/
Author: Хермандер Л.
Tags: анализ математика математический анализ механика дифференциальные уравнения точные науки
Year: 1968
Text
THE UNIVERSITY SERIES IN HIGHER MATHEMATICS
An Introduction to
COMPLEX ANALYSIS
in Several Variables
LARS H6RMANDER
John von Neumann Professor
The Institute for Advanced Study
Princeton, Mew Jersey
D. VAN NOSTRAND COMPANY, INC.
Princeton, New Jersey
Toronto
New York
1966
London
JIapc
ХЁРМАНДЕР
Введение
В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ
КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перевод с английского Е. М. Чирки
Под редакцией Б. В. Шаба та
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва 1968
УДК 517.55
Книга принадлежит перу видного ученого, веду-
ведущего специалиста в области теории дифференциальных
уравнений. Автор известен нашему читателю по ряду
его книг в этой области, вышедших в русском переводе.
Хёрмандеру удалось очень компактно изложить
основные идеи и понятия теории аналитических функций
нескольких комплексных переменных. В основу изло-
изложения легло изучение аналитических функций с точки
зрения систем уравнений с частными производными.
Наряду с классическими в книге рассматриваются и со-
современные вопросы, связанные с применениями методов
теории пучков.
Книга служит прекрасным введением в современную
теорию аналитических функций нескольких комплексных
переменных. Она доступна студентам старших курсов
механико-математнческих факультетов университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
ИНД. 2-2-3
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В последние годы резко возрос интерес к теории анали-
аналитических функций многих комплексных переменных. Причин
для этого несколько. Пожалуй, главная из ннх —та, что
в этой теории, как некогда в теории аналитических функций
одного переменного, встретились различные математические
дисциплины — анализ, теория уравнений с частными производ-
производными, геометрия, топология и алгебра. Привлекает к этой
теории и большое количество неожиданных эффектов, многие
из которых еще не поняты до конца. Немаловажным яв-
'ляется и то, что теорией функций нескольких комплексных
переменных заинтересовались физики в связи с дисперсион-
дисперсионными соотношениями, интегралами Фейнмана и другими по-
построениями в многомерных пространствах.
Сейчас по теории функций нескольких перемЪнных имеется
довольно богатая литература, но книга Л. Хёрмандера за-
занимает в ней особое место. Она написана выдающимся спе-
специалистом по теории дифференциальных уравнений и несет
яркий след индивидуальности автора. Собственно говоря,
это — нпечатления, которые получил автор от знакомства
с новой для него теорией, и просмотр этой теории с его
собстненной точки зрения. Автор рассмотрел большинство
основных вопросов теории и в каждый из них внес свой
вклад. Особенно значительным, на наш взгляд, является при-
применение теорем существования решений неоднородных систем
Коши — Римана для решения проблем Кузена и проблемы Леви.
От редактора перевода
На сравнительно небольшом пространстве книги развер-
развертывается весьма внушительная картина современной теории
функций нескольких комплексных переменных. Плотность ин-
информации в этой книге очень велика. Это достигается при
помощи великолепного изложения, до предела лаконичного
и отчетливо выделяющего ведущие идеи доказательств. Однако
читать книгу нелегко: автор всюду подразумевает читателя,
который в состоянии воспроизвести опущенные детали.
Можно не сомневаться в том, что эта книга в русском
переводе найдет большое число друзей.
Б. В. Шабаш
ПРЕДИСЛОВИЕ
Появление этой книги вызвано двумя недавними достиже-
достижениями в теории дифференциальных уравнений с частными
производными. Первое из них—теория переопределенных си-
систем дифференциальных уравнений с постоянными коффициен-
тами,. которая существенно опирается на теорию функций
нескольких комплексных переменных. Второе — решение так
называемой ^-проблемы Неймана, которое сделало возможным
новый подход к комплексному анализу, основанный на ме-
методах теории уравнений с частными производными. Реше-
Решение проблем Кузена такими методами автоматически дает
оценки решений, которые нелегко получить классическими
методами, а результаты такого типа важны в применениях
к переопределенным системам дифференциальных уравнений.
Поэтому представляется естественным независимое изложение
комплексного анализа с точки зрения теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными. Поскольку мы
концентрируем внимание на вопросах, связанных с таким под-
подходом, мы не рассматриваем здесь аналитические пространства.
В качестве примера применения теории функций нескольких
комплексных переменных в анализе мы включили некоторые
теоремы о банаховых алгебрах.
Эта книга — лишь незначительная обработка записей лек-
лекций, которые автор читал в Стэнфордском университете в те-
течение двух семестров 1964 г. Автор не стремился к достижению
полноты в каком-либо направлении; эта книга представляет
собой простое введение в комплексный анализ для читателей,
главные интересы которых лежат в области анализа. По этой
причине предполагается только, что читатель имеет представле-
представление о теории действительных функций, точнее что ему известны
элементы теории интегрирования, теории распределений, функ-
функционального анализа и теории дифференциальных форм. Алгебра
Предисловие
используется очень мало. В главе I мы вкратце напоминаем тео-
теорию функций одного комплексного переменного. Это сделано
главным образом для того, чтобы продемонстрировать основ-
основные проблемы на знакомом читателю материале, как ориентир
для общего случая. Глава I содержит также некоторые клас-
классические факты, такие, как интегральная формула Коши
для решения неоднородных уравнений Коши — Римана, кото-
которая, к сожалению, не излагается в большинстве элементарных
курсов. В последнем разделе главы I приводятся необходимые
сведения о субгармонических функциях. Так как большинство
читателей, вероятно, быстро перейдет к главе II, мы хотим
подчеркнуть, что главный момент доказательства теоремы
Хартогса об аналитичности по координатам содержится именно
"в этом разделе.
Глава II начинается с классических результатов о разложе-
разложениях в степенные ряды, областях голоморфности и псевдо-
псевдовыпуклых областях. Затем, следуя классической работе Ока,
переделанной в духе дифференциальных уравнений, мы дока-
доказываем теоремы существования для уравнений Коши — Римана
¦ в областях Рунге. Это делается для иллюстрации методов
Ока — Картана в частном случае, простом, но достаточном
для главных применений к теории банаховых алгебр. Они
изложены в главе III, где в предварительном разделе напоми-
напоминаются основные факты об этих алгебрах. Как главу JII,
-так и раздел 2.7 можно пропустить без какой-либо потери
:для понимания дальнейшего.
В главе IV решаются уравнения Коши — Римана в областях
•голоморфности при помощи одного варианта <?-проблемы
Неймана. Одновременно получается решение проблемы Леви,
т. е. доказывается тождественность псевдовыпуклых областей
и областей голоморфности. Эти результаты в главе V распро-
распространяются на многообразия Штейна. Показано, что всякое
многообразие Штейна можно вложить в комплексное векторное
пространство достаточно высокой размерности. Глава V за-
заканчивается доказательством того, что комплексную структуру
• на многообразии можно определить заданием системы уравне-
уравнений Коши — Римана, удовлетворяющей некоторым условиям
интегрируемости.
Глава VII посвящена теории когерентных аналитических
пучков на многообразиях Штейна. Доказательства опираются
• йа'1 теоремы . существования для уравнений Коши — Римана,
Предисловие
установленные в главе V, и на локальную теорию, представ-
представленную в главе VI. Заключительный раздел посвящен „кого-
мологиям с оценками" для пучков на С" с полиномиальными
образующими. Здесь используются теоремы существования для
уравнений Коши — Римана, доказанные в главе IV. Книга за-
заканчивается применениями к переопределенным системам диф-
дифференциальных уравнений.
Я весьма обязан коллегам и студентам Стэнфордского
университета, которые помогли улучшить первоначальные
записи, а также Национальному научному фонду за поддержку
этой работы.
Принстон. Нью-Джерси
Январь 1966
Ларе Хёрмандер
ОБОЗНАЧЕНИЯ
СА дополнение к А (в некотором ббльшем множестве, из-
известном из контекста).
0 пустое множество.
А\В обозначение для АПСВ.
А±В = {а±Ь\ а?А, Ь?В), если А и В — подмножества
абелевой группы.
А Ш В означает, что А относительно компактно в В, т. е. А
содержится в компактном подмножестве из В.
дА граница А.
д0А обозначает остов, когда А — поликруг.
С* (Q), где Q — открытое множество в R^ (или на многообра-
многообразии класса С°°), — пространство k раз непрерывно
дифференцируемых комплекснозиачных функций в Q,
О < k < оо.
С* (Л), где А — подмножество С^-многообразия Q, — мно-
множество функций из С* (Q), равных нулю вне некоторого
компактного подмножества в А.
supp / носитель /, т. е. замыкание наименьшего множества,
вне которого / равна нулю (см. стр. 15).
D иногда употребляется как сокращенное обозначение
для Cg°(Q) (см. стр. 111).
А (О.) пространство функций, аналитических в Q (см.
стр. 13, 42).
P(Q) пространство функций, плюрисубгармонических в Q
(см. стр. 69).
L1 (Q, ф) пространство измеримых в Q функций, таких, что
(см. стр. ПО, 151)
||и||2ф= J \ufte-f
3>' (Q) пространство распределений в Q.
t' (Q) подпространство распределений с компактными носи-
носителями.
Ws пространство ?.2-функций в R^, все производные ко-
которых (в смысле теории распределений) порядка ^ s
принадлежат L2 (см. стр. ,120).
12
Обозначения
W (Q, loc), где Q — открытое множество на многообразии класса
С°°, — множество функций в Q, которые на каждом
компактном подмножестве координатной окрестности
совпадают с некоторой ^-функцией в координатном
пространстве (см. стр. 120, 158).
Is (Q, loc) то же самое, что W° (Q, loc).
^{р,д)' гДе & ~ одно из указанных выше пространств, обо-
обозначает множество всех форм типа (р, q) с коэффи-
_ циентами в 3~ (см. стр. 45).
d/dzj и d/dl) (см. стр. 13 и 42).
а мультииндекс (а,,... ,а„) с неотрицательными целыми <ц.
|о| =.о, 4 \-ап.
а\ = ai! • • • <х„!
Л внешнее умножение.
d_ внешнее дифференцирование.
д и д компоненты d типа A, 0) и @, 1) (см. стр. 42, 44).
«*/. где. / — форма и и — отображение, определяется
на стр. 42.
1 (или /, или К) часто обозначает мультииндекс, т. е. на-
набор (ii, ¦¦•,ip) из р целых чисел, заключенных между
1 и я, где п — размерность рассматриваемого про-
пространства.
Мы пишем | /1 = р\ символ 2/ указывает, что сумми-
суммирование распространяется на мультииндексы, у кото-
которых *, < i3 < .,. < ip.
RQ определено на стр. 22, 60.
Rq определено иа стр. 71.
К определено на стр. 80.
Уг (/) росток / в точке z (см. стр. 199).
Аг множество ростков аналитических функций в точке z.
Dj область определения оператора Т.
^т множество значений оператора Т.
dX мера Лебега.
f преобразование Гельфанда (илн преобразование Фурье)
для /.
Нр (U, еГ) группа когомолргий покрытия и со значениями
в пучке ff~ (см. стр. 230).
Нр (X, аГ) группа когомологнй паракомпактного пространства Л
со значениями в пучке ff~ (см- стр. 232).
R [z\ множество многочленов от одного переменного г
с коэффициентами в кольце R.
Глава I
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В первых двух разделах мы напоминаем простейшие свойства
аналитических функций, которые следуют из интегральной формулы
Коши. После этого идет обсуждение теорем о приближениях (тео-
(теорема Рунге) и теорем существования для мероморфных функций
(теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса). Эти последние пред-
представляют собой одномерный случай проблем Кузена, вокруг кото-
которых развивалась теория аналитических функций нескольких перемен-
переменных. В конце главы мы доказываем некоторые основные теоремы
о субгармонических функциях.
1.1. Предварительные сведения. Пусть и — комплексно-
значная функция из пространства С1 (Q) 1), где Q — откры-
открытое множество в комплексной плоскости С, которую мы
отождествляем с R2. Если действительные координаты обо-
обозначаются через jc, у и если z = x -\-iy, то 2х = z-\- z,
2iy = z — z, так что дифференциал и можно представить
в виде линейной комбинации dz и dz:
ди Hv_,du . ди у_ , ди _-
—— ux~f-——ay — -jr
дх ду °'
где использованы обозначения
A.1.1) du =
—=1.(Hat._i_-L —\ — 1.(Ии. * дц\
дг ** 2 \ дх i ду ) ' дг~~2 \~дх~ i ~ду~)'
Определение 1.1.1. Функция и^С1(О.) называется
аналитической (или голоморфной) в Q, если там удовлет-
удовлетворяются уравнения Коши — Римана dujdz = 0, или, что
то оке самое, если du пропорционален dz. Для анали-
аналитических функций вместо dujdz пишут также и'; таким
образом, если и — аналитическая функция, то du = u'dz.
') Обозначения, используемые в этой книге без объяснения,
см. в указателе обозначений на стр. 11.
14
/. Аналитические функции одного переменного
Множество всех функций, аналитических в Q, обозна-
обозначается символом A (Q).
Примеры. A) Для всякого целого п имеем d(zn) =
= nzn~l dz (при гфО, если п < 0). Поэтому всякий много-
многочлен р (z) = So akzk является аналитической функцией и
p'(z) = likakzk-1. B) Полагая ег = ех (cos у-Н sin у), мы
получаем dez — ezdz, откуда следует, что ^—аналити-
^—аналитическая функция.
Так как дифференциальный оператор djdz линеен, то ли-
линейные комбинации (с комплексными коэффициентами) ана-
аналитических функций сами являются аналитическими. Из правила
дифференцирования произведения d (uv) = и dv -f- v da полу-
получаем правило дифференцирования произведения для операто-
операторов djdz и djdz. Таким образом, произведение аналитических
функций есть функция аналитическая.
Пусть функция и аналитична в Q, a v аналитична в от-
открытом множестве, содержащем область значений и. Тогда
функция z —> v (и {z)) является аналитической в Q, потому что
правило дифференцирования сложной функции (цепное- пра-
правило) дает
dv — v' (и) du = v' (и) и' (z) dz;
отсюда следует также, что dvjdz — (dvjdu) (du[dz).
Наконец, рассмотрим функцию, обратную к аналитической.
Так как du = u'dz, то отображение dz—>du есть вращение,
выполненное после растяжения с коэффициентом |«'|. Следо-
Следовательно, якобиан отображения z-+u(z), рассматриваемого
как отображение R2 в R2, равен \и'\. Если и'(го)ФО,
то из теоремы о неявной функции следует, что и ото-
отображает окрестность точки Zq гомеоморфно на окрест-
окрестность точки ио = «(го) и что обратное отображение и ~> z (и)
тоже непрерывно дифференцируемо в окрестности и0. Так как
и(z (w)) = w, то цепное правило дает и'(z(w))dz — dw,
откуда видно, что z есть аналитическая функция от w и
dz (w) /diet = 1 /и' (z (w)).
1.2. Интегральная формула Коши и ее применения.
¦~ Пусть ю — ограниченное открытое множество на плоскости,
1.2. Интегральная формула Коши и ее применения
15
граница которого да состоит из конечного числа гладких
жордановых кривых. Если и ? С1 («в), то формула Стокса дает
-{1.2.1) J udz= J jdu Adz,
да со
или если заметить, что du Д dz = du/dz • dz Д dz =
= 2i dujdz ¦ dx Д dy,
A.2.2)
(Это равенство, конечно, можно доказать и непосредственно
интегрированием его правой части.) Здесь да ориентирована
так, что со остается слева от да». Из этой формулы вытекает,
что u<lz = 0, если и ? С1 (<») и и аналитична в «в. Более
да
того, мы получаем интегральную формулу Коши:
Теорема 1.2.1. Если и^С^со), то
A.2.3) uQ =
да
Доказательство. Положим сое = {z; z ?co, | z—?|}
где 0 < е < расстояния от ? до Ссо. Если мы применим
A.2.2) к функции u(z)[(z — С) и заметим, что функция
1/(г — С) аналитична в юе, то получим
2я
J j %!
да
)"'
Так как функция (z — ?)' интегрируема в со и так как и
непрерывна в точке ?, то при е—>0 мы получаем A.2.3).
Обратно, имеет место
Теорема 1.2.2. Если ц — мера с компактным носи-
носителем ') в С, то интеграл
') Носитель меры или функции есть наименьшее замкнутое
множество, вне которого она равна 0.
16
/. Аналитические функции одного переменного
определяет аналитическую функцию класса С00 вне носи-
носителя ц. Во всяком открытом множестве ©', в котором
d\L — Bni)~1ydz Л dz для некоторой функции ф?С*(«в),
имеем и?Ск(©) и dujdz — ф, если k^-\.
Доказательство. То, что и?С°° вне носителя К
меры \i, очевидно* так как (z — ?)~J— функция класса С°°
от (г, ?), когда z^/Си^ СЛ". А поскольку д (z—?)~ljd%— О
при ^г, то аналитичность следует из возможности диффе-
дифференцирования под знаком интеграла. Для доказательства вто-
второго утверждения предположим сначала, что © = R2. После
замены переменных можно написать
— BШГ1 J
Так как функция z~1 интегрируема на всяком компактном
множестве, то можно не менее k раз дифференцировать под
знаком интеграла, причем полученные интегралы будут схо-
сходиться. Следовательно, и ? С* и
dz Д dz-
Применяя теперь теорему 1.2.1, сформулированную для ф
вместо и и для множества <о, равного кругу, содержащему
носитель ф, мы получаем dajdl, = Ф- Наконец, если со — произ-
произвольное множество, то для всякого .zo?co возьмем функцию
¦ф?Со(со), равную 1 в некоторой окрестности V точки z0.
Полагая iA! = %i и ц2 = A—-ф)р., получим u = ul-\-u2, где
»,<»=! %%¦
Так как
= BяО-1 ¦фф й
Л ^ h^^Co(R2), to «i6c* и
дн1/дС = 'фф. А так как ц2 = 0 в V, то из этого следует,
что u?Ck(V) и что ди/д?=ф в V. Доказательство закон-
' чено.
След-ствие 1.2.3. Всякая функция и? A(Q) принад-
принадлежит также Сет(Q). Поэтому и'?А(й), если и?А(Q).
7.2. Интегральная формула Коши и ее применения
17
Доказательство. Это следует из теорем 1.2.1 и 1.2.2,
примененных к кругам «в, для которых (ocQ.
Более конкретная информация содержится в следующей
теореме.
Т-еорема 1.2.4. Для всякого компактного множе-
множества KczQ и всякой открытой окрестности wcQ мно-
множества К существуют константы Cj, j = 0, I
такие, что
A.2.4) sup I «(Л (г) |< С, || и
гЧК
где а(}) = dJu/dz}.
|
Доказательство. Выберем г|)^Со°(©) так, чтобы
ф=1 в некоторой окрестности множества К. Если и?А(О),
то д {tyu)jdz = и dty/dlz, и поэтому теорема 1.2.1, применен-
примененная к tyu, дает
A.2.5) фв)и(О = BяО J j u(z)^^dzAdz.
Так как г|)=1 в окрестности К и \г — ?| ограничен снизу,
когда ??ЛГ и z принадлежит носителю dty/dz, то дифферен-
дифференцирование выражения A.2.5) немедленно приводит к A.2.4).
Следствие 1.2.5. Если ип? A (Q) и ип->и при п~>оо
равномерно на компактных подмножествах из Q, то
Доказательство. Применяя A.2.4) к ип-
¦ и
мы
Замечаем, что последовательность dujdz сходится равно-
равномерно. Так как dujdz = 0, то из этого следует, что dujdx
и dujdy сходятся равномерно на компактных множествах.
Поэтому и?С1 и ди/dz = \imdujdz = 0.
Следствие 1.2.6 (Стильтьес — Витали). Если ип?А(й)
и последовательность | ип \ равномерно ограничена на вся-
всяком компактном подмножестве из Q, то найдется под-
подпоследовательность ип , которая равномерно сходится на
всяком компактном подмножестве из Q к некоторому
пределу и?А(й). < -
2 Зак. 861
18
/. Аналитические функции одного переменного
Доказательство. Как и в следствии 1.2.5, из тео-
теоремы 1.2.4 мы получаем," что производные первого порядка
функций ип равномерно ограничены на любом компактном
множестве. Значит, эта последовательность равностепенно не-
непрерывна и наше утверждение получается из теоремы Асколи
и следствия 1.2.5.
Следствие 1.2.7. Сумма степенного ряда
оо
есть функция, аналитическая внутри круга сходимости.
Д о к а з ате ль ст в о.' Ряд сходится равномерно во вся-
всяком меньшем круге.
Теорема 1.2.8. Если и — аналитическая функция
в Q = {z; | z | < /"}, mo
причем ряд сходится равномерно на всяком компактном
подмножестве из Q.
Доказательство. Пусть r1<i r2 < г. Согласно A.2.3),
A.2.6)
Так как
ч-1
1
и этот ряд равномерно и абсолютно сходится, то теорема
следует непосредственно из возможности почленного интегри-
интегрирования, если учесть при этом, что A.2.6) дает
«(«)@) = Я!Bя0-1 -Jl^-rfS.
\t\-r, 6
Следствие 1.2.9 (единственность аналитического про-
продолжения). Пусть и? A (Q) и в некоторой точке z?Q
A.2.7)
и<*>B) =
B) = 0 для всех к > 0.
Тогда и = 0 е О, если Q связно,
1.2. Интегральная формула Коши и ее применения ID
Доказательство. Множество всех z ? Q, удовлетво-
удовлетворяющих A.2.7), очевидно, замкнуто в й, а по теореме 1.2.8
оно также и открыто. Поскольку это множество непусто по
условию, оно должно совпадать с Q.
Следствие 1.2.10. Если функция и аналитична
в круге Q = [z; \ z \ < г] и не равна тождественно нулю,
то ее можно записать одним и только одним способом
в виде
u(z) = znv(z),
где п > 0 — целое число и v ? А (п), v @) Ф 0 {это озна-
означает, что \jv — тоже аналитическая функция в окрест-
окрестности точки 0).
Доказательство очевидно.
Теорема 1.2.11. Если функция и аналитична
в {z;\z — 20|<г} = й и если \ и(z) |<;| и (z0) | для всех
z ? Q, то и постоянна в Q.
Доказательство. Можно считать, что и(го)ФО.
Так как
2
2я
и (z0) = Bл) J и
для 0 < р < г, то
2я
Действительная часть подинтегрального выражения ^> 0; она
равна 0 только тогда, когда и (z0) — и (zo-{- ре1в). Это и дока-
доказывает теорему.
Следствие 1.2.12 (принцип максимума). Пусть мно-
множество Q ограничено и функция и?С(Q) аналитична
в Q. Тогда максимум | и | в Q достигается на границе.
Доказательство. Если максимум достигается во вну-
внутренней точке, то из теоремы 1.2.11 и следствия 1.2.9 выте-
вытекает, что и постоянна в компоненте Q, содержащей эту точку;
поэтому | и | принимает то же значение и в некоторой гра-
граничной точке.
2*
2W
I. Аналитические функции одного переменного
1.3. Теорема Рунге о приближениях. Из теоремы 1.2.8
следует, в частности, что функцию, аналитическую в круге,
можно равномерно приблизить многочленами от z на любом
меньшем круге. В частности, всякую целую функцию можно
равномерно приблизить многочленами на любом компактном
множестве. Сейчас мы сформулируем общую теорему о при-
приближениях.
Теорема 1.3.1 (Рунге). Пусть Q — открытое мно-
множество в С а К — компактное подмножество из Q. Сле-
Следующие условия на Q и К эквивалентны:
(a) Всякую функцию, аналитическую в окрестности
множества К, можно равномерно приблизить на К функ-
функциями из A(Q).
(b) Открытое множество Q \ К = Q П СК не имеет
ни одной компоненты, относительно компактной в Q.
(c) Для всякой точки z?Q\K существует функция
f?A (Q), такая, что
A.3.1) |/(*)|>eup|/|.
Согласно замечаниям, предшествующим теореме, мы полу-
получаем следующий специальный случай при Q = C:
Следствие 1.3.2. Всякую функцию, аналитическую.
в окрестности компактного множества К, можно равно-
равномерно приблизить на К многочленами тогда а только
тогда, когда СК связно, или, что то же самое, когда-
для всякой точки z ? С^С найдется многочлен /, для ко-
которого выполняется A.3.1).
Доказательство теоремы 1.3.1. Сначала докажем,
что ^с)=^(Ь) и (а)=^(Ь). Итак, предположим, что (Ь) не вы-
выполнено, т. е. Q\/C содержит компоненту О, такую, что
О —компактное множество в Q. Тогда граница О содержится
в К, и поэтому из принципа максимума получаем
A.3.2) 8up|/|<sup|/|. /€Л(?2),
о к
что противоречит (с). Если бы выполнялось (а), то мы могли бы
для всякой функции /, аналитической в окрестности множе-
множества К, выбрать последовательность /Л? А (Й) так, что /„-*•/
1.3. Теорема Рунге о приближениях
равномерно на К- Применяя A.3.2) к /„—/т, получаем,
что /„ равномерно на О стремится к некоторому пределу Р.
Эта функция F аналитична в О, непрерывна в О и F = /
на границе О. В частности, мы можем положить /(г) =
= 1/(г—О для С 6 О; тогда {z — С) F (z) = 1 на границе О,
и поэтому (г — t)F(z) = l в О. При г = С мы получаем
противоречие.
Для доказательства импликации (Ь)=^(а) достаточно по-
показать, что всякая мера \i на К, ортогональная A (Q), орто-
ортогональна также всякой функции /, аналитической в окрест-
окрестности К; после этого наше утверждение будет следовать из
теоремы Хана — Банаха. Положим
По теореме 1.2.2 функция q> аналитична в С/С, и для ? ? Си
q><*> (?) = ?! J—rf<i(^+i =0 для всех" k,
как
так как функция z ->(г — ?)"*"' аналитична в Q, если ? ? Си.
йоэтому ф = 0 во всякой компоненте САГ, которая пересе-
пересекается с Си. Так как J znd\i(z) — 0 для всех п и так
(г — С) можно разложить в ряд по степеням z, который
равномерно сходится на К при |?|>sup|jz|, то q> = 0 и
к
в неограниченной компоненте СК- Но (Ь) гарантирует, что
в Q \ К нет ни одной компоненты, относительно компактной
в Q, и мы заключаем, что q> = 0 в СК.
Пусть / — аналитическая функция в окрестности w мно-
множества К. Выберем функцию г|) ? С?° (ю) так, что 1|з = 1 на К.
Тогда
Так как дф/д?=О в некоторой окрестности множества К, то
перестановка порядка интегрирования дает
— 0.
j / (g) ф (г) - - Bя/)~! J j I (D ^р Ф @ dl A
1. Аналитические функции одного переменного
Таким образом, / можно приблизить на К функциями
из A (Q), что и доказывает эквивалентность (а) и (Ь).
Наконец, для доказательства (Ь)=^(с) мы предположим,
что (Ь) выполнено, и возьмем z?Q\K- Выберем замкнутый
круг L с центром в z так, что LcQ\K- Тогда компоненты
множества Q \ (/С U L.) совпадают с компонентами Q\K, за
исключением того, что в одной из этих компонент выброшен
круг L. Поэтому К U L тоже удовлетворяет (Ь). В соответ-
соответствии с (а) функция, равная 0 в окрестности К и 1 в окрест-
окрестности L, равномерно приближается функциями из A(Q). Зна-
Значит, можно выбрать /?Л(?2) так, что
l/K-g- в к, |/-i|<j
в L.
Это доказывает (с).
Если К — произвольное компактное подмножество из Q,
то определим А (?2)-оболочку К множества К следующим
образом:
К — Кь — {г; z?Q, \ f (z) |< sup | / | для всякой / ? A (Q)}.
Если взять /(z)=l/(z— ?)> гДе С6 СИ, то будет
d(K, CQ) = d(K, СИ),
тде d обозначает расстояние, а если рассмотреть f(z) = eaz
для всех комплексных а, то можно заключить, что
К с выпуклой оболочке К-
:Кроме того, ясно, что К = К. Таким образом, для вся-
всякого компактного множества /CczQ его оболочка К является
таким компактным подмножеством из Q, содержащим /С, для
которого выполнены предположения теоремы Рунге о при-
приближениях. Поэтому можно выбрать возрастающую последо-
последовательность Kj компактных подмножеств из Q, таких, что
.К i = Ki, и всякое компактное подмножество из Q принад-
•лежит kj для некоторого j.
Можно дать и яругое описание множества К, аналогич-
шое условию (Ь) теоремы 1.3.1.
1.3. Теорема Рунге о приближениях
23
Теорема 1.3.3. Множество Kq есть объединение К
и компонент п\К, относительно компактных в п.
Доказательство,. Если О — компонента Q \ /С, отно-
относительно компактная в Q; то имеет место неравенство A.3.2),
так что ОсК- Объединение К\ множества /Си всех таких
компонент содержится поэтому в К. Далее множество Q \ Ki
открыто, так как оно является объединением открытых ком-
компонент Q \ К- Значит, К\ — компактное множество и по его
определению ни одна компонента Q,\K\ не является относи-
относительно компактной в Q. Таким образом, К\ удовлетворяет
условию (Ь) теоремы 1.3.1, и поэтому условие (с) дает
Kx = Ki'=)K- Доказательство закончено.
Теперь мы приводим вариант теоремы Рунге для двух
открытых множеств.
Теорема 1.3.4. Пусть Q1cQ2—открытые множе~
ства в С. Следующие условия эквивалентны:
(а) Всякую функцию из А(пг) можно приблизить
функциями из Л(?22) равномерно на любом компактном
подмножестве из Qj.
t (b) Если Q2 \ пх = L U F, где F замкнуто в Q2, a L
компактно, F f\L= 0, то L — пустое множество.
(сг) Для всякого компактного множества /CcQ, имеем
Kq2 = ^q,-
(с2) Для всякого компактного множества Кспг имеем
(с3) Для всякого компактного множества KcQx мно-
множество ^Q2fl^i компактно.
Доказательство. Очевидно, что (а) =^ (с2) =ф (с3).
Если положить /С' = Ка2Г)^1 и К" = Каг[\О^\, то из (с3)
следует, что непересекающиеся множества К' и К" ком-
компактны. Если /?Л(?2,), то из теоремы 1.3.1 следует, что •
функция, равная / на К' и 1 на К", равномерно прибли-
приближается на К' U К" функциями из A (Q2). Это доказывает (а).
Если же взять / = 0, то мы получим /С'=0, а потому
^q2 = /Cq2 П ^ь Так как (а)=^(с2), то отсюда мы делаем
вывод, что имеет место (Cj). Таким образом, (a), (q), (c2),
(с3) эквивалентны.
/. Аналитические'функции одного переменного
Для доказательства импликации (с1)=ф(Ь) выберем откры-
открытое множество соэ! таким, чтобы (d[)F было пустым,
а со — относительно компактным в Q2. Поскольку дсо П
|")(Q2\^i) —0 и д©сЙ2> мы имеем- dcoczQj, и в силу прин-
принципа максимума А (й^-оболочка множества дсо содержит со
и, следовательно, L. Таким образом, согласно (cj, LcQi и
поэтому L = 0.
Для доказательства импликации (Ь)=ф(с!) рассмотрим
компоненту О множества Qj \ К, относительно компактную
в Й2. Так как дОсКсп^, то
— компактное подмножество О, а так как (СО) П (&2 \ Qt)
замкнуто в Q2, то из (Ь) следует, что /,==0. Значит, OczQj,
а тогда из теоремы 1.3.3 следует, что KqjC/Cq,. Так как
обратное включение очевидно, мы получаем условие (q).
1.4. Теорема Миттаг-Леффлера. Сначала дадим опре-
определение мероморфной функции, которое несколько сложнее
обычного, но обладает тем преимуществом, что его можно
использовать в случае нескольких переменных.
Для всякого z?C обозначим через Аг множество классов
функций /, аналитических в некоторой окрестности z, со
следующим отношением эквивалентности: f~g, если f = g
в какой-нибудь окрестности z. Если / — аналитическая функ-
функция в окрестности z, то через Д обозначим класс вычетов /
в Аг. Ясно, что. Аг — кольцо без делителей нуля, и поэтому
мы можем образовать поле отношений Мг кольца" Аг.
Определение 1.4.1. Мероморфная функция f в от-
открытом множестве йсС есть отображение
ср : Q
Mz
г
такое, что y(z)?Mz для всякой точки г; при этом для
всякой точки в U существуют окрестность со и функции
/• g?A(<d), такие, что y{.z) — fjgz, когда z?co. Мно-
Множество всех функций, мероморфных в Q, обозначается
символом M(Q).
В частности, если F?A(Q), то отображение z^>Fz есть
мероморфиая функция, а так как различные аналитические
1.4, Теорема Миттаг-Леффлера
25
функции определяют различные мероморфные функции, то
мы можем отождествлять A (Q) с подмножеством М (Q).
Мероморфные функции образуют кольцо, в котором ка-
каждый элемент, не равный 0 тождественно ни в какой ком-
компоненте Q, имеет обратный.
Всякому q ? М^ можно приписать значение q (?) в точке ?.
Для этого выберем аналитические в окрестности С функции /
и g так, чтобы q — fJg{, при этом ?.=?(). Если 9 = 0, мы
положим q(Q = O. Если q=f=Q, то из следствия 1.2.10 выте-
вытекает, что /(*) = (*—С)"/,(«) и g{z) = {z— t)mgx{z), где
/i*(?) g\ (D =? 0> /i и gi аналитичны в окрестности t>. Ясно,
что и — m и /j (?)/?i (S) зависят от q и не зависят от вы-
выбора / и g. Поэтому мы можем положить
с»,
0,
если п < т,
если п = т,
если и > т.
Если ф?М(Й), то мы получаем отображение
такое, что Р — аналитическая функция в дополнении к неко-
некоторому дискретному множеству DcQ, а ЦР — аналитическая
функция в окрестности этого D (мы полагаем 1/оо = 0).
Обратно, если имеется функция F с этими свойствами, то ей
соответствует мероморфная функция <р, такая, что фг = Fz,
если z(fcD, (f>z=lfcllF)z, если z?D, и q>z(z)=F(z) для
всякого z. Следовательно, определение 1.4.1 эквивалентно
классическому определению мероморфной функции, потому
что соответствие между F и ср, которое мы сейчас указали,
взаимно однозначно. Точки, в которых F(z) = oo, являются
полюсами F. В дальнейшем мы не будем различать <р и F.
Теорема 1.4.2. Если F — мероморфная функция
в окрестности С. то найдется окрестность С. в которой
26
/. Аналитические функции одного переменного
где Ak — константы и G — аналитическая функция. Это
представление единственно. Если /^ =? О, то имеется
также единственное представление вида
где G(?)=?0 и п — целое. Если п > 0, мы имеем в ?• нуль
порядка п; если п < О, — полюс порядка — п.
Доказательство получается очевидным образом из след-
следствия 1.2.10. Сначала мы изучим первое представление; муль-
мультипликативное представление будет рассматриваться в разд. 1.5.
Теорема 1.4.3 (Миттаг-Леффлер). Пусть Zj, j=l,
2, ,.., —дискретная последовательность различных то-
точек в открытом множестве Q, и пусть f} — мероморф-
ные в окрестностях z} функции. Тогда существует меро-
морфная в Q функция /, такая, что f аналитична вне
точек Z,, a /— /;- аналитична в окрестности Zj для
всякого j.
Доказательство. Ввиду теоремы 1.4.2 можно счи-
считать, что
Мы хотим подобрать функции Uj?A(Q) так, чтобы ряд
оо
определял функцию / с требуемыми свойствами. Для этого
выберем возрастающую последовательность компактных мно-
множеств К,ей, Kj — Kj, так, чтобы всякое компактное под-
подмножество из Q содержалось в некотором Kj. Мы можем
считать, что zk^Kp когда fe>/, так как последователь-
последовательность zk не имеет предельных точек в п. Согласно теореме
Рунге, можно выбрать и} ? A (Q) так, что
в Kj. Но тогда ряд
1.4. Теорема Миттаг-Леффлера
27
сходится равномерно на Kk к функции, аналитической вну-
внутри Kk- Значит, указанное выше определение функции /
имеет смысл, причем / обладает требуемыми свойствами.
Другая формулировка теоремы Миттаг-Леффлера, которая
будет использоваться в случае нескольких переменных, такова:
Теорема 1.4.3'. Пусть Q = U/2/, где Qj —открытые
множества в С. Если fj?M(Q}) и /; — Л 6: ^ (Я; П ^&)
для всех j и k, то существует функция f ? М (Q), такая,
что f — fj ? A (Qj) для всех j.
Мы предоставляем читателю проверить, что это утвер-
утверждение эквивалентно теореме 1.4.3. Другой эквивалентный
результат состоит в следующем:
Теорема 1.4.4. Для всякой функции /^C°°(Q) урав-
уравнение dujdz = / имеет решение и ? С°° (Q).
Доказательство. Выберем возрастающую последова-
последовательность компактных множеств /С;сй, Kj = K,, так, чтобы
всякое компактное подмножество из Q содержалось в некото-
некотором Кj. Пусть функция г|з;. ? С?°(Q) равна 1 в окрестности К,,
и^пусть <р1 = ф„ (fj — tyj — ty_j, когда j > 1. Тогда <р;. = 0
в окрестности Kj-i и Е?°фу = 1 в Q. По теореме 1.2.2 мы
можем найти функцию Ky?C0O(R2), такую, что dUjjdz~=y}f.
Это означает, в частности, что к;-аналитична в окрестности /Cj_j.
Поэтому, согласно теореме Рунге, можно выбрать v. ?Л(О)
так, что \uJ — Vj\<2~i в Kj_v Тогда ряд
равномерно сходится на всяком компактном подмножестве
из Q. Сумма от / —j— 1 до оо состоит из членов, аналитиче-
аналитических в окрестности Kv и равномерно сходится на Kt к функ-
функции, аналитической внутри Kv Следовательно, u^C^fQ) и,
так как dufdz можно вычислить почленным дифференцирова-
дифференцированием, мы имеем
-\ СО
чем и заканчивается доказательство.
28
/. Аналитические функции одного переменного
Теперь покажем, что из теоремы 1.4.4 следует усиленная
форма теоремы 1.4.3'.
Теорема 1.4.5. Пусть Q = (j"Q., и пусть функции
gjk ? A (Qj Л О»). J, k — 1, 2, ..., удовлетворяют условиям
A.4.1) ' gjk = — gkJ, gjk + gki + gij=<>
в Q} П &k П Ц &ля всех j, k, L.
Тогда найдутся функции gj?A(Qj), такие, что
A.4.2) g]k — gk — g) в QyflSft для всех J и k.
Доказательство того, что из теоремы 1.4.5 следует
теорема 1.4.3'. В обозначениях теоремы 1.4.3' положим
gjk = fj — fk. Тогда предположение A.4.1) теоремы 1.4.5
выполнено, так что мы можем найти gj ? A (Qp, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям f} — fk — 8]k — 8k — 8j в Й;ПЙ* для
всех У и ft. Но это означает, что fj -\~ gj = fk -(- gk в Q; f| &*•
Следовательно, существует мероморфная функция / в Q, такая,
что / =fj -\- gj в Qj для всех J. Так как / — fj = gj?A (Qy),
то это доказывает теорему 1.4.3'.
Доказательство теоремы 1.4.5. Рассмотрим раз-
разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ц/}, т. е. подберем
функции q>v и положительные целые числа /v. v=l, 2
так, чтобы
О) <
(И) все функции <pv, за исключением конечного числа,
тождественно равнялись нулю на любом компактном под-
подмножестве из Q,
(Ш) Яфу^1 на Q .
(см., например, Шварц [1] или де Рам [1]).
Если A.4.2) выполняется, то, полагая j = tv, умножая
на фу и складывая, мы получаем
где
1.5. Теорема Вейерштрасса
29
и a = 2<pvgfv. Каждая функция hk корректно определена
на множестве Qk (мы полагаем q>vg<vft = 0 вне Qiv) и принаг
длежит C°°(Qfe). Кроме того,
так как ghl -\-gt j~\~Sjk==^- ^3 этого следует, что
dhk dhj
Поэтому имеется функция т|) ? С°° (Qj, такая, что
¦ф = —=- в Qk для всех k.
дг
Если теперь в качестве и мы возьмем решение уравнения
дг
что можно сделать по теореме 1.4.4, то функции gk = hk -f- a
будут обладать всеми требуемыми свойствами.
Итак, мы видим, что утверждения типа теоремы 1.4.4,
ил"и теоремы 1.4.5, или теоремы 1.4.3' по существу эквива-
эквивалентны. В случае нескольких переменных мы предпочитаем
в этой книге иметь дело с результатами, подобными теореме
1.4.4, оставляя доказательство результатов типа теоремы 1.4.5
до последней главы, в которой мы дадим подходящую тер-
терминологию для их изучения (группы когомологий со значе-
значениями в пучке).
1.5. Теорема Вейерштрасса. Мы приводим классическую
формулировку, а читателю предлагаем сформулировать утвер-
утверждения, подобные теореме 1.4.3'.
Теорема 1.5.1 (Вейерштрасс). Пусть Zj, j — 1,
2 — дискретная последовательность различных точек
в открытом множестве QcC, и пусть tij — произвольные
целые числа. Тогда существует мероморфная в Q функ-
функция /, такая, что f аналитична и ФО, за исключением
точек Zj, а в окрестности Zj аналитична и ФО
функция f(z)(z~- Zj) "j.
30
/. Аналитические функции одного переменного
1.5. Теорема Вейерштрасса
31
Таким образом, / имеет предписанные нули и полюсы
данных порядков.
Доказательство. Пусть Kj, как в доказательстве
теоремы 1.4.3, —возрастающая последовательность компакт-
компактных подмножеств из Q. Выберем последовательно рациональ-
рациональные функции fj, имеющие требуемые полюсы и нули в Kj,
и функции gj ? A (Q), такие, что ч
A.5.1) \fj+ir/zxpgj— 1|<еу на К,. 2е,<<хэ.
Предположим, что fx fjHgi Sj-i Уже выбраны.
Пусть / — рациональная функция с заданными нулями и по-
полюсами в Kj+\- Тогда можно написать
J]
где произведение конечно, wv?OKj для всякого j и mv —
целые. Так как ни одна компонента Q \ Kj не является отно-
относительно компактной в Q, то для всякого v можно подобрать
точку w'v? С/С, j, расположенную в той же компоненте CKj,
что и wv. Тогда функция
. -я».
имеет требуемые нули и полюсы на Kj+b причём
fi+Лг) _ - * —
log-
г — в\.
можно однозначно определить как функцию, аналитическую
в окрестности множества К у так как wv и w'v находятся
в одной и той же компоненте OKj.^ После этого можно
выбрать функции gj ? A (Q), такие, что
log:
на KJ<
откуда вытекает неравенство A.5.1).
Из A.5.1) немедленно следует, что
3 °°
Дт/,+1 П /'= А П (/i+1/7' exp g,)
определяет мероморфную в Й функцию / с требуемыми
свойствами. В самом деле, произведение от / до со сходится
к аналитической функции, которая ф 0 внутри Kj. Это дока-
доказывает теорему.
Следствие 1.5.2. Всякую функцию, мероморфную
в Q, можно записать в виде f/g, где f и g — аналити-
аналитические в Q функции.
Доказательство. Если мероморфная функция F имеет
полюсы Zj порядков fij, то мы можем воспользоваться теоре-
теоремой 1.5.1 для построения аналитической функции g с нулями
порядка tij в точках z}- для всех j. Тогда Fg=f—анали-
Fg=f—аналитическая функция и F = f/g-
Следствие 1.5.3. Существует функция f?A(Q),
которую нельзя аналитически продолжить ни, в какое
содержащее Q множество, даже как мероморфную функцию.
Более точно: если D — круг с центром в Q и g — меро-
мероморфная функция в D, которая совпадает с / в окрестности
центра D, то DcQ.
Доказательство. Занумеруем все точки в Q с рацио-
рациональными координатами в последовательность zv z2 ¦ ¦. так,
чтобы каждая из этих точек встречалась в последовательности
бесконечное число раз, и положим rj = d(Zj, Си). Подберем
возрастающую последовательность компактных множеств K.-cQ
так, чтобы всякое компактное подмножество из Q содержа-
содержалось в некотором Kj, и для каждого j выберем точку те»,- ? CKj
так, чтобы | Wj — Zj | < г j. Так как последовательность Wj
дискретна в Q, то из теоремы 1.5.1 следует существование
функции / ? A (Q) с нулями в <Wj для всех J, не имеиЛцей
других нулей. Если а ? Q имеет рациональные координаты и
г — d(a, СИ), то круг D = {'z; | z —а \ < г) содержит беско-
бесконечно много точек Wj, так как z,- — а для бесконечного числа
индексов j. Поэтому / нельзя продолжить до функции, меро-
морфной в открытом круге, содержащем D, поскольку нули
мероморфной функции, не равной нулю тождественно, изоли-
изолированы. Утверждение доказано.
Следствие 1.5.4. Пусть последовательность точек
zv z2, ... дискретна в Q, fj — аналитическая функция
/. Аналитические функции одного переменного
1.6. Субгармонические функции
33
в окрестности Zj для каждого j и rij — неотрицательные
целые числа. Тогда существует функция /?Л@), такая,
что для всякого j
, , . .... *-zj\
при z
J \"~ S •/ J - г
Доказательство. Пусть g?A{Q) имеет в точках Zj
нули порядков tij-\-l. Условие на / означает, что функ-
функции fig — fj/g аналитичны в окрестностях соответствую-
соответствующих точек Zj. Согласно теореме 1.4.3, существует меро-г
морфная функция h с полюсами только в точках Zj,
такая, что h — f jjg аналитичны в окрестности Zj для всех j.
Тогда функция / = gh обладает всеми требуемыми свой-
свойствами.
1.6. Субгармонические функции. Напоминаем, что функ-
функция h класса С2 в открытом множестве QcC называется
гармонической, если Дй = ^d2hjdz dz — 0 в Q.
Определение 1.6.1. Функция и, определенная в от-
открытом множестве ЙсС, со значениями в [—оо, -|-оо),
называется субгармонической, если:
(a) и полунепрерывна сверху, т. е. множество
{z;z?Q, k(z)<s] открыто для всякого дей-
действительного числа s;
(b) для всякого компактного множества KcQ и
всякой непрерывной функции h на К, гармони-
гармонической внутри К и ^ и на границе К, неравен-
неравенство u^h выполняется во всем К-
По нашему определению функция, равная —оо тожде-
тождественно, тоже субгармоническая; в некоторых определениях
это не допускается.
Теорема 1.6.2. Если и—субгармоническая и О < с ? R,
то си — субгармоническая. Бели иа, а?А, — семейство
субгармонических функций, то а = supaKa— субгармониче-
субгармоническая функция, когда и < оо и функция и полунепрерывна
сверху; последнее выполняется всегда, когда А — конечное
множество. Если uv и2, ... — убывающая последователь-
последовательность субгармонических функций, то к = lim;--»<»«; —
также субгармоническая функция.
<1 Доказательство. Первые два утверждения три-
тривиальны. Для доказательства последнего заметим, что [z; z ? Q,
I u{z) < s) =Uy [z; z?Q, Uj(z)<.s], а это множество от-
i крыто. Значит, и полунепрерывна сверху. Если h — мажо-
I ранта для и, такая, как в условии (Ь), и е > 0, то множества
i [z\ z?dK, Uj{z)~^-h(z)-\-e\ компактны и образуют вложен-
вложенную последовательность. Так как их предел при у—хэо пуст,
то для достаточно большого j такое множество должно быть
пустым, а это означает, что Uj <^ h -\- e в К при таких /.
Поэтому «<Аи, значит, и — субгармоническая функция.
Часто бывают полезными другие эквивалентные определе-
определения субгармонических функций.
Теорема 1.6.3. Пусть функция и определена в Q и
принимает значения из промежутка [—оо, -|-оо). Пред-
Предположим, что и полунепрерывна сверху. Тогда каждое
из следующих условий является необходимым и доста-
достаточным для субгармоничности функции и:
(i) Если DcQ — замкнутый круг и f—аналитиче-
f—аналитический многочлен, такой, что и-^Re/ на dD, то
K<Re/ в D.
е (И) Если п6={г; d(z, Сй)>6}, то
2я
A.6.1) йBJя|ф(г)< J j u
о
для всякой положительной меры d\i на отрезке
[О, 6].
(Ш) Для всякого 6>0 и всякой точки z?Q6 суще-
существует некоторая положительная мера d\i с но-
носителем в [0, 6], для которой выполняется A.6.1),
причем d\i имеет некоторую массу вне начала
координат.
. Заметим, что интегралы имеют смысл, так как и — полу-
полунепрерывная функция.
Доказательство, (i) следует из определения 1.6.1;
столь же тривиальным является и то, что из (ii) следует (Hi).
Таким образом, надо только доказать, что 0)=ф(И) и что
из (Ш) следует субгармоничность и.
3 Зак. 861
34
/. Аналитические функции одного переменного
A)=ф(Н). Пусть z 6 Q6 и 0 < г <6. Пусть D = {&\ \-г ]<
^)cQ. Тогда, если фF) = Еайеш— тригонометрический
многочлен, такой, что
для всех в, то многочлен / @ = а0 + 22fe > oaft (? — zffrk
имеет действительную часть, которая является мажорантой,
для и на dD. Значит, a^Re/ в D и, в частности,
2Я
A.6.2) в(г)<ао = Bя)-1 J ФF)йв.
о
Если теперь ф — произвольная непрерывная функция, такая,
что и (г -f- ггге) <J ф (в), то для всякого е > 0 можно найти три-
тригонометрический многочлен ф!> такой, что ф -^ ф] -^ ф -\- е, и
заключить, что A.6.2) имеет место уже для всякой непрерыв-
непрерывной функции <р, которая является мажорантой для и (z -j-s ге1в).
Но по определению интеграла от полунепрерывной функции
отсюда следует неравенство
2я
1 J
о
Теперь A.6.1) получается просто интегрированием по d\i(r).
Из (iii) вытекает субгармоничность и. Пусть К — компакт-
компактное подмножество из Q и h — непрерывная функция на К,
гармоническая внутри К- Предположим, что Л>-и на дК-
Если верхняя грань М разности v = и — h на К положи-
положительна, то из полунепрерывности v следует, что v = М на
непустом компактном подмножестве F внутренности К- Пусть
zo € F ~~ точка, расположенная на минимальном расстоянии
от дК. Если это расстояние > б, то на всякой окружности
| z — zo| = r, r ^6, найдутся точки, в которых г>(г)<М;
более того, ввиду полунепрерывности v существует дуга,
состоящая из таких точек. Из этого следует, что
v (zo-r-
r) < M,- 2я J d\a (r) =
1.6. Субгармонические функции
35
если d\y—мера со свойствами, перечисленными в (Ш). Но
это неравенство противоречит предположению (iii) и тому
факту, что A.6.1) выполняется со знаком равенства для гар-
гармонических функций (так как всякая гармоническая функция
является субгармонической). Доказательство закончено.
Следствие 1.6.4. Функция иг-\-и2 субгармоническая,
если их и и2 — субгармонические функции.
Следствие 1.6.5. Функция и, определенная в от-
открытом множестве QcC, субгармонична, если она суб-
субгармонична в некоторой окрестности каждой точки в Q.
Другими словами, субгармоничность —локальное свойство.
Следствие 1.6.6. Если /?Л(Q), то функция log|/|
субгармонична в Q.
Доказательство. Это следует из принципа макси-
максимума и условия (i) теоремы 1.6.3.
Из следствия 1.6.6 вытекает, что | / | — субгармоническая
функция, если / ? A (Q). В самом деле, имеет место
е
Теорема 1.6.7. Пусть ф — выпуклая возрастающая
функция на R, и пусть ф(—сх))=Нтл->_ооф(л;). Тогда ф(й)
субгармонична, если и субгармонична.
Доказательство. Для всякого х0 найдется действи-
действительное число k, такое, что
ф (х) > ф (х0) -\-k(x — х0).
Отсюда
2я
BJT) | ф (и (z -f- re'*)) fifO
о
/ 2Я \
> ф (х0) + А I Bл) J и (z + re») dQ — х0 I.
\ о /
Если выбрать х0 так, чтобы выражение в последних скобках
обратилось в нуль, и воспользоваться тем, что функция и
36
/. Аналитические функции одного переменного
субгармонична, а ф не убывает, то мы получим,
Ч>(« СО)<Ф 1 Bл)-1 | и(z + re»)d6 I <
что
2я
< Bл) J ф (и (z + re») )
о
Это неравенство доказывает теорему, поскольку ф(й), оче-
очевидно, — полунепрерывная функция.
Следствие 1.6.8. Пусть их, и2>0 и \ogUj — суб-
субгармоническая функция в Q, i = l, 2 (logO = — оо).
Тогда функция log(«! —|— и2), субгармонична в Q.
Доказательство. Пусть / — многочлен от z и О —
круг в Q, такие, что log(«1-j-K2) <^Re/ на dD, т. е.
и1 + й2^|е/| на dD. Так как функция \ogUj — Re/ субгар-
субгармонична, то из теоремы 1.6.7 следует, что u}\e-f\ тоже'
субгармонична. Значит, и функция {ux-\-u<j)\e-f | субгармо-
субгармонична, и поэтому она -< 1 в D, т. е. log(их-\-й2)<;Re/
в D. Следствие доказано.
Теорема 1.6.9. Пусть и—функция, субгармоническая
в открытом множестве Q, не равная тождественно —оо
ни в какой компоненте Q. Тогда и интегрируема на всех
компактных подмножествах из Q (в этом случае мы
пишем й6?|Ос(О)). откуда следует, что и> — оо почти
всюду.
Доказательство. Если z?Q, й(г)>—оо и D —
замкнутый круг с центром в z, содержащийся в Q, то
из A.6.1) ввиду ограниченности и сверху в D мы заключаем,
что и интегрируема на D. Если Е — множество всех z, таких,
что и интегрируема в окрестности г, то и = — оо в окрест-
окрестности всякой точки из Q \ Е. Следовательно, как Е, так и
Q \Е — открытые множества. Поэтому Q\E есть объеди-
1&ние~компонент Q, которые должны быть пустыми по условию,
так как и = — оо bQ\?.
Теперь можно дать другое описание субгармонических
функций..
1.6. Субгармонические функции
37
Теорема 1.6.10. Если и субгармонична в О, и не
равна тождественно — оо ни в какой компоненте Q, то
A.6.3) J uAvdh^O, если v?Cl(Q) и г> > 0.
Здесь X обозначает меру Лебега.
Доказательство. Если 0 < г < d(supp v, СИ), то
для всякой точки г ? supp v
j u(z-\-rete)dQ.
Умножая на v и интегрируя по dX, получаем
/ 2Я \
J u(z)i j v(z — re«V6— 2я • г>B) I <aB) >0,
\o /
Если теперь разделить на яг2/2 и устремить г к 0, то из
разложения Тейлора для функции v видно, что это нера-
неравенство в пределе даст A.6.3).
* Теорема 1.6.11. Пусть для функции u?L\0C(Q) вы-
выполняется условие A.6.3). Тогда существует и только
одна субгармоническая функция U в Q, равная и почти
всюду. Если ф — интегрируемая неотрицательная функция
от \z\ с компактным носителем, то для всякого z?Q
A.6.4) t/(z)=lim
J и {г — bz')<p(z')dk(z')
в-*0 f cp (zr) dk (z')
Доказательство. Если U — субгармоническая функ-
функция, то из A.6.1) для малых 6 следует, что
[U{z-b
а так как U полунепрерывна сверху, то при б->0 верхний
предел правой части << U (z). Поэтому A.6.4) должно вы-
выполняться, если u = U почти всюду. .
38
/. Аналитические функции одного переменного
2я
Для доказательства теоремы мы предположим сначала, что
«?C2(Q). Тогда условие A.6.3) можно интегрировать по
частям и, следовательно, оно эквивалентно условию Аи ^- 0.
Поэтому
J \дг* ^r dr^r д
Если положить М(г) = Bл)~1 f u(z-\-relQ)dQ, то отсюда
о
следует, что M"(r)-\- r~lM' (г)^0, т. е. гМ'(г) возрастает.
Так как гМ! (г) -> 0 при г -> 0, то М' (г) ;> 0. Значит,
М @)<^ Ж (г),«что и доказывает субгармоничность и.
Рассмотрим теперь функцию ф ? С§° (С) с носителем
в единичном круге, неотрицательную и зависящую только
от | z I.. Тогда
J Ф {г') dX (z')
принадлежит C°°(Q5) и и6->и по норме L1 на компактных
подмножествах из Q, когда 6—>0. Непосредственно прове-
проверяется, что в Q6 выполняется условие A.6.3) с заменой и
на й6. Но тогда из первой части доказательства видно, что
ы6 — субгармоническая функция, а отсюда следует, что
J ub(z-tz')m(z>)d%{z')
J Ф (z') dk (z')
убывает при е^О. Устремляя 6 к 0, мы приходим к выводу,
что иг(г) убывает при е\0. Поэтому
существует и является субгармонической функцией по теореме
1.6.2. Так как иг->и в пространстве Ljoc(Q), to U = u почти
всюду, что и завершает доказательство.
..В частности, мы показали, что функция и?С2 субгармо-
субгармонична тогда и только тогда, когда Аи ^ 0. Если Аи > Q,
1.6. Субгармонические функции
39
мы будем говорить, что и—строго субгармоническая функ-
функция.
В дальнейшем нам понадобится следующее дополнение
к следствию 1.6.8.
Теорема 1.6.12. Если 0-</?С2 и log/ — субгармо-
субгармоническая функция, то функция log(l-|-/) строго субгар-
субгармонична всюду, кроме точек, в которых grad/ = A/ = O.
Доказательство. Субгармоничность функции log/
означает, что /А/ — |grad/p^O. Если fl = \-\-f, то
/i A/j — | grad /j p == A/ 4- (/ A/ — | grad / |2), что может
равняться нулю только в случае, когда Д/ = 0, откуда
следует, что grad/ = O.
Наконец мы докажем принадлежащую Хартогсу теорему
о последовательностях субгармонических функций.
Теорема 1.6.13. Пусть vk — последовательность суб-
субгармонических в Q функций, равномерно ограниченная
сверху на всяком компактном подмножестве из Q и
такая, что Нтй^,о0г»й(г)^ С для всякого z?Q. Тогда
для любого е > 0 и всякого компактного множества KcQ
найдется k0, такое, что
Доказательство. Так как Q можно заменить про-
произвольной относительно компактной подобластью, содержа-
содержащей К, то можно считать, что рассматриваемая последова-
последовательность равномерно ограничена в Q, или даже, что vk ^ 0
в Q для всех k. Выберем г > 0 так, что KcQ3r. Согласно
A.6.1), для всякой точки г?/С
ягЧ(г)< { vk(z')dl(z').
I z-z'l <r
По лемме Фату верхний предел правой части при k -> оо
не. превосходит пСг2. Поэтому для всякого z?K можно
выбрать k0 так, что
( + |)г2, k>kQ.
\z-z' \<т
40
/. Аналитические функции одного переменного
Так как г>*<0, то для \z—w\<b<r получаем
я (г -+¦ бJ М«) < J «* <*')^ <*'> ^
1 z'-w | < г+б
_ . . ' < J M^
'J
Если б достаточно мало, отсюда следует, что
vk(w)< С-f-е для & > *0 и | w — z \ <6,
а так как К— компактное . множество, то теорема следует
теперь из леммы Бореля — Лебега.
Примечания. Вопросы, обсуждаемые в этой главе, настолько
хорошо известны, что мы приводим очень мало ссылок. Однако
хотелось бы отметить, что известны результаты более сильные, чем
следствие 1.3.2. Именно, Мергелян {1J доказалг что если К удовлет-
удовлетворяет условиям следствия 1.3.2, то равномерное замыканиэ множе-
множества сужений многочленов на К состоит нз всех непрерывных н&К
функций аналитических в его внутренних точках. Простое доказа-
доказательство этого факта методами функционального анализа можно
найти у Вермера {1]. Аналогичные утверждения в случае несколь-
нескольких переменных не выполняются (см. Каллин [1]). Ббльшую часть
разд. 1.6 можно найти в книге Радо [1]. Исключением является тео-
теорема 1.6:13, по существу принадлежащая Хартогсу.
Глава II
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В разд. 2.1 мы определяем аналитические функции как решения
уравнений Коши—Римана ди=0. После разложения дифференту
альных форм в сумму форм типа (р, q) мы определяем оператор д
для произвольных форм. Это дает иам комплексные дифференци-
дифференциальные операторы, которые для частных случаев рассматриваются
в разд. 2.3 и 2.7; общий случай изучается совсем другими методами
в гл. IV и V. В разд. 2.2 и 2.4 мы излагаем в основном классиче-
классические результаты, которые можно доказать с помощью простого рас-
распространения интегральной формулы Коши на области в Сп, яв-
являющиеся произведениями плоских областей. В частности, мы встре-
встречаемся с примерами областей, нз которых все аналитические функ-
функции можно аналитически продолжить в более широкие области. Те
области, для которых это невозможно, называются областями го-
голоморфности. Эти области появляются в разд. 2.5, где мы показы-
показываем, что они характеризуются свойством голоморфной выпуклости.
