппг) ai -f- {n'n2 — пп2) а2+
+ ... + (n'nk — nnk)ak — 0. Мы получаем зависимость между
числами (16), и так как (18) есть аддитивная функция для этих чисел,
то имеет место соотношение [п,п1 — ^/г3)/(а1) + (/г//г2 — пп2)/(а2) +
+ ... +(n'nk — nnk)f(ak) = 0. Прибавив к этому соотношению
равенство (23), умноженное на я, найдем: /г'/^/^) -\-n'n2f(a2) + ... +
+ n'nkf(ak) + n'nf(y) = 0. Наконец, сокращая это равенство на
число п' ф0у мы и получим (25). Таким образом, числа (20) дают
нам аддитивную функцию.
Лемма 8. Пусть А —многогранник, произвольным образом
разбитый на конечное число меньших многогранников Ml7 M2i ...,
..., Mk, Обозначим через
аг, а2, ..., ар (26)
все двугранные углы многогранника Л, а через
Yi> Y2J •••> У г (27)

172 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
— все двугранные углы всех многогранников Мх, Af2, ..., Mk.
Присоединим к числам (26) и (27) еще число я и предположим,
что для полученной системы чисел
я, а1у а2, ..., ар, yv y2, ..., уг (28)
задана аддитивная функция /(я), /(ах), /(а2), ..., /(ая),
/(Yi)> /(Y2K • • •» /(Yr)» удовлетворяющая условию
/(я) = 0. (29)
Тогда инварианты /(Л), /(Л^), /(Af2)> •••> /(^л)
рассматриваемых многогранников связаны соотношением
/(А) =/{Мг) +f(M2) +... +f(Mk). (30)
Для доказательства рассмотрим все отрезки, являющиеся
ребрами многогранников Л, Мг, Ж2> ..., Mk. Отметим на этих
отрезках все точки, являющиеся вершинами многогранников Л, Mv
Рис. 36.
Ж2, ..., Mk, а также все точки, в которых пересекаются ребра
между собой. Тогда мы получим конечное число более мелких
отрезков. Эти более мелкие отрезки будем (следуя В. Ф. Кагану)
называть звеньями. На рис. 36 изображено разбиение куба на
многогранники; ребро куба, обозначенное на этом рисунке через
/х, состоит из трех звеньев т±, т2, т3. Вообще,, каждое ребро
каждого из многогранников Л, М1э М2, ..., Mk состоит из одного
или нескольких звеньев. Каждое звено многогранника Л (т. е.
звено, лежащее на одном из ребер многогранника Л) является
также звеном одного или нескольких многогранников Мг, М2, ..., Mk.
Возьмем какое-либо звено многогранника Л, и пусть т — его длина,
а а — соответствующий двугранный угол многогранника Л. Тогда
а есть одно из чисел (26), и потому определено число /(а).
Произведение mf(a) назовем весом рассматриваемого звена в много-

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
173
граннике А. Точно так же определяются веса звеньев в
многогранниках М17 М2, ..., Mk. Заметим, что одно и то же звено
может иметь разный вес в различных примыкающих к этому звену
многогранниках: ведь эти примыкающие многогранники могут иметь
различные углы при этом звене.
Возьмем теперь все звенья многогранника Л, найдем их веса
в многограннике Л и составим сумму всех этих весов. Нетрудно
видеть, что эта сумма равна инварианту /(А) многогранника А.
Действительно, рассмотрим ребро \ многогранника Л, и пусть
оно состоит, например, из трех звеньев, имеющих длины /ях, w2, m3
(см. рис. 36). Тогда каждому звену тг, т2, т3 соответствует
в многограннике А один и тот же двугранный угол ах, а именно
двугранный угол при ребре /х. Поэтому сумма весов звеньев
Щ,Щ, Щ равна m1f{a1) + m2f{a1) + mdf(a1) = (т± + m2 + ms)f(a1) =
= /1/(а1). Точно так же сумма весов всех звеньев, из которых
состоит ребро /2 многогранника Л, равна /2/(а2) и т- Д- Поэтому
сумма весов всех звеньев многогранника А равна инварианту f(A)
многогранника А.
Совершенно так же, инвариант каждого из многогранников
М±, М2, ...,Mk равен сумме весов всех его звеньев (конечно,
вес каждого звена вычисляется в рассматриваемом многограннике).
Теперь уже нетрудно установить справедливость
соотношения (30). Для вычисления суммы, стоящей в правой части этого
соотношения, нужно взять сумму весов всех звеньев по всем
многогранникам Mv М2, ...,Mk. Найдем, с каким коэффициентом
будет входить в эту сумму некоторое звено т. Обозначим все
двугранные углы многогранников Мх, М2, .. ., Mk, примыкающие
к звену т, через у{, Y/> •••>Y.y (эти величины содержатся среди
чисел (27)). Тогда вес рассматриваемого звена в многограннике
с двугранным углом у( равен rnf{yi)\ вес его в многограннике
с двугранным углом Yy равен mf(yj) и т. д. Таким образом, сумма
весов звена т по всем тем многогранникам Мг, М2, ..., Mki
которые примыкают к этому звену, равна
mf{yi) + mf{yj)+ ... +mf(ys). (31)
Все звенья можно разбить на три группы.
1) Звенья, которые целиком (кроме, может быть, концов)
расположены внутри многогранника А. Если т есть такое звено и
если каждый из многогранников Мъ М2, ...,Mk,
примыкающих к отрезку т, имеет этот отрезок своим звеном, то
двугранные углы примыкающих к звену т многогранников образуют
в сумме полный угол (рис. 37, а; на этом рисунке, так же как и
на рис. 37, б, 38, 39, а, 39, #, изображено сечение многогранника
А и многогранников, примыкающих к отрезку т, плоскостью,
перпендикулярной к звену т\ само звено т изображено на этих

174 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
рисунках одной точкой R). Таким образом, в этом случае Y/ + Y/ +
. . . -f ys = 2я, или у? + Y/ + • • • ~f Ys~~ 2я = 0. Это есть зависимость
между числами (28), и потому имеем: f(y{) +/(Y/)+ • • • +f(Vs) —
— 2/(я) = 0. Согласно (29), мы получаем отсюда /(Y/)+/(Yy)+
+ ••• -b/CYs) — ^ и выражение (31) обращается в нуль.
Если же т есть звено, расположенное внутри многогранника Л,
но один из многогранников М^ М2, ...,Mk, примыкающих к
отрезку т, не имеет его своим звеном (т. е. отрезок т расположен
Ф
Рис. 37.
внутри грани одного из многогранников М19 М2, ..., Mk), то
двугранные углы остальных примыкающих к отрезку т
многогранников составляют в сумме развернутый угол (рис. 37, б), т. е.
Y/ + Y/ + • • • +Y.J —п- Отсюда, как и выше, вытекает, что
выражение (31) обращается в нуль.
Таким образом, звенья, расположенные внутри многогранника Л,
можно при вычислении правой части равенства (30) не учитывать
(для них сумма весов равна нулю) х).
2) Звенья, расположенные на гранях многогранника Л, но не
на его ребрах. В этом случае Y/ +Y/+• • •+Y.?—л (Рис- 38)
и выражение (31), так же как и в предыдущем случае, обращается
в нуль.
3) Остается рассмотреть звенья, лежащие на ребрах
многогранника Л. В этом случае сумма Y/ + Y/ + • • • +Y* Равна или двугран-
х) Если два многогранника, примыкающих к отрезку ш, не имеют
его своим звеном, т. е. если отрезок т лежит внутри граней двух
примыкающих друг к другу многогранников, то только эти два многогранника и
примыкают к отрезку т, так что этот отрезок не лежит ни на одном ребре
многогранников Mlt M2, ..., М^ и потому не является звеном.

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
175
ному углу а соответствующего ребра: Y/ + Y/+• ..+Y.? = a
(рис. 39, а), или углу а —я (т. е. Yi + Y/+• • •+Yj = a —я; это
может случиться, если угол а — тупой, см. рис. 39, б). В обоих
случаях имеем: /(Y/)+/(Y/)+ • • • +/(Y$)==/(a)» и выражение (31)
оказывается равным /и/(а), т. е. весу
рассматриваемого звена в
многограннике А. Итак, сумма, стоящая в правой
части соотношения (30), равна сумме
весов всех звеньев многогранника Л, т. е.
равна инварианту f(A).
Доказательство теоремы
Хадвигера. Допустим, что
многогранники А и В равносоставлены, и пусть М1}
М2, ..., Мп—такие многогранники, из
которых можно составить как Л, так и В,
Все внутренние двугранные углы всех
многогранников М±, Мг, ..., Мп
обозначим через Yi> Y2» •••» У г Согласно
лемме 7, аддитивную функцию (6), заданную для чисел (5), можно
дополнить числами /(Yi), /(Y2)» • • •> /(Yr) так> что мы получим
аддитивную функцию для чисел я, ах, а2, ..., ар, рх, |32, ...,
Рис. 38.
Рис. 39.
Р#> Yi» Y2> •••> У г (Эта аддитивная функция по-прежнему
удовлетворяет условию (7)). Так как многогранник А составляется из
многогранников М1? М2, ..., Мю то (лемма 8) инвариант f(A) имеет
значение f{A)=f(M1)+f(M2) + ... +f(Mn). Но многогранник В
также составляется из Мъ М2, ..., Мю и потому f(B)==f(M1) +
+ /{Щ + ••• +f(Mn). Таким образом, /(Л)=/(В), что
противоречит соотношению (8). Итак, мы видим, что предположение

176 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
о равносоставленности многогранников А и В приводит к
противоречию.
Тем самым теорема Хадвигера и вместе, с ней теорема Дена
полностью доказаны.
3.4. Независимость аксиом (а) — (6) для площадей и объемов.
Методы, использованные при доказательстве теорем Дена и
Хадвигера, тесно связаны с вопросом о независимости1) для
площадей (или объемов). Рассмотрим вопрос о независимости этих
аксиом для площадей многоугольников. Для установления
независимости каждой из аксиом (а) — (б) от остальных нужно для каждой
из аксиом построить такую «модель площади», которая этой
аксиоме не удовлетворяет, но удовлетворяет всем остальным
аксиомам.
Проще всего построить такую модель для аксиомы (б): положив
$* (М) = 4s (М) для любого многоугольника М (где s означает
обычную площадь, удовлетворяющую аксиомам (а) — (б)), мы получаем
модель $*, очевидно, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (б).
Эта модель, очевидно, равносильна введению новой единицы
площади,— для $* единицей площади являетхя квадрат со сторо-
ной 1.)
Без труда строится и модель, показывающая независимость
аксиомы (($): положив s**(M) = l для любого многоугольника,
мы получаем модель s**, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (Р).
Сравнительно просто строится и модель, показывающая
независимость аксиомы (у). Проведем на плоскости некоторую прямую /,
которую будем называть
«горизонтальной». Прямая / разбивает
плоскость на две полуплоскости, одну
-I из которых условимся называть
«верхней», а другую — «нижней».
Пусть теперь М— произвольный
многоугольник, заданный на
плоскости. Прямая / разбивает его на
Рис. 40. две части: часть МВ1
расположенную в «верхней» полуплоскости, и
часть Жн, расположенную в «нижней» полуплоскости (рис. 40).
Мы положим: 5*** (Ж) = s(MB) + 2s(Mn)1 где 5 означает обычную
площадь. Если многоугольник М целиком расположен в «верхней»
полуплоскости, т. е. М=МВ, то $*** (М) = s (Ж), а если он
расположен в «нижней» полуплоскости, то s***(M) = 2s(M). Без труда
г) О понятии независимости аксиом и используемом ниже понятии
модели см. статью «Аксиомы и основные понятия геометрии» в кн. IV ЭЭМ.

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
177
проверяется, что построенная модель s*"~ удовлетворяет всем
аксиомам, кроме (у) (аксиоме (б) удовлетворяет любой квадрат со
стороной 1, лежащий целиком в «верхней» полуплоскости).
Остается рассмотреть вопрос о независимости аксиомы (а).
Доказательства этой независимости мы не можем в этой статье привести полностью,
так как это доказательство существенно неэлементарно. Однако
основную идею такого доказательства (тесно связанную с методами,
примененными при доказательстве теорем Хадвигера и Дена) мы изложим.
Обозначим через Мг какой-либо квадрат со стороной, равной 1, а через
М2— некоторый прямоугольник, имеющий иррациональную площадь,
например прямоугольник со сторонами 1 и ]/~5. Так как числа
s(Mx) = l и s(M2)=j/T (32)
несоизмеримы, то (ср. стр. 167), положив
if(s(Afx)) = l, ?(s(M2))=-l, (33)
мы получаем аддитивную функцию для чисел (32). Пусть теперь
М3—произвольный многоугольник. По лемме 7 можно подобрать такое число / (s (М3)),
чтобы числа /(s(Mx)), /(s(M2)), / (s (M3)) составили аддитивную функцию
для чисел s(Mx), s(Af2), *>{М3). Выбрав теперь еще один (какой угодно)
многоугольник М4, мы сможем (опять по лемме 7) выбрать число f(s(M4)),
образовав аддитивную функцию /^(Л^)), /(s(M2)), /(s(M3)), f(s(M4))
для чисел s (Mx), s (M2), s(M3), s {M4). Продолжая выбирать
многоугольники М( и находить числа /(s(M/)), мы получим некоторую
последовательность многоугольников Mi, М2, М3,... и две последовательности чисел
8(Ml), s(M2), s(M3), ...; (34)
ЖЛ*!)), f(s(/M2)), f(s(M3)), ... (35)
Эти последовательности обладают тем свойством, что для любого
конечного набора чисел, выбранных из верхней последовательности,
соответствующие числа нижней последовательности образуют аддитивную функцию.
В этом случае мы будем говорить, что последовательность (35) является
аддитивной функцией для последовательности (34).
Многоугольниками Мь М2, ..., Мп, ... не исчерпываются все
многоугольники плоскости. Выберем какой-нибудь многоугольник, не вошедший
в эту последовательность, и обозначим его через М^. Теперь подберем
число f{s{M^) таким образом, чтобы последовательность f(s(Mi))t
f(s(M2)), ..., f(s(Mn))> ..., /(s(MJ) была аддитивной функцией для
последовательности s(M1)1 s(M2), ..., s(Mn), ..., s (Мш), т. е. чтобы
(для любых номеров ilt ..., ik) числа /(s(M/t)), /(s(M/,)), ..., f(s(Mj)),
f (s (Мю)) составляли аддитивную функцию для чисел s (M/J, s (Mz-2), ...
..., 8(М{), 5(МШ). Возможность такого выбора числа /(5(МШ)) вытекает
из леммы 7 (правда, в лемме 7 речь шла о конечном множестве чисел,
а в последовательностях (34), (35) их бесконечно много; однако, как
нетрудно проверить, лемма 7 и ее доказательство остаются справедливыми
и в этих условиях). Теперь выберем еще многоугольник Мш+1 и такое число
/(5(Мш+1)), чтобы последовательность f(s(M1))9 f(s(M2)), ..., f(s{MJ),
f (siM^+i)) была аддитивной функцией для последовательности s(Mx)y
s(M2), ..., s(MJ, s(Alw+1). Затем мы выберем Мш+2 и /(s(M +2)),
т. д. В результате мы получим две последовательности: sfMi), s (M2), ...
..., s(MJ, s(M„+1), 5(Мш+2), ...; /(s(Mx)),/(s(M2)), ..., f(s(MJ)f
/(5(Мш+1)), /(5(Мш+2)), .,., вторая из которых является аддитивной
функцией для первой.

178 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Многоугольниками Mlt М2, ..., Мш, Мш+1, Мш+2, ... снова не
исчерпываются все многоугольники плоскости. Возьмем какой-либо не вошедший
в эту последовательность многоугольник и обозначим его через Мф2. Далее
выберем число f(s(Mw2)) так, чтобы числа f(s(M1)), /(s(M2)), •••
• ••. f(s(MJ), ftsfM^+J), ..., f(s(M^)) образовали аддитивную
функцию для последовательности s(Мх), s(M2), ..., 8(Л4Ш), s(Mw+1), ...
..., siM^).
Таким образом мы можем продолжать все дальше и дальше. После
построения многоугольников Мъ М21 ..., Мш, Мш+1, М^.,, ..., Мш2,
..., Мш6, ... мы выберем какой-либо не встретившийся в этой
последовательности многоугольник и обозначим его через Мш2, затем Мц)з+1,
Мш2+2, ..., Мш2+Ш, Мю»+С|)+1,
Так мы будем «нумеровать» многоугольники все далее и далее. Можно
ли таким путем перенумеровать все многоугольники плоскости? Допустим,
что нам это удастся сделать. Тогда мы расположим все многоугольники
плоскости в последовательность
Mlt М2, ..., М„, ... Мю*9 ..., Мшз, М^, (36)
и для каждого многоугольника М будет определено соответствующее число
f (s (M)), причем последовательность
f(s(MJ), f(s(Mt)), ..., /(s(MJ), ff(s(M^)9 (37)
будет аддитивной функцией для последовательности чисел
5(Мг), 8(Мг), ..., S(MJ, 8(МЮ*)9 (38)
Положим теперь s* *** (М) = f (s (M)) для любого многоугольникам.
Нетрудно понять, что s**** есть модель площади, удовлетворяющая
аксиомам (Р)—(6). Действительно, если многоугольник М разбит на два
многоугольника ЛГ, М", то
s(M) = s(M') + s(M") (39)
в силу (р); так как последовательность (37) является аддитивной функцией
для последовательности (38), то из зависимости (39) вытекает зависимость
f(s(M)) = f(s(M')) + f(s(M")) (ведь многоугольники М, М', М" где-то
встречаются в последовательности (36)), т. е. s****(M) = s****(M') +
-j-s****(M"). Таким образом, функция s**** удовлетворяет аксиоме (Р).
Аналогично, если многоугольник М равен многоугольнику N, то s (M) = s(N)
(в силу (у)); поэтому f (s(M)) = f (s(N)), т. е. функция s**** удовлетворяет
аксиоме (у). Удовлетворяет она и аксиоме (б) (см. (33)). Аксиома же (а)
не выполняется, так как s**** (М2) < О (см. (33)).
Итак, если бы удалось «перенумеровать» все многоугольники плоскости,
то независимость аксиомы (а) была бы доказана. Остается заметить, что
в математике доказывается возможность «перенумеровать» элементы
любого множества символами
1, 2, ... со, со + 1, ... со2, ... соЗ, со2, со2 + 1, ..., со2 + со,
Эти символы называются трансфинитными числами, а метод доказательства,
заключающийся в переходе от уже рассмотренных трансфинитных чисел
к большим, называется трансфинитной индукцией. Точное определение
трансфинитных чисел и трансфинитной индукции (и на основе этого
завершение доказательства независимости аксиомы (а)) неэлементарно и не
может быть приведено в данной статье. Для читателя, знакомого с
трансфинитными числами, завершение изложенного доказательства не
представляет никакого труда.

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
179
Наконец, сделаем несколько заключительных замечаний в связи
с приведенным доказательством.
а) Соотношение $**** (М2) = — 1 (см. (33)) показывает, что
формула площади прямоугольника не может быть выведена
только из аксиом (Р) — (б) (без «неэлементарной» аксиомы (а)), ибо
величина 5**** удовлетворяет аксиомам (Р)—(б), и потому всякое
рассуждение на основе аксиом (Р) — (б) должно быть одинаково
справедливо как для площади s, так и для величины 5****.
б) Совершенно аналогичное доказательство может быть
проведено для объемов многогранников в пространстве. В частности,
формула объема прямоугольного параллелепипеда не может быть
выведена из аксиом (Р) — (б).
в) Весьма интересно следующее видоизменение изложенного
доказательства. Обозначим через М1 куб с ребром 1, а через М2 — правильный
тетраэдр того же объема. Далее расположим все многогранники
пространства в трансфинитную последовательность:
Мъ М2, ..., Мш, А*ш+1, ..., Мш2, ... Мш3, Мт*, (40)
Теперь с помощью формулы (15) определим аддитивную функцию для
чисел (12). Соответствующий инвариант удовлетворяет соотношениям
f(M1) = 0, f(M2)^0 (41)
(см. стр. 170). Теперь присоединим к величинам (12) еще все двугранные
углы alt ..., as многогранника М3 и числа (15) дополним до аддитивной
функции для чисел Jt, jt/2, ср, alt ..., as (с помощью леммы 7). Это дает
возможность найти инвариант / (М3)- Затем мы добавим еще все двугранные
углы многогранника М4, и т. д. В результате трансфинитной индукции по
последовательности (40) мы определим значение инварианта / (М) для любого
многогранника М. Из леммы 8 вытекает, что величина f (M) удовлетворяет
аксиоме (Р):
Если многогранник М разбит на две части М' и М", то
f(M)=f(M') + f(M"). (42)
Удовлетворяет инвариант f (M) и аксиоме (у):
Если M*=N, то f(M) = f(N). (43)
Положим теперь для любого многогранника М: v* (M) — v (M) + f (M),
где v означает обычный объем (удовлетворяющий аксиомам (а) — (б)). Тогда
величина v* (M) удовлетворяет аксиомам ф) — (б) (см. (41), (42), (43)). В то
же время
v* (М2) ф v (М2) (44)
(см. (41)). Далее из соотношения /( —|=0 (см. (15)) вытекает, что если
М — прямоугольный параллелепипед, то /(М) = 0, и потому у* (M) — v (M).
Итак, величина v* удовлетворяет аксиомам (Р) — (б), а для прямоугольных
параллелепипедов совпадает с обычным объемом. В то же время для
правильного тетраэдра М2 имеет место соотношение (44). Следовательно,
справедлива следующая теорема:
Пользуясь аксиомами (Р) — (6) и формулой объема прямоугольного
параллелепипеда, невозможно вычислить объем правильного тетраэдра.

180 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
Эта теорема (из которой, очевидно, вновь следует теорема Дена)
показывает, что метод разбиения, метод дополнения и вообще любой другой
«элементарный» метод (т. е. основанный на аксиомах (р) — (6)) бессильны
вывести формулу объема тетраэдра, и потому для этой цели необходимо
привлечение метода исчерпывания, метода пределов или какого-либо иного
«неэлементарного» метода (использующего аксиому (а)).
ЛИТЕРАТУРА
[I] В. Г. Болтянский, Равновеликие и равносоставленные фигуры,
М., Физматгиз, 1956.
Популярная брошюра, широко освещающая круг вопросов,
затронутых в настоящей статье.
[2] В. Ф. Каган, О преобразовании многогранников, в книге того же
автора «Очерки по геометрии», М., изд. Московского университета;
1963, стр. 156—194.
В этой превосходной статье излагается доказательство теоремы
Дена, содержащей необходимое условие о равносоставленности
многогранников. В первой части статьи доказывается также теорема Бойяи —
Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников.
[3] В. Г. Болтянский, Новые работы о равносоставленности
многоугольников и многогранников, в разделе «Новости математической науки»
сборника «Математическое просвещение», вып. 2, 1957, стр. 263—265.
Обзор работ Г. Хадвигера, Ж.-П. Зидлера, П. Глюра.
[4] Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М Яглом, Избранные
задачи и теоремы элементарной математики, ч. 3, М., Гостехиздат, 1954.
Сборник задач повышенной трудности по стереометрии,
сопровождаемых подробными решениями. Книга завершается циклом задач
«Разрезание и складывание фигур», включающим также тему «равно-
великость и равносоставленность».
[5] Н. Н a d w i g е г, Vorlesungen fiber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie,
Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1957 (Г. Х а д в и г е р, Лекции об объеме,
площади поверхности и изометрии; русский перевод готовится к печати
изд. «Наука»).
Серьезная монография видного швейцарского геометра, в
значительной степени основанная на оригинальных работах самого Хадвигера
и его школы. В книге весьма широко освещен круг вопросов,
связанных с темой настоящей статьи.
См. также статью И. М. Яглом а [5], указанную в списке
литературы к статье «Площадь и объем».

ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Определение и основные свойства 182
1.1. Определение. Примеры 182
1.2* Граница выпуклей фигуры 185
1.3. Опорные прямые и плоскости 187
§ 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур .... 195
2.1. Диаметр выпуклой фигуры 195
2.2. Ширина выпуклой фигуры. Фигуры постоянной ширины . . . 197
2.3. Описанные и вписанные окружности 200
2.4. Расстояние между выпуклыми фигурами 202
§ 3. Выпуклые многоугольники и многогранники 207
3.1. Пересечение выпуклых фигур 207
3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники 209
3.3. Выпуклая оболочка множества 212
3.4. Выпуклые многоугольники и многовершинники 213
3.5. Строение выпуклой оболочки 215
§ 4. Периметр, площадь, объем 219
4.1. Сложение выпуклых фигур 219
4.2. Отклонение 222
4.3. Сходящиеся последовательности выпуклых фигур 223
4.4. Теорема Бляшке 226
4.5. Периметр, площадь, объем 228
4.6. Периметр и площадь суммы выпуклых фигур 237
§ 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах 239
5.1. Основные свойства 239
5.2. Выпуклые многогранники 240
5.3. Выпуклые многовершинники 241
5.4. Строение выпуклой оболочки 245
5.5. Объемы 246
§ 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии 247
6.1. Теорема Хелли 247
6.2. Чебышевские приближения 251
6.3. Теорема Минковского 256
6.4. Теорема Блихфельда , 261
6.5. Задачи о разбиении выпуклых фигур на части 263
Литература 267

182
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
§ 1. Определение и основные свойства
1.1. Определение. Примеры. Чаще всего в геометрии
рассматривают связные фигуры, т. е. такие, что каждые две точки фигуры
можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре.
При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной
(рис. 1). Естественно выделить класс фигур, для
которых в качестве линии, соединяющей две ее
точки Л, В, всегда можно выбрать самую
простую линию — прямолинейный отрезок ЛВ.
Такие фигуры называются выпуклыми.
Определение. Фигура F называется
выпу к л о а, если вместе с каждыми двумя
точками Л, В она целиком содержит и весь
отрезок ЛВ.
Примеры выпуклых фигур показаны на рис. 2;
на рис. 3 изображены некоторые невыпуклые
фигуры. Фигуры, изображенные на рис. 2, являются
ограниченными (т. е. каждая из них может
быть целиком заключена в круг некоторого
радиуса). Существуют также и неограниченные выпуклые фигуры,
например: полоса, полуплоскость, угол (меньший 180°) и др. (рис. 4).
Ясно, что вся плоскость также представляет собой выпуклую фигуру.
Кроме плоских можно рассматривать также
пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми
телами, см. стр. 191). Примерами могут служить тетраэдр,
параллелепипед, шар, шаровой слой, конус, цилиндр, эллипсоид (рис. 5).
Важными примерами пространственных выпуклых тел являются
так называемые выпуклые конусы. Выпуклое пространственное тело
называется выпуклым конусом с вершиной О, если вместе с каждой
отличной от О точкой Л оно содержит и весь луч ОА. Например,
если F — какая-либо выпуклая фигура, расположенная в плоскости П,
а О — точка, не лежащая в этой плоскости, то, проводя из точки О
всевозможные лучи, пересекающие фигуру F (рис. 6), мы получим
выпуклый конус (конус с вершиной О и «направляющим
множеством» F). В случае, когда F — круг с центром Q и прямая OQ
перпендикулярна к плоскости П, мы получаем (бесконечный) прямой
круговой конус (рис. 7). Если F—полоса, то выпуклый конус К
представляет собой двугранный угол (рис. 8); если же F
совпадает со всей плоскостью П, то К— полупространство. Наконец,
если F — выпуклый многоугольник, то К представляет собой
выпуклый многогранный угол (рис. 9). Можно доказать, что
изображенный на рис. 6 способ получения выпуклых конусов является
общим, т. е. любой (отличный от всего пространства) выпуклый
конус К может быть получен таким образом.

Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.
Рис. 9.

184
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Можно также рассматривать выпуклые фигуры, расположенные
на прямой линии. Ими являются отрезок, луч к вся прямая.
Существенно, что других выпуклых фигур на прямой не
существует: всякая ограниченная выпуклая фигура, расположенная на
прямой, является отрезком, а неограниченная — лучом или всей
прямой.
Это утверждение без труда доказывается с помощью теоремы о
непрерывности Дедекинда (см., например, ЭЭМ, кн. IV, стр. 38—40). Обратно,
из выделенного курсивом утверждения можно вывести предложение
Дедекинда. Таким образом, сформулированное выше утверждение о выпуклых
фигурах на прямой линии может быть принято в качестве аксиомы
непрерывности, эквивалентной аксиоме Дедекинда (возможно даже, что в
таком виде аксиома непрерывности обладает большей наглядностью и
убедительностью).
В дальнейшем, говоря о «фигурах», мы будем считать (если не
оговорено противное), что речь может идти как о плоских фигурах,
так и о пространственных телах или о фигурах, расположенных на
прямой линии.
Свойство, положенное выше в основу определения выпуклых
фигур (существование в фигуре прямолинейного отрезка,
соединяющего любые две ее точки), с первого взгляда может
показаться несущественным и даже надуманным. В действительности же
выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является
весьма интересным и важным для геометрии. Дело в том, что
«произвольные» геометрические фигуры могут быть устроены
необычайно сложно. Например, определить, находится ли точка Л «внутри» или
С
з
Рис. 10.
«вне» замкнутого многоугольника, изображенного на рис. 10, совсем
непросто! Если же рассматривать фигуры, не являющиеся
многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими
сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не
пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
185
ни площади, ни периметра1); можно также указать на плоскости
«линию», не имеющую точек разветвления и в то же время
разрезающую плоскость на три или большее число фигур 2). Для
выпуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места:
внутренняя область выпуклой фигуры сравнительно просто устроена,
любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает
определенными площадью и периметром, а пространственное выпуклое тело
— объемом и площадью поверхности (ср. стр. 228 и след.) и т. д.
Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс
сравнительно просто устроенных,—а следовательно, допускающих изучение
геометрическими методами, —фигур на плоскости и в
пространстве. С другой стороны, класс выпуклых фигур является
достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые
в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо
представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел:
всякий невыпуклый многоугольник (рис. 3, а) можно разрезать на
выпуклые части (треугольники); круговое кольцо (рис. 3,в) является
«разностью» (см. стр. 14) двух кругов разного диаметра и т. п.3).
Теория выпуклых фигур — сравнительно молодая ветвь
геометрии. Основоположниками ее можно считать замечательного
швейцарского геометра Якоба Штейнера (1796—1863) и известного
немецкого ученого Германа Минковского (1864—1909),
внесшего в математику много новых ярких идей. Развитие этой теории
интенсивно продолжается и в настоящее время; в особенности
следует упомянуть ленинградскую школу геометров, руководимую
А. Д. Александровым, американскую школу, возглавляемую
Г. Буземаном, швейцарскую школу Г. Хадвигера и
венгерскую школу Л. Фейеша-Тота.
1.2. Граница выпуклой фигуры. Пусть/7—плоская выпуклая
фигура. Но отношению к ней все точки плоскости разделяются
на три категории: внутренние, внешние и граничные.
Внутренними считаются те точки, которые со всех сторон окружены
*) Ср. стр.44 этой книги ЭЭМ, а также стр. 18—20 второй части статьи
В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича, указанной на стр. 555.
2) См. стр. 24—25 второй части той же статьи В. Г.
Болтянского и В. А. Ефремовича.
3) Авторы склонны даже считать, что подлинно геометрический интерес
представляют лишь фигуры и тела, либо сводящиеся к комбинациям
выпуклых фигур и тел, либо же ограниченные кусочно гладкими контурами и
поверхностями («классические области», ср. стр. 40, 76). Более экзотические
«фигуры» (множества на плоскости, не имеющие площади; линии,
являющиеся совместной границей трех и большего числа областей, и т п.)
находятся вне рамок геометрии и изучаются методами других математических
дисциплин: топологии, теории функций действительного переменного
и т. д.

186
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
точками фигуры F. Таким образом, если А— внутренняя точка
фигуры F, то круг некоторого (хотя бы очень маленького) радиуса
с центром в точке А целиком принадлежит фигуре F (рис. 11).
К граничной же точке фигуры F как угодно близко подходят
и точки, принадлежащие фигуре F, и точки,
ей не принадлежащие (точка В на рис. 11).
Наконец, внешними считаются точки,
которые сами не принадлежат фигуре и
со всех сторон окружены точками, не
принадлежащими фигуре F (точка С на рис. 11).
Все граничные точки, вместе взятые,
образуют некоторую линию Г, называемую
границей выпуклой фигуры F. Если фигура F
ограничена,то ее граница представляет собой
замкнутую линию (ср. рис. 2).
Совершенно так же определяются внут-
Рис. 11. ренние, внешние и граничные точки
относительно выпуклого тела F в
пространстве. Границей выпуклого ограниченного тела является некоторая
замкнутая поверхность.
Вопрос о том, считать ли граничные точки выпуклой фигуры F
принадлежащими самой этой фигуре, с точки зрения геометрии
является в значительной степени условным. Например, под кругом
с центром О и радиусом г иногда понимают множество всех точек,
отстоящих от О на расстоянии, меньшем г («открытый круг»),
а иногда—множество всех точек, отстоящих от О на расстоянии,
не превосходящем г («замкнутый круг»). Можно было бы
даже часть граничных точек причислять к кругу, а остальные —
не причислять. Для определенности мы условимся в дальнейшем
считать все граничные точки принадлежащими выпуклой
фигуре (или телу) F.
Заметим, что если А и В—две внутренние точки выпуклой
фигуры F, то все точки отрезка АВ тоже являются
внутренними точками этой фигуры. Для доказательства достаточно
выбрать настолько малое расстояние г, что круги КА и Кв радиусов г
с центрами в точках А к В целиком содержатся в фигуре F
(рис. 12, а). Проведя общие внешние касательные к этим кругам,
мы получим «полоску с закругленными концами» (заштрихованную
на рис. 12, б), которую обозначим через Р. Любая точка М полоски Р
принадлежит фигуре F (ибо М лежит на отрезке, соединяющем
точку круга КА с некоторой точкой круга Кв). Наконец, круг
радиуса г с центром в любой точке С отрезка АВ целиком расположен
в полоске Р, а значит, и в фигуре F, т. е. С—внутренняя точка.
Далее, если А —внутренняя, а В—граничная точка фигуры F,
то все точки отрезка АВ, кроме В, являются внутренними точ-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
187
ками фигуры F (рис. 13). Наконец, если обе точки Л, В фигуры F
являются граничными, то либо все точки отрезка ЛВ являются
граничными (рис. 14), либо же на отрезке ЛВ найдется внутренняя
Рис. 12.
точка С, и тогда все точки отрезка ЛВ, кроме концов Л и В,
являются внутренними (рис. 15).
1.3. Опорные прямые и плоскости. Пусть Л —некоторая
граничная точка плоской выпуклой фигуры F. Проведем из точки Л
всевозможные лучи, проходящие через отличные от Л точки фигуры F.
Рис. 13. Рис. 14. Рис. 15.
Эти лучи заполнят либо некоторую полуплоскость (рис. 16), либо
некоторый угол, меньший 180° (рис. 17). В первом случае прямая /,
ограничивающая полуплоскость, обладает тем свойством, что вся
фигура F расположена по одну сторону от этой прямой,
причем прямая имеет хотя бы одну общую точку с границей фигуры F
(точку Л). Всякая прямая, обладающая этими свойствами, называется
опорной прямой фигуры F. Всякая отличная от / прямая,
проходящая через точку Л, рассекает фигуру F на две части и потому
не является опорной. Таким образом, через точку Л проходит
только одна опорная прямая / фигуры F.

188
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Во втором случае (рис. 17) фигура F расположена внутри угла
MAN, меньшего 180°. Всякая прямая, проходящая через точку А
и лежащая внутри угла MAN1, смежного с углом MAN, будет
являться опорной прямой фигуры F. Опорными будут являться
и прямые AM и AN. Всякая же прямая, проходящая через точку А
и лежащая внутри угла MAN, не будет опорной: она будет
рассекать фигуру F на две части. Таким образом, в этом случае через
точку А проходит бесконечно много опорных прямых фигуры F.
Рис. 16. Рис. 17.
Граничная точка фигуры F, через которую проходит
единственная опорная прямая / фигуры F, называется обыкновенной точкой
границы фигуры F (рис. 16). Прямая / в этом случае называется
касательной. Граничная точка фигуры F, через которую проходит
бесконечно много опорных прямых, называется особой точкой
(рис. 17).
Пусть А — произвольная граничная точка выпуклой фигуры F.
Лучи AM и AN, отделяющие прямые, проходящие через А и
пересекающие F, от прямых, не пересекающих F, называются
полукасательными, а угол MAN между полукасательными (не
превосходящий 180°) называется углом фигуры F в граничной точке Л.
Таким образом, в обыкновенной граничной точке полукасательные
составляют продолжение одна другой, а угол равен 180°; в особой
же точке угол выпуклой фигуры меньше 180°. Если угол выпуклой
фигуры F в точке А равен а, то дополнительный угол 180° — а
называется внешним углом фигуры F в точке Л. В обыкновенной
точке внешний угол равен нулю, а в особой точке он отличен от
нуля (^MAN) на рис. 17).
Круг является примером выпуклой фигуры, все граничные
точки которой являются обыкновенными. Выпуклый
многоугольник (рис. 18) служит примером выпуклой фигуры, имеющей
конечное число особых точек: вершины многоугольника являются
особыми точками, а точки, лежащие на сторонах, — обыкновенными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
189
Как известно, сумма внешних углов во всех особых точках
выпуклого многоугольника равна 360°.
Сегмент, дуга которого стягивает центральный угол а, имеет
две особые точки, причем сумма внешних углов в этих точках равна
360°—а (рис. 19). В частности, у полукруга сумма внешних
углов равна 180°.
Рис 18. Рис. 19.
Рассмотренные примеры показывают, что сумма внешних углов
во всех особых точках выпуклой фигуры может принимать любые
значения от 0 до 360°. Значений же, больших 360°, эта сумма
принимать не может. Именно, имеет место следующая
Рис. 20. Рис. 21.
Теорема. Всякая плоская выпуклая фигура F имеет не
более чем счетное множество особых точек. Сумма внешних
углов во всех ее особых точках не превосходит 360°. (В случае
бесконечного множества особых точек эта «сумма» представляет
собой бесконечный ряд.)
Доказательство. Условимся на каждой опорной прямой / задавать
такое направление, чтобы при движении по опорной прямой в этом
направлении фигура F оставалась слева от нас. Выберем, далее, на плоскости
произвольную окружность S с центром О. Пусть L—такая точка
окружности S, что луч OL параллелен прямой / и имеет то же направление
(рис. 20); в таком случае точку L мы будем называть индикатором опорной
прямой /. Пусть А — особая точка фигуры F с внешним углом уд.
Рассматривая всевозможные опорные прямые фигуры Fy проходящие через точку Л,

190
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
мы обнаружим, что индикаторы этих опорных прямых заполняют на
окружности S некоторую дугу Од, стягивающую центральный угол у а (рис. 21).
Нетрудно видеть, что если Л и В— две особые точки фигуры F, то
отвечающие им дуги о~д и ов окружности 5 не имеют общих внутренних
точек. В самом деле, пусть L—внутренняя точка дуги сгд (рис. 22). Тогда
соответствующая точке L опорная прямая / фигуры F имеет с F только
одну общую точку Л (ибо даже с углом, образованным полу касательными
Рис. 22.
Из того, что дуги ад, а5,
фигуры F, попарно не имеют
в точке Л, прямая / имеет только одну общую точку). Следовательно, точка В
расположена слева от /, и потому проходящая через В прямая /',
параллельная / и одинаково направленная с /, не будет опорной (точка Л
расположена справа от Г). Но это означает, что точка L не принадлежит
дуге~ая* * л о
.., соответствующие особым точкам Л, В,...
общих внутренних точек, непосредственно
вытекает, что сумма 7л+ YB+ • • •
всех внешних углов не
превосходит 360°. Отсюда обычным
рассуждением выводится, что имеется не
более чем счетное число особых
точек ( в самом деле, фигура F
имеет не более трех особых точек с
360°
г 3
лее четырех особых точек с внеш-
360°
внешними углами
не бо-
Рис. 23.
ними углами,
•и т. д. .
Теорема доказана.
Заметим, что в случае выпуклого многоугольника дуги а^, ов,...
полностью покрывают окружность (рис. 23), и, следовательно, 7л + Уя + • • •
... =360°. Это свойство можно даже принять за определение выпуклых
многоугольников.
Заметим также, что существуют выпуклые фигуры, на границе которых
особые точки расположены всюду п л от н о (т. е. на любой сколь угодно
малой дуге граничной кривой находится бесконечно много особых точек).
Объединяя вместе случаи обыкновенной и особой граничной
точки выпуклой фигуры F} мы видим, что через каждую граничную

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
191
точку выпуклой фигуры F проходит хотя бы одна опорная прямая.
Напротив, если фигура F невыпукла, то у нее найдется такая
граничная точка Л, через которую нельзя провести ни одной опорной
прямой фигуры F (ср. рис. 24).
Иными словами, справедлива следующая ^^
Теорема. Если через каждую
граничную точку плоской фигуры F
проходит хотя бы одна опорная
прямая, то фигура F выпукла.
Доказательства этой теоремы мы
не приводим.
Рассмотрим теперь случай прост- Рис. 24.
ранственного выпуклого тела F.
Проведем из граничной точки Л тела F всевозможные лучи,
проходящие через отличные от Л точки тела F. Эти лучи заполняют,
как нетрудно доказать, некоторый выпуклый конус КА, который
мы назовем опорным конусом тела F в точке Л. Если этот конус
представляет собой полупространство, то Л называется
Рис. 25. Рис. 26.
обыкновенной граничной точкой тела F. В противном случае точку Л
будем называть особой. Мы будем разлагать два типа особых точек.
Если опорный конус КА представляет собой двугранный угол
(ребро которого проходит через точку Л), то мы будем называть Л
особой точкой типа ребра. В противном случае будем говорить,
что Л—особая точка типа вершины.
Приведем примеры. У шара все граничные точки—
обыкновенные (рис. 25). Линза, получающаяся при пересечении двух
шаров (рис. 26), имеет уже не только обыкновенные граничные
точки, но и особые точки типа ребра; таких точек бесконечно
много, и все они располагаются на одной окружности. Прямой
круговой конус с вершиной О и кругом 5, лежащим в
основании (рис. 27), имеет граничные точки всех трех типов: О есть

192
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
осооая точка типа вершины, все точки окружности основания
являются особыми точками типа ребра, а остальные граничные
точки—обыкновенные. Любой выпуклый многогранник
(рис. 28) также имеет граничные точки всех трех типов: его
вершины являются особыми точками типа
вершины; точки, лежащие на ребрах, являются
особыми точками типа ребра; точки же,
лежащие на гранях,—обыкновенные.
Пусть F — произвольное (не
обязательно выпуклое) пространственное тело и Л —
его граничная точка. Проходящая через
точку А плоскость 2 называется опорной
плоскостью тела F, если все тело Улежит по
одну сторону от этой плоскости (часть точек
тела F может лежать и в самой
плоскости 2). Из сказанного на стр. 182 — 184
нетрудно вывести, что если К—выпуклый
конус с вершиной О, не совпадающий со
всем пространством, то через точку О проходит хотя бы одна
опорная плоскость конуса К. В самом деле, пусть Т7 —такая
выпуклая фигура, лежащая в некоторой плоскости П, что конус К
совпадает с множеством, которое заполняется всевозможными
лучами, исходящими из точки О и пересекающими фигуру Z7. Ясно тогда,
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29
что плоскость 2, параллельная II и проходящая через точку О,
является опорной для конуса К (ибо все множество F
расположено по одну сторону от плоскости 2, рис. 29).
Теорема. Через каждую граничную точку выпуклого тела F
проходит хотя, бы одна опорная плоскость.
В самом деле, пусть Л — граничная точка тела F и Кд—опорный
конус тела F в этой точке. Тело F содержится целиком в конусе Кд,
и потому опорная плоскость конуса КЛ, проведенная через его

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
193
вершину Л, является в то же время и опорной плоскостью тела F.
Как и в случае плоских выпуклых фигур, свойство,
устанавливаемое доказанной теоремой, характерно для выпуклых тел.
Иными словами, справедлива следующая обратная теорема:
Если через каждую граничную точку пространственного телаР
проходит хотя бы одна опорная плоскость, то тело F выпукло.
Остановимся еще на вопросе о количестве опорных плоскостей,
проходящих через заданную граничную точку Л выпуклого тела F.
Если Л —обыкновенная точка, то через нее проходит только одна
опорная плоскость тела F; эта плоскость называется касательной
плоскостью тела F в точке Л (рис. 25). Пусть теперь Л — особая
точка типа ребра и КА— опорный конус тела F в точке Л. Конус
КА представляет собой
двугранный угол, ребро которого
мы обозначим через 1А (рис.27).
Так как каждая опорная
плоскость тела F, проходящая
через точку Л, является
одновременно опорной
плоскостью конуса КА (и обратно),
то ясно, что все эти опорные
плоскости проходят через
прямую 1А и заполняют
двугранный угол, смежный с углом
КА. Таким образом, в этом
случае существует
бесконечно много опорных плоскостей тела F, проходящих через
точку Л. Бесконечно много опорных плоскостей тела F
проходит через точку Лив том случае, если Л — особая точка
типа вершины (точка О на рис. 27, 28). В этом случае опорные
плоскости уже не проходят все через одну прямую. Можно сказать,
что в особой точке типа вершины имеется существенно «больше»
опорных плоскостей, чем в особой точке типа ребра.
Чтобы придать точный смысл последнему утверждению, мы введем
понятие индикатора опорной плоскости. Пусть 5 — некоторая сфера
с центром в точке О. Предположим, что нам задана некоторая опорная
плоскость 2 выпуклого тела F. Проведем из некоторой точки плоскости 2
такой луч /, перпендикулярный к плоскости 2, что тело F и луч /
расположены по разные стороны от 2 (рис. 30). Точку L сферы 5, обладающую
тем свойством, что луч OL параллелен / и имеет то же направление, мы и
назовем индикатором х) плоскости 2.
г) Таким образом, в отличие от сказанного на стр. 189, мы здесь проводим
луч OL перпендикулярный (а не параллельный!) к опорной
плоскости 2. Причина ясна: в то время как прямых, параллельных 2, можно
провести через точку О бесконечно много, перпендикуляр к плоскости 2,
проходящий через О, существует только один.

194
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Если Л — обыкновенная граничная точка выпуклого тела F, то
через нее проходит единственная опорная плоскость 2, которой отвечает
на сфере S единственный индикатор L.
Если Л—особая точка типа ребра (рис. 31), то все опорные
плоскости, проходящие через точку Л, проходят также через определенную
прямую /д (ребро двугранного угла К а)- Поэтому все лучи /,
перпендикулярные к этим плоскостям, будут перпендикулярны к прямой 1А, а
соответствующие индикаторы L располагаются на одной большой окружности
Рис. 31.
сферы 5 (высекаемой плоскостью, проходящей через О и перпендикулярной
к прямой 1д). Таким образом, в этом случае множество индикаторов,
отвечающих опорным плоскостям, проходящим через точку Л, представляет
собой дугу большой окружности на сфере 5. Ясно, что если
двугранный угол К а имеет величину а,
то указанная дуга oa = L1L2 стягивает
центральный угол L-fiL^,равный 180°—а.
Пусть, наконец, А—особая
точка типа вершины. В этом случае
множество индикаторов,
соответствующих всевозможным опорным плоскостям
тела F, проходящим через точку Л,
представляет собой уже не дугу, а
целую область %а на сфере S
Например, если F — выпуклый многогранник
и Л—его вершина, то множество %а
будет сферическим
многоугольником, ограниченным дугами больших окружностей сферы 5
(рис. 32). Конус ТА с вершиной О и образующим множеством %а мы будем
называть внешним углом тела F в точке Л (можно доказать, что этот конус
является выпуклым), а меру телесного угла этого конуса (т. е. площадь
области Тд, если радиус сферы 5 принять равным единице) будем называть
величиной внешнего угла Та- (Величину внешнего угла Т'а иногда также
называют кривизной тела F в точке Л.)
Теорема. Всякое выпуклое тело имеет не более чем счетное число
особых точек типа вершины. Сумма величин внешних углов в этих особых
точках не превосходит 4я.
Доказательство этой теоремы очень близко к доказательству
теоремы, сформулированной на стр. 189. Прежде всего устанавливается,
что если Л и В—две различныэ особые точки типа вершины, то
соответствующие области %а и хв на сфере S не имеют общих внутренних точек
Рис. 32.

