Text
                    1

simikiiJWitijwwPUNfmui.uiuii.-
КОМБИНАТОРИКА Н. Я. ВИЛЕНКИН ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1969
517.8 • 44 УДК 519.1 ВИЛЕНКИН Наум Яковлевич КОМБИНАТОРИКА М., 1969 г., 328 стр. с илл. м Оформление Б. М. Маторина Рисунки О. Д. Добролюбовой Редактор Г. В, Дорофеев Техн, редактор В. Н. Крючкова Корректор Т. А. Панькова М Сдано в набор 8/VII 1968 г. Подписано к печати 8/ХП 1968 г. Бумага 84Х108,/32. Физ. печ. л. 10,25. Условн. печ. л. 17.22. Уч.-изд. л. 18,59. Тираж 100 000 экз. Т-16170. Цена книги 73 коп. Заказ 1356. 2-2-3 143-68 Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва. В-71, Ленинский проспект, 15. Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпромя Комитета по печати при Совете Министров СССР Измайловский проспект, 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 0 Глава I. Общие правила комбинаторики........................9 Суеверные велосипедисты ...............................9 Размещения с повторениями.............................10 Системы счисления.....................................12 Секретный замок.......................................12 Код Морзе............................................ 13 Морской семафор ......................................15 Электронная цифровая вычислительная машина .... 15 Генетический код......................................16 Общие правила комбинаторики...........................17 Задача о домино ......................................19 Команда космического корабля..........................20 Задачи о шашках.......................................21 Сколько человек не знают иностранных языков? ... .24 Формула включений и исключений........................25 В чем ошибка?.........................................27 Решето Эратосфена ....................................28 Глава II. Размещения, перестановки и сочетания.............31 Футбольное первенство ................................31 Размещения без повторений.............................32 Научное общество......................................33 Перестановки .........................................33 Задача о ладьях.......................................34 Лингвистические проблемы..............................35 Хоровод ..............................................36 Перестановки с повторениями...........................37 Анаграммы ............................................39 Сочетания .......................................... 41 Генуэзская лотерея , . . .............................44 Покупка пирожных......................................47 Сочетания с повторениями..............................49 Снова футбольное первенство...........................51 Свойства сочетаний .................................. 52 Частный случай формулы включений и исключений . . 59 Знакопеременные суммы сочетаний .....................59 1* 3
Глава III. Комбинаторные задачи с ограничениями . . . Львы и тигры........................................ Постройка лестницы ................................. Книжная полка....................................... Рыцари короля Артура ............................... Девушка спешит на свидание.......................... Сеанс телепатии..................................... Общая задача о смещении .... ............... Субфакториалы ...................................... Караван в пустыне................................... Катание на карусели ................................ Очередь в кассу..................................... Задача о двух шеренгах ............................. Новые свойства сочетаний............................ Глава IV. Комбинаторика разбиений ......................... Игра в домино ....................................... Раскладка по ящикам.................................. Букет цветов......................................... Задача о числе делителей ............................ Сбор яблок........................................... Сбор грибов ...................... .................. Посылка фотографий .................................. Флаги на мачтах ..................................... Полное число сигналов................................ Разные статистики.................................... Разбиения чисел...................................... Отправка бандероли .................................. Общая задача о наклепке марок . .................... Комбинаторные задачи теории информации.............. Проблема абитуриента ................................ Уплата денег......................................... Покупка конфет....................................... Как разменять гривенник?............................. Разбиение чисел на слагаемые ........................ Диаграммная техника.................................. Двойственные диаграммы .............................. Формула Эйлера ...................................... 63 64 65 66 67 70 73 74 76 79 80 85 86 90 91 92 93 95 96 96 98 99 100 101 101 103 104 105 107 108 110 112 113 115 116 Глава V. Комбинаторика на шахматной доске..............121 Человек бродит по городу.......................... 121 Арифметический квадрат.............................122 Фигурные числа.....................................123 Арифметический треугольник.........................125 Расширенный арифметический треугольник.............126 Шахматный король ..................................128 Обобщенный арифметический треугольник . . 129 Обобщенные арифметические треугольники и m-ичная си- стема счисления ................................131 Некоторые свойства чисел Cm(k, п)..................131 Шашка в углу ..................................... 133 Арифметический пятиугольник . 135 Геометрический способ доказательства свойств сочетаний 137 4
Случайные блуждания ............. Броуновское движение ............ У Шемаханской царицы............. Поглощающая стенка .............. Блуждания по бесконечной плоскости Общая задача о ладьях............ Симметричные расстановки . . . . Два коня ........................ Глава VI. Рекуррентные соотношения .......... Числа Фибоначчи ..................................... Другой метод доказательства.......................... Процесс последовательных разбиений................... Умножение и деление чисел............................ Задачи о многоугольниках ... .................. Затруднение мажордома................................ Счастливые троллейбусные билеты...................... Рекуррентные таблицы .................. Другое решение проблемы мажордома ... . . Решение рекуррентных соотношений..................... Линейные рекуррентные соотношения с постоянными ко- эффициентами . .................. Случай равных корней характеристического уравнения Третье решение задачи мажордома...................... 140 141 143 145 145 147 148 151 154 155 158 159 161 163 165 169 170 172 174 175 178 180 Глава VII. Комбинаторика и ряды.........................182 Деление многочленов...............................182 Алгебраические дроби и степенные ряды.............183 Действия над степенными рядами....................187 Применение степенных рядов для доказательства тож- деств ...........................................199 Производящие функции..............................191 Бином Ньютона ........................................192 Полиномиальная формула............................195 Ряд Ньютона.......................................199 Извлечение квадратных корней......................202 Производящие функции и рекуррентные соотношения . . 205 Разложение на элементарные дроби..................297 Об едином нелинейном рекуррентном соотношении . . . 210 Производящие функции и разбиения чисел............212 Сводка результаюв по комбинаторике разбиений .... 216 Задачи по комбинаторике ... 219 Решения и ответы ...........................................255
ПРЕДИСЛОВИЕ Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить не’ сколько видов работ между имеющимися станками, агрО’ ному — разместить посевы сельскохозяйственных куль* тур па нескольких полях, заведующему учебной частью школы — составить расписание уроков, ученому-хими- ку— рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, лингвисту — учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т. д. Область мате- матики, в которой изучаются вопросы о том, сколько раз- личных комбинаций, подчиненных тем или иным усло- виям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой. Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни приви- легированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости ') выигрыва- лись и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр — вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в раз- витии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теории вероятностей. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик ') При игре в кости бросалось несколько кубиков, на гранях которых стояли цифры от 1 до 6. Выигрывал тот, кто выбрасывал больше очков. Были и другие варианты игры. 6
Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколь- кими способами могут выпасть г костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1 + 3+4 = 4 + 2 + 2). Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Исходньш пунктом их исследований тоже были проблемы азартных игр. Особенно большую роль сыграла здесь задача о разделе ставки, которую предло- жил Паскалю его Друг шевалье де Мере, страстный игрок. Проблема состояла в следующем: «матч» в ор- лянку ведется до шести выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой — 4; как разделить ставку? Было ясно, что раздел в отно- шении 5:4 несправедлив. Применив методы комбинато- рики, Паскаль решил задачу в общем случае, когда од- ному игроку остается до выигрыша г партий, а второму s партий. Другое решение задачи дал Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с име- нами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.). За последние годы комбина- торика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискрет- ной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов 7
производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного про- граммирования, статистики и т. д. Комбинаторика ис- пользуется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации. Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их представлений, изучении оснований геометрии, неассо- циативных алгебр и т. д. На русском языке очень мало книг по комбинаторике. Помимо совсем элементарных книг типа школьных учебни- ков, можно указать лишь на переводные книги М. Холла «Комбинаторный анализ», ИЛ, 1963; Дж. Риордана «Введение в комбинаторный анализ», ИЛ, 1963, и Г. Дж. Райзера «Комбинаторная математика», «Мир», 1965. В предлагаемой вниманию читателя книге о комбина- торных проблемах рассказывается в занимательной, по- пулярной форме. Тем не менее в ней разбираются и не- которые довольно сложные комбинаторные задачи, дается понятие о методах рекуррентных соотношений и производящих функций. Первая глава книги посвящена общим правилам ком- бинаторики— правилам суммы и произведения. Во вто- рой главе изучаются размещения, перестановки и сочета- ния. Этот традиционный школьный материал сопровож- дается разбором некоторых занимательных примеров. В главе III мы изучаем комбинаторные задачи, в кото- рых на рассматриваемые комбинации налагаются те или иные ограничения. В главе IV рассмотрены задачи на разбиения чисел и рассказано о геометрических методах в комбинаторике. Глава V посвящена задачам о случай- ных блужданиях и различным модификациям арифмети- ческого треугольника. В главе VI рассказано о рекур- рентных соотношениях, а в главе VII — о производящих функциях, и в частности о биномиальной формуле. К книге приложено несколько сотен задач по ком- бинаторике, взятых автором из различных источников. Много задач заимствовано из книги Уитворта «Выбор и случай» (Whitworth W. A., Choice and Chance, London, 1901), упомянутой книги Риордана, книги А. ДА. Яглома и И. М. Яглома «Неэлементарные задачи в элементар- ном изложении», Гостехиздат, 1954, различных сборни- ков задач математических олимпиад и т. д.
ГЛАВА I ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ Суеверные велосипедисты «Опять восьмерка!» — горестно воскликнул председа- тель клуба велосипедистов, взглянув на погнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что при вступлении в клуб мне выдали билет за номером 008. И теперь месяца не проходит, чтобы то на одном, то па другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять но- мер билета. А чтобы меня не обвиняли в суеверии, про- веду-ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые ни одна восьмерка не входит». Сказано — сделано, и на другой день он заменил все билеты. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трехзначные номера, не содержа- щие ни одной восьмерки? (Например, ООО использован, а 836 нет.) Для решения этой задачи определим сначала, сколько однозначных номеров не содержит восьмерку. Ясно, что таких номеров девять 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 (номер 8 пропускается). А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найден- ных однозначных номе- ров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится девять дву- значных. А так как однозначных номеров 9
то/.чи j, ти получится 9-9 = 81 двузначный номер без восьмерок. Вот они: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 09 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 59 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99 Итак существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но за каждым из них снова можно поставить любую из девяти допустимых цифр. В результате получим 92-9 = 93 = 729 трехзначных номеров. Значит, в клубе было 729 велосипедистов. А если взять не трехзначные, а четырехзначные номера, то номеров, не содержащих восьмерок, будет 94 = 6561. В другом клубе велосипедисты были еще суевернее. Так как число 0 похоже на вытянутое колесо, они отка- зались и от этой цифры и обходились восемью циф- рами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Сколько членов состояло в клу- бе, если номера билетов были трехзначными? Эта задача похожа на решенную выше, только вместо 9 цифр у нас всего 8. Поэтому и в ответе надо заменить 9 на 8. Иными словами, в клубе было 83 = 512 членов. Размещения с повторениями Задача о велосипедистах относится к следующему типу задач. Даны предметы, относящиеся к п различ- ным видам. Из них составляют всевозможные расста- новки по k предметов в каждой, или, как будем в даль- нейшем кратко говорить, k-расстановки. При этом в рас- становки могут входить и предметы одного вида, а две расстановки считаются различными, если они отли- чаются друг от друга или видом входящих в них предме- тов, или порядком этих предметов. Надо найти общее число таких расстановок. 10
Расстановки описанного типа называются k-размеще- ниями с повторениями из элементов п видов, а число всех таких расстановок обозначают Лп. В первой за- даче о велосипедистах число видов элементов равнялось 9 (мы брали все цифры, кроме 8), а в каждое раз- мещение (каждый номер) входило по три элемента. Как было показано, в этом случае число размещений равно Дэ = 93. Естественно предположить, что если чис- ло видов равно п, а в каждое размещение входит k эле- ментов, то можно составить nk размещений с повто- рениями. Итак, мы хотим доказать, что число ^-размещений с повторе- ниями из элементов п видов равно А* = пк. (1) Доказательство проводится с помощью математической индук- ции по А — числу элементов в размещении при фиксированном зна- чении п. При й=1 ответ ясен — каждое размещение (с повторения- ми) состоит только из одного элемента, и разные размещения по- лучаются, если брать элементы различных видов. Но так как число видов равно п, то и число размещений равно п. Итак, А1п — п в со- ответствии с формулой (1). Предположим теперь, что уже доказано равенство Л*-1 = и рассмотрим й-размещения с повторениями. Все такие размещения можно получить следующим образом. Возьмем любое (k—^-раз- мещение (с повторениями) (aj, ..., a^-i) и припишем к нему эле- мент ал одного из имеющихся п видов. Мы получим некоторое ^-размещение (а,, ..., ал_1,- ал). При этом ясно, что из каждого (k—1)-размещения получится столько й-размещепий, сколько есть различных видов элементов, то есть п размещений. Очевидно, что, действуя описанным образом, мы не пропустим ни одного .Л-разме- щения и ни одного не получим дважды (если (а,, ..., ад_|) Д ¥= (blt ..., &A-i) или если аЛ =/= Ь^, то (аь .... аЛ-1, аЛ) ¥= (&ь...... ..., &л-1, &л)). Поэтому число й-размещений с повторениями из эле- ментов п видов в п раз больше, чем число (k— 1)-размещений с по- вторениями из элементов тех же видов. Таким образом, Akn = пА*-1. Но мы считаем уже доказанным, что Я*-1 = п*-1. Поэтому А* = п = п*. Тем самым равенство (1) доказано для всех значений k. Формула (1) встречается в целом ряде вопросов. Мы расскажем сейчас о некоторых из них. 11
Системы счисления Наряду с десятичной системой счисления приме* няются и другие — двоичная, троичная, восьмеричная и т. д. (см. книгу С. В. Фомина «Системы счисления», «Наука», 1963). В n-ичной системе счисления исполь- зуются п цифр. Подсчитаем, сколько в n-ичной системе натуральных чисел, записываемых ровно k знаками1). Если допустить записи, начинающиеся с нуля, то каждое fe-значное число в n-ичной системе счисления можно рас* сматривать как размещение с повторениями, составлен* ное из k цифр, причем цифры бывают п видов. По фор* муле (1) получаем, что количество чисел, имеющих та- кую запись, равно nh. Но для натуральных чисел не применяют записей, начинающихся с нуля. Поэтому из полученного значения nh надо вычесть количество чисел, n-ичная запись кото* рых начинается с нуля. Если отбросить у этих чисел первую цифру — нуль, то получим (k— 1)-значное число (быть может, также начинающееся с нуля). Таких чисел по формуле (1) будет nh~l. Значит, общее количество fe-значных чисел в n-ичной системе счисления равно пк — пк~х = пк~х (п— 1). Например, в десятичной системе счисления имеем 103 - 9 = 9000 че- тырехзначных чисел — из 10 000 чисел от 0 до 9999 надо отбросить тысячу чисел, а именно числа от 0 до 999. Полученную нами формулу можно вывести и иным способом. Ведь в й-значном числе, записанном по п-ичной системе счисления, первой цифрой может быть любая из цифр 1, 2, ..., п—1. Второй же и дальнейшими—любые из цифр 0, 1, 2, ..., п—1. Таким об- разом, на первое место у нас п — 1 кандидатов, а на остальные k — 1 мест — по п кандидатов. Отсюда легко получаем, что искомых чисел может быть (п— Секретный замок Для запирания сейфов и автоматических камер хра- нения применяют секретные замки, которые откры- ваются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово». Это слово набирают с помощью одного или не- скольких дисков, на которых нанесены буквы (или циф- ры). Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово ’) Ради удобства мы относим здесь 0 к натуральным числам, 12
состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова"? По формуле (1) общее число комбинаций равно 12s = 248 832. Значит, неудачных попыток может быть 248 831. Впро- чем, обычно делают сейфы так, что после первой же не* удачной попытки открыть их раздается сигнал тревоги. Код Морзе При передаче сообщений по телеграфу используется код Морзе. В этом коде буквы, цифры и знаки препина- ния обозначаются точками и тире. При этом для одних букв используется один знак, например Е-, а для неко- торых приходится использовать пять знаков, например Э------. Откуда же взялось число 5? Нельзя ли обойтись мень- шим числом знаков, скажем, передавать все сообщения с помощью комбинаций, содержащих не более четырех знаков? Оказывается, что нельзя, и ответ этот дает именно формула для числа размещений с повторениями. Из формулы (1) следует, что Аг = 2. Иными словами, только две буквы можно передать с помощью одного знака (Е- и Т—). С помощью двух знаков можно пере- дать 22 = 4 буквы, трех знаков —23 = 8 букв и четырех знаков — 24 = 16. Поэтому общее число букв, которые можно передать четырьмя знаками, равно 2 4-4-1-8+16 = 30. А в русском алфавите 32 буквы, да еще надо передавать цифры и знаки препинания. Ясно, что символов из четы- рех знаков не хватает. А если брать и символы из 5 зна- ков, то к полученным 30 прибавится еще 32 символа. Полученных 62 символов вполне достаточно для теле- графирования. Применяют для телеграфирования и пятизначный код, в котором каждая буква изображается в точности пятью символами. Здесь уже вместо точек и тире ис- пользуют перемены направления тока, или посылку то- кового и бестокового сигнала. При пользовании этим кодом имеем ровно 25 = 32 комбинации. Их хватает для 13
передачи букв. А для передачи цифр, знаков препинания и т. д. используют те же комбинации, что и для букв. Поэтому телеграфные аппараты пятизначного кода имеют специальное устройство для перевода аппарата с букв на цифры и обратно. Морской семафор На флоте иногда применяют семафор флажками. Каждой букве при этом соответствует определенное по- ложение флажков. Как правило, флажки находятся по разные стороны от тела сигнальщика. Однако при пере- даче некоторых букв (б, д, к, х, ю, я) оба флажка рас- положены по одну и ту же сторону. Почему пришлось сделать такое исключение? Ответ на этот вопрос дает та же формула размещений с повторениями. Дело в том, что различных положений каждого флажка пять — вниз отвесно, вниз наклонно, горизонтально, вверх наклонно и вверх отвесно. Так как у нас два флажка, то об- щее число комбинаций основных положений равно Аз = = 52 = 25. При этом еще надо отбросить положение, когда оба флажка направлены вниз — оно служит для разделения слов. Всего получаем 24 комбинации, а этого недостаточно для передачи всех букв русского алфавита. Поэтому для некоторых букв и пришлось направить оба флажка в одну сторону. Электронная цифровая вычислительная машина Электронные вычислительные мащины могут решать самые различные задачи. На одной и той же машине можно разгадывать надписи на незнакомых языках, де- лать расчет плотины и обрабатывать данные о движении ракеты. Чем объясняется такая гибкость в использовании машины? Главным образом тем, что все эти задачи сво- дятся к вычислениям, к действиям над числами. Но по- чему же машина может решать столько задач, да еще при самых различных числовых данных? Сколько раз- личных комбинаций чисел можно поместить в машину? Для ответа на этот вопрос возьмем, например, ма- шину «Стрела». Оперативная память этой машины со- стоит из 2048 ячеек, в каждой из которых 43 двоичных 14
А Б В Г Д Х Ц Ч ффТ'Т ывь. ю я
разряда. Каждый разряд может содержать или 0, или 1. Всего мы имеем 43 • 2048>87 ООО различных мест, а чи- сло типов заполнений ячеек равно двум (0 или 1). По формуле (1) получаем, что машина «Стрела» может находиться более чем в 287000 различных состояниях. Трудно представить себе, как велико это число. Доста- точно сказать, что число нейтронов, которые можно плотно упаковать в шар с радиусом, равным расстоянию до самой удаленной из известных нам туманностей, не больше чем 2500. Если взять одну-единственную ячейку памяти, то ПО' надобилась бы девятилетняя работа стотысячной армии машинисток, чтобы напечатать все числа, которые могут появиться в этой ячейке (считая, что машинистки рабо* тают семь часов в день и на запись одного 43-значного числа тратят 10 секунд). Генетический код Замечательным открытием биологии XX века была разгадка генетического кода. Удалось выяснить, каким образом наследственная информация передается потом- ству. Оказалось, что эта информация записана в ги- гантских молекулах дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Различные молекулы ДНК отличаются друг от друга тем, в каком порядке идут в них 4 азотистых основания: аденин, тимин, гуанин и цитозин. Эти осно- вания определяют порядок построения белков организма из двух десятков аминокислот, причем каждая амино- кислота зашифрована кодом из трех азотистых осно- ваний. Легко понять, откуда взялось число 3. Ведь с по- мощью комбинаций двух оснований можно зашифровать лишь 42=16 аминокислот, а этого недостаточно. Если же брать по 3 основания, то получим 43 = 64 комбинации. А этого с избытком хватит, чтобы зашифровать два де- сятка. Было бы весьма интересно узнать, как исполь- зуется в природе избыточность информации — ведь число комбинаций равно 64, а число аминокислот втрое меньше. В одной хромосоме содержится несколько десятков миллионов азотистых оснований. Число различных ком- бинаций, в которых они могут идти друг за другом, не- 16
вообразимо велико1)- Ничтожной доли этих комбинаций достаточно было, чтобы обеспечить все разнообразие живой природы за время существования жизни на Земле. Разумеется, надо иметь в виду, что лишь ничтожная доля теоретически возможных комбинаций приводит к жизне- способным организмам. Общие правила комбинаторики Как мы увидим дальше, комбинаторные задачи бы- вают самых разных видов. Но большинство задач ре- шается с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения. Часто удается разбить все изучаемые комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение и называют правилом суммы. Иногда это формулируют несколько иначе: Если некоторый объект А можно выбрать m спосо- бами, а другой объект В можно выбрать п способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить пг+п способами. При использовании правила суммы в последней формулировке надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не сов- падал с каким-нибудь способом выбора объекта В (или, как мы го- ворили раньше, чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса). Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь т + п — k способов выбора, где k—число совпадений. Второе правило, называемое правилом произведения, несколько сложнее. Часто при составлении комбинации из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, и сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не за- висит от того, как именно выбран первый элемент. Пусть первый элемент можно выбрать т способами, а второй п способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать тп способами. Иными словами: Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать ') Оно равно 4N, где N—число оснований в хромосоме, см. формулу (1). 2 II, Я. Вилчнкиа 17
п способами, то выбор пары (А, В) в указанном по- рядке можно осуществить тп способами. Для доказательства правила произведения заметим, что каждый из т способов выбора объекта А можно скомбинировать с п способами выбора объекта В. А это и приводит к тп способам выбора пары (А, В). Правило произведения можно наглядно представить с помощью следующей таблицы: ТАБЛИЦА! Ир А1), .... (4, Ал) (А2, Ат), .... (А, Ал) <А, Вц), .... (А> В1а) (Аи> вт1), • • •, (Ап» втп). Здесь через Аь ..Ат обозначены т способов вы- бора объекта А, а через Вц, ..., Bin обозначены п спо- собов выбора объекта В, если объект А выбран i-тым способом. Ясно, что эта таблица содержит все способы выбора пары (А, В) и состоит из тп элементов. Если способы выбора объекта В не зависят от того, как выбран объект А, то вместо таблицы 1 получается более простая таблица: ТАБЛИЦА 2 (А, вг), (Д, в2), ..., (Д, в„) (А2, В{), (А2, В2), (А2, Ва) {Ат, Bi), (Ат, В2), ..., (Ат, В„). Разумеется, может случиться, что нам надо соста- вить не пары, а комбинации из большого числа элемен- тов. Тогда мы приходим к следующей задаче: Сколько можно составить k-pпостановок, если первый элемент может быть одного из П\ различных видов, вто- рой — из п2 различных видов, ..., k-й -* из п^ различных видов. При этом две расстановки считаются различными. 18
если хотя бы на одном месте в них стоят разные эле- менты. Эта задача решается так же, как задача о велосипе- диетах. Первый элемент можно выбрать П\ способами. Каждый из выбранных элементов можно соединить с лю- бым из п2 видов вторых элементов, что дает П\П2 пар. Каждую пару можно соединить с любым из п3 видов третьих элементов, что дает п^п2п3 троек. Продолжая далее, мы получим в конце концов ... nh расстано- вок искомого типа. В задаче о велосипедистах надо было выбрать три элемента (цифру сотен, цифру десятков и цифру еди- ниц). На каждом шагу мы могли выбрать одну из девя- ти допустимых цифр. Поэтому А и получилось 9-9-9 = 729 но- I В6 | ! В8 j меров. А вот задача потруд- J нее. ' Составляются знаки, состоя- Рис. 1. щие из геометрической фи- гуры (окружности, квадрата, треугольника или шести- угольника), буквы и цифры. Сколько таких знаков можно составить? Здесь на первом шагу можно выбрать геометриче- скую фигуру. Этот выбор может быть совершен че- тырьмя способами (у нас всего четыре фигуры). Потом надо выбрать одну из 32 букв и, наконец, одну из 10 цифр. Всего получается 4-32-10= 1280 комбинаций. Задача о домино Сложнее решаются комбинаторные задачи, в которых число выборов после каждого шага зависит от того, ка- кие элементы были выбраны на предыдущих шагах. Вот пример такой задачи. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть чтобы какое-то число очков встре- чалось на обеих костях)? Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в 7 случаях выбранная кость окажется «дублем», то есть костью вида 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, а в 21 случае — костью с различными числами 2* 19
очков (например, 05, 13 и т. д.). В первом случае вто- рую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16). Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 спо- собами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7-6=42 выбора, а во втором 21 • 12 = 252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252 = 294 способов выбора пары. В проведенном рассуждении учитывался и порядок, в котором выбирались кости. Поэтому каждая пара ко- стей появлялась дважды (например, первый раз 01 и 16, а второй раз 16 и 01). Если не учитывать порядок вы- бора костей, то получим вдвое меньше способов выбора, то есть 147 способов. Команда космического корабля В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ра- нее, удобно изображать процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу (таким образом, каждый отре- зок соответствует одному элементу). Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сде- лать выборов на втором шагу, если в первый раз был выбран данный элемент и т. д. В результате такого построения получается «дерево», рассмотрение которого легко дает число решений нашей задачи. Рассмотрим следующий пример. Известно, что при составлении команд многоместных космических кораб- лей возникает вопрос о психологической совместимости участников космического путешествия. Даже вполне под- ходящие порознь люди могут оказаться непригодными для длительного совместного путешествия. Предполо- жим, что надо составить команду космического корабля из трех человек: командира, инженера и врача. На ме- сто командира есть четыре кандидата а2, а3, а4, на место инженера — 3 кандидата b\, b2, b3 и на место вра- ча— 3 кандидата clt с2, с3. Проведенная проверка пока- 20
зала, что командир ai психологически совместим с нерами й| и &з и врачами Сз, Сз, мерами &1 и &2 и всеми вра- чами, командир а3 —с ин- женерами bi и Ь2 и врачами а, с3, командир «4 — со все- ми инженерами и врачом с2. Кроме того, инженер bi пси- хологически несовместим с врачом с3, инженер Ь2— с врачом Ci и инженер Ь3—с врачом с2. Сколькими спосо- бами при этих условиях мо- жет быть составлена коман- да корабля? Соответствующее дерево изображено на рис. 2. Оно показывает, что есть лишь 10 допустимых комбинаций (если бы не было ограниче- ния совместимости, то число й2— С командир ИНЖ6- инже- комбинаций по правилу произведения равнялось бы 36=4-3-3). Задачи о шашках Решим следующую задачу: Сколькими способами можно поставить на доску две шашки — белую и черную, так, чтобы белая шашка могла бить черную? По шашечным правилам шашки ставятся на черные поля и одна шашка бьет другую, перепрыгивая через нее и вставая на следующее поле (рис. 3). Если же шашка достигла последней горизонтали, то она превра- щается в дамку и может бить все шашки, стоящие на одной диагонали с ней, кроме шашек, стоящих в конце диагоналей. Сложность этой задачи состоит в том, что для разных положений белой шашки есть разное число положений черной шашки, при которых эту шашку можно бить. Например, если белая шашка стоит на поле al, то су- ществует лишь одно положение черной шашки, при кото- ром она находится под боем. А если белая шашка стоит 21
на поле сЗ, то число искомых положений черной шашки равно 4. Наконец, если белая шашка прошла в дамки на поле Л8, то имеется 6 положений черной шашки, на которых ее может бить эта дамка. Поэтому здесь проще всего указать для каждого положе- ния белой шашки число воз- можных положений черной ша- шки и сложить полученные результаты. На рис. 4, а изо- бражена доска с указанием соответствующих чисел. Скла- дывая их, получаем 87. Зна- чит, искомая расстановка воз- можна 87 способами. Ясно, что ровно столько же Рис. 3. положений, при которых чер- ная шашка может бить белую. А положений, при которых обе шашки могут бить друг друга, меньше. Например, а) 6) Рис. 4. на краю доски, то ее нельзя бить, где бы ни стояла чер- ная шашка. Поэтому всем полям на краю доски соот- ветствует число 0. Точно так же находим числа, соответ- ствующие другим черным полям. Они изображены на рис. 4, б. Складывая эти числа, получаем, что искомая расстановка возможна 50 способами. 22
Наконец, найдем число положений белой и черной шашек, при котором ни одна из них не может бить друг друга. Эту задачу можно было бы решить так же, как и предыдущие, ставя белую шашку на каждое из черных полей и подсчитывая сколькими способами можно поста- вить черную шашку так, чтобы ни одна из этих шашек не могла бить другую. Но здесь проще применить «прин- цип чайника»1) и свести эту задачу к уже решенной. Для этого сначала найдем общее число положений, ко- торыми можно поставить на доску белую и черную шашки. Белую шашку можно поставить на любое из 32 черных полей. После этого для черной шашки останется 31 поле. Поэтому в силу правила произведения расста- новка возможна 32-31=992 способами. Но из этих спо- собов есть 87, при которых белая шашка может бить черную, и 87 способов, при которых черная шашка может бить белую. Поэтому надо отбросить 2-87 = 174 способа. Однако следует учесть, что при этом некоторые способы оказываются отброшенными дважды — и из-за того, что белая шашка может бить черную, и из-за того, что чер- ная шашка может бить белую. Мы видели, что сущест- вует 50 положений, в которых обе шашки могут бить друг друга. Поэтому число положений, в которых ни одна шашка не может бить другую, равно 992 — 174 + 50 = 868. ’) Рассказывают, что однажды математик спросил у физика: «Перед Вами пустой чайник и незажженная газовая плита; как вскипятить воду?» «Наполнить чайник водей, зажечь газ и поста- вить чайник на плиту», — отвечал физик. «Правильно», — сказал ма- тематик. «А теперь решите вто- рую задачу: перед зажженной пли- той стоит наполненный чайник. Как вскипятить воду?» «Это еще проще — надо поставить чайник на плиту». «Ничего подобного!»— воскликнул математик. «Надо по- гасить плиту, вылить воду из чайника, и мы придем к пер- вой задаче, которую уже умеем решать!» Поэтому, когда новую задачу сводят к уже решенным, шутя го- ворят, что применяют «принцип чайника». 23
Сколько человек не знают иностранных языков! Метод, которым мы решили последнюю из задач о шашках, часто применяется для решения комбинатор- ных задач. Рассмотрим следующий пример: В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — не- мецкий язык и 23 — оба языка. Сколько человек в ин- ституте не знают ни английского, ни немецкого языков? Для решения этой задачи на- до разбить весь коллектив со- трудников института на части, не имеющие общих элементов. Пер- вую из них составят те, кто знает только английский язык, — вто- рую— те, кто знает только не- мецкий язык, третью — те, кто знает оба языка, и четвертую — те, кто не знает ни одного, ни дру- гого языка (рис. 5). Нам дано, что третья часть состоит из 23 че- ловек. Но так как английский язык знают 47 человек, то только английским языком владеют 47—23=24 человека. Точно так же только немецким языком вла- деют 35—23 = 12 человек. Отсюда следует, что общее число людей, владеющих одним из этих языков, равно 23+24 + 12=59 человек. А так как всего в институте работают 67 чело- век, то на долю последней части приходится 67—59 = 8 человек. Итак, 8 человек не знают ни английского, ни немецкого языка. Полученный ответ можно записать в виде 8 = 67 —(23 + 24-4-12). Но 24 мы получили, вычитая 23 из 47, а 12 — вычитая 23 из 35. Поэтому 8 = 67 —23 —(47 —23) —(35 —23) = 67 —47—35 + 23. Теперь видна закономерность — из общего числа со- трудников вычитается число знающих английских язык 24
и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вы- чтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков. Усложним разобранную задачу, добавив еще один язык. Пусть французский язык знают 20 человек, англий- ский и французский —12 человек, немецкий и француз- ский — 11 человек, а все три языка — 5 человек. Яспо, что тогда только английский и французский (без немец- кого) знают 12 — 6 = 6 человек, а только немецкий и французский знают 11—5 = 6 человек. Значит, только один французский язык знают 20 — 7 — 6 — 5 = 2 чело- века. Эти люди входят в состав тех 8 человек, которым неведомы английский и немецкий языки. Значит, число людей, не знающих ни' одного из трех языков, равно 8 — 2 = 6. Полученный ответ можно записать так: 6 —8—2 = 67 — 47— 37-|-23— (20 — 7 — 6— 5) = = 67 —47 —37 + 23—20 + (12 —5) + (П —5) + 5 = = 67— 47 — 37 — 20+23+12+11 —5. А теперь закон совершенно ясен. Сначала из общего числа сотрудников вычитают число тех, кто знает один из языков (и, может быть, другие). При этом некото- рые оказываются «вычтенными» дважды, поскольку знают два языка. Поэтому прибавляют числа 23, 12, 11, показывающие, сколько человек владеют двумя язы- ками (и, может быть, еще третьим). Но лица, владею- щие тремя языками, оказываются сначала трижды «вычтенными», а потом трижды «прибавленными». Так как их надо все-таки вычесть, тб приходится еще от- нять число 5. Формула включений и исключений Разобранные примеры позволяют сформулировать общий закон. Пусть имеется N предметов, некоторые из которых обладают свойствами аь аг....ап- При этом каждый предмет может либо не обладать ни од- ним из этих свойств, либо обладать одним или не- сколькими свойствами. Обозначим через A(ajaj,. .ал) 25
количество предметов, обладающих свойствами at, aj, ... ..ak (и, быть может, еще некоторыми из других свойств). Если нам надо будет подчеркнуть, что берутся лишь предметы, не обладающие некоторым свойством, то это свойство пишем со штрихом. Например, через ЛЦс^агоф обозначено количество предметов, обладаю- щих свойствами «1 и аг, но не обладающих свойством а4 (вопрос об остальных свойствах остается открытым). Число предметов, не обладающих ни одним из ука- занных свойств, обозначается по этому правилу через N(а'а2 ... а').-Общий закон состоит в том, что • • • <) = ^-^(а1)-^(а2)- ... - Лг(«л) + +N(a1a2) + 7V(a1a3)+ ... +?/(«!«„)+ ... + TV (а, — ^(a^)— ... — 2V (а,,_2а,+ ... ...+(—1)лЛ^(а1а2 ... а„). (2) Здесь алгебраическая сумма распространена на все ком- бинации свойств ai, a2...an (без учета их порядка), причем знак + ставится, если число учитываемых свойств четно, и знак —, если это число нечетно. Напри- мер, TV (aia3a6a8) входит со знаком +, а vV(a3a4aio) со знаком —. Формулу (2) называют формулой включений и исключений — сначала исключаются все предметы, обладающие хотя бы одним из свойств а4, а2, ..., ал, потом включаются предметы, обладающие по крайней мере двумя из этих свойств, исключаются имеющие по крайней мере три и т. д. Докажем формулу (2). Доказательство ведется с помощью ин- дукции по числу свойств. При одном свойстве формула очевидна. Каждый предмет либо обладает этим свойством, либо не обладает им. Поэтому 2V(a') = 2V —2V(a). Предположим теперь, что формула (2) доказана для случая, когда число свойств равно п— 1: W(a(a2 ... a'_i) = W— 2V(aj) — ... — W-f- 4-W (а!а2)+ ... 4-W (ал_2ал_1) — — ЛЦсца-газ)— ... —N(.a„_ia„_2a„_i)+ ... • • • + (—О"-1 N ,., ал_ 0- (3) 26
Эта формула, по предположению, справедлива для любой совокуп- ности. В частности, она верна для совокупности А(а„) элементов, обладающих свойством ап. Для этой совокупности формула (3) принимает вид = N (%) — N(,°ian) - • • • - + + N (а до,,) + ... + N (a„_2a„_ — W (a^aja,,) — ... • ••44—1)Л-1лЧа1а2...ал_1ал) (4) (добавляется указание, что в каждом случае берутся лишь пред- меты, обладающие свойством а„). Вычтем равенство (4) из равенства (3). В правой части получим то, что нам нужно —правую часть формулы (2). А в левой части получим разность (а^ ... a'_j) — N (а^ ... a'(5) Но N(а^ • • • an_i)—это число предметов, не обладающих свой- ствами ai, а2, ..., а.п-1 и, быть может, обладающих свойством ап. A N (aja2 ... an_i«n)—это число предметов, которые не обла- дают свойствами ai, «2, ап-ь но наверняка обладают свой- ством ап. Значит, разность (5) как раз равна числу предметов, не обладающих ни одним из свойств щ, .......an-i, an. Иными сло- вами, >ЛЧа1'«2 • • • ал-1) — ^(aja2 ... a'_ia„) = .. a'^a'). Таким образом, после вычитания и в левой части получается левая часть формулы (2). Тем самым эта формула доказана для случая, когда число свойств равно п. Итак, соотношение (2) справедливо для п свойств, коль скоро оно справедливо для п — 1, а при п = 1 оно уже доказано; поэтому доказана справедливость этого соотношения для любого набора свойств. Формулу (2) можно представить в символической форме сле- дующим образом: A(a'P' ... со,)=А(1 — а)(1 — Р) ... (1—со). (6) Здесь после раскрытия скобок надо произведения Аа(3 .,. Л пи- сать в виде А(а6 ... Л). Например, вместо Аайбсо пишем А(а₽бсо). В чем ошибка! Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и от« лично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся 27
на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом». Через несколько дней его вызвал к себе классный руководитель (который, как на зло, вел математику) и сказал, что в сведениях есть ошибка. Попробуем выяс- нить, как он это узнал. Для этого подсчитаем, сколько девочек не занимаются спортом и получают время от времени тройки (а быть может, и двойки). Обозначим через eq принадлежность к мужскому полу, через ос2 — хорошую успеваемость и через ос3 — увлечение спортом. Найдем, чему равно NПо условию задачи имеем Л^(а1) = 25, ДГ(а2) = 30, 7V(a3) = 28, W(aia2)=16, ДГ (а,а3) = 18, N (а2а3) =17, N (ctjcyx^ =15. Значит, по формуле включений и исключений получаем, что N (a^'a') = 45 — 25 — 30 — 28 + 16 4- 18 17 — 15 = —2. Но отрицательным ответ быть не может! Поэтому в данных сведениях есть внутреннее противоречие, они неверны. Решето Эратосфена Одной из самых больших загадок математики яв- ляется расположение простых чисел в ряду всех нату- ральных чисел. Иногда два простых числа идут через одно число (например, 17 и 19, 29 и 31), а иногда под- ряд идет миллион составных чисел. Сейчас ученые знают уже довольно много о том, сколько простых чи- сел содержится среди N первых натуральных чисел. В этих подсчетах весьма полезным оказался метод, вос- ходящий еще к древнегреческому ученому Эратосфену (он жил в III веке до новой эры в Александрии). Эратосфен занимался самыми различными вопроса- ми — ему принадлежат интересные исследования в об- ласти математики, астрономии и других наук. Впрочем, такая разносторонность привела его к некоторой поверх- ностности. Современники несколько иронически назы- вали Эратосфена «во всем второй» (второй математик после Евклида, второй астроном после Гиппарха и т. д.). В математике Эратосфена интересовал как раз во- прос о том, как найти все простые числа среди нату- 28
ральных чисел от 1 до№). Он придумал для этого сле- дующий способ. Сначала вычеркивают все числа, де- лящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом бу* дет 5. Вычеркиваем все идущие после него числа, деля- щиеся на 5, и т. д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во вре* мена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а выкалывали цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому ме- тод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена». Подсчитаем, сколько останется чисел в первой сот* не, если мы вычеркнем по методу Эратосфена числа, де- лящиеся на 2, 3 и 5. Иными словами, поставим такой вопрос: сколько чисел в первой сотне не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5? Эта задача решается по формуле включения и исключения. Обозначим через сч свойство числа делиться на 2, через а2— свойство делимости на 3 и через аз—свой- ство делимости на 5. Тогда aia2 означает, что число делится на 6, aia3 означает, что оно делится на 10, и «газ, — что оно делится на 15. Наконец, означает, что число делится на 30. Нам надо найти, сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, то есть не обладает ни одним из свойств ai, a2, аз- По формуле (2) имеем N (ъЧЧ) =100—N (ai)—N (“2)—N (a3)+ + N (0404) + N (04013) + N (a2a3) — N (a^a^. Но чтобы найти, сколько чисел от 1 до N делится на п, надо разделить N на п и взять целую часть полу- чившегося частного. Поэтому 7V(04) = 5O, TV (04) = 33, 7V(a3) = 20, TV (0404) = 16, N (04013) = 10, JV (a2a3) = 6, N (ala/i3) = 3, ') Эратосфен считал 1 простым числом. Сейчас математики считают 1 числом особого вида, не относящимся ни к простым, ни к составным числам. 29
и, значит, Л^(а1,а2,а') = 32. Таким образом, 32 числа от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5. Эти числа и уцелеют после первых трех шагов процесса Эратосфена. Кроме них, останутся сами числа 2, 3 и 5. Всего останется 35 чисел. А из первой тысячи после первых трех шагов про-< цесса Эратосфена останется 335 чисел. Это следует из того, что в этом случае W(.a,)=500, W(a2)=333, W(a3)=200, W (о^аг) = 166, Af (0C10C3) = 100, Л^(а2аз)=66, Л^(а1а2ОСз)=33,
ГЛАВА 1( РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ И СОЧЕТАНИЯ Мы рассмотрели некоторые общие правила решения комбинаторных задач. С их помощью можно решать задачи самых разных типов. Однако как в геометрии неудобно всегда сводить решение задачи к аксиомам, а удобнее пользоваться теоремами, так и в комбинате* рике вместо решения задачи по общим правилам часто удобнее пользоваться готовыми формулами. Дело в том, что некоторые типы задач встречаются значительно чаще других. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены особые названия — размещения, пе- рестановки и сочетания. Для числа таких комбинаций выведены особые фор- мулы, которыми и пользуются при решении различных комбинаторных задач. С одной из этих формул мы уже знакомы — в начале главы I было показано, что число ^-размещений с повторениями из элементов п типов равно пк. Сейчас мы выясним, сколько можно составить таких размещений, если не допускать повторений, то есть если все элементы, входящие в размещения, раз- личны. Сначала разберем следующую задачу. Футбольное первенство В первой группе класса «А» первенства СССР по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены? Эта задача решается на основе правила произведем ния. Золотые медали может получить любая из 17 команд. Иными словами, здесь у нас 17 возможностей. Но если золотые медали уже получены какой-то командой, 31
то остается лишь 16 претендентов на серебряные медали. Повторения здесь не может быть — одна и та же коман- да не может завоевать и золотые, и серебряные ме- дали. Значит, после вручения золотых медалей какой-то команде остается 16 возможностей получения серебря- ных медалей. Точно так же если уже вручены и золо- тые, и серебряные медали, то бронзовые медали может получить лишь одна из оставшихся 15 команд. Значит, по правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены 17- 16- 15=4080 способами. Размещения без повторений Решенная задача относится к классу комбинаторных задач о размещении без повторений. Общая формули- ровка этих задач такова: Имеется п различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок? При этом две расста- новки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в раз- ном порядке. Такие расстановки называют размещениями без повторений, а их число обозначают Д*- При составле- нии ^-размещений без повторений из п предметов нам надо сделать k выборов. На первом шагу можно вы- брать любой из имеющихся п предметов. Если этот выбор уже сделан, то на втором шагу приходится вы- бирать из оставшихся п — 1 предметов — ведь повто- рять сделанный выбор нельзя1). Точно так же на третьем шагу для выбора остается лишь п — 2 свобод- ных предметов, на четвертом п — 3 предметов... на k-м шагу п — &+1 предметов. Поэтому по правилу про- изведения получаем, что число ^-размещений без по- вторения из п предметов выражается следующим об- разом: Akn = n(n — 1) ... (п — k-\-1). (1) ’) Напомним, что в отличие от случая размещений с повторе- ниями у нас теперь есть лишь один элемент каждого вида. 32
Научное общество Применим выведенную формулу для решения сле- дующей задачи: Научное общество состоит из 25 чело- век. Надо выбрать президента общества, вице-президен- та, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член об- щества может занимать лишь один пост? В этом случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4. Ведь здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные (выбор: прези- дент— Иванов, вице-президент — Татаринов, ученый секретарь — Тимошенко, казначей — Алексеев, отли- чается от выбора; президент — Тимошенко, вице-прези- дент— Иванов, ученый секретарь — Татаринов и казна- чей— Алексеев). Поэтому ответ дается формулой А24з = 25 24 • 23 22 = 303 600. Перестановки При составлении размещений без повторений из п элементов по k мы получали расстановки, отличаю- щиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все п эле- ментов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называют перестановками из п элементов, или, короче, п-перестановками. Иными словами, n-перестановками называют разме- щения без повторения из п элементов, в которые входят все элементы. Можно также сказать, что перестанов- ками из п элементов называют всевозможные п-расста- новки, каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу и которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Число n-перестановок обо- значают через Рп. Формула для Рп сразу получается из формулы для числа размещений без повторений. Именно, рп = Ап„ = п(п— 1) ... 2- 1. (2) Таким образом, чтобы узнать, сколько перестановок можно составить из п элементов, надо перемножить все 3 Н. я. Виленкин 33
натуральные числа от 1 до п. Это произведение обозна- чают п\ (читается n-факториал). Итак, Рп = п! = 1 • 2 • ... • п. При этом полагают 1! = 1. В дальнейшем нам встретится обозначение 0! Каза- лось бы, что 0! должен равняться нулю. Принято счи- тать, однако, что 01 = 1. Дело в том, что факториал обладает, очевидно, следующий! свойством: п! = п(п —1)! Это равенство справедливо при п>1. Естественно определить 01 так, чтобы оно оставалось верным и при п=1, то есть так, чтобы 11 = 1-0! Но тогда нужно положить 0! = 1. Заметим еще, что формулу (1) для числа размещений без по- вторений можно записать следующим образом: В самом деле, в дроби (3) все сомножители: 1, 2, 3, ..., п — k вхо- дят и в числитель, и в знаменатель. После сокращения получаем, что Акп=п(п—1) ... (п — fe+1) в соответствии с формулой (1). Задача о ладьях Сколькими способами можно расположить на шах- матной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга? Ясно, что при таком расположении на каждой гори- зонтали и каждой вертикали стоит по одной ладье. Возь- мем одно из этих расположений и обозначим через а^ номер занятого поля на первой горизонтали, через а2— на второй горизонтали, ..., через а8—на восьмой гори- зонтали. Тогда (аь а2, ..., а8) будет некоторой переста- новкой из чисел 1, 2, .... 8 (ясно, что среди чисел аь а2, ..., а8 нет ни одной пары одинаковых, так как иначе две ладьи попали бы на одну и ту же вертикаль). Обратно, если а2, ..., а8 — некоторая перестановка чисел 1, 2, .... 8, то ей соответствует некоторое распо- ложение ладей, при котором они не могут бить друг друга. Например, на рис. 6 изображено расположение ладей, соответствующих перестановке 7 5 4 6 13 2 8. Таким образом, число искомых расположений ладей рав- но числу перестановок чисел 1, 2, ..., 8, то есть Р8. Но р8 = 8! = 1 -2-3-4-5-6-7-8 = 40320. 34
Значит, ладьи можно расположить требуемым образом 40 320 способами. Точно так же доказывается, что на доске из п гори- зонталей и п вертикалей можно п! способами располо- жить ладьи так, чтобы они не могли бить друг друга. Совсем иной ответ получился бы, если бы ладьи чем- то отличались друг от друга были перенумерованы. В этом случае из каждого рас- положения незанумерован- ных ладей получится п\ рас- положений занумерованных ладей — они получаются, ес- ли при тех же занятых по- лях всеми способами пере- ставлять друг с другом п ладей. Поэтому получилось бы (п!)2 способов располо- жения, при которых ладьи не могут бить друг друга. К тому же выводу мож- но прийти иначе, прямо ис- пользуя правило произведения. Первую ладью можно поставить на любое из п2 полей. Если вычеркнуть го- ризонталь и вертикаль, на которые попала эта ладья, остается доска с п— 1 горизонталями и п— 1 вертика- лями, имеющая (п—I)2 полей. Значит, вторая ладья может быть поставлена (и— I)2 способами. Точно так же третья ладья может быть поставлена (п — 2)2 спосо- бами и т. д. Всего получаем п2(п — I)2 ... 12= (п!)2 способов расположения ладей. Лингвистические проблемы Лингвистам — специалистам по живым и мертвым языкам, часто приходится разгадывать надписи, сделан- ные на незнакомых языках. Предположим, что им по- пался текст, написанный при помощи 26 незнакомых знаков. Эти знаки являются буквами, изображающими каждый один из 26 звуков. Сколькими способами можно сопоставить звуки знакам письма? 3* 85
Расположим знаки письма в некотором порядке. То- гда каждый способ сопоставления даст некоторую пере- становку звуков. Но из 26 звуков можно составить Р2б=26! перестановок. А это число приблизительно рав- но 4-1026. Разумеется, проверить все эти возможности непосильная работа не только для человека, но и для электронной вычислительной машины. Поэтому ста- раются уменьшить число возможностей. Часто удается отделить знаки, обозначающие гласные,' от знаков, обо- значающих согласные (гласные чаще стоят рядом с со- гласными, чем гласные рядом с гласными или соглас- ные рядом с согласными; наблюдая, какие сочетания знаков чаще всего встречаются, можно отделить знаки для гласных от знаков для согласных). Предположим, что удалось найти 7 знаков для гласных и 19 знаков для согласных. Подсчитаем, во сколько раз уменьши- лось число возможностей? 7 знаков для гласных можно переставлять друг с другом 7! способами, а 19 знаков для согласных 19! способами. Общее число комбинаций равно 7! • 19!. Значит, работа уменьшилась в 26!/71 • 19!« «650 000 раз. Конечно, стало легче, но и 7! • 19! — ги- гантское число. Далее подсчитывают частоту появления отдельных знаков. Сравнивая эту частоту с частотой появления букв в близких к данному языках, можно примерно уга- дать значения некоторых знаков. Другие знаки удается найти, сравнив данный текст с тем же текстом на ином языке (древние цари любили вещать о своих «подвигах» на нескольких языках). Предположим, что в результате этой работы опозна- но 4 гласных и 13 согласных букв. Сколько еще остает- ся возможностей? Ясно, что 3!-6! =4320. А такое число комбинаций уже можно по порядку проверить, исполь- зуя электронные вычислительные машины. С аналогичными трудностями встречаются и крипто- логи — специалисты по расшифровке кодов. Хоровод Семь девушек водят хоровод. Сколькими различны- ми способами они могут встать в круг? Если бы они стояли на месте, то получилось бы 7! = = 5040 перестановок. Но так как танцующие кружатся, 36 36
то их положение относительно окружающих предметов не существенно, а важно лишь взаимное расположение. Поэтому пер-естановки, переходящие друг в друга при кружении танцовщиц надо считать одинаковыми. Но из каждой перестановки можно получить еще шесть новых путем вращения. Значит, число 5040 надо разделить на 7. Мы получаем 5040 : 7 = 720 различных перестано- вок девушек в хороводе. Вообще, если рассматривать перестановки п пред- метов, расположенных не в ряд, а по кругу, и считать одинаковыми расположения, переходящие друг в друга при вращении, то число различных перестановок равно (п-1)!. А теперь сосчитаем, сколько ожерелий можно соста- вить из 7 различных бусин? По аналогии с только что решенной задачей можно подумать, что число различ- ных ожерелий равно 720. Но ожерелье можно не только повернуть по кругу, но и перевернуть (рис. 7). Поэтому ответом на эту задачу является 720 : 2=360. Перестановки с повторениями До сих пор мы переставляли предметы, которые были попарно различны. Если же некоторые переста- вляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок — некоторые перестановки совпадают друг с другом. 87
Например, переставляя буквы слова «март», мы по- лучим 24 различные перестановки: март рамт мтра ртма матр мтар ратм ртам мрат рмат рмта мрта трам тмар амтр артм тарм атрм атмр тамр амрт армт трма тмра А если вместо слова «март» взять слово «мама», то во всех выписанных перестановках надо будет заменить «р» на «м» и «т» на «а». При этом некоторые из наших 24 перестановок окажутся одинаковыми. Например, стоящие в первой строке перестановки март, рамт, мтра, ртма при этой замене дадут одно и то же слово «мама». Точно так же все четыре перестановки, написанные во второй строке, дадут слово «маам». Вообще, все 24 пе- рестановки разбиваются на четверки, которые при за* мене «р» на «м» и «т» на «а» дают один и тот же ре* зультат. В таблице эти перестановки стоят в одной строке. Поэтому число различных перестановок, кото- рые можно сделать из слова «мама», равно 24:4 = 6. Вот они мама, маам, ммаа, амам, аамм, амма. Общая задача формулируется следующим образом: Имеются предметы k различных типов. Сколько пе- рестановок можно сделать из ni элементов первого типа, п2 элементов второго типа, ..п^ элементов k-го типа? Число элементов в каждой перестановке равно п = = п1 + п2+ ... + nh. Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы п\. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, полу- чится меньшее число перестановок. В самом деле, возь- мем, например, перестановку аа ... а bb ... b ... хх ... х, (4) "I К Ч в которой сначала выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа, ..., наконец, все эле- менты А-го типа. Элементы первого типа можно пере- ставлять друг с другом nil способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего 38
не меняют. Точно так же ничего не меняют п2\ переста- новок элементов второго типа, ..nh\ перестановок эле- ментов А-го типа. Например, в перестановке «ммаа» ничего не изменится, если мы переставим первый эле» мент со вторым, или третий с четвертым. • Перестановки элементов первого типа, второго типа и т. д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки (4) можно переставлять друг с другом niln2!... nhl спосо- бами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех п\ перестановок распадается на части, состоящие из щ\п2\ .. .п^. одинаковых переста- новок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных эле- ментов, равно ..., »л)=П1,П2г';.Пй| (5) где, напомним, n = «i + n2+ Пользуясь формулой (5), легко ответить на вопрос: сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»? Здесь у нас одна буква «м», четыре бук- вы «и», три буквы «с» и одна буква «п», а всего 9 букв. Значит, по формуле (5) число перестановок равно ₽<4' 3- Т 0= 4,.3,9.111.1| =2520. Анаграммы До XVII столетия почти не было научных журналов. Ученые узнавали о трудах своих коллег или из книг, или из частных писем. Это создавало большие трудности при опубликовании новых результатов — ведь печатание книг занимало целые годы, а написать о своем откры- тии в частном письме было рискованно — не ровен час, кто-нибудь присвоит достижение, и поди доказывай, что он не сам придумал, а узнал из полученного письма. А могло случиться, что получатель письма долго думал над тем же вопросом, нашел его решение, и письмо ни- чего нового ему не открыло — он сам собирался напи- сать коллеге аналогичное сообщение. Из-за этого часто возникали споры о приоритете. Еще в конце XVII столетия шли долгие споры о 39
приоритете между Ньютоном и Лейбницем (о том, кто первый открыл дифференциальное и интегральное ис- числения), между Ньютоном и Гуком (кто первый сфор- мулировал закон всемирного тяготения) и т. д. А в древности Архимеду пришлось даже пуститься на хитрость. Когда некоторые александрийские ученые присвоили себе его результаты, о которых узнали из по- лученных от него писем,он написал им еще одно письмо. В нем содержались совершенно замечательные фор- мулы для площадей и объемов некоторых фигур. Алек- сандрийцы снова сказали, что эти формулы они давным- давно знают,- и ничего нового им Архимед не сообщил. Но тут выяснилось, что Архимед поймал их в ловуш- ку— сообщенные в письме формулы были неверными! Для того чтобы и приоритет обеспечить, и не допустить преждевременной огласки достигнутых результатов, ученые в краткой фразе формулировали суть открытия, а потом переставляли в пей буквы и посылали письмо с переставленными буквами своим коллегам. Такие тек- сты с переставленными буквами называются анаграм- мами. Например, слова «лунка» и «кулан» — анаграммы. Когда же печаталась книга с подробным изложе- нием результата, в ней давалась расшифровка ана- граммы. К анаграммам прибегали и в политических спорах. Например, после убийства французского короля Генриха Ш из имени его убийцы frere Jacques Clement (брат Жак Клеман) составили анаграмму C’est 1’enfer qui m’a сгёё (меня создал ад). Противники короля не остались в долгу и из его имени Henri de Valois (Анри де Валуа) составили анаграмму Vilain Негобёэ (Иро- дова мерзость). Когда Христиан Гюйгенс (1629—1695) открыл кольцо Сатурна, он составил анаграмму ааааааа, ссссс, d, еееее, g, h, iiiiiii, III, mtn, nnnnnnnnn, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Если поставить в ней буквы в нужном порядке, то по- лучится текст «Annulo cingitur tenui, piano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato». («Окружен кольцом тонким, плоским, нигде не подве- шенным, наклонным к эклиптике».) 40
Однако не всегда анаграммы позволяли сохранять тайну. Когда тот же Гюйгенс открыл первый спутник Сатурна (Титан) и нашел, что время его обращения вокруг планеты равно 15 дням, он составил по этому поводу анаграмму и послал своим коллегам. Однако один из них, Валлис, большой мастер в расшифровке тайнописи, разгадал эту анаграмму и составил по это- му поводу свою анаграмму, которую послал Гюйгенсу. Когда ученые обменялись разгадками анаграмм, то по- лучилось так, что будто бы Валлис еще до Гюйгенса сделал то же самое открытие. Потом Валлис признал- ся, что он пошутил, чтобы доказать бесполезность ана- грамм в деле тайнописи. Гюйгенс, однако, не оценил этой шутки и рассердился... Подсчитаем, сколько надо было сделать перестано- вок, чтобы дойти до истинного смысла первой анаграм- мы Гюйгенса. В эту анаграмму входит 7 букв а, 5 букв с, 1 буква d, 5 букв е, 1 буква g, 1 буква h, 7 букв г, 3 буквы I, 2 буквы т, 9 букв п, 4 буквы о, 2 буквы р, 1 буква q, 2 буквы г, 1 буква s, 5 букв t и 5 букв и, а всего 61 буква. Значит, по формуле (5) получаем 61! 7151 1! 5! II 11713121 91 41 21 1121 1I5I5I перестановок. Это громадное число примерно равно 1060. С задачей перебора всех этих перестановок электрон- ная вычислительная машина, делающая миллион опе- раций в секунду, не справилась бы за все время суще- ствования Солнечной системы. В каком-то смысле человеку легче решить эту за- дачу, чем машине. Ведь человек будет брать не все перестановки, а только те, в которых получаются осмыс- ленные слова, будет учитывать морфологические пра- вила и т. д. Это сильно сократит число необходимых попыток, А самое главное — он примерно знает, над какими вопросами думал его корреспондент. Но все равно получается очень громоздкая работа. Сочетания Не всегда нас интересует порядок, в котором распо- лагаются элементы. Например, если в полуфинале пер- венства СССР по шахматам участвуют 20 человек» 41
OP- - 46 ЛЛ ВС TO • 2 ОЧ К A а в финал выходят лишь трое, то порядок, в котором располагается первая тройка, не существен — хоть тре- тьим, а лишь бы выйти в финал! Ведь бывали случаи, что чемпионом СССР становился шахматист, занявший в полуфинале не самое высокое место. Точно так же при проведении первенства СССР по футболу высшую лигу, состоящую из 17 команд, должны были покинуть команды, занявшие последние четыре ме- ста. И слабым утешением могло служить то, что коман- да заняла 14,а не 17место — все равно придется перейти во второй эшелон. В тех случаях, когда нас не интересует порядок эле- ментов в комбинации, а интересует лишь ее состав, го- ворят о сочетаниях. Итак, k-сочетаниями из п элемен- тов называют всевозможные А-расстановки, составлен- ные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число А-сочета- ний, которые можно составить из п элементов, обозна- чают через Сп- Формула для числа сочетаний легко получается из выведенной ранее формулы для числа размещений. В са- мом деле, составим сначала все A-сочетания из п эле- ментов, а потом переставим входящие в каждое сочета- ние элементы всеми возможными способами. При этом получатся все A-размещения из п элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого А-соче- тания можно сделать А! перестановок, а число этих со- четаний равно Сп- Значит, справедлива формула k\Cn = A„. Из этой формулы находим, что п' Й1 ~ (п — Й)1Й1 • W 42
Замечательно, что выведенная формула совпадает с формулой для числа перестановок из k элементов од» ного типа и п — k элементов второго типа: ,,__ п I ’ п — 'г)— k\(n — k)\ • Иными словами, Ck„ = P(k, n — k). (7) Это равенство можно доказать и непосредственно, не прибегая к формуле числа размещений. Для этого поставим по порядку все п элементов, из которых со- ставляют сочетания, и зашифруем каждое сочетание n-расстановкой нулей и единиц. Именно, если некоторый элемент входит в сочетание, то на его месте пишем 1, а если он не входит, то пишем 0. Например, если со- ставляются сочетания из букв а, б, в, г, д, е, .ж, з, и, к, то сочетанию {а, в, е, з, и} соответствует расстановка 10 10 0 10 1 1 0, а расстановке 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 — со- четание {б, в, г, ж, к}. Ясно, что при этом каждому k-со- четанию соответствует расстановка из k единиц и п — k нулей, а каждой расстановке из k единиц и п — k нулей соответствует некоторое A-сочетание, причем различным расстановкам — различные A-сочетания. Отсюда и сле- дует, что число A-сочетаний из п элементов совпадает с числом перестановок из k элементов одного типа (еди- ниц) и п—k элементов другого типа (нулей). Применяя формулу (6), легко решить задачи, о ко- торых говорилось в начале этого пункта. Число различ- ных исходов полуфинала шахматного первенства дается формулой С23о = т^7 = 114°. 0 11/1 Число же различных «печальных» исходов футбольного первенства равно с*7= 41т4г=2380- Вот еще задача на сочетания: Сколькими способами можно поставить на шахмат- ную доску 8 ладей? В отличие от задачи, рассмотренной на стр. 34, здесь не налагается условие, что ладьи не могут бить друг друга. Поэтому нам надо просто 43
выбрать из 64 клеток шахматной доски любые 8 клеток. А это может быть сделано См = = 4 328 284 968 способами. Точно так же доказывается, что на доске из т го» ризонталей и п вертикалей k ладей можно поставить ______ (тп) I ьтл— способами. Если же ставить не k одинаковых ладей, a k раз- личных фигур, то уже имеет значение, какая фигура куда поставлена. Поэтому здесь получатся не сочета- ния, а размещения, и ответ дается формулой лй _ (тп)\ ^тп— • Генуэзская лотерея В прошлые века процветала так называемая генуэз- ская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах до сих пор. Суть ее заключалась в следующем. Участники лотереи покупали ‘билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить и билеты, на которых было сразу два, три, четыре или пять чисел. В день розы- грыша лотереи из мешка, содержавшего жетоны с чис- лами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у которых все числа на билете были среди выну- тых1)- Например, если на билете были числа 8, 21, 49, а вынутыми оказались числа 3, 8, 21, 37, 49, то билет выигрывал; если же вынутыми были, скажем, числа 3, 7, 21, 49, 63, то билет проигрывал — ведь числа 8 среди вынутых не оказалось. Если участник лотереи покупал билет с одним чис- лом, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стои- мости билета — если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с тремя числами (терн), то в 5500 ') Видоизменением этой лотереи является распространенная иг- ра в лото — здесь тоже участвуют «бочонки» с числами от 1 до 90, а на карточках у игроков напечатаны 3 ряда по 5 чисел в каждом ряду. Заполнение 4 чисел часто называют «квартира», что является искажением слова «катерн», 44
раз больше, если с четырьмя числами (катерн) — в 75 000 раз больше, а если с пятью числами (квин), то в 1 000 000 раз больше, чем стоимость билета. Многие люди пытались обогатиться, участвуя в этой лотерее и ставя в каждом розыгрыше на терн или амбо« Но почти никому не удалось этого сделать — лотерея была рассчитана так, чтобы в выигрыше оставались ее устроители ’). Чтобы понять, в чем дело, попробуем сосчитать, ка- ково отношение «счастливых» исходов лотереи к общему числу ее исходов при различных способах игры. Общее число исходов лотереи сразу находится по формуле (6)« Ведь из мешка с 90 жетонами вынимают 5 жетонов, причем их порядок не играет никакой роли. Получаются сочетания из 90 элементов по 5, число которых равно Г'— 90! — 90'89 -88 -87 -86 Сэо—' 51851 ~~’ 1 -2-3-4-5 ’ Предположим теперь, что участник лотереи купил билет с одним номером. Во скольких случаях он выш- рает? Для выигрыша необходимо, чтобы один из выну тых номеров совпал с номером на билете. Остальные же 4 номера могут быть любыми. Но эти четыре номера выбираются из оставшихся 89 номеров. Поэтому число благоприятных комбинаций выражается формулой 4 89-88-87-86 89~ 1-2-3-4 *) Переживания участников лотереи ярко описаны итальян- ской писательницей Матильдой Серао в новелле «Розыгрыш ло- тереи», см. книгу «Итальянские новеллы 1860—1914 гг.», ГИХЛ, 1960, стр. 226—250. 45
Отсюда следует, что отношение числа благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций равно с|э 90 18 ' Это, примерно, означает, что игрок будет выигрывать один раз из восемнадцати. Иными словами, он заплатит за 18 билетов, а выиграет лишь в 15 раз больше стои- мости одного билета — цену трех билетов положат в карман устроители лотереи. Разумеется, не следует думать, что из каждых 18 раз игрок выиграет в точности один раз. Иногда между двумя выигрышами пройдет 20 или 30 тиражей, а иногда удастся выиграть и в двух тиражах подряд. Речь идет о среднем числе выигрышей за большой промежуток времени или при большом числе участников. Иначе можно сделать ошибку, которую приписывают одному врачу. Он сказал пациенту: «У Вас болезнь, от.которой выздоравливает 1 че- ловек из 10. Но предыдущие 9 больных, которых я лечил от этой болезни, умерли. Значит, Вы обязательно выздоровеете!». А теперь подсчитаем шансы при игре на амбо. Здесь уже нужно, чтобы два загаданных номера вошли в чис- ло вынутых из мешка, а остальные три номера могут быть любыми. Так как их можно выбрать из оставшихся 88 номеров, то число «счастливых» исходов при игре на амбо дается формулой лЗ 88 • 87 * 86 С88 1.2-3 ’ 46
Отношение же числа «счастливых» исходов к общему числу исходов равно 4-5 2 С|о 90-89 801 ‘ Здесь уже из 801 исхода только два приводят к вы- игрышу. Но так как выигрыш лишь в 270 раз больше стоимости билета, то из каждых 801 билетов «амбо» цену 261 билета кладут в карман устроители лотереи. Ясно, что игра на амбо еще менее выгоднее участникам, чем игра на «простую одиночку». Совсем уже невыгодны игры на терн, катерн и квин. При игре на терн отношение числа благоприятных ис- ходов к числу всех исходов равно С827 _ 3-4-5 _ 1 С|о — 90 • 89 • 88 — 11 748 ’ при игре на катерн С|6 _ 2-3-4-5 _ 1 Cf0 — 90 • 89 • 88 • 87 — 511038 и при игре на квин 1 _ 1-2-3-4-5 _ 1 С|о 90 • 89 • 88 • 87 • 86 — 43 949268 ' Платят же выигрывшим лишь в 5500, 75 000 и 1 000 000 раз больше. Подсчитайте сами, каковы потери участни- ков лотереи при этих условиях. Покупка пирожных В кондитерском магазине продавались 4 сорта пи- рожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколь- кими способами можно купить 7 пирожных? Эта задача имеет иной вид, чем те, которые мы уже решали. Она не является задачей на размещения с по- вторениями, так как порядок, в котором укладывают пирожные в коробку, несуществен. Поэтому она бли- же к задачам на сочетания. Но от задач на сочетания она отличается тем, что в комбинации могут входить повторяющиеся элементы (например, можно купить 47
7 эклеров). Такие задачи называют задачами на сочета- ния с повторениями. Чтобы решить нашу задачу, поступим следующим образом. Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Именно, сначала напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов. Потом, чтобы отделить на- полеоны от эклеров, напишем нуль, а затем — столько единиц, сколько куплено эклеров. Далее снова напишем нуль (если не было куплено ни одного эклера, то в запи- си появятся два следующих друг за другом нуля). Да- лее напишем столько единиц, сколько куплено песочных пирожных, снова напишем нуль, и наконец, напишем столько единиц, сколько куплено слоеных пирожных. Например, если куплено 3 наполеона, 1 эклер, 2 песоч- ных пирожных и 1 слоеное, то получим такую запись: 1110101101. Если же куплено 2 наполеона и 5 песочных, то получится запись 1100111110. Ясно, что разным по- купкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 нулей. Обратно, каждой комбинации 7 еди- ниц и 3 нулей соответствует какая-то покупка. Напри- мер, комбинации 0111011110 соответствует покупка 3 эк- леров и 4 песочных пирожных. Таким образом, число различных покупок равно числу перестановок с повторениями, которые можно со- ставить из 7 единиц и 3 нулей. А это число, как было показано на стр. 39, равно Р(7, 3) = 7-^г = ^- = 120. К тому же самому результату можно было бы прий- ти и иным путем. Именно, расположим в каждой покуп- ке пирожные в таком порядке: наполеоны, эклеры, пе- сочные и слоеные, а потом перенумеруем их. Но при нумерации будем к номерам эклеров прибавлять 1, к номерам песочных — 2 и к номерам слоеных пирож- ных— 3 (а к номерам наполеонов ничего не будем прибавлять). Например, пусть куплено 2 наполеона, 3 эклера, 1 песочное и 1 слоеное пирожное. Тогда эти пирожные нумеруются так: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10. Ясно, что самый большой номер при этом равен 10 (последнее слоеное пирожное получает номер 7+3=10), а самый маленький номер равен 1 (этот номер получает первый наполеон). При этом ни один номер не повторяется. Об- 48
ратно, каждой возрастающей последовательности 7 чи- сел от 1 до 10 соответствует некоторая покупка. Напри- мер, последовательность 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 соответствует покупке из 4 эклеров и 3 песочных пирожных. Чтобы убедиться в этом, надо отнять от заданных номеров числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Мы получим числа 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, то есть 4 единицы и 3 двойки. Но 1 мы прибавляли к номерам эклеров, а 2 — к номерам песочных пирож- ных; значит, у нас 4 эклера и 3 песочных пирожных. При этом у нас получаются лишь возрастающие по- следовательности чисел, и, следовательно, каждая по- следовательность полностью определяется своим соста- вом. Поэтому число таких 7-последовательностей равно числу 7-сочетаний из 10 чисел (от 1 до 10). А число этих сочетаний дается формулой Ск> = -7^ = 120. Мы получили тот же самый результат. Сочетания с повторениями Мы уже говорили, что разобранная задача отно- сится к типу задач на сочетания с повторениями. Об- щая формулировка этих задач такова: имеются пред- меты п различных типов. Сколько ^-комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание поря- док элементов в комбинации (иными словами, различ- ные комбинации должны отличаться хотя бы одним предметом)? Эта задача в общем виде решается точно так же, как и задача о пирожных. Именно, надо зашифровать ка- ждую комбинацию с помощью нулей и единиц: для каждого типа написать столько единиц, сколько пред- метов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга нулями (при этом если предметы какого-нибудь типа совсем не вошли в ком- бинацию, то надо писать подряд два или большее число нулей). При этом мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, то есть k, а число ну- лей будет на 1 меньше, чем число типов предметов, то есть п—1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и п—1 нулей. Различным 4 Н. Я. Виленкин 49
комбинациям будут при этом соответствовать различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация. Итак, число Сп ^-сочетаний с повторениями из элементов п типов равно числу P(k, п— 1) перестановок с повто- рениями из л — 1 нулей и k единиц. А Поэтому Эту же формулу можно доказать и иным способом. Надо в каждом сочетании расположить элементы по ти- пам (сначала все элементы первого типа, потом — вто- рого типа и т. д.). А после этого перенумеровать все эле- менты в сочетании, но к номерам элементов второго типа прибавить 1, третьего типа прибавить 2 и т. д. То- гда из каждого сочетания с повторениями получится сочетание без повторений, состоящее из чисел 1, 2, ... ..., n + k— 1, причем в каждое сочетание входит k эле- ментов. Отсюда снова следует, что ____ f'k ___ (Л -|“ k 1)1 /Q\ Ся —ся+й-1— • (в) Встречаются задачи, в которых на сочетания с по- вторениями налагается дополнительное условие — в них обязательно должны входить элементы г фиксирован- ных типов, где г4 л. Эти задачи легко сводятся к уже решенной. Для того чтобы обеспечить присутствие эле- ментов заданных г типов, возьмем с самого начала по одному элементу каждого такого типа. Тем самым в. ^-сочетании окажутся заняты г мест. Остальные же k — г мест можно заполнять любыми элементами, принадлежа- щими по условию к п типам. Поэтому комбинаций иско- мого вида столько же, сколько и сочетаний с повторе- ниями из элементов п типов, содержащих по k — г эле- ментов каждое, то есть
В частности, если п k и требуется, чтобы в &-соче- тания с повторениями входил по крайней мере один элемент каждого из п типов, то получится Сй1? ком- бинаций. Снова футбольное первенство Мы разобрали задачи на размещения, перестановки и сочетания. Во многих случаях приходится иметь дело с комбинациями различных типов. Рассмотрим следую- щую задачу: 4 Назовем два исхода первенства СССР по футболу совпадающими в главном, если при этих исходах совпа- дают обладатели золотых, серебряных и бронзовых ме- далей, а также четыре команды, покидающие высшую лигу. Найти число различных в главном исходов пер- венства (как и выше, мы считаем, что в первенстве уча- ствуют 17 команд). Мы уже знаем, что медали могут распределяться Ли = 17 • 16 • 15 способами (см. стр. 32). После этого остается 14 команд, из которых 4 должны покинуть высшую лигу. Так как здесь уже порядок выбывающих -4 14! команд не важен, то это может произойти Ci4 = способами. По правилу произведения получаем, что число различных в главном исходов первенства равно Al7 CU = 17 • 16 • 15 • = 4^,- = 4084 080. К этому же результату можно прийти иным путем. Общее число различных исходов первенства (отбрасы- вая случаи, когда происходит раздел тех или иных мест) равно Р17 = 171. Но перестановки команд, занявших ме- ста с 4-го по 13-е, а также перестановки команд, за- нявших места с 14-го по 17-е, приводят к совпадающему в главном исходу первенства. Число таких перестановок равно 101-4!. Значит, число различных исходов дается . - 171 формулой -foj-ji-- Предположим, что об исходе первенства хотят пере- дать с помощью телеграммы, состоящей из k точек и тире. Каково наименьшее нужное для этого число зна- ков? Мы уже знаем, что из k точек и тире можно 4* 51
составить 2ft различных комбинаций. Поэтому мини- мальное число знаков, с помощью которых можно пере- дать требуемую информацию, должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство 2й >4 084 080. Решая его, получаем, что k 22. Итак, для передачи результатов первенства с помощью точек и тире надо использовать не менее 22 знаков. Разумеется, такие подсчеты при передаче исходов соревнований не используются. Но легко представить случай, когда передача информации сопряжена с боль- шими техническими трудностями (например, при пере- даче фотографического снимка с космического корабля) и каждый знак идет «на вес золота». Тогда приходится рассматривать различные возможности такой передачи и выбирать наиболее экономные. Эти вопросы изу- чаются в разделе математики, называемом теорией ин- формации. Свойства сочетаний1) Числа Сп обладают целым рядом замечательных свойств. Эти свойства можно доказывать по-разному. В некоторых случаях удобнее всего прямо воспользо- ваться формулой = О) Однако часто удается получить доказательство из ком- бинаторных соображений: подсчитываем число комби- наций некоторого вида и разбиваем эти комбинации на классы без общих элементов. После этого находим, сколько комбинаций входит в каждый класс. Склады- вая полученные числа, снова получаем число всех ком- бинаций данного вида. Это и дает искомое соотношение. Начнем с самого простого соотношения: Скп = Спп~к. (10) ') Конец главы при первом чтении можно пропустить. Одна- ко доказанные здесь равенства = Сй = -J- дальше будут часто встречаться. 52
Оно сразу вытекает из формулы (9). Ведь если заме- нить в этой формуле k на п — k, то п — k заменится на п—(п — k)=k и в результате множители, стоящие в знаменателе, поменяются местами. Но равенство (10) легко доказать и не прибегая к явному виду числа сочетаний. Если выбрать из п различных элементов неко- торое ^-сочетание, то останется дополнительное сочета- ние из п — k элементов, а дополнительным к получен- ному (п— k)-сочетанию является исходное ^-сочетание. Таким образом, ^-сочетания и (п — &)-сочетания обра- зуют взаимно дополнительные пары, потому число этих сочетаний одно и то же. Значит, Ск = Сп~к. Почти столь же просто доказывается соотношение c*=c*zl+cti. (11) Для этого составим ^-сочетания из п элементов at, ... ..an-i, ап и разобьем их на два класса. В первый из них войдут сочетания, содержащие элемент ап, а во вто- рой — сочетания, не содержащие этого элемента. Если из любого сочетания первого класса откинуть элемент ап, то останется (k— 1)-сочетание, составленное из эле- ментов «1, ..., ап-1- Число этих сочетаний равно Ckz{- Поэтому в первый класс входит C*Z} комбинаций. Соче- тания второго класса являются ^-сочетаниями, соста- вленными из (п— 1)-го элемента at, ..., an-t. Поэтому их число равно C«-i- Поскольку любое ^-сочетание из элементов at....ап принадлежит одному и только од- ному из этих классов, а общее число этих сочетаний равно Ск> то приходим к равенству (11). Похожим способом доказывается соотношение С°4-С‘ + С*+ ... -ЬС" = 2Л. (12) Для этого вспомним, что 2П — это число всех «-разме- щений с повторениями, из элементов двух типов. Разо- бьем эти размещения на классы, отнеся в k-й класс те, в которые входят k элементов первого типа и п — k эле- ментов второго типа. Размещения /г-го класса — это не что иное, как всевозможные перестановки из k элемен- тов первого типа и п — k элементов второго типа. Мы знаем, что число таких перестановок равно P(k,n—k), &P(k, п. — k) — Ck (см. стр. 39 и 43). Значит, общее 53
число размещений всех классов равно С° С\ • • • + Ch- С другой стороны, это же число равно 2П. Тем самым соотношение (12) доказано. Совершенно так же доказывается, что У Р(п{, п2. п3) = 3", (13) Л, + Л2 + Л3= Л где сумма распространена на все разбиения числа п на три слагае- мых (причем учитывается и порядок слагаемых, то есть в сумму входят, например, и P(«t, гаг, газ), и Р(п2, п3, rat). Для доказатель- ства надо рассмотреть все « размещения из элементов трех типов и разбить их на классы одного и того же состава (то есть брать размещения с одним и тем же числом элементов первого типа, вто- рого типа и третьего типа). Вообще, имеет место равенство 2 р («>.......«*) =О4) Л1+ ... +лй = л где сумма распространена на все разбиения числа га на k слагае- мых (с учетом порядка слагаемых). А теперь рассмотрим /n-сочетания с повторениями, составленные из элементов п + 1 типов, скажем из^л + 1 букв а, Ь, с, ..., х. Число таких сочетаний равно Сл+1= =С„™ т. Разобьем все эти сочетания на классы, отнеся к k-му классу сочетания, в которые k раз входит бук- ва а. Остальные tn — k мест могут быть заняты остав- шимися буквами Ь, с, ..., х, число которых равно п. Поэтому в k-й класс входит столько сочетаний, сколько можно составить (т — k)-сочетаний с повторениями из элементов п типов, то есть Значит, общее число всех сочетаний равно Сп+т-1 ••• Ч-Сл Н-Сл-Ь С другой стороны, мы видели, что это число равно Сл+От, Таким образом,, доказано равенство Сп-1 + Сп -|- Cn+i + .,. Cn+m_i = Сп+т. (15) Заменяя здесь п на п+ 1 и т на т — 1 и используя ра- венство (10), получаем, что Cn~h Сл+г4~ ... + Сп+т-1 = С„+т- (16) 54
(17) (18) (19) 12^224- ... 4- Частными случаями формулы (16) при п=1, 2, 3 являются 1 + 2+ ... +т=т.(т2+Л, 1.24- 2.34- ... 4m(m+l)= w(w + ^("*+?-)-, l-2.34-2-3.44- ... 4-m(m4-l)(m4-2) = _ т (т 41) (т 4 2) (т 4~3) — 4 С помощью формул (17) — (19) легко найти сумму квадратов и сумму кубов натуральных чисел от 1 до т. Формулу (18) можно переписать так: 124-224- ... 4-т24-14-24- ... 4-т = __ т (т +1) (т -|-2) з • Но по формуле (17) 14-24- ... -\-т = "*<” + 1), и потому т (т 41) (т + 2) m(m-|-l)_ 3 2 ~ m (m 4-I) (2m +1) . Точно так же из формулы (9) выводим, что 134-234- - - 4 m3 = -^^i^-. (21) Предоставляем читателю получить .таким образом фор’ мулы для сумм более высоких степеней натуральных чисел. /n-сочетания с повторениями из элементов п типов можно расклассифицировать, взяв за основу число эле- ментов различного типа^ входящих в данное сочетание. Иными словами, в первый класс войдут сочетания, со* стоящие из одинаковых элементов, во второй — из эле- ментов двух типов, ..., в п-й — из элементов всех п ти- пов (разумеется, если т<_п, то получится лишь т клас- сов). Подсчитаем, сколько сочетаний входит в каждый класс. Выбор сочетания, принадлежащего &-му классу, 55
можно сделать в два этапа. Сначала выберем, какие именно k типов элементов входят в сочетание. Так как общее число типов равно л, то этот выбор можно еде-* лать Сп способами. А после того, как типы уже вы- браны, нам предстоит составить те /n-сочетания с по- вторениями из элементов этих k типов, в которых все эти k типов представлены. А мы доказали (см. стр. 51), что число таких сочетаний с повторениями равно Cm-k — 1 По правилу произведения отсюда следует, что в k-й класс входит CknCkm\ сочетаний. Складывая числа сочетаний каждого класса, получим общее число /п-со- четаний с повторениями из элементов п типов, то есть Ст+п-ъ Тем самым доказано равенство CicLi-h Cfcm-i + • • • + СппС"т~-\ = (22) Если /п<л, то последним членом в сумме будет СдСт-р Полученное равенство удобнее переписать ина- че, заменив в каждом слагаемом С« на Мы по- лучим СП — 1х>0 । z-»/l—2z-»l । | —1 — 1 /OQ\ п р ... — Здесь в каждом слагаемом слева сумма верхних индек- сов равна п — 1, а нижних п + т — 1. При этом нижние индексы постоянны, а верхние меняются. Иначе это ра- венство можно записать так: СОх-»ги । z"»l z-»m— 1 । । z-»niz-»O z-»m p^n-p T ^p^n-p T . ' ' “Г ^n-p — ) Сейчас мы выведем аналогичную формулу, в кото- рой при суммировании меняются и нижние индексы. Для этого возьмем р различных гласных букв и п — р различных согласных букв и составим из них всевоз- можные /n-сочетания с повторениями. Разобьем эти со- четания на классы, отнеся к k-му классу сочетания, со- держащие k гласных и т — k согласных букв. Подсчи- таем число сочетаний, входящих в k-й класс. Каждое сочетание этого класса разбивается на ^-сочетание (с повторениями), составленное из р гласных букв, и (т —/г)-сочетание (с повторениями), составленное из п — р согласных букв. Поэтому в k-й класс входит 56
Cfe+p-lCm+n-p-k-l сочетаний. Следовательно, общее чис- ло рассматриваемых сочетаний равно СО । z-»l 1 । । z-»0 p-v^m+n-p-1 "Т* Ьр^т+п-р-2 "Т* • * * "Т* С другой стороны, эти сочетания дают всевозможные /n-сочетания с повторениями из элементов п различных типов, а потому их число равно Cm+л-ь Мы приходим к тождеству СО । z-»l 1 । p-lbm+rt-p-1 “Г bpGm+n-p-2 “Г ... -I- Cm+p-iCn~p-l — Cm+n-1' (24) Перепишем это тождество так, чтобы при суммировании менялись лишь нижние индексы. Для этого надо ко всем членам применить тождество С? = Сгг~9- Мы получим । f>P~ । '-'p-l'-'m-b п-р-1 “Г ^Р ^т+п-р-2 “|“ »»» + z-»p —1 — р— 1 _ Z-»/l— 1 '-'m+p-l'-'rt-p-l — т-\ п-1 • Эту формулу можно иначе переписать следующим об- разом •): с?с"-4+^+1С"-4-1+ 4-c^_n+pC"z^ = c"++1i. (24') Мы видим, что здесь при суммировании верхние ин- дексы остаются постоянными, а нижние меняются, при- чем сумма верхних индексов равна п, а нижних т. Отметим частный случай полученной ранее форму- лы (23). Если положить в ней п — р = т, то получим с°рс°т+с1рс1т + ... + =с;+т. (25) В частности, при р = т имеем равенство (С°)2 + (С‘)2+ ... + (С^)2 = С?1р. (26) Полученные тождества можно обобщить. Для этого рассмотрим совокупность, состоящую из элементов q типов: nt элементов пер- вого типа, п2 элементов второго типа, ..., пк элементов А-го типа, причем элементы одного типа отличны друг от друга (например, тип определяется цветом предмета, а предметы одного цвета имеют различную форму). Будем составлять из элементов этой совокупности всевозмож- ные «-сочетания и классифицировать их по составу, то есть по числу *) Мы заменяем р на р-1-1, п на п+2 и т на т — п. 57
элементов первого, второго, ..., q-ro типов. Таким образом, ка- ждый класс характеризуется натуральными числами (mi, m2......... ..., mq), удовлетворяющими неравенствам Он состоит из т\ элементов первого типа, т2 элементов второго типа, ..,, mq элементов q-ro типа, причем mi + m2+ ... + mq — m. Мы будем обо- значать такой класс A(mIt ..., mq). Из правила произведения вытекает, что в класс A (mi.....mq) входит сочетаний. Суммируя числа сочетаний по 1 2 q всем классам, получаем тождество 2 стп< = стп. (27) где n=tii+n2+ ... +nq, а суммирование распространено па всевоз- можные комбинации натуральных чисел (яц, т2, ..., mq), где И|+т2+ •.. + «« = «. Если брать сочетания с повторениями, то получаем аналогичное тождество Уб"' l=C»4.m 1- (28) п^+т^ — 1 л2+т2—1 nq+mq~1 п+т—г \ ' где также п=п14-п24- ... 4-ng, а суммирование ведется по тем же комбинациям чисел (тъ т2, .... mq). Еще одно свойство сочетаний устанавливается так. Мы имеем тождество CknC^kk = CkmC^. (29) Это тождество легко проверяется комбинаторно. Для этого надо взять п. различных элементов, выбрать из них k элементов, а из оставшихся п — k элементов выбрать еще т — k. Таким путем получится /«-сочетание. из «-элементов. При фиксированном k этот процесс можно провести CnCnZk способами. Нетрудно проверить, что при этом каждое из С™ сочетаний получается при С„ способах. Отсюда и вытекает равенство (29), Запишем тождество (29) при k=0.....т и сложим получающиеся равенства. Так как по формуле (12) С^ + 0^4- ... 4-С™ = 2т, то получаем, что рОрт I plpm-l | I ртрО _____птрт ИЛИ СОf>n-m » л!лл-и . । fymfyn-m__ 58 (30)
Частный случай формулы включений и исключений Многие свойства сочетаний выводятся на основе формулы включений и исключений (см. стр. 25).Нам по- надобится частный случай этой формулы. Пусть число N(at ... as) элементов, обладающих свойствами ai, ... ..., ай, зависит не от самих этих свойств, а лишь от их числа, то есть, пусть W(«i) = ••• =^(a„), AZ (a^) = TV (а^з) = ... = AZ(a„_1a„), N(а^аз) = N(a^cq) = ... = N и т. д. Тогда в сумме M(ai) + ... +M(an) все слагаемые равны одному и тому же числу, которое мы обозначим М” Поскольку в этой сумме п слагаемых, то она равна /гАТ(1) = C^N^. Точно так же доказывается, что N (ад) + N (ащ3) + ... -J- N (a„_ ia„) = C2TV(2), где N^ = N (aia2), и, вообще, N(ащ2 ... a*)+ ... 4-2V(a„_ft+i ... a„) = CknNw (31) (ясно, что сумма (31) распространена, естественно, на все возможные сочетания k свойств из и). Поэтому в рассматриваемом случае формула вклю« чений и исключений принимает вид N® = N — C'nN™ 4- C2TV(2) — ... + (—1)"С"УЛ). (32) Знакопеременные суммы сочетаний А теперь перейдем к выводу дальнейших свойств со« четаний. Эти свойства похожи на доказанные .ранее, но отличаются от них тем, что знаки слагаемых меняются — после плюса идет минус, потом опять плюс и т. д. Простейшей из таких формул является С°-С* + С2- ... +(-1)"С" = 0. (33) 59
Это тождество вытекает из равенства (11). Для дока- зательства надо заметить, что Сд=С^_1 = 1. Заменим первое слагаемое на C°-i и заметим, что по формуле (11) С°_1 — Cl„ =— CLi- Далее, имеем —C1„_i-\-C2n=C2n-i и т. д, В конце концов все слагаемые взаимно уничто- жатся. Эту формулу можно доказать комбинаторно. Выпишем все со- четания из п элементов а1; .... ап и сделаем следующее преобразо- вание: к сочетанию, не содержащему букву оч, припишем эту букву, а из сочетаний, куда она входит, вычеркнем ее. Легко проверить, что при этом снова получатся все сочетания и притом по одному разу. Но при этом преобразовании все сочетания, имевшие четное число элементов, превратятся в сочетания, имеющие нечетное число элементов, и обратно. Значит, сочетаний с четным числом элементов столько же, сколько и с нечетным числом (мы включаем в рассмо- трение и пустое сочетание, совсем не содержащее элементов). Это и выражается формулой (33). А теперь докажем более сложную формулу СО 1 />2/>и- 2 1 / i\rns>rns>0 _ л^л — — ••• “Г (—U ^л ^л-т — V. (34) Для доказательства рассмотрим /n-сочетания из п элементов ..., ап. Обозначим через (а^ ..., ак) свойство сочетания, заключающееся в том, что в это со- четание заведомо входят элементы ait ..., ак. Число A(ai, ..., ак) таких сочетаний равно C’„Zk (в них k мест заняты элементами ait ..., ак, а на оставшиеся т — k мест есть п — k претендентов). Общее число со- четаний равно С™, а сочетаний, не обладающих ни од- ним из свойств (ai)...... (an), не существует (в каждое /n-сочетание входят какие-то элементы). Поэтому в на- шем случае N = C%, N(a} = Q) N(k =C™Zk- Подставляя эти значения в формулу (32), приходим к тожде- ству (34). Точно так же доказывается соотношение СО х>1х>л1—1 ; х-»2х>л1—2 ______ л'-'л + m-1 '-'л'-'л+т-2“1“ '-'л'-'л+т-З • ♦ • ... +(—lfCXmZi =0, если С^С'^ - С‘С^_2 4- ... + (-1)т да°„_1 = 0, (35) если т < п. 60
Именно, рассмотрим /n-сочетания с повторениями из элементов п сортов а2........ап и обозначим через (as), 1 k п, свойство сочетания, заключающееся в том, что среди его элементов есть элементы сорта ah (и, быть может, элементы других сортов). Тогда N (ai... as)—число сочетаний, в которые заведомо входят элементы сортов яь ..Яй. Из каждого такого сочетания можно удалить по одному элементу сортов Я1, ..., Яй. В результате получится некоторое (т — k)~ сочетание с повторениями из элементов п сортов яь ... ..., ап. При этом, обратно, добавляя к (т — k) -сочета- нию с повторениями из элементов сортов яь ..., ап по одному элементу сортов яь ..., Яй, получим /п-сочетание, в котором заведомо представлены сорта яь ..., Яй. От- сюда вытекает, что число N (яь ..., Яй) равно числу (т — k)-сочетаний с повторениями из элементов п сор- тов, то есть N(a-i, a^ — Cn+m-k-i- Далее, общее число /n-сочетаний с повторениями равно С™+т_ь а со- четаний, не обладающих ни одним из свойств (яй), 1 k п, не существует. Подставляя найденные значе- ния М°)=0, 2V = C™+ra_i, = Cn+m-k-i в формулу (32), приходим к тождеству (35). Наконец, докажем тождество пт-С\{п~ 1)т+ Сп(п — 2)т — ... ... +(—l)"'1^-1 • lm = 0, (36) справедливое при т<п. Для этого рассмотрим /n-размещения с повторения- ми из элементов п сортов и обозначим через (я/;) свой- ство размещения, состоящее в том, что в него не входят элементы сорта Яй. Тогда ah) — число /п-ра.з- мещений с повторениями, не содержащих элементов сор- тов яь ..., Яй, то есть состоящее из элементов п — k сортов Яй+1.... ап- А число таких размещений равно (и— k)m. Таким образом, NW = N(al, ..., яй) = (я — k)m. Общее число размещений равно пт. Наконец, размещений, не обладающих ни одним из свойств (fli).. (яп), не существует. В самом деле, если размещение не обладает ни одним из свойств (я/,), то оно содержит элементы всех п сортов. А это невоз- можно, так как число т элементов в размещении 61
меньше, чем п. Поэтому М°>=0, и мы приходим к тож- деству (36). Мы доказали здесь целый ряд соотношений для чисел С*. Их можно доказать и другими способами. В главе V мы расскажем о геометрическом способе до- казательства таких соотношений, а в главе VII изложим самый сильный метод доказательства — метод произво- дящих функций. Этим методом можно доказать не только все соотношения, приведенные в этой главе, но и целый ряд других интересных соотношений.