Более наглядное свойство так называемой псевдовыпуклостн вво-
вводится в разд. 2.6. Мы доказываем, что из голоморфной выпуклости
вытекает псевдовыпуклость, но обратное утверждение (проблема
Левн) оставлено до гл. IV. В последнем разделе изучается прибли-
приближение аналитических функций многочленами и в связи с этим точ-
точность последовательности операторов д. Эти результаты служат
^подготовкой к гл. III, и читатель, который хочет перейти прямо к
гл\ IV, может опустить разд. 2.7, а также связанный с ним конец
pab. 2.3.
^ 2.1. Предварительные сведення.'Пусть и — комплексно-
значная функция из Cl(Q), где Q — открытое множество
в пространстве Сл-Г это пространство мы отождествляем с R2".
Действительные координаты мы обозначаем через Xj,
1^у^2и, комплексные^-через 2j = X2j_l-\-ix2j, j—\ п.
Как и в разд. ХЛ, du можно представить в виде линейной
комбинации дифференциалов dZj и dZj.
BЛ.1)
ди
ди —
42 /¦/. Элементарные свойства функций нескольких переменных
где используются обозначения
ди \ I ди
B.1.2)
дг,
ди
ди
ди
¦+'
ди \
dx2jj
Используя сокращенные обозначения
B.1.3)
ди _ ^=У^.йг,.
dzj
¦dz,,
можно записать B.1.1) в виде
B.1.1)'
= du-{-du.
Дифференциальные формы, которые являются линейными
комбинациями дифференциалов dz}, называют формами
типа A, 0), а формы, являющиеся линейными комбинациями
d"zj,—формами типа @, 1). Таким образом, ди (соответст-
(соответственно ди) — компонента du типа A, 0) (соответственно @, 1)).
Определение 2.1.1. Функция и ? С1 (Q) называется
аналитической (или голоморфной) в Q, если du — форма
типа A, 0), т. е. если выполняются уравнения Коми —
Римана ди = 0. Множество всех функций, аналитических
в Q, обозначается A (Q).
Дифференциальные операторы д и д, очевидно, являются
линейными и удовлетворяют правилу дифференцирования про-
произведения. Следовательно, A(Q) — кольцо.
Пусть теперь и — аналитическая функция в Q со значе-
Cv,
ниями в
т. е.
где каждая компонента Uj — аналитическая функция в Q.
Если v ? С1 (<в) для некоторого открытого множества to, co-
держащего область значений и, то сложная функция
u*v : Q Э z -> v (и (z))
2.1. Предварительные сведения
43
принадлежит С1 (Q) и
Так как duj — формы типа A, 0), a
то отсюда следует, что
— типа @, 1) в Q,
>1 UV ,~
,-=^du,
Поэтому функция u*v аналитическая, если v — аналитическая.
Таким образом, разложение d в сумму д-\-д и свойство
аналитичности функции инвариантны относительно аналитиче-
аналитических отображений.
Теорема о неявной функции непосредственно обобщается
на аналитические функции.
Теорема 2.1.2. Пусть f}{w, z), /=1 т,—
аналитические функции от (w, z) = (wl wm, zx zn)
в некоторой окрестности точки (w°, z°) в Ст X С", и
пусть fj(w°, z°) = 0, y = l т, а
del
Тогда уравнения fj{"W, z) = 0, j=\ m, имеют одно-
однозначно определенное аналитическое решение w (z) в окрест-
окрестности z°, такое, что w (z°) = w°.
Доказательство. Уравнения fj(w, z) — 0 можно рас-
рассматривать как 2т действительных уравнений Re fj (w, z) — 0
и Im fj (w, z) = 0 для 1т действительных переменных
Re?2Jft и Imt0ft. Чтобы применить обычную теорему о неявной
функции, надо показать сначала, что в точке (хгР, z°) из
равенств dfj — O и dzk = 6, /=1, .... т, & = 1, ..., п,
следуют равенства dwj = 0, j=\ т. Но это очевидно,
так как определитель системы
: = U, /=1 т.
44 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
не равен 0. Поэтому уравнения fj{w, z) = 0 однозначно
определяют в окрестности z° гладкие функции wk, такие,
что w (z°) = tifi. Чтобы доказать их аналитичность, мы заметим
только, что для таких функций wk
Решая эту систему уравнений относительно dwk, находим,
что dwk — линейные комбинации дифференциалов dzx dzn.
Теорема 2.1.2 в частности означает, что аналитическое
отображение пространства С в себя локально имеет анали
тическое обратное там, .где якобиан не обращается в нуль.
Наконец, мы распространим определение операторов
д и д на произвольные дифференциальные формы. Диффе-
Дифференциальную форму / называют формой типа (р, q), если
ее можно записать в виде
/== 2 42 Ajdz'Ad*.
Где f = {ti 1Р) и J—Vr jq) —¦ мультииндексы, т. е.
последовательности индексов, заключенных между 1 и л.
Здесь мы использовали обозначение
dz'' /\uzJ = dzt Л ••• Adzt Л dzj Л • • ¦ Л d~z f .
Всякую дифференциальную форму можно одним и только
одним способом записать в виде суммы форм типа (р, q),
0-</?, q<^.n. Если /—-форма типа (j>, q), то внешний диф-
дифференциал
AdzJ
можно записать в виде df = df-\-df, где
¦ df — i?idfijA dz1 A d~zJ, д
i.j
i.j
— формы соответственно типа (p-\-l, q) и (р, q-\-1). Так
как 0 = d2f = d2f-\- (дд~{- dd}f-\-d2f и -все члены — формы
различных типов, то
B.Г.4) <?2 = 0, J
2.2. Применение интегральной формулы Коши для поликруга 45
Следовательно, уравнение
B.1.5) du = f,
где / — форма типа (р, ^+1), не может иметь решения и,
если не выполнено условие
Это показывает, что даже если нас интересуют уравнения
Коши — Римана B.1.5) только для функций и, необходимо
изучать оператор д также для форм типа @,1), а значит
для форм типа @, 2) и т. д.
Если и — голоморфное отображение области QcC" в Gv,
и если / = 2//, jdu1 A du1 — форма, определенная в откры-
открытой окрестности области значений и, то форму и*/ в Q можно
определить таким образом:
«'Л й
«7 =
где duk и duk, k — 1, .... v, — дифференциальные формы
в Q типа A,0) и @, 1) соответственно, так как ик — анали-
аналитические функции. Поэтому а*/ — форма типа (р, q), если
,/ —типа (j>, q), а так как d(u*f) — u*(df), то из этого
следует, что
Если $~ — пространство функций (или распределений),
то мы будем использовать обозначение ^(Р, q) для пространства
форм типа (р, q) с коэффициентами, принадлежащими <^*.
2.2. Применение интегральной формулы Коши для
поликруга. Множество DcC" называется поликругом, если
в С существуют круги Dx Dn, такие, что .
п).
Множество JJ dDj называется остовом D; мы будем обозна-
обозначать его через 6qD.
Теорема 2.2.1. Пусть D — открытый поликруг,
и пусть и —непрерывная функция в D, аналитическая
46 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
в D по каждому
ваны. Тогда
B.2.1)
когда другие переменные фиксиро-
фиксиро= B*0- J (^
Следовательно,
и аналитична в D.
Доказательство. Из следствия 1.2.5 и непрерывности
и вытекает, что и — аналитическая функция от Zj ? Оу, когда
другие координаты zk принимают произвольные фиксирован-
фиксированные значения в Dk. Поэтому, используя повторно A.2.3),
мы получаем B.2.1). Так как подинтегральное выражение —
аналитическая функция от z класса С°°, когда (?, z) ? d0D X D,
то отсюда и следуют оба утверждения теоремы.
Следствие 2.2.2. Если Q — открытое множество
в С и и?А (Q), то и ? С°°(Q) и все производные функ-
функции и тоже аналитичны в п.
Мы получим сейчас оценки для производных и. Строку
a = (aj an) из п неотрицательных целых чисел мы будем
называть мультииндексом и писать да= (d/dZi) • • • (^l^znfn-
Оператор да определяется аналогично. Мы используем также
сокращенные обозначения al = ai!... а„! и | а | = aj-}-••• -f-an-
Теорема 2.2.3. Для всякого компактного множества
К ей (Q — открытое множество в С") и всякой откры-
открытой окрестности <в множества К существуют кон-
константы Са для любых мультииндексов а, такие, что
B.2.2) |
Доказательство. Эти оценки доказываются повтор-
повторным использованием теоремы 1.2.4, если <в — поликруг
и К — компактное подмножество <в. Так как К можно
покрыть конечным числом компактных подмножеств поли-
поликругов, содержащихся в to, то теорема следует из этого
частного случая.
Следствие 2.2.4. Если uk? A (Q) и иА->и при &->оо
равномерно на компактных подмножествах из Q, то
Q
2.2. Применение интегральной формулы Коши для поликруга 47
Доказательство. Достаточно повторить доказатель-
доказательство следствия 1.2.5.
Следствие 2.2.5. Если uk?A(Q) и последователь-
последовательность | uk | равномерно ограничена на всяком компактном
подмножестве Q, то найдется подпоследовательность ukj,
которая равномерно сходится на всяком компактном
подмножестве из Q к некоторому пределу и?А (Q).
Доказательство. Достаточно повторить доказатель-
доказательство следствия 1.2.6.
Теперь рассмотрим разложение в степенные ряды функ-
функций, аналитических в поликруге. Будем говорить, что ряд
Sa aa (z) сходится нормально в открытом множестве Q, если
2asup/f|aa(z) | сходится для всякого компактного мно-
множества KczQ. Из этого следует, конечно, что 1iaaa(z) суще-
существует и не зависит от порядка суммирования и что эта
сумма — аналитическая функция, если все функции аа ана-
аналитические.
Теорема 2.2.6. Если и — аналитическая функция
в поликруге D= {z; | zt \ < г j, j= I я}, то
причем ряд сходится нормально в D.
Доказательство. Степенной ряд
<в fel • • • Qn
сходится нормально, когда (?, z)^0DXO. Поэтому можно
умножить его на и(^ ?я) и проинтегрировать B.2.1) по-
почленно, если и непрерывна в D. Так как дифференцирование
формулы B.2.1) дает
B.2.3) дааф)~
то теорема доказана, если и непрерывна в D. В общем случае
надо только применить этот результат для поликругов, отно-
относительно компактных в D,
48 //, Элементарные свойства функций нескольких переменных
Отметим, что попутно доказана
Теорема -2.2.7 (неравенства Коши). Если и—анали-
и—аналитическая функция и \и\<^.М в поликруге {z; \zj\<.rj,
j = 1 п), то
B.2.4) |да«@)|<Жа!г~а.
Доказательство. Это следует из равенства B.2.3),
применяемого к меньшим поликругам.
Из теоремы 2.2.6, как при доказательстве следствия 1.2.9,
мы получаем единственность аналитического продолжения.
(Можно было бы использовать и само следствие 1.2.9.)
Принцип максимума тоже немедленно распространяется на
случай нескольких Переменных.
Этот раздел мы закончим доказательством теоремы Хар-
тогса об аналитичности функции, аналитической по каждому
переменному. Соответствующий результат для функций дей-
действительных переменных неверен: функция / (л:, у) =
= ху[(х2 -\- у2), /@, 0) = 0, бесконечно дифференцируема
по л: (или у), когда у (или л:) остается фиксированным, но,
несмотря на это, / даже не является непрерывной в начале
координат.
Теорема 2*2.8. Если и — комплекснозначная функция,
определенная в открытом множестве Q с С" и аналити-
аналитическая по каждому переменному Zj, когда другие пере-
переменные фиксированы, то функция и аналитична в Q.
Это утверждение локально, поэтому его достаточно дока-
доказать для поликруга.
Лемма 2.2.9. Если функция и удовлетворяет пред-
предположениям теоремы 2.2.8 -в поликруге Q = {г; \ z-}\ < г^,
у=1, ..., п) и .если \и\ ограничен в Q, то функция и
аналитична в Q.
Доказательство. Согласно теореме 2.2.1, достаточно
показать, что и непрерывна в Х2. Пусть | и | -^ М в Q. Тогда
мы утверждаем, что (
я . .
B.2.5) | «(*)-«(?) |< 2ЛГУ г, {J~ij -, еслиг, С6Й
2.2. Применение интегральной формулы Коши для поликруга 49
Так как
я
U (Z) — U @ = 2 (« (&1- •••• Sy-j. Zj Zn)~
то "эту оценку достаточно доказать для случая одного пере-
переменного. Но тогда она следует из леммы Шварца, так как
функция z-*u(z) — и(?) по модулю не превосходит ЧЖ и
обращается в нуль при г = ?. Значит, неравенство B.2.5)
выполнено, а это доказывает лемму.
В дальнейшем мы предполагаем, что теорема 2.2.8 уже
доказана для функций от менее чем я переменных. (Заметим,
что при я = 1 она тривиальна.)
Лемма 2.2.10. Пусть выполнены предположения тео-
теоремы 2.2.8, и пусть D = H\Df — замкнутый поликруг
с непустой внутренностью, содержащийся в п. Тогда
существуют круги D} с Dj положительных радиусов,
причем Dn = Dn, такие, что функция и ограничена
sO' = П"?>/, а значит, аналитична внутри D'.
t
Доказательство. Пусть
z'; г'бЦЯу и \f(z', гя)\<М. когда zn?Dn j.
Тогда множество Ем замкнуто, так как по предположению
индукции функция f аналитична, а поэтому и' непрерывна
по z' при фиксированном zn. Кроме того, Lfi°?JM = n?~1Dy.
Поэтому из теоремы Бэра следует, что для достаточно боль-
большого М множество Ец имеет внутренние точки. Если мы
выберем D' так, чтобы D cEM~^Dn, то лемма будет доказана.
Лемма 2.2.11. Пусть и — комплекснозначная функ-
ция в поликруге D = {z; \Zj — z°|</?, /=1 я},
аналитическая по z' = (zx 2n-i) nPu фиксированном zn,
аналитическая и ограниченная в D' = \z; \z, — гЯ|<г,
у = I я — 1, | zn — z°n J < /?} для некоторого г > Q.
Тогда функция и аналитична в D,
50 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Доказательство. Можно считать, что z° = 0. Выбе-
Выберем Rx и /?2 так, что 0 < /?i < /?2 < R. По теореме 2.2.6
имеем
B.2.6) и (*) = S ««(*») *'". z?D,
а
где а пробегает мультииндексы из п—1 элементов, функции
аналитичны по zn и
B.2.7) \aa(zn)\R]2a[->0 при |а|^оо
для фиксированного zn, \ zn | < R- Неравенство Коши дает
B.2.8) |а
если | и | -^ М в О'. Теперь применим теорему 1.6.13 к суб-¦
гармоническим функциям
Ввиду B.2.8) эти функции равномерно ограничены сверху,
когда | zn \ < R, а в силу B.2.7) их верхний предел при
|а|->оо не превосходит log(l//?2) для фиксированного zn.
Поэтому из теоремы 1.6.13 следует, что для большого |а|
*n)l<log7j-> если lz«l</?i-
т. е.
I аа(глI
Для большого |а|, если \zn\<Rv
Это доказывает нормальную сходимость ряда B.2.6) в D-
Так как члены этого ряда — аналитические функции, мы за-
заключаем, что и — аналитическая функция.
Доказательство теоремы 2.2.8. Для данной точки
??Q подберем R > 0 так, чтобы поликруг [z; \ Zj—?;-|<!2/?,
7 = 1 я} содержался в п. По лемме 2.2.10 мы можем
найти точку 2°, такую, что max . I z°,—?,|</?, для которой
предположения леммы 2.2.11 выполнены при некотором г > 0.
Но тогда функция и аналитична в окрестности ?, что и до-
доказывает теорему.
2,3. Неоднородные уравнения Коши — Римана в поликруге 51
2.3. Неоднородные уравнения Коши — Римана в поли-
поликруге. Сначала рассмотрим уравнение
где /—данная форма типа @, 1) с компактным носите-
носителем, а неизвестное и — некоторая функция. Напомним, что
равенство д/ = О является необходимым условием существо-
существования решения. Другими словами, мы хотим решить пере-
переопределенную систему дифференциальных уравнений
B.3.1) #- = Л- J=l- •¦•• »•
дг, '
для которой выполнены условия совместности
B.3.2) i?_^ = o, у, *=1, .... я.
dzk dzj
Теорема 2.3.1. Пусть функции fj?C*(C"), j=\ я,
где k > 0, удовлетворяют условиям B.3.2) (я > 1). Тогда
существует функция и^С\(С"), удовлетворяющая урав-
уравнению B.3.1).
Заметим, что для я =1 теорема неверна (возьмите про-
произвольную функцию / ? С^°, плоский интеграл Лебега от
которой не равен 0).
Доказательство. Положим
J J
-**_-'*Л dx A dx =
= Bл/)-1 / J /¦
т-т*'"-"*") dx A dr.
Из второго определения видно, что и?Сй(С); ясно также,
что и (z) = 0, если сумма | z2 \-\- ... -\-1 zn \ достаточно велика.
Из теоремы 1.2.2 следует, что dujdzx~fv Если ft> 1, то,
дифференцируя под знаком интеграла и используя равенство
dfld dfx, мы получаем
^ = Bя/)-1 Г
(т, ?,,..-)
^
^ (я) С ?
последнее равенство следует из теоремы 1.2.1. Поэтому
4*
52 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
и удовлетворяет всем уравнениям B.3.1) и, в частности,
функция и аналитична вне некоторого компактного множества.
Но тогда из единственности аналитического продолжения можно
заключить, что и имеет компактный носитель.
Теорема 2.3.1 немедленно приводит к следующей теореме
Хартогса.
Теорема 2.3.2. Пусть Q—открытое множество в С,
«> 1, и К — компактное подмножество из Q, такое, что
множество Q\K связно. Тогда для всякой функции
и ? A (Q \ К)' найдется функция U?A (Q), такая, что
u = U в п\К.
Доказательство. Пусть (j>?C"(Q) равна 1 в окрест-
окрестности К. Положим и0 —A —ф)« и доопределим эту функ-
функцию равной 0 в К. Тогда HogC°°(Q), и мы хотим подо-
подобрать v ? С°° (С) так, чтобы
U = Uo—v
обладала требуемыми свойствами. Функция U будет анали-
аналитической, если
B.3.3) dv = dao^ — udlf = f,
где /, доопределенная нулем в К и вне Q, имеет коэффи-
коэффициенты, принадлежащие С5°(С"). Поэтому уравнение B.3.3)
имеет решение, равное нулю в неограниченной компоненте
дополнения к носителю <р. Граница этого множества принад-
принадлежит Q \ К, следовательно, существует открытое множество
в Q \ К, где v = 0 и ы = % Поэтому аналитическая в Q
функция U, которую мы определили выше, совпадает с и
на некотором открытом подмножестве из Q \ К, а так как
последнее множество связно, то u=-U в Q \ К-
Таким образом, всякую функцию, аналитическую в Q \ К,
можно аналитически продолжить в более широкое множе-
множество Q. Это находится в резком контрасте с ситуацией для
одного комплексного переменного (следствие 1.5.3). Другие
примеры этого явления мы найдем в последующих разделах;
полностью мы изучим его в разд. 2.5.
Не изменяя метода доказательства, можно указать более
сильный вариант теоремы 2.3.2, когда функция и, которую
Надо продолжить, определена только на dQ
2.8. Неоднородные уравнения Коши — Римана в поликруге 53
Теорема 2.3.2'. Пусть Q — ограниченное открытое
множество в С", я > 1, такое, что CQ связно и dQ?C4.
Обозначим через р действительную функцию класса С*,
такую, что р на dQ равна 0, a grad p на dQ не равен 0.
Тогда если и?С4(О) и ди/\др — О на дп, то найдется
аналитическая функция U ? С1 (Q), такая, что U — инадй.
Прежде чем доказывать эту теорему, сделаем несколько
замечаний. Во-первых, из существования аналитической функ-
функции U следует, что U — и = рй, A?C°(Q), следовательно,
dU — ди = кЪр на дб^так что ди /\ др = ди Л Ф = 0 на дп.
Предположение диЛФ = 0 можно по-другому сформули-
сформулировать так:
-r=-t, = \)% если
т. е. и удовлетворяет уравнениям Коши — Римана во всех
касательных плоскостях. Заметим, что в эти уравнения входят
только значения и на dQ. Условия дифференцируемости легко
можно понизить на две единицы.
Доказательство теоремы 2.3.2'. Сначала мы по-
построим U0?C2(Q) так, чтобы ?/0 = и на dQ и
dU0 = О (р2) в окрестности dQ.
Для этого заметим, что по условию
- Поэтому
для подходящих йо?С3(й) и Ai
д(и — Лор) = р {hx — dh0) = рй2, где
х) @).
Так как Q = d{ph^ = dp /\ h2-\-pdh^, то др/\Н2 = О на dQ.
Поэтому мы можем напиеать А2 = А3др+рА4, где A3?C2(Q)
мы получаем
у
и Л4 ? С(о, и (Q). Полагая U0 = u~Лор —
и тем самым построение Uo закончено. Теперь положим
f = dU0 в Q, / = 0 в
54 11. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Тогда форма / принадлежит С|о, ц (С") и имеет компактный
носитель; по теореме 2.3.1 мы можем выбрать функцию
и^С^С") так, чтобы. dv = f и v имела компактный носитель.
Так как функция v — аналитическая в QQ, и это множество
связно, то v = 0 в Си. Поэтому функция U — Uo—v равна
U0 = u на дп и dU = 'dUo — dv = f — f — 0 в Й. Это за-
завершает доказательство. "
Изучение уравнения ди = /, когда / имеет некомпактный
носитель, даже в поликруге является несколько более сложным.
Так как в разд. 2!6 нам понадобятся результаты для форм
типа @, q-\- 1) с произвольным q ~J>0, то мы рассматриваем /
типа (р, 9+1) с произвольными р, q^-О. Для простоты
мы считаем, что коэффициенты принадлежат С°°.
Теорема 2.3.3. Пусть D — открытый поликруг и
форма f ? С^_ e+1) (D) (р, q^-О) удовлетворяет условию
df = O. Если D'mD {m. e. D' относительно ком-
компактно в D), то найдется форма и ? С^_ 9) (d')> такая,
что du = f в D'.
Доказательство. Докажем по индукции/ что теорема
верна, если / не содержит dzk+x dzn. Это тривиально,
если k = 0, потому что / в этом случае равна 0, так как
каждый член / — форма степени q-\--l > 0 относительно dz.
Для k^n это утверждение совпадает с утверждением тео-
теоремы. Предполагая, что оно уже доказано для k—1, на-
напишем равенство
от
где g?C^j)(D), h?CfPiq+l){D), g и h не зависят
dzk
dzn. Далее,
где 2' означает, что суммирование ведется только по возра-
возрастающим мультииндексам. Так как df = O, то
B.3.4)
= 0, ]>k.
dzs
2.3. Неоднородные уравнения Коши — Римана в поликруге 55
поскольку с точностью до множителя + 1 это коэффициенты df
при dz1 /\dzJ /\dzk /\dzj. Таким образом, g,j — аналити-
аналитическая функция по этим переменным.
А теперь найдем решение G^j уравнения
B.3.5)
4,1
Для этого выберем я); ? Со°(Ой) так, чтобы я);(zk)=\ в окрест-
окрестности D" с D множества D', и положим
= BлО-!Л
~2ni J J
-^¦dx Adx =
i zn)
dx/\dx.
Цз последнего выражения видно, что О/, J^CCO(D); из тео-
теоремы 1.2.2 следует, что в D" выполняется B.3.5); учитывая
B.3.4) и дифференцируя под знаком интеграла, мы получаем
B.3.6)
Если положит;
то в D"
д~О =
dZ
0=2'О/ jdz!AdzJ,
г i —
dz
Li J "~]
где Aj представляет собой сумму по j от 1 до k — 1 и не
зависит от dzk dzn. Поэтому h — hx = f — dG не со-
содержит dz^, . .., dzn, и, следовательно, по предположению
индукции найдется функция у ? С^ ~я) (D'), такая, что dv —
= f — dG. (Заметим, что ~д (/ — дО) = d~f = 0.) Но тогда
и — v -\- G удовлетворяет уравнению ди = /, чем и заканчи-
заканчивается доказательство.
56 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
- Рассуждения, подобные использованным в доказательстве
теоремы 1.4.4, позволяют доказать, что решение «?С(?, $Ф)
уравнения du = f существует, если выполняются предположе-
предположения теоремы 2.3.3._ Однако мы не будем делать этого до
разд. 2.7, в котором мы распространим теорему 2.3.3 на
множества более общие, чем поликруг.
2.4. Степенные ряды и области Рейихарта. Рассмотрим
в С степенной ряд
где аа — комплексные числа, определенные для всех мульти-
индексов а. Область сходимости D этого ряда мы опре-
определяем как множество точек z, в окрестности каждой из ко-
которых ряд абсолютно сходится. Далее, через В мы обозна-
обозначаем множество всех z, таких, что | aaza | -^ С для всех а и
некоторой константы С. Очевидно, что D принадлежит вну-
внутренности В° множества В. На самом деле эти области сов-
совпадают; чтобы доказать это, мы докажем сначала лемму Абеля.
Лемма 2.4.1. Если w(~B, то степенной ряд нор-
нормально сходится в поликруге \ Zj | < | Wj |, j = 1 п.
Доказательство. По условию существует кон-
константа С, такая, что | aawa | < С. Если | Zj |< kj | Wj | и
kj < 1 для всякого j, то | aaza | < Ска, а так как 2aka =
= П?A—kj)~l < со, то лемма доказана.
Теорема 2.4.2. Область сходимости D совпадает
с внутренностью множества В; степенной ряд сходится
в D нормально, и поэтому его сумма есть функция, ана-
аналитическая в D.
Доказательство немедленно следует из леммы 2.4.1,
Теорема 2.4.3. Пусщь D*«(|; |?R". (е1* еЦ$
? D]. Тогда D* — открытое выпуклое множество в R";
если \?D* и T)/^l/ дл% всех у, то r\?D*. Далее, z?D
тогда и только тогда, когда. | Zj |-<еЬ, J—\ я.
для некоторого
2.4. Степенные ряды и области Рейнхарта
57
Доказательство. Определим В* аналогично D* с за-
заменой D на В. Из теоремы 2.4.2 следует, что D* — внут-
внутренность множества В*. Если теперь |, т] ? В*, то найдется
константа С, такая, что
п
V,
I аа I ехР ( 2 ajlj
и |аа|ехр 2а/гь <С для всех а.
Если к,
и X-\-\i=l, то из этого следует, что
< С.
Поэтому Я|-f-р/п ? б*, т. е. В* — выпуклое множество. От-
Отсюда немедленно получаются требуемые свойства множе-
множества D*.
Обратно, если D* cr R" обладает свойствами, перечислен-
перечисленными в теореме 2.4.3, и мы определим D в соответствии
с последним утверждением этой теоремы, то получим откры-
открытое множество D, которое в точности является областью
сходимости для некоторого степенного ряда. Это следует из
приведенной ниже теоремы 2.4.5 и доказываемого в разд. 2.5
факта, что в D существует аналитическая функция, которую
нельзя аналитически продолжить вне D (см. ниже следствие
2.5.8).
Теорема 2.4.3 означает, в частности, что область сходи-
сходимости степенного ряда обладает свойством, указанным в сле-
следующем определении:
Определение 2.4.4. Открытое - множество QcC
называется областью Рейнхарта, если из включения
(z\ 2П)€^ следует^ что (е'9»^ «i9n) 6 ^
произвольных действительных чисел дг 9Я.
Теорема 2.4.5. Пусть QcC — связная область
Рейнхарта, содержащая, начало координат, и пусть
f ?A (Q). Тогда существует один (и только один) сте-
степенной ряд, такой, что
и ряд нормально сходится в Q.
58 П. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Доказательство. Единственность очевидна, ибо по-
почленное дифференцирование (допустимое ввиду теоремы 2.2.3)
дает аа = daf @)/a!. Для доказательства существования возь-
возьмем произвольное число е > 0 и определим ОЁ как множество
всех z?Q, таких, что d(z, CQ)>e|z| (\z\—некоторая
норма в С"). Тогда 0?ОЁ и Qe — открытое множество.
Пусть ОЁ — компонента Qe, содержащая начало координат.
Ясно, что QE возрастает при eXjO, а так как всякую точку
z ? Q можно соединить в Q с 0 ломаной, то О = Ue > <fl'e-
Для z ? Q'e положим
.., tnzn)
dtn
где Te={t; l^l^l+e, /=1, ..., а}. Интеграл опреде-
определен, так как расстояние от z до (l-{-e)z равно е|г|, и
поэтому, если z?Q'E, то (l-|-e)z?Q. Так как Q — область
Рейнхарта, то отсюда следует, что (txZi, ..., tnzn)?Q для
всякого t ? д0Тг. Дифференцируя под знаком интеграла, до-
доказываем, что g — аналитическая функция в QE. Если теперь
| jar | настолько мал, что Цхгх, ..., tnzn)?Q для всякого
t?Tv то из теоремы 2.2.1 следует, что / (z) — g(z). По-
Поскольку Q'e связно, мы получаем, что / = g в Q?.
Теперь мы имеем разложение
причем сходимость нормальна, когда t ? д0Те, Так как
(f!«! tnzn) принадлежит компактному множеству в Q,
если z принадлежит компактному множеству в Q'& и t ? dQTE,
мы получаем, что / (z) = S/a (z) в Q'E, причем сходимость
нормальна; здесь
/a (z) =
— аналитические функции в QE. Как и выше, находим, что
fa (z) = zadaf @)/a! в окрестности нуля и, следовательно,
в Qg. Это завершает доказательство.
2.5. Области голоморфности
59
Будем говорить, что область Рейнхарта логарифмически
выпукла, если она обладает свойствами области сходимости,
описанными в теореме 2.4.3. Ясно, что внутренность пересе-
пересечения некоторого семейстра логарифмически выпуклых обла-
областей Рейнхарта есть снова логарифмически выпуклая область
Рейнхарта. Поэтому для всякого открытого множества Q
в С" можно найти наименьшую логарифмически выпуклую
область Рейнхарта, содержащую его; возможно, такой об-
областью окажется все пространство С. Из теорем 2.4.3 и
2.4.5 мы теперь получаем следующее утверждение:
Теорема 2.4.6. Пусть Q — связная область Рейн-
Рейнхарта, содержащая 0, и U—наименьшая логарифмически
выпуклая область Рейнхарта, содержащая Q. Тогда
всякую функцию из A (Q) можно продолжить до функ-
функции в А (Q).
Пример. Если
Q = {*6C2; max(|z,|, |z2|)<l
TO
U = {z ? C2; max (| zx |, | z2 |, | zxz2 |/e) < 1}. -.
2.5. Области голоморфности. В теоремах 2.3.2 и 2.4.6
мы привели примеры открытых множеств Qcu Q ф Q,
таких, что всякую функцию u?A(Q) можно продолжить
до функции из A (Q). Исследуем подробнее это явление.
Определение 2.5.1. Открытое множество 2сС
называется областью голоморфности, если в С нельзя
найти двух открытых множеств Q, и Q2, обладающих
следующими свойствами:
(a) 0 ф Q, с Q2 П Q;
(b) Q2 связно и не содержится в й;
(c) для всякой функции u?A(Q) найдется и2?Л(О2)
(обязательно однозначно определяемая), такая, что
и = и2 в Q,.
Грубо говоря, это определение означает, что на границе
нет ни одного участка, через который можно аналитически
продолжить всякий элемент из A (Q). Позже мы увидим, что
для всякого Q имеется наибольшее открытое множество Q,
60 П. Элементарные свойства функций нескольких переменных
в которое можно аналитически продолжить все функции
из A (Q), и поэтому Q — область голоморфности. Однако этот
результат справедлив только в том случае, если допускается
рассмотрение комплексных многообразий наложения над С".
Так как здесь мы рассматриваем только однолистные области,
то обсуждение этого вопроса откладывается до разд. 5.4.
Определение 2.5.2. Если К — компактное подмно-
подмножество Q, то А (&)-оболочку Ка множества К мы опре-
определяем так:
B.5.1) Kg — {z\ z 6 Q, | / B) |< sup | /1 для всех f?A {Щ.
Полагая /(z) = exp (z. С), мы получаем, что множе-
множество Kq содержится в выпуклой оболочке К, а поэтому
ограничено. Очевидно также, что Kq замкнуто в Q, цо
в общем случае не обязательно является компактным подмно-
подмножеством Q (см. ниже теорему 2.5.5).
Если D — открытый поликруг с центром в 0, то положим
Лемма 2.5.3. Пусть f?A(Q),
B.5.2) |/(г)|<Д§(г),
и пусть С ? Кп. Если и? A (Q), то разложение и в сте-
степенной ряд в точке ?
B-5.3) ".
ct
сходится, когда z принадлежит поликругу {?} -\-\f(t,)\D.
. Д оказательство. Пусть D — [z; \Zj\<.rj, j —
= 1 п). Если 0 < t < 1, то множество
[г\ \zi-<wj\<trj\f{w)\, y=l я,
для некоторого -w?K}
является компактным подмножеством Q, а поэтому на нем
! и (г) К М для некоторого М. Таким образом, из неравенств
Коши получаем
|да« (да) 1 fl а Va| /(-а;)t1 а' -щ- < Л4, »€*.
2.5. Области голоморфности
61
Так как /(t»)'a'dae(«) — аналитическая функция в Q, то
та же самая оценка справедлива, когда w?Kq. Если да = 4,
то мы заключаем, что B.5.3) сходится в поликруге {С} -j-
И-1/@1 я. ¦
Пусть теперь б — произвольная непрерывная функция
в С", такая, что б > 0 везде, кроме 0, и
Положим б (г, CQ) = infW?cab(z — да). Тогда ясно, что
б (г, CQ) — непрерывная функция рт z.
Теорема 2.5.4. Пусть Q — область голоморфности.
Если f?A(Q) и
|/(z)|<ft(z. CQ). z?K.
где К — компактное подмножество из Q, то
|/(*)|<6(г, CQ). z?KQ.
В частности, когда f — константа, мы получаем
inf б (г — "ш)= inf б-(г—w).
t
Доказательство. Если {г;б(г)<1}—поликруг D,
то теорема следует из леммы 2.5.3, так как разложения
в степенные ряды всех и ? A (Q) в точке С 6 Ка не могут
сходиться в фиксированном поликруге, не содержащемся в Q,
по определению области голоморфности. Далее мы можем
написать
6(z, CQ) = sup{r?R; z + aw?Q, если w?Cn, б(да)<1
и a?C, |a[<r}= inf bw(z, CQ),
6 (n>)< i
где
б,,,^. CQ) = sup{r?R; г + ада?О, если |a|<r}.
Таким образом, достаточно доказать утверждение для bw и
при этом можно считать, что да = A, 0, .. .). Но если
то Дц*(г), возрастая, стремится к t>w(z, CQ) при А->оо.
62 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Если е > 0, то по теореме Дини из неравенства
\f(z)
(z, CO),
следует, что
если k достаточно велико. Поэтому
1/©!<A+е)Д?*(С)<A+е)вв(:. CQ).
в соответствии с замечанием в начале доказательства. Послед-
Последнее неравенство доказывает теорему.
Теперь мы можем охарактеризовать области голоморф-
голоморфности.
Теорема 2.5.5. Если Q — открытое множество в С",
то следующие условия эквивалентны:
(i) Q — область голоморфности;
(И) если К mQ, то Ка ш Q и, в обозначениях тео-
теоремы 2.5.4,
(iii) если К т О, иго ?а <^ О;
(iv) существует функция /?Л(О), которую нельзя
аналитически продолжить вне Q, т. е. нельзя
найти множества Ц и Q2, удовлетворяющие
условиям (а) и (Ь) определения 2.5.1, а функцию
/2?Л(Й2), такую, что / —/2 в Qr
Доказательство. (i)=^>(ii) в соответствии с тео-
теоремой 2.5.4. Импликации (И)=ф(Ш) и (iv)=^>(i) тривиальны,
и остается только показать, что (iii)=^>(iv). Пусть D — поли-
поликруг с центром в 0; для точки ? ? Q обозначим через Dg
наибольший поликруг вида \Q-\-rD, содержащийся в Q.
Пусть М — сметное плотное в О множество. Достаточно
построить функцию f?Aj(Q,), которую нельзя продолжить
в окрестность множества D^ ни для какой точки С 6 М- Для
этого рассмотрим последовательность ?j, ?2, ... элементов
множества Л1, в которой каждая точка из М встречается
бесконечно много раз. Пусть К\ с: /С2 с: ... — последователь-
2.5. Области голоморфности
63
ность компактных подмножеств из Q, таких, что всякое ком-
компактное подмножество из О принадлежит некоторому Ку
Так как Kj <ш О, мы можем найти точку z;- ? D^, такую,
что г;- ^ Kj. Поэтому существует функция /;- ? A (Q), такая,
f
что fj(Zj)= 1, но
< 1. Заменяя, если потребуется,
функцию /¦ достаточно высокой ее степенью, мы можем
считать, что
B.5.4)
= 1.
SUP|/y|<2
-J
Функцию fj можно выбрать так, чтобы она не обращалась
в 1 тождественно ни в какой компоненте Q. А теперь обра-,
зуем бесконечное произведение
Так как %Л2^ сходится, то произведение сходится равномерно
на Kt для всякого /, и поэтому определяет функцию f?A (Q),
не равную тождественно нулю ни в какой компоненте Q.
Все производные / порядка < j в точке Zj равны "нулю.
Таким образом, если 1,?М, мы можем для всякого целого N
найти в Dg точки, в которых все производные / порядка
<^Af равны 0. Поэтому аналитическое продолжение / в ок-
окрестность множества Dg должно было бы иметь нуль беско-
бесконечного порядка, т. е. тождественно равняться 0 в Dg, что
противоречит свойствам /. Доказательство закончено.
Следствие 2.5.6. Если Q — множество, выпуклое
в геометрическом смысле, то Q — область голоморф-
голоморфности.
Следствие 2.5.7. Если Qa — область голоморфности
для каждого индекса а из некоторого множества А, то
внутренность Q пересечения ПА есть область голо-
голоморфности.
Доказательство. Так как KqcKq , если К <ё Q,
то расстояние от /Cs до CQa не меньше расстояния от К
до Си для всякого а. Значит, выполнено условие (Ш) тео-
теоремы 2.5.5.
64 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Следствие 2.5.8. Пусть Q — связная область Рейн-
Рейнхарта, содержащая 0. Тогда следующие условия экви-_
валентны:
(i) Q — область сходимости некоторого степенного
ряда;
Q — область голоморфности;
Q* = fc; E6R". (А •••- в1»)^0)—открытое вы-
выпуклое множество в R", такое, что из условий
??Q* и ^j-^^j для всякого j следует включение
t]?Q*. Далее z?Q тогда и только тогда,
когда \Zj\^.eb, у = 1,..., п, для некоторого
(ii)
(Hi)
Доказательство. A)=ф(Ш) следует из теоремы 2.4.3.
Далее (ii) =ф(i), согласно теореме 2.4.5; остается только
доказать, что (Ш)гф(И). Пусть К — компактное множество
в Q. Тогда можно найти конечное множество k с Q, такое,
что
Kcz\J{z;\z}\^\ij\, j=\, ,.,, п)
te*
и ни один |?у| не равен нулю, когда Z?k. Предположим
теперь, что z ?Xq и что zx ... Zj ф 0, в то время как
2у+1 zn все равны нулю. (Можно ограничиться этта*
случаем, изменив обозначения координат.) Тогда для всех а
т. е.
где к[ = аг/{«1 -f- ... -f- а^). Так как здесь Я| — произвольные
неотрицательные рациональные числа, я сумме равные 1,
то эта оценка выполняется также для произвольных неотри-
неотрицательных действительных Xt. Это означает, что точка
(l°g I zi U ¦ • • • '°S I гу I) € R' принадлежит выпуклой оболочке
множества всех (% 11^), таких, что ty-^log^l- ^ =
*= 1, ..,, у, для некоторой точка С? &. Тем самым доказано,
что | гг]^е"' для некоторого ti?Q*, i== 1, ..., у, а значит,
и для всех j. Поэтому Kq с Ц. что и доказывает следствие.
2.5. Области голоморфности
65
Таким образом, мы доказали, что всякая функция, анали-
аналитическая в связной области Рейнхарта, содержащей 0, может
быть аналитически продолжена в область голоморфности,
которая также является областью Рейнхарта. Следующая тео-
теорема аналогична доказанной, но является более общей.
Определение 2.5.9. Открытое множество ОсС"
называется трубчатым, если имеется открытое множе-
множество cocR", называемое основанием О, такое, что п =
= {z; Rez?a>}.
Очевидно, что выпуклая оболочка ch Q множества О есть
трубчатое множество с основанием cha>.
Теорема 2.5.10. Если Q — связное трубчатое множе-
множество, то всякую функцию и?А (Q) можно продолжить
до функции из A (ch Q).
Эту теорему мы выведем из леммы 2.5.3 и следующего
утверждения:
Лемма 2.5.11. Пусть О — трубчатое множество,
основание которого содержит выпуклую оболочку мно-
множества
* = {(*!. 0 0); 0<X!<l}U{@, х2 0); 0<х2<1}.
Для 0 < е < 1/2 положим
Кй = {(*!, х2, 0 0); 0 < хх, 0 < х2, х, + х2 < 1,
х, + хя —е.(*| + *а)<1—е}
и
Тогда А (О)-оболочка множества k?-\-it\ содержит Ке-\- 1ц
для всякого ii?Rn.
Доказательство. Для доказательства можно поло-
положить т] = 0. Рассмотрим множество
M& = [{zx, z2, 0 0);^ег!>0, Re«2>0,
5 Зак. 861
66 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
обозначение Zj = Xj + iy}, мы получаем в Мъ
B.5.5) х, + х2 - г (х\ + х*) + е (у? + ^) ^ 1 - е,
О, JC2 > 0, Xj -f х2 < 1.
Поэтому д;2 + д;2<1 и У? + >|<1/е, и, следовательно.
М& — компактное множество. Поскольку
на Mg)
из теоремы о неявной функции видно, что z2— локально
аналитическая функция от zx на Мг. Аналогично zx — ло-
локально аналитическая функция от z2 на М8. Так как хх-\-
-\-х2< 1 иа Ме, за исключением точек, A, 0 0) и
(О, 1, 0, . . *, 0), то граница поверхности Ме принадлежит ke и
максимум на Ме функции из A (Q) достигается на k&.
Поэтому А (О)-оболочка множества ке содержит множество
\{xv х2, 0 0);х,>0, x2>0, Xi+x^Kl, х1+х2—е.(х]+х1)'=
=== 1 — ej. Так как Kke с k&, когда 0 < Я ^ 1, то отсюда и
следует лемма.
Доказательство теоремы 2.5.10. (а) Сначала
предположим, что основание со множества Q является звезд-
звездным относительнб начала координат, т. е. если х ? <», 0 <;
^f^l, то tx?<d. Заметим, что веякое трубчатое множе-
множество со звездным основанием связно и что пересечение двух
таких трубчатых множеств снова звездно, а значит, и связно.
Поэтому найдется трубчатое множество & со звездным осно-
основанием ю, такое, что всякую функцию и ? A (Q) можно ана-
аналитически продолжить в & и Q содержит всякое звездное
трубчатое множество, обладающее этим свойством. В самом
деле, в качестве О следует взять объединение всех таких
трубчатых множеств. Мы должны доказать, что и — выпуклое
множество. Итак, пусть |j и |2—два линейно независимы?
элемента в оэ. Мы можем выбрать координаты так, чтобы |j
и. |g были единичньгаи векторами вдоль "осей хх и х2. Опре-
Определим к, как в лемме 2.5.11, и выберем 6>0 так, чтобы
A~(z)>6 для z?k (в обозначениях леммы 2.5.3). Пусть
? — множество таких а, 0<а<!1; что из неравенств
2.5. Области голоморфности
67
0<; х2, хх-\-х2-^.а следует включение (хх, х2, 0, ..., 0
Очевидно, что Е открыто в [0, 1] и 0?Е. 'Если а?? и
0<е< 1/2, то из леммы 2.5.11 следует, что А(О)-оболочка
множества k-\-tK для некоторого компактного множества
tf c:R" содержит
2< 0
!, 0<д:2>
— г)а].
Поэтому разложение любой функции / ^ A (Q) в степенной
ряд в точке С, для которой Re C€^a, e' сходится в {С} +6D.
Отсюда мы заключаем, что Е замкнуто; следовательно,
? = f0, 1}, что и доказывает выпуклость множества и.
(Ь) Пусть теперь ю — произвольное связное открытое
множество в R" и 0?ю. Обозначим через U наибольшее
трубчатое множество с основанием, звездным относительно
начала координат, такое, что для всякой функции f?A (Q)
найдется функция /? А(&), для которой /==/ в окрестности
нуля! В соответствии с (а) множество Q должно быть выпу-
выпуклым. Предположим теперь, что U не содержит все Q. Тогда
найдется точка х0 ^ со, х0 ? и, а так как со связно, ее можно
соединить с нулем ломаной, принадлежащей ©. Пусть Xj —
последняя точка пересечения этой ломаной с да. Тогда хх
соединяется с 0 ломаной, которая вся, за исключением хх,
принадлежит со П и. Если й>х—выпуклая окрестность точки хх,
содержащаяся в со, то функция /' = / в ©-f^R", f' — f
в со} -(- JR" однозначно определена и аиалитична в. трубчатом
множестве с основанием ©U^i. которое является звеадным
относительно хх. Поэтому в соответствии с (а) функцию /'
можно продолжить в трубчатое множество с основанием
ch (со U ©i), которое является звездным и относительно 0. Но
это противоречит Определению Й. Значит, Qz>0 и ввиду
единственности аналитического продолжения /==/ всюду в Q.
Пример. Если Р — многочлен (или целая функций), то
все компоненты внутренности множества {|; Р(%-\-Щ Ф 0
для всех TigR"} выпуклы. Это следует из теоремы 2.5.10,
5*
I
68 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
примененной к \/Р. В частности, это дает интересную ин-
информацию о гиперболических многочленах (ср. Хёрмандер [2],
гл. V).
Следствие 2.5.12 (теоремы 2.5.10). Трубчатое мно-
множество является областью голоморфности тогда и
только тогда, когда каждая его компонента выпукла.
Наконец, мы приведем простое утверждение об областях
голоморфности.
Теорема 2.5.13. Пусть Q—область голоморфности и
/i /лг?Л(О). Тогда Qf= [z; z?u, | fj(z) |< 1, j =
= 1, ..;, N) —тоже область голоморфности.
Доказательство. Пусть К — компактное множество
в Qj. Выберем г< 1 так, чтобы l/yl-^r в К для всех j.
Тогда эти неравенства выполняются и в Kq, откуда Kq<^Q/.
Далее Kq — компактное множество, поскольку Q — область
голоморфности, а так как Kq^clKq, то из этого следует,
что Kq. тоже компактно.
Более общая форма того же утверждения:
Теорема 2.5.14. Пусть Q и Q'—области голоморф-
голоморфности соответственно в С" и Ст, и пусть и—анали-
и—аналитическое отображение Q в С". Тогда
Qa = {z; z?u, u(z)?Q'}
— область голоморфности.
Доказательство. Пусть К — компактное множество
в Qa. Так как Kq a Kq ^ О, то достаточно доказать,
что Kq замкнуто в Q. Но и (К) — компактное подмноже-
подмножество Q', так как отображение а непрерывно, а поэтому
A (Q')-оболочка К' множества и (К) является компактным
подмножеством Q'. Если /? A(Q') и C6^q . то
|/(«(?))|<sup|/(«B))|= sup ]f(w)\,
откуда и(?)?К'. Значит, всякая точка замыкания множества
Kq в Q отображается с помощью и в К' и поэтому при-
принадлежит Qa. Доказательство закончено.
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность
69
Замечание. В доказательстве не использовалось в полной
мере предположение о том, что Q — область голоморфности;
требовалось только, чтобы К® <ш Q для всякого К & Qa.
Таким образом, если Qu mQ, то мы можем опустить пред-
предположение о том, что Q — область голоморфности.
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность. До
сих пор мы использовали теорему 2.5.4 только в том случае,
когда фигурирующая в ней функция / — константа; теперь
мы извлечем из нее дальнейшую информацию. Пусть zo?Q
и w ? С. Выберем г столь малым, чтобы
D = {z0 -f xw; x? С, | т |< г} с Q,
и обозначим через /(т) аналитический многочлен, такой, что
— Iogb(z0 + xw, CQ)<Re/(t). \x\ = r.
Если выбрать некоторый аналитический многочлен F в С"
так, чтобы F(zo-\~xw) = /(т), то наше предположение можно
записать в виде
\e-F&\^6(z, Си), z?dD.
t
Так как А (О)-оболочка множества dD содержит D (по прин-
принципу максимума), то из теоремы 2.5.4 следует, что |в~-/'(г)|-^
<6B, СО), z?D, т. е.
— Iogb(z0 + xw, CQ)<Re/(T). МО.
Значит, функция — \og6(z-\-xw, СО) при фиксированных
г?С"ия/^С" является субгармонической функцией от т там,
где она определена (см. условие (i) теоремы 1.6.3). Введем
для таких функций* специальное название.
Определение 2.6.1. Функция и, определенная в от-
открытом множестве QczC", со значениями в [—оо, -(-оо)
называется плюрисубгармонической, если
(a) и полунепрерывна сверху;
(b) для произвольных z и w? С" функция x->u(z -f- xw)
субгармонична в той части С, где она определена.
Множество всех таких функций мы будем обозначать
символом P(Q).
70 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Пример. Если / — аналитическая функция, то log|/| —
плюрисубгармоническая функция.
Прежде чем перейти к дальнейшему, перечислим нужные
нам свойства плюрисубгармонических функций, которые не вы-
вытекаю^ сразу из аналогичных свойств субгармонических
функций.
Теорема 2.6.2. Функция и?С2(п) плюрисубгармо-
нична тогда и только тогда, когда
B.6.1)
, wfCn.
Доказательство. Достаточно применить теорему
1.6.10 к функциям
т -> и (z -{- xw).
Теорема 2.6.3. Пусть функция 0^у ? С™ (С") равна 0,
когда \г\>1, зависит только от \zi\ \zn\ и
J <$(z)dX(z) = i, где d% — мера Лебега. Если функция и
плюрисубгармонична в Q, то и функция
плюрисуб гармонична, причем ие ? С№ там, где d (z, CQ) > е,
и ие\,и. когда е\,0. (Мы предполагаем, что иф—оо.)
Доказательство. То, что ае убывают при е\,0,
для случая я=1 было выясненб при доказательстве тео-
теоремы 1.6.11. Повторное применение этого результата пока-
показывает, что ие убывают и при «> 1; из того же случая
п = 1 мы немедленно находимт что и <] ие. Так как
\ims_^oue^.u ввиду полунепр^рывиости сверху функции и,
мы заключаем, что ие~\и при eN^O. Плюрисубгармоничность
функции «g следует из теоремы 1.6.10.
Обратно, из теоремы 1.6.2 непосредственно видно, что
предел убывающей последовательности плюрисубгармониче-
плюрисубгармонических функция есть ллюрисубгармоническая функция*
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность
71
Теорема 2.6.4. Пусть QcC, Q' с С™, в пусть
/ —аналитическое отображение Q в Q' и и?Р(?У). Тогда
/•«€/> (О)-
Доказательство. Сначала предположим, что и? C2(Q').
Тогда
д2и (/ (г)) -
- WW
где мы положили gj — ^iWidfjjdzi. Значит, f*u?P(Q).
6 общем случав m?P(Q') надо только воспользоваться тео-
теоремой 2.6.3 для построения последовательности плюрисуб-
плюрисубгармонических функций класса С°°, которые, убывая, стре-
стремятся к и, и использовать замечание, предшествующее этой
теореме.
Отметим, что теорема 2.6.4 усиливает условие (Ь) опре-
определения, J2J5.1 даже при я = 1.
Результат, полученный в начале этого раздела, можно
теперь сформулировать так:
Теорема 2.6.5. Если Q — область голоморфности
и, функция 6B, CQ) определена, как в теореме 2.5.4,
то -r-logbiz, CQ) есть плюрисубгармоническая и непрерыв-
непрерывная функций.
В гл. IV мы докажем, что справедливо и обратное утверж-
утверждение. Однако уже здесь можно рассмотреть эквивалентные
формы только что полученного условия.
Определение 2.6.6. Если К — компактное подмно-
подмножество открытого множества Q cz С, то мы определим
Р @)-обялочку Kq множества К формулой
Kq==\z\ «?Q, u(z)-^ sup и для всех я
Ясно, что Р(?2)-оболочка множества К содержится в его
А (О)-оболочке.
Теорема 2.6.7. Если п — открытое множество в С,
то следующие условия эквивалентны:
(i) Функция ~-logd(z, CQ) плюрисубгармонична a Q,
если 6 определить, как в теореме 2.5.4,
72 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
(И) Существует непрерывная плюрисуб гармонически я
функция и в Q, такая, что
Qc={z\ z?Q, u(z)<e\ eQ,
для всякого с ? R.
(iii) Kq m О, если К ш Q.
Доказательство. Если (i) выполняется, то для по-
получения функции, удовлетворяющей (ii), достаточно положить
u(z) = \ z p — \ogb(z, CQ). Импликация (п)=ф(Ш) очевидна,
поэтому мы должны доказать только, что из (iii) следует (i).
Пусть zo?Q, Офт^С; выберем г > О так, что
D={zo-\-xw; |т|<г} сО.
Пусть /(т) — аналитический многочлен, такой, что
— Iog6(z0 + xw, CQ)<Re/(T), |т| = г,
т. е.
B.6.2) b(zo + xw, C*Q)>|e-/<T»|. |т| = г.
Мы хотим доказать то же неравенство в случае, когда | т |-^ г.
Для этого возьмем любой вектор а?Сп, 6(а)<1, и рас-
рассмотрим для 0 <^ К <; 1 отображение
Область его значений обозначим Dx; ясно, что D0 = D. По-
Положим
Л={Я; 0<Я<1, D^cQ].
Очевидно, что Л — открытое подмножество .отрезка [0, 1];
для доказательства того, что Л совпадает со всем этим от-
отрезком, мы покажем, что оно замкнуто. Пусть К — компакт-
компактное множество
которое содержится в Q, согласно B.6.2). Если u?P(Q) н
Я ? Л, то функция
т ->¦ и (z0 -(- xw -f- lae~f (T))
субгармонична в окрестности круга |т|-<г, откуда следует
неравенство
^/(T))<supa при |т|<г.
2,6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность
73
Значит, Dk с Kq для всякого к ? Л, а из этого следует,
что Л замкнуто, так как множество Kq относительно ком-
компактно в Q, согласно (iii)- Таким образом, D, с: О, т. е.
, Zo-Srvw + ae-fW^Q, если 6(а) < 1 и |т|<г,
так что д^о + тге;, Си) > | e-/W|, если | т |< г, или
— Iogb(z0-i-xw, CQ)<Re/(T). |т|<г.
Это неравенство доказывает (I).
Определение 2.6.8. Открытое множество QcC
называется псевдовыпуклым, если для него выполняются
эквивалентные условия теоремы 2.6.7.
Так как верхняя грань семейства плюрисубгармонически.с
функций, если она непрерывна, является плюрисубгармониче-
ской функцией, то из условия (i) теоремы 2.6.7 получается
Теорема 2.6.9. Если Qa — псевдовыпуклое открытое
множество для всякого а из некоторого множества ин-
индексов А, то внутренность Q пересечения 0а(А&а — тоже
псевдовыпуклое множество.
*ч Соответствующее утверждение для областей голоморф-
голоморфности содержалось в следствии 2.5.7. Однако следующая
теорема для областей голоморфности отнюдь не очевидна;
на самом деле она в этом случае по существу равнозначна
эквивалентности понятий областей голоморфности и псевдо-
выпуклых областей, которая будет доказана в гл. IV.
Теорема 2.6.10. Пусть О — открытое множество
в С". Если каждая точка из Q имеет окрестность ю,
такую, что a>(]Q — псевдовыпуклое множество, то само
множество О псевдовыпукло.
Условие теоремы является ограничением только на дп.
Грубо говоря, теорема утверждает, что псевдовыпуклость —
локальное свойство границы.
Доказательство теоремы 2.6.10. Для точки
z0 ? dQ выберем окрестность ю в соответствии с условием.
Тогда b(z, CQ) = 6(z, С (йn w)). для всех z, достаточно
близких к zQ. Следовательно, функция —logb(z, C^)
74 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
гонорисубгармонична в окрестности каждой точки из дп; по-
поэтому найдется замкнутое множество FczQ, такое, что
— log 6 (г, С^) является плюрисубгармонической функцией
в Q\F. Возьмем теперь непрерывную функцию ((?Р(СП)
("например, выпуклую возрастающую функцию от | z р), та-
такую, что <p(z)> — log б (г, СИ), когда z?F, и <p(z)->oo,
когда |г|->оо. Тогда й(г) — sup(fB), — \ogb(z, CQ))
принадлежит P(Q), так как « = q> в некоторой окрестности
множества Р и верхняя грань двух плюрисубгармонических
функций есть функция плюрисубгармоническая. Ясно, что и
удовлетворяет условию (И) теоремы 2.6.7, откуда следует,
что Q — псевдовыпуклое множество.
Для ссылок в гл. IV приведем одно свойство Р(О)-обо-
лочки, которое, по-видимому, намного сильнее, чем свойство,
указанное в определении 2.6.6.
Теорема 2.6.11. Пусть Q — псевдоШпуклое откры-
открытое множество в С", К — компактное подмн ожество в ?1
и ю — открытая окрестность множества Kq ¦ Тогда су-
существует функция и^С°°(Й), такая, что
(a) и строго плюрисубгармонична, т. е. эрмитова
форма в B.6.1) строго положительно определена
для вЬякой точки z?Q;
(b) и < 0 в К, но и > 0 в fin Сю;
(c) {z;~z.?Q, u(z)< с] mQ для всякого c?R.
Доказательство. Сначала построим непрерывную
функцию v?P(U), удовлетворяющую (Ь) и (с). Для этого
подберем функцию щ, обладающую свойствами, перечислен-
перечисленными в (Н) теоремы 2.6.7. Добавляя, если понадобится, к «о
некоторую константу, можно считать, что Hq<0 в К.
Положим
K' = {z; z
Об« эти множества компактны. Для всякого z?L мы можем
выбрать функцию w?P(Q), такую» что w(z)> 0, нода<0
в К. С помощью регуляризации, как в теореме 2.6.3, Мы
получаем непрерывную плюрисубгармоническую функцию щ J
в окрестности множества К', takyro, «1то w1 < 0 в К и . 1
щ > 0 в окрестности г. "Гак как ? компактно, можно при- f
менить лемму Бореля — Лебёг^. Пользуясь еще тем, что |
2.6. Псевдовыпуклость и пдюрисубгармоничшхяь
75
верхняя грань конечного числа плюрисубгармонических функ-
функций плюрисубгармонична, построим непрерывную плюрисуб-
плюрисубгармоническую функцию wt в окрестности множества К',
такую, что щ > 0 в окрестности множества L и w2 < 0 в К.
Пусть С —максимум w2 в К'; для z?Q положим
( v(z)=*sup(w2(z), Cuo(z)), если uo{z)<2,
у(г)==Сщ(г), если uo(z)>\.
Эти два определения согласуются при 1 < и0 (г) < 2, по-
поэтому v — непрерывная плюрисубгармоническая функция в Q,
очевидно удовлетворяющая (Ь) и (с).
Пусть
Qc={z; z?Q, v(z)<c).
Если в обозначениях теоремы 2.6.3 мы положим
0.1. ...
и подберем е достаточно малым (в зависимости от j), то по-
получим функции Vj ^С°°(С), которые > v нестрого шнрви-
субгармоничны в окрестности множества Q^. Подходящим
выбором е мы можем также добиться того, что v0 < 0 и
г»,<0 в К, Vj<v + 1 в Qj для У=1, 2. .... Теперь
возьмем выпуклую функцию хб^СЮ. такую, что х@ = °.
когда / < 0, и х" @ > 0. когда t > 0. Тогда функция
X (*/ -т~ 1 —У) строго плюрисубгармонична в некоторой окрест-
окрестности множества Q~^\Qy_j. Таким образом, можно последо-
последовательно выбрать положительные числа ах, а2, .. ¦ так, чтобы
функция
m
«m = «b-r- 2 вД (*»; + 1 — У)
1 1
была >^> и строго плюрисубгармонвчна в окрестности мно»
жесжва? Ц„. Если / я /»>у. то в Qy мы «меем ит — щ,
позггоиу' »•«» Нт йн, существует и является- строго плюриеуб-
, гармонической функцией класса С°° в Q. Так кга^и=щ < О
в АГ и « >. v в Q, то отсюда следуют свойства (а), (Ъ), (с)
Применяя теорему 2.6Л1 к a=Q\ [x], где x$Kq, мы
заключаем, что в определении 2.6.6 можно ограничиться
76 П. Элементарные свойства функций нескольких переменных
функциями и?Р(О) П C°°(Q). Значит, оболочка Kq замкнута,
а поэтому и компактна, если К — компактное подмножество
из Q, и множество Q псевдовыпукло.
Исследуем теперь, в каком случае является псевдовыпук-
псевдовыпуклым множество с границей класса С2.
