Московский государственный
технический университет
имени Н.Э. Баумана
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
nftWltn
И.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова,
А.Л. Сунчалина
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
I L l Л Ч" 1  М in
Издательство МГТУ
им, Н.Э. Вау мана
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
И.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова,
А.Л. Сунчалина
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013
УДК 517.9
ББК 22.161
Ф94
Рецензент И.Л. Покровский
Ф94 Функции нескольких переменных: метод, указания к выполне-
нию типового расчета / И. Г. Зорина, Т. И. Лапшенкова, А. Л. Сун-
чалина ; под ред. И. О. Янова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2013. —61, [3] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-3677-4
Приведены краткие теоретические сведения по теме «Функции
нескольких переменных», разобрано большое число детально ре-
шенных типовых примеров, которые предполагают глубокое по-
нимание теоретического материала. Приведены задачи типового
расчета.
Для самостоятельной работы студентов, изучающих функции
нескольких переменных.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учеб-
ного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.9
ББК 22.161
ISBN 978-5-7038-3677-4
©МГТУ им. II/). Баумана, 2013
ВВЕДЕНИЕ
Раздел математического анализа «Функции нескольких пере-
менных», который более точно можно назвать «Дифференциаль-
ное исчисление функции нескольких переменных», является про-
должением раздела «Дифференциальное исчисление (функции
одной переменной)» и служит фундаментом при изучении после-
дующих частей математического анализа, таких как «Кратные
интегралы», «Численные методы», «Уравнения математической
физики» и др. Кроме того, некоторые задачи раздела «Функции
нескольких переменных» могут найти непосредственное приме-
нение на практике, например, поиск экстремума функции не-
скольких переменных, интерполирование функций по методу
наименьших квадратов и интерполирование сплайнами, вариаци-
онное исчисление и т. д.
1. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Скалярной функцией векторного аргумента
называют закону по которому каждой точке X =	неко-
торого множества D из и-мерного вещественного арифметического
пространства R" поставлено в соответствие единственное веще-
ственное число у = f (X). Функцию у = f (%!,..., хп ), где
f: D —> R, также называют функцией п переменных, или функцией
нескольких переменных (ФНП).
Множество D называют областью определения ФНП, а мно-
жество Е = {у|у =	— областью значе-
3
ний ФНП. Если ФНП задана формулой, то можно найти ее есте-
ственную область определения, состоящую из всех
X = (^ хл), для которых определена	т. е- справедлива
формула, задающая эту функцию, так как в нее входят только из-
вестные элементарные функции, введенные для одной перемен-
ной. Используя известные области допустимых значений этих
элементарных функций, получаем область определения ФНП в
пространстве R", записанную в виде системы неравенств. Изобра-
зить эту область можно на плоскости для и = 2 или в обычном
трехмерном пространстве для п = 3.
Пример 1. Найти область определения функции z =
_ л/1-x^/l-^
1п(х + у)
Решение. Запишем систему ограничений
х<1,
У~^
х + у>0,
х + у ф\.
Рис. 1
Изобразим эту систему на плоскости.
Для этого заменим все неравенства на
равенства, по полученным уравнениям
построим соответствующие линии, за-
тем с помощью пробных точек устано-
вим, где лежит искомая область D
(рис. 1).
Линии, входящие в область Z), изоб-
разим сплошными линиями, а не входя-
щие — пунктирными. Точки Л(1; 0)
и Б(0; 1) — точки разрыва, отрезок А В
целиком состоит из точек разрыва и называется линией разрыва.
Определение. Графиком функции / :£)—>R называется мно-
жество Г = <	,
хп, у) е R”+11 V(%J,х„) е D, у =	х„)}.
4
График Г описывает множество точек в (п + 1)-мерном про-
странстве, координаты которых удовлетворяют уравнению у =
= /(х1? х2,..., х„). Графиком функции двух переменных, т. е.
* = /(*, у), является поверхность. Например, для функции
z = х2 + у2 — это параболоид вращения с осью вращения OZ.
Существует и другой способ графической интерпретации
ФНП.
Определение. Пусть дана функция w-переменных у = f(x\. х2,
..., хп). Множество |(а^,...,xrt)eZ)czR'i|/(x1,x2,...,x„)=constj
называется поверхностью уровня.
Для функции двух переменных z = /(х, у) получаем линии
уровня Гс = |(х, j?)|/(x, j?) = С, С е Е cz
Каждая из этих линий представляет собой кривую на плоско-
сти XOY, лежащую в области £>, во всех точках которой функция
z-f (х, у) имеет постоянное значение С. Линии уровня Гс можно
получить из графика функции Г путем сечения его плоскостями
z = С, проецируя полученные линии пересечения на плоскость
XOY. По линиям уровня на плоскости, наоборот, можно предста-
вить себе график функции в пространстве, если каждую линию
уровня Гс на плоскости z - 0 поднять на С единиц, т. е. располо-
жить ее на плоскости z = С. Таким образом, можно изобразить лю-
бую поверхность в пространстве в виде семейства линий уровня на
плоскости. Это используется, например, в географических картах
для изображения рельефа местности.
Рассмотрим функцию z - х2 + у2. Линии уровня для этой
функции — окружности х2 + у2 = С (С > 0) с центром в начале
координат и радиусами д/с. Если каждую окружность радиусом
Vc поднять на С (по оси OZ), то можно представить себе парабо-
лоид вращения, т. е. график исходной функции.
Для функции трех переменных и = f(x,y,z} получаем поверх-
ности уровня Гс = |(х, у, z)| f (х, у9 z) = С, С е Е cz . Например,
функция и = х + у + z имеет поверхности уровня х + у + z - С.
5
С е R. Они представляют собой параллельные плоскости, отсека-
ющие от осей координат одинаковые отрезки, равные С. Если
изобразить эти плоскости и указать на каждой значение С, т. е. и
{и = Q, то можно получить какое-то представление о распределе-
нии физического параметра и (например, температуры) по всему
пространству как о функции трех переменных.
Пример 2. Используя линии уровня, найти минимальное и
максимальное значения функции z = х2 + у2 в области определе-
ния
функции g(x,y) = arcsin(x-2) + arccos
Решение. Линии уровня функции z = х2 + у2 есть окружности
х2 + у2 =С(С>0). Запишем область допустимых значений дру-
гой функции:
или
' 1<х<3,
-2<у<2.
Получим прямоугольник со сторонами х = 1, х = 3, у = -2,
у = 2, причем границы входят в область D. Изобразим эту область
и линии уровня для С = 0 и С = 1 на плоскости (рис. 2).
Рис. 2
Линии уровня С = 1 касаются границы области D и соответ-
ствуют минимальному значению функции zmin= 1, так как меньшие
значения не входят в область D. На рис. 2 пунктиром показана ли-
6
ния уровня, соответствующая С < 1 (z < 1). Она не пересекается с
областью, поэтому не существует значения z < 1, т. е. минимум
функции в области D zmin = 1. Для определения zmax надо найти ли-
нию уровня с максимальным С, которая пересекает область D хотя
бы в одной точке, а любая линия уровня, соответствующая боль-
шему значению С, не пересекает область D. Такой линией уровня
является х2 + у2 = 13, т. е. окружность радиусом V13. Радиус ра-
вен длине ОА или ОВ. Координаты точки А(3; 2), отсюда ОА =
= >/з2 +22 = л/Гз, zmax =13. Этот максимум достигается в точке
Л(3; 2) или В(3; -2). Минимум zmin = 1 достигается в точке (1; 0).
2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть внутренняя точка М = (х1?...,принадлежит области
£> с F задания функции у = f ,..., хп ).
Если всем аргументам придать произвольные приращения
Aq, Дх2,Дхл так, чтобы точка (jq + Дл^, х2 + Дх2+ Дхл )
оставалась в области задания функции, то величина Ду =
= /(%! + Дх15..,х, + Ах, ,...,хп + Ах„)-/(х],.,х„) получит
название полного приращения или просто приращения функции
у = /(х!,..,х„) в точке М = (х|5х„).
Зафиксируем все аргументы, кроме одного, например,
xz (/ = !...«), и аргументу xt придадим произвольное приращение
так, чтобы точка X - (х1?xz + Acz,..., хп} находилась в обла-
сти задания этой функции.
Определение. Величина Хух = /(x1,...,xz+Дх/5.
-f (xj,..., xt,..., xn ) называется частным приращением функции
нескольких переменных по xz .
Если же всем аргументам придать произвольные приращения
Дх15 Дх2,...,\хп так, чтобы точка	+Дх2,...,хл+Дх„) оста-
7
валась в области задания функции, то полным приращением или про-
сто приращением функции у=f(x},..., хп} в точке М = (х19...,хн)
называется величина Ду = /(^ + Дт19xt + Дх,,..., хп + Axw) -
Определение. Частной производной функции у = /(х19...,
в точке Л/(х19..., по аргументу х; называется предел (если он
существует и конечен) отношения частного приращения \ух
функции в точке М к соответствующему приращению Дх, аргу-
л п	г
мента в этой точке при Дх, -> 0: — = lim---
dxt Дх/->о Axz
Помимо----- применяют также обозначения-----, ух , fx .
dxt	дхг 1	1
Видим, что частная производная по аргументу х{ представляет
собой обыкновенную производную функции одной переменной хг
при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому
вычисление частных производных проводится по обычным прави-
лам дифференцирования функции одной переменной.
Рассмотрим примеры для функций двух переменных z =
= f (*> у) и трех переменных и = g(x, у, z).
Пример 1. Найти частные производные от функции z =
(\COSV
sin X )
Решение. Вычисляя частную производную по переменной х,
рассматриваем z = (sinx)cosy как сложную степенную функцию
вида иа 9 где z/ = sinx и а = cos у. Так как производная
ау = const, то
= cosy(sin x)cosy-1 cosx.
При нахождении частной производной по переменной у за-
данную функцию рассматриваем как показательную вида аи, где
8
67 = sinх и w = cosy. В этом случае \аи) =аи\паи\ а х = const,
тогда
= (sin x)c°sу In (sin х) (- sin у).
Пример 2. Найти значение частной производной функции
z = arctg— в точке MQ (1; 2).
х
Решение. Найдем сначала все частные производные заданной
функции в произвольной точке Л/(х; у):
dz _	1 Г у А у dz _	1	1 _ х
дх у1 t х2 J х2 + у1 ду у1 х х2 + у1
l+^-y	1+ 2
X	X
и подставим в них координаты точки MQ (1; 2):
dzi 2 dzi 1
a^lw° “s’
Пример 3. Найти частные производные от функции
и - 2yjx + 3у2 V7.
