/
Author: Фаддеев Д.К. Делоне Б.Н.
Tags: математика алгебра теория чисел иррациональные числа
Year: 1940
Text
АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ТРУДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
имени В. А. СТЕКЛОВА
XI
ACADEMIE-DES SCIENCES DE L:URSS
TRAVAUX DE L'INSTITUT MATHEMATIQUE STEKLOFF
Б. Н. ДЕЛОНЕ и Д. К. ФАДДЕЕВ
ТЕОРИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА • 1940 • ЛЕНИНГРАД
Ответственный редактор
акад. И. М. ВИНОГРАДОВ
Редактор издательства 3. Н. Перля
Технический редактор О. Н. Персиянинова Корректор А. С. Шамзан
Сдано в набор S/VII 1939 г. Подписано к печати U/V 1940 г. Формат 70ХМ8/,,. Объем 21>/кП.л.
н 4 uu. Учетно-издат. л. 34.1. В 1 п. л. 63 000 печ. зн. Тираж 1000 экз. Уполн. Глевлита МА-24263.
__i Рисо № 945. АНИ М,1247. Заказ И 3033.
1-1 Образцовая типография Огиза РСФСР треста .Полиграфкнига". Москва, Валовая, 2S.
ПРЕДИСЛОВИЕ ¦
Большая часть современной теории алгебраических чисел рассматривает
вопросы, простейший, но уже не тривиальный, пример которых мы находим
в теории квадратичных иррациональностей, данной еще Гауссом в „Dlsqul-
sitlones arlthmetlcae". Сюда относятся: теория единиц, теория идеалов, законы
взаимности, а следовательно, отчасти, и теория поля классов.
Подробное изучение теории алгебраических иррациональностей третьей сте-
степени ¦ интересно не только потому, что оно дает следующий по сложности за
квадратичным случаем пример на все эти задачи, для решения которых и в этом
случае еще можно дать вполне удобные алгорифмы, а главным образом потому,
что оно ставит некоторые дальнейшие вопросы, которые в квадратичном случае
еще столь тривиальны, что при изучении его не стали перед исследователем.
Сюда относятся, в первую очередь, вопросы классификации кубических ирра-
иррациональностей, так называемая обратная задача теории Галуа для этих иррацио-
иррациональностей, и вопрос о приближении рациональными числами к иррационально-
стям высших степеней, в полной мере не решенный до сих пор и тесно
связанный с вопросом о представлении чисел неполными (т. е. такими, у ко-
которых число переменных меньше их степени) разложимыми формами. Эти оба
капитальных вопроса впервые в нетривиальной форме появляются в теории
кубических иррациональностей, но дальше имеют место для иррациональностей
любой степени.
До сих пор в математической литературе не существует монографии но
теории кубических иррациональностей. Наша книга заполняет этот пробел.
Весьма естественно, что эта монография издается нашей Академией Наук, так
как большое число исследований по теории иррациональностей третьей степени
принадлежит математикам, так или иначе связанным с нашей Академией: Е. Золота-
Золотареву, А. Маркову, Г. Вороному, мне, В. А. Тартаковскому, Д. К. Фаддееву,
Б. А. Венкову и О. К. Житомирскому. Важнейшие исследования иностранных мате-
математиков, сюда относящиеся, принадлежат Эйзенштейну, Туэ, Морделлю, Нагелю,
А. Вейлю и Зигелю, а также Дедекинду и Гассе. Исследования этих двух
последних математиков мы не включили в монографию, так как они гетерогенны
ей по методу и представляют собою скорее применение общей теории поля
классов к частному случаю кубического поля.
Можно надеяться, что из соображений, подобных рассмотренным в I и
III главах, удастся построить теорию, близкую к теории поля классов, кото-
которая даст возможность разрешать многие вопросы, разрешаемые при помощи
теории поля классов, без применения аналитической теории чисел.
Мы с Д. К. Фаддеевым являемся равноправными соавторами этой книги,
и примерно половина материала, в ней содержащегося, принадлежит Д. К; Фад- '
дееву. Каждый параграф? обсуждался обыкновенно сначала совместно, а затем
каждый из нас просматривал параграфы, написанные другим. Параграфы 7, 8,
9> 12, 19, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 64, 70, 72, 73, 74, 79, 80, 81, 82 на- .
писаны Д. К. Фаддеевым, параграфы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15, 16,
1»
4 ПРЕДИСЛОВИЕ
17, 18, 20, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 60, 61,
62, 63, 65, 66, 67, 68, 71, 75, 76, 77, 78 написаны мною. За написание § 69
мы очень обязаны проф. В. А. Тартаковскому.
План н замысел книги в основном принадлежит мне, но благодаря неоце-
неоценимому сотрудничеству Димитрня Константиновича, который отдавал все свое
увлечение нашей работе, удалось осуществить значительно более обширный
план, чем тот, который мы намечали сначала, когда начинали писать эту книгу
совместно с Нагелем. Специально для этой книги мы с Д. К. Фаддеевым про-
произвели многие исследования, которых нехватало среди имевшихся результатов
по теории иррациональностей 3-й степени,— сюда относится многое помешен-
помешенное в I и III главах, а также многое другое.
Перейду к краткому изложению содержания отдельных глав.
Глава I заключает в себе возможно более полное и последовательное гео-
геометрическое изложение теории алгебраических иррациональностей любых сте-
степеней, рассматриваемой, по моему предложению, как теория решеток в я-мер-
ном комплексном пространстве Кп, повторяющихся умножением. Она является
как бы введением ко всей книге. Такие решетки несколько общее, чем алге-
алгебраические поля, н связаны с их прямыми суммами, но онн нам нужны
в главе III для решения задачи, обратной задаче теории Галуа для полей 3-й и 4-й
степени. Геометрический характер изложения в главе I принят потому, что он
нам необходим в III н особенно в. IV главе, В' I главе сначала (§ 2) рассма-
рассматривается предлагаемое мною доказательство теоремы о существовании беско-
бесконечного числа независимых неприводимых алгебраических иррациональностей
данного измерения и сигнатуры. Идея рассмотреть при вычислении объема Q* (г)
аффинное преобразование с коэффициентами растяжения г, г2, ..., г" по осям
принадлежит студенту МГУ Е. Вегеману. Далее (§ 3) дана геометрия теории Галуа,
разрабатываемая мною [19]. 1 § 4 содержит чисто геометрическое изложение
теории единиц Дирихле, а в § 5 помешены исследования Маковского нз
„Diophantlsche Approximation en* геометрии теории идеалов (это единственный
параграф предлагаемой геометрической теории алгебраических чисел, имев-
имевшийся до сих пор в литературе). Теорема 1 § 5 принадлежит Д. К. Фаддееву.
§ 6 посвящен изложению теории л-мерных побочных решеток, предложенных
Клейном, являющейся некоторым углублением теории идеалов. Частный случай
для я = 2 рассмотрен Клейном [27] в его известных лекциях по теории чисел,
а случай я=^3 был предметом докторской диссертации Фуртвенглера [63]. Как
теория единиц, так и теория идеалов излагаются в I главе сразу для самой
произвольной л-мерной максимальной решетки, хотя бы и приводимой. §§ 7, 8
и 9 содержат теорию различных форм, связанных с решетками в Кп. Мое
предложение рассматривать обобщенные безутианы возникло в связи с нашей
обшей с И. Соминским и К. Биллевичем мыслью прн табуляризацни полей
4:й степени [18] (см. § 40) проектировать поле параллельно подполю. Рассма-
Рассматривать решетку, взаимную с данной, и соответственно форму, полярную дан-
данной разложимой, предложил Д. К. Фаддеев [60]. Эта форма представляет собою
также * очень важное алгорнфмическое подспорье, в чем можно убедиться
в § 64.
Глава I может быть полезна для желающего изучать теорию алгебраических
чисел, так как содержит довольно полное и последовательное изложение основ-
основных фактов теории.
Глава II заключает в себе элементы теории алгебраических полей 3-й сте-
1 пени. Она изложена, в противовес главе I, чисто алгебраически и может быть
читаема независимо от прочтения главы I. В главе II мы даем везде самые
удобные вычислительные алгорифмы, которые мы знаем, для фактического вы-
1 Цифры, помещенные в прямоугольные скобки рядом с именем автора, относятся
к списку литературы; если такой скобки нет, то это значит, что указываемое иссле-
исследование появляется в этой книге впервые.
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
полнения вычислений, в ней рассматриваемых, и иногда даже сопровождаем их
численными примерами. В § 11 я предлагаю одну формулу для непосредствен-
непосредственного возвышения кубического числа в любую степень; способ извлечения
корня предложен Фаддеевым, он удобен для проверки, основная лн данная
единица или нет, а также используется в § 49 для решения задачи, обратной
задаче Чирнгаузена, для двух уравнений 4-й степени. В § 13 дано мое [15]
решение этой задачи для двух уравнений 3-й степени. § 15 содержит теорию,
развитую Ф. Леви [28] и мною [15]. В § 16 изложен мой [15] способ решения
задачи эквивалентности для двух кубических двойничных форм без теории
приведения. § 17 содержит изложение известного способа Вороного [8] для
вычисления базиса кубического поля; способа, бывшего главным результатом
его магистерской диссертации, § 18 — алгорифм разложения простого числа
на простые идеалы в поле л-го порядка по Золотареву [26] и, в частности,
в кубическом поле.
Глава III. В §§ 26—30 и 37—41 дана непосредственная табуляризация
решеток, повторяющихся умножением, а следовательно и полей 3-й и 4-й сте-
степеней всех сигнатур. Параграфы эти оканчиваются таблицами таких решеток.
Табуляризация колец 3-й степени положительного дискриминанта была впервые
произведена Арндтом [1—4] в 1852 г., по идее Эйзенштейна [21], как табуля-
табуляризация классов двойничных кубических форм. Аналогичная табуляризация для
отрицательного определителя была произведена Метьюсом (Mathews) и Берви-'
ком [30, .31] и иначе мною [15]. Табуляризация колец 4-й степени с сигнатурой
(числом пар комплексных корней) т = 0 была произведена мной, И. Соминским
и К. Биллевичем [18], а для т=1 таблица была вычислена Ч. Поплавским.
§§ 32—35 содержат геометрию кубических двойничных форм; теория приве-
приведения была разработана Метьюсом [30, 31] и мною, рассмотрение кубических
двойничных форм как норм принадлежит Фалдееву. Теорема § 36 была дока-
доказана Тартаковским еще в 1919 г. в связи с появившимся у нас с ним предпо-
предположением, возникшим из рассмотрения обширной таблицы дискриминантов ку-
кубических единиц, вычисленной в 1918 г. для меня при помощи арифмометров
студентами Киевского университета; эта теорема до сих пор осталась нигде не
опубликованной.
Относительно классификации кубических областей по квадратичным и обла-
областей 4-й степени по кубическим должен сказать следующее. Эйзенштейн
в 1841 г. [21] дал любопытную классификацию кубических двойничных форм
но их квадратичным ковариантам, которая была затем усовершенствована в ра-
работах Арндта [1—4]. На моих семинарах в Ленинградском университете я ие
раз указывал, что эта теория Эйзенштейна может быть, во-первых, рассматри-
рассматриваема как классификация кубических колец по квадратичным областям, во-
вторых, геометризирована и, в-третьих, обобщена на области высших порядков.^
Б. А. Венков впоследствии [6] переизложил классификацию Эйзенштейна на.
язык теории алгебраических чисел, а О. К. Житомирский [24] закончил ее
геометризацию, а именно, указал как надо выбирать оси в пространстве проек-
проекции, и после этого мне удалось уже 'сообразить, в чем состоит обЬфщение
этой теории на области 4-й степени. Подробно обобщение на области 4-й степени
проделал Д. К. Фаддеев [59]. В настоящее время я и Фаддеев [62] строим
эту теорию для полей любой степени. Если считать прямою задачею теории
Галуа нахождение всех алгебраических свойств заданного поля в зависимости
от его группы Галуа, а обратного — нахождение по данной группе всех полей,
имеющих ее своей группой Галуа, то излагаемая в §§ 42—53 теория является
полным решением обратной задачи теории Галуа для полей 3-й и 4-й степеней.
Мы приводим здесь эту теорию (в весьма тщательной и подробной обработке
Фаддеева) и для полей 4-й степени, так как их классификация основана на
рассмотрении полей 3-й степени, и даже, что весьма любопытно, на рассмот-
рассмотрении общих трехмерных решеток, повторяющихся умножением (т. е'. также
и нриводимых), и их побочных решеток.
о ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава IV посвящена алгорифму Вороного для вычисления автоморфизмов
умножения полей 3-й степени. Сначала мы думали дать все существующие для
этой цели алгорифмы: Золотарева [25], Минковского [33], Шарва (Charve) [67];
Вороного [9], Бервика [5] и Успенского [55], однако затем предпочли изложить
только алгорифм Вороного, как являющийся самым глубоким. Случай D>0
обработан Д. К. Фаддеевым, а случай D<^0 мною (см. также мою замет-
заметку [16]). В § 64 дана (усовершенствованная Д. К. Фаддеевым) переработка
алгорифма Вороного для D<^0, предложенная мною на съезде в Харькове,
такая, что приходится вычислять только с целыми рациональными числами.
Должен сказать, что Д. К. исключительно изящно усовершенствовал мои вы-
вычисления, заметив, что лучше всего преобразовывать параллельно данную трой-
тройничную кубическую разложимую форму и ей полярную. Он же ввел треуголь-
треугольный символ для тройничной кубической разложимой формы.
Глава V содержит изложение теоремы Туэ. Основные мысли изложения,
данного в §§ 65, 66, 68, принадлежат В. А. Тартаковскому (см. [17]),
ему же принадлежит термин: „заградительный ряд". § 69 и приводимый в ием
результат принадлежат В. А. Тартаковскому; этот результат, существенно до-
дополняющий результат Туэ, до сих пор не был опубликован.
В § 70 дан результат Зигеля [46], полученный им из соображений, близких
к соображению Туэ, -в оригинальной переработке Фаддеева, носящей геометри-
геометрический и значительно более элементарный характер (не используются гипергео-
гипергеометрические разложения и связанные с ними оценки). Более тщательное прове-
проведение оценок позволило дать несколько более сильный результат: 15 решений
вместо 18. Этот результат является обобщением моей теоремы § 75 на случай
положительного дискриминанта. Надо думать, что граница 18 по Зигелю или
15 по Фаддееву для числа решений — ие точная (моя граница 5 для случая
отрицательного дискриминанта — точная).
Глава VI заключает в первой своей части, в §§ 71, 75, 76, мои исследова-
исследования [11—14] о представлении чисел кубическими двойничными формами отрица-
отрицательного определителя и (в конце § 75) добавление Нагеля [42] к моей работе[12],
а в §§ 72, 73, 74— продолжения моего исследования [11], данные Д. К. Фаддеевым
[57, 61]; теорема Нагеля [40] содержится в этих исследованиях как частиый случай.
Во второй части главы VI помещено доказательство основной теоремы Морделля,
данное Д. Вейлем (Andre Weil). [7], и исследования Д. К. Фадлеева [58] об
уравнении х8 -{-у3 = Az8.
Термином „поле" мы обозначаем везде конечное алгебраическое расширение
поля рациональных чисел. С точки зрения решеток, повторяющихся умножением,
рассматриваемых в главе I, поле представляет собою совокупность одноименных
координат всех точек некоторой неприводимой решетки, повторяющейся умно-
умножением, и этих же координат частных, получающихся от деления ее точек
друг на друга. Аналогичную совокупность координат в том случае, если ре-
решетка, повторяющаяся умножением, может быть и приводима, мы называем
„областью". -
Б. Делоне
ЛИТЕРАТУРА
1. Arndt. Versuch einer Theorie der horaogenen Functionen des dritten Grades mit
zwei Variabeln. Archiv d. Math, und Phys., 17. 1851.
2. — Untersuchungen fiber die Anzahl der cubischen Kiassen, welche zu einer deter-
minierenden quadratischen Klasse gehOren. Archiv d. Math, und Phys., 19, 1852.
3. — Tabellarische Berechnung der reducierten binaren kubischen Formen und (Classi-
(Classification derselben. Archiv d. Math, und Phys., 31, 1858.
4. — Zur Theorie der binaren kubischen Formen. Journ. f. Math., 53, 1857.
5. Berwick. An algorithm for finding units in cubic fields of negative discriminant
Proc. of the London Math. Soc, 1913.
6. В е и к о в. Классификация кубических областей по квадратичным. Труды II Все-
Всесоюзного съезда математиков в Ленинграде в 1934 г.
7. Weil.A. Sur un theoreme de Mordell. Bull. Scl. Math'., 2 Ser., t'54, 1930.
8. Вороной. О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения
3-ей степени. СПб. 1894.
9. — Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава, 1896.
10. Dedekind. Ueber reine cubische KOrper. Journ. f. Math., 121, 1900.
11. Делоне. Решение неопределенного уравнения X3q 4- У3=1. Изв. Ак. Наук 1922.
12. — О числе представлений числа кубической двойиичиой формой отрицательного
определителя. Изв. Ак. Наук 1922.
13. — Math. Z. Bd. 28 и 31, перевод работ 11 и 12.
14. — Ueber den Algorithraus der Erhohung. Журн. Леи. М. О. 1927.
15. — Решение задачи эквивалеитиости и табуляризация кубических двойничных форм
отрицательного определителя. Журн. Леи. М. О. 1926.
16. — Interpretation geometrique de la generalisation de ralgorlthrae des fractions con-
continues donne par Voronol. С R. 1923.
17. — О неопределенных уравнениях. Труды Всеросс. съезда мат. в Москве в 1927 г.
18. — Таблица чисто вещественных областей 4-го порядка совместно с И. Со-
минским и К. Биллевичем. Изв. А к. Наук 1935.
19. — К геометрии теории Галуа. Юбилейный сборник Граве 1939.
20. Eisenstein. Theoreme sur les formes cubiques... Crelle 27, 1844.
21. — Untersuchungen fiber die cubischen Formen mit zwei Variabeln. Crelle, 27, 1844.
22. — Eigenschaft der Ansdrttcke, welche bei der Anflesung cnbischer Gleichnngen
erscheinen. Crelle 27, 1844.
23. — Allgemeine Untersuchungen fiber die Formen dritten Grades mit drei Variabeln,
welche der Kreisteilnng ihre Entstehnng verdanken. Crelle, 28, 1844.
24. Житомирский. Sur la classification des formes cubiques. Изв. Ак. Наук, 1935.
25. Золотарев. Об одиом неопределеииом уравнении 3-й степени. СПб. 1869.
26. — Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному исчислению.
СПб. 1874.
27. Klein. Ansgewahlte Kapiteln der Zahlentheorie. Литограф, лекц. Gettingen 1896.
28. Levi F. Kubische ZahlkOrper nnd binare kubische Formenklassen. Berichte der
Sachsischen Ges. d. Wiss. Bd. 66, 1914.
29. Марков. Snr les nombres entiers dependants d'nne racine cublqne d'nn nombre
entier ordinaire. Mem. de l'Acad. de St. Petersbourg VII ser. t. 38.
30. Ma thews a. Berwick. On the reduction of arithmetical binary cubics which
have a negative determinant. Proc. London. Math. Soc. 10, 1912.
31. — On the reduction and classification of binary cubics which have a negative de-
determinant Proc. London Math. Soc 10, 1912.
32. Minkowski. Diophantische Approximationen. 1905.
33. — Zur Theorie der Kettenbrttche. Ges. Abh. u. Ann. de l'Ecole Norraale superieure.
a ser., t XIII.
34. Mordell. Note on the integer solutions of the eqnation Еу*—Ах3+Вх2+Сх+О.
Messenger of Math., vol. 51, 1922.
35.— On the integer solntions of the equation ey* = ax* + bx*-\- сх -f- d. Proc. London
Math. Soc, vol. 2r, 1922.
8 ЛИТЕРАТУРА
36. Mo rd ell. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third
and fourth degrees. Proc. Cambridge Philos. Soc, vol. 21, 1922.
37. — Indeterminate equations of the thira degree. Science Progress London, 1923.
38. N age 11. Vollstandige LOsung einiger unbestimmten Gleicnungen dritten Grades.
Skrifter Videnskapsselskapet, Cristiania, 1922.
39. — Ueber die Einheiten in reinen kubischen Zahlkarpern. Ibid. 1923.
40. — Solution complete de quelques equations cubiques a deux indeterminees. Journ.
de Math., 9 $er., t. 4, 1925.
41. — Ueber einige kubische Gleichungen rait zwei Unbestiraraten. Math. Z. 24, 1925.
42. — Darstellung ganzer Zahlen durch binare kubische Formen mit negativer Diskrimi-
nante. Math. Z. 28, 1928.
43. — Zur Theorie der kubischen Irrationalitaten. Acta Math. 55, 1930.
44. — L'analyse indeterrainee de degre superieur. Memorial des Sciences Matheraa-
tiques, fasc. XXXIX, 1929.
45. Reid. Tafel der Klassenzahlen fur kubische Zahlkarper. Diss. Gattingen, 1899.
46. Siege 1. Ueber einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. der
Preuss. Akad. der Wiss. 1929.
47.— Die Gleichung ax" — byn = c. Math. Ann. 114, 1937.
48. Тартаковский. Решение уравнения x*— py* = 1- Изв. Ак. Наук 1926.
49. Т h u e. Bemerkungen Uber gewisse Naherungsbruche algebraischer Zahlen. Cristiania
Videnskabsselscabs Skrifter, 1908.
50. — Ueber rationale Annaherungswerte der reellen Wurzeln der ganzen Functionen
dritten Grades x^ — ax—b. Ibidem 1908.
51. — Om en general i store wele tal ulusbar ligning. Ibidem 1908.
52. — Ueber Annaherungswerte algebraischer Zahlen. Journ. fur Math. 135.
53. — Eine LOsung der Gleichung P(x)— Q(x) — (x—p)"-Pr(x) in ganzen Functionen
P, Q und R fur jede beliebige ganze Zahl, wenn p eine Wurzel einer beliebigen
ganzen Function bedeutet. Vidensk. Skrifter, 1909.
54. — Ein Fundaraentaltheorem zur Bestimmung von Annaherungswerten alier Wurzeln
gewisser ganzen Functionen. Journ. fur Math. 138.
55. Успенский. A method of finding unites in cubic orders of a negative discrimi-
discriminant. Trans. Amer. Math. Soc. 33, 1931.
56. Фаддеев. Табуляризация областей и колец Галуа третьего порядка. Труды Физ.-
Мат. инст. Ак. Наук СССР, т. V. 1934.
57. — Об уравнении х* — Ду*=1 (ibidem).
58. — Об уравнении х3-f-j/3 = Лг3 (ibidem).
59. — Классификация алгебраических областей четвертого порядка по их кубическим
резольвентам. Труды II Всес. съезда мат. в Ленинграде в 1934 г.
60. — Об одном свойстве группы классов идеалов областей третьей степени. Ibidem.
61. — Об одном классе неопределенных уравнений 3-й степени. Ibidem.
62. — Построение алгебраических областей, группой Галуа которых является группа
кватернионов. Уч. зап. Л. Г. У. 1937.
63. Fur t wangle r. Kubische ZahlkOrper und Zahlengitter. Diss. Gottingen.
64. H a s s e. Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkarper auf klassenkOrpertheore-
tischer Grundlage. Math. Z. 31, 1930.
65. Чеботарев. Основы теории Галуа I и II.
66. — Задача, обратная задаче Чирнгаузена. Вестн. чист, и прикл. знан. Одесса 1922.
67. Charve. De la reduction des formes quadratiques ternaires positives et de son
application aux irrationnelles du 3-me degre (Ann. Sc. de 1 Ecole Norm. Sup.,
supplement au t. 9 B serie) 1880.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие з
Литература 7
Глава I
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
§ 1. Решетки в К„, повторяющиеся умножением 13
§ 2. Теорема о существовании бесконечного числа максимальных неприводимых
решеток любого данного измерения л > 1 и данной сигнатуры t..... 21
§ 3. Геометрия теории Галуа 26
§ 4. Автоморфизмы умножения (единицы) решеток в К„ 31
§ 5. Идеалы максимальной решетки, группа их классов, однозначность раз-
разложения 37
§ 6. Основная фигура, состоящая из главной решетки О и Л—1 побочных
решеток 44
§ 7. Квадратичные формы решетки в К„ 48
§ 8. Разложимые формы решетки в К„ 53
§ 9. Взаимные решетки и взаимные разложимые формы 57
ПРИЛОЖЕНИЕ. Некоторые вспомогательные леммы о решетках в веществен-
вещественном эвклидовом пространстве 63-
Глава II
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
§ 10. Кубическое поле, преобразование Чирнгаузена, целые числа поля ... 69-
§11. Действия сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в сте-
степень и извлечения корня для чисел кубического поля и вычисление их
нормы и дискриминанта 71
§ 12. Дробнолинейное представление чисел кубического поля 77
§ 13. Решение задачи, обратной задаче Чирнгаузеиа, для двух кубических
уравнений 78
§ 14 Базис целых чисел поля • . . 80
§ 15. Связь между кубическими кольцами и классами неприводимых кубических
двойничных форм .... . 83-
§ 16. Решение задачи эквивалентности для двух целочисленных неприводимых
кубических двойничных форм 87
§ 17. Вычисление базиса кубического поля по Вороному 88
§ 18. Разложение рациональных простых чисел на простые идеалы в кубическом
поле 91
§ 19. Разложение рациональных простых чисел на простые идеалы в любой
максимальной трехмерной решетке 98
§ 20. Теорема о дискриминанте поля 99
§ 21. Дальнейшие теоремы о разложении рациональных простых чисел па про-
простые идеалы в кубическом поле 100
§ 22. Определение группы классов идеалов кубического поля 101
§ 23. Различные формы, связанные с кубическим полем 103
§ 24. Кубические циклические поля 105
§ 25. Чисто кубические поля 108
Таблицы Reid'a и Дедекинда П2"
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ 3-й И 4-й СТЕПЕНИ
Стр.
A. Т а бу л яриз а ц и я по_л ей_ 3-й степен и 116
§ 26. Система IF и сетки Щ,, Wl для л = 3, т = 0.1 116
§ 27. Выключение приводимых точек в обоих случаях 119
§ 28. Ограничение для д и л при данном s и L 121
§ 29. Нахождение 3-го числа базиса для каждой из пойманных точек ..... 123
§ 30. Таблица действий 124
Таблица всех кубических решеток с т = 0 для всех ?)< 1296 125
Таблицы всех кубических решеток с т=1 для всех |?>|<1000 .... -126
§ 31. Непосредственная табуляризация кубических цикличэскнх максимальных
решеток 125
Б. Некоторые геометрические теоремы 130
§ 32. Геометрия кубической двойничной формы и ее ковариантов 130
§ 33. Теория приведения кубической двойничной формы 135
§ 34. Двойничные кубические формы, как нормы 136
§ 35. Оценка минимума кубической двойничной формы 137
§ 36. Одна теорема Тартаковского 141
B. Табуляризация поле й_4-й_с т е п е и и 143
§ 37. Система W й сетки Wq, Wv W2 для л = 4, т = 0 143
§ 38. Выключение приводимых точек : 145
§ 39. Ограничение коэффициентов р, q, л при данных s к L 146
§ 40. Проектирование параллельно квадратичному под полю . . . • 148
§ 41. Таблица действий 153
Таблица полей 4-й степени с т==0 для всех ?>5g8112. . . • 155
Таблица полей 4-й степени с;-1 для всех \ D | sg 848 . . • 156
Таблица полей 4-й степени, имеющих квадратичное подполе с х= 2 для
всех D < 1296 156
Г. Построение кубических областей по квадратичным . . 157
§ 42. Опираиие кубических областей иа квадратичные • 157
§ 43. Некоторые теоремы о проекциях кубических чисел 158
§ 44. Свойства проекции максимальной кубической решетки 161
§ 45. Построение максимальных кубических решеток 164
§ 46. Некоторые свойства дискриминантов кубических полей 168
Примеры • . . 168
Д. Построение областейчетвертого порядка по кубическим 170
§ 47. Опирание областей четвертого порядка иа кубические 170
§ 48. Некоторые теоремы о проекциях чисел четвертого порядка 172
¦§ 49. Решение задачи, обратной задаче Чирнгаузеиа, для двух уравнений 4-й
степени 174
§ 50. Свойства проекции максимальной решетки 4-го порядка 175
§ 51. Построение максимальных решеток 4-го порядка по решеткам L . . . . 176
§ 52. Структура области 4-го порядка и кубической области, на которую она
опирается, в зависимости от группы Галуа 130
§ 53. Другой способ иостроеиия областей четвертого порядка с группами
®; в, 25 Г • ... • 185
Глава IV
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
А. Случай О>0 189
§ 54. Цепочки относительных минимумов 189
§ 55. Теорема о параллельных цепочках 192
§ 56. Теоремы о цепочках разных направлений 194
§ 57. Решение задачи о подобии Двух решеток 196
§ 58. Разыскание основных автоморфизмов умножения решетки 193
¦§ 59. Алгорифм для разыскания относительного минимума, смежного с данным 200'
Пример 206
Б. С л у ч а й D < 0 208
§ 60. Теорема Вороного о соседнем относительном минимуме 208
§ 61. Алгорифм для разыскания относительного минимума, смежного с данным 215
ОГЛАВЛЕНИЕ 11
Стр.
§ 62. Решение задачи подобия для двух решеток 218
§ 63. Разыскание основного автоморфизма умножения решетки 218
Пример 219
§ 64. Алгорифм для D < 0, основанный на параллельном преобразовании разло-
разложимой формы решетки и ей полярной формы 221
Пример 225
Таблица основных единиц для всех кубических колец с.т=1 для
всех | D | s? 379 230
Таблица единиц для всех чисто кубических полей Q j/a для всех я «s 70 231
Г л а в а V
ТЕОРЕМА ТУЭ •
§ 65. Гипербола Лиувилля и гипербола Туэ 233
§ 66. Заградительный ряд и гипербола В 235
§ 67. Две леммы Туэ 236
§ 68. Вывод из этих лемм существования гиперболы В 239
§ 69. Об ограничении методом Туэ самых решений, по Тартаковскому .... 240
§ 70. Улучшение теоремы Зигеля о числе решений неравенства |/(л", y)|^ft 246
Глава VI
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ С ДВУМ Л
НЕИЗВЕСТНЫМИ
А. Решение в целых числах 260
§ 71. Решение неопределенного уравнения aXJ-\-Ya=l 261
§ 72. Обобщение метода § 71 на уравнение / (A", Y) = 27 267
§ 73. Дальнейшее. обобщение метода §71 273
§ 74. Обобщение метода § 71 иа уравнение х* — Ау*—-ц1 281
§ 75. О числе представлений числа неприводимой кубической двойничной фор-
мой отрицательного определителя 289
§ 76. Дальнейшие исследования об алгорифме повышения 306
§ 77. О целых кубических уравнениях с данным дискриминантом 313
§ 78. Об уравнении СП> — Vi = k 314
Таблица всех решений всех уравнений вида (а, Ь, с, d)=l для всех
— 300^ D< 0 317
Таблица представителей всех параллелей целых уравнений с —172^О<0 318
Б. Решение в дробных числах 318
§ 79. О рациональных точках на кривой 3-го порядка 318
§ 80. Бирациональное преобразование 321
§ 81. Доказательство теоремы Морделля, данное А. Ввйлем 324
§ 82. Об уравнении х*>-{-у$ = Аг* 331
Таблица основных решений уравнений х* +- у3 = Аг3 для всех А =^ 50 340
ПРИЛОЖЕНИЕ. Чертежи сеток W~h >У7для п = 3 и т = 0, 1 341
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
§ 1. Решетки в га-мерном комплексном пространстве,
повторяющиеся умножением
Мы будем рассматривать я-мерное комплексное пространство Кп, т. е. будем
считать точкой систему любых п комплексных чисел д?A), xi2\..., xin\
которые будем называть координатами этой точки, причем номера координат
мы везде будем обозначать верхними значками в скобочках. Самую же эту
точку будем кратко обозначать той же буквой без верхних знаков. Пусть
<0j, оJ» • • •» юв представляют п точек Кп, комплексно некомпланарных с началом,
т. е. определитель из их координат • " 4
„,B)
не равен нулю. Условимся называть суммой, разностью, произведе-
произведением и частным двух точек пространства Кпточку, каждая из координат ко-
которой есть сумма, разность, произведение или частное соответственных координат
обеих рассматриваемых точек. Мы будем называть л-мерной решеткой в Кп, или
просто решеткой в Кп, совокупность всех точек вида м,а), -j- и2оJ -(-...-(- ипшп,
где «j, м2, ...,ип — все возможные системы л целых рациональных чисел, т. е.
совокупность всех точек К„, получающихся сложением и вычитанием из точек
сог, а>2, ..., сол. Самую решетку эту мы будем обозначать [cOj, сог, ..., conj или
[a>J и называть alt о>2, ..., соп ее б а з и с о м, или ее основным л-в екторником.
Бывают, оказывается, решетки, которые повторяются умножением, т. е.
имеют то свойство, что .произведение любых двух точек такой решетки есть
опять точка этой же редцеткн. Целью настоящей главы является построение
полной теории таких решеток.
Основными пунктами этой теории будут следующие. В настоящем пара-
параграфе мы покажем, что всякая такая решетка может быть дополнена до неко-
некоторой максимальной, т. е.такой решетки, которая дальше не может уже быть
сгущена при условии сохранения свойства повторяться умножением; затем мы
покажем, что всякая максимальная решетка либо сама неприводима, либо есть
прямая сумма таких неприводимых решеток, каждая из которых уже не может
быть дальше упрощена. В § 2 мы покажем, что для всякого числа измерений
л н всякой сигнатуры т существует бесконечно много различных неприводимых
решеток. В § 3 мы построим теорию Галуа таких решеток. В § 4 рассмотрим
теорию автоморфизмов умножения для произвольных решеток в Кп, т. е.
существуют ли такие точки в К, и каковы такие точки, после умножения на
которые некоторой решетки в Ка решетка эта* совмещается сама с собою.
В §§ 5 и 6 мы построим теорию идеалов решеток, повторяющихся умножением,
которая нам дальше понадобится в главе III в теории классификации полей
14 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
3-й и 4-й степени. В §§ 7, 8 и 9 мы рассмотрим разные формы, связанные
с такими решетками. 1
Точку пространства К„, никакие две из координат которой ие равны друг
другу и у которой нет координат, равных нулю, мы будем называть точкой
общего положения в К„.
Лемма 1. Во всякой решетке, построенной на п комплексно неком-
некомпланарных векторах Кп. существуют точки общего положения.
Действительно, рассмотрим точку <о = и,а>, -\~и2щ -f-... -\-ип®п, построен-
построенную из ci)j, оJ, ...,а>я лексикографически, т. е. так, что целые рациональные
коэффициенты и,, и2, .. .,ип весьма быстро растут, т. е. что всякий следующий
коэффициент во много раз больше предыдущего. Рассмотрим, например, /-тую
и А-тую координаты этой точки; онн имеют вид:
2шр -\~ ... -f- una>W; ««>*= и,а>(*> -j- «
Предположим, что aW = щй; ш^^1 = е)^_1; ...; wW, =e>{'2.,1 но уже
0)(*) -ф ©JO Все /-тые н /г-тые координаты быть равны друг другу у всех л векторов
не могут, так как тогда определитель A) имел бы две одинаковые строки
и был бы, против предположения, равен нулю. Мы видим, следовательно, что
а)<*)г^=@<0) так как /-тые их слагаемые и(со<*> и и faff* у них ие равны, все
следующие за этими слагаемые у них равны нулю, а суммы им предшествую-
предшествующих во сколько угодно раз (если и{ достаточно быстро растут) меньше этих
/-тых слагаемых. Равняться нулю какая-нибудь координата точки to, например
/-тая, тоже не может, так как, если toW=O, co^1 = O ..., то будет наконец
какая-нибудь u>f>, не равная нулю, так как иначе определитель A) имел бы
строку, сплошь состоящую из нулей и должен был бы равняться нулю; но
тогда все слагаемые и'1', следующие за uplp, равны нулю, а сумма всех пре-
предыдущих во сколько угодно раз меньше этого t-тото слагаемого, н, следователь-
следовательно, координата со('> не равна нулю.
Лемма 2. Координаты точки to решетки, повторяющейся умножением
в Ка, суть все корни некоторого уравнения п-ой степени с целыми рацио-
рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Если to — точка
общего положения, то все уравнения, которым удовлетворяют координаты
других точек рассматриваемой решетки, повторяющейся умножением, полу-
получаются из уравнения, которому удовлетворяет to, при помощи рациональных
преобразований Чирнгаузена (Tschirnhausen).
В виду того, что решетка повторяется умножением, мы имеем для любой
ее точки to как общего, так н не общего положения,
«Л + • • • +ai „»«.
aMto2 -f ... -f ateton,
ti fi% 1 1 д2 2 I • ¦ • ^\ fifi д»
с целыми рациональными коэффициентами aik. (Здесь to,, to2, . ..", toa суть точки
базиса решетки.) Отсюда следует, что
ап— to, aI2, ... аХа
= 0
ая1, ая2, ... аоя —to
1 Перед чтением этой I главы надо просмотреть приложение в конце главы I,
содержащее необходимые леммы из теории вещественных решеток.
РЕШЕТКИ В л-МЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 15>
Полином F(<1>) имеет целые рациональные коэффициенты, и старший его
коэффициент равен 1. Если <о есть точка общего положения, то все ее п коор-
координат различны, и, следовательно, они суть все корни уравнения я-ой степени
/=¦((!)) = 0. Первое утверждение леммы доказано для точек общего положения.
Переходим к доказательству второго утверждения.
. Пусть <о — точка общего положения. Тогда векторы 1, со, to2, . ...о)"-1 не
компланарны, ибо определитель, составленный из их координат, есть определи-
определитель Вандермонда для координат точки <о, среди которых нет равных, и потому
неравен нулю.
Все эти векторы, кроме вектора 1, принадлежат нашей решетке, вектор'
же 1 может решетке не принадлежать. Однако он является целой частью некото-
некоторого вектора, принадлежащего решетке, например вектора, все координаты
которого равны свободному члену ая уравнения
корнем которого является <о, ибо такой вектор есть линейная комбинация
— (соя-(-а1<оя~1 -\~... +лв_1«о) с целыми коэффициентами векторов©, со2, ..., со",
заведомо принадлежащих решетке. Любой вектор со решетки есть, следдаатель-
но, некоторая линейная комбинация векторов 1, со, . ...со" с рациональными
коэффициентами, т. е. имеет вид
» = <р(со) = 6,<оя-1 -f • • • 4A-i»-tA-
Координаты вектора <п суть, следовательно, корни уравнения О(й)=0, полу-
получаемого из уравнения F(w)=0 преобразованием Чирнгаузена (р с рациональ-
рациональными коэффициентами, причем все корни преобразованного уравнения, и только
они, образуют координаты точки <о. Если &—точка общего положения, то это
уравнение не отличается от уравнения F(&) = 0 (составленного для а> так же,
как F(u>) для <о), так как оба уравнения имеют одинаковые корни. Каждую
точку необщего положения можно рассматривать как предел последовательности
точек общего положения и поэтому, из соображений непрерывности, уравнения
F(B) = 0 и G(&) = 0 также совпадают. ^
Лемма доказана полностью, ибо уравнение F(a>) имеет целые коэффициенты
и старший коэффициент его равен 1.
Введем понятие о сигнатурном пространстве. Если уравнение /7(<о) = О
имеет а вещественных корней и 2т комплексно сопряженных, то и соответствен-
соответственные координаты любой точки 5> рассматриваемой решетки вещественны и ком-
комплексно сопряженны. Таким образом, решетки, повторяющиеся в К„ умножением,
бывают I -jl -\-1 сигнатурных типов: без комплексных координат, с одной
парой комплексно сопряженных координат, с двумя парами, и т. д. Все
решетки данного сигнатурного типа, или данной сигнатуры, у которых вещест-
вещественны именно данные координаты и комплексно сопряженны именно данные
пары координат точек Ка, лежат в одном и том же .сечении" пространства Ка,
которое характеризуется вещественностью и комплексной сопряженностью
соответствующих^ координат. Это .сечение" мы будем называть сигнатурным
сечением пространства Кп- Если нумерация осей К„ выбрана так, что в рас-
рассматриваемом сигнатурном сечении вещественны первые а координат С"), ?B> .. .,
?<°> точки, а комплексно сопряженны соседние пары остальных ее п—а = 2г
координат
16 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
то всякой такой точке можно сопоставить в вещественном л-мерном простран-
пространстве Ra,T точку, с вещественными координатами ?A), ?B\ ..., ?<<»), ?<D, 7jA),
tB)> 1jB)j j ?(~)у г,(т). Вещественное пространство Rn T, так сопоставленное
рассматриваемому сигнатурному сечению пространства Кп, мы будем называть
соответствующим ему сигнатурным пространством. Переход от
сигнатурного сечения к соответствующему ему вещественному сигнатурному про-
пространству Rn^ состоит собственно в соответственном выборе осей в пространстве Кп-
А именно для этого надо оси координат, соответствующие тем о из координат
точек сигнатурного подпространства, которые вещественны, оставить теми же,
которые были в Ка, а каждую пару осей Кп, соответствующую комплексно
сопряженным координатам x^x^k\ заменить другой парой так, чтобы эти коор-
jtfft + jtf*) jcW — xW „
динаты заменялись на ^ , ——. . Сумма, разность, произведение и
частное двух точек одного и того же сигнатурного сечения пространства Кп
есть, как легко видеть, опять точка того же сигнатурного сечения. В соответ-
соответственном вещественном пространстве Rn T сложение и вычитание точек произво-
производится, очевидно, по тому же правилу, как'в Ка, а именно, просто складываются или
вычитаются соответственные координаты, т. е. сумме или разности двух точек Кп,
лежащих в этом сигнатурном сечении, будет в Rn x соответствовать точка,
координаты которой в Rn . суть просто суммы или разности соответственных
координаг складываемых точек. Точке же Кп, являющейся произведением двух
точек Кп с координатами в Ra.
c§>, :f, ..., ;<->, щ\ r$\ Q
соответствует в /?й, точка с координатами
• •- 5р^)-ч^Ч^, ^r^ + ^r^). B)
Таким образом, в зависимости от сигнатуры т способ умножения точек в Rn T
меняется.
Норма точки пространства Кп — произведение ее комплексных координат
N(m) = ci)(i).ci)B).... .о)(я) — есть, вообще говоря, комплексное число; для точки
же сигнатурного сечения норма есть число вещественное, и оно выражается
через вещественные координаты соответственной точки Rn T так:
(SO*4- г,*2*1) ... (««' + rj^I). C)
Если л произвольных точек ©j, а>2, ..., соя в АГП лежат л-мерно с началом
координат, т. е. комплексно линейно независимы, то неравный нулю определи-
определитель из их координат можно назвать комплексным "объемом параллелепипеда,
на них построенного, т. е. построенного на векторах, идущих из начала коор-
координат к этим точкам. Квадрат этого определителя называется дискриминантом
системы точек со,, со2, . .., соя пространства Кп и обозначается D[to,, а>2, .. .,©„];
это, вообще говоря, некоторое комплексное число. Если точки щ, со2, ...,шп
лежат в одном и" том же сигнатурном сечении, то мы имеем формулу D) (стр. 17),
и следовательно, если векторы, идущие в точки Wj, a>2> ••¦> *V B ^я комплек-
комплексно некомпланарны, то и соответствующие им векторы в Rn,. вещественно
некомпланарны, и обратно. В частности система точек в соответствующем /?я?т,
соответствующих точкам некоторой л-мерной решетки в К„, повторяющейся
умножением, есть, следовательно, л-мерная вещественная решетка в простран-
пространств? Rn,.
РЕШЕТКИ В Я-МЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
17
Из формулы D) мы видим, что дискриминант системы п точек Кп, лежащих
в одном и том же сигнатурном пространстве, есть вещественное число, а имен-
именно, мы имеем тогда
D[v>v <о2, ... ,<oj = (— 1)* .4* • V*, E)
где V обыкновенный объем в вещественном пространстве Rn T параллелепипеда,
построенного на векторах, идущих к соответственным точкам Rnr. Если щ,
<о8,... ,<оя точки Кп, принадлежащие одной и той же решетке, повторяющейся
в К„ умножением, то дискриминант
D
(Шд,
) . . . @<я>
F)
как целая рациональная целочисленная функция от целых алгебраических чисел,
есть целое алгебраическое число. Выражение же это, как легко видеть, есть
рациональная симметрическая комбинация от корней того уравнения с целыми
рациональными коэффициентами, которому удовлетворяет некоторая точка ©общего
положения в рассматриваемой решетке, через которую выражаются рационально
(по лемме 2) все точки (oIt <o2> • • • ><%> следовательно, оно есть рациональное число.
Таким образом дискриминант системы п некомпланарных с началом точек решетки,
повторяющейся умножением, есть отличное от нуля целое рациональное число.
Положительное — если т, соответствующее этой решетке, четное, и отрицатель-
отрицательное — если х нечетное. Причем объем параллелепипеда, построенного на этих
векторах, V= —— . Дискриминант основного параллелепипеда решетки назы-
называется дискриминантом решетки.
Лемма 3. Все точки всех решеток, повторяющихся в Кп умножением
данного сигнатурного типа, образуют в соответственном Rnz дискретную
систему точек War. Все точки всех таких решеток имеют координаты в Кп,
удовлетворяющие уравнениям я-ой степени с целыми рациональными коэффици-
коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1 (лемма 2). Мы имеем, следовательно,
для любой такой точки xW _|_*<«) -f- .. .-|_*¦<")=—ах; .. .;х^-х^ . . .*<«> =
= ±ап, где aj, а2,...ап — целые рациональные, или, если это написать через
координаты
ч> <2><> 5<1\ «> &B) BMЧ()
2 Теория иррацион. 3-й степени
18 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
этой же точки в Rax, мы получаем уравнения:
G)
т. е. все эти точки лежат в /?л. в точках пересечения дискретных семейств
поверхностей G). Мы будем обозначать эту систему точек в Rn. через Wn T.
Мы будем называть центрир овкой решетки в Ки решетку в' К„, состоящую
из всех точек центрируемой решетки плюс некоторые дальнейшие точки. К„,
которые имеют вещественные координаты относительно основного я-векторнкка
центрируемой решетки.
Мы будем называть решетку в К„, повторяющуюся умножением, макси-
максимальной, если никакая ее центрировка уже не повторяется умножением.
Лемма 4. Во всякой решетке, повторяющейся умножением, есть точка
(а, а, ... ,а), все координаты которой суть одинаковые целые рациональные
числа; если решетка максимальна, то в ней есть точка A, 1,... ,1)- Дей-
Действительно, пусть со точка решетки общего положения и тп-\-а1&п~1 -\- ...-\-
+ ля-1«о ~Ьая = 0 то уравнение с целыми рациональными коэффициентами и
старшим коэффициентом 1, которому удовлетворяют координаты этой точки
(см. лемму 2). В таком случае точка — (со"-1-а1со''~1 -f-... -(-ая_1(о) имеет все
свои координаты, равные аа. Предположим теперь, что наша решетка максимальна,
и пусть со0 какая-нибудь ее зафиксированная точка общего положения. Рассмотрим
совокупность всех точек Ка, которые получаются, если соединять сложением
и вычитанием все точки рассматриваемой решетки и точку A,1, ... ,1) сами
с собою и друг с другом. Получаемая совокупность со-|-А вся состоит из точек
той же сигнатуры, как и точки данной решетки, и если ее рассматривать в
соответственном Rn., то она состоит из точек соответственной Wa T. Но совокуп-
совокупность со-)-k, очевидно, я-мерна, так как уже совокупность со л-мерна, и повто-
повторяется сложением и вычитанием, т. е. представляет собою в вещественном про-
пространстве Rn т я-мерную решетку (см. лемму 1 „Приложения"), а следовательно,
и в К„ также представляет и-мерную решетку. Но решетка эта повторяется
умножением, так как точка
Aj)(cO2 -f *2) = COjCOg +¦ «Л + «2*1 + *Л = Ш + *А
опять вида со -]- &• Таким образом, если рассматриваемая решетка максимальна,
то она содержит точку A, 1, ... ,1).
Лемма 5. Всякая решетка, повторяющаяся умножением в f(n, есть
подрешетка некоторой и притом только одной максимальной решетки.
Всякая решетка, повторяющаяся умножением в К„, а следовательно, и всякая
ее подрешетка, принадлежит к одному определенному из возможных I -^-1 —^— 1
сигнатурных типов, по числу пар комплексно сопряженных ее координат. Весь
вопрос о том, максимальна ли данная решетка, повторяющаяся умножением в Кп,
или нет, и каковы те максимальные решетки, в которых она содержится, и содер-
содержится ли она вообще в какой-либо максимальной решетке, может быть, следова-
следовательно, рассматриваем в соответственном вещественном пространстве /?ят. Из
леммы 3 следует, что всякая решетка, повторяющаяся умножением, лежит' в не-
некоторой максимальной решетке, так как если бы можно было без конца ее
центрировать, сохраняя ее свойство повторяться умножением, то получились бы
точки Rnr, сколь угодно близкие к началу, а между тем в системе War нет точек,
отличных от начала внутри некоторого вполне определенного шара,' описанного
вокруг начала.
Остается доказать, что каждая решетка, повторяющаяся умножением, содержится
только в одной максимальной решетке.
РЕШЕТКИ В Я-МЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Допустим обратное, что некоторая решетка содержится в двух максимальна!
решетках А1 и А2'. Обе эти решетки, по лемме 4, содержат точку 1 и базисы
будут рационально выражаться один через другой, ибо базис исходной решетки^
выражается целым рациональным образом через оба эти базиса. Обозначим через
ЛГ общий знаменатель в выражении базиса решетки А2 через базис Av Если
все точки решетки 'А^ поделить на N, то получится, очевидно, новая решетка,
которую мы обозначим через -^. Решетка А% содержится, как подрешетка, в
г4 . Перемножим теперь решетки А1 и Л2, т. е. перемножим всевозможными
способами точки решетки А1 на точки решетки А2 и составим все суммы таких
результатов умножения. Получим новую точечную совокупность, ко-
которую мы обозначим А1А2. Эта совокупность, очевидно, повторяется
сложением и умножением и содержит решетки А1 и А^, ибо каждая из них
содержит точку 1. Эта совокупность дискретна, ибо она содержится в результате
умножения решетки Л, на ^. Но этот результат равен -ту-, ибо решетка А1
повторяется умножением, и, следовательно, произведение любой- точки из —
на любую точку из Ах принадлежит гг . Итак АхАг есть решетка, повторяю-
повторяющаяся умножением и содержащая в себе обе решетки Ах и А^. Следовательно,
хотя бы одна из них ие максимальна, что противоречит сделанному предположению.
Лемма доказана полностью.
Мы будем называть делителем нуля всякую точку Кп, отличную
от начала, т. е. такую, у которой не равны нулю все координаты одно-
одновременно, но среди координат которой есть координаты, равные нулю, так
как для такой точки существуют в Кп точки, отличные от начала, такие,
что от умножения этой точки на такую точку получается нуль, т. е. начало»
Таким дополнительным до нуля множителем будет всякая точка К„, у кото-
которой равны нулю все те координаты, которые у рассматриваемой точки не
равны нулю, и не равна нулю хоть одна из координат, которые у рассмат-
рассматриваемой точки равны нулю. Между прочим, надо заметить, что из теоремы,
которую мы сейчас докажем, следует, что если некоторая точка максимальной
решетки есть делитель нуля, то дополнительные до нуля к ней множители
есть и в самой этой решетке.
Решетку, повторяющуюся или не повторяющуюся умножением, не имеющую
среди своих точек делителей нуля, мы будем называть неприводимой решет-
решеткой. Неприводимые максимальные решетки играют большую роль; они являются
как бы простейшими решетками, из которых составлены все максимальные решетки.
Дело в том, что имеет место следующая основная теорема.
Теорема. Любая максимальная решетка либо сама тприводима,
либо разлагается, и притом только одним способом, в прямую сумму непри-
неприводимых максимальных решеток низших измерений, построенных на отдель-
отдельных комплексах координатных осей.
Если в рассматриваемой максимальной решетке [<о] нет делителей нуля, to
решетка неприводима.
Предположим теперь, что в рассматриваемой максимальной решетке есть
некоторый делитель нуля ф, и пусть оси К„ перенумерованы так, что п1 первых
координат под ряд фA>, фB), ... ,<]/"'> не равны нулю, а п2—п — пг остальных
ф(я1+1); ^ _ _ ,ф(я* равны нулю. Пусть Kni есть /Zj-мерное комплексное пространство,
построенное на п1 первых осях Ка, а Ка —л2-мерное, построенное на п2 осталь-
остальных. Точка ф лежит в пространстве Af . Координаты точки ф, как и всякой
точки рассматриваемой максимальной решетки [<oj, суть все корни некоторого
уравнения л-ой степени с целыми рациональными коэффициентами и старшим.
20 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
коэффициентом, равным 1, причем, так как л2 из этих координат равны нулю,
л2 младших коэффициентов этого уравнения равны нулю, а (л2 -{- 1)-й уже не
равен нулю, т. е. /ij первых координат точки ф: фA),ф*2), ,<|>("f), неравные
нулю, удовлетворяют уравнению ф*«-|-а1ф'1'~1-|- -Ьая,-1 (М"~ая. = 0 с целы-
целыми рациональными коэффициентами ар у которого апф0, и, следовательно,
точка 6 = — ф"« — а^"»-1— ... — ащ-х$, очевидно, принадлежащая рассматри-
ваемой решетке [со], имеет координаты (а, а, ... ,а, 0, 0, ... ,0/, где а = ап
— целое рациональное число. Рассмотрим совокупность точек рассматриваемой
максимальной решетки [to] вида 6-ю, где <о пробегает все точки этой решетки.
Все эти точки лежат в пространстве Кщ, причем все они, очевидно, лежат в
одном и том же сигнатурном сечении КП1, так что их можно рассматривать
в некотором одном /?nijV и уравнения, которым удовлетворяют координаты их
в К„, будут, так же как для <|>, я-го порядка с целыми рациональными коэф-
коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Все эти точки 0-ю, следовательно,
лежат в Wai v Но совокупность в • в), очевидно, повторяется сложением и вычи-
вычитанием и, следовательно (по лемме 1 „Приложения"), есть решетка в Rn , а следо-
следовательно, и решетка в Af .
Решетка эта я^мерна'в КП1, так как, если точка to — общего положения
в К„, то 6-ю— общего в К„ положения, и, следовательно, уже векторы 6-to,
F-toJ, ... .(б-ш) лежат в А*Я1 я^мерно, так как определитель из их координат
не равен нулю. Обозначим через j] точку пространства Кп, имеющую коорди-
п, п,
иаты 1, 1, ... ,1,0, 0, ... ,0. В виду того, что 6[to], как мы сейчас показали,
Oj-мерная решетка в КП1, то очевидно, что и ij[to] — также я^мерная решетка
точек в К„, а именно, решетка а~1-6[в>], где а тут мы рассматриваем как число.
Решетка !)[»] повторяется в КП1, очевидно, умножением, так как i)a>-ij(e =
P=j]u)O) = 7]O). Будем обозначать точку щ через «>. Точка & получается из
соответственной точки to, если оставить первые пх координат точки а без
изменения, а остальные я2 положить равными нулю. Точка & есть, следовательно,
ортогональная проекция точки to на координатное подпространство КП1. Мы
получили таким образом, что совокупность ортогональных проекций всех точек
to заданной решетки на подпространство К„ есть я^мерная решетка [&] в этом
подпространстве. Проекции & могут, вообще говоря, уже не быть точками
решетки [to]. Покажем, однако, что если решетка [to] максимальна, то эти про-
проекции и суть также ее точки. Действительно, рассмотрим совокупность всех
сумм н разностей точек шиш самих с собою и друг с другом. Эта совокуп-
совокупность будет, очевидно, также решеткой в К„, потому что, как все точки to, так и
все точки & можно рассматривать лежащими в /?я>т, и они во всяком случае со-
содержатся все в решетке I — I (тут а в знаменателе надо рассматривать как число).
Обозначим эту решетку [to]*. Решетка эта повторяется умножением, так как
К + й2Ж + &*) = Ш1Ш9 + Ш1й4 + <»8й2 + й2Й4.
а решетки [<о] и [ш] повторяются умножением. Если, следовательно, [<о] макси-
максимальна, то она содержит [<Ь].
Будем обозначать через 85 разность to — 5>, где to любая точка решетки
[to], а & ее ортогональная проекция на пространство Kai. Все точки 3, очевидно,
лежат в подпространстве Ка% в одном н том же сигнатурном сечении, т. е. их
можно рассматривать в соответственном вещественном пространстве /?„-,• Но
совокупность to очевидно повторяется сложением н вычитанием и, следовательно,
есть додрешетка решетки [to], а именно яа-мерная решетка, лежащая в КПл и состо-
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 21
яшая из всех тех точек [<о], у которых первые пх координат равны нулю. Оче-
Очевидно, что всякая точка [<о] имеет вид uj-f-ffi^ и обратно, т. е. что сама
решетка [<о] есть прямая сумма [®]ф[85] решеток [ш] и [3], лежащих в простран-
пространствах Ка и Кп и повторяющихся в них умножением. Решетки эти максимальны в
пространствах Kni и АГ„9, так как если бы одну из них, например [&], можно было
бы так центрировать, чтобы центрировка ее [&]* тоже повторялась в Кп умно-
умножением, то решетка [&]*©[«>] в К„ тоже повторялась бы умножением, так как
(<5j—1— ш)(шз —]— S4) s=«jj«J3 —]— &i 85 4 -|— ш„юз —|- S5?3. = SJiiuj —1—ш „З^ток как оба сред-
средние слагаемые равны нулю, а решетки [5]* и [S] повторяются умножением,
и, следовательно, [<о] не была бы максимальной.
Продолжая так же разлагать решетки [ю] и-[5], если они имеют в своих
пространствах Кп и Ка% делителей нуля, мы приходим к доказываемой теореме.
Это разложение в прямую сумму неприводимых решеток единственно, так
как если бы было одно разложение, пространства неприводимых частей которого
были бы KaiKni...Ka/tj тоу любой точки [<о] все координаты, соответствующие
каждому из этих пространств, либо одновременно не равны нулю (это будет,
если в эту точку из соответственной неприводимой части входит слагаемое,
отличное от начала), либо одновременно равны нулю (что будет, если в эту
точку из рассматриваемой неприводимой части входит слагаемое нуль), так как
точка неприводимой части, отличная от начала, не имеет ни одной координаты,
равной йулю. Предположим, что было бы другое разложение на неприводимые
части Кщ, КП1 . •. К„.- Возьмем какую-нибудь точку, принадлежащую, например,
/-той из этих неприводимых частей, и пусть одна из ее координат принадлежит
/-той неприводимой части первого разложения; тогда все координаты /-той непри-
неприводимой части первого разложения у этой точки не равны нулю, т. е. они суть
координаты рассматриваемой /-той неприводимой части второго разложения. Таким
образом, если две неприводимые части обоих разложений имеют одну общую
координату, то и все их координаты общие, т. е. сами разложения совпадают.
Таким образом теорема доказана. Для немаксимальной решетки теорема может
быть неверна.
Лемма 6. Всякая точка <о, координаты которой суть корни уравне-
уравнения п-й степени с целыми рациональными коэффициентами и старшим
коэффициентом 1, принадлежит некоторой максимальной решетке. Дей-
Действительно, если уравнение неприводимо, то решетка [1, <о, <о2,..., о"-1]
повторяется умножением; если приводимо, то прямая сумма таких решеток для
неприводимых его множителей повторяется умножением.
§ 2. О существовании бесконечного числа различных неприводимых мак-
максимальных решеток любого дайного измерения п>1н данной сигнатуры т
Начнем с вывода одной важной асимптотической формулы.
В силу леммы 3, все точки всех решеток, повторяющихся в Кп умножением,
данной сигнатуры т образуют в соответственном Rn T дискретную (не решетку)
систему точек 1F.T. Опишем в пространстве Ra>т шар радиуса г с центром
в начале и дадим асимптотическую формулу для числа Nrnz точек lFnT, лежащих
внутри такого шара в зависимости от его радиуса г. А именно, мы докажем
лемму.
Лемма. Число Nr я т выражается асимптотической формулой
Л \Л -у" I)
v т. г 2 , где у — некоторая константа, зависящая только от п их, т.е.
Nr,n,r
22 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
•
Действительно, будем называть пространство Rn T пространством корней'
алгебраических уравнений я-ой степени и сигнатуры т; рассмотрим кроме того
я-мерное вещественное пространство Ап коэффициентов всех алгебраических
уравнений л-ой степени с вещественными коэффициентами и старшим коэф-
коэффициентом, равным 1, т. е. такое пространство, в котором каждой точке сопо-
сопоставляется такое уравнение, имеющее своими коэффициентами координаты этой
точки, и обратно. Совокупность всех целочисленных (т. е. коэффициенты ко-
которых— целые рациональные числа и старшие коэффициенты которых равны
единице) уравнений л-ой степени образует в пространстве Ап коэффициентов
л-мерную решетку всех точек с целыми рациональными координатами, т. е.
решетку, основной параллелепипед котброй есть куб с ребром 1. Только часть
этой решетки дает уравнения данной сигнатуры т. Будем называть в простран-
пространстве Ап областью сигнатуры т ту область его, ограниченную известными не-
неравенствами Борхарда, в которой лежат точки, дающие уравнения данной сиг-
сигнатуры, и будем обозначать эту область через Л* .. Каждой точке пространства
А„ соответствует одно уравнение л-ой степени, и, наоборот, каждому уравнению
л-ой степени соответствует одна точка пространства Ап. Каждой точке про-
пространства Rn T соответствует одно уравнение л-ой степени сигнатуры т, но
одному такому уравнению соответствует не одна, а о!т!2т точек пространства Rn t,
так как, если условиться на осях t^, С*2* • • • С(т* откладывать вещественные
корни, а на осях ?М, J]*1', ...', $(т\ J](T' откладывать соответственно веще-
вещественные части и коэффициенты при i в парах комплексно сопряженных корней
S-j-H], ?— iij, то можно на осях С о! способами отложить о вещественных
корней, парам осей ?, т] т! способами сопоставить пары комплексно сопряжен-
сопряженных корней, и еще в каждой паре комплексно сопряженных корней выбирать
тот или иной знак для 7]. Рассмотрим в пространстве Rn t основную область
R*n _ такую, что каждому уравнению л-ой степени сигнатуры т соответствует
в этой области уже одна и только одна точка. Для этого можно, например,
условиться откладывать на оси ?(*) наибольший по численной величине корень,
на ?B^ — следующий по численной величине, и т. д., аналогично сопоставлять
J(i)) jj(i) комплексно сопряженную пару с наибольшим по численной вели-
величине ?A' и т. д. и, наконец, все q брать положительные. Очевидно, что фор-
формулы Виета
где pW рB' ... р(в) — корни, преобразуют область R*n _ пространства Rn T вза-
взаимно однозначно в области Лл, т пространства Ап, кроме точек границ этих
областей, которые, однако, для нас в дальнейшем не имеют существенного зна-
значения*.
Рассмотрим в пространстве Rn _ шар. с радиусом 1 и центром в начале
координат и назовем РA)тело, образующее общую часть этого шара н обла-
области R*n<., и пусть оно преобразуется преобразованием Виета в некоторое тело
Q*(l) пространства Ап. Обозначим через vn T объем тела Q*(l). Увеличим радиус
шара, описанного из начала в пространстве Rn т, в г раз и обозначим через
Р (г) тело, являющееся общей частью этого шара радиуса г и области /?л? -.
В виду того, что область /?„, т, как легко видеть, есть конус с вершиной в на-
начале, тело Р*(г) получается из тела Р A) гомотетией по отношению к началу
с коэффициентом г. Но такую гомотетию можно рассматривать так же как со-
совокупность равномерных растяжений по всем л осям Rn t с одним и тем же
коэффициентом г для каждой оси. В силу вида преобразования Виета, таким
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 23
растяжениям по осям Ra т с одним и тем же коэффициентом г соответствуют
растяжения по п осям А„ с коэффициентами г, г2, г3, ... , г", поэтому объем
тела Q (г), получаемого из Р (г) преобразованием Виета, равен vn Tr-r2 .. . rn =
п (я + 1) '
= vn _r 2 . При увеличении радиуса г число точек пространства Аа, соот-
соответствующих целочисленным уравнениям, лежащих в теле Q*{r), асимптотически
равно объему этого тела, так как совокупность всех точек Ап, соответствую-
соответствующих целочисленным уравнениям, представляет собою просто решетку, основной
параллелепипед которой есть куб с ребром 1.
Остаточный член этого асимптотического равенства не превосходит площади
поверхности тела Q* (г) с некоторым множителем, не зависящим от г. Площадь
поверхности тела Q* (г), в свою очередь, не превосходит площади поверх-
( + 1)
ностн тела Q*(l), умноженной на г2+3+ •" +п = г -2 . Действительно, если
мы через dP обозначим дифференциал площади поверхности тела Q* A), через dPr,
dP2, ... , dPn — его ортогональные проекции на плоскости координат и введем
аналогичные обозначения dQ, dQv ... , dQn для тела Q* (г), то будем иметь;
Очевидно, далее, что
откуда следует, что
и, следовательно,
я (я + 1)
Q<r 2 Р.
Итак, остаточный член асимптотического равенства имеет порядок г 2 ,
т. е. во всяком случае порядок остаточного члена меньше порядка главного
члена. Но число точек Ап внутри Q* (г) — тоже самое, что и число всех точек,
соответствующих целочисленным уравнениям, т. е. точек сетки W. _, лежащих
в теле Р* (г) пространства Ra T, и, следовательно, это последнее число асимпто-
асимптотически равно va xr 2
Но легко видеть, что число точек W в шаре г просто в о! т! 2Т раз
больше, чем в теле Р* (г), и, следовательно, если мы обозначим vn х о! т! 2Т =
я (я + 1)
= ve т, то число точек Wn т в шаре г асимптотически равно vB Tr 2 , что
и требовалось доказать.
Выведенная асимптотическая формула показывает, что система точек Wn T
как бы сгущается при удалении от начала в том смысле, что число точек этой
системы, лежащих в шаре, описанном из начала, растет не как объем шара,
т. е. не пропорционально г", а скорее, именно пропорционально г 2 , н, сле-
следовательно, „густота" точек W. . в шаре, т. е. отношение этого числа к объему
я (я-I)
шара, не постоянна, а растет как г 2
Используя выведенную асимптотическую формулу, легко доказать следую-
следующую основную теорему теории решеток, повторяющихся умножением.
Теорема 1. Существует бесконечно много различных неприводимых
максимальных решеток любого данного числа измерений п и данной сигна-
сигнатуры т.
24 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Для доказательства рассмотрим систему Wn r и покажем, что если из нее
выключить все точки, которые принадлежат хоть одной из приводимых макси-
максимальных решеток, входящих в ее состав, то останется система Wn<rt которая,
так же как и система Wn T, бесконечно сгущается с удалением от начала в том
смысле, что число ее точек в шаре радиуса г с центром в начале растет ско-
скорее, чем объем этого шара. Если это будет показано, то дальше рассуждение
следующее. Возьмем некоторую точку «о, из системы Wn,t; она (лемма 6)
принадлежит некоторой максимальной решетке, входящей в Wn T. Если отбро-
отбросить в WHiX все точки, принадлежащие этой неприводимой максимальной ре-
решетке, то останется система точек Wn[-., которая также бесконечно сгущается
с удалением от начала, так как решетка не сгущается, а везде одинаково густа.
Пусть со2 — какая-нибудь точка этой системы; тогда она принадлежит некоторой
второй неприводимой максимальной решетке, входящей в W^^ и уже отли-
отличающейся от сейчас рассмотренной. Если отбросить в Wn,T все точки, при-
принадлежащие либо первой, либо второй из этих двух неприводимых решеток,
то останется система W^, которая также бесконечно сгущается с удалением
от начала, и т. д. Так получается бесконечно много различных неприводимых
максимальных решеток, заключающихся в Wn т, причем таким процессом онн
получаются все.
Остается, таким образом, показать, что система Wn<T бесконечно сгущается
прн удалении от начала, и в этом все дело. Рассмотрим все те приводимые
максимальные решетки, заключающиеся в Wa T, которые имеют разбиение по
данным двум координатным подпространствам' KOi и Кп , прямая сумма кото-
которых равна К„ (т. е. /ij —|— л2 == я), причем нам безразлично, неприводимы или
приводимы составные части такой решетки, лежащие в КПг и Kv Все эти ре-
решетки входят в прямую сумму Wn^_t(J) WT> систем W* лежащих в К„ и К„
и являющихся совокупностями точек системы Wn r, лежащими в К„ и К„ •
Число точек Wn , лежащих в я^мерном шаре радиуса г (имеющем центр
в начале и получающемся в сеченнн я-мерного шара в Ra x радиуса г, имею-
имеющего центр в начале, л^мерною плоскостью Ra T, в которой лежит система
Д. (Д| + 1)
Wai т), равно Мтл =5= ущхг 2 . Число же точек системы W^Tj, лежащей
в л^-мерном шаре" радиуса г, имеющем центр в начале и .получающемся в се-
сечении л-мерного шара л2-мерною плоскостью R^ т>, в которой лежит система
п, (я. + 1)
Wna_3, равно Мтл = v^r 2 . „Произведение этих двух друг другу орто-
ортогональных шаров, /Zj-мерного и л2-мерного, радиусов г образует некоторое тело,
заключающее в себе рассматриваемый л-мерный шар радиуса г (тут под „про-
„произведением" понимается совокупность точек, являющихся концами сумм всех
возможных векторов, проведенных из начала ко всевозможным точкам .умно-
.умножаемых" шаров). Число точек прямой суммы Wa^ (J) Wn^ в этом „произве-
денни" равно Nm{ti¦ Ытл = v^v^r 2 , и следовательно, если
выбросить из л-мёрного шара ' г все те точки Wa t, которые входят в не-
неприводимые максимальные решетки, отвечающие разложению Кя = К1н@Кп,
надо из Nnn t вычесть число меньшее, чем NraiXi'Nni^c. Всех возможных пред-
представлений /(„' в виде прямой суммы двух дополнительных координатных под-
подпространств Ка и КПу — ограниченное число, причем тут придется брать только
такие разбиения, которые совместимы с рассматриваемым сигнатурным сечением,
так как координаты, соответствующие комплексно сопряженным корням, разъеди-
разъединять нельзя. Если мы вычтем из Л/^ произведения Nmiii-NnvJ соответствующие
всем этим разложениям, то разность будет даже меньше, чем число точек W ^
заключающихся в л-мерном шаре г, не принадлежащих никакой приводимой
максимальной решетке, входящей в Wnr. Посмотрим, какова эта разность.
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 25
Заметим, что если' nt -f- nt = я, то
действительно,
на 2я,я2.
Рассматриваемая разность, следовательно, имеет вид
я (я +1)
аг
где число k вычитаемых ограничено, коэффициенты а, Ьх, ... , bk постоянны,
и все показатели /га,, т2, ... меньше, чем гJ~ по крайней мере на
2 (л—1), так как, если я, и л2 — целые положительные числа и л,-|-л2 = л,
то я,я2 не меньше, чем л — 1. Отношение этого числа к объему л-мерного
шара Г,,/"", следовательно, при увеличении г бесконечно возрастает, т. е. си-
система W*n%T сгущается с удалением от начала, что и требовалось доказать.
Докажем дополнительную к теореме 1 теорему 2, принадлежащую Эрмиту.
Теорема 2. Число решеток, повторяющихся умножением, объемы v
основных параллелепипедов которых по абсолютной величине меньше задан-
заданной величины, ограничено.
Так как всякая решетка, повторяющаяся умножением, есть подрешетка не-
некоторой максимальной решетки, повторяющейся умножением, то достаточно
доказать эту теорему только для максимальных решеток. Но всякая максималь-
максимальная решетка есть прямая сумма неприводимых решеток, причем дискриминант
ее, очевидно, равен произведению дискриминантов этих неприводимых решеток,
так как за основной л-векторник рассматриваемой решетки можно взять л-век-
торник, составленный из совокупности л, векторов л1-векторника первого сла-
слагаемого, л2 векторов л2-векторника второго слагаемого и т. д.; пространства
же К„, Кщ,..., Кпк взаимно ортогональны. Достаточно, следовательно, дока-
доказать теорему только для неприводимых решеток, повторяющихся умножением,
данного сигнатурного типа. Рассмотрим параллелепипед, имеющий одну из вер-
вершин в точке пространства Rn т, л— 1 первых координат (в /?л т),.УA\.уB), ... ,
y(«-i) которой положительны и меньше -р=,ал-ая у№ положительна и столь.
велика.что произведение уМ-у&) .. ,y(*-D.y{*) больше, чем заданная величина L,
и такой, что грани его параллельны координатным плоскостям в Rn T, -а центр
ваходится в начале. Тогда параллелепипед этот есть выпуклое тело с центром
s начале, объем' которого более чем в 2я раз превосходит объем основного
параллелепипеда любой решетки в /?я т, имеющей одну из точек в начале
я объем основного параллелепипеда которой не больше L. Всякая такая ре-
решетка, по лемме „Приложения* к гл. I, имеет, следовательно, кроме начала, еще
по крайней мере две точки (симметричные относительно начала) внутри этого-
параллелепипеда. Всякая неприводимая решетка, повторяющаяся умножением
в Кп рассматриваемого .типа, объем основного параллелепипеда которой не
больше L, имеет, следовательно, по крайней мере одну точку, отличную от
начала, лежащую в этом параллелепипеде. Но так как для этой точки произ-
произведение #1>е<2) ... C(e)-EA)i -NA)l ) • • • (?(тI + Ч(т)') = =Ьал есть чел06 P*"*110-
нальное число, отличающееся от нуля, т. е. больше или равно единице по абсолют-
абсолютной величине, то л-ая координата в /?я т уже наверно больше -==., и точка эта
в К„ имеет все координаты по абсолютной величине меньшие 1 и одну (или две
комплексно сопряженные, если л-я координата есть мнимая часть комплексной
координаты) ббльшую 1, т. е. точка эта — общего положения в К„, так как
координаты всякой точки неприводимой решетки распадаются на v комплексов по i
26 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
(где 8]>1) одинаковых координат (где n = v-8), что будет доказано в следую-
следующем параграфе. Но все точки всех решеток, повторяющихся в К„ умножением,
рассматриваемого типа суть точки системы Wa ,, лежащей в соответственном
Rn T; система же эта дискретна и имеет, следовательно, лишь ограниченное
число точек в рассматриваемом параллелепипеде. Если же две решетки, по-
повторяющиеся умножением, имеют общую точку ю общего положения, то они
имеют и общую я-мерную подрешетку, например построенную на векторах
со, со2, ... , со". Но всех вообще различных центрировок такой решетки, состав-
составленных из точек дискретной системы Wn ,, — ограниченное число.
§ 3. Геометрия теории Галуа
1. Максимальные нодрешетки максимальной решетки
Разобьем все я осей Кп на v комплексов, не имеющих между собою общих
осей, так чтобы в каждом из этих комплексов было по одному и тому же
числу Ь осей, и приравняем для каждого из этих комплексов между собою
координаты, соответствующие осям, заключающимся в этом комплексе. Так
получается система уравнений, определяющая линейное v-мерное подпростран-
подпространство пространства К„, которое мы будем называть v-мерной биссектрисой
пространства Кп, или, скорее, выбранной системы осей пространства К„. Если
п — простое число, Кп имеет только одну одномерную биссектрису xW = л<2' =
.==... = xW; если же л —не простое, то есть биссектрисы, измерения v кото-
которых— любые делители л, причем если v — делитель л, то биссектрис
такого измерения v столько, сколькими разными способами можно разбить л
координат на v комплексов по 8 координат. Если для такого разбиения полагать
координаты каждого одного из таких комплексов равными между собою, а
координаты всех остальных, комплексов этого разбиения равными нулю, то
получится v одномерных прямых в Кп, которые, как легко видеть, ортогональны
друг другу. Мы будем называть эти прямые осями соответственной биссектрисы.
Если подрешетка О, измерения v (низшего чем л) л-мерной максимальной
решетки О в К„ повторяется в Кп умножением и не может быть так
центрирована, чтобы центрировка [она будет, по самому определению центриров-
центрировки (см. стр. 18), также v-того измерения] также повторялась в АГ„ умноже-
умножением, то Ог называется максимальной подрешеткой.
Теорема 1. Измерение v максимальной подрешетки Ох неприводи-
неприводимой максимальной п-мерной решетки О может быть только делителем п,
причем такая максимальная подрешетка есть '/-мерная совокупность всех
точек решетки О, лежащих в некоторой v-мерной биссектрисе, и наобо-
наоборот, если решетка О имеет v-мерную совокупность точек, лежащую
в некоторой '/-мерной биссектрисе, то совокупность эта есть ее '/-мерная
максимальная подрешетка. Такая максимальная подрешетка, — если ее
рассматривать в пространстве биссектрисы и принять за оси в нем оси
биссектрисы, а за масштабную единицу на осях |/Т, где v- 8 = л, — есть
'/-Лерная максимальная решетка в этих осях. х
Рассмотрим любую точку « неприводимой максимальной решетки; коорди-
координаты фМ, в)B',..., @<л) этой точки суть корни уравнения л-ой степени/(дг) = О
с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1.
Покажем, что это уравнение либо неприводимо, либо является степенью
неприводимого уравнения. Т. е. что любая точка неприводимой решетки яв-
является или точкой общего положения или точкой некоторой биссектрисы.
Действительно, если /(*) = g, (x) ¦ g2 (x) ¦... • gk (x), где g1 (x), g2 (х),..., gk (x)
неприводимы, и gx (дг) — неприводимый множитель наинизшей степени (если
¦степени этих множителей не одинаковы), то рассмотрим точку 0 = ?-,((о), т.е.
точку с координатами gi(e>A)), gj (co^2>),..., gx (co(*>). Тогда координаты 6, со-
соответствующие тем (i)W, которые суть корни gx (x), равны нулю, а так как
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ГАЛУА 27
решетка предположена неприводимой (не имеющей делителей нуля), то эта
точка 0 есть начало координат, т. е. и все остальные координаты ее равны нулю;
другими словами, корни всех остальных неприводимых множителей g2 (х),...,
Sk (•*) СУТЬ корни gt (х). Но неприводимое уравнение не имеет кратных корней,
и следовательно, во-первых, степени всех g совпадают со степенью v первого
множителя g1 и, во-вторых, и сами g совпадают с gx.
Пусть теперь О, — некоторая подрешетка решетки О. О1 не может иметь
точки общего в Ка положения, т. е. все п координат которой были бы
различны, так как тогда (см. стр. 15) Ох была бы, против предположения,
л-мерна. Все точки Ох суть, следовательно, точки некоторых биссектрис.
Пусть (Oj — некоторая точка подрешетки Ov имеюшая наинизшие кратности 8
своих координат в К„1 в силу сказанного 8j =^= 1 •.
Рассмотрим любую другую точку «92 решетки Ох\ у этой точки должны быть
равны друг другу те координаты, которые равны друг другу у е>х, так как
иначе у точки q-^i -\- со2, где q — очень большое целое рациональное число,
было бы еще больше неравных друг другу координат, чем у со,, так как ко-
координаты того комплекса, в котором они равны у @1; но не равны у вJ, стали
бы не равны, а координаты разных комплексов и>1 остались бы не равны, так
как их разности по абсолютной величине были бы больше любой разности
координат со2.
Итак, все точки подрешетки О, лежат в биссектрисе, определенной точкой
@г Если, биссектриса это v-мерна, то степени точки со,, как легко видеть, лежат
в ней v-мерно. Рассмотрим совокупность всех точек л-мерной максимальной
решетки О, которые лежат в этой биссектрисе; эта совокупность представляет
собою, как легко видеть, переходя в сигнатурное пространство О, v-мерную
подрешетку решетки О. Эта v-мерная подрешетка, очевидно, повторяется умно-
умножением, так как,, с одной стороны, произведение любых двух ее точек есть
опять точка решетки О и, с другой стороны, произведение любых двух точек
некоторой биссектрисы, очевидно, лежит в этой же биссектрисе. Если О,
максимальна, то она, следовательно, совпадает с этой решеткой. Последнее
утверждение теоремы следует из того, что в осях биссектрисы, если на них
взять за масштабную единицу |/^, решетка О будет неприводимого v-мерною
максимальною решеткою, повторяющейся в этих осях умножением, (т. е. со-
совокупностью всех целых точек некоторого алгебраического поля v-того порядка).
2. Нормальные решетки
Мы будем называть осеподстановкой Кп всякое ортогональное преобра-
преобразование 1-го нли 2-го рода пространства Кп, оставляющее начало на месте, при
котором совмещается с собою совокупность положительных координатных полу-
полуосей Кп. Осеподстановку, после которой решетка О совмещается с собою, мы
будем называть осеподстановкой этой решетки в себя. Легко видеть, что у
неприводимой л-мерной решетки не может быть больше, чем п осеподстановок
в себя. Действительно, пусть соО, <&№,..., а^ — координаты какой-нибудь
точки этой решетки общего положения; тогда координаты тех точек, в которые
эта' точка перейдет осеподстановками, те же числа, но в другом порядке.
Никакие две различные осе подстановки не могут привести эту точку в одно
и то же место, так как точка эта — общего положения и, следовательно, не
имеет одинаковых координат, а различные подстановки по крайней мере две
оси переставляют на разные места. Если бы осеподстановок, преобразующих
.данную решетку в себя, было больше чем п, то было бы две различных точки
в этой решетке, которые имели бы одинаковые, например 1-ые, координаты,
но тогда разность этих точек, будучи отлична от начала, имела бы 1-ую ко-
координату равную нулю, т. е. была бы делителем нуля, и решетка не могла
бы быть неприводимой. Неприводимую максимальную решетку, которая имеет
ровно п осеподстановок в себя, мы будем называть нормальной.
28 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Теорема 2. Всякая неприводимая максимальная п-мерная решетка Q,
повторяющаяся в Ка умножением, есть либо нормальная решетка, либо
максимальная подрешетка низшего измерения некоторой нормальной
т-мерной решетки, где т — целое, кратное п.
Для доказательства построим сначала некоторую вспомогательную я!-мерную
решетку Л следующим образом. Напишем рядом колонки номеров 1,2, ...,я
координат точек XI во всех возможных п\ расположениях и рассмотрим полу-
получающуюся прямоугольную матрицу этих номеров:
1 1 п )
2 2 . . . л—1
\ С) ¦
л—1 л 2 |
л л— 1 1 j
Каждая из ее строчек будет характеризовать свою л-мерную биссекториальную
плоскость пространства Kni • Эта матрица (*) задает, таким образом, л вполне
определенных я-мерных биссекториальных плоскостей в Kni ¦ Рассмотрим в Kni
точки, координаты которых будут соответствовать строчкам матрицы (*), вы-
выписанным по порядку для всех точек Q. Так, получатся в рассматриваемых п
биссекториальных плоскостях Kni решетки Qlf Q2,..., QB, подобные решетке Q,
но в г/ — раз большие ее. Рассмотрим совокупность Л* всех точек Kni.
V п
которые получаются, если всеми возможными способами соединять при помощи
сложения, вычитания и умножения все точки всех этих я решеток. Если
Q(i); QB)t ... j Q(n) — координаты в К„ какой-нибудь точки Q общего в Ка положе-
положения, то любая точка л* имеет своей первою координатой Ф (б^1', ?2\ ..., в(">),
где Ф — некоторая целая рациональная функция от б*1*, 0B),... ,д(л) (может
быть, и с дробными коэффициентами, так как координаты некоторых точек Q
могут выражаться через соответственные координаты б цело, рационально,
с дробными коэффициентами), второю координатою — ту же функцию Ф, но
от 2-го расположения №\ бB),..., б(л), б^), и т. д. Координаты любой точки
Л* суть, следовательно, в силу теоремы о симметрических функциях, корни
уравнения F(x)=Q степени л! со старшим коэффициентом 1 и рациональными
коэффициентами. Но так как корни эти получаются сложением, вычитанием
и умножением целых алгебраических чисел, коэффициенты F—целые, рацио-
рациональные. Координаты ftd), бB\'..., 0(л> распадаются иа пары комплексно со-
сопряженных и, следовательно, независимо от выбора Ф, все а! Ф будут также
распадаться на пары комплексно сопряженных, причем комплексно сопряжен-
сопряженными будут те Ф, которые получаются друг из друга перестановкой коорди-
координат 6' во всех комплексно сопряженных парах. Все точки Л* лежат, следова-
следовательно, в соответственном Wo/ т, т. е. система точек Л* дискретна. Но,
например, точка V=A1b1-\-Aib2-{-...-\-Anbtt, где bv б2,..., б„ обозначают
те точки, где окажется точка 6 решетки во вставленных решетках Щ, Q2,..., Qn,
с целыми рациональными и лексикографически выбранными Av есть точка
общего в Kni положения, так как различные ее координаты в Кп/ получатся
из Л^1'-}-ЛобBL~ • • •~Ь^о^(л)> если здесь сделать все я/ перестановок
6A\ 0B\ ..., о(я', и, следовательно система Л* л.'-мерна. В силу самого,
обцазования системы Л*, она повторяется сложением и вычитанием, т. е. являет-
является яАмерной решеткой, повторяющейся умножением в Kni •
Обозначим через Q максимальную для Л* в Kni решетку, если бы сама Л*
была не максимальна. Решетка Л* имеет я/ осеподстановок Kni» совмещающих
ее с собою, а именно те л/ осеподстановок Kni, которые соответствуют п!
перестановкам колонн матрицы (*), вызываемым всеми л/ перестановками ее
строчек, так как каждая из этих я/ осеподстановок Kni только переставляет
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ГАЛУА 29
между собою решетки Qu Q2,..., Qn, при помощи которых построена П*.
Очевидно, что эти п! осеподстановок Kni будут совмещать и Л самое с собою.
Пусть теперь Ai, А2. • • •. С1к — неприводимые части прямой, суммой кото-
которых является максимальная решетка Л, и ifM, /f ,..., Кт — координатные
пространства, в которых они лежат; покажем, что все неприводимые части
не только одного измерения, но даже просто одинаковы. Для этого возьмем
какую-нибудь из рассмотренных осеподстановок s решетки л в себя, которая
совмещает какую-нибудь координату Кт с какой-нибудь координатой некото-
некоторой другой Кт', среди п! наших осеподстановок такая осеподстановка будет,
так как есть осеподстановка, которая любую координату ставит на любое из
п! мест [иначе существовали бы две разные осеподстановки, которые одну и
ту же координату ставят иа одно и то же место, что противоречит самому
образованию этих осеподстановок перестановками строчек матрицы (*)]. В любой
точке (о решетки Л либо участвует какой-нибудь вектор, отличный от нуля
неприводимой части ?Lt, и тогда все координаты этой точки, соответствующие
Кт, не равны нулю, так как в А; только точка 0 имеет координаты в Кт.,
равные нулю, либо в точке ш не участвует вектор неприводимой части А,-,
и тогда все координаты, соответствующие Кщ, равны нулю.
Предположим, что т1 =^ тг ^ ... ^ mk; тогда подстановка s дает из точки
CLt какую-то точку ?)., одна из координат которой есть координата Кп и кото-
которая имеет m1^mt^0 координат, ио это, в силу выше сказанного о точках
Q, возможно только, если т. = т1 и если все координаты точки fli после
осеподстановки s превращаются в координаты Кт. Кроме того, мы видим,
что Л.1 после этой осеподстановки просто совмещается с Ар так как А/ есть сово-
совокупность всех точек Л, лежащих в Кт ¦ Мы видим, таким образом, что» все А,- —
одного измерения т и одинаковы. Это рассуждение также показывает, что Ai име-
имеет т осеподстановок в себя, так как если координаты Кт суть 1, 2,...,«»,, то
всякой из рассмотренных п! осеподстаиовок Л в себя, которая переставляет 1-ую
координату иа 2-е, 3-е,..., /га,-ое места, Ai, в силу сказанного выше, будет
совмещаться сама с собой. Таким образом, всякая из неприводимых частей fi
нормальна. Наконец, не трудно видеть, что Q „вставлено" в любое П{.
Действительно, пусть blt точка Qj в Q, — общего положения. Точка Qlf как
всякая точка Л, имеет вид 8n-|-0,2-|-...-j-^u> ГШ Ьи — точки в соответствен-
соответственных неприводимых частях: пусть ои не есть начало координат, тогда в А,- есть
точка 9U, причем Ьи имеет все различные координаты точки 8,, так как если
бы ее координатами были только часть различных координат точки 6Р то 6t
не могла бы быть точкой общего положения в неприводимой Q, —что и требо-
требовалось доказать. ¦
Группу О всех т осеподстановок А в себя мы будем называть груп-
группой Галуа неприводимой максимальной- решетки CL, а также группой Галуа
неприводимой максимальной решетки ?2. Нормальную решетку А мы будем
называть нормой решетки Q. В случае, когда максимальная решетка Q ие непри-
водима, все предыдущий рассуждения повторяются, и только нельзя утверждать,
что сама решетка Q будет максимальной подрешеткой нормальной неприводимой
решетки А> а можно лишь доказать, что каждая из ее неприводимых частей
будет такой подрешеткой. В этом случае, когда максимальная решетка & ие
неприводима, мы будем также называть ее группой Галуа группу О всех т
осеподстановок в себя неприводимой нормальной решетки А, составленной при
помощи Q, как это выше было сделано, когда Q предполагалась неприводимой;
самую же эту решетку А мы опять будем называть нормой решетки Q. В слу-
случае, когда Q неприводима, число измерений т решетки А есть кратное т = n-d
от числа измерений решетки Q, так как решетка й является в этом случае
подрешеткой низшего измерения решетки А, повторяющейся умножением, т. е.
30
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
имеет число измерений, равное числу измерений некоторой биссектрисы Кт'
если же Q приводима, то т может быть и не кратным п, и даже меньше п.
3. Подгруппы группы О и максимальные подрешетки
решетки Cl '
Пусть Н—некоторая подгруппа группы О порядка 3, так что т = fi3,
где ц — целое. Рассмотрим, в какие оси переходит 1-ая ось Кт при помощи
всех подстановок Н. В виду того, что группа перестановок осей 1,2 т
пространства Кт правильная, это будут различные 5 осей 1, 2,... ,Ь. Ось 2-ая
при помощи подстановок Н, следовательно, переходит тоже лишь в эти же
1-ую, 2-ую,... и т. д. до 8-ой оси. Таким образом, эти оси переходят при
помощи подстановок Н только друг в друга. Аналогично получим, если исхо-
исходить от S1 —|— 1 оси в д расположениях номеров осей Кт, соответствующих
Н, квадрат со стороной 8, составленной из номеров Ь следующих осей Кт>
переводимых подгруппой И только друг в друга, и т. д.
G I
Н
(U 2, 3.
2, ...
3, ...
. т
V. т
Очевидно, что совокупность всех подстановок, подгруппы Н оставляет на
месте те и только те точки пространства Кт, которые соответствуют ^-мер-
^-мерной биссекториальной плоскости Кт, которая получается, если приравнять
между собою координаты в отдельных квадратах подгруппы И.
Теорема 3. Всякой подгруппе Н группы G соответствует ^-мер-
^-мерная максимальная подрешетка решетки Ci> и наоборот.
Действительно, если мы возьмем любую точку Cl, сделаем над ней все Ь
осеподстановок Н и сложим все Ь получившихся точек, то получится точка Cl,
лежащая в биссекториальной плоскости, соответствующей подгруппе Н. Если
мы это сделаем для всякой точки Cl, то получим ji-мерную решетку в этой
биссекториальной плоскости, так как можно взять такие точки Cl, чтобы суммы
координат в отдельных комплексах были все различны и не равны нулю, т. е.
чтобы получилась точка общего в соответственной биссектрисе положения.
Итак, всякой подгруппе Н соответствует подрешетка, а следовательно, и макси-
максимальная подрешетка решетки Cl, повторяющаяся умножением, лежащая в бис-
биссектрисе соответствующей Н и имеющая то же измерение, что и эта биссек-
биссектриса. Измерение этой подрешетки равно индексу подгруппы И по отношению
к группе О.
Предположим теперь, что, наоборот, в нормальной решетке Cl есть ji-мерная
подрешетка й, повторяющаяся умножением, и пусть а — точка общего в ней
положения. Пусть Н—подгруппа всех подстановок О, оставляющих а на месте.
Число подстановок в Н не больше, чем Ь, так как, например, 1-ая координата
точки а может занимать после этих перестановок не более чем 8 мест, тех,
на которых координаты а равны ее 1-ой координате, а в О нет различных
подстановок, которые оставляют некоторую координату на месте. С другой
стороны, число подстановок в Н и не меньше, чем Ь, так как иначе при
АВТОМОРФИЗМЫ УМНОЖЕНИЯ 31
переставлении а всеми О мы получили бы больше, чем р. различных точек
и, например, 1-ые координаты этих точек должны были бы иметь больше,
чем ji различных значений, чего«быть не может, так как у а лишь ji различ-
различных координат. Всякая подстановка Н, таким образом, лишь переставляет коор-
координаты внутри комплексов, координаты которых равны между собою. Подре-
шетка Q, следовательно, принадлежит подгруппе Н в вышеуказанном смысле, —
чем и доказана теорема.
Посмотрим, что такое точки, которые суть делители нуля в решетке ?1?
Это суть целые рациональные соотношения между корнями, написанные в
форме Ф(дг^), х&\ ... , л;(л>) = 0, в каковой можно написать любое рацио-
рациональное соотношение между корнями. Если в Л нет делителей нуля, т. е. нет
рациональных соотношений между корнями, нарушаемых хотя бы одною из п\
подстановок, то Q— неприводимая решетка, и группа Галуа решетки Q— сим-
симметрическая.
§ 4. Автоморфизмы умножения (единицы) решеток в Ка
Если мы помножим все точки некоторой решетки « Кп на одну и ту же
совершенно произвольную зафиксированную точку ю из Ка, которая не есть
делитель нуля, то очевидно, что сумме или разности двух точек исходной
решетки будет соответствовать сумма или разность соответственных точек (т. е.
точек, подучаемых от умножения этих точек иа ю) умноженной решетки, и ком-
комплексный объем (т. е. численная величина определителя из координат в К„)
точек, получившихся из каких-нибудь п основных точек исходной решетки
умножением их на ш, будет равен соответственному комплексному объему для
исходной решетки, помноженному иа норму точки ш. Отсюда выходит, что
после умножения л-мерной решетки из К„ на некоторую точку из Кп, кото-
которая не есть делитель нуля, получается опять я-мерная решетка в К„.
Всякая точка ? в К„, после умножения на которую некоторая решетка в К„
преобразуется сама в себя, есть точка Ка, дающая автоморфизм умножения
этой решетки. Мы будем такую точку называть единицей рассматриваемой
решетки, так как всякая такая точка играет такую же роль для данной решетки,
какую играют для иее точки A, 1, ... , 1) и (— 1, —1, ... , — 1), умножение
на каждую из которых (на вторую вследствие симметрии всякой решетки в Кп
относительно точки 0), очевидно, дает автоморфизм умножения для любой ре-
решетки в Ка. Очевидно, что любой автоморфизм умножения любой решетки
в К„ не есть делитель нуля и имеет норму +1. Последнее следует из того,
что комплексные объемы всех основных параллелепипедов одной и той же
решетки в Кп отличаются множителями, равными переходным определителям от
едного параллелепипеда к другому, а определители эти равны +1; между тем
мы видели, что при умножении на точку комплексный объем параллелепипеда
умножается иа норму этой точки.
В этом параграфе мы покажем, что всякая решетка, повторяющаяся умно-
умножением, а также всякая решетка, рационально связанная с такой решеткой
(хотя бы и ие повторяющаяся умножением), вообще говоря, имеет бесконечно
много автоморфизмов умножения, отличных от 1 и — 1, и что, наоборот, если
решетка в Ка имеет такие автоморфизмы умножения общего положения, то она
есть либо решетка, повторяющаяся умножением, либо подрешетка некоторой
решетки, повторяющейся умножением, либо же получается из такой решетки
умножением на какую-нибудь точку Ка. При этом оказывается, что если ре-
решетка не максимальная, то ее автоморфизмы умножения могут ей и не при-
принадлежать.
Теорема 1. Если [a>j, ш2, ... , шв]— неприводимая максимальная ре-
решетка, и притом не первого измерения и не двухмерная комплексная
(т. е. число о-)-т—1>0), то она имеет бесконечно много автоморфиз-
автоморфизмов умножения е, которые все суть ее собственные точки и выражаются
32 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
формулой е = ?'ге1'и'.е2т». ... e^+^-i^ где е^ ^ _ ? sa+z_t — не-
некоторые, так называемые, основные автоморфизмы умножения нашей
решетки, тх, т%, .... тя+^_г — все возможные целые рациональные пока-
показатели, a Et — некоторые специальные автоморфизмы умножения нашей
решетки, в конечном числе являющиеся корнями из единицы.
Пусть М — некоторая точка в соответствующем нашей решетке Rn T. Ко-
Координаты точки М в /?вт суть С, С ... С(в), ?', *]', ?", *]" ?(т\ *](т).
Назовем положительные числа |С'|, |С| ... \&в)\, Р' = [?'2-ЬГГ21> р" —|?-Н
-)-г/'2|, ... , pw = |?'т)г -f- 7)Мг| параметрами точки М. Совокупность всех
точек Rn Tj параметры которых не больше, чем соответственные параметры
точки М, образует, в силу того, что векторная сумма выпуклых тел есть выпук-
выпуклое тело, выпуклое тело в /? с центром в начале координат. Мы будем его
называть норменным тело'м точкиМ. Для а = 3, т = 0, например, это будет
в соответственном /?3 0 прямоугольный параллелепипед, имеющий одну из своих
вершин в точке М, 'имеющий центр в начале и грани которого параллельны
координатным плоскостям. Для а = 3, т= 1 это будет прямой круговой ци-
цилиндр с центром в начале, ось которого идет по оси ?' и на окружности
одного нз оснований которого лежит точка М.
Мы будем называть точку решетки М относительным минимумом
в решетке, если она отличается.от точки 0 и внутри ее норменного тела нет другнх
точек этой решетки, кроме точки 0 в его центре. Точка 1=A, 1, ... , 1)
решетки [щ, <о2, , юП] есть ее относительный минимум, так как норма
всякой точки этой решетки есть целое рациональное число, а норма точки,
лежащей внутри норменного тела точки 1, очевидно, меньше 1 по абсолютной
величине. Норма же равна нулю только у точки 0, так как решетка
Xwj.e^, •. • , шв], как неприводимая, не имеет делителей нуля.
Покажем, что в решетке [аи ю2, ... , шл] существует бесконечный ряд
относительных минимумов, у которых один из параметров, например /г-тый, по
.абсолютной величине бесконечно возрастает с номером минимума, а остальные
все убывают с номером минимума. Такую совокупность мы будем называть
цепочкой относительных минимумов, идущей по увеличению А-того параметра.
Покажем, что для любого номера fc=l, 2, ... , а-\-х параметра имеется такая .
бесконечная цепочка. Точка 1 — относительный минимум, все параметры ее
равны 1. Не будем изменять всех параметров норменного тела точки 1, кроме
&-того, который начнем увеличивать. При этом объем тела будет расти, и, следо-
следовательно, по лемме 3 приложения (лемма Минковского), когда объем этот пере-
перерастет 2я раз взятый объем в RB основного параллелепипеда рассматриваемой
решетки, внутри этого тела будут лежать по крайней мере две точки решетки,
симметричные, друг другу относительно начала координат. Пусть <pj—одна иэ
точек первой пары таких точек, на которую, при описанном увеличении &-того
параметра норменного тела, тело это наткнется своей поверхностью, и которая
из^таких пар имеет наименьшую норму или точка одной из таких пар с наи-
наименьшей нормой, если их несколько. В виду того, что наша решетка не имеет
делителей нуля, объем норменного тела точки tpj не равен нулю, так как про-
произведение ее параметров не равно нулю, ft-тый параметр этой точки сра боль-
больше 1 по абсолютной величине, а остальные меньше 1, так как, если, не меняя
этих остальных параметров, сколь угодно мало увеличим &-тый параметр, то
точка tpj уже оказывается внутри получающегося таким образом норменного
тела. Точка ср} есть также относительный минимум, так как, если бы была
точка решетки внутри ее норменного тела, то все ее параметры были бы по
абсолютной величине меньше, чем параметры ср,, т. е. все параметры ее были
бы меньше, чем параметры точки 1, а &-тый меньше, чем &-тый параметр точки cpt,
и тогда tpj не была бы первой точкой решетки, на которую наткнулось бы
рассматривавшееся нами увеличивавшееся иормеиное тело. Более того, точка <рх
.даже первая точка, смежная с точкой 1 в цепочке, исходящей от точки 1 в сто-
АВТОМОРФИЗМЫ УМНОЖЕНИЯ 33
рону возрастания &-того параметра или одна из первых, если таких несколько,
т. е. первый от 1 в сторону возрастания этого &-того параметра относительный
минимум, который имеет остальные параметры, по абсолютной величине меньшие,
чем соответственные параметры точки 1.
В виду потребованной минимальности нормы точки <р1( на поверхности ее
нормеиного тела могут лежать только точки с такой же нормой, но тогда и их
параметры равны соответственным, параметрам точки tpj, так как, если бы хоть
один был меньше, то эта точка имела бы меньшую норму, чем «pj. Закрепим
теперь все параметры норменного тела точки <р15 кроме &-того, который будем
увеличивать в силу сказанного сейчас, при этом не сразу войдет то<пса решетки
в увеличивающееся норменное тело. Пусть tp?—первая точка решетки, на
которую наткнется это увеличивающееся тело. Аналогично предыдущему мы
убедимся, что <р2 — первый относительный минимум, смежный с срг в сторону
увеличения &-того параметра; и т. д. В виду возможности иа каждом теле
нескольких подходящих <р, вопрос об однозначности такого построения цепочки
остается открытым.
Легко видеть, что объем иорм'енного тела некоторой точки равен -+- 2" • я*
раз взятой норме этой точки. В виду того, что в силу упомянутой леммы Мии-
ковского объем пустого внутри выпуклого тела с центром в точке решетки
не больше, чем 2" раз взятый объем основного параллелепипеда этой решетки,
нормы всех относительных минимумов данной решетки по абсолютной величине
ограничены. Будем помножать нашу решетку [(Oj, ш2, ... , юя]. последовательно
на относительные минимумы <plt <р2, <р8, ... ; тогда, в силу того, что решетка эта
повторяется умножением, будут получаться некоторые ее подрешетки, индексы
которых ограничены. Но всех различных таких подрешеток (см. „Приложение"),
ограниченное число, и следовательно, в виду того, что относительных мини-
минимумов бесконечно много, будет содержаться среди них сколь угодно много
таких, от умножения на которые нашей решетки [«j, а»2, ..., о»я] будет полу-
получаться все одна и та же подрешетка [фр ф2, ... , фя]. Пусть, например,
<рх-[«1» «2. •. •. «п]=[ф1. Фа. • • -. Фвзи v[wi> w2. • • •. «пМтЧ. Фа. • • •. фл];
тогда ^- [ф„ ср2, .... c|>] = [e>i, св2, ... , юя], и следовательно
Мю„ ш2, ...,«J=[(ei, ш2, ... ,«„].
Таким образом, точка 6 = — есть автоморфизм умножения нашей решетки.
та
Но в нашей решетке, как в максимальной, есть точка 1, и следовательно 1 »е
есть точка нашей решетки, т. е. сама точка е есть точка нашей решетки.
Если (рх — минимум, следуюший за ср в рассматриваемой ft-цепочке, то,
в виду того, что параметры произведения или частного двух точек суть со-
соответственно произведения и частные соответственных параметров умножаемых
или делимых друг на друга точек, е имеет &-тый параметр, по абсолютной
величине больший единицы, а остальные — по абсолютной величине меньшие
единицы. Степени е, е2, е3 ... дают, следовательно, всё новые и новые автомор-
автоморфизмы, так как &-тые параметры этих степеней, с возрастанием показателя, по
абсолютной величине возрастают, а остальные убывают.
Таким образом доказано существование бесконечного числа различных авто- .
«орфизмов умножения для всякой неприводимой максимальной решетки, у ко-
которой а -\- т — 1 > 0, так как в этом случае число параметров норменного тела
точки больше 1. Если бы число этих параметров равнялось 1, что будет,
если я=1, или если л =2 и о = 1, т. е. координаты — комплексно сопряжен-
сопряженные, то нельзя было бы увеличивать норменное тело точки 1, не вводя внутрь
его самой этой точки. Когда число параметров больше 1, это можно было
сделать потому, что все параметры, кроме одного, мы оставляли постоянными,
и следовательно при этом точка 1 не становилась внутренней точкой увеличен-
увеличенного норменного тела, а оказывалась лежащей иа его поверхности.
3 Теория иррацнон. 3-й степени
34 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Всякий автоморфизм умножения (т. е. единица) нашей решетки \av ю2, ...,
юя] есть ее точка с нормой +1, так как ггри умножении на эту точку не
меняется объем основного параллелепипеда этой решетки, ибо она при этом
обращается сама в себя. Наоборот, всякая точка решетки [ю17 ю2, ... , юя],
имеющая норму 4^1, есть ее автоморфизм умножения (единица), так как от
умножения ее на эту точку, в виду того, что она повторяется умножением, мы
получаем ее подрешетку, но, в виду того, что норма этой точки есть 4-1,
индекс этой подрешетки равен 1, и, стало быть, это — вся решетка
[e>j, ш2, ... , шп]. Мы, следовательно, доказали, что в максимальной неприво-
неприводимой решьтке, если а-)-т—1>0, есть бесконечно много точек с нор-
нормой+1.
Перейдем теперь ко второй части теоремы, а именно, к вопросу об основ-
основных автоморфизмах умножения, через которые выражаются все остальные.
Заметим, во-первых, что две различные точки решетки [(Oj, ю2 , ... , юя]
могут тем не менее иногда иметь одни и те же параметры. Дело в том, что
у двух различных точек решетки [а>1, ю2, ... , юл], в силу неприводимости
решетки, т. е. отсутствия делителей нуля, не могут быть одинаковы два из
первых а параметров, т. е. две из координат, так как тогда у разности этих
точек одна из координат была бы равна нулю, без того, чтобы сама эта раз-
разность была началом координат; но два из последних т параметров, т. е. два
(и даже хотя бы все) из параметров р, могут быть одинаковыми у двух раз-
различных точек.