Теорема 2.6.12. Пусть QcC — открытое множе-
множество с границей класса С2, и пусть Q = {z; рB)<0},
где р принадлежит С2 в окрестности замыкания Q и
grad р Ф О на дп. Множество Q псевдовыпукло тогда и
только тогда, когда
B.6.3)
> О
для всех г?дп и <w, таких, что N.—— ^ =
——
Условие B.6.3) называется условием Леей; говорят также,
что граница дп псевдовыпукла, если имеет место B.6.3).
Доказательство. Если pj — другая функция, удовле-
удовлетворяющая условию теоремы, то р] = Лр, где h > 0, в не-
некоторой окрестности множества Q. Следовательно,
г*
V1
д2р
¦=-w,wb,
если р = 0, 51 d^"^"
откуда вытекает, что B.6.3) не зависит от выбора р. Для
доказательства существования функции, удовлетворяющей
условию B.6.3), когда Q псевдовыпукло, положим
рB) = —6B, СО) в Q, p(z) = b(z, О).в СО,.
где 6 — например, евклидово расстояние. Тогда р^ С2 вблизи,
границы Q (это следует из теоремы о неявной функции).
В точках Q, достаточно близких к дп, плюрисубгармонич-
ность функции —Iog6 означает, что
1 дЬ дЬ \
V dzj дгк)
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность
77
Следовательно,
J > Л ™ 1 1 ¦*
Переходя к пределу, получаем, что то же самое верно и
на dQ.
При доказательстве обратного утверждения мы можем,
согласно первой части доказательства, считать, что B.6.3)
выполняется для функции р, определенной выше. Теперь
предположим, что,
^ + Tw, CO)>0, когда т = 0,
охах
для w?C" и некоторого z, столь близкого к дп, что
в z. Тогда по формуле Тейлора
log6B-1-™, Си) = log 6 B, CQ)-f
lTP + OdTl2), т-»-0,
где А и В — константы. Выберем теперь а?Сп так, что
ф(а) = 6B, Си) и г-\-а?дп, и положим
2 (т) = 2 + тщ» -)- а ехр (Ах + 5т2).
Тогда
6B (т), CQ)>6B + tw, CO) —
когда |т| достаточно мал. Так как 6B@), СО) = 0, мы за-
заключаем, что (д/дх) 6 B (т)) = 0 и что (д2/дх дх) 6 (z (т)) > 0
при х = 0. Подставляя сюда введенную выше функцию р,
мы получаем в силу аналитичности функции z (т) по т, что
Это противоречит условию B.6.3) в точке 2@), и доказатель-
доказательство завершено. (Отметим аналогию этого доказательства
с доказательством теоремы 2.6.7.)
78 It. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Необходимость условия B.6.3) также легко доказывается
непосредственно. На самом деле, если нарушается B.6.3),
то можно даже доказать теорему о локальном продолжении
аналогичную теореме 2.3.2'.
Теорема 2.6.13. Пусть р—функция класса С4 в окрест-
окрестности ю точки «о, такая, что рB0) = 0, «о gfradp(«0) Ф 0.
Предположим далее, что
B.6.4)
^ ?^Mi-
такого, что
для некоторого
п
Sdp (zn) п
Тогда существует окрестность ©' с е> точка z0, такая,
что для всякой функции и?С4(<й'), удовлетворяющей
касательным уравнениям Ноши — Римана ди Дф=0 на
[г; г?(д', р(г)==О}, можно найти функцию U ?СЦа'),
удовлетворяющую условиям U = и, когда р=0, и dU = 0
' { ?r 0}
Доказательство. После линейной замены координат
мы можем считать, что ?0 —0 и
где А — некоторая квадратичная форма. По формуле Тейлора
У
Т
Если мы сделаем аналитическую замену переменных
'j—Zj при /<я—1. z'n = zn-\-t
У,*-»
to разложение Тейлора для р примет более простой вид
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность
79
Таким образом, для упрощения обозначений мы можем без огра-
ограничения общности считать исходные координаты такими, что
р я+ |M;*/ft+(ll).
где (Ajx)—эрмитова симметрическая матрица. Предположе-
Предположение B.6.4) означает, что форма
л-1
не является положительно определенной. Линейной заменой
координат мы можем добиться того, чтобы Ап < 0. Так как
Р(^. 0 0)-Л11|г1|2 + О(|г1|з),
то мы можем выбрать сначала б > 0, а -затем^ е > 0 так,
чтобы d^pldZid^ <.O в
1 + ... +1 zn |< e} с &, ^
= {z; | zx |< 6,
и p < 0 в той части границы, где | zt | = 6. Тогда для фикси-
фиксированных z-i, ..., zn, для которых |z2|+ ••• +1г:п1<е>
MHOiKectso всех zx, таких, что | г, | < б, когда р<0, связно,
поскольку р, как функция от zx, не может иметь локального
иинимума. Поэтому можно без всяких изменений использо-
использовать доказательство теоремы 2.3.1. Тем самым доказывается,
что уравнение ди = /, где форма / ? Cf0, i> (»'). & > 0г удо-
удовлетворяет уравнению <Э/=0 и равна нулю вне ю', имеет
решение м^Сй(со'), равное нулю вне ©^. Но тогда утвер-
жде!Лие теоремы получается простым повторением доказатель-
доказательства теоремы 2.3.2. Детали мы оставляем читателю в качестве
упражнения.
Таким образом, если на гладкой поверхности в С задана
функция я, удовлетворяющая касательным уравнениям Коши —
Римана, то а можно продолжить аналитически по крайней
М€ре в одну сторону от гиперповерхности в окрестности
всякой точки, в которой форма Леви B.6.3) не равна нулю
тождественно. В последнем случае никакого продолжения и
может не существовать. Например, всякая функция от х2п-.\
удовлетворяет касательным уравнениям Коши — Римана щ
80 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
гиперплоскости х2п = 0, хотя очевидно, что не всякая такая
функция допускает аналитическое продолжение.
2.7. Области Рунге. Мы докажем здесь теорему о при-
приближениях, обобщающую следствие 1.3.2, а также одну тео-
теорему существования для оператора д. Элементарные методы,
которые мы здесь используем, не позволяют изучать произ-
произвольные области голоморфности, поэтому мы вернемся к этим
вопросам в гл. IV.
Определение 2.7.1. Область голоморфности Q а С
называется областью Рунге, если многочлены плотны
в Л(О), т. е. если всякую функцию f?A(Q) можно при-
приблизить равномерно на компактных подмножествах из Q
аналитическими многочленами.
Так как из разложений в степенные ряды видно, что
многочлены плотны в А (С), то в определение вместо много-
многочленов мы могли бы включить рроизвольные целые функции.
В дальнейшем для компактных множеств К мы полагаем
(ср. с определением 2.5.2)
К == КQtl =
= | z; z^ С", | P(z) | <! sup | P | для всех многочленов Р 1.
Определение 2.7.2. Компактное множество К, для
которого К = К, называется полиномиально выпуклым.
Имеет место (ср. с теоремой 1.3.4)
Теорема 2.7.3. Следующие условия на область голо-
голоморфности Q а С" эквивалентны:
(i) Q — область Рунге;
(И) для всякого компактного множества КаО, имеем
(Ш) для всякого компактного множества К аи имеем
К[\п = Ка\
(iv) для всякого компактного множества К aQ имеем
Доказательство. Импликация (Г)=ф(Ш) вытекает из
определения Кц и определения области Рунге; импликация
2.7. Области Рунге
81
(ii)=^>(iii) тривиальна; (ш)=фAу), так как Q — область голо-
голоморфности. Оставшиеся импликации (iv) =ф (ii) =ф (i) будут
доказаны позже в этом разделе, после того как мы изучим
уравнение ди = f в окрестностях полиномиально выпукл.ых
множеств..
Будем говорить, что компакт К обладает свойством
Кузена, если для всякой формы /?С(р, ?+i)> для которой d~f=O
в окрестности множества К (р, ?>0), уравнение du = f
имеет решение и ? С(°^ q) в некоторой окрестности К. Наша
цель — доказать, что все полиномиально выпуклые множе-
множества обладают свойством Кузена. Сначала мы приблизим их
множествами более простого типа.
Лемма 2.7.4. Пусть К — полиномиально выпуклое
компактное множество и со — некоторая окрестность К-
Тогда найдутся многочлены Рх Рт, такие, что .
Ka{z; \Pf(z) |<1, j=\ m)=La&.
Множество L называется полиномиальным полиэдром;
очевидно, что оно полиномиально выпукло.
е
Доказательство. Пусть Pj(z) — aft-, j = 1, .... n,
где п] > 0 взяты столь малыми, что | Р ¦ К 1 в К. Для
всякой точки z ? Сю, для которой | a-jZj \ <^ 1, /== 1, . .., «,
мы можем найти многочлен Р, такой, что |/)(г)|> 1, но
sup^-1 Р | -^ 1. Лемма Бореля — Лебега показывает, что
Рп+\ Ли можно выбрать так, чтобы выполнялось утвер-
утверждение леммы.
Следующая важная лемма, по существу, принадлежит
Ока [1].
Лемма 2.7.5. Пусть К—компактное множество в С",
D — замкнутый единичный круг в С и Р — многочлен
в С. Обозначим через ц отображение Ока
и положим Kp={z; z?K, \P(z)\^.l}. Допустим, что
^D в Ся+1 обладает свойством Кузена,
множество
к. 861
82 II. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Тогда
(a) Кр обладает свойством Кузена;
(b) для всякой формы f ? С^_ ?) (р, q ^ 0), для кото-
которой d.f = 0 в окрестности множества КР, можно
выбрать F ? С^ Ч), dF = O в окрестности К X D
так, что f — \i*F в окрестности КР-
Заметим, что Кр — ц*1 (К X.D). Обозначение ц,' было
введено в разд. 2.1.
Доказательство, Сначала докажем (Ь). Пусть л —
проекция
СЛ+1Э(*, в»)-* г6С*.
Тогда я о }i — тождественное отображение. Если е> — открытое
множество, содержащее Кр и такое, что / ? С^ ^ (а) и д/ = 0
в ©, то я*/6*-о»,?>(я~е)) и дя*/ = я*5/=0 в множестве я©,
которое является окрестностью множества'
В «о мы имеем ц*я*/ = (щ)* / = /. Пусть теперь функция
Ф^Со°(я~1ю) равна 1 в окрестности множества цКР и
F = фя*/ — QO,
где Q(z, w)==i2> — ^(г) и О —форма типа (/;, q) в окрест-
окрестности множества К У, D, которую надо определить так,
чтобы dF — О. Заметим, что \x*F =s= (ц*ф) / = / в окрестности
множества /Ср. Уравнение dF = Q можно записать в виде
Q дО = дф Д я*/, так как форма я*/ замкнута относительно д;
таким образом, получаем уравнение
дО = ¦?• Ар Д «•/«=«•
Поскольку дф= 0 в окрестности множества р.Д'р, то Я ? С<^ ?+!)
в окрестности /С X ° и ^ =»A/Q)J^ Л л*/33^. Так как
К X О по условию обладает свойством Кузена, мы можем
найти решение О^С^ф уравнения дО — Н в окрестности
множества /Cp^D, что доказывает (Ь).
Для доказательства утверщёнйя (а) возьмем форму
pi <t+i)' такУю> чт0 д/ =; 0 в окрестности К р. Согласно (Ь),
2.7. Области Рунге
83
мы можем выбрать F^C^f+1) так, чтобы ^s=0b окрест-
окрестности KX.D и / = ц,*/7. Так как К X # обладает свойством
Кузена, уравнение ^i[/ ==F имеет решение ?С^1?) в окрест-
окрестности К X ^- Если мы положим и==^*{У, то из этого будет
следовать, что ди = ц* д?/ =?= \i*F ?s= / в окрестности /(Гр. Дока-
Доказательство закончено.
Замечание. Отметим, что доказательство утвержде-
утверждения (а) включает доказательство существования решения урав-
уравнения дО = Н в окрестности Ky^D как для форм Н
типа (р, q-{~l), так и *ипа (/>, ?-)-2)- Это главная причина
того, что мы не могли ограничиться формами Н типа @,1).
Из^теоре1«1Ы 2.3.3 мы знаем, что всякий замкнутый поли-
поликруг обладает свойством Кузена. Поэтому повторным при-
применением леммы 2.7.5 получается
Теорема 2.7.6. Пусть А — замкнутый Поликруг
в С, D — замкнутый единичный круг в С и Pv ..., Рт —
многочлены. Обозначим через ц отображение Ока
*-*(*, Pi(z). .... Рт(г))?С
п+т
|P,(z)]<;i, /=1 т] =
а* положим K^={z; z?
«ц-'^ХО). Тогда
(a) К обладает свойством Кузена;
(b) для всякий формы /?С$гф (р, ?>-0), для
которой д/ — 0 в окрестности множества К,
можно выбрать F ? С^_ q), dF = 0 в окрестности
множества Д X D™ гпак, что / — ц*Р в окрест-
окрестности К.
Доказательство. Индукция по т очевидна ввиду
леммы 2.7.5.
Теперь мы получим несколько следствий из теоремы 2.7.6;
в частности, закончим доказательство теоремы 2.7.3.
Теорема 2.7.7. Пусть / — аналитическая функция
в окрестности компактного полиномиально выпуклого
множества К. Тогда существует последовательность /j
аналитических многочленов, такая, нтр />-»•/ равно-
равномерно на К.
84 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
Доказательство. По лемме 2.7.4 мы можем выбрать
компактный полиномиальный полиэдр L, содержащий К, так,
чтобы / была аналитической в окрестности L. Выберем замкну-
замкнутый поликруг А с центром в 0 так, чтобы A э L, и положим
>1. 7=1 »}•
По теореме 2.7.6 (Ь) мы можем найти функцию F, аналити-
тп+т
ческую в окрестности поликруга А X D в С и такую, что
f(z) = F(z,Pl(z) Pm(z))
в окрестности L. Но если Fk(z, w) — частные суммы раз-
разложения F {z, w) в степенной ряд, то F,,-*- F равномерно
в поликруге А X &"*' Следовательно,
Fk(Z. Р,(г). .... Ря(г))-*Р(г. Р,(«). .... Р* (*)) =
равномерно на L, что и доказывает теорему.
Окончание доказательства теоремы 2.7.3.
Импликация (ii)r^(i) немедленно следует из теоремы 2.7.7.
Для доказательства (iv)=^(ii) положим
Тогда множество Кг компактно, согласно (iv), а АГ2—замкну-
АГ2—замкнутое подмножество К и, следовательно, тоже компактно.
Множества К\ и К2 не пересекаются, поэтому мы можем опре-
определить функцию /, аналитическую в окрестности К, пола-
полагая / = 0 в окрестности Kt и / = 1 в окрестности К2- Так
как К полиномиально выпукло, то из теоремы 2.7.7 следует,
что найдется многочлен g, для которого \g— /1 < 'А на К>
поэтому | g | < 1/2 на К^К и | g | > V2 на К2. Так как К2сК,
то отсюда мы заключаем, что множество К2 пусто. Используя
теорему 2.7.7, мы делаем вывод, что (i) выполняется, а, сле-
следовательно, также (iii) и (И).
Мы оставляем в качестве упражнения доказательства того,
что для областей Рунге выполняются аналоги следствий 2.5.6
и 2.5.7, теорем 2.5.13 и 2.5.14. Вместо этого мы улучшим
часть (а) теоремы 2.7,6.
2.7, Области Рунге
85
Теорема 2.7.8. Если О. — область Рунге, то урав-
уравнение ди = f имеет решение и ? Cj°Pi q) (Q) для всякой формы
/6сср,?+1)(й). такой, что'д/^О^р, <7>0).
Доказательство. Пусть К} — возрастающая после-
последовательность компактных подмножеств из Q, такая, что
К] = К] для всякого J и любое компактное подмножество Q
содержится в некотором Kj. Согласно (а) теоремы 2.7.6,
для всякого j мы можем найти функцию и} ? C™Pi q) (Q), удов-
удовлетворяющую уравнению duj = f в некоторой окрестности
множества Kj. Мы хотим сделать последовательность и,
сходящейся.
Сначала предположим, что q > 0. Мы утверждаем, что
формы Uj можно тогда выбрать так, что uj+l = Uj в ок-
окрестности Kj для всякого у. В самом деле, предположим,
что ttj,' . . ., Uj уже выбраны так, что это условие выпол-
выполнено. Если и ? С(^_ ?) (Q) удовлетворяет уравнению ди = /
в окрестности KJ+i, то д(«у — «) = / — / = 0 в окрестно-
окрестности Kj, и потеореме 2.7.6 мы снова можем выбрать v ? C(™_ ?_u(Q)
так, что Uj — u = dv в окрестности Kj. Значит, d(u-\-dv) —
= ди = / в окрестности Kj+X и и -)- dv = Uj в окрестности Kj.
Поэтому мы можем взять Uj+l = u-\-dv. Теперь ясно, что
u = Umj-KXuj существует, «?C^,?)(Q) и du — f.
Случай q = 0 несколько сложнее. Если и — форма типа
(Pi 0).
и = 2' и/ dz1,
1Л=р
мы будем писать | и | = B' | и/ l2)'1'. Заметим, что уравнение
ди — 0 означает, что duj = O для всех /, т. е. все и7—ана-
и7—аналитические функции. Рассуждая, как выше, и используя тео-
теорему 2.7.7 вместо теоремы 2.7.6, мы видим, что формьи
и1 6 ?(р, о) (й) можно выбрать так, чтобы dUj — / в окрест-
окрестности
и | «,•
j
j ,•+! — Uj \< 2~} в Kj для всякого j. Так как
коэффициенты форм uJ+1 — Uj аналитичны в Kj, то мы
заключаем, что и^Пгпу^ооИ; существует и что и—uJt
имеет аналитические коэффициенты внутри К, для всех у..
Значит, m?C^>0)(Q) и ди=/ в Q.
86 //. Элементарные свойства функций нескольких переменных
В случае одного комплексного переменного мы получаем,
что область является областью Рунге тогда и только тогда,
когда она односвязна. Топологическая характеристика об-
областей Рунге в С для п > 1 невозможна. В самом деле,
в конце разд. 2.4 мы привели пример области, гомеоморф-
ной шару, которая не является даже областью голоморф-
голоморфности. Однако мы сейчас докажем, что для областей Рунге
все же имеются топологические ограничения.
Лемма 2.7.9. Пусть Q — открытое множество в С,
в котором уравнение да=/ имеет решение -и ? С^, q) (Q)
для всех / ? Cg, ?+i) (Q), таких, что df = 0(р, <7>0).
Если / — дифференциальная форма степени г > 0 с коэф-
коэффициентами из С°°(й) и если df?С?+1,<5), то можно
найти форму /?С(?>в)(й) и форму g степени г—1
с коэффициентами из С°° (й), такие? чтс> / — f = dg;
из этого следует, что df = df, откуда df = 0.
Доказательство. Мы можем записать / в виде
где /r_?>??CEL?i?)@). Индукцией по k докажем, что тео-
теорема верна, если /r_g>? = О для q> к. Это утверждение оче-
очевидно, если ft = 0, и совпадает с теоремой, если А = г. Пред-
Предположим, что 0 < k ^ г и что утверждение уже дока-
доказано для к', замененного на к—1. Поскольку dfr^kik —
единственный член типа (г — k, k-\- 1) в df, то d/r_Aift = 0,
так что по предположению существует форма # ? С^-а, i
для которой dg' = fr^k)k. Тогда
а так как dg €c"-ft+i, *-»>$?)>; то т предположения
индукции следует, что / — dg?=>~f-\-dg". где /" 6 С<? eg (Q)
и §^ —форма степени г—I. Это завершает доказа-
доказательство.
2.7. Области Рунге
Нт
/rdg-, где g есть
'|сга-форма сте-
I пени г — 1,
Напомним, что по теореме де Рама (см. разд. 7.5) суще-
существует естественный изоморфизм .
С°°-формы / сте-
степени г, для кото-
которых df = O
где Нт (Q, С) — группа когомологий Q порядка г с комплекс""
ными коэффициентами. Если выполнены предположения леммы
2.7.9, то во всяком классе вычетов найдется форма / ? С^ о) (й),
такая, что df = O. Далее, если такую форму можно запи-
записать в виде / = dg, где g — форма степени г — 1, то g
можно выбрать из класса•C"_ii(^{Q), причем так, что <??• = ().
Форму A?C~iOj(Q), для которой дп = 0, мы будем назы-
называть голоморфной формой степени s. (Заметим, что все
коэффициенты голоморфной формы — голоморфные функции.)
Предыдущие рассуждения доказывают следующую теорему:
Теорема 2.7.10. Пусть Q — открытое множество
из С, в котором уравнение du=f имеет решение и ? i
для всех /(?C^jl?+1)(Q), таких, что
Тогда -,
голоморфные формы f
степени г, для кото-
которых д/ = 0
dg, где g—голо-
g—голоморфная форма
степени г — 1
Следовательно, Hr (Q, С) = 0, когда г > п.
Теорема 2.7.10 применима, в частности, к областям Рунге.
Мы докажем, что для них равна 0 и группа когомологий по-
порядка п.
Теорема 2.7.11. Если Q — область Рунге в С. то
Hr(Q, CJ=O, когда г^п.
Доказательство. Мы должны доказать, что всякая
голоморфная форма степени п является внешним дифферен-
дифференциалом голоморфной формы степени я—-1. Голоморфную
форму степени п можно записать в виде
B.7.1)
... /\dz
88 У/. Элементарные свойства. функций нескольких переменных
где f?A(Q), а голоморфную форму степени п — 1 в виде
B.7.2) 2 (— I)' fj dzt Л • • • Л dzj Л ¦ • • Л dzn,
где dZj означает, что dzj надо опустить, и fj? A (Q). Диф-
Дифференциал формы B.7.2) равен форме B.7.1), если
дг,'
Если / аналитична во всем пространстве, мы можем просто
взять /2 = ... =/„ = 0. a /i(«)= J /(Л z2 zn)dt
о
(комплексное интегрирование по контуру). Целые функции
плотны в A (Q), так как Q — область Рунге. Значит, диффе-
дифференциалы форм степени (п—1) плотны в множестве всех
замкнутых форм степени п, а в разд. 7.5 мы докажем, что'
из этого следует равенство Н"(Q, С) = 0.
Так как полиномиально выпуклое множество в С" обла-
обладает фундаментальным семейством окрестностей, которые
являются областями Рунге, то из теоремы 2.7.11 и элемен-
элементарного факта о когомологиях Чеха, который мы докажем
в разд. 7.5, получается следующий результат:
Теорема 2.7.12. Если К — компактное полиноми-
полиномиально выпуклое множество в С", то НГ{К, С) = 0, когда
Наконец, приведем пример, который показывает, что
для областей Рунге W (Q, С) не обязательно равна нулю, когда
г < п. Положим
Q={z; z?Cn. | г, ... *„-1 |< 1. |*,|< 2. у = 1 »}.
Это ограниченная область Рунге (см. доказательство теоремы
2.5.13). Пусть 1 <> < я. Рассмотрим форму
/ = (*! ... zr)~ldzx/\ ... /\dzT,
которая является замкнутой голоморфной в Q формой сте-
степени г, так как z^ ... гг =? Q в Q. Пусть у — цикл в Q,
2.7. Области Рунге
определенный так:
..., г; zr+1=!t
f=l-J >r+l.
Здесь параметры Qj изменяются от 0 до 2я. Тогда
J / == J *' de, . . . d8, = BяОг ^ 0.
Y
Значит, / не является дифференциалом никакой формы сте-
степени г — 1, а это доказывает, что Hr (Q, С) =,*= 0.
Примечания. По поводу основных определений, используемых
в разд. 2.1, мы отсылаем читателя, не знакомого с дифференциаль-
дифференциальными формами, к книге де Рама [1].
Разделы 2.2 и 2.4 содержат только классические результаты,
большинство которых можно найти у Осгуда [1]; однако настоя-
настоящим изложением мы -во многом обязаны вводной главе работы
Мальгранжа [1J.
Теорема 2.3.2 — это знаменитая теорема Хартогса. Уточненный
вариант — теорема 2.3.2' — принадлежит Бохнеру [1]. Обычные до-
доказательства этих результатов опираются на деформации кривой,
к которой применяется интегральная формула Коши. Как указал
Эренпрейс [I], центральную роль в рассматриваемых вопросах иг-
играет теорема существования компактно сосредоточенных решений
уравнений Коши—Римана, поэтому мы и начали с результатов та-
такого рода. (Подобные вопросы для комплексных многообразий рас-
сматривали_Кон и Росси [1].) Теорему 2.3.3 (лемму Пуанкаре для
оператора д) часто называют леммой Дольбо—Гротендика.
Характеристика областей голоморфности, данная в теореме
2.5.5, принадлежит Картану и Туллену [1]. Теоремой 2,5.10 мы обя-
обязаны Бохнеру (другое доказательство см. в работе Бохнера—Мар-
Бохнера—Мартина [1]). Более простое, но менее элементарное доказательство
можно получить после изучения оболочек голоморфности в разд. 5.4.
То, что области голоморфности обладают свойствами выпук-
выпуклости, было замечено еще Леви и Хартогсом. В изложении разд.
2.6 мы следуем Бремерману [1] и Лелону [1]. Теорема 2.6.13, по
существу, принадлежит Леви [1].
Методы и результаты разд. 2.7 в основном восходят к Ока [1],
хотя его работа формально очень отличается от нашей, поскольку
он изучает проблемы Кузена, а не уравнения Кошн—Римана. Рас-
Рассмотрение дифференциальных форм более высокого порядка в лем-
лемме 2.7.5 (илн, что эквивалентно, изучение групп когомологий более
высокого порядка), которое теперь является стандартным, также
дает существенное упрощение.
Теорема 2.7.10 доказана в работе Картана [1] для многообразий
Штейна. Мы сделаем это в разд. 5.2. Теорема 2.7.11 принадлежит
Серру [2], а теорема 2.7.12 была опубликована Браудером [1]. При-
Пример в конце разд. 2.7 взят нз работы Бенке и Штейна [1].
Глава III
ПРИМЕНЕНИЯ К КОММУТАТИВНЫМ БАНАХОВЫМ АЛГЕБРАМ
Сначала мы напоминаем основные понятия теории банаховых
алгебр. Поскольку изложение краткое, читателю, совсем не знако-
знакомому с предметом, по-видимому, следует обратиться к более
подробным руководствам, например к книгам Наймарка [1]
или Люмиса [1]. В разд. 3.2 мы доказываем., что аналитические
функции нескольких комплексных переменных мощно рассматривать
на пространстве преобразований Гельфанда. Мы показываем также,
что граница Шилова определяется локальными условиями.
3.1. Предварительные сведения. Сначала напомним не-
некоторые основные факты и определения, касающиеся комму-
коммутативных банаховых алгебр.
О л ре деление 3.1 Л. Алгебра В (над полем комп-
комплексных чисел) называется банаховой алгеброй, если
в В задана норма, относительно которой В является
банаховым пространством, причем
ШК11Я1-Ш; f.g?$- _
Мы будем рассматривать только коммутативные бана-
банаховы алгебры с единичным элементом,- обозначаемым че-
через е. Это предположение не будет далее формулироваться
явно каждый раз.
Одной из главных задач этой теории является изучение
вопроса о том, до какой степени данная алгебра допускает
лредставление алгеброй непрерывных функций на неко-
некотором компактном пространстве. Пу?;ть К — компактное про-
пространство и С (К) — алгебра непрерывных комплекснозначных
функций на К. Предположим, що
3.1. Предварительные сведения
91
— непрерывное представление алгебры В, т. е. что Т ком-
коммутирует с алгебраическими операциями алгебры В и '
где С —некоторая константа. Так как Г (/я) = (Т/)п, то
отсюда следует, что
Р
Таким образом,
C.1.1) eup|Zyj<lim||/-f*<fl/||.
К я->оо
Теперь докажем, что среди отображений рассматриваемого
типа имеется отображение, из которого можно получить все
остальные. .
. Определение 3.1.2. Линейная форма m на В на-
называется мультипликативным линейным функционалом,
если она непрерывна, не равна 0 тождественно и если
m(fg)=*m(f)-m(g) if, g?B).
Мы обозначаем через Мв или просто М множество всех
мультипликативных линейных функционалов на В со сла-
слабейшей топологией, в которой отображение
непрерывно для каждого
Эта топология сводится к тому, что фундаментальную
систему окрестностей элемента пц?М можно получить с
помощью конечных пересечений окрестностей вида {/»; | т (/) —
— Щ(/)!<*}• гДе /?-? и е > 0. Ясно, что условие тфО
эквивалентно условию т (е) = 1.
Теорема 3.1.3. Множество Мв представляет собой
компактное хаусдорфово пространство.
Доказательство. Применяя C.1.1) к отображению
/ -> м(/) для фиксированного т ? М, мы видим, что | т (/) |^
<|)/|| для любого /?В. Пусть Df— круг {z; z?C, |г|<
¦^ II / II} • Тогда отображение
/??'
f~B
92 ///. Применения к-коммутативным банаховым алгебрам
является гомеоморфизмом множества М на множество всех
z = {zf)?D, таких, что г8=1 и
zaf+bg = azf+bzg, zfg = zfzg, -/. §€в> а, Ь?С.
Это множество является замкнутым подмножеством D, и
поэтому компактно. Тем самым теорема доказана.
Определение 3.1.4. Непрерывная функция / на М,
определяемая условием
/(/») = /»(/), т?М,
называется преобразованием Гельфанда элемента f?B.
Отображение В Э / -> /? С (М) называется гельфандов-
ским представлением алгебры В.
Рассмотрим снова произвольное непрерывное представ-
представление
где К — компактное пространство. Так как (ТеJ = Т (е2) = Те,
то непрерывная функция Те на К может принимать только
два значения: 0 или 1. Положим /Со= \k\ k?K, GV)(ft) = 0}
и Ki = {k; k?K, (Te)(k)—\). Тогда Ко и Кг — компакт-
компактные непересекающиеся множества и Г/ = 0 в АГ0 для всякого
/?В. Таким образом, представляет интерес только суже-
сужение Т/ на ATj. Для всякой точки к?Кг отображение
В Э / —>¦ (Т/) (k) определяет элемент т?М, который мы
обозначим через ф(&). Из определения типологии в М и
того факта, что функция Т/ непрерывна для всякого / ? В,
следует, что ф непрерывна, а так как Г/ = /оф на К\, то
мы нашли полное описание всех представлений В при помощи
непрерывных функций в терминах гельфандовского пред-
представления.
Перейдем теперь к теоремам существования мультиплика-
мультипликативных линейных функционалов.
Определение 3.1.5. Если f?B, mo спектр a(J)
элемента / определяется как множество всех X ? С,
таких, что f — Хе не имеет обратного элемента.
Теорема 3.1.6. Для всякого f?B имеем
C.1.2) а(/) = {/(»); теМ}, eup|/(»)|= tlm||/"f".
8.1. Предварительные сведения
93
Для доказательства этой теоремы понадобятся некоторые
подготовительные результаты. Сейчас мы только заметим, что
{/(/и); я^Л1}с0(/). В самом деле, если X(?e(f), то можно
выбрать g?B так, что g(J — Xe) = e, откуда g(f — X) = 1,
а значит, / фХ.
Лемма 3.1.7. Если существует g~x, то для любого X
из круга \Х \-\\g~lh\\<. 1 существует и элемент (g—Xh)~l,
который является непрерывной функцией от X. Если
ю — относительно компактное открытое подмножество
этого круга, ограниченное конечным числом гладких
дуг, то
==0,
dm
если ф — аналитическая функция в со, принадлежа
щая CJ@).
Доказательство. Пусть g~xh = Н\ тогда ряд
нормально сходится в указанном круге и I(%)(g — Xh) =
= I (X) g (e — ХН) = е. Это доказывает лемму, так как после
умножения на ц>(Х) мы можем почленно интегрировать ряд
вдоль да>.
Лемма 3.1.8. Если (е-
IX I •< /?, то
существует при
C.1.3) /?я||/я||< sup \\(е~Х/)-Ц, п>0.
Доказательство. Из леммы 3.1.7 следует, что
BЯ/
1
\X\~r
не зависит от г, когда 0<г</?, а когда г||/||<1, то,
интегрируя разложение подинтегральной функции в ряд, мы
находим, что этот интеграл равен /". Это доказывает лемму.
94' ///. Применения к коммутативным банаховым алгебрам
Теперь мы можем доказать вторую часть теоремы 3.1.6.
Пусть 1//? > sup | z |. Тогда (e-^kf)'1 существует при
|Я|-</?; поэтому из C.1.3) следует, что
Отсюда
C.1.4)
л->со
sap \г\.
Если мы сможем доказать, что а (/) с {/(т); т?М), то
доказательство теоремы 3.1.6 будет закончено, ибо тогда
C.1.1) и C.1.4) вместе дадут
sup |/(«)|< Ит ||/лЦ1/л< Шп |f/n|f/n<
Л-VCO - Л"»100
sup | z | = sup
так что здесь везде должно быть равенство.
Лемма4 3.1.9. Ни один элемент /?В не имеет
пустого спектра.
Доказательство. Если / имеет пустой спектр, то
(е — Xf)~l существует для всякого Х?С и |(е — Я,/)!^
<|Я'Г11Г1|1(«-Л)Г^О(|Я,|-54 когда *->оо.
Но это противоречит C.1.3), когда Л = и.
Лемма 3.1.10. Если банахова, алгебра В является
полем, то она изоморфна полю комплексных чисел.
Доказательство. Согласно лемме 3.1.9, для всякого
/ ? В мы можем найти X ? С,. такое, что / — Хе не имеет
обратного элемента. Но если S — поле, то это означает,
что / — Хе = О. Поэтому В состоит из всех элементов, ком-
комплексно кратных е.
, Напомним, что векторное пространство I с В называется
идеалом, если В/ cz/, т. е. если gf?/. для всех g? В
и / ? /. Если / ф В, мы говорим, что идеал собствен-
собственный. Никакой элемент /?В, Для которого \\е — /|{< 1, не
может принадлежать собственному идеалу /, так как
/¦«в—(е — /) должен иметь, обратный элемент g?Bp a
3.1. Предварительные сведения
95
поэтому e = gf?I, откуда I = &. Следовательно, замыка-
замыкание / собственного идеала является собственным идеалом.
Лем-ма З.1.Н. Если I — максимальный идеал в В,
т. е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком
другом собственном идеале алгебры В, то I замкнут и
В/1 изоморфно полю комплексных чисел.
Доказательство. Так как / — собственный идеал,
содержащий /, то ясно, что / замкнут. Факторалгебра В/1
является поэтому банаховой алгеброй с факторнормой и
не содержит никакого идеала Ф {0} и Ф В/1, так как про-
прообраз в В идеала из В// есть идеал в В, содержащий /.
Но это означает, что В\1 — поле, потому что идеал, поро-
порожденный произвольным ненулевым элементом в В\1, содержит
единицу факторалгебры В/1. Таким образом, эта лемма сле-
следует из леммы 3.1.10.
Итак, если /—максимальный идеал, то- отображение
В^f —>¦ BJI можно рассматривать как мультипликативный
линейный функционал^ m н /=={/? В; т(/) — 0}. Обратно,
если т?М, то ясно, что / = {/?В; т(/) = 0] — собствен-
собственный идеал в Ж, а так как ВЦ имеет размерность 1, то этот
иДеал максимален. Значит, имеется взаимно однозначное
соответствие между максимальными идеалами в В и мульти-
мультипликативными линейньши функционалами на В. Поэтому про-
пространство М часто называют пространством максимальных
идеалов алгебры В.
Теорема 3.1.12. Если I — собственный идеал в В,
то существует элемент т?М, такой, что т (/) = 0 для
всякого /6^
Доказательство. Так как никакой собственный идеал
не содержит е, то применение леммы Цорна (см. Люмис [1],
стр. 10) показывает, что всякий собственный идеал содер-
содержится в некотором максимальном идеале. Но этот идеал
представляет собой множество нулей некоторого мульти-
мультипликативного линейного функционала.
Окончание доказательства теоремы 3.1.6.
Если A, g о (/), то идеал, порожденный элементом (/ — Хе),
отличен от В, так что по теореме 3.1.12 можно найти элемент
96 ///. Применения к коммутативньш банаховым алгебрам
т?М, который обращается в нуль на этом идеале. В частности,
m(j — Xe) = 0, т. е. X = m(f). Значит, а(/)с={/(от); т?М}
и, согласно замечаниям после леммы 3.1.8, тем самым дока-
доказательство закончено.
Вместо рассмотрения спектра одного элемента алгебры В
можно изучать спектр некоторого множества элементов.
Определение 3.1.13. Если /г /Я6#. то общий
спектр а (Д /„) этих элементов определяется как
множество всех X ? С, таких, что идеал, порожденный
элементами (Jx — Ххе) (/„ — Хпе), отличен от В.
Теорема 3.1.6 допускает непосредственное обобщение:
Для произвольных fx, ..../„ ?В
Теорема 3.1.14.
имеем
«6
' Доказательство. Если A,?a(/j /„)¦ то из тео-
теоремы 3.1.12 следует существование такого т?~М, что
/»(/,- — А,/) = 0 для у=1 я; т. е. m(fj) = Xj. С дру-
другой стороны, если A,^a(/j /„), мы можем выбрать
g, ? В так, что
i
Значит, 2 Sj (Jj — hj) = * и тем самым доказано, что
(), .... /П(т))ф(к1 ln) для всякого т?М.
Будем говорить, что алгебра В порождена элементами
fv • ¦ ¦< in 6В< если наименьшая замкнутая подалгебра из В,
содержащая /г /„, совладает с В. Другими словами,
множество элементов вида P(JX /„), где Р — многочлен
с комплексными коэффициентами, должно быть плотным в В.
(В определении P(JX /л) = 2 fla/" мы полагаем / = е.)
Пространство максимальных идеалов конечно порожденной
алгебры описывается особенно просто:
Теорема 3.1.15. Пусть алгебра В порождена эле-
элементами /i /„. Тогда отображение
<р: А1Э
). ••¦• /»(«))€ С"
3.1. Предварительные сведения
97
является гомеоморфизмом пространства М на компакт-
компактное полиномиально выпуклое множество К в С, которое
по теореме 3.1.14 является общим спектром системы
образующих /j, ..., /л. Если f?B, то функцию /оф-'
можно равномерно на К приблизить многочленами.
Заметим, что общий спектр системы элементов, которые
не являются образующими алгебры В, не обязан быть поли-
полиномиально выпуклым;
Доказательство. Отображение ф непрерывно по
определению топологии в Ж и взаимно однозначно, потому
что если т ? М, то
Таким образом, (/j (т), .. ., /„ (т)) однозначно определяет т
на некотором множестве, плотном в В, а поэтому и всюду
на В. Так как М компактно, из этого следует, что К ком-
компактно и что у—гомеоморфизм. Пусть теперь z?K (это
обозначение введено перед определением 2.7.2). Для доказа-
доказательства включения z?K мы должны показать, что отобра-
отображение
можно продолжить до мультипликативной линейной формы
на В. Ясно, что для всякого многочлена Р такая форма должна
отображать P(fv /я) на P(zlt .... za), и поэтому не-
необходимо только доказать непрерывность данного отображе-
отображения, т. е. что
для всех многочленов Р. Но
= sup|m(P(/1 /„))\<\\P(fv /Л
Это доказывает теорему, так как последнее утверждение
следует из того, что многочлены от fx, .... /„ плотны в В
и что sup^|g-|<||g-|| для всякого g?B.
Объединяя теорему 3.1.15 и теорему 2.7.12, мы получаем
Следствие 3.1.16. Если В имеет п образующих, то
Н"(М, С) = 0, когда &>я.
7 Зак. 861
98 ///. Применения к коммутативным банаховым алгебрам
Пример. Алгебра непрерывных функций на «-мерной
сфере по теореме Вейерштрасса о1 приближениях имеет п + 1
образующих и, согласно этому следствию, не может иметь
п образующих, потому что М есть «-мерная сфера.
В качестве иллюстрации к теореме 3.1.15 рассмотрим ком-
компактное множество К с. С" и алгебру В, представляющую собой
замыкание СА{К) в С (К) множества сужений на К аналити-
аналитических многочленов в С" (С (К) — пространство непрерыв-
непрерывных функций на К с нормой — максимумом модуля). Тогда
В — банахова алгебра с п образующими гь ..., zn. Про-
Пространство ее максимальных идеалов можно отождествить
с К, а гельфандовское представление заключается в продол-
жении функций из СА (К) до функций из СА (К). Таким обра-
образом, эти пространства изоморфны.
Пространство максимальных идеалов можно рассматривать
как наибольшее пространство, на котором алгебра А допу-
допускает представление, но, как показано в предыдущем при-
примере, может случиться, что преобразование Гельфанда всех
элементов алгебры определяется их сужениями на некоторое
подмножество в М. '
Определение 3.1.17. Замкнутое подмножество
Мо с М называется границей для М {относительно В),
если
sup|/
M
sup|/|,
М
/65.
Теорема ЗЛЛ8. Существует граница S для М, кото-
которая содержится во всякой другой границе; S называют
границей Шилова для М {относительно В).
Пересечение всех границ состоит из всех т^ ? М, таких,
что M\V уже не является границей ни для какой окрест-
окрестности V точки то, т. е. таких, что для всякой окрестности V
можно подобрать /?В так, чтобы sup^v v\ f | < sup,,] / |.
Для доказательства того, что множество всех таких гщ на
самом деле является границей, нам понадобится
Лемма 3.1.19. Пусть Д
1
п).
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры 99
Тогда либо U пересекается со всякой границей для М,
либо для любой границы MQ множество M0\U является
границей для М.
Доказательство. Предположим, что Мо является
границей для М, а Мо \ U — нет. Тогда можно выбрать
f?B так, что sup^ |/|=1, но supMo\ u\ f I < !- Заменяя
элемент / некоторой его степенью, мы можем считать, что
|/|<е в M0\U, где е>0 выбрано столь малым, что
е 8ирж | /, | < 1, г= 1 п. Тогда | f/t | < 1 в У по опре-
определению U, а в MQ \ U—согласно выбору е. Значит, | //* | < 1
на Мо-, а так как Мо — граница, то из этого следует, что
| ffi | < 1 на М, 1=1 п. Таким образом, каждая
точка, в которой | /| = 1, должна принадлежать U, и поэтому
U должно пересекать всякую границу для М. "¦
Доказательство теоремы 3.1.18. Пусть 5—пере-
5—пересечение всех границ, т. е. множество точек, описанное выше
сразу после формулировки теоремы. Пусть /?5 и |/| < 1
на 5. Мы должны доказать, что | /1 < 1 на М. Для этого
юбразуем компактное множество М' = {т? М; |/(от)|^-1}.
Для всякого т?М', согласно определению S, мы можем
найти границу Мо, такую, что m(fcMQ, а следовательно, и
окрестность U точки т типа рассмотренной в лемме, такую,
что U[)Mo=0. По лемме Бореля — Лебега можно по-
покрыть М' конечным числом таких множеств Ur Ur.
Так как Мо — граница, то, применяя лемму несколько раз,
получаем, что MQ\(\Jr1Uj)—тоже граница. Но так как здесь
| f\ < 1, мы заключаем, что | /| < 1 на М, и это завершает
доказательство.
Пример. Границей Шилова для поликруга является его
остов.
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой
алгебры. Центральным результатом этого раздела является
следующее обобщение утверждения (Ь) тееремы 2.7.6:
Теорема 3.2.1. Пусть fv ..., fn?B и <р— анали-
аналитическая функция в окрестности o(/i, .... /„) в С". Тогда
100 ///. Применения к коммутативным банаховым алгебрам
можно найти конечное число элементов fn+\, ...
и функцию Ф, аналитическую в окрестности поликруга
{г; *6С", | г, |<||/,||, /=1 Щ,
такие, что ф(Д, .... /л) = ф(/1, ..., JN).
Главным приложением этой теоремы является
Теорема 3.2.2. Пусть Д /„ ? В и ф— анали-
аналитическая функция в окрестности а(Д /„)czC. Тогда
найдется элемент g?B, такой, что
? = Ф(Л Л).
Другими словами, можно корректно определить анали-
аналитические функции на пространстве преобразований Гель-
фанда.
Доказательство. Выберем /я +1, .... /д,кФв соот-
соответствии с теоремой 3.2.1. Имеем
где г = (zv . .., zN). Значит,
существует, причем ряд сходится по норме, и g = 20 ajf0' =
==Ф(Л /лг) = Ф(?1 Л).
Доказательство теоремы 3.2.1 основано на следующих
двух леммах.
Лемма 3.2.3. Пусть Q — открытое множество в С,
содержащее ав (Д, .... /„). Тогда существует конечно
порожденная замкнутая подалгебра В' алгебры В, такая,
«»*/, /.€& «са,(/, /s)cQ.
Доказательство. Легко видеть, что ав, (fv .... /л)
уменьшается, когда В' увеличивается. Поэтому достаточно
доказать, что для всякого z (? ав (Д /я) можно
выбрать В' так, что z ^ ай- (Д- • • • > /я). Но заметим,
что это Эквивалентно условию e.=*I,i gj (fj—Zje) для
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры 101
подходящих gj ? В. В самом деле, если В'—замкнутая алгебра,
порожденная элементами Д,. ,.., /„, ^1( ..., gn, то из этого
следует, что z$aB,{fv ..., /я).
Выберем /я+1 /v так, чтобы Д, . . ., /v были обра-
образующими алгебры В' из леммы 3.2.3, и обозначим через л
проекцию (гг zv)->(z1 zn) пространства Cv на С".
Лемма 3.2.4. Существуют многочлены Pk, k=\, ..., ц,
от. v переменных, такие, нто
если
то
/v)H.
nz ^ Q.
Доказательство. Если
отображение fj->Zj, /=1,
nz (jf aB, (fl /я), то
р jj / , v, нельзя продолжить до
мультипликативного линейного функционала на В'. Значит,
существует многочлен Р от v переменных, такой, что
• \P(zv ...,^)|
Это неравенство -должно выполняться также и в некоторой
окрестности точки z. Так как множество {z; |^-|-^l|/y||.
/= 1 v} компактно, то из леммы Бореля — Лебега
Р б
р
Р^, обладающие требуемыми
/ } н,
видно, что многочлены Рг,
свойствами, найти можно.
Доказательство теоремы 3.2.1. Пусть Q — окре-
окрестность ав(Д, ..... /я), в которой ф — аналитическая функ-
функция. Выберем /л+1, .*.,/„ vi Рх, . .., Рр ъ соответствии
с предыдущими леммами. Положим /у+ь — РьС/г /v).
ft=l [j,, и yv = v + (i. По лемме 3.2.4 функция
z -> ф (яг) аналитична в окрестности множества
v,
Таким образом, из теоремы 2.7.6 (Ь) следует, что можно
найти функцию Ф, аналитическую в окрестности поликруга
[z;
=1 Щ,
102 ///. Применения к коммутативным банаховым алгебрам
такую что
Ф(гь .... zv, Л(г) Яд(г)) = Ф(яг)
для всех z в окрестности множества К. В частности, если
т?М, мы можем взять Zj = fj(m) = m(fj), j = \, •... v,
что даст Pj(z) = m(fNv) = fj+V(m). Значит, z?K и
что доказывает теорему 3.2.1.
В качестве применения теоремы 3.2.2 мы докажем «тео-
«теорему о неявной функции» для банаховой алгебры, в которой
утверждается существование решения алгебраического урав-
уравнения
C.2.1)
с коэффициентами ak?B и неизвестным щ» ? 5. Из этого
уравнения вытекает соответствующее уравнение для преобра-
преобразований Гельфанда:
л
C.2.2) 2 «*«>* = 0,
которое при всяком /и ? М является алгебраическим уравне-
уравнением с комплексными коэффициентами для w(m). Поэтому
необходимым условием существования решения уравнения
C.2.1) является существование непрерывно зависящего от т
решения уравнения C.2.2). Обратно, имеет место
Теорема 3.2.5. Предположим, что имеется непре-
непрерывная функция h на М, тайая, что
п п
C.2.3) 2 4hk = 0, 2 kakhk~l фО во всякой точке из М.
о 1
Тогда существует решение w уравнения C.2.1), причем
w — h.
Доказательство будет проведено в два этапа. Сначала
мы определим элемент w, удовлетворяющий C.2.2), а за-
затем подправим его так, чтобы удовлетворялось уравне-
уравнение C.2.1).
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры 103
Лемма 3.2.6. Найдется конечное число элементов
ап+ь ..., av?B, таких, что h(mi) — h(m2) для всех
(ть т2) ? М X М, удовлетворяющих условиям aj(m1) =
j = 0 v.
Доказательство. Для всякой точки (т°, mf ?
т® Ф т%, мы можем подобрать а ? В так, чтобы a (m*h Ф
Ф a(mty, т.е. а(т^Ф а(/к2) в окрестности (т°, т%). С дру-
другой стороны, рассмотрим диагональный элемент (т°, т°).
Выберем 6>0 так, чтобы многочлен Uoak(m®)zk имел един-
единственный простой нуль z = h (т°) в круге \ z — h (m°) | <^ 6.
Пусть V—окрестность точки т°, такая, что | h (т)—h(m°)\^b
и уравнение Ejaft(/tt) zk = 0 имеет только один корень
в круге \z — /г(/и°)|^6, когда m?V. Если m?V, то из
этого следует, что h (т) — единственный нуль многочлена
Eoflft (m) z", лежащий в круге \z — /г(/к°)|^6, так что если,
(«!, m2)?V X.V и ak(mi) = ak(tn2), k — 0 п, то
h{mx) = h (т2). Так как М X М компактно, мы можем теперь
использовать лемму Бореля — Лебега для нахождения конеч-
конечного числа элементов an+l av, обладающих требуемыми
свойствами.
Лемма 3.2.7. Пусть ап+1, ..., av выбраны в соответ-
соответствии с леммой 3.2.6. Тогда существует функция Н,
аналитическая в окрестности о(а0, . .., av) в Cv+1, такая,
что h =
Доказательство. В соответствии с леммой 3.2.6 най-
найдется однозначно определенная функция Н на о (а0, ах av),
такая, что h = Н (а0 av). Для доказательства не-
непрерывности Н достаточно показать, что h(mt)->h(m0),
если /Я; ? М, i=\, 2 и ak(m,)->ak(/и0), k = 0 v.
Мы можем считать, что h (mt) стремится к пределу h'. Но
если т — предельная точка последовательности mt, то
ak(tn) = ak (/и0), k = 0 v, и ti = h (m), поэтому
' (°
104 ///. Применения к коммутативньш банаховым алгебрам
Согласно C.2.3), непрерывная функция Н на о(а0 av)
удовлетворяет, условиям
2г/ = 0, 2 kzkHk-1 Ф 0.
о о
Из теоремы о неявной функции (теорема 2.1.2) следует, что
первое уравнение определяет в некоторой шаровой окрест-
окрестности каждой точки из oia0, ..., av) аналитическую функ-
функцию, которая совпадает с данной функцией Н в пересече-
пересечении этого шара и о(а0 av). Пусть 26 — положительная
миноранта радиусов таких шаров; ее существование гаранти-
гарантируется компактностью о(а0, .... av). Тогда мы получаем
однозначно определенную аналитическую функцию Н, удо-
удовлетворяющую уравнению Ео-г^Я* = 0 на множестве точек,
удаленных от множества о(а0-, .... av) меньше,* чем на 6, и
совпадающую с данной функцией Н на этом множестве.
В самом деле, если два шара радиуса 6 пересекаются, то
центр одного из них содержится в шаре радиуса 26 с тем
же центром, что у другого. Это доказывает лемму.
Доказательство теоремы 3.2.5. Объединяя лемму
3.2.7 и теорему 3.2.2, мы заключаем, что существует эле-
элемент w0 ? В, для которого w0 = h. Это означает, что
где b = So akh" =0; отсюда, согласно теореме 3,1.6, || Ь1 Ц^-Я),
когда J-+-OO. (В этом случае мы говорим, что b принадле-
принадлежит радикалу алгебры В.) Другое условие в C.2.3) озна-
означает, что Hlkak<WQ~l Ф 0 всюду на М, т. е. элемент
Hika/tWo*1 обратим. Чтобы решить уравнение C.2.1), поло-
положим теперь w = wo-\^u. Чтобы обеспечить равенство
w = h = w0, следует брать и принадлежащим радикалу. Урав-
Уравнение для и принимает вид
п
tx-\- ... =0.
•
где точки заменяют члены, содержащие более высокие сте-
степени и. -Таким образом, доказательство теоремы 3.2.5 будет
завершено, если мы докажем следующую лемму:
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры 105
Лемма 3.2.8. Предположим, что в уравнении
с коэффициентами из В элемент Ьо принадлежит ради-
радикалу, a bi обратим. Тогда это уравнение имеет решение
и, принадлежащее радикалу.
Заметим, что это—: частный случай теоремы 3.2.5, когда
А 0
Доказательство. Так как уравнение можно умно-
умножить на Ьг1, то без ограничения общности можно считать,
что Ь1 = е. Теперь рассмотрим уравнение
zo-\-w*-\- z2w2-\- . .. -\- znwn'=0,
где z0, z<z, ..., zn — комплексные переменные. По теореме
о неявной функции оно имеет единственное аналитическое
решение w в окрестности 0 в С, такое, что w = 0, когда
zo = Z2= •.. =zn = 0, и мы можем написать
f афО
Здесь а = (ctg, а2, . . ., а„) — мультииндекс и
S |ce|rl«l<oo
для некоторого г > 0. Мы утверждаем, что са—0, за иск-
исключением тех са, для которых Z.(a) = a0 — a2 — 2a3—...
...—(п — l)an>0. Предположим, что это уже доказано
для членов степени <; k (при k = 0 или 1 утверждение
очевидно, так как w = — z0 -)- члены высшего порядка). Если
теперь а1 а-' — мультииндексы с L (а1) > 0, / = 1, . . ., j,
то из этого следует, что Z. (а1 —{- . . . -(- а-') > j. Поэтому
все члены в z2w2^- . . . -\-znw" степени <; k-\- 1 имеют вид
zp, где Аф)>у — (у — 1) — 1 > 0, следовательно, все члены
степени k -\-1 в разложении w тоже удовлетворяют этому
условию.
Теперь покажем, что ряд w(b), полученный заменой Zj
на bj, сходится по норме, откуда будет следовать, что w (b)
принадлежит радикалу, так как все члены ряда являются
106 /// Применения к коммутативньш банаховым алгебрам
элементами радикала. Выберем R > 1 так, чтобы ||
<R}~\ 2<у<и- Тогда
ll*a||<№P2f ...
если ?(а)>0.
Так как Ьо принадлежит радикалу, то для достаточно боль-
большого а0 мы имеем
В самом деле, можно считать, что г < 1, и тогда r'a| J>r2a°,
a I #о° || —> 0, когда а0—>оо. Значит, ряд w (b) = 2ca#a абсо-
абсолютно сходится. Ясно, что w(b) удовлетворяет требуемому
уравнению, так как b0-\- w (b) -f-b2w (bJ -f- . . . можно пере-
перестроить в' степенной ряд по Ь, все коэффициенты которого —
нули. Доказательство закончено.
Теорема 3.2.9. Предположим, что множество Ж
несвязно, и напишем M = M0\jMv где Жо и Ж1 — замк-
замкнутые непересекающиеся множества. Тогда существуют
два элемента е0 и ех?В, такие, что е0 -\-ег = е, еое1 = О,
ео= 1 на Жо и ех = 1 на Мх.
Доказательство. Функция h = 0 на Жо и h = 1 на
Ж! непрерывна и удовлетворяет уравнению /гA—/г) = 0,
которое имеет только простые корни. Поэтому можно найти
элемент ег?В, такой, что ех{е — ^ = 0 и ^ = 0 на Жо,
^=1 на Mv Если мы положим ео = е — ег, то утверждение
будет выполнено.
Этот результат означает, что е0 и ех — идемпотенты,
такие, что eoex=Q и ео-\-е1 = е. Таким образом, идеалы Ве0
и Вех представляют собой банаховы алгебры с единицами
соответственно е0 и ех, а В — их прямая сумма. Обратно,
если банахову алгебру можно разложить в прямую сумму,
то ясно, что пространство ее максимальных идеалов является
объединением соответствующих пространств максимальных
идеалов, а значит несвязно.
Теорема 3.2.10. Пусть элемент а?В обратим. Пред-
Предположим, что имеется непрерывная функция h на Ж,
такая, что hn = a. Тогда найдется элемент w?B, та-
такой, что w"==a.
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебрыШ
Доказательство. Обратимость элемента а означает,
что а Ф 0 всюду на М, так что h — простой нуль функции
hn — a.
Наконец, мы приводим теорему, которая показывает, что
граница Шилова описывается локальными условиями.
Теорема 3.2.11. Пусть то?М. Предположим, что
существует открытая окрестность Vo точки т0, такая,
что для всякой окрестности V этой точки найдется
элемент f ?B, для которого
C.2.4) sup |/|<sup|/|.
Va \ V V
Тогда т0 принадлежит границе Шилова для М относи-
относительно В.
Другими словами, - /Ид принадлежит границе Шилова,
если т0 локально принадлежит этой границе. Для доказа-
доказательства понадобится следующая
Лемма 3.2.12. Пусть fo?B и
\т; т?М, /0 (и) = 1} = К' U К",
где К' и К" — компактные непересекающиеся множества.
Тогда найдутся элементы /г /v алгебры В и функ-
функция ф, аналитическая в окрестности о (/0, .. ., /v),
такая, что ф(z)ftzQ—1) аналитична в окрестности множе-
множества {(/о(/и) /,(я)); /и6А"},«оф(/0(/и) /v(/»)) = l.
когда т ? К".
Доказательство. Мы можем выбрать fv ..., /„ так,
чтобы
C.2.5) М Э т -> (Л (т) /„ (т))
отображало А" и К" на непересекающиеся (обязательно ком-
компактные) множества К/ и К"/. Пусть функция х€^о° (Сл+1)
равна 1 в окрестности множества К/ и равна 0 в окрестно-
окрестности множества К/. Мы хотим взять ф (z) = х (z) -\-(z0 — 1) v (z),
где v выбирается так, чтобы ф была аналитической, т. е.
A—zo)dv = d%. В окрестности Q множества Mf (определя-
(определяемого как область значений отображения C.2.5)) мы имеем
108 Ш, Применения к коммутативным банаховым алгебрам
1 ^Х € С$, 1) (^)> и эта форма очевидно замкнута относи-
относиA —
тельно д. По лемме 3.2.3 можно выбрать /л+1,
чтобы полиномиально выпуклое множество ав, (/0
отображалось в Q при проектировании
л:(г0 zv)-*(z0 гп);
...,/v так,
/v)czC
v+
здесь В' — алгебра, порожденная элементами /0, . *., /v.
Согласно лемме 2.7.4, найдется полиномиальный полиэдр,
который содержится в n~l(Q) и содержит oB,(f0 /v).
Если теперь • мы применим теорему 2.7.6, то получим функ-
функцию v класса С°° в окрестности ав, (/0, .... /v), такую,
что Ф = л;*хН-(г0—l)v аналитична в этой окрестности. Это
доказывает лемму.
Доказательство теоремы 3.2.11. Окрестность V
точки ш0 мы можем взять открытой и относительно компакт-
компактной в Vo. В соответствии с условием можно выбрать /0 ? В
так, что
C.2.6)
sup |/о|< 1,
v\v
sup|/0|=l.
v
Мы можем нормировать /0 условием /0 (т)
рой точки т ? V. Теперь положим
1 для некото-
К' =
/о
и применим лемму. Для достаточно малого е > 0 функция
— I — е)
аналитична в окрестности о(/0 /v), ибо |/о (и) | ¦<! 1 •
когда m?V0, а ф(г)/(г0^-1) аналитична в окрестности
образа MWq при отображении m->(J0(m) fv(m)).
Значит, из теоремы 3.2.2 следует существование эле-
элемента ge ? В, такого, что gt = <ре (Jo /v)- ^ до"
полнении .к V мы имеем ge = O(e) при е—>0, но если
т?К", то ge(m) = — l-f-O(e) при е->0. Поэтому С^ не
является границей ни для какого V, а это означает, что т0
принадлежит границе Шилова.
3.2. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры\09
Примечания. Теореме 3.2.2 предшествовала теорема Винера и
Леви о том, что если / — периодическая функция с абсолютно схо-
сходящимся рядом Фурье, а функция F аналитична в области значе-
значений /, то F(j) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Для не-
нескольких комплексных переменных подобные утверждения первона-
первоначально были получены Шиловым [1], которому принадлежат многие
результаты разд. 3.2. За исключением теоремы 3.2.11, которая при-
принадлежит Росси [1], все результаты разд. 3.2 можно найти в работе
Аренса и Кальдерона [1]. Для многих важных алгебр условие тео-
теоремы 3.2.2 об аналитичности ф невозможно ослабить (см. Хельсон,
Кахан, Кациельсои и Рудин [1]). За дальнейшими приложениями
комплексного анализа к теории банаховых алгебр мы отсылаем к
обзорной статье Ройдена [1].
Глава IV
ОЦЕНКИ В D И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА Ъ
Мы не будем развивать далее классические методы решения
проблем Кузена (т. е. решения уравнений Коши—Римана), пример
которых дан в разд. 2.7. Вместо них в этой главе для изучения
уравнений Кошн—Римана мы предлагаем методы, центральным мо-
моментом которых является оценка в L2, доказываемая в разд. 4.1
и 4.2. В разд. 4.2 и 4.3 мы выводим теоремы существования и тео-
теоремы о приближении для решений уравнений Коши—Римана в об-
областях голоморфности. При этом мы получаем и решение проблемы
Леви.