ГЛАВА III КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ До сих пор мы рассматривали задачи, в которых на порядок элементов в комбинациях не накладывалось никаких дополнительных условий. Либо (как в разме- щениях и перестановках) допускался любой порядок элементов, либо (как в сочетаниях) порядок совсем не учитывался. Сейчас мы разберем задачи, в которых на порядок элементов налагаются некоторые ограничения. Львы и тигры Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров; при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он мо- жет расположить зверей. Поставим сначала всех львов так, чтобы между каждыми двумя львами был промежуток. Это можно 63
сделать 5! = 120 способами. Число промежутков равно 4. Если присоединить к ним еще два места — впереди всех львов и позади них, то получится 6 мест, на которые можно поставить тигров, причем никакие два тигра не окажутся рядом друг с другом. Так как порядок тигров существен, то число способов их расстановки равно числу размещений из 6 по 4, то есть Ле = 360. Комби- нируя каждый способ расстановки львов с одним из спо- собов расстановки тигров, получаем 120-360=43 200 способов вывести хищных зверей на арену. Если бы у дрессировщика было п львов и k тигров, - гл лк п! (п -4-1)! то он мог бы решить задачу а>пЛд!.1= спосо- бами. Это возможно лишь при условии, что й^п+1 — иначе два тигра обязательно окажутся рядом. Постройка лестницы Строится лестница, ведущая из точки А в точку В (рис. 8). Расстояние АС равно 4,5 м, а расстояние СВ — 1,5 м. Высота каждой ступеньки равна 30 см, а ее ши- рина — целое кратное 50 см. Сколькими способами мо- жно построить лестницу? А Рис. 8. Из условия видно, что лестница должна иметь 5 сту- пеней. При этом так как 4,5 :0,5 = 9, то имеется 10 мест, где можно устроить ступеньку. Таким образом, надо из 10 мест выбрать 5 мест. Это можно сделать С1° = У13Г = 252 способами. Вообще если должно быть k ступенек, а на длине АС умещается п ступенек, то лестницу можно построить Cn+i способами. Эта задача похожа на задачу об укротителе: укро- титель не хотел ставить рядом двух тигров, а строитель 64
лестницы не может делать ступеньки двойной высоты. Но между этими задачами есть существенное отличие. Укротителю был важен порядок, в котором шли тигры, одно дело поставить впереди всех тигра Шаха, а дру- гое— тигра Акбара. А для строителя лестницы все ме- ста, где есть подъем, одинаковы. Кроме того, укроти- тель должен был учитывать и порядок расположения львов, а для строителя лестницы все места, где можно сделать подъем, одинаковы. Поэтому выбор у строителя лестницы меньше, чем у укротителя. Если бы лестница имела высоту 1,2 м и длину 2,5 м, то было бы 4 сту- пеньки и 6 мест, где их можно сделать. И ответ был бы Се =15. А у укротителя в точно таком же случае полу- чилось 43 200 вариантов. Это и понятно — он мог пере- ставлять между собой 5 львов 5! = 120 способами и 4 тиг- ров 4! = 24 способами, а всего 120-24 = 2880 способами. А 15-2880=43 200. Задачу о лестнице можно сформулировать следую- щим образом; Сколькими способами можно расставить п нулей и k единиц так, чтобы никакие две един'ъщы не стояли рядом? В самом деле, каждую лестницу можно зашифровать последовательностью нулей и единиц: нуль означает ме- сто, где ломаная идет вправо, а единица — место, где она идет вверх. Например, для лестницы, изображенной на рис. 8, получаем последовательность 100101001010010. При этом, так как ступенек двойной высоты на лест- нице нет, в последовательности не могут идти две еди- ницы подряд. Таким образом, число последовательно- стей из п нулей и k единиц, в которых никакие две еди- ницы не идут подряд, равно числу лестниц, то есть C*+i- Книжная полка . На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими спосо- бами можно выбрать из них-5 кни'г так, чтобы никакие две из них не стояли рядом? Эта задача сводится к только что решенной. Зашиф- руем каждый выбор книг последовательностью нулей и единиц. Именно, каждой оставленной книге сопоставим 0, а каждой взятой— 1. В результате получится после- довательность из 5 единиц и 7 нулей. При этом, так как 5 Н. Я- Виленкин 65
нельзя брать стоящие рядом книги, то в полученной последовательности не будет двух идущих подряд еди- ниц. Но число последовательностей из 5 единиц и 7 ну- лей, в которых никакие две единицы не стоят рядом, равно Се = 56. Вообще, если на полке стоит п книг и выбираются k книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом, то это можно сделать C*_*+i способами. Отсюда видно, что задача разрешима лишь при 2k—1 Рыцари короля Артура За круглым столом короля Артура сидят 12 рыца- рей. Из них каждый враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить заколдованную принцессу. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных рыцарей не было врагов? Эта задача похожа на задачу о книжной полке, но отличается от нее тем, что рыцари сидят не в ряд, а по кругу. Но ее легко свести к случаю, когда рыцари си- дят в ряд. Для этого возьмем какого-нибудь рыцаря, скажем, сэра Ланселота. Все выбираемые комбинации рыцарей распадаются на два класса — в одних из них участвует сэр Ланселот, а в других нет. Подсчитаем, сколько комбинаций входит в каждый класс. Если сэр Ланселот отправляется освобождать за- колдованную принцессу, то ни его сосед справа, ни его сосед слева уже не примут участия в этой экспедиции. Остаются 9 рыцарей, из которых надо выбрать 4 спут- ников для сэра Ланселота. Так как соседи Ланселота не участвуют в экспедиции, то надо лишь проследить, 66
чтобы среди выбранных 4 рыцарей не было врагов, то есть чтобы никакие два из них не сидели рядом. Но исключение сэра Ланселота и его двух соседей разры- вает цепь рыцарей, и можно считать, что они сидят не за круглым столом, а в один ряд. А в этом случае вы- брать 4 рыцарей из 9 требуемым образом можно Съ = 15 способами. Итак, в первый класс входит 15 комбинаций. Теперь сосчитаем, сколько комбинаций входит во вто- рой класс. Так как сэр Ланселот не участвует в экспе- диции, то его можно сразу исключить из числа рыцарей круглого стола. А тогда цепь рыцарей и их взаимоот- ношений разрывается, и остаются 11 рыцарей, располо- женных в ряд. Из них надо выбрать 5 участников экс- педиции так, чтобы среди выбранных не было двух си- дящих рядом. Это можно сделать С? = 21 способами. Таким образом, общее число способов равно 15 + 21=36. Вообще, если за круглым столом сидят п рыцарей, и надо выбрать k рыцарей так, чтобы в их число не по- пали никакие два соседа, то это можно сделать Cn-k способами. Это утверждение доказывается точно так же, как и выше. Все комбинации рыцарей разбивают на два клас- са в зависимости от того, участвует или нет в них ры- царь Ланселот. Комбинаций, где он участвует, будет а комбинаций, в которые он не входит, С*-*. Легко проверяется, что Ck — 1 | _____ fl n-k-\ ~r ^n-k — n_ Например, при n= 12, k=5 получаем Д .C? = ~-21=36. Девушка спешит на свидание Когда-то на экранах страны шла кинокомедия под таким названием. В ней рассказывалось о злоключе- ниях двух курортников, забывших дома паспорта. Им решили выслать паспорта по почте. Но девушка из поч- тового отделения спешила на свидание и в спешке пе- репутала конверты — паспорт одного лег в конверт с ад- ресом другого, а паспорт другого — в конверт с адресом 5* 67
первого. Хорошо, что ей не пришлось одновремен- но обрабатывать 5 пи- сем— тогда не двоим, а пятерым несчастным при- шлось бы ночевать на же- стких скамейках курорт- ного парка... Впрочем, это не сов- сем так, ведь случайно опа могла бы положить некоторые из паспортов в нужные конверты. Подсчи- таем, во скольких случаях она сделала бы полную пута- ницу, то есть так, что никто не получил бы своего па- спорта. Эту задачу можно сформулировать следующим об- разом. Берутся все перестановки из 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5. Во скольких из них ни одно число не стоит на своем месте? Решение проводится методом включения и ис- ключения (см. стр. 25). Обозначим через (а) свойство перестановки, заключающееся в том, что число а стоит на своем месте, а через Na обозначим количество пере- становок, обладающих этим свойством. Точно так же через Na$ обозначим количество перестановок, одновре- менно обладающих свойствами (а) и (0), то есть таких, что наир стоят на своих местах. Аналогичный смысл имеют обозначения jVapY и т. д. Наконец, через М0) обо- значим число перестановок," не обладающих ни одним из свойств (1), (2), (3), (4), (5), то есть перестановок, в которых ни одно число не стоит на своем месте. По формуле включений и исключений имеем Лло) = Лг_д7 N N N N +N + ... k 4 О 1 О 1 1Л 1 •••4 M45 — Nl23— ... — A^is-b -4" M234+ • • • 4- ^2315 ^12315’ (1) где N — Ps—общее число всех перестановок пз 5 эле- ментов (см. стр. 26). В данном случае задача облегчается тем, что свой- ства (1), (2), (3), (4), (5) совершенно равноправны. Поэтому ясно, что А\ = Л^= ... =N5. Точно так же имеем Ni2=^23= ...=Ni5 — ведь все равно, остаются на своих местах числа 1 и 2 или числа 3 и 4. Но число пар, кото- 68
рые можно выбрать из чисел 1, 2, 3, 4, 5, равно Cl (свойства (1,2) и (2,1) совпадают, и потому порядок выбираемых чисел в паре нас не интересует). Точно так же имеем С| троек, С* четверок и Cs пя- терок. Поэтому формулу (1) можно переписать так: 7V'0) = JV — Сз№’ 4- cl№2) — ctv3) 4- Сз V”1’ — GIN'*1. (2) Здесь для краткости через N(k'i обозначено количе- ство перестановок, в которых заданные k чисел оста- лись на своих местах. Для того чтобы закончить реше- ние задачи, нам осталось найти значения k = = 1.2, 3,4, 5. Через М‘) обозначено количество перестановок, в ко- торых осталось на месте данное число, например 1. Но если число 1 остается на своем месте, то остальные числа можно переставлять друг с другом Р4 = 24 спосо- бами. Значит, М‘) = р4. Точно так же, если на месте остаются числа 1 и 2, то оставшиеся три числа можно переставлять друг с другом Р3=6 способами. Поэтому ДД2) = Р3=6. Аналогично получаем, что N^ = P2 = 2, = \ и дг(5)=ро = 1. Подставляя полученные значения ЛЛ2>, М3), ЛЛ4>, М3> в формулу (2), находим, что JV(0) = р5 — С\Р. 4 С|Рз — C'tPi 4- С-А — Ch’Po = = 120 — 5 - 24 4- 10-6- 10 - 24-5- 1 — 1 •1 = 44. Итак, в 44 случаях из 120 ни один из адресатов писем не получил бы своего паспорта. Совершенно так же можно найти, во скольких слу- чаях ровно один адресат получит свой паспорт. Если этим счастливцем окажется первый адресат, то все остальные 4 получат чужие паспорта. Это может прои- зойти А - С\Р3 4 С1А - С^Рх 4- С44А = 9 способами. Но так как счастливцем может оказаться любой из адресатов, то общее число способов, при ко- торых в точности один человек получит адресованное ему-письмо, равно 5 9=45. 69.
Проверьте сами, что в точности двое получают свое письмо в 20 случаях, трое — в 10 случаях, четверо — в 0 случаев и пятеро — в 1 случае. Результат для чет- верых объясняется тем, что если четверо получают ад- ресованное им письмо, то и оставшееся письмо напра- влено по правильному адресу. Итак, 120 различных перестановок из 5 элементов распадаются на 44 перестановки, в которых ни один элемент не остается на месте, 45 перестановок, в кото- рых ровно один элемент не меняет своего положения, 20 перестановок, в которых не меняют положения два элемента, 10 перестановок, не меняющих положения трех элементов, и 1 перестановку, при которой все эле- менты остаются на своих местах. Сеанс телепатии Некоторые люди утверждают, что могут читать мыс- ли на расстоянии. Для проверки делались следующие опыты. В одной комнате поднимали в некотором по- рядке так называемые фигуры Зенера (рис. 9). Телепат должен был угадать, в каком порядке поднимались эти фигуры. Будем считать, что фигуры поднимаются без повто- рений. Тогда общее число возможных перестановок этих фигур равно 5! = 120. При проведении сеанса выбирается одна из этих перестановок. Телепат называет другую перестановку этих фигур, и его успех тем больше, чем больше фигур он угадает. Из подсчетов, проведенных на стр. 69—70, вытекает, что при случайном угадывании результаты были бы примерно следующие: в 44 случаях из 120 не была бы угадана ни одна фигура, в 45 слу- чаях — одна фигура, в 20 случаях — две фигуры, в 10 70
случаях — три фигуры и в одном случае — все пять фи- гур. В среднем при случайном гадании число правильно названных фигур равно 45 + 20.2+10-3 + 5 _ , 120 — b то есть называется одна фигура из пяти. При п различ- ных фигурах в среднем должна угадываться одна фигу- ра из п. Если систематически угадывается большее чис- ло фигур, то надо тщательно изучить в чем дело — происходит ли (как часто бывает) жульничество или дей- ствительно данный человек обладает особыми способ- ностями. Выясним, изменится ли число угадываемых в сред- нем фигур, если допустить повторения. В этом случае вместо перестановок имеем размещения с повторениями. Но число таких размещений из п. элементов, при кото- рых ни один элемент не находится на своем «законном» месте, равно (п—1)п. В самом деле, на первом месте может быть любой из элементов, кроме первого, на вто- ром — любой из элементов, кроме второго, и т. д. Ины- ми словами, на каждое место имеем п. — 1 кандидатов. По правилу произведения выводим отсюда, что общее число возможных комбинаций равно (п— 1)п. Найдем, во скольких случаях на своем месте стоит в точности один элемент. Если свое место занимает, скажем, первый элемент, то остается еще п—1 мест, которые надо занять. При этом на каждое место претендуют п—1 кандидатов (все элементы, кроме 71
«законного владельца» этого места). Значит, число раз- мещений, в которых первый и только первый элемент стоит на своем месте, равно (п — l)"-1. Но так как на своем месте может стоять любой из п элементов, то число размещений, где не смещен в точности один эле- мент, равно га(н— 1)п-1. Совершенно так же доказы- вается, что число размещений, в которых не смещено ровно k элементов, равно С* (га — 1)л~*. Например, в случае пяти различных элементов полу- чаем следующий результат: число размещений с повто- рениями, в которых все элементы смещены, равно 45 = = 1024; размещений, где ровно один элемент стоит на своем месте, 5-44=1280; размещений, где ровно два элемента остались на своих местах, 10-43=640; три — 10 -42=160; четыре — 5-4 = 20 и пять—1 -4°=1. Всего имеем 1024 +1280 Н-640 + 160-Ь 20 Н-1 = 3125 размещений, что согласуется с формулой Д| = 5°’ = 3125. В среднем будет угадываться при случайном га- дании 1280-4-640 - 24-160.3 + 20.4-f-l-5 .3125 — Ь Ответ получился тот же самый — при случайном гада- нии можно угадать одну фигуру из пяти независимо от того, допускаются повторения фигур или нет. Однако распределение числа угаданных фигур будет уже иным. Оно указано в следующей таблице: Число угаданных фигур Без повторений С повторениями 0 0,366 0.328 1 0,375 0.410 2 0,167 0,205 3 0.083 0,051 4 0 0.006 5 0,009 0,000 72
Общая задача о смещении') Совершенно так же, как и разобранные выше задачи, решается общая задача о смещении: найти число Dn перестановок из п элементов, при которых ни один эле- мент не остается в первоначальном положении. Ответ дается формулой + ... -Н-1)ЯС" = Читатель, знакомый с теорией рядов, узнает в выражении, стоя- щем в скобках, частичную сумму разложения е*1. Обобщая формулу (3) на случай /г = 0, получаем, что естественно принять Da=\. Число перестановок, при которых ровно г элементов остаются на первоначальных местах, а остальные п — г меняют свое положение, выражается формулой Dlltr—CrnDn~r. (4) В самом деле, сначала надо выбрать, какие именно г элементов остаются на месте. Это можно сделать С„ способами. А остальные п — г элементов можно пере- ставлять после этого любыми способами, лишь бы ни один из них не занял первоначального места. Это можно сделать £>„_г способами. По правилу произведения по- лучаем, что общее число требуемых перестановок равно CnDn-r- Разобьем все перестановки на классы в зависимости от того, сколько элементов остаются неподвижными при данной перестанов- ке. Так как общее число перестановок равно п!, то получаем сле- дующее тождество: п п n\=^iDn,r=^lCrnD,^r. (5) г=0 г«0 Другое тождество, связывающее п\ и числа Dr, г, получается следующим образом. Возьмем все п! перестановок элементов ai, .... а„ и подсчитаем, сколько чисел во всех этих перестановках Этот пункт может быть пропущен при первом чтении. 73
осталось па своих местах. Этот расчет можно сделать двумя спо- собами. Во-первых, заметим, что если, например, элемент а, нахо- дится на своем месте, то остальные элементы можно переставлять Pn-i = (ti—1)1 способами. Поэтому в (л—1)! перестановках эле- мент ai находится на первом месте. Точно так же в (п—1)! пере- становках элемент а2 находится на втором месте и т. д. Всего по- лучаем п(п—1)!=л! элементов, находящихся на своих местах. Но чюло этих элементов можно подсчитать и иначе. Число перестано- вок г-го класса, то есть таких, что в них г элементов находится на своих местах, равно Dn,r. Каждая такая перестановка дает нам г неподвижных элементов, Поэтому общее число неподвижных эле- ментов в перестановках r-го класса равно rDn, г и всего получаем л ^rDn.r неподвижных элементов. Тем самым доказано тождество г«0 т п «! = 2г£>„,г=2гГл£>л_г. (5') г=0 г=0 Формула включения и исключения позволяет решить и такую задачу: найти число перестановок из п элемен- тов, при которых данные г элементов смещены (а осталь- ные могут быть как смещены, так и оставаться на ста- рых местах). Ответ дается формулой пЛ — С'(п— 1)1 + С’(/г — 2)!— ... +(—1)г(/г —г)1. (6) Субфакториалы ') Некоторые авторы называют числа Dn субфактори- алами. Эти числа имеют много общих' свойств с обыч- ными факториалами. Например, для факториалов вы- полняется равенство п\ = (п- 1) [(/г—1)!+ (« —2) 1]. (7) В самом деле, (/г— 1)[(/г— 1)! + (/г — 2) !] = («— 1)(/г — 2) !« = «!. Покажем, что это же равенство верно и для субфак- ториалов Dn, то есть, что 2Эя = (/г — 1 )[£>„-!-|-£>я_2]. (8) Для этого заменим Dn-i и Дп-2 их разложениями по ') Этот пункт может быть пропущен при первом чтении. 74
формуле (3). Мы получим, отделяя в выражении Dn~i последнее слагаемое, что («-1)Рл_1 + £>я-2]=(«-1)[(«-1)! + («-2)!]Х x[i — тг + 4г— 1т+ ••• + (л — 2)! ] + (—1)""1 “1 ) Но по формуле (7) (га — 1)[(га— 1)! -J-(ra — 2)!] = га!. Кроме того, Поэтому (га — 1 )[£>„-! + Z3>„_2] = = ralL _ _L + _L___L_ ,,+.(-Пя~2.- L 1! 2! 3! (л —2)! (-I)"-1 (-1)" ' (п — 1)! п\ Доказанное соотношение (8) можно, следуя Эйлеру, вывести с помощью чисто комбинаторных рассуждений. Рассмотрим все пе- рестановки, в которых все элементы смещены. Первое место в таких перестановках может занять любой элемент, кроме первого. Так как число оставшихся элементов равно п—1, то Dn перестано- вок разбито на л — 1 групп в зависимости от того, какой элемент занял первое место. Ясно, что во всех группах будет поровну эле- ментов. Сосчитаем, сколько элементов в одной из этих групп, скажем в той, где первое место занял второй элемент. Эта группа разби- вается на две части: те, в которых первый элемент стоит на вто- ром месте, и все остальные. Если первый элемент занял второе ме- сто (а второй, как мы помним, — первое место), то оставшиеся п — 2 элементов можно переставлять любым образом, лишь бы ни одни из них не занял своего места. Это можно сделать Dn_2 спо- собами. Значит, первая часть состоит из Dn-z перестановок. Покажем, что вторая часть состоит из £>n-i перестановок. В са- мом деле, во вторую часть войдут все перестановки, в которых пер- вый элемент не стоит на втором месте, а остальные элементы не находятся на своих местах. Если .временно считать второе место «законным» для первого элемента, то получится, что первый, тре- тий, четвертый, ..., л-й элементы не находятся на своих местах. Так как число этих элементов равно п — 1, то во второй части D„-i перестановок. Но тогда вся группа состоит из Dn-i+Dn-i перестановок. Так как все множество смещающих перестановок со- стоит из (п— 1)-й группы, то в него входит'(л — 1)[Рп-2+Дп-11 перестановок. Тем самым доказано равенство (8). 75
Из формулы (8) вытекает, что Dn - nDn_. = - [Dn_, - (п- 1)£>„_,]. Поэтому при изменении п выражение D.n — nDn_\ только меняет знак. Применяя это соотношение несколько раз, получаем, что Но £>2=1, a £>i = 0, и поэтому Dn = nDn_, + (-1)". (9) Эта формула напоминает соотношение п'.=п(п — 1)! для факториалов. Выпишем значения субфакториалов для первых ^на- туральных чисел п Dn п Dn п Dn п D,t 1 0 4 9 7 1854 10 1334 961 2 1 5 44 8 14833 11 14684 570 3 2 6 265 9 133496 12 176214841 Караван в пустыне По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешест- вие длится много дней, и наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда. Сколькими спо- собами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой, чем раньше? Такие перестановки наверняка существуют. Напри- мер, можно переставить всех верблюдов в обратном по- рядке, так что последний окажется первым и т. д. В об- щем, как гласит арабская поговорка, «когда караван по- ворачивает назад, хромой верблюд оказывается впереди». 76
Для решения задачи перенумеруем верблюдов в пер- воначальном порядке от конца каравана к началу числа- ми 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, последний верблюд получает помер один, предпоследний — помер 2 и т. д. Нам нужно найти все перестановки из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в которых не встретится ни одна из пар (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9). Для решения задачи снова используем формулу включе- ний и исключений. Сосчитаем сначала, во сколько перестановок входит пара (1, 2). Мы можем считать в таких перестановках эту пару за один элемент. Поэтому общее число элемен- тов будет не 9, а 8 и число перестановок,4 содержащих (1, 2), равно /%• Тот же результат получаем для всех 8 пар. Теперь рассмотрим перестановки, содержащие дан- ные две пары. В этом случае объединяем элементы, вхо- дящие в каждую из этих пар. При этом если обе пары содержат один и тот же элемент (например, пары (1,2) и (2, 3)), то объединяем все три элемента. В противном случае (например, для пар (1, 2) и (5, 6)) объединяем элементы по два. В обоих случаях после объединения по- лучится 7 новых элементов (часть из них является парой или тройкой первоначальных), которые можно перестав- лять друг с другом Р7 способами. А две пары можно вы- брать из восьми С8 способами. Совершенно так же доказывается, что количество перестановок, содержащих данные k пар, равно /Vfe. При этом k пар можно выбрать С* способами. По формуле включений и исключений получаем, что количество пере- становок, не содержащих пи одной из заданных пар, равно 7*9 — С^Рй + С3Р7 — С3Р3 4- С3Р3 — - с1р<+с1р3 - dp, + clPj = = 8i [9___-4- —____-4-—______- I- L 11^2! 3! 4! 5! + i)-7r + jr] = 148329.’ Совершенно так же доказывается, что количество перестановок из п чисел 1, 2, 3, .... п, не содержащих ни 77
одной из пар (1, 2)-, (2, 3). (п—1, п), выражается формулой Еп — Рп — Cn-iPn-i + Сд-гРд-г — -С^^л.зН- ... +(-1)л-1СГ1Л = / 1 \ । Г„ п— 1 , п — 2 п — 3, . (— 1)л-11 (« 1)![га 1( + 2! 3! + • ‘ (п — 1)’]* (Ю) Выразим полученный ответ через субфакториалы. Для этого разобьем каждое слагаемое в правой части на два: (-l)ft (n-k) _ (-l)fen (-I)6-1 k\ k\ "Г (A—1)! Мы получим, что £л = п![1-Т! Г 1 1 (— 1)л-2 (— 1)л-|1 l)t[l- —+ —- ... +<-^ + ±_>1ут] -L- - <—1)я~1 I (—0я~1 2! “И (n —1)! "г л! J (в обе скобки мы добавили по одному — последнему члену; очевид- но, что эти члены взаимно уничтожаются, так как после раскрытия скобок превращаются соответственно в (—1)" и (—I)"'1)- Но пер- вая скобка — это не что иное, как Dn, а вторая — не что иное, как Dn-i. Поэтому En — Dn-\-Dn_v (11) Итак, число перестановок из 1, 2, 3, ..., в которые не входит ни одна из пар (1, 2), (2, 3), ..., (п—1, п), равно Z)n + £>n-i. Совершенно так же доказывается, что количество перестановок из п элементов, в которые не входят задан- ные г^п— 1 пар, равно Рл-С>л-1 + С>л-2+ ... -Ь(-1)гС;Рл-г. (12) Иной ответ получится, если число запрещенных пар больше, чем п— 1. Пусть, например, кроме пар (1, 2), (2, 3), .... (п—1, п), в перестановки не должна входить и пара (n, 1). Рассуждая точно так же, как и выше, по- лучим, что ответ выражается формулой Fn = Pn- С\РП_j + С2„Р„_2-(-l)ftCknPn ... +(-1Г1СГ1Р1 = = /zi[l — -jj+yf • + (Л—1)1] = (13) 78
В самом деле, в этом случае число запрещенных пар равно п, а случая, когда в перестановку входят все п пар, быть не может. Ведь, например, если в перестановку вхо- дят пары (1, 2), (2, 3), .... (п—1, п), то первым эле- ментом является 1, а последним п и поэтому пара (п, 1) в перестановку не входит. Поэтому последний член в фор-> муле (13) равен(—1)л-1СГ1/’ь а не (-1 )л СЛРО = (—1 )л. Было бы интересно дать полученному ответу Fn = — nDn-t чисто комбинаторное обоснование. Катание на карусели На карусели катаются п ребят. Они решили пересесть таким образом, чтобы впереди каждого оказался другой, чем был раньше. Сколькими способами они могут это сделать? Эта задача похожа на решенную выше задачу о ка- раване. Но теперь число запрещенных пар равно п; должны отсутствовать пары (1, 2), (2, 3), ..., (п— 1, п) и (п, 1). Кроме того, перестановки, получаемые друг из друга пересадкой ребят по кругу, мы не будем считать различными — когда карусель закружится, их не разли- чишь. Поэтому из k элементов можно сделать лишь Pk-t—(k—1)! существенно различных перестановок. На- конец, в новой задаче могут быть перестановки, в кото- рые входят все п пар. Такой будет, например, исходная перестановка. Учитывая все эти обстоятельства, полу- чаем по формуле включений и исключений, что число ис- комых перестановок равно Qn = Pn-l—СпРп-2-]-СпРп-3— ... ... +(-1)л-1Сл-1Ро+(-1)лСл. (14) Легко проверить, что это выражение можно записать в виде Qn = Dn^- Dn_2 + Dn_3- ... +(-l)«-3D2. (15) В самом деле, из формулы (14) в силу равенства Ск— £«-1 = = Скп_\ следует, что при Qn + Qn-l-Pn-i-C'n-lPn^ + ^n-lPn^- ••• +(-1)Л. 79
а это выражение равно Dn-t (см. стр. 75). Таким образом, QB + +Qn-i=£)n-i. Кроме того, из формулы (14) вытекает, что Q>=0. Мы имеем, таким образом, что Qn + Qn~ i — Dn- -- Qn- 1 Qll-2 ~ ^П-2’ Q«-2~r Qn-3= Dn-3< (-1)л-3Рз = (-1)л“3£>2. Складывая эти равенства, приходим к соотношению (15). Очередь в кассу У кассы кинотеатра стоит очередь из m+k человек, причем пг человек имеют рубли, a k — полтинники. Билет в кино стоит 50 коп., и в начале продажи касса пуста. Скольими способами могут располагаться в очереди лю- ди с рублями и полтинниками, так, что очередь пройдет без задержки, то есть никому не придется ждать сдачи? Например, если /п = £ = 2, то благоприятными будут лишь два случая: прпр и ппрр, где п означает пол- тинники, а р — рубли. В четырех же случаях — р р п п, рпрп, рппр и пррп возникает задержка — в первых трех случаях уже первый зритель не сможет получить сдачи, а в последнем случае у кассы задержится третий зритель. При небольших значениях пг и k задачу можно ре- шить прямым перебором. Но если пг и k сравнительно велики, то прямой перебор не поможет. Ведь число 80
различных перестановок из пг рублей и k полтинников равно, как мы знаем, __ (т-f-k)\ т! k! Если, например, т = & = 20, то Р (20, 20) = 20,201 , а это число больше ста миллиардов. Выведем формулу, выражающую число искомых ком- бинаций через т и k. Нам надо, таким образом, найти число перестановок из т букв р и k букв п.^обладающих следующим свойством: для любого г, 1-^r^m+k, число букв п в первых г членах перестановки не меньше, чем число букв р (полтинников должно быть не меньше, чем рублей, иначе очередь застопорится). Ясно, что для разрешимости задачи необходимо, что- бы выполнялось условие tn^k, иначе очередь наверняка задержится — полтинников не хватит, чтобы дать сдачу всем владельцам рублей. Поэтому мы будет считать, что 0-^/п-Сй. Как и в некоторых других комбинаторных за- дачах, здесь выгоднее искать число «неблагоприятных» случаев, то есть случаев, когда очередь задерживается. Если мы найдем это число, то, вычтя его из числа Р(т, k) = Cm+k всех перестановок т букв р и k букв п, получим ответ для нашей задачи. Сейчас будет доказано следующее утверждение: число неблагоприятных случаев для перестановок из т букв р и k букв п равно Р(т—1, k-{-1) = Cm+L то есть числу всех перестановок из т—1 букв р и k+\ букв п. Это доказывается следующим образом. Возьмем любую не- благоприятную перестановку из т букв р и k букв п. Пусть очередь задерживается на каком-то месте. Тогда перед этим местом будет одинаковое количество букв пир (все полтинники уйдут на сдачу владельцам руб- лей), а на самом этом месте стоит буква р — иначе оче- редь благополучно прошла бы через него. Итак, номер места, на котором задерживается оче- редь, имеет вид 2s+1, а перед этим местом стоит s букв п и $ букв р. Поставим теперь впереди нашей переста- новки одну букву п (если очередь запротестует, то ска- жем, что это делается, чтобы облегчить размен монет). 6 Н. Я- Виленкин 81
У нас получится перестановка из tri букв р и А+1 букв п, причем первой буквой этой перестановки является п, а среди первых 2s + 2 букв поровну букв р и п (было s букв п и s + 1 букв р, мы добавили одну букву п и стало поровну). А теперь сделаем операцию, которая вызовет неудо- вольствие всех владельцев рублей и радость владельцев полтинников — на первых 2s + 2 местах у каждого обла- дателя рубля заменим его монету на полтинник, а .каж- дый полтинник заменим рублем. Например, если очередь имела вид п п р п р п р р п р рп п р п п р, то она задержится на месте, отмеченном буквой р. После того как впереди поставят букву п и произведут описан- ную замену, получится очередь вида рррпрпрппрппппрппр. Так как на первых 2s+2 местах было одинаковое количество рублей и полтинников, то после замены об- щее количество монет каждого вида не изменится, и мы получим перестановку из т букв р и &+1 букв п, причем теперь первой буквой станет р. Итак, мы сопоставили каждой «неблагоприятной» последовательности из пг букв р и k букв п последовательность из пг букв р и &+1 букв п, начинающуюся с буквы р. Покажем, что таким путем может быть получена лю- бая последовательность из т букв р и &+1 букв н, начи- нающаяся с буквы р. В самом деле, возьмем такую по- следовательность. Так как мы предполагаем, что mriji, то на каком-то месте число букв пир сравняется. Если заменить от начала до этого места включительно все буквы п на р, а все буквы р на п и отбросить первую букву п, то как раз получится неблагоприятная расста- новка рублей и полтинников в очереди. Очередь задер- живается на том самом месте, где в заданной последо- вательности впервые сравнялось число букв пир. Мы установили таким образом, что число неблаго- приятных расположений рублей и полтинников в очереди в точности равно числу всех перестановок из пг букв р и &-М букв п, начинающихся с буквы р. Если отбросить первую букву, то получатся всевозможные перестановки 82
из т— 1 букв р- и & + 1 букв п. А число таких перестано- вок равно с Итак, .число неблагоприятных перестановок равно + Так как число всех перестановок из т букв р и k букв п равно Ст+А, то число благоприятных перестано- вок выражается формулой Cm -1 k — т 1 pm /1 m + k '^mvk-— ь । j В частности, если k = m, то есть если в очереди одина- ковое количество рублей и полтинников, то она пройдет 1 k в у C2fe случаях и задержится в —у- Сг* случаях. Таким образом, чем больше k, тем меньше процент бла- гоприятных случаев. Наша задача полностью решена. Рассмотрим теперь другую, весьма близкую к ней задачу. Именно, предполо- жим, что кассир был предусмотрителен и в начале в кас- се лежало q полтинников. Во скольких случаях пройдет без задержки очередь, состоящая из tn обладателей руб- лей и k обладателей полтинников? Ясно, что если tn^.q, то очередь наверняка пройдет без задержки — полтинников, которые были в кассе с самого начала, хватит, чтобы удовлетворить всех вла- дельцев рублей. Если же tn^k + q, то очередь наверняка задержится — общего числа полтинников в кассе и в оче- реди не хватит, чтобы дать сдачу всем владельцам руб- лей. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда q < £ + <?. Можно считать, далее, что q полтинников появились в кассе потому, что в начале очереди поставили q новых людей, державших полтинники. Поэтому задачу можно переформулировать следующим образом: В очереди стоит k + q человек с полтинниками и ш человек с рублями, причем первые q мест занимают об* ладатели полтинников. Во скольких случаях никому не придется ждать сдачи? Эта задача решается точно так же, как разобранный выше частный случай <? = 0. Мы будем искать число 6* 83
неблагоприятных случаев. В каждом таком случае задерж- ка произойдет на человеке, впереди которого находится одинаковое количество ,s рублей и полтинников, а сам он держит в руках рубль. Поставим впереди очереди еще одного человека с полтинником и заменим у первых 2s+ 2 человек рубли на полтинники, а полтинники на рубли. У нас получится перестановка из т рублей и & + <7+1 полтинников, причем первые q+\ мест занимают рубли. При этом любая такая перестановка может быть един- ственным образом получена из неблагоприятного распо- ложения рублей и полтинников. Но первые д+_1 рублей можно отбросить и тогда получатся всевозможные пере- становки из m — q—1 рублей и k+q + \ полтинников. Число же таких перестановок равно Р(т — q — 1, k-\-q-{- +1) = Cm-VF1-Мы доказали, что в рассматриваемой за- даче Cm+V1 неблагоприятных перестановок. А так как общее число перестановок равно Ст+ь, то число благо- приятных перестановок дается формулой pm /17\ f k— '-'m + k • \L’J Использованный выше прием позволяет решить и мно- гие другие задачи. Например, используя его, легко по- лучить следующие результаты: Если m<k, то число перестановок из т букв р и k букв п, таких, что перед каждой буквой (кроме первой) стоит больше букв п, чем р, равно СГЧ — 1 k fit / 1 Q \ m-t k -1 + A-l » (lo) Рассуждение проводится точно так же, как и выше, только не надо добавлять в начале букву п. Эта формула верна при m<.k. Если же ni = k, то число перестановок с указанным свойством равно В этом можно убедиться следующим образом. Каждая такая перестановка должна начинаться буквой п и за- канчиваться буквой р. Если отбросить эти буквы, то по- лучится перестановка из k—1 букв р и k—1 букв п. Легко видеть, что для этой перестановки очередь прой- дет без задержек. Обратно, из каждой перестановки k — 1 букв п и k — 1 букв р, для которой очередь прохо- дит без задержек, получится путем прибавления в на- 84
чале буквы пив конце буквы р перестановка е нужным нам свойством. Но число перестановок из k—1 букв п и k — 1 букв р, при которых очередь проходит без за- держки, как раз равно Задача о двух шеренгах В комбинаторике часто бывает, что две весьма дале- кие на первый взгляд задачи сводятся одна к другой. Рассмотрим следующую задачу: Сколькими способами можно построить 2п человек разного роста в две шеренги по п человек в каждой, что- бы в каждой шеренге они стояли по росту, причем каж- дый человек в первой шеренге был выше стоящего за ним человека во второй шеренге? Покажем, что решение этой задачи сводится к уже решенному вопросу об очереди в кассу. Поставим людей требуемым образом в две шеренги и дадим всем стоящим в первой шеренге по полтиннику, а всем стоящим во вто- рой шеренге — по рублю, после чего выстроим всех по росту в одну колонну. Получится очередь из п облада- телей полтинников и п обладателей рублей. Из условия задачи следует, что эта очередь проходит без задержки. В самом деле, пусть кто-то занимает k-e место во второй шеренге. Тогда среди владельцев рублей лишь k— 1 выше него. А среди владельцев полтинников выше него по крайней мере k человек (стоящий перед ним и все стоящие по правую сторону). Поэтому, когда он подой- дет к кассе, там будет по крайней мере один полтинник, и сдача ему обеспечена. Обратно, пусть задана некоторая расстановка п чело- век с полтинниками и п человек с рублями, при которой очередь проходит без задержки. Не теряя общности, можно считать, что все 2п человек стоят по росту. Выбе- рем теперь всех обладателей полтинников и поставим их по росту в первую шеренгу, а обладателей рублей —во вторую шеренгу. Предоставляем читателю проверить, что полученное построение удовлетворяет условиям задачи. Отсюда следует, что возможных построений столько же, сколько благоприятных перестановок из п букв пип букв р, то есть С"п. 85
Новые свойства сочетаний *) Выведенные в предыдущих пунктах формулы позво- ляют установить дальнейшие свойства числа сочетаний Ст (см. стр. 52). Для этого разобьем на классы все «неблагоприятные» перестановки из т букв р и k букв п. Мы видели, что для таких перестановок очередь задер- живается на месте с номером 2s+4, причем перед ним стоит s букв р и s букв п, на нем стоит буква р, а оче- редь вплоть до Этого места проходит без задержки. От- несем к s-му классу все неблагоприятные перестановки, для которых задержка происходит на месте 2з+1.Ясно, что s может принимать значение 0, 1, 2, ..., т—1. Найдем, сколько перестановок входит в s-й класс. На первых 2s местах могут стоять любые благоприятные перестановки из s букв р и s букв п — ведь до места 2s +1 очередь не останавливается. Как мы видели, число таких перестановок равно —ттСй- Далее, на месте 2s+l s*r1 стоит буква р, а после нее — любая перестановка остав- шихся т — s— 1 букв р и k — s букв п. Число этих пере- становок равно Р(т — s—1, k — s) = • Таким образом, в силу правила произведения число неблаго- приятных перестановок s-ro класса равно 1 /->5 /->01—5-1 j । | b2sCm.f.ft-25-l • Так как общее число неблагоприятных перестановок равно Cm+k' а число классов равно т—1, то получаем при tn^k соотношение C0/->oi- 1 । 1 /->1/->т—2 । Obm + *_i-|--g- _з —|— _'m+i = C£4. (19) Это соотношение является частным случаем формулы т-1 ^2s-p J '-'m + k+p-2s—l— s-p где р<пг p + k (в первом слагаемом Cs считается равным нулю). Формула (20) доказывается так же, как ') Этот пункт может быть пропущен при первом чтении. 86
и (19), путем разбиения на классы неблагоприятных перестановок из т букв р и k+'p букв п, у которых в на- чале стоят р букв п (см. стр. 83). Теперь рассмотрим соотношения, получающиеся пу- тем разбиения на классы благоприятных перестановок, составленных из k букв р и k букв п. Число этих пере- становок равно После прохождения всей оче- реди в кассе вновь не будет ни одного полтинника — все они уйдут на сдачу. Однако для некоторых благоприят- ных перестановок и ранее возникают моменты, когда в кассе нет полтинников; только то обстоятельство, что следующий зритель дает полтинник, спасает очередь от задержки. Разобьем все благоприятные перестановки на классы, отнеся к s-му классу все перестановки, в кото- рых касса впервые не имеет полтинников на 2s-m месте, s = l, 2, ..., k. Найдем число перестановок в s-м классе. Каждая такая перестановка разбивается на две части. Первые 2s букв образуют перестановку из s букв п и s букв р, такую, что перед каждой ее буквой больше букв п, чем букв р (иначе выравнивание впервые произошло бы не па 2s-m месте, а раньше). Мы видели, что число таких перестановок равно уСгГЛ (см. стр. 85). После про- дажи первых 2s билетов полтинников в кассе нет. По- этому, чтобы очередь прошла без задержки, последние k — s букв р и k — s букв п должны образовать благо- приятную перестановку. Но число таких перестановок равно j C2k-2s (см. стр. 83). По правилу произве- дения получаем, что в классе перестановок. А так как общее число благоприятных 1 Т+ТС2*’ перестановок равно то получаем тождество * Ь25-2С2Й_25— C2ft. (21) 87
Если ввести обозначение то формула (21) примет следующий вид: T0Tk_^TxTk_2+ ... + Tk_xT^Tk. (22) Если одно соотношение между числами С™ получает- ся следующим образом. Зададим число /, и разо- бьем множество всех благоприятных перестановок на классы, отнеся к s-му классу все перестановки, содержа- щие среди первых / элементов ровно s букв р. Тогда чис- ло букв п среди первых / элементов равно / — s. Так как букв п должно быть не меньше, чем букв р, то $ удовлет- воряет неравенствам 0<2$<7. Найдем число перестановок в s-м классе. Каждая такая перестановка распадается на две части: одна со- стоит из первых / букв, а другая — из последних k+tn — I букв. В первую часть входит / — $ букв п и s букв р. При этом так как вся перестановка благоприятна, то и ее часть, состоящая из первых / букв, тоже благоприятна. А из . й « I — 2s —f— 1 I — s букв п и s букв р можно составить таких перестановок. После того как пройдет первая часть перестановки, в кассе будет I — 2s полтинников. Вторая часть переста- новки состоит из k — l+s букв пит — s букв р. Число перестановок, при которых эта часть очереди проходит без задержки, вычисляется по формуле (17) на стр. 84, в которой надо заменить q на / — 2s, tn на tn — s и k на k — l+s. Из этой формулы вытекает, что вторая часть перестановки может быть выбрана Cm+k-t—Cm+A-V-1 способами. По правилу произведения получаем, что чис- ло перестановок в s-м классе равно /-2s + I z-,5 /-.ГП+5-/-11 S |~Т~+ ^m + k-t J- Так как общее число благоприятных перестановок из k g. k - ftl —I— I букв пит букв p равно —то получаем " Ft ~j“* 1 88
тождество1) 44) V"1 I — 4“ 1 Z~>s - S рЛЦ-J-I-l] _£— w 4“ 1 z->m I $4-1 [''-•m-k-l '-‘itirk-l J — &4-1 + (Здесь Cr при p<0 считается равным нулю.) Читатель без труда выведет аналогичные соотношения, устанав- ливая те или иные методы разбиения перестановок на классы. *) Через обозначена целая часть числа -j-.