Таким образом, мы видим, что если а = 0, т. е. я = 2т, то в [(Oj,(o2, ... ,
юя] могут существовать различные точки, имеющие тождественные наборы
параметров р', р", ... , р"(т>. Примеры показывают, что это и бывает иногда.
Посмотрим, в каком случае при а = 0 два автоморфизма умножения нашей
решетки имеют одинаковые наборы параметров. Пусть, например, параметры
автоморфизмов ?j и s2 одинаковы, т. е. р^ = pg, р" = Рг> ••• , p(j} == р^ - Рас-
Рассмотрим точку Е = г—; она есть, очевидно, также автоморфизм умножения
нашей решетки. Все ее параметры равны 1. Таких точек Е, все параметры
которых равны 1, если они в нашей решетке и есть, то во всяком случае
в ограниченном числе, так как в Rn .они лежат на шаре S'2 -J- 7j'2 -|- S 4- J] -j-
-)-... -j-?(T'' + J]^* = т. Произведение таких двух точек Ег-Е2 есть опять
такая же точка Ев, и, следовательно, в частности 'любая степень Ет такой
точки с целым положительным показателем т есть опять такая же точка. От-
Отсюда следует, в виду конечности числа таких точек в нашей решетке, что
Ет' = Ет* при некоторых целых положительных т1 > /ге2 и, следовательно,
что ?7Я«-|Я«=1, т. е. что точки эти имеют своими координатами корни из
единицы. Мы видим, что два автоморфизма умножения нашей решетки тогда
и только тогда имеют одинаковые параметры, когда они отличаются одним
из конечного числа этих множителей Е. Среди единиц Е всегда есть еди-
единицы -\- 1 и — 1.
Рассмотрим теперь (з-{-т)-мерное вещественное пространство Ra+., причем мы
будем обозначать координаты в Ra+Z буквой у. Сопоставим всякому автомор-
автоморфизму е умножения рассматриваемой неприводимой и максимальной решетки
[av ш3, ... , е>п] точку е, координатами у, у", .. ._у<а+т> которой являются па-
параметры | С |, | С I, ... , | Сы |, р\ р", • • • р'"' этого автоморфизма е. Система
точек е лежит в /?3+. на поверхности у' -у"-... ._y(j+T) = -\- 1 и, очевидно,
повторяется умножением, если под произведением двух точек в /?а+т понимать
точку, координаты которой суть просто произведения соответственных коор-
координат умножаемых точек, так как система точек е в Rn . повторяется умноже-
умножением, а произведению двух ? соответствует произведение соответствующих е.
Рассмотрим, соответственно всем е, точки е в /?0+т, координаты которых суть
АВТОМОРФИЗМЫ УМНОЖЕНИЯ 35
логарифмы соответственных координат г. Система всех точек е лежит—ввиду
того, что произведение координат любой точки е есть -(- 1—в (о -f- т—1)-
мерной плоскости Р, проходящей через начало Ra+Z и имеющей в Rg+x урав-
уравнение^' -\~У-{-... -|~у*+т> == 0, причем точка е для ? = 1 лежит в начале
координат в плоскости Р. Произведению двух точек е соответствует сумма
двух точек s в плоскости Р, так как, когда числа перемножаются, логарифмы
их складываются; то, что система е повторяется умножением, перефразируется
на систему е так, что она повторяется сложением. Из того, что среди точек г
есть точки, у которых любой один параметр большой, а остальные малые,
следует то, что точки е лежат в плоскости Р (о -f- т—1)-мерно.
Действительно, рассмотрим, например, случай, когда плоскость Р 3-мерная,
т. е. когда а-\-т—1=3. Координатные плоскости пространства Ra+X, которое
в этом случае 4-мерно, в пересечении с Р дадут четыре двухмерные плоско-
плоскости в Р, составляющие такие углы друг с другом, какие составляют
грани правильного тетраэдра, ио проходящие через одну точку в Р, а именно,
через начало координат О. Передвинем эти плоскости весьма мало в Р
параллельно самим себе в отрицательную сторону так, чтобы вокруг
начала образовался маленький правильный тетраэдр Т, и будем обоз-
обозначать номерами 1, 2, 3, 4 трехгранные углы, вертикальные трехгранным углам
этого тетраэдра. В таком случае то, что есть точки е, у которых один, какой
угодно, из параметров большой (больше, чем 1), т. е. логарифм его больше
нуля, а остальные малые (меньше, чем 1), т. е. логарифмы их меньше нуля,
равносильно, очевидно, тому, что внутри каждого из трехгранных углов 1, 2,
3, 4 есть точки е. Надо показать, что в таком случае система точек е в Р
трехмерна. Действительно, возьмем по одной точке е,, е2, ?3, е4 внутри каж-
каждого из трехгранных углов 1, 2, 3, 4. Повернем плоскости боковых граней
тетраэдра Т вокруг ребер его основания так, чтобы оии прошли через точку е3:
получится тетраэдр Tt, содержащий тетраэдр Т внутри себя, у которого
точки е,, ?2, е8 будут попрежнему лежать внутри трехгранных углов, вер-
вертикальных трехгранным углам соответствующих его вершин, и у которого точка
е4 будет ¦ одной из его вершин. Аналогично, поворачивая плоскости граней
тетраэдра Г4, мы получим охватывающий его тетраэдр Tst, у которого уже
две из наших точек — вершины, затем такой его охватываюший( у которого трн
из наших точек суть вершины, и, наконец, такой тетраэдр ri2Sjj4 у которого
все четыре наши точки являются вершинами. Но тетраэдр Г, 2ei охватывает
все предыдущие, а следовательно и тетраэдр Т, т. е. он трехмерен, а потому
и точки Sj, е2, ?3, е4 лежат трехмерно.
Рассуждение в том случае, когда Р выше трех измерений, совершенно
аналогично. _
Система точек s дискретна, так как каждая часть логарифмического про-
пространства ограниченного диаметра есть изображение ограниченной же части
пространства Rnr, следовательно г, в силу леммы 1 „Приложения" есть(а-(-г—1)-
мерная решетка. Пусть е,, е2, .... ев+т_, — основные точки этой решетки.
Тогда любая точка е этой решетки имеет вид е = /га,е, -f- т2г2 -|- ...-}-
+ «e+T-i?,+T_i, где «j, т2, . ..,/яв+т_1 — некоторое целые рациональные
числа. _
Возвращаясь к точкам е, мы видим, что любая точка е имеет вид е==
—-1mQm2 . .."ё^'+^у1. Но, кроме того, еще надо принять во внимание, что
самое сопоставление точек е точкам е делалось с точностью до множителей Ер
т. е. что все точки е-Е{ сопоставлялись одной и той же точке в, и, следов*»
3*
36 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
тельно, общий вид точки б есть s = Ei-s^s-s^1... s™_?+2.71 . как эт0 и ут-
утверждалось в теореме. В случае если имеется хотя бы одна вещественная
координата, точки Е; суть только точки -\-\ и —1.
Теорема 2. Если [tol, ш2, ... ,шл] — приводимая максимальная решетка,
причем г. есть число ее неприводимых частей ио-(-т — х>0, то она
имеет бесконечно много автоморфизмов умножения г, которые все суть
ее собственные точки и выражаются формулой:
где показатели mx, /ra2,..., ma+z_x — все возможные целые рациональные
числа, а Е( и sk — основные автоморфизмы предыдущей теоремы для не-
неприводимых частей, дописанные единицами 1 для всех тех координат Ка,
которые не входят в данную неприводимую часть.
Действительно, как в предыдущей теореме, убеждаемся в том, что всякий
автоморфизм умножения е рассматриваемой приводимой решетки есть точка ее
с нормой единица, и обратно. Всякий такой автоморфизм, очевидно, превра-
превращает в себя любое линейное подпространство, натянутое на некоторый ком-
комплекс осей Ка, а следовательно превращает в себя отдельные неприводимые
части рассматриваемой решетки, т. е., если координаты е суть х, х', , х(п~г\
то {х, х\ ... ,д:(Я1~1)) есть автоморфизм умножения первой неприводимой
части, (хп\ хП{+1, ..., x"i+ai~b) — автоморфизм умножения второй неприводи-
неприводимой части и т. д., и обратно, если это координаты автоморфизмов умножения
отдельных неприводимых частей, то (х, х', ... , лг^"^ есть автоморфизм
умножения всей рассматриваемой решетки, так как точка эта имеет норму +1
и лежит в этой решетке. Обозначив через Ех, elt ц, ... , е +т j точки нашей
решетки, первые «j координат которых совпадают с координатами соответ-
соответственных основных автоморфизмов умножения первой неприводимой части,
а остальные п — пх координат которых равны 1 [такие точки в нашей решетке
есть, а именно они получаются, если к соответственным автоморфизмам умно-
умножения первой неприводимой части прибавлять тривиальные автоморфизмы
п% щ
умножения @0 ... О 11 ... 1 00 ... 0), @0 ... 011 ... 1 00 ,.. 0), ... @0..,
л*
...00...011...1) остальных неприводимых частей], и соответственно че-
через Е2, e(si+Ti^l)+1, ... ,S(Si+Ti_l)+(s,+tl+1) то же самое для второй неприво-
неприводимой части, и т. д., мы и получаем теорему.
Подобными мы называем две решетки в Ка, из которых одна получается
из другой умножением на точку из Кп, ие являющуюся делителем нуля.
Теорема 3. Любая решетка в Кп (п-мерная), рациональная по от-
отношению к решетке, повторяющейся умножением в Ка, или подобная та-
такой рациональной решетке, если о + т — х>0, имеет бесконечно много
автоморфизмов умножения, которые, однако, вообще говоря, уже не яв-
являются ее собственными точками.
Действительно, такая решетка отличается лишь множителем от рациональной
по отношению к некоторой максимальной решетке, с тем же о-}-т — %, а именно
той, в которой лежит рассматриваемая решетка, повторяющаяся умножением.
Будем умножать рассматриваемую решетку на все автоморфизмы умножения
этой максимальной решетки; все время будут получаться решетки подобные
рациональным по отношению к этой же максимальной решетке с тем же индек-
индексом и с тем же знаменателем, но число различных автоморфизмов умножения
рассматриваемой максимальной решетки бесконечно велико, а число различных
рациональных по отношению к ней решеток с данным знаменателем и данным
индексом (см. лемму. Щ" «Приложения") ограничено, и, следовательно, сколько
а
ИДЕАЛЫ МАКСИМАЛЬНОЙ РЕШЕТКИ, ГРУППА ИХ КЛАССОВ 3?
угодно ее автоморфизмов умножения будут давать одну и ту же такую решетку.
Частное от деления любых двух таких автоморфизмов будет давать автомор-
автоморфизм умножения заданной решетки.
Теорема 4. Если совершенно произвольная решетка {п-мерная) в Ка
имеет хоть один автоморфизм умножения е, который есть точка общего
положения в Кп. то решетка эта либо рациональна по отношению к не-
некоторой максимальной решетке, повторяющейся умножением, для кото-
которой a-f- т—х>0, либо подобна такой рациональной решетке.
Действительно, пусть е — автоморфизм умножения некоторой решетки
[и»}, ш3, ... ,шв] в Кп и точка s в Кп— общего положения. Мы имеем:
ю2е = а21ю, + а22ю2 + ... + а2вюя
где коэфициенты aik — целые рациональные. Точка е имеет, следовательно,
своими координатами (так как она общего положения, т. е. все координаты ее
различны) все корни уравнения
П S> fl12 ' ' • • > п
21 » а2 2 ?>•••> а
nV ая2 ' • • • » аап
\П
= 0
с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициеитом, равным 1.
Если точка е общего положения, то векторы 1, е, s2, ... ,ел~г лежат л-мерно
в Ка, и если (Oj не делитель нуля, что всегда можно предполагать, то век-
векторы (OjS, (OjS2, ... , ю,ея тоже лежат л-мерно в Ка, и следовательно опреде-
определитель матрицы целых рациональных коэффициентов bik системы
не равен нулю, откуда следует, что хоть один из миноров элементов 1-ой
колонны этой матрицы имеет определитель, не равный нулю. Возьмем соответ-
соответственные п—1 уравнений и разделим их на е>1 (Шр по предположению, — не
Шо <0о со-
делитель нуля, значит — разделить можно), мы найдем, что — , -*,...,— вы-
выражаются линейно однородно с рациональными коэффициентами через 1, е,
, Г. со, Шо (о» со„ I
ег, ....е", т. е. что решетка I 1 = —±, — , —,..., — I рациональна по
отношению к решетке [1, е, е2, ... , е""], а следовательно рациональна и по
отношению к максимальной решетке, повторяющейся умножением, в которой
лежит эта решетка, т. е. к максимальной решетке, определяемой уравнением
/="(е) = 0. Решетка же [(Oj, ш2,...,ш„], следовательно, либо рациональна
по отношению к этой максимальной решетке, либо пропорциональна такой ра-
рациональной решетке.
§ 5. Идеалы максимальной решетки, группа их классов,
однозначность разложения
1. Определение понятия идеал. Произведением двух совершенно
произвольных решеток Z., и Ц в К„ называется совокупность точек, получае-
получаемых так: все точки Lx умножаются на все точки Z,2 и из всех полученных
38 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
произведений составляются все возможные суммы и разности. Эта совокупность
может быть, вообще говоря, не решеткой; если же эта совокупность тоже
решетка Ls в К„, то, если Z., и L2 я-мерные решетки в Кп, она я-мерная
решетка, так как даже от умножения решетки Lx на одну точку решетки Z-2
общего положения мы уже получаем л-мерную решетку в Кп- Решетку L3 мы
называем произведением решеток Z., и L2. Если решетка L2 такова, что произ-
произведение решеток Lx-Lz есть вся решетка Z,2 или ее подрешетка, то решетка Z,2
называется идеалом решетки Z.,. Если решетка 1^ содержит точку A, 1,...
.... , 1) и L2 идеал решетки Z.,, то Z., • L^ = L2. Всякая максимальная решетка О,
повторяющася умножением, содержит точку A, 1,...,1), и поэтому всякая
решетка L, которая есть идеал О, имеет то свойство, что она после умножения
на О совпадает сама с собою. Мы будем в этом лараграфе рассматривать
только идеалы максимальной решетки О. Две решетки в К„ мы будем, как
и раньше, называть подобными, если одна получается из другой помноже-
нием на некоторую точку К„', точка эта, конечно, не должна быть делителем
нуля, так как иначе решетка от умножения на нее перестала бы быть я-мер-
ной в К„, а между тем мы условились, если не указано противного, словами
„решетка в К„а всегда обозначать л-мерную решетку в Ка. Все подобные между
собою решетки в К„ мы называем классом решеток, в частности совокуп-
совокупность подобных между собою идеалов называется классом идеалов. Очевидно,
что если L — идеал О, то cp-Z., где ср— какая угодно точка К„, которая не
есть делитель нуля,—также идеал 0; мы видим, таким образом, что идеал
решетки О может быть иррационален по отношению к решетке О. Вообще
идеал решетки О может быть целым, т. е. состоящим из точек этой решетки
(быть подрешеткой решетки О), дробным по отношению к О, т. е. являться
решеткой рациональной по отношению к О, и иррациональным по отно-
отношению к О. Если ш — точка О, не являющаяся делителем нуля, то подре-
подрешетка ш• О решетки О есть идеал решетки О; такой идеал называется глав-
главным и д е а л о м .и обозначается значком (ю). Если ю = е, где ?—некоторая
единица О, то г-0=0. Таким образом, сама решетка О есть также главный
идеал в О, называемый единичным идеалом.
2. Теорема 1. Если О приводима, то всякий идеал j из О есть пря-
прямая сумма идеалов из неприводимых частей О.
Действительно, пусть <ov <р2, ... , сря— базис рассматриваемого идеала;
будем составлять произведение O-J так: помножим О сначала на !р,, затем на
ср2 и т. д., и наконец на срп. Так получится п решеток О-ср,, O-tpa, ...,
О-а>„, каждая из которых, если О есть прямая сумма нодрешеток О,,О2,...,
Ог, лежащих,в координатных подпространствах Кщ, КПя, ••• , Ка , есть также
прямая сумма некоторых решеток, лежащих в этих подпространствах. Действи-
Действительно, всякая точка ф решетки О имеет вид ф = ф, ~j- ф2 -)-...-(- фх, где
Фг Фг> • • • • Фх — некоторые точки этих подрешеток. Следовательно, при умно-
умножении ее на tpf, например, мы можем умножать ее так: ф:рг. = ф](о; -["Фг1?/ +
-{-...-}- фхсрг- , где tp;, tp;, ... , (ог- — точки К„, лежащие в подпространствах
Kj, Кп, .. • , К„ и сумма которых равна <ft, т. е. это точки, которых коорди-
координаты в КП, соответствующие данному подпространству Кв[, — такие же, как
соответствующие координаты ср;, а все остальные координаты равны нулю.
Произведение Оср. есть, следовательно, прямая сумма решеток О,©^, 02<pt,...,
Oxc?iV лежащих в этих подпространствах. Так как сама решетка / получается
сложением и вычитанием точек ср,, tp2, ... , <оп, то мы получим всё произве-
произведение O'j, если мы составим суммы и разности всех точек решеток 0<?il,
О(о2, ... , Otpn; но каждая из них есть прямая сумма решеток, лежащих в под-
подпространствах КЯг, АГЛа, ... , Ках, а следовательно, и само это произведение есть
прямая сумма решеток, лежащих в этих подпространствах. Но в О есть точка
A, 1, ... , 1)'и, следовательно, произведение O-j совпадает с /, т. е. / есть
прямая сумма решеток, лежащих в подпространствах КП1, КПз, ... , Ка •
ИДЕАЛЫ МАКСИМАЛЬНОЙ РЕШЕТКИ, ГРУППА ИХ КЛАССОВ 39
Пусть, например, j=jx +У2 -+"••• +Л« где /м Л к~эти решетки.
Мы имеем тогда О.•]'.—j{, так как О;-/,- вся состоит из точек О-у, т. е. из
точек у, лежащих в подпространстве Кя1; все же такие точки у составляют
в А^ решетку jt, и, следовательно, все точки О(.-у(. лежат в у(., но в О(. есть
точка A, 1, ... , 1), и потому Oi-ji совпадает с уг., т. е. у, есть идеал Ог
3. Теорема 2. Всякий идеал О подобен некоторой подрешетке ре-
решетки О.
Действительно, пусть :р — некоторая точка общего в Кп положения идеала
у решетки О. Разделим у на эту точку (р; тогда получится решетка у' = —, в
которой есть точка A, 1, ... , 1). Раз j— идеал,"то и у' — идеал О, следова-
следовательно, в у' есть все точки /'-О, в частности и все точки 1-0, т. е. / есть
центрировка О. Помножив теперь у" на общий знаменатель Q этой центри-
центрировки, мы получаем решетку y"=y'.Q, которая есть подрешетка О и которой
у подобен. Итак, всякий, даже иррациональный, идеал О есть целый идеал О,
помноженный на некоторую точку Кп-
4. Теорема 3. Число h классов идеалов данной максимальной решетки
О ограничено.
В силу предыдущей теоремы, это, очевидно, достаточно доказать лишь для
идеалов О, которые суть подрешетки решетки О, т. е. целые идеалы О. Булем,
для краткости, такие идеалы решетки О называть идеалами в О. Пусть у — неко-
некоторый идеал в О; тогда (теор. 1) у=у, = у2 + . . . +ух, где у,, у2, . . . , у,
суть идеалы в неприводимых частях 0\, 02, ... , Ох. Если 1Л—объем основ-
основного параллелепипеда у, рассматриваемый в сигнатурном пространстве Rn .,
соответствующем'О, и Vjt, Vjt, , Vfx—объемы основных параллелепипедов
идеалов у',, у3, ... , ух в сигнатурных пространствах Ra_, #ВЛ, ... , Rn% _x, со-
соответствующих неприводимым частям О, то, очевидно, Vy-= Vj • V) •... • Vlx.
Пусть (^j—относительный минимум решетки у,, рассматриваемый в про-
пространстве Ra-, ф2 — относительный минимум решетки у2, рассматриваемый в
пространстве Rn., и т. д. Тогда норма ф,, по лемме Минковского о выпуклом
теле, не больше, чем ( —¦ ) 'V/, норма у2 не больше, чем ( — j 2 Vj и т. д., и следо-
следовательно норма точки <Ь = (I), -)-1{J -(- ... -j- фА (которая лежит в у и не есть дели-
-) Vj. Решетка с|>- О есть нодрешеткау, объем основ-
основного параллелепипеда которой равен N^- Vo (где Vo—объем основного
параллелепипеда О), т. е. не больше, чем (—) Vj- Vo, — другими словами, —j—
есть центрировка О с индексом, не меньшим If— ) • Vo I . Но всех различных
центрировок О с ограниченным снизу индексом — ограниченное число, и следо-
следовательно наш произвольно взятый идеалу в О подобен одной из ограниченного
числа этих решеток.
5. Умножение идеалов и композиция классов. Пусть а и
Ъ — некоторые идеалы О; тогда они подобны нодрешеткам а ч Ъ решетки О,
так как О повторяется умножением и сложением; произведение решеток
а и b будет состоять из точек О и, следовательно, будет также не-,
которой подрешеткой с решетки О. Решетка с опять идеал в О, так как, если
<о — любая точка из О, то wb суть точки в Ь, так как Ь~—идеал в О, и сле-
следовательно а • Ь») состоит из точек а • Ь, т. е. из точек с, и, стало быть, при
умножении с на любые точки из О получаются опять точки из с. Поэтому,
если мы перемножим решетки а и Ь, мы получим некоторую решетку с (по-
(подобную идеалу с), которая, следовательно, также будет идеалом О.
40 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Идеал с называется произведением идеалов а и Ь.
Если взять два другие идеала а* и Ь* тех же классов, как а и Ь, т. е.
такие, что а* = а-1; b* = b«fi, где X и fi—некоторые точки К„, не делители
ну л», то а*-Ь* = с*, где c* = c-Xfi, т. е. того же класса, как с, поэтому пе-
перемножение идеалов ведет к понятию о композиции классов.
Мы будем называть любые решетки в Ка, подобные решеткам идеалов О,
решетками классов; тогда имеет место —
Теорема 4. Произведение двух классов есть определенный класс.
Легко видеть, что умножение решеток ассоциативно; отсюда и следует
теорема:
Теорема 5. Композиция классов ассоциативна.
Помножим любой идеал у,решетки О на самую эту решетку, которая есть,
как мы видели, также ее идеал, а именно так называемый единичный
идеал.
В виду того, что j—идеал О, от умножения точек j на точки О будут
получаться точки у, а в виду того, что в О есть точка 1=A, 1, ... , 1),
так получатся все точки у, и мы имеем, следовательно, jO — j, т. е. тео-
теорему —
Теорема 6. Главный класс, т. е. решетки, подобные решетке О (а,
следовательно, и решеткам любых главных идеалов), играет при компози-
композиции классов роль единицы.
Докажем еще следующую теорему.
Теорема 7. Для всякого класса идеалов О имеется обратный ему
класс, т. е. такой, что произведение рассматриваемого класса на этот
класс дает главный класс.
Прежде всего докажем, что единственным идеалом, умножение на который
не меняет первого множителя, является сама максимальная решетка О. Пусть
действительно
аЪ = а.
Рассмотрим совокупность всех точек пространства К„, умножение на кото-
которые превращает решетку а в ее часть. Такие точки, очевидно, повторяются
сложением, вычитанием, умножением и образуют дискретную совокупность,
расположенную в Кп п - мерно, ибо все точки решетки О входят в состав этой
совокупности. Следовательно, эта совокупность точек есть решетка, повторя-
повторяющаяся умножением. В виду того, что она содержит все точки О, она может
только совпадать с О, так как О — максимальна. В виду того, что при
умножении иа любую точку идеала b идеал а превращается в свою часть, все
точки идеала b должны входить в О, т. е. b есть целый идеал.
Докажем теперь, что идеал b содержит среди своих точек точку 1, чего,
очевидно, будет достаточно, чтобы убедиться в том, что Ъ — О, ибо мы уже
доказали, что b содержится в О, но Ь, будучи идеалом для О, будет содер-
содержать, вместе с точкой 1, все точки О. Обозначим через с^, а2, ... , ап базис
идеала а.
Каждая из точек базиса а должна принадлежать решетке ab и, следова-
следовательно, представляться в виде суммы произведений точки из а на точку из Ь,
которая, очевидно, может быть всегда преобразована к виду {5,aj —J— ^2ос2 —|^—
-I-...4-PA,. гДе «1. а2. •-•» ая —точки базиса а, р„ ?2, .... $п — какие-то
точки из 6.
Применив это рассуждение к точкам базиса а, получим;
ИДЕАЛЫ МАКСИМАЛЬНОЙ РЕШЕТКИ, ГРУППА ИХ КЛАССОВ 4S
откуда
Ри — J» Pia» ••• » Pin
Из этого равенства заключаем, что точка 1 получается действием умноже-
умножения, сложения и вычитания над точками идеала 6 и, следовательно, содержится
в Ъ. Итак, Ь = О.
Пусть теперь с — идеал некоторого класса. В виду того, что число h клас-
классов конечно, среди степеней идеала с с положительными показателями найдется
сколь угодно много принадлежащих к одному и тому же классу. Пусть ст и
cm+h принадлежат к одному классу, и пусть у есть точка Кп, умножение на
которую превращает идеал ст в ст+*. Рассмотрим идеал &= — с*. Очевидно,,
что " т
emh = —- tm + k tm
Отсюда следует, что Ь = О и, следовательно, с* = уО принадлежит главному
классу. Очевидно, что с* принадлежит классу, обратному для класса, содер-
содержащего с, ибо
Четыре теоремы D, 5, 6 и 7) настоящего пункта показывают, что решетки
классов образуют своей композицией группу. Вследствие теоремы о конечности
числа А классов, группа эта конечна, а в виду того, что умножение идеалов,
как это непосредственно следует из его определения, очевидно коммутативно,,
группа эта абелева. Итак мы имеем следующую теорему:
Теорема 8. Решетки классов образуют композицией конечную абе-
леву группу.
Начиная с пункта 6 мы будем в этом параграфе рассматривать только
идеалы в О.
6. Теорема 9. Делитель и центрирующий идеал — одно и то же.
Пусть идеал а есть произведение идеалов ш и t; тогда, как мы видели
при доказательстве предыдущей теоремы, любая точка а составляется из точек
базиса t линейно, с коэффициентами, которые суть точки из щ, т. е., в виду
того, что t есть идеал в О, решетка а есть подрешетка решетки t и, следо-
следовательно, t есть центрировка а.
Предположим, наоборот, что идеал t есть центрировка идеала а, и пусть-
t* — какой-нибудь идеал класса, обратного классу идеала t, так что tt* = xO,
где т некоторая точка О. В таком случае идеал tO=t-t* есть центрировка
идеала at*,—так как из того, что всякая точка а идеала а есть одновременно-
точка идеала t, следует, что все точки dt-t\, где ar- — точки базиса а, а /* —
точки базиса t*, суть точки идеала tt*, а следовательно и любая сумма и раз-
разность таких точек есть также точка идеала t^t*. Таким образом, все точки
идеала a-t* заключаются среди точек идеала t-t* = tO и, следовательно..
a-t*=тт, где Ш — некоторая решетка из О, причем решетка эта является
идеалом в О, так как она подобна идеалу at*.
Умножим обе части последнего равенства на идеал t; тогда мы получим.
t = Tmt или, так как t*t = tO и аО = а, мы получаем aT = tmt, откуда,
деля обе решетки на т, мы получаем a = mt.
7. Конечность числа делителей идеала, простые идеалы.
Теорема 10. Число различных делителей данного идеала конечно.
В виду того, что число различных центрировок любой данной подрешетки-
решетки О таких, которые состоят только из точек О, ограниченно,, следует,.
42 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
в силу предыдущей теоремы, что и подавно различных решеток, которые суть
решетки идеалов делителей данного идеала, ограниченное число.
Пусть некоторый данный идеал в О, отличный от самой О, не имеет соб-
собственных делителей, т. е. делителей, отличных от него самого и единичного
идеала О; тогда он называется простым; если же ои таких делителей имеет, то
идеал называется не простым.
Теорема 11. Всякий идеал либо сам простой, либо может быть
представлен как произведение простых идеалов.
Рассмотрим произвольный идеал в О. Если он сам не простой, то он имеет
собственного делителя. Рассмотрим этот собственный делитель; если он не про-
простой, то он в свою очередь имеет.собственного делителя, и т. д. Получаю-
Получающаяся так цепочка идеалов представляет собою цепочку последовательных цен-
трировок исходного идеала, состоящих из точек О, со все уменьшающимся
объемом основного параллелепипеда. Число различных таких центрировок огра-
ограничено, и, следовательно, цепочка эта должна обрываться; т. е. некоторый из
ее последовательных идеалов, наконец, не будет содержать собственных дели-
делителей, т. е. будет простым. Выделив этот простой идеальный множитель из
рассматриваемого идеала, мы получаем идеал, который есть также центрировка
заданного, т. е. имеет меньший, чем заданный, объем основного параллелепи-
параллелепипеда. С этим идеалом мы можем производить тот же процесс, причем остав-
оставшийся множитель будет иметь еще меньший объем. В виду конечности числа
различных центрировок данной годрешетки О, состоящих из точек О, таким
образом, можно выделять лишь конечное число раз простые множители, и
исходный идеал, очевидно, равен их произведению. Всякий идеал есть, следо-
следовательно, произведение конечного числа простых идеалов.
8. Однозначность разложения идеала на простые идеалы.
Теорема 12. Если идеалы а и Ъ не имеют общего делителя, отлич-
отличного от О, то в а можно найти такую точку о, а в Ъ такую точку р,
что а -\- р = 1.
Пусть а,, а2, ... , ап — базис идеала a, a рх, р2, ... , ря— базис идеала 6.
Составим совокупность i1a1 + ^ot2+ • • • + *яал + ^iPi + lhh+ • - • + КЛР„,
где Х(- и }д.(. — произвольные точки из О. Это будет, очевидно, л-мериая ре-
решетка в О, такая, что произведение любой ее точки на любую точку со из О
есть ее же точка, т. е. это идеал в О. В виду того, что в О есть точка 1,
в этом идеале, очевидно, лежат как все точки аг, а2, .. . , ап, так и все точки
Р,, Р2, ... , рл, т. е. вся решетка а и вся решетка Ь. Этот идеал есть, следо-
следовательно, как центрировка а, так и центрировка Ь.
Предположим теперь, что а и Ь идеалы взаимно простые, т. е. что оии не
имеют общего делителя, отличного от О. Тогда идеал этот есть О. Но в та-
таком случае точка 1 также имеет такой вид, т. е. 1=а-|-р, где аир суть
некоторые точки из идеалов а и Ь.
Теорема 13. Если произведение двух идеалов делится на- простой
идеал р, то на р делится хоть один из множителей.
Пусть произведение двух идеалов а-Ь делится на простой идеал р. Пред-
Предположим, что а ие делится на р, т. е., другими словами, что а и р— вза-
взаимно простые, так как, в силу простоты р, р не имеет делителей, отличных
от О, кроме самого себя. В таком случае в а имеется такая точка а, а в р
такая точка тт, что ct -f- тт = 1. Если р—-любая точка из Ь, то точка a-j} за-
заключается в а-Ь, и так как р, как делитель а-Ъ, есть центрировка а-Ъ, то
точка a-р заключается и в р. Но так как р—идеал, точка тт-jj заключается
в р. Тогда и точка a-^ + тгр заключается вр, и так как ар -|-тт|} — (а-\- тт)р = р,
то любая точка Ь, а следовательно и вся решетка Ь, заключается в решетке р,
т. е. р есть центрировка, а следовательно, по теореме 9-ой и делитель
идеала Ъ. Итак, если произведение двух идеальных множителей делится иа
простой идеал р, то хоть один из этих множителей сам делится на этот про-
простой идеал.
ИДЕАЛЫ МАКСИМАЛЬНОЙ РЕШЕТКИ, ГРУППА ИХ КЛАССОВ 43
Теорема 14. Всякий идеал только одним способом разлагается на
простые множители.
Пусть теперь некоторый идеал имел бы два разложения на простые мно-
множители: а=р1р2 • • - Pk — QiQv • • <h- Хоть один из q должен делиться на р,,
т. е., так как все С( — простые, с ним совпадать. Действительно, в силу пре-
предыдущего, если бы ни один из q не делился на рг, то и все произведение
а = Cdq2 ...(\i не могло бы делиться на р,, а между тем оно на р, делится.
Выберем так нумерацию множителей q, чтобы было q1 = ^>1; в таком случае
идеалы р2 ... ps и q2 ... q, одинаковы, так как из be = bb следует нсегда
с = Ь, в чем можно убедиться следующим образом.
Помножим обе части на идеал Ь* из класса, обратного классу Ь. Тогда
ЬЬ* = тО, где т—точка О, и, следовательно, мы получим гОс = ЮЬ или,
деля обе решетки на т, Ос=ОЬ. Но Ос = с, Ob = b, и, следовательно,
с = Ь.
Повторяя теперь то же рассуждение с произведениями р2 ... pk и с\2 ... ц1
и предполагая k-^l, мы получим наконец O=qft+1 ... qp т. е. что l = k и
что исходные произведения, если и отличаются, то только порядком множи-
множителей.
9. Теорема 15. В любых двух классах идеалов можно указать целые
взаимно простые идеалы.
Доказательство. Пусть даны два класса Кг и К2. Возьмем в классе К^
какой угодно целый идеал айв классе К^~1 — какой угодно целый идеал Ь.
Пусть Dj, D2,..., X>k — все различные простые идеалы, входящие в а. Возь-
Возьмем в идеале Ь»2»3... »ft точку tTj, не принадлежащую идеалу b»j. Такая точка,
наверное, найдется, ибо иначе идеал Ь»2»3 • • • °* содержался бы в идеале b»lt
а следовательно делился бы на него, и следовательно идеал »2»3- • .0* делился бы
на Dj, что невозможно. Таким же образом найдем точку тт2, принадлежащую
идеалу b»i»3 ... »ft и не принадлежащую Ь»2 и т. д.
Точка ^ = iTj —J— тг2 —J— ... -J- ттА, очевидно, будет принадлежать идеалу Ь,
но не принадлежать ни одному из идеалов Ьй,, Ь»2, ... , b»ft. Идеал c = ^b-1
будет целым идеалом, так как ^ принадлежит Ь, и не будет делиться
ни на один из идеалов Bj, в2, ... , »ft, т. е. будет взаимно прост с а.
Идеал с принадлежит классу К2. Итак, в любых двух классах Кх и
К2 мы можем найти взаимно простые идеалы. Тем самым теорема доказана
полностью.
Отметим одно следствие из доказанной теоремы. Каждый целый идеал
есть общий наибольший делитель двух главных идеалов. Действительно,
пусть а — идеал из некоторого класса К. Возьмем в этом идеале произвольное
число а. Тогда идеал [а] будет делиться на а. [а] = аЬ. Найдем в классе К'1
идеал с, взаимно простой с Ь. Идеал ас будет главным, ас = [Р] и общий на-
наибольший делитель идеалов [а] и [fl] будет равен а, так как идеалы b и с
взаимно просты.
10. Теорема о нормах идеалов. Индекс решетки целого идеала по
отношению к решетке О, т. е. число, показывающее, во сколько раз объем
основного параллелепипеда решетки идеала больше объема основного паралле-
параллелепипеда решетки О, называется нормой идеала. Так как решетка всякого
идеала в О есть подрешетка решетки О, норма нсякого идеала н О—число
целое, рациональное и положительное.
Теорема 16. Норма произведения двух идеалов равна произведению
норм множителей.
Заметим прежде всего, что эту теорему достаточно доказать для какой-
либо пары представителей из двух данных классов, чтобы убедиться в ее спра-
справедливости для всех пар идеалов, принадлежащих этим же классам.
Действительно, пусть теорема справедлива для идеалов а и Ь, и пусть
а! и bj — идеалы, эквивалентные соответственно идеалам а и Ь. В виду
того, что решетки идеалов а, и at и b и bt подобны, мы можем написать, что
44 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
at = act, Ьг = $Ъ, где о и ^ — некоторые точки из Ка, и следовательно
Ь фЬ
Очевидно, далее, что при умножении какого-либо идеала на точку из Кп
норма его приобретает множителя, равного абсолютной величине нормы точки,
на которую производится умножение, ибо именно таким образом изменяется
объем основных параллелепипедов решетки. Следовательно,
N(а^) = IЛЧ«Р)IN(ab) = |N(a)|
Уже из этого замечания следует справедливость теоремы для случая, когда
один из идеалов — главный, ибо она правильна для случая, когда одним из
множителей является единичный идеал О.
На основании теоремы 15, доказательство теоремы в общем случае сво-
сводится к случаю взаимно простых идеалов, ибо в любых двух классах можно
найти взаимно простых представителей.
Докажем теперь теорему для двух взаимно простых идеалов а и Ь. Их
объединение (а, 6) равно О. Легко видеть, что произведение идеалов а и b
равно их пересечению. Действительно, каждая точка произведения идеа-
идеалов а и b принадлежит им обоим, а следовательно и их пересечению.
Обратно, пусть у— точка, принадлежащая пересечению идеалов а и Ь.
Так как а и Ь взаимно просты, в а найдется точка о и в Ь точка р такие,
что а-\-$ = \.
Следовательно, у = ау-ЬРУ- Точка fly принадлежит идеалу аЪ, ибо а при-
принадлежит а, у принадлежит Ь. Точка Ру также принадлежит аЪ, ибо р при-
принадлежит Ь. у принадлежит а. Следовательно, у принадлежит ob. Применяя
лемму 4 „Приложения" к решеткам О, а, Ь и ab, получим:
Njab)
N(a)
и следовательно N(ab)—N(a)N(b).
Теорема доказана полностью.
§ 6. Основная фигура, состоящая из главной решетки О и h—1
побочных решеток
Выберем по одному идеалу из каждого из h классов. Из главного класса
возьмем именно идеал О, а идеалы остальных h — 1 классов нормируем каж-
каждый помножением на такую точку Кп, не являющуюся делителем нуля, чтобы
объемы всех получившихся решеток сделались такими же, как объем Уо ре-
решетки О.
Начиная с этой нормировки, эти h — 1 решеток, вообще говоря, уже пе-
перестанут быть подрешетками О.
¦ Пусть gt = О, g2, gb, ... , gh — получившиеся таким путем решетки. Пока-
Покажем, 'что умножение таких двух решеток gt, gk дает решетку g{ опять с таким
же объемом.
Действительно, пусть lgt =j); ngk —Jk, где j. и jk суть те идеалы в О,
из которых мы получали решетки gt и gk, а точки X. и >i суть точки, обрат-
обратные тем множителям, при помощи которых мы нормировали эти идеалы дяя
получения этих решеток. В таком случае NA) и N()i) суть нормы идеалов
j) и jk. Но N{j;jk)z=N(j^N(j^ = NttiN{v) = N№), и, следовательно,
?j имеет опять тот же объем Vo, что и gt и gk.
Так нормированные решетки классов gv g%, ... , gh своей композицией
образуют группу классов, с точностью до множителей точек К„ имеющих
нормы 1. Мы будем называть такие множители поворотными.
ОСНОВНАЯ ФИГУРА, ГЛАВНАЯ И ПОБОЧНЫЕ РЕШЕТКИ 45
Нормируем теперь еще дальше наши решетки, а именно нормируем их
еще умножением на некоторые определенным образом выбранные поворотные
множители. Начиная с этой второй нормировки, эти h — 1 решеток, вообще
говоря, уже не будут лежать в Кп в том же сигнатурном подпространстве,
где лежит О,—так, например, О может быть чнсто вещественно, а коорди-
координаты точек этих решеток могут при этом быть комплексными. Поступим так:
оставим gi = O в том положении, в котором она находится: каждую из тех
остальных g[, к($горые являются элементами базиса абелевой группы классов,
помножим на такой поворотный множитель е., чтобы, если порядок gt есть q,
т. е. gj— решетка, подобная glt она после этого помножения просто совпа-
совпадала с решеткой gt, т. е. чтобы было (giei)i=gl. Если \—точка Кп, на ко-
которую надо помножить gf, чтобы получить gv то, очевидно, необходимо и до-
достаточно, чтобы еЧ = \п т. е. чтобы было et = >/lf.. Точка е., вообще говоря,
может уже не лежать в сигнатурном подпространстве, соответствующем О.
[Так, например, в случае, когда все координаты О вещественны, может
случиться (и примеры показывают, что это бывает), что не все координаты
точки X., положительны, и тогда, если прн этом q четно (что также бывает),
то уже не все координаты е( вещественны].
После такого дополнительного нормирования тех решеток g., которые обра-
образуют базис группы классов, т. е. после замены их решетками e.giP они уже
окажутся так „повернуты" в пространстве К„, что соответствующие их степени
будут не только подобны решетке gl = O главного класса, а даже просто
будут с ней совпадать. Если мы теперь через эти основные gt выразим все
остальные g{, то все так полученные gt будут уже в том смысле повернуты
правильно в К„, что если g{gk подобна gt, то она просто с ней совпадает, т. е:
gigk = g[. Совокупность всех h так правильно расположенных решеток g. мы
будем называть основной фигурой, соответствующей данной максималь-
максимальной решетке О, повторяющейся умножением.
Из самого способа построения основной фигуры мы видим, что для задан-
заданной О можно ее построить различными способами. Посмотрим, чем будут при
этом друг от друга отличаться получаемые основные фигуры. Во-первых, если
\ — точка, от умножения на которую gf мы получаем точно gj = O, то Xj-e,
где е — любой автоморфизм О,—также такая точка; и обратно, если 1{—дру-
1{—другая такая точка и X.; = ^g, то е есть автоморфизм О. Таким образом, общий
вид точки, на которую, надо помножить gf, чтобы получить glt есть Х|-е, где
Я г—
е — любые автоморфизмы О. Отсюда мы видим, что е(- = у ).,-? имеет, если
автоморфизмов у О бесконечно много, бесконечно много значений. Но два раз-
различных е1 и et, которые сами друг от друга отличаются лишь на автоморфизм
умножения О, будут давать из дайной gt одну и ту же решетку, так как, если
е. = et • s, то glel = gtetz. В этом последнем легко убедиться, если заметить,
что gi=zjrpii, где ц, — некоторая точка Кв; тогда gie.=j)iilei, a gtefi —
=y?>i(.e/s. Но j^=ji, так как от умножения всех точек идеала на некоторую
точку s из О получаются опять точки этого же идеала (норма е равна +1 и.
следовательно, получаются все точки этого идеала). Таким образом, различные
окончательно нормированные решетки g{ будут давать из предварительно нор-
нормированной решетки gl только те множители, которые не отличаются просто
автоморфизмом умножения решетки О. Таким образом, если sv ?2, ... , ея+._х—
основные автоморфизмы умножения решетки О, то за множитель е, стоящий под
корнем в ?,, достаточно взять лишь множители вида ЕХЕ% ... Е%гхчЩг,.. й+^~х,
где все показатели qv qv ... , qa+r_x больше или равны нулю и меньше
чем q, a Et — различные рассмотренные в § 4 автоморфизмы конечных поряд-
порядков. Кроме того, можно еще брать любое из значений радикала -/•
46 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Рассмотрим для заданной максимальной решетки О, повторяющейся умно-
умножением, какую-нибудь одну (все равно какую) из этого конечного числа раз-
различных возможных для нее основных фигур.
Теорема 1. Основная фигура повторяется умножением.
Действительно, если 0(- — точка, принадлежащая решетке gt основной фигуры,
а в/ принадлежит ее решетке gj (где /=или ф1) и gtgj = gk, то точка
6{6у = 6д принадлежит решетке gk.
Замечание. Легко убедиться на примерах, что если Л]> 1 (если А=1,
то основная фигура есть сама О), то основная фигура не есть решетка, т. е. не
повторяется сложением.
Теорема 2. Абсолютная величина нормы любой точки основной фи-
фигуры есть целое рациональное число.
Действительно, если точка решетки есть делитель нуля, то норма ее равна
нулю (и обратно). Пусть теперь в—точка решетки gt, которая не есть дели-
делитель нуля. Помножив на нее все точки решетки gjr1, соответствующей классу,
обратному gt,. получим некоторую подрешетку решетки gl=O. Следовательно,
объем основного параллелепипеда решетки gp1, который равен объему основ-
основного параллелепипеда gi=O, увеличится при этом в целое число раз. Но при
умножении на точку объем решетки увеличивается в число раз, равное абсо-
абсолютной величине нормы этой точки, т. е. абс. вел. нормы точки — целое рацио-
рациональное число.
Теорема 3. Всякий автоморфизм умножения г всей основной фигуры
все равно, что автоморфизм любой из ее решеток и, следовательно, есть
автоморфизм главной решетки, и обратно.
Действительно, если г есть автоморфизм умножения gl = О, то egk суть
точки gk, так как ? принадлежит к главной решетке. Но норма ? равна ± 1,
и, следовательно, объем основного параллелепипеда t-gk равен объему основ-
основного параллелепипеда gk, т. е. sgk = gk. Таким образом, любой автоморфизм
умножения е главной решетки есть автоморфизм умножения системы совокуп-
совокупности всех h решеток gv g2, . . . , gh, и даже автоморфизм умножения каж-
каждой из них в отдельности. Наоборот, если е — автоморфизм умножения системы
совокупности всех h решеток gx, g2, ... , gh, то абсолютная величина его
нормы равна 1. е есть точка основной фигуры, так как в основной фигуре
есть точка 1 и е • 1 должна быть точкой основной фигуры. Точка г лежит
в главной решетке потому, что, если бы она лежала в побочной решетке gk,
то решетка g?lme состояла бы из точек главной решетки gx и с нею бы сов-
совпадала, так как объемы решеток g^1 и gx одинаковы, а абсолютная величина
нормы точки ? равна 1; но побочная решетка не может быть подобна главной.
Итак, всякий автоморфизм ? основной фигуры есть точка главной решетки
с нормой ± 1, т. е. автоморфизм главной решетки.
Мы будем называть две точки основной фигуры, получающиеся друг из
друга, ее автоморфизмами умножения, т. е. автоморфизмами умножения ре-
решетки О, союзными. Совокупность всех точек основной фугуры союзных
с некоторой ее точкой, которая не есть делитель нуля, мы будем называть
сеткой союзных точек. Очевидно, что все точки сетки точек, союзных
некоторой точке основной фигуры, принадлежащей ее решетке g{, принадле-
принадлежат той же ее решетке gt, так как все автоморфизмы г принадлежат главной
решетке.
Теорема 4. Любая точка 6 основной фигуры, которая не есть дели-
делитель нуля (вместе со всеми точками сетки союзных ей точек), однозначно
соответствует некоторому идеалу решетки О, и обратно, причем произ-
произведению двух таких точек соответствует произведение соответствующих
им идеалов, и обратно.
Действительно, пусть в, некоторая точка решетки g{. Решетка at = gpibt
лежит в g1 = O и является идеалом О. Действительно, пусть ю — любая
ОСНОВНАЯ ФИГУРА, ГЛАВНАЯ И ПОБОЧНЫЕ РЕШЕТКИ 47
точка О. Тогда gf^-bp суть опять точки из О и притом принадлежащие той
же решетке аг, так как от умножения на со того идеала из О, нормирова-
нормированием которого получилась решетка gyl, получатся точки того же идеала, а,
следовательно, от умножения на со решетки gr1 получается точка той же ре-
решетки, и потому от умножения на со решетки al=g~ibt получатся точки той
же решетки а,. Идеал а, мы будем называть соответствующим точке 0, основ-
основной фигуры. Очевидно, что любой точке 0(.?, где ? — любой автоморфизм О
(а, следовательно, и основной фигуры), соответствует тот же идеал ап так
как ? есть автоморфизм того идеала в О, нормированием которого получилась
решетка gj. Таким образом, ? есть автоморфизм и самой gt~l, т. е.
gr1tbi = g-lbr Наоборот, если а —идеал /-1-того класса решетки О и, сле-
следовательно, a — gf1^., где ii — некоторая точка Кп, не являющаяся делителем
нуля, то agi^=gl\i. и, так как в gx=O есть точка 1, точка ji содержится
в agt, т. е. )л содержится в gt.
Произведению точек bfij ... bk основной фигуры, принадлежащих к г-ой,
/-ой, ... , k-oft решеткам g, где i, у, ... , k могут быть как равны, так и раз-
различны, соответствует, очевидно, в этом смысле идеал a=gf1bl-gr1bj .. .g-4k,
т. е. идеал ^г'-О.О,-... 6ft.
Теорема 5. В любом классе идеалов в О есть идеал, норма кото-
Действительно, любая побочная решетка ^главной решетки g1 = О получается
из некоторого идеала j в О умножением его на нормирующую точку, абс. вел.
нормы которой равна ^=—г. . Пусть О — решетка в Rn T, соответствующая О,
и j—идеал в О, соответствующий j. Как мы показали в п. 4 § 5, в у су-
существуют точки со, которые ие являются делителями нуля и суть относитель-
относительные минимумы в у, в том смысле, что внутри норменного тела такой точки со
нет других точек /, кроме точки 0. Объем норменного тела такой точки,
2"nTAf(co), в таком случае, по лемме Минковского о выпуклом теле, меньше
объема <L N(j) основного параллелепипеда у, взятого 2Л раз, т. е. ЛГ(со) <^
<^ (—) ]f\D\N(j). После нормировки идеала у к соответствующей ему по-
побочной решетке g мы получаем, что в этой решетке g есть точка со, норма
которой ЛГ(со)<д — )Tj/|D|. Если мы помножим побочную решетку g~l иа
точку coi то получим, по предыдущей теореме, идеал в О, имеющий норму,
равную ЛГ(со), т. е. норму <С(—) V \&\-
Для неприводимых решеток оценка, данная в теореме 5, может быть еще
улучшена. Именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 6. В любом классе идеалов в неприводимой решетке есть
идеал, норма которого меньше
Доказательство. Пусть К—некоторый класс идеалов, и К~1 — обратный
ему класс. Возьмем в классе К~1 какой-либо идеал а. Идеал а в простран-
пространстве Ra • изобразится как решетка, с объемом основного параллелепипеда
¦48 ТЕОРИЯ1 РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Рассмотрим тело
4- ...
Легко видеть, что это тело выпуклое и имеет центром симметрии начало коор-
координат. Объем его равен
Подберем Т так, чтобы объем был равен объему основного параллелепипеда
идеала а, умноженному на 2".
Тогда, по лемме 5 дополнения, внутри или на границе тела найдется хотя бы
•одна точка а идеала б, отличная от нуля. Так как решетка а не имеет делителей
нуля, N(a)=^=0.
Среднее геометрическое положительных чисел не превосходит их среднего
арифметического. Поэтому
J 4- 4AJ)V • • •
¦ • ¦ + ! ¦*<«> I + 2 VW + т)цJ + • • • + 2
я»
Главный идеал fa] делится иа идеал a, [a]=a6. Частное 6 есть целый идеал
из класса К. В виду того, что |ЛГ(а)[ = ЛГ(а)-ЛГ(&), заключаем:
¦что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что
ибо ЛГ(Б)Зг1, и следовательно
Это неравенство показывает, во-первых, что |/|D|> 1, во-вторых, что наи-
наименьший дискриминант неприводимой решетки, повторяющейся умножением,
данного числа измерений растет с возрастанием числа измерений п.
Теорема 7. Любая точка основной фигуры однозначно (с точностью
до автоморфизмов О) разлагается в произведение простых ее точек.
Эта теорема следует для не-делнтелей нуля непосредственно из однознач-
однозначности разложения идеалов О на простые идеалы н из 4-ой теоремы. Для
делителей нуля получается то же самое, если рассмотреть вместо О соот-
соответственную этому делителю нуля частичную прямую сумму неприводимых
частей О, т. е. ту, которая лежит в том же координатном подпространстве,
где лежит рассматриваемый делитель нуля.
§ 7. Квадратичные формы решетки в Кп
1. Формы, связанные с решеткой в Ка,. Каждой л-мериой ре-
решетке пространства Кп, как повторяющейся, так и не повторяющейся -умно-
-умножением, могут быть соотнесены некоторые формы от п переменных, введе-
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ РЕШЕТКИ 49
иие которых иногда бывает полезно при исследовании тех или иных свойств
решеток. К рассмотрению важнейших форм этого рода мы и переходим.
Прежде всего сопоставим решетки с системами линейных форм. Пусть ре-
решетка задана координатами точек базиса
Координаты любой точки (<оA\ <оB), ..., <о(л)) решетки выражаются через коор-
координаты точек базиса в виде линейных ковариантных (т. е. зависящих от одной
и той же системы переменных) форм:
при целых рациональных значениях переменных jfj, лг2, ...,хп. Таким образом,
каждому« базису решетки однозначно сопоставляется система' л ковариантных
линейных форм с л переменными. Обратно, каждой системе л ковариантных
линейных форм от л переменных этим способом сопоставляется базис некото-
некоторой решетки так, что значения форм при всевозможных целочисленных зна-
значениях переменных дают координаты всех точек решетки. Необходимо только
потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов системы
форм, был отличен от нуля.
Выясним теперь, каким образом связаны друг с другом системы ковариант-
ковариантных форм, соответствующие различным базисам одной и той же решетки про-
пространства.
Пусть (<plf <ря, ...,<рв) и (k, ф2, ..., фв) —два л-векториика простран-
пространства Ка, связанные подстановкой
$i = en<Pi4-ett<Pi+«" +eta<P« (« = 1- 2, ...,я)
с матрицей А'= || alk || . Если л-векторники (ср^ <р2, ..., срп) и (ф,, ф2, ..., ф„)
являются базисами одной и -той же решетки, то матрица» А целочисленна,
и определитель ее равен -4-1.
Соответствующие этим л-векторникам системы линейных форм будут
где
Выражая t<*) непосредственно через ср(*\ получим
Теория нррацион. 3-й степени
50 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
откуда следует, что формы (тA\ т*2\ . ...т*")) могут быть получены из форм
(ad), (о<2\ .. .,@(л)) линейным преобразованием переменных
*i «= «1А + a2lx'2 -\- ... + aei<,
*2 = «12^ + «224 + • • • + «А
матрица которого А* транспонирована с матрицей А подстановки, переводя-
переводящей координаты л-векторника [<fl7 <р2, ... , срп] в координаты [с]>1; ф2, . ,.,фв].
В случае, если эти л-векторники являются базисами одной решетки, то ма-'
трица А* вместе с матрицей А целочисленна, и определитель равен ±1.
Очевидно н обратное: если взять две системы ковариантных линейных форм
(шA\ <о<^, . ..,<о(л') и .(тМ, тB\ . ..,т<">) с определителями, не равными нулю,
и такие, что (тA\ тB\ ..., т(л)) получается из (о>A\ о>B\ .. ., о>(л>) линейным
преобразованием переменных с целочисленной матрицей н с определителем,
равным ± 1, то эти системы определят базисы одной и той же решетки.
Связанные таким образом системы ковариантных форм называются экви-
эквивалентными, а множество всех эквивалентных между собой систем форм
называется классом систем ковариантных форм. Таким образом, каждой
решетке соответствует вполне определенный класс систем ковариантных форм
с определителями, не равными нулю, и обратно, каждому классу систем ко-
варнаитных форм с определителями, ие равными нулю, соответствует вполне
определенная решетка.
Пусть (о>A\ <о<а>, ..., <о(п)) — система ковариантных форм, соответствующая
некоторому базису решетки, и пусть <f(u^\ и<2>, ..., и<">) — некоторая форма
от л переменных. Очевидно, что
tp(co<D, ©(г), ..., q«) = F(x1,x2, ...,хп)
будет представлять собой форму той же степени от переменных^, х2, ..., хв.
Различным базисам одной и той же решетки, при одной и той же форме <р,
будут соответствовать эквивалентные формы F, т. е. формы, переходящие одна
в другую линейной подстановкой переменных с целыми рациональными коэф-
коэффициентами и с определителем, равным ± 1. так что решетке в целом этим
способом сопоставляется класс эквивалентных между собой форм F.
Если при этом рассматриваемая решетка рациональна по отношению к ре-
решетке, повторяющейся умножением, а. форма ср является симметрической функ-
функцией от иA>, и<2>, ..., и(п), то форма F(xv х2, ... , хп) будет иметь рациональ-
рациональные коэффициенты, так как они будут являться симметрическими функциями
координат любой точки общего положения рассматриваемой решетки, а коор-
координаты каждой такой точки суть корни некоторого уравнения л-ой степени
с рациональными коэффициентами.
Важнейшими формами, связанными с такими решетками, являются формы
Во (xv х2, ..., хп) = И<1>г + и»J
v х2 ... ха) = и<1> и<2> ...
Первую из этих форм назовем эрмитианом, вторую — формою Ди-
Дирихле. Если рассматриваемая решетка рациональна по отношению к некоторой
решетке, повторяющейся умножением, то .обе эти формы имеют рациональные
коэффициенты, причем, если решетка—-целая рациональная по отношению
к некоторой решетке, повторяющейся умножением, то коэффициенты форм
будут целыми рациональными.
2. Эрмитиан представляет собою квадратичную форму от л переменных.
Оиа будет определенной положительной, если решетка расположена в чисто
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ РЕШЕТКИ 51
вещественном сигнатурном подпространстве пространства Кп, и неопределенной,
с числом отрицательных квадратов в каноническом разложении равным числу
пар т комплексных координат точек решетки, т. е. тому числу, которое мы
называем сигнатурой решетки.
В чисто вещественном случае задание эрмитиана вполне определяет решетку
в себе, но совершенно не определяет ее расположение относительно осей, так
что одному эрмитиану соответствует бесконечно много решеток, получающихся
одна из другой вращением, как твердого тела, или вращением и отражением
относительно какой-либо (л—1)-мерной плоскости.
В том случае, когда эрмитиан имеет целые рациональные коэффициенты,
можно было бы ожидать, что среди бесконечного множества соответствующих
ему решеток найдется одна решетка, повторяющаяся умножением, или подре-
шетка такой решетки. Однако на самом деле это не имеет места. Именно,
может случиться, что данная целочисленная квадратичная форма не является
эрмитианом ни для одной решетки, повторяющейся умножением, или ее под-
решетки. Так, например, для л = 3, такова форма х\-\-х\-\-2х\, в чем не-
нетрудно убедиться. Возможно также, что две или несколько различных решеток,
повторяющихся умножением, имеют одинаковые эрмитианы. Так, решетки,
построенные на базисах [1ДД2—-9к-{-7], где Xs = 9Х2—-6Х.—1,
и [1, Jt, ** ~ 2 —J , где Ц8 = 9д2 — 6ц — 8, имеют один и тот же эрмитиан
х{ + 69*2 + 69 х\ + 18*,*, + 18*,*, + 12х2х3.
Аналогичные обстоятельства имеют место и для решеток, расположенных
в других сигнатурных пространствах.
3. Безутианы. Кроме сопоставления квадратичной формы со всею решет-
решеткою, полезно в некоторых случаях сопоставлять тем же способом квадратичные,
формы с проекциями решетки-—параллельно л-мерным .биссектрисам» Кп, где
т — некоторый делитель л,—-на пространства низшего числа измерений, л—т,
дополнительные к пространствам этих биссектрис.
Пусть дана решетка. 5 в пространстве Ка, повторяющаяся умножением
(или часть такой решетки) и имеющая /и-мерную подрешетку R, расположен-
расположенную на вбиссектрисе"
-*)
Покажем, что если спроектировать решетку S параллельно биссектрисе на
дополнительное к ией пространство л — т измерений:
=0,
... +«00 =о,
то получим решетку, для которой квадратичная форма, составленная по тому же
способу, после умножения на ji будет име^ь целые рациональные коэффициенты.
Чтобы не усложнять рассуждений, положим, что в качестве решетки 5
взята максимальная решетка, повторяющаяся умножением. Это не нарушает
общности, так как всякая другая решетка, повторяющаяся умножением, содер-
содержится в максимальной.
Прежде всего отметим, что если на биссектрисе существует от-мерная
подрещетка решетки 5,'то, какова бы ни была" точка ©' решетки'S" с"кборди-
4*
•52 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
патами
и целая симметрическая функция с целыми коэффициентами от ft переменных
\ л<2\... ,иМ), точка с координатами (фи>, ф<»\ ..., ф<0, ..., ф(«),<?<)
где
фA)
будет являться точкой решетки R.
Действительно, из соображений теории Галуа известно, что эта точка ра-
рационально связана с точкой общего положения решетки R, а следовательно,
и с точкой общего положения решетки S. Кроме того, она имеет своими коор-
координатами целые алгебраические числа, как результаты целых алгебраических
действий под целыми числами. Следовательно, она принадлежит решетке S,
так как последняя предположена максимальной решеткой, повторяющейся умно-
умножением, и потому должна содержать все точки с целыми алгебраическими
координатами, рационально связанными с точкой общего положения. Наконец,
она лежит на биссектрисе и, следовательно, принадлежит решетке R.
Сопоставим решетке iR решетку R в пространстве Кт, координатами точек
которой являются координаты точек из R, взятые по одному разу из каждой
группы разных координат. Решетка R будет максимальной решеткой в Кт,
повторяющейся в Кт умножением.
Пусть дана точка в Кп (о>A), а)<2>, ..., ю^ ,... ,<о<л-1*+1) ©(л). Точка в
пространства Кт с координатами
(о"), аB>, ...,<s(m))r
где
e(i)"s=a>(i) -|-<i)B) _|_ , _
-f •.
будет, в силу сделанных замечаний, принадлежать решетке 7?. Точку в будем
называть следом точки ш относительно рассматриваемой биссектрисы. Оче-
Очевидно, что если точку ю представить через базис системы 5 и ее след о—•
через базис системы R, то коэффициенты второго представления будут цело-,
численными линейными формами от коэффициентов первого представления.
Найдем теперь проекцию точки .а на пространство, дополнительное к бис-
биссектрисе. Для этого представим <о в виде суммы двух точек так, чтобы одна
из них т принадлежала биссектрисе, вторая (р дополнительному пространству.
Слагаемое <р и будет' искомой' проекцией.
Легко проверить, что т следует взять имеющую координаты
где
РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ РЕШЕТКИ 53
Действительно, относительный след взятой такнм образом точки т равен
относительному следу точки <о, и, следовательно, относительный след точки (р
равен нулю; это значит, что точка <р лежит . в пространстве, дополнительном
к биссектрисе.
Представим точку ш через базнс системы S.
Базис можно выбрать таким образом, что его первые отточек a>v в>2,...,шт
принадлежат решетке R. Проекция точки ш на пространство, дополнительное
к биссектрисе, будет иметь вид
где <pm+1, ... , ifn — проекции точек <оп+1, ... , <оя. Проекции точек ©„ о>2,«^в>
будут, очевидно, равны нулю. Таким образом, проекция решетки 5 будет дей-
действительно (я — /я)-мерной решеткой.
Подсчитаем соответствующую ей квадратичную форму, предварительно
умножив последнюю на ц..
• •, *J = Л
/=1 <=1 1=1
У=1
= Я? @,@J _ ^
/=1 /=1
= М-^о (*р *я. • • •. ^л)— во tVi. J'a. • • •. Л,)-,
Здесь Во обозначает эрмитиан решетки 5, 5^ — эрмитиан решетки R,
yv у2, • •.» Ут — линейные формы от xv x2, ...,хп, являющиеся коэффициен-
коэффициентами в представлении относительного следа точки ю через базис решетки /?.
Так как эрмитианы для решеток, повторяющихся умножением, представляют
собой квадратичные формы с целыми коэффициентами, то из полученной нами
формулы можно заключить, что форма Вт имеет целые коэффициенты.
Форму Вт будем называть обобщенным безутианом решетки S, а
именно безутианом относительно данной биссектрисы. Обобщенный безутиан
В, решетки, имеющей степенной базис [1, р, ..., р") относительно единт
ственной 1-мерной биссектрисы, т. е. относительно «рациональной прямой"
«<1J =иB)= •••=«("', представляет собой квадратичную форму, обычно на-
называемую просто безутиаиом числа р, или безутианом уравнения /(р) = О,
которому удовлетворяет число р.
§ 8. Разложимые формы решетки в Кп
Форма Дирихле, т.е. форма М(лг,, дг2, ..., дгл) = иA)-иB)-... •«<") для
решетки представляет собой форму л-ой степени с п переменными, допускаю-
допускающую разложение на линейные множители, причем эти множители линейно неза-
независимы. Формы, обладающие этим свойством, будем называть разложимыми
формами.
54 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Каждую разложимую, форму можно рассматривать как форму Дирихле для
некоторой решетки, однако задание разложимой формы не вполне определяет
базис решетки, для которой оиа будет формой Дирихле, так как разложение
формы на множители не однозначно. Именно, в разложении формы на множители
F(xlXa.. .xn) = fl (*1«y> + *,«jf4 Y*JW
можно каждого множителя умножать, соответственно, на такие постоянные
я
числа Х<'>, что J~J М'> = 1. Это значит, что точки базиса решетки ш,, вJ, ...,
/=1
Ид, для которого форма F является формой Дирихле, можно одновременно
множить на произвольную точку QSU, ХB), ... Д(л)) с нормой, равной 1. «Ком-
«Комплексные объемы" основных параллелепипедов всех таких решеток будут оче-
очевидно одинаковы. Квадрат объема, т. е. дискриминант решетки, называется дис-
дискриминантом разложимой формы. Очевидно, далее, что подобным
решеткам, при соответствующем выборе базисов, соответствуют формы Дирихле,
отличающиеся постоянным множителем, равным норме коэффициента подобия,
и обратно—разложимым формам, отличающимся постоянным множителем, соот-
соответствуют подобные решетки. Отсюда следует, что дискриминанты разложимых
форм, отличающихся множителем е, будут отличаться множителем в2, т. е.
дискриминант формы является однородной функцией второй степени от коэф-
коэффициентов формы.
' Форма Дирихле для решетки, подобной решетке, рационально расположенной
относительно решетки, повторяющейся умножением, будет, с точностью до
множителя, в силу сказанного в начале предыдущего параграфа, формой с ра-
рациональными коэффициентами.
Докажем теперь обратное, что разложимая форма с рациональными коэффи-
коэффициентами задает решетку, подобную решетке, рационально расположенной по
отношению к некоторой решетке, повторяющейся умножением.
Пусть
F(xv х2.. .х„)= ? Aiuh...tn • х1!1- *?• • .•*; =
= П CM* + * <
— разложимая форма с рациональными коэффициентами.
Без нарушения общности можно считать что коэффициент Л_ 0 о...о при
лгя равен 1 и что ю?1) = в>|2)—• • • = a)J'I)= 1. Действительно, в решетке, задан-
заданной формой F, найдется точка общего положения, которую можно было бы
принять за первую точку базиса. Изменив таким образом базис и поделив на
первую точку базиса, перейдем к подобной решетке, удовлетворяющей поста-
поставленному требованию. Ее разложимая форма будет лишь рациональным множи-
множителем Отличаться от формы, эквивалентной данной. По тем же соображениям
можно считать точку (о)^1*, Ц2), ..., <о?я>) точкой общего положения.
Покажем теперь, что координаты точки и2 являются корнями алгебраиче-
алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами и что все остальные точки
базиса а8, йL, ..., <ол рационально выражаются через йJ. Тем самым высказан-
высказанное утверждение будет доказано.
Положим в равенстве (*) х\ = —1, дс8 = лг4=¦ • •=дга = О. Получим
РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ РЕШЕТКИ 55
Отсюда следует, что координаты точки о>2 являются корнями уравнения
я-ой степени с рациональными коэффициентами.
Далее, выпишем выражение некоторых коэффициентов через координаты
точек базиса. При этом для сокращения письма введем некоторые обозначения.
Символами 1^\ Х^\ . •., Щ}_ обозначим основные симметрические функции от
координат точки «л,, кроме <а$К Соответственно, через Х<2)Д^, ... Д<,22_, обо-
обозначим основные симметрические функции от координат точки а>2, кроме а>?2> ,
и т. д.
Получим:
Н
)Л~ третье на <о^)я~
Умножим первое равенство на «о^1)"~1> второе на —«41)Л~ . третье на <о^)
и т. д. и сложим:
п~1 "~2 *""— ••¦¦)
2 f И") ^1)" 3
Очевидно, что коэффициент при (о^ в левой части равенства равен
(O^2)) (a^1) — и<3))... (и^1) — a)("))=tp' (o)^)), отличен от нуля и рационально
выражается через Ц1). Коэффициенты же при о»!2), ...,а)^л> все равны нулю.
Следовательно,
...п—I , л — 2 , л—3
ШЬ =
Числа и^, Ц3), ...,«о^п) точно таким же образом выражаются через
Тем же приемом получим рациональные выражения остальных точек базиса
через точку ю2.
Утверждение доказано.
Как мы уже видели, подобным решеткам соответствуют пропорциональные
разложимые формы, и обратно. Естественно ставится вопрос о нормализации
разложимых форм с рациональными коэффициентами, т. е. о выборе из сово-
совокупности всех пропорциональных друг другу разложимых форм одной формы,
наиболее естественно связанной с решеткой, повторяющейся умножением. Задача
о нормализации решается посредством введения так называемого кольца мно-
множителей решетки.
56 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Пусть дана решетка 5 в пространстве К„. Рассмотрим совокупность всех
точек X пространства Кп, обладающих тем свойством, что произведение любой
точки решетки 5 на точку X принадлежит снова решетке 5. Совокупность
точек X, очевидно, содержит все целые рациональные точки и повторяется сло-
сложением, вычитанием и умножением. Будем называть эту совокупность кольцом
множителей решетки S.
Покажем,. что если решетка 5 подобна решетке, рационально расположенной
по отношению к некоторой решетке, повторяющейся умножением, то кольцо
множителей будет решеткой пространства К„, т. е. оно будет я-мерно
и дискретно.
Действительно, пусть решетка 5 подобна решетке, рациональной относи-
относительно решетки, повторяющейся умножением. Без нарушения общности можно
считать, что решетка 5 сама рациональна относительно решетки, повторяющейся1
умножением, и содержит единицу. В самом деле, от решетки 5 делением на
любую ее точку общего положения можно перейти к подобной решетке, удо-
удовлетворяющей поставленным требованиям, а подобные решетки имеют, очевидно,
одинаковые кольца множителей. *
Пусть (о),, <о2, ..., о)д] базис решетки 5 и <о — какая-либо точка решетки 5.
Произведения точки ю на точки базиса можно представить через базис:
й)(о1 = ап(о1 + а12(о2-1 \-а1аа>„
й)(о2 = a21o)j + а22(о2 -\ \- а2ва>л
И(°л=«„Л + а,а«>2 -\ \- апп«>п>
причем коэффициенты этого представления будут рациональными числами, так
как решетка S рациональна относительно решетки, повторяющейся умножением.
Обозначим через d общий знаменатель коэффициентов aik. Очевидно, что
точка dia принадлежит кольцу множителей, так как в результате умножения
этой точки на точки базнса решетки 5 мы получим линейные комбинации этих
точек с целыми рациональными коэффициентами, т. е. точки решетки 5. Таким
образом мы видим, что на любом луче, соединяющем, начало координат с точ-
точками решетки S, существуют точки кольца множителей. Следовательно, кольцо
множителей л-мерио. Дискретность доказывается еще проще. Именно, кольцо
множителей должно целиком содержаться в решетке S, так как эта последняя
содержит единицу. Решетка 5 дискретна, следовательно и кольцо множителей
дискретно.
Итак, кольцо множителей решетки, рационально расположенной относительно
некоторой максимальной решетки, повторяющейся умножением, образует ре-
решетку, повторяюшуюся умножением, очевидно содержащуюся в той же макси-
максимальной решетке.
Совершенно очевидно и обратное, что если решетка 5 имеет своим кольцом
множителей л-мерную решетку, то решетка 5 подобна решетке, рационально
расположенной относительно решетки, повторяющейся умножением, именно отно-
относительно 'кольца множителей.
Можно доказать точно так же, как доказывалась конечность числа классов
идеалов, что не педобных между собой решеток, имеющих данное кольцо мно-
множителей, может быть лишь конечное число. Таким образом, все решетки, по-
подобные решеткам, рационально расположенным относительно решеток, повторяю-
повторяющихся умножением, могут быть расклассифицированы по своим кольцам
множителей, причем каждому кольцу соответствует лишь конечное число не
.подобных друг другу решеток.
Покажем теперь, что в совокупности пропорциональных друг другу разло-
разложимых форм с рациональными коэффициентами можно найти форму с дискри-
дискриминантом, равным дискриминанту кольца множителей, причем эта форма будет
иметь пелые рациональные коэффициенты.
ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ И ВЗАИМНЫЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ
57
Пусть [©!, оJ, ...,о)я}—базис решетки S', форма Дирихле которой равна
данной разложимой форме N(xt, х2...ха) и пусть [Xj, Xj, ..., Хв]— базис
кольца множителей этой решетки. Умножим кольцо множителей на точку
ш = ххшх + х2а>2 -\ (- х„а>п.
Получим новую решетку, которая будет содержаться в решетке 5. Базисом
этой решетки будет система точек
ОХ,, юХз, ..., о)Хя] =
где //ft представляет собой линейные формы от лгх, лг2, ..., ха с целыми рацио-
рациональными коэффициентами. Подсчитаем объем (комплексный) основного парал-
параллелепипеда этой решетки двумя способами.
С одной стороны, он, очевидно, равен
v^l» *^2> • • •» *^в' * L^l» *i2> " * * * л-Ь
где V[X,, Xj, ....XJ—объем основного параллелепипеда кольца множителей.
С другой стороны, он равен
VО,,, <оа, ...,о)л].
Здесь F[o)j,.oJ, .
шетки 5. Форма
*Ц» -••»*;
1а
= V[0)j, 0)a
, ЛГ2, .
/¦ (Jfj,
обозначает объем основного параллелепипеда ре-
ре» • • •> *1
имеет, очевидно, целые рациональные коэффициенты.
Сопоставляя результаты, получим:
...,1 1
х
2' *
Покажем теперь, что дискриминант формы F равен дискриминанту кольца-
множителей. Обозначив через DN и Dp дискриминанты форм Л^ и F, из соот-
соотношения между формами получим: ,
Но DN, по определению, равно (К[а>1( о>2, ...,<оп]J, следовательно^
Dp=(V[tuv и2, ....©д]J, т. е. действительно дискриминант формы F равен
дискриминанту кольца множителей.
Итак, для данной разложимой формы N{xv x2, ...,хп) нам удалось по-
подобрать пропорциональную ей форму F(xvx2, ...,хп) с целыми коэффициен-
коэффициентами и с дискриминантом, равным дискриминанту кольца множителей. Форму F
будем называть нормализованной разложимой формой. Тот же термин будет
применяться к соответствующей ей решетке.
§ 9. Взаимные решетки и взаимные разложимые формы
В теории квадратичных форм и в кристаллографии бывает полезно ввести
в рассмотрение, на ряду с данной решеткой, связанную с ней взаимную решетку.
Под этим названием, для трехмерных вещественных решеток, подразумевается
совокупность концов векторов, ¦ перпендикулярных к каждой паре векторов-
исходной решетки и. имеющих, длину, -равную -площади параллелограмма,,
построенного на паре. Напомним некоторые свойства взаимной решетки-
58
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Пусть 5—трехмерная вещественная решетка с базисом ((оЦ), (й{2), а>C)),
1), «flip, (of)) и ((oJj1), (Op, af)). Запишем базис решетки в виде матрицы
расположив в каждой строчке матрицы координаты одной и той же тачки
базиса.
Рассмотрим пару векторов, идущих в точки решетки:
•Обозначим через (цA\ цB\ цC)) точку взаимной решетки, соотнесенную паре (т, v).
Ее координаты, очевидно, вычисляются по формулам:
|(» =
@B) X. ЛГ, @B) (й&
Ojf) "Г д ^ ' щр)^ щ^З)
„2 ~, _, _, .„„ „, _, (оС3) дг, дг„ (of) и'3)
x%
X2,
X2,
У2,
X%
y%
X3
Уз
хг
Уз
«of),
«of),
(Of)
И22)
@32)
(o33)
(oC3)
0»3D
o»3i)
@32)
Уг,
'X3,
Уз,
хз,
Уз,
xx
Ух
xx
Ух
xx
Ух
4-
+
Л-У»
•^1, ^2
^1,^2
Л, У2
•
О), ,о<1)
Из этих формул следует, что взаимная решетка есть действительно решетка,
<. базисом, координаты точек которого образуют матрицу, в обычном смысле
взаимную матрице, составленной из координат исходного базиса. Такой базис
взаимной решетки, называется взаимным по отношению к базису исходной
решетки.
Для решетки в пространстве Кп назовем взаимной решеткой решетку, по-
построенную на базисе, координаты которого образуют матрицу, взаимную с ма-
матрицей, образованной координатами точек базиса данной решетки. Геометрический
смысл взаимной решетки для вещественной л-мерной решетки — такой же, как
для трехмерной, с той только разницей, что перпендикуляры строятся для всех
совокупностей из (л— 1) некомпланарных векторов решетки.
Введение взаимной решетки оказывается очень полезным и в теории реше-
решеток, повторяющихся умножением. Как обычно, целесообразно взаимную
решетку скалярно поделить на объем основного параллелепипеда решетки.
В дальнейшем, под взаимной решеткой мы будем подразумевать взаимную ре-
решетку, уже поделенную на объем основного параллелепипеда.
Отметим несколько свойств такой взаимной решетки:
1. Взаимная решетка к взаимной есть исходная.
Действительно, если (и) есть матрица, составленная из координат базиса
данной решетки, то такая же матрица для взаимной решетки есть (и) (чер-
(черточка сверху —знак транспонирования), а для взаимной к взаимной (((й)-~1)-1:=(й.
2. Если два базиса (\, т2, ..., тя) и (и,, @2, ..., ип) связаны преобразованием,
имеющим матрицу А:
1 п1 + 12
т2 = 02,@, + а22@2 -\
\- а2паа,
ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ И ВЗАИМНЫЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 59
N.
то взаимные базисы связаны преобразованием с матрицей А~г.
Действительно, переход к координатным матрицам дает
(т)
откуда
^T5
3. Если решетку S умножить на точку (ХA\ ХB>, ... Х(я>), то взаимная решетка
/11 1 \
умножается на точку ^ р, ^,..., -^- ) .
Действительно, умножить решетку 5 на точку (ХA\ ХB>, ..., Х(")) —все равно,
что умножить матрицу из координат базиса на матрицу
X"), 0 ,0 ... О
о, х<*>, о... о
О, 0, 0, ... \0
справа; тогда
((и) Л)=((о)-1Л~1 = ((о)-1Л-1,
ибо
А=А. ;
4. Пусть X принадлежит кольцу множителей решетки с базисом (Wj, <о2... со0)
и при умножении на X базис претерпевает преобразование с матрицей L. Тогда
взаимный базис при умножении на ту же точку X претерпевает преобразование
с матрицей L.
Доказательство. Запишем в матричной форме то обстоятельство, что при
умножении на X базис претерпевает преобразование с матрицей L.
Мы видим, что умножение базиса на X равносильно умножению координатной
матрицы базиса на матрицу *
справа, а преобразование базиса с матрицей L равносильно умножению коорди-
координатной матрицы на L слева. Итак
Умножение справа на Л, слева на L~x дает:
(a)A->=L-1(«»).
Переход в этом равенстве к матрицам, транспонированным к обратным, дает
Это равенство и содержит в себе доказываемое утверждение.
5. Кольца множителей для данной решетки и для взаимной решетки совпа-
совпадают. .
Действительно, в силу предыдущего свойства, каждая точка из кольца мно-
множителей для решетки 5 является точкой из кольца множителей для взаимной
решетки S*, ибо матрица L целочисленна вместе с L. Далее, каждая точка из
кольца множителей для решетки S* есть точка из кольца множителей для ее
взаимной решетки, т. е. для S. Следовательно, кольца множителей для S к S*
совпадают.
60 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Из последнего свойства вытекает, что если решетка 5 является идеалом-
для максимальной решетки О, то взаимная решетка S* также является идеалом
для О. ' "
В частности, решетка О* является идеалом для О, играющим весьма важную
роль в теории алгебраических чисел.
Докажем несколько теорем, касающихся решеток, взаимных с идеалами
максимального кольца.
Теорема 1. Норма идеала а* равна
- 1
где D — дискриминант максимальной решетки.
Доказательство. По определению,
V(a)
V(O)
где V(a) — объем основного параллелепипеда идеала о,
а V(О) — объем основного параллелепипеда максимального кольца О.
Таким же образом
V(O)
Из определения взаимной решетки с очевидностью следует, что
V(a)V(a*) = l.
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Следствие.
V(a)V(a*)
IV(O)]*
1
'D
Теорема 2. След произведения любой точки а из й на любую точку а*
из о* есть целое число. Обратно, любая точка а*, обладающая тем свой-
свойством, что след ал* есть целое число, при любом а из а входит в й**
Доказательство. Пусть [аИ а2, ..., ап] — базис идеала а, [а|, а'2, ..., а„] —
взаимный с ним базис идеала а*. На основании определения взаимной решетки
очевидно, что 6"(а,а!) = 0, если i^=j, и равна 1, если /=/.
Пусть
а =лг,а,-|--*г2а2+ • • • +*вав точка из °»
4? -f-... Л-УпК точка из а*.
Числа xv лг2, лг8, ..., ха н yv у2, у3, ...,уп — целые рациональные. Тогда
5 (оо#) = ххух + Хгу2 + ... + хпуп
есть целое рациональное число.
Обратно, пусть 5 (а* а) есть целое число при любом а из о, в частности
при а = а,, а2 ая. Тогда, представив а* в виде
получим, что
yi=S(a* 04), yz = S(a* о,), . ..,ya = S(a* <y
ВЗАИМНЫЕ РЕШЕТКИ И ВЗАИМНЫЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 61
все целые рациональные числа и, следовательно,
принадлежит решетке а*.
Следствие. Решетка О* есть идеал, все точки которого имеют целые следы.
Обратно, каждый идеал, обладающий этим свойством, входит в О*. В част-
частности, О с: О* и, следовательно, 2) = О* есть целый идеал. Этот идеал
называется дифферентой максимального кольца О. Норма дифференты, на
основании первой теоремы, равна дискриминанту максимального кольца О.
Теорема 3.
аа* — О*.
Доказательство. На основании первой теоремы,
С другой стороны, аа* есть идеал, все точки которого имеют целые рацио-
рациональные следы. Следовательно,
аа* с О.
На основании этого включения и равенства норм, заключаем, что
• аа* = О*,
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Произведение дифференты любой точки максимальной
решетки О на решетку О* есть целый идеал.
Дифферентой точки (ХA\ Х<2>, .. . ,Х(Я>) называется точка с координатами
_ x<D) (ХB)*— Х<*>) ... (Х<2> —
Доказательство. Пусть X—точка максимальной решетки; умножим ее на
все точки ее базиса:
Х(о, = /„(о14-/,2со24--. . „ ..
Х(о2 == /2,со, + /220J + .. • 4-'гА.
<»2 4- • • • 4" 1па%-
В виду того, что X принадлежит решетке О, все числа Ц k будут целыми
иональными. Точка 1 принадлежит решетке. Следовательно,'
при целых рациональных tlt t2,.. .,tn. Рассмотрим точку ft,, координата ftj1' которой
имеет вид:
1> *2» • • •» *в
*21> ^22 "* > • • •> ^2л
а остальные выражаются через Х<2), .. .,Х(я), так же как j^1) через Х^\ Точка д,
принадлежит решетке О, ибо X ей принадлежит, а все llk и ^—-целые рацио-
рациональные числа. ' '
62
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Умножим скалярно цг на объем основного параллелепипеда решетки О. По-
Получим, по правилу умножения определителей:
••-.'я
• • • > *2я
(")
р, юр, ...,ш(/)
1,
1,
Поделив снова на объем, получим
где и* есть первая точка базиса взаимной решетки О* с решеткой О.
Взяв
ХB)
у2.
- X(D) .
• • • 'lH
•••'я
• •.'«-
.. (Х(«) -
получим
и т. д.
Таким абразом, произведения дифференты точки X на все точки базиза ре-
решетки О* суть точки jij, \t^, ... дп, принадлежащие решетке О. Следовательно,
произведение дифференты X на О* есть целый идеал, что и требовалось доказать.
Теорема ? может быть иначе сформулирована следующим образом: Диффе-
Дифференты всех точек максимального кольца О делятся на дифференту самого
кольца О.
В заключение отметим некоторые свойства разложимых форм, соответствую-
соответствующих некоторой решетке 5 и ее взаимной S*. Нормализовав решетки S a S*.
в смысле предыдущего параграфа, мы получим для них целочисленные разложи-
разложимые формы одинакового дискриминанта, равного дискриминанту их обшего кольца
множителей. Такую разложимую форму для решетки S* мы будем называть
формой Кэли для решетки S.
НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ О РЕШЕТКАХ 65
Из свойств взаимных решеток вытекают следующие свойства формы Кэли:
1. Форма Кэли для формы Кэли есть исходная форма.
2. Если разложимую форму подвергнуть линейному преобразованию, то
форма Кэли подвергнется контравариантному преобразованию.
Для трехмерных решеток форма Кэли в нашем смысле лишь постоянным
множителем отличается от формы, известной в литературе под названием контра-
варианта Кэли.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ О РЕШЕТКАХ В ВЕЩЕСТВЕННОМ
ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Под суммой (разностью) двух точек л-мерного вещественного эвклидова
пространства /?„ мы будем понимать точку, каждая1 из декартовых прямоуголь-
прямоугольных координат которой есть сумма (разность) соответственных координат скла-
складываемых (вычитаемых) точек. Мы будем говорить, что система точек повто-
повторяется сложением, если сумма или разность любых двух ее точек является
также ее точкой. Так как прибавление точки ко всем точкам системы экви-
эквивалентно параллельному переносу системы, то такую систему можно также
называть параллельно-переносной. Систему точек мы называем дискретной,
если существует такое, не равное нулю, расстояние г, что никакие две точки
рассматриваемой системы ие лежат друг от друга ближе, чем на расстоянии г.
Параллелепипедальной системой точек, или точечной решеткой, или просто ре-
решеткой, как мы будем говорить дальше, мы называем систему всех точек,
имеющих целые рациональные координаты по отношению к некоторой системе
л некомпланарных векторов, которую мы рассматриваем как координатную.
Этот л-векторник мы называем основным л-векторником рассматриваемой па-
параллелепипедальной системы, а построенный на этих векторах параллелепипед,
основным ее параллелепипедом.
Лемма I. Всякая дискретная система точек, повторяющаяся сложе-
сложением и вычитанием, есть решетка.
Пусть дана дискретная система точек Е, повторяющаяся сложением и вы-
вычитанием. Предположим, что все точки Е лежат в ]?я в /и-мерной плоскости,,
но не лежат все одновременно в одной (от—1)-мерной плоскости.
Тогда в Е есть от точек А, В, С, .. .,L, которые лежат от-мерио с началом
координат О (которое мы будем считать точкой системы), и все другие точки Е лежат
в /и-мерной плоскости /?т, определяемой этими точками. Пусть А— ближай-
ближайшая к О точка Е, принадлежащая отрезку ОА (такая точка существует, так
как в области любого ограниченного диаметра в Rm лежит лишь ограниченное
число точек Е, потому что, если описать вокруг всех точек, как вокруг цент-
центров, шары радиусов -?, то, в силу условия дискретности, шары эти не будут
входить друг в друга). Если А — ближайшая такая точка, то мы возьмем за
точку А саму точку А. Пусть В — ближайшая к прямой ОА точка Е, при-
принадлежащая параллелограмму ОАВ. Если такой точкой будет сама точка В,
мы возьмем за В точку В. Пусть С—ближайшая к плоскости ОАВ точка,
принадлежащая параллелепипеду ОАВС... L, и т. д. В силу повторяемости Е
сложением, все вершины параллелепипеда ОАВС ... I суть точки Е, а в силу
выбора точек А, В, ...,1, никакая другая точка Е не лежит ни внутри
этого параллелепипеда, ни на его границе. Построим на параллелепипеде
ОАВ ... I параллелепипедальную систему точек и обозначим ее через Е.
В силу повторяемости системы Е сложением и вычитанием, все точки Е при-
принадлежат системе Е, но никаких других точек в системе Е быть ие может.
Действительно, если бы внутри или .иа. границе какого-нибудь из параллеле-
параллелепипедов Е, гомологичных параллелепипеду ОАВ ... I (мы называем две фи-
64 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
г-уры гомологичными друг другу по отношению к данной решетке Е тогда,
когда одна из них получается из другой параллельным переносом на вектор Е,
т. е. на вектор, соединяющий две точки этой решетки), была точка Е, то,
в силу повторяемости системы Е сложением н вычитанием, какая-нибудь точка Е
лежала бы внутри или на границе {не в вершине) параллелепипеда ОАВ .../.,
чего нет.
Лемма II. Объемы всех основных параллелепипедов данной решетки
одинаковы.
Предположим теперь, что т = п. И будем предполагать это же и во всем
дальнейшем. Пусть ОАВ ... L — основной л-векторник решеткн и ОАВ' ... L'—
некоторый другой ее л-векторннк, т. е. А', В', ...,L' — точки этой решеткн.
В таком случае координаты точек А', В', ..., U относительно основного л-век-
торника этой решетки ОАВ L — целые рациональные числа. Объем я-век-
я-векторника ОАВ' ... L' больше объема я-векторника ОАВ ... L, как это сле-
следует из геометрии матриц, в Д раз, где Д — определитель из этих
координат. Объем всякого я-векторника решетки, следовательно, больше объема
основного ее я-векторника в целое число раз. Если ОАВ' ... L' — основной
я-векторник рассматриваемой решеткн, то объемы этого я-векторника и я-век-
я-векторника ОАВ ... L получаются каждый из другого умножением на целое число,
что может быть, только если они равны.
Мы будем говорить, что мы центрируем решетку, если мы добавляем так
новые точки в пространство /?„, .в котором она лежит, чтобы они вместе
с точками заданной решетки образовали в Rn опять решетку, но уже, конечно,
более густую. (Термин этот взят из кристаллографии, где играют большую
роль три специальные центрировки: добавление одной точки в центре каждого
параллелепипеда, из которых составлена решетка; добавление по одной точке
в центры всех граней этих параллелепипедов и добавление по одной точке
в центры обоих оснований каждого из этих параллелепипедов. Как легко
убедиться, такие добавления точек преврашают решетку опять в решетку
и сгущают ее соответственно в 2, 4 и 2 раза. Получаемые три решетки на-
называются по отношению к исходной: просто центрированной, центрогранной
и базоцентрированной).
Лемма III. Число различных центрировок решетки с данным индек-
индексом 8 ограничено.
Индексом центрировки называется число 5 =р -г-, на которое надо помно-
помножить объем основного параллелепипеда данной решетки, чтобы получить объем
основного параллелепипеда центрировки. Самую решетку, получаемую после
центрировки, мы будем, для краткости, называть центрировкой заданной решетки.
Индекс центрировки всегда, очевидно, равен единице, деленной на целое рацио-
рациональное число, как это следует из параллельной переносности полученной
параллелепипедальной системы. В каждом основном параллелепипеде заданной
решетки одно и то же число добавленных точек, Д = у , равное числу точек,
добавленных в одни параллелепипед, увеличенному на 1. В виду того, что
дать способ находить все центрировки с данным индексом и вывести точную
формулу их числа не многим труднее, чем лишь доказать конечность их числа,
мы сделаем первое.
Заметим прежде всего, что точки А, В, ..., I леммы I имеют координаты
(л:п0 0 ...0)
(х21х220 ...0)
(хп1 Хп2 • • • Хпп>
НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ О РЕШЕТКАХ
65
относительно основного я-векторника ОАВ ... L. Рассматривая решетку Е как
центрировку решетки Е, построенной на я-векторнике ОАВ ... L, и обозначив
целое число, обратное индексу 8 этой центрировки, которое показывает, во
сколько раз объем параллелепипеда ОАВ ... L меньше объема параллелепипеда
ОАВ ...L, через Д, мы видим, что Д = Д,-Д^ ... -Ап, где At — положитель-
положительное целое рациональное число, показывающее, во сколько раз точка А ближе
к О, чем точка А, Д2 — положительное целое рациональное число, показываю-
показывающее, во сколько раз точка В ближе к прямой ОА, чем точка В, и т. д. Что
числа Д1? Д2, ...,Д„—положительные целые
рациональные, следует просто из того, что все
точки Е, лежащие на прямой ОА, имеют все
координаты свои относительно я-векторника
ОАВ.,. L равные нулю, кроме первой, и если
точка А параллелепипедальной1 системы Е, лежа-
лежащая на прямой ОА, имеет координату эту равную
Д., то Д,— целое рациональное число и т. д.
1
Кроме того, мы видим, что хп=^, Jf22 =
= т-> • • •» хт = д~ • Итак, всякой центрировке
. П
с индексом Д соответствует вполне определен-
определенное (принимается во внимание и порядок) раз-
разложение Д на целые положительные множители, Черт. 1.
причем некоторые иэ них могут быть равны и
1. Пусть взято одно из таких разложений, т. е. зафиксированы числа Д1?
у
Д2, ...,Д„- Как это_видно из черт. 1, где
1
! = 4, Д2=3, Д8 = 5 (т. _е.
2 „ _ _
= 60), вектор ОВ, увеличенный в Д2 раз, имеет конец В' в целой точке Е,
лежащей на ребре основания центрируемого параллелепипеда ОАВ ... L, про-
противоположном ОА, а вектор ОС, увеличенный в Д8 раз, имеет конец свой С
в целой точке плоскости основания центрируемого параллелепипеда, противо-
противоположного ОАВ, и т. д. Пусть точка В' на ребре ВВ' достигается из
точки В прибавлением уи раз вектора ОА, а точка С на плоскости верхнего
основания центрируемого параллелепипеда достигается из точки С прибавле-
прибавлением y3i Раз вектора ОА и у82 раз вектора ОВ, и т. д. Тогда очевидно, что
координаты точек А, В, С... по отношению к я-векторнику ОАВ ... L полу-
получаются по следующему правилу: по диагонали надо написать числа -г* ,
11 й!
¦г-, ..., т- , над диагональю нули, и затем справа от вычисляемой квадратной
матрицы — колонки чисел Y2P Ysp Ys2> Y4i» Y42' Y4S'--1» пРичем числа этих
колонок можно предполагать неотрицательными и меньшими, чем соответственно
Д2, Д3, Д4 ...; тогда каждой такой записи однозначно соответствует определен-
определенная центрировка с разложением Аг • Д2 • ... • Дл, и обратно.
1
Y21 Тз1 Y41
Ys2 Y42
Y43
Yn2
Для вычисления координат точек В, С, ...,/., стоящих под диагональю,
надо поступать так: сначала вычислить координату В, затем, когда она уже
получена, вычислять координаты Сит. д., составляя их как линейные комби-
комбинации уже имеющихся в матрице соответственных координат, коэффициентами
которых служат числа колонки, н деля на соответственное Д..
5 Теория иррацион. 3-й степени
66 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Пример:
i 2 3 2
1 1
6" 3"
1? 1 1
60 15 5
53 7 1
Ш 45 15
'_4
3
2 ! 1 1 1
1 4 6 13. 3 2 ф
5 ~60' "F~~15'
2.1 + 1.i + 1-13 l-I + l 2 1.1
1J___6___JO_ 53 . _3___Ц_1. 5 _1
3 180' 3 45' 3 15
Число /„,д всех возможных различных центрировок я-мерной решетки
с индексом $=-т- равно, следовательно, 2Д2-Д|-Д* ... Ajj, где 2 распро-
распространена на все возможные различные разложения числа Д на я множителей
At, Ag, ..., Д„, причем порядок множителей принимается во внимание. Например,
/36 = 91, так как 6 = 6- Ы = 3-2-1 = 3-1 -2 = 2-3.1 = 2-1 -3 = 1-6-1 =
= 1-1.6= Ь2-3 = 1.3-2; Ы2 -f- 2-12 _j_ l.2« -|_ 3-12-f- 1 -З2 + 6-12-f-
+ 1-62+ 3-22 + 2.32= 1 + 2 + 4+3 + 9 + 6+ 36+12+18 = 91.
Лемма ИГ. Число различных подрешеток п-го измерения данной ре-
решетки п-го измерения с данным индексом Д ограничено и равно также /„, д.
Подрешеткой заданной решетки мы называем всякую решетку, которая
есть часть заданной решетки. Если решетка Е2 есть подрешетка решетки Ег,
то решетка Ег есть центрировка решетки ?2. Индексом подрешетки мы опять
называем число S, на которое надо помножить объем основного параллелепи-
параллелепипеда заданной решетки, чтобы получить объем основного параллелепипеда
рассматриваемой подрешетки.
Индекс 8 подрешетки есть, в силу сказанного в лемме II, всегда целое
рациональное число Д. В виду того, что заданная решетка Ег может рассмат-
рассматриваться как центрировка рассматриваемой ее подрешетки Е2 с индексом
¦j- и что, если разные подрешетки с индексом Д аффинно преобразовать
в одну и ту же решетку, то данная решетка, очевидно, преобразуется в раз-
разные центрировки этой решетки с индексом -г- (так как иначе обратные пре-
преобразования не могли бы дать разных подрешеток), то число различных под-
подрешеток с индексом Д равно /л, д.
Лемма ИГ. Число различных п-мерных решеток, рациональных по
отношению к данной п-мерной решетке данного индекса, с заданным зна-
знаменателем, ограниченно.
Мы называем решетку рациональной по отношению к данной решетке, если
координаты всех п основных ее точек (а следовательно и всех вообще ее точек)
по отношению к основному л-векторнику заданной решетки рациональны. Как
любая пбдрешетка данной решетки, так и любая ее центрировка есть решетка,
рациональная по отношению к данной решетке, но рациональная- решетка по
отношению к данной решетке может не быть ни ее подрешеткой, ни ее цент-
центрировкой.
Индексом такой решетки мы называем опять число 5, на которое надо
умножить объем основного параллелепипеда заданной решетки, чтобы получить
объем основного параллелепипеда этой решетки. В этом случае индекс может
быть любым целым или дробным числом. Знаменателем Q такой решетки мы
называем общий знаменатель всех координат всех л основных (а следова-
следовательно и вообше всех) точек этой решетки, взятых по отношению к основному
я-стороннику заданной решетки. Все решетки, рациональные по отношению
к заданной решетке с данным знаменателем Q, суть, очевидно, подрешетки
НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ О РЕШЕТКАХ 67
той центрировки заданной решетки с индексом § = ^, которая получается,
если просто уменьшить каждый из основных векторов заданной решетки в Q
раз. Вели рациональная по отношению к заданной решетке решетка с знаме-
знаменателем Q имеет по отношению к ней индекс Ь, то индекс ее по отношению
к рассмотренной решетке, линейно в Q раз меньшей, чем заданная, есть целое
число и равен 81= —, и, следовательно, число разных таких решеток не
больше, чем /n, s,- Вообще говоря, это число меньше, так как некоторые из
таких центрировок могут иметь по отношению к заданной уже знаменателем
не Q, а какого-нибудь делителя Q.
В виду того, что знаменатели Q — числа целые рациональные, из ограни-
ограниченности числа различных решеток, рациональных по отношению к данной
с данным индексом и данным знаменателем, следует ограниченность этого числа
при данном индексе и лишь ограниченном знаменателе.
Лемма IV. Пусть Rt и R2 — две рационально связанные п-мерные ре-
решетки. Обозначим через T=[RV R2] пересечение этих решеток, т. е.
совокупность всех общих точек. Через S— (Rv R^) обозначим объединение
решеток Rl и /?2, т. е. совокупность всех точек Rt и R2 и их сумм,.
Тогда индекс, с которым решетка Rt центрирует Т, равен индексу,
с которым решетка S центрирует R2.
Доказательство. Прежде всего убедимся в том, что S и Т пред-
представляют собой решетки. Обе эти совокупности, очевидно, повторяются сло-
сложением и вычитанием. Обозначим через ./V общий знаменатель коэффициентов,
посредством которых базис решетки /?2 выражается через базис /?х; тогда
/?2 с тг Rv /?, с NR2- Совокупность Т я-мерна, ибо она содержит в себе
я-мерную решетку NR2. Совокупность Т я-мерна, так как содержит я-мерные
решетки /?, и R2. Совокупность Т дискретна, так как она содержится в дис-
дискретных решетках /?5 и /?2. Совокупность S дискретна, так как оиа содержится
в решетке jt Rt. В силу леммы I, обе совокупности S и Т суть решетки.
Назовем две точки некоторой решетки сравнимыми по подрешеткё, если их
разность принадлежит этой подрешеткё, и не сравнимыми — в обратном случае.
Совокупность точек решетки, попарно не сравнимых по подрешеткё, но таких,
что каждая точка решетки сравнима с одной из них, назовем полной системой
вычетов решетки по подрешеткё. Примером полной системы вычетов може.т
служить совокупность всех точек решетки, лежащих внутри и на негомоло-
негомологичных частях границы основного параллелепипеда подрешетки. Число точек,
образующих полную систему вычетов, очевидно, равно индексу, с которым
решетка центрирует подрешетку.
Для доказательства нашей леммы сравним полную систему вычетов решетки
/?j относительно Т и решетки 5 относительно /?2.
Пусть (av (L,, .,. , ak) — полная система вычетов решетки /?, относительно Т.
Докажем, что она является также полной системой вычетов 5 относительно R2.
Для этого нужно доказать три вещи: во-первых, что точки (а1; а2, ... , ak)
принадлежат S, во-вторых, что они попарно несравнимы по R2, и, наконец,
что каждая точка решетки 5 сравнима с одною из точек (alt а2, ... , ak) по
решетке R2.
Первое очевидно, так как все точки решетки/?1( в том числе и (а,, а2,..., ак),
принадлежат решетке 5.
Допустим теперь, что fy^tZj (mod R2) при i^j. Тогда разность at — Щ
принадлежит одновременно и решетке /?2 и решетке Rv а следовательно, и их
пересечению Т, что противоречит тому, что (<Zj, а2, ... , ак) — полная система
вычетов по решетке Т. Таким образом, точки (а,, а2, ... , ак) попарно не
сравнимы т> решетке /?2. Пусть теперь а — какая-либо точка решетки S.
5*
68 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Очевидно, что в может быть представлено в виде а = а.-\~$, где а — точка
из /?1? [J — точка из /?2, и следовательно a = a (R2). Но а = а(Г), ибо
(atj, а2, ... , аА) есть полная система вычетов решетки Rt относительно 7",
а следовательно a — а,. = (<т—а) + (а — а,.) принадлежит решетке /?2' ибо
и а — а и а — а, принадлежат /?2. Итак, <т = а,. (#2) и, следовательно,
(<Zj, fl^, ... , ak) есть, действительно полная система вычетов решетки 5 отно-
относительно R2. В виду того, что решетки /?, относительно Т и решетки 5
относительно /?2 имеют одинаковые полные системы вычетов, индексы центри-
центрировки /?j относительно Т и S относительно /?2 одинаковы,— что и требовалось
доказать.
Лемма V (Минковского). выпуклое тело с центром в точке решетки,
объем которого более чем в 2я раз превосходит объем основного паралле-
лепипеда решетка, имеет внутри себя по
крайней мере две (симметричные друг другу
относительно центра) точки решетки.
Тело называется выпуклым, если вместе с
любыми двумя его точками ему же принадлежит
Черт. 2* и любая точка соединяющего эти точки от-
отрезка. Точка О называется центром тела, если
вместе с любой точкой тела ему же принадлежит и точка, ей симметричная
по отношению к точке О, т. е. такая, что О является серединой отрезка,
соединяющего обе точки.
Пусть имеется выпуклое тело М, имеющее центр в точке О решетки Е
и такое, что оно не содержит никаких других точек Е нн внутри себя, ни на
своей границе. Уменьшим это тело М линейно вдвое, стянув его гомотетично
к точке О, и обозначим уменьшенное тело через Мх. Построим тела, равные
и параллельные Ми вокруг всех точек Е как центров. Такие тела Mt не
будут иметь общих точек, так как если бы такие два тела с центрами в точ-
точках А и В решетки имели общую точку, то,— в силу того, что они выпуклы,
имеют центры симметрии в точках А к В, равны и параллельно расположены,—
и середина С отрезка АВ была бы их общей точкой. Действительно, из того,
что точка D есть общая точка этих двух тел, следует, что точка D' есть точка
тела В, а следовательно точка Lf есТь точка тела А; аналогично следует, что
¦точка О" есть точка тела А, а, следовательно, точка Ef есть точка тела В.
Итак точка Cf—тоже общая точка обоих тел, но тогда и точка С, являющая-
являющаяся серединой отрезка D?f, а следовательно и серединой отрезка АВ, есть, в
силу выпуклости тел А и В, общая точка этих тел.
Объемы тел Mv следовательно, не больше объема основного параллелепипеда.
Итак, если выпуклое тело М с центром в некоторой точке О решетки Е
ие имеет нн внутри, ни на границе, кроме центральной, ни одной другой точки
решетки Е, то объем его не больше, чем 2я раз взятый объем основного па-
параллелепипеда решетки Е.
Следовательно, если объем выпуклого тела М' более чем в 2" раз превы-
превышает объем основного параллелепипеда решетки, то внутри тела М найдутся
оо крайней мере две точки решетки, кроме центра О.
ГЛАВА II
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
§ 10. Кубическое поле, преобразование Чирнгаузена, целые числа поля
Пусть числа s,q,n — целые рациональные, и уравнение
qx-\-n A)
ие имеет целого рационального кория, т. е. никакой из делителей его постоян-
постоянного члена не есть его корень. Тогда оно иеприводимо в абсолютном рацио-
рациональном поле и его корни р, р', р" называются кубическими числами. Если
коэффициенты уравнения не целые, а только рациональные, то всегда можно
найти такое целое рациональное число k, что при умножении этих коэффициен-
коэффициентов соответственно на k, k2, k3 получатся уже числа целые; этому помножению
соответствует увеличение корней в k раз, и, таким образом, со всяким ура-
уравнением вида A) с дробными рациональными коэффициентами тесно связано
такое же уравнение с целыми рациональными коэффициентами.
В рассматриваемом случае^ когда уравнение A) неприводимо, совокупность
всех чисел о, которые являются рациональными функциями от одного из его
корней, например от р (т. е. получаются из р комбинированием р самого с
собой ограниченным числом действий сложения, вычитания, умножения и деле-
деления), образует так называемое поле кория р и обозначается Q? . Очевидно, что
комбинация любого ограниченного числа чисел поля при помощи ограничен-
ограниченного числа действий сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деле-
деления иа нуль), есть опять число поля. Поля
%, Of, %",
вообще говоря, различны.