Одним из главных преимуществ используемых здесь методов
является то, что они дают без дополнительных усилий результаты
о существовании для уравнений Коши—Римана решений, удовлет-
удовлетворяющих заданным условиям роста. В разд. 4.4 мы приводим
теоремы такого рода, важные для приложений к дифференциальным
уравнениям (разд. 7.6). Один из этих результатов применяется для
доказательства теоремы об аналитических функционалах в разд. 4.5.
Эта последняя теорема играет ту же роль для многих теорем суще-
существования аналитических функций, какую играет теорема Пэли—
Вииера в теоремах существования, относящихся к функциям класса
С°°. Однако ее применений мы здесь не даем, и разд. 4.5 ие явля-
является необходимым для изучения глав V—VII.
4.1. Предварительные сведения. Пусть Q — открытое
множество в С". Если ф — непрерывная функция в О, то
обозначим через Z,2(Q, cp) пространство функций в Q, интег-
интегрируемых с квадратом по мере е~чйХ, где dX—мера Лебега.
Оно является подпространством пространства L2(Q, loc) функ-
функций в Q, локально интегрируемых с квадратом по мере
Лебега. Ясно, что всякая функция из Z.2(Q, loc) принадлежит
Z,2(Q, ф) для некоторой ф. Через Z.fp, ?)(Q, ф) мы обозначаем
пространство форм типа (р, q) с коэффициентами в L2(Q, ф):
/= 2' Z'fbjdz'
1Ц \Л
I
4.1. Предварительные сведения
111
где 2' означает, что суммирование ведется только по строго
возрастающим мультииндексам. Положим
I.J
Ясно, что Z.2(Q, ф) — гильбертово пространство с этой нор-
тиой. Аналогично мы определяем Z.2 . (Q, loc) и D. -(О)'
где D(Q) — обозначение для C§°(Q), которое мы иногда ис-
используем, чтобы избежать слишком большого количества
индексов. Пространство D(p, ?) (Q) очевидно является плотным
в L2(Piq)(Q, ф) для всякой функции ф.
Если ф! и ф2 — две непрерывные функции в Q, то опера-
оператор д определяет замкнутый линейный оператор с плотной
областью определения
T:L2Pig)(Q, ф1)-*^д?+1)(а, ф2);
элемент u?L(Pi q)(Q, Ф1) принадлежит DT, если форма да,
определяемая в смысле теории распределений, принадлежит
?2(р, ?+i)(^. Фг)> и тогда мы полагаем Ти=ди. Замкнутость опера-
оператора Т следует из того, что дифференцирование—непрерыв-
дифференцирование—непрерывная операция в теории распределений; плотность области
определения вытекает из того, что она содержит D(P; q) (Q).
Мы хотим доказать, что при надлежащем выборе ф мно-
множество значений Т состоит из всех /6^-fp q+i\(®' %^' таких>
что д/ — 0 (что, конечно, является необходимым условием
принадлежности / к множеству значений Т). Следующая
лемма сводит этот вопрос к существованию некоторой оценки.
Лемма 4.1.1. Пусть Т—замкнутый линейный оператор
с плотной областью определения из одного гильбертова
пространства Нх в другое Н2, и пусть F — замкнутое
подпространство в Н2, содержащее множество значе-
значений RT оператора Т. Тогда F — fiT в том и только
в том случае, если
D.1.1)
11я2<с11г/11я.
где С — некоторая константа,
112
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
Доказательство. Предположим сначала, что D.1.1>
выполнено, и возьмем g?F. Так как Т** = Т, то уравнение
Ти — g эквивалентно тождеству
(«. T*f)Hi = (g, f)H, /?Dr..
Если мы докажем, что
D.1.2) | Of. /)я, I < СII * Ил, • IIГ/ Ия,- / € Or*.
то, применяя теорему Хана — Банаха к антилинейной форме
T*f->(g, f)H, получим, что уравнение Tu = g имеет реше-
решение и, для которого
D.1.3) 1М1я,<С№2-
(Так как Нг — гильбертово пространство, то вместо теоремы
Хана — Банаха можно, конечно, использовать проекцию
на Rr*-) Для доказательства неравенства D.1.2) заметим сна-
сначала, что если элемент / ортогонален к F, то (g, f)H = О
и 7*/ = 0, так как RTcF. Поэтому достаточно доказать
D.1.2), когда f^FftDr*. Но в этом случае оно следует
непосредственно из D.1.1).
Обратно, предполагая, что RT = F, мы должны доказать
ограниченность множества
Для этого достаточно доказать, что В слабо ограничено в F.
т. е. что !(/, g)H I ограничен, когда /?В, для всякого
фиксированного g? F. Но по предположению мы можем вы-
выбрать и ? Dr так, что Ти — g, а из этого следует, что
Лемма доказана.
В доказательстве теорем о приближениях нам понадобятся
сведения об операторе Т*, вытекающие из.D.1.1).
Лемма 4.1.2. Пусть Т — замкнутый линейный опера-
оператор с плотной областью определения из одного гильбер-
гильбертова пространства Нх в другое Н2, и пусть F — замкну-
замкнутое подпространство Н2, содержащее множество зна-
значений RT оператора Т. Предположим, что выполнено
неравенство D.1.1). Тогда для всякого элемента v?Hv
'ортогонального к пространству нулей оператора Т,
можно найти элемент f?Dr*, такой, что T*f = v и
D-1.4)
4.1. Предварительные сведения
113
Доказательство. Пространство нулей оператора Т
ортогонально к Rr*, поэтому наша гипотеза означает, что v
принадлежит замыканию Rr*- Далее, ортогональным допол-
дополнением к F является пространство нулей опер атора 7", и
поэтому сужение Т* на F П Ьт* имеет то же множество зна-
значений, что и Т*. Но D.1.1) показывает, что это сужение
имеет замкнутое множество значений. Поэтому можно выбрать
/ ? F П Dr* так, что T*f = v, и тогда D.1.4) будет следо-
следовать из D.1.1).
Мы будем применять лемму 4.1.1 к пространствам
L2(p.9)(Q' ф0 и ??л«+ч(°' фз) в ячестве Нл и #2 соответ-
соответственно, оператору Т между этими пространствами, опреде-
определяемому, как объяснялось выше, оператором д, и подпро"
странству F—множеству всех f?L2 Ш, срЛ, таких, что
df = O (в смысле теории распределений). Пусть ф3—другая
непрерывная функция и 5 — оператор из L2. х. (О, ср2)
в L2. о+2%(й, ф3), определяемый оператором д. Тогда F —
пространство нулей 5 и для доказательства неравенства D.1.1)
достаточно показать, что
D.1.5) ||/||2<C2(||77I^+||5/|FJ, /6D^nDs,
так как последний член пропадает, когда / принадлежит
пространству нулей оператора S. Если плотности e~f вы-
выбраны подходящим образом, то достаточно доказать D.1.5)
для / ? D(/J) q+1) (Q), так как верна
Лемма 4.1.3. Пусть t]v, v=1, 2, .... — последова-
последовательность функций из CJj°(Q), такая, что 0^t]v^1 и
T|v= 1 на любом компактном подмножестве из Q, когда v
достаточно велико. Предположим, что f2^C:(Q) и что
D.1.6)
dzk
7=1, 2; v = l, 2
Тогда D(/,?+1)(Q) является плотным подмножеством
Dt* П Д? по норме графика
Заметим, что D.1.6) налагает только конечное число
ограничений на fy —ф^+1 на всяком компактном подмножестве
Ззк. 851
114
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
из Q, поэтому всегда можно найти непрерывные функ-
функции cpj, ф2, ф3, удовлетворяющие D.1.6).
Доказательство леммы. Так как
из D.1.6) следует, что
i ^ (tiv/) — riv5/ p e-Фз <; | / B е-Ф2,
Поэтому из теоремы о мажорируемой сходимости имеем
D.1.7) ||S(V)-^/1|^0. когда v->oo. f?Ds.
Если f?Dr* и лб Co°(Q),- то r\f?Dr*. В самом деле,
у
ф| - Т (ци) )фг, и 6 DT,
Так как ни одна производная и не встречается в последнем
члене, то (t]f, Tu) непрерывно по норме ||«|L. поэтому
имеется элемент v?L2. . (Q, фЛ, такой, что
(v, «)ф| = (п/. Ти)ъ, u?DT.
Это означает, что ц/ ? Dr* и Г* (т]/) = v. Когда ц = r\v, мы
получаем, оценивая \Ти — Т (t]vm), как при доказательстве
D.1.7), что "
| G-* (V) -
откуда получается оценка
I ^* Dv/) - ПуТ"/ Р в"*1 < I / Р «-*.
Как и выше, мы можем заключить из теоремы о мажо-
мажорируемой сходимости, что
D.1.8) ||Г(^/)-тк,Г/||ф1-*0 при v^oo, если /gD,».
Поэтому' T)v/—>¦/ по норме графика, когда f^Dr*[\Ds-
Для завершения доказательства нам остается только при-
приблизить элементы / ? Dr* П ?*s с компактным носителем в О
элементами из D( +1)(Q). Для этого потребуется элемен-
элементарная
4.1. Предварительные сведения
115
Лемма 4.1.4. Пусть х — функция аз Co°(R ), такая,
что \ %dx = l, и пусть tt{x) = e~Nx{xje), x?RN. Если
N
то
g*te(x)—
— y)dy= j g(x—ey)%(y)dy
есть функция класса С°°, такая, что ||g"*xe — S'lli'~>0,
когда е->0. Носитель функции g*%e не содержит точек,
удаленных от носителя g более чем на е, если носитель х
принадлежит единичному шару.
Предполагая, что эта лемма верна, завершим доказатель-
доказательство леммы 4.1.3. Если / ? ?>г* Л As имеет компактный но-
носитель, определим f*%e, выбирая %, как в лемме 4.1.4
(с Л/ = 2га), и выполняя свертку с каждым коэффициентом /.
Тогда носитель /*хе содержится в фиксированном ком-
компактном подмножестве из О, когда е -> 0, а по лемме
HZ-^/^Xell,,,-*0- Так как 5(/*хе) = E/)*хе. то снова
из леммы получаем, что ||5/ — 5(/*хе)|| -> 0. Оператор Т*
имеет не постоянные коэффициенты, но мы можем написать
еч*~ъТ* = ¦&-(- а, где ¦& — дифференциальный оператор уже
с постоянными коэффициентами, и а — оператор порядка 0
(ср. с формулой D.1.9)). Так как
сходится
0,
и правая часть, в соответствии с леммой 4.1.4,
в L2 к пределу @ + a)f + af-af, то || Г (/ * хе)-Г/||ф
чем заканчивается доказательство леммы 4.1.3.
Доказательство леммы 4.1.4. В первом инте-
интегральном определении g * %е мы можем дифференцировать
под знаком интеграла любое число раз, а это показывает,
что g * хе € С°°- Из второго выражения для g * хе и нера-
неравенства Минковского следует, что
Очевидно, что g*%e — g-*0 равномерно, если g принад-
принадлежит пространству Со" (R^). которое является плотным под-
подмножеством L2. Так как последнее утверждение леммы
8»
ire
IV. Оценки в I? и теоремы существования
очевидно, то || g * %е—g \\LS -> 0 для всех g из некоторого
плотного подмножества L2; из только что доказанной равно-
равномерной оценки следует, что это верно для всех g?L?. До-
Доказательство завершено.
Этот раздел мы закончим явным вычислением
при
этом получится также другое доказательство свойства D.1.8).
Итак, возьмем '
и= 2' 2'
l/l
2
л
Так как //>у определена для всех У и является антисимме-
антисимметрической функцией индексов, входящих в У, и так как
1/1-р \K\-q ]-\
то мы получаем для / ? Dj*
1, К
а это означает, что
D.1.9) Г7 = (-1
Л
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых об-
областях. Возьмем функцию tJ)?G°°(Q), такую, что
D.2.1)
dr\v
в Q, v=l, 2
дгк
Если мы положим
(А. О ОЛ п\ — ft\ Oih m n\ >ih /г* m
то условие D.1.6) будет выполняться при любом выборе ф.
Мы будем сейчас изучать ||7"/IL и \\Sf\\ для /?D(/,?+1)(Q),
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых областях 117
сохраняя всюду в дальнейшем функцию г|; фиксированной,
но проводя все оценки равномерно по ср, так чтобы в конце
можно было выбрать ср подходящим образом. Мы считаем,
что Фб^2(О).
Сначала заметим, что так как
\i\-p
то
где efJ = O, за исключением случая, когда У^У, 1$
|у}иУ={/}и^; в этом случае еЦ — знак подстановки
Переупорядочим члены в этой сумме. Сначала рассмотрим
члены с / = /. Здесь мы должны иметь J=L и у"(?У, если
е// ^ ^' а П0ЭТ0МУ сумма таких членов равна
2'2
Затем рассмотрим члены с j ф1. Если е^ =^=0, то / ? У и
j?L, а вычеркивание / из У или у из Z. дает один и тот же
мультииндекс К. Так как
то сумма рассматриваемых членов равна
дг.
Следовательно, мы получаем
D.2.3)
д/
f, J
дг,
I, К J, Ь
Когда р = 0, q = 1, это следует из того, что
118
IV. Оценки в I? и теоремы существования
\ Далее рассмотрим T*f. В обозначениях
D.2.4) OjW = e*—Ц -=- 1
мы из D.1.9) получаем
е*Г/ « (-I)" 2' 2 V/. IK dz' Л dz« +
i, к j-i
Поэтому
J 1,К j.k-l
2
i, к
Комбинируя эти ^оценки с D.2.3), получаем
D.2.5)
л у ;-i
е-ч dl <
dz,
Операторы d[dzk и —6ft являются сопряженными в том
смысле, что
= — Г F^
, wv w2 6 C^5 (Q),
и имеют место коммутирующие соотношения
D.2.6) bj-L ^6, = ^L_.
; дг* dzk ]
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых областях 119
Таким образом, переставляя дифференцирование в первой
сумме D.2.5), получаем
п
D.2.7) 27 2 //.У*Л^
dzk
d//,y
dz,
Предположим теперь, что функция ф строго плюрисуб-
гармонична, т. е.
D-2-8)
где с — положительная непрерывная функция в Q. Тогда из
D.2.7) следует, что
D.2.9) [(с —
< 21| Г/112
Вспоминая лемму 4.1.3, мы видим, что доказана
Лемма 4.2.1. Если q>v cp2, ср3 определены, как в D.2.2),
где ф, \р?С2(О), то
D.2.10)
при условии, что
D.2.11) ^
После этого нетрудно доказать следующую теорему су-
существования.
Теорема 4.2.2. Пусть Q — псевдовыпуклое открытое
множество в С. Тогда уравнение ди = / имеет (в смысле
теории распределений) решение u^L,fPill)(Q, loc) для вся-
всякой формы /6^, ?+?)(^> 1ос)> такой, 4tno~df = Q.
120
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
Доказательство. Ввиду теоремы 2.6.11 мы можем
выбрать строго плюрисубгармоническую функцию
такую, что
/Сс = [z; z?Q, p(z)-^.c) m 0 - для всякого
Пусть
j, k^i
где 0</k?C°(Q). Если х— выпуклая возрастающая функ-
функция класса С°° и ср = %(/?), то
Поэтому ф удовлетворяет D.2.11), если
т. е. если
D.2.12)
Правая часть D.2.12) — конечная возрастающая функция от t,
определенная для t ^- min p. Поэтому существуют возрастаю-
возрастающие функции х' класса С°°, удовлетворяющие D.2.12). Ясно,
что мы можем выбрать х так, чтобы любая заданная форма
/?/^,,?+d(Q,.1oc) принадлежала ?^>ff+i)(Q, ф — ф). Но тогда
из леммы 4.1.1 следует, что уравнение ди = / имеет реше-
решение и ? Z.(A g) (Q, ф — 2i|)). Это доказывает теорему.
Теперь мы исследуем свойства регулярности полученного
решения и уравнения <?« = /. Для этого важно заметить,
что решение уравнения Tu = f, которое дает лемма 4.1.1,
можно брать ортогональным к пространству нулей опера-
оператора Г, т. е. принадлежащим замыканию множества значе-
значений Т*. Это даст дополнительное дифференциальное уравне-
уравнение для и, существенное при доказательстве гладкости и.
Пусть Ws, где s — неотрицательное целое число, обо-
обозначает пространство функций в С", Производные которых
порядка <$Cs принадлежат ZA Через Ws (U, loc) мы обозна-
обозначаем множество функций в Q, удовлетворяющих тому же
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых областях 121
условию на компактных подмножествах из Q. Пространство
форм типа (/), q) с коэффициентами в этом пространстве
обозначается соответственно через W*Ptg)(Q, loc). Если
/—форма типа (р, q-{-l) (p, <?^>0), то мы полагаем
I, К J-1
Это по существу >лавная часть дифференциального опера-
оператора D.1.9).
Лемма 4.2.3. Если /? Z.2Pi ?+i)(C") имеет компакт-
компактный носитель, df? Z.2Pi ?+2)(Сл) и ®и ? L,fPi ?_ц (С"), то
Доказательство. Сначала заметим, что если
D ). то D.2.7) с ф = ф = 0 дает
D.2.13)
/, J
Если / удовлетворяет только предположениям леммы, то мы
можем образовать регуляризацию / * хе формы /, как
в лемме 4.1.4. Применяя D.2.13) к /*х? — /*Хб и замечая,
что ¦&(/* хе) = (*/)* хе ->*/ B_Z.f/,,?)(C") и что соответ-
соответствующий факт имеет место для <?(/*хе)- мы получаем, что
Хе * ^//, j/dZf сходятся в L? для всех /, J, j, когда е -> 0.
Поэтому dfjtjJdZj?L,2. Таким образом, доказательство сво-
сводится к следующей лемме:
Лемма 4.2.4. Если w?L2(C") имеет компактный но-
носитель и dwjdZj^L2 для j=\, .... п, то w^W1.
Доказательство. Необходимо только доказать, что
dwfdZj ? L2. Если w ? С^°, то, дважды интегрируя по частям,
получаем
dw
Г dw_ dw_ .« Г
J dzi dzi J
dz.
dl.
122
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
Используя этот результат так же, как мы использовали
D.2.13) в доказательстве предыдущей леммы, мы получаем,
что dw/dZj ? L2.
Теперь теорему 4.2.2 можно уточнить:
Теорема 4.2.5. Пусть Q — псевдовыпуклое открытое
множество в С" и О ^ s -<; оо. Тогда уравнение d~u=f
имеет решение и?№Cр+ф(п, 1ос) для всякой формы
/6^0», g+i)JP> .'ос)> такой, что df = O. Всякое решение
уравнения du = f обладает этим свойством, когда <7 = 0.
Доказательство, (а) Сначала предположим, что <7—0.
Из теоремы 4.2.2 мы знаем, что уравнение ди = / имеет
решение и = 2'uj dz' ? L\Pi 0) (Q, loc). Уравнение d~u = f озна-
означает, что
юс)
для всех / и ]. Предположим, что и ? Wa (Q, loc) для не-
некоторого конечного о, O^o^s; мы знаем, что это верно
для о = 0. Если x€C§°(Q), то
д., "
Если_г; — производная yit порядка о, то отсюда следует, что
dvjdZj^L2 для всякого J. Поэтому v^W1 по лемме 4.2.4,
т. е. все производные ха/ порядка о +1 принадлежат L2.
Это означает, что w;?W0+1(Q, loc). Повторяя это рассу-
рассуждение, мы заключаем, что u,?Ws+y (Q, loc).
(h) Теперь предположим, что q > 0. Как указывалось
после доказательства теоремы 4.2.2, решение уравнения
ди — /, указанное в этой теореме, можно выбрать из замыка-
замыкания множества значений 7"*. Ввиду D.1.9) и поскольку Ь2 = 0,
мы имеем
0 (e-v>u) = 0, ди = /.
Это можно записать так:
ди = /, ¦&« = аи.
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых областях 123
где а—дифференциальный оператор нулевого порядка с коэф-
коэффициентами класса С°°, действующий на и. Предположим,
что мы уже доказали, что и ? WiPt q) (Q,, loc) для некоторого
конечного о, 0<o<s. Если х€?о°(Я)> то
Если D — дифференцирование порядка 0, то форма D (%и)
удовлетворяет условиям леммы 4.2.3, откуда D (%и) ? W1.
Значит, хи 6 W(pt?)' т- е< И6^(л?)(^> 'ос)- ^т0 завершает
доказательство.
Следствие 4.2.6. Если множество Q псевдовыпукло,
то уравнение ди = f имеет решение и ? C^Pt ?) (Q) для всякой
формы /6С(?>1?+1)(Й)> такой, что df — O.
Доказательство. По известной лемме Соболева
D.2.14) W\p^{u, \oc)cCsiP, <,)(&);
таким образом, следствие получается из теоремы 4.2.5.
(Элементарное доказательство свойства D.2.14) получается из
¦того тривиального факта, что
d2nw
дх, ... дх2п
как в доказательстве леммы 4.2.3, из этого неравенства сле-
следует, что всякая функция w ? W2" с компактным носителем
становится непрерывной после изменения ее на множестве
меры нуль. Детали мы оставляем читателю.)
Объединяя следствие 4.2.6 с теоремой 2.7.10, мы получаем
следующую теорему:
Теорема 4.2.7. Если Q — псевдовыпуклое открытое
множество в С, то Hr (Q, С) = 0 при г > п.
Замечание. С помощью теории Морса можно доказать
больше, а именно, что НТ (Q, Z) = 0 для г > п (см. Мил-
нор [1]). С другой стороны, Hr(Q, С) не обязательно равна О,
когда г <; п. В самом деле, пусть
124
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
Множество Q как произведение открытых множеств в С
(которые все являются областями голоморфности) представляет
собой область голоморфности. Значит, Q — псевдовыпуклое
множество. Форма f = dz1 /\ ... /\dz Jz1... zr, где l^r^n,
/fl /fl
замкнута, но если у — цикл z1 = e ' zr = e r F;- ? R),
zr+\ = ... = zn = 1, то интеграл от / по у равен Bni)r Ф 0.
-Значит, / не является дифференциалом никакой формы сте-
степени г — 1 (см. также пример в разд. 2.7).
Теперь мы можем доказать теорему, обратную 2.6.5.
Теорема 4.2.8. Открытое множество в С" является
областью голоморфности тогда (а по теореме 2.6.5 и
только тогда), когда оно псевдовыпукло.
Это вытекает из следствия 4.2.6 и следующей теоремы:
Теорема 4.2.9. Пусть й—открытое множество в С,
такое, что уравнение du = f имеет решение м?С(о(?)(й)
для всякой формы /6C^?+i)(Q), такой, что д/ = 0
(^ = 0, ..., л —1). Тогда Q — область голоморфности.
Доказательство. Теорема верна, когда я = 1, так
как всякое открытое множество в С есть область голоморф-
голоморфности. Мы проведем индукцию по размерности п, предполагая,
что утверждение уже доказано для размерности п — 1.
Достаточно доказать, что для всякого открытого выпуклого
множества DcQ, такого, что некоторая граничная .для D
точка z° принадлежит dQ — границе Q, существует аналити-
аналитическая функция в Q, которую нельзя аналитически продол-
продолжить в окрестность z°. Можно считать координаты такими,
что z° — 0 и плоскость zn = 0 имеет непустое пересечение
Do cD. Тогда из выпуклости D следует, что 0 принадлежит
границе Do, а поэтому и границе множества
а={г;
""
(Мы можем рассматривать © как открытое множество в С"" .)
Пусть j — естественное вложение © в Q, и пусть л —
проекция С" на С", получаемая отбрасыванием последней
координаты. Главная часть доказательства заключается теперь
в том, чтобы показать, что для всякой формы /?С(о, «(со)
(д ^> 0), для которой df = 0; мояшо набрать F ? С§°? (Q)
4.3, Теоремы о приближениях
125
так, что dF = 0 и f = j*F. (Ср. с леммой 2.7.5. Обозначе-
Обозначение У* было введено в разд. 2.1.) Для построения F заметим,
что множества со и M=^{z; z?Q, яг(?в>} не пересекаются
и относительно замкнуты в Q, а поэтому найдется функция
Ф ? С°° (Q), такая, что ф = 1 в окрестности © и ф = 0
в окрестности М. Тогда форма фя*/, доопределенная нулем
там, где ф = 0, принадлежит C^tg)(Q) иу-фя/==/. Положим
теперь
F = qn*f — znv,
где v ? С(" ^ (Q) следует выбрать так, чтобы dF = 0. Это
означает, что
dvдуАл*/
а так как правая часть принадлежит С(о, ?+i)(Q) и замкнута
относительно д, то существование v следует из условия тео-
теоремы. Мы имеем j*F — f*n*f = f, и поэтому F обладает
требуемыми свойствами.
Докажем теперь, что условие теоремы выполняется, если Q
заменить на со. В самом деле, для данной формы / ? С^ ?+i) (©),
для которой д/ = 0, мы доказали уже существование формы
FZC^g+vJp,), такой, что ~dF = 0 и j*F = f. По условию
уравнение dU = F имеет решение U ? С^ ф (й). Полагая
и = j*U, мы получаем
По предположению индукции из этого следует, что © — об-
область голоморфности, т. е. существует функция /, аналити-
аналитическая в со и не продолжаемая аналитически в' окрестность Do.
Если мы выберем функцию F, аналитическую в Q, так, что
j*F = /, т. е. /7 = / в со, то получим, что F нельзя про-
продолжить в окрестность D. Значит, Q есть область голоморф-
голоморфности, чем и заканчивается доказательство.
4.3. Теоремы о приближениях. Покажем теперь, как из
найденных в разд. 4.2 оценок в L2 получаются теоремы
о приближениях. Существенным шагом в этом направлении
является ., . ...
126
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
4.3. Теоремы о приближениях
127
Лемма 4.3.1. Пусть р— строго плюрисубгармони-
ческая функция класса С°° в й, такая, что
Kc—[z; z?Q, p(z)^c}mQ для -всякого c?R.
Тогда любую функцию, аналитическую в окрестности
множества Ко, можно приблизить на Ко по норме L2
функциями из А (й).
Доказательство. По теореме Хана
точно доказать, что если v?L2(K^ и
D.3.1)
Банаха доста-
достаJ uv d X = О
для всякой функции м?Л(й), то D.3.1) верно и для всякой
функции и, аналитической только в окрестности множества АГо-
Расширим определение v, полагая v = 0 вне Ко. Тогда
из D.3.1) следует, что ve^ ортогональна к пространству
нулей NT оператора Т, рассматриваемого в предыдущем раз-
разделе (при р —q = 0), так как NT — подпространство Л(й).
(Все элементы пространства нулей по теореме 4.2.5 являются
функциями класса С00.) Если выполняется оценка D.2.10), то из
леммы 4.1.2 следует существование формы / = 2f/jdz/?DT*.
такой, что
и T*f = vet>. Согласно D.1.9), это уравнение дает
veV' = — е{
в смысле теории распределений. Полагая g=fe~^\ мы таким
образом получаем v = —~Z\dgjjdZj и
D.3 2)
все еще при условии, что выполняется D.2.10).
При доказательстве теоремы 4.2.2 мы нашли, что D.2.10)
выполняется, если фр <р2> Фз определяются условиями D.2.2)
при Ф = х(Р). где X выпукла и удовлетворяет D.2.12).
Выберем последовательность %v выпуклых функций, удовлет-
воряющих D.2.12), так, чтобы %v(t) не зависело от v, когда
^<J 0, но xv f °° ПРИ v -*¦ °°> когда t > 0. Тогда для всякого v
мы можем выбрать g\, /=1 п, так, чтобы
\
D.3.3)
.—S-
D.3.4) J 21 g) |2 exp (Xv (р) - У) dl < С,
где С — некоторая константа, не зависящая от v, так как
в правую часть D.3.2) входит интегрирование только по Ко,
а здесь %v(p) не зависит от v. Так как Xi-Cxv> то мы
можем выбрать из последовательности gv подпоследова-
подпоследовательность, слабо сходящуюся в гильбертовом пространстве
Цо, 1>(й, ф — Xi(P)) к некоторому пределу g, Из D.3.4) мы
получаем, что g = 0 там, где р > 0, а D.3.3) дает, что
v = — Iiidgjjdzj в смысле распределений, т. е.
D^3.5)
для всех и^Со°(й). Действительно, это следует из D.3.3)
после замены g на g"v. Так как v и g равны нулю вне Ко,
тождество D.3.5) выполняется для всякой функции и, при-
принадлежащей С°° только в окрестности множества Ко; если же и
аналитична в окрестности АГо> из этого следует, что имеет
место D.3.1). Доказательство закончено.
Более полезна следующая переформулировка леммы 4.3.1:
Теорема 4.3.2. Пусть й — псевдовыпуклое открытое
множество в С и К—компактное подмножество из й,
такое, что Ка-К (см. определение 2.6.6). Тогда всякая
функция, аналитическая в окрестности К, равномерно
на К приближается функциями из А (й).
Доказательство. Пусть и аналитична в окрестности со
множества К. По теореме 2.6.11 мы можем выбрать строго
плюрисубгармоническую функцию /??С°°(?2), такую, что р
удовлетворяет условиям леммы 4.3.1 и К принадлежит внут-
128
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
ренности Ко, которое само принадлежит внутренности со.
В соответствии с леммой 4.3.1, найдется последовательность
Uj?A(Q), такая, что Uj— и->0 в L2(K0). По теореме 2.2.3
отсюда следует, что и;- — и —>0 равномерно на К. Доказа-
Доказательство закончено.
Заметим, что теорема 4.3.2 останется справедливой, если
заменить Kq на Ка (А (й)-оболочку К, см. определение 2.5.2),
так как KqcKq- Таким образом, мы можем привести резуль-
результат, параллельный теореме 1.3.4 и обобщающий теорему
2.7.3:
Теорема 4.3.3. Пусть О]СЙ2 — области голоморф-
ности. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Всякую функцию из A (Qj) можно приблизить
функциями из А (й2) равномерно на всяком ком-
компактном подмножестве в Qv (При этом Q] «а«
зывается областью Рунге относительно Q2.)
(ii) Для всякого компактного множества ATcQj имеем
(Hi) Для всякого компактного множества
имеем Ка2 П &\ = Ка,-
(iv) Для всякого компактного множества
имеем Kut(\Qi<mQi.
Доказательство. Очевидно, что (i) =ф(Ш) =ф(iv) (так
как Qj по условию есть область голоморфности). Если мы по-
положим Кг = Ка2п®1 и K" = Ka,f\CQi, то из (iv) получим,
что непересекающиеся множества К' и К" компактны, по-
поскольку Каг компактно, так как й2— область голоморфности.
Для всякой функции f?A(Q{) из теоремы 4.3.2 следует,
что функцию |, равную / на К' и 1 на К", можно равно-
равномерно на Кй1 = К'\}К" приблизить функциями из A(Q2). Это
доказывает (i); в частном случае / = 0 мы получаем К" — 0.
Значит, (iv) (и эквивалентное условие (iii)) влечет за собой
(И)Г а так как обратное очевидно, то теорема доказана.
Наконец, мы дадим усиленную форму теоремы 4.2.8:
Теорема 4.3.4. Пусть К— компактное подмноже-
подмножество псевдовыпуклого открытого множества ЙсС". Тогда
Ка (определение 2.5.2) совпадает с Kq (определение 2.6.6).
4.4, Оператор д во всем пространстве
129
Это утверждение, очевидно, содержит в себе теорему
4.2.8, и мы будем использовать ее при доказательстве. Прямое
рассуждение можно найти в доказательстве теоремы 5.2.10.
Доказательство теоремы 4.3.4. Ясно, что KqcKq-
Для доказательства обратного включения обозначим через ©
открытую окрестность множества Ка- Используя теорему
2.6. Ц, мы можем выбрать непрерывную плюрисубгармони-
ческую функцию р в Q, такую, что р < 0 в К и
Q0={z; z?Q, p(z)<0}
содержится в со. Так как множество Qo, очевидно, псевдо-
выпукло, из теоремы 4.2.8 следует, что Q и Ц, — области
голоморфности. Более того, й0 — область Рунге относи-
относительно Q, так как всякую функцию из A (Qo) можно равно-
равномерно приблизить функциями из A (Q) на компактных мно-
множествах [z; z?Q, p(z)^.c}, c<0, ввиду теоремы 4.3.2.
Поэтому 'условие (ii) теоремы 4.3.3 показывает, что ^ис
сЦ)Сй. Таким образом, RqcKq, что завершает доказа-
доказательство.
г
4.4. Оператор д во всем пространстве. Развитые в
этой главе ?2-методы дают теоремы существования для
оператора д, в которых содержатся оценки решения. Ради
простоты изложения мы здесь будем рассматривать только
случай Q = С", хотя большинство результатов имеет место
(с надлежащими изменениями) для произвольных областей
голоморфности.
Пусть ф?С2(С) и Т, S — замкнутые операторы
с плотными областями определения между пространствами
Цр, я) (Cn. (f)LLfp,g+i)(C'1, ф) и L2P( q+2) (Cn, ф), определяемые
оператором д. Условие D.2.1) удовлетворяется при ф = 0 и
t]v(z) = r\(z!\), если ri?Co° равна 1 в окрестности 0. Значит,
применима лемма 4.1.3, т. е. D(p.q + l)(C") образует плотное
подмножество в Dt*(\Ds. Так как г|) = 0, то из D.2.9) сле-
следует, что
D.4.1)
у Зак. 861
130
IV. Оценки в LP- и теоремы существования
если с — непрерывная функция, такая, что
D.4.2)
Теорема 4.4.1. Пусть ф — строго плюрисубгармо-
ническая функция ?'С2(С"), такая, что выполняется
условие D.4.2) для некоторой положительной непрерыв-
непрерывной функции с. Тогда для всякой формы g?L\Pt?+i((C", ф),
такой, что dg = 0, и удовлетворяющей условию роста
D.4.3)
¦ dk < oo,
можно найти форму и ? Z.fPi q) (С", ф), такую, что du = g и
D.4.4) J|a|2e-4'dX,< J |g-p-i^-dX.
Доказательство. Мы _ должны найти форму
и ? Z.(P> 9)(СП, ф), удовлетворяющую D.4.4) и уравнению Tu=g,
т. е.
D.4.5) (и, T*f)9=(g, f)v f?Dp,.
Из этого тождества и D.4.4) вытекает, что
D.4.6) | (g, Л„ | < II T'f % ( J | * |2-?1 dx)'A. / ^ Di*
Обратно, если мы докажем D.4>6), то из теоремы Хана —
Банаха получим, что антилинейную форму
можно продолжить до непрерывной антилинейной формы на
12Р>?)(СП, ф) без увеличения нормы, т. е. в указанном про-
пространстве имеется элемент и, удовлетворяющий D.4.4) и
D.4.5).
Обе части D.4.6) обращаются в нуль, если / ортого-
ортогональна к Ns, потому что g ? Ns и Ns содержит множество
значений Т, следовательно, T*f равняется 0 для всякой такой
формы /. Поэтому достаточно доказать D.4.6) для /^Dt*{]Ns,
а это сразу следует из D.4.1). Доказательство закончено.
4.4. Оператор д во всем пространстве
131
Следующий вывод из теоремы 4.4.1 часто более полезен,
поскольку в нем не требуется строгая плюрисубгармоничность.
Теорема 4.4.2. Пустыр—произвольная плюрисубгармо-
ническая функция в С". Для всякой формы g?.L\Pt ?+i> (Cn, ф),
для которой dg = 0, найдется решение и ? Z.(Pj ?) (Cn, loc)
уравнения du~g, такое, что
D.4.7) 2 J | и |2 е-ф A +1 г I2) dl < J | g f e-<? d%.
Доказательство. Сначала предположим, что ф?С2.
Применим теорему 4.4.1, рассматривая ф —f- 2 log A —f-1 гг I2)
вместо ф и используя соотношение
D.4.8)
"
t из которого следует, что можно взять с = 2A -f-l^l2)" • Если ф
не принадлежит С2, регуляризуем ее, как указано в тео-
теореме 2.6.3, и получим плюрисубгармонические функции
фе?С°°, которые, убывая, стремятся к ф„ когда е->0. Тогда
для всякого е>0 можно выбрать ие так, что due = g и
Поскольку ф„ убывают вместе с
норма в., в D над любым компак!
е, это показывает, что
норма ве в D над любым компактным множеством ограни-
ограничена. Поэтому мы можем выбрать последовательность,е^->0,
такую, что ие- слабо сходится на всяком компактном мно-
множестве _ к пределу и ? L2Pi ?) (Cn, loc). Для всякого е>0 и
R < оо мы получаем
9*
132
IV. Оценки в I? и теоремы существования
откуда следует D.4.7), и так как du = g, доказательство за-
закончено.
В качестве применения теоремы 4.4.2 при p=q = 0 изу-
изучим продолжение во все пространство аналитической функ-
функции, определенной на линейном подпространстве. Вопрос
о существовании такого продолжения является, конечно,
тривиальным, если на продолженную функцию не налагать
никаких условий роста, но мы получим хорошие оценки, объе-
объединив теорему 4.4.2 с рассуждениями, использованными в до-
доказательстве теоремы 4.2.9.
Теорема 4.4.3. Пусть ф— плюрисубгармоническая
функция в С", такая, что для некоторой константы С
D.4.9) \<t(z') — (p(z)\<C, если |г-/|<1.
Пусть 2— комплексное линейное подпространство в С"
коразмерности k. Для всякой аналитической функции и
на 2, такой, что
D.4.10)
[ \и |2е-ф da < оо.
где da означает меру Лебега на 2, существует аналити-
аналитическая функция U в С", такая, что U = и на 2 и
D.4.11) J | U I2 e~f A -4-1 z I2)* dX < 6ftJtVc J | и |2 e~vdo.
x
Доказательство. Так как, согласно D.4.8),
log(l -|-1 zf)— плюрисубгармоническая функция, то доста-
достаточно доказать эту теорему для случая, когда 2 — гиперпло-
гиперплоскость, а затем повторить этот результат k раз. Мы можем
считать, конечно, что 2 — гиперплоскость г„ = 0. Тогда
и — аналитическая функция от z'= (zx zn-\)> и мы мо-
можем рассматривать и как функцию, аналитическую в С" и не
зависящую от zn. Согласно D.4.9), имеем
D.4.12)
J | а |2 <?-<р do.
Пусть г|):— непрерывная функция в С, равная 1 в круге ра-
радиуса. ]/г> нулю вне единичного круга, а между этими мно-
4.4. Оператор д во всем пространстве
133
жествами — линейно зависящая от \z\. Тогда
и полагая
получаем U (z) = u (z'), когда zn = 0; значит, остается только
выбрать функцию v так, чтобы она удовлетворяла подходя-
подходящей оценке и чтобы ди = 0, т. е.
D.4.13) dv = г^и
п) = z-'u(z') ^-djn = /.
Ясно, что df = 0, и учитывая, что dtyjdzn = 0, когда
|zn|<V2- мы из D.4.12) получаем
J \u\2
e-fda.
Теперь теорема 4.4.2 дает решение уравнения D.4.13), для
которого
J Н2*-ч>
J \u\2e-
Комбинируя эту оценку с D.4.12), мы получаем D.4.11).
Применение теоремы 4.4.3 будет дано в разд. 4.5. Этот
раздел мы заканчиваем использованием методов разд. 4.3
для доказательства существования целых функций заданного
роста.
Теорема 4.4.4. Пусть ф — плюрисубгармоническая
функция ?С2(С"). Тогда множество целых функций и,
таких, что
D.4.14)
для некоторого целого N, содержит функции, не равные
нулю тождественно. В действительности эти функции
образуют плотное подмножество пространства А всех
целых функций с топологией равномерной сходимости
на компактных множествах.
Доказательство. Теорема 2.2.3 показывает, что экви-
эквивалентная топология в А задается сходимостью в L2 на всех
компактных множествах. Поэтому для всякой непрерывной
134
IV. Оценки в V- и теоремы существования
линейной формы L на А мы можем по теореме Хана —
наха найти функцию v ? /Л такую, что
= uvdk.
А.
должны показать, что ? = 0 на А, если /,(и) = 0 для
всех и ? А, удовлетворяющих D.4.14) для некоторого /V.
После этого теорема будет следствием теоремы Хана — Ба-
Банаха. Обозначим через R такое число, что г> —0, когда
И>я.
Положим Ф„(г) = ф(г)-Но&A-Н zf)+Ni(log(l+\ * I2)),
где % — непрерывная возрастающая функция класса С2, рав-
равная нулю в точности на множестве (—сю, log(lr-j- Z?2)] - и
линейная вблизи -I-00* Из D.4.8) следует, что
D.4.15)
1Г
Рассмотрим операторы Г и 5, определяемые, как прежде
в.'этом разделе, при р = 0, q = 0 и (pN вместо ф. Элементы
пространства нулей • оператора Т являются аналитическими
функциями, удовлетворяющими D.4.14), откуда следует, что
СР
юе N- ортогональна пространству нулей Г и поэтому содер-
содержится в замыкании множества значений Т*. Если V принад-
принадлежит множеству значений Т*, то мы можем выбрать-форму
/G^m, j. (С", ф^) Так, чтобы T*f = V и / была ортогональна
пространству нулей Т", и. следовательно, содержалась в за-
замыкании множества значений Т, а потому в пространстве
нулей S. Из D.4.1), где ввиду D.4.15) можно положить
I2), следует, что
D.4.16)
4»dk.
*"dk.
|*»нение Г*/=й='У можно записать в виде
D.4.17)
Если мы выберем последовательность функций V, сходящуюся
к ve N в it2 (С, фдгХ, то получим, что уравнение D.4.17)
4.5. Аналитические функционалы
135
с правой частью —v имеет решение, удовлетворяющее оценке
Правая часть этой оценки не зависит от /V по определе-
определению фдг. Полагая g = fe N, мы таким образом получаем
последовательность решений уравнения
D.4.18) - S-S/—-*
i
удовлетворяющих оценкам
где С — некоторая константа, не зависящая от N. Так как
Фдг возрастают вместе с N и стремятся к оо, когда | z | ,> R,
то мы можем выбрать слабый предел g этих gN, все еще
удовлетворяющий D.4.18) и такой, что g(z) — 0, когда
j Z | > R. Равенство D.4.18) выполняется в смысле теории
распределений и означает, поскольку g и v имеют компакт-
компактные носители, что
J uvdk=: ^ J J^-gjdk, и^С^ЧС").
Следовательно, /,(и)= j uvdk=*0, если u?A, а это дока-
доказывает теорему.
4.5. Аналитические функционалы. Уже в доказатель-
доказательстве теоремы 4.4.4 мы рассматривали линейные формы на
пространстве целых. аналитических функций, но более систе-
систематическим их изучением мы займемся в stom разделе.
Определение 4.5.1. Аналитическими функционалами
называются элементы пространства А', сопряженного
к пространству А = А (С) целых функций с топологией
равномерной сходимости на компактных множествах.
Компактное множество К мы назовем определяющим а«а-
литический функционал \а, если для всякой окрестности а>
этого К существует константа Са, такая, что
D.5.1) |й>(/) I -^ ?msuPi/l> f?A.
136
IV. Оценки в I? и теоремы существования
Из определения топологии в А следует, что для всякого
[I ? А' существует некоторый компакт, для которого имеет
место D.5J). Значит, ц облалает некоторым компактным
определяющим множеством, но ниже мы приведем пример,
где нет никакого определяющего множества, которое бы со-
содержалось во всех остальных. В этом его отличие от носи-
носителя функции или распределения.
Линейные комбинации экспоненциальных функций
ехр(.г, ?), где С 6 С" и {z, S> .= ^iSi -f- • • • + *„?„. образуют
плотное подмножество в А, так как, дифференцируя е'г> Е'
по С. а затем полагая ? = 0, мьг видим, что za принадлежит
замыканию линейной оболочки экспонент для любого мульти-
индекса а. Поэтому аналитический функционал jo. однозначно
определяется своими значениями на экспонентах, т. е. пре-
преобразованием Лапласа.
Определение 4.5.2. Если \i?A', mo преобразова-
преобразование Лапласа мы определяем формулой
D.5.2) ix@=i*,(*<*'t>). eecn.
Преобразование Лапласа является целой аналитической
функцией от ?, так как из свойства непрерывности ц следует
возможность дифференцирования под знаком |д,, при помощи
которого доказывается, что ц ? С°° и d[i/dt,j = 0 для всех J.
Из D.5.1) мы получаем оценку
|ii(&)|<Ceexp(supRe<*.
Нк (?) = sup Re (z, t)
?K
Положим
D.5.3)
Тогда Нк —выпуклая положительно однородная функция от ?,
и если К выпукло, мы имеем
D.5.4)
К=[г; Re (г;
(Это известное свойство опорных функций выпуклых мно-
множеств доказывается применением теоремы Хана — Банаха
к выпуклому множеству \(t, ?NRX С"; #(?)<*}.) Толька
что сделанное замечание доказывает первую часть следующей
теоремы:
4.5. Аналитические функционалы
137
Теорема 4.5.3. Если \i?A' и ц определяется ком-
компактным множеством К, то М(?) —ц(?) — целая анали-
аналитическая функция и для каждого 6 > 0 существует кон-
константа С5, такая, что
D.5.5) |Ж(С)|<С5ехр(Я^(С) + 6|С|), С 6 С".
Обратно, если К—выпуклое компактное множество и
М—целая аналитическая функция, удовлетворяющая
D.5.5) для всякого 6 > 0, то существует аналитический
функционал \\„ определяемый множеством К, такой, что
В частности, преобразование Лапласа представляет собой
взаимно однозначное отображение пространства А' на про-
пространство всех целых функций М экспоненциального типа,
т. е. функций, которые при подходящих -константах а к С
допускают оценку
|уИ(О|<Сехрв|С|.
Сначала мы дадим классическое доказательство теоремы
?.5.3 для случая п= 1, а затем опирающееся на теорему 4.4.3
доказательство, которое годится для всякого п.
Доказательство теоремы 4.5.3 при п = \.
Пусть Ж —функция, удовлетворяющая D.5.5). Образуем раз-
разложение в степенной ряд
С. Тогда из не-
неи выберем А к С так, чтобы j Ж @ j
равенств Коши получаем
k\
AR
для всякого R > 0. Полагая R = kjA, минимизируем правую
часть и из формулы Стирлинга получим
D.5.6)
138
IV. Оценки в L? и теоремы существования
где Сг — некоторая константа. Теперь можно написать
где у — выпуклая кривая, охватывающая начало координат.
Таким образом, формально мы имеем
D.5.7) М (С) = 2 Ч 4г = Bя/)"' J
О -
где функция
D.5.8)
называется преобразованием Бореля для М. Из D.5.6) сле-
следует, что этот ряд равномерно сходится, когда | z | > С1 -j- 1,
поэтому D.5.7) имеет место, если y лежит в этом множестве.
Мы докажем, что В можно продолжить до аналитической
функции в САГ. Допустив на время, что это так, положим
J/ (z)B(z)dz,
где y — произвольная выпуклая кривая, окружающая К. Это
равенство определяет аналитический функционал, который не
зависит от выбора у, и поэтому ц определяется множе-
множеством К- Согласно D.5.7), ц = /И.
Чтобы построить требуемое аналитическое продолжение,
образуем для произвольного фиксированного ? ? С функцию
= J
Интеграл справа абсолютно сходится и определяет аналити-
аналитическую функцию в полуплоскости
D.5.9) {?
Если C;i|?'| < Rete, то из D.5.6) следует, что мы можем
вычислить B^(z) с помощью разложения Ж в степенной ряд,
а это дает B^{z) = В(z). Значит, любые две функции В^
М Зу Совпадают в некотором открытом подмножестве пере?
4.5. Аналитические функционалы
139
сечения полуплоскостей, в которых они определены, и по*
этому они должны совпадать в их общей области определе*
ния. Из этого следует, что функции В^ определяют аналити-
аналитическое продолжение В на множество всех z, таких, что
Н (С) <Re?2 для некоторого ?, а это множество, согласно
D.5.4), является дополнением К-
Заметим, что это доказательство устанавливает также
взаимно однозначное соответствие между аналитическими
функционалами и функциями, аналитическими в окрестности
бесконечности и равными в бесконечности нулю.
Доказательство теоремы 4.5.3 в общем слу-
случае. Пусть Кг—множество точек, евклидово расстояние кото-
которых до К меньше е. Мы хотим построить непрерывную функ-
функцию t|), равную нулю вне Кг и такую, что аналитический
функционал, определяемый мерой tydk, имеет в качестве пре-
преобразования Лапласа функцию М, т. е.
D.5.10) М (?) = J i|> (z) е<*- О dk (*).
Пусть ф — преобразование Фурье — Лапласа для ^ как функ-
функции 2я действительных переменных:
' $(в, в2п) = J г!з (*)*"' (*Л+ ¦"+хчР*ЛAх1 ... dx2a.
Это аналитическая функция 2я комплексных переменных. Если
положить ¦ф = гР, то условие D.5.10) будет означать, что
D.5.11) ?(?,, -С,. /Са. —Ь 4г. -Sn)
и поэтому построение iJj сводится к задаче о продолжении
типа рассмотренной в теореме 4.4..3. Если носитель т|) со-
содержится в Кг, то должно быть
D.5.12) |ф(в)|<СехрФе(в),
где
D.5.13) фе (в) ^ sup (хг Im вх + ... + х2п Im 92n).
Обратно, если *? — целая аналитическая функция в С2п, та-
такая, что
D.5.12/ ]гР(в)КСA4-|е|)-2п-1ехрф?(е), 06СЧ
140
IV. Оценки в L2 и теоремы существования
то из теоремы Пэли — Винера в ее наиболее элементарной
форме следует, что *? — преобразование Фурье — Лапласа
непрерывной функции ф, равной нулю вне Кг, а если W удо-
удовлетворяет D.5.11), то тем самым теорема будет доказана.
(Доказательство теоремы Пэли — Винера состоит в построе-
построении обратного преобразования Фурье
Изменение контура интегрирования показывает, что оно не
зависит от 0". Если мы заменим 0" на t%" и положим ?->оо,
то получим, что ty(x) = 0, когда (х, 0")>фе@"), и из ана-
аналога соотношения D.5.4) мы заключим, что -ф = 0 вне Ке.
Согласно формуле обращения Фурье, преобразование Лапласа
функции г|з равно Ч*1.)
Для построения W обозначим через и функцию
которая является аналитической на «-мерном подпростран-
подпространстве 2 с С2". Если 0 = (/?,. — ?, tln, — ?„), то мы
получаем из D.5.13), что
ф^@)= sup (л^Red— x2lmt,l-\' ...) =
= sup Re (z, С) = Нк (§ + е| С |-
Поэтому из D.5.5) следует, что
|И@)|<С5ехр(фе@) + F —
Выбирая 6 < е, мы получаем
f |и|2 е~
6>0,
е da < оо.
s
Так как фе выпукла, а потому плюрисубгармонична, и так
как фе равномерно непрерывна, то из теоремы 4.4.3 следует,
что найдется целая аналитическая функция U в С2п, такая,
что U — и в Ей
4.5. Аналитические функционалы
141
где dX— мера Лебега в С2". По теореме 2.2.3 отсюда сле-
следует, что
D.5.14) | U @) |
Теперь положим
3п
1 0 | )
где х — преобразование Фурье — Лапласа неотрицательной
функции х 6^о° (С) с носителем в [z; \ z \ < е}, такой, что х
зависит только от | z |, а интеграл от х равен 1. Это озна-
означает, что х~(°) = 1 и что х~@) — функция от 0? + • • • -f- ©L.
откуда следует, что х = 1 в ^- Значит, ^F удовлетво-
удовлетворяет D.5.11), а оценка D.5.12)' с 2е вместо е следует
из D.5.14), так как по теореме Пэли — Винера
для любого N (это доказывается при помощи интегрирования
по частям).
Пример. Функция М (?) = cos B ^ОЭ есть целая функ-
функция экспоненциального типа. Так как | cos 11<; е1'' для вся-
гкого комплексного числа t, то | М (С) | <; exp (ax | Ci | + <h \ Сг |).
если аха2=\ и ах, а2 > 0. Значит, аналитический функцио-
функционал ц, для которого [i = M, определяется множеством
{(zx, z2); |21|<a1, |22|<а2}, если в1в2=1- Пересечением
всех эти х определяющих множеств является начало коорди-
координат, но ясно, что \х не определяется началом координат,
так как M(l,x, ?i) имеет экспоненциальный тип 2. Значит,
не обязательно существует наименьшее выпуклое множество,
определяющее М; исключением является случай « = 1, когда
преобразование Брреля для М можно аналитически продол-
продолжить в дополнение пересечения всех выпуклых множеств,
определяющих ц; тем самым доказывается, что \х опреде-
определяется этим пересечением.
Примечания. Теоремы существования для уравнений Коши—
Римана в областях голоморфности (сформулированные как реше-
решения первой проблемы Кузена) были впервые доказаны Ока [2]. Он
доказал также теорему о приближении функций, аналитических в
окрестности некоторого голоморфно выпуклого компактного подмно-
подмножества. Для меньшего класса областей это утверждение принадле-
принадлежит Вейлю [3]. Совпадение класса псевдовыпуклых областей и
142
IV. Оценки в ti* и теоремы существования •
областей голоморфности было доказано намного позже Ока [5], Бре-
мерманом [2] и Норге [1]. Важной особенностью использованных
нами методов является то, что оии решают первую проблему Ку-
Кузена непосредственно в псевдовыпуклых областях. Пользуясь этим,
уже нетрудно доказать, что такие области являются областями го-
голоморфности. Техника, подобная использованной здесь, была впер-
впервые предложена Гарабедяном н Спенсером [1] по аналогии с раз-
разложением Ходжа—де Рама—Кодаира дифференциальных форм на
римаиовых многообразиях. Основные априорные оценки были сна-
сначала доказаны Морри [1] для форм типа @,1) и Коном A] в об-
общем случае. (Принадлежащее Ашу [1] упрощение доказательства
Коиа {!] будет использовано в гл. V.) Кон B] доказал также не-
несколько теорем о регулярности иа границе, которая требуется в
его подходе и в подходе Моррн; упрощенное доказательство было
даио Коном и Ниреибергом [1J. Метод применения весовых функций
для модификации 12-норм восходит к Карлеману, который ис-
использовал его в других вопросах теории уравнений с частными про-
производными. В настоящем контексте этот метод использовался Хёр-
маидером [1], чтобы избавиться от упомянутых трудностей, связан-
связанных с границей, и доказать более тонкие результаты. Методы работ
Хёрмаидера дают фактически несколько лучшие результаты, чем
использованный здесь упрощенный вариант. Похожие рассуждения
были использованы Андреотти и Везеитини [I]. Теоремы, доказан-
доказанные в разд. 4.4, взяты из работы Хёрмандера [1], где некоторые
из них даны для общих областей голоморфности. Теорема, доказан-
доказанная в разд. 4.5, принадлежит Пойа [1] в случае п—\ и Эренпрейсу
[2] и Мартино [1J в общем случае. Применяя результаты Мартино
[1], Кизельмаи [1] исследовал вопрос о единственности минималь-
минимального определяющего множества для аналитического функционала.
О применениях аналитических функционалов см., например, Эрен-
прейс [3], Мальгранж [3].
Глава V
МНОГООБРАЗИЯ ШТЕЙНА
До этой главы мы изучали только функции в открытых под-
подмножествах С". Однако для многих целей этот случай является не-
недостаточно общим. Например, одновременное аналитическое про-
продолжение всех функций, аналитических в открытом подмножестве
Сй, может привести к функциям, определенным на римановых об-
областях наложения над С", аналогичных римановым поверхностям
в случае п = 1. Поэтому мы вводим в рассмотрение некоторый класс
комплексных аналитических многообразий — многообразия Штейна,
которые определяются как многолистные аналоги областей голо-
голоморфности в Сп. Соответствующие определения даны в разд. 51,
а в разд. 5.2 мы показываем, что теоремы существования и теоремы
о приближениях для уравнений Коши—Римана, приведенные в разд.
4.2 и 4.3, можно распространить на этот более общий случай. В разд.
5.3 доказывается, что многообразие Штейиа можно представить как
^замкнутое подмногообразие пространства С" достаточно высокой
размерности. Обратно, такие многообразия всегда являются мно-
многообразиями Штейна. Максимальное одновременное аналитическое
продолжение аналитических функций нз областей в С" изучается
в разд. 5.4. Мы показываем, что оно приводит к многообразию
Штейиа над С" и что такие миогообоазия можнп охарактеризо-
охарактеризовать условием псевдовыпуклости. (Разд. 5.3 н 5.4 не являются
необходимыми для чтения дальнейших частей этой книги.) Наконец,
в разд. 5.5 формулируются проблемы Кузена и там же они ре-
решаются для многообразий Штейна. В разд 5.6 мы распространяем
результаты разд. 5.2 на сечения аналитических векторных расслое-
расслоений над многообразиями Штейиа. Это существенный шаг в подго-
подготовке к изучению теории когерентных аналитических пучков, изло-
изложенной в гл. VII. Наконец, в разд. 5.7 мы показываем, что анали-
аналитическую структуру можно также задавать, объявляя для каждой
точки многообразия, какие именно дифференциалы служат диффе-
дифференциалами типа @,1) (при этом должно выполняться некоторое
условие интегрируемости). Этот результат важен для исследования
возмущений комплексных структур, но читатель может его пропу-
пропустить и перейти непосредственно к дальнейшим разделам.
5.1. Определения. Хаусдорфово топологическое про-
пространство Q называется многообразием размерности я, если
всякая точка щ Q обладает окрестностью, гомеоморфндй
144
V. Многообразия Штейна
некоторому открытому множеству в R". Понятие комплексного
аналитического многообразия определяется при помощи неко-
некоторого семейства таких гомеоморфизмов.
Определение 5.1.1. Многообразие Q (размерности 2л)
называется комплексным аналитическим многообразием
комплексной размерности п, если задано семейство <ST
гомеоморфизмов и (называемых комплексно аналитическими
координатными системами) открытых множеств QK cz Q
на открытые множества QK cz С", такое, что
(i) если и и k'?uF", то отображение
между открытыми множествами в С" является
аналитическим (меняя местами и и у!', мы на-
находим, что обратное отображение тоже ана-
литично);
(И) (J QK = Q;
(Ш) если и0 — гомеоморфизм открытого множества
QocQ на открытое множество в С" и отобра-
отображение
:
««о
как и обратное к нему, аналитичны для вся-
всякого k?oF", то '
Условие (Ш) в некотором смысле излишне: если семей-
семейство <&' удовлетворяет (i) и (Н), то его можно одним и
только одним способом расширить до семейства «У, удо-
удовлетворяющего (i), (ii), (ш). В самом деле, единственное
такое семейство <?Г' — это множество всех отображений,
удовлетворяющих (ш) относительно <?Г. Таким образом,
комплексную аналитическую структуру можно определить
при помощи произвольного семейства <ff', удовлетворяющего
0) и (ii), но если условие (ш) отбросить, то появится много
семейств, определяющих одну и ту же структуру. Семейство
гомеоморфизмов, удовлетворяющее условиям (i), (ii), (Hi),
называется полным множеством комплексно аналитических
координатных систем; два таких множества называются экви-
эквивалентными, если они определяют одну и ту же структуру.
5.1. Определения
145
¦ Будем говорить, что п комплекснозначных функций
Bj zn), определенных в окрестности точки w в Q,
являются локальной координатной системой в точке w, если
они определяют отображение окрестности w в С", которое
представляет собой координатную систему в определенном
выше смысле. Если fx, ..., /„— аналитические функции
в окрестности точки z (w) = (zx (w) zn (w)) ? С", то
(/, (z), . . ., fn(z)) — будет системой координат в точке w
тогда и только тогда, когда det (dfrfdzj)" =? 0 в z (w).
Это следует из теоремы 2.1.2.
Определение 5.1.2. Пусть Qj и Q2 — комплексные
аналитические многообразия. Тогда отображение /: Q[->Q2
называется аналитическим, если н2° f о%~1—аналити-
о%~1—аналитическое отображение (там, где оно определено) для всех
координатных систем щ в Qj и и2 в Q2.
Достаточно, конечно, рассматривать только координатные
системы из полных множеств координатных систем в Q, и Q2.
В частности, мы определили сейчас понятие аналитической
функции на комплексном аналитическом многообразии Q;
множество таких функций с топологией равномерной сходи-
сходимости на компактных подмножествах в Q обозначим через
A (Q). Очевидно, что A (Q) — пространство Фреше, если Q
счетно в бесконечности, т. е. если существует счетное число
компактных подмножеств Кг, К2* ¦-.. таких, что всякое
компактное подмножество из Q содержится в некотором К<¦
В самом деле, топология в A (Q) определяется тогда полу-
полунормами
/|, /=1. 2
а полнота пространства A (Q) очевидна.
Ясно, что всякое открытое подмножество комплексного
многообразия Q имеет структуру комплексного аналитического
многообразия, так что понятие аналитической функции (ото-
(отображения) на открытом подмножестве тоже корректно опре-
определено. Заметим, что если / аналитична в QKczC, то /ох
аналитична в QK. Значит, по определению комплексного
аналитического многообразия локально аналитические функ-
функции действительно существуют. Мы введем сейчас класс
]Q Зак. 86)
146
V. Многообразия Штейна
многообразий, на которых имеется хороший запас глобально
определенных аналитических функций. Как мы увидим, теория
комплексных функций на таких многообразиях по существу
совпадает с теорией функций в областях голоморфности
в С.
