Строительная механика. Стержневые системы: Учебник для вузов - Александров А.В., Смирнов А.Ф., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н.

Author: Александров А.В. Смирнов А.Ф. Лащеников Б.Я. Шапошников Н.Н.
Tags: теоретические основы строительства строительство математика линейная алгебра строительная механика учебник для вузов
Year: 1981
Similar
методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ Ч.1
Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений
Строительная механика
Пространственные деревянные конструкции
Text
                    А. Ф. Смирнов,, А. В. Александров,
Б.Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
стержневые системы
А. Ф. СМИРНОВ, А. В. АЛЕКСАНДРОВ,
Б. Я. ЛАЩЕНИКОВ, Н. Н. ШАПОШНИКОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Под редакцией чл.-кор. АН СССР
А. Ф. Смирнова
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов строительных
специальностей вузов
МОСКВА
СТРОИИЗДАТ
198 1
ББК 38.112
С 83
УДК [624.04 + 624.072](075.8>
Рецензенты: кафедра строительной механики Всесоюзного
заочного политехнического института (зав. кафедрой проф. А. В. Дар-
ков) и проф. О. В. Лужин (МИСИ им. В. В. Куйбышева).
Строительная механика. Стержневые системы:
С83 Учебник для вузов/А. Ф. Смирнов, А. В. Александ-
ров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников; Подред.
А. Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат, 1981.—512 с., ил.
Книга является первой частью курса строительной механики. Ма-
териал изложен с привлечением матричного аппарата линейной алгеб-
ры, которая рассматривается как основа для формирования матема-
тической модели расчета сооружений при использовании ЭВМ. Основ-
ные понятия н операции линейной алгебры трактуются с помощью
представлений строительной механики. При описании методов расчета
стержневых систем большое внимание уделено вопросам, играющим
фундаментальную роль н в расчете более сложных, нестержневых кон-
струкций. На примере стержневых систем показана модификация ме-
тода перемещений, в котором расчет проводится по форме, принятой в
методе конечных элементов.
Для строительных специальностей вузов.
30205—301
С------------ 80-81. 2105000000
047(01)—81
ББК 38.112
6С1
© Стройиздат, 1981
АНАТОЛИЙ ФИЛИППОВИЧ СМИРНОВ, АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ,
БОРИС ЯКОВЛЕВИЧ ЛАЩЕНИКОВ, НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ШАПОШНИКОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией П. И. Филнмоиов
Редактор И. С. Бородина
Мл. редактор 3. М. Терентьева
Внешнее оформление художника И. И. Суслова
Технический редактор Т. В. Кузнецова
Корректоры Н. О. Р о д н о и о в а, И. В. Медведь
ИБ № 1940
Сдано в набор 19.11.80. Подписано в печать 2.02.81. Формат 84X108V32. Бу-
мага тип. № 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл.-печ. л. 26,88.
Уч.-изд. л. 26,45. Тираж 40 000 экз. Изд. № AI-7339. Зак. № 569. Цена 1 р. 10 к.
Стройиздат, 101442, Каляевская, 23а
Владимирская типография «Союзполнграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга является первым разделом кур-
са строительной механики, состоящего из трех частей:
«Статика стержневых систем», «Тонкостенные простран-
ственные системы» и «Динамика и устойчивость упругих
систем».
Содержание книги соответствует разделам учеб-
ной программы, утвержденной Министерством высше-
го и среднего специального образования СССР, отно-
сящимся к стержневым системам. В ней отражен много-
летний опыт преподавания данного курса на кафедре
строительной механики МИИТ. Содержание настоящего
учебника заметно отличается от содержания существую-
щих учебников по строительной механике. Эти отступле-
ния от традиционного изложения вызываются современ-
ными требованиями к уровню подготовки специалистов
по строительной механике, а также возможностями, пре-
доставляемыми вычислительной техникой в области рас-
чета и проектирования сооружений.
При изложении всех разделов курса используется
матричный аппарат линейной алгебры. В первом разделе
книги приведена специальная глава, в которой понятия
вектора, матрицы, линейного преобразования и т. д. трак-
туются с позиций строительной механики. Этот аппарат
рассматривается как основа для формулировки матема-
тической модели расчета сооружения.
Стержневые системы, о которых идет речь в данном
учебнике, находят достаточно широкое применение в не-
сущих конструкциях различных сооружений. Но в боль-
шинстве случаев инженеру приходится сталкиваться с
более сложными системами, в состав которых помимо
стержней входят элементы и других типов: пластины,
оболочки, массивные тела. При расчете таких систем,
как известно, широко используется метод конечных эле-
ментов. В связи с этим при изложении методов расчета
стержневых систем большое внимание уделено тем поло-
жениям, которые играют фундаментальную роль и в рас-
четах более сложных, нестержневых, конструкций. К ним
относятся: вариационная формулировка задач расчета
деформируемой системы, последовательное использова-
ние матриц жесткости и податливости, анализ их свойств
в связи с выбором различных базисных состояний систе-
1*	3
мы, двойственный характер параметров, с помощью ко-
торых описывается напряженно-деформированное со-
стояние конструкции, и др.
При изложении метода перемещений существенное
внимание уделено такой модификации этого метода, в
которой учитываются продольные деформации стержней,
а весь расчет проводится в форме, принятой в методе
конечных элементов. По замыслу авторов, на примере
стержневых систем учащийся должен освоить все основ-
ные понятия, свойственные методу конечных элементов
(местная и локальная системы координат, матрица жест-
кости элемента и всей конструкции, понятие суперэле-
мента и т. д.). Подробно метод конечных элементов рас-
смотрен во второй части курса.
В последнее время актуальными стали задачи анали-
за поведения конструкций в нелинейной постановке.
В общем виде методы решения нелинейных задач строи-
тельной механики излагаются также во второй части
курса, поскольку они в принципе являются общими для
стержневых и нестержневых систем. Однако и в данном
учебнике нелинейной постановке задач уделено опреде-
ленное внимание. Это, в частности, отражено в разделе,
посвященном вариационным принципам.
Естественно, что включение новых вопросов потребо-
вало сокращения некоторых традиционных разделов кур-
са. При этом исключены лишь темы, которые не являют-
ся, с точки зрения авторов, особенно актуальными в све-
те развития современных методов автоматизации расче-
та и проектирования сооружений и подробно освещены
в литературе.
Авторы стремились иллюстрировать изложение курса
примерами. Однако, в связи с тем что в учебнике дела-
ется упор на идейную сторону излагаемых методов рас-
чета сооружений, число примеров ограничено необходи-
мым минимумом.
Глава I написана А. Ф. Смирновым, главы X, XII,
XIII (кроме § 87) написаны А. В. Александровым; главы
III—IX—Б. Я. Лащениковым; главы II, XI и приложе-
ние — Н. Н. Шапошниковым; § 87 написан совместно
Б. Я- Лащениковым и Н. Н. Шапошниковым.
раздел первый
РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ СООРУЖЕНИЙ
В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
Глава I. СООРУЖЕНИЯ И ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА НИХ
НАГРУЗКИ
§	1. Общие замечания
При проектировании каждого сооружения необходи-
мо назначать размеры всех его элементов. С этой целью
проводятся расчеты, с помощью которых определяются
внутренние силы в сечениях элементов от действия опре-
деленной расчетной нагрузки. Совокупность внутренних
сил, а именно: изгибающих и крутящих моментов, нор-
мальных и поперечных сил, позволяет установить напря-
женные состояния во всех частях сооружения и по ним
судить о прочности всех его элементов и узлов.
Сооружение должно быть прочным не только при дей-
ствии обычных эксплуатационных нагрузок, но и в осо-
бых ситуациях при значительных перегрузках. Например,
в районах повышенной сейсмичности необходимо обеспе-
чить прочность сооружений при землетрясениях, когда
обеспечение ряда их других качеств, в частности трещи-
ностойкости, необязательно.
Вопросы прочности изучаются в целом комплексе дис-
циплин, начиная с таких общетехнических, как физика,
строительные материалы, и кончая сугубо прикладными:
проектирование мостов и тоннелей, зданий, испытания
сооружений и т. п.
Будущие инженеры строительных специальностей
впервые серьезно знакомятся с вопросами расчетов на
прочность в курсе «Сопротивление материалов и основы
теории упругости и пластичности». В этом курсе излагает-
ся главным образом феноменологическая методика реше-
ния задач прочности, основанная на экспериментальном
получении основных физико-механических характеристик
материалов, диаграмм а—е и т. и.; изучаются методы
Расчетов на прочность стержней при различных видах де-
формирования (растяжении, сжатии, изгибе, кручении);
рассматриваются расчеты пластин, некоторых видов обо-
5
лочек и массивных тел. Вопросы прочности в сопротивле-
нии материалов решаются в основном применительно к
отдельному элементу сооружения.
В курсе строительной механики аналогичные вопросы
излагаются для всего сооружения в целом (пли какой-
либо его крупной части), представляющего собой систе-
му из многих элементов: стержней, пластин, оболочек
и т. д.
Для того чтобы убедиться в пригодности сооружения
к эксплуатации, необходимо помимо решения вопросов
прочности проверить его деформативность, или, как гово-
рят, его жесткость. В строительной механике рассматри-
ваются общие методы определения перемещений и оцен-
ки жесткости сооружений. Кроме того, выполняется рас-
чет сооружения на устойчивость. В сопротивлении мате-
риалов изучался простейший случай устойчивости прямо-
линейных центрально-сжатых стержней (продольный
изгиб). Значительно более сложной является проблема
устойчивости деформируемой системы в целом при дей-
ствии на нее определенной группы сил. Большинство
сооружений должно также рассчитываться с учетом раз-
личных динамических воздействий (ветровая нагрузка,
нагрузка от подвижного состава и т. д.). Вопросы устой-
чивости и динамики сооружений также рассматриваются
в курсе строительной механики.
Таким образом, строительная механика есть наука о
принципах и методах расчета сооружений на прочность,
жесткость и устойчивость при статических и динамичес-
ких воздействиях.
§2	. Виды сооружений и их особенности
Сооружения по их назначению могут быть разделены
на различные группы: жилые, общественные, промыш-
ленные, транспортные. Особо следует выделить уникаль-
ные сооружения (высотные здания, мосты больших про-
летов, крупные спортивные комплексы). Каждой из
групп сооружений присущи свои особенности. Так, напри-
мер, жилые здания, как правило, строятся по типовым
проектам. В зависимости от геологических и климатичес-
ких условий кроме основных могут проводиться и допол-
нительные расчеты. Например, для стен кирпичных жи-
лых зданий основными являются не прочностные, а теп-
лотехнические расчеты.
6
В расчетах промышленных зданий учитываются дина-
мические воздействия от установленного оборудования,
а также особые (например, в плавильном цехе) темпера-
турные воздействия. Прочность транспортных сооруже-
ний существенно зависит от тяжелой подвижной нагруз-
ки. С особой ответственностью проектировщики
подходят к расчетам уникальных сооружений, срок служ-
бы которых измеряется сотнями лет. Так, например, при
расчетах Останкинской телевизионной башни учитыва-
лась возможность ураганного ветра, который может по-
явиться один раз в 60—80 лет.
В зависимости от конструктивных решений сооруже-
ний целесообразно выделять ту систему элементов, кото-
рая в основном воспринимает действующую нагрузку.
Различают следующие характерные типы систем. Стерж-
невые системы, которые в свою очередь разделяются на
плоские и пространственные. Например, к плоским
стержневым системам относятся фермы (рис. 1), рамы
(рис. 2), арки (рис. 3). На рис. 4 показана пространст-
венная рама, которая часто применяется в качестве кар-
каса промышленных зданий.
В последнее время для устройства перекрытий раз-
личных объектов начали широко применяться так назы-
ваемые структурные конструкции (рис. 5, 6). Необходи-
мо также отметить пластинчатые системы (рис. 7). К их
числу относятся, например, несущие конструкции много-
этажных зданий, составленных из плоских панелей.
В особую группу выделяют несущие пространствен-
ные конструкции в виде оболочек. На рис. 8 показана, на-
пример, свод-оболочка, составленная из плоских пане-
лей. Системы такого типа применяют для различных
складов, автобусных парков, зернохранилищ и т. п.
К особому классу сооружений относятся и висячие си-
стемы, с помощью которых можно перекрывать площади
больших размеров. В качестве примеров на рис. 9, 10
показаны висячие конструкции для спортивного зала и
большого гаража.
Довольно часто применяются системы в виде сочета-
ния разнообразных элементов, например стержневых и
пластинчатых или стержневых элементов и тросов в ви-
сячих конструкциях. Показанная на рис. 11 несущая кон-
струкция для велотрека в Крылатском (ЛАосква) состоит
из четырех основных арок и висячего покрытия в виде
системы ортогонально расположенных тросов, передаю-
7
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 3
9
8
Рис. 6
Рис. 7
щих вес кровли и нагруз-
ки от снега на основные
несущие арки.
Особое место занима-
ют такие специальные со-
оружения, как, например,
гидротехнические (плоти-
ны), транспортные (мосты,
тоннели, метрополите-
ны) , при проектировании
которых возникают спе-
цифические задачи расче-
тов. Особенностью гидро-
технических сооружений
является их массивность.
В отличие от стержней в
таких сооружениях часто
применяются массивные
элементы, все размеры ко-
торых имеют один поря-
док. В расчетах тоннелей
и метрополитенов требу-
ется учет взаимодействия
их конструкций с окружа-
ющей породой.
В строительной меха-
нике рассматриваются
методы расчета систем
всех перечисленных ти-
пов, однако главное вни-
10

Рис. 11
12
мание уделяется не особенностям расчета сооружений
того или иного частного вида, а общим методам анали-
за напряженного состояния и перемещений деформируе-
мых систем и принципам, на которых основаны эти ме-
тоды.
§3	. Виды нагрузок и других воздействий
В курсе сопротивления материалов мы познакомились
с различными видами нагрузок, а именно: сосредоточен-
ными силами, распределенными нагрузками (как по пло-
щади, так и по длине элемента). В строительной механи-
ке широко используется
схематизация нагрузок и
других воздействий. При
расчете стержневых си-
стем нам часто придется
устанавливать связь меж-
ду различными видами
нагрузок. Так, например,
для простейшей системы,
состоящей из двух несу-
щих балок, соединенных
настилом (рис. 12, а),
равномерно распределен-	рис 12
ная по всей площади на-
стила нагрузка q\, Н/м2,
передается на балки в виде нагрузки, распределенной
по длине балки <72, Н/м (рис. 12,6).
Если нагрузки представляют собой заданные внешние
(поверхностные) воздействия (давление снега на кров-
лю, ветра на стену и т. п.), то задачи определения нагру-
зок на отдельные элементы решаются сравнительно
просто. Сложнее обстоит дело в тех случаях, когда зна-
чение нагрузки, передающейся на какую-либо часть кон-
струкции, зависит от деформации системы или окружа-
ющей ее среды, что характерно для статически неопре-
делимых систем. Например, силы, передаваемые на стен-
ки силосной башни от заполняющей ее сыпучей среды,
силы взаимодействия перекрестных балок друг с другом
и с опорной конструкцией и т. п. должны определяться
с учетом деформаций элементов системы.
Наряду с поверхностными различают и так называе-
13
мне объемные силы, действующие на каждую единицу
объема. К ним относятся силы веса (гравитационные си-
лы), магнитного притяжения, инерции и т. п.
В зависимости от характера изменения нагрузки во
времени различают статические и динамические на-
грузки.
Статические нагрузки изменяются во времени на-
столько медленно, что ускорениями элементов конструк-
ций при перемещениях можно пренебречь. Иначе говоря,
при этом не учитываются силы инерции, связанные с пе-
ремещениями точек системы.
Динамические нагрузки в отличие от статических из-
меняют свою величину или положение (движущаяся на-
грузка) в сравнительно короткие промежутки времени.
При действии динамических нагрузок приходится учиты-
вать силы инерции как самой системы, так и расположен-
ного на нем оборудования.
Различают также постоянные и временные нагрузки.
Постоянная нагрузка действует непрерывно в течение
всего срока службы сооружения, к ней относится, напри-
мер, вес сооружения.
Временная нагрузка имеет ограниченную продолжи-
тельность, например вес снега на кровле, действие ветра
на стены, нагрузка от проходящего поезда на мост и т. п.
Каждый вид нагрузки, действующей на сооружение,
специально изучается. На основании многочисленных
измерений того или другого вида нагрузки производится
статистическая обработка данных, на основе которой в
нормативных документах указывается расчетное значе-
ние нагрузки. Так, например, для определения расчетных
значений нагрузки от снега проведены многочисленные
наблюдения за длительный период, измеряемый десяти-
летиями. Построены эмпирические кривые распределения
этих нагрузок в зависимости от времени, в течение кото-
рого проводились наблюдения за их изменчивостью.
Аналогичные работы проведены для установления рас-
четных значений ветровых нагрузок.
Оба указанных вида нагрузок имеют случайную при-
роду, они, естественно, зависят от района строительства,
очертания сооружения и т. и.
Различные нагрузки обычно действуют на сооруже-
ние нео шовременно. Например, нагрузки от тяжело на-
груженного поезда и ураганного ветра могут ни разу не
совпасть за весь срок службы моста или совпадут один
14
раз в 100 и более лет. Несколько десятилетий назад при-
менялся простой подход при назначении расчетных на-
грузок на автодорожные мосты. Рассматривался самый
невыгодный случай загружения. Предполагалось, что
мост загружен установленными в несколько рядов по
ширине проезда тяжелыми грузовиками. Одновременно
учитывалось действие сильного ветра. Однако вероят-
ность такого случая невелика. Может оказаться, что за
весь срок службы моста такое загружение никогда не
встретится.
В тех случаях, когда может воздействовать одновре-
менно несколько типов нагрузок, например снеговая,
ветровая, вес транспорта и т. п., необходимо решение за-
дачи о возможном сочетании нагрузок. Тогда для опреде-
ления расчетных нагрузок может быть использован
вероятностный метод, основанный на анализе статисти-
ческих данных о повторяемости воздействий различного
вида.
Помимо внешних сил существенное влияние на соору-
жение оказывают другие воздействия, например темпе-
ратура, осадка фундамента, землетрясение, действие
огня, химическая агрессия, коррозия и т. п.
При изменении температуры возникают деформации
элементов конструкции, которые при определенных усло-
виях вызывают внутренние силы и напряжения. Они так-
же определяются расчетом.
Весьма сложно ведет себя сооружение во время зем-
летрясения. При движениях основания сооружение испы-
тывает вынужденные колебания, вследствие чего возни-
кают динамические напряжения. При этом конструкция
получает большие ускорения, возникают значительные
силы инерции и большие деформации, часто приводящие
к разрушению системы.
Для ряда сооружений проводятся расчеты на дейст-
вие огня. При горении здания от действия высокой тем-
пературы резко изменяются механические характеристи-
ки материала, из которого изготовлены его элементы.
Вместе с этим меняется и сопротивляемость конструкции
действующей нагрузке, что часто приводит к обрушению
конструкции.
Определение нагрузок является одним из вопросов
анализа взаимодействия между сооружением и внешней
средой. Правильное решение этой задачи позволяет
создавать надежные и экономичные сооружения.
в
§4	. Реальное сооружение и его расчетная схема
Всякое реальное сооружение состоит из большого
числа различных элементов, которые по своей геометри-
ческой форме разделяются на ряд типов, показанных на
рис. 13.
К массивным телам, у которых все основные размеры
имеют один и тот же порядок, относятся, например, мас-
сивные фундаменты (рис. 13, а).
Элемент, характерный тем, что толщина его мала по
сравнению с двумя другими размерами, называется пла-
Рис. 13
стиной (рис. 13, б). Наряду с пластинами элементами
сооружений могут быть оболочки (рис. 13,в), поверхно-
сти которых не плоские, как у пластины, а криволиней-
ные. Толщина оболочки так же, как и пластины, мала по
сравнению с ее генеральными размерами.
Элементами конструкций являются и стержни — пря-
молинейные (рис. 13, г) или криволинейные (рис. 13, д).
В зависимости от назначения и той роли, которую они
выполняют в конструкциях, стержни называют балками,
стойками, колоннами, подвесками и др. Например, поня-
тие «балка» употребляется для стержней, работающих
16

Рис. 14
главным образом на изгиб, понятие «колонна» — для
вертикальных стержней, работающих преимущественно
на сжатие.
Из перечисленных простейших элементов собирают
разнообразные конструкции, которые предназначены вос-
принимать действующие нагрузки.
Кроме основных несущих элементов (стержней, пла-
стин, оболочек) в сооружениях применяется целый ряд
других деталей — соеди-
нительные элементы, ог-
раждающие панели, лест-
ничные клетки, различ-
ные утеплители; ставятся
различные, например ото-
пительные, агрегаты и т. п.
При составлении рас-
четной схемы необходимо
произвести анализ конст-
рукции и выявить глав-
ные несущие элементы,
которые войдут в расчет-
ную схему,и второстепен-
ные элементы, которые
при исследовании прочно-
сти и жесткости системы могут быть отброшены как «не-
работающие» при действии нагрузки. С сооружения как
бы сбрасывается вся «одежда», которая предохраняет
помещения от климатических воздействий, и оставляется
только «скелет», который берет на себя всю внешнюю
нагрузку и собственный вес, включая и вес мысленно
сбрасываемой «одежды», который по отношению к остав-
шимся элементам рассматривается как внешняя на-
грузка.
В сопротивлении материалов мы познакомились с тем,
как составлялась расчетная схема для простых стерж-
ней. На чертеже каждый стержень изображается, как
правило, одной линией — осью стержня. Такой же прием
будем применять в строительной механике. Для примера
на рис. 14, б показана расчетная схема плоской фермы
по рис. 14, а.
Большое внимание должно уделяться анализу соеди-
нений элементов. Часто в фермах соединение стержней в
узле принимается в виде идеальных шарниров. Расчет-
ная схема для этого случая изображена на рис. 14, в.
2-569
17
На рис. 15 и 16 показаны расчетные схемы для плос-
кой и пространственной рам.
Узлы рам могут быть трех типов:
жесткие, в которых сходящиеся элементы жестко
сутствуют взаимные повороты сечений примыкающих
элементов;
шарнирные, в которых все элементы или часть эле-
ментов свободно поворачиваются друг относительно дру-
га или относительно центра узла;
узлы с упругоподатливыми соединениями элементов.
На рис. 17 дано схематическое изображение упруго-
податливого пространственного узла. Между стержнями
1—2, 1—3 и 2—3 имеются упругие связи, которые можно
имитировать пружинами. Таким образом, при изменении
угла между любой парой стержней надо преодолеть оп-
ределенное сопротивление пружин. Данный тип узла
является как бы обобщением двух первых типов. Если в
расчете положить жесткость пружин равной нулю, то
получим шарнирный узел. Наоборот, если жесткость пру-
жин принять равной бесконечности, то будем иметь абсо-
лютно жесткий узел.
Наиболее часто встречаются сооружения, для кото-
рых расчетная схема принимается состоящей из стерж-
ней и пластин. В качестве примера на рис. 18 показана
схема каркасного здания, в котором несущими элемента-
ми являются колонны и перекрытия в виде пластин.
В этом случае стены не показаны. Предполагается, что
они из легких панелей и не передают нагрузку с одного
этажа на другой.
При расчете кирпичных или панельных зданий рас-
четная схема принимается состоящей из пластин, часть
из которых имеет отверстия для оконных или дверных
проемов (см. рис. 7).
18
На практике встречаются самые разнообразные со-
оружения, а их расчетные схемы могут быть сложными,
включающими в себя стержни, пластины, оболочки, мас-
сивные тела. Примером может служить расчетная схема
для промышленного здания, состоящая из панельных
плит, колонн и ферм перекрытий (рис. 19).
Таким образом, при составлении расчетных схем при-
ходится в первую очередь производить схематизацию
геометрических форм сооружения. Наряду с этим необ-
ходимо учитывать свойства материала, из которого пред-
полагается изготовлять элементы конструкции. Для этого
на основе статистической обработки многочисленных
лабораторных испытаний производится некоторая схема-
тизация, а в отдельных случаях — идеализация свойств
материалов.
В курсе сопротивления материалов основное внима-
ние уделялось работе стержней в пределах линейно-упру-
гих деформаций. В строительной механике, вообще гово-
ря, значительное место отводится также учету пластично-
сти и ползучести материалов.
В разных расчетных схемах свойства материалов мо-
гут быть схематизированы по-разному.
/3 Г Одной из актуальных задач является бо-
/	лее полный учет истинных свойств мате-
риалов. При учете нелинейной диаграм-
2 мы деформирования материала задача
расчета сооружения относится к разряду
<у	так называемых физических нелинейных
задач. Обычно это усложняет расчет и
।	приводит к необходимости применять ка-
кой-либо из методов последовательных
Рис. 17 приближений.
Выбор расчетной схемы тес-
но связан также с действую-
Рис. 18
Рис. 19
2:
19
Так, например, при расчете на основные вертикальные
нагрузки расчетная модель может отличаться от той, ко-
торая выбирается при расчете на воздействие ветра. При
действии динамических нагрузок необходимо учитывать
ряд дополнительных факторов, которыми обычно прене-
брегают при действии статических нагрузок.
На основании сказанного, под расчетной моделью сле-
дует понимать геометрическую схему сооружения с дей-
ствующей нагрузкой и данными, характеризующими фи-
зико-механические свойства материала. Таким образом,
при создании расчетных моделей должны быть решены
задачи схематизации геометрических форм, свойств ма-
териалов и нагрузки.
При расчете строительных конструкций приходится
определять перемещения отдельных точек системы.
В большинстве случаев эти перемещения малы по срав-
нению с генеральными размерами системы или ее эле-
ментов. По найденным перемещениям обычно судят о
жесткости системы.
Однако встречаются задачи, в которых приходится
учитывать изменение геометрии системы вследствие воз-
никших перемещений. Такие задачи во многих случаях
приводят к нелинейным уравнениям и называются гео-
метрически нелинейными. Их решение обычно прово-
дится так же, как и физически нелинейных задач, мето-
дами последовательных приближений. В качестве
примера можно указать на расчет висячих мостов боль-
ших пролетов. Изменение очертания кабеля моста вслед-
ствие перемещений хотя и не очень велико, но оно суще-
ственно сказывается на распределении нагрузки, переда-
ющейся с кабеля на балку. Изгибающие моменты в балке
существенно меняются. Таким образом, сама расчетная
схема в процессе загружения изменяется, как бы дефор-
мируется, и поэтому расчет проводится по «деформиро-
ванной схеме».
После того как намечена физическая расчетная мо-
дель сооружения, необходимо выбрать метод расчета, с
помощью которого эта модель подвергается анализу.
Задача расчета сооружения, выраженная с помощью
соответствующих математических уравнений, зависимо-
стей или условий, иногда называется математической мо-
делью расчета сооружения.
Различают дискретный, континуальный и дискретно-
континуальный методы формулирования математической
20
модели расчета сооружений. Если состояние деформиру-
емой системы характеризуется конечным числом каких-
либо параметров, например компонентов перемещений
узлов фермы или усилий во всех стержнях, то модель на-
зывают дискретной. В задачах статики дискретной моде-
ли обычно отвечает система алгебраических уравнений,
из решения которой определяются неизвестные парамет-
ры. Напротив, если состояние конструкции характеризу-
ется функциями одной, двух или трех пространственных
переменных, т. е. бесконечно большим числом парамет-
ров-ординат этих функций, то модель называется конти-
нуальной. При этом различают одномерную (стержень),
двухмерную (тонкая пластина) или трехмерную (мас-
сивное тело) задачу расчета. Континуальной системе в
математической формулировке задачи отвечают диффе-
ренциальные уравнения — обыкновенные или в частных
производных. Комбинированное использование моделей
двух указанных типов называют дискретно-континуаль-
ной моделью.
В дальнейшем мы увидим, что приведенная классифи-
кация моделей в ряде случаев является условной. Уточ-
нение этих понятий будет выяснено в процессе изучения
курса. Методы строительной механики наиболее широко
используют дискретные модели расчета.
§	5. Современные подходы к расчету сооружений
При проектировании сооружений вначале создают
его общие контуры, выбирают тот или другой материал
и выясняют воздействия на конструкцию внешней сре-
ды. После этого приступают к расчету с целью устано-
вить требуемые размеры всех элементов сооружения.
Однако для того, чтобы произвести конкретный расчет
сооружения, необходимо знать его вес и жесткостные ха-
рактеристики всех элементов, а следовательно, знать
площади, моменты инерции поперечных сечений и харак-
теристики материалов. Таким образом, вначале необхо-
димо задать значения некоторых величин, которые
определяются лишь в конце расчета.
Для расчетов часто бывает достаточно назначить не
абсолютные, а относительные значения жесткостных ха-
рактеристик элементов, например для стержней назна-
чить не значения жесткостей при изгибе EJ, а отношения
этих величин. Так, например, для /г-го элемента назнача-
21
ется значение pk=EJk/EJo, где EJo — жесткость какого-
то одного элемента, взятого расчетчиком за основу.
В этом случае приходится на основании опыта и прибли-
женных прикидочных весьма упрощенных подсчетов на-
значать относительные (безразмерные) жесткости р&.
Если в конце расчета вновь найденные значения силь-
но разойдутся с принятыми ранее, то расчет повторяется
вновь.
После того как будут найдены все усилия в элементах
системы, определяются необходимые размеры сечений
элементов. В соответствии со Строительными нормами
и правилами (СНиП) эта задача решается по методу
предельных состояний, который детально изучается в
курсах конструкций.
Остановимся далее на некоторых подходах, использу-
емых при проектировании сооружений. Для каждого со-
оружения кроме условия надежности, очевидно, должны
выполняться условия рациональности. Например, может
быть поставлено условие, чтобы сооружение оказалось
наиболее дешевым по затратам на его строительство.
Возможно, что с экономической точки зрения окажется
более выгодным добиться минимума суммарных строи-
тельных и эксплуатационных затрат. Можно стремиться
к минимуму веса сооружения, минимуму трудовых за-
трат, минимуму расхода дефицитных на данный момент
материалов и т. д.
Ясно, что задача одновременного удовлетворения в
известном смысле противоречивых условий надежности
и рациональности сооружения в условиях некоторой не-
стабильности физических характеристик материала кон-
струкций, с одной стороны, и обычно еще большей не-
определенности в уровне и видах внешних воздействий на
конкретное сооружение, с другой, — это задача непро-
стая. При ее решении могут применяться различные под-
ходы.
Одним из таких подходов является метод составления
нескольких вариантов проекта сооружения и их последу-
ющее сравнение по различным показателям. При этом на
основе опыта предыдущих проектировочных работ или
осуществленных сооружений представляется возможным
задаться некоторыми общими параметрами — его разме-
рами и формой.
Составленные варианты сравниваются между собой.
Приближенно определяется вес элементов сооружения,
22
его стоимость, затраты материалов. При сравнении ва-
риантов учитываются другие факторы: архитектурная
выразительность, удобство сооружения в эксплуатации,
стоимость ее и т. п.
В настоящее время интенсивно разрабатываются ме-
тоды оптимизации конструктивных решений. В отличие
от «поверочного» расчета выполняют так называемый
«проектный» расчет. В этом случае в процессе расчета
конструкция не рассматривается как полностью задан-
ный объект. Напротив, некоторые параметры, определя-
ющие общую конфигурацию системы, распределение в
ней материала и т. д., считаются неизвестными. Далее
составляется так называемая функция цели, зависящая
от упомянутых неопределенных параметров. В отноше-
нии этой величины мы хотим добиться того, чтобы она
была либо минимальна (стоимость, вес), либо макси-
мальна (несущая способность и т. п.). В ходе проектного
расчета требуется определить оптимальные значения па-
раметров конструкции, обеспечивающие экстремум или
близость к нему функции цели. Современные методы
оптимизации используют специфический математический
аппарат — методы математического программирования.
Эти методы сейчас широко используются в различных
областях техники, экономики, управления производством.
Быстро повышается роль методов оптимизации и в за-
дачах расчета и проектирования сооружений.
Укажем еще на вероятностную постановку задачи
обеспечения надежной работы конструкции. Обычно такая
задача ставится следующим образом. Сама конструкция
рассматривается как объект, который помимо детермини-
рованной основы имеет некоторые характеристики, явля-
ющиеся случайными величинами или случайными функ-
циями (случайные начальные искривления элементов,
случайные эксцентрицитеты, случайное распределение
механических характеристик прочности, жесткости, на-
чальных напряжений в объеме тела и т. п.). Воздействия
на конструкцию также представляются как случайные
величины или случайный процесс.
Объект, т. е. конструкция, испытывая случайные воз-
действия, как бы «перерабатывает» их в другие случай-
ные величины или функции — внутренние усилия, пере-
мещения, напряжения. Если воздействия условно считать
входной информацией, то усилия, перемещения и т. п.
рассматриваются как выходные, результирующие дан-
23
ные, которые оказываются случайными величинами и
функциями. Задача состоит в определении методами тео-
рии вероятности этих выходных случайных величин или
их числовых характеристик по заданным входным дан-
ным.
На основе полученных из расчета сведений о вероят-
ности появления в конструкции напряжений или переме-
щений определенного значения решается затем вопрос о
ее надежности или долговечности. Вероятностный под-
ход, конечно, требует очень обширных данных о случай-,
ных характеристиках конструкций, материалов, нагрузок
и т. д. Он сложен в ряде случаев и в расчетном отноше-
нии. Поэтому в практических расчетах используется
подход, основанный на введении соответствующих коэф-
фициентов в методе предельных состояний. В решении
отдельных вопросов (например, усталостного разруше-
ния) вероятностный подход уже теперь является основ-
ным.
Задачи оптимизации конструкций требуют для их
формулировки и решения ясного представления о работе
заданного сооружения в детерминированной, т. е. опре-
деленной, невероятностной постановке. Поэтому мы везде
будем предполагать, что речь идет о расчете сооружения
с заранее заданными параметрами на вполне определен-
ные воздействия. Нашей задачей будет овладение мето-
дами расчета конструкций именно в такой постановке.
Затем на их основе могут быть использованы и другие
подходы к расчету сооружений.
§6	. Развитие методов расчета сооружений
В сопротивлении материалов мы познакомились с
расчетом простых стержней. Среди них встречались ста-
тически неопределимые стержни, для расчета которых
одних только уравнений равновесия (уравнений статики)
было недостаточно. Приходилось составлять дополни-
тельные уравнения деформации стержня. Число таких
уравнений зависит от степени статической неопределимо-
сти. Если система дважды статически неопределима, то
надо составить и решить два совместных уравнения с
двумя неизвестными.
В задачах строительной механики будем рассматри-
вать системы с высокой степенью статической неопреде-
лимости, поэтому придется составлять и решать большое
количество совместных алгебраических уравнений, что в
24
настоящее время не создает принципиальных трудностей
в связи с использованием ЭВМ.
Развитие строительной механики как науки о дефор-
мируемых системах существенно связано не только с
развитием промышленности, т. е. с потребностями строи-
тельства, машиностроения, но и с развитием вычисли-
тельной техники.
Как известно, наука о прочности зародилась еще в
XV—XVII вв. в работах Леонардо да Винчи (1452—
1519), Галилео Галилея (1564—1642), Роберта Гука
(1635—1703), Э. Мариотта (1620—1684) и других круп-
нейших ученых того времени. Ее дальнейшее развитие
связано с работами Я. Бернулли (1654—1705), Л. Эйлера
(1707—1783), Ж. Лагранжа (1736—1813) и многих дру-
гих знаменитых математиков и механиков. Их труды за-
ложили и теоретическую основу для создания «Теории
сооружений». Для развития этой науки большое значе-
ние имели также и работы таких русских ученых, как
М. В. Ломоносов (1711—1765), И. И. Кулибин (1735—
1818). В основу, например, знаменитого проекта дере-
вянного арочного моста Кулибина пролетом 300 м поло-
жены новаторские методы моделирования таких конст-
рукций. Но, по существу, теория сооружений была соз-
дана в XIX в., когда началось строительство таких от-
ветственных сооружений, как металлические железно-
дорожные мосты, фермы больших пролетов и т. п.
В это время на заре развития строительной механики
инженеры пользовались в основном графическими мето-
дами. С появлением арифмометров стали применяться
аналитические методы. Главные трудности при этом за-
ключались в решении систем совместных уравнений.
Усилия исследователей были направлены, с одной сторо-
ны, на создание приближенных методов расчета сложных
систем и, с другой, — на разработку специальных мето-
дов решения уравнений.
Разработке приближенных графических методов рас-
чета сооружений были посвящены работы Ш. О. Кулона
(1736—1806), К. Кульмана (1821—1881), Л. Кремоны и
многих других европейских ученых.
Особо необходимо отметить работы известного рус-
ского инженера и ученого Д. И. Журавского (1821 —
1891), экспериментальные и теоретические исследования
которого существенно продвинули теорию балок и балоч-
ных ферм.
25
С развитием техники в конце XIX и начале XX в. ус-
ложнились конструкции и, соответственно, расчетные
схемы стержневых и нестержневых систем. В расчетах
сооружений стали чаще использоваться методы приклад-
ной теории упругости и пластичности. Получили широкое
распространение численные и аналитические методы
расчета статически неопределимых систем. В этих мето-
дах расчеты сочетались с графическими изображениями
отдельных состояний системы — эпюрами, что придавало
им традиционную наглядность, облегчающую понимание
работы сооружения.
Развитие строительной механики в этот период связа-
но с именами таких выдающихся ученых, как Д. Макс-
велл (1831—1879), О. Мор (1835—1918), Д. Рэлей
(1842—1919), С. П. Тимошенко (1878—1972) и многих
других.
Необходимо отметить выполненные в этот период ра-
боты русских ученых. Ценные исследования по устойчи-
вости сооружений принадлежат Ф. С. Ясинскому (1856—•
1899), Л. Д. Проскуряков (1858—1926) и его ученик
проф. И. П. Прокофьев (1877—1958) создали отечествен-
ную школу строительной механики, которая внесла суще-
ственный вклад в разработку и решение вопросов проек-
тирования и расчета мостов и других сооружений.
В развитии строительной механики и сближении ее ме-
тодов с методами математической теории упругости и
пластичности велика роль академиков Б. Г. Галеркина
(1871—1945), А. Н. Крылова (1863—1945), Н. И. Мусхе-
лишвили (1891—1976). Трудами П. Ф. Папковича
(1887—1946), В. 3. Власова (1906—1958) и многих дру-
гих ученых были уже в начале этого века существенно
усовершенствованы методы расчета тонкостенных систем.
Трудно перечислить все направления развития строитель-
ной механики, в которых основополагающими были ра-
боты советских ученых. Детальный анализ этих дости-
жений дан в книгах «Строительная механика в СССР.
1917—1957», Госстройиздат, 1957; «Строительная механи-
ка в СССР. 1917—1967», Стройиздат, 1969, изданной под
редакцией чл.-кор. АН СССР И. М. Рабиновича (1886—
1977), чьи труды по теории сложных статически неопре-
делимых систем также сыграли важную роль в создании
отечественной школы строительной механики.
Использование в первой половине XX столетия лишь
простейшей вычислительной техники не позволяло раз-
26
вить методы расчета сложных пространственных систем
в такой степени, в какой это было уже необходимо для
решения задач прочности строительных конструкций, а
также прочности конструкций, созданных в машинострое-
нии, авиастроении и т. п.
Бурное развитие в последние десятилетия электрон-
ной вычислительной техники позволило рассчитывать
системы, содержащие сотни и тысячи элементов. Это
привело к развитию и интенсивному внедрению в практи-
ку методов, позволяющих рассчитывать пространствен-
ные системы, состоящие из оболочек, пластин, стержней,
тросов и т. п. Трудную задачу, связанную с решением
систем совместных уравнений, число неизвестных в кото-
рых исчисляется сотнями и тысячами, стали выполнять
электронные машины. Большая работа проведена по
автоматизации составления уравнений. В связи с этим
быстро изменяется и содержание курса строительной
механики. Практически исчезли графические методы
расчета. Более того, на ЭВМ постепенно перекладывает-
ся все большая часть процесса проектирования, включая
и выполнение рабочих чертежей конструкции.
В наши дни теоретические основы расчета сооруже-
ний достигли столь высокого уровня, что стало возмож-
ным применять самые совершенные расчетные схемы,
позволяющие учесть множество реальных свойств стро-
ительных конструкций. Появилась возможность отка-
заться от поэлементного расчета зданий и сооружений
и перейти к расчету, в котором система рассматривается
как единое целое. Наличие современных вычислительных
средств создает благоприятные условия для решения
указанной проблемы, что позволит обеспечить создание
более прочных, надежных и долговечных конструкций и
даст значительный экономический эффект.
В строительной механике стали широко использо-
ваться основные принципы механики деформируемых
сред, методы линейной алгебры, некоторые понятия и
методы топологии и т. д. Из богатого арсенала методов
строительной механики остаются жизнеспособными лишь
те, которые обладают достаточной общностью, т. е. при-
менимы в расчетах широкого класса систем, а также
Удобны для их реализации на ЭВМ.
Однако даже те методы, которые разработаны для
расчета на ЭВМ сложных пространственных систем, не-
обходимо изучать на примерах более простых плоских
27
с!ержневых систем. Ё этом случае можно наглядно пред-
ставить результаты промежуточных вычислений и окон-
чательные результаты расчета, а также сравнительно
легко дать их анализ. Поэтому изучение строительной
механики начинается с решения задач статики стержне-
вых систем, тем более что в настоящее время еще мно-
гие сооружения представляют собой такие системы.
Задачам статики стержневых систем посвящен данный
учебник.
Глава II. АНАЛИЗ ОБРАЗОВАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
И ИХ ВИДЫ
§	7. Основные положения
Стержневые системы представляют собой конструк-
ции, состоящие из стержней, соединенных друг с другом
в единую систему. Места соединения стержней называют-
ся узлами системы, они могут иметь различную конст-
рукцию. Узлы можно разделить на следующие группы.
Рис. 20
1.	Жесткие узлы (рис. 20, а). После деформации сис-
темы угол между осями стержней, примыкающих к та-
кому узлу, остается постоянным. Такими узлами яв (яют-
ся узлы многих железобетонных монолитных конст-
рукций.
2.	Шарнирные узлы (рис. 20,6). При деформации
системы стержни, примыкающие к такому узлу, свобод-
но поворачиваются относительно друг друга. Изгибаю-
щие моменты в сечениях стержней около шарниров от-
сутствуют.
28
3.	Упругие узлы. В таких узлах развиваются внутрен-
ние силы, зависящие от взаимных смещений и поворотов
примыкающих к узлу стержней. Например, в упругом
узле (рис. 20, е) момент пропорционален углу взаимного
поворота стержней Ла. В дальнейшем будем рассматри-
вать системы с жесткими и шарнирными узлами.
Реальные сооружения должны быть неизменяемыми
системами, способными воспринимать нагрузку без за-
метного изменения геометрии. Инженер до детального
расчета системы должен уметь проанализировать ее
структуру или, как еще говорят, исследовать образование
системы, т. е. установить, является ли она геометрически
неизменяемой. Кроме того, необходимо знать, возможен
ли расчет системы с помощью только уравнений равнове-
сия, т. е. является ли система статически определимой
или же она статически неопределима [12]. Расчет стерж-
невых систем начнем с изучения статически определимых
систем, поэтому в данной главе остановимся на вопросах
их образования.
Имеется два способа анализа образования систем:
геометрический и аналитический. В этой главе будем
рассматривать геометрический анализ; аналитический
анализ образования систем будет рассмотрен после изу-
чения методов определения усилий.
§8	. Геометрический анализ образования
стержневых систем
Анализ образования стержневых систем начнем с изу-
чения плоских систем. Первоначально рассмотрим про-
стейшие стержневые системы, все узлы которых являют-
ся шарнирными. Положение шарнира на плоскости
определяется двумя координатами. Следовательно, сво-
бодный шарнир обладает двумя степенями свободы (рис.
21,а). Под степенями свободы понимается число незави-
симых геометрических параметров, определяющих поло-
жение шарнира. Если шарнир А присоединен к земле с
помощью стержня В А (рис. 21,6), то эта система имеет
одну степень свободы. Система, имеющая хотя бы одну
степень свободы, называется изменяемой системой. Уз-
лы изменяемых систем могут перемещаться без измене-
ния длин стержней. Изменяемые системы носят также
название механизмов. Система, показанная на рис. 21,6,
является изменяемой системой с одной степенью свободы
29
(или механизмом с одной степенью свободы). Траекто-
рией движения шарнира А является дуга окружности с
центром в точке В. Изменяемые системы могут находить-
ся в равновесии только при определенных положениях,
которые зависят от вида нагрузки.
Напомним известное из теоретической механики усло-
вие равновесия в форме принципа возможных перемеще-
Рис. 21
ний: если система находится в равновесии, то сумма
работ всех сил, приложенных к ней, на ее возможных
перемещениях равна нулю. Под возможными перемеще-
ниями понимаются перемещения, удовлетворяющие двум
условиям: 1) они должны быть совместимыми со связя-
ми системы; 2) они должны быть малыми величинами
(с точностью до второго порядка малости) по отношению
к параметрам, которые приняты в качестве степеней сво-
боды.
Примем в качестве параметра, определяющего поло-
жение системы, угол <р. Вычислим значение А:
<р
А = I — I cos <р = I (1 — cos <р) = 2/ sin2 — .
При малых значениях <р можно записать:
Загрузим систему силой Р и рассмотрим случай, ког-
да шарнир находится в положении Ль Зададим системе
30
возможное перемещение около положения Ль Возмож-
ное перемещение направлено по касательной к траекто-
рии в точке Ль так как перемещение Д=0 с точностью
до малых второго порядка [см. формулу (1)]. Таким об-
разом, траектория возможного перемещения направлена
по перпендикуляру к силе Р, следовательно, положение
Д] является положением равновесия. Если отклонить
щарнир от положения At, то он будет двигаться до тех
пор, пока не займет положение Аг. Задавая возможное
перемещение в положении Л2, нетрудно установить, что
оно также является положением равновесия. Это поло-
жение называется устойчивым положением равновесия,
так как при отклонениях от этого положения система
будет возвращаться в первоначальное состояние (при
этом предполагается, что сила Р сохраняет вертикальное
направление). Положение равновесия Ai называется не-
устойчивым положением равновесия.
Рассмотрим далее случай, когда шарнир прикреплен
с помощью двух стержней (рис. 21, в). По трем сторонам
можно построить единственный треугольник, следова-
тельно, шарнир А не имеет ни одной степени свободы.
Стержневая система называется геометрически неизме-
няемой, если невозможны перемещения ее точек без из-
менения длин стержней. Если к системе на рис. 21, в
добавить еще один стержень, то он будет лишним с точки
зрения ее геометрической неизменяемости (см. рис. 21,а).
Из курса сопротивления материалов [12] известно, что
система, изображенная на рис. 21, а, является статически
неопределимой, т. е. такой, усилия в которой не могут
быть найдены с помощью уравнений равновесия.
Система, изображенная на рнс. 21, в, имеет, с точки
зрения ее неизменяемости, минимально необходимое чис-
ло стержней. В дальнейшем в этой главе будем рассмат-
ривать только такие системы. Неизменяемая система спо-
собна воспринимать нагрузку до наступления разруше-
ния материала.
Рассмотрим далее присоединение к земле шарнира А,
когда прикрепляющие его стержни лежат на одной пря-
мой (рис. 21, d). С точностью до малых второго порядка
в системе возможно перемещение шарнира А по прямой
°—а- После того как произойдет это перемещение, систе-
ма становится неизменяемой (см. пунктир на рис. 21, д).
Системы, точки которых способны перемещаться без из-
менения геометрических размеров с точностью до малых
31
высшего порядка, называются мгновенно изменяемым!..
Система на рис. 21, д не может находиться в равновесии
при действии на нее вертикальной силы Р, приложенной
в точке А (так как сумма работ на возможном перемеще-
нии а—а не равна нулю).
Система на рис. 21, е при малом угле а является сис-
темой, близкой к мгновенно изменяемой. Вычислим в ней
реакцию Рс:
Pl — Rrlsina = 0; Rr = —.--.
G	G sin a
При малом угле а в стержне АС будет возникать боль-
шое усилие. Таким образом, системы, близкие к мгновен-
но изменяемым, плохо воспринимают нагрузку. Можно
сказать, что в мгновенно изменяемых системах отсутству-
ют связи по некоторым направлениям, например по на-
правлению а—а (см. рис. 21, <Э), поскольку имеются из-
лишние связи по другим направлениям. Например, если
к системе, изображенной на рис. 21, д, приложить к шар-
ниру А силу, действующую по линии АС, то она будет
статически неопределимой.
В качестве несущих конструкций, как правило, ис-
пользуются неизменяемые системы, так как только эти
системы способны воспринимать произвольные нагрузки
вплоть до исчерпания несущей способности ее стержней.
Часть стержневой системы, неизменяемость которой до-
казана, будем называть диском. Для исследования обра-
зования систем вводится неподвижный диск, в качестве
которого обычно используется земля. Иногда в качестве
дисков удобно использовать стержни. На основании из-
ложенного можно сформулировать простейший способ
образования неизменяемых систем: если шарнир присое-
динен к диску с помощью двух стержней, не лежащих на
одной прямой, то полученная система является неизменя-
емой.
В стержневой системе на рис. 22, а шарнир 1 присое-
динен к земле двумя стержнями, не лежащими на одной
прямой, следовательно, треугольник А1В может быть
объединен с землей в единый диск. Далее к этому диску
с помощью стержней 1—2 и В—2 присоединен шарнир 2,
в результате чего образован новый диск, к которому ана-
логично предыдущему присоединен шарнир 3, и т. д. Та-
ким образом, если каждый последующий шарнир присое-
динен к предыдущему диску с помощью двух стержней,
32
Рис. 22
не лежащих на одной прямой, то полученная система яв-
ляется неизменяемой.
Проследим образование системы, изображенной на
рис. 22,6. Шарнир 1 присоединен к земле с помощью двух
стержней. Объединим землю и конструкцию А1В в еди-
ный диск, к которому присоединим шарнир 2 с помощью
двух стержней, не лежащих на одной прямой, и т. д.
Шарнир 4 присоединен к предыдущему диску (на
рис. 22, б заштрихован) с помощью стержня 3—4 и стер-
жня, изображающего шарнирно-подвижную опору. Ана-
логично присоединению шарниров 2, 3, 4 присоединены и
шарниры 2', 3', 4'. Следовательно, система на рис. 22,6
является геометрически неизменяемой, причем в ее со-
став входят только необходимые стержни. Для присоеди-
нения шарниров могут использоваться не только прямо-
линейные стержни, но и стержни произвольной конфигу-
рации, имеющие по концам шарниры. Так, на рис. 22, в, г
показаны неизменяемые системы, образованные из кри-
волинейных стержней.
Рассмотрим далее присоединение дисков к земле. Сво-
бодный диск является системой с тремя степенями сво-
боды. В качестве степеней свободы можно принять посту-
пательные перемещения точки А (Дх, и приращение
угла А<р (рис. 23,а). Если в диске закреплена одна точка
(например, точка А на рис. 23,6), то полученная система
является изменяемой и имеет одну степень свободы.
3—569	зз
Если на диск наложены две связи (рис. 23, в), то траек-
торией движения точки В (с точностью до малых высше-
го порядка) будет прямая 1—1, перпендикулярная к
стержню 1. Аналогично траекторией движения точки С
будет прямая 2—2. Если известны траектории движения
двух точек диска, то мгновенный центр вращения нахо-
дится в точке пересечения перпендикуляров к этим тра-
екториям, т. е. в точке пересечения стержней. При этом
возможным перемещением диска на рис. 23, в является
вращение его вокруг точки А. Точки В и С с точностью
до малых второго порядка будут двигаться по траекто-
риям 1—1 и 2—2. А это значит, что присоединение диска
с помощью двух стержней с точностью до малых высше-
го порядка эквивалентно закреплению диска шарниром,
находящимся в точке их пересечения. Если стержни, при-
крепляющие диск к земле, параллельны, то диск может
перемещаться относительно земли поступательно (центр
вращения находится в этом случае в бесконечности
(рис. 23,г).
Если диск присоединен к земле двумя стержнями, то
система может быть схематически представлена в виде
четырехзвенника (рис. 24,а). Докажем, что положение
четырехзвенника, изображенное на рис. 24, а жирной ли-
нией, является положением равновесия. Четырехзвенник
34
представляет собой систему с одной степенью свободы.
Зададим звену 1 малое перемещение, характеризуемое
углом Л<р. Точка В при этом переместится в положение В'
по траектории 1—1, перпендикулярной звену 1 (рис.
24,6). Далее переместим звено 3 поступательно. Если
точка С принадлежит звену 3, то траектория ее движе-
ния будет 3—3; если она принадлежит звену 2, то траек-
тория движения —2—2, Окончательное положение точки
С будет находиться в пересечении траекторий 2—2 и
3—3 (С'). Используя теорему о равенстве углов с взаим-
но перпендикулярными сторонами, легко показать, что
треугольник, заштрихованный на рис. 24, б, равнобедрен-
ный; при одинаковых длинах звеньев 1 и 2 сумма ра-
бот на возможном перемещении будет РД—РД=О, т. е.
положение четырехзвенника ABCD (рис. 24,6) является
положением равновесия. Аналогично можно показать,
что положение четырехзвенника, показанное на рис. 24, а
пунктиром, также является положением равновесия. Но
в отличие от рассмотренного это положение равновесия
неустойчивое.
На рис. 24, в показано загружение четырехзвенника
одной силой. Докажем, что положение четырехзвенника,
изображенное жирной линией, является положением рав-
новесия. Повернем звено 2 на угол Дф (рис. 24,а), при
3*
35
этом с точностью до величин второго порядка малости
шарнир переместится по прямой 2—2 в положение С.
Переместим звено 3 вместе со звеном 2 так, чтобы оно
оставалось параллельно начальному положению. Если
точка В принадлежит звену 3, то траектория ее движе-
ния будет 3—3; если она принадлежит звену 1, то—1—7.
Окончательное положение точки В будет находиться в
пересечении траекторий 3—3 и 1—1, т. е. точка В оста-
нется на месте. Следовательно, работа силы Р равна ну-
_	лю и положение ABCD (см.
/44 рис. 24, г) является положением
равновесия.
J Y'-o-'-Sj I	Таким образом, четырехзвенник
I ’	в положении равновесия занимает
Р	различные положения в зависимо-
Рис 25 сти от действующей на него нагруз-
ки, т. е. изменяемая система как бы
приспосабливается к действующей
нагрузке. То же имело место и в системе на рис. 21,6.
На рис. 25 показана изменяемая система в виде цепи,
которая в состоянии равновесия под действием сил зай-
мет вполне определенное положение. Иногда подобные
цепи используются в качестве несущих конструкций.
Для того чтобы диск составлял с землей неизменяе-
мую систему, он должен быть присоединен шарниром и
стержнем (рис. 26, а). При этом ось стержня не должна
находиться на прямой, проходящей через шарнир, так
как в противном случае система будет мгновенно изме-
няемой (на рис. 26, б точка В может смещаться вдоль
прямой 3—3).
Как указывалось выше, свободный диск имеет три
степени свободы, следовательно, его можно прикрепить с
помощью трех стержней (на рис. 26, в стержни 1, 2, 3).
При этом существенно, чтобы оси стержней не пересека-
лись в одной точке, так как в противном случае система
станет мгновенно изменяемой (рис. 26,г). На рис. 26,в, г
пунктиром показаны дополнительные связи. Связь, изо-
браженная на рис. 26, в, не требуется с точки зрения не-
изменяемости системы. Такие связи называются лишни-
ми. Ось стержня, показанного пунктиром на рис. 26, г,
проходит через точку А. При этом система остается мгно-
венно изменяемой. Подобные связи называются ложны-
ми. На рис. 26,6 показано присоединение диска к земле
тремя параллельными стержнями (1, 2, 3) (точка пересе-
36
чения этих стержней находится в бесконечности). Полу-
ченная система является изменяемой. На рис. 26, д пунк-
тиром показана ложная связь.
На рис. 27 изображены различные системы, прикреп-
ленные к земле с помощью шарнира и стержня (рис.
27, а—д) и трех стержней (рис. 27, е—м). Системы на
рис. 27, д, к, л являются мгновенно изменяемыми, так как
в случае, показанном на рис. 27, д, ось прикрепляющего
стержня проходит через шарнир, а в случаях, изображен-
ных на рис. 27, к, л, прикрепляющие стержни пересекают-
ся в одной точке, относительно которой возможен малый
поворот. Система на рис. 27, м является изменяемой, так
как прикрепляющие стержни параллельны между собой.
Остальные системы неизменяемы.'
При анализе стержневых систем их удобно разбивать
На диски, неизменяемость которых очевидна. В этом слу-
37
чае для анализа неизменяемости всей системы достаточ-
но проанализировать соединение дисков между собой.
Рассмотрим различные случаи соединений.
1.	Соединение двух дисков. Два диска могут соеди-
няться в неизменяемую систему либо с помощью шарни-
ра и стержня (рис. 28, а), либо с помощью трех стержней
(рис. 28,в). При этом в первом случае ось стержня не
должна проходить через шарнир (рис. 28,6), а в случае
соединения с помощью трех стержней их оси не должны
проходить через одну точку (рис. 28, г).
Примеры соединения дисков рассмотрены на рис. 29.
На рис. 29, а показано соединение двух дисков с помощью
шарнира 1 и стержня 2, причем стержень 2 не проходит
через шарнир 1, следовательно, диски I и II можно рас-
сматривать как единый диск. Этот диск присоединен к
земле шарниром А и стержнем 3. Ось стержня 3 не про-
ходит через шарнир А. Система, изображенная на
38
рис. 29, б, является неизменяемой, так как два диска сое-
динены с помощью трех стержней, не пересекающихся в
одной точке. На рис. 29, в, г показаны мгновенно изменя-
емые системы (три стержня, соединяющие диски, в обо-
39
их случаях пересекаются в одной точке). В обеих систе-
мах возможен поворот одного диска относительно друго-
го, например при повороте треугольника AiBiCi
(рис. 29, г) его точки могут смещаться вдоль прямых,
перпендикулярных стержням 1, 2, 3.
2.	Последовательное соединение дисков (рис. 30).
Диск / соединен с диском II шарниром А и стержнем ВС.
Диск / и диск // образуют но-
вый диск, к которому присо-
единен диск III с помощью трех
стержней, не пересекающихся
в одной точке. Следовательно,
диски I, II, III можно объеди-
нить в единый диск, к которо-
му присоединен диск IV шар-
ниром Дг и стержнем В^С^. Си-
стема, образованная путем пос-
ледовательного соединения ди-
сков, является неизменяемой
(рис. 31).
3.	Соединение трех дисков
(рис. 32). Если шарнир С не
находится на линии АВ, то, как
такая система является не-
изменяемой. Но каждый шарнир эквивалентен двум
стержням, следовательно, соединение с помощью
шарнира можно заменить соединением с помощью
двух стержней. Например, вместо шарнира С мож-
но поставить два стержня, оси которых пересекаются
в точке С (на рис. 32,а показаны пунктиром). Таким об-
разом, три диска можно соединить шестью стержнями,
причем каждые из двух дисков должны быть соединены
двумя стержнями. Точки пересечения этих стержней на-
зовем эквивалентными шарнирами. Для неизменяемости
системы необходимо, чтобы эквивалентные шарниры не
лежали на одной прямой (рис. 32, б) (т. е. площадь тре-
угольника АВС должна быть отлична от нуля). В соот-
ветствии со сказанным система на рис. 32, в мгновенно
изменяема.
В системе, состоящей из трех дисков /, //, III (рис. 33),
диски // и III соединены шарниром С. Диск I соединен с
диском II стержнями 1, 2, а диск III — стержнями 3, 4
(стержни 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 33 сплошными лини-
ями). Шарнир С не лежит на прямой, соединяющей эк-
40
Бивалентные шарниры А и В, следовательно, эта система
является неизменяемой. Если стержни 2 и 3 заменить
стержнями 2' и 3' (на рис. 33 показаны пунктиром), то
система станет мгновенно изменяемой, так как точки
Д], С, Bt лежат на одной прямой. При этом точка С мо-
жет иметь малое перемещение по вертикали, а диски I и
Рис. 34
Рис. 33
// — малые повороты, соответственно, относительно точек
At и Bi.
Рассмотрим далее систему дисков, соединенных шар-
нирами и стержнями. Обозначим: Д — число дисков,
Ш — число шарниров, С — число стержней. Каждый диск
имеет три степени свободы, следовательно, полное число
степеней свободы равно ЗД. Каждый шарнир эквивален-
тен наложению двух связей, а стержень — наложению
одной связи, следовательно, число наложенных связей
равно 2ШД-С. Если шарнир соединяет не два, а больше
41
дисков (рис. 34), то такой шарнир называется сложным.
Каждый сложный шарнир эквивалентен (Д—1)-му про-
стому шарниру, т. е. Ш=Д—1, где Ш — число простых
шарниров.
Если система не имеет ложных связей, то минималь-
ное число степеней свободы может быть определено по
формуле
п = ЗД-2Ш —С.	(2)
Если система дисков не скреплена с землей и в число
связей входят только необходимые связи, то и=3, и со-
отношение (2) примет вид:
2Ш+С = ЗД —3.	(3)
Если система присоединена к земле, то для опреде-
ления числа необходимых связей может быть использо-
вана формула
2Ш + С = ЗД.	(4)
Землю при этом не надо включать в состав дисков. Если
система не имеет ложных связей, то при Ш-\-СД>ЗДсис-
тема имеет лишние связи, а при Ш~\-С<ЗД является из-
меняемой. Итак, формула (4) позволяет определять ми-
нимальное число связей, необходимых для образования
неизменяемых систем.
Как известно из курса сопротивления материалов,
стержневые системы делятся на статически определимые
и статически неопределимые. Покажем далее, что неиз-
меняемые системы, все связи которых необходимы, явля-
ются системами статически определимыми. Для доказа-
тельства воспользуемся принципом возможных переме-
щений. Отбросим одну из связей. Так как система имеет
только необходимые связи и является неизменяемой, то
после отбрасывания одной из связей она превратится в
механизм с одной степенью свободы. Зададим этому ме-
ханизму возможное перемещение. В силу сказанного вы-
ше, это возможное перемещение будет определяться од-
ним параметром. Примем в качестве этого параметра пе-
ремещение по направлению отброшенной связи. Далее
составим сумму работ внешних сил на этом возможном
перемещении:
$Л + ЛР = О;	(5)
здесь S — искомое усилие; Д — перемещение по направлению иско-
мого усилия, принятое в качестве параметра, определяющего пело-
42
ткения всех точек системы; Др — работа внешних сил (подсчитыва-
ется как произведение внешних сил Р на перемещения по их на-
правлению).
Механизм, полученный после отбрасывания связей,
имеет одну степень свободы, следовательно, все переме-
щения выразятся через перемещения Д. При составлении
уравнения (5) необходимо ограничиваться перемещения-
ми первого порядка малости, сле-
довательно, работа АР будет за-
висеть линейно от смещения Д.
Сокращая на перемещение Д, по-
лучим искомое усилие. Уравнение
(5) можно использовать для оп-
ределения усилия в любой связи.
Таким образом, в неизменяемой
системе с необходимыми связями
усилие в любой связи может быть
определено с помощью уравнений
равновесия и, следовательно, си-
стема является статически опре-
делимой.
Остановимся далее на некото-
рых вопросах геометрического
анализа пространственных стерж-
невых систем. Узлы пространст-
венных систем бывают, как пра-
вило, либо жесткими, либо шар-
нирными. В случае жесткого узла
Рис. 35
Рис. 36
при деформациях системы в них не возникает взаимного
поворота одного стержня относительно другого. Шарнир
ные узлы могут быть двух типов (рис. 35). Первый тип
носит название шарового шарнира (рис. 35,о). Этот
шарнир обеспечивает свободный поворот относительно
всех трех осей (х, у, z). Второй тип (рис. 35,6) называет-
ся цилиндрическим шарниром и обеспечивает свободу
повопота только относительно одной оси (на рис. 35, б —
оси у).
Первоначально рассмотрим случай, когда все узлы
пространственной стержневой системы являются шаро-
выми шарнирами. Положение шарнира в пространстве
определяется тремя координатами (рис. 36); следова-
тельно, для закрепления шарнира необходимо наложить
на него три связи. На рис. 37, а показано присоединение
шарнира А тремя стержнями (/, 2, 3). Полученная систе-
43
ма является неизменяемой в том случае, если шарнир А
не лежит в плоскости треугольника BCD. В противном
случае система будет мгновенно изменяемой. На рис. 37, а
это соответствует положению шарнира в точке А;. При
этом связи Г, 2', 3' (показаны пунктиром) не препятст-
вуют (с точностью до малых второго порядка) перемеще-
нию точки Л1 вдоль прямой А\А. Пирамида ABCD явля-
ется неизменяемой системой. Если к ней присоединен
шарнир Е с помощью трех стержней (4, 5, 6), не лежа-
щих в плоскости АВС, то полученная пространственная
система, изображенная на рис. 37, б, является неизменяе-
емой. Итак, сформулируем простейший способ образова-
ния пространственных стержневых систем. Если каждый
последующий шарнир присоединяется к предыдущему
44
диску с помощью трех стержней, не лежащих в одной
плоскости, то полученная система является неизменяе-
мой. Пространственную систему стержней, неизменяе-
мость которой доказана, будем называть пространствен-
ным диском.
Используя сформулированный способ, докажем неиз-
меняемость пространственных систем, показанных на
рис. 38. Пирамиды ABCD в обеих системах неизменяемы,
к ним присоединены шарниры Е с помощью стержней /,
2, 3, не лежащих в одной плоскости. Шарниры F присое-
динены к предыдущему диску стержнями 4, 5, 6.
В системе на рис. 38,6 шарнир G присоединен стер-
жнями 7, 8, 9. Таким образом, обе системы являются не-
изменными.
Рассмотрим присоединение пространственных дисков
к земле. В общем случае свободный пространственный
диск имеет шесть степеней свободы. Для закрепления
диска необходимо наложить на него шесть связей (опор).
Опоры, все шарниры которых являются шаровыми,
показаны на рис. 39, а, б, в. Опора на рис. 39, а уничто-
жает одну степень свободы, следовательно, тело, присое-
диненное с помощью такой опоры, имеет пять степеней
свободы (линейные смещения вдоль осей х, у и повороты
относительно всех трех осей). Эта опора носит название
шарнирно-подвижной опоры. На рис. 39, б показана опо-
ра, уничтожающая две степени свободы, на рис. 39, в —
опора, уничтожающая три степени свободы (три линей-
ных смещения вдоль осей х, у, z). Такие опоры называют-
ся шарнирно-неподвижными. Они обеспечивают свободу
поворота относительно осей х, у, z, при этом все линей-
ные перемещения шарнира С равны нулю.
Для прикрепления дисков к земле помимо шаровых
шарниров могут использоваться и цилиндрические шар-
ниры (шарнир С на рис. 39,а). Опора, показанная на
рис. 39, г, уничтожает четыре степени свободы (линей-
ные перемещения вдоль осей х, z и повороты относитель-
но тех же осей).
На рис. 40, я показано присоединение пространствен-
ного диска с помощью трех опор А, В, С (опора А — шар-
нирно-неподвижная, опора С — шарнирно-подвижная).
Если присоединить диск с помощью опор А и В, то он бу-
дет иметь свободу поворота относительно осп АВ. Для
того чтобы уничтожить этот поворот, необходимо поста-
вить стержень в точке С. Ось этого стержня не должна
45
пересекать ось АВ, так как в противном случае система
станет мгновенно изменяемой. На рис. 40, б показано
присоединение диска с помощью цилиндрического шар-
нира и шарнирно-подвижных опор. На рис. 40, в показа-
на мгновенно изменяемая система, допускающая свобо-
ду малого поворота, при этом точка С перемещается
вдоль прямой с—с. На рис. 41 показаны неизменяемая,
изменяемая (возможен поворот относительно оси z) и
мгновенно изменяемая (возможен малый поворот относи-
тельно осп у, при этом точка В перемещается вдоль пря-
мой b—Ь) системы.
§ 9. Виды стержневых систем
В курсе сопротивления материалов изучались простые
консольные и двухопорные балки. В строительной меха-
нике изучаются системы простых балок, соединенных
шарнирами. Подобные системы будем называть много-
шарнирными балками (рис. 42). Исследуем их образова-
ние, используя материал § 8. На рис. 43, а пояснено об-
46
разование системы, изображенной на рис. 42, а. Земля
обозначена на рис. 43 цифрой I. На рис. 43, а в нее вклю-
чена и жестко присоединенная консольная балочка АВ.
К земле присоединен диск II шарниром В и стержнем 1
(ось стержня / не пересекает шарнир В). Следовательно,
диски 7 и II можно объединить в единый диск, к которо-
му диск III присоединен шарниром D и стержнем 2
и т. д. Таким образом, система на рис. 42, я является ге-
ометрически неизменяемой. Эта система имеет только
необходимые стержни, следовательно, она статически
определима.
На рис. 43, б пояснено образование системы, изобра-
женной на рис. 42, б. Исследуем ее неизменяемость. Диск
II соединен с землей тремя стержнями (АВ, 1, 2), не пе-
ресекающимися в одной точке, следовательно, диски I и
II можно объединить в один диск. Диск III присоединен
к этому диску шарниром и стержнем, аналогично присо-
единен и диск IV. Следовательно, диски I, 77, III и IV
можно объединить в единый диск, к которому присоеди-
нен шарнир К с помощью двух стержней, оси которых не
лежат на одной прямой. Система на рис. 42, б является
неизменяемой и статически определимой (так как все
связи являются необходимыми).
На рис. 43, в пояснено образование системы, изобра-
женной на рис. 42, в. Рассмотрим систему дисков I, II,
III. Диск 77 соединен с диском 7 двумя стержнями (АВ
47
и /), которые пересекаются в точке С. Диск III соединен
с диском земли двумя параллельными стержнями (2 и 3),
точка пересечения которых находится в бесконечности.
Диски II и 111 соединены шарниром D. Таким образом,
имеем случай соединения трех дисков с помощью шарни-
ра и четырех стержней, причем точки пересечения стер-
жней и шарнир не лежат на одной прямой. Система дис-
ков 1, II и III представляет собой неизменяемую систему.
Присоединение остальных дисков аналогично предыду-
щему. Следовательно, система на рис. 42, в является не-
изменяемой и статически определимой. Аналогично мож-
но доказать неизменяемость и статическую определи-
мость балки, изображенной на рис. 42, а.
Стержневая система, состоящая из прямолинейных
стержней, соединенных жесткими и шарнирными узлами,
называется рамой.
Рамы на рис. 44, а, б, в являются неизменяемыми и
статически определимыми. Система на рис. 44, а является
диском, жестко присоединенным к земле. Жесткое при-
соединение ликвидирует три степени свободы (две посту-
пательных и вращательную). Рамы на рис. 44,6, в пред-
ставляют собой диски, присоединенные к земле шарни-
ром А и стержнем В, причем ось стержня в обоих случаях
не проходит через ось шарнира. Исследуем образова-
ние рамы, показанной на рис. 44, г. Диск II жестко соеди-
нен с диском /, следовательно, эти диски могут быть
объединены в один, диск III присоединен к нему шарни-
48
ром и стержнем, аналогично присоединен и диск IV.
Для пояснения работы сложных стержневых систем
напомним характер работы простейшей балки (рис. 45,а).
В поперечном сечении балки на расстоянии к возникает
момент и поперечная сила:
.. gl	gx2-
М —----х —-----
2	2
Q =~ — gx.
Нормальные напряжения в балке изменяются по ли-
нейному закону, причем наибольшие их значения возни-
кают в крайних наиболее удаленных волокнах. Поэтому
сечением, рационально работающим на изгиб, является
двутавр. Полки двутавра воспринимают значительную
долю изгибающего момента, а стенка служит для связи
полок между собой и для восприятия касательных напря-
Рис. 45
4 -569
49
жений, возникающих от действия поперечной силы. Чем
больше пролет балки, тем выше должна быть высота
двутавра. Двутавры бывают прокатными, сварными или
клепаными. Прокатка высоких двутавров вызывает
серьезные технологические затруднения. Поэтому при
больших пролетах используются двутавры сварные и
клепаные. Однако при больших высотах эти конструкции
Нерациональны.
Для перекрытия больших пролетов применяются си-
стемы со сквозной стенкой — фермы (рис. 46,а). Ферма
состоит из двух поясов, объединенных в единую конструк-
Рис. 46
цию при помощи решетки (раскосов и стоек). Работа
фермы аналогична работе двутавра: пояса фермы рабо-
тают на растяжение и сжатие и воспринимают изгибаю-
щий момент, а решетка служит для связи между пояса-
ми и воспринимает поперечную силу. Высота ферм мо-
жет быть большой, поэтому фермами можно перекрывать
значительно большие пролеты, чем балками. Фермы мо-
гут быть металлическими или железобетонными. Стерж-
ни металлических ферм имеют значительные длины, и,
как показали расчеты, с достаточной для практики точ-
ностью узлы ферм можно считать шарнирными. Фермы с
шарнирными узлами являются идеализированными кон-
50
струкциями. В дальнейшем под фермами будем понимать
именно такие" конструкции. В местах, где такое понятие
фермы может привести к недоразумениям, будем гово-
рить о фермах с жесткими узлами. Железобетонные
фермы имеют массивные поперечные сечения, поэтому их
узлы нельзя считать шарнирными.
На рис. 46, б показаны две главные фермы моста. Они
связаны в жесткую прямоугольную коробку с помощью
балочной клетки и ветровых связей. Балочная клетка
представляет собой систему продольных и поперечных
балок. Нагрузка от подвижного состава передается на
Рис. 47
продольные балки, затем распределяется между попереч-
ными балками, через которые передается в узлы главных
ферм.
На рис. 47, с показана идеализированная ферма, за-
груженная равномерно распределенной нагрузкой, кото-
рая передается в узлы фермы. Покажем, что в стержнях
такой фермы возникают только нормальные силы. Выде-
лим из фермы произвольный стержень АВ (рис. 47, б).
Обозначим силы, действующие по концам стержня, RA и
RB. Моменты по концам стержня равны нулю, так как
узлы шарнирные.
Разложим силу RB на две составляющие NB и QB. Из
условия ХЛ'1Л=0 имеем: QBl=0, отсюда QB=0. Анало-
гично из £МВ—О имеем: QAl=0, отсюда Qa=0. Из усло-
вия суммы проекций на ось стержня получим NA = NB —
=N. Таким образом, в стержнях идеальных ферм возни-
4*
51
кают только продольные силы, при этом стержни фермы
работают либо на растяжение, либо на сжатие.
На рис. 47, в показана часть фермы, загруженная уз-
ловой нагрузкой. Нормальные силы в поясах уравнове-
шивают момент левых сил, а вертикальная составляю-
щая силы N3 уравновешивает вертикальную составляю-
щую внешней силы. Очевидно, что пояса фермы,
изображенной на рис. 47, а, будут более нагружены бли-
же к середине фермы (в соответствии с эпюрой момен-
тов), а решетка будет более нагружена ближе к опорам
(в соответствии с эпюрой поперечных сил).
Фермы широко используются в качестве несущих кон-
струкций. По своему назначению фермы могут быть
стропильными (служащими для поддержания крыши),
подкрановыми (рис. 48,а), мостовыми, с «ездой понизу»
Рис. 48
Рис. 49
52
(рис. 48,6) и «ездой поверху» (рис. 48,в), стрелами кра-
нов и т. д.
По очертанию поясов фермы бывают полигональными
(рис. 49,с, е) или с параллельными поясами (рис.49,б).
По типу решетки они делятся на фермы с треугольной
решеткой (рис. 49,6, г), фермы с полураскосной решет-
кой (рис. 49, а), фермы двухрешетчатые (рис. 49,6) и т. д.
Исследуем образование ферм, показанных на рис 49
В фермах на рис. 49, а, б к треугольнику АВС последо-
вательно присоединяются шарниры 1, 2, 3... с помощью
двух стержней, оси которых не лежат на одной прямой.
Ферма, показанная на рис. 49, в, имеет решетку, состоя-
щую из треугольников. Таким образом, фермы,’изобра-
женные на рис. 49,п, б, в, являются неизменяемыми и
статически определимыми.
Из дисков ферм, соединенных шарнирами, можно со-
брать сложную ферму аналогично тому, как это дела-
лось при образовании многошарнирных балок (см. рис.
42). На рис. 49, г показана подобная геометрически неиз-
меняемая и статически определимая система.
Для перекрытия больших пролетов помимо ферм ис-
пользуются арки. Па рис. 50 показана трехшарнирная
арка, которая представляет собой распорную систему,
так как при действии вертикальной нагрузки на ее опо-
рах возникают горизонтальные силы Н, называемые
распором. До сих пор рассматривались безраспорные си-
стемы, т. е. такие, в которых не возникает горизонталь-
ных реакций при действии вертикальной нагрузки.
Вычислим момент в арке в сечении 1—1:
.. в1 v gx2.
М~ 2	2 -~нУ = мб — Ну-	(6)
Здесь Мб — момент, возникающий в балке с пролетом I.
Как следует из выражения (6), распор уменьшает
момент по сравнению с моментом в балке равного проле-
та. Для восприятия распора в системе, показанной на
рис. 50, использованы две шарнирно-неподвижные опо-
ры. Иногда для восприятия распора используется затяж-
ка (рис. 51,с). В этом случае арка состоит из двух дис-
ков 1 и II, соединенных шарниром С и стержнем АВ.
Далее этот диск присоединен к земле шарниром А и стер-
жнем В. На рис. 51,6 показана трехшарнирная рама, ко-
торая работает аналогично трехшарнирной арке.
На рис. 52 показана мостовая арка с надарочным
53
а)	Л
Г~'Г7~'Г~Т-ГТ~ V Т Ч. СШЗХЕ&«
Рис. 61
54
строением при «езде поверху». Эта система образована
объединением дисков арки и земли в единый диск, к ко-
торому двумя стержнями присоединен шарнир 1. Все по-
стадующие шарниры (2, 3, 4...) присоединены аналогич-
но. В качестве дисков арочных систем могут использо-
ваться и фермы (рис. 53). Подобные системы получили
название арочных ферм.
Обратим внимание на то, что не всякую статически
определимую и геометрически неизменяемую систему
легко исследовать, используя геометрический анализ об-
разования. Так, например, для доказательства неизме-
няемости и статической определимости комбинированной
системы, состоящей из двух балок, соединенных шарни-
ром, и усиленной цепью (рис. 54), не могут быть исполь-
зованы приведенные выше приемы геометрического ана-
лиза. В данном случае необходимо применить аналити-
ческий метод, сущность которого пояснена ниже.
Докажем неизменяемость и статическую определи-
мость пространственной фермы (расчетная схема стрелы
крана) (рис. 55). Пирамида ABCD является неизменяе-
мой и статически определимой. К ней присоединен шар-
нир 1 с помощью трех стержней, не лежащих в одной
плоскости, аналогично присоединены и остальные шар-
ниры 2—17. Следовательно, ферма является статически
определимой и геометрически неизменяемой системой.
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И МАТРИЦЫ В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
§10. Принцип возможных перемещений в задачах
определения усилий в статически определимых
системах
При составлении уравнений равновесия статически
определимой системы для вычисления опорных реакций
и внутренних сил будем часто использовать принцип воз-
можных (виртуальных) перемещений. Уравения равно-
весия системы будут часто записываться не в виде ра-
венства нулю суммы проекций или суммы моментов сил,
а в виде равенства нулю возможной работы. Принцип
возможных перемещений называют еще принципом Лаг-
ранжа, а соответствующие уравнения — уравнениями
Лагранжа.
55
Напомним, что, согласно этому принципу, механичес-
кая система находится в равновесии тогда и только тог-
да, когда работа всех сил на любом возможном переме-
щении равна нулю. Возможным перемещением называет-
ся любое бесконечно малое перемещение, совместимое со
связями системы.
Для использования этого принципа в задачах расче-
та статически определимых систем по недеформирован-
ной схеме необходимо предварительно представить за-
данную неизменяемую систему в виде механизма с одной
или многими степенями свободы, а затем составить урав-
нение (или уравнения) Лагранжа. Например, определим
реакцию VB на опоре В двухпролетной балки (рис. 56, а),
имеющей внутренний шарнир. Отбросив связь, соответ-
ствующую силе VB, получим механизм с одной степенью
свободы, так как его отклонения от исходного положения
равновесия можно характеризовать одной величиной (од-
ним параметром) (рис. 56,6). В качестве этого парамет-
ра примем, например, угол поворота левого стержня <р.
Через ф выражаются вертикальные бесконечно малые пе-
ремещения: А1 = 2/<р; Дв=4/<р;
Аг~6/(р; Дз=6/<р.
Рис. 56
Приравняв нулю возможную работу Л, получим урав-
нение для определения Рр:
Л=-Р1Д1+УвДв-/’гД2+РзДз = 0	Ю
или
- Р± (2/<р) + VB (4/ф) - Р2 (6/ф) + Р3 (6/<р) = 0.
Сокращая это равенство на <р/, находим
=-у (2Рг + 6Р2 — 6Р3) = -у- (2-10-J-6-4 — 6-6) = 2 кН. (8)
Необходимо предупредить о часто встречающемся не-
правильном понимании существа этой методики. Пере-
мещения, показанные на рис. 56,6, возникли не от силы
Ув и не от нагрузки. Задавая возможные перемещения,
мы производим как бы мысленный эксперимент по изу-
чению равновесия вспомогательного механизма. Резуль-
татом этого эксперимента является выражение возмож-
ной работы А — формула (7), из которой определяется
Ув.
Для определения перемещений — прогибов, углов поворота бал-
ки — можно также использовать непосредственно принцип возмож-
ных перемещений. Но расчетная схема (расчетная модель) сооруже-
ния должна быть в этом случае другой. Необходимо рассматривать
эту балку как систему с бесконечно большим числом степеней сво-
боды — бесконечно большим числом бесконечно малых упругих эле-
ментов. В гл. VIII будет более детально рассмотрена задача вы-
числения перемещений. Сейчас лишь отметим изменение расчетной
схемы при решении различных задач для одной п той же конструк-
ции: для вычисления реакций или внутренних сил стержни временно
рассматриваются как абсолютно жесткие элементы системы (см.
рис. 56,а), для вычисления перемещений — как упругие системы с
бесконечно большим числом степеней свободы.
Эпюру виртуальных перемещений (см. рис. 56,6) за-
меняют часто эпюрой виртуальных скоростей, подчерки-
вая, что эти перемещения ввиду их бесконечной малости
направлены, как и скорости (см. рис. 56,в), по касатель-
ной к воображаемой траектории движения механизма с
одной степенью свободы.
Рассмотренный метод определения реакции VB назы-
вают еще кинематическим методом, с помощью которо-
го можно определить любую внутреннюю силу или опор-
ную реакцию статически определимой стержневой систе-
мы. Необходимо лишь для определения каждой силы рас-
сматривать новый вспомогательный механизм, отбрасы-
вая соответствующую связь заданной системы. Покажем
это на примере плоской стержневой системы.
57
Для общности дальнейших рассуждений введем еди-
ную модель для опорных реакций и внутренних сил. Бу-
дем полагать, что известны линии действия искомых
опорных реакций и определяются лишь их значения.
Для подвижной опоры (рис. 57, а) это всегда так. Реак-
цию на неподвижной опоре можно разложить на две со-
ставляющие (два компонента) по заранее фиксирован-
ным направлениям, например на вертикальную V и гори-
зонтальную Н (рис. 57,6). Аналогично в заделке будет
три компонента реакций: V, Н и М (рис. 57,в). В даль-
нейшем под «реакцией» имеется в виду одна из состав-
ляющих. Каждую из реакций V и Н можно представить
как усилие в некотором стержне, поставленном по фик-
сированному направлению (см. рис. 57, а, 6). При вычис-
лении, момента М в заделке можно при желании пред-
ставить его как усилие S в стерженьке, поставленном на
единичном расстоянии от оси балки (рис. 57,г). Числен-
но S будет равно М.
При определении компонентов внутренних сил N, Q,
М в фиксированном сечении можно и их представить как
58
усилия в некоторых стерженьках, связывающие левую и
правую части системы (например, балки). При вычисле-
нии поперечной силы Q взаимодействие левой и правой
частей представим в виде усилий в трех стерженьках
(рис. 58,с). Два продольных стержня передают в этой
схеме продольную силу и изгибающий момент и не вос-
принимают поперечной силы. Поперечный стержень пе-
редает силу Q. Аналогично при вычислении силы N или
момента М можно использовать схемы рис. 58, б или в.
Для упрощения рисунков будем часто эти схемы изо-
бражать в виде, показанном соответственно на рис. 59,а,
б, в, имея в виду, что, например, отбрасывается связь,
соответствующая обобщенной силе М (рис. 59,в), кото-
рая производит работу на угле взаимного поворота смеж-
ных сечений <р.
Таким образом, можно не делать принципиального
различия между вычислением реакций и внутренних сил,
рассматривая и те, и другие как усилия в некоторых свя-
зях системы (речь идет, конечно, о принципиальной сто-
роне вопроса. Практически при вычислениях «вручную»
в большинстве задач сначала вычисляют опорные реак-
ции, а затем через них — внутренние силы).
Основываясь на принятой выше схематизации уси-
лий, покажем справедливость так называемого принципа
независимости действия сил (принципа суперпозиции)
для определения усилий в статически определимых си-
стемах. В сопротивлении материалов он вводился имен-
но как принцип с последующей иллюстрацией его спра-
ведливости на конкретных задачах. Покажем, что в ста-
тически определимых системах этот принцип в общем
случае вытекает из допущения о недеформируемости рас-
четной схемы.
Рассмотрим произвольную статически определимую
систему. На рис. 60, а она для простоты изображена в
виде балки с внутренним шарниром. Перенумеруем все
вычисляемые внутренние силы и реакции и найдем фор-
мулу для определения произвольной силы Предста-
вим ее в виде усилия в условном стержне. Например,
схема для вычисления момента в i-м сечении показана
на рис. 60, б. Отбросив i-ю связь, получим систему — ме-
ханизм с одной степенью свободы (это следует из неиз-
меняемости и статической определимости исходной систе-
мы; связей было достаточно для неизменяемости и не
было лишних связей).
59
К полученному механизму, кроме нагрузок, приложим
искомую силу Sj и зададим возможные перемещения
(рис. 60,в}. В качестве характерного параметра примем
перемещение 6г, на котором производит работу сила S,.
Механизм можно представить и в виде, показанном на
рис. 60, г.
Бесконечно малые перемещения Дь Д2, ..., Дп, на ко-
торых совершают работу заданные нагрузки, будут с
точностью до малых первого порядка линейными функ-
циями параметра 6,:
= А2 = /?26г;..,; Aft = 6ft 6г;...; Лп = 6п6г.	(9)
Случай, когда параметр 6г с точностью до малых первого
порядка равен нулю, может быть только в мгновенно из-
60
меняемых системах, например в балке (см. гл. II, рис.
21, <?). Такие системы здесь не рассматриваются.
Из недеформируемости расчетной схемы следует так-
же, что коэффициенты Ьь зависят лишь от исходной гео-
метрии системы и не зависят от значений нагрузок, ха-
рактеристик материала и т. и.
Записывая уравнение возможных работ
A = Si«i + P1Ai + P2A2-f-...+P„A„ = O,	(Ю)
подставляя в него выражения (9)
St бг + Рг (Ьг бг) + Р2 (b2 6j) +...+ Рп (bn 6£) = 0
и сокращая на б;, получим для S, формулу
5г = (-^)Л-Н-1'2)б2+...+ (-МЛ1.	(Н)
Обозначая коэффициенты — bk через Sik, перепишем (11)
в виде:
Sj = silPl +Sj2^2 + - • • +Sin Рп.	(12)
Выясним механический смысл коэффициентовs,b. По-
ложим, например, Pi=l, а остальные силы равными ну-
лю: Р2=Рз = .:—Рп=0. Тогда Si будет численно рав-
но s,!. Аналогично каждый из коэффициентов Sik равен
искомому усилию Si от соответствующей /г-й единичной
силы Рк—i- Конечно, речь идет о численном равенстве.
Размерность коэффициента Sik не совпадает с размерно-
стью усилия Si. Но такая трактовка этого коэффициен-
та удобна тем, что она наглядна и облегчает понимание
алгоритма вычислений.
Таким образом, формула (12) дает запись принципа
суперпозиции, т. е. показывает, что в статически определи-
мой системе любое усилие от действия нескольких на-
грузок может быть представлено в виде алгебраической
суммы усилий от каждой нагрузки в отдельности. При-
чем каждое из слагаемых можно представить в виде про-
изведения соответствующего усилия от единичного воз-
действия Sik, увеличенного в Рк раз.
В обозначении Sik первый индекс показывает, где вы-
числяется усилие, второй — от чего.
На рис. 60 нагрузка показана в виде сосредоточенных
сил. Рассуждения, сделанные при получении формулы
(12), будут справедливыми и в случае, когда нагрузка
задана в виде обобщенных сил Pk- Тогда перемещения
Дй будут обобщенными перемещениями. Например, если
имеется внешний момент Pk—Mh, то соответствующее
61
перемещение Дд будет углом поворота сечения или узла,
к которому приложен момент.
Понятие единичной силы, от которой определяется
sih также в общем случае условно. Допустим, распреде-
ленная нагрузка задана несколькими интенсивностями:
9г, 9з- В этом случае за параметр Ph можно принять
qh-.Pk=qk, а например, sn будет искомым усилием
от распределенной нагрузки, у которой 91 = 1; 92=0
и т. д.
В качестве примера составления выражения (12) получим соот-
ветствующую зависимость для крутящего момента Л1кр1 в се-
чении / (вблизи заделки) системы на рис. 61, а. Система состоит из
двух стержней. Стержень / жестко заделан в сечении 1 и образует
с «землей» диск. Стержень , I соединен с этим диском шаровым
шарниром 2 (три связи) и подвижной опорой 3 с цилиндрическим
шарниром (три связи). Эти связи полностью исключают перемещения
стержня II. Система статически определима и геометрически неиз-
меняема.
Нагрузка характеризуется
Pt и Р2, моментом М = Рз и
(12) будет четыре слагаемых,
чиная с выражения (9).
Уберем в сечении 1 связь
приложив Л1Кр1 к заделке и к
четырьмя параметрами: двумя силами
интенсивностью q = В выражении
Проследим вначале их получение, на-
по направлению крутящего момента,
полученному механизму с одной сте-
пенью свободы (рис. 61,6, в). Оставшиеся в сечении 1 пять связей
препятствуют всем перемещениям и поворотам сечения, кроме поворо-
та вокруг оси г. Будем характеризовать возможные перемещения ме-
ханизма бесконечно малым углом поворота <р=б стержня 1 вокруг
оси г. Остальные перемещения выразятся через ф (см. рис. 61,6).
Получим Д1 = 0, Да = —аф. Дз = Ф> А* — (а ф)/2-
Перемещение по направлению Pi равно нулю, а по направлению
силы Р2 отрицательно (работа этой силы на перемещении гар отри-
цательна). Обобщенная сила Рз—"* производит положительную
работу на угле ф.
Работу равномерно распределенной нагрузки q можно вычислить
в виде интеграла
a
qa?
Т45-
Поскольку в качестве обобщенной силы принята интенсивность
о то, согласно определениям понятий обобщенных сил и перемеще-
ний, обобщенным перемещением будет сомножитель а2ф/2, т. е. пло-
щадь эпюры перемещений под нагрузкой. (Если бы в качестве обоб-
щенной силы мы приняли равнодействующую qa, то обобщенным
перемещением была величина оф/2, J- е. перемещение середины кон-
соли. Важно, чтобы произведение обобщенной силы и обобщенного
перемещения давало то же значение работы qa2(p.)
62
Рис. 61
63
Нетрудно убедиться, что каждый из коэффициентов выражения (14)
равен крутящему моменту в сечении 1 от соответствующей единич-
ной нагрузки.
На рис. 61, в, г показаны соответствующие расчетные схемы для
вычисления 2-го и 4-го коэффициентов.
Обратим внимание на двойственный характер коэф-
фициентов Sih- Кроме механической интерпретации как
усилий от единичных внешних сил они имеют и кинема-
тическую трактовку, которая следует из способа их по-
лучения. Каждый коэффициент равен, согласно (10),
отношению (см. рис. 60,в и рис. 61,б):
«л =— biJbi-	(,51
Его можно рассматривать как перемещение по на-
правлению Ph от малого единичного перемещения 6, с
обратным знаком, т. е. от б<=—1. Такое перемещение
вызывается в заданной системе положительной единич-
ной деформацией элемента, в котором действует это уси-
лие Sj. Например, для вычисления коэффициентов фор-
мулы (12) нужно рассмотреть вместо перемещений,
показанных на рис. 60, г и рис. 61,6, соответственно пере-
мещения, показанные на рис. 60,6 и рис. 61,6. В этом
случае естественно и коэффициентам формулы (12) дать
другие обозначения ahi=Sih- Коэффициент ам — пере-
мещение по направлению й-й обобщенной силы от еди-
ничной положительной деформации элемента системы,
соответствующего «-му усилию.
Выражение (12) запишется тогда в виде: Si=ai«P«-H
-4-tt2iE24-...4-(XnjPn.
К кинематической трактовке коэффициентов принци-
па суперпозиции вернемся в последующих главах, а сей-
час остановимся на использовании принципа суперпози-
ции в форме (12) при механической (силовой) интерпре-
тации коэффициентов Sih-
§11. Основные понятия о применении методов
линейной алгебры в задачах строительной механики
В связи с широким использованием в расчетах соору-
жений ЭВМ многие задачи строительной механики ре-
шаются в матричной форме. Использование матричного
языка линейной алгебры упрощает программирование
решений задач строительной механики на ЭВМ, позволя-
ет компактно и в общем виде излагать методы расчета
64
сооружений, а также помогает инженеру более широко
смотреть на многие проблемы расчетов, видеть их сущест-
во, не вдаваясь в детали, в смысл каждой арифметичес-
кой операции над числами.
В данном курсе будем часто использовать матричную
форму расчета. Поэтому поясним смысл матричных опе-
раций на простейших задачах строительной механики.
Запишем формулу (12) для произвольного усилия
S; в виде произведения строки, составленной из коэффи-
циентов Sik, на столбец, составленный из нагрузок Рь:
(16)
По правилам линейной алгебры произведение строки
на столбец равно алгебраической сумме попарных про-
изведений их элементов, т. е. формулы (12) и (16) дают
один и тот же результат. Различна лишь его запись.
Для вычисления в конкретном расчете внутренних
сил Si, S2, ..., Sm имеем линейное преобразование, т. е.
выражения:
S, = sfl Pi + si г Р2 4-... + Sin Рп;
S2 = s2i Pi + s2a P2 . 4~ S^n Pn‘,
(17)
$т—sml Pi 4" smz Pa-p- • • "P srnnPn•
которые можно аналогично формуле (16) записать в
виде:
ми. Будем в дальнейшем особо выделять векторы (мат-
рицы-столбцы) как характеристики состояния системы и
обозначать вектор-столбец, характеризующий нагрузку,
Р, вектор-столбец внутренних сил S, а матрицу коэффи-
5—569
65
циентов линейного преобразования (17) через L:
S = LP.	(20)
Формулы (17), (18), (20) являются различными фор-
мами записи линейного преобразования вектора нагруз-
ки Р в вектор внутренних сил S. Матрица этого преоб-
разования L называется матрицей влияния внутренних
сил. Для краткости будем здесь называть ее матрицей
влияния
В общем случае это прямоугольная матрица поряд-
ка {т^п}. Она имеет т строк и п столбцов, так как
число вычисляемых внутренних сил т и число независи-
мых нагрузок п — порядки векторов S и Р— в общем
случае различны.
Матрица L является полной характеристикой линей-
ного преобразования (17). Составление этой матрицы
эквивалентно решению в общем виде задачи вычисления
внутренних сил в заданной конструкции от нагрузки за-
данного вида. Если составлена матрица влияния L, то
вычисление внутренних сил от заданной нагрузки сво-
дится к формальной операции умножения матрицы на
заданный числовой вектор. Каждая строка матрицы L
умножается на столбец Р и получаются последователь-
но все элементы вектора S.
Понятие матрицы влияния тесно связано с понятием
эпюры внутренних сил. Физический (механический)
смысл каждого элемента матрицы stk — это величина i-ro
усилия от Лг=1 (см. § 10). Таким образом, например,
1-й столбец матрицы L состоит из величин внутренних
сил от Р] = 1. Другими словами, этот столбец состоит из
ординат соответствующих эпюр внутренних сил от еди-
ничной нагрузки Pi = l. Аналогично каждый /г-й столбец
матрицы L состоит из ординат эпюры внутренних сил от
Рй=1.
М
al

б) ®
Рис. 62
Чаще всего матрица L составляется по столбцам. Ес-
ли вычисляются, например, только изгибающие момен-
ты, то /г-й столбец матрицы L будет состоять из ординат
эпюры Мк, построенной от Рй = 1.
Поясним сказанное примером. Рассмотрим задачу
вычисления в общем, буквенном виде изгибающих мо-
ментов Mi, Л12, в шарнирно-опертой балке от сил Pi,
Рг, Рз (рис. 62,а, б). Силы приложены в точках, равно-
отстоящих друг от друга с шагом d=l/4.
Решим задачу в общем виде, т. е. вычислим коэффи-
циенты mifl преобразования:
Mi ~ тп Pi 4-	Р2 4- m13 Р3;
М2 = т21 Рг 4- т22 Р2 4- т23 Р3;
Ms~mSiPi + mS2P2+tb3P3>	(21)
или в матричной форме:
M = LmP,
(22)
где
Индекс т у матрицы L показывает, что это — матрица
влияния изгибающих моментов.
Данную задачу можно решить обычным путем: выра-
зить через Pi, Р2, Рз реакции балки А и В, а затем изги-
бающие моменты, получая при этом коэффициенты пре-
образования (21). Однако этот путь громоздок даже в
Рассматриваемой задаче; тем более он становится не-
5*
67