Всякая рациональная функция от р может быть, как известно, после избав-
избавления дроби от многоэтажности, понижения полиномов от р, стоящих в
числителе и знаменателе, до 2-ой степени, путем деления на р8 — sp2 — qp— п
и избавления от иррациональности в знаменателе, приведена к виду:
где числа и, v, w, Д— целые рациональные. Практическое правило для освобо-
освобождения от иррациональности в знаменателе, основанное на способе неопределенных'
коэффициентов, будет дано дальше.
Легко видеть, что если предполагать целые числа и, v, w, Д ие имеющими
общего делителя, то число о может быть только одним способом представлено
в виде B), так как два различные представления B), приравненные друг
другу, дали бы уравнение 2-ой степени, которому должно было бы удовлетво-
удовлетворять р, чего быть не может, так как р удовлетворяет, по предположению, непри-
неприводимому уравнению 3-ей степени A).
Поле йр есть, следовательно, не мгго иное, как совокупность всех чисел
вида B).
70 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Нетрудно составить уравнение 3-ей степени, которому удовлетворяет число
z = ир2 -j- vр -j- w =¦ <р(р), т. е. произвести так называемое преобразование
Чирнгаузена. Действительно, для этого достаточно написать 2, 2-р, г-р2,
пониженные до 2-ой степени относительно р, и затем написать, что определи-
определитель, составленный из коэффициентов при 1,р,р2, равен нулю.
Пример. Пусть р8 = р -\- 1, и требуется составить уравнение, которому удо-
удовлетворяет z = 2р2 -\- Зр -j- 1. Пишем
*.р* = ЗрЧ-2р+3 (р-Н)= Зр* + 5р+3J
откуда:
z—\, —3, —2
— 2, 2—3, —3
— 3, —5, г — Ъ
=0
или, раскрывая этот определитель, лучше по Саррюсу, получаем:
B« — 6z + 9J(.z— 1) — 27 — 20 — 6B — 3) — 6B — 3)— 15B— 1) = 0,
т. е. окончательно:
гз_72« —272 —5 = 0.
Если коэффициенты преобразуемого уравнения A) и преобразующей функ-
функции ср(р) — целые, то и коэффициенты преобразованного уравнения—тоже
целые. Уравнение, которому удовлетворяет ю, получается из уравнения, которому
удовлетворяет 2, путем деления его коэффициентов на Д, Д2, Д3. Если они
разделятся, то уравнение, которому удовлетворяет ю, будет иметь тоже целые
коэффициенты. Числа поля йр , удовлетворяющие уравнениям вида A) с целыми
рациональными коэффициентами s, q, n, так называемым целым уравнениям, называ-
называются целыми числами поля. Очевидно, что если само р — целое число, то
все числа вида B), у которых A = zfcl,— целые. Однако может быть, как
легко видеть, что знаменатель Д числа ю не равен +1 и тем не менее число
это целое, в виду только что указанной возможности, что коэффициенты того
уравнения, которому удовлетворяет z = up2-\-vp-{-w, окажутся делимыми иа
д, д«, д».
Корни уравнения, получаемого из A) преобразованием Чирнгаузена г =
= ир2 -j- up -j- w't суть
2 = ар2 -J- vp -J- w, z' = ир'2 -4- vp' -\- w; z" = ир"а -j- vrf -\-w.
Если бы уравнение это вышло приводимым, то один из его корней оказался
бы рациональным числом г. Пусть, например, ир'2-{-г>р' -\-w=-r, тогда, вследствие
однозначности формы B), должно быть и=г> = 0; w = r. Таким образом
z = w', и уравнение, которому удовлетворяет 2, имеет вид (z — iyK = 0. Итак,
всякое число кубического поля либо удовлетворяет неприводимому уравнению
3-ей степени, т. е. есть кубическое число, и тогда по крайней мере один из
двух коэффициентов и, v не равен нулю, илн же оно рациональное число (это
будет, если u = v = 0). Числа поля йр , удовлетворяющие неприводимым
уравнениям 3-ей степени, называются примитивными числами поля.
Все примитивные числа поля выражаются друг через друга рационально,
так что вместо исходного кубического числа р можно любое из них взять для
образования того же кубического поля. Действительно, пусть z—примитивное
число, и
2 = ир2 -|- vр -j- w, C)
ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ. ДЕЛЕНИЯ 71
тогда Г * ^=0, так как иначе было бы и, *=Ъ-и, v1 — b-v, где 5 — целое или
дробное рациональное число, и, следовательно, было бы zi^b-z-[-(wl— bw),
т. е. z удовлетворяло бы, против предположения, уравнению с рациональными
коэффициентами ниже 3-ей степени. Но, если
и v
\ф0, то из C) и D),
как из двух уравнений 1-ой степени, можно найтн р рационально через z.
Пример. Выразить р через z =2р2+3р + 1, если р3 = р+1. Мы имеем
* 4* + 92+1+12З+42 + 6 4(+1)з13 + 6+1 + (
р р+р+р + р (р+)+р + р+
+ 1)=17р2 + 26р + 17» т. е. имеем для определения р систему:
Зр+ 2р2=г —1 \
26+17р2 = г2_17/'
откуда р = 2г2—\lz—17.
Совокупность всех целых чисел поля 2р образует кольцо, т. е. воспроизво-
воспроизводится действиями сложения, вычитания и умножения. Действительно, пусть,
Hip2 + V\o •+- wt и,р2 4- v2p 4-w« „
например, о), = д , оJ = -2- л — целые числа поля 2Р .
Составим уравнение:
F (х) = [* — (со, + «,)] [* — (о){+ «?| [* — («J + «ДО, E)
>'[
где о){, о)^' а>'[, о)^' — числа сопряженные с о),, оJ, т. е. получаемые из них
заменой' в них р на р' и на р". В силу теоремы о симметрических функциях,
коэффициенты уравнення E) как симметрические функции от S, S',S"—рацио-
S',S"—рациональные. Составим теперь уравнение 9-ой степени:
—(o)i+ оJIдг —(о)!+ оJ)][дг—(о),+о>2)][л: —(о)^+ оJ)][д: —(o)i'+oJ)].
•[л: — (о)|+ (a%)Jx — (o)i + оJ)][дг —(o)i + оJ)] [л: — (о)" + о)г)]. F)
Все коэффициенты этого уравнения целые рациональные и симметрические
функции как от u>j, u>i, о)], так и от ш2, сог, о>2 и, следовательно, выражаются
цело рационально через коэффициенты тех уравнений вида A), которым удо-
удовлетворяют числа го, и ю2. Но, по предположению, числа эти целые, а, следо-
следовательно, и коэффициенты уравнения F) целые. Итак, многочлен F(x), стар-
старший коэффициент которого единица, а остальные — целые рациональные числа,
делится на многочлен F(x), старший коэффициент которого единица, а осталь-
остальные коэффициенты которого рациональные числа; но тогда, по известной
лемме Гаусса, коэффициенты /^л:)—все целые рациональные. Таким образом
выходит, что, если o)j и ю2 — целые числа поля Qp , то <ог + оJ — тоже целое
число этого поля. Совершенно такое же доказательство для разности o)j — ю2
и произведения o)j-oJ. Если целое число поля рационально, то оно — обыкно-
обыкновенное целое рациональное число, так как, как мы видели, уравнение, которому
оно удовлетворяет, имеет вид (д:—w)z=0 и таким образом wz, а следова-
следовательно и w,— целое.
§ 11. Действия сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения
в степень и извлечения корня для чисел кубического поля и вычисление
их нормы и дискриминанта
Если о), = и1р2 + 'У,р + 'а>,; оJ = и2р2 + w2p + w2, то o)j±oJ =
= (И1±и2) P2 + ('Wi zt^P + ^i dh^)- В произведение (O^Wj число р вой-
войдет в 3-еЙ и 4-ой степени, поэтому для быстрого выполнения умножений
надо себе заготовить японижающие тождества", а именно, если
то
72 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Пользуясь этими тождествами, можно быстро выполнять умножения.
Пример. Пусть р3 = Зр2 + Р 4" 2J тогДа Р4 = Юр2 + 5р -f 6, и произведение
вычисляется так, например:
Eр2 + 2р—1)Bр2—Зp + 2)=10A0p24.5p-¦|-6L,-4(Зp2 + p4•2)--2p2 —
—15(Зр2+р+2)—6р2-|тЗр--|-10р2--|-4р—2==
= 69р2 + 46р4-36.
Действие деления выполняется проще всего способом неопределенных коэффи-
коэффициентов, например:
откуда получаем:
* — ЗЛр3-f 2Лр2-f-
+ p pp
-f 2Cp2 — ЗСр + 2С= 5р2 -f 2р 4- 1
или в силу понижающих тождеств:
+ 2Ср2 — ЗСр + 2С=5р2
сравнение коэффициентов при степенях р дает:
. 121 _ 185.
и, следовательно, А — р^; а =—^,
Это вычисление является наиболее удобным для избавления от иррациональ-
иррациональности в знаменателе.
Можно иначе производить деление, а именно, можно и числитель, и
знаменатель помножить иа множитель, .дополнительный" к знаменателю, т. е.
иа произведение двух чисел, кубически сопряженных с знаменателем, но для
этого иадо иметь готовую формулу этого множителя. Если число ш имеет вид
ш = ир2 -\- vp -f- w, то дополнительный множитель
ш'ш" = (— utq -\-uvs - uw-\- w2) р2 -f- (u2s4 4" /z — uvs* — v*s—VW^P 4~
+ (и2^2 — u2sn — uvsq — uvn -J- uws2 -j- 2uwq — v2q -|- vws -J- w2).
Перейдем теперь к возвышению в степень. Если нужно возвышать кубиче-
кубическое число ш = up2 -\-vp-\-w в степень, например вычислить табличку после-
последовательных степеней до какой-нибудь данной, то
самое лучшее составить рекурсиоиную формулу, веду-
ведущую от шт к шт+1. Пусть, например: р3 = p2-f- 2P 4" 2»'
(о=—р2+р-)-3. Мы имеем тогда p4=3p2-f-4p-j- 2,
и, следовательно, если шш = Af + 5р -\- С, то шт+^ =
=ф4р2+5Р + О (— Р24- Р+3) = И—ОР8 + (— 2А 4-
_^_д_(_С)р-[-(— 2В-\-3Q. Получается такая табличка
коэффициентов последовательных степеней:
Этот способ безусловно самый удобный, когда
надо вычислять последовательные степени кубического
числа. Существует, однако, и прямая формула, сразу
позволяющая выписать коэффициенты любой требуемой степени, без необходи-
необходимости вычислять все промежуточные. Действительно, пусть возвышаемое в сте-
от
1
2
3
4
5
А*
— 1
— 4
—И
—20
— 5
В
1
6
21
52
77
С
3
7
9
— 15
—149
и т. д.
ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ, ДЕЛЕНИЯ 73-;
пень число есть <s> = uqP-\-vp-\-w. Составим при помощи преобразования
Чирнгаузена то уравнение ю8 = 5ш2 -f- Qu> -f- N, которому удолетворяет ш;
тогда, если
то имеет место следующая формула:
сумма распространена на все неотрицательные целые числа а, ($, у, удовлетво-
удовлетворяющие уравнению a -f- 2jS -f- Зу = т — 2.
Доказательство этой формулы получается способом полной индукции.
Для того, чтобы вычислить V' Wm, достаточно заметить, что шт+1 =
= (f/m5+ VJ т«+ . .. ; шж+« = [B/л^4- VJ S + UJQ+WJ ю«+ ... (чле-
(члены, не содержащие ш и содержащие ш в 1-ой степени, мы тут опустили), и,
следовательно,
По этим формулам легко вычислить Vm, Wm, если Um, Um+X, Um+2 вычисле-
вычислены по формуле B). Дальше останется только подставить в A) выражение о>
через р.
Что касается извлечения корня, то можно порекомендовать следующий прием.
Пусть
| C)
-—уравнение, которому удовлетворяет кубическое число ш, и пусть ю = р*,
где р — также' кубическое число, заданное уравнением
Основные симметрические функции S, Q, N от корней уравнения C) суть-
также симметрические функции от корней уравнения D) и, следовательно, рацио-
рационально выражаются через основные симметрические функции s, q, п. В част-
частности, очевидно, N=/z*.
Выражения для S и Q сложнее, но они также без труда могут быть выпи-
выписаны при каждом численно данном k.
Задача извлечения корня А-той степени из ш сводится к разысканию s, q, n
по данным S, Q, N и k, т. е. к решению системы трех уравнений с тремя
неизвестными, в том случае, когда эта система допускает рациональные реше-
решения, причем одно нз уравнений системы решается сразу.'
Очевидно, что задачу извлечения корня достаточно уметь решать лишь
для простого показателя.
Рассмотрим прежде всего k — 2.
В этом случае
S = s*-\-2q )
E)
J
Из последнего уравнения находим n = ]/rN. Значение корня можно брать,
всегда со знаком -{-. При этом будет получаться то из двух значений j/«>r
норма которого положительна.
Исключаем затем q из первых двух уравнений. Получим:
(s2 — 5J — Sns -f- 4Q = 0.
Рациональный корень этого уравнения, если таковой существует, принима-
принимаем за s и затем находим q из первого уравнения системы E).
74 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
При исследовании задачи для других значений k ограничимся случаем целых
рациональных S, Q, N. В этом случае s, q, n также должны быть целыми ра*
циональными. Покажем, что решение системы уравнений для определения s и q
сводится к конечному числу испытаний и сравнительно небольшому, как будет
видно из примеров.
Пусть k=p — нечетному простому числу. Выпишем систему уравнений для
s и q:
Ф [s,q)
, \
Рассмотрим затем число 1 -f- со = 1 -)- рр. Это число при делении на 1 —]|— р
дает в частном целое алгебраическое число. Следовательно, ЛГA —(— а>) делится
на Л^A —J— р). Кроме того, легко видеть, что эти нормы должны иметь одина-
одинаковые знаки.
Точно так же, NA—со) должно делиться на NA—р) и иметь тот же
знак. Выражая NA+0)) и ^(l+p) через коэффициенты уравнений, которым
удовлетворяют вир, получим:
1 -)-5 — Q-\-N делится на \-\-s— Ч~\~п и имеет тот же знак; \
1—5 — Q—N делится на 1—s — q — п и имеет тот же знак. /
Перебирая всевозможные делители для 1 -f- «S — Q-\-N я 1 — 5 — Q — N,
получим конечное число возможностей для s ч q, которые затем все должны
быть испытаны подстановкой в F).
Количество испытаний может быть уменьшено в силу следующих сообра-
соображений.
Очевидно, что N = n.P^n (mod/;) в силу известной теоремы Ферма. По-
Покажем, что S^s (modp).
Действительно, 5 = со^-f-со'''-f-со"/" = (со -\-чл'-\-ш")Р ^р.А, где А — сим-
симметрическая функция от со, со', со" с целыми рациональными коэффициентами, так
как все полиномиальные коэффициенты в разложении (со-J-со' -j- w")P делятся чар.
Следовательно, А — целое рациональное число и
S ^sP (mod р),
откуда следует, в силу теоремы Ферма:
Тем же способом легко получить, что Q&=q(modp). Следовательно,
(8)
Эти сравнения уменьшают число комбинаций значений s и q, которые дол-
должны быть подвергнуты испытанию.
В случае задачи об извлечении кубического корня система F) превра-
превращается в
Решение для этого случая облегчается, по сравнению с общим случаем,
тем, что s является делителем 5—Зли q — делителем Q-\-3ri?. Следует отме-
отметить также соотношение Q-j- nS .= q3 -\- nsf, применение которого облегчает
испытания.
Все приведенные выше соображения дают возможность ' решить в конечном
числе действий также следующую задачу»
ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ, ДЕЛЕНИЯ 75
Дано целое кубическое число ш. Выяснить, является ли это число какой
либо степенью другого кубического ' числа, и если да, то найти основание и
показатель степени.
В самом деле, если N=? 1, то показатель ограничивается сразу, ибо N дол-
должен быть полной степенью целого рационального числа с тем же показателем.
Если N— 1, то можно прежде всего извлекать квадратный корень до тех пор,
пока это возможно. После того как это будет проделано, показатель степени
сможет делиться лишь на нечетные простые числа.
Из соображений делимости G) мы получим конечное число, комбинаций
для s и q, и для каждой комбинации — конечное число возможных значений для
показателя р. В самом деле, в силу сравнений (8) р должно входить в общий
наибольший делитель 5 — s и Q — q.
Поясним все сказанное примерами.
Пример 1.
(й3 = 22ш2—89ш + 484. Найти
Прежде всего находим п =^484 = 22.
Затем составляем систему:
s2 + 2? = 22,
q2 — 44s = 89.
Исключая q, получим
s* — 44s2— 176s +128 = О,
откуда находим s = 8, 9= 21.
Следовательно, ш = р2, где р удовлетворяет уравнению
рз = 8р2 —21р + 22.
Пример 2. ш3 = —6ш2 —29ш+1. Найти >/ш-
Составляем систему F), принимая во внимание, что п=\
s3-\-3sq = — 9,
q3 — 3sq= — 26,
складывая получим
3 + 3= —35,
откуда q-\-s = —1; — 5;—7; — 35
Но q + s=sq3 + s3 = — 35=1 (mod3). Остаются возможности q-\-s = — 5
и q-\-s — — 35.
Первая приводит к решению задачи:
q= — 2; s = — 3.
Следовательно, ш = р3, где р3 = — Зр2 — 2р + 1.
Пример 3. ?3=7s2 — 68s+1. Узнать, является ли s степенью какого-
либо другого кубического числа.
Решение. Прежде всего смотрим, является ли г квадратом- кубического
числа. Пусть s = p2.
Тогда
Исключая q, получим
S4_14s2— 8s — 223 = 0.
Это уравнение не имеет рациональных корней, следовательно ^р
Пусть s = p''f где р — нечетное простое число, a p3=sp2 + ^p +1.
76
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Из G) получим:
61 делится на —q— s,
77 делится на — q-\-s-\-2.
Составляем таблицу для возможных значений s-\-q, сопоставляя каждому
из них возможные р, исходя из сравнения S-\- Q^s-{-q(modр).
То же самое делаем для s — q -\- 2.
s+q
Р
1
3;5
—61
любое
s—q-\-2
Р
1
19
7
5; 7
И
3; 11
77
любое
Комбинируя случаи с одинаковыми р, получим следующие возможности:
—я
s
Р
5
4
3
38
37
3; 5
3
2
5
30
—31
19
33
—28
5; 7
35
—26
3; 11
Испытание первой комбинации дает положительный результат. Получим:
Повторяем тот же процесс:
«1 — 91+2
Pi
1
5
п
любое
любое
Единственная возможность: ^, = 0, sx = —1,^ = 5.
Испытание ее дает положительный результат:
р = р5) где pf=—
Повторяем процесс еще раз:
«2+92
Ръ
— 1
любое
любое
Возможных комбинаций нет, и рх не является степенью. Итак, е = р,15.
Вычисление нормы и дискриминанта. Непосредственная формула для
нормы числа as = up2-{-v p-\-w довольно сложна и неудобна.
Для дискриминанта числа р имеем следующую формулу:
= [(Р-Р')(Р-Р'НР'-Р")Р=
1рр2
1 р'р'
— S2g2 _ \Ssqn -\- 4q3 —
- 27
ДРОБНОЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ КУБИЧЕСКОГО ПОЛЯ 77
Удобно вычислять норму и дискриминант следующим образом. Для вычисле-
вычисления нормы начнем преобразование Чирнгаузена от р к ш; тогда определитель,
состоящий только из коэффициентов при 1, р, р2, и есть норма числа ш. Дис-
Дискриминант числа ш, взятый с обратным знаком, есть норма его „дифференты"
§(ш)==((й — ш')(ш — (й")=/г'(й>), где /г(ш) = 0 — уравнение, которому удов-
удовлетворяет ш, т. е. — Di0 = N(F' (ш)). Вычисление же нормы от F' ((^произво-
((^производится предыдущим методом преобразования Чирнгаузена.
§ 12. Дробнолинейное представление чисел кубического поля
Ранее было показано, что каждое целое число кубического поля Q может
быть представлено через производящее число р в виде квадратичного трехчле-
трехчлена с рациональными коэффипиентами, причем такое представление единственно.
В некоторых случаях является удобной другая форма представления кубиче-
кубического числа, именно представление в виде дробнолинейной функции
с целыми рациональными коэффициентами а, [$, у, Ь. Докажем возможность та-
такого представления.
Пусть ш = ар2 -f- ?p -\-с — число поля Qp. Сопряженные с ш числа суть
<о' = ар'2 -f- йр' -?¦ с и ы"—а/ъ-^Ьр"-\-с. Произведение чисел ш' и ш" являет-
является, очевидно, числом поля Qp. Представим его в канонической форме:
<s>'<s>"=Af
Тогда
ш"ш = Лр
она'= Ар-{-Вр"-\-С.
Очевидно, что
_ w — w _ А(р — р'2L-В(f — р') __
Принимая во внимание, что р"-|-р'=5 — р, получим:
_A? — As — B a'p-H'
y'P "Г" ^' '
Числа а!', $', у' и ^' рациональны. Умножив числитель и знаменатель на
подходящее рациональное число, получим представление
ар 4-8
YP + «
в котором числа а, р, у> ^—целые рациональные, оощий наибольший дели-
делитель которых равен 1.
Такое представление единственно, с точностью до знаков a, jj, у и 3. В
самом деле, если
ар + Р _ alP -I- Pi
тр +8 Tip -t- si *
ТО
(*Y> - *iY) P2 + (?Yi — PiY + »*i - »i«) P + P*i — ?i8 = °.
откуда
M = 0; p81-rp15 = O, A)
так как кубическое число р не может быть корнем квадратного уравнения с
отличным^ от нуля рациональными коэффициентами. Переписав первое и третье
равенство из A) в виде
ai 71 t Pi h „
78 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Д^Я КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
и подставив во второе равенство a1 = a.t, Yi=Y^ $г = $и, bl=bu, получим
(а5 — ру) (t — и) = 0.
Очевидно, что aZ — ру^О, ибо иначе кубическое число ш было бы раци-
рациональным. Следовательно, ?—и, и числа а,, ($14 у^ 5, пропорциональны чи-
числам а, ($, у, 5.
Если потребовать, чтобы как числа alt p^ ух, 5lt так и а, р, у, 5 не
имели общего делителя, отличного от 1, то возможно только
t4__Pj__Ti__?i___l_j
а {) f ¦ & — '
что и требовалось доказать.
Фактически искать дробнолинейное представление проще всего способом
неопределенных коэффициентов.
Пример. Представить в дробнолинейной форме число ш = р2 — Зр -(- 1;
р задано уравнением р3 = р-(-1.
Пусть
ш==!1Р±| = р2_Зр-|-1.
Умножив на ур-|-8 и заменив в правой части р3 на р —)— 1, получим:
откуда
и, следовательно, 5 = 3у; а = -^7у; р = 4у.
Подставив эти значения в выражение для ш, получаем:
р + 3-
§13. Решение задачи, обратной задаче Чирнгаузена, дли двух куби-
кубических уравнении
Пусть имеются два целочисленные неприводимые кубические уравнения.
Как узнать, образуют ли они одно и то же кубическое поле или разные?
Самое естественное — это преобразовать первое уравнение по Чирнгаузену при
помощи преобразующей функции ср (z) = аг2 -|- $z -J- у, коэффициенты а, [$, у
которой неопределенны, и посмотреть, можно ли так подобрать эти коэффици-
коэффициенты, чтобы коэффициенты получившегося уравнения совпадали с соответствен-
соответственными коэффициентами второго заданного уравнения. Дело сведется к тому,
чтобы найти рациональный корень некоторого уравнения 6-й степени, либо
показать* что это уравнение рационального корня не имеет. К сожалению,
коэффициенты этого уравнения 6-й степени выражаются через коэффициенты
обоих заданных кубических уравнений сложно и поэтому бывают велики, если
даже коэффициенты кубических уравнений малы. Особое обстоятельство позво-
позволяет, однако, так изменить этот метод, что получается практически весьма удоб-
удобное решение.
Предположим, во-первых, что в обоих заданных уравнениях произведены
преобразования, уничтожающие члены, содержащие квадрат неизвестной, т. е.
что заданные уравнения суть:
z*=qz-\-n, A)
B)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ЧИРНГЛУЗЕНА 19
причем мы предположим еще, что q, л, q, л—целые рациональные и что
оба уравнения неприводимы. Преобразуем уравнение A) формулой преобразо-
преобразования ср (z) — az2 -j- $z -\- у, где коэффициенты а, [5, y пока неизвестны, и при-
приравняем коэффициенты преобразованного уравнения коэффициентам уравнения B).
Мы получим так три равенства: 2ад-\-3^ = 0 и еще два другие. Если по-
2
лучаемое отсюда y = =г Щ подставить в эти два другие, то получатся ра-
равенства:
Cfp* + 9naP+?*e«) — 3f=0, C)
[27 п^ + 18q^a _|_ 27qn$a? -\- B7и2 — 2?«) a3] — 27q = О, D)
где выражения, стоящие в скобках, суть квадратичный и кубический коварианты-
—Н (х,у) и — Q (х, у) кубической двойничной формы/(дг, у) = х* — qxy2 — пу3,
куда подставлены х=$, у = а. Но, как известно, имеет место тождество
Кэли (Cayley) (в д:,^):
где D = 4<73 — 27л2 — дискриминант формы /, т. е. дискриминант уравнения A).
В силу C) и D), отсюда получается ?)•[/$, а)]2 = D, если обозначить через D
дискриминант D = 4q3 — 27л2 уравнения B), т. е. известное обстоятельство,—
что если уравнения A) и B) образуют одно и то же поле, то дискриминанты
их могут отличаться лишь квадратными множителями.
Если это не так, то рационального преобразования A) в B) не имеется,.
если же это имеет место, то можно положить D = D,-Д2, D = D1-K2, где Dx
уже ие имеет квадратных делителей, и Д и Д — положительные целые рацио-
рациональные числа. В таком случае
Исключим из C), D) и E) р, для чего составим комбинацию —D) -|— 27« E) -f-
-\-6aqC), равную нулю. Комбинация эта равна 8а3^3 — 54а3и2—180^7+
-j- 27 л + 27 -г- л; следовательно, если мы положим а=-^ то мы получим
(•)
С другой же стороны, равная нулю комбинация [Р C) — 3qE)]q — Зал(З) есть-
P(a2A2Di — 3qq)-\-9aq~i^ 3-^-q2 = 0, и поэтому, если положить р=-г и:
w
Y = -г-, то мы получаем
Тут 3Dj«2 — qq равно нулю, только если их — кратный корень уравнения (*).
Но тогда третий корень (*) — тоже рациональный и уже отличается от
этого кратного корня ир так как (*) не имеет всех трех корней одинаковыми,.
ибо не имеет члена с квадратом неизвестной и потому не есть полный куб»
Следовательно, если только уравнение (*) имеет рациональный корень вообще,
то оио 'имеет и не кратный рациональный корень, который мы и будем обозна-
обозначать через их, и тогда ZDxa\—qq не равен нулю, и формулы (**) дают пре-
преобразование Чирнгаузена.
Остается еще возможность, что уравнение (*) имеет вид ?>,и^=0; но это-
может быть, как легко видеть, только если iy = <7=0, т. е. если уравнения
•80 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
и B) имеют вид z3=/z, z3=/z; но в таком случае они образуют одно
и то же поле тогда и только тогда, когда либо пп, либо — есть полный куб.
Уравнения A) и B) образуют, следовательно, одно и то же кубическое поле
тогда и только тогда, когда их дискриминанты отличаются лишь квадратными
множителями и когда по крайней мере одно из уравнений (*) (тут, собственно,
два уравнения, вследствие знака + при An) имеет рациональный корень иг.
Корень этот и, может быть только целым рациональным, так как D, не делится
на квадрат, и, следовательно, если бы р был какой-нибудь простой множитель
знаменателя и, и входил бы в этот знаменатель в степени %, то в первом
члене после сокращения он остался бы, по крайней мере, в степени Зх—1,
.а во втором и третьем, если их привести к общему знаменателю, ои был бы
не больше, чем в степени х. Число п~\ таким образом тоже должно быть
целое рациональное. Коэффициенты а, ($, у переходной функции со равны -"- ,
-?-, -д-, где и, v, w — целые рациональные числа, вычисляемые >по формулам
¦ (**). Целость v есть хорошая проверка вычислениям.
Мы не нашли никакого простого критернума, чтобы a priori решать, какое
из двух уравнений (*) имеет рациональный корень.
Пример. Пусть даиы кубические уравнения z9=—3z—2 (I) и 116.z3-f-
-\-2\9z2-\- 138.Z-1-29=0. Первое уравнение уже имеет требуемую форму,
второе же должно быть предварительно преобразовано. Оно имеет вид z3 =
= — гп!¦** — Пс z — Пб > полагая z1 = \\6z-\- 73, мы получаем для z1 уравне-
уравнение z'z = — 21z'-f-326 (II). Будем искать переходную функцию от (I) к (II).
Мы имеем q = — 3, л = — 2; <т = —21, л = 326; D=— 216; D =
= —216-1162; D и D отличаются лишь квадратными множителями, первый
критериум выполнен. Мы имеем ?>,== — 6; Д = 6; Д = 696, уравнение (*),
с , с„ . 6-326±696-2 . .
следовательно, — 6и° — обиг -| = = "» откуда и1 — 6, при верхнем
знаке, и, таким образом, по формулам (**) мы получаем а = 3, ($ = 2, f =6,
т. е. переходная функция от (I) к (II) есть ср (z) = Зг2 -f- 2z -j- 6.
§ 14. Базис целых чисел поля
В поле 2р всегда имеются три таких целых числа ю0, ©j, ш2 (в случае куби-
чоского поля мы первое число базиса будем обозначать не ш,, а ю0, и соответ-
соответственно два другие—:не ю2, ю3, а ш,, ю2), что всякое целое число <о поля Q
выражается через иих линейно однородно, с целыми рациональными коэффици-
коэффициентами:
ш —ию0 ¦j-ve)l -\-ww2, A)
где а, > v, w — целые рациональные. Такие три числа называются базисом
поля.
Если подходить к этому вопросу геометрически, то существование базиса
совокупности целых чисел алгебраического поля любого порядка п либо во-
вовсе не надо доказывать, если сама эта совокупность введена, как это было
сделано в главе I, как решетка в Ка, повторяющаяся умножением, либо если
только сказано, что это совокупность всех целых чисел поля, надо показать,
что. в соответственном сигнатурном пространстве Ra: во-первых, совокупность
точек, координатами которых являются эти числа и их сопряженные [если
какие-нибудь два из сопряженных чисел о/'), ©<*) —комплексно сопряженные,
т. е. ш<') = ? —|— iр.; ©(*) = $ — jjx, то соответствующие им две координаты
-берутся ? и jt], повторяется сложением и вычитанием (что следует из того,
БАЗИС ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ПОЛЯ
81
что сумма и разность двух целых чисел поля есть опять целое число этого
же поля), во-вторых, что точки эти лежат л-мерно [что следует из того, что
если <о — корень неприводимого уравнения л-ой степени, то все сопряженные
с со числа различны, так как неприводимое уравнение не имеет кратных кор-
корней, но тогда уже точки 1, со, со2, ...со" лежат л-мерно с началом, так как
определитель
1, со, со2 . . . . . юл~1
1,со\ со'2 ©'"-1
1,
e
(«-l>
есть определитель Вандермонда и он равен (со— со') (со— со") . . , (
— co<n-i))], и, в-третьих, чю точки эти лежат дискретно, например, нет точек
близких к точке 0, так как, если бы все координаты точки cot в Ra были очень
малы по абсолютной величине, то и коэффициенты того уравнения, которому
удовлетворяет со, были бы все очень малы по абсолютной величине, но, напри-
например, постоянный член его — целый рациональный и не равен нулю, и, следова-
следовательно, абсолютная величина его не меньше 1.
Из этих трех фактов, в силу леммы 1 „Приложения" к главе I — о решетках
в вещественном эвклидовом пространстве, следует, что совокупность всех целых
чисел данного поля образует л-мерную решетку, т. е. что в ней есть такие
я чисел ©j, со2> .-.. , соп, что всякое вообще ее число ш имеет вид ш = и1ю1 -j-
4-в2со2-{-... •+-«„«>„, где «j, в2, ... , в„ — целые рациональные.
Дадим однако и чисто* арифметическое доказательство, причем проведем
его только для кубического поля, хотя оио совершенно так же проводится и
для поля любого порядка. Рассмотрим, каковы могут быть знаменатели рацио-
рациональных коэффициентов а, $, у в выражении со через р: со=ар2-4- ?Р +Y- Мы
имеем равенства со = ар2-}-рр+у; со' = ар'2 + 0р' -\- у; ю" = ар4-Рр'Ч-Т'
Складывая эти равенства, затем помножая их на р, рг, р" и складывая, и нако-
наконец, помножая на р2, р'2, р и складывая, мы получим
5 (со) ==a-.s2-l-($'.s1-f-Y'3
j
B)
где коэффициенты 5 и *—целые симметрические функции от целых алгебраи-
алгебраических чисел, т. е. числа целые рациональные. Определитель при неизвестных
а, Р, у в системе B) есть квадрат определителя
1 р р2
т.е. дискриминант D? числа р (см. § 11), и, следовательно, знаменатели a, J5,
суть делители Df. Итак, всякое целое число поля Q.f имеет вид:
<о
ap2 + ftp + с
51 '
C)
где а, Ь, с — целые рациональные. Обратное не всегда имеет место, т. е. число
вида C) при целых рациональных а, Ь, с может быть не целым, а дробным
алгебраическим.
6 Теория иррацион. 3-й степени
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Среди целых чисел ?\9 имеются числа трех видов:
нулевой степени относительно р о> = ^-,
9
первой степени
и второй степени
•-
ц
Действительно, например 1, р, р2 таковы. :
Из целых чисел 1-го вида-, т. е. целых рациональных, наименьшее с, не-
Dt л ¦•¦•¦¦¦ -п
равное нулю, имеет число ~ = 1; примем его за о>о. Пусть наименьшее о,
9
встречающееся у чисел второго вида, есть Ь'о; примем одно из таких чисел
за a>j. Пуств наименьшее а", встречающееся у чисел третьего вида, есть а'^; при-
примем одно Из чисел третьего вида с таким а" за о>2. Иначе говоря, пусть
D)
, Покажем, что через числа D) можно представить всякое целое число ю
поля ?\ в форме A) с целыми рациональными и, v,w.
Действительно, пусть задано некоторое целое число о>; оно имеет форму C).
Коэффициент а этого числа либо равен нулю, либо делится на а'д, так как
иначе, прибавляя к о> или вычитая из него соответственное, целое число раз
взятое, число о>2, мы получили бы целое число ?\? третьего вида, у которого а
меньше, чем а, что противоречит сделанному относительно а предположению.
Пусть а = 1Ю-а'о. Тогда целое число о> — дао>2 имеет а = 0, т. е. либо
второго, либо первого вида. Аналогично, прибавляя или вычитая из этого числа
со — wa2 соответственное, целое число раз взятое, число ю1( мы покажем, что
его b = v- b'o, где v — целое рациональное число или нуль. Тогда целое число
со — wa2 — wo)j имеет а = А = 0, т. е. целое рациональное число. Пусть оно
равно и, мы видим тогда, что о) = к-1 -|— г»-ю, —)— та»-о>2, где к, v, w — целые
рациональные, т. е. числа 1, o>j, a>2 образуют базис поля.
Если о)о,. o)j, ш2 — базис поля, то целые числа поля
0>0 = И0«>0 4"
l°>2; ®2 = К2Ш0 + W2el. 4"
очевидно, образуют тоже базис поля тогда и только тогда, когда опреде-
определитель
и0 v0
0 v0
«2 V2
=±1-
Действительно, если этот определитель равен +1, то сами числа исходного
базиса, а, следовательно, и все целые числа поля, выражаются через о>о, о»,, о>2
линейно однородно, с целыми рациональными коэффициентами; наоборот, если
о)о, o)j, оJ—тоже базис поля, т.е. о>0, mv o>2 выражаются линейно однородно',
с целыми рациональными коэффициентами, через о>о, o)j, щ, то определитель
этот равен ±1, так как если коэффициенты преобразования от о>о, <av o>2 к
щ, o)j, оJ суть к0, v0, w0; uv vv w^, u2, v%, w2, то определитель преобразова-
СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЛЬЦАМИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
83
ния от а>0, wv а>2 к ю0, ю,, а>2 (определитель тождественного преобразования)
есть произведение определителей
uuvowo
«i w,
Wo
т. е. это произведение равно -f-1. Но каждый из этих определителей, как
имеющий своими элементами целые рациональные числа, есть целое рациональ-
рациональное число, т. е. равен +1.
Квадрат определителя
будет, очевидно, одни и тот же для любого базиса поля. Он называется дис-
дискриминантом поля и обозначается Da .
Дискриминант поля, как симметрическая функция от р, р', р", есть рацио-
рациональное число, а в виду того, что он — целая рациональная функция от целых
алгебраических чисел, он есть целое рациональное число.
Геометрический смысл всего этого — см. в главе I.
§15. Связь между кольцами целых чисел кубических полей,
содержащими 1, и классами неприводимых кубических двойничных форм
с целыми рациональными коэффициентами
Мы будем в этом параграфе рассматривать кольца целых чисел кубического
поля, которые заключают в себе число 1 и какие-нибудь примитивные числа
рассматриваемого кубического поля. Таким кольцом является совокупность
всех целых чисел поля. Таким же кольцом будет, например, каждая совокуп-
совокупность числа ар2-f-wp + да, где а, v, w пробегают все целые рациональные
значения. Пусть р — примитивное число кубического поля, заключающееся
в некотором кольце рассматриваемого типа. Тогда числа р2, р, 1 заключаются
в этом кольце О и, следовательно,'если числа поля й выражать через р2, р, 1,
то в кольце О будут находиться числа всех трех сортов, рассмотренные
при выводе базиса поля в предыдущем параграфе, и мы, дословно как там,
покажем, что кольцо О имеет базис а>0, а>,, и2, причем за а>0, в частности,
можно будет взять 1. Такие базисы 1, а>,, а>2 кольца О мы будем называть
единичными. Совокупность всех чисел, выражаемых через некоторые
три числа а>0, а>,, а>2 поля линейно однородно с целыми рациональными
коэффициентами, мы будем называть модулем с базисом а>0, а>,, а>2 н
обозначать [ю0, о>,, о>2]. Кольцо с базисом о>0, о>1? о>2 мы будем обозна-
обозначать О[>0, со,, ю2].
Не всякие два целые числа а>,, а>2 поля й вместе с числом 1 дают базис
кольца. Действительно, например, модуль [1, р, 2р2], где р — некоторое целое
примитивное число Q, — не кольцо, так как произведение р«р = рг его чисел
р и р не лежит в нем. Для того чтобы узнать, является ли модуль [1; e»lt o>23
кольцом, достаточно узнать, лежат ли все произведения его чисел в нем самом.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы в [1, а>,, а>2] лежали числа а>\, ю|,
а>,а>2. Выразим в Q эти три числа линейно через 1, е»1, а>2 с рациональными
коэффициентами, что можно всегда сделать, если определитель перехода от
базиса поля 2 к тройке чисел 1, а>,, а>2 отличен от нуля (что мы предпола-
предполагаем относительно рассматриваемого модуля). ¦ . :
6*
84
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Пусть
A)
Если 9 чисел Ло, Л,, Аг, Во, Bv В2, Со, С,, С2 — целые, то модуль [1, шр ш2] —
кольцо, в противном случае — нет. Этн 9 чисел, которые достаточно зиать для
того, чтобы производить все умножения в кольце, мы будем называть .умно-
.умножающими" коэффициентами.
Умножающие коэффициенты не независимы, а именно:
B)
что легко видеть, если вычислить ю^*ю2 н со^ • а^ и приравнять коэффициенты,
опустив предварительно до первых степеней относительно ш1? ш2 при. помощи A).
Вй = В, (С, — Ад — Сг (В, — С,),
Со = AiBl — C]CV
Квадрат определителя
1 Ю, Ю2
1 ©To)!
, где верхними значками обозначены сопря-
сопряженные по рассматриваемому кубическому полю с Q числа, и 1, ш,, ю2 — ба-
базис кольца О, называется дискриминантом кольца О и обозначается Do . Если
1, 6Х, 62 — другой единичный базис того же кольца О и
ТО
±1; и наоборот, если ult vv wv щ, vs, w2 — целые рациональ-
= 4hl, то 1, 6,, 62 — другой единичный базис того же кольца.
Если р—какое-нибудь число кольца О и если р = а0 -|- а1в>1 -|- а2ш2, р2==А0 -j-
ные и
Ч" ^imi ~Ь *gm2' то дискриминант D =
1 р' р''
1 р" f
числа р равен, очевидно, дис-
дискриминанту кольца Do, помноженному на квадрат определителя Д =
Находя из р и р2 в»! и ш2, мы получаем
аха2
_- — аъ Р2 + h? 4- ujh —
W
^ ^. ир* ¦+- vo A- w
и следовательно любое число ю кольца О имеет вид: -^—!—" , где и, v,
Д
—целые рациональные числа.
Всякое число кольца О выражается, таким образом,через 1, р, р2 линейно
однородно с рациональными коэффициентами, общий знаменатель которых есть Д.
Определитель Д называется индексом числа р относительно кольца О.
В частности, если О — максимальное кольцо целых чисел поля, т. е. совокуп-
совокупность всех целых чисел поля, то Д просто называется индексом числа р.
СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЛЬЦАМИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 85
Вычислим индекс Л числа р относительно кольца О через коэффициенты
а1у at числа р и через умножающие коэффициенты A). Мы получим:
Д = а?Д, + а\аъ BС2 — Л,) + а^а\ {В2 — 2Q — apv
Мы видим, что индекс числа р относительно кольца О представляет собою
значение кубической двойничной формы
(А2, 2C2 — Al7 B2 — 2CV — Bl)=f(x,y) C)
при значениях переменных х = а1, у =¦ а2. Эту форму мы называем и и д е к с-ф о р-
мой базиса 1, а>р а>2 кольца О и будем также обозначать /[1, <ov rog].
Базисы 1, Юр w2 и 1, <ol-{-ci, <о%-{-с2, где с1У с2 — любые целые рацио-
рациональные числа, мы называем параллельными единичными базисами, а совокуп-
совокупность всех таких параллельных между собою базисов — параллелью единичных
базнсов. Если произиедеиие w^ — рациональное число, мы будем называть
единичный базис 1, ю„ юг нормальным.
Теорема I. Среди параллельных единичных базисов кольца есть всегда
один, и только один, нормальный.
Действительно, рассмотрим произведение:
К + Ci) К + ^г) = ®1®2 + »ic2 + <Vi 4- схсг =
= (С, + ct) ©! 4- (С, 4- е.) «>2 4- со 4- е А-
Мы видим, что если положить ct=—Clt c2 = —С2, то мы перейдем к нор-
нормальному базису 1, а>, -f-ci> <O2^~C2'
Теорема II. Параллельным единичным базисом кольца О соответ-
соответствует одна и та же индексформа.
Пусть умножающие коэффициенты параллельного базиса суть
"О» » « "О» 1» 2> ^*0> ^1» ^8"
Тогда
Написав по C) индексформу, соответствующую этому базису, мы убеждаемся,
что
/[1, ^4-С!, №24-С2]=/[1, •»!, 0J].
Теорема III. Всякой неприводимой целочисленной кубической двойничной
форме соответствует параллель единичных базисов некоторого кольца
целых чисел кубического поля, содержащего 1.
Пусть /=(i42, —Alt B2, —Bt)—некоторая неприводимая целочисленная
кубическая двойничная форма. Рассмотрим числа w1 и го2 — такие, что юх —
корень уравнения
{Bp = 0, D)
а а>2 — корень уравнения
z!> — B2z^-\-AlB1z—A2B2l = 0. E)
Тогда ' корень уравнения
.B.— ггВ2+1=0, или z*
1 1 а-г »
т. е.
-2—S==oI, или (OjWg = i42Bx.
Следовательно 1, ш1( со2 — нормальный базис некоторого модуля.
86 . НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Не трудно виДеть, что модуль [1, ю1, а>2] есть кольцо. Действительно, по-
положим (oj=A0-\-A1(o1-\-A2e»2, е»1 = В0-\-В1(о1-\-В2щ, со1а>2 = Со -J- Сха>1 ~\-
-\-С2ш2, что всегда можно сделать, если дискриминант базиса 1, а>,, а>2 не
равен нулю. Но он, если форма / неприводима, как легко видеть, не равен
нулю. Принимая во внимание, что а>2 = ——I, мы получаем
мание, что а>2 = —I
>— Av>\—Ла> —
сравнивая это с уравнением D), мы получаем:
A R • ~А А • ~А А •
совершенно аналогично мы получаем:
В0=~А1В1; Л, = Л,; Я2=Я2, и С0 = А2В1; С,=0; С2 = 0.
Мы видим, таким образом, по A) и B), что [1, wt, а>2] есть кольцо и что
индексформа единичного нормального базиса его 1, a>j, a>2 есть как раз
(Л2, — Л„В2, — Л,).
Теорема IV. Эквивалентным единичным базисам кольца О соответ-
соответствуют эквивалентные индексформы, и обратно, причем /[1, 6lf 62] =
=/[1, Ю„ Ю2]/t,lTOly
Действительно, пусть задано кольцо, причем 1, a>j, а>2 —его нормальный
единичный базис, так что
? = — Л2Б2 -f ^i»i
+ ^ [ F)
Пусть 6j = Kj -j- ^i o>j -{- wx щ; 62 = к2 -f- ^ю, -)- w2o>2 — другой единич-
единичный базис того же кольца, т. е.
= 4h 1. В виду того, что индексформы,
соответстаующие параллельным базисам, одинаковы, мы можем предполагать,
что Kj = к2 = 0. Пользуясь F), мы получим тогда:
6? = - v\A2B2 — да*ЗД ¦+ 2v1w1AtB1
Если мы подставим сюда выражения
дающие а>„ ю2 через 8j, 62, то мы вычислим умножающие коэффициенты
базиса 1, 8j, 82, а по ним и по C) коэффициенты индексформы /[1, 6j» 82].
Если мы, с другой стороны, просто преобразуем форму /[1, ©,, о>2] под-
подстановкой (^1^1), ТО МЫ ПОЛУЧИМ, ЧТО /[1, (О, »j]rtl(,A=/[l, 6„ 82].
Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие между клас-
классами целочисленных неприводимых кубических двойничных форм и кольцами О
целых чисел кубических полей, содержащими 1, или, собственно, тройками
таких сопряженных колец, *т. е. неприводимыми трехмерными решетками, по-
повторяющимися умножением и содержащими точку 1.'
Если форму/ писать так: /=(а, Ь, с, d), и если а>,, а>2 — корни урав-
уравнений D) и E), соответствующих этой форме, т. е. уравнений
— cz*-\-dbz — d4 = 0, E')
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 87
то мы будем ю, и а>2 называть левым и правым корнями формы /. Тогда 1,
о>], оJ образует нормальный единичный базис кольца О, соответствующего
форме (а, Ь, 'с, d), причем схема его умножающих коэффициентов следующая:
о>2 = — ас — #о>, -(- аа>2, \
а>! = — bd—dw^+c^, 1 G)
w^ —— ad. J
Теорема V. Дискриминант индексформы равен дискриминанту соот-
соответствующего этой форме кольца.
Действительно, дискриминант базиса 1, а>, а>2 равен
но 11, ю,, e»j|2 есть дискриминант числа a>j или, что все равно, уравнение D').
Вычислив его и разделив на а2, мы получаем дискриминант формы /:
Df=ЬЧг + 1 Sabcd — 4acs — 4bsd—
§ 16. Решение задачи эквивалентности для двух целочисленных непри-
неприводимых кубических двойничных форм
Пусть даны две кубические двойничные формы (а, Ь, с, d) и (а, Ь, с, d)
с целыми рациональными коэффициентами и одинаковыми дискриминантами,
и требуется узнать, эквивалентны ли они, т. е. существует ли такая подстановка
х = ах -(- р>у; у = у* -(- Ьу с целыми рациональными коэффициентами а, {$, у. 8
и определителем аЬ — Eу = :±:1>чт0 ахВ ~Ь ^А:2.У ~Ь сл^2 ~Ь ^V* = а х3 -{-Ъх2 у-\-
-\- с х y2-\-dy3. Для этого заметим, что, если
/= (a, b,c,d) = a(x — Sy) (х — ?у) (х —
где S, S', ?*—корни уравнения/(д;, 1) = 0, то
/ (*, J) = а (ах + ?J — 5 (у* + «у)) • (о* + ^ — 5' _
.(лж Н- fty—"Г (у* + *У)).
т. е. корни уравнения / (д;, 1) = 0 будут, следовательно, ?=—г-гт- Таким
образом S выражается рационально через 5. Пусть $ = и?2 -j- wS -f- и». Тогда,
если положить = s; = Я\ ="» числа а, р, у, S пропорцио-
пропорциональны числам
a"=us-{-v; р* = к2л — г»и» — uws; у*=и; 8" = w2 — кда—u2q-{-uvs. A)
Приведя эти рациональные числа к общему знаменателю, мы рассмотрим
числители; сократив их на общий множитель, если таковой у них будет, мы
получим наименьшие целые числа а', р', у', д', пропорциональные а, $, у, 5
и соответственно тех же знаков. Предположим еще, что а]>0 и а^>0 (если
бы этого не было, мы обеспечим это, сделав предварительное преобразование
подстановкой GT__i)). Тогда, и>1еет место следующая .
88 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Теорема: Формы f и / эквивалентны тогда и только тогда, когда
j* 1 есть ( X, \,если
I п' R'\
(j)
Действительно, а"Ь" — (Г/ = — к8 (s? + л) + и2^ (s2 — g) -(- 2*«>2s + w8 =
=/ (— Y"> a") = N(—- «5 + v-{-us) = N С *' ~ *" ) = ± -=р - Последнее равен-
равенство имеет место потому, что ZX = ?)-т (тут мы обозначаем знаком N норму в ку-
кубическом полей,:). Пустьа" = )л'; $" = Ц'; f = lf; 5" = XS', где Х>0. В та-
таком случае, если а'Ь' — $'f=±l, то a"b" — р"у" = db^2, и, следовательно,
1 =
а
, и мы получаем Af(—у'^ ~Ь a')= i
а
а
,) , и, следовательно / (*, у)= '
. Но мы имеем / (х, 1)--
—(— р'_у — ? (Yfjc И— ^lv)), откуда, принимая во внимание найденное значение для
N(—Y'? + a')> мы получаем
Пример. Пусть заданы формы (а, Ь, с, d)==(l, 0, 3, 2) и (а, й, с, d) =
= A16, 219, 138, 29); /(г, l) = 28-|-3*_|-2; /(^ 1) = 116г84-219г24-138г+
4-29; Df=Dj=> — 216; ? — корень уравнения z8=—3z — 2A); S — ко-
219 138 29
рень уравнения zs = — щ^2 — Пб^—ТТб' С= 116S -|-73 — корень уравне-
уравнения гг = — 21,г-|-326 (II). В примере § 5 мы нашли переходную функцию ср
от уравнения (I) к уравнению (II), а именно С = 352 -|— 2S —|— 6 и, следова-
следовательно, S ==ГТб^2Ч"Пб^ — ШГ' 0ТКУда по формулам A) мы получаем
Таким образом A16, 216, 138, 29) = A, 0, 3, 2)/2, п, и формы эквива-
лентны.
Решение задачи об эквивалентности двух целочисленных кубических двой-
двойничных форм получается, таким образом, при помощи соединения теоремы
этого параграфа с решением задачи, обратной задаче Чирнгаузена, данным в § 13,
и не нуждается в теории приведения форм.
§ 17. Вычисление базиса кубического поля по Вороному
t
Рассмотрим вычисление базиса любого кольца О, содержащего данное при-
примитивное целое число р кубического поля, и вычисление базиса кольца всех це-
целых чисел кубического поля по Вороному. Пусть р — некоторое примитивное
заданное целое число кубического поля Q и ps=sp2-^-qp-{-n—то уравнение,
которому оно удовлетворяет, и пусть О—некоторое кольцо целых чисел поля Q,
заключающее в себе 1 и содержащее число р.
Определения. Базис кольца О мы называем „единичным", как мы уже
это сказали в § 15, если он имеет вид:
«нормальным*—если он единичный, а e>j-co2 — рациональное число, и
ВЫЧИСЛЕНИЕ БАЗИСА КУБИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ВОРОНОМУ 89'
.ступенчатым в р* — если он имеет вид
У 1р2 + ftp + У
где и, v, \, ц, v, Д — целые рациональные числа.
Лемма: Всякое кольцо О указанного типа имеет единичный нормальный
ступенчатый базис.
Это очевидно, так как нормализовать можно, переходя к параллельному ба-
базису (см. § 15), а это изменит в ступенчатом базисе, который во всяком таком
кольце есть (см. § 14 и § 15), только коэффициенты v и v, следовательно, не
нарушает его ступенчатости.
В методе Вороного ищется именно такой базис кольца О, который одно-
одновременно— единичный, нормальный и ступенчатый в р.
Пусть 1, ср, ф — один из нормальных ступенчатых в р базисов заданного
кольца О. Из ср = ^ д мы получаем р = — <р •
В виду того, что р, по предположению, — число кольца О, р должно ли-
линейно целочисленно представляться через числа базиса кольца О. Следова-
Следовательно, Д = к-8; v = —u-t, где Ь и t— целые рациональные числа. Таким
образом
Р^ (IV
Из p = b-y-\-t мы видим, что ?)p = Se-?)9, т. е. что Ь входит в Df в шестой
степени. В виду того, что О — кольцо и 1, ш, ф — единичный нормальный ба-
базис этого кольца, мы имеем
ср2 =— ас — Ь<о -(- аф, B>
fy= — bd—rf«p + 4. C).
<рф = -а* D)
Напишем теперь то уравнение, которому удовлетворяет ср, в двух различных
формах и сравним. Исключением ф из B) и D) мы получаем
0; E).
с другой стороны, мы имеем
где
F(z) = zB — s& — qz—л = 0
то уравнение, которому удовлетворяет р, т. е.
Сравнение коэффициентов E) и F) дает
или, в форме сравнений:
¦i/=¦"(*) = 0 (modS); F(t) = 0 (modS2a); F(t) = O (modS8a2). Gf)-
Дискриминант О равен
Do-|l. ср, ф[.-|1, ср,
т. е. а—квадратичный делитель D?, а именно
D. = S«.a2.?>o. (8).
<Ю НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Из D) и G) мы получаем
, ad F(t) _F(?)-F(t)
•откуда
Ф^р^Р' + ^ЮР + М')], (9)
где
/=¦,(/) = * — *,
F2(t) = t*-st — q.
В любом кольце О целых чисел кубического поля Qp, которое содержит 1
и число р, числа его нормального ступенчатого в р базиса имеют вид A) и
(9). Наоборот, если целые рациональные числа 8, a, Do, t удовлетворяют усло-
условиям G') и (8), то 1, ср, ф— нормальный ступенчатый базис такого кольца.
Действительно, из (9) получается tp - ф == — ad, затем из F) tp2 = — ас —
— ?ср-(-аф, и из этого уравнения, помножением на ф, фг =— bd—dy-\-c<b,
если принять во внимание срф = — ad, и, наконец, исключением из этих двух
уравнений ф и ср, получаем
ср8+ ?cp2-[-ас? 4-а2йГ= О
и
фв _|_ c(j,2 _|_ ^ф _|_ аср. == о.
Числа сриф, следовательно, — целые числа одного и того же кубического
поля, и 1, ср, ф — нормальный базис кольца О ее целых чисел, содержа-
содержащего 1.
Таким образом доказана следующая теорема:
Теорема I. Если р — примитивное целое кубическое число, которое
удовлетворяет уравнению
дискриминант которого равен Dp, и числа 8, a, Do, t—целые рациональ-
рациональные числа, удовлетворяющие условию Dp = bea2D0 и сравнениям
-i-/=¦"(*) se 0 (mod 8); F'(t) = Q (mod^a); F(t) = O (mod88a2),
то числа
Л о — t p2 -f- (f — i
1. —sr— ,
образуют нормальный ступенчатый в р базис кольца О целых чисел поля
йр, содержащего 1 и число р, дискриминант которого равен Do. Таким
образом получаются все нормальные ступенчатые в о базисы всех таких
молец. Тут можно предполагать, что —% <^*^%~•
Последнее утверждение следует из того, что если t — решение вышеука-
вышеуказанных сравнений при заданных 8 и а, то t-\-ba-j, где у—любое целое ра-
,ционально"е число, тоже решение этих сравнений, как в этом легко убедиться
прямым вычислением. Теорема I показывает, что можно легко найти все кольца
целых чисел кубического поля, содержащие 1 и содержащие данное примитив-
примитивное целое число р этого поля.
Замечание. Иидексформа (a, b, с, d) найденного базиса имеет
а —а, о— 2g , с щ-, а— „Зд3.
Если желательно вычислить базис совокупности всех целых чисел поля Qo,
то надо найти те 8 и а, для которых вышеуказанные сравнения имеют корень
^^^'•Г и для КОТОРЫХ число д6а2 имеет наибольшее возможное значе-
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 91
ние, что совсем не трудно, так как bBa2Do = D?, и, следовательно, придется в
каждом данном случае испытать, вообще говоря, лишь небольшое число и, во-
вообще говоря, небольших делителей ?>р.
Однако вычисление базиса поля йр можно еще упростить. А именно, возь-
возьмем то уравнение, которому удовлетворяет р, не содержащим члена р2, т. е.
вида р8 = #р-}-я, и предположим еще, что нет такого целого рационального
числа т, на квадрат которого делилось бы q, а иа куб делилось бы п; если
•бы такое т было, мы бы его присоединили к р, в том смысле, что за р взяли
бы тр, и тогда в коэффициентах уравнения такие множители уже отсутство-
отсутствовали бы. При сделанных предположениях
^r(t) = 3t = bb. A0)
Числа 8 и t не могут иметь общего делителя т, отличного от 1, так как из
F' (t) = 3tf2 — q = 0 (mod &a) следует, что q делится на т2, а приняв это во
внимание, из F(t) — ts— qt — я = 0 (mod88a2) следует, что п делится на т3.
Но мы предположим, что такого числа т нет. Из A0) получается поэтому
8=1 или 3. Если число '-— не целое алгебраическое, то 8=1, если же
это целое число, то 8 = 3. Это сейчас же следует из свойств ступенчатого
базиса. Это же число, как легко видеть, целое или 'не целое — в зависимости
от того, удовлетворяются ли сравнения
3 —?=0 (mod9),
n±(q— 1) = 0 (mod27)
Таким образом получается следующая теорема Вороного:
Теорема И. Если р — примитивное целое кубическое число, удовлет~
воряющев уравнению /г(р) = р8—qp — я = 0, и нет целого рационального
числа т такого, на квадрат которого делится q, а на куб его п, то ба-
базис поля йр может быть найден так:
1°. Если сравнения (*) не выполняются, то надо найти наибольший
квадратный делитель а дискриминанта D уравнения F (р) = 0, для кото-
которого система сравнений
F' (/) = 0 (mod a);
(
имеет решение — -=¦ < t ^ -=¦ , и тогда базис —
1, p,
2°. Если сравнения (*) выполняются, то надо найти наибольший квад-
квадратный делитель числа =^ (которое в этом случае целое), для которого
система сравнений
/="@ = ° (mod 9а);
F (t) = 0 (mod 27a«)
имеет решение ^ < t s^ -^ , тогда базис —
'' 3 ' 9й
§ 18. Разложение простых целых рациональных чисел на простые
идеалы в кубическом поле
Весьма любопытно, что разложение простого целого рационального числа р
на простые идеальные множители в любом алгебраическом поле п-ro порядка
совпадает по существу с легко выполнимым на практике разложением на про-
92 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
стые множители по модулю р целочисленного многочлена и-ой степени f{x),
старший коэффициент которого равен 1 и корень р которого является одним
из производящих целых чисел этого поля, если только р не входит в индекс
этого числа р.
Будем, для краткости, всякий целочисленный многочлен, старший коэффи-
коэффициент которого равен 1, называть примерным. Заметим, что во всем даль-
дальнейшем изложении у нас будет итти речь только о разложении примерного
многочлена на примарные же множители по модулю р. Мы будем говорить,*
что примарный многочлен f(x) разлагается на примарные множители U{ (х) по
модулю р, если имеет место тождество:
f(x) = U1(x).U2(x). ... .Uk(x)+p-G(x), A)
где G{x) — некоторый целочисленный многочлен, который, вообще говоря, мо-
может уже быть не примарным. Мы будем говорить, что примарные многочлены
Ut(x) простые по модулю р, если каждый из этих многочленов уже не может
быть в этом же смысле представлен по модулю р в виде произведения при-
марных многочленов более низких степеней.
Основные теоремы, принадлежащие Золотареву, состоят в следующем. Если
иг (х), t/2 (л:), ... , Uk (х) — простые примарные множители f(x) по модулю р
и р не входит в индекс р, то
Р={р, U,(р))• (р, Ut(p)) ...(p,Uk(р)), B)
где {р, U( (р))=р-\-{-и1(р)-р. (тут \ и ц— всевозможные целые числа поля
Qp) простые идеальные множители числа />. Степени е( многочленов Ut суть
показатели тех степеней р, которые суть нормы соответственных идеалов, т. е.
так называемые порядки этих идеалов. Если простое число р входит в индекс
р, то, если р не есть общий делитель индексов всех целых чисел Qp, можно
в 2р найти другое целое образующее Q? число р, в индекс которого р уже не
входит, и тогда разложение р на простые идеалы производится аналогично при
помощи того уравнения, которому удовлетворяет р. Если р есть общий дели-
делитель индексов всех целых чисел, образующих Ц,, то р разлагается на простые
идеалы другим, но аналогичным этому, способом.
Бывают поля, не имеющие таких общих делителей индексов всех их целых
чисел. Если же такие общие делители есть, то их во всяком случае немного,
например все они, во всяком случае, суть делители любого индивидуального
такого индекса, а Хензель и Жилинский показали даже, что все они всегда
меньше п.
В частном случае кубического поля общим делителем всех индексов мо-
может, следовательно, быть, как мы это дальше и покажем, только число 2; мы
дадим разложение числа 2 в кубическом поле на простые идеалы и в этом
случае. В виду того, что общая теория Золотарева излагается совершенно так
же для любого и, как для л = 3, мы изложим ее для любого л и затем только
рассмотрим разложение простых чисел р на простые идеальные множители спе-
специально'в кубическом поле.
1. Разложение целого рационального простого числа />,
ие входящего в индекс р, для любого п
Теорема I. Если примарные многочлены А и В взаимно просты, т. е.
не имеют общего им примарного множителя по модулю р, то сущест-
существуют такие примарные многочлены М и N, что AM'—BN^—c (mod/»),
где с — целое рациональное число, не делящееся на р.
Действительно, будем производить над многочленами А и В алгорифм
Эвклида, причем все члены, имеющие коэффициенты, делящиеся на р, будем
при этом просто отбрасывать. Так как целое частное Qt примарных многочле-
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ . 93
нов Л и 5 также примерно, то не может быть, чтобы остаток от деления А
на В (мы предполагаем, что А не более низкой степени, чем 5) равнялся нулю
по модулю р, так как в таком случае А и В имели бы общего примарного
делителя, а именно В, чего мы не предполагаем. Этот остаток R[, вообще го-
говоря, не будет уже примарным многочленом. Помножим его мысленно на целое
рациональное число т\ такое, что /у|=1 (mod/»), где г,—его старший коэф-
коэффициент. Тогда rj/?J = /?i будет уже примарным многочленом, н
R\=rxRx (mod/»).
Таким образом, мы можем написать первый шаг алгорифма так:
A = BQl-{-r1R1(modp),
где многочлены А, В, Q,, /?, уже примарны, а целое рациональное число г,
не делится на /». Продолжая так дальше, мы получим:
В =^Q2 + r2^2,
Я, =#2Qj-f rs/?8,
#я-2 = Rn-lQn "Ь Гя>
причем все большие буквы А, В, Q[t R( обозначают примарные многочлены, а
все малые г—целые рациональные числа, не делящиеся на /». Последнее бу-
будет потому, что если бы какой-нибудь остаток равнялся нулю (mod/»), то,
возвращаясь обратно, мы убедились бы, что А = R{K, В = R.L, где Rt —
примарный множитель последнего остатка, не равного нулю, и многочлены %
и L примарны, т. е. А и В не были бы взаимно простые.
Из полученных равенств мы имеем последовательно: rlRl'^A— BQt;
rjr2#2 = — AQ2-f-В(rt + QtQ2) и т. д. и, наконец, rtr2 ... тп=АМ— BN
(mod/»), где многочлены М и N примарны, что и доказывает теорему.
Теорема И. Всякий примарный многочлен лишь одним способом раз-
разлагается на простые примарные множители по модулю р.
Пусть произведение двух примарных многочленов ср>6 делится на простой
примарный многочлен ф по модулю р, и многочлен ср не делится на много-
многочлен ф; тогда 6 делится на многочлен ф.
Действительно, в таком случае примарные многочлены ср и ф— взаимно
простые по модулю р, так как делителем простого примарного многочлена ф,
по самому определению простоты, является только он сам, и, следовательно,
«ели бы <р и ф имели общего делителя, то ср делилось бы на ф, что противо-
противоречит предположению. В силу теоремы I, есть, следовательно, такие примар-
иые многочлены М и N, что tf-M—фУУ=с (modp), где с не делится на р.
Помножим обе части этого равенства на 6, мы получим <р(Ш — фбМ=:е6
<mod/>), и, следовательно, если срб делится на ф, то с6 = фвМ (mod/»), причем
Ь-N примариый многочлен, т. е. во-первых, с = 1 (modp) и, во-вторых, 6 де-
делится на ф.
Предположим теперь, что /= ^^ ... Uk=: VtV2 ... Vt (mod p), где все
U{ и V( — простые (modp) примарные многочлены. В таком случае, в силу
сейчас доказанного, хоть один из множителей V), например Vv делится на
?7, (mod/»), т. е., так как оба они простые, с ним совпадает (modp). Мы мо-
можем в таком случае откинуть этот множитель, так как из U1K:^U1L (modp),
где t/j, К, L — некоторые примарные многочлены, следует ^T=Z. (modp),
в чем легко убедиться сравнением коэффициентов. Поступая аналогично с по-
получающимся равенством t/2 ... Uk= V2 ... Vt (modp) и т. д., мы приходим
к нужной нам теореме.
Теорема III. Если р не входит в индекс р, то любое целое число поля
Qf сравнимо по модулю р с целым числом этого поля, выражающимся ли-
линейно с целыми коэффициентами через степенной базис 1, р, р2 ... р"'1.
94 _ НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Действительно, всякое целое число а> поля Q имеет вид
_ aif"-1 + ДзР + •.. + ап
д »
где а,, а2, ... , ая— целые рациональные, а Л — индекс числа р (см. § 15).
Если Д не делится на р, то можно всегда найти такие два целых рациональных
числа а к Р, что аД—{$•/;== 1. Отсюда мы получаем, что
т. е. что, если Д не делится на р, то любое целое число ю поля Qp отли-
отличается на целое число этого поля, линейно целочисленно выражающегося через
степенной базис 1, р, р2,... , р".
Теорема IV. Если р не входит в индекс р, то (р, U (р)) простой идеал.
Пусть целое число а> поля Qp не входит в идеал (р, Ut (p)). Рассмотрим
целое число 5, сравнимое с в) по модулю р, выражающееся линейно целот
численно через степенной базис 1, р, р2, ... , р". Число ю имеет вид ф (р),
где ф— целочисленный полином от р. Будем делить многочлен сЬ(дг) на
многочлен Ut (х). Он не разделится нацело, иначе было бы ф (р) = U{ (р)Х (р),
где X — многочлен, получающийся в- частном, все коэффициенты которого тоже
целые рациональные, так как старший коэффициент 0, равен единице. Х(р)
было бы целое число Qp, и ф (р), т. е. в), а следовательно, и в), против пред-
предположения, принадлежало бы идеалу (р, ?/, (р)). Заменим ф (д:) остатком г(х),
получаемым от деления его на Ut(x). Остаток этот имеет степень ниже, чем
Uf{x), и следовательно не делится на U((x) (mod/;) и, в силу простоты Ut(x)
по мо^рлю /»j, взаимно прост с Ut (x) (mod p). В силу теоремы I, в таком
случае существуют такие два целочисленных. многочлена гх (дг) и Un (x), что
Ui(x)r-l(x) — r(x)U{t(x) =c (mod p), где с не делится на р. Отсюда мы
видим (см. § 5), что /-(р), а, следовательно, и ф(р) и в) — взаимно простые с
(р, t/j(p)). Но если любое целое Число в) поля Q, не входящее в идеал
(р, Uj(p)), взаимно просто с этим идеалом, то идеал этот простой, так как,
если бы он не был простой, и р был бы какой-нибудь его простой делитель,
то всякое число, входящее в р, но не входящее в (р, U{ (p)), не входило бы
в (р, Ut(p)) и, тем не менее, не было бы с (р, Ut(p)) взаимно простым.
Теорема V. Порядок простого идеала (р, Ut(p)) равен степени ft мно-
многочлена U{(x).
Рассмотрим классы целых чисел поля 2 , несравнимые по идеалу (р, U, (р)).
Число этих классов есть, как известно (см. § 5), норма идеала (р, U{ (p)).
В виду того, что, в силу теоремы III, всякое целое число поля йр сравнимо
по модулю р с числом кольца [1, р, р2, ... , р"], достаточно рассмотреть
вопрос только для чисел этого кольца.
Очевидно, что если мы выпишем все целочисленные полиномы и (х)
(п—1)-ой степени, несравнимые по модулю р, то всякое число этого кольца
будет сравнимо по идеалу (р, U{ (p)) с одним из таких полиномов, куда под-
подставлено р, так как можно всякое число кольца понизить до такого числа деле-
делением на р и (t/, (p)). С другой же стороны, два несравнимых таких полинома
дают числа иг (р) и и2 (р), разность и, (р) — и2 (р) которых не лежит в идеале
(р, Ut (p)), и, следовательно, они несравнимы по модулю этого идеала. Мы ви-
видим таким образом, что норма этого идеала равна рЛ, где /, — степень U{ (x),
и следовательно порядок идеала (р, U, (р)) равен /г.
Теорема VI. р = (р, Ut(?))-(p\ U2(?))...(p, Uk(p)).
Действительно, если перемножить идеалы
рх, + t/i (р) Mi, р\+^2 (Р) V-* • - • рК+V/, (?)
то, очевидно, получится идеал
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 95>
где X, ]i, v — произвольные целые числа поля йр. Но t/x (p) U2 (р) ... Uk (p) =
=/>-G(p), т. е. делится на /», а. следовательно, все числа этого идеала делятся
на р, т. е. и сам этот идеал делится на р; но из теоремы о норме произведения
идеалов следует, что порядок произведения идеалов делителей р есть произведе-
произведение порядков этих идеалов, и следовательно, рассмотренное произведение равно/».
Замечание I. Для того чтобы, в случае произвольного п, иайти целое чи-
число р, индекс которого ие делится на р, или показать, что р есть общий де-
делитель всех индексов, достаточно, если в)]( оJ> ... , о)„—базис всех целых
чисел Q, рассмотреть только рп чисел в)==и1а)]-)-и2оJ-)-... =ияо)я, где
uv и2, ... , ип — все возможные целые рациональные коэффициенты, меньшие
р, и вычислить индексы Дш этих р" чисел, пользуясь соотношением
Замечание II. Для того чтобы, при произвольном п, разложить р на про-
простые идеалы в поле Q в том случае, когда р есть общий делитель всех ин-
индексов, заметим следующее. Пусть 1, ю2> ... , юя— базис Qp. В таком случае
в идеале р есть числа всех п сортов по отношению к этому базису, т. е. вы-
выражающиеся линейно однородно с целыми рациональными коэффициентами
только через одно первое, через два первые (причем второе входит), три пер-
первые (причем третье входит) и т. д. чисел базиса, так как, например, числа рг
ра>2, ... , ре>п таковы. Если, следовательно, поступать, как в § 14, получится
ступенчатый базис идеала, причем все его диагональные коэффициенты, как
делители'/» (что следует из существования в идеале чисел /», рш2, ... , ра>п и
минимальности этих коэффициентов) суть или /» или 1. Если соответственно
перенумеровать числа базиса поля Qp, то можно считать, что те из диагональ-
диагональных коэффициентов, которые равны /», стоят у первых / чисел базиса идеала,
где /— порядок идеала, т. е. что базис идеала имеет вид:
+ ...
причем можно еше предполагать, что все alk не отрицательны и меньше диа-
диагонального коэффициента, начинающего ту колонну, в которой стоит соответ-
соответственное aiJe (т. е. либо меньшее /», если этот диагональный элемент равен ру
либо равно 0, если-он равен 1). Можно еще, наконец, предполагать, что a2l z= О,
если /25 2, так как в этом случае 62 имеет вид a2 j -f-/>e>2 и должно делиться
на рассматриваемый идеал р, но ои, по предположению, составлен только из
делителей /», и, следовательно, а2 г должно делиться на />. Тогда, вычитая из 0г
соответственную кратность Oj, мы получим новое 62, у которого уже а2] = 0.
' Отсюда следует, в частности, что базисы простых идеалов 1-го и 2-го по-
порядка кубического поля имеют вид: •
если 1, e>i, в>2 — базис целых чисел этого поля, причем у и z — некоторые
целые рациональные числа, неотрицательные и меньше р.
Такой вид базиса идеала делителя/» можно считать нормальным. Однако не
всякий такой базис будет давать идеал. Для того чтобы это получался идеал
делителя рх необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, решетка [Oj, 62, ...,6Я|
была кольцом, т. е. чтобы все попарные произведения чисел ее -базиса лежали
^96 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
л ней самой, в выполнении чего можно убедиться, если имеется таблица умно-
умножающих коэффициентов для базиса 1, юа, ... , юп, так как тогда можно по-
получать произведения чисел, выраженные опять через тот же базис, и затем
смотреть, выражаются ли они через базис bv 62, ..., в., вычитая последова»
тельно соответственные кратности 6Я, Ьп_1 и т. д. Если [в,, 92, ... , 6Я]— кольцо,
то надо еще проверить, идеал ли это (будет ли произведение любого из чисел
базиса 6], 62, ... , 6Я на любое целое число а> поля Qp лежать в ием самом), для
чего достаточно, в виду того, что эта решетка — кольцо, брать только числа в),
лежащие внутри параллелепипеда, построенного на 6] 62 • •. 6Я, т. е. числа в)
такого же вида, как 6], 62, ... , 6Я.
Таким образом мы сможем выписать конечное число идеалов, состоящих из
делителей р, среди которых есть все простые и не простые делители р. Для
любых таких двух идеалов легко убедиться, является ли один из них делителем
другого или иет, для чего достаточно посмотреть, выражается ли каждое из
чисел базиса второго целочисленно через числа базиса первого, что можно
сделать последовательным вычитанием, как указано выше.
Те из найденных нами идеалов, которые имеют наиинзший порядок, очевидно,
все простые, и мы сможем только что указанным способом выделить из них
те, которые различны. Затем мы так же выделим из найденных идеалов
следующего 'порядка те, которые различны, и тем же способом проверим, не
делятся ли некоторые из них на найденные простые идеалы наинизшего порядка,
и оставим только те, которые не делятся, и т. д. Так мы получим в конце
концов все простые идеальные делители р.
Если р — не делитель дискриминанта Da поля, то разложение р на простые
¦идеалы тем самым и найдено, так как (см. следующий параграф) в этом случае
все простые идеальные делители р входят в р лишь в 1-й степени. Если
же р — делитель Da, то хоть один из этих делителей входит в р выше, чем
в первой степени. Для того чтобы найти, какая степень р входит в р, доста-
достаточно посмотреть, какой из рассматривавшихся ранее идеалов, имевших наивыс-
наивысший порядок, кратный порядку р, не делился на другие простые делители/; —
вопрос, решение которого заключается в уже выполненных вычислениях.
12. Переход в случае я = 3 к другому р, индекс которого
не делится на р
Имея то целочисленное уравнение pa=sp2-\-qp-\-n, которому удовлетво-
удовлетворяет р, мы можем способом Вороного (§ 17) найти базис поля Qp, и тогда
индексформа этого базиса есть (а, Ь, с, d), где
. F*(t) F(t) , Fit)
и—а, и 2S ' — Ь2а ' — ««а2
Если (а, Ь, с, d) — индексформа поля, т. е. индексформа кольца всех целых
чисел поля, то а, Ь, с, d не имеют общего делителя, так как корни форм (а,
Ь, с, d) и k-(а, Ь, с, d), где k — целый рациональный множитель, выражаются
рационально друг через друга, т. е. обе эти формы соответствуют кольцам
одного и того же кубического поля, а между тем дискриминант второй больше
дискриминанта первой.
Теорема. В случае кубического поля общим делителем всех индексов
может быть только простое число 2, и это будет тогда и только тогда,
когда оба крайние коэффициента индексформы (а, Ь, с, d) четные, а оба
¦средние нечетные.
Действительно, каково бы ни было простое число р >¦ 2, можно найти такие
целые рациональные числа, и и v, что индекс числа иаЛ -\- vm2, т. е / (и, г/) =
= (а, Ъ, с, d) = ous-\-bu2v-\-cuv2-\-dvs не делится на р. Таковою будет
хоть одна из пар A,0) @,1) A,1) A,—1), так как значения /, им соответству-
-Ющие, будут а, d, а-\-Ь -\-c4rd, а — b-\-c — d, и если бы все они делились
.на р, то делились бы на р и числа а, d, b-\-c, b — с, 2Ь, 2с, легко из них
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 97
получаемые, и а, Ь, с, d должны были бы иметь общего делителя р, чего,
как мы сейчас показали, быть не может. Если р = 2, то рассмотрение этих
шести чисел дает то же самое, кроме случая, когда а и d— оба четные, a b
и с — оба нечетные. В этом случае aus -{-bu2v-{-cuv2-\-dvs при любых целых
рациональных и и и любой комбинации четностей, очевидно, делится на 2.
Мы видим таким образом, что если р^>2алн р = 2 и нет этого исключи-
исключительного случая и р входит в индекс р, то мы найдем такие и и и, что /(и, v)
не делится на это р. В таком случае, ~р = иа>1 -j-oto2, где а>1 и w2— числа ба-
базиса Вороного, будет уже целое число поля Йр, индекс Д которого не делится
на р. Разлагая левую часть уравнения х3 — ~sx2—~qx— и = 0, которому оно
удовлетворяет, на простые множители по модулю р, мы получим разложение р
на простые идеалы.
3. Разложение простого числа 2 на простые идеалы
в кубическом поле в том случае, когда 2 есть общий
делитель индексов всех его целых чисел
Пусть a, d — четные и Ь, с—нечетные, т.е. 2 — общий делитель всех
индексов. Докажем следующую теорему:
Теорема. Если a, d, — четные и Ь, с — нечетные, то 2 = р1 р2 ps,
где pi = B, со, +1); р2 = B, со2+1); р3 = B, tOj -f- o>2) три различных
простых идеала первого порядка, где
acco, + 0.4 = 0, to| -j- cto| -f-
Действительно, все эти три идеала отличны от единичного, так как нор-
нормы iV(o)i + l) = l— b-\-ac — a?d, N(co2 + 1) = 1 — c-\-bd— ad*,. N^-f-
-j- co2) = a?d -j- ad2 -f- ac2 — b2d -f- 2acd делятся каждая на 2. Кроме того,
идеалы р, р2 р3 попарно взаимно просты, так как идеал (р, р2), т. е. общий
делитель идеалов pj и рг содержит число 2 • (р -(- (coj -f-1) ф -\- (со2 -f-1) х, где
(р, ф, х — любые целые числа поля, и, в частности, содержит число — 2 — -J-co2 -(-
-(-1 — со2 (ci)j -\-1) = 1; аналогично идеалы (р1, р3) и (р2 ps) содержат каждый
число (a), -f-1) (aJ-f-l)+2^ (a)j -f oJ) = 1. Но идеалы р^ р2> рй суть
делители числа 2, и, следовательно, они все три первого порядка, и 2=^, р2 ps.
Можно доказать и обратное, а именно, что если в кубическом поле 2=^)jp2^)s,
где pj p2 р3 три различных простых идеала 1-го порядка, то 2 есть общий
делитель индексов всех целых чисел поля.
4. Вычисление базиса для простого идеала
Мы будем предполагать, что р не входит в индекс Д числа р.
1-й случай. р—(р, р -J-х) (тут р-(-х = ?/ (р)) простой идеальный делительр
1-го порядка. Пусть ю1 = Г—±—, (О2 = -— & — второе и третье числа ба-
базиса Вороного рассматриваемого поля. В силу сказанного в пункте 1-ом, базис
идеала р имеет вид [р, ^-^^l' г~\~{йг\' г^е У и z — некоторые целые рацио-
рациональные числа, т. е. второе и третье числа базиса 9j и 92 простого идеала
имеют вид:
_ р -[- А + by ft
°— I ; °
Для того, чтобы числа 0] и 62 делились на р, необходимо и достаточно,
чтобы их числители делились на р, так как знаменатели их суть делители ин-
индекса Д числа р и, следовательно, не делятся на р, т. е. взаимно простые с р.
Разделив каждый из этих числителей на р-(-х, мы получим остатки А-\-Ьу—х
и С—Bk-J- Ь2az-f-x2. Для делимости числителей нар, следовательно, достаточно,
чтобы э.ти остатки делились на р, т. е. чтобы у и z удовлетворяли сравнениям
7 Теория иррацион. 3-й степени
98 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
А-\-Ьу=% (mod p); C-\-b2az = — t?-\-By. (modp). В виду того, что йоие
делятся на р, эти сравнения всегда *меют решения в целых рациональных числах .у
и z. Если взять такие у и г, то б, и 62 и представляют собою числа базиса р;
действительно, в этом случае, с одной стороны, решетка [р, bv 62] заключается
в решетке р, а, с другой стороны, объем основного параллелепипеда ее такой же,
как и у р, а именно в р раз больше, чем объем основного параллелепипеда
[1, (¦>! оJ], так как для нее переходный определитель есть
рОО
у 10
zOl
2-й случай. Пусть теперь q—простой идеальный делитель р 2-го порядка,
т. е. q=(p, р24-/рг|-/га), где р2 + 'р + /га есть ^(Р)- в СИЛУ сказанного в
пункте 1, базис идеала q в этом случае можно искать в виде [р, pi&v у-\-
+ z ©! -\- о>2], где у, г—некоторые неотрицательные целые рациональные числа,
меньшие р.
Таким образом, второе и третье числа базиса q имеют вид
Рассуждая совершенно как в предыдущем случае, мы видим, что для того,
чтобы это были числа базиса q, • достаточно, чтобы у и z были таковы, что
числитель 62 делится на q (так как 6j делится иа q). Разделив этот чис-
числитель на р2 -Ц- /р -f- /и, мы получим в остатке (zba-\-B — /) р-{-(vS2 а + 2 8а А-{-
-\- С—/га). Очевидно, если мы найдем z и у, удовлетворяющие сравнениям:
zba+B—1=0 (modp),\
у Ь2а -\- z Ьа A -j- С— т = 0 (mod p)J
числитель 62 будет делиться на q, и 6j и 62 дадут базис q.
Остается найти базисы для простых делителей pit p2, р& числа 2, когда 2 есть
общий делитель всех индексов. Из совершенно аналогичных соображений мы
находим, что они суть: [2, ©j-J-l, e>2], [2, mv ю2-)-1] и [2, tolt d>2].
§ 19. Разложение простых рациональных чисел на простые идеалы
в любой максимальной трехмерной решетке
В виду того, что совокупность всех целых чиЪел некоторого кубического
поля представляет собою совокупность одноименных координат точек неприво-
неприводимой максимальной 3-мерной решетки, повторяющейся умножением, и обратно,
результаты предыдущего параграфа дают, таким образом, способ в действи-
действительности разлагать простые целые рациональные числа р на простые идеалы
в любой 3-мерной максимальной решетке, если она неприводима. В виду того,
что нам в дальнейшем при классификации областей 4-го порядка придется
разлагать простые числа на простые идеалы и в приводимых трехмерных мак-
максимальных решетках, посмотрим как это сделать.
Мы показали (см. § 5), что всякий идеал в приводимой максимальной
решетке есть прямая сумма некоторых идеалов ее неприводимых частей, причем
простой идеал есть, очевидно, прямая сумма опять простых же идеалов. Если
максимальная решетка Оа = О1<^О2, то разложение р иа простые идеалы в О8
обусловлено его разложением в решетке всех целых чисел квадратичного
поля 02. А именно, если р=р\ р2' в О2, то р = рг р2 р8 в О8, где
б ДИСКРИМИНАНТЕ ПОЛЯ 99
Если же р в Ог не разлагается, то в О8 /> = ртг, где
Если же О3 есть прямая сумма трех колец первой степени, то О8 есть просто
вещественная решетка всех точек с целыми рациональными координатами. Оче-
Очевидно, что каждое простое число р разлагается в этом случае на три простых
идеала 1-го порядка: p=pi J>2 рй, где
§ 20. Теорема о дискриминанте 'пола
Существует известная теорема Дедекинда, что простые числа р, вообще го-
говоря, не содержат простых идеальных делителей в более высокой степени, чем
в 1-ой, а именно, что простое число р тогда и только тогда содержит хоть
один простой идеальный делитель в степени более высокой, чем 1-ая, когда
оно есть делитель дискриминанта Da поля. Мы докажем эту теорему для поля
любого, порядка п только для простых чисел, которые не суть общие делители
всех индексов, а затем1 для кубических полей мы докажем ее полностью,
рассмотрев и простое число 2, которое единственно может быть общим дели-
делителем всех индексов в случае кубического поля.
Теорема. Простое число р, не являющееся общим делителем индексов
всех целых чисел поля Qp (любого порядка п), содержит простые идеаль-
идеальные делители этого поля в более высокой степени, чем в- 1-ой, тогда а
только тогда, когда оно есть делитель дискриминанта Da поля.
Покажем, что, если р не входит в индекс р и /(р) = 0 — неприводимое
уравнение »-ой степени, которому удовлетворяет р, то в равенстве
f{x) = U1(x) U2(x) ... Uk(x)+p-G(x) A)
будут встречаться одинаковые множители U{(x) по модулю р тогда и только
тогда, когда р есть делитель дискриминанта Df. Действительно, продифферен-
продифференцируем равенство A) по х и подставим лг=р; мы получим
Предположим сначала, что все множители Ux (x), U2{x), ... , Uk{x) различны
по модулю р. Тогда все члены правой части B) делятся на простой идеал
(р, Ul (р)), а первый член не делится, так как множители U2 (х) ... Uk (х) — взаимно
простые с Gj (х) по модулю р (в силу нашего предположения, что все множи-
множители U{— простые и различные по модулю р), а множитель U't(x) — более
низкой степени, чем (/, (л:), и потому взаимно простой с Ut (x) (mod р) [?/|(лг)—
не примарный многочлен, но та его целая рациональная кратность, которая при-
марна по модулю р, взаимно проста с U^x), чего для нас здесь достаточно].
В силу теоремы 1 § 18, все множители Ц(р), U2(p), , Uk(p) первого члена
правой части B) не делятся на (р Ut (p)), а следовательно, и сам первый член
не делится на (/>, U1 (p)).
Таким образом, если все множители f/j (дг), U2(x), ... , Uk(x) различны
по модулю р, то /'(р) не делится на (/>, (/, (р)).
Аналогично покажем, что/'(р) не делится и на (р, U2(p)) и т. д., т. е.
что/'(р) взаимно просто с р. Но в таком случае и N(f'(p)) = Df — взаимно
просто с р, т. е. р ие входит делителем в Df и, следовательно, подавно не входит
в дискриминант Da поля п..
7*
100 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Предположим теперь, наоборот, что среди множителей (/j (л;) ... Uk(x)
есть одинаковые по модулю р, например (/j (я) и U2 (x). В таком случае, оче-
очевидно, все члены правой части B) делятся на (р, U^ (p)). Тогда и левая часть
B) делится па (/>, U1 (p)), а, следовательно, и D^=Af(/'(p)) делится на р. Но
так как, по предположению, р не входит в индекс Др числа р, a Df=Da-&*,
то р есть делитель дискриминанта Dq поля Qp.
Теорема Дедекинда, таким образом, доказана для всех простых чисел р,
которые не суть общие делители всех индексов.
В случае кубического поля, т. е. когда л==3, общим делителем всех
индексов может быть только число 2. Но мы видели, что если 2 есть общий
делитель всех индексов, т. в. если иидекс-форма (а, Ь, с, d) поля имеет оба
крайние коэффициента четные, а оба средние нечетные, то 2 разлагается на
три различных простых идеала 1 -го порядка, и вместе с тем в этом случае 2' не
есть делитель дискриминанта Dq поля, так как Da =D^ ft> c d) = b2c2 —j— 1S abed—
—4 ас3—Ab3d—27 a2d? — в этом случае число нечётное; поэтому для куби-
кубического поля получается полная теорема Дедекинда.
Замечание. Теорема Дедекинда верна также и для любой приводимой мак-
максимальной трехмерной решетки, так как в простое число р может входить
простой идеал в степени выше, чем в 1-й, как это ясно из разложений, выпи-
выписанных в § 19, тогда и только тогда, когда Os = Oj@O2, p имеет разложе-
разложение р = р! р2 р3 и в идеалах р„ =41 ).(?)(*>',); Р3 = Ц)@(р2') оба идеала р[, р^
квадратичного поля О2> одинаковые, т. е. в р входит его простой идеаль-
идеальный множитель квадратичного поля О2 выше, чем в 1-й степени. Но это будет
тогда и только тогда, когда р есть делитель дискриминанта Do% этого квадра-
квадратичного поля, так как в квадратичном поле, как легко видеть, нет общих дели-
делителей индексов. Но D^ = DOi • DOj (тут DOt даже равен 1) и, следовательно, р
имеет кратный простой идеальный делитель в О3 тогда и только тогда, когда р
есть делитель Do%.
Аналогично можно показать, что теорема Дедекинда верна и для любой при-
приводимой максимальной решетки любого числа измерений.
§ 21. Дальнейшие теоремы о разложении рациональных простых чисел
на простые идеалы в кубическом поле
Будем обозначать через р простые идеалы 1-го, через q 2-го, а через тг
3-го порядка. В таком случае, если простое число р не есть делитель дискри-
дискриминанта рассматриваемого кубического поля Q_, то возможны только три случая:
Р = т,
где pv р2, рй—различные простые идеалы 1-го порядка. Можно показать, что
если кубическое й не циклическое, то есть бесконечно много простых чисел р,
имеющих разложение как 1-го, так и 2-го и 3-го сорта. А именно, что плот-
> 13 2'
ности простых чисел этих сортов равны -^, —, —. Если же кубическое
поле циклическое, то все простые числа р имеют разложение либо 1-го, либо
„ 1 2
о-го сорта, причем плотности соответствующих простых чисел равны -т? и -^.
о о
Наконец, если О8 приводимая максимальная решетка типа O1Q)O2, то суще-
существуют только разложения 1-го и 2-го сорта, причем плотности соответствен-
соответственных простых чисел суть -^ и -^', если же она типа Oi@O!©Oi, то все
простые числа имеют только разложения 1-го сорта. Теорема о решетке
0i©0j@0j очевидна из § 19, теорема о решетке типа 01ф02 следует из
легко получаемых теорем о разложении простых чисел р в квадратичном поле.
Теоремы же о неприводимой решетке 03, т. е. о разложении простых чисел
ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗЛОЖЕНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Ш
р собственно в кубическом поле, получаются из следующей глубоко лежащей
теоремы Дедекинда — Фробениуса, доказательство которой существенно связано
с методами аналитической теории чисел (аналогичными методу доказательства
существования бесконечного числа простых чисел в прогрессии), почему мы ее
доказательства здесь приводить и не будем.
Теорема. Если в заданном поле Q п-го порядка порядки простых
идеальных множителей простого числа р, т. е. порядки простых много-
многочленов Ut(x) в разложении f(x) no модулю р (так как достаточно рас-
рассматривать лишь простые числа р, не входящие в дискриминант /), суть
/,, /2, ... , fk, то в группе Галуа Г этого поля, рассматриваемой как
группа перестановок его п координат, существует подстановка, неприво-
неприводимые циклы которой—как раз этих порядков. [Эта первая часть теоремы
была впервые доказана Дедекиндом и может быть доказана (см., напр., Чебо-
Чеботарев, „Теорема Галуа") совсем элементарно при помощи теории конечного
иоля.] Обратно, если в группе Галуа Г есть подстановка, неприводимые
циклы которой имеют порядки /,, /2, ... , fk, то существует бесконечно,
много простых чисел р, в разложении которых простые идеалы (простые
множители U{ (x)) имеют как раз эти порядки, причем плотности сово-
совокупностей таких простых чисел равны -~, где I — число подстановок та-
такого циклового типа в 'группе Г, а N—порядок группы Г. (Эта обратная
часть теоремы была доказана в 1896 году Фробениусом и требует пока для
своего дбказательства методов аналитической теории чисел.)
Существует простой критерий для того, чтобы узнать, имеет ли простое
число р разложение 1-го или 3-го рода, или разложение 2-го рода; этот кри-
критерий дан в диссертации Вороного. А именно, первый случай будет тогда, и только
тогда, когда ?)ц —квадратичный вычет, а второй, когда Da — квадратичный
невычет по модулю р. Этот критерий есть также лишь частный случай неко-
некоторого общего критериума для 'полей л-го порядка, найденного впервые
Штикельбергером в 1897 г. Оба эти критерия доказываются совсем просто при
помощи теории конечного поля. Мы, однако, доказательства приводить ие будем.
Наконец, наиболее полное решение задачи о том, какие простые числа
имеют разложение 1-го, какие 2-го и какие 3-го сорта в данном кубическом
поле, дает теорема Такаги — Гассе, доказательство которой требует не только
методов аналитической теории чисел, но и теорем теории поля классов (см.
Hasse [1]). Она состоит в следующем.
Теорема. Пусть Ds —дискриминант кубического поля Q; тогда все
целочисленные квадратичные двойничные формы этого дискриминанта Z>a
распадаются на число классов h, которое делится на 3. Вполне опреде-
определенная треть этих классов квадратичных форм представляет те и только
те простые числа р, которые имеют разложение 1-го сорта, а остальные
две трети — те и тольке те, которые имеют разложение 3-го сорта.
Если Ds — не полный квадрат, т. е. поле Q — не циклическое^ то все
остальные простые числа, т. е, те, для которых Da — квадратичный не-
невычет и которые, следовательно, не представляются никаким из классов
рассматриваемых квадратичных форм, имеют разложение 2-го сорта.
Доказательства этой теоремы мы здесь также приводить не будем.
Надо заметить, что эта теорема была высказана без доказательства Вороным
еще в 1898 году в его докладе на Съезде естествоиспытателей и врачей в Тби-
Тбилиси, поэтому, может быть, следует называть эту теорему теоремой Вороного.
§ 22. Определение группы классов идеалов кубического поля
Определить число классов идеалов неприводимого максимального кольца
можно, используя то обстоятельство, что в каждом классе существует идеал,
норма которого не превосходит некоторой границы, известной, как только
14J
НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
известен дискриминант кольца. В I гладе такая граница была указана в §
для неприводимых максимальных колец любого порядка. Она равна
\ 1С / Яя
где я— порядок кольца, D — дискриминант и т—число пар комплексных
координат. Отсюда для интересующего нас случая п=2> мы получим следующие
границы:
для ?>>0,
?><0.
Однако эти границы могут быть еще немного улучшены посредством ис-
использования оценки минимума кубической двойннчиой формы, что будет сделано
в следующей главе в § 34. Этим способом получаются границы:
для ?>>0,
?><0.
Эти оценки немного точнее тех, которые были получены из общих оценок
при л = 3. Из этих оценок следует, что для ?>< 182, ?>>0 и |?>|-<83,
D<0 число классов идеалов равно 1, ибо при выполнении этих неравенств
в каждом классе найдется идеал, норма которого меньше 2.
Для определения числа классов в общем случае можно предложить следую-
следующий порядок действий.
1. Установить границу L для норм представителей каждого класса идеалов.
2. Выбрать в кольце число р, по возможности с меньшим индексом.
3. Разложить на простые множители нормы чисел p-J~x для
для того чтобы найти простых делителей 1 -го порядка этих норм.
4. Составить базисы для всех простых и составных идеалов, имеющих
нормы, не превосходящие L.
5. При помощи метода, о котором будет итти речь в главе III, испытать
«се пары решеток, соответствующих построенным идеалам, на подобие.
Тогда неподобные решетки дадут представителей всех классов идеалов.
Таким образом, число классов идеалов может быть найдено в конечном числе
действий..
При фактическом определении числа классов, количество испытаний на
подобие может быть значительно уменьшено благодаря тому, что в процессе
разложения числа p-J-х на простые идеалы устанавливается большое колиг
чество отношений эквивалентности между различными простыми идеалами;
Иногда даже удается совершенно избежать испытаний на подобие.
Иллюстрируем все сказанное примером.
Пример. Определить число классов идеалов в Q /7
В этом случае Da = — 27 • 72 и, следовательно,
Берем p = j/7. Индекс р равен ,1,
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ, СВЯЗАННЫЕ С КУБИЧЕСКИМ ПОДЕМ . 103
Для решения задачи нам прежде всего нужно разложить на простые идеалы
числа 2, 3, 5 и 7.
Имеем
>_3) = —20 = —22-5
1 — 2) = — 1
1 — 1)= 6= 2 «3
у
)= 8= 2з
|= 15= 3 «5
|= 34= 2 -17
Из этих разложений заключаем, что
При этом р—1=^3, 5 7
Из того, что р| = 3, следует, что класс; которому принадлежит ps, утрое-
утроением дает главный класс. Обозначим этот класс через К- Из равенства
следует,, что р2 принадлежит классу К2 и q — классу К. Из равенства
р -Ь2 = *у»Б следует, что рь ? *?, %?К.
Таким образом, число классов идеалов равно 1 или 3, в зависимости от
того, будет ли класс К, которому принадлежит ря, главным или нет.
Выяснить этот вопрос можно, не обращаясь к алгорифмам четвертой главы.
Действительно, для нашего кольца известна единица s = 2 — р, которая, как
легко проверить при помощи „извлечения корня", будет основной единицей.
Если бы ра было главным идеалом, произведенным некоторым числом а, то
имело бы место равенство
3 = a3s",
откуда следовало бы, что или 3, или 3s, или 3s2 представляет собой куб не-
некоторого числа кольца. Легко проверить посредством извлечения корня, что
это не имеет места.
Следовательно А = 3, и представителями классов являются 1, рв и 1р|.
§ 23. Различные формы, связанные с кубическим полем
Во вводной главе было показано, что с решеткой, повторяющейся умноже-
умножением, а также с решетками, рационально расположенными относительно таких
решеток, связаны некоторые формы от я переменных, именно эрмитиан, форма
Дирихле и форма Кэли.
Приведем формулы, дающие возможность фактически написать эти формы
для я = 3, в случае если решетка дана. При этом условимся тройничную
кубическую форму, для краткости записи, писать в виде треугольной таблицы
коэффициентов. Так, форма
F (*P xt, x3) = Axl + Bx*xt + Сх\х3 + Ехх
4- o*i
сбудет нами записываться в виде
Н, К, L, М
Е, F, G
В, С
А
104 ' НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Пусть решетка представляет собою кольцо, заданное индексформой
Ее эрмитианом
Du(xv хг
будет <
, у) = ахз + ,
^орма
, *„) = 3*» + 2**Л
Форма Дирихле:
N(xv xv
Форма Кэли:
M*(xv xv
хв)==
' +6adx2x
— аЧ, а(>
ас,
d,
— 2bd,
Ьх2у -(- сху2 -(- dy3.
-f- 2cx1xs 4- (*2 — 2ас) х\ 4-
¦з_|- (с2 —2ййL.
с2 — 2bd), d(b2 — 2ас), ad2
be —Sad, bd
1
с, b, a
— be — Sad, — 2ac
ad (ad — be)
Наконец, приведем некоторые факты из теории разложимых тройничных
кубических форм.
Во-первых, укажем, что необходимым и достаточным условием для того,
чтобы форма была разложимой, является равенство гессиана формы самой
форме, с точностью до постоянного множителя.
Доказывать это утверждение не будем. Найти доказательство можно в любом
курсе высшей алгебры или аналитической геометрии, в котором излагаются
элементы теории инвариантов.
Гессиан (точнее, половина гессиана)
И1, 1С, V, М
Е\ Г, О'
В', С
А'
формы
Н, К, L, М
Е, F, О
В, С
А
может быть вычислен по формулам:
А' = 12AEQ — ЗАР2 + 4BCF— 4&Е— 4&G,
В' = 12AEL + SBCK-\- BF* — 12AKF — 4В2/. -f 36AHQ — 12СН— 4BEG,
F'=/?3 — 4F (СК+ BL -{- EG) +12 (BKG + CEL — CHQ — AKL — ВЕЩ -\-
-\-\№АНМ.
Выражения для остальных коэффициентов аналогичны, если только треуголь-
треугольную схему заданной формы соответственно повернуть.
Множитель, Которым отличается гессиан разложимой формы от самой формы,
представляет собой не что иное, как дискриминант формы, который, таким
образом, может быть непосредственно выражен через коэффициенты формы
в виде дробной рациональной функции. В виде целой рациональнй функци от
коэффициентов формы дискриминант не может быть представлен, однако
квадрат дискриминанта, в силу соотношений между коэффициентами формы>
представляется целым рациональным образом. Именно,
?>2—F* — 8F2 (EG + BL + СК) + 24F (BGK-\- ECL-\-AKL + HCG -f- MBE)—
— 216FAHM + 16 (B2/.2 -(_ С/С2 Ч- ЕЮ2 — В LEG — CKEG— BLCK)—
8Л?/2|ЛС + ЯВО2 + Я/С2+ЛТ/СВ24ЛТС?2)+
(| + +
4- U4{AHGL -\-AMEK-\- HMBC).
КУБИЧЕСКИЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 10S
Квадрат дискриминанта разложимой формы совпадает с одним нз инвариан-
инвариантов общей кубической тройничной формы.
Наконец, коэффициенты формы Кэли, будучи умножены на дискриминант,
могут быть представлены через коэффициенты исходной формы, по формулам:
A*=F (ШМ — KL) — 2? (ЗКМ — L?) — 2G CHL —К"-),
В* = 12ВКМ — 4 BD- — 18СМН -f 2CKL -+- F*L + 6G2// — 3?/=VW + 2EQL —
— 3FKG,
F* = ~-Fs-]- 54AHM + 4F (КС -\^LB-\-EQ) — 6 (AKL + ВЕМ + CGH+
-\-KGB-\-LEC)
Остальные коэффициенты представляются аналогичными формулами, если
только треугольную схему заданной формы соответственно повернуть. Форма,,
коэффициенты которой вычисляются по этим формулам, будет контравариаитом
формы N(Xj, jc2, xs) также и в том случае, когда эта последняя неразло-
неразложима.
§ 24. Кубические циклические поля
Кубическим циклическим полем называется кубическое поле, совпадающее
с сопряженными. Если р — производящее число такого поля, то сопряженные
с ним числа р' и р" рационально выражаются через р.
Пока,жем, что для того, чтобы поле Qp было циклическим, необходимо-
и достаточно, чтобы дискриминант неприводимого уравнения, корнем которого
является производящее Числе р, был полным квадратом рационального числа.
В- самом деле, пусть поле па — циклическое. Тогда р' рационально выра-
выражается через р. Представим р' через р в канонической форме:
Рассмотрим числа (Oj = ар'2 -f- *p' -J- с и ю2 = ар -f- bf-\- с. Они, вместе
с р' = ар2 -\-bp-\-c, являются корнями некоторого кубического уравнения с ра-
рациональными коффициентами. Так как это уравнение имеет общий корень р'
и одинаковую степень с неприводимым- уравнением, которому удовлетворяет р,
то оии должны совпадать. Следовательно, илн о),=р, ю2 = р", или o)j = p"v
оJ = р. Первая возможность, очевидно, отпадает, ибо р" не может быть корнем
квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Остается вторая воз-
возможность:
p' = <DI=ap»
р =0J==а
Таким образом, р" выражается через р' и р через р" точно так же, как рг
через р.
Рассмотрим число \ = р' — р". Это число принадлежит полю Qp. В силу
сказанного выше сопряженные с ним числа суть X' = р" — р и V = р — р'. Норма-
числа 1, N(k) = (р' — р") (р" — р) (р — р') представляет собой рациональное число.
Но число
№))•=[(р' - р*) (р' - р) (р - р')]2
равно дискриминанту числа р. Тем самым доказано, что если поле Q? — цикли-
циклическое, то дискриминант производящего числа р равен квадрату рационального
числа.
Обратно, пусть р — корень неприводимого уравнения ря = sp2-\-qp-{-пг
дискриминант которого равен полному квадрату рационального числа /:
(р—р'J(р'—pW—pJ='2-
Тогда
(р —р'Ир' —P*)(p' —р)=/.
106 НЕКОТОРЫЕ-ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Но (р — р') (р — р") = 8 (р) = Зр2 — 2sp -\- д. Следовательно,
п, п.,_ /
Р Р — 3p2.
С другой стороны, p'-f-p* = .s— р. Таким образом, р' — р" и р' -|- р", а сле-
следовательно также р' и р", рационально выражаются через р, то есть поле Q.
циклическое, что и требовалось доказать.
Неприводимые кубические уравнения, корнями которых являются числа
циклических полей, называются циклическими кубическими уравнениями. Для
Кубических циклических уравнений легко дать параметрическое представление,
г именно выразить коэффициенты через некоторые два параметра а, [5 так, что
при рациональных значениях этих параметров уравнение будет циклическим или
приводимым, и наоборот, для каждого циклического уравнения найдутся соответ-
соответствующие рациональные значения этих параметров.
Покажем, что для уравнений, в которых коэффициент при р равен нулю,
таким представлением будет:
- О)
Действительно, дискриминант D такого уравнения
Й — 27 (а — §)*• (а?-\-а%
представляет собой полный квадрат рационального числа, при рациональных
значениях параметров а и р. Обратно, если дискриминант уравнения р3 = эдз-)-я
представляет собой полный квадрат, легко найти соответствующие,рациональные
значения для параметров а и j$. Достаточно положить
и решить эту систему, относительно а и ($.
