Под редакцией
д-ра техн, наук. проф. А. А. УМАНСКОГО
Рассмотрен и одобрен
Центральным научна-исследбеателъским институтом... строительных конструкций
им, В, Л. Кучеренко
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ. ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
В ДВУХ КНИГАМ
УДК 624 04(031)
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и со-
оружений. Расчетно-теоретический. В двух книгах. Кн. 2. Под ред. А. А. Уманского.
Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Стройиздат, 1973, 416 с.
Вторая книга расчетно-теоретического тома «Справочника проектировщика про-
мышленных, жилых и общественных зданий и сооружений» дополняет расчет стержней
и стержневых систем, приведенный в первой книге, вопросами устойчивости, динамики
и предельных состояний.
Во второй книге даны примеры расчета пластин и оболочек, рассмотрены вопросы
взаимодействия сооружений с грунтом, основные принципы моделирования, применения
метода конечных разностей.
Справочник предназначен для проектировщиков, научных работников и студентов
13)303.
Табл. 230, ил. 507, список лит. 487 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Стр.
Предисловие ко второму изданию....... в
РАЗДЕЛ 12
УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
И. И, Голъденблат, В. А. Копнов
12.1.	Основные уравнения теории упругости . ,	9
12.1,1,	Уравнения равновесия .	у
12,].2. Уравнения совместности деформаций ..... Ю
12.1,3.	Определение перемещений по составляющим
тензора деформаций .....	......	И
12.1.4.	Физические уравнения теории упругости н тер-
моупругости ............	....	12
12,1.5.	Уравнения теории упругости в напряжениях . .	13
12.1,6.	Уравнения теории упругости и термоупругости
в перемещениях (уравнения Ляме)	13
12.1,7.	Потенциальная энергия деформации	Ь
12J.8. Общие принципы теории упругости . , .	.	.	14
12.2.	Плоская задача теории упругости . .	.	.	14
12.2.1.	.Плоское напряженное состояние	14
12,2,2.	Плоская дефорглация	.	15
12.2	3 Функция напряжений Эри ....	....	15
12,2,4.	Функция Эри для плоской задачи анизотропного
(ортотропного) тела	15
12,2,5.	Плоская задача в полярных координатах . - .	15
12,2.6.	Сведение плоской задачи к задаче об изгибе
пластинки ...... а ............ .	16
12.3.	Вариационные методы решения задач теории
упругости	17
12,3.1,	Метод Ритца . .	. . , . 6 , , 5 . , е .	18
12.3,2,	Метод Бубнова — Галеркина .........	19
12.3.3.	Метод Треффца (метод смягчения граничных
условий).......................................  of)
12.4.	Сводка некоторых решений теории упругости 21
12.4.1.	'Чистый изгиб	й .	21
12.4,2.	Поперечный изгиб консоли	21
12	413. Поперечный изгиб балки	21
12.4.4.	Изгиб кривого бруса (задача	X. С.	Головина)	22
12.4,5.	Клин, сжатый сосредоточенной	силой	. ,	.	.	22
12	4.6. Толстостенный цилиндр и сферический	сосуд	.	.	23
12.4.7.	Упругая полуплосткость и упругое полупростран-
ство	я ч о	.	23
12.5.	Концентрация напряжений .......	24
12.5.1,	Концентрация напряжений при растяжении . .	24
12.5.2.	Концентрация напряжений при изгибе ...	25
12.6.	Элементы теории упругости, учитывающей
моментные напряжения .........
12,6	1. Основные положения моментной теории упругости 26
12.6.2.	Уравнения равновесия и несимметричный тензор z
напряжений в двухмерном случае ...... ,	26
12.6.3.	Деформации, вызванные действием силовых и
моментных напряжений	э » и 07
12,6.4,	Закон Гука	?	2’7
12	6 5. Условия совместности деформаций . . . . . о	28
12,6,6,	Функции напряжений . =	......... 2«
12.6.7.	Некоторые результаты расчетов по моментной
теории упругости ...................... ......	- 2g
12.7.	Основные уравнения теории пластичности и
термопластичности	28
12.7,1. Общие свойства пластической деформации . .	29
12 7,2. Основные	положения	теория	к‘асигческого
течения , . .  ....................... .......	29
12.7,3. Основные	уравнения	теории	пластического
течения .......	. ......... .	29
12,7,4. Деформационная теория пластичности — частный
случай теории пластическою течения	30
12,7.5. Идеально упруго-пластическая среда ...	31
12 736, Метод характеристик решения задач теории
пластичности	31
12.7 7. Напряжения под жестким	штампом	.	,	.	д	.	32
]2 7 8. Плоское напряженное	состояние	.......	33
12 7,9. Пластические деформации вблизи круглого от-
верстия в пластине	34
12.7 10. Упруго-пластическое кручение ,	.....	35
12.7.11. Пластическое кручение стержня с растяжением	35
12.8. Ползучесть и релаксация	36
12 83. Основные понятия . я	4	.	36
12.8.2. Релаксация ................	37
12.8.3. Ползучесть	.	...	37
12.8.4, Особенности процесса ползучести некоторых
строительных материалов	. * . .	......	38
12 8 5. Реологические модели ...... < , * » *	38
12,8.6 Теории ползучести ............	39
12,8 7. Наследственная теория ползучести бетона
Н. X. Арутюняна , , . в ........ .	41
12.8 8, О ползучести металлов ...	.......	4 3
12.8.9. Ползучесть при изгибе балок и кривых стержней 43
12,8.10. Ползучесть при кручении .........	45
Литература , » . . » в , ,	. . . . . , я а	45
РАЗДЕЛ 13
УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ
(ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
А. Л, Китов ер
13Л. Общие термины, обозначения	46
13.1.1	. Основные обозначения ...........	46
13.1.2	. Определение упругих характеристик конструк-
тивно ортотропных пластин	... .....	47
13.1.3	, Связь между усилиями и напряженьями , . .	47
13.2,	Прямоугольные пластины	.......	48
13,2.1. Прямоугольные изотропные	плыы .....	48
Нагрузка равномерно распределит-я по всей пло-
щади плиты (48). Нагрузка, раомшдолекная по
гидростатическому закону (49) Нагрузка, рас-
пределенная равномерно по части площади плиты
(50). Нагрузка в виде трехгранной призмы (50). На-
грузка, распределенная вдоль прямой линии
(51). Нагрузка в виде силы, приложенной в цен-
тре плиты (51). Квадратная плита на упругих
опорах под равномерно распределенной нагрузкой
(51). Определение	сосредоточенных	реактивных
сил в углах плиты, свободно опертой по перимет-
ру (52).........................с	.	52
]3 2.2. Ребристые плиты
13.2 3. Многопролетиые	плиты ..............  53
Бесконечная плита, опертая в узл 1х прямоугольной
сетки (53). Квадратная плита, шенст кон-
туру и поддерживаемая колоннами (М). Приближен-
ный способ расчета неразрезных плит	54
13.2,4, Плиты на упругом основании . . „ 9 . , .	65
13 2.5. Балки-стенки.............................  90
13.3,	Круглые и кольцевые пластины.................. 61
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Стр,
13.3.1	. Осесимметричная задача расчета изотропных
плит ...................
Плоское напряженное состояние (61). Плиты на
жестких опорах (62), Круглые ‘ плиты с кольце-
выми ребрами (65). Плиты на упругом основании
(66). Бесконечные плиты (66). Круглые и кольце-
вые плиты (69) ...........................
13.3.2	. Изотропные круглые плиты под произвольной
нагрузкой . .	........... ........
Круглая плита с защемленной кромкой (69). Круг-
лая плита со свободно опертой кромкой (69). Сво-
бодная круглая плита иод действием статически
уравновешенной нагрузки (70) .........
13.3,3	. Круглые и кольцевые ортотропные пластины , ,
Плоское напряженное состояние (70). Изгиб круг-
лой и кольцевой плиты (70)............  .
13.4.	Изотропные плиты разной формы . . « .
13.4.1	Треугольные плиты	*
13.4.2.	Трапецеидальные плиты • * - я	.
13.4.3.	Эллиптические плиты.......« . . ,
13,4,4.	Плиты в виде кругового сектора .......
13.5.	Температурные напряжения в пластинах
13.6,	Обзор таблиц по расчету плит . . . . .
13.7.	Краткие сведения об аналитических методах
определения усилий и перемещений при изгибе
тонких упругих плит
Литература , # . , я . s ч ?	а * *
14,5.1.	Определение, формы срединной поверхности и
П	граничные условия ...	.........	101
14.5.2,	Усилия и перемещения пологой оболочки. Осо-
бенности расчета .......................... 107
14.5,3.	Формулы и таблицы для расчета пологих оболо-
_чек, прямоугольных в плане . , . .	....	109
69	14.5.4. Круговые цилиндрические оболочки открытого
профиля .............	..... Ш
70	14.5.5. Дифференциальные уравнения пологих сфериче-
ских оболочек в полярных координатах - . . . , 1И
14.5.6.	Некоторые решения нелинейной теории пологих
оболочек..............................      117
79	14.6, Своды-оболочки и призматические складки
(И. Е. Милейковский)......................  ng
70	14.6.1, Основные обозначения и классификация сводов-
оболочек . . . . ,..............	.	118
71	14.6.2. Расчет оболочек и складок средней длины До-
пущения и гипотезы................................120
71	14.6,3, Расчет диафрагм-оболочек и складок средней
73	длины ,	.................	135
75 Литература , , . . . . , , , . , „ „ ч я ,	136
76	РАЗДЕЛ !5
77 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ
К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
78	П. М. Варвак, Д. В. Вайнберг
15.1. Основы метода сеток .........	138
РАЗДЕЛ 14
ОБОЛОЧКИ
П, А.Лукащ, И. Е. Милейкоаский,
А. Г. Иммерман, Л. Б. Львин
14.1.	Классификация оболочек и качественная ха
рактеристика их работы (П. А. Лукаш) . .
14.1.1.	Общие положения	а
14.1,2.	Тонкостенные оболочки 1 ...... а «
14,1.3,	Общая характеристика работы оболочек	, .
14.1,41	Характеристика теорий расчета оболочек	. .
14.1.5,	Условия применимости безмоментных теорий
14.1.6,	Основные постановки задач теории оболочек
14.2.	Замкнутые круговые цилиндрические оболоч
ки (Л. Г. Иммерчан)
14,2.1.	Основные условные обозначения.........
14,2,2.	Общие дифференциальные зависимости теории
цилиндрических оболочек.......................
14.2,3.	Оболочка под действием осесимметричной на
ipy^KP Безмоменткая теория .......
• 14.2.4. Оболочка под действием осесимметричной на
грузки; Моментная теория
14,2.5.	Сопряжение оболочек. Осесимметричная нагрузка
14.2.6.	Оболочка под действием нагрузки, не обладаю
щей осевой симметрией . , -...................
14.2.7.	Особые ;случаи нагрузок и расчета оболочки
14,3,	Оболочки вращения (П. Л.' Лукаш} , з
14.3.	L Определение и основные обозначения . .
14,3.2.	Усилия и перемещения в оболочках по безмо
ментной теории при осесимметричной нагрузке .
14	3 3. Безмоментные сферические оболочки при верти
калькой осесимметричной нагрузке .....
14.3.4.	Оболочки вращения под действием равномерно
распределенного нормального давления . , .
14.3.5.	Расчет оболочек вращения по безмоментной тео
рин на несимметричную нагрузку . . .	,
14,3	6, Учет изгибающих моментов . .	, . я < .
J4.4. Циклические (моментное) напряженное
" состояние оболочек вращения, сопрягаемых
между собой (Я, Б. Львин) . , . . . . .
14,4.1. Выделение циклического воздействия и его рас-
пределение. Общий поочдок расчета ......
14 4 2. Едини" ые (краевые) реакции оболочек . .	.
14 13 Измен нье у< илий вдоль меридиана каждой
оболочки , . . ‘А....................  .	, , . .
14.4,4, Кольцо, Единичные реакции и внутренние усилия
14.5. Пологие оболочке (Л. А. Лукаш) . . , .
15.2. Плоская задача
80
80
81
81
81
87
83
83
83
15.2.1	. Плоская задача а напряжениях. .......	139
15.2.2	. Двойной итерационный процесс решения плоской
задачи..................................  139
15.2.3	. Решение в перемещениях. Вариационный метод
построения разностных уравнений (ТО. А1. Стру-
гацкий) .	................ . . ,	141
15.3.	Изгиб пластин ........... из
15.3.1.	Основные уравнения и граничные условия . ,	143
15.4.	Устойчивость и колебания пластин ....	157
15.4.1. Уравнения устойчивости пластин	......
15,4.2. Собственные колебания пластин	......
15.5. Оболочки ................................
15.5.1. Основные уравнения и граничные условия для
пологих оболочек . . . ......	. ... .
Литература . . . . . . . . . . .	, . .
gs	РАЗДЕЛ 18
g5	МОДЕЛИРОВАНИЕ
85	А. Я. Александров, М. X. Ахметзянов,
86	3 В. Б. Геронимус	
157
159
Ш
164
168
89	16.1. Основные положения теорий подобия и раз-
93	мерности .......... г .... . не
93	16.2. Простое подобие статических упругих со-
93	стояний. Метод анализа размерностей .	.	.	ДЗД
16.3. Расширенное подобие в сгап'чесяих задачах
95	теории'упругости. Анализ уравнений	. .	.	.	ИЗ
9g 16.4, О влиянии коэффициента Пуа&она на рас*
пределение напряжений , . .	. сш,,,'* 174
97	16,5, О моделировании Объемных сил . .	Д./й3 174
98	16,6. Подобие в динамических задачах теории
99	упругости.............  СТ:.	Ср . т.СЕДШ П5
16.7.	Подобие в задачах термоупругости	. . .	176
16,8.	Моделирование больших деформаций . . .	176
16.9.	Подобие в задачах пластичности ....	и?
0	16,10. Подобие в задачах ползучести	, . л	177
16.11. Моделирование некоторых видов конструкций 177
jo® 16.12. Вопросы подобия при исследовании состав-
ных систем ....................;	. с, С) ЖХ.,. ш
1®	18.13. Таблица критериев подобия и уравнений свя-
Оз зи между масштабами в задачах статики и ди-
106 намики .	:.7: ;igg
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Стр.
' 1е5
185
186
Вп
186
187
Ь8
188
189
190
КО
к о
191
192
192
192
ЬЗ
191
194
194
195
199
200
200
203
204
200
206
206
208
211
213
213
214
216
218
219
219
220
221
222
Й22
222
Стр.
16.14. Таблица критериев подобия температурных
полей
Литература . . . . , ...... . . . . . <
РАЗДЕЛ 17
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С. И. Лейтес
17.1.	Основы теории устойчивости стержневых си-
стем со сжатыми элементами.......................
17.1.1.	Понятия устойчивости и неустойчивости. Устой-
чивостъ равновесия деформируемых систем . . ,
17J.2. Консервативные и неконсерва гпвные системы.
Методы исследования устойчивости равновесия , .
17.1.3.	Потеря устойчивости при разветвлении форм
равновесия.....................................
I7.L4.	Потеря устойчивости при достижении предельной
нагрузки . . ..................................
17.1.5.	Устойчивость линейно мпругой системы с конеч-
ным числом степеней свободы ...................
17.1.6.	Собственные значения и собственные функции ,
17,1.7.	Энергетический критерий качества равновесия^
I7JJL Потенциальная энергия центрально сжатого" лм'-"
нейио упругого стержня ........................
17,1.9.	Задача Эйлера .........................
17.1,10.	Равновесные состояния сжато-изогнутого ли-
нейно упругого стержня...........................
‘ 17,1.11. Об’ анализе больших перемещений сжатых и
сжато-изогнутых стержней.........................
17,1.12.	Устойчивость «в большом» и явление перескока
17.1.13.	Идеальные и нендеалъные системы. Начальные
несовершенства реальных стержней...............
17.1.14.	Свободная длина и гибкость стержня . . . -
17.2.	Линейно упругие сжатые и сжато-изогнутые
стержни постоянного сечения..................  .
17.2.1.	Линейно упругий материал. Обозначения , . .
17.2.2.	Уравнение упругой линии стержня в форме ме-
тода начальных параметров.................
17.2.3.	Критические силы центрально сжатых стержней
с различными условиями закрепления концов . .
17,2.4.	Внецентренно сжатые стержни .......
17.2,5.	Сжато-изогнутые стержни ...............
17.2.6.	Принцип независимости действия сил. Принцип
взаимности перемещений
17.2,7,	Растянуто-изогнутые стержни . . , . е . . ,
17,2.8.	Большие перемещения внецентренно сжатых
стержней
17.3,	Линейно упругие стержнеаые системы. Мето-
ды расчета ...............
17.3.1	Основные положения расчета по деформирован-
ной схеме	* ......... .
17.3.2.	Метод сил ,
17,3,3.	Метод перемещений - ч ...... а .
17,3.4,	Расчет неразрезных балок ..........
17.4.	Линейно упругие стержневые системы. Опре-
деление критических нагрузок .......
17.4.1.	Постановка задачи об устойчивости линейно уп-
ругой стержневой системы ...................
17.4,2.	Лн.тлш критических состояний методом сил и ме-
тодом перемещений . .............................
17.,4.3	. Примеры исследования устойчивости методом сил
j и методом перемещений	..........
17,4.4,	Качественный анализ устойчивости линейно упру-
гих стержневых систем . ....................
17,4,5.	Устойчивость однопролетных стержней с упруго
закрепленными концами .........................
17.1.6.	Устойчивость неразрезных балок на упруго пере-
мещающихся опорах....................... . . . .
17.4.7.	Устойчивость неразрезных балок на упруго вра-
щающихся опорах .	. .................. , ,
17А.8. Устойчивость рамных систем ........
17.4,9.	Устойчивость стержня в упругой среде , . , ,
17.4ДО.	Справочные данные для определения свободных
длин ....... * .......... .
17.5.	Линейно упругие сжатые стержни составного
сечения. Стержни с переменными по длине жест-
костью и сжимающей силой ........
17.5,1.	Сжатые стержни составного сечения .....	2’2°
17,5.2.	Сжатые ступенчатые стержни ........	223
17.5.3.	Сжатые и сжато-изогнутые стержни с непрерыв-
но изменяющейся по длине жесткостью............... 224
17 5.4, Сжатые стержни, жесткость которых изменяется
по степенному закону .............	226
17.5.5.	Сжатые стержни с переменными по длине жест-
костью и сжимающей силой	227
17.6.	Линейно упругие стержни, сжатые следящи-
ми силами	228
17.6.1,	Стержень, сжатый следящей	силой общего типа	228
17.6.2.	Динамический критерий устойчивости равновесия.
Три вида собственных движений стержня ....	228
17,6.3.	Гармоническое колебание стержня, сжатого сле-
дящей силой  ...................................   229
17,6.4,	Критические состояния стержня, сжатого следя-
щей силой	230
17.6,5.	Области устойчивости и неустойчивости невесомо-
го стержня, несущего сосредоточенную массу и сжа-
того следящей силой . , . .......................  231
17.6.6,	Области устойчивости и неустойчивости весомого
стержня, сжатого следящей силой .......	232
177, Нелинейно упругие сжатые и сжато-изогну-
тые стержни	233
17.7.1	, Нелинейно упругий материал	233
17.7,2	. Устойчивость центрально сжатых стержней	.	.	234
17.7,3	. Изгиб и устойчивость сжато-изогнутых стержней 234
17,7.4	, Аналитическое исследование равновесных и кри-
тических состояний внецентренно сжатого стержня
с двухточечным профилем ............	234
17.7,5	. Численное исследование равновесны?* и критиче-
ских состояний сжато-изогнутых стержней . . .	235
17.7.6	. Приближенное определение критической силы вне-
цеш-ренно сжатого стержня......................... 236
17.7.7	, Качественный кршерий устойчивости сжато-изо-
гнутых нелинейно упругих стержней ......	237
17,8.	Упруго-пластические сжатые и сжатснизогиу-
тые стержни	237
17.8.1.	Упруго-пластический материал. Обозначения , .	23/
17.8.2.	Устойчивость центрально сжатых стержней . .	238
17,8.3.	Изгиб и устойчивость сжато-изогнугых, стержней	240
17.8,4,	Сжато-изогнутые стержни из идеального упруго-
пластического ?латериала ...........	240
17.8.5.	Приближенное исследование устойчивости вне-
центренно сжатого стержня прямоугольного сечения
из идеального упруго-пластического материала . .	242
17,8.6.	Влияние формы поперечного сечения на устойчи-
вость внецентренно сжатых стержней из,идеально-
го упруго-пластического материала . ц . . . .	244
17,9,	Подбор сечений сжатых и сжато-кзогнутых
стержней	244
17.9.1.	Основные положения подбора сечений сжатых и
сжато-изогнутых стержней . .... . _ .... ,	2-Н
17,9.2.	Расчет центрально сжатых стальных стержней
по нормативной методике .	‘.	'--45
17	9.3. Расчет сжато-изогнутых стальных стержней по
деформированной схеме	245
17.9.4.	Расчет сжато-изогнутых стальных 'стержней по
нормативной методике ............	246
17.9,5.	Расчет сжато-изогнутых стальных .стержней по
критическому напряжению . ..........	247
17.9,6,	Сопоставление результатов расчета внецентренно
сжатого стержня ио трем различным методикам	248
17.10.	Линейно упругие тонкостенные ’ сжатые и
сжато-изогнутые стержни . . ,	  249
17,10.1.	Дифференциальные уравнения равновесия тон-
косюниьш стержней......................	249
17,10.2.	Изгиб и кручение тонкостенных сжато-изогну-
тых стержней . ...............................     250
17.10,3.	Расчет тонкостенных сжато-изоп#утых стержней
ио деформированной схеме . . . д . ,	...	250
17.10,4.	Изгиб, кручение и устойчивость тонкостенных
внецентренно сжатых стержней	......	,	250
17,10.5,	Устойчивость тонкостенных центрально сжатых
стержней ............ я . .... .	251
17.11.	Нелинейно упругие стержневые системы.
(А. В. Геммерлине) ................................  jsi
17,11.1.	Постановка задачи об устойчивости нелинейно
упругих стержневых систем « . е . « . 3 » « .	-:51
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
17.11.2.	Основные	аналитические	зависимости	.	«	.	»	252
17.11.3.	Алгоритм	«Сечение»	а	..♦	«
17.11.4.	Алгоритм	«Стержень»	« % , <,	.	.	«	.	«	•	2эЗ
17.11.5.	Алгоритм	«Рама» ....«,	в	.	*	•	2оЗ
17.11.6.	Предельное состояние системы	*j4
17.12.	Устойчивость линейно упругих колец и арок.
(А. Б, Мореаевский)	254
17.12.1.	Постановка задачи. Поведение нагрузки » ® »	254
17.12.2,	Устойчивость круговых колец .......	255
17.12.3,	Устойчивость круговых арок в их плоскости	256
17.12,4.	Устойчивость параболических арок в их пло-
скости . .	2^6
17.12.5.	Устойчивость пологих двухшарнирпых арок в
их плоскости  ....................................  ^6
17.12.6.	Устойчивость одиночных арок из их плоскости 257
17/13. Местная устойчивость профилей сжатых
стержней (А. Г, Иммерман)........................... 256
17Л4. Устойчивость плоской формы изгиба балок,
(Г.	М. Чувикин] . . . ...... . . .	262
17.14,1. Устойчивость двутавровых балок ...<•<	262
Учет прогиба балки в плоскости изгиба (264). Кри-
тические напряжения (265). Балки с продольными
связями (265). Влияние перехода критических на-
пряжений за предел пропорциональности (265).
17.14,2. Устойчивость стальных двутавровых балок . »	265
Балки с сечением, имеющим две осн симметрии
(266), Переходные коэффициенты для сталей разных
классов (267), Двутавровые балки с сечением, имею-
щим только одну ось симметрии (267).
Литература », ©.гол» «.ваявшее 268
РАЗДЕЛ 18
устойчивость ПЛАСТИНОК и оболочек.
РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
В. Л. Агамиров, А. С. Вольмир
18,1.	Определение и основные обозначении ... это
18.2.	Устойчивость пластинок в пределах упругости 270
18.2.1.	Прямоугольные пластинки .........	270
18.2.2.	Прямоугольные и квадратные пластинки, под-
крепленные ребрами . . . . . , .... > . .
18.2,3.	Несущая способность подкрепленных ребрами
прямоугольных пластинок после потери устойчиво-
сти при сжатии, сдвиге и чистом изгибе. Редукци-
онные коэффициенты  ............• »»,.«	277
18.2,4,	Непрямоугольные пластинки	. . . » . а » .	277
18.3.	Устойчивость незамкнутых оболочек (пане-
лей) в пределах упругости ........	279
18,3,1.	Цилиндрические панели , . « . я » г . * »	279
18.3.2.	Конические панели	о ....... .	281
18,3.3.	Сферические панели . * ....................  281
18,4.	Устойчивость замкнутых оболочек в преде-
лах упругости ............	281
18,4.1.	Цилиндрические	круговые оболочки . . ,	»	„	281
18.4.2.	Цилиндрические	эллиптические оболочки .	»	.	285
18,4,3.	Усеченные конические круговые оболочки	.	.	285
18.4.4.	Усеченные конические круговые подкрепленные
оболочки . . . .	.............	.	?86
18.4.5.	Усеченные конические эллиптические оболочки 286
18.4.6.	Сферические оболочки	287
18.4.7.	Эллипсоидальные оболочки . 4	.	287
18.5.	Устойчивость пластинок и оболочек за пре-
делами упругости ...........	238
18.5.1,	Общие положения	я а ,	288
18.5.2.	Прямоугольные пластинки .........	288
18.5,3.	Цилиндрические оболочки	290
Ш6. Гибкие пластинки и мембраны ......	299
18.6.	L Гибкие пластинки e « . , „ .......	290
Стр.
18.6.2.	Мембраны	........ Е	s 0 .	292
Литература . , « . . . . . ► . , . „ в . . 9	29о
Р А 3 Д Е Л 19
РАСЧЕТ СООРУЖЕШШ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
М. С. Бернштейн, Г, К- Клейн, А, П, Синицын
19.1.	Статика сыпучей среды (М С. Бернштейн) 295
19.1.1.	Давление на ограждающие конструкции храни-
лищ сыпучих тел	296
19.1,2.	Предельное равновесие сыпучей среды. Строгие
и приближенные решения плоской задачи . . . .	297
19.1,3,	Давление сыпучего тела на массивную стенку.
Теория Кулона. Строгое решение для частного
случая	299
19,1.4.	Графическое определение активного давления.
Построение Ребхана, Построение Понселе . . . .	301
19.1.5.	Графическое определение пассивного давления.
Построение Ребхана. Построение Понселе ....	303
19,1,6.	Давление сыпучего тела в бункерах и силосах 304
19.2.	Расчет подземных сооружений (Г» К- Клейн)	ш
19.2.1. Физико-механические свойства и характеристики
грунтов ...................	305
Виды и составные части грунтов (306). Напряжения
и осадки грунта (ЗОБ). Расчетные механические мо-
дели грунтов (307). Прочность грунтов (307).
19.2 2. Давление грунтов на подземные сооружения « «	308
Напряженное состояние грунтов до и после прове-
дения выработки (308), Давление грунта на соору-
жение в насыпи (309), Давление грунта на сооруже-
ние в выемке (траншее) (311). Давление грунта на
крепь выработки и обделку туннеля (311). Давление
грунта в пространственной задаче (312). Давление
ни сооружение от наземных нагрузок (313).
19,2 3. Расчет жестких подземных сооружений кругового
поперечного сечения .............	314
Распределение опорных реакций (314), Внутренние
усилия в сооружении от различных нагрузок (315),
Приведение расчетных нагрузок к двум эквивалент-
ным сосредоточенным сидам (315). Деформация по-
перечного сечения сооружения (317).
19.2.4. Расчет подземных сооружений с учетом отпора
грунта . ,  .................................,	320
Общие соображения (320), Способ Метропроекта
(320). Способ О. Е. Бугаевой (322), Совместное дей-
ствие на подземное сооружение нагрузок и внутрен-
него давления при учете упругого отпора грунта
(322), Несущая способность сооружения по условию
прочности (323), Расчет сооружения на упругую
устойчивость и жесткость (324).
19.2.5. Расчет сооружений с учетом пластичности мате-
риалов .......................................  324
Выравнивание изгибающих моментов в стенках соо-
ружений (324). Пластическая стадия работы под-
земного сооружения при совместном действии внеш-
ней нагрузки и внутреннего давления (324). Пре-
дельное состояние сборной туннельной обделки
(325).
19 2.6. Расчет сооружений некругового поперечного
сечения...............	> .......... ,	326
Расчет туннельной обделки в виде пологого свода
(326). Расчет обделки подземного сооружения в ви-
де свода, опирающегося на массивные стенки (326).
19.3.	Балки и плиты на упругом полупространстве
(Д. П„ Синицын) . . . 4 . а . . , . .	327
19.3.	L Выбор расчетной схемы s	в 327
19.3.2.	Бесконечно жесткая балка	328
19.3.3.	Гибкая короткая балка ...........	329
Двухслойное основание (329), Два здания, располо-
женные рядом (339).
19.3,4.	Балка за пределом упругости	331
Определение наибольшей нагрузки в упругой стадии
Распределение реакций за пределом упругости (332).
Величина пределыюй нагрузки (333).
19,3.5.	Расчет плит за пределом упругости . . » . ,	333
Бесконечно-протяженная плита (333). Влияние мест-
ных и общих деформаций (334). Нагрузка на краю
плиты (335). Расчет слоистой плиты (335). Опти-
мальная толщина плиты (337).
Литература я я а « - » в с - - а * © © . ь о 338
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Cip.
РАЗДЕЛ 20
ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
В. Г. Коренев, В. И, Сысоев
20.L Элементы теории колебаний	гзо
20J.1. Кинематика колебательного движения	....	33:'
20.1.2	Колебания системы с одной степенью свободы 2>0
Свободные колебания при О1С}тстпш1 сил сопротив-
ления (340). Свободные колебания при наличии сил
сопротивления (340). Вынужденные колебания при
отсутствии сил сопротивления. Резонанс (341). Вы-
нужденные колебания при наличии сил сопротивле-
ния, пропорциональных скорости колебаний (342).
Вынужденные колебания при затухании по теории
Е, С. Сорокина (342).
20.1.3	. Колебания системы с несколькими степенями
свободы......................................  34.3
Свободные колебания при отсутствии сил сопротив-
ления (343). Свободные колебания при наличии сил
сопротивления (344), Приближенные способы опре-
деления основной частоты свободных колебаний
(345). Вынужденные колебания при отсутствии сил
сопротивления (345).
20.1.4	. Колебания систем с непрерывно распределенной
массой......................................... 345
Продольные свободные колебания стержней (345).
Свободные колебания балок (346). Цзгибные коле-
бания пластинки постоянной толщины (347). Вынуж-
денные колебания балок (348)„
20.2,	Частоты собственных колебаний . . . , .	349
20.2.1,	Балки	на	жестких опорах	349
^0.2,2. Балки	на	упругих опорах	..........	351
20.2.3.	Балки с распределенными и сосредоточенными
массами............................................ 351
20.2.4.	Балки,	нагруженные продольными	силами	351
20.2.5.	Рамы	 .......................... 357
Рамы без сосредоточенных масс (357). Рамы с со-
средоточенными массами (358).
20.2.6.	Фермы	359
Метод Польгаузена (360). Метод наложения (360).
Метод эквивалентной балки (360).
20,2.7.	Арки, длинные своды, кольца.................  360
Круговые арки и своды постоянного сечения (360).
Параболические симметричные арки переменного
сечения (361). Круговые кольца (362).
20.2,8.	Плиты	а ,	363
20.2.9.	Стержни переменного сечения.................  365
20.2.10,	Крутильные и продольные колебания стержня.
Колебания струны . . . ........................... 368
20,2.11.	Колебания жидкости в резервуарах .....	369
20.2.12,	Колебания трубопровода, по которому движет-
ся жидкость .....................................  370
20.3.	Динамические характеристики строительных
материалов и конструкций ........	370
20.3,1.	Динамическая жесткость ........	37G
20,3.2.	Внутреннее поглощение энергии колебаний (зату-
хание) в конструкциях и материалах сооружений 370
20,3.3.	Выносливость строительных материалов , . ,	871
20.4.	Динамические нагрузки от машин ....	371
20,4.1.	Машины с конструктивно неуравновешенными
движущимися частями ............	372
20.4.2.	Машины с номинально уравновешенными, а фак-
тически неуравновешенными движущимися частями	372
20.5,	О динамическом расчете перекрытий и карка-
сов зданий .............
зтз
20 5.1. Расчетные схемы .................	. а . ,	373
20.5.2.	Частоты и формы свободных колебаний . . .	374
20.5.3.	Результаты динамическою расчета и норматив-
ные требования ..................................  375
20,6. Виброизоляция и другие способы борьбы с
вибрациями...................................... 3'6
20.6.1. Виброизоляцпя..........................  376
20.6,2. Принципиальная схема работы i-шбронполирован-
ной установки^ Конструктивные схемы вябронзоля-
Стр.
п, ни и виброизоляторов. Содержание и задачи
расчета ....................................... 376
20.оЗ Расчет виброизоляции ......................  377
Активная вибрация при периодических нагрузках
20 6 4 Другие способы борьбы с вибрациями строитель-
ных конструкций ..............................  378
20.6.5. Мероприятия по уменьшению вынужденных коле-
баний, передаваемых машинами	379
20.6 6. Мероприятия по уменьшению колебаний при про-
хождении через резонанс ...........	380
Литература а * 9 . » . , „ , , а . , . . я .	380
РАЗДЕЛ 21
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ (СТЕРЖНЕВЫХ,
ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК)
ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ
И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
А. М. Проценко
21.1.	Основные положения по расчету конструкций
в состоянии пластичности ........	382
21,1,1. Поведение конструкций в пластической стадии	382
21.1 J. Основные положения теории предельного равно-
весия .	............................... . .	383
21.1.3. Основные ограничения теории . . а . а , 5 .	384
21.1.4. Типы нагрузок и классификация задач . а . а	384
21.2,	Несущая способность сечений . . . « .	385
21	2.1. Чистый изгиб сечений в плоскости симметрии	.	385
21.2	2. Косой изгиб стержня ...........	388
2L2 3. Вис-центрепное растяжение (сжатие) в плоскости
симметрии ....... - ....... . , .	388
21.2	4. Учет поперечной силы при изгибе	389
21.2.	6. Предельные состояния сечения при кручении . .	389
21,2.	6. Условия пластичности для изгибаемых плит . .	396
21.2.	7. Несущая способность плиты пои совместном дей-
ствии изгиба is плоского напряженного состояния	391
21.2.	8. Ассоциированный закон пластического течения
для конструкций	.	391
21.3. Расчет плоских стержневых систем . . , ,	392
21.3.1.	Пластические шарниры в стержневых системах 3.92
21.3.2.	Расчет статически определимых стержневых
систем . .	392
21.3.3.	Расчет неразрезных балок ........., . .	393
21.3.4.	Расчет статически неопределимых рам . , я .	‘'95
21А Предельное равновесие пластинок , » , ,	398
21.4	.1. Общие положения расчета	398
21.4	.2. Кинематический способ определения несущей спо-
собности плит ..............................   Збо
21.4	3. Статический способ определения несущей способ-
ности плит ....................... ..........	399
21	4.4 Некоторые частные решения для пластинок, за-
груженных сосредоточенной силой, при шарнирном
опирании ..................	^80
21.4.	5. Пластики, загруженные равномерно распреде-
ленной нагрузкой ..................... ......	401
21.4	6 Предельное равновесие пластинок, защемленных
ал контуру .......................... .......	1W
21.4	7. Пластинка с отверстием при равномерно распре-
деленной нагрузке '............................404
21.5.	Предельное равновесие оболочек . . . ,	406
21.5.1.	Общие положения расчета оболочек . , . . ,	405
21.5.2.	Расчет осесимметричных оболочек ...... ФН
21.5.3.	Некоторые типы оболочек вращения .....	407
21.5.4.	Пологие оболочки с отверстием .......	Ю9
21.6.	Методы решения задач ползучести ....	409
21.6.1.	Уравнения состояния для задач ползучести - . .	4(Н
21,Ь 2. Методы решения задач линейной ползучести 411
21.6.3.	Методы решения задач нелинейной ус'пшошш-
чиейся ползучести ...........................  412
21.6	4. Расчет стержневых систем при нелинейной пол-
зучести	443
Литература , й « « э . e е о v s „ , . , , .	414
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При составлении второго издания Справочника мы
воспользовались советом mhoihx читателей—разделить
содержащийся в Справочнике обширный материал на
две книги, облегчив тем самым пользование им..
В первую книгу вошли разделы:
1.	Математика
2.	Теоретическая механика
3.	Напряжения, деформации, прочность материалов
4.	Материалы для строительных конструкций. Мето-
ды расчета
5.	Строительная механика упруюю стержня и стерж-
невых систем
6.	Матрицы, Численные методы строительной меха-
ники
7,	Таблицы геометрических характеристик сечений
стержней
8.	Таблицы и формулы для расчета балок, рам п
арок
9	Стержни, очерченные по дуге круга, и круговы»
кольца
1U Фермы
11.	Вантовые и пневматические конструкции
Во вторую книгу вошли разделы:
12.	Уравнения и формулы теории упругости, пластич-
ности и ползучести
13.	Упругие Тонкие пластины (плиты и балки-стен
ки)
14.	Оболочки
15.	Метод сегок в приложении к расчету пластин и
оболочек
16.	Моделирование
17.	Устойчивость стержневых систем
18.	Устойчивость пластинок и оболочек Расчет гиб-
ких пластинок
19.	Расчет сооружений, взаимодействующих с грун-
том
20	Динамика сооружений
21.	Расчет конструкций (стержневых, пластинок и
оболочек) по предельному равновесию и учет ползучести.
Первая книга, наряду со (строительными нормами и
правилами (СНиП), а также со специализированными
io нами «Справочника проектировщика.», должна удов-
летворять практическую потребность инженеров, зам
гы.х расчетом прежде всего стержневых конструкций
Вторая кита предназначена для инженеров, решающих
более сложные задачи, в частности, по расчету оболочек.
Разделы 6, 11, 15, 16—новые, написанные специаль-
но для второго издания. Разделы 17 и 21 коренным об-
разом переработаны по сравнению с соответствующими
разделами первого издания. Остальные разделы пере-
работаны частично и дополнены краткими сведениями
о расчетных методах, развитых в последнее десятилетие.
Раздел «Нормы ншрузок и 1абарлтов» исключен как
дублирующий официальные нормативные издания.
Раздел 12
УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
В разделе справочника «Напряжения, деформации и
Прочность материалов» даны определения тензора иа-
иряженпй и тензора деформаций (см. 3.1.5 и 3.2), а так-
же различные формы записи закона Гука для изотроп-
ных и анизотропных тел (см. 3.3,1 и 3.3.2). Здесь даются
основные уравнения и формулы теории упругости, плас-
тичности и ползучести.
Соотношения (12.3) носят название граничных усло-
вий Тензор напряжений в цилиндрической системе коор-
динат г, 0, z (рис. 12.4)
/О Ггй Щ\
I V °н Tfte •	<I2-4>
\EZ Де ° J
12,1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Здесь:
12.1.1. Уравнений равновесия
Составляющие тензора напряжений
(рис. 12.1)
(12.1)
Or -- норматъное напряжение на площадках, перпендику-
лярных радиусу-вектору г; — нормальное напряжение
в меридиональных сечениях, проходящих через ось л
и раднус-ьсктор г\ т()2—касательное напряжение на
пющадке, перпендикуляппоп оси 2, напращтешюе по ка-
сательной к окружности r — cohst в сторону увеличения
угла 0; Trz — касательное напряжение на той же плен
являются в общем случае функциями координат..
Здесь: о», о»,	— нормальные напряжения па площад-
ках, перпендикулярных соответственно осям х, у и z.
В обозначениях касательных напряжении первый ин-
декс соответствует направлению напряжения, второй —
направлению оси, перпендикулярно которой расположена
р асом ат р и в ае м а я пл о; падка.
Для тела, находящегося в равновесии, чти функции
должны удовлетворять уравнениям равновесия:
+	Эт,..
дх ду ' дг
К,* , дОу г?т,
дх ду д.
5т,,	Д,„	до,
« + + г + /г=0.
ох	ду	дг
(12.2)
Здесь X, У, Z — составляющие вектора объемной силы,
т. е. внешней силы, отиесенпои к единице объема. Такой
объемной силой является, например, собственный вес
единицы объема твердого тела.
Внешние напряжения (рис. 12.2) рхх, Рнч, p2V , дейст-
вующие в какой-либо точке поверхности тела с внешней
нормалью
у границы
V, связаны с внутренними напряжениями
тела (Ji, Тц,. .... су (рис. 12.3) формулами:
р„,. = о /-г-д тДт п;
,1	' хи 1 хг
P„v — т I + r> т+ t п;
' их	их	 у уг
р„,, == т /-Г-т т т о п.
ozv	2Х	’ гу	! г
(12.3)
Здесь
I ~ cos (х, V); т = cos (у, v); п = cos (г, v).
10
РАЗДЕЛ .12. УРАВНЕНИЯ И ФОР.Ш'ЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
щадке, направленное здо1ь радиуса-вектора г, т;г— ка-
сагетпное напряжение па площадке, иерпенцжулярной
радиусу-вектору г п направленное по осп г; — каса-
тельное напряжение па тон же площадке, направленное
по касательном к окружности /' = const в сторону уве-
личения утла 0; луд —касательное напряжение в мери-
диональной се-кпип с внешней нормалью в сторону уве-
личения угла 0, направленное вдоль оси г; тщ, — каса-
тельное напряжение в том же сечении, по направленное
вдоль радиуса-вектора г.
Рис 12.1
Уравнения равновесия в ци.пшдричсекнх координата:::
Здесь /?, Q, Z—составляющие обьемной силы в направ-
лениях г, 0, z соответственно.
12.1.2, Уравнения совместности деформаций
Составляющие тензора деформаций в декартовых коор-
динатах (рис. 12 5)
Рис. 12.5
должны удовлетворять уравнениям совместности Сен-
Бриана.
	
. -	-L- 	1
	дх2
	д-е.г
	
дг2	dy2
	
дх2	1 дг2
д : f	ду,г
	
дг Ох	ду
+	ду а/
Ох \ ду	дг
д СЪ’ге ,	дУцг
ду 'с дг 1	Ох
	1	
дхду = diy‘J2  дудг д3угх		
дхдг о д'^ .		•	(12.7)
дг У	дхду дУуг \ _ „ д'^х дх ]	дудг оу /	дхдг		
12 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
11
В случае плоской деформации (ш = 0) система урав-
нений совместности деформации (12.7) заменяется одним
уравнением
д~е ( ( Э-f,,. _ д2ух[1
ду~ 1 дх°- дхду
(12.8)
Тензор деформаций	в цилиндрических координатах:
/ ег	1 _L \ 9	1 гО	9	5
J 9 1 Ог 8 ( \ Т Ъг	1 ₽0	VT0-’		(12.9) 1	j 'У Tzo	к- /
Если через 2 обозначить радиатьнос, через ц—тап-
геицпалы.ое и ырез и—аксиальное перемещения
(рис 12 6), то компоненты тензора деформаций в цилин-
дрических координатах могут быть вычислены по фор-
мулам-
оф	I	Эр	у	Эи
ег ~~~ ;	—	• то- +	; cz ==	:
dr	г	<10	г	дг
Составляющие вихря перемещения характеризуют
вращение бесконечно малого элемента в рассматривав-
ди UV
мой точке Так, ухи == — + ~ (рис. 12.7) характери-
зует сдвиг, т. е уменьшение прямою угла в рассматри-
ваемой точке между направлениями, первоначально па-
раллельными осям Ох и Оу-, разноыь этих углов
ди dv
<вг = —- — дает удвоенный угол поворота вокруг
оси Ог биссектрисы угла между этими двумя направле-
ниями.
Зависимости между составляющей тензора деформа-
ции и составляющими вихря вектора перемещения:
до>г дх	ду. г Эу	дУп, 1 Эг'’
дои.	Эщ-	
		_ о —Ч .	)
ду	f/Z/	/}г’ ’	(12.14)
Э<» г	де-	
			2—=-	
дг	ду	Эх ’ |
8ц	ц	1	Э2
7 гв ~ П~ ~г ' згГ ’
дг	г	г	о0
1 Эи Эр	Эд дш
г 0Q дг >,л дг Г дг
! (12.10)
1
Уравнение совместности деформаций в случае плоской
деформации (ы=0)
/ 1 Э- 1 Э 2 \
I    • ----- —	•	—J— ~~ I F г -4—
\ Г-’.	т дг'гМ
/ <У	1	д-	2 \	1	d2Trf)
\дг2	г2	ФР	С- /	г	дгод
12.1.3. Определение перемещений
по составляющим тензора деформаций
Coci авляющне гечзора деформаций связаны с состав-
ляющими вектора перемещения и, v и и дифференциаль-
ными зависимостями — уравнениями Коши (рис. 12,7):
t)u		!е	ди	1	
Е v ~	’ дх	- -	ду '	<дг		
ди	d?j	dw i	ди		
ухц = ~ -	с)х		' дг ’	I (	(12.12)
да ди
— с —
дх ' дг	।
1
Составляющие вектора nepi мощения и, v и w и со-
ставляющие вихря вектора перемещения кы, ми и нм
связаны cooiношениями
ди дг'
=- — — — ;
ду дг
ди дш
со и	— —-
дг дх
ди
ду
(12.13)
Пусть составляющие вектора перемещения и вихря
вектора перемещения то-пкп /11о(л-о, у», гп) тела (рис 12 8)
имеют значения: и(,, v0, <щ и св”, ш" соответственно
Составляющие вектора перемещения любой другой
точки Mi(xi, iji, Z]) могут быть вычислены но формулам
“1 =. и0 -ф- — <Ф’ (zj — г0] —
9 ’ ш2 ( У{ Ус] Т-
+ f {Ux dx и- Uijdy -ф- иг dz,
М.Ж
°i = и + кг ®" (xi - М -
I п ,	,	I
- V“x(2—K))+	!	(12.15)
-J- (КX dx 4~ Vу dy Щ рс,	|
м\м,	I
I л г 1 I
Ю1 = »о + V ®х I У[ “ Ус) - I
1 "I Ь I
- 7' ШЛ xi ~ -о) +
+ ( (Wxdxd-Wudy + W2dz).
aiLvi,	’
Здесь
Ci 'Д 1 V X Щ 1 i
2	\ оу
1	I дс,.	дуг,\
ф — (Z1 — z) 2 —- —
2	\ дг Ох !
12
I АЗДРП 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Рис. 12.8
этого тела как функции координат. Таким путем может
быть, например, решена задача о смещении ючек верх-
ней поверхности полупространства и другие аналогичные
задачи
12.1.4. Физические уравнения теории
упругости и термоупругости
Физические уравнения теории упругости, связывающие
компоненты тензора напряжений с компонентами тензора
деформаций, для избранного тела в пространственном
случае (для нормальной температуры) имеют вид, пред-
ставленный в 3.31 и 3.32
В случае наличия неравномерного поля высоких тем-
ператур эти связи между напряжениями и деформациями
принимают вид
7 = К — В (У) (ои + 7)1 т- « (Т) (Т - Т„);
пли при "аписи напряжения через деформации
ох = 2G (7) [7 7  ——— „ __
L 1 - 2ц (7) р
1 + Р (7)
1 — 2ц (7)
а (Г) (Г - Т„)
G (7) ’
— G ( Г) уЛ7у
Формулы (12.15) носят название формул Чсзаро
В этих формулах выражения для Vx, Vv, Vz и 1, й"„,
№г получаются из приведенных выражений для UXy
Uz круговой перестановкой букв х, у, г. Криволинейные
интегралы в формулах (12.15Й могут быть вычислены
по любому пути между точками Мо и Лф.
Обычно в теории'упру: ости интересуются только отно-
сительными смещениями точек тела относительно друг
друга, а не движением тела как целого, поэтому для
точки Лф Uo = T'o = ®o = 0 и 0'1= wj= fflz=0. Формулы
Чезаро дают возможность найти перемещения точек те-
ла, если известны составляющие тензора деформации для
В случае анизотропного тела физические уравнения
теории упругости имеют вид, приведенный в 3.3 2. В .плос-
ком случае для ортотропного тела в технических обозна-
чениях физические уравнения имеют вид, приведенный
в 3 3 1.
При наличии неравномерного поля высоких температур
для анизотропного тела физические уравнения обобща-
ются, в них так же, как для изотропного тела, добав-
ляются температурные слагаемые. Причем поскольку ко-
эффициенты линейного расширения для анизотропного
тела будут, как и другие физико-механические характе-
12 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
13
ристики, зависеть от направления, необходимо ввести
в'рассмотрение тензор коэффициентов линейного расши-
рения «иДЛ-
= -(1 + Ji)
'dZ	дХ \
Д + _
дх	дг /
12.1.5. Уравнения теории упругости
в напряжениях
где о — ах 4- п„ + оу,
3= г)з уз
! =-------I---------!	------ .
Зх= Зг/= дг"
В теории упругости в основном приходится иметь дето
с двумя типами задач. В задачах первого типа на по-
верхности исследуемого тела задаются внешние силы
Требуется начти напряжения и смещения любой точки
тела под действием стих сил. Иногда в задачах этого
типа помимо поверхностных сил задается еще объемная
сила (например, собственный вес тела) В задачах дан-
ного типа для 15 неизвестных функций, а именно
шести составляющих тензора напряжений ах, ov, а2,
Х%Х, Xyz> Хх Уу
шести составляющих тензора деформаций 8-х, е„, ег,
1	1	_ J_
2 Vzx’ g ^уг’’ о "'’ХФ
Таким образом, получается система из девяти уравне-
ний (12.2) и (12.16) для шести неизвестных функций
<Д.т, оу, аг, т1г, Та:,/, т. е. сверхопределенная система.
Доказательство того что эта система не противоречива
и допускает единственное решение при заданных на по-
верхности тела усилиях, см., например [11],
12,1.6. Уравнения теории упругости
и термоупругости в перемещениях
(уравнения Ляме)
трех составляющих вег.тора смещений «, ш. с, имеется
15 уравнений- три уравнения равновесия (12 2); шесть
уравнений, связывающих составляющие тензора дефор-
маций с составляющими вектора перемещении (12 12);
шесть уравнений закона Гука (см. 3.3.6).
Эти уравнения должны быть решены таким образом,
чтобы на поверхности тела удовлетворялись граничные
условия (12.3). Для решения задач теории упругости
в напряжениях нужно использовать уравнения равно-
весия (12 2) и уравнения совместности деформаций
(12.7), выраженные через напряжения с помощью урав-
нений закона Гука (см. 12 1 4) Эти уравнения совмест-
ности деформаций, выраженные через напряжения, носят
название уравнений Бельтрами — Митчелла:
о=о	дХ
_2(1 щ г!)
дх-	дх
/ ^Х	ду	dZ\
- ± .
' ох	ду	дг /
д"п
(1 + М) Д ~7Т -= ~ 2 (! х Н) -------------
Зу-	ду
__ -1 + !‘У / дХ д. dY -
1 — ]л \ дх ду ' дг Г
(1 + Ц)	=
дг-
ц (1 + jt) (ЗХ
д7.
— 2 (1 ф- у.) ----
(
В задачах второго типа, решаемых в теории упруго-
сти, на поверхности тела задаются смещения Требуется
найти напряжения и смещения в любой точке тела.
В задачах этого типа за основные неизвестные прини-
мают три (.оставляющие вектора смещения и, о и w.
Чтобы получить три уравнения для нахождения и, v
и ю, удобно в уравнения закона Гука (см. 12,1.4) под-
ставить формулы, связывающие составляющие тензора
деформаций с составляющими вектора смещения (12.12),
и затем полученные выражения для напряжений подста-
вить в уравнения равновесия (12.2). В результате поу-
чаются три уравнения для трех состав
смещения — уравнения Ляме [16]:
36
(I + G) + 6Д« 3- X =
ох
2G (1 + у) 3
= —1—. (аТу
1 — 2р Зх
3ft
(X + G) Д GV=o + У =
ду
2(1 (1 + р) 3
= _ (аГ).
1 - 2р ду
бб
(Я, 4. С) — + Gy% + Z =
02
2G(I ^-Ц)	3 , __
= _____---- , .— (ъГ)-
1 — 2р. дг 7
вектора
!
!	(12.17)
д"-а
(1 + Р)	" =
дхду
= -(1 Т
дуд-
дгдх
1
(12.16)
!
— : второй
2р) р
Здесь 6= 4	4- е2; 7 =
коэффициент Ляме G——~~~—-—const совпадает с
2(1 4-Р) .
модулем сдвига (pt = constкоэффициент Пуассона).
Должно быть найдено такое решение этих уравнений,
которое удовлетворяет граничным условиям, т. е. необ-
ходимо найти три такие функции координат
и ~ и (х, у, г), v — v(x,y,z), w = w {x,y,z),
которые, удовлетворяя уравнениям Ляме (12.17), в то
же время на поверхности тела принимали бы заданные
значения составляющих вектора смещения.
14
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ II ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Точное решение уравнений теории упругости для боль-
шинства задач, выдвигаемых практикой, неизвестно, по-
этому большое значение приобретают приближенные ме-
тоды решения этих задач.
12.1.7. Потенциальная энергия деформации
Потенциальная энергия деформации может быть вы-
числена либо через компоненты тензора напряжений, ли-
бо через компоненты тензора деформаций:
= f J.( И +	+о1-2н (ох <3,^ а2 + «2 о J +
V °
4- 2 (1 + у.) ( iX!l -ф- т“г -J- т(}2)] dxdydz; (12.18)
”^Ш01!-;+2+'1+г4фг«=+
V
+ v (€ы/ + т“г+тУ]л^г- <12-19)
Интегралы (12.18), (12.19) распространяются на весь
объем гола В случае плоского напряженного состояния
при ог = т!1 = тг#=0 выражение (12.18) принимает вид
у = j j +
+ 2(1 + и)тЦ dxdy,	(12 20)
в случае плоской деформации выражение (12 19) прини-
мает вил
МР Н+';++
+	dXdy'	С12.21)
12.1.8, Общие принципы теории упругости
Принцип возможных перемещений Лагранжа форму-
лируется в таком виде: работа всех внешних и внутрен-
них сил на любом возможном (т. е. совместном с геомет-
рическими связями) перемещении для любой снег* мы,
находящейся в равновесии, должна быть равна пулю
|( 1А + + Убо + Zbw) dxdydz +
+ f [ (+,. 8и + Yv So + Zx fe) dS — 5F = 0.
Вариационное уравнение Лагранжа представляет собой
равенство нулю первой вариации полной потенциальной
энергии системы. Составляя вторую вариацию полной
потенциальной энергии всей системы, можно показать
[10], что эта энергия принимает минимальное значение.
Это составляет содержание принципа минимума полной
потенциальной энергии деформации' в состоянии устой-
чивого равновесия полная энергия деформации должна
принимать минимальное значение.
Из этого вариационного уравнения могут быть получе-
ны дифференциальные уравнения равновесия в напряже-
ниях и статические граничные условия £10]. Это урав-
нение лежит в основе ряда широко используемых вариа-
ционных методов приближенного решения задач теории
упругости, в частности в основе методов Ритца и Буб-
нова— Галеркина (см. 12 3).
Принцип Кастплиано предполагает такое изменение
напряженного состояния тела, прп котором удовлетво-
ряются дифференциальные уравнения равновесия и ста-
тические граничные условия, т. е, исходное напряженное
состояние тела и вариации этого состояния явтяются
статически возможными. При этом вариационное урав-
нение Кастплиано имеет вид [10]:
6Э1 = 0,
где
— (р—	+ vYу + ixjZv ) 4S,
т. е, среди всех статически возможных напряженных
состояний в действительности имеет место то, для кото-
рого величина имеет стационарное значение.
Составляя вторую вариацию 6ПЁ, увидим, что полная
энергия деформации в этом случае принимает минималь-
ное значение.
Из вариационного уравнения Кастплиано можно по-
лучить уравнения неразрывности деформаций. Оно ис-
пользуется при приближенном решении в напряжениях
ряда конкретных задач теории упругости.
12.2.	ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12,2.1.	Плоское напряженное состояние
Рассмотрим случай, когда топкая плоская пластинка
находится под действием сит, приложенных по контуру
параллельно ее плоскости и равномерно распределенных
по толщине (рис. 12,9). Допустим также, что объемная
сила Z равна нулю, а силы X и Y являются функциями
h
только х и у. Поверхности пластинки г=±+р свободны
от внешних сил, и компоненты напряжений oz, tz;Zjtzs
здесь равны нулю Если пластина тонкая, то без сущест-
венной ошибки можно принять, что эти компоненты рав-
ны нулю по всей толщине пластинки и что три другие
компоненты — ах, о„, т1у — практически остаются посто-
янными по толщине пластинки. В таком случае имеет
место плоское напряженное состояние, для которого
qz = tzi = tZ!, —0, а ох, <+ и xxv являются функциями
только х и у.
Средние по толщине пластины напряжения оу, оч
и х-су связаны с действительными напряжениями сщ, ау
и соотношениями
12,2, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
15
Jz.	А
2	2
°* -= Y f A •*; О.у = у [ A dz-,
т	А
л
1 I* -
ТЩ/ =-=	' J хху dz,
' h
12.2.2.	Плоская деформация
Пусть длинный цилиндр находится под действием по-
перечной нагрузки, равномерно распределенной вдоль
осп (рис. 12.10). Пусть составляющая объемной силы Z
равна нулю, а X н У являются функциями только х и у.
Рис. 12.10
Pxv~ °х cos A. А 4~ хл1/ cos (v, у);
PyV = Cos О А ± cos (v, у).
Положив
д'~ц>	д2ф	д~Ф
1Д ? Gy ~	~ у—	4х >
ду^ дх-1 и дх ду
(12.23)
(12.24)
легко убедиться, что первые два уравнения системы
(12.22) удовлетворяются тождественно, я третье приво-
дится к бигармоническому уравнению
<Лф	Дф <Ар
—L _< 2------! । —L = 0	(12.25)
дх* дх* ду* ду*	v ’
функция у (х, у) носит название функции напряжений,
или функции Эрп. Контурные условия (12.23), выражен-
ные через функцию Эри:
ЗИр	/ д'-ф	\	)
Дт = “ДГ CQS А - А — —— — qx cos (у, т);
dy-	их ду /
/ Лр \
1 (12.26)
<Пф
+—COs(y,v).
Итак, при заданных на контуре напряжениях плоская
задача теории упругости приводится к интегрированию
уравнения (12.25) при условиях (12.26),
В этом случае деформация значительной части тела, на-
ходящейся на некотором удалении от торцов, не зависит
от координаты д, а перемещения и и v являются функ-
циями только х и у. Если торцы цилиндра не могут
смешаться в направлении оси г, то перемещение а?=0.
Из симметрии следует, что в средне?.! сечении также
а?=0. ?Ложно приближенно допустить, что и в любом
поперечном сечении тела ш = 0. Тогда компоненты тен-
зора деформаций йх, ev и \’*v будут функциями х и у,
а компоненты е£, уед, yzll — равны нулю; компоненты
тензора напряжений ах, oxh <т2. хху будут функциями
только х и у, а компоненты x,jz и т-х — во всех, точках —
равны нулю. Такое напряженное состояние носит назва-
ние плоской деформации.
Допустим, что торны цилиндра могут свободно сме-
щаться. Тогда можно предположить, что продольная де-
формация е2 представляет собой постоянную величину.
Такое напряженное состояние называют обобщенной
плоской деформацией.
12.2.3.	Функция напряжений Эри
Если объемные силы постоянны (к постоянным объем-
ным силам относится, например, собственный вес), то
как для плоского напряженного состояния, так и для
плоской деформации основные уравнения теории упру-
гости (12.2) и (12.16) приводятся к виду
АДд ед	Эт-та	0.	dzVx	дау	_ == 0.	1
дх	ду	’ дх	ду	’	1
У2(Рх4-о'д) = 0,	J
(12.22)
где q — объемный вес.
На контуре тела, согласно (12.3):
12.2.4.	Функция Эри для плоской задачи
анизотропного (ортотропного) тела
Для данного случая введем функцию напряжений ф
следующим соотношение!!:
ГЛ-Г21. С-’Щ
Здесь — компоненты обратно симметричного тензора
второй валентности
( 0 1\
\—1 01 ,
т, е.
Ф; = 0;	~ 1; и„ 5 =— 1; Хоо = 0.	(12.28)
Легко установить, что при подстановке выражений
(12.27) в (12.2) при отсутствии массовых-сил уравнения
равновесия удовлетворяются тождественно.
Из закона Гука (см. 3.3.4) следует
«ед	дух 1	Д’ф	р,-и	6-ф
Ех	Еу	У Ех	ду*	Еи	дх*
8у ——	— О’г -4-     —~— •	—А
У Ех Еу Ех ду*
± ДА	°2’295
+ Еу ’ дх* '
I . __	1	гАр
Gxy'lx,J^~ GXII' дхду '
Если подставить формулы (12.29) в бигармоинчеекое
уравнение (12.25), то получим
16
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Ех ду* \ GxtJ Еу ) дх2 ду2
Таким образом, функция напряжений в плоской задаче
теории упругости анизотропного тела должна удовлетво-
рять уравнению (12.30).
Из сопоставления уравнений (12 25) и (12,30) можно
записать условия эквивалентности напряженных состоя-
ний изотропной и анизотропной пластан:
— = 1;	(12.3!)
2'— — ^) = 1.	(12.32)
Exi, Е,, ,
Упругие характеристики многих анизотропных мате-
риалов не подчиняются условиям (12.31) и (1232), и ре-
шение плоской задачи для таких материалов более слож-
но. В частном случае изотропного тела условие) 12.31)
выполняется автоматически, а условие (12.32) приводит-
ся к известному соотношению между упругими констан-
тами:
2(1 + ц)
Исключением является ряд простейших напряженных
состояний, характеризуемых функцией Эри, например
вида
Ф = Сх3 + Dus + Ex" у 4- Fxy2 + Gx2 + Ну" + Кху.
Этц напряженные состояния будут одинаковы как в изо-
тропных, так и в анизотропных пластинках, так как все
производные четвертого порядка от <р равны нулю
и уравнения (12.25) и (12.30) обращаются в тождества.
12.2.5.	Плоская задача в полярных
координатах
Уравнения равновесия (рис. 12.П):
ст,	1 ^Tzf) ° г ~		
	+ 	 ,	. 	 + R = Г);	
дг	Г	дв	г	(12.33)
1	'"Ч	2т. й	
		— + -— +Q-0.	
г	дв	дг	г	
Если ввести Функцию напряжений ф(г, б) и положить
(при отсутствии объемной силы) /? — Q — Q
1	Лр	I		r?3q:
°7 ~ г	дг	г2		““ дг2
	д /	1	Эср \	
дг \ г дв2 I ’
(12.34)
то уравнения равновесия (12.33) удовлетворяются тож-
дест нешто.
Функция напряжений <р должна удовлетворять диффе-
ренциальному уравнению
5=	1	д	1	д2 '	1/ 53Ф ,
	U »--» 							-  
. дг2 г	дг	и	<№ ,	В дН
1	дсу	1	д2ср \	
4“	—	+ ~Г 		= 0.	(12.35)
В частном случае, если напряженное состояние сим-
метрично относительно оси, проходящеп через начало
координат перпендикулярно плоскости чертежа (плоско-
сти деформации),
\в = 0;
4
о> == — ф- В (1 +2 In г) + 2С;
А
Of) = ~ ~Т + в (3 + 2 In г) + 2С.
г-
Постоянные А, В, С определяются из условий на кон-
туре.
12.2.6.	Сведение плоской задачи к задаче
об изгибе пластинки
Для решения плоской задачи можно прибегнуть к сле-
дующему приему [5]. Разыскивается функция ф(х, у}
таким образом, чтобы на контуре выполнялись условия
Ф-тЬ	(Дф
р = cos (Х; v) _ cos {у, v).
ду“	дх ду
<)ДЬ
(12.36)
Функция ф(х, у) при этом вовсе не должна удовле-
творять уравнению (12.25) и может быть задана без
затруднений, например, в виде полинома с достаточным
числом неопределенных коэффициентов. Эти коэффи-
циенты следует подобрата таким образом, чтобы хотя
бы приближенно удовлетворять условиям (12.36), Воз-
можны и другие формы задания функции ф(х, у).
Функцию Эри ищут в виде
<р = ср(х, у) =ф(х, у) ф-ш(х, у}.	(12.37)
Поскольку на контуре, согласно (12.26):
52<р
р _ ——- cos та та — —-------- cos (у та;
ду2	дхду	’
г)2®	сРф
р _—---------cos та та д_-----cos та та
 vv дхду	’ дх3
3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
17
то функция w должна удовлетворять условиям
d~w	г)2ш
— cos (х, v) —------------cos (у, у) = 0;
ду2	дх ду
d~tt>	d"w
— cos (х, у) + cos (у, у) = 0.
дх ду	дх-
(12.38)
Подставив (12.37) в (12.25), получим
I	д* д4 \
\дх* 5х2 ду"- ду* Г ’
Следовательно:
гМш д*еа
-— + 2--------
дх* дх- ду"
д*ю
ду*
(12 39)
Задача сведена к задаче об изгибе полностью защем-
ленной пластинки (см. раздел 13). В самом деле, если
на контуре пластинки удовлетворяются условия
w = 0 при х = 0; х = [• у == 0 и у = /г;
дю	дю
 = 0 при л- = 0, * = I и-----= 0 при у — 0, у = /г,
дх	ди
то должны удовлетворяться также вытекающие из
(12.25) условия. В результате приходим к формулам
д2ю / \2х2	Г2х	\	/дю
Q . .. । 0- . ।	.	—.. j р _i	.
ду2	v \ h2 h	J	дх2
d"zo
^^ITdy >
где
Р{х, у)
Ж1	Д'Щ
дх* ду2	ду* ) ’
(12. 10)
Р
Рис. 12 12
т. е, известная нам функция.
Итак, плоская задача сводится
к задаче об изгибе пластинки
при контурных условиях (12.38)
(см. раздел 13).
Так как решение последней
задачи во многих случаях из-
вестно, указанный прием может
оказаться весьма полезным для
решения ряда задач.
Отметим, что для полной
аналогии с задачей об изгибе
пластинки необходимо поло-
жить
Ь------1
lllrilllHIIKIIIIIIIIlllllllll
Рис 12.13
где w — функция прогибов полностью защемленной пла-
стинки, находящейся под нагрузкой 24р/й2.
Для балки, нагруженной согласно схеме, показанной на
рис. 12.13, примем
Эго Даст

др
/г3
(12.43)
Р(х, у) =
Р(X. у}
D
6г>	, х=
ду*
где п(х, у} — действующая на пластинку нагрузка; Л —
цилиндрическая жесткость.
В случае прямоугольного диска контурные условия
(12.38) принимают вид
(те ! у3	у2 \	д2Ю
Щ ( ДГ	2 h]	<h.s ’
6л	д2ю
Пу =— 7Д- (У3 — У1)	
/г3	дх ду
d-w
----= 0 при х = 0 и х = У
ду2
32Ш
—— = О при у = 0 и у = k; I (12 41)
d2w
—----— q — вдоль всего контура.
дх ду
Для прямоугольного диска, нагруженного согласно
рис. 12.12, возьмем функцию ф в виде
/ х*	2	\
ф= -7---л3-1,5х2 у. (12.42)
\ /г2	/г	/
Продифференцировав (12 42) дважды по х, получим
Все условия
стве w взять
на контуре удовтетворяются, если в каче-
функцию прогибов прямоугольной, пол-
ностью защемленной на контуре пластинки, находящейся
.. 6Р ]2Р	„	.
под нагрузкой ———р-у. положив	где
п'- hx
'12р
го2 —прогиб пластинки от нагрузки у, а —прогиб
п3
бу
пластинки от нагрузки — , можем воспользоваться го-
товыми решениями.
Изложенный прием дает возможность при надлежа-
щем выборе функции ф использовать решения задач
о защемленной пластинке для плоских задач теории уп-
ругости.
G
у —
И?
12х
12.3.	ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Подставив в (12.25)	получим
54ш д*ш d*w 24п
— 4- 2---------4- ----=— --- .
дх* 1 дх2 ду2 ду* й"
2—26
Вариационные методы решения задач теории упруго-
сти имеют ботьшое практическое значение, так как они
в большинстве случаев лают возможность получить
сравнительно просто приближенное решение тех задач
( ро П С ;то 1
18
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ II ПОЛЗУЧЕСТИ
теории упругости, для которых точное решение неизвест-
но я.ш слишком громоздко. Ниже излагаются основные
вариационные методы решения задач теории упругости,
12.3.1.	Метод Ритца
Метод Ритца основан на использовании начала Ka-
ro плиало При решении задачи этим методом для дан-
ной конкретно!! задачи выбирается система функций:
(12.44)
(12.45)
удовлетворяли как уравнениям равновесия
Do f	бт х:/ 8т е?
_1„	— -L — О’
дх ду c)z
^их	.	dOi/	8tvz__
дх	ду	'	дг
дог = о
дх	ду	1	дг
так и условиям на поверхности тела:
и-- + ^2п = Pxv-, ay>i^n + д№ „ о.
Гх 1 + °'Лит + "4 П = Рух- 4* 1 т + Ггг ” = °
44 1 + Чд т П~ "с п “ Pzv; Т’Х) ~П rtl + п °’
Что касается других уравнений теории упругости, то
они, вообще говоря, пе будут удовлетворены выбранной
системой функций (12 44). В самом деле, подставив вы-
ражения (12.44) в уравнения закона Гука (см. 3,3.1), най-
дем составляющие тензора деформаций ех, tv, sz, уыу, ...
Подставив затем эти составляющие тензора деформаций
в уравнения (3 23) (см. 3 2.1), получим шесть уравнений
для составляющих вектора перемещения (и, о, ш):
ди	dv	dw
.	,	__ g .	__ g .	___ g .
дх	ду и дг
ди	dv	dv	dai	dw	ди
,	"5 ) Уху ~V~~ 4” 'У'" = У yz, ~ 4“ П = Уих
ду	дх	дг	ду	дх	дг
Однако если выражения (12 44) пе являются точными
решениями уравнений теории упругости, полученная си-
стема уравнений будет неразрешима, так как определен-
ные вышеуказанным способом составляющие тензора де-
формаций не будут удовлетворять уравнениям совмест-
ности деформации Сен-Вепапа (127).
Тем пе менее, согласно Ришу, можно, исходя из вы-
ражений (12.44), получить приближенное решение урав-
нении 1еории зпртгости, опреде П1В неизвешпые коэффи-
циенты иа из уравнений
dW
---- -- 0 при к = 1, 2, 3,...,	(12 46)
дау
где У7 — выражение для потенциальной энергии дефор-
мации (12 18) или (12.19).
В случае тоскою напряженного состояния выра-
жение для потепцчалыгой энергии принимает вид (12 20).
Воспользовавшись функцией Эри (12 24) и принимая
у—0, преобразуем уравнение (12.20) к виду
1 (‘ Г (। Ч’ V i Ф I3 1 д'2 Ф V
Т ----- ---------2- -у-------ф2 (---— | 4-
2 с JJ I. бх2 , ду- ) дхду /
[/ д- гр д- <р б3фЧ)
щ2и ГщчН	—V-\\dxdy. (12.47)
р\ охду j дх- ду- JJ
Выберем теперь систему функции
<Уо(х,У}, Ч1(х,У), <f2lx, у), . ..
таким образом, чтобы удовлетворялись следующие кон-
турные условия:
д- фп	д- фо
~Т7Г cos (П Н — — Т~ cos (у, V) = р ;
оу-	дхду
д2 фп	д2
_^COS(XJV)+^COS({/1,,)=^.
д" ф/,	б2 ш
——- cos (х, v) — —— cos (у, а) = 0;
дуи	дхду
д2	д2
— cos (-х’	+ “ПТ- cos (У’ v)=0 (й = 1, 2, 3...).
дхду	дх-
Положив далее
т
Ф Фо + S фй (х, у)э
можно найти коэффициенты из системы уравнений
(12,46), используя для Ж выражение (12.47).
Пример 12.1. Найти распределение напряжении и пря-
моугольном диске, ограниченном прямыми х=~а, у —
= ±.Ь и нагруженном на кромках х = +а напряжениями
Граничные условия:
при х а
т:ху = 0;
при У=±Ь ау = 0, гху ^0.
Это дает для функции Эри:
при х = Ш а
при у = + Ь
б2ф	/ у2\	сЭф
ду"	\ Ь- /	дхду
д~ св	б3 ср
—24 = 0; ------= 0.
дх-	дхду
12 3 ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
19
Положим
<₽ = Фо (х, lJH ак Ф* (х < У) = ~7Г УЦ1— —) 4-
Vassal	Z \ ЬО" /
k
+ Voj Vk (х-У)-	(12-48)
k
Все граничные условия будут удовлетворены, если
в качестве функции (р.(х, у) принять выражения:
ад (х,	у} = (х2	—	а2) (у2	— Ь2)\
<Д (х,	у) = (х2	—	с2) (у-	-- Ь°) х2;
цу (х,	у) = (г'2	—	а") {у2	— 4>2) у2-,
фз (х,	У) =-= (х'2	—	а2} (у-	— Ь2) х4;
Подставив (12.48) в интеграл (12.47), произведя инте-
грирование и потребовав выполнения соотношений
(12.46), получим систему уравнений для коэффициентов.
В первом приближении можно все ак, кроме су, поло-
одно-
жить равными нулю, и задача сведется к решению
dW
го уравнения ~~— = 0, из которого
Р___________________1_______________
ц4 Ь2 64	256 ft2 64	64
7 + 49 а2 + V ’ а4
12.3.2. Метод Бубнова — Галеркина
Выбирается такая система функций
иа(х,у,г); fk(x,y,z)-,	1
Ф) (х, У, г); <pk(x,y, г);	(12.49)
Ц-’п (х, у, z); ^к(х, у, г) (й= 1,2,3.. .), |
чтобы выраженные с ее помощью составляющие вектора
перемещения
и = и0 + S ak h:, V = о0 + S bk ФФ
k	/г
w = wB + ^ck^k>	(12.50)
k
где as, bk, Ck—пока произвольные постоянные, удов-
летворят!! некоторым изложенным ниже условиям.
С помощью составляющих вектора перемещения мож-
но вычислить составляющие тензора деформации:
8х = е2+4П1 ф=Е"+8^ 1 s2=fz+fin;
^Ху = V =т"у +t!V ; К2=?22+Щ;
л; — п Ж-Д1!
7 г/г “ ТУ2 + • г/г ,
В частном
=— 0,0-’2 33,
а4
будут:
случае квадратной пластинки а{~
и составляющие тензора напряжений
/	и2 \	/	Зу2 \ !	X2-’
Sj=p 1-ч- -0,1702,о 1--“	1- —
\	Ь2 /	\	а2 1 \	ц3
оу=—0,1702р 1
Зх2
а2
у2 V"
а2 / ’
XI/ /	Х“
хы =— 0,6805р -ф- 1 — ~
а2 \	а2
9ип дх			ду	0 dw^ дг			-2k k	dfk дх
е(1) =	k	bk	df2k ~ ду	е(П =	V k	ск'	d^k _ 9г	
= i XU	ди0 ду	4-	дУу _ дх	/ . i Х2	дг	' 4~	dwa дх	
Для получения более высокого приближения можно
принять й = 3. Это приведет к системе трех уравнений
с тремя неизвестными
В частном случае квадратной пластинки
аг = 0,04040 — ; а2 = а, = 0,01174	,
aQ	а3
а для пластинки с отношением сторон а/Ь^.2
at = 0,07983	 а» =0,1250—~ ;
eft Ь3 *	а6
а3 = 0,1826 —Л— .
а0 о-
Имея значения a!t as, аз, с помощью формулы (12 48)
получаем приближенные значения функции Эри, что,
в свою очередь, даег возможность подсчитать по форму-
лам (12.24) возникающие в диске напряжения.
2*
Имея составляющие тензора деформации, можем по
формулам закона Гука (см 3,3.1) вычислить состав-
ляющие тензора напряжений:
ах = +<4’ ’ J ау =ау 1
°г = °г +°Г ’ 1 \д = 4 +т^>;
Щ=1л-г+тГг; ^г =^г +гй>>
(12.51)
20	РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
где
Для того чтобы выражения (12.51) действительно
представляли собой приближенное решение соответст-
вующей задачи теории упругости, И. Г. Бубнов пред-
ложил определять входящие в них коэффициенты а>,
и сь. (*=1, 2, 3 ...) из системы алгебраических уравне-
ний, которая получается после подстановки выражений
(1251) в уравнения
TV ’txy’
.....................................  •	' I
Составляющие тензора напряжении (12.52) должны
удовлетворять из поверхности тела условиям:
<( 4-4 m+
ali)z +тЯ’т + T1V 'i =- °;
4z + ^m + 4« = /V
(12'53)
1 + т + 4п = pZv’
Tzx Z "Т rzff m + 4’’ n = °’
Для этого исходная система функций (12 49) должна
быть выбрана таким образом, чтобы на поверхности тела
удовлетворялись 'условия:
2(1 —р.)	dfk	д^
---------- ------14-------пг = 0:
1 — 2р.	r'x	ду
2p	Эф;-	Лрд	йф^
--------, ---- I -------- ф_ ------- п = Q.
1 — 2р	ди	дх	дг
2о	64ц.
1 — 2р	ду
дг ' 1 1 — 2р
1
>(	дах дх +	дххл,	Этг, \	1 	у	] dxdydz = 0; ду	дг }
	1, дх !	дди	дх,,, \ 	 —|		 dxdydz =- 0; ду	дг )
		дх,,, dtx, \ , ,
[ 1 j1 ф/г	”4 + ( дх			 д_	] dxdydz --- 0 ду	дг /
	(k	= 1,2, 3...)
(12.55)
с последующим вычислением приведенных интегратоп
Эффективность метода Бубнова — Галеркина зависит
от того, насколько удачно выбрана исходная система
функций (12.49). Опыт показывает, что при удачном
выборе этих функций можно добиться необходимой точ-
ности решения, ограничившись в рядах (12.50) двумя
или тремя членами, т. е. приняв
а = «(, + afy,
V = п0 4- 6<Pi;
w = wB 4- ctfy;
илп
а - ап -у- аг fy 4- <4 /4 1
о = v„ J- bi <р, 4 b, <р,; I
а) = а.,04'с1 Ф1 + са фа.
(12 56)
----- т !
дг
—— / 4- —— г
дх ду
JiLl+
ду
1 — 2р.
Э<Га /;j_ 2(1 — 10 dtfk
дх ' ‘ 1 — 2р ду
4 ~V~' п = 0;
ду
dfk
•----п — 0:
дх
д^ь .
. .---п __ Q.
— 2ц ду
, 2 (1 - и) оф;,
4 ----;„ ==
дг
-2р
dfk
 ---т = 0;
дх
+ —:— Ч	0;
ду
УГГ.1,
- т 4----- я = 0
1 — 2р ду дг
(*=1,2,3...).
2ф
1 — 2р.
.-------т
0;
J
(12.54)
Заметим, что эти условия на поверхности теля могут
быть легко удовлетворены, если систему функций (12 49)
выбрать в виде полиномов достаточно высокой степени
с надлежаще подобранными коэффициентами.
12,3.3. Метод Треф-Лчя
(метод смягчения граничных условий)
Выбирается система функций
и/г(х,у,г), од, (х,	2); wk(x,ty,z) (12.57)
(k = 1, 2, 3...)
таким образом, чтобы ряды
v	1
и= i akUk(x, у, г);	.
&	I
o=E*H^4,y,a);	(12.58)
k
w = S CfetOfe (x, y, z)
k
1
удовлетворяли уравнениям Ляме (12 17). Функции
(12 57) рассматриваются как составляющие вектора пе-
ремещения точек упругого тела и по формулам п. 12,1
вычисляются составляющие тензора деформаций ех,
8г, Уху, Ухг, Yyz-
После этого по формулам закона Гука вычисляются
составляющие тензора напряжений ах, ov, ог, т.хУ,
Тхг, Tyz.
Полученные составляющие тензора напряжении будут
автоматически удовлетворять уравнениям равновесия
(12 2), поскольку функции (12.57) удовлетворяют урав-
12 4. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
21
нениям Ляме, но граничные условия при этом не будут,
вообще говоря, удовлетворены. Однако при надлежащем
выборе неопределенных коэффициентов as, bk, ch гранич-
ные условия удовлетворяются приближенно Для этой
цели следует подставить выражения (12 58) в уравнения
П’(пл 1+ т + гх*'г~рЧ иk dF = °;
'р
Н ( т I Л- а т + т п — р ) V , dF -= 0;
JJ \ у# ' у uz F W4 k
F
И ( т I 4- т т 4- а	dF ~ 0
,1,4 гх 1 zu 1 z г <4 k
(12.59)
и решить полученную систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных коэффициентов
треугольной нагрузкой. Напряжения вычисляются по
формулам
х3 у	р /	6
ах = р -у ф. — —2ху> Д ~ с2 ху
4са	4<4 \	5
Зпх2	р
Ы/ = уу- ч - ч - Ч - У1) -ь
12.4. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12.4.1. Чистый изгиб
Пластинка, имеющая поперечное сечение в виде узкого
прямоуготышка, нагружена по торцам нормальными на-
пряжениями (рис. 12,14), сводящимися к двум парам
Рис. 12.15
Рис. 12.14
с моментами ,14. Решение теории упругости совпадает
с элементарным решением сопротиатения маи’риалов:
М
ох^ У, ° у - °-
Рис. 12.16
Рис. 12.17
12.4.2.	Поперечный изгиб консоли
а)	Консоль, имеющая поперечное сс-чсппе в ваде узкого
прямоугольника, нагружена на копие поперечной ситои
(рис 12 15). Если распределение касательных напря-
жении но торцовому сечению следует закону
Q (h~ -- 4фф
г. — ------------
то точное решение теории упругости совпадает с элемен-
тарным решением сопротивления материалов:
М Рхц
ах^ — у == -у- ; о,, = 0;
QS _ 44уЫ4
T*i7 lb	8/
Если касательные напряжения по торцовому сечению
распределены но какому-либо иному закону, то в соот-
ветствии с принципом Сен-Велана, на расстояниях от
торца балки, равных примерно высоте ее сечения, мож-
но с достаточной точностью пользоваться приведенными
формулами.
б)	Консольная балка, имеющая поперечное сСчелИе
в виде узкого прямоугольника (рис. 12.16), нагружена
Решение справедливо, если по торцовому сечению бу-
дут ипствовать нормальные и касательные напряжения,
получающиеся из приведенных формул при х = 1.
12.4,3.	Поперечный изгиб балки
а)	Действие собственного веса (рис. 12.17). Распреде-
ление напряжений:
Зу ,	/2	\
Оу =	IF
3	/,	У" \
Ю =--у	—
Здесь у — объемный пес материала Решение справед-
ливо, если по торцовым сечениям действуют касательные
и самоуравновешенные нормальные напряжения, полу-
чающиеся из приведенных выражений (при х^^Ы),
6)	Действие поперечной нагрузки (рис. 12,18), Распре-
деление напряжений:
Ю_ (/:
2/ х
р 2	2	\
х2) У +------- — У’ — — с- у ;
’	2! \ 3	5 Г
-) ,	P\ U П Р М’\Г Ш il’in I <1 орцс дщ ТГОГИП У П1 У ГОС^И ПТ'СТИ I Ж Г т И ПОТ’' ЧГСЛ I
Рис 12 18
а . =— p — (ф ch ay — a-i у sh ay) —	(b4 sh ay
а„ у ch ay) sin ax
d-
(a c sh ay — щ у ch аг/)
a, у sh ay) coa ax
3 lecn
a ac —
ac ci ac — sh ac
ac ch ac. sh ac ~
sh 2ac 2a
— (a4 c ch ay —
4,
a ch ас — a,
ac sh at — ch ar — 6,
ar sh ar p ch ac - 6,,
sn ac — lac — d,
Dcme шс спр 1ВсД шво при ус ю ши что па ’оонах ба а
кч вштмг 1 icmninii nipwins по у1 ающиесч
из приведенной форму i i при л~=0 и х = 1
12 4 4 Изгиб кривого бруса
(задача X С Головина)
Брас имеет круговую осевую шпию рипуса г и по
У Д\
3!л
~Г
сюяшюе "oiicpi, пос сечение в виде уi\ого прямою отв
пика Брус иг иб 1 тсч в птослостч свое i крчвпзгы па
рюш сиг 21 прптол in mi по кои гам Р icnpeie тение
напряжен ш в го яр i щ коор гпн it щ гстся форму нами
ог
(р Ь" Ь
I-------.in —
в0
г- а
г	а \
Ь In — -r а ш — ,
Ь	г )
Рис 12 19	Рис 12 20
есчи по торцам
теш о справе чтиво
еатетьшп. ч Сзмоуравновешенн ie
есичя поучающиеся из приведенных
ют
про
е = + /
в) При переменном попсрс том
Распреююиш нанря пенни
ба тки депству
иорматы-шс
форму а
сюепи и
(рис 12
Л!/
В
7
tgsp