Рис. 63
удобным для более сложных систем. Проще, как гово-
рилось ранее, построить эпюры моментов от Pi — 1, Pz =
в=1, Рз~ 1. Две из них показаны на рис. 62, в, откуда
3	2	1
«п = — d',	=	mSi = — (l‘,
4	4	4
2	4	3
mll = — d; m22 — — d; mg2 = —d.
4	4	4
Аналогично можно найти zni3 = l/4d; zn23=2/4d;
zn33=3/4zf.
Выписывая эти коэффициенты по столбцам, получаем
матрицу:
	4	2 — d 4	4-'
—	4	4 — d 4	2 — d 4
	1 — d 4	2 — d 4	3 4 d
Множитель <//4		вынесен за	
= d/4
знак
(23)
матрицы согласно
правилу умножения матрицы на число. Это соответству-
ет тому, что в каждой строчке равенств (21) данный мно-
житель выносится за скобки.
Вычислим с помощью матрицы (23) изгибающие мо-
менты от нагрузки Р1=5 кН, Р2—10 кН, Р3=—10 кН
(рис. 63,а). Для этого нужно умножить матрицу (23) на
соответствующий вектор Р:
ГЗ 2
= rf/4 2 4
1 2
ГМ/
м = м2
ма
11
2
3
Г 251
51
10 = d/4 30
—10
L—5.
3
2
1
2
4
2
1
2
3
Графически полученный результат показан в виде эпю-
ры М (рис. 63, б).
«8
Рис. 64
Рекомендуется проверить вычисления прямым постро-
ением эпюры М от заданной нагрузки.
Матричная форма удобна, если необходимо произво-
дить расчеты на большое число различных по величине
нагрузок. Каждый раз результат получаем формальным
умножением матрицы на вектор, что легко автоматизи-
ровать и «поручить» эти вычисления машине.
Если среди нагрузок имеются сосредоточенные внеш-
ние моменты или распределенные нагрузки, то их значе-
ния также включаются в вектор Р. Соответствующие
столбцы матрицы L получаются от единичных внешних
моментов Mh— 1 или распределенных нагрузок с интен-
сивностью qh = l. Например, для решения в общем виде
задачи вычисления изгибающих моментов в балке
(рис. 64, а) необходимо характеризовать нагрузку векто-
п Р
ром Р— „ .
М
Столбцы матрицы Ln составляются по эпюрам от Р=1,
q=\, Af = l (рис. 64,6, в, г).
Обратим внимание еще на одну особенность составле-
ния матрицы Lm. Под распределенной нагрузкой q эпюра
моментов изменяется по закону квадратной параболы,
которую нужно строить по моментам в трех сечениях. В
месте сосредоточенного внешнего момента эпюра М име-
ет разрыв (скачок). Поэтому необходимо характеризо-
вать каждую эпюру от Р=1, ^=1, Л4=1 одинаковым
максимальным числом ординат, хотя иногда они будут
повторяться в одном столбце матрицы Lm (рис. 64, б, в).
Во многих задачах будут встречаться последователь-
ные применения линейных преобразований, т. е. их произ-
ведения. Например, по вектору нагрузок Р будут вычис-
ляться изгибающие моменты М, через них — прогибы v
69
Рис. 65
и т. д. Это влечет за собой применение в расчетах опера-
ций произведения матриц линейных преобразований. В
качестве примера произведения линейных преобразова-
ний и их матриц рассмотрим задачу определения изгиба-
ющих моментов в балке (рис. 65) от нагрузки, изменя-
ющейся по кусочно-линейному закону и характеризую-
щейся интенсивностями q0, qi, q2, q3, q^. Нагрузка дейст-
вует не на основную балку, а на небольшие балочки с
пролетом d, опирающиеся на основную балку АВ. Основ-
ная балка загружена силами Pi, Р2, Рз, зависящими от
q0,	?2, ?з, ?4- Разобьем решение задачи на два этапа.
Составим сначала матрицу Р преобразования вектора
нагрузки q в вектор сил Р:
P = Pq,
(24)
где
~9о ”
?2
%
-?4 _
Р19 Р11	Р12	Р13	Р14
P2I Р21	Р22	Р23	Р24	•
.Раз Рз1	Р32	Рзз	Рз4.
Вектор изгибающих моментов М выражается через
вектор третьего порядка Р с помощью матрицы Lm, кото-
рая в данной задаче совпадает с матрицей (23):
M=^LmP.
(25)
П
Крайние вертикальные стержни находятся над опорами
балки. Усилия, действующие в них, не влияют на изгиб
балки и не включены в вектор Р. Подставляя выражение
(24) в формулу (25), получаем
М = Lm Pq = Lq,	(26)
т. е. искомая матрица L представляет собой произведение
двух матриц:
L = LmP.	(27)
Каждая из матриц Lm и Р легко составляется. Первый
столбец матрицы Р состоит из опорных реакций балочек
от нагрузки, у которой	?1==?2=?з=?4=0. Эта
«единичная» нагрузка и соответствующие силы р10, рго>
р3о показаны на рис. 65,6. Получение второго столбца
матрицы Р показано на рис. 65, в. Аналогично получают-
ся остальные столбцы этой матрицы. Вынося множитель
d/б, запишем Р в виде:
P = d/S
Г1 4 1 О О
0 14 10
0 0 14 1
(28,
Перемножая, согласно формуле (27), матрицы Lm и
Р, получим в соответствии с формулой (23)
L = d/4
ГЗ 2 11
2 4 2
1 2 3
d/6
:Т:4 10 0
0:1410
:0:0 1 4 1
== d2/24
:3-14
: 2  12
: 1 : 6
А..,.
12
20
12
6 1
12 2
14 3
(29)
Первый столбец этой матрицы получен по правилам
линейной алгебры умножением левой матрицы на первый
столбец правой. Аналогично вычислены элементы осталь-
ных столбцов. Поясним механический смысл этой опера-
ции. Первый столбец окончательной матрицы L должен
представлять собой изгибающие моменты от единичной
нагрузки, показанной на рис. 65,6. Элементы первого
столбца матрицы Р представляют собой усилия рю от
этой нагрузки. Согласно формуле (25), искомые изгиба-
ющие моменты должны быть определены умножением
матрицы Lm на этот вектор-столбец, состоящий из рю,
Рю, Рзо- Аналогично объясняется и смысл получения ос-
тальных столбцов матрицы L.
Рекомендуется составить для контроля матрицу L
непосредственно вычислением изгибающих моментов от
«единичных» нагрузок (см. рис. 65, б, в) и убедиться в ее
совпадении с матрицей (29).
Вычисление произведения прямоугольных матриц мо-
жет встретиться и вне связи с произведением линейных
преобразований. Допустим, что в рассматриваемом при-
мере (см. рис. 65, а) необходимо вычислить восемь эпюр
моментов от восьми различных нагрузок, заданных во-
семью векторами qt, q2, q3, ..., qB. В данной задаче — это
векторы пятого порядка. Составим для этих векторов-
столбцов матрицу Q = [9b q2, ..., ^8] порядка {5X8}.
Умножая матрицу L на каждый столбец матрицы Q, по-
лучим, согласно формуле (26), соответствующий вектор
эпюры моментов (в данной задаче — третьего порядка).
Матрица М, состоящая из этих векторов, как видно, по-
лучается в виде произведения M=LQ. Матрица М имеет
здесь порядок {3X8}.
Напомним, что в матричной алгебре нельзя менять
местами сомножители, т. е. LQ^QL. В данном случае
операция QL даже формально не имеет смысла, так как
число столбцов матрицы L (их восемь) не совпадает с
числом строк матрицы Q (их три). Очевидно, что опера-
ция QL не имеет и физического смысла.
В строительной механике часто решаются взаимно
обратные задачи. Например, наряду с задачей вычисле-
ния изгибающих моментов от нагрузки Р (см. рис. 62)
можно поставить задачу вычисления сил Pit Р2, Р3 по
заданным моментам Mit М2, М3. Его можно по правилам
сопротивления материалов решить и в общем (буквен-
ном) виде, т. е. вычислить коэффициенты bin следующего
линейного преобразования:
Р1 = Ьц Mt + Ь12 Л42 + bis Mg’,
Ps = Mi b22 Л42 -j- b2s Mg;
Pg = bgi Ml 4~ Z»32 Mg 4* bgs Mg.	(30)
Преобразование (30) называется обратным по отно-
шению к (21), а его матрица В — обратной по отношению
к матрице Lm, что записывается в виде:
B =	(31)
Матрица L~l может быть получена формально мето-
дами линейной алгебры по имеющейся матрице Lm. Опе-
рация вычисления матрицы А~1 через матрицу А назы-
вается обращением матрицы А.
Рассмотрим на простом примере оба способа получе-
ния матрицы обратного преобразования: непосредст-
п
венно по правилам строительной механики и формально
через L с использованием линейной алгебры.
Запишем выражение поперечных сил Qi, Q? в кон
сольной балке (рис. 66, о) через нагрузки Р2: Qi —
c^Pi-\-P2, Q2—P2 или в матричной форме Q — LqP, где
а)
И
Рис. 66
Обратную задачу можно решить независимо от этого
решения, рассматривая равновесие элементов балки, к
которым приложены силы Pi и
Р2 (рис. 66,6), или, что физи-
чески то же самое, по скачкам
эпюры Q: Pi = Qi—Q2; P2 = Q2.
В матричной форме
Р = Lq1 Q, где Lq 1 = [о . (32)
По правилам линейной ал-
гебры для квадратной матри-
цы второго порядка
А = И- а,% I
[«21 «22 Г
определитель которой DetA =
—Пц«22—n12a2i не равен нулю,
обратная матрица А-1 вычис-
ляется по формуле
Д—1 _  !----- Г «22 —й12 1 _
Det A L—° 21	«и J
(33)
В данном случае DetLQ—Ы—0 = 1. Обратную матрицу
можем получить с помощью формулы (33), не ис-
пользуя уравнений равновесия элементов балки.
Напомним, что в общем случае для квадратной мат-
рицы А:
аи а12- • ‘ain
a2i
ani • • Gfiti—
определитель которой не равен нулю, элементы обратной
матрицы могут быть получены по формуле
^ii Ац ... Ani
А12 Л22 .. . Ani
_Ап А^п ... Апп_
где Aij — алгебраическое дополнение элемента ац в определителе
исходной матрицы.
Практически по формуле (34) обращают лишь матри-
цы невысокого (второго — четвертого) порядка. Для
матриц высокого порядка вычисление алгебраических
дополнений требует слишком большого числа арифмети-
ческих операций. Поэтому обычно используются другие
методы обращения матриц, например метод Гаусса (см.
приложение). На основе этого метода часто составляют-
ся и стандартные программы на ЭВМ, по которым обра
щаются матрицы высокого порядка. При решении задач с
матрицами второго и третьего порядка будем в этом кур-
се пользоваться формулой (34). Вычислим, например,
матрицу Ь~г, обратную матрице (23). Множитель d/4
исходной матрицы будет записываться в обратной мат-
рице в виде 4/d, т. е. необходимо обратить числовую мат
Рекомендуем проверить вычисление этой матрицы по
смыслу задачи. Согласно формуле P—Lm М, первый
столбец матрицы Сй' должен состоять из нагрузок, со-
ответствующих эпюре М, в которой М\ — 1, М2=0, Л43=
=0; второй столбец — эпюре, в которой 0, М2 = 1,
Мз=0, и т. д.
Операция обращения квадратной матрицы А тесно
связана с решением системы п уравнений с п неизвест-
ными: Ах—Ъ, где х — столбец неизвестных; b — столбец
74
правой части системы. Если известна обратная матрица
Л"1, то решение системы представляется в виде произве-
дения х=Л-1&. Если, например, преобразование (21)
рассматривать как систему линейных уравнений относи-
тельно Pi, Р2, Рз, то преобразование (30) с матрицей (35)
будет записью общего решения этой системы.
В линейной алгебре понятие обратной матрицы часто
вводится следующим образом: матрицей, обратной по
отношению к квадратной матрице А, называется такая
матрица Л-1, произведение которой с исходной матрицей
дает единичную матрицу Е:
Л-1 а = АА~г = Е;
”1 000... 0
0 1 0 0... 0
0 0 1 0... 0
£ =.............
(36)
.0 0 0 0... 1
Операции ЛЛ-1 и Л-1Л, как видно, перестановочны,
здесь результат не зависит от порядка сомножителей.
Смысл равенства (36) можно понять на том же примере
вычисления внутренних сил (см. рис. 62,а). Допустим,
что вектор моментов М выражен через вектор нагрузки
M=LmP. Определяя нагрузки через моменты P=L М
и подставляя это выражение в предыдущее равенство, по-
лучаем M—LrnLr,1 М. Аналогично записывается и вто-
рое из следующих равенств:
M = Lm Lm1 М; ~Р = Lm1 Lm~P.	(37)
В обоих случаях векторы МкР выражены сами че-
рез себя. Равенства (37) будут справедливы для любых
МкР лишь тогда, когда ЕтЦ^ и Ц^Ет являются матри-
цами, умножение которых на произвольный вектор не ме-
няет этого вектора, т. е. Lm и LmE~l должны быть еди-
ничными матрицами.
В реальных задачах матрица влияния внутренних сил
С часто является прямоугольной. Число определяемых
внутренних сил и число независимых параметров нагру-
зок не совпадают. Как известно, прямоугольная матрица
Рис. 67
не имеет обратной. При произвольном составлении пре-
образования S=LP обратного преобразования P=L~lS
и обратной матрицы L~l не существует. Поясним физиче-
ский смысл этого положения.
Рассмотрим пример, в котором от двух сил Рь Р2 оп-
ределяются изгибающие моменты в пяти сечениях балки
(рис. 67), что необходимо, допустим, для рационального
проектирования сечений этой балки. Матрица Lm, преоб-
разующая вектор второго порядка Р в вектор пятого
порядка М, будет прямоугольной порядка {5X2}. Ра-
венство M—LmP позволяет здесь для любого вектора Р
получить соответствующую эпюру моментов, показанную
на рис. 67, а сплошной линией. Эта эпюра существует для
произвольной нагрузки Рь Р2 и определяется единствен-
ным образом по правилам сопротивления материалов.
(Под произвольной нагрузкой имеется в виду нагрузка с
произвольным соотношением сил Pi и Р2. Значение на-
грузок, конечно, ограничено допущением о недеформиру-
емости расчетной схемы.)
Допустим, что в этой задаче существовало бы обрат-
ное преобразование P=L^M. Тогда для произвольного
вектора М с произвольным соотношением моментов Mi,
М2, М5 (см. 67, а пунктир) единственным образом оп-
ределилась бы нагрузка из двух сил Pi, Р2, вызывающих
эти моменты. Но это физически невозможно, так как в
76
каждой точке, где есть перелом эпюры М, должна быть
приложена внешняя сила, уравновешивающая разность
поперечных сил в смежных сечениях. Таким образом,
здесь не существует и по физическому смыслу.
Это рассуждение необязательно связано с изгибом
балки. Другим простым примером является задача опре-
деления усилий в стержнях фермы (рис. 67, б) от верти-
кальной нагрузки Pi, Р2.
С помощью метода вырезания узлов или метода мо-
ментной точки, которые известны из курса теоретической
механики, можно определить усилия во всех восьми стер-
жнях этой фермы от Pi=l и затем от Р2 = 1. Составив
из найденных усилий два столбца, получим матрицу LN,
с помощью которой находятся усилия в стержнях фермы
от произвольных СИЛ Pl, Р21
N^-LnP,	(38)
где N — вектор восьмого порядка; Р — вектор второго порядка;
Ln — прямоугольная матрица порядка {8X2}.
Если бы здесь существовало обратное преобразова-
ние, то это означало бы, что произвольные внутренние
силы Nt, N2, .... NB могут быть уравновешены двумя си-
лами Pf, Р2. Рассматривая равновесие одного из нижних
узлов фермы (рис. 67, в), убеждаемся, что при произволь-
но заданных значениях Х2, N3, Nit Ny, например при
N2—0, X3y=0, N4=£0, N7=0, в этом узле должны быть
приложены и внешние силы Рх, Ру- Иначе уравнения рав-
новесия ХХ=0, 2У=0 удовлетворяться не будут. По
условию задачи сил Рх, Ру в этом узле нет, т. е. обратное
преобразование и матрица Lw' не существуют.
Если в данной задаче ввести вектор Р восьмого по-
рядка (по две силы Рх, Ру в каждом узле) и построить
соответствующую квадратную матрицу 1Л-, то обратная
матрица Ln1 будет существовать.
Покажем это на примере с меньшим числом стержней
и узлов (рис. 68, а). Составим матрицу четвертого по-
рядка £Л- преобразования (38). Первые два столбца этой
матрицы составляем в соответствии с эпюрами N от
Л= 1 и Рг = 1 (рис. 68, б, в). Эти эпюры получаем после-
довательным вырезанием узлов 1 и 2, составлением и ре-
шением уравнений равновесия этих узлов SX=0; £У=0.
Положительными считаем силы Nit соответствующие рас-
77
Рис. 68
тяжению стержней; они направлены от узла (cos а = 3/5)
1 О
О 5/3
О —4/3
О —1
О О
О 5/3
1 —4/3
О О
(39)
Остальные столбцы этой матрицы получены аналогич-
но построением эпюр /V от Рз = 1 и Р4 = 1.
Составим теперь матрицу V обратного преобразова-
ния N в Р:	Р = VN.	(40)
Это преобразование проще всего записать по строкам как
систему уравнений равновесия узлов. Действительно, вы-
писывая последовательно уравнения XX—0 и £У=0 для
узла 1 и затем 2, получим
Pj = Ni + 0 + 0 +0;
Рг = 04-0 + 0 —#4;
Р3 = 0 + sin aN2 +NS -(-О;	(41'
Р4 = 0 + cos аЛ'2 + 0 + Р4.
Матрица V — таблица коэффициентов преобразова-
ния (41) — имеет вид:
10 0 0
0 0 0 —1
04/51	0
0 3/5 0 1
(42>
78
Нетрудно убедиться, что VLN = LNV—Е, т. е. V=L^1.
Составление матрицы V проще, чем матрицы LN. Оно
сводится к записи уравнений равновесия узлов, тогда как
для построения эпюр Ni, N2 и т. д. (рис. 68, в) необхо-
димо разрешить эти уравнения относительно сил N.
В сопротивлении материалов задачу вычисления на-
грузки Р по внутренним силам называют обратной зада-
чей. Поэтому и сейчас мы рассматривали преобразование
(38) как основное и затем (40) как обратное
Однако, с точки зрения порядка расчета, составление
равенств (41) — это составление уравнений равновесия
узлов, а формула (38) дает их общее решение, и лучше в
этой задаче называть' преобразование (40) исходным и
составление матрицы LN трактовать как получение об-
щего решения системы (41) с помощью обращения «мат-
рицы равновесия» V. Именно такой порядок расчета ис-
пользуется часто при решении задач на ЭВМ, и лучше
здесь записывать связь между LN и V в виде LJy==l/1,
хотя формально равенства V=Ln1 и	равно-
правны и вытекают одно из другого. Матрицу V можно
было составить «по столбцам» аналогично составлению
Ln- Каждый столбец матрицы V состоит из значений
внешних сил при таких внутренних силах Д', которые все
равны нулю, кроме одной,
равной единице. Например,
для получения первых двух
столбцов можно рассмот-
реть равновесие узлов для
состояний, показанных на
рис. 68, г, д.
Обратим внимание на ну-
Рис. 69
мерацию внешних сил и уз-
лов фермы, к которым они приложены. В данном случае
нумерация не очень удачна: по номерам сил Ps, Р4 нель-
зя определить, к какому узлу они приложены. В расчетах
стержневых систем часто приходится нумеровать отдель-
но стержни и узлы. Силы, приложенные в узлах, обозна-
чаются теми же номерами, что и узлы. Поскольку в каж-
дом узле стержневой системы может быть до шести не-
зависимых обобщенных сил (три компоненты силы и три
момента), то вводятся векторы (второго — шестого по-
рядка), связанные с каждым k-м узлом, а суммарный век-
71
тор представляется в блочном виде. Например, для пло-
ской системы (рис. 69)
Р =
Р*
, где Ph =
Рхк
Рук
LPk J
В векторе нумеруются не отдельные элементы, а це-
лые блоки по три элемента в каждом. Они называются
квазиэлементами (почти элементами). Соответственно и
матрица влияния L от такого воздействия может быть
разбита вертикалями на блоки: L = [LiL2...Lil...Ln].
Здесь каждый элемент Lk является матрицей порядка
{тХЗ}, т. е. состоит из т строк и трех столбцов. Если
в каждом сечении вычисляются по три внутренние силы
Mi, Nt и Qt, то можно, например, перенумеровать не
внутренние силы, а сечения и связать с каждым i-м сече-
нием вектор S,-. В него будут входить Mt, Nt, Qk. Тогда и
вектор S разобьется на блоки. Соответственно матрицу
влияния L можно будет представить в блочном виде:
L =
La
L^t P22
Pin
Pzn
~Lmi
Ртпп-
где каждый элемент будет квадратной матрицей третьего
порядка.
Это лишь один из возможных примеров разбиения
матрицы на блоки. В каждой конкретной задаче блоки
матриц могут образовываться и нумероваться так, как
удобно для решения задачи. Часто в матрице бывает
много нулевых блоков — квазиэлементов, состоящих из
нулей. Таковы, например, квазидиагональные матрицы, у
которых ненулевыми являются лишь квазиэлементы, сто-
ящие на диагонали:
ГЛ1£ О О
О Ац О
О О А33
A =
При вычислениях с помощью электронных машин ну-
левые блоки лишь «засоряют» память машины. Поэтому
80
для ЭВМ составляются специальные стандартные про-
граммы операций с блочными матрицами. При работе по
этим программам нулевые блоки в машину не вводятся
и она с ними не оперирует. Это экономит память и ма-
шинное время. При решении задач строительной механи-
ки используются также транспонированные матрицы.
Напомним, что матрицей, транспонированной по отно-
шению к А, называется матрица, у которой столбцы сов-
падают со строками матрицы А и, наоборот, строки — со
столбцами матрицы А. Такую матрицу будем обозначать
Лт. Например, транспонированный вектор-столбец явля-
ется строкой (Р)т— (Pit Р2, .... Рп).
Матрица Ст, транспонированная по отношению к про-
изведению С—АВ, равна произведению транспонирован-
ных матриц в обратном порядке: С'Г—В'ГА'1. Это вытека-
ет из смысла транспонирования и правила перемножения
матриц. Читатель может проверить это равенство на лю-
бых примерах.
§12. Базисные силы. Изменение базиса
В решении задач строительной механики будем часто
использовать обобщенные силы и соответствующие им
обобщенные перемещения.
Причем одну и ту же нагрузку (см., например,
рис. 70, а) можно характеризовать различными числа-
ми, поскольку ее можно задавать через разные основные
(базисные) силы. Например, нагрузка, показанная на
Рис. 70
6—569
81
рис. 70,0, характеризуется вектором
₽ = [1б]-	<43>
Ее можно представить как сумму двух основных, базис-
ных нагрузок (рис. 70,6, в) с коэффициентами 10 и 6
(можно сказать, базисных состояний системы, поскольку
каждой базисной нагрузке отвечают свои реакции, на-
пряжения и т. п.).
Обозначим каждое из базисных состояний через и
е2 , тогда исходное состояние можно записать формулой
Р = Р1е,-+Р2е2	(44)
или в данном примере Р=10е<+6ег.
Заданную нагрузку можно представить, например, и
в виде суммы двух других загружений: симметричного
(рис. 70,г), в котором каждая сила равна полусумме на-
грузок (10+6)/2=8, и антисимметричного (рис. 70, д),
в котором каждая сила равна их полуразности (10—
—6)/2=2. Очевидно, что в сумме эти два загружения
дают исходную нагрузку.
Состояния системы, показанные на рис. 70, г, д, мож-
но представить в виде базисных состояний (рис. 70, е,
ж), увеличенных соответственно в Pi =8 и Рг =2 раза.
Таким образом, исходное состояние представляется в
виде:
Р = Р\ е* + Р'2 е*,
(45)
где Pi и Рг — новые координаты, элементы нового векто-
ра Р*;
=	+ р2 = Тр1-Т^ (46)
(47)
Новый вектор Р*, как и вектор (43), представляет
исходное состояние системы, но в другом физическом
базисе. С геометрической точки зрения, в другой системе
координат.
Действительно, при желании можно представить в
этом примере нагрузку как вектор на плоскости (рис. 71).
В координатной системе Pi, Р2 с ортами ei и е2 вектор
Ы
имеет проекции на оси, равные 10 и 6 В координатной
системе Pi, Рч с ортами
ei = 1-ег +1-е2;
62= 1®!— Ье2
(48)
он имеет проекции, равные соответственно 8 и 2.
Такое геометрическое представление базисных состо-
яний как ортов на плоскости необязательно, но оно увя-
зывает физику явления (различные загружения) с соот-
ветствующими разделами алгебры н-мерных пространств.
В данной задаче может возникнуть вопрос о связи между
преобразованиями векторов Р в Р* и базисов ei, е2 в ei,
е2. Матрицы преобразований (46) и (48) не совпадают,
но, если записать выражение Р через Р*:
1-Р*;
р2=ьр	(49)
и сравнить его с (48), можно подумать, что матрица за-
висимостей нового базиса et- от старого е,- и матрица,
выражающая старый вектор Р через новый Р*, будут
всегда совпадать, как в этой за-
даче. Линейная алгебра отвечает
на этот вопрос не совсем так.
Оказывается, эти матрицы взаим-
но транспонированы, а в данном
случае совпадают ввиду их сим-
метрии относительно главной
диагонали.
Рассмотрим вопрос о связи
между преобразованиями век-
торов и базисов в более общем
виде. Допустим, что на соору-
жение действуют п линейно-не-
зависимых обобщенных сил
Рь Р2, Рп- Напомним, что
Рис. 71
линейно-независимы-
ми они называются тогда,
когда линейная комбина-
ция С1Р1+С2Р2+—-рспРп может равняться нулю только
в случае равенства нулю всех коэффициентов с,. В этом
случае можно сказать, что существует n-мерное прост-
ранство нагрузок и существует исходный базис еь е2,....
в котором и заданы силы. Каждый i-й базис полу-
6*
83
чается из заданной нагрузки при нулевых значениях всех
сил, кроме А=1. По существу, без задания базиса
нельзя задать и нагрузки. Вектор Р можно всегда запи-
сать в виде:
Ту же нагрузку Р, характеризующую состояние систе-
мы, можно записать через базисные векторы:
Р — Р± et Р% е2 Ч ... + Рп ел,
откуда видно, что базисные векторы е,- записываются
«сами через себя» с помощью столбца из нулей с одной
единицей:
“(Г
о
l-й элемент.
6
0_
В общем случае векторы еь е2,.... еп являются базис-
ными, если они линейно-независимы и любая нагрузка Р
при любО1М сочетании элементов вектора Р может быть
единственным образом представчена в виде (51). И, на-
оборот, выражение (51) дает для каждого Р единствен-
ную нагрузкх Таким образом, в n-мерном пространстве
существует бесчисленное множество базисов, так как
существует бесконечное множество п линейно-независи-
мых векторов.
Введем новые базисные обобщенные силы ei, е;,е„
и связанные с ними состояния системы, выражающиеся
84
через старые еь е2,.... еп с помощью равенств;
<=«n ei + «12 е2 + • • • + ит еп.
e2 = w2iei + «22 е2 + ---+ м2пе„;
<=«nl е1 + «п2е2+‘••+«ппеп.
(52)
Матрица U преобразования (52), выражающая новый
базис через старый, должна быть невырожденной
Det U =Н=0. В противном случае строки этой матрицы, а
значит, и векторы ei, ег,..., еп будут линейно-зависимыми.
Запишем выражение для нагрузки через новые базис-
ные состояния ei, е2,...,е« и элементы нового векто-
ра Р*:
р=р;е;+р;е;+...+р„*е„*.	(5з>
Подставим в выражение (53) равенства (52). После при-
ведения подобных членов получим
р = («и pi + «21 р2 +• • Я- «пХ Р„) ej +
+ («12 р;+ и22 р; +...+ ип2 Р*) е2+
+ («1Л + “гпР2 +---+“ппРпК'	<54>
Сравнивая (54) с (51), видим, что выражения в скоб-
ках должны быть равны координатам старого вектора Р:
(55)
Р1 «11 Р1 + «21 Р2 +• •	«П1 Рп'
Р2 = «12 Р1 + «22 Р2 +• • •+ ип2РП<
Коэффициенты преобразования (55) совпадают с коэф-
фициентами равенств (52), но по строкам системы (55)
записаны столбцы коэффициентов равенства (52), т. е.
Матрица системы (55) транспонирована по отношению к
85
матрице равенств (52). Таким образом, стары?! вектор Р
записывается через новы?! Р* с помощью формулы
(56)
Очевидно, что в рассматриваемом случае новый вектор
Р* выражается через старый формулой
р* = (г/г)~1 р.	(57)
Поскольку U, а значит и Пт — невырожденные матри-
цы, Det L/—Det (7т^=0. И обратно, если вводится новый
вектор Р* с помощью равенства P*=VP, то матрица U,
с помощью которой новый базис выражается через ста-
рый, будет связана с V формулой U— (VT)-1. Например,
матрица равенств (48) обратна матрице преобразования
(46).
В расчетах симметричных систем часто используются
преобразования сил вида (46), (49) с см., например, гл.
XI).
Рассмотрим еще один часто встречающийся пример разложения
внешних сил по базису из локальных (местных) уравновешенных
воздействий. Начнем с примера балки на двух опорах, нагруженной
равноотстоящими силами Pit Р2, .... Рп (рис. 72,а). Соответствую-
щие базисные состояния ец е2, .... еп очевидны и аналогичны состоя-
ниям, показанным на рис. 70, б, в.
Реакции Ул и Ув не являются независимыми силами, они вы-
ражаются через Pi с помощью уравнений равновесия и в вектор Р
не включаются.
Введем базисные воздействия ej, е2.. показанные на
рис. 72, б, в, г. Каждое из них представляет собой две взаимно урав-
новешенные пары сил. Пара имеет момент, равный единице, и при-
ложена в виде сосредоточенных сил, равных 1/d.
Каждое из этих воздействий характерно тем, что вызывает внут-
ренние силы только на участке балки длиной 2d. Например, пункти-
ром на рис. 72 показаны эпюры моментов от этих воздействий. Их
йаибольшие узловые ординаты равны единице. Реакции Ул и Ув
возникают только от крайних воздействий и как бы включены в них.
* -»
Каждое i-e новое базисное воздействие, кроме крайних eY, ел, запи-
ывается через исходные базисные единичные силы е,_ц е,, е;+1 в
следующем виде:
. -1	,2	1
е, = —е;_1+Те1.-Тег.+1; ;
крайние воздействия — в виде:
М
Таким образом, матрица V равенств (52) будет следующей:
—1
2
—1
0
О
О О
—1 о
2 —1
If О
О О
.. О О 0-1
• •ООО
ООО
.. —'1	2 —’1
..	0—1 2J
(58)
Как видно, эта матрица симметрична относительно главной диаго-
нали l/T=t' Обращая матрицу U, можно получить выражение для
матрицы (О'т)~1, входящей в (57), т. е. формулы для обобщенных
сил Р(-, на которые нужно умножать базисные состояния вр е^,...,
еп, чтобы в сумме получить исходное состояние.
Мы не будем здесь обращать матрицу (58), а воспользуемся той
особенностью единичных воздействий (см. рис. 72,6), из-за которой
они и вводились: через обобщенные силы Р*х, Р?, Р* легко запи-
87
сываются ординаты эпюр внутренних сил, в данном случае —изги-
бающих моментов в балке. Каждый момент Mi зависит только от
i-ro воздействия и равен Mi = lPi :
= l-Pj;
М =	1Р*
п	«
Эпюра М как бы набирается из единичных треугольников, уве-
личенных в Р; =Mi раз (рис. 72, б):
М=ЕР*;М = Р*.	(59)
Но вектор Л1 легко выразить и сразу через исходный вектор Р, по-
строив, как в § 10, матрицу влияния моментов Lm. На рис. 72, е
показана эпюра М; от 7’1=1. Согласно таким эпюрам, при i=l,2,
3, п получаем
Р* = 7И = ЕМР,	(60)
где
	~ п	п — 1	п — 2	i	2	1
	п — 1	2(п -1)	2 (п—2)	:	4	2
				6	3
,	А				ik	k
км~п+\	3	6	9		
	2	4	6	2(n-l)	п— 1
	1	2	3	п — 1	п
(61)
Каждый элемент этой симметричной матрицы, лежащий на диа-
гонали или выше, равен произведению соответствующих элементов
верхней строки и правого столбца. Частным случаем этой матрицы
является матрица (23). Таким образом, матрицей, обратной к £7Т,
в данном случае является матрица влияния изгибающих моментов
Lm. Нетрудно убедиться, что для любого п эта матрица обратна
матрице (58), т. е. ULm=LmLJ=E.
Из рассуждений, которые мы приводили при получении матриц
(58) и (61), ясно, что нагрузка необязательно должна быть прило-
жена к прямой балке.
Если нагрузка Pi, Рг, ..., Рп приложена к диску, опирающемуся
по схеме балки (рис. 73, а), то все рассуждения о разложении на-
грузки по базису' из локальных самоуравновешенных сил можно по-
вторить. Для нового i-ro базисного сечения ег (рис. 73,6) будет
справед шво выражение
/1 . 1 А 1
^е'-'+(д+^'<-557'ж-
(62)
88
Согласно этому выражению, составляется матрица U равенств (52),
а матрица ((А)-1, выражаюшая новый вектор Р* через Р, будет
совпадать с матрицей LM, составленной для схемы рис. 73, в или, что
то же самое, для балки (рис. 73, г) с неравными панелями dt. Мат-
рицы влияния изгибающих моментов для этих двух схем будут сов-
падать и P*=LMP-
Фактически в этих примерах в качестве характеристи-
ки Р* состояния исходной системы приняты изгибающие
моменты в заданной балке (см. рис. 72), а в схеме рис.
73 — изгибающие моменты в некоторой условной балке
(см. рис. 73, в или г).
В расчетах стержневых систем нас всегда будет инте-
ресовать связь между внешними силами, действующими
на систему, и внутренними силами, действующими на ее
89
элементы. Соответственно характеристиками состояния
системы будет либо вектор внешних сил Р, заданный в
соответствующем базисе, либо вектор внутренних сил S,
действующих на элементы системы. Для них тоже суще-
ствует свой базис, так как они
описывают то же равновесное
состояние системы, но в дру-
гих координатах. Согласно по-
лученному выше правилу, мат-
рица, связывающая векторы
Р и S, и матрица, связываю-
щая аналогично (52) соответ-
ствующие базисы, будут
взаимно транспонирован-
ными.
Если составлена матрица V из равенства P=VS, на-
пример матрица (42), то строки матрицы (7=ЕТ будут
коэффициентами, на которые необходимо умножить ба-
зисные внешние силы ег-, чтобы получить единичные (ба-
зисные) воздействия на соответствующие элементы. Для
примера, показанного на рис. 68:
10 0 0
т, _ т/т - 0	0 4/5 3/5
и ~~ 0 0 1	0 •
-0—10	1
Вторая строка этой матрицы, например, соответствует
базисному состоянию фермы (см. рис. 68), при котором
на второй стержень действует единичная сила (рис. 74)
Такое воздействие будет, согласно рис. 68, д, при внеш-
них силах
4	3
Л = Р2 = 0;	?>s = -—1;	=
о	о
Таким же образом и матрицу влияния внутренних сил
£т можно в тех случаях, где это удобно для расчета, рас
сматривать как матрицу преобразования силового ба-
зиса.
§ Обобщенные перемещения.
Их преобразование при изменении базиса
В механике понятие обобщенной силы Pt всегда свя-
зывается с понятием обобщенного перемещения Д/. Их
90
нужно ввести не-
Рис. 75
произведение должно давать работу силы Р,- на этом пе-
J ремещении А = Р^ при условии, что сила остается по-
стоянной.
Если сила Pi изменится в процессе нарастания пе-
ремещения, то, как известно из курса сопротивления ма-
[ териалов, к конечному значению силы
который множитель: A — aPi&i. Напри-
мер, если перемещение вызвано стати-
1 ческой силой, изменяющейся от нуля
до конечного значения Р{, и справед-
лив закон Гука, то а=0,5.
Подробнее об этом будет сказано в
главах VIII и IX. Сейчас обратим вни-
мание на другую особенность, связан-
ную с тем, что обычно на сооружение
одновременно действует несколько
обобщенных сил Р2 (рис. 75). Каждая
из них производит работу на обоб-
щенном перемещении Например,
момент М=Рг производит работу на
угле поворота <р=Д;, к которому он
приложен. Суммарная работа может
1 быть записана в виде алгебраической суммы
J	А — Pi Дх + Р2 +... + Ptl AZ1.	(63)
Для простоты опускаем здесь множитель а, имея в виду,
например, возможную работу сил Р, на бесконечно ма-
лых перемещениях Д, и т. п. Происхождение этих пере-
мещений нас пока не интересует.
Как говорилось выше, силы Pi можно рассматривать
как элементы вектора «-мерного пространства. Аналогич-
но можно ввести вектор Д с элементами
и соответствующее «-мерное пространство перемещений.
Поскольку размерности пространства сил и простран-
ства перемещений совпадают, то можно эти пространства
совместить и рассматривать выражение (63) как скаляр-
ное произведение двух векторов Р и Д, которое обознача-
г	и
ется (Р, Д)
Л=(Р.А).
Таким образом, каждой паре векторов Р и Д ставится
в соответствие число, равное работе сил Р на перемеще-
ниях Д. Через координаты векторов эта работа записы-
вается в виде (63) илн кратко в виде (64).
Рассмотрим, как изменяется вектор перемещений, ес-
ли вектор сил записать в новом базисе е/ с помощью но-
вых координат Р/. Очевидно, что вектор обобщенных
перемещений должен также измениться, так как работа
А не должна зависеть от того, через какие координаты
записываются силы и перемещения. Причем изменение
вектора перемещения должно быть связано с тем, по ка-
ким правилам изменяется вектор сил.
Обозначим новый вектор перемещений через Д* и за-
пишем работу А в виде:
А = (р*,д‘) = ЯД1+ P2A2 + ...+ P«AtI	(65)
Подставив в (63) выражения Р,- через Pi, согласно ра-
венствам (55), получим
А = Р1 ( "11 Д1 + “12 Д2 +• • • + "in Дп) + Р2 («21 Д1 + «22 Д2 +
+ • •  + «2„ Дп)+‘' • + Рп («Щ Д1 + "п2 Д2 + • ‘ •+ "пп Дп)’ (66>
Сравнивая это равенство с выражением (65), видим, что
новые обобщенные перемещения Д; выражаются через
старые равенствами:
д^ = "нд1 + "12дг+--- + "1пдп;
Д2 = «21 Д1 + «22 Д2 +• * • + И2п Дп'.	
• • • .	(67)
Д„ ~ w , Д, -j- и _ Д_ -4-,.. 4- и Д
« nt 1 1 п2 2 г 1 пп п
или в матричной форме
Д* = £/Д?
Сравнивая равенства (67) с равенствами (52), уста
навливаем, что элементы нового вектора перемещений
(68)
92
д* выражаются через элементы старого вектора переме-
щений Д так же, как и новые базисы сил е, выражаются
через старые е,-. Матрицы преобразований (67) и (52)
совпадают.
Получая (55) из равенств (52), мы исходили из неиз-
менности силового состояния P^Pie-f-.-.+Pne,, при из-
менении базисных сил. При получении равенства (67) с
помощью выражений (55) использовалась неизменность
работы А =Р1Д1+...+РпД,1. Выражения (51) и (63) ана-
логичны. В формуле (63) перемещения Лг играют фор-
мально ту же роль, что и базисы е,- в (53). Поэтому одна
и та же матрица U преобразует старый силовой базис в
новый и старый вектор перемещений Д в новый Д*.
Убедимся в этом на примере балки, показанной на
рис. 72. Матрица U перехода к локальным уравновешен-
ным базисным нагрузкам дается в виде (58). Таким обра-
зом, i-й элемент нового вектора обобщенных перемеще-
ний Д* будет в этой задаче, согласно выражениям (58) и
(68), записываться в виде:
Д* = — 1 Id + 2/d Д. — 1 Id Дж.
Перепишем это выражение так:
Д| = 1/Д (Л. — Д,.-.,) — 1/d (Дж — Д.) = у. — уж = со.,	(69)
На рис. 76, а показаны перемещения Д;-, на которых
производят работу старые силы Р,\ на рис. 76, б дано
перемещение о>г==Д,, которое, согласно выражению
(69), представляет собой угол взаимного поворота смеж-
ных панелей. Именно на этом взаимном угле поворота
производит работу обобщенная сила Р,, состоящая из
двух уравновешенных моментов (рис. 76, б) (см. также
рис. 72, в, где показано соответствующее базисное воз-
действие) .
Формулу (69) можно объяснить и тем, что обобщен-
ные силы Р( в этой задаче равны, согласно (59), внутрен-
ним силам — изгибающим моментам Л1,= Р,. Если от-
бросим в системе рис. 72 связи по направлению моментов
и превратим ее в механизм с п степенями свободы, то в
соответствии с принципом возможных перемещений ра-
бота сил Pt на любом возможном перемещении £Р,Д;
Должна быть равна и обратна по знаку работе моментов
93
Рис. 76
Mt на соответствующих перемещениях — углах взаим-
ного Поворота смежных сечений со/. По рис. 76, г положи-
тельным моментам Mi соответствует отрицательная ра-
бота —SAf.coj, т. е.
£РгДг =2м4<ог.	<7°)
i	i
Равенство (70) и представляет в этой частной задаче
запись общих выражений (63) и (65) в случае, когда от
характеристики силового состояния через внешние силы
Р, мы перешли к характеристике через внутренние силы
М;. Перемещения Л; заменились при этом на ац. В этой
задаче известна и матрица (61), обратная U: U~1—Lm.
Таким образом, перемещения А,- здесь выражаются через
94
углы взаимного поворота со; с помощью матрицы вшя-
ния изгибающих моментов:
\ =	(71)
В § 45 дадим простое геометрическое объяснение это-
му выражению и будем его использовать для построения
эпюр прогибов. Сейчас вернемся к общему выражению
(68). Здесь можно поставить один общий вопрос: по ка-
ким формулам преобразуются базисные перемещения,
если для векторов Д* и Д справедлива формула (68)?
Действительно, векторы Д и Д*, как и векторы сил, за-
даются в пространстве перемещений в своих базисах.
Обозначим базисные состояния: для старых перемещений
через 1], к,1Я, Для новых перемещений через h,
h,...,In. Например, для механизма предыдущего приме-
ра (см. рис. 76, в) базисные состояния 1,- и 1/ показаны
на рис. 76, д, е. Им соответствует Д»== 1 или Ai=coi —1
при остальных перемещениях, равных нулю.
Одно и то же деформированное состояние системы Д
может быть, как и силовое состояние Р (см. рис. 70),
представлено в виде:
Д = Aj IfД212-f-...-J-An In	(72)
или
Д= др’ + д; ]*+... + Д*1*.	(73)
Подставляя выражения (67) в (73) и сравнивая полу-
ченный результат с (72), можно показать, что старый ба-
зис 1, выражается через новый 1,- с помощью матрицы,
транспонированной к U:
h = иц 1, + и21Г 4-... + игЛ 1(1;
i2=«12in-«22i;+... -wn3 с
•	•	•	•
•	•	•	•
•	•	•	•
\п=ил	io+...4-u С
" In 1 2п 2 1 • • 1 пп п
(74)
Таким образом, приходим к важному выводу, что при
изменении базисных сил (или перемещений) достаточно
Установить одну связь, например между базисами сил.
Из нее автоматически вытекает связь между векторами
И
сил и векторами перемещений, а также между базисами
перемещений, причем эта связь устанавливается либо с
помощью той же матрицы U [см. выражения (52), (68)],
либо с помощью транспонированной матрицы t/T [см. вы-
ражения (56), (74)].
Если обозначить столбец из базисов сил е, через {е(},
а также соответствующие новые базисы записать в стол-
бец {е,} и использовать формально матричные операции
с этими столбцами как с обычными векторами, то равен-
ства (52), а также (74) можно записать кратко в матрич-
ной форме:
Используя эти записи, представим всю полученную це-
почку связей между векторами и базисами в виде:
П______________U	(75)
| Р = (ЛР* |^[ Л* -- t/A I
Конечно, необязательно начинать эту цепочку с сило-
вых базисов е» и е«. Если, например, установлена связь
между векторами Р* и Р в виде, обратном выражению
(56):
Р* => VP,	(76)
то связь между векторами перемещений будет даваться
в виде:
Д == ЩД*.	(77)
В этих обозначениях вся цепочка связей может быть
представлена так:
| P*^VP А=К‘А* |
И	И
|{e;i = Ут { еГ }|^| V {^1 1
(78)
Рассмотренные на рис. 72, 76 примеры зависимостей
(75), (78) были нужны для иллюстрации э7их связей. Са-
мая важная особенность указанных связей — их общ-
ность. Установив по смыслу задачи одну из связей, на-
пример между А и Д*, мы тем самым автоматически по-
лучаем все остальные, необязательно вникая в их геомет-
96
рическую или силовую основу. Это особенно существенно
при использовании в расчетах ЭВМ. Практически наибо-
лее важна связь преобразований векторов сил и переме-
щений (76) и (77) или (56) и (68). Как видно, эти преоб-
разования даются взаимно транспонированными матри-
цами. Такие преобразования называются в линейной
алгебре сопряженными. Преобразования векторов сил и
векторов перемещений — взаимно сопряженные преобра-
зования. В них используются те же коэффициенты (эле-
менты матриц U и 1Л), но в различных порядках. На
двойственный характер коэффициентов матриц влияния
внутренних сил мы уже обращали внимание в § 10 и
будем еще не раз использовать эту двойственность в ре-
шении различных задач,
7—569
Раздел второй
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Глава IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ
ПРИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
§14. Определение внутренних сил в статически
определимых системах при неподвижной нагрузке.
Балочные системы, простейшие рамы и фермы
Из самого названия «статически определимые систе-
мы» следует, что усилия в этих системах можно опреде-
лять с помощью уравнений статики (уравнений равнове-
сия). Однако уравнения равновесия можно брать в раз-
личных формах, записывать их для различных частей
сооружения, использовать последовательно в различных
порядках и т. д. Отсюда разнообразие методов определе-
ния усилий. В данной главе рассмотрим основные из них.
При «ручном счете», т. е. при расчетах с помощью
простейших вычислительных средств, например кальку-
ляторов, используется, как правило, метод сечений
в том виде, в каком он излагается в курсе сопротивления
материалов. Напомним кратко порядок расчета по это-
му методу. Из уравнений равновесия всей системы опре-
деляют опорные реакции. Проводя затем последователь-
но сечения, в которых необходимо найти внутренние
силы, разделяют каждый раз систему на две части, на-
ходят из уравнений равновесия «левой» и «правой»
частей искомые усилия (кавычки здесь поставлены,
поскольку эта часть системы может быть «нижней»,
«верхней» и т. д.).
Эта методика реализуется особенно легко в системах,
полученных путем последовательного присоединения дис-
ков тремя связями или шестью связями в случае прост-
ранственной системы.
В системах консольного типа, свободных от закрепле-
ний с одной стороны (см., например, рис. 77, а), силы
взаимодействия между дисками определяются из урав-
нений равновесия свободной, незакрепленной части систе-
мы. Например, проводя сечение /—/ и решая три линей-
98
но-независимых уравнения равновесия верхнего диска
(рис. 77,6), находим усилия 3], 32, З3.
В качестве независимых уравнений можно взять три
уравнения: 22ИА=0, 2Л)в=0, 22Ис=0; если точки А, В
и С не лежат на одной прямой, или уравнения ХЛ1А=0,
£Л1в=0, 2Х=0, или же уравнения 5Л1А=0, SX=0, 2У=
=0 и т. д. Аналогично, проводя сечение II—II и расомат*
Рис. 77
ривая равновесие верхней части системы или диска И,
находим силы взаимодействия между дисками II и III
и т. д. Здесь предполагается, что каждый из дисков пред-
ставляет собой стержень или простую по образованию
статически определимую систему, поэтому после опреде-
ления сил, действующих на каждый из дисков, усилия в
его стержнях находятся аналогично методом сечений че-
рез правые и левые силы.
Если каждый верхний диск связан не с одним «ниж-
ним» диском, то методика определения сил взаимодейст-
вия между дисками будет
такой же. Она также долж- wo-----д-о---д—о---д—
на основываться на предва-	Жт
рительном анализе образо-
вания системы.
Например, анализируя
образование системы, пока-
занной на рис. 78, видим, что
она получена последователь-
ным присоединением тремя
связями диска III к диску
IVзатем диска II к полученному диску III—IV и далее
диска I к диску //—III—IV. Проводя сечение I—I и рас-
сматривая рановесие диска /, находим силы взаимодей-
ствия между дисками I и II. Затем проводим сечение
II—II и рассматриваем равновесие диска II и т. д.
о
Рис. 79
•7*
99
По такой схеме рассчитываются, например, многопро-
летные статически определимые балки с внутренними
шарнирами (рис. 79). Изгибающие моменты от многих
реальных нагрузок в таких балках меньше, чем в соот-
ветствующих системах однопролетных балок.
Сравним, например, эпюры изгибающих моментов в
двухпролетной балке (рис. 80, а) и соответствующих двух
Рис. 80
однопролетных балках, на которые действует такая же
нагрузка (рис. 80,6). Как видно, наибольшие изгибаю-
щие моменты в двухпролетной балке в 1,5 раза меньше
наибольших моментов в однопролетных балках.
При определении усилий в многопролетных балках
вначале необходимо найти основную балку, которая сое-
динена с землей тремя связями и образует с диском зем-
ли неизменяемую систему. Например, для трехпролетной
балки с шарнирами 1, 2, 3 (рис. 81, а) основной является
левая балка I, соединенная с землей тремя связями, непе-
ресекающимися в одной точке. Далее находим часть сис-
темы, опирающуюся на этот диск. В данном примере та-
кой частью будет балка //, для которй шарнир 2 служит
неподвижной опорой (рис. 81,6). Так же исследуем сис-
тему до конца.
Расчет начинается с «верхней» балки, на которую
действует только заданная нагрузка. Определяя опорные
реакции, находим тем самым и силы взаимодействия
между этой балкой и остальным сооружением. Напри-
мер, рассчитывая третью «верхнюю» балку (рис. 81, в),
находим реакцию которая равна поперечной силе в
третьем шарнире исходной системы. Рассчитывая вторую
балку, будем загружать ее нагрузкой Рг и силой Qa=
100
Рис. 81
=V13\ с которой третья балка действует на вторую. На-
правление этой силы обратно направлению реакции Ул”
для третьей балки. Таким образом, расчет заданной сис-
темы заменяется несколькими расчетами ее более прос-
тых элементов.
Рекомендуем читателю построить таким образом эпю-
ру, показанную на рис. 80, а.
Покажем решение несколько более сложной задачи.
Рассмотрим числовой пример, в котором поясним и сис-
тему контроля промежуточных этапов расчета. Построим
эпюру внутренних сил в раме (рис. 82, а). Основной
частью системы является рама из двух вертикальных
(AF и ВG) и двух горизонтальных (FG и GC) стержней,
соединенных в жестких узлах. Она образует с землей
диск, так как опирается на две опоры: подвижную А и
неподвижную В. Правый вертикальный стержень соеди-
нен с этим диском шарниром С и связью D, не пересека-
ющей шарнир С. Система геометрически неизменяема и
статически определима.
Рассматривая правый стержень как балку на двух
опорах (рис. 82, в), вычисляем из уравнений1 2У=0,
2Л4с=0, SA4D=0 опорные реакции и контролируем эти
вычисления:	24-10—8—4=0. Далее строим для
1 Рекомендуется составить эти уравнения и вычислить реак-
ции, сверив их с реакциями, показанными на рис. 82.
101
л)
М=10кН
i Н НI I TT SkH/m
"с i
Buie
ОкН
о
А
в
। Ом
У *
П7Н HHt
/2 ,
0-м
5:
ОкН
1кН |/
10
8
/
4-1
М=10
8 .
5
м
Узел &
Узел F
2т=12-7-10=0
Я1ШЯЦД;
❖
’ 1
1т-12-8-0= О
10,5
Ю,5 I
^5,5	1у-15,5-10,5-1=0 О
Рис. 82
Нв-2
М=2

этого стержня эпюру изгибающих моментов. Ординаты
эпюры откладываем со стороны растянутого волокна
(рис. 82, в). Действие стержня на основную раму заме-
няем силами N—2 и Q=l, равными реакциям стержня
на опоре С. Направление их обратно направлению реак-
102
ций (рис. 82, б, в). Прикладывая к раме силы N и Q вме-
сте с нагрузкой Р=4 кН, М = 10 кН-м и q—Ъ кН/м вы-
числяем из уравнений равновесия1 SX=0, SAfB=0,
2Ма=0 реакции на опорах А и В. Контроль: 2У=9,54-
4-15,5—6-4—1=0.
Эпюру изгибающих моментов в основной раме строим
так, чтобы уравнения равновесия узлов F и G служили
контролем вычислений. Для этого ординаты эпюры в се-
чениях, смежных с узлом, находим из уравнений равно-
весия различных частей рамы. Например, определим мо-
мент в сечении правее узла G: —1-4=—4. Он «растя-
гивает» верхние волокна. Рассматривая стойку BG, на-
ходим момент в сечении ниже узла G: 2-4=8 (растянуты
правые волокна стойки). Момент в сечении слева от уз-
ла G: 9,5-4—4-34-Ю—6-4-2=—12 (растянуты верхние
волокна). Аналогично вычисляются остальные ординаты
эпюры М. Контролем вычислений служат уравнения рав-
новесия ХМ=0, написанные для узлов (рис. 82, г, д).
В узле F приложен внешний момент, который также вхо-
дит в уравнение равновесия узла.
Знаки моментов на эпюре М не ставятся, так как на-
правление ординат эпюры показывает, какие волокна
растянуты, а какие сжаты.
Аналогично, проектируя «левые» или «правые» силы
на ось стержня и направление, перпендикулярное оси
стержня, получаем значения нормальных и поперечных
сил в стержнях рамы. Их эпюры показаны на рис. 82, е,
ж. Правило знаков для N и Q было установлено в сопро-
тивлении материалов: N считается положительной, если
соответствует растяжению стержня; Q считается поло.-
жительной, если вращает элемент по часовой стрелке.
При таком построении эпюр N и Q контролем вычисле-
ний служат уравнения равновесия узлов: 2Х=0, 2У=0.
Для узла G они приведены на рис. 82, з.
Системы, образованные последовательным присоеди-
нением дисков тремя связями, могут соединяться с дис-
ком земли и другими способами, не совпадающими со
схемами, показанными на рис. 77, 78. Например, при
определении усилий Nt, N2, N3 в стержнях идеальной ба-
лочной фермы (рис. 83, а) можно, как известно из курса
теоретической механики, представить ферму в виде двух
1 Рекомендуется составить эти уравнения и вычислить реакции,
сверив их с реакциями, показанными на рис. 82,
103
дисков (рис. 83,6), соединенных тремя связями. Для
определения усилий в этих связях проводим сечение I—1
и рассматриваем равновесие левого или правого диска.
Однако в отличие от консольной схемы, показанной на
рис. 79, к левому, как и к правому, диску приложены,
кроме заданных сил Ро, Р},...,Рп, пока еще неизвестные
реакции Ул, НА, Ув. Поэтому принимается следующий
порядок расчета.
Вначале из уравнений всей системы в целом, напри-
мер из уравнений 2Жл=0, 2Л1в=0, 2Х=0, определяем
опорные реакции VA, НА, Vn. Затем из уравнений равно-
весия, например, левого диска (рис. 83, в) 2Л1й=0,
ЕЛД, =0, 2У=0 находим последовательно усилия N3,
Ni, N2. Уравнения равновесия диска /, как видно, состав-
ляются так, чтобы каждое из них содержало одно неиз-
вестное усилие. В этом случае нет необходимости решать
системы уравнений, и ошибка в вычислении одного уси-
лия Ni не влечет за собой автоматически ошибки в опре-
делении других усилий (в отличие от метода последова-
тельного вырезания узлов, в котором каждое усилие оп-
ределяется через другие, вычисленные ранее). Аналогич-
но проводя сечение через другие панели фермы, можно
определить усилия в других стержнях.
1С4
В дальнейшем мы еще остановимся на применении
метода сечений в расчетах ферм и трехшарнирпых сис-
тем. Сейчас обратим внимание на то, что метод сечений
в данном виде не является до-
статочно общим. Например,
в такую схему не укладыва-
ется расчет системы, пока-
занной на рис. 84, где нельзя
из трех уравнений равновесия
системы в целом определить
четыре опорные реакции. Не-
просто даже дать схему об-	ис'
разования этой системы. Для расчета подобных систем
вручную удобно использовать метод замены связей.
§15. Метод замены связей
Рассмотрим систему из трех балок, показанную на
рис. 85, а. Она прикреплена к земле четырьмя связями.
Из трех уравнений равно-
весия системы не удается
вычислить реакции. Здесь
нельзя выделить среди
элементов системы такой,
чтобы он образовывал с
землей диск. Нельзя и на-
писать дополнительное
простое уравнение, в кото-
рое входили бы только
опорные реакции, как, на-
пример, в расчетах трех-
шарнирных арок и рам
(см. ниже).
С другой стороны, эта
система не является ме-
ханизмом или статически
неопределимой конструк-
цией. Необходимое для неизменяемости число связей
здесь имеется. Это видно, например, из такого рассуж-
дения. Уберем связи /, 2 и поставим две другие связи 1'
и 2' (рис. 85,6). Система превращается в обычные двух-
опорные балки, опирающиеся друг на друга. Общее чис-
10J
ло связей при такой их перестановке не изменилось, зна-
чит связей было достаточно и в заданной системе (см.
рис. 85, а).
Данное рассуждение приводит нас к мысли использо-
вать вспомогательную систему (см. рис. 85, б) и для рас-
чета заданной системы. Действие, которое оказывали на
сооружение выброшенные связи, можно заменить неиз-
вестными силами Xi, х2. Достаточно определить эти силы,
и задача вычисления внутренних сил в каждой из балок
резко упростится.
Неизвестные усилия %i и х2 можно найти из условий
эквивалентности заданной и вспомогательной систем.
В заданной системе отсутствуют связи Г и 2', поэтому
условием эквивалентности будет отсутствие усилий Ni и
Л’2 во введенных связях. Равенства
Ni = 0,	/V2 = 0,	(79)
рассматриваемые как уравнения относительно Xj и х2, и
позволяют определить эти неизвестные силы. Предста-
вим Л\ в виде суммы усилий от хь х2 и нагрузки Р: Ni =
^NuXi-^-Ni^-j-Ntp, где Nu, N12, Nip — усилия в связи
Г вспомогательной системы соответственно от Xi = l,
х2^= 1 и заданной нагрузки Р. Записывая аналогично N2,
получим систему уравнений (79) в явном виде:
Рп Xi + N12 х2 + Wip = 0; j
*21*1 + ^22*2 +№p =0. J
Коэффициенты Nik системы (80) и элементы NlP, N2P
так называемого «грузового столбца» определяются как
усилия в сравнительно простой вспомогательной систе-
ме. Решив систему уравнений (80) и найдя хь х2, далее
в той же вспомогательной системе определяем внутрен-
ние силы от суммарного воздействия сил Р и хь х2.
Такой метод расчета называется методом замены свя-
зей. Этот метод позволяет заменить расчет заданной
сложной системы несколькими расчетами более простой,
изученной системы на единичные воздействия Xi = l,
х2=1, на нагрузку Р и суммарное воздействие Хь х2, Р.
Метод замены связей является естественным разви-
тием и обобщением метода сечений, в котором как бы
простой, изученной системой считается консоль. В кон-
соли внутренние силы определяются простым вычисле-
на
нием суммы проекций или суммы моментов левых (пра-
вых) сил. Неизвестные левые (правые) силы также пред-
варительно определяются из уравнений. Ими служат
уравнения равновесия или равенство нулю какого-либо
фактора, например момента в шарнире. Такие уравнения
можно интерпретировать как уравнения метода замены
связей.
Например, для вычисления изгибающих моментов в
трехпролетной балке (рис. 86, а) необязательно исполь-
зовать схему рис. 81, б. Можно вычислить последователь-
но реакции Vb\ Vb*, У(б из условия равенства нулю мо-
ментов в шарнирах 3, 2, /:
Л43 = 0;	Л'/2 = 0;	Л1£ = 0,	(81)
затем построить эпюру М через правые силы (как в кон-
сольной балке). Уравнения (81) можно рассматривать
как уравнения метода замены связей при вспомогатель-
ной системе в виде консоли (рис. 86, б).
Запишем уравнения (80) метода замены связей в
матричной форме:
Lx+NP = 0,	(82)
где
Mi Мг]
.Mi Mil
(83)
В случае, когда заменяются п связей, уравнения имеют
такой же вид, но матрица влияния L и векторы х, NP бу-
дут иметь n-й порядок. Напомним, что эта матрица влия-
ния усилий Ni, N2,... от сил х1г х2 составляется во вспомо-
гательной системе. В этой же системе вычисляются силы
Мр. Решение системы дается формулой
х =—L 1 Np
(84)
107
и возможно лишь в том случае, когда определитель
матрицы L не равен нулю:
Det L 0.	(8Ь)
Допустим, что мы изменяем геометрию системы так,
что DetZ.->0; тогда, согласно формуле (34), элементы
обратной матрицы L-1 будут бесконечно возрастать и
согласно формуле (84), будут бесконечно возрастать уси-
лия хь х2 в исходной системе. Возможность появления
бесконечно больших усилий при конечной нагрузке Р
является признаком мгновенной изменяемости системы
(см. гл. II). Это означает, что равенство нулю определи-
теля
х Det L = 0	(86)
служит признаком мгновенной изменяемости исходной
системы. Рекомендуем в качестве упражнения составить
для вспомогательной системы (см. рис. 85, б) матрицу L
и доказать, что ее определитель не равен нулю, т. е. ис-
ходная система неизменяема.
Наиболее часто используется метод замены связей с
одним неизвестным, когда производится перестановка
одной связи. В этом случае уравнение для одного неиз-
вестного xt запишется так:
(У11х1 + Мр=0;	(87)
оно имеет единственное решение для любого NlP для лю-
бой нагрузки Р при
Л'У * 0.	(88)
Условие (88) является признаком геометрической не-
изменяемости заданной системы. Этот частный случай
условия (85) наиболее часто используется при анализе
образования систем, как плоских, так и пространствен-
ных.
Пример. Определим внутренние силы в системе на рис. 87, а.
Удалим среднюю опору, заменив действие этой связи на систему си-
лой xt, и введем связь, замыкающую шарнир С и превращающую
систему в статически определимую балку, к которой двумя наклон-
ными стержнями прикреплен нижний узел (рис. 87, б). Связь по-
ставлена на расстоянии, равном единице, и усилие Ni в ней равно
изгибающему моменту в среднем сечении балки. Найдем внача ie
усилие Л'н, возникающее в этой вспомогательной системе от силы
= 1 (рис. 87, в). Определяя опорные реакции от Xj = l и расклады-
вая наклонные силы, действующие на балку, на вертикальные и го-
ризонтальные составляющие, находим изгибающий момент в сред-
нем ее сечении: 7Vn=—//8.
108
Таким образом, Л'п^О. Это означает, что заданная система (см.
мс. 87, а) статически определимая и геометрически неизменяемая.
Загружая вспомогательную систему нагрузкой Р (рис. 87, г), оп-
, еляем Nip—момент в среднем сечении балки: Nip=PI!4 (на-
j -энные стержни в этом случае не работают).
Условие эквивалентности заданной и вспомогательной систем
у, =0, т. е. уравнение (87) записывается в этой задаче так:
— /
8
Pl
4
Отсюда Х|=2Р. Зная реакцию на средней опоре, нетрудно опреде
лить реакции на опорах /1 и В (рис. 87, д) и далее обычным мето
дом сечений вычислить внут-
ренние силы. На рис. 87, д по-
казана эпюра изгибающих мо-
ментов и эпюра продольных
сил в наклонных стержнях.
Наибольшие изгибаю-
щие моменты в этой си-
стеме в два раза меньше
изгибающих моментов в
балке пролетом I с нагруз-
кой Р, при этом реак-
ция на средней опоре
превышает в два раза на-
грузку Р за счет отрица-
тельных реакций на край-
них опорах. Интересно,
что при сплошной равно-
мерно распределенной на-
грузке интенсивностью
q реакция на средней опо-
ре этой системы равна
значению всей нагрузки
ql, а крайние опорные ре-
акции равны нулю. При
этом наибольшие изгиба-
ющие моменты в четыре
раза меньше наибольше-
Рис. 87
го момента в балке пролетом /. Рекомендуем читателю
в этом убедиться самому.
Применение метода замены связей требует от расчет-
чика опыта решения более простых задач и умения пре-
образовывать заданную систему в более простую путем
перестановки связей. Этот метод удобен для ручного
счета, но его трудно автоматизировать и составить по
109
нему достаточно общую стандартную программу для рас.
чета произвольной системы на ЭВМ. При расчетах на
ЭВМ основные трудности часто составляет не решение
систем линейных уравнений, а задача составления этой
системы, формирования в памяти машины матрицы этой
системы и правого столбца.
Метод замены связей имеет достаточно сложный алго-
ритм расчета (напомним, что алгоритмом называется
правило-порядок, в котором ------- ------ ---------
указано, какие операции и
в какой последовательно-
сти необходимо выпол-
нять) . Процесс составле-
ния уравнений (82) не-
стандартен в том смысле,
что для каждой конкрет-
ной системы он требует
достаточно большой ум-
ственной работы. Гораздо
проще составить, напри-
мер, в задаче расчета си-
стемы, показанной на
рис. 85, совместную систему девяти уравнений равнове-
сия: по три уравнения равновесия для каждой балки.
В эту систему войдут девять неизвестных усилий в свя-
5з/ рч
„ ТГ"
ил Е-----
Рис. 88
зях (рис. 88).
Решая девять уравнений с девятью неизвестными, что
на ЭВМ сделать несложно, находим sb s2, ...,s9. Затем
вычисляем в каждом стержне внутренние силы методом
сечений через левые или правые силы. Как видно, алго-
ритм расчета упростился, но в нем еще содержится три
различных этапа: составление системы уравнений, ее ре-
шение и вычисление внутренних сил в каждой из балок.
Последнего этапа можно избежать, увеличив число сов-
местно решаемых уравнений. Можно заранее наметить
все сечения, в которых необходимо вычислить внутренние
силы, расчленить этими сечениями систему на более мел-
кие элементы и записать по три уравнения равновесия
для каждого элемента. В них войдут все искомые внут-
ренние силы и реакции. Число уравнений будет по-преж-
нему совпадать с числом неизвестных, так как каждое
сечение добавляет три или шесть неизвестных в прост-
ранственной задаче, а также три или шесть уравнений
равновесия для нового элемента. Например, для системы
по рис. 88, добавив два сечения в верхней балке (рис. 89)
по
левее и правее среднего узла, получим дополнительно
шесть неизвестных: Л'ь Qb Mh N2t Q2, M2 и шесть урав-
нений равновесия элементов, показанных на рис. 89 жир-
ной линией.
Членение системы на мелкие элементы упрощает так-
же составление системы уравнений, так как уравнения
равновесия каждого элемента будут иметь стандартную
форму.
§16. Система уравнений равновесия узлов
и стержней
В общем случае произвольной статически определи-
мой системы можно сечениями расчленить систему на
стержни и узлы. Если точки приложения сосредоточен-
ных сил и моментов отнести, как на рис. 89, к узлам, то
к стержням будет приложена только распределенная на-
Рис. 90
грузка. Ограничившись случаем прямых стержней и рав-
номерно распределенной нагрузки, получим для каждого
г-го стержня (рис. 90, а) три уравнения равновесия:
Тт) = 0, SMn = 0, S7Vfft = 0,
Де т) — ось i-ro стержня; п и k — крайние его точки.
111
Уравнения равновесия стержней назовем уравнения,
ми группы «а». Их будет 3 s, где s — число стержней.
В стандартной форме уравнения можно записать в виде;
3s уравнений
— ЛГ„ + ^=/f cosai9l-;
1	2
М + М. — l.Q =~ I, sin a,<?,;
п /г i А 2 1	1 l>
1	2
— Mn — Mh+liQn sina^f.
(89)
Уравнения равновесия узлов (рис. 90, б) образуют
группу из 3k уравнений, где k— число узлов:
2Х = 0, 2Г = 0, ХМ = 0.
Назовем их уравнениями группы «б»:
3k уравнений
— 2 (cos ф, Nh + sin Qh) = Px;
— 2 (sin ф, Nh — cos Qh) == Py;
— XMk = M,
(90)
где суммы берутся по всем сечениям, примыкающим к
/-му узлу.
К уравнениям (89), (90) необходимо добавить задан-
ные в каждом конкретном случае равенства, например
равенство нулю моментов в шарнирах. Будем рассмат-
ривать группу этих равенств как дополнительные уравне-
ния третьей группы «в».
Записав совместно группы уравнений «а», «б» и «в»,
получим систему, которую в матричной форме можно
представить в виде:
AS = JBP,	(91)
где S — вектор, состоящий из искомых усилий; Р — вектор задан •
ной нагрузки.
В правой части системы значения нагрузок qit соглас-
но формулам (89), умножаются на некоторые коэффици-
енты. Поэтому в общем случае в правой части системы
(91) вектор Р будет умножаться на некоторую матрицу
В, элементы которой зависят от длин стержней и углов
наклона нагрузок qi к осям стержней. Элементы матрицы
А являются коэффициентами, на которые умножаются
неизвестные силы в формулах (89), (90). Эти коэффици-
енты зависят лишь от геометрии системы и являются ко-
синусами, синусами углов наклона стержней к оси х или
же Длинами стержней. Система (91) имеет для каждой
112
нагрузки Р единственное решение, если Det Д#=0. Равен-
ство нулю определителя будет означать, что заданная
система является изменяемой или мгновенно изменяемой.
Если Det Д =5^=0, то можно составить и решить по стан-
дартным программам на ЭВМ систему (91) для каждой
конкретной нагрузки и получить искомые внутренние си-
лы. Обращая матрицу А, получаем матрицу влияния
внутренних сил и реакций:
S = A-1 BP = LP,	(92)
где
(93)
£= А~1В.
При расчетах реальных сооружений число определя-
емых внутренних сил обычно составляет сотни и тысячи.
Соответственно большим будет и порядок системы (91).
С другой стороны, реальные конструкции чаще всего
представляют собой пространственные многократно ста-
тически неопределимые системы. В таких системах число
уравнений равновесия (91) будет меньше числа неизвест-
ных усилий. Поэтому для выполнения расчета к уравне-
ниям (91) необходимо добавлять еще, например, уравне-
ния совместности деформаций и использовать в расчете
ЭВМ большой мощности. Подробнее об этом будет ска-
зано в главах XI—XIII.
В решении ряда частных задач, например при расчете
идеальных плоских ферм, можно существенно уменьшить
порядок системы (91) и выполнить расчет по этой мето-
дике на ЭВМ средней мощности. Подробнее об этом бу-
дет сказано в гл. VI.
Уравнения групп «а» и «б» часто используются и при
расчетах вручную. Например, для контроля эпюр, постро-
енных методом сечений через левые и правые силы, ис-
пользуются уравнения группы «б»— равновесия узлов
(см., например, рис. 82, г, д, з). С помощью уравнений
группы «а» в расчетах сложных систем вычисляются по-
перечные силы по найденным изгибающим моментам
и т. д.
§17	. Кинематический метод определения усилий
Основной недостаток изложенной общей методики вы-
числения усилий — необходимость решать обширную
систему совместных уравнений (91). Он полностью отсут-
8-569
113
ствует в другом общем методе, который называется кине-
матическим методом. Этот метод основан на непосредст-
венном использовании начала возможных перемещений.
Его основные положения излагались в гл. III. С помо-
щью этого метода была показана справедливость прин-
ципа независимости действия сил для усилий в статиче-
ски определимой системе — принципа суперпозиции [см.
вывод формулы (12)].
Рассмотрим более детально алгоритм применения это-
го важного для строительной механики метода.
Для вычисления усилия 5, необходимо разрезать
связь, соответствующую этому усилию, и превратить тем
самым статически определимую систему в механизм с
одной степенью свободы. Задавая возможные перемеще-
ния, записываем уравнение возможных работ, в которое
входит искомое усилие S7 и обобщенные силы Р^:
^ = S/6i + 2PftAft = 0.	(94)
Для каждого усилия S, получается одно уравнение с
одним неизвестным, причем все уравнения составляются
независимо друг от друга; для каждого S,- исследуется
свой механизм с одной степенью свободы. В этом и до-
стоинство метода (не нужно решать систем уравнений),
и недостаток — исследование многих механизмов. Для
решения уравнения (94) необходимо все перемещения
Дй, на которых производят работу силы Рк, выразить че-
рез параметр б/— перемещение, на котором производит
работу сила S,-, либо выразить все эти перемещения че-
рез какой-нибудь другой параметр. Сокращая равенство
(94) на этот параметр, получаем выражение силы S< че-
рез нагрузки Рк [см. формулу (12)]. Таким образом,
центр тяжести расчета переносится на исследование ге-
ометрии, точнее кинематики механизмов, так как реше-
ние этой задачи эквивалентно построению известного из
кинематики плана скоростей механизма, причем для вы-
числения многих усилий нужно соответственно исследо-
вать много механизмов. Такой процесс нелегко автомати-
зировать, поэтому кинематический метод определения
внутренних сил в статически определимых системах при-
меняется при вычислениях вручную. Да и в этом случае
он используется чаще всего в расчетах на подвижную
нагрузку (см. гл. V). Но сущность этого метода лучше
понять на примерах с неподвижной нагрузкой.
Рассмотрим задачу вычислений усилий Nt, N2 в двух
114
Рис. 91
стержнях системы от заданной нагрузки (рис. 91,а).
Система представляет собой консольную ферму с так
называемым «подвесным пролетом»: балкой, опирающей-
ся в данном случае на ферму и на землю. Для вычисле-
ния М разрезаем левый нижний стержень и задаем воз-
можное перемещение полученному механизму с одной
степенью свободы (рис. 91,6).
Уравнение возможных работ
А = Л\б! + PjAj 4-Р2Л2+ ... + Р5Л5 = 0.	(95)
В качестве параметра, характеризующего перемеще-
ния, примем, например, угол поворота <р диска /. Из ге-
ометрических соображений записываем через ср бесконеч-
но малые перемещения Д&:
Д1 = 3<р; Д2 = 6<р; Д3 = 9<р; Д4 = 12<р; Д8 = 1/3Д4 = 4<р. (96)
8*
115
Перемещение 6i не является полным перемещением узла,
но оно записывается через <р аналогично: бесконечно ма-
лый угол <р умножается на «плечо» h:
=• 4<р.	(97)
Доказательство этого равенства приведено на рис. 91, в
Подставляя выражения (96), (97) в уравнение (95) и
сокращая его на <р, находим
Nx = — 3/4Pj — 6/4 — 9/4 Ря — 12/4 Р4 — 4/4 Рь.	(98)
Для заданных значений нагрузок получаем
Л/1 = — 1/4 (3-40+ 6-80+ 9-20+ 12-40+ 4-60) = — 375 кН.
Знак минус показывает, что стержень сжат.
Для вычисления усилия N2 в раскосе фермы (см.
рис. 91, а) разрезаем этот стержень и задаем возможное
перемещение полученному механизму (рис. 91,г). Диск
II может перемещаться только поступательно по верти-
кали. Примем это перемещение 6 за параметр, характе-
ризующий возможные перемещения механизма. Неиз-
вестная сила Nz будет производить работу на перемеще-
нии б2=б cos а. Эта работа будет, согласно рис. 91, г,
отрицательной.
Уравнение возможных работ
А = - N& + Pfi + Р26 + Р3д + Р46 + Р6 = 0,
О
откуда
N2 = 1/cos a (Pi + Р2 + Р3 + P,i + 1 /ЗРБ) =
= 5/4 (40 + 80 + 20 + 40 -р 20) = 250 кН.	(99)
Формулы (98), (99), как и общее выражение (12),
выведенное кинематическим методом, показывают, что
кинематический метод позволяет получать сразу целую
строку матрицы влияния внутренних сил L. Например,
для системы по рис. 91, а первой строкой матрицы влия-
ния L будет, согласно выражению (98), следующая стро-
ка: [—3/4; —6/4; —9/4; —12/4; —4/4]. Таким образом,
кинематический метод позволяет строить матрицы влия-
ния внутренних сил по строкам, минуя операции обраще-
ния матриц или решения линейных уравнений. Для полу-
чения элементов каждой строки матрицы L нужно иссле-
довать геометрию (кинематику) соответствующего
механизма.
Обратим еще раз внимание на геометрический (кине-
матический) смысл строк матрицы влияния внутренних
116
сил. В § 10 было показано, а также из уравнения (95) и
формулы (98) видно, что каждый элемент первой строки
представляет собой частное от деления перемещения Ah
на 6<, взятое с обратным знаком. Эту величину можно ус-
ловно трактовать как перемещение по направлению силы
р от 61=1, взятое с обратным знаком. Условность здесь
в том, что перемещения механизма должны быть беско-
нечно малыми, а не конечными — единичными. Значит,
получая перемещения от 6i=—1, нужно считать косину-
сы всех углов поворота дисков равными единице, а сину-
сы и тангенсы равными самому углу, дуга окружности
заменяется касательной и т. д.
Аналогично любая i-я строка матрицы влияния [S,i,
Sa, Si3, ..., S,-n] может трактоваться как строка, состоя-
щая из обобщенных перемещений от 6,=—1. Это соот-
ветствует перемещениям заданной системы от единичной
деформации ее соответствующего элемента. Например,
получим первую строку матрицы влияния моментов Lm
для балки (рис. 92,а). Вектор нагрузки Р состоит здесь
из трех величин: Р, М и q.
Искомый момент Mi в сечении под силой Р является
обобщенной силой, производящей работу на взаимном
угле поворота ср смежных сечений механизма (рис. 92, б).
Поэтому необходимо найти обобщенные перемещения по
направлениям Р, М и q от единичной деформации ф=1
117
(рис. 92, в). Из рис. 92, в следует, что сила Р производит
работу на перемещении 0,5а. Внешний момент М произ-
водит работу на угле поворота, равном —0,5. Нагрузка
производит работу на перемещениях, заштрихованных на
рис. 92,в. Поскольку за обобщенную силу, характеризу-
ющую величину нагрузки, принята ее интенсивность q=
= const, то соответствующим обобщенным перемещением
будет £2 — заштрихованная площадь эпюры перемещений
под нагрузкой. В данном случае £2=0,25а2.
Как видно, работа распределенной нагрузки представ-
лена в виде произведения силового фактора q на геомет-
рический фактор £2. Согласно определению понятий обоб-
щенной силы и обобщенного перемещения, £2 = 0,25а2
будет обобщенным перемещением, соответствующим
обобщенной силе q. Таким образом, получаем элементы
первой строки матрицы влияния Lm, т. е.
^ = [0,56
— 0,5 0,25а2]
ГР1
м
.<7 .
(ЮО)
Рекомендуем проверить эти вычисления путем опре-
деления моментов Mi от Р=1, М— 1 и нагрузки <7=1.
Как видно, наши понятия о матрице влияния внутрен-
них сил L расширились: если ее столбцы можно тракто-
вать как ординаты эпюр внутренних сил от соответствую-
щих единичных внешних воздействий, то ее строки можно
рассматривать как обобщенные перемещения по направ-
лению этих нагрузок от соответствующих малых единич-
ных деформаций элементов системы.
При расчетах некоторых стержневых систем применя-
ются и графические методы вычисления усилий, которые
обладают одним достоинством: наглядностью решения.
Однако в настоящее время в связи с развитием вычисли-
тельной техники даже сугубо графические работы офор-
мления чертежей выполняются на ЭВМ, снабженных со-
ответствующими приставками. Тем более исчезает необ-
ходимость применять графические методы вычислений.
§18	. Понятие об анализе загружений системы
Если составлена матрица влияния усилий L, т. е. ре-
шена в общем виде задача вычисления усилий, то по
знакам элементов каждой строки этой матрицы нетрудно
установить то сочетание нагрузок, при котором соответ-
ствующее усилие будет наибольшим или наименьшим
118
рассматривая для каждого усилия 5, соответствующее
выражение
S{ — $Ц Pt + Siz P? + ... + Sin P„,	(101)
можно выбрать нагрузки P&, для которых коэффициенты
Sih — элементы i-й строки матрицы L — положительны.
Полагая эти Ph наибольшими из возможных, а осталь-
ные равными нулю, получим по формуле (101) наиболь-
шее возможное значение Si max. И, напротив, полагая эти
нагрузки Ph нулевыми, а остальные по возможности мак-
симальными, найдем наименьшее, отрицательное, расчет-
ное значение S/mm. В этом рассуждении предполагается,
что силы Pi...Рп могут принимать только положитель-
ные значения. Несколько сложнее анализ, если некоторые
обобщенные силы Ph могут принимать отрицательные
значения. В тех конкретных случаях, когда значения этих
сил не связаны между собой или эта связь указана в яв-
ной форме, например Pi=2P3—Pit анализ выполняется
в каждом конкретном случае аналогично предыдущему.
Сложнее выполнить анализ в том случае, когда усло-
вия связи между силами заданы в неявном виде — в виде
некоторых уравнений, которым они должны удовлетво-
рять. Задача определения S/max или Smin формулирует-
ся в этом случае на языке методов математического про-
граммирования. В данной книге такие особые задачи в
общей постановке не рассматриваются. В гл. V будут
рассмотрены часто встречающиеся задачи расчета на
подвижную нагрузку. Сейчас приведем лишь пример, по-
ясняющий случай, когда силы могут принимать только
положительные значения.
Рассмотрим пространственную систему, представляю-
щую собой жесткий диск, прикрепленный к земле шестью
связями (рис. 93,а). Диск загружен силами Ръ Р2, ..., Р$.
Найдем наибольшее и наименьшее возможные значения
усилия 5! в левой вертикальной связи.
Геометрический анализ образования системы показы-
вает, что она статически определима и геометрически не-
изменяема. Узел А прикреплен к земле тремя связями.
Точки диска, лежащие на линии АВ, также не могут пе-
ремещаться в пространстве, а поворот диска вокруг ли-
нии АВ исключает связь в точке С, так как направление
этой связи не пересекает линию АВ.
Элементы slb s12, ..., S15 получим кинематическим ме-
тодом как перемещения точек приложения сил от единич-
119
кого малого удлинения стержня 1 (рис. 93,6). При этом
диск поворачивается вокруг линии АС и перемещения
Дь Аг, .... А5, на которых производят работу силы Рь Р2,
..., Р5, будут равны: А1=$ц =—1; A2=si2 ——0,5; А3=
=sJ3=l; A4=Si4=0,5; д5=$15=2. Таким образом, Si =
=_ Pj—0,5Р2+Рз+0,5Р4+2Р5.
Наибольшее значение Slmax равно Si max—Рз+0,5Р44-
+2Pg при Р!=Р2=0. Наименьшее значение (наиболь-
шая сжимающая сила) Si равно Si=—Pi—0,5Р2 при
T3 = Р4 = Р5 = 0.
Глава V. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ
ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
§19	. Огибающие эпюры и линии влияния
Современные сооружения часто приходится рассчи-
тывать на подвижную нагрузку. По сооружениям переме-
щаются краны, поезда, автомобили и т. п. Нагрузка в
этом случае может рассматриваться как система связан-
ных друг с другом грузов с заданными расстояниями меж-
ду ними, например расстояниями между осями колесных
пар поезда.
При больших скоростях движения необходимо в рас-
четах учитывать силы инерции, возникающие при дефор-
120
нации системы. Такие расчеты выполняются методами
динамики сооружений и в данной книге не рассматрива-
ются. Полагая, что скорости движения грузов достаточ-
но малы, будем пренебрегать этими силами инерции. За-
метим только, что рассматриваемые здесь методы расче-
та на статическую подвижную нагрузку используются и
в динамике сооружений.
Особенностью расчетов на статическую подвижную
нагрузку является решение дополнительных задач на
отыскание расчетного загружения, т. е. определение са-
мого опасного положения нагрузки, при котором искомое
усилие Si достигает максимума или минимума.
Изменение St при движении связанных грузов можно
исследовать, заменив непрерывное движение приближен-
но большим числом последовательных положений нагруз-
ки с заданным малым шагом As. При каждом положении
грузов можно найти внутренние силы обычным поряд-
ком. Принципиально простейшим способом такого расче-
та является построение огибающих эпюр. Для каждого
положения нагрузки строится эпюра, например изгибаю-
щих моментов (рис. 94,а). Затем для каждого из харак-
терных сечений выбираются из возможных значений Mi
максимальные ординаты Л4(Шах, а также Из этих
ординат образуется огибающая эпюра моментов (рис.
94,6), которая дает наглядное представление о возмож-
ных экстремальных внутренних моментах во всех сече-
ниях данной балки.
Применение такой методики связано с выполнением
большого числа расчетов и может быть рекомендовано в
случае, когда расчет на одно загружение автоматизиро-
ван и выполняется на ЭВМ по стандартной программе.
Тогда вычисление ординат огибающей эпюры тре-
бует лишь многократного использования прог-
раммы и запоминания максимальных и минимальных
значений внутренних сил для каждого сечения. Недо-
статками методики являются ее приближенность, кото-
рая уменьшается при уменьшении шага As, и ограничен-
ность выполняемого анализа конкретным видом подвиж-
ной нагрузки. Если необходим анализ работы сооружения
на подвижную нагрузку другого вида, то все расчеты
нужно повторять вновь. Практически такие сооружения,
как, например, мосты, необходимо рассчитывать на раз-
нообразные виды подвижных нагрузок, поэтому метод
огибающих эпюр используется сравнительно редко.
121
При расчете нелинейно-деформируемых статически
неопределимых систем, когда неприменим принцип су-
перпозиции, метод огибающих эпюр становится основ-
ным методом анализа систем при многократных загруже-
нпях или подвижных нагрузках.
В задачах расчета по недеформированной схеме ста-
тически определимых систем на подвижную нагрузку об-
щим и универсальным является метод линий влияния.
В предыдущих главах мы убедились в удобстве за-
гружений единичными воздействиями: прежде чем произ-
водить расчеты на конкретные сложные загружения,
удобно выполнить расчеты на простые единичные нагруз-
ки и составить матрицу влияния L. Тогда расчеты на ре-
альные загружения сведутся к операции умножения мат-
рицы на вектор S—LP. Реализация этой идеи оказыва-
122
ется наиболее полезной в расчетах на подвижную на-
грузку. Сначала следует изучить, как изменяется усилие
Si при движении по сооружению единичной силы Р—1,
и построить график изменения X,. Затем этот график
можно использовать для определения опасного загруже-
ния. По графику можно также определить Ximax, Хг-тшот
любой нагрузки. Рассмотрим, например, как изменяется
момент Mi в среднем сечении первого пролета балки
Рис. 95
(рис. 95, а) при движении по ней единичного груза. При
движении груза от опоры Л до сечения 1 момент М, бу*
дет возрастать от нуля до некоторого значения а. Физи-
ческий смысл этого изменения можно понять, вспомнив,
что значение изгибающего момента пропорционально
кривизне балки /г = 1/р в данном сечении (Л1=к£7).
Кривизна в сечении 1 нарастает при движении груза от
точки А до сечения /, и Мх будет при этом положитель-
ным Прогибы при произвольном положении груза пока-
заны на рис. 95, а сплошной линией.
Изменение изгибающего момента можно показать на-
глядно графиком О—а (рис. 95,6). Нетрудно доказать,
что этот график будет линейным на участке 0 — 1, но нас
интересует не численное значение момента Mi, а прин-
ципиальный характер его изменения. При движении гру-
за от сечения 1 до опоры В кривизна в сечении 1 умень-
шается до нуля. При положении груза на опорой В бал-
ка выпрямляется и 7И1=0. На графике это изменение Mi
показано отрезком а—О'. При дальнейшем движении
груза по консоли ВС кривизна в сечении 1 становится
отрицательной, растянуты верхние волокна (см. рис.
95,а, пунктир). Момент изменяется от нуля до некото-
рого значения Ъ. При движении груза по подвесному про-
лету CD балка АВС постепенно выпрямляется, и АК-И).
Полученный график изменения Mt называется линией
влияния ЛК (или сокращенно л. в. ЛК).
Подчеркнем еще, что этот график не является эпю-
рой: ординаты л. в. Mi дают значение момента в одном
123
и том же сечении от Р = 1 при различных положениях
этого груза. Например, значение b (см. рис. 95,6) равно
значению изгибающего момента в сечении 1 от груза
Р=1 при его положении над шарниром С.
Аналогично линией влияния1 любого усилия Si назы-
вается график изменения этого усилия при движении по
сооружению груза Р=1. Имея такие графики или даже
их очертания без числовых значений ординат, можно ре-
шать ряд задач опасного загружения. Например, рис. 95
наглядно показывает, что для получения Afimax от си-
стемы связанных грузов (крана, автомобиля) нужно их
располагать в районе сечения 1, а для получения
ЛГщпп — над шарниром С. В сложных системах даже та-
кие качественные решения далеко не очевидны без по-
строения линий влияния.
Для более детального анализа опасного загружения
нужно уметь вычислять ординаты линий влияния — стро-
ить линии влияния, но при этом необязательно рассмат-
ривать характер деформаций системы, как сделано в
приведенном примере (см. рис. 95), поясняющем поня-
тие линии влияния.
В статически определимых системах линии влияния
можно строить с использованием уравнений равновесия,
так как задача вычисления ординат линий влияния — это
задача определения S, от статического груза Р=1 при
произвольном его положении. Если характеризовать по-
ложение груза какой-либо переменной координатой, на-
пример х, то Si можно выразить из уравнений статики
через х, т. е. написать аналитическое выражение — фор-
мулу S/—Si(x). Затем по точкам можно построить гра-
фик— л. в. Si. Такой метод построения линий влияния
соответственно называется статическим или, иногда, ана-
литическим. В большинстве случаев очертания линий
влияния сложны (см., например, рис. 95,6), и практиче-
ски для л. в. Si необходимо составить несколько фор-
мул, справедливых для различных участков. Существует
и кинематический метод построения линий влияния, ко-
торый основан на непосредственном использовании прин-
ципа возможных перемещений и будет рассмотрен ниже.
Сейчас рассмотрим примеры применения статического
(аналитического) метода.
1 Понятие линии влияния во многих случаях распространяет-
ся и на другие факторы; напряжения, прогибы и т. д.
124
§20	. Линии влияния усилий в простых балках
Простейшими примерами являются задачи построе-
ния линий влияния усилий для консольных систем. Пе-
ренумеруем сечения консольной балки (рис. 96,и) и
построим линии влияния момента и поперечной силы,
действующих в k-ы. сечении. Используем для определе-
ния Мь и Qh равновесие свободного незакрепленного
конца консоли. При любом положении груза будем запи-
сывать Мь и Qh через правые силы. Рассмотрим два слу-
чая: груз слева от сечения k (рис. 96, и) и груз справа
от сечения k (рис. 96, б). Соответствующие формулы
для Мь и Qb, по которым построены линии влияния, сле-
дующие:
груз слева от сечения: Mh^0, Qb=G',
груз справа от сечения: Mk=—1-х, Qh=l.
Как видно, сечение k работает только при грузе спра-
ва Наибольший по значению момент Мь возникает при
положении груза на конце консоли. В сечении k растя-
нуты верхние волокна, поэтому Мь отрицателен. Значе-
ние поперечной силы Qh не зависит от значения х и по-
ложительно, так как Qh вращает элемент балки по часо-
вой стрелке. Линия влияния
Qh — разрыв в точке k. Когда
значение Qh изменяется рез-
ко, скачком.
В дальнейшем положения
груза слева и груза справа
будем совмещать на одном
рисунке.
В большинстве случаев
линии влияния внутренних
сил строят через более про-
стые линии влияния опорных
реакций аналогично тому,
как при неподвижной нагруз-
ке внутренние силы находят
I после определения опорных
реакций. Линии влияния
опорных реакций строят с
помощью уравнений равно-
весия системы. Например,
построим л. в. VA и л. в. Vb
Для балки на двух опорах.
Мь имеет перелом, а л. в.
груз переезжает сечение k,
125
Рис. 97
(рис. 97,а). Уравнение равновесия балки 2Л1л=0 дает
l-х —1 = 0; Ув'=хЦ.	(102)
Получено уравнение прямой, которую строим по точкам:
при х=0 Йв=С; при х—1 Кв=1 (см. рис. 97,6). Фор-
мула (102) справедлива и при отрицательных к. Когда
груз Р=1 расположен левее опоры А, реакция VB отри-
цательна, т. е. направлена вниз. Аналогично строят ли-
нию влияния VА (рис. 97,в). Эти линии влияния, как
видно, не зависят от конструкции балки; такими же, на-
пример, они будут, если заменить диск балки диском ба-
лочной фермы (см. ниже).
Построим через л. в. УА и л. в. VB линию влияния мо-
мента в k-ы сечении балки (см. рис. 97,о).
126
При грузе слева от сечения удобнее всего записать
2Ил через Ув:
Mnk = bV&	(103)
т. е. график изменения М° равен графику Ув, увеличен-
ному в b раз. Над опорой В он имеет ординату b (рис.
97,г). Формула (103) справедлива только при грузе сле-
ва от k, поэтому заштриховываем этот график слева до
k, где он имеет ординату (аЬ)Ц. Аналогично при грузе
справа от k (см. рис. 97, а, пунктир) удобно записать
Мь через УА:
Mnk = aVA3	(104)
что дает график Mk справа от k (рис. 97,г). Формулы
(103), (104) называют уравнениями левой и правой пря-
мой. Эти прямые пересеклись под точкой k. Когда груз
переезжает сечение k, значение Mk не изменяется (ср.
с рис. 96, в, где также нет скачка).
Для л. в. Qh имеем: груз слева от k, Q*=—Ув, за-
штриховываем эту левую прямую до k (рис. 97,5), груз
справа от k, Q" = Va, что дает л. в. Qa справа от сече-
ния; когда груз переезжает сечение, Qa меняется скач-
ком на единицу (ср. с рис. 96,г).
Рекомендуем построить линии влияния для усилий в
сечении вблизи опоры, например при а=0, а также для
сечения на левой и правой консолях балки. В последнем
случае линии влияния аналогичны построенным ранее
'(см. рис. 96, в, г).
§21. Построение линий влияния при узловой
передаче нагрузки
Во многих реальных сооружениях нагрузка переме-
щается не по основной несущей конструкции, а по верх-
нему строению. Оно представляет собой систему про-
дольных и поперечных балок, которые передают нагруз-
ку на основную конструкцию в узлах (рис. 98,а).
При построении линий влияния усилий в основной
конструкции необходимо учитывать узловую передачу
нагрузки. Для этого вначале мысленно уберем верхнее
строение и построим искомую линию влияния в предпо-
ложении, что груз перемещается по основной конструк-
ции. Например, на рис. 98, а пунктиром показано такое
127
Рис. 98
положение единичной силы, а на рис. 98,6 пунктиром
дана соответствующая линия момента в среднем сече-
нии— л. в. Mk. Ее ординаты получаются по рис. 97, г при
о=4 м, /=8 м. Далее можно выделить узловые ордина-
Рис. 99
ты, которые остаются та-
кими же и для линии вли-
яния в заданной конст-
рукции: положение груза
над узлом эквивалентно
его положению на основ-
ной конструкции. В дан-
ном примере к найденным
узловым ординатам необ-
ходимо добавить крайние
нулевые ординаты (см.
рис. 96, б); когда груз на-
ходится в этих положени-
ях, система не работает, в том числе ЛД=0. Можно до-
казать, что между узлами любая линия влияния пред-
ставляет собой прямую. Это дает нам окончательный
вид линии влияния Мк, который показан на рис. 98,6
сплошной линией
Доказательство линейности любой линии влияния
128
йежДУ узлами проведем в общем виде. Допустим, что
груз Р—1 перемещается по £-й балке верхнего строения
(рис. 99,а).
Линия влияния искомого фактора Si, построенная в
предположении, что груз перемещается по основной кон-
струкции, показана на рис. 99, б пунктиром. Ее узловые
ординаты и Sik представляют собой величины ис-
комого фактора S, от Р = 1 при его положении над узла-
ми. При произвольном положении груза (см. рис. 99, а)
на основную конструкцию действуют две силы Vk-i и V*,
равные опорным реакциям k-й балки. По принципу не-
зависимости действия сил
+ (105>
Из условия равновесия k-й балки имеем
Подставляя эти выражения в формулу (105), получаем
Sj = Si,h—1	3	+ "Т •	(Ю6)
а	а
Поскольку 5г, ь-i и Sith — числа, не зависящие от х, то
Si, согласно формуле (106), является линейной функцией
координаты х. На рис. 99, б сплошной линией показан
график этой прямой. Вся л. в. St будет ломаной линией
без разрывов. Аналогично построенная л. в. Qk приведе-
на на рис. 98, в.
Наличие верхнего строе-
ния сглаживает линии влия-
ния и ликвидирует разрывы
в них, что видно на рис. 98.
Учет узловой передачи
нагрузки необходим при по-
строении линий влияния уси-
лий в фермах. При этом на
схеме сооружения часто по-
казывается лишь плоская
ферма с действующими на
нее нагрузками. Фактически
нагрузки прикладываются к
продольным балкам, опи-
рающимся аналогично рис.
98, а через поперечные бал-
ки на узлы фермы (рис.
Рис. 100
>—569
129
100, а). Подобную схему опирания (рис. 100,6) обычно
не вычерчивают, но имеют в виду и учитывают при по-
строении линий влияния.
Построим, например, линии влияния усилий Л'1 и N2
(рис. 100,6) в консольной ферме. Проведем сечение че-
рез третью панель фермы между узлами k и т. Форму-
лы для Ni и Л^2 будем получать из уравнений равновесия
правой части, т. е. выразим Ni и ;V2 через правые силы.
Результаты даны в табл. 1 в виде формул для левых и
Таблица 1
Груз слева от сечения	Груз справа от сечения
2 упс = 0	2уП.С = 0
N, cos a = 0 Ni = 0	М cos а— 1 = 0 Ni = 1/cos а
= 0	SAfn-c_ о
:> «	< «1	II О о	lx+JV2ft = 0 N2 = —x/h
правых прямых и в виде графиков на рис. 100, в, г, при-
чем по формулам Mi=0 и N2=0 строятся графики левее
узла k, а по формулам M=l/cosa, N2=—x/h— правее
узла т. Эти узлы являются границами левой и правой
частей фермы.
На длине разрезанной панели k—т, согласно обще-
му правилу учета узловой передачи нагрузки, проводим
прямые линии. Эти прямые называются передаточными
прямыми. На рис. 100, в, г они выделены более жирными
линиями. В л. в. N2 передаточная прямая совпадает с
правой прямой
Методика построения линий влияния по характерным
узловым точкам применяется и в расчетах многопролет-
ных систем (рис. 101,а). Как и в расчетах на неподвиж-
ную нагрузку (см. рис. 81), такую систему можно пред-
ставить в виде нескольких балок (рис. 101,6).
При перемещении груза Р=1 по основной балке I
«верхние» балки II, III не работают. Поэтому линии
влияния усилий S,- в основной балке строятся на участке
130
1~—2 обычным порядком (см. рис. 97), «верхнее строе-
ние» при этом мысленно отбрасывается.
При движении груза по балке II усилия в балке I
должны изменяться по линейному закону (узловая пе-
редача нагрузки; узлом является шарнир 2). В точке, где
балка II опирается на землю, л. в. Si имеет нулевую ор-
динату. При положении груза над этой опорой балка I
нс работает и Х,=0. Значит, л. в. Si можно провести че-
рез ноль и продолжить далее до конца балки // и т. д.
На рис. 101, в показана линия влияния момента Mi, по-
строенная таким способом.
Аналогичные рассуждения можно применить при по-
строении линий влияния усилий в балке II, например ли-
нии влияния поперечной силы в сечении k (см.
рис. 101,6). При перемещении груза по балке I балка
II не работает, Q*=0; это дает нулевой участок л.» в. Qk
на отрезке 1—2 (рис. 101,г). При движении груза по
балке II л. в. Qk строится обычным порядком, как и в
примере на рис. 97. Далее от ординаты —1 проводим
л. в. Qk через нуль под правой опорой до конца балки III.
Сравним эту последовательность построения линий
влияния с последовательностью расчета таких систем на
0*
131
неподвижную нагрузку. Расчет на неподвижную нагруз-
ку начинался с «верхнего этажа» (см. рис. 81). Последо-
вательно в ходе расчета определялись силы, действую-
щие на «нижние этажи» системы. При построении линий
влияния груз Р—\ перемещается вначале по «нижним
этажам». При этом «верхние этажи» не работают, и ана-
лизировать закономерность изменения проще.
§22. Построение линий влияния методом замены связей
Если образование системы сложно и она не уклады-
вается в поэтажную схему, то можно при построении ли-
ний влияния применить метод замены связей. Это поз-
воляет строить линии влияния в сложных системах через
линии влияния, построенные для простых изученных си-
стем.
Допустим, например, что сложная для расчета вруч-
ную (без применения ЭВМ) система (см. рис. 85, а) на-
гружена одной силой Р~1, перемещающейся по верх-
ней балке. Вспомогательную систему, или, как ее еще
называют, основную систему можно взять в виде трех
простых балок (рис. 102,а).
В уравнениях метода замены связей (80), (82), состав-
ленных для неизвестных х1г х2, коэффициенты матрицы
системы L не зависят от нагрузки. При движении силы
Р=1 будут изменяться лишь значения элементов грузо-
вого столбца
(s); лг2р = ^р(8),
где s — координата, характеризующая положение груза.
Для данной задачи линии влияния N\P и N2P показа-
ны на рис. 102,6, причем Лг2;)=0.
Неизвестные xt и х2 будут при движении груза Р = 1
также изменяться. Обращая матрицу L, можно их вы-
разить через (Vu>(s) и N2P(s) —элементы вектора NP'.
х = — LT1 Np.
Расчет вспомогательной основной системы на %!=!
и х2=1 и обращение матрицы L по формуле (33) дают
cos а
£=""У
— 2—5]	,	1
I • L~1 =-----
— 2 3 J ’	8 cos а
— 3 —51
—2 2Е
(107)
132
JaKHM образом,
л. в. Xi = —~*—[3(л. в. ЛГ1р)4-5(л. в. Л^2р)1г
8 cos a v	'
л- В> ~8cosa {2(Л‘ В‘ ^р)~2(л' в- ^р)!.
С учетом того, что 2V2PssO, получаем
3	2
л. в. Х1— —------(л. в. Nip); л. в. х2 = —--/л. в. Ntp\.
8 cos а	к	8 cos а
По этим формулам построены графики изменения xi и
х2 (рис. 102,в). Через них можно получить линии влия-
ния любого усилия Sk, так как теперь расчет сведен к
л. В. И)р
л.В. Игр - 0
Л.В.Хг
г—
’1	*»« л!хг
-----«L а
г/	tfcoscC лв
Рис. 102
133
расчету более простой основной системы на силы
jq и х2. Например, изгибающий момент в сечении k ис-
ходной системы (см. рис. 85, а) можно записать в виде;
Mk = ^kp + Mkl *l + ^fe2x2-
где М^р—момент от Р=1 в основной системе: ЛОи и ЛД2—мо-
мент от сил *1=1; *2=1.
При движении груза Mkp — переменная величина, ее
график — л. в. M°kP, .показанная на рис. 102, г. В данном
примере Л4м=0, Мь2=—2а cos а, поэтому окончательно
можно записать:
л. в. М^ = п. в. Mak — 2а cos а (л. в. х2).
Результат вычислений по этой формуле дан в виде
графика на рис. 102, д.
Такая методика применима и в случае, когда порядок
матрицы уравнений метода замены связей большой. Тог-
да обращение матрицы легко выполнить с помощью
ЭВМ. Но здесь возникает вопрос о целесообразности
применения методов, созданных для ручного счета, в
случае использования ЭВМ. В методе замены связей со-
кращается число выполняемых арифметических опера-
ций в силу усложнения алгоритма расчета. Целесообраз-
но ли применять этот метод при использовании ЭВМ?
Этот вопрос достаточно сложен. Вначале необходимо
установить связь понятий матрицы влияния и линии
влияния.
§ 23. Связь понятий матрицы влияния и линии влияния
Рассмотрим простой пример. Составим матрицу влия-
ния изгибающих моментов для балки, загруженной не-
сколькими вертикальными силами (рис. 103,а). Столбцы
этой матрицы должны состоять из ординат единичных
эпюр, данных на рис. 103, а:
«СО mol m02 т03
0 12 3
m10 mu mizWis
m23 m2i т22 т^
WI30 m31 W32 ОТдз _
0 0 12
0 0 0 1
0 0 0 0
Рассмотрим элементы первой строки этой матрицы.
Они представляют собой значения момента Мо от еди-
ничных сил Ро= 1, Р\ — 1, Р2=1> Рз=1. Но можно эти
134
' элементы рассматривать и как значения момента Мо от
очной и той же силы Р=1, перемещающейся вдоль бал-
ки (рис. 103,6). Другими словами, элементы этой стро-
ки представляют собой ординаты линии влияния момен-
та MQ. Аналогично каждая строка этой матрицы состоит
из ординат соответствующей линии влияния момента М,
(рис. 103,6).
Ранее в гл. IV мы установили для общего случая на-
грузки кинематический смысл элементов строки матри-
цы влияния L.
Теперь виден и другой смысл строк матриц L для
ряда случаев загружения систем. Если матрица влияния
L составлена для нагрузки из сосредоточенных сил, при-
ложенных к сооружению на одной линии, то элементы
каждой строки этой матрицы представляют собой орди-
наты соответствующей линии влияния St. При расчетах
сложных систем на ЭВМ это можно использовать для
получения линий влияния St- по точкам. Если имеется
программа вычисления усилий в статически определимой
системе, то ее можно использовать для расчета системы
на ряд единичных воздействий Pi=l, р2=1, ..., прило-
женных в характерных точках системы. Каждый расчет
позволяет получать соответствующий столбец матрицы
L. Ее строки автоматически дают ординаты соотгетст
13S
вующнх линий влияния. Если для расчета система рас-
членяется на мелкие элементы и составляется обширная
система уравнений (91) с матрицей А, то обращение
этой матрицы позволяет получить по формуле (93) мат-
рицу L. Из каждой ее строки можно выбрать элементы,
соответствующие нужным вертикальным силам Р, т. е.
ординаты л. в. S,-. Таким образом, при расчетах на ЭВМ
можно использовать для построения линий влияния лю-
бой из способов статического расчета. Все зависит от
мощности ЭВМ, на которой выполняется расчет, объема
ее памяти, быстродействия, наличия соответствующих
стандартных программ и т. д.
§24. Кинематический метод построения линий влияния
Построение линий влияния — одна из задач статичес-
кого расчета. Поэтому ее можно решить кинематическим
методом, который можно считать универсальным мето-
дом статического расчета. По существу, решение этой за-
дачи уже дано ранее, поскольку показано, что ординаты
линий влияния S; являются элементами t-й строки мат-
рицы влияния L, а также показаны геометрический
смысл этих элементов и их получение кинематическим
методом (см. § 17, рис. 92). Но ввиду принципиальной
важности кинематического метода изложим его незави-
симо от понятия матрицы влияния внутренних сил. Бу-
дем определять всю л. в. Sj(x), а не отдельные харак-
терные ее ординаты.
Рассмотрим вначале простой пример. Построим ли-
нию влияния опорной реакции VA для системы на рис.
104,а, которая геометрически неизменяема и статически
определима. Правая консольная балка образует с зем-
лей диск. Левая балка прикреплена к диску тремя свя-
зями, не пересекающимися в одной точке. При анализе
неизменяемости системы считаем среднюю балку связью.
Отбросив левую опору, получаем систему — механизме
одной степенью свободы (рис. 104,6). Возможные бес-
конечно малые перемещения характеризуем перемеще-
нием 6 по направлению искомой силы Va- Перемещение,
на котором производит работу сила Р=1, обозначим
6р. Поскольку сила Р= 1 может быть в любой точке
балки, то 6р— функция положения груза 6Р=6Р(х),
Эпюра 6₽ показана на рис. 104,6. Положительным счи-
таем направление 6₽ вниз по направлению силы Р.
136
.. Уравнение возможных работ Ел6+бР-1=0 дает
г	Ър(х)
УА=----------. В других обозначениях это равенство мож-
б
но записать так: л.в. УА ——(эп. бР)/б.
Поделив все ординаты эпюры бР на величину б, ко-
торую называют масштабом линии влияния, и, изменив
знак эпюры, получим л.в, УА (рис. 104,в). Так же мож-
но получить линию влияния любого усилия Si:
- ( эп. 6Р1.)
Л. В. St =------------,
Oj
где Si — перемещение, на котором производит работу сила S,;
эп. dpi — эпюра перемещений соответствующего t-ro механизма по
направлению силы Р.
Рис. 104
Для того чтобы получить ординаты л. в. нужно все
характерные вертикальные перемещения — ординаты
нпюры бР1- — выразить через б,, либо и то и другое вы-
разить через какой-нибудь более подходящий параметр.
Если удобно построить эпюру бр; при 6i = l, то она сра-
зу дает л. в. St-, причем автоматически перемещения бР<,
направленные вниз, дают отрицательные участки линии
влияния; необходимо только помнить, что эта бдиница
условная, так как перемещения бесконечно малые. На-
пример, на рис. 104,г показана эпюра перемещений бР1-,
построенная для линии влияния момента М, при угле <р,
137
на котором производит работу этот момент, равном еди-
нице. Ординаты этой эпюры численно равны ординатам
искомой линии влияния.
В более сложных стержневых системах применение
этого метода требует для анализа кинематики механиз-
мов более громоздких построений и рассуждений. По-
строим, например, линию влияния усилий Ni в ферме
(рис. 105,а). Груз Р—1 перемещается по нижним узлам
а)	с
2dy> d
2hy>~ h
Рис. 105
фермы. Разрезая стержень т—п, получаем механизм с
одной степенью свободы. Его возможные перемещения
показаны на рис. 105,6. Диск I левой половины фермы
поворачивается на угол ф. При этом узел т перемеща-
ется по вертикали на величину 2dq>, где d — длина пане-
ли фермы. Горизонтальное перемещение узла т с точно-
стью до малых первого порядка равно нулю, поэтому
сила Ni, приложенная к этому узлу механизма, работы
не производит.
Для определения горизонтального перемещения б» уз-
ла п, на котором производит работу сила Ni, выразим
вначале через ф горизонтальное перемещение Д узла С.
Для этого угол <р поворота диска 1—ф умножим на рас-
стояние h до направления искомого перемещения (пра-
138
вило «угол на плечо» доказано ранее на рис. 91,в). Пе-
ремещение диска II можно в данном случае предста-
вить себе как поворот вокруг опоры В на угол <р и по-
ступательное перемещение влево на величину 2Д до смы-
кания с диском I в точке С. Поворот вокруг В дает вер-
тикальное перемещение узла и, равное 2d<p, и не вызыва-
ет горизонтального перемещения этого узла. Поэтому
искомое бг- выражается через <р следующим образом:
бг==2Д=2/нр.
Разделив вертикальные перемещения узлов нижнего
пояса на и сменив знаки 6Р; с минуса на плюс, полу-
чим ординаты л.в. Ni (рис. 105,в). Рекомендуется про-
верить полученный результат с помощью статического
метода: построить эту линию влияния через линии вли-
яния опорных реакций.
Обычно при расчетах вручную линии влияния стро-
ятся статическим методом, а их качественная проверка
производится кинематическим методом, так как он во
многих случаях позволяет легко установить форму ли-
ний влияния. Вычисление их ординат этим методом, как
правило, сложнее, так как требует детального кинема-
тического анализа механизмов.
§25. Загружение линий влияния неподвижной нагрузкой
После построения линии влияния усилия Si по ее ор-
динатам можно вычислить это усилие от заданной вер-
тикальной нагрузки в виде нескольких сосредоточенных
сил или от распределенной нагрузки q(x). Процесс оп-
ределения усилия Si с помощью его линии влияния на-
зывается загружением линии влияния.
Допустим, что построена л. в. и дана нагрузка в
виде нескольких сосредоточенных сил Pt, Р2, Рп (рис.
106,а). Ордината под /г-й силой представляет собой
по определению усилие S, от силы Рд=1. Поэтому зна-
чение Si можно определить согласно принципу суперпо-
зиции:
Sj — sц -f- Sjg Pi 4" ... -f- $1п Рп-	(168)
Здесь формуле (108) придается лишь другой смысл: вы-
числение усилий от вертикальной нагрузки при известных
ординатах линии влияния. Если на отрезке а—b задана
распределенная нагрузка q(x) (рис. 106,6), то сумма
(108) заменяется интегралом. Обозначим через у{х) те-
139
кущую ординату линии влияния. Дифференциал усилия
Si, т. е. величина Sf от элементарной нагрузки dF‘==
= q{x)dx, равен dSi=y(x)q(x)dx, откуда
ь
Практически особо интересен случай загружения си-
стемы на отрезке а—b равномерно распределенной на-
грузкой <7=const (рис. 107). В этом случае интенсив-
ность нагрузки q выносится из-под знака интеграла,, и
формула (109) получается в виде
Si=q£i,	(110)
ь
где й = J y(x)dx — площадь линии влияния под на-
а
грузкой, причем площадь понимается как определенный
интеграл в алгебраическом
смысле: площадь линии влия-
ния под осью х отрицательна.
Для получения максималь-
ного значения <Simax или S,mtn
нужно загрузить систему на-
грузкой только на тех участ-
ках, где площадь й положи-
тельна или только отрицатель-
на (конечно, если физически
такое загружение возможно). Величина 51ГПах или Simin
вычисляется при равномерно распределенной нагрузке
по формуле (110), где Й— сумма площадей одного
знака.
Рассмотрим, например, следующую задачу: требуется
загрузить балку (рис. 108, а) равномерно распределен-
Ff t't ГГП q,* const
Рис. 107
«40
ной нагрузкой <?=3 кН/м так, чтобы поперечная сила
Qi в сечении i правее опоры А была наибольшей, и далее
вычислить Qimax. Построим кинематическим методом л. в.
Qi. Освобождаем в сечении i связь, соответствующую по-
перечной силе. Получаем механизм (рис. 108,6), у ко-
торого связи препятствуют взаимному повороту левого
о)
fl । I г г г~г~н-^к"/”	। [J
L t/2	й A	m
г —  —f--------—   —-	— f — jf
J? g--z
0,5	иммхщш11
Qi * Gl	°,5
6)
$	1.1 I I1 i.i-tar»	а Si
/	/75
Рис. 108
и правого дисков основной балки. Эти диски должны по-
ворачиваться при возможных перемещениях на одинако-
вый угол. Эпюра 6рг- при 6j = 1 приведена на рис. 108,6,
линия влияния Qi — на рис. 108, в. Она имеет положи-
тельные площади левее опоры В, а также на правой кон-
соли. Загружение на максимум Q, показано на рис.
108, а. Значение Qimax при /=4 определяем по формуле
Qi тах = <7Й = зГу 0,5.2 + y1,4 + -7 0,5-2^ = 9 кН.
§26. Загружение линий влияния подвижной нагрузкой
Рассмотрим более сложный случай, когда нагрузка
представляет собой систему связанных грузов, переме-
щающихся по сооружению. В этом случае определение
максимального значения Si или другого фактора, для ко-
торого известна линия влияния, требует более детально-
го анализа его изменения. Допустим вначале, что систе-
ма связанных грузов перемещается по одному прямоли-
141
нейному участку а—b л. в. Si, а остальные участки не
загружены (рис. 109). Тогда, согласно формуле (108),
Si='£Pkyif
1
Продолжим линию влияния на загруженном участке
до пересечения с осью х в точке 0. Выразим ординаты
Уь через расстояния a*: yk=aktga. Подставляя эти вы-
ражения в формулу для Si, получаем Si=tgaSPfea;t.
Здесь 'LPkdk представляет собой момент грузов относи-
тельно точки 0. Его можно записать через равнодейст-
вующую грузов R-. %Pkak=Ra (см. рис. 109).
Подставляя это выражение в формулу для S,, полу-
чаем S,=Raiga=Ry, где у — ордината линии влияния
под равнодействующей R.
Таким образом, приходим к следующему выводу: ес-
ли система связанных грузов находится на прямолиней-
ном участке линии влияния, то при загружении линии
влияния можно заменять эти грузы равнодействующей
R.
Допустим, что грузы перемещаются, оставаясь в пре-
делах участка а—Ь. Тогда при их перемещении на Дх
ордината под равнодействующей получает приращение
Ду—Axtga. Значит, усилие S» получает приращение
/\Si-Rtg аДх.
В общем случае, когда загружено несколько участ-
ков линии влияния, нельзя заменять всю нагрузку рав-
142
недействующей, но можно сделать это на каждом уча-
стке (рис. НО), тогда
(Ill)
Если нагрузка переместится на небольшое расстоя-
ние Дх так, что все грузы останутся на тех же участках,
то равнодействующие на всех участках не изменятся, а
S, получит приращение:
AS; = tg ат &.х.	(112)
Отсюда видно, что при таком перемещении системы свя-
занных грузов S; будет линейной функцией перемеще-
ния Дх, что на графике S,=Si(Ax) (рис. 111) изобража-
ется одним из линейных участков АВ. Тангенс угла на-
клона этого участка р будет, согласно выражению (112),
определяться по формуле
tg Р	tg ат.	(ИЗ)
Когда хотя бы один из грузов проходит через грани-
цу участка, изменяются равнодействующие Rm (см. рис.
110) и, значит, согласно формуле (113), изменяется тан-
генс угла наклона графика 5г(Дх) (см. рис. 111). Таким
образом, максимальному значению S,max будет соответ-
ствовать положение одного из грузов над переломом —
вершиной линии влияния. Критерием достижения Simas
будет изменение знака 27?mtgam при переезде одного из
грузов через одну из вершин линии влияния либо обра-
щения в нуль этой суммы, что соответствует горизон-
тальной пунктирной линии на графике.
При вычислении вручную трудно перебрать все воз-
можные положения грузов над вершинами. В каждом
конкретном случае положение, близкое к невыгодному,
можно установить по смыслу и далее исследовать не-
143
большое число положений грузов над вершинами, най-
дя, при каком из них величина 2/?mtgam изменяет знак.
Наиболее часто встречающимся случаем является за-
гружение треугольной линии влияния (рис. 112), когда
задача решается проще. Сумма (113) записывается в
виде:
Rn — Rn 1R an —
a
/?п У _/	An \
b \ a ~ b )y
Ее знак не зависит от величины у, и задача нахождения
опасного загружения сводится к определению того гру-
,Н У L УН.
Рис. 112