Тем самым доказано, что уравнение A) дает параметрическое представление
для кубических циклических уравнений, в которых s = 0.
Скажем несколько слов о единицах циклической области. В циклических
областях, так же как и во всяких кубических областях положительного дискри-
дискриминанта, все единицы могут быть представлены в виде произведения степеней
двух основных единиц. При этом, если Sj и е2 — пара основных единиц, то всякая
пара kj,, 7]2, где 7]i—ef e§, 4j==eis2» есть также паРа основных единиц, если
ad— йс = +1. Покажем, что в каждом циклическом кольце существует пара
сопряженных основных единиц, причем если s0, e^ одна из таких пар, то все
* , „ „ 111111
остальные возможные пары будут sQ, s0; е0, е0; -j, р- ; р-, рг; е~, —.
Для доказательства рассмотрим какую-нибудь пару основных единиц st и е2
и введем в рассмотрение сопряженные числа Sj и t'Y Онн будут являться также
единицами рассматриваемого кольца, и, следовательно,
s[ = s«- ej«,
г\ = е™« $%>.
КУБИЧЕСКИЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Показатели тх, nv m2, я2, конечно, должны быть связаны некоторыми соот-
соотношениями. Найдем эти соотношения. Для этого перейдем к единицам е" и е^.
г]
В виду того, что ete[e"l=e2e'2?^=sil, между показателями
должны быть выполнены соотношения
J + OTi И" «1
Если 1-г-^Ч-Яг^"» то nl = m2 = 0 и удовлетворить первому соотно-
соотношению 1 -|- тх -f- OTj = 0 невозможно.
Следовательно, 1 -)- *»j Ц- я2 = 0.
При этом второе и третье соотношения будут удовлетворены, а первое и
четвертое превращаются в
ибо
1 -f ml + m\ + nxm2= I — {т,п2-^m2nt)
Итак, показатели удовлетворяют двум соотношениям
Пусть eo = ef e^ некоторая единица. Тогда сопряженная с ней единица е^
представится в виде: .
Для того, чтобы е0, е^ была парой основных единиц, необходимо и доста-
достаточно, чтобы было:
х [пхх + п^у) —у (т^х + т^у)=± 1,
или
Дискриминант квадратичной формы, находящейся в левой части последнего
равенства, равен
»k2 = (л2 + /KjJ — 4 («in2 — л,т2) = — 3.
Известно, что каждая квадратичная форма с целыми рациональными коэффи-
коэффициентами и с дискриминантом, равным —3, эквивалентна -одной из форм
+ (х2 -\- ху -\-у2) и представляет-j-1 (или —1) шестью способами. Этн шесть
представлений определяют шесть возможных пар ео,е'о сопряженных основных
единиц. При этом, если е0, е^—одна из таких пар, то остальные пять будут:
. +. j. . . ± 1 . J_ ±. 1 1
О' 0' 0' 0* ' "^ ' » » •» » »» •
*• ^) so ео *о Ч
Это нам и нужно было доказать.
108 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
В заключение отметим некоторые особенности в разложении простых чисел
на простые идеалы в случае циклических кубических максимальных колец.
В виду того, что дискриминанты таких колец представляют собой полные
квадраты, легко усмотреть из теоремы V, что для данного простого числа р
имеются только следующие возможности разложения на простые идеалы:
p = ps, если р входит в дискриминант. При этом р не может быть равно 2.
и (р) — простой идеал.
Простых идеалов второго порядка в циклических кольцах не существует.
Легко видеть далее, что если /> == p1p2'Ps> то простые идеалы pJt p2, ps суть
сопряженные идеалы, т. е. р2 и р8 могут быть получены нз р1 циклическими
перестановками координат или, в геометрическом представлении, решетки соответ-
соответствующих идеалов р2 и JK получаются из решетки идеала J>j вращением вокруг
рациональной прямой на углы -^ и -^.
О О *
Действительно, если pt — простой идеал первого порядка, то решетки р[ и p"f
получающиеся нз р1 вращением на углы -=• и -к- вокруг рациональной прямой,
будут также идеалами простыми и первого порядка, входящими в то же простое
число р. Если Pj, р'} и р" различны, то число р, делясь на каждый из них
порознь, должно делиться и на, их произведение. Следовательно, в этом
случае
Нам остается показать, что если pJ=rpj=rp") то р=р^. Для этого возьмем
число р, делящееся на р^ и не делящееся на р* н на другие идеалы, входящие
в р, если бы таковые существовали. Число р будет корнем некоторого куби-
кубического уравнения:
В виду того, что р =$)'=:?", числа р' ир" вместе с р будут делиться на р.
Следовательно, коэффициенты
будут также делиться на р и, будучи целыми рациональными числами, будут
делиться на р. Следовательно, р8 делится на р, что возможно, только
если р = р8, так как. р не делится ни ha один из идеалов, входящих в р,
кроме р.
Укажем, наконец, что простые числа р, для которых имеет место разложение
р = р1р2р8, расположены в нескольких арифметических прогрессиях с разностью,
равною |/Z); простые же числа, остающиеся простыми в циклическом кольце,
расположены в остальных арифметических прогрессиях с разностью ]//).
Доказывать это утверждение не будем. Оно является частным случаем более
общей теоремы Кронекера об абелевых полях.
§ 25. Чисто кубические поля
Чисто кубическим полем называется поле, производящим числом которого
является кубический корень из рационального числа. Такие поля играют суще-
существенную роль в теории кубических чисел, как наиболее простые из кубических
полей отрицательного дискриминанта; они были рассмотрены в работах Маркова B9]
и Дедекинда [10].
ЧИСТО КУБИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 109
Для чисто кубических полей очень просто решается задача о базисе для
3 ,—
целых чисел поля. Пусть р = уА— производящее число поля. Без нарушения
общности можно считать Л положительным целым рациональным числом, сво-
свободным от кубических множителей. Положим Л —fg2, где / и g— целые числа,
_ з —
свободные от квадратичных множителей. Введем обозначения Л =f2g и р"= V А.
Каждое число поля Qp
может быть представлено в виде a-f-|5р-|-ур, ибо pi =
Пусть о = a -f- jip -f- YP~— целое число поля Qp и ю3 = so2 -\-qm-\-n — урав-
уравнение, корнем которого является ю. Коэффициенты s, q, п. этого уравнения суть
целые рациональные числа. Легко подсчитать, что
п = а3 + 03Л + у3 Л —
и дискриминант ?>((о) = — 27 (?3Л —у3ЛJ.
Из этих равенств прежде всего заключаем, что числа
За = s; . 9fofg= (ЗаJ -f q и Щ*А + 27у3Л= 27л — (ЗаK + 3 • (За)
суть целые числа. Следовательно, 27[53Л и 27у3Л суть также целые числа, ибо
лх сумма и произведение, равное (9jiy/gK, числа целые. Отсюда, наконец, сле-
следует, что 3E и Зу—целые, так как Л и Л не содержат кубических множи-
множителей. Итак, если ю — целое число поля Qp, то оно может быть представлено
в виде о = а~*~ о -Ср с целыми коэффициентами а, Ь и с. Эти коэффициенты
должны удовлетворять сравнениям:
& — bcfg='Q, (mod3) A)
сР-\-Ь*А-\-с*А — 3abcfg=0. (mod 27) B)
Покажем, что если одно из чисел а, Ь и с делится на 3, то делятся на 3
и остальные два. Достаточно рассмотреть случай, когда- а делится на 3. Тогда
ЬЪА -J- саА делится на 9, bcfg делится на 3. Числа ЬЪА и csA оба делятся на 9,
ибо их сумма делится на 9, а произведение на 27. Так как одно из чисел Л, Л
не делится на 9, то одно из чисел Ь, с должно делиться на 3, но тогда, в силу
сравнения B), другое также должно делиться на 3.
Исследуем, при каких условиях число ю = %' * может быть целым
о
при а, не делящемся на 3. Вместо чисел а, Ь и с можно ввести в рассмотрение
их абсолютно-наименьшие вычеты по модулю 3, причем а можно положить
равным 1. Положим 6=<J]=;4^1; c=<J2 = ;+;l. Сравнения A) и B) пере-
перепишутся в виде:
1 + Oi/g" + °zPg— 3a,ajg = 0. (mod 27).
Из первого сравнения заключаем, что / и g не делятся на 3 и <sif'^a2g
<mod 3). Положим a1f=3k-\-l, a2g=3l-\-l; k = +l. Подставив во второе
сравнение, получим
1+2K — 2k2 + 9(A + /)(X — k2)-f 9 (А — /)ПееО (mod 27),
откуда следует, что к = -)-1 и ?:=/ (mod3).
НО НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Итак, число ю= _±^О1М при ^ = -4-1, а2 = ±1 будет целым тогда
и только тогда, если о^=О?(ш>&§), aj=/(mod3) я G2=g (mod3). Удов-
Удовлетворить этим условиям можно, только если Л = + 1 (mod 9).
Действительно, если <3j==<s^g (mod9), то Л=/^=./8 = ±1 (mod9).
Обратно, если /l=/^3^dr1 (mod 9), то/^з^Н^ (mod 9), но#3=Нг1
(mod 9). Следовательно, f=zbg (mod 9), и можно подобрать числа аг и и2,
удовлетворяющие всем требованиям.
Окончательно, за базис чисто кубического поля может быть принята система
чисел 1, р, р, если Аф1 (mod9), и система чисел 1, р, ^ 'Р> если
.4 = 1 (mod 9).
Дадим теперь параметрическое представление для уравнений, корнями ко-
которых являются числа чисто кубических полей. Для этого прежде всего покажем,
что необходимым и достаточным условием для того, чтобы кубическое число о>
было чисто кубическим, является
= — 3d*
при рациональном d.
Необходимость этого условия вытекает из Проведенного выше подсчета ди-
дискриминанта чисто кубического числа.
Докажем достаточность. Пусть ю8 = sm2 -|- qta -f- п. — уравнение, дискрими-
дискриминант которого есть —3d2. Без нарушения общности можно считать s = 0. По
известному правилу Кардана, ю = а-(гр, где а и р суть числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие системе уравнений:
Очевидно, что (а8 — JJ8J = я2 — 27"= — 27 == (Т) ' Следовательно, а8 —
—^8 — рациональное число и числа аир — чисто кубические. Так как ^ = §-, они
принадлежат одному и тому, же чисто кубическому полю, которому, вместе
с ними, будет принадлежать и <ю = а-|-($. Тем самым достаточность высказан-
высказанного условия доказана.
Легко теперь проверить, что уравнение
дает параметрическое представление всех уравнений, которым удовлетворяют
числа чисто кубических полей, имеющие s = 0.
В самом деле, дискриминант этого уравнения D = — 27а2р2 (а -f- pJ удовле-
удовлетворяет необходимому и достаточному условию при рациональных значениях
параметров а и р. Обратно, если дискриминант D уравнения ю9 = ^ю -J- п
удовлетворяет условию ?>=—3d2, то можно найти подходящие рациональные
значения для параметров из уравнений ' .
3
Вычислим еще дискриминант кубического поля QyA; он равен
1, Р » 7
1, р', р' =_27/V,
ЧИСТО КУБИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
111
если Аф\ (mod 9), и равен
'» Р '
. Р ?
1. Р'. Р'
1, Р". Р"
если А ¦¦ 1 (mod 9).
В 1928 году Артии предполагал, что возможно, пользуясь теорией поли
классов, показать, что не может быть двух различных кубических полей с одним
и тем же дискриминантом. Это, как легко видеть, неверно. Действительно,
возьмем некоторую зафиксированную конечную совокупность разлнчных простых
чисел, среди которых есть число 3, и будем ее разными способами разбивать
иа две части, причем произведение простых чисел первой ее части будем при-
принимать за /, а. произведение остальных за g, и будем рассматривать все чисто
кубические поля вида Q VP'S* гДе / и S — такие пары чисел. В виду того,
что либо /, либо g делится на 3, так как среди нашей совокупности простых
чисел, по предположению, есть число 3, A=f*g^ I (mod 9) и, следовательно,
дискриминанты всех рассматриваемых полей равны О = — 1 ^Tf^g2, т. е. одина-
одинаковы. А между тем, как легко видеть, все эти поля различны.
Действительно, пусть АА и А2 — два из рассматриваемых А, и притом
Р1Р2 • •• Pk —все те пР°стые числа нашей совокупности, которые в оба эти А
входят в 1-й степени, q^qi...ql—все те, которые в оба А входят во 2-й,
Г]Г2 ... гт—те из остальных простых чисел, которые в Ах входят в 1-й,
а в Л2 во 2-й, 5j52 ... sa — оставшиеся простые числа, входящие в Л] во 2-й
и в А2 в 1-й степени. Если бы pl==y/Ai и р2 = |Л42 образовали одно и то
же поле, то и числа
=VP1P2 •'¦ ¦ ркя\я\
также образовали бы то же поле. Но дискриминанты полей Qt и Qe равны
А=—2№? или — 3/fe? и As = — 27fkl или — 3/|в?, 'причем /
взаимно просто с /,g-2, и, следовательно, не может быть —27f\g\ = —
и ие может 'быть —bf*g\=—3/2gi. Не может быть также и —
= —3/|g|, так как это равносильно §f\g\=f\g\, но /|gf не делится ни на
один простой делитель числа Pxg\.
Мы видим, таким образом, что могут быть такие дискриминанты, для ко-
которых имеется сколь угодно много не только вообще разных кубических по-
полей, а даже разных чисто кубических полей; стоит только взять достаточно
большую совокупность простых чисел, рассматриваемую выше. (Это замечание
принадлежит Нагелю.)
ТАБЛИЦА ВСЕХ УРАВНЕНИЙ ВИДА *» + Ьх + с = О ДЛЯ ВСЕХ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ Ь и с<6, ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ
МЕНЬШИХ 10, ДИСКРИМИНАНТОВ ПОЛЕЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЭТИМ УРАВНЕНИЯМ, БАЗИСОВ ЭТИХ ПОЛЕЙ, ЕСЛИ ОНИ НЕ
СТЕПЕННЫЕ, НЕКОТОРЫХ ЕДИНИЦ ЭТИХ ПОЛЕЙ И ЧИСЕЛ КЛАССОВ ИДЕАЛОВ ЭТИХ ПОЛЕЙ
¦bx + e
(Таблица вычислена Reid'oM [45])
be
01
11
—11
02
12
—12
22
—22
21
—21
03
13
—13
23
—23
33
—33
31
—31
32
—32
04
14
—14
24
—24
34
—34
red
— 31
— 23
—108
red
—104
—140
— 76
— 59
red
—243
—247
—239
red
—211
-351
—135
—135
+ 81
-216
red
—108
—436
1 П7
—1U/
—116
red
red
—324
Базис
— П ' 1
7Г » «> *
•
a2 + a- a- 1
2
s
a, a+1
a, a — 1, a + 1
a+1; a2 —a + 1
a* + a — 1
T+l
a —1; a« + a—1
a
«1-2
a+1 •
а2 + а — 1
a2_2a+2
«+1 ¦
a —1, a+2
a, 3a+ 1, a2 + 3
a, a— 1, a + 2
— а2 + а + 1 ¦
а2—2
2
21a2 — 29а+61
5a2 — 9а + 11 a2 — а — 5;
a2—а +2
2
а+1
а2_ а — 7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
be
56
—56
66
-66
61
—61
62
—62
63
—03
64
-64
65
—65
07
17
—17
27
—27
37
47
47
-47
57
-57
67
—67
77
—77
71
red
— 472
—1836
— 108
— 891
+ 837
108 "
+ 756
—1107
+ 621
— 324
red
— 1539
red
—1323
—1327
—1319
—1355
—1291
—1431
145
—1579
-1067
—1823
— 823
red
— 459
—2695
+ 49
—1399
Базис
«24-а + 1 ,
3 ' а' '
а2 ,
Y' '
3 ' '
« + 1
a; 6*+l
а
3a — 1
• 2a+1
a — 2 , • . ..
a2 — a — 1
2a« —34a —27
a+2
a + 2
—a«+2
a"—a + 1
3
a + 1
2a2 + 2a — 11
« + 1
a
1
3
1
3
1
1
1
¦ 2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1 .
1 '.
1
2 '
1
1
3
1
2
ЧИСТО КУБИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
113
— — -и CO —• —< —. — СО — —< —
+
+ I
в О
tO tO
—' СО
+ +
в |сч в |сч
о |сч
ю о to
со •$* со to •-«
+I+I+I+I+II I
<N —« О -^ 0H—« CO00t~- 00 tO tOOl
coco -ч< СЧ ioimco счсчо ^ — — —
t*. <T Ч1 * « Ю C4COtOC4
I i i 7 i i 7 i i i"ii
со со со со со со со со
CN CO CO ^ ^ Ю >"J CO
— —1 СЧ •
+ 7
+
41»»
о в
to
и
I I 1 + 1 +1 I I I I I I I'll 11+ I ** l + l" I
^00H
to ooto
CM (MS
О ^*
СЧ СЧ СО W^^IOWWW
СЧ СЧ со со -^" -^" to to totototo to to tp
1O ЮЮЮЮЮО -и -нСЧСЧСО CO ¦^•«i
8 Теория вррацион. З-ft степени
Продолжение
be
81
Ol
-81
82
-82
83
-83
84
—84
85
—85
86
—86
87
09
19
—19
29
—29
39
—39
49
-49
59
—59
69
—69
83
+2021
44
+1940
-2291
red
— 610
+ 404
—2723
+1373
—3020
+1076
red
— 243
—2191
—2183
—2219
—2155
— 255
— 231
—2443
—1931
-2687
—1687
-889
red
Базис v
«4-2«+2.
5
7 * '
f
—; a; 1
2
-; «; i
2 '
a* • -1
3
*
t
a
«2 + 3a+l
2a + 1 '
2a—1
3a2 10a + 7
•
a —2
o2 —5
16o2— 25a— 152
За+4
Та*— 20«+22
du
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
be
79
—79
89
—89
99
—99
91
91
92
—92
93
—93
94
—94
95
—95
96
—96
97
—97
98
010
—3559
— 815
red
— 139
— 567
+ 81
— 327
+ 321
- 756
+2808
—3159
+2673
—3348
+ 621
—3591
+1241
— 243
+ 1944
—4239
+ 1593
— 516
— 300
•
Базис
-s-; a; 1
о
о » a» *
2 , -
'" *T" 1 • -• 1
2J-
2 > a'1
a2 + а .
2 ' a'
°* + « + 1. .. .
3 ' '
5
a + 1
e—2
a| 9a+l
a* a -U 3' я Ч
2
За —1
— 4а2+22а+13
— а2 — 4а — 2
а2 _ 2а — 2
а—1
— За*—6а +1
•
2
1
1
1
1
1
I
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ЧИСТО КУБИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 115
ТАБЛИЦА, АНАЛОГИЧНАЯ ПРЕДЫДУЩЕЙ, ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.
ВИДА хз + ах* + Ъх + с = О
(Таблица вычислена Reid'oM [45])
abc
Базис
abc
Базис
—1 1 1
1 12
—1 12
—1—21
121
—12 1
1—21
—1—21
—122
1—22
— 44
— 83
—139
— 59
— 23
— 87
— 31
+ 49
—200
—152
а+1
а-1; а+1
а
а
— а + 1
—212
—112
—128
—22 2
2—2 2
—2—22
148
-148
1—4 8
—1—48
—116
—503
—503
—204
—268
+148
—356
—628
'—516
—212
—' '•
a'+a;a;i
....
_а2_5а+7
а + 3
+11
ТАБЛИЦА ЧИСЕЛ КЛАССОВ ЧИСТО КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
(Таблица вычислена Дедекиндом [10])
?>а = — ЗА*
л=
2
6
1
3
9
1
5
15
1
6
18
1
12
18
1
7
21
3
10
10
1
20
30
3
11
33
2
13
39
3
14
42
3
28
14
3
15
45
2
45
45
1
17
17
1
19
19
3
21
63
3
63
63
6
22
66
3
44
22
Г
23
69-
1
ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ 3-й И 4-й СТЕПЕНИ
А. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ ПОЛЕЙ 3-й СТЕПЕНИ
§ 26. Система W и ее сетки Wo, Wj для « = 3, т = 0.1
В § 1 были введены в рассмотрение системы Wa T всех точек всех решеток,
повторяющихся умножением, данного числа п измерений и с данным числом т
пар комплексно сопряженных координат. В случае кубических иррационально-
стей я = 3, т = 0 или 1. Мы рассмотрим оба эти случая отдельно.
Случай, когда т=0, т. е. 'D^>0. Всякая точка и системы W в этом
случае имеет координаты, которые являются корнями кубического уравнения
р8 —
A)
с целыми рациональными коэффициентами s, q, n (в гл. III мы обозначаем
через — q тот же коэффициент, который обозначали в гл. II через q), все трн
корня которого вещественны (так как число т пар
комплексно сопряженных корней по предположению
равно 0), т. е. дискриминант D которого положи-
положителен. Будем обозначать координаты точек соот-
соответствующего этому случаю вещественного сиг-
сигнатурного пространства Rs 0 через х, у, г. Тогда
система точек W определяется системами уравнений
x-\-y-\-z =s, '
xy-\-xz-\-yz = q,
xyz = n,
B)
Черт. З.
где s, q, n—все возможные целые рациональные
У числа, удовлетворяющие условию, что все три
корня уравнения A) вещественны. Последнее, оче-
очевидно, равносильно тому, что целые рациональные
1 числа s, q, n должны удовлетворять условию,
чтобы поверхности B) пересекались, т. е. имели хоть одну общую им всем
троим точку. Всякой точке W соответствует одно определенное уравнение
A), а одному уравнению A) соответствует 6 точек W, в соответствии с воз-
возможностью различно нумеровать корни.
Система W представляет собою, таким образом, совокупность всех точек
пересечения семейств плоскостей s, делающих одинаковые отрезки на осях
соасимптотических гиперболоидов q вращения вокруг рациональной прямой (одно-
(однополых, если q<C.O, и двухполых, если ^>0), и поверхностей 3-го порядка л,
асимптотически приближающихся к плоскостям координат, при целых s, q, n.
Норма точки N(x, у, z)=xyz равна объему координатного параллелепи-
параллелепипеда точки (х, у, z), положительна, если точка лежит в одном из 4 нечет-
СИСТЕМА W И BE СЕТКИ 117
ных, и отрицательна, есяи она лежит в одном из 4 четных координатных
октантов. След S(x, у, z)=x-\-y-\-z равен расстоянию до плоскости п от
начала, взятому с соответственным знаком и помноженному на ]/3. Диффе-
Дифферента 8 (х, у, z) — (х — у) (х — z) = (у — х) (z — х) равна площади коорди-
координатного прямоугольника в плоскости YZ той точки (у, z) этой плоскости, ко-
которая является проекцией на эту плоскость точки (х, у, z) параллельно так
называемому „рациональному направлению", т. е. прямой x^=y = z. Таким
образом, „дифферента" равна гиперболическому расстоянию от начала до этой
точки (у, z), если за асимптоты приняты оси Y и Z. Дискриминант точки
(х, У, z)
— 4q* _ 45з„ _ 27n*
равен, как это следует из § 1 вводной части, квадрату объема параллелепи-
параллелепипеда, построенного на точках @, 0, 0), A, 1, 1), (х, у, z),(x, у, zJ.
Все точки (х, у, z) с одним и тем же дискриминантом D лежат на ци-
цилиндре 6-го порядка
(х— у){х — z)(y — г) = ±\/Ъ, ¦
прямолинейные образующие которого параллельны рациональной прямой и ко-
который пе'ресекает, например, плоскость XY по кривой (х — у)-х-y-=-hyrD'
Мы будем называть две точки W параллельными, если они связаны соотно-
соотношением: одна (х, у, z), а другая (x-\-k, y-^-k, z-\- k), где k — целое раци-
рациональное. В виду того, что, если коэффициенты уравнения, соответствующего
первой точке, целые рациональные, то и коэффициенты уравнения, соответ-
соответствующего второй, тоже целые рациональные, следует, • что всякая точка,
параллельная некоторой точке W, есть опять точка W. Система W распа-
распадается, таким образом, на ряды параллельных точек, каждый из которых
представляет собой правильный ряд точек, лежащих на прямой, параллельной
рациональной прямой, в расстояниях ]/3 друг от друга. Какая бы точка W
ни была точка (х, у, z), можно всегда так подобрать целое рациональное
число k, чтобы у точки (x-\-k, у -f- k, z-\-k) было s= — 1, 0 или 1,
так как при переходе от первой точки ко второй целый рациональный
коэффициент s (след) изменяется на 3k. Но соседние плоскости 5 идут
на расстоянии -Цт- друг от друга, и, следовательно, всякая параллель точек W
имеет одну и только одну из своих точек, которую можно назвать начальной
ее точкой либо в плоскости s = —1, либо в плоскости 5 = 0, либо в пло-
плоскости 5=1. Систему W можно наиболее наглядно себе представить, если за-
заметить, что достаточно знать двухмерные сетки ее точек tt^_,, Wo, Wv лежа-
лежащие в плоскостях 5 = —1, 5==0 и 5=1, так как все остальные точки W
исчерпываются периодическим параллельным переносом этих сеток в плоскости
5= ... 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... Но, собственно говоря, даже достаточно знать
только сетки Wo и W,, так как сетка U7_j симметрична сетке W, по отно- .
шению к началу координат. Гиперболоиды q пересекают плоскость 5== 0 по
системе концентрических окружностей с центром в начале координат. Плоскости
координат пересекают эту плоскость 5 = 0 по трем, прямым, проходящим через
начало и образующим 6 равных углов по 60° между собою. Кривые 3-го по-
порядка, по которым пересекают плоскость s = 0 поверхности я, имеют эти пря-
прямые своими асимптотами. Аналогичное получается для плоскости 5=1, только
в 5=1 точка пересечения этой плоскости с рациональной прямой x=y — z,
являющаяся центром кругов q, не есть точка пересечения прямых, даваемых
плоскостями координат, а центр тяжести равностороннего треугольника, ими
118
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
образуемого, кривые же 3-го порядка я и тут асимптотически приближаются
к этим прямым.
Заметим еще, что дискриминантные цилиндры пересекают плоскость нуле-
нулевого следа 5 = 0 и плоскость ?=1 по одним и тем же кривым, совершенно
аналогичным кривым я, но повернутым на 30° по отношению к ним вокруг
начала.
Вся система кривых, нанесенных на плоскости s—0, имеет 6-ную ось
симметрии, а система кривых на плоскости s— 1 3-ную ось симметрии.
В конце книги приложены тщательно гизготовленные чертежи сеток Wo и
Щ Для /?3H.
Случай, когда т=1, т. е. ?><^0. Будем в этом случае считать, что z
вещественный корень р уравнения
a x 4- iy, x — iy комплексно сопряженные его корни рг и р". Тогда мы имеем
систему /
2x-\-z — s',
C)
где s, q, л—все возможные целые рациональные числа, удовлетворяющие
условию D<C.O, но это опять все равно, что удовлетворяющие тому условию,
что поверхности s, q, л пересекаются. Си-
Система W, таким образом, в этом случае пред-
представляет собою совокупность всех точек пе-
пересечения плоскостей s, параллельных оси У
и делающих по оси z вдвое больший отре-
отрезок, чем на оси X, соасимптотических ги-
гиперболоидов q (однополых при ?]>0 и двух-
полых при q<CO), для которых ось Z служит
одной из образующих общего им асимптоти-
асимптотического конуса и поверхностей вращения во-
вокруг оси Z 3-го порядка л, которые асимпто-
асимптотически приближаются к оси Z (-f- z при
л>0и—-гприя<^0) и к плоскости XY,
при целых s, q, л.
Норма точки N(x, у, z) равна деленному
на тг объему цилиндра вращения вокруг оси
Z, одно основание которого находится в плос-
плоскости XY, а окружность другого основания
которого проходит через эту точку, взятому со знаком -j-, если цилиндр
этот над плоскостью XY, и со знаком —, если он под плоскостью XY. След
S(x, у, z) равен .у. Дискриминант d(x, у, z) = [(р — р')(р — р") (р' — Р")]2 =
— s2q*-\-\8sqn — 4q3 — 4$3я—27л2 равен учетверенному квадрату объема
параллелепипеда, построенного на точках @, 0, 0), A, 0, 1), (лг, у, z), (д:2—у2,
ху, z2). Все точки, которые имеют один и тот же дискриминант d, лежат на
цилиндре 6-го порядка
4 (*2 + .у2 -f г2 — 2xz)y = z Щ
Черт. 4.
который с плоскостью XY пересекается по кривой 4 (xi-\-yi)y = ±]/\d\, ко-
которая расположена симметрично по отношению к оси X и приближается к ней
асимптотически. Образующие этого цилиндра параллельны так называемой ра-
рациональной прямой z = x-\~iy=x — iy, т. е. прямой x = z; y = 0, на кото-
которой лежит в этом случае точка р = р' = р", имеющая своими координатами
<1, 0, 1).
ВЫКЛЮЧЕНИЕ ПРИВОДИМЫХ ТОЧЕК 119
Две точки тут называются параллельными, если они связаны соотношением
(р, р\ р"), (Р+*. Р'-М. Р*4-*). т- е- соотношением (дг, у, z), (x-\-k, у,
z-\-k), где k целое рациональное, иначе говоря, получаются одна из другой
переносом параллельно рациональной прямой х = z, y = 0 на расстояние k j/2.
Как в предыдущем случае, следует, что всякая точка, параллельная точке W,
есть опять точка W. Система W, таким образом, распадается на ряды парал-
параллельных точек, каждый из которых представляет собою правильный ряд точек,
лежащих на прямой, параллельной рациональной прямой, на расстояниях |/2
друг от друга. Совершенно аналогично предыдущему случаю система W рас-
распадается на сетки Wv Wo, W^, лежащие в плоскостях s и периодически' по-
повторяющиеся на плоскостях s=... 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...
Тут сетки W_i и W^ опять симметричны друг другу по отношению к на-
началу, так как и система s, и система q, и система поверхностей я симметричны
по отношению к началу, и поэтому опять достаточно рассматривать только
сетки Wo и W). Сетка Wu составлена системой соасимптотических гипербол q
и системой кривых 3-го порядка я, асимптотически приближающихся к пря-
прямой пересечения плоскости s = 0 с плоскостью XY, которая является одновре-
одновременно одной из осей симметрии гипербол. Сетка эта имеет оси симметрии
гипербол своими осями симметрии. Сетка W^ менее симметрична, у нее асимп-
асимптота кривых 3-го порядка я только параллельна соответственной оси симметрии
соасимптотических гипербол, но с ней не совпадает. Кривые пересечения ци-
цилиндров равных дискриминантов совершенно аналогичны кривым п на сетке Wo
но повернуты к ним на 90°. Вся система кривых, нанесенных на плоскости s = 0,'
имеет две оси симметрии, являющиеся осями симметрии гипербол, а система
кривых на плоскости 5=1 имеет одну ось симметрии, являющуюся одной "из
осей симметрии гипербол.
В конце книги приложены тщательно изготовленные чертежи проекций Wo, W1
сеток, Wo и Wx на плоскость XY параллельно рациональному направлению.
§ 27. Выключение приводимых точек в обоих случаях
Если мы хотим вычеркнуть те точки сеток WQ, Wv которые соответствуют
приводимым уравнениям х3 — sx2-^~qx — я = 0, в соответствии с общей тео-
теорией § 2, достаточно заметить, что любая такая точка есть сумма точек
системы Wx (ряд целых рациональных точек), лежащей на одной из осей,
и точки системы Wv лежащей в плоскости, образованной двумя другими осями.
Для случая D > 0 совокупность точек Wv лежащих в плоскости XY, опре-
определяется уравнениями
-;}
Эта совокупность есть в данном случае система W2 для 2-мерного про-
пространства и т=0. Все ее точки лежат на параллельных прямых x-\-y=s,
идущих в расстоянии ~- друг от друга, причем ряды точек, расположенные
на этих прямых s = 0 и s = \, параллельно переносно, по перпендикуляру
к этим прямым, периодически повторяются на прямых s=... 2, 3, 4, 5... .
Легко подсчитать, что уравнения A) для точек W, лежащих в плоскостях s = 0
и соответственно s = \, имеют вид:
= — 3г \ лг+^l — Зг
120 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
где г — целые рациональные числа, т. е. что для выключения приводимых то-
точек в Wo надо брать только прямые s с s, делящимся на 3, а для выключения
в W_l прямые s с ssl (mod 3). Надо рассмотреть системы W2, лежащие
в плоскостях XY, XZ, YZ. Спроектировав эти системы точек, лежащие в пло-
плоскостях XY, XZ, YZ, соответственно на плоскости 5=0 и 5=1, параллельно
рациональному направлению, мы получим на каждой из этих плоскостей но
три системы параллельных рядов точек, лежащих на равноотстоящих друг от
друга прямых, параллельных асимптотам кривых 3-го порядка я, причем
в каждой из этих систем ряды эти параллельно переносно, по перпендикуляру
к этим прямым, периодически повторяются через один. Один из этих рядов
есть ряд всех точек Wo или Wi, лежащих на соответственной асимптоте (т. е.
точек пересечения этой асимптоты с окружностями q), а другой получается
в результате пересечения прямой, параллельной этой асимптоте. Если выклю-
выключить получившиеся так приводимые точки из Wo и №,, мы получим уже
системы в плоскостях 5=0 и 5 = 1, состоящие только из неприводимых
точек.
На чертежах в конце книги вычерчены эти три ряда параллельных прямых.
Для случая D<^0 мы получаем соответственно уравнения
дающие систему W2 для т=1 в плоскости XY. Система W2.b плоскости XZ
или YZ лежать не может, так как у системы W2 или обе координаты соответствуют
вещественным, или, как здесь, обе — комплексным корням. Все точки системы
W% лежат на параллельных прямых 2л: = 5, идущих иа расстояниях 1/2 друг
от друга, причем ряды точек, расположенные на прямой 5 = 0 и 5=1, парал-
параллельно переносно, по перпендикуляру к этим прямым, повторяются на прямых
5 =...2, 3, 4, 5... . Уравнения B) для точек W, лежащих в плоскости
5=0 и соответственно 5=1, суть
2х = — Зг | 2лг=1 —Зг
) И
где г—целые рациональные числа, т. е. для выключения приводимых точек
в Wo надо брать только прямые 5 с 5, делящимся на 3, а для Wx только
с s^l (mod 3). В самих плоскостях 5 = 0 и 5 = 1, аналогично предыдущему,
выходит, что надо выключить все точки W, лежащие на асимптоте кривых
3-го порядка я, затем точки, лежащие иа прямой, ей параллельной, и такие
же системы (периодически параллельио переносно в направлении перпендикуляра
к этим прямым) через одну, лежащие на прямых, им параллельных и проходя-
проходящих все на тех же расстояниях друг от друга.
На чертежах в конце книги вычерчены эти прямые.
Для того чтобы особенно наглядно убедиться, что, скажем, в Wo для D < 0
есть сколь-угодно много неприводимых точек, возьмем место, окружающее
далекую от начала точку на асимптоте кривых я. Сетка WQ около такого места,
как это очевидно из ее геометрической формы, представляет собою густую,
почти ортогональную сеть, так как в таком месте гиперболы q и кривые я
примерно ортогональны друг другу и как гиперболы q, так и кривые я идут
очень густо друг возле друга; таким образом, в полоске между асимптотой
и соседней ей параллельной прямой приводимых точек лежит сколь-угодна
много точек Wo, a между тем в этой полоске приводимых точек иет, т. е.
все эти точки неприводимы. Совершенно аналогичное имеет место и в других
случаях, только при. D~^>0 три системы прямых, на которых могут лежать
ОГРАНИЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ д И я ДЛЯ ДАННОГО * 121
приводимые точки, образуют сетку равных равносторонних треугольников, и дело-
будет идти о том, что внутри такого треугольника, достаточно далеко распо-
расположенного вдоль асимптоты, есть сколь-угодно много неприводимых точек.
В случае ?>>0 и W^ одним из треугольников этой сетки треугольников
будет, например, треугольник, составленный асимптотами кривых п.
§ 28. Ограничение коэффициентов q и я для данного s
для ближайших к началу точек в кольцах целых кубических чисел,
содержащих число 1, дискриминанты которых не больше L
по абсолютной величине
Случай Dy>0. Плошадь V0 основного параллелограмма той решетки О>
которая получается ортогональным проектированием некоторого кольца О це-
целых кубических точек положительного дискриминанта, содержащего точку 1,
параллельно рациональному направлению на плоскость 5=0, равна -j=.V0,
где Vo — объем основного параллелепипеда О, так как такой параллелограмм по-
получается проектированием параллельно 01 некоторого основного параллелепи-
параллелепипеда, у которого 01 есть одно из ребер, плоскость 5 перпендикулярна к 01,.
а длина ребра 01 равна j/lT.
Но Do= V7^, и, следовательно, Vo — -y^\/rD. Если же
О'
l/o^-=:]/L. Все приводимые точки О, если О неприводимая решетка, ле-
лежат в единственной биссектрисе x=y = z, т. е. на рациональной прямой, и,
следовательно, проектируются на плоскость 5 = 0 в .начало координат, где
эта плоскость пересекается рациональной прямой, в центре окружностей q.
Все остальные точки О суть, следовательно, проекции неприводимых точек О.
Опишем в плоскости 5 = 0 из начала координат такой круг, чтобы внутрь
или на границу его наверное попала хоть одна точка любого О, имеющего
Vo ^ —г= |/zl Из известного плотнейшего параллелограмматического располо-
расположения равных кружочков (по равносторонним треугольникам) следует, что наи-
наименьшее расстояние между двумя точками плоской решетки, площадь основ-
основного параллелограмма которой равна о, не превышает у -^= • Следовательно,
радиус такого круга равен г=у -тг\^Ь. Для того чтобы наверняка уловить
хотя бы по одной неприводимой точке каждого О с 0< Do s?l L, надо, сле-
следовательно, рассмотреть Wo и Wx для 0<Ои в них найти все точки, для,
которых круг q имеет радиус, меньший г. Радиус круга q легко подсчиты-
вается, а именно, он равен ]/—2q для 5=0 и 1/ —у^ для 5=-1, и, сле-
следовательно, мы получаем для 5=0 и соответственно для 5=1 такие ограни-
ограничения для коэффициента q:
A )
3
Теперь остается для 5 = 0 и 5=1 для каждого данного q ограничить то п,
для которого последняя кривая п еще пересекает круг q. Это неравенство для.
п получается из условия
27?>р = 4 E2 — 3<7)з — B7л — 9sq -\- 2<?3J
122 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
откуда
— 2 /($2 — 3q)s -f- 9sq — 25' < 27л < 2 V(s2 — 3qK -\- 9sq — 258.
Таким образом, мы получаем окончательно следующие ограничения для п
соответственно при 5 = 0 и s = 1:
п < 6q /=3$, B)
— 2 i/(l — 3?K + 9?—2<27я<2|/A — 3q)s'-\-9q — 2. B')
Случай D<0. Площадь Vo основного параллелограмма той решетки О,
которая получается проектированием некоторого кольца О целых кубических
точек отрицательного дискриминанта, содержащего точку 1, параллельно раци-
рациональному направлению на плоскость XY, равна Vo, так как за одно из двух
ребер основного параллелепипеда О можно принять отрезок 01 рациональной
прямой, и тогда, если перенести концы двух других его ребер, исходящих из
точек О параллельно рациональной прямой, на плоскость XY, то мы получим
равновеликий параллелепипед, площадь основания которого равва Vo, а высота
равна 1. Но в случае <0
и, следовательно, мы имеем
Использовав опять то же ограничение для наименьшего расстояния между
двумя точками плоской решетки с площадью о основного параллелограмма, мы
4/Г
получаем, что в круге с радиусом г=1/ -я-, описанном в плоскости XY из
начала, как из центра, наверняка есть хоть одна точка, являющаяся проекцией
параллельно рациональному направлению точки любого кольца О отрицатель-
отрицательного дискриминанта Do, по абсолютной величине меньшего, чем L. Рассмот-
Рассмотрим теперь, в каких границах находятся все те коэффициенты q и п, которые
для 5 = 0 и 5=1 дают точки W, проекции которых параллельно рациональ-
рациональному направлению лежат в указанном круге.
Обозначим через \У0 и Wx проекции сеток Wo, Wv лежащих в плоско-
плоскостях 5 = 0 и 5=1, на плоскость XY параллельно рациональному направлению.
Найдем уравнения сеток Wo и W,. Для этого обозначим через v и w коор-
координаты х и у точек в плоскости XY. Заметим, что если спроектировать точку
(х, у, г) на плоскость XY параллельно рациональному направлению, то коор-
координаты v и w проекции будут v=х — z, w=y. Исключив из этих двух
уравнений и уравнений C) § 26 буквы л:, у, z, получим уравнения
— Zw*=— 3q-\-si, '3)
D)
которые и. дают сетки Wo и Wx при 5 = 0 и 5=1, если придавать q и п
все возможные целые рациональные значения.
Принимая во внимание величину г и рассматривая крайние гиперболы, ко-
которые еще пересекают окружность г, мы получаем соответственно для 5 = 0
л s=\ такие ограничения для q:
-т/т <?</!• <5)
-т/т+т<*</!+т- ^
НАХОЖДЕНИЕ 3-ГО ЧИСЛА БАЗИСА 123
Теперь надо еше ограничить я, т. е. найти, какая крайияя кривая п пересе-
пересекает каждую гиперболу q еше внутри круга L. Для этого заметим, что
(x — zJ -{-у2,
откуда
г2 = 3z2 — 2sz + q = F' (z),
где F—левая часть уравнения, корнями которого являются р = z, p' = x-\-iy,
р"=х— (у, т. е. г2 равно дифференте р. Дифферента 8=/7'(р) есть корень
уравнения
§8 _ §г (S2 _ з^) _|_ (_ 4^з _ 27л2 _|_ s2q* -f-18sqn — 4«3я) = 0.
Если при данных s и q увеличивать я, то при некотором л = л', § станет
равным г2, т. е. будет
e i{2
При меньших же л, г будет уже велико и даст значение большее нуля (так как
для г==0 получаем Dp<0, т. е. значение меньшее нуля), таким образом, в
¦каждом из случаев s = 0, 1 надо для каждого q, удовлетворяющего соответ-
соответственному неравенству E) или E'), брать л, при котором
re — r^^^sq)-^ Dp<0.
§ 29. Нахождение 3-го числа базиса для каждой из пойманных точек
Рассмотрим все неприводимые кольца О, положительного или отрицатель-
отрицательного дискриминанта — все равно, дискриминанты Do которых по абсолютной
величине меньше L. В силу рассмотренного, внутри найденных для s = 0 и
s=l в предыдущем параграфе пределов для q и л будет наверняка нахо-
находиться одно или несколько уравнений р3 — sp2-\-qp— я = 0 с целыми рацио-
рациональными коэффициентами, соответствующих неприводимым точкам любого та-
такого кольца. Но не всякое, конечно, уравнение с целыми рациональными коэф-
коэффициентами, находящимися в этих пределах, непременно соответствует точке
одного из таких колец. Во-первых, оно может быть приводимым, и тогда оно
вообще ие соответствует нн одной точке ни одного из таких колец О, кроме
как когда оно есть л:8 = 0, но тогда оно дает приводимую точку, начало, при-
принадлежащую всем таким кольцам и иам неинтересную. Затем может быть, что
дискриминант такого уравнения
после выделения из него наибольшего квадратного множителя, даст число, все
же по абсолютной величине большее L; такое уравнение также не может со-
соответствовать никакой точке ни одного из этих колец, так как дискриминант
любой точки кольца равен, очевидно, дискриминанту кольца, помноженному
на квадрат целого рационального числа, а именно на квадрат индекса этой
точки. Такие уравнения, подобно приводимым, надо, конечно, отбросить. Од-
Однако, если дискриминант Do содержит такой квадратный множитель, после вы-
выделения которого получается число, по абсолютной величине не больше L, то
это еще ие значит, что существует кольцо О, точкой которого является р,
которое имеет дискриминант Do, по абсолютной величине не больший L. Мо-
Может быть, что все-таки точка р принадлежит только кольцам, дискриминанты
которых по абсолютной величине больше ?.. Для того чтобы узнать, есть ли
такие кольца, дискриминанты которых по абсолютной величине не больше L, и,
если такие кольца есть, их все найти, достаточно применить способ для вычисления
базисов всех колец, содержащих данную точку р, рассмотренный в § 17,
причем в данном случае дело несколько упрощается, так как нам нужно найти
только такие кольца О, у которых само р является вторым числом базиса (как
в § 17, так и здесь мы рассматриваем вообще лишь такие кольца, в которых
124 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
есть точка 1, а следовательно, за первую точку базиса мы всегда и можем
принять как раз эту точку 1, и, следовательно, остается только найти третье
число базиса с!>, для чего пользуемся способом § 17).
§ 30. Таблица действий для нахождения всех неприводимых колец, со-
состоящих из целых кубических точек и содержащих точку 1, дискриминанты
которых по абсолютной величине ие превосходят данного числа
Последовательность необходимых действий такая:
1) ограничиваем q в зависимости от выбранного L для s=0 и s=\ по
формулам A) и (Г) § 28 для Z)^>0 и по формулам E) и E') § .28 для
D<0;
2) ограничиваем п для каждого из так полученных q, по формулам B) и ¦
B') § 28 для Z)>0, и способом, указанным в конце § 28, для D<^0. Таким
образом, получаются как в случае D^>0, так и в случае D<0 две таблички
уравнений, проекции точек которых лежат в круге г; эти таблички можно и
прямо получить, тщательно вычерчивая сетки Wo, W-y для D~^>0 или, соот-
соответственно для Z) < 0, сетки W-o, Wv как это сделано на чертежах в конце
книги;
3) исключаем все приводимые уравнения;
4) вычисляем все Z)p оставшихся уравнений (это действие отнимает наи-
наибольшее время);
5) разлагаем все эти D? на множители и вычеркиваем все те уравне-
уравнения, у дискриминантов которых, после выделения наибольшего квадрата, все
же остается число, по абсолютной величине большее L;
6) находим для каждого из оставшихся уравнений по правилам § 17 для
каждого соответствующие ему третьи числа базиса ф, причем оставляем только
те, которые дают | Do \ =
Д2
не большие, чем L. Таким образом, мы полу-
получим все кольца О, дискриминанты которых не больше L по абсолютной вели-
величине, но некоторые из них могут так получиться по нескольку раз, поэтому
надо еще проделать следующее действие:
7) узнать при помощи способа, обратного преобразованию Чирнгаузена
(см. § 13), для колец, так полученных, дискриминанты которых одинаковы,
одинаковы ли эти кольца, или различны. Наконец, если нам желательно найти
именно лишь все различные кубические поля, дискриминанты которых по
рбсолютной величине не больше L, то надо еще:
8) для колец, дискриминанты которых равны дискриминантам других ко-
колец, помноженным на квадраты целых рациональных чисел, опять-таки при по-
помощи указанного в § 13 способа, обратного способу Чирнгаузена, убедиться,
соответствуют ли эти кольца некоторым независимым кубическим полям, или же
они—лишь надкольца соответственных колец.
Заключение. Когда уже вычислена этим способом таблица кубических
колец О, так что для каждого |Z)|sS;L даны все различные кольца О, т. е.
даны коэффициенты s, q, п уравнения р8 — spz-\-qp— я = 0, которому удов-
удовлетворяет р, и числа Д, Ь, с в выражении ф =р / . где 1, р, ф базис
соответственного кольца О, то можно затем, если угодно, переписать эту таб-
таблицу в виде таблицы представительниц всех классов с \D\^L целочислен-
целочисленных кубических двойничных форм (индексформ этих колец). Действительно,
соответствующая кольцу [1, р, ф] индексформа (а, Ь, с, d) имеет коэф-
коэффициенты (см. § 17)
а = -С; b = ±
где F(z) = z5 — sz2-{-qz— n.
ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
125
ТАБЛИЦА МАКСИМАЛЬНЫХ И НЕМАКСИМАЛЬНЫХ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ (КУБИЧЕСКИХ КОЛЕЦ ПОЛОЖИТЕЛЬ-
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ) ДЛЯ ВСЕХ ZX1296
Вычислена Д. К. Фаддеевым
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
D
49
81
148
169
229
257
316
321
361
404
469
473
564
568
592
621
697
729
733
756
Индексформа
A,-1,-2,1)
A,0,-3,-1)
A,-1,-3,1)
A,-1,-4,-1)
A,0,-4,-1)
A,-1,-4, 3)
A,-1,-4,2)
A,-1,-4, 1)
A,-1,-6,7)
A,-1-5,-1)
A,-1,-5,4)
A,0,-5,-1)
A,-1,-5, 3)
A,-1,-6,-2)
A,-1,-5, 1)
A,0,-6,-3)
A,0,-7,-5)
A,0,-9,-9)
A,-1,-7, 8)
A,0,-6,-2)
Примечание
Макс.
Содерж. в № 3
Макс.
я
Содерж. в № 2
Макс.
№
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
D
761
784
785
788
837
892
916
940
961
985
993
1016
1076
1101
1129
1229
1257
1264
1264
1296
Индексформа
A,-1,-6,-1)
B,-2,-4,2)
A,-1,-6,5)
A,-1,-7,-3)
A,0,-6,-1)
A,-1,-8, 10)
A,-1,-6,4)
A,0,-7,-4)
B,-1,-5, 2)
A,-1,-6,1)
A,-1,-6,3)
A,-1,-6,2)
A,0,-8,-6)
A,-1,-9,12)
A,0,-7,-3)
A,-1,-7,6)
A,-1,-8,9)
A,0,-7,-2)
A,-1,-7,-1)
B, 0,-6,-2)
Примечание
Макс.
Содерж. в № 1
Макс.
Содер!
Ма
к. в № 5
КС.
Содерж. в № 7
. в№7
в№2
Замечание. Число классов идеалов во всех максимальных кольцах таблицы
равно 1.
§ 31. Непосредственная табуляризация кубических циклических
максимальных решеток
Для циклических максимальных решеток задача табулярнзации может быть
решена посредством очень простых соображений, отличных от соображений
предыдущих параграфов и приводящих к приему табуляризацин, требую-
требующему весьма небольшого количества вычислений.
Будем называть решетку, повторяющуюся умножением, образованную числами
кубической циклической области, симметричною, если она переходит в себя при
циклических перестановках корней производящего уравнения. Такая решетка
переходит в себя при поворотах вокруг рациональной прямой на углы
в 120° и 240°.
Способ табуляризации, которому посвящен этот параграф, даст возможность
построить все такие решетки в порядке возрастания дискриминантов. Нетрудно
подтвердить примерами, что не каждое кольцо, образованное числами
циклической области, будет симметричным, однако максимальные кольца,
построение которых нас особенно интересует (см. § 3), очевидно, все симметричны.
Докажем две леммы, необходимые для дальнейшего.
Лемма 1. В каждом кольце существует „симметричный* базис еида
A, р, р'), где р'—число, сопряженное с р. Все такие базисы распреде-
распределяются по шести ^параллелям". Именно, если [1, р, р'] один из симмет-
симметричных базисов, то все остальные имеют вид:
[I, p' + fe, p" + fe]; [1, p'
p [1, -p'-ffe, -p" + *]: [1, ~
где k — целое рациональное число.
ТАБЛИЦА МАКСИМАЛЬНЫХ РЕШЕТОК ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ ДЛЯ ВСЕХ |?>|< 1000
(Вычислена Вегукк'ом н Mathevs'oM и перевычислена Б. Н. Делоне)
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
—D
23
31
44
59
76
83
87
104
107
108
116
135
139
140
152
172
175
199
200
204
211
212
216
231
239
243
244
247
255
268
283
300
307
Иидексформы
A.1,2,1)
A,0,1,1)
A-1,1,1)
A,0,2,1)
A,1,8,1)
A,-2, 2,1)
A,-1.2,1)
A,0-1,2)
A,2,4,1)
A,0,0,2)
A,1, 0, 2)
A,0,3,1)
A,4,6,1)
A,3,5,1)
A,1,-2,2)
A,2,0,2)
A,-2,3,1)
A,1,4,1)
A,2,3,4)
A,1,1,3)
A. 6,10,1)
A,1,4,2)
A,0,3,2)
A,-4,5,1)
A,0,-1,3)
A,0,0,3)
A,5,4,2)
A,-3,4,1)
A,5,8,1.)
A,7,13,1)
A.0,4,1)
A,4,2,2)
A*2,4,1)
№
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
—D
324
327
331
335
339
351
356
364
367
379
411
419
424
431
aus.
432
436
439
440
451
459
460
472
484
491
492
499
503
aus.
515
516
519
524
Индексформы
A,0,-3,4.)
A,4,3,3)
A,-2,4,1)
A,-1,4,1)
A,2,0,3)
A,3,6,1)
A,0-7,8)
A,0,4,2)
A,4,7,1)
A,1,1,4)
A,1,5,2)
A,3-1,2)
A,8-7, 2)
B,1,3,2)
A,0,0,4)
A,3,4,6)
A,2,-1,3)
A,7,6,2)
A,5,3,2)
A,3,-3,2)
A,1,5,3)
A, 3,-2, 2)
A,2,5,6)
A,-4, 6,1)
A,2,4,6)
A,0,4,3)
B,5,5,4)
A,4,4,5)
C,3,4,2)
A,5,4,3)
A,1,3,5)
№
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
—D
527
543
547
563
567
588
020
628
643
648
aus.
652
655
671
675 '
676
679
680
687
695
796
707
716
728
731
743
744
748
751
755
756
759
771
Индексформы
A,0,5,1)
A,1,2,5)
A,4,2,3
A,2,6,1
A,3,0,3
A,-1,5,1) -
A,4,0,2)
B,5,6,5)
A,-6,10,1)
B,0,3,2)
A,6,4,2)
A,2,1,5)
A,3,2,5)
A,0,0,5)
B,2,5,2)
A,3,4,7)
A, 5, 2,2)
A,2,5,7)
A,-5,8,1)
A,2-1,4)
A,3,5,8)
A,3,-1,3)
A,1,6,2)
A,4,8,1)
A,0,5,3)
A,4-1,2)
A,2,2,6)
A,1,6,1)
A,2,6,7)
B,3,6,3)
A,1,6,3)
A,1,3,6)
№
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
ИЗ
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
—D
780
804
808
812
815
823
835
839
843
856
863
867
876
883
888
891
907
908
931
932
940
948
959
964
971
972
972
980
983
984
996
999
aus.
Индексформы .
A,4,4,6)
A,1,4,6)
A,0,2,6)
A, 4,-2, 2)
A,6,5,3)
A,3,-2,3)
A,2,0,5)
1,4,3,5)
3,3,5,2)
2, 2,1, 3)
1,2,3,7)
A,7,5,2)
C,2,4,2)
A,5,-5,2)
B,2,5,3)
A,0,6,1)
A,5,1,2)
B,6,4,3)
A,-2,6,1)
A,0,5,4)
A,3,1,5)
A,2,1,6)
A,-1,6,1)
B, 6,5,4)
B,3,1,3)
A,0,0,6)
B,6, 6, 5)
B,4,5,5)
A,1,6,5)
B,1,0,3)
A,4,5,8)
B,3,3,4)
i
2
1
ы
>
о
о
к
Замечание. Даны, по возможности, индексформы с первым коэффициентом, равным 1 (т.е. обнаруживающие степенной
базнс), а- 45 таких, по возможности, с 4-м коэффициентом 1. Не имеют степенного базиса решетки с общим делителем индексов,
отмеченные знаком ,aus.", а также решетки №№ 62 и 72; решетки №№ 79, 94, 105, 106 и т. д. в этом смысле под сомнением.
ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК 127"
ТАБЛИЦА НЕМАКСИМАЛЬНЫХ РЕШЕТОК, СОДЕРЖАЩИХ 1 с |D|<1000
—D
176
236
279
304
332
368
416
416
428
432
464
464
496
Индексформы
A,-1,3,1)
A,-2,1,2)
A,2,5,1)
A,5,7,1)
A,1,2,4)
B, 2, 4, 2)
A,1,5,1)
A,2,1.4)
A, 3, 2, 4)
A, 0, 0, 4)
A,-3,5,1)
A,3,5,7)
B,0,2,2)
С
с:
с
с
с
с:
с:
с:
с:
с:
с
с:
№
№
№
№
I
3
4
2
5
6
1
8
8
9
№10
№
№
№
И
11
2
-о
556
560
575
608
608
684
688
704
783
783
800
800
Индексформы
A.4, 3,4)
A, 2,0, 4)
A.-2,5,1)
A,5,9,1)
A,1,1,5)
A,4-4, 2)
A, 3, 7,1)
B, 4,4,4)
A,4,1,3)
A,3,6,9)
A,5,5,5)
B,3,4,4)
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
№
№
№
№
№
13
14
1
15
15
5
16
3
7
7
19
19
—D
816
844
848
848
864
864
944
944
972
972
976
976
Индексформы
A,5,3,3)
A.1,6.4)
A,4, 2,4)
A,5,4,4)
A,9.21,1)
A,0,-3,6)
A,2, 5, 8)
B, 0, 4, 2)
A,0,6,2)
A, 6, 3, 2)
A,2,6,8)
•A,3,4,8)
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
№20
№21
№22
№22
№23
№23
№ 4
№ 4
№10
№26
№27
№27
Доказательство. Спроектируем симметричное кольцо параллельно рацио-
рациональному направлению иа перпендикулярную плоскость x-\-y-\-z = 0. Проек-
Проекция представляется как плоская решетка, совмещающаяся с собой при поворо-
поворотах иа 120° и 240° вокруг начала координат. Рассмотрим точку а проекции,,
ближайшую к началу координат. Вместе с ней решетка - проекция должна
содержать точку —а н точки, получающиеся из а и —а поворотами иа 120°
и 240°." Эти шесть точек образуют правильный шестиугольник с центром в
начале координат. Каждый параллелограмм, построенный на начале и трех смеж-
смежных вершинах шестиугольника, будет пуст внутри и иа границе и, следова-
следовательно, может быть принят за основной параллелограмм решетки. Всякий же
другой параллелограмм, построенный иа точке решетки и иа точке, получаю-
получающейся из первой поворотом на угол 120°, будет содержать внутри себя или
иа границе, по крайней мере, одну из вершин основного шестиугольника и
потому не может быть принят за основной. Поэтому за числа симметричного
базиса кольца могут быть приняты только те числа, которые проектируются в-
вершины основного шестиугольника. Каждое же такое число может быть при-
принято за число симметричного базиса, ибо если точка (©, ©', ©*) проектируется
в вершину а, то сопряженная с ней точка (©', ю", ©) проектируется в вер-
вершину а'.
Тем самым лемма доказана.
Лемма 2. Пусть р— число циклической области и р'— сопряженное-
с р число. Коэффициенты а, Ь, с, d дробноланейндго представления
р' = apT_d числа р' через р удовлетворяют соотношению
ad—bc = (
Доказательство. Пусть
r~c?' + d и р~Г
Тогда
Подставив в последнее равенство выражение р" через р', получи»
откуда
128 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Из однозначности дробнолинейного представления следует необходимость
.равенств
— {d* + bc) = a\, b(a + d) = b\, с (а-{-d) = сХ, — (а*-{-be) = dl,
откуда
\ = a + d.
1-е и 4-е соотношения дают
a?-\-ad + d*-\-bc = Q,
или, что то же самое,
(a-\-d)* = ad — be,
что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к изложению способа табуляризации. Идея способа со-
состоит в том, что в каждом симметричном кольце можно указать в некотором
смысле приведенные числа, однозначно определяемые в кольце и в свою оче-
очередь задание каждого из которых однозначно определяет кольцо.
Такими числами являются компоненты нормального базиса, выбранного для
параллели симметричных базисов. Симметричное кольцо содержит двенадцать
приведенных чисел, так как в таком кольце существует шесть параллелей сим-
симметричных базисов и каждая параллель приводит к построению двух приве-
приведенных чисел.
Пусть р — одно из приведенных чисел. Другое приведенное число, обра-
образующее с ним нормальный базис, должно иметь вид р'—от, ибо оно должно
находиться в „параллели", содержащей сопряженное с р число р'. По опреде-
определению нормального базиса должно иметь место равенство
р(р' — m) = k,
где k — целое рациональное число, откуда
В силу второй леммы, между числами от и k должно быть выполнено со-
соотношение k=—от2 и, следовательно,
, тр — п&
9—~ ¦
.Легко видеть, что р = -г^—» откУДа следует, что
Составим уравнение, корнями которого являются р, р' и р". Обозначим че-
;рез s первый коэффициент этого уравнения
Остальные коэффициенты легко определяются:
Таким образом, р удовлетворяет уравнению
рЗ = .ур2 m(s З/Я) р ОТ3.
Легко видеть, что если р — одно из приведенных чисел, то все приведен-
-ные числа суть
Р. Р'. ?'
-р, -р\ -р'
р — от, р —от, р —от
т — р, от — р', от — р"
ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК 129
Все эти числа являются корнями четырех уравнений
рз = s р2 — от {s — Зот ) р — от3,
Р? = *iP? — т\ (si — Ът\) Pi — т\>
Рз = sb?1 — отз (*з — Зотз) Ps — тЬ
параметры st и т{ которых связаны с параметрами shot одного из них по-
посредством соотношений
Sj = — s, s2=s — Зот, ss = 3m — s,
От] = — от, /ге2 =— от, от3 = от.
Из этих четырех уравнений легко выбрать одно, потребовав выполнения нера-
венств от>0; s^-^-ot.
Таким образом, каждому симметричному кольцу однозначно сопоставляется
уравнение вида
р8 —,ур2 — m(s — Зот) р — от3,
параметры которого s и от удовлетворяют неравенствам от > 0; s ^ -s- от.
Любая пара корней такого уравнения вместе с числом 1 образует симмет-
симметричный базис кольца.
Обратно, каждое такое уравнение однозначно определяет симметричное
кольцо прн любых целочисленных значениях параметров sum. Действительно,
дискриминант такого уравнения
D (р) = s*nP (s — ЗотJ -f- 4*3от3 — 4от3 (s — ЗотK — 18m*s (s — Зот) — 27от6 =
= от2 («я _ 3ms -\- 9от2J
представляет собою полный квадрат, и, следовательно, корни уравнения рацио-
рационально выражаются друг через друга. Легко найти, что один нз корней р'
выражается через другой корень р в виде р' = ——— .
Числа р и р' вместе с числом 1 могут быть приняты за симметричный ба-
базис кольца, так как числа р3, рр' и р'г выражаются линейно с целыми ко-
коэффициентами через 1, р и р'. В самом деле
рг = $р — от (s — Зот) = sp -J- отр' — от (s — 2т),
рр' = отр —от2,
р'г = sp' -\- отр" — от (s — 2от) = — mp-\-(s — от) р' + 2отг,
Дискриминант кольца, которое получится этим способом, равен
1. Р. Р
1. Р'. Р"
1, р", р
р'2 _|_ р _ рр' _ р'р" _ р'рJ __ (S2 _ 3OTS -f 9/Я2J.
Таким образом, придавая параметрам s и от всевозможные целочисле-шые зиа-
3
чения, удовлетворяющие неравенствам от>0 и^^-т-т, мы получим все сим-
симметричные кольца и каждое по одному разу. В виду того, что {/ D— s2 —
— 3ots-)-9ot2 представляет собой положительную квадратичную форму, легко
задавать значения' от и s так, чтобы получать симметричные кольца в порядке
возрастания дискриминантов. Среди колец, получаемых этим способом, будут
получаться, кроме неприводимых, также и приводимые кольца.
Построив все кольца, дискриминанты которых не превосходят данной гра-
границы, легко выбрать из них максимальные.
Таким образом, приведенный способ дает полное решение задачи табуляри-
зации симметричных колец и, в частности, максимальных колец циклических
областей.
9 Теория иррациои. 3-й степ.
130
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ТАБЛИЦА ОБРАЗУЮЩИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРИВОДИМЫХ МАКСИМАЛЬНЫХ
ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕЦ ДЛЯ ВСЕХ ]/"?> < 100
YD
7
9
13
19
2
3
4
5
q
i
0
—i
2
—1 31
—1 37
—1 43
—1 61
5
7
7
5
' ¦
2
4
— 2
12
"
— 8
— 1
— 8
—27
YD
63
63
67
73
9
9
7
8
q
—6
—6
6
3
я
— 1
— 8
—27
—27
79
91
91
97
s
10
11
10
11
q
— 7
—10
— 3
— 8
я
— 1
— 8
—27
— 1
Б. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 32. Геометрия кубической двойничной формы и ее ковариантов
Хорошо известна (см., например, приложение к русскому переводу лекций
по теории чисел Дирихле) интерпретация квадратичной двойничной формы
с вещественными коэффициентами при помощи двухсторонника, заданного
в плоскости с точностью до обычного поворота, в случае D ^> 0', и с точностью
до гиперболического поворота, в случае ?><0. Мы покажем в этом параграфе,
как кубическая двойничная форма / с вещественными коэффициентами может
быть интерпретирована при помощи двухсторонника в плоскости, но такого,
который вполне 'задан. Все коварианты /, Н, Q, D полной системы ее ковариан-
ковариантов интерпретируются тем же двухсторонником, которым интерпретируется сама
форма /, причем квадратичная форма И и дискриминдт D—в обычном смысле.
Пусть f(X, Y) = aX3-\-bX*Y-\-cXY2-\-dYs — какая-угодно кубическая
двойничная форма с вещественными или комплексными коэффициентами а, Ъ,
cud. Мы будем, как в§ 15, называть корни рх, рх, pj уравнения f(X, а)=О
левыми, а корни р2, р2, р уравнения/(</,— У) = 0 правыми корнями формы/.
Если/j—левый корень, то, как легко видеть, t%=—т правый корень /.
Такие два корня / мы будем называть соответственными и будем пред-
предполагать, что р, и р2, pj и pj, pj и pj — попарно соответственные.
Начнем со следующей леммы, являющейся перефразировкой способа Лаг-
ранжа для решения кубического уравнения при помощи резольвент на случай
кубической двойничной формы.
Лемма I. Если коэффициенты а, Ь, с, d формы f— какие угодно ве-
вещественные или комплексные числа, то имеет место тождество в XY:
где 6 =
,К; r^
^ = Pl + spj"
= Р, + е«р,'+ «Р7 :
! = P2 + ?Рг + e2Ps; 42 = P2+e2p2+sP2' причем ? = еЗ и & =
\\
Действительно, принимая во внимание, что PiP2:= — ad, мы получаем
ар2= р2-\- 6рх-(- ас; dpl = —р|-|- ср2 — bd. Подставляя это в Д и, далее,
_т_ __ ¦»
полученное А в коэффициенты а, Ь, с, d выражения ^д (S3 — ij3), мы убеж-
убеждаемся прямым вычислением, что они равны я, Ь, с, d.
Определение ковариантов, т. е. гессиана Н, якобиана Q и дискриминанта D
кубической двойничной формы /— следующее:
дх*' дхОу
дхду' ду*
_ Зас) X* + (be — 9ad) XY-\- (с2 — Zbd) Y*
= AY2 -\-BXY-\-CY*;
ГЕОМЕТРИЯ КУБИЧЕСКОЙ ДВОЙНИЧНОЙ ФОРМЫ И ЕЕ КОВАРИАНТОВ
131
д1 д1
дх' ду
дН дН
дх ' ду
= {9abc — 2Ь3 — 27аЩ X3 4-
— ЪЪЧ — 27abd)
+ B7acd 4- 3bc* — №4) XY* -+¦
+ {27ad* + 2с3 — 9bcd) Y* =*
= а'ЛГз + *'ЛГг К + с'^Г^ + d' УЗ;
дудх* ду2
причем численные коэффициенты перед определителями здесь выбраны так,
чтобы в случае, когда коэффициенты а, Ь, с, d заданной кубической двойнич-
двойничной формы /{X, Y) = аХ3 4- ЬХ2 Y-\- cXY2 -^-dV3 — целые рациональные, коэф-
коэффициенты каждой из форм Н, Q, D, т. е. А, В, С; я', Ь', с', a"; D, получа-
получались также целыми рациональными и без тождественного общего делителя
и чтобы, если D>0, форма И была положительная.
Лемма II. Коварианты кубической двойничной формы равны
D = — ~.
J
Действительно, принимая во внимание, что/=^E3 — rf), 5 = с
, 4i
S2K,
12
, мы непосредственно вычислением проверяем эти
выражения.
Эти две чисто алгебраические леммы дают тождества, верные для
кубической двойничной формы / с какими угодно вещественными или
комплексными коэффициентами а, Ь, с, d. Мы будем теперь дальше все время
предполагать, что коэффициенты а, Ъ, с, d—действительные. Тогда имеют
место следующие дальнейшие леммы.
Лемма Ш. (А): Если а, Ь, с, d действительна aZ)>0, то р1? р,, р", а
следовательно и р2> p'v р? — действительные, и тогда S, и ?2—комплексные,
причем площадь s параллелограмма, построенного на векторах, идущих по
комплексной плоскости к точкам Sj и к2, не равна нулю; 7], и т]2 — числа
комплексные, сопряженные с Sj и ?2; наоборот, если ?j и ?2 — комплексные,
площадь s, на них построенная, не равна нулю, и тп, >]2 — числа, им
комплексно сопряженные, то коэффициенты а, Ь, с, d — действительные,
« D>0. (Б): Если а, Ь, с, d действительны а О<0, то один из левых
корней формы (мы будем за него принимать pj действителен, а два
других pj', р" — комплексно сопряженные, и, аналогично, — соответствен-
соответственные um.$v pj, р?; в этом случае ?1# Sj, t\x, щг — действительные, причем
площадь s параллелограмма, построенного на векторах (?j, 7]j), (?2, rj2), не
равна нулю; наоборот, если Sj, 7]j, S2, »J — действительные и площадь s этого
параллелограмма не равна нулю, то коэффициенты .а, Ь, с, d — действи-
действительные, а /)<0,-
Эта лемма непосредственно следует из формул, доказанных в лемме I,
и того, что по лемме II D=—-я- • Геометрическое толкование кубической
двойничной формы с действительными коэффициентами и ее ковариаитов,
в силу лемм II и 111, может быть следующим.
9*
: 132 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Случай ?>>0. В этом случае мы считаем соответствующим заданной ку-
кубической двойничной форме /=зд(*3 — Щ3) двухсторонник, состоящий из век-
векторов, идущих из начала плоскости комплексной переменной a-f-fU' в точки
?i —ai ~Ь EV> ^г = а2 ~Ь Рг'* Гессиан #=?7] будет в этом случае определен-
определенной квадратичной двойничной формой и будет интерпретироваться этим же двух-
сторонником в обычном смысле.' Якобиан же Q = ^3 —(— г^3 будет интерпрети-
интерпретироваться так же, как и заданная форма /, двухсторонником, симметричным
с двухсторонником (с^, Р(), (а2, Р2) по отношению к биссектрисе нечетных
углов плоскости а, р и притом увеличенным линейно в y/6s раз, так как,
в случае ?>>0, Д — — i-2s, и мы имеем
-f [(?, — а,/) X—(Р„— а,/) П3!,
а форма Q = [(о, -+ p,Q *— (я, + М П3 + [(а, — У) X— (а, —
Наконец,
4
И наоборот, всякий заданный двухсторонник плоскости а-\-$1 с пло-
площадью s, не равною нулю, соответствует в этом смысле некоторой кубической
двойничной форме /• с вещественными коэффициентами и положительным
определителем Д и ее ковариантам Н, Q, D.
Случай ?><0- В этом случае соответствующим заданной кубической
двойничной форме/=5-i(S3 — гC) мы считаем двухсторонник, состоящий из
векторов, идущих в плоскости %, Т| из начала к точкам (S, гA), ($2, щ2).
Гессиан //=?ij будет в этом случае неопределенной квадратичной двой-
двойничной формой и будет интерпретироваться этим же двухсторонником по от-
отношению к асимптотам ?, ij.
Якобиан Q = S8-l-Tjs будет интерпретироваться так же, как и заданная
форма /, двухсторонником, симметричным с двухсторонником (;t, Т],), E2, гJ)
по отношению к оси 5 и увеличенным линейно в j/ 3s раз, так как, в случае
D<^0, Д = 5 и мы имеем
/=5K*4*-fV0» —(
Q = (^- %УK -г- (Ч.А- f rl2YK;
г. *S
наконец, дискриминант и = j,
Если произвести вещественное линейное однородное преобразование пере-
переменны* X, Y с определителем d = 4hl, то форма / и ее коварианты Н, Q, D
преобразуются к некоторой новой форме / и ее ковариантам И, Q, D, при-
причем эти новые формы будут в вышеописанном смысле соответствовать тому
новому двухстороннику, который получится из старого этим преобразованием.
Если же определитель й^=4;1, то для И, Q это будет так; что же касается
самой формы /, то форма /, соответствующая новому двухстороннику, будет
не преобразованная форма /, a j-f, так как в выражение формы через ее двух-
двухсторонник входит множитель -г-, который при преобразовании переменных
формы вовсе не изменяется, а м.жду тем, если 8=т^зЬЬ коэффициенты
при X и Г в ; и Г|, т. е. ;t, ;2, ijj, 7j2 изменяются соответственно изменению
ГЕОМЕТРИЯ КУБИЧЕСКОЙ ДВОЙНИЧНОЙ ФОРМЫ И ЕЕ КОВАРИАНТОВ 133'
двухсторонника, и Д должно было бы быть в 8 раз большим. Что касается D,
соответствующего преобразованному двухстороннику, то он будет равен $2Z>,
a D преобразованной формы будет равен §4D.
Перейдем теперь к дальнейшему углублению геометрического толкования
кубической двойничной формы с вещественными коэффициентами и неравным
нулю определителем и ее ковариантов, а именно, будем рассматривать плос-
плоскость a, fS в случае D>О и плоскость &, т] в случае D<C.O, на которой мы
интерпретируем двухсторонником форму / и ее коварианты, расположенную
в пространстве Rs,0 и соответственно /?8)], причем, если нужно, мы преоб-
преобразуем эту плоскость афинно. Это позволит нам установить связь между только
что рассмотренным геометрическим толкованием и теорией, развитой в § 15.
Прежде всего мы докажем две леммы, связанные с произведением пары
точек в пространстве R3 0 или Rsx. Будем попрежнему называть рациональ-
рациональной прямой в Rs0 прямую x—y'=z, а в /?3 j прямую x — z, у = 0; будем
называть точку В' параллельной точке А, если она получается из точки А
перенесением параллельно рациональной прямой; и наконец, будем называть пару
точек Вг, В2 нормальной, если произведение их (в R30 или соотв. R31)
есть точка рациональной прямой.
Лемма IV. Если А1 А2 какая угодно пара точек в R3 0 или R31 не-
некомпланарная с рациональной прямой, то существует одна 'и только' одна
ей параллельная нормальная пара Bv B2.
Пусть координаты точек Аг и А2 суть (xv yv zt) и (х2, у2, z2), и мы
имеем случай Rs0. В таком случае параллельные им точки суть {x1-\-rv уг-\-
-\-rv zl-\-rl) и \х2-\-г2, У2-\-г2, z2-\-r2). Произведение их лежит на рацио-
рациональной прямой тогда и только тогда, когда произведения их соответственных
координат одинаковы. Получается система двух линейных уравнений для опре-
определения гх и г2, определитель которой =фО, если точки Av А2 некомпланарны
рациональной прямой. В случае /?3)], если x-^iy комплексные координаты точек,
a z — вещественные, то точки, параллельные Ах и А2, суть (JTj-j-Гр
yv г| + г1) и {x2-\-r2, y2, z2-\-r2), и мы получаем то же самое.
Лемма V. Левые и правые корни всякой кубической двойничной формы
с вещественными коэффициентами и неравным нулю определителем D опре-
определяют (в случае D>0 в Rs 0, в случае D<^0 в R31) нормальную пару
точек, и обратно, всякая нормальная пара точек' определяет в этом
смысле некоторую такую форму.
Следует из определения левых и правых корней формы и из того, что
произведение соответственных таких корней равно ad.
Перейдем, наконец, к доказательству леммы, связывающей рассмотренную
геометрическую интерпретацию кубической двойничной формы двухсторонником
на плоскости (a, [S в случае D>0 и J, ij в случае ?)<0) с теорией реше-
решения кубического уравнения, а для форм с целыми рациональными коэффици-
коэффициентами— с теорией, рассмотренной в § 15.
Лемма VI. Если Bv В2 — нормальная пара точек пространства R30,
некомпланарная рациональной прямой, соответствующая кубической деой-
ничной форме f с D>0, и Av А2 — ортогональные (т. е. параллельные
рациональной прямой) проекции точек Bv B2 на плоскость S ну-
нулевого следа s = 0, т. е. на плоскость х -\-у -\- z = 0 пространства R3 0,
то двухсторонник, образованный векторами, идущими из начала в точки Av
А2, интерпретирует форму f в выше рассмотренном смысле, если за ось а
плоскости S взять ортогональную проекцию на плоскость S одной из осей
координат (например, оси X) пространства R3 0, а за ось [S — ось, ей пер-
перпендикулярную, и взять соответствующие единичные отрезки на этих осях,
и обратно.
Действительно, обозначим расстояние, измеренное в отрезке е от точки
пространства R3 0 до плоскости S, через А. Тогда всякая точка пространства R3 0
134 . ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
будет иметь, с одной стороны, прямоугольные координаты х, у, z, а с другой
стороны — прямоугольные координаты а, р, п, причем между ннмн имеют место
формулы перехода
К6
у=щ (— «
Непосредственное вычисление дает, если координаты х, у, z точек
суть р„ р,', pj; р2, р;, р?, что 5, = ^ +РЛ ?2 = а2 + р2' СУТЬ ^ = Pi
Лемма VI'. Если Bv B2 нормальная пара точек в пространстве /?81,
некомпланарная рациональной прямой, соответствующая кубической двой-
двойничной форме /с D-<0, и Ах, А2—проекции точек В,, В2 параллельно ра-
рациональной прямой пространства R31 на плоскость S нулевого следа 5 = 0,
от. е. на плоскость 2х-\- z = Q пространства Ra, и если эту плоскость
принять за плоскость ?, jj, причем подвергнуть ' плоскость S, 1) такому
аффинному преобразованию, чтобы оси ?, 7] шли по прямым, симметричным
друг другу по отношению к плоскости у = 0, а именно, по прямым пере-
пересечения плоскости S с конусом q = 0, и взять за единичные на этих осях
соответствующие отрезки, то двухсторонник Av А2 плоскости $, ij будет
интерпретировать в выше рассмотренном смысле форму /, и обратно.
Доказательство такое же, как для леммы VI, непосредственным вычисле-
вычислением S, и Г|2.
Надо, однако, заметить, что для случая D<[0 выгоднее располагать плос-
плоскость $, 1} в плоскости XY пространства /?а,, а не в плоскости 5 = 0, т. е.
проектировать точки Bv B2 не на плоскость s = 0, а на плоскость 2 = 0,
и кроме того брать за оси не ?, т), а оси ?, ij, „повернутые" по отношению
к ним в плоскости на 45°. В таких осях, которые просто совпадают с осями
X, Y плоскости XY и единицы на которых совпадают с бывшими на Xt Y
единицами, форма / при ?)<^0, выражается особенно удобно.
Действительно, если
;
то
и мы имеем
т. е.
«iP«+ «,?! = 0,
или ,
откуда, если рассматривать квадратичную положительную форму
Ах1-\-2Вху-\-Су*,
соответствующую двухстороннику (S, Т],) E2 г,2), т. е. положить
мы получим
Pi — д ' Рг — "X
ТЕОРИЯ ПРИВЕДЕНИЯ КУБИЧЕСКОЙ ДВОЙНИЧНОЙ ФОРМЫ 135
где
Подставляя эти выражения р, и р2 в выражения коэффициентов а, Ь, с, d ку-
кубической формы через рр р\, рр р2, р2, f2,
Р2 + Р2+Р2 f я
+ 1 + Р2
pi + pi + Pi
мы получаем следующие их выражения через ?р ijj, ?2, iJ:
Но форма ^(^-{-rft — a'Xb + b'X'iYJrc'XYz + d'Yz, где, как раньше, $ =
= ?1Л'-|-;г1'; ij = rijJf-f-4j^i имеет коэффициенты
а'=Аг{1; Ь' = Аг12-\-2ВП1; с' = C4l + 2ВтJ; rf' = CV (**)
Сравнивая (*) и (**), мы получаем лемму:
Лемма VII. Если ? = ^А"-f-&2Y, т) =1)^4-%^ и (?,, т^) и (?2тJ) суот*
координаты х, у проекций на плоскость XY параллельно рациональному
направлению точек R3 1, соответствующих корням некоторой формы f(X, Y)
с D < 0, ото форма rj (S2 -j- Г;2) отличается лишь множителем А от фор'
мы /(X, Y)".
§ 33. Теория приведения кубической двойничной формы
Мы будем, по определению, из всех кубических двойничных форм, экви-
эквивалентных данной кубической двойничной форме f(X, Y), с вещественными
коэффициентами, т. е. получаемых из иее целочисленными линейными под-
подстановками с определителем 1, считать приведенными те шесть форм, для
которых приведен в смысле Зеллинга (см. приложение к русскому переводу
Дирихле) двухсторонник, соответствующий этой форме, в случае ?)>0, рас-
рассматриваемый на плоскости нулевого следа пространства R3 0, а в случае
?)<0— на плоскости XY пространства R31.
В случае ?)^>0, следовательно, для приведения f(X, Y) надо вычислить
ковариант Н(Х, Y) и приводить его тем способом, который описан в пунк-
пунктах 19, 49, 50 указанного приложения к русскому переводу Дирихле. Если
/—целочисленная форма, то и Н—целочисленная, и потому в этом случае
приведение Н не представляет труда. Если (а >) подстановка, преобразую-
преобразующая Н в приведенную форму, т. е. Н = Н ,,8\ приведенная по Зеллингу
форма, эквивалентная Н, то /=/.* 8\ приведенная кубическая двойничная фор-
(т»/ _
ма, эквивалентная /. Другие приведенные формы тогда получаются из / под-
подстановками:
(oi), (i i), ( 1 о), ( o-i), (-1 -i), (-1 о). '
В случае D < 0, то. же самое надо было бы делать при помощи квадратичной
формы AX2-\-BXY-\-CY2, рассмотренной в конце предыдущего параграфа.
Эта форма, как это геометрически очевидно, также ковариант формы /, ио
136 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
иррациональный ковариант, так как ее коэффициенты А, В, С выражаются
иррационально" при помощи коэффициентов а, Ь, с, d формы /. Приведение
самой формы (А, В, С) при помощи вычисления с ее коэффициентами по-
поэтому неудобно.
Заметим, однако, что, как это следует из формул (*) предыдущего пара-
параграфа, выражение be — ad имеет следующий вид:
и, следовательно, в виду того, что {А, В, С) положительна, если только не
равны нулю одновременно ijt, Т]2 (чего быть не может, так как точки Bv B2
некомпланарны рациональной прямой), мы видим, что знак В совпадает со зна-
знаком be — ad. Для приведения формы / надо, следовательно, приводить ее ио
Зеллингу, требуя, чтобы be — ad было 5= 0.
А именно:
1°. Если сначала be — arf<0, делаем подстановку ( J несколько раз
до тех пор, пока в первый раз не получится be — ad^O.
2°. Производим подстановку ( in) максимально возможное число раз
без нарушения неотрицательности be — ad.
/у ]\
3°. Производим подстановку ( . J максимально возможное число раз
без нарушения неотрицательности be — ad. Затем чередуем операции 2° и 3*
до тех пор, пока не станет невозможным их дальнейшее применение.
Форма /, которую мы при этом получим, и будет приведенная.
§ 34. Двойничные кубические формы как нормы
Дана решетка О, повторяющаяся умножением, и некоторая решетка, имею-
имеющая О своим кольцом множителей.
Назовем примерной точкой решетки точку, обладающую тем свойством,
что внутри отрезка, соединяющего точку с началом координат, нет точек
решетки. Каждая примарная точка может быть принята за одну из точек
базиса решетки. Следовательно, если преобразовывать форму Дирихле к эквива-
эквивалентным всеми возможными способами, то числа, появляющиеся на вершинах
символа, задающего коэффициенты формы, будут представлять собой нормы
всех примарных точек решетки.
Рациональным сечением решетки назовем совокупность всех точек решетки,
лежащих в плоскости, проходящей через начало координат и содержащей по
крайней мере две не коллинеарные с началом координат точки решетки. Раци-
Рациональное сечение решетки является двухмерной решеткой. Каждому рациональ-
рациональному селению можно сопоставить класс кубических двойничных форм следую-
следующим образом. Выбрав базис сечения и представив все точки сечения через
базис в виде линейной формы с двумя целочисленными переменными, получим
нормы всех точек сечения в виде кубической двойничной формы. Таким обра-
образом, с базисом рационального сечения связана кубическая двойничная форма,
а с сечением в целом — класс кубических двойничных форм. Двойничные
формы, сопоставленные этим способом с рациональными сечениями, представляют
собой, очевидно, те и только те двойничные формы, которые появляются на
сторонах символа формы Дирихле решетки при всевозможных преобразованиях
этой последней к эквивалентным формам.
Каждому базису рационального сечения соответствует взаимная точка, кото-
которая, после нормализации взаимной решетки, переходит в вполне определенную
ДВОЙНИЧНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ ФОРМЫ КАК НОРМЫ - 13Т
fb'ncy полярной решетки. Эта точка, очевидно, не зависит от выбора базиса
сечения и, следовательно, сопоставляется сечению в целом. Очевидно, она
будет примариой точкой полярной решетки.
Обратно, каждой примарной точке решетки можно сопоставить в это»
смысле рациональное сечение полярной решетки. Для этого нужно построить
взаимные точки для всех пар, образованных взятой точкой и всеми остальными
точками решетки.
Покажем, что двойничная форма — норма сечения полярной решетки, сопо-
сопоставленного некоторой примарной точке исходной решетки, является в некото-
некотором смысле обобщением индексформы.
Для этого обобщим понятие индекса числа на точки любой нормализованной
решетки следующим образом. Взаимным индексом двух точек Q и Г, принад-
принадлежащих одной и той же нормализованной решетке, назовем квадратный корень
из отношения дискриминанта формы N{xQ-\-yT) к дискриминанту решетки. Выяс-
Выясним, чему равен взаимный индекс.
Пусть N(хп +уТ) = ах3 -\- Ьх2у 4- сху2 -f- dy3.
По определению дискриминанта двойничной кубической формы, он равен
a*D (— о) =((О(о<о ')*• ( ,) •(—, j) • [-г, ) =
tW—tWJ (т"ш — та"J = Л^2 GX^)•
В этом равенстве т, т', т", (о, со', и" обозначают координаты точек Т и Q,
a 7XQ — точку, взаимную паре Т, Q.
После нормализации взаимной решетки точка 7~X.Q перейдет в точку Ф
полярной решетки, и N(T\Q) — ]/15-N(<t>), где D — дискриминант решетки.
Следовательно, взаимный индекс пары Т, И равен норме точки полярной решет-
решетки, сопоставляемой паре Т, Q.
Из определения взаимного индекса следует, что обыкновенный индекс-
числа, принадлежащего кольцу, представляет собой взаимный индекс пары,
образованной изображениями этого числа и единицы при геометрическом пред-
представлении кольца как решетки.
Считая точку Q фиксированной примарной точкой и точку Т пробегаю-
пробегающей все точки решетки, получим взаимные индексы пар (Т, Q) в виде куби-
кубической двойничной формы, которую мы будем называть индексформой решетки
по отношению к примарной точке Q. Обыкновенная индексформа кольца бу-
будет, таким образом, индексформой кольца по отношению к точке 1. Индексформа
решетки по отношению к точке Q является не чем иным, как формой-нормой
сечения полярной решетки, соответствующего примарной точке й исходной
решетки. Наоборот, каждая форма-норма рационального сечения данной
решетки может рассматриваться как индексформа полярной решетки по отно-
отношению к ее точке, сопоставляемой взятому рациональному сечению исходной
решетки.
§ 35. Оценка минимума кубической двойничной формы
Представление кубической двойничной формы как индексформы некоторого
целочисленного кубического кольца позволяет оценить сверху минимум значений
такой формы при целочисленных значениях переменных в зависимости от дис-
дискриминанта формы, т. е. указать такую границу, ниже которой наверное суще-
существуют значения формы.-
Дадим эту оценку, рассмотрев порознь формы положительного и отрица-
отрицательного дискриминанта.
. Начнем с первого случая. Пусть дана кубическая двойничная форма f(x, _у)„
с целыми рациональными коэффициентами и с положительным дискриминан-
138 . ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
том D. Соответствующее этой форме кольцо изобразится в вещественном
.пространстве трех измерений как решетка, повторяющаяся умножением. Возь-
Возьмем точку (ш', ш", ш"), принадлежащую кольцу, и представим ее через нор-
нормальный базис кольца
ш = хч>1 -\-у<й2 -f- z.
Индекс точки ю по отношению к кольцу будет как раз равен значению
'формы f(x, у). Через координаты точки ю он Лредставится в виде
f(x, У) = ^= К — »"') К' - »') (»' — •").
Индекс f(x,y) имеет одно и то же значение для всех точек, лежащих на одной
параллели, и, следовательно, может быть выражен через координаты проекции
точки ш на плоскость нулевого следа w'-f-o>"-)-o)"' = 0. Примем за оси коорди-
координат в плоскости ш' -f- ш" -f- w"' = 0 прямую О?, являющуюся проекцией оси От',
и перпендикулярную к ией прямую Оц. При этом выборе осей проекция точки ю
¦будет иметь координаты
е 2о>' — о)" — о)"
1Из этих формул легко получим
f(x,y) = ^= (»" - »"') (»"' - Ш') (»' - Ш"
Если точка ю будет пробегать все кольцо, то ее проекция будет пробегать
параллелограмматическую решетйу, с площадью основного параллелограмма,
-равной -j=i ибо эта решетка представляет собой ортогональную проекцию
3
пространственной решетки с объемом i/д, параллельно направлению, на кото-
котором кратчайший вектор решетки имеет длину, равную \fb.
Таким образом,
V2D
причем целочисленным значениям (х, у) соответствуют точки (S,»)), образующие
решетку с площадью основного параллелограмма, равной Л/ -~-.
W О
Рассмотрим кривую с уравнением
J) (Ч2 —352)=±с.
Эта кривая состоит из шести „гиперболических" ветвей, которые могут быть
.получены из одной из них посредством вращения на углы, кратные 60°.
Построим шестиугольник из касательных к кривой в точках, ближайших к началу
ОЦЕНКА МИНИМУМА КУБИЧЕСКОЙ ДВОЙНИЧНОЙ ФОРМЫ
159
координат. Этот шестиугольник целиком уместится внутри звездчатой фигуры,
ограниченной кривой, и, следовательно, для координат всех его точек имеет
место неравенство
Если выбрать с так, чтобы площадь шестиугольника равнялась учетверенной
площади основного параллелограмма решетки, то, по теореме Минковского
о выпуклом теле, внутри или на границе шестиугольника найдется хотя бы
одна точка (?о>1о) решетки, отличная от начала координат. Подберем такое с.
Так как площадь шестиугольника равна
2/3 с
L4/?
— * г о >
нам нужно, чтобы
откуда
Обозначив через (х0, у0) значения переменных
(х, у) для точки, проекция которой (?0, г1о) нахо-
находится внутри шестиугольника, будем иметь
о> Уо)\ =
Черт. 5.
V2D
\/~1D
Таким образом, для бинарной кубической формы f(x, у) положительного
дискриминанта D всегда существуют такие целочисленные значения аргумен-
аргументов (х0, у0), что
|/(*о. Уо) I «S
Для форм отрицательного дискриминанта проведем аналогичное рассуждение.
Рассмотрим кольцо, для которого • данная форма f(x, у) отрицательного
дискриминанта является Индексформой, как решетку в пространстве Кв. Затем
введем вещественные координаты в сигнатурном пространстве, в котором рас-
расположены точки кольца, с сохранением метрики пространства. Для этого мы
должны принять в качестве вещественных координат точки (ш', ш", ш"') =
= (щ\ a-\-$i, a— pi) числа (а/2\ Р/2~, «*')• При этом выборе масштаба
точка 1 будет иметь координаты (/2,0, 1), и, следовательно, длина кратчайшего
целого рационального вектора будет равна /3, так же как в вещественном
случае. Плоскость нулевого следа будет перпендикулярна к рациональной
прямой, и объем основного параллелепипеда решетки, изображающей кольцо,
будет равен ]/] D | .Следовательно, площадь основного параллелограмма проекции
/I Q I
!__!, так же как н в веще-
вещественном случае.
На плоскости нулевого следа примем за ось Оц «мнимую ось" трехмер-
трехмерного пространства. За ось О? примем перпендикулярную к ней проекцию
.вещественной оси". Координаты проекциии точки (ш', ш", ш'") относительно
этих осей будут, очевидно,
О)" О)'" f. 2«>' «>" <!>'"
yt
140
ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Посредством этих формул, так же как в предыдущем случае, легко пред-
представим значения индекс-формы /(х, у) через координаты проекции точки ю на
плоскость нулевого следа
fix у)
Кривая jj (г;2 4- 3$2) = ± с состоит из двух ветвей, асимптотически прибли-
приближающихся к оси О?. Обе ветви этой кривой имеют точками перегиба точки
пересечения с биссектрисами координатных углов. Касательные в точках пере-
перегиба образуют с осью OS углы в 45°. Очевидно, фигура, ограниченная каса-
касательными в точках перегиба и участками кри-
кривой между точками перегиба, является центрально
симметрической выпуклой фигурой. По теореме
о выпуклом теле, фигура будет содержать вну-
внутри или на границе точку решетки, если пло-
площадь фигуры будет равна учетверенной площади
основного параллелограмма решетки. Площадь
фигуры легко подсчитывается приближенно, оиа
2
2^
равна 7,53... (-JK- Следовательно, внутри или
на границе фигуры найдется проекция ($0, тH)
некоторой точки ш0 = jcow1 4-.Уош2 + z к°льца,
если
Черт. 6.
с = ¦
32
G.53)-2
Для точек, лежащих внутри или на границе фигуры, очевидно, выполнено
неравенство | т)(г;2-|-3?2)| s?c. Следовательно, для индекса точки ш0 имеем:
Из приведенных оценок вытекают такие следствия:
==44,5... для ?>>0,
(^:)e=18,8... для ?)<0.
Эти оценки снизу для величины дискриминанта кубического кольца более
точны, ¦'чем те, которые получаются из общих оценок, приведенных в гл. I
при п = 2>, и, как мы уже видим из таблиц, очень близки к истинным.
2.
При 0 < D < 729 и 0 < — D s? 300
все кольца имеют степенной базис. Действительно, для таких дискриминантов
в кольце всегда найдется число, индекс которого меньше 2 и, следовательно,
равен единице. Такое число вместе со своим квадратом и единицей образует
степенной базис кольца.
На основании этих оценок легко дать оценку сверху минимальной нормы
идеала в каждом классе, ту самую оценку, на которую мы ссылались
в § 22 гл. И.
ОДНА ТЕОРЕМА ТАРТАКОВСКОГО 141
В самом деле, пусть Го, Г1? Г2... — главная и побочные решетки макси-
максимального кубического кольца и пусть L—наименьшее число, обладающее тем
свойством, что в каждой решетке существует точка, норма которой не пре-
превосходит L, или, что то же самое, в каждом классе идеалов существует идеал,
норма которого не превосходит L. Возьмем в некоторой решетке точку А
такую, что N(A)^L. Точку А можно считать примарной, ибо если бы мы
взяли непримарную точку, то ближайшая к началу координат точка решетки,
лежащая на том же луче, что и точка А, имела бы еще меньшую норму.
В полярной решетке найдется рациональное сечение, соответствующее точке А.
Формат-норма этого сечения будет иметь дискриминант, равный D-№(A), и,
по теореме о минимуме, среди значений этой формы найдется значение, мень-
меньшее чем
1 I L L
kD*[N(A)]2
^
где,k = y — для D>0 и k={ _J для D<0. Но значения формы-
нормы суть нормы точек взятого сечения. Следовательно, в каждой решетке
существует точка, норма которой не превосходит kDAL2, ибо каждая решетка
есть полярная для некоторой другой. В виду того, что L представляет собой
наименьшее из чисел, для которых в каждой решетке существует точка с нор-
нормой, не превосходящей такого числа, должно иметь место неравенство:
\_ 2.
\ 4
откуда
4/ для D>0,
§ 36. Одна теорема Тартаковского
Рассмотрим те целые кубические числа, у которых ограничены по абсолют-
абсолютной величине и их нормы и их дискриминанты, например,
\n\<N, |D
где N и L — заданные положительные константы. Может ли быть таких чисел
бесконечно много, или их только конечное число? Оказывается, что таких
чисел только конечное число, и онн все могут быть найдены.
Мы докажем эту теорему только для чисел, норма которых равна -+-1,
т. е. для кубических единиц. Общая теорема доказывается аналогично.
Теорема. Кубических единиц, дискриминанты которых по абсолют-
абсолютной величине меньше заданного числа L, ограниченное число, и они все мо-
могут быть найдены.
Докажем сначала эту теорему для случая D<0, т. е. для W31. Очевидно;
во-первых, что достаточно рассматривать только единицы е с положительной
нормой, т. е. имеющие в R31 2>0, так как если е имеет отрицательную
норму, то — s имеет положительную, a D, = D_t. Заметим также, что
O, = Ds-i, так как
= [(е — в') (е — О (в' — е")]2 • (
142 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
и поэтому из каждых двух взаимнообратных единиц в и е~> с положительной
нормой достаточно рассматривать только ту, z которой <С 1 • Такие единицы
мы называем прямыми положительными единицами и только такие единицы мы
и будем сейчас рассматривать. Все они лежатв/?81 на .нижней" (ниже г = 1)
части поверхности вращения (л:2 -f-уг) г = 1, которая асимптотически прибли-
приближается к плоскости х, у. Все эти единицы лежат на этой части поверхности
на линиях ее пересечения с плоскостями 2х -\-z=s, где s пробегали все
возможные целые рациональные значения. Каждая такая линия, в виду того,
что нижняя часть поверхности (x2-]-y2)z = 1 очень близко прилегает к пло-
плоскости х, у, представляет собою почти прямую «параллельную" оси у.
Будем называть эти линии линиями s. Точки Wt v лежащие на данной
линии s, имеют тем меньший дискриминант, чем ближе' они лежат к плоскости
_у = 0. Будем на каждой из линий s рассматривать точку WS1, на'ней лежа-
лежащую, самую близкую к плоскости _у = 0 (в самой плоскости j'=:0, среди
точек №81, лежат только точки рациональной прямой, т. е. из единиц только
точка 1).'Для доказательства теоремы (для D<^0), оченндно, достаточно бу-
будет доказать, что даже среди этих точек есть лишь ограниченное число таких,
дискриминант которых <^L по абсолютной величине.
Мы имеем
s=2x-\-z; q = x2-\-y2-\-2xz; п —
откуда
s — г (s — z
*=—2~; я= 4
или
s2 + 2sz — 3z2 — 4q = — 4у\
и мы получаем
Заметим еще, что для всех целых точек любой линии s^>0 и что самая близ-
близкая к плоскости _у = 0 целая точка данной линии s та, в которой эту линию
пересекают поверхность q с самым малым q, с которым она еще пересекает эту
линию s. Мы имеем sz = z2 -\-2xz- Но (xi-\-y*)z=\ для точек на s, и,
следовательно, x2z <С 1, т. е. | xz | при увеличивающемся х уменьшается. Итак
(это нам будет дальше важно) при растущем х z н \sz\ уменьшаются(*).
Пусть s > 0. В таком случае самое малое q, при данном s, которое еще
дает поверхность q, пересекающую линию s, есть то, для которого последнего
удовлетворяется нераненство s -)- z < 2 \fq -(- z2.
а) пусть s = 2a— 1 (где а^>0), т. е. нечетное. Тогда искомое q = a2—a-f- 1,
так как 2"|/a2 — a + 1 — 1 -|-z2< 2a — 1 -f z< 2 /a2 — a-(- \-\-z*. Эти не-
неравенства равносильны 0<^4az — 2z—3r2<[4; правое при больших х сле-
следует из (*), левое равносильно 0<4з — 2 — Зг и следует тоже из (*).
{$) Пусть 5 = 2а (где а>0), т. е. четное. Тогда искомое q = az-\-\, так
как 2}/а2 -+-г2 < 2a-f-.г •< 2 j/a2-|- 1 -|-г2. Эти неравенства равносильны
0<4ог—Зг2<С4. Правое при больших х следует из (*), левое равносильно
0<4а — Ъг и следует тоже из (*).
Пусть s<0. В таком случае самое малое q при данном s, которое еще
дает поверхность q, пересекающую линию s, есть то, для которого последнего
удовлетворяется неравенство — 2 у q -\- гг <С s -j- z.
"Y) Пусть s= — 2a -{- 1 (где а>0),т. е. нечетное. Тогда искомое q=cP—a,
так как 2 |/a2—a-|-22<2a—1—2<2|/a2 — a-)-l-f-22. Эти неравенства
равносильны 0<1—4az-\-2z — 3z2<[4-f-4г2, и как правое, так и левое
следуют из (*).
СИСТЕМА V И ЕЕ СЕТКИ Wm W,t W> ДЛЯ «=4, «О 143-
8) Пусть s=—2а (где а>0), т. е. четное. Тогда искомое q=a2—1,.
так как 2)/а2 — 1 -\-гг<^2а — г<^2}/а2-f-г2. Эти неравенства равносильны
0<4аг— Зг2<4; правое следует из (*), левое равносильно 0<4а— Ъг
и также следует из (*).
В результате всего сказанного мы имеем следующее. На кривой s точка
с наименьшим дискриминантом
при s = —2r, s = — 2a+l; s = 2a+l; s = 2a (a>0)
имеет q = a2—1; #=a2 — a; #=a2— a-j-1; q = u2-\-\.
D этих точек получается, таким образом, в виде одного из 4-х вполне
определенных полиномов 4-й степени от а, которые при увеличении а (как и
любой полином) увеличиваются сверх всякого предела, и, следовательно, есть
только ограниченное число таких а, а следовательно, и таких s, на которых
есть точки с |D\<! L.
Из доказательства этой теоремы для D •< 0 следует сейчас же ее доказа-
доказательство для D *> 0, так как, как легко видеть,
д = аг — 2; д—аг — a—1; q — a2 — a; q=a2,
т. е. на 1 меньшие q дают как раз единицы W3 0 с наименьшими дискрими-
дискриминантами для соответственных s, и опять получается 4 (уже других, конечно).
полинома 4-й степени от а, выражающих эти дискриминанты.
В. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ ПОЛЕЙ 4-й СТЕПЕНИ
В этом и следующих параграфах мы рассматриваем вопрос табулярнзацин
всех неприводимых колец О, состоящих из целых точек 4-й степени, содер-
содержащих точку 1, а тем самым и табулярнзацию полей 4-й степени. Сверх
чнсто тривиальных усложнений, получающихся просто вследствие увеличения
числа измерений, тут появляется еще одна привходящая трудность — проекция
параллельно рациональному направлению, не лежащая в начале, тем не менее
может быть проекцией не примитивной точки кольца, а именно может слу-
случиться, что это проекция квадратичной точки кольца. Для того чтобы обойти
эту трудность, мы проектируем кроме того 2-мерными лучами параллельно
биссектрисам, в которых лежат квадратичные точки. Мы даем в этих парагра-
параграфах табулярнзацню колец (и полей) 4-й степени, так как во второй части
этой главы рассматриваем классификацию кубических полей по квадратичным
и полей 4-й степени по кубическим. Обе этн классификации идейно тесно
связаны между собою.
§ 37. Система W и ее сетки Wo, WJ, W2 для » = 4, т=0
Будем писать уравнение 4-й степени в форме
— qx-\-n = 0. A)
Как известно, условиями вещественности корней такого уравнения являются
неравенства:
р —1^<0, B)
^4л<0, C)
и дискриминант уравнения положителен, т. е.
27D=4 (р2 — 3s? -f ! 2я)8 — BР8 — 72рл -f 27s*n — 9sP1 + 27?2J > °- D>
Это и будут условия того, что число т пар комплексно сопряженных корней,
уравнения 4-й степени равно нулю.
144
ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Будем обозначать координаты точек соответствующего этому случаю ве-
вещественного 4-мерного сигнатурного пространства /?4 0 через х, у, z, t. Система
точек W в этом случае определяется системой уравнений
E)
ху 4- xz + xt -\-yz -\- yt + zt=р,
xyz -|- xyt -\- xzt -\-yzt = q,
xyzt=n,
где s, p, q, n — все возможные целые рациональные числа, удовлетворяющие
условиям B), C), D). Условие вещественности всех четырех корней уравне-
уравнения A), очевидно, равносильно тому,
что целые рациональные числа s, p, q,
п таковы, что поверхности E) пересе-
пересекаются, т. е. имеют хоть одну общую
им всем четырем точку.
Всякой точке W соответствует одно
вполне определенное уравнение A), а
одному уравнению A) соответствуют
24 точки W, в соответствии с возмож-
возможностью различно нумеровать его корни.
Поверхности s суть 3-мерные «пло-
«плоскости", делающие одинаковые отрезки
на осях координат. Преобразованием
х=Х) -\- k, где k -г- целое рациональное
число, можно преобразовать уравнение A)
в другое уравнение, опять с целыми ра-
рациональными коэффициентами н стар-
старшим коэффициентом 1, у которого след,
Черт. 7.
т. е. коэффициент s, равен 0, 1, 2 или 3. Такое преобразование переносит
точку, соответствующую уравнению, параллельно рациональному направлению
х =у =.z = t на „плоскость"
(где s = O, 1, 2 или 3).
Обозначим через Wo, Wv W2, W9 трехмерные системы точек W, лежащих
в „плоскостях" 5 = 0, 1, 2, 3. Из сказанного ясно, что вся система W состоит
из периодически повторяющихся систем, получающихся из Wo, Wv Wv W3
путем параллельных переносов этих систем параллельно рациональному направ-
направлению на векторы A,1,1,1), B, 2, 2, 2), ... Заметим еще, что система Ws по-
получается из системы W_v симметричной с системой Wt по отношению к началу
координат, переносом ее на вектор A, 1, 1, 1). В силу того, что любое
кольцо О само симметрично относительно начала, систему W9 можно в даль-
дальнейшем не рассматривать и ограничиться лишь системами Wo, Wv W2.