Определение 5.1.3. Комплексное аналитическое
многообразие Q размерности п, счетное в бесконечности,
называется многообразием Штейна, если
(a) Q голоморфно выпукло, т. е.
K={z;
, j/O)|<sup|/| для всякой f?A(Q)\
к
— компактное подмножество Q для всякого компакт-
компактного подмножества К a Q;
(Р) если zx и z2—различные точки в Q, то /(г{)Ф/ (z2)
для некоторой функции f?A (Q);
(у) для всякой точки z ? U можно найти п функций
/г fn?A(Q), которые образуют координатную си-
систему в этой точке. ,
Пример, По теореме 2.5.5 всякая область голоморф-
голоморфности в С" представляет собой многообразие Штейна.
Чтобы привести другой пример, иам" потребуется
Определение 5.1.4. Подмножество V комплексного
аналитического многообразия Q размерности п называется
аналитическим подмногообразием размерности т, если
(i) V замкнуто;
(ii) в некоторой окрестности ю произвольной точки
v?V существуют локальные координаты zx г„,
такие, что (d(]V — {w; .w?<й, zm+1 (w) = ... =
= zniw) = Q).
Мы мож&м определить естественную аналитическую струк-
структуру на V при помощи координатных систем (zx гт),
где (г1, ,.., г„) — координатная система для Q, обладающая
указанным свойством. Если Д /„ — произвольная коор-
координатная система для О в точке v?V, то среди этих функ-
функций всегда -можно найти т функций, образующих коорди-
координатную систему для V в точке v. В самом деле, так как
якобиан
й*№?г)фО (Л j='U .... п)
5.1. Определения
147
в точке z{v), то можно выбрать it im так, чтобы
(p., v=l m).
Значит, сужения ft ft на К образуют локальную
координатную систему в точке v.
Теорема. 5.1.5. Всякое подмногообразие многообра-
многообразия Штейна является Многообразием Штейна.
Доказательство. Условия (а) и (Э) тривиально вы-
выполняются, так как сужение функции, аналитической во всем
многообразии, на подмногообразие всегда является аналити-
аналитической функцией; (у) следует из только что сделанного за-
замечания.
Эта теорема была бы неверна для всякого меньшего
класса многообразий, содержащего все пространства С".
В самом деле, мы докажем в разд. 5.3, что всякое много-
многообразие Штейна размерности п можно вложить как подмного-
подмногообразие в С2л+1.
Наконец докажем, что на многообразия Штейна можно
распространить теорему 2.6.11.
Теорема 5.1.6. Пусть Q — многообразие Штейна,
К — компактное подмножество Qua — открытая ок-
окрестность множества К- Тогда существует функция
?С°°(п) такая, что
(a) ф строго плюрисубгармонична',
(b) ф < 0- в К, но ф > 0 в Ссо;
(c) [z; z?Q, q>(zXc}<mQ для всякого ?
Заметим, что понятие строгой плюрисубгармоничности для
функций на комплексном аналитическом многообразии опре-
определено корректно, поскольку оно инвариантно относительно
аналитических замен переменных (см. доказательство тео-
теоремы 2.6.4).
Доказательство теоремы 5.1.6. Пе условию (а)
определения 5.1.3 мы можем выбрать последовательность
К. =з= /С, Ко, . • • компактных подмножеств Q, таких, что
Kj = Kj, [)Kj = Q и Kj принадлежит внутренности KJ+i
10*
148
V. Многообразия Штейна
для всякого J. Пусть coy — открытое множество, причем
Kj с соу- с Kj+i и coj с со. Так как Kj = Kj, то для всякого j
можно выбрать функции //Й?Л(Й), А=1, ..., А^, по мо-
модулю < 1 в АГу, так, чтобы maxfe | fjk (z) | > 1, г ? Kj+2 \ со;-.
Более того, взяв достаточно высокие степени fjk, мы можем
добиться того, что
E.1.1)
E.1.2)
2
fei
1/,*(*) I2 > У.
Ввиду условия (у) определения 5.1.3 мы можем считать также,
что среди функций fjk, k— I, ..., kj, можно найти п функ-
функций, образующих систему локальных координат для любой
Точки в Kj- Теперь положим
Согласно E.1.1), этот ряд сходится и ср (.?)>/—1, когда
z?Ca>j. в силу E.1.2). На самом деле ф^С0О(Й), так
как ряд
сходится равномерно на компактных подмножествах в Q X ^.
и поэтому сумма аналитична по г, а комплексно сопряжен-
сопряженная сумма аналитична по ?. Ясно также, что ср — плюрисуб-
гармоническая, и даже строго плюрисубгармоническая функ-
функция, так как если
2-1
dzt
¦ wl = 0 для некоторого z и всех /, А,
то w = 0, потому что существуют п функций fjk, образую-
образующих локальную систему координат в точке z. Доказательство
закончено.
Заметим, что, согласно следствию 1.6.8 и теореме 1.6.12,
даже log B -\- ср) является строго плюрисубгармонической
функцией.
5.2. Оценки в L2 и теоремы существования для оператора д 149
Замечание. В доказательстве теоремы 5.1.6 мы поль-
пользовались только условиями (а) и (у) определения 5.1.3. Как
мы увидим в разд. 5.2, это приводит к выводу, что (й)
является следствием остальных двух условий. '
6.2. уценки в Z,2 и теоремы существования для опе-
оператора д. Пусть Q — комплексное аналитическое многообра-
многообразие комплексной размерности л, счетное в бесконечности
Разложение дифференциальных форм на формы типа (р, q)
и определение оператора д можно непосредственно распро-
распространить на формы и функции, заданные на многообразии Q
потому что все эти понятия инвариантны относительно ана-
аналитических замен координат (см. разд. 2.1).
Для распространения методов гильбертова пространства
использованных в гл. IV, мы должны ввести эрмитовы нормы
дифференциальных форм в Q. Поэтому мы выберем эрми-
эрмитову метрику на Q, т. е. риманову метрику, которая в любой
аналитической координатной системе с координатами zit z
имеет вид "
2 jkZjdzk,
J t К »1
где (fiJk) — положительно \ определенная эрмитова матрица
с коэффициентами класса С°°. Локально существование такой
эрмитовой структуры очевидно; в целом оно доказывается
при помощи разбиения единицы. Инвариантный элемент объема
определяемый этой структурой, мы обозначаем через dV (по
поводу определений см. Вейль [1]).
Если / —фориа типа A.0) и f = ^f.dZj в локальной
координатной системе, то положим
</./> = 2 **'//*.
где (hJk) — матрица, обратная к (hJk). Эта эрмитова форма
определена инвариантно, поскольку
(/• /) = sup —'—=-
dz
Согласно процессу ортогонализации Грама — Шмидта,
каждая точка в О, имеет окрестность U, в которой
150
V. Многообразия Штейнй
существуют п форм со1, . .., со" типа A, 0) с коэффициентами
клаееа С°°, такие, что во всякой точке из U
. , (о', &k) = 6jlt, j, k = 1, ...,«.
Если положить / = Е/уСо-', то (/, /) — 2" | /} |2. Более общб,
дифференциальную форму / типа (р, q) можно единственным
способом записать в виде суммы
\I\~P \J\-Q
где fj j антисимметричны как по /, так и по У, а Ъ' озна-
означает, что суммирование ведется только по возрастающим
мультииндексам. Мы можем определить (/, /) формулой
потому что это определение не зависит от выбора ортонор-
мальнрго базиса со1, ..., со". (Проверку этого факта мы
оставляем в качестве упражнения.)
Как в лемме 4.1.3, выберем раз и навсегда последова-
последовательность r\v %... функций из C™(Q), таких, что 0 •<
^t]v-^l и '%=Л на любом компактном подмножестве в Q,
когда v достаточно велико.
В качестве замены условия D.1.6) изменим эрмитову мет-
метрику так, что
E.2.1) |<Ч>|<1 на Q. v=l, 2
Чтобы убедиться в возможности такой замены, следует только
заметить, что для данной эрмитовой метрики можно выбрать
положительную функцию М ? С°° (Q), такую, что
М
для всех v.
В самом деле, это неравенство дает для М лишь конечное
число оценок снизу на любом компактном подмножестве в iQ.
Если мы заменим метрику на
то условие E.2.1) будет выполняться, если норму ijv опре-
определить относительно этой новой метрики. Впредь мы фикси-
фиксируем эрмитову структуру и последовательность T]v.
5.2. Оценки в L2 и теоремы существования для оператора д 151
Пусть ф — функция из C°°(Q) и Z.2P> я) (Q, ф) —простран-
—пространство всех (классов эквивалентности) форм типа (/>, а),
коэффициенты которых измеримы в любой локальной коор-
координатной системе и
Оператор д определяет линейные замкнутые операторы
с плотной областью определения
Т: L(Piq)(Q, ф)->/,^
, ф).
Лемма 5.2.1. Пространство D(Pj?+1)(Q) образует
плотное подмножество в Dt* П Ds no норме графика
Доказательство. По существу мы повторим дока-
доказательство леммы 4.1.3. Так как
5 (V) — %Sf = t3nv Д /, /6 Ds,
то из E.2.1) следует, что
Далее имеем
откуда
если /??>г* и «
Значит, %/->/ по указанной норме, если /^t(
rio3f ому достаточно приблизить элементы из Dt*
с компактным носителем, а с помощью разбиения единицы
мы сведем доказательство к случаю, когда носитель лежит
в координатной окрестности. В этом случае можно исполо-
исполосовать следующую классическую лемму Фридрихса,
152
V. Многообразия Штейна
Лемма 5.2.2. Пусть
^), [<pdx = l, пусть
v?L(R.) имеет компактный носитель и пусть а— функ-
функция класса С1 в некоторой окрестности носителя v.
Положим
04-1») (х) = J v (х — еу) ф (у) dy.
Тогда aDkJev — Je (aDkv) -> 0 в L2, когда г -> О.
Здесь aDkv определена в смысле теории распределений,
D dld
Доказательство. Утверждение очевидно, если v ? С1.
Поэтому достаточно доказать неравенство
для малого е, предполагая, что а имеет ограниченные произ-
производные во всем R^. Простые выкладки дают
WR (х) = aDkJRv (x) - JR (aDkv) (x) =
= J v (x — еу)[(в (х) — а (х -
¦ — еу)] Ф (у) <*у.
Здесь мы положили фй = Dk(p. Если С — мажоранта для
| grad а |, то
| \v{x -еу) |(| у11 ф»(у) | + | Ф(у) \)dy.
откуда, согласно неравенству Минковского для интегралов,
Окончание доказательства леммы 5.2.1.
Из леммы 5.2.2 непосредственно следует, что если применить
оператор JR к (каждой компоненте) / в координатной окрест-
окрестности, содержащей компактный носитель /, то получится, что
^711ф->0, е->0,
откуда ввиду леммы 4.1.4
\\T\JJ) — T*f\[t^O, когда е->0, если /?Dr*.
Аналогично мы доказываем, что S(JRf)->Sf, если f?Ds.
(Это доказательство проще, так как S имеет постоянные
5.2. Оценки в L? и теоремы существования для оператора д 153
коэффициенты, если координаты аналитичны.) Доказательство
леммы 5.2.1, таким образом, закончено.
Пусть U — координатная окрестность в Q, в которой для
форм типа A, 0) имеется ортонормированный базис со1, ...
.... со" класса С°°. В терминах этого базиса мы дадим
сейчас выражения для операторов 5 и Г*, действующих
на формы /6?>(P,g+i) с носителем в U. Этим будет доказано,
что для таких форм утверждение леммы 4.2.1 сохраняется
по существу без изменений.
Если и ? С (U), то мы можем написать
Л я
ди i ,
определяя тем самым линейные дифференциальные операторы
первого порядка djda>1 и d/cW. Тогда ди = 2" dujday1 • со', а
для формы / = 2'/л jw1 /\(oJ
i,J i ""
где точки заменяют члены, в которых не дифференцируется
ни один коэффициент fi,j\ такие члены могут встречаться,
поскольку cW и д (&! не обязательно равны нулю. Если сумму
обозначить через Л/, то очевидно, что \df — Л/|^С|/|,
где С не зависит от /, если носитель / лежит в фиксиро-
фиксированном компактном .подмножестве из U,-
Пусть теперь и?/3(Р>?) имеет носитель в U. Напишем
E.2.2) J (Г/, и) е-ч dV = J (/, да) «-«• dV =
ди, в-
где точки снова заменяют члены, не содержащие никаких
дифференцирований /,,¦ Далее проинтегрируем по частям.
Сначала заметим, что в обозначениях
b,w = ef ——}—^
; да'
154
V. Многообразия Штейна
формула Грина дает
= — J v
v,
где j^
E.2.3)
Интегрируя E.2.2) по частям, получаем
/, /С
где точки заменяют члены, в которых не дифференцируется
ни один коэффициент /7 ,к и которые не содержат <р. Зна-
Значит, если / имеет носитель в фиксированном компактном
подмножестве из If, то | T*f — Bf\-^C\f\. Таким образом,
E.2.4) || Л
с другой константой, не зависящей от / и ф. Рассуждения,
которые привели нас к D.2.3), применимы и в этом случае,
поэтому мы получаем
f. . 12
/, J }-\
f V
J 'ft
dfl
Прежде чем повторить интегрирование по частям, как это
делалось в разд. 4.2, мы должны рассмотреть коммутаторы
операторов djd^ и бй, чтобы получить замену для D.2.6).
Итак, пусть w -у гладкая функция в U. Тогда
-да1
t-y
Так как д&1—форма типа A,1), мы можем написать
E.2.6)
J, 4-Х
u}*u
5.2. Оценки в L2 и теоремы существования для оператора д 155
откуда
Если мы заменим w на ta и вместо каждого члена возьмем
комплексно сопряженный, мы получим также
Поэтому из тождества д д<8> = — д d-w следует, что
где wkj и определяются этим равенством; Заметим, что при
таких обозначениях
д dw = 2 W/ftW-' Л ©fe-
Значит,' w является плюрисубгармонической функцией тогда и
только тогда, когда форма ^Wjkfjfk положительно опреде-
определена.
Из E.2.7) следует, что
dw dbkw\_ дЩ . у . dw у-; _дш_
или, если воспользоваться определением bt и E.2.7) с ф
вместо w,
Используя формулу Грина и E.2.8), проинтегрируем
в равенстве E.2.5) по частям. Ввиду E.2.4) это дает
E.2.9)
ft-1
156
V. Многообразия Штейна
где
/, tf Л Л *-1
Л А" (,А*-1
2
В выражении для tx и в тех членах ?3> которые содержат
оператор 6^, вторичное интегрирование по частям приводит
к членам, содержащим только дифференциальные операторы
dfdtiI. Если оценить to при помощи неравенства Коши —
Шварца, то из E.2.9) будет следовать, что
i, J ;-i
dfl,j
E.2.10)
для всех /6 Ар. ?+1) с носителем в фиксированном компакт-
компактном подмножестве из U. Здесь С —некоторая константа,
а % — наименьшее собственное значение эрмитовой симметри-
симметрической формы
E.2.И) 2
(Заметим, что Я, не зависит от выбора базиса оI со",
потому что замена базиса означает только унитарное преоб-
преобразование переменных 'tx tn.) Оценка E.2.10) наиболее
интересна, конечно, в том случае, когда функция ф плюри-
субгармонична.
Теперь мы легко можем доказать глобальный вариант
неравенства E.2.10):
Теорема 5.2.3. Существует непрерывная функция С
на Q, такая, что
E.2.12) J (A.-
5.2. Оценки в L2 и теоремы существования для оператора д 157
\^
Здесь ф — произвольная функция из C2(Q), a k—наимень-
k—наименьшее собственное значение формы E.2.11), которое тоже
представляет собой непрерывную функцию на Q.
Константу 4 здесь можно заменить любым числом >1.
Доказательство теоремы 5.2.3. Пусть Uj, f =
= 1, 2 —координатные окрестности в Q, в которых
выполняется E.2.10), выбранные так, что они образуют ло-
локально конечное покрытие Q (т. е. \j(Jj = Q и любое ком-
компактное подмножество из Q покрывается не более чем конеч-
конечным числом множеств Uj). Выберем if.6^о°(^/) так> чт0
2Ф» = 1 в Q.
(Если г|}' ? С00 (Uj) и -ф2 = ЕяК2 > 0 всюду в Q, то мы можем
взять "ф . = -ф'/-ф.) Теперь применим E.2.10) к ij)y/. Это ласт
и,
Складывая эти оценки, мы немедленно получаем E.2.12).
Теорема 5.2.3 дает хорошую замену леммы 4.2.1.
Теперь мы можем продолжать наше исследование в том же
направлении, что и в разд. 4.2 и 4.3, поэтому оно будет
кратким.
Теорема 5.2.4. Пусть Q—комплексное многообра-
многообразие, на котором существует строго плюрисубгармони-
ческая функция ф, такая, что {z; z ? &, q>(z) < c}mQ
для всякого с ? R. Тогда уравнение ди — f имеет решение
(в слабом смысле) и ? bfPi я) (Q, 1ос) для всякой формы
А6 Цр, ?+1) Ф- 1ос)- такой, что df — O.
Доказательство. Заменим функцию ф в E.2.12)
на х (ф), где % — выпуклая возрастающая функция. Тогда
нижнюю границу к формы E.2.11) можно заменить
158
V. Многообразия Штейна
на х' (ф) • ^ (см> доказательство теоремы 4.2.2), поэтому из
теоремы 5.2.3 мы получаем
Если % выбрана столь быстро растущей, что
E.2.13) у(ф)а-с>4,
то, применяя лемму 5.2.1, мы получаем
E.2.14)
(Оператор Т*, очевидно, сопряжен оператору Т относительно
нормы || ||х(ф).) Если % удовлетворяет E.2.13), то лемма
4.1.1 (см. также D.1.5)) показывает, что уравнение <Эи = /
имеет решение ' и ? Z.^ g) (Q, х(ф)) Для всякой_ формы
/6^(р, ?+1) (^> Х(ф)). удовлетворяющей уравнению <?/ = 0, и
и можно выбрать так, что '
E.2.15)
Это доказывает теорему.
Пространства W*Pi?), 0-^s-^oo, введенные после тео-
теоремы 4.2.2, очевидно, инвариантны относительно аналитиче-
аналитической замены координат, поэтому если задано многообразие Q,
то пространство W^,>g)(Q, loc) можно определить как мно-
множество форм, принадлежащих W<Pi9) в каждой координатной
окрестности. "Применимо (с очевидными изменениями) доказа-
доказательство теоремы 4.2.5, потому что из E.2.10) мы получим
для форм с носителем в координатной окрестности оценки
производных df} jjd®^ а значит, и производных df/ jldz,,
где Zj — локальные координаты. Таким образом, мы оста-
оставляем в качестве упражнения для читателя проведение по-
подробного доказательства следующей теоремы:
Теорема 5.2.5. Пусть Q — комплексное многообра-
многообразие, на которое существует, строго плюрисубгармони-
плюрисубгармоническая функция ф?С°°(О), такая, что \z\ z?Q, q>(z)<
< <?} e.Q для всякого «. Тогда уравнение du = f имеет
5.2. Оценки в L? и теоремы существования для оператора д 159
решение a^Ws^\)(Q, loc) для всякой формы /?
6 W(p, 9+i) 0^> 1°с)' такой, что df — O. Если q = 0, то
всякое решение уравнения du = f обладает этим свой-
свойством.
В последнем утверждении по существу не содержится
ничего нового по сравнению с теоремой 4.2.5.
Следствие 5.2.6. В предположениях теоремы 5.2.5
уравнение du—f имеет решение и ? С^; q) (Q) для всякой
формы / ? Сф, ?+i) (Й), такой, что д/ = 0.
Так как теорему 2.7.10 можно очевидным образом рас-
распространить на многообразия, то ввиду теоремы 5.1.6 мы
получаем следующее утверждение:
Теорема 5.2.7. Если Q—многообразие Штейна раз-
размерности п, то НТ (Q, С) = 0, когда г > п.
Справедливы также теоремы о приближениях.
Теорема 5.2.8. Пусть Q—комплексное многообра-
многообразие « ф — строго плюрисубгармоническая функция в Q,
такая, что Kc—{z\ z?Q,, ф(г)<с)@Й для любого
действительного числа с. Тогда всякую функцию, анали-
аналитическую в окрестности' множества Ко, можно прибли-
приблизить равномерно на Ко функциями из A(Q).
Доказательство. Можно применить доказательство
леммы 4.3.1, используя оценку E.2.14) вместо D.2.10).
(Функция ф в теореме 5.2.8—это функция р в лемме 4.3.1.)
Детали мы повторять не будем.
Комбинируя теоремы 5.2.8 и 5.1.6, мы получаем
Следствие 5.2.9. Если Q — многообразие Штейна
и К — компактное подмножество Q, такое, что К = К,
то всякую функцию^ аналитическую в окрестности К,
можно равномерно на К приблизить функциями из A (Q).
Теперь можно доказать теорему, обратную теореме 5.1.6.
Т е о р е м а .5.2.10. Комплексное многообразие Q является
многообразием Штейна тогда и только тогда, когда
существует строго плюрисубгармоническая функция
160
V. Многообразия Штейна
ф?С°°(О), такая, что Qc={z; z?Q, q>(z)<c}<=Q для
всякого действительного числа с. Множества О,с являются
тогда А (О,)-выпуклыми.
Доказательство. Теорема 5.1.6 утверждает, что
функция ф с такими свойствами существует- на всяком мно-
многообразии Штейна. Обратно, предположим, что такая функ-
функция ф существует на некотором многообразии Q. Мы должны
доказать, что выполняются три условия (а), (р), (у) опреде-
определения 5.1.3. Сначала будет доказана
Лемма 5.2.11. Для всякой точки z° ?Q существуют
окрестность со0 и аналитическая функция и0?А(ц>0), та-
такие, что и0 (z°) = 0 и
Re и0 B)< ф (г)—ФО°), если г0Фг?а>0.
Доказательство. Пусть гг, ..., zn— локальные
координаты в точке z°, такие, что все координаты z° рав-
равны 0. Разложение Тейлора для функции ф можно записать
в виде
Re
где «о — многочлен степени ^ 2, причем и0 @) == 0. Так как
здесь эрмитова форма положительно определена, то
Ф(г) >Ф@) + Reeo(z), гфО,
в окрестности начала координат. Это доказывает лемму.
Окончание доказательства теоремы 5.2.10.
Заметим сначала, что предположения теоремы выполняются
для Qc, если ф заменить на 1/(с—ф). Поэтому справедлива
теорема существования для оператора д (следствие 5.2.6)
в Qc для всякого с.
Пусть z° — произвольная точка в Q. Мы докажем, что
существуют локальные координаты в точке z°, состоящие из
функций ? A (Q), что z° не принадлежит А (О)-оболочке
множества Qc ни для какого с < ф (z°) и что для любой дру-
другой точки z1, для которой ф(,г')<;ф(,г0), существует функ-
функция / ? А (й), такая, что / {z°) ф / (г1). Тем самым теорема
будет, конечно, доказана.
5.2. Оценки в LP-u теоремы Существования для оператора 3 161
Выберем и0 и со0 в соответствии с леммой 5.2.11 так,
чтобы zl^_a>Q и cog покрывалось одной координатной окрест-
окрестностью. Затем возьмем другие окрестности щ и со2 точки z°
так, чтобы
Пусть г|? — функция из Со°(со2), равная 1 на g^. Мы исполь-
используем ф как стандартную отсекающую функцию. Так как но-
носитель dip принадлежит ю2 \ wi> мы можем выбрать а > ф(г°)
и е > 0 так, что
E.2.16) Re и0 (z) < — е, если z ^ supp дф и ф (z) < a.
Из доказательства теоремы 5.2.4 для оператора д в Qa сле-
следует существование функции ф„ ? С°° (Qa), ограниченной
снизу в Qa, такой, что уравнение dv = f для всякой формы
/ ? Z,(o, 1) (Qo. Фа), удовлетворяющей условию d.f — O, имеет
решение v?L2(Qa, фа), для которого
E-2.17) 1Ь11
Согласно следствию 5.2.6, v бесконечно дифференцируемо,
е?ли форма / бесконечно дифференцируема.
Пусть теперь и — аналитическая функция в со0. Положим
E.248) ut = ^uetao — vt,
где ^ —большой положительный параметр. Мы хотим вы-
выбрать vt TaKj чтобы ut? A (Qa) и vt были малыми. Для этого
заметим, что ut •—аналитическая функция, если
5.2.19)
dvt = ue<u« &ty — ft. ,.
где последнее равенство является определением. Согласно
E.2.16), справедлива оценка \\ff\\v =О(е~г') для фиксиро-
фиксированной функции и; поэтому применение неравенства E.2.17)
показывает, что E.2.19) имеет решение vt, для которого
E.2.20) || v, ha - О (е~*'),_ t -> + оо.
Уравнение E.2.19) означает, в частности, что функция vt
аналитична в дополнении к носителю d\jp в Qa. По теореме
2.2.3 мы получаем отсюда, что ut(zl)=^vt (zl)->0 nut(z°) =
= « (z°) -^-vt(z°)->a(z0), когда t-*oo. Так как u(z°) можно
И Зак. 861
162
V. Многообразия Штейна
1
взять равным 1, то ut{zl)i=ut{z®), если t велико. По тео-
теореме 5.2.8 ut можно равномерно на й (г0. приблизить не-
некоторой функцией U ? A (Q) настолько хорошо, что U (г°)ф
i=U (z1). Это доказывает справедливость условия (р). Кроме
того, из E.2.20) следует, что
¦ 0, t—>oo,
для всякого c<tp(z°). Следовательно, теорема 2.2.3 пока-
показывает, что ut —> 0 равномерно на компактных подмноже-
подмножествах в Qc. Если с' < с, то из этого следует, что | ut | < 1/2
на ЙС' для больших t, в то время как ut(z°)—>l. Прибли-
Приближая ut функциями из А (О) с помощью теоремы 5.2.8, мы
заключаем, что z° не принадлежит А (^)-оболочке множе-
множества Qc> ни для какого с' < ф (г0). Значит, эта Л (Q)-o6o-
лочка совпадает с йс- для всякого с'. Этим доказана спра-
справедливость условия (а).
Наконец, если функция и ? А (о>о) выбрана так, что и (z°)=0,
t t ° и, согласно теореме
dvt
р
то, поскольку dut = du — dvt в точке z°
2.2.3, dvt->0 в z°, мы заключает что да, стремится к ди
в z°, когда /—>оо. Если и1, ..., и" —координатная система
в 2°, образованная функциями, равными 0 в z°, то якобиан
соответствующих функций \?Л(Й)
а
\
относительно
и
и" должен поэтому стремиться к 1, когда /—>оо. Ис-
Используя теорему 5.2.8, мы можем приблизить эти функции
функциями U1, .. ., U" из A(й) настолько хорошо, чтобы яко-
якобиан U1,
U" относительно и1,
и" тоже фО в точке
z°. Значит, условие,(у) определения 5.1.3 также выполнено.
Следствие 5.2.12. Условие ф) определения 5.1.3
следует из двух других условий.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы
5.2.10 и замечания после теоремы 5.1.6.
5.3. Вложение многообразий Штейна. Пусть Q — ком-
комплексное аналитическое многообразие размерности п. Всякая
вектор-функция f==(fi "/лг) €-^ (Ф^ определяет ана-
аналитическое отображение
E.3.1)
5.3. Вложение многообразий Штейна
163
Определение 5.3.1. Отображение E.3.1) назы-
называется регулярным, если его ранг равен п во всякой
точке Q, т. е. если для всякой точки из Q имеется
координатная система, образованная п функциями из
f1 fN. Если прообраз всякого компактного подмно-
подмножества CN является компактным подмножеством Q,
то отображение называется собственным.
Условие регулярности можно сформулировать еще и так:
если (Zi zn) — локальные координаты, то матрица
Якоби (dfjdzj), i=l, ..., N, j=\ n, имеет ранг п
во всякой точке координатной окрестности.
Ясно, что множество значений собственного отображения
E.3.1) замкнуто, потому что всякое компактное множество
отображается на компактное множество. Если, вдобавок, это
отображение регулярно и взаимно однозначно, то множество
его значений является аналитическим подмногообразием в С^,
изоморфным Q. Наша цель — построить такое отображение,
когда Q — многообразие Штейна.
Лемма 5.3.2. Если К — компактное подмножество
крмплексного многообразия, удовлетворяющего условиям
ф) и (у) определения 5.1.3, то д^я некоторого большого N
можно найти отображение f?A(Q)N, регулярное и вза-
взаимно однозначное на К.
Доказательство. По лемме Бореля — Лебега и ус-
условию (у) определения 5.1.3 мы можем выбрать (/j /ft) ?
? A (Q)k так, чтобы п из этих функций образовали коорди-
координатную систему в любой точке К- Тогда существует окрест-
окрестность V диагонали в К X К, такая, что если (z', z") ? V и
fj(z') = fj(z"), j=\ k, то z' = z". Используя ф),
мы можем теперь так выбрать в Л(?2) конечное число функ-
функций /й+1 /дг, чтобы из соотношений fj(z')=fj(z"),
j = k-\-l W и (z', z")?KXK\V вытекало равен-
равенство z' = z". Итак, Мы построили требуемое отображение.
Наша следующая задача — показать, что ./V можно брать
не превосходящим 2/г —j— 1. Это следует из одного рассужде-
рассуждения Уитни.
Лемма 5.3.3. Если К — Компактное подмножество
комплексного многообразия Q размерности п, и если
П*
164
V. Многообразия Штейна
/ —СЛ /n)^a(q)N' N>n, mo f отображает К
на компактное множество меры Лебега О в CN.
Доказательство. Компактность образа К следует
из непрерывности /. При доказательстве того, что множество
значений имеет меру 0, мы можем считать, что К содержится
в одной координатной окрестности с координатами (zb .. .
.... zn), потому что К можно покрыть конечным числом
таких окрестностей. Так как /(г + ?) — /С2) -f" О(|С|), то
мера множества в С^, на которое / отображает куб /сС"
со стороной е, равна О (е2ЛГ) = т (/) О (е2), поскольку N > п.
Далее мы можем покрыть К кубами се стороной е и общей
мерой < т (К) -f- 1. откуда следует, что т (/ (К) )< (т (К) -+¦
-j- 1) - О (е2). Значит, f{K) имеет меру 0.
Лемма 5.3.4. Если f?A (Q)N+\ N > 2п, —регулярное
отображение компактного подмножества KcQ, то можй,о
найти точку (аг, ..., aN) ? С^, сколь угодно близкую
к нулю и такую, что
— регулярное отображение на К. Более того, это верно
для всех a<~ZN, лежащих вне некоторого множества
меры 0.
Доказательство. Можно считать, что К содержится-
в одной координатной окрестности с координатами (zv . . .
.... zn). Вектор a?CN следует выбрать так, чтобы из ра-
равенства ¦ <
"¦
в некоторой точке К для некоторого К?С" Следовало, что
Х — 0. Полагая ад,+1=1 и ц = 2?Я.* dfN+\jdZk, это усло-
условие можно перефразировать так: из уравнений
У=1. ....
должно вытекать, что Х = 0. Так как матрица j
А = 1, ,.;, я, У=1. .... Л/, имеет ранг п, то достаточно
5.3. Вложение многообразий Штейна
165
выбрать а так, чтобы точка (а, 1) не принадлежала мно-
множеству значений отображения
E.3.2)
Если сначала ограничиться значениями К, принадлежащими
шару |A,|^v, v === 1, 2 то из леммы-5.3.3 будет сле-
следовать, что множество значений отображения E.3.2) имеет
меру 0, поскольку N -\- 1 > 2и, а так как пересечения этого
множества с плоскостями eAr+1 = const гомотетичны, то все
они должны иметь 2Л^-мерную меру 0. Итак, доказательство
закончено.
Лемма 5.3.5. Если f?A{Q)N+\ N > 2« + 1, —регу-
—регулярное взаимно однозначное отображение компактного
подмножества /CcQ, то можно выбрать точку (av . . .
..., aN) ? CN, сколь угодно близкую к началу координат,
так, чтобы
fN~ %/дг+l) € A (Q)"
C/i -
было регулярным взаимно однозначным отображением
на К. Более того, это верно для всех a?CN вне неко-
некоторого множества меры 0.
Доказательство. Из леммы 5.3.4 мы з"наём, что
указанное отображение регулярно на К, когда а не принад-
принадлежит некоторому множеству меры 0. Мы хотим выбрать а
так, чтобы Для z'', z"?К из равенств ;
fj (z') - ajfN+1 (z') = fj if) - ajfN+1 (z"), J =* 1, .. „ -V,-
следовало равенство z' =z'T Полагая . aN.^=~ 1 и , X~¦¦_ .
= fN+i(z') — /jv+iC2")- эти равенства mo>khq переписать так^
Таким образом, достаточно показать, чтсга^ .,., ад+i мбжнб
выбрать так, чтобы aN+-l = 1 и из этих N^-1 соотно-
соотношений следовало равенство & = 0, а потоку й zr"-=*z")
166
V. Многообразия Штейна
1
поскольку / взаимно однозначно. Но множество значений ото-
отображения
z')-/i(z") /лг+i («О — /лг
есть множество меры 0, так как N-\-\ > l-j-2/г. Это до-
доказывает лемму.
Замечание. Геометрически доказательства лемм 5.3.4
и 5.3.5 сводятся к проектированию C^+1 на его подпро-
подпространство С^, определяемое уравнением zN+\ = 0, вдоль на-
направления, которое не является касательным (и даже хор-
дальным) для / (К).
Теперь уже легко доказать существование регулярного
взаимно однозначного отображения.
Теорема 5.3.6. Пусть й—-комплексное многооб-
многообразие, счетное в бесконечности и удовлетворяющее ус-
условиям (Р) и (Y) определения 5.1.3. Тогда
(a) множество всех f?A (Q)N, которые не дают
регулярного отображения Q в CN, есть мно-
множество первой категории при N ;> 2/г;
(b) множество всех f?A (Q)N, которые не дают
регулярного взаимно однозначного отрбражения й
в CN, есть множество первой категории при
5.3. Вложение многообразий Штейна
167
Напомним, что множество в полном метризуемом про-
пространстве называется множеством первой категории, если оно
содержится в объединении счетного числа замкнутых мно-
множеств, не имеющих внутренних точек. Множество- первой
категории не имеет внутренних точек, т. е. его дополнение
всюду плотно.
Доказательство теоремы 5.3.6. Сначала дока-
докажем (а). Так как Q — объединение счетного числа компакт-
компактных множеств, то достаточно доказать, что для всякого ком-
компактного подмножества /Сей множество М всех f?A(Q)N,
не регулярных на К, есть множество первой категории. Оче-
Очевидно, что М замкнуто; в самом деле, если fj?A(Q)N и
/у—>/ при ]—*оо, и если /¦ не регулярна в точке Zj?K,
то / не регулярна в любой предельной точке последова-
последовательности Zj. Поэтому достаточно показать, что М не имеет
ни одной внутренней точки. Для этого выберем, в соответ-
соответствии с леммой 5.3.2, функции glt .. ., gr ? A (Q) так. чтобы.
g — (gi, .... gT) регулярно отображала К в С. Для всякой
/? A(Q)N мы можем теперь повторно применять лемму 5.3.4
к отображению (/, g) в CN+r, заключая, что
осуществляет регулярное отображение К при подходящих
сколь угодно малых коэффициентах ajtt. Таким образом, /'
не принадлежит М, поэтому / не является внутренней точ-
точкой М. Этим завершается доказательство утверждения (а).
Доказательство свойства (Ь) проводится совершенно анало-
аналогично; различие состоит лишь в том, что в нем используется
лемма 5.3.5 вместо 5.3.4. Поэтому мы предлагаем читателю
провести его самостоятельно.
Осталось доказать существование собственных отобра-
отображений, и это намного труднее. Сначала заметим, что
если имеется собственное отображение / многообразия Q
в С^, то множество [z; z?Q, \fj(z)\<R, j=\ ./V}
относительно компактно в й для всякого R, и эти аналити-
аналитические полиэдры, каждый из которых определяется не более
чем N неравенствами, исчерпывают все Й. Поэтому первое,
что надо сделать,—это изучить аналитические полиэдры на
многообразии Штейна.
Открытое относительно компактное множество Рс й мы
будем называть аналитическим полиэдром порядка N, если
для некоторых fj?A (Q), /=1 Af, множество Р является
объединением компонент открытого множества
{z; г gQ. \fj(z)\<l. 7=1 ЛГ}.
Лемма 5.3.7. Если й—многообразие Штейна, К —
компактное подмножество й, К = К и со — некоторая
окрестность К, то существует аналитический полиэдр Р,
такой, что КсРш(л.
Доказательство. Можно считать, что со относи-
относительно компактна в й. Для всякой точки z ? дв> мы можем
найти функцию /?Л(Й), такую, что |/|<1 на К, но
168
V. Многообразия Штейна
| >1. По лемме Бореля — Лебега мы можем выбрать
fv • • • • /jv € ^ (^) так- чтобы множество
{z; z?Q, \f)[z)\<\. 7 = 1 М]
содержало К и не пересекалось с д®. А тогда пересечение
этого множества с со и будет аналитическим полиэдром Р
с нужными свойствами.
Следующий- шаг — понижение порядка полиэдра при по-
' мощи одного приема, предложенного Бишопом.
¦ Лемма 5.3.8. Пусть К — компактное множество и
Р— аналитический полиэдр порядка N-\-l в Q, причем
KczP. Если N^2n, то существует аналитический по-
полиэдр Р' порядка N, такой, что КаР'сР.
Доказательство. Пусть Р — объединение компо-
компонент множества ,
{z; z?Q, |/y(z)|<l. 7=1 W+l}.
Выберем числа cQ < сх < с2 < с3 < 1 так, чтобы | fj (z) | < с0
для 7=1, ..., N-\-l, когда z?K. Можно подобрать
/i fN+1 так, чтобы fN+l=fN+v и отображение
(/j//jV+1 /Jv/^Af+i) имело Ранг п на множестве
\z; z?P, I/jv+iC2) I ^-сгЬ а /j» были столь близкими к fj,
что \f'j(z)\<c0 на К для 7=1 N и
(*> = {*; *?/>. |/'^B)|<с3, 7=1. .... Л^+1}еЯ.
Действительно, это немедленно следует из доказательства
теоремы 5.3.6, так как Af >-2«; в качестве функций f',JfN+l
мы можем взять fj!f^+\ плюс линейные комбинации с ма-
малыми коэффициентами подходящих функций из A (Q).
Рассмотрим теперь открытое множество
cv, 7=1 ЛГ},
где v — положительное целое число, которое будет выбрано
позже. Докажем, что объединение Р'у компонент Ду. пере-
пересекающих К, обладает-требуемыми свойствами, если v доста-
достаточно велико.
Сначала заметим, что если z?K, то-
5.3. Вложение многообразий Штейна
169
когда у достаточно велико. Следовательно, /CcrAv для боль-
больших v. Если мы сможем доказать, что Pvc<x>, когда v велико,
то мы получим аналитический полиэдр порядка Л/, обладаю-
обладающий всеми требуемыми свойствами. Если Pv не содержится
в со, то некоторая точка z?Pv должна лежать на границе со,
потому что всякая компонента Pv пересекает К и содержит,
таким образом, точки со. Если | /дг+i (z) \ < Ь2, то
\f'j(z)\V <C2 + Civ< сз- когда J^-N и v велико,
а это противоречит предположению, что z ? д®. Значит, z при-
принадлежит компактному множеству
Пусть Lj—компактное подмножество L, содержащееся в
координатной окрестности с координатами Z\, .'.., zn. Если
^^Z-ifl^v. то, полагая Fj=f'jjfN+v мы имеем
| Fj(z? - 1 | < (сг1с2)\ 7=1 ЛЛ
Докажем, что из этого следует неравенство
(§.3.3)
max
если
для достаточно больших v. Этим будет доказано, что никакая
точка z ? Z.J не может принадлежать компоненте Av, пересе-
пересекающей К; таким образом, доказательство будет закончено,
если подтвердится неравенство E.3.3).
Чтобы доказать E.3.3), заметим, что
>
Поскольку | fN+1(z-\-Z) I >c2(l+O(v-2)), .то J fN+1
>c^(l -)-О(v1)) > c^/2, если v велико. Далее
и разложение Тейлора дает-
170
V. Многообразия Штейна
где все линейные формы lj не обращаются в нуль одновремен-
одновременно, так как отображение Fj, J — 1 N, имеет на Z-j ранг п.
Значит, max | ^/(?)| ^-c|?f для некоторого с > 0. Так как
1<)<N
(Fj(z -\-Z)[Fj(z))v — 1 -\-vlj(Z)-\-O('v~2), то, суммируя при-
приведенные выше оценки, получаем
I - - - ••
max j
-2\\ ~^ V | 5- I 1 I 2
если v достаточно велико. Эти оценки равномерны по z ? Lv
Доказательство леммы закончено.
Теперь мы можем доказать главный результат этого раздела:
Теорема 5.3.9. Если Q — многообразие Штейна раз-
размерности п, то существует элемент /? Л (QJ"'*, опре-
определяющий взаимно однозначное регулярное собственное
отображение Q в С2п+1.
Доказательство. В соответствии с теоремой 5.3.6
существует регулярное взаимно однозначное отображение g
в С2я+1. Если мы сможем построить /^Л^J так, что
E.3.4) {z;
для всякого k, то теорема будет доказана. (Здесь мы пишем
\f(z)\ вместо maxj\ fj(z)\; \g(z)\ определяется аналогично.)
В самом деле, леммы 5.3.4 и 5.3.5, примененные к регуляр-
регулярному взаимно однозначному отображению (/, g), обеспечат
тогда существование матриц (ajk) с постоянными произвольно
малыми коэффициентами, таких, что
2я+1
определяют взаимно однозначное регулярное отображение /'
в пространство С n+1. Если Efc|a-ft|< 1, то
и поэтому /' будет собственным.
Для построения / заметим сначала, что условие (а) опре-
определения 5.1.3 гарантирует существование последовательности
5.3. Вложение многообразий Штейна
171
компактных подмножеств KjC Q, таких, что К} принадлежит
внутренности Kj+\ для всякого j, Kj = Kj и U^./ = Q-
По леммам 5.3.7 и 5.3.8 мы можем выбрать аналитические
полиэдры Pj порядка 2п, такие, что KjCzPjCKj+v Пусть
Mj = sup \g\.
Тогда E.3.4) следует из такого условия:
E.3.5) |/|>Л + А1*+1 в Рь+\\Рь для всякого k.
В самом деле, из E.3.5) вытекает, что | /1>&+| g | в Pk+{\ Р*.
поэтому Г/|>* + 1*1 в U^(PJ+1\Pj) = Q\Pk.
Сначала построим /г f2n ^ Л (Q), такие, что
E.3.6) max | /.¦ (г) | > k 4-
1< ] < 2л
на dPk для всякого k.
Для этого заметим, что по определению аналитического поли-
полиэдра порядка 2л можно найти (/г? А*;,)^ Л (QJ", такие,
что тах;|/г5|<1 в Pk-\, но max, | А* | = 1 на dPk. Если
мы положим fk = (akhkXnk, где ak немного больше 1,
я mk — достаточно большое целое число, то мы последова-
последовательно можем подобрать ak и /raft так, чтобы для всякого k
max
1/5
Pk-\>
k-i
max |
< j <2n
max
< / < 2л
г-i
на
Из этих условий вытекает, что ряды
/У =2/5. 7=1 2я.
сходятся к функциям из Л (Q), а из их построения сразу
следует E.3.6).
Теперь положим
G = {z; z?Pk+1\Pk, max | /Дг)|< k + Mk+1},
max
172
V. Многообразия Штейна
Из E.3.6) следует, что эти непересекающиеся множества ком-
компактны. Кроме того, А (й)-оболочка объединения Gk [) Нк со-
содержится в Kk+2 и может быть записана в виде Gk U Hk U Н'к>
где Н'ьсСРц+\ (на самом деле Н'к пустые, но это не суще-
существенно). Используя теорему 5.2.8 для приближения функции.
равной 0 на //* U Hk и равной некоторой большой константе
на Qk, функциями из A (Q), мы последовательно получаем
? A Q)
()
функции hk ? A (Q), такие, что
в Нк
ft = 1. 2,-
2
в G
*•
Так как Ok(zHk+lczHk+2 ..., то аналитическая функция
удовлетворяет неравенству | /2л+1 (z) | J> ? -f- Mft ^4, когда
,z? Gk. Значит, E.3.5) выполняется и доказательство закончено.
5.4. Ободочки голоморфности. В разд. 2.5 мы доказали,
что если Q—^связная область Рейнхарта, содержащая 0, или
связная трубчатая область, то существует область голоморф-
голоморфности Q того же самого типа, в которую можно продолжить
все функции, аналитические в Q. Здесь мы обсудим анало-
аналогичные результаты & общем случае. При этом нельзя огра-
ограничиваться изучением только открытых подмножеств С?, и
поэтому вместо областей голоморфности естественным образом
появляются многообразия Штейна. Всюду в этом разделе мы
требуем, чтвбы все многообразия были связными и счетными
в бесконечности, не упоминая об этом в каждой формули-
формулировке.
Будем говорить, что многообразие Q является голоморф-
голоморфным расширением другого многообразия Q, если
(i) Q — открытое подмножество Q;
A1) аналитическая структура Q индуцируется аналити-
аналитической структурой Q;
(Ш) для всякой функции и ? A (Q) можно найти и ? A (U),
такую, что и = и в Q. (Функция и однозначно опре-
определяется функцией к, потому что м связно.)
S.4. Оболочки голоморфности
173
Нас интересует построение многообразия - Штейна w, ко-
которое является голоморфным расширением данного "много-
"многообразия Q. Ясно,, что для этого Q должно удовлетворять
условиям (р) и (v) определения 5.1.3.
Лемма 5.4.1. Если Q — голоморфное расширение Q,
то для всякого компактного подмножества Кс%1 можно
найти компактное подмножество KcQ, такое, что
А(О)-оболочка К содержит К.
Доказательство. Пространство A(Q) является про-
пространством Фреше с топологией, определяемой .всеми полу-
полунормами вида
u—>sup\u\, u?A(Q),
к
где К —¦ компактное подмножество^, Q. В самом деле, эта
топология определяется счетным числом полунорм, поскольку Q
счетно в бесконечности, а полнота штекает из следствия 2.2.4.
Аналогично, А (Й) — тоже пространство Фреше. Далее, из
того, что й является голоморфным расширением Q, следует,
что отображение сужения
' A(Q)->A(Q)
является отображением „на" и что обратное отображение по
теореме Банаха непрерывно, так как исходное отображение
непрерывно и взаимно однозначно. Поэтому для каждого ком-
компактного множества К ей найдутся компактное множество
KcQ и константа С, такие, что
sup | «| <<; С sup ( а |, и?А(&).
Заменяя и на и*, извлекая корень &-й степени и полагая
k—yoo, мы заключаем, что можно взять С—1. Это й до-
доказывает лемму.
Теорема 5.4.2, Если & — многообразие Штейна и
& — его голоморфное расширение, то Ш — &.
Доказательство. Если Q=?Q, то для Q должна,
существовать граничная точка z ? й;_ в противном случае
174
V. Многообразия Штейна
множество й \ й было бы открытым, а значит, Q—не связным.
Пусть К —компактная окрестность точки z в Q. По лемме 5.4.1
пересечение К(]& принадлежит тогда А (О)-оболочке ком-
компактного подмножества й, но это невозможно, так как
Q — многообразие Штейна.
Многообразия Штейна максимальны не только в том
смысле, что они не имеют голоморфных расширений, но также
и в том, что если среди голоморфных расширений Q имеется
многообразие Штейна, то оно содержит все остальные голо-
голоморфные расширения Q.
Теорема 5.4.3. Пусть Qx и Q2— голоморфные рас-
расширения й. Предположим, что Qj — многообразие Штейна
и что функции из A (й2) дают локальные координаты
всюду в й2, разделяя точки Q2. Тогда существует ана-
аналитический изоморфизм ф многообразия й2 в ®v совпа-
совпадающий с тождественным отображением на Q; если
й2— многообразие Штейна, то это изоморфизм „на".
Итак, с точностью до изоморфизмов существует не более
одного голоморфного расширения Q, являющегося многообра-
многообразием Штейна. Когда такое расширение существует, мы назы-
называем его оболочкой голоморфности многообразия Q.
Доказательство теоремы 5.4.3. Если и?А(О),
то через EjU обозначим аналитическое продолжение и в Qj,
7=1,2. Для точек z2 ? й2 и гг ? Ql положим ф (z2) = zb если
E.4.1) {Ехи)(z{) = (Е2и)(z2) для всякой функции и?Л(й).
Так как аналитические функции разделяют точки как в Qj,
так и в Q2, то этим определяется взаимно однозначное ото-
отображение подмножества из й2 на подмножество из Qv Ото-
Отображение ф непрерывно и определено в замкнутом множестве.
В самом деле, пусть ф определено в точках z%, v = 1, 2
и пусть z%—>z2?Qr Тогда эти точки образуют компактное
подмножество /С2сй2, и, следовательно, л.о лемме 5.4.1 су-
существует компактное подмножество /(ей, A (Q2)-оболочка
которого содержит К2. Тогда, согласно E.4.1), ф(.г2)?Kq,
для всякого v и образуют компактное множество, поскольку
Qj — многообразие Штейна. Значит, последовательность ф (zf)
5.4. Оболочки голоморфности
175
имеет предельную точку
(Е,и) 0?,) = lim (ElU) (ф (z
V>oo
= lim (Е2и) (г*) = (Е2и) (z2),
V>oo
A (Q).
Таким образом, ,г1 = ф(,г2), поэтому предельная точка един-
единственна и последовательность ф(^|) сходится.
Далее заметим, что для любых двух точек zx ? Qx и z2 ? й2
можно выбрать fl /" ? A (Q) так, чтобы Е}р Е}/п
образовали локальную систему координат в точке Zj, j= I, 2.
В самом деле, для данного j'= 1 или 2 мы можем найти
f\ /« ? A (Q), образующие локальную систему координат
в Zj. Но если /* = axf\ -(- я2/§, то Е; (/*), ? = 1 п, —
координатная система в Zj, за исключением случая, когда
(flj, a2) удовлетворяют некоторому .алгебраическому уравнению
(равенство нулю якобиана относительно координатной системы),
' причем это уравнение выполняется не тождественно. Значит,
можно выбрать ах и а2 так, чтобы получилась координатная
система в обеих точках.
Пусть теперь М — множество всех z2 в области опреде-
'ления ф, в которых для всякой функции и ? А (й) все произ-
производные Е2и по E2fl, . . ., E2fn совпадают с производными
функции Ехи по i'l/1 Eifn в соответствующих точках
zl=z<f(z2), если /! f выбраны, как выше.. Очевидно,
что М — замкнутое множество. Но М также и открыто. Дей-
Действительно, уравнения (Elfk){Z,l) = (E2fk)(t>2), k = \ п,
определяют аналитический изоморфизм между связными окрест-
окрестностями точек z2 и Zj = ф (z2), если z2?M. Рассматривая
разложения в степенной ряд в локальных координатах Ejfk,
k = 1, . . ., п, мы находим, что из этих уравнений следует
E.4.1) в точках Z\ и ?2. Значит, М равно й2 и ф — анали-
аналитический изоморфизм й2 в Qj. Так как ф (Q2) — многообразие
Штейна, если Q2 — многообразие Штейна, то из теоремы 5.4.2
следует, что ф(й2) должно равняться Qj.
Приведем достаточное условие существования оболочки
голоморфности.
Определение 5.4.4. Комплексное многообразие й
размерности п называется римановой областью, если
176
V. Многообразия, Штейна
аналитические функции разделяют точки Q и если суще-
существует аналитическое отображение
которое всюду регулярно, т. е. локально является изо-
изоморфизмом.
Римановц области можно представлять себе лежащими
над С. Другая формулировка этих условий: существует п
функций (п—размерность многообразия), образующих ло-
локальную систему координат во всякой точке.
Главным результатом этого раадела является следующая
теорема Ока.
Теорема 5.4.5. Всякая риманова область Q обла-
обладает оболочкой голоморфности Q, и Q — тоже риманова
область. --
Сначала расширим Q, насколько это возможно, класси-
классическим методом, образуя разложения функций из A (Q) в сте-
степенные ряды, а затем используем результаты разд. 5.2 для
доказательства того, что полученное таким образом много-
многообразие будет многообразием Штейна.
Пусть z ? й. Сужение отображения <р на подходящую
окрестность z по условию является аналитическим изомор-
изоморфизмом на некоторую окрестность фB). Пусть л — обратное
отображение. Тогда можно определить^ производные даи (г)
для и ? A (Q) формулой
Ясно, что dau?A(Q). Для фиксированного z0 образуем раз-
разложение в степенной ряд
E.4.2)
1
Когда ? —(j>B) для некоторого z, достаточно близкого к z0,
этот ряд сходится и его сумма равна a (z). Пусть rZA —верх-
—верхняя грань всех г, таких, что для всякой функции и ? А (О)
этот степеннойг ряд сходится в \(p(z0)} -{-rD, где
5.4. Оболочки голоморфности
177
Положим DZc = {y(z0)}-{~rZt>D. Тогда ряд E.4.2) определяет
в DZo аналитическую функцию иг„ для всякой функции а, ана-
аналитической в Q. При этом для всякого а имеем
E.4.3)
0>Ч.=*>*
Из объединения Q [} DZ[> построим риманову область Qz .
Для этого отождествим z ? Q и ? ? Dw если и (z) = uZo (fc)
для всякой и ?Л(Й). Если и = ф^ (координате ф), то из этого
следует, что фу(г) —?,-, т, е. ф(г) = ?. Значит, отображе-
отображение ф продолжается на Qz<s, если на DZo его определить как
тождественное. Далее, если z ? Q отождествлена с ? ? Dz ,
то u(w) — uZ(i((f)(<w)) для всех да, близких" к г, потому что
и (w) =
-(f(z))adau(z)-L--
¦ Q) «*„ (Q -jjj- =
где второе равенство следует из E.4.3) и определения отно-
отношения эквивалентности. Теперь ясно, что QZo — хаусдорфово
пространство с наиболее сильной топологией, в которой есте-
естественные отображения Q и DZa ъ QZt непрерывны; существо-
ванне продолжения проекции ф на QZo превращает й^о в рима-
нову область. Отметим, что естественные отображения Q —>¦ QZo
и DZe -> Qz<> являются аналитическими изоморфизмами. Ото-
Отождествим Q с его образом; тогда й^о будет голоморфным
расширением Q.
Возьмем теперь плотное счетное подмножество z0, zlt ...
многообразия Q и образуем последовательно Q^, (Ого)г,
Эти многообразия, расширяясь, стремятся к римановой обла-
области Q', которая является голоморфным расширением Q. При-
Применим этот же метод к Q' для получения римановой области
Q" = (Q')' и т. д. Пусть U — предел этих римановых обла-
областей. Эта снова риманова область, являющаяся голоморфным
расширением Q, но теперь уже Q' = Q. В самом деле, если
для некоторого z?Q степенной ряд
E.4.4) УЛг— 4>(z)fdau(zLr,
J2 Зак. 86)
178
V. Многообразия Штейна
где и — аналитическое продолжение функции и?А(О), схо-
сходится в поликруге D~ = {ф(z))-j-rD для всякой u?A(Q),
то существует открытая окрестность D~ точки 2, которая
гомеоморфно отображается при помощи ф на D~. Действи-
Действительно, если z?Q , то по построению мы можем найти
Ь~ с й(л+1).
Для всякого z ? U обозначим через d (z) расстояние z до
границы Q (граничное расстояние), т. е. верхнюю грань
всех г, для которых существует окрестность D точки z, ото-
отображаемая при помощи ф гомеоморфно на {фB)} -\-rD. Со-
Согласно только что приведенным рассуждениям, г является
радиусом наибольшего поликруга, в котором E.4.4) сходится
для всякой u?A(Q). Поэтому можно повторить доказатель-
доказательства теорем 2.5.4 и 2.6.5 и установить; что —logd есть
функция, плюрисубгармоническая в & (d конечно и непрерывно
всюду, за исключением случая Q = С"). Таким образом, тео-
теорема 5.4.5 является следствием такой теоремы:
Теорема 5.4.6. Пусть Q—риманова область, такая,
что граничное расстояние d конечно и функция — log d
плюрисубгармонична в Q. Тогда Q—многообразие Штейна.
Отметим аналогию с теоремой 5.2.10, однако здесь
— logd не обязательно гладкая функция и множество
[z; —log<2(z) < с) не обязательно компактно. Комбинация
теоремы 5.1.6 и доказательства теоремы 2.6.7 показывает,
что функция —logd должна быть плюрисубгармонической,
если й — многообразие Штейна.
Доказательство теоремы 5.4.6. Пусть Qc =
= [z; z?Q, d(z)>c}. Мы утверждаем, что множества Qc
являются многообразиями Штейна, когда с > 0, и обладают
свойством Рунге относительно друг друга. (Ср. с теоре-
теоремой 4.3.3, которая, очевидно, распространяется ввиду след-
следствия 5.2.9 на многообразия Штейна.) Для этого мы должны
показать, что если 0<*<с и К — компактное подмноже-
подмножество йс, то Ка — компактное подмножество йс, и поэтому,
Ь
согласно теореме 4.3.3, не зависит от Ь,
^5.4. Оболочки голоморфности
179
Когда 0 < е < е0, множество К лежит в одной компо-
компоненте йе, которую мы обозначим Q'e. Фиксируем точку zQ ? Q'
и обозначим через p(z) расстояние от z0 до z в ?У относи-
относительно элемента длины \d(f(z)\. Множество {z; z?Qfe,
p(z)<C} относительно компактно для всякого С. Действи-
Действительно, если оно относительно компактно для одного зна-
значения С, то из леммы Бореля — Лебега следует, что оно
относительно компактно и тогда, когда С заменяется на С-)- е/2.
Выбрав функцию x?Co'(D) такой, что Л>0 и \%dX=l,
положим
где л—. аналитическое отображение, обратное ф, определен-
определенное в (фB)} -\-d(z) D и отображающее ф (z) в z. Ясно,
что Р6 € С°° (ЦД если б < е. Функция / = рол удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица с константой 1. Для w из окрест-
окрестности ф(z) имеем
р5 (я») = J / (« — б?) х @ d% (Q..
Если D — производная первого порядка, то, дифференцируя
под знаком интеграла. и выполняя замену переменных,
мы получаем
Dp6 (jiw) = J \Df) @ х ( ^j dX Q
Так как |D/|<C1, то | Dp6 (nw) | ^ 1 и всякая производ-
производная Dpu ограничена константой, зависящей только от 6.
Значит, можно подобрать константу С6 так, чтобы функция
была строго плюрисубгармонической в Qge' а так как р—р.^б,
то множества (z; z?Q'2&, p'6(z)<CC\ относительно компактны
в Q для всякого С.
Пусть теперь "р^ — регуляризация функции —logd, ана-
аналогично определенная в Qft. Из теоремы 2.6.3 следует, что
функция р6 — плюрисубгармоническая. Кроме того,
— log d < рь < — log (d — 6).
12*
180
V. Многообразия Штейна
Положим
= {z; г
—logBe)}.
Тогда О содержит й3е! так как 0 < б < е, и О содержится
в й2е- Пусть Зе < eg и Зе < Ь, и пусть О' — компонента О,
содержащая К. Положим в О'
Если 6 достаточно мало, то P(,(z)^.— 6 — log с в К, так
как Я" <= Q^. Таким образом, ^ <; 0 в К, но q (z) -v oo, если 2
приближается к граничной точке О'. Так как q— выпуклая
возрастающая функция от /?б, то она плюрисубгармонична.
Теперь рассмотрим функцию
¦ (г) = р? (г)+ >*(*).
Где % — положительный параметр. Если С — максимум p'b(z)
на К, то 1|зB)<С на /С и {г; ,г? О', iKz)< Y}«?0' Для
всякого у. В самом деле, р? < \ -)- А, в этом множестве,
следовательно, оно относительно компактно в Qr никакой
граничной точки О' оно содержать не может, поскольку
q'< yA- Значит, из теоремы 5.2.10 следует, что О' — много-
многообразие Штейна и.ф(.г)<;С в Ко1- Так как это справедливо
для всякого Я. > 0, то <7<! 0 в Ко„ откуда pb{z)<— log с
в Ко-- Из этого'следует, что — \ogd(z)< — logc в KOf,
так что Ко' является компактным подмножеством Qc, а по-
поскольку О' содержит все компоненты Qft, пересекающие К,
то и Ка г— компактное подмножество Qc. Значит, все Qc—
многообразия Штейна и все они по вложению обладают
свойством Рунге друг-относительно друга.
Пусть теперь К\, АГ2, — возрастающая последователь-
последовательность компактных подмножеств из Q, таких, что всякое ком-
компактное подмножество из Q содержится в одном из них.
Пусть К) С Qbi и К) является А (&ь Л-выпуклым, где ^-> 0 —
последовательность положительных чисел. Тогда всякую функ-
функцию, аналитическую в окрестности К/, можно равномерно
на Kj приблизить функцией, аналитической в &ь/+у Эту
функцию в свою очередь можно как угодно хорошо при-
5.5. Проблемы Кузена на многообразии Штейна
181
близить на K,+i функциями, аналитическими в Qb. 2, и т. д.