Решение. Имеем функцию трех независимых переменных
и = и(х; у, z). Найдем ее три частные производные:
— ~2у—-т=г + 0 = —— = 2yGc + бу V?,
дх 2л/х 4х ду
ди 2 2 -X 2у2
dz	Л	3 Щ
Пример 4. Доказать, что функция z = y2sin^x2 — у2 j удовле-
2 dz	&
творяет уравнению у----ь ху— = 2xz.
дх	ду
9
Решение. Задана функция двух переменных z-f(x9y). Най-
дем ее частные производные
Sz	2	(2	2\п
— — у coslx — у 12х,
дх v	7
-^- = 2jysin(x2 -у2) + у2 cos(x2 -y2j(-2y).
Подставим их в левую часть данного соотношения и упростим
его:
у1 у1 cos(x2 - у1 j2x + xy^2ysin^x2 -у2^ + у2 cos^x2 - у1 j(-2y)j =
= y42xcos(x2 - у1 j + 2xy2 sin(x2 -y2^-2Ay4cos^x2 -у2 j =
= 2ху2 sin(x2 -y2J = 2xz.
Что и требовалось доказать.
3.	ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ.
ГРАДИЕНТ
Понятие производной по направлению I является обобщени-
ем понятия частной производной для случая п = 3.
Пусть функция и = f(x,y,z} определена в некоторой окрест-
ности точки A/(x;y;z)eR3 и задан вектор I. Тогда единичный
вектор /о =рг = (cosa, cosP, cosy), где a, Р и у —направляющие
И
косинусы вектора I.
Всем аргументам придадим приращения так, чтобы вектор
приращения А/ = (Ax, Ay, Az) был параллелен заданному вектору
10
направления I. При этом А х = AZ cos а, Ду = AZ cos Р, A z = AZ cos у,
где |а7| = ^/ах2 + Ay2 + Az2 — произвольное скалярное прираще-
ние. Точка (х + А х, у + Ду, z + A z) должна находиться в окрестно-
сти точки М.
Определение. Приращением функции м(х, у, z) в направ-
лении Z в точке М называется величина Дм, =
= f (х + AZ cos а, у + AZ cosp, z + AZ cosy) - f (x, y, z); так как x, у, z
зафиксированы, то приращение Дм, является функцией одной пе-
ременной AZ.
Определение. Производной функции и = /(х, у, z) в направ-
лении Z в точке М называется предел (если он существует и коне-
чен) отношения приращения этой функции Дм, в направлении Z в
точке М к приращению AZ при AZ —> 0:
ди .. Ам,
— = lim —
dl AZ
Эта производная зависит от направления Z, т. е. от углов
а, р, у, и вычисляется по формуле
ди
~д1
ди	ди	_ ди
= —cos а + —cos В ч-cos у.
дх	ду dz
(1)
Производная по направлению вектора Z представляет собой
скорость изменения значения функции f в точке М в направлении
вектора Z .
Определение. Градиентом функции нескольких переменных
называется вектор, координатами которого являются соответству-
ющие частные производные данной функции:
---; ди -	ди -z	ди	- (ди	ди	ди'
grad и = —i +—1 +—к = —; —; — .
дх	ду	dz [дх	ду	dz^
11
Из формулы (1) видно, что — есть скалярное произведение
д1
grad и и единичного вектора 7о = (cosос, cos0, cosy) в направле-
нии 7, т. е. (grad w, 7> )•
Отсюда производная функции по направлению I равна про-
екции вектора градиента этой функции на это направление / :
l^np^gradw).
Следовательно, производная функции по направлению вектора I
принимает свое наибольшее значение в данной точке, если вектор /
совпадает по направлению с вектором градиента функции в этой
точке: I ffgradw. При этом максимальное значение производной
по направлению 7 равно модулю градиента функции:
max^-(A/) = |gradM(M)|=lf+ f|^| +fj^ •	(2)
ol 1	1 у vox у \уУ ) \dzJ
Известно, что градиент функции трех переменных перпенди-
кулярен поверхности уровня этой функции, проходящей через со-
ответствующую точку.
Пример 1. Вычислить производную функции трех перемен-
ных и = In (х2 + yz^ - arctg^l + — в точке А(-1; 0; 1) в направле-
нии вектора АВ. если точка В имеет координаты (1; 2; -1), а так-
же наибольшую скорость возрастания данной функции в точке
Я(-1; 0; 1).
Решение. Найдем координаты вектора АВ и его направляю-
щие косинусы, а также частные производные функции в точке А:
АВ = (2; 2;-2),
_____2______ 2 _
M+w!+(-2)2	75 ’
12
cosp =	2	= 4-;
7(2)2+(2)2+(-2)2
-2	-2	1
cos Y = ,	= —= = —=•;
7(2)!+(2)2+(-2)!
du 2x	11 xv	(л xA xv
— = —7---------------7— e y + arctg I 1 + — le yy =>
dx x + yz ( x\ z	\ z)
1 + 1 + —
к z J
du
dx
A
---------T le° + arctg (1 -1) e° 0 = -2 -1 = -3;
1 + (1-1)2 V 7
z	f, x । xv
— = —z---------arctg 1 + — le yx =>
dy x + yz V z)

du
dz
du 0	1	(~0go _= i
dz A (-i)2+o i+(i-i)2 i
Подставляя в формулу производной по направлению (1)
найденные значения, получим
=(-3) А. + 1 1 +(_!)[ 1
а/1 v 7 л/з д/з v \ Vi J
grad и (Л) = -3/ + j -к.
13
Наибольшая скорость изменения функции в данной точке
определяется формулой (2):
max аГ=lgrad и =а/(-3)2 +0)2 +G1)2 = •
4.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Функция у- /(х15 х2,..., х„) называется непре-
рывной в точке х° =^Xj°,x2,...,x^j, если она определена в некото-
рой окрестности этой точки и lim f (х) = f (x° I.
Для непрерывных функций нескольких переменных верны
теоремы об их свойствах, аналогичные соответствующим теоре-
мам одномерного анализа.
Определение. Функция у = /(х) называется дифференциру-
емой в точке х°, если ее полное приращение может быть пред-
ставлено в виде
Ау = JjAXi + Л2Дх2 +... + Ап\хп 4-аДДх^..., Дхл)Дх1 +
+ «2 (Д*1> -> Д *„) Д*2 +	Д*„)
где Д, Д?,..., Д — константы, не зависящие от Дх, оДДх^..., ДхД,
..., аи(Дхр..., Дх„)Дх„ — бесконечно малые при Дх =
= (Дх1?...,Дх„)->0.
Определение. Главная часть приращения, линейная относи-
тельно приращения независимых переменных функции в данной
точке, называется полным дифференциалом
dy = AjAx} + А2 Д х2 +... + АпДхп.
14
К необходимым условиям дифференцируемости относят две
теоремы.
Теорема. Если функция у =	..., дифференцируема в
точке х°, то она непрерывна в этой точке.
Теорема. Если функция у = /(хх,...,хп} дифференцируема в
точке х°, то она имеет все частные производные в этой точке,
5у(х°)
причем —1—- = Д.
сД
Отсюда
, ду . ду . ду . ду .
dy =~^—dx} +-------dxi+... +----dxn = y -^-dx,.	(3)
У	1	Z	rl / j	I	X z
/=1
Пример 1. Найти полный дифференциал функции трех пере-
менных
У	I—	/	\
и =---h \JXZ + 1п(х + у + Z).
Решение. Найдем частные производные заданной функции:
ди _	у1	1 fz 1	.	ди _ 2у 1
дх	х2	2у х	(x + j/ + z)’	ду х	(x + j> + z)’
ди 1 Гх 1
---— "I л /----1" “7--------Г •
dz 2 V z [х + у + z)
Из формулы (3) получаем полный дифференциал функции
трех переменных
15
Пример 2. Найти значение полного дифференциала функции
трех переменных и = x2ysm[xyz) в точке Мо(1; 2; л).
Решение. Найдем частные производные функции и =
= 2.xysin (xyz) + x2y2zcos(xjzz),
— = x1 sin(xyz) + x3yzcos(xyz),
32
— = x у cos(xyzj.
Значения частных производных в точке Л/о (1; 2; л)
ди I	ди I	ди I
~Ьи0 = 4л’ Т” м0 = 2я’ ~ л/0 = 4‘
дх 1 0 ду 1 0 dz 1 0
Полный дифференциал функции в точке Mq имеет вид
du - 4ndx + 2лб7у + 4dz.
5.	ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Частные производные функции нескольких переменных также
являются функциями нескольких переменных.
Определение. Частной производной второго порядка функции
нескольких переменных у = /(х15..., попеременной х, назы-
вается частная производная по этой переменной от частной произ-
- Sf
водной
dxt
_ d2f _ д Г др
х,х' дх2 дхддх/?
16
Определение. Смешанной производной второго порядка
функции нескольких переменных у-по переменным
xt 9 Xj называется частная производная по у-й переменной от част-
ной производной функции по z-й переменной:
Г 5 f 5/'
x’Xj dxfixj dXj
Например, если дана функция двух переменных z- f(x9y\
то она имеет следующие частные производные второго порядка:
d2f d2f d2f d2f
дх2 ' ду2 ’ дудх" дхду
Функция трех переменных и- f(x,y,z) имеет девять част-
ных производных второго порядка:
а2/ а2/ а2/ а2/ а2/ а2/ а2/ а2/ а2/
дх2 ’ ду2 9 dz2 ’ дудх" дхду9 dydz" dzdy9 dzdx' dxdz
Определение. Частной производной zzz-ro порядка функции
нескольких переменных называется частная производная от ее
частной производной (т - 1)-го порядка.
Теорема. Смешанные производные одного и того же порядка
по одному и тому же набору аргументов равны в ..., хл),
т. е. не зависят от порядка дифференцирования, если они непре-
рывны в этой точке.
Определение. Дифференциалом второго порядка называется
дифференциал от первого дифференциала	взятый при фик-
сированных значениях dxk = 1 ...и) функции у- /(х19..., хп ):
( П ъ Л п п д2
d1y^d(dy)^d ^—dx, =	dx,dXj.	(4)
\ /=1 дхг J /=i j=\ dxfiXj
Видим, что второй дифференциал представляет собой квадра-
тичную форму дифференциалов dxx, dx2^...^dxn независимых ар-
гументов, а коэффициенты этой квадратичной формы образуют
17
симметричную матрицу Гессе в случае непрерывности смешанных
производных:
G =
------- , 7=1,и; 7 = 1,77.
dxftxj J
Аналогично определяют и дифференциалы более высоких по-
рядков. При этом dmy = d[dm~xy^.
