/
Text
! Н. Ф. НРАСНОВ
АЭРОДИНАМИКА
"'
МЕТОДЫ
АЭРОДИ НА1\1 ИЧ ЕС КОГО
,.
РАС ЧЕТА
''
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ЛЕ РБРА~ТАН НОЕ И ДОПОЛl;-fЕННОЕ
.. ..
Допущено · ми н истерст.вом
.
•
высше го и среД,него
специального образования ССС?
•
в качестве учебника
для сту д ентов
техн и ческих вузо в
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976
..
...
533'i:
1(78 '
УДК 533 .6 (0.758)
Р.еценз~н - проф. А. М. Мхитарян
• (К,~евокий ин, ст:и-гут инженеров
,,.
граждан'Ской авиации)
..
Краснов Н. Ф.
К78 Аэрю1дина,мика. Ч. II - Ме'тоды аэро\1!:ИН<амичес-
:~юго ,расчета. Учебник для втузов. Изд. 2-е, пер,ераб.
и доп. М., «Высш. школа», 1976.
368с.сил.
Во второй части учебника излагаются основные методы определе
ния аэродинамических характеристик летательных аппаратов и их от
дельных элементов. приводится расчет сверхзвукового обтекания
заостренных и притупленных конических поверхностей, тонких тел вра,
щения, расположенных под небольшими углами атаки (линеаризован•
ные задачи), а также методы расчета сил трения, теплопередачи и
уноса теплозащитных покрытий, рассматр и ваются задачи, связанные
с нахождением аэродинамических - параметров летательных аппаратов
в виде комбинаций «корпус - крыло», «корпус
-
крыло - оперение
(рули)» с учетом интерференции, даются сведения из аэрод инамики
разреженных газов.
20303 - 418
К 001(01) - 76
БЗ-23-13-76
© Издательство «Высшая школа>,, 1976.
533
~'
.. .,,.
.
,;.,
•
: ПРЕJ'НСЛОВИЕ
Учебник «AэpoдинatJ:lfiia» состо
_' частей: ч. I- «О-новы
теории. Аэродинамика профиля и I
II-«Методы аэроди-
намического расчета». Использован
иала второй части .
учебника предполагает обязательное з
о с :·еоре~ическ~fм.:-.:-' .
основами аэродинамики, излагаемыми его ервои час'#~. Изуч~- .J . \i.
ние материала, позволяющего rJОлучить пре~ставление о приклад-
,
ном характере аэродинамики, т. е. б определении аэро~П.ина_миче
ских характер.истик, служит одно менно и цели r:луосжого овл·а-
-....__
дения аэродинамической теорией, - что вытекает из важнейшего
..--.
( принципа дидактики, в соответствии с которым научная информа~'
. ци5L усваивается
глубоко и прочно, есл,ц..,,Qна в качестве активного
средства используется для решения ~'Iit~'Ибo прикладных задач
Этот принцип опирается на неоднократНQt. обращение к хранящей- ·
ся в памяти научной информации и всестороннее осмыслив.ание тех
логических связей, которые . сущес:~~уют между отдельными эле-
ментами.
. ,,,..
.
Усвоенпе методов аэродинами~iёского расчета имеет большое
значение, так как вводит в круг· проблем установления взаимоза
.
висимости между теорией и практикой _ р~шения конкретных задач
и знакомит с новыми я_влениями, свойствёtrnыми процессам обте--~
J(ания тел.
Для наиболее полн9го и последовательного изложения при
кладных задач аэродюfамики естественным является такое постро
енне учебного курса, в соответствии с которым вначале рассматри
ваетс я аэродинамика профилей и изолированных крыльев (несущих,,,.
управл яющих и стабилиз,и,рующих поверхностей, гл. VI-VIII,
ч. I), затем тел вращения (корпусов) и, наконец, летательных
аппарат9Jf:'•-в:..виде различных комбинаций крыльев, оперения, орга-
нов управления и тел вращения с учетом интерференции между
ними (гл. IX-XI, ч. II).
., ,;..•
При подготовке второго :!!:Здания особое внимание уделено раз- •
работке методов расчета_ )а_"эродинамических харюперистик лета
тельных аппаратов. В . ч~·стности, большее освещение получили
вопросы, связанные с определением понятий о коэффициентах ин
терференции, лежащих в основе указанных методов расчета.
Включен важный раздел о нахождении аэродинамического сопро
тивления с учетом интерференции.
Важное место в учебнике занимает освещение прикладных про
блем современной аэродинамики больших скоростей. В частности,
сверхзвуковое обтекание конуса рассматривается с учетом влияния
3·
:...
.~из~-«б-химических
превращении в воздухе (диссоци.ации). К числу
таких проблем, нашедших отражение во второй ч-асти книги
-(гл·. XII-XV), относя·тся движение газа в пограничном слое (тре
ние и теплопередача), унос массы с обтекаемой поверхности при
,J. .болы:iюм разогреве (абляция), а также силовое и тепловое в оз
• действие в условиях движения тел в разреженной среде .
дл·я современной аэродинамики характерен подход к р е ш ению
прикладных инженерных проблем с двух позиций. Можно соста
вить общие у равнения обтекания и найти их решение с помощью
электронных вычислительных машин. Такое решение приемлемо
для какой-либо заранее выбранной модели исследуемого процесса,
обусловливающей многовариантность начальных условий и боль-
. • шой объем вычислительны~ операций. Вместе с тем исследовать
обтекание тел можно аналитически - путем постановки теорети
че~,,,~13⁄4l JIРОблем, их корректных физической и математической фор
м ~рр~ вок, создания новых методов решения задач. Для инже
нера· имеют исключительно большое значение такие аналитические
решения, если. область их применения известна. Именно этим ре
шениям уделено большое внимание в книге. .
Важнейшим правилом, которь1м необходимо руководствоватьс>I
при осуществлении аэродинамических расчетов, является нахож
дение соответствующих рецrений в безразмерной форме. При соблю
дении аэродинамического подобия такие решения могут быть
распространены с модельных на натурные явления, связанные с
обтеканием летательных аппаратов и движением газа вообще. ·
Однако безразмерные решения в·ажны и вне свящ, с аэродинамиче
ским подобием. Решая в безразмерной форме определенную задачу,
которая может и не иметь аналога, находят искомые параметры,
определяющие процес.с, _ о •цrесенные к харахтерным газодинамиче
ским величинам, известным для такого процесса. Например, вычис
ляют не абсолютные давления, плотности или температуры, а их
значения, отнесенные к соответствующим параметрам торможения.
Это способствует нахождению правильных решений и более надеж- •
ной оценке величин отыскиваемых газодинамических параметрqв •
.Приводимая во второй части учебника научная информаци,т,
относящаяся к прикладным проблемам аэродинамики, естественнп,
не претендует на полное освещение всех методов и приемов аэро
динамического расчета. В книге не предусматривалось,' например,
изложение методов такого расчета в условиях нестационарности,
проблем обтекания пористых поверхностей ( «проницаемая» аэро
динамика), аэродинамической теории наивыгоднейших форм об
текаемых поверхностей (в частности, ко,рпу,сов летательных аппа
ратов). Изложенный материал второй части книги дает возмож
ность ознакомиться с принципами исследования инженерных аэро
динамических проблем и в_ыработать умение ориентироваться при
отыскании решения возникающих новых аэродинамических задач.
Этому будет способствовать также использ·ов ~ше других учебников
и учебных пособий, а также монографий и научных статей, пере
чень которых приведен в конце книги.
4
.,,_
Автор признателен 'рецензенту проф. А_. м. мхJi"аряну за по
лезные замечани я и ценные 11ред.Jtоже~l! Я по улучшению содержа
ния и структур ы кнщ;и, которые были учтены при доработке
учебника.
А
.
Автор с благодарностью примет замечания и советы читателей, :, .
I(oтopE>re позволят в большей степени усоверш енствовать учебник:
Свои заме чания просим направлят по адресу: Москва, K -Ql, Не
глинная, 29/14, Издательство «Высшая школа» .
Автор
., .·
"
1
1
•
· ГЛАВА IX
КОНУС В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
§ 9.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ОБТЕКАНИЯ
ЗАОСТРЕННОГО КОНУСА
Задача об обтекании заостренного конуса - одна из наиболее
важных в аэродинамике. Ее решение имеет большое практичес кое
значение, так как позволяет рассчитывать аэродинамические
характеристики летательных аппаратов или их элементов, имеющих
коническую форму, и наряду с этим результаты такого реш ения нс
пользуют для расчета сверхзвукового потока около заостренных тел
вращения . Например, это р е ше ние дает начальную точку на кривой
распределения параметров обтекания заостренного криволинейн ого
тела. Кроме того, результаты симметричного обтекания конусов
применяются для приближенного расчета распределения пара мет
ров газа по п ери ферийной поверхности тел вращения (метод «мест
ных конусов»). Этими же рез ульт атами пользуются как сравни
тельными при исследова'н11.и . аэродинамики затупленных конусов .
В теоретической аэроди·нi1мике наряду с точными разра ботан
ряд приближ енных решений, позволяющих упрощенно рассчиты
вать обтекание конуса. Некоторые из таких решений относятся к
тонким конусам, обте к аемым линеаризованным потоком или пото
ком с очень большими числами М. Точное реше1ше может бытr, ,
вообще говоря, применено к конусам произвольной толщины, при
чем обтекающие их потоки могут иметь любые скорости. Основное
условие, которое должно при этом выполняться, связано с сохра•
нением около обтекаемого тела к он и чес к ого пот о к а - по
тока , параметры которого остаются постоянными вдоль прямых ,
проведенных из вершиньr обтекаемого невязким по током конуса.
Однако получающиеся результаты применяются также при иссле
довании вязкого обтекания. «Невязкие» щ1раметры, таки е , как
давление, скорость, плотность, рассматриваются в качестве пара
метров на внешней границе пограничного слоя, образующегося на
конусе, и являются факторами, определяющими напряжение трения
и тепловые потоки, идущие от газа к стенке.
,
Представим себе конус с поло Ы1 нным углом ~н при вершине,
обтекаемый осесимметричным сверхзвуковым потоком. Задача за
ключается в том, чтобы расочитать течение газа между этим кону-
6
,.
.
~
-
~
сом II возникающим перед ним скачка~
{!Отне
" имеIQщим вид
конической поверхности. При этом леобходимо опр~делить также
угол · наклона 0с прямолинейной образующей конического скач~;;~
(,рис. 9.1 .1). С этой целью рассмотрим систему уравнений• фер11t"'
ческих координатах 0 .и r применительно к такому случаю" . ~ка
ния, когда газ за скачком под влиянием высоких температур 'пре
х
(
"'~~~1 ---- --+ ----S~ R)
1
j
tlr
{
Рис. 9.1.1. Составляющие скорости н а,• промежуточной кони
ческой поверхн t> сти:
1 - скачок уплотнения; 2 - обтекаемый конус; З
-
промежуточная
1<оi1ическая поверхность
·~t'··~
-~-~- ,·
•
V
1'ерпе.вает физико-химические превращения. При этом будем счи
тать, что в возмущенной области устанавливается тер м ·о дин а
мическое равнове,сие.
Отыскиваемое решение для конуса должно соответствовать осе
симметричному коническому полю возмущенного потока, в_ ·котором
параметры газа сохраняются постоянными вдоль прямых, · прове
денных из верши н ы и являющихся образующими проме жуточных
конических поверхностей (в том числе конических поверхностей с
у глами 0=0с и 0=Вк).
На основании ука·занного свойства отыскиваемого решения лю
бая частная производная от параметров газа по сферической
координате r (рис. 9. 1 .1) равна нулю . В соответствии с этим ур а в
нение неразрывности (2.4 .37) *, в котором следует принять равными
нулю . частные производные по. r, а · также по 'Ф (двухмерное теч,:.
* Ссьшкш на формулы ; таблицы и ри,су~нк:и гл . I-VIII да!Иы по .КJН:иrе «Аэро-
д:ин-а.мика», ч . I, · t:976.
••
7_,
"~ :,
:-:--1
ние), будет иметь вид
dQ
dVв
2QV,+ V 0 -+Q-+QVв ctg 6=0.
d0'
d0
(9. 1. 1)
Уравнения двухмерного движения около конуса, по лучаемые и з
системы (3.1 .45), в которой принимаются равными н улю чл ены,
характеризующие вязкость, а также частные производны е по t и r,
записываются в форме :
(9. 1. 2)
(9. 1. 3)
В соответствии с числом определяемых параметров надо до ба -
вить к этим уравнениям уравнение
р (f1ep)e Q Т
-=--.- .
-,
Ре /J-ep
Qe Те
(9. 1. 4)
получаемое из уравнения состояния ( 1.5.8) для газа в про изволь но й
точке потока и уравнения состояния p 0 =QeTeRo/ (f1ep)o , о т несен
ного к условиям непоср едственно за скачком уплотнени я ( индекс
«с») . В рассматриваемую систему должны войти такж е уравне ния
энергии (3.4 .14)
(9. 1. 5)
и общие зависимости вида (4.2 .8)-(4.2 .11) для расчета э н т а льпии,
энтропии, среднего молекулярного веса и скорости зву1<а:
i=f1(P, Т);
S=f2(P, Т);
~ер=fз(р,Т);
a=f4(p, Т).
(9. 1. 6)
(9. 1. 7)
(9 . 1~8)
(9. 1. 9)
В таком виде система может быть использована для исследова
ния обтекания конуса диссоциир ующим газом. В частном
случае отсутствия диссоциации эта система упрощается. Если при
нять, что в возмущенной области между скачком уплотнен и я и по
верхностью конуса удельные теплоемкости и средний молекуляр
ный вес газа остаются такими же, как в невозмущенной части по
тока, а скорость звука и энтальпия зависят только от температуры,
то вместо уравнений (9.1.6)-(9.1 .9) следует воспользоваться за
висимостями (4.3 .1) - (4.3 .4), которые представим в виде:
8
._
Т-СрР-
k
р.
l-C
-- --
-
-
•-
,
Р
RQ
k-1Q
т
IР
S=cv ln - k-1
-+ C1 =Cv n---;;-+92 ;
Q-
Q
f1ep = const;
a2= kRT= kp/Q.
Ур.авнения (9.1 .1)-(9.1.3) остаются без изменения.
(9. 1. 10)
(9. 1. 11)
(9. 1. 12)
(9. 1. 13)
J
§ 9.2. О&ТЕКАННЕ КОНУСА
ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЯХ
Для слу чая обтекания кон уса при постоянных теплоемкостях
получены результаты, имеющие важное практическое значение.
Для приближенной оценки некоторых параметров обтекания (на
· пример давления) они могут использоваться и тогда, когда
обтекание сопровождается значительным разогревом, вызывающим
физико-химические превращения и, как следствие, изменение
удельн ых теплоемкостей.
Для ре шения задачи - воспользуемся уравнениями (9.1 .1 ) - (9.1 .3)
и (9.1 .10) -, -- (9.1 .13). При этом уравнение (9.1 .3) будет удобнее
применять, если произвести в н ем некоторые преобразования. Для
этой ц ели воспользуемся выражением для скорости звука a2 = dp/dp,
записанным в виде
dp
2dQ
-=а-.
d0
d0
(9. 2. 1)
Посл е подстановк и значе ния dp/d8 из (9.2 .1) в (9.1 .3) получим
QV dVe +QV V +а2 ~=0.
еd0
.
'
_о
d0
Внося сюда значение производной dp/d8, вычисленное по (9.1 .1),
находим преобразованное уравнение
•
dVe/d0= [ _:l/0 ctg е+ V, (Vifa2 - 2)] (1- VUa2)-1
.
(9. 2. 2)
. Квадрат
скорости . звука в этом уравнении в соответствии с
(3.6 .21)
.,
2_ k+1*2 k- 1(v2+v2)·
а ---а ---
2
2
,
е•
(9. 2. 3)
Рассматривая систему уравнений (9.1 .2), (9.2 .2), (9.2 .3) видим.
что задача об обтекании конуса сведена к кинематической задач-::,
связанной с определением поля скоростей в возмущенном потокt
около конуса, т. е. с отысканием функций Vr(8), V0 (8) для состав-
ляющих скорости или функции V (0) = VV;+ vi для полной скоро
сти. По вычисленной полной скорости при помощи формул (9.1 .4),
(9.1 .5), (9.1 .1 О), (9.1 .11) можно определить давление, плотностL,
темпер атур у, энтальпию и энтропию газа. Вместо .указанных . фор
мул для определения давления, плотности и температуры ,можно ис
пользова ть соответственно соотношения (3.6.26), (3.6.31), (3.6.33).
Граничные условия, при которых ведется численное интегриро
вание дифференциальных уравнений (9.1 :2), (9.2 .2), определяются:
условиями течения газа на конусе, а также условиями, характери
зующими параметры газа непосредственно за скачком уплотнения.
Гр анич ное условие обтекания конуса заключается в том, что на
его поверхности нормальная составляющая скорости равна
нулю, т. е.
(9. 2. 4)
9
*"'1⁄4·# ·· ~~
/
• Для скачка уплотнения имеем два условия. Первое из этих ус
ловий получается из равенства касательных составляющих ско
рости до и после скачка, т. е. Vcrco=Vcr (рис. 9.2.1). В соответст
вии С ЭТИ!\1
(9. 2. 5)
Используя это выражение, можно получить второе условие.
С этой целью напишем выражение для горизонтальной составляю
Рис. 9.2.1. Схема треугольников скоро
сте й перед скачком уплотнения и непо
средственно за ним в случае сверхзвуко -
вого обтека ния кон у са
щей скорости И с газа на
скачке уплотнения (рис.
9.2 .1.):
Ис= Vc, cos 0с- Vce sin Вс.
Умножив о,бе части это
го выражения на Vст и учи
тывая (9.2.5), получим
Иr,_Vоо=Vc, (Vc ,-Vce tg0J,
(9. 2.6}
где Vcr и Vce - соответст
венно касательная и _нор
маш,ная составляющи е ско-
рости на скачке у пл отнения.
Теперь воспользуемся уравнением (4.J.4) •ударной поляры и
напишем его в виде
w2
с
zv;,+(k+1)(а*2--VоРс) ,
где Wc - вертикальная составляющая скорости на скачке уп .1от
нения .
Принимая во внимани е (4.4 .3), можно также написат ь
2
v2
-
t20=-- ·
00
+1
g_с k+1 а*2-VооИс
•
Учитывая, что tg2 Вс= cos-2 ее - 1, а значение V 00Ис определяет
ся из (9. 2. 6), находим
2
v2
00
-
--=
--
.
----------
а''2 V2 .1-V V tg8
•-
crI
св cr
cos28с k+1
Имея в виду (9.2 .5), пол у чи м окончательно граничное условие
на скачке уплотнения:
taB =
1 (k-1 V2 -а*2)
ьсVVk+1cr
)•
с, св
.
(9. 2. 7)
Систем у урав нений (9.1 .2), (9.2 .2) и (9.2 .3) инте грир у ют каким
либо численным методом. При этом обычно заданными считают
велщ1ину угла скачка 0с и скорость набегающего потока Vоо • В про -
10
u
t\~
u
це с се решения уравнении определяют ш:т е скорост еи · и находят
,соответствующий угол ~и конуса и скорость на нем Vr= Vн ,
Р а ссмотрим метод решения задачи . По заданны м зна ч,ениям 0 с
и V"" находим и з (9 .2 .5) радиальную составляющу ю скорости:
• Vc,oo= vc,= V oc, .COS 0с•
(9. 2. 8)
t<·
Эту скорость, одинаковую как для условий перед скачком, так
и непосредственно за ним, обозначим через V,1 = V "" cos 01,
где 0 1 =0с. По этому значению Vc,=V,1 из (9.2 .7) вычисляем нор
ма.'I ьную составл яющую скорости Vсв= Vв1 за скач ком :
1
(k-1V2
*2)
V00sin61k+1 '1- а
•
(9. 2. 9)
Рис. 9.2 .2. Схема расчета обтекания кону:са
Рассмотрим вблизи скачка промежуточную коническую поверх
ность с наклоном образующей 01-,Л01, где Л01 - малое приращение
угла 0 (рис. 9.2 .2).
Радиальную составляющую скорости Vт2 на этой поверхности
можно вычислить по уравнению (9.1 .2), записанному в конечных
разност ях:
V, - V,1= V81Л0,
Полагая здесь Vr= V1 ·2 и Л8=Л01=0 1 -02, получим
V,2 = V,1 +V8,Л01.
(9. 2. 10)
(9. 2. 10')
Нормальную составляющую Ve 2 определим из уравнения .(9.2 .2),
записанного в конечных разностях:
•
Vo - Vo1~(dVв/dB)1 Л0.
(9.2 .11)
Полагая Vв = Vв2 и Л0= Л01, найдем
Vв2 = Vв1 +(dVo/d0)1 Л01,
(9. 2. 11')
где производная (dVe/d8) 1 вычисляется из (9.2.2) по ,параметрам
на скачке:
(dVo) [
( v~l
)](
v~l )-l
dб. 1= -Vв1 ctg01+ V,1 ~
-
21-
~
,
(9.2 .12)
11
причем согласно (9.2.3)
a2=a2=k+ 1а*2_k- 1(V2 +v2)
1
с
2
2
rl
01•
(9.2. 13)
Принимая за исходные полученные значения V, .2 , Ve2, а также
значение а22, определенное по (9.2 .3) в виде
2=k+1*2_k
-
1(v2 ....L v2 )
а2 2а
2•г21В2'
можно аналогичным способом на йти параметры Vrз, Ve 3 , а3 на сл е
дующей промежуточной поверхности с углом наклона о б р азую щей
i=2
вз=в2-лв2=в1-~лвi;
1
Для произвольной конической п о в ер хн о сти с углом накло на обр а
зующей
i=m-1
Вт=01-
~
ЛВ;
1
(9.2. 14)
составляющие скорости вычисляют по формулам :
vгт= vгт-1 +Vвт-lлвт-1;
(9.2. _15)
Vвт =Vот-1 +(dVв/dB)т-lлвm-1,
(9.2.16)
где производную (dVв/dB)т- l находят из (9 . 2. 2) по параметрам V в т-1 ,
1,'гт-1, ат_1 и 0т_1= 0т_2- д0т_2. Вычисления зананчивают, когда ·
для некоторого значения угла промежуточного конуса (рис. 9.2.2)
i=n-1
0п= 0п-1 - Л0п-1=01- ~ Л0;
1
(9,2. 17)
нормальн ая составляющая скорост и обратится ·в нуль, т. е .
Vвп= \1 вп-1 +(ttVв /dB)n-lлвn-1 • О.
(9.2.18)
Здесь производную (dVв /d0)п-l находят из (9 . 2 . 2) по зн ачениям
Vвп-1, Vгп_ 1, ап_1 на соседней промежуточной ноничес но й поверх
ности с углом нанлона образующей
i=ll- 2
вп-,= 01- ~ Л0;.
1
(9.2.19)
В процессе вычисл ений, как правило, не удается в перво м же
приближении выбрать такой малый угол Л0n-I, чтобы удо вл етворя
лось равенство Vеп = О. Обьrчно выбранному з начению Л8п-I соот
ветствует вычисленная величина Ven, меняющая свой з н а к н а про
тивоположный по сравнению со знаком Vеп на соседней п оверхно
сти с углом наклона образующей 8n-I• Это указыва ет на то, что
12
]
значению Ve;1.=O соответствует приращение угла Л0п-1, меньшее
выбранного. Для определения этого приращения надо провести ин,
терполирование, воспользовавшись равенством
_
( dV8 )-1
Л0п_1 =-Vвп-1 --
.
dб п-1
По значению Л0 11_ 1 вычисляют скорость на конусе
v,к= Vк= v,,. _l +Vвп-1Л0/!-l
,и угол
;=п-1
0"= ~к= 01- ~ леi·
1
(9. 2. 18')
(9. 2. 20)
(9. 2. 21}
Аналогичньiе расчеты можно производить в обратном порядке,
задавшись условиями на конусе, причем надо знать угол ~к и ско
рость на конусе Vк, Когда будут удовлетворены граничные условия
(9.2 .5) и (9.2. 7), численное интегрирование заканчивают. В резуль
тате находят параметры газа в возмущенной области, а также угол
наклона скачка, возникающего перед заданным конусом, и скорость
(число Маха) набегающего потока.
•
Каждая операция численного интегрирования при заданных ве
личинах 0с, Vоо (или ~к, Vк) дает возможность определить поле ско
ростей, т. е. найти вид функции V = V (0), где V . fV;+ V~, _и уста
новить соответствие между данным углом конуса ~к и скоростью на
нем Vк, с одной стороны, и углом скачка 0с и скоростью Vоо - с
другой.
Повторяя расчеты при различных заданных углах 0с и фиксиро
ванной величине скорости Vоо, можно найти зависимости вида
[~к= ~к (0с), llк= V к (~к) или V к= V к (0с). Полученные результаты мо
гут быть представлены графически в плоскости годографа W, И в
виде так называемой «яблок о видной» к.р и в ой (рис . 9.2 .3, а).
Эта кривая - геометрическое место концов векторов скорости Vк
возмущенного потока непосредственно на обтекаемом конусе. Точка
А, расположенная на «яблоковидной» кривой и принадлежащая
концу вектора скорости, соответствует конусу с заданным углом по
лураствора Вк; точка В, находящаяся на ударной поляре, совпадает
с концом вектора скорости Vcr на соответствующем скачке уплот
нения с углом 0с.
Кри~ая АВ - год о гр а ф скор о ст и, т. е. геометрическое ме-
сто концов векторов скорости в возмущенной области течения
между конусом и скачком уплотнения . При построении годографа
следует поступить следующим образом. Из рис. 9.1.1 по треуголь- ' ,
нику скоростей определим для промежуточной конической поверх
ности составляющие скорости:
V,=Vcos(0-e); Vв=-Vsiп(0-e).
(9. 2. 22)
13
В процессе численного интегрирования по найденным значению1
Vr и V0 для заданных углов е · определяют отношение
(9. 2. 23)
по которому подсчитывают угол е наклона вектора скорости V к оси
конуса. Полярные координаты V и е определяют положение точек
годографа скорости (см. точку С на рис: 9.2 .3 , а).
Рис. 9.2 .3 . «Яблоко:в,идная» кр,wвая (1) и удар
ная поляра (2)
Изложенный графический метод решения задачи о сверхзвуко
вом обтекании круглого конуса принадлежит проф. А. Буземану.
При помощи «яблоковидной» кривой и семейства годографов
скорости можно наглядно объяснить физическую картину обтека
ния конуса сверхзвуковым г_азовым потоком. В области между скач
ком и конусом вдоль линий тока происходит постепенное изэнтро
пичесr<ое сжатие газа . На рис. 9.2.3, а этому соответствует переме
щение из точки В на ударной поляре вдоль годографа скорости ·
в точку А на «яблоковидной» кривой. Линии тока, как видно из
рис. 9.2.2, постепенно искривляются и приближаются к поверхно
сти конуса, принимая направление образующей .
14
Проведем из точки О, как аз центра, . дугу радиуса а.*
(рис. 9.2 .3, б). Если годограф скорости АВ для заданного угла ~~1
конуса, расположен справа от дуги, то изэнтропическое сжатие •З, а
ударной волной происходит при сверхзвуковых скоростях. Для не>, ...
которого угла конуса Вк2> ,Вк1 часть годографа GK может ока 0 •
заться левее дуги, а часть KD - правее. Таким образом, возмущен
ное течение будет смешанным. В области, примыкающей к
с.качку уплотнения, течение будет
сверхзвуковым, а вблизи по
верхности I<онуса - доз в у к о вы м.
Для еще большего угла конуса Вкз>
> Вк2 годограф с~корости ЕР распо
лагается левее дуги а*, и, следова
тельно, возмущенный поток будет
'ПОЛНОСТЬЮ ДОЗВУКОВЫМ.
Анализ . «яблоковидной» кривой
показывает, что каждому углу ко
нуса Вк соответствуют теоретически
два решения (см. на рис. 9.2.3,а
точки А и А' пересечения пря1мой
АО с «яблоковидной» кривой). Од
Рис. 9.2.4. Сверхкри-гическое
обтека.ние ко.ну.са
но решение дает меньшую скорость и больший угол на1клона
скачка, а другое - •большую скорость и меньшии угол наклона
скачка. Как ~показывают экспериментальные исследования, реаль-
но второе решение, соответствующее устойчивому потоку за с.кач•
ко,м уплотнения .
. Можно
указать точку ТА, в которой луч, проведенный из начала
1юординат, касается «яблоковидной» кривой. Эта точка соответ,ст
вует теоретически единственному решению и определяет кр и т и ч е
екий угол конуса Вк.нр- Если действительный угол конуса
больше критического, то при помощи этой кривой формально нель
зя исследовать обтекание конуса. В реальных условиях это обте
кание характеризуется тем, что скачок отходит от острия и искрив
.JJяется (рис. 9.2 .4). Такое обтекание называют с верх кр и т и ч е
е к им. Нетрудно заметить, что критический угол является функци
ей толь,ко скорости набегающего п0тока (соо11ветс11Венн,о числа
Моо = V ool аоо или относительной скорости Лоо = V оо/а*).
Согласно экспериментальным данным, скачок уплотнения отхо
дит от вершины при углах Вк, несколько больших тех, которые ОП·
ределяются точной теорией обтекания конуса. Так, для числа
Моо = 2,45 экспериментально найдено , что отход скачка уплотнения
происхо дит при угле Вн=46°, в то время как вычисленное по теории
значение Вн = 45°46'.
'
Экспериментальные исследования показывают, что коническое
течение, соответствующее постоянной скорости на конусе, сохра
няется до тех пор, пока на его поверхности не достигается скорость
звука. Соответствующий угол конуса в 11к может определяться по
точке А" пересечения дуги радиуса а* и «яблоковидной» кривой
(с м . рис. 9.2.3, 6). Таким образом, в практических случаях польза-
15
/
ваться «яблоковидной» кривой при расчете обтекания всей кони
ческой поверхности можно для углов Ви~~"и. Что касается непо
средственно конической в ершины, то скорость на ней, найденная
конической теорией (при помощи «яблоковидной» кривой), хорошо
согласуется с экспери.ментальными данными для всех значений уг
лов ~":.<~к.кр, т. е . для тех условий обтекания, при которых скачок
остается е ще присоединенным .
•
1л
л,,.,-
f3к -
v~ ;.
Кануа
1,2 !;'/. li6 1,8 2,0 2,Z лоо
,а
5
.{
Рис. 9.2 .5. Семейст,во «яблоковид.ных» кр,ивых и
ударных 'Поляр:
1 - скачок у плотнения ; 2 - семейство «яблоковидных:.
кривых; З - семейство ударных поляр
«Яблоковидная» кривая . показывает зависимость скорости V\(
на конусе и угла скачка 0с от угла конуса ~и при данной скорости
набегающего потока V"" (при заданных числах Моо или лоо). Чтобы
получить подобную зависимость для другой скорости Vоо (Моо или
лоо), надо произвести численные расчеты обтекания конуса и- по
строить соответствующую «яблоковидную» кривую для новых ус
ловий обтекания. Семейство таких кривых представляет завис11-
мость для скорости на конусе и угла скачка от угла конуса ~к и
скорости Vоо (Моо или лоо). На рис. 9.2.5 показано семейство «ябло
ковидных» кривых, построенных для различных значений относи
тельной скорости Лоо= V ~/,:i*. На этом же рисунке построены соот
ветствующие ударные поляры, что позволяет сравнить обтекание
клина с таким же углом полураствора ~"' как и у конуса.
Из рис. 9.2.5 видно, что скорость на конусе больше, чем на клине
(ОАк> ОАкл). Для клина на косом скачке происходит поворот по-
16
1
тока на угол клина Вс = Вшr- В то же _ время для конуса поворот на~: ,._
скачке происходит под меньшим углом: Вс < Вк- Следовательно, "'\,
угол 0с.ил наклона головной ударной вол ны перед клином больш~, ~~
чем угол 0с.к перед конусом .
•
Этот же результат можно непосредствоенно получить из рис.
9.2 .3, а. Соед1иним точки Акл и В с точко й 0 2 и ,восстановим из этой
точки пер1пендикуляры к полученным ,прямым. Тогда углы между
перепендикулярами и горизонтально й осью И определят наклон
обра з у ющих скачков :перед клином 0с.кл и конусом 0с.к- Непосред
i::твенно из рису:нка видно, что 0с.нл>0с.к - В соответствии с . этим
результатом у,гол ,наклона скачка перед конусом (такой же, ·как
перед 1,лином), за которым происходит поворот потока на крити
чески й у гол, достигается .при большем, чем у клина, угле полу
раст1вора. Таким образом, 1<ритический угол конуса больше, чем
клина с тем же углом полураствора (см. также 1рис. 9.2 .5). Это
объясн яется тем , что в отличие -<:>т «плоского» движения газа около
клина течение в окрестности конуса имеет пространственный ха
ра ктер, обеопечивающий газу боп:ее плавное нзмене~fие нашравле-
ния движения .
При расчете обтека,ния конуса важным является определение
давления, плотности и температуры по найденным значениям Vк и
0с. Принимая во внимание изэптропический характер за скачком
уплотнения,
воспользуемся соответствующими зависимостями
(3.6 .26) - (3 .6.33) . Учитывая, что в формуле (3.6,33) температура
То не изм еняется за скачком уплотнении и определяется и з (3.6 .35),
найдем ·следующую формулу для температуры на конусе:
~-(
-
-
2)(l+k --, - l M2)
Тоо- 1 \/к
2
оо'
(9. 2. 24)
где V"=Vк/Vшзх·
В _ фо:рмуле (3.6 .2 6) давле,ние торможе ни я необходимо вычислить
'---~~ ~
vr потерь в скачке уплотнения. Обозначая величину этого
д авл е н и~ через Ро' и ,вводя параметр vo = ро'/Ро, вычисляемый по
давл ен ию торможения р 0 пере д скачком п о (3.6.29), получим для
давления на конусе
:: =v0 [(1 -V~)(1+k; 1 м~)Y/<k-t >_
(9. 2.25)
Пара,метр vo =Po' / po определяется в з ависимости от числа Моо
и угла 0с скачка ·перед конусом при помощи (4.3.21 ) и (4.3.22) сле
дующи м о·бразом:
v0=[(l+a) M;,siп2 0c-a/;1 [
M;, s~n
26c
]1
~
0
.
(1- о)(1+ --М;, sin2ее)
.
1-о
(9. 2. 26)
По уравнению состояния вычисляем отношение ллотно-стей:
(9. 2. 27)
17
По абсолютной величине Рн оп·ределяют коэффицивнт да в ле.ння
на конусе:
•
(9. 2. 28}
Силу •сопротивления, обусловленную действием давления (вол
новое сопротивление), определяют при помощи за1вис и м ости
"
-
-
2
(1.3 .2). Приняв в неи Р=Рк, с 1х=0, Sп=Sщц=лRк, dS=2л Rrll ,
COS(!lX)=SiП~K (СМ , рИС. 9. 1. 1), ПОЛУЧИМ
Учитывая, что dl sin ~н = clR, найдем следу ющее ,выражение для
·коэффициента сопроти,вле.ния:
(9.2 .29)
где R=R/Rк·
Так как на конусе коэффицЕент давле,ния f5н при сверхзвуковом
обтекании - вел11чина - постоянная, найдем дл я коэффиuие1нтов
волнового со.противления
(9.2 .30)
Так и м об1разом, коэффициент волнового сопротивления конуса
при осесимметричном сверхзвуковоы обтекании равен коэ ффици -
i
j
J
енту давления на его поверхно~т и . В результате обрабо'ГКИ д а нных
11очной тео-рии ;УIОжет быть рекомендована следующая прибл и- .
женная формула для расчета ко,эффициента • волнового сqg_ротив-
,
ления ( и ли коэффициента да•в л ения) при таком обтекании "(9]:-. ... . J;-:"'- -- _,
_-
-2 10-з(о8 1 м-2) ,:;1,7
Cxs - Рк-
•1
,
Т00Рк,
(9.2.31 )
где ~н - угол кон уса , град. Расчет по этой формуле мож но вести
ДО значений ~н~50 ° и Моо=7+8 . Нижний предел числа Моо соот
ветствует критическому значению угла кон уса ~~; . кр, :при котором
окачок остается еще · присоед иненньr':v1. Для расчета угла на кло на
скачка перед острым конусом можно использовать приб ли же нную
зависимость [8)
м..о -1 ~·В1(11,~-
l1!112 • zr:, )1⁄2
••
00 S!Пvc- - СО::, l кТ 12 н100S!П i-'к .
(9.2.32)
Удовлетворительные результаты по этой зависимости пол учают
при tаю1х значениях ~к и Моо, которые допустимы .в ,случае расчет а
по фо р муле (9.2.31) . Погрешность возрастает при больших з н аче
ниях ~н и Моо, когда зн ачи тельны:v1 станоВtится влияние диссоциа
ции (Moo>IO, Вк>30+40°) .
18
11
§ 9.3. ВЛИЯНИЕ РАВНОВЕСНОЙ ДИССОЦИАЦИИ
И ИОНИЗАЦИИ rАЗА НА ОБТЕКАНИЕ КОНУСА -·
•
Для решения задачи об об1екании конуса с учетом влияния
равновесной диссоциации и ионизации исподьзуют систему, вклю
чающую дифференциальные уравнения (9.1 .2), (9 ..2.2), уравнения
.состоян ия (9.1 .4) и энергии (9.1 .5), а также общие завж:имости
(9.1.6) - (9.1 .9) для определения энтальпии, эн11ропии, среднего
мол еку лярного веса и скорости звука в диссоцирующем и ионизи
рующем тазе. При этом общая схема числ~нного интегрирования
диф фер енциальных уравнений такая :же, как и в случае постоянных
тепл оем костей.
Расчет начинают ·с определен[iя за косым -скачком уплотнения
пара метров газа по заданному.углу 0с. Радаальную составляющую
скорос ти Vc,·
определяют по (9.2 .8), нормальную соста:Вляющую
скорости Vce -по теории скачка уплотнения, учитывающей .влия,
ние длсс оциации и ионизации {см. § 4.2). Примем в пер,вом при
ближении значение (4.2 .12)
(9. 3.1)
равным единице, т. е. рассмотрим условие полного торможения за
скач ком, ~при котором Vce"'='O. Соответствующее этим условиям
давление н·аходи,м из формулы (4.2.15). Полагая в · ней ЛVп= 1 и
учитыва,я, что Jv\nl = Моо sin ее, получим
-
(l)_(lfkM2. 20)
Ре-
•1
"
sш е р,,.
(9. 3.2)
11-О выражению (4.2.16), в ' котором полагаем Лflп=l и Vп,=
= V"" siп 0с, вычисляем энтальпию:
·< 1>
•
+v2 • 20;2
te=t00
"' S!П
с•
(9.3.3)
По зна чениям рр> и i?J мож,но найти плотность Qp>, исполь
зуя графики термодинамическнх функций воздуха [7, 20], а затем
во втором приближении определить по (4.2 .21) изменение относи
тельной -скорости:
По это м у приращению скорости уточняем давление
р?>= р,, (1 + k1M:, sin 2 6с6.1/~2 >)
и энтальпию
(9.3.4)
(9.3.5)
(9.3 .6)
19
·-- - ____J
Иопо ль з уя графи•ки термодинами ч еских функ ци й, ,н а х оди м
плотность '({2>и уточняем величину лv~3J:
ЛV~3)= 1-Q00/Qi2).
(9.3.7)
Если ·величина Л \/ ~3) мало отличается
п ри бл и жен и я заканчивают и определяют
щу19 ско,рости после скачка :
от значения л\7~2), то
нор,мальную составляю-
( =- (3))
'
( -(3))
Vee= Ve1= V~oo l-Л\/11 =Voo sm0e l-ЛV11 • (9.3.8}
Для расчета можно использо.вать также таблицы , ,приведенные
в [21]. Из этих таблиц по значениям pe(JJ и ii1J (в таблицах эн-
тал ь пия обозначена через h, л,t 2/ с 2 ) м ожно опреде л и ть -те мперату
ру тРJ и средний молекулярный вес воздуха (!1ep)i'J и далее из
(4.2. 17) вычислить соотве тствующу ю плотность :
(1) Pil) (fJ.ep)il) Т
Qe=-
.
( ) "т(7) (оо,
(9. 3. 9)
Роо fJ.ep оо
е
где для недиссоциирован-ного воздух а можно принять ( μер) "" =
= 29 г/(г-моль).
Далее по формулам (9 .3 .4) - (9.3 .6) вычисляют pi2>, i~ 2>, из
таблиц находят т<2 > (. )(2 ) а по выражению (9.3 .9) определяют
•е
,
!1ере,
'Величину
(2)
)(2) Т
(2) Ре (fJ.ep е
со
Ре =--. ---. (2)Qoo•
Роо (/1-ер)оо Те ·
(9.3.9')
По значению ~i2J в d'ормуле (9. 3. 7) находят лi7\3J, а из вь~зже
ния (9. 3. 8) определяют Veo = Vв1.
Для заданного шага и нтегрпрования Л8 1 выч исляют н а -сосед
ней конической повер хн.ости V, 2 по (9.2 .101), а Vе2 - •по (9.2 .11 1) .
Причем rв форму .JJе (9. 2.11 ' ) п роизводную (dVe /d8) 1 опр,едел яют JIO
выражению (9.2 .12) , в котором скорость звука а1 находят из таб
лиц или графиков термодинамических функций по известным зна-
чениям pi2J и ii2J (или по pi2J и тi2J).
На выбра,нной кони ческой по·верхности по у равнению· (9. 1.5)
определяют энт а льпию:
i2 =ii3 J + [11;1 + V ~1-(V;2+ vi2)] /2.
(9.3.10)
Для дальнейших р а сч е тов ,следует воспользоваться зн ачен ием
энтро.пии газа, полаг а я, ч то воз м уще н н ы й поток за скачко,м уплот
нения во всей област и из э н тропический и , следов а тельно,
энтропия всюд у б удет т ак ой, юж в потоке газа непоср едственно
за скачком . Эту энтро·пию S = Sc = coпst определяют ·из таблиц т€]р-
модинамичес1<их функций по значениямрi2J, i~2 J (или р?> , т? J) _
По энтальпии i2 и энтропи;,~ S из таблиц или графиков -можно
найти скорость з.в ука а2, а п о форм ула м (9.2 . 1О'), (9.2 .11 1) вычислит ь
20
соот,ветственно составляющие скорости Vrз н Vез на конической по-
2
·{
верх,ности с углом 0= ее - ~ Л0;. Аналоги~шо рас-считывают пa-
i=l
раметры ~потока для соседних промежуточных конических поверх
ностей. Вычислення заканчивают, когда на одной из таких поверх
ностей нормальная составляющая: скорости Ve" окажется равной
нулю. Соответствующий угол (9.2.2 1) будет углом обтекаемого
конуса, а скорость - с1<0 -
ростью Vн (9.2 .20) на
этом конусе. Соответству- ~о{~Р.-""-~-~-~---~-~-~
ющая энтальпия
•~
.
-L (V2 V2)/2
lк-lc I
с-к,
где
V2 \ ,,,2 __L_ \/2
.
•
, (2)
с=101 1
rl, lc=lc
r-
По энтальпии iн и эн- 400 1----+- -- -+- -_ ,_-
--"--_,,__....__
__,__--'
тролии S = Sc можно из
таблиц, графиков или по 3001----+----+---+------,ч---+---+-----1
соответствующим форму-
л а м определить на ко ну- 200 1----+ -- -+ -- ~-- +- --+- --+- -- --1
се темпера туру Т"' давле
ние Рн и плотность Рн •
Все параметры на ко
ну,се, обтекаемом .потоком
с заданным числом Моо,
зависят не только от тем
пературы Тоо, что было ха
рактерно для случая пе
ременных теплоемкостей,
но и от давления Роо
о!,С;-~-~-~-~-1---1--___;
10 20 30 40 50 60 f3к,граiТ
Рнс. 9.3.1 . Давление на 1,онусе с учетом дис
социац.ии Gбте-кающего газа
(Т 00 =220 К. М 00 =23,5)
набе гающего потока, от которого зависят -::тепени диссоциаuии 1r
ионизаuии. Вместо Роо в качестве функuии, определяющей измене
ние параметров газа на конической поверх,юсти, можно выбрать.
при заданных параметрах ~"' 1\100 и Тоо высоту полета Н. При зна
чениях Тоо и Моо параметры обтекания на конусе -функции угла
~" и высоты полета Н.
•
Обработка результатов расчета параметров обтекания конуса
указ анным методом, а та1<же экспериментальных данных позволи
ла ·полу ч ит ь приближенные соотношения для коэффи_циента дав
ления fiн, относительной плотности р = роо/рн и угла наклона с ка чка
0с [!О}:
р1,= 2 sin2 (jк [( 1-0,25~) cos2 (0с- pкJJ-1;
(9. 3 .11)
Q=2 {l- (2tg ~i)tg 0с) [ 1+V l -2{Jtg2 р,)(1-О,5~)2Г1}; (9. 3. 12)
102 М "" sin ее= 39- lg р"" +0,5 (206 +lg р "") М"" siп Рк, t9. 3.13)
где Роо - атмосферное давление, кГ/с,и 2 .
21
Приведенные соотношения дают удовлет.во;рительные результа-
i
ты для значений р=О,1 и меньше, Расчеты при помощи этих соот- 1
ношений не требуют применения таблиц термодинамических
функций. По известным значениям Моо, Bi;, Ооо, используя (9.3 .13 ) ,
определяют .вначале 0с, затем при помощи (9.3 .12) подсчитывают
величину р, а по (9.3.11 )- коэффициент давления.
т.к
Без учета
к'
"
но
аиссоциации = JO
3000,--~-~-~~-"-,-~+-..,,J-~
о .__..,_ _.__..,,,,..._,...____.__....___,
10 20, JТj· 40 50 50 f3к,ipaU
Ри с. 9.3.2 . Тем,п ература на· конусе с учетом д,ис
•социаци.и обтекающего газ а
(Т00=220 1(, М00=10)
Для определения темлерагуμы Т1, необходимо воспользоваться
урав,нением состояния ( 1.5.8). Относя одно из них к течению газа
на конусе, а другое - к условиям в наб е гающем потоке, найдем
(kM2 -
•
)· рТ
•
Тк= ----;J-Pк+l (flcp)= ( f1cp )к =a(f1c p\•
(9. 3. 14)
\________!
а
П о (9.3 .14) и найденным значе.юн1 м р1,, р вычисляют Тк =
= а(μср)к, а при помощи, графика функци и (~tср)1, =fз(Ри, Тк) (см.
р ис . 1.5.7) подбором находят соответствующую величину Т«.
22
Некоторые результаты расчета параметров на конуrсе пр,иведе
ны на рис. 9.3. ·l -9 .3 .3 . Характер изменения да вления Р1,, темпе р а;~,,_
туры Тн и плотности Рн на конусе_ при нгличии диссоциации и иониi{i;,
зации тот же, что· и неrос р~тв енно за скачком уплотнения. При "
э то:v~ давление , как и за ска чко м, маJ1O за ,висит от ди. ссощ~аuии и
ионизации. Его величи н а зависи т в основно м от условий набZ::•
гаю щ е го по т ока, при-с.rе :v1 максимальн ое избыточное давление на
конусе не м о жет прев ыси ть некоторой п редел ьной величины этого
давления р 2-р1, пол уч аемой н-з (4 .2 . 14) пμи условии \l112=0,
Vn1= \/1= V°" (прямой
скачок у п лотнышя) и равной Р2 - р1 =
=
Q""V~. В
то же в:ре~1я температура и плотность меняются суще
ственно, при этом изменение тгм больше; чем толще конус.
Н=В Охм
70•
60
50
t+П
Н =30км
5.l----l- - -c,,-!•=~---1 -
-
-+- -
-
-t- --f----t
1
о
10
5U
60 f.\ , iprtil
Р,ис . 9.3 .3 . Пл отность на конусе, обтекае:110:11 д11ссоцинрующю1 по
токо:11
(Т 00 =220 К. Mc-o==iO)
Если углы I<онус а невеликн, то< даже при зшtчительных скоро
стях обтекания эти параме тры на конусе 11спытьшают небольшое
влияние физико - химических превращений . Расчеты показывают,
что при Моо=24 плотность почгн не меняется с высотой вплоть до
уг.1ов ~н = 15°, а при Моо = 10 (рис. 9.3 .3) - до углов f3н=35° . Такю,1
образо:v~, ин тервал углов ~1(, которому соответствуют сравнительно.
невысокие температуры и пречf'брежимо малая степень диссоциа
ции, ;расширяет ся с у~1еньшеюit':Vi скорости. Такое же явление на
блюдается с у11,1еньшением высоты полета.
Утолщение конуса вызываег более интенсивный нагрев и, как
с,1едствие , диссоциацию и ионизацию, которые могут существен
но влиять на параметры обтек·шия. На рис. !:J.3 .4 по каза,но это влия
ние на изменение у гла наклона 0с скачка перед 1<0н ус ом с углом
~к=4O°. Угол 0с уменьшается по сравнению с тем, что наблюда-
23
лось 1при постоянных теплоемк9стях (k= 1,4) . Это вызывает сни
. жение
интенсив,ности скачка · уплотнения и увеличение скоро сти
за ним , что влечет за собой рост скорости на обтекаемом ко
нусе.
Рост ,окорости .потока и уменьшение скорости звука приводят к
увел•ичению числа Мн на конической поверхност и, расшоложенной
в диосоциирОlванном газе.
У.величение ме-стного числа Маха должно tВыз.вать снижение
давления . Вместе с тем оно ста,новится больше в ,результате увели
Вс, zpail
46 г---.-----,---,---
чения числа частиц гаэа при дис
социации и, следовательно, боль
шего количества их со уда р е ний.
Суммарный эффект проявляется
в возрастании давления, хотя и
незначительном (см. рис. 9.3.1).
§ 9.4. ЗАТУПЛЕННЫЙ КОНУС
•Форма затупnенных носков
Во многих конструкциях ле
тательных аппаратов головные
42~-~::---~,--_,.;:::,,1,__....J
части и,меют затупленные формы.
5
10
Мсо Затупленные формы применяют
Рис. 9.3 .4. Изменение угла накло
на скачка у.плотнен.ия пере д кону
со;м, ра ,сположенным в сверхз,вуко -
·вом поrго,ке
{сплошная
нрив·ая - реальный газ,
пунктирная - совершенный)
прежде ·всего при очень ~больших
скоростях полета, когда основ
ным требованием, предъявляемым
1.; головным частям, является спо
собность противостоять действию
высоких температур обтекающего
газа. Однако rчасто затупленной
формой обладают летательные аппараты (или их отдельные эле
менты), .имеющие неболышие скорости, что может быть обусловле
но конструктивными особенностями, назначением ал.парата и др .
Практически всегда ,приходится иметь дело с затупленным телом,
так как технологически невозможно добиться абсолютно острой
головки.
В этом параграфе будут рассмотрены конические тела с раз
личными кромками затупленных носков, как ~наиболее ра,спростра
ненные. На рис. 9.4.1 ~показано коническое тело с зату~пленным
носком оферической формы. Уравнение прямомrнейного участка
образующей такого тела, касательной к сфере, будет
(9. 4. 1)
где Гт, . Хт - координаты точки -соrпряжения сферы и образующей,
определяемые чере:, радиус •сфсрьi Rт и угол 1к01нуса Рн:
(9. 4. 2)
24
Уравнение образующей сферического нос'i<а в системе коорди
нат, начало которой совпадает с его верШJ:!НОЙ, имеет в '6езразмер.-"
ной форме вид
•
,-2 ---:-1 - (х-1)2,
(9.4.з}
где r=r/R." x=x/R., .
Тангенс угла наклона касательной в данной точке образующей
'К ОСИ
tg ~=dr/dx= ( 1-х)/г.
(9. 4. 4}
Носок конуса может быть выполнен таким образом, что обра
зующая будет не касательной, а .секущей по отношению к сфери
ческой поверхности (рис. 9.4 .2). _Радиус такой поверхности, по
строенной для точки с координатами Гт,·Хт, будет Rт.с>Rт, где Н.т
рад.иус касательного ,носка, связанный ,с координатами rт и Хт за
висимостями (9.4 .2).
На рис. 9.4.2 пока
зан rшнус с затупле-
•нием в
виде плоской
поверхности (плос,кого
торца), которую мож
но рассматривать r<ак
сферу с бесконечно
большим радиусом. В
С.ВОЮ очередь, сфери
ческий носок и плоский
торец можно рассмат
ривать как «предель
ные» формы эллипти
ческой поверхности. На
рис. 9.4.3 изображен
кону с с затупленным
носком в виде такой
поверхности.
Сф ерический ,каса
тельный носок и пло
ский торец - наиболее
характерные формы
затуплений, ~которые
можно рассматривать
к ак границы своеоб
разного интервала, со
де ржащего другие воз
можные формы. Обе
эти характерные фор
м ы юредставляют ин
тере с при исследова
нии аэродинамики за
ту пл енных тел с ка-
r
r
--
о--
....... ....... ........ .
х
Хт
-
................
х'к
х
Рис. 9.4.1. Конус •С затуплением ,в виде_
к а сательного сферичес,кого ,носка
r"ща
Рлс. 9.4.2. Конус с затулл.ениrем в IВ,ид.е сек у щей
,сферы :
1 - секущий сферический носок ; 2 - касательный сфе
рический носон: ; З - затупление в. виде плоского т ор~
ца
25
кой-либо промежуточной формой носка, та,к как дают .возмож
_
!:fость о ценить крайние значения тех или ины;,; аэродинамических
·парю1етро1J3, которыми они О'бладают.
Аэродинамические характеристики затуп,1 енных тe.rr существен
но зависят при заданном типе i-iOCкa от ст е пени затуплен и я,
гт
1
j
1/
1/
1/
rNuB
·--·--·-
-
·
под - которой понимают
отношение радиуса осно
вания ноока fт к радиусу
миделев ого сечения тела
1\шд•
Особенностн сверхзвуке•
воrо обтенання
Важное для практнки
аэродинамическое свой
ство затупленных те .1 за-
Р,r-с. 9.4 .3. Конус с эллиптическим затуп -
ключается в том, что они
лением
при движе нии в ат,мосфе-
ре с очень большими ско
ростями нагреваются и разрушаются меньше, чем
заостренные тела.
Рассмотрим, какими газодннамическими явлениями обусловле
но ·это свойство зату:пленных тел. На рис . 9.4 .4 изображена схема
потока около .затупленного конического тела. Перед телом обра
зуется отошедшая у1дарная волна с переменной интенсивностью _в
26
r
r;~lJ. м
n i~-:;,..\
•
1
\Х
1
Рис . 9.4 .4 . Схема обтекания затупленного конуса •
св е,рхз .вуковым потоком:
1 - «звуковые» точки, 2 - ударная волна; 3 - «звуковая»
линия тока; 4 - высокоэнтропийный слой
различных точках ее поверхности. Вдали от носка ударная волна
вырождавтся в обычную волну воз,мущения с бесконечно малой ин
тенсивностью и углом наклона 0c = μoo=arcsiп (1/Моо). Максималь·
ная интенсивность будет в вершине волны (точка В на рис. 9.4 .4),
где 0c = :rt/2. Так . как в окрестности носка угол 0с -мало отличаете~
от :п:/2, то, следовательно, соотР-етствующий уча-сток волны будет
обладать достаточно большей интенсивностью, близ•кой к интен
сивности прямого .скачка.
Переход частиц газа через такой сильный скачок уплотнения
со .правоЖ~,Цается значительными потерями полного напора и повы
шение~1 энт,ропии. В результате у ,поверхности · тела образуется
слой некоторой толщины, в котором газ обладает высокой энтро-
i
пней. Принято, что такой вы -с о ко.энтропийный слой огра-
ничен частью ударной волны и поверх:ностью, полученной от вра-
щения «звуковой» линии тока, т. е. линии тока, 'Проходящей через
« звуковую» точку на волне (точка S с 1юординатой rsт на
рис. 9.4 .4).
~
В высокоэнтропийном слое вследствие неодинаковои степени
торможения в различных точках ударной волны течение будет ха
рактеризоваться (;рис. 9.4 .4) некоторым градие.нтом скорости в
направлении ,нормали п и, следовательно, переменным значением
мест ного числа М по толщине Л. Если при это·м пограничный слой
имеет значительно меньшую толщину, чем вь1со1юэ1-пропийный, то _
градиентом скорости в ,нем по сравнению с гра\!I!иентом скорости в
высокоэнтропийном слое можно пренебречь, что упрощает и селе- ·
давание. Принимается, что в высокоэнтропийном слое •скорость в
разл ичных точках сеченйя одинакова. Приближенно ее можно СtLИ
тать ра,вной -средней скорости ыежду значениями на «звуко·вой», э
та к же «нулевой» линии тока, ттроходящей через верши.ну ,волны.
Эта скорость, очевидно, меньше, чем скорость на заостренном ко
н у се. Вблизи поверхности область течения, занятая ,высокоэнтро
п ийным слоем ,и характеризующаяся м алым и скор о ст ям и
( и, следовательнь, малыми чи -слам ·и - Маха и Рейнольд
с а ), оказывает :решающее влияние на формирование процессов в
по граничном слое.
Существе.нная особенность обтекания заключается в том , что
п од влиянием затупления изменяется режим течения в -пограничном
-сл ое. Вследствие уменьшения местных чисел Рейнольдса, подсчи
тываемых по скорости в высокоэнтропийном слое, ламинарный по,
гр аничный слой переходит в турбулентный гораздо ниже по тече
,нию-и,таким образом, протяженность ламинарного по
граничного слоя·,возрастает.Этоопособствуетснижению
т ре ния и уменьшению тепловых потоков к стенке.
С нижение тешювЕ>1х потоков, обусловленное ~повышением энтро
п и и газ~ при пе~реходе через скачок уплотнения, называется э н
тропии,ным эффектом. Приэтом следует иметь в виду,что
э нтр опийнь~й эффе~т оводит,ся не только .к уменьшению скорости
на в нешнеи границе пограничного слоя, но и к уменьшению п ло т
н о сти г а за, т: е. к снижению чнсел Рейнольдсо. Вместе ,с тем уве-
27
личение энтропии ·приводит и к увеличению (по сравнению с за
остренным телом) температуры на внешней гра,нице пограничного
.слоя. В этом проявляется противоположный эффект ,в ысокоэнтро
пийного слоя; п:rиводящий к некоторому повышению теплового ,по
тока о т пограничного слоя к стенке. Однако суммарный энтропий
ный эффект ·при соответ-ствующем подбор е стенки и формы
з атупления ,как по казывают расчеты и э кспериментальны е исследо
вания, связан с уме ньшени ем тепловых потоков.
Волновое сопротивление затупленного тела по сравнению с за-
()СТре нным, как пра,вило, возрастает. Хотя для т онких конических
р
D,01
1
1D
тел с малым зату п лением име
ет место снижение сопротивл е
ния, -которое объясняется тем,
что, несмотря на повышен ие
давления у нос,ка, на з на•чи-
тельной части обтекаемой по
верхности воз,никает понижен
ное давлени е по сравнению с
заостренным конусом. Это яв -
ление понижения давления за
носком , показано на рис . 9.4.5,
/ · где приведены эксперименталь
х Dт ные результаты, полученные в
/ОО аэродинамической трубе для
Рис. 9.4.5. Коэффиц,иент да ,вления на по- тоН:кого конуса с затуплением
в ерхности конуса с п лос 1шм затуплен.ие м в ви де торца, обтекаемого
при Моо = 6,85:
--- экспер имент;
-
-
-
-
-
-
расчет сверхзвуковым потоком при
по конической теории для заостренного тела М 00 = 6,85. Ми,нимальное давле-
ние достигается на расстоянии
около 10 диаметров затупления. · На удалении от носка, примерно
в 10 раз боль1Шем, • происходит восстановление давления до зна
чения на заостренном ,конусе. Если такой конус будет иметь не
большую длину и , следовательно, малую поверхность с понижен ~
ным давлением, то уменьшение сопротивления для этого участка
будет недостаточным, чтобы ~шмпенсировать его рост за счет по
вышения сопротивления торца. Для достаточно длинного конуса
уменьшение сопротивления периферийного уча·стка может ,бытf-.
более существенным и приведет к снижению полного со,nротивле
ния затупленной коничеокой поверхности по сравнению с заострен
ной.
ГлаJвный эффект от применения затупления заключает,ся не в
изменении сопротИ!вления, которое при малой степени затушления
оказывае'!'ся сравнительно небольшим, а в ·с у щ ест венном
уменьше·нии теплопе1Редачи. Какпоказывают исследо
вания, такое преимущество затупления проявляется ,в основном в
области гиперзвуко,вых скоростей.
Можно указать и другие случаи -применения затупленных по
верхностей, связанные не столько с необходимостью. уменьшения
теплопередачи,,сколько с увGличением лобового•сопро-
28
т и в ле н и я. Именно такой фо~мой поверхностей обладают сп у
скаемые ко,смические ,,ппараты, для которыхважно
иметь большие Сх, обес-печИ1вающие более интенсивное . их тормо
жение в атмосфере.
Обтекание конуёа, затупnенноrо по сфере
И з учен~1е аэродинамики .всего затупленного тела -свя,зано с иоследОiва,нием
обтекани я его передней части, выполненной в .виде _ затупленного .носка как-ой
ш1бо формы. Результаты этих исследо-ваний - о-снова для расчета параметров
пмока на -остально.м участке тела. К:роме того, эти результаты ·И'Меют са,м•остоя
тель.ное значение, так как позволяют определить аэроди,нам,ические характер-ист.и
ки затуплеин,аго н оска . Сум,марные аэродинамические ха,ра.ктерисm ки тела могут
быть 01пределены -сложение-м составляю щих для ,носка ,и остального уча,стка. Пр и
Моо
-==--
v_
Yfl11pн11R
Uолна
ус
Sa
Р,ис. · 9.4.6 . Сх ема ,сверхзвукового обтеканш1 ,сфе,р-ичеtкой
поверхности
этом необходимо указать, что если обтекание пер:11фер1ийной части тела за•в,исит
от затупления, то у слОiвия течения около -самото нGс.ка опред:еляют-ся лишь фор·
мо й част.и ,н оока до «звуковой» точки ,на его поверхшости. Если такая «звуковая»
точка нахо.rщт,ся на перифер.ийн,ой поверх,ности. (,вниз по потоку за линией сопря
жения ,н.оока и тела), то ,возмущения, 1воз н1и;кающи~ на уча1с-nке nер,иферийн,ой по
верхности тела, распространяюl'ся rВверх по потоку в J1аправлении r1юска и обте
ка,ние его ,нельзя рассматри'Вать IВНе ,связи с обтекан,ием этого участка.
Раосм,отрmм задачу об обтека-нии ,сферического но.ока, ,принадлежащего за•
тупленной 1юнической ,пОiверхности, rrреД!полаrая, что на обтекание носка 1Не
влияет периферийная поверхность тела. Будем ,исслед,овать ·не.вязкое обтекание,
имея в виду, что, неомотря на такое ОI 'раJiичение, отьюыивае,мое при этом реше
ние .имеет большое практическое значение : оно позволяет определить -о.СJ1овные
условия течения ,вне по!'раничноrо слоя, необходимые для изу,чения процессов
трения 1и теплопередач и, фор:м,ируемых в .са-мом погра .ничr1юм ,слое.
Вначале :ра,ссмотри,м течение ,в окре -стност111 точки ,полного
тор ,м ожени я , я·вляющейся од.ной .из наиболее характер1Ных точек ,сфериче
ской rюверхности. Изучение этого течения представляет ,интерес прежде в-с.его
потому, что ,оно связано ,с такой [Jрактической задачей, ка,к оп•р.еделение т.епловых
пот,оков, которые могут достигать здесь .на,и,большей велиЧJияы. Наряду •С э11им
ре шение зада,чи о течении вблизи точки полн.ото то,р,можен,ия пmволяет опр.еде•
.~ить раостоян-ие от удар.ной воJLны до но-ска, а также •распределение ,газодина ,ми
чес ких пара,ме'!'ров в этой небольшой области, причем 'решение может быть полу-
29
ченонобще-мслучае с уч.ето~-1фпз,ико-хи'°''иче,е.ких пре•вращеiНий
rаза.
.
Для· решения , сформулированной задачи воспо.1Ьзуемся ура.внение-м д1виже
ния, - которое согiаоно (3.1 .21) д,1я «,невя.з,кО!Го» (v = О) и <оне1весо:1юго» газа
(G = O) имеет в векторной форме ,вид
dV/dt = -
(1/Q)gradр..
(9.4.5)
Наtпишем ура .внение · (9.4 .5) в ,с11стеме криволинейных ортогональных коорди
нат. Начало координат этой си-сте·мы совмес'f'и~1 с точкой О полного торможения
на -сферической поверхности, коорд1инату х будем отсч~пывать вдоль по:верх.ности,
а у - по нормали к ней (рис. 9А.б) . Прию1:мая ,во вн11:1,1а ,ние (3. 1 . 22) ,и уч~1ть111ая ,
что и,сследуется устано,вивший,ся поток (дV/дt =О), у.рав нение (9.4 .5) п ре обр азуе:11
к виду
gгad(V2/2)+rotVХV= - (1/Q)gradр.
(9.4 .6)
Расома·'гривая пр-оекци,и векторов на наmравления координатных лтш1й q1
и q2 сr{риволи:неЙlной систе.:11ы [0:1-1 . (2 .4 .11) ], nолуч,и,:1'! ура,вне·иия движен1ня:
[grad(V2/2)]1+(rotVХVJ. = - (1/Q)(gradр)1; }
[grad (V2/2)]2 + (rot V Х V)2=- - (1/Q) (grad p)z.
(9.4. 7)
3на·чения [grad ( V2/2)] 1 и [gгad ( V2/2) ]2 мож,но олреде,1ить,' используя за ,1шси
мость· (3 . 1.24). За ,менив в ,ней р на V2/2, напише;м
V2
l д(V2j2) .
1 д(V2/2) .
1 д(V2;2) .
grad----, - =
-
. ---'----'-'- 11+ -.~-- 12+-.-'---tз, (9.4.8),
2
h1 дq1
h2
дqz
hз дqз
,. г де q1, q2 1и q3 о п ределяются значе;нияыи (2 .4.40).
Т ак как рассм а тр:ивается ,слу ч ай осе.оим1метричного обтека н ия , то
•
д (V2/2)/дqз = д (V2j2) ду = О.
Прt1:и И1мая ,во ,в ниыани.е значение (2 .4 .42) для па,раметров Л аме h 1 и h2, ,на -
пишем (9.4 .8) в ВJиде
•
(gradV2) i1+(grad ~ ) i2=(1+RY)-I.д(~2/2) i1+д(~
2
/2) iz,
21
22
т
х
у
о ткуда
(
V2)_(
, _Jf_) -1д(V2J2).
grad
-
1,R
д,
21
.,
х
(grad vz ) = д (V2/2).
22
ду
] (9 .4.9)
. ' Ра ссмотри1м ,в екторное проn з ведение:
rotVХV= [(roti7)1i1+(r~tV)2iz+(rotV)3iз]Х(V1i1+V2i2+Vзiз),
Отсюда находим проеющи:
(rotVХi7)1= (rotV)2Vз- (rotV)3V2;
(rotV ХV)2=
-
(rot V)1 Vз +(rot V)зV1.
Так как рассматривается осееимметрич~ое теченnе, то в этих~ выражениях
надо п р1и1Иять V3 =0. Проекция -ве,кто р а (rot V) 3 в со ответ,ствии с (и . 1 . 28)
(rot V)з =
_
1_ [д (/i2V2) _ д(h1V1) l,
h1li2
дq1
дqz J
30
пл·и с учетом (2.4.40) ·н. (2.4.42)
( _) (. у ')-1{дVу _д[(I + у!Rт) V.J}
rotV3=·l+ -
--
.-
·
·
.
Rт
ах
ду
.
(9.4 . 10)
П-оэ1'ому
( у)-1 {д\7у . д[(l+y/R,)Vx)]}
(rotVXV\ = -(гоtV.)з\72= - I+R-
-V y -д---,-
д
;
.
т
х
у
1
Из (3 .1 ..24) -следует, ·что - '
_
_;_:-~-:'- •
.
.
у -др°
(grad р)1 = -
.-. -
,
h1 дq1
нл н с учетом (2.4.40 ) и (2.4.42)
1 др·
(grad p)z =
-
.-
,
•
•
/12 дq2
( ·У)-lдр
др
(gradр)1= 1+-
-, (grad р)2-= д-.
·
Rт дх
у
В.нося (9.4 .9), (9.4 .11), (9.4.1'2) в (9.4.7), получим:
(
y)-lд(V2/2) ( у) - 1 { дVу д[(l+y!R,VxJ . }
1+-
-- --
1+-
Vy --------- =
Rт
дх
-Rт
дх
ду
(1 + y/R,.)-1 др .
Q
дх'
д (V2/2) + (l + _lL)-1 vx{дVy _ д[(l +y1R,)Vx]} = __1 _др
ду
.
Rт
дх
ду
Qду
После п рео бразо ва1ни й 1по лучае,м -следующие у р ав н ения дВlижеJ:Vия :
Vx ·дVх
дVх VxVY
1
др
----.-- +Vy--+
-
--=
-----. -
;
l+ylRт дх
ду_ Yi+R-r
Q(1 + у/Rт) дх
__
V-' -
-1:'- · -
.д
_V_у +Vyо_"V_._ч _ _ v_;_ =
__
1_. д_р_
l+y,.!Rт дх
ду . м+Rт
Qду
(9.4 .11)
(9.4.12)
(9.4 .1 3)
(9.4 . 14)
К ура,внениям движения необхо.rщ:мо присоединить уравнение неразрывности,
которое согла,сно (2.4 .46) запишется для установивше,гося обтекания (др/дt = О)
в фо.рме
(9 .4 .15)
Бели принять, что IИ-сследует ся область в окрес'!'ности 1rр:итической точки и
набегающий поток имеет очень большую ,а~ерхзвуковую с.ко·рость, то и-сходные
уравнения (9.4.13)-(9.4.15) могут •быть упрощены. В ,са1мо-м деле, при этих усло
виях поток за ударной волной по свои.м свойст,вам практически несжимаем, так
как число М2 мало от.11ичается от его значения [(k-l)/2k]•112
,
соот,ветсТ1Вующего
случаю nределЬ'Ного течения (при Моо-оо, k = ,const) за прямым с-качком. Следо
вательно, :в рассматри,3ае·мой окрест.иости плотность ·можно принять пос тощ11но й и
равной Рсо - плотности за ударной волной ,в точке полного торможеаия. Таким
образом, в уравнениях движен:йя и неразрывности переменную плоткость р можно
за-мен,ить постоя,нной велич.иной Рсо.
Так как рассматриваются большие ско,ро,сти, то в этом случае ударная волн а
б удет б:Лиз!КО ,подходять к поверхности тела. При этом обла-сть возмущенного
течения ра,сполагается ·в т,оJJком ,слое некоторой толщиlНы s, :весь,ма малой п о
ора.в,нению ,с радиусом ~р.ивизны Rт по,верх.но:с11и.
31
1
1.1
Таким обравом, если ,п ринять, rчто s/Rт « 1, то, очевид1но, и у/Rт « 1, таrк как
O,;; ,y:;;:;;s. Следовательно, в ура,внен 1иях двмжен.ия (9.4 .13), (9 .4 .14) и нераз·рыв
ности (9.4 .15) ,можно величи,ной у/Rт ,по сраВ1нению с един ,ицей пренебре чь . Учи
тывая приведенные упрощеН!ия и пр1шимая во :внимание, что для усло,шй вблизи
1очюи тор-можен,ия велич-ин у r в (9.4 . 15) мож но при.нять равн ,ой r ~ х, уравне,1ш1я
(9.4 .13)-(9.4 . 15) напишем в :виде:
дVх
дVх V,Vy
Qдр
Vx--+Vv--+
-·-=
-
.-
·
дх
ду Rт
Q"°ду'
(9.4.16)
дVу дV11 V;
j_ .др
.
V, --+Vy--· -
--=
•
дх
ду R,
Q"°ду'
(9.4 .17)
д (xVx) д (xVy) ,
--+
- -=0.
дх
ду
(9 .4 .18)
В · ураВ1нения (9.4 .16) •И (9. 4 .17) ,введена без-размерная плотность р= P=IP ~
~ P=fPco=coпst. Покажем , что уравне ния (9.4 . 16), (9.4.17) можно еще упростить.
С этой целью ра ,ссмотрим п орядок величи.и членов, вх о:п: ящих .в эти уравнения.
По фиЗiИче,скому амыслу порядок велич,ины Vy ,будет Vv ~ V со, где Vсо - ,ско
рость за пря,мой частью ударsой волны. Порядок координат х ,и у для 1малой
ок-рестиос-1111 <mределяется соответстве нно значения:ми х ~ so, у~ s 0 (so - расстоя
ние от прямой част и вол1ны до ,по1ве рх ности носка) .
Из уравнения (9.4 . 1•8). следует, что порядОJ< величины
~
%
_
j д(xV11)
j' soVc o
xVx ~
• dxилиsoVx~
--- dx,
ду
So
о
о
откуда находи,м Vх ~ V со. Так,и.м образо·м, порядок ,величины составляю щей Vх
будет такой же, 1шк ,и Vy. Нетрудно ви,деть, что порядок третьих члена.в в правой
ча,сти уравнений будет V~ 0/ Rт, а остальных V~ 0 / so. Вследствие того что
s0 «R.,, третьи члены -и·меют меньший порядок .и -ими можно пренебречь.
Таким ,образом, вместо (9 .4.16), (9.4 .17) ,на,пи ш ем:
дVх
дVх
Qдр
·Vx -
+Vy -
=
-
--
;
(9.4. 16')
дх
ду
Q"° дх
дVу
дVу _ j__др
Vx --+V11 -- =
дх
ду
Q"° ду
(9 .4-17')
Решение системы у-равнен ,ий (9 .4 .16'), (9.4 .1 7'), (9.4.18) _,п.о;:~жно удо,влет:во
рять грани.чным услов,ия •м на поверхности тела в произвольнои точке, -где 111ри
у=О нормаль н ая ,с оставляющ ая -скорости Vv = 0, а затем в точке полного тор-мо
жен.ия, ·в которой при у= х = О составл яющие ск,орост:и V х = Vv = О. Кроме тоrо ,
,решение должно удо,влетвор_ять rран.ичны.м у-сло.вия,м тече.нля неп осредствешю за
у,д арной -волной. Эт.и усло:в·ия, ,нап,исанные для соста,вляющих с,корости в точ ке А,
расположенной на расстоя,нии S от ,поверхности но,ска , !Имеют вид (,см.
рис. 9.4.6):
Vx=Vccos(~ -
~с);
Vy= -
Vcsin(~ -
~с),
(9.4.19)
(9.4 .20)
где В - угол !Наклона касательной ,к поверх.ност,и .в точке В, находящейся в месте
с точкой А на одной но•рмали.
Полная скорость V с непосредствен но ва скачком у[Jлотнения о,пре
деляется при ,помощи формулы (4.3 .118) . .Приняв в ней V2 = Vc, V1 = V "°
и
Q1/Q2 :::::, Q00 /Qco = Q, найдем
(9 .4.21)
32
Решение задачи об обтекаffi!и окрестно.с'J\и точки полного торможения мож но
свести к отыскаНJИю ,,юля скоростей. Та1Ким об.разом, ра,ооматривае.мая задача
будет чисто к и 1Н ем ат III ч е -с к ой. Для этого необходимо и,сключить ,из у,рав•
нений д1вижеН'ия 111лот;юсть и да-вле.ние. С указанной целью прод1ифференцируем
(9.4.16') по у, а (9.4 .17') no х:
f,-
-
дVх дVх
д2Vх дVу дVх v· д2Vх
-- . -- +Vx --+ --.--+ у ---=
ду дх
.дхду
ду ду
ду2
(9.4 .22)
(9 .4 .23)
Вsедем фу,нщию, определяющу_!? удвоенный компонент в.ихря
[составляющую ротора скорости (rot V) ,=2w,, см . (2.2_ . 3) ]:
дVх дVу
-2(,)z= Qz= -
-
(9. 4. 24)
ду
дх
Используя фунщию (9.4.24), а также урав.нение неразрывно сти (9.4.18),
можно 111реобразо.вать уравнем.~я (9.4 .2 ·2) и (9.4.23) . Так как правые част.и э·тих
уравнений одинаковы, то
дVх дV.х
д2Vх дVу дVх
д2Vх
--·
--+Vx --+-- • --+ Vу---
ду
дх
дхду
ду
ду
ду2
дVх дVу
д2Vу дVу дVу
д2Vу
--- · -- -Vx------ · --- Vy---=0,
дх дх
дх2
дх ду
дудх
или
(дVх_дVу)(дVх+дVу)+Vх(д2Vх_
~2Vу)+
ду
дх
дх
ду.
дхду
дх~
V (д2Vх-д2Vх)=О
+уду2
дудх •
(9. 4. 25)
I ·!з (!J.4 .24) следу ет, что
д2Vх
д2Vу дQz
-- --- =-,
дхду
дх2
дх
д2Vх _ д2Vу
_
дQz
ду2
дудх - ду
•
, I з уравне ния ж~разрывности (9.4.18) ,находим
дVх дVу
Vx
дх+ду=--:;-·
Поэтому уравне.н,ие (9.4.25), в котором дVх/ду-дV11 /дfс=Q,, можно за.писать
ввиде·
(9.4 .25')
ТакИu'\:! о.браэо,м, задача заключаетсf! ,в · отыскании решений уоа,в,нЕж111й
(9.4 . 18) и (9.4.25'), удовлетворяющих указа1Нньiм граничным усло.вия·м . •
Будем ,искать решен.ие для V" .в окрестности точк,и полн-ого тор·можения,
координат ы которой х=О, у=О, в в.иде ряда
Vx=ао(У)+а1(у)х+а2(у)х2+а3(у)хз+...,
(9. 4. 26)
где х - малый параметр, а коэфф.иц.иенты ап
-
·!!'еКоторые функции -коорди
наты у,
Струr<туру ряда (9.4 .26) можно несколько упростить. Действительно, ВВIИдУ
сим,метрии течения функция V" (х) будет нечетной, т. е. од,инаковым ;по ,вел ичине,
но различным по знаку х будут соот,ветствовать равные по абсолютному значе-
2-967
33
нию, но протиsоположные по знаку -со,ставляющие ·скоросТ1И Vх . Поэтому s раз
ложен,ии (9.4.26) сохранятся члены только с нечетными сте1Пеня,ми, т. е .
Vx=а1(у)х+аз(у)х3+....
(9. 4. 27)
Учитывая, что раесматривается . малая окрестность вблизи точки []Олного
торможе1Ния, чл:ена.ми, содержащи;ми х s третьей 1И бал.ее высокой ,степени, можно
пренебречь. Так-им образом,
Введем футщию .
чтобы
Тогда
у
F (у) =sа1(у)dy,
о
dF/dy= F'(у)=а1(у)иF(О)=О.
Vx= xF' (!J).
ПодставиlМ .выражение для Vх из (9.4.3 ,I) 1в (9.4 .18):
xF'(у)+xF"(у)+х дVу =О.
.
ду.
От-сюда находим выражение для другой составляющей СКОi])ОСТJИ:
(9.4. 28)
(9. 4. 29)
(9.4.30)
(9. 4. 31)
Vy= -2sF'(y)dy+ f(х)= -2F(у)+f(х),
где f (х) - некоторая произвольная фу.нк,ция х
По услов ию безотрывно.сти обтекания Vy (х, О) = 0, следо,вательно, f (х) =
= -2F (O). Но согласно (9.4 .30) функция F(O) = 0, поэтаrму f(x) = 0 и
Vy = -2F (у).
(9. 4. 32)
С целью 011ределе.ния вида функции F (у) внесем (9.4 .31} и (9.4 .32)
в (9.4 .25'):
[xF" (у)/х] Vx = VxF" (у)- 2F (у) F"' (у).
Согласно (9.4 .32) , функцtИя F(y) #О, поэтому
F'"(у)=О.
Общее решение этого уравнения :
F(у)=-Vy/2=Со+С1У+Czy,2.
(9. 4. 33)
(9. 4. 34)
Так как Vy = 0 при у = О, то Со = О. Два друлих rкоэффiщиента можно опреде
лить, если .воспользоваться услО1Виями на уда•рной ,вол:не ·вблизи криТ1Ичесжой точ
ки при х-+О. В ча,стно,с'l.'и, :из услоВIИЯ (9.4.21) следует, что н,е.пооред:ственно за
«пря,мой» ч астью удар,ной ·волны (0с =n/2) скоро.сть в -гочке С (см. ри,с. 9.4 .6)
V11 = Vc = - PVoo. Та.к ка~к .к00,рДин.ата тю,чюи y=sa, то V11 = Vc = - 2,(c1so+c2s0 2).
ПоэтО'му пер.вым ура1внением для ооределенtИя коэффициентов с1 и с2 будет
QV00= 2(C1S0+Czs~)-
(9. 4. 35)
Для нахожде аия ·вт,орого уравнения про,zщфференц·и-руем (9.4 .34) по у:
F' (у,) =с1+2czy.
В -соответ ств.ии с эт,им результатом и согла,оно (9.4 .3'1) ,еоставляющая •око
рости
(9. 4. 36)
Ра·сС1Мотрим точку А на ударной ,волне, удаленную ог поверхноС'l'и носка на
рас9ояние y=s. Прира,внивая ,с1юрость Vx, найденную из (9.4 .36),
Vхл=х(с1+2c2s)
34
ее значению (9.4.19) 1на ударной в·олне
VxA=VcCOS(~
-
~с),
получи1м
х(с1+2c2s)=Vc cos(~ -
~с)-
Переходя к ~пределу при х~ 'И полагая S=So, Vc=PVoo, найде м зависи
мость, относящуюся к точке С, расположенной ,на пря,мой ча-с11И ударной в-олны:
.
cos(~ -
~с) с1 + 2c2s0
!1m ---- =
-
.
(9. 4. 37)
Х➔О
х
QV'\)o
Предел в левой ча,сти 1можно 1вычисл,ить следующим образо,м_ Из рис. 9.4 .6
видно, что 1в точке А на ударной ~волне угол В-Вс=зt/2-(ср+Вс). Следовательно,
cos (В-Вс) =sin (ср+Вс). Вблизи точки полного тор-можен-ия углы ер и Вс •м алы
и ~можно п р~и~нять cos (В-Вс) ~ср+Вс. В ,соответствии -с этим
lim cos(~ -
~с)= lim _!___+liml_s_
_
Х➔О
х
Х➔О х
Х➔О х
Очевидно, что lim (<р/х) = 1/Rт, а ,второй предел •м,ожно ,представ,ить ,в ,виде
Х➔О
l1m -=l1m - .-
=
-
.--,
•
~с•(~сw)(~с)
1
.х-,.0 Х x-,.Q
"-'
Х
w Х=О Rco-
(9. 4. 38)
где lim -
=
-
, lim-
= -- . Здесь Rco - радиус ,к ри ,виз,ны ударной
~с (~с)
w
1
x-,.Q w
wх=ОХ➔ОХRco
.
волны 1в ее верщи,не (если Rc - текущее значение ,радиуса кри,визны ,волны, то
l~co=lim Rc) . У•г,ол w (с-м. ри,с. 9.4.6) .связан с углом 111а1клона ,вол~ны 0с фор1Мулой
х-,.о
(9. 4.39)
Для ,определе!IIИЯ (Bc/W)x=o ,воспользуемся _ фор ,мулой (4.2.19), сr<оторую !На
пишем при помощи (4.2 .21 1) и •(9.4 .39) ·в виде
Q00/Qc = [tg (6с -
~c)]/tg бс = tg w/tg (w + ~с).
Для :v~алых w и Вс отношение poo/pc=w/(w+Bc). ~Следовательно,
1•~с1·(Qc1)
1m-
=1m-
-
Х➔О W
Х➔О Q00
или
Таким образо,м.
lim cos(~ -
~с)= _1_+(..,;_ _1)_1_
.
х-,.0
х_R1
Q
Rco
Вносим это ,выражение в (9.4.37):
_1_ +(...;_ _ 1) _1_= с1t2c2so
Rт
Q
Rco
QV оо
или
Rco
1
Rco (с1 + 2c2so)
--+
--= -
-
1= ------"-''--'-=---_----=--=--
Rт
Q
.
QV00
При больших ,скоростях обтека~н-ия можно n:Р'инять Rco!Rт ~ 1, поэ тому
с1+2c2so =V00/Rco•
(9. 4. 40)
2*
35
f
В ура!В не.ниях (9.4 .35) 1и (9.4 .4 0) по я,вилось п омимо с1 , с2 третье неизвест
ное - расстоя,н1Ие so от ударной вол ны до носка . П оэто•му к системам (9.4 .35) и
(9.4 .40) необход,имо добавить еще одно независимое уравнение, U(Оторое вытекает
из .выр а жения для вихря:
дVх дVу
д
д
Oz= -д-- -д-=8-[х(с1+2czy)]- 8
-
[-2 (сш + с2у2)] = 2с2х. (9. 4. 41)
у
х
у
.
х
Зависимость (9 .4.41) пр:игодна для определения :вихря как .на по.верхнос'!'и
носка , т ак и ,непо,средстве.нно за ударной ,волной на участ,ке потока .в•бJ]}!зИ точ
юи п ол ного тор-можения.. Вихрь в потоке за ударной ~волной ,может быть также
а)
(
5)
"
!J!Jарная Волна -
rot VxV
--
/
rot V
'
1
',1
-
______ ':,}
Рис. 9.4.7. К определ ению ннте.нсивносrn 'Вихря з а ударной волной
н-айден из ура~вне.ния (9.4.6), которое в ,соответст-вии с завиаи,мостью
i+ V2/2 = coпst преобразуется к вwду
rotVХV=gradi- (1/Q)gradр.
(9. 4. 42)
Воспользуемся иавестной !ИЗ _ термодинамики зависимостью для ЭН1'ропии
TdS=di- dplQ,
(9. 4. 43)
согласно которой можно напи·сать векторное соо'tноше.нiИе
ТgradS=gradi- (1/Q)gradр.
O'1\сюда (9.4 .4·2) напишем :в ,виiде
rotVХV=ТgradS.
(9. 4. 44)
(9.4 .45)
Это ура,внение можно отнееnи к услови я м на ударной волне . IРа,ссмотрим
праи з~в ол ьную точку А 1на •!!ей (ом . рис. 9.4 .6). Проекти~руя векторы, входящие
в (9.4.5), на направление касательной ,:, получим соотношение
(9.4 .46)
где Т2 - температура в точке А непосредств;енно за ска-чком у~плотнен.ия.
Комп онента (rot УХ V).,,
векторного произведения определяется следующим
,образом. В точке А вектор rot V, мо:дуль которо г о Q,, •ориентиро~111 по нор,мали
к вертикальной плосжосТiИ сИ!мметри.и (р,ис._9.~J, а). Вел~ичина V предста1вляет
собо й вектор скорости за ударной волной V = Vc, расположен~1й
_! !_ указанной
плоскости симметрии. Ввиду перпендикулярности в екторов rot V и V их вектор
ное произведен ие по мор.улю
lrotVхv1=lrotVI\Visin(1tj2)=QZVC.
Вектор, равный векторному произведению rot УХУ, перпеJ:1._ди~лярен плоско
СТ!И векто рав rot V, V и , очеВiИIДН.О, ра,с гюло,жен, как и ве~тор V=Vc, ·в пло•скосТiИ
36
сю1 метри и (рлс. 9.4 .7, а) . Проекция векторного произведения r•ot VXV иа напра,в•
лен ие 1(аса тельной, как видно из рис. 9-. 4.7, равна
(9. 4. 47)
Для определения ,правой части (9.4 .46) воспользуемся уравнением ·(9.4.43) ,
о тн е,ся его к условиям в той же точке А нооосред1ств ен,но за уда•рной .волной :
T2dS2 = di2 - dJJ2{Q2.
(9. 4. 43')
Ура1внения для энтальпля i2 и да,влен!Ия р2 ,возьмем соответствен,но в форме
( 4.2.6) и (4.2 .4). Так ка·к расематри,вают,ся большие. •скорос'l'и, прн , которых
i1 «: i2 и Р1 «: р2, то эти у;ра1Внения Jianшueм в ~виде :
i2 = V~1J2 - V~212;
Р2 = Q1V~1 - Q2V~2•
или с учет.ом (4.2.3)
i2 = [v~oo (1 - Q2)]/2;
2
-
Р2= Q1Vпоо(1- Q),
rде Vn1 = Vпоо• Q= Q1/Q2 = QoJQ.
Диффереющруя, получ!Им :
-
2--
di2= (1- Q2) VnoodVпоо- V nooQdQ;
-
•
2-
dJJ2 = 2 (1 - Q) Q1Vпоо dVпоо - Q1V noodQ.
Подставляя эти ,выраженяя в (9.4.43'), найдем
T2dS2 = (1 - Q)2 V n,.;dVпоо•
(9. 4. 48)
(9. 4.49)
(9.4. 48')
(9. 4. 49')
(9. 4.50)
Из .ри,с. 9.4.7, б следует, что приращение нормальной ооставляющей
dVпоо = V~l) dю. При этом, так как скоро-сть V~ 1>в тоqке A(I>, 1Находящейся на ма
лом у.цале.н.и-и от зада-111Ной точки А, отличае'!'ся от скорости V-i в точке А на бес•
.к онечно J.1 алую .вел,иЧ1И1ну, дифференциал
dVnoo = V ~ю = V-i (dtiflc) ,
(9. 4. 51)
rд,е Rc = dt/dro - paдиy,c кри,визиы ,волны в точке А (pill'C. 9.4 .7, б).
В со.<У11в етс11вин •с (9.4 .51) ура ,внение (9.4 .50) перепиш ем в виде
T2dS2 = (1- Q)2 V nooV-i (d'11JRc),
Внося (9.4 .47) и (9.4.52) в (9.4 .46), най:дем •
OzVc .sin (О с~ ~с) = (1 - Q)2 V nooV-i/Rc' •
Иооользуя формулу (9.4.21 ) для Ус, а также ,выражения
(9.4.52)
Vпоо=V00sinОс;V-i = V00cosОс,
(9. 4. 53)
которые получ а ют ся из треугол ь,н,ик-а скор о стей на рис. 9.4.7, б, найдем для :вихря
Oz = V 00 (1 - Q)2 sin бс cos 6cf[(Q2!Sin2 бс +cos2Oc)1'2Rc],
(9. 4. 54)
Заменяя здесь 0 0 на n/2 --"ffi, найдем
Oz ~ V00 (l -Q)2cos ю sin юf[(Q2 cos2 ю + sin2 ю)1/2Rс],
В окре.стнrасти точ-юи потюго торможен!Ия, где. ы малы н Rc-+Rc o,
(9. 4. 54')
(9. 4. 54")
37
,,
1,
Прир ав,нивая правые ча,сти (9.4.4IJ и (9.4.54") ,И учитывая, что w/x= 1/Rco ,
-н айдем ко э ффиl.l!ие нт
с2 = V 00 (1 - Q)2/(2QR~0).
(9.4. 55)
По.цста.вляя это зн а•чение с2 в ура внен,ия (9.4 .35), (9.4 .4 0) и р ешая их сов-
1местно , найдем зави симость для ко э фф,и цие-нт а с 1 :
(9. 4. 55)
С~юрость rна 1по.верхнос'Dи носка -определнется нз (9.4 .36) при усло~вии, что
у=О:
(9. 4. 57)
Из овойства ~нечетности функции V,, ,следует, что ,п,ри х>О 1или х<О должно
.
б ыть :соо11ветствен:но V,,>O :или V,,<O. Эrо значит , что в фо·рмул е (9.4.57), а сл е
д,овательно, и .в равенстве (9.4 .56) для с1 должен быть взят знак плюс.
Отход и форма головной ударной волны. Нi:!ряду с коэффици
ентом с , решение системы (9.4 .35), (9.4.40) дает зависимость
для отхода s 0 ударной волны о т носка:
s0=(:: ·-с1) 2~2
•
Вносим сюда значения с2. из (9.4 .55) и с1 .из (9.4 .56) со знаком
плюс:
S = QRco [1- (2Q-Q2)1/2].
о (1- Q)2
(9.4 .58)
В правую часть этой формулы входит радиус криви зны волны
на оси Rao, который следует рассматривать при заданных условиях
набегающего потока как функцию радиуса сферы Rт - Если исхо
дить из предположения, что на оси волна концентрична сфер е, то
Rao=Rт+so. Вводя новые обозначения Rao=Rao!Rт , so=S o/Rao, на
пишем
(9. 4. 59}
В действительности концентричность не имеет места . Соответ
ствующее отклонение от зависимости· (9.4 .59) будет те м больше,
чем меньше числа Моо . Для учета отклонения от концентрично й
-
формы ударной волны можно воспользоваться зависи м остью, по
лученной по опытным данным,
Rco=Rco/Rт= 1/(1-So)2•5
•
(9.4 .60)
В резул ьт ате отход, отнесенный к радиусу сферическо го носк а,
-
So•
So
RсО ~(1 ~)-25
So=--= -- .
--=So -So ' '
Rт Rco Rт
(9.4 .61),
где so берется в соответствии с (9.4 .58J в виде
-
i=
Q - [1-(2Q-Q2)1l2 ].
о (1- Q)2
(9. 4. 62))
38
Величина s o, рассчитан н ая по (9.4 .61), (9.4 .62), представлена
]
в фушщии-р= роо/рс на рис. 9.4.8, а. На участке до значения р< О,4
кривая, показа нная на рис. 9.4 .8, а и характеризующая изм енение
отхода дл я уда р ной волны около сферического носка, аппроксими-
руется простой з ависимость ю [2]
s0 =0,52 [Q/( l - 12)]0,86 •
(9. 4. 63)
В полученных зависимостях безразмерная плотность р = роо/рс
является пара м етром подобия для относительного отхода so= s0/Rт
и определяется из усло в ий р авновесной диссоциации непосредст
венно за прямой частью ударной волны.
0,4
0,3
0,2
0,1
о
.,
_. ..
,......
,,,,,,,
,......
0,2 о,ц 0,6
-
-
0,1/ 111. - -~
l--------lf- ---l- -- -J- - --j
о, 09 P...... ____ __,, .1:-------, --' f- --- --- --jr-;c----j=;;;::-j
о,О 71-----"-c,:i==----== - -t,,<---,,::+.,- -~- --J
о,о5 L-1::::::::b::::::!::::=:~~
913~172125Моа
Рис. 9.4.8. Отн<юительный отхо,д уда!)IНОЙ волны перед -оферичеоким
носком , обтекаем ым св ерхзвуковым потоком :
а - для воздуха (по аргументу р) ; 6 - для -кислорода, азота и воздуха (по
аргументу М00; Роо =0,01 атм ; Т00 = 290 1()
Ф ормула (9.4 .63 ) отражает реальное явление , з акл юч ающеесs~
в том, что в условиях диссоциации происходит снижение темпер ату
ры, вызывающее увеличение плотности. Таким образом, возникает
возможность дополнител ьно го поджа тия газа и, как следстви е,
приближения ударной волны к обтекаемой поверхности.
Представляют интерес результаты расчета относительного от
хода ударной волны, полученные в работе [2]. Эти результаты гра
фически изображены на рис. 9.4.8, б и показывают изменение ве
личины s0 = s0/Rт в зависимости от Моо для случаев обтекания сфе
ры потоками воздуха, кислорода и азота. Видно, что при значениях
ч1исел Моо = 9+13, .когда из менение теплоемкости В'Оздуха: обуслов
лено в основном диссоциацией кислорода, кривая s0 (Moo) для воз
духа расположена ближе к соответствующей кривой для кислорода .
С увеличением Моо все большее значение начинает иметь диссоциа
ция азота и кривая, характеризующая изменение относительного
отхода ударной волны для воздуха, становится ближе к аналогич
ной кривой для азота , поскольку этот компонент в воздухе преоб
ладающий .
Характер влияния диссоциации и ионизации на отход ударной
волны можно выявить достаточно четко на примере чистых газов,
таких, как кислород и азот. При Моо = 18 кислород уже заметно
диссоциирован, .плотность достигает, как показывают расчеты,
39
максимал ь ной величины, а расстоян ие so (р ис. 9.4 .8, 6) будет ми
нимальным. С увеличением Мао кислород становится полностью
диссоциированным, сжатие уменьшается и соответственно возра
стает величина отхода ударной волны. Далее с ростом Моо проис
ходит первичная ионизация га з а, увеличиваются его теплоемкость,
а сле до вательно, и сжатwе газа, ч то приво дит к уменьшению ве•
л ичины s0 . Для азота влияние переменности теплоекости сказы
вается при значительно больших числах Моо, чем дл я кислорода.
,
Кр оме того , так как пр9цес-
1
~f-1=
,сы ди-ссоциации и иониз ации
Г,'
в азоте протекают не по сле-
1
1!
.
дователь·но, ка,к в кислоро-
r
Р.ис. 9.4 .9 . ~д арная ~волна 1пе,ред за туп
ленным по сф ере конусом, ,расrюложоо
. ньrм
,в -свер х звуковом пото ке
де, а пр а1ктически одновре
менно, то н емонотонность
и зменения величин so для
него менее ярко выраже.на,
ч ем для кислорода .
Для воздуха, представ
л яю щего со бой объемную
смесь (прИlмерно 26% ~кис
л оро да и 74 °[о азота), харак-
тер кривой s0, естественно,
будет более монотонны м,
чем для чистого к и слорода ,
что видно из рис. 9.4.8, 6.
Фор:му обра зующей го
ловной ударной в олн ы мож
но определить рас че том, о с-
нованным на реш ении сист е
мы соответствующих газодинамических уравнений ооерх з в укового
обтекания затуплен~ых тел, а также опытным путем. И нтер есн ые
результаты по определению параметров такого обте,к ани я и, в
частности, формы ударной волны приведены в ра,боте r2].
Как показали расчеты и _экспериментальные исследова ния сверх
звукового обтекания конусов со сферическим затуплен ием , обр а
зующую ударной волны можно с достаточным при бли жение м
предс,тавить в виде гиперболы
(х+а)2/а2- r2/ Ь2= 1:
(9. 4. 64)
построенной на рис. 9.4.9. В уравнении (9.4.64) а и Ь - полуос и
гиперболы, которые можно определить следующим обра з ом. Из
аналитической геометрии известно, что радиус кривизны в како й
либо точке кривой, заданной уравнением r = r(x),
R= -(1 +r'.)312/r",
(9.4 .65)
где r' = dr/dx, r" = d2r/dx2•
В соответствии с (9.4.64)
r'_ x+a.ь2;r"-1
.
ь2 [1_ r(x +a)2
г
а2
га2
г2
40
или
г'= (1 +!::.-)112 .!!!... ; г" .-b'/(r3az).
ь2
га
Вн ес ем значения этих производных в (9.4 .65):
R=!!!... ( 1+~(1 + ~)]312
•
а
Ь2
Ь2
...._
(9.4 .66)
Пол ага я r=O, найдем радиус кривизны Rco на оси:
Rco=ьz;a.
(9.4 .67)
В соответствии с этим (9.4.66) можно переписать в виде
R. Rco[1+~: (1+~;:)]312
•
(9. 4 .66')
Ударная волна вдали от обтекаемого тела, вниз по потоку, дол
жна вы р ождаться в слабую волну возмущения, наклон которой к
направл е нию скорости набегающего потока определяется углом
0c=p,00 =arcsin (l/M00)= arctg (1 /УМ;, - 1) .
Из ура внения гиперболы (9.4 .64) следует, что тангенс угла на
кл она обр азующей ударной волны в произвольной точке
tg вс •г' = (1+!::.-)112 !!:_.
Ь2
га
Переходя к пределу при r-+oo, получи м
tg 0c=tgp,00 = Ь/а= 1/fM;, -1 .
Т➔ОО
Р ешая с овместно (9.4.67) , (9 .4 . 68 ) и определяя
b= RcoVM;, - 1, a=Rco(M;, - 1),
(9.4 .68)
(9. 4. 69)
получ.им , так и м образом , возможность рассчитывать координаты
ударной волны по (9.4 .66',) .
Начальный градиент и распределение скорости. В соответствии
с (9.4 .57) гр а диент скорости в точке полного торможения (началь
ный гр адиент)
(9. 4. 70)
Эк спе риментальная п р оверка показалll , что если в (9.4.70) при
нять
(9.4 .71)
т. е. исх о д ит ь из в ыражения, соответствующего предположению о
меньш ем отклонении от кон це нтричной формы ударной волны вбли
зи сф ери ч е ской поверхно сти носка, чем это следует из (9.4 .60), то
по луч аем ые результаты для начального градиент а скорости будут
пригодны I<ак для очень высоких, так и для небольших сверхзвуко-
41
вых скоростей . Расчетная зависимость будет иметь вид
'i: (Vоо!Rт) У (2Q -Q2) (1- ~).
(9.4.72)
Величину so можно выразить через относительный отход s0 , если
воспол ь зова т ься выраж е нием
-
so
so Rco
so
So= -
=-
.
-
= ---=- --
'
RтRcoRтV1-s0
согласно которому
(9. 4. 73)
В этой формул е относитель н ы й отход s0 м ожно опр еделять из
(9.4 .63). Зависимость (9.4 .72) пр и годн а п ри услов ии применен ия
выражения (9.4 .73) для зн~чени й--:-р :::;; О,4.
Распределение скорости на сферической поверхности носка в
окрестности точки полно го торможен ия можно выразить в соответ -
ствии с (9.4.70) через начальный градиент скорости i::
Vх= ЛХ.
(9. 4, 74)
Здесь х определяет длину дуги окружности, которую мож но вы
числить по известному центральному углу <р как Х = срRт. С у четом
этого
(9. 4. 74')
Экспериментальные исследования показали , что зав и с и мость
(9.4 .74'), соответствующую, строго говоря, условиям обтека ния ма
лого участка сферы вбл и зи точки полного торможения пр и очен ь
большой скорости набегающего потока, можно применять для рас
чета скорости на значительно большем участке криволинейной по
верхности, а тцкже при сравнительно небольших числах Мао . И спы •
тания в аэродинамических трубах при числах Мао = 1,274,9 под
твердили линейную зависимость (9.4 .74') скорости от угла ср = О до
значений •<р=50° и позволили установить, что имеет место н еболь
шое отклонение от этой зависимости в интервале , 50°< ·<р < 90".
В практических расчетах с хорошим приближением можно поль
зоваться формулой (9.4 .74') для всех значений '(J) от О до 90°.
Применение метода Ньютона для расчета обтекания затупленно
го конического тела. Этот метод основан на корпускулярной теории •
Ньютона (называемой также теорией «ньютонова торможения»),
согласно которой частицы газа испытывают возмущения только при
ударе о твердую стенку и полностью теряют_нормальную к стею<е
,составляющую ,количества движения . - Бели V nao ----< Нормальн ая со
ставляющая вектора скорости набегающего потока, dS - элемен
тарная площадка обтекаемой поверхности (рис. 9.4 .10), то для рас
сматриваемой точки потеря количества движения за единицу
времени
42
Величина импульса силы от избыточного .давления (Р-Роо) dS
за то же время в соответствии с теоремой об импульсе силы опре:
деляется потерей количества движения. Следовательно, в данной'
точке избыточное давление р- Poo=QooV; 00 •
Из рис. 9.4 .10 видно,
ЧТО V поо= V 00 C'OS q>, ПОЭТОМУ
р- p00 =Q00'/: cos2 q>.
Разделив левую и правую части этого уравнения на скоростной
напор Qoo v:;2, получим для коэффициента давления формулу
Ньютона
(9. 4. 75)
Эта формула соответствует изложенной выше модели обтека
ния - м одел и Ньютон а, при которой реализуется схема
эластичного
отраже-
ниячастицгазаприих
взаимодействии с по
верхн.остью. Та1кая мо
дель имеет недостаток: она не
дает принципиально правиль- -
наго ответа на ;JЗопрос о том,
как ведут себя частицы газа
после соударения. В действи•
тельности их с_корость после
соударения не будет равна ка
сательной к поверхности со
ставляющей вектора скорости
набегающего ~потока, а скоро
сти этих частиц за местом со
ударения по этой модели не
определяются. Таким образом,
пра,ктичесI<И модель Ньютона
Рис. 9.4.1 .0. К определению давле.кия
по методу Ньюто,на ,в случае сверхзвуко
вого обтекания затуnленной поверх11юстя
не рассматривает собственно процесса обтекания тела.
От этого недостатка свободна моде ль Эй л ер а, предусмат•
ривающая изучение течения жидкости около поверхности, т . е. оп
ределение в каждой ее точке скорости и других параметров и, каю
результат, расчет взаимодействия жидкости с обтекаемым телом,
Однако, учитывая простоту и удобство расчетов по теории Нью
тона , предпринимались попытки ее усовершенствовать, с тем чтобы
улучшить получаемые результаты расчета аэродинамических пара
метров. Рассмотрим одно из таких усовершенствований. Как видно
из формуль1 (9.4 .75), в точке полного торможения, для которой цен
тральный угол <р=О, коэффициент давления ро=2 . Таким образом,
(9.4 . 75) можно написать в виде
р= Ро cos2 q>.
(9.4. 75')
Э кспериментальные исследования показали, что если в (9.4 .75':I'
вместо значения ро=2, которое для реальных потоков не имеет ме,
43
ста, взять величину fto, полученную либо опытным путе м , либо
точными теоретическими расчетами, то формула (9.4.75') будет д а
вать результаты, весьма близкие к действительным на значит ельно м
участке сферической поверхности . Формулу (9.4 .75') в отличие от
(9.4.75) называют модифицированной или усовершен~
ст в о в а н ной фор мул ой Ньютон а, согласно которой избы
точное давление
р-Роо= (р~ - Роо) cos2 'f,
откуда отношение давления р в некоторой точке к давлени ю р 0 ' в
точке полного торможения
р/p~= cos2 r.p + (p00/ р~) sin 2 q,.
(9. 4. 76)
Вблизи точки полного торможения течение можно расс матри
вать с известным приближением как несжимаемое и для его рас
чета применять уравнение Бернулли
V;./2 +p/Q = p~/Q,
(9. 4. 77)
где р - плотность, полагаемая постоя нной в неб ольшой окрестности
точки полного торможения и равной плотности р0' в этой точке.
После подстановки (9.4 .77) в (9.4 .76) при условии , ч то р =ро\
получим
v; = Р~ --?= Р? [1 -(·cos2 q,+ Р":' sin ~q,)].
2
QoQoQo
Ро
-
Вычислим производную по х :
Vx --=• COS ,р Sl'П r.p -
.-,
--,
.
dVх•2•
.
d'f Р~(l Роо)
dx
dx Q0
Ро
~Переходя к пределу при q,----0, Х--->0 и учитыв!я , что (cos r.p )Х➔ о= 1,
(sin r.p)x➔o = r.p = x/R.r , (Vxfx)X➔o=(dVxfdx)X➔o=Л., (dr.p/dx)x-+O = 1/Rr,
найдем зависимость для начального градиента скорости:
( dVx)
=f
_l _, f 2 (Р~-: Роо).
(9.4. 78)
dx х-+О
RтV Qo
В соответствии с этой зависимостью для определения н ачаль
ного градиента скорости необходимо знать давление Ро' и · плотность
р0' в точке полного торможения .
•
В соответств ии с линейным законом., выра жа емым зав и с имо сть ю
(9.4 .74') , распр еделение скор ости м ожно представ ить соот ношением
V x = 'f У[2 (р~- Poo)]/Q~.
(9. 4. 7_8')
Н аряду с это й формуло й для расчета скорости можно п риме нить
соотношение, получаемое из уравнения (3.6 .26) для давления в и~
энтропическом течении. Полож~м в этом ура~нении Ро == ро', V = Vх
и, наконец, k равной в еличине k, р ас,счита1ннои для точ ки по л ного
44
торможения с учетом влияния температуры Т0' и давления Ро' в
этой точке. Решая уравнение относительно скорости Vх, найдем
v,r= V та.-,; [ 1- (р/ p~)(k-l)fk]l/7.
Для максимальной - скорости из (3.6 .22) получим
v2 = ---2_а2+v2
max
koo-l оо
оо'
где параметры с индексом «оо» соответствуют невозмущенному те
чению до ударной волны. Разделив обе части равенства на V~ и •
учитывая, что М~ = V~/а~, найдем отношение
•2
vmax =
-
2-.
_
1_ +1
v2
k-1м2
•
00
00
00
В соответствии с этим отношением расчетная зависимость для
скорости имеет вид
;х =( k 2-1 . Ml2 + 1)1/2 [1 -(J!,')(k-1)/k]l/2'
(9. 4. 79)
оо
оо
оо•
-
Ро
где р/ро' определяется при помощи формулы Ньютона (9.4.76 ).
Еще в большей степени могут быть упрощены расчеты скоро сти
и других параметров газа при помощи таблиц газодинамических
функций. Зная закон изменения функпии :п(л) = р/ро' (9.4 .76), мож•
но определить для соответсwующего значения k по таблицам [6]
значения газодинамических функций:
Л= V х/а*, E=Q/Q~ и t=T/T~ .
Полагая при этом известными критическую скорость звука а*, а
также параметры торможения ро', Ро', То', вычисляем в рассматри
ваемой точке затупленной поверхности следующие величины:
V х=ла*, Q=ц~~. p=np~, T=tT~.
Параметры газа на периферийной конической поверхности, со
прягающейся со сферическим носком, можно с известным прибли
жением принять такими, как на линии сопряжения, т. е. в конце
носка. В частности, скорость на конусе можно найти по (9.4 .78'),
принимая qJ=:n/2-~к:
V х= V к=(:тt/2- ~к) V [2 (р~- Poo)]/Q~.
(9. 4. 80)
Другое соотношение для скорости на конусе получается из вы
ражения (9.4 .79), если принять в нем в соответствии с (9.4 .76):
_.!!__Рк_ • 2А + Р.,, О 2А
, --, -SШ
t'к -,-С S t'к>
Ро Ро
Ро
где ~к=:л;/2-<рк-уrол конуса [(JJк - центральный
сферы (см. рис. 9.4 .1 О)].
(9.4 .81)
угол для полу-
45
Получаемая таким образом скорость рассматривается на всей
повер х ности конуса как постоянная величина. Экспериментальные
иссл едования показывают, что реальная скорость несколько отли
чается от этой величины и распределение скорости носит характер,
показанный на рис. 9.4.11 . Она возрастает по мере удаления от
точки полного торможения и на некотором удалении от места со
пряжения носка и конуса достигает максимального значения. Да-
______-../..1
,,,,
---
/
' , ...__
---
2
х
Р,ис. 9.4.1'1. Ра,с пределение ,скорости ,на затуплен
ном ~,анусе, расположенном в .сверхз1вуково,м по
токе:
1 - экспериментальная кривая; 2 - скорость на заострен
ном конусе (теория)
лее вниз п о течению скорость снижается, приближаясь на удален
ных периферийных участках к значению, соответствующему скоро
сти на заостренном конусе.
Сопротивление от давления (волновое сопротивление) затуплен
ного конуса можно найти по распределению давления, вычисляя это
- сопротивление
как сумму сопротивлений сферического- носка (ин
декс «сф») и конической части поверхности (индекс «к»):
Х=ХсФ+Хк.
Полагая в ( 1.3.2) коэффициент сопротивления Cfx = О и принимая
в качестве характерной площади S площадь ,донного (миделеаого)
сече,ния конуса S = Sмид = :п:r2мид, получим для носка
Хсф=qооS~IИД р cos (пх) - -
'
~-
~dS
Sмид
sсф
откуда коэффициент волнового сопротивления
(схв)сФ= Хсф \ pcos(nx) ~.
q,,,,SмиJ! J
Sмид
sсф
ИзриС'.9.4.12 видно, что co:s(пх) = cosер и dS= 2-лrdl =
= 2:n:rdr/coscp. Но так - 1сак r=Rтsinrp и dr = Rтcoscpd'f, то
dS = 2л:R; sin rpdrp .
46
С учетом приведенных выр;э.жений и формулы (9.4 .75') дляj5 на
пишем
-
2
РоRт
--
2-
r МИД
'Рк
5р0 cos2 ер cos ер
о
2nR;. sin <р
2
dep=
З.Г МИД
COS 2 'f'K
_
2
~
РоRт
4
cos2 epd cos2 ер= -2- (1- cos ер")=
2rмид
-
2
-
2
= р~Rт siпz ep"(l - sin2<p")= p~R .,. cosz~" (1- соs2~к) • (9.4 . 82)
r МИД
2
r МИД
2
Ji
pq=dS
рпх=rр
pqr;_ascpd
r+dr
х
_ _ ._______Хк cas /Зк
Рис. 9.4 . 12. К расчету аэродина·мическог•о сопротивления затупленного I<ону,са
Если в этой формуле принять Гмид=Гсф, то получим коэффици
ент волнового сопротивления затупленного носка , рассчитанный по
площади основания S=:n:r~Ф- Учитьшая, что Гсф=Rт sin (f)к найдем
(9. 4.83)
Сопротивление коничес1юго участка с боковой поверхностью Sбок•
Хк=q""Sмид 5р cos (пх) (dS/Sмид).
8бок
Из рис. 9.4.12 видно, что
cos (пх)= cos [ (:п:/2) - ~к]= sin ~к; dS=2:n:rdl= 2:n:rdr/sin ~".
Учитывая также, что
р= Ро COS2 ерк Ро COS2 [(:п:/2) - ~к]= Ро sin 2 ~ "; sмид= :П:Г~ш д,
47
полу чи м для коэффициента сопротивления конического у частка
Роsin2~к ( 2
2)
=
2
ГМИД- Гсф ,
Г МИД
Выражение в круглых скобках согласно рис. 9.4 .12:
2
2
Гмид-Гсф=(Г мид-Гсф) [2r мид-(rмид-Гсф)] =
=Хк Sill ~" (2r,щ-Хк sin ~,J
В соответствии с этим
()--
•
3рХк(2
•
(-< )
Схвк-Роs1n l'I( -2-,
Г МИД -ХJ( S!П l'к.
Гмид
(9.4. 84)
С 1<ладывая (9.4.82) и (9.4 .84), найдем полный коэффициент
соп роти вления, отнесенный к площади S = пг 2 •
МИ!( ~
МИд •
Хк
_
-
[ R;,
2(
cos2 ~к)
Схв= --- (схв)сф+(схв)к-Ро -2 - COS ~к 1- -- +
q00Sмид "
r,шд
2
+ х~, sin3 ~к (2r,1Ид - х" sin ~к)l-
(9.4.85)
Г МИД
•
В ч астном случае (Rт=О) получаем коэффициент сопротивления
заостренного конуса. Величина этого коэффициента находится из
условия, что J5o=2, Хн sin ~и=Гмид:
(9. 4. 86)
Если Хн= О, то обтекаемая поверхность превращается в сфериче
ский с егмент высотой Rт(l-sin Ви) (рис. 9.4 .12). Полагая в
(9.4 .85) Хи = О, придем к формуле (9.4 .83) для коэффициента волно
вого сопротивления такой сферической поверхности. В этой форму
ле (J)н=n/2-в,,.
Плоский торец. Результаты теоретического и эксперименталь
ного исследования распределения давления по плоскому торцу гра
фичес1ш изображены на рис. 9.4 .13. Анализ этих результатов поз
воляет установить общую закономерность для изменения коэффа
циента давления в виде р = pof (r), где ро-:-- коэффициент давления
в центре торца, совпадающем с точкой полного торможения, r=
= r/Rт - безразмерная величина (рис. 9.4.13), f (r)- некотора~
«универсальная» функция, зависящая от r.
в _ соответствии с этим коэффициент волнового сопротивления
торца
1
(схв)п=Ро Jf (r) clr 2•
48
Пол ага я, что «универсальная» функция f (r) пригодная для
любых све рхзвуковых скоростей, интеграл в приведенной формул~
можно вы числить и получить зависимость
(9. 4. 87)
Эта величина примерно вдвое превышает коэффициент сопро
тивления полусферы, значение которого в соответствии с (9.4 .83)
определяется
соотно -
шение м (схв) сФ = О, 5рO Р/Ра ,---,---.---.---г--,-----.-~-,-----.-~~
(при <рк=п/2).
Отход ударной вол
ны от плос•кого торца
больше, чем от сферы .