ГЛАВА IV КОМБИНАТОРИКА РАЗБИЕНИИ В задачах на размещения, перестановки и сочетания из данных элементов составлялись различные комбина- ции, и мы считали, сколько таких комбинаций получает- ся при тех или иных ограничениях. Судьба элементов, оставшихся после выбора комбинаций, нас почти не ин- тересовала. Иной вид имеют задачи, к которым мы сей- час перейдем. В этих задачах элементы делятся на две или большее число групп, и надо найти все способы такого раздела. При этом могут встретиться различные случаи. Иногда существенную роль играет порядок элементов в группах: например, когда сигнальщик вывешивает сиг- нальные флаги на нескольких мачтах, то для него важно не только то, на какой мачте окажется тот или иной флаг, но и то, в каком порядке эти флаги развешивают- ся. В других же случаях порядок элементов в группах никакой роли не играет. Когда игрок в домино выбирает кости из кучи, ему безразлично, в каком порядке они придут, а важен лишь окончательный результат. Отличаются задачи и по тому, играет ли роль поря- док самих групп. При игре в домино игроки сидят в опре- деленном порядке, и важно не только то, как раздели- лись кости, но и то, кому какие кости достались. Если же я раскладываю фотографии по одинаковым конвер- там, чтобы послать их приятелю, то существенно, как распределятся фотографии по конвертам, но порядок самих конвертов совершенно несуществен — ведь па почте их все равно смешают. Играет роль и то, различаем ли мы между собой сами элементы или нет, а также различаем ли между собой группы, на которые делятся элементы. Наконец, в одних задачах некоторые группы могут оказаться пу- 90
стыми, то есть не содержащими ни одного элемента, а в других такие группы недопустимы. В соответствии со всем сказанным возникает целый ряд различных комби- наторных задач на разбиение. Игра в домино При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? Раздел костей можно выполнить следующим обра- зом. Сначала каким-то образом положим все 28 костей в ряд. После этого первый игрок берет первые 7 костей, второй — вторые 7 костей, третий — следующие 7 костей, а четвертый забирает себе остаток. Ясно, что таким образом можно получить всевозможные разбиения костей. Так как число всех перестановок из 28 элементов равно 28!, то может показаться, что общее число всех способов раздела равно 28!. Но это неверно — ведь пер- вому игроку совершенно безразлично, что он возьмет сначала — кость 6:6 или кость 3:4; ему важен лишь окончательный итог. Поэтому любая перестановка пер- вых 7 костей не меняет существа дела. Не меняет его и любая перестановка вторых 7 костей, третьих 7 костей и последних 7 костей. В силу правила произведения по- лучаем (7!)4 перестановок костей, не меняющих резуль- тата раздела.' Таким образом, 28! перестановок костей делятся на группы по (7!)4 перестановок в каждой группе, причем перестановки из одной группы приводят к одинаковому распределению костей. Отсюда следует, что число спо- собов раздела костей равно jyiyr* Это число прибли- женно равно 4,7 • 1015. К тому же результату можно прийти иначе. Первый игрок должен выбрать 7 костей из 28. Так как порядок этих костей безразличен, то он имеет Сгз выборов. После этого второй игрок должен выбрать 7 костей из остав- шихся 21 кости; Это можно сделать С21 способами. Тре- тий игрок выбирает из 14 костей, а потому имеет С[ц возможностей выбора. Наконец, четвертому игроку остается Ст, то есть единственный выбор. 91
По правилу произведения получаем, что полное число возможностей равно z>7 28! 21! 14! _ 28! С28С21С14С7 2117! ' 14!7! ' 7!7! (7!)4 * Совершенно так же доказывается, что при игре в преферанс, где 32 карты делятся между тремя игроками по 10 карт каждому, а две карты кладутся в прикуп, число различных сдач равно ТбТТЙНО! 2! = 2 753 294 408 504 64°- Возможно, у читателя возникает вопрос, стоит ли вообще тратить время на изучение карточных игр? По этому поводу напомним, что именно изучение азартных игр дало толчок для первоначального развития комби- наторики и теории вероятностей. Такие первоклассные математики, как Паскаль, Бернулли, Эйлер, Чебышев, оттачивали идеи и методы комбинаторики и теории ве- роятностей на задачах об играх в орел и решку, кости и карты. Многие идеи теории игр (раздел математики, широко применяемый в экономике и военном деле) пер- воначально оформились на изучении простейших моде- лей карточных игр. Раскладка по ящикам Задачи о домино и преферансе относятся к комби- наторным задачам на раскладывание предметов по ящи- кам. Общая постановка этих задач такова: Даны п различных предметов и k ящиков. Надо поло- жить в первый ящик щ предметов, во второй — п2 пред- метов, ..., в k-й — iik предметов, где nl + n2+'... +пь=п. Сколькими способами можно сделать такое распреде- ление’? В задаче о домино роль ящиков выполняли игроки, а роль предметов — кости. Рассуждая точно так же, как и в этой задаче, получаем ответ в общем случае: число различных раскладок по ящикам равно Р(п,, п„ пЛ =—j—---------Г. (1) ' 1 - к> щ !/z2! ... пЛ! - ! Эта формула возникла у нас раньше при решении следующей, на первый взгляд совсем непохожей задачи: 92
Имеются предметы k различных типов. Сколько раз- личных перестановок можно сделать из гц предметов первого типа, п% предметов второго типа, ..., nh предме- тов k-го типа? И здесь ответ был дан формулой Р^’ П>......п1<пИ...п11Г где п=п1+п2+ ... +nk (см. стр. 39).Чтобы установить связь между этими задачами, занумеруем все п мест, которые могут занимать наши предметы. Каждой пере- становке соответствует распределение номеров мест на k классов. В первый класс попадают номера тех мест, па которые попали предметы первого типа, во второй — номера мест предметов второго типа и т. д. Тем самым устанавливается соответствие между перестановками с повторениями и раскладкой номеров мест по «ящикам». Понятно, что формулы решения обеих задач оказались одинаковыми. Букет цветов В задаче о раскладке элементов по ящикам мы счи- тали известным количество предметов, попадающих в каждый ящик (например, число костей, которые должен взять каждый игрок). В большинстве задач о разделе предметов эти количества не указываются. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы? Ясно, что ромашки можно разделить 11 способами — первый может не взять ни одной ромашки, взять 1 ро- машку, 2 ромашки, ..., все 10 ромашек. Точно так же васильки можно разделить 16 способами, а незабудки — 15 способами. Так как цветы каждого вида можно де- лить независимо от цветов другого вида, то по правилу произведения получаем 11-16-15=2640 способов раз- дела цветов. Разумеется, среди этих способов есть и крайне не- справедливые, при которых, например, один из ребят совсем не получает цветов. Введем поэтому ограничение, что каждый из ребят должен получить не менее 3 цвет- ков каждого вида. Тогда ромашки можно разделить 93
лишь пятью способами: первый может взять себе 3, 4, 5, 6 или 7 цветков. Точно так же васильки можно раз- делить 10 способами, а незабудки — 9 способами. В этом случае общее число способов деления равно 5-10’9 = =450. Вообще, если имеется «1 предметов одного сорта, п2 предметов другого сорта, ..., nh предметов k-ro сорта, то их можно разделить между двумя людьми (^4-1)(/г2+1) ... 1) (2) способами. В частности, если все предметы отличны друг от друга и их число равно k, то tit=n2= ... —nh — 1 и потому есть 2fe способов раздела. Если же наложить добавочное ограничение, что каж- дый из участников раздела должен получить не менее Si предметов первого сорта, s2 предметов второго сор- та, ..., sfe предметов k-ro сорта, то число способов раз- дела выражается формулой («! — 2^ -J- 1) (п2 — 2s2 -t-1) • • • (лй — 2sft 4~ 1)- (3) Мы предоставляем читателю доказать эти утверждения. Задача о числе делителей Выведенная нами формула (2) позволяет решить следующую задачу теории чисел: Найти, сколько делителей есть у натурального чис- ла N. Для этого разложим N на простые множители: = р"'р22 ... pnkk, где р\, ...,Pk — различные простые числа. Например, 360 = 23 - 32 >5. При разложении числа N на два сомножителя, N=N{N2, простые сомножители распредляются между Nt и N2. Если в Ni сомножитель Pi войдет раз, /=1, ..., k, то разложение имеет вид Таким образом, разложение N на два сомножителя сво- дится к разделу «1 элементов одного сорта, п2 элементов второго сорта, ..., nh элементов k-ro сорта на две части. А формула (2) показывает, что это можно сделать («1 +1) ... (па + 1) способами. Значит, число делителей у натурального числа N = ... рп^ равно («i+Д) . ... (rtfe+l). Это число обозначают т(М), 94
v Сбор яблок Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми (то есть если нас интересует лишь, сколько яблок получит каждый, но не то, какие именно яблоки ему достанутся)? Для решения этой задачи поступим так: добавим к собранным яблокам еще 2 одинаковые груши, а потом переставим всеми возможными способами 40 яблок и 2 груши. По формуле для перестановок с повторениями число таких перестановок равно Р(40, 2) = d2 = -^- = 861. Но каждой перестановке соответствует свой способ раз- дела яблок. Первому из ребят мы даем все яблоки, на- чиная от первого и до первой груши, второму — все яблоки, попавшие между первой и второй грушей, а третьему — все яблоки, лежащие после второй груши. Ясно, что при этом различным перестановкам соответ- ствуют разные способы раздела. Таким образом, общее число способов раздела равно 861. При этом может слу- читься так, что одному (или даже двоим) участникам раздела ничего не достанется. Например, если одна из груш попадет при перестановке в начало, то лишается яблок первый из ребят, а если в конец — то третий. Если же обе груши окажутся рядом, то ничего не получит вто- рой. Разберите сами, что случится, если обе груши по- падут в начало или в конец. Совершенно так же доказывается, что п одинаковых предметов можно разделить между k лицами Р(п, A-l) = C"+ft_1 = C„ft;L1 (4) способами. Предположим теперь, что для большей справедливо- сти раздела условлено, чтобы каждый участник получил по крайней мере г предметов. В этом случае надо на- чать с того, что дать каждому по г предметов. После этого остается п — kr предметов, которые можно уже распределять произвольным образом. А это можно сде- лать, как мы видели, = С*!* способами. 95
В частности, если каждый из k участников должен получить не менее одного предмета, то задача решается С п-l способами. Последний результат можно вывести и иным обра» зом. Расположим данные п предметов в ряд. Тогда между ними будет п—1 промежутков. Если в любые k—1 из этих промежутков поставить разделяющие пере- городки, то все предметы разделятся на k непустых частей. После этого первая часть передается первому лицу, вторая — второму и т. д. Так как k—1 перегоро- док можно поставить в п — 1 промежутков Ckn~-i спосо- бами, то число способов раздела равно Сбор грибов Если делят предметы разных видов, то надо найти чи- сло способов раздела для каждого вида и перемножить полученные числа. Решим, например, следующую задачу: Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами? Применяя'результаты предыдущего пункта, получаем, что ответ имеет вид С?3С?8С?! = 41 771 040. Если же каждый должен получить хотя бы по одному грибу каждого сорта, то ответом будет С9С14С7 = 1 070160. В случае, когда п различных предметов делят между k лицами без ограничений, каждый предмет можно вру- чить k способами (отдав его одному из участников раз- дела). Поэтому число решений равно kn. Например, 8 различных пирожных можно разделить между 5 человеками 58 = 390 625. способами. Посылка фотографий Я хочу послать своему другу 8 различных фотогра- фий. Сколькими способами я могу это сделать, исполь- зовав 5 различных конвертов? Эта задача похожа на решенную в конце предыду- щего пункта. Поэтому, казалось бы, ответом является 96
5®=390 625. Однако посылать пустые конверты нельзя, поэтому накладывается новое ограничение — ни один конверт не должен быть пустым. Чтобы учесть это ограничение, используем формулу включений и псклЮ' чений (ответ С*~{ неверен, так как фотографии раз-, личны). Найдем сначала, при скольких способах распределе- ния данные г конвертов оказываются пустыми (а осталь- ные могут быть как пустыми, так и содержать фотогра- фии). В этом случае фотографии кладутся без ограни- чений в 5 — г конвертов, и по доказанному выше число таких распределений равно (5 — г)8. Но г конвертов можно выбрать из пяти С5 способа- ми. Отсюда, применяя формулу включений и исключе- ний, выводим, что число распределений, при которых ни один конверт не оказывается пустым, равно 58— С5 • 48 + С| • З8 — С5 • 28+ С*5 18 = 126020. Совершенно так же доказывается, что если посы- лаются п различных фотографий в k различных конвер- тах, причем ни один конверт не пуст, то число способов распределения выражается формулой kn—C\(k-\)n-+C2n(k-‘l)n— ... +(—г. (5) Предоставляем читателю разобрать следующую за- дачу: Имеются п1 предметов первого вида, п2 предметов второго вида, ..., п., предметов s-го вида. Сколькими способами .можно раздать их k лицам так, чтобы каж- дый получил хотя бы один предмет"? Ответ на эту задачу такой: z^A —1 z>A —1 z^A — l 2 х>А — 2 z^A — 2 ^п, -I-A-l'-* л_+А-1 • • • +-А-1 ЬдСл+4>_2Сп -i-A-2 ••• “1“ 12 «j 12 о । z>2x>A—3 z^A — 3 z>A —3 I / i\A-l z>A —1 “T + • +(— 1) С* . (O) Например, если делят 8 яблок, 10 груш и 7 апельси- нов между 4 ребятами и каждый должен получить хотя бы один фрукт, то раздел возможен С?1С?3С?о - ClCloCld 4- CfcJChCj -С34 = 5 464 800 способами. 7 Н. Я. Виленкин 97
Флаги на мачтах До сих пор мы не учитывали порядок, в котором рас* положены элементы каждой части. В некоторых зада* чах этот порядок надо учитывать. Имеется п различных сигнальных флагов и k мачт, на которые их вывешивают. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке развешены флаги. Сколькими способами можно развесить флаги, если все флаги дол- жны быть использованы, но некоторые из мачт могут оказаться пустыми? Каждый способ развешивания флагов можно осуще- ствить в два этапа. На первом этапе мы переставляем всеми возможными способами данные п флагов. Это можно сделать п! способами. После этого берем один из способов распределения п одинаковых флагов по k мачтам (напомним, что число этих способов равно C*7a-i)- Пусть этот способ заключается в том, что на первую мачту надо повесить щ флагов, на вторую щ флагов, ..., на k-ю лА флагов, где Н1 + Л2+ ... +nh = n. Тогда берем первые «t флагов данной перестановки и развешиваем в полученном порядке на первой мачте; следующие п2 флагов развешиваем на второй мачте и т. д. Ясно, что, используя все перестановки п флагов и все способы распределения п одинаковых флагов по k мачтам, мы получим все способы решения поставлен- ной задачи. По правилу произведения получаем, что число способов развешивания флагов равно « if*-1 __(пф-Л — 1)1 _ ,п /7. Я ‘С-Л + А-1 — + (l) Вообще, если имеется п различных вещей, то число способов распределения этих вещей по k различным ящикам с учетом порядка их расположения в ящиках равно Ап+к-г К тому же результату можно прийти иным путем. Добавим к распределяемым п вещам k— 1 одинаковых шаров и рассмотрим всевозможные перестановки полу- ченных n + k— 1 предметов. Каждая такая перестановка определяет один из способов распределения. Именно, в первый ящик кладут хвсе предметы, идущие в переста- новке до первого добавленного шара (если первым предметом в перестановке является один из добавлен- 98
ных шаров, то первый ящик остается пустым). После этого во второй ящик кладут все предметы, попавшие между первым и вторым шаром, ..., в k-й ящик — все предметы, идущие после шара k — 1. Ясно, что при этом получаются все распределения предметов, обладающие указанными свойствами. Но число перестановок из п различных предметов и k — 1 одинаковых - шаров равно Я1> 1. • ••> 1> & — 1) ТТТП'Ш-1)! = Л"-*-1 • п раз Аналогично решается задача в случае, когда на ка« ждой мачте должен висеть хотя бы один флаг (или, что то же самое, в каждом ящике должен быть хотя бы один предмет). С помощью формулы, выведенной на стр. 96, получаем, что в этом случае имеем n!C„Zi способов распределения. И этот результат можно полу* чить путем выбора точек раздела среди п — 1 проме* жутков. Полное число сигналов До сих пор мы считали, что все флаги должны быть использованы для передачи сигнала. Но могут быть и сигналы, для передачи которых используется лишь часть флагов, причем допускаются и пустые мачты. Найдем полное число сигналов, которые можно передать с по-, мощью п сигнальных флагов, вывешиваемых на k мачтах* Разобьем эти сигналы на классы по числу флагов, участвующих в сигнале. По формуле (7) с помощью заданных s флагов можно передать Aj+a-iсигналов (число мачт равно k)< Но s флагов из п можно выбрать Csn способами. По* этому число всех сигналов в s-м классе равно Значит, полное число сигналов дается формулой 4-С^А/,4*С„А^+1 4- ... 4~ C^An+t-i. (8) Например, с помощью 6 различных флагов на 3 мачтах можно передать 1 Ц- СбАз 4~ CeAj 4~ ^бАз 4- С6Ае 4~ 4~ Сб-As — 42 079 сигналов, 7* 99
Если не допускать, чтобы некоторые мачты пусто-, вали, то вместо формулы (8) получаем CknCkk~\k! + С*+1СГ! (£Н-1)! + (k -Е 2)! +... ... 4 СппСк~Лп\ (9) способов. Разные статистики Задачи о раскладке предметов по ящикам весьма важны для статистической физики. Эта наука изучает, как распределяются по своим свойствам физические частицы; например, какая часть молекул данного газа имеет при данной температуре ту или иную скорость. При этом множество всех возможных состояний распре- деляют на большое число k маленьких ячеек (фазовых состояний), так что каждая из п частиц попадет в одну из ячеек. Вопрос о том, какой статистике подчиняются те или иные частицы, зависит от вида этих частиц. В классиче- ской статистической физике, созданной Максвеллом и Больцманом, частицы считаются различимыми друг от друга. Такой статистике подчиняются, например, моле- кулы газа. Мы знаем, что п различных частиц можно распределить по k ячейкам kn способами. Если все эти kn способов при заданной энергии имеют равную ве- роятность, то говорят о статистике Максвелла — Больц- мана. Оказалось, что этой статистике подчиняются не все физические объекты. Фотоны, атомные ядра и атомы, со- держащие четное число элементарных частиц, подчи- няются иной статистике, разработанной Эйнштейном и индийским ученым Бозе. В статистике Бозе — Эйнштей- на частицы считаются неразличимыми друг от друга. Поэтому имеет значение лишь то, сколько частиц попало в ту пли иную ячейку, а не то, какие именно частицы туда попали. Эта задача похожа на задачу о разделе яблок (см. стр. 95). Мы уже знаем, что при таком различных спосо- бов раздела. В статистике Бозе — Эйнштейна все эти способы считаются равновероятными. Однако для многих частиц, например, таких, как электроны, протоны и нейтроны, не годится и статистика 100
Бозе — Эйнштейна. Для них в каждой ячейке может находиться не более одной частицы, причем различные распределения, удовлетворяющие указанному условию, имеют равную вероятность. В этом случае может быть С® различных распределений. Эта статистика назы- вается статистикой Дирака — Ферми. Разбиения чисел В большинстве рассмотренных выше задач предметы, подлежащие разделу, были различными. Теперь мы пе- реходим к задачам, в которых все разделяемые пред- меты совершенно одинаковы. В этом случае можно го- ворить не о разделе предметов, а о разбиении нату- ральных чисел на слагаемые (которые, конечно, тоже должны быть натуральными числами). Здесь возникает много различных задач. В одних задачах учитывается порядок слагаемых, а в других — нет. Можно рассматривать лишь разбиения на четное или только на нечетное число слагаемых, на различные или на произвольные слагаемые и т. д. Основным мето- дом решения задач на разбиение является сведение к задачам о разбиении меньших чисел или о разбие- нии на меньшее число слагаемых. Отправка бандероли За пересылку бандероли надо уплатить 18 коп. Сколькими способами можно оплатить ее марками стои- мостью в 4, 6 и 10 коп., если два способа, отличаю- щиеся порядком марок, считаются различными?'). Обозначим через f(iV) число способов, которыми можно наклеить марки в 4, 6 и 10 коп. так, чтобы общая стоимость этих марок равнялась N. Тогда для f(N) справедливо следующее соотношение: f(AO = f(W-4)+f(2V-6)+f(JV-10). (Ю) В самом деле, пусть имеется некоторый способ наклей- ки марок с общей стоимостью N, и пусть последней на- клеена марка стоимостью в 4 коп. Тогда все остальные ') Запас марок различного достоинства мы считаем неограни- ченным. 101
марки стоят N — 4 коп. Наоборот, присоединяя к любой комбинации марок общей стоимостью N—4 коп. одну четырехкопеечную марку, получаем комбинацию марок стоимостью в N коп. При этом из разных комбинаций стоимостью в N — 4 коп. получатся разные комбинации стоимостью в N коп. Итак, число искомых комбинаций, где последней наклеена марка стоимостью в 4 коп., равно f(N— 4). Точно так же доказывается, что число комбинаций, оканчивающихся на шестикопеечную марку, равно f(N — 6), а на десятикопеечную марку оканчиваются f(N—10) комбинаций. Поскольку любая комбинация оканчивается на марку одного из указанных типов, то по правилу суммы получаем соотношение (10). Соотношение (10) позволяет свести задачу о наклеи- вании марок на сумму N коп. к задачам о наклеивании марок на меньшие суммы. Но при малых значениях N задачу легко решить непосредственно. Простой подсчет показывает, что f(0)=l, f(l) = f(2) = f(3) = 0, f(4)=l, f(5) = 0, f(6)=l, f(7) = 0, f(8) = l, f(9) = 0. Равенство f(0) = l означает, что сумм^ в 0 коп. можно уплатить единственным образом: совсем не наклеивая марок. А сумму в 1, 2, 3, 5, 7 и 9 коп. вообще никак нельзя получить с помощью марок в 4, 6 и 10 коп. Ис- пользуя значения f(N) для Л'=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, легко найти f(10): H10W(6) + H4)-H(0) = 3. После этого находим f(ll)M(7) + f(5) + Hl) = 0, f(12) = f(8) + f(6) + H2) = 2 и т. д. Наконец, получаем значение f(18) =8. Таким об- разом, марки можно наклеить восемью способами. Эти способы таковы: 10, 4, 4; 4, 10, 4; 4, 4, 10; 6, 4, 4, 4; 4, 6, 4, 4; 4, 4, 6, 4; 4, 4, 4, 6; 6, 6, 6. Отметим, что значения f(N) для N= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно было получить иначе, не приводя непосред* 102
ственной проверки. Дело в том, что при N<0 имеем f(N)=Q, поскольку отрицательную сумму нельзя упла- тить, наклеивая неотрицательное количество марок. В то же время, как мы видели, f(0) = l. Поэтому f(l) = H-3) + H-5) + f(-9) = 0. Точно так же получаем значение f(2)=0, f(3)=0. А для N = 4 имеем H4) = f(O) + f(-2) + f(-6) = l. Общая задача о наклейке марок Разобранная задача является частным случаем еле-* дующей общей задачи: Имеются марки достоинством в щ, п2, ..., коп1). Сколькими способами можно оплатить с их помощью сумму в N коп., если два способа, отличающиеся поряд- ком, считаются различными? В этом случае число f(N) способов удовлетворяет соотношению /(2V) = f(^-«1)+f(7V-«2)4- ... + f(N-nk). (11) При этом f(7V)=O, если N<0 и f(0) = l. С помощью со- отношения (11) можно найти f(N) для любого N, после’ довательно вычисляя f(l), [(2), ..., f(N—1). Рассмотрим частный случай этой задачи, когда nt = = 1, «2 = 2, .... nh = k. Мы получаем всевозможные раз* биения числа N на слагаемые 1, 2, ..., k, причем раз- биения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными. Обозначим число этих разбиений через ф(£; И) 2). Из соотношения (11) следует, что <р(£; N) — (f(k', jV—1)4-<р(£; TV—2)+ ... ... +ф(^; N — k). (12) При этом ф(£; 0)=1 и ф(£; N) — 0, если 7V<0. !) Все числа пь ..., /и различны, а запас марок неограничен. 2) Здесь и в дальнейшем мы будем на первом месте указы- вать число слагаемых, на втором — разбиваемое число и на послед- нем — ограничения на величину слагаемых. 103
Вычисление q>(_/V; k) можно упростить, если -заме* тить, что q(N— 1; k) = q(N— 2; k)-p ... -f-(p(7V— k) + -h4P(jV — k— 1; k) и потому q>(JV; £) = 2<p(jV — 1; k)-<t(N — k — 1; k). (13) Ясно, что слагаемые не могут быть больше N. По- этому (f(N, N) равно числу всех разбиений N на нату- ральные слагаемые (включая и «разбиение» N = N). Если число слагаемых равно $, то получаем СдГД раз- биений (см. стр. 96). Поэтому <р (N, N) = +- Cjv_! + ... + Ж = 2"-1. Итак, мы доказали, что натуральное число N мож- но разбить на слагаемые 2Л'-1 способами. Напомним, что при этом учитывается порядок слагаемых. Например, число 5 можно разбить на слагаемые 25~‘ = 16 способами: 5 = 5 - 5 = 341 + 1 5 = 44-1 5=1-|-3-+ 1 5=14 4 5=1-4-14 3 5 = 24-3 5=2 + 24 1 5 = 3 + 2 5 = 24 1+2 5=1+242 5=2+1+141 5=1+24141 5=1+14241 5=1 + 1 4-1+2 5=14-1+1 + 1+1 ’ Комбинаторные задачи теории информации Задачу, похожую па только что решенную, прихо- дится решать в теории информации. Предположим, что сообщение передается с помощью сигналов нескольких типов. Длительность передачи сигнала первого типа равна t\, второго типа t2.k-ro типа единиц вре- мени. Сколько различных сообщений можно передать с помощью этих сигналов за Т единиц времени? При этом учитываются лишь «максимальные» сообщения, то есть сообщения, к которым нельзя присоединить ни од- ного сигнала, не выйдя за рамки отведенного для пере- дачи времени. 104
Обозначим число сообщений, которые можно пере- дать за время Т через f(T). Рассуждая точно так же, как и в задаче о марках, получаем, что f(T) удовлетво- ряет соотношению П7') = /(7’-/1)+ ... (И) При этом снова f(7')=0, если Т<0 и f(0)=l. Проблема абитуриента Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать 4 экзамена. Он полагает, что для поступления бу- дет достаточно набрать 17 очков. Сколькими способами он может сдать экзамены, чтобы наверняка поступить в вуз? Эта задача похожа на задачу о марках, но отли- чается от нее тем, что указано число «марок», которыми надо «уплатить сумму в 17 очков». За каждый успешно Сданный экзамен поступающий получает 3, 4 или 5 бал- лов. Обозначим через F(k\ N) число способов, кото- рыми можно набрать N баллов после k экзаменов. То- гда имеет место соотношение F (k\ N) — F(k — 1; N — 3)-\-F(k- 1; 2V — 4) + 4 F(k- 1; 7V-5), вывод которого совершенно аналогичен выводу соот- ношения (11) на стр. 103, Отсюда получаем, что /?(4; 17) = /-’(3; 14) rF(3; 13) +-F(3; 12) = = /?(2; 11)425(2; 10) -г 35(2; 9) 425(2; 8) + Т(2; 7) = = 2 435(2; 9)4 25(2; 8)4 Z7(2; 7), поскольку набрать 11 баллов после 2 экзаменов невоз- можно, а набрать 10 баллов можно единственным об- разом — получив две пятерки. Продолжая вычисление, получаем, что F(4; 17) = 2 4 35(1; 6)455(1; 5)4 4-65(1; 4)4-35(1; 3) + 5(1; 2). 105
Ho F(l; 6)=F(1; 2) =0 4, a F(l; 5) =F(1; 4) =F(1; 3) = = 1. Поэтому F(4; 17) = 16. Точно так же выводим, что У7 (4; 18)= 10, У7 (4; 19) = 4 и У7 (4; 20)= 1. Итого получаем 16+10 + 4 + 1=31 способ успешной сда- чи экзаменов. Тот же результат можно получить иначе. Легко проверить, что 17 очков можно получить лишь двумя существенно различными спо- собами: либо получить 2 пятерки, 1 четверку и 1 тройку, либо по- лучить 1 пятерку и 3 четверки. Эти отметки могут любым спосо- бом распределяться по сдаваемым предметам. Так как 41 4< Р(2,1.1) + Р (I. 3)-т+п-Ч-5ПУ-16. то 17 очков можно получить 16 способами. Точно так же подсчи- тывается число способов получить 18, 19 и 20 очков. Вообще, пусть F(in; N)—число способов разбие- ния N на т слагаемых, каждое из которых равно од- ному из чисел Яь П2, ..., «д. Тогда для F (т\ N) выпол- няется соотношение F(пг, N) — F(m—1; TV— «J + • • -\-F(m — 1; N — nk}, (15) которое выводится точно так же, как соотношение (И). Мы предоставляем читателю провести этот вывод. В частности, если «1=1, «2 = 2, ..., «&=&, то полу- чаем разбиения N на т слагаемых, каждое из которых равно одному из чисел 1, 2, ..., k. Обозначим число этих разбиений через F(m; N; k). Тогда для F(trr,N-,k) имеем соотношение F(пг, N; k)==F(m—1; N—1; k)-(- + F(m— 1; N — 2; £) + ... + F(m — 1, N — k', k). (16) Как и на стр. 104, из этого соотношения вытекает, что F(пг, N; k) = F(m, N—1; &)4~ -\-F(m — 1; N— 1; k) — F(m— 1; N— k — 1; k). (17). Перейдем теперь к задачам на разбиения, в кото- рых разбиения, отличающиеся только порядком слагае- мых, считаются одинаковыми. ') Шесть баллов за один экзамен получить нельзя, а с двойкой в институт не принимают. 106
Уплата денег В кошельке лежат монеты в 1, 2, 3, 5, 10. 15, 20 и 50 коп. по одной монете каждого достоинства. Сколь- кими способами можно уплатить этими монетами за по- купку стоимостью в 73 коп.? В этой задаче порядок монет не играет роли — важ- но лишь, какие именно монеты берутся для уплаты. Вве- дем следующее обозначение: через F(nv п2, ..., nm; N) будем обозначать число способов, которыми можно уплатить N коп. с помощью монет различного достоин- ства мь п->, ..., пт коп., беря не более чем по одной мо- нете каждого достоинства. Разобьем все способы уплаты на два класса в зависимости от того, использована или нет монета достоинством в пт коп. Если она использо- вана, то остается уплатить сумму в N — пт коп. с по- мощью монет в nt, п2, ..., nm-t коп. А это можно сде- лать Е(п1, п2, .... пт^-, N — пт) способами. Если же монета в пт коп. не использована, то надо оплатить всю сумму в N коп. с помощью монет в пх, п2, . .., пт_х коп.. А это можно сделать F(nlt п2, ..., пт~х; N) способами. Отсюда следует, что имеет место соотношение F(nlt п2, ..., пт; N) = = F(nl, п2, ..., пт_х; N-nm)-\-F(tix, п2, ..пт_х; N). (18) Это соотношение позволяет свести задачу о выборе из т монет к задаче о выборе из т — 1 монет. Повторяя это же рассуждение, сводим к задаче о выборе из т — 2 монет и т. д., пока не дойдем либо до задачи об уплате нулевой суммы, либо до задачи о выборе из одной мо- неты. Обе задачи решаются однозначно. При этом в ходе вычисления многие слагаемые отбрасываются. Ведь если П1 Ч-гг24- • • • + nm<N, то F(nx, п2, ..., пт; N) = = 0, так как монет не хватает на оплату покупки. Кро- ме того, если nm>N, то соотношение (18) заменяется на F (пх, п2, ..., пт; N) = F(nx п2, ..., пт~х, N), поскольку монета пт в уплате участвовать не может. 107
Применим описанный метод к решению нашей за- дачи. По соотношению (11) выводим сначала, что 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50; 73) = = 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 23) + + 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 73) = = 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 23), так как 1 + 2+3 + 5 +10 + 15 + 20 <73 и потому F(l, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 73) =0. Далее получаем, что 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20; 23) = = 5(1, 2, 3, 5, 10, 15; 3) + 5(1, 2, 3, 5, 10, 15; 23). Но 5(1, 2, 3, 5, 10, 15; 3) = 5(1, 2, 3; 3) = = 5(1, 2; 0) + 5(1, 2; 3)= 1 +5(1; 3) + 5(1; 1) = 2. Вычислим второе слагаемое 5(1, 2, 3, 5, 10, 15; 23) = = 5(1, 2, 3, 5, 10; 8) + 5(1, 2, 3, 5, 10; 23) = = 5(1, 2, 3, 5, 10; 8), так как 1+2 + 3 + 5+10<23. Но 5(1, 2, 3, 5; 8) — =5(1, 2, 3; 3) = 2. Окончательно получаем, что 5(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50; 73) = 4. Итак, требуемую уплату можно произвести 4 способами, а именно 50, 20 и 3 коп.; 50, 20, 2 и 1 коп.; 50, 15, 5 и 3 коп. и, наконец, 50, 15, 5, 2 и 1 коп. Покупка конфет В магазине продаются конфеты нескольких сортов: 3 сорта стоимостью 2 коп. за штуку и 2 сорта стои- мостью 3 коп. за штуку. Сколькими способами можно купить конфеты на 8 коп., если брать не более одной конфеты каждого сорта?. 108
Решение задачи получается из следующих соотно- шений: F(2, 2, 2, 3, 3; 8) = /?(2, 2, 2, 3; 5)4-F(2, 2, 2, 3; 8)=> = F(2, 2, 2; 2) Н-2^(2, 2, 2; 5)4-/?(2, 2, 2; 8) = = F(2, 2, 2; 2) = /?(2, 2; 0)4-F(2, 2; 2) = = l+F(2-, 0)4-F(2; 2) = 3. Итак, покупку можно сделать 3 способами — купить по одной конфете обоих сортов за 3 коп. и добавить к ним любую из конфет за 2 коп. Казалось бы, столько же решений имеет задача: В кошельке лежат 3 монеты по 2 коп. и 2 монеты по 3 коп. Сколькими способами можно уплатить с по- мощью этих монет сумму в 8 коп.? Это зависит, однако, от того, какие именно монеты лежат в кошельке. Если монеты по 2 коп., равно как и монеты по 3 коп., считались различимыми, то задача совпадает с разобранной и уплату можно произвести 3 способами. Если же все монеты по 2 коп. неразли- чимы, то остается единственный способ уплаты: 2 мо- неты по 3 коп. и 1 монета в 2 коп. Таким образом, задачи на уплату имеют разный ха- рактер в зависимости от того, различимы или нет мо- неты одного и того же достоинства. Разобранный выше метод решения годится лишь в случае, когда все мо- неты считаются различными независимо от того, имеют они одинаковое или разное достоинство. Покажем те- перь, как решать задачу в случае, когда монеты одного достоинства считаются неразличимыми. В кошельке лежат 10 монет по 2 коп. и 5 монет по 3 коп. Сколькими способами можно уплатить этими мо- нетами сумму в 22 коп., если монеты одного достоин- ства неразличимы друг от друга? Обозначим число решений задачи через Ф(10 -2, 5-3; 22) (10-2 означает, что у нас 10 монет по 2 коп., а 5-3 — что есть 5 монет по 3 коп.). Разобьем все спо- собы решения задачи на классы в зависимости от того, сколько использовано трехкопеечных монет. Если, на- пример, использованы две такие монеты, то остается уплатить 16 коп. с помощью двухкопеечных монет, а если использованы все 5 монет, то остается уплатить 109
лишь 7 коп. Если же трехкопеечные монеты совершенно не использовались для уплаты, то все 22 коп. надо упла- тить двухкопеечными монетами. Таким образом, имеет место равенство Ф(10-2, 5-3; 22) = Ф(10-2; 22)4- 4-Ф(10-2; 19)4-Ф(Ю-2; 16)4- 4-Ф(10-2; 13)4-Ф(10-2; 10)4-Ф(10-2; 7). (19) Продолжать дальше не надо, так как у нас только 5 трехкопеечных монет. Ясно, что 10 двухкопеечными мо- нетами невозможно уплатить 22 коп. Поэтому Ф(10 • 2; 22) =0. Далее, очевидно, что нечетную сумму невоз- можно уплатить двухкопеечными монетами, а четную можно уплатить единственным образом. Поэтому из формулы (19) следует Ф(10-2; 5-3; 22) = 2. Есть только 2 способа уплаты: 22 = 8-24-2-3 = 5-24-4-3. Как разменять гривенник! Читателю, наверно, приходится каждый день по не- скольку раз менять гривенники — для проезда на метро нужны пятачки, для разговора по телефону-автомату — двухкопеечные монеты, а для того чтобы выпить стакан газированной воды с сиропом — трехкопеечные монеты. В связи с этим возникает вопрос: Сколькими способами можно разменять гривенник (монету в 10 коп.) на монеты в 1, 2, 3 и 5 коп.? Эта задача похожа на решавшуюся в конце преды- дущего пункта. Только теперь число монет разного до- стоинства не ограничено. Поэтому число решений мы обозначим трк: Ф(1, 2, 3, 5; 10). Рассуждая точно так же, как и в предыдущем пункте, получаем соотношение Ф(1, 2, 3, 5; 10) = Ф(1, 2, 3; 10)4- 4-Ф(1, 2, 3; 5)4-Ф(1, 2, 3; 0) (20) (все способы размена разбиты на классы по числу вхо- дящих в них пятачков). Ясно, что Ф(1, 2, 3; 0) = 1— уплатить 0 коп. можно единственным образом. 110
Чтобы сосчитать Ф(1, 2, 3; 5), разобьем все способы размена 5 коп, монетами 1, 2, 3 коп. на классы в зави- симости от того, сколько берут трехкопеечйых монет. Мы получим Ф(1, 2, 3; 5) = Ф(1, 2; 5)4-Ф(1, 2; 2) (первое слагаемое соответствует случаю, когда не бе- рется ни одна трехкопеечная монета, а второе — когда берут одну такую монету). Продолжая вычисление, получаем Ф(1, 2, 3; 5) = Ф(1; 5)4-Ф(1; 3)4; -ЬФ(1; 1)4- Ф(1; 2)4-Ф(1; 0). Все эти слагаемые равны 1, так как любая сумма копей- ками уплачивается единственным образом. Итак, Ф(1, 2, 3; 5) =5. Точно так же подсчитывается, что Ф(1, 2, 3; 10) = 14. Всего получаем 14 + 5 + 1=20 спосо- бов размена. Вместо соотношения (20) можно было взять сна- чала соотношение Ф(1, 2, 3, 5; 10) = Ф(1, 2, 3; 10)Ч-Ф(1, 2, 3, 5; 5). Оно показывает, что способы размена распадаются на те, где не использован ни один пятачок, и на те, где хотя бы один пятачок использован. Вообще, если надо заплатить N коп. монетами до- стоинством в п1( ..., nh коп., то имеет место соотношение Ф(гар ..., /гй_р nk; N) = .= Ф(/гр nk^-, N) + <b(nx, ..., /гй_р «+, N — пк). (21) Оно показывает, что либо мы не используем ни одной монеты в fife коп. и тогда надо всю сумму N заплатить остальными монетами в пх, ,.., коп., либо хоть одна монета в nh коп. использована и тогда надо заплатить оставшуюся сумму N—пк коп. монетами в пх, ., пк коп. Если же, как это было на стр. 107, монеты не должны повторяться, то соотношение (21) заменяется уже встречавшимся ранее (см. стр. 107) соотношением Р(пх, ..., raft_p N) = = F(nx, ..., гаА_р N) + F(nx, ..., nk~x, N — nk). (22) ill
Разбиение чисел на слагаемые Рассмотрим частный случай задачи о размене, когда допускаются любые монеты от 1 до п коп. Иными сло- вами, решим следующую задачу: ! Сколькими способами можно разбить число N на слагаемые, каждое из которых равно одному из чисел 1, 2, ..., п (порядок слагаемых не учитывается). Обозначим число таких способов разбиения через ПдгJ). Тогда имеет место соотношение Плг = П^Чп^_„. (23) В самом деле, если число п не использовано в каче- стве слагаемого, то N разбито на слагаемые 1, 2, ... ..., п—1, а это можно сделать ИдГ1 способами. Если же п использовано в качестве слагаемого, то число N— п разбито на слагаемые 1, 2, ..., п, что можно сде- лать Пд-_„ способами. Наложим теперь ограничение, что все слагаемые должны быть различными. Число решений в этом слу- чае обозначим через Фдг (при этом Фо = 1)- Предоста- вляем читателю показать, что для Ф.у имеет место со- отношение Флг = ФлТ1 + ФГ-« (24) (число-/г нельзя второй раз использовать в качестве слагаемого). Как легко видеть, Ф}= 1 и Фдг=0 при N> 1, и с по- мощью формулы (24) можно последовательно вычис- лить Ф/v для всех п и N. Для Пдг удобнее вместо соот- ношения (23) взять соотношение П'у = Ш-1 + П^Л + ПГ-2„ + ..., (25) которое получается последовательным применением со- отношения (23). А после этого достаточно заметить, что (любое натуральное число можно единственным образом разложить на слагаемые, равные 1). Пользуясь соотношением (25), последовательно вычисляем П,у для всех N, потом Пд, и т. д. *) Значение Jig мы полагаем равным 1. 112
Заметим, что число всех способов разложения W на слагаемые равно П'у—слагаемые, большие чем N, в разложение войти не могут. Точно так же число спосо- бов разложения N на различные слагаемые равно Ф$. Диаграммная техника Первоначальные методы доказательства теорем о разбиениях чисел были весьма сложны. Как и во мно- гих вопросах математики, привлечение геометрических соображений упростило и сделало наглядными доказательства теорем. Каждое разбиение числа N на слагае- • мые можно изобразить в виде диаграммы. Ка- ждая строка диаграммы состоит из стольких • • точек, сколько единиц входит в соответ- < в « ствующее слагаемое. Например, разбиению 7=1+1+2+3 соответствует диаграмма Рис. 10. (рис. 10). Так как порядок слагаемых в разбиении не играет роли, то строки можно расположить так, чтобы их дли- на не убывала сверху вниз. Кроме того, первые точки каждой строки будем изображать в одном столбце. Такие диаграммы будем на- зывать нормальными. С помощью диаграмм / < легко доказывать различные ( * ; свойства разбиений. Дока- е е ! • ' 4 • жем, например, что число ‘ / способов разбиения числа N • • • \*J • • • на не более чем т слагае- т=А мых такое же, как и способов Рис. i ц разбиения N-Vtn на т сла- гаемых. В самом деле, диаграмма, изображающая раз- биение числа N на не более чем т слагаемых, состоит из N точек, расположенных не более чем в т строках. Добавим к каждой из таких диаграмм столбец, состоя- щий из т точек (см. рис. 11, где изображено это преоб- разование для М = 5, т = 4). Получится диаграмма, со- стоящая из N+tn точек, расположенных в т строках. Обратно, отнимая первый столбец от каждой диаграммы, состоящей из N+tn точек, расположенных в виде 8 В. Я. Виленкин 113
пг строк, мы получим диаграмму из N точек, причем число строк будет не больше, чем т. Мы установили взаимно однозначное соответствие между диаграммами двух видов, откуда следует, что. число этих диаграмм одинаково. Тем самым утвержде- ние доказано. Несколько сложнее доказывается следующая тео« рема (теорема Эйлера): Число способов разбиения N на не более чем пг ела- . * лг । и(иЧ-1) гаемых равно числу способов разбиения /V ---------- на пг неравных частей. /77=4 Рис. 12. Каждое разбиение числа N на не более чем пг сла- гаемых изображается в виде диаграммы из N точек, со- держащей не более чем пг строк. Добавим к каждой такой диаграмме равнобедренный прямоугольный тре- угольник из пг строк, после чего приведем диаграмму к нормальному виду (рис. 12), где изображено такое преобразование при Л^ = 6, пг=4. Так как число точек т (т -4-1) в треугольнике равно ——, то мы получим диа- грамму из АН Цр—точек, содержащую пг строк. При. этом все строки диаграммы будут различной длины. В самом деле, длины строк исходной диаграммы не убывают, а длины строк треугольника все время уве- личиваются. Значит, после добавления треугольника получается диаграмма, длины строк которой все время растут. Следовательно, строк одинаковой длины быть не может. Обратно, из каждой диаграммы для разбиения /V-------—i— на пг неравныхелагаемых можно удалить 114
равнобедренный прямоугольный треугольник, содержа? щий пг строк, и получить диаграмму для разбиения ЛГ. на не более чем пг слагаемых. Это соответствие между диаграммами двух видов показывает, что число их оди« наково. Тем самым наше утверждение доказано. Двойственные диаграммы Диаграммы можно преобразовывать так, чтобы стро- ки стали столбцами, а столбцы — строками. Для этого повернем диаграмму на 90° и приведем ее к нормаль* ному виду. На рис. 13 изображено такое преобразовав ние диаграмм. Ясно, что если повторить это преобразование, то снова получим исходную диаграмму. Поэтому все диа- граммы распадаются на двойственные друг другу пары • • • с •• - • • Рис. 13. Рис. 14. диаграмм (впрочем, надо иметь в виду, что некоторые диаграммы двойственны сами себе, такова, например, диаграмма на рис. 14). Пользуясь двойственностью диаграмм, можно срав- нивать разбиения, подчиненные некоторым ограниче- ниям на величину слагаемых с разбиениями, подчинен- ными ограничениям на число слагаемых. Например, имеет место такое утверждение: Число разбиений N на слагаемые, не превосходящие п, равно числу разбиений N на не более чем п сла- гаемых. В самом деле, диаграммы для разбиения N на сла- гаемые, не превосходящие п, состоят из N точек, при- чем в каждой строке не более п точек. Значит, в этой диаграмме не более чем п столбцов. Но тогда двой- ственная диаграмма имеет не более чем п строк, то есть соответствует разбиению числа N на не более чем п слагаемых. 8* 115
Точно так же доказывается, что число разбиений .V на п слагаемых равно числу разбиений на слагаемые, не превосходящие п, хотя бы одно из которых равно п. Далее, рассмотрим разбиения числа N на четные ела- гаемые. Эти разбиения изображаются диаграммами, строки которых содержат четное число точек. Но тогда в двойственной диаграмме будет четное количество сла- гаемых каждого вида (рис. 15). Отсюда выводим такое утверждение. Рис. 15. Количество разбиений N на четные слагаемые равно количеству разбиений, в которые каждое из чисел вхо- дит четное число раз (разумеется, некоторые слагаемые могут совсем не входить, поскольку нуль — четное число). Точно так же доказывается, что Количество разбиений N на нечетные слагаемые рав- но количеству разбиений, в которые каждое из слагае- мых, кроме наибольшего, входит четное число раз, а наибольшее слагаемое — нечетное число раз. Формула Эйлера') В связи с некоторыми вопросами разбиений Эйлер изучил бесконечное произведение Д = (1—х)(1 — х2)(1 — х3) ... (1—х") ... (26) Раскроем в этом произведении первые 22 скобки. Мы получим выражение А[1 —х — х-’ + х5-|-х7 — х12 — х15 Д'х22 + .. •] X X (1—х23)(1—х24) ... (1— хп) ... Этот пункт может быть пропущен при первом чтении. 116
где точками обозначены слагаемые, содержащие х в бо« лее высокой степени, чем 22. Мы не стали выписывать эти члены, так как после умножения квадратной скобки на 1 —х23, 1 —х24, .. и т. д. они изменятся. Выписанные же члены больше меняться не будут. Поэтому если раскрыть все скобки, то получится бесконечный ряд, пер-, вые члены которого имеют вид 1 — х — х2 + х54-х7— х12 — х15 + х-2 4- ... (27) Видно, что после двух отрицательных членов идут два положительных, потом снова два отрицательных и т. д. Однако закон, по которому идут показатели этих членов, уловить гораздо труднее. Путем длительного экспериментирования Эйлер установил следующее пра- вило: Если превратить бесконечное произведение (1—х)(1—х2)(1—х3) ... (1 —хл) ... в ряд, то в этом ряду будут отличны от нуля лишь сла- зь* ± k гаемые вида (—l)ftx 2 , где k — натуральное число. Теорема Эйлера имеет большое значение не только в теории разбиений на слагаемые, по и в теории эллип- тических функций и других вопросах математического анализа. Однако большинство доказательств этой тео- ремы довольно сложны. Мы приведем сейчас весьма простое геометрическое доказательство теоремы Эйлера. Предварительно нам понадобится сформулировать эту теорему на языке теории разбиений. При раскрытии скобок в выражении (26) слагаемые ±xN встретятся столько раз, сколькими способами можно разбить число N на различные слагаемые. При этом xN появляется, если число слагаемых четно, а —xiV, если это число нечетно. Например, разбиению 12 = 5+4+; + 2+1 соответствует слагаемое (—х5) (—х4) (—х2) (—х) = =х12, а разбиению 12=5 + 4 + 3 — слагаемое (—х5) (—х4) (—х3) = — х12. Таким образом, коэффициент при xN в разложении (27) равен разности между количеством разбиений на четное число различных слагаемых и количеством раз- биений на нечетное число различных слагаемых. Тео- рема Эйлера утверждает: . . 117
Если число N не может быть представлено в виде Jy — g— • т0 оно имеет одинаковое количество разбиений на четное и на нечетное число различных сла- гаемых. А для чисел вида N = g— , разность меж- ду этими количествами равна (—l)ft (то есть если k четно, то на 1 больше разбиений на четное число слагаемых, а если k нечетно, то на 1 больше разбиений на нечетное число слагаемых). Чтобы доказать теорему Эйлера, покажем один спо- соб превращения диаграммы с четным числом строк в Рис. 16. диаграмму из стольких же точек с нечетным числом строк, и обратно. Так как мы рассматриваем лишь раз- биения на различные слагаемые, то диаграммы таких разбиений состоят из нескольких трапеций, поставлен- ных друг на друга. Обозначим число точек в верхней строке диаграммы через т, а число строк нижней тра- пеции через п. На рис. 16 изображена диаграмма, для которой т=2ил=3. Предположим, что диаграмма содержит не менее двух трапеций, причем т^,п. В этом случае отбросим первую строку и удлиним последние т строк нижней трапеции на одну точку. После этого общее число точек не изменится, все строки окажутся различной длины, но четность числа строк изменится. Точно такое же преоб- разование можно сделать, если диаграмма состоит из одной трапеции, причем т^.п— 1. На рис. 17а изобра- жен результат такого преобразования диаграммы. Пусть теперь диаграмма содержит не менее двух трапеций, причем т>п. Тогда от каждой строки послед- 118
ней трапеции возьмем по одной точке и составим из них первую строку новой диаграммы. Это можно сделать, так как т>п и поэтому составленная строка короче первой строки исходной диаграммы. Кроме того, так как мы взяли все строки нижней трапеции, то в получив- шейся диаграмме все строки будут иметь различную Рис. 17а. длину. Наконец, новая диаграмма содержит столько то- чек, что и исходная, но четность числа строк измени- лась— новая диаграмма содержит еще одну строку. Точно такое же преобразование допускают диаграммы, состоящие из одной трапеции, если н т — 2. На Рис. 176. рис. 176 изображен результат описанного преобразова- ния диаграммы. Сравнивая рисунки 17а и 176, мы убе- ждаемся, что описанные преобразования взаимно обрат- ны— если сначала сделать одно из них, а потом второе, то снова получим исходную диаграмму. Таким образом, диаграммы разбиений числа N, до- пускающие одно из этих преобразований, распадаются на одинаковое число диаграмм с четным и нечетным чис- лом строк. Осталось выяснить, какие же диаграммы не допускают описанного преобразования. Ясно, что эти диаграммы состоят из одной трапеции, причем для них либо m-п, либо ni—n+J. В первом случае диаграмма 119
Зл2 — л Зл2 -4- л содержит —g— точек, а во втором -----------g— точек (рис. 18). Приведенные рассуждения показывают, что если N Зл2 ± л не является числом вида—’ т0 оно имеет поровну разбиений на четное и на нечетное число различных сла- гаемых. ЕслиЛ' =——и п — четное число, то остается т=п=3 От-4, п-3 Рис. 18. одна диаграмма, не допускающая преобразования и имеющая четное число строк. Поэтому разбиений на чет- ное число слагаемых окажется на 1 больше, чем на не- четное число слагаемых. Если же /V = ——и п — не- четное число, то на 1 больше будет разбиений на нечет- ное число слагаемых. Теорема доказана.
ГЛАВА V КОМБИНАТОРИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ Человек бродит по городу На рис. 19 изображен план города (примерно такой вид имеет план Канберры — столицы Австралии). В этом городе nxk прямоугольных кварталов, разделенных п—1 «горизонтальными» и k—1 «вертикальными» ули- цами. Путник хочет попасть из пункта А в пункт В Рис. 19. кратчайшим путем, то есть двигаясь все время или «слева направо», или «снизу вверх». Сколькими путями он может добраться из А в В? Ясно, что, каким бы путем ни шел путник, он прой- дет через k+n перекрестков (считая точку А, но не счи- тая точку В). На каждом перекрестке он может идти или направо, или вверх. В соответствии с этим все пе- рекрестки делятся на два класса. Сопоставим тем пере- кресткам, где он выбирает путь вправо, цифру 0, а тем, где он идет вверх, цифру 1. Так как число перекрестков 121
первого класса должно равняться k, а второго п (иначе путник не по- падет в точку В), то по- лучим перестановку, со- стоящую из k нулей и п единиц. Каждой та- кой перестановке в свою очередь соответствует некоторый путь. На рис. 19 изображен путь, соответствующий пере- становке 0110001100. Но число перестано- вок из k нулей и п еди- ниц равно P(k, ti) = C^k = _ (” + *)! /П л!А! • ' > Тому же самому равно и число кратчайших путей из Ав В. Арифметический квадрат Перемещения путника по городу напоминают движе- ния шахматной ладьи. Возьмем бесконечную шахматную доску, ограниченную с двух сторон перпендикулярными лучами, и поставим в углу этой доски ладью. Мы будем предполагать, что ладья движется по доске или сверху вниз, пли слева направо. Комбинируя друг с Другом эти движения, можно получить различные пути, ведущие из углового поля в данное поле доски. Напишем на каждом поле доски число этих путей. Ясно, что написанное число зависит от координат поля, от того, в какой вертикали и горизонтали оно находится. Нам будет удобно нумеровать вертикали и горизон- тали числами 0, 1,2, ..., п, ... При такой нумерации уг- ловое поле получает координаты (0, 0). Используя ре- зультат, полученный при решений предыдущей задачи, убеждаемся, что на пересечении k-й вертикали и п-й го- ризонтали стоит число С*+й (чтобы попасть на это поле, 122
надо сделать k ходов вправо и п ходов вниз). Подставим вместо Cn+k их числовые значения. Мы получим тогда таблицу ,3. Эту таблицу на- таблица з зывают арифметическим ква- дратом. Познакомимся под- робнее с его свойствами. Внимательное изучение ариф- метического квадрата по- казывает, что каждое напи- санное в нем число полу- чается по следующему зако- ну; оно равно сумме числа, написанного над ним, и чис- 1111 1 1 . . 1 2 3 4 5 6 . . 1 3 6 10 15 21 . . 1 4 10 20 35 56 . . 1 5 15 35 70 196 . . 1 6 21 56 126 252 . , ла, написанного слева от него. Например, над числом 10 = 4 + 6 написано 4, а слева от пего 6. Полученное правило легко вытекает из доказанного ранее (см. стр. 53) равенства -+-Но его можно доказать и непосредственно. В самом деле, на поле (fe, п) ладья может попасть с одного из полей (k—1, п) или (k, п—1). Поэтому в силу правила суммы число способов попасть на поле (k, п) равно сумме числа способов достигнуть поле (k—1, п) и числа способов достигнуть поле (k, п— 1). А это и есть наше утверждение. Из соотношения C„+k — Cnn+k вытекает, что арифме- тический квадрат симметричен относительно диагонали, проходящей через угол (мы будем называть ее главной диагональю). Впрочем, это свойство также легко дока- зать геометрически — попасть на пересечение п-й вер- тикали и k-n горизонтали и на пересечение fe-й вертикали и п-й горизонтали можно одинаковым числом способов.. Фигурные числа При вычислении элементов таблицы 3 мы пользова- лись как элементами предыдущей строки, так и элемен- тами предыдущего столбца. Но достаточно было исполь- зовать элементы предыдущей строки. В самом деле, мы доказали на стр. 54 формулу (15) Ck | хчй — 1 . I n + k— + -f~ Ся + б_2 -f~ ... Эта формула показывает, что каждый элемент нашей таблицы равен сумме элементов предыдущей строки, 123
начиная с первого и кончая элементом, стоящим непо- средственно над вычисляемым. Таким образом, последо- вательно складывая элементы (п— 1)-й строки, мы вы- числяем один за другим элементы п-й строки. Такой метод вычисления таблицы 3 связан с восхо- дящим к древнегреческим математикам Пифагору и Ни- комаху учением о фигурных числах. Дело в том, что числа 1, 2, 3, ... можно изображать строками из одной, Рис. 20. двух, трех и т. д. точек, а эти строки объединить в тре- угольники (рис. 20). Тогда число точек в каждом тре- угольнике будет равно соответствующему числу во вто- рой строке таблицы ')• Поэтому числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т. д. называют треугольными числами, k-e треугольное число равно .2 ' (k-lrl)k #4-1 л Точно так же треугольники, изображенные на рис. 20, можно объединять в пирамиды. Число точек в каждой пирамиде равно соответствующему числу в третьей строке нашей таблицы. Поэтому числа 1, 4, 10, 20, 35 и т. д. называют пирамидальными. Их общин вид такой: .з (k + 4)(k-^\)k *+2 — Г.2-3 Чтобы дать аналогичное истолкование числам следую- щих строк, надо было бы перейти к пирамидам в про- странствах высшего числа измерений. Учение о фигурных числах на протяжении многих столетий привлекало математиков, и было в свое время важным разделом теории чисел. ’) Напомним, что строки нумеруются числами 0, 1, 2, ..., и по- тому верхняя строка—нулевая, следующая за пей — первая и т. д. 124
Арифметический треугольник Возьмем теперь доску, ограниченную только с одной стороны, и поставим на поле А нулевой горизонтали шашку (рис. 21). Двигаясь по правилам шашечной игры, эта шашка мо- жет попасть на лю- бое поле в области, ограниченной пря- мыми АВ и АС. Сно- ва напишем на Каж- дом поле число спо- собов, которыми на него может попасть наша шашка. Мы ви- дим, что написанные Рис. 21. числа совпадают, по сути дела, с числами арифметического квадрата и только иначе расположены. Это не удивительно: если повернуть доску па 45°, то шашка будет двигаться по горизонтальным и вертикаль- ным линиям, и задача превратит- ся в задачу о движениях ладьи. ТАБЛИЦА 4___________ Числа на рис. 21 обычно изо- 1 бражают в виде треугольника (таблица 4). Здесь каждое число 1 1 равно сумме двух чисел предыду- щей строки, между которыми оно находится. Этот треугольник ча- 13 3 1 сто называют треугольником Пас- каля. Однако еще до Паскаля 1 4 6 4 1 (1623—1662) его знал итальян- ........:.......... ский математик Тарталья1) (1500—1557). А за много лет до Тарталья этот тре- угольник встречается в работах арабских математиков ') Тарталья был замечательным .математиком. Кроме арифмети- ческого треугольника, он открыл формулу решения для кубических уравнений. Он рассказал эту формулу другому итальянскому мате- матику Д. Кардано, взяв с него клятву никому не открывать до- веренный секрет. По Кардано вскоре опубликовал это решение в своем учебнике алгебры, и потому формулу для решения кубиче- ских уравнений совершенно несправедливо называют «формулой Кардано», 1.25
Гиясэддина и Омара Хайяма. Поэтому мы будем назы- вать его просто арифметическим треугольником. Арифметический треугольник можно записать и в та- ком виде: ТАБЛИЦА 5 1 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 ... 1 3 3 1 0 0 ... 1 4 6 4 1 0 ... 1 5 10 10 5 1 ... Здесь на пересечении А-й вертикали и n-й горизонтали стоит число Сп (напомним, что крайние линии имеют нулевые номера). Каждое число треугольника равно сумме числа, стоящего выше его, и числа, расположен- ного в предыдущей строке наискосок влево. Например, над числом 4 в четвертой строке стоит число 1, а наиско- сок влево от 4 стоит число 3, и 4 = 1 +3. Отметим еще следующие особенности арифметиче- ского треугольника — все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, а нулевой стол- бец состоит из единиц. Числа, стоящие в п-н строке арифметического треугольника, то есть числа С„ при фиксированном п, являются коэффициентами в разложе- нии бинома (1+х)п по степеням х. Поэтому их назы- вают также биномиальными коэффициентами. Мы оста- новимся на этом подробнее в главе VII. Расширенный арифметический треугольник Арифметический треугольник занимает лишь часть плоскости. Распространим его на всю плоскость, сохра- няя сформулированное выше правило — каждый эле- мент равен сумме элемента, стоящего над ним, и эле- мента предыдущей строки, стоящего наискосок влево. При этом, так как нулевой столбец арифметического тре- угольника состоит нз единиц, то и в расширенном тре- угольнике заполним этот столбец единицами., 126
Применяя указанное правило к элементам нулевого столбца, видим, что перед ним должен быть столбец, за* полненный нулями. Но тогда и все дальнейшие столбцы влево состоят из одних нулей. Поэтому надо лишь вы- яснить, что стоит над нулевой строкой треугольника. Наискосок от первого элемента нулевой строки стоит число 1, а сам этот элемент равен нулю. Поэтому над ним надо написать —1 (1 + (—1)=0). Но тогда, чтобы получить нуль и на втором месте первой строки, радо поставить над ним число 1. Продолжая далее, увидим, что над первой строкой появилась новая строка, состоя- щая из чередующихся чисел 1 и —1. Точно так же за- полняются остальные строки вверх. В результате получаем таблицу, часть которой изо- бражена ниже: ТАБЛИЦА 6 ... 0 1 -5 15 —35 70 —196 . . . ... 0 1 —4 10 -20 35 -56 . . . ... 0 1 —3 6 —10 15 —21 . . . ... 0 1 —2 3 —4 5 —6. . . ... 0 1 -1 1 —1 1 -1 . . . ... 0 1 0 0 0 0 0. . . ... 0 1 1 0 0 0 0. . . ... 0 1 2 1 0 0 0. . . ... 0 1 3 3 1 0 0. . . ... 0 1 4 6 4 1 0. . . ... 0 1 5 10 10 5 1. . . Рассматривая часть этой таблицы, расположенную выше нулевой строки, убеждаемся, что она отличается от арифметического квадрата на стр. 123 лишь знаками членов. Именно, на пересечении (—п)-й горизонтали и k-й вертикали стоит число (—Ckn+k-i- Разумеется, рассмотрение части таблицы не может служить до- казательством того, что это утверждение верно для всех строк и всех столбцов. Чтобы убедиться в его 127
справедливости, заметим, что (- 1)‘-2с*;1_2= = (-1)*-1 [с*,._! - с*;1_2]=(-1)*-1 с‘+й_2 (см. формулу (11) на стр. 53). Полученное равенство показывает, что в таблице, составленной из чисел (—1)а~1С*+й-1, А-й элемент строки п+1 равен сумме элементов (—п)-й строки с номерами k и А—1. Иначе, правило заполнения таблицы из чисел (—1) Cm+s-i совпадает с правилом заполнения таблицы для расши- ренного арифметического треугольника. Так как, кроме того, эти таблицы имеют одинаковые сроки с номе- ром— 1 и нулевой столбец, то все их элементы совпадают. В исходном арифметическом треугольнике на пере- сечении n-й горизонтали п А-й вертикали стояло число Ckn. В расширенном треугольнике на пересечении (—п)-й горизонтали и А-й вертикали стоит число (—l)ft-1C*+*_i. Поэтому можно обобщить символ Ckn на отрицательные значения п, положив Cl„ = (—1/’1 (2) Как показывает таблица 6, обобщение символа С* на отрицательные значения А тривиально: при А<0 имеем Сп — 0 (см. также стр. 202). Кроме того, С„ = 0, если О < п < А. Шахматный король Арифметический треугольник можно получить еле-* дующим образом. Поставим в левом верхнем углу таб- лицы «одностороннего шахматного короля», то есть фи- гуру, которая может ходить только на одно поле вперед и на одно поле наискосок вправо. Написав на каждом поле число способов, которыми эта фигура может дойти до этого поля, мы получим арифметический треугольник. Заменим теперь «одностороннего короля» обычным шахматным королем, ограничив его свободу передвиже- ния лишь одним условием: король должен всегда идти 128
вперед, на следующую горизонталь. Для того чтобы ко- роль мог использовать свои новые возможности, надо расширить доску, взять доску, ограниченную только.с одной стороны прямой линией. На рис. 22 изображена такая доска, на каждом поле которой указано число способов, которым может достигнуть его король, перво- начально находившийся на поле А. Разберемся, как составлена новая таблица. Предпо- ложим, что для каждого поля горизонтали п — 1 уже найдено, сколькими способами может попасть на него царственный скиталец. Найдем, сколькими способами достигаются поля п-й горизонтали. На каждое из этих полей король может попасть с одного из соседних полей горизонтали n— I (лежащего прямо над ним, наискосок вправо и наискосок влево, см. рис. 22). По правилу суммы получаем следующий результат: Число способов, которыми шахматный король может достигнуть некоторого поля п-й горизонтали, равно сумме чисел способов, которыми достигаются три сосед- них поля горизонтали п— 1. При этом считается, что для поля, на котором ко- роль стоит в самом начале, есть один такой способ (не двигаться с места), а для остальных полей нулевой го- ризонтали таких способов совсем нет. Обобщенный арфиметический треугольник Треугольник на рис. 22 можно изобразить иначе, сдвинув все числа вправо так, чтобы таблица умести- лась на части доски, ограниченной двумя перпендику- лярными лучами. 9 Н. Я. Виленкин 129
В этом случае правило получения каждого числа таб- лицы формулируется так: Каждое число равно сумме трех чисел предыдущей строки: стоящего прямо над ним и двух соседних слева. При этом в углу стоит число 1, а все остальные эле- менты нулевой строки равны нулю. Например, число 16 в четвертой строке является суммой чисел 3, 6 и 7 третьей строки. Совершенно ясно, как дальше обобщать арифмети- ческий треугольник. Возьмем какое-нибудь натуральное число m и будем заполнять таблицу по такому правилу: в левом верхнем углу поставим число 1, а во все осталь- ные клетки нулевой строки — нули. А после этого в ка- ждую клетку первой строки запишем сумму пг элемен- тов нулевой строки: стоящего прямо над искомым и пг — 1 элементов влево от него. Ясно, что тогда первые пг элементов первой строки окажутся равными единице, а остальные — нулю (если при составлении суммы не хватает слагаемых, то недостающие слагаемые считают- ся равными нулю; иными словами, таблицу дополняют слева таблицей из нулей (см. таблицу 7). ТАБЛИЦА 7 00 100000000 00 111000000 00 123210000 00 136763100 0 0 1 4 10 16 19 16 10 4 1 Совершенно так же заполняются остальные строки таблицы: каждый элемент таблицы равен сумме пг эле- ментов предыдущей строки: стоящего прямо над ним и пг — 1 стоящих влево. В частности, арифметический тре- угольник получается при т=2, треугольник на таблице? при пг = 3. Для того чтобы различать друг от друга арифмети- ческие треугольники с различными значениями пг, мы будем называть их т-арифметическими треугольниками. Элемент m-арифметического треугольника, стоящий на пересечении n-й горизонтали и А-й вертикали, обозначим 130
через Cm{k,ri). Из определения m-арифметического тре- угольника вытекает, что числа Cm(k, п) удовлетворяют соотношению Cm(k, n) = Cm(k, л-1) + Ст(А-1, л-1)4- ... ••• — ^+L Ч—1)- (3) При этом выполняются условия {1, если —1; О, если k^>m. Обобщенные арифметические треугольники и/п-ичная система счисления Числа Cm(k, п) связаны с m-ичной системой счисления. Именно, Ст (£, п) равно количеству п-значных чисел в т-ичной системе счис- ления, у которых сумма цифр равна k. При этом термин «п-знач- ные» мы понимаем в широком смысле, допуская и числа, начинаю- щиеся с одного или нескольких нулей. Например, 001 215 рассматри- вается как шестизначное число, сумма цифр которого равна 9. Чтобы доказать сформулированное утверждение, обозначим ко- личество n-значных чисел в пг-ичной системе счисления, сумма цифр которых равна k, через Bm(k, п). Мы покажем, что числа Bm(k,n) удовлетворяют тому же соотношению (3), что и Cm(k, п). В самом деле, последняя цифра числа ъ пг-ичной системе счисления может принимать одно из значений 0, 1, ..., пг—1. В соответствии с этим сумма цифр (п—1)-зиачного числа, получающегося из п-значного отбрасыванием последней цифры, может принимать одно из значе- ний k, k—1, ...., k — пг+1. В силу правила суммы получаем от- сюда, что Bm(k, n) = Bm(k. n —1)+ ... -\-Bm(k — иг-[-1, n —1). (4) Кроме того, ясно, что Bm(k, 1) равно 1, если —1, и 0 в противном случае (в пг-ичной системе счисления есть только од- но однозначное число с суммой цифр k, если О'Сй^пг—1, и ни одного такого числа, если k^m). Таким образом, первая строка таблицы чисел Bm(k, п) совпадает с первой строкой таблицы чисел Cm(k, п). Так как законы (3) и (4) составления этих таблиц тоже совпадают, то для любых k и п имеем Bm (k, п) =Ст (&, л). Некоторые свойства чисел Ст (k, п) Числа Ст (k, п) обладают рядом свойств, напоминающих свой- ства чисел С^. Это не удивительно, поскольку в силу построения арифметического треугольника имеем С2 (k, п) — С^. В первую оче- редь отметим, что Cm(k, п) отлично от нуля лишь при < <.п(пг—1). Это сразу следует из того, что каждая следующая строка иг-арифметического треугольника длиннее предыдущей на пг— 1. 9* 131
Далее, покажем, что числа Cm(k, п) обладают следующим свой- ством симметрии: Ст (k, п) = Ст (л ('« — 1) — k, п). (5) Для этого сопоставим каждому л-зиачному числу в m-нчной систе- ме счисления «дополнительное число», получающееся путем замены каждой цифры ее дополнением до Например, в 7-ричной си- стеме счисления дополнительным к 3 140216 будет число 3 526 450. Ясно, что если сумма цифр данного числа равнялась k, то сумма цифр дополнительного числа равна п(т—1)—k. Поэтому л-знач- ных чисел с суммой цифр k столько же, сколько и с суммой цифр п(т — 1) — k. Но это и выражено равенством (5). Так как общее количество л-значиых чисел в и-ичноп системе счисления равно т" (см. стр. 12), то имеет место соотношение Ст (О’ л)-|-Ст(1, п) -|- ... Ст (п (т— 1), п) — тп. (6) Докажем теперь соотношение с,„(о, i)C,n(k, n-i)+CmV. i)Cm(t-i, n-i)+ ...+cm (k. I) Cm (0, П - I) = Cm (k. n), (7) где 0<7<X Для этого разобьем все л-зиачные числа с суммой цифр, равной k, на классы. К s-му классу отнесем числа, сумма пер- вых I цифр которых равна s. Тогда сумма последних п — I цифр будет равна k — s. По правилу произведения получаем, что в s-й класс входит Cm(s, l)Cm(k — s, п — I) чисел. Так как об- щее количество л-значных чисел с суммой цифр k равно Сж (&,«), то по правилу суммы получаем соотношение (7). В частности, при 1=1 соотношение (7) проиводит к равенству (3) (так как Cm(k, 1) = 1 при <J+k+ т— 1 и Ст (Л, 1)=0 при /г>лг). Наконец, покажем, что имеет место равенство C*nCm-dk-n, (*-"+! н-1)+ • • • + CsnCm_x (k — п -|- s, п — s) -|- ... -|- Спп Ст _1 (&, 0) = Ст (£, п). (8) Для этого разобьем все л-значиые числа в ш-пчной системе счис- ления, сумма цифр которых равна k, на классы. К s-му классу, 0<д<л, отнесем числа, в лт-пчиой записи которых встречается ровно s пулей. Найдем, сколько чисел входит в s-ft класс. Каждое число s-ro класса может быть выбрано в два этапа. Сначала выберем места, на которых стоят пули. Так как рассматриваются л-зиачные числа, а количество нулей равно s, то это может быть сделано Csn спосо- бами. После этого вычеркнем все нули и уменьшим каждую остав- шуюся цифру на 1. Мы получим (л — э)-зпачное число, записанное цифрами 0, 1, ..., т — 2 (то есть число в (т—1)-ичиой системе счисления), сумма цифр этого числа равна k— (л — s)=k — n+s. Ко- личество таких чисел равно Cm-\(k— n + s, п — s), Из проведенных 132
рассуждений видно, что в s-й класс входит CsnCm_l (k — n-\-s, п — s) чисел. Так как общее количество п-зпачных чисел, имеющих сумму цифр k, равно Cm(k, п), то в силу правила суммы получаем соотношение (8). Так как С2 (k, п) — С^, то из соотношения (8) следует, что c3{k, h) = c°cl„ + c^z1„+1+ ... +с"с°. Повторно применяя формулу (8), получаем выражение Cm(k, п) че- рез биномиальные коэффициенты. Шашка в углу Возьмем снова бесконечную шахматную доску, огра* ниченную двумя перпендикулярными лучами, и поста- вим в углу этой доски шашку (рис. 23)1)- На каждом поле доски напишем число способов, которыми шашка Рис. 23. может на него попасть. Результат будет отличаться от полученного ранее, когда доска была ограничена только одной прямой линией (см. стр. 125), так как теперь шашка не может перейти вертикальную границу. По- этому число возможностей попасть на какое-нибудь поле стало меньше: идя на это поле, шашка не должна заби- рать слишком влево. Например, па поля, находящиеся вдоль границы, шашка может попасть только с одного ') На рисунке изображен нужный для дальнейшего добавочный столбец. 133
поля, а не с двух, как это было на стр. 125. На стр. 125 говорилось, что число, написанное на каждом черном поле, равно сумме двух чисел, написанных на соседних черных полях предыдущей горизонтали. Чтобы этот закон сохранил силу и сейчас, надо провести еще одну вертикаль слева от границы, и на каждом ее чер- ном поле написать нуль (попасть на это поле невоз- можно) . Подсчитаем, сколькими же способами можно попасть на некоторое поле с учетом сделанного ограничения. Ка- ждый путь можно записать в виде последовательности нулей и единиц — нуль означает ход влево, а единица — ход вправо. При этом число нулей и единиц определяет^ ся только полем, на которое должна попасть шашка. На- пример, любой путь из 4 нулей и 6 единиц приводит к полю на пересечении второй вертикали и десятой го- ризонтали (как и выше, мы считаем, что крайние линии имеют нулевой номер). Однако не любая последовательность нулей и еди- ниц допустима. Например, нельзя начинать с нуля — этот ход сразу выведет шашку за пределы доски. Допу- стимые последовательности обладают следующим харак- теристическим свойством: перед каждым местом стоит не меньше единиц, чем нулей — в каждый момент дви- жения число ходов вправо должно быть не меньше, чем число ходов влево, иначе шашка окажется за пределами доски. Итак, нам надо найти, сколько последовательностей из k нулей и m единиц обладает следующим свойством: перед каждым местом последовательности число единиц не меньше, чем число нулей. Но эту задачу мы уже ре- шили на стр. 83 (только там вместо нулей и единиц брали буквы р и п). Там было показано, что число та- « ш — k 4-1 ких последовательностей равно —Это число и надо написать на пересечении горизонтали m+k и вертикали пг — k. Поставим теперь шашку не в угол, а на </-е поле ну- левой горизонтали (вопреки шашечным правилам это поле может быть и белым). Теперь у шашки появи- лось q запасных ходов влево. Этот случай соответствует рассмотренной на стр. 84 задаче, в которой кассир за- ранее запасся q полтинниками. Используя полученный 134
там ответ, приходим к выводу: если на некоторое поле шашка попадает, сделав k ходов влево и т ходов вправо, О k m + q, то число различных способов попасть на это поле равно C,„ + fe— Ст+ь1- На .рис. 24 изображена таблица, возникающая при q=3. Арифметический пятиугольник Повернем доску на 45°. Тогда шашка будет двигаться по вертикальным и горизонтальным прямым, а гра- ница будет наклонена к этим прямым под углом в 45°. Поэтому задача о шашке в углу примет следующий вид: В углу шахматной доски стоит ладья. Сколькими спо- собами она может попасть на поле (m, k), двигаясь кратчайшим образом и не пересекая во время движе- ния диагональ доски (вставать на поля диагонали ладья может) ? Из доказанного выше следует, что при k-^m число этих способов равно—jа при k>m— нулю. Если же перенести диагональ на q полей вправо, то от- вет примет вид: при Q ^.k ^.m-\-q число способов равно Cmi-k — Ckm+kX, а при k>tn + q — нулю. Если шахматная доска конечна, то отличные от нуля числа этой таблицы заполняют пятиугольник (рис. 25). 135
Его называют арифметическим, пятиугольником. Это же название сохраняют и для таблицы, получающейся на бесконечной доске, ограниченной двумя перпендикуляр’ цыми лучами. Основное свойство арифметического пятиугольника совпадает с основным свойством арифметического квад- рата: каждое число арифметического пятиугольника равно сумме двух чисел: стояще- го выше него и стоящего слева от пего. Отличие же арифметическо- го пятиугольника от арифметиче- ского квадрата состоит в том, что диагональ пятиугольника, распо- ложенная на q линий выше глав- ной диагонали, состоит из нулей / / 1 0 0 0 / 2 3 4 0 0 / 3 6 10 /4 X 0 / 4 10 20 34 48 (этим пятиугольник напоминает Рис- 25- арифметический треугольник, рас- смотренный на стр. 126). Возьмем теперь доску, ограниченную двумя перпен- дикулярными лучами, и проведем на ней не одну, а две линии, параллельные главной диагонали — на q линий выше ее и на s линий ниже ее. Будем считать обе эти 1 1' 1 1 7. 0 0 1 2 3 4 5 Ъ. 0 1 3 6 10 15 20 4 10 20 35 55 75 0 4^ 14 34 69 124 199 0 0 48 117 241 340 Рис. 26. линии «запретными» для ладьи и напишем на каждом поле доски число способов, которы- ми ладья может дойти до этого поля. Получающаяся таблица носит название арифметическо- го шестиугольника. На рис. 26 изображена такая таблица при <7 = 4, s = 3. Арифметический шести- угольник можно истолковать также следующим образом. Возьмем шахматную доску, ог- раниченную отрезком длины в s + q полей и двумя перпенди- кулярными к нему лучами, и поставим шашку на поле, удаленное от одного угла на s полей, а от другого угла на q полей. Напишем на каждом поле число спо- собов, которыми может достигнуть его наша шашка. Повернув эту таблицу па 45°, получим арифметический шестиугольник. 136
Геометрический способ доказательства свойств сочетаний В главе II были доказаны некоторые свойства соче- таний. Покажем, как вывести эти свойства более нагляд- но, используя геометриче- ские соображения. Сначала покажем, как вывести соотношение С\, Сп 4- С п + ... 4- 4 С" = 2". (9) Для этого рассмотрим все пути, ведущие из точки 4(0, 0) в точки вида ВДй, п — k), (рис. 27). Эти пути распадаются на классы в зависимости от того, в какой точке Bh, 0-^.k^.n, они заканчиваются. В точку же Bk ведет P(k, п — k) = C„ путей. Нам оста- лось подсчитать общее число рассматриваемых путей. Каждый такой путь имеет длину п. Его можно заши- фровать ^-последовательностью из нулей и единиц, со- поставив горизонтальным отрезкам нули, а вертикаль- ным— единицы. Но число всех ^-последовательностей из нулей и единиц равно 2П. Тем самым доказано соот- ношение (9). На стр. 123 мы уже доказали геометрически соотно- шения С А —1 — А п — п-1 । л-1 И С д — С ц . Этим способом можно доказать и более сложные ра- венства. Проведем вертикальную прямую с абсциссой т, (рис. 28). Каждый путь, ведущий из точки А (0, 0) в точку B(k, п), пересекает эту прямую, причем, быть может, частично проходит по этой прямой. Разо- бьем множество всех путей из А в В на классы, причем в s-й класс отнесем пути, для которых последней общей точкой с прямой х = т является точка D.<(m, s). Подсчитаем теперь, сколько путей, соединяющих точ- ки А и В, относится к s-му классу. Каждый такой путь 137
состоит из пути, идущего от Л к Ds, отрезка от Ds(m, s) до Ds (тп-ф 1, s) (ведь Ds — последняя точка прямой х = = пг на этом пути!) и пути от Ds(m-+ 1, s) до точки B(k, п). По формуле (1) из точки Л (0, 0) в точку Ds(jn, s) ведет Р(т, s) путей. Из точки жеО5(т -ф 1, s) в точку B(k, п) ведет P(k—т—1, п—s) путей (чтобы попасть из Ds в В, надо пройти k — т—1 единичных отрезков вправо и п— s единичных отрезков вверх). По правилу произведения общее число путей s-ro класса равно Р(т, s)P(k — т—1, п — s). Число же всех путей из Л в В равно P(k, п). Поэтому по правилу суммы получаем, что Р (k, п) = Р(т, 0)P(k — т — 1, п) + + Р(т, \)P(k — m—\, п — 1)+ ... ... -\-Р(т, ri)P(k — т—1, 0). Это равенство можно записать так: Сй z^r/2/^й — гл — 1 । pin рук—т — 1 । . । p>k~tn—X п ь к — п + к-т-1 ч т + п+к—т—2 ~г* » • • “Т" ^т+п\^к—т—1 (10) (ср. формулу (24) на стр. 57). В частности, при m = k—1 получаем соотношение Сл+й = Сй-1 -j-С/{ ф Сй+^_1 -f-... Сл+л-1. (И) 138
Заметим, что соотношения (10) и (11) можно вывести, многократно применяя соотношение C„ = C*-i-|-C«Zi, Докажите самостоятельно геометрическим путем фор- мулу (23) на стр. 56: С Л __ I — 1 | л 4-й — n + k~s^ s “г n+k-s^ s "Т" • • • । /->л — л1 х>лг . । f>n — s /*>s (\ci\ * • • ~Т ^n+k-s^s Т" • • • Т^л+Л-sbj, (JZJ где 0 s k, 0 п. Для этого надо провести прямую через точки D(k — s, п) и E(k, п — s) и разбить множество всех пу- тей из Л(0, 0) в B(k, п) на классы в соответствии с тем, через какую точку этой прямой они проходят. Формула (12) лишь обозначениями отличается от формулы (23) на стр. 56. Этим геометрическим способом можно доказать еще целый ряд соотношений для чисел Ckn+k, разбивая раз- личным образом на классы пути, которые ведут из А (0, 0) в B(k, п). Для того чтобы доказать аналогичным образом соот- ношения между числами Р(П[, п^) (см. формулы (27), (28) на стр. 58), пришлось бы использовать мно- гомерную геометрию. Мы не будем здесь этого делать. Заметим, что и соотношения между числами Сп, вы- веденные на стр. 86—89, тоже допускают геометрическое истолкование. Для этого надо взять доску с проведен- ной на ней параллельно главной диагонали линией и рассматривать лишь пути, не пересекающие эту линию (но, быть может, имеющую с ней общие точки). Разби- вая множество этих путей на классы различными спо- собами, приходим к установленным в главе III фор- мулам. Само решение задачи об очереди в кассу может быть очень просто истолковано геометрически. Процесс про- хождения очереди можно изобразить графически, ставя каждому полтиннику в соответствие горизонтальный, а каждому рублю — вертикальный отрезок. Из условия за- дачи ясно, что этот график не должен пересекать глав- ную диагональ. Сделанные при решении преобразования (добавление в очередь одного человека с полтинником и замена полтинников на рубли, а рублей на полтинни- ки) приобретают простой геометрический смысл: они 139
сводятся к отражению графика прохождения очереди в прямой, параллельной главной диагонали и отстоящей от нее па единицу длины. Мы предоставляем читателю перевести па «геометрический язык» рассуждения, кото- рые были использованы при решении этой задачи. Случайные блуждания Разобранные выше задачи о движении шахматных фигур тесно связаны с важными для физики проблема- ми случайных блужданий. Рассмотрим следующую за- окажутся эти люди после резкое, и сколько людей дачу, предлагавшуюся в 1945 г. на VIII Московской математической олимпиаде. Имеется сеть дорог (рис. 29). Из точки А выхо- дят 2х человек. Половина идет по направлению I, по- ловина — по направлению пг. Дойдя до первого перекре- стка, каждая группа разде- ляется: половина идет по на- правлению I, половина — по направлению пг. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Где того, как они пройдут N от- окажется после этого на ка- ждом перекрестке? Так как общее число пройденных каждым человеком отрезков равно N, то очевидно, что все они попадут в точки Bh с координатами вида (й, N— k), где k прини- мает значения 0, 1, ..., N. Все эти точки расположены на прямой, проходящей через точки Во(О, N) и BX(N, 0) (см. рис. 29). Теперь нам надо узнать, сколько человек придет в точку Bh{k. N — k). Для этого зашифруем все пути, ве- дущие из Л(0, 0) в точки ВД/г, N — k), k = 0, 1, ..., N, с помощью нулей и единиц. Мы получим всевозможные Л'-последовательности, составленные из нулей и единиц. А таких последовательностей, как мы знаем, 2-v, то есть столько же, сколько человек вышло нз точки А. Отсюда легко вытекает, что каждый путь пройдет ровно один 140
человек, Поэтому в каждую точку Bh(k, N— k) придет ровно столько людей, сколько кратчайших путей ведет в нее из точки А. А число этих кратчайших путей мы уже сосчитали. Оно равно N—k)--=CN = kl(N_ky • Итак, в точку Bh(k, N— k) придет &i) людей. Это число равно #-му числу jV-h строки арифметического треугольника. Броуновское движение Решенной выше задаче можно придать следующую, по сути дела эквивалентную, форму Из точки О на прямой Ох выходит 2N человек. Из них половина идет направо, половина — налево. Через 1 час каждая группа снова делится пополам, и полови- на идет направо, а половина — налево. Такое разделение происходит каждый час. Сколько человек придет в каж- дую точку через N часов после выхода? Будем считать, что за один час они проходят полови- ну единицы пути. Рассуждая точно так же, как при ре- шении предыдущей задачи, получаем следующий ре- зультат: через W часов участники прогулки окажутся в точках Вк [k — , k = 0, 1, .... N (точка О — нача- ло отсчета). При этом в точку Bh придет Сдг = - человек. Маловероятно, чтобы люди ходили описанным выше образом (впрочем, в фольклорном варианте этой задачи в точке О находится питейное заведение..). Однако в некоторых задачах физики подобные блуждания возни- кают естественным образом. Именно, такое блуждание является простейшей моделью так называемого броунов- ского движения, совершаемого частицами под ударами молекул. Рассмотрим частицы, которые могут передвигаться только по прямой линии. Так как удары молекул носят случайный характер, то в первом приближении можно считать, что за единицу времени половина частиц сме- стится на ’/2 единицы длины вправо, а половина — на 141
’/г единицы влево (па самом деле процесс значительно сложнее и возможны передвижения на различные от- резки). Поэтому если взять 2'v частиц, находящихся в самом начале в точке О, то они будут перемещаться 'примерно так, как было описано в нашей задаче. Такое распространение частиц называют в физике диффузией. .Решенная нами задача о случайном блуждании толпы людей позволяет найти, как распределяются диффунди- рующие частицы через некоторое время после начала диффузии. Именно, через W единиц времени частицы рас- пределятся по следующему закону: в точке Bk[k----------- ~k ЛИ окажется Сn = t частиц. Как уже отмечалось, числа Cn являются элемента- ми W-й строки арифметического треугольника. При ином характере диффузии получатся числа N-yi строки т- арифметического треугольника. Именно, пусть вначале в точке О было tnN частиц. Их разделили на т равных частей и поместили в т точек на прямой Ох, причем расстояние между соседними точками равно 1, и эти точки симметричны относительно точки О. После этого каждая часть делится таким же образом (разумеется, если делится часть, находящаяся в какой-то точке В, то частицы помещают в т точек, симметричных относи- тельно точки В). После W шагов частицы будут нахо- диться в точках Bk с координатами k——N, где & = 0, 1, ..., (т—1)N. При этом в точке Bk будет Cm(N, k) частиц. При больших значениях N подсчет числа частиц в каждой точке становится слишком сложным. Но, как часто бывает в математике, с ростом сложности закон распределения начинает приближаться к простой предельной закономерности, причем эта закономерность тем точнее описывает распределение частиц, чем больше их число, чем сложнее точная закономерность. В теории вероятностей доказывают, что при больших значениях ,, Г а , al N на отрезке х---гр Х~Г~2 ’ где а мало по сравнению с Д', ока- жется примерно 12am'v Г 72х2 Г) —т=-----------ехр--------------- /2л N (т2 — 1). [ № (т2 — I)2. ') Через ехр х мы обозначаем ext 142
частии. Это утверждение можно истолковать так. Построим ступен- о (I. т—* чатую линию, высота которой в точке вк I k------g—/VI равна (т2 — 1 Cm(N, k). Уменьшим все абсциссы полученной линии в ------------ 12а mN раз, а все ординаты в раз. Тогда, если N велико, получится ступенчатая линия, очень мало отличающаяся от гра- фика функции 1 -4 Эту функцию ввел в теорию вероятностей великий немецкий математик К. Гаусс. Поэтому ее называют функцией Гаусса. Она играет важную роль не только в вопросах диффузии газов, но и в теории теплопроводности, теории ошибок н т. д. У Шемаханской царицы Вернемся снова к блужданиям толпы людей по оси Ох. Только теперь будем считать, что слева от точки О, из которой они вышли, простираются... владения Ше- маханской царицы, сыгравшей столь печальную роль в судьбе незадачливого царя Додона и его сыновей. Как читатель, вероятно, помнит, те, кто попадали в ее цар- ство, обратно уже не возвращались. Мы тоже будем считать, что те, кто попадают на левую половину оси, там и остаются. Требуется выяснить, сколько человек останется у Шемаханской царицы и где окажутся осталь- ные люди через N часов после выхода из точки О. Оказывается, эта задача сводится к рассмотренной нами выше задаче об очереди в кассу кинотеатра. В са- мом деле, рассмотрим передвижения некоторого чело- века, вышедшего из точки О. Эти передвижения можно задать последовательностью чисел 1 и —1: каждому передвижению направо соответствует число 1, а каж- дому движению налево — число —1. Если в этой после- довательности имеется k единиц, то он k раз передви- нется вправо и N — k раз влево. В результате он должен был бы оказаться в точке Bk^k-------\ Однако это случится лишь в том случае, если наш путник по дороге *) Напомним, что каждый раз он сдвигается на ’/2 единицы длины. 143
не попадет в Шемаханское царство. А в это царство он попадает, если в какой-то момент времени число пере- движений влево окажется больше числа передвижений вправо. Если вместо передвижений вправо и влево рассма- тривать людей, имеющих полтинники и рубли, то можно сказать, что попадание к Шемаханской царице соответ- ствует тому, что очередь в кассу задержится. Значит, число людей, попавших в точку Bk Ik--^-1, равно числу случаев, когда очередь, в которой стоят k обладателей полтинников nN — k обладателей рублей, пройдет без задержки. А мы знаем, что это число отлично от нуля, лишь если — k. В этом случае оно равно (см. стр. 83) л/аг д м ^.v-A ЛИ (2fc — .TV-]-1) A(N-k,.k) = C„ -C.v = Итак, через М часов после выхода 2N человек из точки О в точку Bk {k----, где 2&>Л', придут Z-vV— k f>N —k — \ q- C2v —Cyv человек. Теперь уже нетрудно подсчи- тать, сколько человек попадет в Шемаханское царство. Для этого сложим сначала числа C;v —C,v от k — E\^-\ -|- 1 ’) до N. Мы получим, что 2) 1 че' ловек в Шемаханское царство не попали. А так как всего из точки О вышло 2-v человек , то во владе- N-E -1 ния Шемаханской царицы попали 2N — CN ' 2' че- ловек. Если бы Шемаханское царство начиналось не слева от точки О, а слева от точки О} (с абсциссой—то результат получился бы несколько иной. Именно, ока- залось бы, что в точках Вк I k , k —j-2-, нахо- дится Сдг —C;v человек, остальные находятся во владениях Шемаханской царицы. Это сразу вытекает из результатов задачи на стр. 84. ') См. сноску на стр. 89. 144
Поглощающая стенка Мы уже говорили, что задачи о случайных блужда- ниях весьма важны для физики — они являются про- стейшими моделями диффузии частиц. Задача о Шема- ханской царице тоже имеет простое физическое истол- кование— просто слева от точки О находится стейка из материала, поглощающего частицы. Если .стейка вплот- ную примыкает к точке О, возникает случай, рассмот- ренный вначале. Если же она отстоит от точки О на ql2 единиц длины, то получается задача, разобранная в кон- це предыдущего пункта. В те времена, когда основным практическим приме- нением комбинаторики и теории вероятностей была тео- рия азартных игр, задача о случайных блужданиях с по- глощением формулировалась иначе. Речь шла об «играх на разорение». Представим себе двух игроков, играю- щих, например, в орел и решку. После каждой партии проигравший уплачивает выигравшему один рубль. Уча- стник, проигравший все деньги, прекращает игру. Надо было выяснить вероятность различных исходов игры, если вначале у одного игрока было р рублей, а у дру- гого q рублей. Очевидна связь этой задачи с задачей о диффузии частиц в области, ограниченной с двух сто- рон поглощающими стенками. Блуждания по бесконечной плоскости До сих пор мы рассматривали либо блуждания ладьи, имеющей право передвигаться лишь вверх или вправо, либо, что, по сути дела, то же самое, блужда- ния по бесконечной прямой. Изучим теперь случай, когда ладья перемещается в любом направлении по бес- конечной доске. Иными словами, решим следующую за- дачу: Шахматная ладья находится в начале на поле О (0,0) бесконечной во всех направлениях шахматной доски. Сколькими способами она может попасть на поле А (р, q), сделав ^ ходов (мы считаем, что за один ход ладья перемещается на соседнее поле)? В силу соображений симметрии достаточно рассмот- реть случай, когда р>0, <?>0. Если бы ладья двигалась 10 Н. Я- Виленкин 145
кратчайшим путем, то она достигла бы поля А(р, q) за p+'q ходов. Поэтому должно выполняться неравенство N^p + q. Отличие ^-ходового пути от кратчайшего со- стоит в том, что ладья делает несколько уничтожающих друг друга ходов, причем очевидно, что число этих хо- дов четно. Поэтому N — р — q является четным числом. Положим N — р — q — 2k. Предположим, что было сделано s ходов влево. Тогда число ходов вправо равно p + s и для передвижений по вертикали остается N — р — 2s = q + 2(k — s) ходов. Из них надо сделать k— s ходов вниз и q + k— s ходов вверх. Поэтому s должно удовлетворять неравенству 0^.s^.k. Для каждого значения s, удовлетворяющего этому неравенству, мы получаем несколько путей, состоящих из s ходов влево, p + s ходов вправо, k— s ходов вниз и q+'k— s ходов вверх. Эти ходы могут выполняться в любой последовательности, а потому число комбинаций равно P(s, p+s, k— s, q+k — s). Отсюда следует, что полное число Т путей, ведущих к полю А (р, q) за W ходов, равно s T=^P(s, p+-s, k — s, q-^k — s)— s = 0 k _y__________(/> + g + 2fe) 1___ Z4 s! (p 4- s)! (k — s) I (q + k — s) I s = 0 Преобразуем полученное выражение. Для этого заме- тим, что рр -I- k _ (р + q 4- 2k)! pk-s (p+-k)\ ^P+q+2k (^4-й)!(^4-й)! ’ (* _ S) J (p 4-S) t ’ ps (q + *) I и потому k 'T' —— + syk — S /">3 i — '-'p + k ^q f k- 5 = 0 Но в правой части равенства стоит сумма попарных произведений С‘ГС™, у которых нижние индексы постоян- 146
ны, а сумма верхних равна k. Применяя формулу (23) со стр. 56, получаем, что 7* ___ * — {~'p + q + ,2k^'p+q + ‘2k> или, поскольку р + q + 2k=N, Т f^p-b kf>k I — Сдг Cjv. Общая задача о ладьях Перейдем к новому циклу комбинаторных задач на шахматной доске. Эти задачи связаны с подсчетом числа расположений двух шахматных фигур (королей, ферзей и т. д.), при которых они могут бить друг друга. Ясно, что тем самым подсчитывается и число расположений, при которых эти фигуры не могут бить друг друга: ведь общее число расположений двух фигур сразу подсчитьн вается по формуле для размещений. Некоторые задачи такого типа мы уже решили —на стр. 34 была разобрана задача о 8 ладьях на обыкно- венной шахматной доске. Обобщим эту задачу и возь- мем тХп доску, то есть доску из т горизонталей и п вертикалей. Мы хотим узнать, сколькими способами можно расставить на т X п доске k ладей так, чтобы они не могли бить друг друга? Ясно, что для разрешимости задачи нужно, чтобы выполнялись условия k^m и k^n— иначе какие-то две ладьи попадут па одну и ту же горизонталь или верти- каль. Пусть эти условия выполнены. Тогда расстановку ладей можно осуществить в два этапа. Сначала выбе- рем горизонтали, на которых будут стоять ладьи. Так как общее число горизонталей равно т, а надо выбрать k горизонталей, то выбор можно сделать Ckm способами. Точно так же вертикали, на которых будут стоять ладьи, можно выбрать Скп способами. Поскольку выбор верти- калей не зависит от выбора горизонталей, то по правилу произведения получаем CkmCkn способов выбора линий, где стоят ладьи. Однако этим еще дело не кончено. Ведь k горизон- талей и k вертикалей пересекаются по &2 клеткам. Сдви- гая, если понадобится, эти клетки, мы получим новую доску из k горизонталей и k вертикалей. А мы уже знаем, что на такой доске k ладей можно расставить k\ 10* 147
способами (так, чтобы они не могли бить друг друга). Поэтому общее число требуемых расположений ладей равно п! т! Ck Ck k I —______________ — й!(п_й)!(от_й)! • (13) Например, 3 ладьи па обычной шахматной доске можно расставить 17696. При k = m = n формула (13) дает ответ п\ в соответ- ствии со сказанным на стр. 35. Если снять ограничение, что ладьи не могут бить друг друга, то ответ был бы иной. Именно, нам надо было бы выбрать из mX/i клеток любые k клеток. А это можно сделать k! (тп — k)! способами. А если бы k ладей различались друг от дру- га, то полученные ответы надо было бы умножить па k\. Симметричные расстановки Усложним теперь задачу о ладьях и потребуем, что- бы они не только не били друг друга, но еще симмет- рично стояли на доске. При этом получается много за- дач в зависимости от того, какое налагается условие симметрии. Самым простым является случай, когда ладьи стоят симметрично относительно центра доски. Обозначим через Gn число решений задачи в случае, когда п ладей стоят на доске из п горизонталей и п вертикалей. Мы покажем сейчас, что <72л = 2п<72л_2. (14) Пусть доска состоит из 2п горизонталей и 2п верти- калей. Ладья, стоящая на первой вертикали, может за- нять любое из 2п полей этой вертикали. По условию, этим определяется положение ладьи, стоящей на по- следней вертикали,— она должна расположиться сим- метрично с первой ладьей относительно центра доски. 148
Вычеркне^м первую и последнюю вертикали и горизон- тали, занятые ладьями (так как число горизонталей четно, выбрасываемые ладьи не могут стоять на одной и той же горизонтали). Мы получаем доску из 2п— 2 вертикалей и 2п— 2 горизонталей. Ясно, что каждому симметричному расположению ладей на повой доске со- ответствует симметричное расположение ладей на ис- ходной доске. Отсюда и вы- текает, ЧТО G2n = 2nG2n-2 (еще раз напомним, что пер- вая ладья могла занять лю- бое из 2п полей первой вер- тикали). Пользуясь формулой (14), находим, что G2n = 2nn! А теперь рассмотрим до- ску из 2п+1 вертикалей и 2п+1 горизонталей. В этом случае есть поле, не имею- щее симметричных, — цент- ральное поле доски. На этом поле обязательно должна стоять ладья. Вычеркивая центральные вертикаль и горизонталь, получаем симмет- ричное расположение 2п ладей на 2п%2п доске. Значит, имеет место равенство O2n+l = G2a = 2"nl. (15) Рассмотрим теперь несколько более сложную задачу о расположениях, не меняющихся при повороте доски на 90° (на рис. 30 изображено одно из таких расположений на 8X8 доске). Пусть доска имеет 4п вертикалей и 4п горизонталей и число ладей тоже 4п. В этом случае ладья, стоящая на первой вертикали, может занять лю- бое из полей, кроме угловых, то есть любое из 4п — 2 полей (на угловое поле ставить ладью нельзя, потому что после поворота на 90° получились бы две ладьи, ко- торые бьют друг друга). Этой ладье соответствуют еще три ладьи, стоящие соответственно на последней гори- зонтали, последней вертикали и первой горизонтали (они получаются из выбранной поворотами на 90°, 180° и 270°). Вычеркивая горизонтали п вертикали, на которых стоят эти ладьи, получаем расположение ладей на 149
(4п — 4)X(4n— 4) доске, обладающее той же симмет- рией. Поэтому имеет место равенство Я4л = (4/г —2)/?4л_4, где Rn — число решений задачи для пХп доски. Отсюда ясно,что = 2л(2п — 1)(2п — 3)... 1. (16) Число решений задачи для (4п+1) X (4n +1) доски такое же, как и для 4пХ4п доски — ведь на (4п+1)Х Х(4п+1) доске одна ладья обязательно стоит в центре и можно вычеркнуть центральные горизонталь и верти- каль. Поэтому Т?4п + 1 = Т?4я- (17) А для (4/г + 2) X (4п + 2) и (4n + 3) X (4п + 3) досок число решений равно нулю. В самом деле, для каждой ладьи возможны два случая — либо она стоит в центре доски, либо не стоит в центре. Во втором случае ладья входит в четверку ладей, переходящих друг в друга при пово- ротах доски на 90°. Поэтому общее число ладей должно иметь вид 'или 4п (когда на доске нет центрального поля) или 4п+1. Тем самым мы доказали, что /?4п4-2= = Т?4п+3 = 0. Наконец, найдем число расположений п ладей, сим- метричных относительно диагонали1)- Обозначим число решений задачи на пХп доске через Qn. Тогда имеет место соотношение Q„ = Q„_14-(/j-1)Q„_2. (18) В самом деле, ладья на первой вертикали либо стоит в нижнем левом углу, либо нет. В первом случае вычер- киваем первую вертикаль и первую горизонталь и полу- чаем симметричное расположение п — 1 ладей на (п—1) X (п—1) доске. Число таких расположений равно Qn-t- Во втором случае для данной ладьи най- дется другая, симметричная с ней относительно выбран- ной диагонали. Вычеркиваем вертикали и горизонтали, на которых стоят эти ладьи. Мы получим симметричное расположение п — 2 ладей на (п — 2)Х(п — 2) доске. ’) Мы берем диагональ, проходящую через нижнее левое угло- вое поле. 150
Поскольку число таких расположений равно Qn-2, а ладью можно поставить на п — 1 поле первой верти- кали, то получаем (п— 1 )Qn-z способов. Отсюда и сле- дует соотношение (18). Имеет место равенство Qn= 1 С2пС'1-2 + т4^^С«-2С«-4+ ... (19) Оно выводится путем разбиения всех расположений ла- дей на классы — в s-й класс относятся расположения, при которых s пар ладей не попадают на диагональ. Совершенно так же показывается, что число Вп рас-* положений п ладей на пХп доске, таких что ладьи не бьют друг друга и стоят симметрично относительно обеих диагоналей, удовлетворяет соотношениям 52я = 252л_2 + (2/z 2)52л_4, 52л+1 = В2п. Дза коня Сколькими способами можно расставить на пгХп доске белого и черного коней так, чтобы они не могли бить друг друга? Решение этой задачи осложняется тем, что на разных полях доски конь имеет различное число ходов — если т>5 и я> 5, то в углу доски всего два хода, на одних крайних полях — три хода, на других — четыре хода, а в центре — 8 ходов. Это связано с тем, что конь имеет ходы различных типов: он может пойти на одно поле вперед и на два вверх или на два поля назад и на одно вниз и т. д. Всего у коня 8 видов ходов, которые можно задать, указав, сколько полей он проходит в горизон- тальном направлении и сколько в вертикальном. Эти ходы имеют, таким образом, следующий вид: (2, 1), (1, 2), (-1, 2), (-2, 1), (-2, -1), (-1, -2), (1, -2), (2,-1). Для того чтобы справиться с возникшим осложне- нием, будем считать, что конь является объединением 8 фигур, каждая из которых имеет ходы только одного типа. Посмотрим, сколькими способами можно поста- вить на доску (2, 1)-коня так, чтобы он держал под об- стрелом какое-то поле доски. Ясно, что он может стоять на любой вертикали, кроме последних двух, и любой 151
горизонтали, кроме самой последней. Значит, вертикаль можно выбрать п — 2 способами, а горизонталь т — 1 способами, а всего получаем (т—1)(п— 2) способов поставить белого (2, 1)-коня. В силу симметрии ясно, что столько же способов поставить любого из белых (±2, ±1)-коней так, чтобы он мог бить черного коня. А для белых (±1, ±2)-коней число способов равно (т — 2) (и — 1). Отсюда следует, что общее число спо- собов расстановки двух коней, при которых они бьют друг друга, выражается формулой 4 [(т — 1) (п — 2) -ф- (/п — 2) (п — 1 )j = = 2|(2/п —3)(2л —3)- 1]. Если бы ставили коней одного и того же цвета так, чтобы они могли защищать друг друга, то получили бы вдвое меньше способов (из-за возможности переставить коней). А число способов расставить двух коней раз- ного цвета так, чтобы они не могли бить друг друга, равно т2п2— 9тп 4- 12m 4 12/z—16. (Двух коней можно поставить на тХп доску тп(тп— 1) способами.) Составители шахматных задач иногда вводят «ска- зочные» фигуры, которые ходят не так, как обычные. Введем и мы новую фигуру, которую назовем (р, q)-KO- нем, р^- 0, q 0. Ход этой фигуры состоит в перемеще- нии.на р полей в горизонтальном направлении и q полей в вертикальном направлении. Например, обычный конь является объединением (1, 2)- и (2, 1)-коней. Рассу- ждая точно так же, как и ранее, выводим, что если 0<p<^n, Q<q-^m, то на тХн-доске можно 4(п—-р) (т —- q) способами поставить двух (р, <?)-коней разного цвета так, чтобы они били друг друга. Если же р или. q равно нулю, то получается вдвое меньше спо- собов. Число способов уменьшается вдвое и в случае, когда кони одинакового цвета. Любую шахматную фигуру можно рассматривать как объединение нескольких (р, q) -коней при разных зна- чениях р и q. Например, шахматный король является объединением (0, 1)-, (1, 0)- и (1, 1)-коней. Поэтому 152
двух шахматных королей разного цвета можно поста- вить на тХп-доску 2 \п (т — 1) Ч~ (п — 1) пг 4- 2 (п — 1) (пг — 1)] = = 8тп — бпг — 6п 4- 4 способами, чтобы они били друг друга. Следовательно, поставить их, чтобы они не били друг друга, можно т2п2— 9mn + 6m + Qn — 4 способами. Шахматный слон является объединением (1, 1)-, (2, 2)-,..., (р, р)-коней, где р — наименьшее из чисел т— 1, п—1. Предположим для определенности, что т п. Тогда р = т — 1, и двух слонов разного цвета можно поставить 4 }(а - 1) (пг — 1) 4- (п — 2) (т — 2) . 4- (п — /и + 1) • 1 ] способами, чтобы они били друг друга. Раскрывая скобки и используя формулы для суммы натуральных чисел от 1 до т — 1 и суммы квадратов этих чисел, по- лучаем, что число способов можно записать так: 2т (т— 1) (Зч — т— 1) „ ---1----При m •> п надо поменять роли п-------2т (т— 1) (2т— 1) т и п. В частности, если т — п, то получаем---g------- способов. Для ладей проще подсчитать число способов рас- становки иначе. Белую ладью можно поставить на лю- бое из тп полей. После этого она держит под боем m + n— 2 поля, на любое из которых можно поставить черную ладью. Поэтому всего получаем тп(т + п— 2) способов расстановки, при которых ладьи бьют друг Друга. Так как ферзя можно рассматривать как объедине- ние ладьи и слона, то на /пХн-Доске при т^п можно 2 -~-т(т — 1) (За — т — 1)4- тп (т-\- п — 2) О способами поставить двух ферзей так, чтобы они били друг друга. При т = п это выражение принимает вид •|-/п(7п—1)(5/п—1). Предоставляем читателю подсчи- О тать, сколькими способами можно расставить эти фи- гуры так, чтобы они не могли бить друг друга.