Доказано, что dmу =	dxx + dx2 +... ч—— dxn
dxx dx2	dxn
символическая запись обозначает возведение в степень т выраже-
ния в скобках, а затем под знак dm подводится функция
У = /(%!,.
Для функции двух переменных z = /(х, у) имеем
у. Эта
12 ^z 12 ^z i j d2z j 2
dz-—-dx +2-----dxdy-\--dy ;
дх2 dxdy ay2
з 33z з 63z	2 i a d3z	2 d3z з
d z-—-dx +3—-—dx dy + 3-----dxdy 4----dy ;
dx3 dx2dy	dxdy2 dy3
Для функции трех переменных и = f (х, у, z) имеем
12	1 2 d2U 1 1	1 J
d u =—-dx +2-----dxdy + 2--dxdz +
dx2 dxdy	dxdz
_ d2 и , , d2u , 2 ^2и , 2
+2-----dzdy-\-----dy ч----dz .
dzdy dy2 dz2
(5)
(6)
(7)
Пример 1. Найти d2u, если и = еху + arctg—.
z
Решение. Найдем частные производные второго порядка и
воспользуемся формулой (7):
18
ди „
— = ye,
дх
д2и 2 xv
^Т = уе
дх
д2и
-----= е
дхду
+ хуеху
= еху(1 + ху)-
д2и _z2+y2-2z-z _ у2-?2 _ д2и
fydz (z2+y2)2 (z2+y2)2’ dxdz
Значит,
d2u = y2exydx2 +
Пример 2. Найти d3z в точке Л/0(л;1), если z = ersinx +—.
Решение. Найдем частные производные третьего порядка и
воспользуемся формулой (6):
dz	v 2х	dz	v . х2
— = еЛсозхн----;	— = ezsinx—
дх	у	ду	у2
19
d2 z y .	2
= -ey sinx + —;
дх2
d2z	y .	2x2
—r = ey sinx +—7-;
ay2	/
d2z
дхду
v	2.X
= ey cosx----z-;
У
,У
d3z
—r = -e cosx;
дх3
d3z	у .	6х2
—zr = ey sinx----
ар3	у4
д3 z	у .	2
—-— - -ey sin x —z-;
dx2dy	y2
У
d3z
,у
y 2.x
— = ecosx + —
дхду2	у3
Значения частных производных третьего порядка в точке
Л/0(л;1)
a3zi _
d3zi 6л2
ду31"° ~ 4 ’
a3' z I _
дх2ду'Мй ~
2;
Следовательно,
d3z =
—е
a3z I
-----г Lw =-е + 2л.
дхду2' °
3 I	2 ]	2
,у cos xdx - 3 еу sin х + — dx dy +
6x2
+ 3 eJ'cosx + -^- dxdy2 + e7sinx--^— dy3.
I У ) l У )
Значение дифференциала третьего порядка в точке MQ (л; 1)
I	3 л2
^3z|mo ~e^ -2<7х2б/у + (-е + 2л) dxdy1-------'
6.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим для наглядности функцию трех переменных
u=f(x, у, z), заданную на открытом множестве G с R3 («-мерный
случай рассматривается аналогично).
Теорема. Пусть функции x.y.z дифференцируемы в точке /0,
а функция и — в соответствующей точке uQ = (x(f0),y(f0),z(f0)) =
= (x0,y0,z0). Тогда сложная функция u = u(t} дифференцируема
в точке /0, а ее производная в этой точке существует и вычисляет-
ся по формуле
du__df_ d*_+df dy + $f
dt дх dt ду dt dz dt
Если t совпадает с одним из аргументов, например с х, т. е.
u = f(x,y(x),z(х)), то полная производная функции/по х
^^du_=df_+df^dy+df^dz
dx dx дх ду dx dz dx
Если функции х, у. z зависят не от одного, а от нескольких
переменных, например, от двух: х = х(/, v), у - y(t, v), z = z(f, v),
то, фиксируя сначала v, а потом Z, на основании формулы (4) по-
лучим
ди _df дх df ду df dz
dt дх dt ду dt dz dt'
5	(10)
du _df dx df dy df dz
dv dx dv dy dv dz dv
Для сложной функции двух переменных z = /(x,y), где
x = (p(z/, v), у =	v), система упрощается:
21
dz _dz dx ^dz ду
ди дх ди ду ди
dz dz дх dz ду
dv дх ду ду ду
(И)
Пример 1. Найти производную — сложной функции z = ху3,
dt
где х = y = cosZ2.
_	dz dz dx dz dy 3 1	„2/^-2
Решение. — =-------+-----= y —7=^ + 3xy -2ZsinZ
dt dx dt dy dt 2yjt v
Выразим x и у через t9 получим
dz cos t - П 2 2 • 2 cos t - /""3"	2 •	2
— = — 3yr 2cos t sinr = 7=— Зуг cost sin2t .
dt 2yjt	2>Jt
Пример 2. Найти производную — сложной функции
dx
. х	(М2
z = arctg—, где у = еу .
У
dz
Решение. Полная производная — вычисляется по формуле (9):
dx
dz dz	dz dz
— —---1----
dx dx dy dy
tt	и -	dz dz
Пример 3. Наити производные — и — сложной функции,
ди ду
заданной в виде z = I х + х2 )siny, где х = и2 + у3; у = иу.
22
Решение. В данном случае промежуточные переменные х и у
являются дифференцируемыми функциями независимых перемен-
ных и и v, поэтому воспользуемся формулами (11)
dz _ dz дх dz ду	dz _ dz дх dz ду
ди дх ди ду ди’ dv дх dv ду dv
Находим частные производные от функции z по промежуточ-
ным переменным х и у, частные производные от функции х и у по
независимым переменным и и v:
= (1 + 2x)siny,	= (х + x2)cosy,
Зх	дх 2 ду	ду
— = 2w,	— = 3v ,	— = v,	— = и.
ди	dv	ди	dv
Тогда частные производные сложной функции
- (1 + 2x)siny2w + [х + x2)cosyv =
= 2wfl + 2и2 + 2v3 jsin(wv) + v
w2+v3+^2+v3)2
cos(wv);
dz
— = (1 + 2x)siny3v2 + [x + x2)cosyw =
= 3v2 (1 + 2u2 + 2v3)sin(wv) + и
и2 + V3 +{u2 + V3)2
cos(wv).
Пример 4. Найти производные — и — от функции, задан-
дх ду
ной в виде z - еи~2\ где и - cosx; у = Зх + у2.
Решение. Здесь, наоборот, промежуточные переменные и и v
являются дифференцируемыми функциями независимых перемен-
ных х и у, поэтому формулы (11) следует записать в виде
dz	dz ди	dz dv	dz	dz du	dz dv
— —-----1----?	— —-----1----.
dx	ди dx	dv dx	dy	du dy	dv dy
23
По аналогии с решением примера 3 найдем частные производ-
ные от функции z по промежуточным переменным и и у, частные
производные от функций и и у по независимым переменным х и у.
dz _ ^u-2v	dz _ _
du	dv
ди . ди ~ dv - dv ~
— = -sin x,	— = 0,	— = 3,	— = 2y.
dx	dy dx dy
Окончательно получим
— = _e“-2v sin x - 2e"_2v3 = -e“-2v (sin x + 6) =
dx	v 7
= ecosx-6x-2/^jnx + 6).
— = -eu~2v0- 2ev~2v2y = -4^e“‘2v =	.
Sy
7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема. Пусть уравнение F(x1?.... хп. у) = 0 определяет не-
явно заданную функцию v = /(x1,....xJ и выполнены следую-
щие условия:
1) сама функция F и ее частные производные непрерывны в
окрестности точки М (xj,..., хп, у};
2) f(m) = o,
Тогда функция у = /(х15...,хл) имеет в точке М все частные
производные, которые находят по следующим формулам:
ду _ ду _	dy _
дхх Fy ’ дх2 F'y ’ ’ дх3 F'y
Рассмотрим случай двух переменных. Дана F (х, у. z) = 0 и
z =f (х, у). Тогда при выполнении всех условий, изложенных выше,
24
^^-5.,	=	(12)
dx f; dy f;
Пример 1. Найти частные производные функции z = z(x, у).
заданной неявно уравнением х + у1 - z2 - ху + xz + 1 = 0 в точке
MhO, 2).
Решение. Обозначив левую часть этого уравнения через
Жь ?):
F(x,y.,z) = х2 + у2 - z2 — ху + XZ + 1,
найдем частные производные функции F{x. у. z):
ГДх, у. z) = 2х — у + z, F'y(x.y,z) = 2у- х. F'(x, у, z) = -2z + х.
Теперь по формулам (12) найдем частные производные неяв-
ной функции z(x, у}\
dz / к _ /\'(М) _ 2x-y + z _ 21-0+24
&Г ' “	”	-2z + x М ~ ~ -2-2 + 1 “ 3’
z F'y^ - 2У-*| =_+±± = _1
ду' '	F'Z(M)	-2z + x'M -2-2 + 1 З'
Пример 2. Функция z задана неявно уравнением
>’i А и - 5z dz
FI —I = 0. Наити — и —.
< z z)	дх dy
Решение. Введем новые переменные и и у. Положим
и=—; v = — => F(w;v) = 0.
Z	Z
Найдем частные производные, а затем используем формулы
(12):
^9v_rl. г, _dF ди	dF dv _	1
х ди дх dv дх “ z ’	у	ди ду	dv ду v z ’
_ dF ди dF dv _	(	x \	( у \
du dz dv dz	\	z2 J	\ z2 J
25
F'X-
dz = u z = zFu .
dx F'2L + F'JL xF; + yFv ’
л u 2 V 2
Z Z
F'l
dz _ z _ zF'v
dx F'2L + F>y_ xFu+ yFv
л и 2 V 2
Z	Z
Пример 3. Функция z задана неявно уравнением
dz dz
0. Наити — и —.