Значит, все функции, аналитические в окрестности Kj, можно
равномерно на Kj приблизить функциями, аналитическими
в Q. Из этого следует, что А (О)-оболочка всякого Kj
равна К у, следовательно, Q — многообразие Штейна.
5.5. Проблемы Кузена на многообразии Штейна.
Результаты разд. 5.2 позволяют легко распространить тео-
теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса на многообразия
Штейна. Эти результаты мы предпочитаем давать в форме,
аналогичной теореме 1.4.5.
Теорема 5.5.1. Пусть Q — многообразие Штейна и
Q,j — открытые подмножества e.Q, такие, что Q = U J° Qj.
Если gjk?A(Qj'[\Qd, У, ft = l. 2, .... и
E.5.1) gjk — — gkj' Sij-k-S)k + gki = ^
в Qt П Qj П ^* для всех I, j, k.
то найдутся функции gj?A(Qj), такие, что
E.5.2) gjk = gk — gj в Qj()Qk для всех J и k;
другими словами, первая проблема Кузена разрешима.
Доказательст в о. Мы должны просто повторить
доказательство теоремы 1.4.5. Выберем разбиение единицы и
определим, как' там, функции hk. Тогда hk ? C°°{Qft) и
tik-hj = gjk в QjnQA.
Из этого следует, что dhk = dhj в Qy f| ^*. поэтому суще-
существует форма ф ^ Сф_ 1) (й), такая, что ip = dhk в Qk для вся-
всякого k. Согласно следствию 5.5.6, уравнение ди = — if имеет
решение a?C°°(Q), и тогда функции gk = hk-\-u обладают
всеми требуемыми свойствами.
Рассмотрим теперь вторую проблему Кузена, аналог тео-
теоремы Вейерштрасса. При этом через Л*(О) мы обозначим
множество функций / из A (Q), которые всюду отличны
от 0, так что 1// тоже принадлежат. A (Q).
Теорема 5.5.2. Пусть Q — многообразие Штейна а
Qj—открытые подмножества ей, такие, что Q~ U^°Qy.
182
V. Многообразия 'Штейна
и если
Если gjk^A*(Qj[\Qk), j, k = \, 2,
E.5.3) gjkSk}=^ SijgjkSki=^
в Qt П Qj П Ц> для всех i, j, k,
mo найдутся gj?A*(Qy), такие, что
E.5.4)
= gllg
llgJ
для всех j и ft,
если только существуют нигде не обращающиеся в нуль
функции gn?C(Qk), удовлетворяющие условиям E.5.4).
Доказательство. Пусть Cj — нигде не равные нулю
функции из С (Qj), такие, что
е }„ = *„*?¦
Сначала предположим, что все множества Q;- односвязны.
Тогда можно написать Cj — еьК где bj ? С (Qj). Полагая
hjk~— bk — bp мы получаем gjk — exp hjk, поэтому hJk —
однозначно определенный непрерывный логарифм gjk и, сле-
следовательно, аналитическая функция в Qy П Q*>- Имеем
E.5.5) htj = - Н„; Н„ -+- hjk + Лм = 0 в Q{ П Оу П О*.
По теореме 5.5.1 существуют функции Aft? A(Q,k), такие, что
hjk = hk — hj в ОуПО*.
Полагая gk = exp hk ^ A* (Qft), мы тем самым решаем вторую
проблему Кузена E.5.4).
Опустим предположение об односвязности Qj. Пусть
{Qv}^_j—другое покрытие Q открытыми односвязными множе-
множествами Qv, такое, что для всякого v имеется целое положи-
положительное /v. для которого Qv с: Q*v. (To есть покрытие {Qv}
является измельчением покрытия {Ц}.) Пусть
S'^ = Sivlll в Q'vnO^.
Тогда g' удовлетворяют E.5.3). Если E.5.4) выполняется
для некоторых непрерывных нигде не равных нулю функ-
функций с,, то g' =с'с'~1, где с' = с. . Значит, из первой части
доказательства следует существование g' ? A*(Q'\, таких, что
5.5. Проблемы Кузена на многообразии Штейна 183
В частности, из этого следует, что в Q* П ^уПЦ» с: Q* П
П Q/v П О/ц
Здесь мы использовали E.5.3). Но это означает, что g'g, . =
= ?(,?; г в ^СП^п П O/F поэтому существует однозначно опре-
определенный элемент g. g А*(пь), такой, что gi^g'v gt t в Q, П й^
для всякого v. Таким образом, в il'v Г) й;- П ^й
для всех v, j, k. Это доказывает E.5.4).
Теорема 5.5.2 представляет собой частный случай прин-
принципа Ока: на многообразии Штейна, „как правило", можно
делать аналитически все то, что можно делать "непрерывно.
В разд. 7.4 мы сформулируем топологическое условие тео-
теоремы 5.5.2 более явно как условие обращения в нуль неко-
некоторого класса когомологий. В частности, это условие всегда
выполняется, если //2(Q, Z) = 0 (и только в этом случае).
Поэтому пример неразрешимости проблемы Кузена дает
(Многообразие Штейна, для которого эта группа не равна
нулю. Такой пример приведен после теоремы 4.2.7. Прямое
обсуждение неразрешимости проблемы Кузена можно найти
в работе Ока [3].
Естественно спросить, исчезнут ли топологические труд-
трудности, с которыми мы столкнулись в теореме 5.5.2, если
вторую проблему Кузена сформулировать следующим обра-
образом (ср. с теоремой 1.4.3'):
для данного открытого покрытия {Q^} многообра-
многообразия Q и функций f[? A (Qt), таких, что fjlfk ? A*(Qj f] Qk)
для всех J и ft, найти функцию f ? A (Q), такую, что
flfj?A*(Qj) для всякого j.
Если положить gjb — fjlfk в О/Г) Oft и gj=fffj, то это
сведется к проблеме Кузена, рассматриваемой в теореме 5.5.2.
(См. также доказательство теоремы 1.4.3' с помощью тео-
теоремы 1.4.5.) Однако a priori не очевидно, что для произволь-
произвольных gjk, удовлетворяющих E.5.3), можно найти fj?A(Qj),
такие, что gjk — fjlfii- Таким образом, сформулированная
184
V. Многообразия Штейна
выше проблема кажется менее общей, чем рассмотренная
в теореме 5.5.2. Тем не менее эти два утверждения экви-
эквивалентны, потому что справедлива следующая
Теорема 5.5.3. Пусть Qj, у = 1, 2 —откры-
—открытое покрытие многообразия Штейна Q, и пусть
gjk ? A* (Qj П Qft) удовлетворяют E.5.3). Тогда можно найти
функции / ¦ ? A (QX не равные О тождественно, такие, что
E.5.6) f) = Sjkfk 8 &/ПЙ* для всех j и k.
Заметим, что мы не утверждаем, что /;?Л*(О^), и по-
потому сформулированная теорема не решает вторую проблему
Кузена, а только утверждает эквивалентность двух различных
способов ее постановки.
Доказательство теоремы 5.5.3 будет дано в следующем
разделе в несколько более общем контексте.
Б.6. Теоремы существования и теоремы о приближе-
приближении для сечений аналитического векторного расслоения.
Пусть Q — комплексное многообразие. Аналитическим век-
векторным расслоением В над Q с А/-мерным слоем называется
аналитическое многообразие В вместе с
- (i) аналитическим отображением p:B-^>Q, называемым
проекцией;
(и) структурой векторного пространства в каждом слое
Вж = р-Чг). : ..
такими, что В локально изоморфно произведению некоторого
открытого подмножества из Q и CN. Это означает, что для
всякого z ? Q существуют открытая окрестность со и аналити-
аналитическое отображение ф множества р~1(а>) на шХС", такое,
что ф является аналитическим и для всякого z? со преобра-
преобразование <р отображает Вг на [z] X C^N^ причем композиция
линейна, и поэтому представляет собой линейный изоморфизм.
Пусть .{Qj^.j — открытое покрытие Q, такое, что для
всякого / существует аналитическое отображение фг мно-
множества р'1^) на Q^ X CN> обладающее перечисленными
рыше свойствами. Тогда,
5.6. Теоремы существования
185
можно рассматривать к-ак аналитическое отображение Q; П &
в группу GL (Л/, С) обратимых (N X Л^)-матриц с комплекс-
комплексными коэффициентами, причем
E.6.1)
тождественно в
тождественно в
Система таких (Л/ X ЛА)-матриц gtJ с- коэффициентами, ана-
аналитическими в Qtf)Qj, называется системой матриц перехода.
Напомним, что данные второй проблемы Кузена являются
в точности системой функций перехода.
Расслоение В можно восстановить по только что опре-
определенной системе матриц перехода. В самом деле, пусть
В' — множество всех (/, z, ¦до) ? / X ^ X С^, таких, что z ? !2г.
Мы скажем, что два элемента (/, z, w) и (/', z', ¦до') из В'
эквивалентны, если 2~= z' и w' = gri(z)w. To, что это
отношение эквивалентности, следует из E.6.1). Легко про-
проверить, что~ пространство классов эквивалентности с проек-
проекцией, индуцированной отображением В' ^ ('. z> Щ -* z, есть
аналитическое векторное расслоение для произвольной си-
<стемы матриц перехода. Если {gtj} определяется при помощи
данного аналитического векторного расслоения, то указанная
конструкция приводит к изоморфному расслоению.
Если со — открытое подмножество Q, то аналитическим
сечением (сечением класса С°°) В над со называется аналити-
аналитическое (соответственно класса С°°) отображение
со Э г-> и B) 6 В, такое, что p(u(z)) = z.
Если [йг] —покрытие, тахое же, как выше, то это означает,
что фг о и = ut является аналитическим (или класса С°°) ото-
отображением соПЙ^ в J1N, причем
E.6.2) ul = gi]u) в соПЦпЯг
Обратно,, всякая система аналитических (или класса С00) ото-
отображений «, множества ©ПЙг в С^, обладающих этими свой-
свойствами, соответствует в точности одному аналитическому (или
класса С°°) сечению В над со. Поэтому доказать тео-
теорему 5.5.3—это значит построить нетривиальное анали-
186
V. Многообразия Штейна
тическое сечение любого аналитического линейного рас-
расслоения над многообразием Штейна.
Пространство локально квадратично интегрируемых сече-
сечений В над со можно определить как систему наборов из N
локально квадратично интегрируемых функций ut в ©ПЦ.
удовлетворяющих E.6.2). Аналогично можно определить
сечения — распределения. Мы будем обозначать через Л (со, В),
С°°((о, В), Z-2(со, В, loc), Ws(ш, В, 1ос), ... определенные
таким образом пространства сечений. Заметим, что эти опре-
определения не зависят от выбора покрытия.
Для того чтобы перенести на этот случай ?Лметоды, мы
должны также определить соответствующие пространства
форм, например Cj°Pt ?) (со, В). Это мы сделаем с помощью
того же покрытия [Щ}. Определить элемент и ? Cj°Pi ?)(со, В) —
это значит для всякого / указать набор N форм иь ? C^Pi ?)(со п Ц),
таких, что
Ui^gijUj в ©ПЦПЙу
(Различные покрытия дают изоморфные пространства.) Так
как gi, — аналитическое отображение, то из этого следует,
что
таким образом, наборы N форм duf типа (р, q -\- 1) опре-
определяют элемент из C^,?+i)(co, В). Аналогично определяется
оператор д на 3Sf{Pi q) (со, В).
После этого мы должны определить эрмитовы нормы
В-значных форм типа (р, q). Для этого сначала выберем,
как в разд. 5.2, эрмитову метрику класса С°° в Q, такую,
что выполняется E.2.1). Затем выберем эрмитову метрику
класса С°° в В, т. е, бесконечно дифференцируемую форму
в В, сужение которой на всякий слой Вг является поло-
положительно определенной эрмитовой симметрической формой.
Это можно сделать с помощью разбиения единицы. В ок-
окрестности U любой точки из Q процесс ортогонализации
Грама — Шмидта позволяет построить сечения bx bN
класса С00 расслоения В, такие, что bx (z) bN (z) обра-
образуют ортонормированный базис в Вг для всякого z?U.
Любую В-значную форму и типа (р, q) в U можно тогда
5.6. Теоремы существования
187
одним и только одними способом представить в виде суммы
где uv — скалярная форма типа (р, q) в U.
Мы полагаем
N
\ и г =
r/V 12
Это определение, конечно, не зависит от выбора базиса bv.
Пространства L(p< ?)(Q, В, ср) определяются теперь, как
в разд. 5.2; соответственно определяются и операторы Т a S
из L2(p,q)(Q.B, ср) в z?,i?+1)(Q, В, ф) и из l}(Ptq+1)(u, В, ср)
в Z,(/?i?+2)(Q, В, ф). Так как по определению, данному выше,
I d(r\vu) — T]v ди р = | driv Л и Р < \dr\v P • | и |2,
то, применяя доказательство леммы 5.2.1 с чисто формаль-
формальными изменениями, можно показать, что D(/?i я+ц (Q, В, ср)
является плотным подмножеством Ds fl Dt* относительно
нормы графика. Более того,
N
где точки заменяют члены, не содержащие дифференциро-
дифференцирований U. ЕСЛИ /6С(Р,G + 1)((У. В, ф) И МЫ ПОЛОЖИМ
N
yv
то (J*f)v, за исключением членов, не содержащих произ-
производных, будет выражаться равенством E.2.3) с /v вместо /.
Применяя E.2.10) к /v и складывая результаты, полученные
для v=l, .... N, мы заключаем, что E.2.10) имеет место
для / ? D(P% ?+1) (U, В). Тогда повторение доказательства
теоремы 5.2.3 приводит к E.2.12), а отсюда, как и прежде,
следуют теоремы существования и приближения:
Теорема 5.6.1. Пусть п — многообразие Штейна а
В — аналитическое векторное расслоение над Q. Тогда
188
V. Многообразия Штейна
уравнение ди = / имеет решение u?W*?q)(Q, В) для вся-"
кой формы f?WsiPill+1)(Q, В), такой, что If = 0. Всякое
решение уравнения du — f обладает этим свойством,
когда q — O.
. Теорема 5.6.2. Пусть Q — многообразие Штейна и
q/—строго плюрисубгармоническая функция в Q, такая,
что множество Kc=[z; z?Q, (p(z)<c} компактно для
всякого действительного числа с. Пусть В — аналитиче-
аналитическое векторное расслоение над Q. Тогда всякое анали-
аналитическое сечение В над окрестностью множества Ко
можно равномерно приблизить (в смысле эрмитовой
метрики на В) сечениями, принадлежащими A (Q, В).
Повторять доказательства нет необходимости.
Так как всякая точка многообразия Штейна образует
голоморфно выпуклое множество, то из теорем 5.1.6 и 5.6.2
следует, что для всяких го 6^ и Ьо?В2<1 можно найти сечение
и?Л(О, В), такое, что u(z0) сколь угодно близко к Ьо.
Значит, можно найти N аналитических сечений и\ uN
расслоения В над О, таких, что в1 (z0). . . <, uN (z^) линейно
независимы, откуда вытекает
Следствие 5.6.3. Пусть В — векторное расслоение,
над многообразием Штейна Q. Для любых г0?О и боб^г,
можно найти аналитическое ч сечение и расслоения В
над Q, такое, что и (z0) = b0.
В частности, отсюда следует, что расслоение, опреде-
определяемое функциями перехода во второй проблеме Кузена,
имеет нетривиальное сечение, т.е. мы доказали теорему 5.5.3.
5.7. Почти комплексные многообразия. Пусть Q—много-
Q—многообразие класса С00 размерности 2л, Будем говорить, что Q
обладает лочти комплексной структурой, если заданы два
отображения Р0I и Pli0 пространства С^)(О) комплексно-
значных дифференциальных форм первого порядка в себя,
такие, что
(i) - Ро>! и Р1>0 линейны над кольцом C°°(Q);
(И) Рол и Pi_0 дополнительные проекции в том смы-
смысле., что Ро i + Р] о — тождественное отображение.
5.7. Почти комплексные многообразия
189
(Ш) Ро. j и Р1<0 являются комплексно сопряженными
в том смысле, что
, Из условия @ вытекает, что POi j и Рх 0 индуцируют
линейные отображения на комплексифицированн'ом кокасатель-
ном пространстве в каждой точке Q. Таким образом, эти
операторы можно определить для дифференциальных форм
над открытыми подмножествами в Q. Из условия (Н) следует,
что Ро, 1 = Ро, ь Р\, о == Р\, о и Pi, оРо, 1 = 0. Ввиду (ш) опе-
оператор ы POi j и Pj_ 0 проектируют комплексифицированное
кокасательное пространство в каждой точке на два ком-
комплексно сопряженных я-мерных подпространства.
Любая комплексная структура в Q определяет естествен-
естественным образом почти комплексную структуру, в которой Рг 0/
и Ро, i/ — части /, натянутые соответственно на дифферен-
дифференциалы аналитических функций и их комплексно сопряженных.
Уравнения Коши — Римана можно тогда записать в виде
Ро> 1 du = 0, поэтому пространство (локально) аналитических
функций определяется отображением Ро> v Значит, имеется
самое большее одна комплексная структура, определяющая
данную почти комплексную структуру.
Для всякой почти комплексной структуры мы будем писать
да == Ро> j du, если и — дифференцируемая функция. Почти
комплексная структура определяется аналитической структурой
тогда и только тогда, когда для всякой точки x^Q суще-
существуют функции и1 и" класса С°° в окрестности х,
такие, что ди1 = 0 для всякого J и du1 du" линейно
независимы в х. Таким образом, вопрос о том, когда почти
комплексная структура определяется аналитической структурой,
является чисто локальным, и мы можем считать, что QcR2".
Более того, мы можем предполагать, что существуют я форм
со1 а" степени .1. таких, что POjl(d'==0 (мы говорим,
что о/—форма типа A, 0), как и в аналитическом случае),
которые линейно независимы в каждой точке Q. В самом
деле, мы можем выбрать формы /', ..., /" так, чтобы
Pi, о/1 Pi.of" были линейно независимыми в любой
данной точке О, атогда формы w/ = Pli 0/J обладают требуемым
190
V. Многообразия Штейна
свойством в некоторой окрестности. Поэтому, как и в
разд. 5.2, можно считать
E.7.1) du =
ди
ди — I
определением линейных дифференциальных операторов
и д/дъз^ первого порядка. Уравнение ди = 0 означает, что
ди/д<?>' = 0 для всех j. Из E.7.1) следует, что все диф-
дифференциальные операторы первого порядка являются линей-
линейными комбинациями операторов д/да^ и d/dcoA Используя
этот факт, можно расширить лемму 4.2.4. Мы полагаем
Лемма 5.7.1. Пусть О — открытое множество в R2",
u?L2(Q) имеет компактный носитель в Q и ди/ды* ? L2(Q),
у = 1 п. Тогда и ? Wl (Q). Если К — компактное
подмножество Q, то
E.7.2) 21 U>4.<c Ni»+2i 5г •
ЮК1- ¦ v 1 " 1г>
когда supp и а К.
Доказательство. Докажем сначала E.7.2), когда
и 6 ^0° (Ю- Обозначим через бу оператор, сопряженный
к д/да*. Тогда
Так как 6j-\-d!da>J имеет порядок 0, то дифференциальный
оператор в последнем интеграле имеет порядок 1, поэтому
мы получим
[а |-
если вспомним, что все оператора первого порядка являются
линейными комбинациями операторов д\д^ и д\д&'. Последний
в этой оценке можно заменить на
5.7. Почти комплексные многообразия
191
Это дает E.7.2), когда u?Cq'(K). Если теперь и удовле-
удовлетворяет только предположениям леммы, то из леммы 5.2.2
с использованными там обозначениями следует, что
dJEu . ди _ ,2
—=г Je —=гт —>0 в Z/ при е—>0.
Значит, применение E.7.2) к JRu — J6u показывает, что DaJeu
сходятся в L2 при е—>0; тем самым доказывается, что
Dau ^ L2, когда | а | -^ 1.
Лемма 5.7.2. Пусть Q — открытое множество в R2"
и u?L2(Q, loc). Если ди/д®1 ?WS(Q, loc), /= 1 и, для
некоторого целого положительного s, то и ?WSil (Q,, loc).
Если К — компактное множество в О u Q'
ность К, то
E.7.3)
— окрест-
гое С не зависит от и.
Это утверждение выводится из леммы 5.7.1 при помощи
рассуждений, использованных в части (а) доказательства тео-
теоремы 4.2.5; поэтому мы оставляем его доказательство в каче-
качестве упражнения. Для дальнейших ссылок заметим, что по
лемме Соболева (см. доказательство следствия 4.2.6) функ-
функция и имеет непрерывные производные порядка 5 -f-1 — In.
Полагая s = 2n в E.7.3), мы получаем оценку
E.7.4)
ICE |
p
/С
Ъ Zi j Ра ж
Выясним теперь, когда почти комплексная структура опре-
определяется аналитической структурой. Напомним, что формы /
степени 1, для которых Ро xf = 0 (соответственно Plt 0/ = 0)
называются формами типа A, 0) (соответственно @, 1)). Так
192
V. Многообразия Штейна
как любую форму степени 1 можно представить единственным
образом в виде суммы форм типа A,0) и @, 1), то форму
степени р можно одним и только одним способом записать
в виде суммы форм типа (a, b), a^-0, b^-0, a-\-b = p,
где под формой типа (с, Ь) мы подразумеваем линейную
комбинацию внешних произведений а форм типа A,0) и b
форм типа @, 1). Вообще говоря, дифференциал df формы /
типа (р, q) может иметь компоненты типа (а, Ь) для всех а
и Ь, таких, -что a-\-b = p-\-q-\-\. Однако если почти ком-
комплексная структура определяется аналитической структурой,
то, как мы знаем, df есть сумма формы типа (р-\- 1, q) и
формы типа (р, <7+1). Поэтому условие следующего опре-
определения является необходимым для того, чтобы почти ком-
комплексная структура определялась аналитической.
Определение 5.7.3. Почти комплексная структура
называется разрешимой, если df не имеет компонент
типа B, 0) для форм f типа @, 1).
Если / — форма типа A, 0), то из этого следует, что df
не имеет ни одной компоненты типа B, 0), т-. е. df не со-
содержит ни одной компоненты типа @, 2). Значит, из опреде-
определения следует, что если / — типа (р, q), то df — сумма
формы df типа {р -\-1, а) и другой формы df типа (р, q-\-l).
В самом деле, достаточно проверить это для формы
/ = gi Л • • • Л gP Л Ai Л • • ¦ Л А,.
где 4fi. • • -1 gPr~ типа A, О) и hv . . ., _hq —типа @, 1), после
чего утверждение следует из определения 5.7.3 и сделан-
сделанного вслед за ним замечания. Имея теперь определенные
в общем случае операторы д и д, мы заключаем, что спра-
справедлива формула B.1.4), т. е.
Таким образом, для разрешимой почти комплексной струк-
структуры мы имеем тот же формализм, что и для структуры
аналитической.
Теорема 5.7.4. Всякая разрешимая почти комплекс'
ная структура определяется единственной аналитической
структурой. .
Доказательство. Единственноеть очевидна, как ука-
указывалось выше. Поэтому остается лишь показать, что для
5.7. Почти комплексные Многообразия
193
любого x?Q существуют я функций и1, ..,, и" класса Ст
в окрестности х, таких, что ди — 0 и дифференциалы
da1 du" линейно независимы в л:. В этом доказатель-
доказательстве мы можем считать, что QcR2", лг = О и существуют
формы со1 со", подобные рассмотренным выше, типа A, 0)
и линейно независимые в каждой точке Q. Теперь читатель
должен вспомнить, что. в разд. 5.2 мы уже работали с та-
такими формами, соответствующими аналитической структуре.
Однако тот факт, что формы со' были получены из аналитической
структуры, использовался только в доказательстве формулы
E.2.7*), которая следовала из тождества ddw-^-ddw = 0. Но
это верно и в рвзрешимом почти комплексном случае, поэтому
доказательства теорем* 5«2.3 и 5.2.4 остаются верными. Чтобы
воспользоваться этим фактом, мы должны найти функцию ф,
„плюрисубгармоническую относительно почти комплексной
структуры". Для этого заметим, что если ф (х) = | jc j2, то
в окрестности 0 мы имеем
2я - 2я
Ш 1 v-1 ft Ш
выражение > 0, когда t Ф 0, поскольку операторы
Линейно независимы. Для Подходящего 6 > 0 цйр У =
= {х; | х | < 6} принадлежит Q и в не» ^^tji^ —равномерно
положительно определенная форма, так что l^d2 — ф) удовле-
удовлетворяет предположениям теоремы 5.2.4 в Q'. Значит, а каче-
качестве ф мы можем взять выпуклую возрастающую функцию от
l/^d2 — гр), такую, что для всякой формы /'типа @, Ц в Q',
для которой <}/ = 0 и |]/J^<oo, существует функция и,
удовлетворяющая условиям du=.f и. . . \ ;
E-7.5) ' ' |1«||ф<||,/1(Ф-
Воспользоваюайсь этим, выберем v. так, чтобы форма
fz=sdv была близка к 0, а затем выберем и так, чтобы
ди = / и и была Столь же малой, что и /. Тогда д (и—v) = 0,
а разность и — т> не должна равняться 0, если / намного
меньше, чем v. Пр*г этом мы можем получить только хоро-
хорошее приближенное решение исходного уравнения для д, пот
этому мы поступиц следующим образом.
13 Зак. 861
194
V. Многообразия Штейна
Пусть и1, .. ., и"— линейные формы, такие, что da' — co'
в 0. Обозначим отображение х-+ех, е > 0, через яе и рас-
рассмотрим почти комплексную структуру, определенную фор-
формами л*©1, .... л*(о" в Q'. Все, что мы доказали выше,
8 ?
справедливо равномерно по е, когда 0<е< 1; так как
da1 — л*со-'/е при е->0 есть О(е) вместе со всеми своими
производными, то мы заключаем, что
Da деи = О (е) для всех а,
если де — оператор д относительно почти комплексной струк-
структуры, определенной формами я*^. Значит, из E.7.5) следует,
что можно найти v?, такие, что дгу? = деи1 в Q' иЦоЛ] =О(е).
Ввиду E.7.4) из этого следует, что производные v^ в 0
равны О (е). Поэтому дифференциалы функций U1 = ul — v^
линейно независимы в 0, если е достаточно мало, а так как
djj1 = 0, то функции U1 (х/г) являются решениями исходного
уравнения для д.
Примечания. Класс многообразий, которые теперь называются
многообразиями Штейна, был первоначально введен Штейном [1].
В семинарах Картяна [1] была развита теория когерентных анали-
аналитических пучков на многообразиях Штейна (см. гл. VII). Она со-
содержит результаты разд. 5.2, 5.5 и 5.6, за исключением решения
проблемы Леви (теорема 5.2.10), принадлежащего Грауэрту [1]. По
поводу источника методов, которые мы использовали, см. примеча-
примечание к гл. IV. Их применение не ограничивается многообразиями
Штейна; действительно, в работе Хёрмандера [1] они использова-
использовались для доказательства более общих результатов, принадлежащих
Андреотти и Грауэрту [1]. Теорема вложения в разд. 5.3 принадле-
принадлежит Бишопу [1] и Нарасимхаиу [1]. Мы в основном следовали Би-
Бишопу, который доказал даже, что имеется собственное отображение
в О+1. Результаты разд. 5.4 принадлежат Ока [5]. Построение
оболочки голоморфности можно выполнить несколько более элегант-
элегантно с помощью понятия пучка, которое мы введем в гл. VII (см.
Картан [1] и Мальгранж [1]). Однако классическая конструкция,
которую мы привели, в основном совпадает с этим построением. Мы
отсылаем к работе Бишопа [2] за другим доказательством того, что
Оболочка голоморфности является многообразием Штейна; это до-
доказательство не опирается на решение проблемы Леви. Результаты
о разрешимых почти комплексных структурах, доказанные в разд. 5.7,
принадлежат Ньюлендеру и Ниренбергу [1], ио наше доказа-
доказательство совпадает по существу с доказательством Кона [1]. По по-
поводу применений к возмущениям аналитических структур мы отсы-
отсылаем к недавней обзорной статье Ниренберга [1].
Глава VI
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Доказав подготовительную теорему Вейерштрасса, мы иссле-
исследуем свойства делимости в кольце ростков аналитических функций
в точке и приведем результаты, связанные с тем, что это кольцо
нётерово. Все результаты служат подготовкой к теории когерентных
аналитических пучков, излагаемой в гл. VII.
6.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса. В этой
главе мы займемся локальным изучением аналитических функ-
функций в С, действуя индукцией по п. Основным моментом
в этих рассуждениях является распространение и усиление
следствия 1.2.10 на многомерный случай.
Теорема 6.1.1. (Подготовительная теорема Вейер-
.штрасса.) Пусть /— аналитическая функция в окрест-
окрестности со начала координат в С". Предположим, что
функция / @, zn^zP аналитична и Ф 0 в 0. Тогда най-
найдется поликруг А с: со, такой, что всякую функцию g,
аналитическую и ограниченную в Д, можно записать в виде
F.1-1) g=qf + r,
где q и г аналитичны в А, г —многочлен от г„ степени < р
(с коэффициентами, зависящими от z' — {zx, ..., zn^{)) и
F.1.2)
sup |?|<C sup \g\,
А Д
причем С не зависит от g. Представление F.1.1) един-
единственно. Коэффициенты разложений q и г в степенные
ряды являются конечными линейными комбинациями
коэффициентов разложения g.
Доказательство. Условие относительно/ означает,
что можно написать
13
196
VL Лекальные свойства аналитических функций
где f\ и /2 аналитичны в окрестности 0, /2@) ф О и
/, —- многйчлен от zn степени < р, обращающийся в нуль
при г'е=0. Так как 1//2 аналитична в окрестности 0, то
можно ввести А = /1/^1 и s = f2q. Тогда А @, гя)==0
тождественно, и наша задача—найти такое s. что
F.1.3)
Положим
[г; |
=1 п),
где R. столь малы, что fv /2 и /2 аналитичны и огра-
ограничены в Д, и положим с = supa | А |. Заметим, что так как
А @, zn) = 0, то для фиксированного Rn мы можем выбрать
Ri, .... Ra-\ столь малыми, что с будет так мало, как мы
захотим.
Теперь решим F.1.3) последовательными приближениями.
Для этого положим" s0 = 0 и определим sk, rk для к ^> 1
по рекуррентной формуле
/ F-1-4) *="*?** +*»*-!+'*•
гд? гл — многочлен от zn степени < р. Заметим, что если ф
аналитична в Д и
где фг — многочлен от zn степени < р, а ф, — аналитиче-
аналитическая функция, то мы должны иметь
в Д, то из неравенства Коши следует, что
- zfA,
Если
ибо каждый член суммы ограничен по модулю числом М.
Значит, | ф1 (z) z?\ •< {р Н- 1) М, и лемма Шварца дает оценку
6.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса
197
Таким образом, рекуррентная формула (S.1.4) однозначно
определяет две последовательности sk и тк, а поскольку
гЛ E*+1 — 5ft) -f rft+, — ГА = — A Eft — 5ft_i),
мы получаем, учитывая условие | А | ¦<] с, оценку
4+1 — Sk |< С (р + 1) /?" Р SUp | 5Й — Sft_i |.
д
Если А выбрано так, что с(р-\- 1) < /??/2, то
suP|5ft+i—** 1-^2" sup [S| j.
Значит,
существует, сходимость в Д равномерна и
Так как сходимость последовательности гк следует теперь
из F.1.4) и так как F.1.4) сходится к F.1.3) при k—>oo,
то мы получили решение уравнения F.1.3). Это решение
единственно; в самом деле, если найдется решение одно-
однородного уравнения
такое, что s и г ограничены в Д и г — многочлен от zn
степени < р, то
откуда вытекает, что 5 = 0.
Последнее утверждение следует из того, что sk+1 — sk
и гА+1 — гк имеют нуль порядка k в начале координат.
Следствие 6.1.2. Если / удовлетворяет условиям
теоремы 6:1.1, то ее можно записать одним и только
одним способом в виде f = hW, где h и W аналитичны1
в окрестности О, А @)^=0 a W — многочлен Вейер-
штрасса, т. е.
198
VI. Локальные свойства аналитических функций
где uj — аналитические функции в окрестности О, рав-
равные нулю при г' = О.
Доказательство. Это утверждение — частный случай
теоремы 6,1.1, когда g(z) = zpn. Заметим, что, обратно, вся-
всякая функция /, которую можно представить, как в этом
следствии, должна удовлетворять предположениям теоремы
6.1.1.
Для дальнейших ссылок мы приведем две леммы, свя-
связывающие делимость многочленов Вейерштрасса в алгебраи-
алгебраическом и аналитическом смысле.
Лемма 6.1.3. Пусть F, О, W — функции, аналити-
аналитические в окрестности 0. Если F = GW, F— многочлен
по zn и W — многочлен Вейерштрасса по zn, то Q —
многочлен по zn.
Доказательство. Так как старший коэффициент W
как многочлена по zn равен 1, мы можем применить алгеб-
алгебраический алгоритм деления и получить
где И — многочлен относительно zn степени меньшей, чем W.
Но тогда, согласно единственности, установленной в под-
подготовительной теореме Вейерштрасса, О, = О иЯ = 0, а. так
как О!—многочлен, то отсюда и следует лемма.
Заметим, что лемма может быть неверна, если W — про-
произвольный многочлен по zn\ например, если W — многочлен,
не равный нулю в 0, мы можем взять F=l и G = ljW.
Лемма 6.1.4. Пусть F, G, W — функции, аналити-
аналитические в окрестности 0, W — многочлен Вейерштрасса,
F и G—многочлены по zn. Если W — FG, то F и G —
также многочлены Вейерштрасса с точностью до мно-
множителя h(z'), для которого п(О)ФО.
Доказательство. . Пусть р — степень W, r us —
степени F и О. Тогда p=r-\-s и
fn = W @, zn) = F @, zn) ¦ G @, zn).
Следовательно, F@, zn)jzTn и G@, zn)jzsn — константы Ф 0,
flo это и означает, что старшие коэффициенты F и G не
6.2. Разложение на множители в кольце Ао
199
равны нулю, когда z' = 0, а все остальные коэффициенты
равны нулю при z' — 0.
Определение 6.1.5. Если f—аналитическая функция
в окрестности 0 и если /@, zn) не равна нулю тож-
дественно, мы будем говорить, что / нормирована в «а-
правлении zn.
В этой терминологии условие теоремы 6.1.1 означает,
что / нормирована в направлении zn; целое р определяется,
конечно, однозначно. Очевидно, что любую функцию /, ие
равную 0 тождественно, линейной заменой переменных можно
всегда нормировать в направлении zn; необходимо только
выбрать ось г„ так, чтобы она не была нулем всякой одно-
однородной части разложения Тейлора для / в начале координат.
6.2. Разложение на множители в кольце Ао ростков
аналитических функций. Уже в разд. 1.4 мы сформули-
сформулировали следующее определение для случая одного комплекс-
нрго переменного:
Определение 6.2.1. Если z?C" (или, более общо,
z принадлежит некоторому комплексному многообразию),
то ми обозначаем через Аг(С), или, короче, через Аг мно-
множество классов эквивалентности функций, аналитиче-
аналитических в некоторой окрестности z, no отношению экви-
эквивалентности: f~g, если f — g в некоторой окрестности z.
Если f аналитична в окрестности z, мы обозначаем через /2
или yz(J) класс вычетов f в Az, который называется
ростком f в точке z.
При изучении Аг без ограничения общности можно счи-
считать, что z = 0. Ясно, что Ао — кольцо с единицей без де-
делителей нуля. Его элементы можно отождествить с множе-
множеством всех степенных рядов
сходящихся в некоторой окрестности 0, т. е. с множеством
всех строк [аа\, таких, что 2lflal'' <^°° для некоторого
г > 0. Если f^A0, то определено значение /@) в 0; оно
равно постоянному члену разложения / в степенной ряд.
Ясно, что / имеет обратный элемент в Ао тогда и только
тогда, когда /@)^=0. Это означает, что необратимые
200
VI. Локальные свойства аналитических функций
элементы в Ло образуют идеал (который, таким образом,
содержит все собственные идеалы).
Множество обратимых элементов из Ло есть множество
ростков функций, которые не равны нулю в О. Если / ? Ло
и во всяком разложении f = gh, где g, А?Л0, один из
сомножителей обязательно является обратимым, то элемент /
называется неприводимым.
Теорема 6.2.2. Кольцо Ао является областью це-
целостности с однозначным разложением на множители,
tn. e. всякий ненулевой элемент из Ао можно одним
и только одним способом с точностью до обратимых
множителей и порядка, в котором множители распо-
расположены, записать в виде произведения неприводимых со-
сомножителей.
Доказательство. Как известно из алгебры, доста-
достаточно доказать следующие два факта (см. Зарисский и Са-
Самюэль [1], стр. 34):
(а) Если элемент / неприводим и является делителем gh,
. то / делит либо g, либо п.
', (Ь) Если в последовательности fv /2, . .. элементов Ло
. каждый является делителем предыдущего, то ftt+i
отличается от fk при достаточно большом k только
обратимым множителем.
Действительно, из (Ь) вытекает, что / можно разложить
в произведение неприводимых сомножителей, а из (а) — чт<г
это разложение единственно.
Для доказательства теоремы предположим, что она уже
доказана для п—1 переменных, и напишем Ло=-4О(СЯ~1)-
Доказывая (а), мы можем предполагать также, ввиду след-
следствия 6.1.2, что / — росток многочлена Вейерштрасса W
(если потребуется, мы перед применением следствия 6.1.2
•язмещш координаты). В соответствии с теоремой 6.1.1 мы
можем также заменить g и h многочленами g' и п' из AfQ [га]ъ
сравнимыми сg и А по модулю /, причем / делит g'ti в Ao[zn%
согласно лемме 6.1,3. По лемме 6.1.4 элемент/ неприводим
в A(f\za]. Из предположения индукции следует, что Ao[zn]—
область целостности с однозначным разложением на мно-
6.2. Разложение на множители в кольце
201
жители (см., например, Зарисский и Самюэль [1], стр. 45),
поэтому утверждение (а) доказано.
Доказывая (Ь), мы можем считать, что fx — росток мно-
многочлена Вейерштрасса. Затем каждый росток /й надо нор-
нормировать в направлении zn, после чего он становится экви-
эквивалентным некоторому многочлену Вейерштрасса степени nk,
и эти степени убывают при возрастании k. Следовательно,
для больших k эти степени постоянны. Но если многочлен
Вейерштрасса W делит другой такой многочлен W той же
степени, то W = W, потому что при
> W'—fW
мы," полатая z' = 0, получаем /@) = 1; утверждение след-
следствия 6.1.2, относящееся к единственности, показывает, что
W = W. Доказательство закончено.
Теорема 6.2.3. Пусть fug аналитичны в окрест-
окрестности 0. Предположим, что Yo(/) u Yo(S") взаимно просты.
Тогда
@ Y*(/) а Уг(?) взаимно просты в Az для всех z
в окрестности 0;
t (ii) если f(O) = g@) = 0, то для всякого комплекс-
комплексного числа а можно в любой окрестности 0
найти г, такое, что g{zL=0 и f(z)/g(z)*=a.
Таким образом, отношению f/g в 0 нельзя естественным
образом приписать никакого значения, конечного или бес-
бесконечного.
Доказательство. Доказывая (i), мы можем считать,
что как /, так и g — многочлены Вейерштрасса. Если А'о =
= Л^С), то / и g взаимно просты в Л0[гя] (лемма 6.1.4),
а поэтому и в Ко [zn], где Ко — поле отношений Ло (лемма
Гаусса; см. Зарисский и Самюэль [\], стр. 46)." Значит,
можно найти функции fv glt h, аналитические в окрестности 0
и такие, что• fx я gl — многочлены по г„, А не зависит
от zn и не равна нулю тождественно и . .
в окрестности 0. Поскольку функции / Ц g нормированы
в направлении zn в окрестности 0, где они определены, то
202
VI. Локальные свойства аналитических функций
общий множитель элементов Ye (/) и у^ (g) в А^ должен
быть нормироЪанным в направлении zn; поэтому его можно
считать ростком многочлена Вейерштрасса в точке ?. Но так
как он должен делить у^ (Л), то его степень должна рав-
равняться нулю (лемма 6.1.3), откуда следует (i). Доказывая (И),
мы можем считать, что а = 0, так как в противном случае
можно заменить / на / — ag; затем можно предположить,
что fug, как и выше, — многочлены Вейерштрасса. До-
Допустим, что утверждение неверно, т. е. имеется некоторая
окрестность 0, в которой / (г) = 0 влечет за собой g (z) = 0.
Так так уравнение f(z', zn) = 0 для фиксированного малого z'
имеет некоторый малый корень zn, то из этого следует, что
h (z') — 0 для всех z' в окрестности 0 и мы приходим
к противоречию.
6.3. Конечно порожденные Л0-модули. Мы начнем
усиления части (Ь) доказательства теоремы 6.2.2.
Определение 6.3.1. Коммутативное кольцо А с еди-
единицей называется нётеровым, если всякий' идеал /сА
конечно порожден, т. е. если существуют элементы
fl fj?I> такие, что любой элемент /?/ можно
записать в виде
2
для некоторых at ? A.
Лемма 6.3.2. Если А—нётерово кольцо, то всякий
подмодуль из Ар конечно порожден.
Под Ар мы здесь подразумеваем модуль, элементами
которого являются наборы из р элементов кольца А.
Доказательство. Когда р=\, утверждение экви-
эквивалентно определению нётерова кольца. Пусть М — неко-
некоторый подмодуль в Ар. Обозначим через я проекцию Ар
на первую компоненту, т. е.
л (ai ap)=av
Так как пМ — идеал в А, то он конечно порожден. Значит,
можно выбрать mi mj?M так, чтобы птх лт}
6.3. Конечно порожденные Аа-модули
203
порождали пМ. Поэтому всякий элемент т ? М можно за-
записать в виде
т'=а1т1-\- ... -\-а}т)->гщ,
где ах, .... uj ? А и т0 ? М, пгщ = 0. Но
М0={т;, т?М, ят — 0}
можно рассматривать как подмодуль из Ар~ и индукция
по р позволяет считать, что Мо конечно порожден. Это
завершает доказательство леммы.
Теорема 6.3.3. Кольцо Ао — нётерово.
Доказательство. При п=\ теорема тривиальна,
так как всякий идеал в Ао порожден тогда некоторой сте-
степенью zx. Предположим, что теорема уже доказана для кольца
Ао = /^(С"). Если / — идеал в Ао, содержащий некоторый
ненулевой элемент, то заменой координат мы можем до-
добиться того, чтобы / содержал росток / некоторой функции,
нормированной в направлении zn. Тогда всякий элемент g ? /
сравним по модулю / с некоторым многочленом по zn сте-
степени <'/?. Пусть М — множество всех g?I, которые яв-
являются многочленами по zn степени < р. Тогда М можно
рассматривать как подмодуль в АоР, поэтому М конечно по-
порожден как Ло-модуль. Образующие модуля М вместе
с / дают систему образующих для идеала /. Доказательство
закончено.
Введем теперь в Ао топологию простой сходимости, опре-
определяемую счетным числом полунорм
В этой топологии fj->f означает, что коэффициенты при
za в f i сходятся к коэффициенту при za в / для всякого а.
Очевидно, что Ао — не полное пространство; его пополне-
пополнением служит пространство всех формальных степенных
рядов 2 aaza- ^T0 тоже кольцо, которое мы обозначим
через Fo. Определяя топологию в Ао, мы получаем, конечно,
и топологию в АР.
204
VI. Локальные свойства аналитических функций
Теорема 6.3.4. Пусть М—некоторый подмодуль AS и
Ux U]—образующие М. Если VV?M и Kv->0, когда
v->oo, то найдутся fly?AQ, такие, что д
2
a /v —> 0 при v -> оо для всякого I.
Доказательство. Проведем индукцию по п и р, так
же как в доказательствах леммы 6.3.2 и теоремы 6.3.3.
(а) Предположим, что р>1 и что теорема уже дока-
доказана для подмодулей из Л*, когда k < р. Применим пред-
предположение индукции к последовательности nVv ? лМ, где я
определено, как в доказательстве леммы 6.3.2. Тогда най-
найдутся /
- такие- чт0 /v
0 при v -> оо и
Для всякого v.
1 /
Пусть щ иг — образующие Мо. Найдутся gi ? Ао, такие,
Что gif—>0 при V—>оо и
Так Как всякий элемент щ можно Представить в виде ли-
линейной комбинации U\, . . ¦, Uj с коэффициентами из А^
то отсюда следует утверждение теоремы.
(Ь) Предположим теперь, что р — 1 и что теорема уже
доказана для я —1. переменных и произвольного р. Мы
можем считать, что идеал М содержит ненулевой элемент /,
нормированный в направлении г„. Согласно подготовитель-
подготовительной теореме Вейерштрасса, мы можем написать
где qv и rv~*-0, причем rv принадлежит множеству много-
многочленов по га степени < р о. коэффициентами в Ао = ^(С),
содержащимися в М. Пусть и, us — система образующих
этого множества, рассматриваемого как Л^-модуль. По пред-
предположению индукции мы имеем тогда . . ¦
6.3. Конечно порожденные Ао-модули
205
где Aq$glv->0 при v—>oo. Так как каждая образующая щ
принадлежит модулю, порожденному Ui Up то дока-
доказательство закончено.
Точно таким же способом доказывается
Теор«ма 6.3.5. Всякий подмодуль из А% замкнут
AS
Доказательство, (а) Предположим, что р > 1 н
что теорема уже доказана для подмодулей из Л*, когда
k < р. Пусть VV?M и Vv-*-V?Afi. Предположение ин-
индукции, примененное к последовательности nVv (обозначения
взяты из доказательства леммы 6.3.2), дает лУ?лМ. Пусть
U ? М и nU = nV. Если Ux Uj — образующие М, то,
поскольку nVv — я?/->0, из теоремы 6.3.4 следует, что
можно выбрать /v64o так, чтобы /i-+0 и
2
Так как V^-*^ — U, то из предположения индукции следует,
что V — U?M0, откуда V?M.
(b) Теперь- предположим, что р = 1 и что теорема уже
доказана для я—1 переменных. Можно считать, что идеал М
содержит ненулевой элемент /, нормированный в направле-
направлении za. Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса,
можно написать
причем ?v->0« rv->r, когда v->oo. Таким образом, из пред-
предположения, индукции следует, что г принадлежит подмодулю
из Аор, образованному многочленами по zn степени < jr с ко-
коэффициентами в Ао, содержащимися в М. Значит, V ? М,
и это завершает доказательство.
Следствие 6.3.6. Пусть пц m.j?A$ и
I
F.3.1)
для некоторых формальных смененных рядов /'. Тогда
то же равенство справедливо для некоторых /' ? Ао.
206
VI. Локальные свойства аналитических функций
Доказательство. Пусть /(, — росток суммы чле-
членов степени <> в формальном степенном ряде /'. Тогда
m0— 2/v"i/->0 при v->co; таким образом, из теоремы
i
6.3.5 следует, что ш0 принадлежит Л0-модулю, порожден-
порожденному mv .... my
Этот результат интересен тем, что решение вопроса
о справедливости F.3.1) для некоторых fl?F0, является
элементарным, по крайней мере в принципе. В самом деле,
все сводится к проверке того, имеет ли бесконечная система
линейных уравнений некоторое решение, а по этому поводу
справедлива
Лемма 6.3.7. Пусть Lb L,, ...—линейные формы
с комплексными коэффициентами от комплексных пере-
переменных \i, |2 причем каждая форма зависит только
от конечного числа переменных \у Тогда система урав-
уравнений
bj, У=1, 2
с комплексными bj имеет решение |, если всякое конечное
число этих уравнений совместно.
Доказательство. Условие означает, что если ко-
конечная сумма %CjLj тождественно равна нулю, то 2с^ = 0.
Рассмотрим два случая:
(a) Если некоторая конечная сумма %CjLj равна |1( то можно
образовать новую систему, эквивалентную первоначаль-
первоначальной, в которой первое уравнение имеет вид li = bv
а остальные не содержат fj.
(b) Если никакая линейная комбинация 2>CjLj не равна \lt
то 2суАу(!) = 0 для всех |, если эта сумма равна нулю,
когда |i = 0. Значит, мы можем взять |j = 0 и полу-
получить новую совместную систему для |2, ... .
В обоих случаях можно, следовательно, выбрать некоторое
значение для |t так, чтобы наша система сводилась к системе
уравнений относительно |2 удовлетворяющей тем же
условиям. Значит, мы можем последовательно подобрать \lt
|2, ... так, чтобы удовлетворялась заданная бесконечная си-
система уравнений, поскольку любое отдельное уравнение
6.4. Теорема Ока
207
из этой системы будет удовлетворяться, когда мы выберем
все переменные, входящие в него.
6.4. Теорема Ока. До сих пор мы рассматривали Лг-мо-
дули только для фиксированного z. Однако в последней
главе нам понадобится следующий результат, который уси-
усиливает свойство нётеровости Аг на случай, когда точка z
является переменной.
Теорема 6.4.1. Пусть Q — открытое множество в
С, пусть F1 Fg?A (Q)" и
Это множество является подмодулем в А\ и называется
модулем отношений для Fb . . ., Fq в точке z. Тогда
для любой точки в Q можно найти открытую окрест-
окрестность cocQ и конечное число элементов Olt . . ,, Gr? А (со)ч,
такие, что Rz для всякого z ? со совпадает с Аг-модулем,
порожденным уг (О,), . . ., yz (G,).
Так как Аг — нётерово кольцо, то мы знаем уже, что Rz
конечно порожден для всякого z, но в этой теореме важ-
важным является то, что можно использовать «одни и те же» об-
образующие для всех z в окрестности любой данной точки.
Доказательство теоремы 6.4.1. Мы будем при-
применять индукцию по существу так же, как в разд. 6.3. Ко-
Конечно, достаточно считать, что 0?Q, и построить окрест-
окрестность со, обладающую требуемыми свойствами, для 0.
(а) Предположим, что р > 1 и что теорема уже доказана
для меньших значений р. Положим Fj = (Fj Fj). Оче-
Очевидно, что
По предположению индукции можно найти окрестность Q'cQ
начала координат и конечное число элементов Н1 НТ ?
? A (Q')g, такие, что yz (H{) yz (H-r) порождают Лг-мо-
дуль Rz(f\ Fq) для всякого z?Q'. Если z?Q', то мы
имеем поэтому
к,(г,, .. ., г„)<
208
VI. Локальные свойства аналитических функций
Условие
F.4.1)
Fg) означает, что
) = 0, i = l,..., p.
Однако выбор элементов Hj гарантирует, что уравнение (.4.1)
удовлетворяется при i = 1. Поэтому в действительности
имеется только р—1 уравнений F.4.1). По предположению
индукции существуют окрестность нуля mcQ' » элементы
Сх, . .., Cs? А (и/, такие, что модуль, состоящий из всех
(с1 сг)?Агг, удовлетворяющих F.4.1), порожден эле-
элементами уг(С\), .... yz(Cs), если z?<d. Поэтому s элементов
i=l
s,
обладают всеми нужными свойствами. ( >
(Ь) Теперь предположим,, что р = 1 и что теорема уже
доказана для всякого р в («— 1)-мерном случае. (При я = О
теорема тривиальна.) При помощи линейного преобразования
мы можем добиться того, чтобы аналитические функции
Ft, .... F. были нормированы в направлении г„; после этого
без ограничения общности можно считать, что все они яв-
являются многочленами Вейерштрасса с коэффициентами, принад-
принадлежащими A (Q'), где Q' — окрестность 0 в С" . Если
z'^Q,', то будем писать A'z> вместо Аг< (С). Для про-
продолжения доказательства нам понадобится
Лемма 6.4.2. Если ? = (?', ?„) и С 6 й'. m° Av мо-
модуль /?? (Р^ Fq) порожден теми из его элементов,
координаты которых являются ростками функций из
A'v [г„] со степенями по zn, не превышающими макси-
максимума ц степеней Fp .... Fq.
Доказательство. Пусть Fq имеет степень ц по zn.
где коэффициенты принадлежат A (Q'). Если ? = (?', %,„) и
?'?й', то, согласно подго^вительной "теореме, можно на-i
писать
6.4. Теорема Ока
209
где F' и F"^A^, F'—росток многочлена Вейерштрасса
по z—Си F"<§4* 0. Из леммы 6.1.3 следует, что F"—мно-
F"—многочлен по zn со старшим коэффициентом, равным 1. Пусть
' и ц" — степени F' и F" по zn. Если (с1 ?
(^f)
n ()?
i fg)> то, согласно подготовительной теореме,
мы можем написать
где tl,
и г1
+ rl, l=\ q-\,
росток многочлена по zn степени
ц' с коэффициентами в Л;>. Полагая г9 = с?-(- 2
2
мы получаем
F-4.2) (Ci
•••
Но тогда (г1
0
0, Fr-
r4)€Rl(Fi
г").
так как все осталь-
остальные члены в F.4.2) принадлежат этому модулю. Таким
образом,
Так как эта^сумма — многочлен по zn степени
то из леммы 6.1.3 следует, что rqF"—многочлен по г,
степени <ц. Теперь мы имеем
(г1 r")=^
где F"r* имеет степень
это доказывает лемму.
F"r*),
для всякого у. Вместе с F.4.2)
Окончание доказательства теоремы 6.4.1.
Если с = (с1 с9) — один из элементов /?? (Fx Fq),
описанных в лемме 6.4.2, то мы можем написать
Поэтому условие (с1 с?)€^г(Л. •••. ^?) состоит
из 2ц,-)-1 лияейщ>гх однородны» условий для величин с-'*
с коэффициентами из A(Q'). По предположению индукции
Зак. 861
210
VI. Локальные свойства аналитических функций
можно найти окрестность co'czQ' начала координат в С"
и элементы Си . . ., Ст ? А (со') [zn\q степеней < ц по гп, ко-
которые для всякой точки ?'?«' порождают А?. -модуль ре-
решений этих уравнений. Из леммы следует, что ростки
Сь .... Ст для всякого ? — (?'. ?„), такого, что f 6е0'-
являются образующими Л^-модуля R^ (Flt . . ., Fq). Доказа-
Доказательство закончено.
Примечания. Теорема Ока, доказанная в разд. 6.4, первоначаль-
первоначально появилась в работе Ока [4]. Теорию когерентных аналитических
пучков невозможно изложить без этой теоремы. Однако ввиду
того, что эта книга имеет аналитический акцент, мы в этой главе
ограничились минимумом результатов. Например, здесь совсем ие
затрагиваются аналитические множества; по этому поводу мы от-
отсылаем читателя к книгам Эрве [1] и Ганнинга и Росси [1], где ло-
локальная теория изучается намного более подробно. '
Глава VII
КОГЕРЕНТНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПУЧКИ
НА МНОГООБРАЗИЯХ ШТЕЙНА
В этой главе изучение проблем Кузена распространяется на
когерентные аналитические пучки на многообразиях Штейна. Опре-
Определения пучков, аналитических пучков и когерентных аналитиче-
аналитических пучков даны в разд. 7.1. В общих чертах сечения когерентного
аналитического пучка Можно описать локально для некоторого це-
целого р как наборы из р аналитических функций, взятые по модулю
конечно порожденного подмодуля из таких наборов. Поэтому неко-
некоторые результаты об аналитических функциях локально легко рас
пространить на сечения когерентных аналитических пучков. Таким
образом, главная новая проблема — получить глобальные результа-
результаты. Ключевой результат в этом направлении — существование гло-
глобальных сечений когерентных аналитических пучков иа многооб-
многообразиях Штейна — доказывается в разд. 7.2 (теорема А Картана).
Затем мы изучаем первую проблему Кузена, в которой аналити-
аналитические функции заменяются сечениями когерентных аналитических
пучков. Это обобщение требует более общей формулировки проб-
проблем Кузена, основанной на понятии группы когомологий со значе-
значениями в пучке, которое мы введем в разд. 7.3 (более детальное об-
обсуждение основных свойств пучков и групп когомологий читатель
найдет в работе Серра [1]). Разрешимость первой проблемы Кузена
в этой терминологии означает в точности, что равна нулю первая
группа когомологий. В разд. 7.4 мы доказываем сначала равенство
нулю всех групп когомологий положительного порядка для пучка
ростков аналитических функций. Тот факт, что мы рассматриваем
группы когомологий всех порядков, позволяет легко распространить
эти результаты иа когерентные аналитические пучки, используя су-
существование глобальных сечений. Это приводит к теореме В Кар-
Картана. В разд. 7.5 мы излагаем классическую теорему де Рама о
связи между группами когомологий с комплексными коэффициента-
коэффициентами и существованием замкнутых дифференциальных форм. Наконец,
в разд. 7.6 мы возвращаемся к изучению когерентных аналитических
пучков. Ограничиваясь пучками над С" с образующими — много-
многочленами, мы устанавливаем количественный вариант теоремы В. Бо-
Более конкретно, мы изучаем системы уравнений вида Рн=/, где Р —
прямоугольная матрица sXt, элементами которой служат многочле-
многочлены, а и и f — наборы соответственно из s и t аналитических функ-
функций. Из теоремы В вытекает, что для данного аналитического набо-
набора f существует аналитическое решение и, если такое решение
существует локально. Результаты разд. 7.6 дают решение и,
14*
212
VII. Когерентные аналитические пучки
которое, грубо говоря, имеет тот же рост, что и f. Доказательство
аналогично доказательству теоремы В, но требует точных оценок
на каждом шаге, поэтому мы должны опираться на результаты
раЗд. 4.4 и вариант локальной теории гл. VI. В качестве применения
мы приводим краткий набросок доказательства теорем существова-
существования для переопределенных систем дифференциальных уравнений в
частных производных с постоянными коэффициентами.
7.1. Определение пучков. Пусть Q — комплексное мно-
многообразие. Тогда, как объяснено в разд. 6.2, для всякой
точки ^z ? Q имеется кольцо Аг ростков в z аналитических
функций $ окрестности z. Пусть
где кольца Аг рассматриваются как дизъюнктные множества.
Для всякого открытого подмножества cocQ и всякой функ-
функции / ? А (со) мы получаем отображение
{7.1.1) <Oz-*Y*(/)€^.
которое, очевидно, однозначно определяется функцией /.,
так как /(z) = (уг(/)){z). Если л— отображение ol—> Q,
переводящее Аг в z, то композиция отображения G.1.1)
и я есть отображение, тождественное в со. Мы хотим снаб-
снабдить ol такой топологией, чтобы все отображения вида
G.1.1) для /?Л(со) были непрерывными и, обратно, чтобы
всякое непрерывное ' отображение ф открытого множества
coczQ в ol, такое, что лф тождественно в со, определялось
в соответствии с G.1.1) функцией /? Л (со).
Пусть в Л имеется топология, такая, что отображение
G.1.1) непрерывно для всякой аналитической функции /.
Пусть U — открытое множество в Л ,и F ? U. Из опреде-
определения Л вытекает, что существуют точка г^йи функция /.
аналитическая в окрестности о точки г, такие, что yz (/) — F.
Если отображение G.1.1) непрерывно, то должна найтись
окрестность со'
zсо точки г, такая, что
Значит, всякое открытое множество в Л является объеди-
объединением множеств вида {/, ©}, где / ? А (со) и со открыто;
обратно, всё отображения G.1.1) непрерывны, если топо-
топология в Л Обладает этим свойством.
7.1) Определение пучков
$13
Если /'?Л(со') и /"?Л(со"), где со' и о" открыты, то
{/'. со'} П{/". «"} = {/', ©} = {/". со}.
со = [z; z 6 со' П со", у,(/') = у, (/")}
где
— открытое множество. Следовательно, множества {/, со},
где /?.Л(со) и со — открытое множество в Q, можно исполь,-
зовать в качестве базиса открытых множеств для опреде-
определения топологии в oi; • тогда по определению открытыми
множествами в oi являются все объединения множеств вида
{/, о}. Это — самая сильная топология, в которой все ото-
отображения G.1.1) непрерывны. Для нее выполняется аксиома
отделимости Хаусдорфа. В самом деле, если /г Ф gw, то
либо гфчв, откуда, конечно, вытекает, что /г и gw имеют
непересекающиеся окрестности, либо z = w. В этом случае
если со — связная окрестность z, в которой fag анали-
тичны, то окрестности {/, со} и {g, о} ростков 7г(/) и yz(g)
не пересекаются. В самом деле, в противном случае fug
определяли бы один и тот же росток в некоторой точке
и? со, откуда по принципу аналитического продолжения сле-
следовало бы, что f = g в со и, в частности, что fz = gz; мы
получили противоречие. Наконец заметим, что если со открыто
и /?Л(со), то сужение я на {/, о} есть гомеоморфизм
этого множества на со, обратный к G.1.1).
Пусть теперь со — открытое множество в Q, и ф — ото-
отображение а-»-^, непрерывное в только что определенной
топологии и такое, что Яф тождественно. Пусть / («) — зна-
значение ростка y(z)?Az в точке z. Тогда /^Л(со) иф(г)=±=
= У г (/) Для всякого z ? со. Действительно, по определению
топологии в Л всякая точка из о имеет окрестность со',
такую, что <$(z)?{g, со'} для некоторой аналитической функ-
функции g, т. е. Ф (z) = Yz (?) Ддя всякой точки z?co'. Но из
этого вытекает, что g = f в со'. -
Таким образом, в топологии, которую мы ввели, анали-
аналитические функции можно отождествлять с сечениями ol, если
скопировать определение сечения расслоений, использованное
в разд.-5.6. Пространство Л является примером пучка; мы
возьмем его характерные признаки в качестве общего опре-
определения.