ГЛАВА VI РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ При решении многих комбинаторных задач мы уже пользовались методом сведения данной задачи к за- даче, касающейся меньшего числа предметов. Таким пу- тем была, например, выведена формула для числа разме- щений с повторениями (стр. 11), этим способом были решены почти все задачи на разбиения в главе IV. Ме- тод сведения к аналогичной задаче для меньшего числа предметов называется методом рекуррентных соотноше- ний (от латинского гесиггеге — возвращаться). Поль- зуясь рекуррентным соотношением, можно свести задачу об п предметах к задаче об п — 1 предметах, потом к за- даче об п — 2 предметах и т. д. Последовательно умень- шая число предметов, доходим до задачи, которую уже легко решить. Во многих случаях удается получить из рекуррентного соотношения явную формулу для реше- ния комбинаторной задачи. Например, в главе II (см. стр. 33) мы вывели фор- мулу Рп = п\ для числа перестановок п элементов с по- мощью формулы для числа размещений без повторений. Но ту же формулу можно вывести и иначе, найдя сна- чала рекуррентное соотношение, которому удовлетво- ряет Рп. Пусть у нас есть п предметов аь..., an_i, ап. Любую их перестановку можно получить так: взять некоторую перестановку предметов аь..., an-t и присоединить к ней элемент ап. Ясно, что элемент ап может занять различ- ные места. Его можно поставить в самое начало, между первым и вторым элементами перестановки, между вто- рым и третьим, можно поставить и в самый конец. Число различных мест, которые может занять элемент ап, равно п, и потому из каждой перестановки элементов ..., an-i получается п перестановок элементов аь .. 5 151
.an-i, ап. Но это означает, что перестановок из п элементов в п раз больше, чем перестановок из п—I элементов. Тем самым установлено рекуррентное соот- ношение PB = nPn-j. Пользуясь этим соотношением, последовательно выво- дим, что PB = nP„_1 = n(n — l)P„_2 = n(n — 1) ... 2Pj. Но Pi=l, так как из одного элемента можно сделать лишь одну перестановку. Поэтому Рп = п (п — 1) ... 2 • 1 = п!. Таким образом, мы снова получили формулу Рп = п\. Много рекуррентных соотношений встречалось нам при решении задач на разбиения, задач о фигурах на шахматной доске и т. д. Сейчас мы рассмотрим еще не- сколько таких задач, а в конце главы остановимся на общей теории рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи В • книге «Liber Abaci», появившейся в 1202 году, итальянский математик Фибоначчи среди многих других задач привел следующую: Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже прино- сят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов? Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары кроликов. Через два месяца приплод даст только первая пара кроликов, и получится 3 пары. А еще через месяц приплод дадут и исходная пара кро- ликов, и пара кроликов, появившаяся два месяца тому назад. Поэтому всего будет 5 пар кроликов. Обозначим через F(n) количество пар кроликов по истечении п месяцев с начала года. Мы видим, что че- рез п +1 месяцев будут эти Л(п) пар и еще столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце 155
месяца п— 1, то есть еще F(n— 1) пар кроликов. Иными словами, имеет место рекуррентное соотношение F(n 4- 1) = Д(/г)Ч-Д(п — 1). (1) Так как, по условию, /7(0) = 1 и /?(1)=2, то последовав тельно находим . Д(2) = 3, F(3) = 5, Д(4) = 8 и т. д. В частности, F(12)=377. Числа F(п) называют числами Фибоначчи. Они обла- дают целым рядом замечательных свойств. Сейчас мы выведем выражение этих чисел через Скт. Для этого установим связь между числами Фибоначчи и следую^ щей комбинаторной задачей. Найти число п-последовательностей, состоящих из ну- лей и единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд. 156
Чтобы установить эту связь, возьмем любую такую последовательность и сопоставим ей пару кроликов по следующему правилу: единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из пар .«предков» данной пары (включая и исходную), а нулями — все остальные ме- сяцы. Например, последовательность 010010100010 уста- навливает такую «генеалогию» — сама пара появилась в конце 11-го месяца, ее родители — в конце 7-го ме- сяца, «дед» — в конце 5-го месяца и «прадед» — в конце второго месяца. Исходная пара кроликов зашифровы- вается при этом последовательностью 000000000000. Ясно, что при этом ни в одной последовательности не могут стоять две единицы подряд — только что появив- шаяся пара не может, по условию, принести приплод че- рез месяц. Кроме того, при указанном правиле различ- ным последовательностям отвечают различные пары кроликов, и обратно, две различные пары кроликов всегда имеют разную «генеалогию», так как, по усло- вию, крольчиха дает приплод, состоящий только из од- ной пары кроликов. Установленная связь показывает, что число «-после- довательностей, обладающих указанным свойством, рав- но F(n). Докажем теперь, что Д (я) — Сщ-i Сп Сп_1 -ф- ... 4-Сл_р+1, (2) «4-1 п где р = —g, если п нечетно, и /’ = у> если п четно. Иными словами, р — целая часть числа (в даль. нейшем мы будем обозначать целую часть числа а че- рез Д(а); таким образом, р = Е1—J— I I. В самом деле, F(n)—это число всех «-последова- тельностей из 0 и 1, в которых никакие две единицы не стоят рядом. Число же таких последовательностей, в ко- торые входит ровно k единиц и « — k нулей,равно C*_*+i (см. стр. 65). Так как при этом должно выполняться неравенство k^n — /г+1, то k изменяется от 0 до ГЛ—g—I. Применяя правило суммы, приходим к соот- ношению (2). 157
Равенство (2) можно доказать и иначе. Положим G (п) = С°+1 Сп -}- С п-1 -)-•••+ Сп-р+ъ где р = Из равенства С* = С*-!-}-C*Zi легко следует, что G(n) = G(n — 1)4-G(n — 2). (3) Кроме того, ясно, что G(l)=2 = /?(1) и G(2) = 3=Е(2). Так как обе последовательности F(n) и G(n) удовле- творяют рекуррентному соотношению Х(п)=Х(п— 1)+. ,+Х(п — 2), то имеем O(3) = O(2)+O(1) = F(2)4-F(1) = F(3), и, вообще, G(n) =F(n). Другой метод доказательства В предыдущем пункте мы непосредственно устано- вили связь между задачей Фибоначчи и комбинаторной задачей. Эту связь можно было установить и иначе, не- посредственно доказав, что число Т(п) решений комби- наторной задачи удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению Г(п-Ь 1)= 7\n)-h Г(п—1), (4) что и числа Фибоначчи. В самом деле, возьмем любую (п+^-последователь- ность нулей и единиц, удовлетворяющую условию, что никакие две единицы не идут подряд. Она может окан- чиваться или на 0, или на 1. Если она оканчивается на О, то, отбросив его, получим ^-последовательность, удовле- творяющую нашему условию. Обратно, если взять лю- бую «-последовательность нулей и единиц, в которой подряд не идут две единицы, и приписать к ней нуль, то получим (п+^-последовательность с тем же свойством. Мы доказали, что число «хороших» последовательностей, оканчивающихся на нуль, равно Т(п). Пусть теперь последовательность оканчивается на 1. Так как двух единиц подряд быть не может, то перед этой единицей стоит нуль. Иными словами, последова- тельность оканчивается на 01. Остающаяся же после от- брасывания 0 и 1 (п—^-последовательность может быть любой, лишь бы в ней не шли подряд две единицы. 158
Поэтому число «хороших» последовательностей, оканчи- вающихся единицей, равно Т(п— 1). Но каждая после- довательность оканчивается или на 0, или на 1. В силу правила суммы получаем, что T^n+l) =Т(п) +Т(п — 1)< Мы получили, таким образом, то же самое рекур- рентное соотношение. Отсюда еще не вытекает, что числа Т(п) и F(n) совпадают. Ведь, например, для фак- ториалов и субфакториалов (см. стр. 74) имело место одно и то же рекуррентное соотношение: Х(п+\) = п[Х(п) + Х(п- 1)]. (5) Но для факториалов первые члены последовательности равны 01 = 1, 11 = 1, а для субфакториалов — ,D(0) = 1, 0(1) =0. Поэтому разными оказались и третьи, и чет- вертые, да и все остальные члены последовательности. Чтобы доказать совпадение чисел Т(п) и F(n), надо еще показать, что 7’(1)=/7(1) и 7’(2)=F(2)— тогда уже в силу рекуррентного соотношения имеем и 7’(3)=/?(3), 7’(4)=/'(4) и т. д. Существуют две 1-последов-ательно- сти, удовлетворяющие поставленному условию: 0 и 1, и три 2-последовательности; 00, 01 и 10. Поэтому 7’(1) = = 2=F(1) и 7(2) =3 = Е(2). Тем самым утверждение до- казано. Процесс последовательных разбиений Для решения комбинаторных задач часто применяют метод, использованный в предыдущем пункте. Устана- вливают для данной задачи рекуррентное соотношение и показывают, что оно совпадает с рекуррентным соотно- шением для другой задачи, решение которой нам уже из- вестно. Если при этом совпадают и начальные члены последовательностей в достаточном числе (позже мы остановимся подробнее на том, сколько членов должны совпадать), то обе задачи имеют одинаковые решения. Применим описанный прием для решения следующей задачи. Пусть дано некоторое множество из п предме- тов, стоящих в определенном порядке. Разобьем это мно- жество на две непустые части так, чтобы одна из этих частей лежала левее второй (то есть, скажем, одна часть состоит из элементов от первого до m-го, а вторая — из элементов от (т+1)-го до n-го). После этого каждую из частей таким же образом разобьем на две непустые 153
части (если одна из частей состоит уже из одного пред- мета, она не подвергается дальнейшим разбиениям). Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим части, состоящие из одного предмета каждая. Сколько существует таких процессов разбиения (два процесса считаются различными, если хотя бы на одном шагу они приводят к разным результатам)? Обозначим число способов разбиения для множества из п+1 предметов через Вп. На первом шагу это мно- жество может быть разбито п способами (первая часть может содержать один предмет, два предмета, ..., п предметов). В соответствии с этим множество всех про- цессов разбиений распадается на п классов — в s-й класс входят процессы, при которых первая часть состоит из s предметов. Подсчитаем число процессов в s-м классе. В первой части содержится $ элементов. Поэтому ее можно раз- бивать далее Bs^ различными процессами. Вторая же часть содержит п — s+1 элементов, и ее можно разби- вать далее В|г_ь процессами. По правилу произведения получаем, что s-й класс состоит из Bs^Bn^ различных процессов. По правилу суммы отсюда вытекает, что Вп — 4“ (6) Мы получили рекуррентное соотношение для Вп- Оно уже встречалось нам при решении задачи об очереди в кассу кинотеатра (см. стр. 88). Там было показано, что этому соотношению удовлетворяют числа у ___ 1 Z-./Z „4-1 С2«- Чтобы доказать равенство Вп — Тп= п ! С2„. (7) нам осталось показать, что начальные члены Т() и Во по- следовательностей То, Ti,..., Тп,... и Во, Bt..Вп, ... совпадают. Мы имеем 7’о = Со=1. С другой стороны, Во=1, так как множество из одного элемента можно разделить единственным образом. Итак, B9 = To- Но по рекуррент- ной формуле имеем В; — В? = 1.Так как То удовлетво- ряет той же рекуррентной формуле, то Л = Го= 1. Да- 160
лее устанавливаем, что 52 = ад+ед = 2 И 7'2 = 7’07'1 4-7'17'0 = 2 и т. д. Итак, все члены обеих последовательностей совпа-. дают. Таким образом, доказан следующий результат: Число процессов последовательного деления множе- ства из п +1 элементов, расположенных в некотором порядке, равно 'Т' 1 z~.n Умножение и деление чисел Пусть даны п чисел аь ..., ап, стоящих в определен- ном порядке. В силу сочетательного закона умножения произведение этих чисел можно вычислить разными спо- собами (сохраняя порядок сомножителей). Например, три числа можно перемножить двумя способами (ab)c = = а(Ьс), четыре числа — пятью способами и т. д. Тре- буется найти число всех способов перемножения п чи- сел, стоящих в заданном порядке. Ясно, что каждый способ перемножения сводится к процессу разбиения данных п чисел на части из од- ного элемента каждая. Например, умножение четырех чисел по формуле (ab) (cd) сводится к такому процессу разбиения а\ b c\d, а умножение этих же чисел по фор- муле ((ab)c)d— к процессу разбиения a\b\c d. По- этому число различных способов умножения равно числу различных процессов разбиения множества из п элемен- Г1 /->n —1 п-1 — — Ь2Я_2- Но, кроме сочетательного свойства, умножение обла- дает и переместительным свойством. Если учесть его, то число процессов умножения увеличится в п! раз — ведь п чисел можно переставить друг с другом п! способами, а потом подвергать переставленные числа тем или иным разбиениям. Отсюда следует, что полное число способов перемножить данные п чисел равно (п — 1)! К этому результату можно прийти и непосредственно, не опираясь на формулу для числа процессов разбиения. 11 Н. Я. Виленкин 161
Этот вывод дает новый метод получения формулы для числа процессов разбиения, а тем самым и для задачи об очереди в кассу (при условии, что число рублей в оче- реди равно числу полтинников). Непосредственный вывод заключается в следующем. Предположим, что мы уже нашли число Ф(п) способов перемножить п чисел. Присоединим к ним еще один со- множитель an+t. Выясним, сколькими способами можно присоединить этот сомножитель к одному из произведе- ний чисел аь ..ап. Число ап+1 можно умножить на все произведение, взяв либо как множимое, либо как множитель. Это дает два способа присоединения. Но ап+1 можно присоеди- нить и на одном из промежуточных этапов. Умножение п чисел сводится к п — 1 последовательным перемноже- ниям, на каждом из которых перемножаются два числа. К каждому из этих перемножений число можно подключить 4 способами — умножив его на первый со- множитель в качестве множимого, либо множителя, а также умножив его на второй сомножитель в качестве множимого или множителя. Но так как есть п— 1 ум- ножений, к которым можно присоединить an+i, то всего получаем 4/г — 4 способов. Добавляя к ним два способа, о которых говорилось выше, получаем 4п — 2 способов присоединения а„+1 к каждому из Ф(/г) способов пере- множения чисел «1, ..., ап. Отсюда вытекает, что Ф (п 4- 1) = (4/г — 2) Ф (/г). Но Ф(1) = 1. Поэтому Ф(/г) = 2-6 ... (4/г — 6) = 2/г1 • 1 -3 .. (2/г —3). Этот ответ совпадает с полученным ранее, так как Ф(/г) = 2л-1. 1-3 . . (2/г—3) = =(«-1)1 Рассмотрим теперь операцию деления. Запишем вы- ражение — \ - (8) 162
Эта запись не имеет смысла, если не указан порядок, в котором должны выполняться деления. Выясним, сколькими способами можно придать смысл этому вы- ражению. Для этого заметим, что каждый способ указа- ния порядка деления может рассматриваться и как про- цесс разбиения п элементов на части из одного эле- мента, описанный выше. А мы видели, что число таких 1 Л-Л— 1 процессов равно — Сгя-г- Значит, выражению (8) можно придать смысл — С"п-2 способами. Задачи о многоугольниках В некоторых вопросах квантовой химии возникает следующая задача: В окружность вписан правильный Чп-угольник. Сколькими способами можно попарно соединить его вер- шины так, чтобы получающиеся отрезки не пересекались друг с другом? При п=1 есть один способ такого соединения *) При п = 2 прлучаем два способа, изображенных на рис. 31. Чтобы найти число способов F(n) для любого п, выве- дем рекуррентное соотношение для F(n). Выберем одну из вершин А многоугольника. Ее можно соединить с лю- бой из вершин В такой, что между А и В находится чет- ное число вершин (рис. 32). В соответствии с этим все способы соединения вершин распадаются на классы *) Мы считаем здесь диаметр «правильным двуугольником». 11* 163
в зависимости от того, сколько вершин остается слева- от отрезка, проведенного из точки А. Если остается 2s вершин, то по другую сторону от нее остается 2(п— s— 1) вершин. Тем самым 2п-уголь- ник разбивается на 25-уголь- ник и 2 (п— s—1)-угольник. Но в 25-угольнике можно Г(s) способами провести от- резки так, чтобы они не пересе- кали друг друга. В 2(/г—s—1)- угольнике же это можно сделать F(n—s—1) способа- ми. По правилу произведе- - ния получаем, что в s-й класс входит F(s)F(n— s—1) способов проведения отрез- ков. Значит, общее число всех способов равно F(0)F(n— 1)+; + F(l)F(n—2) + ... + F(n—1)Е(0). Мы получили ре- куррентное соотношение F(n)~F(0)F(n — 'i)+F(\)F(n--‘2) f-... + ^(/z-1)Л(0). Это то же самое соотношение, которому удовлетво- ряют числа Тп = ~п щ-р- С"п. Так как Fo = To= 1, то для всех п имеем F(n) = Tn. Итак, в 2/г-угольнике .можно Тп = = способами провести диагонали так, чтобы они попар- но не пересекались. Тот же ответ имеет следую- щая задача: Сколькими способами можно разбить выпуклый (п+2)-уголь- ник на треугольники диагоналя- п х ми, не пересекающимися внутри этого многоугольника? Рис. 33. Обозначим число способов через Ф(п). Выберем одну из сторон многоугольника и расклассифицируем все раз- биения в зависимости от того, с какой вершиной много- 164
угольника совпадает вершина треугольника, основанием которого служит выбранная сторона (рис. 33). Если удалить этот треугольник, то многоугольник распадается на (s+2)-угольник и (п — 5+.1)-угольник. Разбивая эти многоугольники иа треугольники и комбинируя эти раз- биения друг с другом, получим все разбиения исходного многоугольника, в которые входит удаленный треуголь- ник. А потом, применяя правила произведения и суммы, получаем рекуррентное соотношение Ф(/г) = Ф(0)Ф(/г-1)4-Ф(1)Ф(/г-2)4-.. .4-Ф(/г-1)Ф(0), где положено Ф(0) = 1. Предоставляем читателю убе- диться, исходя из этого соотношения, что Затруднение мажордома Бывают комбинаторные задачи, в которых прихо- дится составлять не одно рекуррентное соотношение, а систему соотношений, связывающую несколько после- довательностей. Эти соотношения выражают (п+1)-е члены последовательностей через предыдущие члены не только данной, но и остальных последовательностей. Однажды мажордом короля Артура обнаружил, что к обеду за круглым столом приглашено 6 пар враждую* щих рыцарей. Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы никакие два врага не сидели рядом? 165
Если мы найдем какой-то способ рассадки рыцарей, то, пересаживая их по кругу, получим еще И способов. Мы не будем сейчас считать различными способы, получающиеся друг из друга такой циклической пере- садкой. Введем следующие обозначения. Пусть число рыца- рей равно 2/7. Через обозначим число способов рас- садки, при которых никакие два врага не сидят рядом, через Вп — число способов, при которых рядом сидит ровно одна пара врагов, и через Сп — число способов, при которых есть ровно две пары враждующих соседей. Выведем сначала формулу, выражающую An+i че- рез Ап, Вп и Сп- Пусть п+ 1 пар рыцарей посажены так, что никакие два врага не сидят рядом. Мы будем счи- тать, что все враждующие пары рыцарей занумерованы. Попросим встать из-за стола пару рыцарей с номером п+1. Тогда возможны три случая; средн оставшихся за столом нет ни одной пары соседей-врагов, есть одна та- кая пара и есть две такие пары (ушедшие рыцари могли, разделять эти пары) ’). Выясним теперь, сколькими способами можно снова посадить ушедших рыцарей за стол, так, чтобы после этого не было ни одной пары соседей-врагов. Проще всего посадить их, если за столом рядом си- дят две пары врагов. В этом случае один из вновь пришедших садится между рыцарями первой пары, а другой — между рыцарями второй пары. Это можно сде- лать двумя способами. Но так как число способов рас- садки 2п рыцарей, при которых две пары соседей оказа- лись врагами, равно С„, то всего получилось 2Сп спо- собов. Пусть теперь рядом сидит только одна пара врагов. Один из вернувшихся должен сесть между ними. Тогда за столом окажутся 2/7 +1 рыцарей, между которыми есть 2п+1 мест. Из них два места — рядом с только севшим гостем — запретны для второго рыцаря, и ему остается 2/7 — 1 мест. Так как первым может войти лю- бой из двух вышедших рыцарей, то получается 2(2п—1) способов рассадки. Но число случаев, когда 2/? рыцарей сели так, чтобы ровно одна пара врагов оказалась сосе- ') Здесь и далее мы считаем, что и п>1. При п=1 последую- щие рассуждения теряют силу. 166
дями, равно Вп. Поэтому мы получаем 2(2/г — 1)В„ способов посадить гостей требуемым образом. Наконец, пусть никакие два врага не сидели рядом. В этом случае первый рыцарь садится между любыми двумя гостями — это он может сделать 2/г способами. После этого для его врага останется 2/г— 1 мест — он может занять любое место, кроме двух мест, соседних с только что севшим рыцарем. Таким образом, если 2/г рыцарей уже сидели нужным образом, то вернувшихся гостей можно посадить 2/г (2м— 1) способами. Всего же в этом случае получается 2/г(2/г—1)/1п способов. Как уже отмечалось, разобранными случаями исчер-« пываются все возможности. Поэтому имеет место рекур-« рентное соотношение Ап и = 2/г (2/г - 1) Аа + 2 (2/г -1) Вп + 2С„. (9) Этого соотношения еще недостаточно, чтобы найти для всех значений /г. Надо еще узнать, как выра- жаются Bn+i и Cll+t через Ап, Вп, Сп. Предположим, что среди 2/г + 2, /г> 1 рыцарей оказа- лась ровно одна пара врагов-соседей. Мы знаем, что это может произойти в Вп+1 случаях. Во избежание ссоры попросим их удалиться из-за стола. Тогда останется 2/г рыцарей, причем возможно одно из двух: либо среди оставшихся нет врагов-соседей, либо есть ровно одна пара таких врагов — до ухода покинувших зал они си- дели по обе стороны от них, и теперь оказались рядом. Во втором случае ушедших можно посадить обратно только на старое место—иначе появится вторая пара враждующих соседей. Но так как 2/г рыцарей можно посадить Вп способами так, чтобы была только одна пара враждующих соседей, то мы получаем 2Вп вариан- тов (возвратившихся рыцарей можно поменять места- ми). В первом же случае можно посадить ушедших между любыми двумя рыцарями, то есть 2/г способами, а так как их еще можно поменять местами, то получится 4/г способов. Комбинируя их со всеми способами посад- ки п пар рыцарей, при которых нет соседей врагов, по- лучаем 4пАп способов. Наконец, номер ушедшей и вер- нувшейся пары рыцарей мог быть любым от 1 до /г+1. Отсюда вытекает, что рекуррентное соотношение для Вп+1 имеет вид 5„+1^4/г(/г4-1)Дя + 2(/г-Ь1)5д. (10) 167
Наконец, разберем случай, когда среди 2и + 2 рыца- рей было две пары врагов-соседей. Номера этих пар Л z,2 п (п 4-1) , ~ можно выбрать Ся4_1 =---------- способами. Заменим каждую пару одним новым рыцарем, причем будем счи- тать новых двух рыцарей врагами. Тогда за столом будут сидеть 2/г рыцарей, причем среди них либо не бу- дет ни одной пары врагов-соседей (если новые рыцари не сидят рядом), либо только одна такая пара. Первый вариант может быть в Ап случаях. Вернуть- ся к исходной компании мы можем 4 способами благо- даря возможности изменить порядок рыцарей в каждой паре. Поэтому первый вариант приводит к 4C2nilAn — = 2п(п± 1)А» способам. Второй же вариант может быть в Вп случаях '). Здесь тоже можно вернуться к исходной компании 4 способами, и мы получаем всего 2(/г+1)В„ способов. Отсюда вытекает, что при n 1 Сл(1 = 2/г(/г+ 1)Д„ + 2(/г + 1)5я. (11) Мы получили систему рекуррентных соотношений = 2(2/1 -1)(пД„ + В„) 4-2Сл, (9) Вп,1 = 2(п + ])(2пАа4-Ва), (Ю) Сл, J = 2 (п -ь 1) (пАп -4- ВП), (П) справедливых при п 2. Но простой подсчет показы- вает, что Л2=2. В2 = 0, С2 = 4. Поэтому из соотношений (9)—-(11) вытекает, что Л3 = 32, В3 = 48, С3 = 24. Продол- жая далее, находим, что гостей можно посадить за стол требуемым образом Л6=12 771 840 способами. Разобранная задача похожа на следующую задачу, называемую часто «задачей о гостях». Сколькими способами можно рассадить за круглым столом п супружеских пар так, чтобы мужчины и жен- щины чередовались и никакие два супруга не сидели рядом? ’) Имеется В„ случаев, когда какая-нибудь пара врагов сидит рядом. Если указать, какая именно пара должна сидеть рядом, по- лучим в п раз меньше случаев. 168
Эта задача решается примерно так же, как и задача о. мажордоме. Сначала рассаживают женщин. Если за- нумеровать места, то либо все женщины окажутся на четных местах, либо они займут нечетные места. Но число четных мест равно п, и женщины могут сесть на них п\ способами. Столькими же способами они могут занять нечетные места. Значит, женщин можно посадить 2-(п!) способами. А потом рассматривают случаи, ко- гда ни один из мужей не сидит рядом со своей женой, когда рядом сидит одна супружеская пара и, наконец, когда рядом сидят две супружеские пары. Предоста- вляем читателю составить соответствующую сиЕтему рекуррентных соотношений. Счастливые троллейбусные билеты Некоторые люди считают шестизначные номера трол- лейбусных билетов «счастливыми», если сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Например, билет 631 752 считается «счастливым», так как 6+1+5 = 3 + 7 + 2=12. Требуется найти число «счастливых», номеров от 000000 до 999999. Для этого сначала найдем, сколько трехзначных чи- сел имеет данную сумму цифр N (при этом мы относим к трехзначным и числа вида 075 и даже 000). Эта за- дача аналогична решенной на стр. 106 — число слагае- мых 3, сумма равна N, а слагаемые — от 0 до 9. Обозна- чим число ее решений через Е(3, 9; N). Тогда имеет ме- сто рекуррентное соотношение Д(3, 9; N) = F(2, 9; N) + F(2, 9; N — 1) + -+F(2, 9; N — 2) + Д(2, 9; N - 3) 4 Д(2, 9; Л' - 4) j- + F(2, 9; N — 5)4-Л(2, 9; N— 6) 4 F(2, 9; W-7) + 4-^(2, 9; N — 8)+Л(2, 9; /V - 9). Точно так же F{2, 9; Д/) = Л(1, 9; Лг)+Д(1, 9; /V-1) + ... ... + Д(1, 9: TV —9). Ясно, что F(l,9; TV) = 1, если 0-СЛ/-С9, и /•(1,9; Л') =0 в противном случае. Пользуясь этими соотношениями, без труда заполняем следующую таблицу: 169
ТАБЛИЦА 8 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 ( 5 3 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 63 С 9 73 71 75 N * 15 16 17 18 19 20 21 22 23 45 25 26 27 1 0 С 0 0 0 С 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 73 6£ е 3 55 45 36 21 5 21 15 1( 6 3 1 Чтобы найти теперь число «счастливых» билетов, надо возвести в квадрат числа третьей строки и сложить получающиеся результаты. В самом деле, каждый «сча- стливый» билет имеет одну и ту же сумму цифр, стоя- щих на четных и на нечетных местах. Пусть эта сумма равна W. Число, стоящее на N-м месте третьей строки нашей таблицы, показывает, сколько трехзначных чисел имеет сумму цифр А/. Иными словами, оно показывает, сколькими способами можно выбрать цифры, стоящие на четных местах (то есть вторую, четвертую и шестую). Столькими же способами можно выбрать цифры на не- четных местах (первом, третьем и пятом). Так как эти выборы не зависят друг от друга, то по правилу произ- ведения «счастливых» номеров с суммой цифр на чет- ных местах, равной А/, будет [Е(Л/)]2. А тогда по пра- вилу суммы общее число «счастливых» номеров равно 2[Р + 32 + 62-ф 102-г 1524-212 + 282 + 362 + 452 4- + 552 4- 632 + 692 -4- 732 -4- 752]. Вычисляя эту сумму, получаем ответ 55 252. Рекуррентные таблицы В комбинаторике часто встречаются величины, за- висящие не от одного, а от нескольких чисел. Напри- мер, число Сп зависит и от п, и от k. Если рассматри- 170
ваемая величина F(n, k) зависит от двух натуральных чисел п и k, то ее значения можно расположить в виде таблицы, помещая F(n, k) на пересечении п-й строки и Л-го столбца. С такими величинами мы уже неодно- кратно сталкивались в главе V — арифметический квадрат, арифметические треугольники и обобщенные арифметические треугольники имели вид именно та- ких таблиц. При этом во всех примерах, изученных в главе V, между элементами таблицы существовали зависимости. Эти зависимости позволяли вычислить элементы п-й строки таблицы по элементам предыдущей строки и, быть может, нескольким первым элементам п-й строки. Поэтому, если была задана первая строка таблицы и первые элементы других строк, все остальные строки' можно было вычислять одну за другой. Такие таблицы напоминают рекуррентные последовательности, и мы бу- дем называть их в дальнейшем рекуррентными. Для арифметического квадрата рекуррентное соот- ношение имело вид Д(п, й) = Л(п—1, k)-\-F(n, k — 1), (12) а граничные условия задавались так: F(n, 0) = 1, /ДО, k)=0 при fe>0 (напомним, что для арифметиче- ского квадрата мы говорим не о первом столбце или строке, а о нулевом столбце или строке). Для арифметических пятиугольника и шестиугольни- ка рекуррентное соотношение тоже имеет вид (12). Ведь эти фигуры появились, когда мы считали, сколькими способами "может попасть на некоторое поле ладья, дви- гаясь по доске, ограниченной двумя перпендикулярными лучами и одной или двумя линиями, параллельными главной диагонали. По ладья может попасть на поле (n, k) или с поля (п — 1, k), или с поля (k— 1, п), По- этому, какие бы ограничения на ее движения не нала- гались, всегда будет выполнено соотношение (12). Огра- ничения же приводят к тому, что некоторые элементы таблицы должны быть заведомо равны нулю, Для ариф- метического пятиугольника такими являются элементы, лежащие выше некоторой прямой, параллельной главной диагонали, а для арифметического шестиугольника — элементы вне области, отсеченной двумя прямыми, па- раллельными главной диагонали. 171
Иной вид имеет рекуррентное соотношение для ариф- метического треугольника и ш-арифметического тре- угольника, Именно, для ш-арифметического треуголь- ника F (п, k) — F{n— 1, k—т--\- V) -\-F(n-~ 1, k—ш-+2)+~ ... ...+Л(/г-1, k). (13) При этом F(0, 0) =1 и F{GJz) =0, если #>0, Другое решение проблемы мажордома В качестве еще одного примера на использование рекуррентных таблиц приведем другое решение проб- лемы мажордома (см. стр. 165). Как читатель помнит, речь шла о числе способов рассадить 2п рыцарей за круглым столом так, чтобы никакие два врага не си- дели рядом {а среди 2п рыцарей было п пар врагов). Обозначим через F(т, п) число способов рассадки, при которых рядом сидят ровно т пар врагов. Мы вы- ведем сейчас рекуррентную формулу, выражающую F(т, п+ 1) через F(k, п), k = m — 1, т, т +1, ш + 2, Мы будем считать, что сначала за столом сидели п пар рыцарей, а потом пришла пара п+1 и села за стол, Подсчитаем, во скольких случаях за столом ока- жутся т пар соседей-врагов. Это может произойти так: а) За столом было т—1 пар врагов, сидевших ря- дом, Это могло случиться F(m—1, п) способами, Что- бы за столом оказалось т пар враждующих соседей, новая пара должна сесть рядом, не разбив ни одну из уже существовавших пар соседей-врагов. Но между 2/г рыцарями есть 2/г промежутков, а садиться нельзя в ш—1 промежутков, Остается 2п — ш+1 промежутков, куда могут сесть вновь пришедшие рыцари. Так как в каждый из этих промежутков можно сесть двумя спо- собами (пришедшие рыцари могут поменяться местами), то всего получаем 2(2п — т + l^Fim — 1, п) (14) способов, б) За столом было ш пар рядом сидящих врагов. В этом случае вновь пришедшие могут выбрать одно из двух: либо сесть врозь, не разделив ни одну пару соседей-врагов, либо сесть рядом между двумя вра- 172
ждующими соседями. Легко подсчитать, что первое ре- шение можно провести в жизнь (2п — т) (2п — пг — 1) -способами, а второе 2т способами, а всего (2п— т)2— — 2п + 3т способами. Так как п пар рыцарей могут сесть F(m, п) способами так, чтобы рядом оказались т пар врагов, то всего получаем [(2п — пг)2 — 2п 4- З/n] F (пг, п) (15) способов. в) Далее, рассмотрим случай, когда среди 2п рыца- рей рядом сидели /п+1 пар врагов (это может случить- ся F(m + 1, п) способами). В этом случае один из вновь пришедших должен сесть между одной из пар врагов соседей, а второй должен сесть так, чтобы пе разбить ни одну такую пару. Первое можно сделать т+\, а второе 2п — т — 1 способами. Всего получаем 2(т + 1)(2п— т—1) возможностей (множитель 2 по- явился потому, что любой из вновь пришедших может сесть между врагами), Поэтому рассматриваемый слу- чай дает всего 2(т-+1)(2п— т — l)F(m + 1, п) (16) возможностей. __ г) Наконец, предположим, что было т + 2 пар сосе- дей-врагов. Это могло случиться F(m + 2, п) способами. Чтобы оказалось только т пар соседей-врагов, каждый из вновь пришедших рыцарей должен разбить одну пару враждующих соседей. Первый рыцарь может сесть т + 2 способами, после чего второму остается лишь т+1 мест, Всего получаем (пг+- l)(m4-2)/?(m-f-2, п) (17) возможностей. Легко видеть, что мы исчерпали все возможности, при которых среди 2п + 2 рыцарей за круглым столом окажутся пг пар соседей-врагов. Поэтому F (т, п) удо- влетворяет следующему рекуррентному соотношению: F (пг, п 1) — 2 (2п — от 4~ 1) F (т — 1, п) 4- 4- 1(2п — т)2 — 2п 4- Зот] F (пг, п) + -+ 2 (от 4- 1) (2п — от — 1) У7 (от 4- 1, п)+- + (m-b 1) (от 4-2) У7 (от 4-2, /г). (18) 173
Непосредственный подсчет показывает, что F(0, 2) = 2, F(l, 2) = 0, F(2, .2) = 4 (мы не считаем различными способы рассадки, полу< чающиеся друг из друга циклической перестановкой). Применяя формулу (18), находим, что F(0, 12) = = 12 771 840. Решение рекуррентных соотношений Мы будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет по- рядок k, если оно позволяет выразить f(n+k) через f(n), ..., f(n+k— 1). Например, f (n 4-2) = f (и) f (n 4-1) — 3f2 (n-|-1) ~г 1 — рекуррентное соотношение второго порядка, а f (п 4~ 3) = 6f (n) f (п 4- 2) 4- f (п 4-1) — рекуррентное соотношение третьего порядка, Если задано рекуррентное соотношение А-го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые k элементов последовательности можно задать совер- шенно произвольно — между ними нет никаких соотношений. Но если первые k элементов заданы, то все остальные 'элементы опре- деляются совершенно однозначно — элемент f(A+l) выражается в силу рекуррентного . соотношения через f(l), f(k), элемент f(k+2) —через f(2), ..., f(A+l) и т. д. Пользуясь рекуррентным соотношением и начальными членами, можно один за другим выписывать члены последовательности, при- чем рано или поздно мы получим любой ее член. Однако при этом нам придется выписать и все предыдущие члены — ведь не узнав их, мы не узнаем и последующих членов. Но во многих случаях мы хотим узнать только один определенный член последовательности, а остальные члены нам не нужны. В этих случаях удобнее иметь яв- ную формулу для n-го члена последовательности. Мы будем гово- рить, что некоторая последовательность является решением данного рекуррентного соотношения, если при подстановке этой последова- тельности соотношение тождественно выполняется. Например, после- довательность 2, 4, 8, ..., 2«, ... является одним из решений рекуррентного соотношения f (n4-2) = 3f(n4-l)-2f(n). В самом деле, общий член этой последовательности имеет вид [(п) =2п. Значит, f(n+2) —2п+2, f(n+l)=2"+1. Но при любом п имеет место тождество 2п+2=3 • 2n + 1—2 •2". Поэтому 2" является решением указанного соотношения. Решение рекуррентного соотношения й-го порядка называется общим, если оно зависит от k произвольных постоянных , Сь, 174
и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения. Например, для соотношения f(n4-2) = 5f(n + l)-6f(n) (19) общим решением будет Hn) = C,2«4-C23« (29) В самом деле, легко проверить, что последовательность (20) обра- щает соотношение (9) в тождество. Поэтому нам надо только по- казать, что любое решение нашего соотношения можно-представить в виде (20). Но любое решение соотношения (19) однозначно опре- деляется значениями [(1) и f(2). Поэтому нам надо доказать, что для любых чисел а и & найдутся такие значения Ci и С2, что 26,4-362 = а и 2’6^3262 = 6. Но легко видеть, что при любых значениях а и b система уравне- ний ( 26j + 362 = а, ( 46,4-962 = 6 V ’ имеет решение. Поэтому (20) действительно является общим реше- нием соотношения (19). Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами Для решения рекуррентных соотношений общих правил, вообще говоря, нет. Однако существует весьма часто встречающийся класс соотношений, решаемый единообразным методом. Это — рекуррент- ные соотношения вида f (п 4~ 6) = aj (п 4~ 6 — 1) 4~ aif (п 4~ — 2) 4~ • • 4- akf (п)< (22) где ai, а2...ак — некоторые числа. Такие соотношения называют линейными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффи- циентами. Сначала мы рассмотрим, как решаются такие соотношения при 6=2, то есть изучим соотношения вида f (п 4- 2) = aj(n 4-1) 4- (23) Решение этих соотношений основано на следующих двух утвержде- ниях: 1) Если fi (п) и f2(n) являются решениями рекуррентного соот- ношения (23), то при любых числах' А и В последовательность f(n)—Afi(n) + Bf2(n) также является решением этого соотношения. 175
В самом деле, по условию, имеем ft («4-2) =eJi («+ 1) + а2Л (п) в fi (п 4* 2) = aj2 (л + О 4"(п)- Умножим эти равенства на А и В соответственно и сложим получен- ные тождества. Мы получим, что Alt(n + 2) + Bf2 (п + 2)~ = а, (Л/, (n + 1) + В]2 (п + 1)] + а2 [Afl (п) + В/2 («)]). А это и означает, что Aft(n)+Bf2(n) является решением соотноше- ния (23). 2) Если число Г] является корнем квадратного уравнения г2 = а ]Г -)- а2, то последовательность 1, rb rf,..., г"-1,... является решением рекуррентного соотношения / (п 2) = aj (п 1) a2f (п). В самом деле, если f (п) = г”-1, то f (п 4~ 1) = /” и/(«4*2)= Подставляя эти значения в соотношение (23), получаем равенство -Л + 1_ „ rn I - _/г-1 гj _ alr1 -f- а2г1 . Оно справедливо, так как по условию имеем Г; == а{г 4~ а^. Заметим, что наряду с последовательностью [г”-1} любая по- следовательность вида f(n) = r”+m, п=1, 2,... также является решением соотношения (23). Для доказательства достаточно использовать утверждение (23), положив в нем A = r{”+1, 8 = 0. Из утверждений 1) н 2) вытекает следующее правило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами: Пусть дано рекуррентное соотношение f(n-\-2) = atf (п 4- 1) 4- a2f (п). (23) Составим квадратное уравнение г2 = а у 4- а2. (24) которое называется характеристическим для данного соотношения. Если это уравнение имеет два различных корня и и т2, то общее решение соотношения (23) имеет вид f(n)=C1r1"-14-C2r2"-1. 176
Чтобы доказать это правило, заметим сначала, что по утвер- ждению 2) = и f2(n) = r"~1 являются решениями на- шего соотношения. А тогда по утверждению 1) и С1г" + ^2Г2 яв- ляется его решением. Надо только показать, что любое решение соотношения (23) можно записать в этом виде. Но любое решение соотношения второго порядка определяется значениями f(l) и f(2). Поэтому достаточно показать, что система уравнений Ci + C2 = а, С уГ । С2гJ Ь имеет решение при любых а и Ь. Проверьте, что этими решениями являются „ Ь — аг2 ~ аг у— b С/ т —•' 2 —— ————— „ Гу — Г2 Гх — Г2 Случай, когда оба корня уравнения (24) совпадают друг с другом, мы разберем несколько позже. А сейчас приведем пример на до- казанное правило. При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному со- отношению /(п) = /(/х —l)4-f (/»—2). (25) Для него характеристическое'уравнепие имеет вид г2=г4-1. Корнями этого квадратного уравнения являются числа r 1+/5- Г t t г 2 — ---------. Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид /(п)=С1(Ш-^) +с2(^=ДУ (26) (мы воспользовались сделанным выше замечанием и взяли показа- тели п вместо п— 1). Мы называли числами Фибоначчи решение соотношения (25), удовлетворяющее начальным условиям f(0) = 1 и /(1) =2, то есть по- следовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Часто бывает более удобно до- бавить к этой последовательности вначале числа 0 и 1, то есть рас- сматривать последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Ясно, что эта последовательность удовлетворяет тому же самому рекуррент- ному соотношению (25) и начальным условиям f(0)=0, f(l) = l. По- лагая в формуле (26) /1 = 0 и /1=1, получаем для Су и С2 систему уравнений 6,4-62 = 0, т/'S (6,-62) = !. 12 Н. Я- Виленкин 177
Отсюда находим, что 6^-6, = —?=- и ПОТому V о 71 + рТ\я /]/5\'г Д 2 / \ 2 Л (27) На первый взгляд кажется удивительным, что это выражение при всех натуральных значениях п принимает целые значения. Случай равных корней характеристического уравнения Остановимся теперь на случае, когда оба корня характеристи- ческого уравнения совпадают: Г|=г2. В этом случае выражение Cjr”-1 4~С2г2-1 Уже не будет общим решением. Ведь из-за того, что ri = r2, это решение можно записать в виде I (п) = (^i + с2) ri 1 = Сг" *. У пас остается только одно произвольное постоянное С, и выбрать его так, чтобы удовлетворить двум начальным условиям f(l)=a, f(2)=b, вообще говоря, невозможно. Поэтому нам надо найти какое-нибудь второе решение, отлич- ное от (л) = г"~1. Оказывается, таким решением является /2 (л) = лг”-1, В самом деле, если квадратное уравнение r2=air+a2 имеет два совпадающих корня г[ = г2, то по теореме Виета а1 — 2г1, а2 =—г2. Поэтому наше уравнение записывается так: г2 = 2г/ — г2. А тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид: Нл4-2)=2г1Нл4-1) — r2f(/i). (23) Проверим, что [> (и) = nr"~l действительно является его решением. Мы имеем /2 (л-|-2) = (л-{-2) r”+1, a f2 (п -f- 1) = (л 4~ 1) г". Под- ставляя эти значения в соотношение (28), получаем очевидное то- ждество (л -J- 2) r” + 1 = 2 (л 1) r”+1 — лгя+1. Значит, ЛГ|-1 — решение нашего соотношения. Теперь мы уже знаем два решения^ (л) = г”и f2(n) — пг^1 заданного соотношения. Его общее решение пишется так: f (л) = Ci''"-1 + C-inr"~l = г"-1 (С1 + C2n)- Теперь уже путем подбора G и С2 можно удовлетворить любым начальным условиям. 178
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффи- циентами, порядок которых больше двух, решаются таким же спо- собом. Пусть соотношение имеет вид f (n + k) = aj (n + k- 1) + ... +akf (n). (29) Составляем характеристическое уравнение Если все корни п....rk этого алгебраического уравнения й-й сте- пени различны, то общее решение соотношения (29) имеет вид f(n) = Clr" 1-}-С2г2 1 4' •••+ Сkrnk Ч Если же, например, Г[ = г2 = ... =rs, то этому корню соответ- ствуют решения /1(л) = г1-1> М") =пг"~\ f3(n) = п2г"~^,..fs (п) = ns~lr"~l рекуррентного соотношения (29). В общем решении этому корню соответствует часть Г1~1 [С1 + С2Л + Сз”2 + ••• Составляя такие выражения для всех корней п складывая их, полу- чаем общее решение соотношения (29). Например, решим рекуррентное соотношение f(n + 4)=5f(n+3)-6f(n 4-2)-4/014-1) 4-8/(«)• Характеристическое уравнение имеет здесь вид г4 — 5г3 + 6г2 4- 4г - 8 = 0. Решая его, получаем корни rj = 2, г2 = 2, г3 = 2, г4 = — 1. Значит, общее решение нашего соотношения имеет следующий вид: / (п) = 2"" * [С, 4- С2п 4- С3л2] 4- С1(—1)«-1. Применение теории рекуррентных соотношений к вопросам пере- дачи информации. Мы уже рассматривали (см. стр. 104) задачу о количестве раз- личных сообщений, которые можно передать за время Т, если извест- но время передачи отдельных сигналов. При этом мы пришли к ре- куррентному соотношению /(Г) = /(Г_^)+/(Г_/2)4_...+/(Г_/я)> (зо) причем /(0)=1 и ЦТ)—0, если Г<0. 12* 179
Будем считать числа Т, 6, .... tn целыми, и обозначим через Л1, .... Лл корни характеристического уравнения для соотношения (30). Тогда общее решение уравнения принимает вид Пусть — наибольший по абсолютной величине из корней харак- теристического уравнения. Тогда при больших значениях все слагае- мые будут пренебрежимо малы по сравнению с первым, п мы по- лучим, что Это равенство позволяет приближенно оценивать число сообщений, которое можно передать за время Т с помощью данной системы сигналов. Третье решение задачи мажордома Оба решения задачи мажордома, с которыми мы выше познакомились, приводили к рекуррентным соот- ношениям. Сейчас мы выведем формулу, дающую реше- ние этих соотношений, — формулу, позволяющую сразу подсчитать число способов посадить враждующих рыца- рей за стол. Для этого воспользуемся формулой вклю- чений и исключений. Обозначим через а/{ событие, со- стоящее в том, что k-я пара враждующих между собой рыцарей сидит рядом. Подсчитаем, чему равно N(ai...ak), тс есть во скольких случаях рядом сидят k пар врагов. Первую пару можно усадить за стол 4п способами (2п способами выбрать место для одного, по- садить второго на следующее по часовой стрелке место и учесть, что рыцарей можно обменять местами). Для остальных рыцарей останется 2п— 2 мест, причем их надо занять так, чтобы вторая, третья, ..., k-я пары врагов оказались рядом. Объединим эти пары рыцарей в один «объект». Эти k — I пар рыцарей и 2п — 2k остальных рыцарей можно переставлять друг с другом (2п — k— 1)! способами. Если взять одну из таких пе- рестановок и посадить рыцарей по порядку на свобод- ные места, то выбранные нами k—1 пар врагов ока- жутся рядом. Это условие не нарушится и в случае, если мы поменяем местами некоторых рядом сидящих вра- гов. Так как такие пересадки можно сделать 2й-1 спосо- бами, то всего получаем 4п2й-1(2п — k— 1)! способов 180
посадки. Таким образом, jV(<Xj ... ай)==2*+1/г(2/г — k- 1)!. Мы хотим найти, во скольких случаях ни одна пара врагов не окажется соседями, то есть вычислить jV(a' ... а'). Принимая во внимание, что k пар можно выбрать Сп способами, получаем по формуле включе- ний и исключений, что А = ••• <) = — (2/г)! — С\22п (2/г -2)1 + С^п (2/г - 3) I — ... ... ф (-1)*С*2* + 1/г(2/г-&—I)!-)-... -ф (-1)"2я+1/г!.