за, переход которого че-
рез вершину линии влия-
ния изменяет знак вели-
чины R„/a—Rtt/b. Этот
груз Ркр называют крити-
ческим.
Задачу нахождения
груза Ркр можно сформу-
лировать и по-другому.
Допустим, этот груз най-
ден, тогда можно мыс-
ленно его «расщепить»
на две части, включив одну часть в Rn, другую в Ra
так, что разность RJa—Rap/b обратится в нуль.
В этом случае Rn/Ra—a/b. Задача нахождения
невыгодного загружения упростилась до определе-
ния такого положения нагрузки, при котором она
делится вершиной в заданном отношении a/b. Допустим,
например, что а—ЗЬ, т. е. а составляет 3/$1. Тогда рав-
нодействующая Rn, включая часть груза Ркр, должна со-
ставлять 3/+ (75%) всей нагрузки. Такое положение на-
грузки установить легко. Может оказаться, что 3/4 на-
грузки представляют собой целое число грузов. Тогда
«расщеплять» груз не нужно. Напротив, в этом редком
случае можно несколько смещать нагрузку влево и впра-
во, не меняя отношения /?л/Яп=3А- Это соответствует
горизонтальному участку графика St=5f(Ax) (см.
рис. 111).
После определения невыгодного положения нагрузки
•Sfmax можно вычислить по формуле (108).
Поскольку невыгодное положение нагрузки не зави-
сит от размера ординаты у, можно для каждого вида
подвижной нагрузки, а также для различных I и аЦ най-
144
ти Sjmax при y=\. Для произвольного у S,max будет в
у раз больше. Далее можно действие подвижной нагруз-
ки заменить некоторой условной нагрузкой, равномерно
распределенной по всей длине I. Она называется экви-
валентной нагрузкой. Ее интенсивность находится
приравниванием Simax=ySimax и результата загружения
треугольника равномерно распределенной нагрузкой по
формуле (ПО):
max — {fii max — ?эев I g ?У откуда 7экв = 2Sj max/l.
Таблицы эквивалентных нагрузок составляются для
широкого диапазона длин I и приводятся в соответству-
ющих технических условиях проектирования. При выпол-
нении конкретного расчета инженер-проектировщик
пользуется табличными значениями ^экв. Максимально
возможное усилие вычисляется через площадь линии
влияния по формуле
&i max — #экв Й.	(114)
Глава VI. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
§27. Выбор расчетной схемы фермы
В предыдущих главах мы рассмотрели основные ме-
тоды определения усилий в статически определимых си-
стемах на примерах простейших стержневых систем: ба-
лочных систем, простейших рам и ферм. Рассмотрим те-
перь более детально часто встречающиеся в практике
расчеты ферм и трехшарнирных систем. Это позволит
лучше понять работу этих систем при неподвижной и
подвижной нагрузках, а также рассмотренные выше ме-
тоды и применять их в расчетах более сложных нестан-
дартных систем.
Реальные фермы являются чаще всего статически не-
определимыми конструкциями с жесткими узлами, несу-
щими узловые нагрузки. Поэтому вопрос выбора расчет-
ной схемы фермы нуждается в более подробном разъяс-
нении и обосновании. Эксперименты с реальными конст-
рукциями, а также расчеты ферм как статически неопре-
делимых систем с жесткими узлами показывают, что их
стержни, работая на растяжение и сжатие, испытывают
10-569
14S
Рис. 113
также деформации изгиба. Однако стержни большинства
ферм достаточно гибки. Их жесткость на растяжение
(сжатие) значительно больше жесткости на изгиб. При-
чем речь сейчас идет не о жесткостях поперечных сече-
ний EF, EJ, которые нельзя сравнивать буквально, так
как они имеют даже различные размерности. Ситуация
здесь несколько сложнее.
Представим себе, например, нижний пояс (0—1—3—
5) плоской стержневой системы (рис. 113, а) как балку
АВ, усиленную (подкрепленную) стержнями верхнего по-
яса 0—2—4—6—5 и раскосами 1—2, 1—4, 3—4, 3—6.
Под действием сил Р\ и Р2 балка АВ изгибается и вклю-
чает в работу раскосы. Растягиваясь, они передают на-
грузку на верхний пояс, который сжимается и стремится
переместить опору В вправо. Этому перемещению пре-
пятствует нижний пояс. Растягиваясь, он удерживает
опору В от больших перемещений, тем самым препятст-
вуя вертикальным перемещениям верхнего пояса, а зна-
чит, и вертикальным перемещениям узлов /, 3.
Оказывается, что силы, препятствующие вертикаль-
ным перемещениям узлов 1, 3 вследствие растяжения
(сжатия) стержней системы, многократно превосходят
аналогичные силы за счет изгиба стержня АВ, а также
изгиба других стержней системы. Деформации системы,
связанные с растяжением нижнего и сжатием верхнего
поясов, соответствуют деформациям изгиба некоторой
условной балки, имеющей высоту сечения, равную высо-
те всей фермы h. Эта высота значительно превосходит
146
поперечный размер отдельного стержня. Жесткость ус-
ловной балки во много раз превосходит жесткость на из-
гиб отдельного стержня пояса.
Можно произвести точный расчет системы, показан-
ной на рис. 113, а, с учетом растяжения и изгиба стерж-
ней системы (методы решения таких задач изложены в
гчавах XI, XII). Если затем рассмотреть уравнения рав-
новесия ХХ=0, ХУ=0, например, узла 1 (рис. 113,6),
то в эти уравнения поперечные силы Q, возникшие от
деформаций изгиба отдельных стержней, войдут как ма-
лые добавки к основным силам N. Из уравнения ХУ—О
будет видно, что внешняя сила Pi уравновешивается в
основном нормальными силами N1-2 и М-4. Раскосы 1—
2 и 1—4 настолько хорошо подкрепляют нижний пояс,
что берут на себя практически всю нагрузку в узле. Ана-
логично в уравнениях XX=О, ХУ=0 других узлов ос-
новными слагаемыми будут проекции нормальных сил и
внешних сил. Такие системы, которые проектируются с
расчетом на узловую нагрузку и несут эту нагрузку в ос-
новном за счет растяжения (сжатия) стержней, и назы-
вают фермами.
Если пренебречь малыми добавками от сил Q, то, на-
пример, оба уравнения равновесия узла 1 будут совпа-
дать с уравнениями равновесия для сил N, сходящихся
в одной точке, аналогично уравнениям для узла идеаль-
ной фермы (рис. ИЗ,г). Таким образом, вводя во все уз-
лы системы (см. рис. 113, а) полные шарниры и опреде-
ляя сравнительно простыми методами нормальные силы
в стержнях полученной идеальной фермы (рис. 113,в),
можно достаточно хорошо определить напряженное, а за-
тем и деформированное состояние заданной системы.
Для того чтобы нормальные силы в стержнях вычис-
лялись только из уравнений равновесия, необходимо, что-
бы число уравнений и число неизвестных совпадало.
Уравнения равновесия стержней [уравнения (89) груп-
пы «а»1 при отсутствии поперечных нагрузок q и изгиба
стержней приводят к равенству нормальных сил в на-
чальном и конечном сечениях стержней NH—NK. При
этих условиях уравнения (89) удовлетворяются автома-
тически, Уравнения суммы моментов для узлов [третьи
Уравнения из группы «б» (90)] также удовлетворяются
автоматически при отсутствии моментов. Для каждого
узла плоской фермы будем иметь два независимых урав-
нения равновесия XX= 0, ХУ=0, в которые будут вхо-
10*
147
дить только неизвестные продольные силы, так как QKM
= 0.
Обозначив через k число узлов фермы, включая опор,
ные узлы, будем иметь всего 2k независимых уравнений
равновесия. Через s обозначим число стержней фермы,
включая опорные стержни, т. е. число неизвестных уси-
лий. Тогда необходимое условие статической определи-
мости фермы запишется так:
2k = s.	(115)
Например, ферма, показанная на рис. 113, в, имеет
7 узлов, 11 стержней и 3 опорных стержня: 2k —2-7=
Рис. 114
Рис. 115
= 14; s= Ц-|-3= 14. Условие (П5) выполняется. Ферма
статически определима. К этому же выводу приходим в
результате геометрического анализа образования систе-
мы (рис. 113, в).
Если s<z2k, т. е. связей не хватает, то ферма геомет-
рически изменяема. Например, для стержневой системы,
показанной на рис. 114,а, нельзя выбирать расчетную
схему в виде, представленном на рис. 114,6, так как эта
шарнирно-стержневая система геометрически изменяема:
2 +=2-8= 16; s=3+12—15; 15<16. К такому же вы-
воду приводит геометрический анализ (рис. 114,в). Два
диска 1 и II соединены всего двумя стержнями, тогда
как с землей система имеет минимально необходимое чи-
сло связей, равное трем. Это означает, что на прочность
и жесткость заданной системы (см. рис. 114, а) сущест-
148
ценно влияет работа на изгиб двух ее средних стержней.
Эта система не является фермой.
В случае статически неопределимой фермы неизвест-
ных больше, чем уравнений равновесия $>26, т. е. из
одних уравнений равновесия усилия найти невозможно.
Например, для плоской стержневой системы, показанной
на рис. 115, а, можно при узловой нагрузке принять рас-
четную схему в виде идеальной фермы (рис. 115,6).
Для этой фермы: k—8; 26=16; $=3+16=19; s>26.
При этом считалось, что раскосы фермы пересекаются
в пространстве свободно. Постановка в каждое такое пе-
ресечение нового узла (полного шарнира) добав тает два
уравнения равновесия и два неизвестных, не изменяя со-
отношения $>26. Ферма статически неопределима. К та-
кому же выводу приводит геометрический анализ. В со-
ответствии с методикой, изложенной в гл II, убеждаемся,
что ферма (рис. 115, в) статически определима и геомет-
рически неизменяема. Она анализируется «на взгляд»,
так как схема решетки фермы состоит из треугольных
контуров. Три стержня, показанные пунктиром, являют-
ся лишними связями, т. е. идеальная ферма (рис. 115,6)
трижды статически неопределима. Методы расчета ста-
тически неопределимых ферм рассмотрены в ч. II.
Аналогичная ситуация возникает и при расчете про-
странственных стержневых систем, которые имеют жест-
кие или упругоподатливые узлы и несут узловую нагруз-
ку. Если после замены реальных узлов шаровыми шар-
нирами система остается геометрически неизменяемой,
то полученная пространственная идеальная ферма мо-
же'т быть принята в качестве приближенной расчетной
схемы. Поскольку каждый стержень пространственной
фермы, как и плоской, будет работать на растяжение
(сжатие), число неизвестных усилий $ будет также рав-
но числу стержней, включая опорные связи. Для каждо-
го узла фермы будем иметь три независимых уравнения
равновесия:
SX = 0; SF = 0; SZ = 0.	(116)
Всего получим 3/г независимых уравнения равновесия,
где п — число узлов, включая опорные узлы. Необходи-
мым условием статической определимости пространствен-
ной фермы является равенство числа неизвестных $ и
числа уравнений равновесия
s = 3fe.	(117)
149
Рассмотрим пример пространственной фермы (рис.
116). Здесь k=8; 3k —24; s=18+6=24; 3k—s. Геомет-
рический анализ также показывает, что система геомет-
рически неизменяема и статически определима. Дейст-
вительно, система шести стержей 1—2, 2—3, 1—3, 1—6,
2—6, 3—6 является неизменяемой; узел 4 соединен с ней
тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости. Да-
лее аналогично прикреп-
лены узлы 5 и 7, а также
узел 8. Полученная систе-
ма соединена с землей
шестью стержнями, три из
которых закрепляют ее от
перемещения в горизон-
тальной плоскости и три—
из этой плоскости.
Если s<3k, то введе-
ние шарниров приводит
к геометрически изменяе-
мой системе. Система не
является фермой. Призна-
ком статически неопреде-
лимой пространственной
фермы служит удовлетво-
рение неравенству s>3k.
Обратим еще внима-
ние на один очень сущест-
венный момент. Равенст-
ва (115), (117) служат необходимым условием
статической определимости и геометрической не-
изменяемости плоской или пространственной фермы, так
же, как неравенства s>2k, или s>3k, необходимым ус-
ловием неизменяемости и статической неопределимости.
Но этих условий недостаточно.
Допустим, что необходимое условие статической оп-
ределимости (115) плоской фермы выполняется. Это еще
не означает, что ферма геометрически неизменяема.
Стержни могут быть расставлены так неудачно, что си-
стема будет изменяемой или мгновенно изменяемой
вследствие статической неопределимости отдельных ее
частей. Например, уберем в ферме (см. рис. 113, в) стер-
жень 5—6 и поставим стержень 2—3. Получим систему
(рис. 117) с тем же числом узлов Л=7 и стержней s==
= 11+3=14, 2k=s. Эта система является геометричес-
150
ки изменяемой — механизмом: ничто не препятствует по-
вороту диска (0—2—6—3—0) вокруг точки О. В то же
время часть системы—диск (1—2—4—3—1) статически—
неопределима, как и в системе, показанной на рис. 115, б.
Таким образом, кроме необходимого условия (115) или
(117), нужно иметь достаточное условие неизменяемости
и статической определимости ферм. Прежде чем его фор-
мулировать, рассмотрим общую методику расчета про-
извольных статически определимых ферм.
§28. Система уравнений равновесия фермы
Составим для плоской фермы систему 2k уравнений
с 2k неизвестными, о которой говорилось выше. Стан-
дартная форма этих уравнений следует из рис. 118, а,
где показан произвольный у-й узел
фермы, нагруженный в общем слу-
чае двумя внешними силами PjX,
Pjy. Остальные силы Njk, приложен-
ные к узлу, являются неизвестными
усилиями в стержнях фермы или
усилиями в опорных связях (опор-
ными реакциями). Уравнения равно-
весия SX=0, 2У=0 можно записать
в виде:
2k уравнений
2 cos Pjk Njk — Р}х;
k
2 s'n	~ Piy>
k
(118)
где суммы содержат столько слагаемых, скочько стерж-
ней примыкает к данному /-му узлу. Записав эти урав-
нения совместно, будем иметь в матричной форме си-
стему
A-N — P,	(119)
где М — вектор неизвестных усилий Р — вектор внешних сил.
Элементами матрицы системы будут, согласно фор-
мулам (Н8), косинусы и синусы углов наклона стерж-
ней к оси х. Причем, если стержень соединяет /-й и Л-й
узлы, то cos Pjft и sin Pj-д в уравнения равновесия этих
Двух узлов будут входить с различными знаками, так
как различны положительные направления сил Njk в
этих узлах (рис. 118,6).
151
t>)
Задавая ЭВМ координаты узлов фермы, а также таб-
лицу расположения стержней (какой узел с каким сое-
динен), можно по специатьной программе вычислить
cos pjfc и sin pJft и сформировать в памяти ЭВМ матрицу
А. Задавая вектор нагрузок Р и решая по стандартной
программе уравнения (119), найдем все усилия N, вклю-
чая опорные реакции. Обращая матрицу А, получим мат-
132
рицу влияния Ln=A~\ поскольку
Ы^А-1Р = 1д~Р.
(120)
Столбцы матрицы LN состоят из ординат единичных
эпюр. Как показано в § 23, строки матрицы L.v содер-
жат ординаты соответствующих линий влияния.
Для построения линии влияния i-ro усилия Nf необ-
ходимо из t-й строки матрицы L2y=A-1 выбрать последо-
вательно все элементы, соответствующие вертикальным
силам в узлах того пояса, по которому перемещается на-
грузка.
Рассмотрим в качестве простейшего иллюстративно-
го примера ферму на рис. 119, а. Для общности обозна-
чений! перенумеруем все усилия, включая реакции в опор-
ных связях, подряд, считая их положительными в случае
растяжения стержня или опорной связи (рис. 119,6).
Нумерация осей х и у, а также узловых нагрузок пока-
зана на рис. 119, а. Уравнения равновесия, например пер-
вого и второго узлов, запишем в таком виде:
М — cos aN3 — Nt = Plx )
!• узел 1;
— N2 — sinay3 = Pw J	(12
cos aN3 — cosaNs — Ne = P2X]	n
i V3ejI 2*
sin aNs + sin aN3 ~ P2y J
Составляя аналогично уравнения равновесия других
узлов и		учитывая,	что	в	данном	случае	cos а=4/5.	
sin а	=3/5	получим	матрицу		14-го порядка А		уравнений	
(119) в виде:								
	5	0 —4 —5	0 0	0	0 0	0 0 0	0 0	
	0 -	-5—3 0	0 0	0	0 0	0 0 0	0 0	
	0	0 4 0	-4 —5	0	0 0	0 0 0	0 0	
	0	0 3 0	3 0	0	0 0	0 0 0	0 о	
	0	0 0 5	4	0	—4	—5 0	0 0 0	0 0	
	0	0 0	0 -	-3 0	—3	0	0	0 0 0	0 о	
Л=1/5	0 0	0	0 0 0	0	0	0 5 0 0	4 3	0 —4 - 0 3	-5	0	0 0	0	0	0 о 0 о	• (122)
	0	0 0 0	0 0	0	5 4	0 —4 —5	0 о	
	0	0 0 0	0 0	0	0 —3	0—3 0	0 о	
	0	0 0 0	0 0	0	0 0	5 4 0	—4 0	
	0	0 0 0	0 0	0	0 0	0	3 0	3 0	
	0	0	0 0	0 0	0	0 0	0	0	5	4 0	
	0	0	0 0	0 0	0	0 0	0 0 0	—3 5	
Например, первые четыре строки этой матрицы состоят
из коэффициентов уравнений равновесия первых двух
узлов (121). Множитель Vs записан перед матрицей.
153
Обращая на ЭВМ эту матрицу, получим матрицу вли-
яния L=A~l, которую для компактности запишем с мно-
жителем 1/72:
L = 1/72
-72	0	72	0	72	0	72	0
0	—72	—9	—60	0	—48	—9	—36
0	0	15	100	0	80	15	60
0	0	60	—80	72	—64	60	—48
0	0	—15	20	0	—80	—15	—60
0	!°1	—48	64	0	|128|	24	96
0	0	15	—20	0	—40	15	60
0	0	36	—48	0	—96	36	—124
0	|0|	—15	20	0	|40|	—15	60
0	0	—24	32	0	64	—24	96
0	0	15	—20	0	—40	15	—60
0	0	12	—16	0	—32	12	—48
0	0	15	20	0	40	—15	60
0	0	9	—12	0	—24	9	—36
72
О
О
72
О
О
О
72
О
О
О
О
О
О
0	72	0	72	0
—24	—9	—12	0	0
40	15	20	0	0
—32	60	—16	72	0
—40	—15	—20	0	0
|64j	24	32	0	М
40	15	20	0	0
—96	36	—48	72	0
НЯ	—15	—20	0	|0|
‘28	48	64	0	0
—80	15	20	0	0
—64	12	—80	72	0
80	—15	'00	0	0
—48	9	—60	0	—72
Каждый столбец этой матрицы состоит из ординат соот-
ветствующих единичных эпюр. Например, элементы ше-
стого столбца являются усилиями от вертикальной еди-
ничной силы, приложенной в третьем узле. Эта эпюра
показана на рис. 119, в. Умножая матрицу L на любой
вектор заданной нагоузки. получаем соответствующие
усилия N<^=LP.
По элементам, например, шестой строки матрицы L
можно построить л. в. 7V6- Выбирая из этой строки эле-
менты, соответствующие вертикальным силам Р\у, Рзу,
Рзц и Р7у (в матрице эти элементы обведены), получаем
л.в. N6 (рис. 119, г). Аналогично по обведенным элемен-
там девятой строки получаем л. в. Ng (рис. 119, д). Реко-
мендуем читателю построить эти линии влияния непос-
<54
редственно через линии влияния опорных реакций, как
это делалось в предыдущей главе.
Конечно, построение матриц влияния L по указанной
общей методике имеет смысл производить в случае ферм
сложной структуры.
Уравнения равновесия (119) используются аналогич-
но и в случае статически неопределимых систем, кото-
рые будут рассмотрены в главах XI—XIII.
Усилия в простых фермах вида, показанного на рис.
119, удобно определять обычным методом сечений. Здесь
этот пример дан для иллюстрации общей методики, а
также для того, чтобы обратить внимание еще на одну
существенную особенность анализа и расчета ферм.
Решение системы (119) при произвольной нагрузке Р
или обращение матрицы А возможно только в случае,
когда определитель этой матрицы Det Л не равен нулю.
Элементы матрицы А зависят только от взаимного распо-
ложения узлов и стержней фермы. Если изменять геомет-
рию системы так, что определитель системы (119) будет
стремиться к нулю Det/1-^-О, элементы обратной матри-
цы будут расти и стремиться к бесконечности, т. е. си-
стема будет стремиться к мгновенно изменяемой (или
при Det/l=0 будет изменяемой, как на рис 117). Та-
ким образом, достаточным условием геометрической не-
изменяемости и статической определимости является вы-
полнение неравенства
Det4=#O.	(123)
При расчетах вручную практически невозможно про-
верить выполнение неравенства (123) буквально, так как
порядок матрицы А бывает велик. Даже для простейшей
фермы (см. рис. 119, а) он равен 14. Очевидно, что вы-
числить вручную определитель матрицы (122) непросто.
Поэтому при аналитическом анализе образования
системы используются косвенные признаки выполнения
неравенства (123), которые рассмотрены в следующем
параграфе.
Сейчас обратим внимание еще на одну особенность
уравнений равновесия (119) узлов фермы. Матрица этой
системы зависит от нумерации узлов и стержней, т. е. от
того порядка, в котором усилия Ж и силы Phx, Pky запи-
сываются в векторах N и Р. Если ферма геометрически
неизменяема, то определитель матрицы А отличен от ну-
155
ля при любой нумерации, но система (119) может полу-
читься неудобной для ее решения на ЭВМ по стандарт-
ным программам. Например, при неудачной нумерации
матрица А может получиться такой, что для решения
системы (119), или обращения матрицы А, неприменим
метод Гаусса: метод последовательного исключения с
простой схемой единственного деления при фиксирован-
ном ведущем элементе (см. приложение). Прямой ход по
этому методу может привести к появлению нуля на диаго-
нали. В этом случае нужна перенумерация неизвестных
или применение другого метода решения системы (119),
например метода исключения с выбором главного веду-
щего элемента, что не всегда удобно. Чтобы избежать
неудобных для решения систем, уравнения равновесия
узлов фермы можно записывать через перемещения, при-
нимая за неизвестные перемещения узлов по направле-
ниям декартовой системы координат. Число неизвестных
от этого не меняется. Их будет 2 k в случае плоской фер-
мы или 3 k в случае фермы пространственной. Уравнения
становятся более удобными для решения, т. е. для вы
числения перемещений, через которые затем вычисляют-
ся и усилия. Но это уже другой метод расчета, о котором
будет подробно говориться в главах XII—XIV. Сейчас
вернемся к анализу и расчету статически определимых
систем на основе решения уравнений равновесия, в кото-
рое входят неизвестные усилия.
§29. Аналитический анализ образования ферм
Необходимыми и достаточными условиями статичес-
кой впределимости и геометрической неизменяемости
плоской фермы являются условия э=2й и >Dt<Xy=0.
В случае пространственной фермы первое ра'вЙй'гво за-
меняется равенством s=3 k. Проверка выполнения пер-
вого необходимого условия-несложна.
Вычисление определителя матрицы А можно заменить
исследованием системы при нулевой нагрузке.
Если Пе1Лу=0, то система однородных уравнений
AN=O должна иметь только нулевое решение. И обрат
но: если система однородных уравнений имеет только
нулевое решение, то Det4=/=O. Физически это соответст-
вует тому, что при нулевой нагрузке Р— 0 все усилия
фермы должны равняться нулю. Например, от нагрева
156
каких-либо стержней фермы в ней не должно возникать
усилий (температура Г не входит в уравнения равнове-
сия). Этот аналитический метод проверки неизменяемо-
сти при выполнении равенства s=2k (или s=3k) назы-
вается методом нулевой нагрузки.
Допустим, например,
что ферма (рис. 120, а) не
нагружена, т. е. все внеш-
ние силы равны нулю.
Тогда из уравнений рав-
новесия всей фермы легко
доказать равенство нулю
опорных реакций и далее,
например последователь-
ным вырезанием узлов
или методом сечений, ра-
венство нулю всех внут-
ренних сил. В сочетании с
выполнением равенства
s=2k это доказывает не-
Рис. 120
изменяемость и статическую определимость фермы.
Если аналогично исследовать ферму, показанную на
рис. 120, б (для нее условие s=2 k также выполняется),
то доказать равенство нулю всех ее усилий от нулевой
нагрузки не удастся. Усилия в стержнях, примыкающих
к узлам 1, 6, 7, равны нулю, а контур 2—4—5—3—2 ста-
тически неопределим. Очевидно, например, что от нагре-
ва стержней 3—4 и 2—5 стержни 2—3, 2—4, 4—5, 3—5
будут растягиваться и усилия в них не будут нулевыми
(при Р=0). Аналитический анализ, как геометрический,
приводит здесь к выводу, что ферма является геометри-
чески изменяемой системой.
Рассмотрим еще один пример анализа образования
плоской фермы (рис. 121, и). Число узлов Лг= 10. Число
стержней, включая опорные связи, s=20. Необходимое
условие статической определимости и геометрической
неизменяемости выполняется: 2-10=20. При нулевой
нагрузке из уравнений равновесия фермы в целом следу-
ет, что опорные реакции равны нулю. Далее из равнове-
сия крайних узлов 1, 2, а также узлов 9, 10 находим, что
усилия в стержнях крайних панелей равны нулю: Лй_2 =
= ЛЙ—»==Л^2-1>==Л^2—4 = 0 И Лй)—10 = ...=ЛГ8—Ю = 0. Из
уравнения равновесия ЕУ=О для узла 5 следует, что
1S7
АГ5_6=0. Вырезая узел 6, икуравнения 2т]=0, где ц —
ось, перпендикулярная стержню 4—6 (рис. 121, б), нахо-
дим, что We-8=0 и аналогично А4_6=0. Далее из урав-
нений равновесия узлов 4, 8, 3, 7 доказывается равенст-
во нулю остальных усилий. Таким образом, достаточное
условие неизменяемости фермы Dety4=/=0 выполняется.
Ферма по рис. 121, о статически определима и геометри-
чески неизменяема.
В этих рассуждениях предполагался ненулевым угол
наклона стержней верхнего пояса к горизонтали а=/=0.
Если а—0, т. е. ферма имеет параллельные пояса (рис.
121, в), то рассуждения будут такими же только до ана-
лиза равновесия узла 6. Из доказанного равенства
Л[5-б=0 в этом случае не следует равенства нулю усилий
в стержнях 4—6 и 6—8 (рис. 121, а), а также в остальных
стержнях средней части фермы.
Действительно, в ферме по рис. 121, в от нагрева, на-
пример, стержней 4—7 и 3—8 возникают ненулевые
усилия в стержнях средней части фермы. Эта ферма
является мгновенно изменяемой системой.
К такому же выводу приводит нас и геометрический
анализ. Ферму по рис. 121, а можно представить в виде
трех дисков (рис. 121, д): двух дисков в крайних пане-
лях и в качестве третьего — средний вертикальный стер-
жень. Они связаны шестью стержнями, которые эквива-
лентны трем условным шарнирам А, В, С, не лежащим
на одной прямой. Ферма геометрически неизменяема.
В случае а=0 (рис. 121, е) точки А и В находятся в бес-
конечности; условные шарниры А, В, С будут лежать на
одной прямой. Ферма превращается в мгновенно изменя-
емую систему.
Мгновенно изменяемую систему, как уже отмечалось
ранее, можно рассчитывать только по схеме деформиро-
ванного сооружения, и в такой системе даже от малых
нагрузок могут возникнуть большие усилия.
Анализ образования системы (рис. 121) дает более
широкую информацию, чем это кажется на первый
взгляд, по сравнению с анализом частного случая а=0.
При а->0 усилия в ферме, найденные из расчета по неде-
формированной схеме, бесконечно возрастают. Это озна-
чает, что при малых а, когда ферма (см. рис. 121, а)
близка к изменяемой системе, в ней даже от небольших
нагрузок могут возникать большие усилия. Для ферм,
шарнирные расчетные схемы которых близки к изменяе-
те
6
мым, большое влияние на прочность и жесткость могут
оказать и реальные жесткости их узлов. Если по каким-
то условиям и необходимо создавать такую ферму с ма-
лыми углами а, то расчет ее нужно производить с учетом
жесткостей узлов и, возможно, необходим расчет по де-
формированной схеме.
Этот пример показывает, что предварительный анализ
образования системы позволяет более обоснованно вы-
бирать расчетную схему и избегать лишних расчетов для
слишком грубых моделей сооружения.
Однако метод нулевой нагрузки не всегда удобен для
аналитического анализа образования фермы. Во многих
задачах удобно использовать метод замены связей, кото-
рый в расчетах ферм называют методом замены стерж-
ней. Например, для фермы по рис. 122, а 5=12-J-4 = 16,
159
k=8,2k—s. Необходимое условие статической неопреде-
лимости выполняется. Из трех уравнений равновесия
всей фермы в целом здесь нельзя доказать равенство ну-
лю четырех опорных реакций при нулевой нагрузке. Не-
обходимо записывать какие-либо дополнительные неоче-
видные уравнения равновесия и анализировать возмож-
ность их ненулевого решения при нулевой нагрузке.
Проще исследовать эту систему методом замены стер-
жней.
Отбросим связь на средней опоре и заменим ее дейст-
вие силой (рис. 122, б). Одновременно введем вертикаль
ный стержень 5—4, усилие в котором обозначим М.
Полученная система заведомо геометрически неизменяе-
ма, так как состоит из треугольных контуров. Напомним,
что уравнение метода замены связей 7Vri|fci+A''ioC=O будет
иметь однозначное решение для любой нагрузки только
160
в том случае, когда Nu^O (см. § 15). В данном случае
ДГН=О. В этом убеждаемся, последовательно вырезая
I узлы 3, 2, 7, 6, 5 и доказывая, что усилия в стержнях ре-
шетки 3—2, 2—5, 7—6, 6—5 и затем в стержне 5—4 рав-
ны нулю. Таким образом, заданная ферма (см. рис.
122, а) является мгновенно изменяемой системой.
Рассмотрим пример анализа пространственной фермы
(рис. 123, а). Она близка к ферме, показанной на рис.
116, но отличается от нее тем, что вместо стержня 6—4
имеет стержень 5—7. Необходимое условие статической
определимости и геометрической неизменяемости выпол-
няется: s = 184-6=24, й = 8, 3 k—s. При нулевой на-
грузке опорные реакции равны нулю. Это следует из
уравнений равновесия фермы в целом. Например, из
уравнения 2Мж=0 следует равенство нулю вертикаль-
ней реакции на третьей опоре; из уравнения 2Х=0—
равенство нулю горизонтальной реакции на той же опо-
ре и т. д.
Из уравнений равновесия узла 2 5Л=0, 2У'=0, 22=
=0 можно доказать, что Mj-i — N2-s=N2-e=Q, и анало-
гично из уравнений равновесия узла 8
ЛУ_7 = /Vs_5 = (V8_4 = 0.	(124)
Дальнейший анализ вырезанием узлов затруднителен,
так как в три уравнения равновесия каждого из остав-
шихся узлов будут входить по четыре неизвестных уси-
лия.
Удобнее применить для анализа метод замены стерж-
ней. Удалив из фермы стержень 5—7 и введя стержень
6—4 (рис. 123, б), получим неизменяемую систему, ко-
торая была проанализирована в § 28 (см. рис. 116). До-
кажем, что jVii =И=0. От Xi = l (рис. 123, б) узел 8 не нагру-
жен, поэтому равенства (124) справедливы и в этом слу-
чае. Вырезая узлы 5 и 7 (рис. 123, в и г), находим, соот-
ветственно, из уравнений 2У=0 и 2Х=0, что стержни
5—4 и 7—4 будут от Xi = 1 сжиматься (Ns-4<.0, Ni-4<Z
<0). Вырезая узел 4, из уравнения 2Z=0 (рис. 123, д)
находим, что стержень 6—4 растянут, т. е. Mi>0. По-
скольку Уц^=0, исходная ферма (см. рис. 123, а) геомет-
рически неизменяема и статически определима.
11—569
161
§ 30. Анализ напряженного состояния ферм
при неподвижной нагрузке
При определении вручную усилий в фермах с простой
треугольной решеткой применяется метод сечений или по-
следовательное вырезание узлов. В случаях более слож-
ной решетки при расчетах вручную эти методы обычно
сочетаются. Удачно дополняя друг друга, они дают воз-
можность во многих случаях определять усилия, не
составляя систем линейных уравнений и не прибегая к
методу замены стержней.
Прежде чем приводить примеры, остановимся на тех
особенностях работы ферм, которые позволяют инженеру
во многих задачах без расчета представить себе качест-
венную картину напряженного состояния фермы, опреде-
лить знаки усилий многих стержней и дать оценку соот-
ношения величин усилий. Для этого ферма сравнивается
с системой, более простой по образованию: балкой, рамой
и т. п., несущими такую же нагрузку.
Например, деформации фермы (рис. 124, а) при вер-
тикальной нагрузке, симметричной относительно середи-
ны, аналогичны деформациям сплошной балки на двух
опорах, показанной на рис. 124,6. В балке постоянного
сечения при симметричной относительно середины на-
грузке наибольший изгибающий момент и наибольшие
нормальные напряжения возникают в среднем сечении.
В нижних волокнах возникают наибольшие растягиваю-
Рис. 124
162
щие, в верхних — сжимающие напряжения а. Аналогич-
но в ферме постоянной высоты h наибольшие растягива-
ющие усилия должны возникать при такой нагрузке в
средних стержнях 7—9, 9—И нижнего пояса; наиболь-
шие сжимающие усилия — в стержнях 8—10, 10—12
верхнего пояса. Усилия в стержнях поясов фермы убы-
вают к опорам, как и напряжения о в крайних волокнах
балки. Действительно, сравнивая уравнения равновесия
левой части фермы (рис. 124, в) и балки (рис 124, а):
лев.с	л лев.с
Wn-h = 2A4ft;
откуда Nn-h=Mt, видим, что усилие в поясе .Vn пропор-
ционально изгибающему моменту в балке Nk при той же
вертикальной нагрузке:
=	(125)
Аналогично, сравнивая уравнения равновесия
лев.с	лев.с
Npcosa = SY; Сб = 2У(
получаем
Wp = Q6/cos а.	(126)
Раскос фермы с параллельными поясами воспринимает
условную балочную поперечную силу. В данном случае
положительному значению силы на левой половине бал-
ки и отрицательному на правой соответствует растяже-
ние раскоса. Стойки фермы будут сжаты (рис. 124, д).
Рис. 125
Рис. 126
Таким же образом, не вычисляя всех усилий в балоч-
но-консольной ферме с параллельными поясами от на-
грузки Р (рис. 125,а), а сравнивая ее с аналогичной
балкой (рис. 125,6), можно сказать, что наибольшее
растягивающее усилие должно возникать над правой
опорой. Действительно, при изгибе балки растянуты
11
163
верхние волокна и наибольший изгибающий момент воз-
никает в сечении над опорой (рис. 125, в). Усилия в рас-
косах пролета здесь должны быть знакопеременны, по-
скольку поперечная сила в пролете балки постоянна, а
раскосы имеют различные направления.
Конечно, далеко не всегда можно быстро и достаточ-
но просто выполнить качественный анализ напряженного
состояния фермы: очертания фермы и ее решетка могут
быть достаточно сложны, нагрузка может быть знакопе-
ременна и т. п. Но необходимо по возможности чаще при-
бегать к такому анализу и сравнивать его результаты с
результатами вычислений. Рекомендуем, например, чи-
тателю определить знаки усилий в стержнях поясов
фермы, показанной на рис. 126, а, сравнивая ее деформа-
ции с деформациями аналогичной балочной системы на
рис. 126, б. После этого качественного анализа опреде-
лить знаки усилий из уравнений равновесия методом се-
чений через левые силы.
Стержни, испытывающие поперечный изгиб, часто
проектируются переменного по длине поперечного сече-
ния. Сечения, в которых действуют большие изгибающие
моменты, имеют и большие моменты сопротивления W,
например за счет увеличения высоты сечения. При этом
наибольшие напряжения в крайних волокнах o—M/W
изменяются по длине стержня не слишком резко и рас-
ход материала на конструкцию стержня близок к опти-
мальному.
Аналогично при создании ферм, работающих на не-
подвижную нагрузку, можно избежать больших измене-
ний усилий в поясах фермы, а значит, и больших изме-
нений поперечных сечений поясов, проектируя фермы пе-
ременной высоты h.
Выражение (125) показывает, что при высоте фермы
h, изменяющейся по тому же закону, по которому изме-
няется эпюра моментов в балке, усилия в поясе будут
постоянны по длине фермы. Например, в случае рав-
номерно распределенной по длине фермы нагрузки,
т. е. одинаковых сил во всех узлах, соответствующая
эпюра изгибающих моментов в балке будет квадратной
параболой (рис. 127,а). Следовательно, балочная фер-
ма с параболическим очертанием верхнего пояса (рис.
127, б) имеет постоянные усилия в стержнях нижнего
пояса. Усилия в стержнях верхнего пояса будут нарас-
тать к опорам за счет наклона стержней к горизонтали.
164
Рис. 127
Рис. 129
Рис. 130
При большой нагрузке в середине пролета эпюра из-
гибающих моментов в балке имеет вид треугольника
(рис. 128,а). Поэтому в таких случаях и фермы проекти-
руются треугольного или близкого к нему полигонально-
го очертания (рис. 128, б, в).
Очертание консольной крановой фермы (рис. 129,а)
также может быть близко к очертанию эпюры моментов
в аналогичной консольной стержневой системе от основ-
ной нагрузки (рис. 129,6).
Вернемся к выражению усилия в поясе Na=M6lh. Из
него видно, что с увеличением высоты фермы h усилия
165
в поясах уменьшаются аналогично тому, как уменьшают-
ся нормальные напряжения о в сплошной балке с увели-
чением ее высоты. Поэтому поперечные сечения поясов и
расход материала на них уменьшаются с возрастанием
высоты фермы. Однако простое увеличение высоты h
без увеличения длины панели d нежелательно по конст-
руктивным соображениям. Узлы фермы с раскосами,
близкими к вертикали, т. е. с малыми углами а (рис.
130,а), получаются сложными и громоздкими. Для наи-
более удобного соединения стержней в узлах углы а
должны не слишком сильно отличаться от 45°.
Это требование приводит к конструктивным схемам
так называемых полураскосных ферм (рис. 130,6) или
схемам шпренгельных ферм (рис. 130,в), когда вводятся,
например, дополнительные узлы, уменьшающие длину
панели d. На рис. 130, в эти узлы помечены стрелками.
Такая конструкция часто трактуется как система, в кото-
рую вместо стержней пояса фермы введены маленькие
фермочки (рис. 130, г), некоторые элементы которых кон-
структивно совмещены с элементами основной решетки.
Эти фермочки называются шпренгелями, и соответствен-
но фермы, их включающие, называются шпренгельными
фермами. Стойки и раскосы шпренгелей работают только
на местную нагрузку, приложенную к средним узлам (см.
рис. 130, е). Расчет шпренгельных ферм можно произво-
дить, сочетая метод вырезанья узлов с методом сечений.
Вернемся к определению усилий в фермах. Рассмот
рим, например, задачу вычисления усилий в стержнях
полураскосной фермы (рис. 131). Определим усилие А/3-б
во второй панели нижнего пояса. Из уравнений равнове-
сия всей фермы ZMa=0, 2Л4в=0 находим реакции
166
Ул=200 кН, Ув=400 кН. Контроль: SY—0. Уравнение
2А=0 дает Нл=0. Проводим сечение I—I. Оно пересе-
кает четыре стержня. Направления трех из них пересека-
ются в точке k, совпадающей с узлом 5. Из уравнения
моментов левых сил	при d=4, h=6 находим Na-e-
VA-d	4
V . -d —	= 0;	= —-----= — -200=133 кН. (127)
h	6
Аналогично определяются остальные усилия в эле-
ментах нижнего и верхнего поясов фермы. Для вычисле-
ния усилий в элементах решетки (полураскосах, стойках)
нужно сочетать метод вырезания узлов с методом сече-
ний. Найдем, например, усилия в полураскосах 7—9, 7—
10. Вырезая узел 7 (рис. 131,6) и рассматривая уравне-
ние SX=0, получаем
Л'7__ю sin а +	sin а = 0,
откуда
2V7_m = -^_9.	(128)
Проводя сечение II—II (см. рис. 131, а) и рассматри-
лев.с
вая уравнение £У=0, получаем
cos а — W7_g cos а = 0.
Учитывая равенство (128), находим
N,	= ——  V. = -^-200=— 167 кН; ЛГ7_9 = 167 кН.
7“10 2cosa А 2-3
Через усилия в полураскосах из вырезания нижнего и
верхнего поясов определяются усилия в стойках.
Рассмотрим еще пример вычисления усилий в шпрен-
гельной ферме (рис. 132,а), загруженной равномерно
распределенной нагрузкой. Фактически ферма загружена
в узлах верхнего пояса сосредоточенными силами, так
как нагрузка действует на продольные балочки, опираю-
щиеся в узлах на ферму (см., например, рис. 100,а). Для
краткости записи уравнений равновесия при большом
числе панелей удобно рассматривать нагрузку как равно-
мерно распределенную, не забывая при использовании
метода сечений о фактическом узловом загружении фер-
мы. Наибольшие сжимающие усилия при заданной на-
грузке должны быть в средних стержнях верхнего пояса.
Определим усилия (V]_3. Вертикальное сечение в этой па-
нели будет проходить через четыре стержня, поэтому, ис-
пользуя вырезание узла 3 (рис. 132,6) и уравнение
167
=0, доказываем вначале, что N3_i=N3_5. Для вычисле-
ния Ns-s проводим вертикальное сечение I—1 через три
стержня и рассматриваем равновесие левой части фермы
(рис. 132,в). Кроме нагрузки q, имеющей равнодейству-
ющую bqd, и реакции 8qd, прикладываем в узле 5 силу
qd[2— результат действия на этот узел балочки 5—3, ко-
торую мы удалили прежде, чем проводить сечение. Из
лев.с
уравнения равновесия 27И2=0 получаем
8qd-8d — Gqd-5d —	-2d + N6—s-h = 0;
зз<^
= ^_3 =	~ .	(129)
п
Наибольшее растягивающее усилие в поясе возникает в
лев .с
стержне 2—6. Определяем его из уравнения SM5=0:
8qd  6d — 6qd  3d —	= 0;
v 30^2
We-2- h 
Раскосы и стойки наиболее напряжены вблизи опоры, где
наибольшего значения достигает балочная поперечная
Рис. 132
168
сила Q6. В данной же задаче покажем, как определяется
усилие в раскосе 5—4 (рис. 132,в). Из уравнения
лев. с
£У=0 получаем
(130)
(131)
Для определения усилий в стержнях 4—2, 1—2, 5—6
удобно использовать представление об образовании этой
фермы путем замены стержней 1—5, 5—9 (рис. 132, а)
маленькими фермами — шпренгелями, работающими на
местную нагрузку (рис. 132,<Э). В результате такой заме-
ны усилия в стержнях основной решетки, не совмещен-
ных со шпренгелями, не изменяются. Их можно опреде-
лять исходя из схемы основной решетки фермы (с двой-
ной панелью 2d).
Например, усилие /У2-4 равно усилию У °—2 в основной
ферме без шпренгеля (рис. 132,г). Находим его из урав-
л ев. с
нения равновесия 2У=0 (в отличие от схемы рис.
132, в здесь в узле 5 приложена сила qd— опорная реак-
ция балочки с пролетом 2d):
8qd — &qd — qd —	cos а = 0;
A£_2 = y2_4-^-
cosa
Элементы 3—4, 1—4 и т. п. принадлежат только
шпренгелю, и усилия в них можно определять из уравне-
ний равновесия этой маленькой фермы (рис. 132, <?),
что эквивалентно последовательному вырезанию узлов 3,
4 исходной фермы. Например, из схемы рис. 132, д A/i-4 =
—Qd/(2cosа). Усилия в стержнях, принадлежащих одно-
временно основной решетке и шпренгелю, можно пред-
ставить в виде алгебраической суммы
д’=/у о + дли,	(132)
где № — усилие в стержне основной решетки; — усилие в
шпренгеле от местной нагрузки.
Например, усилие N5-3, которое вычислено выше, ми-
нуя понятие шпренгеля, можно представить в виде сум-
мы У з—5==: Уз—5 Ч~У°-5. Усилие Уз—5 получаем согласно
лев.с
схеме рис. 132, г из уравнения S УИ2 =0:
169
8qd Sd — 6cd-5d — qd-2d + /V°_3-ft = O;
5-3	h
(133)
Усилие Nf-з находим из схемы рис. 132, д:
Л/Ш	-qd\
2Л ~ h
Суммируя выражения (133) и (134), получаем
тат, совпадающий со (129). Аналогично усилие Nn-ъ мож-
но представить в виде:
^_5 = ^_5+^_5;
(134)
резуль-
значение ь —N°-5 получено выше [см. (131)]. Усилие
А™_-, согласно рис. 132,<Э, равно А^-5=А1-4 =
— qd/(2cos а). Окончательно
_ qd qd_________________l,5qd
/у1—.5   ------------------ »
cos a	2 cos a	cos a
что совпадает с выражением (130). Представление уси-
лия в виде суммы (132) полезно и при построении вруч-
ную линий влияния усилий (см. § 31).
Несколько сложнее использование понятия «шпрен-
гель», если он передает нагрузку с нижнего пояса в узлы
верхнего, или наоборот. Такие шпренгели называются
двухъярусными. Так, в ферме по рис. 133, а узловые на-
Рис. 133
грузки qd (рис. 133,6) передаются с промежуточных уз-
лов через подвески и раскосы в узлы верхнего пояса. При
определении усилий в стержнях, принадлежащих только
основной решетке, удаляя шпренгели, необходимо нагруз-
<70
ку с промежуточных узлов нижнего пояса перенести в
узлы верхнего пояса (рис. 133,в). Например, определяя
усилие в стержне 5—6, принадлежащем только основной
решетке, проводим наклонное сечение /—I в системе по
рис. 133, в. Из уравнения равновесия правой части фермы
2Е=0 получаем
— ^б—в — 9^ —	2 = 0’	— 2?^ 
Если в этой задаче при определении N5_6 просто удалить
шпренгели, оставив нагрузку в узлах нижнего пояса, то
получим ошибочное значение усилия в этой стойке.
§31. Линии влияния усилий в фермах
Ранее в § 21 и 24 было показано, что линии влияния
усилий в простых фермах с треугольной решеткой стро-
ятся, как и в балках, с использованием уравнений равно-
весия правой или левой части фермы. Если ферма не
консольная, то линии влияния усилий выражаются пред-
варительно через линии влияния опорных реакций. В не-
которых задачах удобен кинематический метод, который
чаще используется для контроля формы (очертания) ли-
нии влияния.
В ряде случаев при построении линий влияния усилий
в фермах, так же как и при определении усилий от не-
подвижной нагрузки, удобно сочетать метод сечений с
методом вырезания отдельных узлов.
Для примера рассмотрим задачу построения линий
влияния усилий в ферме, показанной на рис. 134, а. Для
построения л. в. /V3_5 в стержне нижнего пояса проведем
сечение I—I и будем использовать уравнение 2ЛД=0
для правых и левых сил в зависимости от положения гру-
за Р—1. Ординаты л. в. №-5 выразятся через линии вли-
яния Va и Vb:
при грузе слева от сечения
4d
VB -4d - W3_5-hx = 0,	= — VB ;	(135)
при грузе справа от сечения
VA-2d- N^.l^ = О, N.^5 = VA .	(136)
171
л
/I в Nt.t
Л t. Ns.e
Рис. 134
По формулам (135), (136), увеличивая линии влияния
Vb и Va в (4d)/hi и (2d)/hi раз, проводим левую и пра-
вую прямые (рис. 134,6). Они пересекаются под момент-
ной точкой k и дают ординаты л. в. N3_^ левее узла 3 и
правее узла 5. На участке 3—5 проводим с учетом узло-
вой передачи нагрузки передаточную прямую, совпадаю-
щую в данном случае с правой прямой.
Для определения усилия в средней стойке нельзя
171
провести сквозное сечение через три стержня. Необходи-
мо вырезать узел 6 (рис. 134, в) и выразить Ns-6 через
усилие в элементе верхнего пояса, например через ЛД-е.
Из уравнения для узла 6 находим
— Л'4_6 cos а + Ne—6 cos а = 0;	= JVe_8. (137)
Из уравнения 2У=0
— Л/4_(. sin а — Л76_я sin а — Мъ—ь = 0.
С учетом равенства (137) получаем
Л-'5_8 = — 2 sin aW4_6.	(138)
Для построения л. в. N’s-e предварительно строим л. в.
N4-6, проводя сечение 7—7 и рассматривая уравнение
Y.Mk- =0 для правых или левых сил (рис. 134,г). При
грузе слева от сечения рассматриваем равновесие правой
части. Силу TV4—6 раскладываем в узле 6 на две составля-
ющие. Получаем
— 3d
VB -3d + /V4_5cosa-/i = 0; Л/4_5 =--- VB .	(139)
h cos a
При грузе справа аналогично получаем
—3d
VA -3d + Л/4_5 cos a-/i=0; iV4 5 = —-VA .	(140)
Л COS QJ.
Левая и правая прямые пересекаются под моментной точ-
кой k' (рис. 134, Э); на этом же рисунке показана л. в.
Na~6. Умножая ее, согласно формуле (138), на —2sina,
получаем л. в. TV5_6 (рис. 134, е). Полученные линии влия-
ния однозначны. Это говорит о том, что для получения
наибольших растягивающих или сжимающих усилий в
стержнях, например от сплошной равномерно распреде-
ленной нагрузки, необходимо загружать ферму на всей
ее длине.
При построении линий влияния Л'3-5 и TV4_6 мы заме-
тили, что левая и правая прямые пересекаются под мо-
ментной точкой. Покажем, что это — общее правило, ко-
торое будет справедливым, например, и для л. в. Л74—5
(рекомендуем эту линию влияния построить самостоя-
тельно) .
Допустим, что сечение проходит через три стержня
произвольной фермы. Направления двух из них пересе-
каются в точке k (рис. 135, а). Эта точка может находить-
ся даже в стороне от фермы, и ордината Nik линии влия-
ния усилия Ni под этой точкой может быть условной.
173
Рис. 135
Рис. 136
Рассмотрим два, вообще говоря условных, положе-
ния груза Р=1, когда он находится над точкой k, оста-
ваясь в левой части системы (положение /) и в правой
части системы (положение II). В обоих случаях опорные
реакции одинаковы, например Vb =V” • Это следует из
174
уравнений равновесия фермы в целом. В обоих случаях
груз Р = 1 не входит в уравнение равновесия 2Л1/1=0
для левых или правых сил. Можно написать для Nik из
уравнения равновесия, например правых сил SMfeC =0,
Vbb+Nir=0, формулу Nlk ——Vb-, справедливую для
г
положений I и II. Это означает, что левая и правая пря-
мые имеют под точкой k одинаковые ординаты Nih
(рис. 135,6), т. е. они пересекаются под точкой k. Этим
свойством линий влияния всегда пользуются для контро-
ля их ординат и для правильного графического изображе-
ния формы линии влияния. Из трех стержней, через ко-
торые проводится сечение, два могут быть параллельны.
В этом случае моментная точка удаляется в бесконеч-
ность, и уравнение для определения усилия в третьем
стержне вырождается в уравнение суммы проекций на
ось, перпендикулярную параллельным стержням. Левая
и правая прямые будут в этом случае параллельны (см.,
например, рис. 100,в).
Этот же вывод следует из кинематического метода:
взаимный поворот левого и правого дисков (см.
рис. 135, а) происходит относительно точки k, где и дол-
жны пересекаться эпюры перемещений дисков, а эти
эпюры пропорциональны ординатам линии влияния.
Рассмотрим еще пример построения линий влияния в
ныренгельной ферме (рис. 136,а}. Для уменьшения па-
нели фермы здесь введены узлы 1, 3, 3' и т. п. Шпренге-
лем нужно считать маленькие фермы (рис. 136,6), опи-
рающиеся на узлы основной фермы. Линии влияния боль-
шинства усилий строятся здесь обычным порядком через
линии влияния опорных реакций без использования поня-
тия «шпренгель». Например, для л. в. N^ проводим сече-
ние I—I и записываем формулы:
при грузе слева при грузе справа
Ы	5d
^_4 = —Л\_4 = —Ул.
П	п
(141)
По этим формулам строим л. в. N3-t левее узла 4 и пра-
вее узла 1 (рис. 136,в). Передаточная прямая совпадает
с левой прямой. Эту же линию влияния можно предста-
вить, согласно (132), в виде суммы л. в. Wi-4 для фермы
с основной решеткой и местной (локальной) л. в. N't-4 в
шпренгеле:
175
л. в. ^_4 = л. в. Л/?_4 + л. в. Л^4.	(142)
Поскольку выражение (132) справедливо при любом
положении груза Р=1, л. в. /У?_4 почти совпадает с
рис. 136,в. Для нее сохраняются выражения (141), толь-
ко формула правой прямой будет справедливой правее
узла 4'-, соответствующая передаточная прямая показана
на рис. 136, в пунктиром (ср. с аналогичной линией влия-
ния на рис. 105,в).
Линия влияния усилия имеет одну ненулевую уз-
ловую ординату (рис. 136,6). Складывая, согласно
(142), две линии влияния, получим тот же график, что и
на рис. 136, в.
Аналогично линию влияния любого усилия в стержне,
принадлежащем одновременно основной решетке и
шпренгелю, можно представить в виде суммы двух линий
влияния
л. в. N — л. в. Л,0 + л. в. №*.	(143)
Например, л. в. 2V3_4 складывается из линии влияния в
основной решетке (передаточная прямая для нее показа-
на на рис. 136, г пунктиром) и местной линии влияния в
шпренгеле (рис. 136,6). Для усилия N2-b в стержне, при-
надлежащем только основной решетке, сохраняются ор-
динаты, показанные на рис. 136, г пунктиром.
Для усилий в элементах, принадлежащих только
шпренгелю, линии влияния будут локальными, так как
шпренгель работает только при положении нагрузки Р=
= 1 в его узле (рис. 136,6).
Как видно, в этой задаче л. в. Л1_4 одназначна, а л. в.
N3-4 и л. в. /У2_3 двузначна. Для получения N3-4, напри-
мер от сплошной равномерно распределенной нагрузки,
необходимо загружать всю ферму. Для определения N з!!5
и необходимо загружать ферму соответственно ле-
вее или правее нулевой ординаты л. в. М3_4. Расчетное
усилие получаем каждый раз по формуле N=Qq, где
Q — площадь треугольного участка линии влияния (см.
§ 25).
В случае двухъярусного шпренгеля построение неко-
торых линий влияния несколько осложняется, так как
шпренгели передают в этом случае нагрузку в узлы дру-
гого пояса (см., например, рис. 133). В то же время ли-
нии влияния некоторых усилий в основной решетке бу-
дут различными при положениях груза в узлах нижнего
176
пояса (при езде понизу) и в узлах верхнего пояса (при
езде поверху). В этом случае строятся предварительно
две линии влияния усилия в основной решетке: при езде
понизу и езде поверху. Затем последовательно выбира-
ются из их ординат те, которые отвечают реальной пере-
даче нагрузки данными шпренгелями.
Например, построим для фермы по рис. 137, а линию
влияния усилия в стойке 9—10, принадлежащей только
Рис. 137
основной решетке. Мысленно выбрасывая шпренгели,
строим две линии влияния, перемещая груз по нижним, а
затем по верхним узлам. Проводим наклонное сечение
п.с
1—I и из уравнения S Y =0 находим:
при грузе левее I—I ML.1O = 0;
при грузе правее 1—1 А^_10 = —1.	П44)
Сечение I—I наклонное, и понимание выражений груз
левее и груз правее /—1 различно для разных поясов.
При езде поверху выражения (144) справедливы со-
ответственно левее узла 6 и правее узла 10-, при езде по-
низу— левее узла 9 и правее узла 13. Передаточные пря-
мые будут различны (рис. 137,6). По существу, это раз-
личие в том, что при положении груза в узле 10 стержень
12—569
177
9—10 сжимается, при положении груза в узле 9 стер-
жень 9—10 не работает. Фактически груз перемещается
в заданной ферме по нижнему поясу, но при его положе-
нии в узлах 7, 11 шпренгель передает нагрузку в узлы
верхнего пояса и справедливы ординаты, полученные при
езде поверху. При положении груза в узле 9 шпренгели
не работают, справедлива ордината, полученная при ез-
де понизу. В остальных узлах ординаты двух вспомога-
тельных линий влияния совпадают. Соединяя узловые
ординаты прямыми, получаем искомую л. в. А'э-ы. Линии
влияния усилий в поясах и раскосах этой фермы строят-
ся обычным порядком. Например, для наиболее растяну-
того при вертикальной нагрузке стержня 2—6 линия
влияния с помощью сечения II—II получается в виде двух
треугольников (рис. 137,в). Правый треугольник — л. в,
А'г-б, левый — л. в. TV2-6.
§32	. Понятие о расчете ферм с использованием
преобразования нагрузки
При расчетах ферм иногда удобно использовать пред-
варительное преобразование заданной нагрузки, т. е.
представление ее в другом базисе, в котором по каким-
либо причинам удобнее вычислять внутренние силы. Про-
стейшим приемом преобразования нагрузки является
разложение заданных узловых сил на такие составляю-
щие, от которых удобно определять внутренние силы.
Рассмотрим задачу определения усилий в стержнях
пространственной консольной фермы (рис. 138, а) от трех
вертикальных одинаковых сил Р. Пространственная фер-
ма состоит из трех плоских ферм, имеющих общие гори-
зонтальные стержни. Рекомендуем читателю доказать,
что введение во все узлы фермы шарниров превращает
ее в статически определимую и геометрически неизменяе-
мую систему. С помощью вырезания узлов или сквозных
вертикальных сечений можно доказать в данном случае,
что нагрузка, действующая в плоскости какой-либо од-
ной фермы, не вызывает усилий в стержнях, не лежащих
в плоскости этой фермы. Поэтому удобно разложить за-
данные вертикальные силы Р на составляющие (рис.
138,6). На горизонтальные составляющие Pi будет рас-
считываться только горизонтальная плоская ферма, на
составляющие Р2— только левая наклонная ферма
178
(рис. 138,в,г). Усилия в поясах, найденные из этих двух
расчетов, будут алгебраически суммироваться. Например,
усилие в стержне АВ будет равно:
3d „	64 „
^45- Л pi- h Р*
Усилия в стержнях, принадлежащих одной плоской фер-
ме, определяются из соответствующего одного расчета.
Практически большинство пространственных ферм
представляет собой сложные статически неопределимые
системы. Их рассчитыва-
ют на ЭВМ с использова-
нием методов, изложен-
ных в главах XII—XIII
Как было показано в
§ 27, общим способом оп-
ределения усилий в прост-
ранственной статически
определимой ферме явля-
ется составление и реше-
ние ЗА уравнений с ЗА не-
известными (116). Мно-
гие из пространствен-
ных ферм представляют
собой регулярные (перио-
дические) системы —
структуры, состоящие из
большого числа однооб-
разных ячеек. При их рас-
четах также используется
разложение нагрузок по
новым базисам, например
разложение по тригоно-
метрическим функциям.
Сейчас рассмотрим при-
мер более простой и обо-
зримый. Таким примером
преобразования внешних
Рис. 138
сил является разложение их на самоуравновешенные ло-
кальные воздействия (см. § 12, рис. 72, 73). Это преоб-
разование используется в расчетах плоских ферм.
Рассмотрим задачу составления матрицы влияния
продольных сил для фермы (рис. 139,а), имеющей регу-
лярную периодическую структуру. Перенумеруем стерж-
12*
179
ни и соответственно усилия в периодической последова-
тельности, как показано на рис. 139, а, и составим вна-
чале матрицу L* из выражения N=L*P*, где Р*— век-
тор уравновешенных воздействий, связанный с вектором
заданных нагрузок Р равенством P*=LMP\ LM — матри-
ца влияния изгибающих моментов в шарнирно-опертой
балке такого же пролета (см. § 12).
а)
г) £	6	£
Ji.fi. Мг
Рис. 139
Для составления столбцов матрицы L* загружаем по-
следовательно ферму единичными уравновешенными воз-
действиями (рис. 139,6, вит. д.). Первое загружение
дает
.	—1	—15	.	13	,	15
11-6cosa“ 6 4 :	6 Т: Nsl~ 6 4 !
—16	,	15	,	13	,—15
4Л - 6 4 ; N51 -	6 4	; N61	= 6 4	; ^71 - 6 4	:
180
Лй=^1 ='•== ^, = 0.
Эти усилия от Рг = 1 составляют первый столбец матри
цы L*;
	——5 3 5 -6	0 0 0 0	0 0 0 0	0 0 0 0	0 — 0 0 0	
	5	—5 i	0	0	0	
	3	3 =	0	0	0	
	-5	5 i	0	0	0	
	0	—6 j	0	0	0	
	0	5	—5	! 0	0	
	0	3	3	: 0		
	0	—5	5	: 0		
, 1 L* =		0	0	—6	I 0	0	
24						•
	0	0	5	-5	i 0	
	0	0	3	3	: 0	
	0	0	—5	5	= 0	
	0	0	0 i	—6	; о	
	0	0	о i	5	—5	
	0	0	0 :	3	3	
	0	0	0 i	—5	5	
	0	0	0	0	—6	
	0	0	0	0	5	
	0	0	0	0	3	
	0	0	0	0	—5	
	—				—	
Остальные столбцы получаются аналогично после сдви-						
га нагрузки вправо на одну панель.
Матрица LM в данном случае, согласно (61), имеет
вид:
Г5
4
3
d
lm~ 6
1
4 3 2 Г
8 6 4 2
6 9 6 3
4 6 8 4
2 3 4 5_
где d = 6.
Из выражений N=L*P* и P*=LMP следует, что W=
=L*LmP—PP, т. е. искомая матрица L получается в
виде произведения
181
	—25	—20	—15	—10	—5 15	12	9	6	3 25	20	15	10	5 —30	—24	—18	—12	—6 5	—20	—15	—10	—5 27	36	' 27	18	9 —5	20	15	10	5 —24	—48	—36	—24	—12 5	10	—15	—10	—5 21	42	45	30	15 —5	—10	15	10	5		
		—18	—36	—54	- 36	—18	
	5	10	15	—10	—5 15	30	45	42	21 —5	—Ю	—15	10	5 —12	—24	—36	—48	—24 5	10	15	20	—5 9	18	27	36	27 —5	—10	—15	-20	5 —6	—12	-18	—24	—30 5	10	15	20	25 3	6	9	12	15 —5	—10	—15	—20	—25		
Каждый i-fi столбец этой матрицы состоит, как обычно,
из усилий от Ж=1; каждая строка — из ординат соот-
ветствующей линии влияния. Например, 12-я строка, об-
веденная в матрице, дает ординаты л. в . Ni2 (рис. 139,г).
Рекомендуем читателю построить эту линию влияния без
применения уравновешенных воздействий и убедиться в
ее совпадении с рис. 139, г, а также проверить и ряд дру-
гих строк (столбцов) матрицы L.
Глава VII. РАСПОРНЫЕ СИСТЕМЫ
§33	. Трехшарнирные арки и рамы
Трехшарнирные арки и рамы (рис. 140, а, б) относят-
ся к числу распорных систем. В отличие от систем балоч-
ного типа в них при вертикальной нагрузке возникают го-
ризонтальные опорные реакции, которые называются рас-
пором и обозначаются через Н.
При вертикальной нагрузке эти реакции на опорах А
и В равны, что следует из уравнения ЕХ=0. В общем
182
случае они различны, будем обозначать их при произ-
вольной нагрузке через НАиНв (рис. 140,6).
Трехшарнирная арка или рама совместно с землей
образует систему трех дисков, соединенных тремя шарни-
рами, не лежащими на одной прямой. Чем более полога
арка, тем ближе эта система к мгновенно изменяемой и
тем большей величины достигает распор при той же вер-
тикальной нагрузке. Чем более полога арка, тем сильнее
она краспирает» опоры, причем распор может превосхо-
дить вертикальную нагрузку. В таких случаях требуется
сооружение опорных устройств, способных воспринять го-
ризонтальные силы.
Исходя из каких же соображений проектируется имен-
но такая распорная система, а не обычная балка, у кото-
рой при вертикальной нагрузке возникают только верти-
кальные реакции и сооружение опорных устройств для
которой проще? Основным является прочность самого
сооружения. Значение наибольшего нормального напря-
жения в арке, как правило, значительно меньше, чем в
балке того же пролета и поперечного сечения при такой
же вертикальной нагрузке.
Сравним работу двух конструкций, перекрывающих
одинаковый пролет /: арки с опорами в одном уровне
(рис. 141,с) и шарнирно-опертой балки (рис. 141,6).
Уравнения равновесия 2Л4а=0 и 2Л1в==0 для них оди-
наковы, так как распор Н в эти уравнения не входит. От-
сюда одинаковыми будут и вертикальные реакции
Va = П = VA-, V*B = Уб = VB.
Распор Н определяется из условия равенства нулю
лев с	п.с
моментов в шарнире С:2Л4с =0 или SMC =0. На-
183
пример, если нагрузка равномерно распределена по про-
лету #=const и шарнир С находится посредине пролета
(рис. 141, в), то
Рис. 141
Вычислим теперь изгибающий момент в произвольном
сечении арки на расстоянии х от опоры:
Mk- VAx-4—-Hy.	(146)
Первые два слагаемых этой формулы представляют
собой изгибающий момент M6k в сечении х балки, загру-
184
женной равномерно распределенной нагрузкой (рис.
141,г). Очевидно, и при любой вертикальной нагрузке
(см. рис. 141, а, б) Мх будет записываться через Мх по
формуле
Таким образом, изгибающие моменты в сечениях ар-
ки будут меньше изгибающих моментов в соответствую-
Рис. 143
Ма = М% — Ну.
(147)
щей балке, причем разгружающее действие распора ве-
лико. Например, в среднем сечении арки (см. рис.
141, в) момент Mk будет равен нулю. Из этого условия
и находится распор Н.
Аналогичный результат при вертикальной нагрузке
получаем для арки с опорами в разных уровнях (рис.
142). Необходимо в этом случае разложить опорную ре-
акцию на вертикальные V'A, V'£ и наклонные составляю-
щие Н', направленные вдоль линии АВ. Из уравнения
2Х=0 видно, что составляющие Н' на опорах А и В по-
прежнему одинаковы. В формуле (147) И заменяется
на Н'.
Заметим, что по сравнению с балкой, где продольные
силы N отсутствуют, в арке благодаря действию распо-
ра Н и криволинейному очертанию оси возникают сжи-
мающие силы N, которые могут быть достаточно боль-
шими. Изгибающие моменты в арке существенно
уменьшаются по сравнению с моментами в балке, но по-
185
является продольная сила. Из курса сопротивления ма-
териалов известно, что для прочности достаточно жестко-
го стержня изгиб значительно опаснее растяжения (сжа-
тия) при внешних силах одного итого же порядка (когда
мы хотим из одного стерженька, например каранда-
ша, сделать два, то мы его ломаем, а не разрываем).
Таким образом, арка при всех прочих равных условиях
будет значительно прочнее соответствующей балки. Мак-
симальные и минимальные нормальные напряжения о в
сечениях арки, перпендикулярных ее оси, будут опреде-
ляться по формуле
а = N/F ± M/W.	(148)
Второе слагаемое в этой формуле не так велико, как для
балок. Большая сжимающая сила N может ликвидиро-
вать растягивающие напряжения от сравнительно не-
большого момента М, и материал арки будет работать
только на сжатие. Это позволяет создавать арки из хруп-
ких материалов: камня, кирпича, бетона и т. п., плохо
работающих на растяжение и хорошо на сжатие.
Если основанием для опор арки является скала, то со-
оружение опор не вызывает осложнений и распор Н пе-
редается через опоры на скалу. В случае мягкого, по-
датливого основания часто сооружаются арки с затяжка-
ми (рис. 143). Одна опора у них подвижная. На основание
передается вертикальная нагрузка. Распор Н вос-
принимается затяжкой, выполненной из материала, хо-
рошо работающего на растяжение, например из стали.
Статический расчет арки с затяжкой практически не от-
личается от расчета арки, показанной на рис. 141, а. За-
тяжка необязательно располагается на уровне опор
(рис. 143,6). Арка с затяжкой может иметь и несколько
более сложные конструкции (см. например, рис. 143,в),
но, с расчетной точки зрения, все они близки к системе
на рис. 141,а. Рекомендуем читателю самостоятельно до-
казать, что системы на рис 143 геометрически неизменя-
емы и статически определимы.
§34	. Определение усилий в трехшарнирных системах
при неподвижной нагрузке
Большинство трехшарнирных систем, как и балочных,
сравнительно несложно рассчитывается по недеформиро-
ванной схеме вручную, без использования ЭВМ.
186
Рассмотрим задачу определения усилий в таких си-
стемах на примере трехшарнирной арки, в общем слу-
чае— с опорами в разных уровнях и произвольной непо-
движной нагрузкой (рис. 144.а). Опорные реакции этой
системы на опорах А и В вычисляются независимо. Из
системы двух уравнений 2МЛ=0, 2МС =0 находим VB
и Нв. Из уравнений 2Мв=0, SMC =0 определяем Va
и На- Контроль вычислений: 2Л=0, 2У=0.
Можно направить реакции и по схеме, показанной на
рис. 142. Тогда составляющие VA, V's и Н'А, Н'в найдем
из независимых уравнений, но это не всегда удобно для
дальнейшего вычисления внутренних сил, сюэтому необ-
ходимо далее определить VA, На, Vb, Нв, проектируя
Н'А и Н'в на оси х и у.
После вычисления реакций определяем внутренние
силы в произвольном сечении с координатами х и у обы-
чным порядком через левые или правые силы. Например,
рассматривая равновесие левых сил и проектируя их на
ось т, касательную к оси арки, и на ось ц,
к ней, найдем N и Q (рис. 144,5):
лев.с
Nx = VA sin <р + НА cos <р + St;
лев .с
Qx = VA cos q> — HA sin <p + Si],
нормальную
()49)
где <p — угол наклона касательной
екции левых сил Рлев на ОСИ Т И 1].
Поскольку для арки есте-
ственна работа на сжатие,
положительной принято счи-
тать сжимающую силу Лй
Для момента М* получим
выражение
Мх = VAx-HAy+l^Mk.
(150)
Особый случай представ-
ляет собой загружение одной
половины арки (рамы), ког-
да упрощаются определение
опорных реакций и анализ
внутренних сил. Если, на-
пример, загружена только
левая половина арки (рис.
лев.с лев.с
г к оси x; St и Si] — про
145, а), то известно направление полной реакции на пра-
вой опоре. Линия, по которой направлена полная реак-
ция В, должна проходить через шарнир С, так как момент
правых сил относительно этого шарнира должен равнять-
ся нулю. Если составить уравнение равновесия всей арки
в виде S./VU—0, где/г— точка пересечения линии ВС и на-
правления вертикальной реакции VA, то из него сразу
определится распор НА. Аналогично из уравнения
27Vfn=0 (см. рис. 145, а) независимо от предыдущего
найдем Еа- Далее из уравнений 2Х=0, 2У—0 опреде-
п.с
ляются Нв и Уд. Контроль: 2Л1с=0.
Если левая половина арки нагружена одной силой Р
(рис. 145,б), то известно и направление полной реакции
А. Из условия равновесия арки следует, что три силы,
приложенные к ней, должны пересекаться в одной точ-
ке. Изгибающий момент в любом сечении арки равен
моменту правых или левых сил относительно центра тя-
жести сечения. Поэтому, зная направление реакций А и
В, можно указать и сечения, в которых будут наиболь-
шими изгибающие моменты: они наиболее удалены от
направления левой или правой реакции. На рис. 145,6
плечи г, г\, г2 сил А и В относительно этих сечений по-
казаны пунктиром. Соответствующая эпюра моментов
будет иметь вид по рис. 145, в. На левой половине арки
растянуты внутренние волокна, на правой — наружные.
Так же упрощается определение реакций и внутрен-
них сил, если нагрузка приложена к правой половине
системы.
188
Рассмотрим пример определения изгибающих момен-
тов в трехшарнирной раме (рис. 146,а). Направление
левой реакции А здесь известно. Из уравнения О
получаем
(<т2/)/-//в4/=0;	=
Из уравнения £Мп=0
3
(92Z)3/-Vs4/ = 0; VB = ~ql.
Рис. 146
Из уравнений 2Х=0, 2У=0
1	1	лев.с
НА = Нв = — <?/; VA — — ql. Контроль: S Мс — 0;
~~ql-1 —~~~ q-1-1 = 0.
Эпюру М левее шарнира С строим через левые силы,
правее шарнира — через правые (рис. 146,5). Экстре-
мальное значение момента в ригеле, равное ql2l&, возни-
кает в сечении на расстоянии Z/2 от шарнира С, где по-
перечная сила обращается в нуль. Наибольший изгиба-
ющий момент ql2 действует в сечении вблизи правого
узла.
§35. Рациональное очертание арки
Из примеров предыдущего параграфа видно, что
реакции УА, На (или Ув. Нв), входящие в формулы для
189
внутренних сил (149), (150), не зависят от очертания
оси арки. Они полностью определяются при расчете по
недеформированной схеме взаимным положением шар-
ниров А, В, С, и заданной нагрузкой. Поэтому для за-
данной нагрузки их можно определить, не зная очерта-
ния арки, т. е. функции у—у.{х), и далее задать эту
функцию так, чтобы изгибающие моменты во всех сече-
ниях арки равнялись нулю. Такое очертание оси арки
называется рациональным очертанием.
Например, если нагрузка равномерно распределена
по всему пролету (см. рис. 141,в), то, приравнивая вы-
ражение (146) нулю, получаем
х —
ах2	ql qx* ql2
удХ^--Ну = ^х-Ч--^у^,
откуда
4f / v2 X
У — -у (х- —(151)
Рациональным очертанием оси арки при равномерно
распределенной нагрузке является квадратная парабола.
Этот вывод сделан для случая опор в одном уровне,
но он останется таким же и для арки на рис. 142. Не-
сколько изменятся только коэффициенты формулы (151).
В случае симметричной арки
уравнение оси проще записывает-
ся в другой системе координат
(рис. 147).
Рассмотрим случай сосредото-
ченных сил. Допустим, что за-
даны положения шарниров А, В,
С и нагрузка из двух вертикаль-
ных сосредоточенных сил в чет-
вертях пролета (рис. 148, а). Най-
дем для этого случая рациональ-
ное (безизгибное) очертаниетрех-
а) | р | Р
q •const
,^7111111111
Рис. 147
Рис. 148
1W
шарнирной системы. Согласно выражению (147),
изгибающий момент в любом сечении будет нуле-
вым, если второе слагаемое И у совпадает по аб-
солютному значению с первым для любого х. По-
скольку распор Н является для фиксированной на-
грузки константой, то из	следует, что
у(х) должно совпадать по форме с очертанием эпюры
изгибающих моментов в балке Мб (рис. 148,6). Таким
образом, в данной задаче при очертании трехшарнирной
системы (рамы) по трапеции (рис. 148, в) изгибающий
момент в любом сечении будет нулевым. В этом случае
на каждом участке рамы ее ось совпадает с направле-
нием равнодействующих левых (или правых) сил. На-
пример, на крайних участках ось стержня совпадаете
направлением полных реакций А и В. На среднем уча-
стке направление равнодействующей левых (или пра-
вых) сил будет горизонтальным, так как V a=Vb=P-
Складывая силы А и Р в точке их пересечения (в уз-
лах), получаем горизонтальную силу Н\, проходящую
через шарнир С (рис. 148,а).
Аналогичное построение можно выполнить н в об-
щем случае произвольно направленных сил (рис. 149)
и получить многоугольник направлений равнодействую-
щих левых (или правых) сил. Он называется много-
угольником давления.
Если ось арки (рамы) будет совпадать с этим много-
угольником, то ее напряженное состояние будет безиз-
гибным, так как центры тяжести всех сечений будут со-
впадать с геометрическим местом точек приложения рав-
нодействующих левых (правых) сил.
В случае распределенной нагрузки, т. е. бесконечно
большого числа бесконечно малых сил, многоугольник
давления превращается в кривую давления. Кривой дав-
ления называется геометрическое место точек приложе-
ния равнодействующих левых (правых) сил. Если арка
очерчена по кривой давления, то изгибающие моменты
в ней будут нулевыми. В частности, при равномерно рас-
пределенной вертикальной нагрузке (см. рис. 147) кри-
вая давления будет квадратной параболой и получен-
ное выше рациональное очертание арки совпадает с
кривой давления.
Другим практически важным случаем нагрузки яв-
ляется случай гидростатического давления, т. е. равно-
мерно распределенной нагрузки, направленной по нор-
HI
мали к очертанию арки. Очевидно, что в этом случае
кривая давления будет окружностью и соответствующее
рациональное очертание трехшарнирной арки будет ок-
ружностью, проходящей через три заданные точки А,
В, С (рис. 150).
Действительно, при равномерном гидростатическом
давлении на полное кольцо малой кривизны оно испы-
тывает только деформации сжатия, точнее — изгибаю-
щие моменты в этом стержне малой кривизны будут
пренебрежимо малыми. Введение в такое кольцо шар-
ниров практически не изменяет его напряженного со-
стояния. Отбрасывая часть условного полного кольца и
заменяя ее действие на оставшуюся часть продольными
силами N~qr, одинаковыми во всех сечениях кольца,
мы практически не изменим его безизгибного напряжен-
ного состояния. Это и приводит к выводу, что окруж-
ность — рациональное очертание при любом взаимном
положении точек А, В, С, не лежащих на одной прямой,
и гидростатической нагрузке.
Необходимо всегда иметь в виду, что используемые
здесь понятия рационального очертания имеют смысл
лишь для заданной неподвижной нагрузки. Изменение ви-
да нагрузки влечет за собой и изменение рационального
очертания. Практически нагрузка на арку в процессе ее
эксплуатации изменяется и изгибающие моменты в ар-
ке не будут нулевыми.
Другим существенным допущением, используемым в
понятии рационального очертания арки, является допу-
щение о возможности рас-
Рис. 149
Рис. 150
192
ванной схеме). Здесь предполагается, как и в предыду-
щих задачах, что арка достаточно жестка, и можно при
определении внутренних сил пренебречь ее деформация-
ми. Такая возможность не всегда очевидна.
Примером задачи, в которой нельзя без тщательной
проверки использовать эти допущения, является задача
о напряженном состоянии висячей системы, или, как
иногда ее называют, «обратной арки» (рис. 151). Фор-
мально здесь можно, как и в рассмотренных выше при-
мерах, определить по заданному положению шарниров
А, В, С опорные реакции и далее вычислить внутренние
силы или определить рациональное, безизгибное очер-
тание и т. п. Фактически в реальных сооружениях —
висячих покрытиях, мостах—стержни (тросы) выпол-
няются из высокопрочных сталей, имеют малые пло-
щади сечений F и сравнительно невысокие жесткости
EF. К тому же эти системы часто выполняются пологи-
ми. Все это приводит к тому, что системы получаются
нелинейными. Распор Н в них должен вычисляться с
учетом растяжимости стержней, с учетом деформируе-
мости расчетной схемы. Расчеты таких систем должны
рассматриваться особо.
Остановимся еще на работе арки с затяжкой. Рабо-
ту арки с затяжкой (рис. 152, а) сравним с работой фер-
мы (рис. 152,6). В обоих случаях условный балочный из-
гибающий момент воспринимается за счет работы верх-
него пояса на сжатие и нижнего на растяжение, практи-
чески без изгиба стержней. Различие может быть лишь
в нагрузке (ферма работает на силы, сосредоточенные
в узлах) и в конструкции системы.
13—569
193
§ 36. Построение линий влияния усилий
в трехшарнирных рамах и арках
шарнире равен нулю. Правая
При подвижной нагрузке в арке любого очертания
возникают изгибающие моменты. Для определения наи-
больших возможных моментов, продольных сил и на-
пряжений о необходимо пользоваться аппаратом линий
влияния.
Линии влияния внутренних сил в трехшарнирных ра-
мах и арках можно строить, как и в балочных системах,
через ' линии влияния
опорных реакций Va,
Н. При вертикальной на-
грузке Р = 1 На=Нв—Н.
Ординаты линий влияния
Va, и Н будут зависеть
от взаимного расположе-
ния шарниров А, В, С.
Рассмотрим процесс по-
строения этих линий вли-
яния на примере трех-
шарнирной рамы (рис.
153, а).
Для упрощения урав-
нений равновесия вос-
пользуемся тем, что груз
Р=\ не может быть од-
новременно на обеих по-
ловинах рамы. Если груз
находится левее шарнира
С, направление полной
реакции на опоре В долж-
но проходить через шар-
нир С, так как момент в
половина рамы служит в
этом случае как бы связью (наклонной подвижной опо-
рой). Распор Н определяется из уравнения SAf0—0, где
буквой «О» обозначена точка пересечения направления
реакции Va и полной реакции на опоре В (см. рис. 153, о):
2М0= 1-х— Н-г — 0; Н = х/г.	(152)
По формуле (152) строим л. в. Н левее шарнира С
(рис. 153,6). На правой половине рамы достраиваем
л. в. Н по смыслу ее ординат: над опорой В она должна
194
иметь нулевую ординату. Аналогично из уравнения
ЕЛ/о, =0 получаем
VA (/+ а) - 1 (/ +«-*) = 0; VA =	•	(153)
По формуле (153) строим л. в. VA левее шарнира С,
далее проводим ее через нуль над опорой В (рис. 153,в).
Аналогично можно построить л. в. Vb- Для изгибающе-
го момента в сечении п рамы (см. рис. 153, а) имеем
выражение Afn=—Hh, справедливое при любом поло-
жении груза на горизонтальном участке рамы (ригеле).
При растяжении наружных волокон момент считаем
отрицательным. Согласно этому выражению, получаем
л. в. Мп (рис. 153,г). Для момента Mk в сечении ригеля
получаем при грузе справа от сечения k л. в. Mk через
левые силы:
л. в. Mk = xk(n. в. VA)— й(л. в. Н).
(154)
Под опорой А эта формула дает ординату, равную Xk,
под шарниром С—отрицательную ординату (рис. 153, д).
Когда груз находится в точке С, направления обеих
опорных реакций А и В проходят через шарнир С. В се-
чении k растянуты верхние волокна.
Формула (154) справедлива только при грузе справа
от k. При грузе слева л. в. Mk можно достроить по смыс-
лу: через нуль под опорой А.
Л. в. Mk можно было бы построить и без определе-
ния линий влияния опорных реакций. Ординаты л. в. Мк
определяются отрезком прямой на участке kC. Его мож-
но провести по условной ординате xk под опорой А и
нулевой ординате (нулевой точке). Эта точка соответ-
ствует такому положению груза Р=1, при котором на-
правление полной реакции А проходит через сечение k.
На рис. 153, а это положение груза и направление реак-
ций А показаны пунктиром. Подобным приемом можно
построить в произвольной арке линии влияния Mh, Qk и
Nk. Соответствующая методика называется методом ну-
левой точки. Она подробно излагается, например, в кни-
ге: А. В. Дарков, Г. К. Клейн, В. И. Кузнецов и др.
«Строительная механика», 1976.
Обычно подвижная нагрузка перемещается не по са-
мой арке, а по надарочному строению (рис. 154,а), ко-
торое вместе с аркой представляет собой многократно
статически неопределимую конструкцию. Однако жест-
13*
19S
Рис. 154
кость на изгиб самой арки обычно во много раз превос-
ходит жесткость на изгиб стержней надарочного строе-
ния. Поэтому при расчете арки жесткостью на изгиб над-
арочного строения часто пренебрегают и расчетная
схема принимается в виде рис. 154,6. При этом уровень
движения нагрузки может быть и ниже арки, в уровне
затяжки или посередине (рис. 154,в, г). Это не влияет
на методику решения задачи.
Основной задачей является построение линий влия-
ния в предположении, что груз перемещается по оси
арки. Построение линий влияния может быть выполнено
методом нулевой точки, о котором говорилось выше, или
через линии влияния опорных реакций. В часто встре-
чающемся случае арки с опорами в одном уровне эта
методика сводится к использованию балочных линий
влияния и линии влияния распора Н. Формула (147) и
аналогичные формулы (149) для поперечной и нормаль-
ной силы позволяют написать для линий влияния Мк,
Qk и Nk следующие зависимости:
л. в. М^ = л. в. — Ук(л. в. И).
л. в. ссвсрДл. в. б®) — sin<pfcGn. в. Н);
л. в. = sin <pfc (л. в. + cos <pfc (л. в. Н).
(155)
Эти линии влияния показаны на рис. 155. Учет узловой
передачи нагрузки сглаживает линии влияния, что по-
казано на рис. 155 пунктиром.
Характер л. в. Мк и л. в. Nk различен: л. в. Nk одно-
значна. Для получения АДпах необходимо загрузить весь
196
пролет; л. в. Mk двузначна. Для получения ЛДтак нужно
загружать часть пролета. Нормальное напряжение о в
сечении арки зависит от Nk и Mk. Возникает вопрос: как
загрузить пролет, чтобы получить наибольшие напря-
жения? Формула (148) показывает, что напряжения ли-
нейно зависят от Nk и Mk, которые при расчете по не-
Деформированной схеме линейно зависят от нагрузки.
Таким образом, для напряжений <Ti и Ог в крайних точ-
ках симметричного сечения арки (рис. 156) справедлив
197
принцип независимости действия сил. Для щ и о2 можно
построить линии влияния и загружать их как линии влия-
ния внутренних сил. Это позволяет для каждого напря-
жения щ и о2 найти соответствующее невыгодное загру-
жение. Для л. в. щ и л. в. о2 имеем формулы, выражаю-
щие их через линии влияния Mk и Nk'.
л. в. ох = —— (л. в. Mh) —	(л. в. Nh)-,
W	г
(156)
л. В- о2== —(л. в. Мк) — —Г (Л. в. Nh).
Рис. 156
Первые слагаемые этих фор-
мул будут, как правило, во
много раз превосходить вто-
рые., Изгиб значительно опас-
нее сжатия, и линии влияния
о\ и d близки по форме к л. в.
Mk (см. например, рис. 155).
Загружение на максимум о
близко к загружению на мак-
симум момента, но не совпада-
ет с ним буквально.
Формулы, аналогичные вы-
ражениям (516), используются и в расчетах других
стержневых систем на подвижную нагрузку. Однако не
для всех напряжений можно использовать такую методи-
ку определения невыгодного загружения. Например,
главные напряжения определяются через а и т в сечении,
перпендикулярном оси стержня, по формуле
СТ 1 1 /------------------
Оглах = ~~~ i ~~Т~ V О 2 -р 4т2 .
min 2	2
Они нелинейно зависят от нагрузок, и нельзя пользо-
ваться их линиями влияния так, как линиями влияния
внутренних сил.
§37	. Понятие о расчете арочных ферм
В трехшарнирных распорных системах каждый из
дисков арки рамы может быть заменен фермой с гео-
метрически неизменяемой решеткой. Если эта решетка
статически определима (см., например, рис. 157), то
усилия в стержнях фермы от неподвижной нагрузки или
198
ординаты линий влияния находятся из уравнений равно-
весия, как и в расчетах арок и ферм.
Например, при вычислениях вручную из уравнений
равновесия 2Л4А=0, SAfB==O арочной фермы
(рис. 157, а) определяются реакции Va, Vb', из уравне-
пс.с	лев. с
ния 2Л4с=0 (или 2Л4с=0) определяется распор Н.
При дальнейшем определении усилий, например
Л^з-5, Л^з-б, 7^4-6, проводим сечение I—I и рассматрива-
лев.с
ем равновесие левой части фермы. Уравнения SA13=
Рис. 157
199
лев.с
=0, SAf6=0 позволяют определить усилия в поясах
А/д—в и N3~5. Если стержни 4—6 и 3—5 параллельны, то
усилие N3-6 определяется, как и поперечная сила в арке,
Рис. 160
из уравнения суммы проекций левых сил на направле-
ние, перпендикулярное поясам, и т. д.
В напряженном состоянии арочных ферм наблюда-
ется такая же аналогия с соответствующими сплошными
арками и рамами, какая наблюдалась ранее при срав-
нении балочных ферм со сплошными балками. Напри-
мер, сравнивая ферму (рис. 158, а) с рамой (рис. 158,6),
можно сказать, что стержни наружного пояса будут ра-
стянуты, а внутреннего — сжаты, так как в раме растя-
нуты наружные волокна. Причем наиболее напряжен-
ными будут стержни в месте смыкания горизонтального
и вертикального участков фермы там, где изгибающие
моменты (см. рис. 158,6) максимальны.
Эта аналогия упрощает построение и анализ линий
влияния усилий в таких фермах. Например, линия влия-
ния усилия N в нижнем поясе (рис. 159) будет аналогич-
на л. в. Mk (см. рис. 153, д), поскольку при любом по-
ложении груза усилие N записывается через изгибаю-
щий момент формулой N=Mklh.
К числу распорных систем относятся также комби-
нированные системы, в которых диски балочных ферм
удерживаются цепью (тросами) (рис. 160, а) или упру-
гими достаточно гибкими системами арочного вида
(рис. 160,6). Такие системы, как правило, статически
неопределимы и геометрически нелинейны. Их расчеты
будут рассматриваться особо.
200
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ПО МЕТОДУ МОРА
§38	. Вводные замечания
Сооружения, а также машины, механизмы, летатель-
ные аппараты и т. п. должны быть не только прочными,
но и достаточно жесткими. Это означает, что перемеще-
ния различных точек конструкции, возникающие при ее
деформации, должны быть достаточно малыми.
Например, вертикальные перемещения мостовой фер-
мы при проходе по ней поезда (рис. 161, о) не должны
превышать 1/500—1/1000 пролета. Иначе резко ухудша-
ются условия эксплуатации моста, подвижного состава
и т. д. Прогибы телевизионной башни также должны быть
даже при сильном ветре достаточно малыми, чтобы не
страдало качество телепередачи. Точнее, малыми долж-
ны быть не сами прогибы, а углы поворота верхнего
участка — антенной части башни (рис. 161,6). Именно
повороты антенной части ухудшают качество изображе-
ния, и они не должны превышать заданной малой ве-
личины .
Задача вычисления перемещений возникает не толь-
ко в тех случаях, когда проверяется жесткость соору-
жения или механизма.
Особенно часто возникает необходимость вычисления
перемещений при расчетах статически неопределимых
систем, а также в задачах динамики сооружений, при ре-
шении которых необходимо знать жесткости и податли-
вости сооружения. В этих случаях вычисление переме-
щений — важный промежуточный этап расчета.
В расчетах стержневых систем чаще всего не требу-
ется вычислять функции перемещений, т. е. аналитиче-
ские выражения для перемещений всех сечений стерж-
ней. Достаточно знать несколько характерных переме-
щений. Например, горизонтальные и вертикальные пе-
ремещения некоторых узлов или сечений, т. е. проекции
их полных перемещений на горизонтальное и верти-
тикальное направления — компоненты перемещений
(рис. 162,а), а также перемещения опор, углы поворота
узлов или сечений и другие обобщенные перемещения.
Будем в дальнейшем искомые перемещения нумеро-
вать и обозначать буквой А с соответствующим индек-
201
Рис. 162
сом. Этот индекс 1, 2, ..., i является одновременно ин-
формацией о том, перемещение какого узла или сечения
определяется и по какому направлению. Часто будем
писать и второй индекс, например Р, t, который обозна-
чает причину, вызвавшую перемещения: нагрузку Р или
изменение температуры t и т. п. Эти перемещения будут
элементами векторов Ар или Д(. При необходимости пол-
ное перемещение какого-либо сечения или узла может
202
быть вычислено после определения компонент обычным
порядком. Например, в случае пространственной систе-
мы (рис. 162,6) А=	. Аналогично пол-
ный угол поворота узла <р вычисляется через его компо-
ненты <рж, (р^, <pz: повороты вокруг осей х, у, z.
Наиболее общим методом определения перемещений
является метод Мора. Этот метод вытекает из принципа
возможных перемещений и позволяет определять пере-
мещения системы по заданным деформациям ее элемен-
тов. В § 10, 17 говорилось о двойственном характере ко-
эффициентов влияния внутренних сил, которые позволя-
ют вычислять усилия в элементах по заданной нагрузке
и одновременно выражают перемещения через деформа-
ции элементов. Эта двойственность и используется в ме-
тоде Мора, в котором чисто геометрическая задача вы-
числения перемещений по деформациям сводится к ста-
тической задаче определения усилий от единичных
внешних сил.
§	39. Интеграл Мора
Допустим, что произвольная стержневая система,
которую условно изобразим в виде пространственного
ломаного бруса (рис. 163,а), деформировалась, в ре-
зультате чего возникли малые перемещения. Известны
условия закрепления системы и деформации всех ее эле-
ментов, которых в общем случае бесконечно много. Про-
извольный бесконечно малый элемент длиной ds, по-
ложение которого в системе характеризуется координа-
той s, испытывает деформации удлинения eds
(рис. 163,6), кручения, изгиба и сдвига в двух плоско-
стях. Ообозначим угол взаимного поворота смежных
сечений вследствие кручения через d<pz, вследствие из-
гиба относительно центральных осей сечения х и у —
соответственно через сйря и dtpy. Через уу и ух обозначим
углы сдвига сечений при изгибе в плоскостях yOz и xOz.
Углы поворота d<pz, d<py, d(px выражаются через интен-
сивность угла закручивания 6=6 (s) и кривизны хзс=
=*x(s), Xy=Xy(s):
ds	ds
d(pz = (Ids; d<px = — = xx ds; d<py = — — xy ds. (157)
Px	Py
Для определения перемещения А,- наряду с изучае-
мым деформированным состоянием А рассмотрим вспо-
203
Рис. 163
могательное состояние той же системы (рис. 163,в), в
котором по направлению искомого обобщенного переме-
щения приложим единичную обобщенную силу Р,~1
и вычислим возникшие от нее внутренние силы. Это д-е
состояние является состоянием равновесия и, со-
гласно принципу возможных перемещений, работа сил
204
i-ro состояния на любом возможном перемещении
должна быть равна нулю Л=0. В частности, в качест-
ве возможных перемещений можно принять перемеще-
ния, указанные на рис. 163, а. Они малы и удовлетворя-
ют связям.
Работа сил состояния i на перемещениях состояния
Д складывается из работы внешних сил, равной 1-Д/, и
работы внутренних сил (рис. 163, г) на деформациях
элементов (см. рис. 163,6):
А = 1  Дг — j’ (JVf eds + MKV t dqz + Mx t d<px +
s
+ Myi ЛРг/ + Qyi У у ds + Qxi Ух ds).	(158)
Особенность применения принципа возможных пе-
ремещений к деформируемым системам заключается в
вычислении работы внутренних сил, т. е. второго сла-
гаемого выражения (158). При положительных направ-
лениях внутренних сил, соответствующих положитель-
ным деформациям, работа внутренних сил будет отри-
цательной, хотя внешне элементарная работа, входящая
под знак интеграла, в соответствии с рис. 163 будет по-
ложительной. Силы, показанные на рис. 163, г, являются
внешними по отношению к элементу, а необходимо вы-
числять работу внутренних сил, которая вследствие рав-
новесия каждого элемента равна работе сил АД ..., Qyt
(рис. 163, г) по значению и обратна по знаку. Иллюст-
рацией этого положения является работа сил, прило-
женных к частицам материала при их возможном вза-
имном смещении на 6 (рис. 163,6). Внешние силы Р про-
изводят положительную работу, а равные им внутренние
силы N — такую же отрицательную работу.
Приравнивая нулю возможную работу (158) и учи-
тывая выражение (157), получаем для искомого переме-
щения Д, формулу
Дг == f (Nt е + ЛГкрг 6 Afxi их + Myi иу +
s
+ Qxt Ух + Qyi У у) ds.	(159)
При использовании формулы (159) несущественно,
от чего возникли деформации элементов системы. Де-
формации могут возникнуть от нагрузки Р (причем си-
стема может быть физически нелинейна), изменения тем-
пературы, вследствие ползучести материала и т. п. Важ-
но здесь лишь то, что деформации элементов должны
быть известны.
205
Структура выражения объясняется двойственностью
коэффициентов Ni(s), MKpi(s), ..., Qyi (s) (см. § 10, 17).
Например, коэффициент Mvi(s) можно трактовать как
перемещение по t-му направлению от малой единичной
деформации элемента фу=1. Тогда слагаемое Myid(py=
=Myiy.yds дает перемещение по t-му направлению от за-
данной деформации элемента (рис. 164;. Аналогично
остальные слагаемые подынтегрального выражения (159)
дают перемещения от остальных деформаций элемента.
Рис. 164
Рис. 16S
Суммируя эти перемещения, возникающие от деформа-
ций всех элементов системы, т. е. интегрируя по длине
всех стержней 5, получаем перемещение А, (159).
Здесь возникает вопрос о применимости принципа
суперпозиции при суммировании перемещений, возник-
ших от различных деформаций элемента, а. также от
деформаций различных элементов. Ответ на него и дает
вывод формулы (159) на основе принципа возможных
перемещений.
Формула (159) является, конечно, ’приближенной
формулой, так как перемещения системы (см. рис. 163, а),
которые мы приняли за возможные перемещения, малы,
но не бесконечно малы, и, строго говоря, их нельзя при-
нять за возможные. Формула (159) точна в случае бес-
конечно малых деформаций 8, кривизн и ку и т. Д-
В случае малых, но конечных деформаций получаем не
полное перемещение А,, а его дифференциал. Например,
если даже для материала системы справедлив закон Гу-
206
ка и деформации возникают от нагрузки Р, то вследствие
геометрической нелинейности системы зависимость А,-
от Р будет нелинейной (рис. 165). Формула (159) и мно-
гие вытекающие из нее формулы, которые будут получе-
ны далее, дают в таких случаях дифференциал переме-
щения Д; и будут тем точнее, чем меньше деформации
элементов, т. е. чем меньше Р.
Замена искомых малых величин их дифференциалами
является широко распространенным упрощением расче-
тов, и вопрос о применимости такой замены решается
в каждом конкретном случае экспериментальными или
теоретическими исследованиями.
Вследствие большой жесткости реальных сооружений
будем считать в дальнейшем в большинстве задач фор-
мулу (159) точной. Там, где точность ее недостаточна,
будем искать специальные методы решения геометри-
чески нелинейной задачи.
В случае деформации системы в плоскости выраже-
ние (159) упрощается. Получаем для А,- формулу
Д£ = [ (Ni е + Mi х + Qt у) ds,	(160)
s
т. е. перемещения зависят от трех деформаций каждого
элемента: удлинения, искривления и сдвига. Для вычис-
ления каждого перемещения Д£ необходимо от Pt=\ оп-
ределять во вспомогательном состоянии в общем случае
три внутренних силы: Af=A4(s), N—N(s), Q—Q(s). Во
многих задачах будут и дальнейшие упрощения, свя-
занные с отсутствием некоторых деформаций элементов
или с пренебрежением ими.
Практически наиболее важна задача определения пе-
ремещений от заданной неподвижной нагрузки Р. В этом
случае деформации (см. рис. 163,6) зависят от внутрен-
них сил №(«), Мкрр, MxP(s), ..., Qyp(s), которые для
статически определимой системы определяются через Р
из уравнений равновесия. Если зависимость деформаций
от внутренних сил нелинейна, то деформации должны
определяться с учетом этой физической нелинейности.
В большинстве случаев справедлив закон Гука. Тогда
деформации, согласно формулам сопротивления мате-
риалов, выражаются через Np МкрР, ..., QViP и жестко-
сти EF, EJ, GF, GJa следующим образом:
NP „	1 МхР
EF GJd х рж EJX
207
___1__Мур . fey Qyp kx Qxp
~ Py = EJy ’ УУ = GF ’ Vx = GF
(161)
где kx, kv — коэффициенты, зависящие от формы поперечного се-
чения, от неравномерности распределения по сечению касательных
напряжений при изгибе. Формулы для них даются в курсе сопро-
тивления материалов.
Для случая деформации в плоскости системы зави-
симости (161) показаны на рис. 166. В этом случае
П£ОТС \2
7Д" dF-	(162)
J х by J
Например, для прямоугольного сечения £=1,2.
Подставляя выражения (161) в формулу (159), по-
лучим перемещение Л,Р в виде суммы в общем случае
шести интегралов:
В случае деформации в плоскости системы аналогич-
но из (160) получаем
(* N.Np ds CM. Мр ds С kQ, Qp ds
lp J EF	EJ +J GF
S	S	s
(164)
Выражение (163) или (164) называется интегралом
Мора. Оно позволяет по известным эпюрам внутренних
сил от нагрузки Р и i-ro одиночного воздействия опре-
делить перемещение по i-му направлению в произволь-
ной системе. В частном случае можно использовать ин-
теграл Мора и для вычисления прогибов балок.
Рассмотрим, например, задачу определения макси-
мального прогиба балки прямоугольного поперечного
сечения от равномерно распределенной нагрузки
(рис. 167,а). Обозначим Vmax=Aip- Эпюры МР, QP
показаны на рис. 167,6. По направлению искомого пе-
ремещения прикладываем к такой же балке силу Pi=l
(рис. 167,в) и строим эпюры Mi и Qi (рис. 167,г). Эпю-
ры NP и Ni в этой задаче равны нулю, и в интеграле
208
Рис. 166
(164) остаются два слагаемых:
I (г	\
д [ [^+k±qz\	kqP_
1P J \ EJ GF /	ZE J ^2GF
(165)
Здесь ds заменено на dz, поскольку рассматривается
прямая балка. Первое слагаемое формулы (165) дает
значение прогиба вследствие изгиба, второе — вследст-
bh3
вие сдвигов. Подставляя в формулу (165) J=------,F=
£
~bh, G—----------, /г=1,2, получим
2(1+р)
14—569
209
=	[1 4-4 (1 + fc21... ч*
vmax IP 8EJ [ *“	5	/2 ] SEJ '
(166)
Второе слагаемое этой формулы составляет обычно
для балок величину порядка нескольких процентов от
первого. Например, здесь при коэффициенте Пуассона
у—0,25 и hll<i\l5 оно менее 0,04. К таким же выводам
можно прийти, рассматривая другие балки и рамы. По-
этому в расчетах сплошных балок и рам обычно пре-
небрегают влиянием сдвигов, а также нормальных сил и
учитывают в интеграле (164) только изгибающие мо-
менты.
Формулы (163), (164) позволяют определять любые
обобщенные перемещения. При их выводе вспомогатель-
ная нагрузка Pt=l подбиралась так, чтобы работа этой
нагрузки на искомом перемещении Д,- численно равня-
лась значению Д,-. Если, например, определяется угол по-
ворота какого-либо узла или сечения, то вспомогатель-
ную нагрузку нужно принять в виде внешнего момента
Л4=1, приложенного в этом узле (или к этому сечению).
Тогда возможная работа внешних сил будет равна Л4<р=
=1-ф=<р и т. д. Дальнейший расчет аналогичен расчету
при вычислении Д(-.
Например, вычислим в рассмотренном примере угол
поворота ф—Д2Р крайнего сечения балки. Для этого рас-
смотрим еще одно вспомогательное состояние балки
(рис. 167,<3). От Л1=1 возникают только изгибающие мо-
менты (Q=0), поэтому
eM^Mpds 2 dzqp
)	ЕJ	J	EJ ~ 6ЕJ 
।	о
(167)
Рекомендуем читателю сравнить полученные реше-
ния (166), (167) с решениями этой же задачи, получен-
ными с использованием дифференциального уравнения
изгиба£/t>IV=q. Они должны совпадать (и совпадают),
так как это линейное дифференциальное уравнение по-
лучено в сопротивлении материалов с допущениями,
аналогичными тем, которые приняты при выводе формул
(159), (163). Кривизны балки 1/р были записаны через
прогибы ц(х) приближенно линейным выражением 1/р»
»ц". При этом прогибы считались малыми, и мы пре-
небрегали квадратом производной (о')2 по сравнению с
единицей.
210
Рассмотрим пример определения обобщенного пере-
мещения по формуле (163). Найдем взаимное переме-
щение по вертикали точек 1 и 2 разрезанного конца от
сил Р, перпендикулярных плоскости кольца (рис. 168,а).
В этом случае внутренние силы в
плоскости кольца равны нулю.
Отличными от нуля будут крутя-
щий момент Мкр, равный моменту
силы Р относительно оси z (рис.
168,6), и изгибающий момент
Мхр. Крутящий момент Мкрр ра-
вен силе Р, умноженной на плечо
Р—R cos <р:
МкрР = PR (1 — cos <р).	(168)
Изгибающий момент
МхР = PR sin	(169)
Для вычисления искомого вза-
имного перемещения сечений 1 и
2 прикладываем к кольцу соот-
ветствующую обобщенную силу,
которая производит работу на ис-
комом перемещении. Это будут
две одинаковые силы, направлен-
ные в разные стороны (рис.
168, в). Численно эти вспомога-
тельные силы должны равняться
единице. Как видно, в данном слу-
чае вспомогательное воздействие
отличается от нагрузки лишь ве-
личиной сил; поэтому внутренние
силы Mkpi и Mxi будут записы-
ваться формулами, аналогичны-
ми формулам (168), (169):
Рис. 168
Л4кр1 = R (1 — cos <р); МХ1 = R Sin <р.
Искомое перемещение Д1Р получаем по формуле
(163), пренебрегая деформациями от поперечных сил
Qy, в виде двух интегралов
f Мирр Л1ь-Р1Ф , Г MxlMxPds
1Р J GJKp	EJX
S	S
14*
211
Записывая ds через dq> :ds=Rdq> и подставляя выра-
жения моментов под знак интегралов, интегрируем от
нуля до 2л:
2л	2л
Г PR2 (1—cos <р)2	Г PR2 sin2 <p7?rf<p
1P=J GJ„P +J EJX
о	о
Вычисляем эти интегралы через первообразные функции.
В результате получаем Aip=nPP3[3/(G/Kp) + l/(£/*)].
Первое слагаемое в этой задаче больше второго, т. е.
перемещение вследствие кручения больше, чем переме-
щение в результате изгиба. Например, если поперечное
сечение этого стержня круглое сплошное, то JKp равно
полярному моменту инерции /р, которое в два раза
больше осевого момента инерции Jx: /р =2/ж. Модуль
сдвига G записывается через Е так: G=E/ [2 (1 -(-у,) ],
где у— коэффициент Пуассона; если ц=0,25, то G=
=0,4Е; GJp — 0,4 EJX2=6,8EJX, т. е. первое слагаемое в
3,75 раза больше второго.
Отсюда видно, что при пространственной деформации
необходимо учитывать перемещения, возникающие
вследствие изгиба и кручения.
Интегралы Мора во многих случаях удобно вычис-
лять не через первообразные функции, а численными
способами с использованием эпюр внутренних сил. На-
помним эти способы в следующем параграфе.
§40. Вычисление интегралов Мора
Наиболее просто вычисляются интегралы Мора при
определении перемещений узлов идеальной упругой фер-
мы от неподвижной нагрузки (рис. 169,а). В этом случае
все усилия от нагрузки, кроме продольных сил Nhp, рав-
ны нулю. Усилие Nkp постоянно вдоль k-ro стержня, его
эпюра — прямоугольник. Для определения i-ro переме-
щения, например вертикального перемещения одного из
узлов фермы, прикладываем во вспомогательном состоя-
нии по направлению искомого перемещения единичную
силу Р/=1 (рис. 169,6) и определяем от нее усилия Nti-
Их эпюры — также прямоугольники. Вычисление интег-
рала (164) заменяем суммой, так как на длине каждого
стержня постоянные силы и жесткости выносятся за знак
212
интеграла, а интеграл от ds дает длину k-ro стержня:
cN.Npds
Ьр =
S
NkiNkP^ = VI Nki Mkp lk
EFk 71	‘	'
14 EFh
k
Несколько сложнее интегралы Мора приводятся к сум-
мам в случае, когда перемещения происходят вследствие
изгиба прямых стержней, т. е. в балках, рамах.
В этом случае подынтегральные функции в выраже-
ниях (160), (164) будут сложнее, чем в расчетах ферм,
Рис. 169
Рис. 170
так как сложнее очертания эпюр МР и Mi, а также чаще
встречаются случаи переменной жесткости EJ на /г-м
участке системы EJh=EJh(s). Здесь нужно воспользо-
ваться специальными формулами вычисления определен-
ных интегралов (квадратурными формулами).
Простейшим вариантом такого вычисления является
применение правила Верещагина. Если на k-м участке
жесткость постоянна EJh=const, а одна из эпюр (обыч-
но вспомогательная эпюра) линейна, то интеграл от про-
изведения функции MP(s) на линейную функцию Mi(s)
(рис. 170) можно записать в виде:
р Мр М. ds 1
I ----i— = —
J EJk	EJh
sk
где Q — площадь произвольной криволинейной или ломаной эпюры
Мр-, у — ордината линейной эпюры М, под центром тяжести эпю-
ры Мр.
Формула (171) была доказана в курсе сопротивления
материалов так же, как здесь доказано правило загруже-
ния линейного участка линии влияния произвольной на-
(171)
ги
грузкой (см. § 26). Эпюру МР можно рассматривать как
нагрузку, а ее площадь — как равнодействующую. Прак-
тически формула (171) удобна, если известны без боль-
ших вычислений положение центра тяжести эпюры МР и
ее площадь.
Например, рассмотрим задачу определения верти-
кального перемещения крайнего сечения k системы трех
стержней от горизонтальной силы Р (рис, 171,а). Если
пренебрегать деформациями растяжения стержней и
сдвигами, то можно заметить, что стержень I испытывает
деформацию изгиба в горизонтальной плоскости (рис.
171,6). При этом вертикальное перемещение Дв точки k
равно нулю. Первый стержень также закручивается
(рис. 171,в), в результате чего точка k получает переме-
щение по горизонтали и вертикали.
Стержень // изгибается (рис. 171,г), вследствие чегс
точка k перемещается, и ее вертикальное перемещение не
равно нулю. Стержень III также изгибается в вертикаль-
ной плоскости, при этом вертикальное перемещение точ-
ки k равно нулю. Таким образом, вертикальное переме-
щение точки к происходит только в результате кручения
стержня I и изгиба стежня II. При определении переме-
щения по методу Мора рисовать эти картины деформа-
ции, конечно, не нужно. Они даны здесь для пояснения
существа задачи.
Для ее решения строим эпюры изгибающих и крутя-
щих моментов от нагрузки Р (рис 172,а, б), а также
эпюры изгибающих моментов и крутящих моментов от
единичного воздействия Р — 1 (рис. 172,в, г). Вычисляя
интегралы от «произведения» соответствующих эпюр, де
ленных на жесткости, находим искомое перемещение.
На стержне / эпюры изгибающих моментов в грузо-
вом состоянии и в единичном состоянии будут в разных
плоскостях; результат вычисления на этом участке соот-
ветствующих интегралов — нуль. На стержне // изгибаю-
щие моменты действуют в одной плоскости, но растяги-
вают разные волокна, поэтому результат отрицательный.
Получаем его по правилу Верещагина. Площадь Р-1-l
умножаем на ординату //2. Аналогично отрицательный
результат получаем, перемножая эпюры крутящих мо-
ментов— площадь Р-1-1 на ординату I. В итоге
214
Знак минус, полученный в ответе, говорит о том, что мы
«не угадали» направления перемещения. Вспомогатель-
ная сила Pi была направлена вниз, тогда как точка к
переместится от силы Р вверх.
В общем случае более сложных эпюр удобным для
215
вычисления интеграла Мора оказывается использование
формулы Симпсона — одной из самых распространенных
квадратурных формул. Напомним, что определенный ин-
теграл от функции f(x) (рис. 173) можно приближенно
вычислить по Симпсону следующим образом:
ь
С	Ь — а
f (х) dx « —— [f (а) + 4/ (с) + f (fe)].	(172)
Эта формула основана на интерполировании — замене
подынтегральной функции квадратной параболой, про-
Рис. 173
Рис. 174
ходящей через крайние и среднюю ординаты f(a), f(c),
f(b).
В большинстве случаев для вычисления интегралов
Мора на участках постоянной жесткости EJfe=const фор-
мула Симпсона оказывается точной формулой. Напри-
мер, если обе эпюры Mz(s) и MP(s) линейны, то их про-
изведение является квадратной параболой, и интерполи-
рующая парабола (пунктир на рис. 173) совпадает с
подынтегральной функцией.
Формула Симпсона оказывается точной и в случае,
когда подынтегральная функция является полиномом
третьей степени — кубической параболой. В этом случае
площади, заштрихованные на рис. 173, компенсируют
друг друга: их сумма равна нулю. Это означает, что при
эпюре Мр в виде квадратной параболы (под нагрузкой
q = const) и линейной эпюре М,- вычисление интеграла
Мора дает на участках прямых стержней постоянной
жесткости точный результат.
216
Запишем интеграл (171) через координаты эпюр МР
и М, на произвольном k-м участке системы (рис. 174).
Обозначим через а, с, b ординаты эпюры МР в край-
них А, В и средней С точках этого участка; через at, bi,
d — аналогичные ординаты линейной вспомогательной
эпюры от i-го единичного воздействия; через lh длину
й-го участка эпюр. Тогда формула (172) применительно
к вычислению интеграла Мора запишется в виде:
МрМ.Ф 1к
EJ ~ 6
sk
В случае постоянной жесткости участка EJfe=const по-
лучим
aat ccj
(173)
Р Мр M.ds [.
- F	+ 4CCi + bbi).	(174)
I EJ vEJfr
sk
Формула (173), вообще говоря, приближенная, но при
уменьшении участка интегрирования 1к погрешность вы-
числений по этой формуле уменьшается пропорциональ-
но четвертой степени 1к. На участке небольшого и плав-
ного изменения жесткости формула (173) практически
точная. Формула (174) является точной при ^ft=const и
дает небольшую погрешность при небольшом и плавном
изменении нагрузки q=q(s) на Л-м участке.
Рассмотрим пример совместного использования пра-
вила Верещагина и формулы Симпсона. Найдем горизон-
тальное перемещение правой опоры упругой рамы от на-
грузки q (рис. 175, а). Эпюра МР показана на рис. 175, б,
соответствующая эпюра Mt — на рис. 175, в. На верти-
кальном участке рамы используем для вычисления инте-
грала Мора формулу Симпсона (174), на горизонтальном
участке — правило Верещагина (при этом учитываем,
что на втором участке двойная жесткость 2EJ):
lp J EJ GEJ [	8 4 2	2 /
S
+ 2EJ 2 2 ) 3	24 EJ 24£7	24£7 "
Обратим внимание на то, как в методе Мора учиты-
ваются условия закрепления системы.
Одинаковым деформациям элементов системы, т. е.
217
в данном примере одинаковым эпюрам МР, могут при
разных закреплениях рамы соответствовать различные
перемещения. Например, эпюра МР в раме на рис. 175, г
будет такой же, как в раме, показанной на рис. 175, а.
Перемещения же будут другими. В частности, другим
будет перемещение правого сечения по горизонтали.
Это учитывается в методе Мора при построении эпюр
от вспомогательных воздействий. Эпюра Л!*, необходи-
мая для определения перемещения Д‘р в раме по рис.
175, а, показана на рис. 175, д. Соответствующее горизон-
тальное перемещение равно:
. If	з I \
=	Р-4-Т9/2 V + o
ОС J \	О Z /
—з?/«
24 EJ ’
Выражения (173) и (174) используются и при вычис-
лении перемещений вследствие изгиба криволинейных
стержней небольшой кривизны. В этом случае обе эпюры
Mpfsj и Mt(s) нелинейны, и участки Дв/£=/ь должны
приниматься достаточно малыми.
Рис. 175
218
В тех случаях, когда формулы (173), (174) исполь-
зуются как приближенные, вычисление интегралов Мора
производится обычно два раза: при заранее назначенных
длинах участков lh, и длинах, в два раза меньших. Если
результаты обоих вычислений совпадают с такой же точ-
ностью, с какой заданы значения жесткостей, то резуль-
таты считаются точными.
Например, для определения горизонтального переме-
щения Д1р верхнего сечения стержня кругового очерта-
ния с переменной высотой h от нагрузки Р (рис. 176, а)
необходимо использовать эпюры МР и (рис. 176, б, в).
Разбивая левую половину стержня на достаточно боль-
шое четное (8—10) число участков, используем на каж-
дых двух смежных участках формулу (173). Суммируя
результаты, получаем Д1Р.
Если стержень имеет большую кривизну, т. е. h/R>
>1/5, нейтральный слой при чистом изгибе стержня не
совпадает с центром тяжести сечения. Интеграл Мора в
виде (164) использовать в этом случае нельзя. Необходи-
мо дополнить (164) слагаемыми, учитывающими в выра-
жении возможной работы А соответствующую работу
продольной силы Nt на перемещении центра тяжести от
изгибающего момента МР и работу момента М,- на пово-
ротах сечений от NP. Рекомендуем читателю выполнить
вывод соответствующих интегралов самостоятельно.
219
§41. Определение перемещений от изменения
температуры
Из выражения (160) следует формула для вычисле-
ния перемещений Д(/ плоской системы от изменения тем-
пературы Г. Допустим, что k-й стержень нагревается не-
равномерно по высоте его поперечного сечения. Каждый
элемент этого стержня будет
удлиняться и искривляться
(177). Рассмотрим случай, ког-
да поток тепла через стержень
установился неизменным во
времени, и температура изме-
няется по высоте сечения ли-
нейно. Тогда удлинения воло-
кон также изменяются линей-
но, и поперечные сечения оста-
ются плоскими, перемещаясь
Рис	поступательно и поворачиваясь
относительно друг друга. Удли-
нение элемента ds на уровне
центра тяжести получим, согласно рис. 177, в виде
atods, где t0 — температура на уровне центра тяжести,
т. е. е=а£0. Угол взаимного поворота сечений выражает-
ся, согласно рис. 177, через разность температур край-
них волокон dq= (oAtds) /h, где Д(=/п—h, h — высота
сечения, х=(аД()/Л. Взаимный сдвиг сечений при изме-
нении температуры равен нулю. Подставляя найденные
значения в интеграл (160), получим на длине одного Л-го
стержня
ПаЛ/ \	a • td
ato N. ds + — M. ds) = a/0	+ — Й^
sk
где и — площади эпюр N, и Mi на длине £-го
стержня. Суммируя эти интегралы по всем стержням,
получаем окончательную формулу для перемещений от
изменения температуры