Очевидно, что оси координат X, У, Z, Т при проектировании параллельно
рациональному направлению на „плоскость" ? = 0 нулевого следа, вследствие
симметрии этого направления с осями координат, дадут в проекции прямые
X, У, Z, Т, лежащие в этой „плоскости" C-мерном пространстве), которые
исходят из начала и делают одинаковые углы между собою. Отметим от на-
начала координат иа этих прямых равные отрезки. Тогда концы этих отрезков
образуют правильный тетраэдр. Построим куб, для которого вершины этого
тетраэдра будут четырьмя из его вершии, и выберем в „плоскости" s = 0
прямые ?, г], С, исходящие из начала координат, т. е. центра этого куба,
и идущие параллельно ребрам этого куба, за оси координат. Не трудно видеть,
¦что между координатами х, у, z, t какой-либо точки в нашем четырехмерном
ВЫКЛЮЧЕНИЕ ПРИВОДИМЫХ ТОЧЕК
145
пространстве и координатами 5, 7], С ее проекции параллельно рациональному
направлению на „плоскость" 5 = 0 существуют следующие соотношения:
x-\-y-\-z-\-t = s ; х —
21 —
¦ j. о
F).
Если теперь в уравнениях E) заменить х, у, z, t их выражениями через
S, Г), С из F), то мы получим уравнения проекций на .плоскость* 5 = 0 пе-
пересечения каждой из этих поверх-
поверхностей с „плоскостью" s. Уравнё- i?
ния проекций сечений, образуемых
поверхностямир с .плоскостью" 5,
будут иметь вид:
=Ц—2р, G)
т. е. это будут шары. Каждый
такой шар делится плоскостями
координат XYZT на 14 сфериче-
сферических многоугольников, 8 из кото-
которых будут четырехугольниками,
а б—треугольными (черт. 8). Для
проекций сечений поверхностей q
с „плоскостью" s аналогично мы
получаем уравнения
(8>
Черт. 8.
Эти поверхности пересекают ка-
каждый из шаров р внутри каждого октанта осей 5, г(, С, как показано на черт. 8.
Наконец, сечения поверхностей n=xyzt .плоскостями" 5, как это видно
непосредственно в координатах х, у, z, t, дают в проекции поверхности,
пересекающие те же шары внутри каждого из упомянутых 14 сферических
многоугольников, как это показано на черт. 8. В случае чисто вещественных
полей четырех измерений каждая из фигур, данных нами в конце книги для s = 0
и 5=1 для случая трех измерений, заменяется рядом таких шаров, которые,
собственно говоря, надо мыслить концентрическими друг другу (но если бы их
все нарисовать один в другом, то картина очень бы запуталась).
§ 38. Выключение приводимых точек
В случае 4-мерной WA точка ее может быть приводима либо потому, что
она есть сумма точки Wr, лежащей на одной из осей, и точки W3, лежащей в
3-мерном пространстве, определяемом остающимися тремя осями, либо же точка
приводима потому, что она есть сумма точки Wv лежащей в плоскости, опреде-
определяемой одною из пар осей, и точки Wv лежащей в плоскости, определяемой
другою парою осей. Если WA имеет т=0, то система Wv в случае при-
приводимых точек вида Wx -j- W9, может лежать на любой из осей системы Wit
10 Теория иррацион. 3-й степ.
146 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Ч
в случае приводимых точек вида Wt-\-Wv могут лежать на плоскостях, опре-
определяемых любою парою осей, причем обе системы W2 имеют т=0. Если же
Wt имеет т=1, то система Wr может лежать только яа одной из двух осей,
соответствующих вещественным корням, а из систем W2 и W'2 первая W2 имеет
т = 0 и лежит в плоскости, соответствующей вещественным корням, а дру-
другая W2 имеет т=1 и лежит в плоскости, соответствующей паре комплексно
сопряженных корней. Наконец, если Wi имеет т = 2, то приводимых точек
вида Wr -\- Ws быть не может, а могут быть только приводимые точки вида
W'2-\-W'2, причем каждая из систем W'2 имеет т = 1 и'лежит в плоскости,
соответствующей паре комплексно сопряженных корней.
Случай т=0. Приводимые точки Wi0 вида W10-{-WB0 лежат на 4 си-
системах плоскостей, параллельных асимптотическим плоскостям поверхностей п
4-го порядка, причем одной из плоскостей каждой из этих 4 систем является
сама соответственная асимптотическая плоскость. Совокупность этих 4 систем
плоскостей образует разбиение 3-мерного пространства „плоскости" 5=0 (и ана-
аналогично 5=1 и 5 = 2) на правильные тетраэдры. В каждой из этих систем
периодически (через каждые 3 плоскости) повторяются сетки, лишь аффинно
отличающиеся от сеток WB. Приводимые точки Wi 0 вида Wiu-\-W2u лежат
на 4 системах плоскостей, параллельных асимптотическим плоскостям поверх-
поверхностей q 3-го порядка, причем одной из плоскостей каждой из этих 3 систем
является сама соответственная асимптотическая плоскость. Совокупность этих
3 систем плоскостей образует разбиение 3-мерного пространства „плоскости"
5=0 (и аналогично 5=1 и 5 = 2) на кубы.* В каждой из этих систем пери-
периодически (через каждые 2 плоскости) повторяются сетки, лишь аффинно отли-
отличающиеся от сеток W2.
Практически приводимые точки выключаются просто испытанием уравнения
х* — Зх3-^-рх2— qx-\-n=0 на приводимость, которая наступает (вида Wl -f- WZ),
если уравнение это имеет рациональный корень, т. е. если один из целых
рациональных делителей п есть его корень (вида W2-\-W2), если
х* — sxs + рх* — qx -f- я = (х* -f- ах + ?) (х* + ух + 8),
где а, {5, у, Ь — целые рациональные. Но тогда [$5 = я, откуда для [5 и 8 по-
получается ограниченное число возможностей. Затем (Г[-\- ([$ -\-Ь)=р, откуда
для а и у имеется также, для каждой пары {5 и 8, лишь конечное число воз-
возможностей, и, наконец, a—f-у = — *•
§ 39. Ограничение коэффициентов р, д, п
Зададимся некоторым числом L и будем искать все максимальные неприво-
неприводимые кольца О целых точек 4-го порядка, дискриминанты которых по абсо-
лютной, величине не больше L.
Случай т=0. Выше были выписаны условия вещественности всех 4 кор-
корней р, р\ р", р'" уравнения х* — sxs-\-px2 — qx-\-n^=0. To, что D0^L,
геометрически обозначает, что объемы Vo основных параллелепипедов в /?4 а
искомых О s?l j/L.
В виду того, что объем Vo основного параллелепипеда той решетки О, ко-
которая получается проектированием О параллельно рациональному направлению,
т. е. вектору 0 1 на „плоскость* 5, равен у Vo, где Vo — объем основного
параллелепипеда О, мы получаем, что l/Q^^-j/L. Нам необходимо уловить
в проекции по крайней мере по одной неприводимой точке каждой из таких О,
ОГРАНИЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ р, д, п 147
имеющих Vo^\/L. Для этого опишем в „плоскости" 5 = 0 из начала коор-
координат такой 3-мерный шар, чтобы внутри него или на его поверхности оказа-
оказалось по крайней мере по одной точке, являющейся проекцией нерациональной
точки каждого из таких О. Для этого необходимо и достаточно, чтобы радиус
этого шара был не меньше наименьшего из векторов О.
Таким образом, вопрос сводится к нахождению maxlmum'a длины наимень-
наименьшего вектора решетки при заданном объеме V ее основного параллелепипеда.
Из плотнейшего расположения одинаковых шариков по правильным тетраэдрам
следует, что maximum длины такого вектора
(см. мемуары Коркина и Золотарева или, например, Б. Делоне. Труды Матем.
T
ин-та Академии Нау
радиус такого шара
руд
— VT
ин-та Академии Наук им. Стеклова, т. IV). В нашем случае V^ %~ * поэтому
V- 2 ¦
A)
Итак, в каждом О, дискриминант которого «gL, имеются точки, отличаю-
отличающиеся от .рациональных, лежащие в „плоскостях" 5=0, 1 или 2, проекции
которых параллельно рациональному направлению на плоскость 5 = 0 попадают
в шар такого радиуса или на его поверхность. Остается посмотреть, как огра-
ограничены р, q, n уравнений этих точек, и тогда можно будет выписать таблицу
уравнений, являющихся представителями этих колец О. Из формулы G) мы
непосредственно получаем ограничения для р
Т — 2Р
E = 0, 1, 2) B)
Таким образом, выделяется ограниченное число шаров р для каждого из
5=0, 1, 2, на которых надо искать интересующие нас точки, являющиеся
представителями колец О с дискриминантами *^L. Теперь надо посмотреть,
какую сетку линий (расчертку) образуют поверхности q и п на каждом из
этих шаров E, р), чтобы найти ограничение для величины q, в зависимости
от s, р, и затем для каждого п, в зависимости от s, p, q. Для ограничения q
• „ s3 -+• Asp , ,
надо найти, какая последняя поверхность щ!, = ^— Л~Ч еше имеет об-
общие точки с шаром (s, р), т. е. пересекается с прямою ? = 7j = ? еще не вне
этого шара. Мы получаем:
г V 3
27
. E = 0, 1, 2) C)
Аналогично, рассматривая сетку линий (черт. 8), мы видим, что для ограни-
ограничения п надо будет рассмотреть, какие последние поверхности п еще пересе-
пересекают либо одну из осей S, 7j, С, либо прямую $ = jj=C не вне шара. В пер-
первом случае мы получим
, (*=0, 1, 2) D)
. E = 0, 1, 2) D')
12
а во втором
10*
148 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Таким образом, получается таблица уравнений, среди которых заключаете*
хотя бы по одному уравнению, соответствующему каждому из колец О, ди-
дискриминант которого sSlL, для т = 0.
Этот способ шара представляет для т=0 то преимущество над спосо-
способом параллелепипеда, примененным в доказательстве теоремы Эрмита (стр. 25),
что сами поверхности (s, p) представляют собою шары, и таким образом ис-
используется вся симметрия, присущая сетке W в этом случае.
Заметим, между прочим, что если бы тщательно вычертить расчертки шаров,
подобно тому, как это было сделано на черт. 8, то, имея ограничения для
номера шара, мы могли бы всю остальную таблицу прямо прочесть по этой
расчертке, не прибегая к вычислениям.
Все О, пойманные так при помощи их неприводимых точек, найдены в том
смысле, что, исходя от каждой такой точки р, можно получить кольцо со сте-
степенным базисом [1, р, р2, р3] и затем способом, аналогичным тому, который
был применен при вычислении базиса по Вороному, можно найти все кольца О,
центрирующие это кольцо, и, в частности, максимальное кольцо, его центри-
центрирующее. Надо будет вовсе отбросить это р, если дискриминант даже этого
максимального кольца будет больше L.
Если из неприводимого кольца О, поймана приводимая его точка, то точка
эта только и может быть типа W2 -)- W2, так как уравнение, соответствующее
точке неприводимого кольца О, либо неприводимо, либо есть квадрат непри-
неприводимого уравнения 2-й степени, либо есть 4-я степень уравнения 1-й сте-
степени; но в последнем случае проекция соответствующей точки на „плоскости"
s = О лежала бы в начале координат, и, следовательно, возможны только два
первых случая. Таким образом, если пойманная точка неприводимого кольца
•приводима, то она — типа W2-\-Wv Мы видим, следовательно, что все точки
рассматриваемых расчерток шаров (s, p), уравнения которых приводимы и не
суть квадраты неприводимых уравнений 2-й степени, надо просто отбросить.
Если пойманная точка кольца О типа W2 -{- W2, то само кольцо еще не пой-
поймано, так как остается еще найти квадратное уравнение с коэффициентами
из квадратичного поля, определяемого неприводимым множителем этого урав-
уравнения, которое неприводимо и даст точку р системы Wv содержащуюся
в неприводимом кольце О, дискриминант которого ^ L. Но это сделать не
так просто.
Для поимки безусловно всех неприводимых колец О, дискриминанты кото-
которых <L, и, в частности, нужных нам максимальных неприводимых колец не-
необходимо будет проектировать эти кольца не параллельно рациональному на-
направлению, а 2-мерными лучами параллельно их квадратичным подкольцам, что
мы сейчас и сделаем.
§ 40. Проектирование параллельно квадратичному подполю и ограничение
коэффициентов ах и а2
Из сказанного в гл. I, § 3, ясно, что поля 4-го порядка могут иметь
в качестве своих подполей (кроме рационального) только подполя 2-го по-
порядка и что подполей 2-го порядка у данного поля 4-го порядка не мо-
может быть больше трех, так как 2-мерных „биссектрис" 4-мерных осей
только три.
Покажем, что если этих подполей два, то есть и вполне определенное
третье. Действительно, пусть, например, две из „биссектрис" 1 и 2 заняты
квадратичными подполями рассматриваемого поля 4-го порядка. Вследствие
симметрии системы целых точек вещественного квадратичного поля относительно
рациональной прямой, следует, что в нем есть целые точки, координаты кото-
которых равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Следовательно, в пер-
первой „биссектрисе" имеется це!ая точка вида (а, а, —а, —а) и во второй
„биссектрисе"—целая точка вида (Ь, —Ь, Ь, —Ь). Произведение (аЪ, —ab
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО КВАДРАТИЧНОМУ ПОДПОЛЮ 149
— ab, ab) есть тоже целая точка системы целых точек рассматриваемого
поля 4-го порядка; она лежит в 3-й „биссектрисе" и не лежит на рацио-
рациональной прямой, а следовательно, и в 3-й .биссектрисе" лежит квадратичное
подполе.
Следующие примеры показывают, что все три возможности, а именно, что
чисто вещественное поле 4-го порядка вовсе не имеет квадратичных подпол ей,
что оно имеет лишь одно и что оно имеет 3 квадратичных подполя, осуще-
осуществляются:
1. Поле 4-го порядка с дискриминантом 1957 не имеет квадратичных под-
полей.
2. Поле 4-го порядка с дискриминантом 725 имеет одно квадратичное
подполе (с дискриминантом 5).
3. Поле 4-го порядка с дискриминантом 1600 имеет три квадратичных
подполя (с дискриминантами 5, 8 и 40).
Рассмотрим прежде всего ограничение для тех квадратичных подколец О,
содержащих 1, которые дают при проектировании соответственного надкольца О
4-го порядка параллельно рациональному направлению на „плоскость* s =0
точки внутри или на границе шара радиуса г = 1/ =-. В виду того, что про-
проектирование происходит параллельно рациональному направлению, т. е. век-
вектору О 1, который можно принять за одну из сторон основного параллелограмма
подрешетки (Э, длина проекции второй стороны этого параллелограмма будет
равна площади этого параллелограмма, деленной на длину вектора 0 1, кото-
которая равна 2. Сам же этот параллелограмм линейно в j/2 раз больше основ-
основного параллелограмма квадратичного .кольца О, рассматриваемого в его собст-
собственном 2-мерном пространстве. Пусть площадь этого параллелограмма есть S.
Тогда S = \fd, где d— дискриминант этого квадратичного кольца, и, следо-
следовательно, площадь основного параллелограмма подкольца О paCiaa 2 \^d, т. е.
проекция второй стороны параллелограмма равна —^— = yd. Но она должна
быть s^V 2> откУДа мы получаем, что дискриминанты тех квадратичных ко-
лец, которые нас здесь интересуют, не превосходят Л/ =- •
Перейдем теперь к проектированию колец 4-го порядка О параллельно
квадратичным „биссектрисам". Для того чтобы найти те кольца О 4-го порядка,
которые имеют рассмотренные сейчас квадратичные кольца своими подкольцами,
надо для каждого из этих подколец спроектировать 2-мерными лучами, парал-
параллельными плоскости «биссектрисы" Р, в которой это кольцо лежит, все по-
построенные над ним надкольца О 4-го порядка на плоскость Q, ортогональную
плоскости Р.
Можно предполагать, ие нарушая общности, что .биссектриса" эта
*=?}
Тогда ортогональной ей плоскостью будет
' Z + t:
Рассмотрим те квадратные уравнения, которым удовлетворяют точки тех О
4-го порядка, для которых квадратичное кольцо О, рассматриваемое в 4-мер-
ISO ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ном пространстве Ri 0, является подкольцом, с коэффициентами, принадлежа-
принадлежащими квадратичному' полю, соответствующему О:
<о2-(-а1о) -f- а2 —О, имеющее своими корнями оно'
и
(й-\-а? = 0, имеющее своими корнями ©„и"',
где «о, «о', а>", <о"—координаты точки такого О. В таком случае а'и квадра-
квадратично сопряженное с аг и а'2, квадратично сопряжено с а2.
Рассмотрим сначала сетку (QJ, образуемую (двухмерной) плоскостью
х-\-у~ — av z-\-t = — a[,
перпендикулярной к двухмерной .биссектрисе" Р, в которой лежит О, в пе-
пересечении с поверхностями 2-го порядка а2.
Эта сетка задается системами уравнений
Перегруппируем эти системы иначе:
Совокупность этих систем эквивалентна предыдущей. Их можно написать
иначе:
г—__!i_i_i/*-!?._/» ¦ ,, — — а±—л/~й. — а.
л 2 Ту 4 av У 2 ^ 4 2'
Примем s=—jp-; ij = —5— и возьмем в плоскости Q за координатные
jj:
x+y = — av )
E) z-\-t=-av l (г,)
J
осн
л:— j/ = 0.
Не трудно видеть, что эти оси ортогональны.
а: а,
Тогда S2 = -^ а2, гB = -^ а2, и, следовательно, при заданном а, вся-
всякой точке я2 кольца О будет соответствовать вполне определенная точка 5, 7),
и сетка (QJ определяется системой:
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО КВАДРАТИЧНОМУ ПОДПОЛЮ 151
Сетки (QJ достаточно найти для aj=O, I, <0j, I —|— <ох, где 1, <0j—базис
кольца О. Действительно, уравнение
«о2 -j- ajO) -j- а2 = О
подстановкой <о = <о — а преобразуется в
й — (а, — 2а) <о + (а2 — аах — eg = О,
ИЛИ, ПОЛОЖИВ
я = а-{-*<о1; a1 = a1-f*1<o1,
мы получим
«Г2 — (a, -f- *i«i — 2а — 2*<ot) <o -f (a -f- b®iJ — {a -f fto^) (a, -f- u^) — a2 = 0.
Очевидно, можно подобрать такие целые а и Ь, чтобы коэффициент при ш
был равен одному из значений 0, 1, o)j, 1 —|— «Oj. Обозначим
ах-\-Ьх<лх — 2а—j 1
(a -J-*o>iJ — (a -J- 6e>i) (fitj -J- bjtij) — а2 = а2
Мы получим
и2-f-(а-|-fto)j) <o-^j-(и-f-wa)j) = О
и для сетки (QJ систему
-2 , -»'
-2 -/
а — а
Нам нужно в проекции на плоскость Q уловить хоть по одной целой точке
из всех чисто вещественных О 4-го порядка, дискриминанты которых s^L и
которые имеют при этом данное О 2-го порядка своим подкольцом. Для этого
в плоскости Q опишем из начала окружность такого радиуся, чтобы внутри ее
или на ее границе оказалось по крайней мере по одной точке, являющейся
проекцией параллельно Р примитивной точки каждого из указанных колец О.
Для этого достаточно, чтобы радиус такой окружности был не меньше наи-
наименьшего вектора каждой из 2-мерных решеток, получающихся от такого про^
ектирования каждого из этих О на плоскости Q. Основной параллелограмм
каждой из рассматриваемых решеток имеет площадь Ssgi r— > так как объем
4-мериого параллелепипеда О, который sg: J/T, равен, очевидно, произведению
площади проекции 5 на площадь 2 \fd решетки О. Дело в том, что вообще,
когда мы проектируем л-мерную вещественную решетку параллельно какой-
нибудь ее /и-мерной подрешетке на линейное п — /и-мерное пространство, до-
дополнительное ее собственному /и-мерному подпространству и ему ортогональное,,
то объем основного параллелепипеда л-мерной решетки равен произведению
объемов основных параллелепипедов рассматриваемой m-мерной подрешетки и
ее п — /и-мерной проекции. Вопрос сводится, таким образом, к нахождению
максимума длины / наименьшего вектора двухмерной решетки при заданной
площади 5 ее основного параллелограмма. Из плотнейшего расположения кру-
кружочков по равносторонним треугольникам мы получаем —-—gg — ^ ' и,
следовательно, I* sg; ^- .
152
ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Пусть av а2 определяют точку М сетки (Рл), проекция которой М на пло-
плоскости Р есть ближайшая к началу точка решетки, получаемой при проектиро-
вании Q. Тогда ОМг— г »¦— 2(a2-\-ui], и, следовательно, для получения
в проекции на плоскость Р хоть по одной целой точке интересующих нас об-
областей достаточно рассмотреть такие av a2, для которых
—2
а
и таким образом в сетке (Q ) достаточно построить окружности ?, ij, радиус
1 , /
j
которых не превышает ^-1/ ^, и гиперболы, вещественная полуось которых
не превосходит радиуса наибольшей из окружностей сетки.
Таким образом, имеем:
-
3d*
или
2аЬ ((Oj — <
¦L ГЕ
¦2у Ы'
Рассмотрим отдельно два случая:
1. Дискриминант квадратичного поля d=Q (mod 4).
В этом случае
ю1 = — yd; щ=—-^ у d, и
система (Qa) принимает
вид:
и, следовательно, при данных a, b, d достаточно брать и и г> такие, чтобы:
. A)
B)
2. Дискриминант квадратичного поля rf^l(mod4). В этом случае
©J = -^Х-—; »ir = ~~2— и система (Qa) имеет вид:
ТАБЛИЦА ДЕЙСТВИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ВСЕХ ЧИСТО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ 153
Таким образом, для и и v получаются следующие ограничения:
Коэффициентам а, Ь, как было уже показано, достаточно придать лишь одну
из следующих пар значений: 0, 0; 0,1; 1,0; 1, 1. При каждой паре этих значе-
значений при данном d по приведенным формулам ограничиваются и и v.
Легко видеть, что, спроектировав все максимальные кольца О, имеющие
квадратичные подкольца параллельно квадратичной биссектрисе, на плоскостьР,
ей ортогональную, мы по наименьшим векторам полученной в проекции решетки
восстановим не только интересующие нас максимальные кольца О 4-го по-
порядка с одним квадратичным подкольцом, но также и те из них, которые
имеют 3 таких подкольца. В самом деле, в проекции на плоскость Р парал-
параллельно плоскости Q соответствующей биссектрисы мы получим либо проекцию
неприводимой точки кольца О 4-го порядка, либо проекцию примитивной
точки (о2! принадлежащей другому квадратичному подкольцу. Если имеет ме-
место первое, то мы восстановим О по неприводимой ее точке р так же, как
делали раньше. Если же имеет место второе, то по (Oj и ш2 мы составляем^
как это. было описано выше, примитивную точку ш3 третьего квадратичного
подкольца, и тогда 1, (Oj, (о2, ш3 лежат некомпланарно с началом, и, следова-
следовательно, по ним мы можем либо найти неприводимую точку р кольца О, либо
непосредственно найти базис О.
§ 41. Таблица действий для получения всех чисто вещественных полей
4-го порядка, дискриминанты которых <C.L
Последовательность действий для вычисления таблицы таких полей, распо-
расположенных по их дискриминантам, следующая:
1) Ограничение р в зависимости от выбора L (L удобно брать вида 2-^*,
чтобы г вышло целое рациональное) по формуле B) § 39.
2) Ограничение q и п для каждого из этих р по формулам C), D) и D)
§ 39. Эти вычисления надо произвести для s — Q, 1, 2. Таким образом, по-
получатся три таблицы уравнений, лежащих в сфере г.
3) Исключение из этих таблиц всех приводимых уравнений.
4) Вычисление всех дискриминантов всех оставшихся уравнений.
5) Разложение на множители всех этих дискриминантов и отчеркивание
всех тех, которые за выделением наибольшего квадратного множителя дают
числа, ббльшие L.
6) Нахождение базисов полей, определяемых оставшимися уравнениями.
Пусть (о0, (о1( <о2, ш3 образуют базис всех целых чисел поля 4-го порядка,
образуемого корнем р уравнения xi— sx3-\-px2— qx-{- n = 0 A). Как изве-
известно (см. § 14), за <оо можно принять число 1, a <ov (o2, <о8 искать в виде
где a, b, bv с, с,, с2, Д1т Д2, Д3 — коэффициенты и знаменатели чисел ба-
базиса. Для вычисления этих коэффициентов и знаменателей преобразуем урав-
уравнение A) § 37 по Чирнгаузену, приняв
ирз -(- vр2 -\- wp 4-1
У— д >
354 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
где
Д*. Ft — t* + At* -f- Bt2 -f Ct -f D = Ф (t),
Д8.^ = Ф'(/), A».f, = ^»W, Д.^ = 1ф
если положить
A = w-s-\-v-(s2— 2p)-]-u-(sa— 3sp-\-3q);
p{{p q)\( p q{)\{p q\)
-j-uv• (sp* — 2s*q —pq — bsn) -\-u?-{P* — 3spq-\-3s*n + Ц2 — %Pn)>
С = ws • q + w2 • (sq — 4л) -f- v2w • (pq — 3sn) -|- uw2 • (s2q — 2pq — sn) -f-
b B— 2pn)-\-uvw • (spq—3s2n—3^2 -|- 4pn) -f- июг • {sq2 — 2spn — qn)
(^ 2 { { 5) \*B — 2p2n — sqn -\- 4«2) -J-
t)
^ — 2pri) -\- v^w2 -pit -f- и©да2 (sp/г — 3qn) -\-
-\- ifiwqn -f- mflw ¦ (sqn — 4лг) -|- a2w2 • (р2л — 2sqn -\- 2л2) ]
-|- «2w • (^^« — 3s«2) + «sw • (q2n — 2prfi) -f- г»4 • л2 -j- 3
_|_ u2v2pn? -\- usv • qn2 -f- и4.
Придавая числам и, v, w, t, Д значения, соответствующие отдельным числам
базиса, и имея в виду, что коэффициенты уравнения относительно у должны
быть целыми рациональными числами, легко получить все сравнения, необхо-
необходимые для определения коэффициентов базиса. Когда базис поля, соответству-
соответствующего рассматриваемому р, т. е. рассматриваемому уравнению, вычислен, мы
получаем, что дискриминант D этого поля равен D= v . ?. .
Все уравнения, для которых D^>L, мы отбрасываем.
7) Аналогичные вычисления надо проделать для полей, получаемых при по-
тиощи квадратичных подполей в соответствии с § 40,, а именно, выписать все
квадратичные поля, дискриминанты которых <С1/ "о"» Для каждого из этих
квадратичных полей найти для 0^ = 0, 1, a)j, I -j— a)j ограничения для и и г/
но формулам A), B) или (Г), B') § 40; тогда получится еще таблица урав-
уравнений 4-й степени, с которыми надо проделать все то, что сказано в пунктах
3, 4, 5 и 6.
В результате всего этого мы получим все чисто вещественные поля 4-го
порядка, дискриминанты которых </., причем каждое поле будет представ-
представлено своим базисом. Если для какого-нибудь дискриминанта D так получится
несколько базисов, то надо еще посмотреть, не будут ли некоторые из этих
базисов лишь разными базисами одного и того же поля, для чего надо для
уравнений, определяющих соответственные р, решить задачу, обратную задаче
Чирнгаузена. Для решения задачи, обратной задаче Чирнгаузена, для двух
уравнений 4-й степени имеется способ Чеботарева [66], являющийся обобще-
обобщением способа решения этой же задачи для двух уравнений 3-степени, изло-
изложенного в § 13, но этот способ ведет к большим вычислениям. В случае, когда
все 4 корня уравнений 4-й степени вещественны, удобен способ, предложен-
предложенный в работе Делоне [18J, основанный на приведении безутиана. Но лучше всего
пользоваться (во всех случаях) способом, предлагаемым Фаддеевым в § 49.
После разрешения этого вопроса о тождественности или различии получив-
получившихся полей 4-й степени таблица готова.
Так была вычислена И. Соминским и К. Биллевичем прилагаемая таблица
чисто вещественных (т = 0) нолей 4-й степени (см. [18]). Таблицы по-
полей 4-й степени для двух других случаев, т=1 и т = 2г были вычислены
4. Поплавским для т=1 и Д. К. Фаддеевым для т = 2 для тех полей, которые
имеют квадратичные подполя..
ТАБЛИЦА ДЕЙСТВИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ВСЕХ ЧИСТО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ 155
ТАБЛИЦА ЧИСТО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ 4-го ПОРЯДКА,
ДИСКРИМИНАНТЫ КОТОРЫХ НЕ ПРЕВЫШАЮТ 8112
(Таблица вычислена И. Соминским и К. Биллевичем)
Дискрими-
Дискриминант пола
725
1125
1600
1957
2000
2048
2225
2304
2525
2624
2777
3600.
• 3981
4205
4225
4352
4400
4525
4752
4913
5125
5225
5725
5744
6125
6224
6809
7053
7056
7168
7225
7232
7260
7488
7537
7600
7625
8000
8069
8112
Коэффициенты у-ниа
х» — га* +/7** — qx-\-
+ п
8=1, р
ft i i I
q = —1>
1,-4,
0, —6,
0, -4,
0, —5,
0, -4,
1 -55
i, —«j,
0, —4,
2, —4,
2, —3,
1, -4,
2, -7,
1, -4,
1, -5,
0, -9,
0, —6,
0,-7,
1, -7,
2, -3,
1,-6,
2, —6,
1, -8,
1 Я
I, О,
0, —5,
1, —9,
2, —4,
0, —5,
2, —4,
0, —5,
0, —6,
Л 11
U, —11
2, -5,
1, —7,
2, —4,
1, —5,
¦0, —9,
1 Q
1, —У,
0, —10
1, —5,
0, -5,
= 0
= -3,
„ . 1
П —- 1
-4, 1
0,4
-1, 1
0, 5
0, 2
о 4
—А ^
0, 1
—5, 5
-2, 1
-1, 2
—3, 1
-2, 1
1, 1
0, 4
-4, 2
0, 11
-3,9
-4..1
—1, 1
-7, 11
-1, 11
5, 11
—2, 1
—9, 11
—2, 2
—1, 1
—3, 3
0, 1
0, 7
л а
, и, »
—4, 4
—8. —2
—2, 1
—4, 3
0, 19
-4, 1
, 0, 20
—5, I
0, 3
[
¦[¦•
[l, P.
[¦
[¦
г,
1 '
Г, , Р!
11| р>
[l
fl p
[1. Р
[
Базис пола
[1, Р. Р2. Р31
[1, Р. Р3. Р31
1 0 р2 р31
1, Р, Т, TJ .
Р. Р. Р2. ?81
[1. Р, ?2, Р3
Ь, р, и. V
. р, Р3-г-Р2 + Р2]
р1 р1 2 J
1, Р. Р2, Р3
Р
1, Р. Р2, Р3
1, Р, Р2, Р3
I. Р. Р2. Р31
, pS + 2p2+p-3]
7 J
1, Р, Р2- Р31
1, Р, Р4> Psl
р2 + р рЧ
2
-Р + 21
А
[1, р. Р2. р'Ч
[1. Р, Р2. Р31
pS_p2_pl
р> 3 J
[1, р, Р2,„Р3]_
о о* Р" + Ч
Р, ?, —г— .
[1, р, Р2,Р31 _*
Р рз р3+1
р> р ' 2 J
. в, р3 + р + И
р> р> з J
1, р, р2, р»
1, О, р«, эЗ
* Г» Г ' Г
1, р, р2, р'!
1. ?, Р2, Р3
1» р, р2, Р3
1, р, р2, р3
1, Р- Р2. Р3
-НР+I р*-2р+3]
2 ' 6 J
. Ь Р2> ВД
1> Р- Р2> Р3
1, р. Р2, Р3
Г' Г * Г
1, р, р*. р3
1, р, Р2, Р3
р3_р2_р Л
Р. 4 J
,,fl P31
' ?> 2 ' 2 J
1, Р, Р2. Р31
1. р. Р2. Р3]
Дискрими-
Дискриминант под-
подпола
5
5
5, 8, 40
_
5
8
к.
о
8, 12, 24
5
8.
5, 12, 60
29
5, 13, 65
8
5
5
12
17
5
5
к
и
5
_
12, 21, 28
8
5 17 85
XJj 1 1 у fjO
8
_
12
5
5
5
—
13
Группа
8-го порядка
Циклическая
Vierergruppe
Симметрическая
Циклическая
Циклическая
8-го порядка
Vierergruppe
8-го порядка
8-го порялка
Симметрическая
Vierergruppe
Симметрическая
8-го порядка
Vierergruppe
8-го порядка
8-го порядка
8-го порядка
8-го порядка
Циклическая
8-го порядка
8-го порядка
8-го порядка
Симметрическая
Циклическая
Симметрическая
Симметрическая
Симметрическая
Vierergruppe
8-го порядка
ViererjjruDoe
8-го порядка
Симметрическая
8-го порядка
Симметрическая
8-го порядка
8-го порядка
Циклическая
Симметрическая
8-го порядка
156
ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ТАБЛИЦА ПОЛЕЙ 4-го ПОРЯДКА СИГНАТУРЫ
для которых | D | sg 848
(Таблица вычислена Ч. Поплавским)
Дискрими-
Дискриминант поля
—275
—283
—331
—430
—448
—475
—491
—507
—563
—643
—688
—731
—751
- 775
—848
Коэффициенты у-иия
ж» — sx> + рх* — дх -\-
+ л = 0
1, 0, -2, -1
0, 0, 1, —1
0, -2, 3, -1
0, 1, 0, —1
2, 1, 2, 1
1, -2, 2, -1
2, 2, -3, 1
1, -1, 1, I
1, 1, 1, —1
1, 0, 2, 1
2, 0, 0, -1
0, —2, 1, —1
0, —3, 1, 2
1,0,3,1
0, 1, 2, 1
Базнс поля
1, р. р2. Р3
1, р, р2, Р3
1, р, р2, Р3
1, р, р2, Р3
1, р, р2. Р3
1, р, р2, Р3
1, р. р2, р3
1, р, Р2. Р3
1, р, р2. р3
1, р, р2, Р3
1, р, Р2, Р3
1, р- Р2> р3
1, р, Р2, Р3
0 »2 р2+
Р> Р 2
[1. Р. Р2. Р3
Р3]
J
Дискрими-
Дискриминант ПОД-
ПОДПОЛЯ
5
—
—
5
8
5
—
13
—
—
—
—
—
5
—
Группа
8-го порядка
Симметрическая
Симметрическая
8-го порядка
8-го порядка
8-го порядка
Симметрическая
8-го порядка
Симметрическая
Симметрическая
Симметрическая
Симметрическая
Симметрическая
8-го порядка
Симметрическая
ТАБЛИЦА ПОЛЕЙ 4-го ПОРЯДКА СИГНАТУРЫ т = 2, ДИСКРИМИНАНТЫ КОТО-
КОТОРЫХ НЕ БОЛЬШЕ 1296, ИМЕЮЩИХ КВАДРАТИЧНЫЕ ПОДПОЛЯ
(Таблица вычислена Д. К. Фаддеевым)
Обозначения:
,=,/=т. *--'+/•?
Производящее число
D
117
125
144'
189
225
256
272
320
333
392
400
432
441
512
513
549
576
576
605
Группа
©
©
as
©
as
as
©
©
®
®
as
®
as
©
© с
©
as
as
•
36
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Производящее число
D
Группа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 .
VT+l
5, i
V— 5 — 5
/7 + 4/
1/3 + 2 /^2
656
657
784
832
837
873
981
1008
1008
1025
1040
1040
1088
1088
1089
1141.
1168
1197
1197
1225
1280
©
as
©
©
©
©
©
as
©
©
ОПИРАНИЕ КУБИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ НА КВАДРАТИЧНЫЕ 157
Г. ПОСТРОЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ ПО КВАДРАТИЧНЫМ
§ 42. Опирание кубических областей на квадратичные
В основу положим следующие простые геометрические соображения.
Пусть (со, ю\ со") точка в пространстве R3 0. (Для простоты мы будем сна-
сначала считать, что со, со', со" вещественны. Однако это ограничение не является
существенным, и мы его дальше снимем.)
Будем подвергать пространство Ra 0 осесовмешениям, т. е. преобразова-
преобразованиям, заключающимся в одновременных одинаковых перестановках координат
всех точек пространства. Осесовмещения образуют группу преобразований,
изоморфную симметрической группе перестановок трех элементов.
Все эти преобразования оставляют инвариантной рациональную прямую и
преобразуют в себя плоскость „нулевого следа* и -\- и' -f- о" = 0. В этой пло-
плоскости они индуцируют преобразования, заключающиеся в поворотах на углы
-S- и• •=• вокруг начала координат и в отражениях относительно проекций осей
о о
координат, которые все можно составить из одного только поворота и одного
отражения. Эти преобразования особенно удобно алгебраически записать, если
принять плоскость нулевого следа за комплексную „ось", вещественное на-
направление которой совпадает с проекцией одной из осей координат трехмер-
трехмерного пространства; тогда мы получим, что осесовмещения индуцируют группу
преобразований, вышеуказанными производящими элементами которой являются
умножение на е = е3 (поворот) и переход к сопряженным числам (отра-
(отражение).
Легко видеть, что проекция точки (со, со', со") на плоскость нулевого следа
/2<в—<о'—«о" ю' — в>"\
параллельно рациональной прямой имеет координаты / —= , —-т=- \ ,
если за оси принять проекцию оси ОХ и перпендикулярную к ней прямую,
при сохранении масштаба. Комплексная координата проекции будет
2@ <!>' Св" , . Св' в)" 2
\
У& ~ У2
»
Изменив надлежащим образом масштаб, получим для комплексной коорди-
координаты проекции более простое выражение:
представляющее собой не что иное, как резольвенту Лагранжа точки (со, <о', <о").
Если не предполагать точку (со, <о', со") лежащей в вещественном сечеиии про-
пространства К&, то мы должны рассматривать плоскость нулевого следа как ком-
комплексно двухмерное многообразие. Легко видеть, что проекция, если за оси
выбрать векторы A, е, s2), A, е2, е) и взять соответственный масштаб, будет
задаваться двумя комплексными координатами 7] и т), где
7] = ю -\- со'е -|- а)"е2, 7] = со -\- со'г2 -)- а>"е.
Такая проекция будет точкой комплексного пространства, в случае если
<о, со', со* вещественны, и точкой вещественного пространства, если со — ве-
вещественное, а а»', ш* — комплексные сопряженные.
При осесовмещениях проекция (т), 7)) точки со, а>', <о" будет подвергаться
преобразованиям:
7] —>¦ 7] 7] —>- 1K 7] —>¦ 1N2 _ 7] —>¦ 7] ^ 7| —*¦ 1JS 7| —>- 7|?2;
Tj —>• 7] 7] —>¦ Tj62 7] —>¦ Tj6 7] —>• J) 7] —>¦ 7N Ц —>• 7]S.
158 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Введем в рассмотрение куб проекции, т. е. точку (8, 8), координаты кото-
которой в = 7}8, I=i)s-
При первых трех осесовмещеииях точка F, Ъ) не изменится, при последних
ее координаты поменяются местами. Если заменить е на s2, то 6 и 6 также
поменяются местами. Следовательно, каждая симметрическая функция от 6 и 6
будет рационально выражаться через коэффициенты уравнения, корнями кото-
которого являются ю, а>\ <о". Отсюда заключаем, что куб проекции кубического
числа является точкой некоторой квадратичной области.
Выясним, что представляет собой эта область. За производящее число ее
можно принять 6 — 6, если только оно отлично от нуля. Но легко видеть, что
6 _ в = (Ч — ч) (т) — чв) G) — 7,г2) =
= (о> -|- «>'? + <">"s2— ю — ю'?2 — ю"е) • (ш + ю'е+ <">"г2— «>? — «>'— <">"е2) •
• (о> -j- o>'s -f <">"s2 — ю?2 — ю'е — «О =
= — F — ?2) A — s) A — г2) (о> — о') (а>' — <о") (ю* — ю) =
где D(d>) — дискриминант числа ю.
Отсюда мы можем заключить, что кубы проекций всех чисел одной и той
же кубической области принадлежат, одной и той же квадратичной области
R (У— 3D), где D — дискриминант максимального кольца области, так как все
D((t>) отличаются от D множителями, являющимися квадратами рациональных
чисел. Эту область мы будем называть в дальнейшем областью, на которую
опирается кубическая область. В дальнейшем будем обозначать через U куби-
кубическую область, через Q -квадратичную область, на которую опирается U. Ди-
Дискриминанты их будем обозначать соответственно Dud. Они связаны очевид-
очевидным соотношением
где s — целое рациональное число.
§ 43. Некоторые теоремы о проекциях кубических чисел
Теорема 1. Для того чтобы точка ij, 7] была проекцией числа куби-
кубической области, необходимо и достаточно выполнение условий:
a) IK и тK — корни квадратного уравнения с рациональными коэффициен-
коэффициентами,
b) 7|7|—рациональное число.
Доказательство. Необходимость первого условия была показана раньше.
Необходимость второго проверяется непосредственно. Действительно, если (т), tj)
проекция кубического числа а>, то
= 0J _|_ ю'2 _^_ т юю' ш'ш" „'ft, __ S2 3?,
где s и q коэффициенты уравнения a>3 = sa>2 — q<?>-\-n, корнями которого
ЯВЛЯЮТСЯ @, <?>', О)".
Обратно, пусть точка (т|, щ) удовлетворяет условиям а) и Ь). Очевидно, что
эта точка будет проекцией точки (а>, а>', а>"), координаты которой определяются
из уравнений
ш-f- со'-)- ю"=0, со -}-u)'s-j-a>"s2 = /j, ш 4-w'c2-j-(o"c = rj.
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 1591
Вйесто пе'рвого уравнения можно было взять уравнение «> —}- «>' —j- со" = s при
любрм рациональном значении для s. Сделанный выбор числа s обозначает,
что точку (со, (о', <о") мы ищем на плоскости нулевого следа.
Решая систему, получим следующие значения для координат точки (<о, со', ш"):
Составляя основные симметрические функции от <о, <о', а>", получим
s=(o-\-(u'-\-(u" = 0,
q = шш'+ »'»' + ш"<" =
Все эти числа рациональны при сделанных предположениях относительно
точки Gj, j)), и, следовательно, ш, ш', <о" являются корнями уравнения с рацио-
рациональными коэффициентами. Тем самым теорема доказана.
Теорема 2. Для того чтобы точки (/],, jjj) и (jJ, JJ) были проекциями
чисел <»! и (о2 одной и /мой же кубической области, необходимо и доста-
достаточно, чтобы были выполнены условия теоремы 1 и чтобы точка (~, =]
принадлежала квадратичной области Q, определяемой квадратным уравне-
уравнением, корнями которого являются jK и т]3.
Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть числа a>j и (о2
принадлежат одной и той же кубической области. Очевидно, что координаты
точки ( —, Им при осесовмешениях и при замене г на s2 подвергаются таким
же преобразованиям, как и координаты точки (гд, /]i),принадлежащей области Q.
Следовательно, точка I — , 5м должна принадлежать той же области Q в силу
известной теоремы теории Галуа. Однако то же самое легко получить непо-
непосредственным вычислением. Сделаем это вычисление, так как оно приводиг
и к доказательству достаточности. Пусть
Вычислим —.
== - z. — == d I I L i_ if ==
¦ ' [е + <Oj'e2 а>1 -\- a>j? -)- coj's2
9л -*-у— 3D (a
160 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Мы видим, что — рационально выражается через ]/—30@^). Легко полу-
получить, что 2^ отличается от — только знаком при У — 3D((i)j). Тем самым те-
*li лг
орем а в части необходимости доказана. Достаточность также непосредственно
следует из найденного представления ^1 и ^Я .
Til Til
Действительно, если точка [ —, ^Д) принадлежит области Q, то ее коор-
динаты могут быть представлены соответственно в виде
с рациональными коэффициентами и и v.
Из сравнения этих формул с формулой представления — через коэффи-
коэффициенты а и b легко иайти эти последние. Они оказываются рациональными.
Теорема доказана полностью.
Теорема 3, Для того чтобы кубическая область U была приводимой,
необходимо и достаточно, чтобы, одна из точек (т), 7j); (tjs, rjs2); (jjs2, 7js)
принадлежала квадратичной области Q. Здесь через (ij, tj) обозначена про-
проекция любой точки общего положения области U.
Доказательство. Пусть область U приводима. Тогда координаты какой-
нибудь ее точки общего положения суть корни приводимого кубического урав-
уравнения (о8 — sa>2-}-<7<» — я = 0. Обозначим через ю рациональный корень урав-
уравнения, через ю' и а>" остальные корни. Эти последние могут быть представлены
в виде u-\-mv\/15, где и и v—рациональные числа, a D—дискриминант ма-
максимального кольца области. Координаты проекции в этом случае будут:
7) = ю -|- 0»'g -)- «>"?2 = Ш — U-\-V\/ 3D,
7j = a>-}- a>'s2-j-a>"e = <i> — и — vY—3D,
л, следовательно, точка (i|, i|) принадлежит области Q.
Если бы рациональным корнем было не a>, a a>' или а>", то принадлежала
бы области Q точка (щ т]?2) или (j)e2, ije)._ _
Обратно, если одна из точек (т), i|), G]?, jjs2), G]e2, Tje) принадлежит квадра-
квадратичной области, то одно из чисел
будет рациональным, и, следовательно, уравнение, которому удовлетворяют ко-
координаты точки, проекцией которой является (j), r\), будет приводимым.
Теорема 4. Для того чтобы квадратичная область Q, на которую
опирается кубическая область U, была приводимой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы область U была чисто кубической или производилась урав-
уравнением ю3 —1 = 0.
Доказательство следует из того, что у таких, и только таких, кубических
-областей —3D—полный квадрат.
СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ МАКСИМАЛЬНОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 161
§ 44. Свойства проекции максимальной кубической решетке
В предыдущем параграфе мы провели исследование проекций точек куби-
кубической области, т. е. точек, рационально связанных с точками некоторой макси-
максимальной кубической решетки. На основании этого
исследования мы теперь имеем возможность дать • х х •
способ построения кубических максимальных решеток
по квадратичным, на которые они опираются.
Очевидно, что проекция параллельно рациональ- х х х х
ному направлению кубической решетки представляет
собой решетку. Все точки решетки, получающиеся • - х х •
в проекции, удовлетворяют условиям теоремы 1 и свя-
связаны друг с другом условиями теоремы 2. Кроме Черт. 9.
того, координаты всех точек- этой решетки суть
целые алгебраические числа. Это непосредственно следует из формул
т) = ю -f- <о'е -f- ю"е2;
7] = о> —j— ю'е2 -\- <о"е.
Однако, если точка (tj, tj) удовлетворяет условиям теоремы 1 и координаты
ее целые алгебраические, еще нельзя сделать заключение, что она будет про-
проекцией целой точки, т. е. проекцией точки максимальной решетки. Действи-
Действительно, в формулах
о
<о —
выражающих координаты проектируемой точки через координаты проекции
и след s, в знаменателе участвует число 3, благодаря чему координаты <о, а>\ а>*
могут оказаться дробными при любом выборе целого рационального числа s.
Тем не менее нам полезно ввести в рассмотрение совокупность L всех точек,
удовлетворяющих условиям теорем 1 и 2 и имеющих целые алгебраические
координаты. Через 31 обозначим совокупность точек, получающихся умноже-
умножением точек системы L на 3. Формулы (*) показывают, что каждая точка си-
системы 31 является проекцией некоторой точки с целыми алгебраическими
координатами, т. е. точки соответствующего максимального кольца. Достаточно
в этих формулах взять s = О [или s = 0 (mod 3)]. Система L, очевидно,
повторяется сложением и вычитанием. Она двухмерна, так как содержит в себе
двухмерную решетку — проекцию максимального кольца.'
Она дискретна, так как подобная ей система 3L содержится в дискретной
проекции максимального кольца. Следовательно, система L представляет собой
двухмерную решетку. Система 31 — также решетка. Решетка L центрирует
решетку 31 с индексом 9 (черт. 9).
Очевидно далее, что решетка L повторяется умножением на любую точку
максимального кольца области Q. Следовательно, она подобна одной из реше-
решеток основной фигуры области Q:
Здесь Г обозначает решетку основной фигуры, которой подобна решетка L,
и -у—„коэффициент" подобия. Коэффициент подобия -у имеет целые алге-
алгебраические координаты, так как все точки решетки L имеют целые алгебрам-
11 Теория иррацвон. 3-й степ.
162 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ческие координаты, а среди точек решетки Г существуют точки, координаты
которых взаимно просты с любым наперед заданным целым рациональным
числом и, следовательно, с любым наперед заданным алгебраическим числом
сколь-угодно высокого порядка. Далее, норма коэффициента у есть рациональ-
рациональное число, так как нормы всех точек решеток L и Г суть целые рациональные
числа. Вследствие того, что координаты коэффициента у целые алгебраические,
норма у Целая рациональная. •
Возведем решетку L в куб по правилу умножения решеток. Получим не-
некоторую новую решетку A = L8, которая будет подобна решетке Г8, принадле-
принадлежащей вместе с Г основной фигуре области Q. Коэффициентом подобия будет,
очевидно, у3:
Решетка А образована числами области Q, так как куб каждой точки ре-
решетки L есть число области Q, а решетка A = LS рационально связана с ре-
решеткой, построенной на двух любых ее точках, за которые мы можем принять
кубы двух точек решетки L. Далее, все точки решетки А являются целыми
числами области Q и, следовательно, решетка А является подрешеткой макси-
максимального кольца области Q. А представляет собой идеал этого максимального
кольца, так как А вместе с подобной ей решеткой Г3 повторяется умножением
на все точки максимального кольца. Идеал А принадлежит классу, соответ-
соответствующему решетке Г~8.
Коэффициент подобия у3 в равенстве А = у3Г3 представляет собой точку
решетки Г~3, которая ставится в соответствие идеалу А и заменяет его в во-
вопросах делимости согласно общей теории побочных решеток.
Норма идеала А равна, очевидно, норме у8 и, следовательно, равна кубу
целого рационального числа N(f).
Легко видеть, что А не может делиться на куб какого-либо идеала с отлич-
отличной от единицы нормой. Действительно, если бы А делилось на идеал о8, то
множитель у3 делился бы на а?, где а —точка одной из решеток основной
фигуры, сопоставляемая идеалу а. Отсюда следует, что — имеет целые алге-
алгебраические координаты. Пусть а принадлежит решетке Гх. Тогда решетка
?-1==—A\Г) будет состоять нз точек с целыми алгебраическими координатами
и содержать решетку ? = уГ, как правильную часть, так как решетка Г] со-
содержит точку а и N (-?) |<|N(Y)I. Это невозможно, так как по самому
определению решетки L ее нельзя центрировать точками с целыми координа-
координатами. Итак, идеал А не делится иа куб какого-либо идеала, отличного от еди-
единичного. Отсюда легко заключить, что норма идеала А ие делится ии на одно
из неразложимых в области Q простых чисел и ни на одно из простых чисел,
входящих в дискриминант. Действительно, каждое такое простое число делится
только на один простой идеал, и так как норма А представляет собой полный
куб, А должен был бы делиться на куб простого идеала, что, как мы видели,
невозможно. Разложение идеала А на простые идеалы должно иметь вид:
Pp2p
где рг,рг; р2, р2, ... — различные простые идеалы, входящие попарно
в простые числа pv p2, ...
В виду того что р1р1=р1, р?2=р„ ...,
где Г =
СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ МАКСИМАЛЬНОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 163
Идеал I эквивалентен идеалу А и, следовательно, подобен решетке Р:
Коэффициент подобия X представляет собой точку решетки Г~3.
Итак, А = /ХГ8. Следовательно, У8=Л, 4=Vtk и ?=г/7Х-Г.
Заметим, что извлечение кубического корня в формуле у = ytk нужно
произвести из обеих координат точки /X. Однако из девяти возможных значе-
значений для у нужно брать только те три, для которых произведение координат
рационально.
Таким образом, решетка L обладает свойствами:
1. L подобна некоторой решетке Г основной фигуры области Q.
2. Куб коэффициента подобия представляет собой произведение некоторой
точки X решетки Г~8 иа норму этой точки.
3. Норма / точки \ раскладывается иа различные простые множители
и взаимно проста с дискриминантом d области Q.
Очевидно и обратное, что если некоторая решетка обладает свойствами
1, 2, 3, то она может быть принята за решетку L для некоторого кубического
максимального кольца. Действительно все точки такой решетки будут удовле-
удовлетворять условиям теорем 1—2 предшествующего § 43 и, следовательно, явля-
являются проекциями точек некоторой кубической области, причем все проек-
проекции, имеющие целые алгебраические координаты, попадут в эту решетку,
и, следовательно, оиа будет решеткой L.
Мы установили, что свойства 1, 2, 3 являются вполне характеризующими
решетки L. Это позволяет фактически строить решетки L для кубических
областей, исходя из данной области Q. Мы должны перебирать для этого все
решетки Г и все подходящие множители X.
Решетки L, соответствующие приводимым кубическим областям, будут по-
получаться только в случае, если Х = 1 и Г=Г0 главной решетки. Это непо-
непосредственно следует из теоремы 3.
Одну и ту же кубическую область можно расположить в пространстве трех
измерений шестью различными способами. Поэтому каждой кубической области
соответствует шесть различных решеток L. Если L одна из иих, то остальные,
очевидно, будут: г ж г
I, Ъ, Is2,
ы ы _
где s — точка с координатами е8 , е3 , a L—решетка, сопряженная L, т. е.
решетка, координаты точек которой получаются посредством перестановки ко-
координат точек L. Следовательно, желая строить решетки L для различных
кубических областей, мы должны брать только одно значение кубического
3/ —
корня в формуле у = У Л и из двух решеток L и L брать только одну. Легко
видеть, что для этого из двух решеток Г и Г, соответствующих сопряженным
классам идеалов, достаточно брать одну, ио за то, если Г =ф Г, для множителя \
нужно брать все возможные значения, в том числе и соответствующие сопря*
жеииым идеалам I и I, если эти последние принадлежат одному классу. Если
же Г = Г, то из значений \, соответствующих сопряженным идеалам I и I,
нужно брать одно.
Точка \ в равенстве 1=ХГ8 определена с точностью до множителя, являю-
являющегося единицей максимального кольца области Q. Поэтому, если мы выберем
идеал I и решетку Г, мы можем получить все же несколько различных реше-
решеток L. Однако, множители \, отличающиеся кубом единицы максимального
кольца, очевидно, определяют одну и ту же решетку. Разберем подробнее мо-
могущие представиться здесь случаи. . ¦.
И*
164 . ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
1. rf= — 3. В этом случае в основной фигуре существует лишь одна ре-
решетка, именно главная Го. Еднннц существует шесть: 1, s, sa, —1, —s,—s2.
В виду того, что —1 = (—I)8, три последних единицы не нуждаются в рас-
рассмотрении. Если /=?М, то множители X, Xs и Xs2 дают различные решетки L,
соответствующие различным кубическим областям. При 1=1, Х=1 опреде-
определяет решетку L для приводимой на три „прямых слагаемых" кубической
области. X = s и X = s2 определяют различные решетки L, но соответствующие
одной н той же кубической области, так как еа = s.
2. d = —4. Единиц в максимальном кольце существует четыре: 1, /, —1, —i.
В виду того, что / = (—i)s, —1=(—l)s, —i=is, присоединение единиц
к множителю X не меняет решетки L.
3. d<^— 4. В этом случае существуют только единицы ± 1. Присоеди-v
нение — 1 к X не меняет решетки L.
4. rf=l. Область Q приводима. Она содержит четыре единицы A, 1);
A,—1); (—1, 1); (—1, —1), каждая из которых является кубом самой
себя. Присоединение единиц к Х.не меняет решетки L.
5. d > 1. В этом случае все единицы представляются в виде степеней
основной единицы s0 и могут лишь кубическим множителем отличаться от
1, s0 н So. Если /=т^1, множители X, Xs0 и Xs0-I определяют решетки L,
соответствующие различным кубическим областям. Если 1=1 и Т^=Г0, имеет
место то же самое. Если же, наконец, /=1 и Г=Г0, то при Х=1 мы
получим решетку для приводимой кубической области, при X = s0 и X = so~I
получим решетки L, соответствующие одной и той же кубической области,
так как они будут сопряжены.
Фактическое построение решеток L можно осуществить, не обращаясь
к построению всех решеток основной фигуры максимального кольца области Q.
Действительно, пусть мы выбрали идеал I и класс идеалов К, соответствую-
соответствующий решетке Г. Решетка Г подобна решетке любого идеала класса К~г.
Возьмём произвольный идеал а этого класса и конкретно зададим его при
помощи базиса. Идеал I должен принадлежать классу K~s, и, следовательно,
'должен быть эквивалентен идеалу а8, который мы можем фактически найти.
Коэффициент подобия ji в равенстве I = }i а8 также фактически находится.
Он. будет, вообще говоря, дробным числом области Q.
Очевидно, что L тогда будет:
Так как базис идеала а нам известен, то отсюда мы найдем базис ре-
решетки L.
§ 45. Построение максимальных кубических решеток
В предыдущем параграфе мы дали способ построения решеток L, тесно
связанных с проекцией максимального кольца. Теперь, считая решетку L изве-
известной, на№ надлежит построить само максимальное кольцо. Мы видели, что
проекция максимального кольца содержится в решетке L и содержит решетку
3L. Отсюда следует, что проекция максимального кольца или совпадает с ре-
решеткой 3L, или центрирует ее с индексом 3 или 9.
Обозначим совокупность всех целых точек U, имеющих своими проек-
проекциями точки 3L, через ЭД1. Она представляет собой решетку, образованную
точками системы 3L, которую должно представить расположенной в плоскости
и -\- и' -\- и' = 0 трехмерного пространства, и всеми параллельными им точками.
Базис решетки Ш легко находится. Пусть точки (р2, ^) и (р2, [52) образуют
базис решетки L. Базис решетки 3L будет образован точками C (Jt, 3 р()
и C$а, 3$а). Координаты этих же точек относительло пространственных осей
ПОСТРОЕНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОН
координат будут:
165
Посредством простых вычислений, приведенных в настоящем параграфе,
легко найти уравнения, определяющие точки Wj и ю2, и установить связы-
связывающее их преобразование Чирнгаузена. Базис решетки 9Л будет, очевидно,
[1; и,; ю2].
Дискриминант ?)(ЯЛ) решетки ЯЛ равен:
П Р,
1, р1е
1, ржв
2
1
1
1
1
S2
S
1
е
S2
2
•
1
0
0
0
Pi
Pi
0
р2
р2
=—27
b
Pi»
= — 27D(L),
где D(L) обозначает дискриминант решетки L. Этот последний равен произве-
произведению квадрата нормы множителя у на дискриминант решетки Г, который сов-
совпадает с дискриминантом максимального кольца области Q, в. силу основного
свойства побочных решеток области. Таким образом
=— 27 dP,
ибо
Найдя решетку $Ш, решетку максимального кольца мы можем получить
посредством небольшого количества дополнительных вычислений. Нужно
только посмотреть, не будут ли существовать целые числа среди чисел
gt + «2 «"I + g3 °»2
3
при Л1 = О,±1; а2 = 0,±\; д3 = 0,-+-
27 1
27 1
Дело сводится при самом грубом способе вычислений к 13 = —=— испыта-
испытаниям.
Изучим теперь подробнее решетку ЯП.
Теорема 5. Решетка Ш представляет собой кольцо.
Доказательство. Пусть <о одно из чисел решетки 901 и
уравнение, корнями которого являются <о, ш' и ш*.
Координаты 6, 6 куба проекции точки <о удовлетворяют уравнению
б2— Bss — 9 Sq-\-27 n)b-\-(s* — 3q)s=0.
Для того чтобы число и принадлежало решетке ЯЛ, необходимо и доста-'
точно, чтобы ее проекция принадлежала решетке 3L и, следовательно, чтобы
координаты куба проекции делились на 27. Для этого нужно, чтобы выполня-
выполнялись условия
2s8 — 9sq+27n~0 (mod 27),
л2 — Зс7 =? 0 (mod 9),
для чего в свою очередь необходимо и достаточно выполнение условий
s = c7 = O (mod 3).
166 ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Пусть число (о принадлежит решетке ЯН. Тогда ю2 также принадлежит
решетке ЯП. Действительно, коэффициенты slt qx уравнения, корнем которого
является со2, связаны соотношениями
s1=s* — 2q, ql=q2 — 2sn
с коэффициентами s и q и если s~q = 0 (mod 3), то и
sl = q1=0 (mod 3). f
Пусть теперь числа ю1 и ю2 принадлежат решетке ЯЛ.
Тогда число 2 ю2 <о2 принадлежит решетке Ш, так как
2 ш, ш2 = (ш, + од* — ш? — ю| ,
и решетка ЯЛ повторяется сложением и вычитанием.
Но число a>j ю2, очевидно, также принадлежит решетке ЯЛ, так как если
коэффициенты s к q для числа 2 ю, ш2 делятся на три, то же самое имеет
место для коэффициентов уравнения, которому удовлетворяет шх ю2.
Таким образом, решетка ЗЛ повторяется умножением, и тем самым теорема
доказана.
Не трудно дать формулу для индексформы кольца Я№.
Пусть (о = х юх -|-_у w2-\-z — общее число кольца ЯЛ. Тогда индекс-
форма кольца будет равна
fix у)— ^^) __(<¦>' — <¦»")(<¦>" — <¦»)(<¦» — о»')
Подставив сюда вместо ш1( ш2 и сопряженных чисел их выражения через
базис решетки L, получим после простых вычислений
/I*. JO —
Этому выражению можно придать еще более простой вид, обратившись
к представлению базиса решетки L через базис [olf a2] подобного идеала а,
использовав соотношение
где ]з. — подходящим образом подобранное число области Q. Из этого соотно-
соотношения мы получаем
откуда
ПХ, у) — р
> _
т. е. ^(лг, у) представляет собой форму, стоящую при Yd в представлении
]L(xar -\-yz2)* в виде v J2 •
Из способа выбора множителя р. следует, что числа ца28, ]шг2а2, fia,a22 и
fia23 суть целые числа области Q и, следовательно, f(x, у) действительно имеет
целые коэффициенты, причем средние коэффициенты ее делятся иа 3.
Построив индексформу кольца Ш, легко узнать, каким образом максимальное
кольцо центрирует кольцо ЯП.
Пусть Дх, у) = ах3 -\- ЗЬх2у 4- Зсху2 -\- еу3 — индексформа кольца ЯП. Оче-
Очевидно, что если максимальное кольцо центрирует кольцо ЯП с индексом 9,
то коэффициенты а и е должны делиться «а 3. Если же максимальное кольцо
ПОСТРОЕНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК 167
центрирует кочьцо Ш с индексом 3, то должна найтись линейная подстановка
переменных, с определителем, равным 3, произведя которую в форме f(x, у),
мы получили бы новую форму, все коэффициенты которой делились бы на 9.
Легко видеть, что это возможно в том, и только в том случае, если одно из
чисел а, е, а-\-ЪЬ-\-Ъс-\-1 и а — ЗЬ-\-Зс— / делится на 9, а остальные
не делятся на 3.
Таким образом, введение индексформы кольца 9К позволяет найти максималь-
максимальное кольцо почти без вычислений.
Выясним теперь, как связаны возможности той или другой центрировки
кольца SOt максимальным кольцом с дискриминантом квадратичной области и
с числом /.
Теорема. Если d делится на 3, то максимальное кольцо совпадает
с Ш. или центрирует Ш с индексом 9. Если d не делится на 3, а I делится
на 3, то 9К совпадает с максимальным кольцом. Если же, наконец, d не
делится на 3 и I не делится на 3, то максимальное кольцо совпадает с
Ш1 или центрирует ЗК с индексом 3.
Доказательство. Теорема содержит три утверждения, каждое из которых
мы докажем отдельно. Начнем с первого.
Пусть d делится на 3, и
f(x, у) = ахг -\- ЪЬх*у 4- Ъсху* + еуг
— индекеформа кольца Ш. Сделаем допущение, противоположное утверждению,
высказанному в формулировке теоремы. Именно, допустим, что максимальное
кольцо центрирует Ш с индексом 3. Тогда от формы f(x, у) можно перейти
к эквивалентной, в которой коэффициент е будет делиться на 9 и коэффициент а
не будет делиться на 3. Дискриминант этой формы равен
D{f) = 81ЬЧ* — 4 • 27 ас* — 4 • 27et>s + ! 8 •9аЬсе — 27е2 е=
ее— 4.27acs-|-81?vs (mod 243).
Дискриминант D(f), по предположению, делится на 81, но не делится на
243. Последнее сравнение показывает, что это невозможно. Первое утверждение
теоремы доказано.
Третье утверждение теоремы очевидно. Остается доказать второе. Пусть d
не делится на 3, а г делится на 3. Тогда все точки <о, лежащие на плоскости
нулевого следа и проектирующиеся в точки решетки 3L, обладают тем свой-
свойством, что о3 делится на 3. Действительно, коэффициент q уравнения <о3 =
= — q<o -\- п, корнем которого является <о, должен делиться на 3 для всякой
точки, проектирующейся в точку решетки 3L. Коэффициент п, равный a.a-\-aa,
где (За, За) проекция <о, также делится на 3, так как а3 и а3 делится на /,
делящееся на 3, по предположению. Благодаря этому кольцо 5Ш не может быть
центрировано точками, не параллельными точкам нулевого следа. Действительно,
,, 0) -+- k
такие точки могут быть представлены в виде —g— , где aj — точка нулевого
о
следа, проектирующаяся в точку решетки 3L, и k не делится на 3. Но,
очевидно, что <о -|- k взаимно просто с 3 и ^ jT не может быть целым числом.
Остается предположить, что кольцо Ш центрируется точками, параллельными'
точкам нулевого следа. Пусть <о одна из таких центрирующих точек и
о3 = so2 — qa -(- п
уравнение, корнем которого она является. Коэффициент 5 этого уравнения де-
делится на 3, но коэффициент q не делится на 3, так как иначе <о принадлежала
бы решетке Ш.
Дискриминант числа <о, равный
«V — 4<73 — 4s3/i -j- 18snq — 27й2 = — 49S (mod 3),
16Й -. ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ .
не делится на 3, и, следовательно, дискриминант максимального кольца, которому
принадлежит <о, не делится на 3. Но это возможно только при d, делящемся
на 3, что противоречит предположению. Таким образом, кольцо Ш1 не может
быть, при наших предположениях, центрировано целыми точками, и, следовательно,
совпадает с максимальным кольцом.
Теорема доказана.
§ 46. Некоторые свойства дискриминантов кубических полей
Из всего сказанного можно получить некоторые интересные следствия от-
относительно дискриминантов кубических максимальных колец.
Во-первых, мы получили, что дискриминант кубической области.может делиться
не выше чем. на вторую степень простого числа, отличного от 2 и 3, может
делиться на 2 только в квадрате или в кубе и на 3 в первой, третьей, четвертой
или пятой степени.
Действительно, D = — 27dP, если /= 0 C); D*= — 27dP или—у dt2, если
d^O C); D = — 27dl? или —3dP, если ни d ни / не делятся на 3. d и t
взаимно просты и не делятся на квадрат ни одного простого числа, кроме 2.
d может делиться на 22 или 23.
Во-вторых, легко получить, что дискриминанты кубических полей возрастают
fie быстрее чисел некоторой арифметической прогрессии.
Действительно, дискриминанты квадратичных областей возрастают не быстрее
чисел некоторой арифметической прогрессии; Если <Г>0, можно над каждой квадра-
квадратичной областью построить кубическую, полагая, при составлении решетки /,,
Г = Го и X = ?0. Дискриминанты соответствующих максимальных кубических колец
будут не превышать по абсолютной величине 27d последовательно, будут расти не
быстрее чисел некоторой арифметической прогрессии.
Над квадратичными областями отрицательного дискриминанта также легко
построить кубические с маленькими дискриминантами. Рассмотрим только
d = — 7 (8). Такие дискриминанты расположены не реже чисел некоторой
арифметической прогрессии. Для этих областей число 2 разлагается на два
различных простых множителя:
Пусть р2 принадлежит некоторому классу К. Если число классов не делится
на 3, то найдется класс Кг такой, что ККхг~-К0 — главному классу. В этом
случае можно построить решетку L, взяв 1 = р2 и взяв за решетку Г решетку,
соответствующую классу /Сг
Если же число классов делится на 3, то найдется класс К, куб которого
дает главный класс. Решетку L можно построить, взяв X = 1 и взяв за решетку
Г решетку, соответствующую классу К- Дискриминант построенного на решетке
L максимального кольца не превышает в первом случае—108d и во втором —
27d и, следовательно, возрастает не быстрее чисел некоторой арифметической
прогрессии.
Можно было бы, кроме того, получить из этих рассмотрений характер раз-
разложения на простые идеалы простых чисел, входящих в дискриминант области.
Мы не будем этого делать, так как относящийся к этому вопросу результат
нами уже был получен другим способом.
В заключение параграфа приведем несколько примеров построения кубических
областей по квадратичным.
Пример 1. Построить несколько кубических областей над R{-\f—15).
Квадратичная область #(j/—15) имеет два класса идеалов. Представителем
класса Кх=^Кй является идеал рг.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРИМИНАНТОВ КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 16&
Разложим наименьшие простые числа на простые идеалы:
2==Рг Pi'' Pi "" Рг "* Рз>
^ ==PuPll' Pll "^ Pll "^ Ps>
№ = Pl9Pjg', Pig ~~ Pl9 "^ t ;
23 = РгЗ^гз 5 ^23 ""P_2S ~" Ps>
31=:PsiPsi; Pel ~.P81 "** ^
Решетки L можно строить, исходя из решетки Го или из решетки I\. Taic
как Г~8 = Г0, Г1~8 = Г1, множители X нужно брать, соответственно, из решеток
Го и Г,.
Пусть. р = р
При построении решетки L, исходя из решетки Го, получим для индекс-
формы кольца ЗЛ значение
f(x, у) = коэффициенту при р в выражении
(+ [\2* 4
Ь( У)*+У?) [у fР. ^У + у
где fi — любое число.главного класса, норма которого не делится на квадрат
простого числа и не делится на 3 и на 5.
При построении решетки L, исходя из решетки Гх, получим для индекс-
формы представление в виде коэффициента при р в выражении
где р. — переходный множитель от идеала I к идеалу р|, т. е. [ц] = -|г.
Преобразуя несколько <f1(x, у), получим:
(рх (х, у) = ^ [Эх* + 9х*у — 9ху* — 5у»
Множитель \р3 может быть любым целым числом, норма которого делите»
на 3, не делится на 5 и не делится на квадрат ни одного простого числа.
Выпишем несколько наименьших значений для ц и для Ips.
Исходя из этих множителей, получим индексформы колец ЯЛ:
для Го:
fy у— \bxyi
f(x, у) = 2х>-\-\5х*у— 9лгу2 —
f(x, y)= xs-\- 18дг2_у+ 6ду2у
[ / — ЗОлгу2— 18ys; D =
для Гг:
f(x, у)= Зд^4- 9аг2>+ З^у2— у»; D = 5-3*-22;
/(^,3;)= 6лг« 4~ 27дг2^+ 15лсу2 — з'3: ?> = 5-3*-172;
f{x, у) ==. 12лг8 + 27*2.У + 3лУ2 — 5У8> D = 5 • 3* • 23*;
/(дг, ^)= Ъх* + 36х*у + 30ху*-\-2уЗ; D = 5-3*-22-1
f(x, у)=15х*-\-36х*у+ блгу2 —6у3; D = 5-3*-2i-1
170 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Из рассмотренных девяти случаев только в двух имеет место центрировка.
.Максимальные кольца наименьшего дискриминанта задаются формами:
х*-\- 2х*у — Юлу* —бу>; D = 5-2*-172;
5jc3-f- 12х2у-\- 2ху* — 2уЗ; D = 5-22.192.
Пример 2. _
Построить несколько кубических областей, опирающихся на /?(|/5).
В области R (к 5) существует лишь один класс.
Обозначим через е0 основную единицу „— максимального кольца.
Индексформы /{х, у) колец ЯЛ, опирающихся на /?(|/5), будут получаться из
выражения
где fi— любое число, норма которого не делится на 5 и на квадрат какого-
либо простого числа.
Составим несколько множителей с наименьшими нормами:
; ,t=1rus0 = l -|-4s0; ji = ir11?-l = — 2-f-3e0.
Соответствующие индексформы колец 2R будут:
f(x, у)=
» = —5-23;
f( у) у\ yf
f(x, у)= лгз_{_ 12лг2у-I- 15jcy2_[_ 9у>; ?> = — 5.3».Ц";
/(х, у) = 4х3-±-\5х*у4-27ху*-\-24:уЗ; ?> = —5-33-IP;
4 Ь12!- бу3! D = —5-Зз.Ц».
Из этих четырех случаев максимальное кольцо будет центрировать кольцо
ft только во втором случае. Индексформа максимального кольца в этом случае
будет равна Зха-\-\2х*у-{-5ху2-\-у3 с дискриминантом —5-3-П2. В осталь-
остальных трех случаях максимальное кольцо совпадает с кольцом ЭК.
Д. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ПО КУБИЧЕСКИМ
Подобно тому как мы дали в предыдущем параграфе способ построения
кубических областей, расклассифицировав их по квадратичным, на которые они
опираются, можно расклассифицировать и области четвертого порядка (для
краткости мы будем их в дальнейшем называть биквадратичными) по кубиче-
кубическим и дать способ их построения. При этом придется осуществить обраще-
ние'Ьзвестного способа Лагранжа решения уравнения четвертой степени в радикалах.
§ 47. Опирание областей 4-го порядка на кубические
Рассмотрим пространство четырех измерений /Q с выбранными осями коор-
координат Ои, Ои', Ои", Ои'", которое будем сначала, для простоты геометриче-
геометрических построений, считать вещественным. Каждая вещественная биквадратичная
область, по определению, образована совокупностью всех точек, рационально
расположенных относительно некоторой решетки, повторяющейся умножением.
Данную область можно расположить в пространстве 24 различными способами..
Переход от одного расположения к другому осуществляется одновременными
одинаковыми перестановками координат всех точек пространства.
Такие преобразования мы назвали осесовмешеииями. Осесовмещения, оче-
очевидно, образуют группу, изоморфную симметрической группе перестановок
четырех элементов. При всех осесовмещениях точки „рациональной прямой"
л — и'=и" = и'" не меняют своего положения. Ортогональное рациональной
ОПИРАНИЕ ОБЛАСТЕЙ 4-ГО ПОРЯДКА НА КУБИЧЕСКИЕ 171
прямой трехмерное „пространство нулевого следа" a-j-a'-j-a"-j-«'"=O пере-
переходит в себя при всех осесовмешеииях.
Спроектируем пространство К± на пространство нулевого следа параллельно
рациональному направлению. Очевидно, что проекции осей координат образуют
в пространстве нулевого следа совокупность четырех прямых, образующих
одна с другой попарно равные углы. Такие четыре прямых можно, очевидно,
принять за диагонали некоторого куба, причем положительные направления
этих прямых соединят центр куба с вершинами одного из тетраэдров, вписан-
ных в куб (см. чертеж 7). Примем оси симметрии четвертого порядка этого куба
за оси координат Ov, Ov', Ov" пространства нулевого следа, выбрав их на-
направления согласно чертежу. Проекции точек A, 0, 0, 0); @, 1, 0, 0); @, 0,
1, 0) и @, 0, 0, 1) в этих осях, с сохранением масштаба, будут иметь, оче-
видно, координаты (±, 1, I); A, —I, —1); (-1, -I,
и (— ту-, —-j, -jj. Следовательно, точка (и, и', в", и"') имеет своей
проекцией точку (v, v', г/'), координаты которой получаются по формулам
v =±
tf = ±(u — «' + «' — и'"),
Для удобства вычислений уменьшаем вдвое масштаб в пространстве нуле-
нулевого следа. Тогда проекцией точки (и, и', и", и'") будет точка (и-\-и' — и"—
— и'"; и —и' + «" — «"'; в —в'-^в"+ «'").
Заметим, что выбранные нами оси координат в пространстве нулевого следа
представляют собой проекции на это пространство „биссектрисных плоско-
плоскостей"
и = и'; в"=в'";
При осесовмешеииях в пространстве К4 пространство нулевого следа будет
подвергаться ортогональным преобразованиям, совмещающим тетраэдр АА'А"А'"
с собой. Двенадцать из этих преобразований будут вращениями пространства,
двенадцать вращениями -\- отражение.
Координаты проекции при осесовмещениях будут переставляться между со-
собой всеми возможными способами и, кроме того, могут попарно менять знаки.
Введем в пространстве нулевого следа действие умножения точек обычным
способом по координатам. Очевидно, что координаты квадратов точек нулевого
следа, а также произведений двух различных точек будут только перестав-
переставляться при осесовмещениях, не меняя знаков.
Отсюда следует, что квадраты проекций точек некоторой биквадратичной
области, а также произведения проекций Двух различных точек будут при-
принадлежать некоторой вполне определенной кубической области. Эту область мы.
будем называть кубической областью, на которую опирается биквадратичная.
Биквадратичные области мы будем обозначать в дальнейшем через Т,
кубическую область, на которую опирается биквадратическая область Т, бу-
будем обозначать U. Их дискриминанты обозначаем, соответственно, Д и D.
Предположение о вещественности пространства Ki не является существен-
существенным. Для комплексного пространства проекцией точки (и, и', и", и'"), так же
как в вещественном случае, мы называем точку (и-\-и' — и" — и"', и —«' +
-\-и" — и'", и — и' — и" 4-и"'). Легко видеть, что это действительно проекция
при подходящем выборе осей и масштаба.
172 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
§ 48. Некоторые теоремы о проекциях чисел 4-го порядка
Теорема 1. Для того чтобы точка (ц, ij\ J]") была проекцией точки
биквадратичной области, необходимо и достаточно выполнение условий:
1. Квадрат точки (q, jj', rf) принадлежит некоторой кубической об-
области.
2. Ы(г^ = щ'г" рациональна.
Доказательство. Пусть <о — точка биквадратичной области. Ее координаты
являются корнями некоторого уравнения
•*—/,••+/,•?—/,«»+Л=о,
коэффициенты которого рациональны.
Координаты квадрата проекции точки
6==(а> + <о' — ft)" — ю'"J, 6' = (о> —а>' + <о"—У"J, в' = ((о — о>' — а>"+а>'")*
представляют собою корни кубического уравнения, коэффициенты которого,
будучи симметрическими функциями от <о, <о', а>", <о"', рационально выража-
выражаются через коэффициенты fv /2, /8, /4 и, следовательно, рациональны.
Норма проекции
щу = (ю + ш' - w" — <о"') (ш — ш' -f ш" — «о'") («о — <o' — <o" -f <o'")
есть также симметрическая функция от <о, <о', ft)", ft)'" и потому рациональна.
Общеизвестные вычисления дают, -что 6 является корнем уравнения
6з_(з/2_8/2)Оз-НЗ/?- 16/f/, + 16/1+ 16/,/, —64/^6 — ^ = 0,
где
Обратно, пусть координаты точки (i), i)', rj") удовлетворяют условиям тео-
теоремы. Точка (jj, 7]', 7j") является проекцией точки (<о, а)', (о", а)'"), координаты
которой вычисляются по формулам
что легко проверить.
Нам нужно показать, что коэффициенты уравнения, корнями которого яв-
является и, <о', <о", а)'", рациональны.
Составим такое уравнение:
Коэффициентами его будут числа
/, = (о + ш' + <о" + ш'" = О,
Все они рациональны в силу того, что координаты точки (jj, r/, 1)") удо-
удовлетворяют условиям теоремы.
Теорема доказана полностью.
При доказательстве достаточности условий теоремы мы взяли точку <о, ле-
лежащую на плоскости нулевого следа, геометрически совпадающую со своей
проекцией jj, но только рассмотренную в других координатах. Равным образом
мы могли бы взять любую параллельную ей точку ю + -j, лежащую на пло-
плоскости <o + <o' + a)" + <o"' = s.
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ ЧИСЕЛ 4-ГО ПОРЯДКА 173
При рациональном s каждая такая точка, очевидно, принадлежит той же
области, что и ю.
Теорема 2. Для того чтобы точки (j]lf ц\, г$ и (i)8, ц\, rQ, удовле-
удовлетворяющие условиям теоремы 1, были проекциями точек одной и той же
биквадратичной области, необходимо, чтобы точка (ц^, J]j J]^ r{[ iQ при-
принадлежала кубической области U, которой принадлежит (rfi, 7]{г, ц"*). Это
условие также достаточно, если точка (rfi, ^2, rf*) есть точка общего
положения области U.
Доказательство. Пусть Wj и <о2 — две точки биквадратичиой области,
7], и г12 — их проекции, 6j и 62 — квадраты проекций. Предположим сначала,
что точка Wj является точкой общего положения. Тогда <о8 можно представить
в виде
с рациональными коэффициентами а, Ь, с, d. Кроме того, без нарушения общ-
общности можно считать, что точка Wj находится в пространстве нулевого следа,
так что уравнение, корнем которого является <о, имеет вид
. Тогда квадрат проекции точки w1 удовлетворяет уравнению
и норма проекции JjjJjiJji равна 8/3.
Легко проверить непосредственным вычислением, что
откуда следует, что
(-4
это значит, что 7]j7]2 принадлежит той же области, что и 6,.
Если же Wj не является точкой общего положения, то в области Т найдем
точку о) общего положения, квадрат проекции которой является также точкой
общего положения в своем пространстве. Такая точка <о, очевидно, сущест-
существует. Обозначив через 7] и 6 проекцию и квадрат проекции точки <о, мы бу-
будем иметь, что 7]7]j и щ2 принадлежат области, которой принадлежит 6. Но
тогда той же области будет принадлежать и Щгщ2 = ijigO» следовательно, и
7],7]2, так как 6 не является делителем нуля. Тем самым теорема в части не-
необходимости доказана.
Докажем теперь достаточность условия теоремы, в предположении, что
01==тJ является точкой общего положения.
Пусть 7JJ7J2 принадлежит области, содержащей 6t. Тогда ^г^ представляется
в виде
с рациональными коэффициентами a, fi, у-
Пусть Wj — точка, проекцией которой является jj,. Очевидно, что
«2 = - 8ав)? + X ^ + (р _ 12я/2)
будет иметь своей проекцией 7]2 при любом рациональном k. Это непосред-
непосредственно следует из формул, приведенных при доказательстве необходимости.
Выражение для о>2 имеет смысл при сделанных предположениях, так как
174 . ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
/3 = -5-j/вбТт^О, ибо точка (bv 6{, 6^) есть точка общего положения. Итак,
<о2 рационально выражается через (ov и, следовательно, в>2 и ш1 принадлежат
одной и той же области. Теорема 2 доказана полностью.
§ 49. Решение задачи, обратной задаче Чирнгаузеяа, для двух уравнений
4-й степени
Заметим, что доказанные теоремы дают простой и удобный метод для ре-
решения задачи, обратной задаче преобразования Чирнгаузена для уравнений 4-й
степени. Действительно, пусть даны бнквадратнчные числа <0j и а>2, заданные
своими уравнениями. Задача, обратная задаче преобразования Чирнгаузена, со-
состоит в том, чтобы узнать, принадлежат ли заданные числа одной и той же.
области, и если да, то иайти выражение а>2 через а>, или наоборот. Для реше-
решения нужно составить уравнения для квадратов проекций точек ю, и а>2 и ре-
решить для них задачу, обратную преобразованию Чиригаузена. Затем составить
уравнение, которому удовлетворяет произведение 6j62 квадратов проекций.
Если ш, н ю2 принадлежат одной области, 0j62 должно оказаться полным квад-
квадратом. Посредством извлечения квадратного корня из кубического числа по
способу, изложенному ранее, найдем произведение проекций Jj|>j2. Представле-
Представление 7],7]2 через 6, укажет нам подстановку, связывающую а>2 с <¦>,.
Пример. Решить задачу, обратную задаче преобразования Чиригаузеиа,
для уравнений
йL_вI_-1=0, eL-|-e>3-|-5cD2 — 7@2 — 1=0.
Решение. Составляем уравнения для квадратов проекций
Of _|_б4в1 — 64 = 0; ЛА(Ч1) = + 8,
63_j_37ft2-f 275в2 — 752 = 0; N(rl2) = + 75.
Устанавливаем между ними преобразование Чирнгаузена:
Составляем уравнение, корнем которого является
jx = 6,02 =W — 6? — 236! -f- 32,
цз —7-32jx2_|_7.162.25}i — 82.752=0.
Ищем квадратный корень v из числа ц
v3 — s-v2-f ?v— 8-75=0,
ф — 2.8.75s==7-162-25,
откуда, посредством простых вычислений, получаем:
s = 28; ?=280.
Выражаем v через 6j:
9?
v = 4 —в, f.
Отмечаем, что 7]j7]2 = -(-v, на основании знаков норм. Находим, наконец, под-
подстановку, связывающую а>2 с щ:
«>2=°>i Ч- «>? — °>i -4- *-
Легко убедиться в том, что k = 1. Задача решена.
СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ МАКСИМАЛЬНОЙ РЕШЕТКИ 4-ГО ПОРЯДКА 175»
§ 50. Свойства проекции максимальной решетки 4-го порядка
Переходим теперь к изучению проекции максимальной решетки 4-го по-
порядка. Очевидно, что такая проекция представляет собой трехмерную ре-
решетку, точки которой удовлетворяют условиям теорем 1 и 2 параграфа 48 и,,
кроме того, имеют целые алгебраические координаты. Совокупность всех то-
точек, рационально связанных с проекцией некоторой максимальной решетки и
имеющих целые алгебраические координаты, мы обозначим через L. Нельзя*
утверждать, что все точки системы L являются проекциями целых точек со-
соответствующей биквадратичной области, однако, точки системы 4L все явля-
являются проекциями целых точек, и, следовательно, 4Z. целиком входит в проек-
проекцию максимального кольца. Отсюда следует, что система 4Z., а следовательно,
и L — дискретйа. Эта последняя, очевидно, трехмерна и повторяется сложением
и вычитанием и потому представляет собой решетку. Решетка L центрирует
решетку 4А с индексом 48 = 64. Проекция максимальной решетки содержится
в решетке L и содержит в себе 4А и, следовательно, может центрировать ре-
решетку 4А с индексом 2а, 0 sg a sg 6. Поэтому, если мы построим решетку L,
задача о построении проекции максимальной решетки приводится к конечному
числу испытаний.
Изучим глубже свойства решетки L.
Решетка L, очевидно, повторяется умножением на все целые точки куби-
кубической области, на которую опирается биквадратичная, и, следовательно, L
подобна одной из решеток основной фигуры максимального кольца этой куби-
кубической области
Квадрат решетки L образован числами кубической области U и повто-
повторяется умножением на все целые числа области, т. е. на все точки максималь-
максимального кольца. Следовательно,
представляет собой идеал максимального кольца. Этот идеал принадлежит
классу К~2, где К—класс, соответствующий решетке Г. Переходный множи-
множитель Х = у2 является точкой решетки Г~2. Норма идеала Л равна квадрату
целого рационального числа, но идеал Л не делится ни на один квадрат иде-
идеала, отличного от единичного. В противоположном случае решетку L можно
было бы центрировать точками с целыми координатами, что противоречит
определению решетки L.
Отсюда легко заключить, что идеал Л может иметь только следующий вид
разложения на простые идеалы:
где через р, р обозначены простые идеалы первого порядка, входящие по-
попарно в разложение простых чисел, раскладывающихся на три различных про-
простых, идеала, через q обозначены идеалы второго порядка и, наконец, через
Xtt, Xtt обозначены идеалы, входящие в те простые делители дискриминанта,
которые раскладываются на простые идеалы в виде Ш2Ш.
Норму идеала А можно поэтому представить в виде
где_&2— произведение норм всех р, р и q и т2 — произведение норм всех
nt, m* Числа k и т взаимно просты и ие делятся ни на один квадрат просто-
простого числа. Кроме того, k взаимно просто с дискриминантом кубической области,
и т состоит из простых чисел, входящих в дискриминант в первой степени,
176 ГЕОМЕТРИЯ. ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
за исключением, быть может, числа 2, которое может входить в дискриминант
кубической области в кубе и тем не менее раскладываться на простые идеалы
s виде m2 in-
Множитель X в равенстве
А Р
определен только с точностью до единиц максимального кольца кубической
области. Однако множители X, отличающиеся квадратом единицы, очевидно,
определяют одну и ту же решетку L при подходящем выборе квадратного
корня в равенстве y = FX. При извлечении корня в равенстве y = j/x мы мо-
можем, при данном X, получить восемь различных значений для у, так как при
извлечении квадратного корня из каждой координаты мы можем брать два
значения. Однако эти восемь значений определяют только четыре различных
решетки L, так как множители (к, X', X") и (—X,—X', — X") определяют,
очевидно, одну и ту же решетку L. И эти четыре решетки L будут связаны
с одной и той же биквадратичной областью, только по-разному расположен-
расположенной в пространстве четырех измерений.
Заметим также, что шесть решеток L, получающихся одна из другой
осесовмешениями в пространстве трех измерений, также соответствуют одной
.и той же области четвертого порядка, различным образом расположенной в
пространстве. Поэтому, желая строить решетки L для различных биквадратич-
иых областей, мы должны останавливаться каждый раз на одном значении
квадратного корня в равенстве у = j/X и не брать решеток L, получающихся
одна из другой осесовмешениями.
Решетки L можно фактически строить, ие обращаясь к пространству всех
решеток основной фигуры кубической области, подобно тому как мы это де-
делали при построении решеток L для кубических областей. Действительно,
пусть К—класс идеалов, соответствующий решетке Г и А — идеал класса К~2,
имеющий нужный нам вид разложения на простые идеалы. Возьмем идеал ft из
класса AT. Решетка Г будет подобна решетке идеала а. Идеал А будет
подобен идеалу а2
А = jia2.
Коэффициент подобия ji представляет собой целое или дробное число куби-
кубической области, которые фактически можно найти. При этом необходимо
брать множитель ?л, имеющий положительную норму, что всегда можно
сделать, умножив его в случае надобности на —1. Решетка L найдется из ра-
.венства
§ 51. Построение максимальных решеток 4-го порядка по решеткам L
Обозначим через Зй совокупность всех целых точек области Т, проекции
которых образуют решетку 4А. Эта совокупность представляет собой решетку,
состоящую из точек решетки 4L, рассмотренных в четырехмерных координатах,
и из параллельных им точек. Базис этой решетки образован числом 1 и ба-
базисом решетки 4L, рассмотренной относительно четырехмерных осей координат,
и, следовательно, легко находится. Максимальное кольцо центрирует решетку ЗЛ
с индексом 2е, О^а^б. Однако, проведя более точное исследование, мы
можем сузить возможности для центрировки; именно—показать, что 1 ^а^4.
Этим вопросом мы сейчас и займемся.
Прежде всего докажем, что решетка 9Л представляет собой кольцо. Найдем
для этого необходимые и достаточные условия того, чтобы проекция точки,
заданной уравнением <о4—/|<о8 4-/2w2—/8<0~Ь/4==0> принадлежала решетке 4L.
Таким условием будет, очевидно, делимость всех координат квадрата проек-
проекции 0 иа 16.
ПОСТРОЕНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ РЕШЕТОК 4-ГО ПОРЯДКА ПО РЕШЕТКАМ L 177
Вспоминаем уравнение, корнем которого является 6:
вз _ C/*_ 8/,) 62 + C/}— 16/?/2 + 16/| + 16//, - 64Д) 6 -
— iff — */,/» +8/,)8 = 0.
Таким образом, необходимым и достаточным условием является выполнение
сравнений
3/?—8/2 = 0 (mod 16),
3/?-16/f/2+16/f-f 16//3-64/4 = 0 (mod 16"),
./?— 4Д/2 + 8Д = 0 (mod 64).
Из первого сравнения следует
Д = 0 (mod 4); Д = О (mod 2).
Из третьего:
/3 = 0(mod4).
Принимая все это во внимание, можем переписать второе и третье сравнения
в виде
(|J=/4(mod4),
Л
откуда следуют две возможности:
A. /2 = 0 (mod 4); тогда Д = 0 (mod 4); /s = О (mod 8).
B. /2 = 2 (mod 4); тогда Д = 1 (mod 4); /s =/, (mod 8).
Таким образом, необходимым и достаточным условием для того, чтобы ю
принадлежало решетке ЗЛ, является выполнение одной из систем сравнений:
А)Д = О (mod 4), В)Д = О (mod 4),
/2 = 0 (mod 4), Д=2 (mod 4), _ %
/,= 0 (mod 8), /,=/, (mod 8),
Д=0 (mod 4). Д=1 (mod 4).
В соответствии с этим и все точки решетки Ш разбиваются на два клас-
класса Л и В, в зависимости от того, которая нз систем сравнений удовлетворяется.
Очевидно, что если <о принадлежит классу А, то <о -\- 1 принадлежит классу
В и наоборот.
Легко проверить, что если <о принадлежит классу А, то -^ принадлежит
решетке Ш.
Действительно, пусть f'v f'v f'y f4 — коэффициенты уравнения, корнем кото-
которого является -д-. Они связаны с коэффициентами Д, /2, Д, Д равенствами
rtSSSlt?L=ft (mod 8),
='i (mod*,,
=* (mod8),
-
16
Отсюда непосредственно следует, что если Д ^4 (mod 8), то -^ принадлежит
12 Теория иррацион. 3-й степ.
178 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
классу В, а если /4^ 0 (mod 8), то -к- принадлежит классу А, т. е. в обоих
случаях ^ принадлежит решетке ЗЛ.
Легко видеть, что точки класса А образуют решетку.
Действительно, пусть Wj и <о2 две точки класса А. Их разность должна
принадлежать решетке ЗЛ и, следовательно, одному из классов А и В. Но
((Oj— (O2J Ш2 Ц
Wj — w2 не может принадлежать классу В, так как ^ ==~о~ + ~ъ
— @^2 имеет целые координаты, в то время как половина квадрата точки
класса В целых координат иметь не может.
Следовательно, совокупность точек класса А воспроизводится вычитанием"
и потому представляет собой решетку.
Теперь легко показать, что система Ш. является кольцом, т. е. повторяется
умножением. Повторяемость умножением достаточно показать для точек клас-
класса А, так как
Ш1 Ш2
а одна из точек <о, <о -\~ 1 должна принадлежать классу А. Но
2- 2 2'
Если (о, и (о2 принадлежат классу А, то этому же классу принадлежит
(о1-)-(о2. Мы уже знаем, что половина квадрата любой точки класса А при-
принадлежит решетке ЗЛ. Следовательно, (Oj(o2 также принадлежит решетке ЗЛ.
Итак, мы доказали, что решетка ЗЛ представляет собою кольцо. Легко ви-
видеть, что это кольцо не может быть максимальным. Действительно, его под-
решетка А представляет собой идеал кольца ЗЛ. Норма этого идеала равна 2,
так как ЗЛ центрирует А с индексом 2. С другой стороны, квадрат каждой
точки идеала А делится на 2. Эти два обстоятельства были бы несовместны
одно с другим, если бы ЗЛ было максимальным кольцом.
Таким образом, максимальное кольцо должно центрировать кольцо ЗЛ по
крайней мере с индексом 2.
Рассмотрим теперь проекцию максимального кольца с другой стороны.. Все
точки максимального кольца „параллельны" точкам, лежащим в „пространствах*
(О —I— @ —I— @ —I— @ === 0 @ —I— @ —I— @ —I— @ === 1,
Ill ' 1I '
(О I (О I (О I @ ^^ ?i й @ -Ч— @ —4— (О I @ tj
(т. е. отличаются от этих точек целыми рациональными слагаемыми). Следова-
Следовательно, проекция максимального кольца получается в результате наложения
проекций точек этих четырех „пространств". Эти проекции совпадать друг
с другом, очевидно, не могут. Некоторые из них могут быть пустыми, но
проекции непустых систем точек, лежащих в этих пространствах, будут конгру-
еитны. Поэтому, проекция максимального кольца может или совпадать с резуль-
результатом наложения проекций точек пространств ю -|- to* -f- со" -j- to'" = 0 и (о -f- <¦>' -f-
-f- *»" -\- ©'" = 2 или центрировать его с индексом 2.
Но легко видеть, что все точки этих двух систем проектируются в точки
решетки 2L
Действительно, квадраты проекций таких точек будут делиться на 4. Это
видно из выражений коэффициентов уравнения, корнем которого является 6:
Щ— 8/2 =0 (mod 4),
Щ — 16/?/2+ 16/f + 16//s-64/4 =0 (mod 16),
л-
ПОСТРОЕНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ РЕШЕТОК 4-ГО ПОРЯДКА ПО РЕШЕТКАМ С
179
если только/j^O (mod 2), что имеет место для всех точек рассматриваемых
нами двух пространств.
Решетка 2L центрирует решетку 4L с индексом 8, и, следовательно, проек-
проекция максимального кольца центрирует решетку 4Z., самое большее, с индек-
индексом 16. Соответственно, максимальное кольцо центрирует кольцо ЯЛ, самое
большее, с индексом 16.
Итак, мы доказали, что максимальное кольцо центрирует кольцо 8Л с ин-
индексом 2е, 1 sg a sg 4.
Легко теперь подсчитать дискриминант кольца 9Л и максимального кольца.
Пусть [(Xj, \'v V,'), (Х2, Х^, Ц), (Х3, Xg, Xg)] — базис решетки L. Тогда, как
мы видели, базис кольца 8Л будет задаваться точками
A, 1, 1, 1),
(Aj —j— /.j —j— Aj, Aj Aj Aj, A] —J- Aj Aj, Aj
(Ag —f— Aj —]— *2> ^2 2 2' 2 i~~ 2" 2' ' 2 "
(X3 ( A-3 —[— X3, X3 X3 X3, X3 -|- X3 X3, X3
Дискриминант кольца ЗЛ равен
Aj -j— Aj),
2 I 2'*
1 \ у у \ у I" \ X' X"
1, Aj Aj Aj, Ag Aj Aj' Ag Ag Л3
1 1 iv у \ iv v х -1-Х' X"
i, Aj -f— Af л^, «2T*2 2' 3 1^ 3 Лз
1, X] Xj -J- Xj, X2 X2 -j- a2, A3 X3 -|- a3
1, 1, 1, 1
1, 1,-1,-1
1,-1, 1,-1
1,-1,-1, 1
= 256 D(L) = 256 D-
10 0 0
0XjX2Xs
ox;x;x3
где
Y
Отсюда следует, что дискриминант максимального кольца равен
Д = 4*Dk2m? О < а < 3.
Выведем некоторые следствия. ¦
1. Д может делиться самое большее на куб простого числа, отличного от
2 и 3. Наивысшей степенью 3 в дискриминанте Д язляется З5, наивысшей
степенью 2 в Д является 2П.
2. Дискриминанты биквадратичных областей, имеющих своей группой Галуа
симметрическую группу, возрастают не быстрее чисел некоторой 'арифмети-
'арифметической прогрессии.
Действительно, мы уже доказали аналогичную теорему для кубических
областей. Над каждой же кубической областью можно построить биквадратич-
ную с дискриминантом Д, не превосходящим по абсолютной величине 64 \D\,
где D — дискриминант кубнческой области. Для этого достаточно взять в ка-
качестве решетки Г главную решетку и в качестве множителя X основную еди-
единицу области. В следующем параграфе мы увидим, что построенная таким
образом биквадратичная область будет иметь своей группой Галуа симметри-
симметрическую группу.
Необходимо заметить, что биквадратичные области могут быть трех сигна-
сигнатурных типов. Для двух из ннх дискриминант положителен, для третьего
12*
180 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
отрицателен. При построении биквадратичных областей по кубическим отрица-
отрицательного дискриминанта мы получаем биквадратичные отрицательного дискри-
дискриминанта и, следовательно, определенного сигнатурного типа. При построении
же биквадратичных областей по кубическим положительного дискриминанта
мы можем получать биквадратичные области двух сигнатурных типов, и при-
приведенный способ построения обеспечивает „медленное" возрастание дискриминан-
дискриминанта для обоих типов, соединенных вместе. Несложным изменением рассуждения
можно получить, что дискриминанты биквадратичных областей каждого из
сигнатурных типов тоже возрастают небыстрее чисел некоторой арифметической
прогрессии.
. § 52. Структура об части 4-го порядка и кубической области, на которую
она опирается, в зависимости от группы Галуа
Все что говорилось в предыдущем параграфе равным образом относилось
к приводимым и неприводимым областям четвертого порядка, к приводимым
и неприводимым кубическим областям, на которые опирались области 4-го
порядка. Теперь займемся выяснением особенностей структуры биквадратичных
областей и их проекций, обусловленных той или другой группой Галуа.
Группой Taiya биквадратичной области может быть любая группа пере-
перестановок четырех элементов. Таких групп может быть всего 11, если не считать
различными те группы, которые переходят друг в друга при подходящем измене-
изменении нумерации переставляемых элементов, в данном случае координат точек
области.'Перечисляем все эти группы.
1. Симметрическая группа перестановок четырех элементов. Эту группу мы
будем обозначать ©4. Ее поря цок равен 24.
2. Совокупность перестановок, не меняющих элемента и и переставляющих
всеми возможными способами элементы и', и", и'". Эту группу обозначаем ©3.
Порядок ее равен 6.
3. Знакопеременная группа перестановок четырех элементов. Обозначаем
ее 214. Ее порядок равен 12.
4. Группа перестановок, не меняющих элемента и и циклически пере-
переставляющих и', и", и'". Эту группу обозначаем Й3- Ее порядок равен 3.
5. Группа восьмого порядка, образованная подстановками Е (тождественная),
(ии1), (и"и"), (ии) (и*и'"), (ии") (и'О, (ии'") (и'и"), (иии'и'"), (ии'"и'и").
Эту группу обозначаем через ($5.
6. Группа четвертого порядка, образованная подстановками Е, (ии'), (uV"),
(ии') (и'и'"). Обозначаем ее Ш.
7. Группа второго порядка: Е, (ии'). Обозначение: Q.
8. Циклическая группа, образованная подстановками Е, (ии"и'и'"), (ии')-
• (и"и'"), (ии'"и'ип). Обозначаем ее через 6.
9. Vlerergruppe 25, образованная элементами Е, (ии')(ипи"'), (ии") (и'и"'),
(ии'") (и'и").
10. TpVnua второго порядка Q; Е; (ии') (и"и'").
11. Единичная группа Е, состоящая из одной тождественной подстановки.
Пять из этих групп 2>4, 21, @, (? и 33 транзитивны и соответствуют неприводи-
неприводимым биквадратичным областям, остальные шесть ©8, 218, 93, Q, Q и Е интра-
зитивны и соответствуют приводимым областям.
Дадим подробное описание областей, соответствующих всем этим группам,
и выясним свойство их проекций.
1. ©4. Биквадратичная область неприводима и не имеет подобласти. Квад-
Квадрат проекции принадлежит кубической области с симметрической группой, но
сама проекция кубической области не принадлежит.
2. ©8. Виквачрзтичная область привоаима и представляет собой прямую
сумму областей первого порядка и кубической с симметрической группой.
СТРУКТУРА ОБЛАСТИ 4-ГО ПОРЯДКА И КУБИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 18!
Кубическая область, на которую опирается биквадратичная, одинакова с куби-
кубической областью, входящей в биквадратичную как прямое слагаемое. Не только
квадрат проекции, но и сама проекция принадлежит этой кубической области.
3. 214. Биквадратичная область неприводима и не имеет подобластей. Квад-
Квадрат ее проекции принадлежит циклической кубической области, сама же про-
проекция ей не принадлежит.
4. Sl3. Биквадратичная область приводима и является прямой суммой об-
области первого порядка и кубической циклической области. Кубическая область,
на которую она опирается, одинакова с ее „прямым слагаемым". Не только
квадрат проекции, но и сама проекция принадлежит этой области.
5. ®. Биквадратичная область неприводима, имеет подобласть, расположен-
расположенную на биссектрисе и = и'; и" = и'". Кубическая область, на которую она
опирается, приводима и представляет собой прямую сумму области первого
порядка и неприводимой квадратичной области. Соответственно проекция пред-
представляет собой прямую сумму некоторого линейного .ряда и плоской совокуп-
совокупности точек. Линейный ряд представляет собой проекцию подобласти парал-
параллельно рациональному направлению иа прямую, являющуюся линией пересече-
пересечения пространства нулевого следа и биссектрисы, на которой расположена под-
подобласть, а потому представляется в виде произведения производящего квад-
квадратного корня подобласти на совокупность всех целых рациональных чисел.
Плоская же совокупность, входящая в проекцию „прямым слагаемым", пред-
представляет собой проекцию биквадратичной области параллельно подобласти!.
Квадрат 'этой проекции образует квадратичную область, входящую в куби-
кубическую область, на которую опирается биквадрати'чная, прямым слагаемым.
В этом случае эта квадратичная область отлична от подобласти.
6. Ш. Биквадратичная область приводима и распадается на прямую сумму
двух неприводимых различных квадратичных областей. Имеет приводимую
квадратичную „подобласть" на биссектрисе и = и'; и"=:и'".
Кубическая область, на которую опирается биквадратичная, приводима
и представляется в виде прямой суммы области первого порядка и неприво-
димой квадратичной области. Проекция представляется в виде прямой суммы
линейной совокупности рациональных чисел и проекции области параллельно
„подобласти". Квадрат этой последней принадлежит квадратичной области,
входящей в кубическую прямым слагаемым, но сама проекция параллельно
подобласти вышеупомянутой квадратичной области ие принадлежит.
7. Q. Биквадратичная область приводима и распадается на прямую сумму
двух областей первого порядка и одной квадратичной. Содержит приводимую
квадратичную „подобласть" на биссектрисе и = и'; и" = и'". Про проекцию
ее можно сказать то же самое, что и в предыдущем случае, с той только раз-
разницей, что проекция области параллельно подобласти сама принадлежит квад-
квадратичной области, входящей прямым слагаемым в кубическую, на которую
опирается биквадратичная.
8. 6. То же самое, что для @, с той только разницей, что квадратичная
область, входящая прямым слагаемым в кубическую, на которую опирается
биквадратичная, одинакова с подобластью этой последней.
9. 23. Биквадратичная область неприводима и содержит три квадратичных
подобласти на биссектрисах и — и', и"=и'"; и = и", и' = и"'; и = и'", и' = и".
Кубическая область, иа которую опирается биквадратичная, приводима на
три прямых слагаемых, так что координаты всех точек квадрата проекции ра-
рациональны. Координаты же всех точек самой проекции все иррациональны
(если только отличны от 0).