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 195
(доказательство этого аналогично доказательству, приведенному на стр. 190).
Отсюда вытекает, что сумма площадей областей т^, т5, ..., отвечающих
всевозможным угловым точкам типа вершины, не превосходит площади всей
сферы S радиуса 1, т. е. не превосходит 4я. Из этого, наконец, мы
заключаем, что множество особых точек типа вершины не более чем счетно.
Заметим, что в случае выпуклого многогранника F сферические
многоугольники %д, хв, ..., соответствующие всем его вершинам, полностью
покрывают всю сферу S и, следовательно, Уд + Ув + • • • = 4я, где 7л» У в—
величины внешних углов в вершинах Л, В, ... многогранника F (теорема
о «сумме внешних углов» многогранника)1).
§ 2. Простейшие метрические характеристики
выпуклых фигур
2.1. Диаметр выпуклой фигуры. Пусть F — некоторая плоская
выпуклая фигура. Диаметром фигуры F называется наибольшее
из расстояний между двумя ее точками. Например, в случае круга
диаметр в указанном здесь смысле, очевидно, совпадает с обычным
его диаметром (т. е. длиной наибольшей хорды). Далее, пусть
фигура F представляет собой полукруг (рис. 2, г); М и N— концы
ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром
фигуры F является длина отрезка MN. Вообще, если фигура F
представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой / и
хордой а, то в случае, когда дуга / не превосходит полуокружности,
х) Из установленного соотношения можно вывести новое доказательство
известной теоремы Эйлера для выпуклых многогранников (см. ЭЭМ,
кн. IV, стр. 390). Заметим прежде всего, что число сторон сферического
многоугольника Хд равно числу k ребер многогранника F, сходящихся
в вершине Л, а большие окружности, которым принадлежат эти стороны,
лежат в плоскостях, перпендикулярных к ребрам многогранника F. Отсюда
вытекает, что углы сферического многоугольника хд дополняют до я плоские
углы многогранника F, сходящиеся в вершине А. Таким образом, сумма
углов сферического многоугольника %д равна kn—Од, где од—сумма всех
плоских углов многогранника F, сходящихся в вершине А. В силу формулы
для площади сферического многоугольника (см. ЭЭМ, кн. IV, стр. 539),
отсюда вытекает, что площадь уд многоугольника Хд, т. е. величина
внешнего угла А многогранника F, равна уд~(Ы—Од)— (k—2)я = 2я—од.
Суммируя внешние углы, отвечающие всем вершинам, получаем:
(2я—од) + (2к—а5) + ...=4я, или 2пВ — (од + ов+ .. .) = 4я,
где В—число вершин многогранника.
Заметим теперь, что 0,4 + 0*5+... — это сумма всех плоских углов
многогранника F. Для каждой отдельной грани а эта сумма равна я(/га—2),
где /га—число сторон грани а. Таким образом,
оа + оВ+ • • • =я (ма—2) + л; (пр—2)+ ... =я (па + п$+ ...)—2яГ,
где Г—число граней многогранника F, а п7, п^ ...— числа сторон
различных его граней, Но ясно, что яя + Яр+ • •. =2Р, где Р —число ребер
многогранника F* Окончательно получаем 2я5 —(2яР—2яГ) = 4я, т. е.
В — р + г = 2.

196
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
диаметр фигуры F равен а (т. е. длине хорды; рис. 33, а); в случае
же, когда дуга / больше полуокружности (рис. 33, б) диаметр
фигуры F совпадает с диаметром всего круга.
Нетрудно доказать, что если F представляет собой
многоугольник (рис. 34), то его диаметром является наибольшее из
расстояний между вершинами (ср. стр. 286 этой книги ЭЭМ). В частности,
диаметр любого треугольника равен его наибольшей стороне.
Заметим, что если диаметр фигуры F равен d, то в фигуре F
может существовать много пар точек, расстояние между которыми
Рис. 33. Рис. 34.
равно d. Например, в случае разностороннего треугольника такая
пара точек только одна, в случае равнобедренного их может быть
две, а в случае правильного треугольника—три (рис. 35). Наконец,
в случае круга таких пар точек имеется бесконечно много.
Рис. 35.
Выше мы условились понимать под «выпуклой фигурой» замкнутую
выпуклую фигуру, т. е. фигуру, к которой присоединяются все ее граничные
точки. Легко понять, что если бы мы не условились присоединять к фигуре
все ее граничные точки, то наибольшего из расстояний между двумя
ее точками могло и не существовать. Например, если F—открытый круг
радиуса г (т. е. круг, к которому не причисляется ни одна граничная точка),
то в нем можно найти две точки, расстояние между которыми как угодно
близко к 2г, но не существует двух точек, расстояние между которьши
в точности равно 2г. Таким образом, если бы мы не условились считать
выпуклые фигуры замкнутыми, то нам пришлось бы называть диаметром не
наибольшее из расстояний между двумя точками фигуры (наибольшего
расстояния могло бы не существовать), а точную верхнюю грань расстояний
между двумя точками фигуры. Именно для того, чтобы избежать этого услож-

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 197
нения (и многих аналогичных), мы и условились считать фигуры
замкнутыми.
Доказательство того факта, что в произвольной замкнутой
ограниченной фигуре существуют такие две точки, расстояние между которыми —
наибольшее, может быть проведено только средствами математического
анализа. Например, такое доказательство легко получить, используя свойства
непрерывных функций. В самом деле, если М, N—две произвольные точки
плоскости и p(7W, N) — расстояние между ними, то функция р (М, N) не-
прерывна по М и ТУ (что вытекает, например, из формулы р(М, N) =
= V(x2—*i)2 + (#2—У1)2, где (хъ уг) и (#2, г/2) —координаты точек М и N
в прямоугольной системе координат). Но всякая непрерывная функция
(в данном случае от двух переменных М, N), аргументы которой меняются
в замкнутом ограниченном множестве, обязательно достигает своего
наибольшего (и наименьшего) значения. Следовательно, найдутся такие две
точки Л, В фигуры F, что р(Л, В)^р(Му N) для любых точек М, N
фигуры F. Расстояние d = p(A, В) между такими двумя точками и
представляет собой диаметр фигуры (см. стр. 195).
Пусть d —диаметр выпуклой ограниченной фигуры F и Л, В —
такие две ее точки, расстояние между которыми равно d (мы знаем,
что такая пара точек, вообще говоря, не единственна). Нетрудно
видеть, что прямые 1Л и /в, проведенные через точки А и В пер-
пендикулярно к отрезку АВ, являются
опорными прямыми фигуры F (рис. 36). ^ iA
В самом деле, фигура F целиком заклю- ^ШШч
чена в полосе между прямыми 1А и 1В |Ш1§|^
(если бы нашлась точка М фигуры F, ле- кШШР^
жащая вне этой полосы, то хотя бы одно яШШЫР
из расстояний MA, MB было бы больше d, /^ШШР^
что невозможно). Таким образом, фигу- / \|у^
pa F расположена по одну сторону от i—^ h
прямой 1А и по одну сторону от прямой 1В. *
(Заметим, что частным случаем этого
рассуждения является доказательство изве- Рис- 36-
стной теоремы о перпендикулярности
касательной к окружности и диаметра, проведенного в точку
касания.) Из тех же соображений легко заключить, что прямая 1А имеет
с фигурой F только одну общую точку А, а прямая 1В — только
одну общую точку В.
Диаметр выпуклого тела в пространстве определяется так же,
как и для плоской выпуклой фигуры. Нетрудно видеть, что если А
и В — две точки выпуклого тела F, расстояние между которыми
равно его диаметру d, то плоскости, проведенные через точки А я В
перпендикулярно к отрезку АВ, являются опорными плоскостями
этого тела.
2.2. Ширина выпуклой фигуры. Фигуры постоянной ширины.
Следующее простое свойство опорных прямых является общим как
для выпуклых, так и для невыпуклых фигур:

198
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Рис. 37.
Теорема. Если F—произвольная ограниченная плоская
фигура и I — некоторая прямая, то существуют ровно две опорные
прямые фигуры F, параллельные I.
В самом деле, пусть тх и т2 — две такие прямые,
параллельные /, что фигура F расположена в полосе между тг и т2.
Сближая прямые тг и т2 и оставляя их
параллельными прямой /, мы и
получим требуемые опорные прямые
(прямые /х и /2 на рис. 37).
Заметим, что если фигура F не
является ограниченной, то
указанная теорема перестает быть
справедливой; можно лишь утверждать,
что существует не более двух
опорных прямых, параллельных /.
Например, для выпуклой
неограниченной фигуры, границей которой
является парабола (рис. 4, г),
существует только одна опорная прямая, параллельная / (если
прямая / не параллельна оси параболы); полоса (рис. 4, а)
вообще имеет только две опорные прямые; наконец, если фигура F
представляет собой всю плоскость, то она совсем не имеет опорных
прямых.
Расстояние между двумя опорными прямыми выпуклой фигуры F,
параллельными некоторой прямой /, называется шириной фигуры F
в направлении, перпендикулярном к I.
Ясно, что если А и Б —две наиболее удаленные друг от друга
точки фигуры F (т. е. AB=d есть диаметр этой фигуры), то ширина
фигуры F в направлении АВ равна d. Легко
видеть, что ширина этой фигуры в любом
другом направлении не превосходит d (так, на
рис. 38 мы имеем h^MN^d). Иначе говоря,
диаметр фигуры F можно также определить
как наибольшую ширину этой фигуры
(т. е. наибольшее из расстояний между
двумя параллельными опорными прямыми
фигуры F). Наименьшую ширину Д фигуры F
называют обычно просто шириной фигуры F.
Выше мы видели, что если 1г и /2— параллельные опорные
прямые, расстояние между которыми наибольшее, то каждая из них
имеет только одну общую точку с фигурой и отрезок,
соединяющий эти две точки, перпендикулярен к прямым 1г и /2. Если же
расстояние между параллельными опорными прямыми 1Ъ /2
наименьшее, то это положение вещей сохраняется лишь частично.
Прямые /х и /2 могут уже содержать бесконечно много точек фигуры
Рис. 38.

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 199
(рис. 39, а, б). Нетрудно, однако, доказать, что и в этом случае
найдутся такие точки С, D, лежащие на прямых /1? /2, что
отрезок CD перпендикулярен к этим прямым. В частности, если каждая
из прямых /17 /2 (расстояние между которыми —наименьшее) имеет
с F только одну общую точку, то отрезок, соединяющий эти две
точки, перпендикулярен к прямым 1Х и /2 (рис. 39, в). Например,
диаметром d эллипса является его большая ось, а шириной Д —
малая (рис. 40). Ширина
треугольника, очевидно, совпадает
Рис. 39. Рис. 40-
Пусть Z7 — ограниченная выпуклая фигура, d—ее диаметр и А—¦
ширина. Ясно, что d^A. Пример круга показывает, что
существуют выпуклые фигуры, для которых имеет место строгое
равенство: d = A. Замечательно, что, кроме круга, существует бесконечно
много других выпуклых фигур, для
которых й? = Д. Jnfyfrfo^
Ясно, что для каждой такой фигу- ^шАш^^>>^
ры ширина в любом направлении имеет ^^^Ш/^^^^^^^w
одно и то же значение (ибо наибольшая L Л
ширина d и наименьшая ширина А сов- ^
падают). Поэтому такие фигуры назы- Рис. 41.
ваются фигурами постоянной ширины.
Простейший пример фигуры постоянной ширины, отличной от
круга, получается, если из каждой вершины равностороннего
треугольника со стороной d, как из центра, описать дугу окружности,
соединяющую две другие вершины (рис. 42). Эта фигура носит
название треугольника Релло. Из двух параллельных опорных
прямых, проведенных к треугольнику Релло, одна непременно
проходит через вершину, а другая касается противолежащей дуги
окружности, и потому расстояние между этими опорными прямыми равно d.
Другие примеры фигур постоянной ширины, ограниченных дугами
окружностей радиуса d, показаны на рис. 43. Можно доказать, что
любую фигуру диаметра d можно заключить внутрь некоторой
фигуры постоянной ширины d (рис. 44).

200
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Если F — произвольное ограниченное пространственное тело
и 2—некоторая плоскость, то существуют ровно две опорные
плоскости тела F, параллельные 2. Расстояние между этими
параллельными опорными плоскостями называется шириной тела F в
направлении, перпендикулярном к плоскости 2. Наименьшая ширина
тела F называется просто его шириной] наибольшая ширина тела F,
Рис. 42. Рис. 43. Рис. 44.
как и в случае плоской фигуры, совпадает с его диаметром.
Выпуклые тела, диаметр которых совпадает с шириной, называются телами
постоянной ширины.
2.3. Описанные и вписанные окружности. Описанной
окружностью выпуклой фигуры F называется наименьшая из всех окруж-
Рис. 45. Рис. 46. Рис. 47.
ностей, содержащих фигуру F внутри себя. Нетрудно доказать,
что такая наименьшая окружность действительно существует. В
самом деле, пусть А — произвольная точка выпуклой фигуры F
иВ—наиболее удаленная от А точка фигуры F (ср. стр. 197). Тогда круг КА
с центром А и радиусом АВ=р(А) целиком содержит фигуру F
(рис. 45). Легко видеть, что функция р (А) непрерывна (ибо
если точка А' отстоит от А менее чем на /г, то круг радиуса
р (A) -\-h с центром в точке А' целиком содержит круг КА, а значит,
и фигуру F, т. е. р (Л') < р (Л)-f А, см. рис. 46). Но непрерывная

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 201
функция р (Л), определенная на множестве F, обязательно
достигает минимума, т. е. найдется такая точка О, что р (О) ^ р (Л) для
любой точки Л фигуры F. Но это и означает, что круг радиуса
р (О) с центром в точке О является наименьшим кругом,
содержащим фигуру F.
Заметим, что описанная окружность выпуклой фигуры
единственна. Действительно, если бы существовали две описанные
окружности фигуры F, то они имели бы один и тот же радиус, а
потому (содержащая фигуру FI) «линза», получающаяся в
пересечении этих окружностей (рис. 47), могла бы быть заключена в
окружность меньшего радиуса (диаметр которой совпадает с хордой
линзы).
а) ф о)
Рис. 48.
Если F—остроугольный или прямоугольный треугольник, то его
описанной окружностью является окружность, проходящая через
все три его вершины (рис. 48, а, б). Если же треугольник
F—тупоугольный, то наименьшая заключающая его окружность совпадает
с окружностью, построенной на большей стороне, как на диаметре
(рис. 48, в). Таким образом, определенное в этом пункте понятие
описанной окружности выпуклой фигуры F не совпадает в случае
тупоугольного треугольника с традиционным школьным
определением.
Наибольшая окружность, целиком содержащаяся в выпуклой
фигуре Т7, называется вписанной окружностью этой фигуры (рис. 49).
Существование вписанной окружности выпуклой фигуры F может
быть доказано аналогично тому, как это было выше сделано для
описанной окружности. Однако, в противоположность описанной
окружности, вписанная окружность выпуклой фигуры может быть
не единственной: для того чтобы убедиться в этом, достаточно
рассмотреть случай прямоугольника (рис. 50). Заметим, что для
треугольника данное здесь определение вписанной окружности
совпадает с традиционным.
Интересно, что для фигур постоянной ширины вписанная и
описанная окружности всегда концентричны (рис. 51).
Доказательства этой теоремы мы не приводим.

202
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Описанная и вписанная сферы пространственного выпуклого
тела определяются совершенно аналогично.
Диаметр d, ширина А, радиус R описанной окружности и
радиус г вписанной окружности являются наиболее простыми и
важными метрическими характеристиками выпуклой фигуры. Две другие
Рис. 49. Рис. 50. Рис. 51.
важнейшие характеристики — периметр / и площадь 5 — мы
рассмотрим в § 4. Эти метрические характеристики не являются
полностью независимыми; задание одной из них накладывает
некоторые ограничения на остальные. Так, мы уже отмечали неравенство
d^A] очевидно также, что всегда R^r (причем равенство здесь
достигается только для случая круга). Другие зависимости между
величинами d, A, R, г, /, s читатель най-
\ j*M дет в статье «Геометрические задачи на
\ /// максимум и минимум».
р\ ^ // Для пространственных выпуклых тел
И&ЬЬьу' важнейшими характеристиками являются
|^рЩ*ч диаметр d, ширина А, радиус R описанной
Кйр/-^* \ сферы, радиус г вписанной сферы, а также
\б%&^ ч площадь поверхности s и объем t/,
рассматриваемые в § 4.
Рис 52. 2.4. Расстояние между выпуклыми
фигурами. Пусть F—произвольная фигура и
М—не принадлежащая ей точка. Расстоянием от точки М до
фигуры F называется наименьшая1) из длин отрезков,
соединяющих точку М с точками фигуры F (рис. 52).
Теорема. Если F—выпуклая фигура и М—не
принадлежащая ей точка, то ближайшая к М точка А фигуры F
единственна. Прямая, проходящая через эту точку А и
перпендикулярная к отрезку МА, является опорной прямой фигуры F.
Доказ ательство. Допустим, что существуют в фигуре F
две точки Аг и Л2, находящиеся на наименьшем (по сравнению
х) Существование точки А фигуры F, находящейся на наименьшем
расстоянии от точки МУ легко выводится из свойств непрерывных функций
(ср. мелкий шрифт на стр. 197).

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 203
с другими точками фигуры F) расстоянии от Ж. Тогда А1М=А2М.
Так, фигура F выпукла, то весь отрезок АХА2 принадлежит фигуре F;
в точности, фигуре F принадлежит середина В отрезка А±А2. Но
МВ<МА1 = МА2 (рис. 53), что противоречит выбору точек Лх и Л2.
Поэтому точка А единственна.
Проведем через точку А прямую /, перпендикулярную к МА.
Докажем, что ни одна точка фигуры F не лежит по ту же сторону
Рис. 53.
Рис. 54.
Рис. 55.
от /, что и точка М (это и будет означать, что / — опорная прямая).
В самом деле, допустим, что такая точка С существует. Угол МСА
не может быть тупым или прямым, так как в противном случае мы
имели бы МС<МА (рис. 54),
что противоречит выбору точки Л.
Следовательно, оба угла ^МАС,
/_МСА— острые. Но в этом
случае основание D высоты MD
треугольника MAC лежит
между точками А и С (рис. 55).
В силу выпуклости фигуры F,
весь отрезок АС и, в частности, *
точка D принадлежат этой
фигуре. Но это также противоречит
выбору точки Л, ибо MD<lMA.
Теорема доказана.
Заметим, что для невыпуклой
фигуры оба утверждения этой
теоремы могут оказаться неверными. На рис. 56 показана незыпук-
лая фигура F, для которой существуют две ближайшие к М
точки Лх, Л2; перпендикуляры 1Ъ /2 к отрезкам МАг, МА2,
проведенные через точки Лх, Л2, не являются опорными прямыми.
Интересно отметить, что этот факт является общим: для любой
плоской невыпуклой фигуры F найдется такая не принадлежащая ей
точка Ж, для которой в фигуре/7 найдется не менее двух ближайших.
Рис. 56.

204
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Иными словами, справедлива следующая теорема, обратная
доказанной выше:
Теорема. Пусть F—такая плоская фигура, что для любой
не принадлежащей ей точки М ближайшая к М точка фигуры F
единственна. Тогда фигура F выпукла.
Доказательство. Допустим, что фигура F, обладающая
указанным свойством, не является выпуклой, т. е. в ней найдутся такие две
точки С и D, что отрезок CD не принадлежит целиком фигуре F (рис. 57).
Выберем на отрезке CD какую-либо точку Р, не принадлежащую фигуре F,
и пусть Mt N—ближайшие1) к Р точки фигуры F, лежащие на прямой CD
по разные стороны от Р. Середину
отрезка MN обозначим через Q, а
ближайшую к Q точку фигуры F
через Aq. Так как QM = QN, то
QAq< QM (напоминаем, что
ближайшая к Q точка фигуры F
единственна), и потому точка Aq не
лежит на прямой CD. В дальнейшем
для удобства мы будем называть
прямую CD «горизонтальной» и
считать, что точка Aq расположена «под»
этой прямой (рис. 57).
Рис. 57.
Рис. 58.
Пусть /—исходящий из точки Q луч, лежащий в верхней полуплоскости
и перпендикулярный к горизонтальной прямой MN (рис. 58),
X—произвольная точка этого луча и А%—ближайшая к ней точка фигуры F. Так как
XM = XN, то ХАх<ХМ, и потому точка Ах н е п р ин ад л е жит
прямой MN (напомним, что внутренние точки отрезка MN не принадлежат
фигуре F). Заметим теперь, что точка Ах непрерывно зависит от точки X.
поэтому, если мы будем непрерывно двигать точку X, начиная от точки Q
вверх по лучу /, то точка Ах, первоначально расположенная ниже
прямой MN, не сможет «перескочить» через эту прямую. Таким образом, для
любой точки X луча / ближайшая точка Ах лежит ниже прямой MN.
Из доказанного следует; что выше прямой MN нет ни одной точки
фигуры F. В самом деле, допустим, что точка В фигуры F лежит выше
прямой MN, и обозначим через Н точку пересечения луча / с перпендикуляром,
восстановленным к отрезку BQ в его середине. Тогда HB — HQ < НАН (ибо
точка Ah расположена uH и же прямой CD), что, однако, невозможно,
поскольку Ан—ближайшая к Я точка фигуры F.
г) Такие точки существуют, так как под «фигурой», мы, как всегда,
понимаем замкнутое множество.