(175)
Таким образом, для вычисления перемещения от измене-
ния температуры Д4< необходимо построить эпюры Mi и
220
Ni от силы Pt —I, приложенной по направлению Д£, и вы-
числить площади этих эпюр на всех стержнях. Далее по
формуле (175) получаем искомое перемещение Дц.
§42. Матрицы податливости и жесткости системы
Вернемся к задаче определения перемещений от на*
грузки Р. Примеры вычисления перемещений, приведен-
ные выше, показывают, что перемещения линейно зави-
сят от нагрузок Р, q, изменения температуры t и т. п. По-
кажем в общем виде, что из принятых допущений о
недеформируемости расчетной схемы и закона Гука для
материала системы следует справедливость принципа
суперпозиции для перемещений системы. Для большей
простоты формул рассмотрим случай плоской системы.
На этом примере будет видна и справедливость принципа
суперпозиции для общего случая пространственной сис-
темы. Согласно недеформируемости расчетной схемы,
представим эпюры МР, NP и QP в виде сумм:
Мр^^М.Р.- Np^N.P.; Qp=^lQjPJ, (176)
i	I	i
где Mj, Nj и Qj — эпюры от единичных нагрузок Р3=1, причем Pj
необязательно является сосредоточенной силой. Это может быть и
внешний момент, и интенсивность распределенной нагрузки, и т. п.
Подставляя выражения (176) в интеграл (164), пред-
ставляя интеграл от суммы в виде суммы интегралов и
вынося параметры Pj за знак интегралов, получим
Д.Р = бц Р. + 6 2 Р2 +• • •+ &{j Pj +• • •+ 6(.п Рп,
где
(177)
(178)
Положим все параметры нагрузки нулевыми Pi =
=Р2 = ...=Рп—0, кроме Р3 = 1. Тогда Д1Р=б,,, т. е. б,-3-
численно равно перемещению по i-му направлению от
Pj = l. Таким образом, формула (177) для перемещения
Дгр, как и формула (12) для усилия 5,-, является записью
принципа независимости действия сил—принципа супер-
позиции для перемещений в статически определимой сис-
теме. В отличие от выражения (12), формула (177) спра-
ведлива только для систем, выполненных из линейно-де-
формируемых материалов. Для таких систем общая фор-
ма закона Гука (177) подтверждается и эксперименталь-
221
но, что косвенно указывает на справедливость допущения
о недеформируемости расчетной схемы.
Для вектора Др, состоящего из перемещений Д]Р,
Дгр,.... Дгар, получим, согласно (177), матричную фор-
мулу
Чаще всего в расчетах возникает необходимость вычис-
лять перемещения по направлениям обобщенных сил Pj,
приложенных к сооружению. На рис. 178, а, например,
Рис. 178
упругая система условно показана в виде балки, а силы
показаны в виде сосредоточенных сил Pj. Эпюры от
вспомогательных единичных воздействий Р, и эпюры от
единичных нагрузок Pj в этом случае совпадают. Матри-
ца, входящая в выражение (179), будет квадратной
матрицей А порядка {пХп}- Она называется матрицей
податливости системы. Формулу (179) можно записать в
виде:
Др = ЛР.
(180)
Элементы б,, матрицы податливости А будут переме-
щениями по направлению t-х сил от Р;=1. В общем
случае пространственной системы для 6/, будем по ана-
логии с выражением (178) иметь формулу
( N. N .ds Р М	М „. ds I'M . М .ds
— I 1 1	I I кр i kPj . I Xi x]	.
’ J EF ’’j	GJ а	EJX
s	s	s
f* M . M . ds r k Q .Q fds г k Q .Q .ds
I Bl VI 1 I x '‘xi	|	li}
J Eiy J GF	GF
S	s	s
222
Из формулы (181) следует, что
6.. = 6..f	(182)
и л’	' '
т. е. матрица податливости стержневой системы
~6ц Sl2 .	Л,„ -
8п2 ^пп
является симметричной матрицей.
Выражение (181), так же как и (163), редко исполь-
зуется в полном виде со всеми слагаемыми. В расчетах
ферм удерживается только
первое слагаемое. В расче-
тах рам удерживаются сла-
гаемые с изгибающими мо-
ментами и крутящим момен-
том в случае пространствен-
ной системы. Слагаемые,
учитывающие сдвиги при из-
гибе (поперечные силы),
обычно опускаются и ис-
пользуются только в случае
коротких стержней или со-
ставных стержней, податли-
вых на сдвиг.
В механике понятие податливость тесно связано с по-
нятием жесткость. Например, для пружины (рис. 179, а)
жесткость с равна силе, вызывающей единичное удлине-
ние пружины. Ее податливость 6 = 1/с равна удлинению
Д от единичной силы (рис. 179,6). Эти коэффициенты
входят во взаимно обратные зависимости
Р = сД; Д = 6Р,	(184)
где 6= 1/с = с~1; с= 1/6=6“1.	(185)
Аналогично зависимостям (185), наряду с понятием
матрицы податливости системы А, входящей в формулу
(180), вводится матрица жесткости системы Р, обратная
матрице податливости:
Я = Л”1.	(186)
Из (180) и (186) следует, что с помощью этой матри-
цы вектор сил Р выражается через вектор перемещений
Р = R Д.	(187)
223
Возможность операции обращения матрицы А рас-
смотрена в § 50. Сейчас будем считать, что матрица /?,
обратная к Л, существует, т. е. Det Л=/=0. Выясним меха-
нический смысл элемента этой матрицы. Запишем равен-
ство (187) в развернутом виде:
Pi — гн Л14” rit Лг 4* • • • 4- гт Дп
Pt; = га Д14- г22 Д2 4-... 4- 'гл Дл;
Рц ~ rni Д14- Ог2 Д2 4- • • • 4- fnn Дп •
(188)
Допустим, что все перемещения, кроме первого, равны
нулю: Д2=Д3=...=Дп=0, а Д1 = 1. Тогда из (188) сле-
дует, что силы Pi будут равны элементам г(1 первого столб-
ца матрицы R. Таким образом, элементы первого столб-
ца матрицы жесткости численно равны силам, вызываю-
Рис. 180
щим особое деформированное состояние упругой системы,
когда Д1 = 1, а остальные перемещения равны нулю (рис.
180, а). Такое состояние системы можно осуществить,
если по направлению перемещений Д(, Д2,.... Д« наложить
связи и задать одной из них (первой) перемещение, рав-
ное единице (рис. 180, б). Реакции в наложенных связях
будут равны, соответственно, Гц, г21,..., гп\. Аналогично
элементы любого i-го столбца матрицы жесткости R рав-
ны реакциям в наложенных связях от перемещения Д,=
= 1. На рис. 180, в эти реакции показаны положительны-
ми, т. е. совпадающими по направлению с силами Pt.
Фактически они будут иметь различные знаки.
Из симметрии матрицы А и формулы для обратной
224
матрицы (34) следует, что матрица жесткости 7? симмет-
рична Г1Ь=ГМ.
Матрица R называется также матрицей реакций. Та-
ким образом, матрица жесткости для заданной линейно-
упругой системы является матрицей реакций для систе-
мы с наложенными связями. И обратно: из равенства
(186) следует, что
А = /С1.	(189)
Поскольку система по рис. 180, а может быть получена
из системы рис. 180, б или рис. 180, в путем отбрасыва-
ния связей, то равенство (189) можно пояснить так:
матрица, обратная к матрице реакций, является матри-
цей податливости для системы с отброшенными соответ-
ствующими связями. Вопрос существования R~l рассмат-
ривается в § 50.
С понятиями жесткости и податливости упругих сис-
тем тесно связаны понятия параллельного и последова-
тельного соединения ее элементов. При последователь-
ном соединении элементов податливость системы являет-
ся суммой податливостей ее элементов. Например,
податливость бп системы п стержней (рис. 181, а),
работающих на растяжение, складывается из податли-
востей 6‘j отдельных стержней (рис. 181,6):
'	811 = S|;1 + el?+...+ 6« = i+-^+...+ -k.
При параллельном соединении элементов складыва-
ются их жесткости. Например, жесткость симметричной
системы Гц получается при поступательном перемещении
платформы (рис. 181, в) как сумма жесткостей {EFi)lli
отдельных стержней:
ru— + -I F .
*1	*2	hi
Эти понятия суммирования жесткостей и податливо-
стей элементов, а также матриц жесткостей и податливо-
стей будут ниже обобщаться и широко использоваться в
методах расчета упругих статически неопределимых сис-
тем. Сейчас вернемся к задаче вычисления перемещений
методом Мора и рассмотрим матричную форму метода
Мора, удобную для использования в расчетах на ЭВМ.
15—569
22S
§43. Матричная форма вычисления перемещений
по методу Мора
Рассмотрим вначале задачу определения перемещений
в идеальных фермах. Допустим, что заданы удлинения
стержней фермы и требуется найти возникшие от этого
вертикальные перемещения узлов одного из поясов. На
рис. 182, а эти перемещения А,- показаны утрированно.
Фактически они считаются настолько малыми, что не из-
меняют основной геометрии фермы: не заметны на глаз.
Нас сейчас временно не интересует физическая сторона
вопроса: отчего произошли удлинения каждого стержня.
Это могут быть удлинения от нагрузки Р, вследствие
неточности изготовления стержней, изменения темпера-
туры, ползучести материала стержней (изменения длины
во времени) и т. п. Удлинения стержней Д/i, Д/2,.... Д/т
считаем заданными малыми числами. Поскольку каждое
Д/а практически не изменяет геометрии системы, будем
вычислять искомое перемещение Д, как сумму верти-
кальных перемещений i-го узла, найденных от каждого
удлинения в отдельности. Для этого вначале допустим,
что мы задали малое единичное удлинение Д/j — 1 первому
стержню и нашли искомое перемещение ан от этого удли-
нения (рис. 182,6). Затем задали Д/2 = 1 и нашли а,2
(рис. 182, в) и т. д. При произвольных малых ДЛ, Д/2,....
...» Д?т будем иметь для искомого перемещения формулу.
А/ = ап Mi + af2 М2 --Ь aim Мт.	(190)
Ранее, в § 10 и 17, рассматривая непосредственное
использование начала возможных перемещений для оп-
226
ределения усилий (кинематический метод), мы убедились
в том, что перемещения й,к имеют геометрический смысл,
показанный на рис. 182, б, в, и механический смысл. Они
равны Ski', в заданном случае Nkt — усилиям в k-м стерж-
не от i-й единичной силы (рис. 182, г). В матрице влия-
ния LK строки представляют собой перемещения от еди-
ничной деформации, столбцы — усилия от единичной
В данной задаче, согласно формуле (190), для вычисле-
ния Д< нужно знать i-й столбец матрицы (191).
Для решения инженерных задач, безусловно, проще
заменить геометрическое исследование определением
внутренних сил. Вместо того чтобы искать ал, а,2,.... aim,
будем вычислять, согласно рис. 182, г, значения Мц,
N2t,.... Nmi. При вычислении этих сил автоматически учи-
тываются условия закрепления системы, нужные для вы-
числения перемещений. Формула (190) перепишется те-
перь в виде:
Az = ^A/1 + WyA/2+...+iVmnA/m.	(192)
Как уже говорилось ранее, в этой замене геометрическо-
го исследования определением усилий от Pt = l и заклю-
чается основная идея метода Мора, На рис. 182 лишь для
простоты рассуждений неизвестными считаются верти-
кальные перемещения узлов фермы. Также в дискретной
форме разыскиваются и горизонтальные перемещения и,
как мы увидим дальше, любые обобщенные перемещения
системы при дискретных известных деформациях ее эле-
ментов.
В матричной форме для вектора искомых перемеще-
ний Д, состоящего из Дь Дг,..., Дп, получаем, согласно
формуле (192), выражение
15*
227
где Л/ — вектор удлинений, состоящий из элементов AZ|, Л/2,..., Д/т;
— матрица, транспонированная по отношению к матрице влия-
ния Ln. Ее строки состоят из усилий от соответствующих единич-
ных воздействий Pi = l.
По формуле (192) или (193) можно определить пере-
мещения фермы от неточностей изготовления стержней,
когда Д//< являются заданными величинами; от измене-
ния температуры в этом случае Д/й=а/й/°, где t°k — из-
менение температуры k-ro стержня, а — коэффициент ли-
нейного расширения.
При нагружении фермы нагрузкой Р известное уси-
лие в k-м. стержне Л\Р позволяет по диаграмме растяже-
ния (сжатия) в общем случае нелинейной зависимости
удлинений от напряжений определить Д/й (рис. 183, а) и
далее найти Д/.
При ползучести материала—изменении длины стерж-
ня во времени — значение Alk(t) также известно для
данного напряжения <Тй=Л\/Гй из эксперимента (рис.
183,6). Формулы (192), (193) позволяют в этом случае
исследовать изменение перемещений Д, во времени Д;=
=л,(0-
Наиболее часто встречающейся задачей является за-
дача определения перемещений фермы в упругой стадии,
когда материал следует закону Гука. В этом случае
имеем
Z, Д йр
Д/й = -^ = ^ДйР.	<194>
228
где Nkp — усилие в k-м стержне от нагрузки Р; Ък — коэффициент
податливости k-ro стержня;
Ьь=—— ,
EFh
(195)
где Ik — длина ft-го стержня; EFл — жесткость его поперечного се-
чения.
Определим, например, вертикальное перемещение уз-
ла упругой фермы (рис. 184, а) от горизонтальной силы
Р, приложенной в этом узле. Жесткости сечений всех
стержней примем постоянными EF=const. Вначале
определим усилия в стержнях фермы от силы Р. Эпюра
усилий NP показана на рис. 184, а. В данном случае
только два стержня работают на растяжение. Их удлине-
ния одинаковы и равны PdlEF. Усилия и удлинения ос-
тальных стержней равны нулю.
Далее по направлению искомого перемещения при-
кладываем к этой же ферме вспомогательную нагруз-
ку— силу Р=1 (рис. 184,6). От нее определяем усилия
в стержнях фермы — строим эпюру В данной задаче
нужны только усилия от Р— 1 в стержнях нижнего поя-
са. Умножая их, согласно формуле (192), на удлинения
этих стержней от нагрузки Р, получаем искомое переме-
щение
/—2d\ Pd . I—d\ Pd —3Pdz
1	\ h ) EF \ h J EF hEF
Знак минус показывает, что вертикальные перемещения
узла не совпадают по направлению со стрелкой силы
Р=1, т. е. узел k перемещается вверх. Тот же результат
получается, конечно, и перемножением эпюр NP и /Vj.
Получим теперь для деформаций в упругой стадии
матричную формулу, выражающую перемещения через
усилия от нагрузки Р. Согласно выражениям (194),
(195), имеем для упругой стадии
где NP — вектор усилий в стержнях от нагрузки Р; В — диаго-
нальная матрица податливостей стержней фермы, или, иначе, мат-
рица преобразования (194) нормальных сил в удлинения;
229
~ li
EF,
О
о о
О
ef2
о
о
1т
EFm_
(197)
Подставляя выражение (196) в формулу (193), полу-
чим матричную формулу вычисления перемещений Д₽
от нагрузки Р:
Д₽= LrNBNp.
(198)
Эта формула удобна для расчетов. В первый сомножи-
тель — матрицу Ltn — входят только усилия от вспомога-
тельных единичных воздействий Р, — 1. Вторая матрица
В характеризует податливости элементов фермы; вектор
Np — усилия от заданной нагрузки Р. Изменение какого-
либо одного фактора, например нагрузки, меняет только
элементы одной матрицы, например NP, не изменяя ос-
тальных, а также всей программы расчета.
Рис. 185
Выражения (192)
(193) могут использо-
ваться и для вычисле-
ния перемещений от
заданных просадок
опор или других задан-
ных перемещений свя-
зей.
Рассмотрим в качестве
примера задачу определения
угла взаимного поворота се-
чений 1 и 2 (угла раскры-
тия в шарнире) трехшар-
нирной рамы от малых пере-
мещений правой опоры на
Дх и Дк соответственно по
горизонтали и вертикали
(рис. 185, а). Перемещения
опор эквивалентны укорочениям опорных связей; Д/1=—Дх; Д/2=—Д>;
(рис. 185,6). Для определения угла <р рассматриваем вспомогатель-
ное состояние рамы (рис. 185, в), в котором в качестве обобщенной
силы, производящей работу иа обобщенном перемещении <р, прикла-
дываем два момента, направленных в разные стороны и численно
равных единице (рис. 185, а). Они производят работу на взаимном
угле поворота, численно равную <р. Определяем от этого воздействия
230
усилия в опорных стержнях: Nn=—l/h; Лц=0. Далее по формуле
(192) получаем
<р = ЛГ„ Д/, + N21 Д/2 =-	(- Дж) + 0 =	.
п	п
Перемещение в данной задаче не влияет на значение так как
от этого перемещения рама поворачивается вокруг левой опоры как
жесткий диск при ср=О (рис. 185, д).
Аналогично выражению (198) можно представить в
матричной форме формулы для вычисления перемещений
при изгибе (173) (174) и обобщающие их формулы.
Представим вначале в матричной форме выражение
(173). Для этого запишем, как и в формулах (192),
(193), (198), ординаты единичной эпюры Mt в строку;
коэффициенты, характеризующие податливости й-го эле-
мента, соберем в диагональную матрицу, а координаты
грузовой эпюры — в столбец. С учетом обозначений рис.
174 получаем
~ Ik
6EJ^
rM.Mpds	4lf.
J EJ =	eFjC
lk
_________
Bh
Обозначим строку из ординат i-й единичной эпюры на
fe-м участке через ZJ;i. (строка — транспонированный
столбец); диагональную матрицу податливости k-ro уча-
стка— через Вь; столбец из ординат эпюры МР на fe-м
участке — через МьР, тогда результат вычисления интег-
рала Мора на fe-м участке можно представить в виде
L*. BhMhP. Суммируя результаты по всем стержням, по-
а
с
(199)
b
м.
лучим
Р М. Мр ds Ж	>
= J 1 еГ~ = BkMkP' (1"Z)
S	k
Можно записать этот результат, не используя знака сум-
мы. Для вычисления интеграла на одном участке в фор-
мулу (199) записаны матрицы третьего порядка. Для
получения интеграла на участках нужно вместо строки
из трех ординат записать в формуле (199) строку из всех
3 m ординат единичной эпюры. Аналогично и в столбец
грузовой эпюры МР ввести 3 m ее ординат и в матрицу
231
податливостей 3 т чисел, содержащих коэффициенты
податливостей всех участков, как, например, матрица
(197) содержит податливости всех т стержней фермы.
Тогда для перемещения Д,Р получим в блочной форме
следующее выражение:
&iP— [bj,- --Lni ]
Mlp
м2р
MmP
~Mp
(200)
В
Простым перемножением матриц этой формулы можно
убедиться в совпадении выражений (199') и (200).
Выражение (200) можно кратко записать в виде:
At.p = LT ВЛ1р .	(201)
Для вектора перемещений ДР, состоящего из Д]р, Дгр,...,
.... Дпр, в формуле (201) вместо одной строки ЛТ нужно
записать п строк, т. е. матрицу £т:
Др = LT ВМР.	(202)
Матрица LT является транспонированной матрицей
влияния, составленной для вспомогательных воздействий.
Матрица В — квазидиагональная матрица податливо-
стей системы. Ее k-й произвольный элемент Вь записы-
вается для случаев переменной и постоянной жесткостей
участков в следующем виде:
для переменной жесткости
Sk
для постоянной жесткости
Ik
Bh =—-
6EJ0
Bk
lh
Sk„
0 01
4 0
0 1
(203)
где EJ0 — жесткость, выбранная за основу;
gk=EJolEJk — относи-
тельная податливость.
В случае, когда обе эпюры Мр и М,- линейны на k-м
участке, их средние ординаты выражаются через крайние
(рис. 186). Столбец и строка третьего порядка, входящие
в формулу (199), выражаются через столбец и строку
второго порядка:
'а
с
_Ь
г 1 О'
0,5 0,5
0	1
[ф
(204)
lai Ct bt] = [а; bt]
fl 0,5 0]
|0 0,5 11*
1
о
о
232
Подставляя выражения (204) в формулу (199) с уче-
том обозначений (203) и перемножая внутри формулы
три матрицы, получим
где по-прежнему gh—EJ0IEJk. В
жесткости участка EJk=const:
случае постоянной
(207)
Bh =
Ik Г2
6EJk U
Выражение (205) имеет такую же структуру, как и
формула (200), поэтому выражения (199') — (202) в это*м
случае сохраняются. Сокращается лишь порядок матриц
Lki , Вк, Mhp, они будут на этом участке второго порядка,
причем Вк определяется по формуле (206) либо (207).
Таким образом, вектор перемещений Д₽ вычисляется
во всех рассмотренных случаях по формуле (202), где
матрицей податливостей является квазидиагональная
матрица В:
(208)
Квазиэлементы Вк этой матрицы будут, вообще говоря,
иметь различный порядок и вычисляться по различным
формулам в зависимости от вида эпюр на соответствую-
щем участке. Если одна из эпюр криволинейна, то Вк со-
233
сбавляется по формулам (203). Если эпюры линейны, то
для Вь используются формулы (206), (207). В этом слу-
чае в вектор МР и в строки матрицы LT вводятся из эпюр
этого участка по две крайних ординаты.
В качестве примера определения перемещений по
формуле (202) рассмотрим задачу вычисления переме-
щений крайнего сечения k в системе, приведенной на
рис. 187,а. Искомый вектор ДР будет состоять из трех
элементов:	Лгр—Хь; Лзр=срь- Эпюра МР дана
на рис. 187,6. Для определения перемещений по методу
Мора прикладываем, как и в обычной, нематричной, фор-
ме расчета три единичных воздействия и строим три еди-
ничные эпюры моментов (рис. 187, в).
Из ординат грузовой эпюры МР составляем вектор
/И₽. Из ординат единичных эпюр образуется матрица LT:
1
8
—4
о
Г—5—3,5—2:—2 01
—4 —2 о; 0 0
— 1 —1 —1	1 —1
(209)
Порядок записи ординат принят здесь от заделки. Поло-
жительными считаются ординаты, соответствующие рас-
тяжению внутренних волокон. Из наклонного участка ра-
мы вводим в вектор Мр и в строки матрицы LT по три ор-
динаты, из горизонтального—по две, так как здесь эпюры
линейны. Соответственно матрица Bt будет третьего по-
рядка [см. второе выражение в формуле (203)]. Матрица
В2 составляется по выражению (207):
5	Г1 1	2 го п
В1= ------ 4 ; В2~-------- f * ,	(210)
1 6-2-EJ	1 6EJ U 2J	'
234
Подставляя эти матрицы в выражение для матрицы В
(208) и вынося множитель 1/(12£/) за знак матрицы,
получим
Подставляя матрицы (209), (211) в формулу (202)
и перемножая их, получим
6EJ
Г1321
120
21
Рекомендуем читателю получить эти перемещения пе-
ремножением эпюр (см. рис. 187, б, в).
Только из одного этого примера видно, что матричная
форма интеграла Мора создана не для ручного счета.
Непосредственное исполь-
зование формулы Симпсо-
на и правила Верещагина
приводит «на бумаге» к
более компактным запи-
сям. Однако использова-
ние в расчетах даже прос-
тейших настольных вы-
числительных машин, а
тем более ЭВМ с прог-
раммным управлением по-
зволяет совместно с при-
менением матричного аппарата автоматизировать про-
цесс вычисления Др.
При расчетах на ЭВМ сложных систем перемещения
А,р обычно вычисляются по компактной формуле (199')
без формирования в памяти машин всей матрицы подат-
ливостей В, так как она имеет много нулей.
В расчетах многих систем грузовые и единичные
эпюры бывают непрерывны (рис. 188). В этом случае
нет смысла дважды выписывать каждую их ординату в
векторе МР и матрице £т. Можно, например, каждую
k-ю ординату грузовой эпюры вводить в вектор МР один
раз, но в матрице В сдвинуть элементы так, чтобы эта
235
ордината умножалась как на элементы матрицы Bk, так
и на элементы матрицы Bk+i, т. е. Bk и Bh+i должны час-
тично входить в общий столбец:
Аналогично при непрерывных единичных эпюрах
матрицы Bh должны сдвигаться вверх. Таким образом,
для матрицы В получаем схему
(2’2)
где знак плюс показывает, что соответствующие элемен-
ты складываются.
Формулу (202) можно использовать и для вычисле-
ния матрицы влияния перемещений А — матрицы подат-
ливости системы (см. § 42):
А =		би 62i	. . Оз О» Ю ьэ,	 6lfi
		6ni	б'п2 ' ‘	• бпп
				-
(213)
Первый столбец этой матрицы представляет собой пере-
мещения по направлению нагрузок Р,- от Pi = l. Он мо-
жет быть получен по формуле (202), если в нее вместо
вектора МР подставить вектор первой единичной эпюры
7141. Аналогично могут быть вычислены другие столбцы
матрицы (213). Но векторы М\, М2 и т. д. — это столбцы
матрицы L. Отсюда для матрицы податливости системы
236
А получаем формулу
A = LT BL,	(214)
которая часто используется в расчетах сооружений.
Рассмотрим пример составления матрицы податливо-
сти третьего порядка для балки (рис. 189,а). Для каж-
дого из участков балки блок В/, записывается по выра-
жению (207):
d Г2 П
B,= Ss = Ss = S4=— [j 2].
Поскольку единичные эпюры здесь кусочно-линейны и
непрерывны (см. рис. 62), матрицу В составляем по схе-
ме (212) из четырех одина-
ковых матриц Bi, В2, Вз, Вь.
а)
Ч 1^ £7= const
2 1
1
В = —
6EJ
Ч 7______
4/__________
d
Рис. 189
I2E3
Sd3 'lid3
CfJ 12E3
Матрица L имеет нулевые
крайние столбцы и строки
(шарнирные опоры). Запи-
шем ее, согласно (23), без нулей:
d Г3 2
2 4
1 2
L = L'
11
2
3
матрицу
Соответственно и в формулу (214) подставим
В без крайних строк и столбцов, которые в вычислениях
по формуле (214) умножаются на нули:
0] d Г3
1
4
Л = L1 BL= —
4
ГЗ 2
2 4
.1 3
аз
Г
2
3J QEJ
 9 11
И 16
7 11
V2.EJ
Г4 1
1
0 1
7
11
9
столбца,
этой
189, б).
матрицы
Элементы, например первого
являются перемещениями от Pi = l (рис.
Процесс получения матрицы А по формуле (214)
можно истолковать как вычисление податливости систе-
мы по заданным направлениям через податливости ее
1
Ч 1
7 Ч
1
1 2
4
d
4

4
2
1
2
4
2
Г
2
3
237
элементов, входящие в матрицу В. В ряде случаев, на-
пример в расчетах пологих арок, влияние сжатия (растя-
жения) стержней на величину перемещения может быть
того же порядка, что и влияние изгиба. Перемещения ДР
можно, согласно формуле Мора, представить в виде сум-
мы перемещений вследствие изгиба и растяжения (сжа-
тия): Др=Др + Др . В матричном виде это запишется
так:
=	р + LTM Вм Мр,
где индексы N и М показывают, какие внутренние силы
или податливости включаются в эти матрицы. Эту фор-
мулу можно переписать в общем виде:
L  ..	-	'
В S-
или
Др = В S.	(215)
В данном примере матрицы L, В и вектор S включают
соответственно LTN и BN и Вм, Np и Мр.
В общем случае, когда, согласно формуле (160), в
интеграле Мора учитываются деформации элементов по
направлению всех внутренних сил, матрицы LT, В и S
будут состоять из шести блоков каждая по числу внут-
ренних сил (податливостей элементов). Аналогично для
матрицы А формула (214) сохраняет в этом случае свой
вид с более широкой трактовкой входящих в нее матриц.
§44. Статико-геометрический анализ стержневых
систем
В формулах
Др = i-yv Nр; Др = Вм Мр	(216)
перемещения ДР выражаются через деформации удлине-
ния элементов AI—BnNp или обобщенные деформации
изгиба элементов ВмМР, которым пока не давалось спе-
138
циального обозначения. В отличие от интегрального
представления перемещений через деформации бесконеч-
но малых элементов {159), (160) в выражения (216) вхо-
дят деформации конечных элементов — стержней или
участков стержней.
Оператором, преобразующим деформации в переме-
щения, являются матрицы LT, транспонированные к
матрицам влияния L. Это согласуется с выводами о со-
пряженности преобразований Р в Р* и Д* в Д, сделанными
в § 13. В данном случае роль вектора Р* играет вектор
внутренних сил S, а вектора Д* — вектор деформаций
элементов, который обозначим через е. Равенства
S=L Р; Л = LT 1	(217)
показывают, что сопряженный оператор LT является как
бы обратным оператору L, но действует не в пространст-
ве сил, а в пространстве перемещений.
Однако в рассматриваемых здесь задачах нет полно-
го тождества с задачами, рассмотренными в § 13. Матри-
цы L и LT в задачах вычисления внутренних сил или пе-
ремещений чаще всего являются прямоугольными матри-
цами. Число независимых внешних сил (или перемещений)
даже в расчетах статически определимых систем практи-
чески меньше числа вычисляемых внутренних сил, дефор-
маций элементов. Тем более это соотношение всегда
сохраняется в статически неопределимых системах.
Однако зависимости сопряженности (взаимной транспо-
нированное™) между матрицами, связывающими векто-
ры сил и перемещений в новом и старом базисах, сохра-
няются, так же как и зависимости между базисами. При
выводе, например, соотношений (75), по существу, не ис-
пользовалось условие, что матрица U является квадрат-
ной и невырожденной. Эти соотношения сохраняются и
в случае прямоугольной матрицы. При записи соотноше-
ний (78) из (75) предполагалось для простоты рассуж-
дений, что V=(t/T)-1, но соотношения (78) могут быть
получены независимо от (75) и для случая прямоуголь-
ной матрицы V. Покажем это на примере связи равенств
?* = VP;A=VTA*	(218)
при изменении базиса обобщенных сил и перемещений.
Допустим, что старый вектор сил Р* выражается че-
239
рез новый Р с помощью прямоугольной матрицы V: Р*~
= VP. Определим, какой должна быть матрица X, выра-
жающая произвольный новый вектор перемещений Д че-
рез старый Д*: Д=ХД*. По определению понятий
обобщенная сила и обобщенное перемещение работа А
не должна измениться от замены одних обобщенных сил
и перемещений другими, описывающими то же состояние
системы. Возможная работа А равна скалярному произ-
ведению (Р; Д) или (Р*; Д*) и может быть представлена
в матричной форме в виде
Д = РТД=РГЛД*	(219)
ИЛИ, поскольку (P*)T = 7>TVT, в виде
А = (Р*)т Д* = VT Д*.	(220)
Сравнивая буквенные выражения (219), (220), которые
должны быть справедливы для любых числовых векто-
ров сил и перемещений, приходим к выводу, что X — V'1',
т. е. выполнение одного из двух равенств (218) приводит
к справедливости и другого равенства.
Аналогично, как уже говорилось выше, вытекают одно
из другого равенства
Д*=17Д; P — U~ Р*,	(221)
где U может быть прямоугольной матрицей.
В дальнейшем в расчетах статически неопределимых
систем нас будет интересовать не только задача вычис-
ления перемещений, но и обратная задача определения
деформаций дискретных элементов е через перемещения
узлов Д.
Обозначая деформации е=Д*, соответствующие вну-
тренние силы S — P*, и матрицу, связывающую S и Р
(матрицу равновесия), через А, запишем общие выраже-
ния (221) в виде
1 = Дт Д; Р = A S.	(222)
Согласно зависимостям (75), базисные состояния е*,
через которые задается равновесие элементов, связыва-
ются с базисными нагрузками е, выражением
{1*} = Ат {7}	(223)
240
Рис. 190
а базисные перемещения 1/ — с базисными деформация-
ми 1* равенством
{М=Лр*}.	(224)
Рассмотрим случай, когда на пространственную сис-
тему с жесткими узлами действуют только узловые на-
грузки (рис. 190, а). На каждый /-й узел действует в об-
щем случае шесть обобщенных сил; Pj=[PxjPyjPziMXj
16—569
241
(рис. 190,6), которые входят в вектор Р, ха-
рактеризующий нагрузку на систему. Этим силам соот-
ветствуют в каждом узле шесть перемещений: Aj = [AXj
т> входящих в вектор узловых перемеще-
ний А.
Соответствующими базисными силами (перемещения-
ми) являются единичные силы и моменты PXj=l',
MZj— 1 и аналогичные перемещения, повороты узла.
Силы, действующие на i-й элемент системы — стер-
жень (рис. 190, в), наиболее естественно характеризовать
также вектором шестого порядка S= [A/iAlKpiAl^
Л1£]т, состоящим из продольной силы, крутящего момен-
та и изгибающих моментов в начале и конце стержня. Он
входит как i-й блок в вектор S. Поперечные силы не явля-
ются независимой характеристикой равновесного состоя-
ния стержня, так как они выражаются через изгибающие
моменты. Например, Qn==(A4^-|-Aly )/Д. Соответствую-
щие базисные равновесные состояния показаны на
рис. 190, г. Они соответствуют единичным значениям ха-
рактерных сил, действующих на элемент при остальных
силах, равных нулю. Не показаны два состояния изгиба
в другой главной плоскости при Л1“ = 1 и 7И* = 1.
Поскольку эти базисные воздействия являются урав-
новешенными системами сил, то они не производят рабо-
ты на поступательном перемещении стержня и его ново1
роте как жесткого целого. Сила Nt производит работу на
удлинении стержня А/,, крутящий момент Л/Кр — на угле
закручивания -ф,, обобщенные силы М^.г-,	— на углах
поворота у”, у* (рис. 190, д), связанных с искривлением
стержня. Аналогичные обобщенные перемещения р^!,
соответствуют моментам Л1“р нЛК . Таким образом, де-
формации i-ro стержня характеризуются вектором е/=
= [А//ф(у“т/ Р“ Р/ ]т, входящим как блок в общий вектор
деформации системы е.
Для составления матрицы равновесия А, входящей в
равенство P=AS, можно рассмотреть равновесие всех уз-
лов, выражая каждый раз поперечные силы через изги-
бающие моменты (рис. 191,а). Но имеет смысл решать
задачу поэлементно и начать с составления матрицы Ат,
242
связывающей, согласно (223), базисы внутренних и внеш-
них сил. Эта связь легко устанавливается из уравнений
равновесия в базисном состоянии (рис. 190,г).
Рассматривая, например, третье базисное состояние
I- го стержня (рис. 191,6), связывающего 1-й и 2-й узлы,
можно записать выражение состояния е^ через базис-
ные состояния 1-го и 2-го узла:
— cos a; sin at . ,	. cos a. sin а,
ез, —	. ец Т" . C2i+l-esi+ e12	e22.(225)
Ог	Lt	Li	Li
Здесь второй индекс означает номер стержня, или узла,
первый индекс—номер состояния стержня, или узла,
при внутренней нумерации базисов. Аналогично можно
определить все строки матрицы Ат. Тем самым, согласно
(222), мы решаем и задачу выражения деформаций эле-
мента через перемещения узлов.
Действительно, из рис. 191, в следует, что угол у", со-
ответствующий /И? (рис. 191,6), записывается через угол
поворота <pi узла 1 и перемещения узлов Дж(, ДиЬ Дж?, Ду2
16*
243
следующим образом:
Дяа — Д*1
,,н _ {|)4- —---cos а,
Т/ — 4V Lt 1
—— Sin а.
ч
^^-д.4-
Lt
sin ct> .	, , со5<хг sin а;
4* ,	Дм4"1'Ф1+ , Дх2 , куя-
Li	Ч	Ч
(226)
коэффи-
а)
Сравнивая (226) с (225)
циентов этих зависимостей.
Рис. 192

, видим совпадение
Но даже из этого простого
примера следует, что ре-
шать простую статиче-
скую задачу разложения
базисных внутренних сил
по внешним силам проще,
чем решать геометриче-
скую задачу вычисления
деформаций по перемеще-
ниям. Здесь ситуация та-
кая же, как в методе Мо-
ра. Более подробно об ис-
пользовании этой стати-
ко-геометрической анало-
гии в методах строитель-
ной механики будет ска-
зано далее (см., например, § 45, 87).
Вернемся к методу Мора. Смысл операции ВмМР при
построении матрицы податливостей элементов из блоков
(207) теперь более ясен, поскольку при изгибе деформа-
циями конечного элемента являются углы у® и (см.
рис. 190,6). Эти углы и определяются, например при ре-
шении задачи об изгибе балки (рис. 192,а), путем умно-
жения: Е=ВмМР. Далее операция A=Lte дает искомые
перемещения.
Если матрица В составляется при непрерывных эпю-
рах по схеме (212), то операция ВМР дает взаимные уг-
лы поворота смежных участков со/ (рис. 192,6). Интерес-
но, что для шарнирно-опертой балки матрица LM симмет-
рична [см. (23)]. Поэтому Lm —Lm, и операция вычис-
ления прогибов А=£м ю=£м<о аналогична вычислению
моментов МР от нагрузки Р: M=LMP (см. также § 12,
13). Поэтому вектор со называют вектором упругих гру-
зов. При других условиях закрепления матрица LM не-
244
симметрична, и операция трактуется как затрудне-
ние некоторой фиктивной балки. Подробнее остановимся
на этом в § 45.
§45, Построение эпюр перемещений с использованием
упругих грузов
В ряде задач строительной механики возникает необ-
ходимость в построении эпюр перемещений, например
эпюр прогибов балок, вер-
тикальных перемещений
поясов ферм и т. п. Эта
задача сводится к вычис-
лению вектора Ар (215),
состоящего из достаточно
большого числа элемен-
тов. Число арифметиче-
ских операций может быть
здесь велико. При постро-
ении, например, эпюр пе-
ремещений поясов ферм
«вручную» мржно количе-
ство вычислений сокра-
тить и сделать процесс ре-
шения задачи более на-
глядным, если использо-
вать понятия упругих гру-
зов — углов взаимного
поворота смежных пане-
лей. Об этих углах пово-
рота и их связи с переме-
щениями мы уже говори-
ли в § 13 и 44.
Рассмотрим для прос-
тоты рассуждений пример	Рис- 193
консольной фермы (рис.
193, а). Обозначим пере-
мещения узлов верхнего пояса через Дь а углы взаимно-
го поворота смежных панелей — через <о,. Они показаны
укрупненно на рис. 193, б. Учитывая малость перемеще-
ний и углов, из геометрических соображений получаем
перемещение в виде суммы:
лй = % ао + “г at + • • •+ “А-1 ak-i-	С227)
245
где <0о — угол поворота первой панели; ни — угол взаимного пово-
рота первой и второй панели и т. д.; а, — плечо от i-ro узла до уз-
ла, в котором вычисляются перемещения.
Из выражения (227) следует статико-геометрическая
аналогия между вычислением перемещений Дй через углы
со» и вычислением изгибающих моментов Mk в некоторой
фиктивной балке, свободной на левом конце. Если пред-
ставить углы и/ как сосредоточенные силы ai—P(i (рис.
193,в), то формула (227) дает изгибающий момент в й-м
246
сечении фиктивной балки:
Mk = Ро ао +	+• • ’ =	(228)
где Р*=со<—некоторая фиктивная сила, которая называется уп-
ругим грузом.
Для вычисления упругого груза со, необходимо к фер-
ме приложить в качестве вспомогательного воздействия
систему уравновешенных сил (рис. 193,а): две пары сил
с моментами, равными единице. Они производят на пере-
мещении фермы работу, численно равную сщ. Эпюра N*
от этого воздействия будет местной (локальной). Ее лег-
ко перемножить с эпюрой Np от нагрузки Р. Произведя
эти сравнительно небольшие вычисления для всех по-
лучим любое перемещение узла по формуле (227) как ,
соответствующий фиктивный момент.
Если ферма свободно опирается по концам (ферма
балочного типа), то <в0 определяется не сразу, а из усло-
вия равенства нулю перемещения на правом конце, т. е.
так же, как фиктивная опорная реакция в балке на двух
опорах.
Рассмотрим, например, задачу определения вертикальных пере-
мещений узлов верхнего пояса фермы (рис. 194, а) от равномерно
распределенной нагрузки. Эпюра NP от узловых сил qd показана на
на рис. 194, б. Вспомогательные эпюры для определения <Вь о>а и соз
даны на рис. 194, в. Вычисляем по формуле (170) упругие грузы;
перемножая эпюры и NP, получаем:
731	1308	1868
В силу симметрии фермы имеем а>4=<о2, «5=«|. Прикладывая упру-
гие грузы к фиктивной балке (рис. 194, а), определяем фиктивные
реакции и строим эпюру моментов Л!*, которая и дает искомые пе-
ремещения (см. рис. 194, г).
Такой процесс получения перемещений можно интерпретировать
и как использование вспомогательного базиса из уравновешенных
воздействий (см. § 12, 13). Мы вернемся к этой аналогии в § 51.
Раздел третий
ОСНОВНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
УПРУГИХ СИСТЕМ
Глава IX. ОСНОВНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ.
СВОЙСТВА МАТРИЦ ПОДАТЛИВОСТИ И ЖЕСТКОСТИ
§46. Некоторые основные понятия и теоремы
При определении перемещений упругих систем мы
широко использовали принцип возможных перемещений
и связанное с ним понятие возможной работы, не затра-
гивая многих важных свойств этих систем. Для дальней-
шего изучения деформируемых систем необходимо вспом-
нить ряд энергетических понятий и определений курса
сопротивления материалов, а также дополнить их новы-
ми понятиями и теоремами.
Для простоты изложения будем вначале иллюстриро-
вать эти понятия и теоремы на примере растянутого
(сжатого) стержня (рис. 195), выполненного из нели-
нейно-упругого материала. Диаграмма о—е этого мате-
риала (рис. 196) позволяет получить диаграмму зависи-
мости N—А/, поскольку N=qF, Ы=е1. Таким образом,
стержень представляет собой как бы упругую пружину с
заданной нелинейной характеристикой, данной на рис 197,
где через обозначено перемещение правого сече-
ния стержня.
Работа А статически (бесконечно медленно) прило-
женной силы Р на перемещении w, вызванном этой си-
лой, равна площади диаграммы на рис. 197, заключенной
между кривой P(z) и осью абсцисс:
w
Р (г) dz.
(229)
Работа силы Р равна по значению и обратна по зна-
ку соответствующей работе внутренних сил и на основа-
нии закона сохранения энергии совпадает со значением
потенциальной энергии U деформированного стержня
(потенциальной энергией деформации):
(/= \\\u9dxdydz,	(230)
'v'
248
где Uo — плотность энергии. При линейном напряженном
8
состоянии: Uo= o(g)dg (см. рис. 196); интеграл (230)
берется по всему объему стержня.
Рис. 196
Рис. 197
Рис. 198
По определению, потенциальная энергия деформации
тела равна работе, которую оно может совершить при
разгрузке. Таким образом, для упругого стержня
U = A = \P(z)dz.	(231)
о
Согласно известной из анализа теореме Ньютона —
Лейбница, производная от переменной площади U=A
по верхнему пределу должна равняться соответствующе-
му значению подынтегральной функции, т. е.
dU/dw = Р.	(232)
Действительно, если Р и w получают приращение со-
ответственно dP и dw (рис. 198), то приращение энергии
деформации dU будет отличаться от Pdw на величину
249
O(dzo) высшего порядка малости: dU—Pdw-^-0(dw), от-
куда в пределе следует (232).
Выражение (232) представляет собой в рассматрива-
емом случае запись теоремы Лагранжа: в положении
равновесия производная от потенциальной энергии де-
формации по перемещению равна соответствующей силе.
Эту теорему называют также первой теоремой Касти-
лиано по имени итальянского инженера, сформулировав-
шего ее впервые. В отечественной литературе принято с
именем Кастилиано связывать другую (вторую) его тео-
рему и соответствующий принцип механики деформиро-
ванных систем.
Наряду с понятием энергии деформации U можно
ввести понятие дополнительной работы и соответствую-
щей энергии U* равной площади, которая дополняет пло-
щадь диаграммы Р—w до прямоугольника (рис. 199). Ес-
Рис. 199
Рис. 200
ли считать независимым переменным величину нагрузка и
р и U* = U*(P), то в силу теоремы Ньютона — Лейбница
получим
dU*/dP~w.	(233)
Это выражение представляет собой в данном примере за-
пись теоремы Кротти — Энгессера.
В частном случае линейно-упругого стержня, для ко-
торого справедлив закон Гука w—\l=PllEF, энергия
деформации совпадает с дополнительной энергией U*
(рис. 200).
1	РЧ	EFw>-
U = и* = — Ри> =--------=-------
2	2EF 21
(234)
В этом случае равенство (233) можно записать так:
dUfdP = w.	(235)
250
Выражение (235) представляет собой запись второй
теоремы Кастилиано, или просто теоремы Кастилиано.
Она справедлива для линейно-упругих систем и читает-
ся так: в положении равновесия производная от потенци-
альной энергии деформации по силе равна соответствую-
щему перемещению.
В дальнейшем покажем справедливость теорем Лаг-
ранжа и Кастилиано для более общего случая упругой
системы, а сейчас перейдем к подробному изучению
свойств линейно-упругой системы.
§47. Энергия деформации линейно-упругой системы
Рассмотрим свойства линейно-упругих стержневых
систем, перемещения которых малы и материал следует
закону Гука.
Потенциальная энергия деформации U каждого стер-
жня такой системы складывается из энергии растяжения
(сжатия), изгиба, кручения и сдвигов при изгибе. Энер-
гия деформации системы получается суммированием
энергии деформации всех стержней и может быть записа-
на так:
Первый интеграл дает энергию деформации растяжения
(сжатия) стержней, второй и третий — энергию изгиба
относительно главных осей инерции х и у, четвертый ин-
теграл дает энергию деформации кручения стержней,
последние два — энергию сдвигов при изгибе. Коэффици-
енты kx, ky, входящие в эти интегралы, зависят от формы
поперечного сечения (от закона распределения касатель-
ных напряжений при изгибе). Коэффициент kx, например,
определяется по формуле
Р / £ОТС \2
kx = г 77- ) dF •	(237)
J X Uy /
Интегралы, входящие в выражение (236), берутся по
длине всех стержней системы.
251
В случае плоской стержневой системы при деформа-
ции в ее плоскости выражение (236) упрощается:
CN2ds	CM2 ds Г kQ2 ds
J 2EF +J 2EF +J 2GF '
s	s	s
(238)
Энергия деформации ферм определяется в основном пер-
вым слагаемым формул (236), (238); остальными слагае-
мыми в этом случае, как и при вычислении интегралов
Мора, часто принебрегают. При изучении изгиба балок и
рам учитывается обычно лишь второе слагаемое выраже-
ния (238), сдвигами и продольными деформациями часто
пренебрегают.
Внутренние силы N, Мх, Му,... можно, пользуясь прин-
ципом суперпозиции, записать через нагрузки—обобщен-
ные внешние силы Рь Р2, .... Рп, действующие на соору-
жение. Каждое внутреннее усилие S может быть записа-
но в виде:
S = SiP1 + SgP2+-.-+S„P„,	(239)
где каждое S, является функцией переменной $, эпюрой
S от Pt—1. Подставляя формулы вида (239) в выраже-
ние (236), можно преобразовать формулу энергии дефор-
мации U и равной ей работы внешних сил А к виду:
6/ = Л = -1-(б11Р? + 612Р1Р2+...+ 61„Р1Р„ +
+ 621 Р2 Р1 +	622 ^2 Н-Ь 62п Р2 Рп +
+ 6„1 Рп ^1+ С„2 Рп р2+ •  •+	•	(240)
Покажем это преобразование формулы (236) на при-
мере, когда энергия деформации определяется одним сла-
гаемым — энергией изгиба, а нагрузкой являются две
обобщенные силы Ру и Р2. Подставив выражение М —
МуРу-\-М2Р2 во второй интеграл формулы (238), полу-
чим
,, I C(M1P1 + M2P2)Ms 1 Г 2	,
и= 2 J EJ “TL 1J EJ +
s	s
+2Р1р,]^+рИ^]=4-(6„р-+
s
+ б12 Py P2 J- C2i P2 Py + 622 P2),
252
где
f Л'1'fds С M%ds	С MtMids
6il = J £J:622~J EJ '	EJ
s	s	s
P общем случае учета всех деформаций стержней для
каждого коэффициента в выражении (240) получает-
ся формула, содержащая шесть слагаемых, в соответст-
вии с выражением (236):
с С Nk ds , f Mxi Mxk ds
L	L
(241)
Как видно, коэффициенты б,л, входящие в выражение
(240), являются элементами матрицы податливости сис-
темы по направлению внешних сил (183).
Выражения (240) называются в математике квадра-
тичными формами (квадратичными функциями) пара-
метров Pi, Pi, Рп.
Таким образом, энергия деформации системы U и
равная ей работа внешних сил А являются квадратичны-
ми формами нагрузки, а коэф-
фициентами этой формы явля-
ются элементы матрицы подат-
ливости системы. К этому же
выводу можно было прийти, не-
посредственно записывая рабо-
ту внешних сил на перемещени-
ях линейно-упругой системы,
вызванных этими силами. На-
Рис. 201
пример, рассмотрим систему, нагруженную силами Р\,Р%,
Рп- Условно представим систему в виде балки
(рис. 201). В гл. VIII было показано, что для перемещений
системы справедлив принцип суперпозиции, и каждое ма-
лое перемещение можно представить в виде: Д,=бпР14-,
+612^2+-..+6!n/’n. В матричной форме
А = АР,
(242)
где А — матрица податливости.
Поскольку перемещения Д не зависят от порядка при-
ложения сил, можно представить, что все силы возра-
стали одновременно от нуля до конечной величины. Тог-
да работа А, равная энергии деформации, будет опреде-
ляться равенством
253
A = U = (Pt Д1 + P2 A2+- • •+ Pn Aa) =
АГ
‘2
A„.
— 2 1^1 ^2"  ’ Pn] [ A;
(243)
Подставляя в (243) выражение (242), получим
А = U = (Р)т АР,	(244)
где Рт — транспонированный вектор Р.
Если в формуле (244) произвести операции умноже-
ния матриц, получим выражение (240), т. е. формула
(244) представляет матричную запись квадратичной фор-
мы (240).
Выражение (243) можно записать в виде:
1 -*T7t
U =-----Ат Р.
2
(245)
Записывая вектор Р через Л с помощью матрицы
жесткости R —А-1:
Р = R Л	(246)
и подставляя его в (245), получим для энергии деформа-
ции выражение
и = -у- Лг R\,	(247)
которое аналогично выражению (240) в развернутом ви-
де является квадратичной формой перемещений:
= V Д> + Г12 Д1 Д2+‘ •	Дп +
+ Г21 Д2 Д1 + г22 Д2 4------------Ь г2п Д2 Дп +
rnl Дп Д1 + гп2 Дп Д2 4-- 4" гпп Дп*	(248)
Таким образом, энергия деформации может быть за-
писана и как квадратичная форма перемещений Д. При
этом характеристикой системы в выражении (247) явля-
ется ее матрица жесткости R. В § 42 было показано, что
/?, как и матрица А, является симметричной матрицей
Из выражения (248) следует, что
dU!d\t = гц Ах + riss А2 + • • •+ rifcAn.	(249)
254
Дна теглчно из (240) получим
= Sa Рх + б<2 Р2 + • • • + 6/п Рп.	(250)
oPi
Учитывая равенства (246), (242), запишем (249) и
(250) так:
dUidkt = Pi',	(251)
dUJdPi^^.	(252)
Выражения (251) и (252) являются, соответственно,
записями теорем Лагранжа и Кастилиано для упругой
системы, деформации которой определяются п парамет-
рами: обобщенными силами Pi или обобщенными пере-
мещениями Д,-. Формулировка этик теорем дана в § 46.
Теорема Кастилиано (252) используется наряду с ме-
тодом Мора для непосредственного вычисления переме-
щений. Однако метод Мора приводит в линейно-упругих
системах к более простому алгоритму вычисления пере-
мещений, и мы не будем здесь останавливаться на ис-
пользовании теоремы Кастилиано.
§48. Теоремы о взаимности
Представим теперь, что линейно-упругая система
(рис. 202) последовательно нагружается вначале силой
Pi (рис. 202, а), а затем силой
Р2 (рис. 202,6). Работу этих | '_______________________J
сил представим в виде суммы V1L-------------’ в
Л = ЛЦ + Л12 + Л22,	(253)
р,	К8
где Лц = ,/2Р1(6цР1)—работа силы ,	___-4^2—
Pi на перемещении бпЛ, вызванном .
этой силой; Лдг=Pi (S12P2)—работа
силы Р, на перемещении 612Р2, выз-
ванном силой Рч. В отличие от перво-	р „по
го слагаемого здесь нет коэффициен-
та ’/2, так как сила Pi не изменяется
при нарастании прогиба от силы Р2; Л22=1/2Р2'б22Р2)—работа си-
лы Р на перемещении 622Рг, вызванном этой же силой.
Если теперь представить загружение в обратной по-
следовательности — вначале силой Р2, а затем силой Р\,
то ту же работу А можно записать в виде:
Л = Л22+Л21 + ЛП.	(254)
Это следует из принципа суперпозиции для перемеще-
ний, согласно которому значения перемещения 622Р2 и
355
бпЛ не зависят от последовательности приложения на-
грузок. Сравнивая выражения (253) и (254), можно сде-
лать вывод, что
Ай = Ла,	(255)
т. е. работа силы Pi на перемещении, вызванном силой Р2,
равна работе силы Р2 на перемещении, вызванном си-
лой
Данное утверждение называется теоремой о взаимно-
сти работ, или теоремой Бетти.
В практических приложениях эта теорема необяза-
тельно связывается с различной последовательностью за-
гружения стержневой системы. Она вытекает непосредст-
венно из принципа возможных перемещений для упругих
систем, материал которых следует закону Гука, и часто
трактуется как результат сравнения работ двух различ-
ных состояний одной и той же системы.
Допустим, что упругая система может иметь несколь-
ко различных состояний, соответствующих различным
загружениям. Перенумеруем эти состояния и сравним
два: i-e и k-e (рис. 203). Каждое из этих состояний явля-
ется состоянием равновесия. Перемещения (деформа-
ции) в этих состояниях малы и совместимы со связями.
Перемещения можно приближенно принять за возмож-
ные и применить принцип возможных перемещений
(приближенно, поскольку перемещения малые, но не бес-
конечно малые величины, т. е. здесь такая же ситуация,
какая была при выводе формулы Мора).
Возможная работа сил i-ro состояния на перемеще-
ниях £-го состояния складывается из — работы внеш-
них сил и Vik — работы внутренних сил, т. е.
Tift+Hih=0.	(256)
256
Аналогично из равновесия k-vo состояния следует
Tfei + Vw = 0.	(257)
Работа внутренних сил (напряжений) i-ro состояния
на деформациях й-го состояния системы запишется так:
Vik = — fff (°xi exk + °yi ъук + aZi ezk +
V
4" Txj/.i Yxy.k 4- Txz.Z Yxz.k 4" tyZ'k fyz,k) dx dy dz, (258)
В силу обобщенного закона Гука для изотропного мате-
риала
Exh = “77 И (ayh + °zh)]> Уху.к ~ ~~7.	» • • •
перепишем (258) так