ГЛАВА VII КОМБИНАТОРИКА И РЯДЫ Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в целом ряде слу- чаев рекуррентные соотношения довольно трудно соста- вить, а еще труднее решить. Зачастую эти трудности удается обойти, использовав производящие функции. Поскольку понятие производящей функции связано с бесконечными степенными рядами, нам придется сна- чала познакомиться с этими рядами. Деление многочленов Читатель, конечно, знает, как делят друг на друга многочлены. Если заданы два многочлена f(x) и ср(х), то всегда существуют многочлены q(x) (частное) и г(х) (остаток) такие, что f(x)=<p(x)q(x)+r(x), причем сте- пень г(х) меньше степени <р(х) или г(х)=0. При этом f (х) называется делимым, а <р(х) делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только много- члены, но н бесконечные степенные ряды. Для получе- ния частного надо расположить многочлены по возра- стающим степеням х и делить «уголком», начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление 1 на 1—х. Мы имеем 1 I 1 —X___________ I ±Х I 1 X Ч" X2 -р ... X + X ± X2 X2 Т X2 ± X3 X3. , . 182
Ясно, что процесс деления никогда не закончится (так же, например, как при обращении числа -у в бес- конечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бес- конечный ряд 1 + X + X2 -ф- . . . -ф- Хп -ф- . . . Вообще, если /(х) и <р(х) два многочлена: f (х) = а0+ ... + а„хя, <p(x) = &0+...+&mxm, причем свободный член Ьо многочлена <р(х) отличен от нуля, &о=#О, то при делении f(x) на <р(х) получается бесконечный ряд <?04-<?ix4* ... 4_ • (1) Например, если взять те же многочлены f(x)=6x3— — 2х2+х+3 и <р(х)=х2— х+ 1, что и выше, то при но- вом способе деления получаем Зф-х —2х2ф6х3 | 1— X -фх2 + 3±3хт3х2 |зф-4х —х2ф-х24-2х4 4-... 4х—5х2-|-6х3 ±4х±4х2+4х3 —х2-|-2х3 ±х2 + х3 + х4 х3ф-х4 + х3 + х4 т х5 2х4—х5 Такая же картина будет наблюдаться во всех случаях, когда Ь(г£0 и г(^)=#0. Лишь в случае, когда f(x) де- лится без остатка на <р(х), ряд (1) обрывается и мы получаем многочлен. Алгебраические дроби и степенные ряды При делении многочлена /(х) на многочлен <р(х) мы получили бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос, как связан этот ряд с алгебраической дробью / \х2 . то есть какой смысл можно придать записи ф = со + cix 4~ • • • 4" спхП + • • (2) 183
Рассмотрим, например, разложение ~х ~ 1 4~ Л “Е • • • ± • (3) Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем под- ставлять в обе части соотношения (3) различные зна- чения х. Сначала положим х — Тогда левая часть 10 соотношения примет значение — , а правая превра- тится в бесконечный числовой ряд 1 + 0,1 + 0,01 -г ... + 0,000 ... 01 4- •.. Так как мы не умеем складывать бесконечно много сла- гаемых, попробуем взять сначала одно, потом — два, по- том— три и т. д. слагаемых. Мы получим такие суммы: 1; 1,1; 1,11; ...; 1,111 ... 1; ... Ясно, что с возрастанием п п единиц. _ 40 . .. эти суммы приближаются к значению -у =1,11 ..., которое приняла левая часть соотношения (3) при То же самое получится, если вместо х подставить в обе части равенства (3) число у. Левая часть равен- ства примет значение 2, а правая превратится в беско- нечный числовой ряд l + | + |-|-|-b...-|-y-|-.-. Беря последовательно одно, два, три, четыре, ... слагав- 13 7 1 мых, мы получим числа 1; 1—; lyi 1-§-, ..., 2 — Ясно, что с возрастанием п эти числа стремятся к числу 2. Однако если взять х=4, то левая часть равенства (3) примет значение — у, а в правой получим ряд 1+. 4-4 + 42+ ... +4П+ ... Если последовательно склады- вать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; ... Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу —у. 184
Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы различать эти случаи, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть за' дан бесконечный числовой ряд ах + а2 + • •• 4- а„ + ... (4) Говорят, что он сходится к числу Ь, если разность b — — («( + 02+...+о„) стремится к нулю при неограни- ченном увеличении п. Иными словами, какое бы число г>0 мы ни указали, отклонение суммы а,+ ... +ап от Ь, начиная с некоторого номера Л', окажется меньше е: | b — (аг 4- • • 4 ап) | < е, если n'^>N. В этом случае число b называют суммой бесконечного ряда at + . . . +ап + ... и пишут Z>v= tZj +... 4- cLn 4- • • • Если не существует числа Ь. к которому сходится дан- ный ряд (4), то этот ряд называют расходящимся. Проведенное выше исследование показывает, что = 1 +0,1 + 0,01 + ... 4 0,00 ... 01 4 ..., 2=i+4+4+---+i+---’ в то время как ряд 1 +4+ 16+ .. . +4” + ... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если |Х|’<1, то ряд 1 + х + . . . + хп + . . . СХОДИТСЯ К . а если jX; <1, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что 1 _ I 1 + ^+,.,+^^.^.д is что при выражение xn+1 стремится к пулю, если |х|<1. и к бесконечности, если |х| При х=±1 получаем расходящиеся числовые ряды 1 + 1+ ...+!+... и 1 — 1+...+1 — 1+... Итак, если |х| < 1, то т1_=14-х+... + хЧ... (5) Отметим, что равенство (5) — это известная из школьного курса математики формула для суммы бес- конечно убывающей геометрической прогрессии. 185
Мы выяснили, таким образом, смысл записи । .1" = !+ .*+••.4-х”+... Она показывает, что для значений х, лежащих в неко- торой области, а именно при |х| <1, стоящий справа In л. 1 ряд СХОДИТСЯ К -j-—— • Говорят, ЧТО функция -j-_ * при |хj <1 разлагается в степенной ряд 1 +х+ ... +хп + ... Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос. Пусть при делении многочлена f(x) на многочлен <р(х) получился степенной ряд с0 + с{х c!tx’1 -f-... (6) Оказывается, что тогда при достаточно малых значе- ниях х ряд (6) сходится к f(x)/<p(x). Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны xj, ..., хк и г — наименьшее из чисел IxJ, ..., |x;J, то ряд сходится в области |х;<г. Например, функция 1 — х обра- щается в пуль при х=1, п потому разложение у_верно лишь при |х|<1. А функция х-— 7х+10 обращается в нуль при х, = 2, г х — 1 х2=б, и потому разложение для у, i |Q сходится при |х|<2. Отметим, что пи один из корней знаменателя не равен нулю, так как мы предположили, что свободный член знаменателя отли- чен от нуля, и потому <p(O)=Z>o ¥=0. Иными словами, всегда есть область |х] <г, в кото- рой выполняется равенство Ф (Jy — со + cix + • • • + спх" (7) В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции, В математическом анализе до- казывают, например, что sinx = x--^- + ^-... (8) cosx= 1 —-^-+уу—... (9) Для нас будет представлять интерес разложение у2 уЗ ^ = i + x + ±.+i.+ ,„ (10) 186
Its формулы (10) видно, что « = 1 + 1+4г+ зт + ”‘ (11) Беря достаточно много членов ряда (11), получаем значение е с любой степенью точности. Первые десятичные знаки е имеют вид 2,7182818289045... Укажем, что ряды (8), (9), (10) сходятся при всех значе- ниях х. Отметим еще следующее важное утверждение: Функция f(x) не может иметь двух различных раз- ложений в степенные ряды. Иными словами, если / (х) — ао Н- а\х • • • Н- апхп + ... и f (х)= Ьо ~Г bix + • • • + Ьпх" + ..., то ао = ^0’ а1 = ^1> •••> ап = ^п> ••• Действия над степенными рядами Перейдем теперь к действиям над степенными ряда- ми. Пусть функции f(x) и <р(х) разложены в степенные ряды f(x) = aQ + alx-+-...+-anxn+... (12) и Ф (х) = Н- Ь\х • • • 4~ Ьцх>г + • • • (13) Тогда f (х) 4- Ф (х) = («0 U\X апхп -j- ...) 4~ + (^о + Ь\х + • • • + ^nx" -{-•••)• Оказывается, что слагаемые в правой части равенства можно переставить и сгруппировать вместе члены с оди- наковыми степенями х (это утверждение совсем не так очевидно, как кажется на первый взгляд — ведь в пра- вой части равенства у нас бесконечные суммы, а. в бесконечных суммах переставлять слагаемые можно 187
далеко не всегда). После этой перегруппировки мы по- лучим / (х) 4 Ф (х) — (ао 4 ^о) 4 (4 44) х 4-... • • • 4 (4г 4 ^н)Х”4 >• • (14) Ряд, стоящий в правой части равенства (14), назы- вается суммой степенных рядов (12) и (13). Посмотрим теперь, как разлагается в степенной ряд произведение функций /(х) и ф(х). Мы имеем f W Ф (*) = (а0 4 а,х 4 • • • 4 апхп 4 • • •) X Х(Ш*4 ••• 4/4 ..•). (15) Оказывается, что, как и в случае многочленов, ряды, стоящие в правой части равенства (15), можно почлен- но перемножить (мы опускаем доказательство этого утверждения). Найдем ряд, получающийся после по- членного перемножения. Свободный член этого ряда ра- вен айЬ0. Члены, содержащие х, получатся дважды: при умножении ай на Ьхх и при умножении а(х на Ьо. Они дают а0Ьхх 4- axb$x = (aobx -j- axb^ х. Точно так же вычисляем члены, содержащие х2; а0Ь2х2 4* ахЬхх2 4- а2Ьох2 = (а0Ь2 4 ахЬх 4- а2Ь0) х2. Вообще, коэффициент при х” имеет вид 4^,4 «Л-1 4 ••• 4«Л-*4 ••• 4 «А- Таким образом, /(х)<р(х) = /04Ч///0)х4 ••• • •• ~(ao^iT ••• + а,Д) х" 4- ... (16) Ряд, стоящий в правой части равенства (16), назы- вается произведением рядов (12) и (13). В частности, возводя ряд (12) в квадрат, получаем Р(х)=а24-2а0а1х-4-(а2-4-2а0а2)х2-4-2(а0а3-н а^х3-^ ... (17) Посмотрим теперь, как делят друг на друга степен- ные ряды. Пусть свободный член ряда (13) отличен or 188
нуля. Покажем, что в этом случае существует такой сте? пенной ряд • • • СпхП~Ь • • •> (1 S) ЧТО (/»о + Ьхх + ... + Ьпхп 4- ...) х X До + С1Х "+"•••+ спхП + •••)—- = a0 + aix+ ••• +аях"+ ••• (19) Для доказательства перемножим ряды в левой части этого равенства. Мы получим ряд ^oco + (^oci + ^ico)x + ••• “Ь(Росп~Ь ••• + bяс0)х”4- Для того чтобы этот ряд совпадал с рядом (12), необ- ходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства = ао> Ьосх ai> Ьосп Ьпс0 = ап, Эти равенства дают бесконечную систему уравнений для отыскания коэффициентов с0, ct, ..., сп, ... . Из первого уравнения системы получаем с0 = -^-. Подставим полу- ^0 ченное значение во второе уравнение. Мы получим урав- нение Мо Ьй . Вообще, если ^ос\ — а\ ИЗ которого находим, ЧТО Сх—------ Д уже найдены коэффициенты с0, ..., cn-i, то для отыска- ния сп имеем уравнение ^О^л == &№ -1 • • • ^л^О’ Это уравнение разрешимо, поскольку 6о4=О. Итак, мы доказали существование ряда (18), удо- влетворяющего соотношению (19). Ряд (18) называют частным при делении рядов (12) и (13). Можно дока- зать, что он получается при разложении функции f(x)/<p(x). Таким образом, степенные ряды можно
складывать, умножать и делить (последнее — при усло- вии, что свободный член делителя отличен от нуля). Эти действия соответствуют действиям над разлагаемыми функциями. Отметим, что теперь мы можем иначе истолковать смысл разложения &0+^... ^ЬтХт = с0 + О + • • • + Ckxk + ... (20) Оно означает, что ряд co + cix+ ... + chxh + ... полу- чается при делении конечного степенного ряда а0+ ...+, + апхп на конечный степенной ряд Ьо +,...+ Ьтх’\ Иными словами, это равенство означает, что (/»о+ ••• ~Ь ЬпХт) (г0+ 0х + ••• +сйх*+ •••) = = й0+ ... -\-апхп, (21) где произведение в левой части равенства определяется по формуле вида (16). Применение степенных рядов для доказательства тождеств С помощью степенных рядов можно доказывать мно- гие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. По- скольку функция может быть представлена лишь един- ственным образом в виде степенного ряда, то коэффи- циенты при одинаковых степенях х в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству. Рассмотрим, например, известное нам разложение "1 •_ х = 1 + х + х~ + • • • Ч-х>г + • • • Возводя обе части этого разложения в квадрат, полу* чаем 0—Тут = 1 + 2х + Зх2 + ... +(«--)- 1) хп + ... (22) Если заменить здесь х на —х, то получим, что = 1—2х + 3х2— ... +(—1)л(«+ 1)х”4-... (22') (14-хЕ 190
Перемножив разложения (22) и (22'), выводим, что 1 1 (1-Х)2 (1+^)2 = 1 + |1(-2) + 2. 1]х + + [1 -3 + 2(-2) + 3- 1]х2 + ... 4-[l(-l)"(«+l) + 2(-l)n-2«-+- ... ... +(-W+ 1). 1]х"Ч- ... (23) Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях х обращаются в нуль (каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками). Коэффициент же при х2п равен 1(2« + 1) —2-2« + 3(2«—1)— ... 4-(2«+1). тт л. 1 Но функцию x~ji можно разложить в сте- пенной ряд и иным образом. Мы имеем 1 _ 1 (1 — х)2 (1 + х)2 — (1 — л-2)2 • . 1 А разложение для -г,—^- получается из разложения (22), если заменить в нем х на х2: 1^ = 1 + 2х2 + 3^+ ... + («+1)х2« + ... (24) V1 л ) Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому ко- эффициент при х2п в разложении (23) должен равняться коэффициенту при х2п в разложении (24). Отсюда вы- текает следующее тождество: 1(2«4- 1)-2-2«+-3(2«-1)— ... ... + (2п -J- 1) • 1 = «4-1. Производящие функции А теперь мы уже можем перейти к основной теме этой главы — понятию производящей функции. Пусть дана некоторая последовательность чисел а0, alt ... ..., ап, ... Образуем степенной ряд а0 + агх^- ... ... 191
Если этот ряд сходится в какой-то области к функции f(x), то эту функцию называют производящей для по- следовательности чисел а0, «ь • • ., ап, .... Например, из формулы = 1 -h х х" . , 1 вытекает, что функция -j"_ х является производящей для последовательности чисел 1, 1, 1, ..., 1, ... А фор- мула (22) показывает, что для последовательности чи- сел 1, 2, 3, 4, ..., п, ... производящей является функ- 1 иия <1^-^ • Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей а0, ..., ап, ..так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью этих функций удается получать самые разные свойства этих последовательностей. Кроме того, мы рассмотрим, как связаны производящие функции с решением рекур- рентных соотношений. Бином Ньютона Сейчас мы получим производящую функцию для ко- <• /-»l нечнои последовательности чисел Crt, Сл, Ся. Из начальной алгебры известно, что (а 4- х)2 = а2 + 2ах 4- х2 и (а 4- х)3 = а3 4- За2х 4- Зах2 4- х3. Эти равенства являются частными случаями более Рб- щей формулы, дающей разложение для (а + х)п. Запи- шем (а+х)п в виде (а 4- х)л = (а 4 х) (а 4 х) ... (а -f-x). .(25) п раз Раскроем скобки в правой части этого равенства, при- чем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, (а+х)2 запи- шем в виде (а Н-х)2 = (а -|-х) (а 4- х) = аа 4- ах 4- ха 4- хх, (26) 192
a (a+x)3 — в виде (a 4- л:)3 = (<z + x) (a -f- x) (a 4 x) — — ааа-'^аахфаха -\-axx A-xaa —xax -{-хха-4-ххх. (27) Видно, что в формулу (26) входят все размещения с повторениями, составленные из букв х и а по две бук- вы в каждом размещении, а в формул)’ (27)—разме- щения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое будет и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (25) мы получим всевозможные размещения с повторениями букв х. и а, состоящие из п элементов. Приведем теперь подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв х (то- гда и букв а в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит k букв х и, следова- тельно, п — k букв а. Эти члены являются перестанов- ками с повторениями, составленными из k букв х и п— k букв а. Поэтому по формуле (5) главы II их чис- ло равно P(k,n-k) = Ckn = -^^^. Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение xhan~h войдет с коэффициентом С* = ТТщ — k) 1 ‘ ^так> мы доказали, что (а + = ... ... ... +С‘хп. (28) Равенство (28) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве а = 1, то по- лучим (1 + х)' = Сп 4- Сг„х 4~ ... С«х4 -}-•••+ Сппхп. (29) Мы видим, что (1+х)п является производящей функ- цией для чисел k = Q, 1, ..., п. С помощью этой производящей функции можно срав- нительно просто доказать многие свойства чисел С«, ко- торые были получены ранее с помощью довольно хит- рых рассуждений. 13 Н. Я. Виленкин 193
Докажем сначала, что скпП = скп+скп~\ (30) Для этого достаточно умножить обе части равенства (29) на 1 +х. Мы получим, что (1+х)Я!1 = — (Сп-|-СлХ-|- ... ... + Сяхя)(1 Н~х). Выражение в левой части этого равенства снова разло- жим по биному Ньютона. Только придется заменить в формуле бинома п на n+J. Поэтому коэффициентом при хк будет С„+г В правой же части при раскрытии скобок член, содержащий появится дважды: при ум- ножении Скхк на 1 и при умножении Ск~1хк~1 на х. Поэтому коэффициент при х* в правой части равенства имеет вид Ск1-\~Скп~х- Но слева и справа должен стоять один и тот же многочлен. Поэтому коэффициенты при хк слева и справа должны быть одинаковыми. Это н доказывает, что Qkn+i = ск+ск-\ На стр. 53 мы доказали это равенство. Но там по- требовались комбинаторные рассуждения. Точно так же сравнительно сложно на стр. 53 было доказано, что 2Я = С°„ + С^+ ... +С*+ ... +СЯ. (31) А с помощью формулы (29) доказательство прохо- дит мгновенно: достаточно положить х=1. А если поло- жить в этом равенстве х=—1, то получим, что 0 = С°„-С1„+^-С3я+...+(-1)йС^+ ... +(-1)я Ся. Иными словами, сумма значений Ск с четными k равна сумме значений Ск с нечетными k: с°+с2„+с4„+ ... +СЯ+ ... ... =С*+С3„+ ... +С2,я+1+ ... (32) Обе суммы конечны, и обрываются, когда 2m, соответ- ственно 2т + 1, станет больше п. Любопытный результат получится, если положить в равенстве (29) x = i, п = 4т. Простой подсчет показы- 194
вает, что (l+t)4 =—4. Поэтому (l+0'”'=(—4)m. Мы получаем, таким образом, равенство (—4) = С fa 4- C\mi 4 CfaP 4 Cfai? 4 +cU4+... = — С Ат 4 Ciml — С fa — С fat 4 с Ат 4 • • • 4- С fa- Отделяя в этом равенстве действительную и мнимые части, приходим к тождествам С\т - С fa 4 С]т - ... - -1 = 0, (33) С fa — С fa 4 С 4 т 4' 4 Са>п = (—4)m. (34) Разберите сами, какие тождества получатся, если по* дожить n = 4m + l, 4/и + 2, 4/и + З. Легко доказать с помощью производящей функции и равенство С* ____ Z>0z>5 1 fApS | 1 nknS-k J I ntlps-tl /ОГ\ Ьд-1/й — "I “Г * * • i~ “Т" • • • “i rv^m. xyO} (при s— £<0 здесь положено CSmk = 0); поэтому на са- мом деле k меняется от 0 до наименьшего из чисел т, п). Для доказательства надо взять разложения (1 4 х)п — С°п 4~ С\х 4~ ... 4~ 4- ... 4~ Спх и (14 -’с)т — Ст 4 С}пХ 4 ... 4- СтХ' 4" - • • 4" СтХ™ и перемножить левые и правые части этих равенств. Мы получим, что (1 4 х)п+т — [Сп4~ Схпх 4~ ... 4 Скпх 4- ... 4 Спх ] X X [Cm 4" СтХ 4" • • • 4- CmXS 4" • • • 4" Стх ]. А теперь применим к левой части формулу бинома Нью- тона (для показателя п + т), а в правой части раскроем скобки. Если сравнить коэффициенты при х3 слева и справа, как раз получим равенство (35). Частным слу- чаем этого равенства является Сп2п = (С°)2 4 (Ctf 4- ... 4- (С")2 (35') (напомним, что С„ = Сп~)- 13* 195
Полиномиальная формула Применяя формулу бинома Ньютона, можно разло- жить и более сложные выражения, например такие, как (х + у+г)4. Именно, (х -г у 4 г)’ — [(л- -4 у) -t- г]4 = — (х + У)' 4_ Ci(ху)3 z 4- Q (х 4- у)"z2 4" + d(x4-y)23-tC^- Разложим теперь (х + z/)4, (х + у)3, (х + у)2 снова по формуле бинома Ньютона. Мы получим, что (х 4- у 4~ г )4 = х4 У1 4~ г4 4 4x3z/ 4- 4х3г 4 4xz/3 4- 4 4г/3г 4- 4хг3 4- 4yz3 4- 6х‘;у2 4- 6х'-г2 4~ 4- 6у2г24- 12х2уг 4- 12хг/2г 4- 12хуг2. (36) Но такой способ слишком сложен. С его помощью трудно сразу ответить на вопрос: с каким коэффициен- том входит в разложение (х + у + г)9 член х2у4г3? Жела- тельно поэтому вывести формулу, сразу дающую разло- жение для выражения (х1 + х24---.. 4-х,„)я. (37) Эту формулу нетрудно угадать. При доказательстве формулы бинома Ньютона мы видели, что в разложе- нии (а + х)’1 член xhan~h входит с коэффициентом P(k, п— k). Можно предположить, что в разложении (Xi + x2+ ... 4-хш)” коэффициентом при x\'xkp ... х*? будет P(kh k2. .... km). Мы докажем сейчас, что дело обстоит именно так. В самом деле, запишем (х(4-х34-... 4-х,п)” в виде произведения п сомножителей и раскроем скобки, вы- писывая все сомножители в порядке их появления. Ясно, что при этом получатся всевозможные размещения с по- вторениями, составленные нз букв хь х3, ..., хт, такие, что в каждое размещение входит п букв. Но некоторые из этих размещений дадут подобные члены. Так будет, если в первое размещение каждая буква входит столько же раз, сколько п во второе. Поэтому, чтобы найти коэф- фициент прпх^х*2 ... х^"г. надо сосчитать, сколько раз- мещений с повторениями содержат раз букву хь k, 196
раз букву х->, ..., km раз букву х,п. Ясно, что каждое та- кое размещение является перестановкой с повторениями из 4 букв xt, k2 букв х2, • • , km букв хт. Число таких перестановок мы обозначали P(kt, 1г2, kin). Итак, действительно, коэффициентом при ‘х*2 ... xkn't" в раз- ложении выражения (37) служит P(ki, k2, ..., kni) (где, разумеется, k{ + k2+ ... + km = n— ведь в каждый член разложения входит по одному элементу из каждой скобки, а общее число перемножаемых скобок равно п) . Доказанную нами формулу можно записать так: (+ -|- х2 4- ... 4- хт)п = k.„ . . ., (38) где сумма распространена на всевозможные разбиения kt + k2+...+km числа п на т целых неотрицательных слагаемых. Напомним, что (39) Ясно, что если числа sit ..sm получаются из чисел k!r ..., km перестановкой, то P(sh ..., sl(I) =P(k[.km). Поэтому, например, в разложении (36) коэффициенты при х2уг и хуг2 одинаковы. Это замечание облегчает вы- писывание членов разложения (37). Достаточно найти коэффициенты для таких разбиении n = ki + k->+ ... + &м, что ki k2^ ... > km, а потом переставлять показатели всеми возможными способами. Например, вычислим (х+у + г)5. Если не учитывать порядок слагаемых, то число 5 можно разбить на 3 сла- гаемых пятью способами; 5 = 54-0 + 0, 5 = 44-14-0, 5 = 34-2 + 0, 5 = 3+1 + 1, 5 = 2-4-24-1- Но Р(5, 0, 0) = 1, Р(4, 1,0) =5, />(3,2,0) = 10, Р(3, 1, 1) = = 20, Р(2, 2, 1) =30. Поэтому (х + у 4 г)5 = х5 4 у5 4 г5 -+- 5хАу + 5хуА 4 5x4 4 5хг* + + 5^4 4 5уг4 + 10х3у2 + Юх2;/3 + 10x3z2 + -р 10х2г3 + 10у3г2 + 1 Оу'-’г3 + 20х3уг + 20ху3г + + 20хуг3 + 30х2у4 + 30х2уг2 + 30ху42. 197
Формула (38) позволяет легко доказать некоторые свойства чисел P(klt k2, ..., fem). Например, если поло- жить в этой формуле х1 = х2 = ... =хш=1, то получим, что km). (40) Здесь сумма распространена на все разбиения числа п на т неотрицательных целых слагаемых: n = kl + k2+\ + ... +km, и порядок слагаемых учитывается. Далее, если умножить обе части равенства (1) на Х1 + Х2+ ••• +х)П, применить к левой части аналогичное разложение, а в правой раскрыть скобки, то получим для ₽(&!,...,&„,) следующее рекуррентное соотношение: P(klt k2> ..., km) = P(k1-l, k2, km) + + P(klf k2-l, km)+ ... ... +P(kv k2, .... *m-l). (41) Если же перемножить обе части разложений (•^i+^-b • • • = 2 ^2’ •••» ^т)Х11Х22 ! • • И (Х1 + х2+ Z2, ..., Zm)xX2 ••• и сравнить коэффициенты в обеих частях при х\'Х^ ... х^, то получим тождество Р(гр г2, .... г,„) = = 2 P(*i, k2, .... km)P(lv l2, lm). (42) кР+,Р=гР < Здесь в правой части суммирование распространено на все целые неотрицательные числа klt k2...km; llt l2, ... ..., lm такие, что ... Zi + Z2+ • • • + Zm=s и fei + Zi = ri, k2 + l2 = r2, ..., km+lm=rm. Мы предоста- вляем читателю подробно провести соответствующие вы- кладки. Разумеется, формулы (40) — (42) можно было бы по- лучить и не пользуясь производящей функцией (38). Но в этом случае пришлось бы проводить геометрические рассуждения, аналогичные примененным на стр. 138, но 198
не на плоскости, а в n-мерном пространстве. Примене- ние же производящей функции позволяет получить эти тождества автоматически, выполняя лишь несложные алгебраические преобразования. Ряд Ньютона Мы назвали, как это обычно делают в школе, фор- мулу для (tz-f-x)n биномом Ньютона. Это название с точ- кп зрения истории математики неверно. Формулу для (a-f-x)n хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. В Западной Европе за- долго до Ньютона ее знал Блэз Паскаль. Заслуга же Ньютона была в ином — ему удалось обобщить фор- мулу для (х+а)п на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если а — положительное число и |х|<а, то для любого действительного значения а имеет место равенство (х 4- а)а = аа 4- ааа~1х 4- а ~ аа~2№ 4~ • • • । а(а —1) ... (а —*4-1) ... Н-------ПТ77Г*------а х +- • • - v*3) Только теперь получилось не конечное число слагае- мых, а бесконечный ряд. В случае, когда п — натураль- ное число, скобка (п — п) обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициенты всех членов, начиная с (п + 2)-го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном п ряд (43) превра- щается в конечную сумму. Мы не будем доказывать формулу (43) для всех зна- чений а и рассмотрим лишь случай, когда а — целое отрицательное число, а =—п. В этом случае подлежа- щая доказательству формула принимает следующий вид: (х 4- а)-« = а~ " _ па~+ + а-11 -2х2 - п(п-'Г1) (л-{-2) -п-з з , ----ГТлз--а Х '' ' ... 4-(-!)*+ а~п-*х* + ... (44) 199
Иначе это равенство можно переписать так: -Ca„2(i)’+ ... +(-l)*cL._1(i)‘+ ... (44') (ведь “<-“-+1^'4 + Нам будет удобнее заменить -у- на —t и доказывать вместо (44') следующее равенство: (1 — t) = 1 + Cnt -|- Сп i --)-••• ~Ь (45) Проведем доказательство с помощью индукции по п. При zi=l имеем C«+*_i = C*=l и потому доказывае- мое соотношение принимает следующий вид: т1_. = 1 + / + /2+. ... ... (46) Но это — известная формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии (напомним, что у нас \t = — < 1 . J 11 I a I ; Предположим теперь, что уже доказано равенство (45), и покажем, что из него следует равенство (1 _t)~n-x = 1 +С’ С2п,2/2+ ... (47) ' Для этого умножим обе части доказываемого равенства (47) на 1 — t. Если после этого мы получим верное ра- венство, то и равенство (47) имеет место. Но после умножения на 1 — t мы получаем (1 -t)-n= [1 ... • •• 4“Cn+n-\t -|-Cn^ktk~Ь ••](!— t). Раскроем скобки в правой части и приведем подобные члены. Слагаемые, содержащие tk, появятся дважды: когда С„+й/ умножается на 1 и когда Сл+*_1/ умно- жается на —Поэтому коэффициент при tk в правой части равен П-i k ^П + k-l == П i k -1 (см. формулу (11) на стр. 53), 200
Flo по предположению индукции коэффициент при в разложении (1 —t)~n как раз равен + Так как после умножения на Г — t мы получили верное равен- ство, то и доказываемое равенство (45) верно. Если читатель не хочет идти от доказываемого равенства к уже известному соотношению, -а предпочитает обратный путь, сле- дует умножить обе части равенства (45) на соответствующие члены соотношения (46). Мы получим, что (1-0 -«-! = = (1 + ф + с*+/+ ... Х(1 + / + /2+ ... +/*+...) А теперь надо раскрыть скобки и воспользоваться тождеством z>0 । z>l j » । ph _____pk ^п-\~Т^п^ГЬп^\Т ••• ~Гс?г|-/г-1 “ Si-rfe (см. стр. 54). Мы придем в результате к доказываемому соотно- шению (47). Итак, равенство (45) доказано. Напомним еще раз, что оно справедливо только при <1. Если неосторож- ный читатель попробует положить в обеих частях ра- венства /= — 1 и выведет на основании этого «замеча- тельную» формулу п7Г = 1 —Сп -у С,; + 1 —СЛ|.2-(- ~Е (-1) СН .(. f! _ 1 -j- ..., (48) то он совершит серьезную ошибку' — ведь справа напи- сана сумма целых чисел, и эта сумма-никак не даст дробного числа 1/2". В XVIII веке, когда теория бесконечных рядов еще не была детально изучена, такие ошибки делали и из- вестные математики. Понадобились десятилетия напря- женных исследований для того, чтобы точно понять, что такое сумма бесконечного ряда, когда она существует, а когда нет. Впрочем, следует сказать, что в конце XIX века понятие суммы бесконечного ряда было зна- чительно обобщено, и существуют такие определения, при которых формула (48) справедлива. Но эти вопро- сы выходят за рамки нашей книги. 201
Сравним доказанное нами разложение (1+/)-«=i_c,V+c2„+1/2- ... ... +(-1)АС,%А_!?+... (49) с формулой (1 _|_ f)n = 14- C\t + С2/2 4- ... -4- & 4- ... +tn- (50) Мы снова приходим к выводу, что при обобщении сим- вола С* на отрицательные значения п надо положить Cln = (-\)kC*M (см. стр. 128). При отрицательных же значениях k Ckn = Q, поскольку в разложения (49) и (50) не входят слагаемые с отрицательными степенями t. По тем же соображениям С* = 0 при 0 п < k. Извлечение квадратных корней Мы доказали формулу Ньютона при всех целых зна* чениях показателя. Но, как уже говорилось, эта фор* мула верна не только для целых, но и для дробных (и даже для иррациональных) значений показателя. Мы не будем здесь доказывать ее при этих значениях, а 1 1 лишь выпишем разложения при п = у и п =--% При п= у формула Ньютона принимает вид ; 1 44-') (!•+/)" = 1 + х Н-----[72---х2 + Преобразуя это выражение, получаем 2 (1+х) = 1 Ч-у х — 374 х" + 2-4-6 %3— •" , ,4-1 1-3 ... (26-3) ' И 2.4 ... 2k х 202
Точно так же при п — — у выводим, что (i+xH= ... ••• +(-l)ft -... (52) Полученные формулы можно записать иначе. Для этого заметим, что 1 - 3 ... (2k — 1) _ (2Л)! _ 1 2 • 4 ... 2k ~ 22ft (А!)2 ~ 22ft Поэтом у (1+хр = 1-^си+^си2- ••• ... ... (53) Точно так же получаем, что (1 + х) 2 — 1 + ~2 X — С2Х ~Ь +TJ?Cix’“-'-+7^C‘^'+--- <54) Эти выражения сходятся в области |х|<1. С их по- мощью можно извлекать с любой степенью точности квадратные корни. Например, 1 у30= /25 + 5 = 5 /1+0,2 = 5(1 + 0,2)2 = - =5[1 +1 • 0,2-^0,22 + + ^ЙТ0’23- •••] =5,4775 ... Однако нас будут интересовать не приложения ука- занных формул к извлечению корней из чисел, а соот- ношения между биномиальными коэффициентами, кото- рые вытекают из полученных разложений. Чтобы полу- чить эти соотношения,, возведем обе части равенства (53) в квадрат. По правилу умножения степенных 203
рядов получаем, что коэффициент при xh в правой части имеет вид '2^'" tc**4= CiC,2k-24-CiCik-i 4~ • • • -4-С**]. В левой же части равенства получаем Г _1Т2 1' [(1 -4- х) 2J — 1-4-V ’ Но мы знаем, что 1— х —1~ х2 — ... +(— 1)*х*4- ... Сравнивая коэффициенты при степенях xh в обеих ча- стях равенства, приходим к тождеству Cik 4- С2С2Л-2 4" CiCzk-i-}- ••• 4~ С** — 22ft. (55) Аналогичные рассуждения, примененные к равенству (54), дают тождество pk — 2 z*lz*fc —3 —4 ь2/?-4 । ь2ь2£-6 । b4b2fc-8 , l-(6 — 1)^ 2(6 —2) ' 3(6—3) " rk-2 rk-t | _Д2й-4_ _ С2й-2 ’ • ‘ (6—1)-1 k ’ справедливее при £ > 2. Далее, перемножая почленно разложения (53) и. (54), получаем Раскроем скобки в правой части этого равенства. Мы получим степенной ряд, причем из равенства (57) сле- дует, что все коэффициенты этого ряда (кроме свобод-» 204
кого члена) равны нулю. Отсюда получаем тождество —1 I 1 z-.lz-.fe — 2 । 1 z-.2z-.fe-3 । C2ft-2 “Гу С2С2Л-4 “Г ••• ... (58) справедливое при Л > 1. Наконец, заметим, что Отсюда вытекает, что + у X-с\х~+ ... + y 2l2V_f Сы-^х* -4- ... j х Х(1-х + х2-л-М ... +(-. 1)*л*+ ...) = 1 I 1 Z~*- ~ I ( 1)^ /~>k k > —- 1---ч —7 — • • • "f" Ть— “F • • • Раскрывая скобки в обеих частях этого равенства и сравнивая коэффициенты при xh в обеих частях, прихо- дим к тождеству (39) Производящие функции и рекуррентные соотношения Мы уже говорили, что теория производящих функ- ций тесно связана с рекуррентными соотношениями. Вернемся снова к делению многочленов. Пусть f(x) = a0 4-Я1Х-+- ... +arlx" и ФМ=Л + М + ... +Ьтхт — два многочлена, причем Ьа^=0. Мы будем, кроме того, предполагать, что п<_т, то есть что алгебраическая , f (.г) , дробь правильна (в противном случае мы всегда можем выделить из нее целую часть). 205
Мы знаем, что если y^- = r0-hGx4- ... (60) то а04-^x4- ... -+апхп = — (^о + &ix4" • • • 4"Ьтхт)(с0 + с\х К • • • 4- ckxk4- ...). Раскроем в правой части этого равенства скобки и срав- ним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Сначала мы получим т соотношений такого вида: Ьосо ~ ао> b,f1 + b1c0 = au b0c2 4- Ьхсх 4- Ь2с0 = а2, (61) Ьост-1 4АСт-24“ ••• 4- Ьт-1С0 — ат-1 (если п<т— 1, то мы считаем, что an+i= ... = am-t = = 0). А дальше все соотношения имеют один и тот же вид: bocm+k~i- Ь1ст+к_1-^~ ... bmck = 0, k = Q, 1, ... (62) (ведь в f(x) нет членов, содержащих хт, хт+1 и т. д.). Таким образом, коэффициенты с0, .... Сд, ... ряда (60) удовлетворяют рекуррентному соотношению (62). Коэффициенты этого соотношения зависят лишь от зна- менателя дроби. Числитель же дроби нужен для нахо- ждения первых членов с0, G, ..., cm-i рекуррентной по- следовательности. Обратно, если дано рекуррентное соотношение (62). и заданы члены с0, ..., ст_!, то мы сначала по фор- мулам (61) вычисляем значения а0, ..., am-i. А тогда производящей функцией для последовательности чисел Го, Сц ..., Сь, ... является алгебраическая дробь /(%) _ ай-\-а^+ ... 4-am_lxm~1 Ф(х)- b0+blX+ ... +Ьтхт • На первый взгляд кажется, что мы мало выиграли при замене рекуррентного соотношения производящей функцией. Ведь все равно придется делить числитель на 206
знаменатель, а это приведет к тому же самому рекур- рентному соотношению (62). Но дело в том, что над дробью (63) можно выполнять некоторые алгебраиче- ские преобразования, а это облегчит отыскание чисел ск. Разложение на элементарные дроби Мы покажем сейчас, как с помощью алгебраических преобразований производящей функции можно решать рекуррентные соотношения. Предположим, что знаме- натель дроби (63) разложен на множители первой сте- пени Ф(*) = bm(х — aj ... (х — а*)1. Отметим, что для этого надо предварительно решить уравнение &оН-... + &тх™ =0, то есть характеристическое уравнение соотибше- ння (62). Тогда ясно, что дробь (63) получилась в результату приведения к одному знаменателю следующих элемен- тарных дробей: ц -411 ^12 -41, Г-1 (х — Я|)г ’ (х —а,)'-1 ’ ’ (х — Я|) A/ti Aki Ак, s -1 (х — аку’’ (X — а*)'-1 ’ X — а,,. Иными словами, ао4~ ~Г - 1A'W~~1 -4ц । Ьт^ — ау ... (х —aA)s — (х — аУ ”* । г -1 । I___-4fei । । ^k,s-\ /сд\ ~Г х —сц ' ' * * (х — акУ ~г ’ * ’ ~г х — ak ' ’ Нам неизвестны здесь лишь коэффициенты Ац, ... ..., Ак, s-i- Чтобы найти эти коэффициенты, надо умно- жить обе части равенства (64) на знаменатель (х — ai)г... (х — ось)s, раскрыть скобки и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х. Из получив- шейся системы уравнений мы и находим искомые коэф- фициенты. Иногда удается обойтись и без решений системы уравнений. Пусть, например, надо разложить дробь х3 — 2х2 6х 4- Г х4 — 5х2 4- 4 207
Так как х4— 5х*4 4 — (х2— 1)(х2 — 4) — = (х-1)(х4-1)(х-2)(х4 2), то это разложение должно иметь вид ____х3 — 2х2 6х -|- 1____ (х—1)4+1) (х —2)44-2) — — А I В । С I D ~ х—l х-|- 1 ' х — 2 ' х + 2 ’ Приводя к одному знаменателю, получаем, что х3 —2х2+6х4 1=Л(х4 1)(х —2)(х + 2)Н- 4 5(х-1)(х-2)(х + 2) + 4- С (х — 1) (х + 1) (х 4- 2) + D (х — 1) (х 4- 1) (х — 2). Это равенство должно выполняться при всех значениях х. Но при х=1 все слагаемые в правой части равенства, кроме первого, обращаются в нуль, и мы получаем —6Л = 6. Поэтому А = — 1. Точно так же, полагая х =—1, о о п 4 13 гу 9 х=2, х =—2, находим о —— у, и=-. Таким образом, хз_ 2^4-6x41 1 • 4 . х* — 5х2 + 4 — х— 1 34+1) _’~ I____13 9 12 (х —2) ' 4(х + 2) ' 1 } Для дробей вида -т-—разложение в ряд полу- а.) чается по формуле Ньютона. Например, 13 12 (х — 2) Применяя такое разложение ко всем дробям в раве(ь 208
стве (65), получаем, что -О I ... +м+ ...)- -4(1-х + х2- ... 4-(-1)лхч+ ...)- .13 /. . х х2 , . хп \ , — 44 \ ” " ...+_+ + , 9 х s х2 , (—ly'A'" + 8 И 2 + 22 • • • + 2п Группируя члены с одинаковыми степенями х, полу- чаем, что коэффициент при хп выражается формулой с„=1-4(-1)- 13 24 • 2я 9(-1)я 8 • 2я Мы уже знаем, что задача о разложении алгебраиче- ской дроби в степенной ряд равносильна задаче о ре- шении некоторого рекуррентного соотношения при за- данных начальных условиях. Таким образом, с помощью разложения дробей на элементарные и последующего разложения полученных элементарных дробей в степен- ные ряды можно решать линейные рекуррентные соот- ношения с постоянными коэффициентами. Итак, если задано рекуррентное соотношение (62) и значения сй, ..., cm-t, то сначала надо по формулам (61) найти значения aft, ..., am-i. Они дают коэффи- циенты многочлена, стоящего в числителе дроби с>х +- • • • + ckxk Знаменатель же этой дроби равен Ьо+’... + Ьтхт. и « ? f (х) Найденную дробь надо разложить на элемен- тарные дроби, после чего каждую элементарную дробь разложить в степенной ряд по формуле Ньютона. Коэф- фициент при xh в полученном ряде и дает значение c>t. Решим, например, рекуррентное соотношение ^,-2 — 5<7аи + 6са = 0 (66) при начальных условиях с0=1> Ci =—2. Здесь Ьо=1, Ь{ — = —5, 62 = 6. Из формулы (61) получаем, что a0 = bQc0 = 1, «1 = 40с14-Ц=-7. 14 Н. Я. Виленкин 209
Поэтому числитель дроби = Со + Cjx+ ... -4- cftx*4- ... равен 1 — 7х. Знаменатель же этой дроби сразу полу- чается из соотношения (60). Он имеет вид х2— 5х+6. Значит, для отыскания решения нам надо разложить в степенной ряд дробь 1 — 7л х2 — 5х 4 6 Но х- — 5x46 = (х — 2) (х— 3), и потому 1 — 7л _ 1 —7л _ А В х2 — 5х 4 6 ' (х — 2) (х — 3) х — 2'х — 3' Освобождаясь от знаменателя, получаем 1 — 7х = А(х—3)4-£(*—2). Полагая х = 3, находим В=—20, а полагая. х = 2, нахо- дим Л = 13. Значит, 1 — 7х _ 13 _ 20 _ х'2 — 5л 4 6 х — 2 х — 3 ___13 Л , 20 Л ~ 2 V 2/ ' 3 \ 3/ +4+•••+?+ •••)+ 20 / х хп \ +т(1+т+---+4+---)- Поэтому _ 13 1 , 20 1 13 , 20 С,‘ 2 ’ 2" ' 3 З'г 2п+‘ Зп-ь> ‘ Об едином нелинейном рекуррентном соотношении При решении задачи о разбиении последовательно- сти мы пришли к рекуррентному соотношению “ 7оЛ1-1+ ЛЛ1-2+ • • • + Тn-iT0, (67) где То=1 (см. стр. 160). Это соотношение было решено очень искусственным образом — мы свели эту задачу к задаче об очереди (см. стр. 88), которую уже умели решать. Но решение задачи об очереди само было до- вольно громоздким. 210
Сейчас мы покажем, как непосредственно решить со- отношение (67). Для этого составим производящую функцию /(*) = ^о+Л*+^2+... +V+... (68) Положим F (x)==xf (х) = Т^х + V + ... + Т пхп(69) и возведем F(x) в квадрат. Мы получим, что Я (х) = Ttf + + Г70) хз + ... • • • (7o7'n-i4-• • •-f-7'л_17'0)хл+14 ••• Но по рекуррентному соотношению (67) Значит, F1 (х) = 7\х2+ 7^4-... 4- 7>я+1. Полученный ряд есть не что иное, как F(x) — Тйх\ по- скольку То=1, он равен F(x) —х. Итак, Д2(х) = 5(х) — х. (70) Для функции F(x) получилось квадратное уравне- ние (70). Решая его, находим, что FW-'-KpH. Мы выбрали перед корнем знак минус, так как в про- тивном случае при х=0 мы имели бы F(0)=2, а из раз- ложения (69) видно, что /7(0)=0. По формуле (54) мы имеем у 1 —4х = (1 — 4хр = 1 — 2х — 4 С\х2 — -% Ch3— ... —=4т С^хп+1 О П 1 Значит, F (Х)= 1[1 - (1 — 2х —...--^С^х^ — ...)] = = х 4~ С\х2 4- • • • 4~ /г^_ i C?nxn 114- • • • (71) 14* 211
Сравнивая формулы (69) и (71), получаем, что — = t С"п. Это полностью соответствует решению, по- лученному ранее комбинаторным методом (см. стр. 160). Производящие функции и разбиения чисел В главе IV мы решали различные комбинаторные задачи на разбиение чисел. Эти задачи можно очень просто решать с помощью производящих функций. Обо- значим через ап число способов разбиения для п и со- ставим ряд а0 а'Х +'•’•+ апх" + • • • Во многих случаях удается составить такое алгебраиче- ское выражение [(х), что после раскрытия скобок в этом выражении слагаемое хп повторяется ровно ап раз. Тогда / (х) — а0 4 алх + апхП + • • • > и, значит, /(а) — производящая функция для последо- вательности а0, яь ..., оп, ... Пусть, например, рассматриваются разбиения числа N на слагаемые, каждое из которых равно одному из чисел .....nh. При этом в сумме слагаемые не должны повторяться, а порядок слагаемых не играет роли. Для решения задачи образуем выражение (1 Ьх"-)(1+лА) ...(1+хЧ (72) При раскрытии скобок получатся слагаемые вида х'"'...х"\ где т\,..., тх— некоторые из чисел п\,..., nk. Поэтому Xх встретится в сумме столько раз, сколькими способами можно разбить /V на слагаемые требуемым образом. Например, если надо узнать, сколькими способами можно уплатить 78 коп., беря не более одной монеты каждого достоинства, то надо составить выражение (1 д х) (1 —х2) (1 —j- х*)(1+хЧХ х(1 +х!0)(1--|-х15)(14-х29)(1+х50), (73) раскрыть скобки и найти коэффициент при х78. 212
А теперь решим с помощью производящих функций следующую задачу: Сколькими способами можно уплатить 29 коп. моне- тами по 3 и 5 коп? В этой задаче надо найти число способов разбить число 29 на слагаемые, равные 3 и 5, причем порядок слагаемых не имеет значения. Иными словами, нам надо найти число неотрицательных решений уравнения 3m + 5/г = 29. Для этого составим выражение X (1-+-x5 + x10-j-х5'14-...). (74) Показатели при х в первой скобке пробегают все неот- рицательные числа, кратные 3, а во второй скобке — все неотрицательные числа, кратные 5. Ясно, что после раскрытия скобок xN войдет с коэффициентом, равным числу решений уравнения 3m + on = N. В частности, ко-* эффициент при х29 дает ответ на нашу задачу. Вместо раскрытия скобок можно поступить так. Вос- пользуемся формулой для бесконечной геометрической прогрессии. Тогда выражение (74) переписывается в виде Н 1 1 _ 1 / 1—л3 1—л® ~ 1 — х3 — х3-'гхв • А теперь разделим числитель на знаменатель по пра- вилу деления многочленов (только будем располагать многочлены не по убывающим, а по возрастающим сте- пеням х). Начало этого деления таково: _1______________ I 1 — Л-3 — х3 + х8 Л-3 + Л'5 — Xs_ 1 + X3 + X3 -f- Xе + Xs + . . . X5 +х6 —X11____________ х« + х8 + х10 — X11 — X13 хв+-х’4-х1° — х13 — х“ Продолжая деление, найдем искомый коэффициент при х29. . Общая задача здесь такова: найти, сколькими способами можно разбить число N на слагаемые, равные соответственно а, Ь, ..tn, при- чем порядок слагаемых не учитывается. 213
В этом случае производящая функция имеет вид /(х) = (1 +ха + х2в+ • . 4-x'fl+ ...) X X(l+'xft + *2ft4- ... + x5ft+ ...)Х Х(1 4-*m + *2m4~ •• • 4-*'7m4-• • •)=== =-------------i------------(75) (1— x°)(l — xb) ... (1 — xm) ' Например, в задаче о размене гривенника (см« стр. НО) надо составить производящую функцию I (1 — X) (1 — X2) (1 — X3) (1 — X8) • Перемножая выражения, стоящие в знаменателе дроби, получаем f = 1 — х — х2 + х7 — х9 — х* 1’ + x‘i ' Выполняя деление, находим 1 | 1—X —Х2-|-Х7—X9 —X'94-X’l X 4-х2 —х7 + х9 + х»° —х»1 I 1-|-х + 2х24-Зх3 4-5х4 4- ... 2х2 Зх3 — х7 — х8 4~ х9 4~ 2х10 — х12 Зх3 4- 2х4 — X7 — х« — X9 4- 2x1° 4- 2х« * 4- х »2 — 2х>3 5х44-3х5—х7—х8—х9—х104-2хн—4х12-|-х13—Зх14 Коэффициент при х10 дает ответ на поставленный во- прос. Разумеется, выполнять деление обычным образом здесь довольно сложно. Вместо этого можно поступить иначе. Запишем результат деления в виде бесконечного ряда с неопределенными коэффициентами 1 ' _ 1— X— х24-х7— X9— х104-хч “ = Л4- ^2х2Ч~ • • • 4~ 24лхл4" • • • Умножим обе части равенства на знаменатель. Тогда коэффициент при хп справа окажется равным •4л 4л_[ Д,-24- -^л-7 -^л-9 Ап—11» Слева же коэффициент при хп, /г>1, равен нулю. По« этому при /г > 1 коэффициенты Ап должны удовлетво< рять рекуррентному соотношению 4Л 4Л _[ 4- АП Ап 4- An_д Ап _Ап _ц« 214
Начальные условия имеют вид: Лп = 0 при н<0 и Ло=1. Пользуясь этими условиями, легко найти по порядку все коэффициенты Ап. Для примера рассмотрим проблему абитуриента (см. стр. 105). В ней надо было найти, сколькими спо- собами можно представить число 17 в виде суммы 4 сла- гаемых, принимающих значения 3, 4, 5, причем порядок слагаемых имел значение. Для этой задачи в качестве производящей функции надо взять (х3 + х4 + х5)4. Ведь при раскрытии скобок в выражении f (х) = (х3 + х4+х5)4 каждое слагаемое xv встретится столько раз, сколькими способами Л7 разбивается на сумму 4 слагаемых, при- нимающих значения 3, 4, 5. При этом встретятся и чле- ны, получаемые друг из друга перестановкой слагаемых в показателе (например, х3х’х5х3 и х’х3х3х5). Раскрытие скобок в выражении (х3+х4+х5)4 = = х12(1+х+х2)4 можно произвести, например, по поли- номиальной теореме. Но проще иной способ. Мы заме- 1_хз тим, что 1 +х4-х2 = Д~Г • Поэтому f(x) можно запи- сать в виде f (*)==х12 (1 - х3)4 (1 - *)"4- V1 л) Но по формуле бинома Ньютона имеем (1 — х3)4 = 1 — 4х3 + 6х6 — 4х9 + х12, а по формуле ряда'Ньютона (см. стр. 199) (1 — х)"1 = 1 + 4х + 10х2 + 20х3+ ... Поэтому f (х) = х12 (1 — 4х3 -+ 6х6 — 4х9 + х12) X X (1 + 4х + 10х2 + 20х3 4- 35х4 + 56х5 Перемножая почленно эти разложения, найдем, что ко- эффициент при х17 в разложении равен 16. Значит, раз- ложение можно сделать 16 способами. Вообще, если надо найти, сколькими способами можно разбить число N на k слагаемых, принимающих 215
значения nt.... пя, причем учитывается порядок ела- гаемых, то производящая функция имеет вид f (х) = (х"‘4 хп^+ ... + xnrf. (76) Задача упрощается, если числа щ обра- зуют арифметическую прогрессию — в этом случае хя>, ..x"s образуют геометрическую прогрессию, а это позволяет упростить выражение для f(x). Найдем, например, сколькими способами можно по- лучить 25 очков, бросая 7 костей. Здесь надо образо- вать производящую функцию /(х) = (х4х2~Ь ... Ч-х6)7. (77) По формуле для суммы геометрической прогрессии эту функцию можно записать в следующем виде: f W = = -^7(I - ^)7(1 - х)-7. Теперь разложим (1—х6)7 по формуле бинома Ньюто- на, а (1—х)~7 — по формуле ряда Ньютона. Мы по- лучим f(x) = x7(l — 7х6 4--21х12 —35х18-|-35х24 —21х304- +7Х36 — х42) (1 4- 7х 4- 28х2 4- 84х3 4- 21ОХ4 4- 462х54-...). Перемножая эти разложения, без труда вычислим коэф- фициент при х25. Он и даст ответ на поставленную за- дачу. Аналогично решаются с помощью производящих функций и другие задачи, разобранные нами в главе IV. Сводка результатов по комбинаторике разбиений 1. Число способов разбить п различных вещей на г различимых групп, при которых допускаются пустые группы, равно гп. 2. Число способов разбить п различных вещей на г различимых групп, при которых все группы не пусты, -равно коэффициенту при хп в разложении функции (ет— 1)г в степенной ряд, умноженному на п\. Это чис- ло можно записать в виде гп-^(г- 1Г + П^11(г_2)«-_... 216
3. Если в той же задаче группы неразличимы, то получится в г! хменьше способов. 4. Число способов разбить п неразличимых вещей на г различимых групп, при которых все группы не пусты, ра вно Сп _ 1. 5. Число способов разбить п неразличимых вещей на г различимых групп, причем допускаются пустые ячейки, равно C^V-i- 6. Число способов разбить п неразличимых вещей на г различимых групп, при которых каждая группа содержит не менее q вещей, равно Сп~.\ 7. Число способов разбить п неразличимых вещей на г различимых групп, при которых число элементов в каждой группе заключено между q и q+s— 1, q^x^C ^.q + s—1, равно коэффициенту при х'11~г,> в разложе- нии функции l-y__ у I в степенной ряд. 8. Обозначим число способов разбиения п неразли- чимых вещей на г неразличимых групп, при которых нет ни одной пустой группы, через П„. Тогда имеет место рекуррентная формула п;=п'Д +- ггД-! + . Справедливо равенство При п. — г <г имеем П^. Наряду с разбиениями рассматривают упорядочива- ния элементов, при которых играет роль как порядок групп, так и порядок элементов в группах. Для упоря- дочиваний справедливы следующие утверждения: 9. Если п различных вещей упорядочиваются в г раз- личимых групп, причем допускаются пустые группы, то число упорядочиваний равно г (г —1) . .. (г —I—д -• 1). 10. Если п различных вещей упорядочиваются в г различимых групп, причем все группы не пусты, то чи- сло упорядочиваний равно „ I Г'-1 — «;(/?—!)! (,|_Г)ЦГ_ 1)! • 217
Если же группы неразличимы, а значит, их порядок „ n! не играет роли, то число упорядочивании равно ур Gn-i. 11, Пусть из п, различных элементов всеми спосо- бами составляются г упорядоченных групп (причем можно брать не все элементы, допускаются пустые группы, а порядок групп принимается во внимание). Число таких групп равно _____। г • г (г 4-1) । I \_п\ 1" 11(л — 1)! “И 2!(л —2)! 1" • "J’ Это выражение является коэффициентом при хп в раз- ложении функции ех(1—х)~г в степенной ряд, умно- женным на п\. 12. Если в той же задаче запрещаются пустые груп- пы, то ответ равен коэффициенту при хп~г в разложе- нии функции <?т(1—х)~г по степеням х, умноженному на /г!.
ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ (7) Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из Л в С? (?) Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехто- вальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор? (3) Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида ма- рок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать кон- верт с маркой для посылки письма? (?) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «камзол»? ® То же самое из слова «здание»? © Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами могут они упасть? @ На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям. @ На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз? ? 9. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата — белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов? (© Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горнзон- тални вертикали? Qj) Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами мо- жет Дыть сделан этот выбор? Qj?) Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну—на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров? (КД Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учеб- ника геометрии и 7 экземпляров учебника тригонометрии надо вы- брать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими спосо- бамшэто можно сделать? Q4) В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское 219
гнездо» и 4 экземпляра романа «Огиы п дети». Кроме того, сеть 5 томов, содержащих романы «Рудни» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по од- номудкземпляру каждого из этих романов? (Ир Та же задача, если, кроме того, в магазине есть 3 тома, в которые входят «Рудин» п «Отны и дети». I® В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов, Ваня выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин, В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин? 117. Имеются три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами могут они упасть? Та же задача, если известно, что по крайней мере два волчка упали на сторону, по.меденную цифрой 1. (48) Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти? © Сколькими способами можно составить трехцветный полоса- тый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же за- дача>если одна из полос должна быть красной? 4® Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непо- средственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой дру- гой из этих пяти языков? (2Р На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10? /22. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух коро- лей, двух десяток и т, д. (£3) Сколькими способами можно выбрать нз полной колоды карт (содержащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей образовывали пары (например, девятки пик и треф и валеты бубен и червей)? @ У англичан принято давать детям несколько имен. Сколь- кими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? <25. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? А семь человек? Во скольких случаях два данных человека нз семи оказываются со- седями? Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей? V26. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в ка- ждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по одноду юноше? (27) Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курье- ров ш каждое письмо можно дать любому из курьеров? У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого— . 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? 220
(2в) Та же самая задача, ио меняются две книги одного на две кпш;ц~.тругого. Йш На собрании должны выступить 5 человек: Л, Ь, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при уславдп, что Б ие должен выступать до того, как выступит Л? ВП Та же задача, по Л должен выступить непосредственно пе- ред Ем (жГ) Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного иола не сшлели рядом? (зТ) Та же задача, ио они садятся ие за круглый стол, а на ка- русель и способы, переходящие друг в друга при вращении кару- сели. считаются совпадающими. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза? ИНа железнодорожной станции имеется т светофоров. Сколь- ко йтгжет быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеетгри состояния: красный, желтый и зеленый? (36) В некотором государстве не было двух жителей с одинако- вым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)? tz 37. В купе железнодорожного вагона имеется два противопо- ложных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трос — спиной’к паровозу, ос- тальным трем безразлично, как сидеть Сколькими способами могут разместиться пассажиры? /ЗЁр В местком избрано 9 человек. Из них надо выбрать предсе- дателя, заместителя председателя, секретаря и ку.чьторга, Сколь- кп.мищпособамн это можно, сделать? Из состава конференции, на которой присутствует 52 чело- века, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать? V40. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используют- ся 32буквы русского алфавита. У мамы 2 яблока и 3 грунт. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? @21 Аналогичная задача, если яблок т. а трут п. (у) Аналогичная задача, когда имеется 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. „ (44) У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так,- что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? (45J Аналогичная задача, если число апельсинов, получаемых ка- ждызХГсыном, не ограничено. Сколько различных слов можно получить, переставляя бук- вы а слове «математика»? В слове «парабола»? В слове «ингре- диент»? ©• Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо со- ставить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколь- кими способами можно это сделать? А сколькими способами можно 221
составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100+200 + + 400+ 800? (48) Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ко- ня, 2слоиа, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски? >49. Имеется п абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары? 150. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколь- кими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими спо- собами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно ку- пит^8 различных открыток? Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо вы- брать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать? V 52. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз? V53. Поезду, в котором находится и пассажиров, предстоит сде- лать-m остановок. Сколькими способами могут распределиться пас- сажиры между этими остановками? Та же задача, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на данной остановке. V54. Сколько можно сделать перестановок из п элементов, в ко- торых данные два элемента а и & не стоят рядом? Данные три эле- мента а, Ь, с не стоят рядом (в любом порядке)? Никакие два из элементов а, Ь, с не стоят рядом? V55. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в по- рядке, отражающем их успехи в соревновании по мнению суден. По- бедителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев соревнования победитель будет определен? @ Четверо студентов сдают экзамен, Сколькими способами мо- гут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки? gjy Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок раз- ныхл>азмеров (надо использовать все 7 бусинок)? (5jp Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых бу- сипод-и двух большего размера? (592 В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по край- ней мере двое из них имеют одинаковые инициалы. (g0> Компания из семи юношей и десяти девушек танцует. Если в каком-то танце участвуют все юноши, то сколько имеется вариан- тов участия девушек в этом танце? Сколько имеется вариантов, ес- ли учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашенными? Решить те же вопросы, если относительно двух девушек можно с уверенностью сказать, что они будут приглашены на танец? Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Та же задача, если в отряд должен войти командир роты и старший из сержантов. (62) На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из иих 4 пары для танца? V63. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько имеется комби- нации для выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных бы- ли и куры, и утки, и гуси? 222
Сколькими способами можно разбить т + п + р предметов на при группы так, чтобы в одной было т, в другой п, а в третьей р предметов? На полке находятся т + п различных книг, нз которых т в черных переплетах, а п в красных. Сколько существует перестано- вок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые т мест? Сколько положений, в которых все книги в черных лерщщетах стоят рядом? Сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для работы? В группу могут входить 1, 2, 3...... 15 чело- век. Та же задача для случая выбора из п человек. < ’67. Пусть pi, рп—различные простые числа. Сколько де- лителей имеет число а, а Я = Р11---Рп п где ai, ..., ап — некоторые натуральные числа (включая делители 1 ibob Чему равна их сумма? (щ) Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти различным пакетам, если пн один из пакетов не должен быть пустым? * 69. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг? * 70. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец иа пальцы одной руки, исключая большой палец? V71. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими спосо- бами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за ка- ждое предложение? /72. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в крас- ный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он мо- жет это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга? /73. Сколькими способами можно составить 6 слов нз 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз? * 74. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек нз этих 17 не могут быть выбраны вместе? v75. Сколько различных браслетов можно сделать нз пяти оди- наковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и' семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)? *76. Сколькими способами можно из тех же камней выбрать три камня для кольца? 1/77. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюд- ца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)? V78. У мужа 12 знакомых — 5 женщин и 7 мужчин, а у жены—• 7 женщин и 5 мужчин. Сколькими способами можно составить ком- панию из 6 мужчин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж н 6 — жена? /79. На каждом борту лодки сидят по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 223
31 кандидат, причем 10 человек хотят сидеть на левом борту лодки, 12 — на правом, а для 9 безразлично, где сидеть? /80. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, ..., 10. Из нее вы- нимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9? V8I. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, со- держащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти? '82. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех диен выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора? V83. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 диен приглашает к себе 3 из них так, что компания ин разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать? J84. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В го- роде есть три завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики (туда приглашают жен- щин) и две фабрики, где требуются и .мужчины и женщины. Сколь- кими способами могут они распределиться между, этими предприя- тиями? (85. Сколько слов, содержащих по пяти букв каждое, можно со- стабить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», ие допускаются? ’/86. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 эк- земпляра одной киши, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек и никому не дают двух книг сра- зу? Та же задача, если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги. V 87. Берутся домино от (0,0) до (п,п). Показать, что число до- мино с суммой очков п — г равно числу домино с суммой очков п+r и это число равно (2п — 2r-f-3). Найти общее число всех домино. /88. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие 2 женщины ие сидели рядом? 89. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей ше- 'стерку для запряжки так, чтобы вошли 3 лошади из шестерки АВСА'В'С', по ин одна из нар АА1, ВВ', С(У> V 90. Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 раз- личных гласных? Во скольких из этих слов никакие 2 согласные не стоят рядом? у91. В отделе научно-исследовательского института работают не- сколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один ино- странный язык. Шестеро знают английский, шестеро — немецкий, се- меро— французский. Четверо знают английский и немецкий, трое—1 немецкий и французский, двое — французский и английский. Один человек знает все три языка. Сколько человек работают в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только француз- ский? 224
^92. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром—38 человек, с ветчиной — 42 человека,' и с сыром и с колбасой — 28 человек, и с колбасой и с ветчиной — 31 человек, и с сыром и с ветчиной — 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки? V 93. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими спо- собами можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказались двое мужчин и двое женщин? «/94. Во скольких случаях даный мужчина окажется -в одной лодке со своей женой? *95. Во скольких случаях данные двое мужчин окажутся в од- ной лодке со своими женами? ,«96. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз? v97. Найти количество шестизначных чисел таких, что сумма трех- значного числа, образованного первыми тремя цифрами, и трехзнач- пого числа, образованного последними тремя цифрами, меньше 1000. /98. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чер- ных шашек на черных полях шахматной доски? */99. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпи- тер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке? - v 100. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пе- решеек» так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд? V101. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опоссум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после бук- вы «о»? V102. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд? •103. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ка- ракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом? 1/104. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв? V105. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных букв? v 106. Сколькими способами можно переставить буквы слова «па- стух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы? '"'107. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ло- гарифм» так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами? 108. Сколькими способами можно выбрать из слова «логарифм» две согласных и одну гласную букву? Так же задача, если среди вы- бранных букв есть буква «ф»? v 109. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом? 1/110. Та же задача, но запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом, I 111. Сколькими различными способами можно выбрать несколь- ко букв из фразы «Око за око, зуб за зуб»? Порядок букв не учи- тывается, 15 Н. Я. Виленкин 225
V 112. Сколькими способами можно выбрать из этой фразы три буквы? v 113. Сколькими способами можно выбрать из этой фразы три буквы, если учитывать порядок выбранных букв? V114. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы как гласные, так и согласные шли в алфавит- ном порядке? <<115. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ко- феварка» так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались? То же самое для слова «самовар». '<116. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Абакан» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке? То же самое при дополнительном условии, что две буквы «а» не идут подряд. < 117. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «тик-так» так, чтобы одинаковые буквы не шли друг за другом? То же самое для слова «тартар». VI18. Сколькими способами можно выбрать 4 буквы из слова «тартар», если не учитывать порядка выбранных букв? Сколько че- тырехзначных чисел можно составить из цифр, числа 132 132? /119. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших чем мил- лион, содержат все цифры 1, 2, 3, 4? Сколько чисел состоит только из этих цифр? <120. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при все- возможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4, V 121. То же самое для цифр 1, 2, 2, 5, <122. То же самое для цифр 1, 3, 3, 3. <123. То же самое для цифр 1, 1, 4, 4. <124. То же самое для всех пятизначных чисел, которые можно получить путем перестановок цифр 0, 1, 2, 3, 4. Цифра 0 не должна быть первой. /125. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с по- мощью цифр 8 и 9? */126. То же самое с помощью цифр 9, 8, 7, <127. То же самое с помощью цифр 9, 8, 0 (записи, начинаю- щиеся с нуля, считаются недопустимыми). ‘128. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно на- писать цифрами 1, 2, 3, 4. 5/129. Найти сумму всех возможных пятизначных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и в которых каждая цифра повторяется один и только один раз. Та же задача для пятизнач- ных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ’130. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую цифру можно использовать не более одного раза)? А четных? •131. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три — нечетные? *132. Та же задача, если допускаются и «шестизначные» числа, начинающиеся с нуля. (133. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых сумма цифр четная (первая цифра предполагается отличной от нуля)? Та же задача, если берут все числа от 1 до 999 999? *134. Сколько имеется десятизначных чисел, у которых сумма цифр равна трем (первая цифра предполагается отличной от нуля)? Та же задача, но берут все числа от 1 до 9 999 999 999. 226
V135. Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все циф- ры различные? 4/136. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 5, ни на 7? VI37. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7? •138. Во сколько чисел от 0 до 999 входит цифра 9? Во сколько чисел она входит дважды? Во сколько чисел входит цифра 0? Во сколько чисел опа входит дважды? Во сколько чисел входят цифры О и 9? Цифры 8 и 9? Сколько есть чисел от 0 до 999 999, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры? v 139, Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123 153? ?140. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр чис- ла 12 335 233? *141. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр чис- ла 1 233 145 254 так, чтобы две одинаковые цифры не шли друг за другом? 142. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12 312 343 так, чтобы три цифры 3 не шли друг за другом? v 143. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 341 234 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом? V 144. Та же задача для числа 12 345 254. и 145. Сколькими способами можнс переставить цифры числа 1 234 114 546 так, чтобы три одинаковые цифры пё шли друг за дру- г гом? 140. Сколькими способами можно это сделать так, чтобы ника- кие две одинаковые цифры не шли друг за другом? V 147. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чи- сел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной? >/ 148. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чи- сел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была четной? Рис. 34. 149. Из Лондона в Брайтон ведут 2 шоссе, соединяемых 10 про- селочными дорогами (рис. 34). Сколькими способами можно про- ехать из Лондона в Брайтон так, чтобы дорога не пересекала себя? V 150. Пусть при том же условии два путешественника выезжают из Лондона по разным шоссе. Сколькими способами может произой- ти путешествие так, что пи один участок шоссе они ие проезжают в одном и том же направлении? ,*151. Из Лондона в Кембридж ведут 3 шоссе, пересекаемые 4 проселочными дорогами (рис. 35). Сколькими способами можно 15® 227
152. Имеется неограниченное 10, 15 и 20 коп. Сколькими сшю 153. Надо отгадать, какие п Монеты бывают достоинством в Рис. 35. 155. Стороны каждой из совершить путешествие, если ни по одному участку шоссе не едут в направлении Лондона и пи один участок не проезжают два;кды? количество монет достоинством в 5ами можно выбрать 20 монет? ть монет держит в руке партнер? 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 50 коп. и 1 руб. Сколько может быть дано неверных ответов? 154. Сколько существует пя- тизначных чисел? Во скольких из них все цифры четны? Во сколь- ких все цифры нечетны? Во сколь- ко не входят цифры, меньше чем 6? Во скольких нет цифр, боль- ших чем 3? Сколько из них содер- жат все цифры 1, 2,3, 4, 5? Сколь- ко содержат все цифры 0, 2, 4, 6, 8? . х игральных костей помечены чис- лами 0, 1, 3, 7, 15, 31. Сколько различных сумм может получиться при метании этих костей? 156. Стороны каждой из трех игральных костей помечены чис- лами 1. 4, 13, 40, 121, 364. Сколько различных сумм может полу- читься при их метании? 157. Кидают шесть игральных костей, помеченных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Во скольких случаях они дадут одни вид очков? Два ви- да? Три вида? Четыре вида? Пять видов? Шесть видов? (Все ко- сти считаются различимыми друг от друга.) 158. Бросают п игральных костей. Сколько может получиться различных результатов (результаты, отличающиеся лишь порядком очков, считаются одинаковыми; на каждой кости нанесены 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков)? 159. Сколькими различными способами можно представить чис- ло 1.000 000 в виде произведения трех сомножителей? Представле- ния, отличающийся порядком сомножителей, считаются различными. 160. Та же задача при условии, что порядок сомножителей не учитывается. 161. Сколькими способами можно разложить в два кармана де- вять монет различного достоинства? 162. Сколькими способами можно распределить Зп различных предметов между тремя людьми так, чтобы каждый получил п пред- метов? 163. Даны 2п элементов. Рассматриваются всевозможные раз- биения их на пары, причем разбиения, отличающиеся друг от друга только порядком элементов внутри пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует различных та- ких разбиений? 164. Та же задача, по разбиваются nk элементов на п групп по Ь элементов в каждой группе. 165. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бри- гады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп по 3 человека в каждой группе? 166. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза? 228
167. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бан- деролей по 2 книги в каждой (порядок бандеролей ие принимается во внимание)? 168. Сколькими способами можно разложить 9 книг па 4 бан- дероли по 2 книги и 1 бандероль в 1 книгу? 169. Та же задача, если надо составить 3 бандероли по 3 книги в каждой. 170. Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой б одинаковых яблок, 1 апельсин, 1 сливу, 1 лимон, 1 грушу, 1 айву и 1 финик? 171. Сколькими способами можно выполнить этот раздел так, чтобы каждый получил по 4 плода? 172. Лица А, В и С имеют по 3 яблока каждый и, кроме того, А имеет 1 грушу, 1 сливу п 1 айву, В имеет 1 апельсин, 1 лимон и 1 финик, а С имеет 1 мандарин, 1 персик и 1 абрикос. Сколькими способами могут они распределить между собой эти фрукты так, чтобы каждый получил по 6 штук? 173. Сколькими способами можно раздать колоду в 52 карты 13 игрокам по 4 карты каждому игроку? Та же задача с условием, что каждый имеет по одной карте каждой масти. Та же задача при условии, что одни имеет карты всех четырех мастей, а все осталь- ные— карты одной и той же масти. 174. Сколькими способами можно вынуть 4 карты из полной колоды так, чтобы были 3 масти? Так, чтобы были 2 масти? 175. Сколькими способами можно раздать 52 карты четырем иг- рокам так, чтобы каждый получил по три карты трех мастей и че- тыре карты четвертой масти? 176. Сколькими способами можно раздать 18 различных пред- метов 5 участникам так, чтобы четверо из них получили по 4 пред- мета, а пятый — 2 предмета. Та же задача, по трое получают по 4 предмета, а двое — по 3 предмета. 177. Имеется 14 пар различных предметов. Найти полное число выборок из этих предметов? (Две выборки отличаются друг от дру- га своим составом, но не порядком предметов). 178. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 си- них шара могут быть разложены в G различных пакетов (некоторые пакеты могут быть пустыми)? 179. Сколькими способами можно разложить 3 руб. п 10 пол- тинников в 4 различных пакета? 180. Доказать, что количество разбиений числа п на несколько слагаемых равно количеству разбиений числа 2п на п слагаемых (порядок слагаемых не принимается во внимание). 181. п предметов расположены в ряд. Сколькими способами мо- жно выбрать из них три предмета так, чтобы не брать никаких двух соседних элементов? 182. Ребенок ставит на первые две липин шахматной доски бе- лые п черные фигуры (по два коня, два слона, две ладьи, ферзя и короля каждого цвета). Сколькими способами он может это сделать? 183. Сколькими способами можно расставить эти фигуры на всей доске? 184. Решите ту же задачу, если расставляются и все пешки (по 8 пешек каждого цвета). 185. Сколькими способами можно поставить 15 белых и 15 чер- ных шашек на 24 поля так, чтобы на каждом поле были пли 229