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 205
Выберем теперь на продолжении луча / за точку Q такую точку R, что
отрезок QR не содержит точек фигуры F (достаточно, например, взять такую
точку R, что QR < QAq). Через точку R проведем прямую т,
параллельную MN (рис. 59). Далее, обозначим через К точку пересечения луча i
с перпендикуляром, восставленным к отрезку MR в его середине. Наконец,
обозначим Е и F вершины прямоугольника MNFE, сторона EF которого
проходит через точку К. Тогда для любой точки Y отрезка ЕК мы имеем
YM^KM = KR, и потому ближайшая к Y точка Ау фигуры F
расположена выше прямой т. То же справедливо и для любой точки Y отрезка KF.
Рис. 59. Рис. 60.
Поэтому, когда точка Y непрерывно двигается по отрезку EF от Е до F,
ближайшая к Y точка Ау непрерывно перемещается от точки М — А? до
N — Ap, оставаясь все время в полосе между прямыми MN и т. Но это
невозможно, так как точка Ау (принадлежащая при любом Y фигуре F) не
может «перепрыгнуть» через отрезок QR, свободный от точек фигуры F.
Теорема доказана.
Любопытно отметить, что в геометрии Лобачевского (см.
стр. 439—452 этого тома ЭЭМ) доказанная теорема места не имеет. В самом
деле, пусть Г—предельная линия, a G—круг, центр О которого расположен
на линии Г (рис. 60). Линия Г разбивает круг G на две части, большую из
которых мы обозначим через F. Фигура F не является выпуклой (например,
отрезок, соединяющий точки /С, L пересечения окружности с предельной
линией Г, не принадлежит фигуре F). Тем не менее фигура F обладает тем
свойством, что для любой не принадлежащей ей точки М ближайшая к М
точка фигуры F единственна. Например, если точка М лежит во
внутренней области, ограниченной предельной линией Г, и диаметр / предельной
линии, проходящий через М, пересекает Г во внутренней точке А дуги KL,
то А есть единственная ближайшая к М точка линии Г и, подавно,
единственная ближайшая к М точка фигуры F.
Рассмотрим теперь две не пересекающиеся плоские выпуклые
фигуры F и G. Расстоянием между этими фигурами называется
точная нижняя грань расстояний от какой-либо точки фигуры F
до какой-либо точки фигуры G. В том случае, если хотя бы одна

206
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
из фигур F, G является ограниченной, непременно найдутся такие
точки А я В соответственно фигур F и G, что длина отрезка АВ
равна расстоянию между фигурами F и G (рис. 61), т. е. в этом
случае расстояние можно определить как наименьшее из
расстояний от какой-либо точки фигуры F до какой-либо точки
фигуры G. Если же обе фип/ры F, G не ограничены, то кратчайшего
расстояния между точками этих фигур
может и не существовать (рис. 62).
Рис. 61. Рис. 62. Рис. 63.
Заметим, что пара точек А, В, осуществляющих наименьшее
расстояние между фигурами F и G, может оказаться не
единственной (рис. 63). Однако в этом случае все отрезки, осуществляющие
наименьшее расстояние между фигурами F и G, обязательно будут
параллельны между собой. Это
утверждение легко может быть выведено из
следующей теоремы.
Теорема. ПустьFи G—две
непересекающиеся выпуклые фигуры,
расстояние между которыми равно d, и А, В —
такие точки этих фигур, что AB — d.
Тогда прямые 1г и /2, проведенные через
точки А и В перпендикулярно к
отрезку АВ, являются опорными прямыми
фигур F и G, причем эти фигуры
лежат по разные стороны полосы,
образованной прямыми 1г и /2. (рис. 64).
В самом деле, точка А является
ближайшей к В точкой фигуры F, и потому прямая 1Х является опорной
прямой фигуры/7 (см. теорему на стр. 202). Аналогично /2 является
опорной прямой фигуры G. При этом точка В и фигура F
расположены по разные стороны прямой 1Ъ т. е. F расположена вне
полосы, образованной прямыми /х и /2. То же справедливо и для
фигуры G.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 207
Теорема. Если F и G— две непересекающиеся выпуклые
фигуры, то существует прямая /, разделяющая эти фигуры,
т. е. такая прямая, по отношению к которой фигуры F и G
расположены по разные стороны.
Справедливость этой теоремы в случае, когда хотя бы одна из
фигур F, G ограничена, непосредственно вытекает из сказанного
выше. Действительно, сохраняя
обозначения предыдущей теоремы, мы можем в
качестве /взять любую из прямых /1? /2 (или
среднюю линию полосы, образованной прямыми
/х и /2). Несколько более сложное
рассуждение (которое мы не приводим)
показывает, что теорема справедлива и для
неограниченных выпуклых фигур (а также и
в том случае, если выпуклые фигуры F, G
имеют общие граничные точки, но не имеют Рис. 65.
общих внутренних точек, рис. 65).
Расстояние от точки М до пространственного тела F
определяется так же, как и в случае плоской фигуры. При этом, если F —
выпуклое тело и М—не принадлежащая ему точка, то
ближайшая к М точка А тела F единственна (а
плоскость, проходящая через точку А
перпендикулярно к отрезку МА, является опорной
плоскостью тела F, рис. 66). Обратно, если
F — такое пространственное тело, что для
любой не принадлежащей ему точки М
ближайшая к М точка тела F единственна, то
F — выпуклое тело.
Так же как в случае плоских фигур,
определяется и расстояние между двумя не пере-
Рис. 66. секающимися выпуклыми телами в
пространстве. Если AB=d— отрезок, реализующий
наименьшее расстояние между не пересекающимися выпуклыми
телами F и О, то плоскости, проведенные через точки А к В
перпендикулярно к отрезку АВ, являются опорными плоскостями тел F,
G, а сами эти тела расположены по разные стороны полосы,
образованной указанными плоскостями. Далее, каждые два не
пересекающихся выпуклых тела можно разделить плоскостью.
§ 3. Выпуклые многоугольники и многогранники
3.1. Пересечение выпуклых фигур. Пусть F±1 F2l . . .,
/^—-некоторые фигуры. Их пересечением называется фигура, состоящая из
всех точек, каждая из которых одновременно принадлежит всем
фигурам Flt Fv ...,Fh. На рис. 67 изображено пересечение трех

208
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
фигур Fi, F2, F3. Пересечение фигур (или тел) Flt F2, . . ., Fk
обозначается символом Fx П F2 П
П Fk. Можно рассматривать пере-
Рис. 67.
всякая
сечение и бесконечного множества фигур.
Теорема. Пересечение любого множества выпуклых фигур
такэюе представляет собой выпуклую фигуру (если, конечно, это
пересечение содержит хотя бы одну точку).
Доказательство. Пусть F±, F2, ... —данные выпуклые
фигуры и F — их пересечение. Возьмем две произвольные точки Л, В
фигуры F. Тогда, по определению
пересечения, точки А и В принадлежат к а ждой
из фигур F±, F2 . . . Так как фигуры F±1
F2, . . . выпуклы, то каждая из них
содержит и весь отрезок АВ. Но это означает,
что весь отрезок АВ принадлежит
пересечению F фигур Fl9 F2, ... Итак,
фигура F вместе с каждыми двумя своими
точками А и В содержит также весь
соединяющий их отрезок АВ, т. е. фигура F
выпукла.
Так как полуплоскость является выпуклой фигурой, то из
доказанной теоремы вытекает, в частности, что пересечение любого
множества полуплоскостей представляет собой выпуклую фигуру.
Замечательно, что имеет место и обратное предложение:
плоская выпуклая фигура F, отличная от
всей плоскости, может быть представлена
как пересечение некоторого множества
полуплоскостей, а именно, всех полуплоскостей,
содержащих фигуру F. В самом деле, прежде
всего очевидно, что полуплоскости, целиком
содержащие фигуру F, существуют: например,
любая опорная прямая фигуры F делит
плоскость на две полуплоскости, одна из которых
содержит F. Ясно, что пересечение Я всех
полуплоскостей, содержащих фигуру F,
представляет собой выпуклую фигуру,
содержащую F. Докажем, что в действительности П совпадает с F.
Действительно, пусть Л —точка, не принадлежащая фигуре F.
Тогда существует прямая /, разделяющая выпуклые фигуры А и F
(рис. 68; заметим, что одна из этих фигур, а именно А,
ограничена).
Следовательно, та из полуплоскостей, определяемых прямой /,
которая содержит фигуру F, не содержит точки А и, значит,
точка А не принадлежит фигуре П. Из этого и вытекает, что
фигура П не содержит точек, не принадлежащих фигуре F, т. е. /7
совпадает с /\
Рис. 68.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 209
Таким образом, плоская фигура в том и только в том случае
является выпуклой, если она может быть представлена в виде
пересечения некоторого множества полуплоскостей. Это свойство
может быть принято за новое определение выпуклых фигур.
Заметим еще, что в качестве полуплоскостей, пересечение
которых представляет собой заданную выпуклую фигуру F, можно взять
все содержащие F полуплоскости,
ограниченные опорными прямыми фигуры F
(рис. 69).
3.2. Выпуклые многосторонним! и
многогранники. Особый интерес представляют
фигуры, которые можно представить в виде
пересечения конечного числа полуплоскостей.
Такие фигуры называются выпуклыми много*
сторонниками.
Пусть выпуклый многосторонник М
образован пересечением полуплоскостей /71? Я2, . ..
. . ., Пк. Ясно, что если какая-либо из этих
полуплоскостей, скажем Пь содержит
пересечение всех остальных полуплоскостей, то полуплоскость П( является
«лишней», т. е. многосторонник М представляется также в виде
пересечения меньшего числа полуплоскостей (а именно, Пъ ..., /7^,
П[+ъ . . ., Пк). В дальнейшем каждый выпуклый многосторонник мы
будем представлять себе в виде пересечения
полуплоскостей, среди которых нет ни одной
лишней (т. е. лишние полуплоскости будем
отбрасывать). Многосторонник, образованный
пересечением п полуплоскостей (среди которых
нет лишних), называется выпуклым п-сторон-
ником.
Простейшим выпуклым многосторонником
является односторонник, т. е. полуплоскость
(рис. 4, б). Выпуклыми двусторонниками
являются углы, меньшие 180°, и полосы (рис. 4, а, в).
Заметим, что прямая линия также представляет
собой выпуклый двусторонник (ибо она может быть представлена
как пересечение двух полуплоскостей, рис. 70).
Выпуклые трехсторонники изображены на рис. 71. Мы видим,
что выпуклые односторонники и двусторонники обязательно
являются неограниченными фигурами, так что простейшим
ограниченным выпуклым многосторонником является обычный треугольник
(рис. 71,(3). При я^З выпуклые многосторонние могут быть как
ограниченными, так и неограниченными (рис. 72).
Примером выпуклого ограниченного четырехсторонника может
служить также обыкновенный отрезок (рис. 73).

210
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Мы видим, что любая выпуклая фигура, расположенная на
прямой (точка, отрезок, луч или вся прямая), представляет собой
выпуклый многосторонник. Точку естественно назвать нульмерным
выпуклым многосторонником; отрезок, луч и прямую — одномерными
выпуклыми многосторонниками; наконец, все остальные выпуклые
многосторонники будем называть двумерными.
Пусть М—некоторый выпуклый /г-сторонник и Пъ /72, . . . , Пп—
полуплоскости, пересечением которых является многосторонник М.
а) б) в) г) I \ 0)
Рис. 71.
Граничные прямые полуплоскостей Пъ /72, .. . , Пп обозначим
соответственно через /х, /2, . . . , 1П. Легко понять, что каждая из
прямых 1г, /2, .. . , /„ является опорной прямой фигуры М. В самом
деле, так как фигура М целиком лежит в полуплоскости
П{ (i= 1, 2, . . . ,/z), то она расположена по одну сторону от прямой
aj 0
Рис. 72. Рис. 73.
/;. Если бы при этом прямая 1{ не имела общих точек с М (рис. 74),
то полуплоскость П( была бы лишней; между тем мы предполагаем,
что среди полуплоскостей Пъ /72, , . . , Пп нет лишних.
Предположим теперь, что выпуклый многосторонник является
двумерным. Если бы опорная прямая lt имела с М только одну
общую точку, то и в этом случае полуплоскость nt была бы лишней
(рис. 75). Таким образом, каждая прямая lt имеет с границей
фигуры М либо общий отрезок (рис. 76, а), либо луч (рис. 76, б)7

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 211
либо же lt целиком принадлежит границе фигуры М (рис. 76, в).
Часть прямой lh принадлежащая границе многосторонника М,
называется его стороной. Таким образом, выпуклый я-сторонник имеет
п сторон. Концы сторон называются вершинами рассматриваемого
многосторонника. (Иногда сторонами выпуклого многосторонника М
Рис. 74. Рис. 75.
называют сами прямые /ь *2, ... , /„, а не только указанные
части этих прямых.)
При я^З граница двумерного выпуклого многосторонника
представляет собой я-звенную ломаную. Эта ломаная замкнута, если
а) б) в)
Рис. 76.
многосторонник Мограничен (рис. 72, я), и содержит два бесконечных
луча, если он не ограничен (рис 72, а, б). В первом случае
я-сторонник имеет я вершин; во втором случае он имеет я—1 вершин.
Аналогично сказанному выше, выпуклые тела в пространстве
можно определить как пересечение некоторого множества
полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые
можно представить в виде пересечения конечного числа
полупространств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми
многогранниками. Если выпуклый многогранник может быть представлен
в виде пересечения я полупространств, но не может быть
представлен в виде пересечения меньшего числа полупространств, то
он называется выпуклым п~гранником.

212
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Легко понять, что каждый выпуклый многосторонник может
быть представлен как пересечение конечного числа полупространств,
т. е. является также выпуклым многогранником. Точку можно
назвать нульмерным выпуклым многогранником, отрезок, луч и
прямую — одномерными выпуклыми многогранниками. Двумерные
выпуклые многосторонники будем также считать и двумерными
выпуклыми многогранниками. Двумерным выпуклым многогранником
является и плоскость (ее можно представить как пересечение двух
полупространств с общей граничной плоскостью). Наконец, все
остальные выпуклые многогранники
(т. е. такие, которые не
располагаются целиком в одной плоскости)
называются трехмерными.
Рис. 77. Рис. 78.
Среди неограниченных выпуклых трехмерных многогранников
отметим полупространство (выпуклый одногранник), выпуклые
двугранные и многогранные углы (рассматриваемые вместе с
внутренностью), бесконечные выпуклые призмы (рис. 77) и др.
Ограниченные трехмерные выпуклые /г-гранники существуют лишь
при п ^4; простейшим из них является тетраэдр (выпуклый
ограниченный четырехгранник; рис. 78).
Пусть Ж —выпуклый трехмерный /z-гранник и Пи Я2, . . . , Пп —
полупространства, пересечением которых он является. Плоскости,
ограничивающие полупространства /71? /72, . . . , /73, обозначим через
ах, а2, . . . , ап. Эти плоскости являются опорными для выпуклого
тела М, причем каждая из них пересекается с границей тела М
по некоторому выпуклому многостороннику. Эти многосторонники
/\, Г2, . . . , Гп называются гранями выпуклого многогранника М;
таким образом, выпуклый я-гранник имеет п граней. Стороны много-
сторонников /\, Г2, . . . , Гп называются ребрами многогранника М,
а их концы — вершинами этого многогранника. Ясно, что у
ограниченного выпуклого многогранника все грани и ребра также
являются ограниченными.
3.3. Выпуклая оболочка множества. Доказанная в п. 3.1
теорема о пересечении выпуклых фигур позволяет
установить, что для каждой фигуры F (не предполагаемой выпуклой)

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Й МНОГОГРАННИКИ 213
существует наименьшая выпуклая фигура Т7*, содержащая F.
В самом деле, рассмотрим все выпуклые фигуры, целиком
содержащие F. Пересечение Т7* всех этих фигур также будет, согласно
указанной теореме, выпуклой фигурой, причем, очевидно, фигура
F* также содержит F. Далее, пусть F'— произвольная
выпуклая фигура, содержащая F. Фигура Z7* представляет собой
пересечение ряда выпуклых фигур, в число которых входит и F''.
Следовательно, фигура F* содержится в фигуре F' (или совпадает
с ней). Это и означает, что Z7* — наименьшая из выпуклых
фигур, содержащих F.
Фигура Z7* называется выпуклой оболочкой фигуры F. Если F —
ограниченная плоская фигура, то границу выпуклой фигуры Z7*
можно представлять себе как положение упругой резиновой нити,
плотно охватывающей фигуру F (рис. 79). Разумеется, если фигура
Рис. 79. Рис. 80. Рис. 81.
F не ограничена, то ее выпуклая оболочка также будет
неограниченной выпуклой фигурой (на рис. 80 фигура F состоит из
двух отдельных кусков: круга и луча).
В качестве простых геометрических примеров выпуклой оболочки
можно указать следующие. Выпуклой оболочкой трех точек, не
лежащих на одной прямой, является треугольник с вершинами в
этих точках. Выпуклой оболочкой двух равных кругов,
расположенных в параллельных плоскостях, является цилиндр (вообще говоря,
наклонный), основаниями которого служат эти круги (рис. 81).
Отметим еще, что конус является выпуклой оболочкой множества,
к которому причисляются вершина конуса и все точки его основания.
3.4. Выпуклые многоугольники и многозершинники. Выпуклую
оболочку конечного числа точек на плоскости называют выпуклым
многоугольником. Пусть М—выпуклый многоугольник,
представляющий собой выпуклую оболочку точек Аъ Л2, . . . , Ak. Если какая-
либо из этих точек, скажем Ah принадлежит выпуклой оболочке
остальных точек, то точка А( является «лишней», т. е.
многоугольник М может быть представлен также как выпуклая оболочка
меньшего числа точек (а именно, точек А1}. . ., Aim.x, AiJbl,..., Ап).

214
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Поэтому каждый выпуклый многоугольник мы будем представлять
себе как выпуклую оболочку точек, среди которых нет ни одной
лишней. Многоугольник, представляющий собой выпуклую оболочку
п точек Аъ Л2, . . . , Ап (ни одна из которых не является лишней),
называется выпуклым п-угольником. Сами точки Аъ Л2, . . . , Ап
называются вершинами этого выпуклого /z-угольника.
Если я=1, то /z-угольник состоит только из одной точки
(«выпуклый одноугольник»); такой многоугольник естественно назвать
нульмерным. Выпуклый двуугольник (п = 2) представляет собой
отрезок; это — одномерный многоугольник. При я^З выпуклый
/z-угольник называется двумерным. Это название объясняется тем,
что при /г^З выпуклый /г-угольник имеет внутренние точки, т. е.
Рис. 82. Рис. 83. Рис. 84.
является двумерной выпуклой фигурой. В самом деле, пусть А, В, С—
три вершины многоугольника. Они не лежат на одной прямой, так
как в противном случае одна из них была бы лишней. Легко видеть,
что выпуклая оболочка трех точек Л, В, С совпадает с
треугольником ABC. Значит, многоугольник М содержит целиком треугольник
ABC, и потому М имеет внутренние точки (рис. 82).
Рассмотрим некоторый двумерный выпуклый многоугольник М.
Ясно, что ни одна из его вершин не может являться внутренней
точкой выпуклой фигуры М (иначе эта вершина была бы лишней).
Следовательно, все вершины многоугольника лежат на его границе.
Занумеруем вершины многоугольника в том порядке, в каком они
нам встречаются при обходе границы фигуры М, скажем, в
направлении «против часовой стрелки»: Аъ Л2, . . . , Ап (рис. 83).
Проведем через вершину Ах опорную прямую / выпуклого
многоугольника М и будем поворачивать ее вокруг точки Лх до тех пор,
пока она не «наткнется» на какую-либо вершину В многоугольника
М (рис. 84). Так как все вершины многоугольника М лежат по
одну сторону от прямой АгВ, то и сам многоугольник М
(являющийся выпуклой оболочкой своих вершин) лежит по одну сторону от

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 215
АХВ, и потому АгВ—опорная прямая многоугольникам. Из этого
следует, что отрезок АгВ принадлежит границе многоугольника Ж,
а следовательно, вершины Ах к В являются соседними (на отрезке
АгВ нет других вершин, так как они были бы лишними). Аналогично,
если поворачивать прямую / вокруг точки Аг в противоположную
сторону, то она наткнется на другую соседнюю с Аг вершину С.
Из сказанного ясно, что прямая, соединяющая любые две
соседние вершины выпуклого п-угольника, является его опорной
прямой.
Мы нашли, таким образом, я опорных прямых АгА2, А2Аг, . . .
• • •» А*-1> Ап, АпАг выпуклого я-угольника АХА2 ... Ап.
Полуплоскости, определяемые этими прямыми и содержащие многоугольник, мы
обозначим через /712, /723, . . . , 77я_1?я,
/7„д (рис. 85). Нетрудно видеть, что
я-угольник ЛХЛ2, . . . , Ап совпадает
с пересечением п полуплоскостей
/712, Я28, . . . , Пп_^щ /7Я|1> т. е.
является выпуклым я-сторонником.
Таким образом, понятие выпуклого
многоугольника совпадает с
понятием [ограниченного] выпуклого wki\, s П"<п
много сторонник а. Иными словами,
привычное для нас понятие выпуклого
многоугольника может быть
определено двумя способами: как выпуклая Рис. 85.
оболочка конечного числа точек или как
(ограниченное) пересечение конечного числа полуплоскостей.
В пространстве дело обстоит совершенно аналогично. Выпуклую
оболочку конечного числа точек в пространстве условимся называть
выпуклым многовершинником. Если эти точки не лежат в одной
плоскости, то соответствующий многовершинник называется
трехмерным. Так как наименьшее число точек, не лежащих в одной
плоскости, равно четырем, то простейшим трехмерным
многовершинником является тетраэдр (ср. рис. 78). Как и в случае
плоскости, справедлива следующая теорема (доказательство которой,
впрочем, значительно сложнее, чем в плоском случае):
Понятие выпуклого многовершинник а совпадает с понятием
[ограниченного) выпуклого многогранника.
3.5. Строение выпуклой оболочки. Вернемся снова к понятию
выпуклой оболочки множества. Данное в начале этого пункта
определение выпуклой оболочки (как пересечения всех выпуклых фигур,
содержащих данную фигуру F) является, как говорят математики,
неэффективным: оно использует лишь сам факт
существования наименьшей выпуклой фигуры, содержащей F, но в нем
ничего не говорится о том, как эту наименьшую фигуру можно

216
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
отыскать. Несколько большую информацию об «устройстве»
выпуклой оболочки дает следующая
Теорема. Пусть F— некоторая плоская фигура. Точка М
в том и только в том случае принадлежит выпуклой оболочке
Т7* фигуры F, если существуют такие три точки Аъ Л2, А3
фигуры F и такие три неотрицательных числа Х±, Я2, А3, что
K + K+h=i и om=x16a1+x2oa2 + x3oa3 (*)
(О—произвольная точка плоскости).
Прежде чем переходить к доказательству, сделаем некоторые
замечания по поводу формулировки этой теоремы. Укажем,
во-первых, что аналогичная теорема имеет место и для фигур в
пространстве, с той, однако, разницей, что там уже приходится говорить
о четырех точках Аъ Л2, А3, Л4 и соответственно о четырех
(неотрицательных) числах Кх, Я2, Я3, Я4. Далее выясним смысл
соотношений (*). Хорошо известно, что если для некоторых
неотрицательных чисел Kv k2 выполнены соотношения
Х1 + Ха = 1 и 7Ш=К1ОА1 + 'кгОАъ (**)
то точка М принадлежит отрезку А±А2 (ср. ЭЭМ, кн. IV,
стр. 311); обратно, для любой точки М отрезка АгА2 найдутся
неотрицательные числа Ях, Х2,
удовлетворяющие условиям (*#). Таким
образом, соотношения (**) представляют
собой (при меняющихся Я1^0, К2^0)
как бы «уравнения отрезка А±А2».
Аналогично этому соотношения (*)
представляют собой «уравнения треугольника
АхА2А3у>. Это означает, что если для
некоторых неотрицательных чисел Х1у К2 Я3
выполнены соотношения (*), то точка М
принадлежит треугольнику АгА2А3; обратно,
для любой точки М треугольника АХА2А3
найдутся неотрицательные числа ?i3, Я2,
Я3, удовлетворяющие соотношению (*).
В самом деле, если М—точка треугольника АгА2А3 и N—точка
пересечения прямой А3М со стороной АгА2 *), то (рис. 86)
Ш=111ОА1 + 1К2Ш2, (fXi^O, [х2>0, |х1 + |га=1),
OM=vxON-\-v2OA3 (v^O, v2>0, Vi + v^l),
L) Если М совпадает с А3, то достаточно взять >vl = ^2 = 0, K3=l.
Рис. 86.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ 217
и потому
ОМ= vx (\i1OA1 + \12бА2) + v2~043 = K~OAi + Ь&А* + Ji3043,
где ^1 = v1fx1, X2=v1fx2, k3 = v2. Ясно, что Хг^0, Х2^0, Я3^0 и
X1 + ^2 + ^3 = Vl^l + VlfX2+^ = V1(|I1 + [X2) + V2 = V1 + V2=l.
Обратно, если имеет место равенство (#), в котором кг, Я2, Я3 —
неотрицательные числа, то, определив точку N вектором1)
мы найдем, что точка N лежит на отрезке А±А2. Кроме того, так
как ОЛ4=(Я1 + ^2) (W-f Я3ОЛ3, то точка М лежит на отрезке ON,
т. е. точка М принадлежит треугольнику AtA2AB.
Сделанное замечание поясняет смысл сформулированной теоремы:
Для того чтобы получить выпуклую оболочку фигуры F,
достаточно присоединить к F все треугольники (рассматриваемые как
часть плоскости, т. е. вместе с их
внутренними точками), вершины
которых принадлежат
множеству F.
Рис. 87. Рис. 88.
Исходя из определения выпуклых фигур, можно было бы
подумать, что для получения выпуклой оболочки фигуры F достаточно
присоединить к F все отрезки с концами в точках фигуры F.
Некоторые простые примеры подтверждают это предположение
(рис. 87). Можно доказать, что если F—связная фигура, то,
присоединяя к ней все отрезки с концами в точках фигуры /% мы
получим выпуклую оболочку фигуры F. Однако в общем случае
такое присоединение отрезков может не привести к цели.
Например, если фигура F состоит из трех кругов, изображенных на
*) Если ^ + ^2 = 0 (т. е. ^ = ^2 = 0), то соотношение (*) принимает вид
ОМ = ОА3, т. е. точка М совпадает с точкой Az.