-Ж
V
&xk 4" Oj/i ®yk GZi Gzk [I (Of/i 4"
4" &xi &yk + • • •)] 4" q (^xz.i ^xz.k 4” • • • )j dx dy dz, (259)
где E, G, p — модули упругости и коэффициент Пуассона Инте-
грал берется по всему объему материала системы.
Выражение (259) симметрично относительно индек-
сов i и k.
К формуле (259) с перестановкой сомножителей и
слагаемых мы придем, вычисляя Vki— работу напряже-
ний й-го состояния на деформациях г-го состояния и ис-
пользуя закон Гука. Таким образом,
Vih = Vki.	(260)
Из (256), (257) и (260) следует
Tih--=Tki.	(261)
Теорема о взаимности работ (теорема Бетти) может
быть сформулирована так: работа внешних (внутренних)
сил i-го состояния системы на перемещениях (деформа-
циях) k-го состояния равна работе внешних (внутрен-
них) сил k-го состояния той же системы на перемещени-
ях (деформациях) i-го состояния.
Существенным моментом является здесь отдельно
равенство работ внешних или внутренних сил [формулы
(260) и (261)]. Суммарное равенство работ Atk=Aki не
является теоремой, а лишь записью принципа возмож-
ных перемещений. Из (256), (257) очевидно, что 0=0 не-
зависимо от справедливости закона Гука.
17—569
257
Заметим еще, что теорема Бетти справедлива и в
случае анизотропных материалов системы, если они от-
вечают закону Гука. Формулы для Vth= Vkt будут в этом
случае более громоздкими, и здесь они не- приводятся.
Пример. Рассмотрим два состояния консольной балки (рис. 204).
В первом состоянии балка нагружена силой Р, во втором — момен-
том М — обобщенной силой, производящей работу на угле поворо-
та сечения. Работа внешних сил первого состояния на перемещениях
второго Т’12=РД. Работа T2i=M<p. Вычислим Д и qp независимо от
энергетических теорем, используя общие решения дифференциаль-
ных уравнений равновесия стержней в форме метода начальных па-
раметров. В первом состоянии:
(Р1) х2 Рх3
2EJ ~&Ё7'
Рх2
V (х) = О0 + Vg X 4
/ </
, Plx
v (х) =----—	,
' EJ	2EJ
РР
= v' (Г) =-.
2EJ
Во втором состоянии:
, , ,Мх*
b(x)=vo+v+—;
0 0
Д = v
МР
(/) “ 2EJ
Таким образом,
МР	РР
Т,2=Р-—; Т21 = М------; Г.» — T«i.
18 2EJ	2EJ	12	21
В курсе сопротивления материалов такая зависимость могла
быть расценена как случайная. Сейчас очевидно, что это частный
пример общей теоремы, справедливой для любой линейно-упругой
системы, в частности н для консольной балки.
Из теоремы о взаимности работ вытекает ряд более
частных теорем. Первая из них — теорема о взаимности
перемещений, с которой мы уже сталкивались в преды-
дущей главе, анализируя симметрию матрицы податли-
вости стержневой системы, т. е. равенство	По-
кажем, что это одно из общих свойств упругих дефор-
мируемых систем
Допустим, что в обоих состояниях системы (рис. 205)
она загружена обобщенными силами, численно равными
единице: Л—1, Рд = 1, тогда Tik = 1 -б^; Тм=1-дм, т.е.
=	(262)
258
где д,л, б»,- — обобщенные перемещения, соответствующие обобщен-
ным силам Pi и РА.
Равенство (262) и составляет теорему о взаимности
перемещений (теорему Максвелла): перемещение по i-му
направлению от k-й единичной силы равно перемещению
по k-му направлению от i-й единичной силы.
Эта теорема позволяет, например, легко получить
очертания линий влияния перемещений для многих си-
стем. Допустим, необходимо получить очертание линии
влияния перемещения шарнира (рис. 206). Рассмот-
рим вспомогательное состояние, в котором по направле-
нию f>k приложим единичную силу (рис. 106,6).
Применим теорему о взаимности перемещений:
=6pfe, т. е. ординаты линии влияния перемещения равны
ординатам эпюры прогибов от Ph=l. Знак перемещения
считается положительным, если перемещение совпадает
17*
259
по направлению с направлением силы Р=1. Эпюра
и линия влияния 6ь показаны на рис. 206, в, г.
В случае необходимости можно заставить теорему
«работать» в обратном направлении. Допустим, необхо-
димо получить экспериментально линию прогибов упру-
гой балки от силы Р, не обязательно равной единице,
но имеется возможность измерить прогибы только по на-
правлению Ph. Перемещая силу Р по сооружению и за-
i
Рис. 207
меряя 8k, получим экспериментально ординаты линии
влияния от Р=£1 и тем самым ординаты эпюры проги-
бов др, поскольку теорема о взаимности перемещений
справедлива и в случае, когда Р{ и Ph численно равны,
хотя и не равны единице.
Из теоремы Бетти вытекает также теорема о взаим-
ности реакций, которая справедлива для любой линей-
но-упругой системы. На рис. 207 условно изобразим эту
систему в виде неразрезной балки. Рассмотрим два со-
стояния системы. В каждом из них активные внешние
силы отсутствуют, но заданы единичные перемещения
i-й и k-й связи.
В общем случае статически неопределимой системы
от смещения одной связи возникают деформации систе-
мы и соответствующие реакции в связях, наложенных на
упругую систему. Эти реакции являются внешними си-
лами. Применим теорему о взаимности работ:
где Tik=rhi-1; Thi=rik.\. Работа остальных реакций
равна нулю, так как равны нулю соответствующие пере-
мещения. В результате получаем
fik ~ fkt.	(263,
260
Реакция i-й связи от единичного перемещения k-й
связи равна реакции k-й связи от единичного перемеще-
ния i-й связи.
С этой теоремой мы уже знакомились в предыдущей
главе, когда рассматривали матрицы жесткости стерж-
невой системы. Механический смысл элементов матрицы
жесткости — реакции в наложенных связях от единич-
ных малых перемещений этих связей.
Еще одна теорема о свойствах упругой системы по-
лучается при сравнении двух состояний упругой систе-
мы (рис. 208). В одном состоянии система загружена си-
лой Рг=1, в другом задано единичное перемещение й-й
связи. Работа внешних сил k-ro состояния на перемеще-
ниях Р равна нулю 7\₽=0, так как в й-м состоянии
внешними силами являются только реакции в связях, а
в состоянии i связи не смещаются.
Согласно теореме Бетти, работа TPh также должна
равняться нулю, т. е. 1б1л-|-г^-1 = 0. Отсюда
rki = — &ih-	(264)
Это равенство является одним из вариантов теоремы
Гвоздева (см. § 71), или теоремой о взаимности реакций
и перемещений: реакция k-й связи от i-й единичной силы
численно равна и обратна по знаку перемещению по i-му
направлению от единичного перемещения k-й связи.
Может показаться, что в выражении (264) приравни-
ваются величины разной размерности. Это, конечно, не
так: биг являются соответствующими коэффициентами
пропорциональности и лишь для удобства вычисления
изображаются, например на рис. 208, в виде сил и про-
гибов. Фактически и б,*, показанные на этом рисун-
ке,— величины безразмерные: коэффициенты из формул
вида Rh—TkiPi или Д1=б/лЛ*. Они могут быть и размер-
ными, при этом размерности их будут совпадать. Напри-
261
мер, rhi и &м для схемы, показанной на рис. 209, имеют
размерность «метр». Причем гм. — величина положитель-
ная, так как положительной силе Pt соответствует мо-
мент Mh такого направления, которое показано на ри-
сунке. Положительному обобщен-
р ।	НОМУ перемещению — углу пово-
' | Р*	рота	— соответствует отрица-
3	ил	тельное (не совпадающее по на-
(рк правлению с Pi) перемещение Д<.
л	Рекомендуем читателю убедиться
|на этом примере в справедливо-
сти теоремы (264) с помощью ме-
тода начальных параметров.
Рис- 209	Теорема о взаимности реакций
и перемещений позволяет во мно-
гих задачах легко показать вид линий влияния реакций.
Например, очертания эпюр вертикальных перемещений,
от Дй и на рис. 208, 209 дают форму линий влияния Рй
и Mh. Подробнее об использовании теорем о взаимности
будет сказано в главах, посвященных расчету статически
неопределимых систем.
§49. Преобразование матриц податливости и жесткости
упругой системы при изменении базисных сил
и перемещений
Рассмотрим произвольную упругую систему. Обоб-
щенные внешние силы и соответствующие им обобщен-
ные перемещения обозначим через Р* и А, (рис. 210).
Смысл такого обозначения будет пояснен позже. Соглас-
но выражениям (244) и (247), запишем для энергии де-
формации следующие матричные формулы;
I - т —
6/ = —(Р*) А*Р*;	(265)
Р = -~ (Л*)т Р*Л*.	(266)
При этом связь Р*=(Л*)-1 не будет существенно важ-
ной Энергия U может быть записана через заданные
перемещения Д*. Для этого необходимо знать только
матрицу жесткости Р*. Каким путем она получена, не
имеет большого значения, и даже А* может не сущест-
вовать, т. е. Р* может быть особенной матрицей (см.
§50).
262
Формулы (265), (266) позволяют получить общие за-
висимости между матрицами податливости или между
матрицами жесткостей, построенными в разных базисах,
т. е. при различных исходных (базисных) силах или пе-
ремещениях. Напомним, что преобразования, связанные
с изменениями независимых переменных, встречаются во
многих науках, начиная с математики. Простейший при-
мер —перенос начала координат (рис. 211), когда функ-
ция <р(х*) формально заменяется равной ей функцией
другой переменной ф(х). Старое переменное х* и новое
х связаны в этом примере равенством х*=а+х. Анали-
тическое выражение для ф(х) получается подстановкой
зависимости х*=а+х в выражение для <р(х*).
Аналогично энергия деформаций U, выраженная че-
рез старые переменные Р*, или А*, может быть записа-
на через другие новые силы Р или перемещения А, кото-
рые связаны со старыми Р* или А* равенством
Р* = 1/Р	(267)
или
Д* = ГД,
(268)
где V — некоторая матрица, которая в каждой конкретной задаче
должна быть известна.
Вообще говоря, в формулах (267) и (268) для выра-
жения старых переменных через новые должны быть за-
писаны различные матрицы. Поскольку обе формулы од-
новременно не применяются, будем для единообразия
использовать одно и тоже обозначениеV для записи раз-
личных, по существу, равенств (267) и (268).
263
Выражения (267), (268) необходимо подставить в
формулы (265), (266), для чего предварительно запи-
шем в равенствах (267), (268) векторы в строку
(269)
или
(д*)т = Дт Г.
(270)
Подставляя (269), (270), (267), (268) в (265), (266),
получаем
V =—~ЯТ (Г Л* И) Я или и = Дт (Г R* V) Д.
2	2
Запишем эти равенства так:
(/ = -уРтЛР;	(271)
U = Дт ЯД,	(272)
где
А — ГЛ* V,	(273)
R = Г Я* V.	(274)
Энергия деформации не зависит от того, через какие
переменные она записана. Поэтому из сравнения фор-
мул (271) и (272) с формулами (265), (266) можно сде-
лать вывод, что матрицы А и R, входящие в выражения
(271), (272), являются матрицами податливости и жест-
кости той же упругой системы. Они соответствуют
лишь другим обобщенным силам (перемещениям). Та-
ким образом, выражения (273), (274) представляют со-
бой формулы преобразования матриц податливостей и
жесткостей при изменении базисных сил или перемеще-
ний. Матрицы V, входящие в эти формулы, должны да-
вать зависимость старых переменных Р* или Д* через
новые Р или Д согласно выражениям (267), (268).
Соотношения (273), (274)—одни из важнейших в
механике линейно-упругих систем, так как они помогают
автоматизировать решения многих задач строительной
механики на ЭВМ и получать матрицы податливостей
264
и жесткостей систем с помощью легко программируемых
стандартных операций.
Рассмотрим подробнее структуру формул (273), (274)
на примере первой из них. В § 44 было показано, что ес-
ли матрица V преобразует обобщенные силы Р в обоб-
щенные силы Р*: P* — VP, то преобразование соответст-
вующих обобщенных перемещеий Д* в перемещения Д
должно производиться матрицей 1/т, т. е. Д = РТД*.
Подставляя (267) в формулу Д*=А*Р*, увидим, что
матрица A*V дает преобразование Р в Д*: Д*=Л*ИР.
Умножая это равенство слева иа Ут, видим, что матрица
VTA*V должна действительно преобразовать Р в Д:
утд*=	т.е. Д=УТА*УР.
Аналогично можно показать, что матрица R*V, вхо-
дящая в (274), это матрица преобразования Д в Р*-.
P*=RVA, а матрица VT/?*V преобразует Д в Р: Р—
= УТЯ*УД.
Формула вида (273) уже встречалась в предыдущей
главе в задаче вычисления матрицы податливости систе-
мы через податливости ее элементов: A=L’tBL. Здесь
В—А* — матрица податливостей элементов упругой си-
стемы по направлению соответствующих внутренних сил.
Например, для идеальной фермы, энергия деформации
которой определяется через податливости стержней на
растяжение (сжатие) IhlEFk, матрица В диагональна
(см. § 43). Матрица L выражает внутренние силы S че-
рез P-.S=LP. Например, для фермы N—LP.
Аналогично в задачах расчета систем, стержни кото-
рых работают на изгиб, матрица L состоит из матриц
податливостей отдельных элементов
Ik [21]
Вь = —~
§EJh [12]
С помощью которых потенциальная энергия А-го стерж-
ня может быть выражена через изгибающие моменты в
его крайних сечениях — обобщенные силы М=Р*. Фор-
мула M=LP аналогично формуле (267) выражает ста-
рые обобщенные силы М через новые Р, а выражение
265
Рис. 212
A = LTBL аналогично равенству (273) дает матрицу по-
датливости системы по направлению сил Р. Таким обра-
зом, выражения Д==ТтВ5; А^=1?ВЬ, которые мы ранее
получали как матричные формулы для вычисления ин-
тегралов Мора, имеют энер-
гетическую трактовку. Фор-
мула A—L^BL есть частный
случай зависимости (273).
Использование зависимо-
стей (273), (274) в каждой
конкретной задаче связано с
построением соответствую-
щей матрицы V. Эта часть
задачи является нестандарт-
ной, творческой, выполняет-
ся по смыслу задачи и тре-
бует определенных навыков.
Покажем это на примерах.
Пример 1. Матрица податливости Л* балки (рис.
212, о) вычислена в § 43, она равна:
12EJ
9 117
11 16 11
7 119
Определим матрицу податливости системы (рис.
212,6) по направлению сил Р{ и Рг, которые приложе-
ны к абсолютно жестким балочкам, опирающимся на
эту упругую балку. В данном случае силы P*v Р*2, Р*2
выражаются через Р\ и Р2 как опорные реакции бало-
чек и равны:
=	Г Р\
Р;
^з = (1—₽)^2; Рз
1 —a О
a ₽
О 1—р
Р* = V Р t где V =
О
Р
1-Р
Дальнейшие вычисления производим согласно форму-
ле (273). Например, при а=р=0,5
266
л =
0,5 0,5 0
О 0,5 0,5
1 _Ё!_
J 12EJ
9 11 7
11 16 11
7 11 9
0,5 О
0,5 0,5
О 0,5
da
48EJ
47 451
45 47]
Рекомендуем читателю проверить правильность этих
вычислений прямым определением матрицы А путем по-
строения эпюр моментов от Pi = l и Р2—1 и вычислени-
ем интегралов Мора.
Обратим внимание на то, что в § 43 матрица Д* вы-
числялась по формуле A*—LaBL, т.е. для получения А
формула (273) фактически была использована дважды
при различных обозначениях.
Неоднократное использование формулы (273) или
(274) в решении одной и той же задачи расчета встреча-
ется достаточно часто. Например, последовательному пе-
реходу от базисных сил Ро к Рп через несколько проме-
жуточных базисов соответствует выражение
где Vi,.... Vn-i, Vn—матрицы из равенств Ро= V]Pi;...; Pn-i =
— VnPn.
Пример 2. Рассмот-
рим пример использо-
вания формулы (274)
для матрицы жестко-
сти. Найдем матрицу
жесткости системы
(рис. 213, с) по направ-
лению сил Pi и Р2. Же-
сткость каждого из
стержней системы (рис.
213,6) по направлению
продольной силы Ni
равна EFi/li, так как
Ni=(EFi/li)Mi.
Энергия деформа-
ции системы U равна:

267
В матричной форме
и = Ит Е* Ы,
где
EFJli
EFs/ls
(275)
Для составления матрицы V запишем выражения удли-
нений Д1,- через горизонтальное Д1 и вертикальное Д2 пе-
ремещения узла. От малого перемещения по горизонтали
(рис. 213, в) каждый стержень удлинится на совс^Дк от
вертикального перемещения Д2 (рис. 213, г) —на sinafA2.
Таким образом, Д/,—cos aiAi+sin а, Д2.
Для элементов вектора Д/ получаем:
Д/о = cos осо Д1 + sin ос0 Д2;
Д/1 = cos oci Д, + sin а, Д2;
Д/2 = cos a2 Aj + sin a2 Д2;
Д/3 = cos a3 Ai + sin a3 Д2;
где cos do =1; sinao=O; или Д/=УД;
cos at sin
cos a2 sin a2
cos a3 sin a3
(276)
Подставляя (275) и (276) в выражение (274), получим
искомую матрицу жесткости:
/ 21 r 22J
268
При необходимости можно здесь получить матрицу
податливости системы по направлению сил Pi и Р2, об-
ращая матрицу /?; A=R~l.
В частных случаях параллельного и последователь-
ного соединений элементов системы формулы (273),
(274) автоматически приводят к простому арифметиче-
скому сложению соответственно жесткостей или податли-
востей элементов.
Рис. 214
Рассмотрим, например, систему нескольких консоль-
ных стержней (стоек) одинаковой жесткости на изгиб
(рис. 214, а). Они несут абсолютно жесткий диск (ри-
гель), на который действует горизонтальная сила Р.
Найдем жесткость и податливость системы по направле-
нию Р через жесткости отдельных элементов — консоль-
ных стоек (рис. 214,6), которые для каждой строки рав-
ны 3EJI13. Энергия деформации каждой i-й стойки
равна:
1	» *	1
и = — р* д* = — с
2	1 1	2

Энергия деформации системы
U= -|-2с(А*)2. Таким
образом, и = -^-(Д*)Т7?*Д*, где R* — диагональная мат-
рица;
3EJ
с~ Р
(277)
269
В этой задаче все перемещения At выражаются через
одно перемещение ригеля Д* =Д2 = ...=Д*=А. В мат-
ричной форме
А* =
1
1
i
А; А* = И-Л;
(278)
Подставляя (277) и (278) в формулу (274), получим
3nEJ
с = пс = ——
7? = Гц =
Рис. 215
Таким образом, выражение
(274) дает в этом частном слу-
чае жесткость системы, равную
сумме жесткостей элементов,
что, очевидно, и следовало ожи-
дать (см. § 42) при параллель-
ном соединении элементов. По-
датливость системы б по на-
правлению силы Р получаем
обращением R:
&=\/R=l3/(3nEJ).
Найдем теперь податли-
вость системы (рис. 215) по на-
правлению силы Р. Продоль-
ными деформациями стержней (колонн) будем прене-
брегать, считая EF^oo. По смыслу задачи очевидно, что
податливость системы будет складываться из податливо-
стей ее этажей. Перемещение бц верхнего этажа от си-
лы Р = 1 складывается из перемещений 6*j и б*2—подат-
ливости первого и второго этажей соответственно от сил
р;=1, р-=1:
®11 — ^11 + ^22-
(279)
Если элементом системы считать один этаж, то мож-
но сказать, что в этом случае мы имеем последователь-
ное соединение двух элементов (см. § 42).
К выражению (279) придем и при использовании
формулы (273). В данном случае
270
Подставляя Л* и V в (273), получим выражение (279).
Таким образом, выражения (273), (274) могут рас-
сматриваться как обобщение более простых формул сум-
мирования жесткостей или податливостей элементов си-
стемы при их параллельном или последовательном сое-
динении на общий случай системы с произвольным
соединением элементов.
§ 50. Некоторые общие свойства матриц податливости
и жесткости упругой системы
Потенциальная энергия деформации U —величина,
существенно положительная. В случае стержневой си-
стемы это видно из выражения (236), где каждый из ин-
тегралов от существенно положительной подынтеграль-
ной функции больше нуля. Он равен нулю только в слу-
чае, когда тождественно равна нулю внутренняя сила
или бесконечно велика соответствующая жесткость всех
стержней. Таким образом, для реальной стержневой си-
стемы, в которой жесткости не бесконечны, энергия U
всегда положительна и равна нулю только при равен-
стве нулю всех внутренних сил.
В случае, когда энергия деформаций выражается че-
рез п независимых обобщенных сил с помощью квадра-
тичной формы (240) с коэффициентами (241), эта квад-
ратичная форма также будет положительной при нену-
левой нагрузке и равна нулю только в случае Р1=Р2=
= ...= Рп=0, когда тождественно равны нулю внутрен-
ние силы
У I =# 0 при Р #= 0.
|=0	» Р = 0
(280)
Такая квадратичная форма называется определенно по-
ложительной. Таким образом, энергия деформации ли-
нейно-упругой системы является определенно положи-
тельной квадратичной формой обобщенных сил.
Из записи энергии деформации через скалярное про-
изведение векторов Р и Д: U= -^-РТД== -^-(Р; А) сле'
дует, что ненулевому вектору Р всегда соответствует не-
нулевой (и единственный) вектор обобщенных переме-
щений Д=ЛР (в противном случае П=0 при Р=#0).
Из линейной алгебры известно, что если А является
271
матрицей определенно положительной формы, то и каж-
дому ненулевому вектору Д соответствует единственный
и ненулевой вектор Р, т. е. уравнение
АР = Д	(183>
имеет единственное	решение и	определитель	матрицы
А не равен нулю:
Det А Ф 0.	(282)
Это	вытекает	из	следующего свойства	определенно	положи-
тельных квадратичных форм. Существует множество преобразова-
ний переменных Р* = VP с невырожденными квадратными матри-
цами V, которые приводят матрицу квадратичной формы VTA*V к
диагональному виду, т. е. квадратичную форму V к сумме квадра-
тов:
п
(283)
1=1
Разыскание таких преобразований представляет в свою очередь
интересную задачу, которая будет подробно рассмотрена в гл. XI.
Сейчас нам важно, что такое невырожденное преобразование
существует. Тогда очевидно, что все коэффициенты да выражения
(283) положительны: 6н>0. Если хотя бы для одного номера i
6,4^0, то можно взять вектор Р такой, что Pi=0; Рг=0; ...; Р,—
= 1; ...; Рп = 0, и найти соответствующий ему ненулевой вектор
P*=VP, для которого U^O, что противоречит определенной поло-
жительности квадратичной формы.
Поскольку V — квадратная невырожденная матрица, то сущест-
вует матрица С — V-1, с помощью которой Р выражается через Р*-.
Р = СР*. Возвращаясь по формуле (273) от матрицы квадратичной
формы (283) к исходной матрице А, выразим ее через диагональную
матрицу {б,:} с положительными элементами: А = СТ{6,,}С.
Поскольку детерминант произведения матриц равен произведе-
нию детерминантов сомножителей и поскольку детерминант не из-
меняется при транспортировании матрицы, получаем
Det А = 6и 622 ... 6„„|Ср>0.
Таким образом, Det А=^0; существует матрица жесткости R = А-1,
и вектор Р может быть найден через А с помощью равенства Р =
=(?Д В § 42 был показан механический смысл элементов этой мат-
рицы как реакций в связях, наложенных иа систему, от единичных
перемещений этих связей.
В рассуждениях об определенной положительности
квадратичной формы (240) и невырожденности матри-
цы податливости системы мы исходим из справедливо-
го
сти принципа суперпозции для перемещений (линейной
деформируемости системы) и отсутствия бесконечно
больших жесткостей ее элементов.
В расчетах по деформированной схеме, например с
учетом продольно-поперечного изгиба стержней, эти рас-
суждения становятся не всегда справедливыми. Это су-
щественно для решения задач устойчивости сооружений
и будет детально рассматриваться в соответствующих
разделах курса.
В расчетах по недеформированной схеме также мож-
но иногда встретиться с вырожденными матрицами по-
датливости в связи с выбором расчетных схем с бесконеч-
но жесткими элементами.
Например, для системы по рис. 216, я можно фор-
мально составить матрицу податливости А второго по-
рядка. Прикладывая последовательно к системе Pi = l
и Р2=1 (рис. 216,6, в), получим
, где 6 = PI3EJ.	(284)
Определитель этой матрицы равен нулю, обратной
матрицы не существует, т. е. по перемещениям системы
нельзя восстановить нагрузку Рх и Р2. Действительно,
деформированное состояние системы определяется од-
ним параметром, например перемещением под силой Plt
или суммарным моментом сил Pi и Р2 относительно пра-
вой опоры. Одному такому параметру отвечает бесконеч-
ное множество различных сочетаний сил и Р2. По-
Другому можно объяснить это так: обратная матрица
18—569
273
Р, если она существует, должна иметь элементы, рав-
ные реакциям в связях 1 и 2, наложенных на систему
(рис. 216, г) от единичных перемещений этих связей. Но
в данном случае в системе с наложенными связями
нельзя перемещать эти связи независимо ввиду абсолют-
ной жесткости правого диска.
Энергия деформации U в этом случае не является
положительно определенной формой, так как существу-
ет ненулевой вектор Р из одинаковых сил Р\—Р\ Р%—
—Р, которому отвечает нулевое значение энергии СУ:
17= у [Р Р]
Г 6 —61Г
[—6 б] [
Р
Р
От этих сил изгибающие моменты и поперечные силы
возникают в системе (см. рис. 216, а) только в абсолют-
но жесткой правой балке, и все интегралы в формуле
(238) обращаются в нуль.
Аналогично вырожденной получается матрица А, ес-
ли она вычисляется по формуле (273) с использованием
прямоугольной матрицы V, у которой число столбцов
больше числа строк. В этом случае размерность векто-
ра Р больше размерности исходного вектора Р*. Энер-
гия деформации зависит, как и в рассмотренном приме-
ре, от меньшего числа параметров, чем число элементов
вектора Р. Такие преобразования, приводящие искусст-
венно к вектору Р излишне большой размерности и вы-
рожденной матрице А, не рекомендуется использовать
в решении задач строительной механики.
Этот вопрос обсуждается здесь подробно главным
образом потому, что обсуждение помогает понять осо-
бенности матриц податливости и жесткости реальных си-
стем, в которые входят элементы с резко различными
жесткостями. Допустим, что в рассматриваемом приме-
ре жесткость правой балки во много раз больше жест-
кости левой. Тогда перемещение 622 от силы Рг — 1 (рис.
217, а) будет несколько больше перемещений 6ц, 62i:
®11 = I ^12 I ~ I ®21 I — 61 $22 == 6 “Ь 8
за счет малого искривления жесткой балки. Матрица А
будет в отличие от (284) неособенной:
6-6 1
—6 б+е]*
(285;

274
но ее определитель будет близок нулю. Он представляет-
ся в виде разности близких чисел Det Д=6(6+е)—б2.
Например, в задаче вычисления нагрузки Р по переме-
щениям А решение системы уравнений	в этом
случае возможно. Но все вычисления при составлении
системы уравнений и при ее решении необходимо произ-
водить с большим числом значащих цифр. В линейной
алгебре такие матрицы называют слабо обусловленны-
Рис. 217
ми. Матрица /?=Л~ 1 в этом случае существует, но в ее
элементы жесткость левого стержня входит как малая
добавка к большой жесткости правого стержня. Это вид-
но из рис. 217,6. Реакция Гц в системе с наложенными
связями складывается из реакции rf(eB левого (гибкого)
и г“Р правого (жесткого) стержней, причем Гцев ,
т. е. Гц =r-f-ei. Матрица R здесь имеет вид:
и, так же, как матрица А (285), слабо обусловлена, близ-
ка к особенной.
Если, например, в расчетах подобных систем внача-
ле решается задача составления матрицы жесткости, то
ее необходимо составлять с очень большой точностью, с
большим числом значащих цифр. Небольшая погреш-
ность в округлении при вычислении г^р или обращении
матрицы R может полностью исказить решение уравне-
ния R&—P и дать неправильный результат.
В расчетах стержневых систем слабо обусловленные
матрицы жесткости появляются часто в тех случаях, ког-
да при вычислении элементов матрицы R учитываются
их жесткости при растяжении (сжатии) и при изгибе.
При изгибе стержни гораздо податливее, чем при растя-
18*
275
женин (сжатии). То, что жесткость при продольных де-
формациях во много раз больше, чем при изгибе, видно
из простого примера жесткостей консольного стержня
прямоугольного сечения (рис. 218). Здесь Pj«rnAb где
rn=EFjl\ P2=r22t±2, где г22=3£У//3.
Соотношение ЛцЛаа равно:
гц _ E(bh)\2s / i
г22	13 Ebb?	[ h J 1
при llh=5 гц/г22=100-
Для других форм поперечного сечения и способов за-
крепления стержня это соотношение, конечно, будет
Более подробно составление матриц жесткостей для
стержневых систем с учетом продольных деформаций
стержней рассмотрено в гл. XII.
Матрица податливости для статически определимой
системы может быть слабо обусловленной также в том
случае, когда система близка к мгновенно изменяемой.
Обусловленность матриц податливостей статически оп-
ределимых систем рассмотрена в гл. XI.
Остановимся на случаях, когда матрица жесткости
R является особенной и не имеет обратной. Такой мо-
жет быть матрица R, когда она составляется при смеще-
нии большого числа связей, отбрасывание которых прев-
ращет систему в изменяемую. Например, можно соста-
вить матрицу жесткости R — матрицу реакции балки
(рис. 219, а) при смещении всех вертикальных связей.
Эта матрица не будет иметь обратной, так как система
с отброшенными связями (рис. 219,6) изменяема, и для
нее матрицы податливости не существует. Определитель
матрицы R будет в этом случае равен нулю, что видно
из следующего примера. Зададим все перемещения оди-
276
каковыми: Д1==Д2=...=Дп=Д- При таком поступатель-
ном перемещении балка не деформируется, и все реак-
ции равны нулю. Ненулевой вектор Д будет удовлетво-
рять равенству /?Д=0, откуда следует, что Det/?=0.
Если для этой же балки составить матрицу реакций
меньшего порядка, не включая в вектор Д, например пе-
ремещений первой и последней опор, то такая матрица
к будет неособенной (Det /?=И=0) и соответствующая квад-
ратичная форма (248) определенно положительной.
§51. Использование локальных уравновешенных сил
для определения матриц податливости системы
Формулу (273) преобразования матрицы податливо-
сти системы при изменении базисных обобщенных сил в
ряде задач удобно исполь-
зовать в связи с примене-
нием уравновешенных
воздействий. Например,
для построения матрицы
податливости фермы А
(рис. 220, а) по направле-
нию сил Pi, Р2, Pa, Pt, Pa
удобно вначале получить
матрицу податливости А*
этой же системы по на-
правлению уравновешен-
ных сил Pj, Pj’ Рз’ Р4’
7*5 (рис. 220,6). Эпюры
ЛГр N%, .... N*3 имеют ло-
кальный характер, их не-
сложно перемножить даже
чаем
Рис. 220
вручную. В результате полу-
4* = —— X
EF
1,4305—0,3403	~1
—0,3403 1,4305 —0,3403
—0,3403 1,4305 —0,3403
—0,3403 1,4305 —0,3403
—0,3403	1,4305 —0,3403
—0,3403 1,4305
(286)
277
Матрицей, связывающей векторы Р* и Р, является мат-
рица Lm Для балки на двух опорах (см. § 12):
d
lm= 7
“6 5 4
5 10 8
4 8 12
3 6 9
2 4 6
_1 2 3
3 2 1-1
6 4 2
9 6 3
12 8 4
8 10 5
4 5 6
(287)
Подставляя (286) и (287) в формулу A = LMA*LM, полу-
чаем
Г60,6369 85,8831 91,8463 82,3829 61,349732,6031“
85,8831 152,4831 168,2661 153,1959 114,9861 61,3497
,	91,8463 168,2661 213,8328 200,8692 153,1959 82,3829
Л~ EF 82,3829 153,1959 200,8692 213,8328 168,2661 91,8463 '
61,3497 114,9861 153,1959 168,2661 152,4831 85,8831
_32,6031 61,3497 82,3829 91,8463 85,8831 60,6369_
Эта матрица симметрична в соответствии с теоремой
о взаимности перемещений. Например, ее третий столбец
состоит из ординат вертикальных перемещений узлов
нижнего пояса от Р3=1 (рис. 220,а). Этот же график
дает и л. в. Д3. Его ординаты состоят также из элемен-
тов третьей строки матрицы А. Ферма, аналогичная фер-
ме на рис. 220, рассмотрена в § 32, где была составлена
матрица L* из выражения N=L*P*. Там же определе-
на и матрица L=L*M из выражения N=LP.
Формулу для матрицы А* можно в соответствии с
§ 43 записать в виде Д* = (Е*)ТВЕ*, где В — матрица
податливостей элементов. Для А получаем выражение
Л = £^[(Ц*)ТВГ] LM,	(288)
которое представляет собой пример двукратного преоб-
разования матрицы податливости. По матрице податли-
востей элементов В получается матрица 4* и по ней—
искомая матрица А податливости системы на заданные
воздействия Р.
С помощью матрицы А можно определить вектор пе-
ремещений ДР от произвольной нагрузки;
Zp = AP = LTMA,LMP.	(289
В выражении (289) операция A*LMP соответствует вы-
числению упругих грузов о,:
278
to = A*Lm р = А* Р*.
Операция Л4*=£^и является вычислением фиктив-
ных моментов в некоторой фиктивной балке, для которой
матрицей влияния моментов служит транспонированная
матрица LM. Таким образом, матричные операции мож-
но при желании интерпретировать так же, как и в § 45.
Глава X. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ
§52. Полная энергия деформированной системы
Учащийся хорошо знаком с понятием потенциальной
энергии деформации тела, которая накапливается в нем
в процессе его деформирования. При этом внешние си-
лы, например силы тяжести в гравитационном поле, пе-
ремещаясь вместе с точками деформируемого тела из
одних точек поля в другие, изменяют потенциальную
энергию положения. Таким образом, с энергетической
точки зрения, явление деформирования тела — это про-
цесс обмена энергиями двух систем или полей сил —
внутренних и внешних. Поэтому для полной энергетиче-
ской характеристики тела в деформированном состоя-
нии недостаточно рассматривать только энергию дефор-
мации тела U, ибо она представляет лишь часть энергии
взаимодействующих полей сил.
Здесь мы ограничимся рассмотрением так называе-
мых консервативных сил, работа которых не зависит от
пути перехода системы из одного положения в другое, а
вполне определяется ее начальным и конечным состоя-
ниями. Таковыми являются силы упругости, гравитаци-
онные силы, центробежные силы, силы электростатичес-
кого взаимодействия и др. Напротив, внутренние силы
при упругопластическом деформировании тела, силы тре-
ния, вязкие силы и другие являются неконсервативными.
Их работа существенно зависит от условий и пути пере-
хода системы из одного состояния в другое.
279
Если условно принять в некотором «начальном» со-
стоянии системы ее энергию равной нулю, то для консер-
вативных сил энергия или, что то же, потенциал сил Э
будет измеряться величиной работы, которую могут со-
вершить эти силы при переводе системы из данного со-
стояния в начальное. Для нагруженного тела за началь-
ное состояние естественно принять его недеформирован-
ное состояние (рис. 221,а).
Введем теперь понятие полной энергии нагруженного
тела, рассматривая его как систему, состоящую из соб-
ственно деформированного тела (внутренние силы) плюс
внешняя нагрузка, действующая на него. Запишем эту
энергию в виде суммы
3 = 6'4-77,	(290)
где U — энергия сил упругости (упругий потенциал);
П — энергия внешних сил (потенциал внешних сил).
Выражение (290) показывает, что полная энергия де-
формированной консервативной системы складывается
из суммарной работы внутренних сил упругости и внеш
них сил, которую они могут совершить при переводе си-
стемы из данного положения в начальное (недеформиро-
ванное) состояние.
Вычисление потенциала П зависит от свойств сил,
представляющих внешнюю нагрузку. Для задач стати-
280
ки сооружений основным будет являться случай одно-
родного поля внешних сил, когда значения каждой за-
данной внешней силы или момента постоянны и не зави-
сят от перемещений точек их приложения («мертвая»
нагрузка). Такими силами могут быть силы тяжести,
давление газа, жидкости и т. п. В этом случае потенци-
ал внешних сил вычисляется как работа неизменных по
величине внешних сил на перемещениях, возникающих
при переводе системы из данного положения в начальное
состояние.
Например, для стержня, растянутого грузом Р, эта
работа будет отрицательна и равна (рис. 221,6):
П =— РМ = — Рир .	(291)
Для балки, изгибаемой распределенной нагрузкой
q(x) и моментом Мв (рис. 222), выражение потенциала
П получит вид:
в
П =— J v (х) q (х) dx — Мв vB.	(292)
А
Здесь под интегралом стоит элементарная сила qdx, ко-
торая, будучи независимой от прогиба v, совершает ра-
боту (—vqdx) при возвращении системы в положение,
показанное пунктиром. Момент Мв совершает работу на
угле поворота v'B. Подчеркнем, что при составлении вы-
281
ражения П, мы представляем себе, что система не раз-
гружается, а именно переводится из деформированного
состояния в недеформированное, при этом внешние силы
однородного поля сил сохраняют неизменную величину.
Для сопоставления приведем пример более сложного
вычисления потенциала внешних сил в поле центробеж-
ных сил, вызванных равномерным вращением системы с
угловой скоростью to (рис. 223). Здесь центробежная си-
ла Р, действующая на массу т, явно зависит от прогиба
vm. Обозначив текущий радиус через г, получим потен-
циал этой силы как работу при переводе массы из со-
стояния r=R в состояние r=RQ-.
R	R
П =—| P(r)dr=—mco2 | rdr = 0,5mco2 X
-R)	R0
X (r2 - R2) =- 0,5/nco2 [(fl0 + vm)2 - flg].
Подобные потенциалы встречаются в задачах о коле-
баниях или устойчивости систем.
Обратимся теперь к составлению выражения потен-
циала U в формуле (290). Вначале рассмотрим этот
вопрос для элемента единичного объема на примере рас-
тянутого стержня (рис. 221). По смыслу потенциал U—
есть работа внутренних сил, отмеченных на рис. 221,6
внутри единичного объема векторами 1о' при уменьше-
нии деформаций от 1-е до нуля. Множитель единица
здесь введен как площадь грани и длина ребра парал-
лелепипеда. Отметим, что речь идет о работе сил внутри
элемента единичного объема, а не сил 1-о, приложенных
к его внешним граням и являющихся по отношению к
нему внешними. Поэтому работа внутренних сил при
переводе тела в недеформированное состояние (при
уменьшении деформаций) будет положительна. Посколь-
ку эти силы меняются с изменением деформаций, то для
единичного объема их работа равна площади диаграммы
на рис. 221, г. Последняя изображена применительно к
нелинейно-упругому материалу, и, как указывалось в
§ 46, величина Uo носит название плотности энергии де-
формации в данной точке или удельной потенциальной
энергии деформации.
В случае объемного напряженного состояния и ли-
нейно-упругого материала плотность энергии Uo выра-
жается через напряжения и деформации формулой
282
Uq — (стх ex 4~ vy £y °z Sz 4~
+ ^xy Тзд + Xxz Yxz “Ь tyz Ууг) •	(293)
Для всего тела энергию деформации в общем случае
можно получить интегрированием по объему тела
{/=][[ (70 dxdydz.	(294)
V
Применительно к стержневым системам в предыду-
щей главе были записаны выражения энергии для раз-
личных случаев деформации стержней. В частности, для
растяжения и изгиба энергия отдельного линейно-упру-
гого стержня длиной / выражается через внутренние уси-
лия так:
i
N2 dx „	1 С М2 dx
------; U" = — I--------
EF	2 J EJ
о
(295)
Подобно тому как потенциал внешних сил 77 выра-
жается через перемещения, энергия деформации также
может быть представлена через функции, выражающие
перемещения точек или сечений системы. Так, если
учесть, что N=EFu' и M=EJv", где и(х) и v(x) —
функции продольных перемещений и прогибов сечений
стержня, то вместо формул (295) получим
i	i
и» EF (и)2 dx; UK = y-J Ej(v")2dx. (296)
о	о
Выражения (295) и (296) могут быть записаны в еди-
ной форме, аналогичной (294):
z
f/CT=j'f;"dx,	(297)
о
где — плотность энергии деформации стержня, отне-
сенная к единице его длины. При растяжении и изгибе
это будут соответственно величины:
t;P = N2/2EF = EF (uty/2; UK0 = M2/2EJ = EJ {J'Y'2. (298)
Энергия деформации всей системы равна сумме энер-
гий отдельных составляющих ее элементов. Пусть 77, —
энергия t-ro элемента или стержня, тогда
= <299>
»=1
283
где tn — число деформируемых элементов системы.
В ряде случаев энергию отдельного стержня удобно
выразить не через функции w(x) или и(х), а через дис-
кретные перемещения одного или нескольких его сечений.
Например, для растянутого или изогнутого стержня по-
стоянного сечения эта энергия выразится через удлине-
ние стержня и прогиб так (рис. 224):
uP = ±.^l==±^EF. u^J-PbVb=-L3-j-^- (за»
С учетом сказанного энергия деформации U, а следо-
вательно, и полная энергия системы Э может быть пред-
ставлена либо через функции перемещений, либо через
несколько дискретных параметров, определяющих состо-
яние системы. Например, для консольной балки (см.
рис. 222) с учетом выражений (292) и (296) полная
энергия получит вид:
в	в
3=t/+/7=-^"J EJkv'Ydx — J vqdx — MBv'B. (301)
A	A
В этом случае величина Э зависит от выбора функ-
ции v(x) как от аргумента
Э = Э (0	(302)
и в математике называется функционалом. Функционал
Э(в) характеризует энергию континуальной системы
На рис. 225 изображена стержневая система, состоя-
ние которой при EFab~EFCD—oo характеризуется лишь
двумя перемещениями Zj и Z^. Их называют обобщенны-
ми координатами или обобщенными перемещениями си-
стемы. Прогиб точки В балки АВ равен Zb и ее энергия с
учетом (300) будет Uab—3EJZi/213. Удлинение стойки
A/bd=Z2—Zi, а диагоналей Д/Св =—Л/К2; BIad=
284
=^/1^2. С учетом формул (299), (300) полную энер-
гию системы получим как сумму
Э=и+П=
3EJ
2Р

Zj \а EF
J УТ/
1 / Z2 \2 EF
2 vKs/ V*i
-PZi.
(303)
системы Э—Э (Zi, Z2).
В этом случае полная энергия Э является функцией
обобщенных перемещений
В гл. IX было показа-
но, что в общем случае
линейной упругой систе-
мы потенциальная энер-
гия деформации U явля-
ется однородной квадра-
тичной формой обобщен-
ных перемещений (248).
Обозначив в этой форму-
ле ^=Zi (i=l,...,n), вы-
ражение для U можно за-
писать в виде двойной суммы
n f п	\
(304)
z 1=1 \/=i	у
где г,-; — элементы матрицы жесткости системы.
Для однородного поля внешних сил потенциал П за-
висит от перемещений Zi линейно
/7 = 2	(305)
i=i
где Rip — коэффициенты при Z», зависящие только От на-
грузки.
Таким образом, для дискретной линейной упругой си-
стемы, определяемой п независимыми обобщенными пе-
ремещениями Zi, полная энергия представится в виде
функции
п / я	X	я
э = U+ П = — 2 2 г” Zi + У Zr (306)
\/=1	/	га
Наряду с потенциальной энергией деформации U в
гл. IX было введено понятие дополнительной энергии
ж
7./доп.
(Удап = JJJ и$оп dxdy di,	(307)
где плотность дополнительной энергии деформации свя-
зана с Vo соотношением
{Л. + U?t°n = ае+ае+ое+т v +т т +т v .
о 1	° х х 1 у у z г ху 'ху 1 xz 'xz yz 'yz
Как видим, состояние деформируемой системы может
быть охарактеризовано такими энергетическими поня-
тиями, как полная энергия Э, энергия деформации U, до-
полнительная энергия L№°n, являющимися для контину-
альных систем функционалами, а для дискретных —
функциями конечного числа параметров. Естественно
возникает вопрос, какими общими свойствами обладают
указанные величины. Оказывается им присущи опреде-
ленные экстремальные или, точнее, стационарные свой-
ства, основываясь на которых могут быть построены эф-
фективные методы расчета деформируемых систем.
Указанные общие энергетические свойства, будучи выра-
жены в соответствующей математической форме, носят
название принципов. Поскольку эти вопросы примыкают
к разделу математики, именуемому вариационное исчис-
ление, упомянутые энергетические свойства называют
вариационными принципами деформируемых систем,
к рассмотрению которых мы и переходим.
Формулировка вариационного принципа зависит от
того, какими именно параметрами мы хотим характери-
зовать состояние деформированной системы — переме-
щениями, усилиями или в смешанной форме частично
усилиями, а частично перемещениями. Ниже рассматри-
ваются два основных случая. В первом в качестве харак-
теристики системы выступают перемещения, во втором —
напряжения или внутренние усилия.
§ 53. Принцип вариации перемещений
(принцип Лагранжа)
Этот принцип есть не что иное, как формулировка
начала возможных перемещений для упругой системы с
помощью введенного понятия полной энергии Э. Он вы-
ражает условие равновесия деформируемой системы, за-
писанное через ее перемещения.
286
Рассмотрим вновь стержень на рис. 221, в котором
через u=u(x) обозначим продольные перемещения се-
чений. Пусть и — это истинные перемещения, при кото-
рых устанавливается равновесие между внутренними и
внешними силами. Сообщим точкам системы дополни-
тельные бесконечно малые перемещения би=би(х), где
би— произвольная функция с беконечно малыми орди-
натами, допускаемая связями системы (опорными за-
креплениями и условиями сплошности стержня). Ее на-
зывают вариацией функции и(х)‘. По началу возможных
перемещений работа всех сил системы на возможных пе-
ремещениях би должна быть равна нулю:
бЛ = бЛвнутр + 6Лвиеши = °-	(а)
Как мы видели, полная энергия численно равна ра-
боте внутренних и внешних сил на перемещениях (—и):
Э (U) = и + П =— (ДВНУТР + Лвнешн).	(б)
Знак минус здесь поставлен потому, что под А понимает-
ся работа при увеличении перемещений, a U и П опреде-
лялись как работа соответствующих сил при обратном
движении системы из состояния и в состояние и=0.
Для системы в состоянии u+би энергия будет
Э (и + 6«) =- (Лвнутр + бЛвнутр + Лвнешн + бЛвнешн), (в)
Бесконечно малое изменение энергии бЭ, вызванное
вариацией функции би (более строго — главная линей-
ная часть этого изменения энергии), называется первой
вариацией энергии. Вычитая из (в) равенство (б), по-
лучим
63 = Э (и+ 6м) — Э (м) =— (бЛвнутр + 6Лвнешн).	(г)
На основании (а) для системы, находящейся в равно-
весии при перемещениях и(х), правая часть в равенстве
(г) будет равна нулю, поэтому окончательно принцип
вариации перемещений получает такую формулировку:
63 (м) = 0.	(308)
Из всех перемещений, допускаемых связями системы,
истинные перемещения и=и (х) обладают тем свойством,
что полная энергия системы при этих перемещениях име-
ет стационарное значение. Другими словами, любая до-
пустимая бесконечно малая вариация истинных переме-
щений би не изменяет полную энергию системы (с точно-
стью до бесконечно малых того же порядка, что и би).
287
Ясно, что вместо продольных перемещений и(х) в (30й)
в общем случае могут стоять прогибы v(x) или любые
другие перемещения системы [см. (301)].
Такое свойство энергии будет наблюдаться, в частно-
сти, если она имеет экстремальное значение для истин-
ных перемещений по сравнению с ближайшими соседни-
ми положениями. Здесь прослеживается аналогия зави-
симости энергии Э от перемещений и со свойствами
функции одной переменной y~f(x) в окрестности точек
экстремумов. Как известно, в последнем случае:
если f = fmi„, то df ~ 0 и d2 f > 0; )
если f — fmax> то df = 0 и d2 f < 0. I
Возможен и случай, когда df—O; d2f—0 и f== const в
окрестности данной точки (точка перегиба с горизон-
тальной касательной).
Величина Э—Э(и) зависит не от аргументах, а от вы-
бора функции и(х) и, как указывалось, называется функ-
ционалом. Можно показать, что аналогично (д) знак
второй вариации 62Э, отвечающей квадрату приращения
функции и, т. е. (би)2, определяет наличие максимума
или минимума функционала Э(и). Существует теорема
Дирихле, которая по этому свойству дает возможность
установить качество равновесия системы, а именно,
если:
1)	63 — 0; 62 3 > 0, то 3 = 3min и равновесие устойчиво;
2)	63 = С; 62Э<0, то Э~Эт&х и равновесие неустойчиво;
3)	63 = 0; 62Э = 0, то 3 = const и равновесие безразличное.
В данной книге мы будем иметь дело только с устой-
чивыми системами, поэтому условие (308) будет гово-
рить о минимуме полной энергии. Принцип (308) по
смыслу его вывода справедлив как для линейных, так и
для нелинейных систем, причем нелинейность может
быть и физическая (отклонение от закона Гука), и гео-
метрическая, когда деформации е и у не пропорцио-
нальны перемещениям.
Экстремальное свойство энергии Э наглядно может
быть проиллюстрировано в том случае, когда перемеще-
ния точек системы задаются одной или несколькими ко-
ординатами, т. е. в системах с конечным числом степе-
ней свободы. Например, для стержня, растянутого си-
лой Р (рис. 226), примем функцию и(х) в виде
288
зависимости
и (х) = иР -(x/l) = Zr -(х//).
Здесь параметр Zj имеет смысл обобщенного перемеще-
ния системы с одной степенью свободы. Тогда e—du/dx—
-ZJI.
При нелинейно-упругом материале, характеризуемом
заданной зависимостью U0{e), имеем функцию плотнос-
ти энергии деформации, выраженную через Zi-
= Uо (е) — Uо (^i).
Энергия деформации всего стержня будет при F=const
и=FJJи» dxd!>Jdz = FIU°(Z^-
' V
Таким образом, полная энергия системы
Э = U + П = FIU„ (Zt) — PZf.
В данном случае вместо функционала Э(и) мы имеем
функцию 3(Zi), зависящую от одного аргумента Zj. По-
этому вариация 6Э совпадает с первым дифференциа-
лом этой функции и запишется так:
о ЛЭ
ЬЭ = -~
dZi
’ dUu de. \
И——-Р 6Z,.
ив	/
Из условия 63=0 при произвольном 6Z1 получаем
уравнение для определения Zi:
Fla (е) — — Р — 0,
19—569
289
,2
При нелинейной диаграмме и—е полученное уравнение
будет нелинейным относительно Zi. Так, для диаграммы
на рис. 200 имеем
а = £е — б3 = EZt/l — Er Z^/P,
и упомянутое нелинейное уравнение получает вид:
F [£ (ZJl) — Er (Zvll?\ -Р = 0,
Для линейно-упругого материала энергия деформа-
ции является квадратичной функцией е, поэтому
1	i EZl	1 EFZ\
UB=—=--------------; Э==—------ — PZt.
0	2	2 /?	2 I	1
Зависимость 3(ZJ для этого случая изображена на
рис. 227. Для определения Zj получаем линейное алгеб-
раическое уравнение
аэ EFZj
=----L _ р = 0; Zf = Pl/EF; и (х) = Px/EF,
dZy I
что вполне совпадает с результатами, известными из со-
противления материалов.
§ 54. Расчет упругих систем на основе принципа
вариации перемещений
Покажем теперь, как используется вариационное
уравнение 65—0 для определения перемещений диск-
ретных систем. Пусть последние определяются п неза-
висимыми обобщенными координатами Zi(i=l,...,п) в
виде:
u = Zifi(s) •!- ... +Z„/„(S).	(309)
Здесь под и могут пониматься любые перемещения де-
формируемых элементов системы; число равенств типа
(309) соответствует числу различных видов перемеще-
ний в системе и числу ее деформируемых элементов,
fi(s)—известные функции координат точек (базисные
функции), которые выбираются так, чтобы они не про-
тиворечили кинематическим условиям деформирования
элементов системы; Z, — неизвестные обобщенные пере-
мещения (числа).
В результате вычисления определенных интегралов
типа (301), выражающих энергию системы, мы получим
функцию Э, зависящую от обобщенных координат Z, и
нагрузки Р:
Э = э(гх....z„, Р).
290
Условие равенства нулю полной вариации 63:
^- — Л7 -4-	-L. — K7 -И
оЭ— 6Zj + ... + oZn— О
dZj	dZn
при произвольных и независимых вариациях 6Z,- может
быть выполнено только в случае соблюдения равенств
63 gt/ _дП_
dZ± ~ dZi + 6Z,
(310)
дЭ dU дП
dZn dZn dZn
Если производную д/dZi внести под знак интеграла,
выражающего энергию деформации U [(294), (297)], то
уравнения (310) можно записать так:
[^-аг + ^-=°({ = ь ••• * «Ъ (зи)
J dZt dZt
где Uo — плотность энергии деформации тела в области
интегрирования L (длина стержня, объем тела и т. п.).
Уравнения (310) или (311) служат в общем случае
для определения п неизвестных координат Z$ (i=l,..., п),
определяющих деформированное состояние системы
(309). Для нелинейно-деформируемых систем это будут
нелинейные уравнения относительно Z,. Нелинейность
уравнений вызывается двумя основными причинами: де-
формированием материала конструкции с отклонением
от закона Гука (физическая нелинейность) и непропор-
циональной зависимостью между деформациями и пере-
мещениями в системе (геометрическая нелинейность).
В этих случаях плотность энергии Uo зависит от пере-
мещений не как квадратичная функция, а более сложно,
что и ведет к нелинейности уравнений (311).
В частном, но очень важном случае линейной упругой
системы полная энергия Э представляется в виде квад-
ратичной функции (305), и уравнения (310) получают
вид:
ги^1+г12^2+	= 0;
(312)
т. е. они образуют линейную систему алгебраических
19*
291
уравнений с матрицей коэффициентов гц, являющейся
матрицей жесткости конструкции.
В § 46 было показано, что производная от энергии по
перемещению есть сила (232). Следовательно, уравнения
(310) — (312), выражая условия равновесия деформируе-
мой системы, утверждают, что для каждого обобщенного
перемещения Zi суммарная обобщенная сила (упругая
плюс грузовая) в состоянии равновесия равна нулю.
Если выражение для 3(Zi, Р) составлено, то урав-
нения (312) могут быть получены непосредственным
дифференцированием энергии согласно (310). Так, для
системы на рис. 225, энергия Э была выражена уравне-
нием (303). Для него получим
ЛЧ
—- = l(3£J//3) + (3EF/2/)] Zi - (EF/Z) Z2 - P = 0;
vZ]
0Э EF 3 EF
---= — — Z, ---------Z, = 0.
dZ2 I 2 l 2
Решая эту систему уравнений, найдем перемещения
Z1=P/(3£///3+5£F/6/); Z2==2Zi/3.
Матрица жесткости R, отвечающая вектору Z
D Дп П21 ГЗЕ//Р + 3EF/2/ -EF//1	? _ Г Z, ]
Д21 r22J I —EF//	3FF/2/J	[Z2J’
в данном примере получилась автоматически путем
дифференцирования энергии U. При этом матрица жест-
кости, как об этом говорилось в гл. IX, оказалась сим-
метричной, Г12=г21. Далее в гл. XII будег подробно рас-
смотрен метод перемещений, когда матрица жесткости и
уравнения (312) для линейно-деформируемых стержне-
вых систем составляются непосредственно, минуя этап
получения выражения 3(Z,-, Р) и его дифференциро-
вания.
Для систем с бесконечным числом степеней свободы
представление перемещений в виде суммы (309) будет
в общем случае приближенным. В этом случае уравне-
ния (310) являются уравнениями метода Ритца, служа-
щего для приближенного определения деформированно-
го состояния континуальных систем (сложных стержней,
пластин, оболочек, массивных тел). Такие расчеты в на-
стоящее время производятся в форме так называемого
метода конечных элементов (МКЭ), который подробно
будет описан во второй части курса.
292
Здесь в качестве примера покажем, что с помощью
вариационных уравнений (310) — (312) приближенно
может быть построена матрица жесткости для контину-
ального элемента в виде стержня, связанного с винкле-
ровым упругим основанием (рис. 228).
Из (304) следует, что любой элемент rij=rji матри-
цы жесткости R можно получить как вторую производ-
ную от U:
д-U Г d4J0
  =-------= I --------— dL
11 dZt dZj J dZL dZj '
(314)
Следовательно, для ли-
нейной дискретной систе-
мы матрица жесткости R
имеет вид:
Рис. 228
~d4J dHJ ~
бг2 "• dZldZn
д2Ц	дг1)
JZn dZi	az2n
(315)
Пусть прогибы элемента 0—I заданы рядом:
V
п
(=1
Энергия деформации с учетом (296) будет
i	i
U = J -±- EJ (х) (и")2 dx + f ~ k (х) v°- dx.
о	б
(316)
(317)
Второе слагаемое здесь выражает энергию деформации
упругого основания: элементарная упругая сила kvdx со-
вершает работу на перемещении v, равную -у- (kvdx)v,
з интеграл дает энергию на длине 0—I.
Для применения формулы (314) составим выражение
dW^/dZidZj, учитывая, что в данном случае плотность
293
энергии Uo= -~[EJ(v")2-f-kv2], a v задано рядом (316);
n	д Г П П	I	tin
По формуле (314), интегрируя в пределах 0—I, получим
Z	Z
г = f EJf"t f", dx + J kf f dx.	(318)
IJ .f	1	L L
0	0
Используем формулу (318) для построения матрицы жесткости,
соответствующей вектору перемещений Z— [Zj/г^з-^]1', компонен-
ты которого в виде линейных и угловых перемещений концевых се-
чений рассматриваемого балочного элемента показаны на рис. 228, а.
Примем £7 = const, а жесткость упругого основания — изменяю-
щейся по линейному закону с ординатами на концах k0 и ki. В ка-
честве базисных функций, например, возьмем
1 — 3(x/024~2(x/Z)«; /3(х)=/1(/-х);1
Л = х[1-2(х/0-|- U//)2]; /4(x) = /2(Z-x)J
Эти функции выражают линии прогибов балки постоянного сечения,
свободной от упругого основания, защемленной на обоих концах, у
которой заделка получила единичный прогиб или угол поворота
(рис. 228,6). Выражения (319) могут быть получены по методу на-
чальных параметров.
Подставив (319) в (318) и вычислив определенные интегралы,
получим матрицу /?, отвечающую вектору Z:
(320)
Матрица R может быть представлена в виде суммы
где первая матрица REJ зависит от жесткости стержня на изгиб
EJ, а вторая — от жесткости упругого основания. Они имеют вид:
6 3/	—6	31
2EJ	2/2	—3l	Р
/3	6 —31
СИММ	2/2
(321)
I
420
R
12О*о + 36*/ ’ (15*0 + 7ki) I
; (2,5*0 -ь 1,5*/) Р •
СИММ
294
 27 (ka + ki)
' (6A’O + 71ц) I
• 36kB + 120/ez
 ~(7k0+6ki)l
- 1,5 (Afl + ki) P
* ~(7k0+15ki)l
’ (1,5^4-2,5/г/)/2
(322)
Учитывая нагрузку, действующую на элемент (см. рис. 228,а),
запишем потенциал внешних сил
i
П —— f vq (х) dx — Pav (0) — Л1о v' (0) — Ptv (/) — Mt v' (Z).
Грузовой член Рлр в уравнениях (312) рассматриваемого элемента
будет
дП С
*‘₽ = ^=“Jf‘-9dx”W0)-
6
- Мо ft (0) - Pt ft (I) -	(/).	(323)
Матрицы жесткости (321),
(322) и грузовые коэффи-
циенты (323) могут быть ис-
пользованы при расчетах си-
стем, в состав которых вхо-
дят элементы рассмотренно-
го типа (см. гл. XII).
Выше указывалось, что
для нелинейных систем
уравнения (310), (311) бу-
дут нелинейны относитель-
но Zi. Покажем составление
Рис. 229
таких уравнений на примере
уже рассмотренной конструкции, изображенной на
рис. 225. Примем, что балка АВ линейно-упругая,
а стержни BD, СВ, AD — нелинейно-упруги. Для них
диаграмму деформирования возьмем но рис. 229, кото-
рую аналитически в общем виде можно представить так:
о = £е (1 — со).
(324)
В частности, для диаграммы на рис. 226, б коэффициент
со, учитывающий отклонение от закона линейной упру-
гости, имеет значение
со = Ei&IE.	(325)
Ввиду постоянства плотности энергии (7q в объеме
каждого из стержней BD, СВ и AD выражение полной
29S
энергии системы в отличие от (301) запишется в виде:
3 = Ip zi + Fl£Du"D + FlcB+FIadu*D~FZr (326)
Так как
dUU дб 17 >1 ч дВ
~ = ° 7Г = U ~ w) —	(327)
dZi dZt	oZ}
И
?BD = (Z2~Z^ *cb = -z№ tAD=z№ (328)
то уравнения (310) получают вид:
дЭ
-.7 — [ru (wbd “Ь 0,5шсв) EF][\ Zj +
+ z12 (1 — <0£d)1 Z2 P — °-
= r12 (* “ “/ fl) Z1 + Г22 I1 - (WBD + °.5«ЛО)1 Z2 = °-
(329)
где гц, ria, r22 — элементы линейно-упругой матрицы
жесткости (313).
Поскольку величины со по (325) и (328) зависят от
Zy и Z2, то система уравнений (329) является нелинейной
относительно Zi, Z2. При фиксированной внешней на-
грузке Р ее можно решить по методу последовательных
приближений. Здесь характерны два подхода.
В первом случае в системе (329) грузовые члены со-
храняются в неизменной форме:
гп zi "Ь ri2 Z2 р ~ 0;
r21 Z\ "Ь r22 Z'2 ~ 0’
(330)
а коэффициенты r*t,..., г?2 на каждом данном шаге ите-
раций изменяются за счет величин со, вычисляемых на
предыдущем шаге. Начинают процесс итераций, напри-
мер, приняв все со равными нулю. Такой путь решения
носит название метода переменных параметров упру-
гости.
Во втором подходе все нелинейные члены уравнений
(329) добавляются к грузовым коэффициентам
гн + rir> Z2 — Р — Pi —
(331)
Г21 ^1 "Ь С22 ^2 — ^2 —
296
где величины
Pj = [(шдд + О,5<осв) £F//j Zj + r12 &SD Z2;
^2 ~ WBD r12 A + (шво 4" 0>5<0дО) r22 Z2
называют дополнительными нагрузками. Их значения
также уточняют в процессе последовательных приближе-
ний. Этот подход называют методом дополнительных на-
грузок. Более подробно методы решения нелинейных за-
дач будут рассмотрены в дальнейшем.
§55. Принцип вариации напряжений или внутренних сил
(принцип Кастилиано)
Вновь для примера рассмотрим стержень, испыты-
вающий деформацию растяжения-сжатия (рис. 230, а).
Кроме распределенной погонной нагрузки р(х), на де-
формацию стержня оказы-
вают влияние заданные сме-
щения опорных закреплений
п(0) и // (/).
Продольная сила в про-
извольном сечении может
быть определена из условия
равновесия верхнего участ-
ка стержня 0—х:
N (х) = N (0) — f pdx. (332)
о
Как видим, для опреде-	Рис. 230
ления N(x) надо знать АДО).
Если бы мы захотели опре-
делить N(х) из условия равновесия нижней части, надо
было бы знать усилие А/((). Для вычисления АДО) и А/(/)
можно составить лишь одно условие равновесия:
Rp + N(l)-N(0) = 0,	(333)
где Rp — равнодействующая нагрузки на длине / всего
стержня.
Существует бесчисленное множество значений АД/) и
А/(0), удовлетворяющих равенству (333). Следовательно,
имеет место целое семейство функций внутренних усилий
Л7(х), удовлетворяющих условиям равновесия стержня
(332) и (333). Каждая функция из этого семейства яв-
ляется статически возможной.
297
Поставим вопрос, какому общему энергетическому
условию удовлетворяет функция N (х) или о(х), взятая
из класса статически возможных функций и отвечающая
истинному распределению внутренних усилий в рассмат-
риваемой системе. Ответ на этот вопрос и дает вариаци-
онный принцип Кастилиано или принцип вариации на-
пряжений (внутренних усилий).
Читателю, конечно, ясно, что наличие множества ста-
тически возможных усилий объясняется статической не-
определимостью системы, в которой, как известно, нель-
зя определить усилия, не привлекая условий ее дефор-
мации. Поэтому принцип Кастилиано в энергетической
форме выражает именно эти условия совместной дефор-
мации всех элементов или частей конструкции (условия
сплошности системы в деформированном состоянии).
При выводе принципа Кастилиано будем предполагать,
что система физически может быть нелинейной, а геомет-
рически она линейна. В этом случае получение и исполь-
зование данного принципа наиболее просто и наглядно,
хотя он может быть сформулирован и без указанного
ограничения.
Для его вывода предположим, что истинные функции
усилий N(x) и напряжений о(л) получили бесконечно
малое приращение в виде вариации этих функций 6/V(x)
и бо(х). Суммарные величины A'-pW и o-]-6rf считаем
также статически возможными. Поскольку вся внешняя
нагрузка р(х) уравновешивается силами N и напряже-
ниями о, добавочные величины 6Л' и бо должны быть
самоуравноьешенной системой усилий и напряжений,
которым отвечает бр=О (рис. 230,6). В состоянии, ха-
рактеризуемом напряжениями бп, внешними по отноше-
нию к телу будут только реактивные усилия 67V(0) и
6ЛД/), действующие со стороны внешних связей.
Поскольку система поверхностных сил 6АД0), 6Л7(/)
и внутренних сил 1-бо находится в равновесии, то по
принципу возможных перемещений ее работа 6А на лю-
бых возможных перемещениях равна нулю:
6Л = 0.	(334)
В качестве возможных для деформируемой системы
могут быть приняты любые малые перемещения и про-
порциональные им деформации, которые не нарушают
его сплошности внутри тела и непрерывной связи с опор-
ными закреплениями. Поэтому если тело в рассматри-
298
ваемом деформированном состоянии удовлетворяет ус-
ловию непрерывности перемещений и(-:) и совместности
деформаций е, пропорциональных перемещениям, то они
могут быть приняты в качестве возможных и для них
должно выполняться условие (334).
Итак запишем, как условие совместности деформа-
ций— равенство нулю работы уравновешенной системы
сил 1-6о и 67V(O), 8N(l) на деформациях 1-е и переме-
щениях ц(0), «(/) рассматриваемого состояния
М= — Jf fe-l -So-dV — u(0)-SW (0)+ «(/) 67V (/) = 0.
v
Под знаком интеграла стоит приращение удельной
дополнительной работы ебо=бС7Д°п, что ясно из рис. 231.
Поэтому полученное равенство можно записать кратко
так:
б (//доп + п) = 0.
где
б/А0П = ] f
V
есть дополнительная работа внутренних сил системы,
а величина
/7=7V(O) • zz (0) —TV (Z) • u(Z)
в общем случае представляет потенциал сил, действую-
щих в точках поверхности тела (или в сечениях стерж-
ней), получающих заданные принудительные смещения.
Равенство (335) выражает принцип вариации напря-
299
жений, согласно которому из всех статически возможных
истинные напряжения и усилия в теле обеспечивают
стационарность функционала £7допН-77 В (335) произво-
дится варьирование внутренних сил, поэтому весь функ-
ционал [7доп4-/7 должен быть выражен через внутренние
усилия.
В частном случае линейно-упругого тела и0лоп=1\
следовательно, и во всем объеме тела Uaon=U (см. рис.
200). Если, кроме того, тело не испытывает каких-либо
заданных принудительных перемещений, то 77=0. Тогда
равенство (335) получает вид
Ы/ = о	(336>
и называется условием наименьшей работы, устанавли-
вающим, что из всех статически возможных внутренних
усилий истинные усилия (обеспечивающие совместность
деформаций тела) дают минимальное значение энергии
деформации тела или численно равной ей работе внут-
ренних сил.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим стержень в случае
£F=const и p=const (рис. 232). Обозначив (V(0)=.Xb по фор-
муле (332) получим
N (х) = Хх — рх.
Здесь играет роль параметра, с помощью которого можно варьи-
ровать внутренние усилия.
Энергию деформации, согласно (295), найдем в виде:
I
1	С Л'2 (х) dx
2	,) EF
о
I
= 2^£ f (Xi~₽X)2</X =
о
1
2EF
I ,у2	.2 у ।
IZXj — pl Xj+ — I.
\	& I
Условие (336) дает
dU	dV
f>U = —-	= 0 или — = 0; 2lXl—pP = 0,
dX,	dX,
откуда получим Л) и затем найдем выражение для истинных внут-
ренних усилий:
1	I
Xi = p--, X (х) = р — — рх.
Эпюра УУ(х) показана на рнс. 232. Легко убедиться в том, что опа
удовлетворяет условию деформации данного стержня Л/ = 0.
300
§56. Применение принципа вариации внутренних сил
к расчету упругих систем
Так как принцип Кастилиано позволяет выбрать из
множества статически возможных распределений внут-
ренних сил в системе их истинное распределение, обес-
печивающее совместность ее деформаций, то он естест-
венно используется в расче-
тах статически неопредели-
мых конструкций. Прежде
всего убедимся в том, что
для линейных стержневых
систем он приводит к урав-
нениям метода сил, частично
уже знакомого из курса со-
противления материалов и
более подробно излагаемого
ниже, в гл. XI.
На рис. 233, а изображе-
на рассматривавшаяся ра-
Рис. 233
нее система (см. рис. 225). Она дважды статически не-
определима, поскольку, мысленно отбросив стержни СВ
и AD (рис. 233,6), получаем статически определимую
конструкцию, где все внутренние усилия определяются
только из уравнений статики. Величины Xi и Х2 для за-
данной системы могут служить неопределенными пара-
метрами, с помощью которых можно варьировать внут-
ренние силы в системе. Действительно, изгибающие мо-
менты в балке АВ и продольные силы в стержнях выра-
жаются через Р и X], Х2 из условий равновесия так:
мАвV/2 +*2 V/2;
Л'во = -х2/К^ xCB = xi; xAD = x2.
(337)
Равенства (337) показывают, что любому выбору Xi, Х2
соответствует свое статически возможное распределение
внутренних сил в системе.
Обобщим равенства (337) на случай п раз статически
неопределимой дискретной системы, записав их в форме
S (s) = PfP (s) +Х.А (s) + . • + Хп fn (s),	(338)
где S — любое внутреннее усилие в системе, а Р — па-
раметр (общий множитель) у заданной группы внешних
сил. Функция fP(s)—это эпюра усилия S при Р=1,
301
\ яювлетворяющая условиям равновесия. Аналогично
f,(s)—известные независимые функции распределения
внутреннего усилия S, удовлетворяющие условиям рав-
новесия при Р—0, Xj—0 (j=#=i) и Х(=1 (эпюры S от
Х', = 1). Неизвестные числа Xi называют обобщенными
внутренними силами (лишние неизвестные), а функции
fi(s) по аналогии с (309) —базисными функциями внут-
ренних сил.
Пусть система будет линейно-упругой. Выражение
(338) совершенно аналогично равенству (239), исполь-
зованному в гл. IX для записи выражения (240) потенци-
альной энергии деформации U системы, загруженной не-
сколькими независимыми нагрузками. Будем и здесь
рассматривать Хь..., Хп, Р как независимые нагрузки и
запишем для них выражение U (240) в принятых здесь
обозначениях:
~ («и	+ 612 X! х2 + •.. +в1я Xi Хп + 61Р Xi Р +
+ б;11	*1 + 6П2 ХЛ + • • • + Хп + Хп Р +
+ bpiPXi + bp2PX2+---+bpnPXn + &pp Р2).	(339)
Учитывая равенство 6iP=6Pi, выражение (339) мож-
но аналогично (304) представить в виде квадратичной
формы сил Xi,..., Хп, Р:
1 п / п	\	п
(34G'
г==1 \/=1	/	1=1
Для линейно-упругой системы принцип Кастилиано
выражается равенством (335), которое в данном случае,
когда Р неизменно, а варьируются величины Xi, запишет-
ся так:
б(7 = ^-6Х1 + ...+^вх„ = о.	(341)
Ввиду произвольности и независимости вариаций из
(341) вытекают п уравнений:
dX^ ~ дХп
(342)
которые с учетом (340) дают систему линейных алгеб-
раических уравнений для определения неизвестных
302
Xi,-, Хп-
V1 + «+-" + 6in*n + 6i/’'p=°;
(343)
бп1 *1 + 6П2 \	” + 6пп Хп + *ПР Р = °-
Матрица коэффициентов ее 6,3- есть матрица податливо-
сти А для сил Xi,..., Хп. Из (340) следует, что
ff2U С d4J0
&U = ——— = I -	- dL,
11 dXfdXj J dXidXj
(344)
где Uo — плотность энергии деформации, выраженная
через нагрузку Р и усилия Xt; L — область интегриро-
вания при вычислении энергии.
Для стержней формула (344) дает (241). Следова-
тельно, в общем случае линейно-упругой дискретной си-
стемы имеем такое выражение для
вости:
матрицы податли-
д?и
дХ^
"d;-U
д2и
dXi дХп
* дЧ}'
(345)
дХп dXi
В § 46 было показано, что производная от энергии по
силе есть перемещение (235), из чего можно заключить,
что уравнения (342), (343), выражая условия совмест-
ности деформаций системы, отрицают для нее наличие
суммарного обобщенного перемещения, соответствующе-
го каждому обобщенному внутреннему усилию Xi,..., Хп.
Для системы физически нелинейнб-деформируемой,
учитывая вариационное уравнение (335) при 77=0, вмес-
то равенств (342) получим
а(7Д0П	ди№П
-----• = 0,..., ---= 0.
дХг--дХп
Эти уравнения будут нелинейными относительно Xi.
Примеры использования уравнений (343) для дис-
кретных стержневых систем будут приведены в гл. XI.
Здесь рассмотрим лишь один пример, чтобы показать,
что описанная общая энергетическая трактовка этих
Уравнений позволяет рассчитывать по методу сил и кон-
тинуальные системы, приближенно представляя их с по-
мощью равенства (338) как дискретные.
(346)
А =
&iii •  • &пп

303
Рассмотрим задачу об изгибе системы, состоящей из
двух брусьев переменного сечения, объединенных слоем,
упруго работающим только на сдвиг (рис. 234, а). В по-
перечном направлении (вдоль оси у) материал слоя бу
дем считать несжимаемым. Работу такого составного
стержня можно представить схемой, изображенной на
рис. 234, б. Внутренние силы, вызывающие упругие де-
формации в системе, характеризуются продольными си-
лами в стержнях 7Vi=—N2=N(x), моментами в брусь-
ях М2(х) и усилиями сдвига в упругом слое, ин-
тенсивность которых на единицу длины обозначим t(x).
Заметим, что существует общая теория расчета подоб-
ного рода составных стержней, разработанная
проф. А. Р. Ржаницыным, в которой выводятся соответ-
ствующие дифференциальные уравнения задачи. Исполь-
зуем этот пример, чтобы показать возможности числен-
ного решения ее на основе вариационных уравнений ме-
тода сил (343).
Условия равновесия отсеченной части составной системы и эле-
мента бруса (сумма моментов относительно точки 0 и сумма проек-
ций на ось х на рис. 234, б) дают соотношения
dW
М, + Л4„ = Мр — Л'й; t =— — =— ЛД,	(347)
12	dx
где MF — момент в сечении от внешней нагрузки р(х).
ЗС4
Зависимость между t и сдвигом Д (рис. 234, в) примем линейной
t = £Д. Плотность потенциальной энергии деформации системы на
единицу длины будет
1
2Hf 44^
Ё7Г
t'
(348)
Учитывая равенство прогибов, а следовательно, и кривизн брусьев 1
и 2, имеем следующие соотношения:
, 9 <	\	/ 91	\	(44, + 44g)2 л
44^ = 44^;	+	=	(349)
С учетом (347) и (349) выражение для Uo получит вид:
1
2 [ЕД
(Мр — Nh)z
EJy
(Д")21
л'?+к—^-L (350)
i
Как видим, энергия деформации U= f Vodx выраже-
o
на через одну неизвестную функцию Л^х), которую сле-
дует найти из вариационного условия (336):
6(7 (N) = 0.	(351)
Для того чтобы можно было представить это условие в
дискретной форме (341) и воспользоваться уравнениями
(343), зададимся функцией N в виде:
N =	(х) + •  • + Х„ (х) = 2 Xt (х).
EFl EFi
(352)
k
п—-—4
J |ЕЛ + ЕД
о
Дифференцируя выражение (350) с учетом (352), по
формуле (344) получим элементы матрицы податливо-
сти и грузовые коэффициенты системы уравнений (343):
_ С дЮв
iJ J dXt дХ}
о
1
EF2
о
fifJdx+)Tfif>dx’
о
С hMp
I РГ , РГ fidx-
J EJ j *“Н EJ g
о
(353)
Здесь учтено, что МР пропорционально параметру на-
грузки Р, поэтому дифференцирование Uo по Р и после-
дующее умножение на Р дают вновь под интегралом
функцию МР.
Теперь все дальнейшие вычисления зависят от выбо-
ра базисных функций /Дх). Удобно аппроксимировать
20—569
305
кривую N (х) ломаной, приняв в качестве Хг- ее ордина-
ты в узловых точках (рис. 235, а). Тогда функции Д и их
производные f'. будут иметь вид, показанный на
рис. 235, б, в. Подынтегральные выражения (353) будут
ненулевыми только на длине двух соседних интервалов,
Рис. 235
что приводит к матрице податливости A=[6ij], имеющей
трехдиагональную структуру, удобную для решения
уравнений.
Примем величины h, EJ, EF, k, стоящие под интегра-
лами (353), ступенчато-постоянными на длине 0—I, т. е.
в пределах длины интервала Аг hi—const, £Ji=const,
EFi—const, ki—const, а эпюру MP—изменяющейся no
ломаной кривой. Тогда вычисление интегралов (353) по
правилу Верещагина дает
6/,г—1 = а. - Ь.-,	= 2 (а. + at.+1) + &. + Ь(-+1;
6u+i =алы-А-н;
д	М^/--1 + 2ЛМ\-
iP G(EJlt+ EJ2i)
(354)
ftt+i (?MPi + Afp f_|_j) Xf+1
6 (^i,z+i + EJ^ )
306
где
if1; 1 V; -	1
Oi 6(EJu + EJ2l) +\EFttEFzl} 6 ’	*	’
а система уравнений (343) получит вид:-
6ц 612
(355)
^п,п—1 ^пп_
Рассмотрим простейший численный пример использо-
вания уравнений (355) для системы, показанной на
Рис. 236
рис. 236. Модуль сдвига среднего слоя пусть будет G,
тогда коэффициент k получит значение (рис. 236, в)
k=Cy = G/c.	(356)
Обозначив т='К/с и g=G/E и приняв в качестве неиз-
вестных лишь две ординаты эпюры N, а именно и Х2
(рис. 236, б), по формулам (354) найдем:
о, = о2 = а = 13/n/3Z?; bt — b2 — b = IJmgE;
Д1р =— 12Рт2/Е; Е2р = — 10Рт2/Е;
6ii = 4а-J-2b; 622 — 2a~[-b; 6,2=621 = а — b.
20*
307
Система уравнений (355) получит вид:
152т
\ 3
СИММ
2 . 113т	1	\
mg ) \ 3	mg )
/26т	1	\
\ 3 + mg)
X1 I — PmJ12] = °- <357>
A J L‘°J
При g-+<x имеем стержень «монолитного» сечения,
работающий на изгиб с полным моментом инерции пло-
щади, заштрихованной на рис. 236, а, относительно об-
щей оси z. Из (357) при g-+<x> найдем Ai=6Pm/13 и
X2=2Xi=12Pm/13, что совпадает со значением продоль-
ной силы .V в ветви сечения, вычисленной по формуле
сопротивления материалов:
_	Мр-1-с2
1г 2 [(с3/12) + с3] '
(358)
Рис. 237
Например, для Л1р=РЛ по
(358) получим N—6P7./
/13с=Ль
Если g конечно, то сред-
ний слой системы работает
на сдвиг и значения N будут
меньше даваемых формулой
(358). Так, при g=0,01 и
т—3 из уравнений (357) по
лучим Xi=I ,243/-*,
~ 1,943р. Эти величины не-
значительно отличаются от
их точного значения, най-
денного по теории А. Р. Ржа-
ницына (М=1,198Р и Nz—
==1,868Р). При увеличении
числа неизвестных А, точ-
ность решения повысится.
Уравнения типа (355) мо-
гут применяться в расчетах
элементов жесткости зда-
ний повышенной этажности
(рис. 237). При этом в качестве k принимается среднее
значение kcp=Q/H, где Q — сила сопротивления одной
перемычки при сдвиге Д=1, а Н — расстояние между
перемычками.
308
Раздел четвертый
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Глава XI. МЕТОД СИЛ
§ 57. Особенности расчета статически неопределимых
систем
В курсе сопротивления материалов [12] мы уже по-
знакомились со статически неопределимыми стержнями,
простейшими статически неопределимыми стержневыми
системами, работающими на растяжение (сжатие),
и статически неопределимыми балками. Для расчета та-
ких систем необходимо к уравнениям равновесия добав-
лять уравнения деформаций. В уравнения равновесия в
качестве неизвестных входят усилия, в уравнения де-
формаций — перемещения. Для связи усилий и переме-
щений используется закон Гука. Уравнения равновесия,
уравнения деформаций и закон Гука образуют полную
систему уравнений.
В курсе строительной механики рассматриваются ма-
лые деформации, поэтому полная система уравнений яв-
ляется линейной. Если в качестве неизвестных выбира-
ются усилия, то подобный подход называют методом
сил, если перемещения — методом перемещений. Возмо-
жен и такой подход, когда на части стержневой систе-
мы используются неизвестные метода сил, а на другой
ее части — метода перемещений. Такой вариант расчета
статически неопределимых систем носит название сме-
шанного метода.
Общий подход к расчету статически неопределимых
систем путем составления общей системы уравнений рас-
смотрен в § 87. Обычно в строительной механике не со-
ставляется совместная система уравнений статики и
уравнений деформаций, а используется вспомогательная
основная система.
§ 58. Определение степени статической неопределимости
Первоначально рассмотрим случай плоских стержне-
вых систем, загруженных в своей плоскости. Будем пред-
309
Рис. 238
3. следовательно. п = 6—3=3.
полагать, что рассматриваемые системы являются гео-
метрически неизменяемыми. Напомним некоторые сведе-
ния из сопротивления материалов. В любом поперечном
сечении плоского стержня при загружении в его плоско-
сти возникают три внутренние силы М, Q, N, которые
могут быть определены из уравнений статики 2Л1=0,
SF=0, SX=0, если из-
вестны внешние силы,
действующие на стер-
жень. Таким образом, ес-
ли найдены опорные ре-
акции, действующие на
балку, то сама балка яв-
ляется системой статиче-
ски определимой. Будем
обозначать степень стати-
ческой неопределимости
буквой п. На рис. 238, а
изображена балка, число
опорных реакций которой
равно 6, число уравнений
статики для плоскости —
Покажем, что введение шарнира в балку (рис. 238, б)
понижает степень статической неопределимости на еди-
ницу. Разрежем балку по шарниру С и рассмотрим пра-
вую отсеченную часть (рис. 238, в). Момент в шарнире
равен нулю, следовательно, в точке С возникают две
внутренние силы Nc, Qc- Составляя сумму моментов пра-
вых сил относительно точки С и приравнивая ее нулю
(SMC=O), получим дополнительное уравнение статики
0. Если провести разрез по 1—1 (рис. 238, а), то
в аналогичное уравнение, помимо опорных реакций,
войдет внутренний момент в сечении 1—1, т. е. дополни-
тельное уравнение дает дополнительное неизвестное,
и нового уравнения для определения опорных реакций
не получается. С учетом сказанного степень статической
неопределимости балки, изображенной на рис. 238, б,
равна: п=6—3—1=2.
Как указывалось выше, узлы в стержневых системах
в большинстве случаев бывают либо жесткими, либо
шарнирными. Рассмотрим первоначально некоторую про-
извольную ферму (рис. 239, а). Число уравнений равно-
весия равно удвоенному числу узлов, так как для каж-
310
дого шарнирного узла можно составить два уравнения
статики (SX=0; SY=0). Обозначим число узлов фермы
k, тогда степень статической неопределимости равна раз-
ности между числом неизвестных и числом уравнений
n=s—ZR. для системы,
изображенной на рис.
239,о, имеем п=19—
—14 = 5.
На рис. 239, б показа-
но другое изображение
неподвижной опоры для
узла 5. Для правильного
подсчета числа неизвест-
ных необходимо всегда
помнить, что такая опора
эквивалентна двум опор-
ным стержням. Обратим
внимание на то, что при-
веденная формула при-
Рис. 239
годна только в том слу-
чае, когда исследуемая
система является неизме-
няемой. Ферма на рис.
240 является изменяемой,
в то время как исполь-
зование формулы пока-
зывает, что степень ста-
тической неопределимости
равна	n=s—2k=22—
—20 = 2. Получается это
вследствие того, что фер-
ма имеет три лишние свя-
зи в первой, второй и чет-
вертой панелях, в то вре-
мя как в третьей панели
отсутствует необходимая
связь.
Рассмотрим далее ра-
му с жесткими узлами
(рис. 241). Выделим из рамы
него уравнения равновесия:
Рис. 240
Рис. 241
стержень и составим для
= 0; —N„ + N3 = 0; Л'2 = Л\ = Л';
z ч = 0; Q. — Qs~6; Q2 — Qs — Q'<
314
Af _ Mi
SAf2 = 0; M2 — M3 + QI = 0; Q = — --------------
Таким образом, в стержне неизвестными являются
три усилия, остальные три усилия могут быть найдены
из уравнений равновесия. Полное число неизвестных в
стержневой системе с жесткими узлами 3s. Поскольку
для каждого жесткого узла рамы можно составить три
уравнения, то число уравнений равно утроенному числу
узлов (ЗЛ). В число узлов не надо включать опорные
Рис. 242
узлы, так как в каждое из уравнений равновесия для
этих узлов войдут три опорные реакции и дополнитель-
ных уравнений для определения усилий в стержнях при
этом не появится. Итак, n=3s—3&=3(s—Л). Для сис-
темы на рис. 241 имеем /г=3(8—5) =9.
Рассмотрим далее раму, имеющую наряду с жестки-
ми шарнирные узлы. Шарниры бывают простыми и
сложными. На рис. 242, а изображен простой шарнир.
Под простым шарниром будем понимать шарнир, пере-
секающий два стержня. Для этого случая можно соста-
вить одно дополнительное уравнение (сумма моментов
относительно точки К для части конструкции 1 равна
нулю, см. рис. 242, а).
На рис. 242,6 показан сложный шарнир. Соединение
на рис 242, в эквивалентно соединению на рис. 242, б,
т. е. сложный шарнир на рис. 242, б эквивалентен трем
простым шарнирам. Для этого случая можно составить
три дополнительных уравнения статики:
= 0;	= 0; 2Л4”1 = 0,
где I, II, III — части конструкции, расположенные по од-
ну сторону от сечения, проведенного через шарнир К.
В общем случае сложный шарнир эквивалентен
(s—1)-му простому шарниру (где s — число стержней,
пересекаемых шарниром). При этом шарнир должен пе-
312
ресекать все примыкающие к узлу стержни (шарнир на
рис. 242, г является простым шарниром). Таким обра-
зом, для рамы с шарнирами степень статической неопре-
делимости может быть определена по формуле
n = 3(s —й)—ш,	(359)
где ш — число простых шарниров. Для случая, показан-
ного на рис. 243, имеем «=9—5=4.
Наконец, рассмотрим случай, когда система отлича-
ется от рамы с жесткими узлами не только наличием
шарнирных узлов, но и отсутствием линейных связей.
В этом случае можно на нее наложить связи [7], пре-
вратив ее в раму с жесткими узлами, и степень статиче-
ской неопределимости определять по следующей общей
формуле:
J	(360)
п — 3 (s k) — Сна л >
где снал — число наложенных связей.
Рассмотрим систему на рис. 244, а. Превратим ее в
раму с жесткими узлами (рис. 244,6). Наложенные свя-
зи обозначены цифрами. Степень статической неопреде-
лимости рамы будет равна: п=9—6=3.
Определение степени статической неопределимости
тесно связано с выбором основной системы, которая по-
лучается из заданной путем отбрасывания лишних свя-
зи
зей [12]. Число лишних связей и равно степени статиче-
ской неопределимости. На рис. 245, в, г показаны основ-
ные системы, полученные из заданных (рис. 245, а, б)
путем отбрасывания связей. Усилия в отброшенных свя-
зях обозначены буквами X.
Иногда для простоты анализа (в случае, если диск
системы неизменяемый) удобно рассматривать раздель-
но статическую неопределимость самой конструкции н
статическую неопределимость ее присоединения к зем-
ле. Введем обозначения:
fii — внутренняя степень неопределимости (степень
статической неопределимости самой конструкции);