только белые, или только черные шашки? (Так располагаются шаш- ки в восточной игре «нарды».) 188. Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы это расположение переходило само в себя при вращениях доски на 90°? 187. Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы это расположение было симметрич- но относительно линии, делящей доску пополам? 188. То же самое при условии, что шашки ставятся на черные поля. 189. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чер- ных шашек на черные поля доски так, чтобы это положение было симметрично относительно центра доски? 190. То же самое, но при симметрии должны меняться цвета шашек. 191. Сколькими способами можно поставить 20 белых шашек на крайние линии шахматной доски так, чтобы это расположение не менялось при повороте доски на 90°? 192. Сколькими способами можно расположить 20 белых шашек на крайних линиях шахматной доски так, чтобы на противополож- ных сторонах доски шашки стояли симметрично относительно ли- ний, делящих пополам доску? 193. Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 бе- лых шаров и 2 черных шара? Часть луз может быть пустой, и лузы считаются различными. 194. Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 бе- лых шаров, 1 черный шар и 1 красный шар? 195. Сколькими способами можно раздать 27 книг лицам А, В и С так, чтобы А и В вместе получили вдвое больше книг, чем С? 198. В лифт сели 8 человек.. Сколькими способами они могут выйти на четырех этажах так, чтобы на каждом этаже вышел по крайней мере один человек? 197. Сколькими способами можно выбрать из чисел от 1 до 100 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3? 198. Сколькими способами можно выбрать из Зп последователь- ных целых чисел три числа так, чтобы их сумма делилась на 3? 199. Имеется п белых и один черный шар. Сколькими спосо- бами можно положить некоторые из этих шаров в п+1 луз, если в каждую лузу помещается не более одного шара? 200. Сколькими способами можно расставить т белых и п чер- ных шаров так, чтобы между белыми и черными шарами было 2г — 1 контактов? 2г контактов? 201. Сколькими способами можно получить 8 оценок не ниже 3 по разным предметам так, чтобы сумма была равна 30? 202. Доказать, что т+п предметов можно переставить так, , (m4-n)l Dm чтобы ровно п осталось на месте, ------- , —- способами (см. mln! 1 стр. 73) 203. Доказать, что г различных вещей можно разделить между n + р людьми так, чтобы данные п получили по крайней мере по од- ному предмету; Sr = (n-|-p)r —n(n -f-p— 1/4-С; (п-|-/>-2)г- ... 4-(-1)л/ способами? 230
204. Доказать, что количество разбиений числа 2г+х на г+х отличных от нуля слагаемых таково же, как и количество разбие- ний г на неотрицательные слагаемые. 205. Общество из п членов выбирает из своего состава одного представителя. Сколькими способами может произойти голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)? Та же задача, но учитывается лишь число голосов, полученных ка- ждым кандидатом, но не то, кто за пего голосовал. 206. Доказать, что число способов разделить 2п неразличимых предметов на три неразличимые части так, чтобы сумма любых двух была больше третьей, равна числу способов разделить таким же об- разом 2п — 3 предметов. 207. Доказать, что нечетное число предметов можно выбрать из п предметов 2”'1 способами. 208. Доказать, что число способов, которыми два человека мо- гут разделить 2п предметов одного сорта, 2п предметов другого сорта из 2п предметов третьего сорта так, чтобы каждый получил Зп предметов, равно 3/г2+3/г+1.' 209. Если добавить 2п предметов четвертого сорта, то число способов раздела, при котором каждый получает 4п предметов, равно 1 (2/г + 1) 8« + 3). О 210. Если предметы делятся на неразличимые части, то ответы будут -1 (Зп2-4-З/г2) и -1 (/г 4-1) (8/г2 4-4/г 4-3). 2, о 211. Доказать, что если есть т сортов предметов по 2п пред- метов каждого сорта, то число способов деления на две равные части выражается формулой ✓-•zn-l z->l ✓-’/п —1 • ьтл,-т-1 ^т^тл + т-2/г-2 Г । z^2 —1 — Т '-‘т'~'тп+т~4п-3 т-1-Л‘(2л + 1) ••• 212. Сколькими способами можно положить пять белых шаров, пять черных шаров и пять красных шаров в три различных ящика, кладя по пять шаров в каждый ящик? 213. Если есть три сорта вещей по п предметов каждого сорта, то их можно распределить между тремя лицами А, В, С так, чтобы каждый получил п предметов 2^л+2 — SC*., з =-g (/г 4- 1) (п 4- 2) (/г2 4-3/г 4-4) способами. 214. Сколькими способами можно посадить рядом 3 англичан, 3 французов и 3 турок так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом? 215. Та же задача при условии, что рядом не могут сидеть ни- какие два соотечественника. 231
216. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 англичан, 3 французов и 3 турок так, чтобы никакие два сооте- чественника не сидели рядом? 217. Сколькими способами можно наклеить марки на 40 коп., используя марки достинстзом в 5, 10, 15 и 20 коп., расположенные в одну линию? (Расположения, отличающиеся порядком марок, рас- сматриваются как различные, число марок ие ограничено). 218. Сколькими способами можно разменять рубль на монеты достоинством в 10, 15, 20 и 50 кон.? 219. Сколькими способами можно составить 78 г, пользуясь во- семью разновесками в 1, 1, 2, 5, 10, 10, 20, 50 г? При этом считается, что применение двух разных разновесок, хотя бы и одного веса дает новую комбинацию. 220. Имеется тесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 си- ний. Сколькими способами можно составить из них ряд, содержа- щий 4 шара? 221. Сколькими способами можно представить натуральное чис- ло п в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых также яв- ляется натуральным числом (представления, различающиеся поряд- ком слагаемых, считаются различными)? 222. Сколько и каких цифр понадобится, чтобы написать все числа от 1 до 999 999 включительно? От 1 до 10” — 1 включительно? 223. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, пользуясь тремя цифрами 1, 2, 3 при дополнительном условии, что цифра 3 применяется в каждом числе ровно два раза? Сколько на- писанных чисел делится на 9? 224. Будем говорить, что два числа, входящие в размещение, об- разуют инверсию, если большее из них написано ранее, чем мень- шее. Сколько инверсии во всех перестановках чисел 1, 2.....д? 225. Доказать, что число разбиений п на 3 части таких, что ни- какие две части не равны друг другу, есть Е [17 ~ 6п +12)] ’ 226. Доказать, что число разбиений 12д+5 па 4 части таких, что ин одна часть не превосходит би+2, есть 1(п + 1)(12д2-!-9л4-2). 227. Доказать, что число разбиений 12д + 5 на 4 части, при ко- торых никакая часть не превосходит би+2 и никакие две части не равны, есть I (12«2 + 3/1-1). 228. Найти количество троек натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию и не превосходящих 100. 229. Сколькими способами можно расставить в ряд 6 англичан, 7 французов и 10 турок так, чтобы каждый англичанин стоял ме- жду французом и турком, но никакие-француз и -турок «е-ствяяи- рядом? 232
230. То же самое для 5 англичан, 7 фрацузов и 10 турок. 231. Сколько решений имеет задача: найти два числа такие, что их наибольший общий делитель равен G, а наименьшее общее крат- ное д-1 = Q ааЬ$с*(Р (a, b, с, d — простые числа). 232. Решите ту же задачу, по без слов «наименьший» и «наи- больший». 233. Сколько можно составить сочетаний из 20 букв по 6 так, чтобы в каждом сочетании никакая буква ие входила более двух раз? 234. Имеется p + q+r букв: р букв a, q букв (Зиг букв у. Они переставляются всеми способами так, чтобы « начинались раньше, чем р, а 3 раньше, чем у. Сколькими способами возможна такая перестановка? 235. Линия в 30 см закрашивается в следующем порядке: крас- ный, белый, синий, красный, белый, синий и т. д. Начинается с крас- ного цвета, а кончается синим. Каждый цвет занимает всего 10 см, полосы не меньше 2 см, причем длины полос — целые числа. Сколь- ко возможно способов окраски? Л если снять условие, что все кон- чается синим цветом? Показать, что если ни одна полоса ие меньше 3 см, то в 153 случаях последним будет синий цвет, в 71—белый и в 81 — красный. 236. У меня есть 6 друзей, с каждым из которых я обедал 8 раз, с каждыми двумя — 5 раз, с каждыми тремя — 4 раза, с ка- ждыми четырьмя — 3 раза, с каждыми пятью —2 раза, со всеми шестью — 1 раз, а без каждого из них — 8 раз. Сколько раз я обе- дал одни? 237. Два экзаменатора, работая одновременно, экзаменуют класс в 12 человек по двум предметам. Каждый экзаменующийся отвечает по 5 мнпут по каждому предмету. Сколькими способами могут экзаменаторы распределить между собой работу так, чтобы пи одному школьнику не пришлось отвечать сразу по двум предме- там? 238. Сколькими способами 6 человек могут выбрать из 6 пар перчаток по правой и левой перчатке так, чтобы пн один не полу- чил пары? То же самое для 9 пар и 6 человек. 239. Буквы, входящие в выражение а2|32у2, переставляются все- ми способами, при которых рядом с каждой буквой (слева пли спра- ва) стоит такая же буква. Доказать, что число таких перестановок равно 6. Для а3р3у3 — тоже 6. Для а*04у4—90, для а5Р5у5 — 426. 240. В шахматной олимпиаде участвуют представители п стран по 4 представителя от каждой страны. Сколькими способами они могут встать в ряд так. чтобы рядом с каждым был представитель той же страны? 241. Клетки шахматной доски раскрашиваются в 8 цветов так, что в каждом горизонтальном ряду встречаются всё 8 цветов, а в каждом вертикальном ряду не встречаются подряд две клетки, ок- рашенные в тот же самый цвет. Сколькими способами возможна та- кая окраска? 242. Имеются п одинаковых вещей и еще п различных вещей. Сколькими способами можно выбрать из них п вещей? Сколькими способами можно упорядочить все 2п вещей? 243. т французов и п англичан стоят в ряд так, что рядом с каждым стоит хотя бы один его соотечественник. Показать, что 233
число возможных расстановок равно т!/г! [1 4-(С^_2 + С};!_з)(С^_2 + С1п_з)4- + (ст-з+ Ст-4)(С}1-з + Сл-4) + + (Ст-4 + Ст-5)(Сл-4'ТСл_5)4~ ... ] 244. Сколько шестизначных чисел содержит ровно три различ- ные цифры? 245. Сколько m-зиачпых чисел содержит ровно k различных цифр? 246. Рассматриваются все ^-размещения чисел 1, 2, ..., п, при которых четные числа стоят на местах с четными номерами, а не- четные—па местах с нечетными номерами. Сколько таких разме- щений расположено в порядке возрастания чисел (например, имеют вид 3678)? 247. Даны 2п элементов at, at, а2, а3, ..., ап, ап, причем at =£ а,, если i j. Во скольких перестановках из этих 2п элементов ни одна пара одинаковых элементов не стоит рядом? 248. Даны п наборов, в каждый из которых входит q одинако- вых элементов, причем элементы различных наборов различны. Во скольких перестановках этих nq элементов нет идущих подряд оди- наковых элементов? 249. Решите ту же задачу при условии, что элементы распола- гаются по окружности. 250. На книжной полке стоят п книг. Сколькими способами мо- жно выбраТь из них р книг так, чтобы между любыми двумя вы- бранными книгами, равно как и после р-й выбранной книги, было не менее s книг? 251. Числа, выражающие количество участников математической олимпиады из 5, 6, 7, 8, 9 и 10 классов, образуют арифметическую прогрессию. Число премий для каждого класса равно разности этой прогрессии. Доказать, что число способов вручения премий не изме- нится, если все премии отдать ученикам 10 класса (предполагается, что все премии различны). 252. На клетчатой бумаге построен квадрат ABCD со стороной в 4 клетки, после чего проведены все кратчайшие пути из вершины ,4 в вершину С, проходящие по сторонам клеток. Показать, что чис- ло путей равно 70, причем через 4 отрезка проходят 35 путей, че- рез 8—20 путей, через 4—18 путей, через 4—15 путей, через 4— 12 путей, через 4—10 путей, через 4—5 путей, через 4—4 пути, че- рез 4—1 путь. Исследовать аналогичным образом перекрестки: 1 проходят 36 раз, 4—35 раз, 4—30 раз, 4—15 раз, 4—5 раз, 4—40 раз, 2—1 раз (концевые точки исключены). 253. Сколько существует треугольников, вершины которых яв- ляются вершинами данного выпуклого шестиугольника? 254. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7? 255. Сколько можно построить различных прямоугольных па- раллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым чис- лом от 1 до 10? 234
256, На плоскости проведены 4 прямые линии, из которых ни- какие две не являются параллельными и никакие 3 ие проходят че- рез одну точку. Сколько получилось треугольников? 257. На плоскости задано п точек, из которых р лежат на од- ной прямой, а кроме них никакие 3 точки не лежат на одной пря- мой. Сколько существует треугольников, вершинами которых яв- ляются эти точки? 258. На прямой взяты р точек, а на параллельной ей прямой — еще q точек, Сколько существует треугольников, вершинами кото- рых являются эти точки? 259. Пусть при том же условии на еще одной параллельной прямой взяты г точек, причем никакие три точки не лежат на одной прямой, пересекающей все три параллели. Сколько получится допол- нительных треугольников? 260. Каждая сторона квадрата разбита на п частей. Сколько можно построить треугольников, вершинами которых являются точ- ки деления? 261. На плоскости проведены п прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пере- секаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые? 262. На плоскости проведено п прямых линий, из которых р проходят через точку А и q — через точку В и, кроме того, ника- кие три прямые не проходят через одну точку, ни одна прямая не проходит через обе точки А и В и никакие две не параллельны. Сколько точек пересечения имеют эти прямые? 263. На сколько частей делят плоскость п прямых линий, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят че- рез одну и ту же точку? 264. На сколько частей делят пространство п плоскостей, из ко- торых никакие 4 не проходят через одну и ту же точку, никакие 3 не проходят через одну и ту же прямую и никакие 2 не парал- лельны? 265. На плоскости даны пять точек. Среди прямых, соединяю- щих эти пять точек, нет параллельных, перпендикулярных и сов- падающих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные че- тыре точки. Каково максимальное число точек пересечения этих пер- пендикуляров между собой, если не считать данные пять точек? 266. Сколькими способами можно составить треугольники, сто- роны которых являются целыми числами, большими п и не превос- ходящими 2п. Сколько среди них равнобедренных и сколько равно- сторонних? 267. Доказать, что число треугольников с целочисленными сторонами, длина сторон которых не больше чем 2п, равно g-n (п-|- 1) (4n-J-5). Если же исключить равнобедренные, то это число равно — 1)(4п— 5). 268. Доказать, что число треугольников, длина сторон которых не превышает 2п 1, равно 0Л— 1), а после исключения 235
равнобедренных треугольников остается — (п—1)(л— 2)(4л —3) о треугольников. 269. На плоскости проведены п прямых линий, никакие три из которых не проходят через одну точку. Доказать, что число неупо- рядоченных групп по п точек пересечения, нз которых никакие три не лежат на одной прямой, равно (п — 1)! 270. Имеется п точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько есть r-звенных замкнутых ломаных с вершинами в этих точках? 271. На одной прямой взяты п точек, а на параллельной ей пря- мой— т точек. Эти точки соединяют прямыми. Доказать, что число тп (т — 1) (п — 1) точек пересечения проведенных прямых равно -----------2---------• (Мы считаем, что никакие три из проведенных прямых не пересе- каются в одной точке, а заданные т + п точек не учитываются.) 272. Даны п точек на плоскости, никакие три из которых не ле- жат на одной прямой и никакие 4 — па одной окружности. Через каждые две из этих точек проводится прямая, а через каждые три— окружность. Найти наибольшее число точек пересечения всех прове- денных прямых со всеми окружностями. 273. В пространстве даны п точек, никакие четыре нз которых не лежат на одной плоскости. Через каждые три точки проводится плоскость, причем никакие две нз этих плоскостей не параллельны. Найти число прямых, получающихся при пересечении этих плоско- стей, а также число таких прямых, не проходящих ни через одну заданную точку. 274. Из п отрезков длины 1, 2...п выбирают 4 так, чтобы получился описанный четырехугольник. Доказать, что это можно 2л (л-2) (2л-5)-34-3 (-1)" сделать ----1----------1---------------— способами. Сколько по- лучится четырехугольников, если можно брать стороны одинаковой длины? 275. Даны л точек, никакие четыре из которых не лежат на од- ной окружности. Через каждые три из них проводят окружность. Каково наибольшее число точек пересечения этих окружностей? 276. Доказать, что если л плоскостей проходит через центр сфе- ры, то в общем случае они делят сферу не более чем на л2 — л+2 частей. 277. Сколькими геометрически различными способами можно раскрасить грани куба шестью различными красками? Два способа считаются геометрически совпадающими, если один можно переве- сти в другой движением куба как твердого тела. 278. Сколькими геометрически различными способами можно раскрасить грани тетраэдра четырьмя различными красками? 279. Сколькими геометрически различными способами можно раскрасить грани октаэдра восемью различными красками? 280. Решить аналогичные задачи для правильных додекаэдра и икосаэдра. 281. Рассмотреть в предыдущих задачах случаи, когда число красок меньше числа граней (например, куб закрашивается двумя красками, тремя красками, четырьмя красками, пятью красками). 236
282. Сколько существует треугольников с целочисленными сто- ронами и с периметром 40? А с периметоом 43? 283. Доказать, что число треугольников с целочисленными сто- ронами и с периметром 4л+3 на п+1 больше числа треугольников с целочисленными сторонами п периметром 4п. 284. Доказать, что число треугольников с целочисленными сто- ронами и периметром N дается таблицей N Число треугольников Л’ Число треугольников 12л Зл2 12/1-4-6 Зл2 4- Зл 4~ 1 12л--1 п (Зл -4- 2) 12л 4-7 (л4-1)(Зл + 2) 12л--2 п (Зп -f- 1) 12/1-4-8 (л 1) (Зл -f-1) 12л--3 3n24-3n4-i 12/14-9 Зл2 4- 6л 4- 3 12л--4 п (Зл 4- 2) 12л4-10 (л 4- 1) (Зл 4-2) 12л 4- 5 (п 4-1) (3/14-1) 12л 4- 11 Зл2 4- 7п 4- 4 285. Автобусная сеть города устроена следующим образом: 1. С любой остановки на любую другую можно попасть без пе- ресадки. 2. Для любой пары маршрутов найдется, и притом единствен- ная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих марш- рутов на другой. 3. На каждом маршруте ровно п остановок. Сколько автобусных маршрутов в городе? 286. В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что 1. С любой остановки на любую другую остановку можно по- пасть без пересадки. 2. Для любой пары маршрутов найдется, и притом только одна, остановка, па которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой. 3. На каждом маршруте ие менее трех остановок. Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов? 287. Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдется остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки? 288. Какое наибольшее число различных шаров можно по- строить в пространстве так, чтобы они касались трех данных пло- скостей и данного шара? 289. Через каждую из трех данных точек проведем по т пря- мых так, чтобы среди них не было двух, паралельных между собой, и трех, пересекающихся в одной точке. Найти число точек пересе- чения этих прямых. 290. В пространстве даны п точек, из которых т лежат в одной плоскости Р, а остальные расположены так, что никакие четыре из них. не лежат в одной плоскости. Сколько можно провести плоско- стей так, чтобы они содержали по трн данные точки? 291. На плоскости даны три точки А. В,,С. Проведем через точ- ку А т прямых, через В — п прямых и через С — р прямых. При этом среди проведенных прямых нет трех, пересекающихся в одной 237
точке, и двух, параллельных между собой. Найти число треуголь- ников, вершины которых являются точками пересечения этих пря- мых и не совпадают с заданными точками А, В, С. 292. Сколько существует треугольников, у которых вершины яв- ляются вершинами данного выпуклого n-угольника, но стороны не совпадают со сторонами этого п-угольника? 293. На плоскости проведены п прямых, и на каждой из них взято по р точек так, что ни одна из этих точек не является точкой пересечения прямых и никакие три точки не лежат па одной пря- мой, отличной от заданных. Найти число треугольников с верши- нами в этих точках. 294. Доказать, что число точек пересечения диагоналей выпук- лого л-угольника, лежащих вне этого многоугольника, равно -уул(л— 3) (л — 4) (л — 5), а лежащих внутри него равно i-л (л—1)(л — 2) (л — 3) (предполагается, что никакие две диа- гонали не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). 295. На окружности расположено л точек. Сколько сущестует различных многоугольников (не обязательно выпуклых), вписанных в эту окружность, вершинами которых служат данные точки? А сколько выпуклых многоугольников? 2S6. На плоскости проведены т параллельных прямых. Кроме того, на той же плоскости проведены и прямых, не параллельных ни между собой, ни уже проведенным ранее. Ни одна из прямых не проходит через точку пересечения двух других прямых. На сколько областей делится плоскость проведенными прямыми? 297. Даны 11 точек, из которых 5 лежат на одной окружности. Кроме них, никакие 4 не лежат на одной окружности. Сколько ок- ружностей можно провести так, чтобы каждая из них содержала по крайней мере 3 точки из числа заданных? 298. На плоскости дано 10 попарно пересекающихся прямых, причем никакие 3 прямые не проходят через одну точку и никакие 4 не касаются одной и той же окружности. Сколько можно по- строить окружностей, каждая из которых касается 3 прямых из числа заданных 10? 299. Найти число всех выпуклых й-угольников, вершинами ко- торых служат k из п вершин выпуклого л-угольника, причем две соседние вершины й-уголышка должны быть разделены по меньшей мере 5 вершинами л-угольника. 300. Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, па- раллельных его сторонам; каждый ряд состоит из г линий. Сколько параллелограммов в получившейся фигуре? 301. На сколько частей разбивается выпуклый л-угольник сво- ими диагоналями, если никакие три из них не пересекаются в одной точке внутри л-угольника? 302. Пусть есть одна карта с числом 1, две карты с числом 2, три карты с числом 3 и т. д. Доказать, что число способов вытя- п путь две карты так, чтобы получить сумму п, равно -у-^-(л2—О или -уу (л2— 4) в зависимости от того, нечетно или четно га, 238
303. Имеются Зга+1 предметов, из которых п одинаковых, а остальные различны. Доказать, что из них можно извлечь п пред- метов 22" способами. 304. Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 2п. Сколькими способами можно извлечь из нее три числа, образующие арифмети- ческую прогрессию? То же самое для последовательности чисел 1, 2, 3, , 2п+ 1. 305. На плоскости проведено несколько замкнутых кривых, ка- ждая из которых пересекает все остальные по крайней мере в двух точках. Пусть пг — число точек, в которых пересекаются г кривых. Доказать, что число замкнутых областей, ограниченных дугами этих кривых н не содержащих внутри себя таких дуг, равно 1 + га2 + 2^3 + • • • + Ггаг+ I + • • • 306. На плоскости проведены два пучка прямых линий с цен- трами Л и В, один из которых содержит т, а другой п прямых. Пусть никакие две прямые не параллельны и ни одна прямая не проходит через обе точки А и В. На сколько частей прямые этих пучков делят плоскость? 307. Можно ли каждый из 77 телефонов соединить ровно с 15 другими? 308. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок в выражении (7х3 — 13у2 + 5г2)1964 (у3 — 8у2 + бу + г)2 + (2х2 + 18у3 — 21)1965. 309. В ящике лежит 100 разноцветных шариков: 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 20 синих, 10 белых и 10 черных. Какое наи- меньшее число шариков надо вытащить, чтобы среди них обязатель- но оказалось 15 шариков, одного цвета? 310. Можно раскрасить либо все грани куба, в белый цвет, либо все в черный цвет, либо часть в белый цвет, часть в черный цвет. Сколько существует различных способов окраски? (Два куба счи- таются раскрашенными различно, если их нельзя перепутать, как бы ни переворачивать куб.) 311. Решите ту же задачу при условии, что раскрашиваются не грани, а вершины куба- 312. Модели многогранников делаются из плоских разверток. В развертке грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания картонной развертки вдоль ребер. Таких различных разверток правильный тетраэдр имеет две. Сколько их имеет куб? 313. Правильный додекаэдр можно выкрасить в 4 цвета так, чтобы любые две смежные грани были различных цветов. Сколько имеется геометрически различных способов решения этой задачи? 314. Из шести ребер тетраэдра можно выбрать, четыре ребра, образующих замкнутый пространственный четырехугольник. Этот четырехугольник содержит все вершины тетраэдра. То же самое можно сделать с кубом — мы получим восьмиугольник, содержащий все вершины куба; Можно ли сделать то же самое с октаэдром, додекаэдром, икосаэдром? Сколько будет решений для каждого многогранника? 315. В начале координат находится частица. Через единицу вре- мени она распадается на две частицы, одна из которых сдвигается на единицу длины влево, а другая — вправо. Этот процесс 239
повторяется через каждую единицу времени, причем две частицы, оказавшиеся в одной точке, взаимно уничтожаются (так что, напри- мер, через две единицы времени остается две частицы). Сколько частиц будет через 129 единиц времени? Через п единиц времени? 316, Некоторый алфавит состоит из шести букв, которые для передачи по телеграфу кодированы так: При передаче одного слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка точек и тире, состоящая из 12 знаков. Сколькими способами можно прочитать пе- реданное слово? 317. Каких чисел от 1 до 10 000 000 будет больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в записи которых ее нет? 318. Из точек и тире составляются всевозможные «слова», в ко- торые входит ровно семь знаков. Какое наибольшее число слов мо- жно выбрать из них так. чтобы любые два выбранных слова отли- чались по крайней мере тремя знаками? 319. Сколькими способами можно раскрасить п красками окруж- ность, разделенную на р частей (р —простое)? Способы, совпадаю- щие при повороте окружности вокруг центра, считаются совпадаю- щими. 320. На листе клетчатой бумаги размером пХп клеток расстав- лены числа 1, 2, 3, ..., п2 по одному в каждой клетке так, что чис- ла, стоящие на каждой вертикали и горизонтали, образуют ариф- метическую прогрессию. Найти число таких расположений. 321. У человека на голове не более 300000 волос. Доказать, что в Москве живут не менее 10 человек, у которых число волос оди- наково (население Москвы около 6 млн. человек). 322. Дапо 2и+1 предметов. Доказать, что из них можно вы- брать нечетное число предметов столькими же способами, как и четное. 323. Доказать, что 1 руб. можно разменять монетами в 2 и 5 коп большим числом способов, чем монетами в 3 и 5 коп. 324. Сколькими способами можно разменять 20 коп. иа монеты достоинством в 1, 2 п 5 коп.? 325. Доказать, что с помощью стандартного набора разновесок: 1 мг, 2 мг, 2 мг, 5 мг, 10 мг, 20 мг, 20 мг, 50 мг, 100 мг, 200 мг, 200 мг, 500 мг, 1 г и т. д. можно составить любой вес, выраженный целым числом миллиграммов. 326. Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырех- значных четных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра может повторяться). 327. Колода из 2п карт тасуется следующим образом: ее делят пополам и карты первой половины располагают по одной между картами второй половины (в заданном порядке). Например, карта с номером п+1 становится первой, первая — второй, с номером п + 2—третьей, вторая — четвертой и т. д. Доказать, что через г раз карта, первоначально находившаяся на р-м месте, попадет на место, х, где х—остаток от деления р2т на 2п+1. 328. Доказать, что если в условии задачи 327 колода содержит б/п+2 карт, то карты с номерами 2т + 1 и 4т + 2 будут все время меняться местами. 240
329. Если при том же условии колода содержит 14т+6 карт, то после трех тасовок указанным способом карты 2т+1, 2(2т+1), 3(2т+1), 4(2/п+1), 5(2пг+1), 6(2/п+1) вернутся на исходные места. 330. Если при том же условии 2х—1 делится па 2п+1, то ко- лода из 2п карт после х тасовок придет в первоначальное поло- жение. 331. Колода карт тасуется следующим образом: сначала берет- ся первая карта, вторая карта кладется на нее, а третья — под нее и т. Д. Доказать, что если колода содержит 6п — 2 карт, то карта 2п остается на месте. 332. 22 карты подвергаются указанной выше тасовке. Доказать, что карта 8 все время остается па месте, 5 и 14 меняются местами, а 3, 13, 18 переходят друг в друга но кругу. 333. Доказать, что при том же условии: колода в 16 карт при- дет в первоначальное положение через 5 раз, колода в 32 карты — после 6 раз, 42 карты — 8 раз, 28 и 36 карт — 9 раз, 12, 20, 46 карт- 10 раз, 22 и 52 карты — 12 раз, 14 карт—14 раз, 18 карт—18 раз, 26 карт — 26 раз, 30 карт — 30 раз, 50 карт — 50 раз. 334. Квадрат разделен па 16 равных квадратов. Сколькими спо- собами можно раскрасить их в белый, черный, красный и синий цвета так, чтобы в каждом горизонтальном н каждом вертикальном ряду были все четыре цвета? 335. 15 школьников строят для прогулки в 5 рядов по 3 чело- века в ряду. Сколько раз можно это сделать так, чтобы никакие 2 школьника не оказались дважды вместе? 336. Доказать, что если п — целое, то (п2) !/(п!)71+1— целое; если л г 1 т +1 тип — нечетные, то (тп) \/(т 1) 2 (п 1) 2 — целое. 337. п предметов расположены по кругу. Доказать, что если jn — число перестановок этих предметов, при которых ни один предмет не следует за тем, за которым он следовал первоначально, то fn + frt+l — Dn (см. стр. 73). 338. Найти число целых решений уравнения Х] + х2+ ... +хр = т, если все неизвестные удовлетворяют неравенству 0 < I < < п. 339. Имеется 7 экземпляров одной книги, 8 — другой и 9 — третьей. Сколькими способами можно разделить их между двумя лицами так, чтобы каждый получил 12 книг? 340. Выписаны все п-сочетапия с повторениями, составленные из п букв. Показать, что каждая буква встретится раз, 341. От Л до В 999 км. Вдоль дороги стоят километровые стол- бы, на которых написаны расстояния до А и до В (0,999), (1,998), ..., (999,0). Сколько среди них таких, па которых есть только две различные цифры? 342. Составляются всевозможные размещения с повторениями, которые можно сделать из т белых и п черных шаров. Показать, что их число равно Р(т + 1, п + 1) — 2.. 343. Составлены всевозможные размещения с повторениями из т белых и п черных шаров. Показать, что общее число белых 16 Н. Я. Виленкин 241
шаров во всех размещениях . , тп 4- т — 1 п . . , , !. 14---ЯТ2—р <и + 1' л+ а черных — < ( тп 4- п — 1 D . . ! । < ч ..^+2....'PH + l.n+D- Проверить ответ задачи иа слове «Гаага». 344. Доказать, что число размещений ио 1, 2, .... т + п+1, ко- торые можно сделать из т белых шаров, п черных шаров и одного красного шара, в которые входит красный шар, равно 1 тп-\-т-\-п т-\-п-\-4 Р(т+2, п + 2). 345. Полное число размещений, которые можно сделать из т бе- лых шаров, п черных шаров и одного красного шара, равно (/и + 1)(п + 1) пг + п+3 Р(т+21 п+2) —1. Проверить ответ на слове «окорок». 346. У меня 7 друзей. Сколькими способами могу я приглашать их к себе обедать по 3 в течение 7 дней так, чтобы никакие 3 из них не встретились у меня дважды? 347. Если я хочу иметь 7 разных компаний по 3 и никого не оставить не приглашенным, то это можно сделать ^35 — 7Л20 + 21 способами. 348. Если я хочу иметь 7 разных компаний по 3 и ни один друг не ходит каждый день, это можно сделать А735 — 7Aj5 способами. 349. Показать, что полное число размещений из п>-2 предме- тов (по 1, 2, .... п) является ближайшим целым к еп! — 1. 350. Если выписать все эти размещения, то число раз, сколько встретится каждый предмет, является ближайшим целым к е(п — 1) (п— 1)! 351. Монету бросают 2п раз. Доказать, что число вариантов, при которых герб ни в один момент не выпал чаще решки, равно 1+ет+--+(^)2=с?я. 352. Сколькими способами можно распределить Зп разных книг между тремя лицами так, чтобы,числа книг образовали арифметиче- скую прогрессию? 353. Имеется п пар, состоящих из одинаковых букв, причем разные пары состоят из разных букв. Эти буквы упорядочиваются всеми возможными способами так, чтобы никакие две одинаковые буквы не шли подряд. Доказать, что число различных упорядочи- ваний равно [(2n)! - ± 2 (2п -1)! + n (" ~ V. 2Ц2д-2)!- .. 242
354. Имеется г различных вещей, которые распределяются ме- жду п+р лицами так, чтобы по крайней мере п из них получили не менее одной вещи. Доказать, что число способов раздела равно (n + p)r-n(n+jP-ir+ n("~1). (п+р-2)'-... 355. Обозначим через П* число способов раздела п различных вещей на k групп. Доказать, что при и>1 1 -П2 4- 2! П® -3! Пд + .., = 0. 356. Имеется т ячеек, в первой из которых лежат п предме- тов, во второй 2п предметов, ..., в т-й— тп предметов. Сколь- кими способами можно выбрать по п предметов из каждой ячейки? 357. В корзине лежат 2п+г яблок и 2п — г груш. Доказать, что при заданном п число выборов п яблок и п груш будет наи- большим, если г=0. 358. 1000 точек являются вершинами выпуклого тысячеуголь- ника, внутри которого расположено еще 500 точек так, что никакие три из этих 1500 точек не лежат на одной прямой. Данный тысяче- угольник разрезан на треугольники так, что все указанные 1500 то- чек являются вершинами треугольников, и никаких других вершин эти треугольники не имеют. Сколько получится треугольников при таком разрезании? 359. Пять человек играют несколько партий в домино (двое на двое), причем каждый играющий имеет каждого один раз своим партнером и два раза своим противником. Найти количество сы- гранных партий и все способы распределения играющих. 360. Из точки О на плоскости проводят все замкнутые лома- ные длины 2п, стороны которых лежат на линиях клетчатой бу- маги со стороной клетки, равной 1. Найти число этих ломаных, если ломаная может проходить один и тот же отрезок несколько раз. 361. На листе бумаги нанесена сетка из п горизонтальных и п вертикальных прямых. Сколько различных 2п-звенны.х замкнутых ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ло- маная имела звенья на всех горизонтальных и всех вертикальных прямых? 362. Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на пего 3 красными и 7 синими шариками. Сколько различных по- гремушек может быть выпущено (две погремушки считаются оди- наковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием). 363. Собралось п человек, Некоторые из них знакомы друг с другом, причем каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. До- казать, что каждый присутствующий знаком с одинаковым числом человек. 364. На окружности взято несколько точек; одни из них обо- значены буквой А, другие — буквой В. На каждой из дуг, на кото- рые окружность делится взятыми точками, ставим по следующему правилу: если обе концевые точки обозначены буквами А, то ста- вим число 2; если обе концевые точки обозначены буквами В, то ставим '/2; если же концевые точки дуги обозначены разными 16* 243
буквами, то ставим число 1. Доказать, что произведение всех постав- ленных чисел равно 2“~6, где а — число точек, обозначенных бук- вой A, a b — число точек, обозначенных буквой В. 365. Горизонтали шахматной доски обозначаются, как обычно, цифрами от 1 до 8, а вертикали — буквами от а до й. Пусть теперь а, Ь, с, d, е, f, g, h — произвольные числа. Напишем на каждом поле доски произведение чисел, обозначающих соответствующие го- ризонталь и вертикаль, и расставим 8 ладей так, чтобы они не били друг друга. Чему равно произведение закрытых чисел? 366. Оргкомитет олимпиады состоит из И человек. Материалы олимпиады хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф и сколькими ключами следует снабдить каждого члена оргкомите- та, чтобы доступ в сейф был возможен, когда соберутся любые 6 членов оргкомитета, и не. был возможен, если соберется меньше 6 членов? 367. Имеется кусок цепи из 60 звеньев. Каждое звено весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы с помощью раскованных звеньев и получившихся кусков можно было получить любой вес, выражающийся целым числом от 1 до 60? Решите ту же задачу, если для взвешивания можно пользоваться двухчашеч- ными весами. 368. Сколько существует пар целых чисел х, у, заключенных ме- жду 1 и 1000, таких, что х2+уг делится на 49’ 369. Сколько' двузначных чисел в сумме с числом, записанным теми же цифрами, ио в обратном порядке, дает полный квадрат? 370. Найти сумму всех четырехзначных чисел, составленных из этих цифр от 1 до 6 и делящихся на 3. 371. Найти сумму всех четырехзначных четных чисел, которые можно составить из цифр от 0 до 5. 372. Сколько различных целочисленных решений имеет неравен- ство |х| + |z/i 1000? 373. На окружности даны точки At, А2, ..., Л16. Построим все- возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек At, А2, ..., Л16. Разобьем эти многоугольники на две группы. В первую группу отнесем все многоугольники, одной из вер- шин которых является точка Л1, а во вторую — все остальные мно- гоугольники. В какой группе больше многоугольников? 374. На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти число клеток, на которых он может оказаться через 2п ходов. 375. Имеется 1955 точек. Какое наибольшее число троек точек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели общую точку? 376. Числа от 1 до 100 000 000 выписаны подряд так, что полу- чилась последовательность цифр 123456... 100000000. Доказать, что число всех цифр этой последовательности равно числу нулей в последовательности 1, 2, 3, ..., 109. ' 377. Сколько существует четырехзначных чисел от 0001 до 9999, у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр? 378. В школе изучают 2ч предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ии про каких двух нельзя сказать, что один учится лучше другого. Доказать, чго число учеников в школе не больше (мы считаем, что один ученик 244
учится лучше другого, если по всем предметам у него оценки не хуже, чем у второго, а по некоторым —лучше). 379. Пусть Мг — число размещений без повторений из т эле- ментов по г, a Nr — число размещений без повторений из п элемен- тов по г. Доказать, что число размещений из т+п элементов по г выражается формулой (Л1 + Л,)г, где после возведения в степень надо заменить все показатели индексами. 380. Найти коэффициент при Xs в разложении (1 — х3)9. 381. Найти коэффициент при х™ в разложении (l+x)ft + (l+x)ft+1 + ...+(l+x)/’ по степеням х. Разобрать отдельно случаи m<k, т k. 382. Найти коэффициенты при х17 и х1’ после раскрытия скобок н приведения подобных членов в выражении (1+х5+х')2°. 383. В каком из выражений (1+х2—х3)1900 или (1—x2+x3)lw0 будет после раскрытия скобок и приведения подобных членов боль- ший коэффициент при х17? 384. Пусть а0, ai, а:>, ... — коэффициенты в разложении (1 + х+х2) п по возрастающим степеням х. Доказать, что а) ЛоЯ] — а^г+ягЯз — • • • — Osn-iflan =0, 6) вц— ei+fi2— ••• + (—О” 1 Л-1 =~2 I)”-1 Л в) аг — nar-i + C^ar-i—... + (1)гСд ад = 0, если г не кратно 3, г) ад + «2 + . = -j (3я1), ai + аз +' • • • = "2 — 1). 385. Найти число различных (нс подобных между собой) чле- нов разложения (XJ-I-X2-I-... +Х„)3, получающихся после возведения в степень. 386. Найти коэффициент при х* в разложении (1 + х + х2 Ч-...+ Xя-1)2. 387. Доказать, что сгп-\ 388. Доказать, что ^ + 6C2+6C„3 = n3, 1 + 7С*+12С2+6С3 ^(п+1)3. 245
389. Доказать, что 1 + 1< + ЗбС2 + 24С* = (n +1 )4 - п\ С1п + 14С2п + ЗбС3п + 24С4п = п4. 390. Доказать, что l~3Cn + ^Cn — 27C® + ... = (-l)n2ncos V , „ / 1\Л + 1 ОЛ + 1 С\ - ЗС3 + 9С> - ... = ( ----sin 391. Доказать, что а) С0„ + СЗ.+ Сбл+...=1(2« + 2соз-^), б) + С4 + С7 + ... = | (> + 2 cos Л ), в) ^ + ^ + ^+--- = |(2n + 2cos (П+2)Л], г) С°+С4+С«+ ... =1 (2"-1 +2'2’cos-^). 392. Доказать, что при п^>2 и ki<! имеем (1+х)л + (1—х)л<2«. 393. Доказать, что при т>п уч n (n — 1) ... (n —x-j-l) _ т-|- 1 АЛ т(т—1) ... (т — х-4-1) ~ т-п4-1 л-=о у С-Сг„_2п + 1 С$пГ "+1 ’ 394. Доказать, что т , mlm-t-l) , , т (т 4-1) ... (т + п — 1) Ч 1 1.2 + " ! 1 -2... п = _п , п(п + 1) , , п(п + 1) ... (« + « + 1) 1"Г 1-2 Т ••• -I- 1 .2 ... да 395. Доказать, что у Схп-\ 2 ^гС2п-г « + 1‘ 246
396. Доказать, что V _£л-1_ — л “Ь ? ~н Сп,. -’(? + 1)(? + 2)’ 397. Доказать, что VI Сп-2 _ 2(« + ^ + l) ~ (tf + W +2) (Н-3) ’ 398. Доказать, что ет+2И)!+зК)Ч ... +„(с;у_- 399. Доказать тождество _____1___+ _J_______J____+ _J_______I_____д_ [(л — I)!]2 1121 {(лг — 2)!]2 ‘ 213! [(л — З)!]2 1 (2л-1)! •" [nl(n —1)!]2* 400. Доказать, что (л-|-г—1)1 п (лЧ-< —3)!, л(л— 1) (л-J-г — 5)! г! 1 (г — 2)! 1 1 • 2 (г — 4)! __ п\(п — 1)! — г! (л — г)! 401. Вычислить следующие суммы: а) С1л + 2С2л + ЗС3л+...+пС" б) С°п + 2Сгп + ЗС2Л + ... + (л +1) Спп, в) С2„ + 2С3п + ЗС4„+ ...+(л- 1)Сл, О Сп + ЗС\ + 5С2 + ... + (2л - 1) С", д) Сл —2Сл-|-ЗС2 — ...+(_1)«(„+1)C« е) ЗС1л + 7С2 + 11С3л+...+(4л-1)С", ж) С\ - 2С2 + ЗС3 - ... Ч- (-l)"-1 лС« Г’О /->1 /->2 /^п I I I I Ь п з) —+—+чг+ ••• +т+Г’ ’ 1 2^3 ••• т' 4 лЧ-1 ’ л)(С°)2-(^)2 + (С2)2-...Ч-(-1)л(С«)2. 247
402. Найти наибольший коэффициент в разложениях (л+&4-с)10, (а+& + с + </)и- 403. Обозначим через Уп коэффициенты разложения функции (1 — 4л’) 2 в степенной ряд 1 (1 _4л-)”2 =14-Г,х + Г2х2+ ••• Выразить У„ через биномиальные коэффициенты. Найти разложение для (1 — 4л) 2. •' 404. Доказать, что числа У а удовлетворяют соотношениям: а) У/г + “by ^2^л-г+ ••• + п _|_у = у Гп+р б) УоУп+У1У„_1 + У2У„_2+... + У„Уо=4\ R) , Y,Yn_2 , ’ 1(72-1-1) ^ 2-« "Г 3(л — 1) v , YaYn Ya+X (й + 1). 1 " n-|“2‘ 405. В числовом треугольнике 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (если не все такие числа присутствуют, то они считаются равными нулю). Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, найдется четное число. 406. Первая строка числового треугольника 0 1 2 3 ............. 1957 1958 1 3 5 ................. 3915 состоит из чисел 0, I, ..., 1958. Элементы каждой следующей стро- ки являются суммами элементов предыдущей строки, стоящих слева и справа от данного числа Доказать, что элемент последней строки треугольника делится на 1958. 407. Рассматривается ряд чисел Фибоначчи ил:ил=0, «|=1, «2“1, «л“2, «4=3, «5 = 5 и т. д. (мы начали его с членов 0 и I, а ие 1 и 2, как в главе VI). Доказать, что 248
а) Для любых т и п имеем ип l m == u« - iMm 4“ untl>n 4-I- б) Для любых т и n=km число ип делится на ит. в) Два соседних члена ряда Фибоначчи взаимно просты. 408. Найти наибольший общий делитель 1000-го и 770-го членов ряда Фибоначчи. 409. Найдется ли средн первых 100 000 001 первых членов ряда Фибоначчи число, оканчивающееся четырьмя нулями? 410. В ряде Фибоначчи выбрано 8 подряд идущих чисел. Дока- зать, что их сумма не входит в этот ряд. 411. Доказать, что а) иг 4- и4 4- ... 4~и2л = и2лт । — б) «| + «з+ • • + «И- I = М2Л. в) «1-Т'“2+ +вл = “Л(1' Г> "L1 = 2 д) их<12 -J- И2Н3 + . .. + «2л-1и2л = "L е) U1U2 4- u2m34- ... 4- и2пч.1п и = и?1п+1 — 1, ж) пи, 4- (л —1)«2 4-(« — 2)«з+ 4-2мл-| + «л = = илтт — (л4~3), з) и3 4- ив 4- ... 4- uin = ——> и) «Зл = «лт-1 + "л-“л-1- 412. Докажите, что любое натуральное число Л' можно пред- ставить в виде суммы чисел Фибоначчи, причем каждое число вхо- дит в сумму не более одного раза, и никакие два соседних числа не входят вместе. 413. Пусть р^-Я^г — целые числа такие, что p<q + r и р + +q + r=2s. Имеется р черных, q белых и г красных шаров. Пока- зать, что число способов раздела этих шаров между двумя лицами, при которых каждый получает s шаров, равно S2 + s+l-l(p2 + (72+ Г2). 414. Если q+r<p, то ответ в предыдущей задаче увеличивается на ^-(р — s)(p— s — 1). 415. Имеется pq + r разных предметов, где 0<г<д Они делят- ся между р людьми возможно ровнее (все получают либо q, либо </-1-1 предметов). Показать, что число способов такого раздела рав- но сг (Ря+гУ- р U+WW 249
416. Вычислить сумму 417. Доказать тождество Cn + m=^P(kl......km< n-kx- ... -йт+1), где суммирование распространено на все целые неотрицательные ре- шения уравнения £ц+2£2+ .. . +tnkm=m. 418. Найти общее решение рекуррентных соотношений: а) а„42 — 7a,1+i + 12an = 0, б) ап+г+Зап+i — Юап=0, в) ап+2 — 4an+i+13ап--0, г) ап+2+9а„=0, д) а,н2+4ап+1+4а„ = 0, ё) а„+3 —9ап+2+26Сп + 1 —24«п=0, ж) ап4з+Зап+2+Зап+1+йп = 0, з) ап+4+4ап =0. 419. Найти ап, зная рекуррентное соотношение и начальные члены: а) ап+2 — 5an+i+6an=0, fli=l, а2=—7, б) ап+2 — 4а„+1 + 4ап = 0, ai = 2, а2=4, с) ая + 2 Н ап + 1 Н- ап — 0’ а 1 = • а2 — 2' г) йп+з — 9а„+2+26ап+) — 24а„=0, <Zi=l, а2=—3, а3=—29. 420. Найти такую последовательность, что ai = cos a, a2=cos 2а и ап + 2 — 2 cos а апл. I-j-an = 0. 421. Доказать, что последовательность с общим членом = удовлетворяет соотношению an±k~ C\an + k-t +Qazn*-2~r + (— О* Скцап = fl- 422. Найти последовательность такую, что ЛП t- 2 Т 2#Л 4 I = 2Л. 423. Из тождества (Н-х) р (1+xj~6-!= (1+х) р-6"1 выведите, что 2 H)s<Vr = cM-il)> 5-0 424. Из тождества (1—х)~т1(1—л)~'г~1=(1—xj-m-q-2 вы. ведите, что V Г"1 гч гр-"1 ь Р -q-s ^ppqil' s=0 ') Здесь п далее сумма распространена па целые неотрицатель- ные значения s, для которых определена левая часть равенства. 250
425. Из тождества (1 + х)n = (I—№)п(1— х)~п выведите, что ' s-О 426. Из тождества (1+х)п(1—х2)~п=(1—х)~" выведите, что Srk- ъ п ^n+s-Л ^п+к-\’ з-О 427. Из тождества (I—x2)“₽4—(14-х)~р“1(1—х)“рЧ выведите, что ' £(-l)sC£+2ft_/?£+i = C*+ft. 3=0 428. Из тождеств (1 _ Х)-^Р [1 _ (_£_)2]~Р = (1 _ 2хГр И (1 _ Х?Р [1 - 2]Р = (1 - 2х)Р выведите, что Sr$ z>2p+2i+l____nm-l^P ь p+s^lpiт * ^т + р-1 з-О И S.(-i/^c2y_V5=2^;. 3 = 0 429. Докажите, что V1 л>з х>2р+2з_от-1 2р-\-т ГР p + s^ip + m 2 т cmtp-l‘ s-0 430. Из тождеств о Г 2х Т± р (1 -лу+уу =(1J-X2)^ выведите формулы 3 = 0 St___1 cs c^m~s от__________i \\m pm (. 4 3-lG2m + 2pf.3-lJ — (—U ^p\-m-\< s = o 2(-i)'^c22;j2l-^ = o, S = U I 2(-1)'^Й?_7з25=с;, 251
С их помощью докажите, что r2s гр _________п2т , । . (р-\-2т— 1)! 2j,C2p^nCP+m-s 2 (Р+т) рц2т)1 s^Q S = 22"' ^2р + 2т + i--o VI <>25-1 ГР _____п2т-\гР £*2p-v2rn'~’р \ m-s ^р±2т-У л = 1 V C2s СР = ч'-т-СР ZTip+lm+lr p+ni-s ь рл2т’ 5=0 431. Рассматривая формулы [(1 + х)Р ± (1 - х)Р\* = (14- хуР 4- (1 - х)Н> ± 2 (1 — х=)Л [(14- + (1 - *)р] 1(1 + ХУ - (1 - х)р} = (1 + ХУР - (1 - *УР при положительных и отрицательных значениях р, докажите, что 2 C2;C*n-2s = С% + (-О™ Ср, 5 = 0 2 2 C2pi + lC2pn,--s+1 ==С% '24-(-])тС™ '-1, J--0 г» V1 <12‘?/->2/и-25-|-1_<>2rn } 1 2 2-1 СрСР ~ С2р » л «-U о V СР СР —Г^Р + 1 -1_ГР ьр 1-25Ьp+2m-2s b2p-t 2тч-1 I i m> л =0 9 V СР~Х СР-1 — г^Р-1 ___гр bp+2sbp 1 2/«-2s c2pi-2mi l р+т, 5 = 0 2 2^.г^+2и_25+1=с^:'т,2. ; = 0 432. Рассматривая выражение [(1 4- х)рлЛ ± (1 — х)р+1] [(1 4- х)Р + (1 — л/] при всех комбинациях знаков, выведите формулы 2 2 c^c2pm~2s = с2;+1 + (-1Г с;, 5=0 2 2 с^су1-2^ = с2^ - (-i)m с;, 5 = 0 О Ki <*25-М<*2м-2л_<*2т<1 1 / 1 \гп гм 1 2j Ср И Ср — С2/Ж ~Г(—О Сpt 5 = 0 252
2 S <W'!111=+(-1)'л C't+l, v = U 2 2 ^P+25-l^p+2m-2s = ^2p+2m + ^pi m> 5=0 2 2 ^p-l-L-l^p + 2m-25 + l = ^2р}2т + 1 rCpw s=0 5 = U 9 V Г’Р-1 CP _C~P CP “ Zl Gp+2sGp4-2m-25 + l — с2р+2/л+2 — Cp m -P 5=0 433. Из соотношения (1 \ m i_i \m i-|) (’ - лГ = с1 - a-)™--1 выведите, что 5 a 0 434. Докажите, что ST_1 Н Г * Г" — Г °- есл" т^П’ т 5 I (-1)". если т = п. 435. Из равенства (1-х)-"(1 —х,1)п = (1 + х+ ... -l-.v"-1/1 выведите, что V с 1НГЛ-1 еСЛ,( т>'1П — 1< 2Д 1)ст_5Лс„-^1 если m = hn_x 436. Из тождества (1 _ Х)-«-1 (1 _ xh}n = 11+-у+ выведите, что при hn ^(-Wn-sbC^h'1. s = u 437. Из тождества (1 -J-х)* Р (1 — л)* Р = (1 - л-2)± Р
выведите, что т т (—1) " С? . если т — четно, О, если т — нечетно, s«0 ‘ т т (-1)2 С2 т, р+— если 5-0 0, если т — четно, т — нечетно. 438. Докажите, что т т \ ’с~ 5=0 о, если т—четно. если т — нечетно. 439. Обозначим выражение а (а-|- 1) (a -f- 2)... — 1) через (а)п. Доказать, что п m = 0
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ 1. По правилу произведения получаем 5-3=15 путей. 2. По тому же правилу имеем 1002= 10000 способов выбора. 3. 20. 4. 8. 5. 9. 6. 48. 7. 25; 20. 8. 480; 437. 9. 1024; 4032. 10. Белый квадрат выбираем 32 способами и вычеркиваем соот- ветствующие горизонталь и вертикаль. На оставшейся части доски есть 24 черных квадрата. Всего 32-24 = 768 способов выбора. 11. По правилу произведения 12 - 9-10=1080 способов. 12. 6-5=30 способов. 13. 3-7-7=147. 14. Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо том, содержащий два романа и экземпляр третьего романа. По пра- вилам суммы и произведения получаем 6 • 3 • 4+5 • 4+7 • 6= 134 спо- соба. 15. Можно купить еще том, содержащий романы «Рудин» и «Отцы и дети» и один экземпляр «Дворянского гнезда». Добавляется 3-3=9 способов, а всего имеем 143 способа. 16. Большее число выборов, если взято яблоко, так как 11 • 10> >12-9. 17. 6-8-10=480; если первые два волчка упали на сторону «1», то третий волчок может упасть 10 способами; аналогично рассма- триваются случаи, когда на такую сторону падают другие два волч- ка; всего получаем 6+8+10 способов, но при этом один способ (ко- гда па сторону «1» падают все три волчка) считается трижды; по- этому остается 22 способа. 18. Так как порядок красок не играет роли, то С?=10 спо- собов. 19. Здесь порядок красок уже важен; поэтому имеем Л? = 60 способов. Если одна полоса красная, то нмем 3 • А± = 36 способов. 20. Д? = 20 словарей. 21. 4,-Л? = 70. 255
22. Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Все- го 134=28 561 способ. Если средн карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений; их число -4j3 = 17 160. 23. Так как достаточно выбрать одну черную и одну красную карту, то получаем 132= 169 способов выбора. 24. Ребенок может получить либо одно, либо два, либо три име- ни, причем все имена различны. Всего 300+300 • 299+300 • 299-298= =26 820 600 различных имен. 25. Отношение соседства сохраняется при циклических переста- новках н при симметричном отражении. В случае 4 человек мы имеем 2-4 = 8 преобразований, сохраняющих отношение соседства. Так как общее число перестановок 4 человек равно 41= 24, то имеем 24/8=3 различных способа рассадки. Если за столом сидят 7 чело- век, то имеем 71/14 = 360 способов, вообще, в случае /г человек (п— 1)1/2 способов. Число способов, при которых 2 данных человека сидят рядом, вдвое больше числа способов посадить 6 человек (в силу возможности поменять этих людей местами). Значит, оно рав- но 51 = 120. Точно так же число способов, при которых данный че- ловек имеет данных двух соседей, равно 41 = 24. 26. В одной команде играет один юноша, а в другой — двое. Юношей можно разбить на команды 3 способами. После этого надо выбрать в первую команду 3 девушек из 5. Это можно сделать С'* --10 способами Всего по правилу произведения получаем 3-10= = 30 способов разбивки па команды. 27. Число способов разбить п различных предметов па k групп равно kn. В нашем случае имеем 36=729 способов. 28. По правилу произведения 7-9=63 способа. 29. Первый может выбрать книги для обмена Су = 21 способом, а второй Сд = 36 способами. Всего 21-36=756 способов обмена. 30. Разобьем все способы упорядочить ораторов на пары, со- стоящие из способов, которые получаются друг из друга переста- новкой А и Б. В каждой паре есть лишь одни способ, удовлетво- ряющий поставленному условию. Поэтому имеем 51/2=60 спо- собов. 31. Если А выступает непосредственно перед Б, мы можем счи- тать их за одного оратора. Поэтому имеем 41=24 способа. 32. Выбор мест для мужчин и для женщин можно сделать дву- мя способами. После этого мужчин можно посадить на выбранные места 5! способами. Столько же способов рассадить женщин. Всего получаем 2(5!)2=28 800 способов. 33. Получаем в 10 раз меньше способов, чем в предыдущей за- даче, то есть 2880 способов. 34. Общее число способов вынуть 10 карт равно С^. Число способов, при которых ие выбирают ни одного туза, равно По- этому хотя бы один туз будет в Сщ — случаях. Ровно один z>10 z>10 л/-»9 туз в С4С48 случаях, не менее двух тузов в С52 — —4С49 слу- чаях н ровно два туза в случаях (выбираем двух тузов С4 способами и еще 8 карт из 48 С®8 способами), 35. Зга способов (см. задачу 27). 250
36. Зашифруем каждый набор зубов последовательностью ну- лей и единиц (нуль ставится, если на данном месте нет зуба, и “еди- ница, если есть). Число таких последовательностей равно 232. Так как каждому жителю соответствует своя последовательность, то чис- ло жителей не больше чем 232. 37. Сначала выберем, кто из грех пассажиров, которым безраз- лично как сидеть, сядет лицом к паровозу. Этот выбор можно сде- лать 3 способами. На каждой скамье можно пересаживать пасса- жиров 5! способами. Всего получаем 3(5!)2=43 200 способов. 38. Лд = 3024. 39. С^2 = 2 598 960. 40. Номеров, содержащих одну букву 32 -104, две буквы 322- 104 и три буквы 323 - 104. Всего по правилу суммы 33 820-104 номеров. 41. Из пяти дней надо выбрать два, в которые даются яблоки. Всего Сд = 10 способов. 42 Ст ьт + п‘ 43. Р (2, 3, 4) = 1260. 44. Так как апельсины различны, то имеем Лд = 6720 способов. 45. Каждый апельсин может попасть любому из 8 сыновей. По- этому имеем 85 = 32 768 способов. 46. Р(4,3,3,2,1,1); Р(3,1,1,1,1,1); Р(2, 2, 2,1,1,1). 47. Сз0 = 27 405; Л|о = 657 720. 48. Р (2, 2,2,1,1) = 5040. 49. Сначала выбираем 6 абонентов С"п способами. Располагаем этих абонентов в любом порядке и разбиваем на пары (первый, вто- рой, потом третий, четвертый и, наконец, пятый, шестой). Это мож- но сделать 6! способами Так как абонентов можно переставлять внутри каждой пары, а также несуществен порядок пар, то общее число способов надо разделить на 23 • 3! =48. Всего получаем nl -Го~.---FVT способов. 48 (п — 6) 1 ел '/П2 /^12. z>8 _z>8 . z>8 OU. Ь10—Ь21. ь10—ь17, ь10. 51. Можно выбрать двух, трех или четырех женщин. Двух жен- щин можно выбрать С% способами. После этого надо выбрать 4 мужчин, что можно сделать способами. По правилу произве- дения получаем С4С7 способов. Если выбирают трех женщин, то получают С4С7 способов, а если четырех,— то С4С7 способов. Всего С24С] + С& + С& = 371 способ. 52. Число должно оканчиваться 1 из 5 комбинаций: 12, 24, 32, 44, 52; первые же две цифры могут быть произвольными. Всего по- лучаем 52 • 5=125 чисел. 17 Н. Я. Виленкин 257
53. Каждый из п пассажиров может выбрать любую из т оста- новок. Поэтому имеем тп способов распределения. Если учитывать лишь количество пассажиров, вышедших на каждой из остановок, то получаем Ст+л-1 способов. 54. Если а и b стоят рядом, мы можем объединить их в один знак. Учитывая, что а и b можно переставить местами, получаем 2(п— 1)! перестановок, в которых а и b стоят рядом. Поэтому они не стоят рядом в п! — 2(п—1)! перестановках. Точно так же полу- чаем, что а, b и с не стоят рядом в п!—6(п— 2)! перестановках. Никакие два из элементов а, Ь, с не стоят рядом в п! —6(/г—1)1 + +6(п —2)! перестановках (по формуле включений и исключений). 55. Три судьи могут выбрать победителя 103 способами. .Ajo = 720 случаях они назовут трех различных кандидатов. По- этому совпадение хотя бы у двух судей будет в 280 случаев. Доля таких случаев равна 0,28. 56. Так как каждый студент может получить три вида оценок, то имеем 34 = 81 способ сдачи экзаменов. 57. Так как ожерелья остаются неизменными при циклических перестановках бусинок и при переворачивании, то можно составить 71 — = 360 видов ожерелий. 58. Виды ожерелий отличаются друг от друга числом малень- ких бусинок, заключенных между двумя большими. Поэтому имеем три вида ожерелий. 59. В русском алфавите 33 буквы, но по крайней мере с 4 букв Ъ, Ь, Ы, й, имена не начинаются. Поэтому общее число различ- ных инициалов не больше 292=841, что меньше 2000. 60. Aj0 = 604 800; С®0 — 120. Если две девушки заведомо будут приглашены на танец, то имеется А? вариантов выбора их партне- ров; оставшиеся 5 юношей выбирают партнершу из числа 8 деву- шек, что может быть сделано А| способами, а всего имеем .Ay/ll = 282 240 способов. Наконец, если данные две девушки при- глашены на танец, то еще пять девушек можно выбрать спо- собами. 61. Офицера можно выбрать способами, сержантов спо- собами и рядовых Cqq способами. Всего по правилу произведения получаем CgCgCgQ способов выбора Если в отряд должен войти командир роты и старшин из сержантов, то получаем CgCgQ спо- собов выбора. 62. Четырех девушек можно выбрать Cf2 способами. После это- го выбираем А^ способами юношей (здесь уже существен поря- док!). Всего C^Ajj = 17 417 400 способов. 63. Каждая курица может либо войти, либо не войти в число выбранных. Поэтому имеем 23 способов выбора кур. Так как по ус- ловию хотя бы одна курица должна быть выбрана, получаем 7 спо- собов выбора кур. Точно так же есть 2’—1 = 15 способов выбора 258
уток и 22—1=3 способа выбора гусей. Всего 7-15-3 = 315 спо- собов. 64. Это число равно Р (т, п, р) = P\z . r mtn! p! 65. Книги в черных переплетах можно переставить т! спосо- бами, а в красных — п! способами. Всего по правилу произведения mln! способов. Если книги в черных переплетах стоят рядом, то на- до еще выбрать для них место между книгами в красных перепле- тах. Это можно сделать п+1 способами. Всего получаем т!п!(п+1) = т!(п+1)! способов. 66. Каждый из 15 человек может или войти или не войти в группу. Так как группа ие может быть пустой, то получаем 215—1=32 767 способов. Для п человек имеем 2"— 1 способов. 67. Число рь может войти в данный делитель а с показателями О, 1, ..., &k — всего Ok +1 способами. По правилу произведения чис- ло делителей равно (ai + 1) ... (an + l). Чтобы найти сумму дели- телей, рассмотрим выражение (1+л+.(1 + Р„+.••+//)• Если раскрыть в нем скобки, то получим сумму, в которую каждый делитель входит ровно один раз. По формуле для суммы геометри- ческой прогрессии получаем, что эта сумма равна р“,+ 1-1 ра«+1_1 ^1 *п___________________ Pi —1 '' ‘ Рл —1 ' 68. Сначала положим в каждый пакет по одному полтиннику. После этого надо распределить 7 полтинников по 5 пакетам. Это можно сделать С и =330 способами (см. стр. 217). 69. Добавим к 20 книгам 4 одинаковых разделяющих предмета и рассмотрим все перестановки полученных объектов. Их число рав- но 241/41. Каждой перестановке соответствует свой способ расста- новки книг. 70. Точно так же, как в предыдущей задаче, получаем, что чис- ло способов равно 81/3! =6720. 71. Так как учитывается лишь число голосов, поданных за ка- ждое предложение, то надо распределить 30 одинаковых «предме- тов» по 5 «ящикам». Для этого добавим 4 одинаковых разделяю- щих предмета и возьмем все перестановки полученных объектов. Их число равно Р(30, 4) =46 376. Каждой перестановке соответствует свое распределение голосов. 72. 12 книг можно переплести в переплеты 3 цветов З12 спосо- бами. Из них в 3 • 212 случаях книги будут переплетены в не более чем два цвета, а в 3 случаях — в один цвет. По формуле включений и исключений в З12—3 • 2,2+3=519 156 случаях книги будут перепле- тены в переплеты всех трех цветов. 73. Добавим к 32 буквам 5 одинаковых «перегородок» и рас- смотрим все перестановки полученных объектов, при которых ни одна перегородка не стоит в начале или конце и никакие две пере- городки не стоят рядом. Буквы переставляются 32! способами, а для 17* 259
Перегородок имеем 31 место и их можно поставить Cfj способами. Учитывая, что порядок слов несуществен, получаем 32! С^/б! спосо- бов составить слова. 74. 12 человек можно выбрать С}2 способами. В случаях в число выбранных входят данные два человека. Поэтому остается Ср — допустимых выборов. 75. Камни можно переставлять Р(5, 6, 7) способами. При цик- лических перестановках и при симметриях браслет остается неиз- 18! менным. Получаем Р (5, 6, 7)/36 = -gg g । бТтТ спос°б°в' 76. Если все выбранные камни одного вида, то 3 способа, если выбраны 2 вида камней, то2С| = 6 способов, и если все три камня различны, то 1 способ. Всего 10 способов. 77. Чашки могут быть расставлены А4 способами, блюдца и чайные ложки способами. Всего по правилу произведения А4 А-Лб = 172 800 способов. 78. Если муж пригласит в гости k женщин, то число приглашен- ных им мужчин равно 6— k. Тогда жена пригласит 6— k женщин и k мужчин. По правилам суммы и произведепия такой выбор мож- но сделать числом 2 (С*)2 (Су-*)2 = 267 148 способов. й=о 79. На левом борту могут сидеть 0, 1, 2, 3 или 4 человека из числа тех, кому безразличен выбор борта. Если из их числа выбра- но k человек, то надо выбрать еще 4 — k человек из числа 10, пред- почитающих левый борт. После этого остается 12+(9 — k) канди- датов, из которых выбираем 4 гребцов на правый борт. Всего имеем ^9^1о"*^21-й способов выбора. Суммируя по k, получаем ответ 4 Sz-'A/-'4—Az-'4 °9g10 °21-й — ft = 0 4 9! 10! у (21 — 6)! - 4! 6! (9 —6)!(4-6)!(6 + 6)! (17 —6)! ' ft=o 80. Число 9 можно разбить на три различных слагаемых тремя способами: 9= 1 +2 + 6= 1 +3+5=2+3+4. Сумма, меньшая, чем 9, будет в 4 случаях: 1+2+3=6, 1+2+4=7, 1+2+5=1+3+4=8. Так как 3 жетона можно вынуть Cf0 способами, то в Cj0— 4=116 случаях сумма не меньше 9. 81. Сначала выберем по одной карте каждой масти. Это можно сделать !34 способами. После этого выберем еще две карты. Если они разных мастей, то это можно сделать С4 • 122 = 864 способами. Комбинируя эти способы с различными способами выбрать первые 4 карты и учитывая возможность перестановки порядка выбора двух карт одной масти, получаем 2!6- !34 способов. Если новые две карты имеют одну и ту же масгь, то получаем 4-С12 = 264 спо- 260
собов выбора. По тем же соображениям они приводят к 88- 134 спо- собам выбора всех карт. Всего получаем 304 • 134 способов. 82. В первый день участников можно выбрать С®0 = 210 спо- собами, во второй — Cfo — 1 = 209 и в третий Cf0— 2=208 спосо- бами. Всего 210.209-208=9 129 120 способов. 83. Так как = 20, то каждый способ выбора компании бу- дет использован ровно один раз. Число перестановок этих спосо- бов равно 20!. 84. Каждый юноша может выбирать из 5 мест работы, а ка- ждая девушка — из 4 мест. Всего получаем 53-42=2000 способов выбора. 85. На первом месте можно написать любую из 33 букв, а па каждом из следующих — любую из 32 букв (исключается предше- ствующая буква). Всего имеем 33 • 324=34 503 008 слов. 86. Сначала выберем призеров, а потом распределим между ни- ми книги. По правилу произведения получаем С%дР (3, 2, 1) спосо- бов. Во втором случае сначала выберем, кто получил первую книгу, потом, кто получил вторую, и, наконец, кому досталась третья книга. Всего получаем способов распределения. 87. Поставим в соответствие каждой кости (р, q) кость (п — — р, n — q). Если p+q=n — г, то (п — р) + (п — q) =п+г. Значит, число костей с суммой очков п — г равно числу костей с суммой очков п+г. Общее число всех костей домино равно С^+1. 88. По условию задачи места, занятые женщинами и мужчи- нами, чередуются. Поэтому имеем 2(7!)2 способов. 89. Выберем по одной лошади из каждой пары АА', ВВ', СС' (8 способов выбора), трех лошадей из остальных 10 (Сщ =!20 спо- собов) и выберем порядок запрягания лошадей (6! способов). Всего 8 • 6 ! Cj0 = 691 200 способов. 90. Согласные можно выбрать Сд способами, а гласные Су способами. Выбранные 7 букв можно переставлять 7! способами. Всего получаем С^Су • 7! способов. Если никакие две согласные не стоят рядом, то порядок букв такой; СГСГСГС. Здесь мы имеем лишь 3!4! перестановок и СдСуЗ! 4! слов. 91. По формуле включений и исключений число работающих равно 6+6+7—4—3—2+1 = 11. Только английский язык знают 6— —4—2+1 = 1, только французский знают 7—3—2+1=3. 92. По формуле включений и исключений пирожки взяли 92— —47—38—42+28+31 +26—25=25 человек. 93. Мужчин можно разбить на пары 10! (2 !)5 5! способами (учи- тывая перестановки внутри пар и перестановки самих пар). Жен- щины разбиваются 10!/(2!)5 способами (здесь уже играет роль по- рядок пар). Всего (10!)2/2|05! способов. 94. Сначала выберем одного мужчину и одну женщину, ко- торые окажутся в той же лодке, что и выбранная ранее пара 18 н. Я. Виленкин 261
(Э2 способов). После этого разбиваем оставшихся на 4 группы (8!)2 * „ (9!)2 - та "гг способами. Всего ль- , способов. С • 4! 2 • 4 I 95. Если данные двое мужчин попадают в одну и ту же груп- пу (и в ней же находятся их жены), то остальные могут разбиться /о |\2 на группы 2в"~'4')~ способами. Если же они попадают в разные груп- пы, то эти группы можно дополнить (-^в)2 способами, после чего 6! КП разонть остальных па группы g-p способами. Всего получаем 17(8!)2/2®4! способов. 96. Так как числа не могут начинаться с нуля, то имеем 74—73= = 2058 чисел. 97. Если число, изображенное первыми тремя цифрами, равно Л, то число, изображенное последними тремя цифрами, может прини- мать значения 0, 1, ..., 999 — х, а всего— 1000 — х значений. Так как х меняется от 100 до 999, то нам надо найти сумму натураль- ных чисел от 1 до 900. Она равна 405 450. 98. Белые шашки можно расставить С32 способами. После вы- бора 12 полей для белых шашек остается 20 полей для черных, па которые их можно поставить С1^ способами. Всего £32^20 способов. 99. Разбиваем все перестановки букв слова «Юпитер» на клас- сы так, что перестановки одного и того же класса отличаются друг от друга только порядком гласных. Число классов равно 7’б/7’з=120. Лишь одна перестановка из каждого класса удовлетворяет постав- ленному условию. Поэтому их число тоже равно 120. 100. В перестановках, где 4 буквы «е» идут подряд, их можно объединить и считать одной буквой. Поэтому число таких переста- новок равно 5! Остается Р(4, 1, 1, 1, 1)—51 = 1560 перестановок. 101. Если «и» идет непосредственно после «о», то эти буквы можно объединить. Поэтому число искомых перестановок равно Р(2, 1, 1, 1, 1) =360. 102. Сначала расставим все буквы слова «обороноспособность», отличные от буквы «о», Р(3, 2, 2, 1, 1, 1, 1) способами. После этого выбираем 7 из 12 мест, на которые можно вставить буквы «о». Всего получаем Р(3, 2, 2, 1, 1, 1, 1) • С]2 способов. 103. Как гласные, так и согласные можно переставлять друг с другом Р(2, 1, 1) = 12 способами. Если согласные уже расстав- лены, то для гласных остается 5 мест. Поэтому места для них мож- но выбрать С? =5 способами. Всего имеем 5-122 = 720 способов. 104. Выпишем гласные в данном порядке. Тогда для буквы «ф» имеем 5 мест. После того как опа вписана, имеем 6 мест для буквы «ц» и, наконец, 7 мест для буквы «т». Всего 5•6-7=210 способов. 105. Как и в предыдущей задаче, получаем, что число способов равно ^п/^з = 277 200 (следует учесть, что буква «л» входит в наше' слово трижды). 106. Сначала фиксируем последовательность гласных (2 спо- соба), затем поставим между этими гласными 4 согласные (41=12 262
способов). Первую из оставшихся согласных можно поставить до или после обеих гласных (2 способа), а для второй имеем уже три места. Всего получаем 2- 12-2-3 = 144 способа. 107. Выберем 3 буквы из 5 согласных и поставим их на ука- занные места (Л? способов). Оставшиеся 5 букв произвольным об- разом расставим на остальные 5 мест (5! способов). Всего 5!^= =7200 способов. 108. По правилу произведения С?Сз = 30 способов; CjCg = 12 способов. 109. Р(3,1,1,1)—4! = 96 способов (см. задачу 100). ПО. Сначала расставим согласные (3! способов). Для 3 букв «о» остается 4 места, и их можно расставить 4 способами. Всего 24 способа. 111. Буква «о» может входить в число выбранных 0, !, 2, 3 или 4 раза (5 способов), буква «к» — 3-мя способами и т. д. Всего по- лучаем 5 • 3 • 5 • 3 • 3 • 3 = 2025 комбинаций. 112. Число комбинаций, в которых все три буквы различны, рав- но С|=20, комбинаций, содержащих ровно 2 различные буквы 6-5 = 30, и комбинаций, содержащих только одну букву, равно 2. Всего 52 способа выбора. 113. Если учитывать и порядок букв, получаем + ЗЛ£ + 2 = = 212 способов. 114. Так как порядок и гласных и согласных букв определен, надо лишь выбрать из 7 мест 3 места для гласных. Это можно сде- лать способами. 115. Для слова «кофеварка» первая и последняя буквы должны быть согласными. Согласные можно переставлять Р(2, 1, 1, 1) Способами, а гласные —Р(2, !, 1) способами. Всего имеем Р(2, 1, !, 1)-Р(2, !, 1) =720 способов. Для слова «самовар» нме- ем PfP(2, 1)=72 перестановки. 116. Надо выбрать из 6 мест 3 места для буквы «а». Эго мож- но сделать Cg = 20 способами. Если добавить условие, что никакие две буквы «а» не идут подряд, то для для пнх есть лишь 4 места, и мы имеем С% = 4 способа. 117. Буквы слова «тик-так» можно переставить 180 способами. Из этих перестановок в 60 рядом стоят две буквы «т» (мы не учи- тываем дефис), в 60 — две буквы «к» и в 24 — обе буквы. По фер~ Муле включений и исключений получаем 180—60—60 + 24 = 84 допу-' бтпмые перестановки. Для слова «тартар» имеем 90—30—30—ЗС+,1 + 12+12+12—6 = 30 допустимых перестановок. 118. Есть 3 комбинации, содержащие все 3 буквы «т», «а», «у», и 3 комбинации, содержащие по 2 различные буквы. Всего 6 ком- бинаций. Различных четырехзначных чисел из цифр числа 123123 можно составить ЗР(2, !, 1) +ЗР(2, 2) =54. 119. По формуле включении и исключений получаем, что все цифры 1, 2, 3, 4 содержат 10е—4 - 96 + 6 - 86—4 • 76 + 66 = 23 1 60 чисел. Только Из цифр 1, 2, 3, 4 состоят 4 -4-42 43 -|-44 -j-45 -f-4s = 47 — 4 = —о— = 5460 чисел, и 18*
120. Каждая цифра появляется в каждом разряде 6 раз (Р4/4). Поэтому, складывая цифры первого разряда, получаем сум- му 6(14-2+3+4) =60, второго разряда—600 п т. д. Всего получаем 60+600+6000+60000=66 660. 121. Здесь общее число перестановок равно 12, причем цифры 1 и 5 появляются в каждом разряде по 3 раза, а цифра 2 — по 6 раз. Поэтому сумма цифр в первом разряде равна 3 • 1+3 • 5+6 • 2=30. Общая сумма равна 30 + 300 + 3000 + 30 000 = 33 330. 122. Аналогично получаем, что сумма равна 11 ПО. 123. Сумма равна 16 665. 124. Если снять ограничение, что цифра 0 не является первой, получим сумму 2 666 640. Сумма чисел, «начинающихся на 0», равна 66 660. Поэтому сумма пятизначных чисел, не начинающихся цифрой «0», равна 2 599 980. 125. Так как с помощью цифр «8» и «9» можно написать 2* 6-значных чисел, то общее количество искомых чисел равно 6 2 2s = 126. й=1 6 126. Аналогично получаем 2 3ft = 1092. Й = 1 127. Так как первой цифрой не может быть 0, то получаем 2 3*= 728 чисел. Й=1 128. Каждая цифра в каждом разряде повторяется 42=16 раз. Поэтому сумма цифр первого разряда равна 16(1+2+3+4) = 160, второго — 1600 и третьего — 16 000. Сумма равна 17 760. 129. В первом случае сумма равна 3 999 960. Во втором случае каждая цифра повторяется в каждом разряде раз, и мы полу- чаем сумму цифр в первом разряде Af (1 + 2+...+9) =75 600, а вся сумма равна 839 991 600. 130. На последнем месте может стоять либо цифра 3, либо 9, а остальные цифры можно переставлять 3! способами. Всего полу- чаем 12 нечетных чисел. Точно так же получаем, что количество четных чисел равно 12. 131. Места для нечетных цифр можно выбрать С§ = 20 спосо- бами. На каждом месте может стоять одна из 5 цифр (либо чет- ная, либо нечетная). Всего получаем 20-5е чисел. Но из них 10-55 начинается с нуля. Остается 20 • 56 — 10 • 55 = 281 250 чисел. 132. С|-56 = 312500 чисел. 133. На 1-м месте может стоять одна из 9 цифр, на 2-м, 3-м, 4-м и 5-м — одна из 10 цифр, а на последнем — одна из 5 цифр (ее четность определена). Всего получаем 9 • 104 • 5 = 450 000 чисел. Если взять все числа от 1 до 999 999, получим 499 999 чисел. 134. Если отбросить нули, то остальные цифры дают одну из следующих последовательностей: 3; 2, 1; 1, 2; 1, 1, 1. Осталось рас- положить нули так, чтобы первая цифра была отлична or нуля. Для 3 это можно сделать одним способом, для 2, 1 и 1, 2 — девятью способами (по числу нулей между этими цифрами), для 1, 1, 1^ 264
Сд способами. Всего 1+9 + 45 = 55 чисел. Если взять все числа от 1 до 9 999 999 999, то надо выбирать места для цифр, отличных от нуля. Для 3 это можно сделать С}0, для 2, 1 и 1, 2 — Cf0 спо- собами н для 1, 1, 1 —С]0 способами. Всего получаем 2Ci0 Н~ Cjo = 340 чисел. 135. На первом месте может стоять любая из 9 цифр 1, 2, ... ..., 9. Второе место может занять любая из 9 оставшихся цифр, третье —любая из 8 цифр и т. д. Всего получаем 9-9! чисел. 136. Количество чисел от 0 до 999, делящихся иа 5, равно „ ( 1000 \ £1—g—1, где Е(х)—целая часть х. Точно так же на 7 делится ,,/ 1000 4 „ / 1000 \ „ , £1—у—I чисел и на 35—£ I I чисел. По формуле включении и исключений получаем, что 1000 — £ = 686 чисел не делится пи на 5, ни на 7. 137. Точно так же находим, что количество искомых чисел рав- но 228. 138. Количество чисел, записываемых без цифры 9, равно 729. Поэтому цифру 9 содержат 1000—729=271 число. Ровно 2 раза цифра 9 входит в 27 чисел (099, 909, 990, 199 и т. д.). Нуль входит в 1 однозначное, 9 двузначных и 171 трехзначное число, а всего в 181 число. Дважды пуль входит в 9 чисел. Обе цифры 0 и 9 вхо- дят в 36 чисел (если третья цифра отлична от 0 и 9, то имеем 2-2-8 вариантов, а если она равна 0 или 9, то еще 4 варианта). Цифры 8 и 9 входят в 54 числа. Количество n-значных чисел, ие со- держащих двух идущих подряд одинаковых цифр, равно 9" при п>1 и 10 при п—1. Поэтому количество таких чисел от 0 до 999 999 равно 10 + 92 + 93 + 94 + 95+96=597 871. 139. Четырехзначное число может состоять либо из четырех раз- личных цифр (1, 2, 3, 5), либо из двух одинаковых и двух различ- ных цифр (1, 1, 2, 3; 1, 1, 2, 5; 1, 1, 3, 5; 1, 2, 3, 3; 1, 3, 3, 5; 2,3, 3, 5), либо, наконец, из двух пар одинаковых цифр (1, 1, 3, 3). По- этому общее количество таких чисел равно Р4 + 6Р(2, 1, 1) + Р(2, 2) = 244-6-12 + 6= 102 140. Таким же образом, как в предыдущей задаче, получаем ответ: 2Р(2. 1. 1. 1)4-3P(3, 1, 1)4-2Р(2, 2, 1)4-ЗР(4, 1) = 255. 141. В шестизначное число могут войти одна, две или три пары одинаковых цифр. Одну пару можно выбрать сопособами. Число перестановок из 4 различных и 2 одинаковых цифр равно Р(2, 1, 1, 1, 1) =61/2! =360. Из них в 51 = 120 перестановках две одинаковые цифры идут подряд. Значит, в этом случае получаем 5(360—120) = = 1200 шестизначных чисел. Две пары одинаковых цифр можно 265