дх ду
Решение. Введем новые переменные и и у. Положим
и
dz
дх
_t dF ди dF ду
р =--------+--------
у ди ду ду ду
dz
ду
dF ди dF ду
х ди дх ду дх	и
dF ди dF ду
F =--------1-----= р'
z ди dz ду dz и
26
Пример 4. Найти полный дифференциал функции z(x, у), не-
явно заданной уравнением
ху2 + yxz
+ COS
= 0.
Решение. Обозначив левую часть этого уравнения
F(x*9 у; z), найдем частные производные функции F(x; у; z):
через
F(x; у; z) = ху2 + yxz + cos — ;
F'x = у1 + zyxz In у;
F' = 2ху + xzyxz 1 - sin —
z
у2
F'z = xyxz In у - sin — —
Теперь по формулам (12) найдем частные производные
ной функции z(x, у):
неяв-
dz _ F'x (x; y, z) _	y1 +zyxz In у
dx Fz'(x;y;z) xz 1 . fz^
zV 7 у xlny-----------sin —
У \У)
4 2xy + xzyxz + sin — —7
dz = F;(x;y;z) =	Ы/
dy Fz'(x;y;z)	x	1 . (z^l
zV 7 у xlny---------------sin —
У It;
Полный дифференциал находим по формуле
, dz , dz ,	у2 + zyxz In у
dz = —dx + —dy  -----------------т—г-ax -
Sx dy xz 1 . I z ]
у xlny--------------------sin —
у IjJ
z
1
27
8.	НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ
ПО ЕЕ ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ
Выражение Р(х, y}dx + Q(x, y)dy называют дифференциаль-
ной формой.
Определение. Дифференциальная форма называется полным
дифференциалом, если существует такая функция двух перемен-
ных £/(х, у), что
dU = Р(х, y)dx + g(x, y)dy.	(13)
Для того чтобы дифференциальная форма Р(х, y}dx +
+Q(x,y)dy была полным дифференциалом некоторой функции
U(х, у), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
5g = а?
ду дх
Пусть дифференциальная форма является полным дифферен-
циалом, тогда
dU = ~^~dx +	= y)dx + 0(х, y)dy. (15)
Функция U(х, у) может быть найдена следующим образом.
д U
1.	Из (15) следует, что -= Р(х, у). Интегрируем это выра-
дх
жение по х при фиксированном у (у = const):
28
(14)
U(x, у) = |р(х, у)б/х + ф(у).	(16)
Поскольку мы интегрировали по переменной х при фиксиро-
ванном у9 произвольная постоянная ф(у) будет функцией от у.
2.	Неизвестная функция ф(у) определяется из условия
Р(х, y)dx) + ф'у (у) = Q(x, у) =>
=> Фу (у) = Q(x, у) -^(Jр(х> уИ*)-
Интегрируя это уравнение, получаем ф(у) = |ф'(у)</у + С.
Подставив ф(^) в уравнение (16), получим функцию U(x,y).
Очевидно, что искомая функция определена с точностью до про-
извольной аддитивной постоянной. Нам достаточно выбрать одну
из функций полученного семейства, например, при С = 0.
Пример 1. Проверить, является ли данная дифференциальная
форма 2xcos2 ydx + (2у - х2 sin полным дифференциалом
некоторой функции, если да, найти ее.
Решение. Убедимся в том, что заданная форма является пол-
ным дифференциалом:
Р(х; у) = 2xcos2 у9 Q(x; у) = 2у- х2 sin 2у;
— = — (2xcos2 й = 2x2cos<y(-sin<y) = -2xsin2y;
ду дуv 7
= — ^2y-x2sin2yj = -2xsin2y.
дх дх
Условие (14) выполняется.
29
Найдем функцию U(x;y), полный дифференциал которой
dU = U'xdx + U' dy был бы равен левой части заданного уравне-
ния. В нашем случае
U'x = Р(х; у) = 2xcos2 у, U'y = у) = 2у- х2 sin 2у.
Проинтегрируем первое соотношение по переменной х, считая
у фиксированной. При этом постоянная интегрирования может
зависеть от у, т. е. появляется неизвестная функция у:
U = j^2xcos2 y^dx = х2 cos2 у + ср(у).
Дифференцируя это равенство по переменной у и подставляя
во второе соотношение U' = 2у -х2 sin2y, найдем сначала ф'(у),
а затем и ср (у):
(х2 cos2 у + ф(у)) = 2у - х2 sin 2 у
=> x22cosy(-siny) + ср'(у) = 2y-x2sin2y =>
=> -x2sin2y+ (р'(у) = 2y-x2sin2y =>
=> <р(^) =	=> cp(y) = у2 + Со,
где положим Со = 0.
Следовательно, искомая функция U(х; у) = х2 cos2 у + у2.
9.	КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Касательной плоскостью к поверхности в точке
А/0(х0; у0; 2о) называют плоскость, содержащую все касательные
к кривым, проведенным на поверхности через точку А/о.
30
Нормалью к поверхности в точке MQ (х0; yQ; z0) называют
прямую, проходящую через точку касания М0(х0; yQ; z0) и пер-
пендикулярную касательной плоскости.
Определение. Касательная плоскость к поверхности 5 в точке
Мо (х0; у(); z0) — это плоскость, проходящая через точку Мо и
характеризующаяся тем свойством, что расстояние от этой плос-
кости до переменной точки М поверхности S при М-> Mq является
бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению
с расстоянием |Л/0Л/|.
Если поверхность задана уравнением F(x; у\ z) - 0, т. е. явля-
ется поверхностью уровня (С = 0) функции трех переменных
F(x; у; z), проходящей через данную точку то из свойств гра-
диента известно, что эта поверхность в точке перпендикулярна
градиенту gradF(A/0), который будет нормальным вектором ис-
комой касательной плоскости. Используя координаты нормально-
го вектора и координаты точки, запишем уравнение касательной
плоскости в точке М0(х0; yQ; z0) к поверхности:
dF}
дх)м0
М0
о) = О, (17)

dF ________
дх Jm0 ’ I ду
dF
где
I (dF}
, —	— значения частных производных
УМ0 'Мо
в точке Мо , т. е. числа; х, у, z — текущие координаты точки ка-
сательной плоскости.
Нормаль определяется уравнениями прямой, проходящей че-
рез точку Мо параллельно вектору gradF(A/0),
х~х0 _ у-у0 _ z-z0
< 5/^	(ST7')
Jm0 l дУ Jm0 dz 7w0
(18)
где х, у, z — текущие координаты точки нормали.
31
Если уравнение поверхности задано в явном виде z - f(x\ у),
Z7	\	А	---1/7	{ 9Z 9Z 1^1
то F =	j (x, у) - z -	0,	gradr	= —, —, -1	и уравнение каса-
дх ду )
тельной плоскости в точке Л/0 (х0; у0; z0 ) (17) принимает вид
(19)
а уравнение нормали (18) —
= У~Уо = z~zo	(20)
f—ГМ -1	}
Замечание. В некоторых точках поверхности (они называются осо-
быми) может не существовать касательной плоскости. В таких точках
касательные могут не лежать в одной плоскости или их не существует.
Например, z = у]х2 + у2 — коническая поверхность. Вершина ее являет-
ся особой точкой. Касательной плоскости к поверхности в этой точке не
существует.
Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности z - In ^х2 + у2) в точке Л1о (1; 0; 0).
Решение. Уравнение поверхности задано в явном виде, поэто-
му следует воспользоваться формулами (19) и (20).
Найдем частные производные
dz _ 2х dz _ 2у
дх х2 + у2 ’ ду х2 + у2
и их значения в точке Л1о (1; 0; 0) :
М =2-1 = 2,	=0.
\5xJm0	\9yJMo
Подставляя в формулы (19) и (20) координаты точки и
найденные значения частных производных в этой точке, получим
уравнение касательной плоскости
32
2(*-l) + 0(jy-0)-l(z-0) = 0	2x-z-2 = 0
и уравнение нормали к заданной поверхности
х-1 = У = z
2	0 -1’
Пример 2. Найти уравнение такой нормали к поверхности
х2 - z2 - 2х + 4у +1 = О,
I х + 2у - z + 1 = О,
которая параллельна прямой <
[-3x-5y + 5z + 7 = 0.
Решение. Прямая задана как линия пересечения двух плоско-
стей. Найдем ее направляющий вектор, как векторное произведе-
ние нормальных векторов этих плоскостей:
s - пх х п2
i j к
1 2 -1
= 5/ - 2j + к.
В силу того, что прямая параллельна нормали, ее направляю-
щий вектор s служит и направляющим вектором п нормали.
Пусть искомая нормаль проходит через точку Л/0(х0; у0; z0),
принадлежащую поверхности F(x; у; z) = х2 - z2 - 2х + 4у + 1 = 0.
Вычислив значения частных производных в точке MQ
найдем координаты направляющего вектора нормали п =
= {2х0 -2; 4;-2z0}.
Так как вектор п коллинеарен вектору ?, то их соот-
ветствующие координаты пропорциональны, т. е.
33
2х0 - 2 _ 4 _ -2z0
5 ~ ^2 " ”Т”’
отсюда находим х0 = -4, z0 = 1. Осталось определить ординату
точки Л/о. Так как точка Л/о принадлежит поверхности, ее коор-
динаты удовлетворяют уравнению поверхности F(x;y;z) = 0.
Подставляя х0 = -4, z0 = 1 в уравнение поверхности, найдем
16-1+8+ 4у0 + 1 = 0 => 4у0 = -24 => у0 = -6.
Таким образом, Мо (-4; - 6; 1).
Используя координаты направляющего вектора нормали 5 и
точки Л/о, запишем канонические уравнения искомой нормали:
x + 4_y + 6_z-l
5 ~ -2 '”Т~‘
Пример 3. Составить уравнение такой касательной плоскости
к эллипсоиду х2 + ly1 + z1 =10, которая параллельна плоскости
х-у + Z = 1.
Решение. Запишем уравнение заданной поверхности в виде
F(x; у; z) = х2+2у2 + z1 -10 = 0.
Частные производные от функции F(x;y;z) по переменным
X, у. Z
dF	_ dF	. dF
---= 2х, 	= 4 у, 	= 2z.
dx dy------------------dz
Пусть MQ (x0 ; у 0; z0) — точка касания, в которой касатель-
ная плоскость параллельна плоскости х - у + z = 1. Найдем зна-
( dF}	(dF}
чения производных в этой точке: —	= 2х0, —	= 4у0,
WMo	^ду)Мо
f—1
I & JWo
— 2z0.