п2 — внешняя степень статической неопределимости
(степень статической неопределимости присоединения
конструкции к земле);
П = П1 + п2.
Для систем, изображенных на рис. 246, а, б, соответст-
венно имеем: Hi=6, гг2=1, п~1\ Hi = l, «2==0, и=1-
314
Остановимся далее на вопросах определения степени
статической неопределимости пространственных систем.
Первоначально рассмотрим случай, когда все узлы шар-
нирные. Под шарнирными узлами будем понимать узлы,
соединенные шаровыми шарнирами, обеспечивающими
свободу поворота относительно трех осей. В этом случае
аналогично плоским системам число неизвестных равно
числу стержней ($). Для каждого шарнирного узла
можно составить три уравнения равновесия. Степень
статической неопределимости вычисляется как разность
между числом неизвестных и числом уравнений n=s—3k.
Если все узлы жесткие, то в каждом стержне по кон-
цам возникает по шесть компонентов внутренних уси-
лий (рис. 247). Для каждого стержня можно составить
шесть уравнений равновесия: S£=0, 2ц=0, ££=0,
SM6=0, 221^=0, 2ЛД=0.
Таким образом, учитывая уравнения равновесия,
каждый стержень имеет шесть неизвестных (№, Q‘‘}, Q2
44«, Л4“, Л4“). Остальные неизвестные (№, Q“, Q'£, Л1£
Л4“, М*) могут быть найдены из уравнений равновесия.
Полное число неизвестных в системе будет 6s (s — число
стержней). Для каждого узла можно составить шесть
уравнений равновесия. Полное число уравнений будет 6k
(fe — число узлов). Зная число неизвестных и число урав-
нений равновесия, можно записать формулу для опреде-
315
ления степени статической неопределимости: n=6s—-
—6k=6(s—k).
Если система имеет одновременно и шарнирные,
и жесткие узлы, то аналогично плоским системам мож-
но путем наложения связей сделать все узлы жесткими.
При этом соответствующая формула будет иметь вид:
п = 6 (s — k) — свал.	(361)
Для определения степени статической неопределимо-
сти системы (рис. 248, а) превратим ее в систему с жест-
кими узлами (рис. 248,6). Для этого необходимо нало-
жить следующее число связей на точки:
А— 3 связи
В — 1 связь
С — 3 связи
п = 6 (s k) — Сдал
D — 5 связей
Е — 3 связи
Итого: Снал == 15 связей
6(9 —5) —15 = 9.
§ 59. Канонические уравнения и их особенности
Как известно из курса сопротивления материалов,
для раскрытия статической неопределимости использу-
ется основная система, для которой составляются кано-
нические уравнения. Из этих уравнений определяются
лишние неизвестные X,. После того как лишние неизвест-
ные найдены, решение сводится к расчету основной ста-
тически определимой системы на действие внешней на-
грузки и лишних неизвестных. Согласно принципу су-
перпозиции, искомое усилие в заданной системе
S = sO, + S1A'1 + SzX_+.. +S X ,	(362)
где Хр— искомое усилие в основной системе от внешней нагрузки;
Si —значение искомого усилия от Х<=1; Xi — лишнее неизвестное
(1 = 1,..., п).
Остановимся на вопросах, связанных с составлением
канонических уравнений. Для составления системы ка-
нонических уравнений необходимо выбрать основную си-
стему. Основная система должна быть статически опре-
делимой и геометрически неизменяемой.
Рассмотрим процесс составления канонических урав-
нений на конкретном примере. На рис. 249, а показана
рама и ее деформация под действием силы Р. Опреде-
лим ее степень статической неопределимости по форму-
ле /г=3 ($—-&) =3(2—1)=3. На рис. 244,6 показана ос-
316
новная система. Реакции в отброшенных связях обозна-
чены Хь Х2, Х3. На рис. 249, в показана деформация ос-
новной системы под действием внешней силы Р. Для
того чтобы основная и заданная системы работали одина-
ково, необходимо, чтобы перемещения по направлению
отброшенных связей были равны нулю. В нашем случае
А1=0, Д2=0, Лз=0, где А,— перемещение в основной
системе от сил Хь Х2, Х3 и силы Р по направлению силы
X: (i—l, 2, 3).
Используя принцип суперпозиции, будем иметь:
Д1 = Ли + Д12 + Л13 + Д1Р = 0;
A2 = A21 + A22+A23 + A2P=0;
Д3 ~ Д31 + Дзг + Д33 + ДЗР = О’
(363)
317
где Д,-; — перемещение по направлению силы X,- от силы Xj (i=l,
2, 3; /=1, 2, 3); £цр— перемещение по направлению силы л< от
нагрузки Р;
=	(364)
Перемещения от единичных нагрузок будем обозначать
малыми буквами &, а от произвольных — большими бук-
вами А.
Подставляя (364) в (363), получим систему канони-
ческих уравнений метода сил:
6и хт + х2 + 6тз хз +	= 0;
в21х1 + 62гх2 + в23х3 + Д2р = 0;
631xi + 632 x2 + 633x3+a3₽ = °J
(365)
Геометрический смысл коэффициентов Д,р и б,-, пояснен
на рис. 249, в—е, где показаны деформации основной си-
стемы под действием нагрузки Р и единичных сил Xi=l,
Л'2=1, Д3=1.
На рис. 250 показаны еще четыре варианта основных
систем для рамы, изображенной на рис. 249, а. Пункти-
318
ром на рис. 250, а—в показаны деформации основных
систем под действием силы Р. Система по рис. 250, г не
может быть использована в качестве основной, так как
она является мгновенно изменяемой.
Геометрический смысл канонических уравнений дтя
основных систем, показанных на рис. 249, б и 250, а—в,
пояснен в табл. 2.
Таблица 2
Уравнения (365)	С м. рис. 249, б	См. рис. 250, а	См. рис. 250, б	См. рис. 250, в
1-е	Вертикальное перемещение в точке Л=0	Г оризон- тальное пе- ремещение в точке Л=0	Вертикальное перемещение в точке Д=0	Угол пово- рота в точ- ке В=0
2-е	Горизонталь- ное перемеще- ние в точке	Угол пово- рота в точ- ке Л=0	Угол поворота в точке Д=0	Взаимный угол пово- рота в точ- ке С—0
3-е	Угол поворота в точке Д=0	Угол пово- рота в точ- ке В=0	Взаимный угол поворота в точке С=0	Угол пово- рота в точ- ке Д=0
Канонические уравнения для всех вариантов основ-
ных систем записываются идентично, но для различных
вариантов каждое из уравнений имеет свой геометриче-
ский смысл (см. табл. 2). В каждом из вариантов пере-
мещения вычисляются в своей основной системе.
В случае, если при выборе основной системы
(рис. 251, а) врезается простой шарнир (уничтожается
одна связь) и в качестве лишне] о неизвестного прикла-
Рис. 251
319
дываются два равных и противоположно направленных
момента (рис. 251,6), каноническое уравнение нмее,
смысл: взаимный угол поворота стержня I относительно
стержня II равен нулю, или угол между стержнями / и
II, равный а до деформации, перемещается как жесткое
целое и остается равным а и после деформации. В слу-
чае, если при выборе основной системы врезается слож-
ный шарнир, его постановка эквивалентна снятию s—1
связи (так как он эквивалентен s—1 простому шарниру,
где s — число стержней, перерезаемых шарниром). Для
компенсации этих связей необходимо ввести s—1 лишних
неизвестных.
На рис. 251,в изображен жесткий узел, к которому
примыкает четыре стержня. Действие отброшенных свя-
зей заменим реакциями Xi,X2, Х3 (их число равно s—1 =
=4—1=3). Первое каноническое уравнение (соответст-
вующее Xt) гарантирует сохранение угла между стерж-
нями I и II. Второе и третье канонические уравнения —•
соответственно сохранение угла между стержнями
II—III и III—IV, а угол между стержнями /—IV будет
сохраняться автоматически, так как сумма углов равна
2л. Принятая на рис. 251, г комбинация неизвестных яв-
ляется не единственной, можно принять другую комби-
нацию, но в любом случае лишних неизвестных должно
быть три и они должны быть между собой линейно-не-
зависимы. Для иллюстрации сказанного на рис. 252
Рис. 252
показана статически неопределимая рама и основная си-
стема для нее, полученная из заданной путем врезания
простого и сложных шарниров (рис. 252, б).
Разница в работе основной системы и заданной со-
стоит в том, что в основной системе возникают разрывы
в перемещениях (линейных или угловых) по направле-
нию отброшенных связей. Лишние неизвестные, находя-
щиеся из канонических уравнений, подбираются таким
образом, чтобы эти разрывы были ликвидированы. По-
320
этому канонические уравнения метода сил являются ана-
логом уравнений совместности теории упругости. Если
система является п раз статически неопределимой, то
канонические уравнения для нее будут иметь вид:
6u^ + 612^+---6v^+"-fiInAn+Alp = 0;
*21	+ «22 Х2 + • • • «2J *,+•" 62П *П + Д2Р = °!	(366>
«а \ + «.-2 *2 + • • * «« Xj + • • • «,п Х. + Д1Р = °!
6П1 *1 + 6П2 Л2 + • * • 6nJ Х} + • • ' «пп Хп + Дп₽ = °'
При этом произвольное Ее уравнение имеет смысл — пе-
ремещение по направлению i-й отброшенной связи рав-
но нулю. Систему канонических уравнений удобно за-
писать в матричной форме:
Матрица А является матрицей податливости (см. § 42)
основной системы на действие лишних неизвестных. Ее
элементами служат перемещения от единичных значений
лишних неизвестных по их направлению, поэтому эту
матрицу называют также матрицей единичных переме-
щений: X — вектор лишних неизвестных; ДР — вектор
грузовых перемещений.
Остановимся далее на некоторых свойствах матрицы
единичных перемещений. На основании теоремы о вза-
имности перемещений	матрица А всегда явля-
ется симметричной матрицей. Предположим, что задан-
ная система не испытывает никаких воздействий, тогда
перемещения в основной системе должны быть равны ну-
лю (ДР=0) и система канонических уравнений превра-
щается в однородную систему:
АХ = 0.	(368)
21—569	321
Но для того чтобы однородная система (368) имела одно I
единственное решение X—0 (при отсутствии воздействия I
на систему лишние неизвестные в ней равны нулю), не- I
обходимо, чтобы Det Л=#0 [14]. Если детерминант сис- ]
темы оказался равным нулю, то это говорит либо о не- |
правильном выборе основной системы (принята изменяе-
мая или мгновенно изменяемая основная система), либо
о неправильном вычислении единичных коэффициентов. 1
Как следует из § 46, потенциальная энергия в основ-
ной системе может быть представлена в виде U= ,
=--^-ХТАХ. Потенциальная энергия всегда положитель-
на, следовательно, матрица Л является положительно оп-
ределенной. Из свойств положительной определенности
матрицы податливости А следует [14]: 1) Det/4>0;
2) все главные миноры>0.
Покажем далее, как будет изменяться система кано-
нических уравнений (ее матрица и грузовой столбец)
при переходе от вектора X к новому вектору X', кото-
рый связан с X линейным соотношением
Х = СХ'.	(369)
Матрица податливости при этом будет	преобразовывать-
ся по формуле (см. § 49)
Л* = СТДС.	(370)
Рассмотрим	далее	систему канонических	уравнений
(367). Покажем, как она изменится при переходе от X
к X', которые связаны соотношением (369). Подставляя
(369) в (367), получим
АСХ1 + Др = 0.	(371)
Для того чтобы множителем при векторе X' стояла со-
ответствующая ему матрица податливости по выраже-
нию (370), умножим систему (371) на Ст (при умноже-
нии системы уравнений на матрицу получается равно-
сильная система, так как этот процесс эквивалентен
умножению строк системы уравнений на числа и сложе-
ние их). Для того, чтобы число линейно-независимых
уравнений осталось прежним, необходимо, чтобы матри-
ца С была невырожденной (DetC=#0), т. е. в качестве
322
новых лишних неизвестных можно принимать любую ли*
нейно-независимую комбинацию предыдущих
или
Ст АСХ' + СтДр = О
Д*Х' +Др= О,
(372)
где А*— матрица податливости, соответствующая вектору Х'~, Др—
вектор-столбец обобщенных перемещений, соответствующих векто-
ру
Рассмотрим простейший
пример. На рис. 253, б, в пока-
заны два варианта основной
системы для рамы по рис.
253, а. Разница в вариантах
основных систем заключается в
различных направлениях лиш-
них неизвестных. Грузовая
эпюра для обоих вариантов
одинакова и показана на рис.
253, г Перемножая эпюры мо-
ментов (рнс. 254), соответст-
вующие первому варианту (см.
рис. 253,6), получим матрицу
податливости и вектор грузо-
вых членов для первого вари-
анта основной системы:
Рис. 253
Из рассмотренных основных
систем, изображенных на рнс.	"ис-
253, б, в, можно выразить не-
известные первого варианта
через неизвестные второго:
,	,	3
Xj =	+ Х2 sin a sin а =	;
Х2 =
Х2 cos а
- 1
= С-Х', где С = —
21*
323
Используя (372), построим матрицу податливости и грузовой стол-
бец для этого варианта основной системы:
	'^1	^12	1	"5 0'	а3	’ 72	—54'	1	-5	з-
А*=	621		= 5	3 4	EJ			63_	5	.0	4_
		а	11800 0		—***	1	[5 0			
25£7 [ О 360J’	~ 5 |з 4
Ра3 Г—451 _ Ра3 1—2251
Х 2£J [ 27] = 10£J I— 27]’
(374)
Те же выражения можно получить, перемножая соответствующие
эпюры по второму варианту основной системы (рис. 255). Ордината
эпюры 714 2 под центром тяжести эпюры М\ равна нулю, в резуль-
тате чего б]2 = 62i = 0, т. е. матрица А* имеет диагональный вид.
Равенство fi]2=0 означает, что точкам от силы Х2=1 перемещается
только по горизонтали (рис. 255,6). Аналогично равенство 621 =0
означает, что перемещение точки k происходит по направлению, пер-
пендикулярному направлению силы X 2 (рис. 255, о).
§ 60.	Общий алгоритм расчета.
Определение перемещений в статически неопределимых
системах
Продемонстрируем алгоритм расчета статически не-
определимых систем на примере рамы, изображенной на
рис. 256, а. Процесс расчета удобно разделить на ряд
этапов:
1.	Определение степени статической неопределимо-
сти. Для определения степени статической неопредели-
мости воспользуемся формулой n=3(s—k)—ш—3(5—
324
Н Н Щ H t ft
Рис. 256
—3)—3=3. Степень статической неопределимости при-
нята не высокой с тем, чтобы не перегружать текст из-
лишними арифметическими выкладками. В то же время
на этом примере можно показать все существенное, что
характерно для расчета систем с высокой степенью ста-
тической неопределимости.
2.	Выбор основной системы. Для выбора основной си-
стемы необходимо в заданной системе отбросить три свя-
зи (п=3), причем отбрасывание надо производить та-
ким образом, чтобы полученная основная система была
статически определимой и геометрически неизменяемой.
Выбор основной системы является важным этапом, так
как от него в сильной степени зависит трудоемкость рас-
чета. При выборе основной системы желательно, чтобы
грузовые и единичные эпюры были как можно более
просты и распространялись на наименьшее число эле-
ментов. Вопросы выбора основной системы и требова-
ния, предъявляемые к основной системе, будут рассмот-
рены в дальнейшем. Примем в качестве основной
системы статически определимую и геометрически неиз-
меняемую раму, показанную на рис. 256, б.
3.	Построение грузовой и единичных эпюр. Грузовые
и единичные эпюры строятся в статически определимой
системе, и методика их построения описана в § 14. По-
строение этих эпюр надо начинать с определения опор-
ных реакций (за исключением консольных основных си-
стем). Грузовая и единичные эпюры для рассматривае-
мого примера показаны на рис. 256, в—е. В дальнейшем
для контроля понадобится так называемая суммарная
эпюра Л42. Она представляет собой сумму эпюр от всех
единичных неизвестных (см. рис. 256, ж). Эту эпюру же-
лательно строить независимо от предыдущих и далее
произвести контроль:
= М1 4- М2 + ЛГ3.	(375)
4.	Вычисление единичных и грузовых коэффициентов.
Используется либо правило Верещагина (если перемно-
жаемые эпюры треугольники или фигуры, для которых
легко определяется положение центра тяжести), либо
правило перемножения трапеций (если перемножаемые
эпюры линейны), либо формула Симпсона (если одна из
перемножаемых эпюр криволинейна) (см. § 40). В на-
шем случае, используя правило Верещагина, будем
326
иметь:
2	8	1
2-2--2 = — = — 8;
3 EJ EJ
8	1
— 2,667; 613 = 0;
c J
Ei2 = — — 4-4 — 4+ — — 4-2 — 4+ — — 2
2 CJ °	3 EJ 2	3 EJ 2
104	1
=----=----34,667;
3EJ EJ
1 1	2
4.4.1—-----4-2- — 1=—
EJ 2	EJ 2	3
1	112
3 EJ	EJ 2	3
1	2 q
Alp = —	—2-1 = —
lP	EJ 3 2
1	2 q
lp	EJ 3 2	EJ 3
Дзр = — —- 2 — = — — = — 0,333.
ip EJ 3 2	2 EJ 3 EJ
Для контроля перемножим суммарную эпюру саму на
себя (622) и на грузовую (Л2р):
4	112
= —[2 (Ы 4-3-3)-1-3-1-3] 4- — — 3-2 — 34-
LjJ	О
2	1 62	1
• 2-2 — 2 =----= — 20,667;
3	EJ 3	EJ
---^-— = —— 1,667. (377)
EJ 3 EJ
6£, =3——
1 EJ 2
8	Lo o_2_o_
12 EJ 2	3 3EJ
11	2	11	2
EJ 2
1 _	2
• 2 3 2 =
f>23
1 1
1_ 32
EJ 3
i^JL-L*
EJ 3
2
"з
4
q
EJ
q
— — 10,667;
EJ
1
= — 4,667;
EJ
— ~7 0,667;
EJ
— — 1,333;
EJ
(376)
— i
4-2 — —
EJ 2
A JL-Lj-
^P~~EJ 3 2
Запишем процесс перемножения суммарной эпюры
самой на себя в общем виде:
Г Л42. ds
EJ
(Mi + M2 + M3)2ds
EJ
* M2 ds
1 EJ
M2 М3 ds
EJ
M^ds
EJ
Ms М± ds
= 6U 4- б>22 + 633 4-
J EJ
+ 2 (6l2 + fi23 + 631),
З2/
т. е. результат равен сумме единичных коэффициентов
(побочные коэффициенты равны между собой и в мат-
рице единичных коэффициентов встречаются дважды).
Приведенная формула получена для п—3, но очевидно,
что аналогичная формула верна и при любом п. В на-
шем случае
= — [8 + 34,667 + 4,667 + 2 (—2,667 — 10,667 + 0)] =
EJ
= —20,667.
EJ
Сравнивая это значение с (376), убеждаемся в правиль-
ности вычисления единичных коэффициентов. Если дан-
ная проверка не получается, то для выявления ошибки
делается так называемая построчная проверка:
CM.M^ds	/ CMiM^ds
5(2 =	EJ = k J EJ b
f MtM2ds MtM3ds \
+ J EJ + EJ j =	+ 6/3,
t. e. результат перемножения суммарной эпюры на i-ю
равен сумме единичных коэффициентов i-й строки. Сде-
лаем эту проверку для первой строки:
11	2	1 16	1
б,т = 2---2-2 — 2 =--— = —5,333
12 EJ 2	3 EJ 3 EJ
С другой стороны,
= — (8 — 2,667 + 0) = — 5,333.
12 EJ	EJ
Аналогично может быть проделана проверка и для ос-
тальных строк.
Для проверки грузовых членов перемножим суммар-
ную и грузовую эпюры в общем виде:
т. е. результат равен сумме коэффициентов
Дхр =	(—0,667 — 1,333 -4- 0,333) = — — 1,667.
328

Сравнивая это значение с (377), убеждаемся в правиль-
ности вычисления грузовых коэффициентов.
5.	Решение системы канонических уравнений. Систе-
ма канонических уравнений имеет вид:
8 EJX1	2,667 v EJ 2		?0,667 — —	= 0; EJ
-2-^х1 + EJ	34,667 —; Х2- EJ	10,667 EJ 3	«1,333 — 		= 0; EJ
	- EJ ' 2	4,667 - —	Xs EJ	?0,333 + —	= 0. EJ
Умножая все уравнения на EJ, получим коэффициенты
окончательной системы канонических уравнений. Реше-
ние системы канонических уравнений приведено в
табл. 3 (см. приложение).
Таблица 3
	1	2	3	Суммы	Правая часть	Значение X
I	8,000	—2,667		5,333	0,667?		
2	—2,667	34,667	— 10,667	21,333	1,333?	—
3	—	—10,667	4,667	—6,000	—0,333?	—
1	8,000	—2,667	—	5,333	0,667?	0,112?
2	—0,333	33,779	—10,667	23,109	1,555?	0,085?
3	—	—0,316	1,296	1,302	0,158?	0,122?
После решения системы необходимо сделать провер-
ку путем подстановки в систему канонических уравнений
найденных значений лишних неизвестных АХ=—ЛР:
АХ =
8	—2,667	О
—2,667	34,667	—10,667
0	—10,667	4,667
ГО,112
0,085
0,122
Г 0,6691
1,347
—0,337
Q-
? =
6.	Построение окончательной эпюры моментов. Для
построения окончательной эпюры моментов воспользу-
емся формулой Мр—Л1р+М1Х1-1-Л12.Х2-1--МзХз.
Сначала умножим единичные эпюры на значения
лишних неизвестных (рис. 257,а—в). Складывая полу-
ченные эпюры с грузовой эпюрой (см. рис. 256, в), по-
лучим окончательную эпюру моментов (рис. 257,г).
7.	Построение эпюр Q и N. Эпюры Q и N строятся по
известной эпюре МР аналогично тому, как это показа-
329
но в § 14. Для построения эпюры Q используется зави-
симость Журавского Q—dMpldx, т. е. поперечная сила
равна тангенсу угла наклона эпюры моментов (если по-
следняя имеет вид прямой линии). Если стержень рамы
загружен распределенной нагрузкой, то выделяется со-
ответствующая балочка, которая загружается распреде-
ленной нагрузкой и моментами по концам (рис. 258,6).
Для построения эпюры N вырезаются соответствующие
узлы (рис. 258,в). После того как построены эпюры МР,
Q, N, можно проверить равновесие всей системы в це-
лом (рис. 258, д):
2Х = 0,085?+0,0279 — 0,1129 = 0;
2У= 1,109?+ 1,7799+ 1,1129 — 49 = 0;
= 0,1229 +0,054?+ 1,1099-4+ 1,7799-2 —
— 0,085?-2 — ?-4-2 = 0.
8.	Проверка правильности построения окончательной
эпюры моментов, деформационная проверка. Оконча-
тельная эпюра (см. рис. 257, г) получена с использова-
ло
д)
0,122q
П П'7ДТт^
0,02 75
0,0547]
0,1127] ।
;	/, 779а	7,1127]
^0,085]	7
1,1097]
рис. 258
нием основной статически определимой системы и мо-
жет пониматься как эпюра в статически определимой
системе при действии на нее заданной нагрузки q и лиш-
них неизвестных Xi, Х2, Х3. Если перемножить ее с эпю-
рой моментов Mi (см. рис. 256,г), то на основании ме-
тода Мора получим горизонтальное перемещение точки
приложения силы Xi. Но это перемещение должно быть
равно нулю, так как лишние неизвестные найдены из ус-
ловия, что перемещения по их направлению равны ну-
лю. Вычислим это перемещение для нашего случая:
MpALds 12-2 2	2
А—= —— — °,о549 + —7(_4.1.0,3881/+
EJ EJ 2 3	&EJ
EJ 2 3
1 2*2 2	2g
+ 2-0,224?) + — — — 0,224г/ = -А- (1 ,560 - 1,552) « 0.
cj Z о	bej
331
Ошибка возникла в результате округлений в процессе
счета, но ввиду ее малости она несущественна. Очевид-
но, что и результат перемножения окончательной эпюры
с другими единичными эпюрами (Л12, М3) также должен
быть равен нулю, а следовательно, должен быть равен
нулю и результат перемножения окончательной эпюры
на суммарную (Мх):
Д4 ds
EJ
4
=------[1-0,122а+ 4 1 -0,048? + 3-0,218?] +
6EJ
2	2
+ ТУТ (3-0,218? — 4-1,5-0,391?) 4--------(2-0,224? — 4-1 -0,388?) +
oLJ	6EJ
1 2-2 2	2?
+ 77 ТТ °’224(? = 777 <3-934 - 3’898» к °-
b-J 2 3	6£j
Приведенная деформационная проверка указывает
на то, что в окончательной эпюре перемещения по на-
правлению отброшенных связей рав-
0,78 b
Рис. 259
ремножить их. Как
ны нулю, т. е. ее выполнение гово-
рит о правильном составлении и ре-
шении системы канонических урав-
нений.
9. Определение перемещений в
статически неопределимых системах.
При использовании метода Мора
для определения перемещений в уп-
ругой системе необходимо построить
грузовую и единичную эпюры и по-
следует из вывода формулы Мора
(см. §39), при этом совершенно несущественно, является
ли система статически определимой или статически неоп-
ределимой. Продемонстрируем процесс вычисления пере-
мещений на примере рамы, изображенной на рис. 256, а.
Предположим, что необходимо определить горизонталь-
ное перемещение точки К. Грузовая эпюра показана на
рис. 257, г. На рис. 259 изображена окончательная эпю-
ра от силы Р=1 в заданной системе. Эта эпюра построе-
на аналогично описанному выше, причем в качестве
нагрузки принята сила Р=1:
V Г ММР 2
Zj -у—= —г[2(-0.122?-0,784 - 0,048?-0,527) +
2
+ 0,122? • 0,527 + 0,048? - 0,784Ц-- [2 (— 0,048? -0,527+
GEJ
332
+ 0,218?-0,162) + 0,048?-0,162 — 0,218?-0,527] +
2
Н-----(0,218?-0,162 — 4-0,391^-0,081) +
6EJ
2	112
+ ———(0,224?-0,230 — 4-0,388?-0,Н5)— — —2-0,054? —0,460+
bEJ	EJ 2	3
+ ——- 2-0,224? — 0,230 = —0,131 —.	(378)
EJ 2	3	EJ
При построении эпюры М (см. рис. 259) может быть
использована любая основная система. В частности, мо-
жет быть использована прежняя основная система (см.
рис. 256,6), но может быть применена и другая основ-
ная система, например показанная на рис. 260, а. Тогда
М = Л4°+	Х[ + М2 Х2 + /Й3Х3.
Перемножая эпюры МР (см. рис. 257, г) и М (см.
рис. 259), получим
333
Но в соответствии с деформационной проверкой
VCMpM'ds
I —- =0 (так как при построении эпюры МР мог-
ла быть использована и основная система, показанная
на рис. 260, а). Имеем
VI С МРМ° ds
&кр = J ЁГ~
Задача определения перемещений в статически не-
определимых системах резко упростилась, так как еди-
ничную эпюру можно строить в любой статически опре-
делимой основной системе. При этом в качестве основ-
ной системы можно принять такую систему, в которой
перемножение эпюр выполняется наиболее просто. Ис-
пользуя в качестве единичной эпюры эпюру М° (см.
рис. 260,6), получим
EJ
М° Мр ds 2
6EJ
(—2-0,122^-2 + 0,048</-2) =
= —0,131
я
EJ
Результат перемножения совпадает с (378). Представим
грузовую эпюру в виде:
Мр = Мр + мг xv + М2 Х2 + м.А х.А.
Далее
(остальные интегралы, аналогично предыдущему, равны
нулю, так как при построении эпюры М могла быть ис-
потьзована основная система, показанная на рис. 256,6).
Таким образом, для определения перемещения мож-
334
но грузовую эпюру построить в статически определимой
системе, а единичную—в статически неопределимой.
Перемножая эпюры, изображенные на рис. 256, в и 259,
получим
VI f Wp ds	2
акр= Zj -----------=-7-7 4-°, 5?-0,081-
леи J EJ	6EJ
2	и
—-----4-0,5<7-0, П5= —0,131 — .
6EJ	EJ
Результат перемножения совпадает с (378). Следова-
тельно, при определении перемещений в статически не-
определимых системах одна из эпюр должна быть по-
строена в статически неопределимой системе, а другая —
в статически определимой, при этом безразлично, какая
из эпюр, грузовая или единичная, построена в статиче-
ски неопределимой системе.
Алгоритм расчета статически неопределимых систем,
продемонстрированный на примере расчета рамы, ничем
существенно не отличается при расчете ферм или, на-
пример, комбинированных систем. Разница заключается
только в том, что при вычислении перемещений в расче-
тах ферм производится перемножение эпюр нормальных
сил N, а в расчетах комбинированных систем — пере-
множение эпюр нормальных сил (N) и эпюр моментов
(М). Аналогичный алгоритм используется и при расчете
статически неопределимых систем с учетом поперечных
сил Q.
§61. Способы разделения неизвестных з системе
канонических уравнений
На практике часто встречаются симметричные си-
стемы. Под симметричной системой будем понимать си-
стему, симметричную как по своей геометрической схе-
ме, так и по жесткостным характеристикам. Если при
расчете симметричной системы использовать симметрич-
ную основную систему, то процесс расчета упрощается.
Для наглядности рассмотрим трижды статически неоп-
ределимую раму (рис. 261,й). Для выбора основной си-
стемы проведем разрез по оси симметрии рамы
(рис. 261,6). На рис. 261, в—е изображена грузовая и
единичные эпюры моментов. Все единичные эпюры мож-
но разделить на две группы: симметричные эпюры (ЛЛ
335
Рис. 261
и М2) и антисимметричную (М3). Если перемножить сим-
метричную и антисимметричную эпюры, то всегда бу-
дет получаться нуль, так как результат перемножения
эпюр по левой половине рамы будет равен результату
перемножения по правой половине с обратным знаком,
т. е. в нашем случае 6i3=0, Й2з=0-
Вследствие этого система канонических уравнений
будет иметь вид:
611Х1 + 61Л + Д1₽ = °:
621 Х1 + 622 Х2 + Д2Р = 0:
«33*3+дзр = 0-
Система трех уравнений распадается на две систе-
мы, одна из которых относится к симметричным, а Дру-
гая — к антисимметричным неизвестным. Аналогичное
явление будет и при любом числе неизвестных, если в
симметричной основной системе выбрать лишние неиз-
вестные на оси симметрии. Если система уравнений рас-
падается на две системы, то решение двух систем про-
ще, чем решение полной системы. Например, в нашем
336
случае решение системы двух уравнений и одного урав-
нения проще, чем решение совместной системы из трех
уравнений с тремя неизвестными. Обратим внимание на
то, что лишние неизвестные силы надо направлять по
оси симметрии и перпендикулярно к ней, только в этом
случае эпюры разделятся на симметричные и антисим-
метричные (рис. 262).
Если нагрузка, действующая на систему, будет сим-
метричная (или антисимметричная), то грузовые члены,
относящиеся к антисимметричным (симметричным), не-
известным, будут равны нулю. Для основной системы,
изображенной на рис. 262,6, система канонических урав-
нений будет иметь вид:
+ &12Х2 — 0;
621^1	&22Х2 = 0;
63Л+Азг = °-
Так как
^11 ^12
в21 ^22
0, то Xj = Х2
= 0.
Следовательно, для раскрытия статической неопредели-
мости требуется решить одно уравнение с одним неиз-
вестным. Приведенные выше соображения можно рас-
пространить на произвольные симметричные системы.
Таким образом, если единичные эпюры распадаются на
симметричные и антисимметричные, то при симметрич-
ной нагрузке антисимметричные неизвестные равны ну-
лю, и наоборот.
При расчете симметричных систем надо выбирать
симметричные основные системы таким образом, чтобы
22—569
337
a) I P IP	S)
Рис.
все эпюры делились на симметричные и антисимметрич-
ные. Если основная система выбрана так, что неизвест-
ные не попадают на ось симметрии, то эпюры, вообще
говоря, не делятся на симметричные и антисимметрич-
ные, и в этом случае приходится прибегать к группиров-
ке неизвестных.
Рассмотрим трижды статически неопределимую сис-
тему, изображенную на рис. 263, fl. Основная система
для нее показана на рис. 263, б. Единичные и грузовая
эпюры показаны на рис. 263, в—е. Лишнее неизвестное
Х\ находится на оси симметрии, и соответствующая ему
эпюра симметрична (см. рис. 263,в). Неизвестные Х'2 и
Х‘3 не находятся на оси симметрии, и соответствующие
338
им эпюры не являются ни симметричными, ни антисим-
метричными. Система канонических уравнений будет
иметь вид:
«п +4 +«;3 + л;Р=о;
«21 -^1 “I" «22 Xi + «23 *3 + ^2Р ~
«31 А1 + «32 "Ь «33 Аз + АЗР ~
(379)
причем б22 =«зз; 612 =«1з •
Как указывалось в § 59, в качестве неизвестных мож-
но принимать любые линейно-независимые комбинации
X', число которых равно степени статической неопреде-
лимости. Вместо лишних неизвестных Х'2 и Х'3 возьмем
их линейную комбинацию Х2 и Х3 таким образом, чтобы
неизвестное Х2 представляло собой две симметрич-
но расположенные силы, а Х3— две силы, распо-
ложенные антисимметрично (рис. 264,а). Очевидно, что
такую процедуру можно проделать всегда, когда систе-
ма является симметричной, а отбрасываемые связи не
находятся на оси симметрии. Лишние неизвестные Хь
Х2, Х3 и Xi, Х2, Х3 связаны между собой соотношениями
х[=х1; х; = Х2+Л3;	=	(380)
Рис. 264
22*
339
или
Det С=—2=/=0. Следовательно, линейная комбинация
(380) является линейно-независимой.
Для получения системы канонических уравнений
можно первоначально составить систему канонических
уравнений (379) и далее воспользоваться формулой
(372). Можно ту же систему получить непосредственным
перемножением эпюр, изображенных на рис. 264, б—г.
С учетом сказанного выше, система канонических урав-
нений для основной системы, изображенной на рис. 264, а,
будет иметь вид:
6н\+6ы^ + Д1₽ = °:
621^+622Х2 + Д2Л = 0;
бзз = 0.
Грузовой член в последнем уравнении равен нулю,
следовательно, Х3=0 (так как б33=#0), и для нахожде-
ния лишних неизвестных необходимо решить два урав-
нения с двумя неизвестными. Таким образом, в резуль-
тате того, что часть побочных коэффициентов обращается
в нуль, решение задачи упрощается.
На рис. 265 показаны статически неопределимые сис-
темы и основные системы для них. Лишние неизвестные
сгруппированы в симметричные и антисимметричные
группы. На рис. 265, а показана основная система; лиш-
нее неизвестное Xi — симметрично, Х2 — антисимметрич-
но. На рис. 265, б Xi, Х2 — симметричные неизвестные,
а Х3, Xt — антисимметричные неизвестные. На рис. 265, в
показана система с двумя осями симметрии (х, у). Лиш-
ние неизвестные в ней сгруппированы в четыре группы:
Xi — неизвестные, симметричные относительно обеих
осей х и у; Х2 — неизвестные, симметричные относитель-
но оси х и антисимметричные относительно оси у; Х3—
неизвестные, антисимметричные относительно оси х и
симметричные относительно оси у, Х4 — неизвестные, ан-
тисимметричные относительно обеих осей.
340
Рис. 265
Соответственно неизвестным и полная система кано-
нических уравнений из четырех уравнений распадается
на четыре уравнения, в каждое из которых войдет по
одному неизвестному. Система канонических уравнений
при этом будет иметь вид:
АХ -р Др = 0;
Рис. 266
ЭИ

А =
«н^+Д1Р = °;
«22*2 + Д2р = о;
б33х3 + дЗР = о;
644х4 + д4р = 0-
Если матрица системы имеет диагональную форму, то
система является простейшей с точки зрения ее решения.
Для приведения системы к простейшей диагональной
форме может быть использовано понятие упругого цент-
ра. Поясним это понятие на примере бесшарнирной сим-
метричной арки, изображенной на рис. 266, а. Для ос-
новной системы, показанной на рис. 266,6, канонические
уравнения имеют вид:
6пХ1 + 61аХа + Д1р = 0;
621Х1 + 622Х2 + Д2Р = °;
6ззхз+дзг = 0-
Перенесем неизвестные с помощью бесконечно жест-
ких консолей на расстояние у0 (рис. 266,в). Расстояние
Уо подберем из условия, чтобы коэффициент 6i2 обратил-
ся в нуль. Точка, куда переносятся неизвестные, полу-
чила в литературе название упругого центра. Составим
выражение для All и Л12, считая момент положительным
в том случае, если он растягивает нижние волокна: Л11=
=—1; М2—у—уо, где у —ордината текущей точки;
f МГМ2 , f (Уо~ У) ds
о12 = I ----as = I ---------= О,
J EJ J EJ
откуда
(381)
Интегралы, входящие в формулу (381), не всегда вы-
ражаются в элементарных функциях, поэтому при ре-
шении практических задач процесс интегрирования про-
водится численно путем замены криволинейного конту-
ра ломаным.
342
Поясним этот процесс числовым примером. Предпо
лежим, что ось арки очерчена по квадратной параболе:
y=kx2. Разделим пролет арки на шесть частей и заме-
ним ее ось вписанным многоугольником (для того, что-
бы не загромождать текст сложными арифметическими
выкладками, число делений принято небольшим). Най-
дем коэффициент k. В соответствии с рис. 267 имеем:
при х—3d y—d, откуда
rf = fc.9d2; , = _L; =
Тогда	9d2 x — 3d- yr —	 — d;
	4d2	4
	x-2d; y2- gd -	- 9
с?	1
х = d\ г/, =---------= — d. *
9d	9
Вычислим длины элементов:
[	/ 5	\2 d 1/------
h-.2 = 1/ (Р+	= —V 106 = 1>144б/:
/2_3 =	+ (A= А Уж = 1 ,054d;
= Aj/^=|i00Mi
Вычислим интегралы:
1	а
2 (1,144d + 1,054d + 1,006d) = 6, 408-;
EJ
(382)
f ds
J EJ
1
---2
EJ
l,144d —
2
/ , 4 \
\ "FT
1/4 d \	1 d 1 d2
+ I,OSMT v<, + v)+1.0«a-r- =-£-2.380.
(383)
343
Деля выражение (383) на (382), получим
2,350
Уо = d = 0,367d при d — 6;	= 2,20.
Упругий центр может быть найден и для случая не-
симметричной системы. Необходимые для его нахож-
дения арифметические выкладки становятся более тру-
доемкими.
Разделение уравнений с помощью упругого центра
является достаточно частным приемом. Покажем далее,
как в случае произвольной статически неопределимой
схемы привести ее систему канонических уравнений к
простейшей форме таким образом, чтобы матрица систе-
мы имела диагональную форму. Предположим, что мат-
рица системы канонических уравнений имеет вид:
612 6(3
^21 ^22 ^23
^31 ^32 ^33
А =
(384)
Матрица (384) имеет третий порядок, но получен-
ные далее результаты могут быть легко распростране-
ны на произвольные матрицы с использованием метода
математической индукции. Покажем, как привести ма-
трицу А к матрице А', которая имела бы диагональную
форму. При диагональной форме матрицы А'
М’;М': ds
__1 1	= 0.
EJ

(385)
Функции, удовлетворяющие равенству (385), называют-
ся ортогональными, поэтому процесс получения диаго-
нальной формы матрицы А' называется процессом ор-
тогонализации эпюры. Итак, окончательно сформулируем
задачу. Дан набор эпюр Mi, М2, М3. Требуется построить
эпюры М], М2, Л43 таким образом, чтобы последние пред-
ставляли собой линейные комбинации предыдущих, бы-
ли линейно-независимыми и удовлетворяли условию
(385). Имеется несколько способов решения этой зада-
чи. Рассмотрим некоторые из них.
1. Ортогональные эпюры будем строить из исходных
(Afj, М2, Л43) по формулам:

Alj = а21Л4, + Л42;
^3 = «31	+ азз + ^3’
344
M’=LM, где L =
Для решения задачи необходимо построить матрицу L.
Запишем условия ортогональности эпюр АП и АД:
АД («21 АД ~г АД) = б.
С М[ ds
JJ EJ
Отсюда получаем уравнение для нахождения коэффи-
циента «21:
611«21 ~Ь 612 — б.
(386)
Для нахождения коэффициентов а31 и а3г запишем
остальные условия ортогональности:
м'1 м'3 ds _ С мг («31 Mr + «s2 АД + АД) ds .
EJ ~	EJ	;
^11^31 4“ $12^32 4” ^13 =
Г'^2 M-jds \ ’ Г(а21 АД + М2) к Л + И32 Д? + M3)ds ~
EJ	EJ
Alt («31АД + «32АД + A43) ds
EJ	+
АД («31 АД + «32 АД + A?3) ds _
EJ	~ '
Первый интеграл по предыдущему условию равен нулю,
следовательно, будем иметь б12ССз1+б22СХз2+б2з=0.
Выпишем систему уравнений для нахождения эле-
ментов матрицы L:
йц«й + 612 = 0;
6ц a3i + 6(2 «аг + 61з= 0;
621 «31 + 622 «32 + 623 = 0.
(387)
Укажем на закономерность, по которой строятся эти
Уравнения. Обратим внимание на то, что для нахожде-
ния коэффициентов i-й строки матрицы L(i>2) состав-
ляется самостоятельная система, матрицей которой яв-
ляется (i—1)-й главный минор матрицы А [см. (387)].
Столбцом свободных членов является столбец из еди-
34S
ничных коэффициентов, стоящий рядом с главным мино-
ром в матрице А. Таким образом, при степени статиче-
ской неопределимости, равной 3, необходимо решить
одно уравнение с одним неизвестным и два уравнения с
двумя неизвестными. Определители главных миноров
для матрицы А больше 0, следовательно, каждая из
систем будет иметь единственное решение.
2. Для получения ортогональных эпюр используем
формулы:
Ml = Мр
м2 = ₽21 м'1 + Я;
^3=₽31^ + ₽3г^2+Ч-
Таким образом, в данном случае при построении новых
эпюр (М') используются эпюры, уже построенные на
предыдущем шаге (M'._i).
Воспользуемся условиями ортогональности
^1 j* M^ds _ j* Mi (ра X + М2) ds 
вк1'₽21+вг2 = °;	<388)
«кг ₽31 + «1'3 = °;	(3«9)
м2(р31?и;+р32/и;+7и3)ф
EJ
«2'2' Р32 "Ь «2'3 = 9	(390)
EJ
р Л7, Л-13 ds.
(штрихи в индексах 6 обозначают, что перемножаются
эпюры, помеченные штрихами). Уравнения (388), (389),
(390) и позволяют найти искомые коэффициенты. Сле-
довательно, при втором варианте ортогонализации ни-
каких совместных уравнений решать не требуется.
Для приведения матрицы к диагональной форме мо-
жет быть применено ортогональное преобразование с
использованием матрицы собственных векторов [14]. Од-
нако это преобразование приводит к более сложным вы-
кладкам, чем непосредственное решение уравнений.
Остановимся далее на вопросах точности расчета и
зависимости от выбора основной системы При расчете
146
статически неопределимых систем окончательные усилия
определяются по формуле
S = S®+(S1XI + S2X2+... +(391)
Первое слагаемое учитывает влияние внешних сил, ос-
тальные — влияние лишних неизвестных X [слагаемые,
учитывающие влияние неизвестных, в формуле (391)
заключены в скобки]. При вычислении по формуле (391)
могут встретиться два случая: 1) слагаемое, учитываю-
щее работу основной системы от внешних сил (Sp), и
слагаемое, учитывающее влияние лишних неизвестных,
имеют одинаковые знаки; 2) те же слагаемые имеют
разные знаки.
С точки зрения точности, неблагоприятен второй слу-
чай, который является наиболее общим.
Пример. Обозначим точное значение уменьшаемого а, вычитае-
мого Ь, результата с. Приближенные значения тех же величин обо-
значим соответственно а', Ь', с'. Проценты ошибок будем вычислять
по формуле
где d=a или Ь, или с; d'=a' или Ь', или с'. Рассмотрим два ва-
рианта
1) а = 100, b = 10, с = 100 — 10 = 90;
а' =101, Ь’ = 9,9, /=101 — 9,9 = 91,1.
Вычислим проценты ошибок:
100—101
100
100=1%; % Ь =
10 — 9,9
10
100= 1%;
2) а =100, Ь = 90, с = ’00 — 90= 10;
а’ = 101, Ь' = 89, / = 101 — 89 = 12;
100—101
100
100=1%; %Ь =
100= 1,1%;
10 — 12
10
100 = 20%.
Из анализа этих примеров следует, что процент ошиб-
ки результата может сильно возрастать, если числа а и
b окажутся близкими друг к другу. Причем этот процент
будет тем больше, чем ближе между собой числа а и b и,
следовательно, чем меньше по сравнению с ними резуль-
тат с.
347
Далее вновь вернемся к формуле (391). Если основ-
ная система такова, что ее работа близка к работе задан-
ной системы, то значения лишних неизвестных невелики
и слагаемое (SiXi4-S2X2+„. SnXn) невелико по сравне-
нию с Sp . В этом случае при вычислении по формуле
(391) не будет получаться разности близких чисел и ал-
горитм будет устойчив по отношению к ошибкам округ-
ления. В случае, если основная система по своей работе
далека от действительной системы, промежуточные
вычисления надо вести с высокой степенью точ-
ности. Для преодоления этого необходимо выбирать
основные системы близкими по своей работе к за-
данным системам.
Сформулируем требования, предъявляемые к основ-
ной системе метода сил:
1)	основная система должна быть неизменяемой;
2)	основная система должна быть статически опреде-
лимой. Иногда для расчета используются и статически
неопределимые основные системы, но в этом случае пред-
варительно в этих системах должны быть построены еди-
ничные и грузовые эпюры;
3)	основную систему надо стремиться выбирать такой,
чтобы наибольшее число побочных членов было равно
нулю (это облегчает процесс решения системы уравне-
ний) ;
4)	если заданная система является симметричной, то
и основную систему надо выбирать симметричной. При
этом, если неизвестные не попадают на ось симметрии,
необходимо проводить их группировку;
5)	основную систему надо стараться выбирать такой,
чтобы ее работа была близка к работе заданной системы.
При использовании таких основных систем алгоритм рас-
чета более устойчив по отношению к ошибкам округле-
ния, и в промежуточных результатах можно удерживать
меньшее число знаков.
На рис. 268, б приведен пример рационального выбо-
ра основной системы для неразрезной балки, изображен-
ной на рис. 268, а. Работа основной системы в этом слу-
чае достаточно близка к заданной. На рис. 268, в—г при-
ведены эпюры моментов 7И1 и Л42 (остальные эпюры бу-
дут аналогичны). Система канонических уравнений
для основной системы, показанной на рис. 268, б,
имеет вид:
348
о)
Т; fj;
Рис. 268
621 Xj + 622 Х2 + баз Х3
632X3 + 633X3 -f- 634X4
643X3 + 644X4
Матрица системы канонических уравнений имеет
трехдиагональную структуру (причем она сохраняется
при любом числе пролетов). Таким образом, большое
число побочных коэффициентов обращается в нуль. Если
в качестве основной системы использовать систему, по-
казанную на рис. 268, д, то ее работа будет далека от ра-
боты заданной неразрезной балки (см. рис. 268,а), а мат-
рица системы канонических уравнений будет полностью
заполненной.
з 62. Особенности расчета статически неопределимых
систем на подвижную нагрузку
При расчете на нагрузку, меняющую свое положение,
используются линии влияния. Понятие линии влияния и
методика их построения в статически определимых си-
стемах приведены в гл. V. Любое усилие S в статически
неопределимой системе определяется по формуле (362).
При построении линий влияния используется формула
л. в. S — л. в. S р iS'j• л. в. X t“рS2 л. в. А2 ।	л. в. А д,
(392)
Следовательно, для построения линий влияния необходи-
мо построить линии влияния лишних неизвестных (рас-
крыть статическую неопределимость).
При построении линий влияния лишних неизвестных
используются два метода: аналитический и кинематиче
е)	1б
л.ем;.,
Рис.
ский. Рассмотрим сначала аналитический метод. Пока-
жем порядок построения линий влияния лишних неизве-
стных на простейших примерах. На рис. 269, а изображе-
на однажды статически неопределимая балка. На рис.
269, б показана основная система. Составим для нее
каноническое уравнение
= 0.	(393)
Коэффициент определяется, как обычно, перемноже-
нием единичной эпюры самой на себя. Особенность за-
ключается в определении коэффициента 6ip (грузовой ко-
эффициент обозначен б, так как причиной перемещения
350
является единичная сила Р=1). Грузовая эпюра
(рис. 269, в) является в данном случае функцией поло-
жения нагрузки и зависит от х, следовательно, и коэффи-
циент Sir будет зависеть от х. Используя правило Вере-
щагина, получим
11	I х\
^Р~~ EJ 2	3
1__1_	2______Р_
6,1 = EJ 2 U 3 Z= 3EJ ’
Подставляя значения 6ц и 61Р в уравнение (393) и ре-
шая его, получим
*4
/3
1 /	X2 X3 \
2 V Р. ~ Р Л
(394)
О < х < I.
Таким образом, лишнее неизвестное меняется по закону
кубической параболы. Для того чтобы установить форму
линий влияния, найдем ее ординаты по концам и экстре-
мум:
х = 0; Х! = 0; x=Z; %!=!;
dXi 1 / 2х Зх2 \	3/2 х \
dx 2 \ Р Is /	2	\ Р Р )
Отсюда Xi = 0, х2=21. Точка x2 = 2l находится вне балки.
Следовательно, линия влияния будет иметь экстремум
только в точке %i=0 (начале координат). На рис. 269,(3
изображена л. в. Хь соответствующая уравнению (394).
Вычислим значение X), когда сила Р=1 находится в
месте сечения 1—1:
х - 1 (з р --	5
1	2 V 4/2	8/3 /	16 *
После того как построена л. в. Хц статическая неопре-
делимость системы раскрыта и можно построить линию
влияния любого внутреннего усилия по формуле (392).
Для примера рассмотрим процесс построения линий вли-
яния момента в сечении 1—1 (см. рис. 269,а). Формула
(392) будет иметь вид:
л. в. Л11_1 = л. в. + TWj—j-.ti. в. Хг-
Линия влияния момента в основной системе (л. в. J
показана на рис. 269, е. Эта линия влияния имеет раз-
351
личную аналитическую запись в зависимости от того, на-
ходится ли сила до сечения (1-й участок) или за ним
(2-й участок):
1-й участок
= О
2-й участок
Л4?_, = -(х-
I
К< 2
'1 Л
— < х < II.
Соответственно и окончательная линия влияния будет
записываться в виде двух аналитических выражений:
1-й участок
I 1 <
7И1_1 = 0+— — |
/ I X2 X3
X2 X3
й I3 j
I \
х< 2 Г
о
Й Р
х2 х3
~Р~~~Р
2-й участок
AVi= у(/-2х) + уу(3
Линия влияния Mi-1 показана на рис. 269, ж
Рассмотрим далее дважды статически неопредели-
мую систему (рис. 270,а). Основная система изображена
на рис. 270, б. Система канонических уравнений для нее
имеет вид:
6h^+6i2^+6ip = °;
6MXi+622 *2 + 62/> = 0
или в матричной форме
=0.
(395)
Перемножая эпюры, изображенные на рис. 270, в, г, по-
лучим
1	4 —11
EJ [—1	в]'
Для получения вектора грузовых членов на рис.
270, д, е изображены грузовые эпюры при расположении
силы Р — 1 на первом (рис. 270, д) и втором (рис. 270, е)
пролетах.
Рассмотрим случай, когда сила Р=1 находится на
первом пролете (см. рис. 270, д). Для вычисления коэф-
352
Рис. 270
фициента 6ip найдем центр тяжести треугольника, изоб-
ражающего грузовую эпюру, по формуле
Xi + *2 + *3
*ц.т —	,,	>
где xt — абсциссы вершин треугольника. Для нашего
случая (см. рис. 270, д) хц.т = (х4~6)/3.
Вычислим ординату под центром тяжести в эпюре Л11
(см. рис. 270, в):
1	1 X + 6 х + 6
У— & *д.т = 6 з = i8 •
Перемножая эпюры, изображенные на рис. 270, в и д,
получим
I
36£V
л	1	1 л (6 — X) х х + 6
и.р = —----------о ---------------- ‘
EJ 2	6	18
(6—x)x(x+6). (396)
23—569
35J
Для получения коэффициента бгР перемножим эпюры,
изображенные на рис. 270, г, д. Очевидно, что результат
перемножения будет отличаться только знаком от полу,
ченного выше. Итак:
Г (М 1 ,к . Г * + 6]
6р= 6	= “ +	(6~ *>* J-
[ °2Р ] 36EJ	(—х— 6]
Запишем решение системы канонических уравнений
(395):
-»	-	EJ [8 11
Х = -Д-1 др, где Д-* = — I 4 ;	(397)
Г*11	1	. (8 1][ х + 6]
=------(6 — х) х	I	I =
|х2]	31-36	[1 4] I — х — 6]
1	Г 7х 4- 421
= -ШГ(6-^4-Зх-18]-	(398)
Выражения (398) и являются уравнениями линий влия-
ния Xi и Х2, когда груз Р=1 находится на первом проле-
те. При расположении груза Р = 1 на втором пролете гру-
зовая эпюра моментов будет аналогична, но роль х бу-
дет играть Хи Перемножая эпюры, изображенные на
рис. 270, в, г, и эпюру по рис. 270, в, получим:
	1 1	(6	Xl) Xj 1	X, + 6 'j
°1Р —	EJ 2 С	II со 	' С© с©
	1	
	3&EJ	(6  XJ X/ ( Xi -| 1Z)
62Р —
_ 1	1 6 (6 ~ *1) Х1 1 *i + 6
EJ 2	6	6	3
(6 — xj Х1 {Х1 + 6);
1
бр = — —7  (6 — Xj) Xi
ibEJ
-Xi + 121.
Xi + 6 ’

8 11 Г— xi + 121
1 4j [ Xj+ 6]
7ПГ(6~*'^
Г— 7xi + 102 1
3xj + 36 J
(399)
Выражения (399) и являются уравнениями линий влия-
ния Xi и Х2) когда груз Р = 1 находится на втором проле-
те. Разделим каждый из пролетов на шесть равных час-
тей. Так как х и Х\ меняются одинаково, составим вспо-
могательную таблицу (табл. 4).
354
Таблица 4
Да ТОЧКИ	X	(6—л) л	7x4-42	—Зл— 1Ь	-7x4-10*	За 4-36
1	0	0	42	—18	1U2	36
2	1	5	49	—21	95	39
3	2	8	56	—24	88	42
4	3	9	63	—27	81	45
5	4	8	70	—30	74	48
6	5	5	77	—33	67	51
7	6	0	84	—36	50	54
Перемножая соответствующие столбцы табл. 4 и раз-
делив результат на 1116, получим ординаты линий влия-
ния Xi и Х2, приведенные в первых двух колонках табл. 5.
Линии влияния Xi и Х2 приведены на рис. 271.
Таблица 5
№ точки	Л,	X,	0 Л1г—,	Alj A't	м2 X..	Мл— J
1	0	0	0	0	0	0
2	0,220	—0,094	0,5	—0,110	—0,047	0,343
3	0,401	—0,172	1	—0,200	—0,086	0,714
4	0,508	—0,218	1,5	—0,254	—0,109	1,137
5	0,502	—0,215	1	—0,251	—0,108	0,641
6	0,345	—0,148	0,5	—0,172	—0,074	0,254
7	0	0	0	0	0	0
8	0,426	0,175	0	0	0,088	—0,125
9	0,631	0,301	0	—0,213	0,150	—0,165
10	0,653	0,363	0	—0,315	0,182	—0,144
11	0,530	0,344	0	—0,326	0,172	—0,093
12	0,300	0.228	0	—0,265	0,114	—0,036
13	0	0	0	—0,150	0	0
				0		
После того как получены линии влияния лишних неиз-
вестных, можно построить по формуле (392) линию влия-
ния любого усилия. В качестве примера построим линию
влияния момента в сечении 1—1 (см. рис. 279):
л. в. Mj—j = л. в.	+ Л!] -л. в. A'j + ZWo-fl. в. Х2. (400)
Линия влияния М момента в сечении 1—1 в основной
системе показана на рис. 271. Вычисления по формуле
(400) удобно проводить в табличной форме (см. табл. 5).
23*	35S
На рис. 271 показана л. в. М^, построенная по резуль-
татам, приведенным в табл. 5.
Иногда бывает затруднительно получить в замкнутом
виде выражение для вектора грузового столбца. В этом
случае для построения линии
Рис. 271
влияния можно провести
многократный расчет на
силу Р=1, при этом, ес-
тественно, поделить про-
лет конструкции на рав-
ные части. Далее, пере-
ставляя силу Р—1 из од-
ной точки деления в дру-
гую, можно построить
грузовые эпюры. Очевид-
но, что грузовых эпюр бу-
дет столько, сколько то-
чек установки силы Р=1.
Перемножая эти эпюры с
единичными, получим
матрицу грузовых столб-
цов:
^р^р-^р-^р

fi1 fi2 .fi' .
°nP°nP °nP °nP
где
ний
m — число загруже-
(число точек установ-
ки силы Р=1). Таким образом, вместо вектора грузовых
членов в системе канонических уравнений будет стоять
матрица грузовых членов. Система канонических урав-
нений будет иметь вид:
AY+6p = 0.
(401)
Соответственно матрице грузовых членов в системе (491)
будет стоять матрица X, откуда Х=Д-16р,
а; а^х'-а""

где Л =
Х'пХп-Хп-Х”
356
i-fi столбец матрицы X представляет собой значения лиш-
инх неизвестных при загружении системы силой Р = 1 в
точке i. Очевидно, что строки матрицы X представляют
собой ординаты линий влияния лишних неизвестных.
Пример построения линии влияния с использованием при-
ема многократного загружения силой приведен в § 64.
Наряду с аналитичес-
ким методом, рассмотрен-
ным выше, при построе-
нии линий влияния лиш-
них неизвестных может
быть использован другой
метод, который носит на-
звание кинематического
метода. Идею кинемати-
ческого метода поясним
на примере балки, изобра-
женной на рис. 272, а. Ос-
новная система показана
на рис. 272, б. Канониче-
ское уравнение для этой
основной системы
О®
^ггТТТТГП^1111|11ТТТПт^Ч лй.х,
откуда Xj =
Рис. 272
Так как сила P=l, 6ip=6pi и, следовательно,
Xi
бй-
(402)
Коэффициент 6ц можно определить перемножением эпю-
ры Mi саму на себя. В соответствии с обозначением коэф-
фициент 6р1 выражает прогиб под силой Р=1 от силы
Х1=1. Но так как сила Р=1 меняет свое положение, то
6pi является графиком вертикальных перемещений оси
балки от силы Xt = l. Этот график носит название эпюры
прогибов. Таким образом, для построения линий влияния
Лд необходимо построить эпюру прогибов от Xi=l и все
ординаты этой эпюры поделить на 6ц. Для построения
эпюры прогибов воспользуемся универсальным уравне-
нием
,	, м0 х2 Qo х‘
!/=//о + <Рох+ — — + — —
357
В нашем случае для левой половины балки будем иметь
(для правой половины кривая прогибов симметрична)
Для определения (р0 воспользуемся условием: при .г==
=1 у'=0, откуда
Р	Р
ф°-^7=0;
Подставляя (404) в (403), получим
р	1	1 /	X3 \
6С1 —-----х —-----х3=------1 Рх —--- .	(405)
P1 4EJ	12EJ	4EJ \	3 /	1
Эпюра прогибов, полученная по формуле (405), пока-
зана на рис. 272, г. Все ее ординаты имеют знак минус,
так как перемещения происходят навстречу силе Р —1.
Если в выражении (405) вместо х подставить /, получим
значение 6ц:
1 / Р \ Р
fi .- __ - / /3   =  ---
1 4EJ \	3 ;	6£./ 
Далее, в соответствии с формулой (402), будем иметь
3 I	х3 \	3 ( х	х3 \
Х.=----- Рх —---- =— ——--------- ;	(106)
1 2Р I	3 /	2 ( /	З/3 /
Выражение (406) и представляет собой уравнение л. в.
для левой половины балки; для правой половины ли-
ния влияния будет симметричной (ввиду симметрии ис-
ходной системы). В соответствии с выражением (402)
знак ординат линии влияния противоположен знаку би
(коэффициент 6ц всегда положителен), эпюра прогибов
им ее” знак минус (см. рис. 272, г), следовательно, орди-
наты линии влияния будут иметь знак плюс и в соотвгт-
ствии с правилами изображения линий влияния отклады-
ваются вверх (см. рис. 272, (9) Таким образом, для
однажды статически неопределимых систем форма ли-
нии влияния совпадает с эпюрой прогибов. Коэффици-
ент б] 1 является постоянным числом (как бы масштабом)
и не влияет на характер линии влияния Для несложны^
статически неопределимых систем форма линии проги-
бов может быть часто нарисована без расчета, поэтому
для таких систем может быть без расчета изображена
линия влияния.
358
Рассмотрим далее случай п раз статически неопреде-
лимой системы. В этом случае система канонических
уравнений будет иметь вид:
4Х + 1р = 0; Х=— Л-11р.	(407)
Вектор грузовых членов будет
(408)
В соответствии с уравнением (408) для нахождения гру-
зового столбца необходимо построить эпюры прогибов от
= 1, Х2 = 1 ... А„ = 1. Как указывалось выше, для си-
стемы однажды статически неопределимой уравнение
(407) позволяет установить форму линии влияния. Если
система дважды и более статически неопределима, необ-
ходимо решать систему канонических уравнений (407) и
для построения линии влияния надо получить ее аналити-
ческое выражение. Однако и .в этом случае можно изо-
бразить форму линии влияния, если в качестве основной
системы взять статически неопределимую систему. Рас-
смотрим для примера балку, показанную на рис. 273, а.
Предположим, что необходимо получить форму линии
влияния опорной реакции в точке В. Выберем в качестве
основной системы статически неопределимую систему по
рис. 273, б. Каноническое уравнение для нее имеет вид:
^1 + $1Р =	(409)
откуда
t>ip
6ц
(410)
где —эпюра прогибов от силы А'-l в основной системе на
рис. 273,6; 6jj—перемещение в точке приложения силы Xi = l,
порое представляет собой некоторое число.
Следовательно, аналогично предыдущему, форма ли-
нии влияния подобна эпюре прогибов. На рис. 273,6 изоб-
ражена эпюра прогибов б *j . Для получения линии влия-
ния необходимо поделить все ее ординаты на бц , следо-
вательно, на опоре В линия влияния будет иметь ордина-
ту. равную единице (рис. 273, в). Эпюра прогибов на
359
участке АС имеет знак минус, так как перемещение про-
исходит навстречу силе Р. В соответствии с выражением
(410) при построении линии влияния необходимо сменить
знак на обратный, но положительные значения ординат
линий влияния откладываются кверху, поэтому эпюра
прогибов и линия влияния откладываются в одну и ту
же сторону. Таким образом, если построить эпюру про-
гибов при смещении опоры В на единицу в системе, изо-
браженной на рис. 273, б, то полученная линия прогибов
совпадает с линией влияния. Аналогично можно изобра-
зить и линии влияния внутренних силовых факторов.
360
Для этого необходимо удалить связь, соответствующую
лому фактору, и далее изобразить эпюру прогибов при
условии, что обобщенное перемещение, соответствующее
этому фактору, равно +1 (рис. 273,г—ж).
Можно показать, что исключение по Гауссу (см. при-
ложение)— есть последовательное наложение связей. Ес-
ли фактор, линия влияния которого строится, принят в
качестве последнего лишнего неизвестного, то уравнение
(409) является последним уравнением, полученным в ре-
зультате прямого хода по Гауссу.
§ 63. Некоторые свойства статически неопределимых
систем. Расчет на действие температуры иосадку опор
В статически определимых системах при малых пере-
мещениях (расчете по недеформированной схеме) усилия
определяются из уравнений равновесия и не зависят от
деформаций отдельных элементов. В статически неопре-
делимых системах усилия не могут быть найдены только
из уравнений статики, и к уравнениям статики приходит-
ся добавлять уравнения деформаций. В результате уси-
лия в этих системах зависят от деформаций элементов.
Поэтому в противоположность статически определимым
системам в статически неопределимых системах возника-
ют усилия от осадки опор, неточности изготовления от-
дельных стержней, действия температуры и т. д.
В предыдущих параграфах рассматривался расчет
статически неопределимых систем на действие нагрузки.
Система канонических уравнений при воздействии темпе-
ратуры, осадке опор и т. д. имеет вид:
6пх'1 + 612х2+---дщд = °;
621*1+622 Х2+- Д2/,Д=«;
6,№2+-=- Ди.д = °;
6П1^ + 6П2^+---Д^д=°-
(411)
где	д—перемещение по направлению силы X,- от действия тем-
пературы, осадки опор и т. д.
Очевидно, что матрица системы канонических уравне-
ний не зависит от характера воздействия (от него зави-
сит только грузовой столбец). Таким образом, специфика
расчета на действие температуры и осадку опор заклю-
361
чается в определении грузового столбца. Элементами
грузового столбца являются перемещения в основной
(статически определимой) системе по направлению лиш-
них неизвестных от рассмотренных выше причин.
Остановимся далее на некоторых особенностях вы-
числения элементов грузового столбца. Для определения
перемещений от температуры в статически определимых
системах в § 41 получена формула, которая может быть
использована для вычисления элементов грузового столб-
ца
= S “ ДГ С dS + S а/° J ds' (412)
k	$k	k sk
так как перемещения ищутся по направлению лишних не-
известных (Xi), эпюры М; и Ni являются соответствую-
щими эпюрами от Л = 1.
Грузовые перемещения Д/д, возникающие вследствие
неточности изготовления отдельных стержней и от осад-
Рис. 274
ки опор, определяются в
статически определимых
системах. Эти перемеще-
ния могут быть найдены
непосредственно из кар-
тины перемещений в ос
новной системе. В более
сложных случаях для их
определения может быть
использован принцип воз-
можных перемещений.
В этом случае роль воз-
можных состояний играют состояния от Х{=1, так как
ищутся перемещения по направлению этих сил.
Основные системы для расчета статически неопреде-
лимых систем часто получаются путем отбрасывания
опорных стержней. Действие отброшенных связей заме-
няется при этом силами X, приложенными к системе (см.,
например, рис. 249,6). Если основание в месте отброшен-
ной опоры имеет просадку, необходимо прикладывать не
одну силу X, а две: одну к системе, другую к основанию
(рис. 274). Для случая, показанного на рис. 274,6, Д1Д =
=Л (Л1д положительно, так как направление смещения
Д совпадает с направлением силы Г, приложенной к ос-
нованию)
При расчете статически неопределимых систем в ка-
362
честве основных систем выбираются статически опреде-
лимые системы, в которых не возникает усилий от тем-
пературы, неточности изготовления отдельных стержней,
осадки опор и т. д. Следовательно, при расчетах на эти
воздействия грузовая эпюра будет отсутствовать и для
определения усилий используется формула
S=-§!*! + S2X2 + ... S„ Хп.	(413)
Точки основной системы при удлинении ее стержней
от действия температуры или осадки опор получают пе-
ремещения, поэтому для нахождения окончательных пе-
ремещений необходимо добавлять их к перемещениям от
лишних неизвестных. В соответствии с формулой (413)
окончательная эпюра совпадает с эпюрой от лишних не-
известных (X], Х2,...,Хп) в статически определимой сис-
теме. Если эту эпюру перемножить на 5, (от Х==1), по-
лучим перемещение по направлению силы Xit но это пе-
ремещение равно элементу грузового столбца в i-й строке
с обратным знаком [так как в соответствии с i-м уравне-
нием системы (4П) сумма этих перемещений должна
быть равна нулю]. Процесс перемножения окончательной
эпюры на единичные носит название деформационной
проверки (см. § 60). Таким образом, в отличие от расче-
та на нагрузку результат перемножения окончательной
эпюры на единичную не равен нулю, а равен соответст-
вующему грузовому перемещению, взятому с обратным
знаком. Для пояснения сказанного рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить эпюру моментов в балке, изображенной на
рис, 275,а, которая подкреплена стержневой системой. Горизонталь-
ный стержень имеет длину, на Д меньшую, чем иа схеме, изображен-
ной иа рис. 275, а. Кроме того, стержень нагревается на температуру
На рис. 275,6 показана основная система. Каноническое
уравнение для нее имеет вид:
«¥Л + Д1Д./ = °-	<414)
Перемещение 6ц определяется так же, как и при расчете па действие
нагрузки:
11	2	1
6., = — 2 — 4а  За — За Н-За • 4а  За +
11 EJ 2	3	EJ
Грузовое перемещение представляет собой взаимное перемеще-
ние соседних сечений в месте разреза; это перемещение можно пред-
363
ставить в виде суммы, двух перемещений
Д1д.< = Д1д + Д1р
где Д]д -—взаимное смещение сечений в месте разреза вследствие
неправильного изготовления горизонтального стержня. Это переме-
щение имеет знак минус, так как оно направлено навстречу силам
X, (рис. 275,6); Ди—то же, от действия температуры. Это пере
мещение имеет знак плюс, так как оно происходит по направлению
силы X] (стержень нагревается) (рис. 275, е).
Итак,
Л|д<=—Л + <хД.	(416)
Подставляя выражения (415), (416) в каноническое уравнение
(414) и решая его относительно Xt, получим
1	60о3	184а '
EJ +8EF
Для получения окончательной эпюры необходимо эпюру, изображен-
ную на рнс. 275, в, умножить на Xj.
Пример 2. Построить эпюру моментов в балке с двумя задел-
ками по концам (рнс. 276). Девая заделка опускается иа Д вниз и
поворачивается на угол гр
Балка на рис. 276, а является дважды статически неопределимой
системой. Основная система приведена на рис. 276, б. Система ка-
нонических уравнений имеет вид:
ЛХ+Дд,<₽ = °-	<418)
354
Перемножая единичные эпюры (рис. 276, в, г), получим матрицу А:
1 0 -
0^ •
12 J
(419)
На рис. 276, д изображены перемещения в основной системе при
смещении левой опоры на Л и повороте ее на угол гр. В соответст-
вии с ней грузовой столбец будет
Ад,ф
А1Д.Ф
Л2Д,Ф
(420)
Первое перемещение (А1д<р) имеет знак минус, поскольку оно про-
исходит навстречу (левому моменту) Xi (перемещение от смещения
А по направлению Xi равно нулю, так как при этом элемент смеща-
ется поступательно). Второе перемещение (AjA.qJ состоит из двух
слагаемых, первое из которых выражает перемещение по направле-
нию Х3 от А, а второе — от гр. Оба слагаемых положительны, так
как оба перемещения совпадают с направлением левой силы Хг.
Подставляя выражения (419), (420) в систему канонических урав-
нений (418) и решая ее, получим
EJ
I
2
<₽
12	6
—-------Л —---------<р
/?	I	-I
Умножая единичные эпюры соответственно на Xt и Х2 и складывая
их, получим окончательную эпюру моментов (рис. 276, е).
365
Сделаем деформационную проверку, для чего перемножим окон-
чательную эпюру М и эпюры Mi и Mz:
/ /6EJ
2 ( Г-
6EJ , 2EJ
. <= " Ь-Г’7Г
I /6EJ 2EJ ’
3EJ \
-~ФГ’
Складывая эти перемещения с грузовыми перемещениями, получим
ф —Ф = 0; ДтЬ-^-ф —Д—-у-ф = 0.
Пример 3. Построить эпюру моментов в раме, изображенной на
рис. 277, с. Внутри рамы температура равна ti, снаружи tz (<i>
Правая опора рамы опускается по вертикали на Д.
В качестве основной системы выберем трехшарнирную раму
(рис. 277,6). Система канонических уравнений будет иметь вид:
б^+б^+Д^д^О; )
621\ + 623Х2 + Д2/,д=0.
Запишем систему канонических уравнений (421) в матричной форме:
АХ Ч-Д/1Д = 0.	(422)
Вычислим грузовые перемещения:
Ли,д =	+ А1д 5 Лг/,д= A2t + Д2д-	(423)
Первоначально вычислим перемещения от температуры по фор-
муле (412):
£
2
l&EJ 4EJ \
I —— д ч-----<р I
V /? I /
I [ GEJ „
--- —------Д —
6EJ \ I
I
(421)
~ а 2
^2
d
2	2
— / — —I-
31	31
1
+ 3	1
2	1~ 2 3 2
31 2 }
1 I
366
Рис. 277
+	(424)
, Zi ~ I 1 A
+ a d \ 2 3
I 2 I
2 3 2
5	ll/i 1" /2	i
= -7- a (<1 + tz) + V al  J-- •	<425>
b	ba
367
Для определения Х]д и 'Л2д воспользуемся принципом возмож-
ных перемещений. На рис. 278 показана картина перемещений ос
новной системы от смещения правой опоры по вертикали на А. Для
получения перемещения А1Д рассмотрим два состояния основной си-
стемы: 1-е состояние, при котором на основную систему действует
Л] = 1 (см. рис. 277, в); 2-е со-
стояние, при котором правая опо-
ра основной системы опустилась
на А (см. рис. 278).
Система в 1-м состоянии (рис.
277, в) находится в равновесии,
следовательно, сумма работ всех
сил на любых возможных переме-
щениях должна быть равна нулю.
Возьмем в качестве возможных
перемещений 2-е состояние (рис.
278):
2
i-Aia-Va==0;
2-А
Л1Д~ 3Z ;
(426)
Ана логично может быть вычислено и перемещение Л 2Д :
2	2-А
1-Дгд-—Д = 0; Л2Д = —.	(427)
Подставляя (424) — (427) в (423), получим значения грузовых чле-
нов. Далее, решая систему канонических уравнений (422), будем
иметь X=A~iLt
Окончательная эпюра моментов строится по формуле
Л4 = Л4]Л1 + Л42 Х2.
§ 64. Расчет статически неопределимых систем
в матричной форме
При расчете статически неопределимых систем удоб-
но использовать матричную форму записи. При этом ал-
горитм расчета может быть записан компактно в мат
ричной форме. Компактная запись позволяет упорядо-
чить весь расчет, что уменьшает вероятность ошибок. Для
получения решения расчет сводится только к операциям
над матрицами. Весь расчет может быть разделен на две
части:
1) смысловая часть — определение степени статиче-
ской неопределимости, выбор основной системы, построе-
ние единичных и грузовых эпюр, составление исходных
матриц;
368
2) механическая часть — перемножение и обращение
матриц.
Такой подход дает большой эффект даже при исполь-
зовании средств малой механизации (настольных кла-
вишных машин, калькуляторов, настольных миникомпью-
теров). При этом возможно разделение труда, когда
первая часть выполняется квалифицированным специа-
листом (инженером), а вторая—вычислителем, выполня-
ющим только операции над матрицами. Вторая часть
может быть выполнена и с использованием ЭВМ по стан-
дартным матричным программам, процесс программиро-
вания при этом максимально упрощается. Программа
будет состоять из процедур ввода, обращения к стандарт-
ным программам операций над матрицами и процедур
вывода.
Для определения перемещений в матричной форме
служит формула (см. § 43)

(428)
Эта одночленная формула может быть использована для
определения перемещений в фермах или рамах. Если рас-
считывается система из прямолинейных стержней и не-
обходимо учитывать все внутренние силы, формула (428)
принимает вид:
А/Р — Вм Мр -|- L BN Np + L]q Bq Qp.
(429)
Поскольку общая структура формулы при учете раз-
личных факторов остается одной и той же, в последую-
щем остановимся на анализе одночленной формулы. В
тех случаях, когда потребуется использование многочлен-
ной формулы, будут даны соответствующие пояснения.
Если необходимо определить перемещения по различ-
ным направлениям от нагрузки Р, то вместо вектора Lt
в формуле (428) используется матрица L, столбцами ко-
торой являются ординаты эпюр от единичных сил, прило-
женных по этим направлениям:
Np = LTBSp'T'
где ДР — вектор, элементами которого являются перемещения от
нагрузки Р по направлениям единичных сил.
Если необходимо вычислить перемещения от различ-
ных загружений, то вместо вектора SP в формуле (428)
24—569
369
используется матрица LP, ординатами которой будут зна-
чения внутренних сил от различных загружений
A. = ~L]BLP,
I	L г
At —матрица-строка, элементами которой являются перемещения
по i-му направлению от нагрузок Р.
Если необходимо определить перемещения по различ-
ным направлениям от различных загружений, формула
будет иметь вид;
A —L.TBLpj
где Д — матрица, число строк которой равно числу
направлений, по которым ищутся перемещения, а число
столбцов — числу загружений. Элементом этой матрицы,
стоящим на пересечении i-й строки и /-го столбца, являет»
ся перемещение по i-му направлению от j-го загружения.
Система канонических уравнений метода сил имеет
вид: ЛХ+Др=0. Если расчет ведется сразу на несколько
загружений, то вместо вектора Др записывается матрица
Др (см. § 62), столбцами которой являются перемеще-
ния от каждого из загружений
ДХ-|_Др=0.	(430)
В этом случае вместо вектора X получается матрица X,
столбцами которой являются значения лишних неизвест-
ных от каждого из загружений. В соответствии со сказан-
ным выше можно записать
А = L1 BL; Ар = L1 BL°P,	(431)
L — матрица, столбцами которой являются ординаты внутренних
сил от единичных значений лишних неизвестных; Lp — тоже, от
нагрузки.
Подставляя (431) в (430), будем иметь
LT BLX 4- LT BL°P = 0.	(432)
В формулах (431) первые две матрицы одинаковы, по-
этому процесс вычисления единичных и грузовых эпюр
удобно производить одновременно. Для этого введем по-
нятие расширенной матрицы. Будем в дальнейшем под
расширенной матрицей понимать матрицу, состоящую из
единичных и грузовых коэффициентов:
[ДДр].	(433)
370
Подставляя в (433) выражение (431), получим
[ЯДр]= [LTB[L£0]].	(434)
Во внутренних квадратных скобках выражения (434) сто-
ит прямоугольная матрица, первыми столбцами которой
являются ординаты усилий от Х,— 1, а последующими —
ординаты усилий в тех же сечениях от нагрузки. Решая
систему уравнений (432), получим
X = -[LT BL)-1 LT BL°P.	(435)
Для получения значений усилий необходимо ордина-
ты единичных эпюр умножить на X и сложить с ордина-
тами грузовой эпюры:
Lp = L°p + LX = [£ — L (LT BL £T L°p. (436)
Формула (436) и является матричной записью процесса
расчета по методу сил.
Если перемножить окончательную эпюру и единичные
эпюры, то можно получить перемещения по направлени-
ям X, но эти перемещения должны быть равны нулю, по-
этому деформационная проверка в матричной форме
имеет вид:
D = £т BLp = 0.	(437)
Для построения матрицы податливости в статически
неопределимой системе может быть использована фор-
мула
А = (Lp)T В [Е — L [LT BL]-1 LT В] L°p-,	(438)
здесь L°p— матрица, i-м столбцом которой являются ординаты
эпюр внутренних сил в основной системе от силы Pt = l, направлен-
ной по i-му направлению; А — матрица податливости; ее элемен-
том является перемещение по направлению силы i от силы j,
равной единице в статически неопределимой системе.
Пример 1. Построить эпюру моментов в статически неопредели-
мой раме, изображенной на рис. 279, а.
Определим для нее степень статической неопределимости:
п = 3 (s — k) — ш = 3 (8 — 5) — 5 = 4.
На рис. 279,6 показана основная система. На рис. 279, в дана
нумерация стержней и сечений. На том же рисунке показаны знаки
эпюр моментов для каждого из стержней, стрелками помечены се-
чения, соответствующие концам стержней. Составим для основной
системы исходные матрицы.
Сначала составим матрицы В для каждого из стержней. В за-
впснмостп от того, являются ли грузовые эпюры линейными или
квадратными параболами, будем пользоваться правилом перемноже-
24371
Рис. 279
372
|Я трапеций, записанным в матричной форме либо в аналогичной
, орме формулой Симпсона. Итак:
	3d	2	1		d	6	0]		
В1	= 6Ё7		2.	=	6E J	0	0J	>	
Вп	2d		2	11	d		2	1]	
	6-2EJ		1	2]	6EJ I		1	2.1	>
Вщ	4d		2	Г	d		Г4	01	
	6-2EJ		1	2	6EJ		L°		»
	3d	2	1		d	6	3I		
В iv	~6EJ	1	2	=	' 6ЕУ	.3	б]	»	
В.	6d		Г 1		d		Г3	2	
	  -								
	6-2EJ			1	6EJ			3	
	3d r	2	11		d	6	0		
Bv,	~6EJ 1	1	2j		6EJ	.0	o|	>	
	3d ।	2	1]		d 1	6	°]		
fiVll	~6EJ I	1	2]		&EJ 1	0	о]		
	3d	1	-1		d	0			
В V III	“ 6EV		4 1		= 6EJ		12 3	>	
R	3d	I2	1	I	d	[6	0		
	~6EJ	1.1	2	I	“ GE J	L0	0		
В приведенных матрицах вычеркнуты строки и столбцы, соответст-
вующие шарнирам (рис. 279, в). Имея матрицы В для каждого из
стержней, построим матрицу В для всей системы;
На рис. 279, г показана грузовая эпюра моментов, а на рис.
279, д~з приведены единичные эпюры В соответствии с этими эпю-
рами матрицы моментов М и MGp будут иметь вид:
173
Подставляя исходные матрицы в формулу (432), получим систему
канонических уравнений, которая после сокращения на dl(QEJ) бу-
дет иметь вид:
18X1- 12 Ха — 6Х3 + 6X4 + 409d2 = 0;
—12Х4+24Ха + 6Х3 — 6Х4 —94<?d2 = 0;
— 6X1+ 6Ха+24Х3—12Х4 —94^rf? = 0;
6X1— 6Х2— 12Х3 + ЗОХ4— 14^2 — о.
Решаем ее в табличной форме (см, приложение).
Таблица 6
Ks	х.			xt	Суммы	Правая часть	X
1	18	—12	—6	6	6	—40	
2	—12	24	6	—6	12	94	
3	—6	6	24	—12	12	94	
4	6	—6	—12	30	18	14	
1	18	—12	—6	6	6	—40	1,012
2	—0,667	15,996	1,998	—1,998	16,002	67,320	3,994
3	—0,333	0,125	21,752	—9,752	11,998	72,265	4,628
4	0,333	—0,125	—0,448	23,383	23,377	68,110	2,913
Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исход-
ную систему канонических уравнений:
18	—12	—6	6'		1,012		—40,002
12	24	6	—6		3,994		94,002
6	6	24	—12	qd2	4,628	= дал	94,008
6	—6	—12	30		2,913		13,962
374
Кця построения окончательной эпюры изгибающих моментов вое-
__о	—*•
пользуемся формулой М=МР +LX-.
	0		1	—1	0	0	
	0		1	—1	—1	1	
	8		0,667	—0,667	—0,667	0,667	
	0		0	0	1	—1	
qd-	0 9	+	0 0	0 0	0 —0,5	—1 —0,5	qd2>'
	0		0	0	—1	0	
	0		1	0	0	0	
	9		0	—0,5	0	0	
	0		0	—1	0	0	
1,012
3,994
4,628
2,913
= qd2.
——2,982—
—4,697
4,867
1,715
—2,913
5,229 •
—4,628
1,012
7,003
—3,994
На рис. 280 показана окончательная эпюра изгибающих момен-
тов в раме по рис. 279, а.
Пример 2. Построить линии влияния моментов в комбинирован-
ной системе, состоящей из балки, усиленной вантами (рис. 281),—
в сечениях балки 1—9, пилона 10—11 и в вантах.
Рис. 280
Предположим, что от действия окончательной нагрузки все ван-
ты работают иа растяжение, поэтому при построении линий влияния
примем, что ванты работают на растяжение и сжатие одинаково
Для получения основной системы врежем в местах примыкания вант
к балке шарниры (рис. 282). При построении линий влияния будем
учитывать деформации изгиба в балке и пилоне, а в вантах — де-
формации растяжения-сжатия. Примем
£7б
££б = ££п = сл; £JB = 0; £J6 = EJB, EFB = —^,
fl-
375
Рис. 283
376
Рис. 284
где EFe, EFa — соответственно жесткости балки и пилона на растя-
жение-сжатие; £Д, £Л1—то же, на изгиб; EFB — жесткость ванты
на растяжение.
На рис. 283 изображены единичные эпюры. Для упрощения на
этом и последующих рисунках показаны только те части системы,
в которых внутренние силы отличны от нуля Для построения
грузовых эпюр разделим балку на десять равных частей и будем
устанавливать груз £=1 последовательно: сначала в точку /, потом
в точку 2 и т. д' (см. § 62). На рис. 284 показаны грузовые эпюры.
377
При равположении груза в точке 4 (см. рис. 281) ни в балке, ни в
вантаt внутренних усилий не возникает, поэтому это положение
груза на рис. 284 не приводится. Для получения линий влияния пер-
воначально построим матрицу лишних неизвестных [см (435)]:
А----ВМ ВМ + BN BN Bn) 1 (ВМВМВМР + BNBNBNp) • (43Э)
Далее используем формулы
вмр — в°мр “Ь X', LNP — Lftp + Ад- X.	(440)
Строками матриц LMP и LKP являются искомые ординаты линий
влияния.
Построим исходные матрицы, учитывающие деформацию изгиба
балки и пилона:
0,5	I	0,5	0	0	0	0	0	0	2	2
0	0	0,5	1	0,5	0	0	0	0	0	0
L-V	0	0	0	0	0,5	1	0,5	0	0	0	0
О 0	0	0	0	0	0,5 1	0,5 —3 —3
378
0,5						1		
								
		0,5						
								
				0,5				
								
						0,5		
								
								0,5
—1	—2	—1		1	2	3	4	2
-'1	—2	-'1	1	1	2	3	4	2
Построим исходные матрицы, учитывающие деформацию растя-
жения в вантах. Подсчитаем податливости вант:
It
EF
2d]2d2 d3	d3
--------=------2]/2 -6 =----16,971;
EJ	GEJ	6EJ	’
EF
2rf Иб rf2
EJ
= -^—2
GEJ
yr.6=-^-
6EJ
26,833.
Составим матрицу Bn:
BN
d3 ~ 6EJ	16,971		—
		16,971	•
			26,833
Составим матрицы LN и L°Np :
1 Г—1,414 0,707	0	0
Ln =—	0	0,707 —1,414	0,707
d	0	0	1,118 —2,236
379
Рис. 285
„	[0,707	1,414	0,707	0	0	0	0	0	0
r° = 0	О	О	0	0,707	1,414	0,707	О	О
Np |0	О	0	0	0	0	1,118	2,236	1,118
380
Подставляя исходные матрицы в формулу (439) и выполняя матрич-
ные операции с помощью ЭВМ «Напри», получим
0,353	0,775
—0,169 —0,280
-0,106 —0,168
—0,067 —0,103
0,324 0 —0,208
—0,263 0 —0,404
—0,143 0	0,288
—0,083 0	0,150
—0,312 —0,328
—0,545 —0,529
0,750	0,400
0,376	0,684
-0,268
—0,408
0,193
1,070
—0,1491
—0,220
0,075
0,518
Подставляя значения X в формулы (440), будем иметь:
	0,676	0,388	0,162 0	-0,104	—0,156	-0,164	—0,134	—0,074
	0,353	0,775	0,324 0	-0,208	—0,312	-0,328	—0,268	—0,149
	0,092	0,247	0,530 0	-0,305	-0,429	-0,428	—0,338	—0,185
	—0,169	—0,280	—0,263 0	-0,403	-0,545 -	-0,529	—0,408	—0,220
	—0,138	—0,224	—0,203 0	0,443	0,103 -	-0,065	—0,107	—0,073
а	—0,106	—0,168	—0,143 0	0,288	0,750	0,400	0,193	0,075
	—0,087	—0,136	-0,113 0	0,219	0,563	1,042	0,631	0,296
	—0,067	—0,103	—0,083 0	0,150	0,376	0,684	1,070	0,518
	—0,033	—0,052	—0,042 0	0,075	0,188	0,342	0,535	0,759
	—0,093	—0,139	—0,102 0	0,134	0,247	0,291	0,256	0,148
	—0,093	—0,139	—0,102 0	0,134	0,247	0,291	0,256	0,148
	Г 0,088	0,119	0,063 0	0,009	0,057	0,089	0,090	3,055 I
N =	—0,017	—0,034	—0.043 0	0,121	0,234	0,252	0,195	□,104 .
	[ 0,031	0,043	0,027 0	—0,013	—0,002	0,034	0,060	0,044 J
и линии влияния
Линии влияния моментов в балке и пилоне
продольных сил в вантах приведены на рис. 285.
§ 65. Использование принципа Кастилиано для расчета
статически неопределимых систем
Канонические уравнения метода сил имеют простую
геометрическую трактовку в случае, когда в качестве
лишних неизвестных принимаются одиночные силы или
моменты (усилия в перерезанных линейных или угловых
связях). При переходе от лишних неизвестных в виде
одиночных сил или моментов к их линейным комбинаци-
ям, например при группировке неизвестных, геометриче-
ский смысл канонических уравнений не становится столь
очевидным. В § 55 система канонических уравнений ме-
тода сил получена из принципа Кастилиано, и перемеще-
ния трактуются как обобщенные. Такая трактовка явля-
ется более общей; используя ее, можно рассчитывать
системы с распределенными связями.
На рис. 286, а показана балка переменного сечения.
Одна половина балки имеет конечную жесткость EJ,
вторая половина бесконечно жесткая и покоится на вин-
клеровском упругом основании с коэффициентом постели
k=EJIli. Ширина балки в поперечном направлении рав-
на единице. В качестве основной системы примем кон-
сольную балку (рис. 286,6). В качестве лишних неизвест-
381
Рис. 286
ных используем две треугольные нагрузки, одна из ко-
торых имеет наибольшую ординату Х1; а вторая — Х2
(если сложить эти две нагрузки, то получим эпюру отпо-
ра) . Очевидно, оба состояния, соответствующие загруже-
ниям Xj и Х2, удовлетворяют условиям равновесия. В со-
ответствии с принципом Кастилиано (343) система кано-
нических уравнений имеет вид
6нХ1 + 612Х2 + д1Р = °:
621Л1 + 622Х2+Д2Р=°.
где б,;, Д12 —обобщенные перемещения, соответствующие обобщен-
ным силам X; и Р.
Грузовое и оба единичных состояния показаны на
382
рис. 286, в—д
где б®;-—обобщенное перемещение от изгиба балки; б® —от де*
формации основания.
Итак:
6б =_1_г2/_1б^ jq ,
11 6EJ \ 36	36 )	6 6 ]	216 EJ '
6?2 = -----
12 6EJ
20Р	2Р \ 8Р 5Р1	57	Р
36 +	36 J+ 36	+ 36 ] ~ 216	EJ	’
б6 ' hl ™ I 4/4 ) I 2 10Я- 78 й
22	6£У [ \ 36	36 /	36 j 216 EJ ’
б_______£_Г/	8РР РР\	2РР _ 4РР ]
1Р “ &EJ |2 \	6 ~ 6 ) “ 6 ~ 6 ] “
24РР 144 РР
~~ 36EJ =~ 216 EJ ’
б______1_ Г / 10РР _2РР_\ 4РР 5Р/3]
2Р~ 6EJ [2(~ 6	~ 6	6 ~ 6
ЗЗРР 198 РР
36EJ ==— 216 EJ ’
0 г	2	i	_?___/в	72	/в
611 = 2	3	k	=	6	EJ	=	216	EJ
lfl	I	I	1	р	36	р
12	2	3	k	6EJ	216	EJ	’
0 __L_2_J______2	Р	72	Р
22 - 2	3	k	=	6	EJ	=	216	EJ ‘
Система канонических уравнений имеет вид:
114	Р „ , 93	Р „	144	РР
Л -I Пр	——	-	— Q
216	EJ	216	EJ	216	EJ
93	Р	150	Р	198	РР
216	EJ	216	EJ	216	EJ
После сокращения на /5/(216£/) получим:
114X1+93X2 —144-у- =0;
93Х! + 150Х2 — 198 -у- = 0,
383
или в матричной форме
АХ + tp = О,
где А =
114 93]
93 150J
144
198
Решая систему уравнений, будем иметь.
1 Г 150 —93
Х = —Л 1Др; A J- 8451 |_дз 114|;
ГХЛ _ Р Г 150 —93] Г144] _ Р Г 0,377
|х2] = 84511 |— 93 114] [198] = I [ 1,086]'
Умножая эпюры, изображенные на рис. 286, г, д, соот-
ветственно на Х1г Х2 и складывая с грузовой (рис. 286, в),
получим окончательную эпюру, показанную на рис. 286, в
(для простоты рисунка винклеровское основание не по-
казано, но его действие компенсировано эпюрой отпора).
Покажем далее непосредственное использование прин-
ципа Кастилиано для расчета рам. Напомним его: из
всех возможных напряженных состояний, удовлетворяю-
щих уравнениям равновесия, только то удовлетворяет
уравнениям совместности, которое сообщает минимум
дополнительной работы системы. Для наглядности рас-
суждений рассмотрим конкретный пример (рис.287,а).
Ввиду узловой нагрузки эпюра моментов является ли-
нейной в пределах каждого из стержней, из которых она
состоит. Будем считать положительными ординаты эпю-
ры моментов, отложенные внутрь рамы.
Изобразим некоторую произвольную эпюру моментов
с положительными ординатами (рис. 287,а). Эпюра мо-
ментов в раме определяется ординатами Mi, М2, Мз- Но
эти ординаты не могут быть произвольными, а по услови-
ям принципа Кастилиано должны быть такими, чтобы
соблюдались условия равновесия и дополнительная ра-
бота принимала бы минимальное значение.
Для соблюдения уравнений равновесия необходимо,
чтобы: 1) все стержни находились в равновесии; 2) все
узлы находились в равновесии.
Составим уравнения равновесия для стержня
(рис. 287, б):
SX = Xi — Ni+i = 0; Nj = 2V/+1 = IV;
SK = Qi — Qi+i = 0; Qi =	= Q;
— Mi
2Л1г+1 = 0; Afi+j — Mi — Ql = 0; Q—~ t+~-
384
1,52DP
Рис. 287
Составим далее уравнения равновесия для узлов:
для левого узла (рис. 287, в)
М2 — М< „	Л1,
Л\ = -(22 = --^-------1; M2—Q1 — P=-——— -Р;	(441)
О	«3
для правого (рис. 287, а)
Л42 —Л4.
Л'.9=Сг==—7—; Л'2 = -Q3 =
6
_ М,-Л42
3
(442)
Приравнивая значения N2 по выражениям (441) и (442),
получим
м, м3 — м2
—- — Р = — — ------- или М3 = — + Л42 + ЗР. (443)
3	3
Таким образом, все условия соблюдаются, если вы-
полняется условие (443). Далее составляем выражение
для дополнительной работы. Перемножая в матричной
форме эпюру, изображенную на рис. 287, а, саму на себя,
получим
П^±-Мт ВМ^-~(М.М2М31
Z	Z	ОС J
3 г6 2
2 6 1
1 2
ГМТ1
Л42
М3_
(444)
Развернем выражение
П =	(6Л1'( + 6Л1,2 + 2М| + 4МгМ2 + 2М*М3).	(445)
Подставляя в (445) значение М3 по выражению (443),
25-569
получим
77=~^ёт !6М'+6М2+2	+375)2+
+-WjMa + 2М2 (— Mt + M2 + 3p)}.	(446)
Далее вычислим производные и в соответствии с принци-
пом Кастилиано будем иметь:
= 777 {12МХ - 4 (-Мх + М2 + ЗР) + 4М2 - 2Мг} = 0;
дМ1 4EJ
16М± — 2М2 — 12Р = 0;	(447)
= 777 {12ЛМ-4 (-Mi+M2+3P) +4Mi-2Mi+4M2+6P}=0.)
дМ2 4EJ
— 2Mi + 20М2 + 18Р = 0.	(448)
Решая совместно (447) и (448), получим
Mi = 0,645Р; М2 = — 0,835Р.	(449)
Окончательная эпюра моментов приведена на
рис. 287, д. При применении принципа Кастилиано можно
использовать любые возможные равновесные состояния,
в частности можно брать равновесные состояния, соот-
ветствующие различным основным системам. Число этих
состояний должно быть равно степени статической неоп-
ределимости, и между собой они должны быть линейно-
независимыми. Например, для расчета рамы, показанной
на рис. 287, а, могут быть использованы единичные эпю-
ры, приведенные на рис. 288, а, б. В качестве грузовой
386
пюры можно использовать любую из эпюр, изображен-
эыХ на рис. 288, в или г. Использование различных ос-
новных систем может в некоторых случаях облегчить
процесс расчета статически неопределимых систем.
§ 66. Расчет с использованием ЭВМ.
Поэлементный подход
В § 60 приведены этапы расчета статически неопре-
делимых систем.
Первые три этапа при расчете вручную являются наи-
менее трудоемкими. При расчете на ЭВМ. эти этапы
наиболее трудны, так как они связаны со сложными
логическими рассуждениями, трудно поддающимися
формализации, которая необходима для процесса про-
граммирования. Большое число вариантов основных сис-
тем, достаточно сложные логические рассуждения, ме-
няющиеся от системы к системе при построении единич-
ных и грузовых эпюр, резко осложняют процесс програм-
мирования.
Последующие три этапа — чисто механические, они
легко формализуются. В § 64 рассмотрена матричная
форма метода сил, где процесс реализации этапов 4—6
записан в матричной форме. Матричная форма расчета,
приведенная в § 64, удобна при расчете статически неоп-
ределимых систем с небольшим числом стержней и не-
высокой степенью статической неопределимости.
При расчете на ЭВМ сложных статически неопредели-
мых систем с большим числом элементов приведенный в
§ 64 алгоритм является неудовлетворительным. Остано-
вимся на этом вопросе более подробно. Итак, для постро-
ения расширенной матрицы системы канонических урав-
нений используется формула
[Я  Др] = [V В [L ; Др]].	(450)
Выпишем порядки всех матриц:
j п п \-т |
п IА  Д р J — п (и -]- tri);
L1 — п!г;
В — kk;
[я m 1
L : Lp J — k(n -]- m),
где n — степень статической неопределимости; k — число характер-
ных сечений, в которых происходят скачки в ординатах эпюр или
их производных; т — число загружений.
25*	387
Показателями работы программы являются объем
задачи и время ее решения. Объем задачи определяется
количеством одновременно хранимой информации, необ-
ходимой для ее решения. При расчете статически неопре-
делимых систем объем задачи определяется степенью ее
статической неопределимости, числом стержней и числом
загружений (п, k, т). Использование формулы (450) не-
рационально при применении ЭВМ. Вызвано это тем, что
исходные матрицы для формулы (450) являются мало
заполненными (содержат большое число нулей), а это
загромождает память нулевой информацией. Кроме то-
го, много времени будет теряться на перемножение нулей.
Правда, этот процесс можно ускорить, если заранее пу
тем анализа установить, является ли один из сомножите-
лей нулем, и тогда перемножения проводить не надо, а
на место результата ставить 0 (логические операции на
ЭВМ идут быстрее арифметических). Иногда этот анализ
заложен в самой ЭВМ Как правило, при решении прак-
тических задач наибольшее место в памяти ЭВМ занима-
ет матрица В, ее порядок зависит от числа стержней
(эта матрица имеет квазидиагональный вид). Для ферм
ее порядок равен числу стержней, а для рам в общем слу-
чае— удвоенному их числу. Можно построить специаль-
ные матричные программы для хранения и перемножения
матриц с учетом их структуры. Например, для ферм мат-
рица В будет диагональной, и ее можно хранить как
вектор, составив при этом специальную стандартную
программу умножения матриц на диагональную матрицу.
Все эти операции можно проделать, однако эти детали
будут осложнять процесс программирования, и формула
(436) потеряет наглядность.
Остановимся на общем приеме, позволяющем снять
ограничение по числу стержней. Таким общим приемом
является поэлементная обработка стержней, которая
весьма плодотворна при расчете стержневых систем на
ЭВМ. Итак, процесс Построения расширенной матрицы
можно вести по элементам, используя процесс накопле-
ния. Первоначально можно построить все эпюры по пер-
вому элементу (для рамы это будет соответствовать пер-
вым двум строкам матриц М и АД) и произвести их
перемножение, далее с накоплением произвести пере-
множение по следующему элементу и т. д. При перемно-
жении эпюр для балки или рамы могут быть использо-
ваны формулы:
388
1) в случае линейного изменения эпюры моментов
Л41НМ1К	п .	*
Л/2Н Л/2К 1	2 Л М1пМ^1-‘-Мпи \МРн---МРи
:	•	6EJ [1 2] MiKM2K...MnK;Mip^_MKPK
Мпп ^пк_
(451)
где Min(Mtk) — ординаты единичных эпюр в начале (кон-
це) стержня; Л1рн(Л4рк)—тоже, для грузовой эпюры;
2) в случае, если эпюра моментов от нагрузки имеет
вид квадратной параболы:
п	k
-7И1Н М1С М1к -
/И2Н Л12С М2К  (_
: :	&EJ
Мт Мпс Мцк _
1 1
4
1J
-А41яЛ12н...Л4пнр4н---^Рн -
Mie Л^2с* --^4пс : ^4 рс* * *^Рс *
ЛДк Л42к. .. Л4,1к: Л4рк... Л4рк
(452)
где Мгс(МРс)—ординаты эпюр моментов в середине
стержня.
Составив стандартные программы по формулам (451)
и (452), необходимо далее только подсылать в них мат-
рицы единичных и грузовых эпюр по новым стержням.
Если память ЭВМ мала, то можно вводить информацию
поэлементно или группами и далее производить поэле-
ментную обработку; память ЭВМ при этом будет расхо-
доваться оптимально. Практически она будет расходо-
ваться только на хранение расширенной матрицы систе-
мы канонических уравнений, и объем задачи будет
определяться параметрами п и k, а эта информация
является минимально необходимой. Структура системы
канонических уравнений в сильной степени зависит от
выбора основной системы. Матрица системы каноничес-
ких уравнений симметрична, следовательно, можно хра-
нить только ее часть, расположенную выше диагонали.
Если матрица имеет ленточную структуру, то можно хра-
нить только ленту коэффициентов, расположенную вы-
ше диагонали.
После того как расширенная матрица построена, ре-
шается система канонических уравнений и строится мат-
рица лишних неизвестных (в случае нескольких, загру-
жений). Далее для вычисления усилий может быть опять
использован поэлементный подход (вновь вводятся по
элементам усилия от единичных неизвестных и от нагруз-
ки и вычисляются усилия в 1-м, 2-м и т. д. элементах).
Данный подход позволяет рассчитывать на малых ЭВМ
ЗВ9
системы с большим числом элементов. Такие системы
часто встречаются, например, в мостостроении. Память ц
время при этом расходуются оптимально.
Программы, механизирующие этапы 4—7, весьма эф,
фективны при изучении метода сил, так как при этом вся
смысловая часть задачи (первые три этапа) остается |(
машине передается только чисто механическая часть.
Эти же программы могут широко использоваться в кур,
совом и дипломном проектировании
Использование программ, механизирующих только
этапы 4—7, при расчете сложных систем нерационально
в практике проектных организаций, так как подготовка
исходной информации занимает слишком много времени
и требует высокой квалификации. В связи с этим встал
вопрос о механизации первых трех этапов или путях их
обхода.
Одним из возможных путей является выбор стандарт-
ной основной системы, пригодной для расчета произволь-
ной статически неопределимой системы. По такому прин-
ципу построена универсальная программа расчета про-
извольных статически неопределимых систем СМ-1 [9].
В качестве стандартной основной системы использована
консольная система, так как процесс построения эпюр
внутренних сил в ней наиболее прост (процесс построе-
ния эпюр внутренних сил в этой программе был автома-
тизирован). При построении эпюр в консольных систе-
мах удобно рассматривать равновесие консольной части.
Для определения внутренних сил при этом необходимо
вычислять моменты сил относительно некоторых точек
(центров тяжести поперечных сечений при расчете ба-
лочных, рамных, арочных систем со сплошными стенками
и моментных точек при расчете ферм).
Если исходная система имеет заделку, то для нее
просто получить консольную основную систему. Однако
консольная основная система обычно сильно отличается
по своей работе от действительной статически неопреде-
лимой системы, в результате чего может произойти по-
теря точности (см. § 61).
Если заданная система не является консольной, то ее
приводят к консольной либо путем введения так называ-
емых вторичных сил, либо, используя идею метода заме-
ны связей, когда на систему накладывают связи, чтобы
превратить ее в консольную, и далее составляют допоч-
нительные уравнения, смысл которых —усилия в нало-
390
ценных связях равны нулю. Но этот подход тесно примы-
кает к смешанному методу, который рассматривается в
последующем.
Второй путь механизации первых трех этапов расче-
та — автоматический выбор основной системы. Эта зада
ча в общем виде весьма сложная и трудна при програм-
мировании. Имеются отдельные попытки автоматическо-
го выбора основных систем для каких-то классов стерж-
невых систем, например одноэтажных рам.
Наконец, третьим путем является подход, при кото-
ром вообще не используется основная система. При этом
[ля составления системы канонических уравнений может
быть использован принцип Кастилиано (см. § 55).
Практика показывает, что метод сил в большинстве
случаев является менее алгоритмичным, чем рассматри-
ваемый в следующей главе метод перемещений.
Глава XII. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИИ
§ 67. Сущность метода
Известно, что в статически неопределимых системах
распределение внутренних сил зависит от упругих свойств
элементов системы, вследствие чего одних уравнений
равновесия оказывается недостаточно для определения
всех усилий в конструкции. В общем случае уравнения
статики должны решаться совместно с физическими и ге-
ометрическими уравнениями, выражающими условия
деформации системы. Для упрощения обычно расчет
строится таким образом, что какие-то факторы системы
выбираются в качестве основных неизвестных, которые
должны вполне определять ее напряженно-деформиро-
ванное состояние. Это значит, что через основные неиз-
вестные должно быть возможно выразить все прочие ин-
тересующие нас величины в конструкции.
Как мы видели, в методе сил в качестве таких основ-
ных неизвестных выбираются внутренние усилия в фик-
сированных сечениях стержневой конструкции — так на-
зываемые лишние неизвестные. Но в строительной меха-
нике используется и другой подход, называемый методом
перемещений. В этом методе за основные неизвестные
принимаются перемещения фиксированных сечений или
39*
узлов системы, относительно которых (перемещений)
ределимости данной конструкции. Число и вид неизвест-
ных перемещений, принимаемых за основные, называют
степенью кинематической неопределимости системы. Оно,
вообще говоря, не связано со степенью статической неоп-
ределимости данной конструкции. Число и вид неизвест-
ных перемещений назначают так, чтобы через них доста-
Рис. 289
точно легко могли быть выражены все прочие факторы
системы, в частности внутренние усилия ее элементов
(стержней). Для пояснения сказанного рассмотрим про-
стейший пример.
Абсолютно жесткий брус АВ поддерживается четырь-
мя одинаковыми стержнями с жесткостью на растяжение
EF (рис. 289,о). Эта система трижды статически неопре-
делима. В то же время удлинения, а следовательно, и
усилия всех стержней вполне определяются одним пере-
мещением, например вертикальным перемещением точки
В, которое обозначим Zb Степень статической неопреде-
лимости зависит от числа вертикальных стержней, в то
время как степень кинематической неопределимости этой
392
системы при любом числе стержней остается равной еди-
нице.
В сопротивлении материалов решаются подобные за-
дачи с использованием картины перемещений системы.
Однако это делается не совсем в той форме, которая ха-
рактерна для метода перемещений. Определим усилия в
стержнях М, Мь принимая за неизвестное перемеще-
ние Zi и используя рассуждения, свойственные этому ме-
тоду.
Устраним перемещение Zi, введя по его направлению
связь (рис. 289,6). Такую систему с присоединенной
связью назовем основной системой метода перемещений.
Теперь сообщим этой связи принудительное смещение Zi,
которое найдем из условия, что суммарная реакция Rt в
этой связи должна обратиться в нуль, так как в действи-
тельности связь отсутствует. В дальнейшем реакцию в
связи будем считать положительной, если она совпадет
с принятым направлением перемещения (в данном случае
вниз).
В основной системе от нагрузки Р реакция в связи
R\p=—Р (рис. 289,6). От смещения Zi для линейно-уп-
ругой системы реакция в связи пропорциональна перемс
щению Zi. Представим ее в виде ^iz^HiZi, где rtl —
реакция от смещения Z\=\ (рис. 289, в). Согласно
принципу суперпозиции, условие отсутствия полной ре-
акции в присоединенной связи получит вид:
«1= «1Z.+ Я1₽=°.	(453)
или Ли + Rlp = 0.	(454)
По рис. 289, в, взяв сумму моментов относительно точки
.4, найдем r\\=f>EFIbl. Из уравнения (454) получим
Z}=5Pl/6EF. Усилия в стержнях, показанные на рис.
289,в, найдены от перемещения Zi= 1. Умножив их на
фактическое перемещение Z1—5PI/6EF, получим иско-
мые значения сил Ni = P/fy, N2=2P/6', N’,—3P/(y,	=
=4P/6.
Разрешающее уравнение (454) выражает в соответст-
вующей форме условие равновесия системы, получившей
под нагрузкой Р перемещение Zb Другими словами, это
есть уравнение равновесия системы, выраженное через
перемещение Zj. Аналогичные рассуждения можно при-
менять и в расчетах рамных стержневых систем.
На рис. 290, а показана плоская рама в деформиро-
393
ванном состоянии. Раму будем рассматривать как ан
самбль отдельных стержневых элементов, объединенных
в узлах. Деформированное состояние каждого элемента
вполне определяется нагрузкой, непосредственно прило-
женной к этому элементу, и перемещениями его конце-
вых сечений. На рис. 290, а изображены отдельные
стержни, деформированные так же, как и в составе рамы,
что достигается смещением концевых сечений стержней
на величины, равные перемещениям узлов рамы.
Если пренебречь изменением длин стержней, то в целом
деформированное состояние рамы будет определено тре-
мя перемещениями узлов; Zi — горизонтальным линей-
ным смещением ригеля, Z2, Z3 — углами поворота узлов
(степень кинематической неопределимости равна трем).
Основная система с присоединенными связями, устра-
няющими эти перемещения, показана на рис. 290, б.
Условные защемления, введенные в узлы и устраняющие
их углы поворота, называют плавающими заделками,
так как считается, что, устраняя поворот, они не препят-
ствуют соответствующему линейному смещению узла.
При устранении связи 1 рама деформируется без поворо-
та узлов (рис. 290,в).
Уравнения равновесия рамы, выраженные через пере-
мещения Zb Z2 и Z3, получим, приравняв нулю суммар-
ные реакции в присоединенных связях (сосредоточенную
силу в тинейной связи и моменты в угловых связях);
R1 = 0; Д2 = 0; Ra = 0.
(455)
3*4
Система уравнений (455) и является для рассматри-
ваемой рамы разрешающей по методу перемещении.
Однако для того, чтобы можно было легко развернуть
каждое из равенств (455), надо предварительно изучить
работу отдельных стержней, составляющих основную
систему, на воздействие различных видов нагрузки и сме-
щений опорных закреплений. Если предварительно будут
найдены реакции по концам стержней от указанных воз-
действий, то, используя принцип суперпозиции, каждую
из полных реакций (455) можно записать как сумму сла-
гаемых, выражающих каждое воздействие отдельно.
В следующем параграфе решается задача о деформиро-
вании отдельного стержневого элемента основной систе-
мы метода перемещений.
§68. Таблица реакций и внутренних усилий в стержне
как элементе основной системы
Во многих случаях рама может быть представлена
как совокупность прямых линейно-упругих стержней по-
стоянного сечения. Характерные случаи примыкания та-
ких стержней к узлам изображены на рис. 291.
Рис. 291
Рис. 292
Наиболее просто задача об определении усилий и ре-
акций решается для стержня с шарнирным прикреплени-
ем на обоих концах (рис. 291, о). При малых перемеще-
ниях узлов в осевом направлении Л] и в поперечном Д2 их
можно рассматривать раздельно. Перемещение Л| = 1
дает равномерное растяжение стержня \.=NIIEF. Отсю-
да продольная сила N=EF!l. Это справедливо, очевид-
но, и для других случаев закрепления стержней на рис.
291. Поперечное смещение Д2=1 для шарнирно-прикреп-
?95
ленного стержня при малом смещении не меняет его дли-
ны и не вызывает появления в нем внутренних усилий.
От поперечной нагрузки в шарнирно-прикрепленном
стержне опорные реакции
Рис. 293
|/А, Vb легко определяются из
условий статики — равенст-
ва нулю моментов в шарни-
рах А и В. После этого эпю-
ры изгибающих моментов и
поперечных сил строятся по
методу сечений. При нали-
чии продольной нагрузки,
приложенной в промежуточ-
ных точках стержня, задача
об определении внутренних
продольных сил и осевых ре-
акций на концах однажды
статически неопределима.
Она может быть решена с
помощью любого из извест-
ных приемов, например по
методу сил. То же относится и к схемам рис. 291, б, в для
любых воздействий.
Для примера рассмотрим расчет стержня, прикреп-
ленного по схеме рис. 292, на принудительный поворот
заделки на угол <р=1. Основная система метода сил по-
казана на рис. 293. В каноническом уравнении бцХ(4-
4-Д1ф =0 значения коэффициентов найдем по рис. 293:
Д1ч> =—<р/=—I (знак минус объясняется тем, что пере-
мещение точки приложения противоположно XJ.
С учетом лишь деформаций изгиба по эпюре М\ получим
6п=/3/3£7. Следовательно, имеем X\ — VB~—Д1Ф/бц =
=ЗЕЦ12. Реакции и окончательная эпюра моментов изо-
бражены на рис. 292. Пример расчета стержня, защем-
ленного на обоих концах (рис. 291, в), на смещение опор
рассмотрен ранее в § 64.
Аналогичные расчеты позволяют получить все необхо-
димые данные об отдельном стержне как элементе основ-
ной системы метода перемещений. В табл. 6 приведены
изгибные деформации стержня постоянного сечения для
характерных случаев закрепления, смещений опор и
внешней нагрузки (сведения о воздействии температуры
на стержень, приведенные на схемах 5 и 10 в табл. 6,
будут обсуждены далее). Данные табл. 6 могут быть
396
получены необязательно по методу сил. Для стержня
постоянного сечения могут быть использованы непосред-
ственно дифференциальное уравнение изгиба и его инте-
грал, например, в форме метода начальных параметров,
известного из курса сопротивления материалов. На этих
вопросах мы подробно не останавливаемся, предоставляя
их самим учащимся.
Аналогично табл. 6 может быть построено решение
для более сложного элемента основной системы. Так, на-
пример, в стержневом элементе могут быть учтены де-
формация сдвига, упругое примыкание к узлу и т. п. (см.
§79).
Рассмотрим простейший пример использования дан-
ных табл. 6 для расчета рамы методом перемещений
(рис. 294, а). Как обычно, будем считать, что стержни
рамы не меняют длины (ЕЕ=оо). Тогда линейные сме-
щения узлов рамы невозможны, и остается одно неизве-
стное перемещение — угол поворота первого узла Z\.
Основная система рамы изображена на рис. 294, б. На
ней стрелкой Zi указано направление поворота узла, при-
нимаемое за положительное (по часовой стрелке). На-
ложенная связь, устраняющая поворот узла 1, как ви-
дим, разбивает раму на три отдельных стержня. Все
сведения о деформации каждого из них от характерных
воздействий содержатся в табл. 6.
На рис. 294, в показано грузовое состояние основной
системы. Стержни 1—3 и 1—4 отделены узловой «задел-
кой» от загруженного ригеля 1—2 и в этом состоянии не
деформируются; изгибающие моменты в сечениях этих
стержней равны нулю. Деформируется лишь ригель 1—2
как стержень, защемленный на левом конце и шарнирно-
опертый на правом. Эпюра МР для такого стержня берет-
ся по схеме 1 из табл. 6 (при п=0,5 и п=0,5 момент в
заделке будет ЗР//16). В этом состоянии в узловой свя-
зи возникает реактивный момент RiP, удерживающий
узел от поворота. Положительное направление реакции
во введенной связи будем принимать таким, чтобы оно
совпадало с принятым положительным направлением пе-
ремещения. В данном случае RiP по направлению проти-
воположно Z\, поэтому /?1р=—ЗР//16.
Теперь сообщаем узлу 1 принудительный поворот на
неизвестный угол Zb К узловой связи придется для это-
го приложить момент, пропорциональный Zi, который
представим как гц-^ь По принципу суперпозиции можем
397
Таблица 6
Схема балки и воз-
действия на нее
Эпюра моментов
и реакции
НА^(з-я2) рв:СН(з-и)