Ориентировочная оцен
ка приводит к заклю
чению, что если · для
сферического носка ве
личина so= so/Rт имеет
порядок
отношения
плотностей р = роо/р'о,
то в случа~ плоского
0,9
0,8 □ -2,95--+---+--f--
л -2,46
о -- 1,83
о, 7 t----+ -- --+-+- -- ---+
0,2
0,4
О,б 0,8
затупления s0 ~ Vp. В
соответствии с эпсспери
ментальны ми даннь~ми
·'-QТ,!-ЮС ИТеЛЬ НЫЙ ОТХОД
~- -~
Рнс . 9.4.13. Ра,с пр.еделенИJе давления по плос
кому то·рцу
(9. 4. 88)
Радиус кривизны волны на оси, определяющий ее форму вблизи
торца, оказывается, как и отход, пропорциональным радиусу ПJ10-
скогс; затуплен_ия. Согласно экспериментальным исследованиям,
-
Rco
( -) [-=(
- )J-1/2
Rco=-=0,52 3-Q G 1-Q
.
R-г
(9. 4. 89)
Нетрудно видеть, что в соответствии с (9.4 .89) при р-.О величи
на Rco-. oo, так как волна в пределе соприкасается с плоской по- ·
верхностыо торца.
Рассмотрим градиент скорости в центре торца, совпадающем с
точкой полного торможения. Как показывают исследования, его ве
личина в этой точке не равна нулю. Можно предположить, что пло
с1шй торец влияет на течение в окрестности точки полного торможе-
ю~я аналогично сферической п_оверхности некоторого радиуса R~-
Следовательно, возможно подобрать такой эквивалентный радиус
сферыR~, при котором кривизна волны на оси будет приблизи-
тельно одинаковой с ее значением перед торцом. Тогда
• (Rс0)сФR~.
где Rт - радиус торца. В соо11ветствии с
(Rсо)пRт=
(9.4 .78) гра-
49
диент скорости в центре торuа
'i:=- 1 v2(p~ -
poo)
Rэ
,
,
(9. 4. 90)
т
•
Qo
где R~= Rт (Rсо)п/(R.со)сф, причем (Rco)п =( Rc0/Rт)11 находится ,. по
(9.4.89), а (Rco) сф = (Rcol Rт) сФ - из (9.4 .71). Экспер именталь·ные
иоследования показывают, ч·ю ,при больших скоростях формула
(9.4 .90) дает достаточно удовлетворительные результаты .
Сопротивление тонкого конуса с малым затуплением. Соотноше
ние (9.4.85) соответствует предположению о таком обтекании за
тупленного тела, при котором скор ость и давление на конической
поверхности будут теми же, что и в конце сферического носка. В
реальных условиях это явление не имеет места, однако с известным
1,0
1,5
_
/?. Х
.2
vc; d..- f3 ~-=
Рис. 9.4 .14 . Коэффициент соцротивления тон.кого эату~пленног о
конуса
приближением такое предположение может быть оправдано для до
статочно толстого конуса. Рассматриваемое явление соответствует
наблюдаемому в эксперименте быстрому восстановлению коэффи
циента давления до значения на заостренной конической поверхно
сти J5н (при ,большой ,скорости J5н=2sin2 ,~н) . Например, для затуп
ленного по сфере 40° конуса при Моо = 6 такое восстановление про
исходит на расстоя'нии от носка, несколько большем его диаметра .
Это явление особенно ярко выражено при умеренных числах Мао.
Влияние на полное сопротивление участка поверхности вблизи нос
ка из-за малой величины этого участка невелико и поэтому давле
ние на нем можно принять таким, как на остальной конической
поверхности.
Однако, как показывают исследования, у слабо затупленных
тонких тел величина давления на конической части оказывается
существенно меньше его величины на остром конусе, причем по мере
удаления от носка оно сравнительно медленно восстанавливается до
величины давления на остром конусе (см . рис. 9.4.5). При этом по
мере увеличения сверхзвуковых скоростей влияние затупле ни я на
раопр•е,щеление давления возрастает. Затупленный нооок ,оказывает
50
воздействие на течение в возмущенной области длиной в десятки и
сотни диаметров затупления, причем чем тоньше тело, тем протя
женней ~эта область и, следовательно, эффективней воздействие за
тупления. К сказанному следует добавить, что эффект затуплени'Я
зависит от вида носка, например он значительно больше для пло
ского торца, чем для сферы. Аэродинамические исследования тон
ких з а ту пленных конических тел осуществлены проф . Г. Г. Черным
[24]. tia рис. 9.4.14 приведен график, построенный по данным этих
исслед ов а ний, позволяющий рассчитать коэффициент сопротивле-
ния конуса с затуплением произвольной формы [с1=4Хк/(qоол:d;)].
Из этого · графика видно, что при некоторой длине конуса его со
противление становится минимальным. Минимум коэффициента
сопротивления достигается в соответствии с графиком, изображен
ным на рис . 9.4.14, при относительной длине конуса • х / dт =
= (0,68/~~) c1_j2 (где Сх - коэффициент сопротивления затупления,
отнесенн.ьiй к площади л:d2т/4). По с.равнению ,с соответствующим
значен и ем для острого конуса минимальная величина коэффици•
ента сопротu:вления меньше примерно на 10%.
1,J
ГЛАВА Х
ЗАОСТРЕННОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТО КЕ
§ 10.1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК
Лет ательный аппарат (например ракета, снаряд) или ·н е кото
рые его конструктивные элементы могут иметь фо:рму заострен
ного тела вращ ения. Рассмотрим расчет сверхзвукового обтека ния
заостренного тела вращения, раоположенного в потоке г а за под
,нулевым углом ата11ш. Форма тела вращения (ри•с. 10.1 .1) задана
уравнением образующей r = f(x). Известны та,кже !Параметры на
бегающего потока (Моо, Роо, Роо, Тоо). Если толщина тела вращения
такова, что оно -вносит в обтекающий поток 1большие воз.м уще ния,
то расчет этого потока может быть осуществлен по метод у ха р а к
теристик.
Расчет О'бычно ,начинают с определения ]{}Онического п оток а
около острия, которое в малой окрест,ности носка м-ожно заме нить
конусом (,на рис . 10.1.1 его границей является точка К). В р езуль
тате расчета ыа образующих OD, ОА и т. д. промежуточны х кони
ческих поверхностей (включая образующие конуса ОК и с качк а
OS) находят скорости, а также углы ш, μ и ~-' При - этом
углы 0
наклона образующих промежуточных конусов выбирают цроиз
вольно, но 'Гак, чтобы интервалы Л0 были достаточно малы и обес
печивали заданную точность рассчитываемых параме1ров .
Расчеты целесообразно сопровождать графическ,и.м построением ,сет К! и харак
териспrк, как это показано Jia рис. 10.1.1. Вначале строят элемент I(D характе
ристики первого семейС'J\ва, проведя че-рез точку К прямую под угло:м μк+/}к
(где /}к = /}о) к оси конуса до пересечения ,в точке D с соседней образующей
пр·омежуточ,ной к,о.нической поверхности, ,и~меющей угол 8v. В результате грнфи
чески определяют координаты xv, rv точ,ки D.
Большую точность получают пр,и аналитическом определении этих коорди
нат. С этой целью ,напишем уравнение для элемента характеристики первого
семейст.ва
rк- rD= (хк- хD)tg(fLк+~к)
и уравнение образующей
(10.J .l)
(10. 1 .2)
Решая эти уравнен.ия, находим неизвестные xv и rv. Аналогично , вы ч исляют
коорди,наты остальных точек характери~тики I(S первого семейства, и ~1 еющей в ид
52
домю,ой линии, которая явдяется границей конического ,потока. Пр ·wч ем коор
динаты xs, rs точ1<,И S, лежащей на пересечении эдеме;нта хара,ктеристик;и ,п е,рвого·
семейства ES с образующей OS кониче-ского скачка уплотнения, нах-одятея в ре-
..-
зульта11е совместного •рещ,ения ура,в.нений:
rЕ- rs = (хЕ- хs)tg(fLЕ+~Е);
rs = XstgбS·
(1 0 .1.3)'
( 10 .1.4)
Получаемые указанным спо,собом координаты точек характеристики KS соо твет-
ствуют угла~м μ и В, принимаемым постоянными ~щ,оль каждого из ра ссм атр ивае
мых элементов характери,сти.ки и равными значения,м этих У'Глов rв ,нач але эле - ·
мента.
r
(3 =arctg(dr/dx)
-
-
--
,
х
__________
Х=к -----~-
Рас . 10.1.1 .. · Схема р-а•счета с-верхзву,ково,го обтека,н1Ия
тела ,вращения по методу ха ' рактеристик:
1 - образующая тела вращения ; 2 - характеристика первого се
мейства; 3 - характеристика второго семейства; 4 - прямолиней
ный скачок; 5 - искривленный участок скачка
Для получения более точных да,нных ,МО)!(НО вести расчет коо,рди>нат по -с р ед
ю,м з,начею1ям угло.в μ л В ,между крайними тоqка .ми элемента характ е р истики.
Тогда, в ча,стности, вмест,о (10.1.1) запишем
r1<- rD= (хк - хD)tg[(1/2)(fLк+fLD+~к+~D)],
а в·место (10_;11.3)
rЕ- rs= (хЕ - х8)tg[(1/2)(fLЕ+fLs+~Е+~s)].
(10.1.l ')
(10 .1.3'}
В этих ура,внениях Хп, rv и Xs, rs - уточнеЮJые координаты точе к D ,и S..
После того как определены ,вид кривой характеристики KS , ,скорости , ч:ие
ла М, углы μ и 13 :в точках этой характеристики, дал1,1нейшее решение задачи,
сводится к нахожден:ию поля скоростей (ч,исел М) .в области ,между этой хараrк-
тер•истикой и образующей обтека,емоrо тела. С этой целью пр.ИiМеняются с оот-
ветствующие соотношения для ха·рактеристик в физ,ической пло,скости (плос коспr
потока) и 1в плоскост,и годографа.
При выборе -соотношений для характеристик в плоскости годографа ,необхо
димо учитывать, что 1в обла-сти потока, ограниченной ,прямолинейной образующей.
,скачка уплотнения OS, ха·ра ,ктеристикой второго семейства SU (строящейся rПО
степен.но в ходе решения задачи) и образующей тела OU, течение -будет б ез
вихре ,вы м (и з э н тропическим). В соседней области, .ограниче нной той,
же хара,ктер!И'сти:кой SU, уча,с11ками 1криволи.ней~ного ,акачка SH ,и образ у ющей тела
ИR., течен,иrе будет 'В и х р е в ы м (111еизэнтро,пическим).
Для отью1шния поля ,ско,ростей на изэнтропическом уча·стке течеJ!'ия прове
дем через каждую точку ха·рактеристики /(S элементы характер,истиюи второго
·-семейст.ва. Одна .из ,них, проходя щая через точку D, пересечет -стенку 1В точке В,
в которой и необходимо найти ,скорость. Координаты этой точки опре:деляются
,из со,вместного реше ния ура1внения 1для элемента характеристики второго ,семей
, ства
rD- rв=(хD- хв)tg(~D- f.l.D)
;м уравнения образующей тела
(10.1.5)
(10.1 .6)
Решая урав.нен,ия (lОЛ.5) и (10..1 .6), находи1м координаты точки В(хв, rв).
-Угол IЗв .~аю1она ка,сательной к о.бразующей ,в точке В, ,сов п адающий 1В оилу без
• отрывного о·бтека,ния ,с угл о м наклона ,вектора с ко•рости в э той то чке, о п реде
.ляется из уравнения
(10 . 1.7)
Чтобы найти ·скоJюсть в точк е В, ,,юсп ользуем,ся уравнением (5.4.9). Это
ура,внение, записанное 1В ко н ечных разностях пр!И y = r, e = l- (о-сесимметрич:~юе
·течение), примет ,в ид
XB-XD
дwD+ д~D - -=-_ _;::;... mD = о.
ГD
(10.1 .8)
В эт,ом уравнении пр,иращение Л~v = ~в -
~ D ,П!ред,ставля:ет собо й раэна.сть
-углов накло-на lВекторов ,скоростей ,в точках В и D . При этом в .соо11вет,ствии
-с (10.J.7)
Из (10.1. 8) находим, учитывая , что Лwv = о)в - w v , угол
XB-XD
wв= wD- (~в- ~о)+
mD,
ГD
где в соответствии с (5.4 .6)
mD = sin ~D sin f.l.D/COS (~D- μD)-
(10.1.7')
(1 0 .1.9)
(10.1.10)
-~;гол w v , ,вх одящий в (10.1 .9 ), 1наход,ится из табл . 5.3 .1 по значению чи-сла Mv
в то чк е D. Вычислив wв •по (10 .1.9), определяем при помощи той ,же табл . 5.3.l
,сот1ветс11Вующие веЛJ!'Чине Wв з,начооия чи,сла Мв и угла: μв=ar,csin (1/Мв):
.в точке В . З а тем по найденным числам М ,мож,н.о IВЫЧислить да~лоо,ия.
Определ им ,он ачала да,вление Рк в точке К, ,каторой rо о11ВетС'l'вуеrг число Мк :
, ( k-1 2 )-k/(k-1)
,
·
_
Рк=Ро 1+-2 -Мк
=р0 п(Мк),
(10.1.11)
тде д а ~лени е то-р1можен.ия за конически·м скачком
,
Ро= PoVo,
-определяется по давлению тормажения р0 (3 .6 .29) до ,скачка и
щи-и v0, вы чи<:ля:емому из (9.2.:26) ,по углу -скачка 0с и ,числу Моо ,
Да.вление .в точке В
'
'( k~1 2) -k/(k-1)
,
Рв=Ро1+-2-Мв
= РоП. (Мв) .
(10.1.12)
значению функ-
(10.1 .13)
Фуню:щи :n:(Мк) и :n:(Мв) в (10.1.1 ,1') и (1'0.1.1 3 ) определяются: соответствен
;но [10 зн а чен,иям чисел Мк 1и Мв из таблиц, помещенных в [6].
.54
i1
j
-,
Коэффициенты да .вления:
Рк = 2 (Рк- Poo)/(kM:,p:) и Рв = 2 (Рв - Poo)/(kM:OPoo), (10.1.14)1
Скорость, темnерату,ра и пло11Ность определяются соо·11ветственно из ,соотно
шений:
ТК(В) . [
k-1 2 ]-1
.
--=
1+--МК(В) '
То
2
Qк<в> = lт K<в>J1J(li-1) vo,
Qo
То
(10.1.15) ,
(10.1 . 16)·
(10.1 .17)"
где р0 и То находятся по пара:метрам набегающего потока соответственно [!О фор
мула.м (3.6 .34), (3.6.35), а максимальная скорость ,В ,соо·тветс11вии ,с (3 .6 .22 )
(2
2 2)1/2
Vmax= Vоо+k_Iаоо •
(10.1.18),
Рассчита,в параметры в точке В, проводим через нее элемент ха·раI,ТЕ'J)Истшш,
п ерво,г,о ,С€мейства до пересечения в точ1~е · С с прямолинейным участком харак
тер11,с11иКIИ sто,рого •семейс11ва, выходящей из точки А (см. р.Иtс. 10.1 .' 1). Координаты •
.точки С определяются из решения урщшений элементо,В АС и ВС. хара ктер.истик.
Уравнение элемента АС характеристики имеет вид
(10.1.19)·
а уравнение элемента ВС
(10 .1 .20),
Решая ,совместно эти ура·внения, находи,м коорд1инаты точки С (хе, rc) .
Что,бы ~найти ,в этой точке углы ~с и Wc, ,надо воспользоваться ура,внения,ми для
ха,рактериеrик (5.4 .8) 1и (5.4.9). iЗалисывая эти уравнения в конечных разностях.
и пола ,гая е= 1, получим :
где в соответс11вии с (5.4 .5) ,и (5.4 .6)
lв=siп~вsiпμz1cos (~в+fl-в); }
тА = siп ~А siпμA/cos (~в-fl-A) .
(10 .1.21)'
(10.1 .22)\
(10.1 .23);
Вместо четырех неизвестных Лwв, ЛыА, Л~в и Л~А в ура,внениях (10 . l:21) ·, -
(10.1 .22) ,можно рассматр111вать rв соотве11ст,вии с (5.4.20) лишь две .неизвестные·
величины: Лwв и Л~в (шги ЛыА и Л~А).
С учетом соотношений (5.4 .20) уравнение ( 10.1 .22) пре.образуется ,к sи~ду
ХС-ХА
дwв+wв-wA+д~в+~в-~А- ~-~тА =О. (10.1 .24),
ГА
55,
Реш а я это ура.в.нение со,в м ест н о с (10.1 .21) относительно переменной Л~в.
:полу чим
1 [ХС-ХА
хс-Хв
]
л~в=-2 --rА~~тА---=--гв-----'=-[в-(оов-ооА)-(~в-~А) • (10.1.25)
П о най денно·му зна,че.нию Л~в наход~rм ,из (1 ,ОА . 21) угловое приращение:
хс-хв
Лоов= Л~В +-~-=z
ГВ
В·
Абсол ют.ные значения углов в точке С следующие:
~с= л~в + ~в, 00с= Лоов + 00в·
(10.1 .21')
(10 . 1.26)
По в ел~1чине (iJc .из табл. 5.3.1 яаходим число Мс и угол возмущения
i!.tc= arcsin( l / Mc) . По числу Мс при нео·бходи.мости могут ~быть найдены другие
пара ,метр ы, а именно: давление, плотность, температура, -скорость.
Вычи сл я емые так;им образом параметры предста,вляют ~ео,бой пер.вое пр-и-бли
ж ение , так ка к вд,оль элементов характерис-гик коэффициенты l и m, а также
радиа льные к оординаты принимались постоянными и ра,вными их -соо11ветствую
щим з·н а че н и ям в точках А ,и В . Э'J'и па·рамет_ры можно утоrчнить, если ,в ура,вне
.ния (']0 .1 .21) •и (10.1 :22) под,ставить ~вместо lв, mл, rв, rл вел•иrчины, выч.ислеш
ны е как средн ие ·между зада.н.ными в точках А и В и полученными в точке С
в пер.вом ,пр,и ближении. Для эт.их сред.н,их ,величин имеем -соотношения:
l~ = siп ~~ sin f.t~/cos (~~ + f.t~), т~ = sin ~~ sin v-~/cos (~~ - v-~); (10.1.23')
·ТДе
r~ = (rв+ rс)/2, r~ = (rА+ rс)/2,
(10.1.27)
~~=(~в+ ~с)/2 ;
~~=(~А+ ~r,)/2,
f.t~ =
(v-в + f.tc)/ 2; }
f.t~ = (f.t .4 + f.tc)/2.
(10.1.28)
П род ол жая аналогичные ·расчеты, можно определить пара.метры во .всех точ-
ках второго ряда, ,включая ;гочку N, лежащую 1на пере.сечении элем,енто.в PN
~
. ха·ра,ктер и стики пер,вого ,семейства и SN характеристики второго ,семейства, про- ·
веден.ной 11з конца прямолинейного коs,ического ,скачка уплотнения.
Да л ьней ший расчет заключается в том, что.бы sайти па·раметры в точке пе
ресечени я элеi11еtнта характер,и-стики первого семейства, про1веденной через точ
ку N с продошкением •скачка за точжой S. Праю,и,чески -в целях получения луч
шего приближения характеристику прово•дят не через точку N, а через точку F,
·располо.ж'енную между точ•ками N и S (,см. ,рис. 10.1.1). Коорд1инаты ХР, - rР точ
ки F выбираются таким образо1м, чтобы элемент FH характеристики, при.мыкающий
к -скачку, был достаточно малым и мо,г ра,ссматр'И.ваться 1в ~виде прямолинейного
уча,стка. П ара-метры в точке F((i), М, μ, ~) вычисляют по известным их значе
ниям ,в точ ках S и N линейной 1интерполя,цией. Напри:мер,
XF-XS
00F= 00S+(ооN- 00S)
XN- XS
Ур а1вн ение элемента FH хара.ктер•истики первого семейства •будет
rF- rн=(хF- хн)tg(~F+f.tF).
(10. 1. 29)
(10.1 .30)
Реш ая это ура,внение совместно с уравнением пря,моли.нейной образующей
,скач,ка rн =Хн tg 0с, определи,м коорд1инаты Хн, rн и найдем -rем са,мы,м в пер
.вам при ближении положе-и.не точк•и Н на скачке уплотнения. Эти координаты
должны быть уточнены, так как ·реалЬIНый .скачок за точкой S ,будет •иок,ривлен .
Дейсm,итель.но, хара,ктеристики пеР'вого семейст.ва (ES, FH и др.) являются ло
своей пр и роде волна.ми разрежения. Встречая скачок уплотнения, эти tВолны
'56
р.
1
1
уменьшают его интеноив·ность и, -следовательно, наклон, в резул1,тате ска,юк.
искривляется .
.
Течение за таким скачком упло11Нения будет •вихревым (неизэн тр опиqес ки ;v1) ,
поэтому для определения ско,рости в точке Н необходимо rиспользова ть ураuJне
:ние (5.4 .41) для эл,емента РН характер,истики [lервого семейст,ва, учи т ывающее ·
изменение энтропии за криволинейным скачкс,м. Пола.гая ,в это м урав нении
YF=ГF, e=l (о,сесимметрич.н,ое течение) и . решая его отнооительно Л~F совме с11Но·
j
с (5.4 .38), [!Олучим за,висимость (5.4.46), в которой принято е= 1 1Н у F =r F :
д~F= [( :;)s- 1г1(00F-oos+xн~FxF !F_xн~xF. :: cF),
(10. !. 31),
r,де [lроизводJная (dш/d~)s ,находится (i!IO 5.4 .39) , а ;коэффи ци енты lF , CF в ыЧi!I С
Jiяются по ,соответствующим формулам (5.4.42).
В фор;мулу (10.1 .31) входит .веJiичина ЛS, определяющая изменен ие энтро-
11ии - при переходе с,т точ1<:и Н к точке Р. Расчеты в пер1во1м [lриближ енин пред по
лагают, что точка Н ра-сположена на пр одолжешш прямолинейной образу ющей
ока,чка . Поэтому можно было бы ,ирrинять изменение Э1Нтрош1и ра1~ным;и ,нулю,
т. е. ЛS=О. :Но это ,предположение снижает точность расчетов, так ка к в . дей
с·nвительности точка Н располагается на ,искрИffiJiенном уча-стке скачка (Н') .
Лучшие резуль-гаты получаются, если ·принять, что энтропия (иJiи давление тор
можения) в · точке Н 1не равна ее значению в точке F.
Ра ,счет в первом пр,иближенин давления торможерия р' 0 н ,в точк е Н •веде тся:
следующим обра,зом. Примем, что угол ~' н отклонения потока за скач ком уплот
нетш 1в тачке Н ·равен углу наклона .вектора· ,скор,остн в точке F. По значе нию
угла ~'н=~F можно ошределить ооа1'ветствующий угол -ск ач1ка 8'сн. Для этой
цели 1Вос,поJiьзуе;мся формулой (4.3.25), ко-горую запишем в виде
tg б~н
М: sin2 6~н
tg(e;н- -~~) l-o+oM:osin6~н •
(10. 1. 32}
Лри задаrнных значениях ~н', М,,,, и О= (k-1)/(k+,l) э·то т.ра,нсценде.нт.ное
урав:н:ение решает,ся тносительно 8' сн путем посJiедователь·ных цриблнж ений .
По зна ,чению 8' с н можно определИ"Гь, используя фор.мулу (;Ю.1.1~ ) , да.вление
торм.ожения p'oF ,в точке Н . Пр.июtмая, что ,в точке F даuJление торможения p'oF
ра1вно .давлению торможения p'0 s в точке S, рассчита·нному по углу скачка 8cs
при помощи формулы (4 .3 .22), ,можно найw отношение
(Р~н - P ~F)/P~F = (Р~н- P~s)IP~s -
Srнocя это отношение ,в (5.4.45), определим r,радиент эитропии ЛS/Лп, вхо,дя
щий в формулу (10.1.31). Определив [10 этой фо·рмуле значение Л/)F , нююдим,
используя (5.4 .41) при YF=ГF и e =l , ~приращение угла :
XH-XF
XH-XF
ЛS
дооF=Л~F+ rF
lF- kR
•ЛпcF.
(10.1 .33)
По д~F и ЛооF определяем для точки Н углы:
~н=~Н' =д~F+ ~F' 00н=00Н'=дооF+ 00F·
(10. 1. 34)
Из ·табл . 5.3.1 [Ю у,глу Шн' находим Мн· и μн·. По найденноtму значени ю /)н'
можно уточнить по фор.муле ( 10.1 .32) угол наклона ска'Чка ,в точке Н ·н найти
во втором п риближении координаты Хп', rн' новой точки Н'. Для этой цели на
пишем ураsнение для уча ,стка -скачка за -гочкой S
r8- rн,=с=(х8- хн,)tgбl'Н'
и ура,внение элемента характеристики пер~ого семейства
rF- Гн,=(xF·-
Хн,)tg (~~+ f'-~).
(10. 1. 35)
(10. 1. 36)
57
<1! котором углы BF' и μF' выбраны среднюм.и значениями:
Решая ,совместно (10.1 .35), (10.1.36), наход!и,м уточне~нные координаты Хн',
, r н' . При необходимости можно осуществить ра,счет пара'Метров ,в точке
В'(wн' , Мн' , μн' и Вн') в третьем 1Прибл.ижени,и .
По,лучеJ-I'Ные да1Rные о параметрах lВ точках Н' и N ттозволяют ра,осчютать па
_ ра.метры в точке J (см. 'РИС . 10.1.1). Этот ра,счет аналогичен решению первой
.задачи (см. § 5.4), ,связа ,нной с определением ,скорости в Т()IЧКе пересечения харак
тери-стик разных ,семейст,в, !Выходящих из двух близко ра,оположенных то,чек.
:Коарди:наты х,, r, точки J определяют .в результате решения уравнений
, (5.4 .10), (5.4.112), записаНrных соответ,ствен1Но для элементо'в NJ и H'J хара,кте
, ристик IПервого и второго семейств :
rN-rJ=(XN-х)tg(~N+/LN);
rн,- rJ=(xw- х)tg(~w - r-w).
(10. 1. 37)
(10. 1. 38)
• ·для вычисления параме тров ,в точке J, ·р,асположенной в вихревой области
,потока,' необходимо :при,менить соотношения для ха,рактер:и-стик в пло.скости rодо
трафа скорости, учитывающ!!rе . иэмене~ния энтропии. Эти уравнения, записа:1шые
в ,кон ечных -разностях, имеют ,вид (5.4.1 !1) и (5.4 .13). Уравне.ние (5.4.lд'), заnи
,.санное для е= 1 и y=r с учетом обозна'Чений, принятых для элемента NJ харак
:тер.исти'К'И первого .семейства, будет 'Иметь следующий вид:
XJ -XN
XJ-XN ЛS
дооN- д~N-
lN+
R
•-
CN=0 .
rN
k
Лп
(10. 1. 39)
Для эл·емента H'J характеристики второго семейства иопользуем ура,ВiНен.ие
,(5.4, }3):
дооN = оо✓- ooN'
дооН' = ооJ - ооН',
Д~N=~✓ -~N;}
д~Н' = ~✓- ~Н'·
(10. 1.40)
(10. 1. 41)
Для определения коэффициентов IN, CN, тн', tн' следует воспользоваться
,формула~м,и (5.4 .15), в ,1юто,рых пара,метры с иидекса1М1и «В» и «А» заменяются
,соответственно па,раметра1ми с индекса'Ми «N» и «Н'>>. Гра 1диент энт,роп.и.и ЛS/Лп
,вычисляется с использованием ,соотнош~аний (5.4 .16) или (5.4.18), в которых сле•
дует заменить ,индексы «В» и «А» ,соответственно иа «N» и «Н'». При этом да-в
.ления ТО'Р'МОжения р'0 н' для точки Н' и p'oN для точки N определяют по фо,р
муле (4.3 .22) ,соо тветственно no значениям углов с.качка 0сн' 1и 0cs(0cн'<0cs).
Система ура.внений ( 10.1.39), ( 10.1 .40) включает четы ре неизвестные 1Вели,чи-
1Н Ы: ЛwN, ЛВN, Лwн', ЛВн'. Ч,и,сло неизвестных мож11ю сократить до двух, если
учесть соот,ношения (5.4 .'2 0), по аналогии с которыми
Лоон,= дооN+ooN- оон,; д~Н' = д~N+~N - ~Н'.
(10. 1.42)
Про'Из ведем соотве'!'ствующую замену в (10.1.40) :
х✓-ХН
х✓-ХН' лs
дооN+ооN-ооН'+л~N+~N-~Н'- rw тн, - kR • дп tнz=O.
(10. 1. 40')
58
По найденному значению Л/3N :вычи,сляют из (10.1 .39) уrло.вое .приращение:
XJ-XN
XJ-XN ЛS
дwN=Л~N+ rN
lN
kR
•
Лп cN'
По ЛWN и Л/3N. ·определяют абсолютные значения угло,в .в точке J:
wJ=дwN+wN;~J=д~N+~N'
(10. 1. 44}
Из табл. 5.3.1 находят по w, число MJ и угол ,воз,м ущения μJ. Давление тор
iМОЖения p'0 J (энтр01пия S,) в точке J иаходят :инrерполяцией по значениям.
Р~н•иp~NвточкахН'иN.
1
.
.Вычи,слен:ные
па·раметры ,можно уточнить, е-сли в уравнения ( lQJ _ . 39) ,.
•
(10.1 .40) подставить вместо lN, тн', CN, tн' 1величины, вычИ'сленные 1:ю оредн;им
••••
значения,м углов 13 и μ в ошrvвет-с-11вии ·С формулами (5.4.25).
Таrк, шаг за шагом, ,определяют координаты '!'Очеrк Н', J, .. . , L характерис'11Ию~
.втора.го ,семейства, а также газодинамические параметры ,в этих точках. Исполь
зуя найденные па:раметры ,в точке L, можно определить ,скорость и дру,r,ие пара
метры в точке R, <расположенной :на поверхности обтекаемого тела. Координаты
то,чюи R определяют я :результате ,р:ешения уравнения для элемента LR хараrк
тери-стики второго ,сем ейства
rL-rR=(XL-xR)tg(~L-fJ,L)
(10.1 .45)
и уравнения образующей тела rв=f(хв). Решение этих ура.внений дает значения
Хв, rв.
Точка R расположена ,в .вихревой области потока rна пересечении элемента LR
характеристи1ш второго ,семейства и образующей, тела, поэтому для расчета око
рости надо ,воспользо,ваться уравнением (5.4.27). Приняв в нем ·в= 1 и заменив у
на r, а ·индекс «D» на «L», ,напишем
(10. 1. 46)
где
(10. 1 . 47),
Коэффици,енты mL л tL ,находят по формула,м (5.4.28), в которых IИIНдекс «D»
заменяют ,на «L». Г,радиент энтропии. ЛS/Лп определяют по одной из формул
(5.4.29) при условии за,мены >Иlндексов «D» ,на «L» ,и «В» на «R». При этом дав
ление тор:можения р'0н в точке R ·изяестно и rбудет т,аки,м, .как 1в точках К, В, ....
U, G, лежащих :на одной линии тока, примыкающей к поверхности тела . Вели
trину P~R вычисляют по формуле (4..З.,22) и значению :угла скачка 8cs . Давление
торможения P~L в точке L ,определяют 1~нтерполяцией ,по значениям Р;т и р~а =
= Р~Rсоответственно в тач•ках Т и G.
Угол наклона .касательной к образующей тела в т,оч,ке R известен из урав
нения образующей r=f (х) и равен /3н=arctg,[(dr/dx)н]. Поэтому известной будет
разностьд~L = ~R- ~ L и ,по уравнению (110.1 .416) можно непосредственно вычис
лить у,гл,о•вое п:ри,раще1rи-е ЛwL. По этому приращению подсчитьnвают угол wн=
=ЛWL +wL, определяют число Мн, да,вле.ние и другие параметры в точке R
с учетом влияния ,вихревого характера Т€чения.
59
Как показывают расчеты и эксп е ри ме.нтал ьны е исследо в а,н ия,
,существенное влияние 1вихревого хара ,ктера движения за крИ1воли
нейны м скачко.м уплотнения наблюдается лишь 1при больших ско
рос т я х о б т ек а ния . Например, для параболической головки с " удли
нен ием Р,щщ=Хмид/ (2rмид) = ,5 (длина головки в лять раз больше
диа метра м1иделева сечения 2rмид) п р и значении параметр а К 1 =
= М оо/Лм ид = 1, ~котор ому соответствует число Моо = 5, волновое со
противление во-зрастало за счет вихревого влия н ия н а 5 % по срав
нен ию с его величиной в потенци альном потоке . В то же время при
К1 = 4 (Моо = 20) оно увеличивается более чем на 25% . Эффект
rвозр астания сопротивления с фи з ическо й точки зрения объясня
-ется те м, что ,на образование ,вихрей необратимо зат р ачивает,ся
допол н ительная ча·сть кинетиче ско й эне~ргии потока.
На рис. 10.1.2 показано распределение давления, найденное по
•методу характер истики для двул тел ,с .п ар аб ол1ической юловной
часть ю, ура в,нение обравующей котор ых
r=x(2- x ),
(10. 1. 48)
где r= rfrмил.• Х=Х/Хмид(хмил.- расстояние от нос·ка до ме<ста ми
делевого сече н ия тела в ращения •С радиусо м rмид).
Для тела вращения с такой образующей (р1ис. 10.1.3) тангенс
угл а ,н а1клона касательной в произвольной точке
dr
2г
-
1
-
tg~=- =
-- 20!.'L( l-x )=-(l- x),
(10. 1.49)
dx
Хмид •
лм,щ
а ,в точке заострения, для кото:рой х = О,
tg ~о = 1/лмид•
(10. 1. 50)
где Амид = Хыид/(2r мид) - удлинение головной части.
На графике, изображенно м на рис . 10. 1.2, п оказано распреде
лен ие давления для значения параметра К1 = Моо tg ~о = Моо/Лмид..= 2.
В сл уч ае ~вихревого течения четко видно повышение давления по
сра1Внению с потенциальным обтеканием. Это повышение следует
учитывать в практических слу·-шях, начиная ПР'Имерно со значений
пар ам етра К 1 = 1,2-т 1,5 . При меньших его з,начениях вихревым
влиянием можно пренебречь. ~'рафик (рис. 10.1.2) подтверждает
действие закона подобия по параметру К1 при больших скоростях
не толь·ко для конусов, но и д,1я аффинно-:подобных тел вращения
с кр иволинейной обравующей, накими являются тела параболиче
око й формы (об аффинном подобии :подробнее см. в § 10.3). Это
подоб ие ~распространяется и на цилиндрические участки тел . Вид
но, что обтекание двух различных по ,своим размерам тел харак
тер изуется одной кривой для функции дамения р/роо-1, посколь
ку в ка ждом случае параметр J( 1 был один и тот же.
З акон ~подобия по ,параметру К1 имеет большое пра1ктическое
значение. Дейст.вительно, лместо экспериментирования с различ
ным и моделяМ'и можно про в ести цродувку с одним телом, 1получи:в
при этом данные о раслределении: давления для ряда значений
·i;o
r
параметра К 1 . Затем в соответствии~ с законом подобия эти даrН ◄
ные можно распространить на всю оеско.нечную совок,упно сть аф
финно - преобразованных тел ,с конкретными геометрическими раэ
!v1ерами. Напр·име;р, если резулыаты на рис. 10.1.2 получены при
М 00 =6 для тела с удлинением
головной части лмид=З так,
что К 1 =2, то, очевидно, най
денная кривая действительна
(как это видно из графика)
также для ·другого тела с уд
линением лмид = 6, но уже при
М00 = 12, т. е. при условии со
хранения того же значения
К1 =2. Используя закон подо
бия, можно отнести получен
ные результаты, например, к
телуслмид=5иMoo=!lOит.д.
Таким образом, в данном слу
чае действие закона подобия
ограничено . одним и тем же
значением ,па•раметра К1 =2.
Чтобы ра,сширить эти границы,
эк;сперименты или расчеты ве
дут для .различных величин К1.
Следует отметить еще одно
важное следствие закона по
добия. Оно з аключается в том,
что при от с утст-вии возможно-
Р/Р.,;;1
6
\\
4
2
'
'
\
~
21
о
м= 'ЛмиВ
об
з
012
6
Х"и8 -
' ---1
к,=2
Ц.f
\(-ц.,
""""'-- -0--- -о--~
--
0,4
0,8 1,2 1,6 x;x"ui!
Рис. .10.1 .2 . Ра,апределение давления
около 11ел .вращения с параболиче,ской
головной частью:
1 - с учетом вихревого движения за скач
ком; 2 - для потенциального движения за
СI<ачком
сти осуществи т ь продувки на больших скоростях необходимые ре
зультаты можно получить на меньших числах Моо, Для этого надо
вести эксперимент с менее удлиненной аффинно - подобной моделью
при сохранении заданного параметра К 1 . При этом область при
менимости закона подобия для заос11ренного тела вращения может
устана вливаться из анализа возможности использования этого
закона для конического острия. Такой анализ проводится на осно
ве сравнения результатов приближенного аэродинамического pac-
r
чета с точной теорией или
х
экспериментом и выявле-
(3
Хмид
r------, -- -- a-1
х,-<
Рис . 10.1 .3 . Тело вращения с параболической
образующей
- ния
отклонения от допус
тимой погрешности. Этим
методом построена для
конуса заштрихованная
область на ,рис. 10.1.4 (зо,
на .оомнительного подо
бия), за пределами кото
рой применение закона
подобия дает ошибку ,ме
нее 5-6%.
Пр'И использовании графика (рис. 10.1.4) 1с целью определения
обла сти п1р именимости закона подобия для параболической голов
ки с удл инением лмид, необходимо перестроить этот график таким
__,
~ образом, чтобы вдоль горизонтал ь ной оси были отложены удлине
• ния головки, вычисленные из ус,тюв ия лмид = 1/tg ~0 .
При исследо в ании эффекта вихрев ого течения было показан.о,
что возрастание скорости полета влече т за ,соб о й необходимость
о .................. ~
:.w...:..::......\,.;~~
~L.:. ..:: .. ~~ .:: ..:: ..:~
2
4
6
8
1D
12
лк=i/(2tgf3a)
Рис. 10 .1 .4 . Область ,во-~-можно-rо применения
за1Ко~на [!Одобия по !Параметру /(1
, [л. 1, =х к /dк = l/(2tg 130); '-мил =хмид /d мш1 ~ 1/tg 130;
I<, = Motg J3o]
при расчете невязкого
обтекания учитывать
влияние фактор ов , ко
торыми при небольших
скоростях можно было
пренебречь.
Опыт и теория пока
зы в ают, что при боль
ших числах Моо из вест
ное влияние на обтека
н ие оказы в ают такие
фактор ы, как погранич
ный слой и разл ичны е
эффекты, наблюдаемые
в нем (диссоциа ция, ио
низация , тепло п ереда
ча между стенкой и га-
зом).
Определенное
влияние
ок аз ывают
также коле б ат ельные
возбуждения , диссоциа
ция и ионизация возду
ха, которые мо гут воз
никнуть при оч е нь вы-
соких скор остях обте
кания и з-за значительного повыше-ния температуры в н е вяз ко й
области потока между ударной волной и поверхностью тел а . Необ
ходимо отметить, что влияние высоких температур газа на и змене·
ние распределения давления значительно меньше , чем на распреде
ление скорости, температуры и плотности .
Расчет параметров невязкого обтекания при усло.вии , что газ
п·ретер~ш~1Вает физюю-химическпе превращения вследст,вие -воздей
ствия высоких тем1ператур, может быть осуществлен рядо м мето
дов, ,в том числе методом характер,истик [26, 27, 42] .
Зная ра·спределение ,коэффициента давления р= (P - Poo)(qoo,
где qoo = ·kM 2copco/2, можно вычислить 1силу и коэффициент волново
го сопротивления- тела вращения, обтекаемого сверхзвуковым пото
ком при нулевом угле атаки. Для вычисления коэффициента вол
нового оопротивления используем ,формулу ( 1.3.2), подобно тому ,
как это ·было ,сдел·ано при выводе формулы (9 .2 .29). Пр и это м
учтем, что
62
r-cD
С!)
i
"'('!)
Sп =S~шд = :П:r~ид; dS=2:n:rdl; dl=dx/ cos ~;
cos (пх)= sin ~; sin ~/ cos ~=dr/dx.
В рез ультате получ.им
Схв= Хв = -2- sxl(pг(dr)dx,
q00Sмил Гмнд
dx
о
или
-
х
Схп=4лмид I"p;: tg ~iк,
о
где Хн - дл ина тела вращения ;
Х=Х/Хмид; Хк=Хl(/Хмид;
(10. 1. 51)
(10. 1. 51')
; = Г/г мид; tg ~=dr/dx; Лмид=Хыид/(2rмид) •
Пр едст а вление о характере изменения коэффипщента волнового
сопротивления можно получить из рис. 10.1 .5, на котором приве
дены р езультаты ,расчета этого коэффиц и ента по м•етоду характе-
Схв
0,18
Лмид ' dмuд
D,f ц
D,f0
О,ОБ
0,02
f
2
з
4
5
Б
Р.и,с . 10 . 1.5. Коэффициен-гы IВОлновоrо сопроти в ления пара-
бо л ической головной ча,ст,11
ристик для п а р аб ол иче1ског о тела ,вращения. Как ви:дно, с ростом
ч~исла Мао и удлинения Амид коэ ф фи циент сопротивления уменьша
ется. Увеличение удлинения соот.ветствует большему заострению
1_
тела, которое, естественно, вызывает ,снижение •СО1Противления. Что
~
касается влияния числа Мао, 'Ю указанный хара·ктер ,из,менения ·ко•
эффициента Схв свидетельствует не об уменьшении со:проти1Вления
[с 'ростом Мао оно также увеличивается в соответствии с зависи
мостьюХ~ = Сх 0 (kрооМ2 /2)S~шд] , а о некотором отклонении харак•
тера этого _изменения от квадратичного закона (1по Мао). При этом
для бо льших чисел Маха (Мао>5--:-6) ~пра,ктически реализуется
име.нно такой ·закон изменения сопротивления, так как коэффици
енты Схв м еняются незначительно.
63
Для приближенной оценки коэффициента волнового •со против
ления ,параболическшх головных частей ил и тел вращения, близких
к ним по форме, можно пользоваться ·соотношением [9]
(10. 1. 52)
где ftк - коэффициент давления на коническом носке обт екаемого
тела вращения.
Фор,мула (10.1.52) дает удовлетворительные результаты дл я
удлинений лмид~2,5 и и нте р1ва,1а 1,5 <;: Моо <;: 6.
§ 10.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ О БТ ЕКА Н ИЯ
ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
•
Отдельные образцы лета-тельных аппаратов вып олняют ,в виде
.,.
-гонких заостренных тел вращения (некоторые 1шпы ракет, артил
лерийских 1сна1ря,1щв и др . ) иJrи :ж:е они имеют в ,каче стве одного из
конструктив ных элементов кор пус, представляю щий со бой по фор-
ме такое -тело. Э-гйм вызывается целесообразность исследования
аеро д инамичесwих характеристик -г он ких заострен ны х тел вр а-
щения.
1
Рассмотрим задачу об установившемся обтекании тонких тел,
~
установленных под малыми углами атаки. Возмущенно е течение
01юло таких тел мало отличается о-г невозмущенного. Тако е тече-
ние, названное ранее линеаризованным, может быть исследовано при
помощи соответствующих лJIнеаризованных уравне,ний
а эр один а м .и к и. Рассмотрим эти линеаризованные уравнения.
Они mолучаю-гся из ,общих уравнений движеllfия (3.1 .35) , (3 .1.35')
в цилиндрич·еских ·координатах, удобньiх для исследования обте-
кания -тел вращения и имеющих следующий вид для установивше-
гося невя з.кого обтекания (дV/дt=О, v=0) :
Vх дVх+V,дVх+Vт.дVх
__
1.др;
•
дх
дr
r
ду
Qдх
V
V2
V дV,+V,дV,+ т .дV,
_
т=
-
1.др;
хдх
дr
r
ду
r
Qдr
дV1
дV1_ V1 дV1 V,V1
1др
Vx-+v,-+ -
--+-=
-- -~
,
дх.
дr
r
ду
r
Qr ду
]}(10. 2 . 1)
]
а также уравнения неразрывнос11И (2.4 .31) в этих же коорд и натах.
Продифференцировав это уравнение, получим
г(~Vx+~ V,+-1 .~ Vт)+Qr(дVх + дV, +-1. дVт)+
дх
дr
r
lJy
дх
дr
r
ду
+ QV,=0.
(10. 2. 2)
64
•
дQ dQ
Принимая во .внимание, что частная ,производная -
=-Х
дх dp
Хдр= -
1-
.
др , ,и заменяя здесь др/дх в соо'ГВет,ствии с пе],)вым
дха2дх
уравнением ( 10 .2 .1) , найдем
• дQ --Q (vx дVх +V, дVх+Vт.дVх). (10.2.3)
~
~
~
~
r
~.
Ана•логично получаем из второго и третьего уравнения (10.2 .1):
дQ-- Q (vx дV, +V, дV, +Vт.дV, - Vi); (10.2.4)
дr
а2
дх
дr
r
ду
r
_1. ~
= _ _g__(VхдVТ+ V,дVТ +Vт .дVТ + V,VT).(10.2.5)
r
ду
а2
дх
дr
r
ду
r
Внесем значения частных произ,водных из (10 .2.3)-(10.2.5)" в
уравнение неразрывности ( 10.2.2):
( V2 - а2) дVх + (V2-_a2) дV, +-1·(V2-a2) дVт +
х
дх
'
дrr
1
ду
+ V V,(дVх +дV,)+VxVт(-1.дVх +,дVт)+
хдrдх
r
ду дх
+V,V, (-1. дV, +дV, )-V,a2 =О.
r
ду
дr
r
(10 .2 .6)
Имея в виду соот,ношения (2.4 .251) и уч.итывая, что
дV1 д(1 дrр) 1 д2rр
1 дrр
дr=дr
r•ду=r
дrдуr2ду'
пол учим из ( 10 .2 .6) уравнение для потенциальной ф ункции :
(V2i_ a2) д2'f +(V2- a2) д2rр + -1 (V2- a2) д2tр +
х
дх2
'
дr2 .r2 Т
ду2
+2VxV, fJ2<p + ~ VxV, а2'? + ~ 1/, V, д2'?
_
v,(a2+vi) О.
дхдr r
дхду r
дrду
r
(10.2. 7)
Обычно вместо с и стемы у р а в нений движения ( 10.2.1) и ура,в
нения неразрывнос т и . ( 10.2.2) пользуются ,одним уравнением:
(10 .2 .7) для потен циала скорос тей. В ,соответствии ,со свойствам и
линеаризованного возму щенно го течения
Vx= V""+ v:, V,= V;, V,---:-v;,
(10.2. 8)
где доба вочные в озмущенные соста,вляющие скорости:
v~«1/""' v;«v ""' v;<<v00•
Поэто.му имеет ме сто соотношение (7.1 .2') для скорости звука,
в котором принимаем и= Vx'. Внеся в ура в нение (10.2.7) это соот-
~~
~
i..
ношение, а также значения (10.2 .8) и ,величины
V2- v +2v v· v2-v'' v2-v,' ,0 -w + '"' получим
х- 00
00
х'r-r,
r- 1 ' 't'-тоо
' i"'
[V2-а2+(k- 1)VooV'] д2'f''+fV'
2
-а2 +(k-1) V V'] д2'f'' +
~
оо
х дх2
r
"'
"'
х дr2
+•-
1 [V''-а2+(k-1)V"'V']д2'f''+2(V00+ ll')V' д2'f'' _1_
г2i
00
х ду2
х rдхдr 1
+2-(V"'+ V') V' д2'f'' +2- V'V' д2'f'' -
r
х 1дхду
r
r 1дrду
v'
----;- [а~ - (k -1)v"'v:+ v~'] =0.
(10.2. 9)
Учитывая, что вторые производн ые от ер' я1вляются ве личинами
первого порядка малости, в уравнении (10.2.9) можно пренебречь
членами, содержащими произ,в(.дения этих производных и возму
щенных составляющих скорости Vx', Vr' или V,,'. В результате на
ходим линеаризованное дифферен циальное уравнение для доба
вочной величины ,потенциальной функции ер'
2
2
2
2 д2'f''
2 д2'f''
а 00 д2'f'' а 00 д'f''
(V -а ) --а ---.--- .- = О. (10.2.10)
"'
"'
дх2
"' дr2.
r2
ду2
r
дr
Раз делим все члены этого урав,нения ,на -а~ :
• (1 - М2 ) д2'f'' +д2'f'' +-1
.
д2'f'' +-1
.
д'f'' =0. (10. 2. 10' )
"'
дх2 . дr2
•r2
ду2
r
дf
Уравнение ( 10. 2 .1О') используется для исследования потока
около тонких тел вращения под малым углом ат а к и, т. е .
неосеси.мметричного маловозмущенного течения.
При осе ,симметричном обтекан и и (угол атаки ра,вен
нулю) уравнение упрощае тся, так как составляющая скорости
V./ = (1/г) дер'/ду=О и , -следо в атель но,
(1-м2)~+ a2'f'' +-1
. д'f'' =О.
(10. 2. 11)
"'
дх2 • дr2
r
дr
Уравнения (10.2 .10') и (10 .2 .11) составляют теоретическую
основу аэродинам.икистационарных линеаризо
ванныхтеченийоколо тонких тел вращения. Вре
зул ьтате реш ения этих уравнений определяют потенциал возмуще-
ния ер'. Решение уравнения- для потенциала ер' ведется
:при следующ их граничных условиях. На границе возму-
щен ной области потенциал ер' =0. В да,нном случае такой
границей является поверх.ность сла·бой ударной волны, возникаю
щей перед тонким заостренным телом и представляющей собой
фак тически линию слабого 1возмущения (простую волну сжати_я)
или линию Маха с углом ,наклона образующей к направлению век
тора скорости Voo, равным μoo =arcsin( l/Moo). На поверхности об
текаемого тела потенциал ер' должен удовлетворять условию безот-
66
i.., .
рывного обтекания (3.3 .19), в котором функцию, описывающую
обтекаемую павер~ность вращения, можно представить в ~виде
F=f(x)- r. Тогда
где
r.p,f'fx = dr/dx,
(10.2.12)
(10. 2.13)
r
х
Рис. 10.2.1 . Составляющи.е ,скор·о-сти 1На9егающего пота.ка в ци
линд·р•ических координатах
Составляющие скорост,и набегающего потока в цилиндрических
координатах •можно определпть по схеме, изображенной на
рис. 10.2 .1:
Vxoo=дfoo/дX='fxoo= V оо COS а;
}
V, oo=дr.poo/дr=r.p,oo= V 00 sin а cos у . •
(10. 2. 14)
По этой же схеме можно найти третью составляющую :
V•
1 д'f00
1
V••
(10 2 15)
100=- ·
-
=
-
r.p1;;.,=-
ооSШаSlПу.
.
.
гду
г
В соответствии с соотношениями (10 .2.14) и (10 .2 . 15 ) потенциал
с к оро·стей невозмущенного потока
'foo=XV00cosа+гv00sinаcosу.
(10.2.16)
Для линеаризова.нного потока примем cos а~ 1- а.2/2 и sin а~а,
поэтому
/
'foo=XV 00 (l-a2/2)+rv ооа cos у .
(10. 2 . 16')
Следовательно, суммарный потенциал
q,=r.poo +r.p' (х, г, y)=xV 00 (1-a2 /2)+rV ооа cos у +r.p' (х, г, у) .
(10.2. 17)
67
Выч исляя производные ер,. и (f·x, вн о ся их в (10.2 .12) и пренебре
га_я велич иной 0,5 а2, получим
(V ооа cosy+rp;)/(V oo+ 9~) = dr/dx.
(10. 2. 1~)
Есл и обтекание осесим,метричное, то условие безотрывного обтека
ния (10.2.18) упрощается :
rp;/(Vоо +9:) = dr/dx.
(10. 2. 19)
Потенциал скорос,ей линеа1ризованного потока ер, обтекающего
тело вращения под малым углом а та1ки (рис. 10.2 .2), мож но пред
ставить в виде суммы трех со ста вляющих: потенциал а нев озму
щенного потока ероо, добавочного потенциала продольного возму-
Рис . Ю.2.2. Т о н к ое тело .вращ~н ия в линеариз-ованно~1 потоке
под малым углом ата1ш:
а - неосесимметричное обтекание; б - осеси м метричное обтекание; в - до
бавочное поперечное обтен: ание
щенного (осеси м метричного) течения ер1' (х, r) и второго добавоч
ного потенциала ср2' (х, r, у) , возникающего от поперечного обте
ка н'Ия :
(10 . 2.20)
В · теор и и л и неа ризова нны х течений ер1 ' и ср2' рассматриваются
хак ф ун кции, -которы е, являясь решения м и уравнений движения ,
епределяют нез ависимые друг от JJJpyгa потоки. Поэтому на каж
ду ю такую функцию можно отдельно наложить граничные условия.
В ча,стнос,и, решение для ер1', получаемое uз уравнения ( 10.2 .11)
(10. 2. 11 ')
(где Сf;хх = д2ср;/дх2 , rp;,,=д2rp;/дr2 , cp;,=arp;/дr), должно удовлетво
р ять условию (10.2.19) о с есимметричного обтекания
(10. 2. 19')
Граничное условие для функции ер:{, удовлетворяющей
~
J 0.2 .1 О'),
(10. 2. 10")
получим нз выражения (10.2 .18), записав его в Мi:Дё
aV оо cosy+cp;,+cp;,= :; (Voo+'f;x+f;x) ·
В этих выражёiШяХ f;х=дf;/дх, f;х=дf;/дх и т. д.
(10. 2. 21)
Имея в виду равенство (10.2.19') и отбрасывая в (10.2 .21) член
с меньшим тюряд:ком (dr/dX)ff!;x, получим из (10.2.21) граничное
условие поперечного обтекания
ff!;,= -aV00 cos у.
(10. 2. 22)
В соответствии с условием ( 10.2.22) добавочный ~потенциал от
поперечного обтекания должен быть таким, чтобы на поверхности
тела исчезла радиальная ~оставляющая набегающего потока
V,oo=aV оо cos v. Эта составляющая скорости может qыть как оверх
з,вуковой, так и дозвуковой. То обстоятельство, что !/,оо < аоо, не
имеет значения, так как раесматриваемое дополнительное попереч
ное течение предста;вляет собой составную часть суммарного пото
ка и является лишь следствием математичеакого представления
модели такого потока .
Определив с учетом граничных условий суммарный потенциал
скоростей ( 10 .2 .20), можно .вычислить скорость, а затем давление,
иопользуя уравнение Бернулли
k
р+V2_ k
Р00+V:
k-1 Q
2 k-1Q00
2•
Внося ,сюда з.начение Q= Qoo(PI Poo) 1/k, поскольку течение можно
считать изэнтропическим; найдем
_k_(...E_)(k-1)/k Р00+V2 = _k_: Р00+V: •
k-1 р00
Q00
2
k-1 Q00
2
Учитывая, что kpoo/Qoo=a: и М: = V:/a:, получим
:.. = (1+k; 1М:(1- :{)г(k-1).
Так как квадрат полной скорости V 2 =(Voo cosa+V;)2 +v/+
+v;-, то
__.! !_= 1-(k-1)M2 _х соsа+-'-+-т-+_х__ sш2а
[
(v'
• v•'
v''
v''
.
)]k/(k-t>
Р00
00 V00
2V:O
2V:,
2V:,
2
•
• (10.2 . 23)
Здесь второй член в квадратных скобках меньше единицы, и,
следо,вательно, ;все вьrражение можно разложить в ряд по биному.
Сохраняя в разложении только первые два члена, учитывая ма- _
лость в,еличины V /!2V~ по ;сравнению с первым членом в круглой
69
скобке и полагая п ри малых уг,1ах атаки cos С(,"'=' 1, si n2 а"'='а2 , пол у
чим
Р
(v~
v;'
v/ а2)
-=1-kM2 -+--т' ----
Р00
00
,
v 00 2v:,
2v:,
2'
(10.2.24)
откуда 'коэффициент давления
2(р-р00)
(v~v;'v/а2)
р= kM:,p 00
-
2 V00 +2V:, +2V:, - 2
•
(10. 2. 25)
В соответствии с условием (10.2 .1 2) . .в ко·юром можно принять
'Рх :::::: 'Рхоо = V оо , составл яющую v'/ заменим величиной
V'=Ф' = V (dr/dx)
(10.2. 19")
,
1,
00
,
'
а Vx' и V/- их выражениями через добаночные потенциалы:
V'-
,. V'-
I,+1,
x-<f'x,
•,-
--; ср,оо --; ср21 '
где согласно (10.2.15) ,величина
cp~00/r=aVоо sinу.
В резу ль тате получим
[
2•
('
)2
21
JJ= -2 V оо<р'+Vоо (dr )2+-1
-
'f'2, -aV00 sin у -
a2V00 j .
V:,,
.
х2dx
2r
2
(10.2 . 26)
Эту величину коэффициента давления можно предста:вить в
виде суммы двух составляющих , т. е . р- р~+Р2- Одна из состав
ляющих р, определяется условиями осесимметричного обт е кания :
-
_
-
,
1
оо dr
•
2\-
v2( )2]
Р1-v:, t.Voo<f'1xT 2
dx
'
(10.2.27) .
а другая р2 - поперечным обтеканием , зависящим от угла атаки :
_
[
('
)2 a2v2 ]
-2
,
1 'f'2,
'
•
00
р2=-? Vооср2 +-_
--а/ооsшу
---
.
V;;,
х2r
2
(10.2.28)
§ 10.3. РА С ЧЕТ ОСЕ С ИММЕТРИЧНОГО ОБТЕКАНИ Я
Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонко
го тела вращения будет решена, если найти добавочный потенциал
шюростей ер , ', удовлетворяющий- линеаризованному уравнению
( 10 .2 .11). Непосредственной подстановкой можно убедиться в том ,
что ,вьiрюкение
x--a/r
ер; = .\ f (е) de/V(x-e)2 - a'
2
r2,
(10. 3. 1)
о
70
/
где а' = 1/м~ - 1, действительно удовле~воряет уравнению
(10.2.11).
Смысл решения ( 10.3 .1) можно установить, если ввести пере-
менную, определяемую равенством a'r V -1 = р . Тогда формально
ура,внение (10.2.11) цриводится к виду, совпадающему с уравне
нием для ~потенциала скоростей несжимаемого потока, а яменно
,+,+,/-0
f1xx f1pp f1p Р- '
(10.3 .2) ·
где индексы «х» и «р» означают соответствующие частные произ-
водные ,ср1' по х и р.
•
Представим теперь, что в некоторой точке х=в на оси тела на
ходится источник жидкости с расходом (интенсивностью) q. Потен
циал скоростей, индуцируемых этим источником ,в т,очке с коорди
натами х, р, расположенной на шаровой поверхности радиуса
Q= V(x - e) 2 +р2, будет опредеJ1яться в соответствии с формулой
(2.9.14) в виде ср; = -q/ [4л: f(x - e) 2 +p2]. Если теп~рь предста
вить, что ~вдоль оси тела на участке от s=0 до в=х-а'r р асполо
жена • ,система источников - 12 переменной интенсивностью q =
.=-4:п:f(s), отнесенной к единице длины, то сум.мар,ный потенциал
в рассматриваемой точке х, r от действия всех источников выра
зится формулой
x-a .'r
9;= s f (e)de/V(x-e)2 +p2 •
(10.3.3)
о
Непосредственной подстаноnкой можно •убедиться в т-ом, что
интеграл ( 10.3 .3) удовлет;воряЕ.:Т дифференциальному уравнению
( 10.3.2). Следовательно, решение ( 10.3 .3) пред•ставляет собой по
тенциальную функцию от источников, непрерывно распределенных:
вдоль - оси тела. Сраiвнивая (10 .3 .3) и (10 .3 .1), видим, что при
p=a'rV- lоба эти выражениq тождественны. Таким образом, с
помощью формальной аналогии показано, что, как и для несжи
маемой жидкости, смысл решения (10.3 .1) заключается в том, что
функция ср1' является потенциалом источников, непрерывно распре
деленных ,вдоль оси тела. Начденное решение (10.3.1) отражает
содержание метода источников, согласно которому
обтекаемое тело заменяет,ся системой непрерыв
н о , распределенных вдоль его оси как источни
кОВ,ТаК И·СТОКОВ.
За~юн распределения источников (стоков), т. е . вид функции
f (в), должен быть таким, чтобы в ~результате наложения невозму
щенного потока на течение от этих источникоо одна из линий тока
суммарного потока совпадала с образующей тела вращения. Иначе
rо1во2я, потенциальная функция ср1' должна удовлетворять условию
( 10 .2 . 19') безотрывного обтекания .
Формальную аналогию между несжимаемым (или сжимаемым
дозвуковым) и -сжимаемым сверхзвуковым потоками от источников
или стоков необходимо дополнпть особенностя,ми, характерными
71
для ~св ерхзвуко.во го течения. Если источник в дозвуковом потоке
оказывал 1влия·ние на все точки пр о стран ст в а, располо
женные вверх и ,вниз по пото,ку, то при ·сверхз в уко в ом течении ·воз
мущения от источников распространяются тол ь ко внутр и к он у
с о в Мах а с ;в ершина.ми у источников. Таким образом, е,сл,и пред
ставить .себе систему непрерывно распределенных -по оси тела ис
точников (рис. 10.3.1), то скорость и давление в любой точке А
(х, r) -будут определяться теми во зму щениями, ко торые исходят из
и сто чника.в , раслоложенны х вверх по те чению, начиная от точ ки
r
О IE"------,e-- .. 1 .C. . .-= "°--. .. :. -- -4::.:. ..--L--
x
т:;:--+·--'-~.......J
/J~=arcs tn(1/м=)
х
Рис. 10.3 .1 . Ра ,спр ед еление источ,н.ико,в вдоль оси тела
вращения и х.арактер их :влия,ния пр.и свбрхз.вук-овых
ок ор о,с тях обт<жа ,ния:
1- образующая тела вращения; 2 - кривая f(x), характери
з ующая распределен и е источни ков; 3 - линии то к а от источ
ннков ; 4 - кон у с воз му щений (конус Маха)
f!.. =x-a/r и кончая точкой е= х=О, совпадающей с ос11рием тела.
В точке е ='х=О интенсивность источника равна нулю, так как по
лагае м, что при е ::,:;;О возм ущен ия отсутств уют. Ск а занным опр е..:
деляются пределы интеграла в формуле (10.3 .1) .
Вид кривой f (е) l[или f(x)], представляющей собой закон рас
пределения источников (стоков) для тонкого тела с произвольной
образующей, показан на ри с . 10 .3 . 1. Эта кривая определяет непре-
1рывный х ар а·ктер малы х во з мущени й , индуциру ем ых источникам и
(стоками) и соот,ве'!'ствующи х линеариз ованному обтеканию. В том
случае, когда возникают большие в оз м ущения, на,пример при об
текании тел с лритуплеююй головной частью или заостренных те л
с большим наклоном образующи х к направлен ию скорости ,набе
гающего ·потока, линейная т е ория непр,и м енима.
Что·бы найти общие зави•симости для скоро·сти и давления, пре
образуем (10.3.1), ,вводя новую переменную интегрирования:
z= arch [(х - Е) /(а'г)].
(10. 3. 4)
Учитывая, что согласно (10.3 .4) chz = (x-e)/(a'r), е=
= x-a'rchz, de =-a'rshzdz, вы1ражение (10.3 .1) моЖ:но преоб-
72
разовать к виду
• arch(x/"'')
f;=J
f(x-a'rchz)dz.
(10. 3. 5)
о
В формуле (10.3 .5) верх:ншй предел z=arch (x/a'r) интеграла .
соответствует .нижнему пределу s = О интеграла ( 10.3.1}, а нижний
предел z=О-верхнему преде.лу s=x-a'r в (10.3 .1).
Дифференцируя ср 1 ' по х, найдем осевую добавочную состав
ляющую скорости: ·
arch( xf"' r)
V'-
,_
__!_ \
x1-f1x- дх
.J
f (x-a'r ch z) dz=
о
arcl1(x/"'r)
=r
i (x-a'r ch z)d;+ f (x-a'r ch z)lz~arch(x/"'') ~ (arch _!!_ _),
.)
дх
a'r
о
(10.3 .6)
где j-полная производная функция f по аргументу x-a'r ch z.
Так ~как интенсивность источника у острия тела f(s) =f (О) =0,
то
arch(x/"'')
v:1=f;x=S
i(x-a'rchz)dz.
(10. 3. 7)
о
Аналогично ( 10.3.6) находии для радиальной составляющей
ско,рос11и
arch(x/"'r)
v;1=9;,=-а' S j (x - a'r ch z) ch zdz.
(10. 3. 8)
о
Приведем. выражение (10.3 .8) к переменной s, определяемой в
соответс11вии с (10.3 .4) по уравнению s=x-a'rchz. Так как
dz --
-dE
l
-dE
h х-..
Y[(x-e)/(a'r)]2- l • a'r =v(x- .. )2 - a''r2; С Z=-;;;'
то ;Подынтегральное выражение
j (x-a'r ch z) ch zdz= j (е:) (х-е:) de:/(a'r V(x-e:)2 - a'
2
r 2).
Нижний iпредел z=0 соответствует значению 1= (x-s)/(a'r),
откуда новый предел s=х--а'г; верхнему пределу z= arch (x/a'r)
соответствует предел s, полученный из условия ch[arch(x/a,'r)]=
= (x-s)/(a'r), в соо11ветствии с которым s=0. Таким образом,
о
V' =-1s
r1
,
'
r
1/(x-e)2-a'r2
x-a .'r
i(•)(х- е)de
(10.3 .9)
73
или
(10. 3. 9')
Так как a/r< (х-е), то выражение[l - (a'r)2/(x- e) 2J- 112 мож
но разлож,ить в ряд :
При r-+0 член в квадратных скобках стремится к единице, а
нижний ~предел - к значению е=х. В соответствии с этим предель
ное значение для радиальной составляющей скорости при r-+0
о
v; 1= 7 Sj(e)de,
х
что дает .после интегрирования
v;l =[/(О)- f (х)]/г.
Но у остр,ия тела f(0) =0, поэтому
v;1= - f (x)/r.
(10. 3. 10)
Воапользовавшись условиеи ( 10.2.19) безотрывного обтекания,
в котором для весьма тонкого тела можно пренебречь вторым чле
ном ср'1х в знаменателе, получим зависимость для определения
функции f (х):
f (х)=-г(dr/dx)Vоо•
(10. 3. 11)
Это уравнение можно написать в ,виде
f (x)=--l- . dS (х) V оо=- Vоо S' (х),
2:rt
dx
2:rt
.
(Ю. 3. 12)
где S (х) = :rtr 2 - текущее з.начение площади поперечного сечения
тонкого тела.
Выражение ( 10.3.12) для функции f (х), определяющей закон
распределения источников ,здоль оси в предельном случае при
r-+0, можно .использовать для расчета составляющей скорости
( 10.3 .7), необходимой при .вычислении давления по формуле
(10.2 .27) на поверх,но·сти тонких реальных тел вращения. Для этой
цели в (10.3 .12) заменим хна e=x-cx/rchz и подставим в (10.3 .7)
прОИЗ/ВОдную:
f•) df •Vооd2S(е)
V00
11
1
)
(е =-=--. --=--S (х-а rchz. (10. 3. 13)_
di
2:rt
de2
2:rt
74
В резу ль тате
-V
arcl1(x/<1'r)
V'=
' =--
00
S S"(x-a'rchz)dz.
,кl r.plx
2Л:
(10. 3. 14)
о
.
Таким обраэом, для расчета по формуле ( 10.3 .14) скорости не
обходимо знать форму тела вращения и распределение площади
ВДОЛЬ ОСИ, Т. е. ,ВИД функции S (.t).
Допустим, что имеется тело в-ращения с параболической обра ·
зующей (см. рис. 10.1.3), уравнение которой зада,но в виде ( 10.1 .48).
В соответствии ,с этим уравнением площадь поперечного сечения
S(x)=:n:r2 = л:f2 (2- _ :: : _)
2
•
4лмид
Хми,1
(10. 3. 15)
Определим отсюда вторую дроиз.водную:
S"(x)=d2S(;) =+-(2 -~+ ~х2).
dx
"мид
Хмид Хмид
(10. 3. 16)
Произвед~ замену ·хна e = x-cx'r -ch z, найдем
S" (x-a'r ch z)=-:- -[2 --6
-
(x - a'r ch z)++ (x- a'rch z)2].
"мид
Хмид
х,,щд
(10. 3. 16')
После под,становки в (10.3 . 14), получим
V archи
_
_
V~1=-2
00
S [2-~(u-chz)+ зхz (u-chz)2 ]dz, (10 . 3.17)
2лмид
и
u2
о
.
где Х=Х(Хмид Л
U=x/(a'r).
(10. 3. 18)
Введем обозначения:
·о_ /
.
·1_
/
/•
·2
_
2
9
lx- о, lx-U о- 1, lx-u _fo --llf1+f2,
(10. 3. 19)
где величины In определяются ь виде интегралов:
arch и
/ п=.) (ch z)ndz (n=0, 1, 2).
(10. 3. 20)
о
В соот,ветствии с обозначеннsтми ( 10.3 .19)
V(
6-•
1
3-2 •2)
V,_-
00
"О
Xlx
Xlx
xl-~
2tx--u -+ ~
.
МИД
(10. 3.21)
В случае более общего задания функции S" (х) в виде мното
члена
k
S" (х)= I апхп
п-0
(10.3 .22)
75
выражение, аналогичное ( 10.3.21), можно представ,ить сл едующим
обра.зом :
k
V~1= - ~ Ьпi;.
(10.3. 23)
n=O
:Коэффициенты ап за,висят от вида образующей тела ,вращения, а
Ьп - также и от скорости V"" · Значения функции ixn для п = О, 1, 2,
представленные в ,виде ( 10.3 .1~), соответствуют заданию образую
щей тела 1по уравнению парабо.1ы второй степени.
Для тела вращения с урав·нением образующей более высохой
степени ,необходимо вычислять значения ixn для n=3, 4 -и т. д.
В частности, если уравнение образующей таково, что производная
S 11 (х) ( 10.3.22) определяется по уравнению
3
S" (х)=}: апхп,
n=O
(10. 3. 22')
то .в соответствии с ( 10 .3 .23) соста,вляющая скорости
3
Vxi=-I bni;,
(10.3 .23')
п~о
где ixn вычисляется для значений n=O, 1, 2 по форм улам (10.3.19),
адля п=3 - извыражения
i;=u3/ 0 -3u2I1 +3u/2 -/3
.
(10. 3. 24)
Функции i;, вычисленные для значений ~параметра и от 1 до 8,8,
приведены в та~бл. 10.3 .1.
Как частный случай, из соот.ношения ( 10.3.21) можно rюлучить
выражение для составляющей скорости на тонком конусе. Для
этого надо заменить 1/лмид на ~о = ~к (угол заострения параболи
ческого тела в,ращения у острия) и принять х~О:
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,6
1,8
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
76
о
.о
'х
0,4435
0,6223
0,7567
0,8673
1,047
1,177
1,317
1,522
1,690
1,831
1,954 1
о
.1
'х
0,0298
0,0838
о, 1527
0,2342
0,4265
0,6690
0,9024
1,472
2,116
2,820
3,578
V'xlк=-Voo(i~M~-
(10.3.25)
о
,2
х
0,0019
0,0149
0,0392
0,0753
0,2068
0,4875
0,7314
1,675
3,107
5,076
7,634
о
0,0001
0,0071
0,0095
0,0254
0,2412
0,4631
0,6332
2,030
4,854
9,701
17,28
о
.о
'r
0,4582
0,6633
0,8312
0,9804
1,249
1,450
1,732
2,182
2,615
3,040
3,458
Таблица 10.,3,.,J
1
.з'r
о
о
о
0,0303 0,0026 0,0004
0,0856 0,0109 0,0015
О, 1256 0,0383 0,0096
0,2526 0,0794 0,0281
0,4756 0,2230 О, 1124
0,7166 0,4137 0,2949
1,0.73 0,8296 0,6950
1,857 1,990 2,326
2,816 3,846 5,946
3,948 6,543 11,90
5,247 10,21 21,84
Продолжение табл. 10 .3.l
4,0 2,064
4,4 2,162
4,8 2,251
5,2 2,333
5,6 2,408
6,0 2,478
6,4 2,544
6,8 2,605
7,2 2,663
7,6 2,717
8,0 2,769
8,4 2,818
8,8 2,865
11
Jt
4,382
5,227
6,111
7,028
7,976
8,953
9,958
10,99
12,04
13 ,12
14,22 .
15,33
16,47
,2
х
10,81
14,65 "
19, 19
24,44
30,44
37,21
44,77
53, 17
62,37
72,43
83,37
95, 18
107,9
.3
•,
'х
28,28
43,46
63,76
89,85
122,7
163,2
212,3
271, 1
340,2
421,0
514,5
621,4
743,3
3,873
4,286
4,694
5,103 .
5,510
5,916
6,322
6,726
7,130
7,534
7,937
8,341
8,743
.1
'r
6,714
8,348
10, 14
12, 10
14,22
16,51
18,96
21 ,56
24,34
27,27
30, _36
33,62
37,04
.2
'r
14,98
21,00
28,37
37,26
47,78
60,07
74,25
90,44
108,8
129,4
152,5
178,1
206,3
13
r
36,8
58,3 1
87,7
127,0
177,9
242,4
322,8
421 ,4
540,7
683,4
852,2
1050,
1280,
4
0
Имея в виду,ч,ов соответствии с (10.3 .19) и (10.3 .20) для конус а
i~к= foк=arch Uк,
где Uк=(х/а'г)к= 1/(а'~к),
напишем для составляющей скорости
'
2
2(
,,г-)
Vx1к=-V.,.~кarcht1к=-V.,.~к1n ик+v v~- 1.
По найденным значениям V' xlk можнu определить по ( 10.2 .27)
коэффициент да1вления на поверхности тела вращения в соответст
вующей точке. В частности, на конической поверхнос'I1и, где доба
вочная составляющая скорое,;,~ определяется из ( 10.3.25'), коэф
фициент да,вления
(10.3.26)
В соответствии с (9.2 .30) зависимость (10.3 .26) определ яет
коэффициент волнового -сопротивления тонкого конуса, т. е .
С.кв.к= Р1к=~~ (2 ln (ик+ V U~ -1 )-1].
(10.3 .26')
Для тонкого тела вращени ·:r произвольной формы :~юэффици е нт
волнового сопротивления слЕ:дует рассчитывать по форм ул е
(10.1.51), в которой коэффнциент давления в соответстви и с
(10.3 .14) и (10.2 .27)
arcli- и
-
15S"(
'
h)d (dr)2
р1 =-;-
х-агс z z- dx
•
о
(10. 3.27)
На рис . 10.3.2 показано :ра~nределение коэффициента давле.н ия,
найденное по линеаризованной теории при Моо = 1,5 для всех трех
участков тонкого тела вращения - головного, цилиндрического и
хвостового. · Как видно, вниз п,J потоку давление вдоль цилиндра.
начиная с конца головки, возрастает, постепенно восстанавлив а я сь
77
до 0001шетствующей величины в набегающем потоке (ji1 -О). Обте
кание сужающейся ча,ст.и (кормы) сопровожда~тся увеличением
раз,режения.
Полагая dr/dx = tg ~ = ~' найдем формулу для коэффициента
вол новою сопротивления:
с,.~0 2 JТ-;;-Г"s,, (x-a'r~~z)dz-/'] i iiX, (10. 3 . 28)
где X=X/r мид·
Для параболической образующей с уравнением r= (rмид/Хмид) х·
Хх(2 -х/хмид) производная
dr
2rмид
-
1
-
-
-
.
-=--(1-х)=-(1-х)=~0 (1-х), (10.3.29)
dx
Хмид
.
Амид
где Х=Х/хмид•
_ _;_
Этот коэффициент можно 1ра,ссматривать как -сумму двух со
ставляющих: Схв=с;в +с~~. где с:в и с~Р8 -коэффициенты волново
го сопротивлени я со ответственно голов.ной части ,и ·кормы . Прини
мая в.о внимание, что практически давление на цилиндре восста
на1Вливае11ся д,о атмосферного н, следовательно, поток перед хво•
стовым участком считается невозмущенным, ра-спределение да1вле
ния по этому участку и соответствуюшую величину с;~ можно
рассматривать ·независимо от головной части.
Изменение этой величины характеризуется графиками, изобра
женными на рис. 10.3 .3, из которых видно, что с~Рв зависит от
удлинения кар.мы Лкр=Хкр/dмид (где Хкр .=- длина хвостового уча
стка), числа Мао и донного сужения Sдон=Sдон/Sмид• С увели
чением Sдон ,снижается величина проекции хвостовой пове~рхностrt
на плоскость, перпендикулярную продольной оси тела, что обусло
вливает уменьшение сопротивления кормы. Значение с~0 для го-
лов,ной части можно вычислять по (10.1 .52) или при rпомощи зави
симости, полученной в соответствии с линеаризованной теорией [9],
М00 Схв :__ 1
- ln---,
(10.3.28')
2г
к2(2 2 1)
3К118.
в которой К1 = Моо~о-
•
Интеграл в ( 10 .3 .27) может быть выражен в соответствии с
( 10.3 .16') в виде
arcl1u
_\ S"(x -a'rchz)dz =~5N1 (и, х).
(10.3.30)
о
З,цесь N 1 - некоторая функция безразмерной координаты х и
параметра и, определяемого из условия
U=~= Хмид .
1
где и0 = 1/(а'~0).
78
a'r
а'rми~ 2-х/Хмил.
Uo
----
,
2-х
(10. 3. 31)
1j
Р
1
о
,
з
0
,
2
о
,
f
о
•
-
0
,
f
-
0
,
2
-
о
з
'
о
х
Х
м
u
д
•
3
,
f
2
d
1
1
a
8
\
'
i
\
'
{
\
.
.
'
\
,
<
t
:
,
:
:
,
-
J
'
·
-
+
-
,
.
1
,
r
d
,
1
и
8
-
1
1
i
'
f
,
5
8
d
ц
u
a
1
~
"
-
-
-
-
-
-
-
Э
,
,
.
.
.
•
\
v
.
,
.
.
.
,
.
_
.
.
.
'
~
-
~
,
.
Г
\
'
'
"
'
м
о
о
у
,
5
2
J
/
+
5
X
/
d
1
1
1
1
i
J
Р
и
с
.
1
0
.
3
.
2
.
Р
а
,
с
п
р
е
д
е
л
е
ю
r
е
к
о
э
ф
ф
и
ц
и
е
н
т
а
·
д
а
1
в
л
е
,
н
и
я
п
о
п
о
н
е
р
х
,
1
ю
с
т
,
и
1
<
0
р
п
у
,
с
а
,
к
м
е
ю
щ
е
т
о
1
п
а
р
а
б
о
л
и
ч
е
с
к
у
ю
г
о
л
о
в
н
у
ю
1
И
х
в
о
с
т
о
в
у
ю
'
Ч
а
.
с
т
.
и
ч
с
;
~
л
~
.
а
L
f
,
O
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
,
8
О
,
Б
0
,
5
0
,
1
.
/
O
,
J
0
,
2
о
,
0
,
0
8
О
,
О
б
0
,
0
5
г
-
-
т
1
'
L
,
(
1
1
1
.
,
;
,
)
1
1
1
1
-
-
+
-
+
-
-
-
t
-
-
t
-
-
т
-
-
-
-
~
d
м
и
а
_
!
_
_
г
r
~
S
а
о
н
1
"
,
.
.
~
8
0
1
1
=
0
,
5
0
2
t
:
a
t
~
-
,
0
,
6
5
2
~
~
1
0
8
0
1
-
-
-
'
'
·
1
'
k
-
1
t
-
-
.
.
.
1
0
,
5
_
1
~
2
л
к
р
о
о
O
,
f
0
,
2
0
,
3
D
,
L
f
Р
и
с
.
1
0
.
3
.
3
.
К
о
,
э
ф
ф
ш
щ
е
1
1
1
;
-
с
о
п
р
о
т
и
в
л
е
н
и
я
х
в
о
с
т
о
в
о
й
с
у
ж
а
ю
щ
е
й
с
я
ч
а
с
т
и
к
о
р
:
п
у
с
а
с
п
а
р
а
·
б
о
л
.
и
ч
е
с
к
о
й
о
6
р
а
з
у
ю
щ
е
й
~
/
Принимая во .в,нимание (10.3 .29)-(10.3 .31), зависимость
(10.3 .27) можно ПIРедста,вить в общем виде:
Р1= ~~ N (ио, х),
(10.3. 32)
rде N - некоторая функция параметра Ио и безразмерной 1ю орди
наты .f.
С учетом ( 10.3.32) коэффициент волнового . сопротивления
(l0.3.28)
(10. 3. 33)
где D - некоторая ,фующия тоJrыю параме,ра Ио.
Общие формулы (10.3 .32) I1 (10.3 .33) позволяют сделать сле
дующий вывод об аэродинамическом •подобии потоков около пар а
боли ческих тел вращения. Бслп эти потоки характеризуются одним
и тем же значением !Параметра и0 , то в соответственных точках с
одинаковыми безразме~рным и координатами х будут одинаковы
отношения р,/Во2 . В аэродина мическ и подобных потоках _,ела вра
щения испытывают такие осевые усилия, что отношения Схв!Во 2
для них будут одинаковыми. Таким обр~зом, критерием подобип
в данном случае я.вляется пар аметр
Ио=1/(а'~о)=1 / (~оVм:-1)=Амид/ум:-1. (10. 3. 34)
Для чисел Моо~ 1 параметр Ио можно представить в виде
И0= 1/К1,
(10. 3 . 34')
1:де К1 = ~оМ'° = М'°/'лмид·
Ум ножая обе части (10.3 .32) на М:О и учитывая за,висимость
( l 0.3 .34'), найдем
(10. 3. 35)
rде N2 -не которая функция аргументов К, их.
В со ответст вии с выражением _(10.3 .35) в данной точке х функ
ция давления р,/роо-1 зависит только от параметра К,. Закон по
добия по этому параме,ру подтверждается также резулыа,ами
1ра,счета по методу характеристик.
Исследования ,показывают, что при использовании . линеаризо
ванных методов расчета обтекания удовлетворительное совпаде
ние результатов для фующии давления получается для значений
nара метров подобия К,, меньших единицы. Закон подобия по этому
парам етру оказывается сомнительным при некоторых сочетаниях
"!ИСел Моо и удлинений Лмид, что непосредственно следует из анали
за пр еделов применимости линеаризованной теории. Эти пределы
можн о установить, на;пример, из фо1Рмулы (10.3.26), о:пределяющей
коэфф ициент давления на конусе. Очевидно, !При uk = и0 < 1 эта
формула теряет смысл, так как величина V u5 - ;: будет мнимой.
_:Когда же Ио, оставаясь больше единицы, т1р,иближает,ся к ней,
80
формула ( 10.3 .26) дает нереальную (отрицательную) величину
коэффициента давления на тонком конусе. След.:овательно, расчет
по линеаризованной теории дает удовлетворительные результаты
J1ИШЬ для условий, при которы:--.: ио» 1. Из этог.о вытекает, что,
очевидно, сомнительным применение закона подобия будет .в том
случае, если Ио мало отличается от единицы.
Физически та,ким значенияи и0 соответствует отклонение дей
ствительною течения от лин"а1ризованного. В .самом деле, если
удлинение уменьшается, т. е. тtло стаFовит,ся более толстым (ме
нее заостренным) или при том же удлинении возрастает число Моо,
то в обоих случаях поток все более отличается от линеаризован
ного. Чтобы сохранить линеаризованный характер течения, необхо
димо при больших числах Моо увеличивать удлинение, т. е. больше
заостря1'ь тело. При этом должно быть соблюдено неравенство
,,.,мид>Моо. В ооответствии с этим параметр ,по,добия К1 =Моо/Лмид
должен быть меньше единицы.
Из выражения ио= (,а'Ро)- 1 следует, что если тело вращения
тонкое, т. е. удлинение велико, то для сохранения неравенства
ио> 1 нео·бходимо выполнить условие Моо> 1. Если же число
Моо-+ 1, то, как следует из фор!'v1улы ( 10.3 .25'), ,возмущенная ско
рость по абсолютной ,величине достигает бесконечно большого
значения, что физически не возможно. Таким образом, теория лине
аризованных течений и законь1 их подобия пригодны пр,и одновре
менном соблюдении двух ,неравенств:
лмид>(М:, - 1)112 и М"°>1.
(10. 3. 36)
Сравнение с эюспериментальными данными показывает, что
ра,счеты по линеаризованной теории и применение критериев по
добия возможны для удлинений Лмид;;=:,2 и чисел Моо не менее
1,4-; -l,5 (К1 =Моо/Лмид<О,7-;--0,75).
Подобие по пара,метру К1 = Моо~о для давления определяет по
добие и для функции волнового сопротивления, 1причем примене
ние этого закона подобия должно быть связано с требованием со
хранения линеаризованного течения. Возможные пределы этого
применения могут быть определены по графику (см. рис. 10.1.4).
Ум,ножив обе части формулы (10.3 .33) на М~, получим общее
выражение для фуню:щи сопротивления
М~схв=~6Н(К1),
' (10.3 .37)
где Н (К1) - некоторая функция, зависящая от параме11ра К 1 .
Эт.о выражение говорит о том, что если обтекание двух
или нескольких тел вгащения с различным удл,и
нением характеризуется одним и тем же значе
н: и ем параметра К1, то у каждого из этих тел бу
детоднаита же величина функцииМ:схв·
Рассмотренные критер,ии подобия были получены на примере
тел вращения .с ,параболической образующей. Эти тела вращения
обладают свойством, вытекающим из уравнения (10.1.48) и состоя-
8l
щим в том, что вся их бесконечная совокупность характеризуется
одинаковым по длине распределением . относительных толщин:
Х = Х/Хмид
r=r/rмнд.
.О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
.О
О,36 О,64 О,84 О,96 1,О О ,96 О,84 О,64 О,36 О
Среди этой совокупности \1огут быть геометрически подобные
тела, отличающиеся своими линейными размерами в одно и то же
число раз . Такие тела , очевидно, имеют одинаковое удлинение, и
их можно совместить друг с другом путем равномерной, т. е. оди
наковой для всех направлений, деформации. Для .выполнения аэро
динамического подобия необходимо обеспечить для ра,ссматривае
мой геометрически подобной модели то же число Моо, что и для
натурного тела вращения.
Однако совокупность параболических тел В'ключает и такие
формы, которые можно совместить лишь путем неравномерной
деформации . Представим себе два тела с различными удлинения
ми . Если ввести линейный масштаб, одинаковый для радиальной и
осевой координат, то деформация тела ,в продольном и осевом .на
цравлениях не дает полного совмещения. Такое совмещение, назы
ваемое аффинным, может -быть достигнуто, если масштабы для
радиальной и осевой координат будут различными. В ·соответствии
с этим тела с параболической образующей называют а ф финн о
подобными. Кэтомуже кла,асу аффинно-подобныхтел
относят конические тела, образующие которых задаются уравне
нием в безразмер.ной форме r=x. Конические тела хара·ктеризу
ются, следовательно, одинаковым распределением 011носительных
толщин, которое не зависит от удлинения этих тел.
В отличие от параболических и конических тел у оживальных
головок (с образующей f! виде дуги окружности) с изменением лмид
меняется распределение по длине относительных толщин r. В~след
,ствие этого нельзя аффинно прео·бразовать одну оживальную го
ловку в другую. Однако в тех (·лучаях, когда исследуется линеари
зованное обтекание тонких тел, рассмотренные критерии подобия
могут быть иопользованы, так как •при больших удлинениях
(лмид>З) оживальная головка мало отли·чается от па1раболиче
ской.
§ 10.4 . НЕОСЕСИММЕТРИЧНОЕ O6ТЕ,КАНИЕ
Задача о неосесимметричном обтекании сводится к определе
нию ,IJ;обавочного потенциала rp2', обу1словленного поперечным по
током газа 01юло тонкого тела вращения и удовлетворяющего
YIP авнению ( 10.2 .1 О'). Покаже"'1, что решение для <р2' может быть
получено при помощи решения <р1' для осесимметричного обтека
ния, т. е. покажем, Ч'Ю между ер/ и <р 1 ' существует взаимная связь.
С этой целью 1продифференцируем по r уравнение ( 10 .2.11 ') осе-
82
с имметричног? возмущенного течения:
(l-M~) а2 (а'Р; )+ а2 (а'Р; )- 1 а'Р; : 1 _а2'Р; _ О.
дх2 дr
дr2 дr
r2 дr
r
дг2
(10. 4. 1)
Если принять, ч110
(10.4 .2)
то после лодеrа,новки его в исходное уравнение ( 10.2.1 О") nридем
к ( 10.4.1). Следовательно, равеliство ( 10.4.2) действительно имеет
место и полный потенциал возмущения при неосесимметричнои
обтеканиц может ,рассма триваться в виде
ер' =ер; +f;=cp;-(д'f;/дr) cos у.
(10.4. 3)
Чтобы выяснить физический смысл интеграла ,<р2', воспользуем
с я методом аналогии, который был применен при рассмотрени11
осесимметричного обтека,ния и заключался в том, Ч'Ю обтекаемое
тело как в сжимаемом, так и в несжимаемом потоках заменялось
системой источников и стоков .
В ра1ссматриваемом случае неосесимметричного обтекания тела
метод аналогии -будет оостоять в следующем. Если ср1' считать по
тенциал ьной функцией источниьов (стоков) несжимаемой жидко
сти, непрерывно распределенных по оси тела, то в соответствии с
выражением (2.9.21') производную дср1 1/дг следует ра·ссматривать
ка·к функцию, определяющую поток от диполей, расположенных
вдоль той же оси. В соответствии со ,сказанным пр и иссл е до в а
нии обтекания тела неосесимметричным несжи
маемымп·отоком оно может быть заменено систе
м ой не 1прерывно рас ,пределенных вдоль ег ,о осп
диполей. Распространяя указанную выше аналогию (осеоим
ме тричное течение) ,на случай обтекания тела с нарушением осе
вой симметрии, будем аС,читать, что в с верх звук о в ом лине а
,ризованном потоке обтекаемое тело может быть
з аменено системой распределенных вдоль _ оси
сверхзвуковых диполей, а i:p2' -
потенциал от эти х ди-
полей.
В соответств,ии с (10 .3 .5)
arch (х/а' r)
,
д\
f2= -cosy-
дr.
f(x- a'rchz)chzdz=
о
arch (х/а' r)
=а' cos у
\' j(х-a'rchz)chzdz.
о
(10. 4. 4)
Заменив зде~сь функцию j(в) на т(в) и обозначив x/(a'r) =и,
,получим
arch и
'f;=a'cosy \ m(x-a'rchz)chzdz.
б
(10.4.4')
83
Функция m (в) в выражении ( 10.4.4') описывает за ко н распре
деления диполей, т. е. характер изменения их моментоо вдоль оси
тела вращения. Заменяя тело ра•спределенными ·по его оои диполя
ми, следует учитывать особенность распро,стране,ния возмущения
в сверхзвуковом потоке, заключающуюся в том, что возмущения
от диполей, как и возмущения от источников, распространяются
только вниз по потоку в пределах конуса возмущения .
Итак, пользуя,сь изложенным метощом аналогии, будем при
исследова,:нши неосесимметричного, или, как говорят, косого, об
текания тела в•ращения заменять его ,системой диполей. Смысл та
кой замены ·состоит в том, что доба,вочное возмущение, вносимо~
телом в ·поток .при ·косом обтекании, эквивалентно возмущению от
диполей, равмещенных на его оси определенным образом в зави
симости от формы ·и условий набегающего потока.
Решение задачи о косом обтекании, которое сводится к расчету
параметр·ов потока, поперечного от,носителыю оси те.па, будет най
дено, если функция m(e) подобрана таким образом, что !Потенциал
ер/ удовлетворяет дополнительному граничному условию на по
верхности тела при неосеоимметричном обт~кании. Это у,словие на
основании ( 10.2 .22) и ( 10.4.41) ~южно записать в виде
archu
a'cosv _!! _ \ m(x-a'rc!1z)chzdz=-aV00 cosv:
дr Jо
Продифференци,рова,в это выражение, ,получим
arch и
а' 2 J m(x-a'rchz)ch2 zdz=aV"",
i
где т - ,производная функции т по аргументу х- a'r ch z.
(10. 4. 5)
Решая интегральное уравнение ( 10.4.5), можно определить для
заданной формы тела и скорости набегающего .потока функцию
распределения диполей т. Решение этого уравнения можно упро
стить, если ра,ссмотреть весьмil тонкое тело вращения . Для этой
цели преобразуем (10.4 .5) с помощью переменной e=x- a'rchz :
x- a'r
.
1\
m(e)(x-e)2de
7i J ✓сх- е)2
-
a'2r2
о
•
(10.4.6)
Для весьма тонкого тела с малым r интеграл в (10.4 .6) может
быть принят в первом при_ближении равным его значе»ию при
r-+0. Тогда
, или
84
х
aV00r 2 = Jт (е) (х-е)de,
о
х
aV_00r2 = J(х~е)dm.
о
Интегрируя по частям и полагая и=х- е, dv=dm, получим
х
aV00r 2=(x-s)т (s)I~+ \ т (в) dв.
о
Так J{ак у ,острия т(е) =m(0) =0, а значение в:::::: х вследствие
r«x,то
х
aVооГ2= sm (х) dx.
о
По сле дифференцирования по х получим
т (x)=2aV 00r (dr/ dx).
(10. 4. 7)'
Выражение ( 10.4 .7) для функции rn (х), определяющей закон,
распределения дидолей в предельном случае при r-+0, может быть
использовано для расчета неосесимметр:ичного обтека,ния тела , от
личающегося от весьма тонкого, по аналогии с тем , как это было
сделано в§ 10 .3 в авязи ,с применением функции f (10.3 .1 1) ,распре
деления источнююв для исследования осесимметричного обтека -
. ния.
Для этого в (10.4 .7) необходимо перейти от пере м енной х к
переменной в=X-G/r ch z и ,написать
dr2 aV"°
m(x-a'rch z) = aV"° -=-S'(x-a' r ch z),
(1 0.4.8)
dt
л:
отку д а производная
.
aV
т(х-а'rchz)=~S"(x-a'rchz).
л:
.
(10.4 .9)
Вычисля я производную ср '2х от добавочного потенциал а
( 10.4 .4 ' ) , получим зависимость для осево й сост авляющей ~ корост и:
V
,
'
х2=<р2х=а COS'У
archu
Sт(x- a'rcl1z)chzdz.
о
Внося сюда значение 1n из ( 10.4 .9), найдем ••
,
arch и
•
,
аaV cosу\
l/x2 =
"°л:
J S"(x - a'rchz)ch zdz.
о
(10. 4. 10}
(10.4 .11)
Для частно го случая пар3.болической образующей с уравне
нием (10.1 .48) вторая произв о дная от функции S(x) определяется
формулой (10.3 . 16), следовательно,
'
a'aV"°cosyarchu[ 6х
Vx2 =
2
\
2--(u- ch z)+
lмид J
и
о
+З.х2 (u-ch z) 21ch z dz,
u2
где Х=Х/Хмид' U= X/(a'r).
(10. 4. 12)
85,
Введем обозначения:
.Q
/
-1//
t,= 1; t,=U 1- 2;
(10. 4. 13)
где величины 111 (п= 1, 2, 3) определяются в виде интегралов
( 10.3 .20).
В соответств-ии с этими обозначениями
V'
-
a'aVOO cos у(2·О бх -t+Зх2 ·2)
х,-
2
Jl,- - lr
-
l,
.
лмид
и
и2
(10. 4. 14)
В случае более общего зада,ния функции S 11 (х) ( 10.3.22)
жение, аналогичное ( 10.4.12), ~южно представить в виде
выра-
(10.4.15)
Коэффициенты g" зависят от вида образующей тела вращения
и условий набегающего потока (угла атаки а, скорости V оо). Зна
чения функции i~ вычисляются для n=0, 1, 2 'ПО (10.4.13), а длн
n=3- из выражения
i~=и3/1 - Зи212 +Зи/3-/4.
(10. 4. 16)
Функ;ции i;, вычисленные для значений параметра и от 1 до
8,8, приведены в табл. 10.3 .1 .
Для тонкого конуса, обтекаемого под малым у глом атаки, из
-
2
2
( 10.4.1 4), полагая х = О, Амид= 1/~к, получим
v:2к=2а'а11 ооi~к~~ cos "у.
(10. 4. 17)
В соотве1iс11вии с ( 10.3.20)
archuк
__
i~к= S chzdz=V и~-1.
(10:4. 18)
о
Имея в виду также, что Ин= 1/(а'~к), получим
V~2к= 2а~"Vоо COS VV1- (а'~к)2•
(10; 4. 19)
Используя формулу ( 10.2.28), можно определить коэффициент
давления в рассматриваемой точке поверхности тела вращения.
Входящая в эту формулу производная 9;1 равна в соответствии с
(10.4 .4') и (10.4 .8)
86
д,
archu
9;1 =~=а' sin V I m(x-a'rchz)chzdz=
ду
J.
о
archu
a'aV cosуJ
00
S'(х-а'rchz)chzciz.
:rt
о
(10. 4. 20)
j
В ме сто ( 10.4 .20) м ожно воспользоваться упрощенным соотн о
шением для (fl;т, которое получается из потенциала (fl;, пред
ставленного на основе (10.3 .10) и (10.4 .2) в виде
(fl; = -(дr.р~ / дr) cos у= [f (х) /г] cos у.
(10. 4. 21)
Дифференцир уя по у, найдем
дr.р;/ду =r.p;1= -
[f (х)/г] sin у .
(10.4 .22)
.Вычисляя
производную по г, определим добавочную радиаль
ную составляющую скорости для условий r-+0:
v;, =r.p;, = дr.р;/дr = - [f (х)/г2] cos у.
(10. 4. 23)
В соответствии с условием ( 10.2.22) безотрывного обтеканюi
эта составляющая скорости
v;, = -[f(х)/г2] cosУ= - aV00 cos у.
Отсюда н аходим значение
f (х)=aVoor2•
(10. 4. 24)
Следовательно,
'-Р;т= - aVооГ sin у.
(10. 4. 25)
Внеся это выражение в ( 10.2 .28), получим
_
_
2[
,
a2V~
.
2
]
Р2= V~ Vооср2х+-2
-
(4sшу-1),
(10. 4. 26)
где r.p;x вычисляется при помощи (10.4 .14) или (10.4.15), а для ча
стного случая обтекания конуса - по формуле ( 10.4.19).
С учетом ( 10.2.27) полный коэффициент давления
р ii+P2= - 2 2 [voocp;x + v~(!!.!...) 2 +voo'-P;x+ a
2
V~ (4sin 2 y-l)].
•
V00
.
2dx
2
(10. 4. 27)
§ 10.5. РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
По найденному распределению давления около тела вращения
при обтекании его под углом атаки, т. е. с нарушением осевой сим
метрии, можно определить аэродинамические силы, моменты и их
аэродинамические коэффициенты. Схемы действия сил и момента
приведены на рис. 7.5.4 и 7.5 .5.
Получим вначале общие выражения для расчета сил, моментов
и коэффициентов при том условии, что геометрическая форма обте
каемого тела известна и для заданных угла атаки а, давления Роо и
числа Моо набегающего потока найдено распределение давления
по боковой поверхности тела.
87
l(оэффициент осевой силы. Для вычисления осевой силы R и
коэффициента этой силы cR = R/(qooSмид) рассмотрим схему тела
вращения (рис. 10.5.1) с произвольной образующей, определяемой
уравнением t·=f(x) . Выделим элемент поверхности шириной dx,
расположенный на расстоянии хот носка. На участок этого элемен
та площадью dS = rdydl действует сила избыточного да,вления, рав
ная (Р-Роо) dS.
х
Хмид
1-
Р ,ис. 10.5 . ! . К определению аэродина;11ических коэффициен т ов по извест
ному распределению давления на п овеrхностJ1 тела вращения
С учетом этих данных и в соответствии с формулой (1 .3 . 1), в ко
торой принимаем т=О, элементарная величина продольно й силы,
действующей на выделеннный участок площади, будет
(р- Роо) cos (пх) dS= (р- р"") rdydl sш ~-
(10. 5. 1)
Переходя здесь к коэффициенту давления p=(P- Poo) /q""
и учитывая, что dl=dx/cos ~' найдем
pq"" cos (пх) dS=pq""r tg ~dydx.
Внося это выражение в формулу ( 1.3.2), в которой полагаем
Х =Rp, с1х=О, и принимая во внимание симметричный характер
распределения давления по обе стороны от вертикальной плоскости
симметрии , совпадающей с плоскостью угла атаки, в которой ле-
жит вектор скорости V оо (эта плоскость называется также нулевой
меридиональной плоскостью), получим для осевой силы (R=Rp,
индекс «р» опускаем)
хк
1t
R= 2q"".) r tg ~dx.) pdy,
(10. 5. 2)
о
о
rде Хк - расстояние до донного среза.
88
j
r--
Эту ж~ силу можно выразить чере.; коэффициент Сн по формуле
R=cRqooS,щд•
С учетом (10 .5 .2) коэффициент осевой силы
(10. 5. 3)
где r = r/rмид• Х=Х/Хмид, Хl(=хJхмид; р = (р- Poo)}qoo -:коэффици
ент давления, распределение которого считается известной функ-
цией r(x), 'У·
--
Коэффициент нормальной силы. Из рис . 10.5.1 видно, что эле
ментарная величина нормальной силы
dN = -(р- Роо) rdydl cos Vcos ~-
(10. 5. 4)
Вводя коэффициент давления р и принимая во внимание, что
dl cos ~ = dx, получим для полной нормальной силы
х
1t
N = -2q'° {гdх .)рcos vdv.
(10. 5. 5)
о
о
По этой величине можно вычислить коэффициент нормальноiх
силы:
N
CN =---
qооSмид
4л sхк_-r-
-
:rt МИI( rdx.) р cos vdv.
(10. 5. 6)
о
о
При осесимметричном обтекании cN=0, так как распределение дав
ления в этом случае подчиняется свойству круговой симметрии и,
следовательно, не зависит от угла у.
Коэффициент момента. Элементарная величина момента силы
от давления (момента тангажа), вычисленная относительно носка
тела, равна, как следует из рис. 10.5 .1,
dMz=-xdN +r cos vrlR.
Элементарный момент по знаку положителен, поэтому первый
член имеет знак минус с учетом отрицательного знака dN в ( 10.5.4) .
Принимая во внимание эту формулу, а также выражение ( 10 .5.1),
получим
dMz=X (р-р'°) rdvdl cos Vcos ~+г cos V(р-р'°) rdvdl sin ~- (10. 5 . 7)
Учитывая симметричность распределения давления, найдем ДЛ})
полного момента
3⁄4
·"
3⁄4
1t
Mz= 2 rxrdx.)(р-Роо)cos vdv+2 .) r2tg~dxJ(р-Роо)cos VdV,
dо
о
о
(10.5.8)
89
откуда коэффициент момента
хк
1t
+ : \ r2 tg~dxsp cos уdу
пхк Jо
о
(10.5 .9)
В соответствии со схемой действия момента (см. рис. 7.5 .5);
уменьшающего угол атаки, коэффициент этого момента, получаю
щийся из (10.5.9), будет по знаку отрицательным. Если тело вра
щения тонкое (r~хн), то вторым членом в этом выражении можно
пренебречь.
При осесимметричном обтекании распределение давления не
зависит от угла у, поэтому
1t
1t
Jpcosv dv= р { cos vdv=O
и, следовательно, mz = О.
Аэродинамические коэффициенты в линеаризованном потоке.
Найдем значения аэродинамических коэффициентов для тонких тел
вращения, обтекаемых линеаризованным потоком под углом атаки.
Для этого воспользуемся соотношением (10.4.27) для коэффициен
та давления, в котором представим 'f;x в соответствии с ( 10.4 .2)
в виде
(10. 5. 10)
Выделим из ( 10.4.27) члены, не зави-сящие от у, и члены, кото
рые определяют несимметричный характер распределения давления
и являются функцией угла у:
р=Ро(Х, г)+Рт(Х, г, v),
(10. 5. 11)
.где
•
-
2[
•
V:, (·dГ )2 a2V:, ]
Р0(х,r)=- 2 Voo'f;x +-
-
--
-
;
V00
2dx
2_
(10.5 .12)
Рт(Х, г, v)=;l (- V oo'f;,x cos v+2a2 V:, sin 2 v). (10.5 .13)
Для определения коэффициента осевой силы по ( 10.5 .3) необ
ходимо вычислить интеграл
1t
1t
1t
spdy = s[Р0 (х, г)+Рт (х, г, у)] dv= ;:,2 ~ [V00 <р1;+
о
о
о
2
2]
"
Vооdr2
a2Vоо
2
'
22•2
+-(-)
---
dy --2 s (- V oo'flrxCOS v+2a V 00 sш 'У) dy.
2dx
2
V00
о
90
Учитывая, что члены в квадратных скобках, а также величина
ср;,х не зависят от у, в результате интегрирования получим
5
"-
-
2:n: [
,
v: (dr )2 a2V:, ]
2
pdy= V:,
Voocp1x+2 dx --2- -2ал=
о
= _ 2:n: [v ,+V:, (dr)2+a2V:, ] .
v:, ""ср!х 2 dx
2
Внося это выражение в (10.5 .3) и учитывая, что для тонких тел
dr/dx~B, а ср;х определяется из (10.3 .14), напишем
-
х
archu
4л "-
-
Ся= ;ид ~ r~dx ~ S"(x-a' rchz)dz-
o
О
-
-
х
х
-4лмид г r~ 3dx- 4лмида2i" r~dx. .
(10. 5. 14)
о
о
Сравнивая значение сн из (10.5 .14) со значеf!ием коэффициента
осевой силы при нулевом угле атаки (коэффициента волнового со
противления), определяемым из ( 10.3.28), замечаем, что влияни~
нарушения симметрии обтекания на коэффициент сн учитываетс,1
третьим членом в (10.5 .14), зависящим от квадрата угла · атакн.
Соответствующее выражение для конуса получается, если
в ( 10.5.14) произвести подстановки:
~ = ~"' S" =(d2/dx2) (лr2)=2л~~; }
_
_
_
(1О. 5. 15)
Х=Т, Хк= 1, л,IИI\= 1/(2~")=а'uк/2
11. прои1нтегрировать:
ся=~~ [2 ln (и"+ Vи~-1 )-1J-a2 •
(10. 5. 16)
Для очень малых углов атаки членом а2 в (10.5 . 14) и (10.5 .16)
можно пренебречь, тогда полученные выражения для коэффи
циентов осевой силы будут совпадать с соответств ующими зависи
мостями (10.3 .28) и (10.3.26') для случая осесимметричного обте
кания .
Чтобы определить коэффициент нормальной силы , необходимо в
соответствии с (10.5 .6) вычислить интеграл:
1t
1t
. fpcosvdv=_\[P0 (x, r)+P1 (x, r, v)] cosvdv=
о
о
-
2fl , v:,(dr)2 a2V:,]
•
-
= V~ j V""ср1х+2 dx ---2- cos ydy-
o
1t
- :2 ~ (-V""ср;,х cos v+2a2V:, sin 2 у) cos VdV.
00о
91
Первый член в пр авой ч асти выражения равен нулю, так как
:величины в квадратных скобках н е зависят от угла '\', а инте г рал
"'
Jcos VdY=O. Учитывая также, что входящи й во второй член инте
о
1t
"
грал f si11 2 ycosydy = O, а интеграл Jcos2 уdу = л/2, получим
о
о
1t
\-
зt
.) р cos ydy= v ср;,х.
о
00
(10. 5. 17)
Внося это выра ж ение в ( 10.5 .6), напиш ем
(10.5 .18)
В соответствии с (10.5 .1 0) и (10.4.11)
'
archu
'f2x
а'aV00
т1' = ---= ----
(' S" (x-a'rchz) ch zdz. (10. 5 . 19)
тrx
cos I
зt
~
Следовательно,
х
archи .
4ла'аrк--('
cN= м: Jrdx J S"(х-a'rchz)chzdz. (10.5.20)
о
о
Для тонкого конуса в соответствии с ( 10 .5 .15) и с учетом зна-
.
arсhик
чения интеграла f ch zdz = Vи~ 1 найдем
о
(10. 5. 21)
.
Для коэффициента момента ( 10.5 .9), принимая во внимание
(10.5 .17) и (10.5.19) и равенство tg ~~~. пол у чим
хк
archu
mz=- 4л~да'а \ хгdх \ S"(x - a'.rchz)chzdz-
зtxк J
J
о
о
2а'а j~к _ _arsch и
-
---
r2~dx S"(х-а' r chz) ch zdz.
зtХк
(10.5. 22)
о
о
Для тонкого конуса
mz= -(4/3) а'а~к (1 +~~) Vи~-1.
(10. 5. 23)
Для очень тонких конических тел величиной ~21( можно прене
бречь по сравнению с едини цей. Очевидно, для всех очень тонких
<j2
1.
тел вращею-1я с произвольной образующей вторые ,слаrаtмые в
(10,5.9) и соответственно в (10.5 .22) можно не учитывать .
Координата центра давления (см . рис. 7.5.5), отсчитывае_мая от
носка,
Хц.д=-Мz/N,
а коэффициент ,центра давле.ния
ёц.д=Хц.д/Хк _-
mzfcN,
(10. 5 .24)
(10. 5. 25)
Внося сюда значения mz и сн соответственно из ( 10.5 .22) и
( 10.5.21) , можно вычислить коэффициент центра давления
для тон кого тела вращения с произвольной образующей,
обтекаемого линеаризованным потоком. Величину этого коэффи
циента для конуса можно получить, не ограничивая обтекание ли
неаризованными условиями. Течение около ~онусов, наклоненных в
потоке, обладает свойством коничности, в соответстви с которым
коэффициент давления р не зависит от координат х, r, а является
функцией меридионального угла. Поэтому (10.5.24) с уче
том (10.5 .6) и (10.5 .9) можно написать в виде
(10. 5. 26)
Принимая во внимание, что для конуса x = r, хк= 1, tншд=
= 1/ (2tg ~к), после интегрирования получим
(10. 5. 27)
Для тонких конусов в ( 10.5 .27) можно принять tg2 ~к:::::: ~~. Тогда
получим соотношение -сц.д=(2/3) ( 1+(Зк), которое, как видно, не
посредственно может быть определено из формул для коэффиентов
момента (10.5 .23) и нормальной силы ( 10.5.21). Согласно ( 10.5 .27),
с утолщением конуса (увеличением угла ~к) центр давления сдви
гается к хвостЬвому участку, так как возрастают силы от давления,
действующие на этом участке, и значительней становится стаби
лизирующий момент от этих сил, способствующий такому сдвигу
центра давле_ния.
Коэффициенты нормальной сн и осевой сн сил, отнесенные к
.
связанным осям координат, могут быть использованы для получе
ния коэффициентов аэродинамических сил в поточной системе ко
ординат. Соответствующие расчеты осуществляются nри помощи
формул (7.5.25'), согласно которым коэффициенты волнового со
противления и подъемной силы:
сх=~~ [21n (ик + Уи~-1)-1] +а2 (2а'~к Vи~-1 =- 1); (10. 5. 28)
Су=2а'а~,< Vи~- 1- •
(10. Б. 29)
93
Закон подобия. Для ·вывода закона подобия при обтекании тел а
вращения линеаризованным потоком воспользуемся выражением
( 10.4.26) для коэффициента давления [i2, которое перепишем в виде
Р2=(- 2/Vоо) v:2 - а2(4 sin2у- 1).
(10. 5. 30)
Для параболической формы тела дополнительная составляющая
скорости V' xz в заданной точке поверхности определяется
из
(10.4 .14) 1,ак функция параметра и, вычисляемого, в свою очередь ,
в зависимости от величины Ио=l/(а'~о) по (10.3 ,31). С учетом
этого, а также принимая во внимание равенство Лмид= 1/~о, соот
ношение (10.5 .30) можно записать в общем виде:
/J2= -2а~оO (иа,х) cosу- а2(4 sin2 у- 1), (10. 5. 31)
где G - некоторая функция, зависящая для данной точки поверх
ности от величины Цо.
Рассмотрим случаи, когда число Моо потока, обтекающего тело
вращения, велико и можно принять а'::::::: М"". Тогда, умножив обе
части равенства (10.5 .31) наМ~; найдем
•
р2/р1- 1 =
-
k(а/~0) Ki01 (К1,х)- (k/2)(a/~0)\Ki (4 sin2 У- 1), (10. 5. 32)
где G1 - некоторая функция, определяемая в данной точке пара
метром К1 =Моо~о=Мооj),мид·
Введем параметр подобия
К2 =а/~о= алмид
(10. 5. 33)
и перепишем ( 10.5.32) в более общем виде:
Р2/Р1- 1= В(К1, К2, х, у),
(10. 5. 34)
где В - некоторая функция.
Из этой зависимости, являющейся выражением закона подобия
при обтекании тонких аффинно -подобных тел, следует, что фунiция
давления в данной точке поверхности с координатами х, у будс·г
одинаковой, если у обтекаемых тел одинаковы ве.тrичины К 1 и К2 .
ВеличиныК1иК2называютпараметрами подобияпотоков,
обтекающих тонкие тела вращения под углом атаки. В соответст
вии с (10.5 .20) и (10.5 .22) от этих параметров будут зависеть функ
ции, определяющие зависимости для коэффициентов нормальной
силы и момента:
(10. 5. 35)
где Е и F - некоторые функции параметров подобия К 1 и К2 .
Закон подобия здесь выражается в том, что при обтекании двух
аффинно - подобных тел вращения разного удлинения потоками с
различными числами Моо и углами атаки а для этих тел будут оди
наковы величины М;сн (или 1\{~тz)' если одинаковы параметры
подобия К1 и К2.
Результаты аэродин _амической теории тонкого тела. Согласно
этой теории, коэффициенты нормальной силы и продольного мо-
94
мента определяются для малых поперечных размеров тел вращения
при условии, что r-+0. Экспериментальные исследования показали,
что полученные теоретические результаты для сN,тzисц.д= - mzfcN
с известным приближением пригодны для оценки аэродинамиче
ских свойств реальных тел вращения (с достаточно малыми конеч
ными значениями r) при небольших углах атаки.
Рассмотрим соотношение ( 10.5.20) и заменим в нем величину
S" согласно (10.4 .9):
{\:-dx ar~h и т (х- а'г ch z) cl1 zdz.
х
о
Преобразуем это выражение с помощью переменной s =X-
-a'rch z:
Переходя к пределу при r-+0 и принимая во внимание, что
х=Х/Хмид, найдем
Подставляя сюда значение т (xJ из (10.4 . 7), получим
Здесь величину гdг/r~ид можно представить в виде 0,5d S, где S -
относительная площадь поперечного сечения, расположенного на
.расстоян ии х от носка. Следовательно,
(10. 5. 36)
где Sдон=Sдон/Sмид- донное сужение.
В соответствии с полученным выражением коэффициент нор
мальной силы для длинного тонкого тела вращения не зависит or
размеров или формы головной части. Формула (10.5.36) отражает
наблюдаемое в эксперименте снижение си, обусловленное донны~
сужением (Sдон< 1) , или, наоборот, возрастание этого коэффици
ента, е~ли донная часть расширяется (Sдон> 1) .
Для получения коэффициента момента воспользуемся зависи
моtтью ( 10.5 .22), в которой опустим второй член в правой части
(ввиду малости толщины тела вращения). Перейдя к переменной
в=х-а'r ch z, как это было сделано при нахождении коэффнци-
95
ента cN, получим
-2 ix"
mz=
2
т (x)xdx.
V =rмидХк о
После замены здесь т (х) в соответствии с (10.4 .7) получим
•
-
4а Г 1(50.Н
mz=-2
--
xrc!r.
r мидх"
о
Интегрируя по ча·стя,м, найде,м коэффициент момента:
mz= -
2а (Sдо.н-Wт/Wц),
(10.5.37)
ХК
где \Vт=:n: f r2dх-объем тела вращения; Wц=:n:r~идХ~=SмндХк- •
о
объем цилиндра, основание которого равно площади наибольшего
поперечного сечения, а высота - длине тела .