34
Получим нормальный вектор касательной плоскости, который
будет коллинеарен нормальному вектору данной плоскости (1,-1, 1),
отсюда
2хо _ 4J?o _ 2zo => X --2v z --2v
j - _] ~ j хо ~ Ало? zo ~ zzo-
Так как точка Л/о лежит на эллипсоиде х2 + 2у2 + z2 =10, то
ее координаты удовлетворяют уравнению этой поверхности. Под-
ставляя сюда х0 = — 2у0 и z0 = найдем уо-
(-2л,)2 +2у20 +(-2л)2 =10	10Л2=10	=±1,
отсюда xQ = +2, z0 = +2.
Таким образом, существуют две точки Л/01(2;-1;2) и
М)2(-2; 1; -2), через которые могут быть проведены касательные
плоскости, параллельные плоскости х - у + z - 1. Используя ко-
ординаты нормального вектора данной плоскости (1,-1, 1) и коор-
динаты точек Л/oi и Л/о2, запишем уравнения обеих касательных
плоскостей:
1(х - 2) + (—1)(у +1) + l(z - 2) = 0 => х — у + z - 5 = 0,
1(х + 2) + (-1)(у -1) + l(z + 2) = 0 => х — у + z + 5 = 0.
10. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть f = /(х15 х2,..., х„) — функция п переменных, опреде-
ленная на множестве D cz R”. а М0 — внутренняя точка множе-
ства D.
Определение. Точка MQ называется точкой локального
максимума (минимума) функции / если существует такая проко-
35
лотая окрестность этой точки, что для любой точки
М (х1, х2,..., хп ) из этой окрестности выполняется неравенство
f (MQ) > f (М) ( f (MQ) < f (A/)). Причем равенство возможно
только в случае М = MQ. Точки локального максимума и мини-
мума функции называют точками локального экстремума функ-
ции.
Теорема (необходимые условия экстремума ФНП). Пусть
функция у — /(х) имеет локальный экстремум в точке х°. Тогда
если существуют частные производные —u = 1, п\ в точке х°,
dxi v 7
то они все обращаются в нуль в этой точке: ~^—(xQ) - 0 (i = I, и
dxi v 7 v
Напомним, что второй
= f (Xj, х2,..., хп ) представляет
дифференциал функции у =
собой квадратичную форму от
дифференциалов независимых
переменных с матрицей Гессе
d2y = d2f = ±±
/=17=1
d2f
dxtdXj
dxt dXj.
Точки, в которых все частные производные первого порядка
равны нулю, называют стационарными.
Теорема (достаточное условие локального экстремума
ФНП). Пусть функция у = /(х) имеет в w-мерной области
D с R" все непрерывные частные производные до второго поряд-
ка включительно. И пусть х° = (х®,х2,...,х®) — стационарная
точка этой функции. Тогда если квадратичная форма, определяе-
мая матрицей Гессе данной функции, в стационарной точке х° яв-
ляется знакоопределенной, то функция в ней имеет экстремум:
максимум, если d2y(x°) < 0, и минимум, если <72у(х°) > 0.
В случае функции и = Дх; у; z) трех независимых переменных
введем следующие обозначения частных производных в стацио-
нарной точке А/о :
36
д2и
dxdz I
( & >
д и
дхду \
х	/ Mq
- Л13 “ ^315
А] - <7] 1; А2
— а12 - ^21?
д2и
^&L0
— ^2 3 — ^3 2 5
а\\ ап
а2\ а22
Достаточные условия наличия экстремума в стационарной
точке для функции и = f(x; у; z) трех независимых переменных
можно сформулировать следующим образом.
Пусть Мо — стационарная точка функции и =f(x\ у\ z). Тогда
	д2 и 1	д2и ।	д2 и	
		дхду । М°	dxdz	|м0
	д2и I	д2и I	д2и	
G =	дхду'м°		dydz	|м0
	д2и I	д2и I	д2и I	
				м0 7
— матрица, составленная из вторых частных производных функ-
ции в точке Мо.
Если все угловые (главные) миноры1 матрицы G положительны:
Л] > 0; Д2 > 0? Аз > 05
(21)
то в точке Мо — минимум (локальный).
1 Угловым минором порядка к квадратной матрицы называют минор, образо-
ванный ее первыми к строками и первыми к столбцами. Эти миноры часто назы-
вают главными.
37
Если знаки угловых миноров матрицы чередуются, причем
первый минор отрицательный:
Ai<0; А2>0; А3<0,	(22)
то в точке Мо — максимум (локальный).
Достаточные условия отсутствия экстремума в стационар-
ной точке функции п переменных. Функция п переменных не
имеет экстремума в стационарной точке, когда для матрицы Гес-
са, составленной из вторых частных производных функции в этой
точке выполнено хотя бы одно из условий:
а)	один из главных миноров четного порядка — отрицательный;
б)	два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
В случае функции двух переменных достаточные условия экс-
тремума формулируются следующим образом. Пусть Л/0(х0; у0) —
стационарная точка функции z = /(х;у), причем эта функция
дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Л/о и все
ее вторые частные производные непрерывны в точке MQ. Исследу-
ем ее по знаку определителя, составленного из вторых частных про-
изводных функции z = /(х; у) :
d2z I
д2 z I
дхду'м°
d2z ।
дхду\м°
д2 z I
ду2^0
= АС-В2,
А В
В с
5^1	- Л- I _ R. Z\
ГДе Л 2 РИо “ О я Л^о - ^5 ~ 2 Л^о “
дх 1 дхду1 0 ду 1
Если А > 0, то функция /(х; у) имеет в точке Л/о экстремум:
минимум при А > О (С > 0) и максимум при А < 0 (С < 0).
Если А < 0, то в точке М0 экстремума нет.
Если А = 0, то для решения вопроса о наличии или отсутствии
экстремума в точке Л/о требуется дальнейшее исследование,
например, по знаку приращения функции А/ вблизи этой точки.
38
Пример 1. Найти экстремум функции двух переменных
z - 2х3 + у3 - 6х -12у + 3.
Решение. Находим частные производные первого порядка
^ = 6?-6, —-3^3-12.
дх	ду
Приравняем их нулю и получим систему для определения ста-
ционарных точек:
— = 0 Г
дх ’	6х2 — 6 = 0, х — ±1,
„О [Ду2-12 = 0, Ь = ±2.
ду
Таким образом, заданная функция имеет четыре стационарные
точки:
МУ; 2), Л/2(-1;-2), Л/3(-1;2), Л/4(1;-2).
Далее исследуем стационарные точки М\9 Мз и М4 по знаку
определителя А, составленного из частных производных второго
порядка:
^ = А = 12х, ^- = С = 6у, -^- = B = Q.
дх2	ду2	дхду
Для точки М\ получим
А = 12х|Л=1 = 6; С = 6у|у=2= 12; 5 = 0;
А = АС-В2=12>0.
Так как А > 0, то в точке Mi находится экстремум, а поскольку
А = 6 > 0, то Му — точка минимума.
Для точки М2 имеем
А = 12*1^.!=-6; С = 6у\у_2=~П; В = 0;
Л = АС-В2 = (-6)(-12) - 0 = 72 > 0.
39
В точке Л/2 также Д > О, т. е. расположен экстремум. Здесь А =
= -6 < 0, поэтому М2 — точка максимума.
Для точки М3 имеем
А = 12х|х=_,= -6; С = 6у\у=2=12; В = 0;
Л - АС - В2 = (-6) • 12 - 0 = -72 < 0.
Так как Д < 0, то экстремума нет.
Для точки Мд имеем
А = 12х|х=1 = 6; С = 6у\у=_2=-12; В = 0;
\ = АС-В2 = 6 • (-12) - 0 =-72 < 0.
Так как Д < 0, то экстремума нет.
Теперь вычислим значения функции z - 2х3 + у3 - 6х -12у + 3
в точках экстремума М}(1;2) и Л/2(-1;-2). В результате по-
лучим
^max =z(M2) = z(-l; - 2) = 2(-1)3 + (-2)3 - 6(-1) -12(-2) + 3 = 23;
*min =z(Af,) = z(l;2) = 2.(l)3+(2)3-6 1-12-2 + 3 = -17.
Пример 2. Найти экстремум функции трех переменных
и = z3 + Зх2 + у2 - 2ху - 8х -27z + 12.
Решение. Находим частные производные первого порядка
ди '	„ ди „	. ди 2
— = 6х-2у-8; — = 2у-2х; — = 3z -27.
дх	ду	dz
Приравняем их нулю и получим систему для определения ста-
ционарных точек
40
'’“о
дх
ди
— = 0
ду
й" О
.dz
6х - 2у - 8 = О
2у - 2х = О
3z2 - 27 = О
х = 2,
У = 2,
z — ±3.
Таким образом, заданная функция имеет две стационарные
точки:
ЛА(2;2;3)	М2(2;2;-3).
Исследуем на экстремум первую стационарную точку
Mj(2;2;3), воспользовавшись достаточными условиями экстре-
мума. Для этого вычислим частные производные второго порядка
в точке Mf.
чЭх2 J
X	/ Mi
\дУ )Мх
\дх8У)мх
Значения этих частных производных в точке М\ являются ко-
эффициентами б72г/(Л/1) квадратичной формы от переменных
rfx, dy, dz.
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
( 6
G= -2
<0
-2 (Г
2	0
0 18,
Ее главные миноры
41
Л, = 6 > О; А2
6 -2
-2 2
= 8 > О; А3 =
-2
-2 О
=144>О.
О 18
Согласно критерию Сильвестра, J2w|M| — положительно
определенная квадратичная форма от переменных dx, dy, dz. Сле-
довательно, в точке М\ функция имеет локальный минимум (см.
достаточные условия (21)). Вычислим этот минимум:
wmin= 27 + 12 + 4-8 - 16-81 + 12 = 55- 105 = -50.
Исследуем на экстремум вторую стационарную точку
М2(2;2;-3).
Матрица квадратичной формы <72w(A/2) имеет вид
2 6 -2	0	'
G = -2 2	0	.
к0 0 -18,
Ее главные миноры
А, = 6 > 0;
-2
-2
= 8>0;
6 -2
-2 2
= -144<0.
-18
Знакочередование главных миноров отлично от (21) и (22),
значит, в точке Мг функция не имеет локального экстремума,
т. е. J2w|W2 не является знакоопределенной квадратичной фор-
мой от dx, dy, dz. Нетрудно видеть, что эта квадратичная форма
— знакопеременная. В самом деле, если положить
42
= 6dx2 >0, а если положить dx = dy = 0, dz Ф 0, то получим
d2u
„2=Й(Ч)*2=-18*г<0-
dz
Следовательно, в точке M2
функция не имеет локального экстремума.
11. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и
наименьшее значения функции f{x,y) в области определения
функции g(x, у).
№ вар.	f(x,y)	&{х, у}	
1	х2 + у2	^-(х-3?-у2	
	X		
2	х2-у2	74-х2 -4у2	
3		д/х2 +У2 -14-^1-Х2 -2^-у2	
4	Уе~х	ф,-х2 -у2 -\2ху\	
5	х2 - Ьу2	74-х2-/	
6	ху	arcsin(x-y)+arccos(	Х-!)
7	[x-^+^ + l)2	arcsin (х - у) + arccos х	
8	X	ф - |х2 + у2 - 2|	
	2	2 х + у		
9	х + у	arcsin(x-y) +arccos(	Л"1)
10	у— 1пх	arcsin у + arccos (х - 2)	
11	x + |j|	7х2 +/ -1+71-х2 +2х-у2	
12	у-<?	^2-х2-у2 - х2-у2	
43
№ вар.		g(x>y)			
13	(х+2)2 +4/		2	2 х -у		
14	У-2 х + 3	71 - х2 + у2 + arcsin у			
15	у + х2	^8-х2-4у2-	х2-4/		
16	х2 + у2 У	71-х2-Cv-3)2			
17	у2-X2	^4-4х2 -у2			
18		7х2 У у2 -1+71-х2 -2х-у2			
19		71-х2 -у2 -|2х_у|			
20	4х2-/	74-х2-/			
21	х2-(^-1)2	arcsin (х - у) + arccos х			
22	(х-2)2+у2	arcsin (х - у) + arccos у			
23	У х2+у2	ф-|х2 + у2 -2|			
24	у-х	arcsin (х+у) + arccos (х -1)			
25	j^ + lnx	arccos у + arcsin (х - 2)			
26	|х| + у	7х2 +у2 -1 +71-Х2 + 2у-у2			
27	у + ех		х2-/		
28	4х2 + (у + 2)2	L 2	2 -J2 — X -у -	х2 -У2		
29	у+з х + 2	71 + х2 - у1 + arcsin х			
30	2 х + у	^8-4х2-/-			
44
Задача 2. Для заданной функции неявно найти dz в вар.
dz dz
№1 15,	, в вар. №16—30.
dx dy r
№ вар.	Найти dz	№ вар.	U - dz dz Наити —,— dx dy
1	х + у + z = ezx	16	>1 +1 | N И II О
2	х2е2у - z2e2x + y2e2z = 0	17	F [xz, eyz j = 0
3	2	X x + yz-2z + arctg—= 0 У	18	F[x + у + z, 2x2 -3y2 +4z2) = 0
4	z - 21n(x + у + z) = 0	19	F^4x2 -3y,z2 + xj = 0
5	у3 = zex+z	20	F (xy, yz, zx) = 0
6	— + у In (x + z) = 0 z	21	x2 +Z3 + /(x-y) =0
7	5x3 - 2z2 + xy - zy + 1 Oy - 8 = 0	22	F(sinxy, coszx) = 0
8	tg (xz) + sin (yx) + ctg (yz) = 0	23	F(lnx, Iny, Inz) = 0
9	3 cos (5x + 3y - 8z) = 5x + 3y - 8z	24	F^lnxy, ezx j = 0
10	5x3y + 3z2y + 7xyz - 2x2z + 4 = 0	25	f(e^Jx2-z2| = 0
И	3x arctg — = zxy yz	26	F (zx, In (x2 + y2 jj = 0
12	x2 + 3yz + arctg (xy) + z2x = 0	27	F[x2 +/,ln(2x-3y)) = 0
13	exy + z2 - 3xyz = 0	28	f(arctg(xz), 7x + y) = °
14	xy + zy - In (xz + 5y) = 0	29	F | z2 + xy, —-—| = 0 X + у )
15	Y	z	V ze + ye = xey	30	F\z, ln^ | = 0 k	X)
45
Задача 3. Найти дифференциал второго порядка для функции
трех переменных /(x,y,z) в точке Мх и дифференциал третьего
порядка для функции двух переменных g(x, у) в точке М2.
№ вар.	f(x,y,z)		g(x>y)	м2
1	х2 (cos2y + 31nz) + l	(2;-; 11 V 2 )	sin(3x + 2y) + x^y8	1 а ч о
2	х3 cosz + y2 lnx-2	w l_— 1 a	y2lnX-2x2y//2	0;4)
3	arctg xlny + >/3-z2x + 4	(0;e;l)	e2x-4>'+3x5//3	М. 0 И’ 8J
4	tfxy - xsin у cos z - 6	M a	cos (5y - 2x) - Зд/у3х5	(1; 4)
5	ln(z2 + yj-cosxsiny + 5	о nT|	• 2	з/ 2 У Sin x-yjxy	7 К | СП
6	e2xyz + tg xcosy+ 5	( 71 л;—; 1 I 2 J	sin2ycosx + xy6	f--; 11 L 3 )
7	4xzy2 + In (1 - z3) - 4	fi;-i;-l k 2J	х3у^-Зеу~3х	f-;1! \3 )
8	sin(xy) + x2y3z4 + 6	ЬЭ 1 + 1	2у^x^4 - Зх2 In у	(’; е)
9	z3 (tg3x-lny)-7	(л;2;-1)	у ^х^ - х4 sin2 у	£ I СП 1
10	cos —+ lnxez +13 X	£ I cn T	sin у cos3x - 6х-2у - у-3	(л; -л)
11	zx4 - eyzx - 5	f-2; 2;-l I 2J	1п(х + у)-х3у-2	(2;-1)
12	ysinxtg z - y[xz - 4	I Ma jq ^ I a^	2х-3у + х-3у~%	| Ю
13	cos z In у - In (y - x2 j + 3	fi;3;-l I 3j	х-^/-ех~3у	
46
№ вар.	f(x, у, z)	M,	g(*,y)	M2
14	arcs i n (x +1) у - xy^3 z4	P;M I 2 8 J	ln^-2x4/-^ X	fl-1) <2’4)
15	sin- + exyz-6 X	fi;-i;i] \7t	2 J	2	ГуН у cosx- In U )	(л; 1)
16	In ^3-x3)-6xycosz-2	(1;-2;л)	cos 4x sin 2y - 4x^ y^3	f n. 71) 4’ ~4J
17	arctg z\nx-y^2-x2 +1	(1;-2;Тз)	y4x - In(y-x)2	0;2)
18	y2 log2 x - xctg z - 3	VF? । C13	ln(x- y)2 - y^3 sin3x	И
19	у arccos x + x2у In z + 4	f-l;2;el V 2	)	2 In— -3x^5 y~2 X	4 | cn — 1 C4
20	sin(x2 + z} + eyx -2		cos (2y - 5x) + - y~3x^	(2;i)
21	У 3 x/3yz + cosxe>z + 2	" 1 — | <N К 1	7	7	1 -1 У у sin у-—x у2	(-*;«)
22	zarcsinx- y2 sinz-5	У| сч ’-’Гсч 1 о	6x2y3 -ln(—	Г-1--1) I 2’ 37
23	3x2y4z - In (1 + z2) - 2	H;2;e)	3*-2*-2х-2У	hl)
24	e2z -sinxcosysinz-4	1 7Г 71 7Г | U’P 6j	sin2xcosy/ 2-y3 Inx	(1;-л)
25	eyz -2cos— + 7 X	iVn 3 J	-	2	l_j3/ У3 COS X--X у 2	(л; 2)
26	у z log3 X + j/2ZX + 6		-2^	10
27	zsin^x2 -ij + zx2^ +8	fl;0;-l) 1	27	2ysinx-ln^—)	i )—b
47
№ вар.	/(а Л z)	Л/,	g(x, у)	м2
28	^ + ln(z2-5)-9	(-3;1;3)	е3у~х - ху~3	К) А со 1 ьэ
29	sin z 	+ zxcosy - 6 У	к к 1—1	х~2 cos2 у-Зх~4у~3	1 СО 1
30	cosxsiny^z3 -з) + 2	7	X у _у у х In у22 — 2х 2у 2	1 2/
Задача 4. Показать, что функция z - z(x, у) удовлетворяет
данному дифференциальному уравнению; f — произвольная
дифференцируемая функция.
№ вар.	Дифференциальное уравнение	Функция z = z(x, у)
1	dz dz ХЛ- + -УЛ- = О ох оу	Z = f (у/x)
2	_ /—dz	dz Зл/у ——4x3“ = 0 ох	оу	z = f(^x2 +//2)
3	_х dz dz _ ‘ тгуту‘й	£ = /(<?*+In y)
	dz dz	J
4	х— + — = 0	z = / 	
	dx dy	Ix J
5	|^-(ylny)y- = 0 ox	oy	z = /(exln y)
6	dz ~ ? dz Ч--3yx 2 —= ° ox	oy	z = /(x3+lny)
7	г-^-зх2-^ = о dx	dy	z = /(x3 +ey)
8	(	.dz dz (xtg у)з- + Зт- = 0 ox oy	z = /(x3 cosy)
9	dz /	\ dz x4—2(ylny)—= 0 ox	oy	z = /(x2 Iny)
48
№ вар.	Дифференциальное уравнение	Функция z = z(x, y)
10	dz dz _	Z = f(xy)
и	dz dz 2x-—~ 0 dx dy	z = f(Jxey}
12	dz dz ~ T + yl~ = Q dx dy	z = / — k J
13	dz , . xdz 2x	(sin2y)— = 0 dx	' dy	z = /(xtgy)
14	dz . dz _ x— + 2y — = 0 dx	dy	
15	dz , t xdz 2x3—(y,nyk- = ° dx	dy	z = /(Vxlny)
16	~ 2 dz dz 3xy	= 0 dx dy	z = /(in X + y3)
17	dz	2 r~dz —+ 6x2Vy —= 0 dx	dy	z = /(Vy-x3)
18	2г|1-зЛ^.о dx	dy	z=/(*¥2+ev)
19	(	\ dz ,	\ dz (cosy)— -(cosx)— = 0 dx	dy	z = /(sinx + siny)
20	/—dz i—dz y/x— + Jy— = 0 dx	dy	z = /(77-Vx)
21	Л /-dz dz 	y^~ = Q dx dy	z = f(4x + Inyj
22	л г dz dz 4<xy—+ —= 0 dx dy	Z = f(y2 -7x)
23	dz dz Л x	3— = 0 dx dy	z = /(x3^)
24	\dz dz 2(*tgy)—+ —= 0 dx dy	z - f (Vx cosy)
49
№ вар.	Дифференциальное уравнение	Функция Z = z(x, 7)
25	дх	ду	z = f (у +ev)
26	v /—dz dz 2еу \lх-	= 0 дх ду	z = f(jx+ey}
27	dz (	2 \dz	z = f(x + t%y)
28	гЛЛ. дх ду	z = f^y1)
29	dz dz „ дх ду	z - /(inx + In J?)