па гтубипс л
на
при
19)
31 I у 1 — 1ЧВ1СП1 води
пня е ниш цы объема
Решешк спрашд'ыво при
се кпию деиствуют норм i тьныс и касатспяпи папря
жегпи no iy чающие си чз пригкдешшх форму а при
УС1ОВИ1 ЧТО
q — собствен
по торцовом'
i) Из1иб б ики с шусощатопоп 'кмру’кои (рчс 12 20)
— ny сп аг/ - а} у sh аг/) — (о sh an
г/j	d2
у ch ay) 1 sin ах
~ и in — - b — а'
2	\ — (Ь — а ) — 4а b [ 1р —
\ а
Зтесп а о —соотвстм-венно внутр ппии и наружный ра
иди от г
Эти тгошмгшя яв тяю ся ТОПП.1М рнишкч задачи
а ш in тор I гм брус! р шире ie т тис нор I 1 н hi lx папря
Ж НИН С И I впр 1Жс1 ИЮ I 1Я о
12 4 5 Клин, сжатый сосредоточенной силой1
(рис 12 21)
Р а т I г 1 not тагря/Мпш в по шрных координатах [21]
В11 ПК ЯС I по форму тс
Рс 10
a ] —- sm 2a
Пзив о I < 'в 12 11—1 4 р пиния с 1ра зе чивы как ;то
вьин з мечато I юико .ц i rupt к. шип закон а д паспретете
и 1 ио’) in hi х з hi it аь x напр шин ^орцэв ш с<че
н в ток Пр! тр I их п к ли тепе тн х расгрспепс
пнях ор 1 I nix I I а in (них niip i сиз пп горцотш сече
Н1ям	ги р л с и'I ост нт1Я гост! опо гопы и rfa рас
стоштх от тонн, равны пр впр о по ови те высоты баткз
12 4 СВОДКА. НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
23
Распределение нормальных и касательных напряжений
в прямоугольных координатах дается формулами
== or sin2 0;
Ра п-2 — Рь Ь"
ох = or cos2 0;
1
тлд = ду г sin 20.
Решение является
точным, если распреде-
ление нормальных и
касательных напряже-
ний по торцовому се-
чению следует приве-
денным формулам.
12.4.6. Толстостен-
ный цилиндр
и сферический сосуд
При осесимметрич-
ной деформации толсто-
стенного цилиндра или
диска (рис. 12,22) рас-
пределение напряжений
в полярной системе ко-
ординат с началом в
центре дается форму-
лами
(Ра — Pb) а2 Ь-
г2 (62 — а2)
(Рл — Рй) а'2 Ъ2
т2 {Ь2 — а2)
Здесь Oi — норм ильное напряжение па площадке, плос-
кость которой проходит через ось трубы; ог — нормаль-
ное напряжение на площадке, перпендикулярной ра-
диусу г.
Рис. 12.22
При полярпо-симметричиой деформации толстостенно-
го сферического сосуда (рис. 12,23) распределение на-
пряжений в сферической системе координат [21] дается
формулами
а3 (2г3 -ф &3) Ь3 (2г3 -ф Ь3}
?г3 (Ь3 — а3)	2r'3 (63 —	л3)
а3 (г3 — Ь3)	Ъ3 (а3 — г3)
г3 (Ь3 — а3)	+	г3 (Ь3 — а3)
Рис. 12.23
В приведенных формулах ра— внутреннее и ръ — внеш-
нее давления.
12.4.7. Упругая полуплоскость и упругое
полупространство [21]
Дана сосредоточенная сила, приложенная к точке пря-
молинейного края полубескопечпой пластинки
(рис. 12.24). Распределение напряжений в плоскости тп
Рис. 12 24
па расстоянии .г от прямолинейного края дается фор-
мулами
2Р cos3 0 2Р х3 1
сц——•------ • -----=--------• -------------;
л г	л (х2 -'г д2)2
2Р
Sin2 0 cos2 0;	(	(12.60)
2Р . п .... 2Р х2у	|
tw =—------sin 0 cos" 0 --— — •----------.
лх	л (Н-фу2)2	I
Здесь Р — сосредоточенная сила Угол 0 — см. рис. 12.21.
При сосредоточенной силе Р действующей на тон-
кость, ограничивающую полубескопечное тело
(рис, 12.25), распределение напряжении в цилиндриче-
ской системе координат дается формулами
24
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
N	N
где о0 = — = ———— номинальное напряжение, огнесен-
F	2Ьо
ное к площади брутто.
Для овальных отверстий коэффициент концентрации
напряжений может быть вычислен по формуле
«».«»
где р — радиус кривизны дна отверстия; t — половина
ширины отверстия.
12.5. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ1
12.5.1. Концентрация напряжений
при растяжении
а) V отверстий. ГЬ рис. 12 26 даны эпюры распреде-
ления напряжений по поперечным сечениям растянутой
4
Рис 12.26
Рис 12.27
полосы, ослабленной отверстиями различной формы.
При приближении к краю отьерсгия напряжения резко
возрастают (эффект концентрации напряжений). Коэф-
фициент концентрации напряжений
/Макс
о0
3 Уточнение решений может быть получено на основе мо-
ментной теории упругости (см, 12.6.7).
При круговом отверстии k~3.
б) У выточек. На рис. 12.27 и 12.28 даны эпюры
распределения напряжений по поперечным сечениям
растянутых стержней, ослабленных выточками, а на
рис. 12 29 — у выкружек. Максимальное напряжение
°макс —:
где
„ Л Р
а°~” К “ 2а8 ‘
Таблица 12'1
Отношение а/р	Поперечное сечение стержня		
	по рис. 12.27	по рис. 12 23	
		ДЛЯ С;	для о.
0	1	1	1
10	4,1	3,3	1,05
20	5,6	4,6	1Л
30	7	5,6	...
Таблица 12?
б'р	1	С/р			
	I 10	5	1	2
1	)	1,70	1, Ь6	1, зо	13’
.<	1	1,55	1,81	О	1,9’
3	1	2,09	1,91	1,79	—
4	2,15	1,99	! ,Н	—
5	2,17	2,02	1Л1	—
Коэффициент концентрации напряжений k определя-
ется: у выточек по табл 12,1, у выкружек (рис, 12 29)
по табл. 12.2.
12,5. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
25
12.5.2. Концентрация напряжений
при изгибе [15]
Балка с круглым отверстием (рис. 12.30)
а)	Чистый из1иб (рис, 12.31, а). Для балки с круг-
лым отверстием, центр ксюрого расположен произволь-
но по BLieoie балки, напряженке
Л1г
о0 -------(sin 0 — sin 39) —
—------ц—2 cos 29).	(12,63)
/ г
Рис. 12.31
Здесь Л? — изгибающий момент; Д — момент инерции
сплошною сечения балки относительно нейтральной оси,
г — радиус отверстия; 0 — полярная координата точки
контура; h — расстояние от центра отверстия до ней-
ipa.ibiioH оси балки; расстояние h считается положи-
тельным, когда центр сиверстия расположен в сжатой
тоне.
б)	Поперечный изгиб при действии сосредоточенной
силы (рис. 12,31,6), Центр отверстия расположен про-
извольно по высоте балки. Напряжения но контуру:
Л1
Од =- — —— [г (sin 0 — sin 39) -Ц А (1 — 2 cos 20)] —
Р
— —— [г- (sin 20 — s:n 49) ~~ rh (cos t) — 3 cos 30) —
— 2 (с2 —Ц) sin 20],	(12.64)
в)	Поперечный изтиб под действием равномерно
распределенной нагрузки (рис. 1231, а). Центр отвер-
стая лежит на нейтральной оси балкя. Напряжения по
контуру
Рис. 12.32
.41 — изгибающий момент в сечении по центру отвер-
стия
При построении миоры контурных напряжений значе-
ния аоткладываются на радиусах
Эпюра, построенная по формуле (12.65), показана на
рис. 12.20
Балка с отверстием квадратной формы
(рис. 12.32)
Таблица 12.3
0 в граи	0	15	30	45	53	I5	80	90 ,
$ в грач	0 i	9° •)!)'	24° Л)'	45'’	Ь5°&1'	Ь0°2Ь'	83°40'	90° :
У в граР	100	IU5	120	135	150	165	180
в гр аО	96°20'	99'41)'	Ш°10'	135й	153“50'	17О°20'	180°
Центр отверстия лежит на. нейтральной оси балки.
Решение дано для квадрата с прямолинейными старо-
26
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
нами и закругленными углами. Две стороны квадрата
параллельны центрально!! оси балки.
а)	Чистый изгиб (см. рис. 12.31, а). Напряжение
М	г 1/~2	Г
=- у- 	-------г 1 185 (sin 9 +
х 2 | 0,9 — — cos 40 )
\	2	/
+ cos 0) Д- (sin 30 — cos 30) +
+ (sin 50 4~ cos 50)j.	(12.66)
Здесьr= (flo’+bo). где an—половина стороны квад-
рата; ba — половина диагонали квадрата; 0 — полярный
угол в преобразованной области; 0 — полярный угол
в плоскости балки.
Задаваясь углом 0, получаем гд — напряжения по
площадкам, перпендикулярным контуру отверстия.
Для построения эпюры контурных напряжений нужно
в плоскости балки откладывать соответствующие углам
0 углы 'в. Пересчет углов производится по табл. 12,3,
б)	Поперечный изгиб под действием сосредоточен-
ной силы (см. рис. 12.31,6). Контурные напряжения
~-------------------1,185 (sin 0 + cos 0) Д-
2/х (0,9 — — cos 40 j L
\	3	)
+ (sin 30 — cos 30) Д — • (cos 50 Д- sin 50)~j —
P	f Г
	Дз q §34 cos 20 Д- sin 40 4-
/	2	\ 1
1 x i 0,9 — — cos 40
\	3	1
113	]
-J-—- cos 60 — cos 20 .	(12.67)
Эпюра ol(, построенная по этим формулам, показана
па рис. 12.32.
При построении эпюры значения (^откладываются по
нормали к контуру. Отсчет углов О ведется от линии
Д —0, составляющей с горизонтальной осью балки угол
а ==45°.
Формулы п. 12.5.2 выведены для бесконечной полосы
прямоугольного сечения, но они могут быть применены
с достаточной для практических расчетов точностью для
балок ограниченных размеров si любого сечения. Точ-
ность результатов зависит от величины отверстий. Фор-
мула для чистого ш-гиба дает хорошее совпадение
с опытными данными, если наиболее близкая к краю
балки точка отверстия отстоит от этого края на расстоя-
ние, не менее наибольшего полудиаметра отверстя;
в случае изгиба сосредоточенной силой — не менее 3—
4 диаметров отверстия.
Наличие нескольких отверстий изменяет картину рас-
пределения напряжений в балке; но для практических
расчетов и в этом случае могут быть использованы те
же формулы при условии, что расстояние между цент-
рами отверстий больше двух диаметров отверстий.
Пластические деформации вблизи круглого отверстия
см. [19].
12.6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
УЧИТЫВАЮЩЕЙ МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
12.6.1.	Основные положения моментной
теории упругости
Действительная прочность некоторых материалов за-
висит ог градиента деформаций или напряжений. Кро-
ме того, распределение напряжений при резких градиен-
тах (например, в условиях концентрации напряжений)
в большинстве случаев не соответствует решениям, по-
лученным в классической теории упругости. Дело в гом,
что в классической теории упругости, начиная с Коши,
считают, что воздействие одной части тела на другую
по некоторому произвольному сечению может быть све-
дено к распределенной нагрузке — нормальной и каса-
тельной. При этом возможная распределенная момент-
ная нагрузка не учитывается. Не учитывается и дефор-
мация малых элементов, вызываемая моментной на-
грузкой.
Моментные напряжения (рис. 12.33J учитывает тео-
рия упругости, разработанная Косеера [13].
12.6.2.	Уравнения равновесия
и несимметричный тензор
напряжений в двухмерном случае
Уравнения равновесия, выражающие, что суммы про-
екций всех сил, действующих на выделенный элемент,
на оси х и у равны нулю, имеют обычный вид (при от-
сутствии объемных сил и моментов]
дох	дтх„
—5_ I ----М.
дх	ду
дХух i Угу
. л---------
дх ду
Уравнение, выражающее равенство пулю суммы мо-
менлов всех сил, действующих на выделенный элемент,
имеет вид (рис. 12 34)
дтх
дх
дт{,
ду
— 0 
Следовательно, вообще говоря, тензор напряжений (см.
3.1.5) не симметричен, т. е. тха=Дтух.
12 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ УЧИТЫВАЮЩЕЙ МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
27
Наряду с приведенными деформациями существуют
еще деформации изменения кривизны элемента
Несимметричный тензор напряжений
/ ° г Хху \
ау /
можно представить в виде суммы симметричного и ко-
сосимметричного ынзоров
да>,
у= (рис. 12.36).
s OX
дбх
л дх Ох
Обозначим:
Рис. 12.34
12.6.3.	Деформации, вызванные действием
силовых и моментных напряжений
Деформации е», cv, у-с1, и жесткий noeopoi ы2 нахо-
дятся по обычным формулам.
Рис. 12 36
ди	дю	dv ди
= __ = ------, = + ~~
1 / dv	ди \
= —---------—------
2 \ дх	ду )
Деформация е», ву, учу и жесткий поворот <ог пнхо-
вае1 обычны,! сдв'и, анидцм месячная (тд)—неурав-
новешенное вращение (рис. 12,30).
12.6.4.	Закон Гука
В теории упругости, учитывающей моментные напря-
жения, закон Рука имеет вид (в двухмерном случае пзо-
ipomioiо тела)
1 + ц
ег = —— [<Д — g (Д + аф];
РАЗДЕЛ 12 Г. РАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
в„ 	1о„ — и (ог + оу,)];
с
ла к I не чико, эффект влияния моментных напряжений
невелик. Однако при наличии градиента деформации в
том случае, когда размер тела приближается к I, мо-
ментные напряжения могут существенно влиять на ре-
зультат расчета.
1 1
4В ' 4В у
Здесь Л -- новая константа упруюсти материала, нося-
щая название модуля кривизны; множитель 'В вв> ден
для удобства.
12.6.5.	Условия совместности деформаций
В двухмерном случае условие совместности линей-
ных и угловой деформаций имеет обычный вид
О-Гг д~еи______д"Уху
Оу'-- ' дх"	дх ду
Кроме того, должно иметь место условие совместности
кривизн:
О'Л t д'Лу
Оу дх
Условия совместное гн деформаций и кривизн имеют вид
____ду и/	дгх _ деу 1 духу
х 2 их ду ’ У дх 2 ду
12.6.6.	Функции напряжений
Если ввести две функции напряжений у (х, у)
и ty(x,y}> то можно у доь.'.е творить всем уравнениям
равновесия, положив
<92<р	82ф	32ср <Э2ф
х ду" дх ду ’ lJ дх" дх ду
Фф 32ф	32ф	! Фф
ху Ох ду ду" ' ух дх ду дх2
д^	аф
----; т„ =	.
их	ду
Причем обе функции у и ф должны удовлетворять си-
стеме уравгг или
- (Ф - I"2Ф) — 2 (1 ~ ,ii) Р у Ч);
дх	ду
~~~	о (1 — ц) I- ~ у 2ф,
Оу	дх
а каждая в отде.тыюсгл — уравнениям
у Др = 0 и
V24'--Pr^ = O (V4 = vV)-
В последних Формулах 1 — I /
F о ’
где В — модуль кривизны, G — модуль сдвига.
От величины I зависит степень влияния моментных
напряжений. Если отношение наименьшего размера те-
12.6.7.	Некоторые результаты расчетов
по моментной теории упругости
В 12 0.1 отмечалось, что при одноосном растяжении
iriaCTnin.i с круглым отверстием радиуса I коэффициент
концентрации k=-‘3. Это действительно имеет мт-Сто во
всех случаях, когда г/1>10. Однако, при уменьшении
Рис. 12.37
Рис. 12.38
t/l уменьшается и коэффициент концентрации. Зависи-
мость коэффициент коньентрштии or отношения t/l при
разных значениях коэффициента Пуассона ц покатана
на рис. 12 37.
Зависимость коэффициента концентрации напряжений
около круглого отверстия от отношения /// в случае чи-
стого сдвига показана на рис. 12.38 (с.м. также [19]),
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
В настоящем разделе используются обозначения (по-
мимо введенных р.днее)
1
о = “ (о.е + оф + сг2);
1
о; "= — X
I 2
X /	ст _ aja ж (о; ~ 0J+
+ 6 1T.W + TXZ + ф-’)
(интенсивность напряжений);
1
£е-р = з (Ас + £у + И)!
V~2
е‘ ~ з х
х| (ел	НФ,- ФГ г .
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
29
Н” 9 [уху Г Чу? ' Чгх}
(интенсивность деформаций).
Уравнения равновесия (12.2), геометрические урав-
нения связи между вектором перемещения и тензором
деформации (12,12), а также уравнения неразрывности
деформаций (12.7) полностью сохраняются при реше-
нии задач пластичности и гермопластичности.
Граничные условия (12,3) в деформационной теории
пластичности полностью сохраняются; в теории пласти-
ческого течения они изменяются.
12.7.1.	Общие свойства
пластической деформации
Перечислим свойства упруго-пластического упрочня-
ющегося материала.
1,	Пластическая деформация носит необратимый ха-
рактер. Эта необратимость проявляется как в остаточ-
ных деформациях, так и в ходе изменения температуры
образца при деформировании.
2.	В пластической области между напряжениями и де-
формациями не существует какой-либо однозначной
связи. Пластическая деформация зависит от программы
или истории нагружения.
3.	Полные приращения составляющих /деформации de
аддитивно складываются из приращения составляющих
упругой деформации Феу и пластической деформация
den, т, е. de = фщ-гЕгп
4.	Составляющие упругой части полной деформации
описываются законом Гука (3.3.1), если среда изотроп-
на, или (3.3 2), если среда анизотропна.
5,	Разгрузка из любого состояния происходит упруго,
подчиняясь тому же закону упругости (3.3.1) или (3.3.2).
6.	Повторное нагружение по пути разгрузки может
быть проведено почти без петли гистерезиса. Поэтому
в теории пластичности принимается, что петля гистере-
зиса отсутствует
7,	Для многих металлов и сплавов пределы текучести
и пропорциональности практически совпадают, как это
следует из опытов. Поэтому в теории пластического те-
чения принимается, что они в точности равны друг
Другу.
8.	Опыт показывает, что при деформировании метал-
лов и сплавов в широком диапазоне скоростей вязкость
проявляется весьма слабо. Поэтому в теориях пластич-
ности материал предполагается невязким. В теориях
пластичности пренебрегают также деформациями пол-
зучести, что вполне допустимо, если рассматривать де-
формацию на относительно небольших отрезках време-
ни. Таким образом, при указанных условиях кривая
а—г не зависит от скорости нагружения и эффектов
ползучести.
9.	Пластическая деформация упрочняющегося упруго-
пластического материала — есть равновесный процесс,
следовательно, как и в случае упругого материала, ско-
рости деформаций должны быть однородными функция-
ми первого порядка скоростей напряжений.
10.	Напротив, в случае деформации идеально пласти-
ческого материала скорости пластических деформаций
являются функциями напряжений, Тем не менее идеаль-
но пластическая среда имеет глубокие отличия от вяз-
кой среды Так, для вязкой среды не существует поня-
тия разгрузки, в то время как для идечлоно пластиче-
ской среды при разгрузке деформации становятся чисто
упругими. Есть н друпде различия.
12.7.2.	Основные положения теории
пластического течения
Теория пластического течения является более общей,
чем теория малых упруго-пластических деформаций, так
как в случае простого нагружения теория течения при-
водит к гем же результатам, что и теория малых упру-
го пластических деформаций. Вместе с тем теория тече-
ния относительно лучше описывает процесс сложного
нагружения, чем теория малых упруго-пластических де-
формации.
Теория пластического течения упрочняющегося мате-
риала основывается на предположении, что существует
замкнутая поверхность в пространстве напряжений —
начальная поверхность текучести, отделяющая чисто
упругую область от пластической области.
В процессе нагружения начальная поверхность текуче-
сти деформируется так, что изображающая напряжен-
ное состояние точка в пространстве напряжений никогда
не покидает эту поверхность.
В теории пластического течения задается закон де-
формации этой поверхности при нагружении (закон
упрочнения).
В теории пластического течения формулируется закон
пластического течения, ассоциированный с функцией те-
кучести (или функцией нагружения),
Основные уравнения теории пластического течения
получаются из постулата Д, Друккера [20], утвержда-
ющего, что в процессе приложения к первоначально
напряженному элементу тела дополнительных напряже-
ний внешнее воздействие совершает неотрицательную
работу; работа внешнего воздействия за нотный цикл
приложения и снятия дополнительных напряжений так-
же неотрицательна.
Из постулата Друккера вытекают следствия:
1)	поверхность текучести ( = 0 выпукла;
2)	вектор скорости пластической деформации ортого-
нален к поверхности текучести f =0,
3)	между скоростями пластической деформации и ско-
ростями изменения напряжений должны быть линейные
связи.
Наконец, важным положением теории пластического
течения является условие непрерывности, в соответст-
вии с которым напряжения и деформации в пластиче-
ской области согласуются с напряжениями и деформа-
циями в упругой области, koi да изображающая напря-
женное состояние точка движется по поверхности те-
кучести.
12.7.3.	Основные уравнения теории
пластического течения
Дтя упрочняющегося материала физические уравне-
ния теории пластическою течения записываются следу-
ющим образом.
ёР = 0	при	/	0 или	I
df	.	I
при	/	--	0; I --	Д—	ОД	-< 0;	ц
ё," = h — f при f = 0; / ой > 0,
’	йоц-
(12.68)
I де й— скалярная функция, зависящая от пластических
деформаций, напряжений и программы нагружения,
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ II ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
30
В случае идеально пластической среды скорости пла-
стического течения отличны от нуля при постоянных на-
пряжениях. В этом случае физические уравнения тео-
рии пластического течения принимают вид

df
доц '
где X = 0 при ф=0, а также
Ф .
при / = 0; / = — ои- < 0;
доц
df .
X > 0 при f = 0; f =-- ай = 0,
ctoz/
где X—скалярная величина.
(12.69)
J
Можно отметить, что приведенные в 12.7.1 свойства
пластической деформации получают полное отражение
в теории пластического течения.
Следует подчеркнуть, что теория пластического тече-
ния отражает фундаментальное свойство пластической
деформации — зависимость ее от программы нагруже-
ния. В этом заключается большое преимущество теории
пластического течения перед деформационной теорией.
12.7.4.	Деформационная теория
пластичности — частный случай теории
пластического течения
Деформационная теория пластичности является те.м
частным случаем теории пластического течения, в кото-
рый последняя переходит при простом (пропорциональ-
ном) нагружении.
Деформационная теория (или теория малых упруго-
пластических деформаций) основана на предположении,
что между напряжениями и деформациями существует
однозначная связь как для процессов нагружения, так
и для процессов разгрузки.
Тепловое расширение в деформационной теории пла-
стичности учитывается точно так же, как в теории упру-
гости. Таким образом, основные уравнения деформаци-
онной теории термопластичности для случая нагружения
записываются в виде
Если вместо составляющих тензора деформации еы,
и ez ввести составляющие
= гх — а (Т — Т0У 1
sy = ey—^(^ — TQ); >	(12,72)
~	а (7 —- 7\j), J
то уравнения термопластпчностп и уравнения деформа-
ционной теории пластичности формально ничем не бу-
дут отличаться.
Уравнения (12.70) справедливы для многих материа-
лов только в тех случаях, когда все напряжения растут
пропорционально времени (простое нагружение) или
при нагружении, близком к пропорциональному. Следо-
вательно, для обоснованного использования уравнений
(12.70) должна быть решена задача об общих условиях
внешнего силового и теплового нагружения, при кото-
рых для материала с заданным законом упрочнения
(12.71) процесс нагружения каждого элемента объема
был бы простым.
В общем случае для любого закона (12.71) эта задача
не имеет решения. Частный случай этой задачи, когда
отсутствует тепловое нагружение и закон упрочнения
имеет вид	исследовался А. Л. Ильюшиным [8].
Процесс разгрузки элемента описывается обычными
уравнениями термоупругости. При этом пластические
деформации могут быть подсчитаны как:
;е" =Е - Ед;е" = ег 8Г-	1
} (12.73)
о п -— -v  	—лл . рП «0  1
ху i ху »ху t/Z iyZ » yZ’ ZX ZX *2X'J
Здесь e", e" и т. д. — пластические и соответственно еу,
е‘у .... и т. д. упругие деформации
В случае плоского двухосного напряженного состоя-
ния уравнения деформационной теории пластпчпошн
для несжимаемого материала могут быть записаны в
виде
(12.74)
где
«х = “ + CD (о,) (ах — о) + а (Т — То);
Тхд = 2® (ф)
(12.70)
ai = V °; ж	°у + Зтцх;
Решая уравнения (12.74) относительно о,, и ff,j, получим
Здесь К— модуль всестороннего сжатия и Ф(оф—мо-
дуль пластичности, связанный с г, зависимостью
sz== уф (at) at.
(12.71)
°д =
3
(12.75)
В общем случае модуль пластичности Ф зависит не
только от он, ио и от Т, т. е. Ф = Ф(с>1, Т).
Для нормальных температур (Т~Т0) уравнения тер-
мопластичности (12.70) превращаются ь уравнения де-
формационной теории пластичности.
Для перехода к уравнениям тсрмопластичности нуж-
но воспользоваться соотношениями (12.72).
Функциональная связь at=f{ег,Т] может быть по-
лучена на основе экспериментов на растяжение при раз-
личных температурах.
13.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
31
Пример 12.2. Рассмотрим прямоугольную пластинку,
жестко закрепленную по контуру. Начальная температу-
ра пластинки То. При равномерном нагреве До темпе-
ратуры Т в пластинке возникнут сжимающие напряже-
ния, которые и нужно определить
Запишем уравнения (12.72) с учетом (12.74) в виде
е( /'	1	\
ех = ех — а (Т — 7 0) =- ох	о у );
0{ 1	2	;
El !	1	\
ЪУ = 6Д ~ а № ~ Хд ~=' “	9
Так как пластинка защемлена по контуру и нагрев рав-
номерен, то всюду в пределах пластинки должно быть
gI = e,J = 0. Учитывая эю, получим
1	<7
а _ а а (Т .
2	в,
ах 4 а„ =— к (Т — 7'0)	,
2
откуда
о,-
Ох -= Оу	2а (Т —- То) — .
В рассматриваемом примере
е. = 2 ]/+	+ Ц =
V з
2 , г-------------
= —г V За2 (Т - Т оуг = 2а (Т - То) .
Гз
Величина о, =/(е1, 7) =f [2а(7—Tt),T] может быть
найдена для данной температуры Т по эксперименталь-
ной кривой.
Окончательно напряжения
ох^Оу = ~~Ц2а(Т-То), Т].
Все рассмотренные выше закономерности относятся к
упрочняющимся упруго-пластическим материалам.
12.7.5.	Идеально упруго-пластическая среда
Как показывают эксперименты, некоторые сплавы,
полимеры и другие материалы характеризуются упру-
гими деформациями в начальной стадии нагружения
и после достижения предельного напряженного состоя-
ния— бсзтрапичным возрастанием пластических дефор-
маций. Переход от одной стадии деформации к другой
определяется условием пластичности. В пластической
стадии деформирования инварианты девиатора деформа-
ции могут принимать любые значения, Наоборот, ишза-
риаторы девиатора напряжений в этой стадии сохраня-
ют постоянные (предельные) значения. Соотношения
компонентов девиатора деформации сохраняются неиз-
менными. Изменением объема тела по сравнению с пла-
стическими деформациями пренебрегают.
Такие материалы, для которых упругие п пластические
деформации проявляются раздельно па разных шадпях
нагружения, называют идеально упру; о-пластичеекими
материалами.
В упругой области связь между напряжениями и де-
формациями выражается законом Гука (3.3.1) или (3 3.2);
в пластической области эта связь выражается уравнени-
ями (12.70) н условием пластичности. Причем в этих
уравнениях модуль плашичлосги Ф принимает постоян-
ное значение. В качестве условия пластичности для изот-
ропных пташнческнх материалов иснолщуют условие
Губера — Мизеса — Гонки либо условие Сеп-Веиана
[2,22] Для анизотропных материалов пли изотропных
материалов, получающих заметную анизотропию в про-
цессе деформирования, может бьыь использовано усло-
вие пластичности Мизеса — Хилла [22]
Применительно к строительной шали лучшее соответ-
ствие с опытом дает условие пластичности Сеи-Венаиа,
12.7.6.	Метод характеристик решения задач
теории пластичности
Рассмотрим плоскую деформацию идеально упруго-
пластического тела в пластической стадии. Это напря-
женное состояние определяется уравнениями равнове-
сия
do,	dtru	дг,,,	да,,
”Т£ + -щ-^-0; -^-. + ^-4 = 0	(12.76)
ох	ду	дх	ду
и соответствующим условием пластичности, например1
по Сен-Венан)
1	+	=	О2'77)
ИЛИ
по Губеру — Генки — Мизесу
оф - Ох оу + о • + зЩ = о; .
Подстановка в уравнения (12.76) выражений
ох = <т -|~ та sin 2<f; ‘
Оу = о — tT sin 2<р;
Хху =— Тт cos 2ф
приводит к системе уравнений
до / д<р	д<т \
----2тт cos 2<р—— + sin 2<р-------- = 0;
дх	\	дх	ду	)
до	7	дер	ду>	(	(
—- + 2тт sin 2w — — cos 2ф -------- = 0,
ду	\	дх	ду	)
(12.78)
(12.79)
(12.80)
обеспечивающей тождественное выполнение условия пла-
стичности (12.77) или (12 78). В формулах (12 79)
и (12.80) о — среднее напряжение, <р — угол наклона
площадки Тмл,i к оси х
Характеристические линии (характеристики этой си-
стемы) совпадают с линиями скольжения, т, е. линиями,
которые в каждой своей точке касаются площадок мак-
симальных касательных напряжений.
Линии скольжения образуют два ортогональных се-
мейства кривых д и Р В локальной системе координат,
образованной касательными к линиям скольжения а не-
которой точке пластического тела, вместо (12.80) полу-
чается система уравнении
(о Д 2тт <р) 0; --Д- (ст - 2тт ср) О,
СЖр
й д
где фдр- и • — производные вдоль линий скольже-
ния и р Эги дифференциальные уравнения выражают
равновесие бесконечно малого элемента скольжения
32
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
пластической среды, образованного сеткой линий сколь-
жения, Вдоль семейств линий скольжения о, и (3
-у—~ tg ip; + <г = const =	(12.81)
dx	2тт
du	о
—-— ctg ср; ~— — ср --= const =- г],	(12.82)
Здесь | и q — параметры, меняющиеся при переходе
о: одной лишш семейства к другой того же семейства
(« или р).
Если известно поле линий скольжения и их парамет-
ры fj и ip то из уравнений (12,81) и (12 82) находят
о — а(х1у) и ф = ф(х, у) и затем с помощью соотношений
(12.79) компоненты тензора напряжений а:с(х, у), аа(х,у)
н Хху{х, у).
Пусть имеет место равномерное напряженное состоя-
ние, когда o = const и <p = const и уравнения линий
скольжения имеют вид
у = X cig ф 4- С1 и у х ctg Ф + Са.
Им соответствуют два
ортогональных семейства
прямых (рис. 12.39).
Случай т] —const харак-
теризует простое напряжен-
ное состояние, при котором
Ф = const, и одно семейство
линий скольжения определя-
емое уравнением у—xtg<p =
— const.
Это семейство линий яв-
ляется пучком прямых, за-
висящих от двух парамет-
ров ф и С. Вдоль каждой
прямой этого семейства среднее напряжение о = 2гт (q—
—Ф) сохраняет свое постоянное значение.
Второе семейство линий скольжения представляет
семейство кривых, ортогональных прямым первого се-
мейства (рис. 12.40).
Граничные условия, определяемые нормальной Оп(з)
и касательной т„(з) составляющими напряжения, задан-
ными на контуре, ограничивающем пластическую зону,
учитываются с помощью соотношений:
°п (s) = о + тт sin 2 (<р — а);
хп (s) ==— гт cos 2 (<р — а),
(12.83)
где а — угол между нормалью к элементу контура А
и осью абсцисс (рис. 12,41),
Зная уравнения кривой контура х—x(s), у=у($},
а также заданные иа контуре напряжения on(s)
и xn(s), можно определить из (12.83) о — о(з) и тр —
= ф(4):
о (s) = tjn (s) + тт sin 2 (ср — а);
1	тй (s)
<р (s) = « (s) ;£ — — arccos —— + тл.
(12.84)
Зуесъ т — произвольное щ лое число, а под арккосину-
сом понимается его главное значение. Знак выбирается
исходя из конкретных механических условии задачи.
В частном случае, когда на контуре с» —0, вмесго
(12,84) получаем формулы
<р (s) = a (s) ±	+ тл;
4
a (s) =	(з) зр тт;
«I (s) = ап (s) + 2тт.
(12.85)
Для свободной прямолинейной границы (х — 0) имеем
а = 0 и (ь) =- с« (s) =0; следовательно:
л
Ф (з) =± ~~ + тл; о (з) •= у тт;
ох = 0; Оу ~ = гр 2тт.
По полученным величинам граничных значений ср(.з)
и о(з) переходим к параметрам §(з) и i](s) с помощью
вторых равенств (12.81) и (12.82).
Параметры | и q, сохраняющие постоянное значение
вдоль линий скольжения, вообще говоря, изменяются
вдоль граничного контура.
12.7,7, Напряжения под жестким штампом
На рис, 12,42 показаны штамп и пластическая зона
вблизи его. Линия контакта штампа со средой предпо-
лагается симметричной относительно оси х и неизмен-
ной вследствие жесткости штампа. Она характеризуется
уравнениями
х = х (а) — х0; у = у (а).	(12.86)
Кривая контакта в месте пересечения с осью х может
иметь перелом. Свободная граница пластической среды
представляет собой горизонтальную прямую (а — 0).
Пластические перемещения предполагаются малыми.
Трение между штампом и средой отсутствует, т. е.
1» (з) =0.
На свободном участке границы
сгп (з) = -сп (з) = 0.
С учетом (12.85) можно записать:
<₽ (Д = ±	+ Ж
4	)	(12.87)
a (s) = Т тт. ]
Вдоль контакта T7!(s)=0, a o71(s) неизвестно; следо-
ВсИельно, вдоль линии контакта
а (5) = ПяИ + 'Ч»
Из последних формул видно, что линии скольжения
примыкают к граничной линии под углом л/4 как вдоль
контура, так и вдоль свободной границы. Предполагая,
12 7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
33
что вблизи свободной границы среднее давление имеет
огрицательиые значения, принимают для этой части гра-
ницы
ф(Д------— o(s) = — тт (я = 0).	(12.88)
т. е. в областях AGD и ВЕГ напряженное состояние
равномерное, В областях ADH и BFJ, в которых Е,—
— const ==|в, возникает центрированное поле, характери-
зуемое наличием пучков прямых, сходящихся в точках А
и В. Вдоль прямых AD и BF g = so и 1] = Цо, а вдоль
прямых АН и ЕМ g = g0, но Ч = ф-
В областях АСН и BCJ также 5 = 5о и имеются се-
мейства прямолинейных характеристик, а также семей-
ства характеристик, являющиеся продолжением характе-
ристик соседних областей. При подходе к лилии контакта
3
кривые этих семейств образуют о осью х угол а-|-—я,
4
Поэтому для линия контакта
Ф (s) = a (s) + л;
4
а(з) = оп (s) + гт.
(12.90)

а,, (s)	1	3
?{j)=^TOAJ.+	+в(5)+ л. (12.91)
2от	2	4
В то же время в областях АСН и BCJ
»	.	1л
ё = g0 ы — -—то-—- [см. формулу (12 89)].
Из сопоставления формул (12 89) и (12 91) следует
<j„(s) =~ — И (2 + л -ф 2а).
Равнодействующая давлений под штампом
“к
Р =-= 2 [ ап (з) Р (s) cos ackx,
«о
где В— радиус кривизны профиля штампа; а0 и ак —
начальное и конечное значение ц на концах профиля
штампа.
3—26
В случае плоского штампа а —0. Нормальное давление
на поверхности штампа составляет
оп = — тт (2 + п)
(решение Прандтля).
На рис 12 43 показано поле линий скольжения под
плоским штампом.
S 2.7.8. Плоское напряженное состояние
Напряженное состояние идеального упруго-пластиче-
ского тела в пластической стадии при плоском напряжен-
ном состоянии определяется, как и при плоской дефор-
мации, двумя дифференциальными уравнениям» равно-
весия и соответствующим условием пластичности,
например Сен-Венана (12.77) или Губера — Генки—1
— Мизеса (12.78).
Последнее выполняется, если положить
О; == 2тт cos ((о
л \
6 J ’
л \
о /
(12.92)
а2 — 2тт cos
где щ и а2—главные напряжения, а <а(х, у) — неизве-
стная функция (О ш 2л).
При этом
at = тт (Wees <о ф- sin и cos 29); I
= тт (Vs cos <а— sin а» cos 29); |	02. „3.
'My—'M sin ® sin 20,	I
Здесь 0 — угол между первой главной осью и осью абс-
цисс. Компоненты тензора напряжений ограничены
пределами
J | < 2тт; | ву ] < 2тт; | т^ I ч Д
Дифференциальные уравнения равновесия, выражен-
ные через введенные функции ы и 0, имеют вид
(/з sin оз cos 20 — cos <а) -—
? дх
, „да>	дв
3 sm со sin 29 —• — 2 sin ш — ~ 0;
дг/	ду
(12.94)
'Уз sin со sin 20 —- —
34
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
— (У.З sin to cos 20 4- cos to)
Условие пластичности возьмем по .Мизесу:
(12 94)
°, °е+ ег£ = Зт~.
(12.97)
4- 2 sin to — = 0.
dx
При — < to < — или — <o -------------система (12.94)
6	6	6	6
л	5	7	11
гиперболическая; при со ==— , ~~р л, -—л, — л
6	о	о	6
— параболическая; при 3—4cos2<o<0 эллиптическая.
Если система (12 94) является гиперболическом, то
уравнения семейств характеристик а и Д принимают
соответственно вид
дц
у—= tg(0 —ф),
с)х
ди
7“ = tg (6 + Ф),
дх
Q (со) — 0=const = 1;
Q (to) 4- 9 = const м г;.
(12.95)
Здесь
га
1	С I (to)
2	(<в) = — — I--------------da,
2 J sin to
л
6
--------- cfg Щ
4 cos2 © ; 2ф = л —' arccos ~—ущ-
Линии характеристик пересекаются под углом 2ф
и образуют неортогональную сетку кривых, не совпада-
ющих с линиями скольжения.
Если система уравнений (12.94) параболическая, то
S(to)==0 и Я(ш)= 0. Вдоль каждой характеристики
угол 0 постоянен. Уравнение одного из семейств харак-
теристик записывается в виде
2/ = xtg(0—-ф) + Ф(0),
где Ф(0)—произвольная функция, определяемая из
граничных условий:
5	11
ф — 0 при и = —- я и — л;
6	6
л	1	7
ф = — при со — — л и — л.
1	2 г 6	6
Вдоль каждой характеристики напряжения постоянны.
При небольших давлениях р в упругой стадии работы
в пластине возникает напряженное состояние чистого
сдвига. Пластическая деформация появляется на краю
отверстия при р = тт. При Д>тт пластическая дефор-
мация возникает в зоне	где с — подлежит оп-
ределению.
Для напряженного Состояния в пластической зоне
справедливы уравнение равновесия (12,96) к условие
пластичности (12.97).
На границе пластической и упругой зон, т. е. при
г —с, должно быть о,—а = от.
и
Положим
аг = 2тт cos
Од = 2т cos со — —
0 т I 6
и подставим в уравнение равновесия (12.96).
В результате получим уравнение
(УТ4- etg to) da 4- 2 -у = 0.
я
Решение этого уравнения при ® = —р~ и г = с дает
12.7.9.	Пластические деформации вблизи
круглого отверстия в пластине
С V
— = е
sin to
Пусть в пластине имеется круглое отверстие, по краю
Которого приложено равномерно распределенное дав-
ление р (рис. 12 44). Эта задача осесимметричная и ре-
шается в полярных координатах.
Уравнение равновесия имеет вид
dar ar ~~
dr	г
(12.96)
где оу и а, — радиальное и тангенциальные напряжения.
6
л
Полагая здесь г = а, получим <оа >- ~ при данной вели-
чине с. Давление по краю отверстия р==ог находится из
/	я \
формулы Or = 2ТТ COS СОД”-----При (i)=toa.
'	6 /
При увеличении давтения со., растет и достигает зна-
5
чения coa = ~g”я п₽и максимальном значении Дьикс =
= 2тт.
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
35
12.7.10. Упруго-пластическое кручение
В случае чистого кручения стержня из идеального
упруго-пластического материала напряженное состояние
в пластической стадии (так же, как и в упругой стадии)
удобно представить с помощью мембранной аналогии
Прандтля. Вводится функция напряжений соотноше-
ниями
Крутящий момент, воспринимаемый стержнем с круг-
лым сечением в упруго-пластической стадии,
Ж = (4ДЭ — д3) тТ)
6
где а — радиус упругого ядра сечепия.
^хг —
дер
ду"’
Чуг = -
дер
дх
при этом дифференциальные уравнения равновесия удов-
летворяются тождественно. Крутящий момент, возника-
ющий в стержне, М = 2 i epdF, т. е. равен удвоенному
F
объему, ограниченному поверхностью функции <р (по-
верхность мембраны) и плоскостью поперечного сечения.
В пластической стадии кру-
чения поверхность ср представ-
ляет собой поверхность равно-
го ската (рис. 12.45), так как
касательные напряжения, рав-
ные тангенсу угла наклона
плоскости, касательной к по-
верхности функции напряже-
ний, в пластической стадии ра-
боты всегда равны тт.
В табл, 12.4 приведены предельные крутящие момен-
ты, воспринимаемые различными сечениями в пластиче-
ской части работы Мпп. Для сравнения в этой же таб-
лице помещены крутящие моменты Муп, соответствую-
щие упругой стадии работы стержня к началу появления
пластических деформаций в наиболее напряженных точ-
ках сечения. В табл. 12.4 введены обозначения: Q — пло-
щадь, ограниченная срединной линией замкнутого профи-
ля (рис. 12.46); а—коэффициент, приводимый в спра-
вочниках для различных отношений Ь/а.
В случае тонкостенного поперечного сечения стержня
с переменной толщиной стенки 8 пользуются той же
формулой, что и при 6 = const, вводя минимальное зна-
чение биин-
При упруго-пластической работе стержня, когда не все
его сечение перешло а пластическую стадию работы, для
упругой части сечения следует применять дифферен-
циальное уравнение мембраны
Рис. 12.46
Относительный угол закручивания определяется по уп-
ругому ядру сечения
aG
12.7.11. Пластическое кручение стержня
с растяжением
а) Круглый цилиндрический стержень. В поперечном
сечении действуют только напряжения az, xxz и xyz.
Условие пластичности по Губеру — Генки — Мизесу име-
д2<р д2<р
—- 4-—ж- = 20'0,
ду2
где 0'— относительный угол закручивания.
Для пластической зоны следует применять поверхность
равного ската.
Рис. 12.47
ет вид
°1+3 ( < М т|2) -	(12.98)
по Сен-Венану
«г + 4 [ С +	=“ V
Плоские поперечные сечения в
процессе деформирования остают-
ся плоскими, поворачиваясь по-
добно жестким дискам вокруг оси
стержня. Продольная деформация
е.== const.
Используя зависимости между
Тхг и Тцг и соответствующими де-
формациями упруго-пластического
тела, а также между сдвигами и
относительным углом закручива-
ния 0', с учетом условия пластич-
ности, например (12.98), получим
значения напряжений в сечении:
Т а б л и ц а 12.4
м	Типы сечений					
	круг радиуса /?	квадрат дХо	прямоугольник аХ b (Ь а)	тонкая полоса дхй-	кольцо (наружный радиус—внутрен- ний радиус—г)	тонкое кольцо и тонкое замкнутое сечение
пл	— ЛЯ3Т 3	1	1	— я! (ЗЬ - а) те 6	т		~ Л (R-’ - Ы) тт	2£ЖТ
«УЧ	— л№те 2	г	0,209 а»Чт		у-	~ (Rt _ zS) т 2R	2£ЖТ
3*
36
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПЛАСШЧПОС Ш И ПОЛЗУЧЕСТИ
Здесь г — расстояние рассматриваемой почки сечения до
центра сечения;
Эпюры ог и г приведены на рис 12 47 Соответствую-
щие этим напряжениям предельные значения продоль-
ной си ы и крутящего момента равны
(12.99)
Определив из выражения для А’цр
ИА-Пу	- - пр
А пр
и подставив в выражение для А4цр, получаем уравнение,
связывающее предельные значения Афр и Maj>:
С
27ло„
3 о» ни-

где Wan=~—л/?3 — пластический момент сопротивления
3
при чистом кручении
Предельные”зиачения М и N по упругой стадии работы
стержня в момент достижения касательно! о напряжения
тт в наиболее напряженных точках находятся из урав-
нения
12Л43
л2 R4 а'4 л2 Rb а;
б) Тонкая полоса. Для тонкой полосы депланацчей по-
перечного сечения можно пренебрегать только для сдви-
гов yxz. С учетом этой особенности получены формулы
напряжений и уравнения, связывающие предельные зна-
чения А/др и Мир:
(12.100)
1

1
6Ьат
кГф
(12100)
В этих формулах А— толщина, Ъ — ширина пластинки;
у — измеряется в направлении толщины пластинки.
Уравнения (12 100) приводятся к виду
Уз	lz3^vnp
	Щ/2 ьр	
b--------------6Ьо 1
ли+^==
ф
Величина ф определяется пи Л'ар из первого уравнения,
а величина Л1др но ф и Л’ар — из второго уравнения.
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
12.8.1.	Основные понятия
Равновесные и неравновесные процессы деформации.
Равновесным состоянием тела называют такое состояние,
в котором тело может находиться неограниченно долго;
при этом размеры гола его гомпература и величины
внешних нагрузок, приложенных к нему, остаются посто-
янными Равновесный процесс деформации — это беско-
нечно медленный процесс, когда тело проходит через ряд
равновесных состояний, непрерывно вытекающих одно из
другого.
Есин процесс состоит из ряда неравновесных состоя-
ний, следующих одно за другим, то это будет неравно-
весный процесс. Пример равновесного процесса — упру-
гая деформация; пример неравновесного процесса — де-
формация ползучести
Равновесный процесс деформации может протекать
и в обратном направлении, т. е. равновесные процессы
обрапмы Неравновесные процессы необратимы. Следо-
вательно, процесс ползучести необратим.
Квазиравновесные процессы. Упругая деформация
и вязкое течение. Равновесный процесс деформации твер-
дых упругих тел является примером обратимого процес-
са Такого рода процессы в случае малых деформаций
и линейной связи между напряжениями и деформациями
изучаются в классической теории упругости. Близкими
к ним являются почти равновесные или квазиравновес-
ные процессы деформации.
Если Же рассматривать тело в состоянии текучести, то
его сопротивление воздействию сдвигающих сил опреде-
ляется не деформациями, а характером изменения ско-
ростей деформаций Такие сопротивления называют вяз-
кими сопротивлениями.
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
37
Большая часть строительных материалов, обладающих
аморфной структурой (или имеющих аморфную фазу
в своем составе), проявляет одновременно свойства уп-
ругости и свойства текучести. К таким материалам от-
носятся, например, бетоны, смолы и др. В зависимости от
длительности наблюдения процесса деформации упруго-
вязких тел на первый план выступает свойство либо уп-
ругости, либо текучести.
12,8.2.	Релаксация
Представим себе стержень из упруго-вязкого материа-
ла, сжатый двумя продольными силами Р до некоторой
определенной величины относительной деформации
А/
в== — , где I—’Первоначальная длина стержня; А/—
укорочение, вызванное силами Р. Подобное состояние
деформации стержня будет состоянием неравновесным,
и для поддержания деформации в, неизменной во вре-
мени, необходимо постепенно снижать силы Р, Этот
процесс уменьшения величин внешних сил (или напряже-
ний) при неизменности во времени вызванной ими де-
формации называется релаксацией.
Время, в течение которого внешние силы (или напря-
жения) ослабевают в е = 2,72 раза, называется време-
нем релаксации.
Простейшая релаксационная теория упруго-вязких тел
(теория Максвелла) дает закон деформирования в виде
уравнения
dv	dya dyn	1	do	а
dt	dt	'lit	G	dt	ц	'	’
Здесь G— модуль сдвига; ц — коэффициент вязкости
по Ньютону; и у,. — соответственно обратимая (упру-
гая) и необратимая части деформации сдвига. В основе
закона (12.101) положена линейная зависимость (Гука)
упругой деформации от напряжения и линейная зависи-
мость (Ньютона) скорости деформации ползучести от
напряжения.
dy
При остановке деформации ~~ =0, и, следовательно,
at
1	do	о	JPp
— .—-==О, откуда а=а0 е л , т. е. напряже-
G	dt	Jj
иие а снижается с течением времени (релаксация) по
экспоненциальному закону (рис. 12.48). Время релаксации
~ Т]
в данном случае равно f — ~—1 . В табл. 12.5 приведены
G
данные о коэффициентах вязкости в пуазах (1 пз—
— 1 дн-сек/см2) и времени релаксации для некоторых ма-
териалов.
Максвелловская теория является наипростейшей из
возможных В более общем случае уравнение, описыва-
ющее поведение упруго-вязкой среды под нагрузкой,
представляется в виде
dn а	dn-i a
df‘	dt"-1
__ gft	gog
dtk
или даже в виде нелинейных соотношений между раз-
личными производными напряжений п деформаций по
времени.
Табл и ц а 12.5
Материал
Асфальт при 20° С ...........
Лед .........................
Исландский шпат при 18° С . . .
Зеленогофенский известняк . . .
В /23
* в сек
время
Рис, 12.48
Рис 12,49
12.8.3.	Ползучесть
Под термином «ползучесть» обычно понимают нерав-
новесный процесс развития деформаций материала во
времени без увеличения нагрузки. В зависимости от ве-
личины приложенных сил деформация ползучести либо
стремится к некоторой постоянной величине, либо не-
ограниченно увеличивается вплоть до разрушения. Пола-
dy ов
гая в (12.101) о=Оо=const, получим ~	, от-
ер,
куда у = фо + — А Таким образом, деформация ползу-
чести материала, подчиняющегося уравнению (12.101),
а0
происходит с постоянной скоростью “ . На рис. 12.49
Рис. 12.50
дана типичная диаграмма
ползучести. Как видно из
рисунка, процесс ползучести
можно разделить на три ста-
дии. Первая стадия харак-
теризуется переменной ско-
ростью деформации ползу-
чести (неустановившаяся
ползучесть), вторая — по-
стоянной скоростью (уста-
новившаяся ползучесть).
третья — резким нараста-
нием скорости деформации ползучести (стадия разру-
38
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Явление отставания деформации от напряжения назы-
вается последействием. Если напряжение растет быстро
(неравновесный процесс), то полная деформация, соот-
ветствующая конечному напряжению, наступит спустя
некоторое время. То же явление наблюдается при раз-
грузке. На рис. 12,50 отражены один процесс нагруже-
ния и один процесс разгру-жи, На рис. 12.51 участки Д
II и III соответствуют деформациям под действием сил
РА <_Pg <Рв, приложенных в моменты времени Д, Б
и В. Участки IV, V и VI соответствуют мгновенной раз-
грузке.
12.8.4.	Особенности процесса ползучести
некоторых строительных материалов
а)	Ползучесть гипса. Гипсовые конструкции, хорошо
работающие в воздушно-сухом состоянии, обнаруживают
ползучесть при увлажнении. На рис, 12.52 показаны ти-
пичные кривые ползучести
гипса. Они получены на ос-
новании изучения изгиба
гипсовых призматических
брусков постоянного сече-
ния. Кривая I относится к
Рис. 12.52
Втивеительное сжатие,%
Рис. 12.53
работе образцов в воздухе. В этом случае деформация
остается постоянной, т. е. ползучесть отсутствует. Кри-
вая II относится к случаю ползучести при обильном
смачивании образцов водой и кривая III— при смачи-
вании их 10—30% водным раствором СаС%.
б)	Пластичность и ползучесть каменных материалов.
Хрупкие каменные материалы обнаруживают способность
к значительным пластическим деформациям и деформа-
циям ползучести в условиях высокого всестороннего сжа-
тия. На рис. 12.53 показаны кривые деформации песча-
ника при всестороннем сжатии. Исследования показыва-
ют, что механизм и характер пластической деформации
каменных материалов отличаются от механизма и харак-
тера пластической деформации металлов.
в)	Ползучесть дерева. Величина деформации дерева
в высокой степени зависит от продолжительности дейст-
вия нагрузки. Если приложенные напряжения не превос-
ходят известных пределов, деформация ползучести иосит
затухающий характер; в противном случае опа нараста-
ет со временем вплоть до разрыва (рис. 12.54). На
рис. 12.55 показано изменение со временем деформаций
упругого последствия в опыте с изгибом деревянного
бруска.
Отмеченные особенности процесса ползучести некото-
рых строительных материалов имеют весьма важное зна-
чение, так как они показывают, что процесс ползучести
зависит не только от свойств самого материала, но и от
условий среды, особенностей нагружения и т. д.
Рис. 12.54
12.8.5.	Реологические модели
Законы деформации различных сред можно иллюстри-
ровать посредством простых механических или, как их
в настоящее время называют, реологических моделей.
Деформация чисто упругой среды, подчиняющейся за-
кону Гука о —Ее., иллюырируется деформацией пружи-
ны (рис. 12.56). Деформация вязкой среды, подчиняю-
сь
щейся закону Ньютона о — 1) —, может оыть проиллю-
cll
стрироваиа при помощи модели, состоящей из поршня,
двшающсгося в цилиндре с вязкой жидкое 1ью
(рис. 12.57).
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
39
Деформация жестко-пластического тела, которое при
напряжениях ниже предела текучести <гт совсем не де-
формируется, а при напряжениях, большил sy, переходит
в состояние течения, может быть проиллюстрирована при
описываются некоторыми интегральными соотношениями,
К такого рода средам принадлежит, например, среда
Больцмана, деформация которой описывается уравнением
t
a (t) ~ Ее (t) + f ф (t — т) е (т) йт.
о
12.8.6. Теории ползучести
Рис. 12.63
Рис. 12.64
помощи модели, состоящей из двух пластинок, по пло-
щади контакта которых развивается кулоново трение
(рис. 12.58),
На комбинациях этих исходных моделей можно иллю-
стрировать процессы деформации сред, обладающих бо-
лее сложными свойствами чем упругая, вязкая или же-
стко-пластическая среда. Так, модель на рис. 12.59 изоб-
ражает упруго-пластическую среду; на рис. 12.60 пока-
зана модель упруго-вязкой среды, деформация которой
описывается уравнением
а = £е 4- п —
di
Если тело, расположенное в среде с постоянной темпе-
ратурой, находится в равновесии под действием прило-
женных к нему сил, то между возникающими в теле на-
пряжениями а, деформациями в и температурой Т долж-
ны существовать соотношения ф(<т, в, Т)=0, называемые
уравнениями состояния. Примером уравнений состояния
являются уравнения, выражающие закон Гука в теории
упругости.
Связь между всеми переменными, входящими в урав-
нение состояния: напряжением, деформацией, скоростя-
ми их изменения и временем, устанавливается на основе
той или иной принятой гипотезы, в зависимости от кото-
рой и различаются существующие теории ползучести.
Теория упруго-вязкого тела. Эта теория рассматривает
среды, обладающие упруго-вязко-пластическими свойст-
вами. В общем виде уравнение состояния таких сред име-
ет вид
/ц Е '^18 ~f” Ее йдСТ -р Е,: а = 0,
где kt —реологические параметры. В работах [9 и 18]
рассмотрено это уравнение в виде закона линейного де-
формирования упруго-вязкого тела:
Ег-ЕТ-рЕ^ё^а+Т^а, (12.102)
Т|
где Tv~—~———-—время релаксации; т; — коэффициент
£1 + Es
вязкости; Ei — начальный модуль упругости, характери-
зующий мгновенную деформацию; Е2—модуль эласти-
ческой (упруго-вязкой), развивающейся во времени де-
формации; с = ------— —конечный модуль упругости,
+ £«
характеризующий конечную, предельно длительную де-
формацию.
Из (12.102) при а = const получается закон деформи-
рования (последействия) в виде
__t__
е (t) —	— (ек е0) е п 5
Модель на рис. 12.61 изображает среду, деформация
которой подчиняется уравнению Максвелла:
de	1	da	а
— = — • -—4-—ж
di	Е	dt	т)
На рис. 12.62 показана модель, изображающая вязко-
пластическую среду; на рис. 12.63—’Модель среды, де-
формация которой описывается уравнением
<7
где ев = ~ ' конечная, стабилизировавшаяся деформа-
с
о
t-ч-оо); е0= — —начальная мгновенная де-
£1
£j л
(при 7 — 0); Уп = Трвремя после-
т. е. время, за которое разность sK-—е0 умеиь-
ция (при
de
£1е + TJi —~ =
dt
da
dt
формация
действия,
шается в е = 2,72 раза.
Из (12.102) при е — const получается закон релаксации
Деформация среды с более сложной структурой изо-
бражается моделью, показанной на рис. 12.64, и т. д.
Можно рассматривать также модели сред с непрерыв-
ным распределением параметров, характеризуемых одно-
типными элементами. Законы деформаций таких сред
а/ -=	+ (а0 — ок) в
где ffo = £i8 — начальное напряжение (при 7=0); ок =
— Ее — конечное напряжение (при 7-*оо); Гр — время
релаксации.
Частными случаями уравнения (12.102) являются бо-
4Q	РАЗДЕЛ 12, УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
лее простые законы —закон Гука, закон Ньютона, урав-
нение релаксации Максвелла (12.101) я др.
Теория упрочнения. Эта теория предполагает наличие
функциональной зависимости между деформацией, ее
скоростью и напряжением:
ф (г, 8, <т1 — 0.
Указанная зависимость исходит из подобия кривых
ползучести (упругая деформация обычно не учитывает-
ся) и принимается в виде
.	/ (а)
8П — г , Г' >
Ь 18п)
гае е-в — деформация ползучести, а вид функций /(ст)
и /?(еп) принимается различным.
Так Ф. С, Чуриковым и Ю Н, Рабогновым предложено
F (8П) = f (ст) = аеь , откуда
о — b In —------ при l?8a! а,
a
а =-= 0	при |88а! < а.
При о = const
i	п 1
еп = [о (а + !)c+1 exp [ —,
! b (а -+ i) J
где а, а, с, b — параметры
Уравнение релаксации в данном случае имеет вид
। р	ab—a
о (t) =—— ! (о0--с>)е b da.
аЕ'^л J
п
Теория течения. По этой теории уравнение состояния
имеет вид ф(о, в, () =0. Принимая, что полная скорость
деформации складывается из скорости упругой деформа
ции t,v и скорости деформации ползучести ея, получим
8 Г) = П + 8П.
Скорость упругой деформации
Скорость деформации ползучести при подобии кривых
ползучести можно определить как произведение функции
напряжения F{a} и функции времени х(():
?1J = F(a)x(f),
В теории ползучести часто применяется зависимость
F(o)=0n; тогда
„	1 da
г = ст"х (() + —  — -
b at
При большом значении t или при пренебрежении зату-
хающей деформацией	— согЫ. Уравнение ре-
лаксации по теории течения записывается в виде
1
ст = стД1 + о -1)	<о]
где ао — начальное напряжение, а
г
— \n(i)dt
b
Теория старения. По этой теории время явно входит
в уравнение состояния:
ф (о, е, /) = 0.
Рассматривая деформацию как сумму упругой де-
формации и деформации ползучести имеем
е(ф = еу + еВ!
а
где 8у = — , a gn — некоторая функция напряжения и
времени, например, если кривые ползучести подобны, то
можно принять
вп И) = F (о) «W
При степенной зависимости между напряжением и де-
формацией полная деформация
8(!) = -^ + <j«Q(/).
Функция Я (7) отражает изменение свойств материала
во времени, его старение. Отсюда и название теории
Уравнение релаксации по теории старения
а9 = а + a”EQ (t).
Линейная теория наследственной ползучести. Теория
наследственной ползучести исходит чз того, что дефор-
мация в данный момент времени зависит не только от
величины напряжения в этот же момент, но и от истории
предшествующего деформирования При этом учет пред-
шествующих деформаций производится на основе прин-
ципа суперпозиции (наложения).
Уравнение состояния в теории наследственной ползу-
чести имеет вид
t
a (t)	f
е (/)=———+ I f( (t — т) а (т) dx, (12.(03)
Co	J
0
где первый член правой части отображает мгновенную
деформацию е9 в момент ф вызванную напряжением о(/),
а второй член — развивающуюся во времени деформа-
цию. вызванную переменным во времени напряжением
ст(т).
Разрешив уравнение состояния относительно напряже-
ния а, получим
ст (!) — £’о8 (!) — j R (t — т) 8 (т) dx, (12,104)
о
где первый член отображает начальное напряжение в мо-
меш t, а второй — изменение напряжения во времени
при изменяющейся во времени деформации е
При o = const уравнение ползучести по данной теории
имеет вид
t
при 8 = const получаем уравнение релаксации
t
o(t) =8[£0- |>(!)а!].
12 8, ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
41
Функция К(б—т) в (12 103) --ядро ползучести— ха-
рактеризует влияние на деформацию в момент t нагруз-
ки, приложенной ранее, в момент т; функция R(t—т)—•
ядро релаксации — характеризует влияние па напряже-
ние в момент t деформации, возникшей в момент т.
Рис. 12.65
в)
Дифференцируя уравнения (12 103) и (12 104), полу-
чим
Л'(0 = “
о
d?
dt ’
R (t) = -
8
da
Id '
Следовательно, функция K(t)—есть скорость деформа-
ции при о = 1; функция R(t)—напряжение, необходи-
мое для поддержания деформации е=1. Функция А'(1)
может быть определена по кривой скорости деформиро-
вания при o=const, a R(t) —по кривой скорости релак-
сации при 8 = const.
Уравнения наследственной ползучести отличаются боль-
шой общностью и при соответствующем выборе ядра
K(t) приводятся к рассмотренным выше законам ползу-
чести.
Нелинейная теория наследственной ползучести. Учет
нелинейной зависимости между о и е достигается введе-
нием в уравнения (12.103) и (12.104) не самих напряже-
ний и деформаций, а их функций У(о) или <p(s), харак-
теризующих связь между а и е. В зависимости от вид.э
семейства кривых о—8 могут иметь место три случая,
1) Кривые а—е для разных t не подобны, каждая из
них описывается своим законом ф,(е) (рис. 12.65, а).
Уравнение для напряжений имеет вид
t
о (t) -= ф0 [в (г!)) — [ R (о; /— т) о (т) 4т;
о
уравнение для деформаций
г
е (0 — [а (£)] + (О (о; / — т) f fa (т)] dx.
о
Здесь фо(е)=ао н /=0(о) = в0—мгновенные напряжения
и деформации. В частности, при степенной связи между
напряжением и деформацией функции ср(е) и /(о) могут
принять вид
I
Ф (е) = Aft”1; f (о) = j ',!i.
2) Кривые а—в подобны для всех моментов времени,
за исключением начального (рис. 12 65, б). Функции
Ф(е) и ((а) имеют два значения: if0(e) и (п(<т) при 1=0;
<р(в) и f(a) при 0<t<oo. Сравнение для напряжений
принимает вид
t
о (0 = Фо [s (01 — )’ R (t — т) Ф [8 (T)j фт;
о
уравнение для деформации
t
8 (0 = (0 (о О + f Q (1 - Т) / [О (Т)] dt.
о
Здесь
da 1	de 1
R (t — т) = —--------------; Q (t — t) =-------•-------- .
x J dt cf(s) ’	’ dt f{a)
3) Все кривые о—e для любого	являются
взаимоподобными, т. е описываются единой функцией
<;(₽) (рис. 12,65, в). Уравнение для напряжений имеет
вид
t
о (t) = ф [е (!))•— f А (/ — т) Ф [е (т)( dt. (12 105)
о
Это уравнение можно разрешить относительно ф(е):
t
Ф [е (ЛИ — о 4)4 ( К (I — х) а (т) dx. (12.106)
"о
При o^const и в— const уравнения (12,105) и (12.106)
принимают соответственно вид
сф) = Ф(8) [1 — [ A (t)dtj;
0
f
ф [« (01 = а U 4 Г 4 (0 Л].
о
12.8.7.	Наследственная теория ползучести
бетона Н. X. Арутюняна
В основу этой теории положены три предпосылки:
1) рассматриваемый материал однороден и изотропен;
2) деформация и напряжение связаны между собой ли-
нейной зависимостью; 3) для деформации ползучести
принимается закон наложения. Вторая предпосылка для
ряда материалов справедлива при напряжениях, не пре-
вышающих примерно половины предела прочности мате-
риала. Построенная на этих предпосылках теория ут-
верждает, что если на сооружение действуют только
внешние силы, то напряженное состояние в элементах
сооружения при некоторых условиях (если коэффициент
поперечной деформации ползучести цп равен коэффици-
енту упругой поперечной деформации р.у и Кп = р.у =
=const) остается неизменным и при наличии в них явле-
ния ползучести. В этом случае ползучесть не меняет на-
пряженного состояния, а влияет только на деформации
сооружения. В задачах подобного типа обычные методы
строительной механики позволяют учесть влияние пол-
зучести. Необходимым условием этого является следую-
щее: относительная деформация ползучести C(f, т) от
единичной нагрузки при одноосном напряженном состоя-
нии (мера ползучести) должна быть пропорциональна
деформации ползучести <а(), т) при чистом сдвиге, т. е.
С (t, т) =-|- a(t, т),
Е
где t—момент времени, в который определяется дефор-
мация; т — возраст бетона в момент загружения, Е и
42
РАЗДЕЛ 12 УРАВНЕНИЯМ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
G — соответственно модули упругости мгновенной дефор-
мации и сдвига
Если же напряжения изменяются вследствие цефор
мании ползучести, то последняя сказывается и на напря
женном состоянии и на деформациях Н X Арутю-
нян [1] составил уравнение упруго ползучей среды счи
тая, что закон изменения меры ползучести бетона мо
жет быть представлен следующим выражением
C(t, т) = /со+ [1	,	(12 107)
\ т ]
где Со—предельная мера ползучести при Л{ и
у — постоянные
С учетом этого закона изменения C(t т) (подтверж
дающегося экспериментами) получаются следующие
уравнения для напряжении
t
*	С « д г 1
+ С(г?э т) Lk (t = 1Э 2, 3),
i
С д
aik (о = ал W + W д~ ° « X
,/	О’ ь
’(12 108)
X 4-и(т)1 dr
[б (г) J

!
где Oik(t)—напряжения для упруго мгновенной задачи
Для случая изменения C(i, т) по закону (!2 107) и при
условии что модуль мгновенной деформации £(т) изме
няется во времени незначительно так что его можно
принять постоянным, уравнения (12 108) приводят к
решению
.	Г /А 1
°« (0 = аи (Ь) 1 - ?£о — + со X
L	\Т1	/
f ___
Хт’Д1 f *
• ' -Д
(12.109)
Задачи термоупругого состояния с учетом ползучести
разбивают на три этапа 1) определение температурного
поля, 2) решение термоупругои задачи, 3) определение
напряженного состояния с учетом ползучести бетона
Для определения напряжения в любой момент време
ни представим уравнение (12 109) в виде
°li (Д) Я1 (X П)> где

X [Ф(Д,р) —Ф(гд,р)] —
коэффициент затухания
Здесь приняты обозначения Оц(т) — термоупругое на-
пряжение в теле для данного температурного режима,
£о — модуль мгновенной деформации, г = у(1+£оСо) —
параметр, характеризующий с физической точки зрения
ползучесть бетона в старом возрасте, р=уА1£0— пара
метр, характеризующий меру ползучести бетона в моло
Таблица 12 6
Время в днях	Возраст оетоиа т, в днях						
	7	14	28	45	60	90	360
7	1						
14	0 584	1	,	.									
28	0 25	0,47	1				—	_—
45	0,134	0,297	0 487	1			—	—
60	0 105	0,252	0 259	0,535	1	—	——
<ю	0 092	0,232	0 301	0,323	0 334	—	_—
130	0 092	0,232	0 301	0,323	0 334	0,34	1
—	0,092	0,232	0 301	0,323	0 334	0,34	0 355
дом возрасте, Со = lim C(t, д)— предельное значение
меры ползучести для данного материала, Aj и у —опыт-
ные коэффициенты, характеризующие интенсивность из-
менения меры ползучести бетона, необходимые для опре-
деления С (7, Т]) по формуле
С(1, Д) = [се +	[1 -	Ч.
Функция Ф(е, р) определяется по формуле
Ф(й, р)
Значения этой функции протабулированы и приводят-
ся, например, в [6]
В приводимых ниже примерах приняты следующие ха-
рактеристики бетона (по данным экспериментальных ра-
бот)
А1 = 4,82-10~®, Со = О,9-Ю~®, у = 0,026;
£0 = 2-10® кГ/см\ р = 0,25, г = 0,073.
Для этих постоянных коэффициент затухания (t, ri)
приведен в табл 12 6
Пример 12.3. Определить напряжения в толстой бетон-
ной плите при возрасте бетона д=7 дней (рис 12 66),
торцы которой не могут перемещаться, т е «1 и «2 рав-
ны нулю Плита равномерно нагревается от нуля до
Т = 25° С
В данном случае термоупругие напряжения равны
,	£о®
Он (д) = <д2 (д) = — ------Т.
1 — Ц
Остальные напря/кения, как и перемещения «1 и иг по
осям 1 и 2 равны нулю Перемещение по оси 3 (и3)
равно
1 -т- ц m
«з ==а -----Г-
1 — р
где а — коэффициент линейного расширения для бетона
(а. = 0,000012), р, — коэффициент Пуассона для бетона
(р='/б) Тогда Оц (г,) =о22(Т|) = —43 2 кГ/см.2, а напря
жения с учетом ползучести бетона будут tJu(f) — Ozzit) —
= —43 2£/1(zl, тф В табл 12 7 приведены значения на-
пряжении для различных моментов времени
Пример 12 4 Бетонный брус, один конец которого за-
щемлен, а другой свободно оперт (рис 12 67), подвергает-
ся неравномерному нагреву, его верхние волокна имеют
температуру 77 = 15° С, а нижние— 7.2=5° С.
12 В. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
43
Таблица 12 7
Термоупругая задача для такого бруса известна при
следующем законе распределения температуры по высоте
сечения:
1 Г	2х I
7 = " [(7, + Тг) + (7Х - г2) Y] 
Максимальные напряжения по этому решению будут
в сечении х = 1, т. е. в защемленном сечении.
Напряжения по сечению будут определяться форму-
лой (для Т[>Т2)
3	2х
Он (И) = — — (Ti — 7г) аЕй .
4	h
Величины упругих и упруго-ползучих напряжений для
бетона в возрасте Т] = 14 дней соответственно будут
равны:
°имакс П1) = ± 36 кГ/сжг; о11макс(0 =
мин	мин
= +36Д.(7 14).
В табл. 12.8 приведены значения о+макс(0 Для различ-
МИН
ных моментов времени.
Т абл ица 12.8
Время в днях	14	28	45	60	90	ООО	3 года	со
мякс мин к Г [см1	±35	+17,25	±10,7	±0,1	±8,4	±8,4	±8,4	±8,4 	
Из таблицы видно, что уже к 90-му дню напряжения
за счет ползучести бетона уменьшаются более чем
в 4 раза.
12.8.8.	О ползучести металлов
Явление ползучести металлов и сплавов становится за-
метным при повышенных температурах. Так, для угле-
родистых сталей и чугуна ползучесть начинает сказы-
ваться при 300—350° С, для легированных сталей — при
350—400° С, для цветных металлов — при 50—150° С
и т. п.
Некоторые металлы, например свинец, испытывают де-
формации ползучести и при обычной комнатной темпе-
ратуре.
Расчет на ползучесть конструкций основан на резуль-
татах экспериментального исследования металла глав-
ным образом на постоянную нагрузку. На основании экс-
периментальных данных предложены многочисленные
формулы эмпирического и полуэмпирического характера.
Для установившейся стадии ползучести применяется
следующая зависимость между скоростью ползучести и
напряжением
еп= kon,
где k и п— коэффициенты, зависящие от температуры
испытания и свойств материалов [6].
Максимальное напряжение, не вызывающее деформа-
ций ползучести больше допускаемых для данных усло-
вий работы, называется условным пределом ползучести
материала по допускаемой суммарной деформации ползу-
чести.
Расчетное условие ползучести при одноосном напря-
женном состоянии имеет вид
е = 8у + % + % = е0 + kontc < [е],
f \
где еу — относительная упругая деформация! е =
£т — модуль упругости при данной температуре; еп и
£По — относительные деформации неустановившейся и ус-
тановившейся ползучести; [е] —допускаемая деформа-
ция за время службы конструкции; Д — срок службы
конструкции.
Деформацией неустановившейся ползучести (еп,)
иногда можно пренебречь. Тогда для <т получается урав-
нение
+ kantc = [ej.
*'т
Если пренебречь и упругой деформацией, то расчетное
условие принимает вид
»а I—
I Мс /
Пренебрегать упругой деформацией и деформацией не-
установившейся ползучести можно только тогда, когда
эти деформации малы по сравнению с деформацией уста-
новившейся ползучести.
12.8.9.	Ползучесть при изгибе балок
и кривых стержней
Рассмотрим некоторые задачи по расчету балки, сече-
ние которой имеет две оси симметрии, на изгиб для слу-
чая установившейся ползучести. Изгибающий момент
44
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
действует в вертикальной плоскости уОг (рис. 12.68).
При решении задач установившейся ползучести считают,
что спустя известный промежуток времени после загру-
жения напряжения в сечении не изменяются и скорость
деформации постоянна.
Определим закон изменения нормального напряжении
по сечению и прогиба балки во времени. При решении
„	пренебрегают касательными напря-
жениями и предполагают справед-
ливость гипотезы плоских сечений.
М -
Ог= У п °
Для прямоугольного сечения
h
Рис. 12.69
Рис, 12.68
п
о
dy -=
2 п
2п
Следовательно, напряжения для бруса с
сечением будут
2пД- 1 /2*А.- 6Ж
о, =-------—.----------
Зп \ h bh3
Ь’п
прямоуг ольным
! Чистый изгиб (рис 12,69). Примем закон
в форме
ползучести
а.
dez V
где ~ — скорость деформации.
dt
Из условия равенства момента внутренних
сил
и внешних
h
4 f огуЬ [у) dy --= М,
(12.110)
6М
Величина —— равна максимальным упругим нормаль-
fl я-
ным напряжениям
УЬР гмакс
Следовательно, максимапьное напряжение установившей-
ся ползучести при чистом изгибе в брус,, с прямоугопь-
/	h \
ным сечением будет (полагаем у j
_ 2ft 1 ц
«гмакс — ‘ дя «гмакс*
Так как п всегда больше единицы, то о.
меньше Огмакс • Для малых прогибов
d3y
~~~ .
d’y
m __-----
всегда
а на основании гипотезы плоских сечений
at
на.111)
(12.111),
по t
предваритель-
и используя
Тогда
пг = А " (ту)" ,
пе т — скорость изменения кривизны
в рассматриваемом сечении.
Подставляя
(12.112)
изогнутой оси
(12,112) в (12.110), получим
М—mn k п!п,
(12.113)
где
й
!п = 4j b (у) у
dy.
Из (12.111)
и (12,113) следует
.	Мп
k—~y.
dt	In
(12.114)
выражение для т из (12 113)
в
(12.112),
Подставляя
получаем закон распределения нормальных напряжении
при чистом изгибе в случае установившейся ползучести:
dm
dz" ’ dt
dm
Подставив выражение для —- в
at
но продифференцировав (12 111)
(12.114), получим выражение для определения скорости
изменения прогиба балки при ползучести:
сРу [М \п
UJ
Интегрируя и учитывая граничные условия:
при г — 0 у =0;
I dy
при г = —----- = 0,
г 2 dz
получим величину полного прогиба в момент t (с учетом
упругого прогиба):
МР	Р	(М \п
у Н) =---- у---- k — t.
8Е/	8	\fn
(12.115)
2. Поперечный изгиб балки, загруженной сосредото-
ченной силой Р в середине пролета. Условия (12.115) бу-
дут такими же, как и при чистом изгибе. Максимальный
прогиб во времени определится по формуле (с учетом
упругого прогиба)
k
РР
ИмЗКС (0 ,.rr 4“	,, . I 1,
48£7	2'" (и+,) (я Д-2)
рар+-2
-------L
12 8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
45
3.	Поперечный изгиб консольной балки, нагруженной
сосредоточенной силой Р на свободном конце. Гранич-
ные условия имеют вид:
/ бу
при г == —	= 0;
при г = I у - 0.
Максимальный прогиб во временя (с учетом упругого
прогиба) будет
рр р Рп 1п+“
Умякс (0 =----ГО -------- ------t-
нмакс I > ЗЕ1 ~Г п 2
4.	Поперечный изгиб балки на двух опорах с равно-
мерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Бал-
ка выполнена из иикельхроммолибденовой ста ти и нагре-
та до Г=450°С. При этой температуре п==2.
_ _5_ дИ 299_ уЧ«
Гмаке (6 ~ Т84  £/ У 23070 М
5.	Поперечный изгиб консольной балки, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q:
qH l kqn l1 <П+1)
g£/ +	2„£J t-
12.8,10. Ползучесть при кручении
При решении конкретных задач кручения с учетом
ползучести применяется теория старения, основанная на
теории малых упруго-пластических деформаций, или
обобщенная теория вязкого течения.
Решения многих задач, в том числе и задач кручения
см, [9].
ЛИТЕРАТУРА
I, Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползу-
чести. Гостехизлат. М. — Л , 195:2
2. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластично-
сти и ползучести. Изд-во «Высшая школа---, 1961.
3, Безухов Н. И. и др. Расчеты на прочность. устойчи-
вость и колебания в условиях высоких земператур. М-пигмз, 1965,
4. Вялов С, С. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов
и расчеты ледогрунтовых ограждений. Изд-во АН СССР, 1962,
5. Го л ьд ен б л а т И. И. Ра счет и конпру прова нмс желе-
зобетонных балок. Госстройпздаг, ZM. — Л , 1940.
6, Гольденблат И. И,, Николаенко Н. А. Тео-
рия ползучести строительных материалов и ее приложения,
Стройиздат, I960.
7. Гол ь д ен бл ат II. И, и £о ппов В А, Обобщен-
ная теория пластического течения аниjoiропных сред. В сбл
«Строительная механика». Стройиздат, 1966,
7а. Г о л ъ д е и б л а т II. И. и Копнов В. А. Критерии
прочности и пластичности конструкционных материалов. «Маши-
ностроение», 1968.
8. И лью ш и п А. А. Пластичность. Изд-во АП СССР, ИКС,
9. Качанов Л М Теория ползучести. Фгвмтгнл, !С!6О.
Щ. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. ОГИЗ,
ГИТТЛ, 1947,
И. Ляв А. Математическая теория упругости ОНТИ
ЖГИ, М — Л.. ГМ5.
Г2. М а л и н и и Н, Н. Основы расчетов на ползучесть.
Мяшгю 1918,
13.	Миндлия Р. Д. Сборник переводов «Механика».
«Мир», М 1 {мн), мы
И. А1 у с х о л и ш в н л и И, И. Некоторые задачи теории
упругости. Пзд-во АН СССР, 1956.
15.	И е й м а н ДА. И. Напряжения в балке с криволинейным
отверстием. Труды ЦАРИ, А? 313, Л., 1937.
16.	П ипко в и ч П, Ф. Теория упругости. Оборонгиз. 1939.
17.	Р а б о I в о в Ю. Н, Ползучесть элементов конструкций,
«Наук,о , !9и6,
18.	Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики сн-
егом. риформирующихся по времени. Гситехиздат. М. — Л., 1949,
19, С а в и н Г, Н. Распределение напряжений около отвер-
сгип. Ищ-вп «Нтикова дуиа», Киев. 1968,
у). Сборник статей «Гео.-гогня•>. НИЛ, М.. 1902,
21.	Ф и л о н о н к о~Б о р о д и ч М. М. Основы теории vnpv-
гт'ти Г-п'техизла г. 11)56,
22	Хилл Р, Математическая теория пластичности. ГИТТЛ.
1956.
РАЗДЕЛ 13
УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
13.1 ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пластиной (рис. 13.1) называют цилиндрическое тело,
толщина которого /z = const мала по сравнению с дру-
гими размерами (сторонами прямоугольника, диаметром
и т. д.). Плоскость, параллельную основанию и делящую
пополам толщину пластины, называют срединной плос-
костью. К тонким относятся пластины, у которых h не
превышает 0,2 наименьшего размера основания.
Рис, 13.1
Пластины, подвергающиеся изгибу, называют плита-
ми. Прямоугольные пластины, находящиеся в плоском
напряженном состоянии, называют балками-стенками.
От тонких упругих пластин следует отличать гибкие
плиты (плиты, у которых максимальный прогиб больше
VPi; методы их расчета изложены в разделе 18) и пла-
стины, в которых возможны пластические деформации
(см. раздел 21).
Приведенные критерии деления пластин на толстые,
тонкие и гибкие условны и могут быть использованы
в качестве первого приближения.
13.1,1. Основные обозначения
X, у, z—прямоугольные координаты (рис. 13.1, а);
плоскость ху совмещена со срединной плос-
костью пластины;
г, Q, г—цилиндрические координаты (рис. !3.1,б);
плоскость Г0 совмещена со срединной плос-
костью пластины.
Размеры (рис. 13.1), нагрузки (рис. 13,2)
h— толщина пластины;
Н—высота ребра;
а, b— размеры прямоугольной пластины, радиу-
сы круглой и кольцевой пластины;
Р— сосредоточенная сила;
М°х, Ai”, Л4® — сосредоточенные пары,, вращающие во-
круг осей х, у, г;
р— интенсивность нагрузки, распределенной
по площади;
р — то же, по линии;
тх, тг—интенсивность моментной нагрузки, рас-
пределенной вдоль линии и вращающей
вокруг осей х, г.
Рис. 13.2
Индекс у Р, р, р показывает направление силы. Так,
Рх, рТ означает, что Рх направлено вдоль оси х, а рГ—
вдоль радиуса.
Компоненты напряжений и усилий (см. рис. 13.2)
ах, суп т. д. — нормальные напряжения по площадке
с нормалями х, г и т. д.;
тлд> тег—касательные напряжения. Первый индекс
указывает направление напряжения,
а второй — нормаль к площадке, по ко-
торой действует напряжение;
Л'—нормальная (продольная) сила;
Q—поперечная сила (направлена перпенди-
кулярно срединной плоскости);
V—-приведенная поперечная сила или реак-
тивное усилие;
5— сдвигающая сила (расположена в сре-
динной плоскости);
Л1 — изгибающий момент;
Л1К—крутящий момент;
Н—сосредоточенная реактивная сила в уг-
ловой точке прямоугольной пластины.
Индекс у усилия означает направление нормали к еди-
ничной площадке, по которой действует усилие. Так,
например, Мх — изгибающий момент по площадке с нор-
малью х; Mhr — крутящий момент по площадке с нор-
малью г.
Перемещения
w — перемещения точек срединной плоскости
при изгибе по направлению оси г;
13 1. ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ
47
»j,arHT. Л — перемещения точек срединной плоскости
при плоском напряженном состоянии по на-
правлению оси х, радиуса г и т. д.;
&х, fiy, —угол поворота при изгибе волокна, направ-
ленного вдоль оси х, у, г.
а) для ребер, расположенных симметрично относи-
тельно срединной плоскости пластины (см. рис. 13.3):
(и- -1- Ь“) sin 2а
2abh0 бс
(13.4)
Упругие константы и характеристики жесткости
б) дтя ребер, расположенных по одну сторону от
пластины:
Ег, Г.2, G—модули упругости;
р3, }‘-2—коэффициенты Пуассона;
Щ — 1 — д; А, — 1 -ф Л — 3 -ф д;
А; --- i -ф Зр; Л5 — 5 ~ф ц; А6 — 5 — Зд.
А, = 7 -ф Зщ
(13.1)
(а2 -ф b~) sin 2а
1^Мб~фмУ” '
Значения 6С и 6И в (13.4а) равны:
„	/ a b \
бс == 1,21 ——- -ф	I
\ Pi )
Fp —
(13.4а)
Et hs
Dt== ~~~7.-----—жесткость плиты (i=l, 2).
12(1— Pi pi2)
ah [ Ь i a
24 (1 -фу.) \ /nz Лг
(13.46)
13.1.2. Определение упругих характеристик
конструктивно ортотропных пластин
Пластины, усиленные часто поставленными ребрами,
Здесь Ан и Z2z —моменты инерции сечений ребер, парал-
лельных осям х, у относительно центральных осей, пер-
пендикулярных плоскости х, у.
Если конструкция состоит только из перекрестных ба-
лок, то в (13.2) следует положить h—Q, а (13.3) заме-
нить на
а также решетки, состоящие из перекрестных балок,
жестко сопряженных между собой, часто заменяют при
Go — Fp G.
(13.4в)
определении усилий и пере-
мещений эквивалентной ор-
тотропной пластиной. Ниже
приводятся формулы, по ко-
торым можно определить
упругие характеристики эк-
вивалентной пластины.
Предполагается, что рас-
сматриваемая конструкция
выполнена из изотропного
материала, характеризуемо-
го константами Е, д, G.
Обозначим толщину эквива-
лентной ортотропной пла-
стины йо. Она может быть
Если пластина усилена ребрами в одном направлении,
то в (13.2) следует положить либо Fь либо F2 равными
нулю, а в (13.3) принять йр=0.
Жесткости плиты при изгибе Di и Вг можно опреде-
лять по формулам
Phs .
12(1—фф a ’
Eh? , Ehx
12(1 — ц2) b
(13.5)
задана произвольно сооб-
разно с удобством расчета.
Следует иметь в виду, что замена действительной
конструкции эквивалентной пластиной неизбежно свя-
зана с неточностями при определении усилий и дефор-
маций в основной конструкции. Эти неточности резко
Здесь 71р и /2х —осевые моменты инерции сечений ребер,
параллельных осям х и у относительно центральных осей,
параллельных осям х, у.
Коэффициенты Пуассона можно либо принять равны-
ми нулю, либо определять по (13.2).
Жесткость при кручении для эквивалентной плиты D*
вычисляем по формуле [6].
пп СЛ3 , Лк
возрастают по мере увеличения расстояний между реб-
рами.
Для пластины, снабженной рядом перекрестных ребер
(рис. 13.3), модули упругости и коэффициенты Пуассона
эквивалентной пластины можно определять по фор-
мулам
где
S = 1
Д” 7щ (о7.2К — АЛк)
6/2к (a- Др -ф й- /ЗЛ)
(13.5а)
(13.56)
Здесь Цк и Hi; — моменты инерций сечений ребер, па-
раллельных осям х и у при кручепип, а 7ь, и /2-с—осе-
вые моменты инерции тех же ребер относительно цент-
ральных осей, параллельных осям х, у.
13.1.3. Связь между усилиями
где F] и F2 —'площади сечений ребер, параллельных осям
х, у.
Модуль упругости при сдвиге эквивалентной пласти-
ны Ga вычисляется по формуле [6]
G() =-= (1 -ф Ар) G.	(13.3)
Коэффициент Fp в (13.3) равен:
и напряжениями
а) Задача изгиба (г — расстояние точки от срединной
плоскости)
12г М
и ~ —-—-
* й3
!2zMt/
°У	' дз
(13.6)
48
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕСКИ)
(13.6)
ц от р.т Для уточнения значений изгибающих моментов
можно применять приближенную формулу.
м1==
—— j(i — w\) м] + (и —	Ж|,
1 рт
(13.8)
б) Плоское напряженное состояние
Nx	Ny
=	= о2 = 0;
Sx _ Sy
txu - h h
(13.6a)
Для полярной системы координат индексы х, у, заме-
няются на г и 0.
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
13.2.1. Прямоугольные изотропные плиты
Для расчета прямоугольных изотропных плит, опертых
одним из указанных на рис 13.4 способов, можно ис-
пользовать следующие формулы:
« Ро а*
10‘ ' D
3
Мх — ——- р„ а~;
103 f °
Y
Му= ~ Ро а~; Vx = ФА, а;
Уу=^рйа.
Здесь ро — максимальная интенсивность распределенной
нагрузки;
X
Кромка, свободно опертая на
жесткую опору
/Кесткд 'защемленная кромка
— Кромка, свободная от усилии
Рис, 13,4
a = at; |3 = р,; у=у<; <p==q>i; ф = ф,—коэффициенты,
используемые при определении значения прогибов или
усилий в указанной на схеме А (рис. 13.4) точке i;
а. = а1;, (3 = ^,3, у—— коэффициенты, используемые
при определении максимального из значений, которые
принимает прогиб или усилие на отрезке прямой с кон-
цами в указанных на рис. 13.4 точках i и /.
Все перечисленные коэффициенты определяются по
приведенным ниже таблицам или графикам. Таблицы
коэффициентов а, Д, у составлены при фиксированных
значениях pi=p,i. При значительном отличии заданных
где Д42 = Л1ю если Mi=-Mx и М2 — Мх, если Аф—ЛД;
<МТ— значение момента, определенное с помощью таб-
лицы.
При необходимости рассчитать плиту на нагрузку, ли-
нейно зависящую от указанных в таблицах, следует ис-
пользовать принцип суперпозиции.
Нагрузка, равномерно распределенная
по всей площади плиты
Коэффициенты р, у
эффнциенты i(1A и ф1й.
(13.7)
находятся по табл. 13.1, а ко-
(здесь k — помер схемы на
рис. 13.4) — по графикам
рис. 13.5.
Пример 13.1. Определить
стрелу прогиба и усилия в
плите, представленной на
схеме 7 рис. 13.4 при следу-
ющих данных: а=1,8 м;
Ь~3 м; р = 1 Цм2; ц=0,15.
а	1,8
Для ~~ — ——- = 0,6 по
о	3
габл. 13.1 находим а,5= 38;
₽5=15; у5==43; р]==—77;
у4 = —102.
По формулам (13.7) на-
ходим прогиб и изгибающие
моменты в центре плиты:
гц	рМ	38 1-1,8“’ИО7	4-Ю5
щ — —— , ----------—----------------------------— см.
IO1	D	IO4 D	D
fi-; 15
Мх = -'-~па2 =--------1 -1,8- « 0,049 Т-я/м; (
103	103	1
у.	4.5
pefl =	1 П ,8= « 0,146 Т-м/м.
1
Рис. 13.6
Здесь 107 — переходный! множитель, связанный с пере-
ходом i -м- в кГ’СМ-.
1 i.2 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
49
В'ЛД, ^^’табляца 13.1 [10]
Значения а, 0. V для Чшределения w, Мх,
при равномерно распределенной нагрузке ( и =0,15)
а b	Схема 1			Схема 2				а5	(хема 3		
	j	! t	М	X	г*.	ъ			р.	%	р.
0,5	101	17	96	49	6	58	121	( '1	20	&	122
0,6	85	1’4	82	45	10	54	116	7 с.	27	71	117
0,7	73	30	68	41	18	J9	109		31	ЧП	но
Р,8	60	33	56	37	19	J3	КО.	4Ь	32	32	102
0,9	50	36	46	32	22	37	92	36	32	v>	93
1,0	41	37	37	28	24	32	85	28	32	24	85
Схема 6
Схема 4
Аналогично вычисляем изгибающие моменты в точке 1'.
К	77
XL рйз ==_ J. [ ,8а«—0,250 Т-м/м-
Ю3	' ’	(в)
Mv = [1/Ид. «—0,037 Т-м/м.
На рис. 13 6 приведены эпюры для задачи об изгибе
свободно опертой квадратной плиты равномерно рас-
пределенной нагрузкой [23],
Нагрузка, распределенная
по гидростатическому закону
а
b		&
0,5	26	Г)
0,6	25	1
0,7	24	8
0,8	23	10
0,9	21	14
1,0	1»	16
Схема 7
,"V2
Схема 5
Прогибы и усилия находим по формулам (13,7). Зна-
чения коэффициентов приведены в табл. 13.2 и 13.3 для
схем нагрузок, представленных на рис. 13.7, Коэффициен-
41
10
38
35
32
29
85
84
82
78
74
70
М
46
26
19
29
80
60
44
16
Ш
ПС
90
80
7о
47
42
зф
:п
28
7
14
17
23
76
50
13
23
78
78
75
71
67
10*
88
67
Схема 9
Схема 8
и
ь	ОК,	Рв	То	-Р1	—4К	а5	р.	%	-р>	“V2	«в	₽6	Тв	-Р,	“Уг
0,5	15	10	54	78	111	25	3	41	56	81	25	4	40	55	82
0,6	38	15	15	77	102	24	6	Ж	56	81	23	8	37	56	78
/) ,	<г>	20	37	74	89	22	9	33	56	77	21	12	32	5«	72
0,3	26	о ?	29	70	76	20	12	31	56	72	18	14	27	55	65
0,9	20	23	22	65	64	18	15	О 7	55	66	15	16	22	53	58
1,0	16	23	17	60	54	16	17	23	54	60	13	18	18	51	51
Схема 10
a
ь	«г,	Р,	У 5	а,	У	аг,	Рв	V&	PsKvs) «>			I "А	-V.
0,5	35	16	32	62	58	9		12	5П	34	18	27	71
0,6	45	18	41	77	72	П	4	|7	FC	12		53	80
0,7	54	20	5»	89	85	И	6	'Ч	54	19	2ч	38	84
8 8	62	21	5В	97	92	16	Я	Q-1	фт	Рю	9'5	И	8,5
0,9	71	20	67	108	104	18	9	°6		62	27	43	Я-,
1,п	78	20	74	116	111	13	8	28		65	ПЯ	14	85
1,2	89	18	>И	125	120	92	8	3?	56	73	23	41	85
1,5	102	14	47	1.32	126	2Л	5	36		76	?8	45	85
2,0	114	9	ПО	137	132	25	3	40	56	ъЗ	29	45	84
ты <р и ф для некоторых схем можно определить по
графикам на рис. 13.8 (коэффициенты ф и ф для нагру-
зок по схеме рис. 13.7, а; <р и ф для нагрузок по схеме
рис.
13.7,6, где р—ра
а b	Схема /7						СхемхЗ 12						
		Рв	•А,	-р.	Т..	V,	П; j Рв		Vs		aj	Р,	
0,5	13	—3	н	77	32	21!	15	К)	22	56	21	3-3	85
0,6	21	1	Ю	90	48	11	17	К)	’’5	61	26	411	85
0,7	30	5	9 -i	101	64	•/!	18	10	28	66	26	43	85
0,8	39	9	.4.1	109	78	74	20	10	32	71	?7	45	8,5
0,0	47	12	44	115	90	8^	о	5)	31	74	27	44	85
1.5	55	11	51	118	100	9 7	Ю	7	35	77	28	41	Яч
1,2	1)9	и	65	121	ИЗ	110	/1	о	38	80	28	45	85
1,5	86	16	82	123	128	КЗ	Г} 1	3	10	83	23	45	84
2,0	105	12	101	125	136	131	27	1	42	83	29	45	84
Изгибающие моменты в точке 4 (схема .4 рис. 13 4):
у,	102	I
Л1 = -0-0. „в2	---- 1.1 gs 0,323 Т-м/м,
v 10s Р 10s	(б)
М.х = [iMy —— 0,049 Т-м/м,	1
Таблица 13.2 [10]
Значения «, f>, у в (13.7) для иагрщки, изображенной
на рис, 13,7, а (Д —Я,1в)
а b	Схема 1					Схема 9							
	а6	р,	V,	Ри	7’>4			Vs	Й.И	Уи	—V.j-Vi	-₽1	1
0,5	51	ч	48	12		12	2	20	5	20	49 32	28	29
0,6	43	12	41	И	41	12	4	18	5	18	17 31	28	30
0,8	30	17	23	17	31	ч	7	14	7	14	41 24	28	2'1
1,0		18	13	П		0	9	9	9	10	33 18	26	27 1
а		Схема 2					Схема 7						
b	сх6	fir,		р...	м		Г/'<3	i	1	Ps<	7м	чъ	
0,5	22	а	27	5	27	65	20	4	25	6	61 25	36	36
0,6	20	5	26	7	26	63	17	7	22	7	56 22	36	36
0,8	17	ф	21	9	21	56	К’	10	И	10	И 14	33	33
СО	13	11	16	It			7	И		11	34 К)	32	31
а	Схема 4						Схема 5						
b		Рв	V-,	Р=4	Угг	—'П	1 2 ; I		fir,	ъ	flrr ) З’.ч	—03	
0,5	13	1	21	4	21	51	31	42	12	40	12 42	61	61
0,6	13	9	20	5	20	56	38	32	11	зо	11 33	55	56
0,8	11	5	13	7	1.8	47	31	18	16	16	16 20	45	48
1,0	10	8	14	8	15	43	26	10	И	Я	U 13	35	33
4-26
50
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ II БАЛКИ-СТЕНКИ)
1 а б л и ц а 13.3 ЦО]	’
Т а бли д а 13.4 [5]
Значения а5, $5, ?6 в <13,7) дли нагрузки, изображенной
на рис. 13.7, б (Ц^-0,15)
а	Схема 1						Схема 9												
b	&& Ро		п		Р.» | Тп		ай	₽» 1 V»			₽о		?!'. — Р»|—Р. —А»						
0,5 0,6 6,8 1,0	51	9 43 12 30 17 20 18		50 41 28 18		21 22 23 22	51 42 28 18	14 12 9 6	2	20 4 18 7	14 9	9			9 9 10 10		22	45	11	41 20	43	14	39 14	38	17	33 9	33	18	25					50 46 36 27	
а	Схема 3							Схема 8											
b	ГХ5		?>		А,	Ъэ	-р»				Те j		₽|» V:, —					-То»	
0,5 0,6 0,8 1,0	45 П 36 14 22	17 13 16		42 34 20 11		17 17 17 16	42 34 20 11	84 76 61 50	2 20 3 19 7 15 9 11			20 19 15 И		9 23 45 41 9 20 43 , 40					50 46 37 29	
													У	;5 38 35					
													10 П 31 29						
а b	Схема 4									Схема 5									
			7s		е»	У.»	—?2	—		а»		&		Р,3	У.<3		-е.		-ft.
0,5 0,6 0,8 1,0	16 15 13 10	1 2 5 8	21 20 19 18		8 10 12 13	25 23 21 19	42 42 39 35	57 51 44 38		42 32 18 10		12 1б 16 14	40 30 16 8	17 18 18 15	40 30 16 8		37 36 32 27		84 75 53  43
а	Схема 10								Схема И										
h	сс5	, Р5				ctj	Ъ		«5 !		р»		Тз	-0»				7»	
0,5 0,6 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0	13 17 24 31 37 45 53	9 11 13 13 13 11 7		11 15 22 29 35 42 51		20 24 31 34 34 32 28	19 23 39 33 33 31 28		4 7 13 20 27 36 47		2 4 " 8 И 12 12 9		3 6 12 18 25 34 45	29 36 48 57 65 75 85		9 13 .21 26 30 30 27		8 12 20 i 25 29 29 27	
b а	Схе?ла 12							Схема 13							
	|р6| у„			-?=|г4.		V,	-у,	(% 5	р»	То	-Те	-Р»| «>		Р.	-То
0,5	6	8	8	24	8	12	21	3	9	4	12	пщ	4	7	24
0,6	 7	8	10	75	8	12	20	4	3	5	17	26	6	8	17
0,8	9	8	13	33	у	И	16	7	6	9	°?.	29	6	10	15
1,0	11	6	16	36	6	10	11	В	7	12	30	34	5	10	12
1,2	11	5	18	40	5	8	я	10	7	14	35	38	о	8	10
1,5	Г2	3	20	41	4	()	7	12	4	16	38	41	4	6	7
2,0	12	1	2!	42		4-	5	12		19	41	45		1	5
t м -	1
Нагрузка, распределенная равномерно
по части площади плиты
В табл. 13.4 и 13.5 приведены значения р и у для оп-
ределения изгибающих моментов от нагрузки, распре-
деленной равномерно с интенсивностью р по заштрихо-
ванной площади (рис, 13.9), Моменты при этом опреде-
ляются по формулам (13.7) с заменой в них ра2 на рав-
нодействующую приложенной к плите нагрузки. Это дает
возможность использовать табл. 13.4 и 13,5 в частных
случаях — при Д]=0 или 6i=0. т. е. при нагрузке, рас-
пределенной вдоль линии у = а!2 или х — Ьр,.
Значения 0.»  Т» в (13.7} для плиты, опертой по всему контуру
(схема 4 рис. 13,4) и нагруженной по рис. 13,9 при Ц ~ В
b	Ъ,„		р	при й;/а					V.-.	при aja			
а	а	0 I	0.2 |	0,4	0,6 :	0,8	1,0	0	0.2	0,4	0,6	0,8	1 i
	0			256	196	160	133	ПО		175	121	93	72	59
	0,2	175	165	114	123	104	88	256	165	117	90	72	58
1,0	<1,4	121	117	109	96	8'1	69	196	1-14	109	84	67	оа
	0,6	9'1	90	81	76	67	56	160	123	96	76	61	50
	0,8	72	72	67	61	51	44	133	104	83	67	5-1	43
	1,0	59	5В		50	43	37	по	88	69	56	44	37
	0		218	184	147	122	101			201	153	119	98	80
	0,2	100	150	131	111	96	79	234	194	147	119	96	79
1,4	0,4	79	78	i V	85	57	48	195	158	130	107	88	72
	0,6	19	48	16	12	36	31	147	125	104	88	74	61
	0,8	40	39	37	34	30	26	129	110	93	79	66	54
	1.0	34	33	32	30	20	22	пз	96	82	68	57	47
	0			228	175	139	115	95			221	168	133	ПО	90
	0,2	98	94	87	76	65	66	246	193	155	127	105	87
2,0	0,4	51	49	47	42.	37	30	188	159	134	114	95	79
	0,6	28	28	27	25	21	18	1.53	133	114	98	83	69
	0,8	19	18	17	15	14	11	125	110	96	82	70	59
	1,0	14	14	13	12	11	9	103	90	79	69	58	48
Т а б л и ц а 13.5 [5]
Значения ps. ','s в (13.7) для плиты по схеме 4 (рис. 13.4)
с иагрумой по рис. 13,9 при g = О
ь . а	flj ь	05 при bjb				щ при bjb				—Т> .<ри bs jb			
		. о	0,2	0,6	1,0	0	0,2	0,6	1,0	0	0,2	0,б|1,0	
	0		210	123	83			231	143	97	85	83	72	54
	0,4	233	182	П7	79	101	98	80	58	86	85	74	55
0,5	1,2	139	119	87	60	33	32	28	21	RH	99	85	63
	2,0	Г-0	78	57	40	18	18	16	12	120	108	84	60
	0			172	91	г,1>		2-10	149	102	140	138	119	88
	(’,4	196	143	81	57	по	107	87	61	142	139	Н9	88
0,7	0 8	136	108	69	46	63	62	53	38	146	142	120	87
	1,4	85	68	46	30	36	ЗГ>	30	22	150	133	101	71
ь	6.	05 при aja				у5 при aja					при aja		
а		°	Л 2	С6	1,0	0	0.2	0,6	1,0	0	0,2	0,6	1,0.
	0			129	55	32	—	239	144	98	166	162	136	98 ।
	ол	211	121		30	177	Н8	108	77	166	162	135	97
1,0	1.2	117	31	39	21	77	75	62	45	165	159	125	90
	2,0	75	5Л	25	16	47	46	39	28	163	140	101	70
	0	__	197	Т.09	70		161	80	49	169	169	167	164
	0,-1	68	67	49	32	186	132	74	47	156	155	148	121
1,1	1,2	28	27	20	13	129	ИХ)	62	38	127	126	115	89 i
	23*Л	10	10	7	5	83	66	42	27	86	85	76	58
	0		196	109	61			161	79	51	168	168	167	164 i
	0,4	68	Л	43	32	185	134	73	46	155	154	1 17	121 1
	1,2	111	8	6	4	97	79	51	32	99	98	88	67 i
	2,0	1.	1	1	1	63	51	32	24	61	62	56	42 :
Нагрузка в виде трехгранной призмы
В табл. 13.6 даны значения «у. у5 для определения
по формулам (13.7) прогибов и изгибающих моментов
в центре опертой по контуру плиты под нагрузкой, по-
казанной па рис. 13.10. Коэффициенты <р и ф в (13.7)
J 3 2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
51
Рис. 13.10
схема /1), то прогибы и усилия можно определять по
формулам (13.7) с заменой в них рйа?- на Р.
Коэффициенты р5 и у5 для плиты, опертой по контуру,
определяем по формулам [23]:
103
103 /
=	In
4л \
2л	\
—— -У ц ф- б3
лс	у
(13.9)
Т а б л и ц а 13.6 [5]
Значения а5, 03, в (13,7) для плиты, свободно опертой
по контуру, с нагрузкой в виде трехгранной призмы (Н*=0)
Нагрузка Ъ а	По схеме а на рис. 13-10			По схеме б на рис. 13.10		
		&	fr,	а,	fe	ъ
1,0	26	24	27	26	27	24
1,2	36	22	37	37	27	34
1,4	46	19	46	46	25	43
1,6	53	16	54	оо	23	52
1,8	60	14	60	6*2	99	59
2,0	65	И	65	65	20	6о
3,0	78	4	78	78	12	89
Таблица 13.8 [23]
Значения а-> и в (13,7), а также 6] и б2 в (33.9)
для нагрузки в виде силы Р в центре плиты
ь а	Плита, опертая по контуру (схема 1 на рис. 13.4)			Плита с жестко за- щемленным контуром (схема 9 на рис. 13.4)	
	«5	6,	1	щ	«г,	-7)
1,9	116	0,565	0,135	56	126
1,2	115	0,350	0,115	65	П9
1,4	Н8	0,211	0,085	69	160
1,6	157	0,125	0,057	71	165
1,8	162	0,1)73	0,037	72	167
2,0	165	0,012	0,023	72	167
со	16’)	0	0	—,	—,
для определения приведенных поперечных сил можно
находить по графикам на рис. 13.11 (коэффициенты ф,
и ф, для нагрузки по схеме a, a ф, и ф, для нагрузки
по схеме б на рис. 13.10; i — номер точки на рис. 13.10).
Нагрузка, распределенная
вдоль прямой линии
Если нагрузка распределена равномерно вдоль прямой
линии у=а!2 или х = 6/2 (рис. 13.4), то при опорных
закреплениях по схемам 1 и 4 на рис. 13.4 можно опре-
делять изгибающие моменты по табл. 13.4 и 13.5. Про-
гибы в центре плиты от подобной нагрузки, действую-
щей на плиту, свободно опертую по периметру, можно
определять по первой формуле (13.7), заменив в ней про-
изведение роаг равнодействующей нагрузки, приложенной
к плите.
Рис. 13.12
Таблица 13.7 [23]
Значения ая в (13.7) для плиты, свободно опертой по контуру
и равномерно загруженной по линии х = Ь>‘2 или у^а/2
Ь а	По линия х = Ь!1				По линии у — а/2			
	1.0	1,2	1.5	2,0	1,0	1,2	1,5	2,0
а, । 67,4		95,3	125,1	162,9	67,1	79,9	91,1	98,7
Значения 6162 и для рассматриваемой плиты при-
ведены в табл. 13.8. В ней же приведены значения ag
и уз для плиты с жестко защемленным контуром, загру-
женной силой Р в центре.
На рис. 13.12 приведены эпюры некоторых усилий для
квадратной плиты со свободно опертым контуром, за-
суженной силой в центре [23]. Из эпюр следует, что
если углы плиты не могуг перемещаться, то там возни-
кают не только сосредоточенные силовые реакции Н, но
и реактивные моменты.
Квадратная плита на упругих опорах
под равномерно распределенной
нагрузкой
Нагрузка в виде силы,
приложенной в центре плиты
Если положить, что сила Р распределена по площади
малого круга радиуса с с центром в точке 5 (рис., 13,4)
Прогибы и изгибающие моменты находим по форму-
лам (13.7). Значения а, (3 и у приведены .в табл. 13,9
для следующих плит (схема А рис. 13.4):
1) плита, у которой кромки х=0 и х=й оперты на
упругие балки, а остальные кромки — на жесткие опоры
(плита а);
4*
52
РАЗДЕЛ П УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Значения о, fi V в (13.7) для плит, опертых полностью
или частично на упругие балки (Ц^О,25)
EI aD	Плита а.				Плита б			
	а-	а, \		Уз	|	cq	й-ГОТн	
	41	0	46	46	41	0	46	0
ЮН	41	0	46	46	41	0,3	46	0
50	41	0,4	46	46	42	0,7	46	0
25	42	1,4	47	46	43	1,7	17	0 2
10	43	1,2	48	45	47	4,4	48	2. 1
5	46	8,5	50	45	52	9,9	49	6,5
4	48	И)	52	44	,55	11	50	Я,а
3	50	14	53	44	59	15	52	12
.2	53	20	57	б	67	21	54	18
1	6-3	36	65	30	87	38	60	И
0,5	76	58	77	37	117	62	69	56
0	130	144	123	23	257	175	111	053
2) плита, у которой все кромки оперты на упругие
балки (плита б).
Принято, что все опорные балки имеют одинаковую
жесткость Е1.
При / = 0 по табл. 3 3.9 можно рассчитать плиту, опер-
тую только в вершинах (плита б}, и плиту, свободно
опертую по двум кромкам, при условии, что две другие
кромки свободны от усилий (плита а).
Определение сосредоточенных
реактивных сил в углах плиты,
свободно опертой по периметру
Если углы плиты, свободно опертой по периметру, не
могут перемещаться в направлении оси г (см. рис. 13.3),
то у вершин возникают реактивные сосредоточенные
силы
(13. !0)
где 6, следует брать в зависимости от нагрузки из
табл. 13 10 (i — номер точки на схеме А рис. 13.4).
Реактивные силы в вершинах плиты вызывают появ-
ление у вершин распределенных изгибающих моментов.
Максимальное значение этих моментов по единичной
площадке, наклоненной к сторонам плиты под углом
45°, равно:
(13.11)
13,2,2. Ребристые плиты
На рис. 13,13 представлены следующие ребристые
плиты:
а)	прямоугольная плита, свободно опертая по трем
кромкам и снабженная ребром по четвертой кромке; не-
распределенная;
Т а б 7 и ц я 13 И [13]
Т а б л и ц а 13,1п [23]
Значения ф. я (13.19) для разных нагрузок
Нагрузка	Г	Ь/а					
		м	!,2	',4	1,6	1.8	2,0
Равномерно распределен- ная	б-	63	74	83	86	90	92
Гидростатическая 1рис. 13 7,6)	(Ь	26 39	31 43	35 18	37 49	38 52	10
Гидростатическая (рис. 13.7,а)	б, б,	26 39	27 17	30 53	27 59	27 63	26 66
Сосредоточенная сила Р в центре плиты	, б,	122	И6	103	88	74	60
Для сосредоточенной силы в центре плиты следует
(13.10) заменить ppP на Р.
б)	прямоугольная полюса, свободно опертая по краям,
параллельным оси х, снабженная рядом ребер, распо-
ложенных на равных расстояниях друг от друга; нагруз-
ка показана на рис. 13 13, б.
Изгибающие моменты для точек, показанных на
рис. 13 13, определяются по формулам (13.7), Значения
р и у привгдсцы в табл. 13 11 и 13,12.
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
53
Т а б л и ц а 13.12 [181
Значения 0 и в (13.7) для плиты а по рис. 13.13 6 (Н--0Л8)
ь	0	H/h											
		1	1	5							1	s				
а		i											
	V	!		1 ;i 1		I	•)		I	!		3	4
0,6		21	— 15	—5,6	—5,0	19	— 19	—	—3,9	18,1	—22	-4,4	—3,0
		19	с.з	11	8,3	13	3,5	5,7	4,0	9,9	0,3	3,3	2,0
0,7		25	— 19	—7,2	—'5,5	.2-1	—25	—6,9	—4,2	22		-5,5	—3,1
	Vl	24	ю	12	Я,2	18	3,3	6,4	3,8	13,7	- .0,3	3,7	1,9
0,8	h	29	—24	—8,7	-5,7	27	—32	—8,4	—4,3	26	—37	—6,8	—3,1
		30	10	13	7,8	23	3,1	7,0	3,4	18,5	— 1,0	4,0	1,5
Таблица 13.13 13]
Значения k в (13.12)—(13.15)
К	|
b a	6													
	0	0,10	0,25	0,50	0,75	1,0	0		0,10 |		0,25	0,50	0,75	!,0
0 0,25 0,50 0,75 1,0	130 130 130 130 130	130 130 130 130 126	130 130 130 117 96	130 130 121 94 66	130 129 111 78 50	130 128 101 66 41	0 0 0 0 0		37 37 37 72 128		93 102 120 197 262	185 191 252 341 378	278 281 357 434 438	375 384 464 504 479
b a	k.					A.								
	5													
	n	0,10	0,25	0,5o| 0,7s| 1,0 | 0						O,io| 0,25		0,50	0,75	1.0
0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 0 0 0 0	125 12.6 125 138 145	313 318 322 313 283	625 623 600 508 389	940 930 820 626 440	1250 1235 101? 713 479		125 125 125 125 125		125 125 125 125 117	125 125 125 111 92	125 1.24 115 86 61	125 123 105 73 45	III II
изгибающие моменты в центре у ребер
/ k„	с" \	)
Mr, = Ь" — —- Рп, |
\ 10*	12 ) °
/ с3 \ (
му= ! То*"&3 g Тг”/ Рв' I
наибольший изгибающий момент в ребре
ki
(13.14)
(13.15)
Здесь с—расстояние между ребрами; I — мом°ит инер-
ции сечения ребра; ki — коэффициенты, зависящие от па-
раметра
<5-= 22.
(13.16)
определяются из табл. 13.13.
13.2.3. Многопролетные плиты
Бесконечная плита, опертая в узлах
прямоугольной сетки [3] (рис. 13.15)
Для плиты, свободно опертой по контуру и усиленной
рядом часто поставленных ребер (рис. 13.14) при равно-
мерно распределенной нагрузке, можно определять про-
гиб в центре и изгибающие моменты по формулам [3]:
прогиб в центре
! kt cbf	с4 \
Под действием нагрузки, равномерно распределенной
по всей поверхности такой плиты, в ней возникают про-
гибы и усилия, определяемые формулами (13.7) при
изгибающие моменты в центре между ребрами
/ й, с3 \
63 +	) Ро;
(13.13)
Рис. 13.15
54
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ II Б'.ЛКИ СТЕНВД1)
Т а блица 13.14 13]
Значения а, Р, у в (13.7) для плиты по рис. 13.15
(ц =о.зо)
а b	сч	Сб2		h	(%	(6		°?		г		Г	 г	
1	58	44	36	50-	40	11	52	123	36	13	21	48	111	181
1,1	49	40	37	41	35	5,7	51	114	29	19	26	48	10/	173
1,2	43	38	38	35	28	4,8	49	106	24	24	31	54	106	1о7
1,3	39	36	39	30	24	2,4	47	100	21	28	35	56	пи	159
1,4	36	35	39	26	21	—0,4	45	95	19	32	38	58	КН	153
1,5	34	33	39	23	17	-1.5	44	90	17	36	41	60	102	119
9	30	29	41	и	5,5	-6,7	39	74	13	48	50	66	97	132
	26	26	42		— 25	—25	25	25	13	83	83	83	83	83
значениях а = а,, |3 — у = у> (i — номер точек на
рис. 13.15, а) по табл. 13.14,
При размещении равномерной нагрузки не по всей
плите, а лишь на некоторых панелях, наииевыгоднейшей
является загрузка в шахматном порядке (например, за-
грузка панелей, заштрихованных на рис. 13.15,6), При
такой загрузке напряженно деформированное состояние
любой панели может быть определено суммой двух со-
стояний: первого, возникающего при загружении всей
плиты равномерной нагрузкой интенсивности 1/2 р0,
и второго, возникающего при нагрузке, показанной на
рис. 13.15,6 (заштрихованные и незаштриховаппые па-
нели загружены нагрузкой одинаковой интенсивности
J/2 р0, но разного знака). При втором загружении каж-
дую панель .можно рассматривать как свободно опертую
по контуру, и, следовательно, определять в ней усилия
и прогибы с помощью табл 13.1 (схема l), Иначе гово-
ря, максимальные прогибы и усилия в панели при шах-
матном расположении нагрузки можно определять по
(13.7), полагая а, |3, у равными среднему арифметиче-
скому значений, определенных по табл. 13.1 (схема 1)
и табл. 13.14.
Пример 13.2. Определить максимальный прогиб в цент-
ре квадратной панели безбалочного перекрытия при а —
= 3 ж, ро = 0,8 Т1м2. По табл. 13.1 (схема 1) и 13.14
и формулам (13.7) находим
1	а рп cfi
а = — (41 + 58) «50; ш = -— •	=
2	'	’	W D
50-0.8-ЗМ07	3,24-10®
_ _—————.—___ -----------. „„
Здесь 107—переходный коэффициент от Т-м2 к кГ-см2.
К в а д р а.т н а я пл и та, опертая по контуру
и поддерживаемая колоннам и (рис. 13.16)
Для плиты, опирающейся на четыре колонны и по пе-
риметру на жесткие опоры, можно определять изгибаю-
Т а б л и ц а 13.15 [23]
Значения V в (13.7) для плиты по рис. 13.16
=0,23 И -0,2)
щие моменты по формулам (13.7). В табл. 13.15 приве-
дены значения р, у для равномерно распределенной на-
грузки по заштрихованным областям плиты на рис.
13,16,	а, б, в (i—номера точек по рис. 13.16, а).
Приближенный способ расчета
и ера з резных плит [23]
Цели неразрезная плита состоит из панелей примерно
одинаковых размеров и одинаковой жесткости, то при-
ближенно максимальные
Рис. 13.17
ных сечениях иеразрезпой
арифметические значения,
ных панелей.
значения опорных моментов
можно определить следую-
щим образом. Каждая па-
нель рассчитывается как
изолированная плита, за-
щемленная по линиям со-
пряжения с соседними па-
нелями (остальные кромки
закреплены заданным спо-
собом). За действительные
значения моментов в опор-
плиты принимаются средне-
найденные из расчета смеж-
Пример 13.3. Определить расчетные моменты на опорах
плиты (рис. 13.17), засуженной по заштрихованной об-
ласти равномерно распределенной нагрузкой. По внеш-
нему периметру плита свободно оперта.
Так как пролеты панелей одинаковы, то достаточно
вычислить осредпенные значения коэффициентов |3 из
(13.7) в опорных сечениях 1—1 и 2—2, показанных на
рис. 13.17. В сечении I—1 от нагрузки левой панели на-
ходим по схеме 3 табл. 13,1 значение р' =—85. В сече-
ниях /—1 и 2—2 от нагрузки средней панели получим по
схеме 5 табл. 13.1 значение Р" =—70.
Для расчета принимаем для кромки 1—1
+=—	(85 + 70) «-78.	(а)
По аналогии для кромки 2—2
+=—-у (70 + 0) =—35.	(б)
Точные значения этих величин [5] равны:
+ =—80,4; +=—33,9.	(в)
Рис. 13.16
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
55
13.2.4. Плиты на упругом основании [26]
Ниже приводятся таблицы для расчета плит бесконеч-
ных размеров в одном и двух направлениях, лежащих
на упругом основании и загруженных сосредоточенными
силами Р.
Предполагается, что интенсивность реакции основания
р* определяется по формуле (гипотеза Винклера)
p* = ta>,	(13.17)
где k — модуль основания или коэффициент постели (см.
[16, 26] и разделы 5, 19).
на рис. 13.2041=0,2 6; /!4 = 0,2а; Z15=0,6a.
Пример 17.4. Определить прогибы и усилия в точках
И и 1 для плиты на упругом основании, загруженной
колоннами, расположенными в вершинах квадратной сет-
ки (см. рис. 13.19).
Дано. Расстояние между колоннами 2а = 500 см. Вы-
лет консольной части плиты [=125 см Толщина плиты
h=60 см. Нагрузка на средние колонны Р=240 Т; на-
грузка на крайние колонны Pi = 160 Т. Модуль упруго-
сти плиты £=2,1'105 кГ/см?. Коэффициент постели грун-
та k = 2 кг!см?.
Жесткость плиты (ji = 0):
Рис. 13.20
Д =
Eh3
12
2,l-10g-603
12
= 37,8-Ю8
кГ-см.
(а)
Определяем параметр tj по (13.18)
//" k - 2
Д ~2°° у 37,8-10s
(б)
Таблица 13.16 [26]
Значения а, 0, у в (13.7) для центрального поля
бесконечной плиты при одинаковой нагрузке
от всех опирающихся на нее колонн (рис. 13.18) (р. = 0)
	аг			1	105					10“ Д	
9	1									
	1	2	3	6	1	2	3	6	2	3
0,8	625	623	609	603	—189	—116	—29	29	—45	57
1,2	135	133	119	113	— 188	— 115	—29	27		56
1,6	52	50	36	31	—185	—113	—27	25	—42	53
2,0	29	26	14	9	—182	— 108	—23	21	—39	49
2,4	20	17	6	2,2	-174	-101	— 19	17		43
Расчетные величины определяются по формулам (13.7)
с заменой р0а2 на Р.
Значения а, (5 и у даны в зависимости от параметра
т] = а
(13.18)
где а — величина, определяющая расстояние между си-
лами Р.
Рассматриваются следующие расчетные схемы:
а)	бесконечная плита, загруженная равными силами Р,
расположенными в вершинах прямоугольной сетки
(рис. 13,18);
б)	полубесконечная плита, загруженная равными си-
лами Р, расположенными в вершинах прямоугольной сет-
ки (рис. 13.19);
в} полубесконечная плита, загруженная равными си-
лами Р, расположенными с шагом 2a вдоль оси х
(рис. 13.19);
г) плита в виде бесконечной полосы, загруженная ря-
дом равных сил Р, расположенных по оси симметрии
полосы (рис. 13.20).
Для определения моментов и прогибов в точках, ука-
занных на рис. 13.18—13 20, по формулам (в) на стр. 57
следует пользоваться значениями коэффициентов а, (3, у,
приведенными в табл. 1,3.16—1.3 19 (эти значения вычис-
лены при ц=0). При этом следует иметь в виду, что
расстояния между точками i и / (4'1), приведенными на
рис. 13,18—13.20, приняты равными:
на рис. 13.18 — /12 = 114=0,2 а-,
на рис. 13J 9 -—фл = Zzy = йт = Z73 = 0,2с: ^2 = 0,2 f;
Таблица 13 17 [261
Значения a,Р, ув (13.7) для крайних полей и консольной
части полубесконечной плиты при одинаковой нагрузке
от всех опирающихся на нее колонн (рис. 13,19) (|4=0)
а					Юэ				
	*1				i				
		1	3	5	7	10	11	12	13
	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	1189 309 128 68 41	1106 271 107 65 34	805 142 37 12 4,3	659 124 47 27 19	643 108 31 12 5,6	757 136 31 6,9 0,3	1018 247 83. 33 14	1162 283 102 44 20
Vs	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	945 221 81 38 20	867 194 72 37 23	706 128 36 13 5,4	641 130 50 28 20	625 114 35 14 5,8	700 122 31 8,5 1,8	848 175 54 20 7,5	930 205 67 25 8,7
3Л	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	730 150 46 17 7,1	711 154 59 32 21	649 121 37 14 5,8	637 135 52 29 20	620 119 36 14 5,9	643 119 32 10 2,3	693 137 42 16 6,8	721 139 38 10 1,4
1	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	543 90 21 4,6 0,3	614 136 55 31 21	618 124 38 14 5,9	00 СО СО СЪ © : Cg СО csj СЧ	622 122 37 14 5,9	619 119 33 10 2,4	597 120 39 16 6,9	538 85 17 1,1 -2,4
56
РАЗДЕЛ 13, УПРУГИЕ ТОНКИЕ. ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕНКИ)
Продолжение табл. 13.17
а	103 P i													
	0	1	1												
		1 | 2 j 3			4	5	6		8	9	10	11	1 I2	13
	о,я	182	201	198	135	32	106	149	46	80	—57	-35	1-92	-105
	1,2	180	200	197	133	31	105	148	45	79	—56		1—90	— 103
	1,6	176	196	193	во	29	103	146	43	76	—51	—27	—89	-99
	2,0	167	188	185	123	25	98	141	40	70	—49	—23	—79	—91
	2,4	155	176	174	11°	20	91	134	34	61	-43	— 18	-6$	—79
	0,8	89	151	164	ИЗ	30	106	149	46	57	—57		-69	—69
	1,2	88	150	162	W	29	[05	148	45	56	— 57	—28	—63	—66
7 а	1,6	81	117	.159	1 0"	27	102	146	43	53	-53	—?5	—65	—63
	2,0	78	141	158	105	24	'1.8	141	40	49	— 19		22	„„GO	—57
	2,4	68	1 ']	144	97	20	91	134	34	42	—В	-17	—52	—48
	0,8	46	125	153	108	29	106	149	46	49	—59	-27	—60	-40
	1,2	44	129	152	107	23	105	148	45	48	—56	—26	—59	—39
т.	1,6	42	129	149	105	26	102	146	43	46	—53	—24	—57	—3.6
	2,0	38	ио	144	100	23	98	141	40	42	— 19	—21	—52	—32
	2,4	31	107	137	93	18	91	134	34	36	—43	-16	—45	—25
	0,8	24	106	150	106	29	106	149	46	46	—56	—27	—57	—22
	1,2	93	105	149	105	28	105	148	45	46	—66	-26	-56	—21
1	76	21	103	146	103	26	102	146	43	44	—53	—25	—54	—20
	2,7	18	РО	И1	98	23	98	141	39	40	-19	—21	-49	—18
	2,4	И	92	Вп	91	18	91	134	34	34	—43	—16	—43	— 13
Продолжение табл. 13.17
	/ . а	1У7г.											
		1										
			3	4		6	7	1 8	! 9	1 W	ч	12
	0,8	75	111	61	-185	—63	ВО	28	46	—68	— 15!	—27
	1,2	73	147	50	-137	1,4 30	195	82	30	—, >	1	— 104	—23
	1,6	80	151	40	-К)!		218	122	53	21	—м	—19
	2,0	81	154	31	—74	37	222	119	56	25	—43	— 15
	2,4	82	156	23	—54	34	215	113	59	21	—20	— 12
	0,8	6R	187	—8	—122	— 10	179	76	86		—91	—2
	j 2	/ я	193	3	—92	25	214	111	92	15	—61	4
Л	1,6	75	198	12	—71	37	223	120	96	25	—41	9
	2,0	76	199	17	—57	38	?'? 1	И9	98	24	—28	И
	2,4	75	200	19	—45	33	214	112	98	20	— 19	13
	0,8	72	227	37	—74	27	213	ЦП	125	14	— 14	31
	1 2 Г, о	72	228	40	—’64	38	223	120	126	24	—35	33,
		71	227	40	—57	40	224	123	125	26	—29	30
	2,0	67	223	37	—51	37	220	115	121	24	—24	29
	2,4	60	216	32	—44	32	214	111	114	19	-18	23
	0,8	80	261	74	—39	53	236	133	159	36	-10	63
	1,2	73	252	64	— W	43	227	125	150	28	—21	54
1	1,6	64	242	53	—53	40	224	121	139	26	—25	44
	2,0	лз	г['р	13	—50	37	220	11?	128	23	—2.3	34
		41	218	,44	— И	32	2 В	111	116	20	— 18	24
Таблица 13Л8[26]
Значения а, v в <13-7) для крайних полей и консольной
части полубесконечной плиты при загрузке только крайнего
ряда опирающихся на нее колонн (рис. 13.19)
f а	1Ыа/								
	11	£							
		1	|	3		S	7	10	1 "	! 12	13
	0,8	1201	1056	509	150	150	505	1032	1075 I
	1,2	338	28.3	82	—3,6	-3,8	79	259	311 \
7*	1,6	13Э	112	18	—5 8	—6,0	15	71	ИЗ i
	2,0	71	57	4,7	—2,3	—2,5	2,0	35	47
	2,4	42	34	1,4	—0,7	— 1,1	—6,4	14	21 ; j
	0,8	1008	809	407	131	131	404	789	99° ?
	1,2	252	196	67	3,2	3,0	64	218	237 i
7г	1,8	90	74	17	—2,2	—2,4	15	56	76
	2,0	40	38	6,1	— 1,2	— 1,4	3,7	21	27
	2,4	20	24	2,5	—0,5	—0,6	—0,7	8,1	9
	0,8	828	637	344	126	126	341	620	819
	1,2	178	150	63	8,9	8,7	51	120	170
7,	1,6	53	59	19	—0,3	-0,5	16	•12	45
	2,0	19	32	7,1	—0,9	-1,0	7,6	17	И i
	2,4	7,1	21	2,9	0,5	0,6	1,3	7,3	1,4
	0,8	665	524	308	128	128	305	470	660
	1,2	118	128	63	13	13	60	112	И4
1	1,6	26	55	20	1,0	0,8	18	39	22
	2,0	5,1	32	7,5	—0,8	—0,9	5,3	17	16
	2,4	0,2	21	3,0	—0,5	—0,6	0,3	7,,5	—2,5
Продолжение табл. 13.13
№0.
	п	!| 2		3	4	5	7	9	10	11	12	В
	0,8	181	200	197	132	18	1,2	79	— 1,2	— 17	—91	—104
	1,2	179	199	195	132	17	1,1	78	— 1,2	-16	-89	— 103
7.	1,6	175	197	191	128	16	1,0	75	— 1,0	— 15	—85	-98
	2,0	169	187	18)	121	14	0,7	69	—0,7	— 13	-79	—93
	2,4	155	176	173	112	И	0,4	61	—0,4	— К)	—68	—79
	0,8	89	149	162	ИЗ	16	1,1	56	—и	-15	—68	—67
	1,2	87	149	161	112	15	м	55	—1,1	— 14	—67	--66
7г	1.6	84	146	158	109	14	0,9	52	—0,9	— 13	.—64	-63
	2,0	78	НО	152	104	12	0,6	48	—0,6	— И	—59	-57
	2,4	68	131	144	96	10	0,3	41	—0,3	—9	-51	-48
	0,8	45	12)	152	106	15	1,1 1,0	48	— 1,1	— 14	—59	—40
	1,2	44	123	151	10b	14		47	— 1,0	— В	—58	—39
Т.	1,6	42	120	148	103	13	0,9	45	—0,9	— В	—55	—.36
	2,0	37	115	144	99	12	0,6	41	—0,6	— И	—51	—38
	2,4	31	1(17	136	92	9	0,3	36	—0,3	—8	— 15	—26
	0,8	24	106	149	63	14	1,0	45	— 1,0	—В	—56	
	1,2	23	105	148	103	14	ИО	45	-1,0	— В		-1D	—21
1	1,6	21	102	145	101	13	0,8	43	—0,8	— 12	—53	—29
	2,0	18	98	1'11	97	и	0.6	39	—0,6	— 11	-49	— 17
	2,4	14	92	134	91	9	0,3	<31-	—0,3	—Я	—43	—12
Продолжение табл. 13.18
f а	10’^			
	п	i		
		2	3 I 4	5	7 | 9 1 10 1 11 | 12
7г	0,8 1В	76 79	144 —62 Ц9 1 - 45	—206 —194	47 -192 —187	—28 — 129 —72 I 52 | — 70 1—1В
13 2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
57
Продолжение табл. 13.18
г, а	1UJ^									
	л	i								
		2	3	4	5	1	9	W	п	12
	1,6 2,0 2,4	8? 83 S3	153 156 157	—34 —2-5 —20	—81	—23 —5,5 -3J	56 58 60	-21 —4,1 —0,7	—62 —34 — 17	ш 1	—* ОТ- ОО
Ч--	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	70 77 79 79 76	189 200 204 204 201	4 14 23 25 23	1 1 1 1 1 ГС СО >и _ ,U ОТ ОТ GC .ОТ	— 143 -51 — 18 —6,3 — 1,7	88 98 103 102 100	—.	— ОТ i тот от -,4-Г ’ 1 и "и	— 124 —62 —32 -18 — И	ТГ1Г5 Т 77777
	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	76 81 78 70 61	232 241 237 229 218	! от слепив ОТ СП ОТ ОТ	ас от г- с,- ; оо -9 го cj ci I 1 II II	I 1 1 1 1 -".ДДЗ	130 133 135 126 116	1 1 1 1 1 ОТ Ui —- ОТ от го	от	—73 — 31 — 18 — 13 — 10	35 44 41 34 2о
1	0,8 1,2 1,6 2,0 2,4	89 86 72 57 42	273 270 255 237 220	86 86 71 53 38	1 1 1 1 1	Iftft 1Д f	170 168 152 114 118	77711	777 i7	72 64 56 39 26
Продолжение табл. 13.19
10-0
а	л	i							
		1 | 2		3	4	5	6	7	8
	0,8	286	284	247	146	—85	— 163	— 163	—162
	1 с)	283	181	243	143	,—34	— 160	— №	— 159
’/>	1,6	274	,?7'J	235	Ыб	—81	— 152	— 152	— 151
	2,0	259	256	220	124	—7ч	—137	— 137	—186
	2,4	236	234	197	106	—69	— 115	— 115	— 111
	0,8	181	167	97	69	—48	-86	—83	—75
	1,2	380	165	95	69	—48	—35	—82	—74
7,	1,«	175	161	90	65	—16	— 79	—77	— /0
	2,0	168	] S3	83	6'1	—44	—71	—70	—62
	2,4	155	141		50	— 10	—60	—69	—б)1
	ОФ	157	128	47	5’2	—41		(fti	—58	„4]
	1,2	156	126	46	51	—40	—63	-57	—40
7.	1,6	15в	123	43	49	—,й	—60	—54	-37
	2,0	147	118		44	—38		„49	—33
	2,4	138	108	31	37	-35	—16	—41	—26
	0,8	150	107	-Т.1	17	—38	—58	- 16	GO
	1,2	149	106	о ?	46		эд	—59		55	—22
1	1,6	147	loo	21	44	—37		-42	—20
	2,0	142	99	ы	40	—36	— 5и	—39	—17 .
1	2,4	135	9’2	14	35	—34	— 43	—32	—13
Таблица 13.19 (26J
Значения а, 7 а (13.7) для плиты в виде бесконечной
полосы, загруженной равными силами по оси симметрии
(рис. 13.20)
b						1	1о’д							
													