Согласно (10.5 .36) и (10.5.37), коэффициент центра давления
(10. 5 .38)
Приведенная оценка аэродинамических коэффициентов не учи
тывает влияние отрыва потока, наблюдаемого у длинных тел при их
поперечном обтекании со скоростью Vооа . При этом, как показы
вают экспериментальные исследования, начало отрыва почти со
впадает с местом сопряжения головной части с цилиндром. Возник-
новение зоньr отрыва с относительной длиной лц+лкр(rде лц -
= Хц/dмид> лкр = Хкр/dмнд; Хц И Хкр - соо11ветственно длины цилинд
ра и кормы) обу,словливает появление дополнительной -нормальной
силы и продольного момента, так что суммарные значения -со-ответ
ствующих аэродинамических коэффициентов -будут [9]:
cN= 2аSло.н + ЛсN;
mz= -
2а, (Sдон- W.JWц) + Лтz,
где
(10.5. 39)
(10. 5. 40)
Коэффициент с в выражениях для ЛсN и Лтz зависит от того ,
будет пограш~чный слой ламинарным или турбулентным. Для ла
минарного течения величина с;:::; 1,2, для турбулентного с;:::;;0,370,4 .
В соответствии с новыми значениями CN и mz [см. (10.5.39) и
( 10.5.40)] коэффициент центра давления
Сц ,д= [2а (Sдо.н- Wт/Wц)- Лтz]/(2а.Sдон+ ЛсN), (10. 5 . 42)
Этот коэффициент будет больше той величины, которая определя
ется без учета влияния отрыва.
96
На рис. 10.5 .2 приведены ::Jкспериментальные данные, которые
сравниваются с результатами расчета по теории тонкого тела
[ ( 10.5.36), ( 10 .5.38) ], а также по ( 10.5 .39) и ( 10.5.42).
..
Нормальная сила, определяемая по теории тонкого тела, деи
ствует лишь на расширяющейся части корпуса перед областью
отрыва. В-еличина этой силы пропорциональна а, в то врем: как
нормальная сила в зоне отрыва изменяется в зависимости от а. Как
видно из рис. 10.5.2, форм51лы ( 10 .5 .39) и ( 10.5 .42) дают удовлетво
рительные результаты.
а)
5)
4-
1
1
'
/
cL 1-
с1
i1
\о
1
о,2,-,'>-+- -t- -+-
i-+- -t- -1
1.
~'<~.
\~00
1
=
О/
2
-
/
/
О·
-
'6
-~
о, 8 h---+ --+ --+--+-- -1 --1
д'~--
I.D
J
8
1,0 ..__..__...._...._~~~ ±
15 rx, граВ
О
8 15 IX, гpafJ
Рис. 10.5.2. Коэффициенты нор,малыной с-илы (а) и
центра да,вления (6) заос'f\ренно·го тела вращения.
Полное удл111нение тела ,ра1вно 21, удлине.н.ие rоловки
Амид=4,75:
-
-
--- -
аэродинамическая теория тонкого тела;
-
-
-
-
-
-
с учетом отрыва потока;ОООО О - экспери-
мент при Моо -2
Подсасывающая сила. Рассмотрим зависимость (7.5 .25) для
коэффициента сопротивления. Эту зависимость в случае малых уг
лов атаки, при которых Cy"'"CN, представим в виде Сх=Сн+с уа.
Строго говоря, коэффициент осевой силы Сн в этой формуле за
висит от угла атаки и его можно определить как сумму cR=CRo+
+схт, в rюторой Сна - .коэффициент осЕ:вой силы при осесимметри ч
ном обтекании, Схт - коэффициент дополнительной осевой силы,
зависящий от а . Таким образом, при неосесимметричном обтекан ии
наряду с основной частью индуктивного сопротивления корпу са
Суа появляется дополнительная продольная сила Схт, вызва нная
углом атаки . В частности, из формул (10.5 .16) для rюнуса видно,
что согласно линеаризованной теории коэффициент продольн ой
силы Схт =
-
а2 . Возникновение этой -силы связано со с,пециф иче
скими условиями обтекания. При дозвуковых скоростях характер
ным для такого обтекания является не столько поджатие газа на
нижней (наветренной) стороне, сколько разрежение на верхней
4-967
97
___J
(подветренной) части корпуса. В случае же сверхзвуковых скоро
стей возникновение аэродинамической силы обусловлено в основ
ном повышением давления на нижней стороне, в - то время как раз
режение на верхней стороне имеет меньшее з начение . В соответст
вии со сказанным при дозвуковых скоростях возникает подталки
вающая (подсас6Iвающая) сила, а _ при сверхзвуковых - сила со
противления.
Следует иметь в виду, что в формулу для сн (10.5.16) входит
член - а2 , определяющий подсасывающую силу корпуса, обтекае
мого сверхзвуковым потоком с числом Моо > 1 (V оо > аоо) Возник
новение _такьй силы связан.о с тем, что неосесимметричное обте
кание корпуса онределяется дополнительным поперечным течением
со скоростью Vоо а, которое рассматривается в линеаризованной
теории как дозвуковое.
Согласно экспериментальным данным, как при дозвуковых ско
ростях, так и в случае сверхзвукового обтекания коэффициент до
полнительной продольной силы можно рассчитывать при помощи
зависимости
(10. 5. 43)
в которой s - некоторый коэффициент, определяемый для заданной
формы носовой части корпуса [13].
В частности , для носка конической формы с удлинением лмид
~::::::o;os(.2.3- Vlм:- 11 - 1),
(10. 5 .44)
Амид
где знак плюс выбирается v:~:ля ,све рхзвуковой скорости ( Моо> 1),
а минус - для дозвуковой (Моо< 1). Фо,рмула ( 10.5 .43) пригод,на
для значений числа _Маха в интервале О,8~Моо~2,8. Из этой
формулы следует, что подсасывающая сила или сопротивление
отсутствуют, если s=0, т. е. при условии у= V м:- 1/ Лмид=О,5.
Лобовое сопротивление (s>0) всегда имеет место при Моо > 1 и
v>0,5.
Подсасывающая сила (s<0) возникает при дозвуковых скоро- ·
стях или в случае сверхзвукового обтекания (Моо> 1), если у<О,5.
При этом появление подсасывающей силы в случае Моо> 1 обус
ловлено тем, что перед конической носовой частью возникает ото
шедшая криволинейная головная волна и обтекание поверхности
носит дозвуковой характер.
ГЛАВА XI
АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
§ 11.1. ПРИРОДА АЭРОД,ИНАМИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Интерференция между корпусом
и установленным на нем крылом
Тело вращения, обычно используемое ,в качестве элемента кон
стру1кции летательного аппарата, может нести на себе к•рылья, опе
рение и ,рулевые устройства. Самолет, напр:имер, представляет
собой комбинацию та,ких конструктивных элементов, как фюзеляж,
имеющий 1вид тела вращения ил:и форму, близкую к нему, а та,кже
крылья, хвостовое оперение и рули. Неуправляемая ракета ~может
состоять из корпу,са (тела вращения) и хвостового оперения (ста
билизаторов). Управляемая ,в полете ракета по овоей ,схеме близ
ка к самолету, ,так как имеет несущие поверхности, хвостовое опе-
рение и рулевые у,стройства. -•
•
При рассмотрении аэродинамики аппаратов в _ в.иде комбинаций
тел вращения, ~крыльев, оперения и рулевых устройств возникает
с.1южная и пока недостаточно разработанная пр обл ем а уч е т а
аsроди 1на .мической интерфе •ре ,нц 1ии между отдельны
ми элементами этих •комбинаций. В результате такой ,интерферен
ции су1м,ма аэродинам.ических сил и моментов взятых отдельно
(изолированных) крыла и корпуса , оперения и корпуса, корпуса,
крыла и оперения или корпуса, крыла, оперения и рулей не равна
полной силе или моменту комбинации, состоящей из ,соответству
ющих элементов . и представляющей собой единое целое (рис .
11 . 1. 1). Таким ,образом, отдельно взятые элементы - корпус ,
крылья, оперение, рули, - будучи соединенными ,в единую 1юн
струкцию летательного аппарата, как бы теряют свои индивиду
а.:.~ьные аэродинамичес-кие характеристики и приобретают вслед ст-
вие интерференции новые.
•
Как показывают результаты расчетов и эксперимента ль ны е
исследования, пр:и одном и том же угле атаки подъем,ная .сила кры
ла в прису1'ствии корпуса увеличивается по с-равнению ~ изолиро
ванным крылом. Такое же явление наблюда,ется и ,в отношении
подъемной силы корпуса, соединенного с крылом и из,оллрова,нного .
4*
99
_J
.~.. ,.
-
~5;._ ,.
Рассмотр,им физическую картину взаимлого влияния тела вра
щ ения и крыла, обуслоsливающего увеличение 1их подъемной ,силы,
полагая, что крыло ,расположено на удаленном от носка цилиндри
ческом уча,с11ке корпуса по схеме среднеплаяа. Предпол·ожим так
ж е, "/ТО корпус и крыло тонкие и обт,екание происходит под :малым
у глом атаки (рис. 11.1.2).
•
Как было показано в § 10.2, возмущенный поток около тонкого
тела вращ ения ~можно получить в результате ,наложения на поле
а)
~
~ ~+~
+
+1
+-
1
2
J
1
ц
Рис. ].] .] .]. С хема, иллюс'Грирующая понят.не об Jштерферен
ции .между телам вращения 11 уста,ювленным·и ,на .нем ,к,рылам,
опере,ние .м и рулн ми :
а - изолированные элементы; б - элементы, соединенные в единой кон
струкции (комбинации) летательного аппарата; 1 - крылья; 2 - опере
ние; 3 - рули; 4 - тело вращения; 5 - летательный аппарат
скоростей, воз,никающее при продольном осесим:ме11ричном обтека
нии тела невозмущенным потоком со ,скоростью V х"" = V"" cos а=::::
· : :: :: : V ""' поля ,скоростей дополнитеJrьного нозмущенного потока, по
лучающегося при поперечном обтекании этого тела со скоростью
V У""= V"" sin а:::::: V ""а.
При м,алых углах атаки поперечный по1101( являе.тся обычно
дозвуковым и для приближенного расчета поля сюоростей можно
воспользоваться т,еорие й потенциального обтекания круглого ци
линдра несж·и:маемым потоко:м. Комплексный потенциал такого
100
,'1,
~z
Рис. 11.1.2. Изменение нормальной -составляющей око,ро•сти по ·размаху
крыла в результате влияния тела вращеаия
'•1
J
i
-~
-:~з.1⁄4/
1
обтекания определ я ется · I\ьiражением (6 .2 .4) . Приня-в в ~нем V =aV "';
заменив ~ на а и выч11с,Тiив затем произвоμную dW/da, напишем
-выражение для ком п лексной скорости в виде
гдеcr=z+iy.
На шшии z- z(y=O)
V 2 -Vyi= -aV"'i [1 +(R2/ z 2)],
откуда следу ет , чтю Vz=O и
l1 y=aV "' [1+(R2/z2)].
(11.1.1)
(11.i .2)
(11. 1. 3)
В соответствии с этой формулой в плоскости у=О с:~юрость Vy
поперечного потока изменяется от l ' у= 2aV"' на поверхности ци
линдра (z=R ) до Vy = V yoo =aV"' вдали от него при Z-+oo (рис .
! 1.1.2) . Е сл и 1на цилиндрическом корпусе установлено крыло, то
при задан ной в еличине угла атаки а оно будет омываться ,состав
ным потоком , который м ожно получить путем наложения на невоз
,1,1уще нно е т,е чение д ополнит е льного по'rока, инд у цир уем ого :~юрп у
сом. Вследствие это го вли я ния корпуса поперечная составляющая
скорости на п о в ер х ности ·к рыла будет равна
aV"' +av"'R2/z 2,
-т. е . возникает допо_л н ител ьная поп е речная со ставляющая
v ;= Vy-aV"'=aV"'R2/z2•
(11.1 .4)
С возникнов ени е:11 эт о й дiобавочной составляюще й скорос т и
связан с к о с по т о к а, вызываемый :~юрпусом. Угол этого ,скоса
Е;т=V~/Voo= aR2/z2•
(11.1.5)
Скос потока пр,и во,tщt к увеJiичению местны х угло в атаки в се
ченцях кО'нсолей крыла . Эти местные (эффективные) углы атаки:
а . а +eir =а [1 +(RJ/z2)].
(11. 1. 6)
Из (11 .1.6) видно, ч т о эффективный угол ата•ки достигает наи
большего значения в бо.ртовом сечении консолей при z = R, где
-а~ =2а, и постепенно уменьшается при удален'Ии от корпуса . В :кон
uевом сечении крыла, где z = l , эффективный угол атаКои
аэ.кц =а [1 +(,q2/l2)].
(11. 1. 6')
Б результате ув-еличения местных углов атаки подъемная сила
кон солей :крыла при наличии корпуса будет больше, чем для ,изо
лирова нного крыла . Крыло в свою очередь влияет на обтекание
корпу са, так как возникающие повышенное давление на нижней
поверхности крыла и разрежение на верхней поверхности распрос-·
траняются на корпус . Поэтому пр о исходит п ерераспределение дав - ·
.тте н.ия и возникает дополнительная подъемная сила корпуса, обу
словленная влиянием крыла.
101
Интерференция между крыnом и оперением
Для летательных а пп аратов, представляющих собой комбина
пию тела вращ ения , юрыла и оперения, следует учит ы вать интер
ференцию ,йе только между кор п ус·ом и крылом, но и между ко рп у
сом и оперением , которая по своей физ'ич еской природе анало г:ична
р,юсмотренной интерференции .между корпусом и крылом . ·Кроме
т9го, необходим·о принимать во внимание ,влияние ,скоса потока за
крылом на оперение (при переднем располо жен1ии на кор п усе
крыла) или же влияние потока за оперением на крыло (при перед
нем расположени:и оперения по так называ,емой схеме «утка»).
Р,ис . 11.1.3 . Зона влия1ния крыла на -опере -
.
Р,йс. 1!..1 .4 . Скос потока за пря.мо-
ние в •сверхзвуковом ли.н.еа.риз-О1ван но м по-
уго льным крылом:
токе (заштри хован.ный уч асток ) :
/ - крыло; 2- конус возмущений (ко-
1 - конус Маха;·
.2 - волновая поверхность, по
строенная для крыла (огибающая конусов Ма ха );
З - крыло; 4 - оперение
нус Маха); З - скос поток а, на п равлен
ный вверх; 4 - скос потока , направ лен.
ный вниз
Влияние крыла на хвостовое оперение в ,св.ерх•з;вуковом потоке
имеет место в то м сл учае , если оперение 1располагаеТ~ся в1нутри ко-
• н у са Маха (волновой повер~ности) , построен н ого для крыла , т . е_
если оно попадает в зону ,скошенного к,рьшом потюка (рис. 11.1.3) .
Этот скос завиоит от фор.мы .юрыла в плане и положения точки, ,в.
которой ,определяются параметры потока, в том числ,е угол ~скоса .
В качЕ.остве примера рассмотр'им .крыло пря:моугольной формы
(рис . 11.1 .4). Область воз·мущенного течения, в к,оrгюрой ск аз ывает
С}r влияние боковой кр,ом]{lи на обтекание крыла , ограничен а кону
сом Маха с вершиной в передней точке боковой 1]{1ро,м1ш. Внутр и
конуса Маха воздух перетекает из области повышенного давления:
под крылом в область .понюк,енноло давления на верхней его сторо
,не . В результате поток закручива,ется в :В\ихрь, -к,0110рый и вызыва
ет за крылом ско.с. Этот ·скос направлен •В\НИЗ !ВО ,внутренней обла
сти конуса Маха, зах,ватывающей крыло, и :в 06ра11ную сторону -
в волновой зане, расположенной nне крыла. · в соо'rветствии с этим
на боrювой крюм,юе скос потока ~равен нулю (,рис. 11 . 1 .4).
Бели крыло соединено с телом вращения , то ~01юс потюка за:
крылюм будет йным, чем у изолиров,а:н~наго крыла. В это.м ,случае
разность да,влений под 1И над крылом увеличится, перетекание воз -
102
1
духа из области повышенного давления в область пониженного
давления станет более интенсивным, а знач,ит, ув-еличится с1юс по-
1тока как в наружной области, где он направл е,н ,в,верх, так и во
внутренней области, где •ОН направлен вниз .
.
Если размах оперения меньше, чем размах ,расположенного
перед ним крыла, то оперение будет находиться в области, где
с 1юс потока направлен вниз, и эффективный уюл атаки оперения
Рис . 11.1.5 . Интерференция -между крыло-ми оперением:
1 - крыло; 2 - оперение; 3 - скошенный поток; 4 - набегающий по
ток
уме ньшится . Если для данного сечения консоли оперения угол скоса
в;нр, а установочный угол оперения ( угол между хордой оперения
п осью корпуса) а 0п, то эффективный угол атаки консоли (рис.
11.1.5)
(11. 1 .7)
У.меньшение эффективного угла атаки приводит к снижению
подъемной с ил ы и,· как следствие, к уме ньш ению стабил;изи
рующего момента .оперения.
В облас'!'и оперения происходит торможение потока под дейст
вием крыла и, как результат, умень шение скорос11ного напора по
сравнению с невозмущенным течением. Это также не,обход,имо учи
тывать пр,и определении аэродинамических характеристик обтека
ния. Если оперение имеет размах, больший, чем к-рыло, то часть
пове,рхности консоли попадает в область скюса пото·ка, направлен
ного вверх, и этим может быть компенсирован отр ,ицательный эф
фект от скоса потока вниз, выражающийся в уменьшении подъем
ной силы.
§ 11.2 . ПОДЪЕМНАЯ СИЛА l<ОМБИНАЦИИ «:J<ОРПУС- ПЛОСКОЕ J<РЫЛО»
ПонJ~тие о коэффициентах интерференции
Суммарную подъемную силу летательного аппарата, обтекае
мого под малым углом атаки пр.и нулевом угле крена и представ
ляющего собой комбинацию тонкого тела вращения и крыла, со
стоящего из двух консолей в виде пластинок малой толщины (так
называемую плоскую комбинацию, рис. 11.2.1), можно определить
103
как <.:у,Мму пuдъемных сил для изолированны х корпуса и К'рыла, а
такж,е дополнительных сил, называ,емых ин тер ф ере н ц и о ,н н ы
м и поп 1р а в .к а м и. ОдJна из этих поправок обусловлена влия
нием корпуса на обтека,ние крыла, другая - 1воздействием .крыла на
поток около корпуса. В соответствии с эт,им суммарная подъемн ая
сила
Ут,кр = Ут +Укр+ ЛУт(кр) + аукр(т),
(11.2 .1 )
У,
z,
Рис. 11.2 .1. Кт,1бш1ация «корпус - -пJJоское крыJJо» (п.1оск а я ,ком би.на - _
ция) по.д маJJым углом атаки [FрИ иуле,вом угле ,крена:
1
-
корпус (тeJIO вращения); 2 - ко н со ли
плоского крыла; 3
-
I\о нсолн четырех-
консольной комбинации
где Ут - подъемная еила изолирова нного тела вр ащен и я;• Укр
-
подъемная -сила :изолир,ованного крыла; ЛУт(крJ- дополнительная
подъемная сила корпу,са , обусловленная влияни ем крыла; оУкр(т ) -
дополнительная подъ,емная сила крыла, обусловленная влия1нием
корпуса.
Выражение ( 11.2.1) ;можно также представить в ,в,;ще
Ут,кр= Ут+ ЛУт(крJ + ·лукр(т J,
где
ЛУкр(т)= у"Р +аУ1<р(т)
-
подъеМ!ная оила крыла при наличии корпуса.
(11.2.2)
(11.2.3)
Зависимость ( 11.2 .2) для суммарной подъемно й ,силы можно
отнес11И наряду с плоской (двухконсольной) комбинацией также
и к л-етат~льному аппарату с плюсобразным крылом (че-тырехкон
сольной комбинации, рис. 11..2.1). Обтекан,ие этого аппарата б ез
скольж,ения будет таким, как и при плоскюй комбинации, так как
верхние конооли, имеющие вид очень тонк·их пласт,ин, не изменяют
ха рактера этого обтекания.
Две посл едние составляющие в ( 11.2.2) мож,но записать в бо
лее удобной для расчетов форме:
ЛУт(кр) = Ктукр;
ЛУкр(т) = Ккрукр,
гдеКт,Кнр- коэффициенты интерференции.
В соотне'Гствии с ( 11.2 .4), ( 11.2.5) дополнительн ая
(11. 2. 4)
(11.2 .5)
подъемная
сила к.орпуса, вызванная присутствием J<jрыла, и подъемная сила
крыла с уче11ом · интерференции с корпусом предста.вляют.ся в виде
пр,оизведения с-о_от,ветствующих коэффициентов интерференции 1и
подъемной силы крыла.
104
Под изолированн ым крылом сл,едует понимать крыло, состоя
щее .из двух консолей, соедине,нных вмест,е. В ,ооо:гвет;ег,ви,и с
( l l .2.4) и ( 11.2.5) подъемная -сила плоской комбинац111и «корпус -
крыло».
Ут,кр=У.,+(Кт-:f-Ккр) Укр•
(11.2 .6)
Есл,и . представить подъемную с-илу корпуса в •виде
Ут=Кт.иукр,
где Кт.и - некоторый коэффицие,нт, связывающий
изолированных ·корпуса и крыла, то
Ут,кр=(Кт.и+Кт+Ккр) Укр•
С оо11вет С'rвующий суммарный коэффициент
iомбинации
•
подъемной силы;
Су,,кр =Ут,кр/(qооSкр)=(Кт.и+кт+Ккр) Сукр,
(11. 2. 9)
где qоо=Qоо~/,,:/2 -с коростной напор набегающего потока ; S,_р - ПЛО
щадь изолированных консолей крыла.
При линеаризованном обтека-нии имеет место линей,ная зависи
мость подъемной :силы от угла атаки, т. е. Су = а,суа. _ (где Суа.=
= дсу/да). Следовательно,
(11. 2. 10)
Коэффициенты Кг.и, Кт, Ккр, входящие в (11.2.9) и (11.2 .10),
можно рассматриват ь в виде отношений ооответс11вующих коэффи
циентов подъемной силы:
Кт.н=Су',./сукр> К.,=ЛСут(кр )/Сукр , Ккр=ЛСукр(т)/Сукр (11. 2. 11)
или отношений производных от соответствующих коэффициентов
подъ•емной аилы по углу атаки:
(11.2 .12)
Определение потенциала скоростей
В дальнейшем будем расоматривать аэродинамическую 11нтерференцию при•
менительно к летательным а·ппаратам, представляющим собой различные КО1мби
нации из тонких тел (кор,пус, крыло, оперение), •вносящие м алые 1в о з м у щ е
н н я в обтека ющий по т ок. В современной аэродинамике задачи такого рода н.а•И·
более полно р ешены и их приложе,ние к указанным летательным аппаратам дает
достаточно удо влетворительные для практики результаты .
По, енциал ер' ·скоростей возмущен,ия пр!И ю·бтека1Ни.и ли.неаризова~нным пото:ко•м
тонких тел удов летворяет . уравнеН'ию типа (7.1 .4') для пространственного пото
ка, Введем безраз,мерные координаты:
X=X/L, y=y/l, Z=Z/l,
(11.2.13)
где L ,и l - характе р, ные длины .в направлен-ил осей х л у (на,при,ме.р, L - длина
всей комбинации, _ l - размах ·консоли крыла). Ура1внение (7 . 1 .4 '), прео·бразован
ное к пере'менным ( 11.2 .13), будет -иметь .вид
2
[2д2'f' д2'f' д2ср'_
(моо-1)v·дх:2 - ду2
-
дz2-0.
(11.2.14)
105
Раосмотрим комб'И-нацию тонкого корпуса и консолей крыла с малым раз
махо,м. Для таких комбинаций, вытянутых в направлении оси х, отношение
[2/[2 « 1, поэт,ому rпервы,м членом в уравнении ( Ы .2.14) можно пренебречь. В ре;
зультате дифференциальное ура,внение для определения потенциала ,с1юростеи
возмущения при ·интерфе.ренции между корпусом ,и плоски,м крыло·м будет
a2'f', 1r5y2 + д2'f', ;дz2 = а.
или после подсгановки значений уи z из (11·.2.,Ш)
д2'f'' /ду2 + д2'f'',дz2 = О .
(11.2 .15)
Это уравнение, 1,ак из:вестно, соот,ветствует ,возмущенному теч ению несжи
маемой жидкости в плоскости yOz. Таким образом, для нахождения поля скоро-
• стей потока, вызванного интерференцией, не·обхмимо решить дифференциальное
уравнение ( lJ .2.15) относительно фу,нкции <р', представляющей собой потенциал
t~v-
t~v-
Рис. 11.2.2 . Схема ,конформного преобразован.ия для ко~1-
бИ1нации «корпус - пло,ское крыло»:
а - физическая плоскость а (1 - крыло; 2 - корпус); б
-
преобра·
зованная плоскость~
скоро.стей возмущения при поперечном обтекании комбинац·ии плоским несжимае
мым ~потоком •СО ,с1юрост ью а V"" (рис. 1'1 .2.1). Определить поле ,скоростей ,несжи
маем·ого потока около корпуса и с,оединенного с ним крыла в плоскости yOz
можно при помощи ме11ода, основанного на теории конформного преобразо,вания
(в дальнейшем будем ,рассматривать связанные коо·рдинаты Х1, у 1 , z1, оnу,сти•в
для удобст,ва за,писи nндекс «1»).
Плоскость, в которой определяется течение, является физической пло,ск,остыо
комплек,сного ~переменного a=z+iy, а плоскость, для которой течею1 е известно
.как течение около преобразованног() круга, будет преобразова,нной плоскостью
комплек•сноrо переме:нного ~= 1; + if] (ри,с. 11.2 .2) .-
Запишем ура,внение, ,связывающее между собой ~переменные а и ~:
a+r2;cr=C+r6/C
(11.2 .16)
где
r0=О,5[s+(r2/s)];
(11.2. 16')
s - текущее значение полуразмаха крыла (размах консоли).
Уравнен.не ( 11 ·.2.16) является тем соотношением, :Пря помощи которого осу
ществляется конформное преобразование круга раJ1,иуса ro на плоскости ~=1;+i1'}
в контур, получающийся в ·результате пересечения плоскостью yOz корпуса и
соединенного с ним тонкого ·крыла. Очевидно, этот контур на плоскости a=z+iy
имеет вид круга раJ1,иуса r и пары отрезков пря·мых линю'i длиной s - ro каждый,
106
,,.
ра,сполагающихся на оси z (рис. 11.2.2). Чгобы убедиться ·в прав,ильности ,выбора
формулы ( 11.2 .1 6), обеспечивающей указанное конформ,ное ото·бражение, следует
при помощи этой формулы осу ществить преобразования, аналогичные · твм, кото
рые •были mр-о.ведены ,в § 6.2 для -случая ыонфор·много отображения ,круга в п ла
ст,инку [см. (6 .2 . 1,) ].
Решая относительно ~ квадратн ое уравнение (1'1 .2.16), получим
,=0,5 \(a+r2/a)+ [(а+r2/а)2 - 4гб) 112 \.
(11.2 . 17)
Знак плюс перед .квадратной ,скобкой указывает на зав-исим-ость между -ком- .
плексньвш перемен-ными ~ и а для верхней п олуплоскости. При осуществлен-ни •
пр ео,бразования для нижней полуплоскости следует взять зна,к минус.
Комп,!Jексный потенциал при обтекании круглого цили ндра .радиуса ro.
в плос1юсти ~ (рис. 11. 2 .2 , 6) можно определить по фор,муле (6 .2.4) , заменив
внейRнаro:
(11.2 . 18)
Этот ко,шле1,сный потенциал может быть пр еобразо·ван в .поте:нциал попереч
ного п отока о,коло плоской ко,мбинации «кор п ус - ,к·р ыл-о» .в плоскости а= z+ iy
путем за1мены в (l'l .2 .1 '8) комплексной перем,енной ~= ~ + iТJ значен.ием из урав
не ни я преобразов а ния ( 11.2.17):
W = - iaV00 [(а +r2/cr)2- 4r5}1/2.
( 11.2. 19)
Ч тобы найти полную .величину комплеконого потенциал а W а, н адо добшвить
к (1 1. 2 .19) потеющальную фу,н,кцию пото·ка, паралл,ельного о,си у, ра.вн ую ia V oou.
В реэультате
или, прин,и"-1ая во внимание значение ro из (11.2 .16'),
Wa = - iaV00 {[(а+ r2/a)2- (s + r2/s)2]1/2_ а}.
(11.2 .20)
Комплеконый потенu,иал W а · можно выразить через потенциал ,окоро.стей ера
и фу~нкц1ию то11<а 'ljJ а в "виде W а = ера + i'I\)" . Учитывая э·ю и ~имея ·в в,иду, что
(J=z+iy, 1на,пи,шем ( 11.2.20 ) :в ф ор1ме
-
'fa + iq;a= -
iaVoo{[(z+ iy+ _ _r_
2- )2-(s + r2/s)2]1/2- (z + iy))
z+iY,
(11,2.20 ')
Скорость ч давление на корпусе прн налнчнн крыла
Вычи-сли,:11 частные производные -no х от л•евой -и пра·вой частей (I:1.2.20 '):
(
r2)dr
r
2 z+iy+- -
-
--- -
z+iy dx z+iy
[(z+iy+~
)2
-
z+iy
( r2)(ds 2r:: s- r
2:-:
)
-
s+-
-
+ -------
s
dx
s2
-+--'-----------------
-
-
(s + _г:_· УГ/2
-->
(11 .2.21)
107
Рассматривая поверхность корпуса, для которой а= z + iy = rе ;в, и пр и нп-
ыая во внимание, что е-;в= cos 0- i sin 0, eiO +е-;в= 2 cos 0, получнм
д~р• дфа
- +i-=
дх
дх
= - iaV00
dr(
r2)rrdr ds(
r2'J
4cos0(cos0- isin0)r- - s+-
2-
.-+-l-
-
)
dx
slsdxdx
s2
[4r2 cos2 0-(s + :2у]112
Выделяя из правой части веще-ствеиную часть, пол у чи м в ы ражение для д о
баво ч ной ос е в о й составляющей возмущенной скорости:
д'fа
--=и =
дх
а
4r С!.!_ cos20- 1s+_г_2)[2_!_ •_
dr_ +~(t-_г_2)]
dx
\
s
sdxdx
s2
= aV00 -------[-(--r-2
- ')-2
.c:_.____
]-
11-2
----~.
(11.2 .22)
s+-; -4г2cos20
Чтобы nолучить вертикальную Va и боковую wa со с тавляющие воз му ще·нн о й
скорости (р.ис. 11 .2 .2 , а), вычисли м про изводную по а- от комплексноrо потенциа
л;~ (11.2 .20):
dWa
--
=w -Vi=
dcr
а
а
{ (a+r2/ cr)(l-r2/a2)
=; =--: iaVоо [(cr + r2/a)2 - (s + г2/s)2]1/2
Для ловерхно-сти корпуса при условии, что a=re ;{},
wa-v.i=
= _ iaV {2rcos0(1+isin20- cos1~0)_i·}·
00
[4r2cos20- (s+г2/s)2] -
(11 .2.23)
Разделяя пра,вую часть на веществен,ную и --мюrмые вет1ч1И,ны , ,на йдем:
V=
а
4arV00 cos 0 sirъ20
wa= [(s+r2/s)2- 4r2cos20]112 ;
V-{
.
2rcos0sin20
}
-
а"°
112+1•
[(s + r2/s)2- 4r2 cos2 0]
_
(1 1.2 .24)
(11.2.25)
Из физ11ческих ,соображений следует, что форм у лы ( 1·1.2 .22), (1] .2 .24) п
(11.2 .25) дают значения -составляющих скорости на -нижней по,верхнопи ко рпу
са, т. е.
U'l.H == Ua,, WaH = Wa, Va.H == Va,.
(11.2 .26)
Из свойс1'ва сим·метрии •вытекают следующие соотношения для с оста.вляющ11х
скорости на ,верхней поверхности корпуса:
Uo:B == -
Uo:H' Wo:B =
-
WaH' VG.B = VaH•
(11.2.27)
Расс:-vютри,м, как по найденным значениям скоростей воз,л-iуш е н,ия м ож н о
определить коэффициент давления. В § 6.1 . была пол у чена ф о р;у.~а (6. 1.5) для
1()8
этого коэффициента в случае плоского маловозмущенного течения. Ка1К показы
вают .ис-следования, эта формула т.ребует уточнения, если расс,матрив ается л р о -
,сТра,нСТВеННОе ЛИНеарИЗОВаННОе ТеЧеН.Ие. Для ТдКОГО течеНJ1Яr
квадрат полной скорости ,в некснорой точке простра,нс11Ва
\.
v2=V2+V2+V2=(V+и)2+v2+w2=V2+2uV+u2+v2+w2.
Х
У
Z
00
о.)
00
В соответствии •с этю1 формулу (7.1 .4 ") для отношения да,вления р/роо пер е
пишем таким образом :
{
}
k/(k-1)
р
k-1Q"'[
1
]
Роо = 1 ---k- .P" uV""+ 2 (u2+v2+w2)
•
Вследствие малости доба,вочных со ст авляющих ,скорости по сравнению с Vоо
опrошение р/роо .мало отличается от единицы •И , ,следавательно, написанное выра
жею1е для р/роо ,можно разложить .по ·бИiНому . Сохраняя квадратичный член, -юо•
лучим
РlQoo[
1
]
р=
-
--
uV00+2(и2+v2+w2)+
00
Роо
2[
1
12
, (k-1)2 _k _(_k__ 1)~ uV00 +-(u2+v2+w2)
'
k k-1k-1
2р:,
2
Соот·ветствующая зависимость для коэффициента ,давления амеет вид
2(Р- Роо)
2и и2+v2+w2
р = QOOV:,
VОО
v:,
+
QOOV:, [ и
1
]2
+--- +
-
2 (u2+v2+w2) .
kp00 V00 2V00
Сохраняя члены второго порядка малости по сравнению с и/V00 и имея в виду,
что kpoolQOO = а:, и v:,/a:, = м:,, найдем
р = -2щV 00 + [и2 (М:, - l)-v2- w2]/v:,.
Пренебрегая членом u2 ( М:, - 1), получим окончательно
р= -2и/V00 -
(v2 + w2)1V:,.
(11.2,28)
Здесь, хотя течен%е и слабо.возмущенное, сохранены ювадратичные члены, что
имеет значение при обтекании то,нких тел вращения .
Составляющие скорости и, v, w •в поточ·ных координатах, .входящие •В форму
лу ( 11.2 .28), вырази,м через составляющие и а., v а. , w а. в связанной •системе ·коор
динат. Так 1шк тело не 1и.меет крена и ,связанные оси ,координат повернуты OTJIO·
сител ьно поперечной оси Oz поточной си.стемы rна угол атаки а, то, очевидно,
соста,вляющая w = w а. . Из рис. J 1.2.1 .видно, что для других составляющих имеют
место соотношения: U=U а +av ,,, V=Va - аи,,. Внося полученные -выражения
для и, v, w (11.2.28) а1 отбрасывая члены av и 1v2 а2и 1v2
Я'Вляющиеся
аWоо'
«1
оо,
члена.ми более высокого порядка малости, получим
р= -(2/V00) (ио.+av.) - (v;+ w~)/V:,.
(11. 2. 28')
На нижней по:верхности корпуса
Р-:;:(кр)н = -2 [(ио.н + av"н)JV00 + w;нf (2V :,) + v;н/ (2V:,)] . (11. 2 . 29)
109
С учетом <свойства ·ои1мметри и ( 11 .2.27 ) ,юоэффициент давлен.ия 1На верхней
поверх1ности
Рт(кр)в = -2 [(-и.и+ av,н)/V00 + w;)(2V:,) + v;н / (2V:,)]. (11 . 2 . 30)
Практическ,и при определении аэ·р_о'1!;ина,мичесжих коэффициентов приходится
иметь дело с 1коэффициента-ми п ерепада давления , которые выч,и,сляю т [Ю ,соот
ветствующи,м :коэффициента.м да,вления ,н а ,ниж,не й ,н верх,ней mов ерхност ях в аз.иде
Лр=ра - j5в. Для корпуса таюой 1коэ ффшц.иен т
Лрт(кр) = Рт(кр)н - Рт(Rр)в = -4и.н/Vоо'
(11.2.31)
Как видно, коэффищиент перепада давлений за,висит только от продолыной
_ состав л яющей ,скорости. С учетом (1 ,1.2.22)
-4а{4г.!!!...__ cos2 0- (s + r2/s)[2_! _ • dr + .!!..!... (1 - r2/s2)]}
dx
sdxdx
-
~.Рт(кр) =
[(s + r2/s)2 - 4r2 cos.2 0] 112
(11. 2. 32)
Т ак как для точек корпуса координата z = r ,cos 0 (·рис . 11 .2.2), то
ds
r
dr
4а[(1-r4/s4)- + 2-
,-
(1 + r2/s2- 2z2/r2)]
dx
sdx
Лрт(кр) =
[(l + r2ts2)2 - 4z2/s2]1 /2
(11.2. 33)
Скорость и давление на крыле при наличии корпуса
По лагая в формуле (11.2 .21) у=О л учитывая, что правая часть этой фор
мулы являет,ся !Вещественной ,вешrчиной, найдем -следующее ,в ыражение для осе
вой составля ющей •скорости:
r
dr
[ds
r
dr]
2-. -
(z+r2/z)-(s+r2/s) - (l-r2js2)+2- .
-
..
zdx
dx
sdx
,д'f,.
--=и =aV
дх
IJ.
""
[(s + r2/s)2- (z + r2/z)2]1/2
(11. 2. 34)
•Принл,v1ая в ( 11.2 .23) a=z и ·раздели.в 1Правую часть ,на вещественную и мни
•м ую велиЧ1Ины, пол учи~м зависи.мо.сти ,для .боковой w " и вертикальной v " состав
ляющих скорости:
aV"" (z + r2/z) (1- r2/z2)
w,,_=
- [(_s _+_r-2/_s_)2___(_z_+ _r_2/_z
_
)-2]~1;=2-
v., = -aV00 ,
(11. 2. 35)
(11. 2. 36)
Формулы (Н . 2.34) ~ (11.2.36) дают значения соста,вляющих скоростей на
iНижн ей поверхности консолей, nричем форма записи этих значеняй такая же, как
( 11 .2.26). Из соображений ,с~.rм•метрии следует, что ,на · ,верхней поверхно-с:rи крыла
ссктавляющие скоросl'и будут QПределяться выражениями, аналогичными
(1 1.2 .27).
Скорость, а ,следователь но, и давление на корпусе не Jiз-меняются при осевом
обтекании (у.гол атаки ,равен нулю) -в присутствии несущи х К()НСолей «нулевой»
толщины . Однако консоли будут n,р и таком обтеканиrи -иопытывать влияние п оля
скоростей н да,влений, образующегося около корпуса. Результирующее тече ние
у консолей ,будет ,сла гаться 1из поля скоростей, -и.ндуцируемоrо корпусом при осе
вом обтекан и и, ,и поля скоростей , ,во,шикающего пр,и поперечно.:1<1 о-бтекании и
обусловJJенно-го наличием угла атаки .
Ра-с-смотрим поле -скоростей около корпуса, обтекаемого ~под нулевым углом
атаки, используя ,для этой цели выводы аэродина•м•ической теор1ш тонкого тела
110
(см. § .1-0 ..З). Согласно этой теории, до.баночная радиальная составляющая ско
Jюсти при осевом обтекании (обозначим ее V~1 = v; 1 , см . rр.ис. 1,1.2 .2) 1В •соот
вет•ствии с формулой ( 10.3 .1 О), ffi которой r заменяем на текущую радиальную
координату точки R,
V~1 = -f(x)/R.
(11. 2. 37)
-
Из усло,вия безотрывного обтекания ( 10.2 .19) , которое ввиду малости ер' х
по срав.нению с V"° можно ,на п исать в виде
'f'; = V~1 = V 00 (dr/dx),
получим выражение для функции
f (х) = -V00Г (dr/dx).
Следовательно; (IJ.2 .37) мо-жно на.пи.сать 1в форме:
,
V oor
dr
VR1=т· dx.
(11.2,38)
(11.2.39~-,'
Из рис. 11 .2 .2 видно, что поперечная Wt и mвртикальная Vt составляющие
скорости возмущенного течен-ия, вызван.ног-о оrе,вым обтеканием корпуса:
Vr dr
Wt=V~1cos0=т. dx cos0;
(11. 2. 41)
V ""r
dr
Vt=V~tsin0=
•--sin0.
(11.2. 42)
dx
Для у,сло,вий на поверхности ,конс-оли 0=0, R=z и, следовательно,
Voor
dr
Wt= -z- •
dx;
(11. 2. 43)
Vt=0.
(11. 2. 44)
Если выражение ( Н .2.43) для Wt определяет значение скорости для нижней
поверхности (Wtн = W1), то из св-ойства сим,метр111И следует, что на верхней nо
,13ерхности
Wtв = Wtн·
(11. 2. 45)
Для осевой доба ,вочной ,составляющей с корости Иt , которую не •буд ем здесь
пр,иводить :в яв:ном .вище, дейст.вительн.о rра.вен,ст.во Иtв =Иtн, вытекающее из
того же свойст.ва ,симметрии.
Зна1чения соста.вляющих возмущенной ,скорости на конс-оли лолучаются в ре
зультате -сложения соответ,ствующих составляющих скор-ости пр11 осево м и попе
речном обтекании, т. е .
(11.2.46)
Внося эти значен11я в формулу для коэффиц,иента давл ения , переписан.н ую по
аналоги11 с ( 11.2.28) в виде
р = -2 [(и+ av)/V00 + v2 i (2V:) + w2/(2V:)J,
(11.2.47)
получим
Ркр(т)== -2 [(иа + Ut + av)/V00 + v;/(2V~) + (wa + W1)2/(2V: )J. (11.2.48)
Для нюкней поверхности консоли
-
2
2
Ркр(т)н = -2 [(иан + utн + avaн)IV00 + Vaн1(2V00 ) +
+ (w:н + w;н)/(2V:) + w"нWtнfV:] .
ш
Н а ,верхней поверхности с учетом • свойства симм~трии [см, ( 11 ,2,27) и
(l[,2.45) ; И tв =Иtн]
-
•
2
2
Ркр(т)в = - 2 [(-и11н + Utн + av11н)/Vоо + V11н/(2Vоо) +
+ (w;н + w;н)/(2V:,)- W11нWtнlV:,].
Коэффициент перепада да!Вления
дfiкр(т) = Ркр(т)н- Ркр(т )в = -4u11нlVоо - 4w11нWtн!V~ .
(11.2 . 49)
Форму л а (1 1,2.4 9) для к оэффициен, а перепада давления на ,кон соли имеет
в отличи е о т ,соответст,вующей• формулы (bl.2.31) для корпуса .кв адратичную
форму . Внося в ( 11,2.49) вместо иа 11, wa в, Wtн соответс Т1Ве н ,но их значения
из (11 .2 .34), (111.2,35), (11.2.43), найдем коэффициент перепада давления на кон
солях крьта ,в пр,и•сутс'ГВИИ ,корпу,са:
дркр(т) = 4а [(s+ г: Y-(z + г: п-!/2 х
{ds(
r4)
dr [ (,-2
) ( r2)2]}
Хsdx1- -;-+rdx2-;,;-1+1-7z . (11.2.50)
Е сли корпус яrвляет-ся круговым цилиндром, то dr/dx=O и зависимости
( 11 .2 .33), (11,2 .50) принимают соответственно вид:
др
=4а-1--
1+-
-
4-
•
_
ds(
r4)[( r2)2
z21-1; 2
т(кр)
dx
s4
s2
s2
'
(11.2,51)
др
=4а- 1~-
1+- -- 1+-
_
ds(
r4)[( r4) z2(
r4 ) )-1/2
кр(т)
dx
s4
s4
s2
z4
(11. 2. 52)
(r<z<s).
Выражения (11,2.51) и (11.2,5:2) приго1дны для приближенного ·расчета рас
п р еделения давления по обтекаемой поверхности и .в том -случае, 1югда корпус
в месте ,сопряжения -с крылоrм расширяется и dr/dx=;,!=O. Это подтвер,ждается рас
чета ми, которые показывают, что влияние расширения корпуса на характер рас
п р еделен,ия давлен.ия не,велико . До•статочно удовлетворнтель.ные результаты по
( 1,1,2 ,51) и ( 11 .2 ,52) получаются при усло:в и,и, -в соотв е тствии ,с которым крыло .
на к о р п у се расп ол агается s з оне невоз,мущенно го потока. Как показывают и,с сле
до в ани я, это усл о,вие пра,ктически может быть -выполне..чо, если .расстояние от
на ч ал а цили.ндрической ча·сти тон,кого заостреаного к ор пуса до бортоsой хорды
-крыла ,превышает д ва-три диаме тра корпуса .
Определение коэффициентов интерференции
Рассмотрим зависимости для подъемной силы крыла ,и корпуса
с у четом их в з аимного влияния и определим соответствующие 1ю
э ф фи циенты интерфе,ре,нции. Условно примем, что коН1соли крыла,
,ра сположенные на цилиндрическом корпусе (dr/dx=O), имеют тре
у гол ьную фор.му, для к·оторой ds/dx=tg е (рис . 11.2.3). При этом
следует -иметь ,в ,виду~ Ч'J'IO полученные результаты для коэффиц,и
ентов интерференции ,можно отнести к любой другой форме. Ины
м и с:rовами, найденные теоретические значени я э11их коэффициен
тов , приводимые ниже, не будут зависеть от вида консол е й в плане.
Извес'J'lно, что тонкий сизолированный ци лин д ри ч е ск ий корпус
п ри отклонении не создает подъемной оилы. Поэто м у величину
ЛУт(кр) ( 11.2.4) можно рассматривать как подъе м ную силу Ут(кр)
, llQ
на корпусе при наличии крыла. Эта сила может быть вычислена
при помощи формулы (10.5 .5) для нор.мальной оилы, так как при
малы х углах атаки и линеаризованном обтекани,и эти силы с доста
точ ным пр1иближением .можно принять од,ина1швыми. Полагая в
(10.5 .4) cos в:=:::: 1 и cos v=sin е, получим с.т~едующее выражение для
z
х
А
уdx
dfJdx о'5
[sm
1
-
\,\,,1
..,
r
\о
t
',
х
z
........., .....
Ри-с. 11.2 .3 . Ко,1бинация «цилиндричес1шй к ор п у,с - кр ы ло» в ви
де треугольных к_о.нсолей
элементарной подъемной .силы, действующей на площадку dS =
=rd0dx (рiИс. 11.2.3):
d (ЛУт(кр) ) =dУт(кр)= -(р- Р=)т(кр)Т sin 0ri0dx.
Подъем,ная сила участка корпуса, расположенного под крылом,
s /t-gе2т:
ЛУт(кр)= - \rn
\ (р - Р=!т(кр)Т siп 0d0rtx
Г/(gЕ Q
Соот:аетствующий коэффициент подъемной аилы, отнесенн ый к
J
площадt1 поперечного сечения корпуса S =л г2 ,
Srn/tg е
21t
1r
,i-
•
в,Jв
-
-
-
\
ах, Рт(кр)S111 ,~
.
л.r ,\
J
Г/tg Е
0
Учитывая симметричный ха,рактер распределения давления по
обе стороны нулевой ,мери,п,иональной плоскости , а также условия,
при ~юторых в точках поверхности, опред:еляе:v1ых угловыми коор
динатами 0 (верхняя поверхность) и -8 (нижняя поверхность), ко
эффициенты давленип соответственно j5 и -j5, получим зависимость
s ;tge
1t/2
2 \rn
,
-
Лс~т(кр)=--:-~ J dx ~ !1р,(кр) sin 0,te.
Г/tg Е
0
Внося сюда вместо ЛJ5т(нр) выражение ( 11.2.51 ) и принимая во
внимание равенство z = г cos 0, найдем (по абсолютной величине)
Лс'. . =8а tg Е \srn;tg •dx ( (1 -~ )[('1 +~)2 -4 z2 ]-I/2dz.
ь1(кр) лr2 .)
.)
s4
s2
s2
r(tg· •
о
113
-_J
В результ.ате О,/I;нократного ·интегрирования получаем
Sm/tg Е
лс;т(кр)=Ваtg е \
s (1 -- ~) arcsin
2r/s
dx,
У
2л;г2 J
s4
1+(r2/s2)
Г/tg Е
или, так как x=s/tge и dx=ds/tge ,
S/Г
,
4а~т(
r4)
•
•
2r;s
s
(s)
Лс
=-
1- - arcsш
----- . -
d ---
u т(кр)
л;
s4
1 + (r2/s2)
r
r•
I
Это выра,жение можно написать ,в виде
Sm_
_
c
=-
-
--
arcsш-_-- · s,
л,
4а\s4-1
•
2s d-
ут(I,р)
л:.
8з
82+1
(11.2.53)
I
где S=s/r, Snz=Sm / r.
Вводя переменные и= arcsin _ 28 и v= -
1- (s2 +J-) и интегри-
s2+1
2
s2
руя по частям, получим
с
=-
-
s-
arcsш -- т
л, 4а[1(-2+1)
•
2s \s+
ут(кр) л: 2
s2
s2+11
+.fm(s2+{2 ) (s2+1)-lds]=
1
-
-
2
1
=~[ -l (s~+ -; )arCSiП
_;Sm +Sm~
- 2arctgsm]• (11.2 .53')
Л:2
sm
sm+1
Sm
Соответст.в ующий 1юэффициент подъемной с.илы корпуса Лсут(нр),
рассчитанный по пл о щади изолир,ованных консолей
(11.2.54)
равен
,
л;г2 л:tger2 Л ,
55)
Лсут(Кр)=Лсут(1\1J) Sкр (s,п-r)2 су1(кр)"
(11.2.
С учетом ,выражения (8.8 .47) для коэффициента Сунр подъемной
силы изол,и,р.ованного крыла, в кото ром следу ет принять ctg x=tg s.
коэффициент интерференции
/(т= Лсут(кр)/сuкр= Лс~т(кр)/[2 (sт - 1)2 а] .
(11. 2. 56)
После подста1Нов:кr,1 ( 11 .2.53') получим
-
-
2
2
[1(-2
1)
•
2sm
sm- 1
Кт= ----- -- sm+~ arcsш - _-
2--+
.
-
:n:(sт-1)2 2 .
sm
sm+1
Sm
2arctgsm] .
т
2t-
.
2s,n
ак как arcgsm= л- arcsш
_
2
,
то
sm+1
il4
[-2
(
) (-2
)2
]
2
sm- 1
:rt
-2
1
sm+1
-
Кт=()2
-
+-sm+~ -
-
2
arctgsm
:rt Sm- 1
Sm
2.
sm
sm
(11. 2. 57)
Найдем за·висимость для коэффициента интерфер енции Кир кры
л;~ с корпусом . Элемента·рная величина подъемной ,силы , действу
юще й на элементарную площадку крыла dSн.p = dxdz,
d (ЛУ,<р(тJ) = ЛJJкp(тJdx r!zqoo.
·Сила ЛУнр(т) двух консолей с уч,етом выражеН1ия (11.2 .52)
smftg•
s
ЛУ,<р(т)=8аtgщоо ~ (1- :ndx S[(1+ ::)-
~ tg•
r
_
!3_ (1 +!:_)] - 112 dz.
s2
х4
(11.2 .52')
Соотве тствующий 11юэффициент подъемной силы
smftg•
• 8a.1g2. s (1-~ )dx X
(sт- r)2 .
s4
r/tg•
s
Х5[(1+ :: )- :: (1+ :: )г1I2 dz.
r
Интегрируя один раз, находим
smftg •
5s(1- ~) (~+arcsin
s4
2
,
r/tg •
или
-
4а,tgЕ ~Sm54- 1( :rt
52-1)-
Лсу,<р(т) =-
?
---
_
__1_arcsiп ___ ds.
(sт - 1)-
sз21
s2+1
1
Частичное интегрирование дает
[
(-2 1)2 sm_
-
l
4а.tgе
:rt sт-
s4- 1
.
s2- 1
-
Лсу"р(тJ = Г )2
-
-
2
+( --- arcsш_-- dsJ.
Sm- 1
4
sm
Js3
s2+1
1
Вводя переменные
и=arcsin [(s2
-
l)/(s2 + 1)], v=0,5 [s2 +(1/s2
)]
115
и производя пнтегрирова·ние по частям, найдем
4a tgE :ri: sm -1
sm -1
,
-
:rt
l(-2
,)2
-2
•
~Сукр(т)=1 _ )2 -
2
- --. ---- +2 (aгctgsm- - )+
,s,,, 1
4
s,,,
:·:( s,,,
4
+l(-211)
•
-
s,,, т ~ arcsш
2
sm
-2
lsm- 1
"2
11
•
..... тт J.
Учитывая, что
(.
_
:n:)
s2_1
2 ar ctgsm -- =arcsin~,
4
s;;,+1
(11. 2. 58)
получ,им
l(-2
\2
Л
-
4аtgЕ __:!_ sm- l/
Сукр(т)- ( -
)2,'
-
2
Sm- 1
4
sm
Коэффициент интерфере~пии с учетом (8.8.47)
!( = Лсукр(т)=
2 [~-(s;,_-:-- 1)2
кр Сукр
:rtlsm- 1)2 4
s;,,
ДЛЯ Су1,р
s2- 1
":. +
Sm
(11.2. 60)
Сравни м эт у величину с коэффициентом ~И нтерфер е,нп,111и Кт
( 11.2 .57) , преобразова,нным с у чето i\,1 значения
-
l(
.
s;,,- 1
:ri: )
arctgsm= --;-- arcsш _2 , + -
,
2
sm-т1
21
полученного из (11.2 .58), к выражению
Сложив (11.2.60) и (11.2.57'), получим
}1/ _LJ(-( -
_ 1_ 1)2Г2
КIК(1+)2
'кuI т-s,,. 1
1Sm ИЛИ крТ т=
Гт , (11.2.61)
где rm=r/ sm.
Из выражений (11 .2 .60) и (11.2.57') следует, что коэффициенты
интерферен ции я в л яют ся функциям и толь к о от ношения
r/sm. Та ки м образом, этот щ1раметр (или обратная веJТичина sт/r)
представляет сuбой о с но в н о й крит е рий при оценке взаимно
го влиянпя корпуса и крыла на подъемную силу. Величины Кнр и Кт
. в зависимости от значения 1 /sт =r/srn п риведены на рис . 11.2.4 и
в табл. 11.2 .1.
116
Таблиuа ]).2.1
r/sm
ккр
кт
(с,ц) а. кр(т) (Сц,д) ат(кр) ( ~ _ д ) а.кμ(т)
о
1,000
1
0,667
0,500
0,424
1
О,l
1,077
О,133
0,657
0,521
0,421
0,2
1,162
0,278
0,650
0,542
0,419
0,3
1,253
0,437
о, о-17
0,563
0,418
0,4
1,349
О, 611
О,6-16
0,581
0,417
0,5
l ,45Q
0,800
0,647
0,598
0,417
0,6
1-,..-
.1 'i)i)i)
1,005
0,650
0,613
0,4 16
0,7
1,663
1.227
0,654
0,628
0,418
0,8
1, 77 -'r
l ;457
0,658
0, 641
0,420
0,9
1.887
1,72 5
0,662
0,654
0.422
1,0
2:000
2, 000
0,667
0,667
0:424
Если отношение г/sт = О (1<орпус отсутств ует), то очевидно,
К.,;р= 1, а Кт=О . Предпо ло жим , что радиус корпуса возрастает и
несущие консоли становятся малыми, т.е. параметр r/s,,,,, от .1нчн ый
от нуля, ,возрастает. Из ( 11.1 .61) сле- Ккр; Кт
дует, что эффективный угол атаки
.-'----------
-
консолей возрастает. При (R/l)-+
- +1[ (r/sm)-+l] кор·пус индуцирует
вдоль своей боковой поверхности
местный угол атаки а.э.,щ-+2а. По
этому консоли при наличип корпуса
развивают лодъе:vшую силу, в два
раза большую, чем изолированное
крыло, и, .следователы-ю, I(,,p=2.
Чем меньше размеры консоли,
тем все большая часть подъемной
силы крыла переносится на корпу с .
Когда значение параметра r/s111-+! ,
на корпусе индуцируется наиболь
шая величина подъе мно й силы и.
Кт =2.
Ри с. 11 .2.4 . Коэффициенты и.н
терференцин ;.~:,1я плоск оii к о-,i
бн·нации «к о р п ус - кры,10» при
отсутствии крена
Центр давnення
Коорд!!ната центра давления подъемной силы, индуцированной
корпусом на крыле,
(хц.,, )а.кр(т) =
-
Л/Иzкр( т)/дУкр(т),
( 11.2 .62)
где Лklzнр(т) - мои ент тангажа относительно носка бортового сече
нпя консоли от .сил, обусловленных влиянием корпуса ,на крыло:
(snz-r)/tg, s
ЛМzкр(т)= - J JДpiip(т)qooxdx(!Z.
О
r
(11 .2.63)
117
Координаты х и (хц.д) акр(т) отсчитываются от носка бортового
,с ечения консоли (рис. 11.2 .5). С учетом значения Л Унр(т) координата
(sm-r)/tg, s
!(sm-r)/tge s
(хц.д)щ(т) = S SЛf}кp(т)qooXCixdz S SЛPкp(т)qoodxdz. _
О
r
О
r
(11 .2.62')
Координата центра давления подъемной силы, индуцируемой
:крылом на корпусе,
(11.2 .64)
Хц.д
ц.д.т
х
Хкр
Хк
Р.ис. 11.2 .5 . К оп,ределению положения центра дав.оон.ин корпуса
и крыла ,с учетом .влияНIИя интерференции (площадь, ,на кою·рую
переносится подъем1Ная ,сила от -консолей, заштрихована)
где ЛМzт(крJ- момент тангажа относительно носка бортового сече
ния консоли, обусловленный влиянием крыла (рис . 11.2.5):
(sm-r)/ tge r
дМzт(кр) =
-
s .\ ЛPт(кp)qooxdxdz;
(11.2.65)
о
о
ЛУтс1,р) - подъемная сила участка корпуса, расположенного под
консолями, обусловленная ~лиянием крыла.
С учетом з начения Л Утскr) координата
(sm_;_r)/tge r
!(sm-r)/tg, r
(хц,д)ат(кр)= S .\ ЛPт(кp)qooxdxdz S .\ ЛPт(кp)qoodxdz.
о
о
'
о
о
(11.2 .64')
И з ( 11 .2.62') и ( 11 .2.64') можно определить соответствующие
коэ ффициенты центров давления:
( Сц,д),кр(т) = (хц,д)акр (т)/Ькр; ( Сц,д)ат( кр) = (хц,д)ат(кр)/Ькр• ( 11.2 .66)
где Ькр - длина бортовой хорды консоли (рис . 11.2.5) .
118
Е соответствии с этими з нач ениями мuжно определить коэффи-
цие1-;т момента тангажа комбинации «тело вращения - крыло»
относительно носовой части:
м
тzт, ;р= zт,кр = - Сут,~рсц.д= -[сут+си1,р(К,,+Кк р) ]сц. д =
qооSкрХк
= - f(Сц,д),сут + ( с:.д)ат(кр}дсут(кр) + (;:,д)и.кр(т)ЛСукр(т}], (11.2.67),
где
( 11.2 .68),
Здесь сц.д=хц.д/х1,-коэрфициент центга давления всей комби-
нации , (сц·д),,=(хц•д)т/х~ ису,,-соответственно коэффициенты цент-
ра давления и подъе мной силы изолированного корпуса. Все геоме
трические размеры показаны на рис. 11.2.5
Боковая координата центра давления подъемной силы Л Унр(т) •
для консолей крыла, обусловленной влиянием корпуса (рис. 11.2.5),
(z)
дм
/ду
(11. 2,i:;9 ~
ц,ц акр(т} = -
хкр(т}
кр(т),
v
J
где ЛМхнр(т) - момент крена, вызванный действием подъемной силы.
ЛУнр(т) и определяемый относительно продольной оси х:
(sm-r)/tgs s
дМхкр( т) =
-
~ .1 · ЛРкμ(т)q oozdxdz.
(11.2 .70}
о
г
С учетом значения Л Унр(т) координата центра давления
(sm-r)/tg, s
!(sm--r)/tgs s
(zц,д)щ(т) =
.\ SЛf}кp(т)qoozdxdz j SЛf}кp(т)qoodxdz .
о
г
о
г
(11.2.71)'
Из (11.2 .71) можно найти координату центра давления, отсчи
танную вдоль размаха консоли от бортовой хорды на корпусе и
отнесенную к ширине консоли Srn-r, т. е. величину
(zц)акр(т) = [(zц.д)акр (т)- r]/(sт- r ).
Эта величина, а также значения коэффициентов центра давле
ния ( 11.2 .66), вычисл енные для треугольных консолей [в ( 11.2.51)
и ( 11 .2.52) соответственно для ,Лfiт(нр) и Лfiнр(т) производная ds/dx
принимается равной tg е], приведены в табл. 11 .2.1 в зависимостк
ОТ парамет,ра r/Sт = 1/sm, ИЗ КО'ЮрОЙ ,следует, ЧТО коэффициент цент
ра давления (Сц.д) анр(т) мало отличается от величины 2/ 3, соответст-
11 !}
вующей изолированному треугольному крылу. Отношение
(zц. д) ащJ(т) близко к значению 4/ (Зл:), имеющему место при эллип
тическом распределении подъемной силы по размаху изолирован
ного r,рыла. Оба эти результата показывают , что интерференци,~
Ерыла с корпусом не оказывает существенного влияния на положе
ние центра давления несущих консолей как по размаху, так и ПJ
хорде. Поэтому в практических случаях, когда аэродинамические
расчеты основаны на применении аэродина·мической теории тонкого
тела, влиянием интерференции на положение •центра давления
1,рыльев можно пренебречь . При этом следует иметь в виду принцн
nиальную особенность, заключающуюся в том, ·что согласно аэрод11-
намической теории тон.кого тела значение (zц.д) анр(т) не зави,сит от
формы крыла в плане, в то время r,ак положение центра давления
консолей в продольном направлени зависит от этой формы. В часг ·
ности, расчеты no аэродинамической теории тонкого тела показы
вают, что центр давления прямоугольных r<рыльев размещается на
их передней кромке.
Вшшние интерференции на положение центра давления корпу
са, r,ак видно из табл. 11.2.1, существенно. При условии r/sт=O,
означающем, что Еорпус отсутствует (точнее говоря, корпус вы
рождается в бесконечно тонкий цилиндр, совпадающий с корневой
хордой консол и ) , получаем очевидный результат (сц.д)ат(нр)= 1⁄2 .
При очень малых размерах консолей по сравнению с радиусоwI
корпуса, т. е. при значениях r/s11г~1, на корпус переносится прак -.
тически вся подъемная сила крыла (коэффициент интерференции
Кт-+2) и в соответствии с этим коэффициент центра давления бли
зок r, значению для изолированного крыла, т. е. (сц.д)ат(нр)-+ 2 /3 .
Изменение коэффициентов интерференции
под воздействием некоторых фаиторов I13]
Экспериментальными исследованиями уста,новлено, что теоретические фор
мулы ( 11 .2 .60) и (11.2.57') дают ,воз;мож1Ность полуЧ'ить хо·рошие результаты для
коэффиц иентов интерференции l(i,p , Кт в случае крыла с ко.нс-олями лря:моуголь
ной формы •в -пла ,не, для которых -сужение 'r]нр=Ьнр/Ьнц=l(Ьнр,_ Ь,щ-соот
вет-с~вен·но кор.н е.вая ,и концевая хо-рды крыла). При этом ,из физических сообра
жений до.1жно быть ясно, что переход к кон-солям с увеличенным суже.н.ие,r
(1li< P> 1) обусловл,ивает повышен·ие rюэффкцие.нтов интерференци1и. Действите_ль
но, у таких консолей большая часть площади при,мыкает -к ·корпусу, поэт о~,1у анн
испытывают по,выше-нное и.нтерференщюнное .воздействие -и s свою очередь зна
чите,1ьнее влияют на 0'6тека1-те корпуса . Указа -н:ное у·величен,ие коэффrщи-ентов и.н
терференщr,и 'Мож ,но учесть введение-м ;по_правочных мно)кителей
(11.2.72)
rд:е и,ндек,с • «теор» обоз.начает теоретические параметры ( 11.2 .5 7'), ( 11.2.60). Как
показывают экс,пернменты, эти ,множители ,пра1пически одина;,овы и ,могут быть
приня т ы рав,ными :
v=V
=\' =1+ · rm(l - rт) (1--1
-
).
(ll .2 .73)
T7J
кр·r1 1J
(l +rт)2
·~кр .
В с.1учае прямоугольных консолей, для которых 1l"P = 1, значение v 1J = 1 и
коэфф нцие.нты интерференций •совпадают с ,их соответствующими теорегическими
велнчннами.
120
Из опытных да .н,ных следует, что на коэффициенты интерференции оказывает
в.'шяние погра.ни'1ный слой корпуса. Такое влияние находит свое ,вы
ражение в измен~нии эффективного ,радиуса кор-пу,са в месте расположения кон
со.1ей иа величину толщи1Ны вытеснения погранично,го слоя б'' (,см. гл. XII). В соот•
ветствии с этим значением ра,диуса r' =r+б* определяется по пара:v1етру
r ,,,' =r'/sт уточненный коэффициент интерференции (рис. 1,1.2 .6). П о его велиЧ"ине
:,,1огут быть вычислены поправ-очн ые множители:
(11.2 .74)
Так как коэффициенты ·и,нтерференции в числителе 1Находятся по у~величенному
параметру Гт'>rт , то, ,следовательно, попра .вочные множители •будут больше еди
ницы. Соот.ветствующий физический эффект проявляе11ся в возникновен,и,и дополни
те.1ьной подъе~шой силы, вызванной усиле ни·е.м интерференщии с корпусо.м вслед•
ствие возрастания его толщины. Вместе с тем пограJJ>ичный слой оказывает и от
рицательное 1воздейств·ие, :вызывая ,с ни~кение ,подъе-м·ной силы за счет уменьшения
п.10щади .ко,нсолей, находя щих,ся во 1В1Нешн~:v1 J1ото1, е (S r;p', р:и,с. 11.2 .6).
r ,_____________L,_1- -- - - -- - - -~
Хкр
Рис. 11.2 .6 . Схема влия .ния пограничного -слоя на интерференцию
Полагая значения (l 1.2 .74) одинаковым11, т . е. ,,,
:: v'
v'
т.тт.с
кр.тт.с. =-
п.с'
соо тветствующее суммарное •изменение подъемн'ой силы ,il•южно учесть при ПО,.\,IО·
щ н коэффицие.нта
(11 .2.75)
Исследования показывают; что
(ll .2 .76)
где 8* = o:-:=/r.
Как -~идн,о, эначен,ие ( 11.2 .76) IВ•сегда ,меньше единицы, что указывает на бо
лее з,нач.нтельны й эффект снижен.ия подъемной силы от уменьшения площади
крыла, чем ее увел,ичения за счет воз-растан-ия толщины корпуса.
От.носите ,1ьная толщина ,вытес.нен,ия 6"' = 8*/r в (! 1.2.76) может о.пределяться
г.ри помощи зави,симостей ( 12.4 .65) и . ( 12.4.58) для пограннчRого слоя, начи,наю
ще,ося от носо:вой части корпуса. При этом в качестве ·расчt)тной прнни:,,1ается
толщина б* в точке с координатой l1=Хкр+О,5Ьнр, т. е. в с.редней части бо рт а.вой
хорды крыла. В соответствии с э11и~1 ,в ( 12.4.58) нео,бходимо принять х =1 1 ,
а Rex= V 0011/Voo.
Д.ilя к_оэффициеsто,в ·интерференции ( 11.2.57') н ( 11 .2 .60) теоретические зави
сююсти получены в nредположен ·ии, что крыло, расположен,ное на то.нко ·м цилинд
риче-ском корпусе, достаточно удалено от головной ча-сти и поэтому ее :влля,нле
(ю1есте с цилинд'J)ическим участком) практически .не сказывает,ся на обтеканил
крыла. Иными словами, крыло будет находиться ,на участке обтектощето потока,
121
-скорость которо г о соотв-е Т'с твует невозму щ енному течени ю. П р и -мал о м удалени и
,крыла влияние части корпуса, ·раеположениой перед в.им, •может оказаться суще
.ственным. Исследования показывают, что коэффициенты интерференции при этом
,.о н-ижаются в ·соответ,ствии с завис и мостью
'Vz = Кт,'(К.,)теор = Ккр/(Ккр)теор = [О,6 + (1 + О,2т;:)2]/[ 1 + (1 + О,2!J:)2],
(11.2. 77)
тдe l1=l1/r (рис. 11. 2.6).
Дл я крыла, •расположенного .на боль ш ом удалении от носо;в ой ч а,сти -1юмби -
•нации [7;" > (15-;- 20)], коэф фициент v z~ 1, т. е. практически коэффициенты и,нтер
· фер е,нциJИ 'Не изменяются. ОдJна~ко для летательнсrго аппар ата, ,выполнен1но;го по
сх еме « у тка», т акое ,и зме н ен и е может оказат ь,ся ·суще-ствен~ным, т ак как ра,сстоя
.ния 11 до несущей []О,верхности (управ.ляющего оперения) будут относительно ,не
большими.
В соотв.е т ств.ии с полученными резу л ьтатами ,к о э ффициент ы ин тер ф е р ен ции
.целесообразно в.ычислять при по.мощи следующих зав.и,симостей:
Ккр = (Ккр)-ге орV11V~. cV/; Кт= (Кт)теорVт1Vп .сVz •
(11.2.78)
Подъемная сипа комб инации ((корпус - крыло»
Для определения полной подъемной силы Ут, ир используем:
форм улу ( 11 .2.6) . Подъемную силу Ут изолированного тонкого кор
пуса , входящую в эту формулу, о пр еделим следую щим об р азом.
Расс м отрим тонкий корпу с в виде конуса с весьма малым углоiv1
при вершине ~и- Для тонкого конуса при малых углах атаки, как
следует из ( 10.5 .29), коэффициент п одъемной силы можно принять•
равным Су = 2а . Распространяя эту формулу на то н кое тело враще
ния произвольной формы, п олучим
У.,= 2aлr2qoo ,
(11.2 .79)
где r - радиус миделева сечения корпуса .
Согласно этой форм уле, подъ е мная сила тонкого тела вращен и я
<>пределяется при за данно м у гл е атаки лишь диаметром наиболь
шего поперечного сечения.
Подъемная сила изолированного крыла
Укр= СукрS.крqсо,
где в соотв етствии с фор мулой (8 .8 .47) , в IЮторой прин ято
-
ctgx =tge; Суир=2алtg е. Так как Sнр находится из (11.2.54), то
Укр=2ал (sт - r)2qco.
(11 . 2.80)
Прю'Iимая во внимани е , что сумма теоретических коэффициен
тов инт ерференции Кт + Киr определяется формулой (11 .2.61), и учи
'Г Ыва я полученные знач е ния Ут и Уир , найдем для полной подъемной
·С ИЛЫ
У.r,кр=2алs~ (1-r~ + r~) q 00 •
Соотв етст ву ющий коэффициент подъемной силы
= Ут ,ир/(qооS ир) б удет рав ен согласно значению (11 .2 .54)
122
(11.2.81)
Сут, нр =
для Sиr
j
следующей величине:
(11.2.82}
Полная подъемная сила не зависит от формы консолей и тoir
части корпуса, которая расположена перед сечением с максималь-
- ным
полуразмахом S,п. Из формулы ( 11.2.81) также вытекает, что,
если даже за этим сечением имеется некоторая площадь крыла, то,
она не будет влиять на несущие свойства комбинации «корпус- ·, f.
крыло».
Коэффициент подъемной силы ( 11.2.82) можно уточнить, вычис
лив коэффициенты интерференции с учетом влияния сужения кры
ла, пограничного слоя и места расположения консолей. Согласно,
(11.2.78), сумма коэффициентов
Кт+ Ккр= (Кт+ Ккр)теор'\\Vп.сV1,
или с учетом (11.2 .61)
К.r +Ккр= ( 1+ Гт)2v11vп.сV1•
(11.2.83}
Согласно ( 11.2 .83), подъемная сила
ут,кр=Ут+ (Кт+ ккр) У,~р= 2алs;,, [г~ + ( 1 _:.т~) 2 "11"п.с V1] qoo,
(11.2 .84 )
а коэффициент этой силы
Ут,кр
Cyт,I<p=--5-
qоо кр
(11.2.85 )
При значениях сомножителей в правой части, меньших единицы .
т. е. при учете влияния на коэффициенты интерференции сужения,
пограничного слоя и места расположения крыла, суммарная подъ-·
емная сила снижается .
§ t 1.3 . ВЛИЯНИЕ УГЛА КРЕНА НА ИНТЕРФЕРЕНЦИЮ
МЕЖДУ КОРПУСОМ Н ПЛОСКИМ КРЫЛОМ.
Общее соотношение дпя коэфф~циента давления
К:о·мбинация «корпус - плоское крыло», по,вернутая ,на угол крена <р, показан а
на рис. 11.3.1. Наряду ,с углом <р обтекание этой комбинации и, ,следо,вател~.но,
интерференция ,между корпусом :и консолями крыла зав,исят та ,кже от угла ас,
образуем-ого лродольной ·осью и -направлеJНием скорости набегающего потока. Этот
угол (р1ис. 1'1 .3..1') определяется в пло,скост.и х'Оу', образуемой овязанными осям!!!
Ох' и Оу', построенными для ненакренен,ной комбинации . Ра,с-омат,риsаемое тече
.ни.е эквн.валент.но потоку, возникающему ,пр.и наличии угла атаки а и угла сколь
,кения /3. Угол атаки а отсчитывается в вертикалЬ1Ной плоскости у 1 Ох1 в ,авязанных
осях координат Оу 1 н Ох 1 , построеиных для накрененного тела, и определяет•СЯ:
•
J
-
как угол между [Jроекцией V 00 вектора V ~ на эту ,пло,скость и осью Ох 1.
В с-оот:ветст.вии с рис. IJ.3 .1 ' малый угол а ,равен отношению верт,икальной Vy 1.,, ,
:и rор·изонтальной V xioo ,соста,вляющих ,скоро·сти невозмущенного потока, т. е .
(11.3 .1}
12~
У,0.1 ,скольжения В находится в попереч-ной плоскости z1Ox 1 той же связа.нной
-системы ко орд и,нат как угол между ,проекцией W- ~
вектора V00 на эту ппоскость
и продо,1ьной осью Ох1. Из рис. 11.3.1 видно, что
(11.3.2)
тде Vz, 00 - поп еречная соста,в.1яющая .нево з }1 уще нн о й скорости.
И з р пс. 11.3.1 видно, что
---
-s
v'_.r100 = V00 cosас; VYi"" = V"' sinас cos 'f', }
Vz,oo=V00siпасsin'1'·
Цы'У,
z'
7z'
/ А-,
v~"o~•
'.
(11 .3 .3)
х
Рис. 11 .3. 1. Комбинация «корпус - плоск ое крыло» под yr.'!O}I крена
Для малых ас
В соответствии ,с этим
а=асcos'f';
(11.3 .3')
(11 . 3.l')
(11.3 .2')
:У~rитывая линеаризованный характер обтекания, полную потенциальную фу,нк
цпю i\ЮЖНО олреде л ить в .виде ,суммы:
(11.3 .4)
где 'f';-поте~щиал осеснмметри·чного о,бте:ка,ния ,оо окоростыо V х,оо = V 00 ; 'f': и 'f';
-
соответственно добавочные ,потенциалы · обтекания в направлении а со ско
ростью ·vУ, оо = aVоо = acVоо cos 'f' и в направлении В со скоростью Vz,oo = ~Vоо =
·=a,V= siп 'f'.
В соо11ветствии с ( 11 .3.4) соста,вляющие скорости:
U1=ut+иa+u@; V1 =V1+va+v@; W1=w1+wa+w@.
(11.3.5)
124
Общее .выражение ;1.ля коэффициента да,в.1ения на ко рп усе , определя.ем ое
с учетом шперфере нции, получю1 при п о;11ощи формулы ( !,l .2 .28 ' ) , в к отор он за
мениrv1 с о ставляю щие воз:11ущенной. скорости ,в ,поточных коордн.натах х , у, z н а
соответствующие значения и1, v1, tv1 в связанных ко о рдината х х 1 , У1, z1. Осуще
ствляя ук аза, нную за,1ену, исходи,,'! и з того, что в соответс11вин с р ис. 11.3.1 _св я
зан н ы е ос и получаю"!'ся путем поворота поточных осе й внача л е на уго .1 ас от,но
·сительно осн Oz, зате~-r на угол <р в направ ,1ении часо ,вой -стре л• кн о тнооител ыно
н ового п о ,1оже ния пр одольной оси Ох 1 . На.прав л я ющи,е косинусы уг,1ов м ежду
осями х, у, z и х1, У1, Z1ттриведены в табл. 11.3 .l .
Координ а ты
х
cos ас
sin ас cos 'f
-
sin ас sin 'f
у
-
sin ас
cos (.(с COS 'f
-
cos ас sin 'f
Та,бл-ица 11.3.1
z
о
sin 'f
cos ер
В соо-rве"!'с тви и с данными табл. 11.3 .1 и с у чето ,1 ,1алостн у гла ас для со
-ставляющих uюзмуще,н,н•ой -скоро.сти .в поточных к о о р ди,натах н а.п,иilJе.,; выраже ния:
и=и1+v,accos 'f - -wiac sin9; )
'i} =
-
uiac+V1cos'f- W1SIП9;
w= v1siп9+w1cos'f'·
(11.3 .6)
Подставив найденные выражения для составляющих скорости в ( 11.2, 28 ')
и отбросив ыалые величины ufa~ , u 1v 1ac sin 'f', u 1v 1ac co s ер, найдем
(11 ,3 .7)
Давленне на корпусе
На ю1жней ча•ст н корпуса коэффиц иент давления с учетом (11.3 .5)
Рт(кр)н =
-
(2/Vоо)[иlн+U«н+И@н +а(vlн +Vан+v~,,) -
-
~ (wlн + Z!!l«н + W13н)J - (liV;,)[(vtн + vан + V13н)2 + (wt,н + Wан + W13н)2J •
(11.3 .8)
Аналоги,шо запи-сывается выражение для ,верхней паверJGно-сти . Это 1выра
Ж€н,ие можно представить в несколько иной форме, если ,воспользо.ват ься -свой
ст,вом с и1М метрии, ко т о ры м обладают соста.вляющйе скорост,и на корпусе . Из свой
ства си,мм етрии обтекания корпуса в направ лении а ~вытекают записанные ,ра,нее
соотношеюш ( 11.2.27). АJН,алогично можно предста,вwть выражения, соответствую
щие свойству симметри.и обтекания ,в ~а.правлении В:
(11. 3. 9)
►
С учетом . свойства ,симметрии, sыраженного соотно.шения,м,и ( 11.2,27), ( 11 .3.9)
, и за виси,мостям .и
(11.3 .9')
125
коэффициент давле.ния на верхней поверх.нести корпуса
Рт(кр)в= - (2/Voo)[utн- иан+и@н+а(- Vtн+Vан- Vр,н)
-
-~ (Wtн - Wан
- 1- W@н)]
-
(1/V~)[(- Vtн+Vан- V@н)2+(Wtн- Wан+w@н)2].
(11.3.10 )
Коэффициент перепада давления получается 1,ак разница з,начен и й ( 11.3 .8)
и (11.3.10), т. е .
.
Лрт(кр) = Рт(кр)н -рт(кр)в = - (4/Vоо) Иан - (4a /V oo)(Vtн + V@н) +
+ (4~/V00) Wан - (4/V~)(vtнVaн + Vанv@н) - (4/V~) (WtнWaн+waнW@н) . (11. 3. 11)
Рассмотрим пр,оизвольную точку на ниж;ней повер:юности ,корnуса. Для этой
то·чки вектор ,скорости возмущения в поперечной плоскостл, обусло,вленного про•
дольным обтеканием корпуса конечной толщины , Vtн = Wtнi + V1нj. Для этой.
же точ1ш вектор сыоро.ст,и возмущения, ,выз,вюшого ,наличием у1rла ата,ки,
vaн=W,;.нi+(vaн+aVOO)j. Вектор V1н в ,соответствии с (11.2 .42) совпадает
с ,радиальным 1напра,вле1Iшем и ра•сположен в мерид·иональной п лос1юст.и. Второй.
вектор Vан в соот.ветствии с у,славием ,безот.рывного обтекания со~Впадает ,с ·на•
правлением ка·са·тельной •к контуру в расаматри.ваеu'\1ОЙ точке. Следо1вательно,.
векторы Vtн и Vан nерпе.н~икуляр.ны и ,их скалярное про.~з:ведение равно ;нулю,
т. е.
(Wtнi + VtнЛ[waнi + (vан + aV00) j] = WtнWaн+ Vtн (va,1 + aV00) = О. (11.3. 12)>
С учетом этого значения выражение ( 11.3.Л) ·прл,н,имает 1вид
Лрт(кр) =
-
(4/V00 ) Uан - (4/V00)(v@на - Waн~)..:...(4/V~)(vaнv@н + WанWр,н).
(11.3.13)
По ,срав нению с ( Н.2.3 1) в выражении ( 11.3.13) поя:вил,ись ,слагаемые·
v@на, wан~, vанv@н' wан~@н' характеризующие влияние у гла крена, - так на•
зываемые . члены взаимодей ·ст •вия. Составляющие скорости иан• wан к
Vан даны <::оо~:ветствен;но .выражеюшми ( Н. 2.22), ( Н ..2.24) и (11.2 .25). Компо•
ненты w@н и v@ ·н могут быть получены при помощи формулы для ,1юмплек,сного
потенциала поперечного обтекания кор,пуса в направлении отрицательной о·си Oz
со скоростью 1Набегающего потока f3Voo. По анало ,гии ·С ( 11.2 .18) этот потенциа л;
(11.3 .14)
Поле скоростей возмущений получим, есю1 на :поток ,с потенцлалом (11.3.14);
наложить параллельное течение в направлении пол,ожительной оси Oz со ·ско
ростью f3 V"" и соот,ветствующим потенциало•м /3 V oocr. В ·результате 1юмплексный:
потенциал скоростей возмущен.ий
126
Отсюда 1юмплексная ,скорость возмущений
dW@fda = w@ - v@i = ~V6о (r2/a2).
iB
Для поверхности корпуса при условии, что cr=re
, получим
w~-
v@i = ~vоое-2iв= ~v00(соэ26- i sin26).
(11.3.15),
(11.3 . 16),
(11.3 .17)
►
Относя это выражение к нижн ей поверхности, получwм для соста1вляющи.х
скорос ти:
W~H = ~v00COS20; V@H = ~v00SiП20,
(11.3.18)
В~нос я ( 11.2 .22), (11 .2.24), (11.2 .25) и (1 ·1 .3 .1 8) в (11.3 .1 3), найдем зав1иси
м о.сть для коэ ффицш~нта ,перепада давл ения на корпусе :
4а[(1__r4_\
_d_s+2_с_. _d_r(1+_r_2
_
2 _z _-2)]
s4)dx
s
dx
s2
r2
л;,(кр) .=
_______[
_(_ __r
_2
_
)_2
___
z_2 _]_1;-2- - - - -~
+
1+-
-4-
s2
s2
32а~ (r/ s) cos 0 sin2B
+ -----~-----
[(1+_r2_)2_ 4
_ z_2]1/2
s2
s2
(11.3 .19}
При отсутствии крена второ.е слагаемое с сомножителем а~ , ха 1рактеризую
щее в~аимодействие крыла и корпуса, обусловленное нал,ичие,м угла скольжения,
рав но нулю , т. е. приходим к за,ви-симости ( 11.2 .3·3) для комбинации «к орпус -
плоское крыло», обтекаемой б ез -ск ол ь жения.
Первое слага,емое в (11.3.19) содержит прои з,водные ds/dx и dr/dx, что ука
зывает на зависимость интерф еренции (в ,случа е отсутс твия крена) от изменения
полуразмаха ко,нсоли и диаметра корпуса. В то же вр ем я эти производные от
сутствуют во втором ,слагаемо.м и, -сле\!1.ов ательно, не ,влияют на .вза,имодейс11Вие
ко рпу са и '!{рыла при скольжении .
Давпенне на крыле
Ис п ользу я ( 11 .3 .8) и ( 1.1 .3 .5), за пиш ем зависИ1мость для коэффиди€iНта дав
лен ия н а ниж.ней по-верхности ко н соли крыла ,с учето.м интерференции:
-Ркр(т)и =
-
(2/Voo)[Utн+и,щ+U@н+r:i(Vtн+vан+V@н)- ~(Wtнf Wан+
+ W~н)] - (1/V~)[(Vtн+vан +v~н)2+(Wtн +wан +w@н)2). (11.3.20)
Для верх н ей поверхности коэффициент давления можно предста,вить фор
му л ой (11.3 .20) с заменой в ней .индекса «н» на <~в». Полученное -со.от.ношение
можно преобразовать пр.и помощи зависимостей, связывающлх между собой
со-ставляющие ск-орости ,на верх ней и нижн ей поверхностях .и вытекающих из
с оображений симметрии.
•
Для ус ловий на нижней и ,верхней поверхностях правой консоли эти зави
с иrмости ,и ме ют следующий sид:
UaH === -
UаБ' WO:H =
-
Wet.B' Vан = VaB;
) (11 .3.21)
Записывая ( 11.3 .20) применительно к условиям на -верхней по,верхности и
производя за м еJ1у членов ·с ,индексом «в» соответствующими з·начения.ми, пре.1!'
ставленными ( 11.3 .21), найдем
Ркр(т)в= - (2/Vоо)[и1н- иан+и@н- а(-Vtн+vан- v@н)-
-
~ (Wtн - Wан + W@н)] - (1/V~)[(-Vtн + Vан - V@н)2 + (W1н- Wан + W@н)2J
(11.3.22)
127
Коэффпцнент ,переп а да да влен-ия
Лркр(:r) = Рхр(т)н - Рнр(т)в =
-
(4,:Vоо) и,н - (4/V 00)[(v1н + V@н) а - Waн~l
-
Пр инимая во внимание зависи,юсть (11.2.44) Vt =O , а также ус.1 0 1юrе безот
рывного обтекан н я крыла в поперечно,~ напра·влении v~ =0, п олучим
(ll .3 .23)
Состав.1яю ~ц ие ск о р о сти иан, wи.н, Wtн были определены вы ражен ня:,~ и
( 11.2.34), ( 11 .2.35) и (11.2.43). Составля ющую w ~ н найде,1 из ур авнени я (1] .3.16),
положив в не,r G=z:
(11.3.24)
Пос.1е соответствующих подстано вок в (1-1
-
.3 .23) найдем
4a~ -z (l+_r2_)(1__
r_2)~
s
z2\
z2
+ -------'- -- --'- . .:. __ ___ ;с. __
r(1+ _r2 )2__
z2 (1+_,-2 )2]1/2
Ls2
s2
z2
(11.3 .25)
В .выражении ( 1.1 .3 .25) сла гае мое с со.множи'Гелем af> ха.рактеjJиз ует взаи:,~о
действие крыла и корпуса, о бусловл-~нное ,скольжени ем. Э то слагаемое аоИJ'!Ы ет
р.ично для левой J1 л равой консолей, т ак как угол В для левой конс ол и будет
отрицательны м, а для правой - положительным.
•
Подъемная снла н центр да,влення
. ...
Взаимод ействие между крылом и корпусом при налич ии угла
скольжения приводит к том у , что подъемная сила правой консо ли
возрастает с увелич ением угла крена ер, а левой консоли убывае т
на ту же величин у . П оэ то м у суммарная подъемная сила комбина
ции не изм еняетс я и сохр аняется по величине такой, как пр и от
· сутствии с1ю льжения.
Подъе мная сила в напра влении оси у 1 (см. рис. 11.3.1) ра вна в
соответстви и с ( 11 .2.81)
(11.3 .26)
Боковая сила в направле ни и оси z 1 созда ется только корпусом
в результате его обт екан ия поперечным потоком со скоро стью -
,
~ Vоо и не завис и т от присутствия крыла нулев ой толщины , которое «
не оказывает влия ния на это обтекание. Согла с но (11.2.79 ) ,
(11.3.27)
i28
Подъемная сила в на-правлении оси у (см .. р.ис . 11.3.1; система
связанных осей х'Оу' повернута относительно оси Oz на угол атаки
ае; угол ер для этой системы равен нулю)
У=У1т,кр cos f-Z1т sin (f = 2ac:rts7,i [(1- r~)2 cos2 (f +r~] q00 •
(11.3 .28)
Боковая сила в направлении оси z'
Z = У1т,кр sin С?+ Z1т cos f= 2ac:ri:s7,i sin 1f cos 'f ( 1-r~) q"".
( 11.3.29)
Рассмотрим подъемную силу и центр давления несущей консоли.
обусловленные креном. Для правой треугольной консоли вел ичина
этой подъемной силы, определяемая вторым слагаемым в (11.3 .25) ,,
которое обозначим [ дРкр(тJ<р, равна
дУкр(т)=qоо 15[ЛPкp(::_J'f'dSкp·
(11.3 .30)
((р)
Из рис. 11.2.3 видно, что элементарная площадь консоли
dSкp = dzdx=dzdsjtge.
В соответствии с эти~! значением и с учетом ( 11 .3,25) для вто
рого слагаемого напишем
•
sr
/{[(
г2 )2
z2(
г2 \2]'/•}
Хdz.) ds s 1+-~
---;z 1+~}
.
z
Производя вычисление второго интеграла, получим
r
(11.3.30 ')
Дальнейшее интегрирование осуществляется численным мето
дом. Введем коэффициент интерференции, вычисляемый в виде
К'Р= дУкр(т) tg е/( Укр~),
(11.3 .31 )
где Унр - подъемная сила одной треугольной изолированно й кон
соли .
В соответствии с ( 11.2 .80)
укр= a:ri: (sт-r) 2 qoo.
5-967
С учетом прив еденных выражений коэффициент
K"l =
__
2__ssm z(1 +_г2_)(1 ::_ _r2_)2arch
,I(Sm - г)2
z2
z2
2s;,, -
(z2 + r4/z2)
-------dz.
z2 _ r4/z2
r
( 11.3 .32)
Как показывают расчеты, коэффициент Krp можно прин ят ь од;,r
наковым для консолей различной формы и рассматрива т ь функцией
только отношения r/sт. Эти значения, полученные численным ин
Р.ис. Н.3.2. Коэффицие.нты ин
·rерфе ренции при крене для
!IJюской и к,рестообразной ком-
бинаций
тегрированием, представлены в табл .
11.3 .2 и на рис. 11:3.2 в фушкции
отношения ,r/sm. Сила, характеризу
емая ,коэффициентом Krp, зависит,
как видно из ( 11.3.23), от сум,мар
ного воздействия поля скоростей
Wa и w~, вызванных наличием углов
атаки и скольжения. · Согласно
( 11.3.31), величина этой ,силы
лУкр(т) = К~кp~/tg s,
(11.3.33)
а соответствующий коэффициент
ЛСукр(т) = лУкр(т)/(qооSкр)=
= K'f'c~кpa~/ tgz . (11.3.33')
Продольная координата центра давления консоли, отсчитывае
ма я от носка бортовой хорды, определяется r1з условия
(11 .3.34)
uде дополнительный момент тангажа, обусловленный креном,
( 11.3 .35)
r
z
Расстояние от оси симметрии корпуса до центра давления в по·
п еречном направлении вычисляется из выражения
(zц.д)чжр<тJ =
-
ЛЛ1.хкр(тJ / лУкр(т},
( 11.3 .36)
п;,де дополнительная величина момента крена при скольжении
( 11 .3.37)
r
z
По значениям обеих координат центра давления, найденным n
_,езультате численного интегрирования, подсчитаны коэффициенты
центр а давления:
( Сц. д)<ркр(т) = [(хц,д)'f'кр(т)]/ Ькр;
}
(zц.д)'fкр(т) • [(zц.д)<ркр(т) - г]/(sт-г).
(11.3.38)
\
Таблиц .а 11.3 .2
Плоская коыбинация
Крестообразная комбинация
r
sm
Kq,
1 (сц.д) <ркр(т) 1 (Zц,д) <ркр(т) к'!' 1 (сц,д) <ркр(т} l(zц.д) '!'кр(тj
о
0,637
0,667
0,524
0,382
0,667
0,556
0,1
0,687
0,667
0,518
0,447
0,654
0,532
0,2
0,681
0,677
0,531
0,490
0,660
0,53(}
0,3
0,649
0,688
0,546
0,508
0,673
0,54()
0,4
0,597
0,699
0,560
0,502
0,687
0,554
0,5
0,529
0,709
0,575
0,471
0,700
0,569
0,6
0,447
0,719
0,588
0,417
0,714
0,585
0,7
0,352
0,729
0,601
0,342
0,725
0,598
0,8
0,246
0,736
0,614
0,244
0,734
0,612
0,9
о, 128
0,744
0,616
о, 127
0,743
О,025
1,0
о
0,750
0,637
о
0,750
0,631
Эти коэффициенты приведены в табл. 11.3 .2 . Они могут быть
использованы для определения момента крена, изгибающего мо
мента в rюрневом сечении консоли в зависимости от угла крен а.
Здесь не рассматриваются нагрузки, действующие на корпус при
I<рене. Эти нагрузки, имеющие, как и для крыла, асимметричный
характер, практически не оказывают влияния на подъемную силу.
момент и, следовательно, на положение центра давления комб и
нации.
Общие соотноwения дnя сни
и моментов пnоской комбинации при крене
Коэффициент продольного момента (иначе, коэффициент ш ар
нирного момента), определяемый относительно поперечной осп,
проходящей через вершину консоли (точки D на рис . 11.2.5) ,
тш.~с= -О,Бс;краЬкр[(с11•11)щ(т)+ :'f'~
(сц.л)'!':кр(т)], (11.3 .39)
где а=ас cos 9 , ькр= ькрlхк.
Так r<ак при крене дополнительная подъемная с и л а от обоих
консолей не возникает, то, очевидно, суммарный коэффициент
подъ ем ной силы (в направлении оси у 1 , рис. 11.3.3)
у
_
lт,кр _
+а(КIК)
Суtт,кр-
S -Суlт Сукр тТкра.
.
qoo кр
( 11.3.4Щ
С учетом этого значения коэффициент момента тангажа, р ас
счита ,нного относительно носка корпуса,
mzlт, кр= mz1т- IK., [(сц, д)ат(кр} ькр +хкр] +
+ К~Р [(сц.л)акр< т >~р+хкр] j с;кра,
(l l.3.41J
5*
IЗil
rд• т.,,~коэффициент момента тангажа корпуса, рассчитанный l
в плоскости угла атаки а по площади консолей Sкр и длине Хк;
•
Ьнр =Ькр/Хк; Хкр=Хкр/Хк (см. рис. 11.2.5).
В соответствии с ( 11.3 .40) и ( 11.3.41) вычисляется коэффициепr
центра давления, являющегося точкой приложения суммарной
подъемной силы У1т, кр:
(сц.д)а=(Хц.д)а/Хк= - mz1т,кр/Су1т,кр•
( 11.3.42)
Коэффициент боковой силы (в направлении оси z1) находится
при условии, что эта сила создается только корпусом в результате
•
~,
его обтекания со с:коро-
,1'
стью - VооА и не зависит
'J \е,,,• t
1--'
\\0 ,с~,
от присутствия крыла ну-
левой толщины, rкоторое
не оказывает влияния на
это обтекание. В соответ
ствии с этим
Сz!т,кр= Сz!т• ( 11.3.43)
Рлс. 11.3.3 . !\оэффициенты сил и мо1мещ9в,
!t~ЙС1\ВУЮЩИХ на плоскую КОIМб!!'нацию при
юрене
Так же, как и бок,овая
сила, момент рыскания в
плоскости угла -скольже
ния создается только кор·
пусом . ,Коэффициент это
го момента
mуlт,кр= тtт~,
(11.3 .44)
~
(1
где производная тут = - mzт•
Очевидно, для рассматриваемой комбинации коэффициент цент
ра давления боковой силы будет таким, как для изолированного
корпуса, т. е.
( 11.3 .45)
Увел ичение подъемной силы и ее снижение на ту же величину
соответственно на правой и левой консолях при скольжении вызы
вает момент крена, коэффициент которого
К'Ра(.).Г(-)+1]Sm- Г
тх1т,кр. --- Сукра \, l zц.д <рКр(т) =---
·
. tgЕ•
Sт_ 1
Хк
(11.3 .46)
Зная аэродинамичес.кие характеристики относительно осей У1 и z1,
мажно определить соответствующие их значения относительно oce{r
у' и z'.. Согласно рис. 11.3 .3, коэффициент подъемной силы, дейст
вующей в направлении оси у',
Су•т, кр = Су!т, кр COS (j)- Czlтsin 'f ·
( 11.3.47)
132.
В этом выражении в соответствии с ( 11.3.40) можно принять
Суtт,кр = с;тас COS <р+ с;кр (Кт+ Ккр) а COS ер.
Полагая также, что
получим из ( 11.3 .4 7)
Су'т, кр = с;тас +с;кр (Кт+ Ккр) ас COS2 <р.
Коэффициент боковои силы в направлении оси z'
Сz'т,кр = Суtт,кр sin <p+Cz1тCOS<p.
(11.3 .48)
( 11.3.49)
(11.3 .47')
(11.3 .50)
Внося сюда значения Су1т,кр и Cziт из (11.3 .48) и (11.3.49),
найдем
( 11.3.50')
Имея коэффициенты подъемной и боковой сил ( 11.3.47'), ( 11 .3 .50')
и зная расположение соответствующих центров давления для кон
солей и корпуса, можно найти коэффициенты продольного момента
и момента рыскания относительно поперечных осей у' и z', п:рохо
дящих через носовую часть.
Коэффицие нты сил Су~т и Czrт u момента mziт• создаваемых
носовой частью корпуса, вычисляются по линеаризованной теории
для изолированного корпуса.
§ 11.4 . КРЕСТООБРАЗНАЯ КОМБИНАЦИЯ
Давление н подьемная сила
Рассмотрим аэродинамические коэффициенты крестообразной:
rкомбинации в виде кругового цилиндра и плоских консолей нуле
вой толщины, обтекаемой
слабовозмущенным (ли
неаризованным) · сверх
звуковым потоком (рис.
11.4.1). Примем, что вер
тИlкальные консоли име
ют та1кую же форму в
в плане и полуразмах,
как и горизонтальные.
Одновременно будем .ис·
ходить из предположения,
что наличие вертикальных
:консолей не влияет на
картину обтекания ком
бинации в продольной
плоскости х1ОУ1 под уг
.лом атаки а = ас 'COS ер,
~ак же как присутствие Ри,с. 11.4 .1 . ~рестообразная комбинация
z'
133
горизонтальных ·консолей. не оrказывает влияния на аэродина1ми
чеокий спектр обтекания, получаемый при изменении угла с1Коль
жения В= ас sin ер.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к решению
двух самостоятельных задач, одна из которых связана с отысканием
поля скоростей для плос1,ой комбинации «корпус - вертикаль
ное 1,рыло», установленной под углом а, другая - с определением
поля скоростей плоской комбинации «корпус - горизонтальное
кры л о», имеющей угол В- В результате сложения полей получается
суммарный поток около крестообразной комбинации, повернутой
на угол тангажа ас и угол крена ер.
В соответствии с этим суммарные значения скоростей возмуще
ния опред еляются формулами ( 11.3 .5), а коэффициент давления --
соотношени е м ( 11.3 . 7). Коэффициент перепада давления на корпусе
находится из выражения ( 11 .3 .13), в котором составляющие
llин, Wан, Vан опредеЛЯЮТСЯ ОООТВеТСТВеННО ПО формулам ( 11.2.22),
(11 .2.24), (11.2 .25), полученным для плоской .комбинации при ус-
ловии, что в этих формулах а=ас cos ер.
Д л я оп ре де л е ния -составляющих w ~ тт v f3 :воспользуемся выражением для
компле ксного пот енц и а ла п л оской ко,мбинации, обтекаемой в поперечном иаправ
ленни •С·О •скоростью 13 V"'· Э т о ,выражение находим следующим образом. По ана
логии с ( 11.2.18) напише,м формулу для ко,мплексного •поrенциала при обтекании
круГЛ·QГО Ц.ИЛ%Ндра рад и уса Го~ ПЛОСКО,С'l'И ~= s+i'Y]:
Далее по аналогии с (11 .2.16) напишем уравнение
а- r2/cr=С- r5J(,
в котор-ом r0=0,5'[s+ (r2/s)].
(11.4. 1)
(11.4.2)
Можно убедиться s то;1, что при помощи этого уравнения осуществляется
конфор•мное преобразо:вание кр уга ради уса r0 в контур, состоящий из круга ра
диуса r и ,пары вертикальных консолей •С paз :vraxo,"'r ±s и получающийся в ре
зультате пересечения комбинации «кор•пус - крыло» с плоскостью yOz.
Решая относительно ~ ква дратное уравнен,ие 1( 11.4.2), полу ч им
(= О,Б[(а - r2/cr) +V(а-r2/a)2+ 4r5] .
(11.4 .3)
В резуJiьтате подстановки этой величины ,в ( 1·1.4.1) находю1 к омпJiексный
потенциаJI:
w=
-
pv00 [(а - r2/a)2+4г5]1⁄4
(11.4 .4)
Чтобы найти полную величину ко,мпJiексного потенциала, надо прибавить
к (11 .4.4) поте-нциаJi ыную ф ующию п отока, параJiлельного о·си z, равную 13 V oo<J -
B результате полный .комплексный потенциал
w~=
-
pvоо! [(а- r2/a)2 + 4г5]'!, _а) .
(11.4 .5)
[34
r Для поверхности корпуса при условии, что a=rei& ,
w@-iv@= -~V
- -- - -- =~-------'- - -1
.
.
[2rsiпб(l+cos26-isin20)i ]
00
(4rб-4r2sin20)'/,
(11 .4.7)
Отсюда находим:
{
2rsin0sin20
)
w~=
~v
-
1•
-:-
00
[(s + r2/s)2-4r2 sin2 0]1⁄2
f'
(11.4 .8)
2~rV00 sin 0 (1 + cos 26)
v~=
((s + r2/s)2 - 4r2 sin2 е{/ 2
(11.4 .9)
Подстави м (11.4.8 ) и (11.4.9), а также (11.2.22), (1 ,1.2.24), (11.2.25) 1В фор
мулу ( 11.3 .13) для коэффициента перепада давления на 1юрпусе. Имея в виду
пря этом, что r cos 8 =Z, .найдем
4
~dr _!_
-
(1
+~)[
2
.!_ .!!!._ + ;!!_ (1
-
~)]
r2dxs
s2
s d;c
dx
s2
(11.4;10)
Первое слагаемое ,содержит члены, пропорциональные nроиз,вод1ным dr/dx
:и ds/dx, которые характерлзуют соответственно влияние из,менения радиуса кор
nуса и полуразмаха консолей . Однако обе эти производные не оказывают 1влия
ния на второе •слагае..,vюе, обусловлеан ое скольжением и д1юыке:ние,м та,нгажа .
Этот член взаимодействия, пропорциональный произведению а~, определяет воз
,растание коэффицнента nepenaдa да,вления на правой половине корnуса. Величи
на этого коэффициента у,меньшается на такую ,же величину на левой поло1вине
-,юрпуса. Это ,следует из формулы ( 11.3 .13), ,в которой •составляющую v~ н надо
,взять для левой половины корпуса с обратным знаком, что приведет к появле
нию отрицательного знака перед вторым слагаемым в ( 11.4.Ю).
Для определения коэффициента перепада давления на nравой горизонталь
ной консоли ,воспользуемся формулой ( 11 .3.23), в которой ,составляющие ско
рости иа н, wa" и Wtн
находятся соответственно 1из !Выражений (11 .2.34),
:(1'1 .2 .35) и (1 ·1.2.43). Составляющую w ~н найдем из соотношения (1 ,1.4.6), при-
111яв в нем (J=Z:
{'
z(l-r4/z4)
}
w~=
-
~v
-----'---------'--- -
1
00
[(z - r2/z)2 + (s + r2/s)2]' 1•
(11.4.11)
В результате соответс11вующих подстановок находим
.!_ .!!:.!_ [(1- ~)2+2{,.:::_-
1)]+~(1- ~)
s
dx
z2
s2
dx
s4
дркр(т) = 4 а
[
r4
z2(
r4 )]'/1
1+-- ~
l+-
s4
s2
z4
+
4 ~ а~ (1 - ...С:....)2
s2
z4
+ -----------~ - - - -
[(1+ :: У-;:(1+ ::)2]'/1
(11.4.12)
135
В соответствии с этой формуJiой избыточное давление на прав,ой кон.соли при ее
д•вижении ,вниз возрастает, а на левой коJколи убывает JJa ту же величину .
Коэффициент перепада давления на верхней и ·нижней кон,солях ·м ожно ,опре
делить из соо·бражений симметр,ии, используя зависимость ( Ш .4 .12), 1В которой
следует заменить z на у и осуществить перестановку углов а ·и ~-
В соответствии
с этим для нижней консоли
_г_dr[(l- _г2)2+2(-г2- l)l+_ds(l-
_r4' )
s
dx
у2
s2
Jdx
s4
дркр(т) = 4~ ------[- -r -4- --, -•.-y2-(--.
-r4_)_]'-/.----- +
1+---- 1+-
s4
s2
s4
4_у_2_ а;~ (l _ _г_4)2
s2
у4
+---------- ~ - -- - -
[(1 + _г4 )2 _ _у4 (l + _г4)2]•1~
_
s4
s4
у4
(11. 4. 13)
Углы а и ~ пря,нимаются положительными. Давлени,е на верхней ко,неоли будет
определяп,ся по той же формуле (11.4.13) с той разницей, что угол fl прини
мается положительным, а а - отрицательным . Втор ,ой член с afl (член взаимо
действия) а симметри чен для нижней и верхRей консолей. Наличие асимметрич11uго
члена 'В (11.4.12) и (11.4 .1 3 ) приводит к тому, что хотя подъемная аила на кон
солях и возникает, однако ~в следств ие ас11,мметрич.ности нагрузки дополнительная
подъемная .сила не создается.
Имея в виду, что сум1марные подъемные силы .на ко,нсолях не зависят от чле
нов взаимодействия, полную подъемную сллу, действующую на комбинацию «кор
пус - крестообразное крыло» при наличии ,скольж,ен.ия, можно сrс~айТIИ путе,м ,сум
мированrия сил, действующих ,на две плоок,ие комбинац•rnи «корпус - крыл,о» ,
устано·влен,ные в потоке под соответствующ~tми углами
а=асcos'f'и~=асsin'f'.
По аналогии с ( 11.3 .26) подъемная сила в направлении оси Yi ,
действующая на комбинацию «корпус - горизонтальные консоли »,
Y1т,1<p=2a:rts~ ( 1-r;п +r;,) qoo,
(11.4.14)
Подъемная (боковая) сила, действующая на комбинацию
«корпус - вертикальное оперение» в направлении, обратном поло
жительному направлению оси z1,
Z1r, кр= - 2f,ns~ ( 1- r ~ +г;;,) qoo.
(11.4.15 )
Подъемная сила в направлении оси у' (см. рис. 11.3.1)
У= У1т, "Р cos <р - Z1т, кр sin <р= 2acn:s~qco ( 1- r7п +r;;,) cos 2 <р +
+2acns~q00 ( 1- r~ +r~) sin 2 <р= 2aJCS,~ ( 1- r~ +г;;,) qoo,
· (11.4 .16 )
Подъемная (боковая сила) в направлении оси z' равна нулю .
Действительно,
•
•
•
[
2
(
2
4)
Z=Y1т,кpSIП<p--j- Z1т,1<pCOS<p _ 2a~nsmqoo 1-rт-~1-т -
-
2acns;1q 00 ( 1- r;, +г;;,)] sin <р cos <р=О.
(11.4.17)
Полученные результаты указывают на одно важное свойство
крестообразной комбинации: пр и повороте лет ат ель ног . о
аппарата, т. е. при наличии скольжения, подъем
ная сила в вертикальной плоскости, параллель
ной набегающему потоI<у и проходящей через
продольнуюосьаппарата,неизменяется.
Коэффнцненты ннтерференцни н цент·ра давления
Вычислим п одъемную силу и центр давления консоли, обуслов
ленные креном. В соответствии с выражением ( 11 .3.30), в котором
[ЛрRр(т)](J) определяется вторым слагаемым в ( 11.4.12), получим
sm
sm
2
•
qсо5J[-]
4ас sin ер cos cpqсо
лУкр(тJ= -- dz ЛР1<р(т> 'f'ds =---
----X
•
~-
~·
r
z
Введем о б означения:
s s2/r2, Z= z 2/r2.
В соответствии с э тими обозначениями
Интегрирование по s в (11.4 .19) приводит к выражению
где F1 и F2 - эллиптические интегралы второго рода:
<j,
F(•{!, k)=S
dcp
'
0 Vl - k2sincp2
(llA.18)
(11.4.19)
(11.4.20)
137
вычисляемые при условии, что
(11.4 .21 )
В соответств и и с полученным результато м
лУ1<р( т) .
a;r2q 00 sin 'f cos 'f
V2 tgE
(11.4 .22)
Для определ е ния подъемной силы по (11.4.22) необходимо приме
нить числ е нно е инт е грирование . По найденному значению подъем
ной силы можно вычислить коэффициент интерференции , используя
зависимость ( 11.3.31):
Результаты расчета величины Кер приведены в табл. 11.3.2 и на
графике (см. рис. 11.3.2). По таблице или графику можно
найти разность между значениями Кер для плоской и кре
,стообразной комбинаций, которая характеризует взаимную интер
ференцию несущих консолей. Наличие вертикальных консолей в
крестообразной комбинации снижает эф ф е кт и н т е р ф е
р е н ц и и по сравнению с плоской комбинацией и уменышает ,коэф
фициент Кер.
Используя формулы ( 11.3 .34)-( 11.3.38), можно определить по
ложение центра давления на консолях крестообразной комбинацш: .
Соответствующие результаты приведены в табл. 11.3 .2 . Из сравне
ния данных для пло,ской и крестообразной комбинаций в.ид
но, что практиче-ски цент,ры давлений . в обоих •случаях сов
падают.
Сравнение данных с результатами, полученными при отсутствии
крена (см. табл . 11.2 .1) , показывает, что для сил , вызванных кре •
ном, имеет место большее смещение центра давления, чем для ин
терференционных сил, возникающих при а =F О, ~=О (<р =О).
138
Общие соотношения для сил и моментов
Полученные зависимости для коэффициентов интерференции и
и центров давления позволяют рассчитать коэффициенты сил и мо
ментов, действующих на крестообразную комбинацию (рис. 11.4.1).
При исследовании влияния крена на интерференцию между кор
пусом и крылом было устдновлено, что угол крена создает допол
нительные асимметричные нагрузки на правую и левую половины
корпуса, а также на противоположные консоли и не вызывает, слt
довательно, дополнительной подъемной боковой силы. Поэтому
обтекание корпуса можно рассматривать как результат сложения
потоков, получаемых при углах а = ас cos ер и р = ,ас sin ер. Возникаю
щие при этом силы также суммируются.
В соответствии с этим коэффициент подъемной силы Су т, 1,р (в
плоскости угла а) определяется формулой (11.3.40), а коэффици
ент боковой силы (в плоскости угла р)- аналогичным выражением
Сz!т, l(p= ZJт,кp/(qooSкp) = Czlт + сJкр (Кт+!(кр)~,
( 11.4.24)
аВ~
а
Где Сz1т= -Сут ,, Сzкр= - Сукр·
Коэффициент момента тангажа в плоскости угла а находят по
формуле ( 11.3 .41), а коэффициент момента рыскания (в плоскости
угла р) - по аналогичной зависимости
туlт,кр= туlт- (К,. [(cц.1\kl'{Kp)~p+xкrJ +
[
-
-
]~
+ккр (сц.д)~кр(т)Ь"Р+х,,р ) Сzкр~,
(11.4.25)
()
.
~
а
= Сц,д · акр{т), Сzкр= -С укр·
Определив моменты и подъемные силы, можно вычислить со -
ответствующие коэффициенты центра давления для условий об
текания в плоскостях а и р. В рассматриваемом случае аэродина
мически симметричной крестообразной комбинации эти коэффици
енты одинаковы и будут такими, как для плоской комбинации.
Из сравнения данных для плоской и крестообразной комбинации
видно, что практически центры давления дополнительных сил,
вызванных крен·ом, в обоих случаях совпадают. Сопоставление с
результатами, полученными при отсутствии крена, показывает, что
при скольжении имеет место большее смещение центра давления.
Рассмотрим коэффициент подъемной силы в плоскости угла ас~
На основании формул (11.3.47)-(11 .3 .49), (11.4.24) и значения
с~-
а
zкр- - Cyl(p ПОЛУЧИМ
( 11.4 .26)
Коэффициент боковой силы Сz'т, кр в соответствии с ( 11.4 .17)
равен нулю. Суммарный момент крена крестообразной комбинации
также равен нулю, так как вертикальные консоли создают такой же
139
по величине м о мент крена, как и горизонтальные, но обратный по
направлению.
Напомним , что р а ссматриваемые в данной главе задачи реш а
ются в рамках линеаризованной теории для тонких тел, аэродина
миче,ские характеристики .которых не зависят от числа Мое, ,и, к.роме
того , н е учитываетс я эффе кт от вяз кого обтекания. Если же и с
следуются «нетонкие» тела даже в рамках указанной теории или
учитываются вязкие свойства, приводящие к отрыву потока, то бу
дут возникать боковая (подъемна я ) с ила и моме нт крена, обуслов
ленные перераспределением давления.
Крылья или оперение могу т р асполагаться на корпусе таким
образом, что за ни ми сохраняется хвостовой участ ок корпуса не
которой длины. В связи с этим необходимо отметить, что для тон
ких комбинаций длина корпуса з а крыл о м н е о к азы вает влияния
на подъемную силу и положение центра давления корпуса. Это объ
ясняет с я тем, что согласно аэродинамической тео р ии тонко г о тела
нагрузка, и н дуцируема я крылом, распрост р а няетс я на кор пус в
направлении диаметр а DD (см. рис. 11.2 .5) и, следовательно, пло
щадь, на которую переносится. подъемная сила, расположена непо
средственно под консолями (на ри с. 11. 2 .5 '1 заштрихова нн ый уча
сток).
Влияние сжимаемостн
Р езул ьтат ы р асче т а I<оэффициентов интерференции для комби
наций, включа ющих тон кие корпуса и консоли, могут быть поло
жены в о сн о ву метода оп р еделения подъемной силы летательны х
аппаратов, состо я щих из « н етонких» элементов . Этот метод состоит
в том, что аэродина м ичес к ий коэффициент для таких конфигураций
вычисляют по коэффициенту интерференции, найденному из теори а
тонкого тела (см. табл. 11 .2. 1 и 11.3 .2) , и аэродинамическому коэф
фици енту из олиро ванного кры л а, взятому по линеаризован но й
теории. В соответствии с этим методом добавочные коэффициенты
подъемной силы , обус лов л енные интерференцией,
(11.4 .27 )
Здесь Сукр определяется с учетом влияния числа Мое по лине
аризованной теории обтекания крыла .
Коэффициенты интерференции можно вычислять до значени й
Моо""" l--; - - -1,5 по приведенным выше соотношениям без учета сжи
маемости, принимая во внимание их изменение в зависимости от
сужения консолей крыла, толщины пограничного слоя и места рас
положения по длине корпуса .
По мере возрастания скоростей обтекания все в большей мер е
проявляется зависимость интерференции от сжимаемости . Эта за •
висимость может быть выражена, в частности, через изменение
толщины вытесне,ния пограничного слоя 6* в ( 11.2 .76) от числа М=
в соответствии ,с ( 12.6 .23').