30	~ 2 dz Г-dz 2у 		>Jx— = 0 дх	ду	r 3 Z = / x2 + y3 k	)
Задача 5. Проверить, является ли данная дифференциальная
форма полным дифференциалом некоторой функции, если да,
найти ее.
№ вар.	Дифференциальная форма		
1	a)	. ХУ. dx - [2ye~y -yjx2 +l\dy Vx2 +1	'	' 6)	[x2 + xjcos ydx + yxdx		
2	a) 2xydx - (ye y - x б) (x + \[x^eydx - x\		2 -e y^dy {y2 +4x^dy
3	a) cos ( 6) 4x3	^y2 + xj dx + s 1 + y5 dx- k	7	in (x + y) dy (	1 2^cos^ —у bx dy k	J
4	a) 7x6 6) (x5	+ cos2 32) dy 4- jyjlnjydx + (	; - (x1 sin 2y - 2yj dy x + y2)ydy
50
№ вар.	Дифференциальная форма
	а) еу xdx + (х2 + jy) ydy
5			( .	, п
	б) yjcosydx- Х^1П^ —у 3 dy ^cosy У )У
	а) у[хеу dx + 2xy5eydy
6	6) ^2х +cos2 j>)dx-^xsin2y-—
	а) [2ху[у + cos (2х +1)^ dx + х2 (у[у + 1) dy
7	б) ctgyJx	dy
	l^sin у sin у 2у]у J
	f	(	1 А	Л	( г	л Л
	\	2	1	• ~	,	COS X 1	, a) cos х- х + —т= sm2x dx- 	=- + — dy
8	I l 4у) J ^у4у у2)
	6) In x + ^Jy2 +1 tZx + cos^x2 + y^dy
	a) ^x3 + yjcosxdx + xyjy2 +1 dy
	(	i A
9	fi 6	A	7
	1 -7 г	j cosy x i o) —x ' y]y + cosx dx- —z	7= dy Y1	)	sin у 2yly
	\	7
10	а) (бх2 cos j> + siny2^dx- ^2x3 sin j> - 2j>xcos j>2 - l^dy
1 V	6) yylx2 +\dx + e~y xdy
	x / 2	- y2 \	f 1 3	- У2 A J a) |x +e y jydx + l — x y + ye x \dy
11	
	6) ^r-sinf—lrfx+ cos—- — sin—+ — dy
	X	\x)	XX X у )
51
№ вар.	Дифференциальная форма				
12	Л а) х5 1 + у3 6) л л/х2 + у2		<Ух + / / dx- \	1 -- -y 3(x6+l)rfy —ylx2+y2—. У	dy (i+/)	7^2+/J	
13	ехУ а) 6) X7 (1 + cos		jdx- 2 y^a	2y	ex	dy sin2^ cos2(.y еЛ)^ rx + cosxy26fy	
14	а) б)	ьэ 2~| О	(Ъ СП 41 8-	+ *	41 +	ь-> °	н—	1 о	1 <73	Z' Ч!	Ч! И <4>	. NJ | LU 1 N> 1 to			dy 7
15	a)	(cos2 y + x}xdx 6)	2х\]у2 + Idx-			: + — X2dy - r~ 2 A sin^/y X у , .2^	
16	, Зх2у2 а) —-- dx - 2yjx3 + у б) (x+77)tgy</x			'	i	i	2 cos		 2yJx3+y dy J у 2jx3 + у	) + (2j> + x2 j dy	
17	а) б)	( 11 X+~j= ' I Jy) —Зх5(x6 4	cos x2 dx + х\п у dy 3	( •	A iF5	S1IV -11 2COSJ>ar- -у::-- -cosy VVx6+l	?		dy
52
№ вар.	Дифференциальная форма			
18	а) б)	X7 у/у + cos(x) 6 к	> 1 -- -(х +1) з еу dx-	/х + у^х1 dy у3/		 1 еуЧх + \ +	с >Чп |y|J	iy
19	а)	^2х3 + у2хj dx + ( б)	2 (х + 1)%]у + Idx -		у3 + xjxdy 1	(х + 1)2 У 3(у + 1)^	dy /
20	2(77+1)	Л а) —-—i— ydx- \ - з7?	U б) sin(xy)ydx--d) У		^_(^+1)2Ъ, Щ У	' ) )	
21	а) ^х2 + у2 dx + —т= 2\]х (2х + l)cos у dx- б)		1 	ydy 2+/ (	к (x2+x)siny +		 dy ; Hl-blnKJ	
22	(	1^2 а)	1 +—7=- \е у dx- к 2у)х) б)	^dx + x2yd.		(	к - 2у(х + у/х]е~у +			 dy 1	}	277(1+Я 2J У	
23	( a)	cos(j>2 + x^dx- < к б)	+ }>2xjdx + ;		?у — -cos^2 +х^2у v4x dy	dy
53
№ вар.	Дифференциальная форма			
24	a)	x7tgtfydx +	x*dy cos у у б)	5х4 In ydx - 			— - In у -1 dy ч2у(1пу)5	J			
25	a)	* -—ey dx- V2x + 3 6)	x2yjy2 + ltZx + si			—^--2ye-v a/2x + 3 dy 4(2y + l)i	J n(x2 +\l~y)dy		
26	a)	у2 yjx3 + у dx + s in ^5x + y2 j dy 6)	2e-vy5 dx - ———- - 2xy5ey -1 Oxy4ey dy J			
27	a)	[2y]2y + 1 + 2cos(2x + l)jtZx- _ cosydy . /би 6)	.		 +sinyVx + Uy a/x6 +1		<	X 1	2x - J^y + l .2у2	Л	,	dy
28	x	1 a)	. - dx- X + yj y2 +1 6)	\Jx + 1eydy + 3y(	f	A sin>”/ n2-\n— \x + y]y2 +ljv/ +1 4 x + 1)з dy		dy
29	a)	(x +1)2 -^/y + 1 dx + (x + I)3 ^/y~4 6)	^3x2cosx-(x3 4-yjsinxjtZx-		-1 dy у 3 cosx dy J	
54
№ вар.	Дифференциальная форма		
30	а) (д/х +1 +1) J 6)-^dx- Л2+1	V	— Z-	х	+ гч + | со К	1 СП | Tf \	/ сч	«Х t	+ “8 ч	dy
Задача 6. В точке А найти производную функции
и = f(x, у, z) в направлении вектора АВ, а также ее максимальное
значение. Указать вектор направления максимальной производной.
№ вар.	f(.X, у, z)		Точка J	Точка В
1	exyz + cos(—)ln(x2 + у2)		(0; 1; 1)	(3; 3; 7)
2	sin (xyz) + 2^x2 + y2 arcsinI — +1 j \z J		(-1; 0; 1)	(1;-1; з)
3	cos(xyz) + arctg^—+ l^j (y2 + z2)		(1; -1; o)	(2; 1; 2)
4	tg (xyz) + 2 In (yz) exz		(0; -1; -1)	(1; 1; 1)
5	arcsin (xyz)+ tg —-1 k/l + yz Vz )		(1; 0; 1)	(2; 2; 3)
6	arccos(xyz) + 2sin^—+ l^(x2 + z2)	pl	(-1; 1; 0)	(1;3; 1)
7	arctg (xyz) + л/х2 + z2 In (-yz)		(0; 1; -1)	(2;-1;-з)
8	arcctg (xyz) + 2sin^— -		(-1; 0;-i)	(3; 2; 3)
9	/	A	( Л /	\	1	У	1	z In (1 + xjyz) + tg	1 cos — k*	)	IjJ		(1; 1; 0)	(3; -1; 1)
55
№ вар.	/(*, у, z)	Точка A	Точка В
10	J1 + xyz + arcsin — +1 Vl + xz кз’ J	(0;-l; 1)	(2; -3; 2)
11	exyz +2arctgf—+ 1^(}>2 + z2) Vx )x	1	(1; 0; 1)	(3; l;-3)
12	sin(xj>z) + ln(x2 + z2>)eyz	o)	(-3; 5; 3)
13	cos(xj3z) + yj\ + xj>sin —-1	(0; 1; 1)	(2; 2; 3)
14	tg (xyz) 4- 2exy arcsin — + 1 V z )	(-1; 0; 1)	(3; 2; -3)
15	arcsin (xj^z) + cos Jin (jy2 + z2j	(1; -1; o)	(7; -3; -3)
16	arccos(xj>z) + 2^x2 + j?) ln(yz)	(0;-l;-l)	(2; 0; 1)
17	arctg (xyz) + y]y2 + z2 sin —-1 | \x J	(I; 0; 1)	(3; 1;3)
18	arcctg (xyz) + ф + yz tg +1	(-1; i;0)	(0; 3; 2)
19	In (1 + xyz) + 2exz arcsin + l^j	(0; 1;-1)	(2; 5;3)
20	r.	 ~ У	(x Л yjl + xyz + 2 cos— arctg	1 x	\z	J	(-1; 0;-l)	(i; i;0
21	+(y +z2} ’ln(x2+z2)	(1; 1; o)	(3; 7; 3)
22	sin(xj3z) + 2yjx2 + y2 ln(-j3z)	(0; -1; 1)	(2; 0; 3)
23	cos(xyz) + y]l + yz sin\ — + 1 Vx )	(1; 0;-i)	(5; -4;-3)
24	tg (xyz) + 2eyz arcsin — -1 \x )	(-1; -i; o)	(0; -3; 2)
56
№ вар.	У, z)	Точка A	Точка В
25	arcsin (xyz) + cos — arctg — -1 k* )	(0; 1; 1)	(1;3; 3)
26	arccos(xyz) + 2^x2 + y2j sin^— + 1)	(-1; 0; 1)	(0; 2; 3)
27	arctg (xyz) + 2^/y2 +z2tg^— + 1^	0)	(3; 1; 1)
28	arcctg (xyz) + y]\ + xy In (x2 + z2 j	(0; -1;-1)	(3; 5; — 3)
29	In(1 + xyz) + e^ sin — 1J	(1; 0; 1)	(2; 1; 0)
30	1	 z I (у 1 Jl+xyz +COS — tg	hl W k* J	(-1; i; o)	(-з;-1; О
Задача 7. Для заданной поверхности (вар. № 1—10)
F(x; у; z) = 0 (z = /(х;у)) найти точку (точки), в которой каса-
тельная плоскость к поверхности параллельна плоскости
Лх + Бу + Cz + D = 0. Написать уравнения касательной плоскости
и нормали к поверхности в найденной точке (точках).