а	'П												
		1	3	5	6		8	1	2	4	5	6	7
													
	0,8	2463	2462	2435	2422	2423	2423	142	69	51	6,1	1,9	1,7
	1,2	504	502	476	464	464	464	142	69	51	6,1	1,9	1,7
7.	1,0	173	172	146	155	185	135	142	69	51	6,1	1,9	1,7
	2,0	82	80	56	46	46	46	142	69	51	0,1	1,9	1,6
	2,4	47	46	25	16	16	16	142	69	51	6,1	1,8	1,6
	9,8	1235	1227	1219	1212	1212	1210	199	75	98	29	20	15
	1,2	205	248	239	233	233	2 31	197	73	97	29	20	15
Ч,	1 ,ъ	89	82	74	68	68	66	197	72	96	29	19	15
	2,0	44	37	29	24	24	9 9	197	71	94	28	19	15
	2,4	26	19	13	8,3	7,9	6,8	195	70	94	26	16	13
	0,8	829	810	816	811	809	802	236	77	134	57	43	32
	1,2	176	157	163	158	156	149	235	76	133	56	42	32
7/	1,6	65	48	53	48	46	10	239	73	130	56	40	30
	2,0	35	18	22	18	17	10	227	08	125	49	35	27
	2,4	•JO	7,1	11	7,8	6,6	1,4	218	61	116	42	29	22
	0,8	п32	394	620	615	610	590	269	85	167	87	71	48
	1,2	142	105	129	125	120	101	265	81	162	81	67	4,)
1	1,6	58	25	UJ	42	37	21	255	72	153	73	57	
	2,0	33	5,2	21	18	14	1,7	240	58	138	59	44	29
	2,4	21	0,2	И	7,5	5,0	-2,5	220	42	118	41	ц	19
Формулы для прогибов и усилий (13.7) принимают вид
г_ =	а"	—
w = [а,- Р — аг (Р — РЛ\ ~ ~ (240 а,- —
=.	10s-2502
—80а/)----------= 1 ,224 (За,- — а,) мг;
’ 37,8-10“
МХ=--^Р~- ft(P — Рд =	(В)
= 80 (3ft - ft) Т-см/см;
MtJ = ft Р у/ (Р - РЛ =
= 80 (3-у;- — ft) Т • см/см.
Здесь a, ft у определяют ив шбл. 13.17, а а, ft у—•
из табл, 13.18.
При Ца—1/2:
для точки И
w = 1,224 (3 -0,122 — 0,064) « 0,4 =«;
Мх = — 80 (3-0,028 - 0,014) « —5,6 Т-с.п/см;
Aft =—80(3-0,061 —0,062)	9,7 Т-см/см;
для точки 1
V) = 1,224 (3-0,221 —0,252) яв 0,56 см; |
Мх = 80 (3-0,088 — 0,087) = 14 Т-см/см; Му=0. /
Давление плиты на основание:
Рц = kwu = 2-0,4 = 0,8 кГ/см~;
р\ — йау — 2-0,56 = 1,1 кГ/см",
58
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т а бл иц а 13,20 [3]
Значения о., 6, v в (13.19) для схем нагрузок по рис. 13.21
(г — номера точек на схеме A, f — номера точек на схеме В)
Схема В а^Ь\ с=0,075д
i	1	2	3	4	5
а! 0	-43	1,2 — И	34 —21	83 0	100 142
		Схема 2: a	-г>- c=0,Ia		
1	1	1	2	3	|	4	6	7	11	12	13	14
«г	-49	—21	—15	— 18	;	—12	26	127	—16	„13	— 17	122
рг	—к»	—94	—79	—50	—30	—53	0	—65	—43	— 19	0
i	18	19	20	21	23	26	|	27	j 28	—	— ~
~“8	-11	0,9	79	0	0	0	0	—	
₽г	-88	—94	„.,qo	0	—117	— 175	:	—257	—400	— 1	
		Схема	3'. a~b		
i	1	2	|	3	4	|	5	6	|	7	|	/	4 j 10	18	25
а,-	-28	—24	|	—31	—37	|	—26	•39	|	184	|	4	:	—52	—63	—116	—181
	Схема 3’ a —2b			Схема 4' a — 1,5 b	
/ 1	2	|	3	|	4	5	i • I	2	|	3	4 j 5
ау	—258	— 123	|	—116	—117	|	302	ay	—123	—66	|	—28	50	211
Схема 5\ а^Ъ					
i	1	2	|	3	|	4	1 5 1 6	7	:	8	9	10	11	12 j 13 | 14
аг	—319	— И	„4	I —3	|	57	207	—64	-56	—21	—18	— 13	38	205
₽г > -	—345	—Hl	—10	3	-43	—1,8	— —	-95 ' —109	—86	—48	— Ц	—
	- — —		— —	75	63	52	44	23 ; —
I	15	16 j 17	।	18	19	|	20	21	23	24	25	26	27
az	1,2	—2fi	— Г	— 17	—24	—7	181	— —• —	™ | —
	—33	—71	—96	—105	—78	—	1,2	•	—49	—134	—253 \	—419	
т.	30	49	59	—67	—61	„	j	— —
		Схема	5: a~b		
z J 1	2	3	|	4	|	5	|	6	7	I .	4	11	)	18	25
a*	—54	—39	—55	—7Q	—67 |	25	475		B£ |	99	50	—36	|	—128
Схема 7: a~b					
i	1 9	10	11	12	13	|	14	|	— —
a(-	j	206	52		0,4	-8,4	—32	|	—68	—93	~ j ”
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
Схема 10:
60
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Продолжение табл. 13.20																												
с j					1=2	|	7=3	|	1=4																1^6	|	i^7							
—а	—35	„н	5	7,8 6	|																6,8					5,7				7,4			
Схема 11: а^Ь; значения																												
с	Z —1	2		3			4		5		ь						8				9		10				11	
0 6 	1 ь 3 1 ь 2	-591 —302 —99 —5,6	- 304 —262 —145 —60		s 5 i § ill!			—3,6 —61 —135 —203		27 — 13 —62 — 136		40 13 — 13 —60			67 41 26 —5,6			—660 —280 -77 0,2				—281 —682 — Hl —51		—76 — 141 —238 —133				2,6 -51 -132 —234	
£	|	12	13		н			15		lu		17			18			19				20		21					
0 1 ь 6 J ь 3 —6 2	26 —20 —'56 — 133	33 13 —6,5 —51		53 33 —22 0,2			—862 —190 —22 13		-188 —237 — 107 —27		—24 —105 —Ж —100			И 	Р5 —101 —.359			16 ~1,8 -27 — 101)				16 —7,3 —27		20 15 15 13					
Схема 11: значения «у																												
а - Ь/2 при 1, равном											а =25 при /, равном																	
	*	2		3			4		5					3			/				3		3				10	
и — 6 4 2	—533 —м 16	1 ND	Ю •— W	о jb		1 i 8 s s			3,4 2,7 —23		1 3,5 16		0 ±,ь 4 J-b !)			— 1592 —898 —324			1 1	1 й & ! 	 1				1 1 1 I § g		126 — 122 —395				582 128 —324	
Схема 11: а=^2Ь; значения <zy при /, равном																												
с	11		12			13		14		15		16				17			18			1				20		
и -*-6 -1 2гь	। 1 и § S I 1		—802 —780 —379			—22U —379 —622		108 —100 —379		444 108 —220		-2388 —526 —62				—524 —1043 —287			1	1 1 СО	ND CD 2	S'1			83 —49 —287				205 80 —62 j		
13.2.5. Балки-стенки [3] На рис. 13,21 приведены 11 схем различного загру- жена прямоугольных балок-стенок. Предполагается, что все нагрузки отнесены к пластине с толщиной /г=1. При этом усилия, действующие на единичную площадку,										где в зависимости от нагрузки р* равно: Р	Ма Р*х=Ро< р*-=— ", Р* = —д .	(13.20) а	а- Т а б л иц а 13,21 [3] Значения 5 в <13.21) для схем нагрузок по рис. 13.21																		
численно равны напряжениям. Усилия и напряжения определяются по формулам а	В !02,”*-. Gg~Ny~ wap- т	(13.19) тж„ = S = —— р*, ХУ	1Q2 1											Схема		<5 при i, равном															
													!		*			3		4		5		3				7
											1 2 a €		0,144 1,014 2,135 0,515		0,153 0,866 2,052 0,545			0,183 0,729 1,364 0,568		0,244 U ,624 1,123 0,762		0,346 0,560 1,006 0,989		0,486 0,532 0,965 1,545				0,608 0,495 0,907 1,845
13 3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
61
Значения коэффициентов а, Р, у из (13.19) в точках,
занумерованных на схемах А, В рис. 13 21, для всех рас-
четных схем сведены в табл. 13.20. В этой таблице индекс
г обозначает номер точки на схеме А, а индекс j—но-
мер точки на схеме В, для которой определяются усилия
или напряжения.
Рнс. 13 22
Рис. 13.21
костью симметрии), В силу этого Qe — Л1К =	=0;
фг=У,. при изгибе плиш и 3-,—Uy =0 при плоском на-
пряженном состоянии пластины.
Вее остальные компоненты усилий и перемещений за-
висят только от переменной г (рис. 13.1) или безразмер-
ной координаты
р = г)а,	(13.22)
где а — радиус одной из кромок пластины.
Плоское напряжениое состояние
На рис. 13.22 показаны эпюры ох, ау и тХу для харак-
терных сечений некоторых схем нагрузки, предоавлен-
ных на рис. 13,21 (пунктирные линии показывают закон
распределения напряжений по формулам курса сопро-
тивления материалов).
В табл. 13.21 приведены значения коэффициента 6,
(i— номер точки на схеме А), позволяющего определять
значения вертикального перемещения иу для некоторых
схем нагрузки, показанных па рис. 13.21, по формуле
Формулы для усилий и перемещений:
_	 ДР
“у — £ > «s= £ -
(13.21)
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
13.3.1, Осесимметричная задача расчета
изотропных плит
Если нагрузка и граничные условия не зависят от угла
0 (см. рис, 13,1), то имеет место осевая симметрия (лю-
бая плоскость, проходящая через ось г, является плос-
Постоянные с, в (13.23) для первых двух схем, показан-
ных на рис, 1,3.23, находим но формулам.
схема и
Г -1 V4 "”7	С2 = 0:
ro;fl = -y	1₽Г°:
схема б
1 - 1 -
r < r0; = — p v; c2 =—- — p Vb“;
r > Л) rcy = 4" p (v — A.J; c2 =-—
— -у P^b'-Hj.
(13.24)
62
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Здесь принято
(13 24а)
а
Используя (13.23), нетрудно получить решение для дру-
гих схем, аналогичных показанной на рис. 13,23 а.
Пример 13.5. Определить реактивные усилия р'г для
схемы на рис. 13.23, в при а = 6 м- Ь — 3 м; р—1 Т/м и
р=0,15.
По (13.1) находим + =0,85; Х2 = 1,15. Постоянные с,
от нагрузки р находим по (13.24) для схемы б при гд>
>га — Ъ (Ь/а=0,5):
1,15+0,85-0,53	)
у= ----------------= 1,81;
1 — 0,52
+ =—(1,81-1,15) =0,33 7+ I, (а)
с2=— — З2 (1,81+0,85)==-— 12Т/м.
2
Затем по (13.23) определяем иг для г = й = 6 м:
а /	12 \	а
и ----- 0,85-0,33 + 1,15 —- =0,67-—- .	(б)
Eh \	6” /	Eh	' }
Постоянные с, от реактивных сил р* находим по (13,24)
/ b	\
для схемы б при г<г0=а!— =0,5 :
\ а	)
1,15 + 0,85
v = -—+-л— = 2,67;
1—0,52
р*	—
Г1 ==— -у 2,67 = — 1, ЗЗр* 7/м;	(в)
р*
с2= — 2,67-33 = 12р* Т/м
2	1
и по (13.23) определяем ит для г = а~6 м:
ар*	12 \	ар*
йг = —++1,33-0,85 — 1,15 — =—1,51 — . (г)
E/i	36 /	Eh	v ’
Суммируя (б) и (г), найдем полное перемещение ur
точки г —а и приравняем его нулю:
ur= ++0,67- 1,51 + ) = 0,	(д)
Eh
откуда
0,67
+ =-—-= 0,44 7/.Ш	(е)
I ,01
Плиты на жестких опорах
Решение осесимметричной задачи об изгибе изотропной
плиты на жестких опорах методом начальных парамет-
ров см. [12]. Здесь приводятся готовые решения задач
об изгибе плит, показанных па рис. 13,24, Во всех этих
задачах, как и в любой осе-
симметричной, поперечные
силы в сечении г=го можно
определить по формуле
где Р—проекция па ось z
равнодействующей всех сил,
расположенных в области
0< г < г0.
Для определения W, 7ИГ,
Mq в задачах, показанных
на схемах /—5, следует
пользоваться формулами
табл. 13.22. В этой таблице
помимо обозначений (13.1)
принято:
(13.25а)
При решении задач, показанных на схемах 6—18, следует
пользоваться следующими формулами:
W = (Cj + +3 + С3 In Р +
ро4
+ +"“lnp)+ —РФ
<7©	1 Г	Сд
= + = —. 2сар + — +
dr	a L	Р
1	ра3
+ с41о (2 In р + 1) + ++ Р3;
I	1ЫР
М,
> (13.26)
1	Лэиа2
+ с4 (2Л.г 1п р + Л3) | — — р3;
J	16
D Г .	+.
Д4д ——	- 2лгсг + са +
а- [	р2
„ ,	„ 1 Tipas
+ + (2а2 In р + Х4)-------——— р2.
J	1о
4c4D	ра
I
1
где с, — коэффициенты, отражающие граничные условия;
они определяются по табл. 13.23, 13.24 (для схем 6—11)
и 13.25 (для схем 12—18), в которых, как и в табл. 13,22,
используются обозначения (13.25а).
Наибольшие напряжения и прогибы в плитах, изобра-
женных на схемах 12, 12а, 13, 16а, 17а, 19—21, опреде-
ляются по формулам
_ 2L
°макс — 71	'
Рг2
__ Г °
+1аке Уз г,,
(13.27)
13 3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
63
где Yi и Vs берук'я по графикам рис. 13 25, и и 13 25,6,
а Р и Го определяются так.
|ра2—схема 73;
pb“—схема 12а, 16а, 19, 20;
яра—схемы 13, 21;
лрЬ—схема 17 а;
_ f а— схемы 72, 13;
т»"~ j Ь — 12а, 16а, Па, 19, 20, 21.
Рис. 13.24
Пример 13.6. Для плиты по рис. 13.24 (схема 6) дано:
с = 4 м; Ь — 2 м, р—1 Т/м2; р—0,15. Требуется опреде-
лить прогибы и усилия в точках г —0, г = '2 м, г —-3 м.
Вычисляем вспомогательные величины по (13 1): Д =
=0,85; 7.2=1,15; Л3 = ЗД5; 1Д=1,45; Х7 = 7,45; й/а = 0,5,
По табл 13.23 определяем иосюяпиые для загружен-
ною участка плиты:
Cj =-£—(4-3,15 —7,45-0,5“ +
1 с л 1 П s	’	1
Д 4-1,15-0,52 1п0,5)-0,52 = 2,161 ----;
64D
па4	}
= —— (861,15 1п0,5 -ф-
64X2D v
+ 2-0,85-0,52 — 8) 0,52 =— 3,033 2—
'	640 j
(а)
Т а б л ица 13,22
Значения w, Мг, /Ид для схем 1—5 рис, 13,24
о и	W	мг	Mq
1	(Д - - 64Z, D — 2%эр-’ + Х2 р4)	(I _Pd i6		(V-pJ) lb
2	(I -P!)i 6 ID	16	(Д- wi 16
	(1 -рОД 16лХ2 D + -Ф, р- In р]	р 	In р 1Л	p ( P-1   1П p) 4л
; 4	ра~ 	In р) 1ьл£>	Р 	(l-i-k. In р) 2/т	p — 	 111 p) 4л
. 5	2Х. D	—m	—m
Т аб л иц а 13.23
Значения для схем 6—11 (рис. 13.24) при r<h (с
Схема	Общий множитель	64?v„Z)c1	|	fa-alvaD Cq	Схема	Общий множитель	6TkJJct	647.2Ос.
6	pa‘pJ	-— X-JS" -j- 4- 4k,{3” In 3)	8 (Д In p — 1) + 27.Tr	у	8Л2р(23&	(1 - pJ) Д2рцп р	1 — р^ -р 2 In Р
7	l-.pa^O	4 _	+ 4|3• hi P	4 (2 In 3 — P“) i	1(1	32та-	(?-' In р — 1) gJ	— (%j 4' kifH) 2
S		(] - P4 Д + 4- 2?..,p; bl [5	?.., (2 In P - 1 + P-)	Г1	13та-	2?.;PJ In р	(1	Р)“
G4
РГЦ11 В М1Р1ГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (Г ТИТЫ И ЬТТКИ СТЕНКИ)
Т 1 б 1 и I I 3 13 24
Значения сд дтя схем 11 (оис 13 2^) при г>Ь					
Схема	Общий множите ь	1 » Dl	М? De	1« Ос,	11?
6	л,ри р	р + ?	If		1?
7	27 | ра*	Т F	О’ р 3 )	хр	1
)	rpt	/ ? ]	I- 0 - к	/ (3	?
О	<Р pit b	1 -т 1	(1 в р)	0	2
п	1Гт (5	—	1 1 L	2.	2	и
D	1 та р		1	6 2 {	и
=f (12,1319 20 21)
С $ (12а 16а 17а)
os
/-.(J
По форсив (13 _3) н во i.i 1
w = В 4 с„(" п	ра1 ' MD Р ~	ла4 1,46 	 iAD
22 ,Ж		ра-
Л Г1 ID	16	— 3,78 64
а) аля г - f о	J			
2 161д 4	м,	И к‘У	2Х,ПС,	6 98ло
4V	L 1 -— 1	с4О			(2	Ы ’ (б)
2л Рс,	1йпа2с>2	ра	j
-------- -  --------- - 5 83 1------
а-	16	6г
р<2()	ра
б) для г ” 2 л, р 0 5

'’начения с дтя с^ем
’Я (рис 13 2л)
С <ема	Общи) МНОлъ iT и-	1) м	De		Ы/ De	Ы?tDr	o4> Lc,
1 а	ра4	>	1 (’	It	1и 3	-° !? (1- Г ) Л »	В 61	4р	(А -г 6 V In |3)	
/ / а	8? J а 1	/	Vln ₽		2у li р	'—	) 1	7 In р X.	2
П pta	7 та		-1		>	-j Ao b	0
/ 1 а	и	1			„I	-2 — p К	0
16 16а	X Сра*	! -% 6 --В	Р4—к/	₽4 In !.	3/ 0 In I5 - 2 - ! - к 6 ’	- <₽	-^4Л P In pj	
Г'	ЗА. ра b	2 - ? 0	р ах р	In [5	-?;-/₽	7 0 111 Ji	P (I + X In P)	J
1S 16 а	32 ТпЪ				- 1	2	и
13 3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
65
Для ненагружениого участка плиты с, находим по
табл. 13.24:
с3 =
2ра^(\“	рс^
г, =— с„ = (2+ — Z+-) -4—1- = 2,63 2— ;
S1 2 я 11 64А2Р	640
2ра*$~	1 ра^
-—— +.+ —---------;
64А2О	'	4 640
2ра4 63 „ ра2
_±_Ю.4Ао==2Л— .
4	64+D	‘	640

Затем по (13.26) для г=3 м и р=0,75 находим:
ш = ——[2,63(1 — 0,752)4- ——In 0,75 +
640 L	4
Ipe9
= 0,77—-;
64D
ра-
Мг =
64
_0^________
4-0,75“
— 2 (2.1,15 1п 0,75 + 3,15)]= 1,39	;
0,85___
4-0,75“
.	рсР
— 2(2-1,15 In 0,75 + 1,45) = 4,23—— :
(г)
(е)
Л4„ = — 2.1,15.2,63
64 I
I
I
4с4О	8ра*О	ра
а3р	Ь4Ои3-0,75	6
Круглые плиты с кольцевыми ребрами
Если кольцевое ребро (рис. 13.26) отделить от плиты,
то при осесимметричной нагрузке усилия, передающиеся
на нею ог цлшы, сведутся к равномерно распределен-
ным силам и парам, по-
казанным на рис. 13.26,6.
Чтобы получить расчет-
ные усилия, следует си-
5—26
лы р перенести в средин-
ную шоскость плиты и
плоскость, проходящую
через нейтральную ось
сечения ребра. Это вы-
полнено на рис. 13.26, в.
Обозначим угол поворота
и радиальные перемеще-
ния сечения плиты г~га
(рис. 13.26) соответствен-
но ра и иа, а угол пово-
рота сечения ребра и ра-
диальные перемещения
его точки, отмеченной на
рис. 13.26, в крестиком,
назовем |3Р и др. Тогда
уравнения совместности
деформаций, из которых
определяются р и т, за-
пишутся так:
Зп —' Др1 + — + •	(13.28)
Величины |3Я и «Е находятся по формулам (13 23)
и (13 26).
Для ребра имеем (поворот по часовой стрелке счи-
таем положительным)
р 4
рр==_	„р==	+^рЯь (13_29)
h-/р	t г р
где и /р — площадь и момент инерции сечения ребра
относительно нейтральной оси х (рис. 13.26), a — рас-
стояние от оси х до верхней кромки ребра.
Упрощенный расчет основан на пренебрежении дефор-
мациями плиты от сил р. При этом второе уравнение
совместности деформаций (13.28) заменяется условием
равенства нулю_«р (£3.29). Отсюда можно найти зави-
симость между р и пц.
Для ребра прямоугольного сечения получим
(д)
6 _ _	/	h
р^-~~ ,И1; гпд =	4 4- 3 —
п	\	п
(13.30)
Величина пр определится из первого уравнения (13.28).
Пример 13.7. Рассмотрим плиту, представленную на
рис. 13.26, при следующих данных: а = 4 м; г0 = 2 м;
/1=10 см; b — lQ см; И = 20 см; ,а = 0,15. Равномерно
распределенная нагрузка р=1 Т/м2.
Находим отношение жесткостей ребра н плиты:
£7„	/ Н V Ь
~+Г= Т — (1-ц“)^ 0,364.	(а)
raD \ h ) rQ
По формуле (13.29) находим угол поворота сечения
ребра:	_
5,5тг
т1 го	пц г п
=—2,75—--—
(б)
D
£/р	D
Прогибы плиты запишем в виде
w — w0 +
где а>о — прогибы от нагрузки, а и, — прогибы от
ствия реактивных пар т0.
Угол поворота сечения га — 2 м от нагрузки найдем по
схеме 2 табл. 13.22 (р = г(1/а=0,5):
, ра3
W°=~^D2(1 “Р2)2Р =
(в)
дей-
1-43-0,75-0,5	1,5	„
—-------------=— — ра+
16Z?	D
(г)
Для определения угла поворота того же сечения от
действия т0 находим для схемы 11 табл. 13.23 значения
Ci и с2 (Р — bja — 0,5) и используем (13.30):
16m0nU8(l — Р2)
I	10\-
4Ч1-0,5£ 4 + 3—- К	-
\	20 / __	16,5m!
40	~ Ъ ’
____16т0а22+Р3 In Р _
С1	64Дле
!	<0'1-
42-0,5Мп0,514 + 3—' mt
1	20)	_ 3,8ffli
4Д	~ D ’	,
66
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И Б UtK.II С ГЕНКИ)
Затем по (13 26) прп г = г0-=2 м найдем
2с2р 4,12h’i
<е)
Следовательно, полный угол поворота сечения плиты
(Зи равен:
,	,	4,12т,—1,5
)Зп = и,, + ду =------------.	(ж)
Приравнивая правые части (б) и (ж), найдем
тг = 0,155 Т-м/м.	(з)
Зная ГП\, можно вычислить прогибы и усилия в любой
точке плиты.
К примеру прогиб п изшбающии момент в центре пли-
ты от па-рузки находим по табл. 13.22 (р=0; Х2 =
= Пр=-1,15):
да4	1	/м2Х.,	_ „
к, =----= ___ лг y.j — ——ы. — j дэ Г-мм.
640	D	16
+ U'1] + Вл[^и’,-иЛ tp.l-Lu', -му?; )
-• Р	/	4 V	> 1 I
Л'ф,	+11(7? 4 I
+ Pm Р21 и\ - 14? 4 В; f 17' I- пи ? 4 i
v Р	!	1 Р	7	(13.34)
4 5 4;-ВХ).	j
При пользовании форму теми (13 31) стедуег иметь
в виду, что при р—0
1 1
-у21(р)=0; — U2({) — -—0,5.	(.13.35)
Те же величины oi пр находим по (13.26) и (д):
3,841!
0,589
О
2?.„-16,5/Я!
Мп
0“
= 0,363 Т-м/м.
Постоянные В, из (1,3 32) и (13.34) в общем случае еле-
дуе1 определять по заданным краевым условиям; в не-
которых частных случаях можно во.’шегьтеьаться при-
веденными ниже готовыми формулами [15].
Следовательно, ребро снижает прогиб в центре плвы
в 2,43 раза, а изгибающий момент в 1,46 раза.
Бесконечные плиты
Плиты на упругом основана и
Рассматриваются пластины, расположенные на осно-
вании типа Винклера, характеризуемом коэффициентом
постели k Реакции основания сведутся к вертикальной
распределенной нагрузке (см. разделы 23, 6)
А=--/ги.	(13,31)
Общее решение для осесимметричной нагрузки имеет
вид [15]:
щ = BJ7t (р) 4 £,[72 (р) + б3?73 (р) + 34С74 (р) 4 — ,
я
(13.32)
где р—интенсивность распределенной нагрузки;
В[ — произвольные1 постоянные;
U t—цилиндрические функции аргумента р, опреде-
ляемого формулой
р = -qr; Ц =		(13.33)
Значения функций U, и их первых производных Иt —
d
=---— Ui приведенные в табл, 13.26, позволяют вычис-
лит1, не только прогибы, но также углы поворота 6,-
н усч шя по формулам
В,. а/ = (Bjt/'j + B,U\-ф е/А + Ви\} ; 1
уЪ - (BiUs - ZU/, 4- В.ли, — BJUB В2,
(\ »У = I,’’ I В,и’, —	+ B,U\ — ВЛ J;
Мг == Dr-p I В, р-2 и' -- и ?! + В, [ и , + j
L \ р У Ч р "	}
/эф == В2 =.4 = 0;
а) Сила Р, сосредоточенная в начале координат:
Р
4 гр 2)
б) Силовая нагрузка, распределенная по
радиуса а с интенсивностью р-
при г <; а; р < ру р0 == qa
п_______п ! \.
Ч~ 21]3D Ро^
4?я =

при г > а; р > р0; рс == ра
Вг = В. = 0; В~, = ^’5- С (р );
1 1М'’
s4 = -
Cs (р0),
2ipD
(13.36)
окружности
(13.37)
(13.38)
в) Моментная радиальная нагрузка, распределенная по
окружности радиуса а с ичхчсппосыю
при г <. а; р < р„; р„ =
р „ ЛТ2! и' i	1
51-	?? ) Ps ) ) 9
2<Г-0
1 (13.39)
13 3. КРУГЛЫЕ II КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
67
Т а б лица 13.26
Значения Е’; и У в (13.32)
р	vl		-%	-~U2	«3		“В	
0,00	1,0000	о.оооо	о,оооо	0,0000	°,5000	ее	о.оовд	
0,02	1,0000	0,000!	0,0000	о.споо	0, /97	2,5643	0,0288	3!,828
0,04	1,0000	0,0004	0 О’УЮ	(1,0200	0 J-989	2,1282 1,8653	0,0438	13,01В
0,06	1,0000	0,0009	0,0()fH	0,9300	0,1978		0,0655	10,595
0,08	1,0000	0,0916	0,0000	0,0400	0,4963	1,6825	0,0800	7/378
0.10	1,0000	0,0025	0,0091	0,0500	9,494 >	1,7409	0,0929	6,84 В
0,12	1,0000	0,1'036	0,9001	0,0600	6,4926	1,4254	0,1046	5,2754
0,14	1,0000	и,оош	0,0002	9,0700	0,4904	1,3279	0,1152	4,5126
0,16	1,0000	0,0064	0,0003	0,0800	0,408'1	1/436	0,1248	3,9394
0,18	1,0000	0,0’ ’81	0,0004	(5,0900	0,4851	1,1695 1,1033	0,1337	3,4925
0,20	1,0000	0,0100	0,9005	0, юти	0,4826		0,1419	3,1340
0,22	1,0000	0,0121	0,0007	0,1100	0,4797	1,0437	0,1495	2,8400
0,21	0,9999	0,0114	0,0009	V, 1200	0,4767	0,9894	0,1565	2,5941
0,26	0'9999	0,0)69	0,001.1	0,1300	0,4735	0,9397	0,1630	2,3854
0,28	0,9999	0,0106	0,0014	0,1400	0,4761	0,8938	0,1680	2,2059
0,30	0,9999	0,0225	0,0017	0,1500	0,4667	0,8513	0.1746	2,0498
0,32	0,9998	0.П256	0,0020	0,.(60з	0,1-51°	0,8117	0,1798	1,9127
0,34	0,9998	0,0280	0,0025	3,1700	0,45%	0,7707	0,1840	1,7912
0,36	0,9997	0,0324	0,0029	0,1800	0 %%	0,7409	0,МН	1,6828
0,38	0,9997	0,0361	0,0034	0,1900	0,452 )	0,7073	0,19(2	1,5854
0,40	0,9996	!),040и	0,0040	0,2000	0,148 ’	0,6765	0,!970	1,4974
0,42	0,9995	0.Щ41	0,0046	о,2100	0,1-В!	0,6473	0,2006 0,2038	1,417-1
0,44	0,9994	0,0484	0,0073	0,2200	П 1400	0,6198		1,3443
0,46	0/993	0,0529	0,006.1	0,22.79	0,4 ’>59	<>,593о	0,2058	1,2773
0,48	0,9992	0,0576	0,0069	0,239°	0,43В	0 5686	0,20%	1,2156
0,50	0,9990	0,0625	0,0078	0,2,99	0,4275	0,5449	0,2121	1,1585
0,52	0,9989	0,0676	0,0088	0,2599	0,42 Г.	0,5223	0,2141 0/165	1,1956
0,54	0,9987	0,0729	0,0098	0,2<j0Q	0,4110	о,5006		1,0о61
0,56	0,9985	0,0784	о,оно	0.2799	!), 11%	0,4800	0,2184	1,0105
0,58	0,9982	0,0841	0,0122	0,2398	0,40В	0,4602	0,2201	0,9675
0,60	0,9980	0,0900	0,0135	0,2998	0,4, >58	0,4413	0,2217	0,9273
0,62	0,9977	0,0901	0,0149	0,3098	0,4014	0,1231	0,2230	0,8891
0,64	0,9974	0,1024	0,0164	0,ЗЮ7	0,3969	0,4057	0,2242	0,853В
0,66	0,9980	0,1089	0,0180	0.3297	0,39'24	и.3389	0,2252	0,8201
0,68	0,9967	0,1156	0,0198	0,3396	0,2x879	( ,3729	0,2261	0,7883
0,70	0,9962	0,1224	0,0214	0.3496	0,3834	0,3574	0,2268	0,7582
0,72	0,9958	0,1295	0,0233	0,3595	0,3783	0,3425	0,2274	0,7296
0,74	0,9953	0,1368	0,0253	0,3694	0,3743	0,1282	0,2279	0,7024
0,76	0,9948	0,1443	0,0274	0,3793	0,3697	(’,3144	0,2282	0,6766
0,78	0,9942	0,1520	0,0296	0,3892	0,3651	ЮТ! 1	0,2285	0,6о20
0,80	0,9936	0,1599	0,0320	0,3991	0,3606	0,2883	0,2286	0,6286
0,82	0,9929	0,1680	0,0344	0,4090	0,3560	0,2760	0,2286	0,0061
0,84	0,9922	0,1762	0,0370	0,4180	0,351 1	и, /141	0,2285	0,5817
0,86	0,9915	0,1847	0,0397	0,4288	9, И69	(’,2526	0,2283	0,5642
0,88	0,9906	0,1934	0,0426	0,1336	0,31В	0,2415	0,2279	0,5146
0,00	0,9898	0,2023	0,0455	0,	0, В77	Р,!Г08	I), 2270	0,5?лЗ
0,92	0,9888	(1,2111	0,0436	0,4581	(),33°2	о .1-L05	0,2271	0,5077
0,01-	0,9878	0,2206	0,0519	0,1681	О, 1283	0,2105	0.2265	0,1904
0,05	0,9067	0,2301	9,05'3	0,1770	О,32И	0,2008	0,2259	0,4737
0,98	0,9856	0,2397	0,0588	0/(870	0, «93	0,1915	0,2261	0,4576
1,00	0,9841	0,2496	0,0621	0,4971	0,3151	0, В25	0,2243	0,4422
1,10	0,9771	0/017	0,0831	0,5458	0,2929	0,1119	0,2193	0,3730
1,20	0,9676	0,3587	0J078	0,5835	0,2713	0,1076	0,2129	0,3149
1,30	0,9551	6,4201	0,1370	0,6403	0,251/	0,0786 0,6542	0,2054	0,2656
1,40	0,940}	0,4867	0,1709	0,6860	0 S1O2		0,1971	0,2235
1,50	0,92 И	0,5576	0,2100	0,7302	0,2110	0,0337	0,1882	0,1273
1,60	0,8979	0,6327	0,2545	0,7727	0 1926	0/166	0,1788	0,1560
1,70	0,8700	0,7120	0,3048	0,8131	{?, 1752	0,0023	0,16.92	0,1290
1,80	0/367	9,7953	0,3612	0,8.50')	о, 1588	0,01/4	0,1594	0,1056
1/4)	0,7975	0,8821	0,4238	i’,8357	0,1 вз	0,0189	0,1493	0,0854
2,(?	0,7517	0,9723	0,4931	0/170	0 LB4	0,02%	0,1399	0,0679
2,2	0,6377	1,1610	0,6520	0,9661	0,1023	0,0 571	0,1210	0,0397
2,4	0 , 4890	1,337=1	0,8392	0,8911	0,08(Ч	0,04/	0,1032	0,0189
2,6	0,3001	1,5569	1,0552	0,69В	0,1)614	(',0416	0,0868	0,0039
2,8	»,06Я|	1,7529	1,2993	0,9589	0,0455	0,0417	0,0718	0,0066
3,0	"“9			1,9376	1,5'698	0,880'1	0,0326	0,0427	0/0586	0,0137
3,2	0,5644	2,1016	1,8636	0,7199	0,0220	0,0394	0,0470	0,0180
3,4	0,9680	2.23М	2,1755	0,5577	0,0137	0,0356	0,0369	0,0204
_____________________ (Продолжение таблица/, на след. стр.)
68
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Продолжение табл, 13 2(>
р	V1	-и.		—tn	и3		-у3	U4
								
з,ь	1	2,3199	2,4983	0,2935	0,0072	О,Oil 1	0,0284	0,0213
3,8	1,9674	2,3459	2,8221	0,052b	0,0022	0,0260	0,0212	0,0210
4,0	2,5634	2.2927	3,1346	0,4912	0,0014	0,0230	0,0152	0,0200
4,?	3,2195	2,1422	3,4199	1,0318	0,0039	0,0192	0,1)104	0,0185
4,4	3,9383	1.8726	3,6587	1,6833	0,0056	0,0056	4,9065	0,0168
4,о	4,678 1	1,4810	3,828!)	2.4520	0,0066	0 0125	0,0035	0, и 148
4,8	3.4531	0,8837	3,9006	3,3422	0,007!	0,0097	0,01'12	0,0129
3,0	6,2301	0,1160	3,8454	4,3542	0,0071	0,0073	() ,9003	0,0109
5,2	6,98(13	0,8658	3,6270	5,4835	0,0069	0,0053	О,(ИД7	0,0091
5,4	7,6674	2,0845	3,2063	0,7198	0,0065	0,01)37	0,0025	0,0975
5,6	8,2-166	3,5597	2,5109	8,0453	0,0059	0,0023	0,(И)30	0,0060
5,8	8,6644	5,3068	1,5856	9,4332	0,0053	0,0012	0,0033	О,|Н)47
Ь,0	8.8583	7,3347	0,2931	10,34b	0.UO46	0,0001	0,003'3	0,0036
Примечание; Табличные значения, расположенные ниже жирных горизонтальных линий,							отрицательны.	
при г > а, р > р0; ро =
Определив
^ = ^ = 0;
(13.40)
р0 = Т]а -= 1,08;
Рр0 200-1,08
“"2-3-10М
и найдя по табл, 13 26 для р0 = 1,08
9,08
— м
103
(б)
г) Нагрузка интенсивностью р, распределенная по пло-
щади круга радиуса а
при г < а; р < р0; р0 = рд
иг = 0,979; У2=—0,291; П3 = 0,297;
U4 = —0,150;
</ = — 0,079; U'2^=— 0,536;
(в)
fi!=“
ЛРРо
2k
У4 (Ро) '
U3 = — 0,220; П4 = 0,387,
S==“^ir^W; fi3 = B4 = 0;
при Г > а; р > р0; ра = Т)«
В — В = 0; В = — СДа и' С р ) ;
1 а ’ з 2А 2 \ f °'
.84=-->^Рй);
(13.41)
(13.42)
вычислим по (13.41) и (13.42) постоянные В,:
а)	для участка г<2 м (В3 = В4 = 0)
35,1
В, = — AU, = — — - м-
1	4	10“
б)	для участка г >2 м
48,5
Л - — AV., =	- м-
з	-	!04
Затем по формулам (1332), (13.34), (13,35)
определим для центра плиты (т = р—0)
2000
3.14-23-3
б, = -ж/3=.
(В, =В2-=0)
19,9
----- м
(г)
Пример 13.8. Плита весьма значительных размеров
в плане и толщиной й. = 60 см загружена нагрузкой Р =
— 20 Т, распределенной по площади круга радиуса
а = 2 м. Коэффициент постели основания k — 3-10J 77л3.
Упругие константы платы р—0,15; Aj —0,85; Е~
= 2-106 кГ]смг.
Приняв центр нагрузки за начало цилиндрической си-
стемы координат, определить прогиб и усилия в плите
для г=0 и г = 3 м,
Вычисляем. D и т) (13.33):
7,14
----№
10J
и табл. 13.26
(д)
£) =
2-108-0,63
12(1 — 0,15-)
= 3,64-104Т-м-
3-103	1
------_ 0 538 — .
3,64-104	м
(а)
1Q4 (
18,3
------.и — 0,183 см
10’
Л1Г = — 0,5382-3,64 [— 35,1-0 —
— 19,9(1—0,85-0,5)1 « 12Т-л/л;
Л4е = — 0,5382-3,64 [— 35,1-0 —
— 19,9 (0,15 + 0,85-0,5)] « 1?Т-л/,и.
(е)
(ж)
(в)
Определив затем по табл. 13.26 для ро= 1,62 (г=3 л)
В3 = 0,186; £/.] = —0,011; В3 = —0,175;
t/' = 0,145,
(и)

J
13 3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
69
вычислим ио тем же формулам для г — 3 л:
w --=	(48,5-0,186 — 7,14-0,011) «
10*
4,9
~------м - 0,049 см;	(к)
10*
Г	/	0,85	7
М, = — 0,538'--3,64 48,5 —0,011 +---------- 0,175 —
L	\	1,62	J
!	0,85	71
— 7,14 (0,186 + -Л— -0,145 ~ —2,35 Т-м)*; (л)
1,62	/]	'	'
Л1е = — 0,538‘-.3,64 ^48,5 (—0,15-0,011 —
0,85	\4
—	0,14t> I ре 4,59 7-лг/л;	(м)
Qr = — 0,5383-3,64 [48,5-0,145 ф- 7,14-0,175] «
а 4,7 Г/м,	(н)
Круглые и кольцевые плиты
Решение ищется в виде суммы
w -= -у ш*,	(13.43)
слагаемые которой определяются из расчета бесконеч-
ной плиты: первое — аг°—из расчета на заданную на-
грузку по формулам (13.32)— (13 42); второе — д'*—.
из расчета на компенсирующую нагрузку, выбираемую
так, чтобы условия в сечениях бесконечной: плиты, сов-
падающих с краями рассматриваемой кольцевой пли
круглой плиты, были тождественны заданным, Расчет
на компенсирующую нагрузку ведется по формулам
(13 32) — (13,34) при р~3 и сводится к определению
произвольных постоянных (i= 1, 2, 3, 4,). В частно-
сти, для сплошной плиты следует принять В3=В,[ =
=0, а В* и Bq определять из граничных условий.
Пример 13.9. Плита из примера 13.8 имеет по окруж-
ности г==3 м кромку, свободную от усилий. Определить
прогиб в центре плиты.
Слагаемое ш° в (13.43) было найдено в примере 13.8.
Соответствующие усилия в сечении г = 3 м равны [см.
формулы (л), (н) из примера 13.8]:
Мщ= — 2,35Т-м/м, Q°r = 4,7T/M.	(а)
При расчете бесконечной плйты на компенсирующую
нагрузку В3=В4 = 0. Используя значения (и) из при-
мера 13 8, а также (13.34), найдем М' и Qr в сечении
г — 3 м.
М[ = rfD (fl,51В* — 0,48В3)
Q* = 514 D (0,78В* — 0,27В*)
(б)
Из заданных в сечении г=3 м граничных условий
Mr -= M°r +	= 0; Qr =- Q[’ + О; =- и (в)
получим
»	50,3	,	36,1
В, =.	; в, = ——
1	D	~	D
(С
Прогиб в центре плиты (см. пример 13 7)
18,3	50,3	32,2
----р-----------------------,!г — Q уро см,
10*	3,64-10*	10*
(д)
Если бы плита была абсолютно жесткой, ю прогиб в
центре был бы равен:
92
3,14-З'-З
24
------0,24 см
10*
(с)
13.3.2. Изотропные круглые плигы
под произвольной нагрузкой
Круглая плита с защемленной кромкой
На плиту действует следующая нагрузка:
1) сила Рг приложена в точке В (рис. 13 27):
Рг
16л£>
(13.44)
2) пара Мд, действующая в радиальной плоскости,
приложена в точке В (рис. 13.27) и стремится выгнуть
центральную часть плиты вверх:
-И1’
”Т>
8 л D
-ф (а — г cos 6) fl -i- 2 In j —
\	«Кг ]
~7~ [ar — pjcose)
Щ В)
(13.45)
В (13,44) и (13 45) принято (рис. 13 27)
Р" = г* ф- а2 — 2 cos 0;
, В)	2ro г
Й7 = г- 4- — —-------- cos 0;	(13.46)
а“ а
Круглая плита со свободно
опертой кромкой
Прогиб от действия силы Р, приложенной в точке В
(.см. рис. 13.27),
70
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ II БАЛКИ CTI HKiI)
Гц ( Гц— SracosO) S 2 dS Xj Q
rj S~ r a~ — 2,ф arS cos О	К °
+ 23=ln^ .	(13.47)
°A1 J
Свободная «ругмя плита
под действием статически
уравновешенной нагрузки
пендикулярные плоскости упруго» симметрии, из кото-
рых одна проходит через ось г (см. рис. 13.1), вторая
параллельна срединной плоскости, а третья перпендиау-
лярна первым двум (плита отважна к цилиндрическом
системе координат г, 6, г). Птаыипу, обладают}ю та-
кими свойствами, будем называть цл ындрически орю-
троппой. Упругие свойства такой пластины харакн'ри-
зуют величины £'ь рц (для волокна, совпадающего с ра-
диусом) и Ег, рц (для волокон, перпендикулярных г).
Модуль упругости сдвига G при осеснммшричнон де-
формации не испол: зуетея.
В последующем приняты обозначения
Г	-т /
Р=—; 8=1/ А-	(13.50)
а	|
а)	Вдоль кромки плиты действуют п равных сил Р,
расположенных па равных расстояниях друг от друга
и уравновешенных равномерно распределенной вдоль
тон же кромки нагрузкой р (рис. 13.28).
Рис. 13.28	Рис. 13.29
Прогиб в центре плиты
ZdL
2лХ3 D
(13.48)
где	а — 0,139;	Ь — 0,195	при	п = 4
а = 0,296;	3 = 0,378	»	п = 3
а = 0,773;	6=1,128	»	л = 2
б)	Вдоль хромки плиты действуют п равных сосредо-
точенных пар Л4ц (рис. 13.29).
Прогиб в центре плиты
(13.49)
где а и I. равны:
а = — 2;	6 = 5,545	для	п	=	2;
а = — 1,179;	b == 2,950	для	п	=	3;
д =— 0,858,	6 = 2,035	для	д	=	4.
13.3.3. Круглые i: кольцевые ортотропные
пластины
Рассматривается осесимметричная деформация круг-
лых я кольцевых пласгнп из ортотропного материала.
Ь каждой точке пластины существуют три взаимно пер-
Плоское напряженное состояние [17]
Усилия и перемещения определяются по формулам
Nr = B1Pk^ - Sa(>-A-!;
Лф = 8(А P^ + Mp^1);
a	,	(13.51)
«г = PT I (8—ja) pA 1 +(% + и2) p k ;
Постоянные В, в (13.51) определяются из граничных ус-
ловий на кромках плаепшы и из условии сопряжения
смежных участков. Приводим зпш синя постоянных В,,
для кольцевой пластины, загруженной по внешней или
внутренней кромке равномерно распределенными ради-
альными усилиями (а и b — радиусы внешней и внут-
ренней кромки, р0 = а/6).
а)	По внешней кромке действуют растягивающие уси-
лия с интенсивностью р<:
- 2Й
Р1
77 = -—^; Вг=,-------------	(13.52)
1-Р,7	1-Ро‘
6)	По внутренней кромке действуют растягивающие
(направленные к центру) усилия с пнтжижвноыъю /г>
рА;+1
-----— .	(13.53)
1 — п-,г
1 Ри
Изгиб к р у 1 л о й и кольцевой пл и ты [17]
Уравнения срединпоя нов. рхноети и формулы для
усилий при осесиммеграчнох! нагрузке имеют вид
W =	"Т 1 1 ~Ь ^4	“I" ~J“ Pr'k
о
«г=	= 2В„/ -5(1+ fe) Bsr‘ ф
dr
4	(13.54)
+ (i^Z’)/’Afc+P7 A;
Mr = — Dii w‘ -ф — ш' I:
И r ]
13 4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ разной формы
71
мв = — D2 + — w'j;
Qr = ~D J®"' -+ —	— w'j ; I (13.54)
A =-----—-------- .
(9 - k2) D,
Постоянные Вг в (13.54) определяются из граничных
условий на кромках плиты и из условий сопряжения от-
дельных участков плиты.
Сплошная плита должна содержать изотропный сер-
дечник, для которого
га =	+ В2Г“,
(13.55)
Приводим формулы для прогибов и усилий в круглой
плите, загруженной сосредоточенной сплои в центре и
сплошной равномерно распределенной нагрузкой.
а) Плита радиуса а загружена силой Р в центре.
Внешняя кромка жестко защемлена (k=p 1):
Ра2	г w = 		—		 1 — k + 4л (1 — k2) (1 4- k) Dt l + (1 +k) ps--2P1+fe];	
мг =	L_ [/£ ж „ j p*~i _ 2л (1 — feS) n ‘	
~(i +ps)];	(13.56)
p Же^"2М1-^) [0 + адрА	
J	
б) Плита радиуса а загружена силой Р в центре.
Внешняя кромка шарнирно оперта (йдМ):
PCA	r W = 				£		 и „ k _ 8(9-Ы)(1	1 -4p1+fc + (i +й),А;	
r 2 (9 —	1 ” ' 27	
-(3+ ;<_,) p2];	(13.58)
P^2	Г	l.-_1	
A - 0{gAA) HA + OP -	
- Й-Ч + 1)P2],	
2	
г) Плита радиуса а загружена равномерно распреде-
ленной нагрузкой интенсивностью р. Внешняя кромка
шарнирно оперта на жесткую опору (/г=АЗ; k=pl):
рай	Г (3 — й) (4 + й ж р„) ~ '
8(9-^)D1'[ (1+7)^ + !Н) ~
Н-1щрЛ.
(1+W+1M Г
2 (9 - РР) • ‘
(13,59)
___жЛй2 Г(3-Н(.) (1 -1 рл-А к_л
2 (9 — й2) [ Ни ’Р
— (1 ~р Зр1) р2].
13.4.	ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
13.4.1.	Треугольные плиты [3]
Прогибы и усилия в треугольных плитах (типа пока-
заний на рис, 13.30) можно определить ло следующим
формулам:
Таблица 13 27
Значения сх, у в (13,00) для пл1зт, опертых по схеме Д
рис, КЗ,31, ппи 60 -^303 (равносторонний треугольник) (ц=(Ц
Ра2	ПЗфН ц2) (1 — й) ,	
4л (1 — k~) Di [ (1 +4)2 + !-Ц) 4-p2	 (1 + k) (к + p2) 	]’ лп=^1+Ак(р^1); 2л (1 — #,2) Q .. JL. 2.v Pk"	НЖчННуХ!) Д-.1	(13.57)
AM -	s	p ° 2л (1 — A2) 1. k + iu	
- (1 + Ml) ] •	
5 5	ai	|	6l/l	|								A	}	X		
a	i										
	33	10	1 6	j la	10 1	6	j ?3	j 10 |	6	-	1 1? ;
/ 1	50 ?	397	23?	98 i		71		38 |	09	A17	297 ;
2	26 1	122	159	51 :	68	47	—30	18 j	73	166	129 
в) Плита радиуса а загружена равномерно распреде-
ленной нагрузкой иншисшшмтью р. Внешняя кромка
жестко защемлена (1г =АЗ; й=?Н);
Т а б лица 13 28
Значения a, j3, V в (13,60) дл? плит, опертых по схеме В
рис. 13.31 ври 0J---3O (равносторонний треугольник) ( Ц—(Ъ
§ у. “г | Рщ | А [ Рщ | Р
	13	10	Q	1.5	10	ь	1.5	10	G	12 j И П		
1	12	79	79	О 3	60	48	-10	4	L3	-1’7	1Ж	2 A
2	4	48	88	8	36	33	—13	—3	48	—39	rio	1 ’2
72
РАЗДЕЛ И. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т j б л я ц а 13 29
Значения а, {3, у а (13,(Ю) для плит, опертых по схеме С рис, 13.31
а				Нагрузка		по схеме	7 ня рис	13. 32 j.	, jnp-И 1. рапном					
b	Параметры													
		1	2	3	4	6	7	«	9	н.	1 И	1 12		14
		0	0	0	О	322	262	m	0	102	63	U	Г2	9
	₽х	„—, >9	— 19		12	—3,5	126	90	- 24	.-220	75	23	— 1'> 1	23	-29 i
0,5	₽v	— 134	— 116	—70	—21	57	45	9	-47	1,5	—7	—31	о 2	—У .
	У	266	239	159	46	—	—	—	288	—		208	—	190 :
	а	0	0	0	0	199	162	74	и	98	О1	О	11	п
	|3„	—23	—20	—12	—3,4	82	60	— 11	— 132	73	23	— 135	21	-34
(1,75		—140	— 120	—71	—21	67	57	24	—Об	4,9	-6,8	3,9	-5,5	— 12 ;
	У	244	218	143	44		—		218		—	224	—	102 ;
	о,	0	О	и	и	118	95	42	0	82	51	0	12	0
		—21	— 18	— 10	—3	53	38	—b	—67	62	20	—110	21	—к
1, и	V	— 125	— 107	—62	18	59	51	25	—26	16	1,3	—43	— 11	— 18
		222	197	129	48	—	-	—	159	—	—	220	—	111	.
	i о-	у	0	0	0	45	Зо	15	0	45	28	О	U	0
	h	— 15	— 13	—7,2	—2	25	17	—2,4	— 19	38	12	—53	19	— к ;
	У	—92	-77	-43	— 12	38	34	20	—11	27	12	—38	— 11	-30 .
		182	160	106	48	—	—	—	78	—	—	—	—	13У ;
	а	0	0	0	о	20	15	6		и	14	0	7.2	0
		— И	-9,1	—4,9	-1,3	13	8,2	—0,7	—6,3	22	6,5	—24	13	—26 ;
2, U	‘0	—66	—-55	—30	—8	24		14	— 3	25	13	—26	1,7	—34
	7	151	132	89	45	—	—		47		—	122		144
а Ъ	Параметры				Нагрузка по схеме 2 на рис. 13.32					при i, равном				
		1	2	з 	4 i	6	7	|	8 1	0 1	10 )	11	!2	13	14
	сс	0	0	0	и	245	203	90	0	54	34	и	2,9	0 
0,5		1 L	—16 —97	! i СЛ <£> ос	—2,9 —17,7	95 43	68 34	— 17 5,8	—177 —36	39 Н	11 7,9	7 ।	-1,1	1 ! I<j СС о >)ы
	У	239	П8	152	56		—	—	222	—	—	)<18	—	25	'
	а	и	0	и	0	147	120	55	0	56	35	0	2,9	0
0,75	₽х	1 1.	—16 —96	—9,7 —58,4	—2,9 -17,6	60 51	45	-6,3 18	- 1 Сю	41 -3,2	—9,3	—81	4,8 -4,7	4 L f с
	у	211	191	133	51	—			168	—	—	125	—	25	;
		0	о	0	О	84	68	31	0	48	30	0	3,7	и
	к	•"™* 16	—14	—8,3	—2,5	37	28	45	-51	35	И	—68	0,6	
1	₽'у	—98		—49	15	45	39	39	—195	4,4	-3,7	—27 :	— 8,8	—7,8 1 32	|
	V	185	167	117	51	-	—-	—	!19	—.	—.	Ш	—	
		0	0	0	0	30	24	И	I)	2b	16	0	4,5	о i
		—11	-9,4	-5,5	— 1,6	16	12	—0,3	—14	21	7	—3]	7	—2о ]
	fj У	—66	—57	—33	—9,6	28	26	15	—8,5	13	4,6	—24	9,9	— 15
	V	145	131	94	47	—	—	—	'	63	—	—,	103	—	53
		0		0	0	13	10	4,3	о	13	8	0	3,3	О
		—7,7	—5,5	—3,7	—1,1	8,2	5,8	0,3	—4,/	12	3,8	—15	о, 4	— 14
*•	₽v	—46	—39	—22	-6,5	18	17	И	—3	13	:	61	— 17	-6,3	—18 !
I	У	117	105	77	43	—	—	—	39	—	—	75	—	61
13 4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
73
Продолжение табл. 13 2®
а b	Параметры	Нагрузка по схеме 3 рис- 13.32							54	j при Z, равном				
		1	)	?	|	3				6	7	8	9	1°	11	12	13	14
		—4,8	—3,9	—2	-0.5	13	8,2	—3	1 — н	23	7,5	—34	—21	14
2	5 V	—29 35	—21 28	13	2,8 0,7	12	н	6*3	27	13 -	6,2 -	— 16 82	—11	—2,5 82
		—24	—19	—8,4	— 1,7	11	15	7,1	-2,9	23	12	—30	7,8		49
2	р0	—24	—19	—8,4	-1,7	И	1,6	— 1,9	—0,5	23	7,7	—5	7,8	—8,2
	V	35	28	14	м		—	—	14	—-	—	64	—	Ю6
--_----- - Л1у =.------
41 000D	6400
..	Pu ^ра
М„ —------,
“	6400
6400 ’
,. Pt? л2рп
,И„ = ------
6400
fap
800
(13.60)
Эпюра по прямой	Эпюра т прямой % •(}
Схема 1
Рис. 13.32
Значения коэффициентов а, Р, у в (13.60) для точек,
пронумерованных ьа рис. 13.30 при краевых условиях,
Рис, 13.30
13.4.2. Трапецеидальные плиты [3]
Изгибающие моменты в равнобочных трапецеидаль-
ных плитах (рис 13.33), как и в треугольных, опредр
ляются формулами (13 60). В табл. 13.30—13.34 приве-
Apwra свободно опертая на жесткую опору
Жестко защемленная кромка
Рис. 13.31
Рис. 13.33