На коэффициент интерференции также оказывает непосредст
венное влияние сжимаемость, 1юторую можно учесть при помощи
140
:_
поправочного множителя
},,. /(К ) . К /(К ) • 0,05(1-М,:,о)
Vм= \~р кр теор= т т теор=е
'
(ll.4.28t
пригодного для М00 ~ 5. При помощи ( 11.4.28) уточняются значе
ния коэффициентов интерференции (11.2 .78):
(11.4.29}
Ранее было отмечено, что для тонких комбинаций длина корпуса
за крылом не оказывает влияния на подъемну_:0 силу. и положение
центра давления. Однако для «нет онких» комоинации такое влия
ние может оказаться существенным.
Рис. 11.4 .2 . Область влияния крыла на корпус в ,случае
«нетонкой» конфиrурац-ии, о·бтекаемой сверхзвуковым
ли,неаризо,ванным nото.ком:
а, б - пл. оские модели конфигураций с хвостовой частью соот
ветственно с н:ривым:и (спиральными) и прямыми линиями Ма
ха; в - модель без хвостовой части с прямыми линиями Маха
В отличие от тонкой конфигурации, для которой нагрузка, ин-
. дуцируемая
крылом, распространяется на участок корпуса, распо
ложенный непосредствен1Но под крылом, в ,случае «,нетонкого» тела
волны возмущения, идущие от крыла, распространяются на некото
рую область корпуса за этим крылом. Для каждой консоли эта
область расположена между винтовыми линиями 1-1 и 2-2, выхо
дящими из !Начала и конца бортовой хо,рды и пересекающими
образующие корпуса под у:глом Маха !1-oo=arcctg VМ~-1
(рис. 11.4 .2). Упрощенно такую область можно рассматривать как
14J
участок плоской поверхности, ограниченной на корпусе пр ям ымп
лини ями Маха, выходящими из точ ек пер едней и задней кр омок
крыла (на рис. 11.4 .2а линии 1-1, 2- 2) . Если длина корпуса Ххв
за крылом достаточно велика (хх" >x;=2rV М~ - 1), то эф
фект ,интерферен ции будет наибол ьшим и , следовательно, инду ци
руем ая крылом подъемная сила переносится на корпус полно стью .
В сл учае короткого хвостового у частк а (ххв< х;) ч асть этой си лы
.не ре ализуется, так как разм ер ы о бла сти п ере носа подъемной силы
на корпусе сокращаются. В результате коэффициент интерфер ен
ции Кт уменьшается. Его значение можно вычислить при помощrr
форм улы
(1 1.4 .30)
11де
(11.4 .31)
-
а Ф1 (z1) и Ф2 (z2) - функции Лапласа-Гаусса , определяемые из
соот ветствующ и х таб л иц по ар гум ентам :
z,~Ь,р : ~~:•[2(4+1/~,р)(1+Br;.)]'fi• ]
Z2= Z1
Ькр + Ххв
(11.4 .32)
Параметр d в (11.4.31)
d =0,866 [ ( Ь;: )2( 4+ 1/11кр) (1 + 8r;,) гl/Z.
В приведенных зависимостях величина xi может выбираться
.
2 V м 2 1 или (для несколько большей точности
раВНОИ Х;= r
оо_-__
)
V M2 1 (в предположении спиральной линии
расчетов X;= n r
_
оо-
.Маха).
Коэффиц иент интерференции Кт, координату центра давления
на к орп ус е с у четом влиян.ия сжимаемости, длину хвостового уча
~тка корпуса и сужение консоли можно определить непосредст
венно, если рассмотреть область переноса подъемной силы в виде
учас тк а плоской повер хн ости (рис . 11.4.2).
Зде с ь т ечен ие рассчитывают, как поток около изолированного
тр еуго ль н ого крыла полу бескон ечного размаха. В соответствии с
(8.3 .3 1) п е репад коэффициента давления, индуцированного крыло м
со св ерхзвуковой передней кромкой на участке между линиям н
Ма ха, исходящими из начала и конца корневой хорды (рис . 11.4 .3,
заштр ихованная область), равен
(11.4 .33)
rде а!{р -угол атаки крыла ; У], ~ - обозначения координат, пока
занных на рис. 11.4.2 и 11.4 .3.
142
◄
1
Перепад коэффициента давления , индуцированного , крыло м с
дозвуковой передней кромкой, имеет вид [48]
8aкp(a'tgo)3l2 У 1-(a''I))/~
Лр=Рн- Рв = -~--'~- ·
_
-~---'--'-- .
( 11.4 .34)
:n:a'(а'tgе+1)
а'[tgЕ+(1J/Ш
:::
Фо.рмулы (11.4 .33) и (11.4 .34) пригодны для условий, при кото-
рых линия Маха, выходящая из точки А боковой кромки, проходи:к
за точкой G задней кромки, расположенной на корпусе, т. е. бо-
Ьк
Рис. 1.1.4.3 . Плоская модель для расчета подъем,ной си
лы с учетом интерференциf! между крылом и J<Орпусом
ковая кромка не оказывает влияния на область переноса подъем
ной силы. Эти условия выполняются (рис. 11.4.3), если
a'(sт-r)(1+ ,1 )>,-1.
(11.4 .35,)
Ькр
а tgе
Для комбинации с хвостовым участком элементарная подъем
ная сила, действующая на участок корпуса под крылом,
(11.4 .36 }
где drid~ -эл ементарная площадь участка корпуса (рис. 1 1.4.З) .
Коэффициент подъемной силы, отнесенный к площади двух изо.
лированных консолей, будет равен:
для сверхзвуковой стреловидной кромки
2 Н Лpd1Jd~
(S)
1+('IJ/~)а'2tgЕ d~;
а' [tg Е + ('1)/Щ
(11 .3 .37}
для дозвуковой стреловидной кромки
16 (а' tg ,;,)312акр
ЛСут(1<р)= -_--------------
,-- Х
(Sт - 1) [1 + (Ькц/Ькр)] (а' tg" + 1) na rЬкр
,
ькр+"'ТJ V
Х 5d'I'] \
1- а'('IJ/~) d~.
.\
a' [tge+('IJ/~ )]
о
<L'ТJ
( 11.4 .38)
Для конфигурации без хвосто вой части корпуса за крылом подъ
емную силу следует рассчитывать при по мо щи тех же формул
( 11.4 .37), ( 11.4 .38), но с условием, что в качестве верх н его предела
второго интеграла следует брать вместо Ьнр+а'ч значение Ь11р.
~
~
Ькц
А ~~-~------,--+-----,
б ,-..._,_.---а
А ~-~-r---г--т- ~,,- .'<-s'-----,
- _........,
б ~,-..+-.,;-,с+-----1 ,--9--......,,..-г-.
5 t---::- -t- -
..
:--J"s;:c'k::-1- -- -,
,_ __
,.. .. ... .~
4
3
2 ~~i:,,,,-. .~ 1 ---t= ,= -t --\ -,- 1 --= 9
1 1------"''t-.±--h-a'F"'i--+➔=Ф=I=~
· oUJ -1::::t=:±=~~==!,::d
О,д 1,б 2.4 2о:,'r/Ькр
Рис. 11 .4.4 . К,р.ивые, ха·рактеризующие коэффициент интерференции
Кт, ,ра-ссчитанный для ·плоской ко.нфигурацИ<И <<к·орпус - к.рыло» пр и
•
усл Gвии, что [a' (sm -r)/b"p][ l + (a'tge)-1] ;;,, 1:
.
а - корпус без хвостовой части ; б
-
кор п ус с хвостовой частью
Коэффиц и ент интерференци и Кт для рассматрива ем ой плоской
модели вычисляют по формуле (11.2.11) , в которой Сунр определяют
по линеаризованной теории для изолированного крыла (см. § 8.1) .
По аналогии с определ ени ем подъ емн ой си л ы можно вычислить
продольный м о м ен т си л, и ндуцированных крылом на корпусе , отно
сител ьно ос и, про ходящей через вершину консьли, а затем найти
соот ветств у ющую к оординату центра давления:
(11.4 .39)
П о этой координате определяют коэффициент центра давления:
( сц . д)"т(крJ = (хц.я)ат(крJ/Ькр •
Соответствующие вычисления прои з ведены для летательны х аn
n а р атов с участком корпуса за крылом и без него (см . рис. 11.4.2) .
Ре зультаты эти х вычислений, приведенные на графика х , из о б ра -
144
r
женных на рис. 11.4.4 ·и 11.4.5, указывают на увеличение коэффи
циентов интерференции Кт у летательного аппарата с участкюм
корпуса за крылом. Наличие этого участка приводит также к сме
щению центра давления в более заднее положение, которое слабо
зависит от угла .стреловидности КО!НСоли.
Данные, приведенные на рис. 11.4 .4, а и 11.4 .5, а, относятся !5-
комбинации «корпус- крыло» без хвостовой части (Хх в =О), а на
рис. 11.4.4, б и 11.4.5, б - с участком корпуса, длина которого не
меньше х1 (т. е. Ххн:>-х1 =2r VМ~- 1). Для более короткого
участка (ххв<хi) коэффициенты интерференции .и центра давления
могут быть оцределены при помощи линейной . интерполяции:
К,=Кто+(Кт1-Кто) Ххв ;
(11.4.40)
Х/
(Сц,Q)ат (кр)= (Сц.д )ат (1<р)О + [(Сч.1t)ат(кр) i - ( Сц,д)ат (кр)О] ;.в , ( 11.4 .41)
l
где индексы «О» и «i» обозначают параметры, соответствующие
длинам хвостового участка корпуса Ххв=О и Ххв=Х;=2r V м~ - 1;
коэффициенты интерференции определяются из общего выражения
К=А [а'с~ ~Р(1+1/'l'lкp) (sт - 1)J-1
,
( 11.4 .42)
где А находят из графиков (рис. 11.4.4, 11.4.5). Согласно этим гра
фикам с увеличением а' tg е возрастает коэффи,циент интерферен
ции. Противоположный эф
фект наблюдают при воз- а)
растании величины 2а'r/Ьнр.
(Хид)т1кп1lь
Влияние хвостовой части О,?
кр
IX'tgf:,C0,2
усиливается по мере роста о,в
числа Моо, так как вследст
вие увеличения угла конусов
Маха все большая площадь
переноса оказывается рас
положенной внутри этих
конусов, вершины которых
совпадают с точками пере
сечения - задней кромки опе
рения и образующей кар
/ :::-;,,
=
пуса.
Торможение потока. Аэроди
намические расчеты комбинации
«корпус - ·оперение», рассмотрен
ные выше, осуществлялись в пред
положении, что ,крыло находи'!'ся
в условиях обтекания потоком,
практически не отличающимся от
невозмущенного. Соответствующий
ско ростнnй напор вычислялся по
параметрам этого потока, т. е.
J.
р
0,5
.О о,,
,т
Б)
(ХцдU (кр)
1,6
1,2
0,8
D,Lf
'----
1..,, ,
V
[/
0,8 1,2 1,б 2,0 Zcx'r/bк,o
/ьк
cx,'tg~=,D ,I
~ t,,--:
L,.. ,
~
-~
=
~1,,<"
1,,,,,. с,,
о 0,/./. 0 ,8 i,2 1,б 2,D 2{Х'r/Ькр
Рис. 11.4 .5 . Коорд,инаты центра давления,
рассчитанные для плоской ,конфигурации
«корпу,с - .крыло»
при
усл,ов·ии, что
[a'(sm -r)/b"p}[•l+a'tg е)- 1 )]:;,,1:
а - корпус без • хвостовой части; б - корпус
с хвостовой частью
145
/
q = q 00 = kp00 M~/2. Такому з1начен,ию скоро:ст.ного .напора соо ·гветс 11вовалш ,все
аэродинамически,е коэффицие•нты.
Дейст.вительное обт.екание характеризу.ется торможением потока перед кры
лом, ·которое необходимо учитывать п ри определени и аэродинамических парамет
ров. Степень такого торможения можно охарактеризовать с р ед ни м к о эф
ф и ц иен том торможен и я k; = q/qoo, для которого скорост.ной напор
q=kpM?/2 находят по некоторой ·осредненной величине числа М 1 возмущенного
потока перед крыло:v~ . Полагая давления в возмущенном и невоз,м ущенном пото
ках одинако-выми (р = Роо), ,средний коэффиц иент торможения можно ,выразить
за1виси.мостью k1 = мf1 м: · Изменение этого коэффициента ,пренебрежимо
мало при дозвуко•вых скоростях ,и оказывает,ся су щественным в случае обтекания
с большими числами Моо. При этом вел.ичина k 1 зави-сит от характера и интен
сивности скачков уплотнения, возникающих перед голо вной частью.
Если кры л о находится на расстоянии Хнр> (1,5+2)х ,шд от носка головной
части,· имеющей вид конуса с полуугл:1м при ,вершине Вн< Вн.ир (где ~и.ир -
критиче-ская азеличина п олуугла), то k1 можно определять из усл,овия, что давле
ние перед к р ыло:v~ р=роо. Это•~1 у дав ле нию с0ответствует величина 1<вадрата чи с
ла М1:ха
2
2 [( р~ )(k- 1)/k
j'
М1=--
--
-1
k-1 - Роо
'
(11.4 .43)
где Ро' - д авление торможения за косым ска чком . Отношение р0'(Роо можно пр и
нять равным (Р 'о!Ро ) (Р о !Р оо ), выразив его, как видно, че р ез да ,вление изэнтропи
ческого торможения. Обозначив v 0 =p'0 /p 0 , .можно н аписа ть
'
Ро
('
k- 1 2)k/(k-1)
--=Vo 1+--М
·
Роо
2
00
В соответствии с этим
Mi
2
[
(
k1=
--=
-----
.
V6k-1)/k 1 + k-2 1 м:)- 1] ..
·
м: м:(k-1)
(11.4.44)
Отношение _цавлений торможенмя находят при помощи форм улы (9.2 .26) или
праближенного соотношения [13] :
(
k + l)( k+ l)/(k-1) (
х2
)k/ (k-1) ('
k-l
1-k/(k-1)
v=
--
--- ---- -
kx2- --
о
2
l+[(k-1)/ 2]x2
2-J
'
(11.4.45)
в котором
(k-1
•)112
х=1-cos ~"+1+-2
-
м:sin2~к .
(11.4.46)
Если головная часть отличается от конической, то коэффициент торможен·ия
можно рассчитывать следующим образом . Вначале ,находят для зада,нной· голов
ной части по ,соответст,вующим аэродинамическшм зависимостям коэффи циен т
волнового сопротивления Схв , затем при по.мощи аппрокеимнрующей формулы
(9. 2 .3,J) ,вычисляют соответствующий угол полурас11вора Ви условной кони че ской
поверхностм, · ,которой заменяют заданную головную часть. Далее подсчитьюают
•величину Моо siп Ви, по которой находят пара метры х, Vo и коэффициент k1.
Этот коэффициент позволяет уточнить аэрод,инамические характеристики, ,вычис
ляеu\1/ые •с учето•м интерференции . Например, коэффициент подъемной ,силы ком
бинации «ко рп ус - крыло» будет определяться в виде
Су т,кр =Сут+ (Кт+ Ккр) Су крk1,
(11.4.47 )
где Сукр дел_е сообразно вычислять по линеаризованной теории. При этом та кое
вычислен'!lе можно произвосдiить не по числу Моо , а по уточненному значению
М1<Моо.
146
§ 11.5 . ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ МЕЖДУ КРЫЛОМ И ОПЕРЕНИЕМ
Общне опредеnення
Если перед оперением, расположенным· на корпусе, отсутствуют
другие несущие или управляющие поверхности, то интерференцию
для оперения и корпуса рассчитывают так же, как и для комбина
ции «корпус - крыло». В :том случае, когда на корпусе перед опере
нием имеется крыло, при определении аэродинамических характе
ристик как оперения, так и корпуса следует учитывать дополни
тельное влияние .к рыла. Сказанное в одинаковой мере будет
относиться и к тому случаю,
когда рассматривается схема
<<утка», при которой ,вперЕ!д!\
крыла яаходится оперение.
Рассмотрим физичеокую при
роду интерференции между опе
рением и впереди расположен
ным крылом. ,Вихревая шелена,
сбегающая с 1крыла и проходя
щая ,вблизи оперения, ,вызьrвает
скос потока, в результате чего
уменьшается угол ата1ки и, как
следствие, снижается подъемная
сила консолей оперения.
!:f
х
Рис. 11.5.1 . Схе-ма образова
ния скоса потока за крыл-ом
Скос потока в любой точке пространства за крылом опреде
ляется углом e = -w/Voo, вычисляемым по вертикальной составляю
щей скорости w, индуцируемой вихревой пеленой, сходящей с крыJ1а
(рис. 11.5 .1) . В гл . VI было показано, что для изолированного крыла
угол 1:, в рассматриваемой точке пространства зависит от геомет
рических и аэрод инамических характеристик крыла. Для комбина
ции «крыло - корпус» при определении этого угла необходимо учи
тывать также влияние интерференции. Благодаря ее воздействию
крыло, присоединенное к корпусу, сильнее скашивает поток. Такое
крыло вследствие интерференции с корпусом обладает большей,
чем изолированное крыло, подъемной силой. При возросшем ее зна
чении интенсивнее будет сбегающая с крыла вихревая пелена, ин
дуцирующая за ним большие скорости и сильнее скашивающая
поток.
Предположим, что участок корпуса за крылом имеет постоян
ный диаметр, поэтому вихревая пелена располагается в плоскостr1
крыла. К:ак показывают экспериментальные исследования, это пред
положение может быть с известным приближением отнесено к
весьма тонкой комбинации корпуса и · крыла. При этих условиях
поток за крылом будет параллелен хорде оперения, если крыло и
оперение расположены на корпусе вдоль одной образующей и под
одинаковыми установочными углами (рис. 11.5 .2).
Таким образом, участки оперения с размахом, равным размаху
крыла, не будут иметь подъемной силы. Оставшуюся часть консолн
147
оперения с раз м ахом (sm)oп- ( sm)нp[ (sm)нp - paзмax консоли кры
ла] следует рассматривать вмест е с кон солью крыла как единую
несущую поверхность с размахом (sm) on (на рис. 11.5.2 поверхности .
ABF и CDE).
•
В соответствии со сказанным и со гла сно (11.4 .14) подъемную
силу комбинации «корпус - крыло - оперение», включая подъем
ную силу носовой части корпуса, можно выразить в виде
Ут.~р.~п = 2a:rt (s~) 0пqoo [1 - (r~)orr+ (r~)0п] ,
(11.5 .1)
r де (гт)оп= г/(sт)оп; (sт)~г, > (sт \,р - полу размах оперения .
Для оценки влияния инте р фер енции на подъемную с илу оп ере
ниявведем коэффиицliент эффективности оперения
Рис. 1.1 .5.2. Интерференция между опереаием .и крылом
для т онкой кам,бинации:
1- крылq; 2- вихревая пе.пена; 3- оперение
11оп, опр еделяемый как отношение приращения подъемной силы 11р ·1
установке хвостового оперения на комбинацию «крыло - корпус»
к приращению подъемной силы при установке хвостового оперения
на изолированный 1шрп ус:
11ы1= (Ут,кр,оп - Ут,кр)/( Ут,оп - Ут),
(11.5 .2)
где в соответствии с (11.4 .14)
(11.5.З)
Принимая во внимание, что подъе м ная сила комбинации «кор
пу с - оперени е» Ут ,оп в ( 11 .5 .2) определяется, как и Ут,кр,оп, по
формуле ( 11.5 . 1) , а величина Yт = 2:rtr 2 aqoo, коэффициент эффектив
ности оперения
(r;:;;2)оп [1 + (r~)оп ] - (r;:;;2)кр [1 + (r~)кр]
11011=
-2
2
2
(rт )оп [1- (rт)оп]
(11 .5.4)
Согласно приня той гипотезе, в том случае, когда размах опере
ния меньше или равен размаху крыла, подъемная сила опере
ния в резу л ьтате интерференции исчезает, а коэффициент 9фф~ I<
тивности равен нулю .
14S
Найденный коэффициент эффективности можно рассматривать
как предельное значение, соответствующее наиболее неблагопри
ятному случаю обтекания, когда вихревая пелена, сбегающая с зад
ней кромки крыла, является плоской и совпадающей с плоскостью
консолей и их подъе мная сила по этой причине является наимень
шей . Однако в практическиуе случаях такой неблагоприятный эф;;:;
фект интерференции будет меньше, так как, во-первых, вихревая
пелена не будет плоской, а сворачивается в вихревые жгуты пр;r
подходе к оперению, во-вторых, направление вихрей ближе к на
правлению скорости набегающего потока, чем к направлению пло
скости хорд оперения, поэтому вихри, как правило, не лежат в этой
п лоскости, а располагаются в зависимости от знака угла ата~ш
выше или ниже оперения.
Дозвуковые скоростН;
При расчетах . интерференции между крылом и оперением при
нимают с известным приближением угол скоса потока постоянным
по размаху и равным его среднему значению , определяемому па,
(6.4.23).
Скос потока за крылом, имеющим такой же установочный угол ,
~ак и оперение, обусловливает уменьшение эффективного угла ата
ки оперения, который вычисляется по выражению
аэ.г.о=а -Е.
(11.5 .5)
В соответствии с этим коэффициент подъемной силы оперенин
Суг.а =С~r .о (а-в),
(11.5.6)
где с~ r.о=(дсу/да)г. ~ - производная по углу атаки а от коэффици
ента Суг.о изолированного горизонтального оперения.
При установке крыльев и оперения на корпусе необходимо
учесть изменение их подъемной силы вследствие интерференции
между корпусом. Коэффициент подъемной силы крыла Су в
(6.4 .23) следует определять с учетом изменения под влиянием ин
терференции с корпусом эффективного угла атаки сечений согласно
(11.1.6). Для упрощения расчетов можно воспользоваться понятие м
о среднем по размаху крыла значении эффективного угла атаки,
~юторый определяется в соответствии с правилом осреднения по
формуле
lкр/2
а
(Ткр /2)- r
S (1+r2/z2) dz=a (1 +2r/lкp) . (11.5.7}
Соответственно для оперения
a..on=a [1 +(2r/l0п)].
(11.5.7'}
Таким образом, коэффициент подъемной силы оперения в соот
ветствии с ( 11.5 .7')
а
-
Cyr.o= Cyr.o (аэ.он-е:);
(11.5.6')
14~
здесь е = еср определяется из выражения (6.4 .23), в котором
Су=Сукр=С:крСlэ,кР• Где с; кр=(дсу/д.z)кр - ПрОИЗВОДНаЯ ОТ КОЭффи
ЦИ(:JНТа подъемной силы из t>л ированного крыла по углу атаки.
С11ерхзвуковые скорости
При исследовании интерференции оперения с крылом можно ис
х одить и з упрощенной вихревой модели комбина ции «корпус -
1(рыло» (рис. 11.5.3). Согласно этой модели, каждая из консолей
заменена присоединенным вихрем интенсивностью Го и свободным
в
Рис. 1:1.5.3. Вихревая модель .комби наци и «ко рпус - .крыло»:
1 - сбегающие (свободные) вихри для конс оли; 2 - сбегающие (со пр яженные)
вихри для кор-.--~уса ; З - присо единенные ви хри для консоли; 4 - прис оединенные
(сопряженные) вихри для корпус а ; 5 - кры ло ; 6 - о пе рение
вихрем той же интенсивности, сбегающим с задней кромки консоли.
Так как корпус обладает несущей способностью, то он также дол
жен быть заменен участк о м присо единенного вихря и вихре м, сбе
гающим вниз по по току . Эти вихри с интенсивностью Го называю1
-
с оп ряженным и . Расположени е сопряженных свободных вих
рей соответствует пр а вил у с оп ряженных рад и у с о в [31],
с оглас но которому
(11.5 .8)
Правый со пряж енный вихрь имеет равную с правым свободным
(внешним) вихрем величину интенсивности ГJ, но обратное направ
.Jlение вращения; то же относится и к левым вихрям. Таким обра
зом, рассматриваемая вихревая модель комбинации «корпус - кры
ло» включает в себя две пары П-образны х вихрей с интенсивно
стью Га.
Согласно формуле Жуковского (6.3 .22), подъемная сила консо
лей при нал и чии корпуса
лУ" р (тJ =2pooVооГ0 (zv-r),
(11.5.9)
.а подъемна я сила корпуса при наличии крыла
Ут+лУт(кр) = 2рооV ooГo(T-Z;v),
(11.5 .10)
150
где Zv - поперечная координата свободного (свернувшегося) вихря,
совпадающая с центром тяжести вихревой пелены ; Ziv - коорди
ната сопряженного вихря; в соответстви и. с ( 11.5 .8)
(1 1.5.11 }
величина Zv - r определяет длину присоединенного вихря (несу щ е~" ....,.
вихревой линии) на консоли; r-ziv-длина участ ка сопряжен~
присоединенного вихря внутри корпуса.
•
•
~
Подъемная сила комбинации «корпус - крыло» (без подъемной
силы носовой части корпуса)
Ут,кр- Ут= ЛУт(кр> + лУкр(тJ=2р""V ооГо (zv- r 2/zv)- (11.5.12}
Эта подъемная сила определяется также по ( 11.5 .3) без учета
подъемной силы корпуса 2nar 2qoo. Следовательно,
2рооV ооГ O(zv -r2/zv)= 2-ла (s~)кpqoo [ 1- (r~ )кр+ (r~ )кр ] - 2na r2qoo=
=2-Ла (s~)кр [ 1-(r~)кp]2q00 •
( 11.5.13),
Рассмотрим выражение (11.5.2). Входящие в него значения,
подъемной силы можно представить в следующем виде:
Ут,кр,оп=У,.+ лУт(кр) + лУкр(т) + лУт(оп)_ + лУоп(т)+ лУт(оп):в+ лУоп(т)в
(две прследние ,составляющие •С индексом «в» обусловлены влия
нием вихрей). Также можно написать:
Ут,кр= Ут+ лУт(кр) + лУкр(т); Ут,оп=У,.+ лУт(оп)+ лУоп(т)•
Поэтому
'Уlоп= 1+ (лУт(оп)в + лУоп (т)в)/( лУт(он) + лУоn(т)); ( 11.5.14J
отсюда
дУт(оп)в + ЛУоп(тJв= ЛУ(т,оп)в= [ЛУт(оп) + ЛУоп(тJ] ('Уl 0п- 1),
или
"( 11.5.15)
Разность 'У]оп-1 получим из выра~жения (11.5.4) в следующем
виде:
С учетом (11.5 .13)
[1- (r~)кр] 2
[1 -(r~)он] 2
(11.5.16)
(11.5 .17}
После подстановки (11.5 .17) и (11.5.15) и замены Кнр + Кт ве
личиной [(sт)оп+ 1]2/(s~)оп [см. (11.2.61)] получим
лУ
-
2Гo[Zv-(r2 fzvJ]Yoп
(т,оп)в- -
V[()_]2
:n:aоо 8mоп r
( 11.5.18)
151
В числителе и знаменателе этой формулы радиусы r следует
nринять •равными их значениям соответственно в окрестности кры
ла и оперения, т. е . r = rнp и r = roп, Вспомним, что эта формула
получена исходя из предположения, что вихревая пелена, сбегаю
щая с крыльев, и соответств у ющие свободные вихри расположены
в плоскости оперения и участок этого оперения, покрытый сбегаю
щей вихревой пеленой, полностью теряет свои несущие свойства,
т . е . подъемная сила на этом участке равна нулю. В действитель
ности это предположение, как уже указывалось, не является пол-
ностью оправданным, и, следовательно, формулу ( 11 .5 . 18) надо
расс м атривать как зависимость, определяющую лишь порядок ве
личины ЛУст,оп)в. Чтобы уточнить зависимость (11.5 .18) ,. введем в
нее поправочный коэффициент (JJ (Yv), учитывающий влияние на
tюдъемную силу ЛУ(т,оп)в вертикальной координаты Yv свободного
вихря (рис. 11.5.3) . С учетом этого коэффициента
у
4<p(YvHzv - (r2/ z 11 )]
Го
Уоп
Л (т , оп) в = - --'--"'-"-'-'--"---'-.с_;~ • -----=- --- ·
--
•
·
(sт)оп - Г
2nV00 [(sт)оп - г] а
,
Здесь второй сомножитель. определ яет в безразмерной форме
интенсивность вихря, а третии - подъемную силу изолированного
оперен ия, приходящуюся на граду с угла атаки. Первый сомножи
'Гель, включающий коэффициент (JJ (Y v), зав.и сит от положения вихря
и не зав и сит от его интенсивности. Этот сомножитель называют к о
эффициентом интерференции иобозначаютi0п.
Вводя этот коэффици ент и п ереходя от r к радиусу к0рпуса
Q Перения Гоп, напишем
то
у
.
Го
Л(т,оп)в=l0п2V [( ) _ ]
31оо 5mоп
Гоп
а
В соотв етствии с ( 11 .5 .9) циркуляция
Га = t..Укр(т}/[2РооV оо (zv - r кр)].
Заменяя зде.сь ЛУнр(т) в соответствии с (11.2 .5), получим
Га=Ккрукр/[2рооVоо (zu -'-rкр)].
Так как
У~Р = (дсу/да )кра (Роо V~/ 2) S ~Р'
(11 .5.19)
(11.5 .20)
Г0 =К~р(дсу/да) краSкμV oo /[4(zv-rкp)] .
(lt.5.21)
Примем в (11.5 . 19)
ЛУ("r,оп)в= (Лсу)(т,оп)вqооS, Уоп = (дсу/да)011аq00S00 , ( 11 .5 .22)
где S - некоторая характерная площадь, Sоп - площадь в плане
изолированного оперения, которая связана с удлинением Лоп фор
мулой
(11.5 .23)
152
l
С учетом (11 .5 .21)-(11.5 .23 ) зависимость (11 .5 .19) пр еобра
зуется к выражению, определяющему коэффициент подъемной силы
хвостового участка :
_
.
Ккμа (дсу/да)кр (дсу/да)оп [(sт)оп - Гоп] (Sкp/S) ( l l 5 24 )
(дСу)(т,оп)в - l0п
2,(
)
•
••
:rtлоп Zv - Гкр
Чтобы применить формулу (11.5 .24), следует знать гор и зонталь
ную координату 2 11 свободного вихря и, кроме того , его вертикаль
ную координату у11 (рис. 11.5.4) . Обе эти координаты определяю т
коэффициент инт ерференции iоп.
Р.и,с. 11 .5 .4 . К оп ределенюо ,ра,сположения сбегающего
•свободного нихря
Для определения координаты Zv свернувшегося ( свободного )
вихря во спольз уем ся в ихревой моделью комб ин а ц ии «корпус -
крыло». Рассмотрим вихревую пелену, сбегающую с консолей кры
ла, и вычислим циркуляцию по элементарному контуру в виде пря
моугольника ABCD с измерениями бу и 6z, вы б р анному у задней
кромки крыла. Из рис. 11.5 .5 в идно; что
ВГАВС[)=ВГлв+ВГвс+ ВГсп+ ВГDА= vBy- •zv0Bz ~ vBy+
+wнoz=( - wв+wн) oz.
Циркуляция принята п оложительной для вихря,
вр а щение про ти в часовой стрелки. Пусть потенциал
стороне будет <рв, а на н ижней <рн. Тогда
аг лвсп= [( дсрн/дz) - (дq,в/дz)] oz.
имеющего
на верхней
Так как потенциалы <рн и <рв у задней кромки определяются для
условий у = О и, следовательно, зависят только от z, то можно пе -'
рейти к полным производным и написать
•
dГ/dz = d (<fJн - <fJв)/dz,
( 11.5 .25)
откуда распределение циркуляции
Г=ср~-ср•.
.
(11.5 .26)
153
i
Здесь индекс ABCD опущен . Таким образом, зная потенциал
<: коростей вдоль задней кромки консолей, можно рассчитать ин
тенсивность вихревой пелены на единицу размаха, т. е. производную
.dГ/dz, а также распределение циркуляции. Этот потенциал можно
-определить из выражения ( 11.2 .20'), приняв в нем у= О :
<f~ =<рв,~= ± V ооа [(sm+ r2/sт)2 - (z+r2/z)2]112, ( 11.5.27)
тде знак « + » соответствует потенциалу (J)в на верхней поверхности,
.а знак «-»
-
потенциалу (J)н на ниж1ней поверхности.
Ри с . 11.5.5. Сх ем а об-разован.ия ~вихревой пелен151, ,сбеrающей с ,ко1нсоли
•крыла
В соответствии с ( 11.5 .26)
Г = 2aV00 [(sт + r2/sт)2 - (z + r 2/z)2)1/2.
Циркуляцию в корневом сечении получим .при z=r:
Г0 = 2aV00 [(sт +r2/sт)2 -4r2 ]112•
Отнош~ние циркуляций
Г/Го= [(s~z2- r 4) (s~ -z2)]112/ [z (s~ -
r2)].
(11.5 .28)
(11.5.29)
(11.5 .30)
Если принять, что вихревая пелена заменена вихрем с интенсив
ностью, равной циркуляции Го в корневом сечении, то
sm
S Гdz=Г0 (zv-r),
(11.5.31)
rде интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой
циркуляции для консолей, а Го (zv - r)- величина, равная этой пло
щади.
Внося в (11.5 .31) значение Гиз (11.5.30), получим
J[(s~z2 - r4) (s~ -
z 2)] 112dz/ [z (s~ -
r 2)] = Zv - r. (11.5.32)
154
Введем безразмерный параметр:
1
(zv-r)/(sт-r)= 5[(z 2 - r:) (1-z2)] 112 z- 1 d.z/[(l-rs)2(1+ _rs)],
's
( 11.5 .33)
где z=zfsm, rт=r/sm.
Интеграл определяется численными методами. Результаты чис
ленного интегри,рования следующие:
Гт=Г/Sт . .. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(zv - r)/(sт-Г) О,786 О,769О,760О,757О,757О,759 О,763 О,768О,774О,780О,785
По этим JI,ан.ным, параметр (zv-r) / (sm-,r) находится в функции
Гт=r/sт. При этом размах .консоли и радиус корпуса принимают
равными соответственно Sт=(sт)кр и r=rкp·
Полученные координаты Zv определяют боковое положение вих
ря на крыле. Исследования показывают, что аналогичная координа
та вихря у о п ерения отличается от найденн.ого значения Zv на
крыле. Однако это разлииче невелико, так как вихри весьма незна
чительно смещаются в боковом направлении. Поэтому с достаточ
ной степенью точности в расчетах интерференции значение Zv у
оперения берется таким, как на крыле. Это позволяет более точно
уч есть влияние на координату Zv числа Моо, [сужения 'УJк р =Ькр/Ькц•
удлинения лкр=2 (sт-r)кр/ Ьср и угла стреловидности (обычно
принимается угол стреловидности х, 1, прямой, соединяющей середи
ны хорд). Как п оказывают расчеты, полученные результаты более
соответствуют данным аэродинамической теории тонкого тела для
консоли, у которой 11кр=2, лкр tgY.112 =0 и 2/3.
Для определения поперечной координаты ц" сбегаюших ви хрей
У оперения будем основываться на допущении, что эти вихри сов
падают с направлением потока . Если также принять, что координа
та ра~положена над центром тяжести площади оперения, рассчи
таннои с учетом части площади, занятой корпусом, то в соотв е1 -
ствии с рис. 11.5.4
Уv=а.(хц.т)оп•
( 11.5.34)
где (хц.т) оп- расстоя1ние от задней кромки крыла до центра 1яже
сти площади оперения .
Коэффициент интерференции
Рассмотрим вопрос об определении коэффициента интерферен
ции. Из (11.5.19) следует, что
•
ЛУ(т,оп)в
tоп=----'---'--
Уоп
2:n:aV 00 [(sт) 011 - г 011 ]
Го
( 11.5 .35)
В соответствии с этим выражением коэффициент интерферен
ции можно рассматривать как отношение двух безразмерных вели
чин, одна из которых представляет собой отношение подъемных
сил дУст,011),./Уоп• а другая - безразмерную циркуляцию, харак-
155
-теризующую и_нтенсивность сбегающего вихря. Тот факт, что коэф
фициент iоп зависит от отношения подъемных сил, позволяет при
менить простейшие методы для определения iоп, даже если эти
методы не дают точных величин абсолютных значений дУ(т,оп)в или
Уоп, а позволяют найти правильное их отношенйе. Здесь имеем
известную аналогию между коэффициентами интерференции Кнр,
Кт, с одной стороны, и коэффициентом iоп - с другой. :Как уже
указывалось, коэффициенты Кнр, Кт, представляющие собой отно
шения соответствующих подъемных сил, с хорошей точностью опре
деляются по аэродинамической теории тонкого тела, что дало воз·
_rx, =!Ха
......
=[
А
в
+
с
I
Рас. 11.5 .6 . К расчету эффект.ивност,1 оперения no -ме тоду обра·ти
,мости для 1юмб.инации «корпус - оперев.ие»:
1 - комбинация в прямом потоке; // - комбинация в обращенном потоке
можность вычислять абсолютны е величины подъемной силы с уче
-том интерференции некоторых комбинаций.
Имея в виду сказанн ое, воспользуемся выводами аэродинамиче
ской теории обтекания тонких тел д.J!я определения отношения
дУ( т ,оп)в/У 0п и ,соответствующего коэффициента iоп с тем, чтобы ис~
пользовать полученные данные для вычисления интерференции
хвостовой части, принадлежащей нетонкой комбинации .
Для определения подъемной силы дУ(т,оп)в применим метод
обратимости потока, которыйуже был рассмотрен на при
мере исследования обтекания тонкого крыла прямым и обратным
потоками. В данном случае при помощи основного соотношения
этого метода, найденного в § 8.13, устанавливается зависимость
между аэродина мическими характеристиками комбинации «кор
-пус - крыло - оперение» при ее обтекании в противоположных на
п равления х.
Пусть оперение установлено по отношению к оси корпуса под
нулевым углом атаки, а комбинация обтекается под углом атаюr
ат. Вихри, сбегающие с кр ыла ; вызывают скос потока у оперения
на угол - в = ав, так что эффективный угол атаки консолей опере
ния будет ат+а0 • При этом поток около комбинации А, состоящей
и з корпуса и оперения (рис. 11.5.6), может быть представлен как
сложное течение, образующееся в результате сложения потоков
около аналогичных комбинаций В и С в соответствии с формулой
А=В+С. В комбинации В корпус и оперение имеют одинаковый
у гол атаки ат; в комбинации С корпус не отклонен (ат=О), а опер ~ -
~
ние обтекается под углом атаки ав, который вызван вихрями.
Подъемную силу комбинации С определим по методу обрати
мости потока. Примем для прямого потока (рис. 11.5.6) в соответ-
156
~твии с обозначениями формулы (8.13.8') условия:
а1 =ат= О - на площади S.,, занятой частью корпуса под оперением; } 5 6
"
(11. .3 )
а1 = ав - на площади Sоп консолеи.
.
Для обращенного потока (рис. 11.5 .6) примем, что корпус и
оперение находятся под единичным углом атаки, т. е.
а2= 1- наплощадиS,~;а2=1- наплощадиSоп.
(11.5.37)
Применяя формулу (8.13.8'), получим
~ S ЛР1 • 1-dS= SSдр2авdS.
(Sт+ 5оп)
8оп
Интеграл в левой части определяет суммарную подъемную силу
комбинации «корпус - оперение », обусловленную вихрем,
поэтому _
дУ<т,онJв = У,(он>н+ дУон(тJв=qоо Ss· дpidS,
(S,,+S oп)
дУ(т,оп)в= qoo S S ЛJJ2a0dS.
(Sоп)
(11.5.38)
Примем, что угол атаки ав зависит только от поперечной коо р
динаты точки z и сохраняется постоянным вдоль хорды оперени я .
Принимая во внимание, что dS =dxdz, получим после ин тегриров а
нияпох
(sт>оп
дУ<т,оп>в = 2q"" S a0 (ьc;)dz.
( 11.5 .39)
r
Величина
хз-хп+ь
Ьс; = s др2dх
(11.5.40)
х
л
представляет собой нагрузку в сечении по размаху
крыл а, определяемую при единичном угле отклонения корпус а
и консоли. В выражении ( 11.5.40) Хп, Хз- кординаты точек соответ
ственно передней и задней кромок; Ь - хорда сечения; су' - коэ<t
фициент подъемной силы сечения.
С целью вычисления нагрузки ( 11.5.40) рассмотрим фор м ул у
( 11.2.52') для ЛУир(т) • Вводя обозначения а=а.0 дУкр(т)= дУон( т) ,
Sт=(sт)оп и осуществляя интегрирование по х, получим
(sт> оп
дУоп(т)=8атqоо S ([(sт) oп+r2/(sт)oп]2 - (z+r2/z)2 j 112dz. (11.5 .41)
Сопоставляя ( 11.5 .41) и ( 11.5 .39), можно заключить, что на•
грузка по размаху оперения при единичном отклоnении консоли и
корпуса ( ат = •ав = 1) определяется величиной
(ьс;)оп(т)=4 ([(sт)oп+r2/(sт)oп]2 -(z+r2/z)2\ 112• • (11.5.42)
157
Хотя интегрирование было вы п олнено для треу гольной консоли,
обтекаемой прямым потоком, для тонких ко нф игу р а ций рас п реде
ление нагрузки по размаху, как видно из ( 11.5 .4 2), не зависит от
формы 1шнсолей в плане. Ее величина в заданной точке с коорди
натой z поверхности консоли, установленн ой на кор пу се с радиусом
r, о п ределяется только полу р азм а хом (sm)oп - П оэтому формула
(l l.5.42) применима для о п ределения на гр узки тр еугольного крыла,
об т е к аемого обраще нн ым п ото ком. В соответствии со сказан н ым
нагрузка, входящая в (11.5.39), будет р авна нагрузке (11 .5 .4 2),
т. е. Ьсу' = (Ьсу') оп(т) • То гда
(sm)o~
ЛУ(т,оп)в = 8qao S ав !f(sт)оп +r2/(sт)oпJ2- (z + r 2/ z)2)112LiZ. ( 11.5 .43)
r
В этом выражении требуется определить угол атаки ав =-е, рав1-iый
по а бсо лютной величине вертикал ь ному у глу скоса п отока у опе
рения.
В сверхзвуковом потоке углы скоса должны определяться с уче
том ограниченности зон влияния вихрей. Зона влияния для левого
пр исоединенного вихря ограничена
,конусом Маха, выходящим из т оч
ки А, а для правого вихря - !!{ОНУ
сом Маха с вершиной в точке В
( ри с. 11.5.7) . В области /, находя
щейся вне этих конусов, ·вихревое
влияние отсутствует, и скос потО1ка
равен нулю. В области 11, ограни
qенной конусом Маха с вершиной
в начале присоединенного вихря ,
ск ос потока определяетс я в л ияни ем
заключенного в этом конусе вихря.
В зоне II!, совпадающей с обла-
р11573
стью пересечения двух КОН " СОВ М а -
ис. ' : . . о.ны вихревого ВJ]ИЯ-
J
н-ия ,в сверхзвуко вом []Отоке:
ха, скос потока будет определятьс я
1- крыло; 2- конус Маха; З
-
прнсо• влиянием обо и х присоединенны х
единенный вихрь
вихрей .
Рассмотрим оперени е , ра споло
женн,ое в об ла сти 11!, где индуцир ованные ско,рости от правого
и левого ви х р е й ск ладываются . На не кот о ром расстоянии от зад•
не й ,кро м ки rкры л а в ертикальные скосы линеаризованного сверх
звукового ·потока, вызываемые присоединенным вихрем, о ка зыва
ются такими, как и скосы, создаваемые бесконеч ными вих ревыми
линиями в несжимаемой жидкости. В частности, для ~кры л а, у ко
торого а'лнр=2,5 , это расстояние равно двум хордам, а для а' лнр=
= l - примерно 3⁄4 длины хорды. Полагая , что оп е р е ни е располо
жено на достаточно большом удалении от крыла , б уд ем опреде
лять окос потока при помощи выражения e =- w н/ Vao, в котором
индуцированная скорость вычисляется по фор мул е (2 .7 .12) . По-
158
лагая в этой формуле W= WN, Г = Го и h=1r, 1-Iапишем для точки N
(у= О), распо лож енной на оперении •(рис. 11.5.8),
WN=Гv/(2лr).
Верти кал ьная составляющая скорости, индуцированной:
правым вихрем -
•
Г0.
Г0 zv-z
WN11=---SlП'V=---
.
~--
2лг
2лr
r
2л [у;+ (zv - z)2]
(11.5 .44)
левым вихрем -
!Го(zv+ z)
WNл= - -~
-
-----
2л[у;+(zv+z)2] •
Ле8ыi/
8их
r;
(11 .5.45)
Рис. 11.5 .8 . О пределен ие ,скоса потока у оперения, расположенного
за крылом
Суммарная скорость вертикального скоса
WN =WN
-WN =--
+
Го[
Zv- z
+ z,,,+z
]
п•
1
2л у;+ (z,,, -
__z)2 у;+ (zv + z)2
(11.5 .46)
Соответствующий угол скоса
(11.5 .47)
Внося значение ав = - е в ( 11.5.43), получим
-4 Г (Sт)щ,
•
ДУ_
qooО5[Zv-Z
-+-
Zv+Z
]Х
(т.оп) в -
1
лVсо , у;+(zv- z)2 у;+(zv+ z)2
Х \[(smJoп+r 2/(sm) 011 ] 2 _:_ (z+r 2/ z)2)112dz.
( 11.5 .48)
159
-1
г------------~-------------- ·- ,- - - --
Подставив (11.5 .48) в формулу (11 .5.35) , в которой принимаем
в соотв етствии с (8.8.4 7)
Уоп= (Cy)oпqooSon=2ап ctg ·щооSоп= 2a,rqoo [(sт)оп - rопl2,
найдем, что
( s,;,)оп
io11=
-
4
\rZv-Z
+Z-v+z
]х
[(sт)on- r]n i Lу;!(Zv - z)2 у;+(zv+ z)2
Х ([(sт)on+ r~п/(sт) оп]2 - (z + r;п/ z)2) 112dz.
(11.5.49)
Численны м интегрированием можно рассчитать значения ion,
которые согласно (11.5 .49 ) будут фун кциями безразмерных пар а
метров Yvf(sт)oп• zv/(sт)o,r и Гол/ (sт )оп и не зависят от формы оп е
рения :в плане.
1,6
1,2
0,8
0,4
о
/1/
у
---
-
Ькц/Ь кр = Oj
/
--
-
.
/
/ 1,,,.-
"oп=;OJJ 1 /
1,,/
1
'
1
faп/(Sт)oп=JL.. ,f12_
1:1!..оч 7 / /" v
.-- ,
- - ........:
-.,11-
'-'
i
I 'r1
'у
~/
т
/1'
/
//
_
_
_
J-- ---
--
//jV
)---
-,;
J
-ГLВ _,/
.__
1--_.:--
--
r---- .. .
'
7il /7
~
:::=
-
'
-~r\
',,
1//
--
........
',
/
-
-
[/, tl
/ 'v,;
',
'
\
/ /"1,0 -/,5
'
'
\1
\
\.
\
7J \а
//
~о -1::::
\
\
;/~
--
r--..
\
{f. ,'\~7}~ - -;:-.!,5 '-"
'
\
\1
- J,O ,1\
1\\
1
'Т/1~~~~(\ ,\ \\ 1 \1
--
1
\
0,4
0,8
1,2
1,б
2,0
Рис. !'1.5 .9. Коэф фиц ие·нты ,и,нтерференции для тре
уг-оль·н-о ,го оперения
Вычисления по другому методу, основанно м у на « теории полос»
[49], показали, что iоп зависит также и от формы, определяемой об
ратным сужением оперен ия Ькц/Ькр - На рис. 11.5.9 приведена типич
ная диагр·амма, построенная по результатам этих вычислений дл я
треугольного крыла (l /У1 0п=ЬкцfЬкр=О) . Фактически iоп представ
ляет собой слабо из-меняющуюся функцию от Ькц/Ьнр и Гоп/ (sm) оп
для малых значений rоп/(sт) оп ·
Используя диаграммы, коэффициенты iоп обычно находят пут ем
интерполяции по параметрам (rт)он=r onf(sт)o,, и Уl оп ( или ·1 /Уlоп) при
zv/(sт)~11• Если же вихрь проходит вблизи оси корпуса, то такую
интерполяцию целесообраЗЕО ве сти при •ус л овии п остоянс т ва дру
го г о параметра , н априм ер (zv fsm-rт) oп/(1-rт)o,г
!60
j
Рассмотрим приближенный метод определения iоп · с использо
ванием ( 11.5.49), основанный на предположении, что скос поток а
вдоль размаха будет постоянным и равным его з нач е нию в фокусе
(центре давления) оперения. Полагая, что точка N (см. рис. 11.5 .8)
совпадает с фокусом , расположенным в начале коорд инат (y =z=
=О), найдем из ( 11.5.4 7) у гол скоса:
Отсюда ( 11 .5.48) принимает вид ·
-
8qооГо
Л У('r,оп)в =
--- -
:rtVоо
( sт)uп
(11.5.50)
Zv
у2+z2 Х
V
V
Х ,\• \[s111 ) 0 ,,+r;,,j(s111 ) 0 11 ]2-(z+r~,,/z) 2 )112dx. (11.5.51)
r
Про из водя интегрирование и используя (8.8.47 1), пол у чим отно
шени е
X -----
:rt (( sт)оп - 1]2
(11.5 .52)
В (11.5 .52) в качестве сомножителя в правой ча,сти входит
коэффи циен т интерференции Кир ( 11.2 .60) для комбинации «кор
пус -оп ерение» . Учитывая это, найдем после подстановки ( 11 .5.52)'
в ( 11.5 .35)
4z-:;; [(~)оп - 1] (Ккр)оп
iоп= ----------
Cii; + г;) (sт)оп
(11.5 .53)
где. 2v= 2v/(sт)oп> Yv=Yv/(sт)oп> (sт)оп=(sт)оп/rоп·
Определим по величине i0п коэффициент эффективности опере
ния . Приняв площадь изолированного крыла Sир за характерную
площадь, перепишем ( 11 .5 . 14) в виде
(11.5 .54)
Внося сюда значение (Лсу)(т, оп)в/ Сuоп= лУ (т,оп)в/Уоп> найденное из
(11.5 .35), получим
'11 0п= 1+i0пГо/\2 (К"р +Кт)О11:П:аVоо [(s111 ) 0п - Топ]\. ( 11 .5.55)
6-967
161
Подставляя вместо Г0 ,:jна-чение из ( 11.5.21), найдем
'11 0п= 1+ i 011 K кр (дсу/да)крSкр/! 8 (Ккр+ Кт)uпЛ [(sт) 0,,- r 011 J(zv - rкр)\.
(11.5.56)
Используя значение 'l')оп, можно при помощи (11.5 .54) найти умень
шени е подъемной силы, вызванное вихрем:
• (Лсу)(т,оп)в=Суш,(К1<р+Кт ) оп('ll0п - l).
(11.5 .54')
Соотношение ( 11.5 .54') соответствует аэродинамической теории
тонкого тела, согласно которой влияние вихря распространяется
на всю площадь оперения, что практически имеет место при дозву
ковых и небольших сверхзвуковых скоростях. По мере увеличения
ЧИС[!,а Мао (Мао> 1) зона влияния вихря, ограниченная конусом Ма
ха . (с вершиf!ой в точке схода вихря, см. рис. 11.5.12), сужается, что
приводит к снижению угла скоса. Это снижение можно учесть ко
эффициентом л.=Sо;,/S0п, где S~п -часть площади консоли, рас
по л оженной внутри конуса Маха. В соответствии со сказанным,
вв едя коэффициент Л 0 , можно уточнить ( 11.5.54') :
(ДСу)(т,оп)в=Су 0п (/( ,р +Кт ) 011 ('11 0п-- l) Ле•
(11.5 .54")
Практически ,величину Ле удобно находить графически путе м
соответствую щих геометрических построений (см. ' рис. П .5.12) .
Пр и увеличенных числах Мао rшнус Маха сужается настолько, чтu
консоли оперения выходят из зо.ны влияния вихрей. В этом случае
S'оп=О, коэффициент Ле = О и, следовательно, не будет скоса потока.
Координата центра давления оперения, как и подъемная сила, изме
няется под влиянием вихрей крыла. При этом с достаточным при
ближением можно считать, что точка приложения подъемной силы,
обусловленной вихрями крыла, совпадает с центром давления опе
рения для комбинации «корпус - оперение (крыло)», т. е.
( Хц.д) аоп(в) = (Хц.д) акр(т) -
Влнянне yrna атакн н скачков уr1nотнення
на эффективность оперения
У.величеии-е у,гла атаки може1' привести к ,снижению неблагоприятного· воз
дейст,в·ия интерференции. Это •объя-сняе1'ся тем , что внхрь продолжает двигаться
по нап,равлению лотока , а опереюrе с ростом а опускается ,вн,из, что при.водит
к увеличению координат Zv , Yv ·И, как след-ствие, к уменьшени ю I iоп 1- Если бы
пол·ож,ение вихря 1по отношению к оперению не менялось, то ·неблагоприят,ное
,влияние интерференции ,носило бы линейный характер, так как интен-си1в ность
вихря пропорциональна углу атаки. В реальном ,случае ,с возрастанием углов
.атаки -моментная характер истика опереюrя оказывае тся нелинейной и статическая
устойчив-ость при этом -может увеличиться .
При ,небольших углах атак,и неблагоприятное ,влияние интерференции на
устойч.ивость ,можно у;меньш.ить, иопользуя так называемое и е т а н де м н о е
опере rн и е, ра-сположенное ,выше крыла (рис. I·I.5..1.0). В этом -случае харак
теристики оперения улучшаются -благодаря тому, чт-о вихри, ,сбе!"ающие с крыла,
пройдут ,на з·н а·читеш,ном удале,нии ан,изу от оперения, Од,на~ко 'ПО ,мере у,вели
чения углов атак,и его 1Верхн1'!е консоли оказываются все ближе к ,вихрям и не
благоприятное влияние интерференции усиливается. После 'l'ОГО .как при даль•
162
нейшем vвелнченн,и угла ата:ш оперение ·пройдет -через _ ~ихри и будет ущаляться
ОТ НIИ-Х. -неблаrоnрИЯfНОе ЕЛНЯН!!е СНИЖЗЕ"ГСЯ . ,' , ••
П ри боЛL,ших сверхзву ковых скоростях также имеет место дополнительный
интерференционный эффект, в-ызванный взаимодей ствие,,~ с !Возникающ,1:vш скач- •
ка ,;;,1 у n ,1отне 1111и ( рис. 11.5 .1 ! ) . Как видно из рисунка, при некоторо,1 угле атаки
Рис. 11.5 .1О. Влияяие .r-ор1юqн тального оп ерения
-н а 11ом .ентные характер.и-стлки ко~1би нац и~1 «·кор -
-пус - , крыло
-
оперен,ие»:
1 - без интерференции; 2 - с учетом интерференции
для обычного оперения; З - с у четом интерференции не
та нд е?..ню rо Ерес тообраэного о перения; 4 - крыло; 5 -
внлрь; 6 - горизонтальное оперение ; 7 - вертикальное
о пере ние
а 1 гори-:зон т альное оперение расположено в зо-не ,между хвост-овым скач1ю:v1 и
вее·ро:м ра сши,рения. Вслед•С ТiВ-ие этото о-но ,оказывает-ся для пот ока, прошедшего
через веер расширеш1я, под нуле~вым уrло.м атаки и ,не будет -совда.вать по дъем
ной силы. Практ,ически эффек-гJ-1:вность оп ерени я близка к нулю (ТJоп ~О). П ри
больш е:v~ угле атаки (а 2 >а1) уг-ол <:к ачка возрастает и плоскость скачка может
оказат1,ся вперед-и о,перен·ия. Та,к как линия тока за ,ск ачко:v~ п очти сооnад ает
с ,-1ап,р а .влением ~набегающего 'ПОТО1<а, то опе р е,н.ие в ::.начи телЬ'ной 1)1ере в о,сстана-в
ливае r свою эффективность. Некоторое снижение подъе м н ой силы обу словлено
у.меньшен.ием числа М и скоро-ст.ного _ -наnора за скачко.v1. Кри.вая 5, показываю -
6*
Рис. 11.5.11 . Интерференция оперения .и крыла при возншшовении
скачкО$ уплот,нения:
1 - крыло, 2- веер расширения; З
-
хвостовой скачок уплотнения. 4 - ко
эффициент эффективности llon = О; 5 - реальная кривая; б
-
коэффициен1е
эффективности 11 оп = 1
163
,.
щая характер изменения ~момента ,оперения вследс'Dв•ие в лияния скачка уплотне
ния, а также ,расширения пото,ка, ,изображена на рис . 11.5 . П. Она проходит меж
д у линиями, ,соот,ветствующими , с одной стороны, полной потере эффективности
(11оп=О) , с другой-его полному восстановлению ('l']on=l).
Влияние торможения потока
Эффекти-вно·сть оперения зшвисит от торможения потока, обусловленного
,воздейст,ви,ем не только _голавной ча-сти, но также ,и крыльев, -рас.положенных
перед оперением. При этом степень торможения •можно о х ара·ктер-изовать коэф
фициентом q2 =q/qoo, являющимся функцией: числа Моо, отнсюительных размеро,в
r,оJювной части, опюшения площадей ОiПерения и ,крыльев (Sоп=Sоп/Sнр), а та:кже
относи тельного ра,остояния ,между IНIИМИ [хц = Хц/ (Ьс ах)нр] .
k,'
-
,______
-
.......___,
~
D,Э
'.[\~~ F::::::-
х-,, 1 0,8
,....
,-. .
/
\\--.........
--
'-
-
D,б
0,8
\ ""--
'--
1
D,4
--
\
"-
0,2
D,7
"
i
"--
--
--
x=D
.___
-
о
2
з
4
Рис. JiJ.5.12. Графи~и для определе ншя к оэффиrщента k'
в (11.5 .57)
Для летат.ельното аn;парата с конической ,головной частью ~13]
q
k'+Son
k2= --= k1
_
qoo
1+Sоп
(11 .5~57)
где k 1 - аю-э фф ицн•еит тС\рможения для юрыла, оп,ределяемый . по (1 ·1.4 . 44); k' -
па,раметр, зави•сящий от числа Моо и расстояния ~между крыло.м и оперением (его
можно найти из экспер.и,ментально.т-о графика, изображенного на рис. 1111.SJ/2) .
Для летат-ельного ап;парата с оперением, ·раоположенным за крыл-ом (так
называемая ,но.р.маль.ная схема), обыч,но Sоп/Sкр << 1; следовательно, можн.о п•р°J1-
н.ять k2 ,,,,k 1k'. При переднем ра -спол,ожени,и опер •ения
( схема «утка») в,ел ичина
Sоп/Sир--:?> 1, поэто1Му коэффициент то-рм,оженrия перед :крыло м, ра опо ложе н,ным в
~в·осто-вой ча,ст,и, k2 ,,,,k 1. Соо'Dветст-вующее ч исло Ма ха, [Ю сrштор о-му определяется
коэффициент подъемной -силы хвостового оперения,
•
(11.5 . 58)
164
Аэродинамические характернС'тик;!
Р езультаты расч ета интерференции крыла и оперения могут
б ыть применены непосредственно для нахождения аэродинамиче
ских характеристик комбинаций «корпус-оперение» или «корпус
кры л о-оперение». При этом для крылатого летательного аппарата ,
о с нащенного оперением, должна быть учтена его интерференци я с
к рылом.
z,
Хоп
Рис . 11.5.13 . Схема летательного а~ппа :рата, вьrполне~нноrо по ,схе м е
«++ »
Рассмотрим комбинацию с одинаковой ориентировкой консолей
крыла и оперения (схема«++», рис. 11 .5.13). По аналогии с
( 11 .4 .47) коэффициент подъемно й силы комбинации су 1 (индекс
« 1» • в дальнейшем опустим) ,равен
у
Су=---=Сут +с:кр (Ккр+Кт)крk1а+
q00Sкp
+ с:оп (Ккр+Кт)0п ('110п-1) Лsk2a Sоп •
(11.5 .59)
.
Sкр
В соответствии с этим значением Су найдем зависимость для ко
эффи ци ента .момента тангажа, выч и сленно го от н оситель но носка
корпуса:
m z = mzr - (Kr кр [(Сц.д)ат(кр) (Ькр)кр +хкр1 +
+ К кр [( Сц,л)акр (т)(Ькр)кр + .ХкрJ ) с:краk1 -
-
(кт,оп [( Сц д)ат( оп) (b"p)or, +Хоп}+ к оп [( Сц . n)аоп (т) Х
Х (Ь:,р)оп+Х011 ] ) с;ап('11 0п- l) Д,k2а Sап .
(11.5.60)
Sкр
В этих зависимостях коэффицие1-пы интерференции с индексами
<<Кр>> и <<ОП>> находят из табл. 11.2 .1 соответственно для з'начений
Ткр/(sт)кр и rапl(sт)оп· При помощи ЭТОЙ же таблицы определяют
ЗНа'!еНИЯ (CII д)а = (Хц д)а/( Ь"р)кр [ Например, (Сц д)ат (кр)= (Хц. ,)а/( Ьkр)кр].
Все геометрические параметры в ( 11.5 .60) являются безразмерными
165
и От!iесены к длине летательного аппарата хк [т. е. хкр = х"р/х";
(ЬкР)ЩJ=(Ькр)кр/Хкр И Т. д.].
цифференцируя по а= ас cos ер [ ( 11 .5 .59) и (11.5 .60) ], можно
определить производные от коэффициентов подъемной силы и мо
мента тангажа су« и mza.. По этим значениям находят производные
по углу скольжения от коэффициентов боковой силы и момента ры
скания:
а также коэффициент центра давления комбина ц ии:
(ед л)a=(cu. J@= - т~/с~.
(11.5.61)
.
(11.5.62)
Все аэродинамические коэффи циенты для изолированных эле
· ментов комбинации (корпуса, крыла, оперения) в приведенных со
отношениях определяют по линеаризованной теории обтекания с
учетом влияния сжимаемости.
Ко эффици енты интерференции для крыла (Кт кР' К"р) и опере
ния (Кт . оп• К 0п) находя·t , кроме того , в зависимости от суже1;ия
ко нсо лей, толщины вытеснения пограничного слоя, а также длины
хвостового участка корпуса за крылом и оперением.
Момент крена оперення, распоnоженноrо за крылом.
Изменение такого момента происходит под влиянием вихрей,
сбегающих с I<рыль ев летательного аппарата, движущегося под
углами атаки и скольжения.
У комбинации с плоскими крыльями возникает пара вихр евых
жгутов, образующих с вертикальной и горизонтальной плос костя
ми симметрии углы, близкие соответственно к значениям !~ и а_
У крестообразных крыльев таких вихрей будет четыре .
Обычно знак этого момента для плоского оперения противопо
ложен знаку его собственного момента . Принимая это во вн имание
и учитывая, что размеры оперения невелики по сравнению с крыл ь
ями и поэтому малы- по величине создаваемые им моменты крена,
обычно при расчете его суммарного значен!'lя для летат ельно го
аппарата дополнительную интерференщюнную составляющую мо
мента крена не учитывают.
В случае крестообразной комбинации крыльев и оперен ия ин
терференционные моменты I<рена от вертикальных и горизонталь
нь1х консолей, как правило, обратны по знаку и близки по вел ичине .
Таким образом, практически суммарный момент крена комб инации
можно принимать также равным нулю, как и для летательно го а п
парата вида «корпус - крестообразное оперение», у которого вихри
п.еред оперением генерируются корпусом, что обусловлено возник
новением у него относит ельно неболы.I.iой подъемной силы.
166
§ 11.6. ОРГАНЫ УПРАВЛЕНИЯ
Основные типы орrанов управления
Трае кторию неу правляемого летательного аппарата, испыты
вающе го лишь в оз де йствие силы сопротивлен ия и веса, обычно на
зываю т естеств е нной, или б ал л ист и ческой. Для такого
лет ател ьного аппарата характерно отсутствие какой -либо искус
-с тв енно созданно й управляющей аэродинамической или другой си
лы , нор мальной к траектории.
Т р а е ктория у п равляемого летательного аппарата, выполняю
щего определенны й маневр , будет отличаться от естественной тра
€кто рии благода р я дополнительному у пра вляющему усилию, совпа
даю щ е му по нап р авлению с нормалью к вектору скорости полетз.
Устрой ства , со здаю щ и е н.еобход имую управляющую силу, называют
органамиуправления.
Ор ганы управл е ния входят в сист е му управления движением
лет ател ь.ного ап парат а , под которым пони м ают ком,п ле кс аппа.рату
ры и устро й ст в, обе спечивающих измерение отклонений фактиче
~кого движения лет ательного аппарата от з а данных условий поле
·га, форм ир ов а ние соответствующего сигнала и создание управля
ющей силы .
В зависи мости · от фи зического характера управля_ющей силы
ор г а н ы управл е н ия мож но ра з делить на три основных типа: аэроди
намичес к ие, га зоди намические и комбинированные.
Аэр одинамич еские органы управления со зд ают у правляющую
силу путем изменени я условий внешнеrо обтекания, и, следователь
но, у прав л яюща я сила ро своему происхожде нию - аэродинами
чесr<ая. Подоб ные органы управления являются средством и з мене
ния величины и направления главного вектора аэродинамических
сил. Применение их весьма эффективно для летательных аппаратов,
движущихся с достаточно большой скоростью в плотных слоях
атмосферы.
Газодинамические органы управления основаны на использова
нии эффекта, вызванного изменением напра в ле ни я газов о й ст р у и ,
истекающей из сопла реактивного · двигателя. Управляющая сила
возник а ет в результате отклонения вектора силы _т я г и от н а пр ав -
. _ления
касательной к траектории п олета. В некоторых конст р укциях
газодинамических · органов уп р ав л ения используются сrrе ц иалы1ые
управляющие реактив н ые дв иг атели. Такие органы управления
применяются в тех условиях, когда аэродинамические орга н ы
управления делаются малоэффективными, например в разреженных
слоях атмосферы или при малых скоростях движения летательного
аппарата (в частности, при старте ракеты с Земли).
Комбинированные органы управления при создании уп равляю
щей силы используют одновременно эффекты аэродинамических и
газодинамических органов управления.
Примером такого орга н а уп равления служит реактивный закрылок. Основ
l!ЬШ его элементом я,вляется по.воротное ,сопло, обычно устанавл,и-ваемое на зад-
167
ней кром~е крыла ,ил•и оперения и .выполняемое 1В виде узк ой щели . Управля ю
щее усилие возникает ,в 'Результате истечения воз дух а и з сопл а , н аклонен н ого п од
определенным углом к ХО'j)де . Это усилие складыва ется из дв ух ком понент: н о р
маль н ой ·составляющей ,силы тяги, •С оздаваемой поворотн о й щелью, и ·соста,вляю
щей аэродина-мической ,силы , возникающей ,вследс'!'вие перераспределения дав ле
ния на н,есущей по.верхности, обусловленного ,взаимодействием набегающего п ото
ка и струи ,воздух а, истекающей через щель.
Каждый тип органов управления включает в себя большое ко
личество конкретных видов рулевых устройств. Выбор типа ор га
на управления и конкретного вида рулевого устройства тесно связ ан
а),
Рис. 11 ,.6.1. Основ.ные типы рулевых поверхно
•стей:
а - полностью подвижные ; б
-
концевые; в ..,,,.. расп~
ложенные вдоль задней кромки
с аэродина,миче-
с 1к ой схемой, опре-
деляемой, в свою оче
р едь, назна,ч ением л е
тательного а пп арата и
та•ктико -т ехническими
требованиями, которые
к нему предъяв.ляют .
Таким образом, дан
ном у летательному ап
парату соответствуют
определенная • аэроди
намическая схема, тип
органа управления и
его конкретная конструкция, обеспечивающие выполнение задан
ных тактико-технических т,ребований.
Более подробно об органах управления и методах их расч етd
изложено в [8]. В данном параграфе будут рассмотрены ~ишь не
которые виды аэродинамических органов управления и методы их
расчета, в частности группа рулевых поверхностей, получивш их
широкое применение в авиационных и ракетных конструкциях.
Рулевые поверхности, или просто рули, размещаемые в ра з
личных местах летательного аппарата, можно классифицирова ть
следующим образом (рис . 11.6.1) : полностью подвижные орган ы
управления типа поворотного к.рыла или оперения; концевые орга
ны управления; органы управления,- расположенные ~доль задней
кромки несущей или стабилизирующей поверхности.
Полностью подвижные рули в виде поворотного крыл а
или оп е р· е ни я, обеспечивающие хорошую управляемость благо
даря достаточно большой площади органа управления, использу
ются для высокоманевренных летательных аппаратов и оказыва
ются весьма эффективными на значительных высотах и в широком
диапазоне чисел Моо . Чаще всего оси вращения рулей и корпус а
взаимно перпендикулярнЬi, однако в конструктивном отношен иа
иногда бывает удобным выбрать угол между этими осями, отл ич
ный от прямого (положение оси вращения руля определяется у глом
стрелов.идности хр, рис . 11.6 .1).
Некоторое распространение получили к он ц ев ы е органы уп
равления, составляющие часть несущей или ·стабилизирующей по- -
168
[
верхности и располагающиеся у боковых кромок. Такие органы
управления оказываются эффективньrми в достаточно большом диа
па зоне скоростей. Ось вращения этого руля, как и поворотного опе
рения, может составлять прямой угол с осью корпуса или иметь
некоторый угол стреловидности.
Особенность концевых рулей состоит в том, что их эффектив
ность практически не зависит от наличия корпуса. Их недостаток
заключается в трудности монтажа рулевого привода и механизма
поворота на крыле или оперении с боковыми концевыми кромками.
Концевые органы управления могут быть подразделены на обычные
концевые рули и органы управления с рулев·ой компенсацией
(рис. 11.6.2).
Р,ис. 11.6.2. Ти,пьi ко,нцевых рулей:
а - обычный концевой руль; б
-
с
.компенсацией
Рис. 11.6 .3 . Тл,пы рулей, ра,аположенных
,вдо ль задней кром,ки:
а - с постоянной хордой; б
-
с обратным су
жением; 1 - внутренний руль; 2 - внешний
руль; 3 - руль, расположенный по всему раз-
маху
При дозвуковых и небольших аверхзвуковых скоростях наиболее
широко применяют рули, расположенные вдоль задней кромки не
подвижного крыла или оперения. При небольших числах Моо с
отr<лоне нием рулей связано появление не только подъемной силы
(управляющего усилия) на них самих, но и на несущей неподвиж
ной поверхности, на которую распространяются возмущения от ру
лей. Поэтому такие рули могут быть очень эффективны даже при
относите льно небольшой площади.
При сверхзвуковых скоростях отсутствует обратное воздействие
рулей на неподвижные поверхности, поэтому управляющее усилие
создается только рулем. Несмотря на увеличение управляющего
усилия, обусловленное высоким скоростным напором, все же бывает
необходимым для п9вышения эффективности рулей выбирать их с
большей площадью. Органы управления, расположенные вдоль зад
ней кромки, могут быть внутренними и внешними рулями, занимаю
щими часть кромки или размещенными по всему размаху
(рис. 11.6.3).
Рулевые поверхности летательных аппаратов служат в
качестве рулей поворота, рулей высоты, элеронов и элевонов. Рули
169
поворота в нейтральном положении располагаютс я вдоль про дол ь
ной оси аппарата в вертикальной плоскости си м метрии. О т клоне-
ние их от этого положения вызывает поворот летатtльног о аппа
рата вправо или влево. Этот поворот обусловл е н д ействие м упр а в
ляющего rvю-мента рыс к ания, создаваемого р ул ем: .
Рули высоты расположены перпендикуляр н о плоск ости р у
лей поворота. Их отклонение обеспечивает изме нени е напр а вления
полета в вертикальной плоскости и, следоват ель н о, измен ение ·вы
соты. При этом поворот летательного аппарата вокруг поп ере чной
оси обусловлен действием управляющего момен т а тангажа , созда
ваемого рулем высоты.
Комбинация рулей поворота и высоты дает возможность уп
равлять летательным аппаратом одновременно в двух взаимно,
перпендикулярных плоскостях, т. е . ос у щ ествлять практически
любой маневр в пространстве. При по мощи этих же р улей можно
обеспечr1ть вращение летательного аппарата вокруг продольной
оси Ох1.
В са молетных схемах для у правления обычно преiусматрива
ются элерон ы в комбинации с р улями высоты. Эле рон ы - эта
две рулевые поверхности, расположенные на концевых или задних
кромках консолей крыла и отклоняю щиеся в разные сторо н ы, что
приводит к накренению летательного аппарат а. При это м появлн
ется горизонтальная сос тавляющая подъемной силы, откло няющая
аппарат в нужном направлении и обеспечивающая еге поворот под.
действием момента рыскания . Если одновременно с этим по ворач1•1 -
вается руль высоты , то осуществляется треб у емый маневр в про
странстве . При использовании элеронов следу ет учитыв ать, что
вследствие их откло не ния возникающие приращения подъем н ой си
лы на правом и левом крыльях противоположного знака выз ы в а ют
появление соответств у ющей разности сил индуктивного со против
ления. Это в свою очередь прив_одит к образованию допо шштель
ного момента рыскания, вызывающего вращение а ппарата в сторо
ну опущенного элерона, а также скольжение и, как следствие , мо
мент крена, обратный по знаку моменту от элеронов. Это сниж ает
эффективность элеронов, препятствуя осуществлению норм а ль ного
маневра. При этом наибольшей величины момент крена достигае 1·
в случае значительных углов атаки, вследствие чего эффек тивност ь.
элеронов на этих углах очень мала.
Для компенсации этого эффекта применя ет ся констру кщш
дифференциаль,ных элеронов,вкоторойодинэле.роиот
клоняется вверх больше, чем другой, парный ему, вниз. Сопр оти в
ление элерона , отк ло ненного вверх, з,начительно 1больше, че,м · от~
клоненного вниз, поэтому момент рыскания уменьшается.
Эле в он ы в отличие от элеронов отклоняются в любу ю сторо
ну независимо друг от друга, поэтому их используют однов рем е нно
и как рули крена, и как рули высоты. Такие устройства, выполнн
ющие ,одновременно функции органов поперечного и продол ьно го,
управления, устанавливают на летательных аппаратах ти па «бес
хвостка».
170
Аэродинамичес1ше свойства органов управления определяются
их эффективностью, под которой понимают степень прира
щения управляющих сил и моментов летательного аппарата (или
отдельно несущей поверхности) при отклонении руля. Эту эффек
тивность оценивают частными производными от соответствующих
коэффициентов силы или момента по углу поворота руля. Напри
мер, для рулей высоты продольную эффективность определяют
д
ov
дд
ov
производными Су/доv=Су или tnz/ Ov=tnz •
Понятие об управляемости
Аэродинамические свойства летательного аппарата характери
зуются его упр а в ля ем о ст ь ю - способностью аппарата реаги
ровать на отклонение рулей соответствующими изменениями пара
метров движения (углов атаки, тангажа, рыскания, наклон1
траектории и др.). Управляемость можно оценить степенью ·
восприимчивости аппарата ктакомуотклонениюорганов
управления, хара1перизующейся интенсивностью указаннъ1х изме
нен и й параметров движения. При оценке управляемости наиболь
ший практический интерес представляют те параметры, которые
· определяют
интенси't!ность изменения траектории центра масс. Это
-связано с тем, что именно в обеспечении заданной траектории со -
-стоит основная задача управления полетом.
от · управляемости в значительной мере зависит маневрен
но ст ь - .способность летательного аппарата изменять достаточно
быстро параметры полета, характеризующие высоту, величину и на
правление скорости. При разработке конструкций летательных ап
паратов и систем управления ими следует учитывать противоречи
вый характер требований устойчивости движения _и обеспечения
упр а вляемости. Придание устойчивости обеспечивает устранение
возможных нарушений заданного режима движения, в то время как
упр а вляемость связана с обратным - возможностью изменения
этого режима.
Управляемость летательного аппарата теснейшим образом свя
зана со статической устойчивостью . Аппарат, обладающий повы
шенной устойчивостью (большими восстанавливающими момента
ми), слабее управляем, чем аппарат с меньшей устойчивостью, т. е .
апп а р а т требует больших отклонений рулей для изменения режима
пол ет а. Если реакция аппарата на небольшие отклонения рулей
ве;JI:ик а , то это указывает на малую устойчивость. Такой небольшой
усто йч ивостью обладают летательные аппараты, предназначенные
для б ы стрых маневров. Требование большей управляемости вызы
вает н еобходимость использовать летательные аппараты, нейтраль
ные в отношении статической устойчивости или даже в отдельных.
случаях статически неустойчивые .
Исследование управляемости, основанное на з нании аэродина
ми'{еских характеристик, является основным в теории возмущен
ного движения летательных аппаратов.
171
Аэродннамнческнй расчет руnей
Определение аэродина м ических характеристик органов управ
ления представляет собой важную и вместе с тем трудную задачу .
Большей частью методы расчета этих характеристик основаны н а
экспериментальных исследованиях аэродинамических рулей, при
надлежащих летательным аппаратам различных типов. В послед
ние годы на базе достижений математики и механики начали широ
ко проводиться теоретические исследования аэродинамических ру
лей, которые привели, в частности, к появлению методов расчет ,~
а)
а)z
z
!с
V)
rx,=D
v5
rx,= а
о
rхг =о
v_
х
3
Рис . 1,1.6.4. Схема к ·расчету аэродинамичес1шх ха ·ракте
ри,сти,квнешн ето ,руля ло ме'!'оду обратимоста1 потока:
а - прямой поток; 6
-
обратны!\ поток; 1 - площадь руля Sp;
2 - площадь крыла S кр; З - площадь S т, занятая корпусом
под крылом
тоюшх рулевых поверхностей, расположенных на корпусе малой
толщины. Данные этой аэродинамической теории тонких тел в ряд е
случаев хорошо согласуются с опыт0,м и вместе с тем лоз.валяют
понять отдельные явления, связанные с механизмом возникновени я
управляющих усилий.
Рассмотрим методы расчета по этой теории аэродинамическпх
рулей, представляющих собой полностью поворотные консоли кры
ла или оперения.
Для этой цели применим метод обратимости потока, позволяю
щий учесть влияние на возникающую подъемную (управляющую )
,силу крыла и корпуса . При этом будем исходить из соотношений.
аэродинамической теории тонкого тела, согласно которой форма
рулевой поверхности в плане не влияет на величину создаваемой ею
силы.
Предположим, что орган управления занимает на крыле участок
вдоль задней кромки длиной Sт-Si (рис. 11.6 .4). Подъемную силу,
развиваемую рулем, вычислим при условии, что корпус и I<рыло
расположены в прямом потоке под нулевым углом атаки (а 1 = 0), а
руль отклонен на угол 6 ( а 1 = 6). Примем, что в обращенном по токе
комбинация . «корпус - крыло - руль» располагается под общим уг
лом атаки а2 =б . В соответствии с формулой (8.13.8') метода обра
тимости для рассматриваемого случая
SS лp1adS= SSЛP2adS.
(Sp+Sкp+Sт)
(Sp)
или, сокращая на б,
. \ s ЛP1dS= ss ЛP2dS.
( Sp+Sкp+Sт)
(Sp)
(11.6 .1)
Здесь левая часть определяет отыскиваемую подъемную силу ком
бинации «корпус - крыло
-
руль» от отклонения органа управле-
ния, отнесенную к скоростному напору qoo= PooV~/2, т. е.
Yp=qoo SS ЛpzdS.
(11.6.2)
(Sp)
Полагая, что элементарная площадь руля dS = idxdz, напишем
sm
хз
Yp=2qoo Sdz 5Лр2dх.
(11.6.3)
S;
ХП
Величина
хз
_\ Лр2dх=Ьс~,
(11.6 .4)
т. е . ,ра·вна »агрузке в сечении крыла, определяемой при отклоне•
нии кор.пу,са и консоли на угол б . Эта нагрузка при обтекании об
ращенным ~пото~юм ком,бинации соглаено аэродинамической теории
не за,висит от ФоР'МЫ крыла в плане и определяется ка~к подъемная
сила сечения, с·осредоточенная на передней кром,ке.
Коэффициент перепада да1вления
-
-
-
2(д'f д'f)
ЛР2=Рн-Рв=~v00 д:-д; .
Поэтому нагрузка в сечении крыла с учетом ( 11 .5 .27)
,.
хsз- - 2 ,~~3(д'f д'f)
ЬСу= . ЛpzdX= --
__
н___R _ dx=
•
V00
8.х
дх
х
х
п
п
=
;: (9н-9в)=4а[(sт+ :,: Y-(z+;n
112
•
(1 1.6.5 )
Внося это выражение в (11.5.39), найдем
Yp=8q00a Jm ![sm+ (r2/sт)]2 - [ z +(r2/ z)]2 ) 112dz.
( 11.G .6)
Si
173
Нетрудно заметить, что это выражение аналогично rюлученному
ранее соотношению ( 11.5.41). Производя интегрирование и относя
( 11.6 .6) к подъемной силе изолированного крыла
Укр= 2олqоо (s,n - s, )2,
(11.6.7)
образованного двумя соединен н ыми ко н це выми органами управ
ления, получим
-
-rт - S;-Тт
-s,
2
[л(1 2)2 (-2
4 )1/2(1 -2)1/2+
ло- s;)2 4
1
4
•
,
•
rn+2
•
·
тi.-
rn
+- (1+ r 111 ) arcsin ------ r rn arcsш -------
1- 2-s2+ ,.4
(1+r4)-s2 2r4]
2
1- r~n
([- r~)s; ,
(11.6 .8)
где rm= r/srn, s;=sJsm.
Отношение У0/Укр зависит только от геометрических параметров
на задней кромке. Зависимость Ур/Укр от т/sт при различных значе
Р,ис. 1,1.6 .5. Аэродина.мическая эффектив
•ность органов упра;вленrия:
1- рули: 2- крьто; 3- корпус
ниях Si/sm показана на рис.
• 11.6.5. Подъемная сила ком
бинации вследствие интер
ференции между кор,пусом
и крылом с отклоненным
концевым рулем может зна
чительно превосходить подъ
емную ,силу Укр изолирован
ного крыла. При фиксиро
ванном значении r/sin и уве
лwчении отношения Si/r
подъемная сила ,комбина
ции за счет влияния руля
возрастает. Это объясняет
ся тем, что поле давлений,
образующееся при обтека
нии органа упра'вления, «за
хватывается» значительной
площадью ~крыла.
Формула ( 11.6 .8) опре
деляет управляющую силу
концевого руля. В частном
случае, принимая в этой
формуле Si=Гm (si=r), получим завЕсимость .для Ур полностью
подвижных органов упра ·вления:
Ур
2
[л
2
2
(1+ г;,,)2
.
1- r~]
у= (l - )2 4 (1-rrn )2 -r"'(1-r,,.,)+
2
агсsш -- .
l<P
;;( .
Г,п
1+Г~
(11.6 .9)
174
Это выражение совпадает с формулой ( 11.2.60), определя ющей
коэффициент интерференции Кнр для крыла, неподвижно установ
ленного на корпусе. Характер изменения отношения Ур/Унр в зави
симости от величины r/sm пока:~ан на рис. 11 .6.5.
Таким образом, получен интересный результат, согласно кото
ромуэффектинтерференции в целом для комбина
ции «корпус- поворотное крыло» оказывается
такимже,какидлянеподвижногокрыла, взаимо
действующеr.o с корпусом при обтекании комби
нацииподнекоторымуглом атаки.
В соответствии со сказанным
Ур/У,r =Ккр•
(1 1.6 .10)
Подъемную силу можно выразить через сумму:
Ур=дУкр(т)о+дУт(кр)о,
(1 1.6.11}
Здесь первое слагаемое - подъемная сила крыла, отклоненного
на у гол 6 и испытывающего влияние корпуса, а второе - подъем
ная сила участка корпуса, обусловленная его интерференцией с .
крылом:
(11.6 .12)
дУт(кр) о = kтУкр•
( 11.6.13)
где kнр и kт, по аналогии с ранее введенными Кнр и Кт,- к о эф фи
ц иен ты ин тер ф ер е н ц и и, обусловленные отклонением пол
ностью подвижных рулей на угол 8 при а=О.
Согласно (11.6.11),
(11.6.14)
асучетом (11.6 .10)
(11 .6 .15)
Для определения 1юэффициентов kнр и kт необходимо иметь еще
одно уравнение, которое связывало бы между собой эти коэффи
циенты. Для получения такого уравне ния будем исходить из пред
положения, что крыло «передает» корпусу часть своей подъемной
силы независимо от того, создается ли эта сила под влиянием угла
атаки ,а комбинации или угла установки крыла 8. ~Эта часть подъем
ной силы, юбусловленная влиянием угла атаки а, определяется
отношением
а отношение
дУт(кр)о/ дУкр(т )о=Кт/Кi,Р•
лУт(кр) в/ д У"р(т) о= k.,/ kl<P
(11.6.16)
(11.6.17)
определяет часть подъемной силы, передваемую на корпус при угле
8. В соответствии с принятой гипотезой обе эти части равны, следо
вательно,
( 11.6 .18))
]75
Это уравнение можно переписать в виде
(kт +k"p)/kкp= (Кт+ К;,р) /К"р·
( 11.6 .18')
Используя значения ( 11 .6 .15) и ( 11.2 .61) соответственно для
kт+kнр и Кт+Кнр, получим следующее выра жение для коэфф ици
е нта интерференции:
k"p=K~r/(1 +гmJ2•
Коэффициент kт. в соответствии с ( 11 .6 .15)
kт= к"Р - .kкр•
(11.6 .19)
( 11.6.20)
Эти з начения коэффициентов используют при исследовании ин
терференции подвижного оперения нетонких комбинаций, для кото
рых аэродинамические характеристики изолированных консолей
выбирают в соответствии с данными линеаризованной теории обте
кания. Результаты исследований могут быть уточнены, если учесть
изменение коэффициентов kнр и kт под воздействием таких факто
ров, как сужение консоли, число Моо, длина головной части корпуса
и пограничный слой. При этом исходят из соотношений, аналогич
ных ,( 11.4 .29):
(11.6.21)
где (k"р)те~р• (kт)теор - коэффициенты интерференции, рассчитанные
по аэродинамической теqрии тонкого тела в соответствии с
(11.6 .19), (11.6 .20):
2
2
•. ·•
(kкр)теор=(Ккр)щр/(1+ Гт); (k,)теор=(Ккр)теор-(kкр)теор· (11.6 .22)
Влияние хвостового -участка корпуса сказывается на величине
коэффициента kт (так же как и на значении Кт) ; в то время как
коэффициент kнр не меняется (так же как и Кир). В соответствии
с этим при наличии части корпуса за подвижной консолью коэф
фициент
( 11.6 .23)
где F определяется по ( 11.4.31) .
Рассмотрим расчет аэродинамических характери
стик ко-м-бинаци·и «корпус- поворотное оперение»
с использованием полученных коэффициентов интерференции. В со
ответствии с (11.6 .14) коэффициент подъемной силы, обусловлен
ной отклонением консолей поворотного крыла,
Cyo=Yp/(qooSкp)=c~ кр (kl{p+kт) ovkl.
(11.6 .24)
Здесь бv -угол атаки консоли, равный углу поворота, отсчиты
ваемому в вертикальной плоскости симметрии, проходящей через
ось корпуса. Его значение будет таким, как угсл поворота бv', ког
да ось вращения составляет с осью корпуса прямой угол, т. е. когда
угол стреловищности этой оси Хр = О. Если же xp=;i'c=O, то угол атаки
176
консоли ov не будет равен углу поворота бv', измеряемому в плос
кости, перпендикулярной оси вращения . Величина этого угла
(11.6 .25)
Добавив к значению ( 11.6 .25) коэффициент Суа = Сут ,нр, опреде
.л яемый по значению подъемной силы Уа = Ут,нр комбинации при
a=;i=O, бv = О, получим суммарный коэффициент подъемной силы,
отнесенный к площади консолей крыла:
Су = Суа+ Суа= Сут Sмид + [ ( Кт+ Ккр) а +(k,.+ /<кр)с\] С~ крk1, ( 11.6.26)
Sкр
Б ез размерную координату центра давления (координату фокуса
по углу бv) консолей поворотного крыла при а=О можно найти из
вы ражен ия
(11.6 .27)
Значения (сц . д)акр(т), рассчитанные по аэродинамической теории
тонкого тела, оказываются практ ически теми, что и коэффициенты
( сц.д)о.кр(т),
найденные для случая неподвижных консолей при
a=;i=О.
Полученные данные свидетельствуют об относительно слабом
влиянии интерференции на смещение центра давления поворотного
крыла. Это дает основание считать, что с достаточным приближе
нием центр давления такого крыла при а =О , бv=;i=O можно прини
мать таким, как для изолированного крыла.
Если корпус движется под углом атаки а, а крыло дополни•
тельно отклонено на угол бv, то относительная координата центра
давления
( Сц . л) кр(т) = (хц. п!х,J"р(т) =Хкр +(с~_д)кр(т)Ь:,р,
где коэффи циент
( С~.д)(<Р(т) = (Хц.д/ Ькр)кр(т) = [ К кра ( Сц. д)о.кр (т) +
+k"μov (сц. л)окр(т) ] /( 1(,ра +kкpov).
(11 .6.28)
(11.6 .29)
П ри повороте органа управления наряду с изменением полож е
ния его центра давления вследствие интерференции с корпусом ме
няется координата точки прилож ения дополнительной подъемной
силы ко рпуса , обусловленной влиянием оперения. Если такой по
ворот сопровождается изменением угла атаки корпуса, то относи
тельная координата ц ентра давления
(11.6 .30)
где
{ с~.д)т( кр) = ( Хц,д)
=
[ к та ( Сц.д)ат(кр) + k"ov (Сц д)от (кр)] /(Кта +kтov)-
b,p т(кр)
(11.6 .31)
177
При расчете положения центра давления на корпусе с учетон
влияния оперения принимается, что центр давления нечувс твителен
к тому, развивается ли подъемная сила от угла атаки или у°гла
поворота крыла . В соответствии с этим (xu д)•т(кр) = (x,t, д)от(кр)·
Коэффицие нт центра давления для комбинации «корпус-пово
ротное крыло»
С.= ~=- mz=-1-[(с)СS,ш1_L
ц. ,,
l!·ilтYIS
1
Хк
Су
Су-
кр
(1 1.6.32)
+ (Сц д)кр(т) ДСукр(т ) +(Сц. ,1)т(кр) ДСут(кр)] ,
где су - суммарный коэффициент подъемной силы, вычисляемый
по ( 11.6.26), а его составляющие - из выражений:
ЛСукр(т) = i\ Су,кр (т) + ДСуокр(с) = (Ккра + kкpov) c~кpkl; (11.6.33)
ДСут(кр) , лс~•т(к р) +ДСуот(кр) = (К1.а + k., .ov) с:крk1, ( 11.6.34)
Рассмотрим пр од о льну ю эффективность орг анов у п
р&вления в виде поворотного крыла . Ее величина определяется
производной т 0v для симметричного отклонения горизонт альных
z
.
консолей при условии, что момент тангажа вычисляется относи
тель но центра масс. Коэффициент этого момента т, нет ру дно
В ЫЧИСЛИТЬ ПО извес тным значениям ДСукр(т) ( 11 .6.33) и ЛСут(кр)
( 11.6.34), а также по заданным относительным координата м цен т
ров давления (сu . .,)а кр(т}, ( сц.д ) от(кр ))- Вычисляя производн ую от mz
по Ov, найдем
т:v= -Ь"Р !k:кр[(сцд)окр(т)-f-(хц,Jкр]+
+k, [(Сц.,~)о т(кр) +(х,( м)кр] \ с:крk1,
(1 1.6 .35)
где (~_., )кр= (xu.мl ькр )кр [ (хц,м)кр - расстояние от центра масс . комби
нации до вершины крыла на корпусе].
Производная ( 11.6.35) обычно отрицательная для хвостово го
оперения и положительная для органа управления, выпол ненно го
по схеме «утка».
При определении аэродинамических характеристик к о м б и
нации «корпус- поворотное крыло
-
поворотное
оп ер е ни е» необходимо учитывать интерференцию опере ни я и
крыла. При этом аэродинамический расчет части комбин а ции
«корпус - поворотное оперение» осуществляется так же, как и для
комбинации «корпус - поворотное крыло», для которой коэф фи ци
енты подъемной силы крыла при наличии корпуса (а такж е к ор
пуса с учетом воздействия крыла) находятся соответств енно rто
формулам (11.6 .33), (11.6 .34), в которых следует принять бv =
= Оvнр, а коэффициенты интерференции Кт = I<,т.нр, kт=kт.нр, Кнр, kнр
вычислять по параметру для крыла [r1,p/ (sm) нр].
178
По аналоiи и с ( 11.6.33) rшэффициент подъемной силы оперения
при наличии корпуса
( 11.6 .36) .
где Коп, kоп - коэффициенты интерференции оперения, сходные с
,соответствую щими коэффициентами Кнр .и kнр крьiла; бvоп- угол
поворота консолей оперения.
Коэфф ициент подъемной силы корпуса при наличии оперения
( 11.6 .37)
где Кт.оп, kт.оп - коэффициенты интерференции, которые для опере
ния вычисляют так же, как и значения Кт.нр, kт.нр для крыла. Бо
лее точное нахождение коэффициента подъемной силы хвостового
участr(а комбинации «корпус - крыло
-
оперение» связано с опре
делением поправки к этому коэффициенту, обусловленной интер
ференцией с крылом. Величина этой поправки
( 11.6 .38)
Коэффициент интерференции i 011 в этом выражении определяется
по графикам, изображенным на рис. 11.5.9, как функция (rт) 011 =
= r0п/( sт)0" ; '11 011 ; zv/(sт)aп; Yvf(sт)oп• При этом пертикальная коорди
ната вихря Yv (см. рис. 11.5 .8) в случае повор()та консоли крыла на
некоторый угол бvнр
(11.6.39)
где Ьвр - расстояние между осью вращения консоли и точкой схода
вихря.
Суммируя найденные значения составляющих коэффициента
нормальной силы и . добавляя коэффициент подъемной силы изоли
рованного корпуса, получим суммарный коэффициент для всей
комбинации
_
Sмил+Л
1
+
r
-f
Су- Су.,· - 5
-
Сукр(т) Т ЛСут(кр) ЛСуоп(т) 1 ЛСут(оп) - ЛСу(т,оп)в•
кр
(11.6 .40)
С учетом приведенных значений коэффициентов подъемной си
лы участков комбинации и соответствующих величин коэффициен
тов центра давления найдем по аналогии с ( 11.6.32) следующую
зависимость для коэффициента центра давления всей комбинаци·1
(относительно носка корпуса):
_
Хц.д _
mz_ I[() Sми,+()
+
С11..~ -- --
-- --
С11 .д .,-Сут-5-- С11 .д кр(т)ЛСукр(т)
Хк
Су
Су
кр
. + (С11.д)т(кр)ЛСут(1<р) + (Сц.л)оп(т) ЛСуоп(т) + (С11.д)т(оп)ЛСут(оп) +
(11.6.41)
179
В этом выражении коэффициент центра давления для уч а ст к':}
«корпус - оперение» (с м. рис. 11.5.13)
(11.6.42)
(11.6.43)
где Хоп . XorJxк, (Ькр)оа= ( Ькр)опlХк [хк - расстояние от носка корпу
са до оперения; (Ькр)оп-бортовая хорда оперения];
,
)
('хц. д)
( Сц.д оп(т) = -Ь-
кр оп(т)
Копа (сц .д)аоп(т) + kоп 0vоп (Сц.д)ооп(т)
Копа + kоп0vоп
(11.6.44)
(11.6.45)
Для участка комбинации «корпус - крыло» коэффициенты центра
давления (сц.д)кр(т), ( сц. д)т(кр) определяют по формулам ( 11.6.28),
(11.6.30) с использованием (11.6 .29), (11.6 .31), а значение
( Сц,д)(т,оп)в принимается равным (Сц.д) оп(т),
Для ,определения 1продоль ,ной эффективности рулей
вычислим п роизводные от коэффициента ·подъемной силы ,по углам
отклонения органов управления бv = бvнр и бv = бvоп, В соответствии
c(ll.6 .40)
(11.6.46 )
где производные в правой части определяются дифференцирова
нием по бvнр (11.6 .33), (11.6 .34), (11.6 .38):
180
с~крс~0пkкр (sт - r) 011 k2Л,
2:rtлuп (zv - r)кр
( Хцд)(rап) О
Хк
(11.6.47)
(11.6 .48)
(Хц.д)бап(т)
Р,юс. )1 1.6 .6 . Схема к оп1ределе-ю1ю щрюдольной эффективню,сти руле й
Выражение ( 11.6 .48) учитывает изменение производной от КО ··
эффициента подъемной силы по углу поворота крыла, вызванно~
скосом потока перед оперением. Производная от этого коэффици
ента по углу отклонения консолей оперения согласно ( 11.6 .40)
0vоп - с0zюп +ЛСvvoп
Су - Л уоп(т)
ут(оп)•
(11.6 .49)
Производные в правой части находятся по ( 11.6.36), ( 11.6.37):
о
аk So
i',
а Sоп (11650)
лсvоп-kс
_п_• лсvоп
=
kс.-
-
уоп(т) -
orJуоп2S ,
ут(оп)
т,оп уо11 S •
••
•.
кр
•
кр
Для определения продольной эффективности по углу отклоне
ния крыла следует воспользоваться соотношением (рис. 11.6.6)
(11.6.51 )'
где Х~р=Х~р/х,; (Ькv)кр=(Ькр)кр/х,; X0 n=X0 ,Jx"; (Ькр)оп=(Ькр) 0пfхк.
Продольная эффективность по углу поворота консоли оперения·
т:vоп =
-
лс:i?r,) [хоп+ ( cli,Jl)toп (т) ( ь,μ)оц] -
-
лc:Jf~,) [хоп+(сl!,д)от(О!i) (ЬкμJоп·J-
(11.6.52)
В формулах ( 11.6.51), ( 11.6 .52) коэффициенты центров давлешы
вычислены как отношения соответствующих расстояний к борто
в ой хорде крыла или о·перения, например (сц .,)~кр{т) = (xl{ л)о1,р(т) /( ь,р )кр ;
( сц лkг,оп)в=(Хц.д)сг,оп)в/(Ькр) 011 И Т. д.
Приведенные значения продольной эффективности могут б ыть
отнесеныкI<рестообразной конфигурации летательног;::>
аппарата, движущегося без скольжения( а=т'=О, ~=О). Если тако й
аппарат накренен (а=т'= О, ~9'=0), то возникает необходимость в оп
ределении наряду с продольной т 1 и также путев ой т;Ф
эффективности. При этом продольная эффективность может б ы ть
найдена при помощи формул ( 11 .6 .51) и ( 11.6 .52) в плоскости у гл а
а= ас cos ер, не у читывая взаимодействия между вертикальнымн п
горизонтальными консолями . Аналогично определяется путев ая
эффективность, вычисля е мая при симметричном отклонении верти
кальных рулей (of=O t кp; о~=о оп ) в плоскости угла скольжени я
~=ас sin ер . При этом
( 11.6.53)
В сл у ча е движ е ния под углом крена продольная эффективностr,
в плоскост и угла атаки а с возрастает, что объясня ется увеличе н ием
181
несущей способ н ости I<рестообразного оперения при повороте на
угол <р.
Одна из п р ичин снижения эффективности рулей и нарушения
линейной зависимости их аэродинамических характеристик от угла
отклонения связана с образованием щелей между органа м и уп
равления и корпусом. Такое явление возникает при достаточно
больших щелях, размеры которых возрастают по мере отклонения
рулей. Снижение их несущей способности и наруше н ие линей но сти
,обусловлено резким падением перепада давления у корневой хорды,
вызва нным щелью.
Повышения эффективности о рг анов управления и восстановле
ния линейности мож н о достичь уменьшением в конст р укции лета
тельного а пп арата размеров щелей и одн о в р еменн о сн и жением до
пустимых углов отклонения рулей. При этом в реальных условиях
впзкого об текания пограничный слой как бы перекрывает малые
щели, что п риводит к уменьшению их отр ицательного воздействия
на рули.
Влияние щелей, образую щихся в пр оизводственн ы х и эксп л у
атационных условиях, на изменение эффективности рулей можно
учесть введением поправочного м ножител я kщ в полученные выше
значения аэр о д ина мичес ки х характери с тик органов управления.
При дозвуковых скоростях (Моо < М,~жр) ориентировочно м о жно
принят ь kщ = О , 8--ё--0, 8 5 , а при повышенных числах Маха (Moo>l,4 )
коэфф ици е нт kщ = О,9--ё--0,95.
§ 11 .7 . АЭР О Д ИНАМИЧЕ С КОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
З ависимости для определения аэродина м ического сопротивл е
ния л етательного аппарата в виде комбинации корпу,са , крыльев и
опере ния должн ы учи т ыв ать влияни е на сопротивление интерфер е н
ции ме жду отде льными э л бментами апп арата. Полное ,сопроти:вл е
ние Х при наличии подъемной силы (Cy=FO) можно пред ст ави ть
·сумм ой сопротивления Хо при нулевой подъемной силе, основно ч
части индуктивного сопротивления X i, со здаваемой корпусом,
крыль ями и оп ер е ни е м, а такж е индуктивной составляющей ЛХа ,
вклю чающей некоторые неучтенные аэродинамические силы, появ-
ляющиеся вм есте с подъемной силой, т. е. Х =Хо + Хi+ 1ЛХа. Соот
ветствующий коэффициент полного сопротивления , отнесенный к
некоторой характ е рной площади S,
Cx=X/(qooS) = Схо+ Cx i +ЛСха•
( 11.7.1)
Сопротивление при отсутствии подъемной силы (су = О)
Величина коэффициента этого сопротивления
(11.7 .2)
где .
182
Здесь Схт, Схнр и Схоп - соответственно коэффициенты сопро тив
лени я изолированных корпуса, крыльев и оперения; остал ьные·
ком поненты в сумме дают поправку на интерференцию. Индекс в.
скобке у каждой составляющей указывает элемент конструкци и, в
р езультате интерференции с которым появляется дополнител ьно~·
сопротивление корпуса , крыла и оперения.
Основной частью сопротивления всей комбинации является со
противление ее изолированных элементов
(11.7 .3),
Выделив из каждой составляющей соп_ротивление, вызванн ое
разрежением за донным срезом (донное сопротивление), можно ·
написать:
ЛСхо= с:т+с: "Р +c:r .or, +Сх т.дсн +Сх кр.дон -f -Сх 011,дсн, ( 11 .7.3' )
где первые три величины - коэффициенты сопротивления от дав
ления и трения на корпусе, крыле и оперении, а вторые три КОl\1-
понента - соответствующие составляющие коэффициента донн ого:
сопротивления.
.
Корпус. Полное сопротивление корпуса определяется с учетом:
его формы, которая в общем случае может отличаться от тела вр_а-.
щения. Если это отличие невелико, то корпус рассматривается как
тело вращения с распределением радиусов вдоль продольной ос и х,
1юдчиняющимся закону r (х) = VS (х)/л, где S (х) - площ адь-.
поперечного сечения корпуса заданной формы. У такого тела вра
щения подъемная сила и моментные характеристики, как пока зы
вают исследования, сохраняются такими же, как у корпуса зада н
ной формы .. Различие в сопротивлении оказывается более сущес т
венным, поэтому его целесообразно учитывать. Отклонение фор м ы
ко рпуса от т ела вращения может происходить из-з а различного
рода «надстроек», например обтекател ей, а нтенны х устро йств
ит.Д.
Аэродинамическое сопротивление корпуса зависит от располо
жения надстроек. Исследования показывают, что наименьшим бу
дет сопротивление при среднем располож ении этих надстроек. П рк
выносе вперед надстроек сопротивление возраста ет из-за повыш е н
ного давления на носовую ч асть, а пр и заднем расположении ув е
личивается вследствие срыва потока и по вышения донного ра зре -
режения. Сопротивление, обусловленное таким разрежением за
донным срезом площадью Sдон, определяется величиной коэффи ци
ента донного давления рдон= (Рдон-Роо) /qoo, поэтому коэффици ен т
Схт.дон в (11.7 .3'), отнесенный к характер н ой площади S, бу дет
(рис. 11. 7 .1)
(11.7.4}
В практич еских случаях при вычислении сопротивления: м о жно
принпть , что его составляющая, обусловленная трением, не зави си т
183
,от интерференции. Тогда следует учитывать изменение только со
противления от давления корпуса вследствие интерферен ции с не
сущими ,поверхностями. При этом, если крылья и оперение располо
:,1'<ены на цилиндрической части корпуса, то его сопротив ле ние не
изменяется. Если же крылья или о п ерение находятся на сужающих·
ся или расширяющихся участках ко рп уса, то влияние интерферен
ции может оказаться существенным. Приближенно величины
ЛСх т ("Р) или ЛСх т (оп) мож н о о пр еделить, исходя 'ИЗ п р едположения,
что кор пус находится в п оле давления изолиров а,нной консоли не
сущей или стабилизирующей поверхности, которое может быть вы
-числено по сверхзвуковой теории кр ы ла ( см. § 8.3).
Рис . 11.7 . 1. Схема ле т ателын ого а пп а р ата для расчета аэродинюш
чес1ю г о ,соп р от.швле юН!
Крылья и оперение. При расчете сопротивл ения и з ол иро ван н ых
крыльев и опер ения их форму целесообразно рассматривать в виде
кон с олей, выступающи х над корпу сом , и фи ктивных участков несу
щей повер х ност и , расположенных внутри корпуса. У такого кры л а
(и ли оп ер ения) сохраняются прежний разма х, но ув ел ичива ет ся
п лощадь (S'нр) . Значение Схнр (ХщJ ) [и ли Схоп (Хоп)], учитываемое
фор мулой ( 11 .7 .2), о,пределяет,ся с-оп,ротивлением этого крыла за
в ы чет ом той его част,11 , которая при ходится на фиктивны й у часто к
кр ыла площадью ,ЛSнр , располо же нного под корпусом,
Сх ;,р= (сх кр)из (1- лSкр;s;,р),
где (сх нр) и3 - коэффициент сопротивления пары консолей, р ассч и
т ан н ый для значения S'нр с уч етом площади под корпусо м.
В л иян ие интерференции на оопротивлени е можно уч е сть, вве-дя
п оп р авку к написанному в~1ражению для Схнр в виде
(
ЛS,р)
Сх кр= (Сх кр),.,з 1- kи.,,р -~
,
кр
(11.7.5)
где kи. нр - коэффициент инт ерференции, изменяющийся в широких
п р ед е ла х в зависимости от расположения крыла на корпусе и ха
ракте ра их сопряжения , а также формы и удлинения крыла . Пр и
небо льшой стреловидности и . удлинении (лнр> 2) крыльев, плавно
со п р яженных с корпусом, в еличина kи.нр м ало отличается от еди -
184
ни цы. Пр и _поло ж ит ельно й инт ерф еренции, уменьшающей сопротив
ление, величина kп.кр> 1.
Со противление консолей (оп ерения) вычисляют так ж е, как и
для к рыла . Согласно полученным результатам, су мм у чл е но в
Лехкр+ 1Л е,е0п, входящую в (11.7 .2) , можно написать в вид е
(
'
ЛSкр ) ~ s;,p
де.х кр+ де.хоп= (е.х кр)из 1- kи.к р s:P --s- k1 +
(
лs)~s~п•
+ (ехоп)из 1_- kи.оп~
-
5- kz.,
5оп
(1 1.7 .6)
где ~ s:p, ~ S~п - суммарные площади консолей с учетом участ
ков занятых корпусом; k1, k2.:-
коэффици е нты тормо ж ения пото ка;
(ех кр) из, ( ех оп) из - коэффициенты сопротивления изолированны х
кры л ьев и оперения , вычисленные соотв етств е нно для чис ел М1 и
М 2 пото ков п еред крыльями и оперением.
Полное сопротивление при еу=О. Су м ма составляющи х коэффи
циента Лсхт ( 11.7.2'), относящаяся к корпусу,
'+'+')Sми;(
Лехт=(е.хт Ле.хт(кр) де.хт(оп) - 5
-,
(11 .7 .7)
где коэффициенты со штрихом ра ссчитаны по миделеву сечени ю
корпуса, а величина Лехт отнесена к характерной площади S рас
сматр и в аемо й комбинации . Принимая во вни м ание ( 11 .7.6), най дем
общее соотнош ение для полного коэффици ента сопротивлени я:
('
_J_
'
+' )Sми•(1
ех=ехтIЛе.хт(кр) дехт(оп) -5
-
,
1
(
ЛSкр) ~Sкр •
Т(ех кр)из 1- kи.кр
-
,-
-Т-k1+
Sкр
+(
) (1 k ЛSon)~Sonk
Схопиз - и.оп-,- ~ 2·
sон
(11.7 .8)
Согласно экспериментальным исследованиям, у большей части
конструкций влияние интерференции на сопротивление оказывает
ся неболь ш им и может быть учтено введением к коэффициенту со
противления Лехо (11.7 .3) некоторого суммарного коэффициента ин
терференции kc . В соответствии с этим полный коэффициент сопро
тивления ех=Лехоkс. Коэффи циент kc зависит от ряда факто ров, в
частности, скорости и высоты полета, схемы летательного аппарата,
конструкции его отдельных элементов. Величина этого коэффициен
та обычно мало отличается от единицы и в приближенных расчетах
может быть принята равной kc= 1,05-; -,1,06.
Правило площадей. Практический интерес представляет оценка
сопротивления комбинации «корпус - крыло», основанная на ис
пользовании пр а вил а площадей. Согласно этому правилу,
сопротивление указанной комбинации равно его соответствующему
185
-значению для изолированного корпуса, имеющего то же распреде
,ление площадей поперечного сечения, что и комбинация «корпус -
крыло», Такой изолированный корпус называют эк в и вале н т •
ным телом.
При построении
-крыло» рассекается
эквивалентного тела комбинация «корпус -
поперечными плоскостями, перпендикулярны-
,
rJ,,
-~~===r1h(
I
111 11
1
1
111
1
1[
1
,пt,1 ,
~
шl.3
~
'
шl'
1
L
1
L
1
лJ ·:
1
4
1II
.zrJ
Рис . 11,7 .2 . Прю1,r.енение правила площадей
д.1я ра .счета аэродинамического сопротив
ления:
J - заданная конфигурация летательного аппара
та; 2 - эквивалентное тело вращения с наплывом
·(в сечениях /-/ и II-II площади сечений одина
ковы); 3 - тело вращения минимального сопротив
.ления; 4 - форма эквивалентного тела (с поджа-
• тием
корпуса), иr-.-rею1цего уменьшенное соnротив
.ление (площади в сечениях llf-III и IV-IV оди-
наковы)
ми продольной оси, и из
меряется площадь в вы
бранном сечении, Эта
площадь с,читается при
надлежащей Э1квивалент
ному телу, которое отли
чается по внешнему виду
от зада ,нного
~корпуса
тем, что начиная с сече-
ния, где расположены пе
редние кромки, такое те
ло приобретает выпуклую
форму (рис, 11.7 .2). Если
_форма эквивалентного те
ла определена, то коэф
фициент его волнового
сопротивления
можно
найти, на1пример, при по-
отношения
мощи интегрального со
(l О :З,28). Входящая в н-его вторая п роизводная S~. )
вычисляется для эквивалентного тела.
В сверхзвуковом диапазоне скоростей изложенный метод при
меним только для очень тонких конфигураций со стреловидными
186
С·х
v
3
М=
D,16
-
0,08
О,8ч
0,92
1,00
1,08
М00
Рис . 11,7 .3. Коэффiщие,нт сопр01швлен.ия летательного аппа-
рата, опроект.иро.ванного по пра,вилу площадей:
1 - корпус минима.ттьного сопротивления; 2 - комбинация «корпус -
крыло», спроектированная по правилу п..11ощадей; 3 - такая же ком
бинация, в компоновке I<оторой не учитывается правило площадей
l-
крыльями малого удлинения. Метод можно применять и для не
стреловидных крыльев при условии, что Моо~ 1.
.
Экспериментальные исследования показали, что правило пло
щадей можно использовать для получения такой компоновки ле
тательного аппарата, которая бы обеспечила в области трансзвуко
вых скоростей наименьшее сопротивление. В соответствии с этим
правилом летательный аппарат следует сконструировать таким об
разом, чтобы площади его поперечных сечений изменялись вдоль.
продольной оси аппарата по тому же закону, что у тела вращения
с минимальным сопротивлением (рис. 11.7.2).
На рис. 11.7 .3 показана экспериментальная зависимость от чи
сел Моо коэффициента сопротивления Сх при С11 =0, из которой вид
но, что комбинация «корпус - крыло», спроектированная по пр ави
лу площадей, имеет меньшее сопротивление по сравнению с ком
бинацией, спроектированной без учета этого правила.
Применение правила площадей дает удоsлетворительные ре.:.
зультаты для околозвукового диапазона чисел Маха, изменяющих
ся в пределах О,8<Моо< 1,4.
Индуктивное сопротивление
В случае c,/'F О дополнительное (индуктивное) сопротивление
определяется суммой соответствующих аэродинамических коэфф и
циентов Сх;+'1сха [см . (11 .7 .1)]. В свою очередь коэффициент ин
дуктивного сопротивления Сх; для дозвуковых скоростей можно,
рассматривать как сумму коэффициентов индуктивных сопротивле
ний горизонтальных консолей крыла (Сх;) нр и оперения (Сх;) оп . (при
отсутствии скольжения):
где
В этих выражениях коэффициенты подъемной силы находят для
изолированных консолей с учетом площади под корпусом, т. е. по
их действительному размаху. Для учета интерференции введены
эмпирические коэффициенты, представляющие собой эффективны С:
удлинения:
(t,эф),р=Лкр (1 + дSкр/S:Ср);
()'эф)оп= Лап ( 1+ дS 0n/S~u), }
(11.7.11)
2.
'
2
'
-
где ),кр=4 (sт)кр/Sкр; Лоп=4 (sт)оп/Sоп-СООтветственно удлинения изо-
лированных крыльев и оперения.
•
.
При сверхзвуковых скоростях коэффициент индуктивного со
противления Cx; = X;/(qooS) = cya. Согласно (11.5 .59), (11.6.26),
187
i(l 1.6 .36) и (11.6.37),
_
S,пщ+{[(К+К) 1(k I k) 0vкpJ о. Sкр+
Cx ;-Cma S
_
кр ткрТ крТ т.кр_а_ k1Cyкps
+[(ккр+Кт)оr,+(kкр+k,.)оп 0:"П] k2Ле(1lоп- l)с:оп}а2. (11.7 .12)
Р ассмотрим составляющую полного коэффициента сопротивления
,Cxa =ЛXa/(qooS), зависящую от угла атаки [см. (11.7 . 1)]. В еличина
этого коэффициента в значительной мере определяется подсасы
вающей («реактивной» или «подталкивающей») ,силой крыльев и
-опе ре ния, при вычислении которой необходимо учесть изменени е
их подъемной силы за счет интерференции с корпусом. Согласно
(8. 11. 5), а также принимая во внимание (11.9.59), (11,6.36) и
{ 11 .6 .37), запишем (с учетом отрицательного знака):
(ЛСхо.)кр + (ЛСхо.)оп = (Сх т)кр + (Сх т J оп=
l- {[
О.икр] " }
2
Sкр
=- (стЛт)кр
(/(I<Р+К.~-)кр+(kкр+'<т)l(р_а_ k1Cyl<p -s-+
+(~Лт)оп{[(/(кр+КтJоп+(kкr+kт)оп 0:0п jk2Л,(110п- l)с~о{•5;п] а2•
(11.7.13)
В чаеnном случае, когда рули не отклонены (Ovкp = Q.voп = O),
(дсха)кр+(лсха)оп= - {(стЛт)кр l(Ккр+Кт)~рkТ (с~кр)2 S;p j+
+(стЛ,)0п[(Ккр+Кт);пk~л;(110,,- 1)2 (с~оп)2 5;" ]}а2. (11.7.13')
При определении подсасывающей силы крыльев и оперения при
дозвуковых скоростях (Моо < 1) можно использовать формулы
(8.11 .5) и (8.11 .6), предусматривая для тонких кон.фиг у.раций ,ко
эффициенты интерференции с корпусом такими, как в (11.7.13).