218
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
рис. 88, то присоединение отрезков приводит к невыпуклой
фигуре /71. Если же мы теперь повторно произведем ту же операцию
(т. е. присоединим к FL все отрезки с концами в точках фигуры 7^),
то полученная фигура F2 будет уже выпуклой, т. е. мы получим
выпуклую оболочку F2 = F* фигуры F. Такое двукратное
присоединение отрезков в случае любой плоской фигуры F дает ее
выпуклую оболочку. Как показывает сформулированная выше теорема,
это двукратное присоединение отрезков можно заменить
присоединением треугольников с вершинами в точках фигуры/7.
Для получения выпуклой оболочки пространственной
фигуры F, вообще говоря, необходимо трехкратное присоединение
отрезков с концами в точках полученной ранее фигуры (представьте
мысленно случай, когда фигура F состоит из четырех маленьких
шариков с центрами в вершинах тетраэдра!). Вместо этого можно
для получения выпуклой оболочки пространственной фигуры F
присоединить к ней все тетраэдры с вершинами в точках фигуры F.
Перейдем теперь к доказательству сформулированной теоремы.
Обозначим через F множество всех точек М, удовлетворяющих
соотношению (*) с неотрицательными kv A2, Х3. Ясно, что фигура
F целиком содержится в F* (ибо каждый треугольник с вершинами
в точках фигуры F, целиком принадлежит ее выпуклой оболочке Z7*).
Докажем, что и, обратно, фигура Z7* целиком содержится в F. Так
как F*— наименьшая выпуклая фигура, содержащая Z7, то для
этого достаточно установить, что фигура ,Р выпукла. Пусть М\\ N —
две точки фигуры F; тогда существуют такие точки Аг, Л2, Л3,
Z?L, Б2, В3 фигуры Z7, что точка М принадле-
z* жит треугольнику АгА2А3, а точка N — тре-
/l у4*, угольнику ВХВ2В3. Обозначим через Р вы-
/ / \ ^ч. о пуклый многоугольник, представляющий
\м1 ^^&^l * с°бой выпуклую оболочку точек Аъ А2,
\&^^^0\ I ^з» ^i» ^2> ^з (многоугольник А1А2В1В2В3
\^^_ .„V? на Рис- ^9). Обе точки Ж, N принадлежат
"* 3 многоугольнику Р, а потому и весь
отрезок MN целиком принадлежит многоуголь-
Рис. 89. нику Р. Проведем теперь все диагонали
многоугольника Р, исходящие из какой-
либо его вершины. Эти диагонали разобьют весь многоугольник Р на
несколько треугольников с вершинами в точках Аг, Л2, Л3, Bl9
Б2, Б3, т. е. с вершинами в точках фигуры F (на рис. 89
треугольники АгА2В19 АХВХВ2, АгВ2В3). Любая точка отрезка MN
принадлежит одному из этих треугольников, т. е. принадлежит фигуре F. Тем
самым выпуклость фигуры F установлена, что и завершает
доказательство теоремы.

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
219
§ 4. Периметр, площадь, объем
4.1. Сложение выпуклых фигур. Выберем на плоскости
некоторую точку О. Если А и В — две произвольные точки плоскости,
то точку С, удовлетворяющую соотношению ОС—ОА-\-ОВ (рис. 90),
мы будем называть суммой точек Ли В я будем писать С = А-{-В.
Пусть теперь Ft и F2— две выпуклые фигуры. Рассмотрим
всевозможные суммы А = А±-±-А2, где точки Ах и А2 пробегают фигуры
Fx и F2 соответственно. Множество получающихся
точек А представляет собой некоторую фигуру F,
которую мы будем называть суммой выпуклых
фигур Ft и F2: F=^F± + F2 (рис. 91).
Полезно иметь в виду следующее
геометрическое описание операции сложения выпуклых фигур.
Зафиксируем точку Ах фигуры Fx\ тогда
всевозможные суммы вида А1-\-А2, где А2 пробегает все точки
фигуры F2, заполняют выпуклую фигуру Ai-\-F2i
которая получается из F2 параллельным переносом
на вектор ОАг (рис. 92, а). Множество всех фигур
A1-\-F2i где Ах пробегает все точки фигуры Fv заполняет
интересующую нас фигуру FL + F2 (рис. 92,6).
Укажем в качестве примера, что если F± и /^ — отрезки, то
F1-\-F2 будет отрезком (если F± и F2 параллельны, рис. 93, а)
или параллелограммом (если Z7!^/^» рис. 93, б). Из этого
непосредственно вытекает, что сумма любых двух выпуклых фигур
сама является выпуклой фигурой. В самом деле, пусть А = Аг-\-А2
и В=В1-\-В2 — Аве точки фигуры F = F± + F2 (рис.94). Тогда
фигуре Fx (в силу ее выпуклости) целиком принадлежит отрезок A-jB^
а фигуре F2 — отрезок А2В2. Отсюда следует, что фигуре F
целиком принадлежит сумма А1В1-\-А2В2, представляющая собой, как
мы знаем, отрезок (рис. 94, а) или параллелограмм (рис. 94, б).
Точки А и В принадлежат получающемуся отрезку (рис. 94, а) или
являются противоположными вершинами параллелограмма (рис. 94, б).
И в том, и в другом случае отрезок АВ целиком принадлежит
фигуре Z7, откуда и вытекает ее выпуклость.
Из свойств сложения векторов сразу следует, что справедливы
соотношения /71 + /3,а=/7а + /71> (/Ч +/^+^3 = /444^2 + ^) (9ТУ
последнюю сумму мы будем обозначать просто через Fx + F2 + F3 без
скобок).
Данное определение суммы выпуклых фигур, конечно, зависит
от положения слагаемых и, кроме того, от выбора точки О.
Покажем, однако, что при изменении точки О и при параллельном
переносе слагаемых сумма фигур лишь подвергается
параллельному переносу (так что форма ее не меняется). В самом деле,
пусть точка О заменяется точкой О'. Тогда точка А^=Ах-\-А2

F,*ft
F,
/ Л
1^
Рис. 91.
aj
Рис. 92.
О
4, <. / >Ф -~
/ F2 ^
тг^"*^
>C
Л Л,*,
4*4
4»^
Рис. 93.
^
в)
Рис. 94

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
221
заменится такой точкой А', что О'А' = О1'Аг-\-О'А2. Мы имеем:
ОА' = 00' + О А* = 00' + 0'Аг + 0'А> = _
= 00' + (0'0+ ОАг) + (0'0+ ОА2) = 0'0+ (ОА± + ОА2) = 0'0+~ОА.
Таким образом, точка А переходит в точку А' при параллельном
переносе на вектор О'О (рис. 95).
Аналогично доказывается, что
параллельный перекос любого
слагаемого приводит лишь к
параллельному переносу суммы
фигур. Напротив, поворот
слагаемых может существенно
изменить сумму. Например, сумма
параллельных отрезков является
отрезком, а при повороте одного
из отрезков сумма превращается
в параллелограмм.
В заключение этого пункта
отметим следующий интересный факт.
Пусть F—произвольная фигура
постоянной ширины d, a F'—фигура,
симметричная ей относительно некоторой точки; тогда сумма F + F'
представляет собой круг радиуса d. (Для доказательства надо прежде всего
установить, что F + F' есть це н т р а л ь н о - с и м ме т р и ч н а я фигура
ОК
Рис. 95.
F+F'
а)
<0
Рис. 96.
постоянной ширины 2d; из этого уже нетрудно вывести, что F + F' —
круг.) Иными словами, если фигура F' получается из F поворотом на угол
180°, то F + F' есть круг (рис. 96, а). В то же время, если F"
получается из F параллельным переносом, то F + F" есть фигура, подобная
F (с коэффициентом подобия 2, рис. 96, б). Это—еще одна иллюстрация
к тому факту, что поворот слагаемых может существенно изменить сумму.

222
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
ч?
Рис. 97.
Нетрудно убедиться, что справедлива и обратная теорема: если сумма
фигур F и F', где фигура F' получается из F симметрией относительно
точки, есть круг, то F—фигура постоянной ширины. Таким образом,
фигуру постоянной ширины можно определить как такую фигуру, сумма
которой с центрально-симметричной ей представляет собой круг г).
4.2. Отклонение. Сумму плоской фигуры F и круга Сг радиуса г с
центром в точке О можно определить как фигуру, образованную
совокупностью всех кругов радиуса г с центрами в точках фигуры F
(рис. 97). Эту сумму F-\-Cr мы будем называть r-окрестностыо
фигуры F. (Если F — пространственное
выпуклое тело, то под ejo г-окрестностью
понимают сумму/7+ Сгтела Ришара
Сг радиуса г с центром в точке О.) Пусть
GN^r /С ^Ш/Ш//Я^///1 1 ^i и ^2 — две выпуклые фигуры иг —
Оj \К1ш[Ш^ такой отрезок, что каждая из фигур
У \ ^шшШШшТЖ IF+Cr ръ F2 содержится целиком в г-окрест-
ности другой фигуры. Наименьший
из всех отрезков г, обладающих этим
свойством, называется отклонением
фигур F1 и F2 друг от друга (рис.98).
Мы будем обозначать отклонение символом о(Рг, F2).
Отметим основные свойства отклонений. Прежде всего ясно,
что отклонение о (Ръ F2) фигур FL и F2 друг от друга равно нулю
в том и только в том
случае, если эти фигуры,
совпадают. Далее, очевидно,
что g(F19 F2) = o(F2, /4)
(т. е. фигуры FXi F2
равноправны в определении
отклонения). Наконец,
докажем, что для любых трех
выпуклых фигур Fu F2, F3
имеет место неравенство
o(Flt F2) + o(F2i F3)^
В самом деле, обозначим отклонение a (F^ F2) через г, а о (F2, F3)
через s. Тогда фигура F2 находится целиком в г-окрестности
фигуры Fx\ эту г-окрестность обозначим через Я. Так как, кроме
того, фигура F3 находится в ^-окрестности фигуры F2, то она и
Рис. 98.
1) Можно рассматривать также такие фигуры F, что сумма F + F' +
360°
+F" + ... + F{n 1}, где фигура F{1) получается из F поворотом на угол i ,
представляет собой круг. Эти фигуры (их свойствам посвящен последний
параграф указанной в списке литературы книги И. М. Я г лома и В. Г.
Болтянского [1])во многом аналогичны фигурам постоянной ширины.

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
223
подавно находится в s-окрестности фигуры Н. Но легко понять,
что 5-окрестность фигуры И (т. е. r-окрестности фигуры FJ
совпадает с (г + ^-окрестностью фигуры Fx (рис. 99). Итак, Fz
находится в (г-{-^-окрестности фигуры Fv
Аналогично устанавливается, что Fx лежит
($ + г)-окрестности фигуры F3. Таким оба
разом, g(F±, F3)^r-{-s, что и требовалось
доказать.
Если рассматриваемые выпуклые
фигуры являются точками, то отклонение
о (F1, F2) совпадает, очевидно, с расстоянием
между точками Fx и F2. Поэтому
неравенство a (Z7!, F2) + g (F2, F3)^ о (F^Fs)-
означает для случая трех точек F±J F2, F3i что
сумма двух сторон треугольника F-JFJ7^ не
меньше его третьей стороны (знак равенства достигается, когда
все три точки F^ F21 F3 лежат на одной прямой). По аналогии с
этим случаем общее неравенство
°(Ft, F2)+a(F2iF8)^a(Fl9 F3)
называется неравенством треугольника.
В математике очень часто приходится рассматривать «пространства»,
«точками» которых могут служить самые разнообразные математические
объекты. Нередко между «точками» Fv F2 определено в этих пространствах
«расстояние» р (Fv F2)> причем выполняются следующие три условия:
1. Расстояние р (Fb F2) между любыми двумя точками неотрицательно;
равенство р (Fx, F2) — 0 означает совпадение точек Fx и F2.
2. p(Fv F2) = p(F2, Fi) для любых двух точек Fv F2.
3. p(Fi, F2) + p(F2, Fs)^p(Fv F3) (неравенство треугольника).
Такие «пространства» называются метрическими пространствами г).
С одним из метрических пространств читатель хорошо знаком из
школьного курса геометрии: множество всех точек плоскости (или пространства)
с расстоянием, понимаемым в обычном смысле, представляет собой пример
метрического пространства. Сказанное выше позволяет указать еще один
интересный пример метрического пространства. Именно, условимся считать
«точками» всевозможные выпуклые фигуры, а под «расстоянием» между двумя
«точками» Т7!, F2 условимся понимать отклонение о (F^ F2). При этих
соглашениях множество всех выпуклых фигур представляет собой
метрическое пространство*
4.3. Сходящиеся последовательности выпуклых фигур. Пусть
дана последовательность
Fx, F2> •••> Fn, ... (*)
выпуклых фигур. Будем говорить, что эта последовательность
*) См. стр. 537 этой книги ЭЭМ. Подробнее о метрических
пространствах можно прочесть, например, в книге Ю. А. Шрейдера «Что такое
расстояние?», М„ Физматгиз, 1963.

224
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
сходится к выпуклой фигуре F (или имеет выпуклую фигуру F
своим пределом), если lim a (F, Fn) = 0. Иными словами, последо-
вательность (*) сходится к фигуре Z7, если для каждого 8>0
можно найти такое натуральное число N, что при любом /z>iV
выполнено неравенство a (F, Fn) <C 8.
^^_^__^_^__^_^^__^_^ Теорема. Для любой двумерной
выпуклой фигуры F существует
сходящаяся к ней последовательность
выпуклых многоугольников.
Доказательство. Покажем
прежде всего, что при любом г > 0
существует выпуклый многоугольник
/И, для которого a (Z7, М) < г. Для
этого покроем плоскость сеткой
квадратов со стороной -х- (рис. 100) и
рассмотрим все квадраты этой сетки,
рис. юо. имеющие с фигурой F хотя бы одну
общую точку* Вместе взятые, эти
квадраты образуют многоугольную фигуру Fx (она
заштрихована на рис. 100), целиком содержащую фигуру F. Обозначим
через М выпуклую оболочку фигуры Fv Ясно, что М также
целиком содержит фигуру F. Если Р есть множество всех вершин
квадратов, входящих в фигуру Fu то, очевидно, М будет
совпадать также с выпуклой оболочкой множества Р (рис. 101). Так как
Р—конечное множество точек, то М — выпуклый многоугольник.
Рис. 101. Рис. 102.
Пусть А — произвольная вершина многоугольника М. Тогда
точка Л принадлежит множеству Р. Следовательно, точка . Л
принадлежит некоторому квадрату сетки, имеющему с фигурой F
общую точку Б (рис. 102). Так как расстояние между любыми двумя

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
225
точками квадрата не превосходит его диагонали, то ЛВ^ у ]/"2 <гэ
и потому точка А находится в r-окрестности фигуры F. Итак, все
вершины выпуклого многоугольника М принадлежат г-окрестности
фигуры F. Так как r-окрестность выпуклой фигуры F сама
является выпуклой фигурой, то весь многоугольник М содержится в
г-окрестности фигуры F. Кроме того, М содержит фигуру F;
поэтому ясно, что g(F, Ж)<г. Таким образом, Ж —искомый
многоугольник.
Теперь легко завершить доказательство теоремы. В самом деле,
пусть Мг, Ж2, ..., Мп, ...—такие выпуклые многоугольники,
что a (F, Мг)< 1, о (F, М2) < 1/2, . . ., о (F, Мп)< \/п ...
(существование таких многоугольников вытекает из доказанного выше).
Ясно, что lim g(F, Mn) = 0, и потому последовательность Л4Ъ М2, ...
я->со
..., Мп, . . . сходится к фигуре F.
Доказанную теорему можно несколько усилить. Назовем
вписанным многоугольником двумерной выпуклой фигуры F выпуклую
оболочку конечного числа точек, выбранных на границе фигуры F
(рис. 103). Описанным многоугольником (может быть, правильнее
было бы сказать «описанным многосторонником») двумерной
выпуклой фигуры F назовем пересечение конечного числа полуплоскостей,
каждая из которых ограничена опорной прямой фигуры F и
содержит эту фигуру (рис. 104). В дальнейшем мы будем
рассматривать лишь ограниченные описанные многоугольники
(рис. 105).
Из доказательства приведенной выше теоремы легко вывести,
что для произвольной двумерной выпуклой фигуры F можно найти
Рис. 103. Рис. 104. Рис. 105.
сколь угодно близкий к ней описанный многоугольник. В самом
деле, построенный при доказательстве теоремы многоугольник М
содержал фигуру F внутри себя (рис. 106). Если теперь перенести
параллельно стороны многоугольника, сделав их опорными прямыми
фигуры F, то мы получим описанный многоугольник Мх, целиком

226
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
содержащийся в М (пунктирный многоугольник на рис. 106). Ясно,
что o(F, M1)^g(F, M) <г, откуда и вытекает наше утверждение.
Легко видеть также, что для каждой двумерной выпуклой фи-
гуры F можно найти сколь угодно близкий к ней вписанный
многоугольник. Для доказательства достаточно покрыть плоскость
сеткой квадратов со стороной г/2 (рис. 100) и рассмотреть все
точки пересечения границы фигуры F с линиями сетки (рис. 107).
Рис. 106. Рис. 107
Эти точки являются вершинами вписанного многоугольника М'',
причем нетрудно показать, что a (F, М') ^ -^ ]/2, т. е. подавно
o(F, M')<r.
Теперь ясно, что доказанную выше теорему можно уточнить
следующим образом:
Для любой двумерной выпуклой фигуры F существует сходя-
щаяся к ней последовательность описанных многоугольников;
точно так же существует сходящаяся к F последовательность
вписанных многоугольников.
4.4. Теорема Бляшке. Во многих вопросах теории выпуклых
тел оказывается весьма удобной следующая теорема,
принадлежащая известному немецкому геометру В. Бляшке. В настоящей
статье эта теорема использоваться не будет, но она найдет
существенные применения в статье «Геометрические задачи на максимум
и минимум».
Теорема. Пусть дана бесконечная последовательность F±,
^2> • • •» ^ю • • • выпуклых фигур, расположенных в
ограниченной части плоскости. Тогда из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Покроем плоскость сеткой квадратов со
стороной 1/8 и обозначим через Qx, Q.3, . . ., Qr те из квадратов,
которые имеют общие точки хотя бы с одной из фигур Flt F2, ...
,. ., Fnl . .. (этих квадратов имеется лишь конечное число,
поскольку все рассматриваемые фигуры расположены в ограниченной

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
227
Q»
022
О,
Q?
0>5
Ог
Qs
Оз
ш
MQi?
Qzk Q24
Щ-Рзп
вк
043
037
&4
Q2S
J?32
0зв
Oi,
Qro
Or-
023
033
0зУ
045
^5
On.
Q>s
027
034
Qs
\Q,2
020
o\
I
$35
"Qm Q41
fa
Q47
0>з\
Oj\
qJ
Ш
Рис. 108.
части плоскости). Обозначим, далее, через L (Qa, Q3, ...,Q)
множество тех фигур Fh которые имеют общие точки с каждым из
квадратов Qa, Qp, .. ., Qp, но не имеют общих точек ни с одним из
остальных квадратов. Ясно, что каждая из рассматриваемых
фигур Ft принадлежит некоторому множеству L(Q^,Q^ ...,Q0);
например, изображенная на рис. 108
фигура принадлежит множеству
? (Ч?4> Qbi Q91 QlO» Qll' ^12' ^16» Ql7>
Ql8> Ql9> ^20' ^23> ^245 ^25? ^26» ^27»
^28> ^30» Q3I» ^32' ^33» ^34? ^35> ^38>
Q39» Q40» 641)- Так как множеств
L (Qa, Qp, .. ., Qp) имеется лишь
конечное число (ибо из г квадратов Qx,
Q2, . . ., Qr можно выбрать лишь
конечное число наборов Qa, Q^, . . ., Qp),
то хотя бы одно из них содержит
бесконечно много фигур Ft
рассматриваемой последовательности.
Пусть, например, множество L1 =
= L (Qa0,Qp0, . . ., QQo) содержит
бесконечно много фигур Ft. Легко понять, что если фигуры Ft и F, при-
надлежащ множеству Lu то a{Fh /=\)<; — Действительно, если
А—любая точка фигуры Ft и Q5 — тот квадрат, который содержит
точку Л, то в квадрате Q5 найдется и некоторая точка В фигуры F-.
Так как, очевидно, AB^-^Y^, т.е. подавно Л?<1/4, то
фигура F{ целиком расположена в 1/4-окрестности фигуры F-. Точно
так же, фигура F- лежит в 1/4-окрестности фигуры Fh и потому
o(Ft, Р;)<1/4.
Разобьем теперь плоскость на квадраты со стороной 1/16 и
обозначим через Q'v Q^, . . ., Q's те из них, которые имеют хотя бы
одну общую точку с рассматриваемыми фигурами. Обозначим через
L1 (Q^, . . ., Q^) множество тех фигур из Lly которые имеют общие
точки с квадратами Q^, . .., Q' но не имеют общих точек ни с
какими другими квадратами. Хотя бы одно из множеств
^i(Qa, ..., Q') содержит бесконечно много фигур; выберем такое
множество и обозначим его через L2. Как и выше, показывается,
что если Ft и Fj принадлежат множеству Z,2, то a (Fh FA ^
<li^<T-
Затем мы разобьем плоскость на квадраты со стороной 1/32
и проделаем то же построение. Тогда мы получим такое
бесконечное множество L3 выпуклых фигур (содержащееся в множестве L3),

228
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
что a(Fh Fj) < 1/16 для любых двух фигур Lh L- из 1Ъ. Ясно, что
этот процесс можно продолжать неограниченно.
Пусть теперь Fix —некоторая фигура, принадлежащая
множеству Ьг. Выберем в L2 фигуру F?ii причем так, чтобы было
i2> iv Затем мы выберем фигуру Fia из множества Z,3> имеющую
номер /3;> /2, и т. д.
Мы докажем, что выбранная таким образом
подпоследовательность Filt Ft2, Fia, .. . выпуклых фигур является сходящейся.
Обозначим через F* выпуклую
фигуру, представляющую собой
-^--окрестность фигуры Fix, через F* —
Ft* фигуру, являющуюся -j- -окрест-
I ностью фигуры F2, далее-^-окрест-
I ность фигуры Fiz обозначим через
F* и т. д. Заметим прежде всего,
что фигура F. содержится целиком
в фигуре F*, фигура F* содер-
жится в F* и т. д. В самом деле, в
Рис. 109. j H
—окрестности фигуры Fix
содержатся все фигуры, принадлежащие множеству Lx и, в частности,
фигура Л>Но тогда в (х + "т )-окрестности фигуры Ftl содержится
^-окрестность фигуры Fiz, а это и означает, что в F*
содержится фигура F*. Иными словами, фигуры F*, F*, F*, ... образуют
«убывающую» последовательность (рис. 109).
Из этого нетрудно вывести х)? что пересечение Ф всех фигур
F*, Z7?, ... содержит хотя бы одну точку и что
последовательность F* F* ... сходится к выпуклой фигуре Ф (рис. 109).
Отсюда уже без труда следует, что и последовательность Fiv
Fiz, . . . сходится к фигуре Ф. Теорема доказана.
Заметим в заключение, что все, сказанное в этом пункте, без
труда переносится на случай пространственных выпуклых тел.
4.5. Периметр, площадь, объем2). В этом пункте мы дадим
определение понятий периметра и площади плоской выпуклой
фигуры, а также поверхности и объема пространственного выпук-
г) Воспользовавшись, например, теоремой Больцано — Вейерштрасса
(см. ЭЭМ, кн. III, стр. 159 и 270).
2) Содержание этого пункта тесно связано с помещенными в этой книге
статьями «Площадь и объем» и «Длина кривой и -площадь поверхности».

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
229
лого тела. При этом мы не будем предполагать известными
понятия длины окружности, площади круга и т. п., не получающие
в средней школе полноценных определений. Однако мы будем
считать известными понятия периметра и площади выпуклого
многоугольника, объема и площади поверхности выпуклого
многогранника.
Наше изложение мы начнем со следующих лемм, которые мы
формулируем для плоских выпуклых фигур, но которые остаются
справедливыми и для пространственных выпуклых тел (с очевидной
заменой круга шаром, квадрата — кубом и т.п.).
Лемма 1. Пусть F—некоторая плоская выпуклая
фигура и О—ее внутренняя точка. Предположим, что круг К
радиуса а с центром в точке О целиком содержится в фигуре F.
Тогда при любом г>0 фигура, получающаяся из F гомотетией
/*
с центром О и коэффициентом k=l Н—, содержит г-окрест-
ность фигуры F (рис. ПО).
Доказательство. Пусть А — произвольная точка фигуры F,
лежащая вне круга К, и С—круг радиуса г с центром в этой
точке. Проведем из точки А касательные к кругу К и обозначим
через И выпуклую фигуру, получающуюся добавлением к кругу К
части плоскости, заключенной между его окружностью и
касательными (рис. 111). Фигура Н целиком содержится в выпуклой фи-
гуре F. При гомотетии с центром О и коэффициентом k=l-\—
отрезки, входящие в границу фигуры Н, перейдут в касательные
Рис. ПО. Рис. 111.
к кругу С (ибо OE:OD = k, см. рис. 111). Поэтому фигура Н\
получаемая из Н при этой гомотетии, целиком содержит круг С.
Тем более содержит круг С фигура F', полу-чающаяся из F при

230 выпуклый фигуры и тела
рассматриваемой гомотетии. Если же точка А принадлежит кругу Л',
то и в этом случае круг С радиуса г с центром в точке А
содержится в F' (в этом случае он даже содержится в круге К\
получающемся из К при рассматриваемой гомотетии).
Итак, фигура F' содержит круг С радиуса г с центром в
любой точке А фигуры F. Но это и означает, что F' содержит
r-окрестность фигуры F. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Мг и М2—два плоских выпуклых
многоугольника, внутри каждого из которых можно поместить круг
радиуса а. Обозначим периметры этих многоугольников через
119 /2, а площади — через sx, s2. Тогда
i'i-',i<'-7. i*i-*.i<*-?(2+?),
где I — наибольший из периметров /ь /2; 5—наибольшая из
площадей st, s2, a г = о(М1,М2)— отклонение многоугольников Мг
и М2 друг от друга1).
Доказательство. Обозначим М'± многоугольник, получаю-
щийся из Мг гомотетией с коэффициентом & = и центром,
совпадающим с центром круга радиуса а, лежащим внутри Мх.
Тогда многоугольник Af^ содержит г-окрестность многоугольника М±,
а следовательно, и многоугольник М2 (ибо в силу равенства г =
= о(М1, М2), многоугольник М2 лежит в г-окрестности
многоугольника Мг). Из этого следует, что периметр и площадь
многоугольника М'г больше, чем соответственно периметр и площадь выпуклого
многоугольника М2. Но периметр и площадь многоугольника М'
имеют значения Ых и k2sx. Таким образом, &/1>/2, k2st> s2i и
потому
s2-s1<.k*s1-s1 = (\ + ^y s1 — s1 =
1) Для пространственных многогранников Мг, М2, имеющих площади
поверхностей sx, s2, объемы vv v2 и содержащих внутри себя шар радиуса а,
аналогичные неравенства имеют вид
1ч—.1<-?(2+?). 1'1-».1<'-т(8 + 3Т + 5)'
где s—наибольшая из площадей slf s2; v — наибольший из объемов vv v2.