показанных на рис. 13.3! и нагрузках по рис. 13.32. при-
ведены в табл. 13.27 -13.29. Более подробные таблицы
для треугольных пластин см. [3, 23J.
гигет? Жестко защемленная кромка
гггтта СвороЗно опертая кромка
Рис. 13.34
74
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕПКИ)
Значения Зу s (13ЛзО) для пшьы а (рис. 13.34)	—
Схема плигы по рис. 13.33	। Нагрузка	1 3	j	1	:									
			1 1 J 2		1 5 1 1		6	I 7	8	9	10	И
	/	1 с	'1 7	—5,7 —' И	1 в	о ~	4,9 - 1,1	1,6 0,2	-3,2 1,7	”. 7 7	17 22	12 19
	И	j У 1 У	—н	Ь 1 У К 1 ~ I	— ц,9 И	—1,9 — 11	8,3 И	6,3 1 м	0,2 И	I 7	19 32	15 28
б	/	! у У	— У)	-5,1 — И		1 1 О1 с;	4,1 4,0	3,0 4,1	L 7	7 7	И 25	11 21
	П	1	у 1	у-	—19	- 7,5 —-И	7 7	- 1,6 	0,3	6,2 16	6J 15	2,0 12	00	S'-	1 25	10 22
Сх^ма п чю ы							/					
по рис. 13 33	Нагрузка		12	13	и		16	17	1й	19	:Ю	21
&,	/	У- У		о 7 7	20 25	4,1 13	7 7	14 9,3	3,8	-36 -17	1 1 О1 СК со	7 7
	И	У У	1,1 15	-из	17	5,1	7 7	8,5 ; -5,4 :	2,9 —7,7	L 7	—35	-12 — 12
	1	У Ру	12	7 L	(3	7,0 8,5	—11	—7,8 -17	-39	—14 —14	—	—
О	II	р„ с	12	—21 —W	\7	3,4 1,1	1 7 о to 		1 1 J1 <J! • СО	4  СО У- со	2 I	—	—
Табл и ц а 13.31
Значения 3(, в (13.Ш для плиты б (рис, 13.34)
Схема плиты т,	_	м по рис- 13. 33 j Нагрузка	Э			i								
			1	2	3	|	4	|	6	|	7		8	I 9	18
а	1 1 У		—7,7 —46	1 1 QQ	'	-6,2 —19	—П38 — 1,6	5,5	1,5 —0,3	—3,9 1,3	I 7	20 2°
	1	у i	sJ г "	| у		— 12 —60	:	—10 —60	-37	-1В — И	i 8,7 В	6,1 13	-0,3 И	У	21 32
6	/		tn Г-.	(г. ! 1	— 19		.тгз	—о, 9 —5,8	5,3 1В	2,9 2,8	5,5	— 4, 1	и
	и	3 1 У	;	-9,4	—3, 1 —50	L 4	— 1,7 -В	15	6,1	0,9 И	! 1 СО со	15 X)
Схема плиты по рис. 13. 33	Нагрузка		I								
			и	12	13	14	и	(6		18	19
а	)	1		13 19	— 1,1 11	- 17 —8,1	29	2,7	- 17 — В	25 27	15 В	— 48 	JO,
	II	У	I	113 Ру	!	28		0,2 15	—27 —В |	21 20		—40 — 19	— 16 6,2	7,3 0, 1	— 18 - И :
б	/	Ру	14	(1 11	~~14 -8,о	В	10	|	—31 19	।	-В		0 0	0 0	0	 1}
	.11	у	13	*•• у1 1:	-И1	) 9	, 1	-~-1 1	0	1	0
13 4 ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
75
Таблица 13 32
Знатен'я f х, ц( ц (Ь 60) шя п 1ьты s (рис 13 34)
1г1
ПЛИТЫ 110 рис	Н i руз		; j 7 | ь | j				10 | 11		К j 13	
а			12 j 5,ч | — >Д 17 1 Ъ j 7 b			-6,9 — 3,3	23 28	lb 24	—3,3 !—35 I —17	
	/7	бу В	JO J5	1 38	1	1 1	.8 38	37	U В	7 i 1
( хом а плиты ПО Р ’С 13 И	3	р	I							
			14 j 1 1		( 7	17	18	19	д0	2(
а	/	Вл С	21	1,0 25 j h		1 1	lo 6 2	9,5 b,2	1 X	1 1 Сл ц; ui - ю	—20 —20
	II	Рх С	23 18	4, >	I I 1	M — 15	M —13	i_ 1^	^7 : -—42	7 7
Таблица 33 33
Значения (ф, Ру в (13 60) чая платы г (рис 13 34)
Схема i гли^ы по рис 13 33	ГЧ£^ 1 ПЩ	в							
			0	|	/		8	9	10	п	В
а	7	к 7,	1 1 f 1 1 !		ч	I । !	В 29	в	D, D 13
	fl	к р-	5 j (3		—2,2.	ф L i k w 	32 41	2 4 38	14
Схема плиты по рис 13 33	| II !гр>зка 	в	l						
				! 1	15	10	17	18	()
а	1 к 1 5 7			И Ю	-, 1 В	ь 5} ! !	5	Id 13	! i i| КЭ СП 1
	П	Те	- 3 20	0	2,8 > 1	—2/	20 а	8,5 —3 8	! 1
дечы значения коэйфидиеитов и |3В для точек пли-
ты проиумерог а’ гы>\ ла рис 15 ’1 грч краевых усло-
виях и нагрузка р(4.) У)=р{у}, показанных на
рис 13 34
13.4.3. Эллиптические слиты (рис. 13.35)
Нагру^ь. 1 (инг> чг i >еост ее п) раено черно распреде-
ленная по осей пго1"ади о пп.ы Для птьтыс жестко за-
щемленной кромкон (и = 0)
Таблица 13 34
Значения а (13 60) для плит рис, 13 34
Схема плиты ПО ПЙС 13 33	Нагрузка	п	ита а при		, оачаюм		Плита о		три i	равном	
		9	13	16	19	21	9	13	1b		21
	J	—4,4	—20	—40	—42	— 18	—»,ь	—22	—д7	—60	0 j
а	11	—11	—34	—Кб	—38	—р	-11	—35	—51	—48	0
	1	—5,0	— 14	-10	—П	—	—1,6	—21	— к	!)	—
	ч	™10	—26	—27	— й	—	— 1,2	™1	— к	— 18	
Схема		Плита		при	/, равном		Плита с. при t			равном	
плиты по оис 13 33	Нагруз	9	13	16	19	21	9	к	lb		
	, ./	—8,7	—б0	—31	—J„	—20	__д ?2	—» у	— рЭ	—70	0,
а	И	—10	—52	—Ь5	„19	— И	— 1ч	— 1	—7i	—62	0
1
/ 3	3	2
л = SD — + — + —у
1 at	od	g-’g-
м^ = -	4pD	/ з«-		1 '
	А	\ а'	а2Ьг а“	
	4pD	/ Зу-	X2	1 \
Му 		Я		а-Ь“ Ь- /	
j
Изгибающие моменты в центре плиты
1Лаьиых осей алллпсо pas ты
MD
(Жх)х=0, д=0 = ~^Г ’
ЬрО
Аа“
4рР
Ао“

’	(13.61)
и на концах
(13 62)
fipD
= - ~76т
Для плиты с кромкой, шарнирно опертой на жесткую
опор,, гропп и И31 ибепошие моменты в центре плиты
при ц = 0 определяются по формулам
МН
w = (X , Л’ ( ~ &pb:, Мц = урб- (13 63)
Значения коэффициентов
«, р, у даны в табл 13 35
Нагрузка Р распределен-
ная в центре п гиты по кру-
<у самого радиуса г0 Мак-
сима дные з щчения проги
ба и ноомалыюго напряже-
ния в центре плит я кром
кои, шарнирно опертой на
жесткую опору определи
Ю”ся по формулам (у.=0,3,
Р = Ь/ц)
76
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т а б л и ц а 13,35
Значения а, р, у в (13,63) (Ц -0)
а h	1 1 1,1		3,2	1,3	|	1,4		1,5	Г)	3	4	5	оо
а	0,061	о,И76	0,088	0,098	0,107	0,115	0,145	0,172	0,185	0,192	0,209
р	0,159	0,159	0, 155	0,152	0,115	0,138	0,105	0,061	0,049	0,029	0
V	0,139	0,188	0,215	0,237	0,2о0	0,28°	0Д18	о,ш	0,4-1	0, 472	0,500
Т а б л и ц а 13.36 |5]
Значения а, 3, у в (1,3,67) д^я плиты с защемленной луговой кромкой
	10. с/.		1	Н				4 |				10* у-		
	L												
			,3	о		*		t		0		2	
л 4	5	26	28	0	—37	31	82	250	—196	0	97	186	83
3	17	57	47	0	—56	92	97	—340	—274	0	167	169	87
о	63	132	82	—265	—3	220	87	— 188	—402)	—265	238	172	87
П'	293	337	152	0	440	396	—25	—756	—654	0	111	168	136
«'макс =777 (0,745 — 0,07оЗ);
Eh3
ЗР / Ь
Жкс= уТГ И .3 In ~ +1,97—0,77fi
(13.64)
Аналогичные величины для плиты с жестко защемлен-
ной кромкой при р =0,3:
Ргп
ы = « уу ; Ч = р. рг0 ;
Л)й = Tt prl; Qr = prv
Qu = VV
где i — номера точек, показанных на рис. 13 36.
Таблица 13 37 [5]
(13.67)
РЬ"
«макс = 777 (0.30 —— 0,04р);
Eh-3
ЗЯ /26
омжс =777 In— — 0,317fS —- 0,376
у	ГQ
(13.65)
Нагрузка, распределенная по линейному закону
х
р(х, у) =.р0 •—. Для плиты с жестко защемленным конту-
а
ром уравнение срединной поверхности имеет вид
(13.66)
Значения <х, 3, V в (13.67) для плиты со свободно опертой
дуговой кромкой
	ЮБ	j				101 р(			Ю-* 7,-			
О,	i										
		>	3	0			3	0	I	2	3
		33	49	о	—17	16	121	0	107	179	кв
4											
	19	80	92	О	—86	80	197	0	203	231	154
3											
о	92	226	203	—366	—66	272	325	—366	339	271	189
л	589	884	584	0	643	785	521	0	164	280	311
13.4.4. Плиты в виде кругового сектора
Плита представлена на рис 13.36; радиальные кромки
свободно оперты на жесткие опоры.
Прогибы и усилия при равномерно распределенной на-
грузке вычисляются по формулам
Значения коэффициентов а, р. у. <р, ф при р = 0, при-
ведены в табл. 13 3G 13.38. На рис 13 37 приведены
эпюры прогибов и усилии для птиты с дуговым краем,
свободным от закреплении, при 60 = л/4,
13 5 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНАХ
77
Таблица В 35 [5]
Рис 13,36
13.5.	ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ПЛАСТИНАХ
При неравномерном распределении температуры
в пластинах могут появляться усилия.
Ниже рассмотрен случай, когда изменение температу-
ры зависит только от координаты г (см. рис. 13.1 и
13.2).
Пусть температура нижней поверхности пластины
(г-=й/2) изменилась на Д С, а верхней поверхности
[г — —й/2)—на fj С. Тогда, определив
, _ / __
‘° “	2	’	”	2
(13.68)
найдем, что средняя температура try вызывает плоское
напряженное состояние, a t — изгиб пластины.
Если пластина любого очертания в плане жестко за-
креплена по контуру, то при воздействии температурно-
го поля (13.68) она останется плоской и па ее контуре
возникнут продольные силы N и изгибающие моменты
А1ПЭГ, определяемые по формулам
/V
aEtfjh
atDK
’> Л4иЗГ “	,
h
(13.69)
где а — коэффициент линейного расширения.
Таким образом, задача сводится к построению реше-
ния для пластины с заданными опорными закрепления-
ми от нагрузки, приложенной по кромкам и определя-
емой (13.69). Это может быть выполнено при помощи
формул, приведенных в 13.31.
Пример 13.10. Определить деформацию круглой плиты
радиуса а, свободно опертой по кошуру, от действия,
( = ----------
2
Используя (13.26)
и положив с3 = с4 = 0, получим для
кромки пластины
	w = ci + о = 0;			
	D Mr ~ ~	^‘SC2		аШХ2 — = 0. h	(а)
Откуда	с1 =		'ztcfl 2h	(б)
Рис. 13.37
Следовательно,
a to2
ш=—--(1—р®).	(в)
13.6.	ОБЗОР ТАБЛИЦ ПО РАСЧЕТУ ПЛИТ
Приводим некоторые сведения о наиболее распростра-
ненных монографиях, содержащих таблицы для опреде-
ления прогибов и усилий в плитах.
1.	Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины,
диски, балки-стенки. Стройиздат УССР, 1959. В рабо-
те содержится весьма обширный справочный материал
(формулы, таблицы, графики, примеры) по определению
усилий и деформаций в круглых, прямоугольных и дру-
7S
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
гой формы плитах под сосредоточенными и распределен-
ными нагрузками.
2.	В арвак П. М. и др. Таблицы для расчета пря-
моугольных плит Изд АН УССР, 1959, Даны таблицы
коэффициентов дчя определения прогибов и усилий
в прямоугольных плитах с разнообразными опорными
условиями от равномерно распределенной и сосредото-
ченной нагрузок. Таб.нпгы составлены при помощи чис-
ленною интегрирования, в связи с чем возможна по-
грешность при определении расчетных величин, которая
(по мнению авторов) в большинстве случаев ие превы-
шает 10%.
3.	Г а лер кии Б Г. Упругие тонкие плиты. Гос-
стройиздат, 1933. Содержит таблицы по расчету прямо-
угольных, секторных, треугольных плит с разнообраз-
ными опорными условиями под распределенной и сосре-
доточенной нагрузками.
4.	Панков и ч П. Ф. Строительная механика кораб-
ля, ч. II. Судиромгиз, 1941. Приведены таблицы для
определения усилий и прогибов прямоугольных плит, а
также таблицы для расчета круглых плит под осесим-
метричной нагрузкой на опорах и упругом винклеров-
ском основании.
5.	К а л м а н о к А. С. Изгиб тонких прямоугольных
плит, Машстройиздат, 1950 Таблицы по определению
прогибов и усилий в прямоугольных плитах под трапе-
цеидальной нагрузкой.
6.	Коренев Б. Г. и Черниговская Е, И. Рас-
чет плит на упругом основании. Госстройиздат, 1962.
Приведено большое количество табулированных функ-
ций, которые существенно облегчают расчет прямоуголь-
ных и круглых плит на упругом основании.
7.	Смотров А. Решение плит, нагруженных сплош-
ной нагрузкой, по закону трапеции. ОНТИ, 1936. При-
ведены таблицы для прямоугольных и треугольных плит.
8.	Т и м о ш е и к о С. П., Во п н о в с к я й - К р и -
rep С. Пластинки и оболочки. «Наука», 1963. Даны
таблицы для определения усилий в прямоугольных пли-
тах под разнообразной нагрузкой. Имеются также таб-
лицы, формулы и графики для расчета эллиптических,
круглых и треугольных плит,
9.	Шехтер О. Я. и Винокурова А В, Расчет
плиг на упругом основании. Госстройиздат, 1936 Содер-
жит таблицы по определению усилий и прогибов в бес-
конечно большой плите и плите в виде бесконечной по-
лосы, опирающейся на упругое винклеровское основание
и загруженной сосредоточенными силами, расположен-
ными в углах прямоугольной сетки, либо по оси сим-
метрии бесконечной полосы.
10.	Шиманский Ю А, Изгиб пластин. ОНТИ,
1934. Содержит таблицы по расчету прямоугольнь х
плит под разной нагрузкой.
13.7. Краткие сведения об аналитических
методах определения усилий и перемещений
при изгибе тонких упругих плит
Задача об изгибе «упругой тонкой плиты сводится
к определению функций прогибов ®, зная которую, мож-
но вычислить усилия и углы наклона касательной
к срединной поверхности плиты по формулам
-0-
лд.-=
д-ш
В) ~;
дхду
д-о	д-&>	д
У 2-Ю = —- Д	Q v	— D —- V2W.
дх-	ду-	дх

(13.70)
х дх у ду
Функция прогибов должна удовлетворять дифференци-
альному уравнению в частных производных четвертого
порядка (разрешающее уравнение) н граничным усло-
виям на кромках плиты. В частности, для плиты по-
стоянной толщины из изотропного материала разреша-
ющее уравнение в декартовых координатах имеет вид
[5, 19, 23]
сН	д&	di \	р
~о -------- J- ~— ю =	_
дх*	дх-ду-	ду* /	D
(13.71)
Соответствующие уравнения для плиты из анизотропно-
го (в частности, ортотропного) материала приведены
в [17], для плиты переменной толщины — в [3, 23], для
плиты на упругом основании — в [4, 16, 23]. Соотноше-
ния (13.70) и (13.71) в декартовых координатах целе-
сообразно применять для бесконечных пластин, загру-
женных нагрузкой, распределенной по площади прямо-
угольника; для полубесконечпой плиты, ограниченной
прямолинейной кромкой; для бесконечной (или полубес-
коиечиой) полосы с параллельными кромками и, нако-
нец, для плит, имеющих форму прямоугольника, парал-
лелограмма, треугольника или трапеции. Для круглых
и кольцевых плит, а также для плит, имеющих (форму
сектора или кругового прямоугольника, целесообразно
использовать полярные координаты (соответствующие
.-.ависимости см. [5, 12, 17, 20, 23]). Для плит, имеющих
форму эксцентричного кольца, кругового сегмента ми
круговой луночки, целесообразно применять биполяр-
ные координаты [24]. Другие возможные системы ко-
ординат см. [5, 23].
Как правило, решение задачи об изгибе плиты ищут
в виде суммы
К! = шо-фа1*,	(13.72)
где удовлетворяет только (13.71) при заданной на-
грузке, a w" удовлетворяет (13.71) при р=0 и подби-
рается таким образом, чтобы погасить искажения гра-
ничных условий на кромках плиты, вызываемые ш°.
Слагаемое W* называют однородным решением.
Оба слагаемых (13.72) компонуют из элементов (й =
= const)
Fn = h (п, kx) (n ,ky)	(13.73)
в следующих формах:
/д°ш
мг = -о
\ ох*
а2а, \
Ф2 / ’
д'2ш \
ан j ’
(13.70)
w ~ [ ДДя.
i)
(13.74)
(13.75)

B.S. ОБЗОР ТАБЛИЦ ПО РАСЧЕТУ ПЛИТ
79
Отлетим возможные варианты.
а)	Задавая /2 или /3 в (13.73) в виде
Д, = щ cos nky + cs sin nku (13.76)
и используя (13.74), можно получать решения большо-
го количества задач в виде ряда Фурье [3, 5, 20, 23j.
б)	Используя (13.76) и (13.75), можно получать ре-
шения в виде ингеграла Фурье. Такие решения исполь-
зуются обычно для плит бесконечных размеров [3, 14,
20, 23, 24, 25].
в)	Придав /2 или ft в (13.73) в виде
/2 = с^У с^пк<>	(13.7'7)
и подобран соотвегствуюш.им образом параметр п, мож-
но определить ряд однородных решений, удовлетворя-
ющих заданным граничным условиям па кромках пла-
стины у=0 и tj — ii, Такне решения принято называть
функциями Попковича—Фадля. Они могут быть исполь-
зованы для расчета прямоугольных секторных плит и
плит в виде кругового прямоугольника [11, 20].
г)	Задав ?, и [3 в (13.73) в виде степенных функ-
ций, можно, суммируя конечное число элементов Fn, по-
лучить решения в виде степенных полиномов, удовлет-
воряющих (13.71). Такие полиномы могут быть исполь-
зованы при решении задач об изгибе прямоугольных
пластин [13],
д) Ряд эффективных решений задач об изгибе плиты
в виде полосы, круговой луночки и кругового прямо-
угольника может быть получен в форме (13,75) путем
применения интегральных преобразований Фурье, Мед-
лина [25].
Если удается получить решение задачи, используя ко-
нечное число элементов (13.73), или найти аналитиче-
ское выражение для суммы ряда (13.74) или значения
интеграла (13,75), то говорят, что задача допускает
замкнутое решение. Так, например, замкнутое решение
для усилий может быть получено в задачах об изгибе
бесконечной плиты, ограниченной прямолинейной кром-
кой (защемленной, свободно опертой пли свободной от
закреплений) под действием сосредоточенных сил или
пар.
В тех случаях, когда задача не имеет замкнутого ре-
шения, имеется большое число приемов, позволяющих
облегчить вычисления путем усиления сходимости ряда
(13.74) (см. первое издание справочника). Приемы, об-
легчающие вычисление несобственных интегралов
(13.75), см. [25j.
В ряде задач слагаемые Fn в (13.74) могут быть най-
дены независимо друг от друга. В этом случае можно
говорить о точном решении задачи. Однако’в большин-
стве задач слагаемые Fn в (13.74) определяются с точ-
ностью до множителей сп. Эти множители могут быть
найдены из бесконечной системы линейных уравнений.
Хотя и в этом случае решение может быть получено
с любой степенью точности, будем такие решения на-
зывать приближенными.
К группе прибтиженных решений следует отнести ре-
шения, основанные на принципе минимума потенциаль-
ной энергии деформации. В этих методах компонуют
решение в виде ряда (13.74) при условии, что каждое
из слагаемых Fn задано с точностью до постоянного
множителя сп я удовлетворяет заданным граничным ус-
ловиям. Множители са определяются из бесконечной
системы алгебраических уравнений [30, 21, 23].
В заключение приведем ссылки на литературу по не-
которым аналитическим решениям задач об изгибе плит,
которые могут представлять интерес для проектиров-
щиков:
а)	метод начальных параметров для осесимметричной
деформации круглых и кольцевых плит [12];
б)	осесимметричная деформация круглых и кольце-
вых плит переменной жесткости [1, 3, 23];
в)	некоторые решения по неосесимметричной дефор-
мации круглых плит [3];
г)	некоторые решения по изгибу прямоугольных плит
переменной жесткости [3, 23];
д)	изгиб прямоугольных и круглых плит из анизот-
ропного материала [17];
е)	метод начальных параметров для осесимметричной
деформации круглых и кольцевых плит на упругом ос-
новании типа Винклера [15];
ж)	задачи об изгибе плит на упругом основании
с двумя упругими характеристиками [4, 16];
з)	решения, некоторых задач об изгибе плит в виде
треугольника, сектора, кругового прямоугольника, эл-
липса, кругового сегмента [3, 20, 23, 25J.
ЛИТЕРАТУРА
L Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки враще-
ния. Оборонив,
2. В а р в а и П. М, и др. Таблицы для расчета прямоуголь-
ных плит, Изт. АН УССР. 1959.
3. Вайнберг Д. В, и Вайнберг Е. Д. Пластины,
диски, бал'ки-сгенки. Госстройиздат УССР, 1959.
4, В л а с о в В, 3. и Леонтьев Н. Н, Балки, плиты и
оболочки на упругом основании. Физматгиз, 1960.
5. Г а л ер к и и Б. Г. Упругие тонкие плиты, Госстройиздат,
1933.
6. Гасте в В. А. я 1< я т оз с р К- А. К определению уп-
ругих характеристик ребристых пластин, «Строительная меха-
ника и расчет «щоружсинЖ, 1961, № 6,
/. Горбунов-Посадов М. И. Таблицы для рз.счеда
тонки?; упругих нлнт на упругом основания. Госстройиздат, 1059.
8. Г о р б у и о в - П о с а д о в М, И. Расчет конструкций на
упругом основании. Госстройиздат, 1953,
9. Ж е "ч очки и Б. И, и С и я и ц ын А, П. Практиче-
ские методы расчета фундаментных балок и плит на упругом
основании Гны ТШ.Ю7ЫН Винклера. Госстройиздат, 1962.
10. К а л м а и о к А. С. Строительная механика пластин,
чат, 19Ж
И.Китонер К. А. И сгиб тонких прямоугольных пластин.
В об ; ^Расчет пространственных конструкций», вып. 2. Гос-
стройнздат, 19Ж,
12. К и ? о в е р К- А. Круглые тонкие плиты. Госстройдз-
дат, 1953.
13. Китов ер К- А. Применение степенных полиномов к
решению задач об иннбе ортотропных плит. В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», вып. V. Госстройиздат, 1959,
14,	Китовер К. А. Об упругом равновесии тонких беско-
нечных пластин из орт О’1 р-.иного материала. «Инженерный сбов-
иик» АН СССР, т, XXX, 1960.
15.	Коренев Б, Г. Некоторые задачи теории упругости
и теплопроводности, решаемые в бессолевых ф-ункдг.пх, Физмат-
гиз, 1960.
16.	К о р е н е в Б. Г. и Чер г иго в ск а я Е. И. Расчет
плнт на упругом основщши, Госстройиздат, 1962.
17.	Лехи и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. Гос. изд.
те.хнико-теор. лиг., И57.
18.	Мал пев А. С. Исследование изгиба ребристых плит,
вын. 1, ВВМИСУ, 1939.
19.	Папкович П. Ф. Строительная механика корабля,
ч. П. Схдпромгиз, 1941.
20.	Папкович П. Ф. Теория упругости. Оборонгиз, 1939.
21.	Пратусевич Я. А, Вариационные методы в строи-
тельной механике. Гостехщщат, ЗУМ.
22.	Смотров А, РешенЕ'»' плит, загруженных сплошной
нагрузкой по закону трапеция. ОНТИ, 1936.
23.	Сладкопевцев А. А. К вопросу о расчете пластин
средней толщины. В сбл «Нелинейные задачи строительных
конструкций», Под ред. И, С. Цуркова. МПСИ, 1970-
24.	Уфлянд Я- С. Биполярные координаты в теории уп-
ругости. ГТТИ, 1950.
25.	Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в зада-
чах теории упругости. «Наука», 1967.
26,	Шехтер О. Я. н В ин о куров а А. В, Расчет плит
иа упругом основании. Госстройиздат, 1936.
27,	Шаманский Ю. А. Изгиб пластин. ОНТИ, 1036.
РАЗДЕЛ 14
ОБОЛОЧКИ
14.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОЛОЧЕК
И КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ИХ РАБОТЫ
14.1.1. Общие положения
Оболочка представляет собой тело, ограниченное дву-
мя криволинейными поверхностями, расстояние между
которыми, называемое толщиной оболочки (1), мало по
сравнению с другими размерами. Толщина оболочки
может быть переменной величиной. Поверхность равно-
отстоящая от ограничивающих криволинейных поверх-
ностей, называется срединной поверхностью. В зависи-
мости от характера этой поверхности различают глад-
кие оболочки и складки. У гладкой оболочки (рис, 14.1)
срединная поверхность плавная, без выступов и перело-
мов. Складка составлена из отдельных пластинок, так
что ее срединная поверхность представляет собой не-
верность многогранника (рис. 14.2). Кривизна срединной
поверхности гладких оболочек или повсюду постоянна,
или плавно изменяется от точки к точке; у срединной
поверхности складок она сосредоточена в местах сопря-
жения граней; во всех остальных точках она равна
пулю.
Встречаются оболочки смешанного типа, состоящие из
частей гладких оболочек, соединенных между собой под
некоторыми углами (рис. 14.3), а также комбинации из
гладких оболочек и складок.
В зависимости от знака гауссовой кривизны различа-
ют три класса оболочек:
1)	оболочки положительной гауссовой кривизны
(сферическая, эллиптическая и т. п.) (рис. 14.1, а);
2)	оболочки нулевой кривизны (цилиндрические и ко-
нические) (рис. 14.1, бив);
3)	оболочки отрицательной гауссовой кривизны (на-
пример, в форме гиперболического параболоида и т. п.)
(рис. 14.1, г).
Часто встречаются оболочки смешанной кривизны,
у которой гауссова кривизна имеет различные знаки на
различных участках, например торообразная оболочка
и др. (рис. 14.4).
Оболочки, срединная поверхность которых представ-
ляет собой поверхность вращения, г. е. поверхность, об-
разованную вращением плоской кривой около непо-
движной прямой (оси вращения), называются оболоч-
ками вращения.
Оболочки, срединная поверхность которых образова-
на поступательным перемещением плоской кривой по
некоторой другой плоской кривой (плоскости обеих кри-
вых перпендикулярны), называются оболочкой перено-
са или трансверсальной оболочкой.
В зависимости от соотношения между толщиной обо-
лочки t и ее генеральными размерами в плане L раз-
личают.
толстые оболочки
тонкие (тонкостенные) 1/200	1/8 Амин и очень
тонкие (<21/200 Амин.
Рис. 14.2
Конструктивно оболочки могут быть оформлены как
сплошные, сетчатые или ребристые.
Рис, 1.4,3
В зависимости от при-
меняемых материалов
различают анизотропные
и изотропные оболочки.
К анизотропным оболоч-
кам относятся многослой-
ные (например, двух- и
трехслойные оболочки),
слои которых могут со-
стоять как из изотроп-
ных, так и из анизотроп-
ных материалов (напри-
мер, стеклопластиков).
Если оболочка сделана
из изотропного материала, но по разным направлениям
конструктивно оформтена различно, то говорят о ее
конструктивной анизотропии.
It 1 КЧУССПФПКЩИЯ ОБОЛОЧЕК И КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИХ Р ЛЕОТИ
81
Края оболочки могут быть свободными, шарнирно
опертыми (подвижными или неподвижными) либо за-
щемленными как по всему контуру, так и по части кон-
тура или же в отдельных точках, а также могут иметь
упругие опоры в виде гибких диафрагм пли ба ток.
Участок ндпсдой кривизны
Участок отрицательной кр':Ри№ы
.^-Участок попо.кительнои кривизны
Рис. 14.4
14.1.2, Тонкостенные оболочки
Тонкостенные оболочки, применяемые в покрытиях
и перекрытиях, разделяются на: 1) купола; 2) своды,
своды-оболочкп, волнистые своды; 3) пологие оболочки;
4) призматические складки и шатры; 5) висячие обо-
лочки.
Куполами перекры
или имеющие форму
Рис. 14.5
вают помещения, круглые в плане
правильного многоугольника. Они
бывают: гладкие, ребристые и
многоугольные.
Гладкие купола имеют фор-
му оболочки вращения.
Ребристые купола в своей
основе имеют решетку, состав-
ленную из ребер, направленных
по паратлелям и меридианам
Многоугольные купола состав-
лены из пересекающихся частен
оболочек вращения (рис, 14.3,6).
Сводами называю п я обо ючки, очерченные по цилинд-
рической поиерхноши. Они применяются в качестве по-
крытий помещений, прямоугольных в плане. Края сво-
дов (параллельные образующей) могут опираться на
сплошные непрерывные опоры. В этом случае размера-
ми, характеризующими свод, будут: пролет I (расстоя-
ние между опорами) и подъем свода fn. Отношение
для сводов не меньше 1/6. Своды, опирающиеся на
жесткие поперечные диафрагмы и на продольные бор-
товые элементы, называются сводами-оболочками (рис.
14.5). Они характеризуются гремя размерами: расстоя-
нием I] между поперечными диафрагмами (пролет обо-
лочки), расстоянием, между бортовыми элементами 12
(длина волны) и подъемом /о-
Если /|//2>1, ю свод-оболочка называется длинной
(практически это отношение достигает 3—4). Подъем/0
принимается не меньше J/in Л и не меньше '/6Z2. Длин-
ные своды-оболочки бывают однопролетные (опираю-
щиеся па две диафрагмы), мпогопролетпые (опирающие-
ся на ряд диафрагм), одноволновые и многоволно-
вые (состоящие из нескольких параллельных оболочек,
связанных общими бортовыми элементами).
При С/4<1 свод-оболочка называется
короткой;
подъем короткой оболочки
1
/о > "у ^2-
Волнистыми сводами называются своды, имеющие в
продольном разрезе волнистое очертание (рис. 14.6).
Форма поперечного сечения волнистого свода может
бьпь криволинейно» или складчатой — треугольной или
трапециевидной
Пологие оболочки (см рис. 14.25) имеют небольшой
6—26
подъем ДДчн) Близкими к пологим оболочкам
по характеру работы и притщиению являются слегка
ненарушенные птиты и ступенчаю-вспарущецлые пане-
ли, у которых верхняя поверхность делается плоской,
а нижняя представляет собой криволинейную или стч-
пенчатую поверхность.
Призматические складки 1см. рпс. 14 2,6) и шатры
(с?,г. рис, 14.2, а) применяются для тех же целен, что
и своды-оболочки или полотне оботочки Шатры имеют
форму у сеченной пирамиды; бо.т е подробно они описа-
ны в [37]. Описание складок ст;. {37, 12, 59].
Висячие оболочки применяются в покрытиях больших
пролетов, они создаются на основе пространственных
сеток из вант (см. раздел И).
14.1.3.	Общая характеристика работы
оболочек
В оболочке в отличие от плиты, кроме изгибающих
и крутящих моментов и поперечных сил, возникают про-
дольные (осевые) и сдвигающие силы. При определен-
ных условиях величина первой группы сил, связанных
с работой оболочки на изгиб, относительно мала, по-
этому оболочка работает в основном на продольные си-
лы (сжатие или растяжение), а не на изгиб и кручение.
Эго определяет эффективность конструкции типа обо-
лочек, поскольку материал используется более выгодно,
чем в плитах или балках.
Вследствие кривизны оболочки проекции продольных
и сдвигающих сил на нормаль к поверхности оболочки
создают подобие «упругого» (фиктивного) основания
под оболочкой. Можно сказать, что оболочка работает
как плита, под которую подведено упругое основание.
Этим объясняется увеличение прочности и жесткости
оболочки по сравнению с плнтои. Большое влияние на
работу оболочки оказывают условия ее опирания.
14.1.4.	Характеристика теорий расчета
оболочек
В основу различных технических теорий оболочек по-
ложена гипотеза Кирхгофа—Лява: прямолинейные во-
локна оболочки, перпендикулярные к ее срединной по-
верхности до деформации, остаются после деформации
прямолинейными и перпендикулярными к срединной по-
верхности и пе изменяют своей длины.
Исходя из этого, построены две группы теорий рас-
чета оболочек: линейные и нелинейные.
Линейные теория описывают напряжспно-деформчро-
ваниое состояние оболочек, выполненных из матерна ы,
подчиняющегося закону Гука. Кроме того, предполага-
ется, что перемещения оболочки, возникающие пп.и ее
деформации, малы и ие могут вызвать существенного
82
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
перераспределения усилий. Линейные теории относи-
тельно просты, но имеют сравнительно узкую область
применения, ограниченную предпосылками, на которых
они основаны.
Исчерпывающие представления о работе оболочки на
всех этапах нагружения можно получить с помощью
нелинейных теорий. Различают три вида нелинейности:
физическую-—обусловленную нелинейной связью между
тензорами напряжений и деформаций (материал не под-
чиняется закону Гука), геометрическую—-определяемую
нелинейной связью между деформациями и Перемеще-
ниями и конструктивную, связанную с возможными из-
менениями расчетной схемы оболочки в процессе нагру-
жения.
При определенной величине напряжений почти все
строительные материалы перестают следовать закону
Гука, так что диаграмма, определяющая зависимость
между напряжениями и деформациями, становится не-
линейной, Кроме того, возникают пластические дефор-
мации. В тех случаях, когда требуется и тучищ иаиря-
женпо-деформироваппые состояния оболочки при на-
пряжениях, превосходящих предел пропорциональности
(например, в тех случаях, когда изучается работа обо-
лочки при нагрузках, близких к разрушающим), необ-
ходимо учитывать физическую нелинейность. Наиболее
просто учитывает физическую нелинейность теория пре-
дельного равновесия, основанная на понятии жестко-
пластического материала.
Если перемещения, возникающие в оболочке (напри-
мер, прогибы), настолько велики, что могут вызвать
существенное перераспределение усилий, то необходимо
учитывать геометрическую нелинейность. Такие случаи
встречаются, например, при работе тонких, очень поло-
гих оболочек.
Нелинейные теории значительно сложнее линейных, и
расчеты по ним весьма трудоемки. Поэтому важно
в каждом конкретном случае решать вопрос о выборе
теории. Можно руководствоваться следующим крите-
рием.
1.	Подсчитывается вся нагрузка <?, действующая на
оболочку вместе с коэффициентами перегрузки, и опре-
деляется характерное перемещение fa (например, про-
гиб) по линейной теории.
2.	Это значение прогиба подставляется в формулу,
устанавливающую связь между нагрузкой и прогибом
по нелинейной теории, и определяется величина рн> со-
ответствующая прогибу f.i.
3.	Если разница между и а будет больше необхо-
димой точности расчета, например 5%, го расчет обо-
лочки необходимо производить по нелинейной теории.
Иногда в процессе нагружения могут изменяться гра-
ничные условия, исчезать некоторые связи или появ-
ляться новые. В этих случаях оболочка ведет себя как
конструктивно-пелшгеппая система.
В силу некоторых, упомянутых ниже, особенностей
оболочки изгибающие и крутящие моменты могут быть
настолько малы, что их можно отбросить без особого
ущерба для точности расчета, В соответствия с этим
все теории оболочек (как линейные, так и нелинейные)
можно разделить на моментные и безмоментвые. Безмо-
ментиые теории значительно проще моментных, поэтому
практически важно знать условия их применимости.
14.1.5. Условия применимости безмоментных
теорий [29]
Эти условия зависят от ряда факторов, влияющих
на работу оболочки:
1) гауссовой кривизны;
2) наличия на поверхности оболочки линий искаже-
ния напряженного состояния, т, е. линий, вдоль которых
могут произойти возмущения напряженного состояния.
Эю те места, где геометрические или физические свой-
ства оболочки (или характер нагрузки) изменяются
скачком- а) края оболочки, б) линии, вдоль которых
нагрузка (итч ее производные) или геометрические па-
раметры оболочки (кривизна или толщина) изменяются
скачком. Вблизи этих мест во шикают дополнительные
напряжения, вызываемые краевым эффектом (см. 14.3.6).
Для характеристики работы оболочки большое зна-
чение имеет показатель изменяемости нагрузки, опреде-
ляемый следующим образом. Назовем коэффициентом
изменения нагрузки (или вообще какой-либо функции)
число у, равное отношению среднего значения производ-
ной функции к среднему значению самой функции (на
некотором интервале). Например, для разномерно рас-
пределенной нагрузки у —0; для треугольной нагрузки
Р Р
(рис. 14.7) у = ——	=2; для сосредоточенной силы
у=оо. Показателем изменяемости нагрузка назовем
число S, связанное с у соотношением
1 t \-S
у = ------
\2R )
где t —- толщина оболочки; R. — некоторый характерный
радиус кривизны поверхности оболочки,
Из этой формулы получим
t
Для равномерно распределенной шшрузки показатель
изменяемости равен — оо, для сосредоточенной силы
+ =».
По безмоментиой теории могут быть рассчитаны обо-
лочки, удовлетворяющие следующим условиям.
1. Линии искажения напря-
женного состояния должны
быть расположены на поверх-
ности оболочки достаточно ред-
ко — так, чтобы зоны затухания
возмущений напряженного со-
стояния, возникающие около
р 14 у	этих линий, не покрывали цели-
ком срединную поверхность
оболочки. Например, оболочки,
подкрепленные часто расположенными ребрами, не мо-
гут быть рассчитаны по безмоментиой теории.
2. Нормальная кривизна срединной поверхности обо-
лочки па любой линии искажения не должна обращать-
ся в пуль ни в одной точке. Например, цилиндрическая
оболочка с краями, расположенными вдоль образующей,
или та же оболочка, имеющая отверстие, или замкнутая
цилиндрическая оболочка с ребрами, расположенными
вдоль образующих, не могут быть рассчитаны по безмо-
мептной теории.
3. Показатель изменяемости внешних поверхностных
и краевых нагрузок не должен быть слишком большим.
Для поверхностной нагрузки по всем направлениям
должно быть Эгф’/а, для краевой нагрузки 5гДф3 (для
оболочек по вокительной и отрицательной кривизны) и
SskJ/j (для оболочек нулевой кривизны). На сосредото-
ченную нащузку, показатель изменяемости которой ра-
вен фоо, оболочки не могут рассчитываться но безмо-
ментпой теории.
4 Срединная поверхность пе должна обладать неко-
торыми особыми свойствами. Например: а) коническая
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
83
оболочка не должна содержать вершину конуса;
б) срединная поверхность оболочки не должна касаться
плоскости по замкнутой кривой, как в горообразной
оболочке (см. рис. 14.20).
5. Срединная поверхность оболочки не должна дефор-
мироваться без растяжений (сжатий) и сдвигов. Иными
словами, по безмоментной теории можно рассчитывать
только такие оболочки, в которых изгиб и кручение воз-
можны лишь при растяжении (сжатии) или сдвиге эле-
ментов срединной поверхности.
Указанные пять условий применимости безмоментной
теории являются достаточными, но не необходимыми.
Иногда можно рассчитывать оболочки но безмоментной
теории и при нарушении одного или нескольких из этих
условий.
Например, призматическая складка (см, рис. 14.2),
пластинки которой соединены шарнирами, нагруженная
в местах шарниров сосредоточенной нагрузкой, может
быть рассчитана по безмоментной теории, хотя при этом
нарушаются второе и третье условия. Оболочку поло-
жительной гауссовой кривизны, нагруженную сосредо-
точенной силой, можно рассчитывать по безмоментной
теории, так как возмущения, вызванные сосредоточен-
ной силой, быстро затухают.
Концентрации напряжений, вызванные возмущениями
напряженного состояния около линий искажения, могут
не приниматься в расчет, если пластические деформации
и изменение формы оболочки не приводят к снижению
ее несущей способности; в оболочках, выполненных из
хрупкого материала, учет концентрации напряжений не-
обходим.
Поэтому вопрос о применимости той или иной теории
должен решаться в каждом отдельном случае. Для обо-
лочек положительной кривизны второе и четвертое ус-
ловия всегда выполняются.
14.1.6.	Основные постановки задач
теории оболочек [48]
Имеется несколько постановок задач расчета оболо-
чек. Для полного описания напряженно-деформирован-
ного состояния оболочки необходимы четыре функции:
1)	функция Fo, описывающая срединную поверхность
при начальном нагружении <?о (эта функция описывает
заданную поверхность оболочки);
2)	функция F, описывающая срединную поверхность
при расчетном загружении q. Эта функция выражается
через перемещения оболочки и, следовательно, зная ее,
легко вычислить деформации и напряжения;
3)	функция q, описывающая нагрузки (или другие
факторы, например, температуру), переводящие оболоч-
ку из состояния, выраженного функцией Рй, в напря-
женно-деформированное состояние, выраженное функ-
цией Р',
4)	функция f, устанавливающая связь между напря-
жениями и деформациями, т. е. функция, описывающая
свойства материала.
В зависимости от того, какими функциями задаются
и какие разыскиваются, различают следующие постанов-
ки задач расчета оболочек.
1.	Заданы начальная поверхность оболочки (функция
/ф), нагрузка q и материал (функция f). Требуется оп-
ределить напряженно-деформированное состояние обо-
лочки (функцию F).
Это так называемая прямая постановка задачи. Ее ре-
шение получается путем интегрирования сложной си-
стемы дифференциальных уравнений, выполняемого при-
ближенными методами, Большинство решенных задач
относится к прямой постановке.
6*
2.	Заданы начальная поверхность (Уф), напряженно-
деформированное состояние, выраженное функцией Р,
и материал (функция f). Требуется определить нагруз-
ку q.
Это обратная постановка задачи. Ее решение не тре-
бует интегрирования уравнений и сводится к дифферен-
цированию известных функций. Эта постановка позволя-
ет получить точные решения. К обратно:; постановке
прибегают в тех случаях, когда решение задачи в пря-
мой постановке становится очень громоздким. В лите-
ратуре описано сравнительно мало задач, решенных
в такой постановке.
3.	Заданы нагрузка q, напряженно-деформированное
состояние оболочка (F) и материал (f). Требуется оп-
ределить начальную форму оболочки. Решение этой за-
дачи позволяет получить наиболее экономичные формы
оболочек. Задачи в такой постановке почти не решались.
4.	Возможна четвертая, малоисследованная постанов-
ка: заданы начальная (Ро) и деформированная форма
оболочки Р, а также нагрузка д. Требуется подобрать
материал, т, с. определить функцию f. Эта постановка
может найти применение при расчете многослойных обо-
лочек.
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
ОБОЛОЧКИ
14.2.1. Основные условные обозначения
Геометрические параметры (рис. 14.8)
Д — радиус срединной поверхности стенки
или обшивки оболочки;
I — длина оболочки;
с'./=Д12— относительная длина оболочки;
х—расстояние вдоль образующей от неко-
торого начального поперечного сечения
до какой-либо произвольной точки на
срединной поверхности;
о;=з R —относительная величина л;
s — расстояние по дуге окружности средин-
ной поверхности от некоторой начальной
до какой-либо произвольной точки на
той же поверхности;
fj=s R —. относительная величина s (центральный
угол);
ах — расстояние между кольцами жесткости;
as — расстояние между продольными ребрами
жесткости;
1	— момент инерции всего поперечного сече-
ния оболочки (пустотелой балки) отно-
сительно нейтральной оси;
S	— статический момент части поперечного
сечения относительно той же оси;
Fx — площадь поперечного сечения продоль-
ного ребра с примыкающей к нему
частью обшивки;
/5 — момент инерции сечения s=const коль-
ца жесткости с примыкающей к нему
частью обшивки;
/s — погонный момент инерции продольного
сечения s = const;
! х — момент инерции поперечного сечения
x=const продольного ребра жесткости
с примыкающей частью обшивки;
/у — момент инерции сечения s = const конце-
84
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
вого кольца жесткости относительно оси,
параллельной образующей оболочки;
+ — погонный момент инерции сечения х =
= const;
E(~FX — приведенная толщина оболочки в по-
перечном сечении х —const;
рR --относительная величина /щ
7/ 12/;
/5 = I/	—'— — приведенная толщина оболочки в
’ я х
продольном сечении s=-const;
[R — ts R— относительная величина t,;
t — толщина гладкой стенки безреберной
оболочки;
|i— t R— то же, относительная ветчина I;
Рис, 11.8	Рис. 14.9
Нагрузка
р — величина вектора внешней удельной па-
!рузки (на единицу поверхности изи на
погонную единицу);
р^, Pv, ps~~ проекции вектора внешней нагрузки на
ось х, на нормаль и на касательную к
контуру поперечного сечения срединной
поверхности оболочки.
Напряжения и усилия (рис. 14.9)
ах, F'х, Qx, Мх—нормальные напряжения, нормальные
(продольные) силы, поперечные силы
и изгибающие моменты, действующие
в поперечном сечении (х = const) обо-
лочки;
O's, ,VS, Qs, Ms — нормальные напряжения, нормальные
(продольные) силы; поперечные силы
и изгибающие моменты, действующие
в продольном сечении (s = const) обо-
точки;
N3x — \'.x —сдвигающие силы;
т — касательные напряжения;
М, Q, /Ик — изгибающий момент, поперечная сила
и крутящий момент в пустотелой
балке.
П е р е м е щ е н и я и д е ф о р м а ц и и
w, и, v—перемещения точек срединной поверхности
оболочки в радиальном, продольном и тан-
генциальном направлениях;
фк — угол поворота образующей оболочки;
7ж> "X? — деформация изгиба в продольном и попереч-
ном направлениях;
Ха-с — относительная деформация кручения;
Е — модуль упруюсти;
G — ыорупъ сдвига;
v — коэффициент Пуассона *;
Fд, fs— относительное, удлинение в продольном и
кольцевом направлениях;
ц, — относительный сдвиг.
14,2,2. Общие дифференциальные
зависимости теории
цилиндрических оболочек
Основные зависимости теории топких цилиндрических
оболочек, выведенные исходя из допущений двухосною
напряженного состояния и сохранения прямых норма-
лей, в общем случае имеют следующий вид,
Дифференциальные уравнения равновесия:
алл да		5ЛГ« + RPx = др	0.		1	
d\R	dN^	п . п			0;		
др	до	^5 “Г				
+	dQx да	dOt + ir+/?Pv		0;		 (14.1
дМхз да,		дМ, оф	0;			
dMs		дМг - QxR = да	0.			
Уравнения неразрывности деформаций:
дХз _	0.
да сф
др ' ~~ да ~ Rdfi + Rda ~ ’
Хх _ д П _ двхх ~ д^\ ]
R R"da '2 др да ) ~Г
I д I т „ 1 * *	'i = 0
+ W(3 \ бф 2 ’ да /
(14.2)
Связь между усилиями и деформациями:
(gz V8sj.
1 — V"
Et
+ V8*);
Et
Д7	= -—---------- Sr z
2(1+ -v)
1 Коэффициент Пуассона обозначается обычно через ft; здесь
он обозначен через v , так как через J-L обозначена относитель-
ная толщина оболочки.
14 2 ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
85
Связь между деформациями и перс мощениями:
Т а б л и да 14 1
Усилия в оболочке и ее перемещения при осесимметричной
нагрузке (?w оеамомеитнои зелрнн)
Вид нагрузки
Расчцгш-т формулы
1	*/	1 i dv \
R да s R \ <Д 1
1 / ди	ди \	1 дга>
— ------- <------- ..—,-------------
R \ др	да )	л R- да2
1 д [ дш \
у = — . — -----------г о ;
Ль в- ар \ ар	/
1 а / dw	\
Xxs ~~~ R2 ' да \ ар '
} (14.4)
!. Собственный вес £ в кГ'с'л и
равномерно распределит,! и по
периметру нагрузка гр в
2. Равномерное внутреннее дав-
ление pv в кГ!1-М'‘
14.2.3. Оболочка под действием
осесимметричной нагрузки.
Безмоментная теория
Безмомснтная (мембранная) теория приложима
к расчету цилиндрических оболочек при выполнении об-
щих условий, указанных в 14.1.5. Следует лишь отме-
тить. что при осесимметричной нагрузке в безмомент-
ной цилиндрической оболочке отсутствуют не только
изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы,
но и сдвигающие силы.
Дифференциальные зависимости-
а) уравнение равновесия
Д^+^Р,==0; ..V+«pv=0;	(14.5)
лгу. -	ь
б) перемещения
R
и = АД = —~ (Р — Л'ст);
dw 1 dw
=	04.6)
Усилия в оболочке и ее перемещения при различных
нагрузках даны в табл, 14.1.
14,2.4. Оболочка под действием
осесимметричной нагрузки.
Моментная теория
Исходят из гипотез общей теории оболочек. При осе-
симметричной нагрузке отсутствуют крутящие моменты,
сдвигающие силы и поперечные силы в продольных се-
чениях.
Моментная теория применяется для определения уси-
лий краевого .эффекта и для расчета коротких оболо-
чек, когда длина обо ючки не превышает длины участка
действия краевого аффекта.
3. Гидростатическое давление
жидкости с удельным весом у в
k:Jcm}
.	0; Л73 - 7^;
МДД lf
Et	Et
Коэффициент трения грунт
по стенке принят равным
нулю
Г Давление грунта с объемным
весом 7рр и нг/слб и пригрузка
Рв в hf/CM2
5, Равномерное нагревание обо-
лочки на iQ
V , -= ..V -= д
Д.।
86
РАЗДЕЛ М ОБОЛОЧКИ
где
Дифференциальные уравнения равновесия:
dE\	dQ,_	)
фТф + Rpx = 0; -ту ф Ф ф АХ = 0; аа	аа	'	j
,,,	(П.7)
dMx	j
—r-AQs=0.
da	J
__ЕР___
12 П -Л) ;
Связь между усилиями и деформациями:
		
11, у .	(< r —i~ * c J, j \ < — 1	1 ",u /'s 1 — V2 ' X 1 ih	4	1 — VS		
>< (Ф + « x);		(14.8)
лл	EE		
cVl Y		/ «г, *	12(1 -- A2)	J	
EP		
‘ *s	~ 12(l-v2) ' f-x'		
Связь между деформациями и перемещениями:
<Px =	dw Rda ’		1 R	da da	
	Ф =	ГЛ) R			’ (11.9)
1	d-w		I	d’-'ia	
/ж- R,	da3	Ъ		dfi3	
Выражения усилий порез пер: метение ’v:
/ б7 ,	1
— С — j р, dx; = J Лфм— щ — j ------ ;
u ________ЕР___ Лю _
!2(1 —л-) Л2	I (П.Ю)
Л1, ДИД
ЕР	cPw
Q v ~	—--------~ ‘	,
12(1—v2)	ах3
Основное дифференциальное уравнение:
J rf3 Г °!
РР ' "da3 [ 12(1 —V2)
d-w ]
dad ]
+ v
А
R
(Н.П)
При 1 —const уравнение (14.11) принимав г вид
Лю 4	R*	V, \
--- -j- 4пХ = — п. ф- v —	(11.12)
dad 1	11	D ф ' 1 R /	v 1
ИЛИ
(П.12)
Уравнения (14.12) или (14 13) того же вида, что и
уравнение балки иа упругом основании. Общее решение
уравнения (14 13):
w = ет'л (Cj cos ух + С2 sin qx( + e~~ ц'г (Cs cos qx ф-
+ C.s sin qx) 4- f(x),	(14.14)
Здесь
/(x) — частное решение уравнения, зависящее
от поверхностной нагрузки;
С,, CR, С3, Cj— произвольные постоянные, определяемые
по граничным условиям (габл, 14.2).
Т а б л иц а 14.2
Характеристика гршшшшх условий
Край оболочка защемлен	= 0; ®	0
Край оболочки свободен	рл=,0; Лф;=0
Кран оболочка шарнирно зак- реп тан	ет ~ 0;	0
Если выражение для перемещений w решением урав-
нения (’14.13) получено, то все усилия и деформации
могут Сыть определены по формулам (14Д0), (14.9) и
(14 8).
В табл. 113 приведены усилия и перемещения при
различных нщрузпцх.
14.2.5. Сопряжение оболочек.
О сеси м м етр и ч н а я на груз к а
В местах сопряжения двух оболочек вращения раз-
личной формы (цилиндрической, конической, сфериче-
ской и т. п,), в местах перелома меридиана или скачко-
образного изменения ею радиуса кривизны или ступен-
чатого изменения толщины оболочки, а также в местах
подкрепления кольцами к усилиям, определяемым по
безмоментной теории, добавляются усилия и моменты,
вызванные изгибом (см. тюке 14.3.8).
Расчет сопряжения ведется обычными методами строи-
тельной механики, а) методом сил с использованием ус-
ловия совместности деформаций сопрягаемых элементов;
б) методом перемещении с использованием условия рав-
новесия усилий, дг йствующпх иа сопряжение; в) смешан-
ным методом Ришоиальная основная система, допуска-
ющая расчет на действие нагрузки по безмоментной
шории, может быть образована в простейшем случае
(рис. 14.10, а) методом сит, в более сложных—смешан-
ным методом (рис. 14.10,6, в).
В общем случае (рис. 14.10, в) иа лиши сопряжения
оболочек ити на осевой линии кольца в каждой точке
накладываю тел две смет — радиальная и противовра-
щательная, реакции которых обозначены (сила) и R?
(пара); соответствующие перемещения Zt (радиальное)
14 2 ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
§7
4
Усилия в оболочке и ее перемещения при осе''мм'петр!шной пагоу^ке (по моментной теории) 71 = |/
(з.лпцл а е> л	U. V, Г, Т приводятся в 5.5 6)
нагрузки
ЕР
Расчсгяые формулы
1 . Равномерно распределенная по
кругу нагрузка pv в кГ/см
Pv
при х = О
(тр:); при x
Pv
Р.
маке
Й7]Ц)
4р
-Е т (Пх).
Формулы справедливы при I > —•


М
3 Цилиндр с защемленными кра-
ями под равномерным внутренним
давлением pv в кГ/см1
2. Равномерно распределенные по
контуру радиальная нагрузка о0 в
[r|AI,U (ipO + QFT (гр-')];
hMoW' (туз + Q«v(ж)!; А1
Формулы справедливы при I
__ р.
зКж- М--= —
Р,
Л
Прогибы и усилия в любом промежуточном сечении оболочки ча расстоянии х определяют-
ак сумма случая 2 этой таблицы и случал 2 табл. П L
Если давление на торцы не передается слепкам, то в табл. 14.1 надо принять v = О
4 Цилиндр со свободно опер-
тыми краями под равномерным
внутренним давлением pv в кГ/см-
Прогиб и усилие в любом промежуточном сечении оболони на расстоянии г определяются
сумма случая 2 этой таблицы и случая 2 табл 14.1
Если давление на торцы не передаемся стенкам, ю в табл. 14.1 надо принять у = 0
5. Цилиндр, подкрепленный
кольцами шириной с и* поперечным |
сечением Е^, под, равномерным внут- |
ренины давлением pv в кГ/см1
MQ -£\304pv Rt
При jc — 0 (сечение у края кольца)
FK ~~ d
3t 1 Rt
Е‘ — ct
(?0 = 0,78pv ( Rj	:
F -/ 1 ,obi | Rt
v
У сил не
в кольце
Л
Е; Л
Формулы справедливы при a ~А
1]
88
РАЗДЕЛ U ОБОЛОЧКИ
Предо tveeHt е тагм 14 3
Вид нагрузки
Расчетные формулы
!э Цтичдп с тоски i днпшр^
поц равномерным внутренним д-ю
"ением pv в к!/см*
у +	х*2А>ду
4Лд(! + V> 'ч,1	— — "j |ГГд+2/?Дц (1 —
2ti , эд<рц Уа*
а Dn(l+V) £(д + 2Дц^ fi(l-v)
Ру *
1Од (1 + V)
После вычисления Мп и Qn перемещения и усилия в цтинтре опргдр тяются суммирование я
репизии дтя случая 2 той таб ины и случая 2 табт 14 1 В днинщ напряжения определяются,
как в пластинке с нагрузкой pv 9 MQ и Q® Формулы справедливы при длине цилиндра I >
> зУЖ
7 Ци ш-гдр ГО сфери-lfc! им днищем
под внутренним давлением pv в
кГ/ся?
р% IP (2 - V) - (1 ~ у)] (1 —
———~	—.    ^.,-n,..,n,.l
л„2	(1-« -2(нУТ)(н/И)
д
В цилиндре перемещения и усилия определяются по вычисленным М-. и О» суммированием
вели тин для случая 2 этой таблицы и случая ’ табт 14 1 Ь сферическом днише перемещения и
\С1 лт определяются i лк я сферической оболочке с нагрузкой pv , MQ и Qo Формулы спрл
р^длияы при I ^Vht
8 Резервуап с гшем^ыы п
стенками псд гидросттти юским дзв
лением жидкости удель-зым весо <
у в кг/елд
Форму ы справедливы при А/ ^Vflt
14 2 ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
§9
и 2г (угловое) образуют первую
I руппу основных неизвестных.
Между примыкающими к кольцу
оболочками и кольцом (с нало-
женными на него связями) в ос-
новной системе сохраняются толь-
ко связи-стержни меридионально-
го направления. Дополнительные
к безмоментному состоянию сило-
вые взаимодействия оболочек с
кольцом и наложенными связями
(радиальные усилия Х}, Х3, пары
Хо, Х4) образуют вторую группу
основных неизвестных.
Матрица уравнений смешанного
метода для случая, когда сопря-
жение оболочек усилено кольцом
массивного профиля высотой 2с,
имеет вид
Свободные члены Rip, R2P— радиальная и моментная
реакции в наложенных связях — и AUJ,  А4Р— ради-
альные и угловые перемещения контура оболочек — оп-
ределяются расчетом безмоментною состояния. Коэффи-
циенты Гц, Г22 — радиальная и моментная реакции от
единичного растяжения и единичного закручивания коль-
ца— зависят от жесткости последнего; •••> 644— ра-
диальные и угловые перемещения контура оболочки от
единичных радиальных усилий и единичных моментов —
зависят от очертания и толщины оболочки. В побочных
квадратах матрицы — элементарные выражения коэффи-
циентов смешанного метода, удовлетворяющие условию
Г ik——fiftl-
При решении системы уравнений целесообразно вы-
разить Хц ..., А'4> используя уравнения II группы, и под-
ставить в уравнения I группы; это приводит к двум
уравнениям метода перемещений относительно Zb Z2,
Если кольца нет, но меридиан имеет излом (см. рис.
14.10, б), то Г];— Гз2™0; С — 0;	Xi “Хд-р/фр;
й(2 = %4. Исключая Z], Z2, Аф, Х2, получим систему двух
уравнений метода сил относительно Х3, Х$.
Если к тому же и меридиан не имеет излома (см.
рис. 14.10, а), то А?!р=0, Х;=Х3 (соответствующую си-
стему уравнений метода сил можно составить непосред-
ственно).
Формулы и графики для расчета сопряжений цилинд-
рических оболочек с оболочками других видов и с коль-
цами жесткости см, [45].
Рис. 14.10
14.2.6. Оболочка под действием нагрузки,
не обладающей осевой симметрией
При действии нагрузки, не обладающей осевой симмег-
риеи, оболочка рассчитываемся на основе тпогез iexi-ш-
ческои (полубезмомешион) теории В 3 Власова: в урав-
нениях упругоы и не учгиываюгся крутящие и продоль-
ные изтбающие момешы, щвиг, растяжение (сжатие)
Рис. 14,11
в кольцевом направлении. Ниже дается способ расчета
[36], основанный на указанных гипотезах. Он распрош-
раняется на юнкостенные гладкие и ребристые оболочки,
последние приближенно заменяются ортотропными Раз-
личная жесткость ортотропной оболочки в продольном
и кольцевом направлениях оценивается введением в рас-
чет различных приведенных толщин стенки. Расчетные
формулы, даваемые ниже, справедливы при следующих
соотношениях	между	длиной	оболочки и	ее	толщиной.
1	1
а/ — 5; ц щ ; а> =10- ц. С —;
‘	f ’	30	50
1
ai = 20; ц .
f 100
При промежуточных значениях щ предельную относи-
тельную толщину ц можно определить шиерполяцпен.
В ребристых оболочках отношение	должно бьыь
не более соогветшвующих значении у?.
В дальнейшем рассматриваются нагрузки, симметрич-
ные относительно некоторого диаметра оболочки
(рис. 14.11, а), что отвечает большинству практических
случаев 6 За начальную итчку для отсчета дуговой коор-
динаты Р принимается точка Оь лежащая на указанном
3 Расчет а случае неелммбнричной ншзрузки см. ЦЬ], где
в формуле (13)
90
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
Табл и ц а 14 4
Кольцевые изгибающие моменты, поперечные и нормальные силы, грузовые коэффициенты для некоторых нагрузок
Схема нагрузки	Кольцевые усилия в первом состоянии	Грузовой коэффициент
Неравномерно Р л, q ^0 i	е радиальное давление, заданное тригонометрическим рядом р\^=Ра X»,X ^=Роя	rpj cosjS ~ЬР'> cos2|3 »» Ф —0
р - > ’о,	। ' п р ' >	' 1 ь У 1'jii ХдХ ~Pj№sp 'О' _й> / *	М® = 0, Q° =0, W°=P1 я cos з	Ф = 0
Р = 0; ? = 0 Pv = Ptl cos Л0 про п >2	n	Рп R1 AI® =_ ___. cos пр7 п	прп 0° ——. —~	— sin пр, *5	П‘ — 1 М° — „X созпр-	n	ио	a	A n~ — i
V 4 Л ~ Ч /М 1-/'-=- -«у М"' лХмЛ f ХуГм р=7Г2д, q v .JL si-n р 2	Давпение нидкости с з-делоным весом 7 в лг,счэ 0<Р< —; 2 Л0 —	f	'	1-0,25 cos	3 -j- 0,25 3 sin fll	7Я1, s	\	п	) Q® =— 0,250 cos pv.P3, = (0,25 3 sip ₽ + 0,75 cos 3) V«2, — < 3 < -, 2 МП =	f	1	o,25 cos 3 — 0,253 sin 3 + —	sin 0^	чР3, 4	\	Л	4	J Q® =— 0,25 (n — 3) cos 3vP2, Д ® ~ 0,25 (cos 3 — p sin 3 -1- n sin 31 7Д3	ф —	cos	у Fc, (n - 1)	2 при n — 2 Ф2 =— 0,2222'; Ц",
14 2 ЗАМК1П1НЕ Круговые ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
диаметре. За начало отчета предо м»>й координат «
принимается поперечное сечение, совпадающее с одии
из краев оболочки или с плоскостью симметрии, обще»
для оболочки и натрузкп
Напряженное и деформированное состояние слагается
из. 1) элементарного напряженною и деформированною
состояния пустотелой балки, коюрая является в данном
случае основной системой, и 2) дополнительного напря-
женного и деформированною состояния, отражающего
статическую неопределимоеп> оболочки и характер!!дую-
щего в сочетании с первым дейегшнельцую работу обо-
лочки.
Усилия в пустотелой балке и ее перемещения (их обоз-
начениям присвоен верхний нулевом индекс) определя-
ются элементарными методами сопротивления мате-
риалов.
1.	Продольное нормальной и касателы^ напряже-
ния— как в обычной балке кошцевшо сечения.
о т
ст.. -=------cos	к Г !с
О
т° = —— sin В кГ/см",
лЯ1х н
где М и Q— изгибающий момент и поперечная сила
в балке ьоЛпЦевою сечения от данной на-
грузки.
2 Изгибающие моменты, нормальные и поперечные си-
лы в продольном сеченьи s = co’ist и соответствующие
перемещенья — как в кольце от загаппои пюрупси,
уравновешивав мой (рис. 14.il, б) поверхностными каса-
тельными силами:
Р
q~ ~—Рт^ кГ/слР,
где Р — равнодействующая внешней нагрузки на обо-
лочку в данном сечении в кГ1с,л.
Выражения кольцевых моментов, нормальных и по-
перечных сил для нагрузок, задаваемых нроешми анали-
тическими формулами, можно ср;щ найти г. замкну юн
форме, подобной привод,.иней в табл 14.4 для трубо-
провода, наполовину заполненного жидкостью Аналогич-
ные выражения для шкоырщ др)1их нашу -,ок имеются
и в [45]. Однако в ряде случаев шпртзку не те. ообраз-
по раскладывать в кольцевом направлении в тршоио-
метрический ряд, приведенный в табл. 14 1 При -ном
все силовые факторы в продольных сечениях пуш отслои
балки (Л4А, (Г, Ар1) определяются тоже рядами, обра-
зующимися из разложения
S°= I SX	(14.15)
72—0
после замены буквы S соответствующим искомому фак-
тору обозначением (Л4, Q, AZ). В частости, этот прием
удобно применять при расчете вертикальных цилиндри-
ческих сооружений на ветровую нагрузку, распределенье
коюрой в кольцевом направлении соыасно СНиП,
задастся численно,— аэродинамическими коэффициен-
т амл с, определяющими давление па единицу поверхно-
сти оболочки.
Усилия и перемещения дополнительного состоянии
(они обозначены буквами с чертой наверху) определя-
ются по следующим формулам:
Ш 16)
В этих формулах все величины под знаками суммы
выражаются через продольное напряжение и его про-
изводные ];
Р
-y-a^sin nS);
fl
-^-^-^COSnP;
R'P, _
АУС
a.' =—--------— о,, cos нН;
PVx - . „
v = - - ————— a sin nK-
n ЕЦпЦп2—Ip xn
R4X
ixn	El-JI- {rP—Vp m
(14.17)
Полные усилия и перемещения вычисляются по форму-
лам 2:
тте. = о” ф оА. ; т — т’! у т;
Лф -- Л11; + Д , Qs =	-г- Qs;
^ = Л" + Щ	(М.18)
щ = Д cos р -ф -isfi w;
v f  sin р ф- д° -ф- v ; I
Чф -=• <(.* cos р, + ф” И фА. .	)
Здесь f и у*— прогиб и угол поворота простой бал-
ки кольцевого сечения ог ладанной ншрузки.
Значения аХп и тто производных определяются из диф-
ференциального уравнения, совпадающею по своей ма-
! При косоФИммстр 1чнои нагрузке тригонометрические думк-
цип циклически за^ечяюп ч сп$ п 0 на sin п р а ып a 1j
л os п |3.
2 При нагрузке, н-оигошнон вдоль обра р/ющещ
92
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
тематической форме с уравнением балки на упругом
основании
+ 4"Фн °лП = еп фп 	(14.19)
Здесь
а , л‘ \п' — If 1'	Д f,2^ 1)
f . C/i
<1>; - f 41',’cos Дi сф.
Последнее выражение — грузовой член — связывает
напряжение о1п и ею производные с внешней нагруз-
кой. Для нс ко < орых видов нагрузки его значения даны
в табл. 14 4.
Уравнение (14.19) решается в начальных параметрах
точно так же, как уравнение для балки па упругом
основании Искомая функция и ее производные выража-
ются через началыпле параметры в общем случае сле-
дующим образом:
Гиперболо-круговые функции, входящие в (14 20),
ш ch Фп х cos ф„ х;
1
Бл -= --- (ch фп х sin фф х ф- sh ф,; с cos фл х);
sh ф„ х sin ф,
,Dt --— (ch ф„ xsin ф„ к—sh фП xcos фл х),
4
табулированы в 5.5.6.
В качестве начальных параметров в (14.20) входят,
криле начальных значений искомой функции и ее произ-
водных, обобщенные деформации, которые связаны
с производными искомой функции п грузовым членом:
___Д’Д_______
~ ~ Z7, п- — 1) п
, .
г ДД гБ (п- — 1)" °лп '
/у4/ -
~ LI„ п- (Д — 1) Ф,! +
xtR' il
_L ————    - — Q
Через начальные параметры выражаются и
ные деформации:
(14 21)
обобщен-
(14.22)
Входящие в (14 20) и (14.22) члены с интегралом
представляют собой частные решения дифференциаль-
ною уравнения и зависят от характера нагрузки. Не-
известные начальные параметры определяются из гра-
ничных условий согласно табл. 14 5,
При нагрузке, постоянной вдоль образующей оболочки,
Ф„ =0, и решение упрощается, В табл. 146 приведены
для этого случая готовые формулы для усилий н пере-
метцений дополнительного сосюяния в зависимости от
граничных условий.
3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
93
Таблица 14 5
Граничные условия
Условия на краях оболочки	Нагрузка постоянна вдоль образующей	Нагрузка постоянна или меняет- ся вдоль образующей (общий слу- чай)
1, Жесткая за- делка края	п- (п- — 1) .. у ™ —А—	J-. ф ХП	31$J t х	н ft" = 0 хп	и» -=0;	~0 ^п ’ *хп
2. Свободный край	o'" =0; о' =0 хп	хп	G — 0; хп а' —0 хп
3 Край связан с абсолютно же- С1Л.НМ кольцом	г,	П~ (П2— 1 ) О ~0; о == —А	-Ф хп	хп nA-iх п 1	X гУ
4 Край связан с упругим иеза- тр\женным коль цом	ел в 4-	। * г	л	Г	а, а 1	н	1	г? S '	= уб +	
5. Условия на краях симметрич- ны; распределен- ная нагрузка По- стоянна вдоль об- разующей; за на- чальное принима- ет ея среднее се- чение оболочки	q' =0: </ 2=0 хп	хп	—
Имея решения для оболочки с одним защемленным,
краем, а другим свободным и для оболочки с одним за-
щемленным краем, а другим, связанным с абсолютно
жестким кольцом, можно получить все усилия в обо-
лочке, у которой один край защемлен, а другой под-
креплен упругим кольцом:
Syn.K = SCB 4- (Зж Зев) Куп.
Здесь Sya к — усилие в оболочке, имеющей упругое коль-
цо; Зя,—усилие в оболочке с жестким кольцом; Зсв —
усилие в оболочке со свободным краем;
„ - Шса
Ауп —	.	>
Щуп -|- Шсв
где шсв— перемещение свободного края оболочки;
шуп— перемещение упругого кольца от сил взаимо-
действия оболочки и абсолютно жесткого
кольца (в обоих случаях — амплитудные зна-
чения перемещений).
Приближенное определение продольного изгибающего
момента. Продольные изгибающие моменты Мх в сече-
ниях, удаленных от краев, при неосесимметричной по-
перечной нагрузке невелики и практически могут не учи-
тываться, Вблизи защемленных краев продольные из-
гибающие моменты могут определяться по формуле
Pv V
= ——тггдддщщг-- е (cos цх --sin 'qx),	(14.23)
У 12 (1 - у")
где
pv — наибольшая интенсивность поперечной нагрузки
в месте защемления й кЦсмР.
При х = 0
(см. случай 3 табл. 14,3).
14.2.7. Особые случаи нагрузок
и расчета оболочки
Расчет замкнутой тонкостенной цилиндрической обо-
лочки на дейезвие произвольной сосредоточенной нагруз-
ки, приложенной к шпангоуту, можно найти в [94]. Дей-
швие сосредоточенных и локальных нагрузок непосред-
ственно па оболочку рассмотрено в [3, 5, 6].
Оценку дополнительных напряжений в цилиндрической
оболочке вследствие начальных отклонений от правиль-
ной формы см. [96].
Расчет круговых цилиндрических оболочек с косым
срезом см, [56, 106].
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
14.3.1. Определения и основные обозначения
Рассматриваются оболочки, срединная поверхность ко-
торых в цилиндрических координатах г, Д г (рис. 14 .12)
задается уравнением r = r(z). Линии пересечения этой
поверхности с вертикальными плоскостями p = const на-
зываются в дальнейшем меридианами или образующими
Рис 14.12
(поверхность рассматриваемых оболочек может быть об-
разована вращением такой линии вокруг оси г). Линии
пересечения поверхности оболочки е горизонтальными
плоскостями д==соиь1 называются параллелями или на-
правляющими.
Основное внимание уделено расчету оболочек враще
ния по безмоментной теории при наиболее распросгра-
О'
Допочнитеи! ые усилия и перемещения
при симмефичмон поперечное нагрузке
Г а С I 1ИП 14 Ь
И
0,3’8 cos пр,
1
= 2,205 ---------
lC-pj.1
1/ — «уС-сози^,
F |Ц
3,819
Ф„ /О cos п(3,
iip
— Фп/С3 cos n(3, 4xn
[/ n" — 1
t„ = 0,838-----------—
LI
Q,„ = — 0,318 JL PP Sin np,
, _—------—’-------ф [r sinnB,
E^Rn [n1 - 1}
5,801
4 / ---------
tl , / us ф,
K'j COs n [3
)Z;1’ _ ]
Ф< pi's'll! \ И’1! I и перемещен Й U11I1! Д1Я СПММС’РПЧ Ilil гюперсч 1 I nupv 1
+1	/ AiC\ + 4DiDx \	Г 2GlCv~(Fl~2Al)Bx~(F1~~8Ci)Dx 1		( B^x — D.Ax X	k 4 + 4q’ )n
	1 л^м/^d, jn	L	26/	J/2	AiB 4" 46/D/ / n	
	/ 4/ВтЧ-4О/гг \	Г 2G>P	(-(Ei~~-2Ai) Ax- (Ft-BC^Cx I	(	-|-4D/Dx	f Ai_Bx ^ACjDx X
А3	\ -4 । 4В+Л В	L	\п		A,Rt \-4C,D )n	I 4 и4 jn
	/ Ар4г -{- 4DiBx \	Г 2GHt	+ 4(Li~~2Ai)	(В/ - 8G)	|	I BiAx + ^iCx X	( AiAx А iCx \
Аз	\ 4-i ^pt л	L	2Gr	jn		i. AtBi+KtDi )	G + 4G in
Л4	/ Арх -— ПгЛг X	1 26zDy	-	2A,RCx 1 -—-(Fi-BCRAx |	( EtDx-DPx X	/A,J)X ~CiBr\
	\ 4j + 4BzD, )п	I	In		\	h 4G/D/ /h	l, А4 t 4cc lrl
11 р и м е ч	11111 с fx=4 4 1 ‘1вхо.	’ Gv = 1	- At dJ F.=-8 (axCx + Wx)	и x —табулированы в [49	i де обоз’ В’опы соответственно
« О И <)1					
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
113. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
95
пенной на!рузке — oeecmmтричиой (симметричной и тю-
бом сечспия $ —const) FL ш-осесимметричных нагрузок
рассмотрены односторонняя снеговая и ветровая Белее
подробные сведения о расчел обо.юткк вращения по без-
мометной теории па песимметршшые нагрузки можно
найти в книге В
3.
Власова 116]; в частносш, в иен
приводятся формулы и табли-
цы, позволяющие рассчитывать
сферические и эллиптические
сад.пиши под действием силы,
лниложадиой в произвольной
точке, а также сферическую
оболочку, ограниченную двумя
щриетыикулярнымп сторонами,
под длшгвием собственного
веса.
Рассматриваются также
практические методы опреде-
ления дополнительных момент-
ных напряженных состояний,
воыинадошпх вблизи опорных
сечений оболочек (краевой эф-
фект) и, в частности, цик.Шче-
состошшй возникающих, например, при
или нескольких сопрягаемых оболочек
ских моментных
опирании одной
через кольцо иа рад равноотстоящих по окружности
колоть
Некоторые вопросы расчета оболочек вращения за пре-
делом упругости материала освещены в разделе 21,
В дальнейшем наряду с используемыми ранее обо-
аначеппями, применяются следующие (см рис, 14.12):
а — угол между нормалью к поверхнооти обо-
лочки и осью г;
а — угол широты;
1 — толщина оболочки;
₽1 — радиус кривизны меридиана (образую-
щей);
Фх—кривизна меридиана;
1?2— радиус кривизны нормального сечения
поверхности оболочки, перпендикулярно-
го меридиану в рассматриваемой точке,
йа==1Д2—соответствующая R2 кривизна;
r=/?3sin а—радиус параллели;
р — величина вектора внешней удельной на-
грузки (на единицу площади);
Рг, Р^—соответственно величина вертикальной,
нормальной и тангенциальной составляю-
щей вектора внешней нагрузки;
Qz— величина вертикальной составляющей
равнодействующей внешней нагрузки,
действующей на часть оболочки, распо-
ложенную выше сечения z = const;
Оц — меридиональное напряжение — напряже-
ние в нормальном сечении поверхности
(B = const;
A'jy-aji — меридиональное усилие;
о2—кольцевое напряжение — напряжение в
сечении (3 = const;
Аф—сгД— кольцевое усилие;
A’ls — сдвигающее усилие;
Н — распор;
Q — поперечная сила;
Al; — меридиональный момент, приходящийся
па единицу длины параллели;
ЛД — кольцевой момент — момент в слепни
Р = const па единицу длины меридиана,
Лфа—крутящий момент;
и, и, — соответственно проекции вектора переме-
щения на касательную к меридиану (по-
ложительное направление вниз), нормаль
к поверхности оболочки (положительное
направление наружу) и радиус паралле-
ли г (рпс 14 13);
О — угол поворота касательной к меридиану;
оп положителен, если увеличивает угол «;
Ej, f2 — соответственно относительные удлинения
меридиана и параллели, определяемые
формулами
И.3.2. Усилия и перемещения в оболочках
по безмоментной теории
при осесимметричной нагрузке [70]
Моменты Лф и М2 принимаются равными пулю; кро-
ме того, в силу осевой симметрии нагрузки Л/и = 0 Уси-
лия Л, и ,М определяю!ся из системы уравнений:
Q2 Лф , N.,
2nrsina ’ R, т
(U.24)
Здесь первое уравнение выражает условие равнове-
сия (Зс = 0) части обоючки, лежащей выше рассмат-
риваемого сечения г = сопз1. Второе уравнение (уравне-
ние Лапласа) есть условие равновесия элемента оболоч-
ки (сумма проекций всех сил, приложенных к элементу,
па ютрма.ть к срединной поверхности оболочки равна
пулю)
Величина Qz в общем случае определяется по фор-
муле
Q2 = J pz2nr у l+f“) dz. (14 24а)
Для сферической оболочки с радиусом R
а
Qz =- 2лД2 ( рг sin a d а.
о
Для прямой конической оболочки (рис 14 14)
(г
фг =- 2 л cos а ] рг Idl.
0
Для сферической оболочки Д1 = У2~;Д, второе урав-
нение (14,24) принимает вид У;-|-А/2 = р2У.
Для конической и цилиндрической оболочек ф[ = оо
и Дф=.рв^2.
Перемещения (рис 14.13) рассматриваемых оболочек
определяются следующими формулами:
•л 4- w	dw
---------шг ~ р.,Д, sin «; w — -------------.
“ "	da
Здесь величина и определяется:
для сферических оболочек из уравнения
и’ — и cfg а = — (Лф—Аф)(1 ф- V);
(14 25)
(14.26)
96
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
ДЛ!1 конических оболочек (см, рис. 14.14)
1 (' N1 — viV„
w=-------- —2------------
L ,) t
и
где С—постоянная интегрирования, определяемая гра-
ничными условиями
Так как в копнческпх оболочках перемещения вдоль
Сг = 2лЯ
1де До—вес на
Й1 — <о же,
(14.27)
О
Рис. 14 17
—cos «)-(-
So St .	,]
--------(1 4~ sin а — cos а) ,
единицу площади в
в
Л/1
ключе;
Qg
2nr sin а
пяте;
14.3.3. Безмоментные сферические оболочки
при вертикальной осесимметричной
нагрузке [70]
Ns = R & +
So — Si \
-------а । cos а —
ав )
_ etg «
2лД sin а
Ng
(14.31)
а) Равномерная нагрузка на горизонтальную проек-
цию оболочки (рис. 14.15) интенсивпощью рг кГ/см2.
л\ =- рг д Ay = р? Rcos Ж
1
распор Я= —- р.Дсоза.
(14.28)
Нулевая точка (Дг = 0) при а —45°
Для незамкнутон оболочки (рис 1116):
Если толщина оболочки постоянная
Q_z = 2лД2^ (1 — cos а);
R.S
Ni = —--------; N2 = Rg cos а — Ng
1 Д cos а
д °rctga
2лД sin а
(д.=До==Д), то
1
(14.32)
0=----
ft
sin- а-Д
sin*1 а / ’
1 sin2 од
д; п /у CUS2 а ~ — 4. —----------------
\	2 sin2 а
1	/	sin2 од)
fj — ,, р cos а 1 — .--------------- .
2	л	\	sin2 а /

sin a cos од-
R sin а
wr -= —jj- (ЛД -• vNt).
б) Нагрузка от собственного веса (рис.
па оболочки меняется по закону
I
«о
I
1
(14.29)
(14.30)
14 17). Толщи-
Нулевая точка (ЛД — О) при а = 51°49'.
Для оболочки в виде сферического пояса
толщины (обозначение од см. на рис. 14.16):
Q, = 2nR-g (cos од — cos а);
Rg ,
=  ---— (cos а,—cos а);
sin2 а
==/?£-АД;
.Rgcosa
д	——-------/cos а — cos а) _
sin2 а
N
ПОСТОЯННОЙ
1
(11.33)
Перемещения для рассмотренных оболочек
ной толщины:
/ 1
12 1 ——

пос гояи-
w =
1
sin а;
(14.34)
R sin а
Et
1
14,3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
97
в)	Нагрузка жидкостью (рпс. 14.18) Объемный вес
жидкости у, высей а жидкости над вершиной купола и
(рис. 14 18); шпенсивность нагрузки
р-, -= у (а + z) = у [а + R (1 — cos а)ф j
Рг ~ Т 1а "К R 0—cos a)] cos а; ।	(14,35)
Pi - О,	J
Усилия:
Г	2	) 1
Qz = яуД2 (a -i~ R) sin2 a R-—R (cos3 а — 1) .
L	з	j
yR Г , r 2R (1 — cos3 а) ]
А1 =-----a R- R —--------------------;
2 L	8 sin-а j	(14.36)
Г 1	/I — cos3 а	VI
N о = уД — (л + R) 4 R---------------— cosa ;
[ 2	\ jsin-a	jJ
Н = Ni cos a.
yR
При u = 0 A'i (a=i>) ~ ^2 (a=O) “	,, °-
Pnc. 14.18
Для оболочки в виде сферического пояса (обозначе-
ние а, и ci по рис. 14.16; высота а на рис. 14.18 может
быть 04рпца|СЛ1>на, ио всегда ос —Zj):
( 1
ф2 =- 2луД2 — (а + R)(siп2 a — sin2 op) ф-
ф- _.	(cos3 a — cos3 ajj j .
yR Г 1
Лф =---------— (a + R)(sin a —
sin2 a 2
— sin2 ay) ф- — R (cos3 a — cos3 op)]
Лф = yR [a + R (1 —- cosa)J — Лф;
H = Лф cos a.
Перемещения определяются по формулам, одинаковым
для оболочек типа сферического сегмента и оболочек ти-
па шарового пояса:
yR2	R sin a
О » —- sin a; wr — -——— (Аф — тЛф) •	(14.38)
Для оболочки, находящейся под внутренним давлением
столба жидкости высотой а, выведенные формулы со-
храняют силу при перемене знака на обратный (у опре-
деляемых величин).
г)	Нагрузка в виде постоянного внешнего давления:
Рг -- P-о cos a -- Р cos a-
Для оболочки типа сферического сегмента:
Q2 = рлД3 sin2 a;
л,- рК н pR
ж = N о = ------- ; л = -— cos a.
2	2
(14,39)
Для оболочки типа сферического пояса (обозначение
а, по рис. 14.16):
Qz — TtRRp (sin2 а — sin2 ay); 1
pR. / sin2 op
Лф —	1
2 \ sm~a
Л 2 —- o	. >
2 \ sm- a
„ P-R /, sin2 op
и = -—- cos a  1 — —-—
2	\ sin2 a
Перемещения:
(14.40)
„	R sin a
e = 0'wr = —~— (Аф — мЛф). (14.41)
д)	Оболочка в виде сферического пояса под вертикаль-
ной нагрузкой (обозначение ср по рис. 14 16), распреде-
ленной вдоль контура меньшего основания с интенсив-
ностью р (единица силы/единица длины);
<Зг = 2лД sin агр = 2лгр;
sin a,	sin а,
Ni = р	—. Ni =_ р	.
Sin2 a	Sin2 GS
sinai cos а
п = р ----------------=
sin2 а
(14.42)
14.3.4. Оболочки вращения под действием
равномерно распределенного
нормального давления [16]
Рассматриваются в основном оболочки, образующая
(14.37)
является кривой второго порядка
(эллипс, парабола, гипербола).
При направлении оси z, показан-
ном на рис. 14.19, нормальные си-
лы в таких оболочках, загружен-
ных нормальным давлением рв —
= д —const, определяются приво-
димыми далее формулами.
а) В эллиптической оболочке
(уравнение образующей
а'2
Г2 ^Ьг — г2),
Рис. 14.19
где a, b—полуоси эллипса)
/V1	р	+ а2 (] „ р2)Ъ
а
=— р ——-----------— X
2 Z 26(1 Ф-1Д
v 2	+ 2,2 П — P2d — (] +
У 462р2 V а2 (1 — р2)2
(14.43)
7—26
98
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
гдер="|/ •	(14.44)
При г = 0 (р = 0) и г = 2Ь (о =оо)
аа
Л'-< = Л-., —— р —
1	3	2Ь‘
При г = Ь ((> = 1)
а	а (2Ь- — а2)
Мг	N3 =--- р	.
б) В сферической оболочке (a = b — R)
R
— р .	(14.45)
При 2 -= С (р = 1)
рс Уз
1
N.2~
2 V 3
д) В горообразной оболочке (рис 14 20)
(14.48)
в) В оболочке вида нижней полости двухполостного
гиперболоида вращения с образующей
as
г2 ~ (2Ьг + г2);
а 1Г4б3р2 + О3П +р2)2
Большое количество формул для расчета оболочек вра-
щения см {68].
Рис. 14.20
2 [4Ь2ра + аа (1 + Ра)21 — а3П — Р2)3
(1 “ Р2) /Sv+^oTp3?2
где р=~|/
При г =- 0 (р = 0)
N^NS^P^.
/ 1 \
При г ~ Ь I р ~ ——
\ Кз /
14.3.5. Расчет оболочек вращения
по безмоментной теории
на несимметричную нагрузку [37]
Снеговая нагрузка (рис, 14.21). Расчет сферической
оболочки на вертикальную нагрузку типа снеговой при
одностороннем загружении снегом производится по фор-
мулам:
нормальная составляющая снеговой нагрузки
Ри = 0,4р2 (1 + sin a-sinif), (14 49)
Лф = р -~р К3&2 + 4а--
а 6Ь- + 7а2
N3 = р — • ——------— .
26 Кзй2 + 4 а3
При г — со (р = 1)
Л\ = Na = ОО.
г) В параболической оболочке вращения
образующей гг = 2сг)
N1 = P — УТ+УУ
с 1 + 4р2
Л , ~ р--—---------- ,
2 У 1 + 2,о2
г УТ ,/т
Где т°
При г — 0 (р = 0)
где рг — нагрузка на единицу площади горизонтальной
проекции поверхности оболочки;
соответствующие усилия
Г 1 cos а
Л'т^О.4/^ T + ?;-^(2 4-cosa)X
1
(уравнение
(14.47)
cos-a)2 sin ф ;
( 1 Г
Л’а == 0,4рг /? < — + sin а —
cos а
щ— (2 + cos а) (1 — cos а):
3 sin-’ а
„	0,4рг₽
12	3
(2 + cos а) (1 — cos а)3
.---------------------cos .
sin3 а
(14.50)
14 3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
99
Ветровая нагрузка на оболочку вращения прини-
мается нормальной к ее поверхности и определяется сог-
ласно [37], т. е. как произведение скоростного напора q
на эпюру аэродинамических коэффициентов Св=0,5 sin2a
(0,85з1пф—0,15 sin Зф)—cos-Д (рис. 14.22). Норма-
тивные н расчетные значения скоростного напора ветра
определяются в соответствии с указаниями СНиП.
Можно также пользоваться упрощенной формулой:
р = рв sin a sin ф,
(14.51)
где р0 — давление ветра на вертикальную площадку,
перпендикулярную его направлению (при а =
= Ф = 90°).
Меридиональные и сдвигающие усилия АД и NK нахо-
дятся из условий равновесия сегмента оболочки, отсе-
каемого параллелью, проходящей через точку, в которой
определяются усилия; они имеют значения:
М 51пф
лг2 sin а
is —
---------cos ф.
лг" tg а )
(14.52)
Здесь И— равнодействующая ветровой нагрузки, при-
ложенной к сегменту оболочки; М— момент этой нагруз-
ки относительно диаметра отсекающей параллели, пер-
пендикулярного направлению ветра. При очертании ме-
ридиана, заданного уравнением r = r(z):
К
Н = лр0 ] г sin adz-,
u
Л
Л1 — Hh — лрй ] (rz sin « г2 cos a) dz,
о
(14,53)
где h — высота сегмента; координата г отсчитывается
сверху вниз (см. рис. 14 19).
После определения АД кольцевое усилие опреде-
ляется из уравнения Лапласа (14.24).
Для полусферы величины усилий определяются по
[25, табл. 15, стр. 115]. Если закон изменения нагрузки
7*
задается согласно (1451), то усилия определяются ио
формулам:
cos а Г 2
A'l = PoR ——~ — — cos а -к
sitf a L i
1 1
j_ __ ссвз а sin,|;.
[	cos a I 2
'"a = Po S sin « — — -—' —* —- cos a +
[_	sin- a \ 3
(14.54)
,,	R I 2
A'i2 = Po	~ — cos а +
sm3 a \ 3
-]~ — cos3 a cos ф
пли же по таблице Дпшипгера [33, стр. 49]
а	+Ni	—N>,	X'12
0		0,0000	0,0000
10°	0413	1334	0419
20а	0840	2580	0894
30°	1187	3913	1371
40°	1455	4973	1900
50°	1615	6043	2510
60°	1605	7 OSS	3210
70°	1409	7958	4 (23
80°	0909	8943	5200
90°	ООО!)	1,0000	Обо”
				