Коэффициент подсасывающей силы корпуса, вычисленный по ха·
рактерной площади S, опредеJ1яется в соответствии с ( 10.5.43) в
виде
(11.7.14)
Таким образом, дополнительный коэффициент сопротивления
ЛСха= (ЛСха)т+ (ЛСха)кр + (ЛСха)оn-
( 11.7 .15)
У многих летательных аппаратов, предназначенных для полетов
с большими скоростями, крылья_ и оперение ныполняют с заострен
;ными ' передними 1\ромками, поэтому ·сумма (Лсха;)нр + (.Лсха;)оп = О.
188
Если принять также во внимание, что подсасывающая сила корпуса
составляет незначительную часть полного сопротивления, то можно
считать (Лсха) т =О. В соответствии с этим коэффициент со1Против
ления, обусловленный углом атаки, определчется формулой Cxi=
=Суа, т. е. зависимостью (11.7 .12). В этой зависимости можно при
нять Оvкр =бvоп=О для тех летательных аппаратов, у которых подъ
емная сила при отклонении рулей меняется незначительно и, сле
довательно, пренебрежимо мало индуктивное сопротивление, вы
званное этим отклонением.
ГЛАВА Xlf.
ТРЕНИЕ
§ 12.1. У Р АВНЕНИ Е ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Рассм отр и м установив ш ееся плос кое движени е вязкой сжи м ае
мой жидкости на 1<Р.IЧЗ,f_)ЛЩiеfшой поверхности. Дифференциальные
уравнения Навье - Стокса, применяемые для исследования этого.
д~ижения, имеют_ Вr_!_д первых двух уравнений в системе (3.3.10).
Заменяя в них d1v V = дV,jдх+д Vу/ду, Бz= О ,5 (дVх/ду + дV11/дх) и
полагая частные произ.водные дVxfдt и д Vу/дt ра вн ыми нулю, по
лучим:
Vх дVх-tVyдV_,_.= _ _1
_
.
др-+
-
1-
.
~{fJ.[2 дVх _
дх
ду
р дХf
рдх
дх
_
2_(дVх+дVу)]}+1.. д [fJ.(дVх+дVу)];
3дх
ду,
р д,у
ду
дх
VхдVу+VудVу__ l
.
др+l . д{fJ.[2дVу_
дх
ду
рду
рду
ду
(12. 1. 1)
_
2(дVх+дVу)1}+1 . д[fJ.(дVх+дVу)].
3дх
ду
?дх
ду,
дх
Будем рас с матривать теч е ние жидкости с малой вязкостью, т. с.
с малыми значениями коэффициента v = μ/p . Из (12 . 1.1) видно , что
если вязкость является существенной особенностью теч е ния, то с о
м ножите л и при v J~:олжны быть достаточно большими, чтобы ком
п е нсировать малые знач е ния v. В свободном потоке влияние тормо
жения, вы з ванного силами тр ~ ния, невелико, поэтому малым и бу
ду т изм е нения скорости в ра з личных направлениях, которые оп ре
деляются производными дVхfдх, дVхfду и т . д . Вследствие этого
м алыми будут сомножит~и при v и в уравнениях можно пр е не
бречь членами, учитывающими влияние сил трения . В результате
приходим к выводу, что исследование течения в с в об од
ном потоке можно вести на осн ·ове уравнен к я
Эйлер а . для идеальной (невязкой) жид к о ст и. По
мере приближения к об те каемой поверхности все больше сказыва
е тся влияние вязкости , и это проявляется в бол е е значительно м из
менении скорост_и. Поэтом у членами, содержащими в качеств е с о-
• 190
о,.,
;Jl
множителя v, который характеризует влияние вязкости, пренебре
га ть уже нельзя и для исследования такого вязкого течения необ
ходимо применять уравнения Навье-Стокса (12 .1.l ). В этом
заключается пер в о е пол о жен и е теории пограничного слоя .
В т ор о е пол ожени е этой теории заключено в возможности
упрощения уравнений Навье - Стокса при изучении движения жид-
1<0сти в пог.раничном слое, характеризующемся малой толщиной б.
Ра ссмо трим вывод этих упрощенных уравнений пограничного cлwi: ,
основа нный на определении
••
поряд,ка ~членов в (12 .1.l) и
·,·
иос лед у ющем их сравнении.
В соответствии с пред
по сьшкой о малости толщи
ны 1Пограничного слоя при
мем,.что 8«L, где L- ха
ршктер ный линейный раз
мер, н апример длина обтека
емого тела (рис. 12.1.i·). Так
ка,к дл я координаты у точки
п огран ичного слоя можно
•
.\
1('о
1
f
J
'!'х
,/1!
Рис. 12 . 1.1 . Схема пограничного слоя:
·1
-
пограничный сл ой ; 2 - граница пограничного
слоя , 3 - обтекаеl\•1ая поверхность
напи сат ь нера-венство о:::;;
::;;;; у ::;;;;б, то, следовательно ,
порядок величины координа -
ты у ~б. Вторая координа
т а х, определяющая рассто -
я ние вдоль пограничного слоя , имее т порядок L (х ~ L).
Если ввести обозначение V0 для скорост и на внешней границе
,погра ничного слоя, то порядок окорости Vx в произвольной точ~ке
пограничного слоя с .ко ординатой у б удет Vx~ Va.
Для определения порядка величины второй составляющей ско
рости воспользуемся уравнением неразрывности (2.4 .50'), из кота-·
рога найдем
Примем порядок плотности р равным величине плотности р-,
на границе пограничн ого слоя. Чтобы оценить порядок производ
ной д (р Vx) /дх, воспользуемся следующим условием : при перемеще
нии вдоль поверхности на ра сстояние порядка характерной длины
~
L величина р Vх может измениться - на ~величину порядка
.
р0 V0
(например, от О до paVa), т. е. в данном случае Л(рVх) ~ ,paVa. Так
как было принято, что Лх ~ L, то
д (р1/ х)/дх ~ P0Va/L.
Поэтому для Vy напишем
Vy ~ (1/p 0L) p0V 00= Vso/L.
( 12.1.2)
(12.1 .3)
ЩI
По.рядок про.изводных, входящих в ( 12 .1 .1) , будем определять
по аналогии с (12.1 .2). Например,
дVx/дx~V0/L, дVv/дx~ ( l700/L)( l/L )=V00/L2 и т. д. (12.1.4)
.
С учетом этих р езул ьтатов рассмотрим п ерво е уравнен ие
(12.1 .1). Порядок слагаемых в левой ~ас ти этого уравнен ия будет
следующим:
.,Vх(дVх/дх)~ Vo (Vo / L )=11~/L;
}
(12.1 .5)
'
Vv (дV_jду) ~ (Voo/L) (Vь/ о)= V~ /L.
·.
~,._..
Как видно из ( 12.1 .5), оба слагаемых имеют одинаковый по
рядок.
Для членов, учитывающих влияние сил трения, располо женных
в правой части уравнения, находим:
1
д(дVх) fJ.
VO
1
д(дVу)
fJ.
VO•
-р-•дх tJ,~~-р- •/.2
' -р-•дх!-'·ду ~-р-•L2'
\_________J
\________J
2
_!_
.
_д_(!-'· дVх )~ J:_
.
Vо, _1_
._д
_(μ.дVу)~J:.. . Va .
рду
д.у
р52
рду
дх
р
L2
J_________ \
\________ \
3
4
f ( 12.1.6)
j
Из (12.1 .6) видно, что так как б4;;..L, то ле,рвый , второй и четве р•
тый члены имеют более высокий порядок малости и ими по срав
нению с третьим членом можно пренебречь.
Порядоr< слагаемого ( 1/р} др/дх определяется из уравнения
Бернулли (3.4 . 11). Опуская в ·нем потенциальную функцию И (по
лагая тем самым, что вес газа не оказывает влияния на движ ение)
и производя дифференцирование, найдем уравнение VdV =-dp/p .
Это уравнение, относящееся, очевидно, к внешней границе погра
ничного слоя, где трение пренебрежимо мал6, можно написать так
же в виде (1/р)др/дх= - VдV/дх. Отсюда следует, что величина
(1/р)др/дх имеет порядок V 62/L.
Если рассматривать течение, существенной особенностью кото
рого является влияние вязкости, то следует принять порядок остав
шегося
и единственного
члена, учитывающего
вя зкост ь,
(1/р)д(μдVх/ду)/ду таким, как и всех остальных членов, т. е.
д
v2
_1_. _д_(μ. Vx)~-
".
рд~
ду•L
(12.1.7)
Таким образом, вместо первого уравнения (12.1 .1) можно напи
сать
д
•
VхдVх+VудVх__ 1
.
Ра+1 . д(t-t дVх).(l2.l.8)
дх
ду
рдх
рду
ду
192
f
Рассмотрим второе уравнение (12.1.1). Порядок входящих в не
го членов определяется аналогично первому уравнению и будет сле
дующим:
V.дVv+V дVу= __l
_.
др +_!__.
_д_ (u. дVу )-
.•,i)x
уду•
рдуЗрду'д.у
_2. . ,. ·_ j_(p, дV )+.J_. _д_ (f1 дVх )+-l
_j__(f1 _дVу)-·
(12. 1. 9)
.Зr
ду.ах
rдх
ду
rах
дх~
Последним членом в правой части можно пренебречь, так как
он имеет , более высокий порядок малости , чем другие члены, учи
тывающие влияние вязкости. Д ля уточнения порядка других членов,
учитывающих влияние вязкости, определим порядок величины
μ/p = v. С этой целью ,применим найде н ное соотношение (12.1 .7 ).
Порядо~< величи~ны в левой части этого соотношения определ ен
третьим выражением (12.1 .6), поэтому (fJ./ p) Vo/ o2~ V~ /L, откуда
находим поря до к коэффициента юшемати чес1<ой вязкости:
( 12.1.10)
В результате этого порядок оставшихся членов в правой части
(12.1 .9), учитывающих влияние вязкости , будет таким:
(1 2.1.11)
Оч евидно, та1,ой же порядок будет иметь величина ( 1/р) др/ду.
В соответствии с этим порядок отношения градиентов др/ду и
др/дх определяется значением б /L, т. е . градиент др/ду~др/дх.
Поэтому с достаточной степенью точности второе уравнение систе
мь1 (12.l .l) можно замени ть уравнением
др/ду=О.
(12.1 .12)
Согласно этому выражению, ,J,авление в пограничном
слоевнаправ,тен11инор::\fа.1икстенкенеменяется
и равно давлению Рона внешней границ е погра
ничного слоя . Из этого следует, что тонкий погран ичный с.1ой
не оюtзывает ~влияния на распределен ие давления . Полученный ре
зультат составляет содержание одной из важных гипотез теории
пограничного•слоя,аименногипотезы об отсутствии об
рат ног о влия ния пограничного слоя на свобод
ный пот о к. В соответстюш с этой гипотезой расчет распре,J,е.1е
н.ия давлен ия ло ловерхностн обтекае :чого -е.1а прн на.1ич1111 погра
ничного слоя ~южно вести на основе ураззе;ый Эi1 .1е ра ,J,ЛЯ идеаль
ной (,невя зкой) сре,:rы. а .каса-:-е.,,,~ых напряжений - и сходя из уп
рощенного уравнения (12.1. ) . Э то ура в ненпе - основ ное в теории
погран ичного с.1оя - называют уравнен II е ::--1 Пр ан д т .1 я.
7--967
]93
Такой расчет при п омощи ур авнений Эйлера и Прандтля .можно
вести до тех пор, по ка т ол щ ина по граничного слоя мала по срав~
нению с размерами обтекаемого тела и, следовательно, имеет силу
гипотеза об отсутствии обратно го влияния пограничного слоя на
свободный пот о к. На удаленных участках п о ве р хно сти , где толщина
пограничного слоя велика, эта ги по теза теряет свою силу и расчет
вязкого обтекан_~,~я следует вести, ст ро го говоря, на основе об щих
уравн ений Навье~ Стокса.
Рассматривая уравнение Прандтля (12 . 1 .8), замечаем, что в него
входит коэффициент динамической вяз1ю.сти μ, являющий~я в об
щем случае функцией давления и тем п ера туры. Для данного сече
ни~ ~wраиичного слоя, характе р изую щ его ся постоянным давлением
Рб:~линпк.) μ будет изменяться по толщине слоя как функция тем
пературы Т. Эrо :>J.e относится и к плотности р. Т аким образом, для
нахождения решений для μ и р надо знать вид функции Т (у). Что
бы определить эту функцию, необходимо воспользоваться уравне
нием энергии, имеющим вид п оследнего ура в нения системы (3.3 .10).
Как и уравнение Навье - Стокса, уравнение энергии для погра
ничного слоя упро щается. Со ответств ующие пре образования с
целью вь1вода упро щенно го уравнения энергии будут приведены в
г,1 . XIII . Воспользуемся полученным ура внением в форме {13.2 .5!) ,
соответствующей отсутствию в пограничном слое како го -либо дру
гого вида перенос а тепла , кро ме теплопроводности . Если · принять
в этом ура в нен ии число Прандт л я равным единице (Pr=l), то
оно примет вид ( 13.2.6) . Очевидно, одним и з во з можных интегра
лов ура в не н ия ( 13.2.6) будет равенство i0 =const, от р а ж ающее
условие п ос то я нс тва полной энтальпии частицы газа, т. е. согласно
·(13.2 .2) равенство
i0 = i +V~/2 = const.
. ,· • (12.).13)
Можно показат ь, что это равенство соответствует услщiию . отсутст
вия тепло п ер едачи у стенки, т. е. сл учаю теплоизолированной по
вер хност и. Действительно, полагая i=c pT и дифференцируя
(1 2.1 . 13) по у, найдем
ер (дТ/ду)+ V х (дVх/ду)=О.
Так как при у-+0 скорость Vx-+0, то, очевидно, и производная
д Т/ду-+.0 (нет п ерепада температуры) , что и доказывает отсутст1Зие
те пл опер едачи у стенки. Таким образом, вместо сложного уравне
н ия энергии в виде (13 .2 .5') будем применять уравнение в простой:
ф ор м е ( 12.1 .1 3). Естественно, такая форма уравнения э1:1ерпш не
с оответствует полностью реальному характеру движения вязкого
газа в пограничном слое и дает приближенные значения для па
р а ме тров , определяющих это движение, в частности для напряже
н ия трения. Однако полученны е результаты оказываются приемле
мыми для практических расчетов трения.
Уравнени е Прандтля, а та~<же уравнения неразрывности, состоя
ни я и энергии составляют систему уравнений сжим~емоrQ поrранич -
194
НОГО CJl()Я: ·•
VхдVх+VидVх= _ 1
.
dРв+1. д (1.1. дVх);
•
дх
•
ду
?
dx·р
ду.ду
д (Vjp)/дx +д (VuP)/дy=O;
P;,=RpT; i +V:-J2=i0 •
] (12.1.14)
Здесь в уравнениях JI.вижения и состояния давлен ие р з а менено
в соответствии с (12.1 .12) величиной р6 . В уравнении э нергии теку
щее значение энтальпии i=cpT, а энтальпия торможен ия io = CpTo.
Получе_нная система уравнений пригодна для исследов ания л а- .
мин ар ног о по гран и ч ног о слоя. При ее решении слер.уе_т~,-·.:
удовлетворить граничным условиям на поверхности обтекаемого
тела и условиям непрерывного перехода параметров в погранuчном
слое к соответствующим их значениям на внешней гран ице. Причем
такое решение вызывает необходимость а с им п то т и чес к ого
выполнения условий на внешней границе . В соотв етс тв ии со ска
занным граничные условия для скорости имеют вид:
V х= Vu=O при у=О;
Vх=Vо(х) приу-,оо. }
(12.1 .15)
Входящие в (12.1 .14) плотность и температура могут быть вы
ражены через скорость в пограничном слое .
Из {12.1 .13) следует, что
следовательно,
Т =То (1-V;/V~ax).
(12.1 .16)
(12.1. 17)
Используя уравнение состояния р = pRT, в котором для п огр ан и чн о
го слоя давление р принимается равным его значению р 6 на гр ан ице
cJJoя, получим зависимо сти для плотности
Р= P0l (RT)=(p0/ RT0) (1- V;/V~ax)-1
.
Так как температура торможения
Та=То (1-vi;v~1ax)-1
,
а плотность на внешней границе пограничного слоя
•
Р3 = Pof(RTo) = Ро ( 1 - V~/V~ax) 1/(k-I),
то
Р= Р0 (1-vi;v~ax) (1-V_;/V~ax)-1=
- , - Ро ( 1- V ~/ V;nax)k/(k-l) ( 1-V;/V~ax)- 1
•
(12. 1. 18)
(12.1. 19)
(12 . 1.20)
(12.1 .21)
Полученные уравнения позволяют рассчитать пара м етр ы погра
ничного слоя без учета влияния физико-хим.ических превращен ий ,
7•
]95
происходящих при очень больших скоростях обтекания, при кото
рых газ в пограничном слое разогревается до очень высоких темпе
ратур. Поэтому, строr:.о говоря, эти уравнения действиrельны прi1
сравнительно небольших скоростях, когда температура в погранич
ном слое не достигает высоких з начений . По мере снижени_я скоро
стей обтекания умень шается влияние сжимаемости и разогрева га
за в пограничном -слое.
Для несжимаемого двухмерного плоского пограничного слоя
система уравнений записывается в виде:
V дVх+v дVх- __I
_
dpr,
1 'V a2v_,
-
.
хдх
уду-
р•dxТ д,у2 '
1' (12.1.22)
}
Интегрирование этих уравнений ведется для граш~чных . усло
вий, зад анных (12.1 .15).
§ 12.2. 0606ЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПОГРдНИЧt:tОГО СЛОЯ
1
Обобщенное уравнение поrраничноrо споя
в дифференциапьноJi форме
• Выведем у равнение установившегося пограничного сдоя в обоб
щенном виде, пригодное для исследования как ламинарного, так и
турбулентного пространственного осесимметричного течения с уче
то м влияния физико-химических превращений, происходящих ПС'д
влиянием высоких температур.
dS=27irdy
Рис. 1'2.2.1. К ВЬ!lводу обо•бщ€нного урав11ения погра
,н:ично ·го СЛОЯ
1
~
Рассмотрим в пограничном слое элементарную частицу торрои-
1,
дальной формы с внутренним радиусом r, шириной dx и толщиной
S:1
dy (рис. 12.2 .1). Действие окружающего потока заменим силами от
давления и касательного напряжения. Так как рассматривается
·тонкий пограничный слой, то можно принять, что в каждой точке
сечения, проходящег_о через заданную точку А, давление одинаково
и равно его значению р6 на свободной границе слоя. Поэтому сила
от давления на левую грань кольца в направлении оси х
P=p0dS=2nrp0dy.
(.12.2.1)
196
Обозначим через Рх силу, действующую 11а правую грань с тоi'1
же площадью dS = 2-лrdy. Так как давление Р о есть функция коор- •
динаты х, т. е. Ро=Рб(х), то и сила Р = Р(х). В соответствии с этим
на правую грань действует сила Px=P(x +dx) или, так как для рас
сматрив ае мого сечения выбрана координата х=О, Рх=Р(р,,:,с). Раз
лагая эту функцию в ряд Тейлора и пренебрегая малыми ·второго
порядка и выше, получим .
Рх=Р ( О)+(дР/дх)dх=2-лгр 0dу+
+(д/дх ) (2лr p 0dy) dx=2nr [р 0 +(dpofdx) dx] dy.
Изб ыточная сила, действующая в направлении оси х,
Р-Рх --: -2лr(dp 0/dx)dxdy.
(1.2.2 .2)
(12.2 .3)
Сил ы трения, приложенные к частице, рассчитываются в соот
в етствии с правилом взаимности касательных напряжений (рис.
12.2.1). При этом силы трения, действующие на переднюю и з.аднюю
. площа дки,
не дают составляющую на ось х. Такая составляющая
о б условл ена действием касательных напряжений на внутреннюю и
в нешн юю поверхности кольца и равна Fx -F, где
Fx=F (y+dy)=F (У)+(дF/ду) dy=2rtrtdx+
+(д/ду) ( 2лг,:dх) dy; F =F (Y)=tdS=2лrtdx; .
здесь ,: - напряжение трения на внутренней поверхности кольца.
Таким образом, избыточная сила _ трения; действующая в на
лравлен и и оси х,
Fx ~F=2rt(д/дy)(rt)dxdy.
(12 .2.4)
Для рассматриваемой частицы произведение ее массы [плот-
н ость Х о бъем] на у<::.корен11е будет
•
,
-2лrp(dVx/dt)dxdy.
(12.2 .5)
Сумм а этой величины и дейст~ующих на частицу в направле
ни и х си,л равна нулю, т. е._:
-2лгр (dVxfdt) dxdy-2лr (dp 0/dx)dxdy+2л (д/ду) (г,:) dxdy=O .
•dV
дV•дV
Отсюда , пола г ая, что полное ускорение __х = l'·x ~+vu -2,
-•
··
••
.
dl
дх
ду
на ходим
•
--
·--
••••·
·•·
- ·(v.дVx.+·;V дVх)- dрв+д(.)
.pr х--.
у----г
--
--
г,: .
дх••:
ду_
dx
дg•• •
(12.2,6)
Уравнение (12.2.6) •на.зывают об обще н ны м ура в 1te f! и ем
пограничного слоя•в дифференциальной форме.
Пр и исследовании турбулентного· пограничного . слоя значения
Vx, Vy, р и pt, надо прй~йматЪ осредненными ; а iГап·ряжение трения
. 197
определять из выражения
't'= (!L+ r-т) (дVх/ду),
(12.2.7)
в котором μт- коэффициент турбулентной вязкости.
Коэффициент μт можно рассматривать в к а честв е а н алога ди
намического коэффициента вязкости μ для сл.у ча я ла м ина рн ого те
чения вязкого газа. Очевидно, для такогФ теч ения μт=О, н апря же
ние трения т= μдVх/ду и уравнение ( 12.2 .6) перепишетс я в виде
pr(Vx дVх+Vи дVх. )=-r dp,, +~(r!J, дVх )· (12.2.8)
дх
д.у
dx •.
ду
ду
В общем случае, когда газ испытывает под действием вы соких
температур физико-химические превращения, величина коэффици
ента μ меняется поперек пограничного слоя. Когда эти п рев р а ще
ния отсутствуют, величина μ принимается постоянной. · П ри и ссле
довании пограничного слоя около плоского к онтура из у р авн е н иq
(12.2 .8) необходимо исключить г.
Интеrральное соотноwенне поrраннчноrо сnоя
Преобразуем обобщенное уравнение ( 12.2 .6) к несколь ко дру
гому по форме соотношению, широко используемому в пр актиче
ских расчетах пограничного слоя. С этой целью левую часть ( 12.2 .6)
напишем в виде
•(v дVх +V дVх )-[ дV_~ + д(VxVu) V дVх V дVи]
pr
х--
у--- ---~~
-
-
х--- .х - pr.
дх
ду
дх
•ду
дх
ду
Вычисляя производные в уравнении нер азрывности (2.4 .48), по
лучим
198
Vx д(pr)+pr дVх +V д(рr) +rr дV _ц =0.
дх
дх
уду
ду
Отсюда
_
V дVх_ V дVu=V2д(pr) ,VV д(рr)
prх
prх
.х
---i- х и
,
•
дх
ду
дх
ау
В соответствии с этим
(V дVх +V дVх)
дV; + д (V.xVu) +
pr х--
у-- =pr -- рr---
дх
дlJ
дх
ду
+V; д(рr) +llxVy д(рr) = _д(prV_;) + д(prV.xVu)
дх
ду
дх.
ду
Внося это выражение в ( 12.2.6), пол_учим
д (prV_;) +д (prVxVu)
дх
ду
dрв
д
- r-+-(r-r).
dx
ду
(12.2.9)
Комби нируя это выражение с уравнением неразрывности, напи•
, санным в виде
найдем
V д(prVx) +V- д(prVy)
одх
оду
д(prV;.) _
дх
д(prVxVy) = Г dp• -
_д_ (rt)
дУ,
dx
ду
или
д
.
•
dV0
д
.
•
-
[prVx (Vs -Vx)! - prV х -
+ -[rrVu(V. -Vx)! =
дх
.
дх
ду'
dp•
д
= г ---,-
-
(rt).
dx
ду
Ос уществляя интегрирование по у от О до б (в пределах толщи
ны погра ничного слоя), получим
о
о
S_!._ [prVx(V. -Vx)]dy-SprVx dV 0 dy+
дх
dx.
о
о
\_________, \_____\
2
о
о
а
+ (' _д_[рrVу ( \/в -Vx)J dy= 5г _Pd_s ,iy - (' _д_ (rt) dy.
Jду
dx
Jду
( 12.2.10)
.о
о
о
\_________ \ \____\ \_ _ _ __
4
5
Члены , входящие в ( 12.2 .1 О), q_редставим в следующем виде:
о
о
1. \ ~[prVх(Vв- Vх)]dy=~ 5prVх(Vо-Vx)dy-
Jдх
dx
о
о
.
i
-[prVx (Vв-\1x )]y -• -=- prVx(Vs-Vx)dy. (12.2.11)
do
ds
·
dx dx
'-
•
о
Выражение над фигурной скобкой равно нулю, так как при у=б
вел ичина Vx= Vб.
(12.2. 12)
(12.2 .13)
1.99
•таккак при у=6 значение Vx = V6, а при у=О скорость Vy=O.
li
li
4. r--dy=--
rdy.
'
dpo
dpo s
.
dx
dx
(12.2.14)
о
о
о
5. - ( гt)dy=[rt] =-Го"t'ст·
~д
у=о
'
ду
у-0
(12.2, 15)
о
Принимая во внимание эти результаты, уравнение (12.2 .10) на
пишем Е виде
_! ! __5° prVx(Vo-Vx)dy-~ ( Vв rprVxdY)+
dx
dx
.)
о
о
о
о
+Vo _:!__ \ prV xdY= dp 0 \ rdy+ Го"t'с,·
dxj
dxJ
(12.2.16)
о
о
Произведя здесь СО!{ращение и приняв, что при малой толщине
пограничного слоя !{ООрдинату r можно приближенно заменить I<О
ординатой ro, соответствующ ей точке на обтекаемой поверхности
(см. рис . 12.2.1), напишем
(12.2.16' )
Это обобщенное уравнение, полученное Карманом, называют .
интегральным соотношением пограничного слоя.
Оно позволяет непосредственно определить напряжение тр ения
't'ст на стенке, что связано с решением практической задачи об оп
ределении сопротивления трения. Применение интегрального соот
ношения для этой цели предполагает известным характер распреде
ления скорости по толщине пограничного слоя, т. е. вид функции
Vx = Vx(Y).
Решение уравнения ( 12.2.16') должно удовлетворять условию на
внешней границе пограничного слоя, где при у = 6 скорость Vx = ,V6.
Эту скорость, как и давление Р6, являющиеся известными парамет
рами, рассчитывают в результате решения уравнения Эйл ера для
идеального (невязкого) обтекающего потока. Неизвестными вели
чинами являются Vx, 6 и 't'ст- Таким образом, соотношение (12.2 .16')
должно быть дополнено еще двумя независимыми уравн ения ми ,
связывающими между собой указанные неизвестные параметры. Ин
тегральный характер ура1внения (12.2.16') позволяет применить эти
уравнения в приближенном виде .. В частности, достаточно задаться
весьма приближенной зависимостью для скорЬсти Vх и тем не м енее
получить практически приемлемый результат, так как скорость Vx
входит .под знак интеграла и при его вычислении величина погреш
ности уменьшается.
200
Усnовные тоnщнны поrраннчноrо сnоя
Представим ·интегральное соотношение (12.2 .16) в несколько
иной фо,рме. Для этой цели заменим два последних члена в левой
части с учетом соотношения (12.2 .12) , а dp1:,/dx представим соглас
•но (3.6 .3) в виде
dp,jdx= -p0Vr, dV0/dx.
В результате получим
или
ds"
.
dVБs" .
-
prVx(V r, -Vx) dy --- prv xdY=
dx
dx
о
о
Б
= -sporVr, dVБ dy+rotcт
d.x
о
ds·
dVO s"
-
.
prVx(Vs - Vx)dy+ -- r (p0Vs -PVx) dy=rotcт•
dx
d.x
о
о
'
Напишем это уравнение в виде
(12.2.17)
(12.2,18)
о
Б
.!!:_ s·· 2л:тр\/х(Vо - V х) dy-1- dVa 52л:r(рУа-pVх) dy=2Лrotcт.· .
dx
'
dx
0
о
о
.
.
(12;2.18')
Первый интеграл в ( 12.2.18') определяет уменьшение количества
движения (импульса), переносимого через площадку 2лrб, обуслов
ленное торможением потока в пограничном слое. Введем понятие
о толщ ин е потер и импульс а о** - условной толщине не
которого слоя, ограничивающего поверхность 2л:r0б**, сквозь ко
торую в единицу времени с постоянной скоростью V1:, переносится
количество движения 2лr0а**р0 V f. Эта величина равна у1<а-
за нноl\1:у уменьшению количества движения, т . е.
о
2л:r0а**р0V~= 52лrpVх (Vв - V х) dy.
о
Полаг а я под интегралом r=ro, найде м
i
а**=~ t- ·~:· (1 ~ ~:-) dy.
о
(12.2.19)
Второй интегра л в ( 12.2 .18') определяет разность между се
кундным расходом через площадку 2л:rа для потока невязкого
Б
•
1&
•
газа ·J2лrр8V r,d у и для потока вязкой · среды J2лrрV x_dy ..
о
о
201
· , Это уменьшение расхода обусловлено торможением потока в по
граничном слое. Введем лонятие толщ ин ы вытеснен и я 6*,
которая представляет собой в невязком потоке условную толщину
слоя, ограничивающего поверхность 2лrаб*, с1<возь котор ую в еди·
ницу времени и при постоянной во всех точках поверхности скоро
сти Vб протекает количество жидкости, равное указан н ому выше
уменьшению расхода, т. е.
1i
2лr08*p3Va= J2:n:r (Р0 Vo- pVх) dy.
о
Полагая r=ro,. найдем _
/)
8*= 1(1 __Р. ~) dy.
j
Ра Vo
о
(12 .2.20)
Как видно , в выражения (12.2 .19) для б** и ( 12.2 .20) для 6''
не входит величина r; следовательно, у слов ные т олщины дл я . сжи
маемого пространственного пограничного .слоя с известным прибли
жением определяются так · же, как для плоско го. В сл_учае несжи
маемого потока в указанных выражениях неабходимо· пр инять р =
=p6=const. Введение таких параметров , как толщина выт еснения
б* и толщина потери импульса 6** , отображающих опред еленные
физические свойства пограничного слоя, позволяет получ ить в ряд~
случаев более эффективные методы решения задачи о движении
вязкой жидкости. При помощи этих пара метр ов возможно, в част
ности, получение дифференциального уравнения в форм е, более
удобной для расчета пограничного слоя 01<оло криволине йных по-
верхностей [14, 15] .
.
В качестве иллюстрации рассмотри м одно из приложений понr,~
тия толщины вытеснения б* к аэродинам ическим исследованиям. Из
физических представлений ясно, что погр аничн ый слой как бы вы, -
тесняет внешний невязкий поток, с м еща я его линии тока в сторону
от поверхности. При этом толщину 6* можно рассматривать как ве
личину, определяющую некоторое ,среднее см еще ни е
этих л и ни й то к а. Внешний поток обтека ет, таким образом,
поверхность, полученную из действительной поверхности тел а на
ращиванием на нее во всех точках отрезков, расположенн ых вдоль
нормали и равных б*. Распределею,е скоростей и давл ений во
внешнем потоке следует рассчитывать так, как будто бы он обте
кает новую поверхность, принадлежащую не1{отором у фиктивному
утолщенному телу. В соответствии со сказанны м использов анtiе по
нятия толщины вытеснения поз.валяет учесть об рат ное в ли я
н и е по гран и ч ног о слоя на параметры внешнего обтекания.
§12.3 . ЛдМННдРНЫй ПОГРАНИЧНЬl!it СЛОН
НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКЕ
Рассмотрим расчет пограничного слоя на плоской пластинке,
обтекаемой сжимаемым потоком. Решени е этой задачи имеет боль
шое значение в теории движения вязко й жидкости. Пол учаемые в
202
r
результате такого расчет а параметры пограничного слоя использу
ются в практических случаях для приближенной оценки парамет
ров вязкого потока около поверхностей, не только близких по фор
ме к пластинке, но и сущ ественно отличающихся от нее, например
около тел вращения. Вместе с тем, как будет показано далее, най
денные формулы для р асчета параметров несжимаемого погранич
ного слоя на плоско й пластинке сохраняют внешний вид для случая
определения соотв етствую щих параметров пограничного слоя 13
сжимаемой среде.
Используем интегральное соотношение для плоской пластинки.
Оно получается из урав нения ( 12.2.18) при условии, что из него
исключается r, а про изводна я dV6/dx принимается равной нулю, так
как скорость свободного потока вдоль пластинки не изменяется.
Тогда находим
•
~( pVx(Vs-Vx)dy=tcт·
dx)
о
(12.3.1)
Прео бр азуем ( 12 .3 . 1) к новым переменным ~ и 'rJ, введенным:
ака д. А. А. Дородницыным [3]:
х
у
~= .\ / (x)dx; 'rJ = j' g(x, y)dy,
(12.3 .2)
о
о
где f( x) и g·(x, у) - функции, выбираемые из условия, при котором
преобразованное интегральное соотношение сжимаемого погранич
ного сл оя должно быть близко по форме к соответствующему со
отношению для несжимаемой среды. Интегрирование такого соот
ношеfiИЯ представляет собой более простую задачу.
В соответствии с ( 12.3 .2) производная
11.
о
..!!__=_д_ _~+-д
_
_
_
/ дУJ =/-д-s pVx(Vs-V )d"IJ +
dx
дедхд"Iдх
де
•
хg
о
где 'l'Jo - величина 'l'J, соответ ствующая внешней границе погранич
ного слоя.
в этом уравнении
д 1]s'•
d-r,
1
\110
-
pVx(Vв-Vx)-' = -PVx(V,a-Vx) =0,
д"']
g
g·
о
.
о
так как на стенке при 'rJ = 0 составляющая Vx==O, а на границе слоя
при ri = rio ее величина Vx= Vб. Поэтому (12.3.1) можно перепи-
.
203
сать в виде
-~а
_.!!._
('
d1J
f de \ PVx(Va -V.J ----;;:- =t'cт·
,)
<,
(12.3 .3)
о
Чтобы интеграл (12 .3.3) совпал с соответству ющим ему выра
жением для несжимаемой среды, необходимо положить p/g =const.
Так как функция g в соответствии с ( 12.3.2 ) явл яется безразмег
ной, мо,жно принять эту постоянную равной плотности торможения,
т. е. p/g =po. Следовательно,
у
•• :,/~ 'YJ= ('ldy.
-
(12.3.4)
J0 Ро
•
. Т~ким
образом, для ( 12.3 .3) получаем
11а
_.!!._
\ Vx(Va- Vx)dЧ=-rcr
.dej
.
/ стРст
о
'.'
Правая часть в это м урав нении
Рст /c-r
Рст Ро
Из ( 12.1 .21) следует, что плотность на стенке
. Рст=Р а (1-V~/V ~ax)=Pr,Тo/To=P0Po/Po, '
откуд_а·_
Поэтому
't'ст gст
tст Ро
l
-
---=---
·-
.
Рст /cr
Рст Ро .fст
С учетом этого выражения
1)0
_ .!!._
SVх(Va~_\!'х)dЧ _:_ 't'ст . •}2_ ·
-
1-
•
de
•
Pc·r
•Ро
f c·r
о
Примем здесь p ,jр0 fст' т. е. положим
В соответствиi1' с этим
1)0
S\l'x (V о-:- Vx)d'YJ = 'ст- •
d~,
·,
.
Рст
о
•
d
(1~ . 3.5)
(12.3.5')
-(12.3 .6 )
Уравнение (12:3;7) совпадает по форме с соответствующим со
отношен.ием погранично.го слQ~ для несжимаемой ·среды в системё
координат 6, 'YJ. Следовательно, для решения интегрального соотно
шения в такой форме можно применить метод, используе-
мый в теории пограничного слоя несжимаемой
жид к о ст и. Этот метод предусматривает задюще распределения
скорости V~ по сечению пограничного слоя, что необходимо зн а ть
при и.спользовании интегрального соотношения.
Рассмотрим ламинарный пограничный слой, для которого инте
гральное соотнош е ние имеет вид
'1)0
...!!:_1vx(Vв-Vx)d'YJ=/J-cт (дVx) =/J-ст (дVх) '(д1)) . ( 12 .3.8)
d~
.)
•
•
_
.
_
Рст ду. у=О _ Рст дТ) ТJ=О ·ду у~О
о''''·
В теории ламинарного пограничного слоя для несжима е мой
жидкости на произвольной поверхности Польгаузеном предложена
фующия Vx('YJ, s) в виде · полинома третьей степени
Vx=a Ш+ь(~) 'YJ +с IO'YJ2+d Ш113•
(12.3.9)
Коэффициенты этого полинома_ а (s), Ь (s), с (s) и d (6) • опреде~
ляются из граничных условий, которым должна удовлетворять ско
рость. Согласно граничным условиям на стенке, т. е. при 'YJ =0, с ко
рость Vx=O. Следовательно, коэффициент а=О. Из первого урав
нения системы ( 12.1 .14), преобразованного к переменным 6, 11 и
отнесе!{ного, к - условиям на плоской пластинке (dp6/dx =О), следует,
что на стею<е, где Vx = Vy=O, производная
(д2Vх/д112)11=0= О.
(12.3. 10)
В соответствии с ( 12.3.9) производная
д;Vх/д'УJ2 = 2с +6d'YJ,
(1 2.3. 11)
откуда при выполнении условия (12.3 .10) коэффициент с = О. Та
I<им образом,
(12.3. 12)
Для определения коэффициентов Ь и d восполь зу емся гра ни ч
ными условиями на свободной границе пограничного сло я . П ри
' YJ ='У]6 составляющая с1юрости Vx= V6, поэтому
( 12.3.13)
На свободной границе напряже.ния трен и я ( -rcт)r: = 'J. = 0 .
о
В соответствии с формулой Ньютона -r= ~tдVxfдy прои зводная
(дVх/д'УJ)11~ТJ11 =0. С учетом этого из (12.3.12) получа ем
(12.3.14)
205
Решаем совместно (12.3.13) и (12.3.14) относителr:;,Jю коэффи
циентов Ь и d:
3Vo
IVo
Ь=-·-, d=- -
.-.
•
2
2
3
•
1а
10
Таким обр>азом, для распределения скорости получим
Vх=[~. l
--
1 (l)3]V0.
(12.3.15)
21а
2 1-о
Подстав.т1яя это выражение в ( 12.3.8), найдем
3 VcтV& Рст
=- .-
-
.-
.
2
Ро
Вычис.т1яя инт еграл и производя дифференцирование, подучим
уравнение
Интегрируя в предподожении, что вдодь пластин·ки- :vёт ==const
и Рст = const, найдем
' 1']~=280 . vстРст ~+С.
13 V8p0
По.т1агая в нача.т1ьной ·"fочке пластинки прн ~=О толщ-и,ну '1 ']11=0,
найдем С = О. Поэтому
,-
(12.3 .16)
Принимая во внимание формулу ( 12.3 .5) для Рст/р11 и выраже
ние (12.3.6) дл я~ . найдем
tlo =4,64-.
/vстХ . ·!.!.. _ .
Рст= 4,64 ~-.
rVстХ: • (12.3.16')
VV0 Ро Ро
РоVV6
Толщину слоя определим из выражения
о
r1i
8=~dy= _\
о
о
206
.1.о.=
р
Ро (1 - vI.;v~ax) (1 - V~/V~ax) - 11 <k - l)(1 - v;;v~ax)
Pi ( 1 - V~/V~ax)
1 - V~/V~ax
=л (1 -~)=А (1 -~. х).
Рв
V~ax
Pr,
V~ ax
'1)~
Здесь, как видно, для замены Vx испол ьзуется не формула '
(12 .3.15), а более простая за в и симость, определяющая линей ный
характер изменения скорости в функции 11· При определении тол
щины пограничного слоя это не вносит сколько - нибудь су ществен
ных погрешностей, но способствует упрощению расчетов . В соответ-_
СТВИВ С :;эТИ\\f •
·: а-- Ро-5(1- v~
.
.J.:...) d11 -
....E2..... ·
(1-~) '1') 0-
РаO--
V~ax
'1)~
.
Р;,
ЗV~ах
=
:: [1-++(1-;iax)+]'l'Jr, = :: (~ +:Т"о)ч ••
Вн о ся сюда значение 1111 и з ( 12.3 . 16'), найдем
о = 4,64 [2/З+Т;,/(3Т0)]VVcтX/V a .
Коэффициент Vст представим в виде
v,т= ;:: = ::
•
::т•::т =va(~:т)п:; .::т
(12.3.17)
Так как рассматривается случай теплоизолирован ной стенки,
на которой для принятого значения Pr= 1 температура газа
Тст=То · тr,(1- :~ )-1 =Tв(l+k; l М~),
(12.3.18)
Vmax
то; следовательно,
=
(_!j_)l+n =
(l + k- ]_ М2)1+п
v,т 'Vo
' Vr,
о•
Т0
2
(12.3 . 1?1 )
в соответствии с этим
(
k12)(
k 1 M2)(n-1)/21 / v0x
о=асж=4,64 1+тма 1+ ; " V v
0
,
(12.3 .19)
207
Приняв здесь Мб=О, получим зависимость :для толщщ1ы ~ поrра
ничного слоя в несжимаемой среде:
онсж=4,64 VVax/V s
( 12.3 .19')
или в безразмерной форме:
-
(-'/
'/)
он~ж=онс;к/L =4,64 х '/R.eL' ,
( 12.3.19")
где х x/L,R.eL=V"Lfv,,.
Отношение тол щин :
Веж =(l + k- l M~)(l + k- l M~)(n-1)/2.
Онсж
3
2
( 12.3.20)
Каквидно, влияние сжимаемости сказыв'·ается на
увеличении толтцины поrраничноrо слоя. Этообъяс
няется тем, что сжимаемый газ при торможении разогревается, н
результате чего повышается вязкость и ее влияние распространя
ется на большую толщину газа.
Касательное наIJряжение на стенке определим по . формуле
Ньютона с учетом (12.3.15) и (12.3 .4):
·(дVх)
(дV,,-) (д>))
't'cт=tJ-cт -- =f1ст
--
-
=
ду у=О
д'I) ,=О ду у=О •
3Vo
Рст
3Vo
Р;т
=tJ-ci·- - .
-- =vc.,. -- .
2'1) о
ro
2·~а
ro
Вносим сюда значение 'l'Jб из ( 12 .3.16') и заменяем Рст/Ро ,на
Рб!Ро:
',:
=~.
Vsrcт '1 / VcтV/j .
ст2
4,64Vх
( 12.3 .21)
Внося в (12.3 .21) значение Vст из (12.3 .17') и принимая во . вни
мание , что
'
т
rc-r
ro
Ps
_fQ_
о
Рст=Ра-•-=Ра- •
=Р а·-,
Ро ra
Ро Ро
То
(12.3 .21')
запишем
( 12.3 .22)
или с учетом (12.3.18) и обозначения для местного числа _Рейнольд
са R.e x= Vбх/,16
. · 't'ст=('t'ст )с:к = О,323раV~'1 / _ l
_
.
(1 + k-:- I м~)(ll-l)/2.
• (12.3.22')
V Rex
2
208
Для несжимаемой среды (Ма = О)
2,r-
('t'етJнеж=О,323Р 1У а у 1/Rех-
Отношение напряжений трения:
('tст)еж
('tет)>Iеж
(12.3 .23)
(12.3 .24)
И з зависимости (12 .3.24) следует, что с рос1ом числа Ма или с по
вышением температуры в пограничном слое н а пр я жен и е т р е
ния,. несмотря на повышениевязкости, уменьша
е т с я (n< 1). Это обусловлено доминирующим влиянием на тре
ние плотности Рст, которая, как видно из ( 12.3.21 '), с увеличением
температуры Тст = ТO уменьшается. Как следствие, понижается спо
собность газа сопротивляться сдвигу.
Определим месТ'ный коэффициен:r трения :
(сjх)еж •2(iет)еж = 0,646V 1 (1+ k- 1м~)(п-1)/2. (12.3.25)
rVz
Re ,.
2
'
оо
,
Для несжимаемой ,среды (Ма=О)
2
---
(с1хJеж=2('t'ет)не;,ЛРьVь)=O,646 V 1/ Re x-
(12.3.26)
Мож но видеть, что отношение местных 1юэффициентов трен•и я
будет та1ким, ка.к отношение напряжений трения ( 12 .3.24):
(с fх)еж
( Сj.,· )не ж
('tет) еж
('tет)неж
Вычислим сопротивление трения пластинки. Э лементарная ве
лич·ина этой ,силы, дей,ствующей на п лощадку dx • 1,
dХ/еж=('t'ет)ежdХ· 1.
Су м марная с1ила сопротивления трения одно й стороны пла·стин
ки ш:ющадью L • 1 (где L- длина п л астиНI<И)
L
)(/еж= j' ('t'e,.Jcжdx.
о
Коэффициент этой силы
L
L
,
(12.3.28)
_L
l s· ('tет)еж d
15()d
2328'
2
-X=-L
CfxежХ.(1.. )
РоVь/2
о
о
Внося сюда значение (с1х)сш из (12.3 .25), получи м
(cx/)eж=0,646(1+k-lм~)(1!-l)/Z _l_t-.l vo dx.
2
L3Vv~
.
.
о
209
Выполняя интегрирование, НJЙд~м
( с) = 1,292il-Lk-1M~)(11-1)/2
xf еж
-.r--\;2о
,
r ReL
(12.3.29)
где число Рейнольдса, _выч исленное по дюгне пласти нки L,
ReL = VaL/v,,
Для нес ж,имаемой среды
( схj) нсж= 1,292/ VReL.
(12 .3.30)
Рассмотрим, как опредеJ1яют условные толщины погр аничното
слоя . Их значения для несжимае~юго потока находим из ,вы раже
ния
о
о
fV
V
S(V
о*".= ,_х ( 1 --2. ..)dy; о*= 1--. . :!...)dy.
.; V0
V0
V0
.
о
о
(12.3.31)
Подставим сюда О'Гношение 'it'x!V6, исходя из .закона ра спреде
ления с-корост и ( 12.3 .15):
(12.3.32)
В результ'ате интегрирования получим:
~::ж=О, 14онсж; о:сж=0,3768нсж•
(12.3.33)
где Снеж определяется из ( 12 .3 .19'). Чтобы учесть влияние сж,има~~
мости на б"'\ рассмотрим уравне-ние (12.3.1), из которого найдем
для с.т1учая p = const
. (12 .3.34)
х
откуда о::ж=О,5J Ctxdx или о:~,к =0,5сх/Х (где· Сх/-средн ий ко~ф;-
о
'
фициент трения на участке пластинки от О до х) . В соответствии
с этим резу.'!Ьтатом отношение о~;~; о:':ж будет таким, как (12.3 .27),
т. е.
(12.3.35)
Что касается отношения у словных толщин вытеснения, то о,но
определяется ;по аналогии с ( 12.3 .20):
о:ж = осж = (1+~~ 1М~)(1+k - l 1\\~)(11-1)/2. (12.3.36)
а
Онсж
-
2
нсж
210
§ 11.4. ТУР6УЛЕНТНЫй ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЯ
НА ПЛОСКОЙ ПЛА.СТИНКЕ
Применение nоrарнфмнческоrо закона распредеnенн•
скорости
Дл я решения задачи об определении na r,a:vi eтpoв т у рбулент н ого
погр ани чного слоя на плоской ш1асти,нке в сжимаемой qреде и,с
пол ьз уе м интегральное ооотношение ( 12.3 .7) в переменных s, YJ, в
кото рых по форме оно будет таким, как для несжима емой ср еды .
При определении закона распределения - ,скорости Vx в поr,ра
нич ном слое, который необходим-о знать для вычи,сления интеграла
в со отношении (12.3 .7), будем исходить из формулы (1.1 .10) . Пе
решrшем эту формулу, полагая осредненное значени е составляю
щей ёко рости fi\,= Vх, ' . в виде
t= р/2 (дV-хfду ) 2 ,
(12.4.1 )
откуда д1/xlду = (1/l)Vт:/р.
По .предложен.ню Прандтля , длин а п ути перем е ш и в ания
l=ky ,
(12.4 .2)
где /i - ,некоторый постоянный коэффициент пропорци о н ал ь но сти ;
у - р аостояние от . стенки.
В соответствии с этим дVx/дy= ( l/ky) Vт:/р, откуда
~1 1-:;
\/х= -v -dy+ C1,
ky
р
(12.4.3)
где С1 - некотора я ·констан1'а , опр едел яемая из гра,ничных услов ий
дв ижени я газа в пьграничном слое.
Прео бразуем ( 12.4.3), используя пере :v1енн ые ri ( 12.3 .4 ) и 6
( 12 .3. 6) . Для удобства ,преобразований введем фун кц що
tt= (t/p0) (1- V~)-kf(kЧ>,
(12.4.4)
Гд'е Vь = V./Vшax·
З а'Меним ПJтот нос ть р в (1 2.4 .3) его значением из (12 . 1 .21) :
Р=Ро(1-V0kf(k- l) (1- V~) - 1,
( 12.4 .5)
r·де Vх= V xlVшах·
Дифф еренци ал dy в (12.4.3) пред•ставим при помощи (12.3.4) и
(12.4.5 ) в виде
(12.4 .6)
Натшнец, ра.ссмотрим преоб:разование для длинЬI ПУ'I'И переме
ш 111вани я ( 12.4 .2). Акад . А. А. Дор одницын принимает k = 0,3914,
т. е. равным з начению этого к оэффициент а вб л изи стенки для по--
211
гранично го слоя в несжимаемой среде. Но вблизи стенки можно
принят ь Vx=O и в соответствии с ( 12.4. 6)
у ~ (1- V~)-k/(k-!)11.
( 12.4. 7)
Внося зависимости ( 12.4 .4)--(12.4.7) в (12.4.3), найдем
V&(1 _ V~)kf(k-1) (1 _ у2)
.
V=S
1
о
хх
х
k(1-vo-k/(k-l)_ ~
. (l -V~)tf(l,-1)
_
_
(l -v2) з;2
х (1:__ v~)-kf(k-l) ( 1- v;) rlч +с2= 5 k/ Vidч +С2, (12.4.8)
где С2 - некоторая постоянная, определяема.я в соответ-ствии с
граничными у1сл о-ния·ми для ,переменной 'У].
(
-2)3/2
Величина k'YJ / 1- Vx
,
которую обозначим чер ез I , соот-
вет,ствует длине пути перемешивания l в (12.4.1). Так как было
принято, что эта длина определяется по коэффициенту k для усло
вий ·вблизи стетш , где Ух« 1, то
Y~k'Y},
(12.4.9)
что точно совпадает с принятым законом ДJlЯ длины пути п ереме
ши~вания в ,несжимаемом пото,кс. Таким образом ,
v=SV&d11+c.
х
k~
2
В основу вывода рассматриваемого закона расп р еделения око
рост.и положена гипотеза от-ом, что нап ,ряжение тре
ния постоянно по се,чению пограничного слоя, в
соответств ии с к оторой т = 1'cт = const и, следовательно, & = {),ст =
= •const. Поэтому
откуда
(12.4 .10)
Отне-С:я это ура:внелие к услоnиям на 'внешней границе логранич
ного CJlOЯ, где при 'У} =
11 0, Vx = V0, полу,чи•м
V a= (-V&cтlk) !п 11а +с2.
(12.4 .11)
Ком'6инируя (12.4 .11) с (12.4.10), найдем
Vx- Vо=(V&ст/k)lп(11/ 11
0
).
(12.4. 12)
в - при·веденной форме уравнения для Vх представляют собой
выражение логариф:мического закона 1распределе
ния скоро-сти по сечен·ию погранич•ного слоя.Урав
нен ия (12.4 .10) и (12.4 .12) по смыслу их вывода .справедливы толь-
212
ко · вблизи обтекаемой поверхности - в окрестности ламинар 1ного·
подслоя. Такой слой образуется непосредственно у с1'енки, которая
препятствует перемешиванию (турбулизации). Это явление умень
шения турбулизации вблизи стенки описывается формулой
(12.4.2), согласно ко-торой на стенке (при у=О) пе,ремешива1ние
прекращается. Акад. А. А. Дородницын в ра6оте [3] ввел допуще
ние, согласно котюрому внутри турб у лентного ядра пограничного
слоя распределен-не скоростей ~•ожет быть пред,ставлено на основе
логарифмического закона (12.4 .10) при помощ~ уравнения
( 12.4 .10')·
где f (ri/ri 6 ) - поправка До!родницына к логdрифмичес1юму закону.
Поправка f (ri/ri 6 ) является универсальной ф у нкцией, не завися
щей от числа Маха или скорости 116. И·"Iыми слова-ми, акад.
А. А. Дородницын допускает, как !-'! для случая ламинарного rюгра
ничлого слоя, ч1'о ,в координатах 1'], ~ ра,с-пределение скорости не
зависит от сжимаемости.
Полагая ~ ( 12.4.1 О ' ) переменную 1'] = 116, найдем на внешней
границе погр_ аничното слоя скорость:
В соо'Гветствии ,с (12.4.10') м (12.4.11')
V х - Va= (f{}cт/k)F (11/110),.
где
F ('YJ/110) = ln (11/110)-/ (1)-f (11/ЧJ
(12.4.11 ' )
(·12 .4 .12')
(12.4. 12 ")
Расчет па,раметров 1'урбулентного пог1раничного слоя, основан
ный на применении уравнения ( 12.4. 12'), ('Одержащего поправк у
Дородницына, приведен в работе [3]. Не меняя принципиальной
схемы решен1ия задачи об опредеJiении этих параметров, можно в
целях нек·оторото упрощения этого решения раюсмотреть возмо ж
ностьпримененияобычногоJ'огарифмиче,ского закона,
не вводя указанной выше поправки, т. е полагая функцию
F ( ri1ri6) = !п (1']/1']6). Расчеты ,показывают, что численные коэффици
енты, входящие в полученные выражения для параметров погр а
ничного слоя, не,еколько отличаются от данных работы [3]. Однако
это отличие вполне допустимо, если принять во внимание общ ий
характер приближенных вычИ1сг.ений.
Уравнение для скорости, соответств у ющ ее принятому логариф
мическому закону в его обычном виде (12.4 .12) , мож,но несколы< о
преобразовать, выразив толщину 1']6 через -& с т- Для этой цели р а с
смотрим у,равне_ние (12 .4 .12) применительно к условиям на границ е
ламинарного подслоя , . где пртr 1'] = 11л ско;)осп. ча этой границе
Vx=Vл:
(12.4. 13)
213
Чтобы определить толщину :1аминарноrо подслоя 'У\л и скорость
V л на его J:iранице, воспользуемся уравнением Ка1рмана, которое
для переменной у за·писывается в виде
(12.4 .14)
где коэффициент а принимается таким, как и для несжимаемой
среды, и ра1вным 11,5 -по экспериментальным данным.
Преобразуем к новой .переменной 'У\ уравнение (12.4.14) . Вели-
ол
чина ол =_\ dy или с учетом (12.3.4) и (12.1 .21)
о
"л
ол = (1-v~ ) - k/(k-I) S(1-v~) dri.
о
Вблизи ,стенки Ух~ 1, поэтому
~ ~ (1-V2)- ' 'f(k-l)'YI
•
од._,, _
8
·1_:1•
Выражение для Тет в (12.4.14) получим .из (12.4.4):
:t'ст=&С1.Ро (1-V ~)kf(k-I)_ -
П л отность на стенке находим из ( 12.4 .5), положив
=
(1 - V2)k/(k-l)
РстРо.о
•
( 12.4 .15)
( 12.4.16)
( 12.4.17)
Vx=O:
( 12.4.5')
Внося (12.4 .16), ,(12.4.17) и (12.4.5') в (12.4.14), .получим
'Уlл=а!J-ст/ (Ро f&ст).
(12.4 .18)
В этом выражении величина {}ст может быть определена при
помощи формулы Ньютона 'tст=~Lст(дVх/ду)у=О· Учитывая малую
толщину ламинарного ,подслоя, можно :принять для него Jfйнейный
закон распределения скорости Vх=V'л(у/бл), в соотв-етствии с ко
торым Тст =μ ст(Vл /бл), откуда \/л= (Тст/~Lст)бл ИЛ'И с учет·ом зна
чений (12.4 . 16) для бл и (12.4 .17) для 'tc·r
Vл=(ro·I\J11-cт) 'У\л.
(12.4.19 )
..)
Внося сюда значение Чл из (12.4.18), найдем
Vл=aV&c 1..
(12.4 .19')
Подставляя значения Чл из (12.4.18) и Vл из (12.4 .19') в
{12.4.13) , получим
V~V _V&c-r 1(аμст 1)
аu
-
0- --п
---'--'-'- .
-
ст
k
~г- ~1
,
ro V &c·r
.
•
откуд а
( 12.4 .20)
214
Вв едем п араметр
Z = k\/ o/Vt\т
(12.4.21}
и обознач и м постоя,н,н у ю величину ae-ka= А. Тог д а
11 0 i/ &cт=ez (At.Lcт/Po) •
(12.4 .22),
Воспо л ьзуемся интегральньш соотношением ( 12.3 .7), ~,уда вне
сем значение
( 12 .4 .23),
1,оторое -получается из (12.4 .17) и (12.4 .5'). Одновременно в с~от
ветствип с ( 12.4.12) произведем замен у :
(12:4.24)
В результате
•
~-
•
_
_ !! _ r( va_J _ 1/&ст Jn...l..
_ )VticтJnl•&.
d,
.)
1
k
11&
k
110
с'
о
или
(12 .4.25)
Здесь интегралы вы чи сляются .в явном виде:
~в
1
)
r 111ld11 = 11 . ('1nld(...l..)= -1'J .;
1·
J 11в
O.\
·qa
11&
0
о
о
'
1Jo
1
[
r1n2 l d1'J=YI. \" 1n2 l d (l)=21'J __
.1
11&
0•
·qa
-~о
0
(12.4 .26}
о
о
1
в соот•ветств и и с этим
В·-1есем сюда з11ачения У1 0 f&ст из (12.4 .22) и &ст из (12.4.21):
-
-
ez~ -V0+2- 0
=--
0•
d
[А(•
v:)] k2V2
de
kp0
z
z2
Разделим обе части равенстза на А~tст/ (pok):
...!!:_ [ez(1- 2-)j =~ .~ .
de
z
Afl-cт z 2
( 12.4 .27)
215
Произведем дифференцирова1ние:
ez(l-2-) dz +ez2- .
dz=k
3
PoVa
z
de
z2 de
Af'-cтz2
Разделив обе ча1сти ра·ве,нства на
r.:,-:,,.•···-
'
ez(1 - 2 -)+ez 2-=ez (1 -2-+2-) ,
z
z2
z
z2,
nолу чим
dz kЗpoVa
e-Z
de
Аf'-ст z2 (1 - 2/z + 2/z2)
или
d (z2ez) PoVakЗ
1+ 2/z
(12.4 .28)
-- -.
de
Аf'-ст l-2iz+2/ 12
Иоследов а ния для несжимаемой среды показали, что лри боль
ших числах Рейнольдса величина z изменяет,ся незначительно.
В эrом можно у,бед•иться, если воспользова ться эм,пир<ической фор
мул ой для ср·едней величины напряжения трения по длине плоской
пластинки
(12.4.29)
пр игодной для чисел Rec= V6L/Vcт в диапазоне от 5-106 до 10 10 .
Из (12.4 .4) и (12.4 .21) следует, что для несжимаемой ,среды
2нсж= kV о/У("t'ст)нсж/Р 0;
полагая k = 0,3914, .найдем
(12.4.30)
( 12.4.31)
Рассмотрим два значения числа Рейнольдса: Rеы и ReL2 =
=m Rеы. Отношение соответствующих значений Zнсж:
( 12.4.32)
Отсюда видно, чт9 если, на.пример, m = 2, т. е. второе число Рей
нольдса увелич-илось вдвое, то соот.ветству;ощее значение (zнсж) 2
изменилось лишь в 1,06 раза . Отмеченное -свойство малого измене
ния функции z ,можно ра,спространить ,на случаи движения в по
граничнюм слое при бо,льших скоростях обтекания, т. е. с учето\1
сжимаемости ,среды, и использовать это свойство •для упрощения
уравнения ( 12.4.28). Если принять ,в правой части этого уравнения
z =10, которая, как нетрудно убедиться из (12.4 . Зl), соответствует
значению ReL= 108, то
(1+2/z ) /(l-2/z +2/z2 ):=:::;coпst= 1,38
и, ,сл_едовательно,
216
Полагая k=0,3914 и а= 11,5, найдем ,постоянное з,начениЕ:
1,38k3/ А= l,38k3eka/ a=0,656.
Таким образом,
d (z 2ez) =(0,656poVaf'rcт) d~.
Принимая, что z = О ,при s= О, находим после интегрирования
z 2ez =(0,656 PoV a/t-t-cт) ~ -
Согласно (12.3 .6) ,
~ =(Ра/Ро) Х= ( 1-V~)kf(k-I)x.
(12.4.33 ),
Принимая •во .внима,н1ие также ( 12.4 .5') , найдем
z 2ez = О,656рстV oX/tJ-cт·
(12.4.34)
Заменим в (12.4 .34) отношение Рст/μст согласно (12.3 .17):
(12.4 .35 )
Вводя также обозкачение для числа Rex= Vox/vo, получим
z2ez = 0,656 ( 1- V~)n+!Rex.
(12.4.36 )
По значению z, наt:денно·му из ( 12.4.36), можно определить ,н а
пряжение трения. Чтобы найти зависимость •ст от z, воспользуемся
соотношениями (12.4.5') и (12.4 .21) :
•
k2V~ (
- 2)k/(k-l)
k2V~p o (
--2) k2poV~ Tt
'tст=-- Ро 1-Va
=-- 1-Va=--• -
.
(12.4 .37 )
z2
z2
z2
т0
Местный .коэффициент трения
отсюда
z= k у2(1- V~)/с/х
Прологарифмируем выражение ( 12.4 .36):
2 1nz +z=(n+ 1) Iп (1- V~) +In Rex+ Iп 0,656 .
После под,становки з·начения z из ( 12.4 .39) найдем
2 ln [k J/2 (1-VO/c1J+k У 2 (1- V~)/c1x=
=(n+ 1) ln ( 1-V~) +lnRex+ lп 0,656
или
k J/2 (l-V~) /c1x=1n(Rexc1x)+пiп(1-V~) + C3,
где C3 =ln0,656-2In(k (2).
(12.4.38 )
(12.4.39 )
217
Принимая k = 0,3914 11 переходя к десятичны:УI .гrогарифмам ,
JI-IaXOД1 ИM
0,242V1-v~ / Vс,х=lg(Rexc,x) + п lg(1- V~)+о,33. (12.4.40)
-
2(
k- 1 2)-1
Так как 1-Va= 1+ -2-Ма , то,
nолучим
0,242
V(cjx)cж
••
= V1+k; 1м~ {lg[Re,,. (с1х)с;к]- п lg(1+k; 1м~)+о,33}.
(12.4 .41)
Формула (12.4.41 ) соответствует выр ажению, полученному в
:работе [3] на основании логарифмического зак.она с учетом поправ
ки Д ородницына. Причем в пра~вой части этого выражени я числе н
ный ко эффициент ра,вен не 0,33, а 0,15. Тако е отличие , однако, не
-ск азывае11ся •существенно на величине (CJx ) сш -
Из ( 12.4 .41) сл•едует, что местны й коэффициент т ре
ния пластин.ки ,с увеличением числа М уменьша
-е т с я. Заметим, что этот результат, пригодный для пластинки, мо
жет .не иметь места при расс мотрении пограничного ,слоя окюло
криволинейной пове~рхности вследствие влияния на течение в это м
~лучае продольного градиента давления.
Коэффициент трения по формуле (12.4.41) вычисляют путем
последовательных прибли же ний. В п ер•В ОIМ приближении коэффи-
п.иент :cfx =(c1x)i~ можно найти для заданного отношения Та/Т81
по (12.4:38), приняв z рзвным 10 -+-12 . Внося это значение (c1x)i;J
в правую часть (12.4.41 ), найдем значение c1x = (c1x)i~J во втором
приближении. Этот ре зу льтат можно уточнить, внеся значение
c1x = (c1x)i~J в правую часть (12.4 .41) _и вновь вычислив значение ,
( )(3)
Cfx =
Cfxеж•
Полный ·козффищнжт ,сопр.отивления трен и я ,пластинки 1с учетом
сжимаемости определяется по формуле (12 .3 .281) путем чи,сленного
интегриро·вания с иапользованием выра же ния (12.4 .41) для (с1х ) с ж,
Для несжимаемой ср еды местный коэффициент трения найдем
из (12.4 .41), положив Мб =О :
0,242/V( Сfх)нсж = lg [Rex ( С fx Jнсж] +0,33.
(12.4.42)
Для определения толщины пограничного ело.я сл,едует восполь
зоваться ура~внением ( 12.4.6), в с.оот,ветств1ии с которым
'11,
a=(l-V ~) -kf<k- IJ 5(1-v;)dri .
(12.4 .43)
О.
218
Степенном закон распредепення скоростк
Чтобы установить за,кон ра,спределения скqрости по сечению
турбулентного пограничного слоя и определить зависимость для
напряжения т,рения на поверхно·сти плоской п ластинки, воспользу
ем,ся анаЛ'о,гией ,с движением ·вязкой несжимаемой жидкости в.
круглой цилиндрической трубе (рис . 12.4.1). Расс'Мотрим это дви
жение. Выделим жидкость, заключенную между сечениями 1 и 2,
расп ол о женными на расстоя:нии l друг от друга. Пр·имем, что эти
сечения достаточно удалены от входа в т:рубу и поэтому движение
х
Рис. 12.4.1. Сх"ма дв,и же,ни я вязкой ,жидкости в К'])УГ·
лой цилинд·рлческой тру:бе .
в них оди-накоiю, т. е. одинаковы, в ча ,стности, касательные напря
ж ения и •распределение скор{)!стей. Одинаковое значение скоростей
в сечениях означает, что частнuы ж·идкости д,в.ижутся, не испыты
вая: ускорения. Поэтому силы, дейс11вующие на выделенный объем
жидкости между сечениями 1 и 2, находятся в равновесии, т. е.
(12.4 .44)
где d=2ro - диаметр трубы; 'tст - напряжение трения на стенке.
Отсюда
( 12.4 .45)
Кроме того, 1силу F в ( 12.4 .44) можно выразить при поNющи
формулы (1.3 .5) для гидродинамического :сопротивления. Вводя в
~
эту формулу обозначения для силы сопротивления Х =F и для
коэффициента гwдродинамическото сопротивления Сх ="л, определяя
далее скоростной ,на1пор q = р V2ср/2 по средней ,скоро ст.и Vер 'В трубе
(рис. 12.4 .1) и принимая в ,качrстве характер·ной площади боковую
поверхность S=nld, напишем (р 1'-р2 ) (nd2/4) ="л(pV2cp/2)nld . От
сюда находим формулу для определения поте~рь на трение:
(12.4.46)
219
где средняя ,скорость определ,;ет·ся по заданному расходу Q в
трубе:
V ер = 4Q/(лd2).
( 12.4.47)
Коэффициент со.проти.вления ), можно О !1р еделить эксперимен
;альным иоследованием. Такое исследование было проведено
Г . Блазиусом, ,который установил, что для гладких труб коэффи
циент сопротивления при турбулентном реж,,r ме и числа х Рейнольд
са, достигавших значений
2,3 · 103 <;;:R.ed=PVcpd/fL<;;: 105 ,
(12.4 .48)
будет
3
1/4
А=О, 164 / R.ed •
( 1:::.4 .49)
Внесем это выражение в (12.4 .46) и заменим р1-Р2 зиачением
из (12.4.45). В результате
( 12.4 .50)
Для определения средней ,скорости Vcp воспользуемся резуль
;ата,ми иоследоsаний движения жидкости по круглой трубе, кото
рыми устано·влено, что скорость по ее сечению меняется л о ст е
ленно·музаконукорняседь.мойсrепени
/ 1/7
Vх=Vmax (у Го) •
(12.4.5 1)
Этот заrкон отображает ги поте зу, в соответствии с ,кото,рой при
движении жидко1сти ·сохраняе11ся кинемат:ич?ское подобие , т . е. не
зависимо от абсолютных размеров трубы в точках с одинаковым
значением y/ro отношение местной око,рости Vх к скорости на оси
трубы Vmax будет также одина1ювым.
Средняя скорость по сечению трубы в соответствии с (12.4.47)
vcp=--°z=Vmax 'r ;:!лr(ro-r)l/? dr/(л r5)=0,816Vmax· (12.4 .52)
nr0
J
r0
о
Подста,вим (12.4.52) в (12.4.50):
,;
=0 03955(0 816V )7/4,з/4".1/4(2r )- 114 =
СТ
'
'
ЩlХIГ
Q
( 12.4.5.З)
Раюсматривая движение вяз-к.ой турбулентной жидкости по
[Кjруглой трубе и в пограничном слое, можно за метить ,сход ство про
филей скорости ,по их сечения,м. При этом мак,симальной скорости
Vmax на оси трубы соотве11ствует скорость V6 на внешв:ей гра,нице
пограничного слоя, радиусу трубы ro - толщина слоя б . Исследо
".Вания показали, что этой ан,алогией можно ;воспользоваться для
[lОлучения зависимостей, определяющих течение в турбулентном
пограничном слое : Заменяя r 0 наб и Vmax на V6 в (12.4 .51), най
дем для пограничного слоя ,степенной закон (закон корня седь-
220
мой степени) распределения скорости .по его сечению:
Vx-·V в (у/о/17.
( 12.4.54)
Аналогичная замена в ( 12.4.53) позвол,rет получить формулу
для 1-шпряжения трения на стенке
tст= 0,0233pV~ [v/(Vвo) ]114•
( 12.4 .55)
Для .вычисления · юшряжения трения по ( 12.4 .55) необходимо
цредв а рительно определить толщину пограничного слоя о. Для это
го воспользуемся интеrр альным соот,ношением ( 12.3 .1). Подставив
в него вместо Vx зависимость ( 12.4 .54), а вместо tст - значение
(12.4.55), найдем
о
rИ d: ~(f)111 [ 1 -( ~ )111] dy _О,О233рVЧ v\ )114
•
о
'
•
( 12.4.56)
Вычисляя .интеГ'рал, .получим
do/dx=0,2395 [v/(V 00) ]114•
Р азделив переменные в этом дифференциальном уравнении,
найде м
a114do=0,2395 (v /V;,,) 114dx.
Решение этого ура1внения дает
(4 / 5) 0514 =0,2395 (v /V1/14x+C.
( 12.4.57)
Постоя,нная интег,рирования С должна определяться, с_трого го
вор я, в точке перехода лами,нарного пограничного сл-оя в турбу
лентный из услония, в ,соотве11ствии с которым ,в этой точке, уда
ленной от передней кр·омки на рас-стояние х = Хкр, толщина слоя
о= Онр. П1Ри этом ра·сстояние Хкр определяется по заданному крити
ческо,му числу Рейнольд,са R.e 1,p = 1l6Xнp/v, а ~олщина Онр находится
для этого числа Rенр по •соответствующей формуле для ламинар
ною пограничного слоя. При больших числах Рейнольд,са длина
лам•ина'Р,ного уча,стка невелика и в · практаческих расчетах его
влияние на толщину турбулентногю пограничного -слоя может ока
заться ,пренебрежимо малым. В э11их случаях 1vюжно • -счита,ь, что
турбулент.ный .пограничный слой начинается,. у передней кромки,
где при х=О ,,олщина ,слоя о=О. В соотве'Гств·ии с этим .в (12.4.57)
кон,станта С=О и, следовательно, толщина слоя
а·а~:ж = ( 0,37/R.e~(5) х,
(12.4 .58)
где R.ex=Vox/va; vo, v.
Вводя относительные величины внсж=О~сж/L, X=x/L
R.eL = Vв!f'Yo, перепишем (12.4.58) в виде
-
.-.
(-4/5
1/5.
о= онсж=Онсж/L=0,37 х /R.eL ).
и число
( 12.4.58')
·2 21
Сравнивая зависимости (12.3 .19") и (12.4 .58'), можно сделать
вывод, что толщина турбулентного погран11чного слоя на~растает
более 1интенсивно, чем ламинарrюго. Это объясняется пере мешива
нием макрос1<0пичес1шх частиц, свойственным турбулент,ному ха
р,актеру течения жиД1кости . и способствующим его интенсивному
росту.
Для выч·исления напря жения •ст воспользуем:ся формулой
(12.4 .55). Приняв р=рб, v=vб и ,внеся в нее значение 6 из (12.4.58),
пол у чим
(12. 4.59)
Вводя величины ReL = V "LJva их=х/ L, перепишем (12.4.59) в вид
(12.4 .59'}
Как в1щно из сопоставления ( 12.3 .23) и ( 12.4.59), нап ряжение
трения при туj)'булентном течен11и будет значительно больш е , чем
при ламина рном, при одних и тех же значениях чи,сла Rex. Так им
обjразом, турбулизация пограничного слоя сопровождается резким
возраст анием к асатель,ных напряжений. Вместе с тем при турбу
лентном течении напряжение трения и другие параметры пог ранич
ного слоя зависят от числа Рейнолььдса слабее, че.м при ламинар
ном течении. Как известно влияние этого числа обусловлено
действ ием молекулярных сил вязко·сти, которые наиболее с уще ст
венно проя вляются в ламинар,ном погр2ничном под1слое. Пр и этом,
че'М больше {:Короtть и, следовательно, число Рейнольдса, тем
тоньше этот пощслой, ,слабее дей:ствие молекуля;рных сил вязкости
и в соответствии с этим меньше .влияние самого числа Рейн ольдса
на nа,ра,м€тры трения.
По величине ка·сательного напряжения можно ,определить мест
ный коэфф ицие нт трения:
(сJх)нсж= 2 (•ст)и~ж/(р0V~) = 0,0598/ Re~5
( 12.4 .60)
ИЛ'И
( 12 .4 .60')
С илу со:противл ения трения для одной стороны пластин ки о:пре
делим с ломощью формулы ( 12.3.28):
L
Х/нсж= J(•ст)нсжdх.
(12.4.61)
В соответствии с этой формулой и с учетом ( 12.4.60') 1юэф фи
циент ,сопротивления трения
L
1_
_1
_
1 2 (-rст)нсж dx= О, 0598 5..!!::::_'
LJрV~
ReJ/5
-;1;s
о
оо
Lо
222
откуда
(12.4.62)
Эта формула дает наде:,1шые результаты, если число ReL не
превышает 10 6. Для больших значений ReL лучшие резуль,аты
дают другие зависимости. Нацример, при 2-106 <ReL<l010 коэф
фициент т,рения
()о032D-
.0,145
Cxf нсж= , "'-е
•
( 12.4 .63)
В этом случае для ,ра,счета ,коэффициента (Cx t ) н сж можно вос
пользО1ватыся также универсальной формулой Прандтля - Шт,1х 0
тинга
( 12.4.64)
Для определения услоВ'ных толщин пограничного слоя восполь
зуемся формvлами (12.3 .31). Внося в них отношение скоростей
VxfТlв ~огласiю степенному закон у ( 12.4.54), ос у ществпяя и нтегри
ро.ван ие и привпекая соотношения (12.4 .58) , ( 12.4 .6 0 ) , пол учн м:
(1 ?.4 .65)
где Сне ж о.пределяется из ( 12.4 .58) .
§ 11.5 . ТЕМПЕРАТУРА И ЭНТдЛЬП11Я В 110ГРдНИЧНОМ СЛОЕ
ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Распределение температуры и энтальпии
При малой скорости обтека,ния на г рев· газа, обусловленный
торм о жением в пограничном слое, почти отс утствует и темпе~ратуру
в ием можно считать ,практичес~и равной ее значению в свободном
по'!'оке. Действительно, из (12.3.18) следует, что при отсутств.ии
теплопередачи для Мв = О,5 температура г,аза на ,стеН1ке, равная
темпе р атуре торможения , Тст = То = Тв(l+О,2-0,25)=1,05 Тв, т. е.
о,личается от тем~пературы ,свободного потока в,сего на 5 %.
При больших скоростях вследствие торможения газа происхо
дит з.начи,ельное повышение тем.п ерату1ры и энтальпии в погра
ничном слое, которое соответствует характеру .изменения ,скоро.сти
по ,с ечению ·пограничн·ого слоя.
Бели все другие виды переноса тепла, кроме тепло:праводно:с-rи,
ОТiсугствуют, число Pr = 1 и теплопередача у стенк-и равна нулю, то
в соответствии с ( 12. l . l 6) температура в погран и чном слое
T=T0 -V ~/[2(cp)cp],
(12 .5 .1)
где (ср}·ср-средняя удельная теплоемкость для и1Нтервала темпе
рату1р То-Т. Тем1пера,ура То, являющаяся мерой полной энергии,
не меняет,ся по толщине •Слоя и определяется параметрами Т = Тв,
223
Vx= V6 на внешней границе пограничного слоя в -соответствии с
IВЫражением
Т0=Т0 +V~/[2 (ср)ср]·
Произведя здесь замены:
V2м22
2-
•
;;=
;;a a=MakRTo;
Rk
k-l
(12.5 .2)
(12.5.3)
где k=(ср)ср/(сv)ср-средняя величина отношения удельных теп
лоемкостей для интервала тем,ператур Т0--Т6, получ·им
(12.5 .4)
При :постоянных теплоемкостях следует принять (ср)ср=Ср=
= ,const и k = k = const. В тех случаях, когда теплоемкость сильно
меняется с температурой вслед,ствие диссоциации и ионизации и ее
нельзя заменить средним значением, целесообразно вместо Т и То
иопользо:вать соответственно энтальпии i и i0 . Согласно (3.4.14) и
по аналогии с ( 12.5 .1) энтальпия в некото1рой точке -сечения погра
ничного слоя
i=i0- V~/2.
(12.5.5 )
Подставляя -сюда значения i=i6 и Vx= V6, найдем для энталь
пии торможения
(12.5,6)
При постоянных теплоемкостях
i 0 =cpT0 =kRT.,j(k- l)=a~/(k- l),
(12.5.7)
поэтому, у читывая , что V~= М~а~ ,
энтальпия торможения
•
••(l+k- lМ2)
lo=l0
-
-
2-
о.
(12.5.8)
Принятое предположение об отсутствии гепл·опередачи у стенки
и равенстве числа Pr= 1 не соответtтвует действительности, поэто
му в реальных условиях температура и энталыпия на стенке отли
чаются от полученных ранее значений Т0 и i0 .
Раосмотрим уже из1Вестный случай адиабатической •(теплоизо
Л'ированной) сте.нк·и, ха,рактеризующейся тем, что подводимое к
та1кой стенке от погр.аничного слоя тепло не расходуется на ее на
гре·вание и в свою очередь сама стенка не отдает тепло погранич
ному слою. При этом ,перенос энергии в самом пограничном слое
происходит следующим образом. Вслед~ствие торможения потока,
обусловленного дейст.вием сил ·вязкости, тем п ература возра,стает
от значения на гра1н11це слоя до некоторой величины на стенке и
таким образом возникает градиент температуры дТ/ду =/=- 0. В та
к·ом случае в соответствии с законом Фурье (3 .2.7) должна возник-
224
ну'Гь передача тепла путем теплопроводности в·о внешние слои газа
с меньшей температу,рой. Нагре~в будет возрастать, пока не уста
новит.ся равновесие между этой тешrоперед аче й и про тивополож
ным потоком тепла от ~внешних cJioeв к внугренним, обусловлен
ным работой сил вязкО'сти. Вследствие отвода тепла от участш:ов
полраничного слоя, ра:сположенных у стенкп, темюература н а обте
каемой поверхности Т ст= Tr будет меньше темmерату:ры торможе
ния Т0 . Температуру Т" и соответствующую ей энтальпию {,. назы
•вают,соответс11венно те,мпературойи энтальпиейвосста
н о в л е 1н и я. Снижение температуры у стенки можно о х ара ктери
з·О1вать па1раметром
r=(T,-T;,)/(T 0 - Та),
(12.5 .9)
называемым коэффици 'ентом восстанов лен ия темпе
р ат у р ы, указывающим на то, как близка температура -восста нов
ления к температу1Ре торможения. Этот коэффици ент характеризует
долю кинетичеокой энергии внешнего потока, к-ото.рая переходит в
теплос-одержание (энтальпию) ·при полном его т-орможении.
Из ( 12.5.9) м·ожно получить следующее выражение для темпе
рат ур ы восстановления:
t
Т,=Тв+ r (Т0 -Тв)=Тв [1 +r (T 0/Ta- l)J.
(12.5.10)
Внося сюда значею1я разности Т0-Тб из (12.5'.2) и отношения
То!Тб из (12.5.4), получим:
v2
T,=Ta +r
0
2 (Ср)ср
(12.5 .11)
T,=Tв (l+r k~l М~}
(12.5.12)
П:;,и ~юследщзании движения вязких диссоциирующих газов це
ле соо•браз нее перейти к другим rоотношениям. Для та•ки х газов ха
.ракте рно значительное увеличеттие удельной темплоем,1юсти , так
ка'К к тепловой энергии газа пr,ибавляются затраты части энергии
на дисс-оциацию. В подобных случаях уже нецелесообра зно поль
воватыся температуlРой как мерой энергии. Для этих целе й лучше
применять Эiнтальпию.
В рас,сматриваемом случае для оценки ·влияния теплопро·водно
сти на пограничный слой в диссоциирующем газе следует испqль
зовать 1понятие об энтальпии вое-становления ir и соответствующем
коэффициенте воостановле.ния энта.11ьлии
(12.5.13)
Подобно тому как при исследовании теплопередачи в условиях
больших скоростей обтекания и при отсутствии диссоциации для
Pr=p 1 вводилось ;понятие коэффициента r воостановления темпера
туры, так и при наличии химических реакций -будет, очевидно,
оправдано введение ан.алогичного коэффициента восста новления
8-967
225
энтальпии, который бы учитывал степень•п1Реобразования
химиче1скойэне,ргиивтепл,овую.
Из ( 12.5.10) следует , что
ir=i0 + r (i0 -i;)=ia [l+r (i0/i0 - 1)].
(12.5 .14)
Иопользуя формулы (12.5 .6) для i0-ia и (12.5 .8) для io/io,
получ и м:
(12.5 .15)
(12.5.16)
Пр и помощи коэффициента в0,сстановления r можно охаракте
ризов ать изменение тем.перату,ры Т и энтальпии i IПО сечению по
граничного слоя. По аналогии ,с (12.5 .11) и (12.5.15)
СУiжуд а
Tr=T +r [V;/2 (ср)ср]; iг = i +r (V;/2),
T=Tr - r [V;/2-(cp)cp];
i=ir-: r(V;/2),
(12.5 .17)
(12.5 .18)
rде (с р )ср-средняя удельная теплоемкость для инте1рвала темпе
ратур Т,-Т.
В § 3.5 было отмечено, что •соотношение между тепло1Вым пото
ко'м, обуслО1вленным трением, и количеством те1Пла, уносимым мо
лекулами при их перемешивании, определяется числом Пrра1ндтля
[см. (3.Б.11) ]. Поэтому е1стеств,енно предположить, что коэффици
ешт восстановления r зависит от числа Прандтля, которое для у,с
ловий на стенке по аналогии с (3.5 .11)
(12.5.19)
Теоретическими и э,КiСпериментальными исследованиями уста
новлено, что коэффициент восстановле~;ия можно для ламина'РНО
го и турбулентного пограничных слоев соответс11венно принять:
rл=fPr,
(12.5.20)
(12.5 .21)
Для воздуха число Прандтля изменяется в пределах от 0,75 ,при
низких температу:рах до 0,65 при высоких. В практических ра,сче
тах можн•о использо1вать среднее значение числа Pr=0,7, которому
,соответс11вуют
(12.5.22)
Для Pr = 1 коэффициент воостановления r = 1. В этом случае тем
пература и энтальпия во·сстано1вления совпадают соответственно с
температурой и энтальпией торможения.
226
j
Характер изменения температуры и энтальпии по ,сечению nо
гранитчн,о,го ,слоя для различных: условий обтекания показан на
рис. 12.5 .1 . При этом кривые, Езображенныс на рис. 12.5 .1, а, ха
fРактеризуют изменение тем.пературы и энтальпии для теплоизоли
рованной стенки в двух случаях, когда Pr= 1 и Pr=t= 1. Естествен
но, раопределение температуры и энтальпии изменит,ся в _ случае
•нетеплоизолированной стенки, т. е. при наличии отвода или пuдво
да те;пла (,рис. 12.5.1, 6, в). При отвод е тел.па (охлаждаем ая ,стен
ка) нетеплоизолированный пограничный слой, отдавая тепло стен- ·
Логранрчный а)
слои .
у Ts ;io.
i.~т=i.r
Таiio
8)
у
Р,и,с. 1:2.5.1. Изменение температуры и энтальпии по ,сечению по!'ранич 0
наго слоя:
а - адиабатическая (теплоизолированная) стенка; 6 - охлаждаемая стенка; в -
нагреваемая стенка
.ке, ,сам будет охлаждаться, поэтому температура газа Тет у такой
,стенки меньше температуры 1вО1сстановления i" и соответственно
энтальпия газа iст ·меньше энтальпии в,оестановления Т,.. При этом
температуру газа Т ст можно ·рассма11ривать как -температуру ,по
верхности, которую в дальнейшем будем условно называть тем
пер ат у 1р ой стен к и. Если от какого - либо внешнего источника
те пл о ,подвод и т с я и температура стенки ,превышает ма•~си
J\1альную температуру пограничного слоя (нагреваем.ая стен:ка), TI)
пограничный слой будет также на,греваться, ,следовательно, для
газа у ,поверхности Тст>Т,. и icт>i,..
При очень больших скоростях летательных аппа1ратов стенка
обычно охлаждается (icт<i,.; Тст<Т,.), что объясняет,ся излучением
тепла с поверхности, которое нt: может ко·мпенсиро•ваться еравни
тельно малым ,при током тепла путем теплощ}Овощности по материа
лу стенки от источников те:пла, ра,сположенных внутри летатель
ного а,ппарата. Температуру такой стенки обозначим через Т ст,
т. е. как и температуру газа у стенки. Однако следует помнить, что
в наиболее общем случае тем,пература газа не сов1Падает с темпе
fРатурой ,самой стенки и, кроме того, отличается от Т,.. У•казанную
~
т
ранее ·величину iст надо раосматривать как э1Нтальпию усло;вно·го
газа, температура котО1рого равнялась бы температу~ре стенки Тет.
Движущийся а·ппарат может ,стать натреваемым (icт>ir;
Тст> Т,-), если полет происходит с замедлением и сопровождае11ся
уменьшением температуры восстановления, в то время ,как пере
гретая стенка не успевает охладиться.
В аэродинамических 11рубах, в которых отсутствует специаль
ный по;дотрев воздуха, а те:мпер,аура торможения близ.ка к тем1Пе
рату~ре окружающей среды, ~стенка эюспериментальной модели мо-
жет ока·заться наrреваемой. Это объяоняется тем, что к по1верхно
сти модели может идти поток тепла через державку, в то .время
.как радиационный поток от холодной стенки модели будет прене
брежимо малым.
Опредепяющая температура
Наличие числа Маха в приведенных зависимостях для оцреде
ления параметров движения вязкой среды отражает тот факт, что
вследствие торможения пот.ока в пограничном слое и ,связанного с
этим повышения температуры изменяется шютность. В этом J]IPO·
является свойство сжимаемости, оказывающее ,влияние ,на течение
газа в пограничном ,слое. С ростом скоростей увеличивается :тем
пература, что влечет за собой наряду с изменением плотности та'к
же изменение термодинамических параметров и ки.нетичеоких ко
эффициентов газа ·в поr~раничном слое. При высоких температурах
в нем могут прои,сходи,ь химические реа,кции.
Эти явления имеют важное значение при форми~рова1нии про
цессов трения и теплообмена в .пограничном . слое. Однако учет
этих явлений при ра~счете параметров пограничного слоя и, в част
ности , распределения тем,пер,атуры по его толщине , имеющего ве,сь
м а сложный характер, .,связан с большими 'ГiРУдностями. Поэтому
были предприняты попытки отыскать сравнителыно 1n:ростые при
ближенные методы расчета п~раметров • пограничного ,слоя при
очень ~Высоких е:1<оростя х обт е кания. Один из •методов, рассматри
ваемый далее, основан на использовании .зависимостей, сходных
по внешнему виду с теми ·соотношениями, .которые получены в ре
зультате исследований пограrничного •Слоя в несжимаемой среде.
Так а я возможность вытекает из того ф а кта, что нблизи пош е,рхно
сти, в прист е ночной обл асти пограничн о го слоя, лоток сильно за
торможен и, следов ательно, газ близок по свойствам к несжимае
мой ,с ред е. Если ,считать , что теч е ние в этой области оказыва·ет
основное влияние на процессы трения и теплопередачи, то, следова
тельно, можно иопользовать для расчета параметров пограничного
слоя заrвисимости, структура которых будет такая }Ке , как для не-
1сжимаемой среды. Разница будет заключаться в том, что в эти за
висимости .войдут параметры, определяемые как функции тем,пе
рату,ры. Бстествещю, ,возникает вопрос, по какой температуре по
r~раничпого слоя следует рассчитывать эти параметры.
Как ,показали теоретические и экспериментальные исследова
ния, удовлетворительные резу. 1ьтаты получаются в том случае,
228
./
если расчет вести по определяющей температуре Т*, ко
торая представляет собой некоторое с•реднее значение по сечению
поnраничного слоя. Параметры газа, рассчитанные по тем!Пературе
Т*, ,называют определяющими (энтальпия i*, плотность р*, дина
мический коэффициент вязкости μ * и др.).
При ,больших окоро:стях обтекания, когда в .погра,ничном слое
существенное значение имеют физико-химичес:кие превращения, в
оано~ву расчета его параметров следует пол-ожить определяющую
энтальпию i*, по которой вычисляют другие определяющие пара
метры, .ВI{Лючая тем!Пературу Т*.
В результате решения у,равнения теплопередачи для ламинар
ного пограничното слоя Э . Эюкертом получена .следующая форму
ла для опре:деляющей энтальпии:
i' = 0,5 (icт+i0) +О,22 (ir-i0).
( 12.5 .23)
Определяющая энтаJ1ьпия зависит от структуры пограничного
слоя и чИ1сла Моо. Имее11ся ряд соотношений, по31воляющих рассчи
тывать величину i* отдельно для ламинарного и турбулеJ-ГГного по
nраничных слоев, а также для различных интерLВалов чисел Моо.
Формула ( 12.5.23) выгодно отличается от этих отношений своей
униве,рсальностью и может быть :Пiрименена с известным приближе
н ием как для ламинарного, так и для турбулентного течений в до
воль:но широком диапазоне чисел Моо.
Как видно из ( 12.5 .23), для вычисления i* необходимо знать эн
тальпию газа iст при температуре стенки. В ча,стном случае, когда
температура поверхности поддерживается при помощи ка1ких-либо
специальных сре,щс11В охлаждения на требуемом уровне, эта эн
тальпия будет из:в,естна. Если же разогрев прот екает ,самопроиз
в-ольно, то опред ел ение iст связано с решением задачи о теплопере
д аче между стенкой и газом. В частном случае теплоизолирован
ной стенки (iст = •ir) определяющая энтальпия -
.__
i*=O,72ir+O,28i0.
(12.5 .24)
Без учета теплопередачи в потраничном слое при Pr = 1 энтальпия
i,. будет равна энтальпии торможения io, которую вычисляют по
( 12.5.6). В ,соответствии с этим
i*=0,72 (i 0 +V~/2) + 0,28i0 =i0 + 0,36V~.
(12.5.24')
Энтальпию iб на верхней границе .пограничного слоя можно най
ти, решив задачу о невязком обтекании заданной ло:верхности. Эн
тальпию ,воостановления ir, входящую в (12.5 .23) и (12.5.24), 01пре
деляют лз выражения
(12.5.25)
в котором коэффициент восстановления рассчитывают ка1к опреде
ляющий параме11р ,в соответствии с (12.5 .20) и (12.5 .21):
*
v-
Гл= Pr* ;
*
_з;-*
Гт=VPr .
(12.5 .26)
(12.5 .27)
229
Здесь :число Прандтля
Pr* = с ;f-1- */л'''
(12.5.28}
находится по определяющим значениям удельной теплоемкост и.
динамических коэффициентов вязкости и теплопроводности .
Соотношение ( 12.5 .23) иопользуется, во-первых, в обще м случае
диссоциирующего газа, а во-·вторых, тогда, когда газ в погранич
ном слое разогревается до температуры, при которой диссоциация
не ,на-сту,па·ет, но теплоемкости меняются. В пе~рвом ,сл у ча е опреде
ляющую температуру Т* находят как функцию р и i* . Для вычис
лений можно иапользовать таблицы или диаnраммы состояния
воз,духа при очень ·высоких температурах . Во втором случае для,
нахождения определяющей температуры можно применить соотно
щение ( 12.5.23), 1в 1котором энтальпия ~заменяется температурой а
соотвеТiствии ,с .выражениями
i* - i0= (ср):'Р (Г'-ТJ; 1
icт-i 0 =(cp)i~т) (Тс.,-Т 0 );
i, - i.0==(cp)i~> (Т,- Т0),
( 12.5.29}
где (ср);р., (ср)~~т>, (cp)i~>
-
средние значения теплоемкостей,
выч,исляемые соответственно цля интервала температу1р Т*-Тб,
Тст-Т6 и Т,-Т(,.
Подставляя ·в (12.5 .23) значения энтальпий из ( 12.5 .29), полу
чим зависимость для определяющей температуры Т*, причем тем
пературу воостанавления найдем при помощи формул ( 1.2.5.11) и
(12.5 .12), зашrсаншых в виде
T,=T0 +r* [V~/2(cp)~P];
(12.5.30)
(12.5.31}
Когда удельные теплоем1юс11и практиче,ски не зависят от темпе
ратуры (·при Т~7.ОО-800 К и ниже), оцределяющая температура,
(12.5 .32),
Для теплоизолираванной стенки ,следует принять Т ст= Т,., 1следо'
вателыю,
Т*=0,72Т,+О,28Т 0 .
(12.5 .33):
Те~рмодинамические функции и кинетические коэффициенты вы
числяют в зависимости от определяющей температуры по форму
лам (1.5.1), ( 1.5 .2), ( 1.5.4), предста1вленным в виде:
с;/сроо=(Т*/Т оо)"'; t1*/t1oo=(Т*/T00)п; л*/лоо=(Т*/Тоо)', (12.5.34).
230
§ 12.6. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ
ДЛЯ РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКЕ
ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ ОБТЕКАНИЯ
Ламинарный поrраннчный спой
Используя понятие об определяющих параметрах, найдем связь между оонов
НЫМJI характери,стиками ла-минарного пограничного слоя для несжимаемой
жидкости и сжимаемого газа, т. е. при высоких скоростях обтек,ан.ия. Для этого
,введем в rполученные ранее соотношения ( см. § Ш.3 и 12.4) для пограничного
слоя в несжимаемой среде -соответс'!'вующие параметры.
.
Ра-ссмотрим толщину пограничного слоя. Ее -величина для несжимаемой сре
ды определяет,ся по формуле (1'2.3 .19'), которую запишем в виде
Oнcж= ·4,64vf1-/jX/(Vio);
здесь с индексом «б» - параметры пограничноrо слоя в несжимаемой среде.
для сжимаемого газа получИJм аналогичную формулу, если значения μ 3 и
р 3 заменить •соответствующими определяющими параметрами μ* ,и р*;
От.ношение толщин:
Аналогичное выражение можно полуttить для напряжения трения.
Для несжимаемой жидкости согласно (12.3 .23)
(1iст)нсж = 0,323p 0V~ Vfl-/(V 0p0x),
а для сжимаемого газа
Отношение напряжеН1ий трения:
~
•
(1iст)сж/(1iст)нсж = У(р*/ Р 8)(/J,"/ /.J)
(12.6 .1)
(12.6.3)
(12.6 .4)
Для .местных коэффициентов трения, отнесенных к скоростному нап,ору
• q = р V 1/2 свободного потока:
l.о
о
(Сjх)нсж = 2 (1iст)нсжf (Р 8VО = О ,646Vf1-i(V/8X);
(сjх)сж = 2 (1icт)cжf(P6V~) = 0,646 Vfl-*!(Vi*x) • p*l Р0 . (12.6 .5)
Отношение э11их коэффициентов:
(сjх)сж/(Сjх)нсж = ('t'ст)сж/(1iст)нсж = у (р*/ Р 0)(/.1 -*//.1 - 0) •
(12.6 .6)
Коэффициент сопротивления трения (или средний по длине пластинки коэф
фициент трения) в несжИ1Маемой среде согласно (12.3 ·.30)
(Схj)нсж= 1,292Vfl-/(V3p/) •
231
ДJiя сжимаемого газа в со0'!1ветств,ии с (12.3 .281) 1И ('1 '2.6 .5)
(12.6 .7)
При ,постояююй температу,ре стенки параметры μ* и р* ,не зависят от коюр
динаты х, nоэтому
(12 .6 .8)
СJiедоватеJiьно, от.ношение коэффициентов трения:
(Схj)сжf(Схj)нсж = (сfх)сж/(с/х)нсж=('t'·ст)сж/('t'ст)нсж = V(f',*/ f', 0)( р*/ Р1) ·,
(12.6 .9)
Рассм·отр1им сJiучай, когда в пограничном ,слое вследствие ,высокой темпера
туры ,вDзни,кает диссоциация, в то время .как овободное течение происходит при
пост·оян.ных 11еплоемкостях. Полагая при этом, что давление по толщине слоя не
ме:няется, мрж,но, •1иrспользуя у,раJRнен,ия ,состоЯlнrия, заrпиrсать для отношен,ия плот~
ностей
•
(12.6.10)
где f'- : Р - определяющий средний молекулярный вес газа.
Примоояя .п;алее степенной закон ( 1.5.2) для ди,на,мич_ес1ю~о J( оэ ффици ента
вязкости, найдем
•
f'-*/f'- = (Т*/Т )п.
о
о.
0В,НОСЯ (12.6 .10) ,И (12.6,1 11) В (12.6 .2) И (12.6 .9), получим:
•
•
(Т*'Т )(n+l)/2 (
/•)'/1•
0сжt·0нсж =
fо
f'-cpo f' - cp
•
(12.6 .11)
(12.6 .12)
(12.6 .13)
Формула (12.6 .12) показывает, что толщина ламинарного погра~шчноrо- слоя
CИJIЫiO зави,сит от вели,чины Т*/Т 8 , а ,следовательно от числа М 8 (скорости V 0 )r
и отношения Т ст/Т 8 и .возрастает по мере у,величения этих ,параметров. Зависи
мость коэффициента трения от опред,еляющей темrперату,ры и, следовательно, .от
М 8 и Тст/Т O слабее ,и ·носит про11ивоположный характер: с р,остом температуры
коэффициент трения ,снижается.
Пр1именение формул (12 .6 .12), (1,2.6 .13) связано с ,вычислением Т* и ~L*cJJ,
для дис-социирующего газа в пограничном -слое, При этом вначале rнаходят опре
деляющую энтальпию i*, по которой затем для заданного давлен.ин р 0 при по-
мощи таблиц или ['рафиков термодинамических функций подсчитывают Т* и f' -;p ..
Если дrисооциюшя не учитывается, то Т* определяется .непщ..редственно по
(12.5 .32), а o·moшeJJJИe f' -:pff' -cpo в (12 .6.12), (Ш.6 . 13) приниrмае'!'ся ра,вным еди~
нице, т. е. в это.м случае
Осж/Dнсж = (T*JTв)<n+l)/2;
(Схf)сж/(Схj)нсж = (Сjх)сж/(сfх)нсж = ('t'с~)сж/('t'ст)нсж = (Т*/Т 0)(n-l)/Z.
(12.6.14),
(12.6.15),
СраrВни.вая велич11ны, получаемые соответст.венно по формулам (IQ.6.1 ·2) и
(12.6.14), (12.6 .1 13) и (12.6 .15), можно сделать ,вывод о влиянии диссоциации н&
232
толщину погран·ичного слоя и силу трения. Непосредст-венно и з ср авнения за,ви
си.мосте й ( 12 .6 .12) и ( 12.6 .14), в которых отношеНIИя Т*/Т O пр шJЯты оди.нако:вы
ми, следует, что ди•ссоц1!ация обусло,вливает сниже:ние то,л
щ и ,н ы с л оя (так как μсрв/μ*ср<l) . В действительнос'Iiи же о'Г'ношения Т*/Т 0
н еодин аков ы -и уменьшен·ие толщлны будет ещ е больш е , так как в д'ИС•социирую
щем по1лра~-шч,~11ом -слое теМ1пература Т* (! ':.! .6 .1 '2) меньше, чем 1в нед и осоци ,ирую·
щем (\12.6.14).
Налряжение трения будет :нескоJiько больше s д,иссо
ц и и р у ю щ е м г а з е вследствие ,снижения тем пературы, оказывающего более
сильное воздейсТ"в.ие, чем некоторый рост среднего ·молекулярного веса [ом.
(12.6 .13)]. Ф и зически такое изменение напряж ения тр е ния бу дет обусло:влено тем,
что ,с рос том диссоциации и •авязанным с этим снижени е м тем!!lер атуры у.велич'Н
вается п,1отность и уме.ньшается вязкость. Влияние :на -оилу трения противопо
ложно: с у~велиrче,нием !!lлот,н.ости эта сила растw, а 'ПJ)IИ о!fиже,н,и,и вязu,ости умень
шается. О днак о увеличение плотнос'Г'и более интенсивно, чем уменьшение вязко
сти , и, 01едо вательно, сила трения возрастает. При этом следует от,метить, что
указанный рост сил трения будет несколько большим вследст,вие образо,вания
при ди-ссоц.-~ации до!!lолнительного числа молекул газа (у,величения среднего мо-
лекулярного веса) и па:вышения по этой прич,и.не вязкости.
•
Простой мето~д расчета погра!fичного сдоя по определяющим параметра•м
весьма эффективен, так как позволяет учесть влияние на толщину пограничного
слоя и силу трения таких факторов, как сжИJМаемость, лер емен.ность тепло.емко
стей, дисс оци ация и теп л опередача. Влияние последнего фактора находит свое
выраже1ш~е в зависи,мост,и ·определяющей температуры Т* от температуры восста
новления Тт и темпера-туры Тст=l=Тт (при наличи,и под,вода или отвода тепла от
стенки).
Турбуn_ентный поrраничный спой
Аналогично тому, как это было сделано для ламинарного пограничного слоя,
п олу чи :1-1 п р и п очvющи определяющих па,раметро:в зависимости для толщнны погра
ничного слоя, напряжения и коэффициента трения в сл у'<Jае турбулентного движе
ния. Пр и этом будем исходить -из соотношений для параметров турбулентного
пограни ч н-ого слоя •В несжи м аемой среде, найденных ·с использованием ·степенного
за кона р а сп р еделения ско,рости по сечению пограниrrно·rо слоя (закона корня
с едьмой сте п ени ).
Толщина погра,ничного слоя в несжимаемой среде определяет-ся !ПО формуле
(12.4 .58), 1\оторую запишем ,в sиде
Онсж=О,37(11)Vi/l,x'I, .
За~Iеняя здесь μ0 и .р0 на их определяющие значения μ* и р*, получим за
виси м-ость д:1я толщины погран-ичного слоя в сжи1мае..мом газе
(12.6 .16)
Отношение толщ и-и:
(12.6.17)
Р ,,,самот рим, ка.к можн,о н айти ,на[]ряж.ен·ие тр.е,нwя ·в ту р булен1,но,м сж1И-мде
мом по1rран□1ч1НО1М слое . Для это!Го .н ап ишем , ;испо льзуя (:112.4 .59), в ыр ажен и е для
'tс т в тур6 у JJент,но,м 1н есжи,маемом по г ра.ни-чном слое •В -следующем ,виде :
Вв одя сюда определяющие п араметры, найдем соответствующую за-вис и.ма сть
для -сжимаемого газа:
(12.6 . 18)
233
Отношен,ие напряжений тре.ния:
('t'ст)сж/('t'ст)нсж = (/J,*/l' -/1'(p*/P./1•.
(12.б.19)
Так!liми же будут отношения местных Cfx и средних Cxf коэ фф ициент-ав тре-
ння :
(Cxj)cжf(cхf)нсж = ( Сfx)cжf(c fх)нсж = ('t'ст)сж/(•ст)нсж = (/J,* / 1' -;)' 1' (р*/ Р / 1•,
. (12.б.20)
где (Сtх)всж и (Схt)всж ,определяются ооответственно по формулам (12.4 .60) и
(12.4 .62).
Расома11рн.вая общий случай диссоU,!1!111рующего газа, будем ·вычисля1ъ отнюше
ния р*/р 5 и μ*/μ 0 ,соответственно ,по (112.6 .10) и (12.6.11). Тогда
(12.б.21)
(Схj)сж/(Схj)нсж = (Сjх)сжf(Сjх)нсж = ('t'ст)сж/('t'ст)нсж = (Т*/Т ,/n-4 )/S (1' -;p//J-cpa) '/ , ,
(12.б.22)
Из этих формул ,видно , что ·качественная картина изменения толщины погра
ничного слоя и силы трения при турбулентном движении такая же, как и пр и
ла,минарном, а именно: с -р остом определяющей теМ!Пературы толщина слоя уве
личи-вается, а сила трения -снижается. Однако количественная .оценка таког о
изменения показывает, что в -соот,ветст,вии с (12 .6.21) для ту ,р б ул е н т ног о
поrраничвого слоя его толщи,иа с повышеIIIие,м олреде
ляющей температуры рас·тет эначительно 1Медленнее, чем
для ламина•Р'Иого слоя, а коэфф·ицие1нт трения падает
более инте.н~с ,и ,вно [ом (,12.6 . ,22)].
Влияние диссоциации будет сказываться, как ,и при ламинарном .пограничном
сл-ое, в некотором уменьшении толщины погранично-го ,слоя и росте напряжен,1я
трения. Т,олщина .погранн:Уного -слоя и коэффициенты трения ,п ри ,наличии дис
социации определяются соот,ветственно по (1'2 .6.21) и (12 .6.22) путем последова
тельных приближений. В:на,чале по заданной температуре -стенки Т ст и у,сл о,в-иям,
невозмущенного потока М 8 , р 5 , р 0 , ia и друmм находим определяющую энталь
пию i* по формуле (12 :5 .23), приня.в .в первом 1Приблнжении r л* =О,84 ял и
rт* =0,89. Далее при_ .помощи графиков или таблиц ·термодина-мически х 11 кине
тичес~их функций воздуха по i* и давлению р 6 отыскиваем Т* . По э той темпе-
ратуре ·и давлению р 6 из тех же ·таблиц ;или rрафиков .можно найти (cv)*, μ*, л''
и уточнить ло фор,муле (12.5 .28) число Pr*, а по формуле (12 .5.26) или (12.5 .27)-
коэффициент восстановления r* По этой sеличи-не r* вычисляют .в~ втором при
ближении энталышю i*, определяют температуру Т* и соответст,вующий молеку
ляряый ,вес μ*ер, значение которых подставляют ,в (1 •2.6.2 1) и (12.6.22) .
При отсут-ствии д-н-осоциации атяошение ,молекулярных весов μ*c p/~Lcp 0 =1 ,
следовательно,
8сжЛ•нсж = (Т*/Т 1/n+l)/5;
(Cxj)cжl (Схj)нсж = (сfх)сжf (Сjх)нсж=('t'ст)сж/('t'ст)нсж = (Т*/Т O)'n-4 )/5 •
(12.б . 23)
(12. б .24)
Соотяошение (12 .6.24) можно представить для {:лучая постоянных теплое,мк,о
стей .в пр·иближенном виде:
(Схj)сжf(Схj)нсж = ( 1 + О, 12М~)-0• 65 •
(12. б .24'),
Эту фор1мулу Нiетрудно получить из (1 12.5 .31), (1 ,2.5 .3·3) и (12 .6 .24 ) , полагая
n=0,75; k* = l,4; r*=0,85. При этих же эначениях находят аппро1юи•м-ирующую
за,виоииость, определяющую отношение толщин пограничного слоя ( 12.6.23) .
234
а также условных толщин:
0сж/онсж = а:ж/о*нсж = (1 + О, 12М~)о,з5 •
(12.6. 23')
Величины 0 нсж и а;сж находят •еоответст,венно из (12.4 .58) и (12.4.63). Формулу
(12 .6 .23') нетрудно получить из (12.5.31), (12.5.33), (!12.6 .23), полагая n=0,75;
No =.],4; r*=0,85.
Отношение у,слов,ных толщин о:: ; о::ж определяется по аналог,ни с ла•
мина,рным п огр аничным слоем, так ,же как отношение соответствующих коэффи
цие нтов трения с использованием (12.6 .24).
Тренне на конусе прн сверхзвуковых скоростях
обтекания
Ламинарный пограничный слой. Сверхзвуковой поток 01юло
заостренного конуса обладает тем •свойством , что вдоль обраэую
щей коничес,кой поверхноеги ,скорость Vб= 1/к ,постоянна и, следо
вательно, равен нулю продольный градиент давления. Та1ким же
свойством обладает «невязкое» течение около плоской пластинки,
вдоль которой :параметры на внешней границе пограничного слоя
постоянны . Это сходство ·обтекания позволяет использовать резуль
таты расчета по•гJРшничного слоя на плоской лла·стин,ке для _ опреде
ления •соответствующих параметров вязкого потока около кони"Iе
окой поверхности.
Используем для этой цели интегральное соотношение (12.2.16).
УчитЬ!iвая, что параметры газа на внешней границе пограничного
сл оя всюду на конусе одина,ковы (Vб = Vн=const; Рб=Рн= ,сопst
и т. д.) и, сле,довательно, продольный градиент давления . равен
н улю (dp6/dx =О), это соотношение ,представим в 1в:иде
d .~о
.
--
РГоVх(Vх- Vк)dy=
-
Го'"Сст,
dx.
о
rде ro - расс тояние от оси до точки на поверхнос ти конуса
дина той х (ри•с. 12.6.1), а 'tст - напряжение 11рения в этой
у
(12.6.25)
с коор
точке.
х
Применим соотношение
(12.6 .25) дл я расчета лами
нарного пограничного слоя.
В произвольной точке ,како
го-либо его сечения, распо
ложенного от острия на рас
стоянии х, напряжение тре
н ия находим по формуле -r=
= μдVх/ду. В соответствии ,с
этой формулой в ура.в:нении
(12.6 .25 ) можно заменить
dy = (μ/-r)dVx , Разделив обе
части этого уравнения на
o,:..... ___
.L,_- , .L:...LL --~ -1- ---__ _j_ _-
РкV~f1к, где Рк и f1к -
кoнyc
Рис. 1,2 .6 .1. С х ема поrра,ничноrо слоя
на к·онусе
235
соответственно пло'!'ность (рк= Рб) и динамический коэффициен т
вяз.кости (μк= μб) ,на внешней границе пограничного ,слоя кorry,ca .
получим интегральное соотношение
1
d 5•PVx . /.L
•
Го(l- Vx)d(Vx)=Го'tст .
dx
РкVк /J-к 'ti
Vк
Vк
рV3,1
.
о
к кгК
(12.6 .26)
Для ра•ссматриваемого случая «'6езградиентного» .погр аничного
слоя отношение -скоростей VxfV!( = f, (у/б) является функцией только
относительной координаты у/б и не зависит от х. Следовательно, в
соо11ве11ствии с форму.11ами т: = μдVхfду , Т:ст = μк(dVх/dу )к и отноше
ние касательных на·пряжений в ,слое будет зависеть от той же от
носительной •координаты, т. е . т:/т:ст =f2(у/б). Внесем функции f,, f2
в (12.6.26) и в:ведем обозначение
l -/1
---". ..c-d/1 ,
/2
(12 .6. 27)
Принимая во внимание ,при этом, что в ,случае ,постоянной темпера
туры на всей .поверхности конуса отношение μ/μк •не за:В'исит от
координаты х и что от этой координаты не зависит та·кже отноше
ние ,плотностей р/,рк, являющееся функцией Vx/Vк, ~найде м за'Виси
мость
2
j...!:.2_ •
_ ..!!_ (....!!L) = Го
•
't'ст dx 't'ст
р V311.
к кгк
(12.6.28)
Заменяя в правой. части формулы ro на х sin ~1{ и 1разделяя пе
р1еменные, получим
Jd(Го)2-
sin2 ~к 2d
-
-
- ---х х.,
2
,;
vз
ст
Рк к/J-к
(12.6.29)
После интегрирования находим
2
-
JГо
1 ;;хзsin2~к
-·
-
=-·
- -- - '- -'+const.
2 'U~т 3 РкV~/J,к
(12.6.30)
• П~р·инимая в начальной точке (при х = О) отношение r6/Т:~т=0 и,
следовательно, посrоянную в ,правой части ( 12.6 .30) равной нулю,
а также проиэводя обр· а11ную замену х sin Рк=Го и обознач а я на
пряжение трения ,на конусе Т:ст = -~ст.к, получим
т: ·=-.rз -
.--
(J
РкVх~/J,к ) '/,
ст.к ru
2
(12.6 .31)
Аналогичное ,выражение можно получить для напря жения тре
ния Т:ст=Т:ст .пл •на плоской пластинке. При этом будем исходить из
п~ред1Положения, что пла,стинка обтекается гипоте'!'иче,ским св ерх-
23.6
звv11ювы м пото,ком ,с пара м етр а ми , которы е будут та,ким и, как на
ко'нусе. Тогда в результате интегрирования уравнения (12.6.28) , в
которо м не будем учитыв ать ro, п олучи м зав:с1симо сть
(I
't'
-
-
·
ст.пл- 2
.(12.6 .32)
Из формул ( 12 .6 .31) и ( 12.6.32 ) в ытека ет важное соотноше ние
(12.6. 33)
в.соответствии скоторым налряжение трения на кону,ее
ВVзраЗ бОЛЬШе, ЧеМ НаПрЯЖеНИе Тре'Н·иЯ На.пЛа·С·
тинке, под1считанное п•О параметрам 1на конусе.
По фо1рмуле , аналогичной ( 12.6 .33), определяются местные и сред
ние значения коэффициентов трения:
Сfхк= V3 Сtхпл;
Схfк= V3 Схf ;,л .
(12.6.34)
(1 2.6 .35)
Эти значения отнесены к с,коро.стном у на,rюру .во з мущенного по
тока qк = РкV~/2. Чтобы рассчитать коэффициенты трения по ско
ростному напору невозмущенного течения, на~до вос;поль зо в ат ь.ся
за1висимостями
,1-
'2
2
Cfxooк = Cfxк(qк/qoo) = V 3 Сtхпл(РкVк/ РооV оо); (12.6 .36)
Схfоок = Схfк (qкfqoo )= V ЗСхfпл (PкV,7/PooV~) . (12. 6.37)
Сила ·сопротивления трения ра-ссчитывается по -сред нему ко
эффици енту трения Схjоок и боковой поверхности Sк конус а :
X1=Cxfooкq;,.Sк = V3схfпл (Рк V,7/2) Sк.
(12.6.38)
Н а1цряжение тре н ия 't'е т .пл = ( 't'с т ) е111 и ~оэффициент ы трения
Cxf пл = (Cxf)еж, Cfx пл= (Cfx) еж МО}ЮНО наИТ,И ИЗ ·СООТНОШеНИЯ
( 12 .6.13) 1по опред еляю щим парам етр ам в общем случае для дИ'ссо
циирую щего воздуха.
Мож но установить приближЕ:нную зав-исимость также и между
тол щинами пограни чн ого слоя на конусе и пластинке. Для этого
,в оспользуемся методом Польrаузена для расчета распределен и я
ско рости ,по сеч ению 1Погранич1ного ,слоя в несжимаемой среде. По
этому методу скорость в ыч исляет.ся по уравнению ( 12.3.15). Заме
няя.внемYJнау,У}бна6иv'o наVк,,получим
Vx=Vк(+·: -+· ~:).
(12.6 .39)
По формуле Нью~она, напряжение трения на поверхности ко
нуса
, . •ст,к = fLкVк[:ч (+ · : -+- ~:)]У=0=f1кVк 2:к , (12.6 .40)
где 6н ~ толщина потраничного слоя на ко1нусе.