На поверхности (вар. № И—15), заданной уравнением
F(x;y; z) = 0, найти точки, в которых нормаль к поверхности па-
раллельна прямой
l. х — х0 = х-у0 = х — z0
или
т п р
£:
Ахх+ Вху + Сх z +D} =0,
./tjX + В2У + O2Z + Z?2 =0.
Написать уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).
На поверхности (вар. № 16 — 20), заданной уравнением
F(x; у\ z) = 0, найти точки, в которых касательная плоскость к по-
верхности перпендикулярна заданному вектору а =	az).
Для каждой из найденных точек написать уравнения касательной
плоскости и нормали.
57
Для заданной поверхности (вар. № 21 — 30) F(x; у; z) = 0 в
Л/0(х0; у0; z0) написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали.
№ вар.	Уравнение поверхности	Уравнения плоскости и прямой, вектор, точка Мо
1	4 + х + у2 = Inz	х + 2у - z - 0
2	х- у2 - z2 =0	x-4y + 2z-l = 0
3	z = 2х2 + у2	4x-2y-z + 9 = 0
4	X2+y2-Z2=-l	2х + 2у- 3z - 5 - 0
5	12x-2/-3z2 =18	х + у + z = 10
6	z = 2х2 - 4у2	8х - 8у - z = 0
7	x2+2y2+3z2 =21	х + 4у + 6z = 0
8	z = Зх2 + у2	6x-4y-z + 3 = 0
9	5х2-y + 2z2 =9	10x-y + 8z-13 = 0
10	4х2 + у2 +z2 =17	4х - Зу + 2z +1 = 0
И	х2 + у2 - 4z = 0	X- у - z
12	x2-y2-2z = 0	х _ у + 51 _ z-2 3 ”	1	-1
13	z-xy	х + 2 _ у + 2 _ z -1 2	2	-1
14	х2 - z2 - 2x + 6y + 4 = 0	Г x + y- z + l = 0 [x-3y + z + 9 = 0
15	x2 -2y-z2 =4	[-х -y + 2z = 0 | х -3z + 8 - 0
16	x2 - xy - 8x - z + 5 = 0	a = (l; 2;1)
17	z = 1 + x2 + y2	a = (2;2;-l)
18	x2 A- y2 — xz — yz = 1	a = (-6; 0; 1)
19	x2 + y2 - 4x + 2y + 2z + 10 = 0	a = (l; 2; -1)
58
№ вар.	Уравнение поверхности	Уравнения плоскости и прямой, вектор, точка MQ
20	х2 - у2 + ху - yz = 2	а = (5; -3; -1)
21	х3 + у3 + z3 + xyz -6 = 0	Л/о(1; 2;-1)
22	4 + у]х2 + у2 + z2 = х + у + Z	М0(2; 3; б)
23	(z2 - х2 ) xyz - у5 = 5	Л/О(1; 1; 2)
24	ez - z + ху = 3	AY0(2; 1; 0)
25	Z = yjx2 + у2 - ху	Мо(3; 4;-7)
26	у z = arctg— X	
27	1 у 2г +2г =8	Л/0(2; 2; 1)
28	Z = х3 — Зху + у3	Л/0(2; 1; 3)
29	Зх4 - 4y3z + 4z2xy - 4z3x + 1 = 0	л/0(1; 1;1)
30	z = sinx + exy + у	л/о(О; 2; з)
Задача 8. Найти экстремум функции: а) /(х,у); б) /(х, у, z).
№ вар.	Функция
1	а) х2у-9у3 -2х2 +18/ б) х3 + 15х2 -13/ -z2 -4yz + 72x-86y-16z + 7
2	а) ху2 - х2у - 2у2 + ху + 2у б) 2/ -х2 -б/ -37z2 +2xz-2x-90y-70z + 5
3	а) у3 - х2у - 4/ + 4у б) 3z3 + х2 + 5/ + 27z2 - 2ху + 32у + 70z + 5
4	а) 4/ -х2у + 2х2 -12у б) 4х3 -12х2 -13/ -5z2 +14yz-36x + 42y-30z + 7
59
№ вар.	Функция
5	а) х2у + ху2 + 2х2 + Зху + у2 + 2х + 2 у б) 2у3 +5х2 + 9z2 -12xz-4x-6y + 12z + ll
6	а) 4х3 - ху2 +12х2 + у2 б) 3z3 -17х2 +5у2 +12xy-22x + 2y-9z + 6
7	а) ху2 + х2+ у2 - ху - 2у б) 4х3 -12х2 — 1 Зу2 -25z2 + 20yz-132y + 240z-3
8	а) х6 + х4у-2х4 -х2 у-у2 +2у б) 2у3 +х2 -бу2 +2z2 -2xz + 6x-18y-12z-2
9	а) ху2 - х2у -х2 -ху-2х б) 3z3 +4х2 +5у2 -27z2 -4xy-12x-2y + 72z-3
10	а) ху2 + у3 + 4у2 + Зху - х2 б) 4х3 - 24х2 +1 Зу2 +1 Oz2 -18yz - 60х + 70у - 56z - 6
11	а) у3 -х2у-12у2 +36у б) 2у3— 5х2-24у2-16z2 +16xz + 72y + ll
12	а) х4 - 4х3 — 2х2 — у2 +12х б) 3z3 - 26х2 - 5у2 -18z2 +14ху + 94х - 44у -189z + 7
13	а) ху2 - х2у - 4у2 + 5ху - 4у б) 4х3 +12х2 +13у2 +z2 -4yz-36x + 34y-8z + 5
14	а) у3 - х2у - бу2 - 2ху + 8>> б) 2j>3 - х2 - 5z2 + 2xz - 4х - 24 + 28z + 5
15	а) -ху2 + 2у2 - 4ху + х2 - 4х + 8у б) 3z3 + 9х2 + 5у2 - 9z2 - бху - 84х + 44у - 27z + 7
16	а) ху2 - 9х3 — 18х2 - у2 - 9х б) 2у3 -5х2 -18у2 -25z2 +20xz-40x + 30y+100z + 6
17	а) у3 -х2у+12у2 +36у б) 4х3 - 24х2 -1 Зу2 -17z2 + 22yz - 74у + 78z +11
60
№ вар.	Функция
18	а) у3 + Зу2 - х2у + х2 б) 3z3 + 2х2 + 5/ -18z2 -6x^-30x + 48y-108z + 3
19	а) ху2 - х2у - 2у2 - 2х2 + 5ху + 6х - бу - 4 б) 4х3 - 60х2 +13/ + 4z2 - 8yz + 252х + 32у - 32z + 2
20	а) у3 - х2у + 4у2 + 4у б) 2/ +х2 -18/ +10z2 -2xz-4x + 30j/-14z + 3
21	а) у1 - х2у + 4х2 - 4у б) 3z3 -16х2 -5/ +9z2 +8x^ + 72x-26j/-72z + 6
22	а) ху2 - х2 - 3у2 + 2х б) 4z3 -13/ -26z2 + 26_yz -108х + 26у + 52z +11
23	а) 4х/ — х3 + 8у2 + Зх б) 2/ +5х2 -б/ +z2 -4xz + 46x-48y-20z + 7
24	а) у3 - 4х2у - 2у2 - 8х2 - 4у б) 3z3 -5х2 -5/ -27z2 + 8xy-6x+12y + 45z + 5
25	а) у3 - 2х2у — ху2 - бу2 +12ху б) 4z3 -Збх2 +13/ +9z2 -12yz + 76y-60z + 5
26	а) 4/ — х2у — ху2 +12у2 — Зх2 б) 2/ -х2 -18/ -17z2 +2xz-12x + 42y+108z + 7
27	а) ху2 - х3 + 2ху - 6х2 - 8х б) 3z3 - 25х2 - 5/ +18z2 +1 Оху + 220х - 6 Оу - 45z + 11
28	а) —х3 + Зх/ + 2х2у + 6х2 — бху — 9х б) 4х3 -Збх2 +13/ +2z2 -10yz + 96x + 10y-4z + 6
29	а) 2ху2 + у3 - Зх2j; -12у2 + 12ху б) 2у3 + 5х2 + 4z2 - 8xz + 56х - 54у - 48z + 3
30	а) х3 + 2х2у - Зху2 +12х2 -12ху б) 3z3 +10х2 +5/ -2z2 -10ху-30х —144z + 2
61
ЛИТЕРАТУРА
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч. и др. Математический анализ в во-
просах и задачах: Функции нескольких переменных. М.: Высш, шк., 1988.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1985.
Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и осно-
вы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.
М.: Наука, 1993.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы ма-
тематического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. М.:
Наука, 1986.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления: В 3 т. Т. 1—3. М.: Наука, 1969—1970.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................. 3
1.	Функция нескольких переменных........................... 3
2.	Частные производные..................................... 7
3.	Производная по направлению. Градиент.................... 10
4.	Непрерывность, дифференцируемость, дифференциал функции
нескольких переменных..................................... 14
5.	Производные и дифференциалы высших порядков............ 16
6.	Дифференцирование сложной функции ......................21
7.	Дифференцирование неявной функции ......................24
8.	Нахождение функции по ее полному дифференциалу .........28
9.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности...........30
10.	Экстремум функций нескольких переменных................35
11.	Варианты типового расчета .............................43
Литература.................................................62
Учебное издание
Зорина Ирина Григорьевна
Лапшенкова Татьяна Ивановна
Сунчалина Анна Леонидовна
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Редактор В.М. Царев
Корректор О.Е. Никитина
Компьютерная верстка И.А. Марковой
Подписано в печать 25.04.2013. Формат 60x84/16.
Усл. печ. л. 3,72. Изд. № 2. Тираж 500 экз. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.