Л‘1—A\ р, R sin ij-	N,~N^p, R sin ip, jVj2 — A'jnp		К <. os Ц-
14.3.6, Учет изгибающих моментов [41]
Около мест прикрепления оболочки к опорному кольцу
возникают изгибающие моменты (краевой эффект), ко-
торые быстро затухают по мере удаления сечения от
края.
Эти моменты и их влияние па нормальные п попереч-
ные силы (которые надо предварительно определить по
безмоментной теории) при осесимметричной нагрузке
приближенно учитываются следующим образом.
Вычисляется коэффициент затухания.
,/3(1— V2)
й=Д11/ -—-у-,	(14.55)
F 7Д Г
который при переменной кривизне является переменным.
Для сферической оболочки
k = iZу- У	(14.56)
Усилия, моменты и угол поворота касательной к ме-
ридиану определяются по формулам:
100
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
Лф = ~— ctg аСе ta cos (kas -1- 6);
4 .Rg
, = JLLEkL. kCe-k^ sin [kb3 4- 5 4---4 ;
4^	'	* 1
Q = ---- G?~*“cos (kw 4- 6);
X (ka + 6).
(14.57)
Здесь А'к — кольцевое усилие в оболочке в зоне, непо-
средственно примыкающей к кольцу, определяемое по
безмомеитной теории.
Величина 6 зависит от условий связи оболочки с коль-
цом. при полной заделке 6 = 0, а при шарнирном соеди-
нении 6 = п/4. При указанных значениях 6 формулы
(14,58) значительно упрощаются. По ним легко могут
быть определены усилия, моменты и углы поворота при
любых значениях параметров а и со, в частности в месте
сопряжения оболочки с абсолютно жестким кольцом
(ш=0 и а = а0— см. рис. 14.12)
Задача определения краевого эффекта в оболочке, со-
прягаемой с кольцом конечной жесткости или с другой
оболочкой вращения при осесиммегрнчиои нагрузке яв-
ляйся частным случаем задач, рассмотренных ниже и
может быть решена ио формулам, приведенным в 14 4
14.4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ)
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ,
СОПРЯГАЕМЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
Эти формулы выведены для постоянного k, ио с извест-
ной точностью ими можно пользоваться и при перемен-
ном k. Угол широты w отсчитывается от нижнего края
до того сечения, где определяются усилия (см. рис. 14.12).
Постоянные интегрирования С и б определяются из ус-
ловий прикрепления оболочки к кольцу.
При абсолютно жестком кольце формулы (14.57) при-
обретают вид
14.4.1. Выделение циклического воздействия
и его распределение. Общий порядок расчета
Когда одна или несколько монолитно связанных обо-
лочек вращения опираются через бортовое или объеди-
няющее их кольцо на ряд
________Pi ctg «
]/г (?2festn fe
1
г k(a cos (few 4~ S);
g—Aw
/V 2 = Л' к	t
sin <
sin I few + 6 + “1 >
Ri
Q =	__
У 2 R,k sin | 6 + —
X e—to cos (few -J- 6);
(14.58)
равноотстоящих по окружно-
сти колонн (рис. 14.23) или
поддерживают стойки фона-
ря, радиальные ребра, стяж-
ки и т. п„ их напряженное
состояние можно разложить
на осесимметричное состоя-
ние и циклическое состояние.
Для выделения осесиммет-
ричного состояния следует
рассмотреть действие осе-
симметричной нагрузки сов-
местно с уравновешивающей
ее реакцией, принимаемой
также за осесимметричную,
г. е, равномерно распреде-
ленную ио осевой линии
кольца. Для выделения цик-
лического состояния надо
рассмотреть действие проти-
M, = —NK
2P,2k2 sin
' ka cos (few 4- <5 -J- — ;
\	i
Et3 ctg a
M	. _щ_ 0 4. vM
12 (1 — v2) R,
XSV~2~
e= ,vK
EtPx sin ( 6 4- —-
\	4 ,
X sin (few 4- 6).
воположно направленного давления, равномерно распре-
деленного по осевой линии кольца, совместно с урав-
новешивающими его реакциями колонн (рис. 14.23).
Основная трудность при расчете оболочек на цикли-
ческое воздействие — в его распределении, т. е. в опре-
делении контактных усилий между сопрягаемыми элемен-
тами (кольцом и оболочками). Эта задача решается раз-
ложением циклического воздействия в тригонометриче-
ский ряд, число воли в гармониках которого п кратно
числу колонн п0 (п = п0, 2п0, Зио, --) Каждый член та-
кого ряда вызывает в рассматриваемых оболочках
и в кольце независимые от других членов ряда гармо-
нические циклические состояния, при которых усилия
и перемещения в кольцевом направлении изменяются
пропорционально cos/ф или sinn(3, где (3 — угол широты.
Число членов ряда, которые необходимо учитывать при
практических расчетах, зависит от числа колонн и отно-
шения жесткостей кольца и оболочек, С ростом а одно-
101
14 4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
..........—--- - •;..... ...1.—............. ...:п.. ....................  -т----------
сительиая жесткость кольца увеличивается, поэтому мож-
но принять, что гармоники циклической нагрузки с чис-
лом волн больше некоторого п воспринимаются только
кольцом. При достаточно жестком кольце можно при
расчете оболочек ограничиться первым членом ряда
(n = «o).
Ниже под циклическим состоянием подразумевается
гармоническое состояние с произвольным числом волн п.
Поскольку для такого состояния закон изменения уси-
Для унификации размерностей символами У) и Z2
(Х!2, R!2, R2, Р2) обозначены углы поворота (моменты),
умноженные (разделенные) на соответствующие радиусы
rj или г0.
Связь между перемещениями и усилиями Z; и RI, с од-
ной стороны, и У! и XI, с другой, вытекает из их опре-
деления и геометрии сопряжения оболочки с кольцом:
И = [я] И N 
И = [<[< И 
(14.59)
(14.60)
где матрицы и [/ф определяются параметрами,
указанными на рис. 14.24:
лий и перемещений в кольцевом направлении известен,
задача сводится к отысканию лишь их амплитудных зна-
чений.
Для сокращения записи дальнейшее изложение ведет-
ся в матричной форме что потребовало использования
следующих обозначений:
j— порядковые номера сопрягаемых элементов
(у’ = 0 относится к кольцу; /= 1, 2... —- к обо-
лочкам);
i, k~ 1, 2, 3, 4 —индексы направлений переме-
щений и усилий; 1— нормальное к средин-
ной поверхности (для оболочки) или ради-
альное (для кольца); 2— вращательное
в меридиональной плоскости (для углов по-
ворота и моментов); 3 — меридиональное
(для оболочки) или осевое (для кольца);
4 — касательное к параллели (тангенциаль-
ное);
гв—радиус осевой линии кольца;
Д— радиус линии контакта срединной поверх-
ности /-Й оболочки с кольцом (рис. 14.24);
Z; и У1— амплитудные значения перемещений точек
осевой линии кольца и линий контакта сре-
динной поверхности у'-й оболочки с кольцом;
R[ и X!—амплитудные значения контактных усилий,
действующих между кольцом и у-й оболоч-
кой, заданные соответственно в координат-
ных направлениях кольца и оболочки;
Pi и 7?j— амплитудные значения внешней цикличе-
ской нагрузки, приведенной к осевой линии
кольца и нагрузки, действующей на изоли-
рованное кольцо.
1 Матричные символы:	|[ — прямоугольная матрица; [ ] —
квадратная матрица. ( } — матрица-столбец (вектор); *— знак
транспонирования матрицы.
Кроме того, для каждого изолированного элемента
(оболочки или кольца) между усилиями и перемещения-
ми может быть установлена связь вида
И==17У!у0
КЫ'УКЬ (14.62)
где [ф] (у = 0, 1,...)—матрицы единичных реакций, оп-
ределяемые формулами из 14.4.2 и 14.4.4.
Из приведенных соотношений ясно, что если перемеще-
ния кольца Z,- известны, остальные факторы находятся
весьма просто: У1 из (14,59), X! из (14.61). Для опреде-
ления Zi используется уравнение (14.62) вместе с очевид-
ным соотношением:
= N - s И) 
(14.63)
Замена {Д1} в (14.63) выражением (14.60) приводит
на основании (14.62) к системе канонических уравнений
метода перемещений относительно неизвестных Z,:
trik\*{Zi\ = (ЛЬ	(14-64)
где
Ы’ЧФ 2 [<[<[>»
у=1, 2,...
(14.65)
После вычисления контактных усилий изменение на-
пряженного состояния каждой из сопрягаемых оболочек
в меридиональном направлении может быть определено
по формулам (14.4.3). '
102
.РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
14.4.2. Единичные (краевые) реакции
оболочек
Дополнительные обозначения*
---------- £/2	£/3
Х=У 12(1—V2) ; B^-Et-
л	X
гы =	п“ (4Гц	+ 4ц),	гд8 ~	4)	п2 Ги,
ri2 =	п (4Гц>	412);	г34 —	Л;	п" Гз,;
/"аз = .43 (4Г32 +	432);	гм ==	/ц	п- Г33;	(14.66)
Дз =	п~ d^'	п°
г за = 4а nd23;	г„л = А3 nd„A.
Здесь:
жесткости;
г
и - —отношение главных кривизн (х=0 для ко-
bRi
иической и %—1 для сферической обо-
лочки);
Ьг
р=----- — приведенный радиус;
4 — Г33 Г44“ гзФ
413 = Г34 Г14—Г44 Гщ; 4ц = Г14 dti—Гц 413;
4ц — Гзз Ги — Г34 Г1э; d13 = Гм424 — Tjg 423 =
= Г24 413 — Г2з dis't
42з — Г34 Г24 — Г44 Газ;
4й4= Г33 Г24 — Г34 Г231 422 = Г24 d^ — Г23 di3.
(14.67)
щ ™ дф + у 1Д-1 ; ду —	ф*1 Н~ 1;
z—	п
т„ = ]/ 2ф = — ;
s
для переменных величин вводится значение на линии
сопряжения с кольцом.
Для каждой из сопрягаемых оболочек элементы мат-
рицы [r-f, ] определяются по следующим формулам (ин-
декс / далее опускается):
Для г,* справедливы условия взаимности г^ — гщ и,
кроме того, дополнительные тождества: а) для кониче-
ской оболочки Гзз = Д|4; б) для сферической оболочки
гзз = г44; Г)з = —г]4; Г23=—Гц-
Выражения входящих в (14.66) — (14.67) коэффициен-
тов Г,* приводятся ниже для оболочек, замкнутых в по-
люсе или образующих пояс, достаточно широкий, чтобы
пренебречь взаимным влиянием условий на отдаленных
краях. Формулы приближенные, порядок их погрешности
1 : п2. Для оболочек, отличных от конической и сфериче-
ской, для упрощения опущены также члены порядка
а : п.*
41 Более полные данные см. {54].
Таблица 14.7
ik	а№	vifl	Ik	alk	hk
11,22	т	Коничес 1 —g _ 1 + V	<ая обо 13	кочка 1	2 -4- jp
33Р44	т	1 £? + ) «	24	т 1	2^3 k1
12 34 И, J2	1 4- т —	 п S 1 — V 	.		 п 3 т.\ -J- т.	2s	s m	1 — k “Г ”— n	4n m	1 — k - । n	An Сферичес 1 + V C—	14 23 кая обо 12	т п 0 почка	2'1js 4mn 1 + & 4mn m.	1 	
33,44	т1 + т2	s ?1_1+г+дд>	34	— vm,	n	s . m\ 1 J V» + —— -1		
13,14	-Т-+ — 772^	772^	8	П ъ + — фз	23,24	1 т,	n	s Ъ
Здесь: V;
3 4" 2<pJ <— пъ (\
1 тх J
144. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
103
Таблица 14 8
Тип обо- лочки	tk	a'ik	4		ъ
						11				1
	12	1 v		> 	n
Сферичес-	22	2	- (1 + T)		n2
кая и ко-	33	2	L — V		
ническая	34	1 — V	2	1	'°i	1 (3—v) (1-Щ)
	44	2	1 — V		J
	13	4—8v		s	в,ь	
	14	144 4V	3 — 5v	J	3rn	
Коничес-					(3-v)(Hv)
кая	23	2— Lv	3 — v		
	24	4	3 — v	/	3rrr	
	13	—. 3	.9	)	B.b	
	14	3	2	J	L?/2	
Сфери-				в b	3—v
ческая	23	— 1	—2		
	24	1		)	2r;z-	
а) Коническая и сферическая оболочки:
Значения коэффициентов
Таблица 14.9
Значения ф		Уровень	: погрешности	!
для конической оболочки	для сферической оболочки	
>5	>9	<0,01
>4	>7	<0,02
>3	>5	<о,оз
Относительная погрешность при этом оценивается с по-
мощью табл. 14.9.
б) Круглая и кольцевая пластинки. Формула (14.69)
и табл. 14.8 в предельном случае 6 = 0, а== — 1 дают точ-
ные значения г,ь для круглой пластинки, а также при-
ближенные значения для достаточно широкой кольце-
вой пластинки, нагруженной по наружному краю. Пре-
дельный случай 6 = 0, а=ф-1 также соответствует коль-
цевой пластинке, но нагруженной по внутреннему краю.
В обоих случаях г — радиус нагруженного края,
в) Оболочки вращения других очертаний. Исходя из
г
отношения главных кривизн % — —— на контуре оболоч-
ки (табл. 14.10), определяются вспомогательные вели-
чины:
; atk h afiik
(14 68)
приведены в табл. 14.7.
При достаточно больших значениях параметра *ф мож-
но, минуя определение Г,л, определить непосредственно
значения
^ = Бт(а« + а₽У-
б] =2ф(рг+ 1);	?! = 1 + 2фца,
приведенные в табл 14 8.
после чего находятся входящие а (14.66), (14 67) выра-
жения {14 71):
Таблица 14 10
Тип оболочки вращения	Уравнение меридиана	Екпомогагельиыг. параметры	
Эллипсоид	Р	q-	— - !- — р*	Q*	1 q2 а
Двуполостный гиперболоид	Р	Н. Р‘	Q1		q-d
Однополостный гиперболоид	-й_ - X. = ! р-		__ 1 q^ d
Параболоид	ГР-М = с (р + 1) г	Г.Р	S ф ф*1
Тороидальная 1	г = К «f-2*	— я/	
,	2 Катеноид (антисфера)	т ~~ с сй с 1 Л — расстояние от оси оболочки до центра кривизны меридиана.		—	
104
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
14.4.3.	Изменение усилий вдоль меридиана
каждой оболочки
Нормальные и касательные усилия определяются через
функцию
Ф (a.) ==с4Д (а) — с2/, (п) +с3 f3 (а.) Д с4 Д(а) (14.72)
и ее производные по а по формулам:
1
— -- (аф' — л2 Ф);
г
(ф"ф-аф'—	Ф); .	(14.73)
АД = — пФ'.
г
Изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы
определяются через аналогичную функцию
й? (а) =с2Д (а) Д-Сз Д (а) -4- f3 (а) — с3^ (а)	(14.74)
и ее производные по а по формулам:
Mi =	[17'' + (1 + v) aW — vn1 W];
V
Л1„ = [vft7" + (1 + v) aW' — rfi ft7];
V
Л412 =------(1 — -v) nW';
Q	(W"" Д. aW" — n- ft7' — on7 ft7);
V-
tn
q2 -------+ 2aW' - Л2 W).
Определение постоянных Ci, аргумента а и функций
f, (а) излагается далее.
С удалением от граничной параллели усилия цикличе-
ского состояния имеют тенденцию к затуханию. Затуха-
ние может начаться непосредственно от границы или для
части усилий ему может предшествовать некоторое воз-
растание по сравнению со значением на границе. Для
практических целей достаточно установить начало зату-
хания и оценить его интенсивность. В связи с этим вы-
ражения fi и правила их дифференцирования определя-
ются здесь лишь приближенно.
а) Определение постоянных с,. Постоянные с, связаны
с краевыми перемещениями У;, У2 и усилиями А'ь Х2 че-
рез параметры од L, следующим образом:
(14.76)
(14.77)
[ Ф* ]	j	iS32 633 634
I. 04 J	I	642 643 644
ir
4
7-3
L-i
(14.78)
Значения 6щ зависят от типа оболочки. Для кониче-
ской н сферической оболочки значения
«м = 4 + -7'^	(14'79)
приведены в табл. 14.11.
Для оболочек других типов дополнительно к форму-
лам (14.70) — (14.71) определяются вспомогательные ве-
личины:
б) Определение аргумента а. Аргумент а, (безразмер-
ный) определяет положение точки на меридиане. В об-
(14.75)
(14.80)
(14.81)
щем случае
(14.82)
14 4, ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ	105
Таблица 14. И
			
i Ik		’'ik	Обозначения
I			Коническая оболочка
31		—1 + Pl — р.	
33		-А, - Р>	
			т3 1	тэ 4- I	_	1 — k2 п	k3
33	—а	—Pi — 3.1	а, = —-— : а,	—X—., р, =,	 g, = _А_ _
34	1	-3« + 3.1 4 3.,	2т	‘2т	4	16ф
	41	.,	QT	1 — 3, — р..	
			1 4- k	о 1 — /г	т2 + 1	т- — 1
42	1	Эр — 3*	
			4m	4	4фт	4фт
43			”3, т- Рз	
41	1	-3- - 3, + 3,	
			Сферическая оболочка
31	m2 аг	--31 3,	
32	tZj	”3. Зи	
33	—а, с/.	— 31 04 Г7?.->	
34	а2	т- 3. 3.		1	о	а3	n	2>”i — w-2 (Xi — = m, 4- i-n^;	= •— ; pj—	; p2 = 			 j тг	2g	m-i
41	—tZj а,	”31 3; У	
			q =sa	4“ “L“IJ IJ j	3=3 “h
42	—сс.	_р, р. 2	«h	ЧЖ
43	т2»!	—31	
44		3. р; —	i	
		т2	i	
Таблица Н.12
Тип оболочки
a	Тип оболочки
Цилиндрическая
Коническая
Катеноид вращения
(антисферплеская)
Сферическая
Параболоид вращения
степени р-Н
Эллипсоид вращения
вы тянутый
То же, сплюснутый
Г иперболоид вращения
однополостный
То же, двухполостный
Тороидальная
L — ]Ч* arc tg Ч" а]®
L + [Ч- Ar th 4'a]g
L Ж П' Аг с th Ч-
Обозначения (см, ыкже табл, 14 10): 4
— ; / полюсное расстояние;
7
У /_Д. + _1иТ
L“in’ ----; [ ]“ = [ |и - ! ]0.
1д (_Д + _Ц
(индекс а, относится к исследуемой точке, индекс 0 —
к граничной параллели).
В табл, 14,12 приведены выражения а для оболочек
различных типов.
У сферической оболочки а можно определять по
табл. 14.13, содержащей рачности Аа = а(у)—а(у—В)
при изменении у от 1’ до 90° (в табл. 14.13 у —<р+й).
У параболоида вращения второй степени (р=1) а
можно определять по табл. 14.14, в которой приведены
значения переменных геометрических параметров поверх-
ности, в том числе разностей Аа при различных значени-
т
ях отношения <р = ~~~ < 3.
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
106
Таблица 14.53
ф	8					
	0°	15“	30“	45“	60°	73“
0°	175	181	203	249	35-1	697
1°	175	182	205	253	366	748
	175	183	.207	258	378	807
3°	175	184	209	263	391	876
4°	175	185	212	269	405	959
5°	175	186	214	274	421	11)58
6°	176	187	217	280	438	1182
7°	176	189	220	287	436	1339
8°	176	190	223	293	47 6	1545
9°	177	192	226	301	199	1826
10° 11°	178	193	230	308	523	2234
т 90	178	195	233	316	550	2878
13°	179	197	237	325	580	4056
14°	180	198	241	334	6X5	6932
	180	201	245	344	653	Q-J
ГГ р я м е ч а Щ“4.	и и е.	"абличн	ie зи а*	ения у	множат	на
Т а б л и и а 14.14
г Ф -= —•	ь	а	X	Дсх
3,0	~Г 0,9487	0,3162	~Б 0,1000	0,211
2,8	9417	3363	1131	
2,6	9333	3590	1289	
2,4	9231	3846	1479	
9 О	9104	4138	1712	218
2,6	8944	4472.	21)00	
1,Я	8742	4856	2358	
1,6	8480	5300	2809	
1,4	8138	5^12	3378	241
1,2	7682	6402	4098	
1,0	7071	7071	□ООО	300
0,8	6247	7809	6098	
0,6	5115	8575	7353	350
0,4	.1714	9285	8621	453
0,2	1961	9806	9616	72,1
0,0	0000	1,0000	1,0000	
Значения а, определяются путем сложения значений
Да нарастающим итогом от граничной параллели до рас-
сматриваемой.
Значение а и Ь см. рис. 14.24.
в) Определение функций /у (а) и их производных.
Функции ]’,(а) — затухающие:
6 = е (а) cos р2 (а); /3 = е р"(а) cos/ц (а); 1 (ц83)
= е^Р1<а) sin р2 (а);	= e~~'p=(a) sjn	j
В первом приближении можно положить р,(а)==
= sita,, приняв Ьг по табл. 14.15,
Производные от функций /, линейно связаны с теми же
самыми функциями, В первом приближении
f'l = — s (&i b + Ьч AA
f-2 = — s (i-j. 6 — C
h- - 4b3 b + A Aj;
4 = -s {ba ft ~ bt AA
(14.83a)
Табл и u a 11.15
ф.	Ко(шческая оболочка	Сферическая оболочка	Другие типы оболочек
	т -6 1		ПЛГ.',!
			
	2		2
6 О	т ~ I	1	Г22 + Г24
	2/п		
	т — 1	п	Г.„- г14
		т. — ——	
ь.	.2	S	2
	т — 1		^22	^24
Ь-,		0	
	2т		
14.4.4.	Кольцо, Единичные реакции
и внутренние усилия
Формулы относятся к случаю кольца нетонкостенного
профиля; одна из главных центральных осей инерции се-
чения предполагается лежащей в плоскости осевой ли-
нии кольца.
Обозначения:
EF л	л EJ*
2 ’ А1~~	4	; As~- 4 ;
го	го	го
О/к
г0

жесткости, отнесенные к радиусу осевой линии (при
продольной деформации, при изгибе в плоскости осевой
линии, при изгибе около этой плоскости и при кручении).
Единичные реакции определяются по формулам:
гц —= Ав (п-	I)2 Ар, г22 — Л2 4- п2 Лк,
ги = пАр,	ip3 = nA А„ ф- п" Лк,
г44 = и2 Лц	гэз = гг4 Л2 4- и2 Ак;
(14.84)
г12 — г18 — г-24 — г34 — 0.
Продольные силы, изгибающие и крутящие моменты
и полеречные силы в сечениях кольца определяются че-
рез Z,:
Л = [Ад — (п2—1) .41] Гд Zi nA0r0Zp,
= (я3 ~ 1) A r0Zp
А2 ф., + n2Z3);
z/ = n.V3(za + zA
п.	п	1
Qi — All; Q* = — 44= + — W,
И	Гд	Гд
(14.85)
14.5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
14.5.1.	Определение, формы срединной
поверхности и граничные условия
Оболочка, имеющая небольшой подъем, называется
пологой. По В. 3. Власову, к пологим относятся обо-
лочки со стрелой подъема, не превышающей 7S иаи-
14.0. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
107
меньшего размера опорного плана. Это простое опреде-
ление требует уточнения. Обозначим уравнение средин-
ной поверхности пологой оболочки до нагружения
(рис. 14.25) через z = Eo(;c, у). Для пологой оболочки
должно соблюдаться условие; в любой точке срединной
d/’o dFv
поверхности частные производные —долж-
ны быть величинами первого порядка малости, так что
их квадратами при вычислении кривизн поверхности
Рис. 14.25
Рис. 14.26
Рис, 14.27
можно пренебречь. Иными словами, для пологой обо-
лочки характерно, чю в любой точке кривизны и круче-
ние поверхности можно отождествлять со значениями
вторых производных, т. е. определять по формулам:
.	h	ь d"Fo
Rx~- дх> :	ду* ху~~ дхду-
(14.86)
Если это условие не соблюдается хотя бы в одной
точке, то оболочка перестает быть пологой.
Например оболочка, изображенная на рис. 14.26, не яв-
f« , 1
ляется пологом, несмотря на то, что у нее ~ <.	,
I 5
так как в средней части при вычислении кривизн нельзя
пользоваться формулами (14.86). Из этого определения
пологой оболочки следует, что линейный элемент ее
срединной поверхности ds можно считать равным
ds— ) ДД-р-ДД; это означает, что метрика срединной
поверхности пологой оболочки приблизительно совпа-
дает с метрикой плоскости. Такое допущение положено
в основу технической теории пологих оболочек. Поло-
гие оболочки могуг быть любой гауссовой кривизны:
положительной, нулевой и отрицательной. Вследствие
пологости срединной поверхности разница между теми
или иными поверхностями одного гнпа кривизны несуще-
ственна. Г. конструктивной точки зрения наиболее при-
емлемы поверхности переноса (например, для оболочек
положительной кривизны эллиптический параболоид,
круговая поверхность переноса). Кроме того, могут
быть использованы сфера, эллипсоид вращения и дру-
гие поверхности второго порядка (или более высоких
порядков). К категории пологих оболочек относятся так-
же слегка искривленные пластины («вспарушенные» пли-
ты). Опорный контур может быть плоским или выпук-
лым (рис. 14.25, а, б). Оболочки с прямоугольным планом,
опирающиеся на плоский контур, имеют в централь-
ной части положительную, а вблизи углов — отрицатель-
ную гауссову кривизну. Если плоский контур не обяза-
телен по архитектурным или иным соображениям, то ре-
комендуется применять оболочки с выпуклым опорным
контуром, что обеспечивает повсюду внутри контура по-
ложительную кривизну.
Пологие оболочки могут располагаться отдельно
(рис. 14.25) или входить в состав многоволнового покры-
тия (рис. 14.27). Отдельно стоящие оболочки могут опи-
раться на бортовые диафрагмы, выполняемые в виде ба-
лок, арок или ферм, или же непосредственно на стены.
Опоры считаются шарнирными, если оболочка опирает-
ся на стены или диафрагмы, достаточно жесткие в своей
плоскости и гибкие из плоскости диафрагмы. Средние
волны многоволнового перекрытия считаются защемлен-
ными (в отношении углов поворота) по контуру.
14.5.2.	Усилия и перемещения пологой
оболочки. Особенности расчета
В пологой оболочке возникает система усилий Nx, V„,
Nxv (рис. 14.28, а) и изгибающих и крутящих моментов
Мх, Му и Мху (рис. 14.28,6). Перемещения характеризу-
ются тремя компонентами: uj]x; ®||z.
Связь между перемещениями и деформациями уста-
навливается формулами:
dv	1
е = _ k w +
оу	2
ди	dv
z-xii — ~~	+ ~	w 4-
ду	Ox	v
dw dw
+ __ , — ,
dx dy
O-W
Xx = ' Xl/ '
d-w
Xxy ~ Ox dy '
(14.87)
Здесь Ei и fv — относительные удлинения; exy—’Дефор-
мация сдвига; ух, уу—’Приращения кривизны; %ху —
приращение кручения срединной поверхности.
Для оболочки из линейно-упругого материала усилия
и моменты (положительные направления которых ука-
заны на рис. 14.28) согласно закону Гука равны:
108
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
ЕЛ
Nx =	+ w^);
1 — V*1
Et
Ny^Y^^&u + ^x}'
Et	(14.88)
{'ху 2 (1 + v) Сху’	
Мх = — D (%х 4- v%y);
Му = — D (%у 4- v%xy,
Мху = 4 D(1 — v) x^-
Здесь t — толщина оболочки; v — коэффициент Пуассо-
ЕЕ
на; Е — модуль упругости; D =	~ — цилинд-
13(1	V")
рическая жесткость.
Для оболочки из нелинейно-упругого материала уси-
лия определяются согласно [48].
Условия равновесия:
24 = 0;	dNx dNXy -7 + ~~~ + Рх = 0; дх	ду	
2У = 0;	ду + дх + Ру~°’	
22 = 0;		-Л.	о ~4- дх-	“ дх ду	(14.89)
4-	д*М„ ~jl + Nx {kx + Xx} + ду-	
4- Nу (ky	4- Ху) + 2NХу (kXy 4- Хху) 4"	
	4 Рг = 0 	
Здесь рх, Ру, Рг. — проекции внешней нагрузки на оси
х, у, г. В наиболее часто встречающемся случае верти-
кальной нагрузки рх = Ри —0, т. е. когда тангенциальные
составляющие поверхностной нагрузки равны нулю, нор-
мальные и сдвигающие силы выражаются через функцию
напряжений по формулам:
Первое уравнение (14.91) —уравнение неразрывности
деформаций — получено из первых трех выражений
(14.87) путем исключения из них перемещений и. и v
и замены деформаций усилиями по формулам (14.88)
и (14.90). Второе уравнение (14.91) получено из третьего
уравнения (14.89) после подстановки в него значений
усилий через перемещения и функцию напряжений по
формулам (14.87), (14.88) и (14.90). Система уравнений
(14.91) описывает поведение пологой оболочки в самом
общем случае с учетом моментов и конечных перемеще-
ний; иными словами, это есть уравнения моментной не-
линейной теории пологих оболочек. Отбросив в этих
уравнениях нелинейные члены, получим дифференциаль-
ные уравнения линейной моментной теории пологих обо-
лочек:
1	d~w d-w
d"-w
— 2kxt/ = 0;
J дх ду
d-w d"wy
(32Ф
+ ^хи ' — — рг = 0-
 дх ду
(14.92)
Если в уравнениях (14.91) положить £> = 0, т. е. пре-
небречь работой моментов, то получим дифференциаль-
ные уравнения безмоментной нелинейной теории пологих
оболочек; если исключить работу моментов в уравнениях
(14.92), получим уравнения безмоментной линейной тео-
рии пологих оболочек:
1	д-w	d-w
“7-7" V2V'“4> + kx ——“ + ky —
Et	ду-	dx-
d*w
- 2kxy = 0;
дх dy
<Дф <4®
82rp
(14.93)
В этом случае дифференциальные уравнения пологой
оболочки можно записать в следующем виде [16 и 21]:
1	d*w d-w
Et V * ду- у дх*
д-w	d*w	d*w
ху дх ду	дх-	ду-
' d*w у
дх ду)
— kx -	д* ф	<4<р <7 “ kv ^дхЛ
r4tp + 27 —— у дх ду	<4ф d-w ду- дх-
д-у d-w	d'2 w d-w 4 2 —— • — - дхду дх ду
дх- ду-	
— Рг(х,у) = 0;	о _ д3-  , д2.  дх* "и ду*
•	(14.91)
4- Pz — 0.
Уравнения (14.93), (14.92) и (14.91) отличаются раз-
личной точностью и сложностью. Поэтому практически
необходимо решить, какие уравнения целесообразно по-
ложить в основу расчета заданной оболочки.
Особенно важен вопрос о пределах применимости ли-
нейных теорий. Следует иметь в виду, что пологая обо-
лочка, например положительной гауссовой кривизны, ра-
ботает аналогично плите, находящейся па некотором
фиктивном упругом основании, создаваемом кривизной
оболочки с коэффициентом упругости, равным (для сфе-
рической оболочки):
где R — радиус кривизны. По мере нагружения оболоч-
ки радиус кривизны увеличивается (оболочка выпрям-
ляется), а это приводит к уменьшению коэффициента
упругости фиктивного основания. Это означает, что с уве-
личением прогибов конструктивная схема пологой обо-
И5, ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
109
лочки ухудшается. Поэтому расчет по нелинейной тео-
рии для полот их оболочек необходим для выяснения
действительною коэффициента запаса, который при
расчете по линейной теории получается завышенным.
Влияние нелинейных членов в уравнениях (14.91) на
величину усилий зависит от подъема оболочки: чем
меньше подъем, тем эго влияние значительнее Для обо-
лочек положительной или нулевой кривизны при подъе-
ме	линейная теория может дать погрешность
в отношении прогибов в пределах 5%.
Для заданной конкретной оболочки положительной
или нулевой кривизны вопрос о целесообразности расче-
та по нелинейной теории можно решать следующим об-
разом: подсчитывается вся нагрузка q, действующая на
оболочку (вместе с коэффициентами перегрузки), и по
формулам линейной теории определяется максимальный
прогиб (л. Это значение прогиба подставляется в фор-
мулы нелинейной теории, по которым определяется вели-
чина нагрузки уя, соответствующая прогибу fn. Если
окажется, что уп существенно меньше q (например, на
5%), то данную оболочку необходимо рассчитывать по
нелинейной теории.
Для оболочек отрицательной гауссовой кривизны во-
прос о применимости линейной теории подробно не об-
следован. Но вследствие того что эти оболочки могут
обладать мгновенной изменяемостью, расчет их должен
быть проверен с помощью нелинейной теории.
Область применения моментной теории для пологих
оболочек может быть определена следующим образом:
пологие оболочки отрицательной и нулевой гауссовой
кривизны должны рассчитываться по моментной теории
при всех видах нагрузок. Оболочки положительной кри-
визны, нагруженные распределенными нагрузками, мож-
но рассчитывать по безмоментиой теории при достаточ-
но большом подъеме оболочки (например, при Д/фУ-20).
При этом необходимо учитывать изгибающие моменты
у опорных участков Указанные границы применимости
отдельных теорий намечены ориентировочно, в порядке
первого приближения, и подлежат уточнению.
14.5,3.	Формулы и таблицы для расчета
пологих оболочек,
прямоугольных в плане
Для шарнирно опертой оболочки (см. рис. 14.25) в си-
стеме главных координат (kxv = Q) с граничными усло-
виями, определяемыми формулами:
при х = 0 х -= а; у = 0; у — b , w = 0;
д- w д- ш
а
д2 ®	(’
при х = 0; х — a; Nх — —— = 0; I Nхи dx — 0,
о
ь
д2 ф Р
при у = 0; у = &; N4~ —— = 0; 1 Nxl/ dt/ = 0;
о
усилия и прогибы в точке с координатами х, у определя-
ются по формулам [16]:
V	V / пл V
Nx=— У > — атп F (х, у);
4яия/ tes-ssi \ о /
т=1 п=1
со со
Ny=— J1 Рг а’™ F (х>
VI	VI ^пл3
~	;	(х > У)’	(14.94)
т=1
V	vr/mnv /ил\31
ЛД = D / ,	+ ДТ/ \bmnF(x, ff);
m~l я==1
m—1
f	—-'j 1 bmn F (x, y);
\ a / J
мху = D 0 — Д 2„ 2j bmn F^x>
m=l ri~l
zEj IEj ^mn F (%, y).
n~ 1
F(x, у) = мп—— sin -—™ ; Fx(x5 y) = cos------------cos —-----
c b	a b
(14.95)
но
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
k\ и k2—главные кривизны; m= 1, 3, 5,	п=1, 3, 5, ...
Эти формулы получены путем интегрирования системы
уравнений моментной линейной теории пологих оболочек
(14.92) методом Бубнова—Галеркина в форме, предло-
женной В 3. Власовым [16]. Чем больше кривизна обо-
зочки, тем больше членов ряда необходимо брать в вы-
ражениях (14.94). Один член ряда дает удовлетвори-
тельную точность для очень пологих оболочек
<0,8), для которых по существу линейная теория не-
приемлема. Для оболочек с подъемом ДД>6 необходи-
мо брать 4—5 членов ряда (по каждому направлению).
Если в формулах (14.94) и (14,95) положить D — 0, по-
лучим выражения для усилий пологой безмоментной
оболочки. На основе этих формул В. 3. Власовым со-
ставлены таблицы для определения усилий, моментов
и прогибов пологой сферической оболочки на квадрат-
ном плане с подъемом 0 ' fa!t< 10, нагруженной равно-
мерно распределенной нагрузкой [16]. При больших
подъемах рекомендуется пользоваться таблицами, со-
ставленными В. В. Дикович [33], а также Инструкци-
ей [37].
Усилия по безмоментной теории для оболочки с пря-
моугольным планом, очерченной по поверхности эллип-
соида под действием сплошной и односторонней равно-
мерно распределенной нагрузки, можно определять по
таблицам, вычисленным методом конечных разностей
А. Р. Ржаницыным [83].
В работе В. М. Никиреева и В, Л. Шадурского [68]
приводятся многочисленные формулы для определения
усилий, моментов и перемещений для оболочки положи-
тельной кривизны при шести случаях закрепления обо-
лочки тангенциальными связями. Там же имеется боль-
шое количество формул для расчета многоволновых
оболочек и оболочек отрицательной кривизны.
Л, С. Гараниным составлены таблицы для расчета
прямоугольных в плане пологих оболочек, нагруженных
равномерно распределенной нагрузкой Pz = p =
= const [22].
_ Таблицы_дают значения безразмерных величин Nx, Уч,
NxV, Мх, Му, Мх„, и, v и го, через которые действитель-
ные значения усилий, моментов и перемещений опреде-
ляются по формулам:
АД = /?Д2 АД; Мх = ps° Мх; и = •"—щ— о;
Et
Ng = Ng- M,J =ps- Mv; ~~ v-
ill
Nxu = pRv N xifi Ntx1J — ps“ Mxy-
pRi _
ш
Et
Таблицы составлены для различных значений пара-
метров
- Ь	- R,	- s
а=—. r = „—, s==_i	(14.97)
а Д1 J
М
г ~ —
о2
fs
Рнс, 14.29
При выводе формул (14.98) принято:
а2 «
(14.98)
(14.96)
Безразмерные коэффициенты подсчитаны для узлов
сегки прямоугольного плана оболочки (рис. 14.30) при
двух вариантах граничных условий. В обоих вариантах
кромки х = 0; х — а шарнирно-подвижны; граничные ус-
ловия на кромках:
которые в свою очередь могут быть выражены через гео-
метрические характеристики оболочки, и, b, R2, Ri (при-
ведены на рис. 14.29) и
(ш = Мх	и)х_^-=: 0.
х~~а
з = 0,76 Р Д21 .
(14 97')
Параметры г и s также выражаются через стрелки
подъема контурных диафрагм по формулам:
В первом варианте граничных условий края у-==- ±:Ь/2
тоже шарнирно- по д в и ж ны
(w= Му = Ny = и) h =0.
У = ± —
2
14 5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
Ш
Во втором варианте края у= ±bj2 полностью защем-
лены
w — и — 93 — V— О,
где 0а— угол поворота касательной к срединной поверх-
ности оболочки.
При отсутствии табличных данных для расчета поло-
гих оболочек, прямоугольных в плане, можно пользо-
ваться методом сеток (см. раздел 15).
14.5.4.	Круговые цилиндрические оболочки
открытого профиля
Уравнения моментной линейной теории пологих оболо-
чек можно применить к расчету круговых цилиндричес-
ких оболочек открытого профиля (не полших). Поло-
жим в уравнениях (14.92)
ki = 0; й2= —-; х — aR; у ~ рЛ),
R
где а и ₽ — безразмерные координаты (рис. 14.31).
Уравнения примут вид:
I	5® w
— V2 V2 Ф + Р —т = 0;
Et	даг
(14.99)
где рг в отличие от предыдущих параграфов обозначает
нагрузку, нормальную к поверхности оболочки
Усилия и моменты выражаются через функции у, и щ
следующим образом:
_ 1 а®Ф
А 1  	9 ——™—-
R?-	9£2
D / д3 w 5s w \
Я2 \ ба2 9р )
I д" гр
N, = ---- . ——У- ;
R- да?
D / д" w дг w \
М, = ____ ------.
R2 \ др ба2 /
ю_______,_1	а2Ф
12	R2	’	бабр	’
_	Et3	d2w
12(1 +	v)P2 ’	dadfi
(14.100)
Подстановкой w — у® у2 Ф;
б2 Ф
ф = REt ——— получаем
ба2
из уравнений (14.99) одно дифференциальное уравнение
восьмого порядка
1	v«. gt ф pi
WW * + -yr	O’-1»»
где
F
C2= —
12Р2
Рис. 14.31
усилия и моменты выражаются через
ба®
бэФ
Перемещения,
разрешающую функцию Ф следующими формулами:
б3 ф ба Ф
й= —-—
дадр
б3Ф
др +	"’да°д$ J’
щ = у® у® ф-
б«ф
о=—
Et
N = .
R
Et
N -------
2 R
di Ф
да? 95
ба4"’
Л'-
да3дР '
_ _££
12 ~~ R
м
_ D Г б8 б2 ~
= R2 [ да? +V б₽2
D Г б2 б2 ~
4. = ---- ------- 4-v---
Я2 [ ба2
угу2Ф; (14.102)
V2 V2 Ф;
Г) '	О2
=— — (1 — v) —— Vs V® Ф;
R“	бабр
о г б®	а® ;
<? =—7Г 7Т + 2(1“1')-Т^Д8 Vs Ф;
R‘3 I ба3	бабр“ J
. D Г д3	д3 1
R3 др '	’ ба3 65
Здесь Q| и Q2 —' обобщенные поперечные силы (в смыс-
ле Кирхгофа), необходимые при формулировке гранич-
ных статических условий.
Однородное уравнение (14.101) (рг=0) может быть
разложено на четыре независимых уравнения:
дФг 1
V3 Фх + у (1 + i)——== 0;
да
дФ„
—	+ I) ~~ = 0;
да
дФ, f
Vs Фз + vd - г) ^- = 0;
да
t дФ4
=0,
(И. 103)
П2
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
где
Полное решение однородного уравнения
Ф = Ф1 + Ф3 + Фв + Ф4.	(1.4.104)
Оболочка, свободно опертая по контуру. Нагрузка
считается положительной, если она направлена по внеш-
ней нормали (на рис. 14.31 нагрузка pz отрицательна).
Граничные условия:
I
при а — 0 и а = aj = — и — w — N\	= 0
при (3 = 0 и {3 = pi и — w = А?г = М2 = 0.
Нагрузка рг и разрешающая функция представляют-
ся в виде двойных тригонометрических рядов.
Окончательное выражение для разрешающей функции
имеет вид:
Ф(а, Р) = — X
шла nnfJ
”	“	Втп sin -—-sin——
х V V	а1	;
^«а .aej Г//ПЛ\2 /ПП \314	1 — № //ПП\4
Я=1	+ J +	j (14 J o5)
4 Г Г	тпа	nnR
В,пп =——	1 Рг(а, 3) sin— sin— dfida,
«1Р1 J J	®i	Pi
о о
где
t2	n	„ b
C? ~ ------ - а — -- • Я .
12R2	R	R
a) Случай радиальной сосредоточенной нагрузки Р,
приложенной в произвольной точке с безразмерными ко-
ординатами а = | и |3 = т] и направленной по внешней
нормали вниз
4Р
Втп==~ a>1S3
4а:ХцР
Ф = —------- X
/п=1 П=1
тла	плВ
sin — sin—— F(g, л)
И1______Pi_______
(tn? + Ш2)4 4- jim4
Перемещения и усилия в любой точке срединной по-
верхности в соответствии с формулами (14 102):
_	4?-llf> У1 VI rn- (vm~ — ?-Ф2)
а3л£/ -4J	(т2 R Л2п2)4 -j- p.m4 А
772 = 1 Г2-—1
шла	лл(3
X cos-------sin------ F (j, p);
ai	Pi
4XpP уч "y n (F-n-‘ -1- 2 (1 [- v) m2]
(m2 4-2,2n2)4 4-pm4
in—1 n— I
тм	/inf!
X sin ----sin------F (t, i]);
“i	Pi
co co
4?е3цР чп п?п?
Л ’ а( R 2-.' (т~ + ВРРр 4- рщ* Х
т —1 72 — 1
щла	плй
X sin-----sin — F (5, n);
“1 Pt
N = _ 4>-рР VI____________________mi x
‘ a(R 2j 2-i (w2 + ^2»2)4+ gm4
m—1 я-I
. тгл . nnp
X sin —-----sm —— F (g, n);
»i Pi
N =^42cH£.vi	-——-x
13 a( R Zj Ai (m2 + X2»2)4 4- gm4
m— 1 n— 1
тм	„
X cos-------cos —-y~ F (c, tj); (14.10/)
«1 Pi
a2P
w = ~ (w0 —wk);
441 P (i^io /И3д);
Л42 = P (Mlo - Afife);
Ali> = P (ЛА’ -
Здесь дм, ЛФо, Лу0 п Л4 {?--прогиб и моменты от силы
Р==1 в плоском пластинке со сторонами а и Ь:
(14.106)
К'о =
4Х уч
л4
in — 1
(т2 + Х^2)2
72=1
где
mns	?гпт)
F (g, П) = sin ----------- sin —- ;
«1	₽i
т2 -у мХ3«2
I — T3. ai_______12 (1 — v3)	a*_
С2 л4 ~ n4 ' R2t3 '
тла.	nnf>
X sin —— sin ——' F (?, т|);
«1	Pi
14 5 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
113
.. U V V V * * * *"2 + Vfn'2
AU — ~---- 7 У-----------Т~--- X
“° я3 ^J(m" -г №п~)'2
tn=l п—1
тла плВ
X sin ~—- sin—— F (s, n);
ai	Pi
= ll(1,„v) у	у—
12 п"	4-J	(tn2 4~ №п-)
т~1	п—1
тиа	пя(3
X cos -----cos —— F (с, т|).
ai Pi
тла нлр
X sin------cos----;
Pi
„Т 16Х2р, VX VI тп
л 1 = — —~ кр у; у;—
я-	4», Стп
.V. —
—
т
тп
тла пяй
sin---sin
тла ллр
sin---- sin -д— ;
Ш.и
—— Rp X
и3
(14.108)
Величины !ВЙ, Mik, Мгк, М^ связаны с кривизной
оболочки:
тяа млр
cos --cos--;
4Хц
wk = ——
л4
ра^
w =	— Mj. ри2 (Л11о — М1к);
т— 1 п— 1
шла пя£
ти, sjn ---sin —-—
_______________________Pi ________ Е
(m2 + X2n2)2 [(га2 4- ?Xn2)4 + jim4] F
М2 = РМ (Mi0 - ЛЬ.);
М,2 --- ра2 (Л^'Р — МУУ\,
Стп ~ (п2 + Х'Ь3)4 + ртХ
4fyi
wlfe= -4-
n2
Здесь
m=l n— 1
m4 (m2 + v^2n2) sin---------sin------
________________________«1 Pi
(m3 4- ^2«a) [(tri2 4- ?.3n3)4 +
X
т=1 п~1
тла	плр
sin------sin------
a-t Pi
тп {m" 4- Л3п2)3
Mw --=
16 V V m34-vX2n3	тла	пяВ
— У , 7 ,-------------;-----sin------sin —— ;
п-i 4J 4=1 тп (m2 4- Z.2n2)3 ax	f4
m~ 1 n=[
шла	плВ
mi (Xsn2 4- vmz) sin----sin-------
«1	Pi	rr
(m2 + W3) [(m2 + X2n3)4 + ptra1 lS’
lb, 413u
Л< = —“О — 'OX
n,2
mm	nnp
mbn cos--cos---
«1 Pt
“ ” (тз + X2n2) [(tn2 + Vn2)4 +
m— Jz2=J
f (s, 4)-
б) Случай равномерно распределенной поверхностной
нагрузки pz — const.
Усилия и перемещения:
_ j6B %аР V V Vm“ ~~ ^2д2 х
’ Et Ъ Д пСтп Х
т—\ п=1
тла	ллВ
X cos *---sin----;
«1	Pl
__16Д Rap Y1 V хзла + 2 (1 + у)
л3 Et Д тСтп
т~ I п — t
pn 16X
M 4 = -—(1 -v)
n.J
тла	nrep
-------cos-------
«1 Pi
(tn2 4- W3)2
16n V VI m’3	. тяа nnfi
Wk __  !™ ------------------------------—. Sin ------ sin    »
n {tn~ + X‘M2) Cmn	Pl
лг=1
i6p y y m?’ (m2 v'miim
t> 4J n (tn2 + K2n2)2 Cmn
m—1 zz—i
mna /2 rep
sin---sin-—
»1 Pl
18;t Y m3 (4-я3 4-'VM2)
n*! zb n (tri2 4- Л2»2)2 Cmn
m~l n=l
mna	r?ap
X sin —-— sin----------:
ai	Pi
8-26
114
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
mna	nnfi
X cos —— cos ——
«1 ₽i
В этих формулах индексы т и п — нечетные числа на-
турального ряда (т=1, 3, 5,	я=1, 3, 5, ...).
Для круговых цилиндрических оболочек со свободны-
ми криволинейными краями при отношении толщины
к радиусу 1/А = 0,01 и коэффициенте Пуассона м—О
А. Л. Гольденвейзер [29] составил графики, позволяю-
щие определять усилия Л'ь АД Л'|2 и М2, и таблицы для
определения вертикальных перемещений при равномер-
но распределенной нагрузке.
Если круговые цилиндрические оболочки оперты по
всему контуру (с различными вариантами граничных
условий), то для определения усилий, моментов и пе-
ремещений следует пользоваться таблицами, составлен-
ными В. Д. ЖеМочкиной и М. М. Микшисом [35].
Это уравнение аналогично уравнению плиты на упру-
гом основании; таким образом, сферическая пологая
оболочка работает так же, как плита, лежащая на упру-
гом основании с коэффициентом упругого основания
с = £1/Ж
Рис. 14.32
14.5.5. Дифференциальные уравнения пологих
сферических оболочек
в полярных координатах [16]
Дифференциальные уравнения моментной линейной
теории в полярных координатах г и |3 (рис. 14.32) имеют
вид [2, гл. IX, § 9]:
———- V2V2<T + V2® = 0;
п DR
V" Ф — “V
Изгибающие и крутящие моменты определяются по
формулам:
.<•	' г '	/(14 113)
Ч =- D ( Хр + vXa);	= D (1 - v) уир. ]
Здесь
1 d2tv	1 / 1	1 dw 4
Ха ' да? ’х₽ = Д 'а3 "	+	’
I ! 1	й2®	1 dw 4
Zafi = ТУ ~ 77'‘
(14.109)
А)
В этих уравнениях: <р — функция напряжений; ® —
прогиб срединной поверхности; R — радиус кривизны
оболочки; D — цилиндрическая жесткость:
Это уравнение следует применять только для свобод-
но опертых оболочек. Для оболочек с другими граничны-
ми условиями подстановка (14.110) может привести
к ошибкам, потому в этих случаях следует исходить из
системы (]4 109).
Нормальные и сдвигающие силы определяются по фор-
мулам:
Efl
fl
D = -— ----— ; Га ~ ..
12(1—Я	12(1 — м"-)Д2
Дифференциальный оператор V2 имеет вид
1	д'1 1	г
а др Г где ®	‘
Нагрузка pz и прогиб w считаются положительными,
если они направлены по внутренней нормали (на
рис. 14.32 — сверху вниз).
Подстановкой
Л1 = -Р
гб
б2ф
"др
<1ф
Л'
Vs =
го
д2(р
да2
(14.114)
12
азФ
да дв
I
а3
ш = у2у2Ф и
или через функцию Ф
Eh
R \ а2 ’
Л’-
по формулам
д2
Eh
R
д2
да, Эр
эр;
j
)
Etr~
Ф =-
(14.ПО)
А
системы (14.108) приводится к виду
Д2
77^°
или с учетом первого равенства (14.110)
у-у’-ш Д- w — ——- рг = 0.
at
Eh / I
второе уравнение
д2
ба2'
I
у-2ф;
д
(14.115)

-’г 1)\Ч2Ф-
(14.111)
(14.112)
Осесимметричные задачи [2,
матричных задачах нагрузка зависит
радиальной координаты а, поэтому напряженное состоя-
ние будет также зависеть только от одной переменной в.
Оно будет полностью симметрично относительно оси
гл IX, § 10].
только
В
осесим-
от одно»
вращения.
14.5 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
115
Уравнения (14.109) превращаются в обг	якновснные
дифференциальные уравнения четвертого порядка:	
/ 42	1	d \!rl"w	1	dw \ (	1_		.			 —	-ф .  	+ \ da,"	a	da /\ da'2	a	da /	' ,	R“ г	Et		(14.116)
Id2	1	d \/4аФ	1	ФФ\ 1	~Ф "•  ® — i [	,	 1 а \ аа2	а	da /\ da2	a da ) Крутящий момент и сдвигающая сила равнь	нулю, все
прочие моменты и усилия определяются по	формулам:
D /d2w	1	dw \ М, =— —- 	-ф v —	 • р \da2	a	da 'о	' D ( 1 dw	d2w \ r2 \ a da г da2) D d fd"~w 1 dw \ Ql = ——. — /	 _ф—.— • r2	da ( da2	a	da j 1	1	йф	1	d2ip д/ 		 ,	• Дф —	. -	. 2	а	da	J	r~	da" ro	+	 (14.117)
Общий интеграл первого из уравнений (14.	116) имеет
ВИД
w (к) = г!,/, 4" /L/2 4“	“4 44/4 4"' ^4 (®)  (14-113)
Здесь fflP(a) —частный интеграл неоднородного урав-
нения; /1, /2, ф, Д — некоторые функции а, представляю-
щие частные интегралы однородного уравнения.
Значения функций Н и их первых производных приве-
дены в табл 14.16 Значения вторых производных вы-
числяются по формулам:
/	=—-	/2	—	— /j ;	/2	= /j —	—.	/	;
а	а
1	' г” _	+ к
0 _ /4 —	/3; /4 —— /3— а 14 .
(14.119)
Значения постоянных А,, А%, Аз и At, определяются из
граничных условий.
Частные случаи. 1. Сферическая оболочка находится
под действием сосредоточенной вертикальной силы Р,
приложенной в верхней точке (полюсе). На опорной па-
раллели, имеющей радиус Ь, оболочка закреплена шар-
Т аб л иц и 14.16
Значения функций /5. /2, /ъ Ц и их первых производных
а				2
0	-4-1,0000	0	0	П
6,1	-hl, 0000	+0,1X125	—0,0001	+0,0590
0,2	-pl,0000	+9,0100	—0,0095	+о 1СЧЮ
0,3	+0,9999	+0,0225	—0,0017	-LOJ500 :
0,1	-[-0,9996	+0,0400	—0,0040	+0,2000
0,5	4-0,9990	+0,0625	—0,0078	4-0,2499
0,6	+0,9980	4-0,0900	--0,0 035	4-0,2998
0,7	4-0,9962	+0,1224	—0,0211	-l-о ,з+б
0,8	-J-0,9936	+0,1599	—0,0320	4-0, 1992
0,9	4-0,9898	+0,2023	—0,0455	-1-0,4485
1,0	4-0,9844	+0,2495	—0,0624	-[41,4974
1,1	4-0,9771	4-0,3017	—0,0831	-+,5458
1,2	+0,9676	-(-0,3587	—0,1078	4-0,5935
1,3	4-0,9551	-J-0, 1201	—о, 1+п	4-0,6403
1,4	+0,9401	+0,4867		+0,6860
1,5	+0,9211	+0,5576	—0,2100	+0,7302
8:
Продолжение табл. 14.16
а	h ‘	а	/	/
1,6	+0,8979	+0,6327	—0,2545	+0,7727
1,7	-90,8700	+ 0,7120	— 0,3018	4-0,8131
1,8	-00,8367	+0,7953	—0,3612	+0,8509
1,9	-[-0,7975	+0,8821	-0, 1238	+0,8857
2,0	-[-0,7517	+0,9723	—0,4931	+0,9170
2,1	+<1,6987	4-1,0654	—0 5690	+0,9442
О ')	-(-0,6377	+ 41610	—0,65’20	+0,9666
о 3	+0,5680	+ 1,2585	—0,7490	+0,9836
2,4	-1-0,4890	+1,3575	—0,8392	+0 9941
2,5	+0,4000	-(-1,4572	—0,9436	+0,9983
2,6	4-0,3001	+ 1,5559	—1,0552	+0+942
2,7	+0,1887	+ 1,6557	—1,1738	+0,9814
2,8	+0,0651	+ 1,7529	— 1,2992	+0,9590
	—0,0714	+ 1,8172	— 1 4314	+0,9256
3,0	—0,2214	4-1,9376	— 1,5698	+0,8804
3J	—0,3855	+2,0223	— 1,7141	+0,8223
3,2	-0 5641	4-2,1016	'—1,8636	+0,7499
3,3	—0,7584	+2, 1723	—2,0177	+0,6621
3,1	—0,9680	++2331	—2,1755	+0,5577
3,5	— 1,1936	4-2,2832	—2,3361	+0,4353
3,6	— 1,4353	+2,3199	—2,4982	+0,2936
3,7	— 1,6933	+2,3413	—2,6608	+о, 1052
3,8	— 1,9674	+2,3454	—°, 8222	—0,0526
3,9	—2,2576	+2,3300	—2,9808	—0,2596
4,0	—2,5634	4-2,2927	—3,1346	—0,4912
4,1	—2,8843	+2,2309	—3,2818	—0,7482
4 +	—3,2195	+2,1422	—3,4200	—1,0318
4,3	—3,5679	+2,0286	—3 5466	— 1,3432
4,1	—3,9283	+ 1,872:1	- 3,6588	— 1,6832
4,5	—4,2991	+ 1,6860	—3,7536	—2,0526
4,6	—4,6784	+ 1,4610	—3,8280	—2,4520
4,7	—5,0639	+ 1,1946	—3,8782	—2,8818
4,8	—5,4531	+0 8837	—3,9006	—3,3422
4,9	—5,8129	+<) 5251	—3,8910	—3,8330
5,0	-6,2301	+0,1160	—3,8454	—4,3542
5,1	—6,6107	—0,3467	—3,7589	—4,9046
5 +	—6,9803	-0,8658	—3,6270	—5,4835
5,3	—7,3344	— 1 4443	—3,4446	—6,0892
5,4	—7,6671	—2,0845	—3,2064	—6,7198
5,5	—7,9736	-2,7890	—2,9070	—7,3729
5,6	—8,2466	—3,5597	—2,5410	— 8,0454
5,7	—8,1791	—4,3986	—2,1024	— 8,7336
5,8	—8,6644	—5,3068	— 1,5856	— 9,4332
5,9	—8,7937	—6,2854	—0,9844	—10,1394
6 0	—8,8583	—7,3347	—0,2931	— 10,8462
Продолжение табл. 14.16
а	!3	0	3	
0,0	+о, 5000	— ее	0	+со
0,1	+0,4955	—1,5409	—0,09293	-г6,34!3
0 2	+0,4826	— 1,1034	—0,1419	—3,1340
0,3	+0,1667	—0,8513	—0,1746	--2,0498
0,1	+0,4480	—0,6765	—0,1970	--1,4974
0,5	+ 0,4275	-0,5449	-0,2121	— 1,1585
0,6	+0,4058	—0,4413	—0,2216	+0,9273
0,7	4-0,3831	—0,3574	—0,2268	+0,7582
	+о, 3608	—0,2883	—0,2286	+0,6286
0,9	+0,3477	—0,2308	—0,2276	+0,5258
1,0	+0,3151	—0J825	—0,2213	+0,4422
1,1	+ 0,2929	—0,1419	—0,2193	+0,3730
1,2	+0,27 +	—0,1076	—0,2129	+0,3149
1,3	+0,2501	—0,07859	—0,2054	+0,2656 <
1,4	+0 2302	—0,05419	—0,1971	+0,2235
1,5	+0,2Ш)	—0,03370	—0,1882	+0,1873
1,6	+о, 1926	—0,01657	—0,1788	+0,1560
1,7	+0,1752	—0,00235	—0,1692	+0,1290
1,8	+0,1588	+0,00936	—0,1594	+0,1056
L9	4-0,1433	+0,01888	—0,1496	+0,085.39
2,0	J 0,1289	+0,02651	—0,1399	+0,06786
(Прпдо	лжение та(	лицы на с	лед. стр.)	
116
РАЗДЕЛ И ОБОПОЧКИ
Прадо iter Нис та/л Л 16
а	О	6	73	4
0 9	+ ,W2b	+0,03712	—0,1210	40,03+8
2,1	+0,08039	+0,0+90	—0,10’2	_L+<)1442
2,5	+0,0613b	+0,04463	—O,08b75	-rti.noan
2,8	-00,04553	у 0,0 1471	—0,07186	—0,1 Ob 32
3,о	+0,03256	4 0,04267	—0,05860	—0,01 6/
3,2	: 0,02202	+0,03941	—0,0 1697	—0,O189>
3,4	+0,01 366	-60,03557	—0,03692	—0,02011
3,6	+0,007162	L.0,03139	—0,02836	—4 02127
3,8	+0,002151	-j-0,02 05	—0,(12117	—0,O2V)',
4,0	—0,001398	4 0,0230-1	—0,01522	—0 02004
4,2	—0,00 3043	+0,01017	—0, Ц039	—0,01855
4,4	—0,005620	+0,015bl	—0,006522	—0 01675
4,6	—0,005608	40,01248	—0,00 3497	—0,01 18’
4,8	—0,007066	4 0,00971	—o+iii+o	—0 01 8!
5,0	—0,007122	-^0,007 ’09	+0,0005218	- 0,01(105
5,2	—О,ПОп893	—0,005 325	40,001735	CT),0O 4 17
5,1	—0,00645b	-j 0,00 3661	-i 0,00’546	—0,00719b
5,6	—0,005892	' 0,002312	+0 0030 3b	- 0 005011
5,8	—0,005257	J-0,0012 13	1-0,003276	—0 001711
6,0	—0,004591	J-0,0004166	-+,00 >32o	—0,003585
нирно Граничные условия при a = az=b/r0, w—Г),
Mi =0
Из условии, относящихся к полюсу оболочки, следует,
что
л ₽Г'! Л
~ и Л4 = 0.
Вследствие отсутствия распределенной поверхностной
нагрузки частный интеграз wp(a) — 0
Отсюда согласно (14 119) прогибы и моменты опре-
деляются по формулам
р,5	1
гг0
w = АО 4" Аг12 4“	 !8,
Гели коэффициент Пуассона v = 0, то
2 1 а ?кс оболочка, защемленная по опорной парал-
те т I
b
Граничные условия при п = «2 =—; ш=0; w'— 0
Прогибы и моменты и в этом случае определяются по
формулам (14 120), постоянные А и А2 при v —0 равны
4^; ha+ + ++;
1
(14 120)
3 Сферическая оболочка под денствием нормальной
нагрузки р, равномерно распределенной по всей поверх-
ности Коэффициент Пуассона х—0 В данном случае
из условии у полюса оболочки Дз = Л4 = 0 Частный ин-
теграл
(14.123)
При защемленном крае
R2 ~ 4 (+ !\ (“) +4 ( /1: (А 4 ( 6 6, —
1
!
5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
117
4.	Кольцевая пологая сферическая оболочка под дей-
ствием вертикальной равномерно распределенной на-
грузки р, приложенной по верхнему основанию.
Если по иижнему основанию оболочка имеет шарнир-
ное закрепление, то граничные условия будут:
при а = аг =--- Мр = 0;	= — р sin у;
Го
Ь
при а = аа =---- ®о=0; ЛД = 0.
гв
Здесь у — угол наклона к оси вращения касательной
к меридиану в точке а. Величина w определяется по
формуле (14.118), в которой надо положить шР (а) =0.
Для определения коэффициентов А, А, A, Ai необхо-
димо решить систему уравнений:
L	J
Ы]~
L	J
+ At [ }3 (а1) +	;4 (“а)] = °;
L	J
^1^2 (а1) — А2 Л(а1) А(ч (а1) +
Рг0
4-	(а Л = — — sin у;
4 3V и D *’	(14 125)
А; Л (а) + f2 (аг)+ -л-з h (а) +
А Ад /4 (а2) = 0;
+ Л4 [ Z3 (%)
Моменты определяются по формулам (14.117); для их
определения необходимо вычислить с помощью выраже-
ний (I4.it 19) и (14.120) вторые производные от аэ.
5.	Та же оболочка под действием собственного веса
g кГ1м2.
Прогиб ю определяется по формуле (14.118), в кото-
рой надо положить
Для определения коэффициентов Ait А2, А3, Ад необ-
ходимо решить систему уравнений:
AiJi (аД А-А^з (®i) + -4а^з (A) ~г 1
R2
-т-Д4/4 (а2) + g — 0;
} (14.126)
Z2 (a)	Аз^4(а)~Ь
4~ Л4 /3 ( a2j = 0.
Во всех приведенных случаях нормальные силы Ni
и Л'2 определяются по формулам (14.117).
Функция <р связана с функцией w уравнением
rf3q>	1 dtf	Etrl
da"	a da	Д
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
<Р = —— (А 1па + <рет).
л
(14.127)
(14.128)
Здесь Лд— новая постоянная интегрирования, опреде-
ляемая из граничных условий; срш — частный интеграл
неоднородного уравнения
d2qw
da"
da,
(14.129)
которое при известной функции ш легко интегрируется.
14.5.6. Некоторые решения нелинейной теории
пологих оболочек [21]
Ниже приводятся некоторые формулы, полученные
в результате решения общих нелинейных уравнений
(14 91) приближенными методами.
Шарнирно опертая по четырем сторонам пологая па-
нель, прямоугольная в плане и нагруженная равномер-
но распределенной нагрузкой (см. рис. 14.25).
Обозначим безразмерные величины:
f	kra"		
g	.	k	_— . t	x	t »	l-./b2	. a ky=. -r- 1=T;			
. Pz 	 	; 1 E	, _pxb" Px EE ’		(14.130)
Ру " Efi
118
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
Здесь рх— нормальные напряжения на кромках х = 0,
х = а; ру — нормальные напряжения на кромках у = 6,
у~Ь При этих обозначениях зависимость между безраз-
мерными нагрузкой и прогибом выражается формулой.
яь / 1	„ V
п» =----В3 —
р 256 \ X2 /
—	( Рх + Ру} т + kx Рх + ку Ру +
п6 / 1	. \2
+------------- —+ М В- (14 131)
192 (1 — v«) V- /
Частные случаи: 1, Края оболочки свободно смещают-
ся в плане. В уравнении (14.131) надо положить рх~=
=PV =0. Для квадратной в плайе оболочки (Х=1) со
стороной Ь при v=0,3 получим
р4 = 7,5g3 —2,06g2 + (0, № + 22) 1,	(14.132)
где А=Д‘+Д‘.
Для цилиндрической панели шириной Ъ и радиусом R
k — b/Rt, для сферической k = <2b'2IRi.
2. Края панели не смещаются. В этом случае:
Р*у ~8~ щЗГуз	+ VM Х
Для квадратной цилиндрической панели при м=0,3 из
формулы (14.131) получим
р* = 28,9g3 —	+ (0,51г2 ф- 22) g. (14.133)
Края оболочки в плане свободно смещаются и либо
шарнирно оперты, либо защемлены. Зависимость между
нагрузкой и прогибом в центре опорного плана оболоч-
ки выражается формулой [48]
Р —а1 gJ + а2 go 6” + я.з 1б + ®i g (14.134)
Здесь go = }0/i—отношение начального подъема оболоч-
ра*
ки к ее толщине; р
где а —- ширина опорного
плана.
Коэффициенты аь а21 аз и а< приведены в табл 14 17
для квадратом в плане оболочки со стороной а для ше-
сти случаев граничных условий, обозначенных в табли-
це римскими цифрами I—VI. Штриховка на рисунках,
помещенных в таблице, означает, что соответствующий
край защемлен относительно углов поворота; отсутствие
штриховки означает, что край шарнирно оперт.
В таблице приведены коэффициенты для сферической
оболочки и цилиндрической панели. Коэффициенты а?.
и аз, стоящие в числителе (для граничных условий II,
III и V), относятся к цилиндрической оболочке, у ко-
торой края ab и cd криволинейны; значения ttj и а3,
стоящие в знаменателе, относятся к цилиндрической обо-
лочке, у которой края ас и bd криволинейны. Коэффи-
циенты подсчитаны при v = 0,3; при других значениях
коэффициента Пуассона необходимо величину ач умно-
fl,91
жить на отношение ----—; значения ai, а2 я а3 не из-
1 — Vй
меняются
Следует иметь в виду, что в случаях II, Ш и V в таб-
лице указаны величины, относящиеся к прогибу в цент-
ре плана оболочки, а не к максимальному прогибу.
Формула (13 134) может быть использовала для пред-
варительной оценки влияния геометрической нелинейно-
сти на величину ншрузки для заданной конкретной обо-
лочки, иными словами, ее можно использовать при ре-
шении вопроса о выборе теории для расчета заданной
оболочки (см. 14.14). Для этого подсчитывается наи-
большее значение всех нагрузок (р*'), действующих на
оболочку (вместе с коэффициентами перегрузки). Далее
по формуле |л = р*/а4 подсчитывается значение прогиба
|л, определяемое линейной теорией Это значение про-
гиба подставляется в формулу (14.134), по которой вы-
числяется соответствующее значение нагрузки ра и под-
считывается относительная разница между ря и р :
Р» —Р	“j	%	«з 2
----;--- = — (р*Д + — g0 р4 +-------g0.
Р	ОЦ	«4
Если эта разница не велика (например, меньше 5%), то
расчет заданной оболочки можно производить по линей-
ной теории.
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ
И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
14.6.1. Основные обозначения
и классификация сводов-оболочек
Своды оболочки и складки (см. 14 1) вдоль криволи-
нейных краев опираются на диафрагмы, а вдоль прямо-
линейных краев окаймляются бортовыми элементами
Расстояние между опорными диафрагмами называется
пролетом оболочки или складки и обозначается Ц. Рас-
стояние между бортовыми элементами называется дли-
ной волны и обозначается 12 Стрела подъема оболочки
(без бортовых элементов) обозначается Д (рис. 14 33).
Для расчета сводов-оболочек и складок приняты сле-
дующие обозначения координатных осей: ось, параллель-
ная образующим поверхности оболочки, называется про-
дольной и обозначается х; горизонтальная и вертикальная
оси в плоскости поперечного сечения оболочки — у и г;
криволинейная ось, направленная вдоль контура попе-
речного сечения оболочки, — s; нормаль к поверхности
оболочки — v
Опорные диафршмы при расчете оболочек и складок
условно рассмазриваюзся абсолютно жесткими в своей
плоскости и абсолютно гибкими из плоскости.
В общем случае напряженное состояние оболочек
и складок определяется десятью силовыми факторами
(рис. 14.34, а), нормальными и сдвигающими силами
11b СВОДЫ ОКОЛО1- КП и ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДлИ
119
Коэффициенты О' д,”з сферической и цил шдои»’ес>юи оболочек
Таблица 14 17
Граничные условии					1	Сфщм и с г п обо то пса				Ц f I идеи зге-ия оболочка			
					1	ПД	|	О'		’	а	«4		(У		«*
I	а		l3		ГЯ 51	Р 52	op	Л? в	8 Ы	— В Ь2	г9 92	г22,12
я И 4 й				f	11 ’	14 05	ГЧ 1г г 1	В з]	9 9	-20 4 — 1/ 7	J 9 31 1 <Ь	32,51
III	9		£?		Л 7	7 7	13 (Ъ	j " 13	Ь (Г	5"'	]1 55 - 9 47	5 Щ г4 45	3-40,07
\ \ iv X				1	Д-12 b	) 18	7 7	В в	12 Ь	-20 В	7 27	U3,59
G	Г. V b	а					Но ’1	Ь Г1			10 °!	— 1Ь <Ъ	„щ ЯП 1-5,55	щ-56,99
V1 4 v					21	--^П W		+4 В	(3 м	1.1	13 1	Д 13	+Ь8 89
Рис 14 33
\ Л 6i=S изгибающими и крутящими моментами
Д Л1з //,=/-/ и ио еречнымп силами Qi и Q"
Цнлиндри дскщ оболочки и ск тачки дня расчета ус
и чо приняло подразде тять па следующие три группы
1) иш 1 и ]}и / // Д> 3, б) сринеи длины при 3>
Л Л 1 в) короткие при Л//2<1
В оболочках бо щщои и средней дтины продольные из
ноющие и крутящие моменты (М( и Я) являются вто~
,f- В по 1ылмцих ! завах для ди гинцрнчегких оболочек vch
и 1 } м ментп so счения 1 влом оси л обозначены с нндек
с \ 2 в юн I заве ндекс 2 дз1 произвольной точки поперечно
го конт\оз оп щен 1 п I коньщлi-пи 'т,очки индекс соответствует
cvitp той о 1ки ( дин аюлег сила обозначена через S’ вместо
\	1 днтящи 1 iO3ieiiT — ’ ерез Н вместо Mi
*• ( волы обозлили и скидки средней длины по классифпка
in Ннстр кд in Щ 1 г [3/] отнесены к длинным оболочкам
рпссчм ива -1 IM с числом деформации поперечного контура
120
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
ростепенными и могут быть отброшены. В коротких обо-
лочках влияние поперечных моментов (М) резко падает,
а продольных {№[) возрастает.
В длинных свободно висящих оболочках и складках
деформация контура и поперечные моменты мало влия-
ют на величину и характер распределения продольных
напряжений в поперечном сечении.
В соответствии с классификацией и характером рабо-
ты цилиндрических оболочек и складок вводится ряд
гипотез и допущений, позволяющих упрости гь их расчет.
Длинные своды-оболочки и складки со свободно ви-
сящими продольными краями при симметричном сечении
и нагрузке рассчитываются как балки, а при несиммет-
ричном сечении или нагрузке — как тонкостенные стерж-
ни, но без учета жесткости при чистом кручении [37,
стр. 51—-76]. По длине оболочки нагрузка либо постоян-
на, либо медленно изменяется. Поперечные моменты М,
соответствующие им поперечные силы Q и нормальные
силы поперечного направления N определяются из рав-
новесия полоски единичной ширины, выделенной в про-
лете, в месте наибольшего значения продольного балоч-
ного момента. По длине пролста изменение М и Q при-
ближенно можно принять таким же, как изменение про-
гибов в балке, с той же схемой опор, а изменение N —
как нагрузки.
Напряжения в коротких оболочках невелики, поэтому
при обычных пролетах и нагрузках такие оболочки рас-
считываются упрощенно [37, стр. 91 —102].
нако, как показали экспериментальные и теоретические
исследования, в ряде частных случаев это взаимное
влияние незначительно и для упрощения расчета им мо-
жно пренебречь [37, стр. 47—51].
Средние волны мпоговолновых складок с поперечными
сечениями, приведенными на рис. 14,35, при /1/4^2, на-
груженные равномерно распределенной нагрузкой
Рис. 14.36
(рис. 14 36, о), могут рассчитываться в продольном на-
правлении, как балки корытообразного сечения
(рис. 14.36, s).
Для определения поперечных моментов в средних
волнах по длине складки выделяется полоса шириной
1 м, которая рассчитывается как неразрезная балка
с опорами по ребрам складки (рис. 14.36, а).
14.6.2. Расчет оболочек и складок средней
длины. Допущения и гипотезы
В общем случае оболочки средней длины рекомендует-
ся рассчитывать с учетом взаимного влияния продоль-
ных усилий и поперечных изгибающих моментов Од-
Рис 14.35
Средние волны многоволновых бесфопарных и фонар-
ных с распорками цилиндрических оболочек с симмет-
ричным поперечным сечением, со свободно висящими
продольными краями, при li//2>2, нагруженные равно-
мерно распределенной нагрузкой (рис. 14.37, а), могут
быть приближенно рассчитаны как балки корытообраз-
ного сечения подобно длинным оболочкам (рнс. 14.37,-а).
Одноволновые и многоволновые оболочки с попереч-
ными ребрами высотой не менее '/жй и числом более
трех, нагруженные равномерно распределенной нагруз-
кой, могут в продольном направлении также рассчиты-
ваться как балки корытообразного сечения. За расчет-
ное поперечное сечение, воспринимающее продольные
усилия, принимается сечение между ребрами.
После определения продольных нормальных напряже-
ний o = NJt и сдвигающих усилий 5 поперечные момен-
ты М, поперечные силы Q и нормальные силы попереч-
ного направления N в ребристой оболочке определяют-
ся как в длинных оболочках. При этом в пролете обо-
лочки выделяется поперечная полоса шириной, равной
шагу поперечных ребер [37, стр. 70—76].
Одноволповые складки и оболочки и крайние полу-
волны мпоговолновых складок и оболочек средней дли-
ны. промежуточные волны многово.таовых оболочек при
и оболочки, опертые по контуру независимо от
14.6, СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
Ш
длины, рассчитываются с учетом деформации поперечно-
го контура и взаимного влияния продольных нормальных
сил и поперечных изгибающих моментов. При этом крап-
ине полуволны многоволновых оболочек и складок со
свободно висящими продольными краями можно при-
ближенно рассчитывать как полуволны одноволиовоп
оболочки или складки с симметричным сечением
(рис. 14.36, б и 14.37,6).
Одним из распространенных практических методов
расчета цилиндрических оболочек средней длины произ-
вольного сечения является метод заменяющей складки,
при котором цилиндрическая поверхность заменяется
вписанной складчатой системой. Для оболочек кругового
сечения такая замена не обязательна (см. ниже),
В общем случае для расчета цилиндрических оболочек
и складок средней длины обычно вводятся следующие
гипотезы:
а)	геометрические — деформации сдвига и удлинения
поперечного контура срединной поверхности оболочки
принимаются равными нулю, деформации изгиба конту-
ра поперечного сечения учитываются;
б)	статические —‘ учитываются продольные нормаль-
ные усилия N\, сдвигающие 5, поперечные моменты М,
поперечные усилия Q и нормальные усилия по продоль-
ным сечениям N; при этом усилия N\ и моменты М на-
ходятся из рассмотрения деформаций оболочки, а ос-
тальные из уравнений равновесия. Не учитываются рас-
четом продольные моменты А4L и крутящие Н. Система
учитываемых расчетом усилий на единицу длины сече-
ний оболочки приведена на рис. 14.34,6, Указанное на-
правление усилий принято за положительное.
Складка представляет собой многократно статически
неопределимую систему. Определение усилий по ее реб-
рам может быть выполнено методом сил 1 (за лишние
неизвестные принимаются усилия), смешанным методом2
(за неизвестные принимаются частично усилия и частич-
но перемещения) и методом перемещений (за неизвест-
ные принимаются перемещения). Метод сил в форме
[73, 74] приводит к системе 12-членных уравнений, он
удобен для расчета складок с небольшим числом гра-
ней. Смешанный метод в общем случае приводит к бо-
лее компактной структуре восьмичленных, обыкновенных
дифференциальных уравнений. Этот метод подробно из-
ложен в первом издании справочника [87] и в работах
[14, 15, 16, 19, 37]. Вариант этого метода с весьма прос-
тои структурой выражении коэффициентов уравнений,
позволяющий рассчитывать также складки, имеющие
кривизну в продольном направлении, см. в [62а],
В методе перемещений3 почти вдвое сокращается чис-
ло расчетных уравнений, даже если учесть продольные
и крутящие моменты; он применим для расчета оболочек
средней длины и коротких [37, 42, 59]. Этот метод удо-
бен, если заранее составить выражения коэффициентов
уравнении, особенно для цилиндрических оболочек кру-
гового очертания.
В последнее время с учетом использования ЭВМ были
разработаны: а) в МИЙТе — метод расчета в перемеще-
ниях многопролетных в одном направлении плитпо-ба-
лочных и призматических складчатых систем с шарнир-
ным опиранием на поперечных краях [85]. Решение
строилось на основе интегрирования бигармопическпх
’ Метод сил расчета призматических складок разработан
И, Л. Пастернаком [73 , 74 , 76J
z Смешанный метод расчета призматических складок разра-
ботан В. 3. Власовым (И, 15, 16, 19).
3 Метод перемещений дли цилиндрических оболочек призма-
тических складок и складок, имеющих кривизну в продольном
направлении разработан И Е. Милейковсьим [42, 37, 59, 6Д,
В основу был положен вариационный метод В, 3. Втасоаа [16, 19].
уравнений плоского напряженного состояния и изгиба
пластинки (как элемента основной системы) в одинар-
ных тригонометрических рядах; б) в ЦНИИСКе— метод
расчета складчатых систем [63а], а также пологих пря-
моугольных в плане многопролетных в одном и шарнир-
но опертых в другом направлении оболочек складчато-
го типа, поверхность которых вписывается в поверхность
переноса положительной, пулевой и отрицательной гаус-
совой кривизны [636]. Решение строилось путем приве-
дения исходных уравнений пологих оболочек на основе
некоторой модификации метода Власова — Канторовича
сразу к нормальным системам обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка, составленных от-
носительно четырех групп обобщенных перемещений и
четырех групп обобщенных усилий. Интегрирование
этих уравнений выполнялось методом Рунге — Кутта
в сочетании с методом Годунова [28]. По этому мето-
ду в ЦНИПИАСС на языке АЛГОЛ составлена про-
грамма «РОСТ» (расчет оболочек складчатого типа)
для ЭВМ. Учтена совместная деформация обо-
лочек с промежуточными диафрагмами и диск-
ретное расположение ребер жесткости и переломов
поверхности в одном из направлений. При разработке
метода и программы «РОСТ» не вводилось никаких
дополнительных гипотез, помимо основных гипотез тон-
ких оболочек Кирхгофа — Ляна. В результате оказыва-
ется возможным избежать разделения складчатых систем
на длинные, средние и короткие.
Расчет круговых цилиндрических оболочек средней
длины методом перемещений (вариационный метод)
[59, 60]. При расчете цилиндрических оболочек кругового
сечения с радиусом дуги К = const проще не использо-
вать метод заменяющей складки, а сохранить исходную
поверхность. Продольные перемещения и (х, з), танген-
циальные перемещения (по касательной к контуру)
v (х, s) и перемещения по нормали w (х, s) любой точки
срединной поверхности оболочки (см. рис, 14.33) пред-
ставляются в виде конечных рядов:
a(x,s) = J]6;(x)^(s);
I
фЗ) = Р'г(х)Ш	(м135)
I
aa(x,s) -= v; Vt- (x)ft (s).
i
Каждый член ряда образован из произведения двух
функций, одна из которых зависит от продольной коор-
динаты х, а вторая — от поперечной (тангенциальной)
координаты 5.
Функции ТА (х) и Vi(x), зависящие только от коорди-
наты х, это неизвестные функции обобщенных продоль-
ных и поперечных перемещений, подлежащие опреде-
лению.
На основании принятых геометрических гипотез эти
функции связаны между собой зависимостью (которой
подчиняются угол поворота и прогиб оси обычной балки)
U. (х) = — V't(x).	(14.136)
Поэтому для расчета достаточно определить или функ-
ции Ut (x) или V,(x). Функции g> (s); г), (s) и K(s) назы-
ваются элементарными пли единичными (а также коор-
динатными). Они определяют соответственно изменение
продольных и поперечных (по касательной и по нормали)
перемещений точек контура сечения оболочки при Vi — 1
и характеризуют единичные деформированные состояния
расчетной модели. Вид этих функций устанавливается
122
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
предварительно (см. ниже). Благодаря принятым геомет-
рическим гипотезам функции (s); р, (s) и ДД’) взаимо-
связаны равенствами [69, стр. 17, 18]:
ё- (з) = Д- (з); Д (•’) =- Е, fi (з);
Д=1/Д;	(14.137)
поэтому достаточно установить вид функций |i(s).
Единичные функции перемещеппп должны быть непре-
рывными и удовлетворять условиям сопряжения оболоч-
ки с бортовыми балками.
Рис. 14.38
Рассматривая оболочки с симметричным поперечным
сечением, следует разделять единичные функции на сим-
метричные и обратно симметричные.
Симметричные функции ^(з) определяются выраже-
ниями (рис. 14.38, а):
si (Д = а; Д (s) = Д з1п[Д 0,
пл
где (0 ' 0 с, 20J; п = 21 — 3;	; (14.138)
20!
1 = 2,3,4,...;
29j — центральный угол дуги поперечного сечения;
О — переменный угол, отсчитываемый вправо oi радиу-
са-вектора в точке 7 (рис. 14.38, а).
Обратно симметричные функции £г(з) определяются
выражениями (рис. 14.38,6):
1о($) = У; ё1(«) = -фгш; Д (s) = Дз1п[Д О,
А
где я = 21 — 2; I = 2,3,4,...
Функции i|o и gi характеризуют распределение продоль-
ных перемещений в сечении оболочки по закону плоских
сечений и секториальных площадей (или пропорциональ-
но им) как для балки и тонкостенного стержня; осталь-
ные функции Д определяют депланацию поперечных се-
чений, связанную с деформацией их контура [60],
В силу геометрических гипотез вид функций ДД) Для
контура поперечного сечения плиты оболочки определяет
их вид также в сечениях бортовых балок (см. рис. 14.38)
[60, стр. 43] .
Аф
Напряжения о = поперечные моменты М на ос-
новании закона Гука и принятых гипотез выражаются
через перемещения по формулам:
о = еYp’i	« Ф- (Д;
i	I
А4 = —21ф(х) АДД); (1 = 0,1,...). (14.140)
1>1
Единичные функции ЖДз) характеризуют изменение
поперечных моментов вдоль контура поперечного сече-
ния и определяются по формуле [59, стр. 19]
A4f = El [ (s) + k2 (s)],	(14.141)
где /— момент инерции единицы длины продольного
сечения оболочки. Если оболочка имеет более трех равно-
мерно расставленных поперечных ребер, то момент инер-
ции 1 вычисляется по формуле l = lvllv, где 7Р—• момент
инерции продольного таврового сечения, образованного
из сечения ребра и продольного сечения плиты шириной,
равной шагу поперечных ребер Д.
Для определения неизвестных функций lh(x) или
1Л(х) по длине оболочки выделяется элементарная попе-
речная полоска шириной dx (см. рис. 14.33) и составля-
ются уравнения работы всех сил, действующих на эту
полоску на возможных ее перемещениях, за которые при-
нимаются функции Д(з) и (а). После ряда преобразо-
ваний получается система дифференциальных уравнений
равновесия элементарной полоски, имеющая вид [59,
стр. 21 и 47]:
X Еап (х) Д J Es.. (х) - q. (х) = 0;
i	£
(у, 1 = 0,1,2,...).	(14.142)
Коэффициенты уравнений и свободные члены д} вы-
числяются соответствующим взаимным интегрированием
эпюр единичных функций и функции нагрузки по дли-
не b контура поперечного сечения оболочки:
b	' ?
ail = j Sj (s) 11 («) t ds; an = ац;
6
1 CMj (s) AMs) .
- ds; sn^su;
u
b
q. = j f® (s) +дг Г (s)] ds,
о
где ps и Д — интенсивности вертикальных и
тальных нагрузок; f® и /J' (s) — проекции ординат еди-
ничных функций поперечных перемещений на верти-
кальное и горизонтальнее направления.
(14 143а)
(14.1436)
.14 6 СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
123
Таблица 14.18
Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по фундаментальным функциям
Вид нагрузки	Род закрепления		л	А,	А,	
	край л	-^0	j	крах				
	Оперт	| Оперт	1,2732	°	0,424-1	0
Постоянная р — 1	Защемлен	| Защемлен	0,8161	°	0,3639	°
		| Свободен	0,57-18	0,4119	0,2542	0,1819
	>->	| Оперт	1,2168	—0,1169	0,1729	—9,06198
		! &	0,6366	—11,3183	6,2122	—0,1591
По закону треуголь-	»	| Защемлен		0,4082	-0,1902	0,1818	—0,1215
ника р=> —~	»	| Свободен	0,4176	0,09245	0,03239	0,01654
		j Оперт	0,5377	-0,3436	0,2499	—0,1958
В силу ортогональности тригонометрических функций
s3i = 0 при /¥=г.
Решение уравнений равновесия (14.142) для оболочек
средней длины выполняется с помощью разложения пе-
ремещений Vi(x) и свободных членов q,(x) в ряд по
фундаментальным функциям свободных колебаний
балки:
Ь (х}" S {х}’ (« =1 -2 > • - 
т
wW = S„. z ы
4Jm \ЛЬ
т
(14.144)
Функция Zm удовлетворяет дифференциальному урав-
нению:
6)	= Zm (х);	.	(14.145)
Общие выражения функций Zm(x) и параметров цт
для различных схем опирания однопролетных оболочек
на криволинейных краях и значения этих функций и их
производных для первых четырех членов ряда приведены
в работах [19, стр. 81—86 и 37, стр, 280], а для последу-
ющих четырех членов в [61].
Если эпюра поперечной нагрузки по длине оболочки
постоянна [р (х) = const] или имеет вид треугольника
[р(х) =рх/1}] с максимальной ординатой р, то коэффи-
циенты определяются выражением
•фт = ф'Лт.	(14.146)
Коэффициенты Ат для первых четырех членов разложе-
ния нагрузки приведены в табл. 14.18. Если нагрузка ме-
няется по трапеции, то коэффициенты .43-т получаются
линейной комбинацией для первых двух схем; q, опреде-
ляется по формуле (14.1436).
При расчете на сосредоточенную вертикальную нагруз-
ку Р® (й) , приближенную к бортовой балке или к попе-
речным ребрам в точке k сечения х~а:
ч1 (a) Zm (а)
qi<n =--------—-;
р^а}=Р*(а)^,	(14.147)
где коэффициенты Вт определяются из табл. 14.19.
Таблица 14.19
Схема граничных условий на торцах		В,	B.		sm>4
tl 		 X	0,500Л	0,500 lt	0,500 lx	0,500 I,	0,500 lt
	1,0369 h	0,9984 h	l,	A	h
"TL	0,4996 1.	0,4999 I,	0,4999 Д	0,5002 1,	0,5 A
	5,8556 h	0,9640 1,	1,0051 ?!	0,9999 4	I,
124
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.20
Матрица алгебраических уравнений при симметричной вертикальной нагрузке
№ уравнения	^0		уО	у0 3	Свободные члены
0	Л 4 °00 Лт	а01 Кп	а02	°03 '^т	0
1	е	Д! С			
2	О	О	°22	+ «2 2	°23	К
3	е			°33	+ s33	£ 98
Дифференциальные уравнения (14.142) после подста-
новки (14.144) преобразуются в алгебраические; при этом
для каждого из первых членов ряда (при т=1, 2, 3, 4)
эти уравнения можно разделить на совместную систему,
состоящую из четырех уравнений, определяющих пара-
метры U^m и V°im при i=0, I, 2, 3 и независимые урав-
нения:
ац + s7y) /ги ~	Чjm’,
(i = / > 3).
(14.148)
Такая возможность обусловливается резким увеличе-
нием главных членов уравнений, содержащих коэффи-
циенты зц. Независимые уравнения (14.148) уточняют
значения поперечных моментов; при этом для практиче-
ского расчета цилиндрических сводов-оболочек, загру-
женных распределенной нагрузкой, достаточно ограни-
читься учетом одного из уравнений (14.148) при /=4.
Для оболочки с симметричным сечением совместные
уравнения в форме матрицы (по Власову) для расчета
на симметричную нагрузку приведены в табл. 14.20 и в
табл. 14.21 для расчета на обратно симметричную на-
грузку (индекс т при неизвестных параметрах опущен).
Не указанные в этих таблицах побочные коэффициен-
ты, относящиеся к нижней левой половине матрицы,
отмечены точками и определяются из условия симметрии
на основании равенств, приведенных в формулах
(14.143). Для получения какого-либо уравнения нужно
коэффициенты одной строки умножить на неизвестные,
выписанные над ними в верхней строке матрицы, приба-
вить свободный член этой строки и результат прирав-
нять нулю.
Для оболочек с соотношением /1г >1,5 последнее
уравнение табл. 14.21 уместно решать независимо от
остальных, подобно уравнениям (14.148).
Таблица 14.21
Матрица алгебраических уравнений при обратно симметричной вертикальной нагрузке
№ уравнения		vo	V2	уО	Свободные члены
0	fl00	й0! Кп	а02	й03	0
1	®		*12^	а13	1 Чз*
2	О		й22	4" s22	С я	,-^т Е 42
3	О			°33 Кп + S33	Е qs
146 СВОДЫ-иЬОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
125
1 аблпца 14 22
Выражения коэффициентов а^. " сА Лд =	ЛЕ
при симметричной нагрузке
ii	A A	4
00	I	1
01	“1	1 ~ V6 Cj + vec0
02	1 Ka	fij sin 0! —VCC1				 —AV’oPiSin Oj
03	_L0o 3 «02	3fl02
и	a-2	1	->	9 9 •y v6 ci -T ^6 7
12	cos Oj (Pf-i)Mi	„ Pj sin 0j -7‘1	3	— — + Cq Pl sin 0J
13	cos 9j (₽3~1) Ml	Зй j q
22	72	9 Pf sin2 0] v6 7 '	3 	 + + + coPisin 91
23	0	3a22
33	72	9(7 22
jj>33 П р и в лаб. 0 < feo Fo + = &2==1-	7a м e ч а н и e Выраж i. 14 22—14 28, 6 < 0jj « = 0j — = 1)R-, L^2R0r = tROi, Fx = hdi, Fi V6 = —- ; Гб AF0	Mt = v~; V1= T" A	Fa s 4),Scos 20!—0,75-	(2/ - 3)2 4 5НИЯ	величин,	ВХОДЯЩИХ 0;	17 = A; c, = d.JR; c0 -=: d0/R; Fa = F\ + А/7! Д Af0; 37, стр, 69] sin 0t ax cos 9j	; U1 n 20i	sin 20] 0i ;	Оз-1-0Д ei .
Таблица ТА23
Выражения коэффициентов а . — ( tP. 4- A. F„\ R~
it \ н 0 1 jt 6}
при обратно симметричной нагрузке
ji	4	a'd
00	1 — «3	sin2 0j
01	— Я1	v6 sin 0l(2014-c1 sin 0,.) + A^OiA'A-TVo bin 0i) sin 01
02	P, sin tp f pj — I) ot	p, sin2 t), 'Wl 	p-	 + ^o6Ofl-3 ЗШ2 0!
03	P4 sin 0, ( Pl-l)«i	2ffg,
11	-E02 3 1	Ve ^02 + C[0 , sinS; + । 1	2 • ° <л \ i _L 	 c S1R- Q	I з	1	4 + vo ( °i + cosin °1)2 + 7 01
12	i Ps	vg —- p.2 sin 01(301+2c1 sin 0i)+ 6 + v0c0p2 sin O^Qx -r c0 sin 0J
13	— Д 2 12	2n12
22	1 2	pf sin2 0| + 7	;	+ + co Й311,2 01»
23	0	2a22
33	1 2	4й22
ii' 33	1 2	(j  1)" a-22
126
РАЗДЕЛ 1.4. ОБОЛОЧКИ
Коэффициенты s --= з*^. —
Симметричная нагрузка		Об р ат н о с и м ме т р и ч н а 51 нагрузка
//	4	А
22	рад ад2	рад ад2
33	ад - А	рад ад2
//.''33	рад-ад п — 2/ — 3	₽ад ад2; п = 2ф — 1)
Таблиц а 14 2”>
Свободные
" °!
П г» / л
члены q. q. Rp | cos (А — cos-------- 1 и q. =
соответственно при вертикальной равномерно
распределенной нагрузке р и полосовой вдоль бортовых балок р}
Симметричная нагрузка		Обратно симметричная нагрузка	
- 1	0	0	0	(J
1 1	ф	ф	q	pi
О,
1
— 1
cos 03
sin О
cos 0.
о

В табл. 14.22—14.24 приведены выражения коэффи-
циентов а„ и Sjj и входящих в них множителей: и^',
ajt и s°.. для одной половины поперечного сечения.
Выражения некоторых общих величин в табл. 14.22—
14.28 приведены в примечании к табл 14.22.
Бортовые балки рассматриваются состоящими из пря-
моугольной стенки площадью F1 = i'1d1 и утолщений
(стрингеров) по концам с площадью сечений A.F0 и Aj/~3
(рис. 14.39).
В табл. 14.25 приведены выражения свободных членов
для двух случаев вертикальной нагрузки (равномерно
распределенной по сечению оболочки р и полосовой
вдоль бортовых балок ps) также для половины шик реч-
ного сечения.
i
Р1