237
Аналогичное •,ВЫ1Ражение на•пишем для пластинки:
't'cт.r1л=l1кvl( (3/2а11л),
где бпл - тьлщина пограничного слоя на .пластинке.
Из соотношений (12.6.40) и (12.6.41) ~следует, что
О'Гlкуда согла,сно ( 12.6 .33)
1iк=('t'cт.rrл/'t'cт.J 1irrд= ~~ =0,578апл·
(12.6.41)
( 12.6.42)
( 12.6 .43)
Та,ким образом, •в соответствии с формулой ( 12 .6.43 ) толщ ин а
ла·Минарногопогран'Ичного ·Слоя на конусев1Гзраз
меньше, чем на ,пластинке. Толщину бпл=бсж для пластин
ки можно ра·ссчитать 1в общем случае диесоциирующего газа 1по
определяющим параметрам на конической поверхности ,с примене
нием формулы ( 12.6.12).
Турбулентный пограничный слой. Восполь зова•вшись тем же ин
тегральным соотношением (12.2 .16), ;получим в ,приближенной
форме а налогичн ые за1висимости для турбулентного потран,ичного
слоя. Пе1рейдя в ( 12.6 .25) к определяющим параме11рам и подста
вив вместо 't'ст выражение (12.4 .55), в котором обозначим V11= Vк
и 1i=1il(, получим
6
d~*
V
•
3 ;:; 2( f'-* )1/4 ro
-
р г0Vх( ,--Vx)dy=G,02 Зр Vк --- - 114
.
dx
'
Vкр* (о*)
о
Принимая во •внимание, что температура поверхности в•сюду
одина1юва и, следовательно, определяющие параметры постоянны
(плот ность р;;, в ле:вой и u1ра·вой частях сокращается), можно после
простых :пре образований .получИ'Гь у равнение
_!!__[гёА 51 Vx (1- Vx)d(~)]=0,0233( μ*;; ) 114
~g
14
.( 12 .6.44)
dx
vl(
Vк
Ок
VкР • {rоок)1/4
о
Если исходить из за,кона .корня седьмой степени, то без1раз.мер
ная скорость V xfVк=(y/aj 17, поэтому
1
1 1 =\ Vx (1- v;)d(L)=coпst .
.J Vк
V"
ок
о
В соо11ветствии ,с этим ,( 12.6 .44) л~реnишем в форме
J( •)114d( •) О0233(;''/V
*)114 514d
1 Гоuк
Гоuк= ,
l1кРГоХ.
( 12.6 .45)
238
Зам еняя в !Правой ча,сти ro=X sin ~1{ и интегрируя при у с ло вии,
что для х=О величина rобк = О, найдем
(411 / 5) (rоок)514 = 0,0233 (fJ-' '/ V кР"J114 sin 5/4~K (4х914/9).
Произ ведя здесь обратную замену (х sin ~к)514 = rg 14 и со о тв ет
ствующее ,сокращение на эту величину в пра1вой и левой ч астях,
'Пол у чим
ОТIКуда
где
о~4 =(4/9)12Х,
ок = (4 / 9)4/5(l2xJ4fs,
12=(0,0292/1 1) (fJ-' ) V"p*)1 14•
(12.6 .46)
(12. 6 .47)
Заменяя в (12 .6.45) 61, на бпл и опуская ro, получим ан а логич
ное выражение для толщины пограничного слоя на плоско й пла
стинке . После интегрирования найдем
(411/5) (опл)514 =O,O233 (fJ-* / V кр*)1 14х,
откуда
• апл=(l2Х)415.
(12.6 .48)
Из ,выражений ( 12.6 .46) и ( 12.6 .48) найдем связь между толщи
нами пограничнаго ,слоя на конусе и пластинке :
ок=(4/9)415011л - О , 523опл•
(12.6.49)
За,вrюимость для н апряжения тр ения найдем из ,ооотноше ни я
( 12.4 .55), введя определяющие парамеТjры и записав это соотнош е
ни е отд ельно для конуса и •пластинки:
.-
= О O233 p*V2(v */V )114 ( 1/0114)·
ст.к
'
к
к
к'
о 0233 '''V 2( '''/V )1/4 (l/~ 114)
't'ст.nл = ,
РкVк
0нл •
При н имая ОiПределяю щие пар аме,р ы одина,ков ы ми на конусе и
пластинке, н айдем из двух последни х фор мул от но ш ен ие
/
! 1/4
,;'СТ,1( ,;'СТ.ПЛ = (011л oJ •
Вно ся ,сюда значение 01{ из ( 12.6.49), получим
't'ст.к= (9/4J115'tст.пл= 1, 1 7't'с т ,пл·
(12.6 .50)
(12.6. 51)
Сопоставляя формулы ( 12.6.33) и ( 12.6.51), можно сделать вы
вод,чтодля тур·булентн·ого пограничного слоя ха-
рактерно меньшее отлиl, ие
напряжения трения
на конусе от соот :ветствующего значения на
пластинке, че'М для лам·инарного пограничного
слоя. Это объясняет,ся более сильным влиянием перемеши,в ания
потока ,на силу трения в ту~рбулентном ,поr~раничном _слое по срав
нению с воздейс,вием формы поверхности. Что касается толщин
239
[ом. ( 12 .6 .43) и ( 12.6.49) ], то их знач ения на ~ю1-1уое для турбулент
ного и ламинарного пограничного слоев отличаю1.1ся ·лишь пример
но на 10%. Т акое небольш ое различ ие свидетельс11вует о ,более
сильном вл и я н ии на толщину сл о я формы обтекаем ы х поверхно
стей, чем iПеремешивюшя.
По известному на,пряжению трения можно определить местный
и средний коэф ф и циенты трения:
Сfхк= 1,17сfхш, ;
Cxf к=1,17Cxfпл·
Э ти ,коэффициенты ра,ссчитаны по .скор остн ом у
= р ,У1?/2. Чтобы пер есчитать их на скоростной напор
ного п отока, необ х од им о 1п р пменить формулы,
(12.6.36) и (12.6 .37) .
(12. 6 .52)
(12.6 .53)
на1по~ру qк =
невозм у щен
аналогичные
Си л а ,сопротивления трения при турбулентном пограничном
сло е оп р еделяе11ся ло .выражению, сходному с . ( 12.6.38):
(12.6.54)
На,п ряжени е трения 't'ст.пл= ('tст) сн; и коэффициенты тре~ия
Схjп л = ( Схf)сж, Сfхпл= (СJх)сж ДЛЯ ПЛОСКОЙ п.1аСТИНКИ МОЖНО НаИТИ
из соо тношения ( 12.6.22), а толщину пограничного СЛ·ОЯ Опл = бе ж -
из (1 2.6 .17) по оцр,еделяющим параметрам с учето.м диссоциации.
§ 12.7. ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ
Нд ТРЕНИЕ
В предыдущем параграфе был раесмотрен пограничный ·слой
на плоской пластинке и конической .поверхности, обтекаемых сверх
вву ко:вым ,потоком. Для этого пограничного слоя хара1ктерно то,
что да·вление в нем во всех сечениях одина.1ювое (pб = ·const) и,
следовательно, :продольный градиент да·влеr:1ия dpб/dx = O. Одн3Jко
при обтекании криволинейной п0~в~рхно1сти (например, ,профиля
•к.рыла или тела ,вращения с криволинейной образующей) этот
градиент отличен от нуля, та,к как давление на ·внешней границе
погран и чного слоя будет величиной переменной, за,висящей от
координаты х. Это J?Лечет за .еобой, ~шк .ви_'J,·но из ·интегралы-юго
соотно ш ения ( 12.2.16), где dpбfdx-=!= О, изменение напряжения тре
ния и , ,следовательно, распределения ,скорости и rолщины погранич
ного слоя по Qравнению со · случаем обтекания ,плоской пластинк•и
'ИЛИ конуса.
Если рассмотреть профиль крыла с краволинейным канту.ром,
обтекаемый дозвуковым потоком (рис. 12.7 .1, а), то на ;переднем
уча ст,ке (от точки О полного торможения .J.O не,которой точки В)
градиент давления будет величиной отрицат,ельной (dp 6/dx<O), а
на уч а ст,ке от точки В до точки С на задней кро'м,ке - поло'liштель
ной ( dpб/dx>O). Такой характер изменения градиента давления
обу1словлен особ енностями обтекания профиля, ПIРИ котором на
переднем уча,стке с·корость в направлении от тоЧ!ки О к точ'ке В
240
f·.
возраст ает и, следовательно, давление на основании ~равнения
Бернулли снижается; на участке, прим ыкаю щем к задпен кромке,
окорость, наоборот, уменьшается, а давление увеличивается.
В .случае аверхзву,кового обтекания (рп:с . 12 .7 . 1, 6) скорО!сть
V 6 в направлении .к задней кромке профи л я непрерывно возра,сгает,
следователь но, давление р6 и произsодная d .иб/dх уме,ньшаю11ся, т. е.
на ,в-сей 1П'О'вер х.ности течение ·в погр а нично м слое будет испытывать
влияние отри цательного градиента давления.
Для качественной оценки
измеriеlНИЯ касательных напря-
жений при указанном распре-
делении продоль,ного градиен-
та дав лени я воспользуемся ин-
тегральным
,соотношением
( 12.2.16). Если производная
dp6/dx<O, то пер.вый член tВ
левой части будет положитель-
ным, а в случае dpб/dx>O -
отрицательным . Это означает,
что прй прочих равных услови-
ях каса тельные напр я-
же1ния в зоне отрица-
тельного
градиента
да,вления,
где
[IOTOK
ускоряется,будут6оль-
ше, чем при р а s ·номер-
ном движении.Наоборот,
на том у ча .с тке поверхности,
где давле ние повышается и те-
чение з амедляется, на пряже- ·
ние трения будет уменьшаться.
На этом уча,стке можно ука
зать точку поверхности, в .ко
торой напряжение трения · ока-
а)
Ре
dp,
dx=O
'
'1
1
1Цм~<1)
:с
--а
i
dPs
1
.9..!!д. п
1
dX<O 1
dх >и
1
,-------'
Б)
Ps
"'ot ~~i
1,tO (1',~е
u,~~Q
V.,(M.,.>I)
с
-а
dpg О
rJТ<
Ри с. 12.7.1. Изменение продольного
градиента давления н а профиле:
а - дозвуковое обтекание; б
-
сверхзвуко
вое обтекание
зы ва ет,ся равным .нулю, а за этой точкой его ·величина становится
отрицательной.
Такой х ара·ктер изменения т.;алряжения трения тесно связан с
ра,С[Iр,еделением скорости Vx по сечению пограничного слоя. Если
расоматривать ламинарный погр аничный слой, для которого 't'ст =
=~t ст(дV,jду)ст, то в зоне с отрицательным градиентом дазле,ния,
где 1'C'l·>0, ;производная (дVх iду) ст>О. Соот,нетствующее ~распреде
ление ,скорост ей выг лядит так, как поюJзано на рис. 12.7.2, а, где
окорость V, вблизи стенки ,со,вш1дает .по на.п;_Jа,влению со скоростью
свободного потока 110 .
• В точке профиля, где 1'ст=О и,
следовательно, (дVхfду) ст=О,
касательная к •кривой распределения ,скорос11ей в аюграничном
слое (1рис. 12.7 .2, 6) СО'впадает с · нормалью к стенке. За - этой
точкой напряжение 1'ст отрИiцательное и производная (дVх/ду) ст<
<0." Соответствую щая картина течения в пограничном
слое, ка•к
241
показано н а рис . 12.7.2, в, хара,ктеризует,ся тем, что скорости ча
стиц, находя щихся вблизи сте•ши, нап равлены в сто р ону, проти
воположную напра\JЗлению ,свободного поток.:-1.
Определение на,пряжения трения в этой зоне лишено физичес,ко
го см ы сла, так •как его влияние на дв и жение жидкости н и чтожно
мало ,по •сра1в н ению с но р м а льным н ап ряжением (давлением).
Практи ч еС'ки это на,пр яжение можно пр иня ть равным нулю. Что же
касается уч а стко в криволинейной по в ерхности с бе зо трывным об
тека ни ем, то исс л едование напряжения т р ен ия на э т их участках
а)
!:1
Б)
1
~
----
==
-~-----,ы.... ~~~-в
/ ,,,.----
//-
z
,,/
Р1ис. 12 .7.2. С хема лзм е.н ения 'Профиля окорости по ,сечению
пограничного слоя ;и образования в<их•ря в зоне его отрьuв а :
1- линии тока; 2- вихрь; 3- зона отрыва
можно вести с ис:поль.заванием интегрального соотношения по
гранично1го слоя вместе ·С зависимостями, у..::танаrвливающими ра.с
пределение скоростей по сечению слоя и закон изменен ия касатель
ных на~пряжений.
Ра,с,ом отрим ~метод ра,счета ла,минар,но,rо п ограничного слоя ,на кр,ив ол иней.но й
поверхности профиля, обтекаемого сжимаемым газом , ·разработан н ый акад.
А. А. Дородницыным [3].
1
По это м у -м е тоду, .местный к,оэффициент трения
_
2tст __2_ у fJ- 0V~ ( -2)--}(п+k~l)(' ~ ) - 1 _ ·
Cjx-
--
--
1- V0
2+
,
P6V~
Vo
Ра
бV~
(12.7 .1)
а толщина по-гранлчного слоя
в=(1- v~)-kf<11- 1>110 [1- v~Ф (л)] ,
(12.7 .2)
где функция
Ф (л) = 367/630 + (71/7560) л + (1 /9072) л2,
(12 . 7.3)
п.риведен ная толщи н а слоя
(1 2.7 .4)
а производная v'6 = dV0 /ds.
Существенным элементам ра ·счета яsляется определение пара,метр·а
л= 11~V~ [v0 (l- V~)]-1,
(12. 7 .5)
242
1
уцитывающего влияние на вязкое обтек ание ,кр•иволинейности поверх.ности, кото
рое сказы вается .в ,случа,е продольного градиента ,скорости ( V ~ =I= О) . Этот t11ара
метр на ходится в ,результате решения д.ифференциалыноrо ура,внения
в котором
л(2 1З-1,92л-О,2л2)
М1 (л) = --------
213-5,76л - л2
(12 .7. 6)
72 58 -1336л + 37,92),2 + о,8л з
М2(л)= -
--
2-13
-
-
-
5-, 7
·-
6-),- --
),2
___
(12.7.7)
(12.7.8)
В этих выражен•ия х введены обозн-ачения для относительной координаты
f = s/ L, а также для ,пер.вой и второй производных скорости в ,виде v~ = dVа! dF,'
v; = d2V ,Jd"f2 .
Поr,рат1чный сло й на криволинейной стенке ·рассчитывают следу1ощим обра
зом . Внач але . находят теоретическое :или экспер111ментальное ,рас пределение .скоро
стей на внешней границе пограничного слоя V O (х), з ате м вычисляют произ.вод-
111ые V;, V; и соответствующие функции N 1, N 2 (112.7 .8). Далее в результате
чи,сленного интеr р,ирования уравнения (1 ·2.7.6), которое можно п ро.вести на элек
тронно - цифровой вычислительной машине, определяют величину л. Эта .величина
должна удовлетворять граничному условию, согла,сно .которому в точке развет
вле ния лоток а, со впадающей ,с точкой полного торможения, т. е . при s=O ( х =О),
функ ци я л ра,вна •некотор О1му ,ко,нечн О1му з на чеаию л0 . По данным акад. А. А. До
р одницын а. •ло=7,052.
Рассмотр~;шый порядок расчета применим .в одинаковой .мере ка к к дозву
ко·во.му, таG< •И овер-хзву,кювому обтеканию профилей с зату,пленной пер ед,ней ,кро,м
кой . В последнем случае необходимо •В формулах (12.3 .4) JI (12.3 .6) В'место дав
ления и плотнос ти торможеаия р0 , р0 принять их ,соответ,ствующие значе ния р0',
Ро', ,рассчитанные для усл,авий течения за дрямым уча,стко.м отсоединенной от про
филя криволинейной ударной волны.
Пр и сверхзвуковом об тека нии заост реняого профиля значения р0' л ро' долж
ны рассчитываться для ·числа Моо > 1 и угла 0с наклО'на ,скачка упло'!'нения у пе
редней кро1мки. Начальное зна ч е ни е 1,=л.о (при 1;=0) определяется ,из условия,
что на за ост,ренн,ой кромке профиля, ка,к и н а п ла,ст инк е, т,олщина погра.ничного
слоя ,равна нулю . Согласно этому значению, л0 также рав.но нулю .
Соот.вет<: твующие значения для параметра.в по,граничного слоя ,в .несжимае
·мой жид1юст,и можно найти, если в полученных за,виси,мостях положить
1-2
22
-
2(
-
V0 = 1- V0/Vmax = 1 [это следует из формулы 1-V0= l+[(k-1)/2]Х
Х М~\ -1 , в котор,ой для несжи1ма.емой среды ,следует п.р1и,нять число Маха М O = О].
Для коэф ф1 щиента грен,ия из ( 12 .7 .1) находим за.влсюvюсть
(12 .7.9)
Толщина пограничного слоя согласно. формуле (12.7 .2), в кото,рой V O =О,
бу дет ,р а вна значению 6=11 0. Это значение можно .определить ,из (12.7 .5) в ,виде
o=Jfлf'-0/(r 0V~) .
(12.7.10)
243
В формулах (12.7.9), (12.7 .10) ,вел ичину "л определяют в ,результате решения
дифференциального уравнения (12.7.6), в ко'Гором ,в,ме,сто (12 .7.8) следует при-
нять
(12.7 .11)
Для профилей с малой кривизной контура .прим еним м е т о д о п р еде
л я ю щи х п ар а метр ·о в, при ПО'МОЩИ которого хар а ·ктеристики несжимаемого
погра·ничного слоя пер есчитываются на их ·соот.ветствующие эначен:ия с учетом
сжи·мае-мости и 1выоо к их температур.
Из пр,иведенных соотношений для по,граничног.о слоя на криволинейной по
верхности .можно получить к;ак частный случай ,соответст.вующие за,висимости
для плоской пластинки, обтекаемой как ,сжимаемым , так и несжи•маемым пото
ком, если принять в этих соотношениях продольвый -градиент скорос ти равны11
нулю .
Влияние отрыва пограничного слоя на аэродинамические ха
рактеристики. Отрыв пограничного ,слоя - одно из характерных яв
лений, ,сопрОlвождающих д,вижение жидкости или газа. При отрыве
происходит перераспределение давления .на поверхности летатель
ното аппарата, ,в,сле,11;ст.ви е чего изм еняются аэро,дина;мическое {:О•
противление и ,подъемная сила. В диапазоне трансзву1ювы,х .окоро
стей отрыв усложняет управляемость, та'к J{aK увел ичива ются не
стационарны€ аэ родинамические нагрузки. При ,высоких. ове~рхзву
•Ковых акоростях он приводит к большим тепловым поток а;м на от
дельных участках обтека·емой поверхности.
Вместе с тем отрыв потока может оказать-ся полезным при ис
пользовании отдельных ;видав летательных аппа1ратов или их эле
ментов. На!Пример, тонкий профиль, пригодный для IПОЛета • с
большой ,окоро,стью, можно приопособить для малых скоростей,
выЗ1вав иеку.оственным ,путем отрыв в каком - то месте на его ~верх
ней еюроне и Оlбеопечив последующее ,присоединение. В результате
достигается эффе,кт утолщенного профиля, который более приемлем
для ,полета ,с малой ,скоростью.
Благодаря ОТJрыву .потока могут быть улучшены ра:зличные аэ
родинамические характеристики ,спускаемых на Землю космиче
ских аппаратов. Отдельные части таких а,пшаратов работают ,в ус
ловиях .высок·их т,ем:ператур . Используя отрыв, 1мож1но в отдельных
случаях добиться уменьшения нагрева, обе-спечив до!Пусти мы й ре
жим те:плопередачи.
Отрыв ,потО1ка - предмет интенсивных исследований. Кла.осиче
-ская концепция такото отрыва связана со .свой-ством вязкости,
поэтому ее рассматривают ча,сто как ,проблему отрыва пог рани чно
го слоя.
Необходимое усл-ов-ие отрыва потока - положительны й пра
диент да:вления. Если такой градиент отсутствует, то отрыва не
[!рои.сходит. Например, поток ;Не отрывается от ~плоской пла сти нки ,
для которой характерны .постоянство да·влсния во .в,се х сечениях
пограничного слоя и, ,следовательно, равенс'!'во ,нулю про•дольного
градиента давления. Однако ПIРИ о·бте'к ании глад·кой кр ив а
л иней ной поверхности (на.пример, профиля крыл а или
тела В1ращения с ·кривол,инейной образующей) этот град иент отли-
244
чен от нуля . Это ,влечет з а собой изменение меСТ,НОГО н шпр яжения·
тр ения, толщ ин ы ,погр аничного слоя и расп;Jеделения "скорост и п о·•
его сечению в сравнен·ии со сл у чаем обтекания пло01юи пласт и н ки;
При это м, как уже отмечалось (см. рис . 12.7 .2), в х1востоло и ·
части тела скорости ча1Стиц, ч:~.ходящихся в близ и стенки, будут
направлены в сторону, противоположную напра·влению свободногJ>
потока. Такое я,вление объясня ет ся воздействием вяз~юсти , ПР,._ИВО
дящим ,к уме·ньшению кинет ической энерпш частиц жидко сти .
В хв остовой ча,сти профиля запас этой энергии может оказа ться,
недост аточным для преодолени,r по Jrожитею,ного лрадиента д а,вле ---
ни·я. По этой причине жид-
•
кость вблизи mоверхности р =Ро- Р.,, ~- - -
---- ---- ---- - -·;?
сначала претерпевает пол- 0 Ч=
,1
ное торможение, а затем из- -·
•
//1
меняет направление движе-
i
ния. В результате образова- -
_
_
___
!.
V=(Mco-==O)
1
ния этого противотока про- ----о~------
исходит . оттеснение линий
-~- ---
_.,
х.
тока и, как следствие , отрыв
- пог раничн ого
·слоя от по
верхности . Точка, где 'tст = О,
называется то ч к о й от
рыв а.
Отрыв пограничного слоя
от поверхно.сти обусловли
вает ,суще.ственное -измене-
2
Рис. 12.7 .3 . Рас-пределен.не давлен и я i!IO п еt•
,верхнос'!'и профи л я в .несжи,ма емо.м i!IOT•oкe:
(Моо=О):
1 - при безотрывном обтекании; 2 - пр14 обтека'
нии с отрывом потока
rние характера обтекани я и оказыва ет з аме11ное в л ияние .н а аэрод~k
намические характеристики летательных аппаратов .
Пограничный .слой за точкой отрыва характе,ризует.с я на шr
чием дlВух проти в ополож н ых потоков: в нешне г о, имеющего напра:в
ление ,свобод ного течения, и внутр еннег о, дв,1жущегося в обр атную
сто р ону. Погран ич н ый ,слой как бы скручивается, об1разуя ~вихрь
(CJ\!. р.ис . 12.7.2). В о зникнове ние и унос ,вихр ей сопровождаются
на~:плением заторможенной жидкости и образованием за стойной.
зоны.
Благодаря вл и ян ию вихр ей скорость ча•стиц буд,ет боль ше в кор
:vювой части обтека·емото тела, нююдящейся в этой :зоне, чем пр.и без
отрывн ом обт~кании, а давление меньше (рис 12.7 .3) . Поэтому IПО
является дополнитель'Ное сопротиьлен'Ие от пере-
распределения·давл·ения,называсмо,есо1проти:вле-
нием1подсасыванияиливихревымсо·противлением..
Ув-еличение сопротивления можно объяснить тем, что на обр а зова
ние вихрей и O11рыв пото·ка зэ.трачивается дополнитель ная ч асть,
кинетической э.нергии потока, обтекающего тело.
Положение точюr отрыва, ::i. ,следовательно, и размер о бла сти ;.
определяющей в-елич,ину дапол~-штельного . сопротивлени я, за висят
от величины градиента давлен:1я. Для обтl?-каемых повер хностей в.
виде профилей .или удлиненных тел вращен :ая с малой кр ивиз н о й и
rпри небольших углах атаки лол u жительный градиент даштен.ия ,не-
24 &.
:велик, от,рыв практически не происходит и вихревое сопротивление
n1рене1брежимо мало. С увеличением угла атuк:и и кр,ивизны пО"верх
:ности ,возра,стает градиент давления dpt,/dx и по5Гвляется отрыв.
При этом чем больше производная dpt,/dx, тем ближе точка отры
ва к вершине ~обтекаемой поверх ности .
Нее эти явления на,блюдаются как при лаиинарно1м, та1к и пр,и
-турбулентном пог1раничных слоях. Одна :ко в сл учае турбулентного
течения можно отметить некоторые отли;ппельные особенности
,отрывнО"го обтекания . Участок такого турбуле нтного течения во.зни
l{ает, ка1{ извест н о, в том случа,е, -когда ч и,сл 1) Рейнольдса стано,вит
· СЯ больше к,ритического значения . П о сечению ту.рбулен~ного по
гр аничного ,слоя -сж о роrсти раап рсделены более ра вномер но, ,поэтому
ча,стицы вблизи поверхности имеют большую око р о сть и, -следова
·тельно, повыше н ную кинетическую энергию. Поэтому они сильнее
п ротишос'!'оят то р мозящему действию нара'стающего :вдоль потока
да,вления, способствуя тем самым ·менее интенсивному снижению
касательного н ал,ря жени я , и пр одвигаются вдоль поверхности до
-точки отрыва, где 'tст= О, дальше, чем :в л-аминарном слое. Та:ким
образом, ,переход ч ерез -к р итич еское ч и сло Рейнол ьдса сст ровожда
е'Гсясдвигомвнизпо,потокуточкиотрыва.Врезультате
ширина и интенсивность вихрЕ-rюй о бла сти за тел ом уменьшаются
и сопротивлени е от дав ления (вихревое сопротивление) рез,ко -е,ни
жается . Пр и этом, несмотря на н е к ото рое увел1ичение ,соп:ротивле
ния, обу.сл овленное турt{5улентны м тр ением, пол ное сопротивление
в се же будет меньше, чем rв .случае ламин а рного пО"гра·ничного
-сло я , Это явление у м е ньшения лобового сопротивления н еу д о б о
об т е к а е м ы х тел (так у~слов.но на з ывают тела, обтекание кото-
1рых сопровождается инт е ноивным отрывом, а их сопротивление
обусловлено в основном силами от давления ,и в меньшей егепени
·т рен ием) при возникно'вении турбулентного пограни чного сло я на
зывают кр и з и,сом сопроти ,в лен ия. При даль,нейшем (закри
висном) у~величении чисел Рейнольдса сопротивление ,неокольк,о
:в,оз1р а .с т ает , т ак как место от:ры :ва пер емещае11ся вверх по пото:ку .
Н еобходимо з а м етить, что указанный эффект «-криз·иса •СО'I1ро
·тивл ени я» имеет ме сто л·ишь в случае неудобообтекаемы х тел , та
:~ш х, ;В частности, как цилиндр , сфера. Для ущобообтек а е м ы х по
вер х,ностей , наiП,ример профилей крыльев, фюзеляж е й с-амолетов,
,сужение зоны отрыва в кормо'вой части тел а и некоторое умень
шени е соп роти ·вления давл ен ия пе~р ек рыв аетс я у вел 1Ичени-ем ,сошро
-тивл ен и я т р ения :вслед1с11в и е обра зован и я ту рбулентното погранич
ного слоя в этой ча1сти тела.
Рассмо трим, как 'Влияет сжимаемость на положен1ие точки от
р ыва и ,солро11ивление . Ранее было установл ено, что для плоск о й
-пласти нк и с воз.ра,стани ем числа Маха толщина погран ичного ,слоя
увелич ив ается и напряжение трения уменьшае11ся. Эти положе'НИя
,о ста ются в основном в силе и для .криволинейны х tПоверхностей
.[см. (12.7 .1) 1и (12.7.2)]. Отсюда следует, что ,с ро стом Мао то ч
.ка отрыва ,смещается против потока,т.е.кноскуоб-
·2 45
тек ае мого те л а . В результате зона отрыва ;расширяется и сопро т ив-
ление давления, а с ним и полное сопротивление возрастают .
Из сказанного следует, 1ч·ю расчет -обтекания и опреде ле ние"
а эр один а мическото сопротивления связаны с нахождением точrюи
отрыв а 1по1г,раничного слоя с обтекаемой поверхности . Прибли ж ен
н ое з начение координаты точк'И от.рыва лампнарного погранично ·го ·
.слоя в дозвуковом ,поток·е можно определить п о методу
а кад. А. А. Дородницына, излож,енному в на~стоящем пара
графе. Для этого следует воспользоваться уравн е нием
(12 .7.1). Приняв в нем с1х = 0, найд,ем значение параметра л. = -12 ,
по которому из решения уравнения ( 12.7 .5) наХJодят для за д а ннок
формы тела положение точки отрыва.
Указанные методы ос1-ювываются на решен~ии дифференциаль
ных ура·внений пограничного слоя, на ю~жней границе ,кота~ро r:о па-
раМ'етры жидкости определяются из уравн~ний невяз-кого бе з от
рывного об тека1ния заданной по,верхности, т . е. ЭТIИ методы не учи
тывают влияния оторвшвшегося погр анично го слоя на свободный·
поток. Полученные по этим м,етодам данные об отрыве будут
удовлеТ1вор.ительными для достаточно удобообтекаемых те л, у .ко
торых оторвавшийся rвместе с п о r:раничным -слоем своб одный;
поток незначительно отходит от поверхности и поэтому мало отли
ч ается от безотрывного невязкого течения . Однако при дост аточно ,
интенсивном отрыве, имеющем место у неудобообтекаем ых тел,
когда внешний лото,к з начительно отходит от ,стенки, это о тли чи е-,
весь м а .существенно, и такой п оток будет оказывать больш ое IВЛ'ИЯ
ние на лограН1ичный слой и ме сто е го отрыва.
Теоретически и эксп ~рим е нтально иоследовал-ся отрыв п о гра
·ничного слоя, выз,ванный положительным гради ентом да•вле ни я,.
кото ры й воз никает в результате обтекания свободным п о током
кормовой ча,сти криволинейной поверхности и не св язан с нал:ичием
ка,ких - либо выступ ов или шероховатостей на этой поверхно·сти .
Та:ко е я1вление от рыва може т им еть место ка к в сжимаемом, так и
в несж1и маемом п отоках. Пр.и э том ·в ,сжимаемом потоке могут
протекать слецифичеокие пр о цесс ы, обусловливающие тот же эф
фект отрыва, который ~был расомотрен. Как известно из предыду
щего, в сжимаемой среде ,при чи,слах Моо, б6льших критических, в.
возмущенном потоке .возникают местные схачки уплотнения . По
iВЫшенное давлен и е за таким.и скачками раоцространяется нс
толь,ко вниз, но ,и ,вверх ло течению через дозвуковую часть погра
ничного слоя, примыкаю щую к -стенке. Кроме того, утолщение:
пог,раничного -слоя ·п еред скачком уп лотнения вызывает оттеене
ние линий тока от поверхности тела в -сверхзвуковой части потра
ничного слоя и во внешнем потоке. Это •приводит к тому, что 1с1верх
в1вуковой поток 'ПР'И обтекании этого уча,стка иопытывает ·
дсюолнительный поворот, что влечет за собой возникновени е кос ого ,
скачка у,плотнения ( л -образньнi скачок) . В результате в о з де й
с тв и я скачка уплотнения на пограничны й слоk
происходит нара1стание давления, которо~ приводит к отрыву·
пограничного ,слоя. Воз,ра•стание ,сопротивления при свер JGкр1итиче-
24 'l
,ских числах Маха обу,словлено не только потеря;ми в мес11ных
скач,к а х уп л отнения, но и отрьшом пограничного слоя, вывван·ного
.скачкаr-.ш. Эффект отрыва усиливается !При св~рхз'Вуковых ,скоро
·стях ,обтекания, если погрюrичный слой испытывает воздействие
mадающего с.качка у,плотнения. Такой .скачсж вызыва•ет значитель
ное по•в ышение давления в пограничном ,слое, в результате чег,о он
утолща ется, а зате,м отрывается.
Отрыв потока с образованием скачка уплотнения может лр,ои
.зойти rв том случае, если пла1стинка имеет изломы. На рис. 12.7 .4 . по
JI{азаны схемы та·кого отрыва, вызванного уступом и наrк.тюнной
Рис. Ш.7.4. Модели отрывных течений:
а - отрыв, вы зв анный уступом:: 1 - пластина; 2 - пограничный
слой; 3 - основной скачок уплотнения; 4 - зона отрыва и воз.врат
н ого течения; 5 - скачок уплотнения; 6 - уступ; б - отрыв, вызван
ный клином: J - пластина; 2 - пограничный слой; 3·-
волны сжа
тия; 4 - зона отрыва и во з вратного течения; 5 - скачок уплотне-
ния; 6 - наклонная плоскость
mлоскостью. Скачок уплотнения обусловлен отклонением потока
:вбли з и места отрыва на нек,оторый угол в.следствие возникновения
застойной зоны перед уступом или наклонной плоскостью. Появ
.ляющийся на стенке дополнительный градиент давления .:пособст
-вует смещ ению впе,ред точки отрыва.
К ак .показывают исследования, все эти я1вления наиболее ин
-тенсивно протекают в случае ламинарного обтеканшя. Туrрбулиза
:ция ослабляет •взаимодействие между ,скачками ушлотнения и по
.граничным слоем, та·к как утолщение пограничного слоя, как и
вооб ще р оль градиента давления в его ф01рмировании, гора'Здо
.меньше заметны при турбулентном течеNoии, чем ,при ламинарJ-!_ОМ.
Благодаря меньшему оттеснению линий тока в турбулентном пото
,ке ,пер ед •прямым скач,ком, каrк показывают экспер.именты, не возни
.кает допол нительный косой ска1чо'К уплотнения.
Управление пограничным слоем (УПС). К числу раопространен- .
-ных методов уrправления обтеканием относят отсос и сдув по)lра
шичного слоя. В результате этого предот~в.ращается срыв 'ПОТО1ка,
.который м ожет возникнуть 'ПР'И .возра,стании угла атаки несущей
или ,ста~били зирующей !Поверхности до значений, ,больших к;ритиче
,с кого . Как след,ствие, увеличивает,ся ;подъемная сила. При. этом
сета'Iювятся больше критичеокие углы атаки и максимальные зна-
ч ени я коэффициентов подъемной силы. •
;248
Физ·ичесКJий эффект от отооса и сдува одинаков и состоит в.
у;величении кинетической энергии частиц в пограничном слое, бла
rсУДаря чему уменьшается их торможение. При отоосе этот эффект
достига·ет,ся ,в основном за счет повышения сrюрости, :а пр,и сдуве -
за ,счет у.вец1и ч ения ма,осы воздуха, цроте:кае?,юй через погр анич ный:
слой.
Отсос производится шакуум-насосами, а сдув - нагнетател ьны
ми на,сосами через прО1филированную щель, систему отвер стий или
проницаемые поверхнос'Ги (ооотв·етственно д и с ;кр е т н ы й и р а c-
[I р еде л е н н ы й отсос или ,сдув). Р аоположение отверст ий или
щелей при применении от,соса совпадает ,с местом пред,п 0лагаем·ого
отрыва, а при сдуве щели или OТ1верстия нах')дятся нес:rшл ько выше
ПО ПОТОКу.
Отсос 1и ,еду.в пограничного слоя можно использовать для умень
шения аэродинамического -оо:прстивления. В этих целях щели или
отверстия должны быть ра,оположены в ~востовой чаеrи обтекае
мого тела, где до'стигается ,пред:отвращение отрыва, способствую
щее онижению · под,сасывающего эффекта за кормой и, как следст
,вие, у~меньшению ,сопротивления от давления.
ЭК!сперименталь·ные иоследования показа.i!И, что для улучше ния
а1эродинамических характер,истИ'к ,крыла (па,вышения Су шах) наи
более целесообразен сдув пограничного сл;:)Я. Сдув п1юиз1водится
обычно у iПередней КJРОМКИ крыла, а -также вблизи расположенных
на нем различных органов ушра,вления и 1с~ре1дств ,механиза ции
- (элеронов, элевонов, щит1юв и т. д.).
Отсос - ·важное ·средство стабилизации лам,инар.ного погранич
ного слоя (ламинариза:ции), обеопечивающей с 'Ниже ни е ,с-о л .р о
тивления трения, ата.кжете-плопере.дачи. Физически
:;,ффект -стаiбилизации ,объя-сняется тем, что при помо щи отсоса
устра·няются очаги пульсационного движения, хара-ктерного для
тур·булентного ПОГJраничного ,c,JJ:oя, ,и тем самым обеспечивается
большая у,стойчивость ламина,рного пограничного слоя.
Следует иметь в виду, что ,сдув нельзя использ·овать для стаби
лизации лам,инарного :пограничного слоя. Более того, он приводит
\]{ обратнО1му эффекту- снижению его устойчивости, так как спо
собствует раз,в,итию возникающих пульсаций скоросн~й в ,погра
ничном ,слое.
Щели или отверстия, чере.з которые осуществляется отсос,
должны быть расположены в точке потери устойчивости, расстоя
ние до :которой от передней ~кромки может быть рассчитано юо зна
чению крит:нчеокого числа Рейнольдса. Следует учитывать, что осу
ще,ствление ламинаризации -предполагает устранение возмущаю
щих факторов (шероховатость поверхности, ме-стные отрывы
пограничного -слоя, вибраuии стенки), способс11вующих сохранению
турбулентного течения.
Измерения 1пока·зали, что на охлаждаемой поверхности ·со,цр-о
тивление трения меньше, чем на горячей стенке. Это говорит о том,
что пр,и Qхлаждении переход ламинарного ;Пог,ранично•го слоя в
'I'урбулентный !Происходит на большем удалении от передней кро1м-
249
_j
7КИ обтекае.мой стенки. Таким образом, охлаждение способствует
лювышению устойчивости погранич ного ,слоя.
Физическиэффектста,6илизации погранично,rо слоя
·о х л а ж д е н и е м объя·сняется воздействием ,пон,иженных темпе
·р атур на вяз,ко·сть и плотность обтекающего газа. Цри охлажде
яии газа снижается его динамический коэффициент вязкости и воз
,растает плотность. Это опособствует устранению причин неустой
ЧИlвости ламинарного ,пограничного слоя в газе, который успешней
:противостоит дейст:вию возмущений, _в ыз ы вающих турб ул ентные
,луль сац ии .
Рис . 12.7 .5. Скачок уiПлотнен.ия перед затупленным телом :
,а - криволинейный отсоединенный скачок уплотнения: 1 - к л ин или
цилиндр; 2 - головной скачок уплотнения; З - скачок уплотнения ; б -
-присоединенный скачок уплотнения перед иглой: 1 - кл ин или цил индр;
2 - игла ; З - основной, присоединенный скачок уп л отн ен ия; 4 - зона
отрыва; 5 - скачок уплотнения
'Отв од те,пла , благодаря которому тем1перату.ра на границе слоя
:.с тан авит,ся меньше, чем на стенке, осуществляется различными
техни ч е с кими ,с-редст.вами, 1юторые выбирают,ся в з ависимости от
констр у кции летатещ,ного аппарата и его наз·нач ения .
П овышекию аэродинамическот10 качества летательного аппара
та и ул учшению характеристик его устойчивости и управляемости
rапосо бствует применение некоторых в сп ом О ·Га тельных 1п о
в е р х н о ,ст е й на отдельных элементах конструкции. К 1ч1ислу их
относятс я а эр од ин а ми чес ки е г р 1е б ни, пр,едста1вляющие
собо й небольши е выступы 1на 'верхней поверхности ·щрыла, парал
лель·ны е ,продольной оеи летательного аппарата. Их наз начение -
·в оспр еп я тствовать пере11 еканию :пограничного слоя вд1оль размаха
крыла и уменьшить ,срыв :пото ка с его боковых . ,кромок. Э той же •
пели служат к он ц ев ы е ш ай бы, устано:вленные у этих кромок.
Как и гребни , они способствуют улучшению обтекания, что про
я·вл я ет,ся в меньшем воздействии ·на крыло концевых вихрей. В .ре
з ультате ,снижае 'Гся инд уктивное сопротивление, во1з1ра,стает аэро
динамичес~юе ,качество.
С нижению сопротивления и теплопередачи :пр.и больших сверх-
250
11
1
j
J,. ,
'•
зву,ковых скоростях способствует тонкая игл а перед тУ,пым:
тел ом.
.
Рассмотрим это явление. Отсоединенный почти прям ой с качок
ушлотнения перед зату;пленным телом (рис. 12.7.5, а) мож ет изме
нить свою форму, е1сли [Iеред этим телом установить тонку ю иглу
(рис. 12.7.5, 6). По-гок может оторвать,ся на игле и образо ва ть об - .
ласть течения клинообразного ьли конусообразного типа в за виси
мости от того, является
ли тело плоским или ци
л индрическим . Под .вл и я
нием такого отрывного
течения изменится форма
головного ,скачка уплот
нения от почти прямого
до косого, чт,о обусловит
снижение лобового сопро
тивления и теплопереда -
чи в точке полного тормо
жения затупленной ~по
верхности . Однако ;в ,об
ласти между ·скачком и
наконечником могут во з
никать .высокие местные
т епловые потоки , что нес
сколько ,сни з ит эффектив
ность использования иг -
ЛЬ! .
Экспериментал ь н ы е
~ (Мос.>1)
-
----Е--1--
- ---i ---;- -=t-- - -
--+-
Рис 12.7 .6. Обтека,нле з атуп ленно t'О тел а
,со вд у,вом газа :
1 - корпус; 2 - отверстие для вдува; 3 - положе
ние скачка уплотнения без вдува: 4 - скачок
уплотнения при вдуве
исследовани я показали , ч110 эффект, ан ало,гич ный исп ол ьзо в анию
иглы, может ,быть достигнут ,струей газ а , выдуваемо й че р е3
неболь шо е отверсти е на ,стенке голо в ной части навстречу н абегаю
щему потоку, ил и примен е н ием систем ы м а лы х от.веретий (порис
той ,стенки), через которые осуществляет,ся инжекция газа в обте
кающий ,поток. В обоих случаях благода р я в воду дополни те льной
ма,ссы газа происходит отрыв потока от затупленного те ла , кото
рый образует как бы но вую об текаемую пове р хность (,псе в дотело)
с меньшей степенью затуплен и я и большей длиной . В результате
голов но й с ка чок уплотнения, ·сохраняя криволинейную фо р м у , н е
сколько отодвигает,ся от носка и ,снижает свою интенсивность. Это
приводит к более благоприятному пе р ера,спределению д а в лений 1-r
скоростей на з 9 тупленном носке и, как следст.вие , к снижению ,со
противления и теплопередачи . Соответствующая моде ль т е чения:
приведена на рис. 12 .7.6, на к·отором показа.на затупленн ая стенк а
с одним от.верстием.
§ 12.8. СМЕШ А ННЫЙ П ОГР дН ИЧ НЫlif СЛОЙ.
КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО РЕйНОЛЬДСд.
Присту~пая к ра,счету пограничного слоя, следу,ет ,проанал изи
ровать хара,Ктер этого ,слоя на обтекаемой поверхности. Наб люде -
2Ы
0ния показывают, что характер пограничного ,слоя существенно
.з ависит от режима обтекания, определяемого числом Рейнольдса .
.Бели р ассмо 11реть поверхность в ~виде пласти н ки (рис. 12 .8.1), то на
передн ем ее участке пр•и сравнительно небо л ьш и"х числах Re =
= V 0XP;, (!\; об р а зу,ется ламинарный пограничный слой , з атем еле-
.дует н екоторая область перехода ламинарного слоя в турбулент
m ый, которая .может на х восто-вых участка х з авершиться полностью
у
Хкр
турбулентным течением; по
следнему соответст.вуют до
статочно большие чис л а Re.
Такой пограничный ,слой на
обтекаемой поверхности на
зываютсмешанным по-
;о ~==~==~====;~====r;--:;-
,....
хгранич,ным слоем.
х~Р
Следует отметить, что
х"кр
как ламинарный, так и тур-
х
булентный
пограничные
L
слои возможны при любых
числах Рейнольдса. Факти
Рис. J2.8.1. Смеша1нный по.граничный слой чески на обтекаемой поверх-
на пластинк€:
ности в пограничном ,слое
1 - лам инарный пограничный слой; 2 - область
ае
е
перех ода; з - турбулентный пограничный слой У,СТаНаВЛИВ 'IiCЯ реЖИМ Т •
чения, который при данных
условиях являет,ся у ,сто й
ч и вы м. При небольших числах Re устойчив ламинарный режим.
При больших их значениях ламинарный пограничный слой о.казы
вается неустойчивым. Некоторыми искусственными приемами, на
пример обеспечивая пла,вный IПОдвод жидкости ,к пластин·ке с глад
кой поверхностью, можно добиться существования ламинарного
пограничного ~слоя и при до.статочно больших числах Рейнольдса.
Однако такой режим течения неустойчив, и при в.сяком, даже ма
л,ом, во з мущении он переходит в устойчивый турбулентный режим.
То же можно сказать и о неу,стойчиво.сти ту,рбулентного пограничного
слоя , который может возншшуть на передней части пластинки (где
числа Рейнольдса малы), если ,имеются какие-то начальные возму
щения. Но, как ,бы велики ни были эти возмущения , при течении у
передней кром,ки они затухают, если местное число Re = V iXPo l'ro
не пр евышает некоторого предельного значения числа Рейнольдса.
Число Re, отделяющее обла ·сть устойчив ого ламинарного течения
от остальных участков поверхности, на которых имеются области
перехода и устойчивого тур-булентного течения, называют кр и т и-
чес к им числом Рейнольд .са R e~p=Vr,x~pP0/'r~ .
Иногда
это число, определяемое :по расстоя1нию х'нр до начала области
перехода, называют первым или минимальным критиче.ским числом
:в отличие от ,второго критического числа Рейнольдса Re;P =
= V r,х"крр 0/р, 1" отде.1шющего обла,сть перехода от зоны развитой тур
булен11Ности и вычисляемого по ,координате Х:Р конца этой облас-
252
ти. В области перехода течение носит перемежающийся характер:
происходит смена ламинарных и турбулентных ,состояний через
неравномерные промежутки времени. Физические свойства такого
течения характеризуются ·коэффициентом перемежаем о
ст и, указывающим, ,какую долю не1юторого промежутка времени
в определенном ,сечении Jютока существует турбулентность.
В результате исследований обычно находят диапазон чиоел
Рейнольдса, ограниченный rпервым и вторым критическими их зна-
Сfх
8,007 :=~====i::::====~::::=====i::::====:::
а,ааб ~-----т----+----+---+----1
0,00St---~ ~~ -+ ---+- --~
O,OOl+t-----'I~--+ - -+ - -+ - --~
0,003 ~=~==~~~
---1
0,0021--- ---t- - - --3⁄4c-++-+ - -+- - -""' ..J
10"
Р ис. 12.8 .2. Изменение местного ко
эффициента трения н а пла,ст,и,нке и
з н ачен.ия -крит.ич е,с1шх чисел Рей-
нольдса:
J - ламинарный пограничный слой; 2 - об
ласть перехода; З - турбулентный погра
ничны й сл ой
!J
лх
L
Р.и,с. 12.8.3. С хем а перехода • ла :м.и,на,р,но rо
погранич.но-го -сл-оя в турбулен-гный:
1 - ламинарны й пограничный слой; 2 - фиктив•
ный участок турбу л ентного погр а ничного слоя:
З - турбулентный пограничный слой за точкой
перехода; 4 - турбулентный пограничный слой,
начинающийся n точке О
чениями и 01п ределяющий размеры ·области перехода . Приближ е н
ные значения этих чисел можно найти из графика (рис. 12.8.2),
полученного по эксшериментальныrм данным на 1пла•сти нке, обте к ае
мой несжимаемым потоком с малой начальной ту р булентностью.
• Первое 1<;ритиrческое число Рейнольдса определяет,ся по мини
мальному значению коэффициента трения, соо тветствующему кон-
цу участка ламинарного пограничного слоя, и равно Re;(P ~
~ 3 •106 . За точкой минимума Ctx следует ·резкое, почти скачкообраз
ное нозрастание местного -коэффициента трения, 1который дости г ает
максимального значения, соответствующего границе обла,сти пе -
рехода и второiМу критическому числу Рейнолыдса Re:p ~ 4- 106 •
Правее этой границы устойчивым будет турбулентный погранич
ный слой.
В приближенных практичеоких 1расчетах можно исходить из то
го, что ламинарный пограничный слой отделен от турбулентного
областью перехода с бесконечно малыми размерам-и, т. е. точкой.
► • Координата Хнр этой точки перехо~а П (рис. 12.8 .3) о:пред:еляется
1по критическому числу Рейнольдса, которое в свою очередь вычи
сляется как некоторое среднее между 11.ервым и вторым щритиче
скими значениями этого числа.
253
При оценке величины числа Rекр приходится опир аться в основ
ном на э ксп ер и ме~нтальные данные. Такое эк СIП ер имен таль
ное критичес,кое число Рейнольдсапоз1воляетделать
количес11венные оценки, а также анализировать качественно явле
ние ста,билизации ламинарн ог о пограничН'ого слоя, процесс перехо
да его в турбуле н тный п ограничный слой и за~юномер:ности форми-
1р о ва н ия пото·ка в э·юм ·слое. В част н.асти, установлено, что наличие
лам и н а рного участка и обла,сти переход,а не влия,ет н а -закон раз -
.вития
турбулентного пограничного слоя после точки перех1ода. Сле-
Re -ю-В
кр
'\
,
2
\.
о
........
~ ......
2
Рис. 12.8 .4. Влия,ние с:гепени ту1рбулент
н.ост-и в не-сжим аемой жид:ко-с-nи .на кри
тическое чи сл о Рейноль д са ,в ,случае об-
-гекания ,пластинки
Rек;
(Re,p) ;,;ao
О,8,___._. _
__.
0,4
П '---'--.......J
0,5 iJ
Р,и,с. 12.8.5. Влияние ше
р о ховатости поверхно.сти
пластиюш н а криruче-ск о е
•Dисло Рейнольдса
довательно, для ,расчета пограничного слоя за точко й ~п е реход а ,
можно использовать обычные за1Висимос11и, полученные в предпо
ложении , что течение в этом слое полно:стъю турбулентно е.
,Положение точки (или области) перехода на обтек 4е мой по
верхности з ависит от ряда факторов , о:еновным.и из котор ых явл я
ются степень турбулентности внешнего потока, состоя.ни е поверх
НО;СТИ, темлерату1ра стенки, число М 6 на внешней границ е погранич -
11юго слоя, форма обтека емой поверхности п: ,продольный г радиент
давления.
Влияние степени тур,булентности внешнего потока несж имаемо й
жидкости на число Rенр показано на рис. 12 .8 .4 . Увелич е ние степе
ни ту,р-булентности приводит •к до1полнительным воз му щениям в
пограничном слое , апособствующим · наступлению ранней турбули
зации и, как результат, ,у меньшению критического ч исла Рей
нольдса .
Наибольшее знач е'ние этого числа, найденное для ша ра в сво
•бодном ~полете, лри ·котором начальная турбулентность пр инимает
ся .ра,вной нулю, определяется в1еличиной Rенр = 4 -10 5. В то ж е !Вре
мя по экспериментам в аэродинамической трубе с начальной тур ··
.булентностью потока 6 % соот.ве-гствующее число Рейнольд са в 4
раза ~меньше (Rенр= 10 5). Аналогичные измерения для п л а,стин ки
254
дали уменьшение этого числа от 6 до 8 раз [от 2,8-106 до
(3,5---; -5) -105].
Качест,венно .к такому же еффекту .снижения устойчивости ла
м инар н ого поr~раничного слоя ~приводит имеющая .ся на ,поверхности
шероховатость, 1юторую также след у ет ра·ссматривать ка,к источ
н,и.к возмущений. Если .состояние поверхности охарактеризовать
от~носительной шероховатостью Л= ,Л/о* (гд•~ Л - !Высота ,бугор'ков
шероховатости; о* - толщина вытеснения), то влияние этого .со
стояния на критическое число Рейнольдса для ,несжимаемой жпд
~ости графичеС'ки можн,о изобр гз ить в виде кривой, показанной на
рис. 12.8.5. Из э ·юго рИ1сунка видно, что небольшая шероховатость
практически ,не влияет на п~реход ламин а рного погранич1ного слоя
в турбулентный. Согласно опытным данным, при малых скоростях
вслучаеединичной цил,и,ндричес'Койилид1вух·мерной
шероховатости (на,пр.имер, в виде круглой тонкой rпронолоч'ки, за
крепленной поперек потока) вы.соту элем:енга этой шероховатости,
при которой еще не сказывается ее влияние на переход, можно
определить из соотношения V*Л 1 /v6 = 7, где Л 1 -,высота элемента
шерохова11ости; V*= Vтст/Р0 - дин а ми че,ск ая скор о ст ь, оп
,ределяемая ' 1по касательному наtПряжению на ,ст,енке в ме,сте рас
положения этог9 элемента.
Высота элемента шероховатости, при которой перех·од ламинар
ного пограничного слоя в турбулентный происхо:n.ит непосред,ст
венно ок оло этого элемента, определяет.ся из соот,ношения
V*Л2/v6 = 15---; -20. З,начения высот Л1 и Л2, называемых кр и т и ч е
е.к им и , соотве11стшуют шертюватостям практически с любыми
пл·оскими куполообразными элементами, а та,кже 1в ,виде у глубле
ний. Причем эти значения для ос'Г]роконечных элементов оказыва-
ются меньше. Дальнейшее увеличен ие толщины Л2 ~приводит к пе- __,-~...,__,
ремещению ТОЧ,КИ п ерехода в,п еред до тех пор, ,пока ра,сстояние от
э·юй точки до ,передней ,кромки 1не достигнет минимальной величинь1
(этому расстоянию соот,ветствует минимальное критичес 1юе чИtсло
Рейнольд1са Rенр = V6Хнр/vб). Такая толщина я1Вляе11ся эффект и~в-
н ой . Ее величин а определяется: при ,сверхзвуковых скоростях из
у,словия
Л_ (1+k- 1м2)0 -3/4
Хд -а
-
2- о ц_ехд
'
(12.8 .1)
в котором Rехд = VaxJv 0 , где хд - расстояние до элемента шеро
ховатости; а= 32,8 и 43,2 - ,коэффициенты с:оответс11венно для 1ю
н у,са и пла ,стин,ки.
Эффективной высоте шеро х о1вато,сти соответств ует минималь
'НОе критиче,ское ЧИСJ10 Рейнольд,са Rенр, определяемое при помощи
эк1спериментальной зависимости
R e1;p-Rexд=5,5-104M~.
(12.8 .1')
По этой зависимости, задавшись величиной Rенр, можно вычис
лить -величину Rехд, 01Пределяющую ра,остояние до элемента шеро-
255
--------' -
•
•·~...·;
·., •
• • -с,..
.,
ховатости (турбулизатора).,_· ?- п 9,: ф_&-,Ш у~_..-~,{•n~(8.l) - соо11ветс11вую
щее з,начен.ие высоты этого эJ:~ем,ента.
Оценка 'Влияния .сжимаемости на характер воздействия шерохо
ватости показывает, что с увеличением Мв интенсивность этого
,воздей~с11вия -снижае11ся.
Таким образом, пограничный слой в ,сжимае.мой ,сред е менее
чув:ствителен к шероховатости, чем в несжимае1мом потоке.
В -соответс'Гвии с эюопериментальными данн ыми тур,булентный -
пограничный слой нечуазствителен к ше р оховатости , есл и высо'Га
.r, o.......-с'-----'--=""'
- 0,04
- 0,02 Тст-1
мГ
Рис. 12 .8.6. Эк,спер,имен
талыная кри1вая, ха-ракте
ризующая
за в,исимость
чи сл а Rенр .or от,носитель
ной темiпературы ,и чис-
ла М0
элемента ше роховатости меньше то л щ и
ны ламинарного .подслоя. Приб л ижен но
толщина для плоской п о в е р хности может
быть определена из соотноше н ия Л =
= 100 (v~/ V 1,).
Рассмотрим ~Влияние температуры
стенки на устойчивост ь ламинарного по
граничного слоя . Устано в лено , что ох
л аж де ни е обтекаемой поверх
ности сп о ,собствует стаб и ли
зации пограничного слоя и
повышению критичес -ких ч исел
Рейнольдса. Это объясняется тем,
что от охлаждения сн и жа етс я тем п ера
тура и у,величивается [IЛОтность газа у
стен ки , в~следстsие чего возра стает кин е
тиче с ка я энергия потока. Поня т но, чт о
частицы ,с большей энергией менее лод~
вержены влиянию возмущающ их пу л ь
саций. При этом замечено, что при очень
б олЬlllIИХ скоростях обтекания чи сло Рейнол:ь дса как ·кр итерий у с
тойчивости и м еет менее существе:нно е знач е ние по срав_нени ю с т а
ки м и параметрами, ,)$а к относите л ьная тем.ператур а стенк и
Тет/Тб (Тет/Тоо или Тет/Тr) и числом Мб. Резу л ьтаты э кспер име.нтал ь
ных иоследований зависимости ·критич еско го числа Рейн ольдса о т
температуры поверхности пластинки nо.каз а ны на рис . 12.8 .6 . Пр и
помощи этих результатов можно !Найти зависимость в ел ич и ны
R. екр/(Rе"р)т =l [( Rei,p)f" = 1
-
критическое число Рейнольдса при
ст
ст
Тет= Тет/Тr = 1] от параметра (fc.,- 1)/М~,
вкл ючающе,110 в себя ,
как видно , относит ельную тем~пературу Тет и число Мб ,
Таки м обра'ЗОМ , цриведенные данные по'З1во ляют у~с та навит ь
влияние на устойчивость ламинарного пограничного сло я такж е
числа Мб на ~внешней границе слоя. Не'Грудно у1становит ь, что с
увелич,ением М6 ,критиче,ское ч,исло Рейнольдса
ум е н ь ша е т с я, так как -с возра,стание,м числа Мб по,вышается
температура восстановл,ения, в ,авязи с чем ум е ньшаются плот
ность и кинетическая энергия газа у стенки .
На ча-стицы газа с меньшей кинетической эн:,ергией, естеств ен -
256
1j
но, сильнее сказывается воJ1.ействие возмущений, что ,приводит к
более ранней ту,рбули:зации пограничного слоя.
Установим ·влияние на усгойчивость ламинарного 111оrраничного
слоя степени тур,булентно•сти внешнего потока и ше~рох·оватост и
стенки при различных числах М6 . Наблюдения ,показывают, ч·ю это
влияние уменьшается с ростом Мб и при Мб>4----;--5 критическое
число Рейнольдса прак -
Rекр· 10·5
тически не зависит _ от
~---,--~---,---~---,--
-.
степени турбулентно-
сти и шероховатости.
Фи:зическая пр ир о-
в 1---1-----\с-+---'~+---\-+---+----1
да этого явления 1со
стоит в следующем .
Как ,известно, с р•остом
числа Мб увеличивает
ся толщина погранич
ного слоя и, :следова
тельно, большая масса
газа вовлекает,ся ·в вяз
кое течение. Именно
поэтому такой утол
щенныи ламинарный
пограничный слой ис
пытывает меньшее воз
мущающее воздействие
турбулентности внеш
,/, 4
Рис .
2,2
з,о
12.8.7. Из·менение к р.и11ичес1юго
Рейнольдса для конуса
м"
числа
него потока и шероховатости . Из этого не следует делат ь
вывод о стабилизирующем •влиянии числа Мб. В данном с лу
чае имеет место снижение роли ,в изменении крит11ческого числ а
Рейнольдса та .1шх факторов, как турб улентность и шероховатос ть.
Но одновременно величина это:го числа снижается с ростом Мб.
Критическое число Рейнольдса, рассчитааное по местным пара
метрам на _ гра:нице слоя, зависит от формы обтекаемой пав~рхно
сти . Рассмотрим это на пр-имерЕ. обтекания конуса . При одном и
(Re,p); ~---------.
(Re,p) 0
/,2t---+- - -+ - --+- - --,lf----1
Р,ис. 12.8.8. Влиян1ие продольного
.
градиента давления на ,кр,итическое
ч.и,сло Рейнольдса потока, обте
кающе,го плоокую кри;волинейную
поверхно,сть
9--967
том же значении числа Мо и тем
п е ратуры стенки толщина ~погра
ничного слоя на конусе меньше ,
чем на пластинке в соответствую
щей точке . В та.ком более тонко м
слое вязкой жидкости тенденци я
к поперечным перемещениям час
тиц ослабляет,ся и критическое
значен и е числа Рейнольдса уве
личивается. Экспериментальны е
данные об изменении этого числ а
в зависимости от числа М 0 и отс
носительной температуры Тет=
= Т ст/Тr приведены на р»е. 12 .8.7 .
Анализ этих данных показьrв•ает,
257
что качественная картина вл и я н ия чис.ТJа Мб и тем п ературы поверх
·ности на устойчивость погра·ничного .слоя для ,кону,са такая же, .ка.к
и для .пластин.кн . Вместе ,с тем можно отметить особенность об те
кания, согласно которой при Мб>4 -:-·5 критические числа Рей•
нольдса для конической пов ер хн ости практически остаются посто
янными, еоответствующим и данному з,начению относительной тем
пературы Тет• При этом, как показываю т расчеты, значения ,к р ити
ческого числа Рейнол ьдса приблизитель1Но обратно п ро пор циональ
ны относительным температурам стенки Тет = Те т/ Т,., о п ределяемым
при помощи выражения ( 12.5.12) для Т,.
Пр.и исслед,овании усто йчи в ости лам ин ар.:юго ,п о граничного ,слоя
на криволинейной повер хности нео бходим-о учитыв ать на1ряду с
указанными факторами также влияние п р одол ьного гр адиента да,в
ления . Если он положительный, то част ищ,1 г ава д1в и жутся ,с з а мед
лением, поэ'J1ому их хинетическая эне рг и я у,1е ньшаетс я . Это ·обу;с
ловли в ает меньшую -сопротивляемость возму щ ающим воздей,стви
ям, что п ри,водит к более интенси в ному попер ечному перемеш ива
нию и, как следствие, к сн ижению критического числа Рей нольдс а .
Ускор ение части ц, !Вы з ванно е отриц а тельным градиентом д а,в
ления, опособст,вует «затягиuзанию» ламинарного движения, харак
теризую щего1ся боль ш им числом Р ейнольдса. На рис . 12 .8 .8 изо бра
жена к:ри вая, на йде нная в р,езул ьт ате экюп ериме нталь но го исследо
!Вания дозвукового обтекания профиля и позволяющая оценить
вл ияние продольного гр ади ента да в ления н а критич е ск·ое число
Рейнол ьдс а. Это й кр ивой со ответствует э мпирическ ая фор мул ::i
(Rекр)л/(Rекр)о= 1/(1-0,048),,)2,
(12.8.2)
где л = -18хd1\/dх-параметр, рассчитанный по величин,е_ гра-
~
-
2
ди_ента д авл ения dp,jdx; р 0 =2р 0/(р 1,У 1,) - безразм ерная величина
давления в пограничном слое ; (Rекр)л и (Rекр)о - критические числ а
Ре й,ноль,п;са, соот,ветствующие i.=f,O (градиент да,вления отличен
{)Т нуля) и л = О (градиент давления ра,вен нулю) .
Согла,сно э·кспериментальным исследованиям, для профилей
крыль ев 'Гочка перехода приблизительно совпадает с координатой
точки минимума давления. · В ,свою очередь, эта координата весьма
6л из ка к месту наи1большей толщины пр"офиля. Поэтому ламинари
здро ванные профили (с большой протяженностью ламинарнuго
пог р анично•го ,слоя) имеют смещенные к задн('сй кром,ке участки наи
большей 'ГОлщины . По э,кспериментальным данным, точка миниму
м а да1Вления может быть удалена от передней кромки на расстоя
н ие 60-65 % хорды прюфиля. Сопротивление та1юго tПрофиля, об
усл овленное воздействием , ламинарного трения , может быть
снижено 1по сравнению с обычным профилем в 1,5 7 2 ра•за.~
После определения с у четом указанных фа"Кторов критического
числ а Рейнольдса можно расочитывать параметры ~мешанного
ьюграничного слоя , вычисляя их для уча,стков ла1мина ,рного и тур
булентного течений . Ра1ссмо11рим в качестве примера мето1д ра1сче
та такого , пограничного слоя :на пло·ской пластинк,е (см. рис . 12 .8 .3).
258
На учас-тке пластинки от ,передней кромки до точки П (длина уча
стка Хнр=Хп) параметры вязкого о·бтекания (толщина слоя, коэф
фициент трения) рассчитывают по обычным соотношениям лами
нарного пограничного ,слоя. Однако для ра·счета тур,булен11ного
течения, ~начинающегося за 11очкой П, нельзя непосредственно при
менить приве.денные ранее зависимос-ти для турбулентного погра
нич.ного ,слоя, так как этот слой начинае-тся не с нулевой толщины,
а -с ка,к,ого-то конечноло значения . Олы-тным путем подтве~рждено,
что эти заrвисимости мож:но с достаточным приближением исполь
зовать, если ,вхоtдящую в них координату х отсчитывать от условно
го начала турбулентного пограничного слоя, определяемого нз.
рис. 12.8.3 точкой О'.
-
·
Для юпределения этой точки можно применить одну из следую
щих схем. В соответствии с пер,вой схемой принимается, ч-то рас
.стояние О'П = Лх, равное длине условной пла,с-тинки с тур·булент
ным пог,раничным слоем, должно быть таким, чтобы обеслечитъ
толщину турбулентного пограничного ,слоя бт в точ1<е перехода ,
равную -толщине ламинарного по~раничного слюя бл на длине Хнр=
=хп. Если ра,ссматривать несжимаемую жидкость, то это приводит
к у~сло•вию
где согласно (12.3 .19') и (12.4.58) А1=4,64; А2=0,37;
(Rекр)хп= V"xп/v0 , Rелх= Vaдx/v 0 ,
(12.8 .3)
( 12.8.4)
причем ,кри-тическюе число (Rекр)хп раосматривается как извест
ная величина, ра,вная ( 1~ -5) • 106• Зная эту величину, мож,но из
(12.8.3) найтиЛх.
Чтобы уче,сть ~влияние сжимаемости и высоких температур,
м-ожно ноопользоваться определяющими параметрами. С этой
целью ,выражения для чисел Рейнольдса лред:ста·вим ,в следующе м
виде:
(12.8 .5)
В рассматриваемом случае к:ритическое число (Rе 1;р)хл сле
дует нах:одить, принимая ·во внимание температуру стенки и число
Мб. Внося значения (12.8 .5) ,в (12.8.3), можно вычислить длину Л;t,
которая будет определятыся уже с учетом влияrния •больших скоро
стей обтекания.
Соглаrсно второй ,схеме пре,zщолагается, что в точке перехода
одина·ковы не толщины слоя, а толщины ,потери импульса б** для
ламинарного ,и тур<булентного пограничных ,слоев, т. е.
9*
(12.8.6 }
259
Для несжимаемой жидкости толщину потери им1Пульса _нахо
дим по уравнению (12.2.19), в котором принимаем р = рб:
о
о*''= 5~: (1 -
~:) dy.
о
В'водя о,бозfшч е ние .для инте г:рал а
1
..
Б=0~~: (1- ~: ) d(f)=const,
(12.8.7)
пол учим
( 12.8 .8)
~нося это значение в (12.8 .6) и принимая ,во внимание выраже
ние для тошi.щн ( 12 .8.3), найдем
А1Б1Хп (R.e"p)-;)/2 . А2Б2лх (Rелх)-115,
(12.8 .9)
где Б1 -вычисляет-ся и:з (1 2.8.7) с 'заменой Vx/Vб ,по уравнению
(12.3 .15), 1в котором :принимается 11/ri a=y/6, а Б2 находится из того
же ура внения (12.8 .7) с заменой Vx/ Vб согласно (1-2 .4 .54). Величи
на Лх, най.денная из (12.8.9), будет несколько больше, чем полу
ченная по (12.8 .3) . Можно предположить, что ,среднее между зна
'!ениями Лх, полученным и по этим формул а м, будет ближе к дей
ствительному значению.
Резу,1 ьтаты р асчета коорди наты точки 0 1 можно использо в ать
для ра•счета толщин , распр еделе ния местны х коэффициентов тре-
~
н ия , : а также средни х вели ч ин этих коэффициентов в случае оме-
~
ша н_ного ~пограничн ого слоя. Средний 1юэффициент тр ения для
il
п л а,сти1нки длино й L
хп,
х'(•)Лх
( схj)нсж= ( Схj .,)нсж т +(с хfт)нсжт- Схj т нсж L , (12.8.10)
rде (Схtл ) нс ж - qр едний коэффиц.,иент ламинарного трения на уча
стке О 'П (,см . риrс . 12.8 .3), рассчитанный по критическому числу
Р е йнольдс а; ( с~/т) нсж и (с;1 ,)нсж -средни е коэффициенты турбу
лентного трения -с оответств е нно на участках длиной х' =L-хп+Лх
и Лх. При этом коэффициент ( с:1 т)нсж н а йден для числа Рей
но л ьдса , вычис ле нного по длине х', а коэффициент (с_~1 т)нсж -для
•тисла R.e , подсчит а нного ,по ра сстоянию Лх.
Приближенно м о ж:но ра ссчитать коэффшщент трения, исходя из
п р е:дположения , что турбул е нтный слой берет -с-вое начало непо
ср едс11венно в точке ,передней кромки (см . рис. 12 .8 .3). В этом •слу
-ч.ае величину Лх сле:дует принять 1равной длине ламинарного уча,ст
к а, т,. е. Лх = хп. При этом у словии формулу (12.8.10) можно пере
:п.исать ·в виде
( 12.8.11)
2.60
Здесь длина участка перехоiда Хп считается величиной з.аданной,
определяем<ой по из,вестному крнтическому числу Рейноль,щса.
Формулу ( 12 .8.11) можно использовать r;ри расчете коэффици
ента трения для корпусов (тел вращения). В этом случае вместо
Хп следует принять участок -боковой ,поверхаости Sл, а вместо L -
боковую поверхность Sбон - Если п ри этом отнести коэффициент Cxf
к характерной ,пло щ ади S!Vшд, 110
1
Sмид
Р1Ис. 112.8 .9 . Форма эквявален-гного к-ануса:
1 - заданное тело вращения; 2 - эквивалентный конус; 3 - ла
минарный пограничный слой; 4 - турбулентный пограничный
сл ой
(12.8. 12)
При доз1вуковых скоростях обтекания критическое число Рей
нольдса Rенр, по которому ,вычисляется длина хп, можно находить
для корпуса так же, как и для пластинки. При этом -следует иметь
в виду, что у коР'пуса действите.тъные значения этого числа несколь
ко больше.
При сверхзвуковых скоростях число ReщJ, как и составляющие
коэффициенты трения в ( 12- .8 .12), можно найти, исходя из представ
ления заданного тела вращения с щриволинейной образующей в
виде эквивалентного конуса, полуугол раст;:юра 1юторого ~: вычис-
JJЯЮТ из условия :n:т~идХк=S50~, которое дает ~:=т~идfхк=Sбакf(:п:х~)
(рис. 12.8.9). Согласно сказанному
()xf . VЗ(сх/л)пл~+l,17[(с:1т)пл Sбок -(с:/т)пл~]· (12.8 .13)
Sмид
.
Sми;1
Sмид
Коэффицие нты трения в правой части определяются для плоской
пластинки по значениям соотве'!'стшующих параметров газа на.
эыви~валентном конусе.
ГЛАВА XIII
ТЕПЛОПЕРЕДА Чд
§ 13.1 . АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ
Уравнение теплового баланса
При полете в атмосфере тепло от окружсtющей среды •переход ит
к летательному а1ппарату, когда на близ'Ко м расстоянии от его по
верхности температура газа становится выше темпе~ратуры тела .
Обла,сти высоких температур ·в-озникают вследствие торможени я
по'Гока в удар-ных волнах и в ,пограничном cJ10e, · вызы1вающ е го уве
личение •статиче,ской энтальпи и :r.;оздуха .
Ра·счет теплопередачи за,клю ча ется в ·определении удель н ого
теплового потока (по,верхностн . ой плотности теп
лового по т •о к а), ра1вного количеству тепла, подводимого к еди
нице поверхности в единицу времени i[ккал/ (м 2 ·сек)] {МКГСС] ил и
вт/м 2 [СИ]], а также полного теплово ,.го пот о к а ·к обтекае
мой поверхности за определенный промежуток времени. Такой ~рас
чет позволяет правильно выбрать систему охлаждения или другие
сред,ства, обеспечивающие предохранение повер х ности от ,перегре
ва, а также дает возможность определить участки, где достигаютс я
чрезмерные тепловые на1пряжения и возможно раз-рушение поверх-
1ности, ·чт обы предпринять меры предосторожности.
Рассмотрим ура.внение те,плового оаланса, которое в
общем виде определяет сум,марный удельный тепловой поток, иду
щий на нагрева·ние ст енки. Величина этого удельного тепловог о
потока qст равна разности подводимого Чпд л ,отводимого от нее q0 .r
тепловых потоков, т. е.
(13.1.1 )
Подводимый ,к стенке тепловой поток возникает за счет тепло
проводности и диффузии в газе (а э 1Р один а м и ч е ·с кий тепло
,в ой ,поток q1,=qт+qд), .излучения газа (qрад), солнеч,ной (qc)
и земной ( qз) 1радиации и передачи тепла от оборудования (qоб.п):
qnя=qк+qpa д +qc+qз+qoб.n·
(13.1 .2 )
Отводимый поток ,складывается из тепла (qиз ), излучаемого на
гретой поверхностью, тепла (qаб), поглощаемого материалом стен-
262
ки и рассеи,вае,мого ,в окружающую среду при уносе массы, тепла
( q0 x), отводимого различнЫlми охлаждающими устройствами, и
тЕшла (qоб . о), идущего на разогрев оборудоsания. Следовательно,
qот=qнз+qаб+qах+qоб,о·
(13.1.3)
В тепловом балансе тепла (qоб.п) от обарудования или к нему
(qоб.о), а также тепло (qox), отводимое путем охлаждения, могут
иметь большой удельный вес. Проблемы, связанные с допустимыми
значе1Ниями q 0 б.п, qоб.о и потребными величина,ми qox, носят щреж
де всего конструкти,вно-технологический характер и решаются в
каждом конкре'Гно,м случае с учетом специфических особенностей
летательного аппарата. Коснемся здесь лишь процессов естествен
ного подвода и отвода тепла, связанных - с разогре;вом газа, излу
чением стенки, а также тепловой радиацией от Солнца и Земли.
Подвод тепnа от разоrрето.rо rаза
Молекулярная теплопроводность. При изучении - явлений, свя
занных с обтекан:ие:м 11ел высокоскюростным пото1юм, приходится
нметь дел,о ,с неравномерным нагревом газа, приводящим к п,ро
.стран,ственному распределению как температур, так и состава газа.
Возникающие градиенты температур вызывают поток тепла, обу
словленный молекулярной теплопроводностью. Э'Гот тепловой поток
олределяе'Гся законом Фурье
qт= -Лст(дТ/ду)ст•
(13.1.4)
,де лет, ( дТ/ду) ст - соответс'Гвенно ,коэффициент теплопроводности
и температурный r~радиент для разогретоrю газа у стенки. Знак
минус в правой части поста,влен с учетом тоnо, Ч'Ю вел1ичина qт яв
ляет,ся положительной, а температурный градиент (дТ/ду) ст - от
ри цательным, так как температура в направлении распространения
тепла онижается.
Диффузионный тепловой поток. Одной из особенностей процесса
теплопередачи в пограничном слое при очень больших скоростях
обтекания является то , ч ·ю атомы и ,ионы, появившиеся в результате
диссоциации и ионизации, учас11вую т в переноое тепла, диффунди
руя в области с мещ,шей атома:рной и ионной концен'!'рацией. Диф
фузия, сопровождающая-ся рекомбинацией атомов и ионов, приво
дит к выделению дополнительного тепла (см. подробнее в § 3.2)
qд="'2:.Q;дi;,
(13.1 .5)
rrдe Qi д - диффузионный поток вещества, ii - энтальпия i-го ком
лонента смеси, определяемая соответственно по (3.2.1) и ( 1.6 .28).
Для модели воздуха, представляющего собой реагирующую
.атомно-молекуляр'Ную смесь,
,qд =Qлдiл +Qмдiм,
( 13.1.5')
263
где
т
т
iл= ,\ СрлdТ +iхим• iм= .\ СрмdТ.
о
о
(13.1.6)
Кро~ме того, можно считать, что перенос вещест,ва в заданном
н~правлении у
Qлд=' -Qмд= -рDлм(дсл/ду); Dлм=Dмл=D, (J3.l .7)
гдеIJлм=Dмл=D- коэффициент диффузии ат,ома,рного (молеку
лирного) компонента в молекулярный (атомарный); ел - массовая
концентрация атомов.
Очевидно, с известным приближением можно исходить из ука
з::~нной бинарной с11руктуры диссоциированного воздуха , так как
1шэффициенты переноса, характеризующие ,вязкость, теплопровод
н:J сть и диффузию, а также атомные веса кислорода и азота бл,изки
дrуг к другу. К тому же принимаем, что концентрация окиси азота
низка и ее влияние\/! на п,еренос энергии можно пренебречь. ,Можно
тзкже не учитывать влияние ионизации , которая начинает сказы-
ватьсп лишь при Моо>20---;-25 .
'
Внося (13.1 .7) в (13.1.5') и расоматривая услов,ия ш1 стенке, по
.,учим
(13 ..1.8 )
Энтальпии ат,омарной iл ,и молекулярной iм компонентов определя
ют энтальпию смеси i:
i=iлсл +iм(l--сл).
Согласно ( 13.1.6) разность
т
iл - iм= S(срл-Срм)dТ+iхим·
о
(13.1 .9 )
(13.1:10)
В реаль,ных случаях В'I'Орой член в правой части знач,ительно
больше первого и, следовательно, можно принять iл--iм ~ iхим, где
iхим=Иd [см. (1.6.9)].
Кроме переноса вещества, обусловленного переменной ·концент
рвцией, имеют место диффузионные потоки, вызванные ,наЛ1ичием
ггащиен'Гов т,емператур ('Гермодиффузия) и давления (бародиффу
зня). Эти две составляющие д;иффузионного потока не имеют суще
ственною значения и поэтому прм изучении теплопр-онод,ности в по
токе газа, обтекающем тело, не учитываются . Компоненты га.за,
диффундирующие вслед,ствие .наличия град:иента концен'I'рации,
реренося энтальпию, являются источниками потока энергии, кото
рый при .определенных условиях может пре.высить поток тепла за
счет теплопроводности.
Полный удельный тепловой поток. Величина полного удельного
теплово.го по11ока определяется теплопередачей за счет обычной мо
:1екулярной теплопроводности и выделением тепла в результате
264
~
рекомбинапм,и атомов, участвовавших в диффузии. Отсюда полный
удел ьный тепловой поток к стенке в соот.в,ет-ст.вии ,с ( 13.1.4) и
(]3.1 .8)
qк=q.r+ qд=
-
"ст (дТ/ду)с~ - PcJ5 (iл - iм) (дел/ду)ст-· ( 13.1 .11)
Производную (дТ/ду)ст в этом выраж,е нии можно определить
сле дующим образом. Продифференцируем по у ( 13.1.9):
•
.
дi
деА..дiА
дiМ
-
-=-(t л - tм)-с +-(1-с ).
ду
ду
дуАду
А
(13.1 .9')
Воспользуемся формулой ( 1.6.28), преобразовав ее к дифферен
IJ.И альной форме di; = с р;dТ и приняв при этом во внимание, что
d (1хим) ; = 0, так как для каждого компонента эн-гальпия его образо
вания (iхим); = const. В соответствии с полученным выражением для
cl:i запишем, что diл=CpлdT, diм=CpJ,1dT.
Сл.едовательно,
{13.1 .9 ') можно преобразовать к виду
дi
деА ,
дТ
-= -- (iл-iм)+ -[ср л сл +срм (1-сл)],
_ду
ду·
ду
где согласно (1.6 .25) Срлсл+срм(l-сл)=(ср)ср · Из полученного
выражен ия для дi/ду находим прои зводную
(!!__)
=
-
1 (!.! _)
-
--
1 (~) (iл-iм)ст,
ду ст (ср)ст ду ст (ср)ст ду ст
•
rде [(ср)ср]ст обозначено через (ср)ст-
_
.Внося полученные выражения для (дТ/ду)с1· в (13.1.11), получим
Н.i!И
ЛетГ(дi) (деА) • •
qк= ----'
-
-
-
_-
(tл - tм)ст+
(ер)иlдуст dy ст
Рст(ср)стD ( деА) . . ]
+---- -- (tл - tм)с,
,
Лс·r
ду ст
<---------->
,
(дсл/д,у)стUл - iм)ст}
+Le ------
.
(дi/д!J)ст
Диффузия (2)
<---------
В у,ра,внение (13.1.12') введен безразмерный параметр
Le= Рс1 (ср)стD/лст•
(13.1 .12)
(13.1,12')
(13.1 .13)
называ,емый чл слом Лью и с а - Семен о в а, являющийся од
ним из важных критериев диффузионной теплопередачи. Физиче
ский -смысл этого критерия сос·ю,ит в том, что он определяет отноше -
265
ние интенсивности теплопередачи при ма.соообме,не в результате
диффузии к интенаивности теплообмена путем теплопроводности.
В общем случае Le> 1, а следовательно теплолроводJность менее ин
тенсивна, чем передача тепла диффузией. Перепишем число Le
•
L /J-ст(Ср)ст р lJ
.
•
(13.1.13) в форме е = --- ._ст_. Первыи сомножитель в
Лет
/J-ст
правой ча,сти пред,ставляет собой число Прандтля Pr= μст (ер) ст/лет,
а второй - без,размерную ,величину, которую можно ржсматривать
в качестве характеристики диффузионного переноса 'J\епла. ,В теории
теплопередачи вводят пара.меТ1р, обр атный по значению э·юй в еJI,и
чине, называемый диффуз.ионным числом Прандт
ляиличислом Шмидта:
( 13.1 .14)
Физичеюкий смысл парамеТ1ра Sc заключается в том, что он оп
ределя,ет соотно ш ение ,м ежду КJинет ич еокой энергией, обусловленной
молекулярным п еренос.ом, и э н ер г ией, п ередаsаемой путем ди ффу
зии. Как и критерии Прандтля, число Шмидта для газов Sc< 1,
ттричем Sc< Pr. Зависимость между ч ислами Ш, мидта и Льюиса -
Семенова сл•едующая:
Le = Pr/Sc.
(13.1 .13')
Важное значение для практю{!И имеют иссл,едов а,н1ия численных
величин приведенных парамет ров . Тео р етически установлено, что
для двухкомпонентной атомно - м олекуля рной омеси число Шмидта
ыеняет,ся _весьма мало в широком ·интервале 11емпер атур. Напр имер,
если при Т= 252 К значение Sc =0,495, то при Т= 3360 К число Sc=
=0,482: То же можно сказать и ,о характ•ере изменеН1ия числа
Прандтля, значение которого Pr ;:::::;0,71. Если пр инять число 1Пмидта
равным не1юторому среднему значению Sc = 0,49, то параметр Лью
иса - Семенова
Le=Pr/Sc=pDcP/л=0 , 71/0 ,49= 1,45.
По име ющимся да,нным, этот параметр ,слабо зав исит от температу
ры вплоть до значений Т;::::; 9000 К .
Анал из в озможных случаев теПJюпередачи. Рассмотрим уравне
н ие ( 13. 1.12 ' ) и проанализируем различные сл уч а и теплопер едачи
в погра1НИЧ'Ном слое . Из (13 .1.12') следует , что если температура
у стенки ниж е пред ела диссоциаuии, то концентрация атомов равн а
нулю , следовательно , (дс л/ду) с т=О и тепловой поток
Лет(дi)
qк=qт= - (ср)ст д,у c·r·
(13.1 .15)
В ра,ссматриваеvюм случае предельного тер.м,одJина,мическог о
р [1 внов есия теплообмен х аракт еризуется молекулярной теплопро
nод,ностью, заключающейся в передаче юинетической энергии ,посту
пательного движеН1ия 11\юлекул, а также их коле.бательной и враща
т ел ьной эн ергией .
266
Реаль,ное т;ечение в диссоциированном пограничном слое харак
теризует,ся наличием градиента концентрации а11омов и молекул и
неравновесностью хим·ичесюих ,реакций. В этом случае м·еханизм
теплоотдач1и в пограНiич1юм слое может существенно отличаться от
п роцеоса чис'ю молекулярной теплопроводности. Наряду ,с молеку
лярной теплопередачей перенос тепла происходит за счет химиче
с кой энергии, :вы-делившейся пр,и •рекомбинации. Для этого процесса
х арак11ер·ны ,след у ющие пределыные ,случаи.
В пер.вам предельном ,случае, когда Le= 1, тепловой поток, как
видно из (13 .1 .12'), точно равен (13.1 .15). В этом .случае оообен
н ость процеоса теtПлопередачи ,сост,оит ,в том, что количес'J\во т епл а ,
·поглощаемое при диссоциации [1-й член в (13.1.12')], wчно равно
п отоку т епла за счет диффузии ~[2-й член в (13. 1.12')]. Очевидно, рас
с матриваем ый случай характеризует,ся бесканеч·но большой сюоро
стью •ре1юмбинации, так что 1в каждой точ,ке поr,раничного слоя ус
т а навливается т ермодинам1ическое равновео:и:е. В ооответств1Ии с
:1 ти1м диффузионная теплопередача в слое обусловлена наличием
п рофиля равновесны х кюнцентраций .
,
В практичес к и х сл учаях условия течения, близкие к такому ги
п оте'nичес1юму «равновесному» пограничному слою, · будут ,иметь
мес110 тогд а, когд а ,с1юрость Д1ифф уз,ии пренебрежимо мала по срав
не нию со ,скоростью диссоциации и рекомбинации (а в случа е иони
за ции - также и электронных р,еакций).
Во втором предельном случае, который имеет м есто при о.чень
больших ,с1юростях пол ета , когд а га з в пограН'ичном слое /оильно
ди ссоциир овасr-~, пар_аметр (де л/ду)ст (iл - iм)ст/[(д i/ду)с,]-::::::::, 1. Это
можно доказать, если · воспользоваться (13 .1.9') . По ·предположе
нию, при очень больших скоростях сл-+1 , .следовательно,
дi
деА
дiл
---(iл-iм)+-.
ду
ду
ду
З десь производная
дiА д [\Т
.
]
--=
-
СрдdТ +(tхи,Jл .
ду
ду.
о
Учиты в ая, чт о в р~алиых случаях теплота образов а н ия
т
(iхиьJл » .\ СрлdТ и является величиной п остоянной, можно принять
о
дlл/ду-::::::::, О. Следовательно, для условий на стенке (дi/ду)с~- --.
_,, (дел/ду )с; (i л - iм)ст· В соответствии с этим
(13.1. 15')
Та,ким образом, в рассматр иваем ом предельном случ а,е ·все теп
ло передается за сч,ет дифф уз ии. Этот про цеос теплопередачи х а
рактеризует,ся вес ь ма ,малым.и скоростями рекомбинаций. Вследст-
267
вне эт,ого хотя диффузия атомов и возникает, однако энергия в по
граничном ,слое не выделяется. Практически это может иметь место
в по11оке, если время химической реакции велико по сравнению с
характерным ·временем движения част.иц. Такие потоки называют
«з .а мороженным ,и». В замороженном течени и атомы, образую
шиеся при диссоциации, диффундируют по напра влению к холодной
стенке, где затем рекомбинируют. Освобождающаяся при этом эне,р
гия зависит от катал,итических евой:ств стенки, прояв ляю щи хся в
различных значениях скорости каталитической реакции рекомби
ющии.
М,ожно ,ожидать, что вое действительные процессы теплопереда
чи лежат между указанными двумя предель'Ными случаями.
Формула Ньютона. Общий тепловой поток от разогретого газа
к стенке qн = qт + qд , опред,еляемый по ура·внению ( 13.1 .11), можно
пред,ста,вить как конвективную теплоотдачу, под кото
рой понимают процесс теплообмена, осуществляемый между ка
I<Ой-либо 'Гвердой стенкой и омывающим газом. Величину такой теп
лоотдачи в пра,ктичеоких ·расчетах обычно выражают пр1и помощи
формулы Ньютона
(13.1 .16)
где Т - i-1екоторая ха,ракт,ерная температура потока , обтекающего
поверхность; Тет - температура стенки.
.
Коэффициент аст в (13.1 .16), имеющий размерность ккал/(м 2 Х
Х сек• град) в систе1\iе МКГСС или вт/ (м2 • град) в СИ, называют
к о эф фи ц иен том те пл •О отдач и. Численно он равен коли
честву тепла, ,воспринимаемому (или отдаваемому) участком по
верхности единичного размера в единицу времени при разности
тем.ператур м,ежду стенкой и газом в один градус.
При выборе 11емпературы Тв (13.1 . 16) ,исходят из следующего .
Известно, что если стенка тепло:изолирована, т:о те:мпература газ а
дост.игает ма,к,аимальной величины у поверхности и равна темпера
тур,е восстановления Т,.. Эту температуру физиче,ск·и оправдано рас
с r,:атр1ивать как наиболее существенный фак11ор, определяющий
тепл,опереда1чу от разогретого газа к поверх·ност:и в зависимостtи от
того, какая будет температу,ра этой поверхнос11и. При этом важно
отметить, что для заданных условий величина Tr является слабой
функцией параметров обтекания. Именно за эту характерную тем
пературу пр1инимают температуру Тв (13.1.16), что дает возмож
ность избежать неопределенности в поня11ии температуры омываю
щего потока. В соответств,ии юо сказанным формула Ньютона за
писывается ·в вtиде
qк=аст (Т, -Тет).
(13.1 .16' )
Тiзкое пред1ставление об · удельном тепловом потоке имеет ,важную
особенность, заключающуюся в том, что коэффициент теплоотдачи
ас1· оказывается слабой функцией разности темпер_атур, и в практ,и
ческих расчетах влиянием этюй разност1И м-ожно пренебречь. При
268
этом, о,щнако, учитыва,ется, что коэффициент теплоотдачи я-вляется
nарамет,ром, зависящим от ряда других факторов, таких, как ско
рость движения газа, форма, размеры, положение (угол ата,ки) об
текаемого тела, структура пограничного слоя (ламинарный или
турбуле,нтный), физ,ические параметры среды (теплопроводность,
ВЯЗ!ЮСТЬ, теплоеМ~кость и др . ).
'
Уравнение теплопередачи (13.1 .16') nрим.ени.мо пр,и : скоростях
обтекания, когда химическ,ие реакции в пограничном слое отсутст
вуют. В условиях очень больших скоростей Х,Им1ические процессы
имеют большое значение, поэтому при расчете теплопередачи сле
дует уЧ1итывать изменение энтальпии ,в соответсrnии с фор,мулой
qк=[ас·г/(ерJст](i~-iст),
(13.1 .17)
где (ер) ст - ср·едняя удельная теплоем1юсть для условий газа на
стенк,е; ir, iст - соответственно энтальпия ,воостановления и энталь
пия газа на поверхности стеюш.
Напомн.им, ЧТ'О ранее было прпнято считать температуру .стенки
и температуру газа (или соот,ветственно энтальпиrи) на ее повер х
ности одина.ковыми. Результаты вычислений показывают, что от
ношение аст/(ер)ст в (13.1.17) в случае диссоциа:циrи меняется .малG
(д:о 10715 %) и в первом приближении может выбираться из реше
ний для пограничного слоя без химических реакций. При этом эн
тальпии ir, iст вычисляются ,с учетом диссоциации. Из данных рас
четов по формуле ( 13 . 1 .17) следует, что, несмотря на небольшое из
менен111е аст/ (е р ) с 1•, теп л овые пото1~и могут сущес'Лвенно отличатьс я
от значений, вычисленных по ( 13 . 1.16') без учета диссоциац,ии.
Для ха,рактеристюш теплопередачи удобно применять вм есто
размерного коэфф ициента теплоп ередачи безраз.мерны е критерии .
Сред.и этих критер,иев · число ,Стантона
St=qкf[p 0V 0 (ir-icт)]= acт/[P5 V0 (ср)ст]
(13.1.1 8)
и число Нуссельта
(13.1.19)
где l - пр оизвольный линейный размер; Л.ст
-
коэффициент тепл о
проводности газа у стенки.
Связь .между этими двумя числами устанавливается очевидным
соотношением
Nu=StRePr,
(13.1 .20)
где Re=VoPi/ r, 0; Pr=(ep)cтr-i'-c т·
В определении коэффициента теплоотдачи аст или безразмер
н ь\х к,р.и11ери ев теплопередачи заключается о снов на я з ад а ч а
теории аэродина:-.1ического теплообмена. При этом
мож но пр1инять во вню1ание, что поскольку в формулах (13.1 .18) и
( 13.1.19) выделены дополн ите.1ьные члены , влияющие на тепловой
поток, то числа St и Nu зависят от услов,ий теч,ения слабее , чес\~
Ckт=p6V6(ep)cт•St и аст=(Л.ст/l)Nu. В общем случае зничения St
269
и Nu ,в свою очередь являются функциями безраз-мерных критериев
R.e; Pr; SC=f\J(P0D), Ма= V a/a 0,
определяющих условия течения,
н зависят от характера пограничн,ого слоя и тем пературы стенк,и.
Радиационный тепловой поток. В результате си льног о повышения темпера
туры ·за уда 1рн ой .волной или в -погра1Ничн ом ,слое увеличивается ,ствпень диссоциа
ции и, •следо;вательно, ,в ,воздухе ,возрастает 1юличество ато:v~ар ,ного К1и1слорода и
азота. Это юпособствуе т ·более интен,си;вно му п.ротека,н.ию :реа~щий с образо.вани е,:v~
окиси азота ,и увели чению ее концентрации.
Повышение давления приводит -к ускорению рекомбинац т1 ,согласно реакции
А+ А+'=-А2 и вызывает увелwчение ·ко,н,цен"I'ращии окиси азота NO, образующей с я
в оо.о'!1ветствии с ура~ненивм 02+ N2 +'= -2NO . Окись азота в отличие от азота и
ки·слорода отж,ч,еСК,И ,непрозрачна, т. е. ей овоfкт,в е:нна ,сrюсобность •поглощать и
излучать лучи·стую энер гию. Таким свойст.во,м Jiепрозрач.но.сти обладает ,воздух,
содержащий даже •небольш ую долю оки1си азо та. Поэто1му воздух, ·разо гретый
до очень .высо1ю их температур , становится •исто•чником рщrщациошюго тепло.в-ого
:пото,ка.
Оптич-еские -с войства и1оздуха ха,ра,ктеризуются некоторым пара ме тром е,
предс тавляющ им •собой излучательную способность единицы длины излучающего
слоя и 1Имеющим ·размерность 1/1. Для излучающего ,слоя толщиной - so безразмер
ной ха,ршктеристикой излучательной спосо.бности будет в·елич,ина eso, ,называе
мая эффекти,вной 1излучательной слособностью газа.
По за-кону Стефана - Больцмана, излучаемое абсолютно чер,ным тело м
т епло qрад = crT4, где cr - пост-оян•ная Стефа.на
-
БоЛЫ:1/МаJiа, или коэффицие,нт
излучени я абсолютно черного тела [cr = 1,36-10- 11 ккал/ (м2 • сек-град 4) или cr=
=5,6 · I0-8 вт(,112 •град 4 ) ]; Т - температура излучающего газа. Для учета прозрач-
11юсти .в эту фор·мулу должна быть введена некоторая функция f(eso), зависящая
от эффективной излучательной способности и характеризующая степень черноты
г аза. Таким о·бразо-м, зависимость для определения радиащюНН()ГО теплового
потока к ,стенке буд.ет иметь влд
qрад= f (ss0) аТ4.
( 13.1 .21)
Формула (13.1 .21) относит,ся к т-о-му случаю, когда стен ка не и злучает и ее тем
пература Т = Тст<3000 К.
На ·рис . 13.l.l пр.и.ведена кривая, характер и зующая язменение функции f (eso)
в зависимости от эффектлвной излучательной ,способности 'Воздуха . Эту кривую
MOJIGHO аппро,к,симировать у,рав. нен ·и.ем
f=1- exp(- ss0),
(13.1.22)
котор ое дает ошибку не более 20 %.
Ц Bl----+----1"-"""'-=-+----+----i
0,61----+-:>P"'--+----+---t-----1
О,ч1--~-!----!----+---+-
-
- --;
~ 21--J'--
!--- -f ---+--
- +-----;
О'----'----"с----':-----'--~
Р.ис . - 13 .1 .1. Фу,нкция, характеризую
щая ,сrеиень чер.н·оты излучающего
газа
27{)
LgС
2
10°
о
10·'
-2
10· 2
-4
10-з
-Б
ю-4
ю-;
-8
fO ',P
-10
68101214161820по-~к
Рис. 13. 1. 2. Экоперименталы~ые даJiные
об излучательной с-пособности газа
(е, см-1)
r
Из р11с . 13.1 .2, где 11Iри,ведены •результаты экспеР'И'менталь н ы х · иоследовани й.
ви1дно, чrо . параметр е_(см- 1 ) за1Висит от т е1м,пературы м ;плотно ст 1i воздуха. В ,ин
тер,вале температур 8000 К~Т~ 16 ООО К семейст.во крJiвых хор ошо ашiрокаи-
мируется фо.р•мулой
•
(13.1 .23)
где Рооз - плот,носtь атм·осферного ~воздуха у поверхности З ем л и.
_
Наибольшие радиационные тепловые потоки возникают в точке полного тор
м ожения , и ее .окрестно•сти . Их значения можно вычислять по ( 13.1.21) при усло
в.ии , . что отход волны s 0 определяет ся ·С учетом пространств е нн о й фо.рмы носка,
а :плотность и температура равны и х со ответствующим зн а ч ения м s точ,ке пол
ного тор·можения (р=р 0 ', Т = То') . Наряду с этим можно ттольз оваться экспери
ментальной зависи1мостью д.~я сферы [9] :
qрад= 2,12·104Rт ~
~,
••
(V )8,5(р )1,6
'
104
Рооз
(13.1 .21 ')
где qрад - тепловой поток, ккал/ (At2 •сек ) ; Rт - радиус, ,u; V оо - скорость, м/сек;
Р оо н, Рооз - плотность атмrосферы .со,отве1'ствен,но .на не кото·р о й высоте Н и у ,по
верхности Земли. Заменяя здесь ,ради ус Rт ,соответств ующим э 1@ нвалентным зна
чением (см. § 9.4), можйо с известным приближением .вычислить величину qрад
в ц е нтре плоского торца .
На ри,с . 1'3 .1 .3 показано изменен ие радиационного тепло -вот о потока на траек
тор.ии при не к оторых условиях полет а . Можно за.метить , ч то те пловой поток qра д
прини м ает большие значения иа малы х высотах . При этом ег о величина сооwет
ст.в у_ет ,м аксw;1,1 уму аэродинамич ес кой те плопередачи q1, и ,составля ет примерю}
одJну треть этого ·,максималыного знач ения .
q,ккал/(см2,сек)
Рис. 13.1 ,. 3. Аэродинамическ ий и р адиацион
ный тепловые потоки в точке полного тор
мож,ения:
t - вре:-.,я по.пета ; Н - высота
Солнечная н земная раднацн и
Радиационный поток тепла or
Солнца
•
qc= '7 ~cCOS<j,, ( 13.1 .24)
где 'Ф- угол между_·.направлением
солнечны х луче!!_ и нормалью к по
верх,нос11и тела; q - облучательная
сп осо бно сть Солнца, за висящая в
ОСНОВ,Н·ОМ от ВЫСО'ТЫ полета и ме
теорологичеоких условий.
q, ккалЛм 2·сек)
0,3
/
~
I
0,1
10
за
50 Н,ки
Рис . 13.1 .4 . Облучательная способ
ност ь Сол н ца rв зависимости от вы
•сот ы Н атм-осферы Земли
271
Для ,средн·нх геог,рафических условий значения q для Солнца в зените и без
у ч е та п огло щ ения лучей ат:vюсферой лриведен ы ,на р·ис. 13. 1.4 .
Данные о коэффи циенте Вс , учитывающем поглощательную способность ма
те риала , прив едены ,в табл. 13.1 . 1 .
Al ..
fe..
Ni...
Спла,вы :
Материалы
тип а дю р алюмин
.~е гиро.в анн ые стали .
Изоляционные м атер·иалы:
плекси глас . . .
стекло......
Краше ны е п оверхнос ти:
темные . .
светлые . .
Таблица 13.l .1
Ви д ралиации
0,04+0,10
0 , 06+0,74
0,04+0,39
0,04+0,55
0,12+0,62
0,89
0,85
0 ,8 0+0,99
0,80+0 , 90
о, 10+0 ,49
0 ,45
0,40
0,53
0,60
0,97
0,14+0,18
П:Р~r.меч а ,н .и е. Да~нные о коэффицие,нтах ~.
и Вс ,приведены для ·инт-ерв а
ла температуtJ стенки 200-, - 600° С.
При полете на малых высотах (Н ~ \О+ 15 км) облучательная способно.сть ij
уменьшается из -за наличия облач ности. Так, при ,средней облачности действитель
"""
о
4
12
20 Н,кн
Ри,с. 13.1 .5 . Облучательная спо
собность Земли в за.ви.Jи,мости от
высоты атмо,сферы
ных лу чей. Июследо.ва.н·ия пока зывают,
ная в е.л ичина q ,со,ста1Вляет 0,5-;-О,7 от
зна чен.ий , с о отве-гст,вующих да1нным, при
веде,нны м :на р1И,с . 13.1.3, а в •случае
сплошной облачно-с11И - О , 1+ О,2 . В ноч
ных у,словиях облучательная способн()СТЬ
равна .нулю.
Фо,рмул а ( !iЗ.1 . 24) •О'J.1Н О С.И1'СЯ к ча,сти
поверхн о,ст,и летательного а·ппарата , ,о б
ращенной к Солнцу. Между тем теневые
участки этой· поверхности та,кже пол у
чают тепло за счет ра,осея:нного сол,неч
ноrо излучения. Вел1ич,и,на этого теплово
го потока примерно ·в 3- 4 раза меньше.
-Удеш1Ный тепловой поток от земного
излучения весьма мал; ero мож1но ра с
сматри,вать в виде ,суммы q . =qз.c+q з о ,
где qз .с - собственно радиационный по
то,к Земли, а qз. о - энерnия отраженных
от земной пов ер хоюс ти .и облаков солн е ч -
что для .условий полета на высоте 500 км
qз.с=0,007(1+2cosq,) ~3 ,
(13.1 .25)
где ер - угол между нормалью к поверхности и линией тело
-
Земля. По и мею
щи·мся экспер.и,м е.нт а ль ньюм д анны м , максимальная ,величина радиац,ио.нноrо по
тока Земли
(13.1 .26)
где qз - облучатель:ная спбообн о ст ь З емли .
Зна чен~ия iia и Вз приведены соответственно на ·р,ис. 13.1 .5 и в табл. 1.3.1.1.
272
Да,нные об удеш,но~1 тепловом потоке qз.о · таюке являют,ея экспери1менталь
ными и получены при уело·вии, что тело расп·оложено на высоте 500 к1,1 .на линии
Земля - Сол.нце. Согла•сно этим данным,
q 3 , 0 =0,016(1+2cos'f')~ 3 .
(13.1.27)
Лучистый тепловой поток с поверхности стенки
По за ,кону Стефана - Больцмана, тепловой поток, излучаемый с единицы по
верхности стенши,
(13.1.28)
где е·- степень
черноты поверхности, зави,сящая от матер:иала, способа обработ
ки по.ве.рхности и ее температуры.
Степе.нь черноты показывает, во сколько раз коэффициент излучения да,нной
поверхности меньше коэффициента -излучения абсолют.но черно-го тела . Значе
ние е павышается с у,вел.ичением шероховатости: поверхности. Е сли sысота бугор
ков шероховатости превышает в ,несколько раз длину . волны из11учения .мак•си
ма11ьной интенсивности: л, то величину Еш д11я шероховатой поверхности м·ожно
выразить че·рез степень чер.н,оты гладкой поверхности е следующим образом:
Еш=Е[1+2,8(1-Е)2],
(13 . 1.29)
при ч ем длина ,волны л, мк, зависит от температуры и ·равна
л = 2898/Т.
(13.1.30)
§ 13.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕНИЕМ Н ТЕПЛОЛЕРЕДАЧЕJiJ
Задача об аэродю-rам•ическ,ом теплообмене ,сводится к определе
н:ию коэффициента теплоотдачи аст, входящего в ( 13 .1.16) и
( 13.1 .16'), или соответствующих безраз:VIерных критериев St или
Nu . Это определение овязано в общем случае с решением системы
дифференциальных уравнений пограничного слоя, ·включающей
ура,внения движения, энерr,ии, неразрывности и ,щи-ффузии. В резуль
тате этого решения устс1навливается с ,вязь м еж д у п ар а м е т
рами теплопередачи и трения. При некоторых упро
щающих предпосылках такая связь имеет фор,му элементарных со
отношений, дающих возможнос1ъ непосредственного определения
ас1·, St или Nu по коэффициенту трения в соот,вет:ствующей точке
поверхности.
Чтобы получить э1ш соотношения, применим уравнение ламинар
ного движения газа (12.1 .8), а так.же уравнение энерnии, преоб
разованное к -в иду, который используется в теории пограничного
• слоя. Вначале, используя общую форму уравнения энергии (3.2 .14),
напишем ег,о в таком ,виде, чтобы оно ,содержало ,введенные выше
числа Le, Sc, Pr. Получ~нное уравнение энерли~и удобнее для ана
лиза разл,ичных явлений и процессов теплопередачи. Затем это
урав нение преобразуем применительно к условиям течения вязкого
газа в тонком пристеночном ,слое 1и найдем тем самым в упрощен
ном в:иде у ,равнение энергии для пограничного
сло я. Имея в в,иду выр·ажение (1.6 .27) для энтальпии смеси, мож
но найти, что
di=}: i 1dc 1+] c1dii,
i
i
273
где согласно (1.6 .28) dii=CpidT. ПриНJимая далее во в-нимание ФоР'
мулу ( 1.6.25) для средней теплоемкости смеси, на ходим
di= I i;dc;+(c p)cpdT.
i
Переходя к градиенту температуры, можно написать
gradT=-
1- gradi-- 1
-
"'\:1 i;grad с ; .
(ср)ср
(ср)ср ~t
Под,ставив это значение в (3.2 .14) и введя для местных значений
чи~ла Прандтля Рг=р.(ср)ср/л и Шмидта Sc=μ/(pl5), получим
уравнение энерnии
!!:!. _= -
1 . dp +v[(дVх)2+ (дVu)2+2(divV)2+4s;]+
dt
рdi
_дх
д,у
3
+ -1 div[-"
-'- gradi]+~i;div[n(1-
~ ) grad с;]+.....:.., (13.2. 1)
р . (ср)ср
~
Pr
р
t
r де вместо отношения Sc/Pr можно ввести 1/Le, т. е . величину, об-
ратную числу Льюиса - Семенова .
~
Уравнение энергии, записанное в виде ( 13.2 .1) и ю:~ раженное
через энтальпию, являет,ся о снов н ы м пр п исследован и и
динам ·ики диссоциирующих газов. В наиболее общем
случае число Sc<Pr (Le>l). Физический смысл этого состоит в
· том, ч·ю процессы диффузии п,ротекают более ,интенсивно, чем про
цессы тепл,опроводности, и, следовательно, химическая энергия не
полн.остью переходит в тепло. В частном случае, когда Pr = Sc,
уравнение ( 13 .2 .1) пр.инимает в,ид
.! !!:_= _1 . dp +v[(дVx)2+(дVy)2+2_(div1/)2+4s;]+
dt
рdt
дх
ду
3
+-
1 div[-" -gracti]+-E .
(13.2 .1')
р
(ср)ср
р
Ура,внение (13.2 .1') по форме представляет собой уравнение
энерлии для потоков, в которых отсутствуют химические реакции.
При Sc= Pr ,интенсивность передачи тепла путем теплопроводности
и диффузии од,инакова. Э'f\о соответствует тому, что часть хим,иче
ской энергии на границе пог,раничного слоя, превышающая химиче
с.кую энерлию при температуре стею{!И, полностью преобразуется в
т'епло.
Для дальнейших исследований пр,имем, что излучение яе учиты
вается, т. е. полож,им s ура,вненrии (13.2 .1') величину е = О . В целях
преобразова.ния этого у,равнения применительно к у,словиям тече
ния в пограничном слое определим порядок величин ег о слагае,мых
[см. (12.1 .3), (12.1.4) и др.].
В отличие от у,равнения движения в уравнение энергии входят
члены, содержащие энтальпию i. Поэтому целесообразно дополни-
274
Tt'JlЬHO рассмотреть вопрос об оценке порядка этих членов. С этой
I..1; е:1ью воспользуемся формулой для энтальпии тор.можения в вrще
•
• 1v2;2
(1322)
lo=l, х
.
.
.
В частном слvчае, когда Pr = 1, величина i0 =const. Однако для
р С:' альных у,словий течения эта энтальпия являе11ся величиной пере
менной ввиду наличия термодинамически нео6ратимых процеосов,
вызванных химическими реакциями и диссоциацией газа в пог,ра
ничном сл,ое, т. е. io=l=fo (где fo - - энтальпия торможения при .изэн
тропическом течении). Однако порядок этих величин одинаков
(i0 ~/0 = const). Учитывая это, найдем, что дi/дх~дVх2/дх, дi/ду~
~дVх2 /ду, 011куда порядок производных дi/дх~ Vб 2/L, дi/ду~ Vб 2/б.
Эти данные ·использованы при определении порядка слагаемого в
пр а.вой час11и ура,внения ( 13.2.1 1), содержащего энтальпию i. Оце
нивая порядо.к велич:ин всех членов ,в правой ча,сти (13.2 .11) [за
исключением первого 1члена ( 1/р) dp/dt] и принимая при этом, что
порядок числа Pr =~t (ер) ср/л ~ 1, напишем результаты этой оценки
непосредственно ,под .каждым слагаемым у,равнения, представлен
НОГ'О в разверну-юй форме:
_!!__= _1. dp +J.:.. {( дVх )2+( дVу )2+
dt
рdt
р
дх
ду
\ ______\
(fL/ р) v'f; [2
+_3_ [( дVх )2+2 _дVх .~+(дVу )2]+
3
дх
дх
ду
ду
\______________\
(fL/ р) V~! L2
+( дVх )2+2 дVх . ~+(~)2}+
ду
ду
дх
дх
1
,\ /___
,
\____/
(fL/P) V~/c• 2
(fL/P) V~/ L2
(fL/P) V~o 2 / L4
1[д(fL
дi)+д(fL
дi )]
+-р- ах rr· ах ау rr·Тy
•
(13.2.3)
,_______ \
,_____\
: (fLiP)V~/L2
(fL/p)V~/o2
Рассматривая правую чнсть урав!{ения (13.2 .3), можно сделать
вывод, что члены J.:.. ( дVх )2и - 1
-
.
_д_ (_. l:_
. ~ ) имеют больший
рду
рдуPrду
порядок, чем остальные члены . Сохраняя члены ,с большим поряд
ком, получим у~равнени:= энергии
di=1 .dp+fL(дVх)2--!--1
.
д(1-'·
.
дi ) . (13.2.4)
dt
рdt
рду'рдуPr
ду
Заменяя в (13.2 .4) согласно (12.1 .8)
dp=dps = V
dps__V[vдVх+·VдVх_l
_
д ( дVх)]•
dt
dt
хdx
рххдх удурдуl"ду
275
получим
•
V
дV2
дV2
..!!.!_ _
_
х.х
_
Vv.
х+Vх ,д(μдVх)+
dt
2дх
2
ду
рду
'ду
+.J:___ ( дVх )2+_1_
_ _ д_(__!:__ • ~
)•
рду
рдуPrду
Первые два члена в правой части у равн.ения мо жно пред.ста-
•
1 dV;
1 д( дV2)
витьввиде-- .
- -, а третий и четвертый как -
.-
J:. . __:::
.
2
dt
рду,2ду
Учитывая это, можно наrписать
Р..!!....(i+v; )=_дj...!:... (i+v;)J+~-[L (1__1) av~ ] .
dt
2
ду, LPr
2
ду2
Pr ду
(1 3.2.5)
Принимая во ВН1имание выражение ( 13.2 .2) для энтальпии i0 и
раскрывая полную производн ую в левой части ( 13.2.5), получим
pVX дiо +Pvu дiо =-д-(J:___ . дiо)+~ [...!:...(1--1 ) дV_; J1
.
(13.2 .5')
дх
ду
дуPrду
ду.2
Pr д.у
Рассмотр,им течение, характеризующееся величиной
такого течения у равнение энергии имеет вид
V дiоiV дiо__д_(дiо)
РхдтРид-д fJ-д
•
х
у
у
у
Pr= 1. Для
(13.2.6)
Если рассматриваемый поток обт-екаег плоскую пластинку, для
11оторой dp 6/dx=O, то уравнение движения в пограничном слое в
соотв,етствии с (12.1.8) будет иметь вид
V дVх+V дVх__д_( дVх)
рхдхруду-дуfJ,ду
•
(13.2.7)
Как видно, уравнения энергии ( 13.2 .6) и движения ( 13.2 .7) по
добны друг другу. Бели перейти к переменнЫ1м
(13.2 .8)
где
·
·
, v2;2
loo=lo-J - о
,
(13.2.9 )
то уравнения (13 .2.6) ,и (13.2.7) ста,нут тождественными, так как
8 и Vx удовл•ет,воряют одним и тем же граничным условиям: на стен
ке 8 и Vx равны нулю, так как Vx=O и i0 =icт, а на внешней гранипе
пограничного слоя, гд,е Vx= V 0 и i0 = i00, -
единице . Следовательно,
соглаоно теореме о единственности решения, должны совпадать
функцли vх и е, т. е.
(io - iст)/(ioo-'- iст) = V x/Vo:
(13.2.10)
Таким образом, принятое выше условие (Pr= 1) и друrие допу
щенияопределяют подобие профилей скорост,и и эн
тальпии в пограничном слое. Еслипрофильскорости::
и з вестен, то можно о,пределить напряжение трения:
't'ст= !Lст ( дV.: ) =
. fl-cтV~ (дiо ) = fl-c:rV0(с:)ст (дТ )
дуст1ot-1стдуст
100- lcr ду ст·
Умножая числитель и знаменатель правой части урав нения н а,
t,ст и полагая, что qст = qн = Лет ( дТ/ду) ст, найдем
fl-crV 0 (ср)ст
't'ст =
.
.
q".
Лет {101\ - lст)
Подставив сюда значение qi; из ( 13 .1 .17) ,и заменив 't'ст н а:
CJx (poVo 2/2) , получи,м
PвVi
μстVо i, -
iст
Cr.x --=ас·~ --. .
.
2
Лет 1о~ - 1ст
Так как.Рr= 1, то :~юэффициент восстановления r = 1 и
i,-
iст=1.
i01\ - iст
Таким образом, получаем зависимость между коэффициентами
т еплоотдачи ,и трения в следующей форме:
(13.2 .11 ):
Из выражения ( 13.2 .11) следует фор·мула для ме,стного числа
Нусс-ельта:
Nucт = Nu.x= СL.ххfлст= ( с/,-/2)Re.x,
где Re.x= pl\VoxlfLcт ·
Из (3.1 .20) при Pr = 1 находим
Stcт =S t...-= Nux/Re.x= С rx/2.
(13.2.12)
(13.2. 13)
У•становленная овязь между параметрами трения и 11епл.опере
дачи пр:иближен на я, так как в действит_ельности числа Pr и Sc от
личаются от единицы . .Влияние этих .параметров можно у честь, если
выражения для к,р,итериев Ну,осельта и Стантона написать в виде:
Nu.x=(c1.x/2)Re.xf1 (Pr, Sc);
(13.2 .14}
St.x= (с1.х/2) f 2 (Pr, Sc),
(13.2.15 }
где fI и f2 - некоторые функции чисел Pr и Sc. Физ,ически учет
в л ияния этих чисел, отличных по величине от единицы, означает,
•JТО прини,мается во внимание преобраз,ование част,и химичес1юй и
юшетич еской эн ергий в тепло. Конкретный sид завиоимостей f1, f 2:
271'
определяе'ГСЯ в результэте решения уравнений погра,ншчного ,слоя
при услов,ии, что Pr=,i=l, Sc=,i=l (Le=,i=l).