10. Q. Биквадратичная область приводима и распадается на прямую сумму
двух одинаковых квадратичных областей. Кубическая область, на которую она
опирается, распадается на прямую сумму трех областей первого порядка. Одна
координата всех точек проекции рациональна, остальные две иррациональны;
182 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
11. Е. Область приводима и распадается на прямую сумму четырех обла-
областей первого порядка. Все координаты проекции всех точек области рацио-
рациональны.
Доказательства всех этих утверждений основаны на непосредственном при-
применении самых элементарных соображений теории Галуа ко всем описанным
частным случаям. Мы их не приводим, так как они заняли бы слишком много
места.
Нас интересует главным образом построение неприводимых областей (группы
©4> ^-i' ®> ®> =®Ь Рассмотрим подробно, как строить' решетки L для каждого
из этих случаев.
1. ©4. При построении решетки L для этого случая мы должны исходить
из кубической области с симметрической группой.
Выбираем в такой области некоторый класс идеалов К, соответствующий
решетке Г основной фигуры. Берем идеал а в классе К~1. Его решетка бу-
будет подобна решетке Г. Возводим идеал а в квадрат. В классе К~2 берем
идеал А, имеющий необходимую форму разложения на простые идеалы, и иа-
ходим множитель подобия идеалов о2 и А:
При этом выбирается множитель, имеющий положительную норму. Ре-
Решетка L получится по формуле ,
L = j/jT- а.
Выбор знаков при извлечении корня безразличен. Остановившись на опреде-
определенном классе К и выбрав определенный идеал А, можно получить две раз-
различных решетки L в случае ?)<0, за счет присоединения к множителю \l
основной единицы, и четыре решетки L в случае D>0, за счет присоеди-
присоединения к р. единиц Sj, e2, ej?2, где Sj, e2 — основные единицы.
В случае если К—главный класс и А = [1], и только в этом случае, одна
из решеток L будет соответствовать приводимой области с группой у3. Именно
в этом случае можно взять q=[l], и ПРИ 1^- = 1 мы получим такую решетку L.
Если же взять р. = г, где ? — одна из основных единиц, то мы получим ре-
решетку L для неприводимой области.
2. 214. Исходим из кубической циклической области. Решетки L для би-
квадратичных областей с группой 314 мы можем строить тем же приемом, что
и для <2>4. Однако благодаря тому, что кубическая циклическая область совме-
совмещается с собой при циклических осесовмещениях, мы, перебирая все возмож-
возможные классы К и идеалы А, будем получать по три решетки L, соответствую-
соответствующие одной и той же биквадратичной области, по-разному расположенной
в четырехмерном пространстве. Разберем подробнее, как этого избежать в раз-
различных, могущих представиться здесь, случаях.
а) К^фК1 (через К1 мы обозначаем класс, образованный идеалами, сопря-
сопряженными с идеалами класса К).
В этом случае должно из трех классов К, К, 1С привлечь к построению
решеток L только один, зато брать все возможные идеалы А и переходные
множители ц, в том числе и сопряженные (в случае, если таковые принадле-
принадлежат к одному классу).
Р " А
Р) ; ^[]
Легко видеть, что в этом случае А=^А', ио А эквивалентен А'и А". Нужно
брать из трех идеалов А, А' и А" только один, но зато брать все четыре воз-
возможные переходные множителя р..
у) К=1с = К«. А=[1].
Это возможно только, если К=К0 — главному классу, ибо, с одной
стороны, /е~2 = /С0, так как классу К~2 принадлежит главный идеал А, с дру-
другой стороны, К3 = КК1К"=К0-
СТРУКТУРА ОБЛАСТИ 4-ГО ПОРЯДКА И КУБИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 183
В этом случае можно взять q = [l].
Переходные множители могут быть ji = l, \i = ev fi = e2 и ji =r s1s2, где
Sj, e2 — пара основных единиц области, fi=l определяет приводимую область
с группой 2l3, ja = ?j, Sj и SjSg дают решетки L, соответствующие одной
и той же биквадратичной области. Это вытекает из того, что за основные
единицы циклической области можно принять подходящим образом подобран-
подобранные сопряженные единицы е и г'. Тогда и SjS2 = s"(e")-2 множителем, равным
квадрату единицы, отличается от третьего сопряженного числа.
Заметим также одну особенность разложения идеала А на простые идеалы.
В циклическом максимальном кольце не существует идеалов второго порядка
и делителей дискриминанта, имеющих разложение tit2 m. Простыв идеалы пер-
первого порядка, входящие в одно и то же простое число, сопряжены друг с дру-
другом. Поэтому \=р1р'1р2р'2 ...
3. Построение областей с группами ® и (?. В обоих этих
случаях нужно базироваться иа приводимой кубической области, распадаю-
распадающейся на прямую сумму области первого порядка и области второго порядка
Рассмотрим подробнее вид идеала А.
А • nt1m1ttt2m2.
В приводимой области идеалы второго порядка представляются в виде ф
где р — неразложимое в квадратичной области U2 простое число. Идеалы пер-
первого порядка, обозначенные через р, могут быть двух сортов
где тг — простой идеал первого порядка квадратичной области U2. В простое
число, раскладывающееся в кубической области U на три различных простых
идеала, входит один из идеалов первого сорта, два второго. Поэтому произ-
произведения рр, входящие в идеал А, могут быть двух сортов. Именно, некоторые
из них имеют вид [p]®[ir], другие — [1]®[тг'] = [1]®[р].
Идеалы nt имеют вид [<7]®[1] и [1]®ц, _где [gr] = li2 — простой делитель
дискриминанта области ?/2. Произведения tttttt имеют вид [^]®р. Сопостав-
Сопоставляя все сказанное, получим
А = [*!
где I — идеал квадратичной области ?/2, норма которого равна kxm, kx и &2
взаимно просты между собой и с дискриминантом Uv m входит в дискрими-
дискриминант. Все три числа т, kr и &2 не делятся ни на один квадрат простого числа-
Легко видеть, что идеал I должен принадлежать классу К~г, равному квад-
квадрату некоторого другого класса К~1. Это необходимо для того, чтобы такое
же условие выполнялось для идеала А.
Пусть 1=уа2, где а—некоторый идеал класса К~1, у — переходной
множитель. Тогда
•А=
где
Знак в первой компоненте множителя X нужно брать одинаковым со знаком
нормы у с тем расчетом, чтобы „трехмерная" норма множителя у была поло-
положительна. j/+?j/n представляет собой производящее число подобласти кон-
конструируемой биквадратичной области. Отсюда следует, что при нашем построе-
построении приводимые области могут получаться только в случае 1 = [Ц и
184 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ЛМу)>0, циклические области только в случае \-\Yb ] и WV(y)>-0, где
b — производящее число квадратичной области U2. В остальных случаях будут
получаться области с группой ®.
При данном классе К и данном идеале I можно получать еще различные
решетки L за счет присоединения единиц к множителю у. Если дискриминант
области U2 отрицателен, различных решеток L можно построить две посред-
посредством множителей у и —у (у и гу для Z> = — 4). Если дискриминант об-
области С/2 положителен, различных решеток L можно построить четыре посред-"
ством множителей НЬу» ±Y?o> где ?о — основная единица области.
В большинстве случаев при этих значениях получаются решетки L для
различных биквадратичных областей, но некоторые случаи представляют исклю-
исключения. Перечислим все случаи, которые могут здесь представиться.
1. К^Ф К. Для построения решеток для различных биквадратичных областей
из двух классов К и К' достаточно взять один, но при этом необходимо взять
все возможные идеалы I и все переходные множители.
2. К—К', 1=^=Г. Из двух идеалов I и Г достаточно взять один, но пе-
переходные множители должно перебрать все.
3. К=К', 1 = Г. Этот случай самый сложный.
В этом случае, так же как и в предыдущем, идеал I может быть толькв
главным идеалом
ь-ЧЧ-..
Так как 1 = 1', числа X и X' должны быть ассоциированные. Идеал I должен
быть делителем дискриминанта. Квадрат идеала I есть главный идеал, постро-
построенный на целом рациональном числе. Если дискриминант области ?/2 отрица-
отрицателен или если основная единица области имеет отрицательную норму, \ может
равняться 1 или ]/b . Если же дискриминант положителен и норма основной
единицы положительна, есть еще две возможности. При этих возможностях
X'=zl:so^ (а151 одной возможности -J-, для другой —).
Пусть а какой-либо идеал класса /С. Тогда а2 = а[1], так как а2 —
главный идеал.
Обозначим норму а через а. Тогда Л/(а) = + а2 и а'= — а. Отсюда сле-
следует, что
1
Обозначим через Lx решетку у ~ о. Если Ц и L\ — сопряженные ре-
решетки, то соответствующие им решетки L также сопряжены. Но
Знаки ¦+_ под корнем находятся в соответствии с знаком нормы а.
Если Х=1 и N(a) = -\-a2, то L[=LV нов этом случае соответствующая
биквадратичная область приводима, и этот случай для нас не интересен.
Если Х=1 и N(a) = — а2, то l[ = L1-}/^~1; это значит, что присоеди-
присоединение множителя —1 к а меняет решетку L, но переводит в сопряженную и,
следовательно, соответствующую той же биквадратичной области.
Если 1 = /*и N(a) = 4-а2, то L!1 = L1V^i, и имеет место то же
самое, что в предыдущем случае.
Если \ = ]/b и N(a) = a2, то биквадратичная область имеет своей груп-
группой группу (j.
Решетки L и V в этом случае одинаковы; следовательно, присоединение
— 1 к множителю а. меняет решетку L и соответствующую ей би квадратичную
область.
ДРУГОЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 4-ГО ПОРЯДКА 185
Наконец, если "к' = ?0\, то в зависимости от знака N(a) присоединение
единицы -|-s0 или —г0 к множителю а не меняет биквадратичной области.
Таким образом, мы дали способ построения решеток Z. и в этом случае,
причем выяснили до конца вопрос о том, когда получаются решетки L, соот-
соответствующие различным биквадратичным областям.
Заметим, что биквадратичные области с циклической группой могут быть
построены не над любыми приводимыми кубическими областями. Мы видели,
что для того, чтобы можно было над приводимой кубической областью по-
построить биквадратичную область с циклической группой, необходимо и до-
достаточно, чтобы в квадратичной составляющей кубической области нашлось
число а с отрицательной нормой, такое, что главный идеал [а] был бы равен
квадрату другого идеала.
Такое число может существовать только в квадратичных областях поло-
положительного дискриминанта, производящее число которого представляется в виде
суммы двух квадратов.
4. Построение областей с группой 23.
Эти области опираются на приводимую на три области первой степени
кубическую область.
Легко видеть, что идеал А представляется в виде
где целые числа kv kv &3 —не деляшиеся на квадрат ни одного простого
числа, произведение которых есть полный квадрат. Четыре единицы с положи-
положительной нормой A, 1, 1) A,— 1, — 1), (—1, 1, — 1) и (—1, —1, 1) при
присоединении к переходному множителю (kv k2, ks) определяют разные биква-
биквадратичные области, если ни одно из чисел kv k2, &3 не равно единице.
Если же ?js=l, то &2 = &3. Множители A, kv k2) и A, —kv —k2) опре-
определяют приводимые области, множители (—1, kv — k2) и (—1, —-k2, k2)
определяют одну и ту же область с группой 23, но по-разному расположенную.
§ 63. Другой спосвб построения областей 4-го порядка
с группами @, (§. и Ш
Кроме способа построения биквадратичных областей с группами ©, © и 23,
описанного в конце предыдущего параграфа, можно указать другой, более-
простой и удобный способ.
Заметим, что предшествующий способ в сущности был основан на проек-
проектировании области параллельно подобласти, так как все вычисления нами
производились в квадратичной компоненте приводимой кубической области;
первая же компонента не играла никакой роли. Второй способ, которым мы
хотим теперь заняться, основан также на проектировании области параллельно
подобласти.
Сначала для простоты предположим биквадратичную область чисто веще-
вещественной. Координаты проекции точки (а, а', и", и'") параллельно подобласти
а=а', а"=а'" равны, как мы видели раньше, числам а — а'-(-а"—а'" и
и—и'—и"-)-а'" при подходящем выборе осей координат. Повернем оси
координат в проекции на угол в 45° и изменим масштаб в ^/2 раз. Мы по-
получим для проекции точки (и, и', а", и'") координаты 7] = и — и'; ^—if—и'".
В этом параграфе точку с координатами jj, jj мы и будем называть проек-
проекцией точки (а, и', и", и'") параллельно подобласти.
Очевидно, что при перестановках группы © проекция подвергается пре-
преобразованиям:
ч — ч. ц——ч. ч— ч. Ч.— -Ч.
Ч -* I' Ч -* Ч ' г/ — — 3 ' Ч -* — Ч '
ч —ч. ч— ч. _ч—~ч . ч-^ —ч
7j— Т] ' Ч —— 7j' Ц-+ I] '• Ч —— Г/
186 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Подстановки группы 93 индуцируют преобразования:
Ч —¦ 1 . Ч_—¦ — Ч . ^-* Ч.. Ч —¦ - Ч
ч—-ч' ч—--ч' ч—ч' ч—¦—ч '
Подстановки группы © индуцируют преобразования:
ч—-ч. ч-* ч. а——ч . ч—¦ —ч
ч~-ч' ч—¦—ч ' ч ——ч ' ч—¦ —ч."
Отсюда следует, что квадрат проекции @, 6) принадлежит некоторой квад-
квадратичной области, именно подобласти биквадратичной области Т, что легко
видеть. _
В случае, если группа Галуа равна 83, то щ рациональна.
Если же группа Галуа равна (?, то tqtj прст перестановках группы меняет
знак, так же как гB — тJ, откуда следует, что щ = ]/Ь-г, где Ь — произво-
производящее число квадратичной области и г—рациональное число.-
Далее, очевидно, что отношение проекций двух различных точек одной
и той же области перемещается при перестановках групп Галуа так же, как
координаты квадратов проекций, откуда следует, что такое отношение принад-
принадлежит подобласти. Обратно, если jj проекция биквадратичного числа и а
число подобласти, то ща снова является проекцией биквадратичного числа
той же области. '
Будем проектировать биквадратичное максимальное кольцо. В проекции мы
получим плоскую решетку точек, каждая из которых имеет целые алгебраи-
алгебраические координаты. Введем в рассмотрение решетку L — совокупность всех
точек, рационально связанных с проекцией максимального кольца и имеющих
целые алгебраические координаты. Решетка L содержит в себе проекцию мак-
максимального кольца, которое в свою очередь содержится в решетке 2L. Дей-
Действительно, точка (г), г)) имеет четырехмерные координаты о>, ш', <о", <о'", ко-
которые находятся из уравнений
со — ее* = т], ш" — а>"' = т),
откуда u>=Tii, «' = — уг,, в"=з> й>'" = —2"Ч~-
Если (т), Г() принадлежат решетке 2L, то она относительно четырехмерных осей
имеет целые алгебраические координаты ш, ш', ю", ш'" и, следовательно, при-
принадлежит максимальному кольцу. Решетка L подобна одной из решеток основ-
основной фигуры максимального кольца квадратичной области, так как повторяется
умножением на все точки максимального кольца:
Решетка А = I? представляет собой идеал квадратичной области, не де-
делящийся ни на один квадрат простого идеала и принадлежащий классу идеа-
идеалов, являющемуся квадратом некоторого другого класса.
Разложение идеала А на простые идеалы дает:
где kx—целое рациональное число, взаимно простое с дискриминантом квад-
квадратичной области и не делящееся на квадрат ни одного простого числа; идеал
же I имеет норму, взаимно простую с kx и не делящуюся на квадрат ни од-
лого простого числа.
В остальном идеал I совершенно произволен.
ДРУГОЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 4-ГО ПОРЯДКА 187
• Задавшись идеалом А и классом К, соответствующим решетке Г, которой
подобна решетка L, легко построить решетку L. Возьмем произвольный
идеал а, принадлежащий классу /f-i. Решетка идеала а будет подобна
решетке Г. Затем найдем множитель jjl в равенстве
Такой множитель найдется, так как идеал А эквивалентен идеалу а2.
Тогда решетка L определится по формуле
Выбор знаков при извлечении корня из jjl безразличен.
Решетка L для приводимой биквадратичной области будет получаться в том и
только в том случае, если Yy. принадлежит квадратичной области. Это возможно
только в случае, если К—главный класс и А = [1]. В этом случае можно взять
О = [1]. Если при этом взять jjl=1, то мы получим "решетку L для приво-
приводимой области. Если взять ja = —1 или р. == —|— s0, где s0:—основная единица
области, то мы получим решетки L для неприводимых областей.
Области с группой 33 мы будем получать в том и только в том случае,
если А = [&] и N(}i)^>0. Области с группой (§. мы будем получать в том
и только в том случае, если A = [kVb] и ^V(jjl)>0. Присоединение единиц
к множителю ц влияет при этом способе совершенно аналогично тому, как
в предыдущем способе, и поэтому мы ие будем перечислять всех могущих
представиться здесь случаев.
Построение максимального биквадратичного кольца по решетке L в этом
способе проще, чем в предыдущем, благодаря тому, что его проекция может
центрировать решетку 2L тотько с индексами 1, 2 и 4, так что для разыскания
базиса максимального кольца приходится делать меньшее количество испытаний.
Совокупность всех точек максимального кольца, проектирующихся в ре-
решетку 2L, обозначим через 9Л. Можно доказать, что решетка 9JI представляет
собой кольцо.
Дискриминант кольца 9Л равен
ШЧ,
где d — дискриминант квадратичной области, l=N(A), причем / берется со
знаком нормы множителя ц в равенстве А = jx a2.
Следовательно, дискриминант максимального кольца равен 16^/, ЫЧ
или d.4.
В заключение рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Построить биквадратичные области над областью /?(р),
р задано уравнением р3-|-р—»1=0.
Данная кубическая область есть область с симметрической группой, дискри-
дискриминант ее максимального кольца равен—31, число классов идеалов равно 1,
базис максимального кольца образован числами 1, р, р2, основная единица
равна р. Наименьшие простые числа имеют следующие разложения: 2 — про-
простое, 3 = p8q3=::(p+1)(P2 — Р + 2)> 5 — простое, 7 — простое.
Построим биквадратичные области, исходя из А = [1] и A = qg=s
2]
[рР + ]
В первом случае в равенстве A = ja[1]2 можно взять
ц = го = р.
Во втором случае в равенстве A = jji[1]2 можно взять
Ц = р2— р+2 и ,1 = _р* + р-1-1.
188 ГЕОМЕТРИЯ, ТАБУЛЯРИЗАЦИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Для первого случая базис кольца 9I будет
1, »„ Т, у,
где о), — корень уравнения
0)^ — 8@,-4 = 0.
Базис максимального кольца будет
WI Ш1 <°1
1. Юр ", Т+2"-
Дискриминант максимального кольца равен — 64-31.
Для остальных случаев максимальными кольцами будут два кольца с бази-
базисами
1,ю, |\ 43 + Т' где ю4— 8оJ4@-20 = 0,
1 - ю' Т ' ^ . где (о* -)- 4о)8 — 4оJ — 40ю — 56 = 0.
Дискриминант в обоих случаях равен — 64-9-31.
Цример 2. Построить циклические би квадратичные области иад об-
областью R (|/5).
Обращаемся ко второму способу 'построения. Идеал А должен иметь вид
Л = &[|/5], где k — любое целое рациональное число, взаимно простое с 5.
В области /?(]/5) существует только один класс идеалов—главный класс.
Основная единица области е= „ -— имеет отрицательную норму. Переход-
Переходный множитель в равенстве
A = ix[l]
мы должны брать имеющим положительную норму и, спедовательно, равным
у 5=&,s [/Ь, где &j может быть положительным или отрицательным.
Максимальное кольцо имеет базис
1, s, ¦yklsyrbj ?y ftjSj/5", если ^фЗ (mod 4),
и его дискриминант равен 16 -53-Щ.
Максимальное кольцо имеет базис
Y+'+« , ±ЩК±1,есл,к1^3 (mod 4)
и его дискриминант равен 53-^.
ГЛАВА IV
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
А. СЛУЧАЙ D > О'
§ 54. Цепочки относительных минимумов
В гл. F мы видели, что в некоторых вопросах, связанных с теорией реше-
гок, повторяющихся умножением, играет большую роль расположение так
называемых относительных минимумов решеток. Под этим названием мы под-
подразумевали точки решет-
решетки, обладающие тем свой-
свойством, что норменное те-
тело, построенное на каж- ¦
дой из них, пусто внутри
и на границе от других
точек решетки, кроме на-
начала координат. В этой
главе мы выясним до
конца для случая л=3
вопрос об отыскании це-
Черт. 10.
Черт. 11.
почек относительных минимумов и дадим методы для практического решения
задачи о подобии двух решеток и задачи об автоморфизмах умножения ре-
решетки в том виде, с незначительными изменениями, как это было сделано
Г. Ф. Вороным в его докторской диссертации. При этом, конечно, нам придется
рассмотреть порознь случай вещественной и комплексной решеток. Мы начнем
с первого, более сложного, случая вещественной решетки. При этом мы огра-
ограничимся рассмотрением решеток, не содержащих делителей нуля.
В этом случае норменное тело, построенное на точке, имеет вид прямо-
прямоугольного параллелепипеда с центром в начале координат и с гранями, парал-
параллельными координатным плоскостям. Взятая точка находится в одной из вершин
норменного параллелепипеда. Относительным минимумом в этом случае будет
точка, норменный параллелепипед которой пуст внутри и на границе от точек
решетки (кроме точки О). Мы будем часто называть относительным минимумом
не только точку решетки, но и построенный на ней норменный параллелепипед.
В дальнейшем нам придется много раз сравнивзть между собой такие па-
параллелепипеды, поэтому мы введем термины, которые облегчат изложение.
Будем характеризовать словши „длиннее" и „короче", „шире" и „уже", „выше,,
и „ниже" результаты сравнения параллелепипедов в направлениях, соответствую-
соответствующих осям OX, OY, OZ, расположение которых будем представлять себе
согласно черт. 10.
Два данных норменных параллелепипеда могут быть расположены один от-
относительно другого двумя существенно различными способами, именно их по-
поверхности могут не пересекаться или пересекаться. В первом случае один па-
параллелепипед заключен внутри другого. Во втором случае у одного из парал-
параллелепипедов одно измерение будет больше, а два измерения меньше, чем
у второго параллелепипеда. В этом случае мы будем называть первый парал-
190
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
в
Черт. 12.
лелепипед пронизывающим второй, а второй — охватывающим первый. В случае
надобности будем указывать направление, в котором происходит пронизывание
или охватывание. Так, на черт. 11 параллелепипед Q пронизывает параллеле-
параллелепипед 7" в направлении ОХ, а параллелепипед Т охватывает параллелепипед Q
в направлении ОХ.
Относительным минимумом, смежным по ОХ с данным относительным ми-
минимумом Q, мы будем называть самый короткий из относительных минимумов,
пронизывающих по ОХ относительный минимум Q. Осуществить построение
смежного по ОХ относительного минимума для данного относительного мини-
минимума Q можно следующим образом
(черт. 12). Построив норменный паралле-
параллелепипед на Q, будем двигать его пра-
правую грань АА'АА'А'", перемещая ее центр'
в положительном направлении ОХ и
оставляя ее параллельной плоскости YOZ.
Первая точка решетки, которую встре-
встретит грань при этом движении, будет, оче-
очевидно, относительным минимумом, нбо
построенный и на ней норменный паралле-
параллелепипед будет содержаться внутри пу-
пустого параллелепипеда ВВ'В"В'"аа'а''а'",
и это будет смежный по ОХ с Q отно-
относительный минимум. Что грань АА'А'А'"
обязательно встретит точку решетки,
непосредственно вытекает из теоремы
Минковского об объеме пустого центрально-симметрического выпуклого тела.
Таким образом, для данного относительного минимума Q существует смежный
по ОХ относительный минимум йг Для Qj в свою очередь существует смеж-
смежный с ним по ОХ относительный минимум Q и т. д.
Последовательность относительных минимумов Q, Qv Q2, ... , в которой
каждый последующий является смежным по ОХ для предыдущего, будем на-
называть цепочкой относительных минимумов по ОХ или, короче, дг-цепочкой,
порожденной точкой Q. Обозначать дг-цепочку, порожденную точкой Q, мы
будем \Q\X'
Аналогично понятию относительного минимума, смежного по ОХ, введем
понятие смежного по OY и смежного по OZ относительного минимума. Из
смежных по OY относительных минимумов могут быть составлены jz-цепочки,
из смежных по OZ — z-цепочки. Введенные нами понятия относительных ми-
минимумов и цепочек относительных минимумов естественно обобщают эти же
понятия для плоских решеток. (См., например, статью о геометрии квадратич-
квадратичных форм, приложенную в конце русского перевода книги П. Л. Дирихле
„Лекции по теории чисел*.) Однако, в нашем случае имеется одно существен-
существенное отличие от случая плоских решеток. Для плоских решеток каждый отно-
относительный минимум может рассматриваться как смежный по ОХ для некото-
некоторого другого. Благодаря этому цепочка относительных минимумов может быть
бесконечно -продолжена в обе стороны. В пространственном же случае возможно,
что данный относительный минимум является смежным но ОХ сразу для не-
нескольких различных относительных минимумов или не является смежным по ОХ
ии для одного.
Подтвердим это примерами.
Пусть координатные параллелепипеды трех точек А, В и Г, принадлежащих
некоторой решетке, расположены так, что параллелепипед А пронизывает по
ОХ параллелепипеды В л Г, которые в свою очередь не пронизывают друг
друга по ОХ, и кроме того, координатный параллелепипед, ограниченный на-
наиболее удаленными от координатных плоскостей гранями параллелепипедов А,
В л Г, пуст внутри от точек решетки (кроме начала координат). Тогда А, В
ЦЕПОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ МИНИМУМОВ
19Г
и Г, очевидно, суть относительные минимумы решетки, и А является смежным
по ОХ одновременно для относительных минимумов В и Г (черт. 13).
Если же параллелепипеды В и Г пронизывают параллелепипед А в направ-
направлениях OY и OZ, и координатный параллелепипед, ограниченный наиболее-
удаленными от координатных плоскостей гранями параллелепипедов А, В и Г,
пуст внутри от точек решетки, то А, очевидно, являясь относительным мини-
минимумом, не может быть смежным по ОХ ни для одного, ни для другого относи-
относительного минимума (черт. 14).
Действительно, пусть А был бы смежным по ОХ для некоторого относи-
относительного минимума Q.
Представлялись бы возможными следующие трн случая.
к-
1
--
1
L
1
) \ V
I
i
Черт. 13.
Черт. 14.
1. Q выше Г. Кроме того, Q шире Г, так как Q шире А и А шире Г-
Следовательно, Q должен быть короче Г, ибо иначе Q не был бы относительным
минимумом. Но тогда А не может быть смежным по ОХ с Q, так как правая
грань Q при своем движении направо встретила бы точку Г раньше точки А.
Следовательно, эта возможность отпадает.
2. Q шире В. Отпадает, аналогично предыдущей возможности.
3. Q ниже Г и уже В. Это невозможно, так как кроме того Q короче А.
В этом случае весь параллелепипед Q содержался бы внутри параллелепипеда,
ограниченного самыми удаленными от координатных плоскостей гранями па-
параллелепипедов А, В, Г, который, по предположению, пуст внутри от точек
решетки.
Покажем, что можно на самом деле подобрать точки, удовлетворяющие-
требованиям для обоих примеров.
Возьмем точки с координатами /4A, а,—Р); В(—у, 1, 8) и Г(г, — 0, 1).
Здесь а, [$, у, 8, е и 0 обозначают положительные числа, меньшие единицы...
Примем точки А, В и Г за базис решетки и выясним, при каких усло-
условиях единичный куб, который в данном случае будет параллелепипедом, огра-.
ничейным наиболее удаленными от начала гранями параллелепипедов А, В л
Г, может содержать внутри себя точки решетки.
Координаты любой точки решетки получаются по формулам
$== и — f^
7] = au -J- v —
5 = — $u -f- bv -\- w
при целочисленных и, v и w.
Прежде всего заметим, что и^О. Действительно, если и = 0, то либо-
|rj| = |z/ — bw |, либо | С | = | bv-\-w\ будет больше единицы в зависимости
от того, будут ли знаки v и w различными, или одинаковыми. По той же
причине ифО и w =^=0.
Далее, a, v и w должны иметь одинаковые знаки, ибо в противном случае либо-
|S| = |a — yz/-|-ew|, либо \ti\ — \aa-\-v — 6га>|,либо |С| = | — $ub\
i92
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
будет больше единицы. Без нарушения общности можно считать, что и, v и
w положительны. Тогда из неравенства и — yz» -j- sw < 1 следует, что уг> > и — 1
и, следовательно, «З^и, ибо у-<^ 1.
Таким же образом, должны выполняться неравенства w^v и и 3^ w.
Отсюда следует, что « = » = «/. Если при каком-нибудь значении u = v=w
точка решетки попадает внутрь единичного куба, то точка, получающаяся при
u = v = w=l, тоже попадает внутрь единичного куба. Но это возможно,
очевидно, только при выполнении неравенств
Y>s, 6>a, p>5.
Если хотя бы одно из этих неравенств не выполнено, единичный куб не
содержит внутри себя ни одной точки решетки, построенной на Л, Л и /",
кроме начала координат.
Взяв 8^>Р и 6^>ос, мы получим точки А, В и Г, удовлетворяющие всем
требованиям первого примера. Действительно, параллелепипед А будет прони-
пронизывать по X параллелепипеды В ц Г, и параллелепипед, ограниченный наибо-
наиболее удаленными гранями параллелепипедов А, В и Г (в нашем случае единич-
единичный куб), будет пуст внутри от точек решетки.
Взяв j$ < 8 и 6 <[ а, получим точки А, В к Г, удовлетворяющие всем тре-
требованиям второго примера.
§ 55. Теорема о параллельных цепочках
Пусть дана лг-цепочка относительных минимумов
и относительный минимум Т.
Будем говорить, что относительный минимум Т расположен выше цепочки
\Q}X, если в ней найдется элемент, который был бы ниже и шире Т. Таким
же образом, если в цепочке \Q}X найдется элемент выше и уже Г, будем
.говорить, что Г расположен ниже цепочки \Q}X (черт. 15 и 16).
у ¦**---
-
т
1 Я)
1
—
Черт. 15.
Черт. 16.
Легко видеть, что данный относительный минимум Т не может быть одно-
одновременно выше и ниже данной цепочки {^{^- В противном случае в этой це-
цепочке нашаись бы элементы Qt и Qft, не охватывающие один другого в на-
направлении ОХ, что невозможно (черт. 17).
Теорема 1. Если относительный минимум Т не охватывает по ОХ
относительный минимум Й, то Т или принадлежит х-цепочке, порож-
порожденной Q, или расположен выше нее или ниже. Никакой четвертой возмож-
.ности не существует.
Доказательство, Имеются возможности:
ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦЕПОЧКАХ
193
1. 7* совпадает с Q. Тогда Т принадлежит \Q\X.
2. Т выше и уже Q. Тогда Т выше \Q\x.
3. Т шире и выше Q. Тогда Т ниже {Q\x.
4. Т ниже и уже Q или, по нашей терминологии, Т пронизывает 2 по
ОХ (черт. 18).
т
'и/г
Черт. 17.
.г
Черт. 18.
Рассмотрим самый длинный элемент Qt цепочки \Q\X, который еще короче 7'.
Может быть одно из трех.
4. Q, выше и уже Г (черт. 18). Тогда Т ниже {2}^.
4. Q, ниже и шире Т. Тогда Г выше {Q}x.
4. Qf выше и шире Г (черт. 19), т. е. Q, охватывает Т по ОХ. Правая
грань параллелепипеда Qt прн движении вправо встретит в первый раз точку Т,
ибо в противном случае в цепочке \Q\X нашелся бы элемент Щ+1, который
fl/
Черт. 19.
Черт. 20.
был бы короче Т, что противоречит сделанному выбору Qr Следовательно, Т
будет в этом случае смежным с Q{ относительным минимумом и будет поэто-
поэтому принадлежать цепочке |2|л-
Тем самым теорема доказана.
Теорема 2. Если относительный минимум Трасположен выше х-це-
почки, порожденной относительным минимумом Q, то смежный по х с Т
относительный минимум Г, будет также расположен выше цепочки \Q\X
или будет ее элементом.
Доказательство. Пусть относительный минимум Т расположен выше
цепочки {2|^- Это значит, что в цепочке найдется элемент Q., который будет
ниже и шире, чем Т. Сравним Q. с Tv Q, шире, чем Г,, так как шире,
чем Т, а 7* шире, чем Tt. Если Qt при этом ниже, чем Tv то 7\ расположен
выше цепочки {Q}^ согласно определению. Если Q(. выше, чем 7\, то Q. ко-
короче Г,, иначе Qt не был бы относительным минимумом. Введем в рассмотре-
рассмотрение Qj — самый длинный элемент цепочки \Q\X, который еше короче, чем 7\.
Если О,- выше и шире Т1г то Qj+1 = Tv и элемент 11 принадлежит цепочке
13 Теория иррацион. 3-й степ.
194 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
\Q\X. Если Qy ниже и шире, чем Тх, то Тх расположен выше цепочки \Я\Х.
Остается случай, если йу. выше и уже, чем Гг Однако этот случай невозмо-
невозможен (черт. 20). Действительно, Qy ниже, чем Q;, и, следовательно, ниже Т.
С другой стороны, Q, уже Тх и, следовательно, уже Т. Следовательно, Q,
пронизывает Т по ОХ и 7\, будучи длиннее йу, не может быть смежным по
ОХ для Г относительным минимумом.
Тем самым теорема доказана.
Из теоремы 2 непосредственно вытекает, что, если относительный минимум
Г расположен выше цепочки \Q\X, то любой элемент цепочки \Т\Х распо-
расположен выше цепочки \Q\X или в ней.
Точно так же доказывается, что если Т расположен ниже \&\х, то смеж-
смежный с ним по х относительный минимум Т расположен ниже цепочки \Q\X
или является ее элементом.
Все это дает возможность обобщить понятия — относительный минимум Т
расположен выше или ниже цепочки \Q\X — также и на случай, когда Т охва-
охватывает по ОХ начальный элемент цепочки Q. Именно, будем считать, что Т
расположен выше цепочки {2}х, если хотя бы один элемент цепочки \Т\Х
расположен выше } Q} х, Т расположен ниже цепочки [Q]x, если хотя бы один
элемент цепочки \Т\Х расположен ниже цепочки {й|х, и, наконец, Т будем
считать принадлежащим цепочке {&}^, если Q принадлежит цепочке {7*}^ и,
следовательно, вся цепочка \Q\X целиком входит в \Т\Х.
Очевидны следующие предложения:
Если Т выше \Q\ х, то Q ниже \Т\Х.
Если Ф выше \Т\Х и Т выше \Q\X, то Ф выше \Q\X.
Таким образом каждая лг-ценочка относительных минимумов разбивает все
относительные минимумы иа три класса — класс расположенных выше цепочки,
класс расположенных ниже цепочки и класс принадлежащих цепочке. Выяснен-
Выясненные выше свойства этого разбиения позволяют установить некоторую аналогию
между цепочкой относительных минимумов и прямолинейным рядом точек на
плоскости. Различные лг-цепочки играют в этой аналогии роль параллельных
прямых.
Очевидно, что _у-цепочки и z-цепочки производят такое же разбиение от-
относительных минимумов. Применительно к расположениям относительных мини-
минимумов относительно этих цепочек введем термины — относительный минимум
расположен выше или ниже _у-цепочки, относительный минимум расположен
направо ичи налево от z-цепочки. Для этих отношений, очевидно, справедли-
справедливы теоремы, аналогичные теореме 2.
§ 56. Теоремы о цепочках разного направления
Теорема 3. Если относительный минимум Т расположен направо
от \Q\Z и ниже \Q\X, то цепочки \Q\x и \Т\г имеют общий элемент.
Доказательство. Два на удачу взятых относительных минимума Q и
Т могут быть расположены один относительно другого шестью различными
способам^: Q охватывает Г по OX, Q пронизывает Т по OX, Q охватывает Т
по OY, И пронизывает Г по OY, Q охватывает Т по OZ и, наконец, Q прони-
пронизывает Т по OZ. Из этих шести расположений удовлетворять условиям теоремы
могут только два: Q охватывает Т по ОХ, и Q пронизывает Т по OZ.
Для определенности остановимся на первой возможности.
Итак, пусть Й охватывает Т по ОХ (черт. 21). По предположению, Т ле-
лежит ниже \Q\X. Следовательно, в цепочке \Q\X найдется элемент, который
будет короче, выше и уже, чем Т, ибо если бы такого элемента не нашлось
и все элементы цепи \п\х более короткие, чем Г, были бы выше и шире Т,
то Т принадлежал бы \Я\Х, что противоречит предположению. Пусть Q, пер-
первый такой элемент цепочки \Я\Х, т. е. такой, что предшествующий ему эле-
элемент Q(._j охватывает Т по ОХ.
ТЕОРЕМЫ О ЦЕПОЧКАХ РАЗНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
195
Черт. 21.
Относительный минимум Тохватывает 2(. по OZ. Покажем, что Q; или прина-
принадлежит цепочке {T\z, или лежит налево от нее. В самом деле, рассмотрим
элементы цепочки { Т\г, которые ниже Qt. Если все они охватывают Q,t но OZ,
то Qf принадлежит цепочке \Т\г, и тем самым теорема доказана. Если же в
цепочке \Г\г найдется элемент Ts, не охватывающий й; по OZ, то он может
быть или короче и шире, чем Q., или длиннее и уже. Но первая возможность
отпадает, ибо тогда вершина Ts попала бы в пространство между смежными
относнтельнымн минимумами 2(._т hQ(-,
что невозможно. Остается вторая воз-
возможность, что Ts длиннее и уже,
чем п.. Но это и значит, что 2,- лежит
налево от цепочки \Т\г.
Таким образом, 7" и Q(. снова
удовлетворяют условиям теоремы, но
на этот раз Т охватывает Q по OZ.
Повторим то же рассуждение. Найдем
первый элемент Тк цепочки \ Т\г, не
охватывающий Q. по OZ, и покажем
так же, как раньше, что Тк или при-
принадлежит цепочке jQ, \х, которая
представляет собой продолжение це-
цепочки {Q} х1 или лежит ниже нее.
В последнем случае снова повторяем
то же рассуждение и т. д. Все от-
относительные минимумы, которые мы
при этом вводим в рассмотрение,
будут короче Т, ниже Й и уже
их обоих. Таких минимумов может быть лишь конечное число, и, следовательно,
наш процесс должен окончиться в конечном числе шагов. Но окончиться он
может только тем, что какой-нибудь элемент цепочки j Q} х совпадет с каким-
нибудь элементом цепочки \T\Z. Тем самым теорема доказана.
Подобные теоремы могут быть доказаны и для других случаев цепочек
разного направаения. Именно, цепочки \Q\ и \Т\Х имеют общий элемент,
если Г расположен ниже {й^иннже jQj и, наконец, цепочки \Q\y и \Т\г
имеют общий элемент, если Г расположен ниже |й}„ и левее \Q\Z.
Теорема 4. Даны два относительных минимума Q и Т. Одна из
цепочек \Q\X, J2L и \&\z имеет общий элемент с одной из цепочек
\Т\Х, \Т\,и \Т\г.
Доказательство. Пусть Ц охватывает Т по оси ОХ, и, следовательно,
Г расположен правее цепочки ]Й}г и ниже цепочки jQ} Рассмотрим самый
длинный элемент Q4 цепочки {U \ х, который еше короче Т. Если он шире и
выше Т, то Г принадлежит цепочке \Q\X, и, следовательно, \Q\x имеет об-
ший элемент Г с цепочками \Г\у и \Т\г. Если 2;. выше и уже Г, то Т
расположен ниже цепочки \Q\X и, по теореме 3, \Q\X и \Г\г имеют общий
элемент. Если' 2(. ниже и шире Т, то Т расположен выше цепочки {Q j x, и
по одной из теорем, аналогичных теореме 3, цепочки \Q\X и J7} будут
иметь общий элемент. Аналогичным образом мы можем рассмотреть и все дру-
другие случаи расположения Q и 7.
Теорема 5. Дан относительный минимум Ф. Пусть относительный
минимум й принадлежит \Ф\г, а Т принадлежит \Ф\Х. Тогда цепочки
\ Q \ х и \Т\г имеют общий элемент.
Доказательство. Очевидно, что Q и Т удовлетворяют условиям теоремы 3,
откуда настоящая теорема вытекает непосредственно.
Теорема 3 еще раз подтверждает наличие аналогии между расположением
относительных минимумов и точек на плоскости, образующих линейные ряды.
13* *
196 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Теорема 3 содержит утверждение, подобное тому, что две прямые разных на-
праваений имеют общую точку.
В заключение заметим, что теоремы 1—5 верны не только для решеток,
но и для любых дискретных систем точек, для которых возможно построение
неограниченных цепей относительных минимумов.
§ 57. Решение задачи о подобии двух решеток, рационально связанных
с неприводимой решеткой в R30, повторяющейся умножением,
или подобных таким решеткам
Напомним некоторые определения и результаты, изложенные в главе I.
Если решетку умножить на некоторую точку пространства, не являющуюся
делителем нуля, то получится новая решетка, которую мы условились называть
подобной исходной решетке. При преобразовании подобия относительные мини-
минимумы переходят в относительные минимумы, смежные в смежные и вообще взаимное
расположение координатных параллелепипедов не изменяется. Среди всех реше-
решеток, подобных некоторой данной решетке, особо важную роль играют те, ко-
которые получаются из данной делением на ее относительные минимумы. Все
они содержат в числе своих точек единицу A, 1, 1), и 1 будет для каждой
из них относительным минимумом. Для того чтобы среди этих решеток было
лишь конечное число различных, необходимо и достаточно, чтобы решетка
была подобна решетке, рационально связанной с неприводимой решеткой, по-
повторяющейся умножением.
В следующих пунктах этого параграфа мы будем заниматься исследованием
только таких решеток и под словом „решетка" будем подразумевать только
решетки этого рода.
Решение задачи о подобии двух решеток. Пусть решетка S подобна
решетке, рационально связанной с неприводимой решеткой, повторяющейся
умножением. Найдем в ней какой-либо относительный минимум Q и построим,
исходя из него, цепочку относительных минимумов.
х, Uj, Мо> . • ., bsm, ...
Будем делить 5 последовательно на Q, Qv Q2, ..., Qm, .... Получим по-
последовательность решеток
S0-~ Ц S' Sl = Q"j S> ¦ • ' ' Sm === ?Г S> • • •
Среди этих решеток найдутся равные. Пусть Sk первая решетка, для ко-
которой найдется равная, и Sk+n первая решетка, равная Sk. Тогда точка
e1=-^t^ будет давать автоморфизм умножения для решетки S и всех подоб-
подобных ей решеток. Точка st будет принадлежать решетке Sk и будет пред-
ставлять собой в ней й-й относительный минимум в цепочке, порожденной
элементом 1.
Изучим подробнее эту цепочку. Пусть ее элементы будут-
Фо=1, Ф„ Ф2, .... Ф„_„ Ф„ = 51, Фя + 1...
В виду того, что решетка Sk при умножении на et переходит в себя,
а точка 1=Фо при этом переходит в е1=Ф„, точка Ф1 переходит в Фп+1,
Ф2 — в Фл+2 и т. д. Следовательно,
при любом s, и цепочка имеет вид
Фо = 1, Фр Ф2, ..., Ф„-„ Ф.^вр ^Фр S^2, ... ,??,.;,
Такую цепочку относительных минимумов будем называть часто периоди-
периодической цепочкой.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОДОБИИ ДВУХ РЕШЕТОК
197
Приведенное рассуждение показывает, что каждая цепочка относительных
минимумов в рассматриваемых решетках становится, начиная с некоторого
места, чисто периодической.
Чисто периодические цепочки обладают тем замечательным свойством, что
их можно бесконечно продолжать в обратную сторону. В самом деле, рас-
рассмотрим решетку Sk. Точка Ф_1=Фп_1е~1 будет ей, очевидно, принадлежать,
будет являться в ней относительным минимумом, и смежным с Ф_] минимумом
будет Фо. Точно так же, Ф_2 = ФВ_2Е5~1 будет относительным минимумом,
для которого смежный минимум будет Ф_, и т. д.
Цепочку
Фф ф Ф' <b <F) Ф
будем называть двухсторонней цепочкой относительных минимумов.
Обратно, каждая цепочка относительных минимумов, которая может быть
безгранично продолжена в обрат- z
ную сторону, должна быть чисто
периодической. Действительно,
пусть существует и-)-1 относи-
относительных минимумов
Ф- -I. Ф-
предшествующих относительному
минимуму Фо. и обозначает об-
общее число таких относительных
минимумов, деление на которые
исходной решетки даст различ-
различные результаты. Тогда среди этих . Черт. 22.
относительных минимумов найдется
пара отличающихся автоморфизмом умножения и, начиная с первого элемента
этой пары, цепочка станет чисто периодической. Следовательно, цепочка
также будет чисто периодической.
Теорема 6. Две двухсторонних цепочки относительных минимумов
разных направлений имеют общий элемент.
Доказательство. Рассмотрим для определенности лг-цепочку \Ф\ х
и z-цепочку { Т\г.
Найдем в цепочке { Т\г относительный минимум Tt (может быть, с отри-
отрицательным номером /), который охватывает Q по OZ. Такой минимум наверное
найдется, ибо в двухсторонней цепочке существуют элементы, имеющие сколь
угодно большие размеры в направлениях, перпендикулярных направлению
цепочки. Затем в цепочке \&\х найдем элемент Qk, охватывающий Tt no OX
(черт. 22). Для цепочек (й^и { Ti\z выполнены условия теоремы 3, и, сле-
следовательно, они имеют общий элемент, который и будет общим элементом
двухсторонних цепочек \&\х и \Т\г.
Теперь мы имеем возможность доказать теорему, посредством которой
решается в конечном числе действий задача о подобии двух решеток и,
в частности, задача об эквивалентности двух идеалов.
Теорема 7. Для того чтобы две решетки S и R были подобны,
необходимо и достаточно, чтобы одна из решеток, получающихся деле-
делением S на элементы х-цепочки в S, совпадала с одной из решеток, полу-
получающихся из R делением на элементы z-цепочки в R.
Доказательство. Достаточность высказанного условия очевидна, так как
две решетки, подобные третьей, подобны между собой.
198 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Докажем необходимость условия.
Пусть /? = XS, где X — „коэффициент" подобия, являющийся точкой
¦пространства. Возьмем в S относительный минимум Q и построим, исходя из
него, двухстороннюю лг-цепочку \И\Х (которая может и не содержать Q).
Затем возьмем в /? какой-либо относительный минимум Т и составим, исходя
из него, двухстороннюю цепочку { Т\г. Делением на I эта цепочка будет
переведена в некоторую двухстороннюю z-цепочку решетки S. В силу теоремы 6,
эта'цепочка будет иметь с цепочкой \Q\X общий элемент Ф. Тогда ф' = ХФ
будет элементом цепочки { Т\г в R. Но
1 S— -R
Тем самым теорема доказана.
Эта теорема действительно решает задачу о подобии решеток в конечном
числе действий, ибо, желая получить различные решетки -ж, где Ф принад-
принадлежит двухсторонней лг-цепочке в S, достаточно делить иа Ф в пределах одного
периода, т. е. на конечное число относительных минимумов Ф. То же самое
имеет место и при делении R на элементы z-цепочки.
§ 58. Разыскание основных автоморфизмов умножения для решетки,
рационально связанной с неприводимой решеткой в /?3,о,
повторяющейся умножением, или подобной такой решетке
В главе I мы установили существование независимых автомор-
автоморфизмов умножения для неприводимых решеток, повторяющихся умножением, число
которых равно a-f-x—1, где a — число вещественных координат, т — число
пар комплексных сопряженных координат. Затем, перейдя в логарифмическое
пространство и используя дискретность и повторяемость вычитанием системы
точек, изображающих логарифмы автоморфизмов, мы доказали, что все авто-
автоморфизмы представляются в виде
где Е—один из „особенных автоморфизмов", т. е. некоторый корень из единицы,
6j, ?,,..., Sj-1-т —1 — так называемые основные автоморфизмы, и аг, а2, ...,
a^jr- — \ —числа, принимающие независимо друг от друга все целые рациональ-
рациональные значения. Это доказательство однако не давало удобного решения задачи об
отыскании основных автоморфизмов решетки. Теперь, основываясь на
теоремах о расположении цепочек относительных минимумов, мы имеем воз-
возможность дать алгорифм для фактического отыскания основных автоморфизмов
для трехмерных вещественных решеток.
Итак, пусть нам нужно найти основные автоморфизмы умножения для трех-
трехмерной вещественной решетки S, повторяющейся умножением. Для упрощения
рассуждений будем считать решетку содержащей точку 1=A, 1, 1) и такой,
что 1 является относительным минимумом, имеющим чисто периодическую
лг-цепочку. Переход к такой решетке можно всегда осуществить посредством
деления решетки на точку любой чисто периодической лг-цепочки.
Обозначим через s1 первый автоморфизм лг-цепочки решетки S, построен-
построенной исходя из элемента 1. Все остальные автоморфизмы, содержащиеся в этой
цепочке (которую будем считать двухсторонней), будут иметь вид 8", при всех
целых п, положительных или отрицательных.
Элементы лг-цепочки { 1 \х обозначим
1 = Ф Ф„ Ф Ф' — g
Рассмотрим теперь другие автоморфизмы решетки S. Все они будут пред-
представлять собой относительные минимумы решетки. Исходя из каждого из них,
РАЗЫСКАНИЕ ОСНОВНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕТОК 199
мы можем построить лг-цепочки. Эти лг-цепочки, очевидно, все будут чисто
периодическими и потому двухсторонне продолжимыми, и их элементы будут
ассоциированы (т. е. будут отличаться лишь множителями, являющимися авто-
автоморфизмами S) элементам цепочки J1 [ х. Очевидно и обратное: если мы по-
построим лг-цепочку, исходя из точки решетки, ассоциированной какой-либо из
точек цепочки \1\х, то получится чисто периодическая цепочка, содержащая
среди своих элементов автоморфизмы. Содержащиеся в каждой из таких це-
цепочек автоморфизмы имеют вид ее™, где е — один из автоморфизмов, содер-
содержащихся в цепочке, и е, — первый автоморфизм в цепочке j I \x. Все эти
цепочки можно расположить „по высоте", так как для любых двух лг-цепочек
мы имеем возможность сказать, которая расположена выше и которая ниже
другой, и это соотношение транзитивно.
Построим теперь z-цепочку относительных минимумов, исходя из какого-
либо элемента цепочки j I \x. По теореме о пересечении цепочек каждая такая
цепочка будет иметь общие элементы со всеми цепочками {s}^, лежащими
выше цепочки \^\х- Эти общие элементы будут расположены в z-цепочке
в порядке „возрастания высот" цепочек \s\x- Таким образом среди цепочек
\г\х найдется первая цепочка, расположенная выше |1}^, за ней вторая,
третья и т. д. Каждая последующая будет расположена выше предыдущей,
и все цепочки \s\x, построенные на автоморфизмах, лежащих выше \1\х,
попадут в эту последовательность.
Пусть е2 — какой-либо автоморфизм, содержащийся в первой цепочке рас-
рассматриваемой последовательности. Деление на е„, очевидно, переводит непо-
непосредственно следующую за {lj^ цепочку в j I fx, вторую в первую, третью
во вторую и т. д.
Поэтому вторая цепочка содержит автоморфизм е^, третья е|, /я-ая ef, при
любом целом положительном /я.
Пусть s — любой автоморфизм. Возможны три случая расположения этого
автоморфизма относительно цепочки {Ц^-
1. е лежит в {1 \х.
Тогда ?=s1*, где п — целое положительное или отрицательное число.
2. е лежит выше {1}.,..
Тогда е попадет в одну из лг-цепочек рассмотренной выше последователь-
последовательности. Пусть в /я-ую. Эта последняя содержит среди своих элементов авто-
автоморфизм ?^, и все другие автоморфизмы, в ней содержащиеся, представляются
в виде ?"?".
Итак, в этом случае
s = sm еп
2 1'
где т— целое положительное число.
3. ? лежит ниже \ 1 \ х.
Тогда 1 лежит выше \s\x. Деление на s переводит 1 в — и s в 1.
Следовательно, — лежит выше {1} г и, в силу предыдущего,
1
Откуда
s ?2 ?Г
е — s2- et .
Все это показывает, что автоморфизмы ег и s2 могут быть приняты за
основные автоморфизмы решетки 5.
Укажем теперь действия, посредством которых можно на самом деле найти
Sj и е2 для любой решетки, быть может, и не удовлетворяющей условию чистой
периодичности цепочки j 1 [ г. Как найти е,, мы уже знаем. Нужно, исходя из
любого относительного минимума, построить лг-цепочку и делить каждый раз
200 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
решетку иа элементы цепочки. Пусть при этом в первый раз повторится неко-
некоторая решетка S. Отношение соответствующих относительных минимумов (после-
(последующего к предыдущему) равно автоморфизму st. Для решетки S элемент I будет
иметь чисто периодическую цепочку 1, Фг, Ф2, ..., Ф„= sr По ходу вычислений
мы получим все решетки -^S, /=I, 2, ... , я — I.
Дальнейшее вычисление нужно вести в решетке S.
Исходя из элемента I, строим z-цепочку
Делим решетку 5 последовательно на ф^ Ф2> • • • и смотрим, когда при этом
в первый раз получится одна из решеток jg-, / = 0, 1, ..., я — 1.
Пусть в первый раз
Тогда ^ будет представлять собой автоморфизм решетки S, причем тот са-
самый автоморфизм, который мы раньше обозначали s2. Действительно, цепочка
{Ф*}* будет образована элементами, ассоциированными элементам цепочки
{1} х, и будет содержать Ш- в качестве /-го элемента, предшествующего <!>А,
так как 1 является /-тым элементом, предшествующим Ф; в решетке {1}*-
Из способа выбора d>ft следует, что цепочка \tyk\x будет наименьшей по вы-
высоте среди лг-цепйчек, содержащих автоморфизмы, расположенные выше J 1} Л.
Поэтому любой автоморфизм, содержащийся в |фй^, в частности др , может
быть принят за s2.
Таким образом нами установлено правило для отыскания основных автомор-
автоморфизмов решеток посредством составления цепей относительных минимумов.
§ 59. Алгорифм для разыскания относительного минимума, смежного
с данным, для решетки, рационально связанной с неприводимой
решеткой в /?з,о, или подобной такой решетке
В данном параграфе предстоит решить следующую задачу. Дан трехвектор-
ник (fa, f^, ](8), определяющий решетку. Узнать, является ли точка fa отно-
относительным минимумом. Если да, то найти смежный с ним по Ох минимум,
если нет—найти точку внутри построенного на i\ координатного параллеле-
параллелепипеда.
Без нарушения общности можно считать fa = 1 •
Для решения задачи сделаем следующие построения.
Разобьем все точки решетки на параллели. Под этим названием будем
подразумевать совокупность точек решетки, лежащих на прямой, параллельной
„рациональной прямой" x=y=z. Совокупность точек решетки, лежащих на
каждой непустой параллели, образует линейный ряд. Проекция отрезка, соеди-
соединяющего две соседних точки этого ряда, на каждую из координатных осей
равна 1. Каждая плоскость, не параллельная рациональной прямой, пересечет
множество непустых параллелей по плоской решетке, которая будет представ-
представлять собой проекцию исходной решетки на взятую плоскость, параллельно
рациональной прямой.
В качестве плоскости проекции возьмем плоскость y-\-z=Q,l являющуюся
диагональной плоскостью единичного куба. Для. удобства вычислений перейдем
1 Г. Ф. Вороной берет в качестве плоскости проекции плоскость г = 0.
АЛГОРИФМ ДЛЯ РАЗЫСКАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА
20t
к новой системе координат E, т), С), принимая за оси Oi) и ОС биссектрис»
4-го и 1-го координатных углов в плоскости YZ и взяв за единицу масштаба,
в этих осях отрезок, равный j/г единицы масштаба в прежних осях (черт. 23).
Формулы перехода к новым координатам будут:
В частности, новые координаты точки 1 A, 1, 1) будут A, О, 1).
Плоскость проекции y-\-z = O в новых координатах будет координатной
плоскостью щ. Призма, образованная гранями единичного куба, параллельными
оси Ох, расположена относительно новых
2 координатных осей согласно черт. 24. Рас-
Расстояние ребер этой призмы до оси Ох
будет равно 1.
Черт. 23.
Черт. 24.
Точки пересечения параллелей с плоскостью хг\ будем называть проколами.
Вследствие симметрии решетки относительно начала координат достаточна
рассматривать точки, проколы которых лежат направо от оси Ог\.
Основной двухвекторник плоской решетки проколов будет, очевидно, обра-
образован векторами, соединяющими начало координат с проколами концов второго-
и третьего векторов основного трехвекторника A, Х2, Xs) решетки.
Координаты прокола точки (х, у, z) будут
*_1х-у-г. У —ж. ,0
Тут S — это jc прокола.
Задача, которую нам нужно решить, может быть сформулирована так. Найти
точку внутри единичной призмы, расстояние от которой до плоскости т?
меньше 1 или, если такой нет, найти точку внутри призмы, ближайшую
к плоскости г?.
Очевидно, что внутри призмы могут лежать только те точки, проколы ко-
которых лежат между ребрами призмы, т. е. в полосе |i)|<l, причем из всех
точек, имеющих данный прокол, внутри призмы могут оказаться только бли-
ближайшие к проколу точки параллели, по обе стороны плоскости лгт). Эти точки .
будем называть верхней и нижней точками, принадлежащими данному проколу.
Проколы, находящиеся внутри полосы |jj|< 1 можно разбить на две ка-
категории. Именно, к первой категории отнесем проколы, лежащие в полосе
jj | <С -к > а ко второй — лежащие вне этой полосы.
Проколы первой категории обладают тем свойством, что одна из-
принадлежащих им точек обязательно окажется внутри призмы, »
внутри призмы могут оказаться обе точки. Это следует из того, что отсе-
отсекаемый призмой отрезок параллели, проходящей через такой прокол, имеет
202
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
большую единицы проекцию на ось Ох, и, следовательно, на этом отрезке
лежит по крайней мере одна точка решетки, и могут поместиться две.
Наоборот, из точек, принадлежащих проколам второй категории, внутри
призмы может оказаться не более одной точки, и, возможно, что. точки не
будут находиться внутри призмы.
Прежде чем идти дальше, наложим еще ограничение на решетку. Именно,
предположим, что координаты проколов, т. е. числа
2х —у — z
У—2
' 2
иррациональны для всех точек, кроме точек рациональной прямой. Это, оче-
очевидно, выполняется для интересующего нас случая неприводимых решеток,
повторяющихся умножением. Это ограничение не является существенным, но
Черт. 25.
Черт. 26,
оно упрощает дальнейшие рассуждения, делая их не нуждающимися в неко-
некоторых дополнительных оговорках.
В решетке проколов найдем самый близкий к оси Ог\ прокол первой ка-
категории (т. е. лежащий в полосе И Kyi- Обозначим его через tp.
В полосе между осью Otj и прямой, параллельной Щ и проходящей через
прокол ср, найдем прокол ф, ближайший к оси Ох. Известно, что подобран-
подобранные таким образом проколы ср и ф лежат по разным сторонам от оси Ох
и образуют основной двухвекторник системы проколов. В этой системе они
образуют смежные относительные минимумы в том смысле этого понятия, как оно
устанавливается для плоских решеток. Разыскание их, как известно, можно
осуществить при помощи алгорифма непрерывных дробей.
Теорема. Искомая точка, т. е. внутренняя точка для единичного
куба, или смежный по Ох с 1 относительный минимум, принадлежит
одному из проколов: у, ф, ср -f- ф, tp —ф или 2tp 4- ф, причем последнему может
принадлежать только в случае, если обе точки, принадлежащие проколу
ш -\- ф, лежат вне призмы и если прокол ф, а следовательно, и tp — ф ле-
лежат за пределами полосы \ jj | < 1.
Прежде чем доказывать теорему, установим несколько вспомогательных
предложений.
Лемма I. Искомая точка принадлежит одному из проколов тл 4-
+ «Ф 0SmS4 Кжот1
+ Ф
Доказательство. Рассмотрим совокупность точек единичного куба таких,
что отрезок параллели внутри куба, проходящей через любую точку сово-
совокупности, имеет проекцию на Ох большую, чем 1. Эта совокупность запол-
заполняет шестигранную призму, изображенную на черт. 25. Проекция этой призмы
на плоскость Ог\ представляет собой шестиугольник, половина которого изо-
изображена на черт. 26.
АЛГОРИФМ ДЛЯ РАЗЫСКАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА
203
Рассмотрим решетку проколов. Может представиться два случая: или про-
проколу ср принадлежит точка внутри единичного куба, или нет. В первом случае
лемма доказана.
Во втором случае 5? >¦ -^. Ибо, если бы ?? было меньше -^ , то ср по-
попало бы внутрь заштрихованной области (черт. 26), и проколу <р принадле-
принадлежала бы точка внутри единичного куба. Обозначим через Ф — нижнюю точку,
принадлежащую проколу tp, если она лежит внутри призмы, или верхнюю,
если нижняя находится вне призмы.. Очевидно, что
— 1<Сф <
1
В самом деле, спроектируем ортогонально призму на плоскость
должна быть внутри паоаллетограмма OQQ'P (черт. 27).
jC Проекция Ф
p-x
Черт. 28.
Отсюда непосредственно вытекает, что прокол со, которому принадлежит
точка й, более близкая к плоскости yz, чем точка Ф, может отстоять от Ort
не более чем на 1-^- единицы дальше, чеу tp (черт. 28), ибо проекции отрез-
отрезков параллели на Ох и О" одинаковы.
Таким образом интересующие нас проколы все лежат в прямоугольнике
Достаточно рассмотреть проколы my-\-nty при т 5=0. При /и = 0 един-
единственно возможно л=1, ибо точка 2ф лежит уже за пределами полосы
При /к>1 очевидно, что я^ — 1, ибо если я^ — 2, то точка my-\-rrb
также, наверное, окажется за пределами полосы 17] | <_ 1, так как 7]? и »]ф раз-
ных знаков и | г^ | Z>-j •
Следовательно, 5m?+m!, 5= 2т?_ф > ?(„,_!>, = (от — 1) S?.
Но должно иметь место
<"" 4- —
Следовательно, (/к—1) ??
3
^ > откуда
-^--<5,
так как
Кроме того, проколы ср —|— фиф лежат по одну сторону от оси Ох. Сле-
Следовательно, проколы m (у -{- ф) -(- Аф при А Э= 2 лежат за пределами полосы
Tjl^l. Итак, /к^4 и —1=^я=^/к-|-1) что и требовалось доказать.
204
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Лемма 2. Пусть со— прокол первой категории, т—прокол, лежащий
по одну сторону с со от оси Ох и более удаленный, чем со, от От]. Тогда,
если проколу т принадлежит точка Т внутри призмы, более близкая к
Orfi, чем точка Q, принадлежащая проколу со, то проколу т—со принад-
принадлежит точка внутри единичного куба.
Доказательство. Рассмотрим ортогональную проекцию призмы на пло-
плоскость Orfc (черт. 29). Точка й в этой проекции может находиться в области II
или III, точка Т в областях I, II, III. Так как т лежит от Otj дальше, чем со,
точка й доажна на черт. 29 быть выше точки Т.
Построим квадрат, равный и параллельный сечению основной призмы с цен-
центром в точке й. Если Q принадлежит области III (черт. 29), этот квадрат
будет покрывать все точки сечения основной призмы, лежащие ниже точки Q,
Черт. 29.
Черт. 30.
следовательно, покроет точку Т. Если же точка Q лежит в области II, черт. 30,
то этот квадрат покроет полностью области I и II и часть области III. Если
при этом точка Г находится в той части области III, которая не покрыта построенным
квадратом, то точка Т-\- 1 все же попадет внутрь него. Это означает, что или
Т — й, или Т—й-|-1 находится внутри призмы. Обе эти точки имеют своим
проколом т — со, имеющую положительную абсциссу, нбо по условию прокол т
более удален от Otj, чем со. Следовательно, точка Т—й имеет абсциссу боль-
большую — 1, если она лежит внутри призмы, и большую —1 -^ в обратном слу-
случае. Но как мы видели, в этом обратном случае точка 7—й-|-1 лежит внутри призмы,
и ее абсцисса будет больше —у и меньше 1, ибо абсцисса точки Т—й
отрицательна. Таким образом или точка Г—й, или точка Т—Q-\- 1 лежит
внутри единичного куба, что и требовалось доказать.
Лемма- 2 позволяет исключить из рассмотрения целый ряд точек из ука-
указанных в лемме 1.
Именно, все точки т = ту-\-п§ при я=0 и я=—1, кроме точки ср — ф,
удовлетворяют условию леммы для со = ср, так что из всех этих точек ну-
нуждается в* испытании только точка ср — ф. Далее, точки т = /га(р + лф при
п^т, кроме точки tp + ф, могут оказаться внутри полосы |т)|<С1 только
в случае, если ср—J— ф лежит в полосе 17) | ^Стт, и будут удовлетворять усло-
условиям леммы 2 при со = (р-(-с|). Следовательно, их также можно исключить из
рассмотрения.
Таким образом, кроме точек ср, ф, ср — ф и ф + Ф» остаются только точки
/Kcp-f-яф при 2sSms?:4, 1=^я<;/к—1.
Лемма 3. Если прокол т удален больше чем на 1 от ближележащего
к Ог^ прокола со, но точка Т лежат внутри призмы и ближе к плоскости
?Otj, чем точка Q, лежащая также внутри призмы, то точка Т—Q-j-1
лежит внутри единичного куба.
АЛГОРИФМ ДЛЯ РАЗЫСКАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА
205
Доказательство. В рассматриваемом случае проекция точки Q иа сечение
призмы может находиться только внутри /\ОАС (черт. 31), а проекция точки Г
ниже проекции точки Q—1. Построив квадрат, равный сечению призмы
с центром в проекции точки Q—1, мы увидим, что он покроет ту область
сечения призмы, в которой может находиться проекция точки Т. Следо-
Следовательно, точка Г— Q-|-l лежит внутри призмы. Абсцисса ее, очевидно,
у Ф
Черт. 31. Черт. 32.
положительна и меньше 1, так как абсцисса точки Т—Q отрицательна и
больше —-j. Следовательно, точка Т— Q —|— 1 лежит внутри единичного куба,
что и требовалось доказать.
Лемма 3 исключает из рассмотрения точки /иср-|-яф при /я 5*3.
Таким образом остаются только точки ср, ф, ср—ф, ср —1 сЪ и 2ср-иф.
. Исследуем подробнее прокол 2ср-|-ф.
Прежде всего ясно, что если абсцисса прокола ср ~\- ф больше 1, то про-
прокол т = 2!р-|-ф удовлетворяет требованиям леммы 3 при ш=:ср и потому
и рассмотрении не нуждается. Таким образом, нужно рассмотреть только случай,
когда абсцисса ср -\- ф, а следовательно, абсцисса
ср, меньше 1 (черт. 32).
В этом случае, если нижняя точка, принад-
принадлежащая проколу ср или ср-[-ф, окажется внутри
призмы, то она будет внутри единичного куба, О
и точка 2ср —[— ф также не нуждается в рассмот-
рассмотрении.
Предположим теперь, что нижние точки
проколов ср и ср-[-ф лежат вне призмы. Обоз-
Обозначим их верхние точки соответственно через.
Ф и Q. Их координаты Сф и ?а будут соот-
соответственно меньше |т]ф| и |г,0|. Следовательно, Черт. 33.
?Ф-Н> <C I *i Ф | + | 7JS | = |j] ? )](р + ф | -= | 7]^ | .
Докажем, что точка 2ср+ф нуждается в рассмотрении только в случае, если
ИФ1>1- Действительно, пусть |)]ф|<1. Тогда ?Ф+В<1, и, следовательно,
проколу 2ср-)-ф будут принадлежать точки Ф-f-Q и Ф-j-Q — 1.
Если абсцисса точки Q больше 1, то точка Ф + Q — 1 не может быть
ближе, чем точка Ф, к плоскости Orfc и должна быть выброшена из рас-
рассмотрения. Остается рассмотреть случай, если абсцисса Q меньше 1. Если
точка Q окажется внутри призмы, то она вместе с тем будет находиться
внутри единичного куба, и точка 2ср-|-ф не нуждается в рассмотрении.
Остается случай, если абсцисса Q меньше 1 и Q лежит вне призмы.
Однако это невозможно, если | j]. | < 1.
Действительно, ч точка Q, находясь вне призмы, должна отстоять от своего
прокола о>=кр_|_ф в проекции' иа плоскость щ на расстояние, большее шш'
206 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
(черт. 33). Следовательно, для того чтобы абсцисса была меньше единицы,
нужно чтобы со лежала ниже прямой ОМ. Но точка ср лежит выше парал-
параллельной прямой AN. Следовательно, точка с!) = со — ср должна лежать ниже
прямой FK, т. е. за пределами полосы |г;|<^1.
Теорема доказана полностью.
Легко показать таким же образом, что точку ш-{-ф нужно исследовать
только в случае, если проколу ф не принадлежит точка внутри призмы.
Итак, мы получили, что для того, чтобы найти точку решетки, построен-
построенной на базисе A, у2, у^) внутри единичного куба, или показать, что единичный
куб пуст, и найти точку, являющуюся смежным по Ох относительным минимумом
с относительным минимумом 1, нужно произвести следующие действия:
1. Определить координаты „проколов" для точек у2 и ](8 по формулам:
4 г 2х—у — г . y — z
2. Посредством алгорифма непрерывных дробей найти точки ср и i,
являющиеся смежными относительными минимумами в решетке проколов, так
что
Выразить эти точки через точки базиса у_2 и уй решетки проколов
3. Вычислить координаты точек Ф = гп^ +¦ п^ и Ч1 == "^гХг ~Ь ягХз-
4. Подобрать целое число tx так, чтобы координаты у и г точки Фо =
= Ф + t 1 A—единичная точка A, 1, 1)) были меньше единицы по абсолют-
абсолютной величине. Это возможно сделать. Если это можно сделать двумя способами,
то взять в качестве tl то значение, которое дает меньшее значение для
координаты х точки Ф -\-11.
5. Подобрать по тому же признаку числа t2 и t3 для точек Ч* и Ф — Ч1.
Если это возможно, то только одним способом.
6. Если для точки 4s найдется подходящее число t2, сравнить абсциссы
точек Фо, 1Р0 и Ф — 4!-\-ts\. Та точка, абсцисса которой будет наименьшая,
будет лежать внутри единичного куба или буДет смежным с 1 по Ох отно-
относительным минимумом.
7. Если для Ч1 подходящего числа t2 не найдется, то подыскать число t
по тому же признаку для точки Ф-^Ч1 и, если таковое найдется, сравнить
абсциссы точек Фо, Ф—Ч*-^^1 и Ф + Ч'Ц-^1-
8. Если для точки Ф-^-Ч* не найдется подходящего числа ti и, кроме
того, |ij<b|]>l, '!?+di<C^> T0 подобрать число tb по тому же признаку для
точки 2Ф-1-Ц1 и сравнить абсциссы точек Фо и 2Ф -\-Ч?-\-tbl.
Пример. Найти основные единицы поля Q(p), где р задано уравне-
уравнением рЗ = 6р-|-2.
Решение. Основные единицы изображаются геометрически в виде основ-
основных автоморфизмов умножения для решетки, изображающей совокупность всех
целых алгебраических чисел поля Й (р). Эта решетка будет иметь степенной
базис 1, р, р2, в чем легко убедиться по способу отыскания базиса, описан-
описанному в главе П.
Для построения цепочек относительных минимумов нам нужно знать при-
приближенные значения для координат точек базиса, т. е. для корней и квадратов
корней уравнения р3 = 6р -\- 2.
Приводим эти значения:
р =fe 2.6017; р' яг—2.2618; р" ^0.3399;
р2 = 6.7688; р'2=: 5.1157; р =s 0.1155.
АЛГОРИФМ ДЛЯ РАЗЫСКАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА 207
Условимся откладывать координату р но оси ОХ, р' по OY и р" по OZ.
Будем теперь строить лг-цепочку, исходя из точки A, 1, 1), являющейся,
очевидно, относительным минимумом. Прежде всего мы должны спроектировать
базис решетки параллельно рациональному направлению на плоскость _y-f-z = O.
Координаты проекций или, как мы называем, проколов находятся по фор-
формулам
с 2x—y — z . у — z
' 2 ' ' 2 '
Это нам даст для проколов р и р2 следующие координаты:
р ... C.90, —0.96);
р2 ... D.15, 2.50).
Делаем теперь приведение базиса для решетки проколов посредством алго-
алгорифма непрерывных дробей, который нужно применить к ординатам проколов
2
p2-f2p ... A1.96, 0.58);
••• A5.86, —0.38).
р и р2
Мы должны за точку ср принять прокол р2-)-Зр и за точку ф прокол р2-(-2р.
Относительный минимум, смежный с A, 1, 1), может быть только точкой, при-
принадлежащей проколам ср— ф, ср и ф, так как прокол ср —j—.ф отстоит от ср
в направлении ОХ больше чем на одну единицу.
Параллель, соответствующая проколу ср — ф, содержит тонку р, простран-
пространственные координаты которой B.60, — 2.26, — 0.34). Эта параллель не со-
содержит точки внутри призмы |_y|sg:l, 121=^1.
Параллель, соответствующая проколу ф, содержит точку р2-{-2р, простран-
пространственные координаты которой A1.97; 0.59; —0.56). Это будет единственная
точка параллели, лежащая внутри призмы |.у|г^1, |.г|=^1.
Точки, соответствующие проколу ср, можно не исследовать, так как их
абсциссы будут наверное больше абсциссы точки р2 —|— 2р.
Итак, смежным по ОХ с A,1,1) относительным минимумом будет точка
р2+2р.
Для того чтобы найти следующий относительный минимум, делим исходную
решетку на р2 -f- 2р. Получим новую решетку, ступенчатый базис которой будет
A, i, <
Затем в этой решетке повторяем тот же процесс.
Проколы базиса:
¦?...A.95, —0.48),
?...B.08, 1.25).,
Приведенные проколы:
| ...A.95, —0.48)... ср,
?^р3 ... @.13, 1.73)...ф.
Проколы ф. ф — ср и ф —|— ср находятся за пределами полосы |г(|<^1. По-
Поэтому относительный минимум, смежный с A, 1, 1), принадлежит проколу ср.
В параллели, соответствующей проколу ср, содержится точка -|- с простран-
пространственными координатами A.30, —1.13, —0.17). Внутри призмы |^|^U
|z|sg:l будет содержаться только одна точка этой параллели -?¦ -(-1. Эта точка
208 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
¦и будет смежным по ОХ относительным минимумом для A, 1, 1). Деление на
-|--)-1 переводит решетку (l, -?¦, ?-j в решетку A, р, р2). Следователвно,
.дальше лг-цепочка будет продолжаться периодически. Единица гх равна
Для отыскания единицы е2 мы должны строить z-цепочку тем же алго-
алгорифмом.
Проколы базиса иа плоскости л:-|-_у = О:
р ... (—0.51, 2.43),
р2...(— 5.83, 0.83).
Приведенный базис решетки проколов:
р — Зр2 A6.97, — 0.05)... <р,
р — 2р2... A1.14, — 0.78)... ф.
Исследовать нужно точки параллелей, соответствующих проколам ср—ф,
^Ь и ср.
Параллель ср — ф содержит точку — р4. Ее пространственные координаты
(—6.77, —5.12, —0.12). В этой дараллели найдется точка внутри призмы
|л:|<с1; Ij'l^l, именно —ра —J— 6. Проколы ср и ф теперь незачем исследо-
исследовать, так как они отстоят больше чем на 1 от прокола ср—ф. Итак, смежный
по OZ с A, 1, 1) относительный минимум есть —р2-]-6. Деление иа —р2-J-6
лереводит исходную решетку в решетку
(\ i- ??
V1' 2', 2
-Следовательно, —р2 -|-6 ассоциировано с элементом р2 -J— 2р лг-цепочки. Еди-
Единица г2 находится, как их отношение:
Пример решен.
Б. СЛУЧАЙ D<0
§ 60. Теорема Вороного о соседнем относительном минимуме
После того как мы в предыдущих параграфах подробно рассмотрели обоб-
обобщение алгорифма непрерывных дробей, предложенное Вороным для случая
л = 3, т = 0, мы перейдем к изложению алгорифма, предложенного Вороным
для случая я = 3, т==1, т. е. сигнатурного пространства /?3]. Мы будем рас-
рассматривать, в /?8 j совершенно произвольную трехмерную решетку, одной из
точек которой является начало координат. Мы будем требовать только, чтобы
решетка удовлетворяла следующим двум условиям: 1°. в решетке нет делите-
делителей нуля, т. е. точек, отличных от начала, у которых, если ?, 7), С координаты
в /?31, либо ?-|-i7] = 0, либо ? = 0, иначе говоря, нет точек ни на оси 5, ни
в плоскости S, 7], т. е. параметры р = |/?2-|-7J и |?| всякой точки, кроме точ-
точки О, не равны нулю; 2°. в решетке нет точек, кроме друг другу симметрич-
симметричных по отношению к началу координат, с одинаковыми параметрами р. Заметим,
что неприводимые решетки, повторяющиеся умножением, и рационально свя-
связанные с ними решетки, которые нам будут в дальнейшем наиболее интересны,
удовлетворяют обоим этим условиям, так как условие 1° и есть условие не-
лриводимости, а условие 2° удовлетворяется потому, что, если бы в такой
ТЕОРЕМА ВОРОНОГО .О СОСЕДНЕМ ОТНОСИТЕЛЬНОМ МИНИМУМЕ 209
решетке были две точки $, 7), С и?, J], С, для которых р = р, т. е. S2 -|- щ2 = I2 -\- 7j2;
то мы имели бы из ($2 -f- т]2)С = л и (S2 4" гB)С = л, где лил, как нор мы этих
точек, числа рациональные, что С = С—; но тогда и ? _j_ftj =(?-|-/7|) —, и, сле-
следовательно. р = Ч-р—, т. е. — = -4-1. Но это значит, что либо точка ?• гр С.
1 ' П. П '
либо точка — ?, — 7), — С, ей симметричная по отношению к началу, имеют оди-
одинаковые ?, и, следовательно, разность точки S, 7], С и этой точки имеет ? = 0,
т. е. есть точка О. Таким образом, при р = р только и может быть, что либо
точка ?, 7), С совпадает с точкой 5, Г/, С, либо ей симметрична по отношению
к началу, т. е. есть точка — S, — 7), — С
В сигнатурном пространстве /?31 норменное тело точки есть прямой кру-
круговой циЛиндр с центром в начале 'координат, осью которого является ось ?,
и на окружности одного из оснований которого находится рассматриваемая точка.
"Если точка М решетки, удовлетворяющей условиям 1° и 2°, есть относитель-
относительный минимум этой решетки, т. е. внутри ее норменного цилиндра нет других
точек этой решетки, кроме точки О, лежащей в его центре, то на границе его,
кроме точки М, лежащей на окружности одного из его оснований, лежит только
еще одна точка—М, симметричная с точкой М по отношению к началу коор-
координат, на окружности другого его основания, так как иначе в решетке были
бы две точки, несимметричные друг с другом по отношению к началу с оди-
одинаковыми р, т. е. нарушалось бы условие 2°, либо две точки, несимметричные
по отношению к началу с одинаковыми С, но тогда разность их давала бы де-
делитель нуль, которого не может быть в силу условия 1°. Заметим еще, что для
всей теории относительных минимумов достаточно рассматривать только точки
решетки верхнего полупространства /?3 1, т. е. только точки с ?>0, так как
и решетка и норменное тело симметричны по отношению к началу координат,
и для всякого относительного минимума имеется относительный минимум, сим-
симметричный ему по отношению к началу координат.
Если, исходя от какого-нибудь относительного минимума ф5, производить про-
процесс, описанный для любого л и т в § 4, а именно, в рассматриваемом случае
л = 3, т= 1 увеличивать радиус норменного цилиндра, не меняя его высоты,
то первая точка ф2 с ? > 0, на которую наткнется этот цилиндр (своею боковою
поверхностью), будет, во-первых, в силу условия 2° только одна; и, во-вторых,
она будет опять относительным минимумом, и притом соседним с $г относитель-
относительным минимумом в сторону увеличения р. т. е. таким, что не будет относитель-
относительных минимумов ф*, для которых pj<^p*<Cp2- Относительным минимумом точ-
точка ф2 будет потому, что ее норменный цилиндр есть часть этого увеличиваю-
увеличивающегося цилиндра, который до того, как он наткнулся на эту точку ф2, остается
пустым внутри (кроме точки О), а соседним с фх в сторону увеличения р потому,
что если бы был между ними промежуточный по величине своего р относитель-
относительный минимум ф*, то высота его цилиндра была бы меньше чем у ф]; так как
иначе его цилиндр содержал бы внутри себя точку ф-,, и ф* не был бы отно-
относительный минимум или содержал бы две точки на одном из своих оснований,
чего быть не может. Но в таком случае при увеличении радиуса цилиндра фх
первой точкой, на которую наткнулся бы этот цилиндр, была бы, против предпо-'
ложения, не точка (Ь2, а точка ф*. Продолжая этот процесс дальше, так же
начиная от ф2, перейдем к соседнему с ф2 в сторону увеличения р относитель-
относительному минимуму ф3 и т. д.
Вороной называет обобщением алгорифма непрерывных дробей на сигнатур-
сигнатурное пространство /?s j всякий алгорифм, дающий возможность в данной решетке
в /?3 j, удовлетворяющей условиям 1° и 2°, найти один относительный минимум
с|>! и'затем находить друг за другом последовательные относительные минимумы,
следующие за ним в сторону возрастания р.
14 теория иррацион. 3-й степ.
210
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
(Вороной рассмотрел также еше алгорифм для RBV при котором ищутся
от„о?иТГ„ыеР минимумы в сторону возрастания С, но мы его рассматривать
nfJSL M некоторая точка, отличающаяся от точки О рассматриваемой
оешетки удовлетворяющей условиям 1° и 2°, которая может быть и не отно-
ГГельнымТинимумом, но примарна, т. е. такова что на отрезке ОМ нет дру-
других точек этой решетки. В таком случае ОМ можно принять за один из
тпех векторов базиса рассматриваемой решетки. Поэтому все точки решетки ле-
Ш1 ю прямых, параллельных ОМ, причем на каждой из таких прямых лежит
равномерный ряд точек, такой, что расстояние между двумя соседними точками
в нём равно длине отрезка ОМ. Такой ряд точек мы называем, как в § 15,
SaoalSL точек. Прямые, на которых лежат эти параллели точек, проходят
епез точТи двухмерной решетки, построенной на двух других векторах.базиса¦
рассматриваемой трехмерной решетки, и, следовательно, пересекают плос-
Черт. 34.
кость S г, также по некоторой двухмерной решетке, которую м? ^f^o-
л" напр^ениГоЖ ш'точеГрешетки S только в й
чку О от ее основания до первой на ией лежащей точки рр
^мерной решетки с положительным С мы будем называть гвоздиком, соответ-
ствующим эГй параллели, а самую эту точку нашей рассматриваемой решет-
к„ -.шапочкой это?о гвоздика, или шапочкой, соответствующей данной точке 5.
Все гГоздики параллельны вектору ОМ и по длине больше нуля и меньше.
^ ^34 -Li^^J^Zt: ^
Гти У
назыат1
точке Ж
ТиТ
Дав за координатные Лекторы стороны этого треугольника ис-
з начала). Мы будем называть шапочками Вороного шапочки 7 гво-
иГЭТи77Гп^к0Во^иРая0)'„м^^^^^^ L Ц
прив7де„ной шапочкой вороного, соответствующей данной примарной
рассматриваемой нами решетки, удовлетворяющей условиям 1 и 2 .
ТЕОРЕМА ВОРОНОГО О СОСЕДНЕМ ОТНОСИТЕЛЬНОМ МИНИМУМЕ 211
Алгорифм, предложенный Вороным для розыскания в случае я = 3, т== 1
последовательных относительных минимумов, расположенных по возрастанию р,
основан на следующей геометрической теореме.
Теорема. Если приведенная шапочка Вороного ф, соответствующая
примаркой точке М рассматриваемой решетки, удовлетворяющей условиям
1° и 2°, лежит вне норменного цилиндра точки М, то М есть относи-
относительный минимум решетки и ф соседний с М в сторону возрастания р
относительный минимум. Если оке ф лежит внутри норменного цилиндра
точки М, то М не относительный минимум, и найдена точка ф, лежа-
лежащая внутри норменного цилиндра М.
Для доказательства этой замечательной теоремы мы рассмотрим некоторые
свойства систем точек, которые мы называем приближенными решетками или
приближенно правильными системами. Пусть S — двухмерная решетка точек.
Сопоставим в плоскости решетки 5 всем ее точкам одинаковые и одинаково
расположенные, каждая относительно своей точки, области а.
Под приближенной решеткой S' мы будем понимать систему точек, о кото-
которых только и известно, что каждая из них находится внутри или иа границе
своей области о, так что каждой точке 5 соответствует своя область о, и в
каждой такой области о находится где-то одна и только одна точка S'. Точки
S1 могут находиться не в одинаковых местах областей о, т. е. система S', во-
вообще говоря, не представляет собою решетки. Область о мы называем областью
приближения, а величину радиуса г наименьшего круга, описанного • вокруг
точки S, такого, что вся область приближения о, соответствующая этой точке,
лежит внутри этого круга, будем называть радиусом приближения приближен -
ной решетки S' относительно решетки S.
В общей теории двухмерных решеток 5 существуют следующие теоремы
(см. например, приложение к русскому переводу курса теории чисел Дирихле):
1) основной треугольник решетки 5 всегда может быть выбран, и притом только
одним способом (если не считать отличающихся от него ему гомологичных, т. е.
получающихся из него параллельными переносами решетки, и им симметричных
по отношению к точке О), остроугольным (а если прямоугольным, то двумя
способами); такой основной треугольник называется приведенным по Зеллингу;
2) кратчайший- параметр а решетки 5 (т. е. кратчайший отрезок, соединяющий
две точки S) есть одна из сторон этого треугольника; 3) наименьшая высота А
приведенного по Зеллингу основного треугольника не меньше ——-.
Заметим еще, что 6 треугольников Зеллинга, сходящихся в точке О, обра-
образуют шестиугольник, который можно назвать шестиугольником Зеллиига, или
1-ым шестиугольником Зеллинга, и что все вообще точки решетки S располо-
расположены иа периметрах 1-го, 2-го, 3-го и т. д., гомотетичных по отношению к
точке О, шестиугольников Зеллинга, которые получаются из 1-го гомотетичным
увеличением его из точки О линейно в 2, 3 и т. д. раз. (см. черт. 36).
Основываясь иа этих свойствах решеток, можно доказать следующую лемму
о приближенно правильных системах: ближайшая к точке О решетки точка
приближенной к ней решетка принадлежит не далее как п-му приведен-
приведенному шестиугольнику, где п^ ( (-lJj/2.
Доказательство. Ближайшая к точке О системы S точка системы S' должна
быть от точки О, очевидно, не дальше, чем иа расстоянии а-\-г, где а наи-
наименьший параметр системы S, а г радиус приближения системы S' к системе S.
Пусть наименьшее расстояние от точки О до периметра 1-го шестиугольника
Зеллинга есть А. Тогда соответственное расстояние для 2-го шестиугольника
есть 2А и т. д. Если ближайшая к точке О точка S' принадлежит я-му
шестиугольнику Зеллинга, то
nh—
14*
212 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
откуда
но
и, следовательно, мы получаем
л '
а
72'
Применение этой леммы о приближенной решетке к доказательству преды-
. душей теоремы основано на следующем. Спроектируем ортогонально на пло-
плоскости ?, Г) все шапочки всех гвоздиков, соответствующих данной примарной
точке М рассматриваемой трехмерной ре-
решетки. Получится на плоскости $, ц не-
неправильная (так как гвоздики разной дли-
длины) система точек S', которая будет при-
приближенной к двухмерной решетке 5 осно-
оснований гвоздиков с областью приближения,
имеющей внд отрезка, исходящего из точ-
точки 5 н совпадающего по длине и направ-
направлению с ортогональной проекцией отрезка
ОМ на плоскости ?ц. Радиусом прибли-
приближения будет длина этой проекции, кото-
которую мы обозначим через г. Пусть ф есть
та из 7 шапочек Вороного, которая имеет
наименьшее р. Если она лежит внутри нор-
менного цилиндра точки М, т. е. ее ортого-
ортогональная проекция (J) иа плоскость $ij лежит внутри круга с центром в точке О и
радиусом г, то М не относительный минимум, и ф точка, лежащая внутри нормен-
ного цилиндра точки М. Если принять эту точку ф за новую точку Ж и т. д.,
то мы придем, наконец, к такой точке М, что соответствующая ей проекция
шапочки ф не лежит внутри соответствующего ей круга г. Мы покажем, что
в этом случае наименьший параметр а соответственной решетки 5 не меньше,
Черт. 35.
¦Уз
, и тогда, подставляя это значение а в формулу леммы, мы получим,
чем
что номер п шестиугольника Зеллинга, которому может принадлежать шапочка,
имеющая наименьший радиус р из всех вообще шапочек, ^ 4. Исследовав
затем каждую из 60 точек, лежащих на первых 4 шестиугольниках Зеллинга,
мы покажем, что ближайшая шапочка есть одна из 7 шапочек Вороного, т. е.
как раз, следовательно, шапочка ф, так как шапочкой ф мы назвали ту из
7 шапочек Вороного, которая имеет наименьшее р. А тогда и выйдет, что
если ф лежит вне круга г, то ф есть относительный минимум, так как при
увеличении радиуса норменный цилиндр точки М может наталкиваться только
на точки нашей решетки, имеющие 5 меньшее, чем у М, т. е. только на ша-
шапочки гвоздиков, а шапочка, имеющая из всего бесконечного числа шапочек
наименьший р, есть шапочка ф. Кроме этого, отсюда же следует, что ф есть
соседний с М относительный минимум.
Итак, покажем прежде всего, что если ф лежит вне круга г, то а ~5% ^—^— .
Если мы предположим, что ф лежит вне круга г, то и подавно проекции дру-
других 6 шапочек Вороного лежат вне этого круга, так как радиусы р их больше,
чем радиус ф, т. е. все 7 шапочек Вороного лежат вне круга г. Покажем, что
из этого уже следует вышенаписанное неравенство. Дело в том, что в этом
случае основания A,0), @,1), (—1,0), @,—1), A,-1), (—1,1) соответ-
ТЕОРЕМА ВОРОНОГО О СОСЕДНЕМ ОТНОСИТЕЛЬНОМ МИНИМУМЕ
213
ствуюших им гвоздиков не могут лежать внутри луночек А и В (черт. 35), так как
если бы одна из этих точек лежала внутри луночки В, то симметричная с ней но
отношению к началу лежала бы внутри луночки А, но тогда шапочка соответ-
соответственного этой точке гвоздика лежала бы внутри норменного цилиндра точки М,
а мы предполагаем, что этого нет. Покажем, что все основания эти лежат также
вне областей С и D. Действительно, если бы одно их этих оснований лежало
внутри одной из этих областей, например, внутри области С, то шапочка <о*
гвоздика ему соответствующего, лежала бы вне цилиндра М, так как если ф
Черт. 36.
лежит вне цилиндра М, то остальные б шапочек Вороного, как имеющие
ббльшие р, и подавно, а следовательно ее проекция <о* лежала бы внутри
внешней по отношению к кругу г части отрезка, исходящего из этого основа-
основания и равного и параллельного отрезку ОМ. Но в таком случае, если провести
из точки О вектор, равный <о*Ж, мы получим проекцию <о** шапочки Воро-
Вороного, соответствующей основанию, симметричному с рассмотренным по отноше-
отношению к началу, и эта шапочка <о** окажется лежащей внутри цилиндра М.
А между тем в рассматриваемом случае все шапочки Вороного должны лежать
вне цилиндра М. Но ближайшая к точке О точка решетки 5 оснований гвоз-
гвоздиков принадлежит 1-му шестиугольнику Зеллннга, т. е. есть одна из б точек
A, 0), @, 1), (—1, 0), @, —1),0> —1)> (—1> l)i и> следовательно, наименьший
параметр а решетки S в этом случае не меньше, чем расстояние от начала до
периметра области V, составленной из кусков А, В, С, D, т. е. не меньше,
rj/3"
чем —7j—.
Применим теперь это ограничение для нахождения номера шестиугольника
Зеллинга, которому принадлежит шапочка, имеющая наименьшее р. Рассмат-
Рассматривая, как было указано выше, систему S' ортогональных проекций шапочек
на плоскость &г| (дг, у), как приближенно правильную к решетке S, из формулы,
даваемой леммой, мы получим в этом случае п =< f-^=-JL \ \ V2, т. е. я<4, б...,
т. е. что шапочка с наименьшим р принадлежит, в случае когда шапочка tb
214
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
лежит вне цилиндра точки М, не далее как 4-му шестиугольнику Зел-
линга.
На 1-м, 2-м, 3-м и 4-м шестиугольниках Зеллинга лежит всего 60 точек.
Покажем, что 53-м из них не может принадлежать шапочка с наименьшим р,
а что она может принадлежать только 7-ми из них, которые и суть основания
Вороного. Мы будем, как раньше, обозначать основания гвоздиков координа-
координатами (i,j), а проекции соответствующих шапочек («',_/)', так что совокупность
точек (i, j) даст решетку S, а совокупность точек (i, J)' систему S'. Расстоя-
Расстояние от точки (t, /")' до начала координат мы будем обозначать р^'. Покажем,
чю для каждой из точек (г, у)', кроме точек A,0)', @, 1)', (—1, 0)', @, —1)',
Черт. 37.
Черт. 38.
A, —1)', (—1, 1)', A, 1)', есть точка 5' более близкая к точке О. Действительно,
например, точка Е' @, 2)' дальше от начала, чем точка В' @, 1)', что следует
из черт. 37, если принять во внимание, что точка @, 1) лежит вне области v
и что область приближения S' к S есть отрезок, совпадающий с ОМ по длине
и направлению, и, следовательно, мы можем вместо точек S', Е' и В' рассма-
рассматривать точки S, Е и В, но учитывая расстояния не до точки О, а от одной
из сравниваемых точек до ближайшей, а от другой до дальнейшей точки
отрезка ОМ. Пусть, например, В (черт. 37) лежит левее *= ^"Г, в таком слу-
случае ближайшая к точке Е точка отрезка NO есть точка TV, а самая далекая
его точка от точки В есть точка О, т. е. достаточно показать, что EN^> ВО.
Это получается в силу того, что В лежит вне области v и левее х = — -^ Л
и следовательно, BO~>NO, т. е. E*N>Е*В*, но в таком случае EN>E*N>
*=В*О = ВО. Для случая, когда В лежит правее дг = — -~-г, доказа-
тельство аналогично.
Таким же способом можно исключить точки B, 0)', B, 2)', @, 3)', @, 4)',
C, 0)', D, 0)' и т. д.
Рассмотрим теперь точку F{\, 2)'. Предположив опять, что В лежит левее
дг= 2"Г, мы получим, что достаточно доказать, что FN^>BO. Но в силу
рассуждения, аналогичного предыдущему, FN^>KO (черт. 38), где К середина
FO. Но КО^>ВО, так как угол АОВ острый. Аналогично можно исключить точку
F, сравнивая ее с точкой В', и в случае, когда В лежит правее дг= s- r.
Таким же способом можно исключить точки B, 1)' A, 3)', (—1, 3)', (—1,4)'
и т. д. Останутся только 7 точек A, О)', @, 1)', (—1, 0)', @,-1)', A,-1)',
(—1, 1)', A, 1)'. И, следовательно, получается, что точка М—относительный
минимум, так как даже из этих 7 точек та точка ф, радиус р которой наи-
наименьший, по предположению, лежит вне круга г, а точка ф — соседний с М
относительный минимум.
Теорема Вороного, таким образом, полностью доказана.
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО ДЛЯ в = 3, т = 1 215
§ 61. Алгорифм Вороного для вычисления, в случае п = 3, т=1,
цепочки последовательных относительных минимумов, идущих в сторону
возрастания р, для того случая когда решетка рационально связана
с неприводимой решеткой в Rs v повторяющейся умножением,
или подобна такой решетке
Предположим, что решетка О состоит из целых или дробных точек куби-
кубического ноля Qa, причем точка а удовлетворяет неприводимому кубическому
уравнению !^> = q^-\-n с целыми рациональными коеффициентами q и л, имею-
имеющему один вещественный корень а и два комплексно сопряженных а' и а",
т.е. отрицательный дискриминант D = 4q3— 27л2. Пусть Ж одна из „при-
марных" тоЧек решетки О. Разделим все точки решетки О на точку М, тогда
от деления точки М самой на себя получится точка 1, т. е. точка с коорди-
координатами A, 0, 1). Обозначим получившуюся решетку через О'. За одну из точек
ее базиса, в виду того что М была примарной точкой, можно взять точку 1.
Пусть базис [1, ср, ф] решетки О', выраженный через а, имеет вид
1\ т + /я'а + /и"а2 П + л'а -f л"а2 ]
L1' о ' a J'
I
где числа т, т\ т", л, л', л", а — целые рациональные. Тогда, как легко вы-
вычислить, положительная двойничная квадратичная форма, двухсторонник которой
в плоскости ?, 7| составлен векторами, идущими из точки О в точки этой
плоскости, являющиеся проекциями параллельно отрезку 01 второй и третьей
точки этого базиса, есть
Ф=Ах* + ЪВху -\- Су2,
где
А = от'2 + т'т"а + /и (а2 — q),
A)
'ri' -f m"n')^-{-m"n" (a? — q),
С= л'2 -f n'n"a + л (а2 — q),
если помножить ее на а. Заметим также еще, что если b = t-^fa-\-fa2, то
квадрат расстояния р от точки 6 до оси ? есть
f = [(t -f fq)* — f (t'q -}- fn)] + [*л — tf] a + [f2 — t" (t -j- t"q)] a2. B)
Мы получаем следующие шаги алгорифма.
(I). Если т'п" — т"п'<0, то заменяем базис [1, ср, ф] базисом [1, ф, и].
Геометрически это означает, что мы берем за первое число то из двух чисел
ср, ф, которое имеет меньший аргумент в плоскости $7|.
(II). Вычисляем по формулам A) коэффициенты А, В, С формы Ф==(Л, В, С)
Геометрически форма (А, В, С) изображает двухсторонник, задающий двухмер-
двухмерную решетку Y, соответствующий данному базису [1, ср, ф] пространственной
решетки О'.
(III). Если В<С0, то вместо А, В, С берем С,—В, А и соответственно
базис [1, ср, ф] заменяем базисом [1, —ф, ср].
(IV). Если условия А — В^>0, С—В^>0 или же хоть одно из них не
•удовлетворяются, то если А<^ С, преобразовываем форму подстановкой ( ' . j,
/1, 0, 0\ г в,
(а базис соответственно подстановкой ( 0, 1, —8 ]), где 8= \~г\> а если
\о, о, \) iA1
то преобразовываем форму подстановкой ( ' .J, где 8= l-^-J. Эти два
действия надо производить до тех пор, пока не будет одновременно А—В^>0
и С—В^>0. Тогда будут удовлетворяться все три „условия приведения" для
формы (А, В, С), а именно А — 5>0, С— ?>0, 5>0.
216 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Все это — в соответствии с теорией приведения положительной двойничной
формы, данной, например, в приложении к русскому переводу теории чисел
Дирихле. Геометрически действия (Ш) и (IV) означают нахождение основного
двухсторонника решетки S, дающего остроугольный треугольник.
(V). Если хоть одно из неравенств =6>0; =rf<^0 не
удовлетворяется, причем тут а, как существенно положительное число, можно
не принимать во внимание, то мы находим из 6 пар чисел (b, d); (—b, d);
(b — d, b); (—b-\-d,—b); (d, —b-\-d); (—d, b — d) ту единственную, для
которой оба эти неравенства удовлетворяются, и преобразовываем форму
А, В, С) соответственной, по порядку, из 6 подстановок:
/10W-1 OW 11W-1-1W0-1W О П
VoiA о—1/\—10/1 1 o/\i 1/\—1— \г
Геометрически это преобразование означает выбор из 6 основных остро-
остроугольных треугольников системы S, сходящихся в точке 0 и составляющих
1-й шестиугольник Зеллинга, одного, именно охватывающего отрицательную ось ?.
Заметим, что ии в одном из неравенств приведения, равно как и в нера-
неравенствах для b и d, не может быть знака равенства, так как, в силу непри-
неприводимости того уравнения, которому удовлетворяет а, мы получили бы во всех
случаях из приравнивания нулю коэффициентов при 1, а, а2, что либо
/га' = /га" = 0, либо «' = «"=0, но тогда решетка О' не была бы трехмерна.
(VI). Пусть путем всех предыдущих преобразований базис [1, ср, ф] пре-
преобразуется в базис [1, (pj, <!>j]. Тогда мы находим еще целые рациональные
числа р и у, такие, что числа tp = tpj-|-^; ф = <J>i -j-Y лежат между нулем и 1.
Геометрически это обозначает переход к параллельному базису, точки (риф
которого на соответственных параллелях нижайшие, т. е. шапочки соответ-
соответственных гвоздиков.
(VII). Вычисляем числа
2 (т + т"д) — /я'а — т"а? 2 (я + п"д) — д'а — п"а?
а— ^ ; с_ То ,
где числа т, т\ т", п, п\ л", а, соответствующие базису [1, ср, ф]. Далее мы
полагаем 60 —ср или 1—ср (в зависимости от того, какое из чисел а или
1—а<Ст); ^1==<1) или *—Ф (в зависимости от того, какое из чисел с
i\ /
или 1—C<^-~2J> если ? — ф>0, то 62= ср — ф или 1—ср~ЬФ (в зависи-
мости от того, какое из чисел а — с или с—fl<C"J» если Же Ф — <Р>0> то
=.ф — ср или 1—ф-j-tp (в зависимости от того, какое из чисел с — а
а — с<^.~о)- Найдя так 3 числа 60, 6j, 62, мы отбрасываем в них знаме-
знаменатель, так как нам важна лишь относительная величина расстояний р, вы-
вычисляем по B) соответственные этим точкам во, в,, в2 расстояния р,,, р,, ро
и находим два наименьших нз них р„<СРл- Однако если удовлетворены одно-
одновременно условия р2>р0, P2>Pi» a также <р-{-ф-<Ч| а-\-с<^-^, то нужно
найти еще 4-е число 63 = ср-|-ф, вычислить по B) р3 ему соответственное
и выбирать два наименьших рг< рЛ уже из 3 чисел р0, р2, р3.
Точки 1, 6^ 6Й образуют базис решетки О, у которого второе число О
представляет собой соседний в сторону увеличения pel относительный ми-
минимум, если р~> 1, а 6Л — следующую за 6_ по расстоянию р шапочку гвоздика.
Если же р <_0, точка 6^. лежит внутри норменного цилиндра точки 1.
62
или
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО ДЛЯ л = 3, т = 1 217
Геометрически действия этого шага представляют собою следующее: щ, ф
представляют собою шапочки Вороного, соответствующие основаниям A,0)
и @, 1); через (а, Ь) (с, d) обозначаем координаты S, т] этих оснований; 1—ф,
1 — ф суть шапочки Вороного, имеющие основаниями (—1,0) и @,—1); как
легко видеть, из двух шапочек ^ и 1 — у, если а < -^, имеет меньшее, р
шапочка «р, а если 1—а<^-^-, шапочка 1—<р; аналогично относительно
шапочек фи 1 —ф: если <р—ф>О,<р— ф есть шапочка A, —1), а 1 —<Р~ЬФ—¦
шапочка (—1, 1), причем, как легко видеть, из этих двух шапочек имеет
.1 .1
меньшее р первая, если а — с<^-^, и вторая, если с—га<С.-к-; если же
Ф—<Р>0> то ф—<р есть шапочка (—1, 1) и 1—ф —]— ср шапочка A, —1),
причем из этих двух шапочек имеет, как легко видеть, меньшее р первая,
.1 . i ^
если с — а<_-^, и вторая, если а — с<^уг', этим способом, не вычисляя са-
мих р по формуле B) — что самое длинное — из каждой пары шапочек Вороного
A,0) (—1,0); @, 1) @,—1); A,—1) (—1, 1) по одной отброшено, как за-
заведомо более далекой, при помощи вычисления только а и с, которые вы-
вычисляются гораздо проще, чем р; остается еше вычислить р для 7-й шапочки
Вороного A, 1). Можно было бы это сделать и затем выбирать между тремя
неотчеркнутыми из первых б и этой 7-й, — какая из этих 4 шапочек имеет
наименьшее р, она и будет приведенной шапочкой Вороного. Однако, можно
еще несколько сократить вычисление. Дело в том, что можно доказать (мы
это доказательство опускаем), что р3, соответствующее 7-й шапочке A, 1),
может быть кратчайшим только, если р2>р3> ?2>Pi> tp -|- ф <С^, а-^-с<^-^.
Поэтому только в этом случае надо вычислять р8, но зато уже не надо вовсе
вычислять р2 (т. е. опять за счет знания величин а и ? мы избегаем вычисле-
вычисления одного из р). Точки 1, 6„, 6Д всегда образуют базис О, так как, как легко
видеть, основания их образуют в двухмерной решетке S основной ее тре-
треугольник.
* Г А 1 1
(VIII). Базис [1, 6^ 6Л заменяем базисом 1, «р,»-!, т. е. делим решет-
ку О' на 6 и приводим его к виду
[* т + т'а + т"<& я + я'а^-яУ ]
'• а ' а J'
причем числа т, т', т" п, п', п", <з мы вычисляем из аналогичных чисел для
базиса [1, 6 6Л] при помощи умножения числителей и знаменателей на рг
Полученный новый базис будет базисом некоторой новой решетки О".
Продолжая далее указанные действия, мы получаем последовательно ре-
решетки О, OIV и т. д.