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
231
Совершенно так же доказывается, что и /х — 12<И —, s±-~ s2<C
<Cs — ( 2 -)—J. Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что если Mlf М2, ..., Мп,
...—последовательность выпуклых многоугольников, сходящаяся к
двумерной выпуклой фигуре F, то их периметры /х, /2, . .., /п, ...,
а также их площади $х, s2, . .., sn, ... образуют сходящиеся
числовые последовательности. Для
доказательства прежде всего установим, что
существует круг, содержащийся в каждом из
многоугольников Мп с достаточно большим
номером п. В самом деле, пусть К—круг,
заключенный внутри фигуры F и не имеющий
общих точек с границей фигуры F (рис. 112).
Проведем концентрическую с кругом К
окружность С несколько большего радиуса, также
содержащуюся в фигуре F. Разность радиусов
окружности С и круга К обозначим через Ь.
Пусть N—такое число, что при n>N
выполнено неравенство о(F, Мп) <СЬ. Оказывает- Рис- П2.
ся тогда, что при n>N многоугольник Мп
целиком содержит круг К. Действительно, допустим, что это не так,
т.е. что некоторый многоугольник Мп, где n>N, не содержит
целиком круга К, т. е. некоторая точка А этого круга не
принадлежит многоугольнику Мп. Проведем прямую /, разделяющую точку
А и многоугольник Мп. Далее проведем параллельную /
касательную /' к окружности С, расположенную с той же стороны от /,
что и точка А (рис. 112). Прямая /' касается окружности С в точке
В, очевидно, отстоящей от ближайшей
точки многоугольника М более чем на Ь.
Следовательно, точка В не принадлежит
^-окрестности многоугольника Мп. Но это
противоречит тому, что о (F, Мп)<Ь, т. е. вся
фигура F (и, в частности, точка В)
расположена в ^-окрестности многоугольника Мп.
Итак, существует круг К,
содержащийся во всех многоугольниках Мп при п >N.
Радиус круга К обозначим через а. Легко
видеть далее, что существует выпуклый
Рис 113. многоугольник Q, содержащий все
многоугольники Мп при #;> N. В самом деле, все
эти многоугольники расположены внутри ^-окрестности фигуры F.
Обозначим эту ^-окрестность через F''. Если теперь провести к
фигуре Fr две параллельные между собой опорные прямые и еще

232
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
две опорные прямые, перпендикулярные к ним (рис. 113), то мы
получим прямоугольник Q, содержащий всю фигуру F', а значит,
и все многоугольники Мп с номерами n>N. Периметр и площадь
многоугольника Q обозначим соответственно через к и 2. Ясно,
что при n>N справедливы неравенства 2>s„ (ибо
многоугольник Мп содержится в Q); точно так же Х> 1п при n>N (ибо
периметр «объемлющего» многоугольника всегда больше, чем
периметр содержащегося в нем выпуклого многоугольника).
Пусть теперь w, n — два натуральных числа, каждое из
которых больше N. Тогда /„<СА, 1т<:Х, так что наибольший из
периметров 1т, 1п меньше, чем к. Точно также наибольшая из
площадей sm, sn меньше, чем 2. Поэтому из леммы 2 мы
находим, что (при m>N, n>N)
l'.4l<^, |*e-*J<2?(2 + ?), (•)
где r = G(Mn, Мт).
Так как о (Мп, Мт) <a(F, Mn) +а (F, Мт) (в силу неравенства
треугольника), lim g(F, Mn)= lim а(/7, Мт) = 0, то величина г =
= о(Мп, Мт) стремится к нулю, когда тип неограниченно
увеличиваются (независимо друг от друга):
lim o(Mn,Mm) = 0.
т-+со
п-*со
Поэтому из (#)следует, что
m->oo m-+co
п-+ср /i->gd
Но это и означает1), что числовая последовательность /1? /2, ...
..., /„, ... (а также последовательность sl9 s2, ..., sn, ...)
является сходящейся.
Предположим теперь, что, кроме последовательности Мъ Ж2, . ..
..., Мп, ..., мы имеем еще одну последовательность Ми М%, . ..
..., Мп, ... выпуклых многоугольников, также сходящуюся к той
же фигуре F. Тогда периметры 1и /2, ..., 1п, ••• и площади
su s2, ..., sn, ... этих многоугольников также образуют
сходящиеся числовые последовательности. Покажем, что эти новые
последовательности сходятся к тем же пределам, что и прежние
последовательности:
lim 4 = lim ln9 lim s'n = lim sn. u#\
rt-^co n-*-co rt->a> n->co
l) В силу так называемого критерия сходимости Коши, излагаемого в
любом учебнике математического анализа.

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
233
В самом деле, начиная с некоторого п, все многоугольники Мп
также располагаются внутри Q и содержат внутри себя круг К.
Поэтому для достаточно большого п к многоугольникам Мп и Мп
применима лемма 2:
|4-'.1<*?, \*п-*л\<^(2+±),
где г = а (Мп, Мп). Но о (М'п, Mn)*?o(F, Мя) ± о (F, Мп), и
потому о (Мп, Мп) стремится к нулю при п—*оо. Отсюда и вытекает
справедливость равенств (**).
Итак, пусть F — произвольная двумерная выпуклая фигура. Рас-
смотрим последовательность Мг, М2, .. ., Мп, . . . выпуклых
многоугольников, сходящуюся к фигуре F (существование такой
последовательности было установлено в п. 4.3); периметры и
площади этих многоугольников обозначим соответственно через 1Ъ
/2, ..., /п, ... и эъ s2i . . ., sn, ... Тогда (это было также
установлено) существуют пределы
I = lim /п, 5 = litn sn,
причем эти пределы не зависят от выбора последовательности
выпуклых многоугольников Мг, М2, .. ., Мю .. . (т. е. они полностью
определяются самой фигурой F). Числа I и s называются
соответственно периметром и площадью выпуклой фигуры F.
Таким образом, мы определили понятие периметра и площади
для любой двумерной выпуклой фигуры. При этом мы считали
известными понятия периметра и площади выпуклого
многоугольника, которые несравненно проще, чем понятия периметра и
площади для произвольных выпуклых фигур. Заметим, что если
фигура F сама является выпуклым многоугольником, то в качестве
последовательности выпуклых многоугольников, сходящихся к F,
можно взять последовательность совпадающих с F
многоугольников: М1 — М2 = . . . =Мп= . . . =F. Так как понятия
периметра и площади не зависят от выбора сходящейся
последовательности, то ясно, что наше определение периметра и площади
(построенное с помощью предельного перехода) приводит в случае
выпуклого многоугольника к обычным периметру и площади.
Для определения периметра и площади выпуклой двумерной
фигуры F, как мы видели, можно пользоваться любой
последовательностью выпуклых многоугольников, сходящейся к фигуре
F. Часто с этой целью используют вписанные или описанные
многоугольники выпуклой фигуры F (см. п. 4.3).
Укажем теперь некоторые общие свойства периметров и
площадей выпуклых фигур. Прежде всего мы остановимся на вопросе
о поведении площади и периметра при преобразованиях подобия.

234
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Теорема. Если выпуклая фигура F' подобна выпуклой
фигуре F с коэффициентом подобия &, то периметры V\ I и
площади s'', s этих фигур связаны соотношениями l' = kl, s' = k2s.
В самом деле, пусть а—преобразование подобия (с
коэффициентом &), переводящее фигуру F в F', Пусть далее Мь
М2, . .., Мп, ...—какая-либо последовательность выпуклых
многоугольников, сходящаяся к фигуре F. Тогда последовательность
Mi, М2, .. ., Мл,. . . многоугольников, получающихся из Мх, М2, . . .
..., М„, ... с помощью преобразования а, сходится1) к фигуре
F'. Но, как известно, периметры 1п, 1п многоугольников Ми, Мп
и площади snJ sn этих многоугольников связаны равенствами /„ —
= kln, sn = k2sn. Переход к пределу в этих равенствах при п—> оо
и дает требуемые соотношения.
Доказанную теорему можно применить к вычислению длины
окружности и площади круга. Обозначим площадь круга К0у
имеющего радиус 1, через я. Пусть теперь К—круг произвольного
радиуса R. Так как круг К может быть
получен из К0 преобразованием подобия с
коэффициентом подобия /?, то площадь 5 круга К
связана с площадью я круга К0 соотношением
s = R2-n. Итак, для площади круга радиуса
R мы имеем формулу s = nR2.
Пусть теперь Мп — произвольный
описанный многоугольник круга /С (рис. 114). Разбив
многоугольник М на треугольники с общей
Рис. 114. вершиной в центре Округа К, мы найдем, что
периметр 1п и площадь sn многоугольника Мп
связаны соотношением sn = -~- /„•/?. Поэтому, взяв
последовательность Мъ М2, ..., Мп, . .. описанных многоугольников,
сходящихся к кругу К, и переходя к пределу, мы получим limsn = -^ /?lim/n,
или s = -^R-^ где /—периметр круга К (т. е. длина окружности
радиуса R). Таким образом, для длины окружности радиуса R мы
получаем формулу
, 2s 2nR2 0 n
/ = -?- = -?- = 2л;/?.
В заключение заметим, что, хотя площадь и периметр
определены здесь не во всей возможной общности, а лишь для
сравнительно узкого класса фигур (а именно, выпуклых фигур), они сов-
г) Это, например, вытекает из того очевидного факта, что если фигуры
F' и G' получаются из F и G преобразованием подобия с коэффициентом
/г, то a(F', G') = ko(F, G).

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
235
падают для этих фигур с общим понятием площади и длины.
Точнее говоря, любая выпуклая фигура F является плоской квад-
рируемой областью, а ее площадь, как квадрируемой области,
совпадает с площадью, определенной в этом пункте. Точно так
же граница плоской выпуклой фигуры является замкнутой
спрямляемой линией, и ее длина (как спрямляемой линии) совпадает с
определенным в этом пункте периметром выпуклой фигуры. Отсюда
вытекает, что площадь выпуклой фигуры обладает всеми
основными свойствами (инвариантность, аддитивность,
неотрицательность, нормировка), положенными в основу определения общего
понятия площади1). Впрочем, справедливость этих свойств легко
доказать непосредственно, исходя из данного в этом пункте
определения площади выпуклой фигуры. Точно так же периметр
выпуклой фигуры обладает всеми основными свойствами длины (см.
стр. 89 и 98 этой книги ЭЭМ). Весьма существенно, однако, что, в то
время как длина произвольной спрямляемой линии обладает лишь
свойством полунепрерывности, понятие периметра выпуклой
фигуры обладает более сильным свойством непрерывности.
Точно так же обладает свойством непрерывности и понятие площади
выпуклой фигуры. Именно, справедлива следующая
Теорема. Пусть F— произвольная двумерная выпуклая
фигура, s — ее площадь и / — периметр. Пусть, далее,
е—произвольное положительное число. Тогда существует такое число 6>0,
что если выпуклая фигура F' удовлетворяет соотношению
о (F, F') < б, то ее площадь s' и периметр V удовлетворяют
неравенствам \s—s'|<.e, \1 — V |<е. Из этого, в частности,
следует, что если последовательность выпуклых фигур Fx, F2, ...
. .., Fk, ... сходится к двумерной выпуклой фигуре F, то их
площади sx, s2, ..., sk, ... и периметры lx, /2, .. ., lk, ...
сходятся соответственно к площади s и периметру I фигуры F:
lim $k = s, lim lk = I.
П-+ 00 П-+СО
Доказательство этой теоремы несложно выводится из леммы 2
(стр. 230). (По существу, в этой лемме утверждается
непрерывность площади и периметра для случая выпуклого
многоугольника.)
Аналогично изложенному строятся понятия объема и
площади поверхности для пространственных выпуклых тел.
Именно, если F — произвольное выпуклое тело, то можно построить
сходящуюся к нему последовательность Мг, М2, . . ., Мп, .. .
выпуклых многогранников. Обозначим объемы и площади
поверхностей этих многогранников соответственно через vx, v2, ...,vn, ...
) См. стр 7—8 этой книги ЭЭМ.

236
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
и 5Х, s2, ..., sni .... Оказывается, что существуют пределы
v — \\mvn, s=rlimsw, причем эти пределы не зависят от выбора
/г->со az->go
сходящейся к F последовательности выпуклых многогранников Мг,
М2, ..., Мп, ... (т. е. они полностью определяются самой
фигурой F). Числа v и s называются соответственно объемом и
площадью поверхностиг) выпуклого тела F.
Введенные таким образом понятия объема и площади
поверхности совпадают (для выпуклых тел) с общими определениями
этих понятий (см. стр. 76 и 130); они обладают всеми свойствами
объема и площади поверхности и дополнительно свойством
непрерывности.
Если выпуклое тело F' подобно выпуклому телу F с
коэффициентом подобия &, то объемы v\ v и площади поверхностей
s\ s этих тел связаны соотношениями v' = kdv, s' = k2s.
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы на стр. 234.
Из этого, в частности, вытекает, что объем v шара радиуса R
равен р/?3, где р —объем шара радиуса 1. Рассматривая
описанные вокруг шара многогранники, мы получим (так же как на
стр. 234), что поверхность s шара радиуса R связана с его
объемом формулой v = -^Rs (ибо объем пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на высоту).
Следовательно, s — -„- — 3pR2.
В полученных формулах г/ = р/?3, s — 3pR?l число р играет роль,
аналогичную роли числа я в формулах площади круга и длины
окружности. Замечательно, однако, что число р весьма просто
выражается через я. А именно, р = —-я, благодаря чему
формулы для объема и площади поверхности шара принимают вид
4
*/ = -?-Я/?3, 5 = 4я/?2).
4
Доказательство соотношения р=-^-я использует
специфические свойства шара и круга и не связано с теорией выпуклых тел.
В любом варианте такого доказательства используется операция
интегрирования или какой-либо предельный переход, по существу
эквивалентный ей. Этим и объясняется сложность вывода формулы
объема шара в учебниках элементарной геометрии.
Подчеркнем, что наличие одного и того же числа я в
формулах s = я/?2, l=2nR неудивительно и очень легко обосно-
х) Отметим, что такой подход к понятию площади поверхности
выпуклой фигуры несравненно проще общего определения площади квадрируемой
поверхности. (О трудностях, связанных с этим общим определением, см.
стр. 130—137 этой книги ЭЭМ.)

ПЕРИМЕТР, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ
237
вывается (см. стр. 234). Однако тот факт, что это же число к
4
встречается в формулах v = -^-nR3, s = 4n/?2, относящихся к шару,
является весьма замечательным и нетривиальным: во всей
элементарной математике нелегко указать теорему, сравнимую по своей
неожиданности с соотношением р = -^-я. Еще более удивительно
то, что в формулах для объема и поверхности многомерных шаров
(см. стр. 247 этой книги ЭЭМ) вновь появляется то же число
я (но уже в некоторых степенях!).
4.6. Периметр и площадь суммы выпуклых фигур. В этом
пункте мы укажем без доказательства некоторые теоремы о периметре
и площади фигуры Fx + F2, где Fx и F2 — заданные выпуклые фигуры.
Теорема. Периметр фигуры F1 + F2 равен сумме
периметров фигур F± и F2: l(F1-\- F2) = l(F1)-{-l(F2). (При этом, если
какая-либо из фигур F±, F2 представляет собой отрезок длины
а, то периметр этой фигуры следует считать равным 2а, т. е.
отрезок мы представляем себе в виде «двусторонние», состоящего
из двух совпавших сторон длины а.)
В качестве примера применения сформулированной теоремы
укажем, что если F — произвольная выпуклая фигура, a F' — ее
r-окрестностъ (рис. 97), то периметр фигуры F' равен 1-\-2кг,
где I — периметр фигуры F. В самом деле, мы имеем F' = F +¦ Сп
где Сг —круг радиуса г (см. стр. 222), откуда и вытекает
требуемое утверждение.
Из сформулированной теоремы вытекает также следующий интересный
факт, установленный французским математиком Барбье: любая фигура
постоянной ширины d имеет периметр nd. В самом деле, пусть F —
фигура постоянной ширины d, a F'—фигура, симметричная ей относительно
некоторой точки. Обозначим периметр фигуры F через /; тогда и фигура
F' имеет периметр /. Фигура же F + F' имеет, согласно сформулированной
выше теореме, периметр / + /, т. е. периметр 21. Но F-\-F' есть круг
радиуса d (см. стр. 221), и потому его периметр равен 2nd. Таким образом,
21 = 2nd, откуда и вытекает, что периметр / фигуры F равен nd.
Для площади фигуры F1 + F2 уже нет такого точного
утверждения, как для периметра. Равенство s(F±-\-F2) =s (Fj) -\-s (F2),
которое, по аналогии с периметрами, может в первый момент
прийти в голову, места не имеет. Именно, имеет место следующая
Теорема. Для любых (двумерных) выпуклых фигур Fx, F2
справедливо неравенство s (F± + F2)>s (F^ + 5 {F2).
Иными словами, величина 5(/71 + F2)—s (Fx) — s (F2) всегда
положительна; половину этой величины обозначают через
s (F-l, F2) и называют смешанной площадью выпуклых фигур Fx и F2:
s(Fi> F%) =-^[$ (F\ + F2) -~s (Fi) — s (Ft)]- Эт0 соотношение
переписывается в виде равенства s (F± -(- F2) =:s(F1) -\- s(F2) -f- 2s (Fl7 F2)}

238
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
которое и дает выражение для площади фигуры F1 + F2.
Разумеется, это равенство есть лишь иная форма определения
смешанной площади, и до тех пор, пока у нас нет какой-либо иной
информации о смешанной площади, это соотношение бесполезно.
Точного выражения смешанной площади s (F±1 F2) через
площади siFJ, s(F2) не существует. Однако справедлива следующая
весьма важная теорема, оценивающая величину смешанной
площади (эта теорема была доказана в конце XIX столетия
немецкими математиками Г. Брунном и Г. Минковским):
Теорема. Для любых (двумерных) выпуклых фигур Fl9 F2
справедливо неравенство ^(/71, F2)^]/rs(F1)-s(F2)'i равенство
достигается лишь в том случае, если фигуры Fx и F2 равны и
параллельно расположены или гомотетичны.
Следует заметить, что смешанная площадь не меняется при
параллельном переносе одной (или обеих) фигуры Fly F2, но может
существенно измениться при повороте одной из этих фигур. (Отсюда
видно, что только площадями фигур F±,
F2 смешанная площадь s (Flt F2) не
определяется.)
В качестве примера рассмотрим смешанную
площадь s(F, Сг), где Сг — круг радиуса г.
Сумма F + Cr есть г-окрестность фигуры F.
В случае, если F — выпуклый многоугольник,
его r-окрестность F-\-Cr разбивается на три
сорта частей: сам многоугольник F, прямо-
Рис. 115. угольники высоты г, построенные на сторонах
F, и секторы, составляющие вместе круг
радиуса г (рис. 115). Сумма площадей указанных прямоугольников
равна, очевидно,/• г, где / — периметр многоугольника F; сумма же
площадей секторов равна яг2, т. е. равна s(Cr). Итак, s (F-\-Cr) =
= s(F)~\-lr + s(Cr), где / — периметр фигуры А Формула эта
справедлива для любого выпуклого многоугольника, а потому и вообще
для любой двумерной выпуклой фигуры (ср. теорему на стр. 235).
Теперь мы легко определим смешанную площадь:
s(F, С,) = ±{s (F +Cr)-s (F) - s (С,)] = \ Ir.
Рассмотренный пример вычисления смешанной площади
приводит к очень важному результату. Именно, в силу теоремы Брун-
на — Минковского, мы имеем: (s(F, Cr))2^s (F)-s (Cr), т. е. (-=- lr\ ^
^zS(F) nr2. После упрощения мы получаем, что для любой
двумерной выпуклой фигуры F имеет место неравенство s^ —/2,
где / — периметр фигуры F, a s — ee площадь. Равенство дости-

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 239
гается лишь в том случае, если фигура F гомотетична Сг, т. е.
если фигура F является кругом.
Чтобы яснее представить себе смысл полученного неравенства,
будем считать, что фигура F не является кругом, и обозначим
через К круг, имеющий тот же периметр /, что и фигура F.
Радиус R этого круга находится из соотношения l = 2nR, т. е.
R— -у- /, а площадь круга К равна nR2 = n (^— l) = —/2. Но
ведь это как раз та величина, которая стоит в правой части
написанного выше неравенства. Таким образом, неравенство s<C-r— /2
(здесь неравенство строгое, так как фигура F по предположению
отлична от круга) переписывается в виде s(F) <s(K). Иными
словами, площадь любой выпуклой фигуры, отличной от круга,
меньше, чем площадь круга, имеющего тот же периметр, т. е.
из всех выпуклых фигур заданного периметра I наибольшую
площадь имеет круг. Об этой интересной и важной теореме мы еще
будем говорить в статье «Геометрические задачи на максимум и
минимум»; в частности, там мы приведем другое ее доказательство,
не опирающееся на теорему Брунна — Минковского.
Теорема Брунна — Минковского имеет и другие интересные
геометрические приложения.
Аналогичные результаты имеют место и для пространственных
выпуклых тел. Мы на этих вопросах не останавливаемся.
§ 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах
5.1. Основные свойства. Для читателя, знакомого с понятиями
многомерной геометрии (см. статью «Многомерные пространства» в этой книге
ЭЭМ), мы укажем здесь основные факты, относящиеся к я-мерным
выпуклым телам. Определение выпуклой фигуры в n-мерном евклидовом
пространстве ничем не отличается от приведенных выше определений: фигура
F выпукла, если вместе с каясдыми двумя точками она содержит и весь
соединяющий их отрезок. В n-мерном пространстве существуют выпуклые
фигуры разного числа измерений: одномерные, двумерные, трехмерные, ...
..., /г-мерные. Выпуклое тело F называется k-мерным, если оно целиком
лежит в некоторой ^-мерной плоскости, но не помещается ни в какой
(k — 1)-мерной плоскости. В частности, выпуклое тело считается п-мерным,
если оно не лежит ни в какой (п — 1)-мерной плоскости. Это определение
равносильно следующему: выпуклое тело /г-мерного пространства
называется n-мерным, если оно содержит (хотя бы одну) внутреннюю
точку Л, т.е. такую точку Л, что шар некоторого радиуса с центром
в точке Л принадлежит рассматриваемому телу (ср. рис. 11).
Выпуклые тела мы всегда будем предполагать замкнутыми. Все точки
/г-мерного выпуклого тела F (расположенного в n-мерном пространстве),
не являющиеся его внутренними точками, называются его
граничными точками. Совокупность всех граничных точек тела F называется его
границей.
Пусть F—некоторое я-мерное выпуклое тело в /г-мерном пространстве.
Гиперплоскость, содержащая хотя бы одну граничную точку тела F, но не

240
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
содержащая ни одной его внутренней точки, называется опорной
гиперплоскостью тела F. Через каждую граничную точку выпуклого n-мерного тела F
проходит хотя бы одна опорная гиперплоскость. Это свойство является
характеристическим для n-мерных выпуклых тел.
Точно так же, если F—о граниченное n-мерное выпуклое тело и
Г—произвольная гиперплоскость, то существуют ровно две опорные
гиперплоскости тела F, параллельные гиперплоскости Г. Расстояние между ними
называется шириной выпуклого тела F в направлении, перпендикулярном
к гиперплоскости Г. Наименьшая ширина выпуклого тела F
называется просто его шириной. Наибольшая ширина тела F называется
его диаметром; диаметр совпадает также с наибольшим из расстояний
между двумя точками тела F.
Если F и G—два не пересекающихся выпуклых тела в п-мерном прост-
ранстве, то существует разделяющая их гиперплоскость Г (ср. рис. 64, 65),
т. е. такая гиперплоскость, что тела F и G лежат по разные стороны
от нее.
5.2. Выпуклые многогранники. Сохраняется в n-мерном пространстве
и теорема о пересечении выпуклых тел (стр. 208). Так как, в частности,
полупространство, очевидно, является выпуклым телом, то пересечение
любого числа полупространств является выпуклым телом.
Пересечение конечного числа полупространств называется
выпуклым многогранником. В дальнейшем мы будем интересоваться лишь
n-мерными ограниченными выпуклыми многогранниками.
Граница выпуклого n-мерного многогранника М состоит из конечного
числа (п — 1)-мерных выпуклых многогранников, которые называются
главными гранями многогранника М. Все главные грани многогранника М
лежат в различных гиперплоскостях. Так как каждая главная грань N
многогранника М сама является (п—1)-мерным выпуклым многогранником,
то ее граница состоит из конечного числа (п—2)-мерных многогранников
(главных граней многогранника N). Эти (п—2)-мерные многогранники
называются (п—2)-мерными гранями исходного многогранника М. Аналогично
этому главные грани (п—2)-мерных граней многогранника М называются
его (п—Ъ)-мерными гранями и т. д. Одномерные грани многогранника М
называются также его ребрами, а точки, являющиеся концами ребер
А
Dh2
^Я
УР^^
3?
П = в
Рис. 116.
л=4
(«нульмерные грани»), — вершинами многогранника М. Таким образом,
га-мерный многогранник М имеет «нульмерные грани» (вершины),
одномерные грани (ребра), двумерные грани, ..., (я—2)-мерные грани и, наконец,
(п—1)-мерные (т.е. главные) грани.
Совокупность всех ^-мерных граней n-мерного многогранника М
составляет его /г-мерный остов. На рис. 116 схематически показано
устройство одномерного остова, двумерного, трехмерного и четырехмерного кубов.