* Второе слагаемое в
симметричной нагрузки
скобке отлично
нуля для обратно
В табл 14.26—14.28 приведены единичные функции
перемещений, моментов и углов поворота бортовой балки
при симметричной и обратно симметричной по сечению
нагрузках. Двойными индексами помечены значения этих
функций в нижней и верхней точках {0 и 1) сечения
бортовой балки; первый индекс здесь и в последующих
фюрмулах обозначает номер точки поперечного сечения,
второй — номер единичного состояния.
После решения уравнений табл. 14.20 и 14.21, уравне-
ний (14.148) и определения параметров U® и V°( переме-
щения и усилия для каждого члена ряда вычисляются по
следующим формулам (индекс т при неизвестных пара-
метрах. при функции Z и ее производных опущен):
а) нормальные, вертикальные п горизонтальные про-
гибы точки k
Wk (Д = уО fki z w.
i
= fuz A
i
A(*) = JA? fki'ZAx)-,
i
б) изгибающие моменты в точке k
Mk (x) = - А б? Mk. Z (x)-
(14.149)
(14.150)
в) продольные нормальные напряжения в ючке я от
симметричной пш'рузки
14 6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
127
Таблица 14 26
Ординаты эпюр единичных функций перемещений при симметричной нагрузке
i	51 («)	’ll (^)	fi (s)	fl (s)	f't (s)
0	£0 = Я Bio = Soo = R	0	0	0	0
1	Si	R (cos а — — COS 0j) loi = di	Л1 =~—	^0 == Пп	i	fi =- cos a; /ni = fn = 0	/f = 1; 1	fl = fl=f^o
2	12 = 7? sin 5os = Pidi sin	T)«= Pl cos pjO; %2= Ъ = Pi sinO,	f.> = ~“ Pi sin PA /12 = Pl cos 0iJ /ог = Pi [cos 4~ +aMp?-!)]	/? — Pj (P, sin Pjflx X cos a+cos Ptfl sin a); /02 = /12 — Pl sin ei	ff, =Pi (cos pj fl cos a— — Pi sin p!0 sin a); /12 = f12> /02 = /02
3	?3 = R sin f>30; los = ~~ Рз<4 sin Oi	Пз — Рз cos p30; ilos = ilis== PasinOj	/3 Рзsin P:A /гз = Рз cos fl,; /03 == Pa [cos flj 4~	/3 =— Рз (Рз sin PiA< Xcos a -(-cos p30 sin a); /оз = /?3=- Рз8Ш0!	/3 = P3(cos Рз0 cos a-— — Рз sin p30 sin a); /Тз = /igi /оз = /оз
гХЗ	11 = R sin P„ 0; lol =—	sin 0j	’ll = p„ cospf! fl; sin Sj	/1=-рДпрд- /и = Pc cos 0Х; /oi = P« [cos 0i + + di *2 (P« —• 0]	ft	P« (P«sin X cos a + + cos fin в sin a); A = A=-P„sinei	/ir=PH(cos PA cos a“ —- pn sin P„0 sin a); /11 = fu 1 f‘ot ~ fot
Таблица 14.27
Ординаты единичных функций перемещений при обратно симметричной нагрузке
i	h (л	П1 (s)	ft C)	fl. А	fits)
0	|„ =— R sin a; ^00	510 ~ R .sin	40 — cos a; ^loo ” П10 ~ 0	f(! — sin a; /co — /10 = 1	/оо=/?1 = /о = 0	f()0 /01 = /0 = *
1	It =— Ra; In =- M; s«i =— (-Rfli + R- sin 04	41 = i; П01 = ’In = sin ei	/1 = 0 fn = cos flt; f01 — cos Sj — fe.dj	=— sin a; /01 = fn =- sin ei	/[ = cos a; ?n /ц; /51 = /01
2	§2 — sifl IM; g02 —	'^^2 SIU	Tfe = p2 cos p30; 002 = 1112 = = p2 sin 0! (.Пр	/2 =— fl sin Д2®; /12 = Рг cos (A /02 Рг [cos A 4" + A k2 (pfl 1)] одолжение таблицы на след	fa2 — З2 sin p,e X Xcos a-j-cos PA sin a); /Й2 = /?2 =- Plsin 6I . стр.)	f.=P?(cos PA cos a — — p2 sin pa0 sin a); fni^-fvR /oj=/o2
128
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
Продолжение таб г 14 27
i	(*)	41 (s)	/- (s)	/Г (S)	/f (s)
3	h = R. sin p40; ёоз =— Mi sin °1	T]3 = |34 cos |340; flos = Pis = = p4 sin 0J	/3 =— Й sin ftA /13 — Pl C0S ®1’ fol ~ Pl [C0S ^1 + +	( p4 — I У]	/з=—Р-Ж sinp40x Xcos a-f-cos p40 sin st); /оз /”з == P4sin 6]	/J=₽4(cos Рч0 COS a~~ — p4 sin p40 sin a); /13 = /13’ /оз = /03
г>3	ы = R sin p„6; U =~“ P« sin °i	Д = cos РД), %=П11=Р« sin °t	/i=-P«sinPn°; /n = (3„ cos 01; foi = Pn [C0S + + dl^(₽2-l )]	sin ₽„0X Xcos a-|-cos p„9 sin a);	/[=P„(cos p„0 cos a — —P„ sin	sin a); fu~fli’ fui ~ ft)i
Таблица 14.28
0	2
Ординаты эпюр единичных моментов Мг “ M^Elk^ в плите оболочки и угла поворота Ч ц бортовой балки
M,, <[];	Сим м етр ич п а я нагрузи а	।	Обратно симметричная нагрузка
	Pl (Pi — 1) sm pj 0	1) sin p20
M3	Рз (Рз“ sin Рз°	p4(pi — l)sin|340
M'l	p2(^l)Sin₽„0	
41'1		a2
Ф12	^2 Pl (Pl 1)	— k2 p2 (Pg — 1]
‘Pis	— ^2 Ps (Ps — 1 )	-А2Р4(РЖ 1)
*4	Ж’РДРл-П;	-*2 РДРл-‘}
n — 2i — 3		П = 2(i- 1)
(х) = - Е [u° |w + S V° tki) z” (х)- (14.151а)
1>U
от обратно симметричной нагрузки
(%) = -£ 2 V^lkiz" (х);	(14.1516)
i
г)	для вычисления сдвигающих усилий дугу окружно-
сти произвольного поперечного сечения можно заменить
вписанным (не обязательно равносторонним) ломаным
контуром из восьми — двенадцати участков (рис. 14 40).
Сдвигающие усилия в вершине k ломаного контура
о, , Д о. Z'"{x)
S. (х) = S, j + t, d.	---LL, (14.152)
k \ / A-l -г ti к 2	Z"(%i)	‘	’
где th и dk -—толщина и длина й-го участка вписанного
ломаного контура, предшествующего А-ft вершине
(рис. 14.40); значение Z"(x-i) принимается для сечения,
в котором вычислялись напряжения сь (xQ;
д)	суммарные сдвигающие усилия Т\(х) по А-му
участку вписанного контура
h dk	Zm(x)
Tk (x) = Sw (x) + — (2ci_1 -b a J	(14.153)
Gh — напряжения в k-& вершине;
14 о СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
129
е)	нормальные силы по продольным сечениям (вне
точки 1 поперечного сечения)
таблиц [37, стр. 279—283], Для шарнирно опертой обо-
лочки (табл. 14.19, схема 1) коэффициент равен:
Nk [S fe2 & Vх? Mk. Z± (х) + Rpv\, (14.154)
g.==	=J;23.
О
(14.1566)
где pv — интенсивность нормальной нагрузки; в точке 1
Л’г « Ipi—Ti (0) ДДЛДвш&п (14.155)
где щ и Т[ — соответственно полосовая распределенная
нагрузка и суммарное сдвигающее усилие в опорном се-
чении, действующее в плоскости бортовой балки. Форму-
лы (14,154) и (14.155) относятся к случаю расчета обо-
лочки на равномерно распределенную нагрузку.
При расчете оболочки на нагрузку, равномерно рас-
пределенную по длине, достаточно в разложениях
(14.144) ограничиться одним первым членом ряда, решая
уравнения табл 14.20 и 14.21 и уравнения (14.148) при
гп-~\, Значения о', Мише достаточной степенью точ-
ности определяются этим расчетом Влияние последую-
щих членов ряда на значения S и Т может быть учтено
умножением их на коэффициент
В формуле (14.155) значения Д и Д относятся к пер-
вому члену разложений (14.144).
При расчете сводов-оболочек, нагруженных сосредо-
точенными по ребрам или не-
равномерно распределенными по
длине нагрузками, напряжения о
(и сдвигающие усилия S) следует
определять с точностью пяти —
семи первых членов ряда в раз-
ложениях (14.144). Если оболочка
и нагрузка по длине имеют ось
симметрии, то расчет следует про-
изводить с точностью трех-четырех
членов ряда (т = 1, 3, 5, 7). При
отсутствии поперечных ребер для
определения поперечных моментов
Л4 можно ограничиться одним, а
при наличии ребер первыми дву-
мя-тремя (m—l, 2, 3,) членами
ряда [37, стр. 251], производя
расчет по табл. 14.20 и 14.21 и
уравнениям (14,148), Для опреде-
ления напряжений о (и усилий
S), соответствующих последую-
щим членам ряда, расчет можно
производить как для безмоменг-
ной оболочки по табл. 14,20 и
14.21, отбрасывая в них коэффи-
циенты s„.
Упрощенный расчет сводов-обо-
лочек на сосредоточенные попереч-
ные и продольные силы, включая
предварительное напряжение, и
указания о расчете неразрезных
сводов-оболочек изложены в рабо-
тах [87], [37] и [42]. Методика
учета кручения бортовых балок
изложена в работе [60]; обобще-
ние метода на оболочки поло-
жительной кривизны см. [626].
Пример 14.1. Рассчитать сборную оболочку конструк-
ции Ленинградского Промстройпроекта (рис. 14.39, а).
Бортовые балки двутаврового сечения (рис. 14,39, б)
имеют небольшую кривизну по верхнему поясу (для сто-
ка воды). Стенка балок имеет отверстия. При расчете
предполагается, что балки имеют постоянное сечение
с приведенной высотой d'o и что стейка воспринимает
только сдвигающие усилия. Площади сечения нижнего
и верхнего поясов бортовой балки обозначены соответст-
венно через АГ0 и Аг,- Оболочка имеет поперечные реб-
ра, расположенные через 3 м (рис. 14.39, е). Схема по-
перечного сечения оболочки приведена на рис. 14.39, б.
А-1 lzi (И
(14.156а)
равный отношению площади эпюры равномерно распре-
деленной нагрузки к площади эпюры нагрузки в виде
первого члена ряда.
Значения и Zl при х—0_и х = 1 принимаются из
* Приведенная высота может быть определена по жесткости
приравниванием максимальный прогибов заданной' балки пере-
менного сечения и эквивалентной балки постоянного приведен-
ного сечения при нагружении их одинаковой равномерно распре-
деленной нагрузкой Прогиб балки переменного сечения может
быть определен, например, графо-аналитически (87, стр 2341
или согласно работе Г. И Бердичевского «Расчет деформаций
предварительно напряженных железобетонных двускатных балок
нерешенной высоты» («Бетон и железобетон», 1961, Дь &),
130
РАЗДЕЛ 14, ОБОЛОЧКИ
Основные геометрические данные (расчет производит-
ся в К Г И СМ) .
(),’= 28“ 29'; Ofад = 0,497128;
1	а
R- 1258,42 см- k„--------- 0,79465-ЮЖ
К
R 2400 см; 12 = 1200 см-, cla = 96 см-
1 — 4 см; i\Fu — 900 см"; ЛЕф — 390;
7\ =- 0; Eg 5F0 + AFj + f j = 1290 см";
Р„ = +1ф = 2502,38 см-;
F,	АРа
тс =-- — = 0; V,. = —= 0,69764;
Рб	/Д
сй	= 7,62861 • 10~2;
R
АР1
тг--------- = 0,302325.
Рб
Погонный момент инерции продольного сечения
(рис, НЗЭ. ь’)
Модуль упругости бетона £ = 3,1-10’ кГ/см2.
Расчет на симметричную нагрузку
Схема нагрузки показана на рис. 14.39, б и состоит из
равномерно распределенной по поверхности нагрузки
р = 393 кГ/м" и полосовой Р: = 323 кГ/м, действующей
вдоль бортовых балок.
Система расчетных уравнений приведена в табл. 14.20.
Решение выполняется с точностью до первого члена ряда
Коэффициенты и свободные члены этих уравне-
ний вычисляются по табл. 14,22—14.25,
Вспомогательные величины, входящие в эти коэффи-
циенты, вычисляя на основании выражений, приведен-
ных в примечании к табл, 14,23:
sin (ф = 0,47690; cos 9t 0,87896;
sin 20, = 0,83835; cos 2Оф = 0,54513;
„ sinO,
O[ = cos (ф— —-— = — 0,080350;
sin 2(3,
a„ = 1 + 0,5 cos 20, — 3/4 ——— = 0,007775;
O1
p, = — = 3,15974; p3 = 38ц = 9,47922;
21ф
P=- 5Pj = 15,7987; ff( = 9,98398;
P/= 89,8556; (3/= 249,598.
Значения угла 0, sin |3n0, a, sin a и cos a в точках се-
чения 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 14.40.6) приведены в табл. 14.29
Оболочка однопролетная, на поперечных краях свободно
оперта (;абл 14,19, схема 1), при этом фундаменталь-
ные функции совпадают с тригонометрическими, т. е.
х
— sin Pm j >
где 11т=П1Л при Щ = 1, р,,|=Я,
?•! --= о, 130899- Ю”2;
4
Т а б л н д а 14 29
'1 ршономст ричрские величины	A’ V>4+!				
	1 i 2	]	,3			•1	| 5	
е	0	1 8 U 1	l/ th	'6 «!	
а=0,—0	fl,	7« (8	l>,	'/ - 8i	0
sin a	o, 47(590	0,		0,16^)5	0
cos a	O,S7S96	0,01390	0,9 IW	О/Ж29	1
sin 9	0	0,0588	‘/2	0,866	1
sin	0	0,707	1	0	—1.
sin	0	0,9659	7-	0,066	I
Ц 0, 171348- 10
4=0,29360-10~11.
По табл 14 22 вычисляем;
= (2502,38 -Ф
+ 1290) 1258,42а-0,29360-10~11 = 17,6327-10
a10 X* = at Fo -фх'о + Е6) R~ 4 =
=(—0,08035-2502,38 + 0,697674-7,62861 -1О”"2 -1290) X
X1258,42s-0,2936-10~11 =•— 0,615598-10~3;
aQ2 = 6,925968-10”3; а03 4 = 1,025965-10^4
an 4 = 0,107449- 1(Г~3; л,, 4 =— 0,761366-10"’3;
=— 0,134506-10~3; а„ X3 = 5,872714-10 ”3;
% 4^ 0J65882-10~"3; адэ л3 = 6,315066-Ж”3;
с444 = 7,199768-10^3.
По табл. 14 24 вычисляем:
/«1 .3 й4 ( Я2 ,>2_ 144,67-0,497128	,
Х(0,79465-10~3)3.9,9839573 (9,983957 — I)2 =
= 0,145504-IO"-’3; s33 = 1,152 9 06; sM = 69,632321.
По табл. 14.25 вычисляем:
д4 =дМФ + Р1 = 0,0393-1258,42-0,497128 ф
+ 3,23 = 27,8354 кГ/см2;
Р ) “Т"1
q„ = — Р, “+-----pR cos (ф — р4 р4 sin (ф =
1 (ф-1
10,98396
=— 3,15974 —---------0,0393 -1258,42-0,87 «96 -
8,98396
НС, СВОДЫ ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМ ТТИЧГСКИЕ скллдки
131
Т j 6 " TI и з ’ 1 30
[	1 шдн : 1	- il L d \ «х 	С О	у0	0!		Свобдд- 1 ыс члены, М1ЮЖД - 1 тель — L	Контроле шде с}ГЛ- МЬ.1
0	1,76327	—0,06156	0,6926'1	0,102596	0	2, 196906
1	—0,06156	0,010745	—0,076137	—0,013451	—35,44106	—35,58110
	D.692 К)	—0,076137	0,001822	0,016588	'220,01254	221,217."'
3	0,102596	-0,013451	0,016588	115,922107	555,04953	671,07737
£	2, W6906	—0,140403	1,234873	116,02784	739,62101	858,97779 858,97770
— 3,1597-1.3,23-0,47690= — 172,7987;
9з-=—435,933; <?4 = 716,627.
Вычисляя суммы о.C-i+sj; и умножая свободные чле-
ны па /1| = 4/л, окончательно получаем числовую матри-
цу уравнении, приведенную в табл, 14,30, При этом коэф-
фициенты при неизвестных увелнчнпы в 100 раз. Пятое
уравнение выделено согласно (14.148) в качестве неза-
висимого;
69,6414- ДЛ -912,11^ = 0.
Окончательные значения корней уравнений;
4 =215,549-IO2 — , V® = 1739,306-102 --р-
уг> =— 393,468-102 4г ; Г? =- 4,721  102 — ;
£	3	Е
К"=— 0,13-102~~- .
Усилия п прогибы вычисляются по форму там (14 14°) —
(14 153). Предварительно по табл, 14.26—1428 1гд<- </
заменяется на Ф,) вычисляем ординаты единичных функ-
ций для точек 0—5 поперечного сечения (рис. 14.40,6).
Например:
= — 31 4 sin 0Х =— 3,15974-96-0,47690 =— 144,7;
л	0,	1
Д> = Д sin —  — =1258,42 — = 629,2 и т. д.;
20,	3	2
,M32 = £/^f(p;_I)sin2.A =
Значения ординат единичных функций приведены
в 1 аб 1 1131.
а)	Нормальные напряжения в среднем сечении
Ь = 0,5ф; Zj(0,5/j)=—7,2]:
о(, (0,5 4,) =П (У2 ф,0 Д V« Е0] + Vg en2 + О’ с03) ?.2 =
= (0.21555-1258,42-4-1,73931 -964-0,39347- 144, Д 0.00472Х
>(433,5)0,17134 = 85,19 кГ1см" (параметр У2 ьо малое»!
и" влияет па напряжения п);
щ = 4б,48 кТ/с.н2; оч = 0,42, п3 = — 20,99; <щ=—67,03;
щ =-84,78.
Таблица 14 31
Значения функций gp fp Л1;/£
фикции	.V точки					
	0	1	i 2	3	4	5
"Ао	1233,12	1258,1258,42		1238,42	1258,42	1258,42
			-41,0	—80,6	—134,3	—152,3 
’/2	—144,5	0	325,67	629,2	1089,8	1258,42
	—434,0	0	889,3	1258,42		-1258,12
Оч	-723,3	0	1215,5	62') ,2	—ins; ,8	1258, 12
he		0	—	0,94	0,98	1,0
hi	4,91	2,78	—	— 399	—8,64	—9,98
Оз	72, Щ	0,33		—89,§п	0	89,86’
0л	114,71	13,89	—	- 124,8	216,1	—249,5
	—		0,212-10“”“	0,11.10“”2	О.ТЫО"”2	4.82-10““2
~Г-Уз		—	0,515	0,726	0	—0,727
	—	—	5,56	2,83	-4,99	5,76
Эпюра нормальных напряжений, построенная по вы-
численным значениям, приведена на рис... 14.40, а
Для контроля эпюры напряжений о проверяется усло-
вие равновесия продольных сил, действующих в попереч-
ном сечении при я =0,5 I:
hi
АД Со ~г АЛ Сд Д . (<т1 “г 2о» ф- о3) 4-
4
Г.  144,67-0,79465:
•9,98396-8,98396— =
2
+	' Лз -г 2<Ji Д Oj) = 0,
= 0,410-10~2Д
cos03 = 3,15974.0,87896 = 2,78;
л 0,	1
/32	- ₽? sin ' “у” — 9,98396— =—4,99.
9*
где 3 = /?01/3 = 208.53 сел.
Подставляя числовые значения и суммируя отдельно
все положительные и отрицательные члены, получаем.
109 292 ж 100 026. Расхождение около 0,3%.
б)	Сдвигающие усилия S в опорном сечении (х = 0;
Z; (0) : Zs (0,5 ()=?Д. Дуга окружности сечения за-
132
РАЗДЕЛ 14 ОЬО Точки
I J б I и ll л 1г 32
Тригономе^рпчесьис пе+нчпны				Д11			
	il	2			1	V	
е	0	’/« 0i	ys e,	7 e.	-! 0,	д'» 0s	
	e,	’/<, 0,	7s 9,	‘/й	/, 0	7„ 0.	0
sin а	0,47690	0,4^591	0, 73971	0,21587	0,16505		0
cos а	0,87896	0,91390	0,94303	0,96930	0,98629	0,9 ) 1566	1
ьга Р,Й	0	0,2588	72		0,8b6		1
sin	0	0,5	0,8bo		0,866	0,5	0
cos 3.0	J	(\86b	0,5	0	-0,5	--0,866	=4
	0	0,707	1		0		
яп p,e	0	0,8oo	0,866	n	—0,8bo	-n),86o	0
cos (ЗЩ	]	0,5		—1	—0,5	0,5	1
sin pjp	0	0,9659		—	—-0,8ob	—	1
cos p3 0	—				—	—	—
меняется вписанным ломаным контуром (рис. 14 40,6
пунктирная линия), при siovi длина участка контура
приближенно принимается равной d
So(O) = S11,(0) = A^ff0X1 =
= 900-85,193-0,1309++' = 100,4 юГ/с,и;
+ =- S« + AF0 cr.L \ =124,09 кГ/см-,
td / cr, + ср \
S„ = + +-----—£_+—+ } = i36 g
1	2 \	2	)
+ =131,28; S4 = 83,23 кГ/см + « 0.
в)	Суммарные сдвигающие силы в опорном сечении
(х = 0). Так как бортовая грань сквозная, го
+ = ds + = 96 •100,37 = 9635,1 кГ;
+ +	г (0,5+)2
7 2 =	(2о, + +) 7^ = 13824,6 кГ,
Ъ
Т, = 14 082,4 hr, Т„ = 23 239,7 кГ, + = 9051,6 +.
Проверка равновесия оболочки, отделенной от диа-
фрагм (внешняя нагрузка должна равняться сумме про-
екций суммарных сдвигающих сил на вертикальную ось);
проверка выполняется для *4 части оболочки
V Тk sin 4’fe = ф- pj	.
4.J	л ti-2
k
Сумма части внешней нагрузки, определяемой первым
членом ряда
8!г
(pRlR -р Р1)---- = (0,0393-1258,42-0,49713 +
л‘--2
4-2400
4-3,23)--------= 27055,8 кГ.
3,14"
Коэффициент 8/л2 учитывает нагрузку только от перво-
го члена ряда [формула (14 1566))
Сумма проекций суммарных сдвигающих сил на вер-
тикальную ось
+ 4- Т2 sin ф2 4- Тфзшфз 4- Т4 з1’пф4 ф Т-, з1пф5 =
=9635+13824-0,44024-14082-0,36433 + 23240-0,24587+
+ 9051,6-0,0828 = 27321 кГ.
Здесь: ф-, = 01/6; ф4 = ф5+0]/3; ф3 = фд4 0j/4; ф2 = фз+
+006 Расхождение меньше 1%
г)	Значения Зя с учетом коэффициента (14.156):
S()=S« = 123,8 кГ/сш; Sf = 153,1; +=168,9, +=162,
+ =102,7.
Эпюра сдвигающих усилит! приведена на рис 14 40,6.
д)	Поперечные моменты в среднем сечении + = 0,5 4):
луо+у =— (И М,, + V] /+, + К'1 4+) =
(—393,5-0,212 40—2 — 4,72-0,515 —
— 0,13-5,56) НО2 -- 398,8 к Л
7И3 = 540,8, М, = 214,5; М -, = 54,8 к'Г-см/см.
Эпюра моментов приведена на рис 14 40, г.
Пунктирной линиеи показана эпюра мометов только
от равномерно распределенной нагрузки /7=393 кГ)м2.
е)	Нормальные прснибы в среднем сечении
% = ®О = *7 /щ + *Ш /(J3 + V4 /« =
14 6 СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
133
=. —10~5(—393,5-4,94 - 4,72-72,69 —
3,1
— 0,13-314,71)10= =—0,75 см;
к1, =	=—0,37 см; ш„= 0,78; w„ =1,09;
J -	«3	4
ш5 = 1,14 см
Эпюру прогибов см. рис. 14 40,8.
Расчет на обратно симметричную
нагрузку
Нагрузка, равномерно распределенная по каждой <
метричиой половине оболочки интенсивностью
= 100 кГ),;?, обратно симметрична относительно
сим-
р=
оси
По табл. 14,23 вычисляем;
aea = ( <4 Fu 4- а'м F&) R~ = (0,0784035 • 2502,38 +
Г 0,227434)1258,42s-0,29359-Ю^11 = 2,276304-КГ3;
ам Х1 = (0,08035-2502,38 + 0,249184) 1258,422Х
X 0,29359  10" ‘1 = 2,429354  10'
+2 M — 1 - 352706 -10^3;
an Xf = 2,59757-IO""3;
al3 ^ = 0,105972-10“3;
а23	= 0,442356-1 О'""3;
В) WS,e»(x=^5L}
д) 6,лГ]сиг^.--0^'С)
23,64
Рис. 14 41
а03 4 = 0,0289598-10~3;
а12 7^ = — 1,3278-КГ"3;
а22 4= 6,038403-10—3;
а33 ?4 = 6,701948-10-3.
По табл. 14.24 вычисляем:
/К
2
18,0442-10“:
X 1594,87 (39,9358— I)2 =
= 18,0442- 10~~9 -2,41782Х
X Ю8 = 43,6276-10'
sS3 = 11,60325.
Система расчетных уравнений при-
симметрии сечения Система расчетных уравнений при-
ведена в габ.1. 14 21. Решение выполняется с точностью
до первого члена ряда (/и=1). Коэффициенты и свобод-
ные члены этих уравнений вычисляются по табл. 14.22—
14 25. Вспомогательные величины, входящие в коэффи-
циенты, вычислены на основании выражений, приведен-
ных в примечании к табл. 14.22:
(32 = 2+= 6,31948;	= 4!= 12,63896;
Р 5 = 39,9358;	= 159,74 33;
fjj = 1594,868; Р4 = 0,255178 • 10s;
sin 20i	0,83835
аэ = 1 - 0,5——— =1 — 0,5—------------- = 0,156807.
(ф	0,497128
При расчете па обратно симметричную нагрузку по
сравнению с расчетом на симметричную введены допол-
пиге.тьные точки 3' и 4', показанные на рис. 14.41.
Значения используемых ipm онометрических величин
приведены в табл, 14.32.
= q° Rp cos 62 =
По табл. 14.25 вычисляем сво-
бодные члены:
/} _ —] Rp cos Oj =
, COS Oj /
= (1 —-----------'j 1258,42-0,01 -0,87896 = — 1,52319;
\	0,87896 /
?2------Рз
Rp cos 8j —
2л (
cos---1
40,9358
= —6,31948------------ 1258,42-0,01
38,9358
= — 157,10089;
(0,87896 + 1) =
р3 = — 12,6531-12,5842 (0,87896— 1) = 19,4941.
Вычисляя сумму fljj/q+s), и умножая свободные чле-
ны на Л] = 4/я, окончательно получаем числовую матри-
2
134
РАЗДЕЛ 14 ОБОЛОЧКИ
Таблица 14-33
№ урав- нения	0	С		1 3	Свободные члены (множи - тель 1/£)
0	2/276304	2,4'29351	— 1,352706	0,0289548	0
	2,429354	2,59757	—1,32780	0,105972	1,939386
	—1,352706	- 1,32780	49,6660	0,442356	200/12710
3	0,0289598	0,105972	0,442356	И 609,95	—24,82067
цу уравнений, приведенную в табл. 14.33. Коэффициенты
при неизвестных увеличены в 1000 раз.
Окончательные значения корней уравнений следующие:
Г,® = 337,910-10® ~ ;
® £
о	1
У; = —318,481-Ю3 — 
1
У| = — 3,338599-103	;
1/ = 0,0043292-103 — .
3	Е
Усилия и прогибы вычисляются по формулам (14.149) —
(14.153). Предварительно по табл. 14.27—14.28 (где
заменяется на d0) вычисляем ординаты единичных функ-
ций для точек 0—5 поперечного сечения (рис. 14.41,6),
например:
1о3 =---РЛ S’n 4
= — 6,31948-96-0,47690 - - — 289,321;
50,
/, = — sin----1 = - 0,40594;
21	6
/2 ™ — Р2 ( Р„ sin 3» cos ai + cos С Osin ttj) =
= —6,31948 (6,31948-0-0,87896 ф- 1-0,47690) =
= - 6,31948-0,47690 = —3,01376;
Ж22 = 7И® Elk/, = р| ( pf — 1) sin p, 02 Elk/ =
= 39,9538-38,9538-0,5-144,67-0,631464-10^E
= 0,07102447.’ и т. д.
Значения ординат единичных функций приведены
в табл. 14.34,
а)	Нормальные напряжения в среднем сечении:
= Е (У® еи + У® + У® /2 + У® Х|;
сг0 = [337,910 (— 600,14) + (— 318,481) (— 671,378) ф-
4- (— 3,338599) (— 289,321)
ф~ 0,0043292 (—578,642)] 103-0,171345• 10~~5 =
= 20,5 кГ/см2;
Oj = — 6,1 кГ/см2;	о2 —. — 12,38 кГ/см2;
оз = — 15,71 кГ/см2;	а3, = — 15.75 кГ/см2;
о4= — 12,64 кГ/слф	сгг = — 7,01 кГ/см2;	*
о5 = 0.
Значения функций (ф Е ; tyJE
Таблица 14.34
Функции	Дэ точки							
	0	1	2	3	3’		4?	5
4о	| —600,14	—600,14	—506,539	—409,465	—309,584	—207,589	— 104,147	0
1	^41	—671,378	|	—625,596	—521,329	—417,063	—312,798	—203,531	— lfC,266	0
^ke,	—289,321	1 °	629,21	1089,79	1258,42	1089,79	6.29,21	fj
’to	-578,612	0	1089,79	1089,79	0	—1089,79	— 1089,79	0
flo	0	o	:	0	0	0	0	0	(1	;
fa	—0,47690	—0,47690	—0,40594	—0,32538	—0,24601	—0,16496	—0,082760	0
fa	—3,01376	—3,01376	,	—20,48169	—33,7305	—38,6657	—33,5894	—19,4465	0	'
fls	-6,02749	—6,02749	—129,179	—128,753	3,10931	137,484	137,339	0	:
	—	0	0,0710244	0,1230144	0,142049	0,1230144	0,0710244	
	—	0	1	2,006142	2,006142	0	—2,006142	—2,006142	0 i
1И) СВОДЫ ОЬО.’ЮЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКПГ склхдки
135
Эпюра напряжений приведена на рис. 14.41, а,
б)	Сдвигающие усилия S (в опорном сечении); контур
сечения принимается в виде ломаной линии:
So = AFoa^-.900-20,5-0,130899.10^‘ = 24,1;
S'/ = 24,1;
S? = 504~ЛР1<%^ = 24’1 +
4 390 (— 6,1) • 0,130899 • 1(Г2 = 20,82 к.Г/см;
Id / оу 4- сг„ \ я
52 = 5i + "у	= 1О178;
53 = 8,11 кГ/см; S3, =— Q,48 кГ/см
S4 = — 8,23 кГ/см, SA, = — 13,59 мГ/см;
34 = — 15,01 кГ/см,
в)	Суммарные сдвигающие силы:
Ti = Зо80 = 96-24,1 = 2313,36 кГ/см;
= 1937,610 кГ/см;
Т3 = 1261,271 кГ/см; Т3, = 398,095 кГ/см;
Т4 = —468,796 кГ/см; Tv = — 1164,431 кГ/см;
Тф = — 1549,965 кГ/см.
Проверка равенства нулю суммы проекции суммарных
1_двш ающих сил на горизонтальную ось:
Т„ Cos % + Т3 C0S + Ti' COS ^8 + Т4 C0S ^4 +
4-	Т4, cos 44, + "g cos ф. = 0;
1937,61 -0,8980 + 1261 ,271-0,93137 4- 398,095-0,9583 —
— 468,796-0,9786 — 1164,431-0,9923 —
— 1549,965-0,99910 = 3299,0 — 3160,0 « 0.
138,0-100
Погрешность	—3]6О~7Г = 4,4°0‘
Проверка равновесия оболочки, отделенной от диа-
фрагм: полный внешний крутящий момент Л1кр равен кру-
тящему моменту суммарных сдвигающих сил р отно-
сительно центра дуги поперечного сечения оболочки
(проверка выполняется для ]/4 части оболочки);
Л%р 4" Тг1, 4~ 2 Ti, (R cos <(/,) = 0;
k
0,
cos = cos —— = 0,9992;
*	12
fflKp (j 2	4 4q\Rli
44r„--. —-— - — • — =----------------
*p 2 л л rC
4 (— 1,523191 1258,42-2400
= —9------!--------’-----------= — 1864454,3 кГ см,
9,86959	‘ ’
где шкр = qtR;
TJg 4- S Tk (/( cos ду.) = 2313,36-600 +
k
4 (1937,61 4-1261 ,271 = 398,095—468,796—
— 1164,43 - 1549,965) 1257,41 = 1935976,0.
71521,7-100
Ошибка составляет	—;------—~-- = 3,80%.
1 864 454
Значения сдвигающих усилим с учетом коэффициента
Ш.156 6): So =5)' =29,64 кГ/см; Sf =25,61; S,= 19,40;
Ss = 9,97, S3,=—0,59; St = —10,12; 5],= —16,71; S5 =
= — 18,16.
На рис. 14.41,6 приведена эпюра сдвигающих усилий S
п показано направление действия суммарных сдвньт-
ющпх усилии Т со стороны торцового сечения оболочки.
г)	Поперечные изгибающие моменты в среднем сечении
(рис 14 41, в):
44=0; М, (0,5<?s) = —	Д-Д3<>3]==
= — (— 3,338599-103-0,0710244 Д-
4-	0,0043292 • 10J • 2,006142) = 228,437;
А13 - 402,009; Му = 474,245;
М = 419,379; М ,= 245,807.
д)	Вертикальные прогибы в среднем сечении
(рис, 14.41, а):
= Л, + п^ + ФТз =
= 0,323-Ю-5 ((— 318,481 ПО3) (— 0,4769) +
+ (— 3,335199-103) (— 3,01376) 4
4- 0,0043292-103 (— 6,02749)] = 0,523 см;
ш/ = 0,637;	д>) = 0,700;
щ,, = 0,670;	w. = 0,530;
Шу, = 0,293;	= 0.
Л'Т и к1® для правой половины сечения имеют обратные
зпакп (рис. 14.41, в, г).
14.6.3. Расчет диафрагм-оболочек
и складок средней длины
Диафрагмы рассчитываются как плоские стержневые
лонструкции на нагрузку от собственного веса и опор-
ного давления оболочки, передаваемого в виде сдвигаю-
щих сил. Для расчета диафрагм арочного типа удобно
згчйвпь геометрическую ось арки ломаной линией, по-
добной ломаному контуру, которым заменяется опорное
сечение оболочки при вычислении сдвигающих усилий.
После этого полученные из расчета оболочки значения
усилий Т-Л в опорных сечениях каждой грани следует
сосредоточить в узлах ломаного контура оси арки и раз-
ложить их на вертикальные Р'1/ н горизонтальные состав-
ляющие P/g Так как срединная поверхность оболочки
не совпадает с осью арки, то, помимо сил и Р^, сле-
дуем приложить узловые моменты тк. Значения этих сил
и моментов определяются формулами:
P"k = V (Tksin + ГШ1sin ’h+i);
^'ГШС05%н);	(14.157)
тс. = — ~ (ГРс 4~ Т'щуг) е0.
136
РАЗДЕЛ 14, ОЬОЛОЧКП
Экецеитрпшпп! определяется по формуле
где Ла и t— соответственно высота сечения арки и тол-
щина оботички. Злак плюс берется, когда оболочка при-
мыкает к арке ио нижнему краю, знак минус — когда
оболочка примыкает к арке но верхнему краю.
Расчет диафрагм коротких оболочек см. [37] и [25].
Расчет диафрагм длинных оболочек см, [30] и [37].
Расчет цилиндрических оболочек и складок с учетом
влияния на пх напряженно-деформированное состояние
конечных жесткостей реальных диафрагм [71а, 716, 8й,
89, 104J.
Л И ТЕР А ТУРА
1	. А. б о в с к и й Н. П., Аз ар хин А. М., Шесто-
пал Б. М., Кириллова Л. И. Программа расчет поло-
1 их ребристых оболочек для ЭЦВМ. Красноярский подтеки,
алит (учебное пособие). Красноярск, 1964.
2	, А м б а р д у м я и А, С. а) К. вопросу построения при-
бшженных теорий расчета пологих цилиндрических оболочек.
РМ?А, Pj54, А-? 3: б) О пределах применимости некоторых гипотез
юшдгх цилиндрических оболочек, Извеснш АН СССР, Огд. техн,
наук, 1454, М> 5.
3	А и о х и и а С, И, Применение тригонометрических рядов
к расчет) цилиндрических оболочек на сосредоточенную яагруз-
щ,. СБ. трудов ЛПИХ'1а «Исследования по строительной меха-
шп,.е» , вып. 190, Л., 1962.
А Б артсне в В. С. Практический метод расчета покры-
тий в виде железобетонных круговых цилиндрических оболочек,
['("-ринк трудов М11С11 им. Куйбышева, Al? 11. А\., Сгройиздат,
5.	Бнйлард П П. Напряжения от локальных иагрхзок
г. и и л и ч лричсь ких сосудах давления. Сб. переводов «Вопросы
пулнтп! цилиндрических оболочек». ИЛ., I960,
6.	Вайлара II. II, Напряжения от радиальных нагрузок
и внешних момш-пов в цилшщрическнх сосудах давления. Там
7.	В о б р о в п и к А. Е. К расчету оболочек методом сил.
С грол / ел иная механика и расчет сооружений», 1962, А7 4.
У В а й н f?e рг Д. В., Синявск и й А. Л- Дискр-етиый
анализ в теории пластин н оболочек. Д1., «Наука», 1966
9	Вайнберг Д. В.., С и ня вс к и й А. Л. Расчет обо-
лочек. Госстройиздат УССР, Диез, 1961,
10.	Вайнберг Д. В., Ройтф арб Н. 3. Расчет пла-
стин и оболочек с разрывными параметрами. Сб. «Расчет про-
странственных конструкций», вып. X, Стройиздат, 1965.
11.	Вас я л ь к о в В. С. Расчет коротких цилиндрических
ободочек с учетом трещпнообразоваипя. «Строительная механи-
ка и расчет сооружений».
12.	Васильков Б. С. Расчет оболочек с несимметрич-
ным сечением М,, Госстройиздат, 1962.
13.	Васи л ь к о в Б. С., М и л о й к о в с к и й И. Е. Экс-
пер именталыно-теоретическое исследование сборной желе зобе-
тонной оболочки. Сборник ЦНИИСК АСиА СССР «Эксперимеи-
нлъные и теоретические исследования по железобетонным обо-
лочкам». М., Госстройиздат, 1959.
14.	Власов В. 3. Новый метод расчета тонкостенных приз-
матических складчатых покрытий и оболочек, М., Госстройиздат,
19.13.
15	Власов В. 3. Строительная механика оболочек.
О1ГШ, 1936.
16.	Власов В. 3. Общая теория оболочек. ГПТТЛ. 1949.
17,	Власов В. 3. Избранные труды, т. I, Изд. АН СССР.
1Ш2.
18.	В л а с о в В. 3, Избранные труды, т, II. Изд. АН СССР,
1уоЗ,
19.	Власов В. 3. Избранные труды, т. Ш, «Наука», 1964.
20.	Власов В. 3., Мрощи некий А. К. Контактные
•>плачи по теории цилиндрических оболочек, подкрепленных про-
.а явными ребрами. Сборник ЦНИПС «Исследования по вопро-
< м теории и проектирования тонкостенных конструкций». М,,
I ..гстрийнздат, НПО.
21'	. В о л в м и р А. С, Гибкие пластинки и оболочки, ГИТТЛ,
Ад
22	Гаранин Л. С. Расчет пологих оболочек, Стройи’,дат,
20	Гвоздев А. А. К расчету тонкостенных цилиндриче-
(-1.их оболочек. «Строительная промышленность», 1932, Ху 1.
21-	Г в о з д о в А. А. Еще о безмоментной теории оболочек.
Гт рос Ы'льная промышленность», 1933, М> 2,
23.	Г воздев А. А., Мурашей В. И., Г о р н о в В. И ,
Б л а с о .в В. 3. Инструкция по проектированию si расчег-,
чш-'i 11 i I ч I j х тонкостенных покрытий я перекрытий, ЦНИПС,
О111И М>, Стройиздат, 1937я
26	Г п л ь м а н Л. С. К рш-чсну желе>обе.гинных цилиндри
ческих оболочек. 1руды Ленпш радыми о и.нс.ыиу1а янженгрно-
ПрОМЫШЛеНИО! 0 ШриИ ! ОИп ЫИ1, выи. 193ч.
27.	Г ил ь м а н А. С. К pacueiy изогрош’ых цилиндрических
оболочек под проиочильной нглрузкон. Цпды Высш, военно-
морск. инж.-cip. училища РКМФ. 1939
28	Годунов С. К. О -численном решении краевых задач
лля систем линейных ооыкноиенных дифференциальных уравне-
ний «Шпеки матсм. наук», т, Х\"1, вып. 3, ("Я,
29,	Г о л ь д е и в е и з е р А. Л. Имран упругих тонких обо-
лочек. М,, Гостехт сориздат, 1933,
30	Г о р е и ш I е й н Ь. В. Формулы и трафики для усилий
в цилгшдрцческих оболочках и диафрагмах, «Шроительная ме-
ханика и расчес сооружений», 1964, АЗ 1.
31,	Г р и г и р с н к о Я. М , Б е » полова Е. И., Вас и-
тонко .А. П. и др. Численное решение краевых задач в ста-
тике ортотропных слешеtwx. оболочек вращения иа ЭВМ тина
ЭМ-220. Методическое пособие. Киев, Шау^ова думка», I97L
32.	Д а р е в v н и В М. Решение некоторых вопросов тео-
рии цилиндрических оболочек, ПММ. г. XVI, вып. 5, 1952.
33.	Дикович В. В. Подот'ис прямоугольные а плане обо-
лочки вращения. М,, Гоестрийи nvai, iW1.
34.	Дишингер Ф. Оболочки, тонкосюишче железобетон-
ные купона и своды. М., Госстройиздат, 1932.
35	Ж е и о ч к и н а В. Д., М ь к ш и с М. М. Таблицы для
расчета средней длины цилинщшческих крутовых и призматиче-
ских оболочек, опертых но всему конуру. М.., Стройиздат, 1967.
36,	И м м е р м а н А. Г, Расчел ортгрошюй цилиндрической
оболочки на поперечную нагрузку. Сб. «Расче! пространственных
коис'рукш'й;-, вып. 111. М., Госстрощы тат, 1955.
37,	Инструкция по проектирован?!.о желеюбетоиных тонко-
стенных пространслвенны.х попраний и перекрытий. АСиА СССР,
ШП1ЖБ и ЦНИИСК М.. Госстрой;! ;да1. 1961,
38.	II т ц х а к и Д, Расчет при нса:ическнх и цилиндриче-
ских оболочек покрытий. М., Восприми щат, 1963.
39.	К а л ь м е й е р А. Ф, Аль'ритм и программа расчета
пологих ребристых оболочек е переломами средкшпш цовср.хш’-
сги. В со.: «Организация и .ш толика строительного проектиро-
вания с применением 5шчнелнтельнт) и оргапи ищнонной техии-
М1», ГИПРО1ИС. Реферативная информация. Серия X, въш, 7,
М., 1971.
40-	Каи С, II. Строительная механика обаточек. «Маши-
ностроение», 1966, Ab 1.
-Н. Кол кунов И, В. Основы расчета упругих оболочек,
«Высшая школа», 1972.
ч2.	Кузьм и н И. Л., Л у к а ш П, А., М I. леЙков
ск ий И. Е. Расчет конструкций из тонкостенных стержней
и оболочек. М., Госстройнздаг, 1960.
43.	К У л а г и а А. А., К о р м « р Б. Г. Расчет пологих обо-
лочек покрытий с учетом действптедыюй жесткости контурных,
элементов. Сб. «Строительное проект ированне промышленных
предприятий», 19е8, А'у 2.
44.	Ла ул ь X. X. Расчет цилиндрических оболочек с кри-
волинейными частями, очерченными по окружности. Труды
Таллинскою политехническою инсымута, .Аз 50 Таллин. 1953.
45.	Л е с с и г Е. IE, Л и л ее в А. Ф., Соколов А. Г»
Мет аллические листовые конструкции. М., Сгройиздат, 1970.
46.	Лес си г Е. Н. Расчет конюльных иилпндрическшх обо-
лочек на неосегимметричныс пепсуи-чные нагрузки. Сб, трудов
МПСП им. Куйбышева, ,М 43, I ос. н:р, чно-т i \и. изд. лиг. по гор-
ь-.)му делу, 19р2.
47.	Л и п н ицкп й М. Е., Горен ш т е й н Б. В,, В и я о-
грпдов Г. Г. /Келеитбетоияые прострашчвенпые покрытия
зданий.
•18. Л у к а ш П, А. Расчет пологих оболочек н плит с уче-
том физическом м геометрической шх-ишшшости. Сборник «Рас-
чет конструкций, работающих в упруго-пластической стадии». М.,
Госх-гройнздат. 19bl.
49.	Jl у и и н В. С. Балки посюхимого п опер с 4)1 от о сечения,
лежащие на упругом основашти, «КУЬУЧ», 1933.
50.	Лурье А. И. Концентрация напряжений в области от-
верстия на поверхности кругового цилиндра, ПММ, т. X, вып. 3,
19 А.
51.	Лурье А. 11. Статика тонкоыснных упругих оболочек,
М , Госсгройиздаг, 1917.
52.	Л ь в и н Я. Б. Сопротивление сферической оболочки
краевым циклическим воздействиям, Сб. «Расчет пространствен-
ных кошчрукний4, вып. V. М., Госстройиздат, 1959,
53	Л ь в д и Я. Б, Сопротивление конической оболочки крае-
вым циклическим воздействиям. Сб. «Расчет !.<рошранственных
КО!!, Трукций- , ВЫ!]. VI. zM., Г\ К'СТр ой из л а г, 1961.
51.	Л ь в и н Я. Б. Сопротивление оболочек 'вращения крае-
вым циклическим воздействиям Сб «Расчет пространственных
конпру кшг1Г', вып. VIE М., Гос. гронт! з,- ат , 1962.
55, Ляв А. Математическая т_орн;1 '-пруюш.и, ГТТИ, 1935
(перев. с англ.).
,')6. Мальков В. М. Расчет цилиндрической оболочки
с коы.гд срезом, Ленинградец, гос. унинертитег нм. Жданова,
Л кследовашн! п? с яры ос, и и пл аш ичшктн», ьып. 3. Изд. ЛГУ,
Л , ИМ
"7. .М и л е й к о в с к и й И Г Некоторые практшшскш’ за-
дачи По рас-иду siuKpuin.H ыш_ цилиндрических оболочек, В сб.
ЛИТЕРАТУРА
137
ЦНИПС «Исследования по вопросам теория и проектирования
тонкостенных конец?} кцтш», М., Госсгро/шщдг, 1950,
58.	М и л е йков ск и й И. Е., Вас и л ь к о в Б. С. Рас-
чет покрытий и норокрь.-’Лй из пологих выпуклых оболочек двоя-
кой кривизны. Сб. ЦНИПС «Экспериментальные и теоретические
исследования тонкое генных пространственных конструкций». М„
Госстройпздат, 1952.
39.	М плей к о в с к и й П. Е. Расчет оболочек и складок
метолом перемещений М , Госсгройиздаг, 19150,
(А Милейковскнй И. Е. Расчет железобетонных ци-
линдрических сводов оболочек. 61., Госстройиздат, 1963.
61.	М и л е й к о в с к и й П, Е., Доренб ау м И, В. Ме-
тод расчета покрытий на оболочек, очерченных по поверхности
гиперболического параболоида. Сб. «С ipo тельное проектирова-
нне промышленных предприятий», 19(35, № 3.
62.	М и л е й к о в с к и й IE. Е. а) Новый вариант х-равнопий
смешанного метода расчета складок и оболочек. «Строительная
механика». М., Ст рой щ, л ат, 1966: б) Практические методы рас-
чета оболочек и складок покрытий. Сб. ЦПИИСК нм. Кучерен-
ко М., СтроТшчдац 19/0.
63.	М и л е й ковскпй П, Е., Золотов О, И. а) 1< рас-
чету складчатых систем на ЭЦВМ. Сб. ЦНИИСК им, Кучеренко
«Строительные копит рхкпип», вып. 6. Расчет ободочек, 197г). Ро-
тапрннтное издание/ 6} Вариационный метол пехотных мраппе-
Ш1Й при расчете складок и особенности напряженного состояния
оболочек екладчанло типа Сб «Пространственные конструк-
ции тдаипй и сооружении», ДЕ, Стройиздат, 1972,
61.	М н ш о и о в М. К теории пологих оболочек. ПММ, XXII,
вып. о, 1958.
65.	М р о щ и и с к ч й Л. К. Расчет цилиндрической оболоч-
ки на сосредоточенные силы. сб. «Пластинки и оболочки». М.,
Гощ тройне дат, 12 У).
НЕ HaiapoB \ Л. Основы теории и методы расчета по-
логих оболочек. М, Сгройшдат, 1966.
67.	Ники ре ев В М. Раздольное применение белмомент-
ной и моментной -и оряй к расчету пологих оболочек Трмды
IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ер —
ван, 21— Я октября 1962 г. Изд-во АН Армянской ГСР.
68.	Н и к и о с с в В М.. Hi а д v р с к и и Б. ТЕ Практиче-
ские методы расчета оболочек. Сгройизлат, 1966.
69.	Ново ж и л о в В. В. Теория тонких оболочек. 2-ц изда-
ние, Гос. союзное издательство судостроктельной промышленно-
сти, Л., 1962.
70.	Овечкин А, М. Расчет железобетонных круглых ре-
зервуаров. М., Сгройиздаг, 193(6
71.	Одинцов М И, а) Расчет цилиндрической оболочки
с учетом упругой податл-ипосги опорных диафрагм «Строитель-
ная мсхашжл и расчет соору/кеяий», 1962, № 5; 61 К расчет v
диафрагм цилннлричеч них оболочек. «Строительная механика
ч расчет гоорУЖ’пий», ИМ. А1- 5.
72.	П а в и’л а й н е я В. Я, Распет многовотповых покры
тин. Сб. «Расчет иросгогшывениых конструкций-, вып, ХШ.
ЛЕ, С (ройищат, НПа.
73.	Пас1”р н а к П. Л. Практический расчет складок
и цилиндричщг.их оболочек с счетом изгибающих моментов.
Информационный бюллетень НКТП, 1932.
74.	Паттерна к ГЕ Л. Практик скнй расчет складок и ци-
линдрических оболочек с учетом изгибающих моментов «Проект
и стандарт1-', 1933. М 2.
75.	Пастер и а к П. Л. Оболочки двоякой кривизны
в гра/кданехом и промышленном строительстве. Известия ЛСп.Х,
196’), № 3,
76.	Пастер и а к П Л. и др . Железобетонные конструк-
ции. Сщциалыгын кзре. М . IV ’трсчшздат, 1961.
77,	Пирогов И. ЛЕ Гасир’деление напряжений около си-
верстия в шизнилри’инжой <160,704x0 при действии сосредоточен
рых сил. Ил?. АП СССР, О1Н, Сер. мох. и маш № 2, 6959.
78-	Попов И, Г. Приближенный расчет длинных цилиид
ричсских ободочек «Расчет пространственных конструкций'',
вьш. VI. М . Госсгройшлат. 1961
79.	И щ е и и ч и о в Г. И. Расчет сетчатых цилиндрических
оболочек Пн. АН СССР, 1961.
80.	Р ж а я и п i.i я Л. Р. Об определении тенториальных гео
метрических х<?р <кг<’рш"тпк сечениа ..-онкое?ошю'1 о сгержчя
роч произвольных -и юр). Труды лаборатории строительной меха-
ники ЦНИПС, М, Пропищат. HU1.
81.	Ржаннпыл Л. Р. Расчет тонких безмоментных обо
дочек врлиочгия м итой криви ыы hi ярой цюдьпмю нагружу. Тру-
ды лаборатории сци-игидыюи механики Ц1ИП1С. АЕ, Строщп
цат, 1949,
82.	Рж а н ицы н А. Р, Безмоментные пологие оболочки. Сб„
«Расчет пространственных конструкций», вып, HI. М., Гож
изд-во литературы по строительству и архитектуре, 19о5„
83,	Ржаннцыв А. Р. Пологие оболочки и волнистые на-
стилы (некоторые вопросы теории и расчета). Научное сообщение
ЦНПИСК АСиА СССи, вып. 14. ЛЕ, Госстройиздат, 1969.
8Е Слез пнг ер II. И. Решение основных уравнений по-
лу безмо.ментной теории цилиндрических оболочек, «Строительная
механика ц расчет сооружений», 19и6, № 1.
85.	С м ир нов А. Ф., А л ександров А. В., Шало ги-
н и к о в П. Н., Я а щ е н и к о в Б. Я. Расчет сооружений с при-
менением вычислительных машин. М,, Стройиздаг, 1966.
86,	Строительная механика в СССР 1917—1967 гг. Ра/дел
«Расчёт оболочек и других тонкостенных конструкций». Строй-
изд ат, 1959.
87.	Справочник проектировщика промышленных, жилых и об-
щественных зданий и сооружений Расчетно-тсорегическнй, Под
род. проф, А. А, Уманского, М., Госстройиздат, 1961.
8а, с у ругацк и й 10. М. Некоторые вопросы расчета
призматических складок по полубез.моментной теории. Сб. «Рас-
чет пространственных конструкций», выл, IX. М., Госстройнз-
дат, 1964.
89.	Стругацкий Ю. М. Расчет ортотропных цилиндриче-
ских оболочек в главных координатах. Сб. «Расчет просчранст-
вениых конструкций», вып. XII. М., Госстройиздат, i960.
99.	С у м б а к Л. А. Расчет предварительно напряженных
цилиндрических железобетонных оболочек с учетом жесткостей
крччепия и юризонтального изгиба бортовых элементов. «Тру-
ды Таллинского политехнического института», К? 161. 1959.
91.	С v м б а к А. А. Экспериментальные исследования пред-
варительно ианря/кеяных цилиндрических оболочек. «Труды Тал-
линскою политехническою института», № 163. 1939,
92.	Т и и ошенко С. П, Пластинки и оболочки. ОГИЗ Гос-
техыдат, 1918.
93.	Т й м о ш е н к о С. ГЦ Бойцовски й - К р и rep С.
Пластинки и оболочки. Физматгиз, 1963.
91	Гюленев Л. И. Расчет цилиндрической ободочки
и шпангоута на сосредоточенную нщрузку. Сб, «Расчет про-
странетвеиных'. конпрукций», вып, V. ЛЕ, Стройиздат, 1959.
9а. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек
п пластинок. Обзорные доклады. М., «Наука», 1976.
96.	Ф и н к е л ь ш т е й н Р. ЛЕ О напряженном состояния
круговой цилиндрической оболочки, имеющей нал а линию откло-
нения од правильной формы; Лен?щградск. гос. университет
им. Жданова. «Исследования по упругости и пластичностью,
сб. 1. Изд. ЛГУ, Л., 196Е
97.	Ф дюгге В, Статика и динамика оболочек (пер с не-
мец-) 5Е, Госстройиздат, 1961,
АЗ. Филин А, П. Элементы теории оболочек. М., Строй-
издаг, Л., 1Жо,
99.	Пере и и и а В. С. Статика тонкостенных оболочек вра-
щения «11аука’->, 1968.
19/)	Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Изд. Л1У.
Части 1, 1962, част. И, 1961.
101.	LH акра м а н о в Г. С. Расчет тонкостенных цпличдри-
ческих оболочек по обобщенным формулам. АН ГрузССР. Треды
научных корреспондентов ин-ia строительного дела, т. 1, Тбили-
си, 1935.
192. 1П т а с р м а н М. Я- Основные идеи современной 'гес.пии
куполов и сводов. Труды Всесоюзной конференции по бег оду
и жслезобсгону. 1932.
163. Ш т а е р м а н П, Я.. Расчет купола как арки ка упру-
гом щновашш. «Проект и стандарт», 1933, № 9.
101 1Н т е л п б е р г М, В. К расчету неразрю.ных идпинтри-
ч-’ских оболочек, «Строительная механика и расчет сооружо-
шш -. 19(Е,	6,
Кб. Щопотьев А. С, Экспериментальные исследования
жслегобхгенной цилиндрической оболочки. «Проект и стандарт*,
193о, А'<= 11.
]|)и. э стр ни М. И. Расчет цилиндрической ободочки, юы
чреплениой по косому контуру. И-.в. АН СССР. OIH мех. и ма-
шиностр.. г. 2. 1932.
107. Э стр и и лМ. П. Р-зсчег цилиндрической оболочки, за-
«рстенной по косому контуру. Изв. АН СССР. ОТН. Стр. мех.
и маш. Ав 2, 1959.
108 Второй международный конгресс по топкостенным обо-
лочкам покрытием (пер с англ,, франи. и нем.) под р.'дакптшй
А, А. Гвоздева. М , Госстройиздат, I960.
Ш9. Симпозиум пл проблемам взаимосвязи проел?чроваипя
р вощеде'нця оболочок для проп щодс:венных и общеегвеншзх
зданий с большими продел амщ ЛЕ, Госстройиздат, 1966.
РАЗДЕЛ 15
МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
15.1. ОСНОВЫ МЕТОДА СЕТОК
Аналогично (рис. 15.1,6):
Метод veroK, или метод конечных разностей, нашел
широкое применение при решении различных, задач ме-
ханики. Этому за „оследине годы способствовало внедре-
ние в практику электронных вычислительных машин.
Основная идея метода состоит в замене точных значе-
нии производных их приближенными значениями через
конечные разности или дискретные значения функций.
Пусть, например, дана функция двух переменных
F = F(x, у) и надо вычислить частную производную
дР(дх в узле i (рис, 15.1, а).
rl"F
йу-
Fn 2Fi + Fm
Запишем еще третью и четвертую производные:
dAF _ Ft — 2 (Ft — Ffl) — F,
(15.3)
rVF F, — 4F'i + 6Ft — 4Fk + 4
=--------------(15.5)
X
Аналогично
+ .4FCT+Fa
Рис, 15,1. К замене производных разностями
Для смешанных производных:
дхду	44 Ру	’	( °’ }
(FF 1
7	=	j4F/ _ 2 (Fn щ Р/ + р + р } щ
да+у- Л
X ^у
+ (F9 + Fp + PrA~F0)l-	(15.8)
Если АВ есть касательная к поверхности F = F(x, у)
в узле I, параллельная плоскости ху, то точное значение
производной равно тангенсу угла (tsya) наклона прямо»
к оси х. Приближенное значение для производной можно
получить, если вместо прямой АВ рассмотреть прямую
/1|В]; тангенс угла наклона прямой Л,В1 приближенно
представит первую производную в точке i:
OF
дх
F, -- Fh
2лх
Аналогично
В некоторых случаях необходимо применять уточнен-
ные н односторонние производные. Уточненные значения
первой и второй производных з точке ::
dF 1
ь ps + 8FA_8^ + Fi), (15.9)
(JX	i & Лд»
Пли
(PF 1
“ =--Д—- [(4 + 4) - (4 + Ад]; (15.9а)
р-р 1
ь 4 щ +4 _ 30F. +
12Л®
dF JFn-Fm
ду 2Л,.
где кх, ку — шаги сетки.
Вторые производные можно получить, записав в числи-
теле разность первых разностей, т. е. вторую разность,
а в знаменателе — квадрат шага сетки:
o2F (Ft — Рр — (F, — Fxi	F< — 2F, 4- Fi,
AX- У - p • TO)
+ 164-4].	(15.10)
Односторонние производные в узле i мо<ут быть пред-
ставлены следующим образом:		(15.11)
dF d.t	Fl - Ft Ат	
Л ти dF <1х	А, - 4 ЛА-	(15.12)
(15.1)

15 1 ОСНОВЫ МЕТОДУ СЕТОК
139
Уточненные значения односторонних производных в уз-
ле k:
._J^(^3Fk + iFi ^plY
дх | k дх
(15.13)
Также
у-	(- 3FS - lOFk + ISFi -
OX l/г 12лс
— 6F/ — F/);	(15.14)
d2F I I
~~T -----------(11FS - 20 F R + 6FS +
U	12л~
+ 4F/--F0-	(15.15)
Замена точных значений производных конечными раз-
ностями сводит задачи, описываемые системами диффе-
ренциальных уравнений, к задачам решения систем алге-
браических уравнений. Общие методы их решения зцесь
не рассматриваются. Некоторые из них можно найти
в разделе 2,2, а также в специальной литературе [8, 10,
29]. Здесь основное внимание уделено построению раз-
ностных уравнений и формулировке граничных условий
в задачах расчета пластин и оболочек. Рассмотрены так-
же некоторые частные способы решения систем раз-
ностных уравнений, существенно связанные с особенно-
стями исходных дифференциальных уравнений или со
спецификой самого метода сеток.
15.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
15.2.1.	Плоская задача в напряжениях
Для решения плоской задачи теории упругости исходят
из бигармонического уравнения
cFF д*Р	fPF
----4 2-------l--------
дх* ' дх2дуг ду*
(15.16)
Покажем, как методом сеток найти интеграл уравне-
ния (15.16) при заданных на контуре значениях F
и dFjdn,
Используя ('15.5), (15 6) и ('15,8), можно уравнение
(15.16) для узла i (см. рис. 15.1,6) записать так:
Д (6а5~г 8<х0+ 6) — 4 (Fп ~(-anFi -I- Рm -]--a0Fj,) (a0 ф- 1)
-+ 2atl (Fq + Fp 'r Fr + Fo) Д F,. F^-P
+ F!lF-F,ap ---0.	(15.17)
Через u обозначена величина
a,r lyj -	(15.18)
В случае квадратной1 сетки (а=1) уравнение (15.17)
упрощается:
20F, - 8 (Ffe т FS ;- F„, 1 F„) Д 2 (F„ Д Fp +
4" Fq i Fr) -J- F., -p F( -•]- Fu -J- Fv - 0.	(15.19)
В качестве примера рассмогрим ход решения задачи
о плоском напряженном состоянии квадратной балки-
стенки (рис. 15 2, а), находящейся под действием силы
посередине Найдем па контуре области значения F
и dF/dn, исполыуя рамную аналогию будем контур бал-
ки-стенки рассматривать как замкнутую раму. Разрежем
раму внизу посередине (рис 15 2,6’) и для этой основной
системы построим эпюру изымающих моментов (пока-
зана сп тошной линией) и эпюру продольных сил (пока-
зана пунктиром). Значение функции напряжении F на
контуре балки-стенки равно изгибающему моменту,
а нормальная производная 5Р!дп равна продольной си-
ле в соответствующем сечении рамы.
Правило знаков сформулируем следующим образом
Будем откладывать изгибающий момент со стороны рас-
тянутого волокна; тогда изгибающий момент, построен-
ный внутри области, соответствует положительному зна-
чению F, а построенный вне — отрицательному значению
F, Продольную силу считаем положительной при растя-
жении; положительная продольная сила соответствует
положительному значению дР/дп.
Из (15.1) следует, что
F;=-F/U27.V.	(15.20)
Выберем сетку, изображенную на рис 15 2,'.’ с шагом
7 = 1/6. Неизвестними являююя щаченпя F в отдель-
ных узлах, В силу симметрии количество неизвестпых
значений функции F при выбранной сетке равно пятиад-
ца-1 и.
Значения F на контуре легко находим из эпюры 'VI
(см, рис. 15 2,6):
PI.	Р1
=	Fjj = ,ИП ;
140
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
о
р
12 .
F;V = Fv =- FV! = ,.. = Fxni = 0;
dF	I _	dF	I	_	dF	I
dy	|1	dy	In	dy	lin
dF	|	_	OF	I _	_	dF	| _
dx	lv	dx	|vi	’	’	dx	|ix
На основании (15 20) запишем выражения функции
напряжений F во внекоптурных узлах cti, an и др Они
нужны при составлении уравнений в предконтурных уз-
лах. Имеем:
F = Г •
г
= F(
Fa- Ш
3
I
F„ =хР~2 —
“VI «	6
р = р •
“11	2’
I
6
Р__
2 ’
2
И т
Д-
F,,	— F
“XI- ?15
Составим уравнения для характерных.
области (см. рис. 15.2, я):
для узла 7
20F, - 8 (2FS + F4 4- Fln) 4- 2 (2F5 + 2FU) +
узлов сеточной
торые особенности Они заключаются в том, что по за-
данной нагрузке функция напряжении на контуре обла-
сти определяется с точностью до слагаемого вида
(-1 + Fax С3у	(15.23)
В случае односвязной области константы Ct могут
быть заданы произвольно и, в частности, приняты рав-
ными нулю, так как уравнения Сен-Венапа, устанавлива-
ющие связь между компонентами относительных дефор-
маций Ба:, е„ и yXi), выражают необходимые и достаточ-
ные условия сплошности плоского односвязного тела.
Если тело ограничено миогосвязной областью, то эти
уравнения недостаточны для удовлетворения неразрыв-
ности деформаций. Должны быть выполнены дополни-
тельные условия. Этот вопрос рассматривается в рабо-
тах [28, 31]. Трудности решения плоской задачи теории
упругости для неодносвязных областей можно обойти,
если пользоваться уравнениями в перемещениях. Боль-
шие возможности решения плоской задачи, а также дру-
гих задач теории упругости открывает метод сеток в со-
четании с конформным отображением. Используя
различные системы ортогональных криволинейных, коор-
динат, можно достаточно точно исследовать поле напря-
жений плоских областей сложного очертания, включая
неодиосвязные области. Указанный метод изложен в ра-
ботах [14, 28].
15.2.2.	Двойной итерационный процесс
решения плоской задачи
для узла 5
20F5 — 8 (F4	F6 ф- Fe Ц- Fs) 4- 2 (Fj 4" F? 4" F4 4*
Pl
+ f9) f5 + Fn + ~ = 0;
о
для узла 2
Р1
6
Pl	Р1 \
_i_ ——-- _р f6 4- .	4- F? 4- Fs 4- F2 = 0 •
12	4 /
Таким образом можно составить систему 15 уравнений,
решить их и найти значения функции F во всех узлах
сетки После этого составляющие напряжений находят по
формулам:
Для решения систем алгебраических уравнений наря-
ду с методом Гаусса представляется целесообразным
в случае матриц высоких порядков прибегать к итераци-
онным методам, особенно учитывая специфику современ-
ных цифровых машин. С этой точки зрения оказалось
'удобным при решении плоской задачи разностным мето-
дом заменить бигармоническое уравнение относительно
функции напряжений
Ц2Ц2Е = 0
системой двух уравнений второго порядка:
52F	d"F
+	= f(x,y);
дх2	ду2
d2f	d2f
—I —= о
дх2	ду2
(15.24)
(15.25)
(15.26)
d2F	d2F
л dy2 v дх2 '
d"-F
где
(15.21)
итч на основании
в }з.ю I равны:
’' дхду
(15.2), (15.3) и (15.4). Напряжения
F/-2F, + Fk
Представим уравнения (15 25) и (15 25)
форме, приняв квадратную сетку с шагом
(см. рис. 15.1,6).
Уравнение Пуассона
Fk 4- F, 4- Fm + Fn- 4Ft
”	= /о
разностной
Хх  !j ~~~~ К
(15.27)
*	7.3
Fn — 2F,- 4- F,
О// —	,
уравнение Лапласа
7,2
= 0.
(15.28)
(Fn + Fp) - (Fg + F4
i и —
(15.22)
этих систем
4Т.2
При решении плоской задачи для неодносвязных обла-
стей, например пластин с отверстиями, возникают неко-
Двойной итерационный процесс решения
уравнений сводится к следующему. Во всех внутренних
узлах сеточной области задают произвольные начальные
значения F и находят первые приближенные значения f.
Эта операция состоит из двух частей. Вначале опреде-

74
в
а
15 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
 ,  J41
ляют контурные значения 4<-,п.г, подставляя в форму-
ты (15 27) соответствующие начальные шаченяя пред-
контурных ординат и известие на контуре я в его окре-
стности контурные и законтурные значения функции
напряжении F. Законтурные значения функции напряже-
нии находят по экстраполяционной формуле
, I дР 1
^зак ~ 5koIlT26 I -	1	.	(15,29)
\ оп г<хи’п~г
При известных па контуре значениях [кпнт находят
значения во внутренних узлах сетки, решая задачу Ди-
рихле для уравнения Лапласа (15 26) по формуле
гП~Г1 1 ГП ! Ш. рт+1
(15,30)
Индекс п относится к первоначальным значениям f,
а п+1—к исправлшшнм.
Численное решение этот уравнения может быть вы-
полнено с помощью иi«рационного метода верхней ре-
лаксации [10, 33, 39].
После решения уравнения Лапласа переходят к ис-
правлению первоначально принятых значении F при по-
мощи формулы
f (п+1) + р(П) + рЛ)	р(« + 1) _ }2
Операция (15.31) совершается однократно Далее, ис-
пользуя исправленные значения	в предконтур-
ных узлах сетки, находят новые значения Ефаят на кон-
туре, затем итерационным путем решают уравнения Лап-
ласа и 1. д.
Процесс повторяется до тех пор, пока сумма квадра-
тов разностей (л)-го и (п+1)-го прибтижении по всей
области не оказывается меньше заданного числа. Эти
значения функции считаются окончательными, и па ним
находят напряжения в узловых точках пластины,
Для ускорения процесса итераций при решении урав-
нения Пуассона используется метод нижней релаксации
[33, 39).
Описанный двойной итерационный процесс решения
плоской задачи лето реализуется с помощью ЭВМ
В настоящее время имеются типовые программы, позво-
ляющие решать таким способом задачи о плоском на-
пряженном состоянии для областей, вписанных в сетку
с числом узлов бо ice 1000.
15.2.3.	Решение в перемещениях.
Вариационный метод построения
разностных уравнений
Решение тоской задачи для
иеодпосвязиых областей
во многих случаях упрощается при использовании урав-
нении в перемещениях:
дЛ.	1 — V	д211	1 С- V	дх	1
дх~	2	' diF	1	2	дхду	
	1 4- v	дЛ t	дЧ>	1 — V	дХ> dXi +
	в.)	дхду	' <HF	2	
			Тг-°’		(15.32)
где
Eh
и, v — компоненты вектора перемещений, направленные
соответственно вдоль осей х и у, X и У — компоненты
массовых сил; В — жесткость.
Хотя в (15 32) число неизвестных удваивается, полу-
чение их копс’шо-разиостного аналога благодаря понч-
жеиию порядка уравнении упрощается. Кроме того, ре-
шение в перемещениях особенно удобно для вывода раз-
ностных уравнений вариационным методом. Этот метод
вывода сеточных уравнений отличается от обычно ис-
пользуемого тем, что конечными разностями заменяются
производные не в уравнениях (15.32), а в выражении
потенциальной энергии Л, представленной функционалом
В	1 — v Г/ ди V | ди	ди
2	2	[\ ду / ' ~ ду	дх
— (Хи ф- Yv)\ dx dy,
(15.33)
где S — рассматриваемая плоская область.
После замены в (15.33) производных конечными раз-
ностями сеточные уравнения находятся как необходимые
условия минимума потенциальной энергии. Матрица ко-
эффициентов этих уравнении всегда (независимо от гра-
ничных условии и формы контура рассматриваемой об-
ласти) симметрична и позволяет применять для решения
системы наиболее эффектвцые численные методы, легко
реализуемые на ЭВМ.
Рассмотрим описанный способ составления сеточных
уравнении подробней [11, 12, 13, 25, 26].
Наложим на рассматриваемую плоскую область S пря-
моугольную сетку с шагами 7,х и X,, (рис, 15 3, а') и бу-
дем искать перемещения ее узловых точек.
Введем вспомогательную сетку с шагами 4/2 и ?.„/2
(рис. 15.3,6). Присвоим каждой ящике этой сетки но-
мер ее нижней левой угловой точки j (например, на
рис 15 3,6 прямоугольнику idha присваивается номер 1}
и назовем 5, его пересечение с S Ес.нт обозначить через
П; значение функционала (15.33) при S—S?, можно за-
писать:
S-=VSy;	+	(15.34)
1	I
Заменим диффереициалышс выражения в функционале
П, конечными разнос!я'ш Считая основную сетку доста-
точно мелкой, можем принять для областей S,, 5,, Sr, Si,
(па рис 15,3,6 заштрихованы наклонными линиями):
и(х,у] ty; и(х,у) = иу
для областей S(, S„, S,, S(на рис, 15 3,6 заштрихова-
ны вертикальными линиями):
ди	и;—11 i	ди v, — V/
дх Хх ’ дх К г
для областей Sr, Sg, Sri, S, (на рис 15 3,6 заштрихова-
ны горизонтальными линиями):
ди	U; — и„ ди	О; —- 1>п
ду Хи	’ ду 7,а
Кроме того, истинную нагрузку е компонент,эш; Y р
(включая и контурные силы, которые можно рысчац i
142
РАЗДЕЛ 15 .МЕТОД РЕЗОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
вать как частный случай массовых) заменяем статически
эквиватептяой с компонентами А' и Г, так чго в области
S“ = St+S<+.S/4~'SfJ (на рис. 15.3,6 она заштрихована
наклонными линиями):
dv	и/ — и i
ух dy = р . Л Л
'Зу	К
X(x,y)-.Xi; Y{x,y)-=~YU
где
11 A' udx dy =--= \ X и dx dy =~ F\ X[ ui
e.)	(Л)
Рис. 15.3. К. выводу разностных уравнений вариа-
ционным методом
И T 11.
После замены дифференциальных выражений конечны-
ми разностями необходимые условия минимума ночной
энергии сводятся к системе алгебраических уравнений.
д'П _ дПу дП yi дП/
<Jul Хял ищ ' ovi ZJ dvi
i	1
(15.35)
где / пробегает все узлы, а г —только основные.
В л<1л»дое уравнение системы (’5.35) входят значения
неизвестных перемещений лишь в девяти узлах. В этом
нетрудно убедиться, приняв во внимание, что значения
неизвестных в узле г входят в выражение потенциаль-
ной энергии только четырех окружающих ее ячеек основ-
ной сетки или 12 ячеек вспомогательной сетки. Таким об-
разом, систему (15,35) можно записать и так:
Z -ф Е 4®^ =	
ф	ф
Коэффициенты из (15.36)
быте определены по (формуле
(15.36)
в общем случае мотут
У "Я,-
(13.37)
/
где / — индекс, пробегающий 12 значений (j—d, I, a, g,
,	, 4Fi
с, k, s, i, t, m, b, e); Aj= ~~~~ —отношение площади
,	Xе -V
ооласти к площади ячейки вспомогательной сетки
(очевидно, что ОС ky g 1, причем крайние значения соот-
ветствуют расположению j-i'i ячейки вспомогательной
сетки целиком впе ичи внутри области S, а промежуточ-
ные— пересечению ]-й ячейки контуром области S);
—коэффициенты с такими же верхними индексами,
как и у определяемых /ф(р [здесь и в (15.37) они опуще-
ны], значения которых находятся по табл. 15.1. В этой
таблице приняты обозначения.
<.--rS

Таким образом, нагрузка, перемещения и их пронзвод-
ньы в любой точке области S определяются лишь их зна-
чениями в узлах основной сетки. Соответственно только
эти значения войдут и в выражение энергии, отдельные
слагаемые которого примут вид:
1Ц	U l
к
(si)
Рассмотрим несколько примеров определения коэффи-
циентов уравнений (15.36) по формуле (15,37). Соста-
вим, например, сеточные уравнения (15,36) для точки 11
области S, показанной па рис. 15.4. Наложим сетку
рис. 15.3, б на область 5 так, чтобы узел I совпал с рас-
сматриваемой точкой 11. Тогда коэффициенты к} опре-
делятся следующим образом:
t	|1 при / = Ф, г, a, g, и, k, т, Ь, в
J	[О при / = s, f ,1
1S.3. И31 ИБ ПЛАСТИН
143
Умножая каждую строку табл, 15.1 на соответствую-
пиш коэффициент k, и складывая в соответствии
е (15.37), найдем искомые уравнения:
— 2^ип — a uk ф- 3(« •+ (J) at — 2 а щ —
— 2yvq 2yvr — 2&у 4- 2yvt 4- 2iivm —
3	,
- 2yvp = — mA;;
— 7f>un —	— а щ — 6рцт 4- (9 а ф- 13 ]3) 14 —
1 — v
— (1 -T v) vq — vvn + (l — v) °C — 4T'H + ~ vl +
+ (1 + V) v0 + 2vvln — (1 — v) Vp = 5Z; ©;
1 — v
— (It v) uq — -y-	4“ 2wy — 4yuc vut 4-
— 2yuq -7 2уи,. 4- 2buk 4 2ущ — 2дит —
— 2уир — 2ao„ — p vk -7 3 (a 4- p) v{ — 2 p ty —
3
— acm = — - шУ/.
Аналогично можно записать уравнения (15,36) и для
любой другой точки, приведенной иа рис, 15.4. Посколь-
ку этими схемами охватываются все возможные вариан-
ты, возникающие при совпадении контура области S
с отдельными .межузловыми отрезками сеточных прямых,
в табл, 15 2 приведены уравнения (15.36) для любого из
пронумерованных на рис, 15.4 узлов.
В качестве примера составления разностных уравне-
ний при несовпадении контура области S с сеточными
прямыми рассмотрим узел g на рис. 15,3, а. Наложив
сетку рис, 15,3,6 так, чтобы ее узел i совпадал
лучим;
Т (1 4- А-) Up + (1 — V) ит — 2vup - 7a.vn —
— 8 Р vk 4- (13 а 4- 9 р) Vi — ~$0i — 6ao,ft = 5Угсо.
На рис. 15.5, а показана квадратная пластина с цент-
ральным квадратным отверстием, сжатая сосредоточен-
ными силами вдоль оси симметрии. На рис. 15,5,6 пока-
заны эпюры напряжений в некоторых характерных сече-
ниях пластины. У узлов помещены величины коэффици-
ентов k-c и kv, входящие в- формулы для найденных на-
пряжений:
Р , Р
ах^К а& ’	у ab’
где Р— величина действующей нагрузки; а, 6 — сторона
и толщина пластины,
C g, no-
0 при i = b, e, a
kj = ;0,5 при j = i
1 при j = d,g,c,k,t,f,s>m
указанные в j-x
15.1, на коэффициенты k3 и складывая в
с (15.37), найдем:
Умножая значения
габл,
ствии
строках
соотвег-
15.3.	ИЗГИБ ПЛАСТИН
15.3.1.	Основные уравнения
и граничные условия
Функция прогибов w пластины определяется из реше-
ния краевой задачи для бигармоилческого уравнения
<94 ш 6* а/ д4ш а
~7~Г т 2 ТТГТЛ т ~7~, = "77	(15.38)
дх'1 dx-dU“ dtp D
при удовлетворении граничных условии.
Выше обозначено:
А/г3
Z? =----;---— — цилиндрическая жесткость
12 (1 — V2)
пластины; у— интенсивность нормальной на-
грузки.
Используя центральные разности, предста-
вим уравнение (15.38) в конечных разностях
для узла I сеточной области (рис, 15.1,6):
20 и/ — 8 (wk 4- wt 4- wm + и„) 4- 2 (ш0 4-	--
Рис, 15.1. Обозначения типовых узтов сеточной области
4- wq + ®г) 4- ws 4- Wt+Wp -7- w,j = ~т— , (15.39)
| ? №
Рис, 15.5, Сжатие квадратной пластинки с отверстием
сосредоточен и ы м и с и л а .м и
144
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Т а б ища Г5 1
Коэффициенты при перемещениях узлов и свободные ч’тены
Z		Utl					!l UV aiq>l	1									Vp
		л j k |	i			J	m	d	n	r	k	t	/	|	0			m	p 1	
d		-23		23				V—1	1— V						i	
/		—23		2(a+3)	—2a			2v				1—V				2m
а				2a	—2a				2v			—2v				
%		-23		23			V—1	1— V								
с		-23	—2a	2(a+fi)	1			—2v		V— 1	8V					2 m
k			—2a	2a			—2v			2v						
ч				23		—23							1— V	v—1		
f			—2a	2(a-}~.3)		-23					—-87			2v		2m
t			—2a	2a j	1	1				—2V			2v			
tv				23		-23								1— V	V—1	
b				2(a4-3)	—2a	-23					8?	v—I		—2v		2 m
				2a	—2a							2v			-2v	
		a™. j(p;									avv гф/					-2Т
			n		k		l 1	0 1	m	p 1	n.	k		1	m	
			~~2v	2v							—2a		2a			
			1— V			—87	2v				—2a		2(a+fi)	-"3		2m
--				I			У”^—1						23	-23		
			2v								—2a		1 2a			
c			v—1		—2v	Sf					”™"~a	-23	2(a+3)			2fi>
/		V— 1			1 — V							-23	23			
s								'2V	™2v				2a		—2a	
)					2v				1— V			—23	2(a+3)		—2a	2m
1					1 v—1			1—V				-23	2fJ			
m									2v	—2y			2a		—2a	
P						8y	| —2v		v—1		1 1		| 2(«+3)	—2?>	—2a	2m
										V—]			23	-23		
15 3 ИЗГИБ ПЛАСТИН
145
Таблица 15.2
Разностные уравнения плоской задачи теории упругости s узлах сетки, указанных на рис, 15,4
г р яв- нсния	Узлы	и	V	1														
		1	j	1	I	Ы n	k	i	I	m	q	| n	r | k	I	I	о | m	p 1	।	1														
Первое	/ 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 /3	4(«+₽.)	— 4a —1g	?V 3v—I	1— 3v	— (MO	2<a _4a	4(a+P)	—40	1—3v —87	Ц-v 3v— 1	?m —40	4(a+g)	—4a	3v—i i p4	—8v	1—3v	2<a														
																
		—4a	8(a+g)	—4a — 8₽ ;	1 —lv	3v—! \ 1+,	— Ml) 4m —1f5	8(a+g)	—8a —4g	3v—1 1 gv	I—3v —' MD 4<o —4g —8a	8(<Mg)	—4g f — (MD 1—3v	1 H 3v—! 1	4“ —8g —4a	8(a4-g)	—4a	t — (v+l)	1+v 3v—1	1—3V	4m —8g	—8a	16(a+0)	—8« —8g 1 — (vfl)	1+v	1 H	\ HMD Bra														
		—Bp	—8cz		2(и+3)	—Ip — (v-p)	1-yv	- -8v	1—3v : 1-yv 3v—I	603												
		—8g —4a	12(a+3)	—8«: — 1g  -MO	Mv 8v— i 8-y i— 3v 	1—3v -(v-J-l) 6<a — Ig	—8a	12(a+g)	—4a —8g	— (vp!)	1—3v	87	3v_]	1+v	— (Ml)	6<i) — 1g	—4a	!2(a+₽)	—8a —8g	3v—1	l^v 1— 3v	—8?	H-v	—МН)	S®														
	Узлы	u.									V					r
		q	n		k	i	I	0	m |	p		П	k	I		m	
Второе	/ 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 /2 13	-(Ml) -(Ml) -(v+1) -(MI) -(Ml) -(Ml) -(MD	J— 3v 3v--1 1— 3v 3v—j 3v—I ]— 3v	l-p 1M IM IM Mv 1+v 1+v	3v—1 1— 3v 3v—I l—3v i— 3v 3v—1	87 -87 -3? 87 -87 87 87 -87	1—3v 3v— ? 3v 3v—1 3°y— 1 l—3v	1 + v 1+v l+7 1+v 1+v 1+v 1 + v	3v—1 1—3v 3v—1 l-3y l-3v 3v— 1	л dr	dr	dr T	T T	T T T I	M 1 1 i f 1 i !	11	1 aBspsssS-	я я	-4g -4g -4|3 -8j3 -4g Mg -8g —4g —8g -8g	4(aM) 4(a+g) 4(a+g) 4(a+g) 8(a Pg) 8(a+g) 8(a+g) 8(a4-g) 16(a+g) 12(a gg) 12(a+g) 12(a M) 1+M g)	-4(5 -+ -4g -80 -4g -8g -4g —8g —4g -8 g	1 1 1 t 1 III	11 CO И Д Л 00	M 03	M £	9	9 Й S	R &	£	9	8	2(0 2(3 2<o 2® 4© 4(0 4(i) 4® 8(0 6(1) 6(0 6(0 6(0
Приводим выражения для интенсивности усилий:	Д изгибающие моменты	Qx = — мт iwt — М + wr — М> +	— 2>^ Г)	— wq — 4 (wi — ад)};	(15.43) Мх = —	2wt+w[)+v (wm — 2wi+wn)]; (15.40)	D Xa	Qg = — ~ {wv — wu + wq — w0 + wp — My^-^{{w„l~-2wi+wn)+v(Wk--2wi+wiyi-, (15.41)	- м - 4 (®л - мг)} 	(15.44) А4*	Если на рис, 15Л,о ось у принять за правый край пла* стины, то полная интенсивность реакции или обобщенной крутящий момент	поперечной силы в узле 1 может быть представлена D л - v)	0 виде: (15.42) поперечные силы	+ (2— v) [wr — wB~\~wp — wq — 2 (wi — М)1Ь (15-45)																
10—2S
146
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛ АСТИН И ОБОЛОЧЕК
Разностные уравнения
злы (рис. 15.6, (А7)	W							
	V		п	р		k	1	
1							0,5 a2	
2		0,5 v			0,5 а2	— (а2-Ч)	0,5 a2	
3	0,5 а2	0,5 v	— (a2+v)	0,5 v			0,5a2	
4				0,5 v			0,5 a2	
1 ")							a3	
6'				V			a.2	
7		V			а2	— 2 (a3 -,Lv)	a2	
8	а3	V	— 2 (a24~v)	V			a2	
9			— (a3~6v)	V		— (a34''v)	3 (a24®2)44	
10		V	— (а2 4- v)		а2	— 3 (а2-гу)—4(1—v)	3(a34a3)+4	
11	а2	V	—3(а2Жу)—4(1 — v)	4—2 v		— (a2~j-v)	3 (a4az)+4	
12	а2	4—2 v	—3(а2—v)—4(1-v)	V	а2	— 3	—4(1—v)	3 (a2+a3)+4	
13		0,5 V	— 2 (а'-Ч vl	V	0,5 а2	— 3 (a24vl—4(1— Vj	5,5 a2+6a2-J-8	
14		V	—2 (а24 а)	0,5 v	а2	--4 (a24-l)	5,5 a2-r6a2~[-8	
1	15	2а2	4—1.5 v	—6 (а2-Ч)—8 (1—у)	4—v	0,5 а2	— 3 (a24~v)—4(1—vl	5,5 a24-6a2+8	
№	2а2	4—v	—6 (а24'У)—8 (1—v)	4—1,5 v	а"-	— 4 (a24-l )	5,5 a2-|-6a2-)-8	
17	0,5 а2	0,5 v	—З(а24-А!) — 4 (1—у)	4—1,5 v		— 2 (a24 v’l	6 a24-5,5 a2-|-8	
18	0,5 as	4—1,5 v	— 3 (a=4v)—4 (1— v)	0,5 v	2 а2	— 6 (a2~6v)—8(1—v)	6 a2-po, 5 a2-'-8	
19	а2	V	— 4(а2-Н)	4—v		— 2 (а2 Ч a)	6 a2-p5,5 a2 (-8	
20	а*	4—т	—4(а2-|-1)	V	2 а2	— 6(a2'}-v)—8(1—v)	Oa2-] 5,5 a2-j-8	
21			— 2 (а2-су)	V	а2	— 4 (a2~rl)	6 (a24-a2)4-8	
15 3 ИЗГИБ ПЛАСТИН
изгиба пластин
			cJ			Правая часть Z
1	t	О	т	1	r	u	
		0,5 v	—(a2+'v)	|	0,5 v	0,5 a2	
		0,5 v				
						
'— (a2 -J- v)	0,5 а2			0,5 v		
		V	— 2 (а-Ч~т)	V	a2	
— 2 (а2 4- v)	а2	;			V		
		V				
						