Если примарная точка М исходной решетки О в ней не относительный ми-
минимум, т. е. 1 не относительный минимум в решетке О', то в силу теоремы
Вороного приведенная шапочка Вороного 6^. будет лежать внутри норменного
цилиндра точки 1. В решетке О" уже будет эта точка точкой 1 и если она
в О" опять не относительный минимум, то приведенная шапочка Вороного этой
решетки О" будет в свою очередь лежать в ее норменном цилиндре, а следо-
следовательно, и подавно в норменном цилиндре точки М и т. д. Следовательно,
через конечное число шагов мы придем, наконец, к такой решетке О', в ко-
которой точка 1 уже относительный минимум. Всякая из следующих решеток
цепочки О, О', О", ... получается из предыдущей, а следовательно, и из
исходной решетки О делением на некоторую точку /?8, 1, т. е. все эти ре-
решетки подобны. Таким образом точка 1, являющаяся относительным миииму-
218 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
мом в решетке О', получилась из некоторого относительного минимума со
исходной решетки О делением иа него самого, а сама решетка О1 = —О.
Решетка О, как рациональная но отношению к неприводимой кубической
решетке, повторяющейся умножением, имеет автоморфизмы умножения, но
в таком случае цепочка ее относительных минимумов повторяется периоди-
периодически, так как всякий относительный минимум определяет всю цепочку.
Поэтому, начиная с решетки О', решетки О1, Ol+1, О'+2, ... будут уже пе-
периодически повторяться, так как в силу теоремы Вороного, начиная с решетки
О1, приведенная по отношению к точке 1 этой решетки шапочка Вороного уже
будет всякий раз соседним с 1 в сторону увеличения р относительным мини-
минимумом этой решетки. Мы будем называть базис 1, 6 , 6Л в том случае, когда
1 относительный минимум решетки, приведенным по Вороному. В'
виду единственности приведенного базиса Вороного в каждой данной решетке,
что следует из правила выбора точек 6 и 6А, выходит, что если решетка О
рациональна по отношению к неприводимой кубической решетке, повторяющейся
умножением, то приведенные по Вороному базисы последовательных решеток
О', О*+1, О'+2, .. . повторяются периодически, причем тождественность двух
таких базисов будет характеризоваться просто совпадением для них соответ-
соответствующих чисел /я, /га', т" п, «', п", о.
§ 62. Решение задачи подобия для решеток, рационально связанных
с одной и той же неприводимой кубической решеткой,
повторяющейся умножением (т. е. с одним и тем же кубическим полем),
или подобных таким решеткам
Пусть Ох и О2 две решетки, связанные с данным кубическим полем Qa.
Для одной из них вычисляем предыдущим алгорифмом полный период приве-
приведенных базисов Вороного, а для другой доходим до первого, который полу-
получится, приведенного базиса Вороного. Очевидно, что решетки О1 и О2 подобны
тогда и только тогда, когда этот приведенный базис второй заключается среди
приведенных базисов первой.
Действительно, пусть О—некоторая решетка. Будем называть все подобные
ей решетки, получаемые из нее делением на различные ее относительные ми-
минимумы, т. е. такие, в которых точка 1 относительный минимум, нормированными
подобными ей решетками. Если О — решетка рациональная по отношению к ре-
решетке, повторяющейся умножением, то она имеет автоморфизмы, и, следова-
следовательно, различных нормированных, ей подобных, решеток ограниченное число.
Решетка О, очевидно, тогда и только тогда подобна решетке О, когда
хоть одна из нормированных ей подобных решеток находится среди нормирован-
нормированных решеток, подобных решетке О.
§ 63. Вычисление основного автоморфизма умножения решетки)
> рациональной по отношению к неприводимой решетке,
повторяющейся умножением, или подобной такой решетке,
в случае п = 3, т=1
В случае л=3, т=1 все автоморфизмы умножения имеют вид s = +??», где
е0 — некоторый основной автоморфизм умножения, равный наименьшей степени
основного автоморфизма умножения е0 соответственной максимальной решетки,
который есть автоморфизм заданной решетки, и т — все возможные целые
рациональные показатели, как положительные, так и отрицательные, и нуль.
Это непосредственно следует из общей теории, рассмотренной в § 4, если
принять во внимание, что точек Е, все параметры которых равны 1, в макси-
максимальной неприводимой решетке с л = 3, т=1, нет, кроме точек 1 и —1.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНОГО АВТОМОРФИЗМА УМНОЖЕНИЯ РЕШЕТКИ 219
Действительно, если ?=С, ?' = ?-}~и]» Е"=? — щ, то параметры этой точки
суть p = j/S^+rj2, |C|, и если |5|=1, то С = =Ь1> и тогда в силу непри-
неприводимости решетки ? = +1, f =+l, ?" —+ 1, но все автоморфизмы умно-
умножения любой решетки, рационально связанной с неприводимой решеткой,
повторяющейся умножением, суть, как доказано в § 4, автоморфизмы соответ-
соответственной максимальной решетки. Если е и т] автоморфизм умножения рассмат-
рассматриваемой решетки, то si\, очевидно, тоже ее автоморфизмы умножения. Если
е0 основной автоморфизм умножения соответственной максимальной решетки
и so = sg наинизшая его степень, которая есть автоморфизм умножения задан-
заданной решетки, то е^1, где &—любое целое рациональное число, следовательно,
также есть автоморфизм умножения заданной решетки, никакая же степень
ef0, у которой t не делится на ц, не есть автоморфизм умножения заданной
решетки, так как иначе, помножив ее на г** с соответственно подобранным k,
мы получили бы степень ej с показателем v-с^Ц, которая тоже автоморфизм-
умножения заданной решетки.
Для вычисления основного автоморфизма е0 заданной решетки, очевидно,
достаточно вычислить полный период ее приведенных базисов Вороного, и тогда
произведение всех вторых чисел всех этих базисов (первые их числа суть 1)
и есть е0. Действительно, 2-я приведенная решетка, подобная заданной, полу-
получается из 1-й делением ее иа ее первый относительный минимум, смежный
с 1-й а сторону увеличения р, т. е. на второе число ее приведенного базиса
Вороного; 3-я получается аналогично из 2-й делением на второе число приве-
приведенного базиса 2-й и т. д., и, наконец, если /-тая совпадает с 1-й, т. е. за-
замыкается период, то /-тая получается из /— 1-й делением /— 1-й на второе число
приведенного базиса /— 1-й, и, следовательно, /-тая, совпадающая с 1-й, по-
получается из 1-й делением 1-й на указанное произведение вторых чисел при-
приведенных базисов 1-й, 2-й, 3-й, ... последовательных приведенных решеток,
подобных данным.
Пример. Найти период относительных минимумов, начиная' с 1 в поле
fi|/l9. Базис этого поля, т. е. базис решетки О', есть (см. например, § 25)
[l, а, 1 + з+]. т. е. т = 0, т' = 3, тп = 0; я=1, я' = 1, л"=1
и з = 3. Вычисление а дают а = 2.67; а2 = 7.12.
/ шаг. Мы имеем т'п"—/я"л" = 3>0, т. е. оставляем тот базис, который
задан.
// шаг. Вычисляя по формуле A) § 61 коэффициенты А, В, С формы Ф,
получаем Ф=(9, 7.02, 10.79).
/// и IV шаги не нужны, так как условия А— 5>0, С—5>0, 5>0
выполняются, т. е. эта форма приведенная.
V шаг. Ь — т' — /га"а = 3>0; d = n' — п"а ^ — 1.67 <0, т. е. треуголь-
треугольник, соответствующий рассматриваемому базису, обнимает отрицательную
полуось — X.
VI шаг. Находим целые рациональные числа j$ и у из условий
получаем {J = — 2; у — — 3 и, следовательно, ср = — 2 -|- а; ф = ^—— .
VII шаг. Вычисляем числа а к с, получаем а =—3.34, с =г — 4.30.
1 — ' 1 л ~
Так как а <Г -=¦, мы полагаем 60 = Ф = — 24-2,' так как с<С -к-, то 6,=ф =
; так как ср> ф и с—а<^-л-, то 62=1 — <р —• ф = —
220 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Вычисляем по формуле B) р0) pj, р2, получаем р0 = 4 -f- 2а 4- я2;
р =5-4- За + а2; р2 —— ° , причем Po^Po^Pi и ^^Рг» т* е> пеР"
вый приведенный базис:
[l, ¦1~23' + а-, -2 + а]. A)
VIII шаг. Преобразуя этот базис делением на его средний член и затем
круговой подстановкой, мы получаем базис
Г —7 — а4-5а2 13 4-7а 4-а2]
L ' 36^ ', 36 J
решетки О".
Повторяем для этого базиса снова все 8 шагов.
I. Тут т'п" — т"п'——36 < 0, т. е. заменяем этот базис базисом
Г . 13 + 7а -f а2 — 7 — а+5а2 1
L1' 36 ' 36 Г
II. Вычисляем по формулам A) квадратичную форму Ф, она получается
G4.81, 73.99, 165.65).
III и IV. Форма эта приведенная.
V. Дополнительные условия 6>0, ??<0 удовлетворяются.
VI. Находим целые рациональные. [$ и у из 0 <С 36 "t" P "*О н
0< ~ ~~Л (-Y<C !> и получаем
0 , „ - — 23 + 7а+а2 - —7 — а 4 5а2
Р=1, т = 0, откуда ?=: $
36 : $= 36
VII. "ер = 0.08; <Ь =ь= 0.72; а = — 1.00; с = — 0.65, т.е.
„ — 23 + 7а + а2 о — 7— а + 5а2 4 — 2а + а2
°°~ 36 ' N°i^ 36 ' 2~ 9
н после вычисления по формулам B) мы получим:
114-5а + 2а2 4 + 13а + «2 2-fa
Ро— 36 ' Pi 36 ' Рг~"~3~#
Так как р2>р0; P2>Pi: Т+Ф*^1 иа + с<2"> т0 вычисляем еще
„ - I T — 5+а+а2 144а
63 = ^-|- ф = Lg—!— и соответственно р3 = —'
В виду того, что po<CPi<CPs> мы получаем, что сам базис
Г —23 + 7a + a2 —7 + a4-5a2 "]
I1' 36 ' 36 J B>
есть приведенный базнс О", т. е. второй приведенный базнс.
VIII. Преобразуя его делением на средний его член и затем круговой под-
подстановкой, мы получаем снова 1-й приведенный базнс.
Приведенные базисы A) и B) поэтому представляют период приведенных
базисов.
Основная алгебраическая единица поля Q|/l9, следовательно, равна:
1 — 2а -f а2 — 23 4- 7а 4- а'
?°~" 3 ' 36 ~~
— 23 4- 46а — 23а2 4- 7а — 14а2 4- 133 4- а^ — 38 4- 19а 2 -f 2a — а*
108 3 *
АЛГОРИФМ ДЛЯ D < О, ОСНОВАННЫЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 221
§ 64. Алгорифм для D << 0, основанный на параллельном преобразовании
разложимой формы решетки и ей полярной формы
В предыдущих параграфах мы выяснили, что основной автоморфизм трех-
трехмерной решетки сигнатуры 1, т. е. имеющей ?)<0, рационально связанной
с решеткой, повторяющейся умножением и содержащей точку A, 0, 1) в ка-
качестве одной из точек базиса, находится посредством действий, указанных
в § 61.
1. Решетка проектируется на комплексную плоскость XOY параллельно
рациональному направлению. Проекция будет иметь вид плоской решетки.
2. В проекции разыскивается приведенный шестиугольник Зеллинга.
3. В шестиугольнике Зеллинга разыскивается пара смежных вершин <р и ф,
лежащих по разные стороны от „вещественной оси" ОХ комплексной плос-
плоскости. Остальные вершины будут — tp> —ф, tp — ф, ф —<р-
4. Для вершин шестиугольника Зеллинга и для точки ср —]— ф находятся
„шапочки"—ближайшие к плоскости XOY точки решетки, имеющие поло-
положительную вещественную координату, проектирующиеся в рассматриваемые
точки проекции.
5. Из „шапочек", соответствующих симметричным относительно начала
координат точкам проекции, выбираются более близкие к вещественной оси.
6. Из выбранных таким образом четырех точек выбирается точка, ближай-
ближайшая к, оси OZ.
Выбранная в результате этих действий точка будет смежным с A, 0, 1)
относительным минимумом или, если сама точка A, 0, 1) не является относи-
относительным минимумом, выбранная точка будет внутренней точкой для иорменного
цилиндра точки A, 0, 1).
7. Делим решетку, на выбранную точку и начинаем процесс сначала для
получившейся решетки.
Процесс повторяем до тех пор, пока в первый раз не появится снова ис-
исходная решетка. Получающийся таким образом множитель переводит ре-
решетку в себя и представляет собой основной автоморфизм.
Дадим способ производить все эти действия без приближенных вычисле-
вычислений координат точек базиса.
При сделанном предположении относительно решетки [решетка содержит
A, 0, 1) в качестве одной из точек базиса] положение решетки вполне опре-
определяется заданием своей формы Дирихле (см. § 9 и 23).
Условимся в следующих обозначениях. Координаты точек решетки будем
обозначать через р, а и j$, считая р — вещественной координатой а и [S —
компонентами комплексных координат. Сами комплексные координаты a+jSi
будем обозначать через р' и р". Точки решетки будем обозначать теми же
буквами, которыми обозначаем их вещественные координаты. Базис решетки
будем обозначать A, рр р2). Координаты точек решетки относительно базиса
будем обозначать соответственно w, и, V, форму Дирихле для решетки будем
записывать, как это было указано в § 23, в виде треугольного символа
Н, К, L, М
Е, F, G
В, С
1
читая его как
W3 _|_ W2 Eи + Со) -г- w (Ей? -f Fuv -\- Gt;2) -(- Ни* + Ku?v 4- Luv* -\- Mv&.
Базис решетки и ее форму Дирихле нам придется неоднократно подвер-
подвергать преобразованиям. Обозначать же их будем все время одинаково, никак
не отмечая изменения базиса и коэффициентов формы.
222
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Вспомним при этом, что, подвергая базис преобразованию с некоторой
матрицей, мы должны форму Дирихле подвергнуть преобразованию с транспо-
транспонированной матрицей.
Переходим к рассмотрению отдельных действий алгорифма.
1-е действие. Проектирование решетки.
Пусть форма Дирихле для базиса [1, Pl, р2] равна
JV(p)
HKLM
EFG
ВС
1
где p = w-f aPl-f г>р2.
Проекция точки р на комплексную плоскость параллельно рациональному
направлению имеет координаты
& = «(«! — Pi) + »(«2 — p2), 1 = "Pi4-^2-
Сопоставим решетке двойничную кубическую форму
/(и, v) = 7)
) =
- * Ч) = ^ (р' - р") (р' - р) (р' — р).
Форма /(и, ©) имеет вещественные коэффициенты. Более того, она лишь
постоянным множителем отличается от некоторой формы с рациональными ко-
коэффициентами, которую легко построить, определив контравариант Кэли для
исходной формы Дирихле.
Действительно, форма Кэли лишь постоянным множителем отличается от формы
w
1
1
и
Pi
n
Pl
V
P2
P2
•
1
ID
1
Pl P2
U V
Pi P2
•
1
1
w
Pi P2
Pi P2
и w
Положив в форме Кэли •а> = 0, мы получим форму, постоянным множи-
множителем отличающуюся от формы
[и (?'2 —?;)—v (Р; - pj)] • [и (Р;—р2) - v (Р; - Pl)]. [а (Рг— Р;>—v (Pl—Pl')],
из которой интересующая нас форма получается делением на 2/ и заменой v
на и и и на —v.
Таким образом, для того чтобы найти (с точностью до постоянного веще-
вещественного множителя) двойничную форму, соответствующую проекции исходной
решетки, нужно найти форму Кэли
ff/CL'M'
E'F'G'
В'С
А'
взять из нее верхнюю строчку (что и значит положить да=0)
форму '
{М, —V, К', —ff)=^M'ut — '
составить
Это и будет форма с рациональными коэффициентами, от которой форма
Г/ (S2 -f- rf) отличается лишь вещественным постоянным множителем.
В случае, если исходная решетка представляла собой кольцо, эта форма
будет совпадать с индексформой кольца, и ее можно найти, не обращаясь
к построению контраварианта.
Однако даже, и в этом случае, на втором шагу алгорифма, когда после
деления на относительный минимум решетка перестанет быть кольцом, построе-
построение контраварианта необходимо, и потому контравариант следует вычислить
с самого начала.
АЛГОРИФМ ДЛЯ D<O, ОСНОВАННЫЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 223
2-е действие. Отыскание приведенного шестиугольника Зеллинга.
Для того чтобы найти шестиугольник Зеллинга, достаточно найти хотя бы
один базис, точки которого образуют остроугольный треугольник с началом
координат. Таких базисов возможно шесть, и их точки образуют вершины
шестиугольника Зеллинга. Кубическую двойничную форму, соответствующую
такому базису, будем называть приведенной. Приведение кубической формы
можно осуществить, не обращаясь к приближенным вычислениям, по той же
схеме, как выполняется аналогичное приведение для положительных квадратич-
квадратичных форм, пользуясь неравенством be— ad^>0 между коэффициентами, вы-
выведенным в § 33, выполнение которого необходимо и достаточно для того,
чтобы базисные векторы образовали острый угол. Пользуясь этим неравенством,
можно приводить, как это было указано в § 33, кубическую форму по той же
схеме, по которой проводится аналогичное приведение квадратичных положи-
положительных форм. Приводим эту схему.
а) Если сначала be— ad<^0, делаем подстановку (л' i) несколько раз
до тех пор, пока в первый раз не получится положительное be — ad.
р) Производим подстановку ( .' „J максимально возможное число раз
без нарушения положительности be — ad.
Y) Производим подстановку f~' ,J максимально возможное число раз
без нарушения положительности be — ad.
Затем чередуем операции [5 и у до тех пор, пока не станет невозможным
их дальнейшее применение.
Форма, которую мы получим в результате этих операций, и будет приве-
приведенной формой.
Одновременно нужно подвергать преобразованиям форму Дирихле и форму
Кэли, преобразуя переменные и и г; в форме Дирихле ковариантио преобра-
преобразованиям двойничной формы, а в форме Кэли коитравариантно.
3-е действие. Прежде всего нам нужно перейти от одного из остроуголь-
остроугольных базисных треугольников ко всем остальным. Для этого нужно в приведен-
приведенной форме пять раз сделать подстановку (i'. ~ i ) • Из исходной формы и пяти
новых нужно выбрать форму, соответствующую тому треугольнику, вершины
которого лежат по разные стороны от оси OS. Знаки координат т^ и тJ вер-
вершин такого треугольника должны быть противоположны. Из формул, опреде-
определяющих коэффициенты формы через базис, мы видим, что знаки т)х и тJ со-
совпадают соответственно со знаками коэффициентов а и d. Следовательно, из
шести приведенных форм нужно выбрать ту, для которой знаки а и d проти-
противоположны. Таких форм обнаружится две, отличающиеся знаком. Которую
избрать из этих двух,— безразлично.
Осуществив выбор двойничной формы, необходимо подвергнуть соответ-
соответствующему преобразованию формы Дирихле и Кэли.
4-е, 5-е и 6-е действия целесообразно провести сначала для точек <р и
выбранного базиса и лишь затем обратиться к исследованию точек <р —
и (p-f-ф. Мы дадим описание этих действий для точек (риф.
4-е действие. Пусть
HKLM
N(w-]-u<f-\-vty)= EFG
ВС
1
— форма Дирихле после первых трех действий.
Мы должны теперь перейти от точек ср, ф к их „шапочкам", т. е. точкам
i> Ф~Ь*2 ПРИ таких целых tv t%, что
224 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Найти числа t^ и tz легко, так как знак вещественной координаты и знак
нормы совпадают.
Но нормы чисел ^j —{— ер и tt -j- ф легко находятся из формы Дирихле
. лг(<,+ ?,)=/?+в*;-ь«,-ь я.
?, представляет собой наименьшее целое число, для которого N(tt -f-<p)^>0.
Следовательно, t1 будет наименьшим целым числом, ббльшим корня уравнения
t*-\-BP-\-Et-{-H=Q.
Таким же образом t2 будет наименьшим целым числом, ббльшим корня
уравнения
Для перехода к базису, составленному из „шапочек", нужно преобразо-
преобразовать форму Дирихле подстановками
1
0
0
t.
1
0
°\
о)
1/
и
/1
( 0
Vo
о
l
о
t,
6
i
Форму Кэли нужно подвергнуть контравариантным преобразованиям.
5-е действие. Если р есть „гвоздик" для проекции о), то для проекции —со
гвоздиком будет 1—р. Таким образом для осуществления пятого действия,
нужно уметь выбрать из точек р и 1 — р ту, которая лежит ближе к оси OZ.
Квадрат расстояния точки р от OZ равен, очевидно, р'р".
Таким же образом квадрат расстояния точки 1 — р до оси OZ равен
A — р')A — р"). Составим разность этих квадратов расстояний
р'р" - A — р') A - р") = ?'+ р"- 1 =* - 1 - р,
где 5=р + р4р
Эта разность будет положительной или отрицательной в зависимости от
знака своей нормы N(s—1—р), которую легко найти, зная форму Дирихле
и выражение р через базис.
Итак, если N{s—1 — р)<^0, то точка р расположена ближе к OZ, чем
1—р, если N{s—1—p)j>0, то точка р дальше от OZ.
Применяя это к базису ср, ф решетки, с которым мы приходим после
первых четырех действий, получим следующие неравенства
Если (Е—5 + 1) (В—1)<Я, то ср ближе к OZ, чем 1—ср,
„ (Я— B-f-l)(?— 1)>Я, я ср дальше от OZ, „ 1— <р,
, (G — С+1)(С— Ц<М, , ф ближе к OZ, „ 1 — ф,
„ (G — С-\- 1)(С — 1)>М, я ф дальше от OZ, v 1 — ф.
После 'рассмотрения этих неравенств перейдем, в случае надобности, от
базиса [1, ср, ф] к одному из базисов [1, ср, 1 — ф], [1, 1—ср, ф] или
[1, 1—ср, 1 —ф]. При этом придется подвергнуть формы Дирихле и Кэли
соответствующим преобразованиям.
6-е действие. Пусть
HKLM
b)= EFG
ВС
1
— форма Дирихле после пятого действия.
АЛГОРИФМ ДЛЯ D<0, ОСНОВАННЫЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 225
Мы должны выяснить, которая из точек ср, ф расположена ближе к OZ
Составляем разность квадратов расстояний от этих точек до OZ.
М //<|< — Adf
Знак этой • разности совпадает со знаком ее нормы, которая легко находится
из формы Дирихле:
_ ЛЩЗ — LMH* + КМ?Н— НАР
НАЛ
= fP — LH -f KM — А/Р.
Следовательно, если Н2— LH-\-KM—М2<^0, то точка ср лежит ближе
к OZ, чем точка ф, и, наоборот, ф ближе к OZ, чем ср при противополож-
противоположном неравенстве.
После этого нужно перейти (посредством соответствующих преобразований
формы Дирихле) от базиса [1, ср, ф] к одному из базисов [1, ср, ф — ср] или
[1, ср — ф, ср] в зависимости от того, которая из точек ср и ф расположена
ближе к OZ. Затем снова проделать действия 4, 5, 6 над получившейся фор-
формой Дирихле.
Если при этом окажется, что точка i (ср — ф) (или параллельная ей точ-
точка) является ближайшей к OZ iio сравнению с ср и ф, то вычисления окон-
окончены. Ближайшая точка будет представлять собой смежный с 1 относительный
минимум или точку, лежащую внутри иорменного цилиндра точки 1. Если же
ближайшей окажется ср или ф, то возвращаемся к форме, соответствующей
базису [1, ср, ф].
Преобразуем снова форму, на этот раз к одному из базисов [1, ср, ср-)-ф]
или [1, ср-|-ф, ф] в зависимости от того, какая из точек ср или ф располо-
расположена ближе к OZ. Над этой формой производим действия 4, 5 и 6. Ближай-
Ближайшая к OZ точка и будет искомой точкой — соседним с 1 относительным миниму-
минимумом или внутренней точкой норменного цилиндра точки 1. Останавливаемся
окончательно на базисе, образованном точками 1, искомой точкой и одной из
точек ср, ф и на соответствующих ему формах Дирихле и Кэли.
7-е действие. Деление на искомую точку достигается делением формы Дирихле
на норму искомой точки, которая равна одному из угловых коэффициентов фор-
формы Дирихле. После этого для сохранения единства действия целесообразно
сделать круговую перестройку переменных с тем, чтобы сохранить название w
для коэффициента при 1 в выражении w -j- ир j -j- vp2 точек решетки через
базис. Для формы Дирихле эта перестановка будет выглядеть просто как по-
поворот трехугольного символа, составленного из коэффициентов.
Форму Кэли нужно тоже „повернуть" в ту же сторону и на тот же угол,
как и форму Дирихле. Форма Кэли иам нужна только для составления двой-
двойничной формы, а эта последняя нас интересует только с точностью до постоян-
постоянного множителя, поэтому форму Кэли можно ни на что ие множить и не
делить.
Сделав 7-е действие, нужно повторять процесс сначала до тех пор, пока
не встретится форма Дирихле, тождественная с формой, получившейся в ре-
результате четырех первых действий первого шага.
Пример. Найти основную единицу поля Q(|/l9).
Решение. Базис решетки: jl, р, о J ' где Р=="/
Форма Дирихле:
19, 19, 0, 12
О, —19, —6
О, 1
1
15 Теория иррацион. 3-й степ.
226 АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Форма Кэли:
2, 1, —3, 3
6, —17, -3
6, 1
40
1-е действие: форма, соответствующая проекции,
C, 3, 1,-2).
2-е действие: be — ad^>0;
C, 3, 1, — 2),,_n=C, —6, 4, —3); be — ad<0;
C, 3, 1, —2)( ,L=C, — 7, 7, —2); bc — ad<0.
Форма C, 3, 1, —2) приведена по Бервику и Матьюсу.
3-е действие: форма C, 3, 1, —2) сама имеет крайние коэффициенты с
противоположными знаками.
4-е действие: tl=—2; t2=—3. Новый базис: 1, р— 2, ¦ *"Рт..? 3.
Преобразование формы Дирихле:
_219, 19, 0, 12 11, 61, 12, 12
\ 0, —19, —6 . _ 12, —23, —6
\ о, 1 — —6, 1
1 1
— 2
(Символом N обозначаем, в каком направлении и с каким числом проводить
вычисления по схеме Горнера.)
11, 61, 12, 12 11, 25, 27, 12
12, —23, — 6-3__ 12, 13, 15
— 6, \ / —6, —8 •
1 1
Преобразования формы Кэли:
2, 1, —3, 3 2, 1, —3, 3 2, 1, —3, 3
\ 6, —17, — 3 / 18,-13,-9 ./ 21, —31, 18
N* 6, 1 з< -= 54,-29 з/ = —12, —2
40 92 5
5-е действие:
(Е— В+ \)(В— 1) _//*= — 7-19— 11 <0; р1 ближе к OZ, чем 1— Pl;
(О— С+1)(С— 1) — М= — 9-24— 12<0; р2 ближе к OZ, чем 1— р2.
Оставляем формы без изменений.
6-е действие.
№ — LH+KM—M*=\\i- 11-27 + 25-12—122^_20<0.
pj ближе к OZ, чем р2.
Теперь мы должны перейти к базису [1, р,, р2 — р,] и сделать действия
4, 5, 6. Для действий 4, 5 нет необходимости строить всю форму Дирихле.
Достаточно построить „правое ребро" ее, т. е. форму
Действие 4': t.,= l; A, —<2Ги,— 1) = A, 1, 13. 12).
Действие 5': (G— C-\- 1)(C— 1) — M-— 12<0;
АЛГОРИФМ ДЛЯ D<0, ОСНОВАННЫЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 227
р2 — рх —j— 1 ближе к OZ, чем pj — р2.
Преобразование к базису A, pj, р2 — Pi~b ')•
Форма Дирихле:
11, 25, ~27? 12 11,-8, 10, —1 11, 4, — 7, 12
12, 13, 15 » _ 12, —11, 14 1 _ 12, —23, 13
— 6,-8 / — — 6, —2/ — —6, 1
Iх Iх 1
6-е действие: Я2 — HL + KM — М2= И2 -f 11-7— 4-12— 122 = 6>0;
р2 — р + 1 ближе к OZ, чем pj.
Следовательно, р2 — pt -j- I = „ относительный минимум, смеж-
смежный с 1.
Окончательная форма Кэли:
2, 1, *~ — 3, 3/3, 4, 6, 3 3, 4, 6, 3
21, —31, 18 f __ 8, 5, 18 / __ 4, —7, 9
— 12, —2 -1 "~ —14, — 2 -1 ~ —13,-29
5 5 22
7-е действие:
Форма Дирихле:
1, —6, 12, 11
1, -23, 4
13, —7
12
Множитель 1j12 не пишем. О нем вспомним при пятом действии, единствен-
единственном, где этот множитель нужен.
Форма Кэли: 22, —13, 4, 3
— 29, —7, 4
9, 6
3
Базис' fl 3 Р-2 1 Г1 Ра + 7Р + 13 5р«-р-7]
ьазис. [»,p2_2p+1,p2__2?+1J — [l, 36 • 36^ J'
1-е действие: форма, соответствующая проекции:
C, —4, —13, —22).
2-е действие: be — ш/ > 0;
C,-4,—13, —22)/1_,ч = C,—13,4,— 16); be - ааГ<0;
C,-4,-13 — 22), юч = A6, — 44,53, — 22); be — ad<0.
I- n/
Форма C, — 4,— 13, — 22) приведена но Бервику и Матьюсу.
3-е действие: крайние коэффициенты C, —4,-13,—22) имеют разные
знаки.
4-е действие: t — — 1; t2 = 0.
Базис-
ьазис.
Форма Дирихле:
1, —6, 12, 11 1, 10, 8, 11
-' 1, —23, 4 = 11, —9, 4
ч 13, — 7 —23, — 7
12 12
15*
228 ¦ АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
Форма Кали:
22, —13, 4, 3 22, —13, 4, 3
\ —29, —7, 4 _ 37, —33, 8
\_, 9, 6 ~ 17, —14
3 5
5-е действие:
(Е — В+1)(В— 1) — // = щ[A1+23-|-12)(— 23— 12)— Ы2]<0,
(G— С+1){С— 1)— М = щ[{4+7 + 12){— 7— 12)— 1Ы2]<0.
Следовательно, f>j ближе к OZ, чем 1 — pj, и р2 ближе к OZ, чем 1 — р2.
6-е действие:
Я2—#Z.-|- ЯМ — Л12 = 1 — 8 + 10-11 — 112< 0;
ближе к OZ, чем р2.
Предварительное вычисление перед переходом к базису [1, pv
N(w -f-i/p2 — ¦ур1)==
Действие 4': *2 = 0.
Действие 5':
(G — С+1)(С— 1) — ^=^[B4— 16+12)A6— 12)— 122]<0;
2 — р, ближе к OZ, чем 1 — f
Действие 6':
Переход к базису [1, рг р2 — pj:
lT^lO, 8, 11 1, 7, —9, 12
11, —9, 4 = И, —31, 24
— 23, —7 -—23, 16
12 12
//2 — HL-\-KM— Af2— l-rf-9-f 7-12— 122<0;
j ближе к OZ, чем р2 — f>j.
Предварительное вычисление перед переходом к базису [1, plt pj -j- pJ:
N(w -f- г>р! -j- wp2) = 12w8 — 30w2w -f- бдаг»2 + 30г>3.
Действие 4": t2.= 0.
Действие 5": (G —C-f-1) (С—1) —Ж=щ[—48-31 — 30-12]<0;
Pi + Рг ближе к OZ, чем 1 — pj — р2.
Действие б":
Переход к базису [1, р1; pj —|- р2]:
1, И)",1 8, 11 1, 13, 31, 30
11, —9, 4 = 11, 13, 6
— 23, —7 —23, —30
12 12
Я2 — HL-\-KM — I№=\— 31-|-13.30 — 302<О;
ближе к OZ, чем рх -|- р2.
Итак, pj — относительный минимум, смежный с 1.
7-е действие:
Новый бячис- Г 1 5Р2-Р~7 36 1 _ Г 1 Р2+4р+Ю 2р2+5р+1П
Новый базис. I l,p2 + 7p_23,p2+7p_23J ~ I 1> з • 3 J
АЛГОРИФМ ДЛЯ D<0, ОСНОВАННЫЙ НА ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 229
Форма Дирихле:
11, 4, — 7," 12
8, —9, —23
10, 11
1
Форма Кэли:
3, 8, —14, 5
4, —33, 37
— 13, 37
22
Мы могли бы уже прекратить вычисления, так как последний базис, оче-
очевидно, эквивалентен исходному. Однако для контроля проведем первые четыре
действия следующего шага.
1-е действие:
Проекция: E, 14, 8, —3).
2-е действие: be—
E, 14, 8, —3) г,-in =E,-1,-5,-2); bc — ad>0;
E, —1 —5, — 2)n_iv=E, —16, 12, —3); be — ad<0;
E, —1, —5, — 2), 1Оч =C, 3, 1, —2); be — orf>0;
C, 3, 1, — 2), ,оч =C, —5, 4, —2); be — ad<0;
\-iV
C, 3, 1, —2)л_,ч =C, —6, 4, —3); be — arf<0.
\o \)
Таким образом, форма C, 3, 1, —2) — приведенная.
Преобразование формы Дирихле:
1. 4,^-7, 12 11,-29, 18, 12 11, — 2эГ~ 18, 12 46, —29, —18, 12
8,-9,-23 =8,-25,-6 8, —25, —-6 == 27,-13,-6
10, 11 10, 1 10, 1 9, 1
1 1 1 1
4-е действие: tx ~ — 5; t2 = — 3
46,-29,-18,12 11, 25, 27, 12
_527, —13, — 6_3 _ 12, 13, 15
\ 9, \ / — . —6,-8
\ 1 / 1
Мы получили форму, совпадающую с формой, полученной после четвертого
действия первого шага. Следовательно, решетки первого и третьего шагов сов-
совпадают.
Основная единица s0 равна
— 23 — рг -4- 2р + 2
3 ' 36 3
Задача решена.
230
АЛГОРИФМ ВОРОНОГО
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ЕДИНИЦ ДЛЯ ВСЕХ КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ОТРИЦА-
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ НЕ БОЛЬШИХ 379 ПО АБСОЛЮТНОЙ
ВЕЛИЧИНЕ
(Вычислена Б. Делоне и К. Латышевой)
-D
23
31
44
59
76
83
87
104
107
108
116
135
139
140
152
172
175
176
199
200
204
211
212
216
231
236
S3 = _?24.1
?3— — ?4-1
ЕЗ = — ?2 — E 4- 1
s3= —2s4-l
?з = E2 _ 3s 4-1
?»= —2=2—2S 4-1
S3 = — ?2 — 2? 4" 1
e3 = ?2 — 5s 4- 1 Д = 2
E — p2 4_p4- 1
p3 —p4-2
E3 = 2e2 _ 4s 4-1
e3 = — 3s2 — 3s 4- 1
?з = — 3s2 — 5e 4- 1 Д = 2
E = p2 — p 1
?3 = _ 3E 4- 1
?з = 4е2_6е4-1
e3 — 3?2 — 5e 4- 1
s3=5e*— 9s4-1 Д = 2
e = -p» + p.+ 3
E3 = 3e« — 7e 4- 1 Д = 2
s — — p2 4- 2p 4-1
p3 —2p24-2
e3 = — 2s2 — 3s 4.1
e3 = — e2 — 3s 4- 1
?3 = ?2 _ 4e 4- 1
s3 = — 7e2— 13s 4-1 Д = 2
рз = 2p2 — 3p 4- 4
$ = 6e2 — 10e 4- 1
s3=r —E2—15s 4-1 Д = 8
? = 2p — 1
&Zt~-2ull Д = 2
рз— — 3p4-2
s»= — 4e2 — 5e4- 1
?3=3e2—11s 4 1 Д = 4
? — p2 — 3p 4- 1
239
243
244
247
255
268
279
283
300
304
307
324
327
331
332
335
339
351
356
364
367
368
379
?3 = _?2_8?4-l Д = 3
?=p2_p_l
P3 — P + 3
E3 — _ ?2 _ 12s 4- 1
?3 —_5e2_27e4- 1 Д = 16
e=t —2p«4-10p —7
p3 = 5p2 — 4p 4- 2
?з = — 3e2 _ 4e 4- 1
e3 — 5e2 — 8e -f-1
E3_782_i3?4_ i
?3 — 2e2 — 5s 4-1
?3 = _4e4-1
?3 =• — 7e2 — 23? 4- 1 Д =r 9
s = — p;4-5p — 5
e3 = — 5s2— 7s 4-1
?3= —5e2 —19s4-1 Д = 8
? = 2p — 1
p3 = — p2 —3p4-2
?3 = — 15?2— 57?4-l Д = 6
рз!/зр4_Р4~~
еЗ = —9е4-1 Д=гЗ
E = _p2+4p_2 %
p3 = 4p2 — 3p 4- 3
?3 = — 2e* — 4S 4-1
?3 = 7?2_23?4-l Д = 8
e = —2p4-3
ЕРз=Г?гГ4ЕР4-1
e = — 2p 4- 5
?з = Зе2 _ 6e 4- 1
ES=1192~43S+1io Д = 16
ввЗ-Тр+в"р+
s3=3?«— 19s+1 Д==8
e3=4s2 — 7s 4-1
e3——10s2 26s 4-1 д 3
s = p2 — 3 ~
ТАБЛИЦА ЕДИНИЦ
231
ТАБЛИЦА ЕДИНИЦ ДЛЯ ВСЕХ ЧИСТО КУБИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ Q (а), ГДЕ а = /а,
ДЛЯ ВСЕХ а НЕ БОЛЬШИХ 70
(Вычислена А. Марковым).
4 + За 4 2а2
41 + 24а + 14а2
109 + 60о + 33а2
4 _(- 2а -f a2
23+114
г г— г
55 + 24/12 /
29 + 12а + 5а*
+ 2190а+ 888а2
324 + 126а + 492
14 + 5а 4- 2а2
11+4 /20 +3 /бО
-f- 618а + 224а2
+ 283а+101а2
=
9 C — а)»
= 2 166 673 601 +
+ 761 875 860а +
+ 267 901 370а2
9 + За + а2
9 + За + а*
3 G0 — 32а + За2K
3
(а-З)З-
= 811+261а+ 84а2
+ 32 218а + 10 256а*
(а-!K
B + 9а — За2M
2C)
+ 103 146а + 31 839д2
3 (а — 2) (а — 3J
278 4- 85а + 26а2
100 + 30а+9а2
(а —2N (а —3K ~
29 071 + 8647а + 2572а2
3A+°J
(
156а
E —аL2
7^
+ 6090а + 1752а2
49 +14а 4- 4а2
1 ( а— 2 \*_
2 ' 2а — l) "
4007+1135а
D-а)» -
= 16 449 049 +
+4 590 798а +1 281 255а2
3B 4-а)бA+а)8
(а — 3N Bа — 7N
11+4/20 + 3/50'
C + а)8(а —1K _
3Bа —7)б(а —3K
= 107 846 641 +
+ 29 081 484а +
+ 7 841994а2'
12
D — аK
3 D — аM E — аM Bа — 7)K
55 ¦ 715 G — аI8
D_аI8(а-_3I5(а—1I5E—а
C-аL(8-а)
3D—а)* (а—1) (а—3) (За —И)
= 1 460 968 + 379 620 а +
+ 98 641 а*
D-0K
= 929 + 240 а + 62 а2
A + ар
D—а)»
36 C — 3N D — а)«
= 2161+552а+141а2
D-а)»
2
D-о)
= 3905+992а + 252а2
=8929+2256а+570а«
(а - 4K
2
(а-4K
4
(а-4K
= 9505 + 2352а +582а2
=4289+1056а+260а2
= 2449+ 600а + 147 а*
/ з,—\з
7(l+/69j
C + аN F — аI5 (а — 4K0
5= П21 + 272а +66о2
ГЛАВА V
ТЕОРЕМА ТУЭ
В задаче о представлении целых чисел разложимыми формами с я пере-
переменными (формами Дирихле), как мы это видели в § 4, в том случае, когда
форма неприводима, наиболее характерным является то, что, вообще говоря
(а именно, кроме случаев я=1 и я = 2, т=1, т. е. тех единственных слу-
случаев, когда число „параметров" точек в соответственном сигнатурном про-
пространстве равно 1), любое данное число либо вовсе не имеет представлений,
либо имеет бесконечно много представлений формой. То же самое имеет
место и в задаче о представлении чисел квадратичными формами с двумя
или многими переменными, если исключить единственный случай, когда форма
определенная и, следовательно, представление ею заданного числа сводится
на разыскание целых точек иа конечной поверхности — на я-мерном .эллипсоиде.
Совершенно иное имеет место в задаче о представлении чисел двойнич-
двойничными формами, порядок которых выше чем 2 (двойничные формы 2-го по-
порядка суть одновременно формы Дирихле и квадратичные формы и поэтому
входят в каждую из вышеупомянутых теорий). Число представлений любого
заданного числа любой неприводимой двойничной формой высшего порядка
оказывается всегда конечно. Это основное обстоятельство обнаружил в 1908 г.
норвежский математик Туэ A868—1919). Этот результат есть непосредственное
следствие того обстоятельства, что если р целое алгебраическое число я-го
порядка и л>2, то не может существовать бесконечного числа рациональ-
рациональных дробей — таких, что разность р — — по абсолютной величине меньше
д
—' где А — любая заданная положительная константа. Туэ доказал даже, что
не может быть бесконечного числа дробей — даже таких, что
а Зигель, усовершенствовавший метод Туэ, доказал то же самое для еще мень-
меньшего показателя v, а именно для
я
где s — то из чисел 1,2, ... , я—1, для которого
я ,
+ 8
наименьшее. Для случая я = 3, который нас в настоящей книге наиболее
интересует, 1,2,... ,я—1 есть 1,2, соответственные *
ГИПЕРБОЛА ЛИУВИЛЛЯ И ГИПЕРБОЛА ТУЭ
233-
суть
f+2.
т. е. показатель v Зигеля -^ -(- 1 тот же самый, что и показатель Туэ. Мы рас-
рассмотрим в этой главе доказательство теоремы Туэ о конечности числа пред-
представлений числа двойничной формой выше 2-го порядка, воспользовавшись
геометрическим изложением метода Туэ, данным Тартаковским.
§ 65. Гипербола Лиувилля и гипербола Туэ
Пусть f(x,y) двойничная форма с целыми рациональными коэффициентами,
а0 коэффициент при уп и р, р,, р2, ... , ря_, корни формы, т. е. f(x, y) =
= aO'N(xp-\-y). Предположим, что надо решить неопределенное уравнецие
f{x,y) = a, где о — некоторое заданное целое рациональное число. Абсолют-
Абсолютные величины множителей xpk-j-y, соответствующие комплексным корням
pk = ak-\-ibk, не меньше \bkx\, т. е. с возрастанием |л:| бесконечно воз-
возрастают. Если все корни р, рр ... ,ря_г комплексны, то, очевидно, нет ре-
решений с х, превосходящими по абсолютной величине некоторую величину,
которую можно указать; например,
V
| во 11
В этом случае целочисленных решений х, у уравнения /{х, у) = а ограничен-
ограниченное число, и они все могут быть найдены. Если, следовательно, есть решения
с большими | л: |, то должен быть для каждого такого решения хоть одим
такой вещественный корень р, что
Пусть
где
Мы имеем тогда
fl0
я-1
-1- П(р*-р+в Ц
л х
*=
т. е.
п-х
и, следовательно, если |аг| велико, то
У
мало, и
234
ТЕОРЕМА ТУЭ
где s — число, мало отличающееся от числа
о
я—1
«оП ИР*-Р
Таким образом, если \х\ больше некоторого ?^, то L'<[s<^L, где V и L —
некоторые положительные константы, зависящие только от коэффициентов
•формы/(аг, у), от представляемого числа о и от выбранного предела ??.
Будем рассматривать решения х, у, в этом смысле связанные с некоторым
данным вещественным корнем р нашей формы геометрически. Для этого будем
откладывать на оси ? величину х, а на оси jj величину хр-\-у; тогда всем
целым л:, у будут, как легко ви-
деть, соответствовать все точки
параллелограмматической решетки,
построенной на точках @, 0),A,
р) и @, 1). В этой геометриче-
геометрической интерпретации предыдущий
результат состоит в том, что все
решения, у которых | л: | ~
жат между „гиперболами
L
4 =
%L,
ле-
леи
л-1 •
Гиперболу V Лиувилль исполь-
использовал для доказательства суще-
существования трансцендентных чисел
A851). Нам будет нужна только гипербола L; ее мы будем называть гипер-
гиперболой Лиувилля. Итак, все большие решения х, у лежат под гиперболой
Лиувилля.
Сущность результата Туэ состоит в том, что он показывает существование
другой гиперболы А
такой, что все достаточно большие решения, например, имеющие | х | > ёд,
лежат над этой гиперболой, причем при я^>2, показатель ее а<^я—1.
Какова бы ни была константа L, гипербола Туэ, следовательно, при доста-
достаточно больших \х\ будет virtu над соответственной гиперболой Лиувилля.
Таким образом, если ?д? абсцисса точки пересечения этих гипербол, то иет ре-
решений, у которых | л: | больше наибольшего из трех положительных чисел ??, ?д
и ?Ai. Сам Туэ доказывает существование гиперболы А для показателя
где s какое-угодно малое положительное число, но нам достаточно иметь
а—я—1 — s.
Гипербола А Туэ совершенно аналогична той гиперболе V Лиувилля, при
помощи которой Лиувилль доказал существование трансцендентных чисел, но
она еще медленнее приближается к оси S. Стоило показать существование такой
гиперболы и соединить ее с гиперболой L Лиувилля, как получилась теорема
Туэ.
Как мы увидим в § 67, существенным в доказательстве Туэ (и Зигеля)
существования гиперболы А является то, что для доказательства приходится
ЗАГРАДИТЕЛЬНЫЙ РЯД И ГИПЕРБОЛА В
235
допустить существование достаточно, далекого (т. е. с большим |дг|) и .хоро-
.хорошего" (во всяком случае лучшего, чем, вообще говоря, у подходящих дробей)
рационального приближения лгор —j—j^o к корню р, какового в действитель-
действительности может быть вовсе и нет. Однако, если такового нет, то уже тем
самым уравнение f(x, y)~а не мо-
жет иметь больших решений, так как
большие решения суть такие хорошие
приближения; таким образом, и в
этом случае теорема Туэ оказывается
все же доказанной.
§ 66. Заградительный ряд
и гипербола В
L--X
Как в основной работе Туэ, так
и в его специальных исследованиях,
посвященных невозможности суще-
существования бесконечного числа пред-
представлений в случае кубической двой-
двойничной формы, а также в соответ- Черт. 40.
ственных работах Зигеля, посвящен-
посвященных общей теореме Туэ или частному случаю кубической двойничной формы
или формы ах" -\- Ьуп, везде доказательство существования гиперболы А делает-
делается при помощи предварительного доказательства существования бесконечной
последовательности таких целых точек решетки лг, у, которые:
1°. достаточно хорошо приближаются к оси ?, хотя может быть и гораздо
хуже, чем подходящие дроби, но зато
2°. расположены вдоль оси ? достаточно близко друг за другом, т. е. не
образуют больших пустых промежутков (таких, которые a priori могут давать
непрерывные дроби), и
3°. все эти точки примитивны,
т. е. нет целых точек внутри отрез-
отрезков, соединяющих эти точки с нача-
началом координат, иначе говоря, х и у
каждой точки взаимно простые между
собою. Такой ряд рациональных при-
приближений к р Тартаковский пред-
предлагает называть „заградительным ря-
рядом".
Будем называть координатным
прямоугольником точки с положи-
положительным ? лежащую направо от оси
7j половину прямоугольника, имею-
имеющего центр в начале координат, сто- Черт. 41.
роны которого параллельны осям ко-
координат и одна из вершин которого лежит в рассматриваемой точке. Мы бу-
будем называть гиперболой В или гиперболой заградительного ряда, соответ-.
ствующего данному а, гиперболу Ч=~я в том случае, если, начиная с не-
некоторого ?, в координатном прямоугольнике любой точки этой гиперболы ле-
лежат по крайней мере две различные примитивные целые точки (х, у) и если
показатель этой гиперболы р ~^> —. Заградительным же рядом, конкретно го-
говоря, мы будем называть ряд самих таких примитивных приближений {х, _у),
для которого есть такая гипербола В, в любом координатном прямоуголь-
прямоугольнике которой лежат по крайней мере два таких приближения.
?=*'
236 ТЕОРЕМА ТУЭ
Покажем (см. черт. 41), что из существования заградительного ряда, т. е. из
существования гиперболы В, следует существование гиперболы А. Дей-
Действительно, пусть внутри гиперболы А была бы целая точка С; тогда
эта точка лежала бы внутри координатного прямоугольника какой-нибудь
точки (?, Jj) гиперболы А, например, той, которая получается в пересечении
с гиперболой А луча ОС. Возьмем координатный прямоугольник некоторой
точки (?, jj) гиперболы В, с достаточно большим ?, так что в нем уже ле-
лежат две примитивных целых точки А и В. Одна из этих двух точек не лежит
на прямой ОС и, следовательно, образует с точками О и С параллелограмм.
Параллелограмм этот, как параллелограмм нашей решетки целых точек,
имеет площадь не меньшую, чем площадь основного параллелограмма этой ре-
решетки, которая равна 1. Но площадь этого параллелограмма, с другой сто-
стороны, как легко видеть, не больше площади параллелограмма (половина ко-
которого заштрихована на чертеже), построенного на точках @, 0), (?, rt) и (?,—7j).
Площадь же этого последнего параллелограмма равна |?j)-f-?j)| и наверно <^ 1,
если одновременно
1 1
т. е. если
Но для всякого S, достаточно большого, можно найти такое S, которое удо-
удовлетворяет этим неравенствам, если р>—.
Так как нам для дальнейшего достаточно, чтобы а было на какую-угодно
малую зафиксированную величину <^ п—1, то достаточно доказать существо-
существование заградительного ряда для (i на какую-угодно малую зафиксированную
величину ^>——y ¦
§ 67. Две леммы Туэ
Самая трудная часть всей теории Туэ — доказательство существования за-
заградительного ряда. Мы его проведем только для п==3 (хотя мы этим лишь
очень немного сократим выкладки) в три этапа; сначала докажем лемму Туэ
о полиномах, • затем из этой леммы выведем существование некоторого ряда
приближений и, наконец, покажем, что этот ряд есть заградительный в нашем
смысле, установив существование гиперболы В.
Лемма I. Для всякого целого положительного показателя т, большего
чем 9, можно всегда найти такие полиномы от переменной t: /, (t), fo (t),
/s (t), P(i), Q (t) с целыми рациональными коэффициентами, что будет
иметь место равенство (p-f-*)/i (*) р2+/2(Ор+Л Wl= ?'?{*) + Q(*)>
причем степени f( не больше, чем ji, где
и степени Р и Q, следовательно, не больше, чем т -f- ц, а абсолютные
величины каждого из коэффициентов / меньше Тт, а каждого из коэф-
коэффициентов Р и Q меньше Sm, где числа Т и S зависят только от коэф-
коэффициентов s, q, n уравнения ps = sp2 -f- qp ~\- n, но не зависят от показа-
показателя т.
Доказательство. Рассмотрим степень (р 4- t)m> где т — какой-угодно целый
положительный' показатель. Понижая при помощи уравнения р3 = sp2 -{- qp -f- n
(/=0), мы получим
W,
ДВЕ ЛЕММЫ ТУЭ 237
где В — полиномы от t с целыми рациональными коэффициентами, причем
порядок этих полиномов не выше, чем т.
Аналогично, пусть
р (р -)- tr=вр (t) pa + вр (t) p -\-.вр (*),
Не трудно видеть из самого получения полиномов В, что все коэффициенты
их при разных степенях t не больше, чем некоторое 7J1, где То — число, за-
зависящее только от коэффициентов s, q, п уравнения /=0. Рассмотрим еще
все функции U(t) = C1(t)$l'4-Ci(t)p-\-Ca(t), где Cv CvCa— полиномы от t
степени не выше некоторого числа jx с целыми рациональными коэффициентами,
абсолютная величина которых не больше, чем некоторое число s. Специали-
Специализацией чисел jjl и s мы дальше воспользуемся. Всех таких функций U всего
М, где М= Bs —j— lK(p-+i).
Будем помножать (р -(- t)m на все эти U; мы получим, понижая каждый
раз при помощи /= 0 4-ю и 3-ю степень р, выражения вида
(р + t)m-U (t) = GY (t) p* + G2 (t) p + G3 (t),
где
G{ (t) = B^C3 -\- B^C^ -f- ВФСу (i = 1, 2, 3).
He трудно видеть, что все G — полиномы от t, не выше m -\- ц-той сте-
степени, все коэффициенты которых— целые числа, по абсолютной величине меньшие
N, где N—'d(m-\- \)sT%. Разделим интервал —N, N на h равных интер-
интервалов /. Мы можем тогда, очевидно, найти
таких U, что первые коэффициенты всех Gv соответствующих этим U, лежат
внутри одного интервала /. Среди этих Mt U мы можем найти, в свою оче-
очередь, по крайней мере
таких функций U, что все вторые коэффициенты всех Gv соответствующих
этим U, лежат внутри одного интервала / (конечно, может быть, другого, чем
тот, в котором лежат их первые коэффициенты). Продолжая так же дальше,
ввиду того, что всех коэффициентов Gj^ всего m -\- jx-j- 1, мы видим, что
можно найти
М
таких U, что у всех Gx \t), соответствующих этим L функциям U, все коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях переменной t лежат внутри одного и того
же-интервала /.Пусть ?2*2. Возьмем тогда две из этих L функций Ux и U2.
Пусть
(р+/г • Щ = ору+op? + о?>; (р + tr. u2=Gfy + apt + ору,
вычитая эти равенства, мы получаем
(Щ - и2)=<ар> -
Предположим, что h~^>2N; тогда каждый из интервалов / меньше 1,
и тогда все коэффициенты разности Gp — Gp' по абсолютной величине
меньше 1, но они целые числа, и, значит, они все нули, т. е. G^ — G^ = 0.
238 ТЕОРЕМА ТУЭ
И мы получаем
(Р + <Г • [fi W f +/, W P +/. (')] = я w • p + о w, (l)
если мы положим
Вопрос только в том, может ли быть такое h, что ?^2, и что само
Приняв во внимание значения L и ЛА, легко видеть, что эти неравенства при-
приводят к такому ограничению для h:
3 (|t +1)
3(« + lJs7J»<A<Bs+l
Таким образом, если
то такое h можно найти. Последнее же неравенство будет наверное иметь
место, если, например,
3(+1)
где Гх>3.2Г0, так как C • 2) > 3 (/и + 1); 2л+1>2л. Но, если /и>9
и если n=[-g(/w—1)] , то ОТГ~*" Л 1>15'и' следовательно, пре-
предыдущие неравенства будут иметь место, если Г**< Bs -j- lI5 или, если
Такий образом, если число Г> 7^5Х670I5, то неравенства будут иметь
место при s таком, что 2s—1 sg Tm<^2s-}- 1. Абсолютная величина каждого
коэффициента функций Р и Q меньше 2N<CBs—1) Т™<^(,ТТт)т — Sm, если
S= TTV что и требовалось доказать.
• Лемма II. Если числа х и у целые и такие, что |рлг-|-_у|< 1, то
для всякого показателя /и^>9 можно всегда найти две пары целых чисел
Во, Со и Ви Си таких, что
1 i
и что \Вор-\-Со\ и |fi,p + Cj| меньше, чем \[(рх-\-уLxtfi]]-1, причем
\В0\ и \Вг\ меньше, чем Dm~1xa ,где числа Н и D зависят только
от коэффициентов s, q, п уравнения р3 = sp2 -\- qp -\- п, но не от пока-
показателя т.
На основании предыдущей леммы ие трудно доказать эту лемму. Взяв
производную по t от обеих частей уравнения
0)
где мы обозначаем через R{t) функцию /j (*)pa+/2(*)p+/s(*). мы подучим
помножив это на P(t) и вычитая из предыдущего уравнения, помноженного
на Р1 (t), получим
Q (t) P1 (t) - Р (t) Q' (t) = (p + tr~ i [(p -f t) (P'(t)R (t) —R'{t) P(t)) - mP (/) R (/)]
ВЫВОД ИЗ ЭТИХ ЛЕММ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГИПЕРБОЛЫ В 239
и значит, в виду того, что уравнение /(р) = 0, которому удовчетворяет р, не-
приводимо, мы получаем
Q(t)P'(t)-P(t)Q'(t)=f(tr-iW(t)l
где W(t) полином от t. Так как степени P(f) и Q(t) не выше, чем ти-f-jb
то степень y полинома W не выше, чем
Рассмотрим все выражения
для всех чисел а и b из ряда 0, 1, 2, ... , Y> Y~H^ ^се Эти выражения
одновременно при подстановке ^= — — , т. е. все Zab (— —) , не могут
X \ X I \
равняться нулю, так как иначе мы имели бы
для всех \ равных 0, 1, 2, . .. , Y»' но тогда /m-i (t) W{t) имело бы делителя
т. е. имело бы этого делителя W(t), что невозможно, так как W степени
Пусть
при a=a-i, b = bx.
Рассмотрим 8-ю производную от уравнения A)
p/*s> (t) + Q («) (f) = ^ [(p +
Каждый коэффициент Я8 и Q8 делится на 1-2-3...8. Разделив последнее
равенство на 8!, раскрыв справа производную, подставив t=—— , заметив,
что | рдг -\-у | по условию меньше 1, и воспользовавшись ограничениями, наложен-
ними на коэффициенты уравнения A) в ,лемме I, мы получаем лемму II, если
положим
хт-^-Ь / У)_д хт+*-Ь ц/ У\_с
1-2-3... SV \ х)—а' \-2.'А..ЛИ \~^J—Cl
и если возьмем за 8 число ар а другой раз число Ь1У что и требовалось,
доказать.
§ 68. Вывод из этих лемм существования гиперболы В
Теперь то, что полученный в лемме II ряд приближений есть заградитель-
заградительный ряд, мы установим тем способом, что покажем существование гиперболы В,
т. е. гиперболы J) =—¦ , где р > — , т. е. ^ > — , такой, что в любом ее ко-
координатном прямоугольнике есть по крайней мере две точки нашей решетки,
не лежащие на одной прямой с началом.
Теорема. Ряд приближений, найденных в лемме II, если х = хо,у =у0,
где (хв, у0) — достаточно большое решение, т. е. достаточно далекая точка,,
лежащая между гиперболами Лиувилля, есть заградительный ряд.
240
ТЕОРЕМА ТУЭ
Действительно, пусть (л:0, у0) некоторая зафиксированная и достаточно
далекая точка нашей решетки, лежащая между гиперболами Лиувилля, т. е.
такая, что | л:01 достаточно велико и рлг0 -\-уй = \,, где L' <С т <С L. Обозначим
через (SOT+i> Чт+i) координаты вершины координатного прямоугольника, в ко-
котором в силу леммы II, где мы положим х = дг0, у =у0, лежат два прибли-
приближения, неколлинеарные с началом и получаемые от домножения
л через (cm, j)m) соответственные координаты для домножения
По лемме II мы будем тогда иметь
¦13м
140— I —
и положить
или, если принять во внимание, что pxo-\-yo=xx^2<^i
з
то мы получим
Но при достаточной удаленности точки (х0, у0) показатели pi и X сколь угодно
малы, и, следовательно, при достаточно больших m точки (?т+1, 1ч„,|) лежат
лод гиперболой
1 = jjf»
где ?=Тз—?i> причем это ^^>-^. Но эта гипербола, очевидно, такова,
что в любом ее координатном' прямоугольнике уже лежит по крайней
мере один из координатных прямоугольников (?m, j)^) леммы II и, следовательно,
ло крайней мере две точки ряда приближений леммы II, не лежащих на одной
лрямой с началом.
§ 69. Исследования В. А. Тартаковского, относящиеся к вопросу
об ограничении величины самих решений методом Туэ
Определим при помощи предыдущих рассуждений точку $дл по решению.
<х<>, Уо) \хо?—У1>=-^2> где °<?'<1*1<?~|- ПУСТЬ (*i.У\) т°же решение,
т. е.
ух = \ , где
V
Построим при помощи решения
i
(лг0, ^0) цепь приближений леммы II. Для каждого m >¦ 9 там были построены
два числа Вор-\-Со и B^-j-Cj, не лежащих на одной прямой с началом. То
из этих чисел, которое не лежит на одной прямой с началом и числом л^р —yv
¦обозначим <от = В^т)р — С1™'. Тогда из двух равенств
О)-
B)
•следует, что
_ (C<m> 4- о) J = О
I И*
э = 0,
C)
ИССЛЕДОВАНИЯ В. А. ТАРТАКОВСКОГО ОБ ОГРАНИЧЕНИИ РЕШЕНИЙ 241
Ho IaTjC*"*) — В^т^у1\^\. Мы докажем сейчас существование такого числа
х, что, если xt > х, то
А
Из D) и E) вытекает, что C) невозможно, т. е. невозможно одновременное
существование равенств A) и B), следствием которых является C). Значит,
A) невозможно, ибо верность равенства B) (при условии, что х0, у0 есть ре-
решение) была доказана в предыдущем параграфе.
Так как | о> | по лемме II меньше, чем
а
то, в случае выполнения условий
Г + Х °"-1)'2' у. ¦ D')
Т, . E')
условия D) и E) также выполняются. Покажем, что если х1 больше не-
некоторого х, то существует от^>9, удовлетворяющее последним условиям.
Условия существования т имеют такой вид:
где
¦ In x0 ¦
Эти условия получаются из условий D') и E1) логарифмированием. X', X",
р.', р." суть, как и X, pi предыдущего параграфа, числа, которые по абсолютной
величине могут стать меньше любой наперед заданной величины, если взять
х0 достаточно большим.
Отложим по оси абсцисс значения z, а по оси ординат С значения функ-
функций «р(г) и <J>(z). Если z~^>z, ?г = у(г) превосходит ^ — ^(z) больше, чем
на единицу, и ^1 = ^(z)~^>9, то для каждого такого z условие F) выполняется
целым т. Разрешая неравенство
убеждаемся, что оно выполняется при достаточно малых X', X", ц\ ц", т. е. при
достаточно большом х0 уже при z ^ 45. При этом также и ф (г) >• 9. Итак,
при г^=45, т. е. при
условие F) при некотором целом т > 9 (своем для каждого jCj) удовлетворяется,
и, значит, равенство A) невозможно, т. е. (xv yj не есть решение. Таким
образом решения, большие чем (х0, _у0), могут лежать лишь между xQ и дг*5.
Покажем теперь, что леммы I и II значительно упрощаются для случая,
когда от меньше некоторой константы т0. В самом деле, в лемме I достаточно
взять ц= [тИ» ибо ПРИ доказательстве этой леммы значение ц было исполь-
16 Теория иррацион. 3-й степ.
.242 . ТЕОРЕМА ТУЭ
зоваыо всего лишь один раз, именно там, где мы доказываем существование
числа А. Для этого необходимо было, чтобы разность ———Д-— 1 была
т + |i-f-1
больше положительной константы.
При }*—[•q'J и т^.т0 это обстоятельство имеет место, если /m = 2v;
тогда
Если т = 2у -}- 1, то
Зу + 3 — 2v — 1 — у — :
Итак, лемма I верна прн всяком положительном т^т0 при jjl == I "о" I -
Лемма II может быть в этом случае средактирована так:
Лемма На. Если числа х0 и у0 целые и такие, что |-рлг0—.УоКЬ
то для всякого положительного показателя т, такого, что т =< т0, можно
всегда найти две пары целых чисел Во, Со и Bv Cv таких, что °ф^
и что \Вор-\-Са\ и |B,p+-Cil меньше, чем D-\x0p—y0\m-i-x02, причем
\Ва\ и |fij| меньше, чем Н-х02 .
Доказательство. Продифференцируем равенство
установленное леммой I. Мы получим
= (Р - *)т-х ¦ [(Р - 0 «' W - *« @1-
Помножив это равенство на Р(^) и вычитая из предыдущего, помноженного
на Р' (t), мы найдем
—mP'{t).R(t)\.
Так как уравнение f{z) = 0, определяющее р, предполагается неприводи-
неприводимым, то полином от t с целыми рациональными коэффициентами, стоящий
в левой части последнего равенства, делится на [/(О]"- Обозначив частное
от деления через W(t), получим:
Q (*)•/" (') — Р W • Q1 (*) = I
() — полином от/ с целыми рациональными коэффициентами, ограниченными
числом, не зависящим от хй. Поэтому, если хь достаточно велико, то несо-
несократимая дробь =$ не может быть корнем полинома W(t). (Здесь уо==
•*о х
*Q=<xXOyoj)- В самом деле> (хо- Уо)^1/^, где v=/(j:0, ^0), т. е. х0 и у9
сколь угодно велики, если хй и ,у0 сколь угодно велики, а дс0 и уа должны бы
ИССЛЕДОВАНИЯ В. А. ТАРТАКОВСКОГО ОБ ОГРАНИЧЕНИИ РЕШЕНИЙ 243
быть делителями крайних коэффициентов W(t), если бы W\ — )=0. По не-
приводимости /(/), /( — j^O. Поэтому
и, следовательно, в качестве чисел Вор-\-Со и Bjp-f-Cj можно взять
Q> (*) =
Отсюда видно, что
D-1
Итак, лемма На доказана.
Повторяя рассуждения начала этого параграфа, мы убеждаемся, что (xv yy)
не может быть решением неопределенного уравнения, если есть такое целое
положительное т, что выполняются условия:
где z — j—- , a s и т) — количества сколь угодно малые при достаточно
большом х0.
Если z=,——1^3.6, то cp(z)—ф(г)>-1, и целое положительное от, удо-
удовлетворяющее условию c|)(zX7M<^<p,B)» существует. Отсюда следует, что х,
решения не может быть больше, чем л^-6.
Будем далее для простоты вычислений предполагать, что неприводимый
полином f(t), корнем которого является р, есть f(t) = t3 — at — b (т. е. что
коэффициент при квадрате t равен нулю).
Рассмотрим два числа ю' и ю", построенных при помощи решения (лго,_уо),
•' = Р^о ФА — ахЬ — BУо + Ю = (Р^о - .УоJ (- ^оР — 2УО) = B'f — С;
р — (9Ьу0 + 8д2Х())] = В'р — С.
Отметим, что В'<С*з, #'<С**, I^'KC^-3, [©"КСл:^5. Здесь и далее
С, Со, С,, С2, .. i суть константы, зависящие лишь от а, Ь и v, где v—'¦
представляемое формою число, но не зависящие от х0.
16*
244 . ТЕОРЕМА ТУЭ
Докажем, что со' и со" не суть решения. В самом деле,
*-0р2 + (Зау0 — 9bx0) p —
= 19ар (хор -jfo) + A2ау0 — 9Ьх0) р — (9Ьу0 + 8в»*0) | ==
= 19ар (хо9 —у0) — 9* (хор — у0) + 12ау0р — (Шу0
С другой стороны,
и аналогично
Все эти неравенства основаны на том, что по неприводимости кубического
полинома f(t), корнем которого является р, все три числа
\2af- Шр — 8а2, Зр2 — a, 9a2p -\-27abp -{-B7*2 — а3)
ЛГ~3
отличны от нуля. Итак | В' | >• С6д^, | со' | >• -?- , т. е. (В1, (У) не есть решение.
Аналогично |В"|>С7д^, |<о"|>--^-, т. е. (В", С) не есть решение.
Докажем, что со' и со" не лежат на одной прямой с решением. В самом
деле, целая кратность со' и со" не может быть решением, ибо дает еще худшее
приближение к р, чем сами со' и со". Вместе с тем, со' и со" не могут быть
и кратностью решения, ибо d' = (B', С) и йГ = (?Г, С") ограничены констан-
константой d, не зависящей от х0, а лишь от коэффициентов a, b и величины пред-
представляемого числа v. Докажем это.
Известно, что для любых двух бинарных форм
<Р(*о. Уо) = 2 а*Хо~*У*о и Ф(*о. Уо) =
можно найти две другие бинарные формы
g(x0, у0) и h (х0, у0),
такие, что
и две другие бинарные формы g{xo,yo) и h(x0, y0), такие, что
Здесь полиномы g, h, g, h имеют в качестве коэффициентов полиномы от
ak и bt с целыми рациональными коэффициентами; Л?? ф есть результант функ-
функций ip и ф, т. е. тоже полином от ак и bl с целыми ' рациональными коэффи-
коэффициентами. Поэтому
fto/jc v»\. <h(Xn VnWUf? . •xZlifl~ . /? л' vm"r"—M = /? .'(Xr. Vn^'n+'l~i
ИССЛЕДОВАНИЯ В. А. ТАРТАКОВСКОГО ОБ ОГРАНИЧЕНИИ РЕШЕНИЙ 245
Так как в нашем случае, если под фиф понимать в одном случае В' (х0, уй)
н С(х0, у0), а в другом В"(х0, у0) и С (х0, у0), то
RB,t с,= 24, RBn, с»= — ЗА6,
где 4 = 4а3— 27ft2, и, следовательно, d' и сГ меньше, чем
т
(где v — представляемое формой число).
Условия невозможности для xlt yx быть решением принимают вид:
2
1
2 "
Условия G) наверное выполняются, если будут выполняться условия, полу-
получающиеся из данных заменой со" ббльшим числом Cx^s и В" ббльшим чис-
числом Cxjj, что дает для хг условия невозможности быть решением:
4
Г х2 <" х <Г —
Таким образом, xv большее, чем Сьх^, не может быть решением.
Аналогично, условия (8) наверное выполняются, если они будут выполнены
после замены со' ббльшим числом Сх^3 и В' ббльшим числом Сх3, что дает
для хх условия невозможности быть решением:
3 Ji
С х 2 °
Итак, мы получаем окончательный результат:
Если Jfj^-CjoX2, то jfj, jfj не может быть решением.
Но в интервале {хй, С10лг„2) решений быть не может. Докажем это.
Всякое достаточно большое решение х, у таково, что отношение — равно
подходящей дроби в разложении иррациональности р в непрерывную дробь.
Пусть ^ = одной из подходящих дробей ^, т. е. yo = dpn н xo=dq , где
х0 Чп
d=(x0, у0) меньше константы, не зависящей от Xq. Тогда4
17Р Р\
Чп*п + Яп-1 '
я-ное полное частное.
Отсюда
где яв есть я-ное полное частное.
т. е.
а>1~ Яп\Яп9—Рп\ tfT3* хо|х0р— уй\ ~~ *SS~C^~]' . ;
т. е.
Итак, х1^рп.1^7Л, т. е. уже ближайшая к х0 следующая за — подходя-
подходящи Чп
246 ТЕОРЕМА ТУЭ
1
щая дробь имеет знаменатель, превосходящий С10хг, а все остальные подхо-
подходящие дроби и подавно.
Следовательно, можно указать такое число М, зависящее лишь от коэффи-
коэффициентов формы и представляемого числа, что решений х, у, ббльших М, мо-
может быть только одно для каждого вещественного корня.
Аналогичный результат можно получить и для бинарных уравнений того же
типа высших степеней.
§ 70. Улучшение теоремы Зигеля о числе решений неравенства \f(x, у) \ eg к,
где fix,у) — кубическая двойничная форма положительного
дискриминанта
1°. Постановка задачи. Элементарные неравенства. В на-'
стоящем параграфе мы помещаем изложение результата Зигеля о числе решений
неопределенного уравнения f(x,y) =k, где f{x,y)— кубическая форма с це-
целыми коэффициентами. Зигель показал, что число решений такого уравнения
для формы положительного дискриминанта не превосходит 18, если дискрими-
дискриминант достаточно велик по сравнению с представляемым числом k.
Мы несколько изменим рассуждения Зигеля и докажем, что число прими-
примитивных решений (с взаимно простыми хну) неравенства
\f{x.y)\<k
не превосходит 15 [решения [х, у) и (—х,—у) не считаются различными],
если величина дискриминанта формы достаточно велика по сравнению с k.
Переходим к изложению.
Введем в рассмотрение кольцо кубических чисел, для которого форма/(лг, у)
является индекс-формой. Проектируем кольцо на плоскость нулевого следа,
выбрав оси координат и масштаб таким образом, чтобы комплексной координа-
координатой проекции точки (ю, о', ш") оказалась ее резольвента Лагранжа 6 = ш 4-
•ы
-\- о)'е -\- ю"е2, где е = е 3 . При этом кольцо спроектируется в плоскую решетку
точек с площадью основного параллелограмма, равною -^ ^ЗД, где А— дискри-
минант кольца.
Пусть (о,, (о3—нормальный базис кольца и (о=лг(о, -\-уи>^-\-г — общее
число кольца. Подсчитаем Дискриминант числа ш двумя способами. С одной
стороны,
/)(<о) = Д[/
с другой стороны,
Здесь 6 = (о -(-
Сравнивая результаты, мы приходим к выводу, что решение неравенства
[f(x,y)]s^.k в целых числах равносильно решению неравенства
в точках решетки, в которую проектируется кольцо кубических чисел, соответ-
соответствующее форме f(x, у). Последнее неравенство легко изобразить геометрически.
С этой целью введем полярные координаты в = гв'?. При этом неравенство
преобразуется в следующее:
Решить это неравенство в точках решетки значит найти все точки решетки
в области, ограниченной кривыми г'вшЗср =±-о-*кЗА (черт. 42).
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ
247
Прямые, проведенные пунктиром, разбивают всю область на 6 частей: I,
II, III, I', II', ИГ. Симметричные относительно начала координат области —1,1';
II, II'; III, III' — определяют решения, которые мы условились не считать раз-
различными. Таким образом, нам нужно подсчитать число точек решетки в об-
областях 1, II и III.
В каждой нз них подсчет производится совершенно одинаковым способом,
ибо изменение нумерации величин со, со', со" влечет за собой перестановку
областей I, II, III. Поэтому мы ограничимся под-
подсчетом примитивных точек в области I и докажем,
что в ней содержится не более 6 точек, если ди-
дискриминант достаточно велик.
Область (I) можно задать дополнительным не-
неравенством
Выведем теперь некоторые простые неравенства
для точек решетки, находящихся внутри области (I).
Прежде всего оценим разность 6 — 6 = 2rl sin ср.
| в — в"| = 2г| sinср | s?rsin Зср,
Черт. 42.
ибо при 1 ср | <С -g- имеет место | 2sin ср | ^ sin Зср. Следовательно-,
Пусть теперь 8j и 82 — две различные примитивные точки решетки внутри
области (I). В виду того, что они не лежат на одной прямой с началом коор-
координат, плошадь построенного на них параллелограмма больше или равна площади
основного параллелограмма решетки. Это приводит нас к неравенствам
~ /ЗД < /у21 sin (cpj — ср2)
у8 (| sin ср, 14-1 sin ср81 )
sinЗср2
откуда
2
V
Если
то
и, следовательно,
B)
Это неравенство оказывается ,сильным" при больших значениях для л, и .сла-
.слабым" для маленьких. Для последнего случая неравенство B) можно заменить
другим.'Именно
2" /ЗД < rf21 sin (ср, — <p2)l^ri'»
ибо
Ho r,
следовательно,
248
откуда
ТЕОРЕМА ТУЭ
Л2 =
C)
Расположим теперь точки внутри области (I) в порядке возрастания радиусов-
векторов:
3*
чр>(йГ-
Из неравенства B) выводим
откуда
При s — 2 получим
Применяя к г2 неравенство C), будем иметь
D)
E)
Неравенства C), D) и E) приобретают более симметричную форму, если мы
положим r=CkK&6t. Именно, они перейдут в неравенства:
1
1
1*
Л
C')
D)
E')
20. О полиномах Туэ — Зигеля. Для дальнейших построений нам
нужно исследовать некоторые полиномы, напоминающие полиномы Туэ. Именно —
полиномы Am(z), Bm(z), Cm(z) и Dm(z) возможно более низкой степени,
удовлетворяющие условиям
\81ft*/
— хВт (*8) = (l-
F)
где Vm и Wm в свою очередь полиномы.
Мы докажем, что условиям F) удовлетворяют следующие полиномы:
при четном т, т — 2п:
G)
л—1—
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ
при нечетном т, т = 2п-\-\:
л (~\ — V1 | п "г
B2n+l(Z)==
24»
k=0
n
^2Л+1 W —
^i»+i(*) =
ТГ \ / П -„
k
Z*\
— *
)
Самый короткий путь для получения формул, определяющих интересующие
нас полиномы, дает теория гипергеометрических функций. Не желая выходить
за границы элементарных рассуждений, мы непосредственно, способом матема-
математической индукции, докажем, что полиномы G) удовлетворяют соотношениям F).
Для этого прежде всего введем рекуррентные формулы, связывающие поли-
полиномы с различными номерами и их производные друг с другом.
Эти формулы:
Здесь
Вт+1 {г) = атВт (z) - pm (I - z) Bm_t (z);
') = 1mCm{z)—tmV—*)Cm-ii*Y.
= 2:
Г2п"
Я-J-l' Р2Я + 1 Л+1' ^2Я+1 Я+.1'
= 3л —2; A2я = 3л—
Здесь
Соотношения (8) и (9) легко проверяются непосредственно.
На основании соотношений (8) и (9) легко доказать соотношения F).
Переходим к доказательству.
Соотношения F), очевидно, выполняются для /и=1 и т = 2.
Допустим, что они выполняются для всех полиномов, индексы которых не
превосходят т0, и докажем в этом предположении, что они будут выполнены
дяя полиномов с индексом /rao-f-l.
Тем самым соотношения F) будут доказаны для всех полиномов.
Соотношения (9) показывают, что
— xB
m_t
250 ТЕОРЕМА ТУЭ
Отсюда, на основании соотношений F), справедливых, по предположению,
при всех т^,т0, получим:
Положим теперь х=\. Это нам даст
Принимая во внимание, что
лолучим:
BлI
Bл B
(ЗяI
Рассмотрим теперь выражения
•и докажем, что оба они делятся на A—х)"»+1.
На основании соотношений (8)
Легко видеть, что выражения, находящиеся в квадратных скобках, делятся на
1 — х. В самом деле, оба они обращаются в нуль при х = 1, ибо
что легко проверяется непосредственной подстановкой значений V(l), W(l),
а, $, у. & отдельно при четном и нечетном т0.
Тем самкм, соотношения F) доказаны полностью. Отметим еще некоторые
свойства полиномов Ат, Вт, Ст, Dm, Vm, Wm, которые нам будут нужны
в дальнейшем.
Свойство 1. Полиномы Vm(x) и Wm(x) имеют положительные коэффи-
коэффициенты.
Доказательство. Положим
Ум (х) = 2*2»** Wm (х) =
Старшие коэффициенты функций Vm и Wm, очевидно, положительны, на осно-
основании соотношений F).
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ 251
Коэффициенты полиномов V,, V2, Wv W2 также положительны, в чем
убеждаемся непосредственно проверкой. .
Предположим, что коэффициенты полиномов Wm_1 {x) и Vm_-i {x) положи-
положительны, и в этом предположении докажем положительность коэффициентов
Wm(x) и Vm(x). Тем самым свойство 1 будет доказано.
Соотношения (9') дают:
На основании положительности чисел ^mvmi]_l и V-m^z\} заключаем, что коэф"
фициенты t><*> и «К*) положительны, если только ^+1) и «;<?+•) положительны.
Следовательно, в виду того, что старшие коэффициенты функций Vm и Wm
положительны, все »W и да№> положительны, что и требовалось доказать.
Свойство 2.
(!)'"'.
последние — при /м > 3, если только j z \ ^ 1.
Доказательство. Вследствие положительности коэффициентов полиномов А,
С, V и W
Значения Vm(\) и ^„,A) нам уже известны.
Значения /4тA) и СтA) легко находятся из формулы (8), которые при
z= 1 дают
Принимая во внимание, что em=yms^2 и что /42A) = С2A) = 1, получим
Ая$) = Ся{\) = ая_хая_9...(
точнее,
Л2я+1 V1' C2/J+J V1' (Л|)« ' Л2п\Ч °2в V'
2я+1 V1' C2/J+J V1' (Л|)« ' Л2п\Ч °2в V' л! (Л—1)!"
Для полиномов ^(г) и Wm(z). имеем:
/п_П7 ,1ч— (ЗяI _3я—1 Зл-2 Зп-4 Зл-5 5 4^ 2 ?
nD— wtaK4 — 3"n!Bn)!~" 2л *2л—Г2л^Г2л—З--' 4* 3* 2* 1
з«.л!Bл
(Зл>! Зл+2
^ 3 \2/.
(Зл>! .Зл+2 5 / 3 \2я-4 / 3 \2я-1
*\2"/ ^
при л^> 1.
Свойство 2 доказано.
Свойство 3.
Ат (*•) Ст (л:») - х *Вт (х з) Ои
при Jf8=4r 1.
252 ТЕОРЕМА ТУЭ
Доказательство.
Умножив первое равенство иа Cm(xs), второе иа хВт(ха)и сложив,
получим:
К(*8) Ст№)~**Вт(**)Dm (х*) = (\-хГ [Ст(л:») Vm(х) + хВт(х*) Wm(*)].
Левая часть есть полином степени т от х3. В виду того, что он делится на
A—х)т, он должен делиться и на A—xs)m. Частное от деления есть постоян-
постоянная, очевидно, отличная от 0, ибо она равна Ат@)-Ст@). Итак,
Ат (*8) Ст (л:») - х*Вт (х») Dm (х*) = Ат @) Ст @) A - х*)» ф О
при Xs =^= 1, что и требовалось доказать.
Свойство 4. Для полиномов с нечетными номерами имеют место соотно-
соотношения
( J ) ==
— очевидно.
Свойство 5. Коэффициенты полиномов Лм+1, ?м+1, C2n+], ZJn+, ста-
Г- /»1
новятся целыми, если их умножить на Мп = 3 * . (То же самое имеет место
и для полиномов с четными номерами.)
Доказательство. Рассмотрим биномиальный коэффициент
п + т^
Выделим в знаменателе степень тройки k\ = 3x-K, где К не делится на 3.
Через s обозначим решение сравнения
3s =\ (mod К).
Тогда (Зп-\-\)(Зп — 2) ... (Зл + 4 — 3k) = 3k(n-\-s) (n-\-s— 1) ...<л +
-\-s — (k — \))=E0(modK), ибо (n-\-s)(n-\-s—\) ... (n-{-s — (k — 1))i де-
делится на А!, а следовательно, и иа /Г.
Итак, Зк+х(П~^ J есть число целое. Но ? + *=*+ [-|J _|_ [|.J _|_
+...<¦!*.
ТаКим же образом убедимся в том, что 3'+х( 3 I есть число целое, при
х( 3 I
^n — kJ
Следовательно, з'-* ¦'•( 3I 3] есть целое число, т. е. МаА2а+1{г^
\ k J\n — kJ
имеет целые коэффициенты. Точно таким же способом убеждаемся в том, что
уИдС2я+1 (z) имеет целые коэффициенты.
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЁЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ
253
3°. Построение заградительного ряда.
Лемма. Если 6 есть резольвента числа <о из кубического кольца, то
bF1 (О3, Щ и 62F2 Fs, 6s) суть также резольвенты чисел того же кольца,
если F1 и F2 — полиномы с целыми рациональными коэффициентами.
Доказательство. В виду того, что в8 и в3 корни квадратного уравнения
с целыми коэффициентами,
f-Дв8, р) = А 4- В~Ъ*; F2 (О8, "О8) = С 4- #08
при целых рациональных А, В, С и Z). Следовательно, принимая во внимание,
что ЬЬ — целые рациональные, числа 6/^ (б8, 6s) и 62F2F8, 6s) могут быть пред-
представлены в виде АХЬ -\- Sj62 при целых рациональных А1 и Bv Ь есть резоль-
резольвента <о, в2—(w-{-w's2 + w"sJ = w24-2<eV'4-(<o'24-2<oa>'')e4 (в>*2 4" 2W(I)')g2
есть резольвента числа <о2 4- 2ю'ю* = За>2 — 2ia>4-2^, принадлежащего кольцу
вместе с <о. В виду того, что резольвенты образуют решетку, А$ -\- fijO2
является тоже резольвентой числа из кольца, что и требовалось доказать.
Переходим теперь к построению .заградительного ряда".
Пусть 0 — точка в области I, дающая решение неравенства |/ (х, у) | sS k.
Введем в рассмотрение точки
/л. \
ь8л + 2
Г- 1
Здесь Mn = 2r-2 \ А2п+Л и С2п+1 — полиномы, введенные в предыдущем
пункте параграфа.
Точки Нп и Кп принадлежат решетке, в которую проектируется кольцо,
ибо jWff42n+1 f—J68" и jWnC20+1( =jj ¦ t)8" суть полиномы от б8 и О3 с целыми
рациональными коэффициентами.
Точки На, Кп ие лежат на одной прямой с началом координат, ибо
Г+8
?>
2я+1
так как х9 = р- ^ 1.
Оценим модули Яя,
Нп НгР Кп Кп-
А
<3
3
-„я
1 —
3
Т
2П-1
К».., 4-
— в|
254 .iHP* ТЕОРЕМА ТУЭ
з
;овательно,
Таким же образом
S"+1 /о \4Л л+—
Пусть 61=r1ei<p — какая-либо точка в области I. Точка 6, не лежит на одной
прямой с одной из точек Нп, Кп. Следовательно, площадь основного паралле-
параллелограмма решетки не превосходит площади параллелограмма, построенного иа 0}
и Нп или, если эта последняя равна нулю, не превосходит площади параллело-
параллелограмма, построенного иа в, и Кп.
Это приводит иас к тому, что должно выполняться одно из неравенств
ИЛИ «.«.,, - х-, /•8л + 2
1
2"
.1.
.2 J \2/ rSn^i
Если невозможно второе неравенство, то невозможно и первое. Поэтому будем
интересоваться только вторым неравенством. Оно значительно упрощается, если
II ! 1
положить г=C&K Д6/, r1 = CkK Д6/, что мы уже делали раньше для упро-
шяния элементарных неравенств. После очевидных преобразований получим
где с1 — абсолютная постоянная.
Пусть t1=^ft и возьмем л= \i>\- Тогда
что дает после упрощений
Это неравенство, очевидно, невозможно при v ^ 4 -J- s и при достаточно
больших /. ,
Отсюда уже следует конечность числа решений неравенства \f(x,y
Положим теперь, что Д^81А*, и допустим, что неравенство |/(дг,y)\
имеет семь решений в области (I). Примем за t число, соответствующее четвер-
четвертому решению, за tfj — число, соответствующее седьмому решению. В силу
неравенств D') и E1) имеем
t* т. е. 8
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ 255
Принимая эти неравенства во внимание, получим
17 25 7 у
Это неравенство невозможно, если
3v 17v - 50
Для того, чтобы последнее неравенство было невозможно при всех v Э» 8, нужно
потребовать
17.8 — 50
Итак, если А>с8&48, неравенство |/(*,_у)|<А не может иметь больше шести
примитивных решений в области I и, следовательно, всего не более 18 реше-
решений. Константу с8 можно подсчитать. Грубый подсчет дает для нее величину
порядка 1088.
Точно таким же способом легко доказать, что, если /(х,у) кубическая
форма отрицательного дискриминанта, неравенство |(f(x,y)]^k имеет не более
шести примитивных решений при достаточно большом дискриминанте.
В этом случае за координаты проекции нужно взять резольвенты 6=«o-f-
-\- <о'е -\-.<й"е2 и б = <о -f- <o'e2 -\- <о"е, которые обе будут вещественны, если <о —
вещественное, «' и <о*—сопряженные комплексные.
Задача сводится к подсчету точек решетки резольвент в области
|6S — 03|<3*/ЗД.
Роль „/•* в оценках будет играть большая из координат точки. Все оценки
в этом случае проводятся так же, как в случае положительного дискриминанта,
но только с другими константами.
4°. Дальнейшее уточнение результата Зигеля. Уточним те-
теперь результат, полученный в предыдущем пункте, введя в рассмотрение также
и полиномы с четными номерами, которые мы до сих пор не привлекали к по-
построению „заградительного ряда".
Предварительно докажем следующую лемму о проекции кольца.
Лемма. Произведение резольвент двух чисел кубического кольца есть
сопряженная резольвента числа того же кольца.
Доказательство. Пусть «j и <о2— числа, образующие нормальный базис-
кольца и
(*!» У\> z\ и xv У& гъ — цел рациональные числа) — произвольные числа
кольца. Обозначим через 6j и 62 резольвенты чисел «j и <о2. Тогда произве-
произведение резольвент чисел ср, ф равно
Мы уже доказали (лемма 3°), что 6J и Щ суть сопряженные резольвенты чисел
кольца. Остается то же самое доказать для 6j62.
Но
9 А = («1 + <s + 4s2)
откуда следует, что 6j62 есть сопряженная резольвента для числа <»i*»2 Ч~ *°i Ш2 ~Ь"
256 ТЕОРЕМА ТУЭ
-\- nt*m'2. Это число принадлежит взятому кубическому кольцу. Действительно,
= ad-{-ad
= <ш —|-
(№ — ac) <n>i
= be — ce>j — й<о2.
Здесь a, b, c, d — коэффициенты индекс-формы кольца.
Тем самым лемма доказана.
Обратимся теперь к полиномам с четными номерами.
Когда мы строили заградительный ряд посредством нечетных полиномов,
для нас был нажен факт ограниченности снизу модуля величины
если только она отлична от нуля.
Ограниченность модуля этой величины снизу вытекала нз того, что этот
модуль представляет собою удвоенную площадь основного параллелограмма,
построенного на двух точках 6j и взл+1ЛГ2л+1Л/в (-р ) решетки резольвент.
Если составить аналогичную величину
исходя из полиномов с четным номером, то она, не имея такого простого гео-
геометрического смысла, все же будет ограничена снизу по модулю числом, зави-
зависящим только от дискриминанта области.
Действительно, в виду того, что А2я является полиномом степени п, В2 —
полином степени п—1, и в силу доказанной выше леммы величина и2п
.является сопряженной резольвентой для одного из чисел кольца, т. е. точкой,
симметричной относительно вещественной оси с одной из точек интересующей
нас. решетки — проекции кольца.
Далее, легко видеть, что ?/2я^
Действительно, если бы ?/2л=0, мы имели бы
(Г /"es\ ~5 /~93\
9j Л2л \ ©ау о °2« \ в» / * w
Это равенство оставалось бы верным при переходе к комплексно сопряженным
числам, что дает
В силу доказанного ранее свойства полиномов А2п, В2п имеем
2л\18/~~"в8» 2л\93
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ 25?
откуда
Умножив почленно последние равенства (*), мы получили бы
А A1) с С^)-^В (~^)d (*)
что невозможно, ибо
Ап (*) ?>л (х) - х • В2п (х). D2n (х) = А2п @) • С2П @) A — *)» ф 0
при д:=-р-=^1.
Итак, Uin=jt=0 и является точкой, сопряженной с одной из точек решетки
резольвент.
Отсюда следует, что
ибо все точки решетки резольвент расположены на кривых г31 sin Зср | = -^ k |/ЗД
при целых рациональных k, и, следовательно, модуль каждой точки решетки
i_
резольвент г"^ (у К ЗД) .
Итак
Обозначим, как раньше, |6| = r; 6j = гх.
Из последнего неравенства получаем
Переходя от величин г и г, к величинам ? и flf получим
или, положив t,-=v,
+ — —
1 <Ccnk ЗД2 (tsn~2'>-\-f~3n) (**^
Сопоставим это неравенство с неравенством, полученным ранее из рассмотрения
полиномов с нечетными номерами,
Первое из этих неравенств дает наилучший результат, если v близко к четно-
четному числу 2/г, второе, если v близко к нечетному числу 2/г —|— 1. Всю область
возможных значений для v разобьем на интервалы 2/г — а^у^2п-\-а и
2я И- 1 — P^v^2«-]-l-j-p, окружающие все целые числа. Эти интервалы
17 Теория иррацион. 3-й степ.
258 ТЕОРЕМА ТУЭ
покроют все вещественные числа, если взять a-f j$ = l. Числа а и (J мы в
дальнейшем выберем наиболее целесообразным образом. Для каждого значения
v подберем соответствующее значение п. Будем иметь
если v попадает в интервал, окружающий четное число, или
если v попадает в интервал, окружающий нечетное число.
В первом случае неравенство (**) даёт:
Jiii.ii « •>+• ___.4- —
1<с_* 1>А 4 -t 2 2. (А)
Во втором случае неравенство (%*) дает:
Пусть t соответствует четвертому решению в области (I). Тогда на основании
т_
элементарных неравенств 1° этого параграфа ^^(отп) > И) следовательно,
или
17 11 13 „
Покажем теперь, что при достаточно большом Д количество точек в обла-
области (I) не более пяти. Действительно, для шестого решения v^4, если
только Д{3г81&*. Неравенства невозможны, если
17 . 1 13
17 11 13
в
Д>с83 3-й 3 з f
если только v>6a и v _>- 6|i —J— 1, и, следовательно, неравенства невозможны,
если
35 13
"Т"
2 2 р
Д>с4-А »-2Р ,
2 1
если только a < -=-; р <С -j •
„ 96 о 69
Взяв a = jgg, р = щ» мы получим невозможность неравенств, а следо-
, вательно, и невозможность существования шестого решения в области (I) при
УЛУЧШЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГ ЕЛ Я О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ 259
5°. Ограничение всех решений неравенства \/(х,у)\^к в
области (I), кроме двух. Из неравенств (А) и (В) очень легко получить
границу для значений t в решениях неравенства \/(х, у) | =sj k, выше которой
могут быть не более двух решений в области (I).
2 1
Действительно, положив в неравенствах (А) и (В) а = ¦=¦, р = у, полу-
получим
1+1 1_2 _'
2 ?.Д4 6-* 2
Заменим их одним более грубым неравенством
J 3(l »
Оно, очевидно, невозможно при у^З и
13
8
13
Пусть существует решение, для которого t^>c\(k\rbK. Тогда, если только
существует решение, для которого tx > t, должно иметь место
Но в интервале t<C.ti<C.is может находиться не более одного решения,
если только t достаточно велико. Действительно, пусть существуют два tx и tv
Тогда в силу неравенства D)
' > §F * > ^ 6СЛИ Т0ЛЬК° ' > Ж
Итак, при f^>-^=. и ^>^(А^ ДK может быть не более двух решений
в области (I), что и требовалось доказать.
17*
ГЛАВА VI
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗ-
НЕИЗВЕСТНЫМИ
А. РЕШЕНИЕ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Некоторые важные задачи теории кубических иррациональностей эквивалент-
эквивалентны задаче о решении в целых рациональных числах неопределенного уравнения
3-й степени вида f(X, Y) = a, где/—заданная кубическая двойничная форма
с целыми рациональными коэффициентами а, Ь, с, d, a a — заданное целое
рациональное число. К решению такого неопределенного уравнения, например,
сводится вопрос о том, имеется ли в данном кольце целых кубических чисел
степенной базнс, в частности, имеет ли данное кубическое * поле степенной
базис. На такое же уравнение сводится связанный с предыдущим вопрос о том,
имеются ли целые кубические уравнения с заданным дискриминантом и т. д.,
но и некоторые замечательные задачи элементарной теории чисел также экви-
эквивалентны задаче о решении такого уравнения. Такова, например, задача о рас-
распределении квадратов и кубов в натуральном ряду чисел. Вопрос идет о сле-
следующем: если задать некоторое положительное целое рациональное число к,
то имеются ли в ряду квадратов и кубов целых рациональных чисел сколь-
угодно далеко такие числа, разность между которыми не больше к, или же мо-
можно указать в натуральном ряду такое место, что для всех квадратов и кубов,
следующих за этим местом, разность между ними уже больше k. Теория не-
неопределенных уравнений 3-й степени показывает, что верно последнее, причем
оказывается, что число таких квадратов и кубов, разность между которыми не
больше заданной величины к, может быть ограничено в зависимости от к.
Любопытно, однако, что все до сих пор известное не дает еще возможности
найти сами все такие квадраты и кубы..
Теория неопределенных уравнений /(X, К) = а третьей степени с двумя
неизвестными, т. е. теория кубических двойничных форм пока еще весьма
несовершенна. Действительно, до сих пор полностью не решен еще даже
вопрос о представлении чисел такими формами. Правда, замечательная
теорема, данная Туэ, показывает, что число таких представчений всегда
конечно. Но в смысле тех требований, которые надо предъявлять ко всякой
арифметической теории, эта теорема может быть рассматриваема лишь как
первый ftiar, который ведет к постановке дальнейших вопросов.
Первый вопрос, который представляется, состоит в определении точной
верхней границы для числа представлений.
Второй вопрос состоит в нахождении конечного и, если можно, удобного на
практике, алгорифма, который в каждом данном случае давал бы возможность либо
найти все представления, если они есть, либо показать, что представлений нет,
если их не существует.
Первый вопрос вполне решен в работе Б. Делоне .О числе представлений
числа кубической двойничной формой отрицательного определения" (Изв. АН
за 1922 г.) по крайней мере для случая, когда определитель формы от-
отрицателен. Что касается второго вопроса, то и он для этого же случая практи-
практически также решен Б. Делоне в работе .Ober den allgemelnen Algorithmic der
РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ аХ» + У»= 1 261
Erh6hung" (Журн. Ленинградского матем. об-ва за 1927 г.), где дается алго-
алгорифм, который пока во всех частных примерах либо давал все решения, либо
показывал, что их нет. Однако теория этого алгорифма не закончена, так как
нельзя с уверенностью утверждать, что он оборвется всегда, как он обрывался
во всех пока рассмотренных, хотя и многочисленных, примерах. Некоторые
специальные типы уравнений /(X, Y) = <s были окончательно решены Б. Дело-
Делоне, Т. Нагелем и Д. Фаддеевым.
Мы рассмотрим в настоящей главе все, что до сих пор получено относи-
относительно представления чисел формой /(X, Y), т. е. о решениии в целых числах
неопределенных уравнений 3-й степени вида:
§ 71. Решение неопределенного уравиеиия аХ*-\-У* = 1
1. Сведение задачи на разыскание двухчленных единиц.
Мы будем предполагать число а положительным целым рациональным числом
и неполным кубом и будем искать решения уравнения
аХ3+Гз = \ A)
в целых рациональных числах X, Y. Всегда имеющееся решение Х= О, К= 1
мы будем называть тривиальным.
Из тождества
з - з - з - / —
V + Y) {Xtf/ + Y) (Xty' + Y) \ где С = в 3
з - з /
а + Y) {Xtf/a + Y) (Xty'a + Y) \ где
мы видим, что каждому решению X, Y уравнения A) соответствует некоторая
положительная (т. е. норма которой -(-1) алгебраическая единица вида
Ху^а 4- Y с целыми рациональными X, К и что, наоборот, всякой такой единице со-
соответствует решение уравнения A). Мы будем дальше рассматривать положи-
положительные единицы вида А (уа J -(- В \'а 4- С, где А, В, С—целые рациональ-
рациональные числа, т. е. положительные единицы кольца [(j/*O2, j/a, 1] со степенным
базисом (]/аJ, у а, 1. Мы будем для краткости это кольцо обозначать че-
рез Оу^а.Те" из таких единиц, которые имеют вид Вуа-\-С, т. е. не содер-
содержат члена с (у'аJ, мы будем называть двухчленным и. Задача о решении
уравнения A) сводится таким образом к разыскиванию всех двухчленных единиц в
кольце О (/а).
з,—
2. О единицах в кольце О у а. Уравнение Хь=а имеет один ве-
з,
щественный корень и два комплексно сопряженных. Все единицы кольца О у а
получатся, следовательно, от возвышения в степени со всевозможными целыми
рациональными показателями некоторой одной, так называемой основной, едини-
единицы этого кольца. Если е — какая-угодно единица, отличающаяся от -+- 1, то
S, —s,—, также единицы, причем из этих 4 единиц, очевидно, одна и
только одна больше нуля и меньше 1, ее мы будем называть положительной
прямой единнцей.а ейобратную—положительной обратной единицей. Из 4 единиц,
з,—
так связанных с основной единицей кольца О (у а), мы будем обозначать через
?0 ту, которая удовлетворяет неравенствам 0<е0<1, и будем ее называть
положительной прямой основной единицей, и ей обратную rio = s~^1 — поло-
положительной обратной основной единицей кольца Оу^а. Все положительные пря-
прямые единицы кольца О j/a суть, очевидно, степени с целыми положительными
262 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
показателями т этой прямой основной единицы е0, а положительные обратные —
такие же степени обратной основной единицы 7H. Задача решения уравнения
D) сводится, таким образом, к разысканию всех тех целых положительных
показателей т, при которых либо е{", либо т)™ двухчленна.
3. О степени обратной положительной основной еди-
единицы И]о.
Теорема I. Коэффициенты любой обратной единицы все три поло-
положительны.
Эта теорема очевидна геометрически, так как плоскости, построенные на
векторах 01, Оуа, 0(/аJ, как легко видеть, имеют высшие точки своих
з,
пересечений с поверхностью (x2-\-y2)z = 1 на высоте z = у 4. Но на высоте
между z=\ и 2 = т/Ч лежат на поверхности (л:2-\-у2)z = 1 только две
точки, принадлежащие кубическим неприводимым максимальным решеткам О,
а именно, точки, принадлежащие решеткам с дискриминантами — 23 и —31,
решетки же О -/а имеют дискриминанты <С—108, и, следовательно, все
точки О у/И, лежащие на верхней части поверхности (х2-\-у2J=1 (т. е. при
2>1), т. е. все обратные единицы, лежат в чисто положительном триэдре
трехвекторника 01, 0]/а, 0(|/^)г. Таким образом, если А(угаJ-\-
-]- В у^а -(- С— прямая единица кольца О у^а, то все три коэффициента
А' = В* — АС; В' = А*а — ВС; С — С* — АВа B)
обратной единицы положительны.
Из этой леммы следует, что двухчленные единицы надо искать только сре-
среди степеней прямой основной единицы.
4. О степенях единицы, имеющих вид В\/И-\-С или
А&а)* + С.
Теорема II. Никакая степень с целым положительным показателем
единицы, вида Ву^а-^Сили вида А(\/аJ-\-С не может быть •двухчленной.
Нам надо показать, что при возвышении в степени с целыми положитель-
положительными показателями т единиц вида В \fa -\- С или А (у а J -\- С получаются
единицы вида M{y^aJ-j-Py^a-^Q, у которых М^фО. Действительно, если
бы (В |/а -}- С)т или (А ()/а J -(- С)т давало М = 0, то мы имели бы одно из
следующих равенств:
для (В у^а + С)т
•т (т 7.2.зт ~2) + •• 1)
если т вида /ге = ЗХ-|-2;
ft-i т(т — \) . „_2 ,_,. т (т — 1) (т — 2) (т — 3) (т — 4) ,
* Ь2 *"« V* > 1.2-3-4-5 Г-"
если т вида /и=3I-|- 1;
1^1;^1"-^ + .7. +
если от вида /и = ЗХ, причем, тут через ? обозначено В8а;
РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ аХ» + У = 1 263
для (А $"а Y + С)т
.(С) .
если m вида т—ЗХ-|-2;
ех-1.
- 1Н« - 2)
если т вида т—ЗХ-|-1;
~_2 ~ т(т — \)(т — 2)(т — 3)(/и — 4)
"Г * '^ ' 1-2-3-4-5
если /и вида т=ЗХ, причем тут везде через 5 обозначено Asa2.
Ч — * Я —
Но в силу того, что В-/а-\-С и А{/аJ-\-С—единицы, мы имеем ра-
равенства В*а-\-Сь = ±\ и Asa2 -(- (У = + 1, из которых мы видим, что Въа и
А3а2 взаимно простые с С, т. е. что $ и С взаимно простые. Если предполо-
предположить, что а^>2, то мы получаем из этих равенств, что |С|>1.
Пусть теперь тс—простой делитель С, и пусть в том из этих шести ра-
равенств, которое мы рассматриваем, биномиальный коэффициент при высшей сте-
степени S делится точно на тс\ Удержим в числителе каждого из следующих
биномиальных коэффициентов первые два множителя, т. е. т(т—1), а в зна-
знаменателе 'последние два и сократим все остальные множители знаменателя
с произведением остальных множителей числителя, что всегда можно сделать,
так как для любого я>0 и 0<?<я число *(*—») (я—2) ¦••(» —*+П
целое. Первый член рассматриваемого равенства делится точно на х-ую степень
тс, а в остальных степень я, которая будет утеряна вследствие возможного
содержания тс в обоих остальных множителях знаменателя, меньше, чем степень
я, которая будет приобретена вследствие того, что С делится иа я, так как
даже если тс =2, все же тсз^-б, Tie>8, тсв>11 и т. д.; кроме того, целый
множитель, получившийся от сокращения указанных множителей знаменателя
с указанными множителями числителя, может еще содержать простых делителей тс.
Все члены равенства, следовательно, делятся по крайней мере иа itx+1, а пер-
первый член только на гсх; такое равенство, следовательно, невозможно.
В случае а = 2 мы имеем |С|=1, и нельзя провести предыдущего рас-
рассуждения. Но этот случай относится к уравнению 2лг3 -(-у3 = 1, которое было
решено уже Эйлером, показавшим при помощи метода Ферма „de la des-
cente tnftnle ou indefinite", что уравнение это, кроме решений лг=О, у= 1;
х= 1, у = — 1, не имеет никаких других решений не только в целых, но даже и
в дробных числах. Теорема, следовательно, верна и для а =2 и, значит, доказана
полностью.
5. О квадрате единицы.
Теорема III. Квадрат иррациональной единицы кольца O(\fa) не мо-
может быть двухчленной единицей.
Доказательство. Пусть М(-/~а~J-\-Р-/ a -\-Q единица, и квадрат ее
имеет вид /Jj/a -f-C; тогда
* — 3MPQa=l . C)
0. D)
Мы покажем, что уравнения C) и D) не имеют общих решений в целых
рациональных числах М, Р, Q, кроме решений М = Р=О, Q=l или
264 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
P=Q=0, M=\, л = 1, которые нам не подходят, так как тогда либо
рассматриваемая единица рациональна, либо а, против предположения, равно 1.
Из D) мы получаем:
1. Q = Y2> М = — 2а2, Р = ±
или 2. Q = —у2, М = 2а2, Я
или 3. Q=2f, . М = — а2, Р=±=±2ау,
или 4. Q = —2у2, М — а?, Л = ±2ау.