Исследования показывают, что если учитывать услов1ие Le = 1,
то f1= Pr '/•, а согл а оно (13.1.20), и f2 = Pr '/,. В соответств ии с этим
м ожно написать, в частности, для местного числа Стантона
Stx=(c1x/ 2) Рг '/,.
(13.2. 16)
Выражение для числа Ну,осельта находят ~из (13.1 .20) . От мест
ного критерия Нуосельта ·или Стантона можно перейти к соответст
вующим ,средним величинам по длине пл астинки, оп усти в индекс
<'Х» . При этом можно принять, что местно е и среднее числа Пранд
тля одина.ксовы .
Формула (13 .2 . 16) ,имеет большое пр актичес1юе значение 'И от
ражает аналогию Рейнольдса, согласно которой критерий теш:rопе
редачи зависит в основном от того же параметра, что и коэффици
€НТ 11рения - от числа Rex, В еоответств~ии с этим величина f2 =
=Рr - "!з в (13 .2 . 16) называется фактором аналогии Рей
нольдса.
Как показывают иоследования, формула ( 13.2.15) пригодна и
J.~.пя ту1рбулентного пограничного слоя, но с той разницей, что хоэф
С'JJИдиент трения Cfx и ,парам е11р f2 должны вычисляться по соответ
<:твующим зависим,остям для ту рб улентного пограничного слоя . В
'Ч аСТНОС'ГИ,
(13.2 .17)
Пр1и вычислен1ии сред.ней . по длин е пластин юи величины ч исла
С танто на параметр
(13.2 .18{
где Re= VбрбL/μс т , Пр,и этом расчеты пока з ывают, что, как .и для
л амин а рного пограничного -слоя, величина f2 при отсутс'Гвии дифф у
зии в тур.булентном пограничном слое может быть принята с 1из,вест
н ым приближением равной Pr: - '/, .
Влияние фи зико-:хш,мических пр евращений на теплопередачу в
пограничном слое при высоких температурах м,ож•ет быть учтено
п ут ем ист:юльзова·ния определяющих парамет,ров. В час11ности, при
ме няя аналогию Рейнольдса, получим в юоответствтш с (13.2 .16)
с.'Iедующее выражение для определяюще й величины числа Стан-
тона:
•
(13.2.19)
rде сiх=(с1х)сж - коэффициент трения . Для ламинарного погра•нич
ного слоя этqт коэффициент находят из формулы (12.6 .15), а для
турбулентною - из за,висим-ости ( 12.6 .22); определяющее число
Прандтля вычисляют по определяющим параме11ра1м: Рr*=с;11;*/л* .
В с-оотве11ствии с этим тепло1вQй поток -к с11енке
(13.2.20)
278
где определяющий коэффициент теплоотдачи
a:=c;q:/(i,- iст) = st:c;povo.
(13.2 .21}
Из фор,мулы (13.2 .16) или (13.2 .19) следует, что безразмерный
параметр теплопередачи ,изменяется вдоль пла,стинки так же, как
местный коэффициент трения. Аналогично этому будет изменяться,_
как следует из ( 13.2 .20), удельный тешювой rюток . Его средняя ве
личина по длине пластинки qcp определяется, очевидно, как среднее
интегральное мес11ных тепловых потоков. Осуществляя расчет по оп
ределяющим параметрам ,[.ом. ( 13.2 .20) ], получим
L
1
q;p=+ ~ qxdx= PaVo Isi:(i,-icт)dx, (13.2 .22 )
о
о
где x=x/L.
Полагая вдоль пла,стинки iст постоянной величиной и заменяя
st: по формуле (13.2.19), найдем
1
q~p=0,5p 8V O(Pr*)-'l•(i,-icт) scjxdx.
о
Интеграл в правой части уравнения определяет средний по длине
пластинки коэффициент трения с:1=(схf)сж' вычис_лявмый из фор
мулы (12.6.15) для ламинарного и из выражения (12.6.22) для
турбулент,ног.о пограничных слоев. Сл-едовательно, оредний тепло
вой поток
Вводя понят,ие о среднем значении числа Стантона
St;r = (c:1/2)(Pr*)-'lз,
получим
(13.2.23;
(13.2.24)
(13.2 .251
Параметры теплопередачи для пластинки могут быть непосред
ственно использованы с целью расчета со.отве-гстrвующи х парамет
ров для конуса, обтекаемого сверхзвуковым лото.ком. Этот расчет
ведется при помощи формул (12.6 .34), (12.6.35), (12.6 .52), (12 .6 .53).
связывающих между ообой коэффициенты трения (местный и сред
ний) на пласТJИнке ,и конусе. Ум-нажив левую и правую части эти х
формул на (Pr*) __ 'lз, получим:
для местного коэффициента трения
(Сjxк/2)(Pr*J-'/, = А (Сixшr/2 )(Pr*J-'/,;
для с,редней величины этого коэффициента
(c:1к/2)(Pr*J-2l3 = А (с:/пл/2 )(Pr*J-'/,,
,де· для ламинарного пограничного слоя коэффициент А= 1/3;
для турбулентного A=l,17.
Согласно (13.2.19) и (13.2.24), левые части этих равенств опре
деляют соответственно местное и среднее числа Ста.нтона на кону
..се, а правые - на пластинке. Таким образом,
•
*
Sfcp.к = А Sfcp.nл•
(13.2 .26)
(13.2 .27)
В соответ,ствии с формулами (13.2 .26) и (13.2 .27) расчет числа
Стантона на кону.ое ведется по ero соответствующему значению,
найденному для плас11инки по парам,етрам пограничного слоя на
конической поверхности. Внося в правые части этих формул вместо
чнсел Стантона их значения St*x =St:, st:p.nл=St:p, вычисленные
с оответств е нно по ( 13.2.19) и ( 13.2.24), получим:
St;"= (Асtхнл/2)(Рr")-1⁄4;
St~p .к= (Ас;/пл/2)(Рr*)-'lз.
(13.2 .28)
(13.2.29)
Суммарное количество тепла, передаваемое газом стенке в еди
ницу времени для конуса с боковой поверхностью Sбок=Л:Гмид • Хк
(где Гмид и Хк - ооответственно радиус основания и длина образу
ющей конуса) , ,оогла,сно (13.2 .25) ,и (13.2 .28) будет
(13.2 .30)
Формулы для параметров теплопередачи указывают на прямую
зависимость нагрева от трения на обтекаемой поверхности. Н а пр я
.жение трения, а следовательно, и теплопереда
ча будут значительно больше при турбулент
ном пограничном слое.Вотпочемудляуменьшениятепло
передачи от разогретого газа к обтекаемой .поверхности следует
<:Jбеспечивать ламинаризацию пограничного слоя, при к,оторой до
,стигается онижение поте.рь на трение.
§ 13.3. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Нд КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Произвольная форма поверхности
Рассмотрим ра,счет теплопередачи на криволи,нейной поверхно
~ти при ламинарном пограничном слое, в котором может происхо
дить ра,вновесная диссоциация. Если пр·инять в соо11ветствии •С этим
число Le= 1, что с известным приближением оправдано для случая
гиперз.вуковы:Х течений, то указанный расч·ет, основанный на приме
нении формулы (13.1.15), сводится к •решению системы уравнений
для ламинарною пограничного слоя, включающей уравнения нераз-
• .280
рывности (2.4 .48'), движе1ния (12.1.8) и энергии (13.2.5'):
дх+ду
д(рVхг0 ) д (pVyr0) О;
1
p(Vx дVх +V дVх. )=- dp" +.i _(μ дVх);
(13.3.1 )
дх уд.у
dx
ду ду
1
(V raio '+v дiо)= д ( fl-.
дiо)+ д [fl- (1- 1 )av;]·,
Р х;_дх,.. Уду ду Pr ду
д1:1 2
Р1·ду.J
Здесь у,равнение неразрывности отлича-ется от (2.4.48') тем, что
радиальная координата r точки пограничного слоя заме,нена коор
динатой ro точки контура, расположенной в соотнетствующем сече
нии погра1Ничного слоя. В этом уравнении значение в=О -соответст
вует профилю_ крыла, а в = 1 - те:1у вращения. В уравнении энер
гии, как и прежд~, число Pr = (Ср) cpμ/tv .
Ура,внение энергии, входящее ,в систему ( 13 .3.1), rюлучено ,и з:
общего у рав·нения (3.2.14), в котором принято Sc=Pr (Le = l) . Од
нако при этом может быть выполнено услов·ие, в аоответствии с ко
торым grad ci=,i=l. Поэтому к ,оистеме (13.3 .1), казалось бы, необ
ходимо добавить ур а,внение диффузии (3.2.4), связывающее ~между
собой концентрацию Ci и скорость образования каждого компонен
, та см еси газов . Но при термодинамическом равновесии концентра
ция каждого компонента однозначно определяется местными значе
ниями давления и т е мпературы, а скорость об.разования компонен
тов ( 1.Vхим) i достато чно велика, чтобы компенсировать их унос з а
счет конвекции и диффузии. Поэтому уравнение диффузии (3.2.4 }
в рассматр.иваемом сл учае ранновес.ной тешюпе,редач.и будет лиш
ним.
Система уравнений ( 13.3.1) реш ается при следующих гранич
ных условиях:
на стенк е (при у=О)
Vx= V у = О, ;о=iст• Р= Рст• i=icт• Т=Тст ;
на гр анице слоя (при у--+оо)
Vx=V 0
,
Vy=O, i0=i0в, р=р0, i=i0
,
Т=Т0..
_
(13.3.2)
(13.3.3)
Для 1юэффициентов μ и л имеют место также фушщиональные
завиюимост,и .
(13.3 .4)
Преобразуем уравнения (13.3.1), введя некоторые новые неза
висимые переменные и и,скомые функции. Следуя Лизу {30], введем
переменные, близкие по форме к переменным Дородницына [см .
( 12 .3.2) ]:
(13.3 .5)
281
()Ткуда находим, что
д1J pV13ro
--= --- ,
ду (2x)'I,
( 13.3 .6)
Для nе.рехода от координат х, у к координатам х, 11 следует вос-
11ользоваться известными из курса математического анализа соот
.ношениями:
(13.3 .7)
д
д
dx
д1]
( 13.3 .8)
.
Для дальнейших преобразований вн~дем функцию тока 'Ф, кото
рая определяется соотношениями (2.5 .1). Заменим в них r на ro и
лерепишем ,в виде:
(13.3 .9)
Подставив эти значения в уравнение неразрывности системы
{13.3 .1), ,м.ож,но убедиться в т,ом, что это у1равнение превращается
в тождест~во д2'\j)/дхду-д 2'\j)/дудх=О. Таким образом, с введением
функции тока 'Ф уравнение неразрывности а,втоматически удовлет
воряет,ся.
Рассмотрим, как преобразуют,ся осталыще два у:ра,внения си,стемы (13.3 .1)
при помощи функции тока. Используя (13.3.7), можно написать
дt_дt д1J
_
дф PVsro
ду д11 ду д11 (2x)'I,'
откуда с учетом пер-вого соотнuшения (13.3.9) про.изводная
дф
~'/Vx
-= (2х) •--.
д1J
V13
Интегрируя, находим функцию тока:
1/
~~'/Vx
Ф= (2х) •--
d1J.
V13
о
(13.3 .10)
13 соответствии с (13.3.5) выражен.не (2х) '/, не зави,сит от 'l'J. Поэтому мож-
но напасать, опу,ская постоянную, что
(13.3.11)
где
• (13.3.12)
В соотве·т,ствии с этим выраж€н.ием
Vx/V0 = дj/д11 = /' •
(13.3. 13)
282
f;-
В.оспользовавшись ооотношен:юrми ( 13.3.7), (13.3 .8), завиоимостями ( !З.3.9)
и (13 .3.11) для функции тока, а также ·выраже,ниям.и (13.3.12) 11 (13.3.13), пре
образуем оператор, стоящий в ле:вой части ура,вне.ний движения и энергии систе
мы (13.3.1):
РVх_д_ + pVy~=r-•(~ · ~-~. _д_)=
дх
дуодудхдхду
_,(д<j, д
д<j, д)д'I) дх
-
ro
д'I) дх-дх д'I) ду а;-•
Здесь .пр~изводные д'tjJ/д11 и д'tjJ/дx определяются в результате дифференциро
вания ( 13.3 .11): .
д<j, -
'/ дf
]
-=(2х) •-,
д'I)
д'I)
д
-
'
-
дf
! = (2хГ 1-•f + (2х)112 --- •
дх
дх
(13.3 .14)
После .подстановки этих величин, а также замены производных д11/ду и дх/дх
l'IX значениям .и из (13.3.6) получи'М для о.ператора
pVxj_+pVy_д_=ppV~fJ-Г6'(дf. ~ - f _
-~-
д!-~).
дх
д,у
OO
д'I) дх 2х д'I) дх д'I)
(13.3. 15)
В правые ча,сти урав.нений движения :и энергии (13.3 .1) входят выраже,ния
вида
д~(1iд~),
(13.3 . 16)
где /i (х, у) - некото.рая фуНК!I/ИЯ координат х, у. В .новых переменных 1'], х
оператор ( 13.3.16) запи.сывается следующим образом:
д(д) д.(д д'I))д'I)
дуliду-д'I)liд'I)дуду'.
,или с учето.м значения (13.3.6) для про,и~водной д11/ду
. _д(r1i_д).
д'I)
д'I)
(13.3.17)
Применим операторы (13.3.15) ,И (13.3.17) для преобразования ура вненля
движения:
Здесь произво,цная dp O /dx может быть определена по уравнению
,ix
dV
~
оdx
-рV-----
воdx
dx
283
,,!,!ЛИ с учето м значения (13.3 .6) для dx/dx
dx
(13.3.18)
Прини.:,.1ая это во внимание и за-меняя согласно (13.3 . 13)
Vx = V 0 (дflдYJ),
(13.3.13')
;получим
дf._а_(vодf)-vof.а2f- v дf.а2f=
д'f) д'х
д'f)
27' дУj2
о дх д'f)2
=~.
d~o +
Vo
.
_д_(Р/J- д2f ) .
Рdx
2хр 01J- 0
д'1]
дУ) 2
Учитывая, что прои з водная
j_(v дf)= dVo . дf +V __!:,j_
дх O д'f)
d-:ic
д'f) 0 дхд'f) '
т олучим п реобразованное уравнение движения ,в окончательной форме:
2;;(дf . ау
_
д!.д2f)=fд2f+2х.d~0 [2_(дf)2]+
д'f) дхд11 дх д1J 2
д·~ 2
Vo
dxР
д'f) .
•
д (- д2f)
+~ P/J- д'fJ2
'
(13.3 .19)
rде
(13.3.20)
Теперь при цо.мощи тех же апера7Горо.в (Ш.3.15) и (1'3.3 .17), а также выра
жения (13.3.13') напишем ура,внение ~нерrии
2 2,(дf дiо
f дiо дf дiо)
ppVo/J-ro
---
-
----
·---
-
--
,--=
00
а11 ах 2".х а11 ах a'f)
=
p\l~ r~'
._
д_ (.J:!:. _
.
дiо ) + rVИ' _д_ [ P/J-(l __1_) дf .д2j]
.
2х
д11 Pr ду
2х д'fJ
lPr д11 д112
Для дальнейших преобразований ,в-ведем безразмерную зависимую перемен•
ную
(13.3.2 1)
определяющую отношение энтальгrии тор·можения в некоторой
гран.ичного -слоя io = i0 + V;12 к ее значению ioo = i 0 + V112
точке сечения ПО·
на границе слоя.
Тогда, принимая во внимание, ч то
дiо.дg
дiо
-- -1
--
--
-
д'f)-0
~
д11'дх
-
284
J
Функци.и f (11) и g('I']), являющиеся решен.иями системы уравнений (1.3.3.19),
( 13.3 .2 2), должны удо.влетво. рять следующю1 граничным условиям:
на стенке пр,и ч=О (у=О)
f(0)=(дflд"fl)~-o=0, g(0)=g·0т;
(13.3 .23)
на внешней rран.ице слоя при 11-+оо (у-+оо)
(13.3 .24)
Приведенная система уравнений (13.3 .19) и (13.3.22) ~включает, ,как видно,
сложные нелинейные ура,внения в частных произ.водных. Хотя в таком виде они
несколько проще, чем исходные ура~нения (13.3.1), тем не менее для их решения
необходимо преодолеть большие труднопи. Однако в записа нно й форме система
ура,внений · ,весьма удобна, так как она дает возможность отыскать большой
класс задач, предст~.вляющих значительный пр.актический интерес, для ,которых
при определенных 1-Fредпосылках эта ,оистема может быть сведена к ,системе так
называемых «подобных» обыкно,венных дифференциальных уравнен,ий,
Решения такой системы, называемые а в то .м одел ь н ы 1м ,и, обладают тем
свойство,м, что искомые функции f и g будут за.висеть лишь от одной перемен
ной 'У). Это свойство ·решения позволяет ,сразу у.прост.ить уравнения (13.3.19) и
(13.3.22), так ,как ,их левые части обращаю·кя в нуль .вследств,ие того, что
clg/dx=df/dx=O . В результате упрощения уравнения принимают :вид:
2хdVo(Р13
)
ff"+-•-_-
-- - j'' + (pf!-f")' =0;
Vi dx
Р
(13.3 .25)
fg' +( P/J- g•)' +~[ -(1--1 )t't"]'
Pr
100 P/J-
•
Pr
2xg dioв
• --_-
/' =0,
ios
dx
•
(13.3 .26)
где штрих и означают дифференцирова,ние по переменному '1 '] . Эта система имеет
.ав11омодельные решения, если ,вьшол.няются с,1едующие услов,ия:
х dV13
х dioo
v~
а)-
• -_- = const,
-
•--= const
-- = const;
V1, dx
ioo dx
,
ioo
б) отношение р O/р, <~исло Pr и величина p~t являются функциями 'У) или
постоянны;
в) функц,ия g на стенке всюду одинакова, т. е. g(0) =gст =const, что ,соот
ветствует ,постоянной температуре поверхности.
За ·и,сключением частного ,случая (,равном ерный 1в,нешний поток около пла
стиюш, кл ина, конуса, обтекание ;которых •Сопро,вождается образ·ованием при
соединенfюй ударной волны), .все эт,и условия автомодельнос1;и никогда одно
временно .не удотвлетворЯЮ'!'СЯ, даже е•сли сохраняется постоянной температура
поверхности. Отноше.ние плотностей р 0 /р, число Прандтля и величина рμ=
=рμ/(р 0 μ 3 ) являются функциями не только отношенля энтальпий i/i 0 . но также
сам•ой энтальпии i O и давления р O, поскольку они влияют на диссоциацию газа.
Правда, можно указать еще на один частный ,случай обтекания, для которого
решение будет автомодельным: обтекание малого участка затупленной по:верх
ности ,вблизи точк:и полного торможения, где энтальпия i 0 и да.вление р O почти
не из·меняются.
Можно л и получить автомодельное решение, которое распространялось бы
f-
на большую часть кр,иволинейной поверхнос11и? Такое решение может быть полу·•
чено в следующих двух .случаях, представляющих практический интерес: 1) при
слабом изменекии пара,метров внешнего потока; . 2) при ,сильно1м охлаждении об
текаемой пов ерхности, т. е. когда gст =icт/io 1, ~ 1.
285
В первом ,случае предпола,rаются постоянными вдоль всей поверхности rра
.п,иент скоро.сти
2х dV0
2dlnV0
~=-·-==---
Va dx
dlnx
(13.3.27 )
и значение V~ Ji 00 . Одновр е,менно принимается di 00 /dx"'=o, что соо т ветс твует
условию ,сохранения полной энер-Гии во внешнем потоке (ioa = i 0 + V~/2 = coпst) .
Кроме 'ГОГО, ,считаются постоянными рμ и число Рг, а отношение плотностей
р O /р= Т/Т O=i/i O раосматривается только как функция 'У).
Второй случай характеризуется тем, что температура стеюш о че нь низка ,
т. е. Тст/ТO ~ l и, следовательно, Рст//J O ~ l. При этом плотность у стен к и повы
шается при онижении температуры •стенки не только за счет отвода тепла (с и с
пользо-ванием для этой цели специальных средств охлаждения), но и вследств и е
увеличен,ия сте,пени диюсоц·иа,ции при r и-перзвук-овом обтека,юш.
Так как продольный градиент давления зависит от плотно,сти Pi на внешн сii
r.рани:це (dp 0 /dx= -p;;V0dV.0/dx) :и является пос-гоя11J1ным для да,н,н.О!Го сечения
слоя, то при Рст >> р O профиль скорости у стенки значительно менее чувствите
лен к градиенту давления, чем в ,случае малой температур.ной разности поперек
пограничного -слоя. Это объя-сняется меньшей податл,иво,стыо сильно уплотнен
ного газа к изменению характера течения ,при воздейс1~вии перепада давления .
Поэтому -оказалось воз•можным пренебречь 1в уравнении (13.3 .25) членом, в ко
торый ,входит градиент давления В (13 .3 .27), и написать это у.равнение в виде
f!11+(;;;;:111)' = о.
(13.3.28 )
Из .сопоставления у,ра,внений ( 1,3 .3 .25) !И ( 13.3.26) следует, ч·ю rра•диент ,ско
рости еще в меньшей сrепени влияет .на ра,определение энтальпий торможения .
Действительно, ·рассматривая ( 13.3 .:25), можно установить, что фу,ющия f, опре
деляемая из этого уравнения, зависит (хотя и 1в ,слабой фор,ме) от градиента В,
который присутс'!1вует в у.равнении в явной форме. В то же вре.мя функция
g=i0 /i 0 0 находит,ся из уравнения ( 13.3 .26), где ,величи.на В в явном виде отсут-
ствует. Пр,и этом зависимость g от градиента проя1вляется чер'ез слабую за,виси
мость функции f от В. Таким образом, система уравнений (13.3.25) и (13.3 .26) ,
упрощенная в •соответствии с условием Рст/р O ~ 1,, более предпочтительна длSl
расчета па•ра,метров теплопередачи, определяемых производ,ной g', чем для выч,ис
ления па·раметров трения (функци,и f ').
Уравнение (13.3.26) можно у простить, и,мея ,в .виду, что полная энтальпия
с~ободного потока постоянна (dio 0/dx=O). Вел,ичина V1; i 00 на затупленных те-
лах меняе\'!1СЯ от нуля iВ точке торможения, где V 0 =0, до значения V~!( i0 +
+V~/2)::::::::2 (на участках обтекания, где скорости V 0 тако.вы, что i0 ~V 0 /2) .
Принимая это .во вн,имание и учитывая, что Pr ~ 0,7 --, -1, придем к заключению, что
третий член s ( 13.3.2б) численно .мал.
Отбрасывая трет.ий и чет,вертый члены в эт•ом уравнении, получим
fg,+(;~ g,у=о.
(13.3 .29)
Фу.нкцшо рμ ,можно оценить при помощи уравнений состояния р = RoPT /1-'cp
11 р = р0 = Rop 0T 0/(fJ,cp) 0 (где Ro - универсальная газовая постоянная):
-
PfJ,
То fJ-cp (Т)п (То)I-n
fJ-cp
PfJ, = P0fJ,0
=Т•(fJ,cp)0Т: =Т
(fJ,c _plo •
286
За,меним здесь Т и μер их определяющими значениями Т* и μ*ер:
_
( Т0 )1-п fl-~p
рμ=
-
--.
(13.3.30)
.
р
(1- 'cp)I)
Из (l2.5 .3'2) и (1 ·2.5 .31) следует, что
Т*= 0,5(Тет+ Т0)+ О,11(k*-1)r* М~Т0.
Для пог.ра.ничного слоя в окрес'I'н-ости точ~и полного торможения, где М 0 =0,
определяющая температура Т*=О,5(Тет+Тв ).
Для оценки Т* в каком-либо друтом сечении ,слоя на затупле.нной поверх
ности, обтека·емой сильно разогретым газом, зададим-ся, в ча,стности, значения.ми
k*= 1,3,~М8 =2 , r*= -,f 0,71~0,84:
Т* = О ,5 (Тет+ Т8) + О,11 (1,3- 1) О,84-4ТO = О,5Тст + О,6Т8• (13.3.31)
Та,ким об.разом, для рассматри,ваем-о-го -слоя определяющая температура
приблизительно такая же, что и ,в окрестности точки полного торможения.
Внося значение Т* из (13.3 .31) .в (13.3.30), mолучим
-
1/1-~'Р [
2
]1-n
PfL ____
-
(μср)0 Тст/Т0 +1,2
•
Из этого выражения следует, что при Тет/Т0 ~ 1 и п~ 0,75+0,8 величина рμ
близка к единице.
Теперь рассмотрим зависи1мость тепло,юго потока от величинырμ. Применяя
за.ко.и Фурr,е, а также и-опользуя ,выражение (13.3.6) для производной дr~/ду,
найдем
{дi) Лет(дiо) (д71)
\дуст= (ср)ст ~ ст ду ст=
где в соответствии с (Ю.3.5)
Лстg' (О) Рст V 1/0 ioo
(ср)ст (2х)'1•
(13.3.32)
(13.3.33)
Как видно, в выражение (13.3.33), определяющее ~еличину удельного тепло
вого потока, значение рμ= (рμ) ст входит в степени 1⁄2,' что уменьшает общую
погрешность, вносимую приближенным ,выбором этоr-о значения. ПоэтО1Му в ра·с-
четах достаточно принятьрμ= 1, т. е.
Таким образо:vr, получаем систему уравнений пограничного слоя:
ff"+fш=О;
Prfg'+g·" =О.
(13.3.34)
(13.3.35)
(13 . 3.36)
Эти уравн.€ния отражают •местное подо.бие, которое следует понимать ,в ' том
смысле, что в случае Pr = coпst безра3ме, рные -скорость ·Vх! V O и энтальпия io/io 0
одинаковы 1в т ех точках различных потоко-в, где одинаков параметр У], являю
щийсяпара-метромподобия.
287
Интегрируя систему обык.нове.нных диффе,ренциальных уравнений (13.3 .35)
и ( 13.3 .36) при указанных ранее граничных условиях, :можно .найти а.втомодель
ные решения для функций f(ТJ) и g('Y]), а таюке, в ча-стнюсти, для производной
g' (У\). Инч•грируя ( 13.3.36) дважды, получавм
1)
1J -JPrjd q
g('IJ)-g(0)=g'(0) .\ е о
d·~-
(13.3 .37)
o
• Численные ра ,счеты показали, что для 11-+оо вел.ичина и.нтеграла ра.вна при
близлтельно (0,5 Pr 11•)- 1
.
Поэrому, п,р,инимая во внимание, что g(ТJ) =i0/i0 0 -+l
при 'У]-+0, найдем
g' (О)= -_-
1-(дiо) = -.
1- (!.!_\
= 0,5Pr'/, [1 - g (О)], (13.3 .38)
Lов д1J ст Lов д'I] }ст
где g (О)= gст = icт/i00 ; число Pr = (ср)ст~·стП'-ст•
Внося полученное значение для g' (О) в (13.3 .32), а также учи
тывая, что g (О) = g ~т = iст/ iоб, получим
АстРстV 0г0 Рr'/з
qx=0,5
( _)'/• (i00 -icт)-
(cр)ст .2 х -
Подставляя значение Лет/ (ер) ст= μст/Рr и заменяя Рстμст на
рr.μб, а ioo - на энтальпию восстановления i,. {имея ,в виду примене
ние этой энтальпии в уравнении (13.1 .15) для теплового потока],
найдем
рV-
о t,-0
q,x = О,5Рr-'/з ---(i, -
icтJ•
(2x)'f,,
(13.3 .39)
В такой форме это уравнение позволяет, как показали исследо
ван·ия, определить с известным приближением теплопередачу •В том
случае, когда охлаждение не обеспечивает достаточно низкой тем
пературы стенки.
В ( 1,З.3.39) удобно перейти, используя ура,внение состояния, к
безраз•мерному параме'Г'ру
~-о (f'-cp)ii
--·
--
,
Pof'-o
Ро (J.~
(μср)о
В.водя обозначения
т'о
--.
т
о
(!)а= f1a (f1cp) 0/T0 , ш~=f1~ (Р·ср)о/Т~,
напишем этот безразмерный пара.метр в виде
Paf'-;;
Ра "'а
,
'
Ро
"'о
(13.3.40)
(13.3 .41)
(13.3.42)
Здесь параметры р~, р~, f1~,
•(fcp)o [см. ( 13.3 .40)] относятся к
внешней пран1ице пограничного слоя у точки полного т,орм-ожеnия
288
1
затупле нной поверхности. Внося значение Рб из (13.3 .42) в (13.3 .39)
и пр ини м а я во внимание зависимость ( 13.3 .5), найдем
qx=0,5Pr-'I, Yp~f!,~VooF(x)(i, -
ic,),
( 13.3.43)
где функция
w
V
(хрVw
)-1⁄4
О
ОЕ
О
ОО2Е
---- r s---- - -rodx
'
Vо
'
V
'
•
wa оо
оРооо"'о
.
( 13.3.44)
Р ас с мотрим изменение величины w0/ tu~
в соответствии с
(13.3.40) равной
"'0
__
f\,
(/J-cp).,
Т~ -( Т~ )l-n (/J-cp\
w~
-~•
(/1-ср)о • т;- Т: (μср)о •
Это отношение меняется от единицы в точке торможения, где
Тс' = Т6, до значения в некоторой точке поверхности
00
~
~[т~(1+ r~' k* - l м~) / T~]l-n (/1-ср).; •
w0
2
'
(/1-ср) о
-
П р и оильном разо греве газа за ударной волной числа Мб во вн е -
шне м потоке невелики . Следовательно, температ у ра То , как след у -
'(
k*- 1 )-1
ет нз выражения Ta=TG 1+r* - 2
-
М~ , мало отличается от тем -
пер атуры Т0' в точке полного торможения. Например, для Мб = 2 -
Т0=Т~(1+ r':,-k*; 14( 1.
Приняв ориентировочно r*= 0,84 и k*= 1,3 , найдем То = Та'/1 ,5.
В 00011ве тствии с этим
w
(/J-cp)
-"- = (1,5)1- п __о.
w~
(/J-cp)o
При n = 0,75--:-0 ,8 эта величина примерно на 10% больше единицы.
Если учесть, что отноше н ие ffio/wo ' входи т в выражение (13.3 .44),
определ я ю ще е теплопе р едачу, примерно в с"Гепени 1⁄2, то п огреш
ность в резуль т ате за м е н ы wo/w o' = 1 будет составлять всего не
сколько процентов. В соответствии с эти м фун к цию (13.3 .44) напи
шем в виде
V2 Ро Vo е(SxРо V0 2е )-l/
2
F(x)= -
.-
, -ro_
-
,
.-
rodx
.
2
Ро Vоо
Ро Vоо
о
( 13.3 .44')
Таким образом , для определения удельно го теплового потока в
к ако й-либо точке поверхности заданной формы необходимо знать
10--967
289
ра,спределение скорос'!'и и давления на всем ее участке ме жду точ
кой полного 'I'орможения и рассматриваемой точ1юй. В ч а1стности.
для расчета теплопередачи в точках поверхности вблизи точки тор
можения можно принять
(13.3.45)
а такж е считать согласно уравнению (9.4 .74) при усл овии заме,ны
ВнемV'xна'Vб
(13.3.46)
гд е градиент ско рост.и л находится при помо щ и одного из выраже
н:ий: (9.4 .72) или (9.4.78). С учетом (13.3.45) и (13. 3 .46) фушщия
F- V2 1х •(J.x1х _2,
,
)-
112
---.--х
--х ах
.
2
voo
voo
о
По,сле интегрир овани я
г ------
F=Fo= 1/ (\/1/00)(s+1).
(13.3.47)
:Внося это в ( 13.3.43) и вводя обозначение qx = q0 для теплового
потока в точке полного торможения, найде,м
(13.3.48)
В этой формул,е в энтальпию включено ускорение аилы тяжести
f;"=9,81 лt/сек 2, так что ее размерность будет ккал• л1/ (кГ•сек 2 )
{4 ,19-103 дж-м/(кг • сек 2 )]. В тех случаях, J{огда вычисляем а я эн
тальпия имеет размерно1сть .м 2/с ек 2 , это ее значение при подст ан овке
в (13.3.48) необходимо разделить на механический эквивалент теп-
ла А=427 кГ.м/ккал (4,'19 дж/ккал).
•
Величину теплопередачи - qx в произвольной точке поверхности
удобно оценить при помощи безразм·ерного параметра, определяе
мого из (13.3.43) и (13.3.48) в в.иде
q.x fq0= VVоо/[;:(е+ 1)] F (х).
( 13.3.49)
Так·им образом, тепловой поток ,в произволыiой точке кр1шволи
нейной поверхност,и ~ависит непосредс11венно от его величины ,в точ
ке полног.о торможения. Определение значения qo - весьма важная
задача и потому, что такое значение соответствует наиболее тепло
напряженному месту обтекаемой поверхности. Характер изменения
удельного теплового пота.ка на траектории показа•н на р,ис. 13.1.3
(qc = q1,). Можно за.меипь, что максимальное- его значение дости га
ется на относительно .небольшой высоте (Н =15-16 клt) .
Обработка результатов численных расчетов, а такж экспери
менталъных данных при очень больших сверхзвуковых скор остях
290
позволила получить приближенную формулу для удельного тепло
вого потока <[ккал/ (jw 2 •сек)] в точке полного торможения [9]:
qO= (31 500/ VRт) VРоонfРооз(Voo/V с/'25 (1 - icт/i,), (13.3.48')
где Vc = 7,93 1и/сек - первая космическая скорость.
Энтальпия восстановления может быть принята равной энт аJ1Ь
пии 'Юрможения. Как видно из приведенной зависимости, теплопе
редача изменяется в обрат:ной зависим·ости от радиуса сфериче.ской
поверхности (qo ~ 1/1/Rт , где Rт -- измеряется в метрах). В соответ
ствии с этим прит,ок тепла в точке полного торможения можно
уменьшить за счет у,величения этого ради уса. На•именьшее значение
q0 достигается в центре Елоского торца. В этой точке невелик мест
ный градиент скоростм л, величина которого определяет удельный
тепловой поток. Согла,сно экспериментальным данным для плоско
го торца_
( 13.3 .48")
1 Значение q0т можно также найти приближенно из ( 13.3 .48') по ве
личине эквивалентного рад,и у~ а Rт8 (см. § 9.4).
Полусфера
В качестве ·иллюстрации рас:смотр,им применение (13 .3.49) для
вычисленшr тепловою потока на полусферической повер х ности.
Гlринимая в формуле (13.3 .44)
( 13.3.50)
а также учи т ывая , что в ~соответствии с (9.4.74') и (9.4 .76) на боль
шей части сферического носка.
(13.3 .51)
Р&
Роо..
-
,
=
cos2ер+-,- sш2ер,
Ро
Ро
( 13.3 .52)
найдем
(,cos2 w+ р°;" sin2w\ 1R2wsin w
.
1/ 2-
'
•1т•
,
•
V
,
Ро
1
F (ер)=- 2
-
•-r
-
"' ---------1
-
112
LJ (cos2 'f + ;~ sin2 'f) } R~Y oo'f sin2 'fd'fJ
Под,стасr3ляя это выражение в форм улу ( 13.3.49), в которой п р и-
нимаем: 8""' 1, получ.им
•
/
р
\
'f sin 'f ( cos2'f + р~ sin2'f)
2
[%(
р00 )
]
1
/
2
~ cos2'f+р~ sin2'f
'f sin2 'fd'f '
10*
291
Обозначив
D(<p)= 16 f(cos2 <p+ Р': sin2 <p) 7 sin2 <pd<p,
0,
Ро
(13.3.53)
пол у чим
qx =2<р sin <р (cos2<р+ Р":' sin2 <р) [D (ср)Г112•
qo
Ро
(13.3.54)
Напомним, что по формуле (13.3 .54), как и по други м аналогич
ным завиаимостям, •распределение тепловых пото1юв след у ет рас
считывать для условий обтекания с достаточно большими сверхзву
ковыми скоростями . При Э'ГИХ у,словиях должно быть выполнено
нерав~н,ство Poof Po' <0,03-:--0,04. Приблизительно такие же ,результа
ты получают, если воспользоваться эмпирической зависимостью
qx/q0=0,2(1+ 4 cos2<р).
( 13 .3.54' )
Характер изм енения вел1ич.:_ины qx/q0 показан на рис. 13.3 .1 . Дан- ,i
ные на этом рисунке получены при условии, что ,в каждой точке
сферичес1юй поверхности температура -стенки постоянна и доста-
точно низка (Тст/Т6 ~ 1). Э'Ги данные соответствуют теоретическим
и э~сперим,ентальным результа:там, согласно кот.01рым т-еплопереда-
ча достигает маюсимума ,в точке полного торможения и монотонно
уменьша-ет-ся на удаленных участках полусферы вследст,в,ие сниже-
ния давления и ПЛО'ГНОСТИ.
292
20
40
60
80
ер, граа
'!нс. 1'3.3.1. Изменение о·тношения удельных тепловых
потоков для сферы ,и плоскот-о торца (ламинарный по
граяичнь1й слой)
t:
По из,в-е.ст.ному распределению удельных тепловых потоков ,мож
но найти ,их ,сумма ·р.ное значение для части или полной поверхности
полусферы (рис. 13.3 .1):
Q = sqxdS = 2nR~qo Г (qxfqo) sin 'fd'f.
(S)
d
Для части поверхности угол (fJ<n/2, а для всей полусферы сле
дует принять •([J = -л/2. Внося под интеграл звачение qx/q0 из
( 13 .3 .54'), можно получить простое соотношение для расчета сум •
марной теплопередачи на сферической поверхности. Для ([J=l=n/2 его
величина Q= Q0q, где Qo= 2nRт 2q0 - тепловой поток, ,рассчитанный
для пол ус феры по удельному тепловому пот,оку ,в т,очrое полного
'Р
торможения; коэффициент q= 0 ,2 r (1 +4 cos2 ер)· sin cpd'f. Этот
r
d
' коэффициент изменяется в пределах O~q< 1.
Затуппенныlf конус
Рассмотрим ра,счет тепловою потока на поверхности у1сеченного
кону,са со сферическ1им носком (рис. 13.3 .2). Примем, что на кониче
ской поверхности <<:невяз-
кие» параметры газа по
стоянны и равны ,соответ
ствующим значениям в
конце носка сферической
формы. В частности, с ко- v... (М. ..)
рость
--...
V,,=),Rт'f,;=лR., (n/2 - ~к),
(13.3.55;
где Вк - угол наклона об
разующей 1юнуса.
Отношение давлений
Рис. 13.3 .2 . Конус ,с затуплен ным сфер,иче
·СI~им .НООКО,М
Р;,
2
,
Роо•ry
• 2А+Роо 2А
-
,
= C OS 'f'кт -,- ыn-срк= SIП l-'к -
,-
COS l-'к·
Ро
Ро
•Ро
(13.3 .56)
Для одного из геометрических параме11ров, а и'Менно радиальной
координаты произвольной точки А повер х ности ,кон уса (рис . 13.3 .2),
МОЖIНО НаПIИСать
(13.3 .57)
где Хк - ра,сстояние вдоль поверхности, отсчитываемое от вообра
жаемой вершины острого кон у.са до рассматриваемой точки:
Хк=Х - Rт'fк+Rт tgfк•
(13.3 .58)
293
ИЛИ, УЧИТЬ!ВаЯ, , ЧТО <fl1; = 'Л/2 - ~К'
Хк=х-Rт (;r,/2-~к) + R, ctg~к·
(13.3.58')
Найдем значения ф ункции F (х). Очевидно, ,интеграл в ( 13.3 .44'),
.вычисляемый в пределах от О до х (х - криволинейная координата
точки А), находится как сумма двух интегралов: одного с предела
г.нr от О до х=Rтr:рн= ,Rт (л/2-Вк) (или для углов - от О до r:рн) и
другого с пределами от Cf!1<Rт до х. Оченидно, один интет,рал соответ
~тв у ет значению теплов _ого пото1,а в конце сферического участка
(и.rrи, что то же самое, в начале конической поверхнос11и). Понятно,
что распределение теплового потока на этюм уча,стке такое же, как
.и полученное ранее для полус,феры. Учитывая сказа'lfное, ,находим
функцию F(x) (13.3 .44') ,в следующей форме:
F()-V2(2 _LРоо •2)'RХ
Х-
_
COS <flк 1 , S111 <flк л т<flк
2,
Ро
х cos,,x, v~'I'} и·(cos' •+ ;; sin2.) lR~ sin'•d•+
х
~
+ ~ (cos 2 <flк + ;~ siп 2 ер~) 1Rт<fiкr5dx] • (13.3.59)
~~
•
( 13.3.60)
Введем ,обоз.начение:
-:
16 ('
?
р00
•
2)-3
3
2
О(xJ =
-
3- COS - <flк + р~ SШ <flк (Хк - tg cpJ <flк COS <flк• (13.3.61)
где хк=Хн/Rт, с учетом которого подстановка (13.3 .59) и ( 13.3 .49)
при в = 1 при.водит к зависимости
.
qz =:г·. (cos2 ~к+!..c;:.-sin 2 9к)x,_<f>KCOS9к/ VD(r,J+O (хк), (13 .3.62)
qo
Ро
здесь функция D(r:pк) определяется по (13 .3.53) для r:p = CfJк-
294
.,
r:I!
J~..,
• След уе т\ подчеркнуть, что уравнение (13.3 .62) П1ригодно лишь
для конической поверхности, т. е . для значений X1, = Xк/Rт ~ tg (J)к•
-В точке соп ряжения сферического носка и конуса, т. е. при хк =
=tg <pн, выражение (13.3 .62) согласуе11ся с уравнением (13.3 .54).
Для участков конической поверхности, расположенных вдали от
этой то чки (хк~ 1) ,
V.
,;-1-
qr
-
/
16-3
?
у3 'Рк ('3363)
-· --. 2х CD СОSФ
-ХкФ cos-r.o = -- v
-=-- .
1••
qo
ктк
Iк
З
Iк
,к
2
Хк
При выводе формулы ( 13.3 .63) принят,о, что для весьма длинно
го конуса влияние затупления мало и такой конус можно рас-смат"
Чх/Ча
о.в
D,6
D,4
D,2
а
~."'--
1
!
f-
·,
iС:2-:т1'·
'\\
о
.
r~
~ --~
f3к'40
.._, _
JDO
-
---
-
2D'
:
~...:.
--~
---
-
.
f3к=00
0,4 0,8 1,2 1,5 2,0 2,4 Х= Х/Rт
Рис. 13.3.3 . Распределение теп лового потока вдо л ь
п оверхнос~и затупленного кону.са, обтекаемого
сверхз вуковым потоком (при наличии лиминарно-
го пограничного слоя):
-
по (1 3.3.54); ----- - по (1 3.3 .62);
-
-
-
-
по 13.3 .63)
ривать условно как зао стренный, для ко-r-орого давление на носке.
Ро' = Рб и, следовательно, Ро!Ро' = cos2 <рк+ (Pool Ро') sin2 <рк ~ 1. Заме
штя в соот,вет.сrвии с эт,им условием ро' на Ро = Рк и μо' на μо = μ1, ,и
полагая в = 1, получим .из (13.3.48)
qo= (V2/2) Рг-213VРкf!-,:~ (i, - iст ) .
Поэто м у на уда.пенных участк ах такой «эквивален1шой»
ной кон и ческой поверх нос11и тепловой поток
=061Р -21зV -:: /- (: -·
)
qк,
r
Ркflк Л<fк Хк 11
lст ,
заос1iр е н -
(31.3 .64)
где Рк, р,к - плотность и динамический коэффициент вязкости на за
остр енном конусе.
Распределение тепловых потоков, вычисленное по ( 13.3.54),
( 13.3 .62) и (13.3 .63), показано на рис. 13.3 .3 . Из этого рисунка ,вид
но, что при углах ~к, равных 30 и 40°, распредел·ение теплового по
тока на затупленном и эквивалентном конусах практически одина-
295
ково, в то время как на поверхности тонких затупленных тел теп-
•
ловые потоки меньше, чем на пов ерхности соответствующих
«эквивалентных» конусов.
•
От «эк,вивален1'ного» конуса можно перейти к обычном у з а ост
ренному, если в формуле (13.3 .64), в которой хк=Хк/Rт, заменить
irpнRт = (дVь/дх)х-+оХ = Vь на величину скорости Vк !На конической
поверхности. В соот,ветствии с этим для обычного заостренного ко
нуса
(13.3 .65)
Хк
Суммарный тепловой поток на конусе Qн=2л Jqкrdx. Посл е подс та
о
новки сюда qн из формулы (13.3.65), полагая в ней Хк = Х, получим
(13.3.66)
где Sк = лх,/ sin Вн - боковая поверхность конуса с длиной образу- t
ющей Хк и у глом пол урас'!'вора Вк-
Пnоскнн торец
Исследования показ ывают , что т е пловы е поток,и к плоско й по
верх.но.сти меньше, чем к сферической. Это объяоняет,ся н е только
меньшей поверхностью торца, но и более ин"ГеН1аивным тор може ни
ем потока на нем, что, в частносz.и, приводит к существ енно му
ум еньшеНJию скорости и град,иента 'А -на внешней границе по гран ич
ного ·СЛОЯ.
Бели картина распределения параметров обтекания-извест на, то
приближенный характер изменения отношения qx/ q0 можно опреде
лить с помощью фор.мулы (13.3 .49), в которой надо прин я ть r0 =x.
На рис . 13.3.1 показаны рез ул ьтаты расчета этого изменен ия для
нескольких значений величины роо/р 0', которым соот,вет,ств уют раз
личные скор-ости набегающего потока . При очень больши х числах
Моо (отношение плотностей для точки полного торможения роо/р 0' =
= 0,05) уделЬ!ные тепловые потоки возраст,ают- при приближ ещш к
острой кромке торца. Это объясняется влиянием давления 111 плотно
сти, которые в этом месте претерпевают небольшое юнижение , оста
ваясь по величине достаточно большими .
При онижении скорости обтекания харак-гер ра-спред елен ия
удельных тепловых потоков изменяется (кривые, со.отв-етств ую щие
значениям роо/ро' = О,15; 0,25; 0,35). До некоторой величины х=
=х/Rт< 1 отношение qx/qo увеличивается, дос'!'игая при определен
ном значении х, зависящем от числа Моо, максимальной величины ,
а зат,ем с-нижает,ся. Это сниж·ение объясняется тем, что вбли зи ост
рой кром,ки при сравнительно небольших скоростях обтекания
уменьшен111е давления может оказать решающе е влияние и, несмот
ря на рост !Сiюро.сти , тепловой по-ток после достижения нек от ор ой
наибольшей •величины начинает снижаться.
296
§ 13.4. ДИФФУЗИОННАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА,
Для количественной оценки диффузионной теплопередачи ,необ-·
ходимо в общеы случ;:~е решить систему уравнений погранич ного
сJюя, включающую у равнения движения и энергии ( 13.3.1), а та кже
уравнения диффузии (3 .2 .4). При сделанных в § 13.3 предпосыл ках
урав нения движения и энерnии в переменных 'У], х (13.3.5) .имеют вид .
( J3.3.35) и ( 13.3.36). Рассмотрим у равнение диффузии примени
тельно к условиям течения в «замороженном» пограничном слое.
Такое течение, как отмечалось, характеризуется малым,и скоростя
ми рекомбинаций, которыми можно пренеб.речь по сравнению со
с1<01ю-стью дифф уз ии поперек линий тока. Концентрация атомов в.
таком «замороженном>> пограничном слое .определяет,ся диффузией
Еещества к ст,енке, _ где и происходи т рекомбин ация . В этом случае·
концентрация не является равновесной, оп р еделяемой локальн ыми
значениями температуры и да-вления. Распр_еделение концентрациw
~У и температур практ11 чес1ш не зависит друг от друга.
Полагая в у равнении (3.2 .4) (Wхим) i =О и относя это уравн ение·
к услов,иям течения в пограничном слое путем замены производной;
д/дr на д/ду, а также принимая в нем r= ,l'o и V,. = Vy, напишем
д (PVxroc;) 1 д (рVугас;)
дх
т
ду
Раскрывая производную в левой части и заменяя Qi согласно,
( J3.1 .7), найдем
[ д(pVxro)+д(pVyro)]c- I Г (v. дс;_j_\/ дс;)=-д-( Dr де; )·
д
д ,тРо·'д,ид
д Род
х
у
х
у
у
у
В соответствии с уравнением неразрывности (2.4 .48) двучлен в
квадр 9 тных окобках равен нулю. Приниыая также во -внимание, что ,
r 0 для данно го сечеr1,ия пограничного слоя является величиной по
стоянной , найдем
(I/ де, 1 ,• де;)~_J_(1Jдсг)
р,,.
1 V,,
-
р
·
•
дх
оду
ду
ду
( 13.4.1}
,Еtля атомарного компонен та уравнение ( 13.4 .1) примет вид
(V -~
-1_ V ~)=-д ( LJ!2. ).
рхд1!Jд
дрд
х
у
у
у,
( 13.4.2):
Для молекулярной составляющей уравнение диффузии будет по
форме та1шм же с заменой ел на c~,r, что следует из условия ел=
= !-см.
297
Преобразуем уравнение (13.4 .2) к переменным 11, х, принимая во
mшмание значения операторов (13 .3 .15) и (13.3 .17):
PP1Y~[J, т~'( дf
.
д~л- J_
.
дел-д!
.
дел)=
0
д'Уj дх 2х д11 дх д·q
=~- --
p2D_A
_
.
pV2r2'
д(-де)
2х
д11
д11
Полагая, что концен-грация и профиль скор,ости являются только
·ф ункцией 11 (рассматр,ивается автомодельное решение), получим
Р[-L / дел -1--__i_ (r2D дел )=о.
00
д·q ' д11
д11
Введем безразмерную зависимую переменную:
z ("q) = ел/еЛо•
(13.4.3)
Пр еобразуя уравнение диффузии к э11ой .переменной в п ред п оложении, что
f)μ =p 0 μs, а число Шмидта Sc=~t/(p.D) я,вляется постоянным и ра·вным е-го зна
чению н а стенке, запишем
Scfz'+z" =0,
(13.4. .4)
где штрих оз-на:чает диффере,нцирова-ние по 1'].
У,равнение ( 13 .4 .4) по фор'11е такое же, как и ( 13.3 .36), ,с той разницей, что
число Рг за -менено число,м Sc . ,Граничные условия для фу,н кц,и,и z , при которых
решается ура внение ( 13.4.4), будут аналогичны граничным условиям для функ
ции g [ом. (13.3 .23) и (1 3.3.24 )], т. е. пр.и 1']=0(у=0) величяна z(O) = Zст =
= Слст/сл 0 , пр,и 1']-+оо( у-+оо) фу1ыщия z( oo)-+l, а прои зводная дz/д'1']-+0 .
Двойное интегрирование ( 13.4 .4) приводит к у равн ени ю, аналогичн-ому
{13.3 .37):
1)
11 -Sscfd'f/
z(11)-z(О)=z'(О).)е о
d·q.
о
~тчитывая эту аналогию, 01Предел.им при 1']-+= .интеграл;
У/
1) -fScfd71
_\'е о
d'Yj = (0,5 Sс113Г1.
о
Прини м ая во внимание, что при 11-+оо функция z(11)-+l, .на ход и,м
z' (О)= 0,5 Sc113 (1- z (О)].
(13.4.5)
(13.4.6)
Од,нювременно можно найти .прои:э;вод:и.ую z' (О)= (дz /д1 1) ст, во . спользова ,в
шнсь •соо11ношением из хи,м.ической кинетики для оп·ределения колич е-ства ,в е ще- _
ства, выделив ш егося на стенке в -результате каталитической реакции
(13 .4.7)
где kст - константа ,с'корости каталитической реакции.
Это 1юличество вещества равно диффузионном у потоку (по абсолютной ве
.1и чи.не):
-(дел ) -(дz)
Qст = РстD -д-
=
РстD -д- еAt,.
!J, СТ
УСТ
298
С ледо вательно,
(~) ='::т .сАст =k~тz(О)
дуст D ело
D
или в nеремен н ых 11, хсогласно (1'3.3 .5)
z'(0)=(~ )
= ( ~ ) (}Jj____)
= (2x)l/2
д·~ ст дУ ст д11 с.т V1,1·0
kст
. --= - z (О). (13.4.8)
РстD
Решаб1 систему уравнений ( 13.4 .6) ~ (13 .4.8) относительно z(O) и z' (О):
[ (2х )112
kст
l-l
z(0)=Zст=
-
--
•
l/З-+l
;
V 0r0
0,5 Sc РстD
(13.4 .9)
z'(О)=О5Scl/3 1+__в_о_.
,;::, с Рст
[ VГе О~S1/3 l{i-I
'
(2х )1/2
kст _
(13.4 .10)
Вел нчи,ну удельного поl'ока тепла, выделившегося при рекомбинации на ,стен
ке, можно получ ит ь из (13 . l .8) . Оп ределяя тепловой поток rпо абсолютной вел.и
чине, найдем его текущее значение:
или, принимая во внимание, что (дсл/д11)ст=Сл 0 z'(О), получим с учето:11 значе
ния (!3.3.6) для (дч/ду)ст зависимость
·
-
-
1-
Vвr~ 0,5Sc113 rc-J5 ]-l
qд = 0,5Sc113Dp2.V1,г0(2xГ112 1 + -_--
· - ----.
см(iл - iм)·
х
с1
L
(2х )1/2
kст
(13.4.11)
Из получею-1ь1х выражений следует, что в предельном случае, со
ответствующем бесконечно большой скорости рекомбинации (,стен
ка каталитическая, коэффици•ент каталитической реа,кции kст-+оо),
вели чи на z(0) =0 и, следовательно, концентрация ,на стенке равна
н ул ю . В соо'r.В'е'!'ствrии с ( 13.4 .11) при таком бес1юнечно быстром ка
та лиз е тепловой поток
(13.4 .1? .)
Т ак,им образом, в ра,ссматриваемом предельном случае атомы
дости га ют стенк·и даже пр·и условии нулевой концентрации на по
вер хно сти. При это м вьщеляе11ся ма.~симальное количество телла,
обус ло вленное рекомбинацией этих атомов в молекулы. В другом
предельном •случае бесконечно .медленной каталиТJической реакции
( сте нка некатал:итическая, flcт-+0) концентрация на -стенке остает
ся та1юй, ка.к ,и на внешней границе, т. е. z(0) = 1. В этом случае по
ток атомов за ,счет д:ифф уз:ии равен нулю и, следов а тельно, допол- .
нит ельн ое тепло не выделяется , т. е. qдх =0. Эт от же результат сле
ду ет из (13.4.11) , если принят ь коэффиц и ент катали тическо й реак
ции kст-+0.
299
Произведем некоторые преобразоsания в урав·нении ( 13.4.1 1) .
Полагая Рстμст = РбЩ и вводя отношение Рб~tб/(ро'μо1 ) согласна
формуле ( 13.3.42), в которой принимаем Шб/ffio' = 1, напишем
-2/3( ,)
,V,,
0,5Sc
Pr/Po V0г0 PQl,'o
О 5 Sc113p2 DV,г'
А='
СТ оо
с2:х)112
[ 2 J(р01р~) V0г~'dxг2
(13.4. 13)
или в соо'Гветствии с форм улой (13.3 .44) для ф ункции l;(x) - выра-
жение
А=О,5 Sc - 2/ 3 V p~~~vooF (х),
в котором число Sс=~ст/(Рс".О).
Учиты вая ( 13.3.13') И принимая ВО внимание, Ч'Ю
а также вводя энтальпию диссоциации
iD= сАtiхим = сAou d,
(13.4 .13' )
(13.4 .14)
(13.4.15)
где u d - хара ,ктер истичсская энергия диссоциации (см. (1.6.9)], на
пи шем вместо ( 13.4.1 1) 'Выражени е
(13.4 .16 )
где каталJ1тический коэффициент
<р = [1+(А/Рс-Ат)J-1•
(13.4.17)
Этот коэфф ициент- уч итывает влия ние кон ечной скор ост.и реком
бинащии, так как ,в его выражение входит пара.метр kст- Очевидно,
при ,kст-+оо значение ср-+1 (случай бе-сконечно быстрого каталнза ) ,
а при kc•r-+0 з н а чение ср-+0 (,ст енка неката л итическ ая).
Для условий течения вблизи 'Iiоч1ш полного торможения из
(13.4 .13') с учетом (13.3.47) получим
(13.4.18)
аи з (13.4.17)
<р=<ро=[ 1+0,5 sc-2/3 vp~~~)_ (Е+ 1) / (Pc-AJ -
1
•
(13.4.19)
В соответ·ств ии с этим теплово й пото к в окр ест,ност:и точки пол
ного торм,о жения
(13.4.20}
В·этих соот-ношениях е=1 для тел вращения, е=О для профиля
крыла.
300
Полный уд ельный тепловой поток к стенке будет найден, ,если
т епло от диффузии q дх сл9жить .с теплом от молекулярной тепло
проводно сти qтх- В общем в иде величина этого теплового потюка
оп ределяется уравнением ( 13.1 .12), которое перепишем в форме
_
- --~(__Е!:__) [ _ (дсл/дУ)стUл - iм)] -
qк-qтх+qдх-
1
с,•д)
(ср)ст ду ст
(ul/ У ст
1
(qкke=l 1
-
РстD ( д;А) (iл - iм).
уст
1
qк=qдх
1
Пр•инимая во внимание (13.1 .8) и (13.1.I3);напишем
qк-(qкke=l 1 - -------+
---
'
_
[
(дсл/ду)стСiл ·- iм) qдх]
(дi/ду)ст
(q,JLe=l
(13.4.21)
:где (qкke=I -у дельный тепловой поток, соответствующий значе
JJшо Lе=РстD(ср)стj)'ст= 1.
С учетом (13.3 .43) и (13.4 .16)
qк-(qJLe=l 1
.
+
.
.
•
_
1 _ (дсл/дУ)стUл--iм) (~) -213
cpiD ]
L
(д~/ду)ст
Pr
1,-
lст
Оценим значения производных (дсл/ду)ст и (дi/ду)ст> полагая,
что на холодной стенке концентрация слст=О:
(~) ~~,(~) =(~) ~ io0-icт
дУ, ст .о
дуст дуст
о
о
где о -толщина пограничного слоя; ioб=i+ Vx2/2.
Учитывая эту оценку п~роиз•водных и принимая во внимание, что
Le=Pr/Sc и cлr,(iл - iм)=iD, найдем
( 13.4.22)
Для произ-вольной точки на обтекаемой поверхности тепловой
поток (qк)Le=I находят из ( 13.3.43), а для точки полного ТОР'може
ния - из ( 13.3.48). Коэффициенты ер определяют,ся ооответственно
из (13.4 .17) и (13.4 .19). Значение iD выч,исляет,ся такж-е в за,виси-
мо,сти от положения рассматривае,м,ой точки ,на стенке: iD=ua.[cл5-
-
(сл)стl• Для бинар :юй смеси можно принять Cлo=rt, 0 и (сл)ст=
= аст• следовательно,
( 13.4.23)
Для ра,счета iD диссоциирующего воздуха, который рассматрива
ется в виде б:инарН'ой смеси атомов и молекул, можно воспользо
ваться зависимостями (1.6.21) - (1.6 .24).
301
1.
Число Le определяется для условий в точке полного торм ожения
и принимается постоянным для всей повер хности. Из формулы
( 13.4.22) .вытекают зависимости, соотsет,ствующие двум предельным.
случаям теплопередачи. В перво•м из этих случаев, .когда обтекае
мая стенка не1(аталитическая (/~ст-+0, ср-+-0), д'Иффузионная т е пло
передача отсутствует и тепловой поток к поверхности, возникающий
только за счет теплопроводности,
qк(k .-.o)=(q")1,e-1(l-.
iD_)•
(13.4.24)
с1
lr- lст
,
Во втором случ ае, когда стенка ка11алитическая и рекомбинация
на стенке протекает с бесконечной скоростью (kст-+ оо, ер-+ 1), пол
ный тепловой поток
qк(k -+oo)= ( q,J i,e-1 [1+(Le213 - 1) . io. ]
.
( 13.4.25 )
ст
lr- lст
Отношение количества тепла qк (13.4 .22), выделяющегося при
конечной скорости рекомб.инации, к тепловому потоку qк(kст- оо >
в случае бесконечно быстрого катал.иза
qк
1 + (Le21 3'f'- 1) TD
q= ---
----~
(13.4.26)
qк(kст-+оо) 1 + (Le2/3 - 1) 1⁄4J
Где ~=iDf(i, -icт ) .
Рез ультаты выч!исления по ( 13.4 .26) отношения тепловых пото
ков для точки полного торможения в зависимости от скорости набе
гающего потока V"" !И константы скор.о,сти каталитической реакции
kст ,показаны . ,на рис.
q г--1---,---=::=t~JiP--i 13.4.1. Эти результаты
указывают ,на то, ка.к
J
п
ш
важно учитывать ко
нечную скоро:сть ре
ком-бинации, и на воз
моЖJность уменьшить
теплопередачу
путем
применения -обшивки
из некаталитического
материала. При такой
обшивке малые скоро
сти
реко мбинации,
свойственные sоздуш
ной -среде, изменяют,ся
а . ____.,__ ___..__ ____._ _ ___ ,
1
1D
1oz
10J
• нез:Iачительно,
что
kст,см;сек . б
б
Рис. 13 .4.1 . Из·:v1енение теплопереда'Lи ,в за ,ви,си
мосl'и от скорости полета V"" .и ,ско·рости ре
ком•бnнащш kст:
/ - неката ,1итическая стенка (стекло); // - промежу
точная поверхность (окислы); III - катализаторы
(мета;rлы) .
302
о условливает
оль-
шее поглощение тепла
за ,счет диссоциации и,
.как следствие, сниже
ние теплового потока
к ,стенке.
Измен ение теп{!опередачи за счет диффузии в известной мере
у ч итыва ется формулой ( 13 .3.48'), которая дает сум,марное з~начеН:и е
удель ного теплового пот,ока , опр,еделяем-ого не только теплопровод
н остыо, но и д:иффуз.ионным переносом тепла ,вследст.вие рекомби
н а ции атомов на катал,ит,11ческой -ст ен к е . Если же обтекаемая по
вср х но·сть не являет-ся каталит·ичес1юй (например, поверхность не
металлической обшивки), то получаемый по формуле . (.13.3.48' }.
т е пловой поток будет несколько заниж ен . При этом неточность фор
м у лы будет возрастать с увеличением высоты, когда все больши м
ст а нонится 011клонение состояния газа от равновеоного .
В этом пара,графе была рассмотрена теплопередача s двух предельных слу
чаях раs н овесного и «заморожен ного» течений в погр а ничн ом слое. Однако
.наибо лее общим является механизм теплоп ередачи, характеризующийся тем, что
концентрация каж д ого хи.мического ко-М1Понента в пограничном •слое определяется
в соо тве'Гст,вии с у.равнением (3 .2 .4) -конеч ной скоростью хи1м:ическ-их ·реакций,
(i\'I х н ы); . Достаточно хорошо озна.комив ш и-сь с изложе нны м и сведе н иями о теп
лопередаче в ра-ссмотрен.ных п редельных случаях, можно са,мостоятельно изучить
ее -механизм •В указанно.м - более общем ,случае, когда (Wхим ) ici=O. С этой целью
следует воспользовать,ся системой (3.2 .4), (3.2.14), (IQ.1 .8). Не,кото,рые методы
и результаты решения этой системы .изложены •В работах [22, 30 , 33] .
О расчете теплопередачи в турбулентном пограничном слое. Ра
нее был рассмот рен ряд задач, с в язанн ы х с о п ределением тепло
передачи в лами н ар н ом
погра-нич н ом слое н а .кри
волинейной поверхности.
Решение этих задач
весьма важно для прак
тических целей, так как
все гда в реальных усло
виях передняя часть п о -
. верхности
омывается ла
минарным п ограничным
слоем. К тому же именно
в окрестности носка теп
лопередача оказывается
наиболее и нтенсивной.
При этом на перифе р ий
ных участка х затуплен
ного . тела - пограннчный
слой турбу ле,нтный, поэ
тому возникает необходи- •
масть оценки соответст
вующей величины тепло
t+
п
·2
,02 1-----:~- +--
-
-1444- --+- ---
-
-J
~
!%d
4- '--'--- '-"-' -- ' --- -....JL
'~
""'-•l-' -_, __
_ ,_ ..J....J~
101;2 4Б81052 46В1052
Р и-с . 13 .4 .2. Кри вые, хар актеризующие теп
лоп е редач у ·н а ц ил индре со сферичес1ш м
носком:
!?ех- Р OV 8х/μ1,; Nп/Pr=qxx/ [fJ-a ( i, -
iст)]; Р1·=0,72
пе р едачи . Для этих це лей можно воспользовать.ся системой урав
нений, аналогичной той, которая исполь з овалась при исследовани и
ламинарного пограничного слоя , учитывающей особенности турбу
лентного д,вижен и я.
Приближенно можно оценить вели ч ину теплопередачи по фор
м у л е ( 13 .2 . 16), n ко т орой коэффициен ·т трения принимается в случае
303
j
-охлажденной поверхности таким, как и для несжимаемой жидко,
сти. Ее-ли стенка охлаждается слабо, то этот коэффициент находит
ся по определяющим параметрам.
На рис. 13.4 .2 приведены в качестве и ллюстрации эксперимен
·т,1льные результаты, полученные на цилиндре со сферическим нос
ком ([44], 1958, No 12). Видно, что в интервале значений чисел Re,~
·от 4 • 10 5 до 6 • 10 5 ламинарное течение (область !) переходит в тур
•б улентное (область II). При этом теплопередача увеличивается поч
тпв5раз.
Современная ракетная и авиационная техника предъявляет по
вышенные требования 1, точности расчетов трения и теп л опереда
чи, что может быть достигнуто при совершенствовании методов ре
шения уравнений пограничного слоя. В последнее время получает
r1азвитие метод прямого решения этих уравнений
применительно к конкретной задаче. Это особенно относится к тур
<булентному пограничному слою, движение в котором имеет весьма
с~1 о жный характер и поэтому менее изучено. М~тод- прямого реше
ния уравнений пограничного слоя привлекает все большее внимание
и сс л~.дователей ввиду возросших возможностей использования бы
•ст р одействующих ЭВМ. Благодаря этому техника сложных расче
тов параметров пограничного слоя. как ламинарного, так и особен
нп турбулентного, получает все бu.1 1ьшее распространение в инже
не р ной практике.
§ 13.5 . ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКН
Равновесная раднацнонная температура
При установившемся движении летательного аппарата тепловой
режим на обтекаемой поверхности характеризуется равенством
тепловых потоков, направленных к поверхности и от нее. В этом
случае уравнение теплового баланса ( 13 . l .l) будет иметь вид
q,щ- qот=О или с учетом выражений (13.1 .2) для подводимого qпд
и (13.1 .3) для отводимого qo1· тепловых по·юков
( 13.5 .1)
Температура стенки, определяемая из услов.ия равенства тепло
вых потоков (13.5 .1) ,и соответст-вующая установившемуся обтека
нию,называется равновесной температурой.
Предположи.м, что теплопередача характеризуется только под
водом конвективного теплового потока к стенке (qпд = qк) и -отво
дом от нее тепловой энергии путем рад,иации (q 0 т = qи3 ) . При этом
_(13.5 .1) с учетом выражений (13.1 .17) для qк и (13.1 .28) для qи3
принимает вид
(13.5 .2)
Температура стенки, отт:ределяемая уравнением (13.5 .2), называ-
ется равновесной радиационной температурой ,и "
обозначается Тс1· = Те. Эта температура отличается от температуры
304
t
восста,новления Т,., ко т орая , как извест.но из предыду щего , является
температурой газа на стенке пр•и отсутств1ии тепл,опередач и , т. е . на
теплоизолированной поверхности.
Те,:-.ше1ратура Те представляет собой некоторый верхний предел
для излучающей по в ерхност и, достигаемый в том случае, когда
раз ог ретая стенка полностью излучает .всю полученную энергию .
Эта температура при очень больших тепл,овых потоках нереальна,
так как она настолько велика, что не может быть достигнута до то-
1·0, как разрушится материал обшивки (оплавление, сублимация,
сгорание). Однако в некоторых случаях ра.вновеС'ная радиацион ная
т емпера т ура может о ка::.ать ся реальной, наприм ер на повер х ности
планирующих летательных аппаратов. При планировании кинетиче
с1,ая · энергия переходит в тепловую пос'I'епен.но и интеноивность к он
всЕтшшого теплово г о потока может оказаться ора,внительно не
бо.пьшой, т а к что впо.rше реальна воэможность излучения всей п о
глощаемой энергии при той равновесной температуре, котор ая
допустима для констру :щ,1-11,.
В уравнении (13.5 .2) можн о принять коэффициент изл у чени я ,а
и степень чер,ноты s известным.и и постоянным1и ,величинами (см.
§ 13 . ] ) . Коэффициент т еплопередачи аст, средняя теплое мк ость на
стенке (ер) ст, а также энтальпии i,. и iст являют1ся для диссоцииру
юшего газа фу.н кциям,и искомой температуры Тст=Те, а также за
дmшого давлени я р 6 . Таким образом, общее число отыскиваемых
переменных будет пять, след овательно, уравнение (13.5.2) должно
быть дополнен о четырьмя независимыми ура,внениями для опреде
ления: аст, (ср)ст, i,. и iст -
В случае ламинарного пограничного слоя со·глаоно (13.1 .17) и
(13.4 .22) уравнен не для аст напишем в виде
(ср)с,qк
ает = ---
iг -- ie,
Ур а внение для (ср ) с г и i ст представим ,в общей фор.ме: -
(13.5 .3)
(ср)ет=/1 (Р0, Тет);
(13. 5.4 )
ieт=f2 (P0, Тет!,
(13.5 .5)
где f1 и f2 вычисляю тся прп помощи таблиц или графиков термоди
на~,,ических фунюшй воздуха при высоки х температура х .
Энт а льпия восстан::>вления
(13.5 .6)
где коэффициент восстановления r = fз (ра, Тст) наход,:ится как не к о
торая функция fз давления Р6 и Тет при помощи формул (12.5.20) и
( 12.5.2 1).
Решен~Ие ,системы уравнений (13 .5 .2) - (13.5.6) позволит найти
равновесную радиацион н у ю температуру обтекаемой стенки при
нал:ичии .т~ам.инарного пограничного слоя в диссоциирующей газо
во й ср еде. Применяя вместо ( 13.5 .3) ура,внение для турбулентной
11 --967
305
теплопередач·и, можно найти температуру Тст = Те в случае турбу
лентного пограничного слоя. Такое уравнение было, в частности,
получено выше для условий обтекан,ия плоской пла,стишш.
Решение оистемы уравнений (13.5 .2) - (13.5.6) осуществля,ется
методом последовательных приближений. При этом заданными яв
ляются скорость полета V"° ( ,или число Моо) и высота Н, по кото
рым рассчитывают параметры «невязкого» обтекаНiия поверхности
(давление Рб, плотность Рб, температура Т6 и др.).
Ч11обы найти температуру Тст= Те в какой-либо точке этой по
верхно с11и, определяют для нее в качестве первого приб.'!ижения
энтальпию ir (13.5.6), принимая согласно (12 .5 .22) r=rл=0,84 (ла
минарный пограничный слой) или r=rт=0,89 (турбулентный погра
ничный слой), и находят соответствующее значение Т,. как функцию
ir и Рб· Затем задаются несколькими значениями температуры
Тст<Тr и соответствующими велич,инами icт<ir. Для каждого из
эт и х зна чений Тет Uст) подсчитывают в первом пр·иближении ах,
(е р ) ст и определяют разность тепловых потоков:
[a.x/(cp) cтJ (iг -icт) -sJ Tiт =qcт •
(13.5.7)
По полученным данным составляют таблицу или строят к,ривую qст
от Тет - Полагая qст=О, опредfляют при п омощи интерполяции таб
личных да1нных ил,и на графике температуру Тет= Те, По этому з,на
чению температуры стенки можно уточнить коэффициент r и эн
тальпию ir, определить -в следующем приближении коэффициент
теплоотдачи ах и удельную теплоемкость (ер) ст, а затем повторить
вычисления ,с использованием уравнения (13.а.7) до получения зна
чения Т ст = Те с заданной степенью приближ,ения.
При решении указанной задачи энтальпию iv в ( 13.5.3) следует
определять пр.и помощи формулы ( 13.4.23) , в которой в соответст
вии с табл. 1.6 . 1 -может быть выбра1н для воздуха параметр иv =
=3 - 107 м 2/сек2 , а а6 и аст - рассчитать п о соответствующим ,сред
ннм ,молекулярным весам:
a 0 = f1cpoo /f1cpo- l; аст = f!.сроо/f!.ср.ст - 1,
где для услов,ий набегающего потока μсроо = 29,27.
•
Приближенная оценка температуры Тст= Те указанным методом
может быть осущест,влена в предположении, что числа Р1·, Sc, Le
выбираются .ра1В'ными некоторым фикоированным значениям, в ча -
,стности: Pr=0,64; Sc = 0,49; Le = 1,45.
•
Более прост,о вычисляют температуру Тст = Те для пластин к ,и
и к он у ,с а, обтекание которых хара.к-геризуется постоянными зна
чениями «невязких» параметров газа на их поверхности. Лри этом
равно,весную ,ра~иационную тем п ературу можно раосчитать .мето
дом определяющей энтальП1ии (температуры). Такой .расчет можно
вести также с учетом смешанного пограничного сл·оя ·на обт,екаемой
пове1рхнос11и, используя для определения параметров трения и теп
лопередач~и соответствующие завис-имости.
306
При ламинарном погранич ном CJlOe равновесную радиационную
температуру вычисляют в ок1рестности точки л о л ног о тор м о
ж е н и я сфер ы. Это можно сделать в результате решения си
стемы ура.вне.ний, получен ной из соответствующих зав,исимостей,
найденных пр:именительно к условиям, где местная скорость Vб=О.
Такая система имеет •в.ид
r4
А1(• •)[1'(L2/З 1)"']
lст= -- t,-tcт -t - е
-
lD;
ecr
(13.5 .8)
f!-ср -ст_:__ fз (р~, Тет); Рст= P~f!-cp .c-г/( gRoTcт),
где коэффициенты А1=0,5Рг21зV 2p~f!,~:; A2=0,5Sc-2/Зk.;1 х
х V2p~f!,~ т.. .
(
Значения Ро', ра', μо', ir = io и 7,, подсчитывают в результате реше-
ния задачи об обтекан ии -свободным потоком окрестности точки
полного торможения.
В качестве первого при
ближения при решении си- Те, К
стемы ураsнений ( 13.5.8)
л
принимают
температуру
вао 1------+,1⁄2+~~c+-------J ---+--~
Тст<Т'о. По этой темпера
туре и давлению р'0 J-Iаходят
начальные значения iет и 700 t---+,-;.r,.,-ч----+---+---+----1
~tер.ет, затем определяют iD ,
Рет, ер и, нююнец, соответ-ст
вующую температуру Тет
Аналогично осуществля ют
последующие приближения,
которые заканчивают по до
стижении заданной точности
расчетов температуры .
В случае ум _еренных с1ю
ростей обтекания, при кото
рых можно не учитывать
диссоциацию и рас-сматр и
вать термодинамические и
кинетические характеристи
ки воздуха постоянными, .
ь
Р,ис. 13.5.1. Характер ра,епределения рав
но,весной радиац·ионной температуры по
поверхнос11и профиля, обтекаемого сверх-
звуковым потоком:
I - ламинарный слой; II - турбулентный слой;
I I I - переходная область
расчет температуры Тет= Те упрощается. В этом случае
вующая система уравнений ,принимае т вид
со ответ.ст-
ах(Т,-Тст)=еоТ:т, ax=h (Тет),
(13.5.9) •
где h - не-которая функция температуры Тет, определяющая коэф
фициент теплоотдачи.
11-*
307
Резу льт аты расч ета ,равнов есной радиацион·ной 'I'емпературы
п р и помощи систем ы ( 13. 5 .9) дл я параболического профиля при
с вер хз,вук овой скорос11и ,обтек ани я приведены на рлс. 13.5.1 . Этот
расчет пр оведен с пр,именением заниои мостей для а;, найденных
для плоской пласт.инки, .в котор ых иопольз.овались ,М естные пара-
м етр ы « н евяз,ко го» обтекани я п рофиля. П ричем влияние продоль-
1
нога градие нта да,в ле:ния не уч1итывалось и принимаЛ:ись фиксиро
ванные значения rл = О,84 и Гт = О,89, соотве'I'ствующие числу Pr =
= 0,71.
Пр и построени и гр афика, подобного изображенному на рис.
13.5 . 1, следует учест ь переходную обл а •Ст ь, в которой теп
ловые потоки меняют,ся плавно по не1юторой кр1ивой. Эта кривая не
дол жна .имет ь изломов , так ,как в р еа:rьны х условиях воз ник а ют
продо льны е пото:к:и тепла, пр1ив одя щие ,к .вы равниванию темпера
туры. -
Уравнения (13.5.9) с известным прибл,ижением можно исполь
з о ват ь для ,р асчета равновесной р а ди аци онн ой темпер атуры при
больших ,скоростях, когда необходимо учесть влияние сжимаемо
сти, дисооциа ции 1или пер еменности теплоемкостей,. если: в эт,их урав
нениях перейти к ,оцределяющим параметрам:
(13.5. 10)
где . T r* определяется ,с учетом диссоци а ции п о олр ед еляю щей эн
тальпии (12.5 .23), а ах* - ·из выражения (13.2.21).
При расчет1:: теплопередачи на пластинке л кон усе числю Станто
на Stx*, входящее в выражение для а х *, находится п о соо тветству
ющим за,в,иоимостям ( 13.2 . 19) или ( 13.2.27), свя.зывающи м ,Между
со б ой параметры трения rи теплопередачи .
А нализ уравнений для определения равнов-~сной радиационной
тем11ературы ,и 1результаты расчета позволяют ,сделать вывод , что
о сновным способом ее снижения является уменьшение отношения
ах!в. Для это й цели мюж:но, во - первых, у,меньшить коэффициент
тепл оотдачи cl x, обеспеч,ив лам,инаризацию :погран!Ичного слоя .
·Уменьшение ,ах достигается также при подъеме летательного аппа
рата на больш ую ,высоту, так как при этом нагрев снижа•е'I)СЯ за
счет падения плотнос'ЛИ воздуха. Во - вторых, .можно увеличить сте
пе нь черноты в обтекаемой пове,рхности . С этой целью наноеится
специальное покрытие, которое может увеличить в що 0,7+0,8 ~и тем
с ам ым усилить охлаждение ~излуч ением. В-озрастан.ие ,степени чер
ноты до вел·ичины, близкой к единице, наблюдается 1и в тех случаях,
когда металличеокая стенка тонкая ,и прогревает,ся до высоких тем
перату р.
Равновесная температура при наличии
допоnнитеnьных источников подвода и отвода тепnа
Расчет ра,вновесной температуры при нал1ичи!И кроме конвектив
ного и радиацiюнного тепловых потоков других видов теплопереда
чи ,веде'ГСЯ ацалоглчно определению ра1вновеонюй радиационной
308
температуры. Для такого расчета необхо~имо воспользоваться
уравнением ( 13.5 . l), которое с учетом значений для qк= ах (Тr
-Т ст) и qиз=s,оТ4ст напишем в виде
(13.5 .11)
гдеприведеннаятемпература во,сстаноs,iения
( 13.5.12)
Сум ма удель·ных тепловых потоков
(13.5. 13)
В числе составляющих в (13.5 .13) - радиационный поток qрад
к стен,ке от перегретого _!аза и тепло qаб, рассеиваемое пр.и уносе
массы обшивки , которые находят как функци~и температуры стенки.
[ Остальные компоненты можно рассматривать как -Заданные вели
чины .
,Из (13.5 .11) следует, что задача об определении Тст = Те реша
ется в принципе так же, ка,к пр:и наличии отвода тепла толь1ю излу
чением. Отлич:ие состоит л1ишь в том, что вместо температуры вос
становления Т,. -определяется ее приведенное значение Т/.
Анал,из завиоимостей (13.5.11) - (13.5 .13) показывает, что, при
i'.теняя искусственное охлаждение q0 x и используя абляцию ,матери
аJrа, при ,которой вместе с частью разрушающейся обшивки уноаит
ся некоторое к,оличество тепла q а б, можно снизить температуру
СТеНК!! тСТ= r е•
При у,меренных сверхз,в'уковых ,скоростях обтекания ,можно не
учитывать ,радиационный поток тепла qрад и тепло qаб, поглощаемое
при абля ции . В этом случае
(13.5.14)
и расчет Тст= Те упрощается, посколЬ'ку составляющие теплопере
дачи в (13.5.14) не зависят от температу~ры ,стенкш и заранее за
даны.
На больших высотах ( 100-500 км и выше) аэрод!инамнческий
тепловой поток незначителен по оравнению с лучистой энергией.
Пренебрегая рассеиванием тепла вдоль поверхности, можно счи
тать, что уравнение баланса тепла при .стационарном процессе име
ет вид
(13.5.15)
где q0 т - еолнечная энерnия, отраженная от Земли.
Практически на больших высотах тепловое излучение Земли
q3, а_ также энергию qот можно не учитывать и, следовательно, qc = ·
309
=qиз. Внося сюда значения qc из (13.1 .24) и qи3 из (13.1 .28), полу
чим
-
4
qpc COS ~ = еаТст,
откуда
(13.5 .16)
Ма,ксимальная температура будет при '\\) = 0. В фо,рмуле . (13.5 .16)
практичесыи можно в,оспользоваться постоянным значен,ием qc =
=0,332 ккал/(,11,2 -се:<) (1,39 • 10 3 вт/м 2 ). Полагая та·кже ,а= 1,36Х
XJ0- 11 ккал/(.лt 2 -се,~•град4 ) ,[5,67-10- 8 вт/(лt 2 -град 4 )], получим сле
дующую завиоимость для температуры:
Тст=395(рjЕ)11\
(13.5.17)
l
ГЛАВА XIV
ТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
§ 14.1. СПОСОБЫ ТЕПЛОВОR ЗАЩИТЫ
К: осмич.ес1<: и е с п ускаемые аппараты прл входе в плотные слои
а т мос фе ры испы т ыв а ют значительный аэродинамически й нагрев ,
т ак как омывают с я высокотемпературными потоками газа . Чтобы
н е доп устiИть р а зр ушительного воздействи я аэродинамич ес~юго
на грева на сп ус ка е мые аппа•раты, в практ,и ке ракетостроения ис
поль зуют разли ч ные способы тепловой qащиты. При этом большое
разнообразие к;онструкций таких аппаратов, а также специфиче
ские условия входа в атмосферу определяют различные способы их
те п лоза щиты.
Правильный выбор способа теплозащиты позволяет .существен
но -сэ1юном~ить вес Ксосмическюто аппа,рата, что является одним ,из
реш ающи х ф акторов, опр еделяющих целесоо бразность выбора его
конструк ц ии.
В оовременной практике р акетостр о ения существует несколько
основных с п особов за щ иты от аэродинамического нагрева: 1) п о
глощение теп ла тепловым сто ком; 2) п ринудительное охлажде ние;
3) радиационное излучение и 4) применение теплозащитных покры-
тий:.
'
Способ теплово г о ст о к а заключается .в поглощении
аэродина•мического потока q т олстым слоем не разрушающегося ма·
териала, которым пок1ры в ает ся ст е н ка летательного аппарата (рис.
14.1.1). В ка ч естве такого материала используются графит, медь и
другие материалы, обладающие большой теплоемкостью. На внеш
нюю поверхность тепло п о глощаю щ его слоя напылением можно на
нести тонк:ий слой из низкотеплопроводного материала. Наличие
экрана из такого материала существенно увеличивает излучение
теплового потока Qрад с поверхности. Однако теплозащитная спо
собность существующих материалов недостаточно высока и поэтому
вес таких теплозащитных систем велик. Например, килограмм меди
до плавления способен поглоТtИть всего 110 ккал. Поэтому ,способ
теплового стока может быть использован для тепловой защиты ап
паратов, испытывающих в полете воздействия небольших тепловых
потоков.
311
Спос6б принудительного охлаждения (рис.
14.1.2) заключается в следующем. Через пе.рфорирова~нную И J1И по
ристую стенку летательного аппарата в пограничный слой вдува
ется газ, который, нагреваясь, поглощает некоторое количество теп -
q.
Jla. Лучше ·всего для этой
цели
Р.!!,__8 •
использовать легкие газы с ма-
lf.
J
Р.ис . 14 .1 .1 . При,менен,ие теплосrюго
стока для защиты летательного
а,ппарата от на г рева::
1- напыляемый экран;· 2 - теплопогло
щающий материал; З - с тенка корпуса
.~ета т ельного а п парата; 4 - профи.аь
температуры
лым молекулярным весом, напри
мер гелий. Могут применяться
также воздух, азот и другие газы.
Раз·новидностями принудите .1ьно
го охлаждения являются пс па
р и тельное и пленочное
охлаждения, при которых
через пористую стенку ,подается
жидкость, испаряющаяся либо
внутри пористой с т енки (испари
тельн ое охлаждение) , либо на ее
поверхности (пле н очное охлажде
ние) . Жидкость должна обладать
по во зможности ма к симальной
теплотой испарения при сравни
тельно низкой 1емпературе испа
рения. Несмотря на приемлемые весо.вые характеристики расхода
жидкости или газ а, этим ,способом не ,всегда можно .воспользовать
ся из - за констр укт ивных тр удностей .
Радиационный ,способ теплозащиты отл.ичается
сравнительной простотой ее конструкции. Основным элементом этой
а)
2
з
Р и с . 14.1 .2 . С хема пр.ину,пмтель.ного охлаждения:
а - охлаж дение с по м ощью вдуваемого газа; б - испарительно е
охлаж дение ; в - пленочное испарение; 1 - пористый . материал; 2
-
вдуваемый газ ; 3 - стенка летательного аппарата; 4 - зона испаре
н и я; 5 - жидкость; 6 - жидкая пленка; 7 - пограничный сло й ;
8 - профиль температуры без вдува; 9 - профиль температуры
со вдуво м
J(он ст,р у кц и и является радиационный экран, который может пре д
ст авлять собой тонкий ,Тiист тугоплавкого металла (моЛ:ибден, вол ь
фрам, ниобий и др.) или пленку оыисла (1напрлмер, Zr02, Si02). Та
к ой экран устанавливается либо над защищаемой конструкu,:ией
( рис. 14 .1.3 , а), либо 1Неrюсредст1Венно на ней (р,ис. 14.1.З, 6) . В по
сл едяем сл у чае для уменьшения притока тепла q внутрь межд у кон -
312
струкцией и экраном ,располагают слой матер:иала с низкой тепло
пμов одн остыо, например пористую керам,ику им~ стею10. При на
греве часть тепла qрад расходуется на излучение и поэтому не
пр оисх одит чрезмерного нагрева конструкции а:ппарата.
Ис с ледования показывают, что, так как прочность известных в
настоящее время тугоплавких материалов и О1к:исл.ов СО:1Qраняется
пр и температурах, не пре,вышающих 2600 •К, способ радиационной
защиты можно ,использовать только при воздействии тепловых .по
токов, не .превышающих
примерно 200 ккал/ (jн 2 Х
Хсек) (8,38-105 вт/м 2 ).
Таким образом, обла,сть
применения этого способа
защиты ограничена срав
нительно
небольшими
тепловыми .потоками. Од
нако продолжительность
их действия довольно ве
лика и может ,составлять
100 сек и ,более.
П л енки окислов и ке
рам ика очень хрупкие
q
a:n
··
q,,,i
f./. -
J
1⁄2
Б)
2
J
q
Чраа -
Р,ис. 14.1 .3 . Схема радиационной теплоза
щиты летательного аппа1,а т а:
1 - радиационный экран; 2 - теплоизолирующий
сл ой ; 3 - стенка летательного аппарата; 4 - си ло ·
вой элемент конструкции
мат ери алы, легко растрескиваются при ,нагревании и ударных на
груз ках . Поэтому .в тех случаях, когда такие ударные нагрузки
имеются (например, :при перераопределении или изменении интен 0
сивности скач1юв уплотнения в зависимости от величины угла ,ата
ки), нельзя применять окислы или керамическую изоляцию.
Теплозащитные покрыт и я используют достаточно
з ффеrпивно как на аппаратах, под,вергающихся воздействию боль
ш их, ·но кратко·временных- тепловых потоков (баллистическ.и й
с п уск), так .и на аппаратах, испытывающих воздействле сравнитель
но небольших тепловых пот.оков в течение длительного времени
(спуск с аэродшнамиче.СI<'ИМ качеством). Реализация этого способа
защиты довольно проста. На поверхности летательного аппарата
:v~онт.и руют, приклеивают или напыляют слой достаточно низкотеп
лопроводного -матерУiала, который под влиянием теплового потока
ноrревается и начинает разрушаться. Продукты ,разрушения уносят
ся с поверхности омывающим потоком га.за, поглощая и рассеива я
в окруж ающее пространство большое количеств о подводим ого эт.и м
потоко:\1 тепла. Таким образом, унос м а с с ы .м ат ер и ал а
покрытия следует ра•Ссмат.р·ивать как важней
шее средство тепло,во{r защиты спускае.мого ап-
п а р ат а. В результате ,разрушения толщина теплозащитного по
крытия уменьшается. Подобрав соответствующую вел ичину этой
толщ ин ы, можно обес печить необходимый температурный режю1
конструкцIIи.
В за висимости от способа разрушения матер.палы теплозащит:
ных по1,рытий подразд еляют на три основные группы: сублим,иру
ющие, плавя щиеся и коксующиеся. В.се э~и процессы разрушени я
313
объединяют под общим понятием абляции, и л и уноса массы, I{OT•O·
рое имеет •исключительно важное значение в решении проблем теп
ловой защиты л етательных аппаратов. Досто и нство этого способа
3
Рис. 14.1.4. Схема сублими
рующето
теплозащитного
покрытия:
1 - пограничный слой; 2 - газо
образные продукты разрушения;
3 - сублимирующий м атериал;
4 - силовая r<онструrщия (стен
ка) летательного аппарата; 5 -
профиль температуры с уч етом
продуктов разрушения; б - про
филь температуры без у чета
продуктов разрушен ия
. защиты
наряду с высокой эффектив -
ностью - его большая надеж ность.
При этом выбор миню1альной толщи
ны теплозащитного покр ытия зависит
от способа его разрушения.
К ·СубЛИМ11руЮЩИМ относят
покр ытия, которы е разру ша ются при
нагреве с образов анием только газовой
фазы. Наиболее типичными п ред:с т ави
телями этой группы являются фторо
пласт, графит (при его разогреве до
температуры выш е 3000 К). Поступаю
щие в пограничны й слой газообразные
продукты разр ушения уменьшают теп
лов ой поток (рис. 14. 1 .4) .
К пл а вящим с я относят покры
тия, образующие при нагреве жи дкую
фазу. Такими покрытиями являются
материалы, выполненные на основе
стекла или кварц а, полимерн ы е веще-
ства, например оргстекло, по лиэ тилен
и некоторые др у гие. Образующаяся .в результате нагрева жидкая
пленка течет под влиянием сил аэродинамиче.с кого , трен ия и уно
сится ,с поверхности, уменьшая нагрев. При этом часть ра ,сплава с
поверхности пленки испаряется (рис. 14.1.5). Это испарен ие ;1ювы
шает эффективность таких покрытий, так как существенная доля
тепла расходуется .на скрытую теплоту испарения , которая, напри
мер, для кварца ,составляет 2400 ккал/кГ (1,01 • 107 дж/кг).
3)4 .
Рис. 14.1.5. Схема охлажде
lНIНЯ плавящимся теплоза -
щитным покрытием:
1 - пары расплава; 2 - жидкая
nлею{а; 3 - поверхность п лавле
ния; 4 - плавящееся теплозащит
ное покрытие; 5 - силовая кон
струrщия (стенка) ле тательного
аппарата; б - профиль скорости
дви.ження жидкой пленки
-r.( I (1"t
2~~1-<·v?(0 · ~
·~
~~"~
~~о~&
~ С.' ,,_
0•
0~оO<>1,
3
iJ.
'
5~
--
,·.
~
~~-- >"-~' , ,,
~.
", ·.>>;,.','\' '
"",'
'~
'.
Ри,с. 14 .1 .6 . Схе,ма разру-
. ше.н ,ия
коксую щегося теп
лозащитно го по.крытия:
1 - nограннчньн':'f слой; 2 -
прококсова нн ый слой; 3 - зо
на п лавления на полнител я;
4 - зона разложен ия смолы;
5 - исходный теплозащитный
материаJ1; 6 - силовая конст
рукция (стен1,а) летательного
аппарата
J
L
К к о к с у ю щи мс я относят покрытия, разрушение которых
при нагреве представляет собой процесс, сходный с газификацией
при коксовании. К этой группе коксующихся покрытий будем отно
сить материалы, выделяющие газообразные продукты в процессе
пироли за . Коксующиеся (пирол.изные) покрытия представляют со
бой компози ции из наполнителя и связующего. Примером 1юксую-..
щихся материал ов является фенольный нейлон, в состав которого
входит нейлоновая ткань, пропитанная фенольной см.олой. В резуль
тате полимер·изации смола зат,вердевает ,и пол учается ар,мирован
ный слоистый пластик. В
качестве
наполнителя
можно и.спользовать стек
ло, а,сбест r'"' графит , поли
меры и другие материалы
в виде тканей, отдельных
нитей или зерен, в каче
стве связующего - эпок
сидные и фенольные смо
лы, кау<Iуки и другие по
лимеры . Картина разру
шения такого покрытия
пред став ,1ена
на
рис .
14.1 .6. Поступающие ,в
· пограничный слой гази
фицированные продукты
коксования (пиролиза)
снижают тепловой поток.
При,мен ение покрытий из
коксующихся материалов
-
эффективное средство
теплозащиты .
у
Р,ис, 14,1 .7, Схема д,вухфазного погранич
ного слоя на оплавляющейся затупленной
по.верхно•сти:
1 - газовый пограничный спой; 2 - жидкий слой;
3 - поверхность раздепа; 4 - твердая среда; у=
=б - толщина газовой фазы пограничного споя;
У=- 0 ж- топщина жндкой фазы пограничного
слоя; rn - полный удельный унос 1'\·rассы разру
шенного материапа; q - аэродинамический поток
теппа; Т i - температ ура поверхности
Пр.иведенное деление теплозащитных покрытий достаточно ус
ловно, поскольку, напр,имер, часть распла,в.ившегося 11,rатериала, 'Как
уже отмечалось, испаряется, повышая тем самым эффект охлажде
ния. При этом может оказаться, что если тепловые поток,и очень ве
лики, а сил ы аэрод•инамическ,ого трения нез1начительны, то весь рас
плав будет ~испаряться и плавящийся материал по характеру уноса
может быть близок к сублимирующем у. И, наоборот, пр.и слабых
тепловых потоках •И больших напряжениях трения сублимирующий
матер:и а л может размягчаться и течь как ,плавящий ся.
Пра ктически для большинства ,используемых теплозащитных
материа,Тiов процесс абляц<Ии начинается с опла,вления поверхности,
в результате чего образуется тонкая пленка расплавленного мате
риала, которую можно 1назвать жид к ой (пер в ой) ф аз ой по
граничного слоя. Вторую фазуформирует газовый по
т о к, омывающий аблирую щую поверхность (р,ис. 14.1.7). На этой
стадJии подводимого тепла недостаточно, чтобы sыз-вать испарение
и тем ок азать влияние на газовую среду. Кроме того, поскольку
вязкость расплавленной ,массы велика, жидкий слой будет течь с
315
очень малым.и тангенциальными скоростями по сравнению с газом,
Напр.имер, расчеты показывают, что отношение мес'Гных -скоростей
на внешн,их границах жидкой· и газовой фаз в обыч,ных условиях
очень больших скоростей полета Vxi!Vxв~Б -1 0-4. Следовательно,
можно предположить, что поток в газовой фазе практ,ическп Н€ за
висит от налич·ия жид·кого слоя. Иным,и словами, газовая фаза .ве
дет себя как обычный пограничный слой. Увел,ичение тепловог.о по
тока и повышение температуры может повлечь за собой испарение
некоторого кол,ичества расплавленного вещества. При этом пар про
ни кае т в нутрь газовой фазы .
В ин жекщи,1 пар а находит свое выражение вз а имодейств и е меж
ду жидкой плен~шй ·расплавленного вещества .и газоо_браз ньl'м: по
граничны м слоем , которое приводит I< уменьшению аэроди на м,иче
ско го теплового потока к обт,екаемой поверхности и, ка к следств ие ,
к снижению нагрева. Если температура поверхности приб л пж а€тся
к температуре кипения, то практически весь жидкий слой ,испаря
ется и в газов ую фазу поступает на1ибольшее количество па ра ..
Такова упроще,нная физичеокая схема процесса абляции в .виде
двухфазного по гран и ч ног о слоя. Процесс абля ции в
дей,ствительност,и имеет, конечно , более сложный ха1рактер . Т а к к ак
о с новной эффект абляции заключается в поглощении ун о с·и мо го
массой теш1а, то весьма ,важно знать, какова эта теплота абля пJJ И.
При этом , как увидим из дальнейшего, по значен.ию теплоты абля
ции мож•но рассчитать I<оличество уносимого вещества.
§ 14.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОТЫ АЫIIЯЦИН
Сублнмацня, поnное нспаренне нnн коксование (nJ!ipcnнзJ
Полное испарение расплавившейся ~1аосы и сублимация (для
материалов, 1Которые ,испаряются, минуя жидкую фазу) от,носятся к
предельному случаю абляции, характеризующемуся очень б ольшой
вязкостью теплозащитно-го вещества. Получающееся значен и е теп
лоты абляции будет максимальным и не за.висящим от вяз к ости.
Физ,иче,окие процессы пр'И субл.имации 1и :испарении сходны с я в
.1Jениям.и абляц~ии при коксовании, так как в каждом из эти х сл у
чаев имеет ·место воздейст,вие на пограничный слой газооб ра з,н ых
продуктов ·разрушения покрытия. Поэтому можно получ,ить об ш ие
за,висимости дшr расчета теплоты абляции и у.носа ма-ссы т,еплоза
щитного ПОКРЫТИЯ.
• Чтобы на.йти общее выражение для теплоты абляции, р ас смот
рим уравнение баланса тепла при стационарной абляции. Урав-не-
1-ше баланса т епла, отнесенного к абл.ирующей массе, выраж ает у с
л о вие , при котором аэродинам•ическ,ий тепловой поток qi, п одводи
мый к этой массе, расходуется на ее нагревание, испар ение 1и
частично изл учается (qп3 ). Следовательно,
(14.2.1)
316
t
где mv - удельный поток массы разрушающегося материала, назы
вае мый с1<оростью у носа (абляции); Тi -темпе.ра тура
поверхности; ер - теплоемкость материала. Величина iv может рас
сматриваться как энта льпия суб лимации или, ПР'И полном ,испаре
нии, как энтальпия испарения (скрытая теплота испарени я). При
коксовании iv пр едставляет собой энтальпию газификации.
А эроди намический поток тепла qi, подводимый и поглощ аемый
при нал,ич:ии абляции, как у казывалось, меньше ,количества тепла
q. подводимого к рассматр,иваемой массе пр1и отсутствии абляции.
В это·м снижении нагрева, обусловленном ~инжекцией па,ра в погра
ничный слой, за1<люча,ется эффект вы п ·о те ван и я, опр еделя
ющи й сниже ние теплопередачи на вел·ич,ину
(14.2 .2)
Как показывают и,сследования, величина
(14.2 .3)
где па раме'Гр \jJ зав,иои т о т х арактера пограничного слоя, удельн ог о
потока уносим.о й ,м ассы т~ скорости дВlижения тела (числа Моо),
молекулярного веса паров μv.
Эксп еримент ально установлено, что
~= 1- (~ mv /q) (io,::__ iст),
(14.2 .4)
где i 0 - энтальпия .воздуха ,при изэ,нтропичеоком торможе1-_иш;
~-;-
1соэффициент выпотевания; для ламинарного и ту,рбулеtНтного по
гран ичны х слоев
(14.2.5)
где в соот,вет•ств·ии с экспе,р,иментальными данны ми в за виоимости
от вида пон<рытия
0,67 < N < 0,72; 0,25-<: а< 0,4.
(14.2.6 )
В ча,стнос11и, для стекловидных материалов можно приня ть N =
= 0,68, а = О,26.
Применяя формулу (14.2 .4), следует иметь в виду , что она дает
удовлетворительные ,результаты в интервале 0,2~ ~~4.
Молекулярный весμ v паров пласт.массы и стекла приблиз·итель
но совпада~т с ;молекулярным ,весом воздуха. Есл,и принять ориен
тировочно μv;:::: 0,29, N = 0,68, то коэффициенты, определяемые
(14.2 .5), будут соответственно Вл~О,7 и ~т = О,23.
В уравнении (14.2.1), в котором температуру Ti можно прини
мать пр·иблизительно равной температуре .испарения , член в круг
лых скобках представляет собой теплоту абляцИlи. Если она ка~\,им
либо путем определена, а также известна величина qi, то, очевидно,
можно вычисл,ить унос т,,.
Практически удобнее пользоваться понятием эффективной
теплоты а б л я ц и и, определяемой выражением
q*=q/mv.
(14.2 .7)
317
В соответствии с эти м ,выражением при с'Г а ц;ионарном 1--iаГ1реве под
веденное через обычный газообrразный пограничный ,слой к единич
ной поверхности за некоторое вр е,мя t к оличество тепла qt равно
тепловому пото ку q*mvt, поглощенному уносиwюй с этой поверхно
сти маоеой разрушенного материала.
Имея зависимость 'Ф (14.2.4), можно при помощи уравнений
(14.2 .1) - (14.2 .3) получить формулу для эффективной теплоты
абляци и. С этой целью, принимая ,во ,внима,н,ие ( 14.2 .7) , щшишем
(!4.2.1) в виде
!!J...= -
1- (cT- 1 i)+~
q
q*р11V
q
!(:роме того , .из ( 14.2. 2) - ( 14.2.4) найдем
q;11~("
•)
- =\JJ=
-
-
lo-l
.
qI
q*
ст
Из полученных зависимостей определяем
q*= [сртi+iv +~ (io - iст)]/( 1-qизfq),
где удел ьный по·юк от ,изл учения в со отвС'ТС1'ВИИ с ( 13.1 .28)
4
q, .,3 =s-:;T ; .
(14.2.8)
(14.2.9)
(14.2.10)
(14.2 . 11)
Для ряда материалов получены экспер иментальные данные, поз
воляющие оценить некоторые характеристики •и теплоту абляции. В
частности, получены данные для такого коксующегося полимерного
материала, как тефлон (С2F4)п- Этот полимер тт:рн тепл·овом воз
действии подвергается пиролизу, в результате чего твердое тело
газифицируется в мономер C2F2 . Основные физиче,с1~ие .и термодина
мические параметры для тефлона: температура абляции при лами
·нарном нагреве Ti = 445 К; энтальпия iv = 4 16 ккал/кГ; молекуляр-
ный вес пара μv = l00; теплоемкость Ср = О,25 ккал/(кГ-град) . Под
ставляя . эти данные в (14.2.10) и по лагая в=О,5 , находим q"
(1скал/кГ):
(14.2 .12)
Для пластмаосы в -виде фенольного нейлона, являющейся также
коксующимся теплозащитным покрытие м, -най дена формула, ана
логичная (14 .2.12) ;
q*= [832 +0,5 (io- icт) J/( 1- q113 / q).
( 14.2.13)
Особенность этой пластмассы заключа ет ся в том, что остающий
ся после ее испарения углеродистый осадо к ,в ниде мелкоди,сперсной
твердой фазы в результате сильного пер егр ев анпя интенси.вно' излу
чает.
Для некоторых материалов тепловой поток, подводимый к по
ве рхн ости стенки, м·ожет увел.ичиться вследствие горения па1ров в
кислор.оде воздуха , диффундирующем в г азо вый и1ой. Это увели-
318
j
,/
чеН1ие теплового потока [ккал/ (.м2 •сек)] в случае горения в лами,н ар
но·м погранич-ном -слое, как показывают исследования,
лq1= 0,2 liг (q;/i0),
(14 .2 .14)
где iг - теплота сгорания, приходящаяся на единrицу .массы ~кисло
рода, ккал/кГ.
.В соответствии с этим в (14.2 .1) вместо qi ,войдет величина q; +
+Лqi и новое уравнение баланса тепла примет вид
q;+лq;=mv(cpт;+iv)+qиз•
(14.2 .15)
или
. ! ! ..! _(1+ Лq; )=~(с T1+iv)+ qиз ,
q
q;
q"' р
q
Подставляя сюда значение q;/q из ( 14.2.9), получим
q*= [срт1+ iv+ (1 +qr)(io- iст) ?]/( 1+qr -qиз fq), (14.2.16)
где в соотве'I'ствии с (14 .2.14)
(14.2 .14')
Иослед.ования показывают, что таюим свойством диффузии па•
ров и их сгорания в пограничном слое обладает аблирующ,ий теф.
лон. В р-езультате сгорания мономер C2F2 превращается в сое,zщне•
ние COF2 . Эффект сгорания обусловл,ивает увеличение потока тепла
к стенке и, ка,к следствие, сни,жение эффективной теплоты абляuии.
Согласно экспер.иментальным данным, теплота сгорания тефл она
iг = 5550 ккал/кГ, ,и соответстшующее выражение для эффект,ивной
теплоты абляции q* (ккал/кГ) будет ,иметь вид
q*= [527 +0,5 (1 + 1165/io) (io- icтJJ/(1 + 1165/io- q113/ q). (14.2.17)
Одновременное ппавnенне н субпнмацня (испарение)
Чтобы ,материал теп J1оза щитного покрытия обладал высокой эф
фективной теплотой абляции и -малой теплопроводностью, необхо
димо применять •I<омбинированные жаропрочные покрытия. К их
числу относят, например, пластмассы в сочетании со стеклом, обла
дающим высо1<ой вязкостью и низкой теплопроводностью. Особен
ность та1ких стеклопластиков или вообще подобных комб~инирован
ных матер,иалов за1<лючается в том, что при сильном тепловом воз
действии они вн а чале ведут себя ка.к погл·отителrи тепла. Затем
вследствие низкого коэффициента теплопроводности температура
их поверхности быстро возрастает до уровня, при котором ,возмож
но одiновременное п л ав ле ние и сублимация различных ,компонен
тов. Наблюдения показывают, что при •использовании стекловолок
на одна его со.ставляющ а я - стекпо
-
опла,вляется, др у гая - п ла
стмасса - субл и мир ует.
При высок.их те м п е р а тур ах поверхности, превышающих темпе
ратуру плавления, испарени е части расплавленной массы хара,ктер-
319
но для большинства материалов, в то,м. числе стекловидных. Пр.и
этом и спарению п р едш ествует пиролиз п о в ерхностного CJlOЯ р а с
плав и вшегося материала, в результате че го дополнительн о е коли
чество газа диффу,ндирует в газообразный погр аничный слой. Та
·ЮШ образом, абляция в налболее общем случае характеризуется
о дновременным плавлением и су блимаци ей (исп а рением). Эта осо
бен ность должна быть учтена при определ ении э ффективной тепл о
ты абляции. Бели обозначить через т полный удельный унос массы,
то степень сублимации (ис п арения), называемую к о эфф и ц иен
том газообразования,можно определить ,как отношение
m= mv/m. В соответствии с этим ура,внение теплового баланса, ана
ло гичное ( 14 .2.1), напиш ем в· в,иде
qi = mcpт1+ m.Jv+ qиз= т (cj71+ miv )+qиз· (14.2 .18)
Эффект ив ную теплот у абля ции определим от но шением
q =q/m,
(14.2.19)
а коэффициент '!J (14.2.4) с учетом (14.2 .19) и mv=Гnm запишем в
форме
-
-
'
1(В/)(••)1,,,'")(.
•)
У=- 'ттq lo-lcт=
-
t"m1q· lo -lcт . (14.2.20)
Разделив (14.2 .18) на q, найдем
.!lL=-1
-
(с Т. ...L mi )...L qиз
q
q''р•11
VIq•
(14.2.21)
·Комб.инируя (1 4.2 .2) , (14.2 .3) и (14.2. 2,0), получим
qi_1 ~пi(. .)
-
-
-
--
.
-
lо-1ст•
q
q"'
(14. 2 .22)
Из (14.2.21) и (14.2 .22) эффективная теплота абляции -
q* = {СРТ1+т[iv+~Uo - icт)J}/(1- qиз/q).
(14.2.23)
Здесь неизв е стн ы тем п ература абляции Ti, энта л ьпия исп арен и я
iv и н:оэффициент 1n. Для упр о щения расчетов м ожно с достаточ ной
сте п е нью точности тем ,пературу Ti прю1ять ра,вной- • температ уре
п лавле ния - величине из в естной и постоянной. В ч астност,и, те мпе
ратура пл авлени я стекла р а вна примерно 1700 .К. Энт альпия испа
рения i v обычно -определяется опытны м п ут ем . Дл я при ближ енных
р исчето в абляци,и стекловидных матер иа лов м ож н-о во сп ол ь зов ат ь
ся , н априме-р, величиной iv==2470 ккал/кГ ( 1,04 - 107 дж/ кг), по лу
ч<: нно й дл я ~ремния, По экспе~рименталь ным данн ым, для чи ст ого
кварца iv = З000 ккал/кГ (1,25-107 дж/кг) . Величина коэффициента
1Т1. определяется главным образом упругостью паров и вязкостью
расплавленного комn-онента, зависящих в свою очередь от темпера
туры и услов,ий обтекания.
Имеются и другие данные о характере нз,1енен.ия т. Например,
с увели ч ением давления ,или уменьш ением энтапьп и и -то р мо ж ени я
будет уменьшаться коэффициент т. П ри грубо й оц енке этот ,коэф -
320
.:
фиuиент мож,но определ,ить как отношение массы сублим,ирующего
компонента ко всей массе теплозащитного материала. Рассматри
вая « чисту10» сублимацию, т. е. полагая iii= 1, наход,им из (14.2.23)
(q");;, =1 = (сртi+q)/(1-qизl q),
где q=iv+ ~ Uo - icт).
В соот,ветств,ии с эт,им для произвольных значений iii=I= 1
(14.2.24)
По экспериментал ьным данным, для стекловолокна, содержаще
го 30% пластмассы и 70% стекла,
-
2
q=0,554 (7430+ 5,38- 10-5V 00 ) щшл/кГ;
(14.2.25)
(q*);;,= 1 =0,554 (8580 + 5,38- 10-sv~) ккал/кГ, (14.2.26)
где V"" -
скорость, ы/сек. •
Есл,и величина iii не ,известна заранее, то для оцен ки процесса
абляции задаются рядом возмож ны х значений iii~ 1, например 1;
0,5; 0,25, и определяют соответствующую эффект,ив,ную теплоту аб
лнщш для различных точек траектории·.
Следует !Иметь ,в ,виду,- чт·о случай сублимации, которому ооот
ветствует формула ( 14.2.26), для тугоплавких 1и негорящих ,Мате
риа ло в, подобно кварцу, нереален, т. е. получить условия, ,при ко
торы х бы достигалось равенс'I'во т= 1, практически невозможно.
Ос обенностью ква,рца ~как тугоплавкого материала является высо
~s: а я тем пература поверхности, примерно 2200--:-2300 К. Следова
т ель но, влияние излучения на эффективную теплоrгу абляции будет
зна чительным. Пр.и этом излучаемый поток тепла м,ож,но увелич.ить,
дел ая м атериал менее прозрачным . Кварц, например, ,становится
пра ктиче оки полностью непроз•рачны,м (в~ 1), если прибавить к
не~1у углеродистую массу . При значительном излучении с поверхно
спr эф фективная теплота абляции в соответст,в1и,11 с формулой
( 14.2. :24) достигает настолько большо й вел,ичины, что унос массы
буд ет пренебрежимо мал. В этом случае повер :х,ность интенсивно
охлаж дае т с я из л у чением, а теплопередача близка к состоянию
радиа цион ного р авн ов есия. М атериал ·в этих условиях п р аК11ически
ведет себя как тепловой ст о к.
Я.в .'1ен и е полаого радиационного равновесия м,ожет возникн уть
пр и пла в н ом изме н е нии небольшого удельного теплового потока
( напр и ме р , у постеп енно сниж ающегос я сп утника), к·огда ,возможно
ра вен ство ме жду из лучаемы м и подвощимым те плом . В этом пре
де,rьном случае q*-+oo, а унос массы сТ:рем ится ,к нулю . Та,ки м об
разо:\1, в у,слови ях рад,иационного равно в есия ; овойст,венны х пла,ни
р ующ им летательным аппаратам, материал выступает в к а честве
теплоиз олир у юще го по ырыт и я.
Ес.1и же рассматривать головные ча сти ра кет, подвергающиеся
возде1iствию зна чит елыно больших тепловы х потоков в теч ение ко-
321
ротких промежутков времени, за которые температура не успевает
достичь овоего равновеоного значения, то здесь защитная р оль по
крытия I{ак аблирующего материала оказыва ется более сущесwен
ной, чем в случае обычной тепловой изоляции.
Наряду с формулами (14.2 .24) - (14 .2 .26) можно при мен ять
экспериментальную зависимость для q* ( ккал/кГ}, найден ную по
результатам исследования абляции стекловидного вещества (содер
жит 30% пластмас,сы и 70% стекла) .в окрестности ТОЧ]{И п олн о го
тор'можения при ламинарном пограничном слое:
q''= J125 + 2,7io /(RTооз) + 178 (Роон/Рооз)1/(З+п) Х
Х [io/(RT соз) ]3' 64(З+п)) ( 1- qиз/q)-1 ,
( 14.2 .27)
где для . атмосфер ного воздуха у Земли R.Tооз = 18,8 ккал/кГ ( 7, 88Х
>< 10 14 дж/кг), а для по лета при очень больших скоростях м ожно
Пр!ИНЯТЬ n = 10 .
Пnавnенне
Плавление, как и сублимация , является предельным сл у чаем
процесса абля ции. Если материал пла,вится , но не испаря ется , то
при уносе массы пограничный слой не испытывает вл,ияни я а бли
рующего вещества. В этом случае для определения эффе1кт и.вной
теплоты абля ции в формуле (14 .2.23) следует принять коэф фи циент
газообразования т=О; тогда
q""= срт;/(1- qиз/q),
(14.2 .28)
где ер - теплоемкость жидкого материала.
В соответствии с выражением ( 14.2 .28) пою.к тепла, опр еделяе
мый разностью q- qиэ; должен быть цел1ико.м поглощен жидкость ю,
обладающей теплоемкостью ер, т. е.
q - q113 =qcPT;/q*= т-срТ;.
Сравнивая выражение (14.2 .28) с формулами (14.2.10) и ( 14.2 .23) ,
видим, что эффективная теплота плавления меньше, ч ем пр и одно
временном плавлении ,и ис п арении ,и тем более при полно м ис па
рении (,или сублимации) . Это показали также эксперимент альн ые
исследования абляции стекловидн ого вещества . Соответств ующ ая
зависимость для q* (ккал/кГ), получаемая ,из эм п иричеокой фор му
лы (14.2 .27), в которой сохраняется последнее ,слагаемое, характе
ризующее абляцию только плавлени ем, имеет следующий вид:
-
q* = 178 (Роон/Рооз)l/(з+п) fio/(RTооз)]3' 64/(з+п) (1- q113/ q)~ 1. ( 14.2.29)
К матер,иалам, аблирующим плавлением, относятся т акж е ме
таллы . Для некоторых из них (сталь, алюминий) получены экс пе
риментальные данные, позволяюш.ие судить о величине эф ф е кти в
ной теплоты абляции (см. специальную литературу) .