/и - 3EJ
I

р - ЗЕЗ
ка~кв -
Неравномерный нагрев
	t,	EJ
Я '6	£г	
		Л	J
	^2	At ~tj~t£ 5
м _ JEJdAt
| * ' ~2JT~
о - z> _ liEJotAt
KA~ *8-------
h~ Высота сечения
398
Схема балки и воз -
действия на нее
Эпюра моментов
и реакции
Мл =uu2Pl Рв-иг vPl
iu
A
Г
Неравномерный нагрев
A
В
К 1!^
о -/> J?™
м ~м ~ EJdA^.
Г,А Г18 ~
UI	VI
	1
10
е(Юи)Р RB=us(^2v)P

А *К 12
На ~Hg ' в
h - высота сечения
3*9
Рис. 294
записать условие равновесия узла Г.
/?i = rnzi + «1Р = °>	<456>
сражающее отсутствие суммарной реакции Ел в услов-
но введенной связи (узловой заделке). По смыслу Гц —
момент, приложенный к узлу 1 (или, что то же, к введен-
ной связи) и вызывающий поворот узла на угол Z\ = \.
Такое «единичное» состояние рамы изображено на рис.
294,а. Эпюра моментов М\ для каждого стержня в дан-
ном состоянии построена по табл. 6, при этом учтено, что
жесткость ригеля 1—3 принята равной 1,5£/, поэтому
моменты по концам стержня будут 4-\,bEJIl=^EJIl и
соответственно QEJjl. Момент ЬЕЦ1 надо приложить к
узлу, чтобы при его повороте вызвать изгиб только стерж-
ня 1—3. Изгиб двух других стержней (/—2 и 1—4) соот-
ветственно потребует приложения еще двух моментов по
3EJH каждый. Таким образом, суммарное значение мо-
мента гц будет
&EJ 3EJ 3EJ 12EJ
Ги~ I + I + I = I '
Из уравнения (456) получим Zi=—Rip/rn—PE/G^Ef.
Окончательная эпюра изгибающих моментов, постро-
енная на основе принципа суперпозиции, выражаемого
равенством М=Мр-}-М^1, показана на рис. 294, д.
Обратим внимание, что внутренние моменты у узла 1
взаимно уравновешены. Равновесие узла, показанное на
рис. 294, <5, может служить контролем правильности
окончательной эпюры М. Эпюра Q построена по эпюре
М и показана на рис. 294, е.
§69. Степень кинематической неопределимости
системы
При построении основной системы метода перемеще-
ний, как уже говорилось, в узлах заданной стержневой
системы вводят линейные и угловые связи так, чтобы ос-
новная система состояла из отдельных стержней, вну-
тренние усилия в которых могут быть легко найдены с
использованием справочных данных. Если такие данные
отсутствуют, например если стержень имеет по длине пе-
ременное сечение, то внутренние усилия могут быть най-
дены путем вспомогательного расчета отдельного стерж-
ня на единичные смещения концевых сечений и действие
26-569
401
нагрузки, непосредственно приложенной к стержню.
Число таких дополнительных связей, которое необходимо
ввести в заданную конструкцию, очевидно, равно числу
независимых линейных и угловых перемещений узлов ра-
мы. Оно и называется степенью кинематической неопре-
делимости системы п
Степень кинематической неопределимости зависит от
свойств модели, с помощью которой схематизируется ра-
бота деформируемой системы. В дальнейшем будем раз-
личать два типа моделей стержневых конструкций:
с растяжимыми (сжимаемыми) (£F#=oo) и с нерастя-
жнмыми стержнями (£F—оо).
Наиболее просто определить число неизвестных неза-
висимых перемещений узлов рамы п (т. е. степень кине-
матической неопределимости) для перьой модели (EF=/=
=#оо). На рис. 295 показаны три характерных вида сое-
динения стержней в узле: а — жесткое, б — жесткошар-
нирное, в — шарнирное. Внизу изображены связи, а
стрелками показаны соответствующие независимые пе-
ремещения узлов в плоскости чертежа. Каждый узел в
плоскости имеет два линейных смещения (Zi и Zs), ко-
торые устраняются постановкой соответствующих стерж-
невых связей. Угловая связь (плавающая заделка) вво-
дится только в сечение, объединяющее два или более
примыкающих стержней. Для узла с полным шарниром
принимаем за неизвестные лишь линейные перемещения.
Таким образом, степень кинематической неопределимо-
сти п равна утроенному числу жестких (или жесткошар-
нирных) узлов пж плюс удвоенное число узлов с полны-
ми шарнирами пш (в число узлов вводятся и опорные
402
Рис. 296
узлы) минус число опорных связей конструкции По, что
можно кратко выразить формулой
п = Зпж 2ящ — nG.	(457)
Не следует стараться запоминать эту формулу, чтобы
пользоваться ею для формального подсчета числа п. Она
приведена лишь как краткое выражение идеи, следуя ко-
торой определяется степень кинематической неопредели-
мости рамы. Лучше всего определять п по смыслу, после-
довательно закрепляя все узлы рамы от линейных и
угловых смещений. Для примера на рис. 296, а показана
заданная рама и основная система, соответствующая
первой модели (ЖД#=оо). В этой системе неизвестные
перемещения связаны с тремя узлами—А, В, С. Первые
два закрепляем в плоскости конструкции с помощью
трех связей каждый, а узел С, имеющий полный шар-
нир,—только двумя линейными связями. Следовательно,
и=8. Номера неизвестных перемещений и их направле-
ния, принимаемые за положительные, показаны на рис.
296, б. По формуле (457) получим тот же результат, если
учтем, что в данном случае пт=3 (узлы А. В, Е), пш=2
(узлы С и D) и Но—5 (в узлах D и £), п — З-ЗА-2-2—5=
=8.
Может возникнуть вопрос, почему в число неизвест-
ных перемещений не вводятся углы поворота сечений
стержней, примыкающих к шарнирным узлам, например
в I зле D на рис. 296. Ведь эти угловые перемещения так
26
403
же неизвестны, как и углы поворота жестких узлов. Ука-
занные углы поворота в принципе можно рассматривать
как независимые перемещения. Так, на рис. 296, в пока-
зано угловое перемещение ZD в общем составе неизвест-
ных. Это естественно приведет к увеличению числа неиз-
вестных, но создаст и некоторое упрощение. Оно состоит
в том, что для всех стержней рамы будет использован
только один тип закрепления по табл. 6 — стержень с
заделками на концах (рис. 296, г). Но так как в табл. 6
содержится схема стержня с шарниром на конце (рис.
296, д), все усилия в котором определяются перемеще-
ниями Z6 и Z4, а угол фо оказывается зависимым переме-
щением, число неизвестных Zi можно сократить, исклю-
чив из них фо-
Таким образом, несколько расширив таблицу элемен-
тов основной системы, мы сократим число неизвестных
метода перемещений. Поэтому обычно углы поворота се-
чений у шарниров не вводятся в состав независимых
перемещений системы. В то же время иногда для упро-
щения алгоритма расчета систем на ЭВМ за основу
берется элемент с двумя заделками. В этом случае углы
поворота сечений у шарниров рассматриваются как неиз-
вестные наравне с жесткими узлами. Сделанное замеча-
ние подчеркивает условность понятия степени кинемати-
ческой неопределимости системы и его зависимость от
принятой модели и схемы расчета.
Обратимся теперь ко второй модели — системам с не-
растяжимыми стержнями (££==оо). В действительности
все стержни, строго говоря, имеют конечную жесткость
на растяжение-сжатие и в общем случае при загружений
изменяют свою длину. Однако в ряде случаев вклад ука-
занных деформаций в общие величины перемещений уз-
лов рамы очень мал по сравнению с влиянием деформа-
ций изгиба стержней. Поэтому приближенно деформаци-
ями растяжения-сжатия стержней пренебрегают, что
соответствует случаю, когда в расчетной модели все
жесткости EFt принимаются бесконечно большими. Для
иллюстрации сказанного на рис. 297, а показаны линей-
ные перемещения узлов трехшарнирной рамы постоянно-
го сечения. Поскольку рама статически определима, то
по методу Мора легко получить эти перемещения с уче-
том изгибных и продольных деформаций стержней. Ре-
зультаты вычислений представим в виде: Z1 = (14-a)Zo;
Z2=Z4=O/SaZo; Z3=Z0, где Z0=P/3/3£7; a =3£/'£££=
404
Параметр а здесь выражает влияние продоль-
ных деформаций стержней на перемещение узлов; Zo —
горизонтальное перемещение ригеля только за счет
цзгибных деформаций стержней рамы. Так, для 1=
= 10 h а—1/400 н перемещения будут: Zi = l,OO25Zo;
Z2=Z4=0,00125Zo; Z3=Z0. Как видим, в данном слу-
Рис. 297
чае влиянием продольных сил можно пренебречь и при-
ближенно считать, что Zi^Z3—Z0 и Z2=Z4;»0.
Аналогичная картина будет, очевидно, и в статически
неопределимой раме, показанной на рис. 297, б. Поэтому
в ее расчетной модели принято для всех стержней ЕЕ=
= оо. Неизвестные перемещения узлов и основная систе-
ма для этой рамы показаны на рис. 297, в.
Общая степень кинематической неопределимости ра-
мы состоит из числа независимых линейных смещений
узлов пл плюс число угловых перемещений ну: /г=нл+
+пу. Значение пу для плоской рамы, очевидно, равно
числу жестких узлов. Для определения нл второй модели
удобно рассуждать следующим образом.
В общем случае суммарные линейные перемещения
узлов стержневой системы можно разбить на две части:
первая возникает вследствие работы стержней на растя-
Жение-сжатие (как в ферме) и вторая — на изгиб (как
в П образной раме). Полагая ЕД —оо, мы исключаем
40S
первую часть линейных перемещений, и, следовательно, в
такой модели линейные перемещения будут определяться
только изгибной деформацией стержней. Устраним этот
вид сопротивления стержней, введя во все жесткие узлы
рамы полные шарниры. Если при этом рама превратится
Рис. 298
в механизм, то число степе-
ней свободы этого механиз-
ма и будет равно ил. На рис.
297, г показан такой меха-
низм для рассмотренной вы-
ше рамы. Он имеет одну сте-
пень свободы, и для устра-
нения всех линейных смеще-
ний узлов достаточно в ос-
новной системе поставить
одну линейную связь (рис.
297, в).
На рис. 298, а изображе-
на шарнирная схема для
рамной системы по рис. 296.
Опять это механизм с одной
степенью свободы. Действи-
тельно, все перемещения
узлов при малых перемещениях пропорциональны Z}.
Коэффициенты пропорциональности а, р, у легко могут
быть найдены из геометрических соображений. Так как
стержень АВ не меняет длины, то а=1, Р=<р; тангенс
угла поворота диска АВС равен pZi/ЛВ, поэтому у =
ВС
АВ
tg<p—1. Независимое линейное перемещение здесь
будет только одно — обобщенное перемещение Z\. Систе-
ма эта при EFi—оо трижды кинематически неопредели-
ма; отвечающая ей основная система показана на рис.
298. б.
На рис. 299 и 300 приведены примеры двух рам и изо-
бражены их основные системы, соответствующие случаю
EFf—oo (п=& и п~7). Ряцом показаны искажения
шарнирных механизмов, вызванные линейными переме-
щениями Zi= 1 и Z2 = 1.
Сравнение рис. 296 н 298 показывает, что допущение
о нерастяжимости стержней снизило степень кинемати-
ческой неопределимости с 8 до 3. Однако надо помнить,
что решение получится приближенным, и им пользовать-
ся следует осторожно
426
Достаточно проверенным это допущение является для
гам с вертикальными стойками при небольшом числе
этажей. Для многоэтажных рам, рам с наклонными стой-
Рис. 299
ками, арочных систем
эбычно необходимо учи-
тывать продольные де-
формации стержней. Как
правило, алгоритмы и про-
граммы расчетов на ЭВМ
строятся с использованием
наиболее общей первой
модели (EFi^oo). Число
неизвестных при исполь-
зовании ЭВМ не столь су-
щественно, а такие фак-
торы, как точность реше-
ния, общность и простота
алгоритма, оказываются
решающими. Вторая мо-
дель используется при
упрощенных расчетах, выполняемых вручную, или при
минимальной автоматизации вычислений.
§ 70. Канонические уравнения
и общий горгдок расчета
Предположим, что мы имеем дело с системой, степень
кинематической неопределимости которой п. Другими
словами, в основной системе введено п. дополнительных
связей, устраняющих все независимые перемещения
узлов стержневой системы Zi, Z2,...,Zn. Запишем в об-
щем виде уравнения для определения этих перемещений,
437

или, как их называют, канонические уравнения метода
перемещений.
Выше указывалось, что смысл каждого уравнения
состоит в отрицании полной реакции соответствующей
дополнительной связи в деформированном состоянии:
*!= ^Р+Я1Р = °;
R2= <ii’ + ^p = 0;
I
«п=^₽+^Р = о- I
(458)
Развернем каждое из равенств (458), применив принцип
суперпозиции к основной системе рассматриваемой кон-
струкции. Так, например, для реакции в первой связи по-
лучим выражение
= Tjj Zj Г12 Z2 . 4~ rW Zn + R1P >
где гц, гш..., rin — упругие реакции в 1-й связи от от-
дельных единичных смещений Zj = l, Z2 = 1,..., Zn = 1, а
/?ip —грузовая реакция в первой связи, т. е. реакция от
внешней нагрузки, приложенной к основной системе.
Раскрывая аналогично каждую строку (458), получим
ги Zi + ri2 Z2 + • •  + rin Zn + rip = °:
В Z2	Г2п Zn + ^P =
r ,2, + r Z,+... + r Z +₽p = 0.
nl 1 1 2n 2 *	* nn n. nP
Подчеркнем, что подобно коэффициенту 6l7i в уравнениях
метода сил в обозначении реакции гц{ индекс i указывает
номер связи, в которой вычисляется реакция, а индекс
k — номер связи, смещение которой вызывает эту реак-
цию (t — где возникает реакция, ай — отчего она возни-
кает). В матричной записи система алгебраических ли-
нейных уравнений (459) запишется так:
flZ + tfp=0.	(460)
Здесь введены обозначения матрицы реакций /? и векто-
ров неизвестных перемещений Z и грузовых реакций Rp-
408
Матрицу /? называют также матрицей жесткости систе-
мы, соответствующей вектору перемещений Z. Ее смысл
состоит в том, что она преобразует вектор перемещений
Z в вектор упругих реакций Ryznv=RZ.
Условимся в дальнейшем все реакции гщ и Rip в урав-
нениях (459) считать положительными, если они совпа-
дают с принятыми в данном расчете положительными на-
правлениями соответствующих перемещений Z,.
Решая систему алгебраических уравнений (459), най-
дем вектор перемещений Z, что с помощью матрицы, об-
ратной R, можно выразить так:
Z=—R~lRP.	(462)
В результате расчета нас интересуют внутренние усилия
в системе. Если обозначить любой силовой фактор (вну-
тренний момент или силу) через S, то он будет опреде-
ляться по формуле, выражающей принцип наложения:
S=Sp+S1Z]+... + S;iZ;=Sp + Vs.2.	(463)
где Sp — искомое усилие в основной системе от внешней
нагрузки; S,- — искомое усилие в основной системе от
Z,= l (i=l,...,n).
Канонические уравнения (459) составлены исходя из
соображений равновесия системы в деформированном
состоянии. Каждая строка их выражает через перемеще-
ния Z то или иное условие равновесия узла или узлов,
так как, отрицая суммарные реакции в дополнительных
связях (458), мы тем самым выражаем условие равенст-
ва нулю сумм проекций сил или моментов, действующих
на узлы (рис. 301, а).
Уравнения (459) можно получить и из более общих энергети-
ческих условий равновесия системы, выражаемых вариационным
409
принципом Лагранжа. В сущности в гл. X эти уравнения [см. (310)
(312)] уже получены, и нам остается только указать на связь меж
ду ними и уравнениями (459).
Заданная стержневая конструкция с помощью основной системы
метода перемещений характеризуется и независимыми перемещения
ми Zi, Z2, .... Zn. Каждому Zty=0 отвечает свое деформированное со
стояние рамы. Таким образом, мы имеем дело с континуальной си-
стемой, деформированное состояние которой определяется конечным
числом степеней свободы, а перемещения Z, (i=l, ..., п) выступают
гак ее обобщенные перемещения (координаты). Именно для таких
систем в § 54 были получены вариационные уравнения равновесия
(310) и (312).
Напомним, что при их получении используется понятие полной
энергии системы:
3 = t/(Z1l .., Z, г) + П(г1,. .,Z„,P),	(464)
где П -потенциальная энергия деформации системы, выраженная
через обобщенные перемещения Zi, ..., Z„; П - потенциал внешних
сил, также выраженный через Zi,..., Zn и нагрузку Р.
В § 52 было записано общее выражение энергии Э для дискрет
нон системы [см. (306)]:
э = и + п = -1- jb | 2 rtjzi и+ 2 RiPZi’ (465>
1 i=i /=1	у ,=1
где г-ц — элементы матрицы жесткости системы, отвечающей векто-
ру перемещения Z; Р,ц>—коэффициенты в выражении П, зависящие
от нагрузки. По смыслу потенциала П величина Rip подсчитывается
как виртуальная работа внешних сил на перемещениях от Zi = l, взя
тая с обратным знаком (при переводе системы из деформированно-
го состояния в недеформированное).
Если система загружена узловыми силами пли моментами Р,,
то выражение П, очевидно, будет
= = <466’
i=i	i =1
где	R.p=-P..	(467)
При внеузловой нагрузке потенциал внешних сил П также мо-
жет быть представлен в форме (466), если внеузловые нагрузки при
ведем к узловым воздействиям, т. е. в качестве Р, возьмем такие
узловые силы, которые дают те же перемещения Z,, что и внеузло-
вые нагрузки.
Рассмотрим для примера раму на рис. 302. Ее фактическое со
стояние (а) представим как сумму’ двух состояний (б) и (в). В со
стоянии (б) узлы рамы неподвижны и в дополнительных связях воз
никают реакции Rip, обеспечивающие неподвижность узлов. Далее
устраним узловые связи, что соответствует приложению в узлах сил
/’,=—Rip, вызывающих искомые перемещения узлов рамы Z,
(рис. 302, в). Следовательно, загружение рамы узловыми силами Р,
дает такие же перемещения Zi, как и действие внеузловых нагру'зок.
Итак, Rip может быть вычислено либо как работа с обратным
410
знаком внеузловых нагрузок на перемещениях в состоянии Z>=1,
либо как узловые реакции в основной системе метода перемещений.
Условие равновесия системы требует стационарности полной
энергии системы, что выражается вариационным уравнением Лаг
ранжа 63 = 0 и приводит к уравнениям (310):
дЭ
dZl
dU	дП	„
= — F "ту =0 (i = 1,..., п).
dZf	dZt
(468)
Из теоретической механики известно, что частная производная
от энергии системы, выраженной через обобщенную координату, рав-
на соответствующей обобщенной силе с обратным знаком: <9^/<?Z,=
=—Qi. Пусть, например, на рис. 301,6 показана обобщенная сила
Qi>0, соответствующая некоторому обобщенному перемещению
Zi>0. Тогда величина R,=—Qi имеет смысл обобщенной реакции
в связи, устраняющей перемещение Z,. Поэтому равенства (468)
выражают условие, при котором в состоянии равновесия суммарная
обобщенная реакция Ri по каждому из п обобщенных перемещений
равна нулю:
= R™> + R.p = 0 (1=1.......„).	(469)
С учетом выражения (465), где, согласно (263),	это дает
линейную систему уравнений
2 Г Z}+ RlP-0 (i = l,...,и),	(470)
/=1
совпадающую с уравнениями (458), (459). В уравнениях (469) каж-
дому из двух слагаемых (468) придан свой смысл — первое слага-
емое, т. е. частная производная от энергии деформации системы дает
упругую обобщенную реакцию /?^р, а второе — грузовую реак-
цию Rip.
Итак, канонические уравнения метода перемещений
(459) или (470) выражают условие стационарности (для
устойчивой системы — условие минимума) полной энер-
гии (465), в чем и состоит энергетическое условие равно-
411
Рис. 303
весия системы. Коэффициенты г-;, получают смысл обоб-
щенных реакций, соответствующих единичным обобщен-
ным перемещениям. В стержневых системах их можно
определять непосредственно как реакции от упругих де-
формаций стержней, а в общем случае они выражаются
через энергию формулой (314). Если в выражении энер-
гии деформаций U (Zi... Zn) для краткости записи уч-
тем лишь изгибающие моменты
1 Г M2ds If*	ds
U = —	= — \(M1Z1 + ...+MiZi+... + MnZny—--,
Z J	Z J	tJ
L	L
то по формуле (314) получим
(471)
(472)
dPU
i} ~ fji = dZt dZj
(* Mi Ms ,
 ——]-dL
J EJ
L
Выражение (472) дает формулу для вычисления реак-
ции с помощью внутренних усилий, возникающих в со-
стояниях Zi = l и Zj=l.
Порядок расчета рамы по методу перемещений рас-
смотрим на примере (рис. 303,а). Без учета продольных
деформаций стержней рама имеет два неизвестных пере-
412
мещення — угловое Zj и линейное Z2. Эпюра МР в основ-
ной системе, построенная с использованием табл. 6, по-
казана на рис. 303,6. Деформированные состояния,
отвечающие единичным независимым перемещениям, по-
казаны на рис. 303,e (Z2 = l, Zi~0) и рис. 303,г (Z2=
= 0, Zi = l). Значения характерных ординат эпюр мо-
ментов, а также реакций приняты по табл. 6 с учетом
жесткостей отдельных стержней рамы, указанных на
рис. 303, а.
Из рис. 303,6 находим:
= Ър =vi?z~ ql=~
Значение Rip получено, как момент в плавающей задел-
ке, найденный путем вырезания узла. Он положителен,
так как совпадает с направлением Z(. Реакция R2p най-
дена из равенства нулю суммы проекций на горизонталь-
ную ось всех сил, действующих на основную систему в
грузовОхМ состоянии (рис. 303,6). Она принята отрица-
тельной, так как противоположна Z2.
Аналогично из рис. 303, в, г находим: /-н —(6-|-4) X
ХЕЦ1=\0ЕЛ1-, г22~ (9+12) £7//3=21 EJ/P; rl2=r2l =
= —6EJ/12. Реакция Гц находится как момент в плава-
ющей заделке; г22— как реакция в линейной связи, удер-
живающей раму в отклоненном положении Z2=l. Эта
сила по рис. 303, в может быть найдена из суммы про-
екций на горизонтальную ось всех сил, действующих на
основную систему:
EJ EJ
г22 — 9-— 12---- = 0.
22 Р Р
Следует обратить внимание на
тивных усилий г12 и г21 различен;
рис. 303, в, вызванный линейным
г21—реакция на рис. 303, г, вызванная поворотом узла
на угол Zi = l. Численно они одинаковы, что подтверж-
дает общую зависимость (263). Знак их отрицателен,
так как в обоих случаях реакции т12 и r2i направлены в
сторону, противоположную положительному направле-
нию перемещений Z{ и Z2.
Каноническая система уравнений (459) получает вид:
EJ	EJ 3
10--Z.—6-----Z,+----Pl = 0;
Iх	Л	г 16
EJ	EJ	3
-6 — Zj + 21 — Z2- — ql = 0,
F-	F	8
то, что смысл рсак-
г12—это момент на
смещением Z2 — 1, а
413
Рис. 304
решая которую при P=ql, находим Zi =—96//; Z2-=146;
(6 =i;/4/928E/). По этим данным можно изобразить де-
формированное состояние рамы, что в некотором мас-
штабе показано на рис. 304, а. Искривление стержней
увязано с окончательной эпюрой моментов М
(рис. 304,б), построенной по формуле Af=7VfP+AfIZi-4-
+M2Z2. Соответствующие эпюры продольных сил N и по-
перечных сил Q изображены на рис. 304, в, г. Они, как
обычно, строятся по эпюре М с привлечением условий
равновесия узлов рамы.
В методе сил проверкой правильности определения
внутренних сил было соблюдение условий совместности
деформаций в заданной системе. В методе перемещений,
напротив, эти условия автоматически выполняются при
любых перемещениях узлов Z,. Критерием правильности
решения задачи является, очевидно, то, что внутренние
усилия, вычисленные по данным перемещениям Zj, удов-
летворяют и всем условиям равновесия системы.
Проверим условия равновесия по найденным эпюрам
в рассмотренном примере. Фактически надо убедиться,
что в условно введенных связях основной системы пол-
ные реакции равны нулю, т. е. 7?i = 0 и /?2=0. Вырезав
правый верхний узел (см. рис. 304,6), убедимся, что
внутренние моменты находятся в равновесии и 7?i==0.
414
Для проверки второго условия мысленно проведем го-
ризонтальный разрез, например на уровне опор АВ. Сум-
ма проекций на горизонтальную ось дает (см. рис. 304, г)
Rz = Я1 - Qa - QB = 9/ —ql - ql = 0.
При определении всех реакций rili и RlP на рис 303
ввиду простоты системы сразу указывалось фактическое
направление реакции, а в уравнение она входила со сво-
им знаком. В общем случае удобно поступить так: вы-
резать узел или соответствующую часть рамы и прило-
жить к ним известные внутренние усилия и неизвестную
реакцию RiP или г,7<, считая ее положительной. Тогда из
суммы проекций или из суммы моментов, составленной
для этой отсеченной части, будут найдены значение и
знак реакции. Например, для основной системы на рис.
305 можно составить такие уравнения равновесия для
отсеченных частей конструкции:
2Л'р_р — 0; Rfcp — Qea Т” В sir* & —' 0»
в=°; Rip QAe Qad + Qbc — °;
=0; RjP—тАЕ~ тЛвА mAD = ®-
(473)
Значения внутренних усилий Q и т определяются по со-
ответствующей грузовой эпюре МР, которая на чертеже
не показана. Из уравнений (473) найдем реакции RhP,
Rip и RjP в связях основной системы.
415
§71. Применение теорем о взаимности
В § 48 была доказана теорема о взаимности реак-
ций гц; = гм путем применения теоремы Бетти о равен-
стве возможных работ в состояниях i и k: irih=\rki
(рис. 306). Если возможную работу внешних сил заме-
Рис. 306
нить численно равной ей работой внутренних сил в со-
стояниях i и k, то получим
Пч = rhi= f dL +...	(474)
J tJ
L
Точками здесь обозначены слагаемые, выражающие ра-
боту других внутренних усилий, в общем случае возни-
кающих в состояниях i и k. Формула (474) совпадает с
равенством (472), вытекающим из вариационного прин-
ципа Лагранжа.
Мы видели, что реакции rih могут быть найдены из
условий равновесия узлов или отсеченных частей рамы.
Но они могут быть вычислены и по (474) перемножени-
ем эпюр внутренних сил, например Mi и Mk на рис. 306.
416
Этим пользуются в тех случаях, когда непосредственное
составление уравнений равновесия для отсеченной части
рамы громоздко, например для рам с наклонными стой-
ками (см. § 73). Удобно также вычислять элементы
матрицы реакций по равенству (474), если имеется стан-
дартная программа для ЭВМ на вычисление интегралов
Мора.
При ручном счете обычно равенство (474) использу-
ется для контроля правильности вычисления элементов
матрицы реакций R. Аналогично тому, как это делается
п
в методе сил, строится суммарная эпюра Мх =2 Mi от
/=1
всех единичных смешений Z4 = l (i=l, ..., п). Перемно-
 жение эпюры Мг самой на себя дает сумму всех эле-
ментов матрицы реакций размером п\п:
Г Му	п п
3~ЁГАЬ+-"=	(475)
Рассмотрим теперь свойства грузовых реакций
На первый взгляд, по аналогии с (474) грузовую реак-
цию Rip можно вычислить через эпюры внутренних сил
по той же формуле (474), но с заменой Мй на МР. Но
эта аналогия оказывается ложной, так как на самом де-
ле такой интеграл равен нулю, т. е.
С М, Мр
RiP ¥= dL + ... = 0.	(476)
I
Действительно, этот интеграл выражает работу /1,р
внешних сил состояния i на перемещениях состояния Р,
выраженную через внутренние усилия (рис. 307). Но та
же работа А,Р, выраженная непосредственно через внеш-
ние силы, равна произведению гц\0, так как в состоя-
нии Р обобщенное применение Zi=0. Следовательно,
работа AiP, а вместе с тем интеграл (476) равны нулю.
Чтобы все-таки получить возможность вычисления
реакций RiP по эпюрам состояния i, используем равен-
ство AiP=APi и запишем условие ДР, = 0 через внешние
силы. Для этого надо приравнять нулю работу всех
внешних сил состояния Р, т. е. реакции /?,₽ и сил Р, (j=
= 1, ..., т) на перемещениях состояния i:
т
Api=RlPl + £ Р/; = 0,
27—569	417
отсюда
т
ЪР=-Ъ р&.
j=i
(477)
т
Величина 2 Pj6j равна работе нагрузки Pi на пере-
7=1
мещениях системы от Z;=l.
Равенство (477) было установлено проф. А. А. Гвоз-
девым и часто называется теоремой Гвоздева. Ее можно
сформулировать так: грузовая реакция Rip в i-й связи
линейно-упругой системы равна с обратным знаком ра-
Рис. 307
боте нагрузки на перемещениях, вызванных единичным
смещением этой связи. То же вытекает и из принципа
Лагранжа (см. § 70).
т
Заметим, что величина 2 Pfij=QPi представляет
7=1
i-ю обобщенную силу внешних нагрузок Pj, соответству-
ющую обобщенному перемещению Z<. Поэтому теорема
Гвоздева может быть записана и сформулирована иначе:
RiP=-<2Pi,	(478)
грузовая реакция RiP равна i-й обобщенной внешней си-
ле, взятой с обратным знаком.
Особый интерес представляет частный случай этой
теоремы, когда нагрузкой служит одна единичная сила
Р—1. Обозначим в этом случае реакцию через ггр, а пе-
ремещение точки приложения силы Р по ее направлению
через бРг- (рис. 308,а). В этом частном случае равенство
418
(477) получит вид [см. (263)]:
riP=-SPi.	(479)
Оно выражает теорему взаимности реакций и перемеще-
ний и было установлено еще Рэлеем. Таким образом,
эпюру перемещений брц вызванных перемещением свя-
зи Z,= l, можно рассматривать как линию влияния ре-
акций в этой связи (с обратным знаком).
В заключение вернемся к вычислению грузовой ре-
акции Rip с помощью перемножения эпюр, т. е. через
внутренние силы состояний Р и i.
По формуле (477) реакция RiP может быть вычисле-
на как работа сил Pj на перемещениях 5, состояния
i (см. рис. 307). Деформированное состояние i может
быть образовано в любой неизменяемой системе, мыс-
ленно получаемой из заданной путем отбрасывания неко-
торых связей, если отбрасываемые связи заменить дей-
ствием соответствующих усилий (рис. 309). Например,
27*
419
можно мысленно оторосить заделку и горизонтальную
связь на правом конце стержня и заменить их соответ-
ствующими усилиями — моментом и силой. Преобразуя
систему, необходимо лишь соблюдать условие, чтобы в
преобразованной системе возможно было перемещение
Z,^=0, как и в состоянии i, т. е. связь по направлению
Z, должна быть отброшена.
Теперь для вычисления работы сил Р, по формуле
(477) воспользуемся не заданной, а преобразованной си-
стемой, внутренние усилия в которой от сил Pj обозна-
чим М°р’ №рг ... Работу внешних сил Р, заменим числен-
но равной ей работой внутренних сил М°р, Np, ... Тогда
м.м°р
I р
и для RiP по (477) получаем формулу
' М. М°р
(480)
Обычно отбрасывают связи так, чтобы преобразованная
система получилась наиболее простой, статически опре-
делимой.
Вычислим, например, по формуле (480) реакцию R,p
для рамы, показанной на рис. 308. Эпюры Mi от Z,= l
и М()р в преобразованной системе показаны на рис. 308,6.
По формуле (480) с использованием правила Вереща-
гина получим
i	р/	/	з	gj	JL
2	4	EJ	2	I	16
Тот же результат можно получить и по табл. 6.
Формула (480) может быть использована для про-
верки вычисления грузовых коэффициентов. Если вмес-
то М, взять эпюру то, аналогично (475), получим
(481)
420
§ 72. Использование симметрии системы
Как п в методе сил, в симметричных системах во
многих случаях удобно вместо фактических угловых или
линейных перемещений узлов принимать в качестве не-
известных групповые перемещения, представляющие
симметричные и антисимметричные составляющие пол-
ных перемещений. Так, на рис. 310, а, б показана триж-
ды кинематически неопределимая система с неизвестны-
ми Zj, Z', Z' (EF=oo). Деление неизвестных на сим-
метричные и антисимметричные части можно получить
естественным образом, представив нагрузку q в виде
симметричной и антисимметричной составляющих (рис.
310,в). Тогда вследствие симметрии системы первой со-
ставляющей нагрузки будет соответствовать только сим-
метричная деформация, характеризуемая перемещением
Zi, а второй — только антисимметричная деформация,
определяемая перемещениями Z2 и Z3. На рис. 310, г по-
казаны состояния, отвечающие единичным значениям
Zi, Z2, Z3.
Рис. 310
421
Однако на указанное деление неизвестных можно
взглянуть и несколько с другой, более общей точки зре-
ния. Состояние нашей системы характеризуется векто-
ром узловых перемещений, причем он может быть задан
в любом базисе. Это означает, что в качестве его состав-
ляющих могут быть приняты три любые линейно-неза-
висимые компоненты (базисные состояния). Для сим-
метричной системы удобно от вектора Z'— [Z, Z',
Z3 ]т перейти к новому вектору Z=[Zi, Z2, Z3]T. Компо-
ненты Zb Z2, Z3 при этом рассматриваются как обобщен-
ные перемещения, каждому численному значению ко-
торых соответствует своя форма деформации (базис-
ная), в данном случае либо симметричная, либо
антисимметричная.
Связь между матрицами реакций (жесткостей) R и
R' векторов Z и Z' при переходе к новому базису, как
было показано в § 9, устанавливается общей зависимо-
стью
R = VJR'V,	(482)
где матрица V совершает линейное преобразование век-
торов перемещений Z'= VZ. В данном случае по рис.
310,6, г можем написать:
Zj _ Zj-J- Z2;	110
z2=~h+z2\ v' = -1 1 0
7’ _ 7	0 0 1
z3 — z3;
Предположим, что расчет выполняется на ЭВМ, в
памяти которой по стандартной программе автоматиче-
ски формируется система уравнений без учета симмет-
рии:
R'Z'+~Rp=b.	(483)
Пусть применительно к симметричной конструкции по
каким-либо причинам возникла необходимость разделить
неизвестные на симметричные Zx и антисимметричные
Z2. Тогда такое преобразование целесообразно выпол-
нить с помощью матрицы V, что дает
R = vrR' V =
RP = VTRp=
Rpi
_Rp2
~Ri;. 0
. 0 f/?'2
(484)
422
Система уравнений разделяется при этом на две незави-
симые: 7?iZj+/?ip=0 — для симметричных неизвестных;
0 — для антисимметричных неизвестных.
Если расчет выполняется вручную, то более целесо-
образно непосредственно составлять уравнения отдель-
но для симметричной и для антисимметричной состав-
ляющих. При этом надо помнить, что обобщенным пере-
мещениям Zi или 7.2 соответствуют обобщенные упругие
и грузовые реакции. Они вычисляются как работа уси-
лий во введенных связях основной системы на группо-
вых перемещениях этих связей в состояниях Zi=l, Z2=l
и т. д. Грузовые симметричные и антисимметричные ре-
акции как работа вычисляются автоматически без пред-
варительного деления нагрузки на симметричную и ан-
тисимметричную составляющие. Пусть, например, най-
дены усилия в связях для единичных и грузовых состоя-
ний, показанных на рис. 310, г, д. Тогда коэффициенты
системы уравнений находим как работу:
в состоянии Zt = 1: гц = 2т1  1;
Г13 =— m3-l + т3-1 =0;
в состоянии Z2 = [: r22 = 2т2 • 1;
г12 — т2 • 1 — m2 -1 =0;
R1P =
qP
8
1;
г23 — 2m3-1;	—
qP
8
в состоянии Z = 1: г =г- г =—г- R~ =0.
о	о «5	«5»	За	а >	1''
В результате побочные коэффициенты Г12=/'1з=0, и мы
получим уравнения:
отдельно для симметричного неизвестного
cP
TnZi+^=0;	(485)
О
для антисимметричных неизвестных
r22 Т r23^3 “I g — О»
Г32 ^2 "Г Г33 ?3 ~ 0 -	(486)
Приведем пример расчета рассматриваемой рамы,
принимая, что все длины / и жесткости EJ стержней оди-
наковы. На рис. 311 изображены эпюры М\, М2, Ms для
состояний Zi=l, Z2=l; Z3=l. Рядом показано опреде-
ление моментов в связях mi, m2, m3 из условия равнове-
сия отсеченных узлов. Реакции в линейной связи г2 и г3
в состояниях Z2—1 и Z3=l определяются из суммы про-
423
екций на горизонтальную ось для верхней отсеченной
части рамы. По приведенным выше формулам найдем
rll = 18Z; r22=26i; r23=r32 =—12t/Z; r33=24i//2. Решение
уравнений (485) и (486) дает Zi=—ql3/9-i6EJ; Z2~
=—<?/3/10-16Е/; Z2=—qH/VtiASEJ. Окончательная
эпюра моментов, построенная по формуле Л1=Л4р-|-
+Л41714-Л12Х24-Л1з/з, показана на рис. 312, а. Ко всем
Рис. 312
ординатам этой эпюры надо добавить множитель т=
=<?/2/16-90.
Закончив расчет, каждый раз надо подумать о воз-
можной проверке полученных результатов. В методе пе-
ремещений основной проверкой является выполнение ус-
424
довий равновесия в окончательных эпюрах внутренних
сил. В нашем случае — это, во-первых, равновесие уз-
лов по сумме моментов; данное условие выполняется
(см. рис. 312, а), что говорит об отсутствии реакций в
плавающих заделках основной системы (/^=0; /?2=0);
во-вторых, отсутствие реакции в линейной связи (7?3=0);
это условие также выполняет-
ся (рис. 312,6). Поперечные
силы в стойках и их направле-
ния найдены по эпюре момен-
тов как тангенсы углов накло-
на линейных участков эпюр мо-
ментов.
В заключение отметим, что
в симметричных конструкциях
иногда вместо использования
группировки неизвестных два-
жды рассчитывают половину
конструкции. Первый раз сим-
метричной составляющей на-
грузки загружают «полуконст-
рукцию», полученную из задан-
ной, путем удаления на оси
симметрии таких связей, в ко-
торых возникают антисиммет-
ричные внутренние силы (на
рис. 313, я удалена связь, вос-
Рис. 313
принимающая поперечную силу). Второй расчет делает-
ся на действие антисимметричной части нагрузки такой
«полуконструкции», в которой удалены симметричные
связи на оси симметрии (на рис. 313,6 — это связи, в
которых возникают момент и продольная сила). После
этого окончательное состояние одной половины конст-
рукции получают как сумму состояний (С-Ь4С), а дру-
гой— как разность состояний (С—АС), найденных в ре-
зультате указанных двух расчетов (см. § 86).
§ 73. Особенности расчета рам с наклонными элементами
При использовании допущения об абсолютной жест-
кости стержней на растяжение-сжатие (EF=oo) полу-
чаем уменьшение числа независимых линейных перемеще-
ний узлов системы, Однако определение реакций в ли-
нейных связях при наличии наклонных стержней в этом
425
случае, как правило, несколько усложняется. Рассмот-
рим на примерах особенности и некоторые приемы вы-
числения реакций.
На рис. 314, а показана рама и пунктиром намечены
неизвестные перемещения Zi, Z2, Z3. Очевидно, что ли-
Рис. 315
ценное смещение Z\=\ сопровождается искажением кон-
фигурации рамы. Искажение соответствующей шарнир-
ной схемы изображено на рис. 314, б. Линейные переме-
щения всех узлов от Zi—1 найдем с учетом неизменности
длин стержней и малости перемещений. Последнее выра-
жается в том, что при повороте стержня мы считаем, что
его точки перемещаются не по окружностям, а по каса-
426
тельным к ним, т. е. по нормалям к первоначальному на-
правлению оси стержня. Например, положение точки Bi
найдено как пересечение траекторий движения концов
стержней АВ и СВ при их вращении соответственно во-
круг точек А и Ci.
На рис. 314, в показано действительное деформиро-
ванное состояние стержней рамы от смещения Zi=l.
Оно получено так; линейные перемещения центров узлов
Bi и Ci взяты из схемы рис. 314, бив этих точках наме-
чена ориентация каждого жесткого узла с учетом того,
что узлы не имеют поворота (Z2=0, Z3=0) в состоянии
Zi=l благодаря наличию плавающих заделок После
этого изображаются упругие линии стержней и соответ-
ствующие эпюры моментов, которые вполне определяют-
ся относительными смещениями концов стержней б|,
62, бз.
Рассмотрим определение коэффициентов системы
уравнений для данной рамы:
ги zi + ri2 Z2 + г1з zs + Rip = 0;
r21 Z1 + : r22 Z2 r23 Z3 + RiP ~ О’
Г31 Zi + : r32 Z2 + гзз Z3 + R3P == °-
Коэффициенты нижнего блока уравнений (отделенного
пунктиром), представляющие моменты в угловых связях,
вычисляются обычным образом, как в раме с линейно-
неподвижными узлами (рис. 315): r22=8i; r33=8t; г23=
=r32=2i; /?2р=—Plffi", Рзр=Р1№-
Осложнение возникает при вычислении коэффициен-
тов первой строки. По смыслу — это реакции в линейной
связи в состояниях, показанных на рис. 314, в и 315. Ра-
нее такие реакции определялись из суммы проекций на
горизонтальную ось. Благодаря наклону стержня в сум-
му проекций войдет нормальная сила, что потребует ее
предварительного определения. Определить нормальные
силы в стержнях можно, вырезав узлы и приложив к
ним, кроме искомых продольных сил, поперечные силы
Q, устанавливаемые по эпюре моментов. Тогда продоль-
ные силы можно найти из равенства нулю сумм проек-
ций всех сил данного узла.
Обычно стараются составить условия равновесия
так, чтобы в них не входили нормальные силы. Напри-
мер, реакцию RXP можно найти, приравняв сумму мо-
ментов относительно точки К нулю (рис. 315, el. Учи-
427
тывая, что в сечениях стоек действуют только нормаль-
ные силы, которые не дают момента относительно тощщ
Л,получим
откуда RlP=—Р1/ (2а) =—Р/ (2tg а).
Тот же результат можно получить перемножением эпюр
ТИр и Л1, (рис. 314, в, а) с использованием формулы
(480):
f MpMl _	1 6EJ I 2 Pl __ Р
RiP=~ J EJ ds=~ 2/2	2 2EJ 3 2 2tga ‘
Реакции гц и Гц на рис. 315 могут быть также вы-
числены из равенства нулю момента относительно точ-
ки /( сил, действующих на ригель в состояниях Z2 = l и
Z3=l. Однако проще найти их взаимные реакции r2i и
г31 как моменты в угловых связях в состоянии Zi = 1 (см.
рис. 314, в):
GEJ 6EJ 6EJ / 1	1 \
/2 «2- р «х — й ^sina~tgoJ:
6EJ г13 — /-31	02	6EJ „ 		бэ =- /2	3	6EJ	( 1
		Р	(tga
Наконец, реакцию Гц найдем с помощью эпюры М:
f	12EJ /о,,
''И ~ J dS =	(61 + 62 + 63) =
S
12EJ / 1 t 1	\
Is \sin2a tg2a	/’
На примере определения Гц покажем использование
начала возможных перемещений, что во многих случаях
оказывается наиболее простым и удобным. На рис. 316
изображен некоторый j-й стержень в рассматриваемом
деформированном состоянии системы. Условно он от-
делен от системы и присоединен к соответствующей ей
шарнирной схеме стержнями, в которых возникают уз-
ловые силы V/. Таким путем можем перейти от равнове-
сия системы с жесткими узлами на рис. 314, в к рас-
смотрению равновесия шарнирной системы на рис. 317,
загруженной соответствующими узловыми силами У/-
428
Каждая из этих сил определяется как поперечная сила в
/-м стержне в состоянии Zi—li
Vf
12£J .
12EJ
2 — р 62;
Vs
12EJ
Р
6s-
(487)
Направление этих сил противоположно концевым реак-
циям, действующим на деформированный стержень.
Теперь в соответствии с началом возможных переме-
щений составим условие равенства нулю работы всех сил
Рис. 317
на рис. 317, приняв за возможные перемещения, получае-
мые от смещения Zi=l (пунктир на рис. 317 или
рис. 314,6). Тогда
Г||-1 — V-(.6ff — V2.fi2j — V3-631 = 0.
Отсюда получаем формулу, которую запишем в общем
виде:
Гй = 2^л.бл,	(488)
где V/i и б/i — узловые силы и перемещения по их на-
правлению в состоянии Zi=l.
Учитывая значения (487) по формуле (488), получим
о =-^(^+0
12EJ 	1
Р \sin2a tg2a
Формула (488) естественно обобщается на случай вы-
числения реакции в i-й линейной связи от смещения
Zk—l:
G-^^V/fe-бя.	(489)
Если ввести угол поворота стержня у/, то формула
(489) легко приводится к виду:
Ой = У Qi h Уji Tjfi.	(490)
i
429
где уц, у3ь — углы поворота ьго стержня в состояниях
Z,= l, Zfe=I (в шарнирной схеме); Q,— поперечная си-
ла /-го стержня при у,—1; для стержня «защемление —
защемление» Q,=l2EJi/l2, а для стержня «шарнир —
защемление» Q,—ЗДД//?. Например, по формуле (490)
получим (рис. 318)
.оА4_ о ЕЕ
rik — rki —'2	„ Tit Tik —3	ТйТбй-
ll
Рис. 318
Знаки минус здесь поставлены
потому, что направления пово-
рота перемножаемых углов у
взаимно противоположны.
Вместо введения узловых
сил V, можно было бы в шар-
нирной схеме в концевых сече-
ниях стержней приложить со-
ответствующие изгибающие
моменты М3. Применение прин-
ципа возможных перемещений
к такой схеме дает формулы,
аналогичные (490).
Для определения грузовой
реакции формула (489) запи-
шется так:
= <491’
при этом узловые силы Ущ на
концах /-го стержня в общем
случае не приводятся к паре сил; они обе вводятся в
сумму (491) каждая со своим узловым перемещением
(составляющей полного перемещения, параллельной
§74. Особенности расчета рам на смещение опор
В статически неопределимых системах принудитель-
ные смещения опорных связей (кинематические воздей-
ствия) вызывают в конструкции дополнительные усилия.
Такие смещения могут быть вызваны, например, про-
садкой или пучением грунтов. Принудительное смеше-
43Э
иие связей может применяться также в целях регулиро-
вания внутренних усилий в процессе монтажа конструк-
ции или ее эксплуатации. Рассмотрим особенности
расчетов на указанные воздействия по методу перемеще-
ний.
Общий порядок расчета при кинематических воздей-
ствиях остается таким же, как и при силовых воздейст-
виях. Составляется каноническая система уравнений, в
которой свободные члены представляют реакции в до-
полнительных связях основной системы от рассматри-
ваемого воздействия: — реакция в i-й связи от век-
тора смещений опор Д. Реакции /?,-д образуют вектор
свободных членов уравнений /?д. Эти уравнения запи-
сываются в виде:
7?Z + fo=0.	(492)
Определив из (492) вектор неизвестных Z, любое внут-
реннее усилие S вычисляют затем по формуле
s=sA+2s<zi,	(493>
i=l
где 5Д — усилие в основной системе от смешения опор.
Таким образом, единственная трудность рассматри-
ваемых расчетов может состоять лишь в изучении ос-
новной системы метода перемещений при кинематиче-
ском воздействии. Рассмотрим на примерах особенности
анализа основной системы при смещении опор и некото-
рые вопросы автоматизации этих расчетов.
На рис. 319, я изображена рама, опора D которой по-
лучила принудительные заданные смещения Д1=б и
Дг=ф. Основная система рамы имеет плавающие за-
делки в узлах А и В. На рис. 319,6 изображены эпюры
моментов М6 и в основной системе отдельно от сме-
щений б и <р. Они построены по данным табл. 6 с уче-
том того, что вместо единичных перемещений концевые
сечения стержней АВ и ВС испытывают относительное
смещение б, а у стержня BD угол поворота равен ф
(пунктир на рис. 319,б).
В предположении EF=eo данную раму можно рас-
сматривать как симметричную. Поэтому в качестве не-
известных примем групповые угловые перемещения уз-
лов А и В: Zi — симметричное и Z?— антисимметричное
431
(рис. 319, в). Единичные состояния Zi==l и /2=1 для
такой рамы изображены на рис. 310, а, а соответствую-
щие эпюры Mt и Л12— на рис. 311 (см. § 72). Там же
были найдены единичные реакции rH=18t; r22= 26j (при-
нимаем, как и в § 72, что стержни рамы имеют одина-
рно. 319
ковую длину / и жесткость EF; i=EJ/l). Определим
грузовые реакции /?1Д и Д2д.
Вырезанием узлов А и В получим моменты в угло-
вых связях, вызванные смещением б и <р (см. рис. 319,6):
тА& =618/1-, тB6=6i6/l—3i8/l=3i8/l-, тАч>=®', ^^==21^».
Обобщенные реакции Д1д и Д2д вычисляем как работу
этих моментов на углах поворота узлов в состояниях
ZI = 1 и Z2 —1:
Д д =— тАб-1 + твё-!— тв&-1 =— 3z6/z — 2(ф;
Д?Д =— тА(,-1 — тВ6‘1 + mBb'	1 =— 9‘6/Z + 2Z(P-
Для определения Zi и Z2 имеем уравнения:
ISiZj-l-/?!Д = 0;	26tZ2 + /?2д = 0.
Определив отсюда Zi и Z2, вычисляем затем по формуле
(493) окончательные значения изгибающих моментов:
m = m6 + m4)+m1z1 + m2z2.
Пусть, например, <р=4,5б//; тогда Z2=0, Zi=26/3Z.
Эпюра моментов для этого смещения опоры D изобра-
жена на рис. 320.
Если конструкция рассчитывается на ЭВМ, то для ее
расчета и на силовые, и на кинематические воздействия
(а обычно требуется проводить оба расчета) использу-
432
jot следующий прием. Пусть каркас здания, показанный
на рис. 321, требуется отдельно рассчитать на вектор сил
Р и перемещения опор Д. Такой расчет характерен, на-
пример, для сооружений, возводимых на подрабатывае-
мых территориях (над шахтами, забоями и т. п.). Вме-
сто основного числа неизвестных перемещений узлов ра-
мы Z\ введем расширенный вектор перемещений, состоя-
щий из вектора Zj плюс дополнительный вектор Z2=A,
0/77 rfC
Рис. 320
ISm 3m
m 31


Рис. 321 >
выражающий перемещения опорных связей. Формируя
вектор Z2, целесообразно сохранить необходимое число
несмещаемых связей, чтобы система оставалась закреп-
ленной как жесткое целое, либо вместо жестких опорных
связей надо ввести условные упругие закрепления (бо-
лее подробно об этом см. § 80). Система уравнений с
расширенным числом неизвестных запишется в виде:
(494)
где /?2Д —вектор неизвестных реакций в принудительно
смещаемых связях; /?п, R2\=R\z , R22— соответствующие
блоки обшей матрицы R.
Теперь при расчете на заданный вектор смещений
опор Z2=A в системе (494) полагаем RP—0, что
28—569	433
Яй^+ЯйД-«;	(495)
2?ai 4"	Д —	=0-
Отсюда находим основные перемещения Zt;
—— 2?п 2?йД»
по которым, как обычно, вычисляются внутренние уси-
лия в раме:
S = 2SjZ27-+^5/Z1Z.
i	*
Здесь первая сумма выражает в основной системе влия-
ние перемещений Z2=A, а вторая — влияние перемеще-
ний Zi. Из (495) при желании может быть получен век-
тор неизвестных реакций в смещаемых связях 7?гд в
виде:
= (Т?22 — ^21 Ru1 Я12) Д.	.(496)
При расчете на силовые воздействия полагаем в (494)
Z2=0, что приводит систему уравнений к обычному ви-
ду: /?nZi-|-/?ip=0.
Указанный прием расширения числа неизвестных поз-
воляет автоматизировать расчет конструкций на различ-
ные воздействия.
Если рама содержит наклонные элементы, то при оп-
ределении усилий в основной системе от смещения опор
(при EF=oo) требуется строить диаграмму линейных
перемещений узлов рамы, вызванных линейными пере-
мещениями опорных связей. Для этого используется
шарнирная схема рамы, как описано в предыдущем па-
раграфе. При расчетах на ЭВМ по рабочим программам
обычно отказываются от допущения ЕД=оо, поэтому
наличие наклонных элементов не вносит никаких особен-
ностей в порядок расчета.
§ 75. Расчет стержневых систем на изменение
температуры
Изменение температуры элементов стержневой систе-
мы, как известно, в общем случае приводит к появле-
нию дополнительных внутренних усилий. Для их опре-
434
деления по методу перемещений составляется канони-
ческая система уравнений
RZ+~Rt=Q.	(497)
где Rt — вектор, компоненты которого представляют ре-
акции в дополнительно введенных связях основной си-
стемы от изменения температуры.
После определения из (497) неизвестных Z любой
фактор S в системе определяется согласно принципу су-
перпозиции по общей формуле, аналогичной (463):
5 = 5z+2sizi.	(498)
(=i
где St — значение фактора S в основной системе от тем-
пературного воздействия.
Чтобы иметь возможность определять величины Rt и
St в равенствах (497) и (498), надо прежде всего рас-
смотреть влияние изменения температуры на отдельный
элемент основной системы — стержень, определенным
образом закрепленный на концах.
На рис. 322, а показан стержень постоянного сечения
высотой h, имеющий на одном конце заделку, а на дру-
28*
435
гом—подвижную шарнирную опору. Предполагается,
что произошло приращение температуры материала
стержня, одинаковое на всей длине /:• у верхних волокон
на /ь а у нижних — на /2, °C (/1>/г). Примем, что по
высоте сечения h приращение температуры изменяется
нелинейному закону. Приращение температуры на уров-
не центра тяжести сечения обозначим to- Определим ре-
акции и изгибающие моменты, вызванные изменением
температуры стержня, если температурный коэффициент
линейного расширения материала равен а(1/°С).
Решение подобных задач по методу сил рассматри-
валось в § 63. Основная система метода сил для данно-
го стержня показана на рис. 322,6, применительно к ко-
торой уравнение для определения Xi имеет вид:
+Aii=0, где
Л/f dx i
EJ = 3>EJ ’
— 4)a ,	/</, —/2)<z
	ax =	
h---------------------2h
Отсюда находим Xi—3EJaAt/2h и далее определяем
значения всех других усилий на рис. 322,6. Разность
Et=ti—tz получается положительной, если алгебраиче-
ски tz<ti- При этом изгибающие моменты в стержне
имеют такое направление, при котором растянутыми
оказываются более «холодные» волокна, имеющие при-
ращение температуры tz- Эпюра М=ЛЦ1 строится со
стороны этих более «холодных» волокон.
Итак, в отдельно взятом стержне, имеющем указан-
ные закрепления, от изменения температуры возникают
моменты и реакции, зависящие от разности температур
А/, и, кроме того, изменяется его длина на величину
Elto=alto. Если свободное температурное удлинение
стержня полностью стеснено, как показано на рис. 322, в,
то в стержне возникает продольная сила H—EFato, что
следует из равенства alta=Hl]EF. Решение подобной за-
дачи для стержня, защемленного на обоих концах, может
быть выполнено аналогично. Результаты этих решений
помещены на схемах 5 и 10 в табл. 6.
Рассмотрим теперь воздействие изменения темпера-
туры на основную систему метода перемещений. В каче-
стве примера возьмем раму, у которой температура внут-
ренних волокон повысилась на /1=1,5/, а наружных во-
локон— на /2=0,5/ (рис. 323,а). Следовательно, Д-тя
436
каждого стержня рамы изменение осевой температуры
и разность температур А/ также равна t.
Основную систему получим, введя в средний узел А
плавающую заделку и приняв за неизвестное перемеще-
ние угол поворота Z\. Воздействие температуры предста-
вим раздельно: 1) равномерный нагрев стержней до тем-
пературы to=t и 2) неравномерный нагрев, характери-
зуемый разностью At=t.
Рис. 323
В первом случае длина стержней изменяется и узел
А получает линейное перемещение (рис. 323,6). В прин-
ципе удлинение стержней неизвестно, так как оно сла-
гается из температурного свободного расширения и де-
формации от продольной силы Nt, возникающей в стес-
ненных условиях:
Ntl
4 = 4z+-^j--
Однако если шарнирная схема рамы, полученная из
437
заданной системы путем введения во все узлы полных
шарниров, является статически определимой или геомет-
рически изменяемой, то второе слагаемое в формуле
(499) оказывается значительно меньшим, чем первое.
Физически это означает, что продольные деформации
стержней от сил Nt оказываются пренебрежимо малыми
в сравнении со свободным температурным удлинением
atol, т. е. стержневые конструкции таких типов не способ-
ны существенно стеснить свободное температурное рас-
ширение стержней. Для указанных систем, как и ранее,
приближенно примем EFt = oo, и удлинения стержней в
основной системе будем определять как свободное тем-
пературное удлинение:
Д//„ = at01.	(500)
На рис. 323,6 сплошной жирной линией показана
шарнирная схема рамы, пунктирной линией — ее иска-
жение вследствие свободного удлинения стержней на
Л/;о=а(/. Относительные поперечные смещения стерж-
ней 6 при этом легко определяются геометрически
(tga —3/4): 6=A/fo/tga=3a///4. В основной системе уз-
лы 4 и В не имеют углов поворота. С учетом этого на
рис. 323, б тонкой сплошной линией показаны упругие
линии стержней, а на рис. 323, а дана соответствующая
им эпюра моментов Mto.
Для второй части температурного воздействия — не-
равномерного нагрева, характеризуемого разностью А/,
удлинения стержней отсутствуют и эпюра моментов Мы
строится по табл. 6. Для нашего случая при ///г=10эта
эпюра показана на рис. 323, е, причем ординаты эпюры
Л4дг, как указывалось, отложены со стороны наружных
более «холодных» волокон (получивших меньшее при-
ращение температуры).
Ход дальнейшего расчета рамы очевиден. Из условия
равновесия узла А по эпюрам Л1(о и /ИД( находим грузо-
вую реакцию в плавающей заделке: 7?1г=/?и0+/?1Д/ =
=—4iatA~5iat=iat. По эпюре М\ в состоянии Zi=l по-
лучим гц—71, после чего из уравнения rnZi+/?ii=0
найдем Zj——а//7. Окончательная эпюра моментов на
основании принципа суперпозиции получается по (498)
(рис. 323,6). По этой эпюре могут быть построены эпю-
ры поперечных сил Qt и продольных сил Nt.
Обратим внимание на особенность расчета симметрич-
ных систем на симметричное воздействие температуры.
438
Пусть в симметричной П-образной раме ее ригель полу-
чил симметричное относительно оси О—О изменение
температуры Ц’,1Г, 6,жг (рис. 324, о). Три неизвестных
перемещения представим как симметричное Z\ и анти-
симметричное Z2 угловые перемещения, а также введем
линейное смещение ригеля Z3.
Особенность состоит в том, что горизонтальная связь,
которой соответствует перемещение Z3, может быть, во-
обще говоря, присоединена к центру любого сечения ри-
геля. При расчете на внешнее силовое воздействие с ис-
пользованием допущения £/7риг=°о все эти перемеще-
ния были одинаковы, и горизонтальная связь могла
быть поставлена в любом месте ригеля, что не отража-
лось на расчете рамы. В данном случае в результате
свободного расширения от температуры t0 горизонталь-
ные перемещения сечений ригеля различны. Поэтому по-
становка линейной связи в различных точках ригеля,
например А и С, (рис. 324,6, в), приведет к различным
температурным деформациям основной системы. При по-
становке связи в точке А искажение шарнирной схемы
от свободного температурного удлинения ригеля будет
несимметричным. В результате все три неизвестные, и
симметричные и антисимметричные, будут отличны от
нуля.
Целесообразнее расположить линейную связь на оси
симметрии (в точке С). При этом сохраняется симмет-
рия температурных деформаций в основной системе, и
в результате отлично от нуля будет только симметрич-
ное неизвестное Zi, a Z2 и Z3 будут равны нулю.
Выше были рассмотрены системы, шарнирная схема
которых статически определима или геометрически из-
меняема. Для них приближенно удлинение стержней от
439
изменения температуры определяется по (500) как сво-
бодное расширение, а деформации стержней от продоль-
ных сил не учитываются (EFi=oo). На рис. 325,а при-
ведена простейшая система, где указанные допущения
неприменимы. При равномерном нагреве крайних стерж-
ней на температуру to диа-
гональный стержень АС,
температура которого счита-
ется неизменной, будет, ра-
ботая на растяжение, суще-
ственно стеснять развитие
температурных удлинений
стержней АВ и AD. Поэто-
му расчет такой системы
нельзя вести без учета ко-
нечных жесткостей EF, и
продольных деформаций от
сил Ni. Характерным при-
знаком такой системы явля-
ется статическая неопреде-
лимость ее шарнирной схе-
мы (см. рис. 325, б, на кото-
ром надо мысленно отбро-
сить дополнительную линей-
ную связь, введенную в ос-
новной системе по направле-
нию диагонали).
На рис. 326 даны ре-
|й простейшей системы. Ор-
[чину М/Мо (где Мо — мо-
мент, найденный в системе без диагонального стерж-
ня при использовании допущения EFi — oo) в зави-
симости от характерных параметров у и р. Как ви-
дим, действительный момент М существенно зависит от
относительных значений жесткостей. Так, в случае оди-
наковых стержней (ЕР=ЕРЯ) и р=0 Л4«О,59Л4о.
Рекомендуем учащимся получить зависимости, ука-
занные на рис. 326. Дадим лишь краткие указания к ре-
шению. Ввиду симметрии системы относительно диаго-
нали перемещения 72=^з=0 и отлично от нуля только
перемещение Zb При определении грузовой реакции Rn
(рис. 325,6) надо учесть наличие в нагреваемых стерж-
нях АВ и AD в основной системе нормальных сил ahEF
(см. рис. 322,в), а при определении Гц следует учесть
зультаты исследования эз
динаты кривых дают bcj
440
сопротивление стержней как изгибу, так и растяжению.
В более сложных системах следует применять общий
случай метода перемещений с учетом продольных дефор-
маций стержней, излагаемый ниже (см. § 77).
§ 76. Построение линий влияния
Линии влияния по методу перемещений строятся на
основании общей формулы (463), выражающей принцип
суперпозиции:
5 =	S.Z..
(=1
Если положение силы Р=1 фиксировать координатой Хр
(рис. 327,а), то в этом равенстве величины S, SP и Zi
становятся функциями хР, графики которых являются
соответствующими линиями влияния: 5(х₽)=л. в. S,
5р(хр)=л.в. SOCH и Zi(Xp) =л. в. Zi\ Si по-прежнему вы-
а)
Рис. 327
Рис. 328
ражают значения фактора Sb основной системе orZi=l
и поэтому являются константами. Таким образом, при-
менительно к линиям влияния формула (463) заменяет-
ся выражением
л. в. 5 = л. в. S0CH+ V 5г(л. в. Zt),	(501)
i=i
где л. в. SOCH — л. в. S в основной системе метода переме-
щений; л. в. Zi — в заданной системе.
44»
Выражение (501) показывает, что, как и в методе
сил, полная линия влияния изучаемого фактора S полу-
чается как линия влияния этого фактора в основной сис-
теме плюс линейная комбинация линий влияния неизвест-
ных метода перемещений Z, (i~ 1, 2, ..., м). Поэтому за-
дача распадается на две части: первая — получение л. в.
Хоси и вторая — построение линий влияния перемещений
Z . Далее производится суммирование по равенству (501).
Первая задача обычно решается достаточно просто,
так как основная система метода перемещений состоит
из отдельных стержней, закрепленных по концам. Для
стержней постоянного сечения при этом удобно исполь-
зовать данные табл. 6. В качестве примера для стержня,
защемленного на концах, используя схему 6 табл. 6
(рис. 328.а), построены линии влияния поперечной силы
п изгибающего момента /И°™05/ (рис. 328,6,
в) согласно выражениям:
СД, = f2 В + 2н)	(0 < х'р < /);
7И°“ОБ/ = О,5/иа(1-|-2с) — usvl~0,5lu2 (О хр <0,5z),
где и и v — безразмерные координаты точки приложе-
ния силы Р в пределах рассматриваемого пролета; н=
—Хр//; v=(l—Участок л.в. М°=05/ при 0,5/^
х'р построен с учетом симметрии.
Если стержень имеет переменное сечение и данными
табл. 6 воспользоваться нельзя, то соответствующая л. в.
S"CH в стержне, как элементе основной системы, получа-
ется в результате решения отдельной задачи для этого
стержня, например с привлечением метода сил.
Во многих случаях линии влияния в основной системе
S'IC" носят местный характер. Действительно, например
в раме, изображенной на рис. 327,а, л.в. М°£н, по-
строенная для среднего сечения С по рис. 328, будет
иметь протяженность пролета I, в котором находится се-
чение С. При выходе силы Р=1 за пределы указанного
пролета этот стержень в составе основной системы из-
гибаться не будет (Zi=0, i=l, 2, ..., п) и ординаты л.в.
Af°CH вне этого пролета будут равны нулю.
Рассмотрим теперь вторую часть задачи, а именно
вопрос получения линий влияния перемещений Z,, содер-
жащихся в выражении (501). Для наглядности будем
по-прежнему говорить о построении линии влияния из-
442
гибающего момента в сечении С (рис. 327, а). Считая
этот момент положительным при растянутых нижних во-
локнах, запишем для него выражение (501) в виде:
EJ	EJ
л. в. Мс = л. в. Л1°с,< + —— (л. в. ZA ) — —— (л. в. ZB).	(502)
Множители	здесь представляют моменты в се-
чении С соответственно от и ZB=l.
Различают статический и кинематический методы по-
строения линий влияния перемещений Zj. Согласно пер-
вому методу, значения Z,-, отвечающие каждому фикси-
рованному положению силы Р=1, находятся из решения
системы уравнений
/?2-}-^р=1 = 0,	(503)
где
= [R<p (хр )»•••» Ер (хр )•••» Rnp (хр )1т—
вектор грузовых реакций системы уравнений, компонен-
ты которого должны приниматься в зависимости от ко-
ординаты положения единичного груза хР. Так, напри-
мер, при расположении груза в пределах пролета АВ все
грузовые реакции равны нулю, кроме реакций RAP и
Rbp, которые, согласно рис. 328, а, как реактивные мо-
менты будут иметь значения: RAP=—uv4\ RBP=u?vl.
Решая систему (503) для намеченных значений коор-
динаты хР, получим соответствующие ординаты линий
влияния всех Z, и в том числе интересующие нас в дан-
ном случае линии влияния ZA и ZB. Вид л. в. ZA показан
на рис. 327, б. Характер ее очертания в данном случае
установлен с помощью второго, кинематического метода,
излагаемого далее. С помощью статического метода ли-
нии влияния ZA и ZB были бы построены по ордината* з,
получаемым путем вычислений. Суммарная л. в. Мс, най-
денная согласно равенству (502), изображена на
рис. 327, б. Штриховкой на ней выделено слагаемое л. в.
М°сн.
Большие удобства представляет использование кине-
матического метода для получения л. в. Z,-, так как он
позволяет без вычислений легко представить ожидаемую
форму линии влияния данного перемещения. Его приме-
нение основано на теореме о взаимности перемещений.
Действительно, пусть нас интересует значение ZA при
данном положении силы Р=1, определяемом коордпна-
той хР. Представим себе два состояния заданной системы;
1) состояние Мд, в котором по направлению перемеще-
ния ZA приложен внешний момент Л1а—1 (см. рис.
327, б); никаких других внешних сил в этом состоянии
на раму не действует, поэтому на рис. 327, б сила Р=1
показана пунктиром; 2) состояние Р заданной системы
под действием силы Р=1, приложенной в точке хР (оно
на рисунке не показано). Применяя к этим двум состоя-
ниям теорему о взаимности работ, напишем MA-ZA==
=Р&ра- Так как ЛП=1 и Р=1, то имеем равенство
za ~ а-	(504)
Поскольку перемещение Za вызвано в состоянии Р
силой Р, его можно обозначить более стандартно: ZA=
=$ар, после чего станет очевидно, что равенство (504)
несколько в иных обозначениях выражает привычну ю
теорему о взаимности перемещений Мр==6ли- По отно-
шению к неизвестному перемещению Zi произвольного
номера i это равенство имеет вид:
Zt. = 6Pt._	(505)
Мы получили следующий важный результат: для по-
лучения линии влияния некоторого i-ro перемещения Zt
надо по его направлению приложить соответствующее
единичное силовое воздействие (внешнюю обобщенную
силу). Тогда перемещения точек сооружения, измерен-
ные по направлению подвижной силы Р=1, окажутся
численно равными соответствующим значениям Z,,
а следовательно, эпюра указанных перемещений пред-
ставит л. в. Zi'.
л. в. Z. = эп.	(506)
Так, на рис. 327,6 линия прогибов ригеля от воздей-
ствия момента Л1л=1 представляет линию влияния угла
поворота Za при вертикальной подвижной силе Р=Ь
Пользуясь этим правилом, легко качественно предста-
вить, а при известном опыте и изобразить форму линии
влияния любого неизвестного Zi. Обратим лишь внима-
ние на знаки: прогибы, совпадающие с направлением си-
лы Р=1, дают положительные ординаты линии влияния
(это отмечено в кружках на рис. 327, 6).
Указанное правило дает возможность не только каче-
ственно, но и количественно определять ординаты л. в.
Zt. Остановимся на этом подробнее.
444
Поскольку л. в. Zi получается как линия прогибов, то
ее детальное построение с вычислением ординат целесо-
образно вести по отдельным пролетам. Прогибы в каж-
дом пролете будут вполне определяться четырьмя пере-
мещениями концевых сечений: прогибом и поворотом ле-
вого щЛев, «рЛев и правого щпр, фпр сечений (рис. 328, г).
Прогиб 6р, от единичного значения каждого из указан-
ных концевых смещений удобно получить по равенству
(479) как реакцию в соответствующей связи, указанную
на рис. 328, а. Умножая каждую из этих реакций на свои
смещения w и <р и суммируя, получим
Zt — Spi = tiv2 /<рлев — v2 (1 + 2и) шлев — и2 и/фпр —
— к2 (1 -f- 2г) Wnp-	(507)
В частном случае, когда на концах стержня щЛев=0 и
&'пр=0, имеем
= бп, = twl («рдев — «4>пр)-	(508)
В этих равенствах в соответствии с формулой (479) зна-
ки поставлены как знаки реакций с множителем (—1).
Теперь, естественно, возникает вопрос об определении
концевых перемещений w и ср, входящих в формулы
(507), (508). Например, при построении л. в. ZA (см. рис.
327,6) это будут узловые перемещения ZjA	п),
найденные от момента МА — 1, т. е. при RAp=—1. Для
линии влияния некоторого i-ro перемещения указанные
узловые перемещения определятся из решения системы
Если мы хотим получить линии влияния всех п неизвест-
ных данной рамы, то надо п раз решить уравнения (509),
что приводит к равенству
RZ—£=0,	(510)
где Е — единичная матрица. Отсюда получим важное
Для нас соотношение
Z = R~l = A.	(511)
Каждый i-й столбец матрицы Z здесь дает нужные
Для построения линии влияния неизвестного Z, узловые
перемещения. По ним и находятся в общем случае кон-
цевые смещения w и ср отдельных стержней, входящих в
445
формулы (507), (508). Они, как видим, получаются по
столбцам матрицы, обратной матрице жесткости систе-
мы Но такая матрица, как известно, есть матрица по-
датливости системы, которая обозначена в (511) че-
рез А. Этот результат в общем виде уже был получен в
§ 42.
Надо хорошо усвоить связь между матрицами жест-
кости и податливости. Ввиду важности этого вопроса за-
пишем их соотношение еще раз в виде:
r 1 •••«
6ц  &11
6(1
6ni  б'п/
П
61П
6;п
6цп
(512)
На рис. 329 эта зависимость проиллюстрирована графи-
чески: рис. а дает вектор
Рис. 329
перемещений Z (для модели
EF=<x>), рис. б — соот-
ветствующие ему элемен-
ты i-ro столбца матрицы
податливости (512). Ме-
ханически элементы этого
столбца выражают п не-
зависимых перемещений
системы, вызванные i-м
внешним силовым единич-
ным воздействием.
Итак, для получения
линий влияния всех п пе-
ремещений Zi надо полу-
чить матрицу податливо-
сти, что выполняется пу-
тем обращения матрицы
реакций R. Если же нас
интересует лишь часть
линий влияния перемещений, то можно получить лишь
часть матрицы податливости, решая соответствую-
щее число раз систему уравнений (509). Для уменьше-
ния объема вычислений это иногда бывает более целесо-
образно (при высоком порядке матрицы R). По элемен-
там матрицы податливости затем определяются переме-
щения w и <р концов стержней, для которых по форму-
446
лам (507) или (508) вычисляются ординаты прогибов.
Их эпюры и дают линии влияния перемещений Z,-.
Приведем пример использования кинематического ме-
тода при построении линий влияния Zr и Z2 для рамы,
изображенной на рис. 330. По эпюрам Л1ь М2, построен-
ным от Zi=l и Z2=l (рис. 331), строим матрицу жест-
кости R:
где обозначено i—EJ/h. Обратная ей матрица дает мат-
рицу податливости
А =	= 1
7 —11
20/ 1—1	3J'
Элементы первого столбца полученной матрицы — это уг-
лы поворота узлов 6ц=<рд и 621=фв в заданной раме от
Рис. 330
воздействия момента Мд—1. Второй столбец дает те же
углы от момента ЛД>=1.
Линию влияния Zi строим как линию прогибов риге-
ля от воздействия момента Мд=1, т. е. при углах пово-
рота, даваемых элементами первого столбца матрицы А.
По формуле (508), полагая в ней <рлев=7/20/ и <рпр=
=—1/20/, получим для пролета АВ
л. в. zf-B = (7v+ и) 4h/20i.
Для пролета ВС найдем при <рЛев=—1/20/ и фпр=
=—<Рлев/2 (так как в точке С шарнир)
л. в. zfc =— (v -f- 0,5//) 2h/20i.
По этим выражениям, придавая координатам и и
о=1—и значения в пределах от нуля до единицы, по-
строена л. в. Zj, изображенная на рис. 330. Ордината на
Конце консоли найдена как произведение ФаЛ/2. Анало-
Рис. 331
гично по элементам второго столбца матрицы А построе-
на л. в. Z2. Положительные ординаты линий влияния на
рис. 330, как это принято, отложены вверх. Это приводит
к тому, что полученные линии влияния являются «пере-
вернутыми» эпюрами прогибов ригеля от узловых еди-
ничных моментов. Наличие л. в. Zi и л. в. Z2 позволяет
построить линию влияния любого фактора в рассматри-
ваемой раме по выражению (501).
При наличии удобных программ автоматизированно-
го расчета конструкций на произвольную нагрузку ли-
нии влияния можно получить, не прибегая к каким-либо
специальным приемам. Для этого выполняют несколько
отдельных расчетов по указанным программам, последо-
вательно помещая единичную силу Р=1 в узловые точ-
ки системы. Затем, выбирая из полученных эпюр внут-
ренних усилий соответствующие ординаты, строят по ним
нужные тинии влияния. Такой подход непосредственного
построения линий влияния при хорошо налаженном обес-
печении расчетов вычислительными средствами часто
оказывается наиболее целесообразным.
§ 77. Особенности применения метода перемещений
с учетом продольных деформаций стержней
В § 69 отмечалось, что при разработке алгоритмов и
программ для ЭВМ в большинстве случаев используется
наиболее общая модификация метода перемещений, в ко-
торой учитываются конечные жесткости стержней на
растяжение-сжатие (EF=^=oo). Основная система при
этом получается наиболее стандартной: все узлы закреп-
ляются от линейных и угловых перемещений. Число не-
зависимых перемещений естественно возрастает (в срав-
нении с моделью EFi—оо), но упрощается построение
алгоритма.
При указанном выборе основной системы вся задан-
ная стержневая конструкция разбивается на отдельные
448
элементы — стержни, закрепленные на концах, как, на-
пример, стержень А—В на рис 332. Соответственно и каж-
дая реакция в любой связи, накладываемой при образо-
вании основной системы, может быть представлена как
сумма отдельных слагаемых. Каждое слагаемое в этой
сумме будет выражать реакцию, возникающую от дефор-
мации соответствующего стержня, примыкающего к дан-
ной связи. Таким образом,
стемы может быть полу-
чена соответствующим
суммированием реакций
отдельных стержней.
Фактически оказыва-
ется удобным вначале от-
дельно строить матрицы
реакций (матрицы жест-
кости) отдельных стерж-
ней и затем из элементов
этих матриц формировать
общую матрицу реакций
(жесткости) всей систе-
мы. Так как каждый стер-
жень в составе конструк-
ции имеет свою ориента-
цию, то на разных стадиях
Рис. 332
процесса вычислений будем
рассматривать его в различных системах координат.
С этой целью введем понятие местной или локальной
(связанной с осью стержня) и общей для всей (или ка-
кой-либо части) конструкции систем координат. На рис.
332 оси х\—у'{— местная, а х—у— общая система коор-
динат.
Теперь можно укрупнение наметить следующий поря-
док расчета.
1.	Построение матрицы жесткости У?' и вектора гру-
зовых реакций Rtp в местной системе координат для не-
которого t-ro стержня. Матрица Rt и вектор Rtp отвеча-
ют вектору перемещений концов стержня Z{, заданному
в локальной системе координат х’.у'..
2.	Преобразование матрицы /?' и грузового вектора
Rtp к общей системе координат х—у. Получаемые на
этом этапе матрица Rt и вектор Rip соответствуют векто-
29—5Ь»
449
ру перемещений концов стержня Z,, заданному в общей
системе х—у.
3.	Поэлементное суммирование матрицы Ri и вектора
RiP i-ro стержня с матрицей жесткости R и грузовым век-
тором Rp всей конструкции (дополнение общей матрицы
R и вектора RP за счет i-ro стержня).
4.	Переход от i-ro к (i'+l)-My стержню и повторение
всех перечисленных операций.
После того как в указанном порядке будут «обрабо-
таны» все стержни конструкции, в памяти ЭВМ будет
сформирована система уравнений RZ-\-RP—0 для всей
конструкции. Ее решение дает перемещения Z в общей
системе координат. Далее остается только вычислить
внутренние усилия в каждом стержне. Для этого опять,
последовательно переходя от i-ro к (i-j-l)-My стержню,
выполняют преобразование перемещений Zlt найденных
в общей системе координат, в перемещения Zt, опреде-
ляемые в местных системах координат х’.—у’. Послед-
ние позволяют легко вычислить любое внутреннее уси-
лие в стержне.
В дальнейших параграфах рассмотрены более под-
робно отдельные этапы описанного вычислительного ал-
горитма. Этот вычислительный процесс в такой форме
представляет собой простейшую форму метода конечных
элементов (МКЭ), широко применяемого в расчетах са-
мых разнообразных конструкций. О нем пойдет речь в
последующих разделах курса. В данном случае «конеч-
ным элементом» является отдельный стержень заданной
стержневой системы.
§ 78. Матрица жесткости стержня в местной
и общей системах координат
На примере плоской стержневой системы рассмотрим
построение матрицы жесткости отдельного стержня. На
рис. 333, а изображен некоторый стержень, показана
местная система координат х'—у', связанная с его осью,
а также отмечены направления заданных в этой системе
перемещений, являющихся компонентами вектора Z,=s!
= [ZJ, Z',.„, Zg]T. Индекс i, как номер стержня, здесь и
450
далее в этом параграфе опускаем. На рис. 333, б пока-
занье связи, накладываемые на концевые сечения стерж-
ня, устраняющие перемещения Z'..Z’6 и ориентирован-
ные по направлениям местной системы координат.
Матрица жесткости R' стержня совершает линейное
преобразование вектора Z' в вектор упругих реакций
,..., 7?6z]’r, возникающих в указанных связях от
смещений Z', т. е.
^1Z	Г1Г"Г16
• = /?'?' = ...........
^6Zj	I Г61 • • • 056
(513)
Элементы матрицы R' проще всего определять по столб-
цам. Так, например, элементы первого столбца г'}, г'р...
— СУТЬ Реакции на концах стержня от смещения
Z' =1 (рис. 333, в). Второй и третий столбцы — реакции
от смещения Z\ — \ (вызывающего центральное сжатие
стержня) и от смещения Z'3 = l, показанных на том же
рисунке. Элементы трех последних столбцов матрицы R'
определяются смещениями правого конца стержня. Чис-
ленные значения реакций для стержня постоянного се-
чения берем из табл. 6, а их знаки устанавливаем по
обычному правилу: положительная реакция совпадает с
направлением соответствующего положительного пере-
мещения, и наоборот.
Следуя сказанному, получим матрицу R', имеющую
29*
размер 6X6, в таком виде:
4ЕЛ1 0 —&ЕЛР.	0 EF/1 0	-&ЕЛР 0 12ЕЛР	2EJ/1 0 ~ЬЕЛР.	0 —EFU 0	&ЕЛР 0 —\2ЕЛР
2EJ/1	0	—&ЕЛР-	4EJ/1	6	6EJ/P
0	-EF/1	0	0	EFH	0
GEJ/P	0	—12ЕЛР	6EJ/P.	0	12EJ/P
1514)
Матрица /?' разделена на четыре блока, обозначив ко-
торые отдельными буквами, запишем R' в сокращенном
виде:
Каждый блок здесь представляет матрицу реакций 3X3,
возникающих в начале или конце стержня, что отмечено
соответственно буквами ник (см. рис. 333,6). Вторая
буква в индексе указывает, смещением каких связей —
начальных или конечных — вызваны эти реакции. Напри-
мер, R'KH —это блок реакций на конце к от смещения
связей н стержня. Таким образом, смещение каждого
конца стержня вызывает в общем случае блок «своих»
реакций на смещаемом конце и, кроме того, порождает
на противоположном конце блок побочных реакций. Пер-
вая группа реакций выражается диагональными блоками
(515), вторая — внедиагональными блоками матрицы R'.
Рассмотрим теперь тот же стержень в составе конст-
рукции, заданной в общей системе координат х—у
(рис. 334, а). Здесь в отличие от предыдущего линейные
связи на концах ориентированы вдоль осей х, у, и им со-
ответствуют новые компоненты вектора перемещений
Z—[Zi,...,Z6]T (обозначенные без штрихов). Возникает
задача перехода от матрицы реакции R', построенной в
местной системе координат (в старом базисе), к матрице
реакций R, определенной в общей системе координат
(в новом базисе). Эта задача преобразования матрицы
жесткости при переходе к новому базису решалась в § 49,
где получена формула
R — VTR'V.	(516)
В этом равенстве V представляет собой такую мат-
рицу, которая преобразует «новые» перемещения Z в
«старые» Z' по выражению
Z' = VZ.	(517)
452
Для ее получения выразим составляющие полных ли-
нейных перемещений Z', Z' и Z', Zg, рассматривая их
как векторы, через перемещения Z2, Z3 и Z5, Z6 (рис.
334,б). С этой целью спроектируем последние на на-
правления х'—у'. Учитывая, что углы поворота Z' и
при замене координат не меняются, можем написать та-
кие соотношения:
Zj = Zr; Z2 = Z2 cos a + Z3 sin a; Z3 =—Z2 sin a + Zg cos a;
Z4 = Z4; Zg = Z5 cos a + Ze sin a;
Z6 =— Z5 sin a + Ze cos a.
Рис. 334
Из коэффициентов при Zi,..., Z6, стоящих в правой части
равенств, образуется искомая матрица V:
г-1	0	0	:0	0	0	-
О cos a	sin a	j 0	0	0
0 —sina	cos a	: 0	0	0
o’o.......0 "Ti...0......o'”
0	0	0	:0 cos a	sin a
_0	0	0	:0	— sin a	cos a _
или в блочной форме
С = О
О
О : С
О О
cos a sin a
— sin a cos a
(518)
(518')
Матрицы V и С в данном случае совершают преобразо-
вание вращения в плоскости координат х—у.
453
Подставляя (515) и (518') в формулу (516), получим
матрицу жесткости стержня в общей системе координат;
С11 0.
0 :СТ
^вк
^кн:^кк
с i о
О : С
Перемножение указанных матриц можно выполнить, рас>
ематривая их блоки как обычные элементы, после чего
окончательно получим
R =
_cT7?;Hcicr/?'Kc_
(519)
^кн : ^1Ш
Тройные произведения матриц здесь дают формулы для
получения соответствующих блоков матрицы /?.
Рис. 335
Грузовые реакции на концах рассматриваемого стерж-
ня в местной системе координат определяются обычным
образом. Например, для стержня, показанного на
рис. 335, а, разложим равномерно распределенную на-
грузку на поперечную и продольную составляющие. Рас-
сматривая раздельно изгиб, вызванный нагрузкой
q sin р, и растяжение-сжатие от нагрузки q cos Р
(рис. 335,6), найдем векторы грузовых реакций в нача-
ле и конце стержня:
^вР —
(y/«/12)skP
(ql/2) cos£
(ql/2) sin P
~(qP/l2) sin P]
(qh2) cos P I.
. (y//2) sin P J
RrP ~
454
Аналогично преобразованию матрицы жесткости необхо-
димо перейти от вектора R р в местной системе к векто-
ру Rp в общей системе координат:
Rp =
RaP
RkP
R»P
Ър
Это соотношение легко получить из равенства (517),
в котором Z' и Z надо заменить соответственно на Rp
и Rp. Тогда получим
—>	—— 1 —
Rp = v Rp —
С RaP
—1
С Rkp
(520)
где
1	0
0 cos а
0 sin а
0
— sin а
cos а
Помимо непосредственного обращения матрица С-1
может быть записана по смыслу. Действительно, так как
С-1 в противоположность матрице С совершает переход
от осей х'—у' к осям х—у, то в матрице С надо заме-
нить а на (—а), что и дает записанное выражение С-1.
Она легко получается также в результате проектирова-
ния соответствующих векторов, ориентированных по осям
х'—у', на оси х—у.
§79. Построение матрицы жесткости для одиночного
стержня в более сложных случаях
Мы познакомились с простейшим случаем построения матрицы
жесткости Рассмотрим теперь вопросы учета некоторых усложняю-
щих факторов.
В случае пространственно ориентированного стержня (рнс. 336),
имеющего местную систему координат x'y'z', будем иметь по шесть
независимых перемещений на каждом конце стержня н и к: по три
Угловых перемещения вокруг осей х’, у', г’ и по три линейных пе-
ремещения вдоль тех же осей. Следовательно, матрица жесткости
такого стержня будет иметь размер 12X12. Если все 12 компонент
вектора Z разбить на четыре группы по три угловых и линейных
Перемещения, принадлежащих концу н и концу к:
455
то матрицу R' можно представить состоящей из следующих блоков
размером каждый 3X3:
руу рул рУУ рУл
''ни ''нн *'нк ''НК
плу рлл плУ плл
/'нн ^нн Анк пнк
рУУ рул рУУ рул
Г'КН 'кн хкк /хкк
рлу рЛЛ рлу рЛЛ
_ ХКН /хкн Л’КК лкк_
(12X12)	(521)
Здесь верхние индексы, «у» и
«л» указывают, с какими переме-
щениями и реакциями связан
блок (угловыми или линейными),
а нижние «н» и «к» отмечают со-
Рис. 336	ответствующнй конец стержня.
Так как оси х’, у', ?! связаны с
главными плоскостями инерции
стержня, то ее построение будет аналогично построению для случая
деформации стержня в плоскости. Особенность будет лишь в том,
что поворот одного из узлов вокруг оси х! вызывает деформацию
кручения стержня, следовательно, помимо жесткостей Е1 и ЕЕ в
матрицу войдет жесткость стержня на кручение G/KP. Если
обозначить соответствующий элемент матрицы через гх^х. , то чис-
ленно он будет равен: ryx4x,= GJK[,ll.
Общие системы координат на концах ник могут быть ориенти-
рованы по разному: хнг/в£н и хкукгк (см. рис. 336). Переход от мат-
рицы R' к матрице R в указанных общих системах координат в рас-
сматриваемом случае производится по формуле (516), выражающей
преобразование вращения. В этой формуле V будет квазидиагональ-
ная матрица, состоящая из четырех блоков размером каждый ЗХ&
(522)
где Св и Ск — матрицы направляющих косинусов соответственно
осей хн, ув, zB и Хи, ук, гк в местной системе координат х'у’г'. На-
пример,
456
- л	л	л
COS (х'хп) COS (х'уи) COS (x'Zjj)
Сн = COS ((Дн) cos (у'уя) cos (у'гя) •	(523^
л	л	л
-cos (z'xh) cos (г'уя) cos (z'zH) _
Грузовой вектор /?р преобразуется аналогично (520). В данном слу-
чае матрица V-1 совпадает с транспонированной VT, поэтому
RP — Г"1 Rp=VTR'p.	(524)
В расчетах каркасов зданий из сборных элементов необходимо
учитывать упругую податливость соединений, с помощью которых
стержни прикрепляются к узлам. В некоторых случаях такими стерж-
нями являются пластинчатые
панели, имеющие малое отно-
шение длины к высоте, вслед-
ствие чего для них необходи-
мо наряду с деформациями
изгиба и растяжения-сжатия
принимать во внимание также
деформации сдвига. Поэтому
рассмотрим процесс построе-
ния матрицы жесткости для
модели стержня постоянного
сечения, упруго прикрепленного
к узлам с учетом работы
стержня на изгиб, сдвиг и
растяжение-сжатие, характе-
Рис. 337
Рис. 338
ризуемые соответственно жест-
костями Е], GF и EF (рис.
337,а). Как мы видели, глав-
ное состоит в построении ма-
трицы R' в местной системе
координат, так как переход к
общей системе совершается
автоматически с помощью пре-
образования вращения (516).
В целях простоты рассмотрим
построение R' для такого
стержня применительно к пло-
ской системе. Упругие связи
на концах (упругие шарниры)
пусть имеют пренебрежимо
малую длину и конечные ко-
эффициенты жесткости Ci, с2 и с3 в отношении продольных, угловых
и поперечных (сдвиговых) деформаций этих связей. Смысл коэффи-
циентов жесткости ясен из рис. 337, б. Будем предполагать, что в
общем случае жесткости упругих связей на концах стержня ник
раЗЛИЧНЫ: С|н, С2н, с3н и Cjk, С2н, Сзк.
Для определения реакций от единичных смещений узлов, состав-
ляющих матрицу R', воспользуемся методом сил. Основная система
показана на рис. 338. Осевая сила Х2, очевидно, определяется от-
457
дельно от моментов Xi и Х3. В соответствии с эпюрами внутренних
сил от единичных значений лишних неизвестных, показанными на
рис. 338, получим коэффициенты матрицы податливости А:
	/	1 Ы 1	1	1	( 1 4	1	
Oil —	3EJ	GF,	п С1Н	/?	1 Сз,1	Сзк / ’	
813	= 6ц	1	ы	1	(1 4	1 ).	(525)
		~ 6EJ	GF	й	1 сзн	с зк /	
833 =	1	1 kl	1	1	/ 1	г 1 ]	
	3EJ	GF	С1К	р	\ сзн	Сзк /	
Здесь слагаемые, содержащие с,, выражают влияние деформации
концевых упругих шарниров; слагаемые, содержащие GF, учиты-
вают деформации сдвига, k — коэффициент, являющийся следствием
неравномерности касательных напряжений в поперечном сечении при
изгибе, зависящей от формы сечения
«Грузовым» воздействием на основную систему являются смеще-
ния узла н Zt = l, а также Z3=l. Система уравнений, содержащая
оба столбца указанных грузовых членов, имеет вид:
г^ы б13| хп ад , f 1 ^//___________q
63J' |х31 ад L
Отсюда находим матрицу лишних неизвестных X от смещений
Z1=l и Z 3=1. При этом матрица второго порядка А~1 строится по
известному правилу
__ 1 Г 833 —631 , 11 —1 /I______1 Г 633 — (633 “F Ь31)/11
~ D [~613 I [О 1//J ~ D [-С13	(6и+б13)//] ’
где
D = det А = 6.. fi.,-6^.
11	-’О	1,3
Через усилия X выражаем интересующие нас реакции на левом кон-
це стержня: момент г1=Х1 и силу г2=(—Xt + Хг)//. Учитывая зна-
чение X, получим
1	0
-1/Z 1/1
-(бзз + Сгз)//
(Cii + 2613 + 633)//г
• Х =
1
D
(526)
1
lzii ггз _
1/13 f зз L
633
(633	613) / /
Податливость 622 в продольном направлении равна сумме подат-
ливостей стержня и упругих связей
Л 1 -щ 1
622 = П —
Е.Г С2Н С2к
а жесткость (реакция) г22 как величина, обратная 622, будет
1	I I , 1	, 1 I"1
Г22 = — = — Н-------------1-----
^22	\ СГ С2Н ^2К /
(527)
(528)
458
Теперь из четырех найденных величин гц, Лз, гза и гц можно
легко составить искомую полную матрицу R' для данного стержня.
Аналогично матрице R' (514) для простого стержня она получит
следующий вид:
R' =
ги	0	г13	— Г11	^13	0	—Пз
0	г22	0	0	—г22	0
г13	0	г33	— гтз 1гзз	0	—г33
— 'и — 1г 13	0	— г13 — г33 1	гм	0	т 13~1~ ^г33
0		0	0	Г21	0
	Г13	0	— г33	г1з1 ’ R 33	0	г33
*НИ . ^нк
^кн: ^кк
(529)
где
ГШ = /н+ 2^1з + 12гзз-
Блок /?нн этой матрицы составляется непосредственно из ука-
занных четырех элементов. Блок 1?кн, содержащий реакции на кон-
це к, построим, используя условия равновесия стержня. Из
Рис. 339
рис. 339 получим следующие выражения реакций на конце к через
реакции на конце н, приравняв нулю сумму моментов относитель-
но точки к и суммы проекций на оси координат:
'« = — — rsl; гъ = —г2-, ге=—г3.	(530)
Из этих соотношений следует, что четвертая строка R' — это сум-
ма первой строки и третьей строки, умноженной на I, обе взятые
со знаком минус, а пятая и шестая строки отличаются лишь знаком
соответственно от второй и третьей строки. На этой основе запи-
саны элементы RKJi. Далее, учитывая симметрию матрицы R' отно-
сительно главной диагонали, заполняем блок RHK, после чего эле-
менты блока R кк опять с помощью соотношений (530) выражают-
ся через элементы /?нк.
Грузовые реакции при наличии внешних сил Р, приложенных
к рассматриваемому стержню, определяются по методу сил столь
же просто, как и матрица R'.
459
Выше по методу сил был рассмотрен процесс построения мат-
рицы R' для стержня с упругим прикреплением. В случае постоян-
ного сечения в тех же целях с успехом может быть использован
и метод перемещений, при этом стержень с упругими связями рас-
сматривается как сложный элемент (суперэлемент) (см. § 82).
Преимущество описанного подхода состоит в том, что он годится
и для стержней переменного сечения.
Действительно, если рассматриваемый стержень имеет пере-
менное сечение (рис. 340), то в изложенной методике построения
матрицы R' изменятся лишь формулы (525) и (527), которые по-
лучат вид:
& \ сзл	с3л
Р- \ сзн	сзк
Л'^ dx	1
~-------1---
(х)	сан
1
С2К
При этом интегралы Мора удобно вычислять численно, например
в матричной форме, с использованием интерполирования того или
иного вида. В остальном все формулы и алгоритм построения мат-
рицы R' полностью сохраняются.
Естественно предполагается, что все указанные вычисления
выполняются ЭВМ по стандартной подпрограмме. Такая подпрог-
рамма позволяет учесть по единой схеме различные условия опи-
рания стержня. Так, полагая значение с1н близким нулю, получим
случай шарнирного опирания на конце к. Имея значения коэффици-
ентов жесткости упругих связей, можно описать работу различных
стержней в составе заданной конструкции.
В частном случае для стержня постоянного сечения и отсутст-
вия упругих концевых связей ci=c2=c3=oo) реакции от изгиба стерж-
ня с учетом сдвига получают очень простой вид, приведенный на
рис. 341. Отличие от стержня без сдвигов (табл. 6) состоит лишь
6 том, что реакции на рис. 341 зависят от безразмерного параметра
12feEJ\—1
+ PGF /
(531)
Ими удобно пользоваться и в расчетах, проводимых без исполь-
зования мощных вычислительных средств. При GE->oo и а->-1 ре-
акции на рис. 341 совпадают с приведенными в табл. 6.
460
В заключение покажем, как получается матрица реакций R
стержня, прикрепляемого к узлу с помощью абсолютно жестких
дисков конечных размеров (рис. 342). Будем считать, что для
самого стержня матрица R', соответствующая вектору перемеще-
ний Z', известна. Требуется перейти к матрице R, отвечающей век-
тору Z, отнесенному к центрам узлов ник. Эта операция легкс
выполняется с помощью формулы (516), поскольку указанный пе-
реход можно рассматривать как преобразование матрицы жесткости
при замене базиса перемещений. Остается лишь построить матрицу
V, связывающую векторы Z' и Z (517). Для этого сообщаем дискам
последовательно перемещения Zt, Zj... и т. д. и вычисляем перемеще-
ния Zi , Z 2 .. и т. д., что позволяет получить соотношения:
Zj - Zp Z2 = ен Zj + Z2; Z3— Z4 + Z3;
24 — Z4; Z5 — eK Z4 + Z5; Z6 — aK Z4 -f- Z6.
Дополнительные линейные перемещения по направлению Z2
и Z3, вызванные поворотом Zb пояснены на рис. 342 для левого
конца стержня. Написанные соотношения представляем в матрич-
ной форме, что и дает искомую матрицу V:

г 1 о ci
ен 1 0
—ян 0 1
 1 0 О’
ек 1 0
.«к 0 1

461
Используя формулу (516), получим
/? =
IZT
* н
VT
¥ к
ГИ/?' V :
Н ХНН и;
VT R V 
_ к *'кн г н ;
Ит R V
к j'kk * к
(532)

§ 80. Формирование матрицы жесткости всей
конструкции
Рассмотрим некоторую стержневую систему, изобра-
женную на рис. 343, для определенности имеющую пять
узлов. Все узлы пока будем считать жесткими так, что
с каждым из них в плоской задаче будет связано три не-
известных перемещения. Эти неизвестные показаны на
рис. 343 для узлов 1, 2 и 3: Zit Zg. Для i-ro стержня
показаны его концевые перемещения в общей системе
координат [Z*,..., Z‘6]T =Z‘. Предполагаем, что для
каждого такого стержня построена матрица жесткости
Rt шестого порядка, отвечающая вектору Z*
[ni I/?1
НН' Нк	/rtQQl
.	(533)
^кн;^кк_ (6X6)
Наша задача — сформировать из блоков матриц Rt мат-
рицу жесткости всей конструкции R, в данном случае
имеющую размер 15X15 и отвечающую вектору узловых
перемещений системы Z = [Zj, ..., Zis]T.
Так как с каждым узлом связаны три перемещения,
462
то всю матрицу У? удобно представить в блочной форме
с размером блока 3X3:
Rzi R22
о R32
Rii Rt2
О О
О
R23
Rss
О
R14
R24
о
Rii
Rm
° '1
О
Rb&
R45
^5&-
(534)
(15X15)
Здесь первый индекс указывает номер узла, в котором
возникает блок реакций, а второй индекс — номер узла,
смещением которого возбуждены эти реакции. Структу-
ра блочной матрицы совершенно аналогична обычной
матрице реакций [лй]. Особенность лишь та, что каждой
строке в (534) соответствует группа реакций в соответ-
ствующем узле, а каждый столбец отвечает вектору пе-
ремещений данного узла. Нули обозначают, что соответ-
ствующие узлы не связаны непосредственно стержнем
и прямо не взаимодействуют,, т. е. «не передают» реак-
ций из узла в узел.
При построении матриц Rt отдельных стержней долж-
ны быть фиксированы начало и конец каждого стержня,
так как от этого, в частности, зависит величина и знак
угла а, определяющего ориентацию стержня в общей
системе координат х—у. На рис. 343 такая ориентация
каждого стержня отмечена стрелкой, направленной от
конца н, принятого за начало, к концу к.
Ранее уже указывалось, что общая матрица жестко-
сти R может быть получена путем суммирования соот-
ветствующих элементов матриц жесткости отдельных
стержней. Покажем для примера построение второй
блочной строки матрицы R (534), которая выражает ре-
акции в узле 2, поэтому в ее состав войдут блоки мат-
риц (533), отвечающие концам стержней, примыкающим
к этому узлу. Например, стержень f дает блок /?21=^Сн-
Аналогично получим
^22 = ^кк + Rhh' ^23 =	^24 = ^нк' (535)
Суммирование блоков (3X3), указанных в составе R22,
ведется поэлементно. Заметим, что для любых двух бло-
ков, расположенных симметрично относительно главной
диагонали, справедливо равенство Rnm=Rmn-
При построении программ автоматизированного рас-
чета конструкций возникает необходимость формализа-
ции процесса формирования матрицы R всей системы,
т. е. суммирования и размещения элементов матриц же-
463
сткости типа (535). Это достигается различными путя-
ми. Рассмотрим один из них, имеющий принципиальное
значение.
Прежде всего представим матрицу 7? (534) как сум-
му отдельных матриц:
/? = Л/?! + Д/?2+.. •+ ЛЯ,- + ....+ ДЯт,	(536)
где каждое слагаемое есть матрица того же порядка, что
и R (в данном случае 15X15), выражающая добавку к
общей матрице жесткости, вносимую за счет упругого
сопротивления i-го стержня; т—общее число стержней
в системе. Матрица А/?,- будет содержать: ненулевые
элементы только от t-ro стержня; слагаемые же, вноси-
мые другими стержнями, заменяются в ней нулями.
Можно мысленно представить, что во всей системе на
рис 343 упругое сопротивление узловым перемещениям
Z=[Zi,...,ZI5]T оказывает только i-й стержень, в то вре-
мя как другие стержни временно полностью потеряли
свою жесткость. Тогда AR, представит собой матрицу
жесткости указанной условной системы относительно ба-
зисных перемещений Z.
С другой стороны, для рассматриваемого i-го стерж-
ня построена матрица жесткости Ri (533) относительно
других базисных перемещений, а именно Z‘= [Z{’,...,Zj]T.
Ими являются смещения концов ник этого стержня (на
рис. 343 они показаны справа). Эта матрица в данном
случае имеет размер 6X6.
Различие в ранее построенной матрице R, и новой
матрице А/?,-, выражающих жесткость одного и того же
Z-ro стержня, объясняется лишь тем, что они отвечают
двум различным, но взаимосвязанным базисам, в ко-
торых задаются перемещения. Поэтому переход от R, к
АТ?, можно провести по обычной формуле преобразова-
ния матрицы жесткости при замене базиса (516).
Надо только построить матрицу К, преобразующую
«новые» перемещения Z (узловые перемещения всей
системы) в «старые» перемещения Z* (концевые пере-
мещения i-го стержня). Компоненты обоих векторов
ориентированы в одних и тех же осях х—у, поэтому век-
тор Z‘ является частью общего вектора Z и легко может
быть выражен через последний. Так, применительно к
464
рис. 343 эту зависимость можем написать в виде такого
матричного равенства:
Матрица Уг здесь состоит из шести единиц и нулей во
всех остальных клетках, оставленных в (537) пустыми.
Она преобразует вектор Z в вектор Z‘.
Теперь по формуле преобразования матрицы жестко-
сти (516) получим выражение АТ?» через Т?(:
(538)
В результате применения этой формулы элементы
матрицы 7?, (6X6) располагаются в соответствующих
клетках общей матрицы Т? (15X15); прочие же клетки
этой матрицы остаются нулевыми. Окончательно, сум-
мируя по всем т стержням системы, получим ее общую
матрицу жесткости (536) в виде:
i=m
(539)
i=l
Можно формулу (539) представить в еще более компакт-
ной форме, если ввести блочный квазистолбец V и блоч-
ную квазидиагональную матрицу:
(540)
Тогда выражение для матрицы жесткости /?, эквивалент-
ное (539), получит вид:
7? = VT KV.
(541)
Формулы (539) или (541) принципиально решают
задачу формальной компоновки общей матрицы жест-
кости системы из матриц жесткости отдельных стержней.
30—569
465
Однако практически ими пользоваться невыгодно. Вви-
ду малой заполненности матриц преобразования Vi (537)
очень нерационально используется память ЭВМ. Поэто-
му в программах расчета иногда применяют «сжатую»
форму записи в памяти машины матриц Vi, когда каж-
дая единица и нуль этих матриц занимают не полную
ячейку, а только один ее разряд. Чаще вместо формулы
(539) применяют логические
Рис. 344
операции, в совокупности эк-
вивалентные этой формуле.
Так, например, если в описа-
нии стержней, задаваемом ма-
шине, указать номер начально-
го и конечного узлов, к кото-
рым примыкает этот стержень,
то при фиксированном поряд-
ке нумерации неизвестных пе-
ремещений и известном общем
порядке матрицы R системы
легко вычислить адреса тех
ячеек, в которые надо послать
элементы матрицы жесткости
Ri данного стержня. Поэтому
общая матрица R формируется путем последовательной
обработки отдельных стержней, в процессе которой вы-
числяются элементы матрицы Ri и посылаются с накоп-
лением в соответствующие ячейки матрицы R.
Матрица жесткости всей системы R, сформированная
одним из указанных способов, будет получена без уче-
та опорных закреплений. Такая матрица является осо-
бенной, т. е. не имеет обратной матрицы R~\ так как
соответствует конструкции, как бы «висящей в воздухе»
и не закрепленной от перемещений как жесткого целого
(см. § 50). Рассмотрим вопрос учета опорных связей.
Пусть в узле 1 имеется упругая опора, сопротивляю-
щаяся перемещению Z3 с жесткостью k3 (рис. 344). Учет
такой опоры сведется к тому, что вместо коэффициента
гзз, полученного ранее в матрице R, надо поставить ве-
личину гзз —гзз+ks. При наличии опор в узлах 2 и 3 со-
ответственно будем иметь г55 =^55+^5, Гбб=г66+^ви
гее =Г88+&8- Если последние опоры являются абсолютно
жесткими, то теоретически надо k$, k& и ke устремить к
бесконечности. Практически они назначаются настолько
большими числами, чтобы обратные им величины вос-
466
принимались машиной как нуль («машинный нуль»).
Это обеспечивает нулевые значения соответствующих пе-
ремещений узлов. Таким образом, в данном способе все
опорные связи рассматриваются как упругие, жесткость
которых можно назначать в пределах 0^А/<оо.
Для исключения перемещений, заведомо равных ну-
лю (в опорных точках), применяют и другой прием, ко-
торый называют иногда операцией «вычеркивания» со-
ответствующих неизвестных. Состоит он в том, что для
получения Z/=0 в матрице 7? системы /-й столбец и /-ю
строку (включая свободный член в /-м уравнении) дела-
ют нулевыми, а на место элемента гц посылают некото-
рое число, например единицу. Эта операция не изменяет
порядка матрицы 7? (сохраняет стандартное число не-
известных) и дает нулевые значения нужных перемеще-
ний. Она выполняется обычно по специальной подпро-
грамме. При экономном расходовании памяти машины
общее число неизвестных может быть сокращено на чис-
ло «вычеркиваемых» перемещений, но это требует пере-
стройки матрицы 7?, перенумерации неизвестных и ус-
ложняет логику программы.
Выше мы предполагали, что все узлы конструкции
на рис. 343 жесткие. Если в действительности примыка-
ние какого-либо стержня i к узлу шарнирное или упру-
гое, то это учитывается в матрице жесткости стержня 7?,,
при построении которой жесткости упругих связей сг,
Сз (см. § 79) назначают в пределах от нуля до беско-
нечности. Это дает возможность иметь дело с одним и
тем же порядком матриц 7?г, что удобно при программи-
ровании. При этом если в расчетной схеме в некотором
узле имеется полный шарнир, то узловое перемещение
этого узла будет фиктивным неизвестным. Оно исключа-
ется с помощью операции «вычеркивания», описанной
выше.
При нумерации узлов необходимо стремиться к тому,
чтобы «взаимодействующие» узлы, т. е. узлы, у которых
блоки побочных реакций не являются нулевыми, име-
ли возможно более близкие номера i и / (разность |i—/|
была бы минимальна). В этом случае матрица, записан-
ная в блочной форме, будет иметь квазидиагональную
структуру с наименьшей шириной зоны, очерченной око-
ло главной диагонали, содержащей ненулевые элемен-
ты. В результате придем к системе уравнений ленточной
структуры с наименьшей шириной ленты, что обеспечи-
30*
467
вает возможность более рационального использования
памяти и минимальное время решения системы уравне-
ний по программам, которые учитывают ленточный ха-
рактер системы уравнений.
Для примера на рис. 345 показаны два варианта ну-
мерации узлов системы и соответствующая структура
матрицы R в блочной форме. Под шириной ленты обыч-
но понимается число элементов, содержащееся по одну
сторону от диагонального элемента (включая и его) в
пределах зоны возможного размещения ненулевых эле-
ментов. На рисунке это Ь\ и Ьг. Если, например, в каж-
дом узле будет по п неизвестных перемещений, то by=
—6п и fe2=3n. При достаточно высоком порядке системы
уравнений время на ее решение практически пропорцио-
нально ширине ленты. Поэтому второй вариант нумера-
ции на рис. 345 приблизительно вдвое сэкономит время
решения системы уравнений или обращения матрицы /?.
§81. Определение внутренних сил в стержнях системы.
Примеры расчета
После решения системы уравнений
RZ+ Rp = 0	(542)
468
становятся известными перемещения Z в общей системе
координат. Для вычисления усилий в отдельном стерж-
не удобно вначале определить перемещения его конце-
вых сечений в локальной системе Z' и затем через них
вычислить его концевые усилия с помощью матрицы
жесткости данного стержня R' (514) или (529), построен-
ной в локальной системе. Указанные переходы схемати-
чески изображены на рис. 346. Перемещения Z' концов
стержня в общей системе координат отбираются как со-
ответствующие компоненты общего вектора Z, опреде-
ляемого из уравнений (542). А переход от Z‘ к Z' произ-
водится по формуле (517).
Обратим внимание на то, что концевые усилия стерж-
ня, определяемые по формуле
7=R’~Z’,	(543)
получаются со знаками, отвечающими знакам реакций.
Следовательно, положительное концевое усилие направ-
лено в положительном направлении соответствующего
перемещения. На рис. 346 показаны все концевые уси-
лия, получаемые по равенству (543) положительными.
Знаки г не всегда совпадают с привычными знаками
внутренних сил. Так, например, случаю г2>0 и Г5>0 отве-
чает сжатие на конце н и растяжение на конце к на
рис. 346. На это следует обратить внимание при анализе
результатов, выдаваемых вычислительной машиной (ес-
ли, конечно, в программе не предусмотрен переход к зна-
кам внутренних сил перед выдачей на печать).
469
Рис. 347
Рассмотрим примеры использования программ для
расчета стержневых конструкций, основанных на при-
менении метода перемещений с учетом продольных де-
формаций стержней (вариант МКЭ). Программа, кото-
рая использована для решения приводимых ниже при-
меров, составлена М. Н. Смирновым и предназначена
для расчета пространственных и плоских стержневых и
пластинчато-стержневых систем.
Пример 1. Рассмотрим результаты расчета пространственной
арочной конструкции, состоящей из двух бесшарнирных наклон-
ных арок, соединенных распорками (рис. 347). Принятая система
может служить аналогом части конструкции покрытия велотрека в
Крылатском (Москва), общий вид которого схематически изобра-
470
жен на рис. 348. На рисунке показаны две средние арки, соединен-
ные распорками, служащие совместно с наружными арками опор-
ным контуром для мембранной оболочки. Для правильной оценки
взаимодействия оболочки и арок необходим расчет последних на
действие произвольной узловой нагрузки. Рассмотрим в качестве
фрагмента подобного расчета одностороннее воздействие на ароч-
ную систему, показанную на рис. 347, вертикальных узловых сил,
равных 1000 кН каждая.
Примем сечение арки коробчатое, постоянное по длине, а для
всех распорок — одинаковое сплошное. Осью арки пусть будет ли-
ния пересечения круговой цилиндрической поверхности радиуса
29С/3 м и плоскости, наклоненной к горизонту на 45°. Больший
размер сечения (высота) у арки расположен в плоскости кривизны,
а у распорок — в вертикальных плоскостях. Элементы арки между
узлами считаем прямыми. Нумерация узлов показана на пространст-
венной схеме системы на рис. 347.
В каждом узле имеется шесть неизвестных — линейные переме-
щения вдоль осей х, у, z и углы поворота вокруг трех осей, парал-
471
лельных х, у, z. Поскольку решение велось без учета симметрии, то
общее число неизвестных 18-6=108. Так как принятый порядок
нумерации узлов аналогичен показанному на рис. 345, б, структура
матрицы реакций будет ленточная, как и на рис. 345, б, с шириной
ленты Ь2=3.6=18.
Входные данные для ЭВМ ЕС-1030, на которой проводился
расчет, следующие: номера и координаты узлов в глобальной систе-
ме координат xyz\ жесткости стержней на изгиб (в двух главных
плоскостях), сдвиг, растяжение и кручение; описание системы, в
Рис. 348
Рис. 349
которой для каждого стержня указан номер узла начала я, номер
узла конца к и номер специально вводимого третьего узла Т, или
так называемой «точки ориентации». Эта точка назначается так, что-
бы она лежала в одной из главных плоскостей стержня (рис. 349).
Локальная ось 1 направлена перпендикулярно оси стержня 2 в сто-
рону точки Т, а ось 3 так, чтобы система координат 1—2—3 была
правовинтовой. Таким образом, задание координат точек я, к, и Т
вполне определяет ориентацию локальной системы координат дан-
ного стержня и положительное направление неизвестных перемеще-
ний в локальной системе (для узла я они показаны на рис. 349).
Координаты и номера узлов ориентации Т задаются в общем со-
ставе всех узлов системы.
Во входные данные включены также узловые нагрузки (состав-
ляющие сил и моментов, заданные в глобальной системе) и сведе-
ния о граничных условиях, т. е. номера узлов и компоненты переме-
щений, которые полностью устраняются опорными закреплениями-
В данном случае устранены все шесть компонент в узлах 1, 2, 21
и 22.
472
/
£—
У
4
4
Рис. 361
Для задания машине повторяющихся характеристик, например
жесткостей сечений или в целом стержней, вводятся «типовые» ха-
рактеристики или стержни, им присваиваются номера, на которые
в описании делаются ссылки. Применяются также «повторители»,
т. е. специальные блоки программ, повторяющие вводимые данные
с определенным шагом и определенное число раз. Все это делает
вводимые данные более компактными.
Формирование матрицы R всей системы в описываемой про-
грамме проводится путем последовательной обработки отдельных
стержней. Направляющие косинусы локальных осей 1—2—3 вычис-
ляются в машине, а элементы матрицы жесткости стержня, преоб-
разованной к общим осям координат, рассылаются по адресам,
вычисляемым по номерам узлов кин. Все неизвестные нумеруются
в машине без учета перемещений, полностью устраняемых опорными
связями. В машине для экономии памяти записываются лишь эле-
менты матрицы /?, расположенные по одну сторону от главной диа-
473
гонали в пределах ширины ленты. Решение системы уравнений ве-
дется по методу Гаусса с учетом ленточной структуры, что сущест-
венно экономит время решения системы уравнений. В данном слу-
чае время формирования системы уравнений со 108 неизвестными
заняло 38 с, время решения на пять произвольных загружений (по-
лучаемых одновременно) — примерно 25 с. Выходными данными
являются перемещения узлов в глобальной системе координат и
концевые усилия г,- каждого i-ro стержня в его локальной системе.
На рис. 347 приведены эпюры: Л1,— изгибающих моментов в
плоскости арки, загруженной силами Р, и в вертикальных плоскостях
для распорок; Л13 — изгибающих моментов из плоскости арок и в
горизонтальных плоскостях для распорок; ТИ2 — крутящих моментов
в загруженной арке и для распорок; N — продольных сил в стерж-
нях всей системы. Моменты указаны в кН-м, а силы — в кН.
Пример 2. Результаты расчета плоской стержневой системы,
показанной на рис. 350. Расчет произведен по программе, описан-
ной выше. Особенность ее использования состоит лишь в том, что
одна координата всех узлов (в данном примере координата г) по-
лагается равной нулю. Точки ориентации задаются в плоскости
конструкции, а в описании системы указывается принадлежность
элементов к «плоскому» типу стержня, узлы которого обладают
лишь тремя степенями свободы — перемещениями в плоскости кон-
струкции.
Матрица жесткости R имеет порядок, равный числу неизвест-
ных перемещений узлов — 28. В узлах 1 и 8 вертикальные переме-
щения отсутствуют и принято лишь по два неизвестных: горизон-
тальное перемещение и угол поворота; в остальных узлах — по три
неизвестных перемещения. Структура матрицы R в блочной форме
имеет вид:
щих в связях соответствующих узлов. Блоки Ru и Res имеют вто-
рой порядок, остачьные— третий. Результаты расчета: перемещения,
эпюры изгибающих моментов и продольных сил показаны на
рис. 350 и 351.
§82. Использование сложных элементов основной
системы (суперэлементов)
Рассмотрим плоскую стержневую систему на
рис. 352, а. Наиболее естественным способом образова-
474
ния основной системы метода перемещений для нее бу-
дет введение во все узлы необходимых связей, как по-
казано для участка АВ на рис. 352,6. При этом в каче-
стве простейшего элемента основной системы использо-
ван одиночный стержень. Будем его называть элементом
нулевого уровня. Показанная на рис. 352, б основ-
ная система, таким образом, составлена из элементов
нулевого уровня.
Общий порядок системы уравнений можно сократить,
если принять в качестве основных неизвестных лишь пе-
ремещения опорных сечений системы в точках С, А, В и
т. д. Тогда в качестве «элемента» основной системы бу-
дет часть конструкции, заключенная между граничными
узлами, например Д и В. Такой более сложный элемент
назовем элементом следующего, 1-го уровня (рис. 352,в).
Очевидно, можно представить себе элементы 2-го
уровня, включающие элементы 1-го уровня, и т. д. Каж-
дый такой сложный элемент основной системы называ-
ют суперэлементом. Вводя суперэлемент более высокого
уровня, мы, естественно, понижаем порядок системы
уравнений, составленной в целом для конструкции, но
вычисление реакций на границах суперэлемента, т. е.
построение его матрицы жесткости, становится все более
сложным.
Действительно, если основная система составлена из
элементов нулевого уровня, т. е. из одиночных стержней
(см. рис. 352,6), то общее число неизвестных в расс.мат-
475
риваемой конструкции, имеющей 10 узлов, составит
3-10=30 и система уравнений будет иметь 30-й порядок.
При этом формируется она из известных матриц жест-
кости отдельных стержней по методике, описанной в пре-
дыдущих параграфах. Если же образуем основную систе-
му из суперэлементов типа показанных на рис. 352, в, то
число неизвестных в конструкции снизится до 4-3=12.
Однако матрицу жесткости для такого суперэлемента
придется строить отдельно с помощью специального
расчета, используя элементы нулевого уровня. Тогда из
матриц жесткости суперэлементов можно будет сфор-
мировать общую матрицу жесткости системы 12-го по-
рядка так же, как это делается и с элементами нулево-
го уровня.
У читателя может сложиться впечатление, что при
использовании ЭВМ разница в числе неизвестных 30 и 12
и их общее число настолько невелики, что нет смысла
вводить усложненные понятия суперэлементов. В дан-
ном примере читатель будет прав — этот пример взят
лишь для простоты и наглядности рассуждений. В расче-
тах сложных конструкций, например каркасов высотных
зданий или структурных конструкций, могут быть многие
сотни, а в ряде случаев и тысячи неизвестных. Поэтому
даже самые мощные вычислительные средства не всег-
да могут оперативно работать с общей матрицей жест-
кости такого порядка. В этом случае метод суперэлемен-
тов позволяет вести расчет сложной конструкции путем
деления ее на отдельные части (подструктуры) и объе-
динения или «сращивания» их в общий ансамбль как
ряд суперэлементов.
Рассмотрим методику построения матрицы жестко-
сти суперэлемента данного уровня с использованием эле-
ментов предыдущего уровня. Для этого вновь вернемся
к рис. 352. Вектор неизвестных Z подструктуры АВ разо-
бьем на две части (рис. 352,6):
(544)
где Zi — компоненты перемещений всех внутренних узлов подструк-
туры АВ; их рассматриваем как вспомогательные перемещения;
Zi — компоненты перемещений граничных узлов, в данном случае
состоящие из перемещений начального ZH и конечного сечений ZK;
это основные перемещения.
476
Если использовать подструктуру АВ как суперэле-
мент, то для него надо получить выражение реакций в
связях граничных узлов от смещений этих узлов Z2 и от
внешней нагрузки, непосредственно к нему приложен-
ной. На рис. 353 показаны составляющие этих реакций
Rh и RK, которые объединим в вектор R2:
Условия равновесия суперэлемента, несущего нагруз-
ку Р и получившего некоторые смещения граничных уз-
лов Z2, запишем, используя систему с элементами пре-
дыдущего уровня (см. рис. 352,6), в виде:
ги zi + ri2 Z2 + riP = 0; )
;	(546)
f21 Z1 + Г22 Z2 + r2P ~ ^2’ j
Здесь первая строка отрицает наличие реакций в услов-
но введенных связях по направлениям Zi, а вторая
выражает по принципу суперпозиции реакции R2 через
смещения всех узлов и нагрузку. Малыми буквами г1К,
Пр, г2Р обозначены матрицы, являющиеся блоками мат-
рицы жесткости подструктуры АВ, а также части грузо-
вого вектора гр, отвечающего общему вектору переме-
щений этой подструктуры:
. гр =
Н}.;£12
т21 22
Они строятся, как обычно, с помощью элементов нуле-
вого уровня (в данном случае это подчеркивается тем,
что в обозначениях использованы малые буквы).
477
Исключим из уравнений (546) вспомогательные пе-
ремещения «внутренних» узлов Z\. Из первой строки
найдем вектор Zy
+	(548)
и подставим его во вторую строку (546):
(г22 ~ r2i 'о’ гг2) ^2+ (r2P -r2i ru1 Пр) = К-
Более кратко это равенство, выражающее суммарные
реакции R2 в связях граничных узлов подструктуры АВ,
можно записать так:
^Zg -} Rp — 7?g
где
R Г22 r2t rll г12<
Rp = r2P r21 rn! rlpt
(549)
(550)
(551)
Здесь R — матрица жесткости суперэлемента первого
уровня, преобразующая вектор перемещений его гранич-
ных узлов Z2 в вектор упругих реакций RyDP , a Rp —
вектор грузовых реакций! в связях граничных узлов су-
перэлемента от приложенной к нему нагрузки.
Переход от элементов одного уровня к элементу сле-
дующего уровня математически был выполнен путем
применения одного шага блочного исключения неизвест-
ных Z\ из системы уравнений (546) (один шаг метода
Гаусса в блочной форме). Механический смысл этой про-
цедуры состоит в том, что мы освобождаем от связей все
промежуточные узлы подструктуры и делаем их пере-
мещения Z] линейно-зависимыми [см. (548)] от пере-
мещений граничных узлов Z2. Это и дает возможность
рассматривать подструктуру АВ как суперэлемент —
систему с уменьшенным числом степеней свободы (от Z
до Z2). Поэтому перемещения Z\ и называют вспомога-
тельными (или зависимыми) перемещениями.
Общая матрица жесткости всей конструкции форми-
руется из суперэлементов, как описано в § 80, когда в
качестве их матриц жесткости принимаются матрицы R
по (550), а грузовые векторы RP — по (551).
478
Ясно, что формулы перехода (550), (551) можно при-
менять неоднократно, получая тем самым суперэлемен-
ты все более высокого уровня. Поясним это примером.
Пусть требуется рассчитать перекрестную систему балок,
элементы которой работают на изгиб и кручение при
действии нагрузки, нормальной к плоскости системы
(рис. 354). Если нейтральный слой каждого стержня ле-
жит в общей срединной плоскости такой системы, то в
Рис. 354
каждом узле ее будем иметь по три независимых пере-
мещения— два угла поворота и вертикальный прогиб,
характеризующие изгиб системы из ее плоскости
(рис. 354, а).
Составим для подструктуры /, показанной на
рис. 354, б, уравнения (546) и исключим из них переме-
щения внутренних узлов Z{. По формулам (550), (551)
найдем матрицу жесткости и вектор грузовых реакций
суперэлемента первого уровня СЭ-1. Их порядок равен
числу компонент перемещений граничных узлов Z'.2 , в
данном случае 3-12=36, т. е. по указанным формулам
найдем
^(36 x 36) 1
(1X36)’
(552)
Далее вновь составляем систему уравнений (546)
для подструктуры П на рис. 354, в, используя при ее фор-
мировании матрицы (552) для внутренней части под-
479
структуры. Например, матрица Гц в этих уравнениях
будет
rn = R1 + гп >
где гц — матрица жесткости, построенная с учетом толь-
ко стержней, связывающих наружный контур с узлами
Z}1. В вектор Z}* входят лишь перемещения узлов, об-
веденных пунктиром и отмеченных жирными точками.
Вторичное применение формул перехода (550), (551)
дает матрицу жесткости и грузовой вектор СЭ-П, отве-
чающие новому вектору Z*1 60-го порядка:
Я’бОХбО)! ^(1Хбо,-	t553)
Процесс этот может быть продолжен. В общем случае
уравнения (546) и формулы (550), (551) позволяют «сра-
щивать» любые подструктуры, получая все более слож-
ные суперэлементы.
Теперь поясним заключительную часть расчетов с
применением суперэлементов. Пусть контур структуры
II является действительной границей нашей системы, на
которой расположены какие-то опорные связи*. Учтя их
в матрице R11 (см. § 80), получим систему уравнений
относительно Z”, решая которую, найдем 60 перемеще-
ний на контуре структуры. Возникает вопрос об опреде-
лении перемещений всех внутренних узлов, так как об-
щее число узловых перемещений в структуре II 3-6-6=
= 108.
Определение зависимых внутренних неизвестных Zi
по найденным граничным перемещениям Z2 в суперэле-
менте данного уровня может быть выполнено с помощью
соотношения (548). Следует только иметь в виду, что эти
соотношения придется применять столько раз, сколько
раз их использовали при образовании (синтезе) супер-
элементов, но в обратном порядке. Этот обратный про-
цесс можно условно назвать анализом суперэлементов.
При наличии достаточно обширной внешней памяти у
ЭВМ матрицы r^ris и векторы г^’пр, входящие в ука-
1 Все промежуточные опорные связи учитываются в процессе
образования суперэлементов при составлении соответствующих
уравнений (546).
480
занные соотношения, надо запомнить в процессе синте-
за суперэлементов. В противном случае эти соотношения
надо будет получать заново для каждого шага анализа
суперэлементов.
Рассмотренный на рис. 354 процесс синтеза суперэле-
ментов приводит к необходимости работать с матрицами
разных порядков на разных уровнях, что для организа-
ции вычислений не всегда удобно. На рис. 355
показана другая схема синтеза суперэлементов, ко-
торую условно можно назвать «одномерной». Здесь
развитие суперэлемента идет в одном направлении.
В частном случае, когда конструкция и опорные
закрепления в этом направлении регулярны, этот
процесс синтеза может быть резко ускорен путем
удвоения элемента, достигаемого сращиванием двух оди-
наковых элементов предыдущего уровня. На рис. 355 по-
казано, как за три шага такого процесса синтеза полу-
чен СЭ-Ш, имеющий «длину» 8 панелей. Очевидно, дли-
на суперэлемента в этом случае возрастает в геометри-
ческой прогрессии со знаменателем 2. Для того чтобы
сращиваемые «половины» были одинаковыми, все жест-
кости стержней на границах суперэлементов должны
быть приняты равными половине фактических, например
EJ/2.
Одномерный синтез суперэлементов может быть с ус-
пехом применен, например, в расчете каркаса высотного
здания, отдельные части которого могут состоять из по-
вторяющихся элементов, т. е. являются регулярными или
очень близкими к регулярным (рис. 356). Каждый супер-
элемент строится «наращиванием» этажей каркаса в пре-
делах регулярной части конструкции. В результате мат-
31—569
481
рица жесткости каждого суперэлемента будет отвечать
перемещениям узлов, расположенных в плоскости гра-
ничных (по высоте) перекрытий, например для СЭ-Ш
это векторы Z3 и Z4. Промежуточные перемещения бу-
дут исключены как зависимые. Принимая векторы пе-
ремещений на границах суперэлементов за основные не-
известные, получим систему уравнений для всей конст-
рукции:
/?12
Riz R&
fyu+l)
Rn<n—1) R
= 0.
Здесь общая матрица жесткости имеет блочную трех-
диагональную структуру, что удобно для решения систе-
мы уравнений. Блоки ее равно как и грузовые век-
торы Rip, строятся с использованием матриц жесткости
и грузовых векторов соответствующих суперэлементов.
Заметим, что в состав конструкции реальных зданий
входят, как правило, не только стержни, но и пластинча-
тые элементы. Расчет та-
ких пластинчато-стерж-
невых систем будет под-
робно рассмотрен во вто-
рой части курса. Но об-
щий подход к использова-
нию суперэлементов в ме-
тоде перемещений остает-
ся таким же.
Рис. 357
482
В заключение покажем, как с помощью понятия су-
перэлемента можно построить матрицу жесткости стерж-
ня, имеющего упругие прикрепления к узлам. Этот воп-
рос был решен в § 79 по методу сил. Схема такого стер-
жня была показана на рис. 337. Здесь на рис. 357, о да-
ется схема того же стержня, но с введением связей в
узлы н' и к', вектор перемещений которых примем за
вспомогательные перемещения Z\. Вектор Z2— это пере-
мещения узлов ник. Исключив Zi, по формулам (550),
(551) получим матрицу жесткости и грузовой вектор для
данного сложного стержня как для суперэлемента
(рис. 357,6). Покажем построение матриц, входящих в
правую часть указанных формул.
Обозначим матрицу жесткости и ее блоки для стерж-
ня н'—к? так:
(554)
Это есть, несколько в других обозначениях, известная
уже матрица (514), (515). Тогда
22	Г12	Г21
(555)
где kR и kK — диагональные матрицы коэффициентов же-
сткости упругих связей (см. § 79);
С1Н
С2Н
Сзн.
kn
—
С1К
С2К
СЗК.
(556)
Вектор fir в формуле (551) определяется в данном
случае в стержне н'—k' как в обычном стержне с жестко
закрепленными концами.
Глава XIII. СМЕШАННЫЙ МЕТОД
§ 83. Вводные замечания
В предыдущих двух главах изложены методы сил и
перемещений применительно к расчету стержневых си-
стем. В первом за основные неизвестные принимались
31
483
внутренние усилия Xi (лишние неизвестные), а во вто-
ром— независимые перемещения узлов системы Z,. Ли-
шние неизвестные Xi находились из уравнений совмест-
ности деформаций, каждое нз этих уравнений отрицало
обобщенное перемещение, соответствующее внутреннему
усилию Хг. Перемещения Zi определялись из уравнений
равновесия, отрицающих наличие реакций в дополни-
тельных связях, введенных в основной системе.
В смешанном методе за основные неизвестные прини-
маются частично внутренние усилия Xi, а частично —
перемещения Z3-. Соответственно механический смысл
одной части разрешающих уравнений будет состо-
ять в выражении условий совместности деформа-
ций, а другая часть будет представлять условия рав-
новесия.
Исторически возникновение смешанного метода было
связано главным образом со стремлением уменьшить
число основных неизвестных. В задачах расчета стерж-
невых систем это означает уменьшение числа линейных
алгебраических уравнений. Еще сравнительно недавно
это обстоятельство в основном определяло трудоемкость
расчета.
В настоящее время число уравнений, как правило, не
играет доминирующей роли в связи с возможностью ре-
шения алгебраических уравнений на ЭВМ по стандарт-
ным программам. Однако смешанный метод и теперь не
утратил своего значения, но его преимущества в боль-
шинстве случаев проявляются не только и не столько в
сокращении числа основных неизвестных.
По сравнению с методом сил смешанный методиног-
да дает возможность более просто составить (сформиро-
вать в памяти машины) разрешающие уравнения. По
сравнению с методом перемещений смешанный метод
имеет преимущество иногда в том, что он дает систему
уравнений, матрица коэффициентов которой будет луч-
ше обусловлена (см. § 50); следовательно, в случае
большого числа уравнений при прочих одинаковых ус-
ловиях повышается точность решения уравнений. Осо-
бенно он полезен в тех случаях, когда рассчитываемая
конструкция включает «нестандартные» элементы (на-
пример, стержни с криволинейной осью, переменным се-
чением и т.п.), соединенные с такой частью конструк-
ции, матрица жесткости для которой строится легко. Не-
которые преимущества смешанный метод обнаруживает
484
в ряде случаев при решении нелинейных задач и задач
устойчивости.
Недостатком смешанного метода является то, что при
построении программ автоматизированного расчета воз-
никают трудности построения логической части програм-
мы (в описании системы и выборе неизвестных). Неко-
торые общие соображения о построении такого алгорит-
ма, который допускал бы разветвления в применении
упомянутых трех методов, изложены в § 87. Кроме того,
матрица коэффициентов смешанного метода, как мы
сможем убедиться, несимметрична, и это затрудняет
компактную запись уравнений в памяти машины и при-
менение существующих программ решения уравнений
ленточной структуры с симметричной матрицей.
§ 84. Канонические уравнения
Составление уравнений смешанного метода рассмот-
рим на примере расчета плоской системы, изображенной
на рис. 358,а. Основная система показана на рис. 358,6,
где за неизвестные приняты реакции на левой опоре Хь
Xi и углы поворота узлов Z3, Z4 (соблюдаем единый по-
рядок нумерации всех неизвестных). Кратко уравнения
для определения неизвестных можно записать так:
Д£ = 0; Д2 = 0; Я3 = 0; Я4 = 0,	(557)
где первые два уравнения отрицают перемещения по на-
правлениям Xi и Х2, а вторые отрицают реакции в уз-
ловых угловых связях основной системы.
В развернутой форме эти уравнения по принципу су-
перпозиции запишутся в виде:
«11 \ + «12 *2 + «13 *3 + «14 Z4 + Д1₽ = °:
«21 Х1 + «22 *2 + «23 Z3 + «24 h +	= 0;
'31 *1 + '32 Х2 + 'зз Z3 + 'з4 h+ ^Р = °!
Г41 Х1 + Г42 Х2 + Г43 Z3 + Г44 Z4 +	~
В матричной форме эти же уравнения можно предста-
вить так:
Ар
.Rp.
(559)
485
где матрица D (матрица жесткости-податливости) в об-
щем случае имеет следующую структуру:
Aya': xz
Rzx: Rzz _
(560,
Здесь верхние блоки состоят из перемещений по на-
правлению лишних неизвестных Xi, определяемых в ос-
новной системе от единичных значений усилий Х{ (они
составляют блок Ахх) или от единичных перемещений
Zj (эти элементы составляют блок Axz). Аналогично
блоки Rzx и Rzz состоят из реакций в дополнительных
связях основной системы от единичных сил Xi и от еди-
ничных перемещений Zj.
Рис. 358
486
Рис. 359
На основании теоремы о взаимности реакций и пере-
мещений имеем соотношение
^ik=— Пи-	(561)
Это значит, что все элементы блоков AXz и Rzx, сим-
метрично расположенные относительно главной диаго-
нали, будут численно всегда равны, но противоположны
по знаку. Сами же блоки будут представлять взаимно
транспонированные матрицы
=— Rzx*	(562)
По этой причине матрица D смешанного метода в целом
несимметрична в отличие от матриц А и R методов сил
и перемещений.
Вычисление коэффициентов 6^ и уравнений (558)
поясним рис. 358,6 и 359, где изображены грузовая эпю-
ра МР и единичные состояния основной системы. Обра-
тим внимание на то, что в состоянии Z3=l при повороте
левого узла рамы на единичный угол примыкающие
стержни рамы деформируются и в них, как обычно в ме-
тоде перемещений, возникают изгибающие моменты Л43.
В то же время круговой консольный стержень переме-
щается как жесткое целое. Вертикальное перемещение
крайней точки представляет коэффициент б[3, при малом
угле поворота Z3 равный 2Z-1. Это перемещение поло-
487
жительно, так как совпадает с направлением Х1. Из вы-
резания узла в состоянии Xi = l по эпюре Mi найдем,
что реакция г31 равна (—21). Следовательно, в данном
случае 6i3=2Z; r3i ——21, что иллюстрирует общую за-
висимость (561).
Остальные элементы блоков Ахг и Z?zx в данном слу-
чае равны нулю: 6ц——Д[=0; 623=—/32=0; 624=
=—г42=0.
Элементы диагональных блоков Rzz и Ахх опреде-
ляются совершенно так же, как в методе перемещений
и методе сил соответственно.
Вырезая узлы, по эпюрам М3 и М4 найдем: r33=8i;
r44~12i; Гз4=Г4з=2г, где i=EJIl.
Элементы блока Ахх вычисляем с помощью интегра-
лов Мора:
Г Л4, ds /з
Ч.,П,
s
Зл Р
О
622 —
M2ds
л 73
J EJ
S
о
л
7И Л!	/3 Г	Z3
- * , 2 ds =— —- I (1 + cos 0) Sin Ode =— 2 — .
EJ	EJ J	EJ
s	0
Вычисления здесь проделаны в полярных координатах с
учетом того, что радиус R=l и ds=Rd6.
Грузовые коэффициенты найдем с использованием
эпюры Мр (см. рис. 358, б):
Л/2
612 —
С MpMi J
о
4 + л РР
cose)dO=-— — ;
МрМ$
----as =
EJ
о
Л/2
1 РР
sinOde=T—.
s	О
Вырезав узлы рамы в грузовом состоянии, найдем
R3p=Pl-, RiP=Q. Система уравнений (457) получит вид:
2 EJ ’
"Зл/2/2£ — 2/2/» • 21 0 '
—2Pli nPI2i ; 0 0
—2/	0	j 8г 2г
0	0	; 2i 12£_
Х2
Z3
.Zi.
(4+л)Р/?/4/'
PP/2i
Pl
О
488
Последовательно исключая неизвестные (в данном слу-
чае удобнее исключение вести снизу вверх), найдем:
Z1=0,5245P;	Х2=0,3495Р;	Z3=0,006389P///; Z4=
=—0,001065P//i.
Окончательная эпюра моментов строится на основа-
нии принципа суперпозиции по формуле
М = МР+Х,М. + Х M.+ Z М_+ Z.M..
Например, для криволинейного стержня это выражение
будет (моменты, растягивающие внутренние волокна,
приняты положительными)
М =— Pl cos 6 + 0.5245Р/ (1 + cos 6) — 0,3495P/sin 0; 0 < 0 < л/2.
Для	первое слагаемое надо отбросить.
Вид окончательной эпюры М изображен на рис. 358, а,
где обозначено т=Р//1000.
§85. Единая форма вычисления коэффициентов
уравнений
В предыдущем параграфе мы видели, что коэффици-
енты уравнений смешанного метода имеют различный
механический смысл: 6^ и — это перемещения, a rih
и Rip — реакции. Они образуют четыре блока общей
матрицы D и грузового вектора уравнения (559):
^ХХ ;4хХ
R-zx \Rzz
(563)
Элементы блоков Ахх и Rzz определяются так же,
как в методах сил и перемещений. Поэтому онн могут
быть выражены через внутренние силы с помощью ин-
тегралов
fyfe — I ГГ «8	,
J CJ
s
rift=J^rrfs+-
(564)
Точки здесь и далее заменяют слагаемые, выражающие
влияние всех других внутренних усилий.
Преимущество формул (564) состоит в том, что они
могут быть представлены и вычислены с помощью про-
изведения соответствующих матриц, что было показано в
§ 43. Поэтому аналогично матрице А (см. § 64), исполь-
зовавшейся в методе сил, для блоков Ахх и Rzz можно
489
написать равенства
А хх = Мх ВМХ +...; Rzz = Mz BMz-p...,	(565)
где Мх — матрица, строки которой состоят из ординат изгибающих
моментов в основной системе смешанного метода от единичных
значений лишних неизвестных Л\==1; MTZ —то же, но от единич-
ных значений перемещений Zj=l; В — матрица, составленная из
блоков, представляющих матрицы податливостей отдельных стерж-
ней системы (см. § 64).
Грузовые векторы ДР и RP в (559) также могут быть
выражены с помощью равенств, аналогичных (564):
Др = Мх ВМр +...; Rp ——MzBMp(566)
Вторая строка здесь в матричной форме представляет
формулу (480) метода перемещений, служащую для вы-
числения грузовых реакций с помощью «перемножения»
эпюр. Напомним, что в формуле (480) через М°Р обозна-
чалась эпюра моментов в основной системе метода сил
(с удаленной /-й связью, в которой вычисляется реакция
Rjp). Следовательно, в равенствах (566): Мр — вектор
моментов от нагрузки Р в основной системе смешанного
о;	h-pi 6)
Рис. 360
490
метода; МР —то же, в основной системе метода сил
(с удаленными связями, отвечающими всем перемеще-
ниям Zj).
Для примера на рис. 360 показаны заданная систе-
ма (а), основная система смешанного метода (б), эпю-
ры моментов от Z2=l, Z3=l, Xi=l и от нагрузки в ос-
новной системе смешанного метода (в) и, наконец, эпю-
ры моментов от нагрузки и от Xi=l в основной системе
метода сил (г). Последние отмечаются ноликом вверху.
Представляет интерес выразить и блоки Rzx и Axz
матрицы D в форме, аналогичной равенствам (565),
(566). Сделать это легко, так как Rzx состоит из реак-
ций в связях основной системы смешанного метода от
единичных значений лишних неизвестных. Если Xj=l
представить как «нагрузку», то блок Rzx можно найти
по формуле (566) для RP. В последней только надо мо-
менты от нагрузки М ^заменить на моменты Л4Х. Тогда
Rzx=-MTzBM°x-t-...;	=	(567)
где (Л/Х)т— матрица, аналогичная матрице /1®, но
строится она по эпюрам от Ai=l в основной системе ме-
тода сил.
Если букву М, обозначающую изгибающие моменты,
заменить на более общий символ S [любой силовой фак-
тор, входящий в формулы (565) — (567)], то основные
блоки матрицы D и грузового вектора (563)' уравнений
смешанного метода можно записать теперь на основании
указанных формул в виде:-
_	' (^х)т B$z
~ — S® BS^ '’ S® BSZ’’
_Sx_BSp
т ~*0
L—SzBSp
(568)
Естественно, что матрица податливости В отдельных
стержней берется соответствующей силовому фактору S.
Если учитываются несколько силовых факторов (напри-
мер, М, N и Q), то каждый из блоков (568) получается
как сумма величин, найденных от одного из силовых
факторов S.
В качестве примера приведем матрицы и векторы, вхо-
дящие в (568), для системы на рис. 360 применительно к
случаю S==M. Выпишем транспонированные векторы и
матрицы, составляемые по ординатам эпюр в концевых
491
сечениях 1, 2, 3, 4,..., 9, 10 стержней I, II,..., V системы:
М* = М {= [ О, О; I,
MTZ =
'Ml
Ml
2i, — 4t; О,
61	61
0;	0,	0;	0,	0;	0,	0	];
0;	3»,	0;	0,	0;	0,	0	1
31	3i	I.
0;	0,	0;	—,	0;	0,	—	•
I	I	J
Мтр = [	0,	0; — Pl, —Pl-, 0, 0; 0, 0; 0, 0 J;
(Л1°)т=[ — Pl, —Pl-, — Pl, —Pl-, 0, 0; 0,	0; 0,	0 ];
(Л^)т=[	21, I; I, 0; 0, 0; 0,	0; 0,	0 ];
1 гоп
_ ,.= z?v = —[t 2]#
Выполнив перемножение матриц согласно (568), най-
дем в данном примере матрицу D и грузовой вектор в
виде:
ГР/31 : —I — 11
о =
I ; 71	— 6Щ
1	61Ц 18// Р.
PP/2i
— Pl
О
Приведенная единая форма вычисления коэффициен-
тов уравнений смешанного метода (568) целесообразна,
если матричные произведения вычисляются на ЭВМ. Как
правило, это имеет смысл лишь при использовании ма-
лых вычислительных машин. В этом случае, в силу ма-
лой заполненности матрицы В, матричные произведения
следует вычислять по отдельным стержням, когда в па-
мяти машины работа ведется не с полной матрицей В,
а только с матрицами Bi, Ви,— и т. д. отдельных стерж-
ней. Подробнее это было описано в § 66 применительно
к методу сил (поэлементный подход).
§ 86. Особенности расчета симметричных систем
на несимметричные воздействия
В ряде случаев для ускорения расчета симметричных
систем бывает удобно расчленить все внешние воздейст-
вия на симметричную и антисимметричную составляю-
щие. При этом может оказаться, что на одну часть воз-
действия, например симметричную, проще применять
один метод расчета (как правило, это метод перемеще-
ний или смешанный метод), а на антисимметричное воз-
492
действие расчет проще произвести другим методом (на-
пример, методом сил). Указанный подход называют ком-
бинированным приемом расчета.
Поясним сказанное на примере системы, изображен-
ной на рис. 361, а. На рис. 361,6 показаны неизвестные
метода перемещений (без учета продольных деформаций
стержней), сгруппированные в симметричную (Zi, Z2) и
антисимметричную (Z3,.„, Z6) группы, а на рис. 361, в —
лишние неизвестные метода сил. Последние естествен-
ным образом делятся на симметричные (Хз,..., Х6) и ан-
тисимметричные (Xi, Хз). В табл. 7 указано распределе-
ние числа неизвестных для данной системы в зависимо-
сти от метода расчета. Из нее наглядно видно, что при
необходимости иметь наименьшее число неизвестных
следует расчет этой системы на любое симметричное воз-
действие проводить по метоцу перемещений, а на анти-
симметричное — по методу сил. В каждом случае будет
по два неизвестных.
Таблица 7
Неизвестные	Число неизвестных	
	метод перемещений	метод сил
Симметричные	: 2 j	4
Антисимметричные	4	: 2 !
Всего	6	6
493
Рис. 362
Легко сообразить, что если стержни верхнего этажа дан-
ной рамы имели бы полигональное или криволинейное
очертание, то на симметричное воздействие расчет целе-
сообразно было вести не по методу перемещений, а по
смешанному методу.
На рис. 362 показано разделение некоторой нагрузки
Pi и Р2 на симметричною и антисимметричную состав-
ляющие. Расчет на каждую из них часто бывает удобно
заменить расчетом половины рассматриваемой системы
(см. § 72). Надо только на оси симметрии обеспечить гра-
ничные условия, соответствующие симметричной (С)
или антисимметричной (ДС) деформациям. Так, на
рис. 362 в состоянии С на оси симметрии отброшены свя-
зи, воспринимающие поперечные силы Xi, Х2, в состоя-
нии АС, наоборот, сохранены связи, воспринимающие
Xi и Х2, а все остальные, «не работающие» в этом состоя-
нии связи, отброшены. Очевидно, что суммарное состоя-
ние левой половины системы может быть получено как
сумма состояний С и АС, а правой — как их разность,
что символически указано на рис. 362 в виде равенств.
Покажем на примере использование изложенного
приема (рис. 363). В заданной раме будем считать изгиб-
ную жесткость ригеля во много раз большей жесткости
стойки. Это позволяет принять £’/рИг=оо.
На рис. 363, а изображена половина рамы в антисим-
494
Рис. 363
495
метричном состоянии. Очевидно, она статически опреде-
лима и эпюра Мас строится без затруднений.
На рис. 363, б приведены этапы расчета по методу пе-
ремещений половины рамы в симметричном состоянии.
Благодаря тому, что Е/риг=°°, верхний узел не повора-
чивается, и для единственного неизвестного Zi имеем
уравнение; 7zZi-|-3P//32=0, откуда Zt=—Зт/i, где т =
=Pl/224\ i—EI/l. Эпюра Мс в симметричном состоянии
получается как сумма Mc=MP-}-Z\M\. Далее, складывая
и вычитая найденные эпюры Мс и Мас, строим суммар-
ную эпюру Л4сумм, выделенную на рис. 363 штриховкой.
На рис. 364 показана симметричная система, имею-
щая на оси симметрии стойку Здесь также возможно за-
дачу свести к двукратному расчету половины конструк-
ции вместо целой системы. В состоянии С средний узел
неподвижен, поэтому на оси симметрии ставится полная
заделка. В антисимметричном состоянии всей системы
стержень т—п можно представить как двойной, каждый
с половинной жесткостью EJ/2. Тогда при расчете по-
ловины системы в состоянии АС надо считать, что стой-
ка т—п имеет жесткость EJ/2. Суммарные изгибающие
моменты и поперечные силы в этом стержне будут рав-
ны удвоенным величинам в состоянии АС, а продольная
сила — той, которая найдена в состоянии С.
Если в симметричной системе строится линия влия-
ния от подвижной силы Р=1, то следует иметь в виду,
что при разложении этой силы на симметричную и анти-
симметричную составляющие каждая половина системы
загружается лишь силой Р[2. Таким образом, в состоя-
ниях С и АС линии влияния в полуконструкциях стро-
ятся от силы, равной V2, и затем эти линии влияния скла-
дываются и вычитаются, как это делалось выше с эпю-
рами моментов.
§87. Общие уравнения строительной механики
стержневых систем
Приведем краткий обзор основных уравнений напря-
женно-деформированного состояния стержневых систем,
а также вспомогательных соотношений, используемых в
расчетах по недеформированной схеме. Рассмотрим воз-
можные пути решения этих систем уравнений и их связь
с методами расчета линейно-упругих систем, изложен-
ными выше. Как и в § 44, рассмотрим вначале случай,
4М
когда на пространственную статически неопределимую
систему с жесткими узлами действуют заданные силы,
приложенные в ее узлах. В случае, если силы приложе-
ны вне узлов, они всегда могут быть приведены к узло-
вым с помощью грузовых эпюр в основной системе ме-
тода перемещений (см. табл. 6).
Аналогично § 44 будем использовать следующие обо-
значения
Р
' Nt '
гР  I
РХ}
PV1-
Mxj
LMzj J
&x}
<l>xj
<Pyi
L <Pz7 J
St =
&Lt~
%
vl .
Vy
Vn<
y".
•ф _
(569)
Bi =
EFt
Lt
GJdi
Lt
В .= a’ "
W 6Е.Гп
2
—1
2
—1
—q
2]’
—ri
2Г
(570)
B^i
zj ~
е.! =
~ L

где Pi — вектор внешних сил, приложенных к /-му узлу; Z, — век-
тор перемещений узла j; St — вектор внутренних усилий, действу-
ющих в i-м стержне; е< — вектор деформаций i-го стержня; Bi —
матрица податливости i-го стержня.
По аналогии с механикой деформируемых тел будем
считать основными уравнениями уравнения равновесия
узлов AS=P и геометрические уравнения e=ATZ, доба-
вив к ним, как и в теории упругости, уравнения закона
Гука e—BS, где В — блочная диагональная матрица по-
датливостей элементов, состоящая из блоков Вр Послед-
ние, в свою очередь, почти диагональны и состоят из по-
датливостей на растяжение LilEFi, кручение LilGJ^t и
блоков вида (570), характеризующих податливости на
изгиб. Уравнения закона Гука могут быть записаны и в
обратной форме S—De, где в отличие от предыдущих
параграфов через D обозначена матрица жесткостей эле-
ментов, состоящая из блоков D^B^—Ri-
32—569
497
В качестве вспомогательных зависимостей будем рас*
сматривать зависимости (223), (224) между базисами
сил, действующих на систему {е,} и на ее элементы {е^},
и соответствующими базисами перемещений, а также
формулы определения перемещений по Мору Д=Лте, где
L — матрица влияния внутренних сил, которая состав-
ляется обычно для статически определимой системы.
Запишем эти соотношения и основные уравнения в
табл. 8, добавив к ним уравнения неразрывности дефор-
маций, о которых будет сказано ниже.
Таблица 8
Вспомогательные зависимости
Связь между базисами
{ е* } = Лт { ej
{ ег-} = А { е* }
Основные уравнения
Уравнения равновесия
AS = Р (I)
Геометрические уравнения
1=/TZ (II)
Формула Мора
—*	J-*
А = £ е
где L находим из равенства
S = LP
Зависимости Гука
1 = BS: ~S = De (III)
Уравнения неразрывности дефор-
маций
Lx1 = О (IV)
Совместное решение уравнений (I) — (III) при задан-
ном векторе Р можно производить различными способа-
ми, из которых вытекают, в частности, канонические
уравнения строительной механики.
Естественно получаются из (I) — (III) уравнения ме-
тода перемещений. Подставляя (II) в (III) и результат
в (I), получаем уравнения равновесия в перемещениях
ADA'Z = P.	(571)
Порядок п матрицы жесткости системы P=ADA'* 1 равен
n=6k, где k — число узлов.
498
При составлении матрицы Ат можно использовать
вспомогательную зависимость между силовыми базисами
[е". }=Дт{е,} (см.§44). Решая систему (571), получим Z
и затем, согласно (Н), (Ш), векторы е и S.
На использовании уравнений неразрывности дефор-
маций системы использован метод сил.
Обозначим через т число независимых неизвестных
усилий m=6s, где s — число стержней. Отбросив 1=т—
—n=6(s—k) связей, можно получить статически опреде-
лимую систему и составить матрицу влияния усилий Lx
от сил в отброшенных связях. Перемещения заданной
системы по направлению отброшенных связей должны
быть нулевыми. Согласно методу Мора, это условие за-
писывается в виде:
ьГё. = 0.	(572)
В гл. XI это условие записывалось в виде деформаци-
онной проверки	где вектор BS является векто-
ром деформаций элементов е.
Равенство (572) справедливо и при i<Zm—п, но в
этом случае сложнее определять матрицу Lx.
Уравнения равновесия (I) имеют прямоугольную мат-
рицу порядка {пХт}. Допустим, что произведена пере-
нумерация неизвестных так, что усилия в разрезанных
связях записаны в векторе S на последнем месте. Сис-
тему (I) можно записать в блочной форме:
= Р.	(573)
Положив Х=0, необходимо решить систему порядка
п—6k с матрицей До и получить вектор S°. Далее пола-
гаем Р—0, Х,= 1 (i=l, 2,..., т—п) и находим аналогично
соответствующие столбцы матрицы Lx.
Вектор S представляем в виде:
S = Sp+Z.xX,	(574)
соответствующий вектор деформаций е — в виде е==
=BS°+BLxX и, используя уравнения неразрывности
(572), получим канонические уравнения метода сил
32’	4W
[ЛОЛХ]
X
LxBSp — O.
(575)
В качестве неизвестных X можно принимать и линейные
комбинации усилий, т. е. представлять общее решение
системы (I) в виде (574), где S°— некоторое частное ре-
шение системы (J), а матрица Lx состоит из т—п ли-
нейно-независимых решений однородной системы AS=0.
Отсюда видно, что в общем случае такой вариант ре-
шения задачи не является конкурентоспособным методу
перемещений, так как при составлении системы (575) при-
ходится разыскивать несколько решений системы урав-
нений равновесия того же порядка n=6fe, что и в методе
перемещений (571). Причем матрица системы (571) сим-
метричная и положительно определенная, тогда как мат-
рица Ао несимметрична. Широкое распространение мето-
да сил при ручном счете объясняется тем, что удается
выбрать основную систему таким образом, что матрица
До получается треугольного вида:
х
или вида, близкого к треугольному, с заведомо ненуле-
вым определителем. Например, вырезая последователь-
но узлы плоской консольной фермы или применяя метод
сечений в виде способа моментной точки, мы освобож-
даемся от решения обширной системы уравнений с мат-
рицей До или легко решаем ее, используя свойства тре-
угольной матрицы. Но нелегко составить для ЭВМ. про-
грамму достаточно общего вида с автоматическим
выделением из матрицы А квадратной неособенной тре-
угольной (или близкой к ней) матрицы. Алгоритм состав-
ления уравнений (575) получается более сложным, чем
алгоритм получения уравнений (571). Поэтому в настоя-
щее время при расчетах на ЭВМ чаще используется ме-
тод перемещений.
Из уравнений (I)—(III) можно получить систему
смешанного метода, в которой неизвестным будет век-
тор, состоящий из двух векторов S и Z. Подставляя (III)
500
в (II) и записывая это уравнение совместно с (I), по-
лучим
В —Лт I S
И О J £
(576)
Опуская здесь доказательство невырожденности матри-
цы системы (576), заметим, что порядок этой обширной
системы равен m+n==G(s^-k) [это доказательство за-
ключается по существу в возможности получения из си-
стемы (576) единственным путем системы (571) с поло-
жительно определенной матрицей].
Решая систему (576), получаем одновременно и уси-
лия, и перемещения заданной системы.
Такой вариант смешанного метода отличается от рас-
смотренного в § 84, 85. Формирование матрицы системы
(576) легко автоматизируется, но для ее решения необ-
ходимы ЭВМ большой мощности.
Наиболее общей точкой зрения на расчет стержневой
системы является следующая: для выполнения расчета
необходимо решить совместно уравнения (I), (II), (III)
(см. табл. 8) для заданной упругой стержневой системы
при заданных условиях ее закрепления и нагружениях,
т. е. заданных нагрузках или перемещениях (нетрудно в
эти уравнения ввести и слагаемые, зависящие от измене-
ния температуры).
Алгоритм расчета может быть выбран в зависимости
от конкретных свойств системы и мощности вычислитель-
ной техники, используемой в расчете.
Более детально эти вопросы будут обсуждаться во
второй части курса.
Приложение. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАЛЬКУЛЯТОРОВ И ЭВМ
При расчете сложных статически неопределимых систем исполь-
зуются ЭВМ. Если система ие очень сложная, то расчет можно про-
водить с применением средств малой механизации. В настоящее
время все более широкое распространение получили карманные
калькуляторы. Покажем некоторые приемы, удобные при выполне-
нии арифметических операций в матричной форме.
При умножении матрицы на число, если вычислительное сред-
ство имеет хотя бы одну ячейку памяти, удобно поместить в нее
множитель и далее для выполнения процесса умножения вызывать
его, а не набирать каждый раз вновь. Операция перемножения мат-
501
риц сводится к перемножению строк одной матрицы на столбцы
другой, т. е. к вычислению скалярного произведения двух векторов,
причем координатами одного вектора являются элементы строки
первой матрицы, а второго — элементы столбца второй матрицы:

— aii &1J "4" °i2	4* • • • atn &nj‘
(1)
При вычислении суммы произведений (1) удобно использовать про-
цесс накопления, т. е. после окончания операции умножения не
сбрасывать результат, а оставлять его на сумматоре с тем, чтобы
следующее произведение прибавлялось к предыдущему. Можно про-
цесс накопления вести с помощью ячейки памяти. При выполнении
операции накопления можно учитывать разные знаки у членов сум-
мы (1). Эту операцию неудобно проводить с применением логариф-
мической линейки, так как при этом нельзя использовать процесс
накопления. Для операции накопления нужна либо ячейка памяти,
либо запоминающий регистр. Поэтому при работе с матрицами
вручную необходимо использовать арифмометры, настольные кла-
вишные машины или калькуляторы. Приведем пример:
1,3872 —3	4,371"
5,68	1,7841 —3,06
4,9	—7,368	1,875
'—28,1194
=	46,9106
—28,7778
' 4,371 —6,354 "
5,8431 —0,187
—3,81	3,5611,
7,3123"
—47,3213 .
—23,0797
Если вычислительное средство имеет ячейки памяти, число которых
ие меньше числа столбцов первой матрицы, то в эти ячейки удобно
поместить сначала элементы первой строки этой матрицы и для по-
лучения строки матрицы произведения пользоваться номерами
ячеек; далее в эти ячейки поместить элементы второй строки первой
матрицы и т. д.
Остановимся на решении систем линейных уравнений, которые
часто встречаются в строительной механике. Для их решения широ-
кое распространение получил метод исключения Гаусса. Итак, пред-
положим, что необходимо решить систему линейных уравнений:
°11^1 4"	4* 013-^3 —
^21-^14“ ^22-^2 4- П23Х3 ~ ^24>
^ЗТ^1 4“ HggXg 4- П33Х3 — Й34.
(2)
Будем рассматривать три уравнения, но совершенно аналогично
проводятся выкладки и при большем числе уравнений. Поделим
первое уравнение на Он. Далее с помощью полученного уравнения
исключим неизвестное Xj из второго и третьего уравнений. Для
исключения X] из второго уравнения умножим преобразованное
первое уравнение на ац и вычтем из второго. Аналогично для ис-
ключения Xi из третьего уравнения умножим преобразованное пер-
502
вое уравнение на а31 и вычтем из третьего.
Х2 + «11		«13 v Й11	_«14 . «11			
(	ait \	1 1 «22	 «21	1 Xg 4“ 1 \	«И /	\	йгз —	ЕиЛ V «21	 Хд «11 /	= ^«24 	«21	«ц\ «11 /		(3)
(«32 — й3) ~ ' Х2 + 1 \ «11 /	азз —	„	«!< ( у «31	) Х3 ай /	— ^°34 — «31	«14 «И/		
Введем обозначения:						
«12 —	«12 . «и	’	«13 °13 “ „ :	»	«14 Я14 ~	• "11			(4)
Перепишем систему	(3),	обозначив	коэффициенты и		свободные	
члены двух ее последних уравнений буквами Ь:
4~ «12 -^2 4~ «13	= «14*
dggXg 4“ ^23X3 — ^24»
&32^2 4~ Й33Х3 = 634.
Далее с помощью в.орого уравнения исключим неизвестное Х2 из
третьего уравнения. Производя эту операцию, деля последнее урав-
нение на коэффициент при Х3 и вводя обозначения, аналогичные
(4), получим
•Х1 4“ «12	4~ «13 Х3 = «14>‘
^2 4* &23 *3 — i>24'
*3 = с34-
(5)
Приведенный процесс исключения носит название прямого хода
по Гауссу. Процесс решения системы уравнений (5) носит название
обратного хода по Гауссу. Итак:
^з ~ «34^
•Хг ~ ^24 — &23 Х3;
(6)
Xj — а14 — «1з Х3 — а12 Х2.
Описанный процесс решения системы линейных уравнений не
всегда применим, так как элемент, расположенный на главной диа-
гонали, может оказаться равным нулю и будет невозможно про-
извести операцию деления. В этом случае используется процесс
исключения то Гауссу с выбором главного элемента. Его идея со-
стоит в том, что на каждом шаге в строке, с помощью которой
производится исключение, отыскивается наибольший по модулю
элемент и из последующих уравнений исключаются неизвестные, со-
ответствующие этому наибольшему элементу.
Помимо процесса исключения по Гауссу, при решении систем
линейных уравнений применяется процесс исключения по Жордану,
503
когда исключение производится как из последующих уравнений,
так и из предыдущих. Обратного хода при этом не требуется.
Остановимся далее на компактной схеме решения систем линей-
ных уравнений по Гауссу. В описании компактной схемы будем
следовать книге [6]. Из этой же книги взят приведенный ниже
пример. Рассмотрим вариант метода Гаусса, несколько отличный
от приведенного выше В качестве примера рассмотрим систему
четырех линейных уравнений:
аИ X-i + 012 -^2 + fl13 Х3 + й14 -^4 = fl15;
fl21 Xf + fl22 X2 + «23 X3 -|- C24 X4 =
fl3i Xi + o32 X2 + a3a X3 -j- c34 X4 = a36;
fl4i Xi + Й42 X2 + fl43 X3 + a4i Xi = a43.
(7)
Определим Xi нз первого уравнения системы (7):
1
Xi =	(— fli2 Х2 — Oi3 Х3 — Oi4X4-|-Oi!)).
flii
Далее подставим это значение Х[ во второе, третье и четвертое
уравнения системы (7):
Oil Xi
+ «и Х2 + Си Х3 + С14 Х4 = с16
O21
Oil
O31
0]1
O41
Оц
+ fo23 —	O13 j Х3 4
\ Оц /
v ___ a2i
Л4 — О26--- fli6
Оц
цз1 1 v . [	O31 )v I
O32 —	O12 I Л2 “Г I O33 —	01з |Л3 -j-
. Оц /	\ Оц )
. I	а31	A v   О 31
Т I O34 —	014 I Л4 — а35 —
\	Оц	/	Оц
^-о13)х34
Оц /
. _	a4i
4 — а45	°16-
Оц
021 A v
О22 —	012 1^2
. Оц /
I I	021
+ Р24 —	014
\	Оц
Й31 А ..
011
°41	) V I /
O42 —	012 I Л2 “Г I O43
. Оц ]
I (	а41 „
+ O44 —	014
\	Оц
(8)
Отчеркнем первую строку горизонтальной чертой, а в первый стол-
бец (который освободился за счет исключения Х| из второго, треть-
его и четвертого уравнений) вписываем последовательно его эле-
менты, поделенные на коэффициент йп. Далее отчеркнем этот стол-
бец. Назовем систему, полученную после исключения (в которую
входят Х2, Хз, Х4), новой системой. Сформулируем правило полу-
чения коэффициентов этой новой системы (это правило носит наз-
вание карандашного правила). Для получения коэффициентов но-
вой системы надо взять их старые значения и вычесть из них про-
изведение отчеркнутых коэффициентов, расположенных в строке и
столбце, соответствующих искомому коэффициенту. Обозначим ко-
504
эффициенты н свободные члены новой системы буквами Ь:
^22 Х2 + &23 -^зЧ- ^24 Х4 = 625!
^32 Х2 -| Ьдз Х3 Ч- Ьз4 Хд = Ь33,
^42 ^2 Ч" £>43 *3 Ч" Ьдд Хд = Ьд5.
(9)
Очевидно, что Х2 может быть исключено нз последних двух урав-
нений системы (9) по приведенному выше правилу:
Ъ22 Х21 -|-	fc23 Х3 +	Ь2д -^д = Ь25
V" l^—^-b2S}xs + (bSi-^-b2i]xi=b32--^-b25
"22	\	"22	)	\	"22	/	"22	(10)
/	fc4'2	, \v , I.	bi2	, A у	_h	bi2
.	(«43—	,	«23 I A 3 T I «44—	,	«24 I Ад	“«45- ,	«2Б-
®22	\	^22	/	X	®22	/	^22
Обозначим коэффициенты и свободные члены новой системы (10)
буквой с:
«33 ^ЧЧ- «34 Хд = С35;
«43 *3 4“ «дд Хд = £45.
(11)
Используя далее то же правило, будем иметь:
«33 Х3	+	«34 -^4 — «35
«43	^«44 —	«43	v	«43
		«34 I Л4 «45	«35*
«33		«33	/	«33
(12)
Обозначим коэффициент и свободный член новой системы, состоя-
щей из одного уравнения, буквой d: ditXt=di5. Собирая очеркнутые
строки, получим
«11 %i Ч- «12 %2 Ч~ «1з %з +" «1д -^д = «is!
622 %2 + ^23 Х3 + b2i Л4 = b2t
«зз Х3 + С34 Х4 = С35;
^44 Х4 — dis.
(13)
Этот процесс аналогично описанному выше носит название пря-
мого хода по Гауссу. Проводя обратный ход, можно определить
значения неизвестных Х4, Х3, Х2, Хь
При использовании описанного выше очевидного процесса при-
ходится многократно переписывать систему уравнений. Покажем,
как избежать этой операции, используя обобщенное карандашное
правило. Для пояснения обобщенного правила соберем коэффици-
енты всех приведенных выше преобразованных систем в табл. 1.
Рассмотрим, например, получение коэффициента С34 [см. сис-
темы (11) и (10)]:
,	1^32 .	/1
«34 = ^34— .	^24>	(1’1
"22
505
Таблица 1
Он	°12	0)3	014	015
о 21 «И	^22	^23	^24	^25
а31 Оц	^32 &22	с33	С31	С36
О 41 Оц	р42 ^22	643 с33	^44	^45
С другой стороны [см. системы (9) и (8)],
,	С31
^34— °34---	°14-	(*5)
а11
Подставляя (15) в (14), получим:
TJ31	^32
с34 = °34 — aU — ~7	^24 •	(16)
О41	О22
Элементы верхнеугольной матрицы, получающиеся после пря-
мого хода по Гауссу, отчеркнуты в табл. 1 ступенчатой линией.
Для вычисления коэффициентов второй и последующих строк мо-
гут быть использованы выражения, аналогичные (16). При вычисле-
нии коэффициентов используются элементы строки, в которой на-
ходится отыскиваемый коэффициент, стоящие слева от ступенчатой
линии, и элементы столбца, расположенные выше отыскиваемого
коэффициента. Итак, сформулируем обобщенное карандашное пра-
вило: для получения коэффициентов верхнетреугольной матрицы
необходимо мысленно провести горизонтальную черту, отчеркнув
ею элементы, стоящие в строках выше отыскиваемого коэффициен-
та; аналогично провести вертикальную черту, отчеркнув элементы,
стоящие слева от диагонального элемента, расположенного в одной
строке с отыскиваемым элементом; далее из старого значения вы-
честь произведение строки, соотзетствующей отыскиваемому элемен-
ту, расположенной слева от вертикальной черты, на столбец, стоя-
щий выше отыскиваемого элемента. При вычислении этого произ-
ведения может быть использован процесс накопления, который
освобождает от промежуточных записей.
Для пояснения приведем пример. Пуст! необходимо решить
систему уравнений
Л\ + 2Х2 + ЗХ3. + 4Х4 = 30;
+ 4Х2 + Х3 + 2Х4 = 20;
3Xj + 7Х2 + 12Х3 + 10Х4 = 93;
2X1 + 4Х2 + 10Х3 + 2Х4 = 48.
SM
Таблица 2
№	1	2	3	4	s	Правая часть	X
1	I	2	3	4	10	30	
2	1	4	1	2	8	20	
3	3	7	12	10	32	93	
4	2	4	10	2	18	48	
1	I	2	3	4	10	30	1
2	1	2	—2	—2	—2	—10	2
3	3	0,5	4	-1	3	8	3
4	2	0	1	-5	—5	-20	4
Все вычисления будем проводить в табличной форме (табл. 2).
Сначала запишем коэффициенты исходной системы, затем преоб-
разованной. Для контроля введена колонка контрольной суммы
2. В эту колонку первоначально записывается сумма элементов пер-
вой строки, и дальнейшие преобразования этой колонки проводят-
ся по обобщенному правилу. Далее сумма элементов, стоящих
справа от главной диагонали, должна быть равна элементу, стоя-
щему в колонке 2.
В строительной механике часто встречаются системы линейных
уравнений с симметричной матрицей А. В этом случае ац—ац. Из
формул для коэффициентов преобразованных систем (8), (10) сле-
дует, что симметричной будет не только матрица коэффициентов
исходной системы, но и матрицы коэффициентов всех новых систем,
полученных из исходной путем исключения неизвестных. В этом
случае по обобщенному правилу необходимо отыскивать только
элементы, стоящие в строке. Элементы столбца получаются путем
деления элементов строки на диагональный элемент. Приведем при-
мер (табл. 3).
Если необходимо решить систему уравнений с несколькими
правыми частями, то таблица будет иметь столько столбцов правых
частей, сколько их задано.
При обращении матриц может быть использован процесс ре-
шения систем уравнений ней правыми частями. Итак, по опреде-
лению
А-В=Е, если В = А—*,
(1 7)
Й11 й12   • Й1П
Я21 а22 • • • а2П
Ьц bi2 • • • bfn
62t Ь22 - . .
_ аП1 аП2 • • • ипп
bnl br’2 • • • bnn __
507
Таблица 3
№	1	2	3	4	S	Правая часть	X
1	2	4	4	8	18	28	
2	4	10	10	20	44	66	
3	4	10	12	24	50	72	
4	8	20	24	52	104	148	
1	2	4	4	8	18	28	4
2	2	2	2	4	8	10	2
3	2	1	2	4	6	6	1
4	4	2	2	4	4	4	1
Даны элементы матрицы А (йо). Требуется определить элементы
матрицы	Если умножить матрицу А на первый столбец
матрицы В, то вследствие равенства (17) мы должны получить
первый столбец единичной матрицы Е:
(18)
508
Но выражение (18) представляет собой систему линейных уравне-
ний с матрицей Л, столбцом неизвестных, соответствующих первому
столбцу В, н столбцом свободных членов, соответствующих первому
столбцу единичной матрицы. Решая систему (18), получим первый
столбец обратной матрицы. Очевидно, что для нахождения второго
столбца необходимо решить ту же систему, но в качестве столбца
свободных членов использовать второй столбец единичной матрицы
н т. д. Таким образом, для нахождения обратной матрицы необхо-
димо решить систему уравнений с п столбцами свободных членов
(в качестве столбцов свободных членов при этом используются
столбцы единичной матрицы). Приведем пример (табл. 4).
Матрицы являются удобным аппаратом для записи алгоритмов
строительной механики и их осмысливания. Однако часто матрицы
имеют большое число нулей, что загромождает память ЭВМ и за-
медляет счет. Одним из путей преодоления этого обстоятельства
является представление матриц в блочной форме и дальнейшее вы-
брасывание из процесса счета работы с нулевыми блоками. Иногда
можно использовать регулярность расположения элементов, отлич-
ных от нуля в полной матрице. Так, например диагональную матри-
цу (или квазнднагональную) можно хранить в виде столбца (нли
группы столбцов). При операциях над такими матрицами необхо-
димо использовать специальные матричные программы. При хаоти-
ческом расположении элементов и большом числе нулей (матрица
почти нулевая) иногда приходится вовсе отказаться от использова-
ния матричных операций. Вопрос об использовании матриц в каж-
дом конкретном случае решается индивидуально. Подчеркнем еще
раз, что нспользованне матричных операций облегчает процесс про-
граммирования, но, однако, эти программы не всегда могут быть
оптимальными.
Далее остановимся на вопросах решения систем линейных урав-
нений с использованием ЭВМ. Наиболее распространенным методом
является метод Гаусса. Если матрица системы произвольная и в
процессе исключения по Гауссу диагональный элемент может ока-
заться равным нулю, используется метод Гаусса с выбором главно-
го элемента. В строительной механике часто встречаются системы
линейных уравнений с ленточными или ленточными окаймленными
матрицами, т. е. такими, когда элементы, отличные от нуля, груп-
пируются около главной диагонали или расположены в конце мат-
рицы в виде нескольких столбцов. В таких матрицах при исключе-
нии по Гауссу не возникает элементов, отличных от нуля, вне ленты
и окаймления. Поэтому при решении систем линейных уравнений
в памяти ЭВМ можно отводить место только для этой части матри-
цы. При решении задач по методу сил или перемещений матрицы
систем линейных уравнений являются симметричными. При этом в
памяти ЭВМ можно хранить только элементы, стоящие на главной
диагонали и выше ее. Если в процессе решения системы требуется
элемент, расположенный ниже главной диагонали, то используется
симметричный ему элемент, расположенный выше главной диагона-
ли. Процесс программирования прн этом несколько усложняется,
однако это оправдывается благодаря более оптимальному расходо-
ванию памяти ЭВМ.
Прн решении больших систем уравнений их коэффициенты не
могут быть все расположены в оперативной памяти, и процесс по-
строения матрицы коэффициентов системы линейных уравнений
осуществляется во внешней памяти. Далее вся матрица коэффици-
509
ентов делится на порции, размер которых не должен превышать сво-
бодного поля оперативной памяти ЭВМ, и процесс исключения про-
изводится в пределах порции, после чего преобразованная часть
вновь высылается во внешнюю память, а на ее место вызывается
следующая пэрция и т. д. Процесс организации обмена с внешней
памятью является важнейшим при работе с матрицами высокого
порядка, и от его организации в сильной степени зависят время и
обьем решаемой задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной меха-
нике. М., Стройнздат, 1965.
2.	Дарков А. В., Клейн Г. К., Кузнецов В. И и др. Под ред.
А. В. Даркова. Строительная механика. М., Высшая школа,
1976.
3.	Киселев В. А. Строительная механика. М., Стройиздат,
1976.
За. Лащеников Б. Я. Строительная механика (лекции для сту-
дентов строительных специальностей). Ч. I. М., 1973.
4.	Масленников А. М. Расчет статически неопределимых си-
стем в матричной форме. Л., Стройиздат, 1970.
5.	Митропольский М. Н. Применение теории матриц к реше-
нию задач строительной механики. М„ Высшая школа, 1969.
6.	Нарец Л. К. Расчет статически неопределимых систем на
малых вычислительных машинах. М., Гос. изд-во лит. по
стр-ву и архит., 1958.
7.	Прокофьев К. Н. О собственных параметрах стержневых
систем строительной механики. — Тр МАДИ, 1977, вып. 134
8	Рабинович И. М. Курс строительной механики. Ч. II. М.,
Гос. изд-во лит-ры по стр-ву и архит., 1954.
9.	Резников Р. А. Решение задач строительной механики на
ЭВМ, 2-е изд. М., Стройиздат, 1971.
10.	Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных
элементов Л , изд. ЛГУ, 1976.
11.	Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапошников Н. Н.,
Лащеников Б. Я. Расчет сооружений с применением вычис-
лительных машин. М., Изд-во лит-ры по стр-ву, 1964.
12.	Смирнов А. Ф., Александров А. В„ Монахов Н. И. и др.
Сопротнв пение материалов. М., Высшая школа, 1975.
13.	Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н.,
Смирнов В. А. Под ред. А. Ф. Смирнова. Методы расчета
стержневых систем, пластин и оболочек с использованием
ЭВМ. Ч. I М. Стройиздат, 1976.
14.	Фадеев Д. К., Фаддева В. Н. Вычислительные методы ли-
нейной алгебры. М„ Физматгиз, 1965.
15.	Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем и неко-
торые элементы использования ЭЦВМ. Л. — М., Стройиз-
дат, 1966.
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
Предисловие ............................................ ......	3
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ СООРУЖЕНИЙ
В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ .......................................... 5
Глава 1. Сооружения и действующие на них нагрузки	.	.	5
§ 1.	Общие замечания...........................................    5
§ 2.	Виды сооружений и их особенности ......	6
§ 3.	Виды нагрузок и других воздействий.......................... 13
§ 4.	Реальное сооружение и его расчетная схема .....	16
§ 5.	Современные подходы к расчету сооружений	,	.	21
§ 6.	Развитие методов расчета сооружений ......	24
Глава II Анализ образования стержневых систем и их виды	»	•	28
§ 7.	Основные положения.........................................  28
§ 8.	Геометрический анализ образования стержневых систем	.	.	29
§ 9.	Виды стержневых систем.......................................46
Глава III. Линейные преобразования и матрицы в строительной
механике.......................................................... 55
§ 10.	Принцип возможных перемещений в задачах определения уси-
лий в статически определимых системах...........................55
§ 11.	Основные понятия о применении методов линейной алгебры в
задачах строительной механики...................................64
§ 12.	Базисные силы. Изменение базиса............................ 81
§ 13.	Обобщенные перемещения. Их преобразование при изменении
базиса........................................................  90
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ......................................................... 98
Глава IV. Определение внутренних сил при неподвижной нагрузке 98
§ 14. Определение внутренних сил в статически определимых системах
при неподвижной нагрузке. Балочные системы, простейшие ра-
мы и фермы ................................................ 98
§ 15.	Метод замены связей......................................	105
§ 16.	Система уравнений равновесия узлов и стержней ,	.	,	.	111
§ 17.	Кинематический метод определения усилий .....	113
§ 18.	Понятие об анализе загружений систем......................  118
Глава V. Определение внутренних сил при подвижен нагрузке .	120
§ 19.	Огибающие эпюры и линии влияния ....	.	120
§ 20.	Линии влияния усилий в простых балках .	.	.	125
§ 21.	Построение линий влияния прн узловой передаче нагрузки .	127
§ 22.	Построение линий влияния методом замены связей	.	.	.	132
§ 23.	Связь понятий матрицы влияния и линии влияния	.	.	.	134
§ 24.	Кинематический метод построения линий влияния	.	,	.	136
§ 25.	Загружение линий влияния неподвижной нагрузкой	.	.	,	139
§ 26.	Загружение линий влияния подвижной нагрузкой ...	141
Глава VI. Расчет статически определимых ферм .....	145
§ 27.	Выбор расчетной схемы фермы .	.	.	.	«	.	.	145
§ 28.	Система уравнений равновесия фермы ......	151
§ 29.	Аналитический анализ образования ферм ......	156
§ 30.	Анализ напряженного состояния ферм прн неподвижной
нагрузке .	..................................... 162
§ 31.	Линин влияния усилий в фермах.............................  171
§ 32.	Понятие о расчете ферм с использованием преобразования
нагрузки............................................ 178
Глава VII. Распорные системы .......	182
§ 33.	Трехшарнирные арки и рамы........................  182
§ 34.	Определение усилий в трехшаринрных системах при неподвиж-
ной нагрузке...........................................  186
§ 35.	Рациональное	очертание	арки........................189
§ 36.	Построение линий влияния усилий в трех шарнирных рамах и
арках................................................... 194
§ 37.	Понятие о расчете	арочных	ферм .......	198
Глава VIII. Определение перемещений по методу Мора ,	.	.	201
§ 38.	Вводные замечания .	....»••«>•	201
§ 39.	Интеграл Мора ...................................  203
§ 40.	Вычисление интеграла Мора .........................212
§ 41.	Определение перемещений от изменения температуры .	.	220
§ 42.	Матрицы податливости и жесткости системы...........221
§ 43.	Матричная форма вычисления перемещений по методу Мора	226
§ 44.	Статико-геометрический анализ стержневых систем .	.	.	-38
§ 45.	Построение эпюр перемещений с использованием упругих грузов 245
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ОСНОВНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕ-
МЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ УПРУГИХ
СИСТЕМ............................................248
511
Глава IX. Основные энергетические теоремы. Свойства матриц по-
датливости и жесткости...............................
§ 46.	Некоторые основные понятия и теоремы ......
§ 47.	Энергия деформации лннейно-упругой системы «...
§ 48.	Теоремы о взаимности ..........
§ 49.	Преобразование матриц податливости и жесткости упругой си
стемы при изменении базисных сил и перемещений
§ 50.	Некоторые общие свойства матриц податливости н жесткости
упругой системы.....................................«	-
§ 51.	Использование локальных уравновешенных сил для определени
матриц податливости системы ............................
Глава X. Вариационные принципы деформируемых систем .	.
§ 52.	Полная энергия деформированной системы...............
§ 53.	Принцип вариации перемещений (принцип Лагранжа)
§ 54.	Расчет упругих систем иа основе принципа вариации переме-
щений .....................................................
§ 55.	Принцип вариации напряжений или виутреиних сил (прин-
цип Кастилиано)........................................
§ 56.	Применение принципа вариации внутренних сил к расчету уп-
ругих систем ..............................................
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕ-
ЛИМЫХ СИСТЕМ .	.	...	........................
Глава XI. Метод сил.........................................
§ 57.	Особенности расчета статически неопределимых систем
§ 58.	Определение степени статической неопределимости
§ 60.	Общий алгоритм расчета. Определение перемещений в стати-
чески неопределимых системах...............................
§ 61.	Способы разделения неизвестных в системе канонических
уравнений .................................................
§ 62	.Особенности расчета статически неопределимых систем на под-
вижную нагрузку ...........................................
§ 63.	Некоторые свойства статически неопределимых систем. Расчет
на действие и осадку опор..................................
§ 64.	Расчет статически неопределимых систем в матричной форме
§ 65.	Использование принципа Кастилиано для расчета статически
неопределимых систем.......................................
§ 66.	Расчет с использованием ЭВМ Поэлементный подход .	.
Глава XII. Метод перемещений................................
§ 67.	Сущность метода.....................................
§ 68.	Таблица реакций и внутренних усилий в стержне как основ-
ной системе ...............................................
§ 69.	Степень кинематической неопределимости системы
§ 70.	Канонические уравнения и общий порядок расчета
§ 71.	Применение теорем о взаимности .......
§ 72.	Использование симметрии системы..................  .
§ 73.	Особенности расчета рам с наклонными элементами .	.
§ 74.	Особенности расчета рам на смещение опор .....
§ 75.	Расчет стержневых систем на изменение температуры .	.
§ 76.	Построение линий влияния...........................
§ 77,	Особенности применения метода перемещений с учетом продоль-
ных деформаций стержней....................................
§ 78.	Матрица жесткости стержня в местной и общей системах
координат .................................................
§ 79.	Построение матрицы жесткости для одиночного стержня в бо-
лее сложных случаях....................................
§ 80.	Формирование матрицы жесткости всей конструкции
§ 81.	Определение внутренних сил в стержнях системы. Примеры
расчета ...................................................
§ 82.	Использование сложных элементов основной системы (супер-
элементов) ................................................
Глава XIII. Смешанный метод.............................  •
§ 83.	Вводные замечания .	..............................
§ 84.	Канонические уравнения ...........................
§ 85.	Единая форма вычисления коэффициентов уравнений
§ 86.	Особенности расчета симметричных систем иа несимметричные
воздействия ...............................................
§ 87.	Общие уравнения строительной механики стержневых систем
Приложение. Операции над матрицами с использованием калькуля-
торов и ЭВМ.................................................
Список литературы .............