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 241
Замечательным фактом я-мерной геометрии является теорема
Эйлера:
Обозначим через Pk число k-мерных граней n-мерного выпуклого
многогранника М (так что Р0—число его вершин, a P„_i— число главных
граней); тогда число %(M) = P0—P1 + P2 — ...+( — l)n-2pn_2 + (—l)n-ipn_1
(называемое эйлеровой характеристикой многогранника М)
принимает одно и то же значение для всех n-мерных выпуклых
многогранников, а именно, оно равно 1 + (—I)""1, т.е.
v(M\—i ^» если п нечетно,
\ 0, если п четно.
Если, например, п = 2, то мы получаем равенство Р0—Рх = 0, выражающее
тот хорошо известный факт, что число вершин выпуклого многоугольника
равно числу его ребер. При п — Ъ мы получаем Р0 — Рх + Р2 = 2 («теорема
Эйлера» для обычных, т. е. трехмерных, многогранников, ср. ЭЭМ, кн. IV,
стр. 390). При п = 4 мы получаем соотношение
^о-^1 + ^2-^з = 0, (*)
справедливое для любого выпуклого четырехмерного многогранника.
Например, для четырехмерного симплекса (ср. стр. 381 этой книги ЭЭМ) мы
имеем: Р0 = 5, Р1=10У Р2=Ю, Р3 = 5, а для четырехмерного куба (стр.
240) имеем: Р0=16, Рх = 32, Р2 = 24, Р3 = 8. В обоих случаях
справедливость соотношения (*) непосредственно проверяется.
Доказательство теоремы Эйлера для /г-мерных многогранников
сравнительно сложно (впрочем, оно непросто уже для трехмерных
многогранников, см. стр. 195 этой книги ЭЭМ или стр. 387—390 кн. IV ЭЭМ). Наиболее
простое доказательство (основанное, однако, на довольно сложных идеях)
проводится средствами топологии (ср. стр. 495—497 этой книги ЭЭМ).
5.3. Выпуклые многовершинники. Для каждой фигуры F,
расположенной в /г-мерном пространстве, существует наименьшее выпуклое тело
F*, содержащее фигуру F; оно называется выпуклой оболочкой фигуры F.
(Так же как и в случаях п = 2 или 3, выпуклая оболочка F* фигуры F
представляет собой пересечение всех выпуклых тел, содержащих F.)
Выпуклую оболочку конечного числа точек называют выпуклым многовер-
шинником. Оказывается, что /г-мерное тело в том и только в том случае
является выпуклым многовершинником, если оно представляет собой
ограниченный выпуклый многогранник.
Полное описание (в векторной форме) выпуклого многовершинника
дает следующая
Теорема. Пусть в п-мерном пространстве даны k точек Аъ Л2, ...
..., Ak (где k—любое натуральное число). Точка М в том и только в том
случае принадлежит выпуклой оболочке точек Аъ А2, ..., Ak, если
существуют такие неотрицательные числа К^ %2, ..., %k, что
^ + ^+...+^=1 и m = X1.OA1 + K2'OA2+...+%k-OAk (*)
(О—произвольная точка я-мерного пространства).
Доказательство. Обозначим через G выпуклую оболочку точек
Аъ А2, ...» Ak, а через G — множество всех точек, удовлетворяющих
соотношениям (*).
Прежде всего ясно, что множество G содержит все точки Аъ Л2, .. „, Ak.
Например, из очевидных соотношений 1+0+...+0 = 1, ОЛх = 1 -ОА1-{-
-f-0-OX2+ • • • -\-Q-OAft видно, что точка Аг принадлежит этому множеству.

242
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Далее нетрудно понять, что множество G выпукло. В самом деле,
пусть точки М к N принадлежат множеству G. Тогда существуют такие
неотрицательные числа Xv ..., %k\ \1г, ..., \ik, что выполнены соотношения
^1+^2+•••+^=i, ~ом=х1Ш1+'к2-оа2+ ... +Ч-5л*;
Если теперь Р—произвольная точка отрезка MNt то мы имеем OP — OM +
-{-MP — OM + v-MN (рис. 117), где число v удовлетворяет неравенствам
О <; v ^ 1. Следовательно,
7УP = Ш + v•Ш=Ш+v(№—Ш) = vШ + (l—v)^бЖ=
= у(\11Ш1 + \12Ш2+...+11к.ы^+(\-ч)-(%1Ш
...+(v-iik + (\-v).Xk).OAk.
Итак, выполнено равенство ОР = ргОЛ1 + р2-ОА2+... +pk-OAk, где
числа Pi» Рг» •••» 9k определяются соотношениями
p/ = vfx/ + (l—v)-X/, f = l, 2, ..., /г. Так как v^O,
1 — v^Oh все числа А,/, (Л/ неотрицательны, то р/^0.
Кроме того, Pl + p2+...4-pft = v(^1 + fx2+...+^) +
+ 0 —v) (X1 + ^m+...+^) = v-l+(l —v)-l = l. Тем
самым доказано, что точка Р удовлетворяет
соотношениям (*), т. е. принадлежит множеству G Иными
словами, все точки отрезка MN принадлежат телу G, что и
доказывает выпуклость тела G.
Но так как(5—выпуклое тело, содержащее все
точки А1у Л2, ..., Л#, то тело G должно содержать и
выпуклую оболочку точек Лх, Л2, ..., Ak. Таким
образом, мы установили, что тело G содержится в G.
Для доказательства теоремы (т. е. для доказательства
того, что тела G и G совпадают) достаточно теперь
установить, что и, наоборот, тело G содержится в G. Мы докажем это
индукцией по числу k точек Аъ Л2, ..., Ak..
При & = 2, т.е. для двух точек Аъ Л2, множество G, т. е. множество
всех точек М, для которых %1 + %2—\ и ОМ = 'к1-ОА1 + %2-ОА2 (при
некоторых А^^О, ^2^0)» представляет собой отрезок АХА2 и, очевидно,
совпадает с выпуклой оболочкой G точек AVA2. Предположим, что для к
точек Лх, ..., Ak уже установлено совпадение их выпуклой оболочки G
с множеством G, описываемым соотношениями (*). Докажем, что тогда это
же справедливо и для & + 1 точек Ль Л2, ..., Л^, Ak+1.
Пусть точка М принадлежит телу G, т. е. существуют неотрицательные
числа %ъ %2, ..., %& &&+!» для которых выполнены соотношения ^i + ^2+...
...+Xk+%k+1=l и OM = %v6A1 + X2'OA2+...+lk-OAk + %k+1-'OAk+u
Среди чисел Хъ %2, ..., hk+1 непременно есть отличные от нуля (ибо сумма
этих чисел равна единице); пусть, для определенности, Хг Ф 0. Тогда
подавно Xi + ^2-f... + А^>0. Обозначим положительное число A,i + 7i2+- - + ^ъ
^
через К. Далее обозначим через N такую точку, что (Ж = -7-^ • ОЛх +
О
Рис. 117.

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 243
+ ^--ол2+.
у
+ ~ • ОАк. Так как, очевидно,
Л»
т1+т+--+т=1--
силу предположения индукции, точка N принадлежит выпуклой оболочке
точек Аь Л2, ..., Ak (рис. 118) и, значит, она подавно принадлежит
выпуклой оболочке G точек
= (^1. + • • • + ^k) + 4+1 =
=4
кг
ОАг + ...+
Xf.OAk)
Ак, Ak+1. Наконец, % + hk+i =
+ Ьк+1Шк+1=К.Ш + Ьк+1Шк+1, откуда
видно, чтоточкаМ лежит на отрезке NAk+i
(рис. 118). Но так как обе точки N, Ak+i
принадлежат выпуклому телу <j, то и
точка М принадлежит этому телу. Тем самым
доказано, что любая точка М тела G
принадлежит телу G, т. е. тела G и G совпадают.
Теорема доказана.
Пусть в n-мерном .евклидовом пространстве
даны я+1 точек Л0, Аъ ..., Л„, которые не
лежат в одной гиперплоскости. Многогранник,
являющийся выпуклой оболочкой этих точек,
называется n-мерным симплексом (ср. стр. 380).
Так, одномерный симплекс представляет собой выпуклую оболочку двух
точек в одномерном пространстве (т. е. на прямой); иными словами,
одномерный симплекс является отрезком (рис. 119, а). Двумерный
симплекс, т. е. выпуклая оболочка трех точек на плоскости, представляет собой
треугольник (рис. 119, б). Трехмерным симплексом является тетраэдр
(рис. 119, в) Таким образом, я-мерный симплекс представляет собой /г-мер-
ное обобщение треугольника (или тетраэдра).
Так как любые п точек я-мерного евклидова пространства лежат в одной
гиперплоскости, то никакой «настоящий» я-мерный многогранник (т. е не
лежащий целиком в гиперплоскости, или, иначе, содержащий внутренние
Рис. 118.
А, А*
точки) не может иметь менее п-\-\ вершин. Таким образом, /г-мерный
симплекс имеет наименьшее число вершин среди всех /г-мерных многогранников
и в этом смысле является простейшим /г-мерным многогранником. Этим
и объясняется его название (ведь слово «симплекс»—латинское simplex—как
раз и означает «простой»).
Из простейших /г-мерных многогранников, т. е. из симплексов, можно
«сложить» любой /г-мерный выпуклый многогранник. Так, например,
хорошо известно, что любой выпуклый многоугольник можно разбить на
треугольники, даже на треугольники, вершинами которых будут являться
вершины данного многоугольника (рис 120). Точно так же любой (трехмерный)
выпуклый многогранник можно разрезать на тетраэдры (на рис. 121 показано

244
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
разбиение куба на шесть тетраэдров). Аналогичное положение вещей
имеет место и в n-мерном пространстве. Именно, справедлива следующая
Теорема. Любой выпуклый n-мерный многогранник можно разбить
на конечное число не перекрывающихся (т. е. не имеющих общих внутренних
точек) симплексов, вершинами которых являются вершины данного
многогранника.
Доказательство мы проведем индукцией по числу измерений. При
л = 2, т.е. для «двумерных выпуклых многогранников» (для выпуклых
многоугольников) теорема известна (рис. 120). Допустим, что теорема уже
доказана для n-мерных многогранников, и докажем ее справедливость для
Рис. Y20. Рис. 121.
(я+1)-мерного многогранника М. (На чертежах, относящихся к
последующей части доказательства, показан случай л = 2, т.е. показано, как из
справедливости теоремы для многоугольников вывести ее справедливость для
многогранников.) Пусть Л—некоторая вершина многогранника М; через Гь
Г2, ..., Гк мы обозначим все n-мерные грани многогранника М, не и ме га-
Рис. 122. Рис. 123.
щие точку А своей вершиной (рис. 122). По предположению индукции,
каждую из граней Гъ Г2, . . ., Гк можно разбить на n-мерные (не
перекрывающиеся) симплексы, вершинами которых будут являться вершины
многогранника М. Все полученные таким путем симплексы обозначим через Дь А2, ...
..., Д^ (рис. 123). Пусть Л0, Лх, ..., Ап—вершины симплекса Дх. Добавив
к ним вершину Л, мы получим п + 2 точки Л, Л0, Лх, ..., Ап\ через Ех
мы обозначим (rc-f 1)-мерный симплекс, вершинами которого являются эти
точки. Аналогично, из n-мерных симплексов А2, ..., Д.у мы получим (добав-

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 245
ляя к их вершинам точку А) (п-\- 1)-мерные симплексы Е2, ..., S^. Мы
докажем теперь, что симплексы Elt S2, ..., S^ являются искомыми, т.е. они
попарно не перекрываются и составляют в совокупности весь многогранник М
(рис. 123).
В самом деле, если бы два симплекса S,- и Sy имели общую внутреннюю
точку, то общую внутреннюю точку должны были бы иметь и «основания»
Л/, Ау, что, однако, места не имеет. Далее,
пусть В—произвольная внутренняя точка
многогранника М. Прямая Л?, проходящая
через внутреннюю точку В многогранника М,
пересекает его границу в двух точках. Одной
из них является вершина Л; вторую обозначим
через С. Точка С не может принадлежать
n-мерной грани, содержащей вершину А (так
как иначе весь отрезок АС лежал бы в этой
грани и не содержал бы внутренних точек).
Следовательно, точка С принадлежит одной из
граней Гъ Г2, ..., Г'k, а потому принадлежит
одному из симплексов Als A2, ..., А^. Но если
точка С принадлежит симплексу А/, то точка В, лежащая на отрезке АС,
принадлежит симплексу S/ (рис. 124). Поэтому все внутренние точки
многогранника М покрываются симплексами Slf S2, ..., S^, откуда и вытекает,
что весь многогранник М покрывается этими симплексами. Теорема доказана.
5.4. Строение выпуклой оболочки. На стр. 216—-218 мы рассмотрели
теорему, которая дает описание выпуклой оболочки фигуры на плоскости,
т. е. в пространстве двух измерений. Аналогичная теорема
справедлива в я-мерном евклидовом пространстве для любого п.
Теорема. Пусть F—некоторое (замкнутое и ограниченное) тело,
располозюенное в п-мер ном пространстве. Точка М в том и только в том
случае принадлежит выпуклой оболочке F* тела F, если существуют такие
п+\ точек Л0, Аг, ..., Ап тела F и такие п + \ неотрицательных чисел
%Qt Kl9 ..., %п, что
Хо + ^+...+^^l и Ш=Х0.ОА0 + Х1.ОА1+...+%п.ОАп (**)
(О—произвольная точка n-мерного пространства).
Доказательство. Обозначим через F множество всех точек М,
удовлетворяющих соотношению (**) с неотрицательными Х0, К1г ..., %п.
Нетрудно понять, что фигура F целиком содержится в F*. В самом деле, если
точка М удовлетворяет соотношению (*), то она, согласно
сформулированной на стр. 241 теореме, принадлежит выпуклой оболочке точек Л0, Al9 ...
..., Л„, а значит, принадлежит телу F* (ибо выпуклая оболочка точек Л0,
А19 ..., Ап тела F содержится в выпуклой оболочке всего тела F). Иными
словами, всякая точка М тела F принадлежит телу i7*, т. е. F содержится
в теле F*.
Докажем, что и, наоборот, тело F* содержится в F. Для этого, очевидно,
достаточно установить, что тело F выпукло и содержит F. Если
Л0—произвольная точка тела F, то, выбрав точки Alt ..., Ап в теле произвольно, мы
можем написать: ОЛ0=1-ОЛ0 + 0-ОЛ1+ ... +0-ОЛК, откуда видно, что
точка Л0 принадлежит телу F. Таким образом, F содержит любую точку
тела F, т. е. содержит целиком тело F.
Остается доказать, что тело F выпукло. Пусть М и N—две точки тела
F; тогда существуют такие точки Л0, Ль ..., Ап\ В0, Вг, ..., Вп и
Рис. 124,

246
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
такие неотрицательные числа А,0, Хг, ..., Хп; |л0, ц1э ..., fxn, что
N + |Xi+...+[xw=l, ON = \L0-OB0 + \iv'OB1+...+iLn-OBn.
Обозначим через Р выпуклый n-мерный многогранникх), представляющий
собой выпуклую оболочку точек Л0, Alf ..., Ап, BQy Bx, ..., Вп.
Написанные выше соотношения показывают (в силу теоремы на стр. 241), что обе
точки М, N принадлежат многограннику Р. Поэтому лкзбая точка L отрезка
MN также принадлежит этому выпуклому многограннику. В силу предыдущей
теоремы, многогранник Р можно разбить на несколько симплексов с
вершинами в некоторых из точек Л0, Лх, ..., Лп, Б0, Въ ..., Вп. Точка L
принадлежит одному из этих симплексов, скажем, симплексу с вершинами С0,
Съ ..., Сп, где каждая из точек Q совпадает с одной из точек Л0, Лх, ...
..., Ап, В0, Въ ..., Вп, и, значит, принадлежит телу F. Так как точка L
принадлежит симплексу с вершинами С0, Clt ..., Сп, то найдутся такие
неотрицательные числа v0, V|_, ..., vw, что v0 + vt-{-... -j- vn= 1 и OL = v0-OCQ-\-
+ vvOC1+ ... +vn-OCn. Но это и означает, что точка L принадлежит телу Тр.
Итак, произвольная точка L отрезка MN принадлежит телу /\ т. е. это тело
выпукло. Этим и завершается доказательство теоремы.
Смысл доказанной теоремы заключается в том, что для получения
выпуклой оболочки F* тела F, расположенного в n-мерном пространстве,
достаточно присоединить к F все n-мерные симплексы с вершинами в точках
множества F (здесь предполагается, что тело F является «существенно
n-мерным», т. е. не лежит целиком в одной гиперплоскости). Такое
присоединение /г-мерных симплексов можно заменить /г-к ратным
присоединением отрезков с концами в точках полученного ранее тела (ср. стр.
217—218).
5.5. Объемы. В заключение рассмотрим вопросы, связанные с
измерением объемов и поверхностей д-мерных выпуклых тел. Прежде всего укажем,
что понятие отклонения а (Ръ F2) переносится на случай /г-мерных выпуклых
тел без существенных изменений. Дословно так же, как в двумерном или
трехмерном случае, определяется понятие сходящейся последовательности
выпуклых тел в я-мерном пространстве. Всякое /г-мерное выпуклое тело
можно представить как предел последовательности выпуклых /г-мерных
многогранников.
Теперь понятие объема /г-мерного выпуклого тела и понятие
(п— 1)-м ерного объема его границы (которое обобщает понятия
периметра плоской фигуры и площади поверхности трехмерного выпуклого тела)
определяются следующим образом. Каждому /г-мерному симплексу
приписывается определенным образом его /г-мерный объем (см. стр. 381—382 этого
тома ЭЭМ). Далее, так как всякий /г-мерный многогранник /И можно
разбить на не перекрывающиеся симплексы, то объем многогранника М можно
определить как сумму /г-мерных объемов составляющих его не
перекрывающихся симплексов (при этом можно доказать, что полученная сумма не
зависит от способа разбиения многогранника М на симплексы). Итак, понятие
/г-мерного объема определено для всех /г-мерных выпуклых многогранников.
Так как граница /г-мерного выпуклого многогранника М составляется из
конечного числа (п — 1)-мерных выпуклых многогранников (граней), то,
складывая их (п — 1)-мерные объемы, мы получаем число, называемое
(п— 1)-мерным объемом границы многогранника М.
1) Может случиться, что многогранник Р будет иметь размерность,
меньшую чем п (если все точки Л0, ..., Ап, В0, ..., Вп лежат в одной
гиперплоскости). Дальнейшее доказательство от этого не изменится.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 247
Наконец, для произвольного я-мерного выпуклого тела F его п-мерный
объем v (F) и (п— \)-мерный объем его границы s (F) определяются с помощью
предельного перехода дословно так же, как на стр. 231—233.
Мы не будем формулировать всех свойств этих объемов—они аналогичны
тем, которые мы имели при л = 2 и п = 3. Отметим лишь, что если выпуклое
тело F' подобно выпуклому n-мерному телу F с коэффициентом подобия k>
то n-мерные объемы этих тел и (п — \)-мерные объемы их границ связаны
соотношениями v(F') — kn-v(F)t s(F') = kn~1-s(F).
Если, в частности, мы рассмотрим шар радиуса 1 в я-мерном
пространстве и обозначим через vn его n-мерный объем, а через sn— (п — 1)-мерный
объем его границы, то для n-мерного шара Ег радиуса г мы получим
следующие формулы: v(Er)=vn-rn, s{Er) = sn*rn~1.
На основании сказанного в этом параграфе можно лишь утверждать, что
vn и sn—какие-то константы, делающие написанные формулы справедливыми
для всех n-мерных шаров. Но для вычисления этих констант приходится
привлекать иные методы, например интегральное исчисление.
Замечательно, что константы vn и sn опять-таки выражаются через
число зх, с которым мы имели дело при вычислении длины окружности и
площади круга; однако в выражения этих констант входят степени
числа п. А именно,
s** = (fe —1)1Я » s2fe+i= (2fe), я* (& = L 2, ...)•
Например, объем четырехмерного шара равен -^-Jt2r4, а трехмерный объем
его границы равен 2я2г3.
§ 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии
6.1. Теорема Хелли. В заключение мы остановимся на нескольких
вопросах, связанных с взаимным расположением нескольких
выпуклых фигур или с разбиением выпуклых фигур на части. Это
направление в последние годы получило название комбинаторной геометрии.
Одна из наиболее ярких теорем комбинаторной геометрии была
найдена в 1913 году немецким математиком Э. Хелли
(находившимся в то время в лагере для немецких военнопленных в России).
Первое доказательство теоремы Хелли было опубликовано в 1921 году
австрийцем И. Радоном, который узнал эту теорему от Хелли,
второе —немецким математиком Д. Кёнигом (1922г.), узнавшим
эту теорему у Радона, и лишь третье— автором теоремы (см. статью
Э. Хелли, входящую в указанный в списке литературы на стр.
268 цикл [9] статей по наглядной геометрии). В настоящее время
известны десятки разных доказательств этой замечательной теоремы.
Теорему Хелли мы сформулируем и докажем сначала для выпуклых
фигур на плоскости, а затем рассмотрим ее для выпуклых тел
в n-мерном пространстве (см. § 5 настоящей статьи).