214
VII. Когерентные аналитические пучки
Определение 7.1.1. Пусть X и of — два топологи-
топологических пространства {не обязательно хаусдорфовых), и
пусть л— отображение <&~^>Х, такое, что
(i) л отображает S^ на X,
(И) л—локальный гомеоморфизм, т. е. всякая точка
в of имеет открытую окрестность, которую я
отображает гомеоморфно на открытое мно-
множество в X.
Тогда о?" называется пучком на X, а п — проекцией на X.
Если U—подмножество в X, то сечением пучка <&~ над
U называется непрерывное отображение ф: U —><&', такое,
что лф тождественно на U. Множество всех сечений ?Г
над U обозначается через Т(Ц, <&~). Если х?Х, то
Srxz= л [х] называется слоем S1" в х.
Заметим, что из (Н) следует, что множество ф (JJ) от-
открыто в <^", если U открыто X и ф ? Г (U, <?Г), и что
открытые множества в <?Г являются объединениями множеств
такого типа. Далее заметим, что если ф и ty?T(U, <&~)
и если ф (г) = гр (г) для некоторого z?U, то ф (S) = "ф (?)
для всех ?6^ в некоторой окрестности z. Таким образом,
всякий элемент в <&~ можно рассматривать как росток сече-
сечения <&~. Если ф — сечение, то мы часто пишем фг вместо
Примеры. A) Пучок Л ростков аналитических функ-
функций на комплексном многообразии Q является пучком на Q.
B) На многообразии класса С°° мы можем тем же способом
определить пучок ростков бесконечно дифференцируемых
функций, который обычно обозначается через <^; сечениями У
являются функции класса С°°. В этом случае аксиома Хаус-
дорфа не выполняется, потому что если /?С°° в окрест-
окрестности х и если х — граничная точка дополнения к носи-
носителю /, то всякая окрестность f x пересекает всякую окрест-
окрестность 0х.
C) Если F — топологическое пространство с дискретной
топологией, то ^~ = X X Р — пучок (называемый постоян-
постоянным пучком).
Пучки, которыми мы интересуемся, снабжены добавочной
алгебраической структурой. Будем говорить, что &~ — пучок
7,1. Определение пучков
215
абелевых групп, если <&~х = я~1(х) — абелева группа для
всякого х и для любых двух сечений ф, 1|; пучка &" над
открытым множеством U отображение U ^ x ~>qi(x)—¦ф(лг)
в З1" является сечением. Подобным образом мы определяем
понятие пучка колец, требуя, чтобы все алгебраические опе-
операции кольца, примененные к сечениям, снова давали сече-
сечения. Очевидно, что пучок JL ростков аналитических функций
на комплексном многообразии — это пучок колец. Если 6 —
пучок колец на X, то мы определяем пучок ©-модулей $"
как пучок абелевых групп, таких, что <&~ж является ©х-ио-
дулем для всякого х ? X и произведение сечения © и сече-
сечения е^" есть сечение <&". Когда X—комплексное много-
многообразие и @ — пучок Л ростков аналитических функций, мы
говорим, что &Г — аналитический пучок.
Пример. Если В — аналитическое векторное рассло-
расслоение над комплексным многообразием Q, то пучок ростков
аналитических сечений В есть аналитический пучок.
Если <?Г и i? — пучки абелевых групп на X, то ото-
отображение ф: <&'->&' называется гомоморфизмом пучков,
если
0) ф непрерывно,
' (И) сужение ф на <&"х является гомоморфизмом группы
&-х в 9Г
Условие (i) означает в точности, что композиция сече-
сечения с^" и ф является сечением &.
Ядро кегф и образ !тф отображения ф являются под-
подпучками <&~ и i? соответственно; значит, они образуют
открытые подмножества в <&~ и &. Это следует непосред-
непосредственно из определений.
Если с^" и & — пучки абелевых групп на А', и ^ — под-
подпучок &, то gfex = &х1о!Гх—абелева группа, и ?f€ == U 36х —
пучок в фактортопологии; тогда сечения пучка 36 локально
(но не глобально!) являются образами сечений пучка <^. Если
и ^ и $ — аналитические пучки, то'&1о!Г ¦—аналитический
пучок.
Пример 1. Пусть Q—комплексное многообразие,
и (Мг — поле отношений о1г. Тогда &Н = U аМг — пучок с то-
топологией, порожденной множествами \fz\St\ 2?co}, где
coczO—открытое множество, /, g?A((u) и gz^=0, когда
z ? о». Этот пучок называется пучком ростков мероморфных
216
VII. Когерентные аналитические пучки
функций; его сечения называются мероморфными функциями.
(Это определение совпадает с определением 1.4.1, хотя Оно
менее наглядно.) Отметим, что ввиду части (Н) теоремы 6.2.3
нельзя всякому ростку мероморфной функции приписать зна-
значение из - расширенной комплексной плоскости так, чтобы
любая мероморфная функция в о порождала непрерывную
функцию ю—>С U {со}.
Задать данные первой проблемы Кузена — это значит за-
задать сечение факторпучка оМ\Ж\ сама проблема Кузена, та-
таким образом, сводится к проверке того, является ли данное
сечение пучка oMjol образом некоторого сечения пучка <Ж..
Пример 2. Если из гЖ мы устраним 0-сечение, то по-
получим пучок »4f* абелевых групп (с умножением в качестве
групповой операции). Он содержит как подпучок пучок Л*
обратимых элементов из Л. Пучок 3) — <зМ*\Л* называется
пучком дивизоров на Q. Слой 3)г становится упорядоченной
абелевой группой, если образ Лг \ {0} в 3JZ определить
как множество положительных элементов. Из теоремы 6.2.2
следует, что 3JZ— свободная абелева группа, порожденная
классами в 3)г неприводимых элементов из Лг, и 3)г обла-
обладает естественным отношением порядка и поэтому является
структурой. (Заметим, что при п = 1 сечениями 3 являются
функции, принимающие целые значения на Q и равные нулю
вне некоторого дискретного множества точек.) Если ф и ¦ф —
сечения 33, то вирф.'ф) и inf (ф, -ф)—тоже сечения 3
в общей области определения ф и ф. Достаточно доказать
утверждение об Inf (ф. -ф) в окрестности точки г0, где
inf (фг , т|)г ) = 0. Для всякого г из окрестности о точки z0
росток ф(.г) является образом в 35г ростка /г некоторой
функции / ? А (ю), а ф (z) — образом ростка gz функции
g?A((o). Ростки /г и gz взаимно просты, поэтому из
утверждения (i) теоремы 6.2.3 следует, что fz и gz взаимно
просты для всех г в окрестности «>' точки z0. Значит,
1П^(ф, ф) = 0 в ю', что и доказывает наше утверждение.
Вторую проблему Кузена можно сформулировать сле-
следующим образом: для данного сечения факторпучка 3)—а<Н*1Л*
найти сечение пучка о4?*, которое переходит в данное при
каноническом отображении пучка <зА1* на aM*jА*.
Наконец определим прямую сумму <?Г' -\-& двух пучков
абелевых групп <уГ и & как пучок, слоями которого яв-
7.1. Определение пучков
217
ляются прямые суммы <&~х и &х, а топология индуцируется
топологией (^ГХ<^'- если <&~-\-& рассматривать как под-
подмножество этого топологического произведения. Это означает,
что сечения пучка <&~'-\- !$ являются прямыми суммами се-
сечений пучков 3^ и &¦. Сумму р экземпляров пучка <&~
мы будем обозначать через ъРр.
Произвольные аналитические пучки являются слишком
общими для наших целей, поэтому мы должны ввести допол-
дополнительные ограничения.
Определение 7.1.2. Аналитический пучок <&' на
комплексном многообразии Q называется локально конечно
порожденным, если для всякой точки z ? Q существуют
окрестность оси и конечное число сечений fv .... /с
( ?Г), такие, что <&~г порождается элементами
^ (fq)z как Аг-модуль для всякой точки z ? ю.
Пример. Пучок ростков аналитических сечений анали-
аналитического векторного расслоения локально конечно порожден.
Лемма 7.1.3. Если <?Г — аналитический локально
конечно порожденный пучок и если fx, ..., fq — сечения <?Г
в окрестности z, такие, что (f{)z (/)z поро-
порождают <&~z, то (f{)t ifa\ порождают <&~t для вся*
кой точки С из окрестности z.
Доказательство. Пусть(g-j)j (gr\порождают$Г
для всякой точки С из окрестности z. По условию существуют
аналитические функции ctj- в окрестности z, такие, что
(&)г-2(^)л/д. /»i..... г.
Но тогда
для всех ? из окрестности z, что и доказывает лемму.
Если /t, .... /9^Г(ю, qJT), где о — открытое подмноже-
подмножество в Q, то ядро гомоморфизма пучков
является подпучком M(fx f9) пучка Л4 над © и назы-
называется пучком отношений между fx fr
218
VII. Когерентные аналитические пучки
Определение?. 1.4. Аналитический пучок
называется когерентным, если
(i) (&~ локально конечно порожден,
(И) если со — открытое подмножество Q и
на Q
i /д€Г(<»,
то пучок отношений
/i/д€( )
М (fi, ¦ • •, /а) локально конечно порожден.
Теорема 7.1.5. Всякий локально конечно порожден-
порожденный подпучок пучка Лр когерентен.
Доказательство. Это другая формулировка теоремы
Ока (теоремы 6.4.1).
В частности, Лр — когерентный аналитический пучок;
таким же является пучок ростков аналитических сечений ана-
аналитического векторного расслоения.
Теорема 7.1.6. Если ?Г — когерентный аналитиче-
аналитический пучок на Q и /],..., /д — сечения пучка <sf над
открытым подмножеством сое Q, то пучок М (Л fq)
тоже когерентен.
Доказательство. Это следует из теоремы 7.1.5 и
части (И) определения 7.1.4.
Пример. Имеются подпучки Л, которые не коге-
когерентны. Так, пусть со — подмножество Q, 0=?со=?й. Поло-
Положим t&'z—iAz, если z?o, и <?~г = 0, если z?Q\o. Это
множество есть подпучок в Л тогда и только тогда, когда о»
открыто. Но сечение этого пучка над связным открытым
множеством, пересекающим Q \ со, должно быть 0 в силу
единственности аналитического продолжения, поэтому ^~ не
является конечно порожденным ни в какой окрестности гра-
граничной точки о.
Те ар ем а 7.1.7. Пусть & — подпучок аналитического
пучка <ф~. Если, два из трех пучков <&~', !$ и <?Г1!& коге-
когерентны, то все они когерентны.
Простое, но довольно длинное доказательство этого утвер-
утверждения мы оставляем читателю в качестве упражнения. (См.
также Серр [1], где значительно более тщательно обсу-
обсуждаются все вопросы, затронутые в этом разделе.)
7.2. Существование глобальных сечений
219
7.2. Существование глобальных сечений когерентного
аналитического пучка. В этом разделе мы расширим след-
следствие 5.6.3 до теоремы о существовании сечений произволь-
произвольного когерентного аналитического пучка. Сначала дадим полу-
полуглобальный вариант. Для сокращения формулировок мы будем
говорить, что сечения,/], ..., fq аналитического пучка S^
над открытым множеством о порождают там пучок ^~, если
ростки (fi)z (fq)z порождают Лг-модуль &~' г для всякой
ТОЧКИ Z ? О.
Теорема 7.2.1. Пусть Q — многообразие Штейна,
К — некоторое А (О)-выпуклое компактное подмножество
Q, и &" — когерентный аналитический пучок на неко-
некоторой окрестности К. Тогда
(i) существует конечное число сечений /, /
пучка <&" над окрестностью К, которые так
порождают <&~;
(И) если fi fg — сечения <&~ над окрестностью К,
которые там его порождают, и если f — произ-
произвольное сечение <&~ над окрестностью К, то най-
найдутся функции сх cq, аналитические на окре-
окрестности К и такие, что там f = l?\Cjfj.
Будем говорить, что компактное А (й)-выпуклое множе-
множество К обладает свойством (Е), если утверждение теоремы верно
для всякого когерентного аналитического пучка на окрест-
окрестности К. По определению когерентного аналитического пучка
всякое множество К, состоящее только из одной точки, обла-
обладает свойством (Е). Для доказательства теоремы 7.2.1 мы
используем индуктивный процесс, предложенный Картаном.
Лемма 7.2.2. Пусть К — компактное А@)-выпуклое
подмножество многообразия Штейна Q и f ? A (Q). Пред-
Предположим, что Ka — {z;'z ?K, Ref(z) = a] обладает свой-
свойством (Е) для всякого действительного числа а. Тогда К
обладает свойством (Е).
Доказательство. Пусть <&* — когерентный аналити-
аналитический пучок на окрестности К. Положим
220
VII. Когерентные аналитические пучки
7.2. Существование глобальных сечений
221
Это А (?2)-выпуклое множество, поскольку условие
а <^ Re / (г) -^ Ь можно записать в виде | е?(г) | -^ еь и
|!
(i) Для доказательства существования конечного числа
сечений <&" над окрестностью К, порождающих там пучок <?Г,
введем верхнюю грань а множества всех а, таких, что K-O0i a
обладает этим свойством. Это множество непусто, потому
что /С-оо,а=0> если а отрицательно и \а\ достаточно ве-
велик. Мы' должны доказать, что <^=-|-оо. Итак, предполо-
предположим, что а<-(-оо. По условию теоремы мы можем выбрать
окрестность «j множества Ка<а — Ка, на которой <&" поро-
порожден конечным числом его сечений fv .... fp. Выберем
а<а<6 так, чтобы в>1=>Ка<ь. По определению а можно
выбрать окрестность «2 множества К-^а, на которой $~
порожден конечным числом его сечений gb .... g . Тогда
по условию можно найти окрестность о3 множества Ка> а,
в которой существует матрица у: с q строками, р столбцами
и аналитическими коэффициентами, такая, что
Здесь / есть вектор-столбец с компонентами fv . ..,. f p и g
определяется аналогично. Действительно, существование ©3
следует, из справедливости (И) для Ка<а. Тем же способом
можно найти аналитическую матрицу y? B окрестности щ
множества Ка>а с р строками и q столбцами, такую, что
- = / в о4.
Сужай, если потребуется, эти окрестности, можно добиться
того, что
©I П ®2 = «3 = °4-
Так как множество К-^ъ является А(?2)-выпуклым и содер-
содержится в Oj U «2. оно имеет окрестность о», содержащуюся
в ©iUb>2. которая является аналитическим полиэдром и, следо-
следовательно, многообразием Штейна^ (лемма 5.3.7). Если мы за-
заменим окрестности о^ их пересечениями с <о, то Oj U ©2 = °*
станет многообразием Штейна.
Для получения сечений $" над © мы хотим теперь найти
такие аналитические функции и( ар+ч в *V J== ^' ^'
чтобы сечения ^iu\fk и l
над щ и о2, совпадали в
{0, g] наборы (векторы-столбцы) (Jx fp. 0 0) и
@ 0, gt gq) из p-\-q сечений <&", эти условия
можно записать в виде
G.2.1) {{/, 0), «1> = <{0, g), «2) ВО.ПО2.
Мы имеем
где fp к fq — единичные соответственно (р X Р)- и (уХq)m
матрицы. Отсюда
(/'о|"(-';, °.)(о ?>*)•
и, следовательно, G.2.1) выполняется, если c2iU} = и2в а>г f) ©j,
где
пучка ч<^" соответственно""
- Обозначая через {/, 0} и
Yy—транспонированные матрицы Y/. Рассмотрим теперь .рас-
.расслоение В над о, определенное покрытием щ, о2 и матри-
матрицами перехода е]2 и с21. В соответствии со следствием 5.6.3
оно обладает аналитическим сечением над о, а, согласно по-
построению В, всякое аналитическое сечение расслоения В
порождает сечение пучка <&~. Более того, из следствия 5.6.3
вытекает, что Лг-модуль, порожденный ростками аналити-
аналитических сечений В над ю, для всякого г?<о является модулем
всех ростков локальных сечений В в точке z. Значит,
Лг-модуль, порожденный ростками в z сечений &Г над ю,
равен <&~z для всякого z?a>. Ввиду леммы 7.1.3 и леммы
Бореля — Лебега можно поэтому найти конечное число сече-
сечений с^~ над о, которые Лг-порождают <&"г для всякого
z ? /(_«,, ь. Это противоречие с определением а доказывает (i).
(ii) Пусть /, ff — сечения пучка 0~ над окрест-
окрестностью К, которые там его порождают, и пусть / — произ-
произвольное сечение #" над окрестностью К. Введем верхнюю
грань а всех а, для которых можно найти такие Cj, .... cq.
аналитические в окрестности /("_„,, а, что / = 2?с^// в этой
окрестности. Мы хотим показать, что a=~~f- ob. Для этого
222
VII. Когерентные аналитические пучки
предположим, что а < -j- oo, и постараемся прийти к противо-
противоречию, как в части (i) доказательства. Как и там, мы можем
выбрать числа а и Ь, а < а < Ь, окрестность щ множества Кпл ь
и окрестность щ множества /(_„,, а так, что ю = щ U ю2 —
многообразие Штейна и существуют аналитические функции
с* с* в ©ft, k = 1, 2, для которых
Отсюда вытекает, что
= 0 в
Значит, (cj —
отношений М
сечение над
пучка
/я)< который является когерентным
аналитическим пучком в ©. Согласно части (i) доказательства,
которая справедлива для всякого когерентного аналитического
пучка, мы можем найти окрестность ©' множества К, на
которой этот пучок порожден конечным числом его сечений
г1, .... rN. Ввиду части (и) условия, отсюда следует, что
N
c)~c) = ^ykrky J=l Я.
в окрестности Ка> а, где yk — аналитические функции. Сужая,
если потребуется, ©j и оJ, можно считать, что это верно
в о»! П<»2 и что Ю1 U ©2 = ©сю'. Так как в (о первая проблема
Кузена разрешима (теорема 5.5.1), то существуют функции
Y]??^(g>v), k=\, ..., N, v=l, 2, такие, что
Таким образом,
N
N
и две части этого равенства вместе определяют функцию
. Так как г* — сечение пучка ^t{fx /„), то
Q
^Cjfj = / В ©, U «а =
7.2. Существование глобальных сечений
223
Это противоречит определению а, и поэтому a = -f-oo.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 7.2.1. Мы можем вы-
выбрать конечное число функций F}, .... FN ? A (Q), образую-
образующих координатные системы в каждой точке из К- Тогда
множество
{z; z6К, ReFj(z) = aj, R&iFj{z) = bj, J = \ N]
обладает свойством (?) для произвольных uj и Ь,, так как
это дискретное множество точек. Отсюда следует, согласно
лемме 7.2.2, что множество, полученное отбрасыванием одного
из условий ReFj(z) = aj или ReiFj(z) = bj, еще обладает
свойством (?). Повторяя это рассуждение 2N раз, мы заклю-
заключаем, что К обладает свойством (?).
Пусть Q — многообразие Штейна и <&" — когерентный
аналитический пучок на Q. Мы будем сейчас строить гло-
глобальные сечения S~- Сначала введем полунормы на сече-
сечениях <&" над окрестностью компактного А (О)-выпуклого мно-
множества К. Для этого, используя теорему 7.2.1, выберем
конечное число сечений fx fq пучка <&" над окрест-
окрестностью К, таких, что всякое сечение / этого пучка над окрест-
окрестностью К можно записать в виде
G.2.2) f = %'jff
где функции Cj аналитичны в окрестности К. Положим
где нижняя грань берется по всем с, удовлетворяющим G.2.2)
в некоторой точно не определяемой окрестности К. Ясно,
чт0 II/11л- может зависеть от выбора образующих /,, .... fq,
но другой набор их должен давать эквивалентную полунорму,
так как переход от одной системы образующих к другой
задается умножением на матрицу, элементы которой анали-
аналитичны в окрестности К-
Лемма 7.2.3. Если f — сечение <&" над окрест-
окрестностью К и если ||/||? = 0, то /г = 0 для всякой точка z
внутри К.
224
VII. Когерентные аналитические пучки
Доказательство. Пусть / представляется в виде
G.2.2). Если ||/||^ = 0, то для любого е > 0 мы можем
найти функции се,, аналитические в окрестности К и такие,
что
я
G.2.2)'" f=Hi<:Bif,
1 J '.
в окрестности К и что I се. {г) | < е в К, когда j = 1, ...,#•
Согласно .G.2.2) и G.2.2)',
Если z принадлежит внутренности К, то из теоремы 2.2.3
следует, что все производные этих се. в точке z стремятся
к 0 при е—>0; тогда из теоремы 6.3.5 вытекает, что
уг(с1 ОбДгСЛ- •••¦ /«)¦ з это означает, что /г = 0.
Лемма 7.2.4. Пусть К и К' — некоторые А(п)-вы-
пуклые компактные множества, причем К содержится
внутри К'. Если gv g2, ...—последовательность сече-
сечений S" над окрестностью К', такая, что
2 IIЛII*; <°°.
то существует сечение, g пучка <&" над окрестностью К,
такое, что
1J II
ff —'Sftl ->0 при j->oo.
Заметим, что по лемме 7.2.3 gz однозначно определяется
этим условием, когда z принадлежит внутренности К,
Доказательство. Пусть /,,
/?
сечеиия
Д у /, /?
над окрестностью К', порождающие <&~z для всякой точки
K' Тогда можно написать
где ckJ аналитичны в окрестности К', и
я
-.*
7.2. Существование глобальных сечений
225
Отсюда следует, что ряд
сходится равномерно в К', и поэтому функция С;- аналитична
внутри К'. Так как Cj — Eft_iCfty->-0 равномерно на К
при v^oo, то лемма будет следовать отсюда, если мы
положим g = 2!{Cjfj. (Можно считать, что норма || ||^
определяется теми же сечениями /г, . . ., / .)
Пусть теперь К\, К^< ¦ ¦ ¦ —последовательность компакт-
компактных А (О)-выпуклых подмножеств из Q, таких, что иГАТр = ?2,
и каждое из них содержится внутри последующего. Из леммы
7.2.4 получается тогда
Теорема 7.2.5. Пусть gp — сечение когерентного
аналитического пучка <&~ на Q над окрестностью Кр.
Предположим, что
\\8i — gj\\K ->0, когда I и у^со
р
для всякого фиксированного р. Тогда существует сечение
g?T(Q, &"), такое, что ||g- — ^Ц^. ->0 при j->oo для
всякого р.
Доказательство. Выберем Nv так, чтобы || gt—gj\\K <
<2~v, когда i, j"^-N^ и р <[v. Тогда ряд с членами
8Ы —gN удовлетворяет условиям леммы 7.2.4 с К .
V+1 V p+l
вместо К'. Значит, существует сечение hp пучка ^~ над
окрестностью К , такое, что l]rhp — gN II ->-0 при v^oo.
р
Внутри Кр имеем hp = /jp+ > поэтому найдется сечение
^•?Г(Й, <&~), такое, что g — hp внутри Кр для всякого р.
Следовательно, IIg—gN II ->-0 для всякого р, когда v-*oo.
Из неравенства треугольника следует, что \\g — g\-IL- ->0
при у->оо, и этим доказательство завершается.
15 Зак. Е61
7>-1
226
VII. Когерентные аналитические пучки
7.2. Существование глобальных сечений
227
Следствие 7.2.6. Множество Г@, $Г) является
пространством Фреше с топологией, определяемой полу-
полунормами
Р=1- 2
Теперь мы хотим обобщить теоремы о приближении, дока-
доказанные для аналитических функций и сечений аналитических
векторных расслоений.
Теорема 7.2.7. Пусть К — компактное А(п)-вы->
пуклое подмножество многообразия Штейна Q, и пусть
f — сечение над окрестностью К когерентного аналити-
аналитического пучка $~ на Q. Тогда существует последователь-
последовательность fj?T(u, $~), такая, что\\/— /у||^->0 я/?и/—>оо.
Доказательство. Мы можем выбрать, как и выше,
последовательность компактных множеств, такую, что КХ = К.
Положим f = g\- Для данного е>0 и всякого р мы будем
искать сечение gp пучка <&~ над окрестностью Кр, такое,
что
ир+1-2Р\\^<ФР' />=Ь 2, ...;
По теореме 7.2.5 отсюда следует существование сечения
Q, <?Г), такого, что \\g— gj\\K ->0, когда /-*оо,
р
р
для всякого р. В частности, мы получаем, что \\g — f\\K =
— lim\\gj — g'lll^^e. Если в качестве /v взять этот пре-
предел g для е —1/v, то теорема будет доказана.
Чтобы доказать существование сечений gp, обладающих
требуемыми свойствами, предположим, что gx, .... gp уже
выбраны. Пусть hx, .... hN — сечения <&~ над окрест-
окрестностью Кр+\, порождающие там <^". Тогда
N
где Cj аналитичны в окрестности Кр. Согласно следствию 5.2.9,
мы можем приблизить функции Cj сколь угодно хорошо на Кр
функциями с' ^ A (Q). Тогда
— сечение <&~ над окрестностью Кр+г, обладающее требуе-
требуемыми свойствами, если 2 Iе/ — СА достаточно мала на К .
Доказательство закончено.
Теорема 7.2.8. Пусть Q — многообразие Штейна и
S1' — когерентный аналитический пучок на Q. Тогда
Аг-м0дуль <g~ z для всякой точки z?Q порожден рост-
ростками в z сечений, принадлежащих Г(О, <&~).
Это утверждение известно под названием теоремы А
Картана.
Доказательство. Пусть fv ..., fN — сечения <&~
над окрестностью г, такие, что (J\)z, ¦ ¦., (Jn)z порождают S!"z.
Так как множество [z] является А (?2)-выпуклым, то для
всякого е > 0, согласно теореме 7.2.7, можно найти сечения
gi #лг€Г(а. d?"). такие, что
g)-fj = 2iCj*U У=1 N.
где с}ь — аналитические функции в окрестности z и | cjk(z) \ < е
для всех j и k. Если е достаточно малэ, то матрица / + (с,Д
где / — единичная {N X ЛО-матрица, имеет обратную (bjh),
аналитическую в окрестности г. Так как
п окрестности z, то отсюда следует, что ростки gv .. ., gN
в z~ являются образующими для t&~z-
Теперь мы можем легко доказать глобальный вариант
части (И) теоремы 7.2.1.
Теорема 7.2.9. Пусть Q — многообразие Штейна и
^ — когерентный аналитический пучок на Q. Если /,
/i. ..-, /??Г(?}, &~) a fz принадлежит Аг-модулю, по-
порожденному ростками (J{)z (fg)z для всякой точки
z?Q, то найдутся функции сх cq? A(Q), такие, что
15*
228
VII. Когерентные аналитические пучки
7.2. Существование глобальных сечений
229
Доказательство. Возьмем последовательность ком-
компактных Л(й)-выпуклых множеств Кр, как в теореме 7.2.5.
Аналитический подпучок &"' пучка qF', порожденный рост-
ростками сечений fv . . ., fq, когерентен, а поэтому ввиду тео-
теоремы 7.2.1 (ii) для всякого р можно выбрать ср
аналитические в окрестности Кр, так, чтобы
р
Тогда
сР!+1 —
— ® B окрестности К
т.е. (ср+1—ср, .... ср+1—ср\ — сечение пучка отношений
M(f\ /J над окрестностью Кр- По теореме 7.2.7 его
можно как угодно хорошо приблизить на Кр сечениями
<$> (/! fq) над й, а это означает, что функции ср}+х
можно изменить с помощью вычитания этих сечений так,
чтобы
sup SUf1-4l<2-p. .
Но отсюда вытекает, что с f = Hm^^ cp существует для всякого
J. Кроме того, Cj?A(Q), и из леммы 7.2.3 следует,
я
что /
cjfj-
Рассмотрим теперь применения последних двух теорем.
Теорема 7.2.10. Пусть К — некоторое А{п)-выпук-'
лое компактное подмножество многообразия Штейна Q,
и пусть В —равномерное замыкание на К сужений на К
функций из A(Q). Тогда пространство максимальных
идеалов алгебры В можно отождествить с К, т. е. вся-
всякий мультипликативный линейный функционал на В имеет
вид B^f^-f(z0) для некоторой точки zo?K.
Доказательство. Пусть / — идеал в В. Мы должны j
показать, что если I ф В, то найдется точка zQ?K, такая,|
что f(zo) = O для всякого /?/. Предположим, что такой!
точки z0 не существует. Тогда для всякой точки z?K можно
найти функцию f?A (Q), такую, что / (z) Ф 0, и сужение /
на К принадлежит /, Значит, мы можем выбрать конечное
число таких функций /р .. ., Д? A(Q) без общих нулей
на К. Пусть ю — многообразие Штейна, К c&czQ, такое,
что 2i|/y-(z)j Ф 0, когда z? со. Тогда для каждой точки
,г?<о росток \z принадлежит подкольцу Аг, порожденному
ростками (/{)г, .. ., (Jq)z- Значит, 1 — глобальное сечение
над <в пучка, порожденного сечениями fx, ..., fq. Тогда
по теореме 7.2.9 найдутся gv "..., gq?A(v)), такие, что
%igjfj=l в «в. Но g\, ..., gq можно равномерно на К
приблизить функциями из А (О), поэтому сужения g, на К
принадлежат В. Следовательно, 1 ?/, а это означает, что
I = В, чем и завершается доказательство.
Замечание. Ясно, что в доказательстве достаточно
было использовать теорему 7.2.1.
Заметим, что теорема 7.2.10 дает простое доказательство
георемы 5.4.3, Действительно, теорема 7.2.10 показывает,
что всякий непрерывный мультипликативный линейный функ-
функционал L на а\О) имеет вид L(f) = f(z0) для некоторой
точки 20?Q, если Q — многообразие Штейна. Поэтому в пред-
предположениях теоремы 5.4.3 мы сразу получаем отображение
Й2->О,.
Теорема 7.2.11. Пусть Q — многообразие Штейна и
V — некоторое подмногообразие {замкнутое множество!).
Для всякой точки z <? V можно найти функцию f?A (Q),
такую, что /(г)ф0, но / = 0 на V.
Доказательство. Пусть 1г—множество ростков в z
аналитических в окрестности z функций, равных нулю на V.
Пучок J" = U Iz когерентен. В самом деле, так как /z = AZt
если z (jt V, то достаточно показать, что J" конечно порож-
порожден в окрестности любой точки из V. Можно считать, что V
определягтся уравнениями zl= ... =zk = 0, где zx, . .., g^—
локальные координаты. Из разложений в степенной ряд функ-.
ций, равных нулю на V, непосредственно видно, что ростки
zlt . . ., zk в t порождают /g. Следовательно, наше утверж-
утверждение вытекает из теоремы 7.2.8.
16 Зак. Ш
230
VII. Когерентные аналитические пучки
7.3. Группы когомологий со значениями в пучке.
Первая проблема Кузена, сформулированная, как в тео-
теореме 5.5.1, естественно приводит к определению групп кого-
когомологий со значениями в пучке. Пусть X—топологиче-
X—топологическое пространство, $~ — пучок абелевых групп на X, и
12/=Ц/г}д,/ — открытое покрытие X. Если р — неотрица
тельное целое число, то через s = (% .... sp) мы обозначим
произвольный элемент из /p+l и положим Us—Us П • • • П Us .
Тогда р-коцепью с покрытия <&" со значения-ми в $~ назы-
называется отображение, которое всякому s?/p+1 приписывает
сечение cs?Y{l]s, <&") так, что cs — кососимметрическая
функция s (т. е. cs меняет знак, если переставляются два
индекса в s). Здесь по определению Г@,(^~) = О, абе-
лева группа с одним элементом. Множество Ср(&, $~) всех
р-коцепей покрытия ^ со значениями в $~ является, оче-
очевидно, абелевой группой.
Имитируя E.5.1) и E.5.2), мы определяем оператор
кограницы Ьр (который мы часто обозначаем просто 6)
из Cp(<%f, ?f) в СР+1(<%Г, ?Г) следующим образом: если
СР -), то
р+1
где Sj означает, что индекс Sj надо выбросить. В этих обо-
обозначениях данные первой проблемы Кузена состоят из 1-ко-
1-коцепи с со значениями в oi, такой, что 6с = 0, а сама про-
проблема заключается в том, чтобы показать, что с = Ьс' для не-
некоторой 0-коцепи с'.
Из определения 6 следует, что 6 о 6 = 0. Поэтому если
), 6с = 0}
— группа р-коциклов со значениями в <уГ и (мы полагаем
с-'=о)
— группа р-кограниц, то Вр —подгруппа Zp. Следовательно,
мы можем образовать факторгруппу
Нр W, <?-) = Zp (&,
7.3. Группы когомологий со значениями в пучке
231
которая называется /?-й группой когомологий покрытия <%?
со значениями в (&~. Если с — некоторый 0-коцикл,
то cs, — cSl = 0 в Usof]USl для всех So и Si; это означает,
что имеется сечение / 6 Г (X, $~), сужение которого на Us
равно cs для всякого s. Поэтому
Отметим также, что теорему 5.5.1 можно сформулировать
следующим образом: Я1 ($Л Л) = 0, если X — многообразие
Штейна и oi — пучок ростков аналитических функций на X.
Наша цель — распространить этот результат на общие коге-
когерентные аналитические пучки и группы когомологий высшего
порядка.
Пусть теперь 7*={Vj}ifj — Другое покрытие X. Пред-
Предположим, что Т является измельчением ^, т. е. что суще-
существует отображение р :./->¦/, такое, что VjcL/рЦ) для вся-
всякого J ? У. Если с?Ср (<%f, <g~), то мы можем определить
коцепь pc?CG°, <&~), полагая (pc)s равной сужению
Cpfs )...p(s \ на Vs- Это отображение, очевидно, коммутирует
с операторами кограницы в С (%f, ?Г) и С (I3, ^Г), следо-
следовательно, оно индуцирует отображение р* : Нр ($?, of)
-+НР(Т, Г
Предложение. 7.3.1. Отображение р* не зависит
от выбора р.
Доказательство. Пусть р' — другое отображение
с теми же свойствами, что и р. Можно считать, что р^-1,
поскольку утверждение очевидно, когда р = 0. Вполне упо-
упорядочивая У, мы полагаем для s0 < sx < ... < sp
р
{kc)s = Д (— 1У Ср(,о) ... р(,у)р- (,y+l) ... р' (spy
чем определяется отображение Ср+1(^, <^") в СР(У,
Непосредственное вычисление, которое мы опускаем, при-
приводит к равенству
(kb -|- bk) с — р'с — рс.
Если с — коцикл, из него следует, что р'с — рс = bkc —
кограница. Значит, отображения р* и р' совпадают, и пред-
предложение доказано.
16*
232
VII. Когерентные аналитические пучки
Таким образом, мы получили однозначно определенный
гомоморфизм Н" (<%f, 3") _> нр (Т, 3~), который будем обо-
обозначать через а(&, V). Как функция ^ и Ф он, очевидно,
обладает свойством транзитивности.
Предложение 7.3.2. Гомоморфизм 0($Л 7х) инъек-
шивен, когда р = \.
Доказательство. Пусть c?Zl(<$f, 3") и рс=*=6<у для
некоторого у^С°(Т, 3")- Это означает, что ep^)p(t) =
==Y<—ys в Vs()Vt для всех s, t?J: Так как с — коцикл,
из этого следует, что
, такое,
Следовательно, существует сечение ct ? Г (Ut,
что ct = Yj-T'Cp/fH в ^/ П ^* для кажД°г0 *• ^ '
получаем
а это доказывает, что с — кограница. (Заметим, что это до-
доказательство по существу является повторением второй части
доказательства теоремы 5.5.2.)
Если покрытия ^ и I3 эквивалентны, т. е. если <%? и 7°
являются измельчениями друг друга, то из предложения, 7.3.1
ясно, что 0($Л 7°) — изоморфизм. Классы эквивалентности
открытых покрытий можно отождествить с элементами мно-
множества подмножеств множества подмножеств пространства X,
причем имеется естественное частичное упорядочение, такое,
что для любых двух (классов) покрытий есть большее (т. е.
более мелкое) покрытие. Поэтому можно рассматривать пря-
прямой предел НР{Х,3~) групп Нр {%?, З^У с отображениями
\ o(<2f, 73). Это означает, что элементами НР(Х, З') являются
классы эквивалентности в дизъюнктном объединении групп
Нр(<&, 3~\> когда элемент в Нр {<%, 3~) и элемент в Н" (Т, 3')
отождествляются, если ях образы в HP{W, 3~) совпадают
для некоторого измельчения W покрытий % и 7°. В част-
частности, если существуют сколь угодно мелкие покрытия ty?,
такие, что Нр(<%?, 3~) = 0, то НР(Х, 3") = 0. Когда р = 1,
из предложения 7.3.2 следует, что справедлив обратный
результат: если Н1 (JC, 3~) ==0, то И1 (<&, 3~) = 0 для
всякого покрытия <%?.
7.3. Группы когомолоаий со значениями в пучке
233
Предложение 7.3.3. Пусть Q — многообразие
класса С00, счетное в бесконечности, и Ж — пучок рост-
ростков ^бесконечно дифференцируемых функций на Q. Если
3~ — пучок ^-модулей на Q, то Нр'(<%?, <^Г)=зО для вся-
всякого р > 0 и всякого покрытия ^. В частности,
Н" (Q, «#") == 0 для всякого р > 0.
Доказательство. Пусть c?Zp(<J!?, 3*) и фу — раз-
разбиение, единицы, подчиненное покрытию <&'. т. е.
@ %€^(^i ) лля некоторого индекса /v;
(ii) все фг< за исключением конечного числа, равны нулю
тождественно на любом компактном подмножестве
в Q;
(Ш) 2Фу=1. ,
Тогда для s ^ f можно положить
Ясно, что с'
, Зг) и что
р+1
= 2 2ф,(—1
/-0
' -'у*о — °/ ••• °р — TV * *'
_ /- тР+1
Здесь мы, конечно, воспользовались тем, что Ьс = 0. Дока-
Доказательство закончено; заметим, что оно по существу является
только повторением первой части доказательства теоремы
1.4.5.
Пусть 3~, 8, $№ — три пучка абелевых групп на X,
и пусть ф, ф — гомоморфизмы пучков, такие, что последо-
последовательность
0 -> 3"
0
точна, т. е. ф инъективен, ф сюръективен, и множество зна-
значений ф совпадает с ядром ф. Ясно, что это дает точные
последовательности
но последнее отображение не обязательно сюръективнб. Обо-
Обозначим множество его значений через Сд(^, $f0) и назовем
234
VII. Когерентные аналитические пучки
это множество группой поднимаемых коцепей. Тогда по
определению мы имеем точную последовательность
0-»-С'(#\ f)-+&(&, &)->Cp(W, «$?)->0.
Так как б отображает Са (%f, gffli) в Cg+1 (<g/, ?}в), то можно
образовать группу когомологий HaC$S> $@) этого комплекса,
а именно Нра(<&, &в) = Zpa\'В"а, где Zpa {Вра) — группа всех
поднимаемых р-коциклов (кограниц поднимаемых (р— ^-ко-
^-коцепей) со значениями в ?}?, принадлежащих рассматриваемому
покрытию. Исследуем теперь коммутативную диаграмму с точ-
точными столбцами:
С"-1
0
\
0
\
0
\
ср+1 (<&,
CPW, 9)
\9)
4
0
1*
4
0
1*
0
Если h?Zpa($S, &e), то h = i\>g для некоторой g?Cp(<%r, 9)
и т1N# = б11#=6/г = 0, т. е. 6^ ? фСр+1 (^, <^).Так как <р
инъективно и бб^ = 0, то отсюда следует, что 6# ?
6 4>ZP+1 W, вЮ- Если h?Bpa {$?< &е\ то h = 6/г' для некото-
некоторого А'? С^ ($Л ^), следовательно, можно найти коцепь
l, &), такую, что ^g' = h'. Тогда 6^' — g6
и тем самым доказано, что б? ? ф5р+1 (^, о?').
Поэтому когомологический класс ф^б^ в Hp+l(<$f, <&~) од-
однозначно определяется когомологическим классом h в
?№), и мы получаем, таким образом, гомоморфизм
6*: Нра{ф
7.3. Группы когомологий со значениями в пучке
235
Теорема 7.3.4. Последовательность
Я1 (&, <&-) -?+ Я1 (^, 9) ^+ На (&,
/гаочяа.
Здесь отображения ф* и тр* получены естественным обра-
образом из .ф и i|) с учетом того, что отображения коцепей, опре-
определяемые ф и i|>, коммутируют с операторами кограницы.
Доказательство теоремы 7.3.4. Точность
в Hp(fyf, &) очевидна. Докажем точность в Нра($?, &€)•
Пусть /z? Za{<%/, $в~). Из приведенной выше диаграммы видно,
что h — образ некоторого коцикла g ?ZP (<2f, <??) тогда и
только тогда, когда когомологический класс h принадлежит
ядру 6*. Для доказательства точности в Нр {$?', $^) заметим,
что множество значений б* в Нр {<&, $~) состоит из когомоло-
когомологических классов всех коциклов из Zp ($?, &") f| ф^'' (^, ??),
т. е. в точности из тех когомологических классов, которые ф*
отображает в 0.
i Если 7^= [V])ic.j—измельчение покрытия %? и р: У—>/—
отображение, такое, что VjCzUp^ для всякого j?J, то
можно, как и выше, определить отображение
и без изменений применить доказательство предложения 7.3.1.
чтобы показать независимость р* от выбора р; этот гомомор-
гомоморфизм мы тоже обозначаем через о(^, 7*). Для него также
справедливо свойство транзитивности.
Предложение 7.3.5. Если X паракомпактно {т. е.
X удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа, и
всякое его покрытие имеет локально конечное измельче-
измельчение), то естественное отображение прямого предела
в НР{Х, &е) есть изоморфизм „на\
Доказательство. Утверждение является прямым след-
следствием такой леммы:
296
VII. Когерентные аналитические пучки
Лемма 7.3.6. Если h?Cp(<%f, $?), mo можно найти
измельчение Т=з [Vj] ,.j и отображение р: У-*/, такие,
что CpT
Доказательство. Так как X паракомпактно, можно
считать, что <2? локально конечно, а так как X — нормальное
пространство, то можно выбрать открытое покрытие {Wj}^/»
такое, что WtczUt. Для всякой точки х ? X мы можем иайти
окрестность Vx, такую, что
(i) если x€Us(s?/p+1), то VxcUs и существует сече-
сечение <?? над Vх, которое i|> отображает на hs\
(il) если x?W,, то VxcWi, и если ^П^«?=0. то
VU
Такая окрестность Vх точки х существует, так как по опре-
определению гомоморфизма пучков всякое сечение фв можно
локально поднять до сечения 0 и имеется только конечное
число дополнительных условий, которым должна удовлетво-
удовлетворять Vx. Определим р: Х->[ так, чтобы x?Wp{x), и по"
этому VxczWp(x). Если Vx<j[\ ... {\VX ?=0. то из этого
следует, что Vx пересекается с Wp ^х \ для всякого к, и
поэтому V^ct/p^j П • • • nt/p(jf ) ввиду (il). Таким обра-
образом, сечение hp/x \... р/лг \ пучка $@ можно поднять над
Vx П • • • П Ух АО сечения 0, а это означает, что рй — под-
поднимаемая коцепь в покрытии {^}^6^-
Из предложения 7.3.5 и теоремы 7.3.4 с помощью оче-
очевидных рассуждений, которые мы оставляем читателю в ка-
качестве упражнения, получается
Теорема 7.3.7. Если X паракомпактно и 0->^"->
-> ?? —*¦ &в -*¦ 0 — точная последовательность пучков абе-
левых групп на X, то последовательность
точна.
ТА. Группы когомологий иа многообразии Штейна
с коэффициентами в когерентном аналитическом пучке.
Используя теоремы существования для оператора д, мы уже
7.4. Группы когомологий на многообразии Штейна
237
доказали в теореме 5.5.1, что Я1 (Q, ^)=вО, если Q — мно-
многообразие Штейна и Л — пучок ростков аналитических функ-
функций. Сейчас мы докажем, что теоремы существования для
оператора д полностью эквивалентны некоторым утвержде-
утверждениям о группах Нр (Q, Jf) (изоморфизм Дольбо).
Теорема 7.4.1. Пусть Q — комплексное многообра-
многообразие, счетное в бесконечности, и пусть <^г=,\{]^ —по-
—покрытие, в котором каждое Ut — многообразие Штейна.
Тогда группа Нр {$?, Л) для р > 0 изоморфна факторпро-
странству
I/; /€CSrt(Q). */=*ь}1[»& *€CS,-i><e)}.
и группа HP(Q, Л) изоморфна Нр($?< <Л)-
Доказательство. Обозначим через ^' пучок ростков
С°°-форм типа @, q) И рассмотрим точную последователь-
последовательность гомоморфизмов пучков
S'n
о,
где JS'q*— пучок ростков d-замкнутых форм типа @, q). Точ-
Точность следует из теоремы 2.3.3. Более того, из следствия
5.2.6 йы получаем, что последовательность
О-
точна, потому что пересечение любого числа множеств
Ui — тоже многообразие Штейна, поскольку оно голоморфно
выпукло. Другими словами, С2(^, J?q+i) — Cp (<%?, „2"г+1),
поэтому из теоремы 7.3.4 вытекает точность последователь-
последовательности
->Я1 («Г.
Используя предложение 7.3.3, мы заключаем, что
Нр {<М. 3>в+д ^ Hp+l (W, JZ>q), р > 1
(Q, ?q) ъ W <#\ ^Х
238
VII. Когерентные аналитические пучки
Таким образом, при р > 0 мы получаем
4Р-У
... Ъ*Н1(<&,
Это доказывает теорему, если заметить, что существуют сколь
угодно мелкие „покрытия Штейна".
Следствие 7.4.2. Если Q — многообразие Штейна,
то Нр (Q, о>?) = 0 для всякого р > 0. Более точно:
Нр{^, о>?) = 0 для всякого покрытия & — {Л//}/€/, где
каждое Ut — многообразие Штейна. (Когда р=1, это
условие можно опустить, согласно предложению 7.3.2.)
Теперь распространим только что доказанный результат
на общие когерентные аналитические пучки. Это обобщение
известно под названием теоремы В Картана.
Теорема 7.4.3. Если ^—когерентный аналитический
пучок на многообразии Штейна й, то Нр (Q, <&~) = 0
для всякого р > 0.
Доказательство. Пусть $/={{/(} —покрытие,
в котором каждое U\ — многообразие Штейна, относительно
компактное в й. Пусть, далее, многообразие Штейна Q' от-
относительно компактно в й и U'i = Ui{]Q'. Сначала мы дока-
докажем, что Нр С№, <^г~) = 0 при р > 0 для всякого когерент-
когерентного аналитического пучка <&~ на й. Для этого возьмем
сечения /j /г?Г(О, $~), порождающие пучок <&~ в Q'.
Это возможно по теореме 7.2.8, лемме 7.1.3 и лемме Бо-
реля — Лебега. Тогда мы получим точную последовательность
гомоморфизмов пучков
0^<$(/, Д)-^«->еГ-*0,
где все пучки следует рассматривать как пучки на й'. Более
того, из теоремы 7.2.9 и того факта, что всякое пересечение
множеств и\ есть многообразие Штейна, мы получаем, что
последовательность
>Ср,
7.4. Группы когомологий на многообразии Штейна
239
точна, т. е. все коцепи из Ср {$?'', <&~) поднимаемы. Следо-
Следовательно, мы имеем точную последовательность
н" <№,
Так как крайние группы слева и справа равны нулю ввиду
следствия 7.4.2, мы получаем, что Нр (&", JT) «к Нр+1 (${', Ж).
Если уже доказано, что Нр+1 (<%", &) = 0 для всякого коге-
когерентного аналитического пучка !& на Q, то отсюда следует,
что Ир (<&', <&~) = 0 для всякого когерентного аналитического
пучка на Q. Но если покрытие выбрано так, что более чем N
множеств Ut всегда имеют пустое пересечение — это воз-
возможно, когда Л/>2я,— -то очевидно, что Нр(^', <&~) = 0
при р > N для всякого пучка ^~. Это завершает доказатель-
доказательство того, что НР(<М', <5О = 0 для р>0.
При переходе от ^" к ^ следует различать два случая
(ср. с доказательством теоремы 2.7.8).
(a) /?>1. Возьмем возрастающую последовательность
относительно компактных в _Q многообразий Штейна Q1,
Q2, .... объединение которых равно Q. Пусть с — коцикл
р С ($?, &") и с-' — его сужение до коцикла в С ($?1',
где ^={Q; П ui\i^r Тогда найдется коцепь b}?Cp~l (<%fJ,
такая, что Ы>* — с1. Таким образом, разность между д^ и
сужением Ь на Q является коциклом, и поэтому равна 6а
для некоторой коцепи а ?СР~2(<$?^, <&~). Пусть коцепь
а' ? С (^, ^") определена так, что a's = as, когда UscQJ,
и ui==0 в противном случае. Вычитая из bJ+1 сужение
на QJ+1 кограницы коцепи а', мы добиваемся того, что
(b1+l)s = (bi)s< если Us czQ,1 для всякого k. Так как по
предположению всякое U\ относительно компактно в Q, это
означает, что (b^)s для всякого s не зависит от /, когда J
достаточно велико. Поэтому Ы сходятся в очевидном смысле
при j->oo к коцепи Ь? Ср~1 (Ж, $"), такой, что ЬЬ = с.
(b) Предположим теперь, что р = \. Если мы выбе-
выберем коцепи Ы, как выше, то сужение b на QJ будет отли-
отличаться от bj 0-коциклом, т. е. сечением пучка ^ над ЙЛ
240
VII. Когерентные аналитические пучки
Пусть Ю —.компактные А (й)-выпуклые подмножества в Q-',
выбранные так, что К1 принадлежит внутренности KJ+l для
всякого У и [}К* = &- По теореме 7.2.7 можно найти сече-
сечение- а ? Г (Q, (^~), такое, что
Вычитая из f> кецикл в
определяемый се-
сечением а,
всякого ]
f ( ) р
мы последовательно добиваемся того, что для
где, конечно, Ь!*Л — Ь* обозначает сечение из Г(ОА
соответствующее разности между сужением b*+1 на Q^ и bK
Но тогда из леммы 7.2.4 следует, что &* —&•* сходятся к се-
сечению s^ пучка о?" над внутренностью К*, когда А -> схэ при
фиксированному. Ясно, что &М-^'=?-'~1-т-$'~1 внутри/С^*
Ь С0
фиксированному. Ясно, то ^т ур
поэтому имеется вполне определенная 0-коцепь Ь ? С0 (<%f,
такая, что сужение b на внутренность К1 есть b^-\-sJ для
всякого у. Так как 6Ь* = с в & для всякого У, то мы по-
получаем, что 6&=»е, чем и завершается доказательство равен-
равенства И" (<§f, &Г) = 0 для всякого р > 0. Из существования
сколь угодно мелких покрытий <%?, обладающих требуемыми
свойствами, следует, что HP(Q, ,^*) = 0. Доказательство
закончено.
В приложениях мы неоднократно будем пользоваться тем
фактом, что если
— точная последовательность гомоморфизмов пучков на Л" и
если НЦХ, ^) = 0, то отображение Г(Я, &)-+¦?(Х\ &в)
есть отображение вна" (ср. с теоремами 7.S.4 и 7.3.7). От-
Отсюда мы сраау получим новое доказательство теоремы 7.2.9,
если рассмотрим гомоморфизмы пучков
7.4. Группы когомологий на многообразии Штейна 241
Если в обозначениях примера 1 разд. 7.1 мы рассмотрим
точную последовательность
то получим, что отображение F(Q, о#)-».Г(О, a4l\Jt) есть
отображение „на", когда Q — многообразие Штейна; так мы
сновд доказываем, что в этом случае первая проблема Кузена
разрешима. Для изучения второй проблемы Кузена рассмо-
рассмотрим точную последовательность
в обозначениях примера 2 разд. 7.1. (Пучки ol* и о#* пред-
представляют собой мультипликативные группы.) Тогда мы полу-
получим точную последовательность
и заключим, что вторая проблема Кузена разрешима для не-
некоторого сечения пучка ?8 тогда и только тогда, когда его
образ в //'(Q, Л*) есть 0. Для изучения этой группы рас-
рассмотрим точную последовательность
г
где Z — постоянный пучок аддитивной группы целых чисел,
а второе отображение есть отображение / -> exp Bnlf). Эта
точная когомологическая последовательность дает точную
последовательность
Н1 (Q, d) -+ Я1 (Q, <Л*) -* № (Q, Z)-* Я2(G. Л).
где обе крайние группы, слева и справа,—нули. Значит,
Поэтому отображение Г (Q, 3$) ->¦ Я1 (Q, Л*) можно рассма-
рассматривать как отображение
G.4.1) T(Q. В)-*Н\п. Z),
и вторая проблема Кузена разрешима в точности для тех
дивизоров, которые принадлежат ядру этого отображения.
Отображение G.4.1) есть отображение вНа". В самом деле,
теорема S.5.3 означает, что всякий 1-коцикл в ol* является
образом положительного дивизора, т. е. сечения Ш, которое
в каждой точке является дивизором аналитической функции.
242
VII. Когерентные аналитические пучки
Значит, уже положительные дивизоры отображаются на
И1 (Q, ol*), поэтому справедлива
Теорема 7.4.4. Вторая проблема Кузена на много-
многообразии Штейна разрешима для произвольного дивизора
тогда и только тогда, когда #2(Q, Z) = 0.
Заметим, что приведенные эдесь рассуждения — это только
менее явная форма рассуждений, данных в разд. 5.5.
Теорема 7.4.5. Если F— мероморфная функция на
многообразии Штейна Q, для которого #2(Q, Z) = 0, то
найдутся аналитические функции fug, такие, что
F = ffg и ростки fz, gz взаимно просты во всякой точке;
это представление единственно с точностью до аналити-
аналитического множителя, нигде не обращающегося в нуль.
Доказательство. Функция F определяет сечение div F
пучка 3), а ,мы доказали в разд. 7.1, что sup @, div F) = d+
и sup @, — div F) = d~ — сечения J? и что div F — d+ — d~.
По теореме 7.4.4 можно, следовательно, найти мероформные
функции /+ и /~ соответственно с дивизорами d+ и & .
Но тогда /+ и /~—аналитические функции и /+//~ опре-
определяет тот же дивизор, что и F. Значит, /+//~ = F\h для
некоторой аналитической не обращающейся в нуль функции п,
и если положить f = hf+, g = f~, то теорема будет дока-
доказана, поскольку единственность очевидна.
Не делая никаких предположений относительно H2(Q, Z),
мы получаем более слабый результат:
Теорема 7.4.6. Всякую мероморфную функцию F на
многообразии Штейна Q можно записать в виде fjg, где
f uQ
Доказательство. Пусть <&~г — идеал ростков ана-
аналитических функций gz в точке z, таких, что gzFz — росток
некоторой аналитической функции. Так как всякая точка из Q
обладает окрестностью, в которой применима теорема 7.4.5,
то -мы можем получить там аналитическую функцию g, такую,
что 4Fг равен gzAz для всякой точки z в этой окрестности.
Значит, $~ — когерентный аналитический подпучок в Л.
Пусть g — нетривиальное сечение этого пучка, которое суще-
7.5. Теорема де Рама
243
ствует по теореме 7.2.8. Тогда gF — f— аналитическая
функция, и это доказывает теорему. Заметим, что по тео-
теореме 7.2.8 можно выбрать сечение g так, чтобы оно было
образующей <?Г в любой данной точке, т. е. так, чтобы
/г и gz были взаимно простыми в данной точке, но нельзя
добиться того, чтобы это выполнялось всюду в Q.
7.6. Теорема де Рама. Пусть Q—многообразие класса С°°,
счетное в бесконечности, и "?q — пучок ростков ^-форм
класса С°° на Q. Пусть J2?q — пучок ростков таких форм,
которые аннулируются оператором внешнего дифференциро-
дифференцирования d. Тогда мы имеем точную последовательность гомо-
гомоморфизмов пучков
В самом деле, если / — некоторая {q-\- 1)-форма, для кото-
которой df = 0 в брусе (подмножестве из R", определяемом
неравенствами aj < Xj < bj, j= 1 n), то можно найти
q-форму и, такую, что du=f. Это утверждение (лемма
Пуанкаре) следует из рассуждений, примененных для дока-
доказательства теоремы 2.3.3, если вместо существования реше-
решений уравнения Коши — Римана с одной переменной пользо-
пользоваться существованием первообразной для всякой бесконечно
дифференцируемой функции одной действительной переменной.
Далее можно воспользоваться доказательством теоремы 7.4.1,
которое дает, поскольку ^*0 — постоянный пучок С, следую-
следующую теорему:
Теорема 7.5.1. Группа когомологий Нр(Q, С) для
всякого р > 0 изоморфна факторпространству
{/; /€Г(О. 8> df = 0}l{dg; g?r(Q, 3V,)}.
Это завершает доказательство теоремы 2.7.10. Чтобы
закончить доказательство теоремы 2.7.11, нам придется исполь-
использовать специальные покрытия. Поэтому сейчас удобно рассма-
рассматривать только открытые подмножества Q пространства R",
хотя все рассуждения применимы и в общем случае ввиду
теоремы Вейля [2]. Итак, возьмем покрытие ^ = {^/}/е/
многообразия Q, в котором каждое Ut — открытый брус,
244
VII. Когерентные аналитические пучки
содержащийся в Q, причем /—счетное множество. Тогда
последовательность
точна, и мы получаем с помощью рассуждений, иепольэо-
!ванных в доказательстве теоремы 7.4.1, что
Если для каждого р фиксировать оператор, обратный опера- -1
тору d в указанной выше последовательности, то легко *
^видеть, что каждому / ? Г (.З'р) в доказательстве сопоставляется
некоторый коцикл c?Zp (<&, С), такой, что cs непрерывно
зависит от / (в топологии С°°) для всякого s?Ip+1, и
J^dWp-i тогда и только тогда, когда с — кограница. Так как
<ой = с — это линейная система уравнений типа рассмотрен-
рассмотренных в лемме 6.3.7, то digp_1 замкнуто в Г («2"р). Этим за-
шершается доказательство теоремы 2.7.11.
Наконец, докажем теорему 2.7.12. Достаточно рассмо-
рассмотреть конечные покрытия множества К вида {i/^П^}^/. где
U{—vOTKpbifoe множество в С. Сужая Ut, если потребуется,
мы можем добиться того, что либо Us П К ф 0, либо I
ил(\К = 0 для всякого s?lp+1 и любого целого р. Пусть
Й' — область Рунге, содержащаяся в jjUt, такая, что из соот-
соотношения Q'flизф 0 следует Kf\U^0- Существование Q'
вытекает из того, что К обладает фундаментальным семей-
семейством окрестностей, каждая из которых есть область Рунге,
и из сделанных вначале предположений о покрытии. Пусть
теперь с —коцикл ?Cr ({UiflK), С). Можно считать, что
cs имеет постоянное значение в Usf\K для всякого s?/r+1,
так как этого можно добиться переходом к более мелкому
покрытию, поскольку значение cs локально постоянно. Тогда
существует единственная коцепь с' ?С( {^//П Q'}. С), кото- |
рая для всякого s имеет постоянное значение в Us(\ Q', |
равное •значению с в US(\K. Ясно, что с' —коцикл, а тогда *
при /¦]>« из теоремы 2.7.11 следует, что для некоторого
измельчения покрытия [Ul flQ'} области Q' коцикл с' перей-
перейдет в кограницу. Если это покрытие сузить на К, то с перейдет
в кограницу в этом покрытии, следовательно, НТ(К, С) = 0
для г ^ п. Доказательство закончено.
7.6. Когомологии с оценками
245
7.6. Когомологии с оценками й дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами. Мы доказали
теорему В (теорема 7.4.3), объединяя теоремы существования
для оператора д с локальными результатами, полученными
в гл. VI. Далее у нас есть точные оценки решений уравнения
для ^ в С" (разд. 4.4). В этом разделе мы докажем, что
подкрепленные более подробным изучением локального
поведения они приводят к „теореме В с оценками'. Этот
результат содержит теоремы существования для переопре-
переопределенных систем дифференциальных операторов с постоян-
постоянными коэффициентами.
Первый шаг — получение количественного варианта тео-
теоремы 7.4.1. При этом мы будем использовать некоторые
стандартные покрытия пространства С", которые пригодятся
нам и в остальной части раздела. Если v — неотрицательное
целое число, то через ^(v' мы обозначаем покрытие С", со-
состоящее из кубов U^ со стороной 2 • 3~v и центром g ¦ 3~v,
где g пробегает множество / точек в С" с целочисленными
координатами. (Ребра кубов должны быть параллельны коорди-
координатным осям.) Тогда для любых v и g можно найти в точ-
точности одну точку g', такую, что и$ содержит куб с тем же
'центром, что и Ug?+1\ но со стороной вдвое большей; положим
Pv, v+ig~' ^ б
g
' ^ более общем случае, если v < \i, положим
Pv, ц?" —Pv, v+iPv+»-v+2 • • • Рц-i, ц^-
Определенные таким образом отображения множества / в себя
обладают, очевидно, свойством транзитивности. Если куб U^
увеличить в 2(fl~v) раз, сохраняя его центр, то он будет при-
принадлежать LfP для 5"' = pv>|1g>. В этом разделе мы по-
постоянно пользуемся отображениями pVi(l там, где рассма-
рассматриваем системы покрытий ^(v), в которых одно является
измельчением другого. Соответствующие отображения ко-
коцепей р* определяются тогда, как в разд. 7.3.