322
§ 14.3. УНОС МАССЫ И ЭФФЕ1КТИВНОСТЬ
ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Е сли известна эффективная теплота абляции q*, то, как следует
из ( 14.2 .19), К,Оличество унщ1имой массы в единицу .времени
m=q/q*.
(14.3 .1)
Здесь удельный тепловой поток q вычисляют ме'I'одами аэроди
нами1ш, изложенным,И в гл. XIII, а эффективную теплоту абляции
q*-
с учетом экспериментальных данных по формулам ( 14.2 .13),
( 14.2 .17), ( 14.2.24), ( 14.2 .27), ( 14.2 .29) для различных видов мест
ной абляции, а именно: пла,вления, одновременного плавления и ис
парения, а такж~ сублимации (газификации).
П о величине q примени'I'ельно к заданной форме · затупленной
поверхности рассчитывают среднее значение теплового потока:
qcp=-
1 rqdS,
(14.3 .2) _
sJ
(S)
• где S - площадь поверхности затупления.
Ун о с массы с поверхности S за время нагрева 't
Qcp= mcptS,
( 14.3.3)
где mcp=qcp/q*.
Вычисления дадут, естественно, неодинаковые значения величи
ны lncp для различных материалов. Как показывают расчеты, при
больших скоростях унос массы, например, у стекловолокна и квар
па, м еньше, чем у стекловидного вещества или тефлона. Однако, что.
бы сделать окончательный вывод об эффективности покрытий, необ
ходимо рассчитать толщину слоя и соответствующий вес теплоза
щитного покрытия, используя методы теории теплопроводности.
При этом задаются температура наружной поверхнос11и и допусти
ма я т е мпература на внутренней стороне сл.оя. В р·езул_ьтате такого
расчет а может выясниться, что необходимая для поглощения тепла
м;:: сса вещест·ва теплозащитного покрытия с меньшим уносом вслед
ств ие повышенной температуры нарушной поверхности больше, чем
у в еще ства с увеличенной абляцией. В связ.и с этим окажется боль
шим и вес теплозащитного материала. По этой пр,ичине, как· пока
зыв ают расчеты, в некоторых случаях об-гекания менее пр·едпочти
тел ьны :vrи ,были такие теплозащитные матер,иалы, как ,стекловолок
н о и к варц, обладающие небольшим уносом .
Т а кой анализ должен практически проводиться с учетом изме
нен ия: по врем ени теплового потока, поступающего к пов,ерхяости.
Есл и это ~изменение протекает быстро , а процесс абляции пр,инима
етс я: ста циона,рным, то вследствие низкого коэффициента т еплопро
вод ности тепло внутрь тугоплавкого ,материала будет проникать
м едленнее по сра·вне:нию со скоростью а бляции. От,сюда следует,
что изол яц ия с внутренней стор оны аблир у ющего материала м ожет
и н е по тр е боваться. Кроме того, когда тепловой по ток подводится
323
в течение длительного времени и унос масс не имеет сущест.венного
з наченпя, может потребоваться дополнительное количество туго
плавкого материала, в ыполняющего функции теплоизолирующего
п окрытия.
При окончательном выборе защИ1що го материала должны при
ниматься во внимание также его меха,нич еские св ойств а. Ра.ссмот
рим некоторые за,в-иоимости, позволяющие 'В какой -то мере оценить
правильность такого выбора {5], связанно го с определением потреб
ной толщины изоляци и для обеспечения заданного тем п ератур ного
перепада на ее вне ш ней и внутренней стенках. При вычис л енни
т олщины изоляции ис пользуют формулу
(14.3 .4)
·где Оп - толщина ,изоляции; a= 'J.,,/ (cv) - коэффициент температу
роп роводно сти ( л - коэффициент теплопроводност и, 'У
-
удельный
вес, с - теплоем кость з ащитн ого материала);
' t - время на грева;
<р- критерий Фурье.
_
По толщине и удельному весу защитного материала можно оп
редели:v, в ес 1 м2 л и ст о вого п окрытия потребно й термоизо л яц и,и:
Ои =аи'У='У 11at/9.
(14.3 .5}
Так 1<ак а=л/(сv), то
Gи=улv/с1/ t/9.
( 14.3 .5')
Зд е сь величина 1лv/с; зависящая от физических свойств ма те ри
ала по к рьrт.ия, мо ж ет рассматриваться как критерий, опред еля
ющий при заданных внешних услов.иях обтекания и соот.ветст,ву ю
щем этим условиям значении параме1ра -ут;/q> потре. бный вес
те ,рмои з оляции .
К ак пока з ывают исследования, ,материалы и з ,пористой и зол я
ции отличаются сра .в.нительно низкими механическими •качес тв а м и
и легко разрушаются даже под · действи ем сла,бых ударны х наг,ру
зок. Поэтому, хотя они и имеют наименьшее значение весового
крнте р ня, применять их в к а,честве тешюзащиiных покрытий неце
лесообра з но . Наиболее ,перс:пе ктивным материало,м из групп ы сло
исты х пл астиков я вляется ас'6 ес товый ·картон, для которого вес ов ой
крптерий будет наименьшим.
Сог л асно опытным данным предельные температу,ры приме н е ни я
сJtо ист ы х пластиков . ,еоответствуют длительном у воздействи ю вы
соко й тем пера ту ры (м.ногие ч асы). При однораз овой кратковр емен
ной работе (отделы:rые минуты) они могут пр,именяться даж е при
очен ь в ыс о к,их темп ер.атурах набегающего потока в несколь ко ты
сяч гр адусо'В. При этом вер хний слой будет подвергаться эрози.и и
.субшr мац ии ; ч то вы зовет уме ньшени е толщины пла стика.
ГЛАВА xv·
АЭРОДИI-IАМИКА РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕ,Ц,Ы
§ 15.1 . ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНi~Я'
СПЛОШНОЙ СРЕДЬi"
Экспери,менталы1ые данные об обтекании тел, получе нны е для
условий разреженной среды, значительно отличаются от зна чений
снловых и •моментных характерлстик, а также параметров т рения
и теплопередачи, вычисленных по газод.инамическим соотноше ниям
для сплошной среды. Такое различие объясняет;ся структуро й этих
соотн:ошений, соответствующей гипотезе сплош1ности среды. Для
разреженной атмосферы эта гипотеза - недействительна и необ хо
димо пользоваться кинет,ической теор ией, исслед у ющей дина м:v~ку·
газа с помощью молекул яр н о_й м е х ан и к и. Основные выЕю
ды э.той теории основываются на принятии дискретной схемы стр ое
ния, согласно которой среда состоит из соударяю щихс я моле кул.
пробегающих достаточ,но большой свободный путь . Не расо1 атри
вая подробно кинетическую теорию га з ов , останови:vi с я л и шь на:
тех оведениях, которые необходимы для пони:v1ания физи ческ их яв-
лений , а также для осуществления аэродинамических ра счетов , свя
занных с полетами в разреженной среде.
Длина пути свободноrо пробега мonel1⁄4 yn
Рассмо'Гр!Им вопрос, связанный с пр е,::~,е .1ю1 и прп::v1 енимости тех
теор етических зави ст1мостей, которые основьгвалпсь на предпосылке
о сплошности газо вой среды. П ри это:-1 необходюю с::п1е т нть, что
пределы применимости носят усло вн ый характер, так как, напри
мер, не возм ожно точно указать высоту ат~лосферы, выше !(ОТ орой
надо примен ять только молекулярную теорию . Для установления
этих пределов следует определить длину свободного про
б е га м о л е к ул. Из физ,ических соображений ясно, что че,1 она
меньше, те м ближе среда к гипот ети ч ески сшюшной. Течение т а кой
среды характеризуется большим числом соударен ий ~rсжду :vю.п-:;ку
лами , определя ющи ми при на .1и ч1ы1 воз,1ущен,ий на.1ое вре :.1я ре
лаксации, т. е. время у стан овления равновесия уровней эн ергии
сталкивающихся молекул.
325
Мет оды статистич еской физикп у станавли в ают некоторый сред
ний п уть, пробега емый молекулой до со уд а,р ения ,и называемый
·средней длиной свободноrо пробеrа.Этадлина
(15.1.1)
где ё - сред н я я скорость хаотич е с к ого д!вижения молекул [см.
(! 5.2.4) ]; t - врем я м ежду двумя соударениями молекулы, опреде
ляемое по выр а же ни ю t=J/n, в котором n=NАё-число соударе
ний в единицу в.ремени (где N - число молекул в ед,инице объема,
А - площадь поперечного сечения молекулы).
Таким образом;
l= 1/(NА).
(15.1 .1')
На при·м ер , для воздух а при нормальных у.слов,иях N = 2,69 Х
Х 10 19 с .11г 3 , А= 10-15 слt 2 ; следовательно, длина пут,и свободного
пробега l = 4 • 10-5 см. Из ( 15.1.1 ') следует, что с,редняя длина пути
свободно го пробега увеличивается с уменьшением плотности. По
э т ому с подъемом на высоту эта длина ,возрастает и может ока
з а ться з н а чит ельно больше размеров летательного аппарата.
Фор м ула (15.1 .1') неудобна для практического пр,именения, так
как пл ощадь поперечно·rо сечения молекулы не может быть опре
делена непосредственным из-мерени ем. Лучше пользоваться зави
симостыо для l, которую можно получить ,из формулы ( 1.1.8) кине
ти ч еско й теории газов, определяющей динамический ~<оэффициент
1шзко сп1. Внося в (1.1.8) в,место ё зав,исимость (15.2 .8'), определя
ющую среднюю скорость через скорость зву;ка а, найдем
l= 1,255v 1Гf/а,
(15.1.2)
где k - по1<азатель адиабаты; v - кинематический коэффициент
в язко сти.
Режимы течения rаза
Ре жимы течения газа зависят от степени ра-зреженности газа,
под которой , следует понимать отношение средней длины свобод
но го пробега молекул к некоторому характер1Ному линейному раз
меру рассматриваемой области потока .
П редставление об указа нны х режим.ах и параметрах, . использу
е м ы х для их оценки, можно получить, если расоматривать течение
между двумя пластинками, отделенными друг от друга малым ра ·с
стоя ние м б. Пространство между пластинками запол н ено газом, ,rr
одн а из пластинок перемещае11ся параллельно другой с некоторой
ско р о стью V. При оценке степени разреженности 1и соответствую
щ его режима течения целесообразно исходить •из сравнения сред
нейлини•И свободного пробеrа молекул l и рас
етояния 1между пластинкамиб,т.е.изотношения
l
,бvYkV
255 -v- М
--:-1,2 5-- .
-=1,
k-,
о
Vo
а
Re
где Re= Vб/v - число Рейнольдса.
326
(15.1 .3)
Пар аметр l/8 называют числ ом Кн уд сена и обозначают
Kn=l/o. Если число Kn:::;:;0,01, то рас,сматривают газ как плот
н у ю с р ед у. В такой среде вследст,вие малости средней длины
свободно го пробе г а возмущения от соударений со стенкой практи
ческ,и мгновенно передаются на все молекулы, поэтому при после
довании течений применима гипотеза сплошности. Если с редняя'
д"1 ,ина свободного пробега больше расстояния м е жду стен ка ·ми и
чнсло Kn;;;::10 , то га з следует считать сильно разреж енным
и гипотеза сплошности оказывается неприменимой. В такой ,среде
обычное понятие о числе Re как о параметре, отражающем отноше
ние сил инерции к силам вязкости, не имеет смысла , пос коль ку
столкновения частиц редк,и и, следовательно, вязкость пра~п.ическл
не п,роявляется. В соответствии со с·казанным при определении
дейстш у ющих аил и те,пловых потоков необход,имо рассмат ривать.
ударное воздействие частиц на тело, а не его обтекание сплошным
пот,оком. Оба рассмотренных случая отражают два хара кт ерных
режима 11ечения. Первый из них представляет собой р ·еж и ·м
сплошного течения,второй- режим свободномоле-
1<улярного потока.
Принято ,считать, что в элементарном объ еме свободно молеку
Jiярного потока, нес,1отря на сильное разрежение и пренебр ежимо,
м а лое число столкно.вений, •число молекул достаточно для тог о, чт о
бы определить свойства газа как макроскопические. Напри 'v!е р, н а
высоте свыше 150 км длина свободного пробе.га молекул равна
3 лt, что указывает на сильн у ю разреженность воздух а. Меж ду тем, ·
число молекул в кубическом сант,иметре остается достаточно боль
шим и составляет пр1им ерно 1,5-1012 . Для та к ой ра з реженно й сре
ды дав_ление и массовая плотность могут быть рассчитаны как сред
ни е в данном объеме. Свойств а течений этой среды определяются
н а о снов е м аксвелло вского з акона распределени я ско р остей моле
кул. Следовательно, применяя этот закон, можно исследов ать сиJiы
вз а,имодейсnвия мол е кул с поверхностью движущегося тел а .
М ежду реж,има м и сплошного и свобод,номолекул я рного течений
находятся промежуточный режим (1:::;:;Kn:::;:;10) ирежим
т ечения со скол ьж ение м (0 ,01 :::;:;Kn:::;:; 1). Про м е жуточ
ный режим характеризуется тем, что в нем имеют одинаковое зна
чен,ие соударения молекуJI со стенкой и друг с друго·м. Условия, со
ответствующи е этому режиму, воз н,икаю т пр и п ол ете н а высотах
приблизительно 100 км. В режиме со скольжен.ие.м, возникающем
на высотах, нес 1юл ь ко меньши х 100 юн, б олее су щественно е з,наче
ние имеют с о ударения между м олекулами. Но, несмотря на малую
по ср авнению с линейн ы м размероv! 8 среднюю длин у пробег а, пре
небрегать ею нельзя.
Различие между режим ами течения пр оявляется в н е один а -
1-:овом
п р о филе скор о ст ей между параллельны ми пла
ст инкам,и. В с п лошном (непрерывном) потоке частицы газ а после
соударения с ,п,в ижущейся пластинкой приобр етают скорость nаа
стинки V и соотв етствующее количество движения (рис. 15.1.1, а ).
Пр,и этом вследст,вие трения п ередаваемое соседним частиц ам ко-
327
..личество движения уменьшается, в результате чего умен ь шается
также ,их с1шрость , достигая на поверхности неподвижной пластин-
1ш .нулевой величины.
В свободномоле1,улярно:-, 1 потоке (рис. 15.1.1, 6) частицы после
·соударения со стенкой не изменяют количества движения по толши
не слоя, так 1,ак при отскакиван ии не ,сталкиваются с другими
молекулами. В результате профиль скорости поперек пластинок ос
·тается «нулевы:v1». При этом в сл учае диффузного взаимодействия
скорость мопет,улы у верхней движущейся пластинки V, а у нетто-
а)!:!
V
iJ) IJ
-
L1/2
V
о
х
,/,
1⁄4
Рис. 15. l . l . Влияние режима течения на характер .измене
н ия скорости газа, обтекающего стен1Ку:
а - сn.'1ошное течение; б - свободномолекулярный поток; в - тече
ние со скольжением
движной нижней пластинки она равна нулю. Сл·едовательно, сред
няя скорость молекул между пластинками ,равна V/2.
Из сказанного ясно, ч,о в свободномолекулярном потоке, обте
кающе:v1 какое -либо тe.rio , теряет смысл понятие пограничного слоя,
так к ак течени е у поверхности имеет ту же скорость, чт.о и на не
которо11.1 удалении от нее (в обычном представлении - на внешней
гра ни це погра ни чного слоя).
Профиль скор ости при течении со скольжением ( рис. 15.1.1, в)
заннм ает про межуточное положение. Подвижная ттлас,инка, как и
в спл ошном потоке , передает частицам количество движения, со
ответс-гвующее скорости двюкения i1. При этом от,раженные от пла
спrнки частицы , не достигая противополож,ной с,енки, сталкивают
ся с друnими частицами, изменяя их скорость. Это объя•сняется тем,
что ср едни й путь пробега молекул соиз,мерим с расстоянием о. Эта
скорост ь движ ения изменяется непрерывно между пластин1<ами, а
проф.иль скорости по nи ду будет средним ,между профилями для
сплошн ого и свободном олекул ярного потоков. На нижней пластин
ке молекулы как бы проскальзывают относительно пове.рхнос11и с
некотор ой скоростью v , а их скорость на· верхней пластинке будет
равна , очевидн о, разности 1/-v . Отсюда объяснимо .название «те-
чеыrе со ск ольжение :-,,r ». При n,нешнем обтекании тела таким пото
ком газ на по,вер.·носп~ не «прилипает», а приобретает некоторую,
отличну ю от н уля скорость , меньшую, чем на внешней границе по
граничного сло я.
Таким образо м, при наличии скольжения вблизи границы имеет
место разрыв скорости между газом и ·самой стенкой. При этом
вблизи стенки будет отличен от нуля градиент с:rюрости поперек
слоя .. Последнее ук азывает на то, что в не очень сильно разрежен-
328
r.т
I:ом газе, движущемся со скольжением, еще существует погранич
ный слой. Поэтому д,вижение вблизи поверхности не подчиняется
закону J\rlаксвелла и м-ож юJ и спольз о вать общие уравнения вязкого
теплопроводн ого сжимаемого газа. Однако ,их надо пересмотреть с.
учетом более о бщих граничных условий, учитывающих возможный
разрыв скорости, тем п ера туры и давления на поверхности. При этом
тот или иной р ежим течения о п ределяется в соответствии с форму
лой ( 15.1 .3) со отношением между :{Jестными ч,ислюrи Ми Re. Если
Рис. 15.1 .2. Кривые, :-.:"арактер ,изующие различ
ные режимы течения газа
расстояние между пластинам ,и по величине принять такого же по
рядка, как толщина с.iюя в ламинарном течении, то от числа Re =
= V8/v можно перейти к параметру ReL = Re (L/8). Заменив в нем
отношение 8/L по формуле (12.3 . 1911 ), ,в которой принимается x = l
(рассматривается задняя кромка пластинк1и), и внеся его в (15.1.3),
получим зависимость для па1раметра Кнудсена:
Kn= l/ o=0,264 Vk (M / VReJ.
(15.1.4)
Эта завиоимость для различных режимов графически представ
лена н11 рис. 15.1.2, где крив ые построены без учета влияния ,воз
можных физико-х,имических превращений воздуха на среднюю дли
ну свободного пробега молекул. При этом ,н у жно иметь в виду, что
диссоциация сопровождается, как известно, у величением числа час
пщ, обусловливающим уменьшение их среднего пут,и свободного
пробега.
Кривые, и.зображенные на рис. 15.1 .2, строго говоря, относятся
к течениям невозмуще,нного газа. Однако, как показывают иссле
дования, их можно использовать для оценки течения вблиз,и обте
каем-ого тr-~а, если ттсходить из местных значений чисе.1 М и R.e .
329
Лри Э'ГОМ обнаружено, что вдали от носка тела вращения, где влия
ние головной ударной волны небольшое, вследствие перерасшире
ния м о:жет воз: никнуть даже на малых высотах течение со скольже
.нием или свободномолекулярный поток. В то же время вбл.изи нос
к а упл отнени е за уда.рной волной может привес11и к образованию
с плошной среды даже в т ех случаях, .когда полет совершается на
больши х высотах. В этом можно убедиться, если воспользоваться
той же формулой (15.1.4) и рассчитать число Кнудсена по ~Мест-
. ным
параметра!V1 газа. При определении этого числа необходимо
выбрать характерный линейный размер 8. Так как ожидаемый ре
жим оценивается приближенно, то в качестве величины 8 условно
выбирают толщину пограничного сл,оя, рассчитываемую по форму
.лам для сплошной среды.
§ 15.2 . ДАВЛЕНИЕ И ТРЕНИЕ В СВО&ОДНОМОЛЕf<УЛЯРНОМ ПОТОКЕ
Схема взанмоденствнs, моле,кул со стенкой
Исследование движения газа вбл.изи поверхност,и связано с ре
шением уравнений движения при определенных граничных услови
ях, налагаемых на этю движение . В частности, при изучении обтека
ни я поверхности оплошной оредой гранич ным услов,ием являлось
услов ие безотрывного обтекания как формы взаимодействия этой
пове.рхнос'Ги ,и газовой ,среды. При свободномолекулярном течении
взаимодействие оказывается более ,сложным.
В теории свободномолекулярного течен.ия ,выд.rвинут ряд гипоте
тических схем взаимодейс'I'вия молекул со стенкюй. Рассмотрим
схемы предельного вида взаимодейс'I'вия -- «зеркальное от р а
жен и е» и «диффузное отражение». В дальнейшем кос
немся также промежуточной схемы, принимая, что более близким к
р еальному будет взаимодействие, представляющее ообой комбина
цию двух указа:нных предельных в,идов отражения.
Зеркальное отражение. Схема зеркального мол·екулярного отра
жения реализуется в том случае, . если поверхность очень гладкая
и наклонена под малым углом атаки. Согласно этой схеме, частицы,
подойдя к стенке, после удара отражаются от нее под углом, рав
н ым углу атаки (рис. 15 .2.1, а). Таким образом, в данной схеме мо
JJекулы ведут себя подобно абсолютно упругим шарам. При зер
кальном отражении абсолютные значения составляющих скорости
нс меняются, причем касательн<!Я составл51ющая к поверхности со
храняет свой знак, в то время как нормальная составляющая меня
ет его на обратный. При таком идеальном взаимодействии частиц
со стенкой силы трения в обычном понимании отсутствуют. Исс.'!е
дования показали, что даже тщательно отполированные поверхно
сти не являются достаточно гладкими, чтобы полностью реализова
лась схема зеркального отражения. Праrпически по этой схеме от
ражается лишь незначительная часть молекул, порядка нескольких
процентов.
330
Диффузное отражение. В слу,чае диффузного отражения (рис.
15.2 .1, 6) предполагаеТ1ся, что повер хность имеет шероховатости ,и
щели. Высота бугорков шероховатостей и 1Ширина щелей должны
быть соизмеримы с поперечными размерами молекул. М,олекулы в
результате соударения, попадая в щель или оказываясь .между бу
горками шероховатост ей, практически полностью абсорбир уются
стенк.ой, передавая ей свой импульс ·и э.нергию, а затем по ,истече-
у
о) :_.
у
-
V""
7/V\ -
Рис. 15.2.1 . Схема :вза,имодействия молекул со стенкой:
а - зеркальное отражение; 6
-
диффузное отражение
х
нии какого-то ,м,алого промежутка ~времени отражаются от нее в
произвольном напр.авлении с некоторой скоро.стью, причем .каждое
такое напра-вление равновероятно. Отсутствие ка1юю-либо преоб
ладающего 1Направления движения диффузно отраженных молекул
пrивод,ит к тому, что они не создают касательного напряжения . Та.к
как реальная поверхность всегда отличается от идеально гладко й,
то большая часть молекул взаимодейст,вует по схеме диффузного
отражения.
Перенос массы
Ра,ссмотрим некоторые характеристл.ки свободномолекулярного потока, об
текающего тело [32]. Будем сч,итать, что молекулы 011ражаются диффузно, при
чем температура отраженных ча,ст,иц равна некоторому значению Т,, отличному
в общем случае от температуры стенки Тет и пер,воначаль,ной ,температуры га
за Т;.
Ра-ссмотрим ~выражение для переноса массы. Пусть <:оста,вляющие ,скорости
молекулы будут:
и=и'+И, v=v'+V, W=w'+W.
Пер:вые члены ,в эт,их выражениях - компонент·ы скороС'rИ V"° ма,ссового (или
упорядоченного) движения газа относительно стенки, определяе,мой из выраже-
ния
.
v;, = и'2+v'2+w'2•
Вторые члены - соста,вляющие скорости с 11еплового движения (скорости
молекулы отно-сительно массов-ого движения газа). Квадрат этой скоростл
с2=uz+vz+wz.
(15.2. 1)
ПрИlмем, что о,сь у, которой соответ,ствует ,со,ставляющая v, напра ,влена по
нормали к поверх,но-сти в данной точке .
На<: интересует перенос молекул к поверхнос11и тела, который за.висит от чи,с
ла падающих !Молекул, содержащих-ся в едиюще объема.. Если молекулы дви
жутся со скоростью, компоненты которой по величине укладывают-ся ,соот,вет
ст.венно -В 1-~нтервалах и, и+dи; v, v+dv; w, ~ +dw, то число этих молекул ра,вно
331
,п роиз ведению n;1d udvdw, в котором n; - чакло •падающих молекул в едwнице
об ъем а (здесь и в. дальнейше'V! индекс «i»• ютljос·ы:-r-ся к частица,м н евозму щенного
-потока, пара,метры которого Т°'-' Р оо , р о0 и . т . ·д-.)'; J- qJунч,v:,я распределения мо
лекул по скоростюr, .называема·п..."'Функц,ией р_аспределе·ния Макс-
вел л· а.
,..
•
В юшетичес 1юй теории ф ун кция р аспределения.: определя ете~ экспоненциаль
ноii з а висимост ью
2
, f = (л:с;п)-3f2е-с'/ст,
(15.2 . 2)
.в которой велнчи,на Ст связана со средней скор о,ст ь ю ха от и ческ ого
дв·иж·ення с соотношеm~ем
Ст= С Vл:/4
(15.2 . 3)
•1называет,сянаиболее вероятной скоростью молекулы.-Подан
н ым кинетической '1еорнн газов, средняя ,скор о ст ь бес пор яд о ч
ноrо движе_ния молекул
r ---
c= 2} 2RТ/л: .
(15.2 .4)
Функция ра,определення f относится только к неупорядоченн·ой части движе
ни я ~юлеку л . Она зависи-г от ~орости те пловою д-в11жения с и, как видно из
(15 .2 .3), от -с р едней скорости с , определяющей ·внутреннюю энерлию ед,иницы
маосы газа, равную &/2. В общем ,случае с и с зав,и,сят от к,оординат и времени.
Одн а ко если рассмотреть и:vrеющий большое лрактиче-ское значение ,случай равно
весного ра,спред еления скоростей, пр-и котором в ,результате -столкновевий в .каж
дом заданном элементе объема 1:=dxdydz не изменяете~ число молекул газа,
·принадлежащих элементу пространст.ва скоростей dudvdw в этом объеме 't, то
функция .распр едел ения f не будет за.висеть от времени t. Такое состоян.ие газа
опредешrе1'СЯ как состоя.ние мест1-1ого максвелловс.кого рав,но
ве-с-ия.
Рассм-отри.м ,понятие средней квадратич ной скорости с2 беспорядочног,о дви
жен11я, ,определяемой из условия
с2/3=[Jz=in=w2,
(15.2.5)
rде И, V, W - средние значения составляющих скорости бе-опорядочного движе
ния. Со·гласно кинетической теории газов, величинас2 находит,ся из выражения
с2 = 3RT.
(15.2 .6)
Отсюда с учето,м формул (15.2 .3), (15.2 .4) для с определим
i1с2=о,5сV3л:/2=·С,п -v3/2'
(15.2.7)
r. е.
(15.2 .8)
Отм-етим также зави-ои,мость, .которая существует между с-:у с2 и скоростью
звука а:
(15.2 .8')
Отсюда следует, чт,о средние молекулярные скорости имеют тот же порядок,
что и скорость з·вука.
Функцию ра,спределения f можно определить ripи помощи графика, изоб
,раже.нного- иа рис. 1'5.2.2, где представлена зависи.мо,сть .величины В =
(Л:с ~)31\сz;ё2)f от параметра c ;v·ёz· На этом граф,июе показаны также от
,юсителыные велич,ины Ст -V,2 и-с7Vс2.
332
Из числа падающих 1молеку_л; ,содержащихся в единице объема, та их ча,сtь,
ко-то р а я -соу~аряется - ~c-t-·,~;,iИ!ir,kЧ_ЩJЙ.;.: •поверхностью · за , одну секунду, - равна
n;vfdudvdw. 1а1~и ~ образом; ц, ~том 11 .qучае рассматриваются молекулы, .которые
пересе ка.rо;r..,а,щ~:~хн(fсть -и>irp~~IJ.oлJнa~1Qs! f~~~щen eи;нaм объеме с е:?-иничн?й пло
щад ью осн9!1:~ни.fj:. \И ,въ1:,:,ото1t, : ~аJ!'~Ои вертикальнои , . со_ставляющеи скорости и.
Э1'а -с корость-- }}.~хр-щfkя :~в пр·еделах •
-
!
сю> v >О. Ча,ст;и.цы . ,с · составляющей
скорости и<{) ;не будут дос11И1Гать пло
щадки. Общее ЧJи.сло молекул N;, ,со
ударяющихся ,с ёдиш,чной поверх,но
стью .в одну -секунду, может ,быть по
лучено интегрирова•нием ,п,о всем ,воз-
в
0,21/.
V.
I
-
1 ,,,
1i~
11\
,мож.ным скорастя.м ~оо <и< оо, 0,/6
О<и<оо, --: -oo<w<oo, т . е.
'--1
I
!1
\
11
00
00
00
N;= S du Svdv S nifdw,
-00
Q
-оо
0,08
j Ст/,/С'..~ ~ ё//р r\.
/
1
:
'\..._
1
/
:1
1-
а
0,4- 0,8
1,2 1,6 cjlёt
(15.2 .9)
или с уче'!'ом выражений (15 .2,2) для
f и (15.,2.1) для с2
Рис. 1·5.2.2. Функция ра,спределения Мак
,свелла
(15 .2.9')
где
,
Cmz
U= U +--Н1
-V2 '
,
Cmz
V=V +--Н2
-V2 ,
l (15.2.10)
На·пишем с учетам (15.2.1 О) первый интеграл в ( 15.2 .9') ( аналогичным ему
будет третий .интеграл) в ,следующем ,виде:
оо -_!_н2
оо -_!_н2
-
Sе 2 1dи=ст; Sе 2 1d(H1/V2).
-оо
• -оо
Интеграл ·в nравой част.и этого ,выражения - ~известный и н т ег р а л Э й л ер а -
Пуассона:
С л ед авательно,
(15.2 .11 ')
-00
-оо
333
Второй интеграл в ( 15.2 .9') ~rожнЬ представить в ,виде
500 _.2..н2
('(
Н? )_.2..н2(н?\
ve 2 2dv= Ст;J v'+---::::-Ст; е 2 2d --:::-}=
0
-V'/с
.
-v2
-v2 1
т,
00
2 5(-')-y'd
•=
стi _х,уе
у,
-х
где введены обозначения
x=v'/cmi• y=H2/V2.
Интегрируя (15.2 . 12), найдем
500 _2...н 2
с2. -
оо
22d
пи-х'2-sу'
ve
v=-
2- е +ст;Х _в- dy.
о
-х
Интеграл. в правой части (15.2.12') .представим в виде
00
-х
00
1::/_у,dy = _ fв-У'dу +fe-Y'dy.
В;rо,рой ..~нтеrрал по,следне го выражения •со гла.сно (15 .2 .11)
00
5ГУ'dу = -v;/2.
о
(15 . 2.12)
(15.2 .13)
(15.2.12')
( 15.2.14)
Для определения первого интеграла того же выражен,ия аз,ведем ноsую пере.мен
ную у = -z, -с учетом которой
-
-
>:
х
- fгУ'dу=J
Интеграл в правой части этого выражения можно вычислить при ,пом ощи спе
циальной функции
х
erfх= --
в-z dz
-
25'
-v;- о
'
(15.2 .15)
представляющей собой интеграл вероятностей, для которого со•ставлены матема
тические таблицы.
С учет-ом (15.2 .14) и (15.2 .15) зависимость (15.2 .12') запишется в ,виде
оо _.]__н2
с2.
-
\ ve 2 2dv = _.!!!:..!.... [гх•+ху;(1 +erfx)].
J
2
(15.2.16)
о
ПрJiн.и.мая во внима1Н1ие (1'5.2.11') .и (15.2.16), для общего числа а11олеку.1J N;
(15.2.9) можно написать ,следующую за;ви,си,мость:
(15.2.17)
33-1
1:-4..
r
f.
1
l
1
Так как в соотве'!'ствии с (15 .2.7)
то
Ст;= V-2RT;,
г--
vRT; [-х' -v-
-]
N;=n;
--
е +х :rt(1+erfх).
'
2:rt
.
(15.2.18)
(15.2 . 17')
Про изведение RT;, которое входит ,в формулу (15.2.18), связано со скоростью
зву ка со отношением
(15.2 .19)
Как видно из (116.12 . 17'), число ,падающих молекул определяетс я величиной
параметра х, соответствующего рассматриваемой точке ,поверхност,и . Если в этом
п а р аметре х выразить Ст; через с~юр·ость звука, то х-:. (v'/a;)l/k/2. Наря ду с этим,
учитывая , что В- угол между напра1вление 1" ,вектора V"" и ка сательной к по
в ерх н ости в да,нной точке (рис. 15 .2.3), можно найти
_
•v00vk _
_
Vоо vk
v·k
.x=siп(3--
--=х siпp;x = --
-- =М
-
.
(1.5 . 2.20)
а;
2
00
00
а;
2
00
2
Формула (15.2 .17') получена для условий поверхно сти, кото рым соответ
ст,вуют пределы изм енения во втором определенн ом интеграле (15.2. 9') O<v<oo.
Бел и ,ра1ссматривает,ся ,ве,рХ~няя сто,ро
н а по,верхносrn, то у~ра :внени е перено
са ма,ссы будет иным , таrк к ак преде
л ы ,11зм е.нен:ия ,в указанном ,интеграле
в соотве11ст,вш1 ,с рис . lб:2 . 3 будут
-
oo< v<O. Имея эт,о в ,виду , на,пишем
для верхней поверХ!нос'J1и
300
12
-2 se-2HI
N;=
-
n; (:rtc~ ;)
Х
-
00
о -2-н2
оо-
_!_н2
ХdиJve 22dv~е 23dw.
Рис . ,1,5. ,2.3. Свобод н омолекул ярны й
•поток 01юл о плоско й пове рхности :
-
00
-
00
1- верхняя поверхность; 2- нижняя по
верхность
(15.2.21)
Здесь первый и третий интегралы определяю'!"ся значением (1-6.2. 1,1') . Второй
интеграл представим по аналогии с (15.2 .12) ,в виде
О
12
-х
-х
S --Н
s-
'
?
_-,
2-s-'
ve 2 2dv= с~1 (х+у)е-Уdy=
-
О,5с~;е х+ст;х еУdy.
-
00
-оо
-
00
Интеграл ,в правой части это го в ы р а же ния
-х
-х'
о
v-
se- Y'dy = ie- Y'dy+ ie- Y'd.y = +(l- erfx).
-00
Q
-
00
Та·ким образом,
о -~н2
sve 2 2 dv = 0,5c~ I [e-x'-xV;(1-erfx)] .
-оо
335
Г!Dини~1ая в о внимание :полvче н.н ые значения :и,нтеграло,в в (15 .2 .21), найде,м
по аналогии с (15 .2 . 17') -следующую за·висимость для оттрецеления числа падаю
щих )юлекул на верхнюю площадк у:
11/
RTi [ --;;
-
-.1 -
-
l
N;=n;V~е-х-хуп(1- erfx)J.
(15.2 .22)
Если рассматривается свободномолекуля·рный поток около криво.шнейной
поверхности (рис. 15.2 .4) ·, то формула (15 .2.17') применима к ра,счету числа па
дающих молекул на перед,шою сторону этой по.верхн-ости, а формула (15.2.22) -
на заднюю . Фор.мулы ( 15.2 . 17') и ( 15.2.22) ·мо жно упростить при больших скоро-
стях, воспользова,вшись тем, что уже для .i;;,,2 величина е -х'ло крайн ей ~1ере
на два порядка мень ше единицы, а интеграJ!_ вероятно·сти erf х мало отлич ает ся
от еди,ницы, Н а п ример , .при Х-=2 величин а е -х' =0,018, а егfх= О ,995 . Каждо,,1у х
соответствует значе,ние
М= = (xfsiп ~) V2/k .
Sп
S
S
P,f(Prr)
,з
•IJ
~--'t--- ---- ------~~ --- -
1l dS
dS
х
Рис. 15.2 .4 . Сво,бодномолекулярный поток о-коло ,крл
,воJшнейной поверхности :
1- передняя сторона; 2- задняя сторона
В частности, для ,; = 2, sin В=О,2 и k=l,4 число Моо=1'2. При В=90° наи
ме ньшее из возможных чи,сел Моо для х=2 ·снлжается до 2,4 . Та~им об р аз ом,
упрощенн уiо фор,мулу (1-5 .2.17') можно написать в .следующем виде:
N;1=хп;V2RT;= n;V00sin~-.
(15.2 .23)
Здесь индекс «f» указывает на то, что р а,Gсматриваетс я пе р едняя сторо на
криволинейной пов ерх н о сти . Если имеется ,в вид у задняя сторона (,шд е к с «Ь») ,
то, к ак -это нетрудно видеть, фо1j,мула (15.2 .22) при •сделанных лре.дположен иях
превращается 1в равенст.во
N;ь=О,
(15.2.24)
так к ак при б ол ьшой •скорости полета тела м о л екулы ,н е достигают задней сто р о
ны его по·вер хности.
Ра.сс м отр,им перено с -отраженны х молекул. Диффузное отражение по д чи
няется ма ксвелло.вско м у распределе нию, п оэтому м-ожно применить -со·отношения
(15.2 .17') и (15.2 .22), приняв в них х=О, та,к ка к по.еле соударения частицы
теряют массов у ю с коро,сть. Так как отраженные част-ицы имеют другую тем пера-
туру Т,, то
·----
-,
(15.2 .25)
где п,. - число отраженных молекул в единице объвма.
Если принять, что общее число падающих частиц равно числу отражен н ых,
т. е. N ;=N,., то, ,приравН!ивая пр а.вые части выраж~ний (15.,2.17') и (1·5:2. ,25) ,
можно найти связь между ко.нцентрац.ия,ми п, и n; для п е редней стороны обте
каемой ловерхно,сти:
n,t = ni VТ;/Т, [е-х'+хfn(l + erfx)] .
(15.2 . 26)
336
Аналогичное !Выражение для задней сторо,ны получи,м, прирав.ня,в правые части
( 15.2.22) и (15.2.25):
(15.2 .27)
Давление
Давление определяется суммарной потерей количества движе
ния группой молекул в нормальном к поверхнос'!'и нцправлении ·в
результате их соударения со стенкой, т. е . ра,вно сумме количеств
движения в единицу времени этих молекул перед соударением . Об
щее выражение для определения да-вления получают следующим .
образом. Численно да,вление, создаваемое молекулой, равно ее I{О
личеству движения mv, а от группы молекул, соударяющихся в еди
ницу времени с единичной поверхностью, оно составляет
mniv 2fdudvdw. Следовательно, давление, производимое всеми пада
ющими на переднюю площадку молекулами,
_
]. оо
_
_!,_ н2
оо_
_!,_ н2
оо_
. ..:.. н2
p1j=Р1(л:с~1) 25е 2 1du\v2e 2 2dvJе 2 3dw, (15.2.28)
-оо
о
-оо
где Pi = mni - плотность.
Значения первого и третьего интеr,ралов определены ( 15.2 .11 ').
Второй интеграл напишем по аналогии с (15.2.12):
оо _2..н2
оо
оо
522
з
,-
з-r
v2e
dv=Cm1 j (х+у)2 е-и'dу=ст 1х2 .) е-и'dу+
о
-х
-
-х
оо
-
·оо
.
3-s
3s
+2ст;Х _ye-Y'dy+ Ст; ..
_
y 2e-Y'dy.
-х
-х
Здесь первый и второй интегралы в правой части были 'Вычис
лены ранее . Определим третий интеграл, взяв его по частям:
00
0
00
j~ y 2e-Y'dy = S_y 2e-Y'dy+ 5y 2e-Y'dy=
-х
-х
о
с_+[-уг,-J+Je-,'dy-ye-,•1 +J,-,'dy]-
=+(--хе-х'+ -VQл: erf~+ -V2л:·. ).
ТаК:им образом,
оо
12
(У-
_
JV2e- 2 н2 dV = с3;,;х2 +erfХ+V2л:) + с~1:Х:е:Х-•+
12-967.
337
s(
-. r-
v-) ··
Cmi
-
-
11 Л:
-
Л:•
+--
- xe-x'+--erfx+ --- =
2
2
2
V-
3
л:з
-
(-
1)с•-
-
=- Cm1(l+erfх) х2 +- + ~хе-х'.
2
2
_2
Принимая во ,внима,ние эту завиаимость и значения первого ,и треть
его интегралов в (15.2.28), каждый из которых равен Ст; Vл:, а
-.
.
v~
..i k
.
v~
также утштывая выражение х2= sш2 ~ -- • -
= sш2~--,
н ай-
а;~2
С~;
дем после соответс-гвующих подстановок в (15.2.28) следующую
формулу : для безразмерной величины давления на передней сторо
не поверхности:
~if= 2Р;; =sin2~ [- 1
_
е-х2+(1 + ~0 ) (l+erf.x)] .
p;V оо
х Ул:
2х-
(15. 2.29)
Для определения давления н а заднюю сторону пове рх но сти не
обходимо воспользоваться тем . же соотношением ( 15.2 .28), за,меняя
в нем пр еделы интеrрирования по v на --оо < v < О . В соответствии
с этим
3 оо _2н2
о_
_!.н2
оо _ 2..н2
Р1ь=Р;(л:с;,,;)-2 Jе 2 ldu S v2e 2 2dv 5 е 2 з,iw,
-00
-оо
-
00
' где
-00
-оо
=Vл: C~;( l-erfx)(x2 +-1 )- С~ ; хе-х' . (15.2 .30}
.
2
2
2
\
С учетом ( 15.2 .30) найдем зависимость для без размерной вели
чины давления на заднюю площадку:
/J;ь= 2Р;: =sin2~ [-- l . гj;+(1+~\(1 - erfx)J . (15.2.31)
r;V OQ
-
х Vл:
2х2 )
.
Нетрудно заметить, что зависим-ости, определяющие движение
газа на за дней ст0ро;-1е поверхности, можно . получить из соответст
вующих выражений для передней стороны, заменив в них х на -х.
Наряду с падающими и диффузно отраженные час11Ицы создают
давление, величина которого равна сумме нормальных к поверхно
сти количеств движения молекул, покидающих стенку . Так как про-
-
цесс отражения частицы подчиняе11ся максвелловскому распределе
нию скоростш , соО'I•ветствующему температуре Tr и нулевой скоро
сти массового упорядоченного движения (отражение . происходит
от отноаительно неподвижной поверхности), то следует воспользо-
338
в а ться выражением (15.2 .28), приняв в нем u'=v'=w'=O, и перей
ти к парамеграм с индексом «r » . 1В соответствии с этим для перед
ней площадки
__
2оо_
...! ... н2
оо _2..н2
оо_
...!... н2
P,1=r,(:n:c~,) 2sе 2 1dU5v2e 2 2dVsе 2.3dW,
•
-оо
Q
-00
ч то после ,выч1исления интегралов дает
P,r=Rr,T ,/2 .
(15.2.32)
Так как плотность отраженны х частиц pr=mnr, а ,их число в
единице объема nr определяется из у словия установИ1вшегося обте
к ан ия N 1-=Ni по формуле (15.2.26 ), т о для давления , возник а ющег о
за счет диффузного отражения , получим
-
2p,f
sin2~ ут[·
-
-у-
-
]
р,1=--=--- -' е-х'+х
:rt (l+erfx) . (15.2 .33)
.
p;V~
2х2
Т;
АJ!ало,гичная фор.м ула для з адн ей площадки ,имеет вид
V-
.
:.__
2
sin2
Т
-
-
-
-
Р,ь = --1!.! ..!!_=
---=1-
-' [е-х' -хV:n: (1- erf х)] . (15.2 .34)
p;V;_,
2х2
Т;
Общ а я величина отнооительного давл ения равна су м ме -соответ
ствующих значений Pi и Pr• Дл я пер едне й площадки
Р1=2 (Pif+ P,1)/(P ;V~)= Р;1+ Р,1;
(1 5.2.35)
для задней пл ощадки
-
2--
Рь=2 (Р;ь +Р,ь)/( Р;V оо)= Р;ь+ Р,ь,
(15.2 .36)
где величины отн о сит ель н ого давления Pif и Prf находятся из выра
жений (1 5.2.29) и (15.2.33), а Рiь ;и Рrь - из (15.2.31) и (15.2 .34) .
Вместо зависим о стей ( 15.2.35) , ( 15.2 .36) м ожно пользова ться
об о б щенным в ы р ажением для относительного да,вления, получен
ным п осле соответствую щ его суммирования:
2(р;+р,)_•• 2A[ ±l ( 1
1 VТ,)-х'+
p =---- -S!Пt' - -
--+
-
-
--
е
p;V ~
•
хV~-
2х
Т;
+ (1+~±v~
-.
f т,) (1 ± erfx)J,
(15.2.37)
2х2 2х ·V Т;..
где верхний знак. ( п люс) относится к передней площадке, а нижний
знак (минус) - :к задней.
Из выражения (15.2 .37) следу ет , что давление занисит от ори
ент,ировки рассматрива емой площадки отноqительно вектора скоро
сти V оо (т. -е. от угла ~), числа Моо и отношения температур TriT;.
При больших скоростях, которым соответствуют значения . х ~ 2,
форм улы для относительного давления м,ожно упрщ:тцть. Из
12*
33!)
(15 .2 .29) и (15.2.31) получим следующие приближенные зависи
мости:
Р;1=2 sin2~ r1+1;(2x2)J;
Р;ь=О.
(15.2 .38)
(15.2 .39)
Соответс.твующие формулы, относящиеся к п ро цессу отражения,
з аписываются согласно (15 .2 .33) и (15.2.34) в виде
(15.2 .40)
(15.2 .41 )
С учетом этих выр ажений можно написать упрощен ные зав исим о
сти для полной величины относительного давления :
(15.2.43)
Н апряжен ие трения
Н апря жение трения является следствие м полной потери танген-
ци альной составляющей количества движения молекул пр,и ударе .
1~
Э т а потеря количества движения для одной молекулы равна mu, а
дл я того числа , 1юторое •соударяется с единичной поверхностью в
еди ницу вр ем ени , равна nimfuvdudvdw. Следовательно, напряжение
тр ен ия, обусловленное падением на переднюю п лощадку всех мо-
леку,ТJ ,
_
2оо_
_!__н2 оо
_
_!_н2
оо_
...!...н2
•
(2)21
21d-s
22ds2зd
' t' 1=P; :П:Стz
,Jие
иve
v
е
w. ( 15.2.44)
-
00
0
-
00
Ис п ользуя (15.2 . 10), соотношение (15.2 .44) преобразуем к виду
~оо
.
_
...!... н2
( 2)-2зs(,+Н1 )
2 1d(Н1)Х
'r; = Р; :П:Ст;
Ст;
и ----=- cmi е
--=
.
••
-
00,
V2
V2
-
1-------,-- --
--
-
--
1(15. 2 .44')
340
Интегралы в правой части уравнения имеют следующие значения:
1J и' V:n:;
2J - 1 с,;,; [e-x'+xVп(l+eгfxJ;
2
3) V:n:.
j (15.2 .45)
Трение на задней площадке будет определять.ся тем же выра
жением ( 15.2.44') с переменой пределов во втором интег.рале на
-- oo<v<O. В соответствии с этим для второго ин1еграла найдем
-
1 Ст/ [e-7' -x lГл°(l - erfx)].
(15.2.46)
2
Имея в виду эти значения интегралов, а также учитывая, что
(15.2.47)
получим из ( 15.2.44') следующую зависимость для коэффициента
трения:
C11=2тi/(PY~)=sin ~cos ~ [± е~'/(х Vл)+(l ± erfx)], (15.2.48)
где по - прежнему знак плюс относится к передней площадке, а знак
минус - к задней.
Так как любые направления движения отраженных молекул
равно вероятны, то их суммарное воздейспще не создае1 напряже
ния трения, т. е. ,:,.=О и, следовательно,
(15.2.49)
Нетрудно заметить, что для неотклоненной поверхности (1~ = 0) ко
эффициент трения
(15.2 .50)
Также упрощаются завис-имости и в случае, ~огда х~2. Соответст
венно для усло вий на передней и задней площадках они имеют вид:
(с11)1 = sin 2~;
(cfi)ь , О.
(15.2.51)
(15.2 .52) .
Перенос кинетическо'4 энерrии
Для определения нормального давления необходимо знать отно
шение температур Tr/Ti, Вычисление эт,ого отношения в свою оче
редь связано с _)f ахождением энергии поступательного движения
молекул, которая подводится к поверхнос1и пр,и ударе молекул и
отводится в ·результате их отражения. Каждая из молекул при уда
ре переносит к поверхности энергию
О,5тс2 =Л,5т (И2 + V2 +W2).
(15.2.53)
341
Энергия, подводимая тем числом падающих м о лекул, которое
приходится на единицу площади в единицу вр емени, определяется
выражением 0,5mnic 2fvdudvdw. В рез ультате интегри р ов а ния этого
выражения в пределах изменения и и w от -оо до оо, а v - от О
до оо для передней площадки (или от -оо до О для задней пло
щадки) пол учим общее количество переносимой энергии Ei при
ударе. С учетом значения (15.2 .2) для f
с'
_
~оо1воо
-
--;г
Е;=0,5тп; (:n:c;,,;) 2 J J J с2е mi vdudvd1v,
(15.2 .54)
-оо tн -оо
где для пере,щней площадки tн=О, tв=оо, а для задней tп = -оо ,
iu=O.
Принимая во внимание выражение ( 15.2.53) для О,5тс 2 , а так
же зависимость (15 .2 .10) и прои зводя интегрирование, найдем
E; =0,5mN; !V~ - f-RT; [4 -f - 1/ (cp-f- l)]J,
(15.2 .55 )
где Ni определяется формулами ( 15 .2.17') для передней пло щ адки
и ( 15.2 .22) - для задней, а функция
ср=е-х' [± xVn(l ± егfх)]- 1 .
(15 .2.56 )
Отраженные частицы уносят с единицы поверх:нос-ти элементар
ную энергию 0,5mn,c 2fUdUdVdW. Инт,егрируя в пределах измене
нияИиWот-оодооо,а,V - от-оодоО,получимполнуювели
чину уносимой энергии
с'
300о00
-~
,
.
Ег=0,5тпг(:n:с';,,г)- 2 _j s _\ с2е mrVdИdVrfW. (15.2.57)
-
00- 00
-
00
Вычисл ение тройного интеграла дает
Ег= Р, (RT,)1⁄2(2/:n: )' I,.
(15.2 .58)
Заменим в этом ;выражеяии плотность р,. на mnr, а п ,. - значе
IJием (15.2 .25):
Er=2mNrRTr.
(15.2 .59)
Внося сюда значение N,.=Ni с учетом ( 15.2 .17') и (15 .2.22) и
:~:rринимая во внимание, что m=p;/ni, получим
Eг=2mN;RTг= J/2/:n: Р;RТг VRT; [ е-;, ± xl/'n(l ± erf х) ] ,
(15.2.60)
r'де mR = 1,38 . 10- 16 эрг/град (1,38 •10-23 дж/град) - по ст о я н на я
Боль ц м а.на.
Суммарная кинетическая энергия молекул равна разности под
водимой .и уноси1мой энергий: •
F=E,-E,~
3.4'2
При больших скоростях (х~2) как для переднеи, так и для зад
ней площадок можно принять (J)f~(J)ь~O. Имея в виду фо.рмулы ,
(15.2.17'), ( 15.2.22), ( 15.2.55), (15.2 .56) и осуществляя необходимые
упрощения , получим :
E;1 =0,Бxr;V2RT; (v:+5RT;);
Е;ь=О.
(15.2.61)
( 15.2.62)
Для энергии отраженных частиц соответствующие зависимости
после упрощения ( 15.2 .60) запишут,ся в следующем виде:
Ег1=2V2 P;RTrxVRT;;
(15.2.63)
Егь=О.
(15.2.64)
§ 15.3. д~КОМОДАЦИЯ
Обмен количеством движения
В предыдущем параграфе процессы переноса были рассмотрены
на основе гипотезы диффузного отражения, при котором моле!Кулы
ус певают полностью «приспособиться» к условиям на стенке и воз
никающий между стенкой и молекула1ми контакт достаточен, чтобы
передать стенке количес11во движения всех молекул.
Экспер1иментальные исследования показывают, что реальные
процессы взаимодействия _ молекул с поверхностью отличаются от
явлений дJиффузного отражения и характеризуются отражением бо
лее общего типа. Толь:ко часть падающих молекул передает стенке
касательную составляющую импульсов. Степень контакта сталки
вающихся молекул недостаточна для того, чтобы они приобрели
среднюю эн ер гию, соответствующую температуре стенки Т ст-
В основе рассматриваемой концепции отражения лежит идея,
что нормальная и тангенциальная компоненты оилы, создаваемой
от·раженным потоком, определяются соответственно к о эф фи ц и
е1:1том аккомодации («приспо.собляемости») нор
м аль ной компоненты импульса
f п= (р;- Рг)/(Р; - Рст)
( 15.3 .1)
и коэффициентом аккомодации тангенциальной
ком поненты импульса
f,=(Т:;-Т:г)/т:;,
(15 .3 .2)
В соответствии с этой концепцией только часть падающих .мо
лекул fп передает стенке нормальную :~юмпоненту импульса. ,Доля
всех молекул, передающих касательную составляющую :~юличества
движения, определяется коэффициентом f,:. Очевидно, для полно
стью зеркального отражения fп=f.: = 0 (при Pi=Pr; 't'i='t',·), а для
полностью диффузного отражения fп=f.:= 1 (при Рr=Рст; 't'r=O).
Давление Рст в .-(15.3 .1) можно рассматривать как нормальн ую
компонент у ю.ш у льса молекул , которые отражаются с максвеллов-
343
ским рас п ределением скорости , соо т ветствующим термодинамиче
скому равнов-есию при температуре поверхности Тст, на ходящейся
Е состоянии покоя ( Vоо = О). Согл а оно ( 15.2.32),
Рст = О,БRРсттСт'
или, принимая во .внимание, что Рст = тnст,
Рст = 0,5тRпсттст •
Чтобы перейти к плотности набегающего потока, восп ол ь зуемся
соотношением Pi = mni, при помощи которого по луч им
Рст= 0,5RР;Тст (пст/п;),
Для о п ределения отношения ncт/ni ,воопользуем,ся со отношением
Ncт=Ni, определяющим р авенство числа отр аженных Nст и падаю
щих мо.~1 екул:
nстУ RTc т/(2'J! ) = N ;= (N;/n;) n ;,
где Ni определяется по (15.2. 17') и (15.2.22). Вычислив отношение
ncт/n;, на йдем для давления формулу
-
2
sin2
Т
-
-
,-
-
V-
р=~= -
-
~-
~[е-х2+хVл(1+ erfх)],
ст Р.v2
2х2
т;
-
-
•
'
00
(15.3 .3)
где знак пл юс соответствует передней площадке, а м,и1нус - задней .
Строго говоря, коэффициенты !'п и fт неодинаковы, так как ха
рактер,из у ют ра,з личны,е процессы передачи импульса пр~и отраже
нии . Однако пр и- приближенны х вычислениях ~можно исходить J! З
максв ел л овской гипотезы, в соответ,ствии с которой процесс отра
жения характеризуется одним коэффициентом аккомод ации им
пульса f = fп = fт, указывающим на то, что диффузно отражается до
шr f всех молекул , _а зеркально - часть ( 1- f).
С учетом сказанного _давление Pr при отражении определяется
из выражения (15.3 . 1) следующим образом :
P,-'P;(1 - f)+ f Рст·
Полное да,вление
P=Pi+P,=(2 - /)Р1+ f Рст•
(15.3.4)
Под ст авляя в (15.3 .4) .значения р; из (15 .2.29) и (15.2 .31), а так
же Рст из ( 15.3 .3), получим
р 2 (Р;+р,) =sin2~{(2 - j)[ ±Г:: -+(1+ ·~)(1 ± erfx)]+
p;V~
х ул:
2х2
+!_
-.
I Тет [е-х' ± х Vл(1 ± erfx)}.
(15.3.5)
2х2V Т;
344
Сум ма рное напря жение трения: от де й ствия падающи х "If,,, отра
женных молекул -c=i\-Tr- Внося сюда значение 't'r = ( 1- f) -ci, полу
ченшое из (15,3,2) , !Найдем
(15.3.6)
Соотв етствующий коэффициент тр ения согла1сно ( 15.2.48) .
2.-
2.
-J
•
i[±гх>(
-
)]
c1 =-2-=-12-=/sш~c os ~ __ + l±erf x
.
(15.3.6 ')
p;V00
PiV 00
Х V1t
Для •очень больших ,скоростей (х~2) и сильно охлаждаемой
стен ки (Т с т<Тi) зависимость ( 15. 3.5) .м ожно упросТ1ить. Прин и м ая
з на к пл ю с (рассмат,р,ивает,ся передняя площадка), .найдем
(15.3.7)
Дл я так,их же больших скоростей коэф фициент трения на пер ед
ней площадке
(с1)1= f sin 2~.
(15.3 .8)
На задней площадке для указанных условий
Рь=О, (с1)ь= 0.
(15.3 .9)
Из (15.3 .7) и (15.3 .8) на глядно видно вл и яiНие аккомодации
на давление и трение. С увеличением f коэффициент давления JJf
снижаетсн, а коэффициент трения (с1) 1 возрастает. Физически та
кой эффект об ъ я сняется уменьшением ч исла молекул, которые от
р юкаются зе р ка л нно . Это обу слов л ивает уменыfiение дополнитель
ного импульса («реактивной .силы»), что вызывает снижение дав
ления. Одновр,еменно становится меньше число тех молекул,
которы е не передают касательной составляющей; количества дви
жения, что влечет за собой увеличение коэффициента трения.
Коэффициент f в приведенных выражениях близок к единице
и может приниматься в расчетах равным примерно 0,9571 . В пре
дельном случае полностью зеркального отражения, который нере
влен, коэффициент f = 0. В друго м предельном случае полностью
диффузного отражения, который более правдоподобен, коэффици ент
f=1.
•
Экспериментальные ,исследования взаимодействия ,водорода, ге
лия и кислорода с полированной поверхностью окиси серебра, а так
же изучение контакта воздуха с латунью показали, что f,::;:; 0,99, что
подт,верждает наличие практически полного д,иффузного отраже
ния . Вместе с тем анал-огичные исследования позвол,или уста1Новить,
что для некоторых комбинаций газа и пов ерхности коэффициент f
может быть существенно меньше ед,иницы.
Об.мен энергией
Отсутствие полной «приспособляемости» (аккомодации) свойст
Б<снно не толь,ко явлению переноса количества дв1иж,ения, 1но и в
большей степени, как показывают экспериментальные исследо-ва-
345
ния, процессу обмена энергией между падающими молекулами и
стенкой. По этой причине в формуле ( 15.2 .60) для энергии отражен
ных молекул предполагает1ся, что их температура Tr отличается от
температуры стенки Тет, В этом случае контакт падающих молекул
вследствие малого времени соприкосновения со стенкой недостато
чен, чтобы передать им при отражении среднюю энергию, ,соо'Dвет
ствующую температуре Тет и равную согласно (15.2 .60)
Ecт=2mN;RTcт= V2/Ji: PiRTcтVRTi [е--~ ± х1fл' ( l±erfx)].
(15.3.10)
Рассматриваемый случай отражения является наиболее общим
и характер,изуется отсутствием полной аккомодации («приспособля
емости») между твердой границей и молекула1ми пр1и обмене энер
гией. Таким образом, в этом общем случае отношение
(15.3 .11)
называемое термическим коэффициентом аккомо
д а ц и и, ,отличается от единицы. Возникающий разрыв энергии яв
ляется причиной скачка температур, т. е. различия между Т,. и Тет-
Коэффициент аккомодации У\ имеет важное значение в расчете
. теплопередачи.
Поэтому необходимо уметь оценить его величину.
В настоящее время это можно осущестшить толь,ко эксперим,енталь
но, хотя, к сожалению, достаточ.но надежных измерений мало. На
блюдения показывают, что характер изменения терм1ического коэф
фициента аккомодации весьма сложен, Установлено, в част,ности,
что с увелич,ением молекулярного веса и температуры поверхности
значение У\ возрастает. Можно предположить, что коэффициент ак
комодации будет зависеть от скорости полета тела, угла подхода
молекул к поверхнос-ги, св-ойств материала, сост,ояния поверхности.
Как показали иоследования, значения коэффициента аккомодации
для воздуха, взаимодействующего ,с алюминием и сталью, имею
uшх различную форму обработанной поверхности, близки к едини
це 1и колеблются от 0,7 до 0,97.
По имеющимся сведениям, для чистых поверхностей и легких
молекул, в частности, таких газов, как водород и гелттй, величина 11
может дост,игать примерно 10- 2
.
•
Сра,внение термического У\ и «силового» f коэффициентов акко
модации показывает, что f~ri- Из этого следует, что, хотя падаю
щие молекулы испытывают многократные столкновения со стенкой
и процесс от,ражения близок к диффузному, время соприкосновения
этих молекул со стенкой все же недостаточно для того, чтобы отра"
:женные молекулы приобрели температуру стенки.
Можно рассмотреть предельный случай, пр1и котором У\ = 1. Это
соответствует моменту, когда температура Tr отраженных молекул
достигает температуры стенки Т ст• В этом случае молекулы как бы
полностью приспособляются к условиям на стенке.
346
]
,1
§ tS.4. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Общее выражение дnя снnы сопротнвnення
,В качестве иллюt-грации применения получеН1ных в § i5.2 1И 15 .3
завиоимостей рас-смотрим определение аэродина,м,ической силы со
противления. Найдем общее выражение для силы, действующей на
местную площадку единичного размера без учета эффекта аккомо
дации, т . е. полагая коэффициент f = 1. В результате соударения с
такой площад1юй, •расположенной на передней стороне тела (см.
рис. 15.2.4), за счет давления и трения возникает осевая сила, рав-
ш1я согласно (15.2 .29) и (15.2.48)
•
. Сила,
действ ующая н_а элементарную площадку dS передней
с тороны,
а полная осевая сила
Xit= S F11dS,
(Sn)
(15.4.2)
(15.4 .3)
где Sп - поверхность передней стороны. Соответствующий коэффи
nиент сопротивления
.
s sin \3[~-х2 + (1 + sin~~ ) (l +erfx)]ds,
<л
хVп
2х2
n
(15.4 .4)
где S=S/Sмид; Х (V со/ ст;) sin \З =х-:0 sin р; S11 =S11/Sмид·
Интегрирование ведется для переднего уча-сТ1Ка п оверхности пло
щадью Sп. Аналогичные зав1исимости получаем для силы и коэффи
ци ента, соот.ветствующие задней стороне поверхности.
Из рис. 15.2.4 видно, что
•
F1ь=Р1ь sin \3 +.:tь cos \3.
Здесь у гол В определяется по абсолютной Rел,ичине. Приняв для
Рiь формулу (15.2 .31) и вычислив Тiь по выражению (15 .2 .48), в ко
тором взят нижний знак (минус), после соот,ветствующих подстано
вок получим
Fiь= Р;~~ sin \3[ ;~; +(1+ s~~/ )(1-erfx)]- (15.4.5)
34Z
Коэффициент оилы сопротивления
-
[
-х'
-е
siп ~
_
хVп
+(1+sf;j )(1-erf х)] dS.
(15.4 .6)
Интеграл вычисляют для заднего участка поверхности пло
щадью Sз. Этот же результат можно получить из выражения
( 15.4.4), заменяя в нем х на -х.
,Коэффициент ,сопротивления обтекаемого тела определяется как
разность коэффициентов сил, .возникающих за счет падающих мо
лекул на переднюю . и заднюю площадки и действующих в проти
воположные ·стороны:
Сх1= Cxi/- Сх~ь= 2 (Х11-Х1ь)/(р;V~S,,ид).
( 15.4.7)
Отраженные частицы создают добавочную силу. При этом, от
ражаясь- от передней площадки, они действуют на нее с силой, ве
личина которой в соответствии с (15.2.33)
F,1= р,1 sin ~= P;V~
·
si~ ~
-.
/ т, [e-xi +xll n(l +erf х)].
2
2х2 V [Т;
.
(15.4.8)
Коэффициент силы, действующей на переднюю ;площадку Sп,
1 \ sin3~ут[---(
-)] -
2 )-_-
-' гх'+хVл: 1+erfx dS.
<s;;) х2
Т;
.
(15.4.9)
Сила, отнесенная к единице площади и обусло·вленная дейст
вием 011раженных молекул на заднюю площадку, будет определять
ся соотношением ( 15.2 .34) для Рrь в виде
2
v-
·
.
PiVoo siдЗ~
Т, -,
-
-
-
F,ь=Р,ьSШ~=-- ·-=----
-[е-х -xVn (1-erfx)].
.
2
2х2
Т1
(15.4 .10)
Соответствующий коэффициент силы Хrь, действующей на зад
нюю площадку,
V-
l
sinЗ
Т
-
-
-
-
-
-s~
_, [e-x•-xVл(l-erfx)]dS.
2
х2
Т1
(s;)
(15.4 .11)
348
"-
Полный коэффициент СОIПротивления за счет о?раженных мо-
лекул
,
Сх,= Сх,1 - сх,ь=2(Х,1 -Х,ь)/(р 1V~S"и11).
Этот коэффициент сопротивления определяется ка~< разностh
соо11ветс11вующих коэффициентов для ,пе редней и задней площа ·
док, что обусло·влено характером взаимодействия 011раженных ,мо
лекул со стенкой, при котором· на задней площадке ,возникает не
сопротивление, а !Подталкивающая сила. По овоей физической при
роде эта сила представляет собой реактивную силу, возникающую
при отбрасывании частиц от п,ове-рх-ности.
Суммарный 1юэффициент сопротивления для обтекаемого тела
получается сложением (15.4 .7) и (15.4.12):
(15.4 . lЗt
Когда х~2, приведенные формулы упрощаются. Вместо (15.4 .1)
и ( 15.4 .4) имеем соответственно зависимости:
Eit=PY~ siп ~ [1+ 1 /(2х~) ];
Сх11=2[1+11(2х~)] 5 siп~dS,
(~)
а JВместо (15.4 .5) и (15.4 .6) - значения:
F1ъ=О, Схiь=О.
Зависимости (15.4.8) и (15.4 .9) также · у;прощаются:
р у2 sin2 ~ 1v;--т
F
Loo
--
r
,1=--·
-
:n:-;
2
хоо
Т;
у; s . 2 r.ifТ:dS-
cxr1 =-=--
S111 г'
-
,
Хоо (s)
Т1
п
а :в,место (15.4 .10) и (15.4.11) будем .иметь:
(15.4.14)
(15.4.15}
(15.4.16)
(15.4 . 17)
F,ь=-0, Схrь=О.
(15.4 .19)
В случае одновременного диффузного и з~ркального отражения
(коэффициент аккомодации импульса f< 1) силы рассчитывают ,no
· фор,мулам:
F11= P1r siп ~ +j-т:11 cos ~;
F1ь=F11 ( --х);
F,1= [Pit (1-Л +/ Рс1·/] siп ~;
F,ь=F,1 ( - х),
(15.4 .20)
(15.4 .21)
(15.4.22)
(15.4 .23)
,//
где Рст t определяется по . формул е ( 15.3.3), в которой выбирается
зна,к плюс. 0бозначе,ния в (15.4 .21) и (15.4.23) указЬ!lвают, что
Fiь и F,.ь получаются соответственно из выражений для Fi t и F"t
путем замены х на -х.
Конус
В качестве примера применения полученных зависимостей вы
числим аэро·динамичес1юе сопротивление тела в виде 1юмбинации
двух ,конуоо.в (рис. 15.4.1, а), 01бтекае~мой uсесимметричньrм пото
ком. Входящая в фо,рiмулы для коэффициенто:в сопротивления от
носительная ~величина
dS=2лrdl/(лr~ид)=2лrdr/(лr~ид sin ~к)=clr2/ sin ~к· (15.4.24)
а)
Pir(
Б)
r
r
V=(Mco) О
о
х
х
Рис. !б.4.1. К пр:имеру расчета обтекания свободномолекуляр.ным []О
то1юм кон.ическаго тела:
а~ комбинация из двух конических поверхно ст ей; 6 - конус с донным срезом
Внося значения d$ ,~ (15.4 .4) и (15.4 .6) и учитывая, что для
конуса
( 15.4 .25)
получим коэффициент -со.противления в · следJющем виде:
( 15.4 .26)
(15.4.27)
Полный коэффициент сопротивления за счет падающих 1м,олекул
•
Cxi=Cx;j-Cx;ь= _ 2 _е-х~+2(1 + 2~ 2 ) erfXк. -
хкУ:n:
х=
(15.4 .28)
350
1
~
Расомотрим воздействие отраженных молек~~ролагая для
условий обтекания конуса отношение Tr/T i = const. Для этих уело :
вий из ( 15.4 .9) находим
V-
. [..:2
1
Т
-х
-
-
·
-
сх,1= -_- -'
'
е к +хкУ:rt (l+erf x J],
2х:
Т;
(15.4 .29 )
а применяя формулу ( 15.4 .11) ,
-
-2
-
сх,ь=-
. -.: .. / 2[е-Хк_хкVл (1-erfxJ] . (15.4 .30)
·
2х:VТ;
Имея ,в •виду, что этот коэффициент х арактеризу ет подталки
вающую ,силу на задней площадке , определИiм в соответствии с
(15.4J2) полный 1юэффициент сопротивления за счет отраженны х
молекул :
V-
sin ~к
:rt 2
Сх,=Сх,1-сх ,ь=----
т,•
Хоо
1,,
(15.4 .31)
Складывая (15.4 .28) и (15.4 .31), найде м с ум1марны ~ коэффи
ци е нт со1проти,вления кон уса:
2-х~(1\-
sin ~к vт,
Сх=Сxi+ ,c x, ==---=- е +2 1+ ----=;-1 erfхк+---=- Л -
.•
х" V:rt
2х00 ;
хоо
Т,
(15.4 .32)
Осесимметричное обтекание конуса с плоским дном. Для этого
случая (рис. 15.4. 1, 6) формулы (15.4 .26) для Cxif и (15.4 .29) для
Cx,i не изменяются. Выражения ( 15.4.27) для Cxib и ( 15.4.30) для
Сх,·ь будут иными, так как в них следует заменить .х11-= хоо sin ~н на
хн = Хоо ,в.виду тог о, что донна)! поверхность н аклонена под углом
Вн = л/2 . С учетом этого для коэфф и ци ент.а силы, действующей на
пер едн юю \Поверхность, пол у чим
е-х~( 1
sin ~!( vт:)
Cxt =Cxi/+ c x ,f= ----=--
-v· -
+~
Т+
Хк
:rt
2Х оо
l
(
-
)·(
1 +sin~кVТ,)
+ 1+ erfх, 1+~
-_-
л~ . (15..4 .33)
2~ 00
2Хоо
l
-
Коэффициент ~силы , действующей на донную ·пове:рхность,
-Хоо -1
1
Т,
-
2(
v-)
Схь=Сх;ь+сх,ь= еХоо V :rt + 2хоо Т; +
+ (1-- erfx"')(1 +-d- - ~
• / :rt т, \. (lБ.4.34)
2х':, 2хоо V Т; J
Олределя:емая этим коэффици енто,м сила дей ству~т на донный
срез в ст,ор·ону, противополо ж н ую на,бегающе,му потоку, и, следо
в ат елыно, юредста,вляет собой подталкивающую сил у. В со ответст
в и и с этим С)~м.м а рный коэффиuиент •сопроти вления конуса
( 15.4 .35)
При оч е нь больших скоростях полста (х » 1) . формулы
(1 5.4.32) и ( 15.4.35) ,принимают вид
( 15.4.36)
причем этот р езультат не за1висит от формы тел .
П ри ,скоростях полета, . котор ы м соотв.ет ст,в уют небольшие ве
личин ы х, значения Сх увеличИ'ва ютс я ,всл ед,ств,ие существенного
Сх
21
2,8\\
\-
'
r-,
........
r---- _-
---~-
---
2, 0-
4
8
12
>-
·-
влияния отраженны х мо леку л ,
что видно из графи к а , приведен
ного на рис. 15.4 .2, где значения
Сх даны для конуса и сфериче-
- ской
поверхно сти .
Примечателен то т факт, что
значение с;= 2 точно ,соответст
вует в ыв одам удар ной теории
Ньютона . . Действител ьно, согла-
!Б
сно этой теории, сила ,сопротив~
М= ления о:пределяется полной поте
рей колич~ства движения частиц
на площади наибольшего попе
речного сечения тела. О сно.выва -
я,сь на этом, найдем, что для лю
Р и с . 15.4 .2 . Коэф ф ициент ,сопрот11JВле
lНIИЯ сф ер ы ( кривая 1) и ,ко,ну,са (кри
вая 2) ,в свобод:номолекулярном по-
т оке
tугол атак !! а=О; угол _конуса /3 к =60' ) бого тела ,с площадью м иделевого
сечения :п:r2м1щ (например , для ко
нуса), обтекаемого свободномолекулярным потоком со скоростью
11""' сила ,соп ротивлени я при н улевом угле атаки
rд е юе~р1вы й чл е н ,разности - ,1юличест:во движения на,бегающего
поток а до соударения , второй чл ен - 1юличество движения после
соударения.
_
Коэффициент этой силы сх = 2Х/( р00V~:п:r~ид) = 2. Эту же
фо рмулу ,получаем и дл·я произ:вольно.го угла атаки . При э·юм ·сила
должна рассчитываться как произведение коэффициента Сх = 2,
с ко ростного наюора и проекции поверхности на плос1юсть, нормаль
н ую к направлению вектора ,скорости Voo.
Из изложенного видно, что ударная теория .отличается от 1ра•с
смотренной выше ньютоновской схемы эластичного отражен1-1я (см. ·
§ 9.4) . Согласно ньютоновской схеме, час"Fицы после столкновения
с поверхностью продолжают движение вдоль стенки, т. е. отклоня
ются на угол встречи молекул оо стенкой . При этом нормальная
компонента скорости погашается, а касатеJiьная остается <без из-
352
менения. В соответс'I'вии с ударной• теорией . погашаются обе со
ста1вляющие и, ~следовательно, наряду с нормальным 1на,пряжением
(давлением) должно появиться касательное нап,ряжение.
Из рис. 15.4.2 видно, что , несмотря на не.которую ;разницу, ,ре
зультаты точного расчета- для чисел Моо>4 практически не отли
чаются от значения Сх=2, найденного по уд;~рной теории Ньютона.
Поэтому 1При сравнительно небольших числах Мао · аэродинамиче- •
ские силы можно рассчитывать по схеме д,иффузного отражения,
а при ·больших числах Мао -:тто ударной теории Ньютона.
Неосесимметричное об-
•
текание. В оонову рас-
сн
чета ;коэффицие1нтов осе-
cR г--г--,--,---,----,---,---,.---,---,
вой и :нормальной ,сил, а
т,i-----t---t------f-+-+---+--""-sc-i-----jf----+-----j
также момента необходи-
мо положить выражения
для местных коэффициен
тов да,вления и трения .
Входящий в эти выраже-
1ния у,гол j3 -следует заме
нить .на усrол 0к между на
пра1влением скоро·сти мо
лекулярного потока и ме
стной площадкой.
Зная характер ра,с
пределения местных ко
эффициентов да,Вления и
трения и -применяя общие
выражения для расчета'
аэродинамических коэф
фицие,нтов (см. § 1.3),
можно для заданной фор
- 4,D
IX, гpcfJ
Рис. 15.4. 3. Результаты расчета аэродина
м ически х ,коэффициента.в при обтекании
сво,бо,дно.м,оле.куля,рным пот,аком тела
вращения
(Вк =15'; dт /Dт=О,834; хц.м !Dт=I;_ xJDт-3)
мы тела вычислить их" конкреТ~ные .з,начения . На рис . 15.4.3 .приве
дены р ез ультаты та1кого расчета для усеченноJ'о конуса с цилинд
ром, полученные при условии, что O11ношение скоро .сти полета к
молекулярной скорости хао=7, а отношение температур Tr/Ti=0,18.
Коэффициент момента, данные о котором приведены на рис. 15.4.3,
вычислялся отно,сительно центра масс, . раоположенного -на . ,ра -с
стоянии одно.го диаметра цищшдра от большего о,снования конуса.
Циnиндр
Рассмотрим сопротивление цилиндра при ·поп вречном обтека
нии свободномолекуляр,ным юотоком по схеме диффузного отраже
ния и в предположении, что J<:аэффициент аккомодации f = 1
(р-ис. 15.4 .4). Воспользуемся для этой целя формула1ми (15.4.1)-
(15.4 .13). Цринmмая во внимание, что в (15.4 .4)
(15.4 .37)
353
а величина .i = xoo sin ~, ,найдем
Ри,с. 15.4.4. Цилиндр ;В сво:бодномолекулярном потоке
Для коэффициента Сх;ь с учетом (15.4 .6) получим зависимость
Сх;ь= 2;;ь = "s/
2
[ ~е-: +sin ~ (1++)(1-erfx)]d~.
p;V oosMИI( о х~ Vл
.
2хоо
(15.4.39)
Сопротивление, вызванное отражением молекул от передней .пло
щадки, определяется в соответствии с ( 15.4 .9) коэффициентом
2X,t
1 ")12 [ е-х> . ( -)J-v- siп~ ут:
cx,r=
2
=-
- - -- =-+ 1+erfx х :rt--=r
-d~.
p;V ооSм»и
2оxVл
хоо
Т;
( 15.4.40)'
Отражение от задней площадки создает силу, коэ·ффициент ко
торой соглаоно (15.4 .11)
сх,ь= t2;гь - 1
-
"s
12
[ е-х~- (1-erfх1]хVп s~~~ ../ т, d~.
p;V oosMИI(
2
-v
хVТ;
Q
ХJt
ОО
( 15.4.41)
Разность (15.4 .38) и (15.4 .39) дает коэффiщиент 1Полной оилы
от воздейс11вия ,падающих молекул:
'
•{1о(~~)+(х~++)[1:(х2~)+ 11(~~)]},
( 15.4.42)
354
где loCx~ /2) и /1 (х~/ 2)-модифицированные фу,1кции Бесселя
соответственно порядк а <<0>> и << 1>>:
-
2
([х~) 15" :соcos'Р
.
10 --
_-
е
dtf,
2-
л
о
-2
(15.4.43)
-
1С
Хоо
(
Х2\
l
-
COS<p
f12
00
) =--;-~costfе2
dtf.
о
, Коэффициент ,полной силы от ;воздействия
отраженных моле
кул найдем, вычи-тая ( 15.4 .41) ,из ( 15.4.40). Полагая 1При этом, что
для В'Сей поверхности Т,-/Т i = oons~, получим
V---- 1t/2
3/2 v--
1
т, I- . P.dr.,
л
т,
cx,=Cxrf-cx,ь= ~
л:-- ХSШ r' Р=--=-
--•
.
.
х
Ti
4х00
Т;
.,
со
о
•
(15.4.44)
Сумма,рный коэффициент сопротивления цилиндра
1-2
v~е-2Хсо { Х~)
Сх=Сх1+сх,= -
fo (-2- +
хсо
,
( 15.4 .45)
Пластинка
Е наиrболее простом ,случае, когда обт1;;кание рас-считывается
по ударн ой теории Ньютона, ,сила лобового сопротивления, дейст
вующая на пластинку площадью Sнр, определяется изменением
количества движения до .и после соударения:
Х = (PcoV co.S\p sin а) V со-,-- (PcoV соSкр sin а)-0= Рсо V;,Sкp •sin а,
где а - угол атаки (1рис . 15.4.5).
Следовательно, к,оэфrфициент оопротивле1-rия
Cx=2X/(PcoV;,Sкp)=2 sin а.
(15.4 .46)
Так как ,подъемная сила отсутствует, то аэродинамичее1кое ка
чество равно нулю. Эти выводы •близки; :к реальным при -очень -боль
ших скоростях своrбодно,молекулярных потоков. При небольших
ск оростях следуе'Г учитывать эффекты отражения и ,применять для
расчета соо'!'ветств ующие зависимости для коэффициентов давле
ния итрения.
355
·~. ,
.
't/,'"' :~~--Р ассмотрим случай отражения с коэффициенто1~. а~комодации
-
f<'l-. С ил.а на ,нижнюю поверхность ,пласт шпш , об у словленна я во з
действием ~падающих молекул, с огласно фор мул е ( 15 .4 .20) , в кото
рой ~ за/Меняется ,на а,
X;1=F11Sкp=(p11 sin а+ fi:11 cos а; SкР'
(15.4.47)
а коэффициент этой силы
(15.4.47' )
у
)11,.
)11, .,
--~•-•~----м--------
З а меним здесь 'r:if по выра
_ жению ( 15 .2.48), сохранив в
нем знак плюс. Одновремен
но вместо Pif подставим
(15.2 .29). Имея в :виду, что
в ( 15.2.48) и ( 15.2.29) вмес
то ~ принимается уго л а,
по сле указанных преобразо
в ааий по лучим
•,
Pf =~/ rf
Рис. r5..r .6. Пластинка в ,св-обод.номолеку
ля-рн ом пото,ке
Cx;J= Sin3a [-е-х' + (1 + ~)(1+erfx)]+
xVл;
2х2
,
+ f s!nаcos2а(;;~+ 1+ erfх),
(15.4.47" )
где Х=Хооsin а.
А налогично для верх,ней поверхности [см . ( 15.4 .2 1) ]:
_
2Х;ь·
2F1ь
2
-
-
Сх;ь- 2
=--2 -= --2 -F ;1(-x) = Cx;1(-x)=
p;VооSкр
p;V оо
P;V оо
_
sin 3 a r=-е~ +(1-+ ~)~(l-erf х)]+
х Vл;
>\>с 2х2 -~
_
+ f sinаcos2а·(-г;.+1- erfх).
(15.4 .48)
, xv;-
'
Ра•ссмотрим силы , выз1ванные отраженаем молекул. Из рис .
15.4.5 ,видно, что на нижнюю поверхность действует сила Х,.1 , кото
р ую м ожно ~представить с помощью ( 15.4 .22) в в,иде
Х,1 = р,~~Р sin q, = F,1Sкp·
Коэффициент этой силы с учетом ( 15.4 .22)
2Х,1
- 2F,1 2sina
Cxrf
p;V~Sкp - P;V~ -
P;V;, [P11(l-f)+fPcт/J·
356
(15.4 .49)
( 15.4 .50)
'
.
,•
.!
;ом:
Подст1;1'ВЛЯЯ . 1вместо Pif и Рст f соответственно значен,ия (1 :5, .• = :·
и (15 .3 .3) ( Ф'знаком плюс), получим
.
,-:'r_..t;:' •
C_frf •(1- /)sin3а[Гх'+(1+--Ь-)(1+ erfх)+
_
·
;у;
2х2
+ ·f _si~Зa' -.
/ Ттст [ е-х'+хVп (1 +erfx)]. (15.4 .50' )
2х2Vi
Отраженные от верхней .поверхности молекулы со,здают под
талкивающую силу [см. (15.4 .23)]:
_Х,ь=F,ьSкр= Р,ьSкр sin а.
(15.4.51 ),
Коэффициент этой силы согласно (15.4 .23)
2Х,ь
2F,ь
2р
-
(-
Схrь ---' -=- -- =
--=
--
,1 ( -x)=cx,f -х).
p;V;,Sкp PiV;,
PiV;,
(15.4.52),
В ,соответс11вии с ( 15.4.50'.) получим
сх,ь=(l- f) sin 3 a [- гх- +(1 +~) (1-erf х)]+
-у
2х2
х
л;
V-
]
siпЗа
Т
-
-
-
-
+f_
_Q_[е-х'-хVп(1- erfл) .
2х2
Т1
(15.4.53)
Разность (15.4.47") и (15.4 .48) дает
(15.4.54)
Аналогичное :ВЫfРажение, соответствующее ~процессу отражения ~
получим, ,иопользуя ( 15.4 .- 50') и ( 15.4 .53):
Cx,=Cxrf-cx,ь=2 (1- j)-sin 3 a [-~ e -x•+(l + ~) erfx] +
х~
2х2
+fsin3a VТет
--
п
.
х
Т1
(15.4 .55}
Сум1марный коэффициент лобового -сопротивления
Cx=Cx1-t -Cx,=2 (2-/) Sin 3 а [-1
-
е...:Х•+ (1 +-Ь-) erf х] +
-1Г
2х2
- ~-~
хул:
+Jsina[2cos2 a(~ - x~ +erfx)+ si~a -.
/'Л Те~]· (15.4 .56}
хVл:-хVт,
357
Аналогич,но ,можно определить по дъе м ну ю силу У и коэффици
ент этой силы:
(15.4 .57)
где
0;1=Pif cosа- ft;1siп а; 0,1=[P;J(1- f)+ / Рст/]cosа. (15.4 .58)
Для случая полностью диффузного отраже,ния коэ-ффициенты
сопротивления и подъемной силы можно получить, если в ооответ
~'I1вующих выраж ениях принять f= 1, а для зер!кального отражения
f =O.
•
§ 15.5. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Температура отр аженных молекул
:Как уже говорилось, давление на стенку, обусловленное отра
жением ~молекул, зависит ,от их температуj)ы Tr . Для опредеJJения
э ·гой температуры необходимо 1ноопользоваться уравнение,м rбалан
.с а энергии между телом и средой . Выведем это ура·внение приме
нительно к _ единичной .площадке в ,произвольном месте 1по·верхно
·сти. К этой ,площадке ,подводи,ся энергия поступательного д,виже
ния .молекул Ei. Соответствующую энергию отраженных молекул
можно определ.ить, как следует из ( 15.3 .11) и ( 15.3.1 О), следующим
,01бразом:
( 15.5. 1)
Если учесть подвод тепла qрад ·путем внешней радиации (наrпример,
,солнечным излучением), то приносимая э,нергия ,будет Ei+qpaд•
Примем, что расход энергии .наряду ,с переносом отраженными
молекулам-и обусловлен также излучение,м внешней по;в,~рхности,
,ее дополнительнь11м охлаждением или нагревом ,изнутри (,соответ
с-гвенно ,плю-с и ,минус q0 x). Тогда уравнение баланса эне,ргии для
единичной поверхности пр.и •стационарной теплопередаче будет
Иlметь вид
Е;+qрад=Е,+ЕаТ:т ± q0 x,
или с уче11ом выражения (15.5 .1) для Er
'YJE;-tqpa .,='YJEcт+EaTiт ± qox'
( 15.5.2)
( 15 .5.2')
__
Соо'!1ношени,е (15.5.2') и входящие в ,него выражения для Ei
{15.2 .55) и Ест ( 15.3 .1 О) соответс11вуют д,вижению одноатомного
таза. Если газ состоит из многоатомных молекул, в частности,
-если воздух рассматривается как двухатомная модель · среды, то
каждая ча1стица будет обладать кроме энерлки поступательного
.358
дв,ижения также ,внутренней энергией, обусловленной и х враще
нием и колеба,нием и зависящей от свойств газа. Так ие частицы ,.
.
'
падая на единичную пов е:рхность, передают еи в единицу вре;м,ени
вн ут.реннюю энерnию , равную ,согласно . молекулярно- кин е тической
теории ,газов
Е_5
-
3k тRТ;N ,
iв-k-1 .
--
2-
i•
(15.5.3)!
Молекулы, покидающие поверхность при темпера ту,р е Те т, уно
сят внутреннюю энер:гию
Е_5-3k
-ст.в- k- l
тRТст N
ст•
2
(15.5.4)1
где Ncт=Ni,
В соответствии с этим для двухатомного газа уравнение ,балан
са энерr.ии ( 15 .5 .2') будет . иметь следующий вид:
(15.5.5),
где
Е;=Е; +Е;в ; Ёст=Ест+Ест, в·
(15 .5 .6 ),•
Внося в (15.5 .5) значения Е\ ,из (15.2 .55) и Ест из (15.3 .1 0) (при
условии, что в ет,их ,выражения х зна к плюс выбир а,ется для перед
ней :площадки, а минус -- для нижней), определяем тем,перату,ру
стенки Тст при заданных значениях степенп черноты е, тепловых.
потоков qрад, qox и температуры воздуха Ti ,
Расче т ы Тет п о ура•внению ( 15.5 .5) для ,пластинки в за ,нисимости
от у гла атак,и а п о казали, что влияние солнечной радиации на тем
пературу стенки более су щее11венно пр и малых углах а. Это влия
ние возрастает также с п одъемом на ~высоту. Начиная с высоты
240 -; - 250 км и выш е , сол н ечная радиация является о·с.но1в~ным фак
тором, определяющим тем п ер ату р у стенки. Снижение темnерату,ры
Тет можно обесшечить, rприменяя пове~рхности с ,малым коэффици
ентом аккомодации 'YJ. Для этих же целей желательно, чтобы угол
наклона стенки ·б ыл по возможности наименьшим, что достигается
при полетах на малых углах ата ,К,И . По найде,нной темпера ту-ре Т ст
можно вычислить температуру отраженных молекул Т,.. Соо11ветст
вующая р асч етн ая зав:иоимость получается следующи,м образом .
Нап и шем .по аналогии ,с (15.5.1) - формулу ДJ[Я энергии отраженных
дв ух атомных .молекул:
Зде~сь
(15.5.Т}
E, = E,+E,в ~ ~mN;RT,+ S-Зk . тRТ, N;=2mN;RT,k1 ;
k-1
2
-
(15.5.8у
(15.5 .9)
359
r
k1=(k+ 1)/[4(k - 1)] .
:Кроме того, 'В ( 15.5.7) входит энергия
Ёi=Е;+Еiв =E;k2,
значение которой определяется коэффициентом
( 15.5.10)
(15.5. 11)
kz=l+Еiв=l+-1-.
5-3k . mRTi N;.
(l5.5 . l2)
Ei
Е;
k-1
2
Внеся (15.5.8), (15.5 .9), (15.5 .11) в (15.5 .7), rнайдем следующее
соотн-ошение для расчета те.мперату1ры отраженных молекул:
(15.5 .13)
При этом расчет температуры Tr ведется отдель н о для передней и
задней площадок, которым соответствуют определенные значения
N; и Ei, а следовательно, и Тет . Есл,и коэффициент аккомодации
11 = !, то Tr= Тет, Этот же результа т получаем и 1В случае так назы
ваемой адиабатичес:~юй стенки, для 1К<()торой тепловой процесс ха
рактеризуется отсутствием какото-либо иного :внешнего подвода
l!ЛИ отвода тепла, щроме .притока энергии за ,счет ~падающих моле
кул. В этом случае стенка на,гревается только в результате посту
пательного д,вижения молекул. В соответстn.ии с этим у1равнение
{15.5 .5) !Преобразуетс я к виду Еi=Е с т, или с учетом (15.5 . 11) и
(15.5.9) :- в с оот нопiение
E1k2 = 2mN;f~.Тcтk1 =Естk1.
(15.5 .14)
Есл,и подставить это соотношение в (lS.5 . 13) , то можно у~бе
диться в том, что температура от,р аженных молекул ра'вна тем,пе
,ратуре стенки. Эта тем,ператур а определяется ,из (1 5.5 .14) после
подстанО'!~ки значения (15.2 .55) для Ei в следующем ~виде:
Тет =.I.r_=
k2 [v~+Rт1 (4+ -1-)]. (15.5.15)
Т;
Т; 4RT;k1
.
'f+1
В этой формуле произведение RTi можно заменить при
( 15.2 . 19):
помощи
(15.5 . 16)
Из этой фор1м улы видно , что температура адиабатической сте,нюг
является авоеобр аз ным аналого м темш:~ратуры т,орможения 1пpfl
сп лошном теч е нии.
Услов и я полета на ,больших высотах могут быть связаны с под
держанием некоторой по стоянной температуры стенки. В этом
,с луча е т ем:пература стенки задается и расчеты сводятся к опреде
лению по формуле ( 15.,5.3) температуры отраженны х частиц, кото
рая з атем и с п ользуется для вычисления давления .
.З 60
---- ..,
Расчет теплопередачи н температуры стен кJt
Сумма,рный удельный тепловой по'юк к ;;тешке ,может быть оп
ределен как раз,но·сть энергий г:адающи х и 011раженных молекул :
q=Е 1 -Ё,.
(15 .5.17)
Ко1м•бинируя это ура~нение с ( 15.5 .7), найде м
q='У\(Ё1-Ест),
(15.5 . 17'}
или с учетом выраж,ений (15 .5.11) и (15.5.9) для Ei и Ес т
q='Y\ (E1k2-2mN 1 RTcтk1) .
(15.5. 17'')
Вносим сюда значение Ei из (15 .2 .55) :
q= YJ~N ; {k 2[v~ -\ -RT1.(4+ <p~l )]-4RTcтk1} ·
Учитывая, что Ni определяется ,вы,ражениями ( 15 .2.17'} для п е
редней по·в е рхности и ( 15.2 .22) - для задней, а масс а молекулы
m = pi/ni, найдем
q= YJ~l V
~:; {k2 [v~+ Rт1 (4+<p~1)]-4RTcтk1 } X
Х [е-х' ± x Vл(l ± erfx)J,
(15.5. 1§)
где q:, опр еде ляется соо ·гношен ие,м ( 15.2.56), k2- ( 15 .5 .12), а k1-
( 15.5 . 1О ). С учетом этих зав ис имостей получи,м для передней пло
щадки
q='Y\P;,, /(RT;)З{ [ e-x'+xVл( l +erf х) ] [х~ - k + 1 . Тет+
v· 2л:
2(k- l) Т;
+---'--- +-х
л(l+erfx) ,
(15 .5. 18')
k+1] 1-v-
-
}
2(k- l)
2
где
Аналогичное выражение для q можно получить и для задней
площадки обтекаемого тела , заменИiв в (15 .5.18') хна __:_х .
Полагая в сооу,ветствующих формулах те.пло1вой поток q = O,
м о жн о определить равн о весную температу,ру стенки . В частности ,
~!РИ это м условии найдем из (15.5 .18)
• Тст = Те =--.!:2_ [v~+RT1 (4 +-1
-)].
4Rk1
<р+1
(15.5 .20)
Из · ( 15.5.12) и .: (15.2.55) видно, что при очень-больших скоростях
(Voo::;}>ai) :параметр k2= 1. Поэтому, при_нимая 1во внимание фор,му
лу ( 15.5 .1 О) для k , и пренебрегая вторым членом в К!Вадр атных
361
,,е к,об ка х в ( 15. 5.20) , получим
k-1 V;,
Tcт=Te=k+l' R'
(15.5 .21)
( 15.5 .21')
Такое соотношение ·получается из у равнения ( 15.5 .18') , если в
1{Вадрат ных скобках в правой части пренебречь величиной k/ (k-1)
ло сравнению с х2оо и оста1вшийся д~вучлен приравнять нулю.
Рассмот;рим выражение для числа Стантона, я•вляющегося ,без- ·
_размерным пара, м,етром теплопер ,едачи:
St=_l!:__ .
q
k+1
"IP;V00Ср; (Те - Тет)
(15.5 .22)
В таком виде этот безраз,мерный пара'V!ет,р называется л о
кальны,м модиф,ицированным числом Стантона.
В случае ,больших скоростей (хоо» 1, х» 1) для пере,щней площад
к и т епловой ~поток можно представить, как это видно из ( 15.5 . 18'),
в приближенной форме :
q=+YIRP;T; 11RТ;(_г~ +1+erfx)xx;, .
.
xVn
.
Прини•мая во внимание за:вис имость (15.5.19) для х, после
подстановки значения q в формулу ( 15.5.22) г.олуч,им
St=_l:!!_ .
RT; V~
(-е-х' + l+erf х)х~ sin ~-
k+1 V00сpi(Те-Тст)v2 х~
·
Так как Тс т<<Те, то вместо разности Те.:___Тст можно ПIРИНЯТЬ Те,
определяемое 1по ( 15 .5 .21 '). Кроме того , произведя замену Cpi =
=kR/(k-1.) И .Xoo=(V oo(V kRT;) Vk/2, ПОЛУЧИМ
sinр(е-х'
.
-)
St=- 2
-
\ xV~+1+e1fх •
( 15.5 .,23)
Теперь рассмотрим коэффициент трения. В соответствии с
( 15.2.48) и ( 15.3 .6') можем написать для этого коэффициент.а, от
несенного к услов,иям на передней площадке, следующее ,выра
жение:
cfi= f sin ~cos ~ (/;: + l+erf х).
( 15.5 .24)
Сравнивая (15.5 .23) ,и (15.5 .24), можно усганов,ить связь между
числом Стантона и местным коэффициентом трения:
St= с1;((2 f cos ~)-
(15.5 .25)
362
Экспериментальные исследова.ния показали, что в точке полно
го торможения удельный тепловой поток {ккал/ (м2 • сек)]
q-;:::;:,7,35 -10711 (Р00н/ Р00,)/(Vоо/Vс)З,
(15 .5.26) •
где Vc - первая 1к·осмическая ·скорость; индеi<СЫ «Н» и «з» .соответ
ствуют усло1Виям на 1высоте Н ,и у Земли (Н = 0).
Соответствующая равновесная температура в этой точке
т(+
.
)114 ( )--l/4
(15 5 27'·
ст=q qpa~±qo,
za
•
·
·
j
Если к стенке ,изнутри .не под·водится тепло (qox=O) и не учи
тывается внешняя радиация (qрад=О), то температура стенки будет
(15 .5.28)
В ,случае сильно охлаждае.мой поверхности энергия частиц, от
раженньiх от стенки, весь:ма мала, т . е. Ест~Еi, Поэтому вмест,l)
( 15 .5 .17') можно воспользоваться уравнением
(15.5 .29)
" Рассматривая очень большие скоiро-сти,
пртт которых k2= 1, а Ei
определяется по ( 15.2 .61), пол учим для удельного теплового потока
на передней площадке
q =(xp;ri/ 2) V '2 RT; (v;,+5RT;).
Выражая здесь N.Т; через скорость з вука а; согласно (15.2 . 19) и
пол агая в соиаетствии с (15. 2 .20) х sin ~(V 00; а 1)Vk/2
= sin ~Moo1/k/2, найдем тепловой поток [тшал/(м2 - сек)]:
(15.5 .30)
В то чке полного тор,мо ж ен ия ~ = л/2, след овател ьно ,
В этих выражениях Pi дано в кГ-сек,2/м4, а с корость Vоо - в м/сек.
Таким образом, рассм-011рен кр уг вопросов, связанных с иосле
дованием трения и теплопередачи для спл ошного и свободно м ол е
кулярного потоков газа. Режи м течени я со скольжение:v~ занимает
промежуточное .полож ение. Б ольш и нство ,современны х мето,J,ОВ
расчета трения и теп лопередачи для этого ,режима основано на при
менении у р а внений погранично го сл оя, решение которых должно
у,J,ов.1етворять слециа "1ьньп1 граничным усповиям, доп у скающим
р азрыв скорости (скол ь же ние). С этими ·методами можно п оз н а ко
миться по ра з личным литера тур ным источюткам [22 , 28, 36].
.:·-..,..._'\.. ....
~-,
•.
,
'
,-.
•
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бобе н к о К. И. [и др.]. Пространственное обтека,ние rлад~шх тел
мдеальньш газом. «Наука», 1964.
2 . Бел о церк •О в с кий О. М. [и др.]. Обтекание затупленных тел сверх
.звуковым пото1юм газа . Изд-во Вычислительного центра АН СССР, 1967.
•
3. Дор од н .и ц ы н А. А. Поrра·ничный слой в ,сжимаемом газе. «При-
. кладная ·матвматика и механика», 194 2, т. VI, ,вып. 6 .
•
4. Дор одни ц ы н А. А. Метод ,интегральных -соотношений для числен
- ного решения дифференциальных у,ра,внений в частных проиа-во-дных. Труды Ин
ститута точ1ной ,механик-и -И вычислительной техники АН СССР, 1958 .
5. Др а к ин И. И . Аэ.родинам,ически_й и лучистый нагрев в полете. Обо-рон
rиз, 1961.
6. Ир о в Ю. Д. [и др.]. Газодина.мические функции . «Машино строение»,
1965.
7. К а бард ин Ю. А. [и др.]. Атлас rидродинам·ических функций при
больши х скоростях и выоок:их температурах воздушного по11ока. Госэнерrо-из
дат, 1961.
8 Красно в Н. Ф. [и др.]. Аэродинам·ика ракет. «Высшая школа», 1968 .
9. Красно в Н . Ф. Аэродина.мик а тел вращения. «Маши1нострое,ние», 1964.
10 . Кр а ,снов Н . Ф . [и др.]. Прикладная аэродинамика. «Высшая школа »,
i~74.
'
11 . К уз ,н е ц -о ,в С. И . Диагра1м1мы и таблицы течения диссоциирующего
воздуха около КJJ,ина, конуса и •выпуклой по:ве,рхности . Оборонгиз, 1962 .
.12. JIандау_Л. Д., Лифшиц Е. М. Механикасплошныхсред. Гостех-
издат, 1'958.
•
•
13. Лебедев А. А., Чернобро 1в ,кин Л. С. Ди,нам.и-ка ,полета. «Ма-
шюностроение», 1-973.
-
,
1'4. Л ой ц я rн с кий Л. Г . Механr~:ка ,жидкости ;и •газа. «Наука», 1970.
15 . Л ой ц я ,нс кий Л. Г. Ламинарный •пограничный ,слой . Физ,матгиз, 1962.
16. Луне в В . - В . Г-ипе.рзву~ювая аэродинамика . «Машиностроение», 1975.
17. Мхи та р я н А. М. - Аэ·родина,мика . «Машиностроение», 1970.
i18. О -ст о слав с -к ·и й И. В., Страже в а И. В. Дина·мика nолета. Траек
тор,ии летательных аппаратов. Оборонгиз, 1963.
19. По .в х И. Л . Аэродиrна ,мическ.ий экеперимент в .машиностроеrши. «Ма
шиностроение», 197 4.
20 . П р ед в од и теле .в А. С. ~и др . ] . Термодинамическ,ие функции ,возду
ха для т-емператур от 1000 до 12 000° К и давлений от 0,001 до 1000 атм (графики
функций) . Изд ·'ВО АН СССР, 1960.
_
• 21 . Предводителе .в А. С. [и др.]. Таблицы термодинамических функ
ций (для температур от 6000 до 12 ооо• К и давлений от 0,001 до 1000 aтJt).
Изд-во АН СССР, 1957.
22. Р ах м ат ул ин Х. А. [и др.]. Газовая динамика. «Высшая школа»,
1965.
23. Франкль Ф. И., Карпович Е. А. Газодинам.икатонкихтел. Гос-
техиздат, 1948.
•
•
•
24. Черный _ Г. Г. :Гечения газа с большой сверхзвуковой скоростью. Физ
матгиз, 1959 .
25. Основы теплопередачи в авиационной 'И ра•кетно-.кос,мической технике.
Под ред. проф. К о ш кн н а В . К. «Машиностроение», 1975.
26 . Известия АН СССР: «,1\1ехан.ика .и ,машиностроение». «Меха,ника жидко-
-сти и газа».
364
I ,••
.
•:•
• \, ~ .:.~ •.f':.••~
_.,,,,•. ·'
.
··,. ~;/
27. Известия АН СССР_ : «Пр'Икладная .матемаw ка и ,механика».
28. И сслед ов ания гиперэ•вуковых течений. «Мир», 1964.
29. Лип !П м ан Г., Р о шк о А. Элементы газа.вой динамики. ИЛ, 1960.
30. Научны е проблемы и6кусственных слутников Земли. ИЛ, 1959.
3:1. Нил ь се н Д . Аэродинамика управляемых снарядов. Оборонгиэ, 1962.
32. Па т тер с он Г. Н. Молекулярное течение •газов. Физматгиз, 1960.
33. Пр·обле,мы движения головной части рак·ет дальнего действия. ИЛ, 1959 .
34. Проб л емы полета с больши,ми скоростями . ИЛ, 1960.
35. Фер р и А. Аэродинам.и,ка сверхзвуковых течений . · _Г'ееi,ех!!здат, 1953.
36. Хе й з У. Д., Пр о 6 ст ин Р. Ф. Теория rиперэвукО1Вщ: f~i~~ний. ИЛ,
1962.
•,·
,,i: ,,.,.
37 . Хи л т о н У. Ф. Аэродина-мика большлх скоростей. ИЛ, 1~ ·•: .· •j),;. •
38.Sсhliсhting G. Boundarylayertheory,1960.
.:.~',
39. Ч ж е ,н П. Отрывные течения. «Мир», 1972 .
40. Ли.нь Цзя -Цзяо. Теорля газодина,мической
4!. Воп росы ·р акетной те х ники. «Мир» .
42. Раке тная '!'-ехни•ка ·и космонавтика (AJAA ).
43. Jet Prop.ulsion (ARS Journal).
44. Joщri a\. : of '1:11е Aeronautical Sciences (Journal of the Aerospace Sёiences).
45. Jou iюa\..()f u lii!'; Royal Aeronautical Society.
46. National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) .
47. Механ,ика. Сборник •сокращеннь,х переводов и рефера тов иностранной
пе,р·иодлческо й .~итературы . ИЛ.
48. Theory of Conical Wings, NASA Tech. Notes, 1685, 1948 .
49. Lift and Center of Pressure of Wing - Body - Tail Comblnations at Sub-
sonic. Transonic and Supersonic Speeds, NACA. Tech . Repts, 1307, 1957.
50. Modern P ~astics, V. 36, N 8.
,,.
.
.•
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........,.
._
..;.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Гл а в а IX. Конус в сверхзвуковом потоке . • .
. ·_.
...
.
.
.
,.
,
•
§ 9.1 . Система уравнений осесимме три чного обтекания за о стре н-
ногоконуса.....,_
. ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
'.
_
§ ·9_2, Обтекание конуса, при · постоянных теплоемкостях ,.
.
.
§ 9.3. Влияние ,равновесной диссоциации и ионизации газа на об-
теканиеконуса......
.
.
.
.
.
§ 9.4 . Затупленный конус
.
.
.
.
.
.,.
-·,..
.
.
.
,. -,
-,
.
.
Форма затуплен н ых носков .. ; _
...
. •...~:,_.~-.
3
б
б
9
19
·24
Особенности св,ерхзвукового обт еканщ,1 . . . _ .. ,_ _ .
.
.
.
LQ_____ _ _
Обтекание конуса, затупленного по сфере . ' -',::. .. . - •,- " ,,..
.
,29
Гл а в а _Х. Заостренное тело вращения в с верхзвуково м потоке
.
.
• , ,i.- .;$2
§ 10.1 . Применение метода характеристик
.
..
.
.
.
_..~
./
\~2
§ l!Q.2 . Линеариза ц ия уравнени й обтекани я тон ких тел в р ащ ения"' б-4 .
§ 10.3 . Расчет осесимметричного обтекани я
.
..1
.
.
.
.
•..
.
70.
§ 10.4 . Неосесимметр ич н ое обте ка ние
.
.
.
,. _.
.
.
$2
§ 10.5 . Расчет аэродинамических коэффициентов
.
8}
Гл а в а XI. Аэродинамическая интерференция .....
.
.
:
§ 11 .1. Природа .аэродинамической интерференции •
_Интер·ференция между ко рпус о;t и уст анов л енны м IL? ,·· -•
-
gg
крылом .. . ...... .... , . ,,. ;
_
.
.
.. _..,
..,.:_,:.
---.
Интерференция между крылом опер-:нием ; : . . ,
'· -§ 1-1.2. Подъем·на я сила комбинации .«корпус - плоское· :'<рыло»
П оняти е о коэффициент ах иl-iтер с\!;еренции . .
_.
.
.
._
Опреде ление потенциала скоростеи . . _
,...;-,
.
.
:'о
С корость .и дa·в-!le'lJre н а 1.0:о рпусе при на личии крыла . •.
Скорость и давление на крыле при наличии корпуса . . .
Определени е - коэффициен-rав интерференции
.,...
Центрдавления.......\ .
.
.
....1•
•
• .;;...,• ..,.
Изменение 1< оэффициенто!! ИJ-п ерференции под во з.ц.е й-
ствием 1~нжоторы х факторов [13] . . . . . .
. ._.
_
...
J.Vj
107
ре
Подъемная сила · комбинации «KOPf!YC -кры л о» . .
_
§ 11.3 . Влияни е угла крена н·а интерференцию между ко рпусом и
122
123
123
125
1:27
'"8
§ lil.4 .
§11.5.
плоскимкрылом.......'
.•.
.
..
._
:...,.
Общее соотношение для коэффициента дав JJ е н ия .
Давление .на корпусе . . . ..,
..
..
.
.~-'•~.?_
..,.
..
.
.
Давлениенакрыле..., . _.
._
,.,_.
.
.
.
.
.
.
Подъемнаясила-ицентрдавления: . . . . . . .
Общие соотношения для сил и моментов пло:С_коf1 ко м бИН !l·
...,- .
.
131
цииприкрене..._.
,..."'-.
_.
,.
,,.,._
.
Крестообра9 ная комбинация . . . . . _·
.•.
.
._.
. •.-
Давление и подъемная сила . . , .
.
...
.
.
.
•.,
.
Коэффици енты интер ференции и центра давления .
Общие соотношения для сил и моментов . . _ .
Влияниесжимаемости.............
Интерференция между крылом и оперением .
Общие определения . . .
Дозвуковые с корости . .
Сверхзвуковые скорости .
Коэффициент инт е рференции .
...., 1'33··
..1.?· ...
•. l~.
-
. 131.'
1~,
147
1-
149
150
155
Влияние угла атаки и скачков уплотн ения на эффектив-
ность оперения . . .
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
162
ВлИJIJIИе : торможения потока . . . . . . . ..
Аэрdд~мические характеристики . . . . , .
Моме
ена оперения, расположенного за ·крылом .
§ 11.6. Органь! 'управления
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Основные типы органов управления .
Понятие об управляемост:!1. . . . . . . .
Аэродинамический ·расче , ,р·улей . . .
§ 11.7. Аэродинамическое сопротивление
.
.
.
Сопротивление пр.и оi:суте.тщш подъемной силы
Индуктивное сопротивлени
Главахн:Трение..........
.
.
.
.
.
.
§ 12.1. Уравнение по.граничного ело
.._ ...
§ 12.2. Обобщенное уравнение погр,1~1.0 .слоя
.
Обобщенное уравнение пorpaimRJ'oro слоя в
циальнойформе......:
.,j,.•
•
•
•
.
•...
•.
Интегральное соотношение • ~1щчно,го слоя . . . . . •.•
.
У,сло,вные толщи,ны пограiНи о
.
.
.
.
.
.
,,01
§ -\2 -:3. Ламинарный погра.ничный с
"
,кой пластинке . . 202
- 1S 12А. Турбvл·ен ны-й . щ1r,рШLИчный слои
·рекой пластинке . . 21 ..J . .
П ilменени
rариф:.~иtJеского законд рас-пре.деленr!.."~ ~
••••.••.'•••
• 2.11
,
,
. . теnеннои
закон распределения скорости. . . , .
.
.
.:29
12.5, 'F;е'!vшература и энтальпия. в пограничном слое при наличии
"
теJПло•передаrч,и..............
'Распределение температуры и энтальпии
;, Определяющая температура . .
. 1.•
.
•,•_,•
1\1 12i Применение_ определяющих параметров для расч ета по
,нично1Ъ ·-сло5Г на плоской пластинке при высоки cr;og , х
обтекания..., ._, . :.,•. _,:•·· .......:;.,
.-,:·... :
·-231
.
_
J.Iаминарный_ погр~и.чsый слой .. . . ;. , 1⁄4 # '
••_.
~"_,,...
._-,..23)
-
'lур.булентнь1й погр-а'lfttчный CJ!O~ · ' .; • r • : • , ·.· .. :
....· 233
••• •
Тр\ lj:e ,11а ко&усе п,~·свеР,ХЗВ):М6_ЫХ с~оростях об-:r:екания 235
,!1 12.7.
~ ,I J'lf н.ие лрод9льнохо - градиента д ления на трение . . . 240
::'·,
;' 8. Смешанный погр,_аничный ёл ой. Критиqеское число Рей-
~,
1;
, t-fOЛЬ~J-~a;
.
.
.
.
.
.
.
·
,
t:.
-
•
251
а а X II Г Теплоп~редача
,...,,,
·,
.
.•.
.
262
IS 13 . i . Аэродинамический нагрев
.
262
Уравнение теnловоrо .:, баланса .
.
262
. i1 uдвод
тепла от разогретого газа . .
.
...
.
263
Солнечна.я и земн~~ _])~д1!2ции . . ... - .
.
.
.
.· 271 "'
.1учи:стыи те.пловои ,1то·юк споверхнос-ти стенки .
. '273
§ 13.2. Связь между трен!!·~м и теплопередачей
.
.
.
.
.
273
§ 13.3. Теплопе-редач а" в ламинарном пограничном слое на криво-
линейной :поверхност~t. . . . ~
. _,..t.:;: . .
.
280
Производыrая фор.маrnоверхнос.:rи •:' .
.
'J _p
Полусф~f)~_ ... , Jt.
~-':.....•.•
..
.
; :..
Заступле.l{rfь!~ . к~с
293
.
Плоский'- .,торец . • :
.
.
.
.
.
.
296
13} . Диф_фуз\f·9;t.~~-' :еплопередача
.
297
:, Темr!'ер_атур~_ тен:ки . .
.
.
.
.
.
.,.
.
.
.
304
.. 1i-~0~1~ная
радиационная температура . .
.
304
_ ав;,11-овесная температура при наличии дополнительных
• _источников подвода и 9твода тепла
.
.
.,..
.
308
XIV. Тепловая ·защита летательных аппаратов
.
.
3ll .
§ 14.1 . Способы· тепловой защиты
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3ll
§ 14.2. Определение теплоты абляции
.
.
.
.
.
.
.
.
316
Сублимация, · полное испарение или коксование (пиролиз) 316
Ощювременное nла,вление ,и ,сублимация (испарение) . . . 319
Плавление........
.
,.
•
322
§ 14.3. Унос массы и эффективно~т~ ;е~~~з~щи;н~г~ ~о~р~1;и; 323
,,.,
Гл а в а XV. Аэродинамика разреженной среды
.
.
...,
.
...
.
.
.
.
.
.
§ 15.1. Пределы i!Iри,ме ни м ости т~9 рии :п.в ижения с пл ошно й с р еды
Длина пути свободного п::робега молекул . . . . . . . .
Режимы течения газа .
_..: .
.
.
.
.
.
.•. .
.
.
.
.
.
.
325
325
325
326
, . § 15.2 . Давление и трение в свободномолекулярном потоке
.
Схема вза,имодействия м о лекул с о с т енко й .
,Перенос массы . . . ·:
.
.
.
.
.
Давление . .
·~
.
•..
На пр яже ние трения ..
Перенос кинетической энергии
§ 15.3. Аккомодация
.
.
.
.
.
.
.
.
Обмен количеством движения·
Обменэнергией.......
_
.§ 15.4. Аэродинамические силы
.
.
Общее выражение для силы сопротивления .
Конус ''- ......
Цилинд}j . . . •.
.
Пластинка . ·, ,.
...
.
§ 1-5 .5 . Теплопер едача
..
✓
Температура ·отраженных молекул . . . . .
Литература , .
;
f''?."'leт теплопередачи и температуры ,fтенки .
Николай Федорович Краснов
АЭРОДИНАМИКА
ч. II
МЕТОДЫ _
АЭРОДИНАМИЧЕСК:ОГО РАСЧЕТА
Редактор Н . И . Хруста,пева
Художник В. 3. К:азаке внч
Худож. редактор Н. К: . Гуторов
Техн. редактор А. К:. Нестерова
К:оррек тор Г. И . К:оqтрикова
330
33(}
331
.
337
.
340
.
34!
. 343
343
345
.
347
.•.347
.
350
.
353
.
355
.
358
358
361
354
Т -20610
Сдано в набор IBN!-' -. 76 г.
Подп. к печати 1/Х!-76 г.
Формат бОХ901/,.
Изд. No Стд-272
Москва,
Бум. тип. No 2.
Об.ъем- 23 пе . л.
Т и раж 7000 экз.
i. БЗ-23-13 от 26/III-76 г.
Усл. п. л.· 23 Уч.-изд л. 23,21
Цена1р04к-
К: - 51, Неглииная ул ., д . 29/14, Издательство «Высшая школа»
Московская типография No 8 Союзполиграфпрома при Госуда рствещюм коми т ете Сов ета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и ки Р. ., ; ой т ор гов ли , Х ох л о вс кий пер., 7.
•
Зак. .r(jf,7 _