выбрать Cg = 10 способами, после чего С$ = 3 способами можно вы- брать еще две цифры. Общее число перестановок этих цифр равно Р(2, 2, 1, 1) = 180, причем в 2--^-j- = 120 из них есть хотя бы одна пара следующих друг за другом одинаковых цифр, а в 41=24 пе- рестановках— две такие пары. По формуле включений и исключе- ний получаем, что этот случай дает 10 - 3(180—120 + 24) =2520 нуж- ных нам чисел. Аналогично находим, что три пары одинаковых цифр имеют cs(w--3'A+3'‘5T“3') = 300 нужных нам чисел. Всего получаем 4020 чисел. 142. Общее количество пятизначных чисел, которые можно со- ставить из данных цифр, равно 3 ТГ+с>с‘‘ (Я? + -5Г + ci -ЗПГ- ш р Из их числа в ЗР3 -ф- 2 = 24 цифра 3 идет подряд три раза. Получаем 416 искомых чисел. 143. Общее число перестановок данных цифр равно Р(2, 2, 2,2). Из них в Р(2, 2, 2, 1) перестановках данная цифра стоит два раза подряд, в Р(2, 2, 1, 1) повторяются подряд данные 2 цифры, в Р(2, 1, 1, 1)—данные 3 цифры и в Р(1, 1, 1, 1)—данные 4 циф- ры. По формуле включений и исключений получаем, что никакие 2 цифры не повторяются в Р(2, 2, 2. 2) — 4Р (2, 2, 2, 1)+ 6Р (2, 2, 1, 1) — — 4Р(2, 1, 1, 1) + Р(1, 1, 1, 1)=854 перестановках. 144. Аналогично получаем, что число перестановок равно W_3’W+3-|r-5! = 2220' 145. Точно так же имеем -^_-2.|L+e,_88 08o. 146. Аналогично получаем ответ 20 040. 147. Если выбрано одно число, то второе можно выбрать 10 спо- собами (поскольку его четность уже известна). Учитывая возмож- 20-10 ... ность перестановки этих двух чисел, получаем —— = 100 спосо- бов выбора. 148. Либо все три выбранных числа четны, либо одно четно и два нечетны. Поэтому получаем + С}5С]5 = 2030 способов вы- бора. 149. В 11 точках пути есть выбор между двумя возможностями. Поэтому число путей равно 2!| = 2048. 266
150. Так как выбор в начальной точке уже сделан, то остается 2’°= 1024 возможностей. 151. Таким же образом находим, что число способов равно 35= = 243. 152. Если выбрано р монет достоинством в 10 коп., то 15-ко- пеечиых монет можно взять 0, 1, ..., 20 — р — всего 21 — р спосо- бами. Так как р меняется от 0 до 20, то всего имеем 14-24-34-... ...4-21=231 способ выбора. 153. Число различных комбинаций монет равно С|3= 1287. По- этому неверных ответов может быть 1-286. 154. Количество пятизначных чисел равно 90 000, из них каждая цифра является четным числом в 4-5?=2500 случаях, нечетным—в 55=3125 случаях. Цифры, меньшие чем 6, не входят в 45= 1024 слу- чаях, а большие чем 3, в 3 - 44 = 768 случаях. Все цифры 1, 2, 3, 4, 5 содержат 51=120 чисел, а все цифры 0, 2, 4,. 6, 8 содержат 4-41 = =96 чисел. 155. Из условия задачи видно, что различные броски дают оди- наковую сумму, лишь если они получаются друг нз друга переста- новкой костей. Поэтому число различных сумм равно С|-}-6 = 21. 156. Точно так же получаем ответ -ф- 2С§ -ф- 6 = 56. 157. Один вид очков будет в 6 случаях. Два вида могут вы- пасть следующими тремя способами: одна кость первого вида и 5 костей второго вида, либо две кости первого вида и четыре кости второго вида, либо по три кости каждого вида. В первом случае вид костей можно выбрать способами, причем любая из 6 ко- стей может дать очки первого вида. Это дает 6Л§ = 180 случаев. Точно так же вариант 24-4 дает Л§Р(2; 4) = 450 случаев, а ва- риант 34-3 — CgP(3, 3) = 300 случаев. Итак, два вида очков полу- чаются в 1804-4504-300 = 930 случаях. Для трех видов очков мы сна- чала находим все разбиения числа 6 на 3 слагаемых: 6=14-14-4= = 14-24-3=24-24-2. В соответствии с этим получаем . -1-4Р(1, 1, 4) = 1800, Д^Р (1, 2„ 3) =7200, 1 о — А$Р (2, 2, 2) = 1800, и! а всего 10 800 случаев, когда выпадают ровно 3 вида очков. На 4 слагаемых число 6 разбивается так: 6=14-14-14-3= = 14-14-24-2. Эти варианты дают -уу-ДеРО, 1> Ь 3)=7200 и /'оЪг ^Р 2’ 2) = 16 200, а всего 23 400 случаев, когда выпа- (2 1)‘ дает 4 вида очков. Для 5 видов очков мы имеем -jj- А^Р (1, 1, 1, 1, 2) = 10800 случаев, а для 6—61=720 случаев. Отметим, что 64-9304-10 800-Н ,4-23 4004-10 8004-720=6®, 267
158. При броске кости разбиваются на группы по числу выпав- ших очков. Поэтому нам надо найти число способов разбить п ко- стей на 6 групп. Это число равно С5п+5 (см. стр. 217). 159. Так как 1 000 000 = 26 • 56, то любое разложение миллиона на три множителя имеет вид 1 000 000 = (2а‘ • 5₽>) (2“’ • 5р0 (2а-’ • 5Р’). где Я], аг, аз, Pi, Рг, Рз — неотрицательные целые числа такие, что oti+a2+a3=Pi + P2+P3=6. Так как 6 разбивается на 3 неотрица- тельных целых слагаемых С|=28 способами, то, если учитывать по- рядок множителей, число разложений равно 282=784. 160. Полученные в предыдущей задаче разложения распадаются на три класса: либо все три множителя совпадают, либо два сов- падают, а третий отличается от них, либо все три различны. Пер- вый класс состоит из одного разложения 1 000 000= 100 100 100. Найдем число разложений второго класса. Если совпадающие мно- жители имеют вид 2“-5Р, то получаем, что 2а+аз=2р+Рз=6. Но уравнение 2х+у=6 име.ет 4 решения в целых неотрицательных чис- лах: х=0, у=6, х=1, у=4, х=2, у=2; х=3, у—0. Так как любое а можно комбинировать с любым р, получаем 16 вариантов для2о-5р- Один из них, а именно 22 • 52, надо отбросить как приводящий к раз- ложению первого класса. Остается 15 вариантов. Каждый из них приводит к трем разложениям в зависимости от места, которое за- нимает третий множитель. Значит, второй класс состоит из 45 раз- ложений. Если не учитывать порядка сомножителей, получаем 15 раз- ложений. Наконец, число разложений третьего класса равно 784-— —1—45 = 738. Они распадаются на группы, отличающиеся лишь по- "рядком сомножителей и состоящие из 6 разложений каждая. По- этому, если не учитывать порядка сомножителей, мы имеем 1 + 15+ + 123=139 разложений. 161. Каждая монета может попасть в один из двух карманов. Поэтому имеем 29 способов. 162. Расставим предметы в некотором порядке и отдадим nep- fl группах не играет вому человеку первые п предметов, второму — вторые п предметов и последнему — оставшиеся предметы. Поскольку порядок элементов z-'Zl /-'Л (3/1)1 х роли, получаем С3лС2л = -.-j- спосооов раз- дела. 163. Совершенно так же, как в й . (2«)1 что число разбиении равно 164. Аналогично получаем ответ 1R5 301 301 (101)3 31’ (3!)'°10!* предыдущей задаче, получаем, (пА)1 (*!)"«! ' 4! 166. 4 туза можно разделить пополам = 3 способами, а 321 остальные 32 карты ^б!)2 21 спос°бами, Так как эти разбиения 268
можно двумя способами комбинировать друг с другом, получаем 3-32! х ,, ;ч„-способов разбиения. (16 !)2 10! 167. Число способов равно = 945. 168. 945. 169. 9!/(3!)4=280. 170. 6 яблок трое могут разделить способами, а каждый из остальных фруктов может достаться любому из трех человек, и их можно разделить З6 способами. Всего получаем 36С| = 20 412 спо- собов раздела. 171. Сначала распределим яблоки. Так как каждый получает не более 4 яблок, то с точностью до перестановок это распределение можно сделать одним из следующих способов: 6=4+24-0=4+1 + 1 = = 3+3+0=3+2+1 =2+2+2. Если яблоки распределены по схеме 4+2+0, то надо еще выбрать 2 фрукта из 6 для второго, а осталь- ные отдать третьему. Это можно сделать Cg способами. Учитывая возможность перестановок людей, получаем 3! способов раздела. При схеме 4+1 + 1 надо выбрать для второго 3 фрукта из 6 (Cf способов). Так как два человека имеют поровну яблок, то число пе- рестановок людей равно Р(2, 1)=3. При схеме 3+3+0 надо вы- брать один фрукт из 6 для первого и один фрукт из оставшихся 5 для второго. Здесь также 3 перестановки людей. Точно так же рас- сматриваются остальные схемы. Всего получаем 6Cg 4- зс| 4* 3CgCg 4* 6CgCg 4* CgC^ = 690 способов распределения. 172. Так как 9=6+3+0=6+2+1=5+4+0=5+2+2=4+3+2 = =3+3+3, то, как и в предыдущей задаче, получаем 6 [Сд 4* Сд 4- СдС| 4* -f- С9С7] 4* 4- 3 (с’с| 4- с2с2) 4- = 19 068 способов распределения. 173. Колоду можно сдать 13 игрокам способами (см. за- дачу 162). Если каждый должен иметь по одной карте каждой ма- сти, то для каждой масти получаем перестановку из 13 карт; по- скольку перестановки мастей не зависят друг от друга, то но пра- вилу произведения получаем (13!)4 способов. В третьем случае один игрок может выбрать по карте каждой масти 134 способами. После этого оставшиеся 12 карт каждой масти можно разделить наЗгруп- 12! , (12!)4 пы 0[уз~з[ спосооами, а все оставшиеся карты ЩрТузТуГ спосо- бами. Эти группы можно раздать 12 игрокам 12! способами. Учи- тывая, что игрок, имеющий все масти, может быть выбран 13 спо- (131)5 собами, получаем для третьего случая ответ ^1г • 269
174. 4 карты из полней колоды можно вынуть С32 способами. Ровно 3 масти будут в Д2 (С}3)2 С23 = 518 184 случаях —мы выби- раем отсутствующую и повторяющуюся масти Л2 способами, после чего выбираем две карты повторяющейся масти С23 способами и по одной карте еще двух мастей способами. Ровно две масти будут в С2 (С23)2-[-Л2С]3С}3 = 81 120 случаях. В самом деле, это возможно либо если имеем по две карты двух мастей, либо одна карта одной масти и три другой. В первом случае надо выбрать две масти и по две карты каждой из этих мастей, а во втором выбрать первую и вторую масти (здесь уже играет роль порядок мастей), а потом взять три карты первой и одну карту второй масти. 175. Разобьем 13 карт каждой масти по схеме 3+3+3+4. Это 13! можно сделать способами. Группы из 4 карт можно раз- дать игрокам 41 способами, а группы из 3 карт каждой масти — 31 способами. Всего получаем (3!)44! способов распределения групп. Карты же можно раздать способами. (..131 у 4! (3 I)4 (13I)4 (4!)3 (З!)12 176. Располагаем участников раздела в некотором порядке. По- сле этого располагаем всеми способами 18 предметов по порядку и делим на 4 группы по 4 предмета и 1 группу в 2 предмета. Группу в 2 предмета отдаем одному из 5 участников раздела, а остальные группы даем остальным (первую группу—первому, вторую — вто- рому и т. д.). Так как порядок элементов в группах не играет роли, 5-181 , л получаем ..... 9’. способов раздела. Во втором случае точно так же (4!) 2! 181С| получаем способов. 177. Для каждой пары предметов есть три возможности — в вы- борку могут войти два, один или ни одного предмета из этой пары. Поэтому число выборок равно 314=4 782 969. 178. 4 черных шара можно разложить в 6 пакетов Сд спосо- бами. Для белых и синих шаров имеем столько же способов. По правилу произведения получаем (Сд)3 = 2 000 376 способов. 179. Таким же образом получаем ответ С3С33 = 5720. 180. Изобразим каждое разбиение числа п на слагаемые в виде точечной диаграммы. Если добавить к этой диаграмме столбик из п точек, получим диаграмму для разбиения числа 2п па п сла- гаемых. 181. Выберем любые три натуральных числа от 1 до л — 2 и прибавим к большему из них 2, а ко второму по величине 1. По- лучим три числа, никакие два из которых не следуют друг за дру- гом. Они и дают номера выбираемых предметов. Таким образом, выбор можно сделать C3_j способами. 270
182. Р(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1)=-^- способами. 183. Мы можем занять свободные поля одинаковыми шашками и получить перестановку из 48 шашек и указанных в задаче фигур. Число таких перестановок равно Р(48, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1) = 641 ~ 2Ч8Т' 184, Таким же путем получаем ответ Р(32, 8, 8. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1). 185. Пусть занято р полей белыми и q полей черными шашка- ми, 15 белых шашек можно поставить на р полей так, чтобы все поля оказались заняты, Cpf1 способами, а 15 черных шашек на q полей способами. Выбрать р полей для белых шашек и q по- лей для черных можно Р(р, q, 24 — р — q) способами. Поэтому пол- ное число способов равно 2Р(А?.24-р-9) р, я где суммирование распространено на все р и q такие, что 1 < Р ’С 15, 1 q 15, /7-|-24. 186. Объединим в одну группу клетки, переходящие друг в дру- га при вращениях доски па 90°. По условию шашки заполняют 5 та- ких групп, а общее число групп равно 16, Поэтому имеем Cf6 = 4368 способов расстановки, 187. Решается аналогично предыдущей задаче. Имеем спо- собов, 188. Полей стало вдвое меньше, имеем C}g способов. 189. Надо на одной половине доски поставить 6 белых и 6 чер- 16! пых шашек на 16 черных полей. Это возможно Р (6, 6, ~ g г g; д j' способами. 190. Надо на одной половине доски выбрать 12 полей из 16 и поставить на них любые шашки, а на второй половине занять сим- метричные поля шашками противоположного цвета. Выбор полей мо- жно сделать С}| способами, а цвет шашек, занимающих эти 12 по- лей, выбирается 212 способами. Всего получаем 212С}g = 7 454 720 спо- собов. 191. Положение шашек определяется тем, какие 5 полей из 7 по- лей первой горизонтали заняты белыми шашками. Поэтому имеем С? = 21 способ. 192, Положения разбиваются па два класса в зависимости от того, занято или нет угловое поле. Если угловые поля заняты, то иа первых вертикали и горизонтали стоят еще 8 шашек на 12 неуг- ловых полях. Их можно расставить С]2 = 495 способами. Если же угловые поля свободны, то на 12 неугловых полях первых 271
вертикали и горизонтали стоят 10 шашек. Их можно расставить С12 = 66 способами. Всего имеем 561 способ расстановки. 193. 7 белых шаров можно разместить в 9 лузах С^5 способами, а 2 черных шара — Са0 способами. Всего имеем С»5 . С8о = 289 575 способов. 194. Аналогично получаем (С8)2 = 521 235 способов. 195. Сначала выберем 9 книг для лица С. Это можно сделать С27 способами. Оставшиеся 18 книг можно разделить между А и В 218 способами. Всего имеем 218С;>7 способов раздела. 196. 8 пассажиров могут распределиться между этажами 48 спо- собами. Из них в З8 случаях на данном этаже, в 28—на данных двух этажах и в 1 — на данных трех этажах не выйдет пи один пассажир. По формуле включений и исключений получаем ответ 48—4 • 38+6 • 28—4=40 824. 197. Возможны следующие случаи: на 3 делится все три слагае- мых, одно слагаемое и ни одно из слагаемых. В первом случае сла- гаемые можно выбрать способами. Во втором случае одно сла- гаемое дает в остатке 1, а другое — 2. Так как чисел от 1 до 100, дающих в остатке 1, имеется 34, а чисел, делящихся на 3, а также дающих в остатке 2, имеем по 33, то во втором случае имеем С 34 (С33) способов. Если все три слагаемых не делятся на 3, то они дают либо остатки 1, 1 и 1, либо остатки 2, 2 и 2. Соответственно получаем С 34 или случаев. Всего имеем 2С^ -|- С|4 + (С33)2 = = 53 922 способа выбора. 198. Задача решается аналогично предыдущей. Ответ ЗС3л + (^)3 = |(Зп2-Зп + 2). 199. Если положено р белых шаров, то занятые лузы можно вы- брать С£+1 способами. После этого для черного шара остается п— р+1 луз, а кроме того, его можно совсем не класть. Получаем п п — р+2 возможностей. Поэтому ответ имеет вид У, (п — р4-2)х р = о <7 <7-1 <7 Q—1 хсп+1 = 2 sC?+ 2 с«-Так как 2 ^=^-41 2 с*=2«-1 з=1 р=0 з = 1 р=0 (см. задачу 401а), то получаем ответ (р+2)2«-1 — 1. 200. Обозначим непустую совокупность белых шаров буквой Б, а черных шаров буквой Ч. Из условия задачи следует, что шары располагаются по одной из схем ЧБЧБ... ЧБ или БЧБЧ... БЧ, при- чем в каждую схему входят г пар. Но распределить т белых ша- ров между г непустыми совокупностями можно способами. Для черных шаров имеем способов, а всего 2С£~_\Сгп~\ способов. Точно так же выводим, что 2 г контактов будут в -ГСот~-1Сл-1 случаях, ’ 272
201. Обозначим через А(т, п) число способов набрать т баллов в ходе п экзаменов (не получив при этом ни одной двойки). Тогда ясно, что Д(30,8)=Д(25,7)+Л(26,7)+Д(27,7) и т. д. Продолжая уменьшение т, через несколько шагов получим ответ 784. 202. Сначала выберем п предметов, остающихся на месте. Это можно сделать С”+л способами. Остальные пг предметов переста- вляем так, чтобы ни один не остался на месте. Это можно сделать —I— ft\ I Dm способами (см. стр. 73). Всего имеем способов. 203. г вещей можно распределить между п+р людьми (п+р)1, способами; при этом в (п+р—1)г случаях данный человек не полу- чит ни одного предмета; в (п+р—2)г — данные два человека ни- чего не получают и т. д. Применяя формулу включений и исключе- ний, приходим к доказываемому результату, 204. Первый столбец разбиения 2г+х на r+х отличных от ну- ля слагаемых содержит r+х элементов. Отбрасывая его, получаем диаграмму разбиения г на неотрицательные слагаемые, 205. Так как каждый может голосовать за любого из п чело- век, то имеем пп способов голосования. Во втором случае надо разделить п голосов между п кандидатами. Это можно сделать способами. 206, Пусть число 2п разбито на три части требуемым образом: 2п—а+Ь+с, причем а<А<с. Тогда а Ф 1—в противном случае мы имели бы Ь+с=2п—1, и потому Ь<с, чего не может быть, по- скольку & + 1>с. Кроме того, а+Ь>с, причем числа а+b и с имеют одинаковую четность. Значит, а+Ь^-с+2. Но тогда числа а—1, Ь—1, с—Г образуют разбиение для 2п—3, причем (а—1) + (6—1)> >с—1. Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответ- ствие между разбиениями чисел 2п и 2п—3. 207. Вытекает из равенства сл4*сл4-сл4- ... =2’-1. 208. Пусть первый получил х предметов первого сорта, у пред- метов второго сорта и z предметов третьего сорта. Тогда х+у+г=* —Зп, причем 0<х, у, г<2п. Таким образом, нам надо найти число решений уравнения x+y+z=3n в целых неотрицательных числах, не превосходящих 2п. Если отбросить условия х <2n, p<2n, < 2п, то число решений равно числу способов раздела Зп оди- наковых предметов между тремя лицами, то есть С|л+2. Найдем теперь число решений, в которых х>2п. Оно равно общему числу решений в целых неотрицательных числах уравнений y+z=k, < А<п, то есть 1 4~ 2 4~ • 4~ п = —~П^~ В стольких же ре- шениях у>2п и z>2n. Отбрасывая их, получаем Зп2+Зп+1 ре- шение. 209, Задача решается аналогичным образом. Мы получаем ; 2л—1 ^4Л4-3 —4 ^6+2 = ^4л+3_ 4^2я+2 =-д’ (2п 4* О (бП28/г 4* 3). 273
210. Так как части неразличимы, то решения х, у, г и 2п—х, 2п—у, 2п—z уравнения x+y+z=3n отождествляются, Одпо реше- ние, а именно х=п, у=п, z—n, отождествляется при этом с самим собой, а остальные—с отличными от них решениями. Поэтому от- вет имеет вид -|— Зп । 1 2 гЬ Аналогично рассматривается случай, когда имеем вещи 4 сортов. 211. Здесь надо найти число целых решений уравнения xj + ,Ч-х2 + ... +хт=тп, удовлетворяющих условиям 1<^ <А^/п. Если отбросить ограничение 0<Х]^2п, то получаем ^тл+m-l решений. Найдем число решений, для которых Xi>2n} Оно равно общему числу решений всех уравнений -гг+-гз + • •• + х/л = где 0 < k тп—2п—1, то есть лгл-2л-1 VI гт-2 _______z’m-1 ьЛ+л1-2 ътп-'2п+т-2’ Л = 0 Столько же решений, для которых х2>2н и т. д. Значит, надо от- бросить С1тС^^т_2п_2 решений. При этом некоторые решения (а именно, те, для которых, скажем, и Xj>2n, и х2>2п) отбрасываются дважды. Применяя формулу включений и исключений, приходим к доказываемому результату. 212. 231 способом. Относительно решения см. следующую за- дачу. 213. Обозначим через хь х2, х3 количество предметов первого сорта, а через у\, у->, у3— второго сорта, получаемых соответственно лицами А и В. Тогда имеем уравнения Xi+x2+x3=n и у\+р2+у3— = п, причем должны выполняться условия хь+уь-^п, 1 k^m. Если отбросить ограничения Хл+р^^п, 1 k i^m, то получим C^-i-2 решений первого уравнения и С2п +2 решений второго ура- внения, а всего (Си+г)2 решений. При этом число решений, для ко- торых нарушается условие xi+y^n, равно общему числу целых неотрицательных решений систем уравнений х2-|-Хз=г, yi+yz—s, где0^г<п, и r+s<n. Система x2+x3=r, у2+у3=з имеет (r+l)(s + l) целых неотрицательных решений. Поэтому об- щее число решений наших систем равно л-1 л-з-1 л-1 2 (r+1)(s + 1) = 4S(S+1)-(n —s)(n —s+1) = 5 = 0 Г = 0 5 = 0 /1-1 = zB ^3+l^2-3-i 1 =^л+3 5 »0 274
(см. стр. 57). Столько же решений не удовлетворяют условиям Хъ+уъ^п и Хз+//з<п. Отбрасывая эти решения, получаем (^л+г)2-39«+з решений. При п = 5 имеем 231 решение. 214. 9 человек можно пересаживать 91 способами. Найдем, во скольких перестановках 3 англичанина сидят рядом. Все такие пе- рестановки получаются из одной пересаживанием между собой ан- гличан (31 способов) и пересаживанием 6 французов и турок и компании 3 англичан (71 способов). Всего получаем 31 71 переста- новок. Во стольких же перестановках рядом сидят 3 француза и во стольких же — 3 турка. Далее, в (3!)25! перестановках рядом си- дят и англичане, и французы, а в (З!)4 перестановках и англичане, и французы, и турки. По формуле включений и исключений полу- чаем ответ 91 — 3 -3 I 714-3 (31)2 5! — (31)4 = 283 824. 215. Общее число перестановок равно 9!. Найдем число пере- становок, в которых данные два англичанина сидят рядом. Если мы объединим их, то получим перестановки 8 объектов. Но, кроме того, их можно пересаживать друг с другом. Поэтому всего имеем 2181 перестановок. При этом данных двух англичан можно выбирать Сд способами, а всего мы имеем три различных национальности. Поэтому соответствующий член в формуле включений и исключе- ний равен ЗСд2!81. Теперь найдем, во скольких перестановках ря- дом сидят данные два англичанина и, кроме того, данные два француза. Если объединить в пару рядом сидящих соотечественни- ков, то получим 7 переставляемых объектов. Кроме того, можно пересаживать друг с другом сидящих рядом соотечественников. Всего имеем (2!)27! перестановок. Кроме того, две пары соотече-: ственников можно выбрать (С3)3 способами. Поэтому соответствую- щее слагаемое в формуле включений и исключений равно (<7|)3 (2 !)2 7 I. Далее рассматриваются следующие случаи: рядом сидят а) три соотечественника, б) по два представителя каждой национальности, в) три представителя одной национальности и два — другой, г) три представителя одной национальности и три другой, д) три представителя одной национальности, два другой и два третьей, е) три представителя одной национальности, три другой и два третьей, ж) по три представителя каждой национальности. Применяя формулу включений и исключений, получаем ответ 9! — 9 • 2181 + 27 (2!)2 71 + 3 • 31 71 — (2!)361 — 18 • 31 2161 + + 3(31)2 5!+ 27-31 (21)251— 9 (31)2 21 41 + (3 !)4' 216. Эта задача решается аналогично предыдущей, но иным образом подсчитывается число перестановок, в которых данные 275
соотечественники сидят рядом. Двух англичан можно посадить ря- дом 2!9 способами, после чего всех остальных можно пересажи- вать 7! способами. Если взять двух англичан и двух французов, то число способов посадки, при которых эти соотечественники сидят рядом, равно (21)29 • 6!. Именно, мы 9 способами можем выбрать ме- ста для англичан, после чего объединить в пару двух французов и взять всевозможные перестановки этой пары и оставшихся 5 че- ловек. Учитывая возможность поменять местами как сидящих ря- дом англичан, так и сидящих рядом французов, получаем указан- ное число перестановок. Аналогично рассматриваются остальные возможности. Всего получаем 91 — 9.219-714-27(21)2 9-614-33!9-6! — -(2!)39-5!—18-3!219-514-3(3!)29-4!4- 4*27 • 3! (2!)29 • 41 — 9 (3l)2 2! 9 • 31(3!)3 9 • 21 способов. 217. Обозначим число способов наклеить марки на сумму N коп. через F(JV). Разобьем эти способы на классы в соответствии с досто- инством последней марки. Мы получим реккуррентное соотношение A (N) = F (N - 5) 4- F (N — 10) 4- F (N — 15) 4- F (N — 20). Используя это соотношение и равенство F(5) = 1, получаем, что +(40) = 108. 218. Обозначим через F(ni, .... nm; А) число способов опла- тить сумму N коп. монетами в zij, ..., пт. Тогда имеет место ре- куррентное соотношение Ffai, .... tim, N) = F(nlt ..., nm_t; ^4-/='(nI, ..., пт-, N — пт) (см. стр. 107). Используя это и аналогичные соотношения, находим, что +(10, 15, 20, 50; 100) =20. 219. С помощью рекуррентного соотношения получаем, что за-, дача имеет 4 решения. 220. Ряд может содержать 3, 2 или 1 черный шар. Если он со- держит 3 черных шара, то четвертый шар можно выбрать тремя способами, после чего переставить 3 черных шара и 1 шар иного цвета Р(3, 1)=4 способами. Всего 12 способов. Аналогично, если взять 2 черных шара, получаем СдР (2, 1, 1) = 36 возможностей, а если 1, то 41 возможностей. Всего можно составить 12+36+24 = =72 ряда. 221. Число таких представлений равно числу разбиений п оди- наковых шаров на 3 непустые группы, то есть С2п_г. 222. Найдем сначала, сколько понадобится нулей, чтобы запи- сать все числа от 1 до 99,9999. На последнем месте нуль в 99 999 числах (10, 20, ..., 999 990), на втором — в 99 990, па Третьем —в 99 900 и т. д. Всего имеем 99 999 + 99 990 + 99 900 + +99 000+90 000= 488 889. Общее же число цифр равно 9+2-90+ +3 - 900 + 4 - 9000 + 5 - 90 000 + 6-900 000 = 5 888 889. Так как все циф- ры, кроме нуля, входят одинаковое число раз, то каждая из них входит 5 888 889 — 4888 889 сппплп 276
223. Сначала выберем места, на которых стоит цифра 3 (это можно сделать С210 способами). После этого ставим на оставшихся 8 местах цифры I или 2, что можно сделать 28 способами. Всего получаем 28С|0 = 11 520 способов. Сумма цифр любого из написанных чисел лежит между 8 • 1 + +2-3=14 и 8-2+2-3=22. Поэтому, если число делится на 9, сум- ма его цифр равна 18. Следовательно, единицы и двойки имеют сумму 12. Эта сумма получается, если взять 4 единицы и 4 двойки. Итак, наше число содержит 4 единицы, 4 двойки и 2 тройки. Из этих цифр можно составить ^(4-4-2)=4Т^Г = 3150 различных чисел. 224. Пусть числа а и b образуют в данной перестановке ин- версию. Если их поменять местами, получим новую перестановку, в которой они уже не образуют инверсии. Мы имеем п! перестано- вок, в каждой из которых можно С2п способами выбрать числа а и Ь. В половине случаев эти числа образуют инверсию. Значит, 'll ^2 число инверсий равно -g-Cn. п тт х-9 — Зл 4~ 2 225. Число п можно €"_! =------!— способами предста- вить в виде суммы трех целых положительных слагаемых (считая различными представления, отличающиеся порядком слагаемых). л — 2 п—1 Из них при четном п в ——, а при нечетном л в —%— пред- ставлениях два слагаемых равны. Кроме того, если л делится на 3, то имеется представление, в котором равны все три слагаемых. Применяя формулу включений и исключений, без труда получаем, что число представлений с попарно различными слагаемыми выра- жается следующими формулами: Л2 _ Зл 2 3 (л —2)4-2 = л2 — 6л+12 если л = 6k, 2 2 2 л2 —Зл +2 2 2<» И л2 — 6л + 5 2 если П — 6k + 1, л2 — Зп 2 2 2<” 2> л2 — 6л + 8 2 если л = 6k + 2, л2 — Зл + 2 3 (л-1)4-2 = л2 — 6л + 9 если л = 6k + 3, 2 2 2 л2 — Зл -4- 2 2 2<” 2> л2 — 6л + 8 2 если л = 6k + 4, л2 — Зл + 2 2 2<" И л2 — 6л+5 2 если л = 6k + 5. Если не учитывать порядок слагаемых, то получим в 6 раз меньше представлений. Нетрудно проверить, что выражения. 19 Н. Я. Виленкин 277
получаемые при этом, являются не чем иным, как целой частью л2 —6л 4-12 -----12—--- при соответствующих значениях п. 226. Число 12/г+5 можно Cj2n+4 способами представить в ви- де четырех слагаемых (считая различными представления, отли- чающиеся порядком слагаемых). Число представлений, в которых х=у, равно числу решений уравнений 2x+z+t=12n+5 в целых по- ложительных числах. Так как уравнение z+t=l2n—2А+5 имеет 12л—2А+4 решений в целых положительных числах, то общее чис- ло таких решений равно 6«4“1 2 (12л - 2k 4- 4) = (6л 4-1) (6л 4-2) = 2С|л+2. А = 1 Число решений, в которых х—у=г, равно числу решений уравне- ний Зх+/= 12л+5, то есть 4л + 1. Найдем, во скольких решениях есть слагаемые, большие чем 6л+2. Пусть х=А>6л + 3. Тогда у+г+t— 12n+5—k. Но число 12л+5 — k можно С12л+4-k способами представить в виде суммы трех целых положительных слагаемых. Поэтому решений, при кото- рых х^-бл+3, имеется 12л + 2 VI Z-.2 __Z-3 °12л + 4-й — С6л + 2- Л-=6л+3 Так как вместо х можно было взять любое из слагаемых, мы имеем С12л+4 — 4С|л+2 решений, в которых все слагаемые не превосходят 6л+2. Далее, число решений уравнения 2x+z+t= 12л+5, в которых г;>6л+3, равно Зл (Зл 4* 1) 2Сдл+1. Поэтому число решений, в ко- торых х=у и все слагаемые не превосходят 6л+2, равно 2 [С|л42— — 2Сдл+]]. Поскольку вместо х и у можно взять любую другую пару букв, общее число решений, в которых равны два слагаемых и все слагаемые не превосходят 6л+2, равно 2С4 [С|л+2 — 2С|Л + j]. Наконец, число решений уравнения Зх+/=12л+5, для которых бл+3, равно 2л. Поэтому общее число решений, в которых рав- ны три слагаемых и все слагаемые не превосходят 6л+2, равно 4(2л+1). Если отбросить из всех представлений те, для которых два сла- гаемых совпадают, то представления, в которых совпадают три слагаемых, окажутся отброшены трижды. Поэтому в формуле включений и исключений нх число надо умножить на два. Всего получаем [^12л+4 — 4Cgn+2] —2СЦ(7|л+2 — 2С|л+1] 4* 8 (2л 4*0 = = 12л (12л24-3л —1) 278
представлений, в которых различны все слагаемые, 2^ [С|л+2- 2С23л+1] - 12 (2л +1) = 12л (9л 4-4) представлений, содержащих ровно три различных слагаемых, и 4(2л+1) представлений, в которых есть два различных слагаемых. Все представления разобьем на классы такие, что два пред- ставления одного класса отличаются друг от друга только поряд- ком слагаемых. Тогда представления первого типа разбиваются на классы, состоящие из 24 элементов, второго типа — из 12 элементов и третьего типа — из 4 элементов. Поэтому число разбиений тре- буемого типа равно у (12л2-|- Зл — 1) 4- л (9л 4-4) 4-2л 4- 1 = (12л2 4-9л 4- 2). 227. По ходу решения предыдущей задачи мы нашли, что чис- ло представлений, в которых все слагаемые различны, равно 12п(12п2+3п—1), Поскольку мы не учитываем теперь порядка сла- гаемых, то получаем ^-(12л2-(-Зл — 1) разбиений. 228. Каждая геометрическая прогрессия определяется первым членом и знаменателем q. Если прогрессия возрастает, то должно выполняться неравенство а^2^100, откуда следует, что л<——. Значит, число возрастающих трехчленных прогрессий со знамена- телем q равно ЕI —j- I. Общее число прогрессий равно \ Q / 9Г„/100\ _/ 100Х . „/100\ . . „/100X1 1П9 2[£(т)+£(-)+£Ы+ - + hoo)J=102 (множитель 2 связан с тем, что одну и ту же тройку чисел мож- но рассматривать и как возрастающую, и как убывающую про- грессию). 229. Обозначим буквой Ф множество из нескольких стоящих подряд французов, а буквой Т — множество из нескольких стоящих подряд турок. Буква «а» означает англичанина. Из условия задачи следует, что возможен один из следующих типов расположении; ФаТаФаТаФаТаФ или ТаФаТаФаТаФаТ. При первом типе мы дол- жны разбить 7 французов на 4 непустые группы (это можно сде- лать Cg способами), 10 турок на 3 непустые группы (С2 спосо- бов), после чего поставить эти группы по порядку на соответствую- щие места и переставить всеми возможными способами соотече- ственников друг с другом. Получаем 6!7!10!CgC9 способов расстановки. Второй тип расположения дает таким же путем 6! 7! 10! CgCg способов расстановки. Всего получаем 6! 7! 10! [С|С9 4- <S|cg] =6’7! 10! 1980 решений. 230. Точно так же, как в предыдущей задаче, получаем 5!7’.10!х X1080 решений. 19* 279
231. Искомые два числа отличаются друг от друга множите- лями аа, cv, d6— каждый из этих четырех множителей входит в одно из чисел и не входит в другое. Так как 4 множителя можно распределить между двумя числами 24=16 способами, то задача имеет 16 решений. Если не учитывать порядок чисел, то имеем 8 ре- шений. 232. Искомые числа имеют вид GA и GB, где А и В — дели- тели числа a“6^cvd6. Это число имеет (a+1) (0+1) (у+1) (6 + 1) делителей, (см. задачу 67). Поэтому А и В можно выбрать C/V+1 способами, если не различать пары (GA, GB) и (GB, GA), и № способами, если различать такие пары. 233. Существует Сэд сочетаний, в которых различны все бук- вы, СэдСхэ сочетаний, в которых совпадают две буквы, и т. д. Всего получаем ^20 4* ^20^19 4“ ^20^18 4* ^20 = 146 400 сочетаний. 234. Искомые перестановки начинаются с нескольких букв а, после которых идет буква 0, а далее буквы могут идти в любом порядке. Если вначале стоят k букв а и одна буква 0, то остав- шиеся буквы можно переставлять P(p—k,q—1,г) способами. Сум- мируя по k от 1 до р, получаем, что число искомых перестановок равно р Р V Ср-4- ? 4- *•——*) i _rr Vср-к (p — k)\(q — l)lrl Л = 1 Л = 1 Но р 2 ГР-К —ГР-1 ''p—k+q+r—l — ''p+q+r-V Поэтому имеем С'+г_1С^+^+г_1 перестановок. 235. Числа, выражающие длины полос каждого цвета, обра- зуют представление числа 10 в виде суммы слагаемых, принимаю- щих натуральные значения от 2 до 10, причем играет роль поря- док слагаемых. Число таких разбиений на k слагаемых равно коэф- фициенту при х10 в разложении выражения (х* + X3 + ... + х‘°)* = ( = x2ft (1 — х9)* (1 — Х)~* = = x2ft (1 — Ах» —^|-~-) .х18 — ...) (1 + Ax4-.fe^ + 1) X2 + 4- *(*4-1)(*4~2) . , , А(А4-1) ...'(А + 9) 1-2-3 х • • • "I 101 А Отсюда сразу находим, что при k—\ искомый коэффициент равен 1, при А=2 он равен 7, при А=3 равен 15, при А=4 равен 10 и при А=5 равен 1. Так как количество полос каждого цвета при данном 280
способе окраски одинаково, а длину полос различных цветов мож- но комбинировать произвольно, получаем 13 + 73 + 153+103+13 = 4720 способов окраски. Снимем теперь условие, что последним является синий цвет. Если окраска закапчивается красным цветов, то он встречается па один раз чаще, чем белый и синий. В этом случае число способов равно 1+7 • 12+15 • 72+Ю • 152+1 • 102= 3093. Точно так же если по- следний цвет белый, то число способов окраски равно 12+72-1 + + 152-7+102-15+12-10 = 3135. Всего имеем 10948 способов. Если ни одна полоса не меньше 3 см, то задача сводится к подсчету числа представлений 10 в виде суммы k натуральных сла- гаемых, принимающих значения от 3 до 10, При А=1 имеем одно представление, при А=2 —пять представлений, при А = 3 —три представления. Поэтому окраска заканчивается сипим цветов 13+ +53 + 33=153 раза, красным цветом 1+5 • 12+3 • 52=81 раз и бе- лым цветом 12+52 - 1+32- 5=71 раз. 236. Так как со всеми шестью друзьями я обедал один раз, а с каждыми пятью — два раза, то по одному разу я обедал с каждой пятеркой друзей в отсутствие шестого. Но тогда с каждыми че- тырьмя я обедал 3 раза (два обеда впятером и один вшестером), с каждыми тремя —4 раза и с каждыми двумя —5 раз. С каждым из друзей на этих обедах я встретился 7 раз. Значит, по одному разу я обедал вдвоем с каждым другом. Каждый друг отсутство- вал на 6 обедах (5 обедах вдвоем и 1 обеде впятером). Так как без каждого из друзей я обедал 8 раз, то 2 раза я обедал один. 237. 12 учеников могут установить очередь к каждому экзаме- натору 121 способами, а к двум экзаменаторам — (12!)2 способами. При этом в С|2 • 11! случаях хотя бы один ученик должен будет одновременно отвечать обоим экзаменаторам, в С22•10! случаях такая участь постигнет двоих учеников и т. д. Применив формулу включений и исключений, получим, что число разумных способо s распределения равно (121)2[1 - 1 + -1---1- + ... +4г] = 12!-176214841- 238. Аналогично получаем ответы (6!)2[1 - 1 +-1---1-+ ... 4--А-] = 190800 И W - СИ « + ClAl (Л«)2 - ЭД « + 239. Из условия следует, что одинаковые буквы выражения а2р2у2 входят в перестановки попарно. Поэтому получаем переста- новки из 3 элементов а — а\ Ь = р2, с=у2, а их число равно 6. То же самое имеет место для перестановок букв выражения а3р3у3. В перестановках букв выражения а4р4у4 одинаковые буквы тоже встречаются попарно. Положим временно a2=ai, a2=aj; P2=6i, 281
P2=b2 и y2=ci, y2=c21)- Тогда мы имеем перестановки из 6 эле- ментов si, а2, bi, bi, ci, с2, число которых равно 720. Но эти пере- становки распадаются на группы перестановок, отличающихся друг от друга перестановками элементов at и а2, bi и b2, Ci и с2. В ка- ждую группу входит 8 перестановок, и все эти перестановки со- ответствуют одной и той же перестановке букв выражения а464у4. 720 Значит, число перестановок букв этого выражения равно—%— =90. О Наконец, рассмотрим перестановки букв выражения а5|35у5- Если положить временно a2=ai, а3—а2, p2=bb |33=b2, у2==сь у3=с2, то каждая допустимая перестановка букв выражения а5|35у5 яв- ляется перестановкой букв at, а2, bi, b2, сь с2. Но некоторые пере- становки букв ai, a2, bi, b2, ci, с2 дают одну и ту же перестановку букв а, р, Y' Например, aia2bic2b2C! и a2aibic2b2C! дают «5(32y3P3Y2- Это имеет место, если какая-нибудь пара букв (ab a2), (bi, b2) или (ст, с2) стоит рядом. Буквы ai и а2 стоят рядом в 2 • 5! перестанов- ках, равно как и буквы (bi, b2) и (сь с2). Буквы обеих пар (ai, а2) и (bi, b2) стоят рядом в (2!)24! перестановках (равно как и пар (ai, a2), (ci, с2) или (bi, b2), (ci, с2)). Наконец, все три пары стоят рядом в (2!)33! = 48 перестановках. По формуле включений и ис- ключений получаем, что в 6!—6• 5! + 3(2!)2• 4!—(2!)33!=240 переста- новках ни одна пара букв не стоит рядом, в 3 [2-51 — 2 (2!)2 41(21)331] = 288 перестановках рядом стоит в точности одна из пар букв (от, а2), (bi, b2), (ci, с2), а в 3 [(21)2 4! —(21)3 31] = 144 перестановках рядом стоят в точности буквы двух таких пар. От- сюда следует, что искомое число перестановок букв а, 0, у равно 240 288 _[_ 1^4 । 48 _ 4 + 21 (2!)2 ^(21)3 — 420 (если буквы ai и а2 стоят рядом, то их перестановка не меняет по- рядка букв а, р, у). 240. Разобьем сначала игроков каждой страны на упорядочен- 4! ные пары. Для каждой страны это можно сделать —g-= 12 спо- собами (порядок самих пар несуществен). Всего получим 12" спо- собов разбиения. Пары можно переставлять друг с другом (2п)! способами. Поэтому общее число допустимых перестановок равно 12п(2п)1 241. Первую горизонталь можно раскрасить 8! способами. Ка- ждую следующую горизонталь надо раскрашивать так, чтобы ок- раска каждой клетки отличалась от окраски лежащей под ней клет- ки. Это можно сделать 81[1-1 + тг-тг+ - +тг]- 14 833 ') Временно мы не учитываем, что, на самом деле, ai=a2, bi=b2 и ci = c2. 282
способами. По правилу произведения получаем, что общее число способов раскраски равно 8! (14 833)7. 242. Из п различных вещей можно 2п способами сделать вы- борку (в которую могут войти 0, 1, п вещей). После того как сделана эта выборка, добавим недостающие вещи из числа п оди- наковых. Поэтому имеем 2П способов выбора. Число перестановок „ . (2n) I всех 2п вещей равно • 243. В каждой допустимой перестановке как англичане, так и французы стоят группами, состоящими не менее чем из двух чело* век. При этом число групп французов отличается от числа групп англичан не более чем на 1. Подсчитаем, сколькими способами мо- жно разбить п англичан на р упорядоченных групп так, чтобы ка« ждая группа содержала не менее двух человек. Для этого надо расположить их в некотором порядке (п! способов), после чего взять второй, третий, .,. и т. д. Ёплоть до промежутка п—2 и по- ставить в них р—1 «перегородок» так, чтобы никакие две перего-' родки не были смежными друг с другом. Согласно результатам стр. 95 это можно сделать способами. Всего имеем п1С%2р_1 способов. Точно так же т французов можно разбить на s групп указанного вида способами. Эти способы можно комбинировать друг с другом следующими методами: а) р групп англичан и р—1 групп французов, б) р групп англичан и р групп французов, причем впереди стоят англичане, в) р групп англичан и р групп французов, причем впереди стоят французы, г) р групп англичан и р+1 групп французов. Значит, общее число способов выражается формулой mln! [2(C^J_2C°_2-|-C}n_3C}1_3-|-C2J_4C2 _4-|- ...) + + (Ст-2Сл-з + Ст-3Сл-4+ •••) + + (Си-3Сп-2 + Ст-4С1Л-з+ •••)]’ Раскрывая скобки в формуле на стр. 234, получаем тот же самый результат. 244. Сначала найдем количество чисел, в которые не входит цифра нуль. Три цифры, входящие в число, можно выбрать Сд=84 способами. Из трех цифр можно составить 3е шестизначных чисел, из двух — 2е и из одной I6. По формуле включений и исключений существует З6— С'26 + С231б = 540 шестизначных чисел, в которые входят все три выбранные нами цифры. Поэтому общее количество шестизначных чисел, в которые входят ровно три отличные от нуля цифры, равно 84-540= 45360. Если в число входит нуль, то нам надо выбрать еще две вхо- дящие в него цифры. Это можно сделать Сд=36 способами. 283
Пусть, скажем, выбраны О, 1 и 2. Тогда первой цифрой числа дол- жно быть 1 или 2. Если, например, первой цифрой является 1, то остальные пять цифр могут быть любыми из числа 0, 1 или 2 при условии, что среди них встречаются 0 и 2. По формуле включений и исключений получаем, что эти пять цифр можно выбрать З5 — ф54-16=180 способами. Но тогда общее число шестизначных чисел, составлен- ных из цифр 0, 1, 2 и содержащих все эти цифры, равно 2-180= =360, а всего шестизначных чисел, составленных из трех цифр, среди которых встречается нуль, равно 36-360=12 960. Всего полу- чаем 45 360+12 960 = 58 320 чисел. 245. Точно так же, как в задаче 244, получаем ответ С$ [km — Cl (k— l)m 4-C| (k — 2)m — ... + (—I)*"1 + + (A-1) С*"1 [k"1-1 - Cl-! (k - I)™"1 + Cl_! (k - 2)m-‘ - ... ... +(-l)*-2C*Z?lm-1]. 246. Обозначим число размещений такого вида через Эти размещения разбиваются на два класса. К первому относятся на- чинающиеся на 1, а ко второму — все остальные. Если размещение начинается на 1, то вычтем из всех входящих в него чисел 1 и от- бросим стоящий впереди нуль (например, 14 589 перейдет при этом сначала в 03 478, а потом в 3478). Получится (к—1)-размещеиие того же типа, но состоящее из чисел 1, 2, п — 1. Поэтому число размещений первого класса равно Каждое размещение второго класса начинается с числа, большего 1. Вычтем из всех чисел, входящих в такое размещение, число 2. Мы получим й-раз- мещение того же типа, в которое входят числа 1, 2..(п— 2). Поэтому число размещений второго класса равно Г^22- Таким об- разом, справедлива рекуррентная формула Положим F^ = Cpf, где W = + j. Мы имеем +^22 = ckN~_\+ckN_! = с* = /**>. Таким образом, числа удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Покажем теперь, что и Для этого за- метим, что числа 1, 2, ..., п можно единственным образом распо- ложить в порядке возрастания, а потому = 1 = С” = Из чисел 1, 2, ..., п+1 тоже единственным образом можно выбрать п чисел в соответствии с поставленными условиями. Поэтому и 284
Г^л)[ = 1 = Сл «= /?(лл|р Из доказанного вытекает, что для всех зна- чений п и k имеет место равенство р(*) _ п 4“ k \ где, напомним, Л = с1——I. 247. Заданные элементы можно переставлять Р(2,2, ...,2) = (-^-’ способами. Найдем, во скольких перестановках элементы данных k пар стоят рядом. В таких перестановках можно объединить ря- дом стоящие элементы одной и той же пары. Мы получим тогда перестановку из k различных элементов и элементов, принадлежа- , т, (2п — k) 1 _ щих п — k парам. Число таких перестановок равно А ~~ • 'ак как k пар можно выбрать способами, то по формуле включений и исключений получаем, что в (2л)1 Г1 (2п —1)! „2 (2п —2)1 —п——гЧ-^2---------------------••• +(—О cnrt,r перестановках никакие два одинаковых элемента не стоят рядом. 248. Совершенно так же, как и в предыдущей задаче, получаем ответ (?Л)1 С1 (?П —^4-1)1 С2 (?л — 2^4-2)! (<?!)" л " («/О”'2 249. Данные элементы можно переставлять способами. (?1)л Подсчитаем, во скольких перестановках элементы данных k q-на- боров стоят подряд. Выберем один из этих ^-наборов. Его эле- менты можно поместить подряд на окружности qn способами. После того как он помещен, объединим элементы каждого из остав- шихся k—1 наборов и рассмотрим всевозможные перестановки по- лученных k— 1 новых элементов и остальных (n — k)q элементов, ы (qn~ qk + k — 1)1 Их число равно-----------—г---------. причем легко видеть, что ка- (?!) ждой такой перестановке соответствует свое расположение эле- ментов на окружности. Поэтому число перестановок, в которых эле- , qn(qn — qk-\-k — 1)! менты данных k наборов стоят подряд, равно ——------' Так как сами наборы можно было выбирать способами, то по формуле включений и исключений получаем, что число искомых пе- рестановок равно Г (дп — 1)1 г1 (qn — q) 1 (?0л ” (?!)л-1 + + ~ ••• 4-(-1)яСл(л-1)!1. \Ч J 285
F Е 250. Присоединим к каждой выбранной книге следующие за ней s книг. Тогда нам надо будет выбрать р предметов из п — ps. Это можно сделать Срп_рз способами. 251. Если разность прогрессии равна d, а число участников олимпиады из 5 класса равно а, то премии можно распределить ^a-^a+d-^a+ld • • • ^a+5d способами. Если же все премии отдать ученикам 10 класса, то их можно С распределить A^f+5d способами. Ра- венство id id id id _____ i6d AaAa+dAa+2d ••• Aa+5d Aa+5d вытекает из очевидного тождества дпгдй _ лт + k Ап An+k An+k • 252. Для решения задачи надо рассмотреть отрезки и перекрестки различного положения и подсчитать -число проходящих через них пу- тей. Например, через отрезок EF д g (рис. 36) проходит 18 путей (С'=3 пути ведут из точки А в Е Рис. 36. и С2 = 6 путей ведут из F в С). Че- рез точку Е проходят 30 путей — из А в Е ведут 3 пути и из Е в С = 10 путей. Аналогично рас- сматриваются другие отрезки и точки. 253. С| = 20. 254. Мы имеем сочетания с повторениями из элементов 4 сор- тов по три элемента в сочетании. Их число равно С^=С|=20. 255. С30 = Cf2 = 220. 256. 4 треугольника. 257. Если бы никакие 3 из п точек не лежали на одной пря- мой, то было бы Сд треугольников с вершинами в этих точках. Но р точек лежат на одной прямой, и поэтому Ср треугольников надо отбросить. Остается С3п — Ср треугольников. 258. Можно взять две вершины на одной прямой, а третью — на другой. Поэтому получаем C‘1pClq-\-ClpC‘1q = -^-(p-{-q— 2) тре- угольников. 259. Добавляется C2r (С* + Cj) + С} (С2 + С2) + C^CpCq =C-(p + q)(p + q + r-2) треугольников. 260. Треугольники могут быть двух видов: либо все три вер- шины лежат на разных сторонах квадрата, либо две вершины ле- 286
жат на одной стороне Квадрата, а третья — на какой-нибудь дру- гой. В первом случае надо выбрать три стороны квадрата из че- тырех ((?4 = 4 способов выбора), а потом на каждой из трех сторон по одной точке из п—1. Всего имеем 4(C},_i)3 способов выбора. Во втором случае надо выбрать сторону, где лежат две вершины (4 способа выбора) и две точки из п—1 (С2п_г спосо- бов), после чего выбрать одну из оставшихся трех сторон (три способа) и точку на ней способов). Всего во втором случае имеем 12С1П_1С2П_1 способов выбора. Итого получили 4(С^_1)3+ = 2 (n — I)2 (5п — 8) способов. 261. С2п точек пересечения. 262. п прямых в общем положении имеют С2п точек пересече- ния. Но р прямых, проходящих через точку А, дают одну точку пересечения вместо С2, a q прямых, проходящих через точку В, —- одну точку вместо Cq. Поэтому остается С2п — С2р — C^-f-2 то- чек пересечения. 263. Пусть на плоскости проведены k — 1 прямых. Проведем еще одну прямую. Она разбивается точками пересечения с ранее проведенными прямыми на k частей, каждая из которых соот- ветствует одному новому куску плоскости. Поэтому п прямых разбивают плоскость па 1 -f-1 4-2-|- ... -\-п = (n2-f-п2) частей. 264. Пусть уже проведены k — 1 плоскостей. Проведем еще одну плоскость. Она пересекается с ранее проведенными плоскостями по k— 1 прямой, которые делят ее на (№— й-|-2) частей. Каждая из этих частей соответствует новой части пространства. Поэтому п плоскостей делят пространство на п (й2-й + 2)=1(п + 1)(п2-п+6) частей. 265. Проведено С2 = 10 прямых. Через каждую точку, напри- мер С, проходят 4 прямые. Следовательно, из этой точки выходят 6 перпендикуляров. Рассмотрим какие-либо две точки, например В и С. Перпендикуляры, опущенные из точки В на прямые, проходя- щие через точку С, пересекают все перпендикуляры, опущенные из точки С. Из точки С выходят 3 прямых, не проходящих через В. Значит, из В на них можно опустить 3 перпендикуляра. Они пере- секаются с перпендикулярами, опущенными из точки С, в 3 • 6= = 18 точках. Каждый из перпендикуляров, опущенных из точки В па другие 3 прямые, проходящие через С, пересекает лишь 5 287
перпендикуляров, опущенных из точки С, так как он параллелен од- ному из этих перпендикуляров, ибо опущен на одну прямую с ним. Получается еще 15 точек. Следовательно, перпендикуляры, опущен- ные из двух точек, пересекаются в 18+15=33 точках. Но из 5 то- чек можно составить 10 пар. Это дало бы 33-10=330 точек пере- сечения, но некоторые из этих точек совпадают. Именно, любые 3 из 5 данных точек образуют треугольник. Высоты этого треуголь- ника (являющиеся некоторыми из наших перпендикуляров) пересе- каются в одной точке, а мы эту точку учли 3 раза. Так как таких треугольников = 10, то надо отбросить 20 точек, и остается 310 возможных точек пересечения. 266. Любые три целых числа х, у, г, удовлетворяющие нера- венствам п+1 х, у, z<2n, могут быть сторонами треугольника. Поэтому число треугольников с такими сторонами равно С3п = С„+2. Чтобы найти число равнобедренных треугольников, заметим, что при данном основании мы имеем п равнобедренных треугольников. Значит, их общее число равно п2. Число равносторонних треуголь- ников равно п. 267. Нам надо найти количество троек натуральных чисел х, у, г таких, что х у<г 2/1 и х-]-у>г. Пусть задано х=р. Тогда у принимает значения от р jip 2п. Когда у пробегает значения от р до 2п — р+1, каждому значению у соответствует р значений z, удовлетворяющих неравенствам y^.z<y+p, z<2n. Если же //при- нимает значения от 2п— р+2 до 2п, то число соответствующих Значений г равно 2п — у+\. Всего при заданном х=р получаем 2л 2р(п —р4-1)+ (2п — у + 1)=2рп— -|р2 + -|р у=2п-р+1 пар {у, г) таких, что х, у, г удовлетворяют поставленным усло- виям. Отсюда вытекает, что общее число треугольников, для ко- торых 1 «и 1 //, z 2п, равно л (2pn-|p2 + |p) = |(n + l)2. р=1 В силу задачи 266 существует С3п+% треугольников, для которых х^п+1. Поэтому всего имеем £ _ц пг д- п<п + 1) (« + 2) _ «(л 4-ЪС4” 4-5) 2 Iя । Ч Т б — б треугольников. Количество равнобедренных треугольников с основанием x—2k равно 2п — k, а с основанием 2£+1 тоже 2n — k. Поэтому общее число равнобедренных треугольников равно п. п-1 £ (2n-k) + ^2n-k) = 3n*. А = 1 А=0 288
Исключая их, получаем п(п + 1) (4п-4-5) 3^2 = п (п — 1) (4/г — 5) 6 6 треугольников. 268. Эта задача решается подобно задаче 267. Число треуголь- 3 D ников с заданным значением х=р^п — 1 равно 2пр— а всех треугольников, для которых х <n— 1, имеем Л-1 р-1 Число же треугольников, для которых х^ п, равно С^+2. а потому всего имеем п(л-(-1)(п — 1) ! п (n-{- 1) (п 4-2) п(п4-1)(4п — 1) 2 + 6 “ 6 треугольников. Число равнобедренных треугольников равно п-1 п-1 У, (2п — k — 1) 4- 2 (2п — k — 1) = Зп* — Зп 4- 1, а разносторонних — п(п4-1Н4п-1) 3п2+3п _ j =^. (л _ (л _2) (4л _3). 269. Поскольку мы берем п точек пересечения и никакие три из них не лежат на одной прямой, то иа каждой прямой лежат две и только две точки из выбранной группы. Поэтому, чтобы задать такую группу, занумеруем данные прямые и выберем на первой из них .точку пересечения со второй прямой, на второй — точку пере- сечения с третьей, ..., на п-й — точку пересечения с .первой пря- мой. Получаем искомую группу точек, причем все такие группы мо- гут быть получены описанным метрдом. Учитывая, что циклическая перестановка точек и изменение порядка их обхода ие меняют группу точек, получаем, что число групп равно (п — 1)! 270. Мы можем выбрать г вершин, идущих в данном порядке Агп способами. Так как циклическая перестановка вершин и изме- нение порядка обхода не меняют многоугольника, получаем Агп Многоугольников. 271. Выберем две точки на одной прямой и две точки на дру- гой. Им соответствуют две точки пересечения прямых, проходящих через эти точки (точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения боковых сторон). Так как на первой прямой можно вы- брать С2п пар точек, а на второй С2т, то число точек пересечения равно 2С2пС2т. 289
272. п точек определяют С„ окружностей. Из их числа C2n_t проходят через данную точку и С^_2 — через данные две точки. Поэтому прямая, проходящая через две данные точки, имеет не бо- лее 2С3_2-{-(2С^_1— С_2) -|-2 точек пересечения с окружно- стями. Так как через п точек проходит прямых, то имеем не более чем с’ДгсЬ+гс^-с^+г] точек пересечения. 273. Каждая прямая пересечения определяется двумя плоско- стями, а каждая плоскость — тремя заданными точками. Прямые распадаются на классы в соответствии с тем, сколько точек из за- дающих первую плоскость входит в число точек, задающих вторую плоскость. Все точки различны в С3пС3п_~ случаях (выбираем три точки из п и еще три точки из оставшихся п — 3, причем по- рядок ' ' " ки, то дят в выбора не играет роли). Если одна точка входит в обетройч получаем —способов выбора, а если две точки вхоч 3 обе тройки, то уѮф_3 способов выбора. Всего имеем 2. Г3 (С3 J- ЧГ2 V1 \ n (п — 1) (п — 2) (п — 3) (лг + 2) прямых. Из их числа 1 гзгз _ п(п— 1)(п — 2)(п — 3)(п — 4) (п — 5) У спсп-з--------------------72-----'---- ве проходит ни через одну заданную точку. 274. Обозначим стороны четырехугольника через а, Ъ, с, d. Пё теряя общности, можно считать, что а—наименьшая из стопой, с—противоположная ей сторона и что b<d. Тогда а<Ь<а и в<с. Кроме того, так как четырехугольники описаны Boftfiyf ок* ружиости, то a+c=b + d. Отсюда следует, что а+с>2Ь. Поэтбм$ ври заданных значениях а и b длина с может принимать iiia* чения от 2Ь — а+1 до п и должно выполняться нерабёйствб 2b — а^. п — 1. Итак, мы доказали, что Ъ ' £-- и что 2Ь—a+I^c^n. cl а-\-п — 1 \ Обозначим £1--------Ч через S. Тогда при заданном значении а имеем S (я + а — 2b) = (s — а) (п — s — 1) Ьо+1 четырехугольников. 290
Пусть п — четное число, п—2т. Тогда при нечетных значениях , —/лЧ-я——1\ I , , a, a=2k—1, имеем s = £l—— 1 и, следова- тельно, {т — k)* четырехугольников, а при четных значениях а, a=2k, имеем s = Е j = — 1 и, следовательно, (т — k—l)(m — k) четырехугольников. Суммируя по а, получаем, что общее число четырехугольников равно т т (т — &)г 4~ (m — A;) (m — А; + I) = *=1 * = 1 _ т(т — 1)(4пг — 5) _ п(п — 2)(2п — 5) “6 - 24 Случай, когда п нечетно, рассматривается аналогично. Если допускать, чтобы у четырехугольников были одинаковые стороны, то а, Ь, с, d должны удовлетворять соотношениям .... , «4-п и а+с=о+а, откуда следует, что — г,, т- + и — а <. с <. п. Если положить Ь I——I = з, то число четырех - угольников с заданным значением а равно (п — з+1)(з — а + 1). _ n (n-f-2) (2л 4-5) При четном значении п получаем -----!1--------- четырех- (пЧ-1) (2п2 4-7п4-3) угольников, а при нечетном-—--11. 275. Число проведенных окружностей равно С3п, причем через z-2 данную точку проходят Cn_j окружностей, а через данные две точ- ки С„_2 окружностей. Возьмем одну из этих окружностей, прове- денную через точки А, В, С. Мы имеем С3п— ЗС2 _j 4-ЗС),_2— 1 окружностей, не проходящих ни через одну из этих точек. Выбран- ная окружность пересекается с каждой из них в двух точках, Далее, имеем 3(С2п_^— 2Сл_2-]-1) окружностей, проходящих че- рез одну из точек А, В, С и не проходящих через две из этих точек, Они дают по одной точке пересечения, отличной от А, В, С. Осталь- ные окружности пересекаются с выбранной в двух из точек А, В, С. Таким образом, данная окружность дает 2 (С3„ - ЗС2Л_!+ЗС* _2 -1)4-3 - 2Сл_2 4-1) =: _ (л — 3) (л — 4) (2л — 1) - 6 точек пересечения, отличных от А, В, С. Всего получаем 1 з (л-3)(л-4)(2л-1) _5(2л-1) г5 2 я 6 ~ 3 п 291
точек пересечения, отличных от заданных. Добавляя эти п точек, получаем, что наибольшее число точек пересечения равно <?„+„. 276. При добавлении плоскости й+1 к ранее проведенным k (Л=1, 2, ...) плоскостям получается 2 k новых частей, а 2+2 + +4+6+ ... +2(п— 1)=п2 —п+2. 277. Общее число способов раскрасить 6 граней в 6 различных цветов равно 6!=720. Разобьем эти способы на классы, состоящие из раскрасок, которые можно совместить движениями. Куб можно совместить с собой 24 способами (6 способами выбирается грань, в которую переходит фиксированная грань куба, после чего остают- ся 4 вращения куба, при которых данная грань переходит сама в себя). Поэтому каждый класс состоит из 24 способов раскраски, а число геометрически различных способов раскраски равно 72%4=30. 278. Решается точно так же, как и задача 277. Число способов раскраски равно 41/12=2. 279. Имеем 81/24=1680 способов раскраски. 280. Для додекаэдра 121/60, а для икосаэдра 201/60 способов рас- краски. 282. Нам надо найти количество троек Натуральных чисел х, у, z таких, что x<y<z, х+«/+г=40и x+«/>z. Из этих нера- венств вытекает, что z может принимать значения, удовлетворяю- щие неравенствам 14<>^19. Если г=19, то х+«/=21, причем x<J ^У<19. Поэтому 11<у^19, и мы имеем 9 треугольников с 2=19. Точно так же устанавливаем, что число треугольников, для кото- рых z=18, 17, 16, 15, 14, равно соответственно 8, 6, 5, 3, 2, а всего имеем 33 треугольника. Точно также получаем, что число треуголь- ников с периметром 43 равно 44. 283. Возьмем треугольник с периметром 4п. Пусть его стороны равны х, у, z. Прибавляя к длинам этих сторон по 1, получим чис- ла х+1, (/+1, 2+1, являющиеся длинами сторон треугольника с пе- риметром 43. Но, кроме того, имеем треугольники со сторонами (l,2n+ l,2n+1), (2,2п, 2п+1), ..., (п+1, п+1, 2п+1), которые не могут быть получены описанным образом. 284. Пусть N=12n. Нам надо найти количество троек натураль- ных чисел х, у, z таких, что х^у^г, x+y+z=12n и x+y>z. Из этих неравенств следует, что 4n<z<6n—1. При этом если z=2k, то х+«/=12п—2k, а число целочисленных решений этого уравне- ния таких, что х<у^г=2й, равно 3k— 6п+1. Если же г=2й+1, то имеем 3k — 6п+2 решений. Поэтому число треугольников равно Зл-1 Зя-1 2 (ЗЛ-6п4-1)4- 2 (Зй — 6п + 2) = Зп2. A=2zi k = 2n Остальные случаи разбираются точно так же. При переходе от N к .V+3 можно использовать рассуждения, аналогичные проведен- ным при решении задачи 282. 285. Докажем, что через каждую остановку проходит ровно п маршрутов. Пусть I — один из маршрутов, и В — остановка, рас- положенная вне этого маршрута (рис. 37). В силу условия 1 из остановки В можно попасть одним из маршрутов на каждую из п 292
остановок Ai, ..., А„ маршрута l. При этом в силу условия 2 ка- ждый из маршрутов, проходящих через В, проходит через какую-то из остановок Л;.....А„ (иначе с этого маршрута нельзя было бы пересесть на маршрут I) и притом только через одну из них (иначе с этого маршрута можно было бы пересесть на маршрут I на двух остановках). При этом никакие два из проходящих че- рез В маршрута не проходят маршрута I (иначе с одного из этих маршрутов можно было бы пересесть на другой па двух остановках — на оста- новке В и на той остановке маршрута I, через которую оба они проходят). Отсюда сле- дует, что через остановку В проходит столько же маршру- тов, сколько имеется остановок на маршруте I, то есть равно п маршрутов. Нам осталось доказать, что через одну и ту же остановку через каждую из остановок Ai, ..., Ап, расположенных на маршруте I, также проходит ровно п маршрутов. Для этого достаточно показать, что для любой из этих остановок есть не проходящий через нее маршрут I' (он по условию имеет п остановок, а тогда, как мы знаем, че- рез эту остановку прохо- дит п маршрутов). Так как общее число маршрутов не менее двух, то, помимо I, есть еще хотя бы один маршрут I' (рис. 38), пере- секающийся с маршрутом I в единственной точке, ска- жем Ль Тогда остановки Аг....Ап расположены вне маршрута Г, и потому че- рез них проходит по п маршрутов. Пусть В — еще одна остановка на маршру- те Г. Маршрут, проходя- рис 33 щий через В и Л2, не про- ходит через Ль и потому че- рез Ai также проходит ровно п маршрутов. Таким образом, через любую остановку проходит ровно п маршрутов. Так как для каждой остановки можно найти не проходящий через нее маршрут, а на каждом маршруте есть п остановок, то через каждую остановку проходит п маршрутов. Возьмем один из этих маршрутов I. Через каждую остановку этого маршрута прохо- дит п—1 маршрутов, отличных от I, причем в силу условия 2 ни- какие два из этих маршрутов не совпадают друг с другом (иначе они имели бы две общие остановки), и любой маршрут входит в число получаемых таким путем. Итак, число отличных от I маршрутов рав- но п(п—1), а всего мы имеем п(п—1) + 1 маршрутов. 20 Н. Я. Виленкин 293
286. Пусть на одном из маршрутов I имеем п остановок. Из решения задачи 285 видно, что через любую остановку В, лежа- щую вне маршрута I, проходит ровно п маршрутов. Покажем, что на произвольном маршруте /', отличном от I, имеем ровно п оста- новок. В силу условия 3 на I' расположено не менее трех остано- вок, причем в силу условия 2 лишь одна из этих остановок является в то же время остановкой маршрута I. Вне маршрута Г располо- жено п—1 остановок маршрута I. Покажем, что, помимо этого, вне Г расположена еще хотя бы одна остановка, не лежащая на I. Действительно, пусть Ai есть одна из п—1 остановок маршрута I, расположенных вне I', a Ci есть одна из остановок маршрута I', расположенных вне I (таких остановок имеется не менее чем 2). В силу условия 1 существует маршрут проходящий через оста- новки Л] и Ci, причем в силу условия 3 на этом маршруте, помимо Ai и Ci, имеется еще по крайней мере одна остановка Bt, которая будет расположена вне I' и вне I. Через эту остановку Blt как мы знаем из решения задачи 284, проходит п маршрутов. Каждый из этих п маршрутов пересекается с маршрутом I' в одной-единствен- ной точке. При этом через каждую остановку маршрута Г прохо- дит хотя бы один маршрут, соединяющий ее с остановкой В. По- этому число остановок на маршруте Г равно числу маршрутов, проходящих через остановку В, то есть равно п. Как мы видели при решении задачи 285, в этом случае число маршрутов выражается формулой п(п—1) + 1. Так как по условию это число равно 57, то надо решить уравнение и2—п+1 =57. Ре- шая его, находим, что п=8. 287. Возможно; рассмотрим, например, 10 прямых плоскости таких, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и будем считать, что прямые—это автобусные маршруты, а точки их пересечения — остановки. При этом с каждой остановки можно проехать на любую другую без пересадки, если они лежат на одной прямой, и с одной пересадкой, если они лежат на различных прямых. Если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то все же останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не более одной пересадки. Но если отбросить две прямые, то одна остановка — точка пересечения этих двух прямых, не будет совсем обслужи- ваться оставшимися маршрутами, и с этой остановки будет невоз- можно проехать пи на какую другую остановку. 288. Шар может касаться любой из плоскостей с одной из двух сторон, а данного шара — изнутри или извне. Поэтому можно по- строить 16 различных шаров. 289. Каждая из т прямых, проведенных через точку А, пересе- кается с 2т прямыми. Поэтому прямые, проходящие через точку А, дают 2m2 точек пересечения. Общее число точек пересечения, от- личных от данных трех, равно Зт2. 290. Обозначим точки, лежащие в одной плоскости, через Ai......Ат, а остальные—через Bt, .... Вп_т. Каждая плоскость определяется выбором трех точек. В число этих точек могут войти три, две, одна или пи одной точки из числа At.....Ат. В соот- ветствии с этим получаем, что количество плоскостей равно 1 + Ст^п -т + ^т^л-т + ^л-т- 294
291. Число точек пересечения, лежащих на каждой из прямых, проходящих через Л, равно п+р, через В — т+р и через С — т + +п. Так как через Л проходят т прямых, через В — п прямых и через С — р прямых, то общее число точек пересечения равно ту [« (п + Р} + п (« + Р) + Р (т + «)] = тп + тр + пр. Из них можно С3тп+тр+пр способами выбрать тройку точек, но в тС3п+р-{-пСт+р-{-рСт+п случаях мы получим точки, лежащие на одной прямой Поэтому число треугольников равно рЗ __mz>3 _рЗ ________ z>3 '~'тп+тр+пр т^п+р п^т+р P^m + tr 292. Выберем произвольно первую вершину треугольника. Это можно сделать п способами. После этого нам надо выбрать еще две вершины среди п — 3 точек, не смежных с данной, так, чтобы они были не смежны друг с другом. Это можно сделать С2п_4 спо- (см. стр. 95). Поскольку любую из трех вершин можно п Г2 п(п — 4)(п — 5) первой, то имеем -д-Сп_4 =-----------g------- способов собами считать выбора. 293. Разобьем все треугольники па два класса — те, у которых все вершины лежат на различных прямых, и те, у которых две вер- шины лежат на одной прямой. Число треугольников первого класса равно р3С3п (мы выбираем С3п способами три прямые, на которых лежат вершины, после чего на каждой из этих прямых выбираем по одной точке из р). Число треугольников второго класса равно рг (р— 1)п(п— 1) (мы выбираем прямую, на которой лежат две вершины, затем две точки на этой прямой, после чего берем прямую, где лежит одна вершина, и точку на этой прямой). Общее число треугольников равно , 1 _2,_ п.,. п (п — \) pt {рпр — 3) Р сп + Р (P~Y>nvl—v> -----------6---------‘ 294. Каждая внутренняя точка пересечения диагоналей одно- значно определяется заданием 4 вершин п-угольника—концов пе- ресекающихся диагоналей. Поэтому их число равно С4п. Найдем те- перь общее число точек пересечения диагоналей. Из каждой вер- шины n-угольника выходят п — 3 диагоналей, а всего мы имеем п (п — 3) • . .. ' . D —-------диагоналей. Каждая диагональ АВ пересекается со всеми диагоналями, соединяющими вершины, отличные от А и В. По- этому мы имеем n(n-31 2(n_3) + i= (п-ЗНп-4) 20* 295
точек пересечения диагонали АВ с остальными диагоналями. Так как общее число диагоналей равно , а каждая точка пе. оесечения считается при этом дважды, то всего имеем п(п— 3) [(« —3) (П —4)4-2] 8 точек пересечения диагоналей. Вычитая из этого числа количество внутренних точек пересечения, получаем, что число внешних точек п (п — 3)(п — 4) (п — 5) пересечения равно —1--------------------• 295. Каждый г-угольник определяется выбором г точек из п, взятых в определенном порядке, причем циклическая перестановка точек не меняет /-угольника, равно как и изменение ориентации. Поэтому число r-угольников равно Атп, а вообще число много- п угольников Агп. Число выпуклых многоугольников равно г = 3 п зс; г=3 296. m параллельных прямых делят плоскость на т+1 полос. Каждая новая прямая добавляет столько кусков, на сколько частей она делится уже проведенными прямыми. Так как мы проводим еще п прямых, то получаем I 1 I z I оч I I Z I \ п (2тп п1) m4-14-(m4-2)4- ... 4-(z»4-n)=—1L--------------!--- частей. 297. Разобьем окружности на классы по числу заданных точек, лежащих на данной окружности. Одна окружность (а именно, дан- ная) содержит все эти точки, CgCg — содержат две точки, CgCg — одну точку и Cg — не содержит ни одной точки. Всего получаем 14-CgCg4 CgCg4-Cg= 156 окружностей. 298. Каждым трем прямым соответствуют 4 касающиеся их ок- ружности. Поэтому всего имеем 4С1( = 480 окружностей. 299. Выберем s идущих подряд вершин «-угольника At, ..., As и разобьем все fe-угольники, удовлетворяющие поставленному в за- даче условию, на два класса. К первому классу отнесем все fe-уголь- ники, одна из вершин которых совпадает с одной из выбранных вершин, а ко второму классу — все остальные ^-угольники, fe-уголь- ники первого класса' разобьем на s подклассов в соответствии с тем, какая Tj3 вершин Ат, принадлежит ^-угольнику (очевид- но, что эти подклассы не имеют общих элементов). Найдем число fe-угольников, для которых одной из вершин является Ат. Для этого отбросим вершину Ат и идущие за ней по часовой стрелке s вершин (ни одна из них пе является вершиной fe-угольника). Нам надо выбрать из оставшихся п—s—1 вершины 295
k— 1 вершин так, чтобы после каждой из них было не менее чем s выбранных вершин. Это можно сделать C*Z*.s_i способами (см. задачу 250). Поэтому число А-угольников с вершиной Ат равно C*Z*s-i> а общее число А-угольников первого класса равно S'-'n-ks-l- - Найдем теперь число А-угольннков второго класса. Для этого «разрежем» окружность между вершинами А, и As+i. Нам надо выбрать k вершин так, чтобы после каждой выбранной вершины шли по крайней мере s оставшихся (при этом ни одна из вершин Ai.....Л, не будет выбрана). Это можно сделать спосо- бами. Таким образом, общее число А-угольников, удовлетворяющих поставленному условию, равно sC*Z*s-i 300. Каждый параллелограмм определяется двумя парами па- раллельных прямых. Поэтому имеем (С^+2)2 параллелограммов. 301. Будем проводить диагонали последовательно из вёршнн At, Ai, ..., А„. Каждая новая диагональ дает столько новых ча- стей, на сколько кусков она разбивается ранее проведенными диа- гоналями, то есть на одну часть больше, чем число точек ее пере- сечения с ранее проведенными диагоналями. Поскольку каждая точка пересечения при этом получается один раз, то общее число новых частей равно сумме числа точек пересечения и числа диаго- налей. Так как вначале мы имели одну часть, то всего имеем , . п (п — 3) п (п — 1) (л — 2) (п — 3) * "Г 2 "т” 24 п (л —3)(л2 —Зл-|-14) , , 24 1-1 частей (см. задачу 294). 302. Пусть п четно, n=2k. Тогда п следующими способами мо- жет быть представлено в виде суммы двух слагаемых: л=1+(2й —1)=2 + (2й —2)= ... =k-}-k. Но карту с числом 1 можно вынуть единственным образом, с чис- лом 2 —двумя способами и т. д. А две карты с числом k>\ мож- но выбрать C2k способами. Поэтому всего имеем 1(2й-1)+2(2й-2)+ ... +(*-l)(* + l) + -^F^- = .k(k — 1) 2А(А;2—1) л (л2 —4) + 2 — 3 — 12 5 =1 способов получить сумму л=2А. Если же п нечетно, n=2k— 1, то n = 1 4-(2Л — 2) = 24-(2А — 3) = ... = (А — 1) 4-А:, и число способов равно . У S (2А - S - 1) = ~ » (п2 _ 1). ^1 О 1Z 5 = 1 = У s(2k — s) 237 20 Н. Я. Виленкив
303. Разобьем выборки на классы по числу вошедших в пих одинаковых предметов Количество выборок, содержащих k одина- ковых предметов, равно CJn+T Поэтому общее число выборок равно 2л+1 z-л । />/1-1 । । />0 __ 1 "V />Л __л2л °2л+1 ~TG2fl+l -Г ••• 'Ги2л+1 —"2 Zj С2л |-1 —2 • * = 0 304. Если первый член прогрессии равен а, а ее разность d, то третий член равен a+2d По условию a+2d^2n. Это неравенство имеет при заданном d 2п — 2d решений. Всего получаем (2п —2) + (2п —4)+ ... 4-2 = п(л —1) решений. Так как каждую из полученных прогрессий можно рас- сматривать и как возрастающую, и как убывающую, получаем 2п(п—1) прогрессий. Для последовательности чисел 1, 2, 3, ... ..., 2п+1 имеем 2пг прогрессий. 305. Докажем утверждение с помощью индукции по числу s кривых. Если з=1, то оно очевидно, так как точек пересечения нет и число областей равно 1. Пусть утверждение уже доказано для s кривых. Возьмем систему из s кривых, имеющих пг точек пересе- чений кратности г, г=2, 3, ... (точка — кратности г, если в ней пе- ресекаются г кривых). Тогда они ограничивают 1 + П2+... ...+гПг+1+... замкнутых областей. Проведем кривую з+1,ипусгь она имеет kr точек пересечения кратности г с ранее проведенными кривыми, г=2, 3, ..., а всего fe+^з-Ь ... +йг+1 точек пересечения. Эти точки пересечения разбивают ее на ^2+^3+...+fer+I частей. Каждая часть проведенной кривой соответствует одной новой обла- сти, а потому теперь число областей окажется равным (14-П2+ ...глг+1 4~ ...) + (^2 + k3 + ••• +^r+i+ •••) (*) Но если новая кривая прошла через точку пересечения кратности г ранее проведенных кривых, то теперь эта точка стала точкой пе- ресечения кратности г+1. Обозначим через пг количество точек пересечения кратности г в новой системе кривых. Ясно, что Пг+1 = пг+1—^г+14~^г (°? ранее имевшихся точек пересечения кратности г+1 надо отнять fer+i точек, имевших кратность г+1, увеличивших ее, и прибавить kr точек, имевших кратность г и увеличивших ее). Но тогда 1 + я2 + 2пз+ ••• + гяг+1== = 1 4- (п2 — k3 k2) 4- 2 (п3 — ki 4- k3) 4- ... ... 4-r(nr+1 — лг+14-лг)4- ... = = (14-«2 + 2п34- ... 4-гпг+14-...) 4- (^2 + ^3+ — +^r+1 + •••) Мы доказали, таким образом, что 1 4~п2 4" 2«з4~ • • • + гпг+1 4" • • • равно числу областей для новой системы кривых (см. формулу (*)). В силу принципа математической индукции утверждение верно для любого числа кривых. 29$
306. Прямые первого пучка разбивают плоскость па 2т част»». Первая прямая второго пучка пересекается со всеми т прямыми первого пучка и дает т +1 новых частей. Все остальные прямее второго пучка имеют т+1 точек пересечения с ранее проведение им прямыми. Поэтому мы имеем всего 2т т -f-1 (я — 1) (т 4* 2) = пт 2п -{- 2т — 1 частей. 307. Нельзя, так как в противном случае число соединений ран . . 77 • 15 пялось бы дробному числу —. 308. Сумма коэффициентов равна значению выражения туи х = у=г=1. Подставляя эти значения, получаем, что сумма рав- на — 1. 309. Максимальное число шариков, среди которых пет 15 оди- наковых, равно 74 (10 белых, 10 черных, 12 желтых и по 14 крги- ных, зеленых и синих). Если же взять 75 шариков, то среди > »х найдется 15 шариков одного цвета. ЗЮ. Расклассифицируем способы раскраски по числу белых гр*- ией. Существует единственный способ раскраски, нс содержащий ни одной белой грани, и один способ, содержащий одну белую гр:::-»ь. В случае двух белых граней есть два способа раскраски — белые грани либо имеют общее ребро, либо противоположны. При трех белых гранях снова имеем два способа: либо есть две противоп®- ложные белые грани, либо все белые грани примыкают к одному а тому же углу. Случаи 4, 5 и 6 белых граней сводятся к рассм®- тренным выше путем замены цветов на противоположные. Всего получаем 1 + 1+2+2+2+1 + 1 = 10 способов раскраски. 311. Пусть теперь окрашиваются вершины куба. Тогда ecu, 1 способ раскраски без белых вершин, 1 способ с одной белой вер- шиной, 3 — с двумя белыми вершинами (белые вершины лежат на одном ребре, на одной диагонали грани или на одной диагонали куба), 3 спосо'ба с тремя белыми вершинами (три вершины лежат на одной грани, либо две лежат на одном ребре, а третья — на одной диагонали грани с какой-то из этих двух вершин, либо три вершины попарно лежат на одной диагонали грани, см. рис. 39). С четырьмя белыми вершинами есть 5 способов раскраски (вес четыре вершины лежат на одной грани, либо три вершины А, В, С лежат на одной грани, а четвертая — на одном ребре с вершиной А, либо с вершиной В, либо диаметрально противоположна вер- шине В; либо две вершины лежат на одном ребре, а две другие — на диаметрально противоположном ему ребре). Случаи 5, 6, 7 и 8 белых вершин сводятся к разобранным выше заменой цветов на противоположные. Всего имеем 1 + 1+3+3+5 + 3+3+1 + 1=21 спо- соб раскраски. 312. Куб имеет 11 разверток (рис. 40). Шесть первых решений дают те развертки, в которых четыре грани куба расположены в одной полосе развертки. Последующие четыре развертки — это те, у которых есть три грани в одной полосе, но нет четырех граней. И наконец, в последнем решении ни в одной полосе нет трех граней. 313. Есть лишь 4 способа такой окраски. Относительно доказа- тельства этого утверждения отсылаем читателя к книге Г. Штейн- гауза «Сто задач», Физматгиз, 1959, задача № 40. 20* 299
Рис. 39. Рис. 40.