248
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
Теорема. Если на плоскости задано конечное число выпуклых
фигур, каждые три из которых имеют общую точку, то
существует точка, принадлежащая всем этим фигурам.
Доказательство. Прежде всего установим, что если число
фигур равно четырем, то эти фигуры имеют общую точку. В самом
деле, пусть F±, F2, F3, F± — данные фигуры. Обозначим через Ах
общую точку фигур F2, F3, F4, через А2—общую точку фигур
Ft, F3, FA и т. д. Рассмотрим четыре полученные точки Аг, Л2,
А3, Л4. При этом могут представиться следующие три случая:
Рис. 125.
1) точки Аг, А2, А3, А4 являются вершинами выпуклого
четырехугольника (рис. 125, а); 2) три из этих точек, скажем АЛ, А>, А3,
являются вершинами треугольника, а четвертая точка лежит внутри
или на стороне этого треугольника (рис. 125,6); 3) все четыре
точки лежат на одной прямой (рис. 125, в).
В случае 1) обозначим через М точку пересечения диагоналей
выпуклого четырехугольника с вершинами Аъ А2, Л3, Л4. Так как
точки А2, А3, Л4 принадлежат фигуре Fu то весь треугольник А2А3А4:
принадлежит этой фигуре, а следовательно, и точка М, лежащая
на одной из сторон этого треугольника, принадлежит фигуре FL.
Точно так же показывается, что точка М принадлежит каждой из
фигур F2, F3, F±, т. е. все четыре фигуры Fly F2, F3, F± имеют
общую точку М.
В случае 2) точки Аг, А2, А3 принадлежат фигуре /74. Поэтому
весь треугольник АгА2А3 принадлежит этой фигуре, а значит,
и точка Л4 принадлежит фигуре /74. Кроме того, по определению,
точка Л4 принадлежит каждой из фигур Fly F2, F3. Таким образом,
все четыре фигуры F±, F2, F3, F± имеют общую точку Л4.
Наконец, в случае 3) две точки, скажем Аг и А3, лежат на
отрезке с концами в двух других точках. Легко видеть, что точка Аг
(или А3) принадлежит в этом случае всем четырем фигурам.
Далее проведем индукцию по числу рассматриваемых фигур.
Пусть теорема уже доказана для т фигур, где /#^4. Докажем,

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 249
что она справедлива для т-\- 1 фигур Flt F2, ...,Fm, Fm+1.
Обозначим через Фх пересечение фигур Ft и Fm+1 (рис. 126), через
Ф2 — пересечение фигур F2 и Fm+1 и т. д. Мы получаем т фигур
Ф1? Ф2, . . ., ФтУ причем каждые т р и из них имеют общую точку
(например, Ф17 Ф2, Ф3 имеют общую
точку, ибо, в силу доказанного выше,
четыре фигуры Fly F2, F3 и Fm+1 имеют
общую точку). По предположению индукции,
существует точка М, принадлежащая
всем фигурам Ф1? Ф2, .. ., Ф^. Ясно, что
эта точка М принадлежит всем фигурам
^i» F2, • • •, Fm, Fm+1. Теорема доказана.
В проведенном доказательстве (а
именно, при доказательстве теоремы для
случая четырех фигур) существенно
использовалась выпуклость. Для
невыпуклых фигур теорема уже не будет справедливой: например, на рис. 127
изображены четыре фигуры, каждые три из которых имеют
общую точку; однако все эти фигуры общей точки не имеют.
Пусть теперь на плоскости дано бесконечно много
выпуклых фигур, каждые три из которых имеют общую точку. В силу
доказанной теоремы, любое конечное число этих фигур имеет общую
часть (которая может состоять из одной точки). Однако, вообще
говоря, отсюда еще не следует, что все заданные фигуры имеют
общую точку. Рассмотрим, например, совокупность всех «верхних
полуплоскостей», ограниченных снизу всевозможными
горизонтальными прямыми. Каждые три такие полуплоскости имеют общую
часть (рис. 128); любое конечное число полуплоскостей также имеет
Рис. 126.
Рис. 127.
Рис. 128.
общую часть. Но если мы будем присоединять к какой-либо
совокупности таких полуплоскостей полуплоскости, расположенные все
выше и выше, то эта общая часть будет все более и более
удаляться вверх, так что всякая точка плоскости останется, в конце
концов, вне общей части полуплоскостей. Таким образом, не существует

250
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
точки, которая принадлежала бы всем верхним полуплоскостям
одновременно.
Однако, если хотя бы одна из рассматриваемых фигур
ограничена, то при присоединении все новых и новых фигур к некоторой
их совокупности общая часть не сможет «уходить в бесконечность»:
она все время будет оставаться в ограниченной части плоскости.
Таким образом, теорема Хелли остается справедливой и для
бесконечного числа (замкнутых) выпуклых фигур, если хотя бы одна
из фигур ограничена.
В /г-мерном евклидовом пространстве теорема Хелли формулируется
следующим образом:
Теорема. Если в n-мерном евклидовом пространстве задано конечное
число выпуклых тел, каждые /г+1 из которых имеют общую точку, то
существует точка, принадлежащая всем этим телам.
Доказательство. Предположим прежде всего, что мы имеем п + 2
тела Fl9 F2, ..., Fn+2. Выберем какую-нибудь общую точку,
принадлежащую всем рассматриваемым телам, кроме F(, и обозначим ее через А$
(здесь / может быть равно 1, 2, ..., я+ 2). Мы получаем п + 2 точки
А1у А2, ..., Ап+2. Рассмотрим векторы e1=An+2Ax, е2 = Ап+2А2,
• ••> 0я+1 = л4л+2Ал+1. Поскольку эти п + 1 векторов расположены в /г-мерном
пространстве, они линейно зависимы, т. е. существуют такие числа а1э
а2, • ••» an+i (не все равные нулю), что а1е1-\-а2е2+...+ап+1еп+1 = 0.
Выберем теперь в /г-мерном пространстве какую-либо точку О и обозначим
векторы ОА~[, ОА~2, ..., ОАп+1, О А п+2 через гъ г2, ..., гя+1, гп+2. Тогда,
очевидно,
е1 = Ап+2А1 = '0А'1 — ОАп+2 = г1 —гп+2,
en+\ = An+2An+l = 0Anjr-i—0An+2 = rn+l—rn+2.
Поэтому написанное выше соотношение можно переписать в виде
aiCi— rn+2)+a2(r2—rn_2)+...+an+l(rn+1-rn+2)=*0, или a1r1+a2r2+ ...
... -\-u>n+1rn+1—(ax + a2+ ,.. +aw+1) rn+2 = 0. Иначе говоря, имеет место
соотношение a1r1 + a2r2+...+a„+1rw+1 + a/2+2r„+2 = 0 (где a„+2 = — (ax +
+ a2+...+a„+1), причем среди коэффициентов alt a2, ..., an+2 имеются
отличные от нуля, а сумма всех этих коэффициентов р^авна нулю.
Перенесем теперь в последнем соотношении в правую часть все члены,
у которых коэффициенты отрицательны. Пусть для определенности с^г^О,
а2^0, ..., cifc^O, а дальнейшие коэффициенты отрицательны, так что мы
получим соотношение агг 1 + a2r2 + ... + o*krk — (— ak+i) rfc+i+ • ••
...+(—ая+2)гя+2, где все коэффициенты аь ..., ak, ( —afe+1), ...,(—ап+2)
неотрицательны и 0^+02 + ... +a? = (—aA+1)+...+(—ал+г)- Так как
число Y = ai + a2+ • • • +ak положительно, то обе части последнего
векторного равенства можно разделить на это число. Мы получим соотношение
Pi>*i + P2r2+ ... +P*rft = pft+1rft+1+ ... +$п+2гп+2 или Pi-OJi+ ...
...+(1*-Мя = ря+1.Мл+1+...+ря + 2.Щл+я^где р1 = ^, .... рл=3;
Рйч-1 = ^-^ » •••» Рл+2 = и~^-) • Ясно, что все коэффициенты рь ...
••• Ра» Р/г+1> •••» Р« + 2 неотрицательны и
Pl + P2+...+Pft=P* + l+...+P» + .= l.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 251
Пусть М— такая точка, что ОЖ= ^1-ОХ1+.. • +$k'0^k==?>k+i'OAk+i+- • •
... +Рл+2*ОЛ/г+2- Тогда, в силу теоремы на стр. 241, точка М принадлежит
выпуклой оболочке точек Ль А2, *.., <Aft и, кроме того, она принадлежит
выпуклой оболочке точек Ak+1, ..., Ап+2. Но каждое из (выпуклых!) тел
Fk+i, ..., Fn+2 содержит все точки Alt А2, ..., Aki а значит, и точку М;
каждое из тел Flt ..., F^ содержит все точки А^+и ..., Ап+2, а значит,
и точку М. Таким образом, все тела Fl9 F2, ..., Fn+2 содержат общую
точку М.
Далее проведем индукцию по числу рассматриваемых тел. Пусть теорема
уже доказана для т тел, где пг^п + 2. Докажем, что она справедлива
и для т + 1 тел FXt F2, ..., Fm+1. Пересечение тел i7,- и Fm+1 обозначим
через Ф,- (/ = 1, ..., т). Мы получаем т тел Ф1э Ф2, ..., Фт, каждые п + 1
из которых имеют общую точку; следовательно, и все эти тела имеют
общую точку. Но это означает, что Существует точка, принадлежащая всем
телам^, F2, ..., Fm+1. Теорема доказана.
6.2. Чебышевские приближения. Теорема Хелли имеет много
интересных приложений как в геометрии, так и в других областях
математики. В статье «Геометрические задачи на максимум и
минимум» читатель найдет две красивые геометрические теоремы
(теорема Юнга и теорема Бляшке), которые доказываются с помощью
теоремы Хелли. Много научных работ, посвященных различным
обобщениям и приложениям теоремы Хелли, продолжает появляться
и в настоящее время.
Здесь мы рассмотрим применение теоремы Хелли для вывода
классических результатов выдающегося русского математика
П. Л. Чебышева о приближении функций многочленами.
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма. Если т параллельных между собой отрезков на
плоскости обладают тем свойством, что каждые три из них
можно пересечь одной прямой, то существует прямая,
пересекающая все эти отрезки. Аналогичное утверждение
справедливо и для бесконечного числа параллельных отрезков, если
только все они расположены в ограниченном куске плоскости.
Доказательство. Введем в плоскости прямоугольную систему
координат х, у, ось ординат которой параллельна заданным
отрезкам. Пусть концами /-го отрезка являются точки
М[{хьу') и м](хцу]), /=1,2,..., т.
Если прямая /, имеющая уравнение y = kx-\-b, пересекает /-й
отрезок (рис. 129), то точка (xh y'^ находится ниже этой прямой
(или на самой прямой), а точка (xh у"^ выше ее, и потому
y'^kxg+b, y'^kXt + b.
Обозначим через L точку с координатами (k, b). Рассмотрим
уравнение у\~xxt-\-y (т. е. у = — х^-^у'Х Оно определяет на

252
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
плоскости (х, у) некоторую прямую т\ (рис. 130), и
соотношение у\^кх{-\-Ь (т. е. Ь^—хгк+у'.) показывает, что точка L
расположена выше этой линии (или на ней). Точно так же
уравнение y1 = xxi+y определяет прямую т\, параллельную т'р и
соотношение y'^kxi + b показывает, что точка L расположена ниже
прямой т. (или на ней). Иными словами, точка L расположена
в полосе Pt между параллельными прямыми т. и т" (рис. 130).
Так как, по предположению, для каждых трех отрезков
существует пересекающая их прямая (очевидно, не параллельная оси
ординат, т. е. имеющая уравнение,y = kx\-b), то каждые три из
Рис. 129. Рис. 130.
полос Рх, Р2, ..., Рт, отвечающих нашим т отрезкам, имеют
хотя бы одну общую точку L. Далее, так как полосы Рь Р2, . . ., Рт
являются выпуклыми фигурами, то, в силу теоремы Хелли, все
полосы Ръ Р2, . . ., Рт имеют некоторую общую точку L0 с
координатами (&0, bQ). Но это означает, что прямая /0, имеющая
уравнение y = k0x-{-b0, пересекает все рассмотренные отрезки.
Для случая бесконечного множества отрезков проходит то же
самое утверждение. Достаточно лишь заметить, что полосы,
соответствующие различным отрезкам, не параллельны (ибо у двух
различных отрезков абсциссы различны, а именно абсцисса точек
отрезка, взятая с обратным знаком, является угловым коэффициентом
прямых, ограничивающих соответствующую полосу). Поэтому уже
две различные полосы имеют ограниченное пересечение,
а в таком случае теорема Хелли применима и к бесконечному
числу неограниченных фигур (ср. стр. 250). Лемма доказана.
Перейдем теперь к рассмотрению чебышевских
приближений. Говорят, что прямая y = kx + b приближает функцию
у =/ (х) на отрезке р^х ^q с точностью до 8, если для любого х
на этом отрезке справедливо неравенство \f(x)—(kx-{-b)\z?Ls
(рис. 131). Далее, мы будем говорить, что прямая y = kx-{-b при-

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 253
ближает функцию у=/(х) в точках хх, х.2, . . ., хт с точностью
до 8, если абсолютная величина разности f(x) — (kx + b) не
превосходит s при каждом из значений х = хг, х2, .. ., хт.
Из доказанной выше леммы вытекает, что если для каждых
трех точек, взятых из отрезка p^x^q, существует прямая,
приближающая в этих точках функцию f(x) с точностью до е,
то существует также прямая, приближающая функцию f(x)
на всем отрезке р^х^q с той же точностью. В самом деле,
если прямая y = kx-\-b
приближает функцию у —
—f (x) на отрезке р^х ^q
с точностью до е, то она пе-
ресекаег каждый из
отрезков с концами (x,f (х)-{-г)
и (х, f(x) — e), где
p^x^q. Но мы знаем,
что для того, чтобы
существовала такая прямая,
достаточно, чтобы
существовала прямая,
пересекающая каждые т р и ив этих
отрезков.
Этот результат
позволяет сделать некоторые
заключения о поведении
прямой, «наилучшим образом»
на отрезке р^х
lffXo)-Ct(Xo+b)/ tj
Ж
+ъ
+е
Рис. 131.
приближающей функцию f(x)
q. Обозначим через е0 наименьшее из
положительных чисел 8, для которых существует прямая, приближающая
функцию f(x) на отрезке p^x^q с точностью до 8. (Нетрудно
доказать, что такое наименьшее число обязательно должно
существовать.) Прямую, которая приближает функцию f(x) на отрезке
p^x^q с точностью до 80, назовем наилучшим линейным
приближением функции f(x) на отрезке p^ix^q. Из сказанного
выше можно заключить, что если прямая / с уравнением y — kx-\-b
является наилучшим линейным приближением функции f(x) на
отрезке p^x^q, то для любого положительного числа е<&0
найдутся такие три точки х', х", х"' на рассматриваемом отрезке,
что не существует прямой, приближающей функцию f(x) в этих
точках с точностью до 8. Более того, существуют такие три
точки х', х", х'", что никакая прямая не может приближать
функцию f(x) в этих трех точках лучше, чем прямая I
(которая приближает f(x) с точностью до е0).
Выберем такие три точки х'', х", х'", и пусть для
определенности они расположены на отрезке p^x^q в следующем порядке:
Р<*х' <ix" <Cxr" ^q. Из сказанного выше вытекает, как мы сейчас

254
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
покажем, что справедливы равенства
|/(jO-(a*'+*)| = |/(**)-(**"+*)! =
= \/(х'
')-(kx'"+b)\ = s0,(*)
причем
f(x"')- (kx
знаки
in
разностей f(x') — (kx' + ft), / (x") — (kx"-у b),
-f-ft) чередуются, т. е. первая и третья
разности имеют один и тот же знак,
а вторая — противоположный
знак (рис. 132). В самом деле,
если бы соотношения (*) не
выполнялись, например, если бы
мы имели | / (х') — (kx1 4- b) \ =
= l/(*") - (kx"+b) | =80,
| /(*'")-(**'" +ft) | < е0,
то при совпадении знаков
разностей f(x') — (kx' + ft)
и f(x") — (kx"-\-b) мы могли
бы найти прямую, лучше
приближающую f(x), чем /,
сдвигая прямую параллельно
самой себе (рис. 133,а). В
случае же несовпадения знаков этих разностей мы могли бы
получить лучшее приближение функции f(x) в точках х', х", х"\
поворачивая прямую / вокруг лежащей на ней точки с абсциссой
Рис. 132
*~а?
а)
Ф
Рис. 133.
х' 4- х"
—2—(рис. 133,6). Еще проще показать, что две или три из
величин \f(x) — (kx -f ft) | в точках x', x", x"' не могут быть меньше
80. Аналогично можно показать и то, что знаки разностей
f(x')-(kx' +b), f(x,f)-(kxf, + b)i f(x"')-(kx'" + b) должны
чередоваться,

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 255
Полученные факты могут помочь при-оценке величины е0 (которая
показывает, насколько хорошо функция f{x) может быть
приближена прямой линией) и при нахождении наилучшего линейного
приближения у = kx-\-Ь. Очевидно, что для нахождения прямой у =
= kx-{-by которая дает наилучшее приближение функции у=/(х)
в трех заданных точках х\ х", х"' (где р^ х'<С x"<x'"^q),
достаточно решить следующую систему трех уравнений первой
степени с тремя неизвестными &, b и е:
f(x') = kx'+b + ey
f(x") = kx" + b — z,
f(x"')=:kx"'+b + z
(здесь е может быть положительным или отрицательным).
Абсолютное значение числа 8, найденного из этой системы (для каких-то
заданных точек х\ х", х"'), дает оценку искомой величины е0,
а именно 80^|е|. Искомая величина s0 совпадает с наибольшим
значением, которое может принять |е| при всевозможном выборе
трех точек х', х", х'". Если мы сумеем найти три точки х\ х",
х"', соответствующие наибольшему значению |s|, то из указанной
выше системы мы найдем также коэффициенты к и Ь, определяющие
прямую /, являющуюся наилучшим линейным приближением функции
у=/(х).
Аналогичным образом можно получить более общие результаты,
касающиеся приближения некоторой функции многочленами произвольной степени.
Так, например, чтобы найти параболу у = ах2 + Ьх + сУ наилучшим
образом приближающую функцию y = f(x)
на отрезке р^х^д («наилучшее
квадратичное приближение»), нужно
искать параболы, которые наилучшим
образом приближают функцию во
всевозможных четверках точек
отрезка. Именно, если парабола у = ах2 +
+Ьх-\-с является наилучшим
квадратичным приближением функции
y = f(x) (т.е. \f(x)-(axz + bx + c)\<:e0
при р^х<:д, но не существует
параболы у = агх2 + bxx + cv для которой
| f (x) — (a1x2 + blx + c1) |<80 при
р<^х*^д), то найдутся на отрезке
p<Lx^g такие четыре точки х', х1\
*"\ *"" (где р < х'< х"< х"'< *""<: q),
что разность f (х) — (ах2 + Ьх + с) принимает при х = х\ х\ х"', х"" значения*
равные е0 по абсолютной величине и имеющие чередующиеся знаки (рис. 134).
Этот результат вытекает из следующего предложения, доказываемого
аналогично лемме на стр. 251 с применением теоремы Хелли для выпуклых тел
в (п -f- 1)-мерном пространстве: если каждые п + 2 из т рассматриваемых
вертикальных отрезков можно пересечь параболой п-й степени (т. е.
графиком функции у = а0хп + агхп ~2 + • • • +an-ix + an> B нашем случае следует
положить п = 2), то суш,ествует парабола п-й степени, пересекающая все
рассматриваемые отрезки.
р ее' х"
Рис 134.

256
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
6.3. Теорема Минковского. Последующие два пункта посвящены
вопросам, связанным с расположением фигур и тел относительно
целочисленной решетки. Для случая плоскости
представление о такой решетке может доставить листок бумаги «в клетку»,
вроде тех, которые встречаются в ученических тетрадях. Плоскую
решетку можно определить как множество точек, имеющих в
некоторой прямоугольной декартовой системе координат целочисленные
координаты (рис. 135); с этим обстоятельством и связано название
«целочисленная решетка». Таким образом, если считать решетку
iff
ь
-4
i 1
" '
["Л
1 (
1 1
f*9,
1 1
i 1
№
> - <
i <
(0,1)
№,
p,-i)
i (
i 1
cwi
(W,
1 <
1 1
№,
1 1
1 1
№,
т
i—(
> i
^-
h
Рис. 135. Рис. 136.
образованной узлами, в которых пересекаются горизонтальные
и вертикальные линии, нанесенные на листке, вырванном из тетради
«в клетку», то придется считать, что за единицу измерения принята
сторона нанесенных на листке квадратиков («квадратов решетки»,
как мы будем говорить впоследствии). Подобную (только уже
кубическую) решетку можно себе представить и в пространстве 1).
Точечные решетки такого рода играют значительную роль в современной
математике —как в «чистой» (теория чисел), так и в «прикладной»
(математическая кристаллография).
Самая важная теорема, касающаяся расположения выпуклых
фигур и тел относительно целочисленной решетки, была установлена
знаменитым немецким математиком Г. Мин ко век им. Мы
сформулируем и докажем ее для случая плоскости.
Теорема. Пусть на плоскости, на которой задана
целочисленная решетка, имеется центрально-симметричная выпуклая
фигура F, центр О которой совпадает с узлом решетки (рис. 136).
1) Более того, и в л-мерном евклидовом пространстве можно задать
решетку, образованную вершинами равных между собой /г-мерных кубов,
полностью покрывающих пространство.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 257
Если при этом внутри фигуры F нет отличных от О узлов
решетки, то ее площадь не превосходит 4 (напоминаем, что за
единицу площади принимается площадь квадрата решетки).
Доказательство. Рассмотрим всевозможные узлы решетки,
расстояния которых от проходящих через точку О сторон / и т
квадратов решетки выражаются четными числами. Построим все
Рис. 137. Рис. 138.
фигуры, равные F и параллельно F расположенные (т. е.
получающиеся из F параллельным переносом), центрами которых служат
эти точки (рис. 137).
Мы утверждаем, что ни одна из этих фигур не пересечет
фигуры F. В самом деле, допустим, что фигура FQ с центром в
точке Q пересекает фигуру F; пусть А есть какая-то общая
внутренняя точка этих двух фигур (рис. 138). Обозначим через А'
точку фигуры FQ, симметричную точке А относительно центра
симметрии Q этой фигуры. Фигура F получается из фигуры FQ
параллельным переносом на вектор QO; следовательно, точке А' фигуры FQ
отвечает такая точка В фигуры F, что A'B — QO. При этом
четырехугольник A'BOQ будет параллелограммом, и поэтому A'Q = BO\
но в таком случае также имеем QA = BO. А последнее означает,
что четырехугольник QBOA — тоже параллелограмм; следовательно,
середина Сего диагонали (ЗОявляется также серединой диагонали АВ.
Но так как А и В— две внутренние точки выпуклой фигуры F, то
весь отрезок АВ состоит из внутренних точек этой фигуры (ср.

258
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ Й ТЕЛА
выше, стр. 186); значит, и точка С является внутренней точкой
фигуры F. Ясно, что расстояния от точки С до сторон / и т
проходящих через О квадратов решетки ровно вдвое меньше
расстояний до этих сторон от точки Q; а так как расстояния от Q до /
и до т по условию четны, то расстояния от С до / и до т
выражаются целыми числами, т. е. точка С является узлом решетки.
Таким образом, если бы какая-либо из рассматриваемых фигур
пересекала фигуру F, то
F обязательно содержала
бы внутри отличный от О
узел С решетки, что,
однако, противоречит условию
теоремы.
Рассмотрим теперь
прямые, расстояния которых от
прямых / и т выражаются
целыми нечетными
числами (на рис. 139 эти
прямые обозначены пунктиром).
Эти прямые образуют на
плоскости решетку из
более крупных квадратов,
площади которых равны 4.
Фигура F может пересекаться
с рядом из этих квадратов;
так, на рис. 139 она
пересекается с квадратами,
помеченными номерами 0 (это
есть квадрат с центром О), /, 2, 3 и 4. Перенесем теперь параллельно
фигуру F на вектор 0^0, где Ох —центр квадрата /. Так как
расстояния от Ох до прямых / и т, очевидно, четные, то фигура F
совместится при этом с одной из рассмотренных выше фигур; обозначим
эту фигуру через Fx (заметим, что центр фигуры ^ не совпадает
с центром квадрата /). В частности, кусок фигуры F,
расположенный внутри квадрата /, совместится с куском фигуры Flt
расположенным внутри квадрата 0 (ибо квадрат / перейдет в квадрат 0,
а фигура F— в фигуру F^. Таким образом, мы видим, что среди
рассмотренных нами фигур найдется такая фигура Fly что
кусок этой фигуры, расположенный внутри квадрата 0, равен
куску фигуры F, расположенному внутри квадрата L Точно так
же показывается, что существуют такие фигуры F2, F3 и F^ куски
которых, расположенные внутри квадрата 0, равны соответственно
кускам фигуры F, расположенным внутри квадратов 2, 3 и 4. Отсюда
следует, что общая площадь всех тех кусков рассматриваемых
фигур, которые помещаются внутри квадрата 0, в точности
Рис. 139.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 259
равна площади фигуры F. А так как наши фигуры, по доказанному
выше, не пересекаются между собой, то площадь всех этих кусков —
а значит, и площадь фигуры F\— не может быть больше площади
квадрата О, т. е. 4. Это рассуждение и завершает доказательство
теоремы.
Ясно, что площадь рассматриваемой фигуры F может быть
равн