—3(aa-f-v) — 40 — v)	а3	V	— 3 (а2 v) — 4(1 —v)	4—2 v	a2	1 	8 2
—(a2-f-v)		4—_о v	— 3 (a4-'rv) — 4 (I—v)	V	a3	1 2 8
— 3 (a2+v) —‘ 4 (1—v)	а?		— (a2 + v)	v		1 .— g 2
— (а® -f- v)		V	— (a2+v)			1 _ g	. 2	
— 4 (а2	1)	а2	4—1,5 v	— 6 (a2^v) 4~ 8 (1 — v)	4—v	2as	s	
— 3 («®+v) — 4 (1 — v) :	0,5 а® )	4—v	— 6 (a24”T) — 8 (1—v}	4—1,5 v	2a2	8
— 4 (а2+1)	а3	0,5 v	— 2 (a2+v)	V		8
— 3 (а2-)-^)—4(1 —v)	0,5 а2 |	V 1 )	—' 2 (a24-v)	0,5 v		8	i
— 6 (агфт) — 8(1 —v)	2 а3	V	— 4 (a" + 1)	4—v	a3	8	;
— 2 (а2+ v)		4—v	— 4 (a® + I)	V	a2	8
— 6 (a34~v)—8 (1—v)	2 а3	0,5 v	— 3 (a2+v) — 4 (1—v)	4—1,5 v	0,5 a3	8
— 2 (a24-v)		4—1,5 v	— 3 (a2-,-v) — 4 (1 — v)	0,5 v	0,5 a2	8
™" 4 (ex —j- 1)	а2	4—v	— 6 (a2 >-t) — 8(1 — v)	4—v	2a3	8
		(flpwo veep'	(' 7<7U 1.	HC C led ltd}			
10'
148
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Узлы (рис, 15,6, 15 7)	W						
	V	ч	n	1 p 1 s i	k			i
22	а?	V	— 4 (a2 4- 1)	4—v		— 2 (a,2-|“'v)	6 (a?+a2)+8
23	а2	4—v	— 4 (a3+l)	V	2a3	— 6 (a2+v)—8(1—v)	
24	2а°	4—v	—6 (a24"'v)—8(1—v)	4—v	a2	— 4 (a24-l)	6 (a24-a=)+8
25	а2	4—2v	—6(a?4-v)—8(1— v)	4—v	a2	— 6 (a2+v)-8(l—v)	11 (a24-a3)+16
26	а2	4—v	—6(а24-^) — 8 (1—v)	4—2v	2 a3	-8 (a3 4- 1)	11 ( CZ216
27	2а2	4—v	-8(a24~ 1)	4	a2	— 6 (a2+v)—8(1—v)	11 (a24-a2) + 16
28	2а2	4	— 8(a24-I)	4—v	2 a3	— 8(a34-l)	11 (a3-4-a2) -j- 16
29	а2	4'—v	—6(а2-Н)— 8(1—v)	4—v	| 2a3	— 8(aa+l)	12 a2+H a2-f-16
30	2а2	4—v	— 8(a2+l)	4	a2	— 6 (a2+v)—8(1—v)	11 a2+12 a?4-16
31	2а2	4	-8(а2+П	4—v	2cc2	-8(a2+l)	11 a2+12o?4-16
32	2а2	4	- 8 (a*+l)	4	2 54	-8(a3+l)	12 a2+ll a?+16
33	2а2	4	— 8(a24~l)	4	2 a,2	-8(a2+l)	12 (a2 + a?) + 16
34	2а2	4	— 8 (a? 4~ 1)	4	0 5 2	— 8(SH-1)	12 a24-ll,5 a3+16
35	2а2	4—0,5v	— 8(a3+l)	4	1,5 a2	— 7 (a24-v)—8(1—v)	11,5 a2+12a34-16
36	2а2	4	-8(a3+l)	4—0,5v	2«=	— 8(a24-l)	11,5 a34~12a“+16
37	1,5 а2	4—0,5v	— 7 (a24-v)—8(1—v)	4—0,5v	2 a,3	-8(a2+l)	12a24-ll,5a34-16
38	2а3	4	— 7 (a24-v)—8(1—v)	4—v		— 7 (a2-|-v)—8(1—v)	9 (a3 4-a2) 4-12
39	2а2	4—v	— 7 (a24*v)—8(1— v)	4	a2	— 5 (a3-j-v)—4(1—v)	9 (a24-a2) 4- 12
40	а2	2v	— 5 la3—v)—4 (1—v)	4—v	a2	— 5 (a3-r'v)—4(1—v)	9 (a34-a2) 4- 12
41	а2	4—v	— 5 (a24-v)—4(1—v)	2v	2a2	— 7 (a2-(-v)—8(1—v)	9 (a34-a3)4-12
42	2а=	4—0,5v	— 6 (a2 4’4—8 (1 —v)	4—v	1,5 a2	— 5 (а3-И)—4(1—v)	6,5 a24-6a24~8
43	2а2	4—v	— 6 (a2-j~v)—8(1—v)	4—0,5v	a3	— 4(a2+l)	6,5a34-6a24-8
"		Л3‘ I	(z/x,? qsij	D'nrrbc-joj. апнэжггодос!ц) (a+=»)S —	|	A		e»s‘l	(л— Of—(л+s®) S —
3		X	(л+г®) 5	л S‘ 1	8^	(l+E”f) i> —
35	г®о	Л—-fy	(л—0g—(a+z»)Z —	Р		(a— Of—(л+г®) S —
3X £	E^G	f	(a—08—(a+s®) L —	Л—	C»6	(л—1)8—(A~h®) Z —
5 3 — e	s®	A,—f	(л—I) f— (л+гю) д —	Л5	г» 5	(a— 08—(a+c®) Z —
z 9 	 £	EZ)	AS	(a—Of—(a+e®) S —	Л		E 7)	(л— Of—(a+s»)2 —
35	s®5	f	(Н г»)8 —		г»5	(l+c®)8 —
35	s®8	л g‘Q—f	(1т- г») g —	р	Е» S ‘ I	(л—08—(a+s®) Z —
3g			(Ис») 8 —	А9‘0—V	г» 5	(l+c®)8 —
35	c ‘ |	& 9 ‘ 0—f	(л--j)8 — (л-Ь») Z—		s»5	({_j-sa)8 —
3g	z^Z	f	(Н с») 8 —		s®S	(l+s®)8 —
35	s»	Л—	(л—1)8—(л+г») 9~		5» Z	(l+г®) 8 —
35	C®5	Л—f	(Иг») 8—			(л—08—(a+e®)9 —
3g	E®6	f	(l-Ьг’л) g —	л—i’	0	(l+г®) 8 —
35	c'®5	f	(г+т») 8 —		г®3	(l+г®) 8 —
35	u*-'	Ag—f	(л—1)8—(л+г»)9 —	Л/—f?	г®	(a— 08—(a+e®)9 —
3g	s®	A—f	(л—1)8—(^:®) 9 —	Ag—1>	г® 5	(l+г») 8 —
35	г»5	л—ф	(1+г»)8 —	’f	г»	(a— 0 8— (a+cz>)9 —
35		f	(1 + г») 8 —		e®5	(l+c®)8 —
3		A,	(л + г») 5 —	Л,	Е»	(i+e”£) f —
3	г»	Л	(I + г») —	Af		(a+s®) 5 —
3	E®	Л,	f	(I 4~г») > —	Л,	г® 6	
7 ЧГЗЕЬ ИЕ0Л?Цц	a	! 4		0	7	L
	<a					
g gi vyoj. атп-ож^о^ос/ц
6H
HHDVUII ЗИ1ЕИ esi
150
Р-ХЗДРП !5 МЕТОД CFTOK В ПРИЛОЖЕНИИ К РЗОЧЕТУ ПЛД1Ш1 и оьоточек
Узлы	w
.... иг с .....  -----------------------------------------------—.............—— --------------:----------------—   .......:------------------—..............
(рис 15 6, 15 7)	V	1	*7	1	я	1 р	j 5	k	1	1
44		1,5 v	|	— 2 (а2 рк)		j 1,5а2	— 5 (a2 f-v)—4(1 — v)	6,5 a?2 + 6a2 + 8
45		V	— 2 (а2 V)	1 ,0V	a2	— 4	1)	6,5 a2+6a24-8
46	1,5а2	4—0,5v	— 5 (а2 4 v)— 4(1 — v)	1,5 v	2a-	— 6 (a24~v)—8( 1—v)	6a2-J-6,5 a2-j-8
47	1,5а2	1,5 v	— 5 (а2-рг)—4(1™ v)	4—0,5v		— 2 (a2-^v)	6 a2-}-6,5 as-4~8
48	а2	4—v	— 4 (а2-1-!)	V	2 a2	— 6 (a2~4v)—8(1—v)	6 a3+6,5a'24-8
49	а2	V	|	— 4(а," ; 1)	(4—v)		— 2 (a2 2 v)	|	6 a2—6,5a24~8
59	а~	2v	— 2 (а2 (л)	V	a2	— 2 (a2^v)	a2 + a3
51	а2	V	— 2 (а2—v)	2v			a3 as
52		V			a2	— 2 (a2-f-v)	a2 -j- a"	;
53				V			а2 Д- a3
54							0,5 a3
55							0,5 a2	j
Ж				V			0,5 a2
57		V			j		0,5 a3
58							0,5 a'2
59					1		0,5 a2
60				V	(		0,5 a2
61		V					0,5 a3
62		\	— 2 (a24-v)	V			7 a2 -p 6a2 -p 8
63		V	— 2 (а2 pv)	!	V	a2 |	— 4 (а2ч-1)	7 a2-p6a24~8
64	2а3	1		— 6 (а2-2 V)—8(1—v) |	4—i	j		7 a24-6a24-8
65	2а-	4— v	— 6 (а2 4 v)—8( 1 —т)		a2 1 i	— 4 (a2 rl)	7 a2 ; 6a2 p8
66		V	|	1		I	— 2 (a2—v)	6аЦ7а24 8	,
1т 3 ИЗГИБ ПЛАСТИН
1И оОа псение табт. 15 1
W						Правая часть Z
।	1	|	t	j	о	)	m	1	r						
— 4(a=+l)	a3	4—0,5 v	— 6 (a3-!-^)—8(1 —v)	4—\	2a3	1 6
— 5 (a3-|-v)—4(1—v) I	1,5 a3	4—v	— 6 (a3+v)— 8(1— v)	1—0,5 v	2 a3	I	8
— 2 (a2-^)		4—v	-— 4	1)	V	a3	s
— 6 (ct2-j~v)—8(1—v)	2 a3	V	— 4 (as4-l)	4—v	.	fV «	e
— 2 (ct2-f-v)		4—0,5 v	— 5 (a3-[-v)—4(1 — v)	1,5v	1,5a2	s
— 6 (a2-j-v)—8(1—v)	2 a2	l,5v	— 5 (a3-J-v)—4(1—v)	4—0,5 v	1,5a3	8
		V				
	a3			V		
		2v	— 2 (a3-L-v)	V	a2	
2 (схл-р'у)	a-	V	— 2 (a2-(-v)		a2	
				V		
		V				
						
						
				V		
		V				
						
						
- 4 (a- (-I)	a3		— 6 (a3p-v)—8(1—v)	4_v	2a2	8
		4—v	— 6	—8(1 —v)		2 a3	8
4 (a2-r 1)	a2	A	— 2 (a3 ; v)	V		
		V	— 2 (a3 - v)	A		
— 6 (a3 pv)—8(1—V)	2 a2 j	v	j (Проба i c		- 4(a3 -1)	|	4— v ujx та ) 'иц> ai t 1 i> i [n )		a2	;	&
91 4 (г» 4 г 4 ft	(l4=4 8 —	г»г		(I 4 г») 8 —	f	г» 5	SS
91 4 (г» 4 г») fl			f	(I 4=o)8-		c»S	fS
91 4- (г» 4 г») fl	(l4г») 8 —	г» 8					£8
91 J (г» 4 г») fl							S8 :
914г» Н4г® SI	(14г») 8 —		f	(l4s»)8 —	f	г»8	IS
914г» Sl4c» fl	(l4c»> 8 —	о О		(I 4 г») 8 —	f	c»S	08
914с» SI 4г» fl			f	(l 4 г») 8 —		7^4	SI
914г» fl4c» 81	(l4E»)8 —	г» ь					81
91 4 г»Итг» II	([4г») 8 —	г»8	Л.—	(l 4 г») 8 —	f	г»3	U
91 4 s»fl4c» II	(л—1)8—44г») 9 —			(14г») 8 —	Л—	s»S	M
91 4 s»f 14г» Il	(l4r4 8 —	г» г					SL
9l4-»fl4c»II	(л—1)8—4+г») 9 —						tl
914г» ll'4s»fl	(l4г») 8 —	г» 6		(l 4 г») 8 —	f	4>6	\ CL
914г» Il4s»fl			f	(14г») 8 —			и
9l4r»Il4s»fI	(14г») 8 —	г» 5		(л— l)g—44г») 9 —	Л—		| и
91 4 г»1 14г» fl			Л-—t	4—1)8—44г») 9 —		г»	1 | OL
84г»/4г» 9	(л—1)8—44г») 9 —	г» 8	Л	(14г») f —		[ E»	69
84г»/4г» 9	44г4 г —			|	(14г») f —		г»	|	89
84г» 84г» 9	4—1)8—44г4)9 —	г» 8	Л.	1			| L9
I	7			!	1	|	b	|	a		(L QI ‘9'C[ -ЗИЙ)
Hire
xahoirogo и HHiDvifu Aiahovd x иинзжо1ги<ш а ЯО13Э iroiaw si iratrsvd
SSi
15 3 ИЗГИБ ПЛАСТИН
153
Продолжение табл 15.3
	W						Правая часть ;
	1	\	t		о	|	m	|	г			и	
	— 2 (а-+^)		4—v	4 (oAf-l)	V	а2	
	— 6 (cAf-v)—8(1—v)	2 а2	V				
	— 2 (а3+^)				V		S
	— 8 (а2+1)	2 а3		— 8 (а3 + 1)	4	2 а2	2в
			4	— 8 (а2 В		2а2	2е
	— 8 (а2+1)	2 а3		— 6 (а2~г"Р) — 8 (1—V)	4—v	а3	28
			|	4—v	— 6 (a2-|-v) — 8(1 — v)		а3	28
	— 8 (а24~1)	2 а2	4—v	— 8 (а- + 1)	4	2а3	2е j
	— 6 (ex'3—f~-v)—8(1—v)	а2	4	— 8 (а2 4- 1)	4—v	2а3	2е
	— 8 (а24~1)	2 а3					28
	— 6 (a2+v)—-8(1—v)	а2					2е
	-8(а=Ч-1)	2 а2	4	— 8 (а2 + 1)	4	2 а2	2е
	— 8 (а2-3-!)	2 а2		— 8 (а2 -!г 1)	4	2а.2	2е
			4	— 8 (а2 А 1)		2а2	2е
	— 8 (а2+1)	2 а3					28
	— 8 (а2-|~1)	2 а2		— 8 (а2+1)	4	!	2а2	28
			4	— 8 (а34”1)		2а2	28
	— 8 (аг-[-1)	2 а3				1	28
							2в
154
I П 1,Г ' I M	I UPHJOa I РИИ к PW4H' ПЛ'( Till! II ОЮЛОЧ1 к
^4? J
P1K 1"6 1’ I JBblv \ I 1Ы i 31 (16 IP Olin JlliilM
13 3 IHI ИЬ ПЛАСТПН
3}

Шарнирно впертый
край пластины
Честно защепленный
край пластины:
Рис, 15.7, Типовые узлы изгибаемой пластины
156
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Аналогично, принимая на рис 15 1,6 ось х за нижний
край пластины, найдем
D
ац = — ^7. М — ИД — 2 (ш„ — щт) +
решения составленной системы разностных уравнений
найдены прошбы в узловых точках области. По ним вы-
числены внутренние усилия в узлах. Результаты пред-
ставлены в виде формул:
щ = w* 103; Мх = M,fq№-lO.
+ (2 — V) [wq — wa ~{-Wp — wr — 2 (wn — wm)]}. (15.46)
Разностные уравнения изшба пластин удобнее всего
формировав вариационным методом
В табл. 15 3 приведены эти уравнения для сеточных
узлов одно- и многосвязных из!ибаемых пластин, фраг-
менты которых изображены на рис. 15.6 и 15.7, где пока-
заны условные обозначения граничных условий.
Табл. 15 3 содержит коэффициенты при искомых узло-
вых перемещениях в разностных уравнениях, относящих-
ся к типовым узлам, пронумерованным на рис 15 6
и 15 7. В таблице принят следующие обозначения.
ст ТГТТСТ ЩЕШ 1W
Eh?
12(1 -ст2)’
К
D
где h — толщина пластины; Е, х— модуль упругости,
коэффициент Пуассона; у — интенсивность поперечной
нагрузки; Z— правая часть разностного уравнения.
Составим разрешающее разностное уравнение для уз-
ла 17, лежащего на свободном контуре пластины вблизи
угла, к которому подходит шарнирно опертая сторона
(см. рис 15 6) Совместив узел i сеточного шаблона
рис. 15.1,6 с соответствующим узлом пластины и поль-
зуясь табл 15 3, можем записать из строки 17.
0,5 а3 Шр ф- 0,5 vw4 — (3 (а2 + м) ф 4 (1 — v)] ьу,, ф-
ф- (4 — 1,5 т) wr — 2 (а2 ф v) ф- (6а2ф-5,5 а3 ф- 8)шг —
— [6 (а2 ф v) ф 8 (1 — v)] Wi ф 2 а2 ay ф хз/а —
— 4 (а2ф-1) wm ф- (4 — v) Щрф-а3 wu = —.
В качестве примера рассмотрим задачу изгиба пласти-
ны с тремя отверстиями, опертой продольными краями
и неопергой вдоль коротких сторон, находящейся под
действием нагрузки интенсивностью у (рис. 15,8).
На область пластины нанесена квадратная сетка с ша-
гом а/12. При решении задачи использована симметрия
относительно осей х и у
С помощью табл 15 3, сеточного шаблона из
рис 15 1,6 и обозначении типовых узлов на рис 15 b
и 15,7 сформирована матрица уравнений В результате
Рис 15 8. Изгиб пластины с квадратными отверстия-
2 у?.4
ми прогибы w = w"‘ ——IO2 и изгибающие моменты
Мх~ Мх q/7-W в характерных сечениях.
На рис. 15.8,6, в построены сплошной линией кривые
прогибов w и изгибающих моментов Мх в пластине.
Пунктирной кривой показаны результаты экспериментов,
проведенных на железобетонной плите. Обнаруживает-
ся исключительная близость результатов
16 4. устойчивость и колебания плхстин
157
15.4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
15.4.1. Уравнения устойчивости пластин
Исходное дифференциальное уравнение для решения
задач устойчивости пластин имеет вид:
dsw d*w	d*w 1 / йЧа
Ox* ^2dx^dyi+ ду* ~~ D \ х 6?"+
+ 2Nxy	+ Nу ТОТ = 0 ’	(16 •471
дхду * ду* )
где
Nx = axh; Ny = ovh; Nxy = xxyh. (15.48)
Введем обозначения:
ол = РС; ау=уС; -сху = 6С.	(15.49)
При распределенной нагрузке величина С равна ин-
тенсивности этой нагрузки: С — р. При сосредоточенной
силе Р величина С — Р/а, где а — характерный размер
пластины.
Уравнение (15.47) в конечных разностях для узла i
прямоугольной сетки (рис. 15.1,6) имеет вид [6, 17, 38,
39]:
Рис. 15.9. Расчетная схема к задаче о потере устойчи-
вости квадратной пластины, сжатой в одном направ-
лении
<?Wi + <Н + ^1) + фз <ыт + а>„) +
-тФЧ Н~ ы0) 4- ф5 (wq + wr) + <рв (ш6 + wt) +
4~ Wy 4~	™ 0,	(15.50)
где
Ф1 = 6 4~ Sm 4- 6«а 4“ 2 (m3 4~ ?) k;
% = —4т — 4т2 — mfik;
Фз = — 4 — 4т — yk;
ф4 = 2/п — 0,5 ~^т 8k;
Фо = 2т 4- 0,5 |Кт 8k;
фв = т2;
в
т~ ’ ° ’
k — параметр критического состояния.
Полагая й==1, для квадратной сетки (т — 1)
(15.51)
получим.
44 = 20 + 2 (Р 4-Y)
% ’ 213-§-
Рз - 8 — yk; ср4 = 2 — 0,5бй;
ф3 = 2 4~ 0,5б&; <р6 = 1.	(15,52)
Обозначим
(C7i)Kp Укр = Ккр "~~у~ >	(15.53)
о-


 &а^5а е,5а
n’i
где b — ширина пластины, Ь = п%, Ккр=-------kKV,
л3
Ход решения задачи При действии на пластину в ее
плоскости системы сил необходимо в общем случае ре-
W5
D

Рис. 15.10. Величины кри-
гнческпх сосредоючен-
ных сил для квадратных
иласшн с отверстием
158
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН II ОБОЛОЧЕК
шить плоскую задачу и найти составляющие напряжений
или усилий. Эти значения надо подставить в (15 47),
после чего можно перейти к разысканию параметра кри-
тической нагрузки.
В некоторых случаях первый этап может отпасть
Так, например, для пластины, равномерно сжатой с двух
сторон, имеем однородное напряженное состояние, и зна-
чения составляющих напряжений в любой точке могут
быть записаны сразу:
== — р; ох ~ тХ1/ ~ О-
При сжатии пластины сосредоточенными силами необ-
ходимо решить плоскую задачу и найти составляющие
напряжений в выбранных узлах сетки. После этого вы-
числяются коэффициенты (15.51) и для каждого узла
составляются уравнения (15,50) с учетом граничных ус-
ловий изгиба. Определитель полученной системы урав-
нений дает возможность найти критическую нагрузку,
D
Коэффициент k в формуле .4,.,,= k для критических нагрузок
Пример 15.1. Рассмотрим свободно опертую квадрат-
ную пластину (рис. 15.9), равномерно сжатую в одном
направлении. В этом случае (см, 15,3.3): а = Ь; у——1;
Р = б=О. Принимаем шаг сетки Х==&/4.
Запишем граничные условия. Для узла /: ®i = 0;
— 4,1 для узла //: шп=0; а.ф = — и т. д.
Коэффициенты уравнений из (15 52) равны:
(fj = 20	21г,	==	3; <р3 = 8 + k;
<?4 = 2;	=-= 2; <р6 = 1.
Составим уравнение для узла /:
(20 — 2k)	— 3 (Д>3 +	;) + (— 8 Д- k) (w2 Д
Д 2 (ш4 + иф ) 4- 2 (ш4 + ay )	— ^ = 0.
Аналогично составляются другие уравнения.
Таблица 154
прямоугольных пластан при различных условиях на контуре
Схема контурных закреплений			Сх см а н а г р у ж с и кг п																
					1 р а^-				a/i>		У			Г			... 1г		
													р		Р				
			f р											6			А	t и	
			Густота сетки																
			4X4 j 6x6 | 8x6 |						4X1	8x8 j 4			4X1	8X8		*	4X4	8X8	
			51,2	59,18		5% 6		70,S	54,3	73,5		79,8	32,9	33,2		36,03	66,6	86,4	92,97
																			
																			
			35, 1	43,2		45,05		46,6	51,7	69,8		7'4,0	8,7	11,3		1’2,2	66,8	86,4	92,90
																			
																			
	1		32,0	45,2		46,3		46,7	47,1	56,4		59,5	22,9	24,6		25,2	62,2	77,6	82,8
																			
			Л ,)	26,9		26,26		26,6	21.7	36,0		39,1	12,2	15,2		16,2	54,9	75	81,7
																			
																			
		5	12,2	В,12		16,2		16,7	2% 4	2(60		4,2	6,65	9,1		9,9	51,9	75	81 ,7
																			
																			
																			
По экстраполяции порядка л’.
15.4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
1S9
Решение задач устойчивости пластин при деиствии со-
средоточенных сил, наличии отверстий и других сосре-
доточенных источников возмущения силовою поля прин-
ципиально не отличается от рассмотренною примера, по
требует более густой сетки. Поскольку заранее опреде-
лить необходимую густоту сетки очень сложно, а иногда
и невозможно, оказывается полезным следующий способ
уточнения приближенного значения параметра критичес-
кой нагрузки k: если известны его два значения k, и А,,
вычисленные при сетах разной густоты соответственно
при К у Кх -- К,х. и при Kv - - Г). \ -
= cji^x- (cfi то уточненное значение
можно определить по формуле
(15.54)
Приложение метода сеток к задачам устойчивости
пластин позволяет составлять программы счета на
ЭВМ, применимые при расчете пластин самой различ-
ной конфигурации под любой нагрузкой и при смешан-
ных граничных условиях. Примеры результатов таких
расчетов приведены на рис. 15.10 (критические силы для
пластин с отверстиями) и в табл. 15.4 (значения нара-
„ D
метра k из формулы Psp = k—, позволяющие опреде-
а
лить критические силы для квадрадаой пластины при
различных условиях опирания и комбинациях нагрузок).
15.4.2. Собственные колебания пластин
Эта задача связана с нахождением собственных зна-
чений следующего дифференциального уравнения [8, 13,
27, 37, 38, 41]:
<4ш d*w daw
(15.55)
Круговая частота определяется по формуле
®т = 3,-и]/	,	(15.56)
У 1гУч
ho
где ------—плотность на единица поверхности; гп —
9
номер частоты.
Для узла i прямоугольной сегки (см, рис. 15.1,6)
уравнение (45.55) примет вид:
(« + 1) hk + i»z) 4
-j- 1 + — {wmA Wn) 4 2 {wa + wp J- wq + wr +
Т a (w, -I- wt) j- —- (wK -J а'„) — и,„	-= 0,
а
где частотный параметр
(П5.57)
Ах Joy
Для квадратной сетки а=1 и (15.57) упрощается:
20»г -- 8 (шд ф- wi ф- wm ф- w„) ф-
+ 2 (ш0 + wp ф- wq ф- iur) 4 ws Д wt 4- ®„4-
4- wv—Kmwi^=0.	(15.58)
Для узла i сетки (рис. 15.11, а), состоящей из разно-
сторонних треугольников. уравнение (15.55) примет вид:
2 [2 (и 4- ip ф- А2 ]- В2 (- 4] Wi - 2 [2u (u 4 4 —
- АВ] (w0 + wr) - 2 [24 (и А П —Ви] (wp -ф шф -
— 2 ]2В (и А 1) — 4Д (ш? + ay) + A ]wm + w,,) ф-
ф- 2 4u (wn Wf) ф 2Ви (wd ф- шА -т 42 (wa ф- w4) ф-
ф- В2 (wc шу) ф- 24В (шу Wk) — An Wi = 0, (15.59
Параметр (3„ определяется-по формуле
(45.6©)
В ряде случаев удобно для решения задач применить
параллелограммную сетку-(рис. 15.11, б).
Для узла I (рис. 15.11,6) такой сетки уравнение
(15.55) примет вид
[4 (1 -j- г3)2 ф- 2 ф 2г1 ф- A cos ф] Wi --
— 4г2 (1 ф г-} (wln 4 wn) — 4(1 ф Д) (шв Д wt) —
-- 2г (г2 cos ф ф- cos <j— г) (wq ф wr) А
-}- 2r (A cos <р cos ф 4- г) (ш0 -ф wp) ф-
4 (1 — 0,5г2 cos <[) ф wt) — A cos q (шя ->г аф) ф-
А {А — 0,5 cos2 Ф) (юи -4- wA \ A cos <р (wc wd)
Рис 15.11. Различные
OlCleMH сеток
160
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Безразмерные параметры
а? ^частот свободных колебаний прямоугольных пластин
Таблица 15 5
Схема пластины					a ₽,	а=₽.	a-3.	0'3,	0'3,
		C p;- L///2rC"	fl M U j Cj		21,49 22,13	49,36 49,66	53,17 54,55	81,09 Ы 9 2	96 J8 96 Л6
		* II 3 IJ lJx_.							
'«I'M П	i! 3 к* сз 3	11					24,38 27,0b	.52,70 58,50	59,44 60,10	85,79 92,03	101,9 104,8
					28,82	53,13	86,07	106,6	138,7
-®МС НЕ- х	С = в/3 Ся а!2					32,00 34,25	62,78 65,53	83,85 94,25	102,3 109,9	132,9 140,3
а12^_ о	|					3,603	7,145	14,31	24,94	27,26
Л , J ЛЛ УУ/'j					6,5Ы	14,47	26,96	32,47	51,64-
L« ty 1 I Q U-					7,137	15,80	19,20	38,53	43,67
. 					10,45	20,44	23,71	47,72	50,16
I CrZZZZZZZZZZM					17,43 19,17	24,45 31,30	36,19 51,66	50,73 52,24	53,58 64,04
СЧ / §	z				i Ь/а я 2 I Wa = ff5					
									
			Wif=2		18,95 19,73	24,35 31,64	36,79 52,47	51,95 52,60	55,74 65,42
									
									
15 4, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
161
Продолжение табл 15.3
Слома пластаны	|	и f5s	j				и-р,	“Ъ	a-fe
г	Ыа = 2 ь/а-!35	15,42 18,3b	25,83 34,48	36,60 48,43	43,76 55,26	55,05 66,82
'77^7?;:.							
ь > Я	k о/а -- 2 Yjl,	у Ъ/а U		17,38 20, 10	24,51 34,22	36,35 51,60	50,07 56,70	52,29 64.83
Таблица 15.6
Безразмерные параметры а2 частот свободных колебаний треугольных пластин
Схема пластины	Ci, град	й-р,	o-tC	a ga j		aJPs
Ъ// т //\ zc \\\	45 60	49,34 52,63	98,36 122,7	128,0 209,8	059,9 226,9	189,6 329,0
	.у ,	45 60	60,09 66,06	112,3 141,6	142,5 142,6	Г/2,4 232,9	205,1 250,2
А	45 60	65,49 66,06	И8,7 341,6	152,1 142,6	178,3 232,9	Л6,с 250,2
	45 60	72,0а 81,15	125,9 162,0	157,6 162,7	184,3 '56,3	219,5 273,2
А	45 60	77,53 81,15	132,9 162,0	166,7 162,7	190,1 25b ,3	-31,1 273,2
АА	45 60	90,68 98,17	146.7 185.4	184,4 А5,0	АО.О 302,7	244,8 412,2
АА ТАНА—А	45	9,787		—		
	45	29,40	—			—
(Продолжение таблицы на след стр.)
П—26
162
РАЗДЕЛ IS МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСПЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧ1К
Пр )дол7С!знпе табл /5 5
Схем! пластины	а, гяа 1	a33i	я0^	аД,	0’0,	аД1
*/\ ”	45 60	b,308 lp599	—					—
.л X 1 	, 		45 »0	6,164 и, 618	>3,59 28 17	—	—	—
Таблица 157
Безразмерные параметры а2 час гот свободных колебаний трапецеидальных пластин
( \ ч } ; пасти 1ы		а ара)	Д0,	а 3	а 63	а 34	
» 1—7Г—Д\ У ’			45 60	57,21 72 0'5	97 , 12 1 1	151 4 209,3	121,5 238,1	199,3 277Л	;
		45 60	71,Х 87.10	м _> J 13 >	> 1	200,5 Ч),9	225,8	; 502,1
		4Э Ы	, 105,1	1'31 , 1- 1U ' I'/ j U 7,н	1H.J 11 -' Ьо,3 215	225,3 279,4	227,2 303,1
		60				2S7 5 к.1 319. /	325,0
/Л//Л// 1Л		45 60	103,9 127,5				264,1 335,0
		45 60	110,ч 133,4	1 т < 200 J	0 ) | /О >	257 И 312 0	и>,9 377,0
1	t		1 / \ ,/ \ ; р и ч еча ins Пр? а 4	45 (>0 1 = -—-Н при	4.509 5,703 Н а “60 h ——	_	—	—	—
15.4, УСТОЙЧИВОСТЬ II КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
163
Таблица 15.8
Безразмерные параметры а2 частот свободных колебаний
ромбических пластин
Схема пластины			агР,		
фф—11	24,70	52 ,58	71,02	83,40	121,4
а	29,71	58,67	79,19	ЭД, 61	127,8
а	33,81	65,43	84,79	97,81	136,6
LJ	34,19	65,26	85,49	97,71	135,8
О	36,51	63,40	89,57	97,8:.’	132,8
	-10,05	71,38	98,73	105,0	142,9
	45,67	80,12	m ,5	115,4	156,8
— Г COS ф (ш/ + Wf) 4- Г COS ф (®й ~г И/j) +
-4- 0,25г2 cos2 Cf (wa - 4 Шр + и; ф-ау,) —
~ *„Л;=0’	(15.61)
где
А
г ~	.
Частотный параметр:
|С-~~ЭД--	(15.62)
лт sin’ ф
11”
Таблица 15.9
Безразмерные параметры a2 f>m частот свободных колебаний
параллелограммпых пластин
Приближенное собственное значение (3,„ может быть
уточнено, если известны его два значения: (3,,,., опр ае-
ленное при сетке с шагами Хл_, и > определен-
ное при сетке с шагами X* =fe.. h. и X, =k.. ~J.
Г	i/ /< i, !Ъ и Ф
(4н<1). Уточненное значение определяется формулой
р2 __ Рж/
(15.63)
Пример 15.2. Квадратная пластина (см., рис. 15.11, в)
свободно оперта по контуру. Принято ix~j.!/ = a,lri.
При п — 3, записав для каждого узла уравнения
(15.49) с учетом граничных условий (они выписаны на
рисунке), получим систему уравнений, определитель ко-
торой равен:
18—X; —8;	— 8;	2
—	8;	18 —х; 2;	— 8
—	8;	2;	18 — х; —8	°'
|	2;	—8;	—8;	18 —х
Найденные собственные значения.: Xj=4; х> = хз=П6;
х4 = 36.
Используя формулу (15.57), вычисляем: а.3р; = 18;
а2р2 = а2|33 = 36; а2[ф = 54.
При п~4 частотные параметры, сооюетсгвующие 1-ем
же формам колебаний, имеют значения: и2^ = 18,744;
a a fj2 = а2р3 = 41,372; аДф == 64.
164
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН II ОБОЛОЧЕК
Уточняя по (.15,63), получим
aspi = 19,66.
Аналогично уравнение (1.5 65) прямее вид:
(6a3 ф' 8a ф 6) гр, — 4 (1 а) (фт + cap-, -ф <р„ ф- дар;) -L
Аналогично: а2р2 = «23з = 47,39; a;’|j.j — 74,92.
В табл. 15,5—15.9 приведены безразмерные значения
a*’pm Для пластин' прямоугольных, треугольных, трапе-
цеидальных, ромбических и параллелограммных при
смешанных граничных условиях.
15.5. ОБОЛОЧКИ
15.5.1.Основные уравнения и граничные
условия для пологих оболочек
ф 2а (ф0 ф ср., ф- Цр ф- ip,) ф ф, ф а'3 ф, + ф0 ф- a3 cpz —
а _ \ _	_
—s	—- Т7 kU	Wn + ^г) +
А	Г /
а — —	— К а -
+ !iy (ЕЕ + wz) — Дфф" ^ху \wt> 4-
р-	2р
-ф Шр — Шр — ыр) = Rn2 10,0625 (ш0 -ф шр —	— wr)2—
— (ш* — 2wl + to;) (to,,J — 2to, 4- top) j.	(15.69)
Дифференциальные уравнения для пологих оболочек
с учетом геометрической нелинейности записываются
следующим образом:
с
д-rj;	д-w
дх2	ду2
1	, ,	,,	д2ш
— V~V“<₽ + А?	'
Eh	4 V	k	дх2
д2
V* ~~ ky ^Х2 ~ ^Ху
д"г	д
kx =	; kXy =
yjva	t v
<92ш	2 Д3ф А3к>
дх2 * дхду дхду
-рг=~-0;	(15.64)
5‘-а>	/ d2w \ з
. ----__ — = 0.
ду2	фАиф/
о3 д2
дхду J ду2
!z	д2г
у; ky= — .	(15.65)
flu	dtl“
Линейные уравнения (15.66) п (15 67) в конечных раз-
ностях имеют такую же форму, как (15.68) и (15.69),
только правую часть нужно положить равной нулю.
В этих уравнениях введены безразмерные функции на-
пряжений ф и функция прогибов ш, которые определя-
ются соотношениями.
о:Ф
ф== —Ш.
п2
афо2 _
10» f
(15.70)
Здесь:
й«р7 __
------- ш>
10“ D
(15.71)
При небольших прогибах оболочек можно исходить из
линейных дифференциальных уравнений:
Z)V‘V’to — V* Ф — Pz ~= °1	(15,66)
а — меньшая сторона плана оболочки, параллельная оси
х; р = 6/гт — соотношение сторон оболочки; ф = 12(1 —
—V2)).2 — коэффициент вспарушепности оболочки; л =
= //й — вспарушенность оболочки; / — стрела нодьема
оболочки в центре; 7?—12(1—v2) 10-4S — коэффициент
Pz : а \*
гибкости; S =-----( —-	—гибкость оболочки;
А’Л 1 h /
1 Q Q
у уН А^ш = 0.
(15.67)
Рассмотрим пологую оболочку положительной гауссо-
вой кривизны с прямоугольным планом. В конечных
разностях для узла i (см. рис 15 1,6) прямоугольной
сетки уравнение (15.64) может быть записано [4, 5, 13,
15, 22, 36, 42—44]:
/—	а ~ \	_ —	—
2 Мд + ~ ky <ф —	(ф;;1+фл) —
\	Р2 1
k у (фд + Ф1) +	„ kxtJ (q0 ф- фр — фр — <рг) -ф
ар
_2i_
а3ф
[(6a3 + 8a -у 6) W[ — 4 (1 ф- а) (ш„, ф- ашу, ф-
-ф wn -ф a wi) ф 2а (ш0 -ф wp +wq + wR +
_	- IO4
-ф	а3ш4 -ф a3toy] — —— =
= Rn2 [(ф„д — 2(рд- -ф фг!) (we — 2шг ф-toy) —.
— 0,125 (fi(1 -ф фр — ipp — фг) (ш0 ф- top —	— и,-) ф
-ф(фе — 2ф + (ф) (ш,„ — -ф ш„)ф (15.68)
безразмерные параметры кривизны оболочки.
Приводим выражения оiносите,,тьпых деформаций “е-
рез функцию напряжений:
tx =-	1 Eh	( 52 гр \ оу~	д2 <р \ —V  		 ; дх'* J	(15.72)
	1	( О2 ф \ дх2	О2 ср \ —-V	 : Оу- )	(15.73)
Уху —	2(1 + v)		0- ф	(15.74)
		Eh	дхду	
Нормальные и сдвигающие силы равны:
д2 О)	О2 ср	д2 <р
Лф=--.4П;	,V	(!5.75)
ду2 J дхду а дх^
Они могут быть представлены в виде безразмерных
величин:
а2 р, _
(15.76)
A'rl/=---^r4/Vly;	(15.77)
103 h
15 5. ОБОЛОЧКИ
165
Запишем выражения Л\, Nxll и Nv в конечных разно-
стях дня узла i (сеточная схема на рис. 15,1,6):
Лф = — 0,122(1 ~т2)(фш-2Чг + фД (15-79)
Nи =-— 0,122 (1 — v3)(tp.; —- 2срг J- qy);	(15.80)
Л'I,, = 0,032 V а(1 — v3) (ф(, 4- фр — <р0 — <рг).	(15.81)
Мембранные напряжения по
предел яюз с я равномерно,
толщине оболочки рас-
-Л/ XI/
(15.82)
h
II
и
h
Мимешные усилия равны:
/ О3 w	д2 а \
Mx~~—D-----------В-------;	(15.83)
\ дх'2	ду'2 /
при	Ш, = 0; А.г = 9; (N х у М 0) -
Из статических н кинематических краевых условий
b
следует, что при у —Ж ~ф" 
д~w	д" д
w — 0; -—— = 0; q =0; ----------— — 0;	(15.93)
ду2	ду2
а
при X = ±—
д2 w	д2 Ф
Ш = 0; ------= 0; <р = 0;-------= 0.	(15.94)
дх2	дх'2
б) Шарнирно неподвижное закрепление оболочки па
жестком контуре характеризуется наличием распора, а
перемещение точек контура отсутствует. Имеем.
Л4,„ = - D(1 - v) -Й-Д- .	(15.85)
дхду
Опп могут быть также предел авлены в виде безраз-
мерных параметров
ii" рг —
Мх	Мх;	(15.86)
10*
а- р, —
/АА, >	/АН, /.
103	и
а2 р? —
Л1,,; ------------- Мхи-
/У 10., ХУ
(15.87)
(15.88)
Запишем статические условия:
Ь
при у = 2 — Л1/; = 0; (Л'й +- 0);
2
при х =1	М,, --= 0; (N х 4 0).
Из этого для кромки, параллельной оси х, вытекают
следующие условия:
Запишем их в конечно разностной форме для узла I:
—	п'2 f	,
/VI = —--------а (sy, — 2wi + wd 4-
л 10> а I	‘ 1 и т
+v (»m — 2®z + кД ];	(15.89)
Mt,	\(wm — 2wl +Д)];	(15.90)
10- а
— п2 (1 — v)	.
/ИЛ1,=----------— 6»0 -j шр — др — wr). (15.91)
4-Ю3 I а
д'2 ф д'2 01
—-----—у--------= 0;
ду2 Ох2
1 Г д3 ф	Э3 ср
Eh [ ду3	’ дх2 ду
dw
ду
Аналогично для кромки, параллельной оси у:
д2 <р д2 ср
дх2 ду'2
(15.95)
Изтибпые напряжения определяются по формулам:
(15.92)
Рассмотрим некоторые характерные случаи граничных
условий.
а) Шарнирно подвижное опирание соответствует за-
креплению краев оболочки в тонкие диафрагмы, жест-
кие в своей плоскости и гибкие из плоскости. Кинематн-
жекие краевые условна з этом случае запишутся:
Ь
для кромок у =+ ~	= 0; и = 0; (и =4 0);
а
для кромок х =^4г — :ьа = О; v =~- 0; (гтд^О).
Статические краевые условия:
при у = ± Му =. 0; А у == 0; (N Лу =f= 0);
1 [ д3 <р
Eh [ дх3
(2 -ф v)
д3 <р
дхду2 ]
-9.
(15.96)
в) Жесткое защемление харшыершзуется иа.щчщм
распора на контуре оболочки я оюутсшшм иовороюа
опорных сечений.
b	dw
При и ± —	“ = v = w --= 0; —" = 0;
г У 2	ду
а	дш
ппи х ~ д- — и — v — w — 0; 	— 0»
’ 2	чх
Из этих четырех кинематических условии вьнекаег,
что для кромки, параллельной оси х
„—. V,	-- V
ду	ду2 дх'2
д'3 ф
5у3
+ (2 + V)
д3 ф
dx2 ду
(15.9/)
166
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К. РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
и для кромки, параллельной оси у.
w = 0;----=0;	---— —V----- = 0;
дх	дх~ ду“
0s ф	д3 ф
+ (2 + V) = °-	(15.98)
ох-	дхду“
Для каждого внутреннего узла составляется ио два
основных уравнения (15.68) и (15.69); таким образом,
общее количество неизвестных равно удвоенному коли-
честву узлов, если не учитывать симметрию системы или
нагрузки
При написании основных уравнений (15.68) и (15.69)
для предконтурных или контурных узлов в эти уравне-
ния в качестве неизвестных войду! значения w и ф
в первых или вторых законтурных узлах.
Приведенные выше граничные условия и представля-
ют собой те дополнительные уравнения, которые могут
быть включены в основную систему для нахождения
всех неизвестных, включая и законтурные. С другой сто-
роны, можно на основании граничных условий записать
выражения дтя внеконтурпых неизвестных w и ср, вы-
разив их через внеконтурные или контурные неизвест-
ные. Напишем выражение для внеконтурпых значений
функции на основании приведенных (раничных условий.
При шарнирно подвижном опирании кромки на осно-
вании (15 93) найдем: если иа рис. 15.1, б ось х совпа-
дает с верхней кромкой плана оболочки, то
Фи = —(15.99)
wn =—wm,	(15.100)
если на рис. 15,1, 6 ось у совпадает с правой кромкой
плана оболочки, то:
Ф/= —Ф4	(15.101)
глу = —.	(15.102)
При шарнирно неподвижном закреплении кромки- ес-
ли па рис. 15.1,6 ось х совпадает с верхней кромкой
плана оболочки, to:
щ„ = --й,л;	(15.103)
Фп = 2(1 — ш) фг 4- av (% + фг) — фт; (15.104)
ф0 = 2 [2 (1 + 2a) — 3a2 v (2 ф- v) j cpz —
— 4а [1 — av (2 ф- v)] (Г ф-фД — 4 [1 ф а (2 ф- v)] х
><	+ 2а (2 + v) + фг) — аЧ- (2 ф- v) X
X (ф5 + Ф/)+фг1 — fex(mn —ш,га): (15.105)
если на рис 15.1, б ось у совпадает с правой кромкой
плана оболочки, то:
оу — wk-,	(15-106)
Ф/ = 2	— ф-j ф, + ~ (фпг + Ф„) - Фа; (15.107)
Г /	2 \ 3v -4
Г v	1—2	—.	—
X 1 —	(2 + v) ф/г 4	(2 4- V) (<р0 4 ЧД)
V	-	—	-	1
— Т 12 4- v) ,<р„ -у фа) ф-
а-	ар-
X (ш/— wk).	(15.108)
При жестком закреплении оболочки:
если на рис. 15.1,6 ось х совпадает с кромкой, то
wn=.wm,	(15.109)
если на рис. 15.1,6 ось у совпадает с кромкой, то
ау=ЩА-	(15.110)
Функции напряжений в первых внеконтурпых точках
[сравним (15.95) п (15.97)] определяются, как и при
шарнирно неподвижном закреплении, по формулам
(15.104) п (15.107), а во вторых внеконтурпых точках—.
по формулам (15.105) и (15.108),
Выпишем для иллюстрации уравнения совместности
деформаций (15 65) для предконтурных и контурных
точек без включения внеконтурпых, которые исключают-
ся иа основании (15 104), (15 107), (15.105), (15.108).
Если ось х на рис. 15.1,6 совпадает с верхней кром-
кой плана оболочки, уравнение (15.65) для узла i мо-
жет быть представлено в виде:
2 [ 1 ф- о. (3a -L 4) ф- av ( 1 — 3av) j	—
-- 4a ](1 4- a) + v (1 — av)] (?p& 4- фг) —
— 4 [1 4- a (2 + v)]	+ 2a (2 4- v)(ф0 ф- фг) ф-
+ a- (1 — v2) (<ps 4. фф 4 2 <p„ 4- 2kx wm —
Га	_
— kxy (w0 4- wP — w0~ wr) =
= Rn" (0,0625 (w0 4- wa — <jdq — a>)2|.	(15.111)
Для узла i, смежного с угловым на рис. 15.1,6, гра-
ница плана оболочки проходит по узлам s, A, i, I, г,
уравнение может быть записано так:
[2 4~ a (5a 4” 8) + «V (3 —- 5a)] ф/ —
— 2a (1 4-v)[2 4-a(l —-v)]9; — 4|1 4- a (2 4- у)]фт —
— 4a (1 4- v) [1 4. a) (1 — v)]lfk 4-
4- 2a (2 4- v) (% + <p,.) 4. 2 4- a2 (1 — v2) <ps +
= Я,пг [0,0625 (to,, — кф)2|.	(15.112)
Аналогично (15.111) и (15 112) могут быть записаны
уравнения для узла i. если кромка оболочки иа рис.
15.1,6 изображается отрезком оси у.
Пример 15.3. Рассмотрим оболочку типа эллиптиче-
ского параболоида с квадратным планом (а = й)
и с шарнирно неподвижным опиранием. Нагрузка —
равномерно распределенная. Уравнение срединной по-
верхности оболочки
г = — ф -Jp (х- 4-62)j-	(15.113)
Безразмерны^ параметры кривизны приняты равными:
Ах —4; Av = 4; А^у^О.
Вспарушенность 7=10. Коэффициент Пуассона v =
= 0,17,
Ъ
= — = I.
а
35 5. ОБОЛОЧКИ
167
Выбираем квадратную сетку (а=1) с шагом
(рис. 15.12)
ЛХ — '-у — С •
Решим задачу в линейной
Ввиду симметрии оболочки и
постановке, приняв R~ 0.
нагрузки уравнения мол-
Рис. 15.12. Сеточная область на оболоч-
ке типа эллиптического параболоида
но составить для '/в части. Запишем для узла / уравне-
ние (15.69):
20 7 — 8 (2ф, + <р4 + cpj) + 2 (2ф54-2фп) +
+ 2 Ф3 + (pg + Фр — 2 (4-R4) ffiij Ц- 4	4 Wy j 4“
4 4 (и(2 4 ws) = 0.
Используя (15,103) и (15.104) для исключения epi и
wi, получим окончательно такое уравнение:
19 (fl — 16 ф.2 4 2 <р3 — 8 ф.! 4 4 (р5 ф6 —
— 6,34 cpj 4 4,34 Фи — 16 Ш; 4“ 8ш2 + 4 u’j = 0.
Аналогично записывают остальные уравнения. В ре-
зультате решения системы уравнений найдены величины
прогибов и функции напряжений в узлах сетки.
По этил значениям вычисляют мембранные и изгиб-
ные усилия, пользуясь формулами (15.79) —' (15.81) и
(15.89) — (15.91).
Например, для узла 6 (см. рис. 15.12)
NXc = — 0,12-10 (1—0,173) (2(Д —2ф6) = 1 ,277 и т. д.
В табл. 15.10 приведены значения безразмерных ко-
эффициентов прогибов, усилий и моментов в центре рав-
номерно нагруженной оболочки при шарнирно подвиж-
ном и шарнирно неподвижном закреплениях по конту-
ру для различных соотношений сторон в диапазоне
всиарушениости оболочки от 1 до 25.
Г а б л к ца 15 10
Безразмерные коэффициенты прогибов и усилий л центре							
	оболочки типа		эллиптического		зараослоида		
							
к ,	S я	Шарнирно подвижней.			Шпрририо неподвнж-		
go			опирание		 Юс	закрепление	
							
4 £ у	>иве рОМ( ус Ik		соотношение -		1'фОН оболочки		
£ о о СО Й =5	cgs	!	м	2	>	1,5	
	w	26,623	55.609	84,329	29,461	37,190	45,895
		15,210	1,6ЬЗ	2,522	7,706	12,111	14,176
		6,210	И, 194	12,774	7,706	7,282	6,779
		2,668	5,241	7,841	2,015	3,509	4,253
	51 D	2,6(58	2,756	2,754	2,015	I 735	1,285
		1'2,867	29,57.)	а 1,262		13,970	15.477
	~'x	5,998	1,783	.’,133	6,118	9,105	10,318
		5,393	12,007	16, я7!1	6, ИЗ	5,525	3,057
		1,144	2,640	1,934	0,704	1,257	у 492
		1,144	1,331	У 718	0,704	и, 502	0,327
	w	Ь,ь9»	16,314	1,8(>1	1,792	6,501	1,166
	Nr	4,678	1,811	2,870	1,470	с, 134	Н, i 71
		1, 678	10,034	15,417	1, 170	1, 321	1,673
		0,488	1,357	2,968	и,272	0.519	0,1^5
		0,483	0,653	1,014	0,с72	0,Ш	0 119
	w	3,881	9,687	2.2,063	/, ИВ	1,709	i 12i1
	Nx	3,618	3,026	2, 189	3, 398	1 /42	Р>7 i
4		3,618	8,142	13, 1-17	О, 148	1, 2*5	_ 8 12 ;
		О, 21 1	0,718	i, S18	0,Н2	8, г%	= 1, 17')
		0,214	0,156	0,064	<1, 112	6,1)69	'.on. ;
	w	2,462	6,474	15,149	l,3O(J	'JO	’ F7>
		2,869	2,459	2,136	2,6%	22 !	
з	Ny	2,869	В, 8[Ю	11,3<>7	2,6°)		,24>
	mx	0,094	0,401	1,181	‘ J.ti 17	",hi	o,_ о
		0,091	0.212	0,415	9,0.17	'МШ	1), 1J ,6
	w	1.674	4,506	ГМ88	0,868 .	1, 796	1, J59
		2,342	2,058	1,853	2,217	У 2о5	1,U<9 
6	Ny	2,342	5,602	Ю,(Ш	2,217	2,162	1,912
		0,040	0,234	и,782	0,019	(1.199	0,H5 '
		0,040	0,136	6,31!)	О,0Ю	9,(118	0,i L'n
8	w	0,904	2,493	6,243	0,459	0,669	1,U5 ’
	Nx	1,685	1,540	1,ШЗ .	1,829	2,444	2.787 :
	(Продолжение таблицы на след cip.)						
168
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН II ОБОЛОЧЕК
Продолжение табл. 15.10
Вспарушен- ность обо- лочки	Приведенные перемещения и усилия	Шарнирно подвижное опирание			Шарнирно неподвиж- ное закрепление		
		соотношение сторон оболочки					
		1	| 1,5 j 2			|	1	| 1.5		2
	д	1,685	4,142	7,698	1,629	1,605	1,427
8	ч	0,082	0,078	0,359	0,001	0.043	0,078
	М	0,932	0,066	0,165	0,901	9,007	0,014
	W н	0,562 1,310	1.558 1,237	4,067 1,290	0,280 1,277	0,542 1,954	9,682 2,334
10	7р,	1,310	3,240	6,349	1,277	1,246	1,131)
	Лр	—0,004	0,020	0,165	—ООЗ	0,020	0,0-13
	S	—0,004	0,036	0,096	—0,003	0,903	0,098
	C2I	0,242	0,669	1,676	0,120	9,231	и, 289
	V	0,846	0,824	0,817	0,83.9	1,304	1,495
(5	V	9,841)	2, "60	3,958	9,839	0,808	0,731
	Ж	—0,003	—0,013	0,004	-0,901	0,004	о, 012
	Ж	—0,003	0.012	9,030	—0,091	0,001	0,003
	U’	“Д35	9,361	0,927	9,067	0,127	9,157
	н	9,628	0,618	0,615	0,627	0,978	1,123
29	N и	0,628	1,592	2,860	0,627	0,566	9,535
	м	—о.гки	—9,001	—0,028	—9,001	0,091	0,004
	лц	—0,001	<) ,<ж	и,оп	—0,901	0,009	0,091
Продолжение табл. 15.10
Шарнирно неподвиж-
ное закрепление
1 j 1,5
1,5 |	2
0,081	и 227
0,501	0.494
0,501	1J 82
—0,01)1	—",05
—0,0 И	0, п0 1
0,552	0,012
0,492	0,501
2,221	0,591
0,031	9,000
0,005	0,900
0,п80	0,098
0,783	9,899
0,456	0,420
0,000	9,001
0,000	0,001
П р п м t ч а и и е. При расчете прямоугольной оболочки
при "1/> мсш.шая сторона ..телилась на че1ырс части, а
большая — ли шесть чщгей
В оболочь-у с соотношением сторон 13 =--2 меньшая сторо-
на делилась па чгшре части, а большая--на восемь ча-
стей,
В заключенье изложим ход решения геометрически
нелинейных задач деформации оболочек. В этом случае
правые части уравнений 15.68), (15.69), (15.111) и
(15.112) нелинейны.
Записав уравнения для всех внутренних узлов сетки,
а также для контурных узлов, получим систему нелиней-
ных алгебраических уравнений, которую можно решить
методом последовательных приближений, учитывая гиб-
кость оболочки. В качестве первого приближения прини-
мается решение линейной задачи. По значениям функ-
ций ф и w первого приближения вычисляются нелиней-
ные правые части уравнений. Решив полученную линей-
ную своему, найдем значения функций <р и а> второго
приближения. По значениям ф и w второго приближе-
ния вычисляются новые правые части, а после решения
системы уравнений получаем третье приближение.
Процесс повторяется до тех лор, пока значения п-го
и (п-Н)-го приближений не будут практически совпа-
дать.
Процесс последовательных приближений может быть
реализован на электропцо-иычиелнкльвой машине.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А б о j? г к и й Н. П,, С а м о л ь я н о в И, II,, П а с ь-
ко Д, А, Расчет пологих оболочек в матричной форме методом
сеток, Красноярск, 1965-
2,	А б о в с к и й I-!, П„ Е ндж невский Л. В. Дискрет-
ные методы расчета пластинчатых систем, Красноярск, 1965.
3,	Безухов II. И. Основы теории упругости, пластичности
и ползучести. «.Высшая школа», 1968.
4.	Б е р ез о в с к и й Л. Ф. О граничных условиях при рас-
чете пологих оболочек методом конечных разностей. В сб. науч-
ных работ института строительства и архитектуры АН БССР,
выгг 3. Минск, 1960,
5.	Березовский Л, Ф, К вопросу о расчете тонкостен-
ных пологих оболочек. Инж,-физ. жури,, т. III, № 5, I960.
6,	Боже нов А. Ш, Устойчивость квадратной пластинки
переменной толщины, сжатой в двух направлениях. «Приклад-
ная механика», т, X, вып, 6. Изд. АН УССР, 1961,
7.	Б о ж е н о в А Ш, Устойчивость прямоугольных пласти-
нок за пределами упругости. В сб.: «Сопротивление .материалов
а теория сооружений», вып. I. «Буд1вельник», 1965.
8.	В аз о в В., Форсайт Дж. Разностные методы реше-
ния дифференциальных уравнений с частных производных. ИЛ,
1963.
9.	В а й я б е р г Д. В., В ай н б с р 1 Е. Д. Пластины, ди-
ски, балки-стенки. Гоестройнздат УССР, 1959.
10.	В а й н б е р г Д. В., С и и я в с к и й А, Л., Д е х т я-
рюк Е. С, Итерационные алгоритмы и численные задачи тео-
рии пластин и оболочек Труды IV Всесоюзной конференции по
теории обо.ючек и плаепш, Ереван. 1Ьд. АН АрмССР, 1964.
11.	Вайнберг Д, В,, Ге р а ш е н к о В. М., Р о й т-
ф а р б П. 3., С. и и я в с к и й Л. Л. Вывод сеточных уравнений
изгиба пластин вариационным методом В сб,: «Сопротивление
материалов и теория соорУженигЬ-', зып. I. «Буд1велъник», 1965.
12.	В а й и б е р г Д, В,, В о р о ж к о П, И., Ройт-
фар б И. 3., С и п я в с к и и А, 51, Ра июсгные уравнения кон-
тактов задачи изгиба пластин. В сб : ' Сопротивление материа-
лов и теория сооружений', иып 11, ЛЛдшсльнмк», 1965.
1.3. В а й п б е р т Д. В , С и и я в с к п й А Л. Дискретный
анализ в теории плашин и оболочек Материалы VI Веесоюз-
ЛИТЕРАТУРА
169
гои конференции по теории оболочек и плзсти! «Нтукэ»
1366
И Вайнберг Д В Гуляев В И Конформное ото
брлжение и разностный мслод в з гачах о концен ран. ш напря
>1 ний В со < Конце нтрация и i чряжени > i i II «Пскова
2,\мка» 1967
h В а и п б с р г Д В I / а я ев В И Д е \ т я р ) к г С
Краевые -7апачи по югих а оя1 с к нпк их out ю к взаимол^и
ствующпх с опорными К НСТр}лЦИЯМИ В Ы <Р L пркграп
ственных конструкций» вып X] I Стройи пат 14 b
16	В а р в а к П М Рывит с и 1рил тис мстот сетол
к расчету ппасти юк i 1 II с АН АССР 1919
17	Варнак П М Устои трость тает о: пот де !ствием
сосредоточенных сил Доклады АН ЪССР V о Iе-’ )
18	В а р в а к П М Развитие и приложе ! ю метода сеток
к расчету пластнт ок ч II Пп АН ^ССР 19 2
19	Варнак	П М I у <	р м a i	И	О И иб кзалрат
чон пластинки с	различными леювиями	на	кртях В сб <11н
q орм	материалы	института ст	л it мех	АН	АССР» 19 7	10
90	В арв а к	П М I н	ео ч ан	Л	О М i р о н н и
ченко М. М П р е т. т е I с н с к и и Н Д Таб лицы тля рас
чета прямоугольных п in	!Ш АН УССР	!%9
1 Варвар А П	Пря ю7 го льны	плиты	ia угру	о 1
основании переменной серк ти ДАН АССР V К) 1953
22 В а р в й к П И	Рассказов	А О	Покрытие	из
оболочек в форме иперболического параболоида В сб «Про
стр лиственные конструкции в Крас ю> рслом ip^e» зып Ш
Изд Красноярского политехи нт та Р68
23 Василь в В В Oce.cn тметричнос xnpvro плас"И ie
ское состояние оболочек вращения «Пр (кл мех т VII вып 3
196]
24 Васильев В В К решению здда11 о концентрации
напряжении возле кр гового отверстия в ^фер t иСлОй оболочке
в упруго пластической стад in Труды IA Всесоюзной конферен
ции по теории оболочек и пласт 1 Нэд АН Ар 1 ССР Ере
ван 1964
2э В о р ош ко П П Сатаров А С Побх лова рюни
цевих р1вня ib теори пружиост! та ix одержавши на ЕОМ В сб
«Ошр матерзаюв i теорш слоруд вып IV БуД1вепьник> 1966
26 Геращенко В М П юбченьо С Н Складаиня
рюницених piB 1ЯН1 п ocsoi таори прул-л octi за дочомогою ва
рзащиного метолу В сб «Ошр млтерлалш i теор1я споруд»
вып V «.Ьущвелыпп » 196о
27 Г о н т к е в и ч В С Собственные колебантя пластинок
и оболочек «Наукова думка» 19о4
28 Г у л я е в В II О емм лннои задаче плоской теории
упругости В сб «Сопло ивле	I ie	мазер и	лов	и	теори я	соору
жений вып И «Буди ел ник	12	5
29 Гу л я е в В Н Дех	я	р 1 к	г	С	Програм	та ма
тричной прогонки д->я смете 1	ур	is ~н	и	Пул	IV7 Всссоюз
ной конференции по применению ЭЦВМ * строительной махани
хе мапгиг остроенин и строителю ом пр i водслв0 Киер 196о
39 I у л я с в В I Р о м а и и к о Ф О С п ня в
с ь к и и О Л Нюский пшрхжении стан 1 ctihkictb пластин
при зм июни грани ш ix м из х В сс «Ошр матер|ал1в j тео
р1Я гжрх1-» В11Л \ «Будве. ншк 191
31 Дту! ач АА И Мелоц сеток в смешанной плоской за
да ie теории хпрхгоеы- «Hi koi л) мк i 19бл
V I ы к шин А А П ласти iHocTi Гостехизцат 19^8
В К и с л о о I ий В Н
I епцние задач динамики пластин
числснн! ми се отлми В rf < Сопроы в ление матер илов и тео
рия соорх/кщми вып VIII Ьх д|веп1 ник» 1969
34 К ломиец И А Р течет т нк ix г'рпмощолыьх тил
заще’* пен mix в упруги koit>p Сб научных трудов в.-in
КИСИ |9(_
Зо Кору икни В С О растете ппямоу) опьных плит
на xnpyroi основании «Прикладная механика» т III вып 1
19о7
6 Пастернак П Л Основы нового метола рас юта
фундаментов на упруюм основания при помощи двух коэффи
циелтов постели Госс ройпздат 1954
37 П1скунов В Г До впзьакжя частот власних ко
ваш прямому "’них пласти юк
«Поив яехлнща» i X вып 1
при mi нних граничячх умовах
1J6I
38	П и е к 7 н о в В Г К за лат о колебаниях и устойчиво
сти параплеаогра imhux пластинок и м мешан «Прикладная ме
ханика> т I вып 3 19ьо
39	Романенко Ф О С и и л в с ь к и й О Л Инеем
не розвъязанпя узагальнено] задач пр вллсш значения В со
<Onip матерпив 1 теорш спорхд вып IV «Ь\Д1вел1 ник» 19ор
40	Сальз адори М Дж Численные методы в технике
ИЛ 19ээ
41	Филиппов А П Котебання механических к. ictgm
«Намкова демка 196о
42	Шевченко В Д Оо pai нениях для расчета поло
гих обо ючек «Прикладн я механика т VIII вып 4 19л2
43	Шевченко В Д О влиянии некоторых геометрию
ских пар1метров иа напряженно деформированное состояние по
аогих оболочек «Прикладная механика» т IX вып 4 1963
44	Шевченко В Д Нелинейная задача изгиба пологой
оболочки «Прикладная механика» т I вып 2 1965
45	Розин Л А Расчет гидротехнических сооружений на
ЭВМ Метод конечных элементов «Энергия» 1971
46	Филин А П Приближенные методы математического
анализа используемые в механике твердых деформируемых теп
Л Строииздат 1971
47	Справочник по теории упругости (для инженеров тропе
пси) Под ред П М Варвака и А Ф Ряоова «Вудшспьн ik» ,
1971
РАЗДЕЛ 16
МОДЕЛИРОВАНИЕ
16.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Различают следующие виды моделирования:
1)	физическое моделирование, когда исследование ве-
дется на моделях (конструкциях, установках или уст-
ройствах), сохраняющих физическую природу изучаемо-
го явления. При этом соответствующие величины, харак-
теризующие явление, в прототипе (натуре) и модели
отличаются лишь количественно. Частным видом физи-
ческого моделирования является масштабное моделиро-
вание, когда модель изготовлена из того же материала,
что и прототип, но отличается от последнего размерами;
2)	математическое моделирование — это исследование
явлений на моделях иной физической природы, однако
имеющих такое ясе математическое описание, что и про-
тотип (электро-, гидроаиалогии и т. и.).
В настоящем разделе рассматривается только физи-
ческое моделирование У
Условия подобия, лежащие в основе моделирования,
устанавливаются путем анатаза размерностей величин,
характеризующих исследуемое явление (п. 16.2), или
анализа уравнений задачи (п. 16.3). В п. 16.13 приведе-
ны для различных задач критерии подобия и формулы
пересчета, полученные при помощи этих методов.
Напряженно-деформированные состояния двух тел
называются подобными, если напряжения, деформации,
и.’ремепишия и другие величины, характеризующие изу-
чаемое явленье, в сходственных точках этих двух тел
в сходственные моменты времени связаны соотношениями
вида
(16-0
З.	ъсь ап и —значения рассматриваемой величины
соответственно дтя натурного обт.екта п модели; та—'
масштаб этой величины
Вопросы теории подобия связаны с теорией размер-
ностей Размерность дшшоч величины записывается сим-
волически с помощью букв,, прнсво- иных основным еди-
ницам измерения Так, например, ес.та Р означает еди-
ницу силы, a L—единицу длшчз то размерность напря-
гкения выражается формулой
Размерносги нескольких пассмаз рпваемых величин
могут быть нз'щмно зависимыми и независимыми. Неза-
висимость размерностей ошачает, что формула, выра-
жающая размерность однон из величин, не может быть
представлена как комби.’,.и 'я в виде степенного одно-
члена из размерностей других рассматриваемых вели-
чин. Например, р;ымер1и>' ; (I л-шны (А), скорости
[ЕТ~^] и напряжения [PI ’3) ш шгисимы, так как
при плых значения а и р. Раз-
мерности длины [/.], изгибающего момента [РЕ] и на-
j[ пряжения [РА"3] зависимы, так как можно подобрать |
такие значения показателей степени а и Р, при которых
( справедливо соотношение L—(PL)a (PL-rf (в данном
" случае «='/3, $ = -—фз).
Кроме размерных величин могут быть безразмерные.
При переходе от одной системы единиц к другой числен-
ные значения размерных величин изменяются, безраз-
мерных — не меняются.
। Будем различать простое и расширенное подобия. При !
(простом подобии масштабы всех безразмерных величин 1
•равны 1, а все величины, имеющие одинаковую размер-
Тюсть (например, напряжения, модуль упругости и на-
грузка, распределенная по поверхности), моделируются
в одном и том же масштабе. При расширенном подобии
безразмерные величины могут моделироваться в мас-
штабе, не равном единице, а разные величины одинако-
вой размерности могут иметь и отличные друг от дру-
га масштабы.
Расширенное подобие, в свою очередь, может быть
двух видов: аффинное ч нелинейное [1], Аффинное—‘
это такое расширенное подобие, при котором масштабы
всех величин постоянны в пространстве и во времени.
Нелинейное — эго такое расширенное подобие, при ко-
тором масштаб хотя бы одной величины изменяется в
пространстве или во времени.
При простом подобии безразмернысрстепенпые кошь
лексы, составленные из величии, характеризующих со-
стояние В сходственных точках и в сходственные момен-
ты времени, соответственно друг jipyry равны. Это по-
ложение составляет содержание так называемой первой
теоремы подобия.
Так, например,
где о — напряжение; Е — модуль упругости; р. —> коэф-
фициент Пуассона; и — перемещение; х — координата;
е — относительная деформация.
Для удобства (особенно, когда рассматривается ие
два, а группа подобных состояний тел) зависимости
(16.2) принято записывать в виде
— = idem*; р. = idem**; — — idem; idem. (16.3)
£	х
Если величины, входящие в критерии подобия, заме-
нить соответствующими масштабами т, то получим
1 По Bonpocav электрического моделирования см. [2, 5, 9, 12].
* idem (лат.) означает «одинаковый», «один и тот же®,
’* Критерий подобия Пуассона.
16 1- ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАВНОМЕРНОСТИ
171
степенные комплексы, которые в теории подобия назы-
ваются индикаторами подобия;
«о
—; т„
тх
; т.
tnF ’ '"и ’
Из первой теоремы подобия вытекает, что для подоб-
ных состояний тел все индикаторы~йодобия равны еди-
нице:
тд
-~~г~ = 1;	= 1; — = 1; т„ =1.	(16 4)
тЕ	u тх	Ех	'
Из уравнений связи между масштабами (16.4) следу-
ем, что в случае простого подобия все безразмерные ве-
личины натуры и модели должны быть соответственно
равны (например, коэффициенты Пуассона ц, компо-
ненты деформации е и у) Масштабы остальных (т. е.
размерных, величии должны удовлетворять уравнениям
(16 1). Поскольку этих уравнений в общем случае мень-
ше, чем входящих в них масштабов, часть масштабов
выбирается произвольно, а остальные определяются в
соответствии с (16.4). Вопрос о том, какими именно
масштабами задаться, решается в каждом конкретном
случае в зависимости от содержания задачи.
Существует несколько путей получения критериев по-
добия. Один из них основан на знании размерностей
всех величии, характеризующих исследуемое явление.
В общем случае из величии, характеризующих сосюя-
ние тела, можно образовать множество безразмерных
комплексов (критериев подобия). Однако известно впол-
не определенное количество независимых критериев по-
добия, с помощью которых можно получить все осталь-
ные безразмерные комплексы.
Согласно так называемой л-теоречс количество неза-
висимых критериев подобия п определяется выражением
п =- «1 4~ щ — п3,	(16.5 )
где «| — количество размерных величин; щ— количест-
во безразмерных величии; п, — количество величин, об-
ладающих независимыми размерностями (щ^щ).
Изложенный подход к определению критериев подо-
бия называется методом анализа размерностей. До-
стоинство э1ого подхода в том, чю он позволяет иаиги
критерии подобия без привлечения уравнений рас-
сматриваемой задачи. Важно лишь знать все величины,
характеризующие изучаемое явление.
Метод анализа размерностей применим только для
простого подобия.
Второй способ получения критериев подобия основы-
вается на использовании уравнений, описывающих ис-
следуемое явление. Для этого обе части каждого из
уравнений делятся на один из членов-слагаемых. По-
лучаемые при этом в виде слагаемых степенные комп-
лексы и есть критерии подобия. Кроме того, критерия-
ми подобия являются аргументы всех трансцендентных:
функций, входящих в уравнения.
Сопоставляя полученные критерии подобия, в каждом
конкретном случае можно определить, какие из них
независимые.
Например, одно из уравнений обобщенного закона
Гука
1 ,
д --ук'-й (Од 1 д)]
может быть преобразовано к виду
1 - 0Г  И Д' _ Р’П
чх Е ел. Е ех Е ’
откуда находим критерии подобия:
----= idem; ’—— = idem; ------- = idem.
ед £	'е‘х E	ел E
Ести уравнение содержит дифференциальные или ин-
тегральные операторы, то перед lev. как производить
деление на один из членов-слагаемых, знаки дифферен-
циалов и интегралов надо опустить. Например, гз урав-
нения
получаются следующие критерии подобия:
т4( х	.Хх
—-—	idem; — — idem,
Д У	<Е.
а из уравнения
ду- 1 дх~ дх dy
получается
У хи У ,,
-э---= laem;-------idem.
ед. х2	ez х
До сих пор рассматривались соотношения между т.-
личинами в заведомо подобных состояниях тет Рас-
смотрим теперь обратную задачу — какие условия ц-'об-
ходимо и достаточно выполнить, чтобы тОСЮЯИИЯ тет
были подобны. Согласно третьей теореме подобия (тео-
реме М. В. Кирпичева — А. А. Гухмана [6]) эти усло-
вия таковы:
1) сосюянля обоих тел описываются уравнениями
одинакового типа;
2) для обеих тел соответственно равны дпуг другу
независимые критерии подобия, которые составляются
из величии, входящих в условия однозначности (г. е.
единственности) рассматриваемых состояний. Крите-
рии подобия, составленные из величин, входящих в ус-
ловия однозначности, называются определяющими.
Рассмотрим оба эти требования.
Осиовиы.ми уравнениями, определяющими тог или иной
класс задач механики сплошной среды, являются диф-
ференциальные уравнения равновесия (движения), урав-
нения связи деформаций и перемещении (или уравне-
ния совместности деформации), условия однозначности
перемещений для многосвязных тел, а также уравне-
ния связи напряжений с деформациями н с их скоро-
стями. Все уравнения, за исключением последних, явля-
ются общими для всех задач мехапи’гч тпгопшой сре-
ды. Уравнения связи напряжений с деформациями фор-
мулируются по-разному для упру тих задач при малых
и бо гьших деформациях, для задач вта^гнчлостч, пол-
зучести и т. п. Поэтому для выпо.тпепия первого усло-
вия третьей теоремы подобия щ обходимо, чтобы урав-
нения связи напряжений с деформациями для материа-
лов модели и натуры имели одни и гот же вид.
Единственность (однозначность) решения пити оп-
ределяется граничными и шшалыплии условиями, а так-
же нагрузками, распределенными по объему. Граничные
условия определяют нагрузки или перемещения Нч гра-
ницах тела, а начальные условия — состояние в началь-
ный момент времени.
172
РАЗДЕЛ 16 МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таким обпазом в условия однозначности должны вхо
дить следующие параметры и зависимости
1)	геометрические характеристики тела или системы
тел—безразмерные геометри теские параметры Р (углы
и др) и линейные паоаметры lt = ^ I где cpzz,(i=l
2	)—безразмерные коэффициенты с помощью кото
рых любой размер тела выражается через один харак
торный размер I
2)	физические характеристики материалов образую
ших рассматриваемую систему (поскольку первым тре
бовапием третьеи теоремы подобия установлена иле!
тичность вида уравнении но не численное совпадение
входящих в них параметров) коэффициент Пуассона р
модуль упругости Е плотность р предел текучести От
"редел пропорциональности <тПц модуль упрочнения Е*
коэффицю! т линейного расширения а удельная тепло
емкость с коэффициент теточроводнос’и Лит п,
3)	вели ш№ входящ! е в граничные услов тя сосредо
точенные силы Д, = ср(/)Д моменты А4,=рр(М| /И на
грузки распределенные по линии q =ср,(<7^ (злись <щ—
безразмеовые коэффициенты с помощью котор 1.x каж
дая на1рузча может быть выражена церез один хаоак
тернын параметр — соотзе'”'гвеино силу Р момент Л1
или интенсив гость q) нагрузки распределенные по го
верхности X Y Z заданные перемещения на контуре
Ui vK
4)	нагрузки распределенные по объему X Y Z
5)	начальные условия в которых искомые фут кции
задаются в исследуемом обдатои в начальный момент
времени
Во всех приведенных вьше рассуждениях имелось
в виду так называемое полное л шейное подобие когда
условия подобия (16 1) соблюдаются для всех в< личин
характеризующих исследуе гое явление
О’нако условия полного подобия олазыв ютСЯ вссь
ма жесткими Соблюдшие их пр i моделнро! ни и го
многих ступях сопряжено с больпими трудностям! и
н все гд 1 нес бходгого Поэгочс hi практике часто при
бегают к моде ироааиию основанному п неполном ио
добии В эт!х случае х условия io юо я соблюдаются нс
для всех вс шчин характернаюн их исс едуемое явле
ние а гол!ко для яекэюрых i л хоте веипых точках
натуры и голе ш пене шо pa iiimi iro шнмаются кри
mj ни подобия со тавле гн те из в 1ичи i относительно
tvoiopn стремятся соблюсти под one При этом созиа
ТсТ но илу1 на го что относите лы о других величин
пот.ооие оу д г нлрхшшо Однако г г oi подход трсбуе-
осторожности в ясного по шмалю существа здлач
Room н полного часто иеголюзустея приближенное
1годоби С\щпог'л,ь его состоит в отк и от учета н°ко
топых ф 1к оров егит ит ию в 1НЯЛЩ тх I а напряж н
цо I с ne I нов г по° состоя! и тел i in] и гор во мио
гну \ । ч г 1 с у 1 о едя соеспп и ш i вес тс ia и т п )
16’ ПРОСТОР ПОДОБИЕ СТАТИЧЕСКИХ
VHP'ТИЧ состоянии
МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
Опр делим истов 1я подобия напряженно десрормиро
ванн х состояние олгорошых тзотроппых упругих гоа
в спх к малых сфориаши при з ща ших in контуре
пт ст г тчеслих нагрузках или перемещен !я\
°а । I мае тезрз м пн го гтоичнни всходящие в ус
ловил однозначности и являющиеся критериям i подо
бия
(ф = idem <p(Z) ~ idem ц =
ет у (Р) - idem
<р£(Л1) idem ср^' = item
(16 6)
Запицюм все входя ц ie в ус говия одиозна шести j гз
мерные в wiiiiii с их р пмерпост тми /[/	/ \Р1 *•]
Р[Р] М [KE] q[Pl 1] ~X[PL 2] Т]££ ’] 7|Д/ 2]
и [Е] vhlL] ш [и] ' A[W-3] У [Pl 3] 7[PL 3]
Всего размерных bctihih 14 из них две зс i iniHii
ironp пн р I и £ имеют шзагтсихые разм рности Таким
ооразом доп тнитсльно к (16 6) можно поручить 14 —
—2=12 независимых критериев подобия
Р	Л4	q	X ,
— = idem1, — — idem----------------= idem — = idem
— = idem — = irem —— = idem —— = i em |
L	F	I	I
XI	УI	71
---— idem — = idem —— iem —1 = i lem
/--Г	Г	Г	I
Критериям подоб ия (16 6) — (16 7) соответствуют еле
дующге уравнения связи между масшт1бами соответ
стгующ ix величин
т- ~ т = т~ п — гг — т
1	7 к	к
— mz ,	(16 9)
а шесп ураннспи i с 1язи
тР ; m w ( та = j
т т]	тг n’i	~rF т
т-r	'Р i	m-i т,
Л = 1	= 1	= 1
ОТ/	«	тЕ
(16 10)
содержат восемь масштабов Зил шт любые дв 1 маси та
ба могут быть RHooaiii фоизволпо а остальные
шесп м 1спп 1бо опрс готяются из уравнении (16 10)
Таким образом псоолоихпв и и достаю гными ус го
виями простого подобия пространственной задачи тео
pin хпрхгосги являются следуютie
1)	модел! и про тог in должны бить геометрически по
добннми
2)	коэФфипплцт ’ Пуассона ддя маторг ала vov 1
и л tipia л прототипа долил н оыть равны Прт э ом
Кпитерий петпбия Г хп
16 3 РАСШИРЕННОЕ ПОДОБИЕ В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
173
выбор материалов обусловливает и масштаб модулей
продольной упругости ту,
3)	все нагрузки, действующие па модель, должны на-
ходиться в таком же отношении одна к другой, как и
соответствующие нагрузки, действующие па прототип;
4)	поскольку выбор материала для модели определя-
ет масштаб то для пр->чтиольного выбора остается
только один масштаб: либо масштаб /ьч, либо масштаб
одного из видов нагрузки, например сосредоточенных
сил тР.
В случае произвольного выбора масштаба т, нагруз-
ки должны моделироваться в масштабах mr~mynj;
myi — mr.mp т^ — тцтг, т^=ту = т^-~тр
т х = Mr = "б ~ т tdni(, а заданные перемещения на
контуре — в масштабах т«к = лгек = т-,тл ^тп., При
этом напряжения будут моделироваться в масштабе,
равном гпц, перемещения — в масштабе т , а деформа-
ции в модели будут равны соответствующим деформа-
циям прототипа.
При .произвольном выборе масштаба т;, лиш.лЬгый
1/
масштаб модели оказывается равным mi -= |/ — ,
' Е
нагрузки должны моделироваться в масштабах т и ~~
_____2_
= тР тп ; т„=у т т ; ш- ~tn-. = tn- =-т ; т —
Е	р , д t Е р, д.	7 Е, *
з I
=-тх =rnz~m тр~, а заданные перемещения па_«ои-
т/ р
туре — в масштабах тц ~ т,: = try, — I/ — .
lx	К	77/ jjp-
В этом случае папряж< пня будут моделяровиться в мас-
штабе, равном ту, m ремещеинч — в масштабе =
/~ га р
= mv = mw—~l/ ------ , а деформации в модели будут
У ш i
равны соответствующим деформациям прототипа.
16.3.	РАСШИРЕННОЕ ПОДОБИЕ
В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. АНАЛИЗ УРАВНЕНИИ
При моделировании может быть поставлена задача
определения не всех величин, характеризующих явление,
а только некоторых. Например, часто требуется опреде-
лить только компоненты напряжений. В связи с этим
возникает вопрос, можно ли упростить моделирование,
обеспечивая подобие по напряжениям и не заботясь
о соблюдении подобия по деформациям и перемещени-
ям. Разумеется, такая постановка задачи возможна
лишь при малых упругих деформациях, когда изменени-
ем конфигурации тела п перераспределением напряже-
ний в процессе деформирования можно пренебречь.
Выявление условий расширенного подобия проиллю-
стрируем па примере первой основной задачи теории
плоского напряженного состояния.
в этом случае определяются уравие-
упругости для
Напряжения
ниями:
(16.11)
Здесь рх = const; р,( = const.
В случае неодносвязного тела к уравнениям (16.И)
должны быть добавлены условия однозначности пере-
мещений:
"sl2>
Здесь интегрирование распространяется на любой
замкнутый контур, не пересекающий контур тела; s —
длина дуги этого контура. Пользуясь формулами Коши,
можно подынтегральные выражения записать через де-
формации, а последние заменить напряжениями, вос-
пользовавшись законом Гука. В результате можно
прийти к следующим выражениям однозначности пере-
мещений:
ф j\or+ov) cos (sx)+y ~ (ох + оф ds = j
= —(1+В)Лн	|	(16.13)
ф (ОД+<Ф cos (57)—-х ----- <оф- о„) ds = j
J [	рп	 J	I
= (1+р)ф.	’
Здесь п — нормаль к линии интегрирования; Rx, Rv —
составляющие равнодействующей усилий по замкнутому
контуру.
Рассмотрим сначала одиосвязное тело или многосвяз-
нос тело, у которого главный вектор внешних нагрузок
по каждому замкнутому контуру равен нулю. 3 этом
случае в условия однозначности рассматриваемой зада-
чи входят только геометрические параметры тела н на-
грузки Значит, материал модели может иметь произ-
вольные упругие постоянные, а сама модель должна
быть геометрически подобна прототипу, причем линей-
ный масштаб mi может быть выбран произвольно Так
же произвольно можно выбрать масштаб одного из ви-
дов нагрузки, например сосредоточенных сил тР Дру-
гие вилы нагрузки должны моделироваться в соответ-
тр
ствуюшпх масштаба.х т.« =тРт,; та = — ;
mi
т р	Pip
т- = т- = т„ — т„ = —т-.
X V т] рх ри т[
При соблюдении этих условий компоненты напряже-
ний будут моделироваться в масштабе та = т„ =
л щ
тр
= т = —у.
XI/ ГГГ[
Выясним, как при обеспечении подобия только по на-
пряжениям будут моле тироваться деформации и пере-
мещения.
Записав закон Гука для материалов модели и прото-
типа, после ряда преобразований получаем выражения
для масштабов компонентов деформаций тп , т_
И		/72g —	trip	^Х, м		Ф,м			
			тЕ mi		|ф	%,М			
			тР						(16.14)
		,ПУ -	mEm2i	ф,м		°Х.м ’			
		m - vxy	тр тЕ	1 Ч~ М-н 1 + Вм					
174
РАЗДЕЛ 16 МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таким образом, при соблюдении указанных выше ус-
ловий подобия полей напряжений в первой основной
плоской задаче теории упругости поля углов сдвига
У»» будут аффинно подобными, а масштабы те и тг
будут функциями координат, т, е. поля относительных
продольпы.х деформаций ел и е„ будут нелинейно по-
добными.
Если же к рассматриваемым условиям расширенного
подобия добавить требование о равенстве коэффициен-
тов Пуассона материалов прототипа и модели, то поля
относительных продольных деформаций ех и е„ ока-
жутся аффинно подобными и все компоненты деформа-
ций будут моделироваться в одном масштабе
/Лр
т„ ~ т„ =- тг ~~ -----:
х ~ч тЕт^
При моделировании, когда тг, = 1,
Ир
т„ = т„ = mv = —ф- .
х и Пл т2
Для масштабов перемещений можно получить зависи-
мость
т =	тл <
«	X	" 1
т =--	т,, |
в	Д 1 J
(36.15)
т с. поля перемещений будут нелинейно подобными
при
При равенстве коэффициентов Пуассона материалов
прототипа и моде ш компоненты перемещений будут
моделироваться в масштабе
тр
ти =-= mv = ------------------- ,
а при тг — 1 т --= т — -—- >
1	£	и V П11
Отметим, что при Ци^Цм от напряжений в модели
может быть совершен непосредственный переход к на-
пряжениям в прототипе. При этом масштаб напряжений
равен масштабу нагрузки, распределенной по поверх-
ности. Переходить в этом случае от деформаций и пе-
ремещении модели непосредственно к деформациям и
перемещениям прототипа нельзя, так как масштабы де-
формаций и перемещении переменны в исследуемой об-
ласти,
Если моделируется многосвязное те то, у которого
имеется хотя бы один замкнутый контур, где главный
вектор внешних нагрузок не равен нулю, то кроме уже
рассмотренных величин в условия однозначности дол-
жен войти коэффициент Пуассона р [из условий одно-
значности перемещении (16.13) ]. В этом случае условия
подобия полей напряжений должны быть дополнены
требованием равенства коэффициентов Пуассона мате-
риалов прототипа и мотели. Аналогичное требование
должно выполняться и при исследовании второй основ-
ной и смешанной задач теории упругости.
Толщина плоской модели может быть выбрана неза-
висимо от линейного масштаба т,. Однако чрезмерно
большой толщину пршщмпь не следует во избежание
появления отклонении от плоскою напряженного состо-
яния, т. е. возникновения неравномерности распределе-
ния напряжений От, <т,. ч т,, по юлщине модели и воз-
никновения во внутренних слоях модели напряжений
Щ, Тх; И тих.
16.4.	О ВЛИЯНИИ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Во МНОГН.Х случая.х распределение напряжений в упру-
гих телах зависит от величины коэффициента Пуассона.
Поэтому при моделировании, строго говоря, необходи-
мо подбирать материал модели так, чтобы соблюдать
равенство этих коэффициентов у материалов прототипа
и модели. Практически это условие часто трудно выпол-
нить, поэтому возникает вопрос о величине возможных
погрешностей, вносимых несоблюдением критерия Пуас-
сона, и о путях соответствующей корректировки резуль-
татов исследования.
При исследовании плоски задач принципиально воз-
можна корректировка результатов исследования при по-
мощи испытания второй модели с другим коэффициен-
том Пуассона Тогда для определения напряжений в на-
туре можно воспользоваться выражением
_ тР, 1 Q ^141) (Д,-Им,.?) _
°Х’Я^ ml\ (1 ~Ин)(.11м,1 ~-Нм,2) J*M’!
, «У, (} -11m,2)(Eh~Em,i)
------------------------- ff я (16.16)
т1,2 (! -Ан)(Мм,2- Мм,1)-л’2
Здесь индексом «1» отмечены величины, относящиеся
к первой модели, а индексом *2» — относящиеся ко
второй модели.
По аналогичной формуле можно опред чтить и другие
компоненты напряжений аВ1Н и Тх,л!1.
Формула (16.16) записана для случая плоской дефор-
мации, Если имеет место обобщенное плоское напряжен-
ное состояние, то соответствующий коэффициент Пуас-
сона должен быть заменен в (16.16) на величину
(16.17)
1 -Ни
Практическая реализация этого подхода связана
с трудностью точного определения значений коэффици-
ента Пуассона. Поскольку значения коэффициентов Пу-
ассона модельных материалов находятся в довольно
узких пределах, то гошоегь определения напряжений
при помощи выражения (16.16) обычно невелика.
Часто при исследования плоских задач влияние раз-
личия коэффициентов Пуассона на величины напряже-
ний незначительно. Однако в некоторых случаях оно
может быть большим (например, для плоской задачи
о нагружении бесконечной плоскости сосредоточенной
силой).
Менее изучено влияние коэффициента Пуассона на
распределение напряжений в пространственно-напря-
женных телах. Известно, что оно зависят от характера
изменения суммы нормальных напряжений по точкам
объема тела. Чем более плавно изменяется величина
этой суммы, тем меньше погрешность, вызванная раз-
личием коэффициентов Пуассона, В частности, в ци-
линдрическом теле, подверженном чистому кручению,
когда сумма иормалы!Ы.х напряжений постоянна (рав-
на нулю), распределение напряжений не зависит от ко-
эффициента Пуассона Как правило, наибольшая по-
грешность, вызванная различием коэффициентов Пуас-
сона, получас гея при определении меньших по абсолют-
ной величине главных напряжений.
16.5.	О МОДЕЛИРОВАНИИ ОБЪЕМНЫХ СИЛ
Выбор для модели материала, у котового коэффици-
ент Пуассона такой же, как и у материала прототипа,
предопределяет масштабы модулей продольной упру-
16 6 ПОДОБИЕ Б ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
175
гости ms и объемного веса гр. А это, в свою очередь,
означает, что для все.х остальных величии масштабы
уже не могут быть выбраны произвольно, и каждые из
этих масштабов определяется величинами щЕ и т^. При
этом линейный масштаб модели
mF
=	(16.18)
Может оказаться, что линейный масштаб модели, опре-
деленный по формуле (16.18), будет неудобным или
технически трудно осуществимым. В этом случае мож-
но произвольно выбрать линейный масштаб модели т;,
но тогда в соответствии с выбранным nil надо будет
обеспечить и соответствующий масштаб объемных сил
__ тЕ . что может быть достигнуто с помощью
"у mi
центрифуги.
16.6.	ПОДОБИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Из основных уравнений динамики упругого тела вы-
пишем величины, входящие в условия однозначности,
и их размерности: X[PL~a], плотность р[Р£-4Тг],
ФИ. р[1].
К этим величинам надо добавить величины, входящие
в граничные и начальные условия, которые рассмотрим
применительно к трем основным задачам.
а)	Первая основная задача. Па поверхности S тела
во все моменты времени начиная с t0 заданы нагрузки
Х = Д; Y=fi Z=-f3,	(16.19)
а в области V, занятой телом при t = ta, начальные ус-
ловия
/ du \
«=«о. v = v0; w = ш0;	и0=- — 1
\ dt /о
а0 =-
\ Л Д
(16.20)
Здесь f|, fs, — функции, заданные на поверхности те-
ла и зависящие также от времени; и0, v0, wa, u0, су, ®0—
заданные функции от х, у, г
Выпишем все величины,
значности первой основной
£р£-* 2], g[i], ?[Р] п
М7.Т-1].
Отсюда можно получить
добия:
Р
ti = idem; ---=-= idem;
ЕР
pF ш
— •= idem;
ЕР
входящие в условия одно-
задачи: АД Ию3], р[А£-4ГД,
1[Ц, время ДА], »о[£],
определяющие критерии по-
ЛР	и,
— = idem; — = idem;
Р	I
= idem,	(16-21)
* В целях единообразия записи__критсрисв подобия вводится
сосредоточенная сила Р вместо Л' (У, Z), поскольку масштабы
,->тих величин связаны мелзду собой зависимостью
nip
~ ------------.
2 “1
которым соответствуют
между масштабами
следующие уравнения связи
пц
тР г yvy
тр m"t ml
1.	(16.2 b)
В зависимостях (16.21) первые четыре критерия по-
добия — это уже полученные ранее критерии подобия
для статической задачи, остальные два — специфические
критерии подобия динамической задачи.
б)	Вторая основная задача отличается от первой
только тем, что граничные условия (16 19) заменяются
следующими условиями на поверхности S:
Щ. = О: = Л; шк=-Е3,	(16.22)
где Д, F2, Fs — заданные функции на S, зависящие так-
же от времени.
Для второй основной задачи в условия однозначно-
сти войдут следующие величины: .YjlPZ.-3]; р[Р£-№];
£[Р£-Д; р[1]; Щ£]; /[£]; ДГ]; <]; фП1]-
Отсюда можно получить определяющие критерии по-
добия
«к	., ХР
ц = idem; — = idem.; —— — item;
I	Е
Un	f>P	Unt
—p = idem; pp = idem: — -idem, (16.23)
которым соответствуют следующие уравнения
между масштабами
связи
«ЧК тх	тио
т = 1; ------= 1; ------= 1; ----- = 1;
и	тЕ	Ш
(16.24)
в)	Смешанная задача, где на части поверхности да-
ются условия (16.19), а на другой части — условия
(1622).
Для этой задачи в условия однозначности войдут все
те величины, которые входили в первые две задачи Из
них можно получить следующие определяющие крите-
рии подобия:
Р	ХР
и. = idem;----= idem; — = idem;
и	ЕР	Р
—р = idem; р~ ~ idem;
(16.23)
рР ш Ut>t ж
— = idem; — —idem,
ЕР	I
которым соответствуют уравнения связи между масшта-
бами
тр	т„к
ЯД = 1; -------- = ];--------— 1;-------= ];
тЕ m~i	тр	т1
^=1- т" 1 т“п mt
тЕ tn“t mi
(16.26)
176
РАЗДЕЛ 16 МОДЕЛИРОВАНИЕ
Зависимости (16.20), (16.23) и (16 25) свидетельству-
ют о том, что при моделировании динамической задачи
необходимо соблюдение уже встречавшихся ранее кри-
териев статического подобия [это первые четыре кри-
терия в (16.20), первые четыре — в (16 23), первые
пять — в (16.25)|. Сверх того в динамических задачах
надо обеспечить соблюдение еще двух критериев. Эти
дополнительные динамические критерии одинаковы для
всех трех краевых задач:
рр » uat ..
	— idem ;	— idem
Et~--------------I
При малых упругих деформациях мо/кно отказаться
от соблюдения требования тъ— \.
16.7.	ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ
При экспериментальном решении шдач термоупруго-
сги необходимо для моделей и проготипа обеспечить
подобие температурных полей и по-ей напряжении,
деформаций и перемещений
Условия подобия нестационарных пмпературных по-
лей в геометрическн подобных телах получаются из
рассмотрения уравнения теплопроводности Фурье. Для
твердого однородного тела при наличии в системе внут-
ренних источников тепла это уравненье inicei
вид
(16.27)
ат =
где Т[Го]—температура; /[7] —время;
X
—	[L27’~i]—коэффициент температуропроводности;
?,[Р7ф17 ~~"1 J — коэффициент теплопроводности;
c\L'lp} '] — удельная теплоемкость; у [Д'/--3]—удельный
вес; y[L], z[L]—координаты; qr [PL-~T~ *[ —
плотность внутреннего источника тепла (количество теп-
ла, выделяемого источником в единицу объема за еди-
ницу времени)
Здесь и в дальнейшем в формулах размерности сим-
вол Т соответствует единице времени, То — единице
тем перату ры
Если состояние тела стационарное, то
(16.27) принимает вид
уравнение
(16.28)
Потаг-нм, что физические
не зависят от температуры.
Путем анализа уравнения
подобия
ОуП .
-А- — idem ;
харамеристики материала
(16.27) получаем критерии
=. idem. (16.29)
В (16.29) записаны не все критерии подобия, а толь-
ко те, которые понадобятся в дальнейшем При этом
ввиду соблюдения геометрического подобия координаты
замен чы характерным линейным размером I.
Дтя го: о чтобы полностью решить вопрос об условиях
подобия температурных полей, необходимо в дополнение
к уравнению (16.27) рассмотреть граничные условия,
которые могут быть трех видов.
* Критерий тюяобяя Коши.
Критерий ГОМОХРОННОСТИ
Критерии подобия Фурье (критерий тепловой гомохрон-
ности)
Граничные условия первого рода характеризуются
тем, что на поверхности тела задается температура Т
как функция пространственных координат и времени.
Граничные условия второго рода определяются зада-
нием на поверхности тела удельного теплового потока
/, дТ	\
А —, где п — нормаль , как функции пространст-
\ fA's	]
ВСНПЫ.Х координат и времени.
Граничные условия третьего рода задаются в виде
температур сред, окружающих твердое тело, и коэффи-
циентов теплоотдачи ат от этих сред к поверхности
тела
Заметим, что все величины, входящие в граничные ус-
ловия первого и второго рода, фигурируют в критериях
подобия (16.29) и только граничные условия третьего
рода добавляют к величинам, входящим в условия од-
нозначности, новую величину <1т[РТ~~[Т	.
Следовательно, при моделировании задачи на основе
граничных условий третьего рода к (16,29) добавляется
еще один критерии подобия
I
—г—	idem*’.
(16.30)
Обратимся теперь к вопросу о подобии полей напря-
жений, деформации и перемещении при уже обеспечен-
ном подобии температурных полеп прототипа и модели.
При простом подобии в условия однозначности зада-
чи войдут величины- /[А], ц[ 1 ], E[PL~~Z], Z’fZ'nJ и ко-
эффициент линейного расширения а[Г^1 ]. Отсюда мож-
но получить два критерия простого подобия
р — idem; аТ = idem.	(16.31)
Рассмотрим теперь условия расширенного подобия
Для простращтвепноп задачи остаются в cine обычные
уравнения равновесия и .зависимости зижду перем-ще-
ииями и деформациями. Закон Гука имеет вид
Е
(16.32)
-----г
Е
уравнений (16 32) получаем критерии по-
р =- idem
Из анализа
добня по напряжениям:
пх
-----= idem;
ЕаТ
Условия (16.33) в сочетании с требованием геометри-
ческого подобия определяют подобие по напряжениям
для пространственной задачи термоупругости.
Аналогичным образом, проведя анализ общих уравне-
ния термоупругости, можно доказать, что для плоской
задачи достаточно обеспечить только геометрическое по-
добие
Если кроме изменения температуры на тело действуют
и нагрузки, то, наряду с критериями и условиями тер-
моупругого подобия, должны быть учтены критерии и ус-
ловия подобия, соответствующие нагрузкам.
(16.33)
16.8.	МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Для определения связи деформаций с напряжениями
в качестве одного из возможных соотношении восполь-
* Критерий Био (критерий краевого подобия).
16 9 ПОДОБИЕ Б ЗАДАЧАХ ПЛАСТИЧНОСТИ
177
.дтчся рядом Муни [3]. Если улсроать дня тепа это-
го ряда, то ho.ij.4Hti
, 2а,	,	1
о = 2.4, V - --у- + 4/Ц В - 4.В,	+ р
}~	'
(j 1,2,3),	(16.34
где о, — главное напояженис; f..j — степ; ль удлинения:
тсрнстики среды.
В условия однозначности рассматриваемой задачи
входят те же величины, чго и в случае малых деформа-
ции, за исключением Е и у, вместо которых здесь всхо-
лят другие физические .характеристики среды:	”2],
B2\PL-aj, .44[РЕ-‘’], В4]АЛ-В. Соыветствующие этой
задаче условия (критерии) подобия укатаны в табл.
16.13 При соблюдении этих условий будь: сохраняться
геометрическое подобие прототипа и модели и в дефор-
мированном состоянии, что при больших деформациях
является обязательным (в отличие от малых).
В некоторых случаях условие равенства деформаций
модели и прототипа необходимо соблюдать и при малых
деформациях Сюда относится, например, тот класс кон-
тактных задач, где поверхность контакта существенно
изменяется в процессе нагружения.
16.9.	ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ПЛАСТИЧНОСТИ
В задачах пластичности в условия однозначности вхо-
дят следующие величины и зависимости.
1)	геометрические параметры тела;
2)	физические характеристики матерна ш Еф-РСТ2],
ц[1], кривая зависимости n,-=f(r,A, г.ш г, интенсив-
ность напряжений; с,—интенсивноегь деф ,'рмаций; фи-
зические характеристики материала фигурируют в рам-
ка.х классических теорий пластичности, деформационной
и теории течения Рейсса;
3)	история нагружения. В классической деформацион-
ной теории история нагружения не находит прямого от-
ражения, а предопределяет лишь области ее примени-
мости.
Следовательно, для обеспечения подобия при модели-
ровании задач пластичности требуется соблюдение гео-
метрического и силового подобия, равенство коэффи-
циентов Пуассона для прототипа и модели, а материал
модели должен характеризоваться кривой о,— ((е1),
которая подобна аналогичной кривой, описывающей ма-
териал прототипа, т <?. в сходственных точках этих кри-
вых с, м; а. п^=тй)1 -ч. Для обеспечения подобия
истории нагружения необходимо, чтобы все критерии
силового подобия были соответственно равны в сход-
ственные моменты времени.
Аналогично могут быть получены условия подобия и
для ряда других теорий пластичности.
16,10.	ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Определение критериев подобия при моделировании
ползучести производится на основе теории ползучести
и общих уравнении механики сплошной среды,
В основе теории старения лежит предположение
о связи между напряжениями, полной деформацией и
временем, которую можно представить в виде [10]-
et = Д~ (6 - ГСТГа W 7 И-'0'); (16.35)
20 \	* М" /
12—26
здесь я — среднее напряжение; ср — функция инвариан-
тов тензоров напряжений и деформаций, характеризую-
щая состояние материала,
В те.х случая.х, когда кривые ползучести подобны,
функция <р может быть представлена в виде
Ф = Мофф (0.	(16,36)
Здесь f — функция интенсивности напряжений; ф—
функция времени.
Функция f может иметь вид:
экспоненты	/ (о/) = exp Ьпр	(16.37)
степенной	f (erj — ЛоП	(16.38)
или какой-либо другой (например, гиперболический си-
нус) .
Если вид функции /(о.) одинаков для материалов
прототипа и .модели, то для обеспечения подобия в рас-
пределении напряжении необходимо подбирать матери-
ал так, чтобы 6И = ЬЧ (16,37), либо m, = mM (16.38)
и т. п Можно показать, что величина А не влияет на
обеспечение подобия.
Существенно, что функция времени ф(ф может иметь
разную форму для материалов модезн и прототипа.
Сходственные моменты времени находятся из условия
Cfi фи (Ст) “ фл( (1М).	(16.39)
Это позволяет значительно сократить время испытания
специальным подбором материала
При отыскании критериев подобия влиянием коэффи-
циента Пуассона на распределение напряжений обычно
пренебрегают, так как оно несущественно.
Более удовлетворительные результаты получаются на
основе теории упрочнения, которая может быть поло-
жена в основу рассмотрения вопросов моделирования
ползучести.
Уравнение кривой ползучести по одному из вариан-
тов теории упрочнения имеет вид [10]:
па
е = е0 (о) -ц Bf1 exp — .	(16.40)
При моделировании статических задач и в тех слу-
чая.х, когда начальная деформация является линейной
функцией от напряжения, необходимо обеспечить вы-
бором материала и температуры испытания выполнение
условия
-- п,м.	(16.41)
16.11.	МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ВИДОВ КОНСТРУКЦИИ
Моделирование комбинированных конструкций, со-
СТ0ЯЩИ.Х из оболочек, пластин, стержней и г. п., осно-
вывается на изложенных выше общих условиях подо-
бия, При этом, если элементы конструкции выполнены
не из одного материала, коэффициенты Пуассона в про-
тотипе и модели при простом подобии должны быть
соответственно равны, а отношение модулей упругости
материалов прототипа должно быть равно отношению
соответствующих модулей упругости материалов мо-
дели.
В те.х случаях, когда нас интересует не картина на-
пряженного состояния каждого элемента, а перемеще-
ния характерных точек или распределение усилий меж-
ду' элементами, можно отказаться рэт строгого геометри-
ческого подобия и моделировать’ для всех или для
отдельных элементов какие-либо интегральные характе-
178
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
ристики (например, соответствующие жесткости). Ука-
жем на некоторые особенности моделирования отдель-
ных видов конструкций, имея в виду их работу в пре-
делах упругости.
Тонкие пластинки постоянной и переменной толщины
должны моделироваться с соблюдением геометрическо-
го подобия в плоскости пластинки в произвольном ли-
нейном масштабе mi. Толщина пластинки может моде-
лироваться в масштабе тд, в общем случае отличном
от m.i. Масштаб нагрузки тР также произволен.
В этом случае при равенстве коэффициентов Пуассо-
на материалов прототипа и модели (ря = цм) напря-
жения будут моделироваться в масштабе
та
т.р
mh
деформации — в масштабе
прогибы — в масштабе
mprrij
-----ф
тЕ m'h
При Р-н ць)
1
1 1
--- Ж. цы-_
*'х,
тР 1“Пф .
т	= —у  -------
1ПР ’-Вн
(36.42)
(16.43)
(16.44)
(16.45;
(16.46)
1 — р;
mw ~~	,	„ •
m'h 1 — рм
(16.47)
I 1
Здесь ~, — — кривизны срединной поверхности де-
(Н Рд
формированной пластинки в рассматриваемой точке в на-
правлении осей х и у соответственно.
Для формул (16.45) — (16.47) координатная пло-
скость совпадает со срединной плоскостью пластинки.
При моделировании напряженных состояний безмо-
мептных оболочек постоянной толщины срединная по-
верхность модели должна быть (ео.шчрячески подобна
срединной поверхности иащры. ,'Пшенный масштаб сре-
динной поверхности пц может быть произвольным.
Масштаб толщины оболочки пи, может быть отличным
от гщ. Коэффициенты Пуассона материалов натуры и
модели должны быть равны
Для соблюдения простого подобия напряженных и де-
формированных состояний масштаб сосредоточенных сил
должен быть равен тР = mEm.itnh. При расширенном
подобии (подобии по напряжениям) масштаб тР может
быть произвольным.
Другие виды нагрузок должны моделироваться в сле-
дующих масштаба.х; нагрузки, распределенные по линии,
/72р
; нагрузки, распределенные по поверхности,
mi
тр
т— — т~ — т- = —нагрузки, распределенные по
A Y Z 2
Ш;
объему, — т-у = mz — —; сосредоточенные мо-
ml mh
менты — т.м = тртр
При соблюдении всех указанных условий подобия все
компоненты напряжений будут моделироваться в масш-
тр
табе та — ———t деформации—-в масштабе тЕ =
/72 р
~~	перемещения — в масштабе ти = тя = ягг.
772р- '!!' (>!
В некоторых случаях моделирование безмоментных
оболочек можно осуществить при произвольном выборе
многих масштабов. Так, при моделировании напряжен-
ного состояния безмоментных оболочек вращения масш-
табы «и,	, ту т/,, тР могут быть выбраны произ-
вольно.
Рассмотренные условия могут быть использованы и
при моделировании оболочек с небольшими моментными
зонами, однако в последнем случае подобие будет при-
ближенным.
Для моментшдх оболочек постоянной и переменной
толщины следует соблюдать условия полного геометри-
ческого и силового подобия пространственной задачи
теории упругости.
Пространственные стержневые системы могут иссле-
доваться на модели с соблюдением полного геометриче-
ского подобия или же на модели с сохранением подобия
лишь в соотношениях жесткостных характеристик отдель-
ных: элементов и поперечных сечений. При этом должно
сохраняться одно и то же соотношение для основных
жесткостных характеристик: на изгиб в обеих главных
птопкостях инерции и на кручение.
Если влияние продольных сил на деформацию мало,
то масштабы жесткостей всех подобно расположенных
элементов пространственной рамы должны удовлетво-
рять условию
1 + Им
тЕ1 = тЕр=—~ та1 .	(16.48)
1 + Цн к
В тех случаях, когда деформациями от продольных сил
в элементах пренебрегать нельзя, соответствующие же-
сткости дотжпы быть дополнительно [кроме (16.48)]
связаны зависимостью
(!6-49)
т1
Здесь/| и П — моменты инерции поперечных сечений
относительно главных центральных осей инерции; /к—
момент ширдчи поперечною сечения на кручение; F —
площадь поперечного сечения.
Для изучения сложных рамных конструкций, где
трудно оценить влияние отдельных жесткостньгх .харак-
IS 12. ВОПРОСЫ ПОДОБИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
179
теристик. модель целесообразно выполнять полностью
подобной по всем жесткостяым характеристикам или по
всем размерам и форме натурной конструкции.
Итак, для обеспечения подобия в распределении уси-
лий и перемещений:
1)	модель в осях должна быть геометрически подобна
прототипу в произвольном линейном масштабе т,\
2)	одну из жесткостей поперечных сечений (например.
ЕЦ) можно выбрать произвольно в масштабе т , а
масштабы остальных жесткостей — в соответствии с
(16.48) и (16.49);
3)	сосредоточенная нагрузка моделируется в произ-
вольном масштабе тР (другие виды нагрузки — в соот-
тр
ветствующих масштабах, например 'mq ------, и т. д.).
При соблюдении указанных условий перемещения бу-
тРт1
дут моделироваться в масштабе ти — rnv — mw — ——,
т ЕЦ
а изгибающие моменты — в масштабе т-к^—т-ргщ.
Плоские стержневые системы в последнее вРёмя мо-
делируются все реже, особенно в связи с использованием
для расчетов ЭВМ. Однако когда к моделированию та-
ких систем все же прибегают, то учитывают, в отличие от
пространственных систем, жесткость поперечных сечений
на изгиб в одной плоскости. Остальные зависимости по-
добия — те же, что и у пространственных рам.
При моделировании плоских стержневых систем,
имеющих в своем составе криволинейные элементы,
должно соблюдаться также условие (16.49).
В общем случае комбинированных систем должны
учитываться все указанные выше условия подобия от-
це льны.х элементов в соответствии с характером работы
этих элементов.
16.12. ВОПРОСЫ ПОДОБИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
Пусть па упругое тело А, находящееся в контакте
с телом В, действует нагрузка. Требуется посредством
моделирования определить напряжения, деформации и
перемещения в теле А.
Рассмотрим отдельные возможные здесь случаи.
1	. Материалы тел А и В упруги.
В этом случае должны соблюдаться рассмотрен-
ные выше условия подобия упругой задачи. Важно лишь
подчеркнуть, что соответствующие критерии подобия
должны быть численно равны в сходственных точках
натуры и модели.
Если у патупы Е т,пЭ>£л,п, то необходимо, чтобы и в
модели было Е'д.мОЕ'в.м, и тогда приближенно можно
'учитывать только три определяющих критерия подобия:
р,л = idem; aB = idem; -------- idem, (16.50)
которым соответствуют следующие уравнения связи
между масштабами:
mJ*
=	=	(16 51)
2	Материал тела Л— упругий, тела В — сплошная
пластичная среда.
В условия однозначности рассматриваемой задачи
входят: ([£], Ел , JAa [1], Es[PL~~2]t jab[1], кри-
вая зависимости о'1,в=(в(е1,е), история нагружения.
Здесь должны быть соблюдены условия подобия, полу-
ченные для случая, когда оба материала упруги, и, кро-
ме того:
а)	материал в модели должен характеризоваться
кривой о,-в ~/в lri в	которая подобна ана-
логичной кривой, опчсыва.ющсн материал натуры о; в =
= !B(i ^bJ’
б)	история и характер нагружения должны быть в
натуре и модели одинаковыми.
3	Материал тела А —упругий, тела В — сыпучее тело
без сцепления.
Здесь в условия однозначности вондмг величины:
/[L], EA[PL~2], ид [1], PiP], объемный вес yB]Wm3],
а также угол внутреннего трения л[1] и угол трения
по поверхности контакта Maiepnaia В но материалу А
<ГЛА [1].
Из этих величин по 'учим следующие независимые
определяющие критерии подобия-
Цд == idem; (рв idem; <fB4 -= idem;
	= idem; 	= idem, (16.52)
Р---------------------Р
которым соответствуют следующие уравнения связи
между масштабами
Г'М "V
щ,. л = 1; т,- = Г; т r = 1;------------= 1;
НЩ	Св	Гузл	тР
Если для модели взят такой Ж" материал (тело В),
что и в натуре, то . =1 и t,iy =1 и необходимо
В	в
соблюдение зависим oi теш
т р т‘;	щ?
= 1;	= I; -----^=1;	——•=!.
тцА трвл	,пР	тР
(16.54)
Отсюда вьпекают ш-лбходч:(ые и достаточные условия
подобия в случае, когда тело В является сыпучим телом
без внутреннего л рения-
а)	коэффициенты Пуассона материалов упругого те-
ла А для натуры и модели должны быть равны (ул,в =
= Рл,ч);
б)	углы трения грунта по поверхности контакта натуры
и модели должны быть рав"ы (ф вл,п=®вл,ч);
в)	масштаб модулей упругости материала упругого
-его 4 го 1>гСп быть равен линейному геометрическому
масштабу, т. е. =
С.юдовагедьтго, можно либо произвольно выбрать
масштаб тр — т, (и тогда тР — тЕ), либо произвольно
2,-------------------------------------------------
выбрать масштаб нагрузки тР (и тогда /И( = у тР),
При соблюдении указанных условий напряжения бу-
дут моделироваться в масштабе тл, перемещения—
в масштабе т/, а деформации модели будут равны со-
ответствующим деформациям натуры.
4. Материал тела /4 —упругищ тело 5 — сыпучее тело
со сцеплением.
В этом случае к условиям подобия (16.52) — (16.54)
добавляется критерий подобия
—р—^idein,	(16.55)
где с в — удельное сцепление, и соответствующий ему
индикатор подобия