314. См. упомянутую книгу Г. Штейнгауза, задача № 44. 315. Докажем сначала, что через 2П единиц времени остаются только две частицы, расположенные соответственно в точках с ко- ординатами 2П н —2П. При п=1 это утверждение очевидно. Пред- положим, что оно доказано при п=й. На протяжении следующих 2к — 1 шагов эти частицы не взаимодействуют, и по предположению индукции через 2к шагов каждая из них даст лишь две частицы, удаленные от них влево и вправо на 2к. Иными словами, мы полу- чим одну частицу в точке 2ft+l, две—в точке О и одну — в точке »—2*+'. Частицы в точке О взаимно уничтожатся, и останутся две частицы. Утверждение доказано. Таким образом, через 128 шагов останутся две частицы в точ- ках с координатами 128 и —128. А через 129 шагов получим четыре частицы в точках 129, 127, —127 и —129. Если п = 2*' 26з-|~ • > k2 > • • • > ks> то мы полу- чаем 2s частиц, координаты которых имеют вид ±2 1±2 2±..,±2 ’ (допускаются любые комбинации знаков). Это утверждение легко доказывается индукцией по s: при з=1 оно уже доказано. Пусть оно уже доказано при s<m, и/2 = 2 1 2 2-|- ... 2 т. Тогда после (п — 2 т)-го шага мы получим 2т~1 частиц, расположенных в точках с координатами ±2 1 ±2 2±... ±2 т-1. Расстояние ме- жду ближайшими частицами не меньше, чем 2 т~1 . Поэтому в течение 2 т~1 — 1 шагов частицы, порождаемые разными «цен- трами», не взаимодействуют друг с другом, и через 2 т шагов ка- ждый центр даст две частицы, находящиеся от него па расстоянии ±2 т. Иными словами, мы получим частицы в точках вида fe fe ±2 1±...±2 т. Наше утверждение доказано. 316. Чтобы раскодировать слово, достаточно указать проме- жутки между знаками, являющиеся начальными для букв, коди- руемых двумя знаками. Эти промежутки надо выбирать среди 11, причем никакие два из них не могут стоять рядом (мы имеем всего 13 промежутков, считая начальный и конечный, но из условия ясно, что нельзя брать ни конечный промежуток, ни стоящий перед ним). Если слово содержит р «двузначных» букв, то надо выбрать р промежутков. Это можно сделать способами. Поэтому имеем С?24" с}] 4~ Cj0-|- -8 с® + С® = 233 способов прочитать данное слово. 317. Количество р-значных чисел, запись которых не содержит единицы, равно 8-9Р'1. Значит, между 1 и 10000 000 имеется 8(1 -J-9-J-92-]-9з 944.9s _]_дб) =97—1 =4782 968 чисел, запись которых не содержит 1. Это меньше чем поло- вина 107. 318. Рассмотрим первые три знака каждого слова. Эти знаки образуют не более чем 23=8 комбинаций. Покажем, что каждой комбинации этих знаков соответствует не более двух слов. Иными 301
словами, покажем, что если три слова имеют общие три первых знака, то хотя бы два из них имеют еще два общих знака. В са- мом деле, выпишем таблицу, состоящую из четырех последних зна- ков каждого из этих трех слов. В каждом столбце совпадают по крайней мере два знака. Так как число пар, составленных из трех слов, равно 3, а число столбцов — четырем, то хотя бы для двух слов совпадение имеет место в двух столбцах. А это и значит, что слова имеют еще два совпадающих • • • • • • • знака, а всего 5 совпадающих знаков. что противоречит условию. Таким образом, каждой комбина- ции первых трех знаков соответ- ствует не более двух слов. Поэтому общее число слов не превышает 16. На рис. 41 изображены 16 слов, удовлетворяющих поставленному ус- ловию. 319. Так как р— простое число, то при поворотах окружности в себя переходят лишь окраски, сделанные одним цветом. Число таких окра- сок равно п. Остальные способы рас- краски (их число равно пр—п) рас- падаются на классы по р раскра- . _ . , , _ __ сок в каждом классе, причем рас- краски одного класса переходят друг в друга при вращении окружности. пр— п Поэтому они дают ——— способов П пр — п • — — • • — раскраски. Всего имеем ——--------------------(-п Рис- 41. способов. По ходу решения за- дачи мы доказали так называемую малую теорему Ферма: если р — простое число, то для любого це- лого п число nv — п делится на р. 320. Так как 1 — наименьшее из заданных чисел, то оно долж- но стоять в углу, причем 2 должно стоять рядом с ним в одной вертикали или горизонтали. Тогда числа 1, 2, ..., п попадут в одну и ту же вертикаль или горизонталь. Наименьшим из оставшихся чисел является п+1. Оно должно занять место рядом с 1. Продол- жая это рассуждение, убеждаемся, что числа располагаются одно- значно определенным образом. Но мы можем поставить вначале 1 в любой из углов доски и выбрать либо вертикальное, либо гори- зонтальное направление для последовательности 1, 2, ...,п. По- этому имеем 8 расположений. 321. В противном случае население Москвы превосходило бы число 9 300 000. 322. Если мы выбрали нечетное число предметов, то число оставшихся предметов четно. 323. Число способов разменять 1 руб. монетами в 2 и 5 коп. равно числу целых неотрицательных решений уравнения 2x+5z/= = 100. Ясно, что у может принимать любое четное значение от 0 до 20. При размене на монеты в 5 и 3 коп. надо решать уравнение 302
Зх+5«/=100. Здесь у принимает лишь значения 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, число которых меньше 21. 324. Надо найти число целых неотрицательных решений урав- нения х+2«/+5г=20, или, что то же самое, неравенства 2у+5г^2О. Ясно, что г может принимать лишь 0, 1, 2, 3 и 4 значений, которым соответствуют 11, 8, 6, 3 и 21 возможных значений у, а всего по- лучаем 49 решений. 325. Так как 3=2+1, 4=2+2, 6=5+1, 7=5+2, 8=5+2+1, 9= =5+2+2, то с помощью указанных разновесок можно составить любой целый вес от 1 до 9 мг. Точно так же составляются веса, выражаемые десятками, сотнями миллиграммов и т. д. 326. Среднее значение последней цифры равно 2, второй и третьей — 2, 5 и первой 3. Общее количество чисел равно 5.6.6-3=540. Поэтому их сумма равна 540(3000 + 250 + 25 + 2) = = 1 769 580. 327. Утверждение очевидно при г=1 — после первого шага кар- та, находившаяся на р-м месте, при р^п попадает наместо 2р, а при р>п— на место 2р— 2п—1. В обоих случаях помер нового места — остаток от деления 2р на 2п+1. Пусть утверждение уже доказано для г, то есть пусть после г шагов карта с номером р за- няла место х, где 2гр=й(2п+1)+х. На следующем шагу она зай- мет место у, где 2х=1(2п+1)+у, 1=0 или 1. Но тогда 2r+1p = 2k (2п-Н)Н-2х = (2й-Н) (2n-1-1)-|-у, где 0<2г+1р. Это значит, что у — остаток от деления 2rt,p на 2п+1. В силу принципа математической индукции наше утвержде- ние доказано. 328. Непосредственно вытекает из результата задачи 327. 329. Следует из результата задачи 327. 330. В самом деле, в этом случае остаток от деления 2хр на 2п+1 равен р. 331. В самом деле, после карты с номером 2п идут 2п— 1 карт с четными номерами, которые и лягут выше карты 2п. 332. Утверждение относительно карты 8 вытекает из результата задачи 331. Остальные проверяются непосредственно. 333. Запишем под номером каждой карты номер, который она получает после указанной тасовки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 8 10 7 11 6 12 5 13 4 14 3 15 2 16 1 Из этой таблицы видно, что, например, при первой тасовке 1 пере- ходит в 9, при второй 9 переходит в 13, потом 13 — в 15, затем 15—в-16 и, наконец, 16 переходит в 1. Это можно изобразить в виде цикла (1, 9, 13, 15, 16, 1). Вся перестановка распадается на такие циклы. Кроме указанного выше, имеем еще циклы (2, 8, 5, 11, 14, 2), (3, 10, 4, 7, 12, 3) и цикл, состоящий только из числа 6. Каждый цикл состоит из одного или 5 различных чисел, и потому после пяти раз все карты займут первоначальное положение. Ос- тальные случаи разбираются точно так же. 334. В первой строке мы можем расположить цвета в любом порядке (24 способа), после чего в первом столбце можем любым образом расположить три цвета, отличные от цвета углового 303
б ч к с ч б с к к с б ч с к ч б квадрата (6 способов). Предположим, что выбраны цвета, указанные в таблице. Так как в вертикальных и горизонтальных рядах долж- ны быть представлены все цвета, то во втором ряду может быть одна из следующих комбинаций цветов: черный, белый, синий, крас- ный; черный, красный, синий, белый; черный, синий, белый, красный. В первом из этих вариантов однознач- но определяется окраска клеток вто- рого вертикального ряда и остаются две возможности окраски оставшихся 4 кле- ток. Каждый из остальных двух вариан- тов тоже приводит к двум возможно- стям окраски. Всего получаем 4! • 3! X Х2-3=144 способа окраски. 335. Разобьем школьников на трой- ки каким-нибудь способом. Из каждой тройки можно выбрать три неупорядо- ченные пары (например, из тройки abc можно выбрать пары ab, ас, Ьс). Всего данному способу разбиения соответ- ствуют 15 пар, ни одна из которых не должна встречаться при других спосо- бах разбиения. Но из 15 школьников можно составитьС^5= 105 пар. Поэтому число различных способов разбиения не может превышать 105: 15=7. Следующая таблица показывает, что значение 7 дости- гается, то есть что школьников можно разбивать на тройки с вы- полнением указанного условия в течение 7 дней; klo ino Jmo Um jin ijk kmn lab Jac lad пае kaf mag oah ncd mdb kbc ocg meh lee I of mef keg leh Jfb obe ofd jde Jgh Ihf nfg khd idg nhb Ibg ("2)1 (п!)л+ метов п неупорядоченных групп по тому — целое число. Целым является способов разбить тп предметов на в каждой группе. По той (тп) I л + 1 т + 1 _(т!) 2 (п!) 2 двух целых чисел. Поскольку тип нечетны, то 336. Число равно числу способов выбрать из п2 пред- тг и по- предметов в каждой (тп)! число 7^W-3TO неупорядоченных групп по же причине целым является 12 !— целое число как число т предметов (тп)! (п !)т т! ’ Но тогда произведение (тп)! л + 1 т + 1 рациональное число, квадрат которого — целое (ml) 2 (п 1) 2 число. Значит, и само это число — целое. 337. См. стр. 80. и п 304
338. Это число равно коэффициенту при хт в многочлене (^4-*Z+1+ ••• +хл)/’ = л/Р(1-хл-г+1)Р(1 —х)~Р. Применяя формулу бинома Ньютона, получаем, что этот коэффи- циент равен Ст __fl ст+1-n-l I z>2 z>m+2 (Z-n-l) i um-(Z-l)p-l bpbm-(Z-l)(p-l)-n-l_rGpGm-(Z-l)(P-2)-2n-l-r ••• 339. Обозначим через x, у, z количество книг первого, второго и третьего вида, полученных первым участником. По условию за- дачи имеем х+у+г = 12, причем 0^jc^7, О^у ^8, О^г^Э. Чис- ло целых решений уравнения, удовлетворяющих данным неравен- ствам, равно коэффициенту при /12 в разложении произведения (1-Н+ ... -НО(1-Р+ ... ... +<9). Это произведение можно переписать так: .Q—/8)0—^)0—= (1 _/в_t»_ti0_|_tM..)х X(l-|-3/H-6/2-]-10f’-|-15/44- ... Н-9Н12+ ...). Ясно, что после раскрытия скобок мы получим при I12 коэффициент 60. Поэтому раздел может быть совершен 60 способами. 340. Число всех «-сочетаний с повторениями из п букв равно СЛл-1> следовательно, в них входит nC"n_i букв. Так как все буквы входят одинаковое число раз, то каждая входит С"п_\ раз. 341. Сумма чисел, написанных на столбце, равна 999. Поэтому если оба числа трехзначные и одно из них имеет вид abc, то дру- гое имеет вид 9 — а, 9 — Ь, 9 — с. Если же одно из чисел одно- значно или двузначно, то второе начинается с цифры 9, причем на таких столбах написано а, 99(9 —а) или ab, 9(9 — а) (9 — Ь). Так как на столбах должны быть только две различные цифры, то либо а=Ь — с, либо два числа из а, Ь, с совпадают, а третье является до- полнением этих чисел до 9. Количество чисел первого вида равно 10 (111, 222, ..., 999 и еще 0). Каждое же число второго вида определяется выбором пары различных цифр трехзначного числа, в которое входят обе эти цифры. Пару различных цифр можно вы- брать Сц) = 45 способами. Каждой паре соответствуют 6 трех- значных чисел (например, 221, 212, 122, 112, 121, 211). Поэтому общее количество чисел второго рода равно 6-45=270, а всего имеем 280 столбов, на которых написаны только две различные цифры. т п 342. Искомое число есть И И Р (р, д) — 1. (Мы отбрасы- р = 0 q = 0 п ваем пустое размещение.) Так как Р (р, q) = Р (рН-1, ?). то <7 = 0 305
имеем 2 ?)-l= 2 /’(P+l. n)-l=P(m+l, n+l)-2 p = 0 q=0 p=0 • 343. В силу предыдущей задачи число размещений, содержа- щих ровно k белых шаров, равно P(fe+1, п+1)—P(k, п-1-1). По- т этому белые шары входят 2 k [Р (k 1> «+ 1)—Р(А, n^-l)] Й = 1 раз. Это выражение преобразуется так: т т-\ 2 kP(k+\, n+i)- 2 (*+i)P(*+л «+d = Л=1 Л = 0 т-1 = тР (пг—р 1, п +1)— 2 ^(^ + 1, «+1) = л=о = пгР(пг + 1, п + 1) — Р (т, п + 2) + 1 = . , пгп + пг — 1 „ . . . ... = Н----п+~2-----Р(т+1> п+1>- Аналогично доказывается утверждение о черных шарах. 344. Искомое число равно сумме т п 2 2 (/’+?+1)^(р я)- pss Q qssQ Но п п п 2 (р + я+1)Р(Р- Я) = (р+1) 2Р<А ?)+2«'Р(Л Я) = 4 = 0 4 = 0 4=1 = (p+D п Р(р+1. л)+2/’(р+1,?-1) 4=1 = (р+1)[^(р+1. п) + Р(р + 2,п-1)) = (р+1)Р(р + 2, п). Поэтому сумма равна 2 (Р+ПР(Р + 2, п) = V-0 т = 2 (Р + 2)Р(р + 2, п)_ 2 Р(/> + 2, п) = р=0 р=0 = (п + 1) Р (т +1, п + 2) — Р(пг + 2, п—f-1)—f-1 = = 1 пгп + пг 4- п р ' пг + п + 4 1 17 345. Суммируя результаты, полученные в задачах 342 и 344, приходим к требуемому результату. 306
346. Общее число пар, которые можно составить из 7 человек, равно Су = 21. В каждую тройку (а, Ь, с) входят 3 пары ((а, Ь), (а, с) и (Ь, с)). Поэтому в течение 7 дней все пары будут пред- ставлены по одному разу. Поскольку в течение 7 дней будут обе- дать 21 человек, то каждый друг посетит меня 3 раза, то есть бу- дет участвовать в трех тройках. Выберем сначала тройки, в которые входит первый друг. Это 6 ! можно сделать 3 Г способами (число способов разбить 6 чело- век на 3 пары). Когда эти тройки выбраны, остаются две возмож- ности выбора троек, в которые входит второй гость (например, если первый входит в тройки 1, 2, 3; 1, 4, 5; 1, 6, 7, то второй вхо- дит либо в тройки 2, 4, 6; 2, 5, 7, либо в тройки 2, 4, 7; 2, 5, 6). После этого распределение остальных гостей определяется одно- значно. Учитывая воможность перестановок троек гостей, получаем 6! (21)33! 2 • 7! = 151 200 способов. 347. Из 7 человек можно составить С® = 35 троек, из 6 человек — Cg = 20, из пяти — Cg = 10 и из четырех £4 = 4 тройки. По- этому общее число вариантов приглашения равно А7^. В 7А72О случаях один друг окажется неприглашенным, а в 21j4J0 случаях — два друга. Применяя формулу включений и исключений, получаем требуемый результат. 348. Если один из друзей приходит каждый день, то из осталь- ных можно составить Cg —15 пар. Поэтому общее число компаний, в которых участвует один и тот же человек, равно 7А[5.Остается j4j5 — 7j4j5 способов приглашения. 349. Размещения могут состоять из 1, 2.п предметов. По- этому полное число размещений равно ... +4 = п! + ^ + -^-+ .... +ёГ^1)Т = = «![2+2т+ ••• + („_!)[]' С другой стороны, «»!-1=»1[2 + А.+ ...+_±1_] + +[ «4-1 + (л +1)(и + 2) + (п4-1)(«4-2)(л4-3) +• ]• Но при любом натуральном п >2 л + 1 -г (л-|-1) (л-|-2) “(л-|-1) (л-|-2) (л 4-3) 1 , i 1 , __ 1 < л-|-1 "* (л-|-1)2 (л-|-1)3 "Г л 307
Поэтому выражение, стоящее в формуле (») в квадратных- скобках, меньше . Этим доказано наше утверждение. 350. Общее число предметов во всех размещениях равно п^ + (п-1)ЛГЧ...+4 = п![п + -ПГ1+---+(^=1)|]^ = (л-1)'г![(1 + 1 + тг+ оГ=Т)т) + ^л —1\ 2! 3! (л — 1)!/J Легко проверить, что 12 3 л —2 1 1 2! 3! 4! ”• (л —1)! (л —1)!' Так как все предметы входят одно и то же число раз, то каждый из них войдет ^=(л-l)(л-l)l[(l^-l^-A-^- ... ] + 1 раз. С другой стороны, (л — 1) (л — 1)! е = (л — 1) (л — 1)! X х[1+1+-2г+ ••• + (л—1)1 + + (л -|-1)! + •••] = + (л ц-1) "* •"]' и потому (л _ 1) (л — 1) = 1 — (л — 1) ...] = .АП_________1___________1_______.]<Д ~л1 л+1 (л4-1)(л4-2) J^2 Значит, Л/ —ближайшее целое число к (л—1) (л—1)!е. 351. См. стр. 83. 352. Один из трех получает л книг. Эти п книг можно выбрать С"п способами. Остальные 2л книг распределяем между оставши- мися двумя лицами. Каждая из книг может попасть либо к од- ному, либо к другому, а потому число способов распределения этих книг равно 22п. Поскольку л книг можно отдать любому из трех, то получаем 3 • 22/гС”л способов распределения. 353. Число различных упорядочиваний, в которых не разры- ваются данные k пар букв, равно 2* (2л — й)1. Эти k пар можно выбрать способами. Применяя формулу включений и исключе- ний, приходим к требуемому результату, 308
354. Число способов раздела, при которых данные k человек не получат ни одной вещи, равно (п+р— k)r. Применяя формулу включений и исключений, приходим к требуемому результату. 355- г ! Пл равно числу способов разложить п различных предме- тов по г ящикам. Это число равно коэффициенту при хп в разло- жении (ех—1)г, умноженному на п! Отсюда следует, что л 1 [4 — Пл-|-2! Пл — 3! Пл является коэффициентом при х" в разложении суммы ряда (^-1)-1(^-1Г4-|(ех-1)3-4 («Х-П4+ ... Так как =1п(1+^). о то сумма этого ряда равна 1п [1+ (ех—1)]=х. Поэтому при п>1 выражение (*) равно нулю. 356. Из первой ячейки — одним способом, из второй С"л, .... из k-й С£п способами. Всего имеем z-n рп рп _____ (тп)\ и2ли3л • • • ''тп — iyn способов. 357. Нам надо доказать неравенство Цп+гЦп-г<Ш. Его можно переписать в виде (2n-|-r)(2n-|-r—1) ... (2л-|-1) 2л(2л —1) ... (2л —г-|-1) (л-|-г) (л-|-г — i) ... (л4-1) л(л —1) ... (л —г4-1) 2л 4- k Это неравенство вытекает из того, что при 0 С k<n имеем-< 2л — k < n — k’ 358. Сосчитаем сумму углов всех получившихся треугольников. Сумма углов, имеющих вершину в одной из внутренних точек, рав- на 360°. Так как имеется 500 таких точек, то им соответствуют уг- лы, сумма которых равна 360°-500. Теперь рассмотрим углы, вер- шины которых совпадают с вершинами 1000-угольника. Их сумма равна сумме внутренних углов 1000-угольника, то есть равна 180°-998. Всего получаем 180° .1998. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, то получили 1998 треугольников. 359. Каждый из игроков сыграет 4 партии, а всего будет сы- грано 5 партий. Предположим, что в первой партии пара (а, с) играла против пары (b, d). Тогда в трех следующих играх а дол- жен иметь партнерами соответственно b, d, е, а в пятой не прини- мать участия. Игрок е должен принять участие во всех играх, 309
кроме первой, причем во второй и третьей он будет противником а. На свободное место во второй партии можно взять или игрока с, или игрока d, а в третьей партии — игрока Ь или с. Но если вы- брать во второй партии игрока d, то в третьей придется выбрать игрока с (иначе игрок с пропустит две партии), а тогда в четвер- той партии должен отсутствовать игрок d, а Ь и с будут партне- рами. Но тогда в пятой партии партнерами будут b и е, с одной стороны, и с и d—с другой. Если же выбрать во второй партии игрока с, то и в третьей придется выбрать игрока с (иначе е и с дважды будут партнерами), в четвертой — с и d, а в пятой игроки b и с будут играть против d и е. Таким образом, каждый выбор для игроков первой партии определяет два возможных разбиения игроков в дальнейшем. Так как порядок следующих 4 партий мож- но менять 24 способами, то всего получаем 48 возможностей. Для первой партии можно выбрать игроков 15 способами (число спосо- бов разбить 5 человек на 2 пары и запасного игрока). Каждый из этих способов определяет 48 возможностей хода матча в дальней- шем, а всего 720 возможностей. Если не учитывать порядка пар- тий, остается 6 возможностей. 360. Число замкнутых ломаных равно (С^,)2 (см. стр. 147). 361. Каждая ломаная задается координатами своих вершин. Эти координаты образуют конечную последовательность вида (ab Ьг). (ар Ь2), (а2, Ь2). (а2. Ь3).(ап. 6,) ИЛИ (aj, bi). (а2. Ь^, (а2, Ь2). (а3, Ь2). .... (ар Ьп). Эти последовательности определяются заданием перестановок (ai.....а») и (61, ..., Ьп) и указанием, какому из двух видов принадлежит последовательность. Так как циклическая перестанов- (п!)2 ка координат не меняет ломаной, то число ломаных равно • 362. Разобьем погремушки на классы, отнеся к m-му классу по- гремушки, для которых наименьшее число синих шариков между двумя красными равно т. При '.п=0 имеем 4 вида погремушек (третий красный шарик примыкает к двум другим или отделен от них одним, двумя или тремя синими шариками). При т = 1 имеем два красных шарика, разделенных синим. Третий красный шарик может отделяться от ближайшего красного одним, двумя или тремя синими шариками. Поэтому при т=1 есть 3 вида погремушек. При т=2 имеем только один вид погремушек. Всего — 8 видов. 363. Пусть кто-то нз собравшихся — назовем его X — имеет т знакомых aj, ..., ат. По условию никакие два человека из числа ai, .... ат друг с другом не знакомы (поскольку они знакомы с X). Поэтому для любых двух человек a., aj должен найтись еще один общий знакомый, кроме X. Этот человек не может быть зна- ком с X, а разным парам соответствуют разные люди (если бы кто-нибудь был общим знакомым для двух различных пар (a,-, aj и (ak, ai), то он имел бы с X по крайней мере трех общих знако- мых). Таким образом, число всех людей, не знакомых с X, не мень- ше, чем число всех пар людей из числа aj, ..., ат, то есть не меньше, чем С2п1. 310
С другой стороны, каждый человек, не знакомый с X, имеет с ним ровно двух общих знакомых, разумеется, из числа at, ... ..., ат. При этом разным людям соответствуют разные пары (если бы одна пара (а;, а>) соответствовала двум разным людям, то а« и aj имели бы больше двух общих знакомых, поскольку они зна- комы и с X). Отсюда вытекает, что число людей, не знакомых с X, т(т— 1) .. и не больше, чем Ст, а потому равно Ст =------------• Но тогда , , . . m фи — 1) общее число п присутствующих равно 1-|-т-|----------%----• Рас" , , . т(т — 1) сматривая равенство п = 1 +т -|------%---- как квадратное ура- внение относительно т, мы видим, что оно имеет только один поло- жительный корень, а это и означает, что для всех людей число т их знакомых одно и то же. 364. Проверка показывает, что перестановка двух рядом стоя- щих букв А и В не изменяет произведения (достаточно рассмо- треть комбинации ААВА, ВАВВ и ААВВ). Поэтому можно счи- тать, что сначала идут все буквы А, а потом — все буквы В. Но тогда утверждение становится очевидным. 365. На каждой вертикали и каждой горизонтали стоит одна ладья. Поэтому каждое из чисел а, Ь, с, d, е, f, g, h, равно как и каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, войдет в произведение ровно один раз. Поэтому произведение Slabcdefgh. 366. Пусть собрались 5 членов оргкомитета. По условию за- дачи у них нет ключа по крайней мере к одному замку, причем ключ к этому замку имеется у каждого из остальных шести чле- нов. Поскольку это происходит при любой комбинации 5 членов, то общее число замков равно С^=462. Так как к каждому замку имеется шесть ключей, то общее число ключей равно 462 - 6 = 2772, а каждый член оргкомитета имеет 2772: 11=252 ключа. Если бы число членов оргкомитета равнялось п, а число чле- нов, необходимое и достаточное для того, чтобы открыть сейф, бы- ло т, то число замков было бы С”-1, а число ключей у каждого п — m + 1 „т_1 члена комиссии --------1— С' . п " 367. Выясним сначала, какова наибольшая длина цепи такой, что после расковывания k звеньев можно получить любой вес от 1 до п. Рассмотрим для этого, каково наиболее выгодное располо- жение раскованных звеньев. Так как число раскованных звеньев равно k, то с их помощью можно получить .любой вес от 1 до k. Но вес £+1 мы уже не сможем получить, если у нас не будет еще одной части. Ясно, что выгоднее всего, чтобы эта часть состояла из £+1 звеньев, тогда мы сможем получить любой вес от 1 до 2&+1. Далее нам понадобятся части весов 2(й + 1), 4(й + 1), ..., 2A(fe+l). С их помощью можно будет получить любой вес от 1 до n = fe+[(fe+l) + 2(fe+l) + 4(fe + l)+ ... +2*(*+1)] = = k + (k + 1) (2*+1 — 1) = 2*+1 {k + 1) — 1. Итак, если 2kk ^n<2A+I(fe+l), то можно обойтись k расковы- ваниями, но нельзя обойтись k — 1 расковываниями. В частности, 311
поскольку 23 • 3^60^24 • 4— 1, то для цепи из 60 звеньев надо рас- ковать 3 звена, получив куски 4, 8, 16 и 29 г. Если пользоваться двухчашечными весами, то к k раскованным звеньям надо присоединить кусок весом 2*+1 (кладя его на одну чашку весов, а остальные звенья —на другую, мы можем получить любой вес от *+1 до 2k, а кладя его вместе с другими звеньями — любой вес от 2*+1 до 3*+1). Следующие куски должны иметь вес 3(2*+1), 9(2*+1).....3ft(2*+l). С их помощью можно получить любой вес от 1 до *4- [(2*4-1)4-3 (2*4-1)4- ... 4-3* (2*4-1)] = = 1[(2*4-1)3*и-1]. В частности, для цепи в 60 г надо расковать два звена и получить куски весом 5, 15 и 38 г. 368. Если х при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, то х2 дает соответственно остатки 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. Поэтому х2-\-у2 делится на 7 (а тем более на 49) лишь в случае, когда х и у де- лятся на 7. Поэтому число пар (с учетом порядка) равно [/ 1 000 \ 12 —у—I = 1422 = 20164. Если не учитывать порядка, получим Cj42 = 10153 пары. 369. Если данное число равно 10а+6, то, сложив его с числом, Записанным теми же цифрами в обратном порядке, получим 11(а+&), Так как это — полный квадрат, а 2^а + &^18, то а+Ь = = 11. Получаем 8 возможностей: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92. 370. Первые три цифры числа произвольны, а последняя при- нимает одно из двух значений (определяемых остатком, от деления Суммы первых трех цифр на 3). Поэтому если на каком-то ме- сте задать цифру, то остальные цифры можно выбрать 62 • 2=72 спо- сббаМи. Следовательно, сумма цифр первого разряда равна 72 (1 + +2+3+4+5+6) = 1512, а сумма всех чисел равна 1512+15 120+ +151 200+1 512 000= 1 679 832. 371. На последнем месте может быть одна из цифр 0, 2, 4. Если задана одна из этих цифр, то второе и третье места может занимать любая из шести цифр, а первое — любая из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5. Всего получаем 3-5-6>6=180 возможностей. Значит, сумма цифр первого разряда равна (2+4) • 180=1080. Точно так же находим, что сумма цифр второго разряда равна (1+2+3+4+ +5)900=13 500, третьего— 135 000, а четвертого— 1 620 000. Всего получаем сумму 1 769 580. 372. Уравнение x+y=k имеет *—1 целочисленных решений, удовлетворяющих условию 1 х, 1 Поэтому неравенство |х| + + !</!< 1000 имеет 1000 4 У (* —1) = 1998000 й = 2 решений, для которых |х|ф0 н |</|ф0. Кроме того, оно имеет 3996 решений, для которых одно из неизвестных равно нулю и одно решение вида х=0, </=0. Всего 2 001 997 решений. 312
373. Если добавить к вершинам любого многоугольника, не со- держащего точку Ai, эту точку, получим многоугольник, содержа- щий А[. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех многоугольников, не содержащих At, и частью множества многоугольников, содержащих Ai. При этом со- ответствии нет многоугольников, соответствую- щих треугольникам, одной из вершин кото- • • • рых является At. Поэтому многоугольников, содержащих точку Аг, больше. • • О • • 374. За четное число ходов конь может попасть на клетки того же цвета, что и та, где он стоит вначале. Нам будет удобнее повер- • О • • • О • нуть доску на 45° и изображать лишь клетки «..«••• этого цвета, заменяя каждую клетку ее цент- ром. Тогда клетки, на которые копь может • • О • • попасть за 2 хода, изобразятся схемой на г • • • рис. 42. Число этих клеток равно 33. Каждая из клеток является центром такой же фигуры, рис 42 показывающей, куда может попасть конь за следующие два хода. Объединяя эти фигуры, получим фугуру, изображенную на рис. 43. Она распадается на квадрат, содержащий 92=81 точку и четыре трапеции, каждая из Рис. 43. которых содержит по 7+5=12 точек. Всего получаем 81+4-12= =129 точек. После 2п ходов получим фигуру, распадающуюся на квадрат со стороной 4п, который содержит (4л+1)а точек и 4 трапеции, ка- ждая из которых содержит (4п— 1)4-(4л — 3)4- ... 4-(2»+1) = Зп2 313
точек. Всего получаем 12п2 4- (4п 4-1)2 = 28п2 4- 8л 4-1 тоуек. Итак, за 2п, л>1, ходов конь может попасть на одну из 28п2+8п+1 клеток. 375. Если взять тройки, содержащие один и тот же элемент, скажем а, то они удовлетворяют поставленному условию, причем их число равно С?954 = 1 907 481. Покажем, что нельзя выбрать боль- шего числа троек, попарно имеющих общий элемент. Предположим, что мы выбрали N > С4954 таких троек и (а, Ь, с) — одна из них. Так как любая из М—1 оставшихся троек имеет хотя бы один об- щий элемент с выбранной, то по крайней мере для одного из эле- . . N—1 ментов а, Ь, с, скажем а, найдется —5— содержащих его троек, и ДГ — 1 причем —£— > 635 808. Не более чем 3906 троек содержат, кроме а, один из элементов Ь, с. Поэтому найдется тройка вида (a, d, е), где d н е отличны от b и с. Точно так же найдутся тройки вида (a, A g) и (a, h, /), причем fug отличны от b, с, d, е, а й, / — от Ь, с, d, е, f, g. Любая из заданных М троек имеет хотя бы один общий эле- мент с каждой из четырех троек (а, Ъ, с), (а, d, е), (a, f, g), (а, h, I). Ясно, что одним из этих общих элементов должен быть эле- мент а, так как иначе тройка содержала бы четыре различных эле- мента, что невозможно. Итак, все тройки содержат элемент а, а потому их число не превышает Cj9S4 вопреки предположению. 376. Данная последовательность содержит 9+2 90+3-900+... ..+8-90 000 000+9 цифр. Подсчитаем число нулей в последова- тельности 1, 2, 109. Запишем все числа от 1 до 109—1 в виде девятизначных чисел, добавив впереди нужное число нулей (напри- мер, 000 000 003), а число 109 заменим на 000 000 000. В результате получим 9 • 109 цифр, причем каждая цифра входит столько же раз, сколько и любая другая. Поэтому имеем 9 • 108 нулей. Но среди этих нулей часть является добавленной нами: 8•9 нулей для одно- значных чисел, 7 • 90 для двузначных и т. д. Если их отбросить, останется 9-10—8-9—7-90—...—9- 107 нулей. Легко видеть, что эта сумма равна 2• 9+2 • 90+ ... +8• 9• 107, то есть числу цифр первой последовательности. 377. Если сумма первых двух цифр равна k, то при k < 9 имеем (й+1)2 чисел с указанным свойством, а при й>9 (19 — k)2 таких чисел. Всего получаем 2(12 4- ... 4-92)4- Ю2 = 670 чисел. 378. Обозначим множество предметов, по которым ученик а учится на 5, через Аа. Все такие множества состоят не более чем из 2п элементов, причем по условию задачи ни одно из них не яв- ляется частью другого. Разобьем эти множества на классы, отнеся к й-му классу множества, состоящие из k элементов. Пусть наи- меньшее число элементов в множествах нашей совокупности г. По- кажем, что если г<п, то можно заменить данную совокупность множеств другой, так, чтобы 314
а) ни одно множество новой совокупности не было частью дру- гого; б) число множеств в новой совокупности было больше, чем в первоначальной; в) наименьшее число элементов в множествах новой совокуп- ности равно г+1. Для этого возьмем все множества, состоящие из г элементов, и присоединим к каждому из них всевозможными способами по од- ному не принадлежащему им элементу. Остальные же множества нашей совокупности оставим неизменными. Яспо, что после этой операции мы получим совокупность, в которой наименьшее число элементов множеств равно г+1. При этом ни одно множество но- вой совокупности не является частью другого — если бы множество В содержало новое множество А', то оно содержало бы и тб мно- жество А г-го класса, из которого А' получилось присоединением одного элемента, а это противоречит условию. Отметим, кроме того, что ни одно из новых множеств не совпадает с первоначально за- данными множествами. Например, пусть новое множество получи- лось путем присоединения к множеству А элемента х. Если бы оно совпало с первоначально заданным множеством В, то это значило бы, что В содержит А вопреки условию. Нам осталось показать, что число новых множеств больше, чем число первоначальных. Для этого заметим, что из каждого множе- ства А г-го класса есть 2п— г не принадлежащих ему элементов, а потому из него получается 2п — г новых множеств. Но некоторые из этих множеств совпадают друг с другом (например, из мно- жеств (а, Ь) и (6, с) можно получить путем присоединения одного элемента одно и то же множество (а, Ь, с)). Но данное множество из г+1 элементов лишь (г+1)-м способом может быть получено из множеств, содержащих г элементов. Поэтому если число множеств г-го класса равнялось т и из них получилось р различных новых множеств, то т(2п — г)<Гр(г+1). Поскольку при г<п имеем 2п —г>г+1, то отсюда вытекает, что т^р, то есть что число мно- жеств увеличилось. Повторяя описанный прием, мы можем заменить все множе- ства, содержащие меньше чем п элементов, множествами из п эле- ментов, сохранив । условие а) и получив больше множеств, чем пер- воначально. Таким же образом можно заменить все множества, со- держащие более п элементов (они последовательно заменяются множествами, получаемыми отбрасыванием одного элемента). В ре- зультате мы получим совокупность множеств, состоящих из п эле- ментов и содержащую больше множеств, чем первоначально задан- ная. Но из 2п элементов можно составить лишь С"п множеств по п элементов. Значит, число множеств было ие больше С”л, иными словами, в школе было не более С"п учеников. 379. Будем называть первые т элементов элементами первого сорта, а вторые п элементов — элементами второго сорта. Разобьем все размещения из т+п элементов по г на классы, отнеся к й-му классу размещения, в которые входит ровно k элементов первого сорта. Тогда й-й класс содержит размещений. В самом деле, мы можем С* способами выбрать места, на которых стоят 315
элементы первого сорта, после чего А^ способами заполнить эти места элементами первого сорта, и Arn~k способами заполнить ос- тавшиеся г — k мест элементами второго сорта. Таким образом, число размещений из т+п элементов по г рав- г г но 2 CkrAkmAr~k пли, в принятых обозначениях, -2 Л-0 й = 0 Но это не что иное, как результат раскрытия скобок в выражении (Л1Ч-ЛГ)Г и последующей замены показателей индексами. Отметим, что число размещений й-го класса можно сосчитать и так: мы выбираем k элементов первого сорта, г — k элементов второго сорта и всевозможными способами переставляем эти эле- менты. Это можно осуществить P(k, г—k) A^Ar~k = CfA^Ar~k способами. 380. Показатель степени 8 может быть следующими способами составлен из показателей 2 и 3: 8=24-2+2+2=2+3+3. Это озна- чает, что если обозначить х2 через у, а х3 через г, то искомый ко- эффициент равен сумме коэффициентов при у* и уг2 в разложении (1+У — z)9. По формуле возведения многочлена в степень этот ко- эффициент равен Р(2, 2, 2, 2, 1)+Р(3, 3, 2, 1) =378. 381. Мы имеем (1 + х)* + ... +(1+х)»= (1+хГ+1-(1 + ^|- Поэтому коэффициент при хт равен — С*г+1, если т < k, и С п+1, если m^k. 382. Мы имеем 17=7+5+5, а 18 не разбивается на сумму по- ложительных слагаемых, кратных 5 и 7. Поэтому х17 входит с ко- эффициентом С2ЭС19 = 3420, а х18 — с коэффициентом нуль. 383. Мы имеем 17=2+2+2+2+2+2+2+3=2+2+2+2+3+3+ +3=2+3+3+3+3+3. Поэтому в разложении (1+х2 — х3)1000 член с х17 имеет коэффициент /°7 /°1 z>4 z>3 z-1 z>5 — e 1000е 993— e1000e996— e1000G999> а в разложении (1 —x2+x3)1000— коэффициент z>7 z-1 i z>4 z>3 z-1 z>5 e1000e 993'T e1000e 996 — e1000e99J- Ясно, что второй коэффициент больше. 384. Нам дано, что (1-|-х-|-х2)л = а0-|-а1х4-+гх2+ ••• + а.1пх1п. (*) Покажем сначала, что a*=a2n-ik. Для этого положим x = -J- и ум- ножим обе части равенства на у2п. Мы получим, что (Уг + У +1)" = п0у2П + aty™-а2л. (..) Сравнивая разложения (*) и (**), получаем, что a*=a2n-ft. 316
Заменим теперь х на —х. Мы получим, что ' (1 — х-|-х2)л = ао — а]Х-|-а2х2— ... -|-а2лх2Л. (***) Перемножая разложения (*) и (***), выводим, что 4л (1-|-х2-|-х4)л = 2 (—!)*(«0«й — a,a*-i+ ... +akaa')xk. (****) й=0 Ясно, что разложение левой части равенства содержит лишь члены с четными степенями х, а потому коэффициент при х2пЧ равен нулю. Но в правой части коэффициентом при х2”-1 является --(й0й2Л-1—й1й2Л-2 4“ а2а2П-3-- ••• —й2Л-1йо) = = (Лой1—aia2 Н-й2йз— ... —й2л-1й2«). Тем самым доказано равенство а). Заметим теперь, что разложение (****) можно представить по формуле (*) в виде (1 х2х4)л = а0-|-а1х2-|-а2х4+ ... -|-а2лх4Л. Отсюда следует, что коэффициент при х2" в этом разложении ра- вен ап. С другой стороны, по формуле (****) он равен й0а2Й—а\а2п-\ а2а2П-2-- ••• Н-а2Ла0 = = — 2а24~2д2 — ... +(— Отсюда непосредственно вытекает равенство б). Перепишем равенство (*) в виде (1—’х3)л = (1—х)л (<z0-|-<Z]X-|-а2х2-j~ ... -|-а2лх2Л). Отсюда вытекает, что 1-ФЧФ6- ... +(- 1)лСлх3л = = (1-ф + С2лх2- ... + (-1)" Слхл)Х Х(а0 + а,х4-а2х2... 4-д2лхм). Если г не делится на 3, то коэффициент при хг в левой части ра- вен нулю. В правой же части_ коэффициент при хг равен аг — Спаг-1 +^лаг-2 — ••• +(~ 1)гСла0. Значит, это выражение равно нулю, если г не делится на 3, и рав- но (—1)ЙСЛ, если r=3k. Тем самым доказано соотношение в). Полагая в разложении (*) х=1, получаем, что а0 4“ al 4“ а2 4” ••• 4“ а2П — Зл. Полагая х=1 в разложении (**), получаем, что ао — al4“a2— ••• 4_а2П = 1- Складывая и вычитая эти равенства, приходим к соотношениям г). 317
385. Имеем Сгп членов вида х|, 2С2п — вида x2xk, J=£k, и С3—вида xzx;-xft, /#=/, i=f=k, j4=k, а всего С1п-^-2С2 -\-С3п членов. 386. Мы имеем (14-*+ ... +^~')2= (^Zi1)? =Un-i)2(x-i)-2 = = (х2« — 2хлН-1) (1+2x4-3x24- ... +mxm-'+ ...). Поэтому коэффициент при хк 2п — k—1, если n^k^.2n — 2. образом: п — In — k—1|. 387. Так как СС*-1 ~ ” ~1~ У Л+1 /"+1 равен А+1, если — 1, и Ответ можно записать следующим Crn, Crn = C„Zi> то левую часть равенства можно записать в виде 7(^ТТ-1)^'1)г пг_ _ (/г + 1) /г ) (сг _ц2 Г2 (Г4_1)Г;+л-и п (п — г) г(г+1) п (п — г) Г2 (/+1) 388. Число размещений с повторениями из п элементов по 3 равно п3. Разобьем эти размещения на классы, отнеся к й-му клас- су размещения, содержащие ровно k различных типов элементов. Число размещений первого класса равно С1п, второго — 6С2 (имеется п способов выбора элемента, входящего два раза в раз- мещение, п—1 способов—для элемента, входящего один раз, и после этого — три перестановки этих элементов), а число размеще- ний третьего класса равно Л„ = 6С3. Всего имеем С^ + 6С2+6С3 размещений. Отсюда вытекает первое соотношение. Чтобы доказать второе соотношение, аналогичным образом разбиваем на классы размещения с повторениями, содержащие хотя бы один элемент фиксированного типа. Мы получаем, что (n +1)3— п3 = 1 +6CJ, + 6С2, откуда и следует доказываемое соотношение. 389. Доказывается точно так же, как утверждение 388, но рас- сматриваются размещения с повторениями из элементов п типов по 4 элемента в каждом. 390. Рассмотрим равенство / 1 . . Уз\я ( 2л ... 2л 2лл । . . 2пл I— 2' + г_2— / = Icos-g- + zsin-g-) =cos -g----1-'sin—. По формуле бинома Ньютона имеем {1+С\ (- I / 3)+С2 (- г V З)2+С3 (- I / З)3 + ...} = {1-зс2 + эс^- ... -/Гз [с‘ -зс3п + ...]}. Приравнивая действительные и мнимые части в обеих частях полу* ченного равенства, получаем доказываемые соотношения. 318
391. Рассмотрим тождество (1+х)л = С“+ф + ф2 + ф3+ ... , „ 2л . . , 2л и положим в нем последовательно х=1, е, е2, гдее=соз-g—j-z sin-g-, и потому е2+е+1=0. Получаем 2л = С«+С1„ + С2+ ... +С» (1+е)л = с«+с’е+с2„е2+ ... +су, (1+^п=с°п+су+су+ ... + сле2л. Но l + e't + e2* = 0, если k не делится на 3, и 1+e* + e2ft=3, если k делится на 3. Следовательно, 2л + (1+е)л+(1+е2)л = 3(С3+С3+С«+ ...). Так как , . „ ! 2лп . . , 2яп \ л ... л 1 -4-е = — е2 = — cos -5-|-zsin-=— = cos -5- 1 sin-5-, У о о ] О о 1 I о Л . . Л l -4- е2 = — е = cos -5— t sin -5-, О о ТО 2л + (I + е)л + (I + е2)л = 2" + 2 cos ~ Отсюда и следует, что С« + С3„ + С6П+ ... =l(2n + 2cos^j. Два другие равенства получаются аналогично предыдущему при рассмотрении сумм 2л е (I 4-е)л + е2 (I + е2)", 2л е2 (I + 8)" +е (I-Не- равенство г) выводится аналогичным образом из рассмотрения вы- ражения (l + z)n- 392. Мы имеем (1+х)л + (1 —х)л = 2 2 6 = 0 Коэффициенты этого многочлена положительны. Поэтому наибольшее значение многочлен принимает при х=1. Это значение равно 2П. 393. Мы имеем V n!(W~x)! = 1 у ст-п = Cm+l+i = т + 1 ^m!(n_x)! С-т т-х Сл m-n-H 319
у CxCr„ _nicrn у (х + r)! (2л —x —г)! _ "C2Vr“(2n)l" х!(л —х)! . («О2 Vr pn-r -A^r»+l 2n + l (2л)! A x+r 2n~*~r~ (2л)! 2"+i“ n+ Г* x=-0 394. Сумма в левой части равенства сводится к 2^+й-1 = Ст+Л-1- *=1 Тому же значению равна сумма, стоящая в правой части. 395. Имеем у CXZ\ _ (л —1)! у х(2л — х — 1)1 _ ^^7“ (2л —1)! £л («-*)! _______2л рп-х___1 рп /Он ЧчЛ'Л-1______________2л—х—1 f>n—1 2л—х (2П— 1)Ь2л_2 “ Чл-1 2пС^-\ С^-1 _ 2 (2л —2)C”„J2 C”n-1 «4-1 396. Имеем у C"=i = (w~1>1 у -v(n + ?-x)l = Cxn+q ~ (п+?)! (л-х)! __ (П-\-Я -|-l)(n-1)1?! V1 рп-х _ ~ (n + q)l Z4 п+9-х ж-1 (П-1)[(0 + 1)[ у = (п + ?)! ^^л+9-x+l (л Н-? И-1) (л—-)!?' рп—1 (я О Ц? 4~ 0 рп—1 - (п-|-?)! п+« (л + 01 ^л+?+1 л + ^+1 л + ^ + 1 л+^ + 1 - 0 + 1 ? + 2 “ (0 + 1Ш + 2) • 397. Имеем у п-2 _ (п — 2)! у х (х — 1) (л + ? — х) I Сп+9 ~ (« + ?)> (п-х)1 320
Далее, используя тождество х(х — 1) = (П 4- 0 — х +1) (п + 0 — х + 2) + + (п + Я +1) ln~W — 2(л + — х-|-1)1. получаем, что наша сумма равна п L х=1 п — 2 (п -|-q + 1) (q + 1)! С"~*_х+1 + х-1 п + (« + ?)(« + ? с" ~*_х — Х = 1 = [<^+1><<?+2) с;;'+г- — 2 (п + q +1) {q +1) C”+J+1 + (n q) (n q 1) C”+J]. Подставляя значения C"^+2, C”“J+1, C""J и преобразуя, по- лучаем требуемую формулу. 398. Мы знаем, что C*Z} = — С„- Так как (1+х)л=1+ф+ ... +ф6+ ... +сх (•) то отсюда следует, что п (1 +х)л-1 = С’„+ ... +kCknxk~1+ ... +пСппхп~1 (**) (читатель, знакомый с дифференциальным исчислением, может по- лучить эту формулу, почленно продифференцировав обе части ра- венства (*)). Перемножим разложения (*) и (**). Мы получаем, что п(1+х)2л-1=(1+ф+ ... +СЛО (<?'„+ ... +«Слхл-1). Сравнив коэффициенты при х"-1 в обеих частях равенства, прихо- дим к доказываемому соотношению. 399. Рассмотрим все п сочетания с повторениями из элементов п типов. Их число равно С"п_х. Разобьем эти сочетания на классы, отнеся к А-му классу сочетания, в которые входят элементы ровно k различных типов. В А-й класс входят С*СЛ2? сочетаний (мы выбираем С* способами А типов элементов, входящих в сочетания этого класса, а из элементов данных А типов можно составить n-сочетаний с повторениями, в которые входят элементы всех я А типов). Таким образом, имеем С2п_1 = 2 й«=1 321
Выражая числа С"п_1, ^п-1 через факториалы, прихо- дим к доказываемому соотношению. 400. Доказываемое равенство можно записать так: z^lz^r —2 _]_/г'2л'Г—4 zv ьл+г-1 — ОЛОЛ+Г-3_ГОЛ°Л+Г-5"“ ••• = ол- Для доказательства возьмем все г-сочетания с повторениями из элементов п типов и найдем двумя способами число всех таких сочетаний, состоящих лишь из элементов различных сортов. С од- ной стороны, это число равно Crn, С другой стороны, число г-со- четаний с повторениями из элементов п сортов, в которые по крайней мере дважды входят элементы данных k сортов, равно Так как эти k сортов можно выбрать С* способами, то, применяя формулу включений и исключений, приходим к до- казываемому соотношению. 401. а) Положим Sn — Сгп 2С2п -|- ЗС® ... -\-пС". В силу равенства Ckn = Cnn~k имеем Sn — пС„ + (п — 1) С\ ... Складывая, получаем 2S„ = n[C“+^+ ... +С«]=2Ч и потому Sn=2”~,n. б) Таким же образом устанавливаем, что $„ = («4-1)2’»-'. в) S„= (п - 2)2n"1+1. г) $„ = (л+1)2п. д) S„=0. е) Мы имеем S„ = 4(C}, + 2C2„+ ... +пС«)- -(С*+С’+ ••• +С”)=2л-1п-2л + 1. ж) Мы имеем С* = C*Zi + C*-1- Поэтому «„ = _! - 2 (С> _! + C2n_J + +3(c2_1+ct1)- ... +(-1)л-1пс«:} = = С»_1-С’_1 + С2_1- ... +(_!)-'с-}. Эта сумма равна 1 при п=1 и 0 при п>1. з) Эта сумма равна 5л“7Прт[Сл+1+Сл+1+ ••• +Сл+1] =» 2п_р-'- и) 1ак как 2) С”+2’ то эта сУмма равна Sn - (n-|-l)1(n_|_2) (С«+2 +2Сл+2 + • • • + (« + 0 Cntl) = = (п-1-2) КСл+2 + 2Сл+2 + • • • + (« + 2) — — (^л+г + •>. + ^л+г)]’ 322
Применяя результаты задач а) и б), получаем, что 1 2л+1п4-1 5" = (п + 1) (п + 2) [2Л+1 (« + 2) - 2Л+* 2 + 1 ] = (п+1)(п'+2) • к) Перепишем сумму в виде 5п=+рг[С-и-Сп+1+ ••• +(-l)^il] =7ГГГ* так как выражение в квадратных скобках равно 1. л) Если п нечетно, то Sn = 0, а если n=2k четно, то Sre = = (•—l)ftC*ft. Для доказательства надо перемножить разложе- ния (1+х)п и (1— х)п, после чего найти коэффициент при хп. 402. Наибольшим коэффициентом в первом разложении яв- ляется коэффициент при а3Ь3с* (или а3Ь4с3, а4Ь3с3). Он равен Р(3, 3, 4) =4200. Во втором разложении наибольшим является ко- эффициент Р(4, 4, 3, 3) при а3Ь3с*<Р. 403. По формуле бинома Ньютона имеем Л = 1 Поэтому коэффициент Уп при хп равен _ 1-3 ... (2п-1).2« _ (2п)! _ „ п п! (п!)2 2л‘ Для (1—4х)2 имеем по формуле бинома Ньютона разло- жение л=1 Но Уп С"п 2nt 1—2n 2n —1 (п!)2(2п —1) 2 (2п—2)! 2 - п [(п — 1) ip - п Гп~1‘ Поэтому 1 оо (1-4х)2 =1-2^2^1х", (**) Л=1 где положено Уо=1. 323
404. а) Перемножим разложения (*) и (**). Мы получим, что (оо \ / оо \ 1 + 2^хл) (1-2^-Ц^-х'‘) = л=1 / V Л=1 / оо = i + S[^-2(r„_I4-lr„_2r1 + .,. + lr„_,j] хп. Л=1 Отсюда сразу вытекает доказываемое равенство, б) Возведем разложение (*) в квадрат. Мы получим, что (со \2 1 + 2V = л«=1 / = 1 + (Г0Г, + У,Г0) х + (Г0Г2 + Г, У, + r2r0) X* + ... ... +(Г0Г„ + Г1Г„_1+ ... +Г„Г0)х»+ ... Так как (1 — 4х)-1 = 1-|-4х-|-42х2 + ... 4-4лх'»+ .... то сразу получаем доказываемое равенство. в) Возвести в квадрат разложение (**). 405. Будем обозначать четные числа буквой Ч, а нечетные — бук- вой Н. Первые 4 элемента третьей строки имеют запись НЧНЧ, чет- вертой — ННЧН. пятой — НЧЧЧ, шестой — НННЧ и седьмой НЧНЧ. После этого цикл повторяется (первые 4 элемента каждой строки определяются первыми четырьмя элементами предыдущей строки). Поэтому в каждой строке будет хотя бы одно четное число. 406. Покажем, что каждая строка треугольника является ариф- метической прогрессией, причем сумма равноудаленных от концов элементов строки делится на 1958. Доказательство проведем с по- мощью индукции по номеру строки. Для первой строки утверж- дение очевидно. Пусть оно доказано для п-й строки. Возьмем три соседних элемента a, a+d, a+2d, п-й строки. В строке п+1 им соответствуют элементы 2a+d, 2a+3d. разность которых равна 2d. Значит, в строке п+1 имеем прогрессию с разностью 2а. Чтобы найти сумму равноудаленных от концов элементов этой строки, до- статочно найти сумму первого и последнего элемента. Но если пер- вые два элемента п-й строки равны а и Ь, а ее последние два эле- мента равны с и d. то сумма первого и последнего элементов п-й строки равна (a+b) + (c+d) —2(a+d) и потому по предположе- нию индукции делится на 1958. Значит, для любой строки сумма первого и последнего элементов делится на 1958, а тогда этим свойством обладает и сумма двух элементов предпоследней стро- ки, то есть последний элемент таблицы. 407. а) Докажем равенство с помощью индукции по п+т. Пусть для всех k и s таких, что £+s<n+ni, доказано равенство а). Тогда имеем Un+m = ип+т-1 Т Un + m-2 — = И„_1ит_1 ~}~ипит + ип- 1И/П-2 -\~ипит-1 = = "п-1 (ыт-1 Ч" ит-2) Н- ип (ит Ч- ит-i) = ип-ium Ч- ипат+ и (•) 324
Поскольку при т+п=1 равенство (*) непосредственно прове- ряется, оно справедливо для любых т и п. б) Проведем доказательство с помощью индукции по k. При k = l утверждение тривиально. Пусть уже доказано, что Ukm де- лится на ит. По равенству (*) имеем M(fe+1) т ukm+m ~ ukm - i«m + ukmum+i> и потому «(л+1)т также делится па ит. По индукции выводим, что все ипт делятся на ит. в) Пусть ип и «n+i делятся па Л=р1. Тогда и «n-i=«n+i— ип делилось бы на k. Продолжая это рассуждение, мы получили бы, что «1 = 1 делится на k, а это невозможно. 408. Будем обозначать наибольший общий делитель чисел а и b через (а, Ь). Из равенства um+n = un-]um + unum+i следует, что («,„+„,«„) является делителем un-ium и, поскольку ип и «n-i взаимно просты, делителем ит. Обратно, (ит,ип) является дели- телем ит+п. Поэтому (ит, ип) = (ит+п, ип). Но тогда если п= =km+q, то («т, «п) = («m, «з). Применяя алгоритм Евклида, убе- ждаемся, ЧТО (ит, Un) = «(m,n). В частности, («1000. «77о) =«ю = 55. 409. Рассмотрим последовательность, составленную из послед- них четырех цифр чисел Фибоначчи. Так как количество четырехзначных чисел вида 0000, 0001, ..., 9999 равно 104, то коли- чество пар таких чисел равно 108. Значит, среди первых 100 000 001 чисел Фибоначчи найдутся две пары («,„, «т+i) н («n,«n+i), п>т, такие, что ит н «„, равно как «m+i и un+h имеют одинаковые по- следние четыре цифры, Но тогда числа и» — ит и ип+> — «m+t оканчиваются четырьмя пулями. Так как «л-1 — ит-1 = («л+1 — ит+1) («л «т). то и «п-1 — «m-i также оканчивается четырьмя нулями. Продол- жая уменьшать индекс и учитывая, что «0=0, получаем, что число «п-m оканчивается четырьмя нулями. 410. Пусть выбраны числа «„, «п+i. «п+2, .... «п+7, выразим их через ип и «п+и «л+2 = «л Н-«л+1. «л+з= «л Н-2ы„+р ыя+4 = 2ый-|-Зыл + 1, ыя+5 = Зып-|-5ыд+1, «д.|.в = 5ыд-|-8ыд+1, «я+7 = 8«я-|-13«я+1. Следовательно, сумма этих чисел равна 21«n+33«n+i- Но «п+в= = 13«п+21«п+1, «п+9=21«я+34«п+1. Из неравенства «п+в< <21«п+33«п+i<«n+9 ясно, что 21«п+33«п+1 не является числом Фибоначчи, 411. Утверждение а) доказывается по индукции. При п—1 оно очевидно. Пусть оно справедливо для п «2 +«4-1- ••• +«2Я = «2л+1 — 1- Прибавим к обеим частям равенства и2п+2. Так как «2п+г+«2п+1 = = «2п+з, получаем «2-{-ы4+ ... -|-«2n+2 = ы2я + 3—1- Тем самым наше утверждение доказано. Точно так же доказывается утвержде- ние б). Утверждение в) также доказывается с помощью математиче- ской индукции. 325
Для доказательства утверждения г) заметим, что ,?/j +1 ипип+2 ~ ип 1-1 ип ипип -bl ““ = «я + 1 («п + 1 - «„) - «я = Ия-1«я+1 - Поэтому и2 +1 — ия«я+2 = (—1)" — «0«2] = (—1)". Утверждения д) и е) будем доказывать совместно. При п=1 они очевидны Пусть они уже доказаны при n=k. По утвержде- нию г) имеем тогда “1И24*“2Из4* ••• 4* Й2ЙЫ2Й+ 1 4* Ы2Й + 1Ы2Й + 2 = — ы2й + 1 — 1 4"ы2й ЦЫ2й + 2 = ы2й + 1ы2Л + 3— 1 = Ы2й+2 И J/j«2 4" ••• 4-“2Й+1«2Й + 24-“2Й + 2«2Й+3 = = 1^й + 2 4‘ы2* + 2и2й + 3 = ы2й + 2ы2й + 4— ы2й+3— 1’ Следовательно, эти утверждения верны и прн n=k+l, а потому и прн всех п. Для доказательства равенства ж) заметим, что в силу а) н б) 1/14-и24' ••• 4~“л+t “= ип+з—1- Поэтому если имеет место ра- венство ж), то («4-1) И14-п«24- ... 4-2ия4-ня+1 = = “я+4 — (и 4*3) 4* ип+з — 1 — ип+$ — (п 4-4)- Так как равенство ж) верно при «=1, то оно верно при всех п. Соотношение з) без труда вытекает из того, что “зл + 2—1 | .. “зл + 5 1 2 г “зл+з — 2 " Для доказательства соотношения н) положим m=n в формуле un+m=un-ium+unum+i. Мы получим, что “2я = “я-1“я4-ил“л+1 = 2 2 2 г 2 — ия+1 — “я_1- Точно так же доказывается, что “2л+1 — “л 4*“я+1- Полагая в той же формуле m=2n, получаем, что “ЗЛ — Un-lU2lt 4" “ЯЫ2Л + t = = “л-1 («Л+1 - “л-1)4- “л (“л 4- «л+1) = “л+1 4- «Л - “л-1- 412. Пусть un<N<un+i. Тогда 0=СМ — un<un-i н потому найдется такое s<n — 1, что uXN—ип<иг+1. Но тогда 0<М — — ип—us<us-i, причем s—1<« — 2. Через несколько шагов мы получим, что N=un+us+up+ ... +иг, причем соседние индексы п, s, р, ..., г отличаются друг от друга по крайней мере на 2. 413. Это число способов равно коэффициенту при Xs в разло- жении выражения (1 4-х4- ... +х₽)(14-х4- ... 4-^)(14-х4- ... 4-*') = = (1 — лр+1) (1 — x?+1) (1 — V+1) (1 — л)-3 = = (1 -хр+' — У7-1-1 — V+1— ...)(14-Зх4-6х24- ... ... 4-с2я+2хя4- ...). 326
Так как p<q+r, то p<s, q<s, r<s, и этот коэффициент имеет вид z-2 z-2 z-2 __Z-2 __ Ь4+2 Gj-p+l Gs-g+l ьз-г+1 ($4-2) ($4-1) (S —р4-1)(Э —р) _ (s —?4-i)(s —?) = 2 “ 2 2 (з —<4-1) (з —г) 2 Раскроем скобки и примем во внимание, что p+q+r=2s. После преобразований получим з2 з -f-1 — g' (Р2 4* ?2 4* <2)- 414. Если q+r<p, то q<s, r<s, но p~^-s и потому коэффи- циент равен C2s+r—— C2s_r+1. Отсюда вытекает наше ут- верждение. 415. Все предметы можно переставить (pq+r)l способами. После этого выберем г человек из р, которые получат д+1 предметов (Сгр способов) и раздадим им предметы по порядку, выдавая соответ- ственно q или д+1 предметов. Так как результат не зависит от по- рядка элементов в группах, то Crp(pq-\- г)\ надо разделить на (gl)₽-'[(g+l)ir-(gl)₽(g+l)\ z z 416. Так как 2 1=Z1=CL т0 2 2 1 = 2 Ck = Cl+i- /0=1 1,-1 10=1 1,=1 Далее, имеем 2 2 2 1 = 2 ^/2+1 = ^?3+2- Отсюда ясно, что /2-1 /,=1 z0-i 12=1 вычисляемая сумма равна 417. Разобьем все перестановки из т белых и п черных шаров на классы. К классу (At, ..., km) отнесем перестановки, в которых есть At изолированно