Пусть с—коцепь в C(^(v), ol) и ф — некоторая непре-
непрерывная функция. Положим
/(V)
где dX — мера Лебега в С".
246
VII. Когерентные аналитические пучки
Предложение 7.6.1. Для всякой плюрисубгармониче-
плюрисубгармонической в С функции <р и всякой коцепи с ? Cp($f(v\ ji) (p > 0),
такой, что ос==0 и ||с||(р<оь> найдется коцепь
c/^C"-1(^v+p-l\ J), такая, что Ьс' = р^
G.6.1) ' |
Здесь К — константа, не зависящая от ф и с, a t|) опре-
определяется формулой
Для доказательства используется в основном гёорема 4.4.2,
но, кроме того, потребуется следующая локальная теорема
существования для оператора д:
Лемма 7.6.2. Пусть Q — область голоморфности и
Q'—ее относительно компактное подмножество. Для вся-
всякой плюрисубшрм&нической в С" функции ф и всякой
формы /^Z|e> ?+i)(G), для которой df = 0, можно найти
форму a?Z.(o>9)(Q, loc), такую, что du = f a
J | a I2*-*dk < К J | /12е-«Р dl,
Q' а
где К не зависит от и и ф.
Доказательство. Возьмем функции ф и %{р), как
в доказательстве теоремы 4.2.2, чтобы разность х (/>)— отбыла
ограничена снизу. Так как D.2.10) выполняется, если ср за-
заменить на Ф + Х(р). то из леммы 4.1.1 (см. D.1.3)) следует,
что уравнение ?u — f имеет решение, для которого
* К
+Х (Р)-2Ф
Н^ К
+Х (Р)-
если ф?С2. Правая часть этого неравенства оаениваетсэ
константой, умноженной на ||/||ф, что доказывает лемму для
ф?С2. Общий случай получается так же, как в доказатель-
доказательстве теоремы 4.4,2.
Замечание. В работе Хбрмандера [1J доказано, что эта
лемма выполняется и для Q' = й, если Й ограничена, но
в этом случае доказательство более сложно. Этот результат
устранил бы необходимость переходить к измельчению в пред-
7.6. Когомологии с оценками
247
ложении 7.6.1 (см. разд. 2.4 в работе Хбрмандера (Ц).
Однако так или иначе, в дальнейшем нам пришлось бы из?
мельчать покрытие при получении оценок для поднятия
коцепей, поэтому мы выиграем совсем мало, если будем
доказывать более сильный вариант леммы.
Доказательство предложения 7.6.1. Чтобы
воспроизвести доказательство теоремы 7.4.1, введем про-
пространство Cp(<%?(v), Л?я, ф) всех кососимметрических коцепей
<•¦=
где
is\-
Мы хотим доказать, что если Ьс = О (р > 0), то можно вы-
выбрать c'?Cp-lW+'p~l\ J?r Ф)так, чтобы 6c' = P;v+p_lC
и выполнялось G.6.1). Для q = Q это утверждение в точ-
точности совпадает с предложением 7.6.1. Мы докажем его
для р > 1, предполагая, что оно уже доказано для меньших
значений р и всех q. Как и в доказательстве теоремы
?.4.1, успех такой индукции определяется тем, что q
произвольно.
Без ограничения общности можно считать, конечно, что
v = 0. Сначала мы должны пересмотреть предложение 7.3.3.
Выберем неотрицательную функцию к?Со'(и$), такую, что
%гХ (z ~~ if) — 1 • Такую функцию можно построить, взяв
Xe€co°(l^O)) так, чтобы Хо^-° и чтобы Хо> ° в концентри-
концентрическом кубе с вдвое меньшей стороной. Тогда i(z)~
= Хо B)/^Xo (z—ё) обладает требуемыми свойствами. Теперь
положим
Так как функции %{z — g) образуют разбиение единицы,
подчиненное покрытию ^°\ то из доказательства предложе-
предложения 7.3.3 получается, что ЬЬ = с. Из неравенства Коши сле-
следует, что
и поскольку S х {г — g") = 1, имеем
248
VII. Когерентные аналитические пучки
7.6, Когомологии С оценками
249
Пусть db—коцепь из С 1
венством
(дЬ), =lbs =
i, ф), определяемая ра-
ра(z - g) Л eg<,.
Так как ни одна точка не содержится в носителях более
чем 2" функций %{z—g), мы получаем, что
где К — некоторая константа.
Далее б db = д ЬЬ = дс = 0. Поэтому, если /> > 1, мы
можем по предположению индукции найти коцепь'
Ъ' ^ Ср~2(^'(р~2), J2?q+\, яр), такую, чтоб?' = р* „_2db и для Л|
некоторой константы К\
p~1
Так как д^=0 для всякого s?fp~1 и яр — плюрисубгармо-
1
ническая функция, то для всякого s?/ по лемме 7.6.2 ^
можно выбрать b"s ^ L^oiq)(uf~1\ яр) так, чтобы db's=b,
\ если s' = pn_2 n-iS, и
/ ..а
где Къ — некоторая константа. |
В самом деле, с точностью до параллельного переноса |
имеется лишь конечное число множеств i//*, а если куб
и*?~1) увеличить в отношении 2 к 1 преобразованием подо-
подобия из его центра, то он будет принадлежать Uf~2). Теперь J]
положим
Тогда 6с' = ро*; р_ j 6* = Р;_ р_ ,
Суммируя приведенные выше оценки для Ь, Ь' и Ь", мы по- |
лучаем G.6.1).
Остается рассмотреть случай р = 1. Здесь б db = 0 озна-
означает, что <%> однозначно определяет форму / типа @,
в С", для которой й/ = 0 и
По теореме 4.4.2 можно найти форму и ? /.(о, ?> (С, яр), такую,
что да = / и
Полагая с^ = ?>4 — и, мы получаем, таким образом, коцепь
с нужными свойствами.
Пусть Pjk (j = 1, ..., р; k=\ q)—многочлены
по z. Рассмотрим гомоморфизм пучков
G.6.2) Р: <Ая-+а1р,
определяемый отображением (Jx /?N^? в №?jkfь}Р]'-\--
Мы хотим дать оценки для когомологии со значениями в ядре
или образе этого гомоморфизма, которые являются, очевидно,
когерентными аналитическими пучками. Это можно сделать,
по'существу повторяя доказательство теоремы 7.4.3, но сна-
сначала надо пересмотреть все локальные составляющие этого
доказательства. Первая из них—теорема Ока в этом частном
случае.
Лемма 7.6.3. Ядро МР гомоморфизма G.6.2) поро-
порождено ростками всех наборов Q = (Qj, .... Qg) из q мно-
многочленов, таких, что
G.6.3)
j=\
р,
и, более того, —конечным числом таких Q.
Доказательство. Так как кольцо многочленов нёте-
рово (см. Зарисский и Самюэль [1], стр. 233), то модуль
всех Q с компонентами — многочленами, удовлетворяющими
G.6.3), конечно порожден над кольцом многочленов. По-
Поэтому, если все полиномиальные решения уравнения G.6.3)
являются образующими для Strp, то можно найти конечное
число образующих. Доказательство леммы легко получается
17 Зак. 861
250
VII. Когерентные аналитические пучки
из общих фактов о локальных кольцах —например, из
леммы Артина — Риза. Однако нам достаточно заметить, что
теперь без изменений можно использовать доказательство
теоремы Ока (теорема 6.4.1). Подробную проверку мы предо-
предоставим читателю.
Пусть (Qi, Qql), l = \ г,—образующие пучка ШР
с полиномиальными компонентами. Тогда из теоремы 7.2.9
получается
Лемма 7.6.4. Если Q — область голоморфности и
если функции fk?A (Q), k = 1 q, удовлетворяют урав-
уравнениям 'ZQlPjkfk=O, /=1 р. то найдутся функ-
функции gi?A(Q), / = 1. .... г, такие, что
G.6.4)
Я-
Обратно, из G.6.4) вытекает, что ?Pyft/ft = 0. Таким
образом, мы выбрали Q так, что образ Q совпадает с яд-
ядром Р. Поэтому мы можем теперь сосредоточиться на изу-
изучении образа гомоморфизма тива G.6.2). Наша ближайшая
цель—дать количественный вариант теоремы 6.3.5 в этом
случае.
Предложение 7.6.5. Пусть (PJk) (У=1 р;
k—\ q) —матрица с полиномиальными элемен-
элементами и Q — окрестность нуля. Тогда существует окрест-
окрестность Q' начала координат, такая, что для всякой
можно найти v?A(?l'-\-z)9, такую, что
Pv~Pu и
G.6.5)
p|
Q'+z
p
Q+z
где С и N — константы, не зависящие от и и от г?С.
Здесь Q -f- z — множество (? -\-г; ? ? Щ и | v |2 =
Доказательство. Первую часть доказательства
ремы 6.3.5 можно повторить без всяких изменений. В самом
деле, предположим, что р > I и что утверждение уже дока-
7.6. Когомологии с оценками
251
зано для систем, состоящих из меньшего чем р числа урав-
уравнений. В частности, тогда можно рассмотреть уравнение
и заключить, что оно имеет решение г»1 в Q' -\- г, такое, что
sup
Q'+z
p
Q+z
Ри\.
Положим теперь v = vl -\- w. Мы должны подобрать w так,
чтобы Pw = P(и — v1) и чтобы w можно было оценить.
Мы можем применить лемму. 7.6.4 к системе уравнений
2P,ft«>ft = 0. Если (Qn Qql), 1=1, ..., г,—образую-
г,—образующие этих отношений с полиномиальными коэффициентами
•и Q' — область голоморфности, то можно написать
где / = (/i, ..., /г) 6 A(Q')r. Теперь мы хотим искать w
в виде -w = Qg. Система уравнений Pw = Р(и — г»1) пере-
переходит тогда в систему PQg — PQf, и первое из этих р
уравнений выполняется автоматически ввиду определения Q.
^начит, имеется только р — 1 уравнений, но по предположе-
предположению индукции мы можем для подходящей окрестности Q"
начала координат выбрать g так, чтобы
'A+1*1)"' sup|PQ/| =
¦ ' Й'+z
==€' A -\-\г\У*' sup | Ри — /V |
Q'
вир
2"+г
с некоторыми константами С и W. Если т — верхняя гра-
граница степеней многочленов Pjk и Qkl, то для v = v1-\-Qg
мы получаем
- Q'+z
а так как
Pv = Pvl + PQg = Pvl + PQ/ = Pvl
Q+z
P (u — Vх) == Pu,
то утверждение доказано. _
Остается, однако, показать, что утверждение верно, когда
/г==1, в предположении, что оно верно для меньшего числа
переменных и произвольного р. Для этого требуется более
17*
252
I. Когерентные аналитические пучки
детальное изучение свойств многочленов, а также другой
подход к подготовительной теореме Вейерштрасса. Оконча-
Окончание доказательства предложения 7.6.5 придется отложить до
тех пор, пока мы не сделаем этих приготовлений.
Без ограничения общности можно считать, что Q — еди-
единичный шар.
Лемма 7.6.6. Для "данного целого m > О можно
найти конечное подмножество в единичного шара Q =
С |Ф|<1}, такое, что для всех многочле-
многочлет
нов р степени
G.6.6)
sup
\г\<1
(z) |< С sup inf \p(wb)\,
»?в ||1
где С зависит только от п и т.
Это в точности лемма 3.1.6 из книги Хёрмандера [2], и
читатель может обратиться к данному там доказательству.
Напомним также, что если р (z) = 2| а (< таага, то
G.6.7) С,2|ав|< sup |p(«)|<C22K|.
|г|<1
где С1 и С2 — некоторые положительные константы, завися-
зависящие только от л и т. В самом деле, все нормы в конечно-
конечномерном векторном пространстве эквивалентны.
Теперь рассмотрим подготовительную теорему Вейер-
Вейерштрасса для случая, когда максимум правой части G.6.6)
достигается для вектора Ф = (О О, г). Мы используем
обозначение
рB)= sup |рB + 0|-
IEK1
Важно заметить, что величина p(z) ограничена снизу в Сл,
если р не есть тождественный 0. В самом деле, если aaza —
ненулевой член высшей степени в р, то из G.6.7) следует,
что р (г) > Сх | аа |.
Лемма 7.6.7. Пусть р—многочлен
0 < г < I. Предположим, что
степени
G.6.8)
p@)<C inf \p@, zn)\
7.6. Когомологии с оценками
253
где С — константа из G.6.6), Тогда найдется число г',
0 < г' < 1, зависящее только от г, п и т, такое, что
поликруг
A = {z; \Zj\<r', j<n, |zn|<r}
содержится в единичном шаре, а всякую ограниченную
функцию /^Л(Д) можно записать в виде ¦
где g, h?A(Д), h — многочлен по zn степени, меньшей
числа т+ нулей р @, zn) в | га | < г, и
G.6.9) sup|A|<C'sup|/|, sup|g-|<C'sup|/|/p(O)
д д д д
с константой С, зависящей только от п и т.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что />@)=1. В силу G.6.7) отсюда вытекает, что
для коэффициентов р имеются равномерные оценки. По-
Положим
где р0 (zn) — р @, zn), и поэтому рх (zf, 0) = 0. Тогда
G.6.10) | рх (г) | < Кг' в Д, если Д с й,
где К — некоторая константа (во всем доказательстве мы
требуем, чтобы все константы зависели только от и и т).
Кроме того, так как | ро(г„)\ > 1/С, когда | г„ \ = г, и у нас
есть оценки для коэффициентов р0, мы можем подобрать
константу е > 0 так, чтобы
I Ро BЯ) | > 1 /2С, когда || гп | — г |< е.
В частности, р0 не имеет нулей в этом кольце. Положим
где нули р? лежат в круге I zn | < г, а нули р^ — вне
этого круга, причем старший коэффициент р+ равен еди-
единице. Тогда
XI *J-
при
>г
-е.
254
VII. Когерентные аналитические пучки
7.6. Когомологии с оценками
255
Кроме того, для коэффициентов р* у нас имеются равно-.
мерные оценки.
Теперь мы можем всякую ограниченную функцию / ? А (Д)
записать в виде -
где п — многочлен по zn степени < т+ и для некоторой
константы К'
G.6.11) suptg-|</C'supt/|, sup] А |</С sup) /|.
' Д Д Д Д
Действительно, надо только положить для z ? Д
l==2ni р- z /р+^т'-О*'
'— . — " dt,
где интегрирование ведется по окружности ] % \ = р, | г„ \ < р |
и г—е<Р<>'- Символ г' обозначает (гг 2n_j). Так
как (р? (т) — Ро" (^я))/^ — zn) — многочлен по гп, т, то оче-
очевидно, что Л — многочлен по гп и что имеет место требуемая
оценка для А. Отсюда мы получаем оценку для \pog\, и
поэтому
в Д, когда r—e<\zn\<r. По принципу максимума из
этого следует G.6.11). . '
После этого лемму можно доказать тем же итерационлым
методом, который мы использовали в доказательстве теоремы
6.1.1. Итак, положим ?0 = 0 и определим А?Л(Д)
для k > 0 по рекуррентной формуле
У—
с дополнительным условием, что hk — многочлен по г„ сте-
-пени < т+ для всякого ft. Тогда gk и hk— ограниченные
аналитические функции в А для всякого k, и так как
то из G.6.10) и G.6.11) следует, что
., .. sup | gj+1 — gk | < KK'r' sup j gk — «-ft-i
Если г' < 1/2KK', "то из этого вытекает существование пре-
предела ^==ИтА>оо^ = 2^й+1 — gk) и оценка
p||||
д д д
Существование A~HmAft следует из рекуррентной формулы,
из которой видно также» что f = pg-\-h. Оценка для h
получается" теперь немедленно из оценки для g.
Из леммы 7.6.7 мы выводим аналог следствия 6.1.2, пола-
полагая
Лемма 7.6.8. Поликруг Д в лемме 7.6.7 можно выб-
выбрать так, чтобы всякий многочлен р степени-^.т, удо-
удовлетворяющий G.6.8), можно было разложить на множи-
множители р = р+р~, где
(i) p+ и р~ — многочлены по гп, аналитические
и ограниченные в Д;
(И) старший коэффициент р+ равен 1, и все нули р+
лежат в Д, когда \ Zj \ < г', j < п;
(Ili) р @IС<infд \р~|<supA |р- |<Срф). где С
и С — константы, зависящие только от п и т.
Доказательство. Так как все коэффициенты р равны
О(рф)), то можно выбрать г' столь малым, чтобы для неко-
некоторого е > 0
р(г)ф 0, если \е}\ < г' для j<n, и flzj — г\ <е.
Тогда p(z', zn) имеет в точности т+ нулей, для которых
I zn I -^ г ""*" е- если I zj | < Т'' / < "¦. Из леммы 7.6.7 вытекает
существование функций g ,h ? А (Д), таких, что 2™+ = pg- — А,
где h — многочлен по zn степени < т+. Поэтому все нули мно-
многочлена р+ = 2^+4-А должны лежать в круге |2л|<]г — е,
j\<r', j<n.
так что |/>+B)|>em+, когда \zn\ —
j
Этим доказывается, что |g"f >в"г+/р@), когда z? Д. Оста-
Остается положить p- = l/g\ и лемма следует из G.6.9).
Повторением доказательства леммы 6.1.3 получается
Лемма 7.6.9. Пусть р и Д — такие же, как в лемме
7.6.8, Вели /?Л(Д) и р/ — многочлен по za, то р~/ —
тоже многочлен по za.
256
VII. Когерентные аналитические пучки
Доказательство. Алгебраический алгоритм деления
дает pf = p+g-\-h, где g и h — многочлены по zn и сте-
пень h меньше гп+. Так как h должен обращаться в нуль
во всех /и+ нулях р+ для фиксированного z', то отсюда
следует, что h = 0. Значит, p~f = g— многочлен по zn.
Окончание доказательства предложения
7.6.5. Остается доказать, что когда Q — единичный шар
и р = 1, то предложение верно, если оно верно в общем
случае для меньшего числа переменных. Мы можем считать, '
что Рг ф О и что степень м многочлена Рг не меньше сте-
пеней Pi, J — 2, .... q. Из этого вытекает, что величина
PjB) ограничена снизу. Применим лемму 7.6.6 к Рх. Для
всякого д?в обозначим через Е$ множество всех z? С,
таких, что
inf |p!B + wft)|.
Достаточно доказать, что для всякого фиксированного
предложение имеет место, когда z ? ?0. Линейной заменой
переменных мы можем свести доказательство к случаю Ф =
= @ 0, г). Положим
и выберем А так, чтобы можно было применить леммы 7.6.7
и 7.6.8. Тогда для всякого z??0 можно написать
где g,h(: A(z-\-&), h — многочлен по ?„ степени < т+
(числа нулей в 2 + А уравнения Рг(г', ?„) = ()), и
G.6.12) sup|g-|-t-sup|A|</Csup|/|
2+Д г+Д г+Q
для некоторой константы К- Для j > I положим Uj =
= P1Uj-\-wj, где Wj — многочлен по t,n степени < т+.
Полагая U1 = u1-\-P2U2-ir ••• -\-PqUq< мы получаем . .
Пусть i/1==g4-«»i. Тогда
7.6. Когомологии с оценками
257
Так как все слагаемые, за исключением, возможно, первого, —
многочлены по ?„ степени <w + m+, то PjTOj — тоже мно-
многочлен по ?„ степени < т-\~т+. Однако из этого не сле-
следует, что wl—многочлен по ?„. Чтобы можно было исполь-
использовать лемму 7.6.9, разложим Я,, применяя лемму 7.6.8
к многочлену Р, (z -\-1). Из нее следует, что Рг можно за-
записать в виде Px=zр+р-, где р+ и р~ аналитичны в г-)-Д,
оба являются многочленами по ?„, отношение р~ к Р1 (г)
ограничено константами снизу и сверху в г-|-Д и нули
р+ и р~ расположены так, как описано в лемме. Тогда функ-
функции w'j — p~Wj, }—\ q, и h' — p~h аналитичны
в z -|- А и являются многочленами по ?„ степени < 2т. Далее
PlW[+ ... +Pqw'q = h' в 2-ЬА
и, согласно G.6.12), имеет место оценка
G.6.13) sup|A'|</C'PiB)sup|/|.
г+Д ' z+Q
Теперь мы можем написать
W
¦<s>= 2
«
у*
О с*. а'@
2m-1
¦ 2
где коэффициенты' аналитичны и ограничены в г'-f-A'.
,Д' = {С ^С"; |Су|<г . j < и}. Из одномерного варианта
G.6.7) и из G.6.13) следует, что
G.6.14) v
2 sup l
ft г' + Д'
pi
г + д
Уравнение
|
г+Д
эквивалентно системе Ът уравнений для Wjk, правые части
которых — функции hk или нули. Поэтому, согласно предпо-
предположению индукции, мы можем найти окрестность А" начала
координат в Сл~ , такую, что в z -f-A существуют анали-
аналитические функции Wjk, для которых многочлены
,2m-l
удовлетворяют уравнению
258
VII. Когерентные аналитические пучки
и оценке
G.6.15) 2 sup
г'+Д"
Полагая
sup \hk\.
z' + Д'
при
мы получаем, что
в подмножестве из г-\-\, в котором ?' ? г' -}-Д"; из G.6.12),
G.6.14) и G.6.15) и того, что /»~- можно оценить снизу
константой, умноженной на Р\(г), получаем G.6.5). Доказа-
тельство, наконец, завершено.
Заметим, что часть этого доказательства содержится
в доказательстве леммы 6.4.2. Все компоненты фактически
уже использовались в гл. VI, и единственное, что делает
доказательство трудным, — это необходимость следить за
оценками.
Теперь у нас имеется все необходимое для доказатель-
доказательства теоремы В с оценками. Пусть Pj^ У—1> •••> Р\
А==1 q, -— многочлены. Положим, как и выше,
7. Яр^^о; y=i
Если ф—непрерывная функция, то определим Ca{<%f<v\ $tp, ф)
как множество.кососимметрических коцепей c = {cs], s?Ia+1,
где с.?Г(и?, МР) и
J | cs f е-ч> dX < оо.
Здесь мы полагаем |/J2=|/1 |2-f- ... -\-\fqf, если / =
= (/; fq)?A(Q)9 дл$г некоторого открытого множе-
множества Q.
Теорема 7.6.10. Пусть заданы Р, целое число v я
плюрасуб гармонике ска я функция <р, для которой
G.6.16)
при .\z —
7.6. Когомологии с оценками
259
где С — некоторая константа. Тогда существуют целые
числа nuN, такие, что для всякой коцепи с?Сс'(^(vl', <$р, ф),
для которой бс = 0, а > 0, можно найти коцепь
\ ^ ) такую, что бс' = р; цс и
G.6.17) ||c'1l^
некоторой константы К- Здесь ФлгB) = Ф(.г)-г-
Доказательство. Сначала заметим, что предложе-
предложение 7.6.5 выполняется, если G.6.5) заменить неравенством
G.6.5/ j
<С Г \Pu\2e-4^dh{z).
z+Q
В самом деле, множитель е~*, согласно G.6.16), несуществен,
а для q> = 0 утверждение получается из теоремы 2.2.3, если
применить предложение 7.6.5, в котором Q заменяется окрест-
окрестностью со <т Q множества Q'.
' Будем доказывать теорему 7.6.10 индукцией по убываю-
убывающим о, замечая, что она справедлива, когда а > 22п, так как
в этом случае нет ни одной ненулевой коцепи с^€а{<^^, Sip, ф)-
Итак, предположим, что теорема доказана для всех Р,
когда о заменено на a—j- 1. Если Q выбрать так же, как
в лемме 7.6.4, то можно написать cs—Qds, где d ? Ca(^(v), A')-
Для получения оценки ds мы должны перейти к измельчению
данного покрытия, так чтобы потом можно было использо-
использовать предложение 7.6.5. Заметим, что для ц > у множе-
множество L/f'K увеличенное в 2|i~v раз с сохранением центра,
принадлежит ?/^?, если s' — pviis. Поэтому, согласно заме-
замечаниям о предложении 7.6.5; сделанным в начале этого до-
казательства* можно для достаточно больших ц выбрать
'd',€A(U?f так, чтобы Qd's = Qds. = cs- в Ц?> и
260
VII. Когерентные аналитические пучки
Суммируя, получаем
и p*vllc = Qd'. (Через С мы обозначаем различные константы
в различных оценках.) Так как 6с = 0, из этого следует, что
6Qd'=Q6d'=0. Таким образом, bd'=d" ? Са+1(^\ <%Q, фдг),
а поскольку bd" = 0 и <р« плюрисубгармонична, то по пред-
предположению индукции для подходящих N' и \i' > \i можно
выбрать d"'^C\^'\ aQ. Ф„,) так, что б/" = р*^/ и
Полагая у = р* d' — d" ? С° (&0, ^г)- мы получаем, что
Таким образом, предложение 7.6.1 показывает, что для не-
некоторого \i' > \i найдется коцепь у' ? С0 (<%?{>i"\ Л), такая,
чт0 PH'n»Y = 6Y' и
для некоторого N". Полагая c'=Qy', мы получаем, что
Так как из G.6.18) вытекает G.6.17) для подходящего N,
то теорема доказана.
В главных приложениях, которые мы сейчас дадим, ко-
коцепи наконец исчезнут.
Теорема 7.6.11. Для данной системы Р найдется
константа N, такая, что если ср — плюрисубгармониче-
ская функция, удовлетворяющая G.6.16), то для
любого и?А(СУ существует ¦»?Л(С")?, такое, что
Pv = Pu и
G.6.19) J | v|2е-ФA -h| z P)-"
где С не зависит от и.
J | Ри fe-
7.6. Когомологии с оценками
261
Доказательство. Если не выполняется условие
J \Pu\2e-4>dX(z)<.oo,
то доказывать нечего, поэтому будем считать, что оно вы-
выполнено. Применяя предложение 7.6.5, как в доказательстве
теоремы 7.6.10, мы заключаем, что v можно выбрать так,
чтобы для всякого g ? / существовал элемент ug ? A (u'g ) ,
для которого Pug = Ри в U^ и с некоторыми константами С
и Af, не зависящими от и и g, выполняется неравенство
G.6.20) J | ug р е-ч> A + | г f)~N dX (z) <
< С
J
|2 e~f dX (z),
где g' =
Нет никаких оснований утверждать, что ug совпадают
в пересечениях кубов
разности
g
поэтому мы должны рассмотреть
, ф). Согласно G.6.20),
Они определяют коцикл с ? С1
мы имеем
G.6.21) ||с||2 <С f \Pu\2e~4>dX(z)
(С обозначает различные константы в различных оценках).
Теорема 7.6.10 утверждает теперь, что для некоторых \i > v
и N' > N существует коцепь с ? С0 {^(v)t МР. ф/v'). такая,
что be' = p'(lca
G.6.22) ' 1К1!Ф;у
Это означает, что если положить
v = uPvtig + cg в Uf,
то тем самым однозначно определится элемент v ? А (С"L.
Так как Рс' = 0, из этого следует, что Pv = Ри, а из оце-
оценок G.6.20), G.6.21) и G.6.22) получается G.6.19) с N'
вместо N. Доказательство закончено.
262
VII. Когерентные аналитические пучки
Лемма 7.6.4 и теорема 7.6.11 вместе дают
Следствие 7.6.12. Для данного Р найдется целое
число N, такое, что если функция <р плюрисубгармонична
и удовлетворяет G,6.16), a f?A(Cn)9 удовлетворяет
уравнениям Р/ = 0, то f = Qg, причем
для некоторой константы С, не зависящей от /. Здесь Q
имеет тот же смысл, что и в лемме 7.6.4.
Теорема 4.4.4 показывает, что теорема 7.6.11" и след-
следствие 7.6.12 являются содержательными для любой <р.
Теперь мы докажем теоремы существования дли систем
дифференциальных уравнений в частных производных с по-
постоянными коэффициентами, используя теорему 7.6.11 и след-
следствие 7.6.12 вместе с преобразованиями Фурье и двои- .
ственностью.
Пусть PJk, / = 1, .... У; k=l. , К, — многочлены
по п переменным с комплексными коэффициентами. Рассмот-
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
к
G.6.23) 2 Pjk Ф) «* = /,. J = 1 J.
где D = ~-idjdx, в открытом множестве QcR". Рассмотрим
множество всех наборов Q == {Qx Qj) из У многочленов.
таких» что
2<W = o, k = i к.
Это конечно порожденный модуль над кольцом многочленов.
Пусть (Qu, ..,, Qu) (Qn Qu)— множество его
образующих. Если записать G.6.23) в виде P(D)u = f -и
аналогично интерпретировать Q (D), то станет ясно, что
Q(D)P(D) = Q, и поэтому необходимым условием существо-
существования решения системы G.6.23) является условие Q(D)/ = 0.
Обратно, имеет место
Теорема 7.6.13, Пусть Q — открытое выпуклое
множество в R". Тогда найдется целре число N, та-
7.6. Коаомологии с оценками
263
кое, кто система уравнений P(D)u=f имеет решение
u?Cv(Qf для всех f 6CV+JV(Q)J, таких, что Q(D)/ = 0.
Мы докажем также теорему о приближении, аналогичную
теореме Рунге. При этом под экспоненциальным решением
уравнения P(D)u = 0 подразумевается решение вида и(х) =
__gi(jr,E) щ(х), где компонентами и0 служат многочлены.
Теорема 7.6.14. Пусть Q — открытое выпуклое мно-
множество в R". Тогда замыкание в Cv (Q)K линейных ком-
комбинаций экспоненциальных решений системы Р(О)« = О
состоит из всех решений этой системы, принадлежащих
Йачнем с доказательства теоремы 7.6.14, поскольку она
понадобится в доказательстве теоремы 7.6.13, как понадо-
понадобилась теорема Рунге для доказательства, скажем, тео-
теоремы 1.4.4.
Доказательство теоремы 7.6.14. Пусть L — не-
непрерывная линейная форма на CV(Q)K, ортогональная всем
экспоненциальным решениям. Тогда сужением L на C°°(Q)
Является набор / == (fv fK) распределений 6 %" (ЭД-
Пусть М—компактное выпуклое подмножество в Q, содер-
содержащее носитель /, и пусть Н — опорная функция для М, т. е.
Я F) = вир {х, I).
По теореме Пэли — Винера (см., например, Хёрмандер [2],
раад. 1.7) для некоторого целого числа N мы имеем
G.6.24)
Обозначим через *Р(р) транспонированную матрицу Р( — D).
Если мы сможем доказать, что
G.6.25) f =
для некоторого g ? ?" (Q)J, то получим, чта
«, g)
для всех й€С°°(О)^ и тогда ?(и) = 0. если P(D)u = 0
в окрестности sttppg1. Так как форма L непрерывна в CV(Q)K,
264
VII. Когерентные аналитические пучки
то, применяя этот результат к и * %е, где %е определено, как
в доказательстве леммы 4.1.4, мы получаем, что /.(«) = О
для всякой функции u?Cv(Q) с компактным носителем в Q,
такой, что Ри = 0 в окрестности suppg\ Значит, /.(«) = 0
для всех «?C*(Q), удовлетворяющих уравнению P(D)u = 0,
и теорема следует из теоремы Хана — Банаха. Таким образом,
остается только доказать существование g. (По поводу про-
проведенных рассуждений см. также Хёрмандер [2], стр. 107.)
Уравнение f = *P (D) g эквивалентно уравнению /(?) =
= '-P(Og"(Q, гДе / и g — преобразования Фурье — Лапласа.
Построение g- будет проведено в три приема.
1. Для всякой точки ? существует формальный степенной
ряд Gj, такой, что в С
Действительно, это бесконечная система линейных уравнений
для коэффициентов ряда Oj, подобная той, которая обсуж-
обсуждалась в лемме 6.3.7; эта система имеет решение, если она
совместна. Уравнения можно записать так:
где а — любой мультииндекс и k—l К. Совместность
означает, что если qj— произвольные многочлены, то
G.6.26)
Положим
=0 для всех
Тогда
Pjk (?>) uk (x) = 2 PJk (Dx) qk (Dt)
так что когда левая часть G.6.26) справедлива, то
если взять Gj(z)==e~l (*¦ z\ а все остальные
7.6. Цогомологии с оценками
265
По предположению имеем
о = («, />= 2 <?*( — ¦*) *-'Ut). /*>=S
Поэтому G.6.26) справедливо и уравнение / —'PGg имеет
решение, являющееся формальным степенным рядом в точке ?•
2. Согласно следствию 6.3.6, мы можем найти решение
уравнения f = lPQ, аналитическое в окрестности любой точки
в С", а тогда по теореме 7.2.9 существуют решения этого
уравнения, являющиеся целыми функциями.
3. Теперь можно применить теорему 7.6.11, используя
G.6.24) и тот факт, что #(Im?) — выпуклая и, следова-
следовательно, плюрисубгармоническая функция. Отсюда следует
..уществование набора О из У аналитических функций, для
которого / = 'PG и
| О © |2 е~
44 ? РГ
где N' — подходящая константа. Ввиду теоремы 2.2.3 итого,
что Н удовлетворяет условию Липшица, из этого вытекает, что
для некоторой константы С. Поэтому по теореме Пэли —Ви-
—Винера имеем G = g, где g ? Ж' (My. Доказательство закончено.
Заметим, что это доказательство применимо также для
приближения решений класса С" на компактных выпуклых
множествах.
Доказательство теоремы 7.6.13. Пусть со — вы-
выпуклое относительно компактное подмножество Q. Сначала
построим решение уравнения Ри = / в со. Это уравнение озна-
означает, что для v ? С?° (соO
Для построения и мы должны, таким образом, продолжить
линейную форму
{Pv->(f, v), v
A priori неясно даже, определяется щ такое продолжение
однозначно.
266
VII. Когерентные аналитические пучки
Пусть Н — опорная функция для со и
| v \\ = J | «<01е-™а» о A 4-1 ? P)
Если г/'^Со°(ю/ и 'P{D)v = w, то из теоремы 7.6.И мы
знаем, что существует набор V из У целых функций, такой.
что
= «@ и
G.6.27) J
fv
где С и N — константы. По теореме Пэли — Винера V = vt
для некоторого vx ? 8" (со/ порядка не выше v-J-АЛ Заметим,
что iP(D)v1 = tP(D)v = w. Так как '/>@(V©-«@) = 0,
а столбцы 'Q являются образующими для <$+р, то, согласно
следствию 7.6.12,
и для некоторого целого N', зависящего только от Р и Q,
J (ОЧЦр*-2"<'«>«(! +|;p)*-»-"'rfA,@<oo.
Из теоремы Пэли — Винера следует, что Ф = ср, причем но-
ситель <р принадлежит со. Если F^C°°(Q)y, то
{P. v,) - (P. v) = {P. JQ (D) <р> == (Q (D) Р. <р>.
а из этого следует, как в начале доказательства теоремы 7.6.14,
что
tf.v) = (f,vl).
если / 6 Cv+N (Q)y и Q(D)f = 0. Выберем /0 ? (%+" (Q)J так,
чтобы / = /о в. окрестности «. Тогда
К/. «>12=К/. ^)!2=1
<f i
причем последний интеграл сходится, так как
для la|<v-+-^V. Таким образом, из G.6.27) мы получаем,
7.6. Когомологии с оценками
267
что
Поэтому линейную форму
можно продолжить по теореме Хана — Банаха до линейной
формы на пространстве L2 в С" относительно меры
Значит, существует набор U из К измеримых функций, та-
такой, что
G.6.28) J | и (О Р е2Я <Im W A 4-1 С p)v rfX (С) < оо
и
</, г;> = J (U(С). *Р@^@) dk®. v 6 С§°(со/.
Транспонируя матрицу Р и подставляя выражение для г/,
получаем
G.6.29) /(*)=//>(-;$)?/©«-'<*.?>,/*,(?), хбсо,
в предположении, что v — и — 1 больше степени Р, и поэтому
интегралы абсолютно сходятся. Полагая*
мы получаем из G.6.28), что и^С4""" (со), а из G.6.29)-
что P(D)u==/b со. Если v заменить на v -)- я -+-1. то, как мы
сейчас доказали, для всякой функции f?Cv+N+n+l(Q), для
которой Q(D)/ = 0, уравнение P(D)« = / имеет решение
и?С (со), в предположении, что v превышает степень Р.
Для завершения доказательства мы должны взять воз-
возрастающую последовательность выпуклых открытых множеств
Q б Q
у у р
<S Q, объединение которых равно Q, и в каждом
v
оь
найти решение Uj? Сv (со^)* уравнения P(D)«; = /. Исполь-
Используя теорему 7.6.14, последовательность и, можно сделать
сходящейся к решению и ? Cv (Q)^' уравнения P(D)«=/. Детали
этрро рассуждения, мы оставляем читателю, поскольку оно
же повторялось несколько раз начиная с разд. 1.4.
268
VII. Когерентные аналитические пучки
Теорему 7.6.13 можно легко обобщить до теоремы су-
существования, в которой/—распределение конечного порядка
в Q. Теорема остается справедливой даже если / — распре- 1
деление бесконечного порядка, но тогда доказательство тре-,1
бует дополнительных рассмотрений. ^
Примечания. Все результаты разд. 7.1—7.4 можно найти в тру- Ц
дах семинара Картана [1], к которым мы и отсылаем за дальней-
дальнейшими приложениями. Например, мы здесь не доказывали, что пучок
аналитических множеств когерентен. Таким образом, мы не рассмо-
рассмотрели Даже результат, для которого, первоначально предназначалась
вся теория, а именно, что аналитические множества определяются
глобальными уравнениями. Приведенные нами доказательства внеш-
внешне сильно отличаются от доказательств в трудах семинара Карта-
Картана [1], потому что в нашем распоряжении с самого начала были
частные случаи теорем А и В, доказанные в гл. V. Тем не менее
основные пункты доказательств совпадают. Так, в доказательстве
теоремы 7.2.1 (существование глобальных сечений когерентного ана-
аналитического пучка) мы используем индуктивный процесс, предло-
предложенный Картаном [1], хотя и опираемся на теоремы существования
сечений аналитических векторных расслоений, доказанные в разд. 5.6,
а не на теоремы Картана [2] об обратимых голоморфных матричных
функциях. Это не дает большого упрощения, однако устраняет един-
единственный нелинейный элемент теории. Изоморфизм Дольбо (теорема
7.4.1) рассмотрен в работе Дольбо [1]. Диалогом его для оператора
внешнего дифференцирования является теорема де Рама, доказан-
доказанная здесь в разд. 7.5 на сей раз стандартным методом, восходящим
к Вейлю [2]; доказательство изоморфизма Дольбо аналогично.
В разд. 7.4 и 7.5 мы в значительной мере следуем изложению
Мальгранжа {1] с модификациями, вызванными различием наших
исходных точек.
Результаты типа рассмотренных в разд 7.6 впервые были сфор-
сформулированы Эренпрейсом [2]. Более подробный вариант был доло-
доложен им на конференции по гармоническому анализу в Стэнфорде
(август 1961 г.). Его доказательства появятся в книге «Fourier
analysis in several complex variables», которая сейчас имеется в
рукописи. Онн опираются на классические методы Ока и Картана,
которые не дают оценок так легко, как использованные нами здесь
?2-методы. Так, теорема 7.6.11 и следствие 7.6.12 даны Эреипрейсом
только для некоторых функций ip, особенно важных в применениях
к дифференциальным уравнениям. Со времени публикации Эрен-
прейса 1960 г. большинство его утверждений было доказано Маль-
гранжем [2] и Паламодовым [1]. Все три автора приводят значи-
значительно более сильный вариант теоремы 7.6.14, в котором решения
дифференциального уравнения Р(?>)ы=0 представляются абсолютно
сходящимися интегралами по экспоненциальным решениям. Это тре-
требует более подробного локального анализа, чем данный здесь,
однако переход от локальных результатов к глобальным ие содер-
. жит ничего нового по сравнению с результатами, доказанными в
разд. 7.6.
ЛИТЕРАТУРА
Здесь приводится список работ, упоминаемых в книге либо в
качестве источников представленного материала, либо полезных для
дальнейшего его изучения. Мы не стремились к полноте, и поэтому
не включили большого числа фундаментальных работ, связанных с
вопросами, рассмотренными в этой книге.
Андреотти, Грауэрт (Andreotti A., Grauert H.)
[1] Теоремы конечности для когомологнй комплексных пространств,
сб. Комплексные пространства, «Мир», М., 1965, 105—189.
Андреотти, Везентини (Andreotti A., Vesentini E.)
[1] Carleman estimates for the Laplace-Beltrami equations on com-
complex manifolds, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 25 A965),
t 81—130.
Арене, Кальдерон (Arens R. F., Calderon A. P.)
[1] Analytic functions of several Banach algebra elements, Ann.
Math., B), 62 A955), 204—216.
А ш (A s h M. E.)
[1] The basic estimate of the d-Neumann problem in the non-Kahle-
rian case, Amer. J. Math., 86 A964), 247—254.
Бенке, Штейн (BehnkeH., Stein K.)
[1] Konvergente Folgen von Regularitatsbereiche, Math. Ann. 116
A938), 204—216.
Б и ш on (В i shop E.)
[1] Mappings of partially analytic spaces, Amer. I. Math., 83 A961),
209—242.
[2] Lecture notes, University of California, Berkeley, Calif., 1963.
Бохнер (BochnerS.)
[1] Analytic and meromorphic continuation by means of Green's for-
formula, Ann. Math., B), 44 A943), 652—673.
Бохнер, Мартин (Bochner S., Martin W. T.)
[1] Функции многих комплексных переменных, ИЛ, М., 1951.
Браудер (BrowderA.)
[1] Cohomology of maximal ideal spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 67
A961), 515—516.
270
Литература
Бремерман (BremermannH.)
[1] Complex convexity, Trans. Amer. Math. Soc, 82 A956), 17—51.
[2] Ober die Aquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holo-
morphiegebiete im Raum von n komplexen Veranderlichen, Math.
Ann., 128 A954), 63—91.
В е й л ь (W e i 1 A.)
[1] Введение в теорию кэлеровых многообразий, ИЛ, М., 1962.
[2] Sur les theoremes de de Rham, Comm. Math. Helv., 26 A952),
119—145.
[3] L'integrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs variables,
Math. Ann., IU A935), 178—182.
Вермер (WermerJ.)
[1] Seminar fiber Funktionenalgebren, Springer lecture notes in mathe-
mathematics 1, 1964.
Г а и и и-н г, Р о с с и (G a n n i n g R., Rossi H.)
[1] Аналитические функции нескольких комплексных переменных, М.,
1968.
Гарабедян, Спенсер (Garabedian P., Spencer D. С.)
[1] Complex boundary problems, Trans. Amer. Math. Soc, 73 A952),
223—242.
Грауэрт (GrauertH.)
[1] О проблеме Леви и вложении вещественно-аналитических много-
многообразий, сб. Математика, 4 : 3 A958), 29—40.
Дольбо(Оо1ЬеаиНР.)
[1] Sur la cohoraologie des varietes analytiques complexes, С R. Acad.
Sci. Paris, 236 A953), 175—177.
Зарисский, Самюэль (Zariski P., Samuel P.)
[1] коммутативная алгебра, т. 1, ИЛ, М., 1963.
К а л лин (Ка 11 in E.)
[1] A non-local function algebra, Proc. nat. Acad. Sci., 49 A963),
821—824.
Картав (Cartan H.) ц
}] Seminaires E. N. S., 1951/52.
2] Sur les matrices holomorphes de n variables complexes, /. Math.
Pures Appl, 19 A940), 1—26.
Картан, ТулЛен (Cartan H., Thullen P.)
[1] Regularitats- und Konvergenzbereiche, Math. Ann., 106 A932),
617—647.
Кизельман (Kiselman C.)
[11 On unique supports of analytic functionals, Arkiv for Matematik,
6 A965).
Литература
271
Кон (Kohn J. J.)
[1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds I, Ann.
Math., B), 78 A963), 206—213.
[2] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds II, Ann.
Math., 79 A964), 450—472.
Ко », Ниренберг (Kohn J. J., Nirenberg L.)
[1] Non-coercive boundary problems, Comm. Pure und Appl Math.,
18 A965), 443—492.
К о и, Р о с с и (К о h n J. J., Rossi H.)
[1] On the extension of liolomorphic functions from the boundary of
a complex manifold, Ann. Math., B), 81 A965), 451—472.
Леви (Lewy H.)
[1] On the local charactei of the solution of an atypical linear diffe-
differential equation in thr°e variables and a related theorem for
regular functions of two complex variables, Ann. Math., B) 64
A956), 514-522.
Л ел он (Lelon g P.)
[1] La convexite et les fonctions analytiques de plusieurs variables
complexes, /. Math. Pures Appl, 31 A952), 191—219.
Л щи и с (L о о m i s L. H.)
[1] Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, М., 1956.
Мальграиж (MalgrangeB.)
[1] Lectures on the theory of functions of several complex variables,
Tata' Institute of Fundamental Research, Bombay, 1958.
Ш] Sur les systemes differentiels a coefficients constants, Coll.
C. N. R. S., Paris, 1963, 113—122.
[3J Existence et approximation des solutions des equations aux deri-
vees partielles et des equations de convolution, Ann. Inst. Fourier,
6 A955), 271—354.
Мартиио (MartineauA.)
[I] Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier- ч
Borel, /. Analyse Math., 9 A963), 1—164.
Мер re л ян С. Н. .
[1] Равномерное приближение функций комплексного переменного.
УМН, 7, 2 D8>, A952).
Мнлиор (MilnorJ.)
[1] Теория Морса, «Мир», М., 1965.
Мор р и (Мог г еу С. В.)
[1] The analytic embedding of abstract real analytic manifolds Ann
Math., B), 68 A958), 159—201.
НаймаркМ. A.
[1] Нормированные кольца, М., 1956.
Нарасимхан (NarasimhanR.)
[I] Holomorphically complete - complex spaces, Amer. J. Math 82
.. A961), 917-934. '
272
Литература
HnpeH6epr(NirenbergL.)
[1] Partial differential equations with applications in geometry, Lectu-
Lectures on modern mathematics, Vol. II, New York, 1964, 1—41.
Hopre (NorguetF.)
[1] Sur les domaines d'holomorphie des fonctions uniformes de plu-
sieurs variables complexes, Bull. Soc. Math,. France, 82 A954),
137—159.
Ньюлендер, Ниренберг (Hewlander A., NirenbergL.)
[1] Complex analytic coordinates in almost complex manifolds. Ann
Math., B), 65 A957), 391—404.
Ока (О k а К.)
[1] Sur les fonctions de plusieurs variables, I, Domaines convexes par
rapport aux fonctions rationnelles, /. Sc. Hiroshima Univ., 6
A936), 245—255.
[2] Sur les fonctions de plusieurs variables, II, Domaines d'holo-
d'holomorphie, /. Sc. Hiroshima Univ., 7 A937), 115—130.
[3] Sur les fonctions de plusieurs variables, III, Deuxieme probleme
de Cousin, /. Sc. Hiroshima Univ., 9 A939), 7—19.
[4] Sur les fonctions de plusieurs variables, VII, Sur quelques notions
arithmetiques, Bull. Soc. Math. France, 78 A950), 1—27.
[5] Sur les fonctions de plusieurs variables, IX, Domaines finis sans
point critique interieurs, Jap. J. Math., 23 A953), 97—155.
Осгуд (Osgood W. F.)
[1] Lehrbuch der Funktionentheorie Hi, Leipzig, 1924.
Паламодов В. П.
[1] Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффи-
коэффициентами, «Наука», М., 19б7.
Пой a (Polya Q.)
[1] Untersuchungen iiber Liicken und Sirrgularitaten von Potenzreihen,
Math. Z., 19 A929), 549—640.
Радо (R a d 6 Т.)
[1] Subharmonic functions, Berlin, 1937.
де Рам (de Rham G.)
[1] Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
Р о й д е н (R о у d e n H. L.)
[1] Function algebras, Bull. Amer. Math. Soc, 69 A963), 281—298.
P о с с и (Rossi H.)
[1] The local maximum modulus principle, Ann. Math., B), 72 A960),
С e p p (S e r r e J. P.)
[1] Когерентные аналитические пучки, сб.
ства, ИЛ, М„ 1958, 372—450.
Расслоенные простраи-
[2] Une propriete topologique des domaines de Runge, Proc. Amer.
Math. Soc, 6 A955), 133—134.
Литература
273
Хелсо'н, Кахан, Кацнельсон, Рудин (Н el son Н., Ка-
h a n e J. Р., К a t z n e 1 s о n Y., R u d i n W.).
[1] The functions which operate on Fourier transforms, Ada Math.,
102 A959), 135—157.
Хёрмандер (HormanderL.) _
[1] Оценки в U- и теоремы существования для оператора д, сб. Ма-
Математика, 10:2 A966), 59—116.
[2] Линейные дифференциальные операторы с частными производ-
производными', «Мир», М., 1965.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Theorie des distributions I, Paris, 1950.
Ш и л ов Г. Е.
[1] О разложении коммутативного нормированного кольца в пря-
прямую сумму идеалов, Матем. сб., 32 G4) A953), 353—364.
Штейн (Stein К.)
[1] Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen und
das zweite Cousin'sche Problem, Math. Ann., 123 A951),
201—222.
Эренпрейс (EhrenpreisL.)
[1] A new proof and an extension of Hartogs theorem, Bull. Amer.
Math. Soc, 67 A961), 507—509.
[2] A fundamental principle for systems of linear differential equations
with constant coefficients and some of its applications, Proc.
Intern. Symp. on Linear Spaces, Jerusalem, 1961, 161—174.
«[3] Mean periodic functions, Amer. J. Math., 77 A955), 293—328.
Э р в е (HerveM.)
[1] Функции многих комплексных переменных, «Мир», М., 1965.
Предметный указатель
Абеля лемма 56
Аналитическая функция 13, 42 '
на комплексно аналитиче-
аналитическом многообразии 145
от элементов банаховой
алгебры 100
Аналитический полиэдр порядка
N 167
— пучок 215
— функционал 135
Аналитическое векторное рас-
расслоение 184
— отображение 145
— подмногообразие 146
А (й) -оболочка 22, 60
Банахова алгебра 90
Бореля преобразование 138
Вейерштрасса многочлен 197
— теорема 29
подготовительная 195
Гармоническая функция 32
Гельфаида преобразование 92
Гельфандовское представление
банаховой алгебры 92
Голоморфная форма 87
— функция 13, 42
Голоморфно выпуклое комплекс-
комплексно аналитическое многообра-
многообразие 146
Голоморфное расширение комп-
комплексно аналитического много-
многообразия 172
Гомоморфизм пучков 215
-Граница пространства макси-
максимальных идеалов 98
.— Шилова 98
Граничное расстояние в римаио-
вой области 178
Группы когомологий покрытия
топологического простран-
пространства со значениями в пучке
232
Дивизор 216
— положительный 216
Дифференциальная форма типа
(Р. Я) 44
Дольбо изоморфизм 237
Идеал кольца 94
конечно порожденный 202
максимальный 95
собственный 94
Изоморфизм Дольбо 237
Измельчение покрытия 231
Картана теорема А 227
— теорема В 238
Когерентный аналитический пу-
пучок 218
Кограница 230
Кольцо нётерово 202
— ростков аналитических функ-
функций 199
— формальных степенных рядов
203
Комплексно аналитическая коор- •
динатная система 144
Предметный указатель
275
Комплексно аналитическое мно-
многообразие 144
Конечно порожденный идеал 202
Коцепь покрытия 230
— поднимаемая 234
Коцикл 230
Коши интегральная формула 15
; для поликруга 46
— неравенства 48
Кошн—Римана уравнения 13, 42
касательные 78
— — — неоднородные 45
Кузена вторая проблема 182,
216, 241
— первая проблема 27, 181, 216,
241
— свойство 81
Лапласа преобразование 136
Леви проблема 124
— условие 76
— форма 76
Лемма Абеля 56
— Пуанкаре 54
— Соболева 123
— Фридрихса 151
/Локально конечно порожденный
пучок 217
Максимальный идеал 95
Мероморфная функция 24, 25,
201, 216, 242
Миттаг-Леффлера теорема 26
Многообразие 143
— комплексно аналитическое 144
->. голоморфно выпуклое
146
— счетное в бесконечности 145
— Штейна 146
Многочлен Вейерштрасса 197
Множество, определяющее ана-
аналитический функционал 135
-г первой категории 166
— полиномиально выпуклое 80
— псевдовыпуклое 73
— слабо ограниченное в гильбер-
гильбертовом пространстве 112
— трубчатое 65
Модуль отношений 207
Мультииидекс 44, 46
Мультипликативный
функционал 91
линейный
Неприводимый элемент кольца
200
Неравенства- Коши 48
Нётерово кольцо 202
Нормальная сходимость ряда 47
Носитель меры нли -функции 15
Область голоморфности 59
— звездная относительно нача-
начала координат 66
— Рейнхарта 57
логарифмически выпуклая
59
— рнманова 175
— Рунге 80
относительная 128
— сходимости степенного ряда
56
— целостности с однозначным
разложением иа множители
200
Оболочка голоморфности 174
Образующие банаховой алгебры
96
Общий спектр элементов бана-
банаховой алгебры 96
Ока отображение 81
— теорема 207
Оператор кограницы 230
Опорная функция выпуклого
множества 136
Определяющее множество ана-
аналитического функционала 135
Основание трубчатого множест-
множества 65
Остов поликруга 45
Отображение аналитическое 145
— регулярное 163
— собственное 163
Паракомпактиое топологическое
пространство 235
чПлюрисубгармоиическая функ-
функция 69
Подготовительная теорема Вей-
Вейерштрасса 195
276
Предметный указатель
Поднимаемая коцепь 234
ПоликруР 45
Полиномиально выпуклое мно-
множество 80
Полиэдр аналитический поряд-
порядка N 167
— полиномиальный 81
Полное множество комплексно
аналитических координатных
систем 144
Положительный дивизор 2L6
Полюс мероморфной функции 25
Почти комплексная структура
188, 189
Представление банаховой алгеб-
алгебры 91
— гельфандовское 92
Преобразование Бореля 138
— Гельфанда 92
— Лапласа 136
— Фурье — Лапласа 139
Пример неразрешимости второй
проблемы Кузена 123
Принцип максимума 19
Проблема Кузена вторая 182,
183, 216, 241
первая 27 181, 216, 241
— Леви 124
Проекция аналитического вектор-
векторного расслоения 184
— пучка 214
Пространство максимальных иде-
идеалов банаховой алгебры 95
Прямая сумма банаховых ал-
алгебр 106
— ¦— пучков 216
Псевдовыпуклая граница 76
Псевдовыпуклое множество 73
Пуанкаре лемма 54
Пучок абелевых гругГп 215
— аналитический 215
— дивизоров 216
— когерентный аналитический
218
— колец 215
— локально конечно порожден-
порожденный 217
— на топологическом простран-
пространстве 214
— ©-модулей 215
— отношений 218
Пучок постоянный 214
— ростков аналитических функ-
функций 212—213
, мероморфных функций 215
Пэли — Вннера теорема 140
P(Q) -оболочка 71
Радикал банаховой алгебры
104
Разбиение единицы 28, 233
де Рама теорема 243
Регуляризация функции 70
Регулярное отображение 163
Рейнхарта область 57
Риманова область 175
Росток аналитической функции
199
— сечения пучка 214
Рунге область 80
относительная 128
— теорема 20
Свойство Кузена 81
Сечение аналитического вектор-
векторного расслоения 185, 186
— пучка 214
Сечения, порождающие - пучок
219
Система Матриц перехода для
аналитического векторного рас-
расслоения 185
Слой аналитического векторного
расслоения 184
— пучка 214
Соболева лемма 123
Собственное отображение 163
Собственный идеал 94
Спектр общий элементов бана-
банаховой алгебры 96
— элемента банаховой алгебры
92
Степенной ряд 18, 56
Строго плюрисубгармоннческая
функция 74, 119
на комплексно анали-
аналитическом многообразии 147
— субгармоническая функция 39
Субгармоническая функция 32
Теорема А Картана 227
Предметный указатель
277
Теорема В Картана 238
— Вейерштрасса 29
— — подготовительная 195
— единственности 18
—' Миттаг-Леффлера 26
— Ока 207
— о неявных функциях 43
для банаховой ал-
алгебры 102
— Пэли — Винера 140
— де Рама 243
— Рунге 20
— Хартогса 48
— — о субгармонических функ-
функциях 39
Теоремы о приближениях 20,
127, 133; 159, 188, 226, 263
— существования 119, 133, 157,
187, 246, 262
Топология в пространстве сече-
сечений 223, 226
Точная последовательность 233
Трубчатое множество 65
Уравнения Коши — Римана 13,
42
— касательные 78
неоднородные 45
Факторпучок 215
Форма голоморфная 87
— дифференциальная типа (р, q)
44
— Леви 76
Формула Кошн интегральная 15
для полнкруга 46
Фридрихса лемма 151
Функционал аналитический 135
Функция аналитическая 13, 42
на комплексно аналитиче-
аналитическом многообразии 145
— — от элементов банаховой
алгебры 100
— гармоническая 32
— голоморфная 13, 42
— мероморфная 24, 216, 242
— нормированная в направле-
направлении zn 199
— опорная выпуклого множе-
' ства 136
— плюрисубгармоническая 69
— полунепрерывная сверху 32
— строго плюрисубгармониче-
плюрисубгармоническая 74, 119, 147
субгармоническая 39
— субгармоническая 32
— целая экспоненциального ти-
типа 137
— экспоненциальная 136
Фурье — Лапласа преобразова-
преобразование 139
Хартогса теорема 48
о субгармонических функ-
функциях 39
Шилова граница 98
Штейна многообразие 146
Экспоненциальная функция 136
Эрмитова метрика на комплекс-
комплексно аналитическом многообра-
многообразии 149
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5i
Предисловие 7'
Обозначения Ц-.
Глава I. Аналитические функции одного комплексного
переменного 13
1.1. Предварительные сведения 13
1.2. Интегральная формула Коши и ее прнмёне-
. ния , . - 14
1.3. Теорема Рунге о приближениях 20
1.4. Теорема Миттаг-Леффлера 24
1.5. Теорема Вейерштрасса 29
1.6. Субгармонические функции 32
Глава II. Элементарные свойства функций нескольких
комплексных переменных 41
2.1. Предварительные сведения 41 ¦
2.2. Применение интегральной формулы Коши для
полнкруга " 45
2.3. Неоднородные уравнения Коши — Рнмана в по-
поликруге ........ 51
2.4. Степенные ряды и области Рейнхарта .... 56
,2.5. Области голоморфности ' . . 59
2.6. Псевдовыпуклость и плюрисубгармоничность . 69
2.7. Области Рунге . . . • _. . . 80
Глава III. Применения к коммутативным банаховым ал-
алгебрам 90
3.1. Предварительные сведения 90
3.2. Аналитические функции от элементов банахоЛ \
вой алгебры 99
Глава IV. Оценки в L2 и теоремы существования для
оператора 110
4.1. Предварительные сведения 110
4.2. Теоремы существования в псевдовыпуклых об-
областях 116
4.3. Теоремы о приближениях 125
4.4. Оператор д во всем пространстве 129
4.5. Аналитические функционалы 135
Оглавление
279
Глава V. Многообразия Штейна 143
5.1. Определения 143
5.2. Оценки в L2 и теоремы существования для
оператора д 149
5.3. Вложение многообразий Штейна 162
5.4. Оболочки голоморфности 172
5.5. Проблемы Кузена на многообразии Штейна . . 181
¦.'.' • 5.6. Теоремы существования и теоремы о прибли-
i жении для сечеиий аналитического векторного
расслоения -- . 184
5.7. Почти комплексные многообразия 188
Г лава VI. Локальные свойства аналитических функций . , 195
6.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса . . . 196
6.2. Разложение на множители в кольце Ао ростков
аналитических функций 199
6.3. Конечно порожденные Л0-модули . . . г . • . 202
6.4. Теорема Ока 207
Г л а.'в а VII. Когерентные аналитические пучки на много-
многообразиях Штейна 211
7.1. Определение пучков * . . . . 212
7.2. Существование глобальных сечений когерент-
когерентного аналитического пучка 219
7.3. Группы когомологнй со значениями в пучке . . 230
7.4. Группы когомологнй на многообразии Штейна
с коэффициентами в когерентном аналитиче-
' ском пучке i .... 236
7.5. Теорема де Рама 243
7.6. Когомологии с оценками и дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами. . 246
Литература ...«*.. 369
Предметный указатель 274
Л. Хермандер
Введение в теорию функций
нескольких комплексных переменных
Редактор Н. И. Плужникова
Художник А. А. Бессонов
Художественный редактор Ё. И. Шаповалов
Технический редактор И. К. Дерва
Сдано в производство 2S/VIII 1967 г.
Подписано к печати 16/П 1968 г.
Бумага типографская № 2. Формат 84х1081/32"='
-4,38 бум. л. 14,7 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 13,13.
Изд. № 1/4369. Цена 1 р. 11 к. Зак. 861.
Темплан 1968 г., издательства «Мир», № 24.
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР- Г"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Измайловский проспект, 29