16 13. ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ И УРАВНЕНИЙ СВЯЗИ
МЕЖДУ МАСШТАБАМИ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ
Общие условия для всех зачащ
1 Модель и прототип до гжиы быть геометрически потобпы (линейный масштаб мотели )
г (Р)	(М)
’ Все нагру ?ки, действующие на модель Сосредоточенные епты PL = фг Р, сосредоточенные момен.ы Фу И naip\ пси роспределонпыс по линии qt =
нагрузки раенрече <епные по гн верхносги V, К, Z, iiaipjaRii, распределенные по объему, 1, У Z), должна находиться в тахом же отношения одна к друю^!
кш и соответствующие нагружп, действующие нт прототип
фО,*,!!, q,(A!S = idem = idem -^-=-|-= llle™ 2L = 3-= dem,
L	V Z	\ Z
nX mY mx' mx
=	тч(И)-1,	=	— = l, Щ = i,-----1 _= t,--d _ 1}.
1	1	‘	mY mz my mz
3 Мишыбы pdshbix bh юз пиpvЮк должны у ювтетворятъ зависимостям
т/5	тр
4 Заганные пс-речешдния на конторе гоажчы уюл_творять завш имостям
П ]	Н шоснование 31ДТЧИ	Вид 1 р ши шых условии И Ч I тип 3 1Д л.и	Необходимые а достпочнью у V ТОВИЯ п щэбил (в дапол- 1Ы 1ИС К ! бщи 1 условиям подоби! дл1 всех задач)		Возмож- ные пари шгы выб 1П 4 чшеша зб из	Масштабы переходi от J 1Дч * к па 1 уре			Примечания
			оиреде тлю 4,17 ЪрИТсРИ! иодзбия	у р 1Ы1СНИ i СНЯ3 ! А V Я ДУ лкхш тбами		дая напряасний	для деформаций	для пер! mi щеишт	
1	у	3	4	5	b	7	8	ь	U)
1	Прострапсл вен чая у пру г щ и а ’.плоская пзои-р мическая задача ДЛЯ II атропных чет (малые де шормадил)	а) ГКрч > I )с ловная ш ’-л	it — нет	1 (1==!	r‘l z 7 2 Д тр	-щр "7		п' п	Хпало1 ичные i с товия спр-звед т вы для момент- ных оболочек
							ртг	т т 1 Е	
		б) Вт< ! )Я ос ночная , щ 1ч 1	н. = k’cin	п	1	f"fc • "V Вс	тг т>, 	 ‘ /ук mj	т 1 ‘ к	11 к	
		В1 С\Ц ИЧЧИ' ш > i гача	U = teem, 	 ^tJem /е«|(	/р<} ~’1 т р	'Де "р’ mi	т Р m~t	,ПР т [ т~.	тр т, т 1 1	При абсолют по жестких свя ЗЙХ и отсутствии до>гих з тданных перемещений см п 1 а
					т1 ' т i	Ргр ти т1	;”»к т	ти 11 к	
				П1 (П/Ш .					
2	II ЮСКАЯ А ИрУ гая статическая и ^термическая за гача тля изо I ройных rc i (ма лыс деформ щяи)	а) Псрв 11 оь нонче я i । г i I j При ВЫПО Шенин усювий Леи!1 — Уи-гчет та	-	-	т1‘ "'Н‘ т , т , L тр	тр т, т, 1 h.	С М ф ф му ты 10 11	пр mt	h — то шиша те та Ана логичные \с^ория (праве д ТПВЫ ДТЯ ULHft<O МОН I ГР 'X )Гн ЛОЧСК
 I п	Н 1НМС KOI ШИ 3 1Д 1 ill	Вид 1РН1ИИ1ЫХ у^ ЮВИН ПЛИ I ип з щз ш	Необходимые и достаточные усчовия подоби г (в доггол наше к общим хсювиям	
			подобия Д I 1	всех задач)
			о тредсляю щне I рите рии яодоби]	yp пшеви i CBHiil Me RTy М1СШЧ тбчми
i	2	*	1	5
		б) Вторая ос ювная и 1ча	1.1 _= idem	m — 1
	Пчоекая упру гчя сз пическая изотермическая лдз чз пя и ю 3 Р ШНЫХ 111 ( '1 Ilk иформзщп )	в) Смс ванная и Н ч а	и = idem	in “1 &
		) Ikpbifl л !и 1 1J5I	За Дача	ц — idem U 	— idem	m — 1 U m\ml _=1 ml
			и U , 	 —idem	m m, m к E i
			гэ	mp
			- -—• —idem	mp’t
	Упругая дина п чс кая изо;ер мичи кая > 1 т, 11 1 1,зя насир зпннх		f t Hu =idin	? Н/П f 111 n U 1 .-!
	ii (мз тые до Форм Ш.Ш1)		a	u
		о) Вторая Ov □ни з пача	H = idem	ni ( ~ 1
			—— —idem	m m<
				) i t
				Idem,	и ni
			-—- _ idem	n
				m 11
			via t 	— — uc rn	Li	[
			IL	m
BO3V ож ные В ФИЗНТЫ выбора м кши бив	МэеШГ'бы ПЧкХиД! DT модели к натуре			Приме ипия
	для папря I ешш	дня деформаций	пере ?е’.цс шш	
	/		5	10
тчк nh	т~т у £ ик т1	т т1	,,1нк	Alia погичные НЮ!НЯ справед ливы при из1 ибе и ч кишок
	тр	тр	П1р	При тою полно ЛчССТКНХ связях И ОТСУТСТВИИ др} гик здцшнык пе р^мешешш	на
т. rn „ h Р	т, т 1 !	т т т 1	! h.	,ПЕ mh	
Ш, , 171 , L 1 п	ак	т r ти	т	т “ к	контуре при вы ПОЗНИШИ уе 10ВИЙ
	т	i		Певи — Мит it т та ем п ’ а и примечание КП ’’о
П1 771 i	р	тр	тр		
ОТР- «	пЧ	111L ’4	tn , т L 1	ws — перемеще пне в печатный / da , момент н0= —1 VP / f — время	р — плотность матери iaa
т , , пг , Z	р	muvml	т		
и	т «к /	n’l	!nt	4in	
16 13 ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ И УРАВНЕНИИ СВЯЗИ МЕ'АДА МАС1ПТ W\М1!
л п	Il HiMcikih i не зада и	Вид Гришиных условий ИЛИ тин задачи	Необходимые и доела!очные условия подобия (в допол непие к обидим условиям подобия для всех зада 0		Воз моле ные варианты выбор 1 масштабов	
			определяю 1ЦИС критерии подобия	уравнения связи между масштабами		
1	2	3	4	5	6	
		в) Смешанная за j зча	ц — idem W 	— пет Р и FI -Р	=idcm Р "о — —idem, р/ 	— idem, ГН и / —— = idem	тн =1  т X т} ”'р т,, т, т !ih L / П1 р т‘‘, тj т, т т ти„	т „ т Е р тР mt	
					mL Ш/, т L их-.	
4	Пространствен нйя температур пая упругая за чача ря одно родных и зотроп иыч гет (матые it формаця 0	а) Прошраяст	u— 'dem	т --1 венная задача			тЕ- см также примеча пне	
		б) Плоское на	—	— пряжечное сост о янш.			гп г. , £ СМ 1 Ж с иримочт И! с	1
		в) Птоикое де формированное ioi 1оянпе			см пкже прнмоча шю	
						
Млдтнабы перехода от модели к и И}ре			Примечания
,ля напряжений	для деформации	для псреме щений	
7	8	q	1 0
тр /7Я	тр	тр	
	т	т т ь i	
т»к тЕ т1	т 11к т1	ти&	
тьтатт	т т _ а Т	татТт1	а— коэффициент линейною расши рения 7 тем пература Масштаб (ши та ) при па линии внутренних источников тепла до икей быть со пасован с уело внчми подобия температурных полей (см 16 7 и 1G 14) Линейный мае ипаб геометриче скоро поюбия mi должен быть со jтасован с уело впчмн подобия юмперат^риых потей во всех слу чаях (за исключе пнем подобия ста ционарных темпе рагурных полей при отсутствии внутренних иной пиков ген та и граничных уело внях	первою и второ! о рода когда т j можег быть произвоть пым)
тг. та тт	1 т-7-—- т т 1 + к ?	1 7< —“*— т т т„ 1^-ц	1 а 1 hM	
£ i" Д 2 )	(* < 700 - 7J sz	«с 7	
	(' -i Ц,)(‘ " 1’..) Х№« "т		
Упр}1ая сгятг,' j ческая и оюрми ! чсская задач! пя И301р0ПнЪ1* ОДНО родных П J при ботыппх Д; фор маниях		1, — I dtni Ч В, 	— ~1 н i —— —! Ч m д —-1— —idem	—i, HI 1 m -1-	„ i m —-	i !"‘ь mp II. n, l	'Ц mp		'nA			1	; / n>p 1	Г m A	'J |	— физические xa - рактерпстики mj lepuana (из \рзв нения связи re Формаций с на пряжения v - В	4 - д- г 1л4 ?; - л;		X — 4В1	~ н р \ — Д	j 1	/ сч IG 8
				"' A rnt		rn		J	,lll	
Snpjio laciii чсская пютермц eci ая статье {.кая зада за д ы Псрзонач t ILHO О ( породных	изо тропны* ГС 1		- iUlIll 1 —— — idem LI Ci да лс	M-1 " p 1 ;7 n 1 ци^ш	( ! !	n\ mp "/ Д	1 1 j i		i	i J i		j/ ДД ml	Кривде доъ-.’Ы быть по добпичи для ia repiuTOB пр ю UILI-j и модели 3 leib	— и I ей х ши и ’-ь п шря жепиГ1	1 тен nsiocib	е формаций	Все крн СПИН подош я ДО 1ЖНЫ быы to ответственно рав нъ в сходствен пые момешы врс шни
ho iooul j а ачн и<гь5чс II	!	—-— =масш h = dtn (’.! Ш m = j de ni) C i lip \ <_Ч Ш I	a . 1 ) mj rn П	II! D	1 - f/b z^O	П!Г ,n!> inp 1 1 1	i I inL	j 1 1 !		1 1 1 i		f / ¥	”‘b 11	В рамках ио рии ci зрения Кривые ПО I 5V ‘ LC1 ( 4-l(0t)'.lil> 10 1ЖПг! 6ЬП^ ЦО доСи [ !н Злее- -(ЬПДЦПЯ ин 1 1рипнюв тензо Г в 1 inp J 1Ш1Й и ш )ор ищи Xi ) ш пшющая С( оянш I пери п 1 дог) - ф ш Ц 1Я ТО 1ЬКО И I он шшив	напр I I v шй	т| (О — (i)\ И	шя	1О1ЬКО 1 De it Ш	Д 1Я фы	ин	нс П T!	IOTCI	3	1ВЧ имо тя /1 а ) — — i \п 60	и Н! т ™	ШОР М 1 (Д !1И I И /( <5 ) ДО III быт! 0 Of паке вой чтя ма ТЧ рПД-’ОВ про отн I а и мо и ш	1
184
РАЗДЕЛ 16 МОДЕЛИРОВАНИЕ
16.11. ТАБЛИЦА КРИТГРИ1В ПОДОБИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
(ОБЩИМ УСЛОВИЕМ ПОДОБИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ НАТУРЫ И МОДЕЛИ)
	Тип задачи	Внутренние	Вид граничных условии	Необходимые и достаточные условия подобие (в дополнение к геометрическому подобие)		Возможные варианты произвольного вы- бора масштабов
nzn		ИС ГОЧЯИНН тепла		Определяющие кри- терии подобия	Уравнение связи между масштабами	
1	Нестациопар not поле	Есть	Первого и вто Doi о рода	пр t — idem, °Z) ~-r-r^~ = idem	m т. a? i mi mq, m‘i -—S.-— i m, m r Л /	т^, , т • тл, тл а? Л’ i т„ , т. , т,, аТ’	/ Qv ту т1' тТ  т. ; т., tn , m а Т л 1	1
		Есть	Третьего рода	ат t —•	— idem, I1 idem, ат1 	 — idem А	T ml	nt m1 —_щ±=ь m\	m\, mj ' maT ml —		1	т. , т. т	, а Т	I"	а Т mr, ’	m	i °-у	A	a f	1
		Нет	Первого и его рого рода	ат 	— — idem	ma mt m'l	m i m , m af	Л	I ; m. , tn a j4	A	t
		Нет	Третьего родт	ат 1 — — idem, 1- ат ! —		 -- и’сш.	maT mt m7 ma ml 	 = 1	ma ' rr,a тл a	Uy
2	Стационарное поле	Есть	Первого и второго рода	4t>г'	, ——	— idem	ml ,PT	m, m m, % nv I m. , m к I i ,p}.' тт
		Есть	Третьего рода	7 у 1 		 —idem, Л./ 1 —	 — idem X	m mr (k> I	j my. my mvT ml Л	n’aT' m4v , гп~ к	{J-'f	1
		Нет	Первого и второго род I	—	—	mr mt m>.
	П р и м с ч а н и е ко 'ффицнент тепло	Нет а? — коэфф’щ провотностп, Т	Третьего рода ?ечг течпер^ттропр — темпеоат^ ра а	а? 1 ——~—- ~~ ’(’ст ОЫ-ППОСГП, - kowtrnimimiT теплоотда	ma.f mi m. Л - плотность внутреннего	maT> источника тепла,
литератора
ЛИТЕРАТОРА
1 A j н \ ч е в П М Герок и "1 д с В Б М. и н s с
в и Ч I М ЩсгОВЦОВ Ь А ГирНЯ ПО оии» И ри ер
НО1 ОЙ Л ) [, -ПфОВД Но <131 ill 1Я ШКОТ 1 Ю
~ Вии? о в В А к > я додоГия и мс сшрэ ui п_ при
ML 1ИГО (I ДО к кЪЧ 1 1 i^kip HtplLilkl < В ы L LI d Я I IKO Э 1Ч(Ь
3 1р! 1 А Адк Не Да Ь)1ьши дприие д bop ia
цни и но'[ in (Hi о тынка тошней среди <Мир 19ээ
н Г хм ан А А Введение я теорию по ;оби i «Bjicuai
пл о I 1	1%J
к р о п я и к к Ч е г о т и и П М Э (смричеслое о
К яро! ине ; елроюедъной пс^анике Гоилромчз'и! 1ЛЗ
6 I нрпич’и М В Теория подобия И1Д^о АН СССР
ВЫ
7 Наваро А Г О ме \ ли 1ч сном по u i ин и ср и i
<| up ирчомые и (к l^opil I МОДР JHpUBJii 1 I) Издво АН
Ар 1 ССР LptB и 19Ьо
& Пчт мок Д А Ней типе строитель! их конструкций
lid МОДС (ЯХ Сгр)ИДЗ .[.Л 1J7
q 1 v х о ?з Г , I Р к и т I- е п Ь В ( i е п з н о в Ah,
А о I 1 р с в и О Н Э актр !4tckoe по хстиповнн I *ати ! строи
£ I f )И МО Шк! Пзщо ШИ1Р к; (	1Ш>3
10 Р юс гн и IO Н Цо
И \ г 1	1 )ЬЬ
П С -(Ой Т И Mlto-i.u
UIRC «II I', I !-> 1J
2 Г с 1 е т ъ б и у м II М
Фиш 1ПИ ll) 4
Ф И И 1 Р О О U X X
фор иции Лишив 1%1
'1 ХЧССГЬ ) 1С U1I си ьонорукний
пособи I и oHMtpfo in в геха
Этск райское моделирование
1Ь шренис напряжений и де
РАЗДЕЛ 17
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПЛ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
17.1.1.	Понятия устойчивости
и неустойчивости. Устойчивость равновесия
деформируемых систем
Понятия устойчивости и неустойчивости играют боль-
шую роль во многих разделах естествознания и техни-
ки. Предположим, что в некоторой системе изучается
зависимость между «причиной» и «следствием» Если
малому изменению причины соответствует столь же ма-
лое изменение следствия, то говорят, что система
устойчива. Если же малое изменение причины вы-
зывает большое изменение следствия, то система неус-
тойчива.
Строгая математическая формулировка этих понятий
была дана впервые А, М. Ляпуновым (1892 г.).
Одной из задач строительной механики является изу-
чение устойчивости равновесия деформи-
руемых систем, т. е. стержней, рам, пластинок,
оболочек и т. д. Теория устойчивости равновесия ведет
свое начало от Л. Эйлера, который впервые определил
критическую силу центрально сжатого прямолинейного
упругого стержня (1744 г.).
Параметр нагрузки и, принимающий различные значе-
ния, характеризует состояние системы. В процессе не-
прерывного изменения этого параметра система может
перейти от состояния устопчпвого к состоящие неустой-
чивого равновесия. На границе между устойчивым и не-
устойчивым состояниям!! система попадает в крити-
ческое состояние; соответствующее значение парамет-
ра нагрузки и.,, также называются критическим.
Явление потеря устойчивости при и~и, характеризу-
ется мгновенным переходом от устойчивых состоящий
системы к неустойчивым в процесс!, изменения параметра
нагрузки и и представляет собой качественный скачок,
переход от одного качеств равновесия к другому.
Понятия «критическое состояние» и «критический пара-
метр нагрузки» относят не только к явлению потери ус-
тойчивости, но также и ко всем другим состояниям, из-
меняющим степень нечетсйчивости системы (см. 17.1.6;
17.4.2; 17.4.4).
В настоящем разделе рассматриваются изгиб и устой-
чивость сжатых п сжато-ист путах стержней, а также
систем, содержащих тесте сер”л:и. Вопросы теории из-
лагаются применительно к стержневым системам [3, 8,
19, 21а, 32, 35, 36, 39, 41, 46ф.
17.1.2.	Консервативные и неконсервативные
системы. Методы исследования
устойчивости равновесия
Консервативная система обладает следующим свойст-
вом: работа внешних и внутренних сил системы, совер-
шаемая при переходе из одного состояния в любое дру-
гое, определяется только этими состояниями и не зависит
от траектории движения.
Понятие «система» объединяет деформируемую конст-
рукцию (стержень или совокупность стержней) и нагруз-
ку, поведение которой должно быть задано.
Отсюда следуют два необходимых и достаточных усло-
вия консервативности системы: 1) упругость деформиру-
емой конструкции, т е. обратимость деформаций, и
2) консервативность нагрузки, т. е. независимость со-
вершаемой ею работы (при перемещении из одной точки
пространства в другую) от траектории движения.
Консервативная система характеризуется замкнутым
энергетическим балансом — рассеивание энергии (дисси-
пация) в ней не происходит. Из условия равенства ра-
боты внешних сил (нагрузки) и работы деформации
следует существование для консервативной системы
потенциальной энергии. Потенциальная энер-
гия определяется рассматриваемым напряженным н де-
формированным состоянием системы и не зависит от ее
предшествующих состояний, т. е от программы нагру-
жения.
Потенциальная энергия системы обладает эк стр е-
м а л ь п ы м и свойства м п, которые позволяют сна-
чала выделить равновесные состояния системы из мно-
жества неравновесных, а затем оценить качество равно-
весия (устойчивость пли неустойчивость) каждого
равновесного состояния.
Для исследования устойчивости равновесия консерва-
тивной системы достаточен статический ме-
тод, основанный па рассмотрен;'!! равновесного состоя-
ния системы и на оценке его ущойчивости с помощью
энергетического критерия.
Системы, не обладающие свойствами консервативно-
сти, относятся к классу н е к о п с е р в а т и в и ы х си-
стем.
Неконсерватиьпость системы может определяться по-
ведением нагрузки, в то время как стержень или сово-
купность стержней обладают упругими свойствами. В
этом случае исследование устой швосги выполняется
динамическим методом, основанным на изуче-
нии характера возмущенного двпже шя системы. Здесь
возможны явления, не наблю !.аемые в сиэтемах консер-
вативных (см 17.6).
Более сложными являются случаи, когда неконсерва-
тигшость системы определи гея необратимостью
деформаций материала. Анализ устойчивости
стержневых сисмем, выло ш-ппых из упруго-пластиче-
ского материала, требует yaesa разгрузки и остаточных
17,1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
187
деформации в тех случаях, когда они возникают. Труд-
ности решения подобных задач обычно обходят, рассмат-
ривая однократное па1ружекие системы в условиях
активной деформации. При таких предпосылках упруго-
пластический материал можно рассматривать как нели-
нейно упругий (см. 17.8).
Устойчивость равновесия деформируемой системы
удобно изучать с помощью графика поведения,
изображающего совокупность всех возможных равновес-
ных состояний системы. По оси абсцисс откладывают
характерное перемещен н е, которое должно,
по возможности, отобразить деформированное состояние
системы в целом По оси ординат откладывают пара-
метр нагрузки и или величину, одновременно с ним воз-
растающую,— сжимающую силу, осевое напряжение
и т. п.
Особые точки графика (например, точки экстремума
и точки разветвления) соответствуют критическим со-
стояниям системы.
17.1.3.	Потеря устойчивости
при разветвлении форм равновесия
Модель с одной степенью
рирует рассматриваемые в
Рис. 17.1
свободы (рис 17.1) иллюст-
настоятцей главе явления.
Бесконечно жесткий стер-
жень длиной 1 сжат силой
Л, приложенной с эксцен-
трицитетом а. Малому от-
клонению у верхнего конца
стержня от вертикали про-
тиводействует упругая опо-
ра, создающая горизонталь-
ную реакцию И.
Отклоняющий момент от-
носительно опорного шар-
нира, создаваемый силой У,
равен М]==У(а+у). Ему
противодействует удержи-
вающий момент М2=Ш,
Упругие свойства опоры
характеризуются зависи-
мостью
Н = f (У) = v (у — pys),
(17.1)
где v>0 и pt^O. Условие равновесия Лф—Л12 = 0 право-
дит к соотношению
/V (а + у) — vl (у — ц/Л) -= 0.	(17.2)
Линейно упругая опора (ц = 0). В частном случае
при у=0 нелинейно упругая опора вырождается в ли-
нейно упругую. График поведения модели представлен на
рис. 17.2. По оси абсцисс отложено характерное переме-
щение у, по оси ординат отложена сжимающая сила А'.
а)	Центральное сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
при р = 0 и я = 0 приводится к виду y(vl—N) =0. Не-
отклоненная форма равновесия у=~0 возможна при лю-
бом значении N. Отклоненные формы рапновесия с про-
извольной величиной у возможны только при jV = vZ.
В случае N <л'1 (os резок ОК на графике) неотклонен-
ная форма равновесия устойчива, ибо ври отклонении
у удерживающий момент больше отклоняющего: Л12>
>Л4,. Малое возмущение (например, малая горизон-
тальная сила) вызовет малое отклонение модели вер-
тикали. Наоборот, в случае (отрезок A’/V на гра-
фике) вертикальное равновесное состояние неустойчиво,
так как при отклонении у удерживающий момент меньше
отклоняющего М2<уМ,, Здесь малое возмущение пов-
лечет за собой дальнейший рост отклонений.
Значение сжимающие» силы
AA---V1	(17.3)
является к р и т и ч е с к и м, ему соответствует состояние
безразличного равновесия (прямая RKS на
рис. 17.2) с произвольным по величине и по знаку от-
клонением у.
Рис 17.2
Потеря устойчивости здесь характеризуется раз-
ветвлен и е м (бифуркацией) форм равновесия- поми-
мо неотклонеиной формы у = 0 при Л' = А, становятся
возможными смежные отклоненные формы равновесия
У ¥=0.
Точка К на графике (рис. 17.2), соответствующая кри-
тическому состоянию системы, называется точкой
разветвления (бифуркации)
Потерю устойчивости при разветвлении форм равно-
весия называют часто потерей остойчивости эйлерова
типа (или в смысле Эйлера). В строительной механике
стержневых систем принят также термин: потеря
устойчивости первого рода.
Характерный признак этого явления — существование
смежных форм равновесия при критическом значении
нагрузки.
б)	Внецентренное сжатие. Анализ зависимости (17.2)
при ц = 0 и а'р>0 прежде всего показывает существова-
ние первичных равновесных состояний (кривая ОА
на графике поведения, рис. 17.2) при у>0, N<Zvl. Эти
равновесные состояния возникаю: в процессе естествен-
ною возрастания нагрузки.
Существуют также в т о р и ч н ы е равновесные состоя-
ния (кривая PQ) при у<0, N>xl. Система может быть
«заброшена» в эти состояния только искусственным об-
разом Обе кривые равновесных состояний при а>0,
ОА и PQ имеют своей асимптотой прямую RKS, парал-
лельную оси абсцисс и проходящую через критическую
точку К.
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (см. 17.1.6) показывает, что первичные
равновесные состояния устойчивы, вторичные неустой-
чивы.
188
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Асимптотическое поведение, связанное с неограничен-
ным ростом отклонения у по мере приближения сжи-
мающей силы 1V к критическому значению, характерно
для линейно упругих сжато-изогнутых стержней. Пред-
ставление о неограниченном росте отклонений является
следствием геометрически линейной постановки задачи —
учет больших перемещений (см. 17.2.8) показывает, что
по мере приближения сжимающей силы к критическому
значению отклонения быстро растут, по остаются огра-
ниченными по величине.
В реальных конструкциях быстрый рост перемещений
приводит к достижению предела пропорциональности,
после чего начинается стадия упруго-пластической рабо-
ты материала.
17,1.4.	Потеря устойчивости
при достижении предельной нагрузки
Для иллюстрации явления используется рассмотренная
выше модель с одной егеш'ш.ю свободы (см. рис. 17.1),
ио при значении парамо!ра жесткости упругой опоры
Нелинейно упругая опора (ц>0). График поведения
модели представлен па рис. 17.3.
а)	Центральное сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
при а = 0 приводится к виду
у [А —• vl (1 — gy2)] = О,	(17.4)
откуда следуют два решения:
1)	у=0 при любом значении N (пеотклонепная форма
равновесия, отрезок OKN оси ординат на рис. 17.3);
2)	jV = v/(1—у.у~) прн A'Cvl (отклоненная форма рав-
новесия, кривая RKS па рис. 17.2).
Потеря устойчивости при разветвлении форм равно-
весия вызывается критической силой (17.3).
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (17,1,8) показывает, что неотклоиеииые
равновесные состояния при Д'сАД устойчивы, при
•А>АД неустойчивы. Также неустойчивы отклоненные
состояния уэ^О.
Здесь в критической точке К наблюдается мгновенное
состояние безразличного равновесия. При A' = A4 стано-
вятся возможными бесконечно близкие смежные формы
равновесия. Касательная к кривой RKS в критической
точке параллельна оси абсцисс. Эю обстоятельство
позволяет классифицировать рассматриваемое явление
как потерю устойчивости эйлерова ища.
б)	Внецеитрениое сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
при и>0 приводят к виду
а + У
Кривая OAjSA2 на графике поведения (рис. 17.3) изоб-
ражает первичные равновесные соскшшш системы прн
у>-0, кривая PQ— вторичные при у <0. Предполагает-
ся, что а | у < 1.
Характерной особенностью поведения модели в про-
цессе естественного возрастания сжимающей силы явля-
ется наличие экстремальной точки В, соответствующей
максимуму сжимающей силы N. Прн сжимающей силе,
превышающей это предельное значение Ам.1Ке, первич-
ные равновесные состояния невозможны.
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (17.1.8) показывает, что устойчивыми
являются только первичные равновесные состояния,
изображаемые восходящей кривой 0/1,В графика пове-
дения. Первичные равновесные состояния, соответству-
ющие нисходящей ветви ВА2 графика, а также все вто-
ричные равновесные состояния (ветвь PQ) неустойчи-
вы. Отсюда следует, что наибольшее (предельное)
значение сжимающей силы
(17.6)
является критическим.
Критической силе Л\. соответствует критическое от-
клонение у,,.. Каждому значению сжимающей силы
А-щЛ'* соответствуют два равновесных состояния, из
которых первое, с меньшим отклонением У)<уЛ, устой-
чиво, а второе, с большим отклонением у2>у.., неустой-
чиво (рис. 17.3).
Необходимым условием максимума силы N, рассмат-
риваемой как функция характерного перемещения у, яв-
ляется равенство нулю первой производной или, как го-
ворят, условие стационарности:
Здесь наблюдается потеря устойчивости прн
до ст и ж с а н и и р е дельно й п a i р у з к и или., как
принято говорить в строительной механике стержневых
систем, потеря устой ч и вести второго р о д а.
Это явление отличается от потери устойчивости эйлеро-
ва типа, обусловленной разветвлением форм равновесия
в критическом состоянии.
Экстремальная точка В на графике поведения
(рис. 17.3) называется предельной точкой.
Потеря устойчивости при достижении предельной на-
грузки характерна для сжато-изогнутых стержней из
нелинейно уируюго или упруго-пластического материала.
17,1.5.	Устойчивость линейно упругой
системы с конечным числом степеней свободы
Положение системы характеризуется обобщенны-
ми координатами уь у2, . . уп, число которых
равно числу степеней свободы п. Пусть при любом зна-
чении параметра нагрузки и возможно неотклонепиое
равновесное состояние системы, когда все уд=О. При
значении и<и,г неотклонепиое состояние является един-
ственно возможным. Требуется найти крппгческое значе-
ние параметра нагрузки, и*, при коюролт становятся воз-
17 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
189
ножными смежные отклоненные формы равновесия
(потеря устойчивости в эйлеровом смысле).
Условия равновесия системы имеют вид линейных
однородных алгебраических уравнений! относительно
обобщенных координат:
У11У1 1 Т12ЙЙ2
"b Via Уп 0;
Т.1У1 У^У-г +  • • + У-ел уп = 0;
(17.8)
УтУ1 + Уп?У« + " ' ’ + Упп Угг~0-
Коэффициенты этих уравнений у >л зависят, вообще
говоря, or геометрических размеров исследуемой систе-
мы, жесткости ее упругих связей и параметра нагруз-
ки и.
Условие существования нетривиальных (ненулевых)
решений системы (17.10) заключается в равенстве пулю
определителя (детерминанта):
D (и) ж | I 0.	(17.0)
В простейшем случае коэффициенты у, я являются
линейными функциями параметра нагрузки и, т. е.
УНг = '-У:к Д bih и.	(17.10)
При этом алгебраическое уравнение n-й степени (17,9)
имеет ровно п корню!
, . . . , /3.1,,	(1.-11)
определяющих критические состояния системы.
Если исследуемая система коиеервшпвна, то матрица
коэффициентов обладает свойством симметрии (или
взаимности) У1Л=у/н. В этом случае все критические
значения параметров и,у будут вещественными.
Потеря устойчивости происходит при достижении па-
раметром нагрузки и наименьшего из критических зна-
чений:
н41 =	.	(17.12)
Индекс 1 у наименьшего из критических значений
опускается в тех случаях, когда это не может вызвать
недоразумений.
17,1,6.	Собственные значения
и собственные функции
Теория собственных значений является аналитической
основой исследования явлений потери устойчивости при
разветвлении форм равновесия. Ниже в самом сжатом
виде формулируются основные положения эюй теории
применительно к рассматриваемой линейной задаче.
Дано линейное однородное уравнение
L,i Ф] = О,
(17.13)
где Lu—оператор, содержащий параметр и. Для систе-
мы с бесконечно большим числом степеней свободы
у — у(х}—искомая функция непрерывного аргумента,
оператор Lu имеет интегральную или дифференциальную
форму. В этом последнем случае уравнение (17.13) до-
иолнепо однородными граничными условиями. Для систе-
мы с конечным числом степеней свободы » неизвестен',!
является вектор
У — (У1, У-2,  • - > Уп)',	(17.14)
оператор L,, имеет матричную структуру и уравнение
(17.13) приводи1ся к виду (17.8).
Однородное уравнение (17.13) при произвольном зна-
чении параметра и имеет тривиальное решение у = 0.
С о б с т в е и ы м з н а ч е и и с м и,t. называется такое
значение' параметра и, при котором' уравнение (17.13)
имеет отличное от нуля (нетривиальное) решение.
Для задач устойчивости равновесия каждому собст-
венному значению u.t,j соответствует критическое состоя-
ние системы, связанное с разветвлением форм равнове-
сия. Возникающая при этом смежная форма равновесия
характеризуется собственной формой (или соб-
ственной функцией) у4/-, определенной с точностью до
постоянного множителя. В рассматриваемой задаче
(17.8) это будет собственный вектор
У*/ = (Л, Уз,---, Уп),	(17.15)
одна из координат которого выбрана произвольно, а все
прочие определены из уравнений (17.8) при ы = и*/.
Все собственные формы уц/ являются формами
отклоненного равновесия. В случае систем
с бесконечно большим числом степеней свободы их назы-
вают также формами криволинейного р а в-
н о в.е сия или крив ы м и в ы п у ч и в а и и я.
Первая собственная форма у,. ~yti является ф о р-
м, ой потер и у сто и ч и вое г и.
Совокупность всех чисел и,/ образует с и е к т р с о б-
с т в е и п ы х з н а ч е п и й (17.11).
Потеря устойчивости системы происходит при первом
критическом состоянии системы, г. е. при наименьшем
критическом значении параметра нагрузки и.,, = «*!.
Собственные формы системы с бесконечно большим
числом степеней свободы (сжатый стержень постоянного
сечения длиной /) обладают свойством обобщенной
ортогональности
? „ '
j ytiy'jdx^ f y^y^clx^-0	(17.16)
b	b
Для системы с конечным числом степеней свободы
свойство ортогональности выражается в равенстве нулю
скалярного произведения двух любых (не тождествен-
ных) собственных векторов
= 0 (1 ¥=/)	(17.17)
Бесконечное множество собственных функций yt) (х‘)
или совокупность собственных векторов y.ty обладают
свойством полноты. Для рассматриваемых в настоящем
разделе задач любое отклоненное состояние системы у,
вызванное произвольной нагрузкой, может быть пред-
ставлено в виде разложения по собственным формам
(векторам)
п
(17.18)
/=1
где Пт — коэффициенты разложения.
Рассмотрение высших критических значений параметра
нагрузки и.,.,г,	. дает возможность ответить па
вопрос о ста п е н и неус т о й ч и вести системы.
Говорят, что при параметре нагрузки и система имеет
сишепь неустойчивости V, если
u,.v и	(17.19)
Система е конечным числом степеней свободы п нахо-
дится в состоянии полной неустойчивости,
если и>ч,2П.
190
РАЗДЕЛ 17 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.1.7.	Энергетическим критерий
качества равновесия
Потенциальной энергией упругой системы называют
работу, совершаемую внутренними и внешними силами
системы при переводе ес из деформированного сошояиия
в начальное, недеформировапное.
Общие методы исследования равновесия и устойчиво-
сти консервативных систем основаны на экстремальных
свойствах потенциальной энергии.
Здесь в качестве начала отсчета принято недеформи-
рованное (пеотклоисиное) состояние системы. Предпо-
лагается, что перемещения (о1клонснчя) системы убыва-
ют от рассматриваемого значения до нуля; величина
нагрузки при этом остается без изменения.
Для системы с бесконечно большим числом степеней
свободы потенциальная энергия представляет собой
функционал
Л,
П=( F (х, у, у', у",...) dx, (17.20)
1«
который в частном случае линейно упругой системы бу-
дет квадратичным.
Для системы с конечным числом степеней свободы
потенциальная энергия представляет собой функцию
обобщенных координат
П = II (pi, у3, .. . , у„),	(17 21)
а в частном случае линейно упругой системы — квадра-
тичную форму.
Выражения для потенциальной энергии системы
(17.20), (17.21) содержат параметр нагрузки и.
Теорема равновесия. В состоянии равновесия потенци-
альная энергия системы имеет стационарное значение.
В частности, это условие может определять экстремум,
когда в состоянии равновесия потенциальная энергия
достигает наименьшей или наибольшей величины по
сравнению с неравновесными состояниями, близкими к
рассматриваемому равновесному.
Теорема равновесия требует обращения в нуль первой
вариации потенциальной энергии
<5П = 0.	(17.22)
Это условие стационарности эквивалентно принципу
возможных перемещений Лагранжа, так как первая ва-
риация потенциальной энергии системы 6П представляет
собой элементарную работу всех сил системы на возмож-
ных (виртуальных) перемещениях
Для системы с конечным «истом степеней свободы
в нуль должен обращаться полный дифференциал, отку-
да следует равенство нулю всех частных производных
дП
—— = 0 (/= 1,2, ..., п).	(17.23)
ду{
Как известно, условия стационарности (17.22) или
(17.23) являются необходимыми, но не достаточными
условиями экстремума.
Для системы с бесконечно большим числом степеней
свободы условие (17.22) приводит к уравнению Эйлера —
Пуассона
dF	d	dF d2	dF
	__	 	щ------------ 	—•.=0,(17.24)
dy------------------------dx-dy'-' dx“-dy"	’
т. e. к дифференциальному уравнению равновесных со-
стояний системы.
Теорема качества равновесия. В состоянии устойчиво-
го равновесия потенциальная энергия системы имеет ми-
нимальное значение по сравнению с неравновесными
состояниями, близкими к рассматриваемому равновес-
ному. При несоблюдении этого условия система неустой-
чива, если отсутствие минимума определяется членами
второго порядка в разложении потенциальной энергии.
Первую часть теоремы (критерии уш ойчивости) сфор-
мулировал Лагранж (1788 г.), строгое доказаюльство
дали Ф.Миндииг (1838 г.) и Г. Лежек-Дирихле (1846 г.).
Вторая часть теоремы (критерий неустойчивости) при-
надлежит А. М. Ляпунову (1892 г.).
Условие устойчивости требует положительности вто-
рой вариации потенциальной энергии
й2П ; 0.	(17.25)
Для устойчивости системы с конечным числом степе-
ней свободы положительным чои.ен быть второй пол-
ный дифференциал
Потенциальная энергия модели с одной степенью сво-
боды, рассмотренной выше (см. рис. 17.1), равна;
и
П = j v (У — IB/3) dy — N
(17.26)
Анализ этого выражения подтверждает выводы о ка-
честве равновесия модели, сделанные выше.
17.1.8.	Потенциальная энергия центрально
сжатого линейно упругого стержня
Рассматриваются малые изгибные перемещения пря-
молинейного центрально сжатого стержня, материал
которого следует закону Гука. Потенциальная энергия
такого стержня равна:
I
П = -у j (£7у"2 — A’//"2) dx, (17.27)
о
где х, у — координаты точки на упругой кривой; I —
длина стержня; EI — жесткость стержня при изгибе;
А/ — продольная сжимающая сила.
Выражение для потенциальной энергии (17.27) осно-
вано на технической теории изгиба стержней; такую
постановку задачи устойчивости называют геометри-
чески лине й и о й.
Уравнение Эйлера — Пуассона (17.24) в данном слу-
чае приводит к линейному однородному дифференциаль-
ному уравнению четвертого порядка
ElyW-FNy" =0,	(17.28)
определяющему равновесные состояния стержня.
При обозначении
а2 = А/£/	(17.29)
общий интеграл уравнения (17.28) имеет вид
у = С, sin ах ф- С2 cos ах ф- Cyt ф- С4,	(17.30)
где Ск — постоянные интегрирования.
17.1.9,	Задача Эйлера
Л. Эйлер впервые рассмотрел тад.тчу об устойчивости
центрально сжатого линейного упругого стержня с шар-
чытиш! опнршшем концов (17 44 г.).
Граничные условия
у = 0, у" = 0 при х = 0 и х = I
17.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
191
приводят к системе уравнений относительно постоянных
интегрирования Ck:
С„ + С4 = 0;
— С.,а2 = 0;
(Д sin al + Csl = 0;
— (Да2 sin al — C2a2 cos al -= 0.
Рассмотренное явление потери устойчивости характе-
ризуется разветвлением форм равновесия при критичес-
ком значении сжимающей си ты N = Nf: этой силе соот-
ветствует начальная, прямолинейная форма и смежная,
криволинейная форма равновесия.
В этом случае говорят также о потере устойчивости
в эйлеровом смысле или о потере устойчивости первого
рода.
Параметром нагрузки для сжатого стержня служит чи-
сло нулевой размерности
и = al -=
(17.32)
— /.
Е!
Условие существования ненулевых решений системы
линейных однородных уравнении
0
0
sin и
i —a2 sin и
Отсюда находят
D (и) у
0
и
0
0
I
0
(17.31) юнее г вид
1
0
войт u=0. (17.33)
—a2 cos
спектр собственных значений
«*7 = /я (/=1,2,...).	(17.34)
Этим критическим значениям параметра нагрузки со-
ответствуют критические силы
)2л2Н
д, _
)2
(17.35)
и собственные формы
. 1ях
У*/ = I); sin -j- ,
(17.36)
где r|j — ордината упругой линии в точке с абсциссой
Х-—1/2), произвольная по величине.
При ] = 0 возможна только прямолинейная форма
равновесия у(х)^0; следовательно, значение и = 0 не
является собственным, хотя оно и удовлетворяет урав-
нению (17.33).
Наименьшее значение критической силы из ряда (17 35)
при ) = 1 соответствует потере устойчивости. Эта крити-
ческая сила
л2В/
Аф. = А'э = --—	(17.37)
называется эйлеровой силой. Первой собствен-
ной формой, или формой потери устойчивости, будет
лх
у3! (х) = т] sin — ,	(17.ЗЯ)
где т] — прогиб в середине пролета, произвольный по
величине.
Выражение для критической силы (17.37) носит назва-
ние формулы Эйлера.
Анализ устойчивости с помощью энергетического кри-
терия показывает, что прямолинейная форма равновесия
устойчива только при A1C.N
Упругая линия у(х), вызванная произвольной нагруз-
кой, может быть представлена в виде разложения по
собственным формам типа (17.18):
ео
у(^ ]СЛ/3'П	’	(17.39)
1=1
17.1.10. Равновесные состояния
сжато-изогнутого линейно упругого стержня
Сжато-изогнутым называют стержень, сжатый про-
дольной силой N и нагруженный некоторой поперечной!
(вызывающей изгиб) nai ру.зкой р(х), в составе которой
могут быть сосредоточенные силы Р, внешние изгибаю-
щие моменты (пары сил) М\ и равномерно распределен-
ные нагрузки р (рис. 17.4, а). Частным случаем сжато-
изогнутого стержня является внецентренно сжатый стер-
жень (рис. 17.4, б) с концевыми эксцентрицитетами на
левой опоре а и на правой опоре ka.
Пусть будет Л4 — изгибающий момент в точке с абс-
циссой х, вызванный одной только поперечной нагрузкой
р(х), без учета влияния продольной силы N. Полный
изгибающий .момеггг равен
Ж = Ж + Уу.	(17.40)
В случае линейной упругости материала и постоянной
жесткости стержня дифференциальное уравнение изтба
имеет вид
A/yIV + A'y’ = p(x).	(17.41)
Это уравнение четвертого порядка эквиваленте систе-
ме двух уравнений второго порядка
Ely" + М + АД = 0;	|
_	}	(17.42)
М"=—р(х),	J
Другая эквивалентная система имеет вид
ЕШ" + А’Л1 Е1р (х); 1
}	(17.43)
Ely"—— Al.	J
Весьма удобным является решение дифференциально-
го уравнения (17.41) в форме метода начальных
пар а м е т р о в (см. 17.2.2).
Сжато-изогнутый стержень испытывает деформации
сжатия и изгиба с самого начала нагружения. Под воз-
192
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
действием продольной сжимающей силы рост перемеще-
ний (и напряжений в сечениях стержня) опережает рост
нагрузки.
В процессе естественного увеличения нагрузки проги-
бы сжато-изогнутого стержня неограниченно возраста-
ют по мере приближения сжимающей силы к критиче-
скому значению N* в эйлеровом смысле, т. е. первичные
равновесные состояния определяют асимптотиче-
ское поведение стержня. При	возможно
существование вторичных, равновесных состояний стерж-
ня. График поведения стержня подобен ранее рассмот-
ренному графику для модели с линейно упругой опорой
при а>0 (см. рис. 17.2).
17,1.11.	Об анализе больших перемещений
сжатых и сжато-изогнутых стержней
Геометрически нелинейная постановка задачи устойчи-
вости основана на учете больших перемещений системы.
При анализе стержневых систем используют точное вы-
ражение для кривизны при изгибе
1 <Ру Г (dy\21“ —
р " dx2 [ + \ dx j J
<&у г ___ / dy yq- —
ds2 _	\ ds / J
(17.44)
и учитывают сближение концов стержня. Во втором из
выражений для кривизны, предложенном Ф. С. Ясинским,
независимым переменным является длина дуги упругой
линии s [47].
Анализ больших перемещений преследует цели изу-
чить поведение системы при нагрузке, близкой к крити-
ческому значению, исследовать механизм потери устой-
чивости, описать закритическое поведение системы.
Определенная в результате такого исследования вели-
чина критической силы совпадет с результатом решения
задачи в геометрической линейной постановке, если
предкритическое (невозмущеиное) состояние стержня
является недеформировапным (пример — центрально
сжатый линейно упругий стержень, задача Эйлера).
В противоположном случае, когда стержень испытывает
деформацию (изгибается) до потери устойчивости, учет
больших перемещений вносит поправку в величину кри-
тической силы. Решение ряда частных задач (см. 17.2.8)
показало, чго величина этом поправки незначительна
(порядка десятых п даже сотых долей процента).
Отсюда следует, что практические расчеты стержней
и стержневых систем могут быть основаны на геометри-
чески линейной постановке задачи.
17.1.12.	Устойчивость «в большом»
и явление перескока
В некоторых более сложных задачах (например, при
исследовании закритического поведения стержня в гео-
метрически нелинейной постановке) при одном и том же
значении сжшмающей силы возможно не одно, а два или
более равновесных состояний, не смежных между собой.
Динамический процесс перехода от одного равновесного
состояния к другому, устойчивому через ряд неравно-
весных состояний, называется перескоком.
Исследование явления перескока требует, как правило,
геометрически нелинейной постановки задачи.
Простейшим примером системы, в которой реализу-
ется это явление, служит так называемая «ферма Мизе-
са» (рис. 17 5). Спшема образована двумя шарнирно
соединенными стержнями из линейно упругого магериа-
ла. Стержни могут испытывать значительные продоль-
ные деформации, не разрушаясь и не изгибаясь Нод
воздействием силы /фузел В фермы перемещаемся .в го
Рис. 17.5
ку В' (рис. 17.5, а). При достижении силой Р критиче-
ского значения этот узел мгновенно, перескоком, перей-
дет в новое положение В" (рис. 17.5,6). В этом новом
положении стержни фермы растянуты, система устойчи-
ва [53а]. Более подробны!! анализ задачи см. [31].
В других задачах возможность потери устойчивости
с перескоком зависит от меры возмущения, которая
должна иметь определенную конечную величину.
17.1.13.	Идеальные и неидеальные системы.
Начальные несовершенства
реальных стержней
Идеальным называют линейно упругий стержень, на-
груженный так, что упругая линия изгиба у(х) ортого-
нальна первой собственной форме ут(х), т. е. кривой
выпучивания при потере устойчивости з смысле Эндера.
Для стержня постоянного сечения это условие ортою-
налыюсти записывается в виде
I
у (х) У). (х) dx = 0.	(17 45)
о
Отсюда следует, что в разложении упругой линии по
собственным формам (17.39) коэффициент Ai равен
нулю.
Стержень называется неидеальным, если он на-
гружен так, что условие (17.45) не выполняется.
Простейшим примером идеального стержня служит
центрально сжатый шарнирно опертый стержень
(рис. 17.6, а), для которого у(х)=0. В момент потери
устойчивости становятся возможными смежные формы
равновесия ys(x), стержень выпучивается по полуволне
17 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖ'ЬИВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ	193
синусоиды (17.38). Кривая выпучивания показана на
рис 17 (>, и пунктиром.
Очевидно, что идеальными являются также централь-
но сжаше стержни с любыми другими закреплениями
концов
Внеценipenno сжатый стержень постоянного сечения
с равными по абсолютной величине, но противотю-
Рис 17.7
Рис 17 8
ложно направленными концевыми эксцентрицитетами
(рис. 17 b, б) изгибаемся по S-образноп (ансисиммстри н
нои относительно середины пролета) упругой линии //(лц,
которая ортогональна первой собственной форме щ(т).
Критическое состояние при эйлеровом значении сжима-
ющей силы Аф характеризуется разветвлением форм
равновесия, на антисимметричную упругую линию if{x)
иакладынае гея симметричная кривая выпучивания
у, [у) — полз полна синусоиды (17.38) с произвольно!!
но величине н знаку наибольшей ординатой т]. График
поведения этого идеального стержня представлен на
рис. 17.7, в качестве характерного перемещения выбран
угол поворота на опоре 0. Отрезок кривой ОК при
А’<А'.( соответствует устойчивым состояниям стержня,
отрезок KS при А’>Л'Э —неустойчивым. Точка Л' гра-
фика определяет критическое состояние стержня, свя-
занное с разветвлением форм равновесия.
Идеальным будет также любой lOKaio-nsoniyiwii стер-
жень постоянного сечения, упрушя линия коюрою
антпеиммечрнчна относительно середины пролета (см.
рис. 17.6,0).
Обобщение условия ортогональности по отношению
к первой собс 1 вепнон форме (17.45) на систему стере.-
неи приводит к понятию идеальной системы.
Примером такой системы служит П обргкзная рамп,
обладающая вертикальной осью симметрии и нагружен-
ная равномерно распределенной по рстелю нагрузкой
(рис 17 8). Сплошной линией показано очертание рамы
в состоянии и.31иба, вызванного пагручкой; пунктирной
линией показана кривая выпучивания при потере устой-
чивое! и в эйлеровом смысле.
К неидеальным системам относятся все системы, форма
изшба которых не ортогональна первой собственной
форме
Идеальные системы испытывают потерю устойчивое!п
при ра щегвлегщн форм равновесия, когда сжим<1Ю1К..я
ен ta доснп’не'1 критического значения.
Для неидеальных линейно упругих систем характерно
асимпимическос поведение, т. е. неограниченное возрас-
тание перемещения но мере приближения сжимающей
силы к критическому значению (пунктирная кривая
ОЛ,£ ин рис. 17.7).
Все реальные стержни имеют начальные искривления
и, кроме предусмотренных проектом эксцентрицитетов,
13—26
также начальные (случайные) эксцентрицитеты прило-
жения сжимающих сил. Начальные искривления и слу-
чайные эксцентрицитеты объединяют понятием и а -
ч а л ь н ы х н е с о в е р ш е н с т в.
Вопрос о необходимости учета начальных, несовер-
шенств при расчете сжатых и сжато-изогнутых стержни1!
следует рассматривать отдельно для стержнем с идеаль-
ной и неидеалыюй расчетной схемой.
При расчете неидеалытых стержней учет начальных
несовершенств вносит количественные коррективы, про-
порциональные мере этих, несовершенств. В большинстве
случаев изгибающие моменты, вызванные начальными
несовершенствами, мальмю сравнению с изгибающими
моментами, вызванными поперечной нагрузкой р(х) или
проектным эксцентрицитетом а приложения сжимающей
силы А', В этих случаях влиянием начальных несовер
шепств можно пренебречь.
При практическом расчете идеальных стержней не-
обходим учет начальных несовершенств, нарушающих
идеальную схему и создающих качественно другие усло-
вия работы стержня. Роет напряжений и перемещений
по мере приближения сжимающей силы к критическому
шачению вызывает развитие неупругих деформаций
материала.
Для учета начальных несовершенств идеального стерж-
ня па него накладывают начальное малое искривление
z/Дх) или дополнительную малую нагрузку, вызываю-
щую упругую линию причем в обоих случаях фор-
ма Уо(Л’) не должна быть opioiопальной первой собст-
венной форме у,, (х). Мера начального несовершенства
и его направление особой роли не играют, так как самое
малое нарушение идеальности в ту или иную сторону
переводит кривую OKS на графике поведения в положе-
ние ОС (см. рис. 17.7),
17.1.14.	Свободная длина
и гибкость стержня
Понятие свободной длины было введено Ф. С. Ясин-
ским [47] с целью обобщения формулы Эйлера (17 .’>71
па сличай центрально сжатого линейно упругого стерж-
ня с произвольным закреплением концов.
—
К
Зцесь свободная длина стержня
lt - Р/
(17.46)
(17.47)
представляет собой произведение коэффициента
свободной длины р на геомецшчеекую длину А
Величину р выбирают в соответствии со схемой закреп-
ления концов стержня
Запись критическоц силы
(17.48)
удобна для задач о потере устойчивости при разветвле-
нии форм равновесна, так как позволяет результат ре-
шения записать в виде одного числа — коэффициента
свободной длины Р, не зависящего от геометрических
размеров стержня.
В случае стержня переменного сечения £/ = /(%) за-
пись в форме (17.48) становится условной, поскольку
величина р зависит от выбранного частного значения
EI в (17 48).
194
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Гибкостью стержня называют отношение его свобод-
ной длины к радиусу инерции поперечного сечения:
17.2.2. Уравнение упругой линии стержня
в форме метода начальных параметров
(17.49)
Дифференциальное уравнение малых изгибных ;iepc-
мощений сжато-нзогну ioro стержня с произвольными ус-
ловиями закрепления концов имеет вид
Здесь I — момент инерции; F — площадь поперечного
сечения стержня.
Нормативная методика расчета сжатых и сжато-изо-
гнутых стержней основана на понятиях свободной (рас-
четной) длины и гибкости стержня (см. 17.9.2; 17.9.4).
diy d-y р (х)
Н~	—
dx^ dx- г/
(17 50)
где сР — А'ДУ; р(х) —поперечная нагрузка.
17.2. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
17.2.1. Линейно упругий материал.
Обозначения
Рассматриваются прямолинейные массивные (не тон-
костенные) стержни постоянного сечения. Материал
стержней линейно упругий, т. е, существует прямая
пропорциональность между напряжением а и деформа-
цией е, выражаемая законом Гука а = Ее..
Силовая плоскость совпадает с плоскостью одной из
главных осей поперечного сечения. Сохранение плоской
формы изгиба считается обеспеченным. Не учитываются
деформации осевого обжатия и деформации, вызванные
касательными напряжениями. При анализе изгибных де-
формаций принимается гипотеза плоских сечений.
Общие положения см. 17.1.3; 17.1.9; 17.1.10; 17.1.13;
17.1.14.
Основные обозначения;
I — длина стержня;
х, у —координаты точки на упругой линии;
ут — прогиб в середине пролета;
z—абсцисса точки приложения нагрузки;
Q—dy'dx —угол поворота;
М — изгибающий момент;
(? — поперечная сила;
Н — проекция поперечной силы Q и продоль-
ной силы iV на направление, перпенди-
кулярное первоначально прямолинейной
оси стержня;
£7 —жесткость стержня при изгибе в силовой
плоскости;
N — продольная сжимающая сила;
Л'„ — наименьшее критическое значение сжи-
мающей силы;
Л’э — эйлерова критическая сила для шарнир-
но опертого стержня;
р—распределенная поперечная нагрузка на
стержень;
Р — сосредоточенная внешняя сила;
АД —внешний момент, пара сил;
и—уЕ ЕН—параметр нагрузки для стержня;
и*/ — j-e критическое значение параметра на-
грузки;
—наименьшее критическое значение пара-
метра нагрузки.
Общий интеграл этого уравнения равен сумме общего
шпшрала (17.30) однородного дифференциального
уравнения (17.28) и любого частного интеграла у'*(х)
полного уравнения (17,50).
у = Ct sin ах +- С2 cos ах Д С3х Д С4 + Д (х) . (17.51)
Наиболее удобным является решение уравнения
(17.50) в форме метода н а чаль н ы х парам е т-
р о в. Под начальными параметрами понимают величи-
ны Уо, 0О1 АД, На в начале координат при х = 0
(рис. 17.9). Здесь Н— проекция поперечной силы Q и
продольной силы Л' иа направление, перпендикулярное
первоначально прямолинейной оси стержня. Из условия
равновесия (рис. 17.10) Q = 77cos0+Asin0жЯ-уЛ'0 сле-
дует
H = Q — Л70; (17.52)
Решение уравнения
ных параметров имеет
, sin ах
У ~ Уо +	——— 
До == ф() ЛД0 (17.53)
в форме метода началь-
(17.50)
вид
АД
1 — cos ах. 1
а Е1
ах — sin ах
£7
dy	АД sin ах
0 = — = 0„ cos ах —---------• --------
dx	EI а
1 — cos ах
------.---- у 0ц.
До
£7
d-u
Л4 =— 77 —ж = 0 £/а sin ах у
dx2
,	sin ах
+' АД cos ах Но -------------J- Л1“;
Я = Но~~ НЕ
Здесь зависящее or нагрузки слагаемое равно
(х) = j [а (х — |) — sin а (x--g)j р (17.55)
Na J
г
17 2. ЛИНГГШО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
195
Таблица 17.1
Метол начальных параметров. Слагаемые, зависящие от нагрузки
I
j Вид нагрузки
— cos а (х — г)]
0“	р Г	sin а (х — г) 1 —(х — г) —	'	~ Ala2 [	a	j	р 	1 — cos а (х — г) 1 £/а2	л	ЛФ. —	 sjn а (х — Е! а
лГ	Р — — П — cos а (х — г)] а2	Р —	 sl‘n а (х —, Ct	Мг cos а (х —- г)
Q"	Р . — — sin а (х — г) а	— Р COS ГХ (X — 7)	Л1х а sin а (х — г)
Н" Примеч	— р (х — г) п и е При х<_г aie слипаемые от нагру-’.м	— Р , приложенной в точке с абсциссой	0 г, принимаются равными н\лю,
причем 5 — вспомогательная переменная, которая после
интегрирования и подстановки пределов исключается,
с — абсцисса начальной точки приложения нагрузки
р(х). При х<уг функцию г/н(х) и все ее производные
принимают равными пулю.
Аналитические выражения для зависящих, от нагруз-
ки слагаемых
du»	d-у»
у» (х); 0» =---; Л1Н ==— £7	;
dx	d х2
d3u»
QH £/ -TO_  fpi = OH _ Л/0»
dx3
(17.56)
приведены в табл. 17 1
ной нагрузки p = const,
1яжеиин стержня правее
Для равномерно распредслен-
воздеиствующеп па всем про-
точки г, из (17,55) следует
У11-	г).
где ф у н к ц и я в л и я и и я
(г — г)”	1 — cos а (х — г)
т И, И =	-------------------------
2	а-
(17.57)
(17.55)
Выражения для у» от сосредоточенной силы Р и от
лары сил (внешнего момента) Лф, приложенных в точ-
ке с, получаю! дифферснитрованием функции влияния
ао ж ременной г;
Р /)	М, д2
Т(х, г).	Тр,г). (17.59)
5г	Л	иг-
13*
Выражения для 0я, М», Q® получают из (17.57) и
(17.59) дифференцированием функции влияния ЧДх, г)
по переменной х в соответствии с (17.56).
Преимущество решения (17.54) по сравнению с дру-
гими возможными формами: а) из четырех подлежащих
определению величин у0, Йо, Л10, Яо две известны по ус-
ловиям закрепления левого конца стержня; б) влияние
поперечной нагрузки р(х) учитывается добавлением сла-
I аемых у», 6я, ... при х>2 без изменения предшествую-
щих членов.
17.2.3.	Критические силы центрально
сжатых стержней с различными условиями
закрепления концов
Решение задачи устойчивости (в эйлеровом смысле)
для одцонролетпого стержня при произвольных закреп-
лениях концов удобно основывать на соотношениях ме-
юда начальных, параметров (17.54), в коюрых следует
положить ул = 0ь = Л7н==Л,я==О. Из четырех начальных
параметров yr>, On, Mj, Нп два известны по условиям за-
крепления левого конто стержня при х = 0 Coci являют
два уравнения, отражающие условия закрепления пра-
вого копна стержня Эш уравнения буду! линейными и
однородными относительно двух начальных параметров,
иг щвишхея ней местными, коюрые здесь обозначены
(.нинолами Zb Zy
ш__
1 И юичиви^ь <hPAH ЬЫХ СЖ ILM
Собственные фермы и !рнимеские параметры waipy ня для гмагых линейно упругих стержней
( xe'i J стержнт и форм.! поте; л у с гоичиностн вторая <_ Жженная форма треть! соботвеннзя формз		\piHiTLU е Прут 04 1И !l!ri ((. ГОСТ Bet ноя , р 1Ь)	Уравнение пратяч ow о о сто>ния 1) («жО, 1 - 1 Л// 1 1 Об це< pt исгне уо !ине< и i /JU)-- >	Первые три лря1и it мн знач нитт I jpj-мец j сгрузки		Кри ГНЧ1 Спая : СИ Id Л я (..БобоДНиН длина
—	W	JJ _px=mU—	1 Р® ..£ —— —~зн	L Jl 1'	S ! и — -j	ия	- л =-	!41h	 ы L
3
172 ЛИНЕЙНО V’lpilllb СЖАТЫЕ И ( Ж VI0 ИжЛ Ч VIЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ	197
Пподоллсение табл /
Схема стера ня и форма потери устойчивости	Сравнение упругой ти пап (собственной Формы)	й равнение t-ригического со- стояния />(«)—0, и~У	1	Первые три f ритическш значения параметра на!рузчи и	Критическая сила Л* и свободная длина
вторая собственная форма		Общее решение сравнения b U) (		
третья собс1веинвя форма				
!/// и it. J t г 1Г _ць Hi: :. Ill 17р )
198
РАЗДЕЛ 17 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЬРЖПГВЫХ С1К Т! '1
Коэффициенты этих уравнений у1ь=="у к(и) являют я
функциями параметра ншрузки
и = al = Vn/EH	(17 61)
Условие существования ненулевых решений системы
117 60) заключается в равенстве ну ио определителя
О (и) о I 711 712 |0,	(17 62)
I 7 22 I
который стедует рассматривать как функцию параметра
нагрузки и
Условие критического состояния (17 62) приводит
к трансцендентному уравнению относительно и, корни
которою образуют бесконечный спектр собственных зна
ченнй параметра ла1рузки
ил, «*,,	(17 63)
Для у-й критической си ты имеем
trFl
(/=1,2,...) =	(17.64)
Наименьшее критическое значение параметра нагруз-
ки /•/_— и*! соответвует потере устойчивости ыержня
при разветвтении форм равновесия Критическая сила,
вызывающая потерю устои швости равна
и~Е1
(17 65)
Для построения собственной формы у*7 используют
первое из уравнений мето щ начальных параметров
(17 54) при z/ = u„/, соотношение между двумя неиз-
вестными начальными параметрами Z\ и Z2 определяют
из уравнении (17 60) коюрые при и = иг/ становятся
эквиватеитиыми друг друi у
Любые две собственные формы z/t; и у,, обитают
свойством обобщенной ортогона шносю (17 16)
Из сравнения двух значении критической силы (17 49)
и (17 65) определяют своботдую ттииу стержня
I* - (У — I,	(17 66)
и т
где p=T/us.—коэффициеш свобо гноя типы.
Рис 17 11
17 2 ЛППГППО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ	(QQ
Табл. 17.2 содержит результаты исследования устой-
чивости одионро. ie i пых сюржней для пяп1 едем с раз-
личными условиями закрепления концов Показаны
схема стержня, начальная недеформированная его ось,
форма потеря устойчивости, вторая и третья собствен-
ные формы, уравнение упругой линии с произвольным
множителем С, уравнение критического состояния
П(п)=0 и общее выражение для /-го корня этого урав-
нения, первые три критических значения параметра на-
грузки и„л, и*-,, формула для наименьшей критиче-
ской силы Л\, свободная длина 1*.
Если подобрать длины стержней I для каждой из
схем так, чюбы критическая сила была во всех случаях
одинаковой, то формы потери устойчивости можно рас-
сматривать как дуги одной и той же синусоиды (рис.
17.Н)
пх
y = sin—.	(17.67)
ч
При этом свободная длина 1„ равна расстоянию меж-
ду двумя смежными точками перегиба, т. е. полуволне
синусоиды.
17.2.4.	Внецентренно сжатые стержни
Общий случай — неравные концевые эксцентрицитеты.
Концевой эксцентрицитет равен а на левой и ka на пра-
вой опоре (см рис. 17.4,6). Предполагается, что j k15^ 1.
Условия па левом конце стержня даю! уо — 0. M0~Na.
Из условия равновесия определяют величину
Л0=--у-(1-^) У.
Воспользовавшись первым из уравнений (17.64) и под-
чиняя решение [раничному условию на правом конце
стержня (1/ = 0 при х~1), определяют единственный не-
известный начальный наражчр
0О = -—' |с(гг)4-Ь(ц)],	(17.68)
£/
где приняты обозначения для ф у н к ц и й Н. Е. Жу-
ковского [15]:
С(И) = _1.Л	=	(17.69)
и2 \ tg и /	и2 \ sin и j
Уравнение изогнутой оси стержня после преобразова-
ний приводят к форме
а ( и	, , .	,
у = — 1-----— [sin (и — ах) 4~ « sin ах] —
и Isinw
— [(и — ах) -ф- (гах]| .	(17.70)
Таблица 17,3
200
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Ниже рассматриваются частные иучш (шещнтрен-
но сжатого стержня.
а) Равные по абсолютной величине и по знаку конце-
вые эксцентрицитеты. В штучае Л«-1 уравнение 117.70)
1гринимае'| вид
(17.71)
прог 1’6 Б середине пролетз рлюн.
(17 72)
График поведения стержня представлен и таил 17 3 а
Сплошная линия соогиегствует ус.опчивып ПтрвианьП!
состояниям равновесия при А;<Л „ (/т>0. нуНК 1 Ир
пая-- тшустончивым вторичным при Д’>Л >. д1л <--2п.
Формы равновесия па схеме стержня и п.1 (рафике по-
ведения отмечены цифрами I я 2.
Для первичных равновесных состояний характерно
асимптотическое поведение — неограниченное возраста-
ние пропчба у,„ по мере приближения сжимающей си-
лы N к эйлерову значению
б) Равные нулю концевые эксцентрицитеты — цен-
трально сжатый стержень. При и — 0 возникает задача
Эйлера, рассмотренная в п. 17.1,9. График поведения
стержня представлен в табл. 17.3, б. Прямолинейная
форма равновесия у шО устойчива при N<Na и не-
устойчива при А'>ЛЛ. Точка К па (рафике соответству-
ет потере устойчивости при разветвлении форм равно-
весия
в) Равные по абсолютной величине, но противополож-
но направленные концевые эксцентрицитеты. В с.тучю
k ——1 уравнение упругой линии (17 70) принимает вид
(17.73)
Уюл недорога на левой опоре при х = 0 равен:
График поведения представлен в табл. 17.3, в; по оси
абсцисс отложено характерное перемещение во, по оси
ординат отложена сжимающая сила <V. Форма изгиба
по S-образной упругой линии ортотопальна первой соб-
ственной форме (17.38), стержень является идеальным.
Соответствующие этой упрут ой линии равновесные со-
стояния устойчивы при N<zNa и неустойчивы при об-
ратном знаке неравенства. Разветвление форм равнове-
сия (точка Л' на графике) характеризуется наложением
полуволны синусоиды (17 38) на S-образную упругую
линию (17.73), В критическом состоянии Л' = Лд, и, =
= я, 04=2в//,
17.2.5.	Сжато-изогнутые стержни
Сжато-изогнутые стержни разделяются на идеальные
и непдеальпые, примеры тех и других даны в крапаем
правом столбце табл. 17 3. Качественные особенности
поведения соответствуют рассмотренным выше случа-
ям «из п «г» внецентренио сжатого стержня
Если стержень не является шарнирно опертым, то эй-
лерова сила Л', должна быть заменена критической си-
лой .V„ по данным табл. 17.2.
бабл. 17.4 содержит справочные данные для шарнпр-
Щ) опертого стержня, нагруженного в точке z~kl внеш-
ними силами р, Р и Лф. В таблице даны, выражение
для прогиба у в точке х — ml при ш.<й (первая строка)
и mp>k (вторая строка); ана.тот никое выражение для
угла поворота 0; значения Оо и О, на левой и соответ-
ственно на правой опорах; выражение для титибаюшего
момента Лф абсцисса точки в которой тигибзющий
можнг достигает наибольшей величины Дшн; ттыра
жеште для тИчаис.
Табл. 17 5 содержит аналитические выражения для
усилий н перемещений сжато-изогнутых стержней с раз-
лшшыми условиями закрепления концов
Зависимость усилия (или перемещения) < жато-изо!-
нугою стержня от величины сжимающей ит.н.1 выража-
емся приближенным соотношением
S =
(17 75)
где 3 — соответствующее усилие (перемещение), опре-
деленное без учета влияния продольной сжи-
мающей силы.
17.2.6.	Принцип независимости действия сил.
Принцип взаимности перемещений
Принцип независимости действия сил (принцип суттер-
потиции) для сжато-изогнутых линейно упругих стерж-
не» применим в специфической трактовке- сжимающую
силу .V следует исключить из понятия «натру зка» и от-
нести к свойствам стержня [19, 21aj.
/Етнейноеть дифференциальною уравнения (17.50)
даег возможность наложить два решения р1 и у2, вы-
званных натру жами рф.т) и соответственно Дз(л'), если
величина и остается постоянной. Эю значит, что при
фиксированной величине сжимающей силы Л реше тие
у~у}±ц3 будет отражать воздействие нагрузки р =
=-й|+Р2
Использование принципа суперпозиции позволяет с по-
мощью табл. 17.4 и 17.5 получить решение ряда более
сложных задач, когда на сжато-изоптутый стержень од-
новременно воздействуют несколько поперечных на-
грузок
Для сжаю-изогиутого стержня, как и для любой) ли-
нейно у другой системы, справедлив тт р и и и н п в з а и м-
н о с т и работ (принцип Макешлла)
(17.76)
Здесь .Pi.Pa — сила первого и соответственно второю
состояния; — перемещение по направлению силы
Р„ вызванное силой 7Д
Под силами Pt, РА следует понимать поперечные на-
грузки, продольная гили .V одинакова как t> первом, так
и во втором состоянии.
Если силы Р, и Рц равны между собой по численной
величине, например в частном случае единичных сил
ПИЧГИНО snpvEHF СЖТТЫР il СЖИТО ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
201
Усилия и перемещения лииепно jnp*rorp сжато-изогнутогс шарнирно опертого стержня
	сг’ Г1 COS (1 — ‘) и	Pl’ fsin fl - к) и sin mu	1	V Р	'
к	11и~ [	a- мл п т	1 - Y(!-Aq	I lu- j_	и sin II — m d - fe)~j	f Em Г	cos d —'if ^!n t	i a. —	     -i-	m 1	мп и	j
	р/4 Г (т — МП т>	PF | sin Ln sin d - mt n	П,/ r(o« 'n s'n (i m) i
4"	f/u’t	2 чп/w s п)!—т) и оз кп - sin и | umiiui	1	f hi- [_	и sin и — r (1 — m	> la- L	sin и - (1 - m} j
	гГ’ Г (1 -М	Pl- ( sir d - s) n (Os m i	
к	Г1и*1	2	1 I — COs (1 — k) U	1 -г	cos mu imnvi	j	i 1л- [	sin и	Llu- Г л £r^ (1 — и	mj	1 _	__	~ r 1 1	Sin I	I
к	pF Г 1 -L- к- —' 2m Elu2[_	2 cos tn i — cos (1 — mt и cos k Л	PL " x rJ u“ f sin ku Ws (1 — m) и , ]	mi Plu- x Г и cos ku ros (1 — m) i	1
	1	U Sin и	j	[	sin и	1	*	—	T i [	чп a	j
	pF | । co (1 'И и alll- {	U «1П «	Pl-	d _ r) „	1	’И/ Г «cnsd - hi	1
	_ ji	j-q	T , I	) 1 Li i~ [	w u	j	1 —	-j-” 1 El a2-1 [	-><п и	j
	rp j I OS I- u LOs M Lin- [	ц «in и 1 V ]	Гr' «1П Pl	] Fla- L «с и	J	И,/ Г i сочки	1 	1— - —	- 1 Liu- [ sm»	J
	d	d !?} U	«И1 ! 1 /И и «1Г1 mil	(Os Ы к} U Sin ! w. dMl t
	im	и мпи	t i и 5Ш и	
К	рЦ E	t s n / 4 sin ( 1 - I ’ 1 I	1 i 4i d — m} н
	sin CM Sind -W) «COS kri— in и sin и	и мп a	^.i sin и
ч	1 — COS и (.Os ku — jrit^	 n	sin и cos А и	1 j	k	
	pl- uz	«in Pi m (1 — 4) ti	
к	I 1-2 cos и cos ku-r cos- few	u sm и	
202
РМДГ 1 17 РСЮИЧИВОС ТЬ . II P/KII1 ВЫХ ГДТГЧ
Т а б 1 и ц а 17 5
Усилия и перемещения линейно упругих сжаго изогнутых
стерт шеи
Cximi	j Усилия и перемещения
1
Момент в середине upoiva
Прогиб в серед! че про <ста
Угол поворота на опоре
Момент под грузом
Прогиб под грузом
РР / - и _ 1> \
2EhP \	2	2
Угол поворота пи опоре
М мент н М	сере 1 М	не про гм а
	2 cos	
I poi l6 в	ссрсдн	е проле
М„1	/	
2 Liu	1 COS	и	|
гол поворота на дева/ оюр
,. Мп1 .-
А = ~—----(1 — и ct г и)
Пи?
Угол поворота ча правой
опоре
о -	( а ~ \
Z 1и \ мт, и )
Продол пенис таг//I П •>
Схема			Усилия и перемещения
			Момент в за телке
			,,	р£ М =.		—•• )< 2и
	Р		2 — и чп и -- 2 cos и
			
		! N	S 11 U	U	Д
1^,		X *< -»	Угол поворота на левой опоре
	К-		9 = EL л Ии'
			(° — и sin " — 2 cos и)
			2 (sin и — и cos и)(1 — cos и)
			Реакция правой опоры
			_ Sin ku - ku cos и P = P	 sin n — U COS и
			Момент пот грузом
			м = Pl	ШУ	х bin и — и cos и
			л. ^сэз	и—
			sin (1 - /у ч	Д1
			«	j
			Момент в заделке
	мм	1 -	,,	sm ku — k sin и И	Pl 	—	 sin и — и СОэ и
			Пр гиб пол грузом
L	С t Г-1®- 1 —		р/’ г у —	1 л i(->m 1ш -k sm и.} р L/u )
			/	ЧП АмХ 1 НАМ/? cos и	 ,	1 —• со> (1 — /?) и
			xlll и — и СОэ и
			(1 — k ) и — S 1 п (1 — R ) и
			sm ti — и со> и
			\дот поворота на левой опоре
			„ Р1 е =	х Е/и‘
			' [А[ {и —'ли и) — А2 (1—cos и)]
Реакции правой опооы
Момент в серетине пролета
ч
cos----
Поотиб В город 1НР ПР0Щ1 -1
и и
----------- СОЗ и
Момент по 1 грузом
М - Р1
(M0^Na)
Угол поворота на опоре
Sin —----
2
]7 2 ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ II СЖАТО ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
203
Схема
М-
!] ~

силия I перемещения
Момент э заделке
—• cos —
Pl
Прогиб ПОД ipyiOM
Pl	A
Liu3
и

опор®
2
а
R
Момент в заделке
\ г I поворота на левой
опоое
Ч — М
Р акция правой опоры
Мп и (1 - со-. «)
вверх
протега
17.2.7.
ц —
1.РР1
в сере.
dx*
где с.с
пролета
но
направлены вниз Положить
ное направление углов полорота
на опооах соответствует поло
жителыюму направлению оп >р
в заделке
Р1 4 и
шт в середине пролета
pl !	“	I '\
Момент в за гетке
Продог шиле таРл 17 о
Усилия я перемещения
Прогиб
COs Li-r-Ll sin и
Момент в заделке
рР
левого конца
Ыи
Момент в заделке
М =— Р1
тезою конца
г Ш
поворота левого конца
РР / 1
поворота
р!
£7z? \ соь и
Положи
ре 1КЦПИ направлены
Положительные момен
ягивают нижнее во юк
оложигелъные прогш н
Рг^Р^ 1 то
ц и п в з а и м
Бетги)
Прогиб левого конца
Момент в заделке
левого конца
М
из соотношения (17 76) следует прян
ности перемещении (принцип

(17 77)
Растянуто-изогнутые стержни
Дифференциальное уравнение мазых язгибных пене
мещении растянуто изогнутого стер/кня (рис 17 12) име
ст вид
р (Л
dx-
7/
V/Z7 \—растя! зшаюпря сила
(17 78)
4
204	Г- ' ГТППЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ (IKTfVt
Оощии интеграз зтого уравнения
у — С\ sh ал - С ch ах г ( эл — С4 у уА (л)
иим! гиперботическис функции с i можсг бит ipe
б] s ir in к форме метод i нач i гы ых пар >м тров
От. t iko шт необход