Если мы это подставим в C), то получим
— Ы2 ± 20tf -f у6 = + 1, E)
^2 Чп 20/у3 — 8у6= -|- 1, G)
— 8у6= — 1, (8)
если обозначить а2 через. t. Из E) мы имеем t = '¦ j—'- ; 27у6 — 2
должно, следовательно, быть квадратом, например z2, т. е. ,г2-|-2 = и3, где
а = 3у2* или (zЧ-V^2)(z — ]/^~2) = а8. Множители 2-f/—2 uz—]/—2
не могут иметь общего делителя, взаимно простого сдвойкой. Но о — нечетное
число, и числа г4/—2 и г—т/—: 2, таким образом, взаимно простые,
и следовательно представляют кубы целых алгебраических чисел в Q (j/— 2)
[в Q(y^—2) все идеалы главные и имеются только две единицы: 4-1 и —М-
Но все числа ноля Q (^/—2) имеют вид u-\-v\/—2, где и и v — целые
рациональные; мы имеем, следовательно,
f.— 2 — 6иг>2 — 2-w31/— 2.
Отсюда мы получаем За2© — 2г>3 = г>Cи2— 2г>2)=1, т. е. г»=±1, и, таким
образом, За2 — 2 = 4^.1, т. е. и —4^1, и, следовательно, z = u3 — 6uv2 =
, , . ±20±20 п п an
= гЬ5, откуда получается у = +1 и с = ^г =0. Если же г = 0, то
и а=0, и мы получаем
М = 0, Я=0, Q=l.
Из уравнения F) следовало бы у6= — 1 (mod 4), что невозможно.
Уравнение G) можно написать и так:
и2 — <
если положить ^4;10у3 = и, или так:
и —1 и+1
2 ' 2 ~0'
где о=3у2. Число а — нечетное, так как t, как это видно из G), нечетное;
и— 1 н4-1
—=— и —-к— , следовательно,—два последовательных целых рациональных числа,
и'они оба! таким образом, должны быть кубами, откуда вытекает, что одно
из них равно 0 и о=0, т. е. и у=0, и мы получаем
Р=0, Q = 0, Л*=1, а=\.
Уравнение (8) дает ^=—1 (mod 4), что невозможно.
6. О кубе единицы
Теорема IV. Куб иррациональной единицы кольца Q {/ а) не может
быть двухчленной единицей.
РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ аХ* + У = 1 265-
Доказательство. Пусть M(yr~a~Y-\-P-/ a -\-Q — единица, т. е.
=\, (9)
Ч — Ч —
и пусть (М (У а J ~|- Р'•/ a -f-QK— двухчленная единица, т. е. коэффициент
3—
(
3/—
ее при (]/ а
A0)
Мы покажем, что уравнения (9) и A0) не имеют других совместных решений
в целых рациональных числах М, Р, Q, а, кроме решений М=Р = 0, Q=\
и М— Q=0, Р= 1, а= 1 или Р— Q=0, М=\, д= 1, которые нам не
подходят, так как дают, либо что возводимая в степень единица рациональна,,
либо что а, против предположения, равно 1.
Пусть Ь— общий наибольший делитель М и Р; Q, как это видно из (9),
взаимно простое с а и 5. Из A0) мы видим, что М=Ь2-т, Р=Ь-р, где
уже тир взаимно простые, так как иначе § не был бы общим наибольшим
делителем М и Р.
Мы получаем из A0):
или —m2b*pa—Q(p2-\-mQ).
Но т — взаимно простое с р, а, следовательно, и с p2-\-mQ. Мы получаем,,
таким образом, Q = /w2<7, или —m2bspa = m2q(p2-\-mBq), или —р$а =
= q(p2-\- msq). Но q— взаимно простое с § и а, так как q — делитель Qr
и, следовательно, p = g-s, или —gsb3a = g(g2sz -\-msg), или —sb3a =
= g(gs2 -\- /и3). Но д—взаимно простое с § и а, и мы имеем, следовательно,
s=zqe, или —qe$aa=q(qse2-\-ms), или —e№a = qie2-\-m*. Но е — дели-
делитель s, а потому делитель и р, и значит е — взаимно простое с т, откуда по-
получается, что в = +1. Мы получаем, таким образом:
P—±q4, Q=m2q, MPQ= +
или, если мы это подставим в A):
Но мы имеем $ = -\--—! , т. е. мы получаем
/и3 (т3 + q3J — (/и3 + ?3) Яе + от V -|- 3/и3<73 (/и3 -J- Я3) = 1.
или, если мы положим m2q = l, mB — <73==1А< уравнение
9Х3 + |л3=1, A1)
т. е. опять уравнение нашего же типа, но специально для а = 9. Прямая по-
Z, Ъг ¦—-
ложительная основная единица кольца Q(y 9) есть /9—2, т. е. она двух-
двухчленна. Уравнение A1) имеет поэтому, в силу теорем I и II, только нетриви-
нетривиальное решение X = 1, ц = — 2 и еще тривиальное решение X = 0, jjl = 1. Но
случай Х=1, )А = — 2 дает, в силу т3 — ^3= jjl, т = —1, q= 1, и, следо-
следовательно, 5 = 0, т. е. М=Р=0, Q=l, а случай Х = 0, ji= 1 дает либо
ти=О, q = —1, либо от=1, <7 = 0, т. е. дает Af=Q = O, P=l, а= 1
или P=Q = 0, M=\, а=\.
7. Доказательство основной теоремы. Мы сейчас показали, что
квадрат и куб единицы ие могут быть решениями; если бы мы хотели это же
доказать для пятой степени, то надо было бы показать, что нет таких целых
рациональных чисел М, Р, Q, а, из которых первые два не равны нулю одно-
266 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
временно и последнее а>1, которые удовлетворяют одновременно уравнениям
МЧ2 Л- Р*а + Q3 — 3MPQa= 1
и
5M*Qa2-\-\0MBPsa2-\-30M2PQ2a-\- 20 MP2Qa Л-5 MQ* Л-Р^аЛ- \0P2Q3—0.
Это уравнения уже довольно сложные, и не видно, как это сделать. Однако,
¦если использовать все доказанные теоремы, то следующий метод ведет к цели
даже в случае любой степени единицы и дает полное решение уравнения A).
Пусть А (У а у Л-В У а Л-С—единица кольца О (У"а) и [А(]/а)*Л-
-+-?]/ а Л- С]т — М (\/а)* Л-Р У а Л-Q; тогда легко видеть, что
Л- Z2 [AZ. (faJ Л- В? fa'Л- С]«,
з - ^
где С, как и раньше, есть у\ =е3 .
Пусть М=0. Рассмотрим отдельно случаи т=3у Л-2 и /и = Зу-}- 1.
Случая /и = 3у, в силу теоремы IV, нам рассматривать не надо.
Итак, пусть m = 3y-|-2 и М=0; мы имеем тогда равенство
[AZ. (fa Y Л-В fa Л- СРУ + [A? (fa)* Л-В fa Л- (Х)т =
=—[A(far + в fa л- сг.
В силу теоремы III можно считать, что m нечетное, в таком случае [CMd/)
Л- В fa-\-ZC]-\-[ZA(fa)z Л- В^а-|-С2С] делитель [A (faf
3, 3.—
т. е. алгебраическая единица, т. е. — А (у а J Л- 1В У а — С есть единица, и мы
Р8
р (у
имеем — А*сРЛ-8 B3a — C* — 6ABCa =
С другой же стороны, мы имеем
_ ЗАВСа=
•откуда получаем сложением
— AQ = 2 или О,
т. е. либо В9 — АС=0, либо В = 0; но В2 — АС есть (см. B)) коэф-
коэффициент „обратной" единицы, н, следовательно, он по теореме I не равен нулю,
т. е. получается ?? = 0, т. е. сама возводимая в степень единица имеет вид
А (у'а )г-\-С, и никакая ее степень выше 1-й, по теореме II, не может быть
двухчленной единицей. Но мы рассматриваем случай /я = Зу-[-2, т. е. т>1,
и, следовательно, в этом случае равенство М=0 вообще невозможно. Если
н М=0, то мы имеем
[A (faf Л-ЦВуИЛ- t?C\m Л- [A (faf Л- &
fa? + В fa Л- СГ,
откуда, совсем аналогично, получаем, что 2А(у'аJ — В\^а — С—единица, и
если мы тогда аналогично сравним равенства
8А3а* — В3а— С8 — &АВСа=±\ и А*ФЛ-В3аЛ-С8^-ЗАВСа = 1,
то получим 9аА(А2а — ?С)=2нлнО. Но тут опять А2а — ВС—коэффициент
обратной единицы, который не равен нулю; мы получаем, таким образом, те-
теперь Л=0; иначе говоря, возводимая в степень единица имеет вид
з •
By а Л-С, т. е. сама двухчленна, и, следовательно, никакая ее степень выше
1-й, по теореме 11, не может быть двухчленной единицей. Мы тут рассмотри-
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА § 71 НА УРАВНЕНИЕ / (X, У) = 27 267
ваем случай т=3-{-{- \; в этом случае равенство М=0 возможно, но, как
мы видим, лишь при т=1. Приняв во внимание теорему I, мы получаем,
таким образом, что нетривиальным решением уравнения A) может быть только
з,—
сама положительная прямая основная единица кольца О {у а), если она двух-
двухчленная. В результате получается следующая основная теорема об уравнении A),
дающая полное его решение:
Теорема V. Неопределенное уравнение аХ3-J- Y3 = 1, где а — целое
рациональное число, которое не есть полный куб, кроме тривиального ре-
решения Х= О, У= 1, всегда имеющегося, может иметь еще одно и только
одно- нетривиальное, решение в целых числах X, Y; это нетривиальное ре-
решение будет иметься тогда и только тогда, когда положительная прямая
основная единица кольца О (у а) — двухчленная, т. е. она имеет вид
В0-/а -\-С0, причем решением этим будет тогда Х=В0, У=С0.
§72. Обобщение метода §71 на уравнение ЦХ, У) = 27
Метод, примененный к решению уравнений, рассмотренных в предыдущем
параграфе, может быть применен для решения довольно обширного класса
неопределенных уравнений третьей степени и даже к некоторым неопределен-
неопределенным уравнениям четвертой степени.
Впервые метод § 71 был обобщен норвежским математиком Нагелем, ко-
который решил до конца неопределенные уравнения aX3-{-bY3 = c при с рав-
равном 1 или 3. Дальнейшее обобщение принадлежит Д. К. Фаддееву. Мы не
будем рассматривать отдельно уравнения типа Нагеля, они войдут, как частный
случай, в более обширный класс уравнений, который мы рассмотрим в сле-
следующем параграфе.
Сейчас мы займемся задачей- об отыскании единиц кубического поля отри-
цатечьного дискриминанта, лежащих на плоскости нулевого' следа.
Эта задача равносильна решению неопределенного уравнения
1(Х, К) = 27,
где I(X, Y) — кубический ковариант индексформы максимального кольца
поля.
Действительно, пусть
f(X, Y) = aX3 + BX2Y-\-cXY-\-eY3
— индексформа максимального кольца. За базис этого кольца можно принять
[1, iav coj, где cox и со2 суть корни уравнений
coj = Ьт\ — accOj -\- а2е, со| = са>\ — Ьеа>2 -(- ае2.
Кубический ковариант
/(X, У) — {27а*е — 9abc -\- 2bs) Xs -\- B7'abe — 1 Ъас* -\- ЪЬЧ) X2Y-\-
+ (— 27асе -\- 18Ь*е — ЪЬс*) XY* -\- (— 27ае* _(- 9Ьсе — 2с3) У3
может быть представлен в виде
o1 — b)X— Cco2 — с) К],
откуда следует, что каждое решение уравнения 1{Х, Y) = 27 определяет еди-
единицу s максимального кольца, удовлетворяющую соотношению
т. е. лежащую на плоскости нулевого следа.
268 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Действительно, если I(X, K) = N[Cct>,— b) X—Ca>2 — с) Г] = 27, то
ЬХ-\-сУ делится на 3, и целое число
S = 1 [(Зв1 — *) X— (Зсо2 — с) У]
является единицей максимального кольца, которая, очевидно, лежит на пло-
плоскости нулевого следа.
Обратно, если единица ? = Z-\- Xtax—Ксо2 лежит на плоскости нулевого
следа, то X, У, Z удовлетворяют соотношению &Z-\-bX—cF=O, откуда
следует, что
3s = (Зю1 — Ь) X— (Зю2 — с) У,
и, следовательно, X, У дают решение уравнения
1{Х, У) = 27.
Необходимо заметить, что решение уравнения 1(Х, У) = 27, если /{X, У)
есть кубический ковариант любой кубической двойничной формы (не обязательно
индексформы максимального кольца), также приводится к задаче об отыскании
единиц на плоскости нулевого следа, по тем же соображениям.
Перейдем к решению задачи.
Попрежнему единицу s кубического кольца отрицательного дискриминанта
с положительной нормой мы будем называть прямой, если 0<^е<^1, и об-
обратной, если з>1.
Лемма 1. За исключением единицы s, заданной уравнением е3 = г~г-1.
не существует обратных единиц, лежащих на плоскости нулевого следа.
Доказательство. Каждая единица, лежащая на плоскости нулевого следа,
является корнем уравнения
s
Это уравнение имеет отрицательный дискриминант при q~^—1. При <7=—1
s будет обратной единицей, при q = О уравнение приводимо и, наконец, при
<7 3з1 ? будет прямой единицей, так как ср(О) — —1, срA) = <7, где ср(г) =
= z3-\-qz—1, имеют разные знаки, и, следовательно, корень s уравнения
tp(z) = O лежит между 0 и 1. Лемма доказана.
Лемма 2. Единица, являющаяся кубом другой единицы, не может ле-
лежать на плоскости нулевого следа.
Доказательство. Пусть s=J]3, и т\ является корнем уравнения 7]3 —
= sjf — эд -М' Тогда ?-(-s4"s"=='s3 — ?>sq -\-Ъ. Очевидно, что целое ра-
рациональное число е-)-6'^6"^^153 — 3sq-\-3 не может делиться на 9 и, сле-
следовательно, не может равняться нулю. Лемма доказана.
Лемма 3. Единица, являющаяся четвертой степенью другой единицы,
не может находиться на плоскости нулевого следа, за единственным ис-
исключением единицы з, заданной уравнением е3= — 1040е-|-1, которая рав-
равна г,4, гдр rj3 = 2т]2 — 6г,+ 1.
Доказательство. Пусть s = 7j4, jj удовлетворяет уравнению г\3 =
=--=ет,2 — 94+1. Тогда
s + е' + е" = s4 — 4s2? + 4s
Если з лежит на плоскости нулевого следа, то
2 = 0.
Из этого равенства следует, что 5 и q должны делиться на 2. Положив s=2sly
q=2q., получим
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА § 71 НА УРАВНЕНИЕ / (X, Y) = 27 269
откуда
Для того чтобы последнее равенство было возможно, необходимо, чтобы
s1 Bsj—1) было полным квадратом и, следовательно, чтобы 2s|—1 = -4- v2.
Легко видеть, что уравнение 2s|—\=v2 имеет единственное решение
•?!= 1, которому соответствует <7i=l или <7i=3. Уравнение 2s|—1= — v2
имеет единственное решение Sj = O, которому соответствует qx = 0.
Итак, если г = 7]4 лежит на плоскости нулевого следа, то 7] должно удо-
удовлетворять одному из уравнений
tj3 = 2ti2—6т]+ 1, rjs == 2т]2 — 2т) + 1.
Второе уравнение приводимо, первое дает единственное исключение, оговоренное
в условии леммы. Лемма доказана.
Лемма 4. Положительная степень числа, лежащего на плоскости ну-
нулевого следа, не может находиться на плоскости нулевого следа, за исклю-
исключениями степеней чисел, заданных уравнениями:
= — 307L-60; 7K = — 2tj4-2; т;з = —
7K = —30r,4-30.
Доказательство. Пусть 7)—число плоскости нулевого следа, и 7js =
= —ЯТ[-\-п — уравнение, корнем которого является 7).
Обозначим 7jm 4" i)'"* ~Ь Ч""* чеРез 5ОТ- ^° известной формуле Варинга для
степенных сумм, sm представляется в виде
2а 4 зр = ш *
Суммирование распространено на все целые неотрицательные а, р, для которых
Выпишем sm, расположив правую часть по возрастающим степеням п.
При этом нам придется отдельно рассмотреть случаи четного и нечетного т.
В первом случае положим^ т = 21, во втором т=21 -\-Ъ. Получим
52Z — Z-o/_5 Bs)!(/ —3s)P 4)
J+l)! f >,
!(/ — 3s)!v 4)
Приравняем sm нулю, введя обозначения gs = q1b, я2 = я1§, где 3 — общий
наибольший делитель чисел д3 и я2.
270 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
После очевидных сокращений получим:
?.K)</)^-X------0 (a)
(при m=2l;
(при т=2/+3; /^[у
Равенство (а), очевидно, невозможно при nv отличном от 1 и 2, так как
при выполнении этого равенства я, должно быть делителем 2ql{\ a qx и я,
взаимно просты. Далее, при я1 = 2 равенство (а) невозможно при четном /,
так как в этом случае все слагаемые левой части, кроме первого, делятся на 4,
а первое не делится на 4. Если же / нечетное, то все слагаемые, начиная
с третьего, делятся на 8. Положив ях = 2, придем к сравнению
Ztf-'to + l —(*—!)•]== О [mod 8),
откуда <7, = 3 (mod 4).
Итак, равенство (а) возможно только при пх = 1 и при я, = 2. Во втором
случае должно быть qx = 3 (mod 4):
Обратимся теперь к исследованию равенства (р).
Оно, очевидно, невозможно при четном nv так как «j должно быть делителем
2/ —{— 3. Оно невозможно также при nv делящемся на любое простое число
большее 3, и при пи делящемся на З2, так как в этих случаях первое слагаемое
делится на меньшую степень рассматриваемого простого числа, чем все осталь-
остальные слагаемые. В этом легко убедиться простым подсчетом.
Следовательно, равенство (ji) возможно только при пх = 1 и пх = Ъ, причем
последний случай возможен только при т=21-\-3, делящемся на 3.
Расположим теперь sm по возрастающим степеням д. При этом нам при-
придется различать три случая, в зависимости от класса по модулю 3, которому
принадлежит т. Для этих трех случаев будем писать т в виде ЗА, 3&-f-2, ЗА-|-4.
qenk~*— ..
I а-д»--—Зд*
_I* (_ ф»+1.„»-»== _?*±2 qn* +
-.-.у«*_
(ft + 2)(ft+l)fe(fe~l) „Б„*-2 I
1-2-3-4-5
Приравняем sm нулю, введя прежние обозначения:
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА $ 71 НА УРАВНЕНИЕ / (Jt, Y) = 27
После сокращений придем к равенствам
271.
(при от = ЗА,
(при от=
Ь2
«I*
1.2-3-4-5
4+---=° (s)
Заметим, что в равенстве (у) «j может равняться 1, 2, 3, а в равенствах (8).
и (е) Л] может равняться только 1 и 2.
Равенство (Y), очевидно, невозможно при qv отличном от 1 и 3.
Равенство (о) возможно только при ql = l, 2 и 4, так как в случае, если qx
делится на простое число /> :э= 3 или на 23, то все слагаемые левой части,
кроме первого, делятся на более высокую степень простого числа р (или 2),
чем первое слагаемое.
Пусть в' равенстве ф) qx = 4. Тогда пх может быть равно только 1. Легко
видеть, что все слагаемые левой части равенства E), начиная с третьего, де-
делятся в этом случае на 16. Следовательно, должно иметь место сравнение
!> = 0 (mod 16).
Это возможно только при четном k. Положив k=2kv получим
9Aj + 3 — CAj + l)M4^— !) = ° (mod 8).
Это сравнение, в свою очередь, возможно только при нечетном kx. В этом,
случае 4&?=4 (mod 8), и последнее сравнение равносильно сравнению
CAj + 1)A — kx) = 0 (mod 8),
откуда kx = 1 (mod4) и /и = 6&, -|-2 = 0 (mod8).
Равенство (е) невозможно при qv делящемся на простое число р > 5, и при
qv делящемся на З2, 22 и 52, так как при этом первое слагаемое делится на
меньшую степень этого простого числа, чем все остальные.
Положив qx = bn и соединив первые два слагаемые, придем к заключению,,
что равенство (е) возможно только при пх = п (mod 3). Наконец, положив qt = 5л
и соединив первые два слагаемые, придем к заключению, что равенство (?)•
возможно при Л1=я (mod 5), от=1 (mod5) и при пх = — л (mod5), /и—О
(mod 5).
Соединяя все вместе, получим, что sm может равняться нулю только при
следующих значениях пх, qx и т:
Ч\
т
3
1
= 0C)
2
3
= 0F)
2
15
= 0A0)
1
4
= 0(8)
1
2
1
3
1
5
1
30
1
1
Эти случаи как раз и были упомянуты в качестве исключений в условии леммы.
272 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Замечание. Для комбинаций я, = 2, qt = 3 т должно делиться на 6. Однако
уже se = 0, и уравнение, которому удовлетворяет jje, где Jj3 =— 6я-(-12,
«е находится в числе исключений. Следовательно, среди степеней числа т]
на плоскости нулевого следа находится только ц6. Подобным образом среди
-степеней чисел, заданных уравнениями
Ч1 = _ЗОЧ + 6О (Й1 = 2)91=15), !,• = _4Ч + 4 (я, = 1,^=4)
на плоскости нулевого следа находятся только т]10 (для первого уравнения) и
щ8 (для второго). Более тонкое исследование равенства (ji) показывает, что при
nj = 3, ^=1, т должно делиться на 9. Но ij9, где if = —Щ-\-9, находится
на плоскости нулевого следа; следовательно, кроме ij9, не существует степеней
ij, лежащих на плоскости нулевого следа.
Исследование остальных пяти исключений сводится, как мы увидим в следующем
параграфе, к решению некоторых совершенно конкретных неопределенных урав-
уравнений, которые могут быть решены методом алгорифма повышения, который
будет рассмотрен в § 75. Это исследование дает, что на плоскости нулевого
следа лежат ц" для я, = q1 = 1 и ij13 для п^ = 1, qx = 2.
Таким образом, мы имеем окончательно только шесть исключений. На плос-
плоскости нулевого следа лежат
JN, где г,3 = — 6г)+12; г,8, где т]3 = —4т] + 4; г,1», где г,3 = — 30т) + 6;
.ч», где r,3 = — 3i]+9; г,11, где r,8 = — ij-|-l; г,13, где г,3 = — 2т] +2.
В этом параграфе лемма 4 будет нужна только для е д и н и ц, т. е. для я = 1.
В следующем она нам будет нужна для п1 = 1. Мы дали лемму в более общей
формулировке, так как она представляет некоторый интерес сама по себе.
Теорема. На плоскости нулевого следа может находиться только
.прямая основная единица области или ее квадрат, за исключениями:
siT1, где ео=—бо+1,
го, где ео= 2so — 6so4- 1,
So11, где So = — s0 -h ]-
Доказательство. Пусть е0 — прямая основная единица области, и пусть
е = ?о" лежит на плоскости нулевого следа
?о -г б о -|- е о =0.
т не может быть отрицательным, за одним единственным исключением в силу
леммы 1, и в силу леммы 3 не может делиться на 4, за одним единственным
исключением. Пусть т делится на нечетное простое число р. Обозначим
т
e{j"=ij. Тогда
Из этого»соотношения следует, что число т]'-)-ц" представляет собой единицу.
Пусть ij3 = sij8 — ^i) -{- 1—уравнение, корнем которого является г). Из того, что
г/ -\-г"—единица, следует что Щг\' -f- т]") = N(s— ij) = qs— 1 = НЧ. Следова-
Следовательно, или qs = 2 или qs = Q.
Равенство qs =2 приводит к четырем уравнениям для ij, из которых только
•одно jj8 = ij2 — 2г( —(— 1 имеет отрицательный дискриминант и имеет вещественный
корень между 0 и 1.
Если же qs = Q, то или q = 0, или s = 0.
Если s=0, то, в силу леммы 4, q=\ ир=11.
Если q = 0, то ij — прямая единица только при s — —1.
Этот случай нужно исследовать отдельно.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 273
Оба исключения, нуждающиеся в дополнительных исследованиях, приводятся
к отысканию единиц на плоскости нулевого следа в области, с дискриминантом
равным —23.
Соответствующее неопределенное уравнение
х3 + 2х*у + 9ху* + 25/ — 1
имеет единственное решение х=\, у = 0, в чем можно убедиться посредством
„алгорифма повышения". Этому решению соответствует единственная единица
этой области Tj, где т]8=—7]2 —^— 1, лежащая на плоскости нулевого следа.
Тем самым теорема доказана полностью.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что для того чтобы решить
уравнение /(х,у) = 27, нужно найти основную прямую единицу $о области,
которой принадлежат корни формы
/(•*, у) = ах*-\- Ьхгу -j- схуг -f- еуъ.
Затем, если эта единица или ее квадрат лежит иа плоскости нулевого следа
и принадлежит кольцу, порожденному корнями формы /(х,у), то 1(х,у) = 27
имеет единственное решение (за исключением D = —31), которое находится
посредством представления 3s, где s — единица плоскости нулевого следа,
в виде (Зш,—Ь)х — (Зш2— с)у.
В противном случае (за двумя исключениями) уравнение 1(х,у)=-27 не
имеет решений.
§ 73. Дальнейшее обобщение метода § 71
Решим теперь тем же методом еще более широкий класс неопределенных
уравнений. Определению этого класса мы должны предпослать одну лемму,
касающуюся самого общего неопределенного уравнения третьей степени вида
f(x,y)=\, где/(л:,у) — кубическая форма.
Лемма 1. Для того чтобы уравнение f(x,y)=l имело решение, необ-
необходимо (но не достаточно), чтобы форма f(x, у) была примитивна (т. е.
чтобы коэффициенты формы не имели общего делителя, отличного от 1)
и представлялась в виде нормы линейной функции с коэффициентами из
кольца, заданного формой (доказательство см. пункт 1, § 76).
Заметим, между прочим, что для представления формы f(x, у) в виде нормы
линейной функции с коэффициентами из кольца О, соответствующего форме
f(x, у), необходимо и достаточно, чтобы О* = О, где О* — решетка, прлярная
решетке, изображающей кольцо О.
Итак, среди уравнений f(x,y)=\ есть смысл рассматривать только те, для'
которых f(x, y) = N(kx-\-}i.y), где X, ja— числа, принадлежащие кольцу, соот-
соответствующему форме /(х, у). Решение таких уравнений равносильно оты.канию
единиц кольца, имеющих вид \x-\-ny. В геометрической трактовке решение
уравнения f(x, у) равносильно отысканию единиц на плоскости X*-{""W> пР°"
ходящей через начало координат.
Пусть e = \x-\-ii.y — единица, .дающая решение уравнения f(x,y)=.\.
Введем в рассмотрение сопряженные числа е' = Х'л: -|- ц'у, е"=У'х-\-}}."у. Между
единицами е, е', s", очевидно, выполняется соотношение
где ср = 1У — XV; ср' = Х"ц — Хц"; <р" = Хц' —Х'д.
Числа <р, ср', <р" зависят только от вида уравненияf(x,y), ноне от выбран-
выбранного решения.
Мы дадим решение уравнения f(x, у)=\, для которых числа (р, ср', ср"
ассоциировании, т. е. отличаются множителями, которые суть единицы, и форма,
f(x, у) имеет отрицательный дискриминант.
18 Теория иррациоя. 3-й степ.
274 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Для выяснения вопроса о том, какие уравнения могут быть причислены к рас-
рассматриваемому классу, докажем следующую лемму.
Лемма 2. Если f(x, у) = N (tic-\-]iy) примитивна и разлагается на
множители с целыми алгебраическими коэффициентами (сколь угодно
высокого порядка)
f(x, у) = (а
так, что числа а§2 — а^, а2Р3 — азР2, asfJ, — a^s ассоциированы, то числа
<р, <р', <р* также ассоциированы.
Доказательство. Сопоставим два разложения формы f(x, у) на множители:
/(*, у) = (\х + цу)(\'х + ц'у)(Х'дг + ц-j,)•= (a,* + M«vf + p2y)(«>* + fa).
Эти два разложения могут отличаться одно от другого только постоянными .
множителями. Следовательно,
Форма /(л;, j;) примитивна. Следовательно, числа alf [Jj взаимно просты, и можно
подобрать' такие целые алгебраические числа у, 8, что а1у-(-Р18=1.
Следовательно, е1 = Ху -f~ f1^ представляет собою целое алгебраическое число,
как результат действий сложения и умножения над целыми числами. Из тех же
соображений докажем, что у, е2, —, е3, — суть целые алгебраические числа,
и, следовательно, sv e2, е3—единицы.
Числа <р, (р', <р" лишь множителями е2е3, es?j, ejS2, представляющими собой
единицы, отличаются от чисел a2f52 — asP2, as^ — a^s, a^2 — a2^. Следова-
Следовательно, если эти последние ассоциированы, то и (р, (р,' (р" ассоциированы,— что
и требовалось доказать.
Теперь мы легко покажем, что к рассматриваемому нами классу неопреде-
неопределенных уравнений относятся уравнения вида ах9 -\- Ьуь ==. 1. Действительно,
ах» Н- *у8 = (X*f
где ?=e3. Определители a2P3 — asp2, asPj — а^3, a^2 — a2j$j равны соответ-
соответственно yfab ч2 — Q» Vab(\—C2), \fab(?—1) и, очевидно, ассоциированы.
Подобным же образом убедимся в том, что уравнения ахв-\-Ьу3 = 3
[приа^±* (mod9)] и Цх, у) = 27 приводятся к уравнениям того же типа.
Уравнения ах3 -\-уъ = 1, являясь частным случаем уравнений axs -)- by3 = 1,
также относятся к рассматриваемому классу. Правда, мы увидим, что уравне-
уравнения ах3-\-уъ=\ и 1(х, у) = 27 занимают особое положение и нуждаются в
отдельном исследовании, которое уже изложено в предыдущих параграфах.
Перехожу к решению уравнений нашего класса.
Итак, пусть форма f(x,y) примитивна и представляется в виде N(kx-\- jjiy),
причем чцсла (p = X'jt" — Vji\ <p = X> — Xji", <р"=Хц' — Х'ц ассоциированы.
Как мы видели, решение уравнения f(x, у) = 1 равносильно решению задачи
об отыскании единиц „на плоскости"
® • s -|- со' • е' -{- «р" - е" = 0. (*)
Число <р не принадлежит кубическому полю, которому принадлежит корень
формы /, однако числа <р2 и !р'(р" принадлежат этому полю. Умножив равенство
(*) на <р<р'<р", получим
+ V + V0
где v = (p2(p'(p" принадлежит кубическому полю и v' и v" сопряжены с v.
Обозначим через / норму числа V. Очевидно, что v, v' и v" ассоциированы между
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 275
собой и, следовательно, ассоциированы с у I. Таким образом, решение не-
неопределенных уравнений рассматриваемого класса приводится к следующей задаче:
Среди чисел ю, принадлежащих данному кубическму полю и лежащих на
плоскости нулевого следа
u)-f-<i>' + u>"= о,
з г—
найти все числа, ассоциированные, вместе с сопряженными, су/, где / — дан-
данное целое рациональное число.
Заметим, что для уравнения ax3-\-by3=l число l=ab. Без нарушения
общности можно считать, что число / положительно и свободно от кубических,
множителей. Положим l=fg*, считая /и ^свободными от квадратов.
Обозначим через L совокупность всех чисел рассматриваемого кубическо-
кубического поля, делящихся, вместе с сопряженными, на \fl. Через L обозначим со-
з/= —
вокупность чисел, делящихся, вместе с сопряженными, на у l , где I =f2g..
Совокупности L и L, очевидно, идеалы. Далее, через Lo и Lo обозначим со-
совокупность чисел нулевого следа, принадлежащих соответственно идеалам L и
L. Совокупности Lq и Lo имеют, очевидно, двухчленные базисы. Обозначим
их соответственно [Vj, v2] и [Vj, v2].
Легко видеть, что каждое число, принадлежащее идеалу L, может быть пред-
представлено, в виде 1 д , где х, у, z — целые рациональные числа, причем
z делится на fg. Действительно, пусть v — какое-либо число, принадлежащее
идеалу L. Обозначим v-j-v'-j- v"=?. Целое рациональное число z делится на
о
j// и, следовательно, на fg. Далее, число 3v — z принадлежит, очевидно, сово-
совокупности Lo. Следовательно, 3v — г= atVj —j—_yva с целыми рациональными х и у.
Поэтому v действительно равно "^ ^ Z . Аналогично, каждое число, при-
т х vi + У*ъ + г
надлежащее идеалу L, представляется в виде — i .— •
Пусть ш = л:у1 -j-.yv2 — число плоскости нулевого следа, дающее решение
задачи, т. е. ассоциированное с j//. Число ij = —3 является единицей по-
VT
ля, получающегося в результате соединения кубических полей й(ю) и
й(|/7). Это поле будет, вообще говоря, полем девятого порядка, и tj
будет алгебраическим числом девятого порядка. Число I] может принадлежать
полю й(ю) только в двух случаях: если /= 1 или если 2(ш) совпадает
с (у)
Оба эти случая уже были рассмотрены. Действительно, если /= 1, то задача
приводится к отысканию единиц на плоскости нулевого следа. Если й(ш) сов-
совпадает с й(|//~), то задача приводится к решению уравнения х3-\-1у*=\.
Действительно, базис плоскости нулевого следа для поля Q (]// ) образован
з з
числами у I и у I , следовательно, совокупность Lo образована числами вида
з.— гГ— г/— 3/—
ху I -\-уу I , делящимися на у I . Такими числами будут все числах у I -j-
~\-У Yl%- Из них ассоциированными с ] fl будут, очевидно, те, для которых
Мы исключим из рассмотрения эти два случая.
Введем теперь в рассмотрение единицу
0K
18*
276 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Эта единица уже принадлежит основному кубическому полю, и она не является
кубом единицы того же поля (конечно, если случаи /=1 и 2(ш) =2()//) ис-
исключены).
Единицы вида -г., где ш — число плоскости нулевого следа, мы будем
называть искомыми единицами.
Докажем теперь несколько теорем относительно этих единиц, из которых
затем легко получим полное решение задачи, поставленной в этом параграфе.
AK
Теорема 1. Единица г = —, где ш — число плоскости нулевого следа,
не может быть обратной, за конечным числом исключений.
Доказательство. Обозначим через 7]=у/Ге =-g^r, г/ = 3 *"_ , т]" =
= -~ . Числа ij, r/, г]" являются корнями уравнения вида
^
где q—целое рациональное число. Это уравнение имеет один вещественный
корень jj и два сопряженных комплексных г/ и ij"r н, следовательно, дискрими-
дискриминант этого уравнения отрицателен:
— Щ* — 27 <0.
Это возможно только прн q^>0, за исключениями q =—1, /=1,2,3,4,5,6.
Но, если 0>О, то вещественный корень т] уравнения гC = — q\^l tj —{— 1
удовлетворяет неравенству 0 < j] <^ 1. Следовательно, также 0 <^ е < 1, что н
требовалось доказать.
Теорема 2. Положительная степень единицы вида з~г» где со — чи-
число нулевого следа, не может быть ни единицей такого же вида, ни единицей
еида *_¦, за исключениями ij8, где >) = з~^» ш3 = —4ш4-4, и ijls, где
Доказательство. Если / 3 _ \ == -g-^r илн 3 L ¦ то ш" представляет собой
\/1 1 VI VI
¦число плоскости нулевого следа. Но мы знаем нз леммы 4 предыдущего параграфа,
что степень числа, лежащего на плоскости нулевого следа, не может быть числом
нулевого следа, за шестью исключениями. В виду того, что ш обладает тем
свойством, что з _ есть единица, со должно быть корнем уравнения ш3 =
' Vl з-
= — qto -\- п, где п =/, q делится на j//2, и, следовательно, q3 делится на л2.
Кроме того, /=т>М. Этим требованиям удовлетворяют только те два исключения
из шести, которые упомянуты в условии теоремы.
Теорема 3. Единица вида — , где ш — число плоскости нулевого следа,
не может быть нечетной степенью другой единицы, за конечным числом
исключений.
Доказательство. Пусть -у = '—* . ¦ = е^, где е — единица поля 8 (со),
я пусть это поле не принадлежит к числу исключений нз теорем 1 н 2.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 277
Здесь р обозначает нечетное число. Число р не может делиться на 3, и„
следовательно, />= ± 1 (mod 6).
Рассмотрим подробно случай р = 1 (mod 6). Положим /> = 6ft-f-l.
Единица 8 должна быть прямой основной единицей. Введем в рассмотрение
единицу е3 =y^ep-e~2ft = -g-^z-• Число ©j^we*, очевидно, принадлежит
У1
идеалу L и, следовательно, представляется в виде **** ~*^1У* "*"Zl при г, деля-
делящемся на fg.
Итак, _L
Введем в рассмотрение числа т]'=-р—, г"= -^—.
/Т /Т
Для них имеет место равенство
откуда следует, что т)'-|- ч"= -^—- представляет собой алгебраическую едини-
цу и, следовательно, zx—шх ассоциировано су'.
С другой стороны, o)j является корнем уравнения
причем гг делится на fg, q делится на /.
Вследствие того, что N{zt—wj — ^jrl, между коэффициентами zt и
выполнено соотношение
— Ю1) = 4—z\Jtqzl— /=±/.
откуда
2l
или
Первое равенство возможно лишь для конечного числа значений д, zv /.
Второе возможно при q=0, или при z1 = 0.
Если 0=0, то 1—т -\—»- = 0, и следовательно <ог -\- ш[ -\- to" = 0,
@j (О I (D ¦•
где @) = i^=-i/ / i)-1—целое алгебраическое число, ассоциированное с у^Т
и лежащее на плоскости нулевого следа. Это невозможно, за конечным числом
1 1 »
исключений, так как обратная единица —= -у не может иметь вид _! ПрН
ш j, лежащем на плоскости нулевого следа.
Если же г, = 0, то tOj—|— ш| -\- o)j= 0 и, следовательно, ш1 лежит на плоскости
нулевого следа и
278 . Q НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Это невозможно в силу теоремы 2, за конечным числом исключений. Тем
самым теорема доказана для /?= 1 (mod 6).
Для второго случая р = — 1 (mod 6) теорема доказывается посредством
аналогичных рассуждений. Мы их опускаем.
Из всего сказанного выше следует, что единицами искомого вида —1 "у-^2'.
могут быть только единицы е^*, где е0— прямая основная единица поля.
Следовательно, такая единица в данном поле может быть только одна, так
как если бы их обнаружилось две, то одна из них была бы степенью другой,
что невозможно.
Докажем теперь, что эту единицу,, если она существует, можно найти
в конечном числе действий или убедиться в ее несуществовании.
Для этого докажем следующие теоремы. - '
Теорема 4. Неопределенное уравнение
m2ae—2^^6=1
при данных нечетных т и п не имеет решений и, v, если sSz8k-\-4.
Здесь k обозначает число различных нечетных простых делителей числа п.
Доказательство. От каждого решения уравнения
ОТ2Ц6 _ 2sn*V« = 1
можно „спуститься" к решению другого уравнения такого же вида.
Действительно, уравнение
можно переписать в виде
/яи3+1 тФ—1 «г
2, ' —2 = 2»-
fnifi -L- 1 Ш1& 1
откуда вытекает, вследствие взаимной простоты чисел —^— и —^— » ЧТО
*яц3±1_о,-„ 9 в. mu3+l_ 2 .
2 — II' 2 — 1 1*
где (ш,, 2л,) =1, *я1я1 = я, «jfj—1>.
Отсюда следует, что
т\и\ — 2*-2«2^ = q=i.
.Знак (—) в правой части, очевидно, невозможен при 5^=4. Следовательно, мы
действительно „спустились" к новому уравнению
т\и\— 2" я»«в=1
такого же вида, как исходное, причем г», является делителем v, тхпх = п,
(«j, 2«j)=l и 5j = 5 — 2. От этого уравнения можно спуститься к следую-
следующему и т. д. до тех пор, пока показатель при двойке не станет меньше двух.
Такой спуск может быть двух родов.
Спуском первого рода мы будем называть спуск, при котором т1 = 1,
тогда «j = п.
Спуском второго рода будем называть спуск, при котором т^>\. Тогда
л, будет содержать меньше простых делителей, чем п, в виду того, что т1
и «j взаимно просты и пх=—.
Покажем теперь, что невозможны четыре спуска первого рода под ряд.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 279
Действительно, если бы имели место один за другим четыре спуска пер-
первого рода, то следующие пять уравнений имели бы решения:
и|
Однако, это невозможно. В самом деле, решение второго и пятого урав-
уравнений можно рассматривать как решение уравнения
л;8 — Лу> = 1 (/4 = 2J-8«2)
при л: = и|, у = 4г^ для второго уравнения и при х = u2v y = i>^ для пятого.
Эти решения уравнения х3—Ау3=1 различны, так как vi является дели-
делителем v{. Но мы знаем, что уравнение л:3 — Ду3=1 может иметь не более
одного решения с ху=^=0.
Итак, предположение, что возможны под ряд четыре спуска первого
рода, привело нас к противоречию, и поэтому на каждые четыре спуска при-
приходится по крайней мере один спуск второго рода. Следовательно, после
каждых четырех спусков число п теряет по крайней мере один нечетный про-
простой множитель. После 4/г спусков п потеряет все нечетные простые множи-
множители, и мы придем к уравнению
где t = s — 4/г^з4.
Сделав спуск еще один раз, мы придем к уравнению
„6 O<-2,ri6 —.1
*+1 z *Чм1 ~ 1'
Это уравнение, очевидно, не имеет решений, ибо t—2^2, а уравнения
л* —4у»=1, л:3 — 8у3=1 и х3— 1бу=1 .
решений с хуфО не имеют. Тем самым теорема доказана.
Спуск, примененный в этом доказательстве, придуман Nagell'eM.
Теорема 5. Единицы искомого вида е — УПут~у'%' могут находить-
находиться только среди степеней
при s =^ —?—, где k обозначает число различных простых делителей
числа I.
Доказательство. Прежде всего отметим, что для существования еди-
единицы е== ~у необходимо, чтобы основная прямая единица ео, или её квадрат
2 «I
?о, имела вид -у- , где юг— число основной кубической области, ассоциирован-
ассоциированное с |/1. Действительно, пусть <*>1~г-ууз> =:?^ . Очевидно, что 2*=-1
(mod 3) при четном k и 2* =2 (mod 3) при нечетном k. Положив 2к = Ы-{-<з,
0=1 или 2, получим
е0 = —
280 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
-L —
Обозначим ео3 = 7]0, е3==т). Из нашего рассуждения следует, что
Введем в рассмотрение уравнения, корнями которых являются
1о» 4i ===Jlo» Ч2 = Чо6' • ¦ •» T)y==Jio*»---
Эти уравнения имеют вид:
48=«о f/T Чо — *о J/Г Чо+ 1.
г)? = а^ т]* — ^//"tjj-I- 1
и т. д.
Между коэффициентами этих уравнений выполнены соотношения
,.
Для единиц искомого вида as=0.
Покажем теперь, что as и bg при s~^\ делятся на 22У-1 или, если этого
нет, то решений задачи не существует. Для этого рассмотрим несколько случаев.
Пусть /=/g8— нечетное число-и а0—нечетное. Тогда, очевидно, все а,—
нечетные, и равенство as=0 невозможно. Пусть теперь l=fg2 нечетное число,
а0 — четное, но Ьо— нечетное. В этом случае все Ь9 — нечетные и все as = 2
(mod 4). Следовательно, и в этом случае равенство.ау = 0 невозможно. Если
же а0 и Ьо—оба четные, то ах, Ьх делятся на 8, а2, Ь% делятся на 32 и т. д.
Наконец, если l=fg# — четное число, то а1? Ьх—оба четные, а2, Ь2
делятся на 8 и т. д., as, bs — оба делятся на 22S~1.
Допустим теперь, что as+1 = Q при ^-)-1>-—^~
Это приводит нас к неопределенному уравнению
Aas = 0.
as
Из этого уравнения следует, что 4as делится на g. Так как кроме того at
делится на 22J-1, то можно быть уверенным в том, что as делится на 22s~2g.
Положим as=2**-2ga. После подстановки и сокращения на 2g придем к
уравнению
28*- »/2Я4 _ 2«- s ацъз -f- Ь\ -\- 2я*-1 а = 0,
откуда
s — 1).
Числа 22*~1а и 26*"8/2а3— 1 взаимно просты и их произведение равно пол-
полному квадрату. Следовательно,
26*-8/2аЗ 1 ==
Знаки здесь находятся в соответствии. Верхний знак, очевидно, нужно отбро-
отбросить. Подставив а=—2и2 во второе равенство, получим
откуда
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 28*
Числа ~ и ——— взаимно просты. Следовательно,
где mn=l, uiv1 = u.
Выбитая, получим
т*и* — 2в*тл2фб
Зиак(—)в правой части, очевидно, нужно отбросить.
Но последнее уравнение не имеет решений в силу теоремы 4.
Действительно, s4-l>—т~~» 6s— 7^>8А4 и, следовательно,
О
6s— 7^8/fe-f4.
Число п содержит не больше нечетных простых делителей, чем число 1Г
Таким образом, уравнение
удовлетворяет условиям теоремы 4 и потому не имеет решений.
§ 74. Обобщение метода §71 на уравнение jc4—Ау*«±1
Эти уравнения были впервые решены проф. В. А. Тартаковским в работе
«Aufl6sung der Gleichung х*— pjf*=l». (Изв. А. Н., 1926) посредством
метода, существенно отличного от того, к изложению которого мы сейчас
приступаем.
1°. Уравнение
х* — Ау* = ±\ A)-
можно преобразовать к виду
/ 44 42 V А) (* г
— 4/4 4-^2 V — А) (х*— ху уг—\а +у* /=^А) = ± 1. B)
Число хг -\- ху -/—4А-\-у2у/—А принадлежит кольцу O(V—4/4 с бази--
сом ll, >/—4/4, ]/—/4, ]/—/4-]/—4/4/поля Q >/—4/4 и является в силу
B) единицей этого кольца, причем единицей специального вида—в ней от-
отсутствует член, содержащий j/—A j/—4/4.
Таким образом,. всякое решение уравнения A) определяет трехчленную
единицу вида a-\-b-\f—4А-\-су^—А кольца О()/—4/4). Нетрудно видеть,
что обратно всякая трехчленная единица этого вида определяет решение-
уравнения A).
В самом деле, пусть e=a-j-*Vr—4/4-f-cj/ — А есть единица.
Тогда ее норма
N(e) = e е' е* е" = (а2 — /4с2J -f 4/4 (ас — *2J
должна равняться 1. Для этого нужно, чтобы
ас — *2 = 0, (ЗУ
а2— /4с2 = ±1. D),
Из D) мы видим, что (а, с)=1, и, следовательно, из C)
a=jzx2, *=±Jfy, с=Ч-у2.
Подставляя в D), получим
282
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Итак, задача отыскания трехчленных единиц кольца О^/—4Л ) равносиль-
равносильна задаче о решении уравнения A). »
2°. Изучим ближе свойства единиц кольца О(у—4Л ).
4,
Прежде всего отметим, что поле Щу— 4Л), а следовательно и кольцэ
A J
О{у—4Л) , по теореме Дирихле, имеют одну основную единицу, степени кото-
которой, с целым положительным или отрицательным показателем, дают все единицы.
Пусть s = a-\-b У—\A-\-c ]/ — A -\-d У —А у—4Л— какая-либо еди-
4 ————
.ница кольца О (у — 4Л).
Сопряженные с ней числа суть
г" =а — Ь у^—Ы -{-сV^TK — d V^^A у'^
=А+ di \/=А у/=
?'"--= а — Ы у'
Ее норма
(N (е) = (а2 —
Следовательно,
-\- 4Л {ас — *2+Ad2J =
E)
F)
Вторая сопряженная е" принадлежит тому же кольцу, что и е. Легко видеть,
¦что
ef= (а2 — Лс2 + AAbd) -\- 2 )/^
Следовательно,
— № — Ad?) =
G)
Будем единицу ? называть прямой, если |е|^>1, и обратной, если |
Из G) следует, что если прямая единица е трехчленна, то обратная —
также трехчленна, и наоборот. Таким образом, достаточно искать трехчленные
'единицы среди положительных степеней основной прямой единицы.
Отметим следующее неравенство:
Если е — прямая единица, то | е | ^> 2 у 4Л — 1.
В самом деле
е — е'= 2 fr— 4A(b-\-dV:irA)
и, следовательно,
— е" 1 = 2
1 и, следовательно,
Так как s—прямая единица, то |б"|=
3°. Теорема 1. Нечетная степень трехчленной единицы вида
а -\- Ъ у — 4Л -|- с Y—А
ме может быть трехчленной того же вида.
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА
Доказательство. Пусть е = а -\- b j/—4A -f- с ]/— А. Тогда
283
с У^
s2=s (s" -f 2b
Следовательно,
= ± 1 -rf- 2be.
-t-l)"s«" = (ldr2A8 у' — 4Л)" = 1 dr j
Умножая обе части равенству на е", получим
-f я (л — 1).4А» /^
Для того, чтобы ег"-1 была трехчленной, нужно, чтобы коэффициент при
^—Л ]/ — 4Л в правой части предыдущего равенства равнялся нулю, т. е.
Здесь через Hk обозначен коэффициент при |/"— Л |/— 4Л в (j/— 4Л)*г*-1.
Очевидно, что Hk делится на 4 для k ^ 4.
Сократим равенство (8) на 4?8 и введем обозначение Gk = -^bk-*.
Получим
=O. (9).
Равенство (9), очевидно, невозможно. В самом деле, пусть 2я—наибольшая
степень 2, входящая в п(п— 1). Тогда во 2-е слагаемое п *я ^л ~ ' • 2
3
входит 2 с показателем, не меньшим, чем а —{— 1, так же как и во все остальные
слагаемые, ибо, как известно, 2 входит в kl самое большее с показателем k — 1.
Следовательно, левая часть равенства (9) не делится на 23 + ! и не может равняться
нулю.
284
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
г 4 ______
Таким образом, приравняв нулю коэффициент при у—А у—4 А
в {Az 1)"+Is2"-1, мы пришли к противоречию. Тем самым теорема 1 доказана.
Теорема 2. Нечетная степень трехчленной единицы вида
4,
a -j- с j/— A -f- d j/— A j/—4А
не может быть трехчленной вида а' -\- b'\f— 4А -(- с'л/— А. -
Доказательство. Пусть
e = a-{-cV—A-{-d\/—A \f—4А.
Тогда
б" = а + cj/—Л — cf|/—Л >/—4Л
и
Далее
/.—Л ^—4Ле)" =
(- Л) /^=
Откуда, умножая на s", получим
(± i)»+ie2«-i = е" + 2nd \/"^А \f— 4А
_А) /=^ГД (а + с/=
Приравниваем нулю коэффициент при у — А у—4А. Получим
..._, о.
A0)
Через Hh мы обозначаем коэффициент при
j у—4А в
Сокращая равенство A0) на d, придем к равенству
B„ "(Я1НЯ2)
которое, очевидно, невозможно, ибо в левой части первое слагаемое Bл -j- 1)
не делится на 2, а все остальные делятся.
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 285
Теорема 3. Уравнение х4 — 2у4 = — 1 имеет единственное решение
¦* = it 1, у — ±1. Уравнение дг4 — 2_у4 = -\- 1 не имеет решений, отличных
от тривиальною х = ±\, у = 0.
'Доказательство. Решение уравнений х*— 2_у4 = гЬ1 сводится к отыска-
отысканию трехчленных единиц в О (j/— 8).
Легко установить, что ео=1-|-|/—8-(-j/—2 является единицей
Эта единица определяет решение * = ±1, y = dz\ уравнения
Докажем, что е0 — основная единица О (>/—8). В самом деле,
|ео| = 3.40,
а из 2° мы видим, что модуль любой единицы должен быть больше
2у^8—1 =s2.36.
Отсюда следует, что е0 не может быть степенью какой-либо единицы,
т. е. является единицей основной. Так как е0 — трехчленная единица, то среди
ее нечетных степеней не может быть трехчленных единиц. Теорема будет до-
доказана, если доказать, что среди четных степеней е0 не найдется ни одной
трехчленной единицы.
Имеем
Приравнивая нулю коэффициент при |/"— 2 \f— 8 и сокращая на 2, получим
-2*-1//й + ...:=0, A1)
где Hk — коэффициент при ]/"—2 »/—8 в {/—8)*е*.
Очевидно, что для А; 5=3 Hk делится иа 2. Если п делится на 2я, то
An (л—1) делится на 2*+г, и все остальные слагаемые левой части равенства
A1) делятся, по крайней мере, на 2J+i, ибо п делится на 2", ft! делится, са-
самое большее, на 2*-i, Hk делится на 2. Следовательно, равенство невозможно,
и теорема доказана.
4°. Т е о р е м а 4. Квадрат единицы О (j/—4Л) не может быть трех-
членной единицей.
286 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Доказательство. Допустим обратное. Пусть
— единица из O(j/—4А), и пусть е2 = а'-\-Ь' у/— 4Л -|- с' |/—А.
Но
г—Л-f 2(ad-\-bc)y— A j/—
Следовательно,
ad-\-bc=0,
или
а с
Ь — d'
откуда
a = km, c=kn,
С другой стороны, так как е — единица, то
±\, E)
ас — №-{-'А& = 0. Щ
Подставив из A2) значения а, Ь, с, d в E) и F), получим
— №rfi — AAPmn — ± 1, E')
/гяг2 + Л/гп2==0. (б1)
Из E') видим, что
(ft, /)=1; (m, п)=\; (k, А)=\; (т, А)=\.
Из F') видим, что Л/2п2 делится на т, Рт2 делится на п, следовательно,
Р делится на от, иа я и на их произведение тп, ибо (т, п) = 1. С другой
стороны, №тп делится на /2, следовательно, тп делится на /2, откуда
тп=±Р.
Следовательно, »
т = CjB2; n = а^2; / = и1»,
где
Подставив в E') и F'), получим
А2 (и4 — Av*) — 4Aaxa2aW = ± 1, E")
^ajOjBV — и2и2(и* —Лг;4) = 0. F")
Из F") находим
№ = o,o2(ut — Avi). A3)
Подставив- в Ef), получим
(и4 —
или
откуда
/ A4)
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА 287
и, следовательно,
8и8±1=.<г. ' A5)
Знак минус в левой части A5), очевидно, отпадает, так как квадрат нечет-
нечетного числа не может иметь вид 8N— 1.
Следовательно,
откуда
t^?l=2pH *±1=4?8; u=pq. A6)
Из равенств A6) получаем
pS-2q* = -fl. A7)
Уравнения A7), в силу теоремы 3, допускают решения
р = \, q = 0,
р=\, q=*\
и других не имеют.
Первое решение дает и = 0, что, очевидно, невозможно. Второе даетя=1
и из A4) Av* = 6 или 0. Решение Лг>4 = 0 дает д = -4- 1;
b = c=d=0
из so=ibl; Avi = 6 дает, после подстановки в A3), невозможное равенство-
*« = —50,0,.
Теорема доказана.
Теорема 5. Никакая нечетная степень основной единицы, кроме пер-
первой, не может быть трехчленной.
Доказательство. Допустим обратное, что
где я— нечетное число.
Рассмотрим отдельно случаи
п = 4т -J- 1,
Пусть
п = 4т-\-\
и
е0 = a -j- * V— 4Л -]- с j/— Л-f- fif j/— Л у— 4А',
тогда
4« +1 = а! + ^^^ -f с' V^A, A8)
^ Й—с'/^А A9)
Умножим равенство A9) на / и вычтем из A8). Получим
== A — г) (a' -f ic' Z17^) = A — i) (a' — с' ]/"а). B0)
Левая часть равенства B0)
.288 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
.делится на число
_ 2
= A— t)(a + eiV— A + d-(\ + i)V2 ?А*е
Следовательно, а' — c'Y~A делится на а — c\f~A — 2d^~/P. Легко видеть,
•что а' — c'VA является единицей поля Q(Va), ибо, как мы видели в 1°,
a — dr-*2» c'=+j/2, где х и у — решение уравнения
которое можно записать в виде
Следовательно, число \ = а — с]/А — 2dy^A3 является единицей поля
/А), и его норма должна быть равна 4-1:
= ±l. B1)
С другой стороны,
а2 —Лс3 + 4^*</=±1, E)
ас —А2 \-А& =0. F)
Исключив Ь из равенства E) и F), получим
(а3 — Лс2J + 2(а2 — А&)-\-\ — 16-42rf2 (ее-]-А*2) = 0. B2)
Вычитая равенство B2) из B1), получим
± 2 (а2 — Ас2)— 1 =± 1,
-откуда
а3 — Лс2 = 0, или +1.
Подставляя в E), получим
4Abd=±:2, ±1, 0,
откуда нли Ь = 0, или d=0, так как равенства
==±2, ±1,
очевидно, невозможны.
Аналогичным образом для n==4OT-J-3 мы придем к тому, что и в этом
случае или Ь = 0 нли d=0, но это невозможно, так как мы знаем из теорем
1 и 2, что среди нечетных степеней единиц вида
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 289
яе может быть трехчленных единиц вида
Теорема доказана.
5°. Соединяя вместе результаты 4°, мы видим, что трехчленной единицей
О (¦/— 4А) может быть только основная единица. Следовательно, уравнение
xi — Ау* = ± 1 может иметь только одно решение, отличное от тривиального,
и его дает основная единица О V— 4А, если она имеет трехчленный вид.
Этот же метод обобщается на уравнении
ах* — Ьу*—\, 2, 4, 8
подобно тому, как метод решения уравнений ах* -\-у3 = 1 обобщается на
уравнениях, разобранных нами в § 3, среди которых, в частности, содержатся
уравнения адг3 -j- Ay3 == 1, 3, решенные ранее Нагелем.
§ 75. О числе решений неопределенного уравнения
AX3-\-BX2Y-\-CXY2-\-EY3s=a, где форма (А, В, С, Е) неприводима
я имеет отрицательный дискриминант
1. Сведение задачи на случай, когда о=1. Если 0=^1, то,
как это показал еще Лагранж („Nouvelle methode pour resoudre !es problemes
indetermlnees en nombres entlers", Memolres de Berlin, t. XXI \/, 1770), решение
уравнения AX3-{- BX2Y -{- CXY2-\-EY* — а может быть приведено к решению
ряда уравнений вида А{Хг + В(Х*Y-f C^Y* -(- Е,К3 — 1, где I = 1, 2, ..., k и
k не больше, чем о.
Действительно, пусть задано уравнение
2 Ys = o. A)
Лагранж замечает, что можно предположить, что ^и в — взаимно простые, так
как, если бы Х — Х?Ь, а = а'$, где Ь — какой-нибудь простой множитель о,
то либо Y делится на него, но тогда мы могли бы все сократить на Ъг, или
же Е делится на 8, тогда, наложив Е=Е'Ъ и сократив все на 8, мы пришли
бы к представлению числа о' формой (Л82, ВЬ, С, Е').
Далее, Лагранж говорит: пусть X, Y — какое-нибудь решение, тогда, в виду
того, что X и о — взаимно простые, можно найти числа К и 6 такие,' что
oY-\-ft*X—Y и что —-^<6s? -^ . Подставив это Y в уравнение A), мы
получаем уравнение
(А + ВЬ + О? + ЕЬ3) Х3 + {В + 2С6
все члены которого делятся на о, кроме (A -f- ВЬ -f- СЬ2 -\- Е№) Xs; но X—
взаимно простое с о, и, следовательно, А-\-ВЬ-\~ С62 -(- ЕЬЪ должно делиться
на о; значит, надо брать только такие 6, которые удовлетворяли бы сравнению
А -\- ВЬ -\- СЬ2 -\- ЕЬЪ = 0 (mod о), и для каждого из корней 6, этого сравне-
сравнения получается, после сокращения на о, уравнение вида
s = l, B)
19 Теория иррациои. 3-й степ.
290 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где
•Найдя все решения XY всех этих уравнений B(.), мы найдем все решения X, Y
уравнения A), у которых X взаимно простое с о, полагая У=вУ-\-Ь{Х,
и всё решения, у которых X ие взаимно простое с о, сокращая, как указано
в начале, на о, из решений сокращенных уравнений, в которых уже сокращен-
сокращенное X—взаимно простое с сокращенным о, причем эти уравнения мы опять све-
сведем на уравнения типа B,).
2. Сведение вопроса о числе представлений на пред-
представление единицы целой формой. Итак, вопрос о нахождении всех
представлений кубической двойничной формой (А, В, С, Е) заданного числа о сво-
сводится на вопрос о нахождении всех представлений числа 1 конечным числом
таких же форм, а следовательно, и вопрос о числе представлений о исходной
формой также сводится к вопросу о числах представлений 1 этими формами.
Пусть (А, В, С, Е) одна из таких форм. Одно из двух: либо она не пред-
представляет 1, и тогда число представлений числа 1 равно нулю, либо она число 1 пред-
представляет, т. е. существуют такие значения х—$, у = Ь, что A$s-\-В$2Ъ-\-
-\- С$Ь2 -)- ЕЬ3 = 1, но тогда |$ и Ь взаимно просты, и можно подобрать такие
также целые рациональные числа а, у,-чтобы было аЬ — ру=1; если теперь
преобразовать форму (А, В, С, Е) целочисленной унимодулярной подстанов-
подстановкой ( vj , то последний коэффициент преобразованной формы будет равен
А$3-\-В$Ч-\-С$Ь2-\-Ё$3, т. е. будет равен 1. Преобразованную форму мы
будем писать так: (я,— q, s, 1). Форму," у которой одни из крайних коэф-
коэффициентов (мы будем всегда предполагать, что четвертый) равен 1, мы будем
называть „целой*. Итак, если форма (А, В, С, Е) имеет представления числа 1,
то она эквивалентна некоторой целой форме, причем число представлений ею
числа 1 равно числу представлений числа 1 этой целой формой. Вопрос
о числе представлений любого числа кубической двойничной формой мы, таким
образом, свели на вопрос о числе представлений 1 целой формой. Мы не го-
говорим здесь, что если форма (А, В, С, Е) дана, то мы можем найти форму
(я, —q, s, 1), а только, что если форма (А, В, С, Е) имеет представления 1,
то целая форма («, — q, s, 1), ей эквивалентная, существует.
3. Сведение вопроса о числе представлений на разы-
разыскание двухчленных единиц. Из тождества
Х*п — X*Yq + XY*s-\- Y* = (Ар + Y) {Xp' -J- Y) (Xp"-\- Y),
где р, р', р" — корни кубического уравнения р3 = sp2 -\- qp -\- п, мы видим, что
каждому решению уравнения
' «A"» — qX*Y-\-sXY*-{-Y*=\ C,)
соответствует в кольце О(р)=[р2, р, 1] положительная, т. е. с нормой -|- 1,
единица, имеющая вид Ар -\- Y, т. е. двухчленная положительная единица,
и обратно.
В случае, когда D = s2q2 — 1 Ssqn -J- 4q3 — 4s*n — 27n2 < 0, который мы
единственно будем дальше рассматривать, т. е. когда один корень р вещест-
вещественен, а два других р', р" — комплексно сопряженные, все положительные еди-
единицы кольца О(р) суть степени с целыми рациональными показателями одной
так называемой основной единицы этого кольца. Мы будем, как и раньше, на-
называть положительной прямой основной единицей ту основную единицу ев,
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 291
которая удовлетворяет неравенствам 0<е0<1. (В табл. стр. 230 даны как pas
эти положительные прямые основные единицы всех колец О (р) с отрицательными
дискриминантами D, по абсолютной величине не ббльшими 379.) В таком
случае все положительные единицы s кольца О (р) суть степени с положитель-
положительными целыми рациональными показателями т этой прямой основной единицы s9
и ей обратной т]0 = е0~1, т. е. всякая такая единица есть либо е™, либо jj™ .
В случае D<^0 весь вопрос о числе представлений сводится, таким образом,
к разысканию всех тех целых положительных показателей т, при которых
либо е™, либо jj™ — двухчленная в р единица, т. е. имеет вид Рр -\- Q.
Мы будем называть решением формы систему целых рациональных значе-
значений X, Y, которые, будучи подставлены в форму, делают ее равною 1, но
для краткости будем также называть решением ту двухчленную единицу,
которая' дает решение.
4. Об обратных решениях. В этом пункте мы рассмотрим сте-
степени г$ обратной единицы с целыми положительными т.
Теорема. Среди степеней обратной основной единицы с положитель-
положительными целыми рациональными показателями т может быть лишь конеч-
конечное число двухчленных единиц, и они все могут быть найдены. Случаю
?)<^0, т. е. когда одиа пара комплексных корней, соответствует сигнатурное
пространство (х, у, z)%ul, т. е. положительные единицы решетки [р2, р, 1]
лежат в нем иа поверхности (x2-^-y2)z—\. Двухчленные числа Хр-\- Улежат
в плоскости х-\-Hy-\-z=0, где, как легко вычислить, //=-7= [2 C^ -J-
-[- s2) р -\- sq -\- 9л]. Как легко подсчитать, единичная поверхность (х2 -\-у2) z = I
не имеет с двухчленной плоскостью общих точек, у которых >^
б
у у р >^(
В ряду степеней jj™ могут быть, следовательно, двухчленные единицы только
для показателей т, не больших чем /= ; После того как вычис-
•gio
лена основная единица ?0 кольца О(р), мы можем найти число /, затем вы-
вычислить все 7|?* для т =^ /, и так найти все обратные решения уравнения
(я, —q, s, 1) = 1, либо показать, что таковых нет.
Замечание. Можно, не вычисляя единицы, указать границу снизу для
величины обратной основной единицы 7|0 = sjj~1 в зависимости от величины
дискриминанта D кольца, если только |?)|>27, так как поверхность, иа ко-
которой лежат все точки данного дискриминанта, имеет уравнение ((х -|- гJ -}-
±/1.01
Л-yi)у = —'—^—- и, как легко видеть, не
пересекается при |?)|>27 с единичной по-
поверхностью (л;2 -hy2) z = 1 при z = 1, а толь-
только ниже и выше, и, например, уже при
| D | > 54 наименьшее z верхнего сечения > 2.
При больших j D |, z растет как "I/ -j-1. Это г' = ;
ограничение 7|0 снизу годится для всех ко-
колец, кроме одного, так как только кольцо,
определяемое уравнением р8 = — р2 -\- 1, име-
имеет дискриминант—23, по абсолютной вели-
величине меньший, чем 27. Истинные значения
единиц т|0 несколько больше этой границы. Приводим табличку уравнений,
которым удовлетворяют самые малые обратные основные единицы 7j0, при-
приближенные с недостатком величины этих единиц, и их дискриминанты.
Для разыскания прямых решений эти геометрические соображения нам
ничего не дают, так как единичная поверхность пересекается с двухчленной,
19*
Z3 = z + 1
гз = г2 + 1
гз = г24-2 + 1
гз=2г2 4-1
гз = 3г2 — г 4-1
гз = 2*2 + 2г + 1
гз = Зг2-1-1
г» = 3.г*+г+ 1
2з = 4г2 — 2г4-1
гз = 3г*+2г+1
гз = 4г2 — г+ 1 ,
гЗ=Зг2+Зг-(-1
1.3
1.4
1.8
2.2
2.7
2.8
3.1
3.3
3.5
3.6
3.8
3.8
— 23
— 31
— 44
— 5»
— 76
— 8S
—135
—176
—107
—175
—199
—10в
Й92 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ.
плоскостью для г < 1 по бесконечной линии, и совершенно не видно, почему бы
на ней не могло лежать даже бесконечного числа точек параллелепипедальной
системы О(р). Причины невозможности такого обстоятельства, до сих пор
найденные, — чисто арифметической природы.
5, О решениях эквивалентных целых форм. Пусть (я, —q,
s, 1) и (л, — q, s, 1) — две эквивалентные целые формы и [ ?) — подста-
подстановка, преобразующая первую форму во вторую. В таком случае E, 8 — ре-
решение первой формы, т. е. я[53— q^4-\-s^ -f- 83 = 1, и а и у— Два таких
целых рациональных числа, что а§ — ру=1. Легко видеть, что если взять
другие числа а', у', удовлетворяющие этому уравнению, то получится форма
(я\ —q1, s', 1), параллельная форме (я, —q, s, 1), т. е. получается из
этой формы подстановкой ( <). Мы будем говорить, что целая форма
(я, —q, s, 1), или, скорее, параллель ей параллельных форм, получается из
целой формы (я, —q, s, 1) при помощи ее решения [S, §.
Пусть А'=р,г У=^; *=Р,, К= «,;... ;*=Р,, К== 8, ... все по-
последовательные решения целой формы (я, —q, s, 1), соответствующие сте-
степеням г™1, е?; ... , eg1', ... положительной прямой основной единицы, причем
от, <С я*2 <С • • • <С "*/ <С • • • и нет решений с промежуточными значениями
показателей. В силу теоремы п. 4, ряд этих показателей имеет первый член
от,, который отрицателен, если есть обратные решения, и нуль — если нет
обратных решений; что же касается вопроса, имеет ли он последний член,
то этот вопрос совпадает с вопросом о конечности числа решений. Если пред-
предполагать известной теорему Туэ, то можно считать известным, что этот ряд
конечный. Но мы строим теорию, независимую от теоремы Туэ, и потому
пока тут этого утверждать еще не можем. Пусть fift, bk — одно из решений.
Тогда эквивалентная целая форма (я, —q, s, 1) = (я — q, s, 1)
имеет решения X=i,^l — §кЬ{, Y= — уАр, -f- aft5, (где /=1, 2...).
Если р и р — корни уравнений р3 = sp2 -f- qp -(- и и р3 = sp2 -(- q? -f- я то, мы
имеем р= g TI* » решениями второй формы, следовательно, будут
(?А-РЛ)Г+ (-тА + «А) = <^
Мы получаем таким образом теорему:
Теорема. Если преобразовать целую форму в эквивалентную целую
форму при помощи решения г"» первой формы, то решения второй целой
формы получаются из решений г™1, eg1*,..., бЦ4 первой целой формы, если
их разделить на г^1*, /я. в. они будут е™1-*, е™3-"»*, ... , е™*-""<
6. О сведении к целой форме, которая, не имеет обрат-
обратных решений. Пользуясь предыдущими теоремами, можно преобразовывать
любую целую форму, имеющую обратные решения, в эквивалентную ей
целую форму," которая не имеет обратных решений. Для этого достаточно вы-
вычислить основную единицу г0, затем способом, указанным в п. 4, найти обрат-
обратное решение е^1 с наибо1ыним по абсолютной величине (отрицательным)
показателем /я, и преобразовать затем заданную форму при помощи этого
решения.
Мы будем дальше везде предполагать, что это преобразование сделано,
и, следовательно, форма не имеет обратных решений.
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 29$
7. О степенях двухчленной единицы.
Теорема. Никакая степень единицы вида Ьр -\- с, где Ь =4= ± 1. че
может быть двухчленной единицей.
То-есть, надо показать, что при возвышении в степень единиц вида Ьр-^-с,
где b ф- + 1, получаются такие единицы Мр2 -(- Рр -\- Q, у которых
МфО.
Действительно, если (Ьр-\-с)т дает /И=0, то мы получаем уравнение:
т(т-1)ст_ъ | т(т—\)(т-2) ^m_jl „ д
В виду того, что Ър-\-с — единица, числа b и с взаимно простые. Пред-
Предположим сначала, что Ь имеет простого делителя тг, большего тр'ех, и пусть
тI* ~ делится точно на тг*. Оставим в числителе каждого из следующих
1 * Zi
биномиальных коэффициентов нетронутыми два первых множителя, т. е.
т (т—1), а в знаменателе два последних, и сократим все остальные множи-
множители с оставшимися множителями числителя. Первый член делится точно на*л*,
а в остальных степень .тг, которая может быть утеряна, вследствие того, что тс
может содержаться в произведении двух последних множителей знаменателя,
меньше, чем та степень тг, которая будет приобретена из степени Ь, так как
даже для тг=5 мы имеем тг^>3, тг2]>4, тг3^>5 и т. д., да еще тг может
содержаться в целом числе, получающемся в результате сокращения остальных
множителей знаменателя и числителя, и в множителе, состоящем из коэффи-
коэффициентов я, q, s формы, который есть в каждом члене. Все следующие члены,
следовательно, делятся по крайней мере на тг*+1, а первый только на тг*;
написанное равенство, следовательно, невозможно.
Остается еще случай, когда b состоит только из множителя 2 и 3. В слу-
случае, если b делится на З2 и —Ц—7—¦ точно делится на 3*, следующие члены
делятся, по крайней мере, на 3*+1, так как 32]>3, 3*>4, 36>5 и т. д.
„ . п т(т—1) пь т(т—\){т — 2) , _ .
Если b делится на 2 и —^-j-o— точно делится на 2я, то —*—t о \ : bcm~as
и т (т - 1) (т - 2) (т - 3) ЬЧт~* ( , д2) делятся> п0 крайней мере, на 2*^,
так как одно из чисел т — 2 или т — 3 четное, все же следующие
члены также делятся по крайней мере на 2*+1, так как 23^>5, 24>6
и т. д.
Остается только еще случай | b \ = 3. В этом случае мы получаем из
c3-\-sc2b — qcb2-\-nb3 = \, что с3 = с=1 (mod3), т. е. с —Зу-|- 1; если под-
подставить это с и ? = ±3, мы получаем s = 0 (mod 3). Мы видим, следова-
следовать т — 1) „s т(т—1) (т — 2) , _ ,
тельно, что если —V-o—¦ точно делится на оя, то — т-^г-з bcm~ss де-
лится по крайней мере на 3*+1, а остальные члены также делятся по край-
крайней мере на 3*+1, так как 3^>4, 33>5 и т. д.
Замечание. В случае, когда Ь = -^г\, степень двухчленной единицы Ьр-\-с
может быть опять двухчленной, как это показывают примеры.
8. Алгорифмы повышения. Мы переходим теперь к изложению
особого способа, который мы называем алгорифмом повышения. Пусть ео =
= ар2 -\- Ьр-\-с и пусть е^'^/^.р -\-а{ все решения уравнения (я, —q,
s, l)=l, причем мы здесь еще не знаем, конечное их число или бесконеч-
бесконечное. Если написать уравнения е'о1 = Р$' -\- Q/ и е"т = Р(р" -\- Q; для сопря-
сопряженных корней р' и р" и вычесть друг из друга, мы получим ео'—So '=f
294 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
= Р1(р' — р"), откуда мы видим, что Pt всех решений делятся на число
-, „ = — ap-\-b-\-as; а именно мы имеем:
или, так как второй множитель правой части—целая симметрическая функция
от р' и р" с целыми рациональными коэффициентами, то
Р, = (— «Р + Ъ + as) ¦ (Al?* + В,9 Ц- С,),
где числа At, B{, Ct — целые рациональные. Мы получаем отсюда:
Ар — В,а=0; — Alaq-\-B,(b-\-as) — C[a = O; — Aian-\-(b-\-as)Cl = Pi,
откуда
2P bPi (&2Ь + У) P*
r
i~ N (—ар + Ъ+as) '
Но общий наибольший делитель (a2, ab, b2 -j- abs -\- a2q) равен (a, bJ, по-
поэтому, если мы обозначим (a, ?)==?, т. e. a = a1b; ? = ?j8, то все Р. всех
решений делятся на число х, где х = 15-ЛГ(—а^ -{-b1-\-a1s)\. Если х >1,
то это значит, что все решения имеют вид Ptp-\-Q, где р = хр и ^ =
= -*; все они, следовательно, лежат в «повышенном" кольце О(р) = О(хр).
Основная единица г0 кольца О(р) есть первая такая степень го основной еди-
единицы г0 кольца О(р), которая лежит в кольце О(р), т. е. у которой коэффи-
коэффициенты при р2 и р делятся иа t? и ж. Если х взаимно простое с индексом
числа р в Q , то ji — делитель tp(x2), где tp — эйлерова функция в Qp, так как
на основании леммы Ферма в Qp мы имеем е§("*>=з1 (mod*2), т. е. eg(**> имеет
вид х2 (<jp2 -f-12? ~\~^з) "Ь ^• Если х — взаимно простое с индексом р, то можно
предположить, что tv tv t% — целые, т. е. в этом случае е0>(х>) лежит уже
в О(р). В случае, когда % не взаимно простое с индексом р, можно также
без труда иайти показатель ц.. Все приводится, таким образом, теперь к за-
задаче: найти среди степеней е0 все те, которые двухчленны в р, т. е. имеют
вид Р;р -(- Qt. Если повторять это рассуждение, мы будем переходить в кольца
О (р), О (р) и т. д. Мы можем так все время повышать то кольцо, в кото-
котором нам надо искать решения, до тех пор, пока, наконец, какое-нибудь х*
не станет равно 1, что может случиться, только если соответственное число
— д*р* -{- b* -\- a*s* будет либо рациональной, либо алгебраической единицей.
Замечание. Может случиться, что у самой основной единицы кольца О(р)
коэффициенты при р2 и р соответственно делятся иа v2 и v ^= 1, так что е0 сама
уже лежит в повышеииом относительно О (р) кольце O(vp). В таком случае мы
сразу перейдем в кольцо O(vp), присоединив множитель v к р. Это же может
случиться на любом шаге алгорифма при вычислении основной единицы в некото-
некотором уже повышенном кольце. В таком случае мы поступим так же. Таким обра-
образом, получается, что иногда, кроме повышающих множителей х, получаются еще
эти .добавочные" множители v, которые только еще сильнее повышают кольцо.
9. Теорема. — ap-\-b-\~as не может быть алгебраической единицей
в повышенном кольце.
Алгорифм повышеиия может остановиться тогда и только тогда, когда иа ка-
каком-нибудь его шаге число — ар -f- b -j- as — обыкновенная рациональная или алге-
алгебраическая единица. (Хотя рассматриваемое кольцо здесь может быть не за-
заданное, а уже повышенное, мы для простоты опускаем значок * иад буквами.)
Покажем, что — ap-\-b-\-as алгебраической единицей может быть только до
первого повышеиия, т. е. у исходного кольца. Для этого будем все время
предполагать, что форма так преобразована, что оиа ие имеет обратных решений.
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 295
В таком случае, если —ap-\-b-\-as—алгебраическая единица, то она,
как двухчленная, есть + степень с положительным целым рациональным пока-
показателем fi положительной прямой основной единицы соответственного кольца
0{р), т. е. ±ejj, причем ц.>1, так как, если г0 = ар2 -\- Ьр -\- с и было бы
—:ар~{-b-\-as.=zh(ap2-\-ty-\-c), то мы получили бы а = Ь = с = 0, что не-
невозможно.
Пусть теперь ц0— So. Легкое вычисление дает 4; г# = _ д _|_ ь _^_ да-=
=агв-|-д\ где a'=abs-^-b2— a2q—ас. Мы получаем отсюда rbil>+1 =
— а'цо-{-а. Если теперь предположить, что кольцо О(р) повышенное, т. е.
что р = Аро-|-г, где А>1, г—целые рациональные и р0 — целое алгебраи-
алгебраическое число, то мы получаем
где 6— целое алгебраическое, а с" — целое рациональное. Следовательно,
j)jj+! = (kb -j- (F)r-+1. Мы получаем, таким образом, ± (*8 -\- с'У +1 = а\ -(- а =
=а'Ш -\-{а'с"-\-а), что на основании теоремы п. 7 невозможно.
Замечание. Мы предположим сначала, что у исходной целой формы число
— ар -|- b -\- as не есть ни обыкновенная рациональная, ни алгебраическая
единица, в таком случае по крайней мере первый шаг алгорифма повышения
сделать можно. Посмотрим, как в этом случае может протекать дальше алго-
алгорифм повышения и какие из этого можно сделать следствия.
10. Первый случай. —а*р* -\-b* -f- a*s* ни на каком шаге
алгорифма не станет единицей. Еслет —д*р*-\-b*-f-a*s* каждый
раз не единица, то Р, всех решений должны делиться на ж, tx, ххх,
и т. д., т. е. всякое Р, превосходит любую наперед заданную величину, уравне-
уравнение (л, —q, s, 1) = 1 не имеет, следовательно, в этом случае ни одного решения.
11. Второй случай. —о*р* -)-Ь*-(-a*s* станет на известном
шаге единицей, в силу теоремы п. 9 и того, что мы предположили, что
первый шаг алгорифма повышения можно было сделать; в этом случае одна
будет обыкновенной единицей: -4- 1 или — 1. Если— а*р* -\- &* -)- a*s* = 4-1.
то мы имеем д* = 0, ?* = 1Ь1. Все решения суть, следовательно, двухчлен-
двухчленные единицы кольца О(р*), которое имеет основную единицу SJ=a*p*2 -\- b*p*-\-
-\-с*, т. е. rt Р* ~Ь с*' 4° в ВИДУ того, что мы предполагаем, что наша форма была
преобразована, как указано в п. 6, иначе говоря, что она не имеет обратных
решений, то все решения должны быть степенями с целыми положительными
показателями т этой прямой положительной основной единицы е* кольца О(р*),
и именно такими степенями, которые двухчленны, т. е. имеют вид P*p*-f-Q-
Пусть р* = Ар, где k—произведение всех повышающих и дополнительных
множителей у. и v, причем в рассматриваемом нами случае k ^> 1. Мы полу-
получаем {z$zkp-\-c*)m — P^p-\-Q, что на основании теоремы п. 7 невозможно ни
для какого т > 1. В рассматриваемом случае поэтому уравнение (я, —q,s, 1)=1
имеет сверх тривиального Х=0, К= 1 еще одно решение Hhfep -f-c* и ни-
никаких других решений.
12. Случай, когда у исходного уравнения —a$~\-b-\-as
есть единица. Если —ар -\-b-\- as — обыкновенная единица, т. е. —ар -\-
-\- b-\-as= rb 1, то д = 0, й = +1, и основная прямая положительная еди-
единица кольца О(р) г0 = ар2 -(- Ър -\- с = + р -(- с.' Но в таком случае заданная
целая форма параллельна целой форме, корнем которой является е0. Пусть эта
форма естьA, —t, г, 1), т. е. г0 — корень уравнения sfl = лг2 -)- tz -f- I. Форма
эта имеет оба крайние коэффициента равные 1. Такую форму, оба крайние
коэффициента которой равны 1, мы будем называть обратимой. Мы рассмотрим
теорию таких обратимых форм в пп. 13—23.
296 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Предположим теперь, что — ар —f- ^ -j— ая = s — алгебраическая единица. Пред-
Представим прямую основную положительную единицу е0 = ар2 -f- bp -f- с кольца
О (р) в дробнолинейной форме (см. § 12) через р, ?0—~Чг«' тогда можно,
как легко вычислить, взятьа = ЧЬ (abs-\-b2— a2q —ас); $ = ±(acs -\-bc—а2п);
Y = rb(—a); 8 = ±(b-\-as). Мы выбираем еще здесь так знак +, чтобы
/i/(Yp-(-8) = +Л^(е) ==-(-. 1. Если опять z3 = rz2 -f- tz -f- 1 — уравнение, кото-
которому удовлетворяет е0, то форма
A, —t, r, 1) =
У) = (я, — ^, 5, 1),
если положить
ЛГ41^ ?Р^+ЗК и если г»
есть уравнение, которому удовлетворяет р.
Мы видим, таким образом, что A,—t,r,\) = (n, — q, s, 1) , но так как
E0
ао—Py=±1>to форма (я, —q,s, 1) эквивалентна обратимой форме A, —t,r, 1),
Итак, в случае, когда у исходного уравнения —ap-\-b-\-as—рациональная
или алгебраическая единица, т. е. нельзя сделать даже первого шага алгорифма
повышения, оно эквивалентно Ьбратимому уравнению.
13. О приведении обратимого уравнения к основному обра-
обратимому. Если заданное уравнение обратимое, т. е. если я=1, р—алгебраи-
р—алгебраическая единица, однако р может быть не основной единицей кольца О(р).
Так, например, корень е уравнения z3 = z2 — 2z-\- 1 —единица, но не основная
егиница кольца О(е); основная единица кольца О(е) есть eo = s2 — s -J- 1, и мы
имеем е = е^. Из того, что е0 заключается в О(е), следует D^^De, а из
того, что ? — степень е0, следует аналогично, что De^Dto, т. е. DSo=De. Если
мы, следовательно, повторим рассуждения предыдущего пункта, то мы покажем,
что, если г3 = rz2-f-tz-f- 1—.уравнение, которому удовлетворяет е0, то формы
A, —t, г, 1) и A, —q, s, 1) эквивалентны, и найдем подстановку! ^1 для
перехода от одной из них к другой, т. е. от заданного обратимого урав-
уравнения к эквивалентному ему основному обратимому уравнению.
14. О решениях обратимой формы с четными показате-
показателями. Пусть A, —q, s, 1) — основная, прямая (т. е. такая, что корень уравне-
уравнения zs = sz2 -f- qz -f- 1 — прямая основная единица кольца, соответствующего этой
форме) обратимая форма. Все ее решения будут степенями с целыми положи-
положительными показателями положительной прямой основной единицы е и ей обрат-
обратной единицы *j, причем е — корень уравнения z3 = sz2.-\-qz-\- 1. Мы рассмотрим
отдельно четные и нечетные показатели. Начнем с четных показателей. Если
мы будем искать решения вида (е2)"", то мы получим (совсем аналогично
тому, как в п. 8), что все Pt этих решений будут делиться на
Если ЛГ(е'-(-е")=^Чг 1, мы получим число х, отличное от 1, на которое должны
делиться все Р, всех этих решений; совершенно аналогично, все Pt всех ре-
решений (jj2)OTi должны делиться на
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ
но.мы имеем
E' _ S" Sl _ E» (E's»;2 (E/ _ S»J •
т. e.
и поэтому все эти Р, также должны делиться на у. Таким образом, все-
прямые и обратные решения с четными показателями суть двухчленные еди-
единицы повышенного кольца О(хг). Наоборот, всякая двухчленная единица
кольца О(хе) есть решение рассматриваемого обратимого уравнения.
15. Об обращенной форме. Всякая обратимая форма имеет всегда,
кроме тривиальнЛго решения 1, еще решение в. Если мы преобразуем обра-
/а 1\
тимую форму при иомощи решения ?, т. е. подстановкой I ), где мы возь-
возьмем а = 0, y=—1, то мы получим по п. 5 „обращенную" форму A, s, —q, \),
иначе говоря, форму, получаемую из заданной обратимой, если написать ее
коэффициенты в обратном порядке.
16. О решениях обратимой формы с нечетными показа-
показателями. Для того, чтобы исследовать решения Pts -\- Q,-, соответствующие
нечетным показателям тг мы перейдем к обращенной форме. В силу п. 5,
все решения заданной формы с нечетными показателями будут соответствовать
решениям обращенной формы с четными показателями,-и обратно. Эти решения
суть
f
p'2 — p
Bee Qf всех тех из решений, которые прямые, должны делиться на , „ ; но
мы имеем
и, следовательно, если ЛГ(еЧ-е")=т^гЬ 1, то все эти Q,. должны делиться на'
X ^> 1. Совершенно аналогично все Qt всех обратных решений должны
ГГ2 г»2
делиться на —, ~ ; но мы имеем
и, следовательно, все Q,- всех этих решений должны делиться на то же самое
число х. Мы видим, таким образом, что все решения заданной обратимой
формы с нечетными показателями, как прямые так и обратные, суть двухчлен-
двухчленные единицы в кольце О(щ). Наоборот, всякая двухчленная единица кольца
0{щ) есть решение заданного обратимого уравнения, надо только поменять
местами Р. и Qr
17. О неэквивалентности тех двух форм, на которые сво-
сводится обратимая форма в том случае, когда Af(s'-f-e") =h-h 1.
Если N(e'-\-г") =? + 1, то решение обратимого уравнения A,—q, s, 1)=1
сводится, таким образом, на решение таких двух повышенных уравнений:
(х', —qr.2, sx, 1)=1 и (х«, s*?, — q%, 1)=1.
Легко видеть, что эти формы неэквивалентны друг другу. Действительно, если,
бы это имело место, корни хе и щ этих форм должны были бы выражаться
цело друг через друга, но это невозможно, так как e = jj2-j-gT]-j-s и хе=
98 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
= XIJ -(- УЩ -\- xs; но невозможно найти такие три целые рациональные чи-
числа А, В, С, чтобы было Аъ2ц2 -\-Вщ-^-С=щ2-\-%дт1-\-т.з.
18. О случаях, когда N{s'-\-$) = zb 1. Мы имеем таким образом
возможность, в случае обратимого уравнения, свести задачу на разрешение
„повышенных" уравнений, для которых уже можно применять алгорифмы повы-
повышения. Но остались еще исключительные случаи, когда мы этого сделать не
можем, а . именно случаи, когда N (е' -\- е") == ^Ь 1. Мы имеем ^V(e'-j-e") =
^=N(s — e) — sq-\-l и s^-f-1=4-1» если s=0 или q = 0. Эти случаи мы
рассмотрим в двух следующих пунктах, sq -j- I =—1 тогда и только тогда, когда
sq = — 2, т. е. в случаях s—l,q =— 2; s = —\,q = 2; s = 2, #.=—1;
s= — 2, 9=1, что дает уравнения с дискриминантами —23, —|— 4-9^ —23,
-[-49. Тут получается только два уравнения с отрицательным определителем,
но оба они эквивалентны уравнению 23 =— 22-}-1, которое опять типа q = 0.
Остается, следовательно, рассмотреть обратимые уравнения с s = 0 или q==0.
19. Степень корня уравнения z*=qz-\-\, если \q\^\. Пусть
у нас имеется обратимое уравнение zs = qz-\-l и е его корень, мы исследуем
«го решения вида ет, где т положительно. Если коэффициент М при е2
в гт равен нулю, то мы имеем, как легко видеть, одно из следующих ра-
равенств:
A) если ot=3y-}-2:
Г^З . 1.2-3.4-5.6 г и>
B) если ot=3y+1:
(Т-2)(т-Рт(Т+1) |
Г2^4 Г-
(т-4)(т-3)(т-2)(т-1)т(Т+1)(Т + 2) . _
1.2-3-4.5.6-7 "Т" "'
C) если от=3у:
(т —3)(т —2)(Т—От(т+1) ,
1.2-3-4.5 ~г
(Т-5)(Т-4)(т-3)(т-2)(Т-1)Т(Т +
1.2-3-4-5.6-7.8
. _
Очевидно, что если \q\=^\, случай m = 3f-\-2 невозможен. Что же касается
двух других случаев, то заметим, что простое число р входит в от! не выше
/И— 1 -, Vm —«.
чем с показателем г; если мы обозначим *—, = рт, то мы увидим, что
^ Р — 1 т!
дробь рт после сокращения на возможно более высокую степень р будет
иметь в числителе р с показателем, равным, по крайней мере,
где [] обозначает, как всегда, наибольшую целую часть. Второе и третье из
предыдущих равенств мы перепишем так:
/ j .. (у —4)-f .. .=0;
— 1) + <76(Y+ 1)... (Y —3) + ?8(Y + 2) ... (y-5) 4-... =0.
Предположим сначала, что | q \ простое число р, большее трех. В таком случае
здесь каждый следующий член делится на более высокую степень р, чем
первый, так как
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 299
т—
не уменьшается при увеличении т; первое равенство, следовательно, невоз-
невозможно;
[»-,4т] »[«-*]-«.
т. е. и второе равенство также невозможно. /
Если |^| = 3 и Y делится точно на 3*, то в первом равенстве первый член
Г 31
делится на 3*+1, а второй, по крайней мере, на 3 "• 2^ = 3 *+2, следую-
следующие же, в виду того, что
I»—Н
при увеличении т не уменьшается, также, по крайней мере, на 3*+2; таким
образом, и для |^| = 3 первое равенство невозможно. Во втором равенстве,
если |^| = 3 и Y(Y—1) точно делится на 3*, первый член делится точно иа
3*+*, второй, по крайней мере, на 3*+4, третий, по крайней мере, на
3 *¦ 2-' = 3*+*, а все следующие также, по крайней мере, на 3*+4; вто-
второе равенство также невозможно при |^| = 3. Пусть, наконец, \q\ = 2 и Y
точно делится на 2*; тогда первый член первого равенства делится точно на
2*+1, а все следующие на более высокие степени 2, так как после сокра-
сокращения 2т, 2 не останется в знаменателе, а во втором и третьем членах в чи-
числителе, кроме множителей y(Y—1)> есть п0 крайней мере еще два последо-
последовательных множителя, т. е. по крайней мере еще один множитель 2. То же
самое для второго равенства. Если \q\ не простое число, то мы можем из
|^| выделить простого делителя/? и провести все предыдущее рассуждение
для этого р. Если после этого выделения р в \q\p~1 еще входит, то всякий
следующий член будет тем более делиться на более высокую степень р, чем
первый. Мы видим, таким образом, что среди степеней ет, где г — корень
уравнения z3 = qz-\-\, \q\=^=\ и /и>1, кроме степени г3, которая равна
qs-\-\, нет других двухчленных единиц.
20. Решение прямого основного обратимого уравнения
в случае s = 0, q=?—1. Если z3 = qz-\-\ прямое обратимое уравнение,
то из D = \qz — 27<0 мы получаем q=\, 0 или <[0. Но ^=1 дает
обратное уравнение, q = 0 приводимое. Уравнение z3 = — 2~f~l мы рассмот-
рассмотрим в п. 21. Остаются, следовательно, только случаи q <^—1. Все прямые
решения суть степени г с положительными показателями т. По предыдущему
пункту таких решений только два: г и г3=^г-|-1. Все обратные решения
суть степени с положительными показателями обратной основной единицы
7]=г~1 = г2 — q, которые двухчленны в г. Мы можем для исследования этих
решений применить результат п. 4, а именно, мы покажем, что уже
z
7] > у№-\-1 , т. е. что нет обратных решений. Действительно, неравенство
з
з,
г( >]/ Я2-)- 1 удовлетворяется, так как его можно написать так:
или
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
300
или
Но это неравенство имеет место, так как для
довательно,
далее
— 1,
59, а сле-
слет
m
2
|з|
4
5
6
7
lil
0
1
0
—1
1
1
—2
0
171
1
0
—1
1
1
-2
0
3
От
0
0
1
0
—1
1
1
—2
Но мы имеем: Cs —
Мы видим, таким образом, что прямое основное уравне-
уравнение вида z3 = qz-\- 1, если q=/=—1, не имеет никаких
решений, кроме трех следующих: тривиального ре-
решения 1 и двух очевидных решений -е и е3 = де -f- 1.
21. Решение уравнения A, 1, 0, 1)=1.
Пусть ет = Мтг2-\-Pms -\-Qm. Вычислим неболь-
небольшую табличку степеней ет. Мы видим, что, кроме
первой степени и куба, двухчленна еще восьмая сте-
степень. Мы докажем, что дальше, до бесконечности,
уже нет таких степеней, которые двухчленны. Дей-
Действительно, предположим, что дальше были бы такие
степени, напр. ?m = Pme-\-Qm, тогда т имело бы
один из восьми видов т = 8у-\-г, где г = 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, т. е. ет была бы вида (Зе — 2)т.аЛ.
i = (— 2)т-И(— 2)^1-3? +
и поэтому М имело бы для соответственного г вид:
1-2
г=1; Т(-
i
7G—:
2)
1-2-3
(—
и т. д.
Во всех этих случаях Мт = 0 невозможно, что легко видеть, если исследо-
исследовать делимость последовательных членов на степени числа 3, так же как мы
это делали в пп. 7 и 19, и если принять во внимание, что Mit M&, Л46, М7
не делится на 3, а Л/8 = 0. Уравнение A, 1, 0, 1)=1 не имеет, следова-
следовательно, прямых решений, кроме е, е3, е8. Что же касается обратных решений,
то применение метода п. 4 показывает, что таковых нет. Ссе решения урав-
уравнения A, 1, 0, 1) —1, таким образом, следующие: е°=1, е1==е, г3 =
= — е+1, ss = 3e—2.
22. Случай д=0. Уравнение zB = sz2-{-\ может быть прямым, т. е.
его корень прям^ой единицей (т. е. единицей, удовлетворяющей неравенству
е<С 1), только если s<^0, но дискриминант его равен —4s3 — 27 и может
быть <0 только, если s~^> — 2. Случай q = Q приводит, следовательно,
только к одному уравнению s— —1, т. е. к уравнению A, 0, —1, 1)=1.
23. Решение уравнения A,0, —1, 1)=1. Мы начнем опять
с вычисления таблички степеней' гт= ^Wms2-f- Pms+ Qm- Мы продолжали это
вычислением до т= 120(так, например, sI20= 11275550'62-|-9734175-s —
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ
301
—13773374), но за решением е14 мы не нашли никакого дальнейшего реше-
решения. Мы покажем, что дальше, до бесконечности, уже и нет решений. Дей-
Действительно, если бы дальше чем еи было решение, оно имело бы вид
Dе — 3I-еГ, где г —одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И
12, 13. Мы имеем уравнение:
Ds — 3)T = (-
(— 3)т-».4»е»4-...
Если мы помножим его на ег, то получим, что коэф-
коэффициент при е2 равен
A)
Очевидно, что этот коэффициент не равен нулю в
случае, когда г = 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13,
так как в этих случаях, как это видно из таблички,
Мг не делится на 4. В случаях г=1 и г—5 мы
имеем Мг = 0, а Мг+1 равно 1 и —1; действи-
действительно, если Y точно делится на 2*, то первый сле-
следующий отличный от нуля член Mr+]*Y(—3)'~'-4
делится на 2*+2, а все следующие, как это легко
видеть при помощи метода п. 7, делятся на еще
более высокие степени двойки. Случай г = 0 дает
т
ш
2
3
4
Е
7
8
9
10
11
12
13
0
0
1
—1
1
0
J
2
Т
1
з
4
—3
0
Рт
1
0
0
1
—1
1
0
—1
2
—2
1
1
—3
4
<?«
0
0
1
—1
1
0
J
2
—2
1
1
—3
4
—3
что, по совершенно аналогичной причине, не может быть нулем. Остается еще
только один случай г=12. Тут непосреаственное исследование коэффициентов
равенства A) ничего нам не дает, так как Ж,2 = 4, а УИ13 =—3, и поэтому
оба первые члена могут делиться на одну и ту же степень двойки. Однако мы
можем в этом случае записать г1" также и так: Dг —3)т*~2, где е~2 = г-\-\,
и мы получаем тогда, что коэффициент при е2 в ет равен:
M
T (T — I' (T — 2).
1-2-3
Пусть Y точно делится иа 2*; тогда первый член точно делится на 2*+2, а все
следующие, по крайней мере, на 2*-1; этот коэффициент также ие может,
следовательно, равняться нулю. Прямых решений с/ге]>14, следовательно, нет-
Применение метода и. 4 пжазыва^т, что есть только одно обратное решение
s~2 = s -j- I. Все решения уравнения A, 0, — 1, 1) = 1 суть, следовательно,
следующие пять:
е-« = е + 1; е°= 1; e» = s; еБ = — е+1; еи=-4е —3.
24. Сводка полученных результатов. Из всего полученного в пп.
1—23 следует, что:
1°. Число решений общего уравнения (А, В, С, Е)=\, если это число
больше нуля, равно числу решений некоторого „целого" эквивалентного ему
уравнения (я, —q, s, 1)=1, которое мы, однако, вообще говоря, не умеем
найти по уравнению
(А, В, С, Е) = 1.
302 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
2°. Для всякого целого уравнения (л, —q, s, 1)=1 можно узнать, экви-
эквивалентно ли оно .обратимому" уравнению A, —t, r, 1)=1. Для этого доста-
достаточно вычислить основную единицу соответствующего ему кольца.
3°. Если уравнение (я, —q, s, 1)=1 не эквивалентно обратимому, то
алгорифм повышения можно начать, и он либо не кончится, тогда оно имеет
только одно .тривиальное* решение @, 1), или же кончится, но как далеко,
неизвестно, и тогда уравнение имеет два решения, это тривиальное и еще одно,
которое мы узнали бы, если бы провели алгорифм повышения до его окончания.
4°. Если уравнение эквивалентно обратимому, то это обратимое можно свести
на два повышенных, каждое из которых уже не эквивалентно обратимому,
и решать уже их.
5°. Этого нельзя сделать лишь в некоторых особых случаях, в которых,
однако, уравнения нами решены до конца, причем все эти особые уравнения
имеют не больше, чем 4 решения (включая и тривиальное).
6°. Только одно из них имеет 5 решений.
7°. Бесконечно много уравнений, а именно, например, уравнения A, —qr
0, 1)=1 при \q\^>\ имеют по 3 решения.
Заметим еще, что вопрос о том, эквивалентно ли заданное общее уравне-
уравнение (Л, В, С, Е)= 1 обратимому A, —t, г, 1) = 1, можно также всегда решить,
так как кольцо, соответствующее форме (А, В, С, Е), то же самое, что и коль-
кольцо, соответствующее форме A,—t, г, 1), так как формы эти эквивалентны
и, следовательно, если вычислим основную единицу е кольца, соответствующего
форме (А, В, С, Е), и ее дискриминант не равен дискриминанту формы
(А, В, С, Е), то форма эта не эквивалентна обратимой; если же он равен, то эта
форма эквивалентна обратимой, а именно той, корнем которой является эта
единица е.
В результате получается следующая основная теорема:
Теорема. Число решений в целых числах X, Y неопределенного урав-
уравнения (А. В, С, Е) = \, где (А, В, С, Е), неприводимая, целочисленная куби-
кубическая двойничная форма отрицательного дискриминанта, вообще говоря,
не больше двух, и только если форма эквивалентна обратимой, оно может
быть равно трем и четырем. Только в случае единственного класса с дис-
дискриминантом —23 оно равно пяти. Никакое такое уравнение не имеет
больше пяти решений.
После того как при помощи алгорифма повышения мы свели вопрос на
исследование обратимых форм, мы исследовали эти последние опять-таки алго-
алгорифмом повышения, разбивая решения на решения с четными и решения с не-
нечетными показателями. Нагель для рассмотрения обратимых уравнений предло-
предложил иной, весьма остроумный и по существу дела геометрический способ,
который показывает, что такое уравнение не может иметь, за исключением
трех случаев, больше чем три решения, что еще несколько улучшает нашу
предыдущую теорему, в которой оставалось неясным, может ли быть у беско-
бесконечно многих различных неэквивалентных обратимых уравнений по четыре реше-
решения. Перейдем к рассмотрению этого дополнения Нагеля, причем изложим его
геометрически.
25. О двухчленных в г степенях прямой основной в О (г) единицы г.
Начнем с теоремы:
Если s — прямая основная единица кольца О (е), то двухчленных в е обрат-
обратных единиц нет, кроме одного случая, а именно, когда D = — 23. Действи-
Действительно, при данном дискриминанте D, двухчленная плоскость, построенная на
l,s, имеет общие точки с единичной поверхностью (x2-}-y2)z= 1, не более
как на высоте //„ которую легко вычислить. Для существования двухчленных
в ? обратных единиц необходимо, чтобы //, была ^HD, где HD—высота
наинизшей точки пересечения дискриминантной поверхности Д с верхней частью
единичной поверхности. Но для того, чтобы было Ht^HD, необходимо, как
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 303
легко видеть, чтобы е лежала на линии пересечения единичной поверхности и по-
поверхности D, достаточно далеко от начала, т. е. чтобы е было достаточно мало, но,
как показывает вычисление, в таком случае, например, начиная с ?>= — 59,
получается, что даже уже е~х больше, чем //,. Таким образом, двухчленных в s
обратных единиц при |?>, 1^59 нет. Случаи De = —44, —31, —23 можно
легко исследовать, каждый в отдельности, при помощи способа п. 4, и полу-
получается, что обратная двухчленная в е единица, где е — прямая основная еди-
единица кольца О (г), имеется только одна для ?>в = — 23, а именно единица е,
удовлетворяющая уравнению е3 = — s2 —J— 1, есть прямая основная единица кольца
O(s), и s-2 = e+l-
Теорема. Если |Д |>>44, то среди степеней ет с целыми неотрица-
неотрицательными показателями прямой основной единицы е кольца О (г), кроме
тривиальных двухчленных в г единиц е°=1 и s1 = s, может быть только
еще одна двухчленная в е единица. Действительно, пусть &>-=Ь$-\-с, причем
ji наименьший показатель, больший 1, при котором ет двухчленна в е, и пусть
еще е*' — Вё-\-С тоже двухчленна в е, где ji'>}t. Тогда jt' = jt-v-|-T, где
v и т — целые рациональные и Os^Tsg:;!—1. Покажем, что если |?>J>-59,
тот^=2. Действительно, если бы т=0, то было бы (be-f-су = Be-f-С и по
лемме п. 7 было бы ? = ±1, т. е. 0<^±ё-\-с<^1. Но 0<8<1 и, сле-
следовательно, было бы, с = 1 и bs-\-c — — s —{— 1.
Однако, если — ?-j-l положительная единица, то, если s3 = re2 -f- ^s —|— 1,.
s—1 удовлетворяет уравнению
и, следовательно,
— ЛГ(е—1)=ЛГ(—e
т. е. r-\-t=— 1 и
6 + |6- — 31;
но это ?>, отрицательно лишь для г = — 1, 0, 1, 2, 3, 4, и тогда соответственно
D.= — 23, —31, —23, —23, —31, —23.
Предположим, что теперь т=1. Тогда мы имели бы (be + c)v¦ s = Ае-\-В.
Так как тут коэффициент при е2 должен равняться нулю, то, если ?3 = ге2-|-
—|— ^© —|— 1, мы имеем
т) **«¦-*** = О,
где \k — целые рациональные. Сократив это равенство на vb, мы получаем ра-
равенство
45=3
Пусть b делится на нечетное простое число тт. Тогда сумма 2 также делится
на тг, так как тс* ^3k~1'^>k для всех k~3*Z. Второй член y(v—\)Ьс—гг
также делится на тг, т. е. и с должно было бы делиться на тг, но это невоз-
невозможно, так как b и с взаимно простые, потому что Ье-\-с единица. Если Ь
четное, то сумма 2 делится на 2, так как 2k~1^>k, если k^Z. Второй член
также четный, если либо b делится на 4, либо г четное, и в таком случае
и с было бы четное, что невозможно. Остается только один возможный случай
| Ь | = 2 и г нечетное, так как b делиться на нечетное простое число тг, как мы
показали, не может. Но если |6|=2, то ет=Ьг-\-с=±2е-\-с, откуда,
так как 0<е<1 и O-^si'-^l, получается |сКЗ, т. е. только и возможно,
что be-\-c = ^zBs—1). Посмотрим, для каких дискриминантов D% возможно-
304 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
вообще, чтобы 2s—1 было единицей. Мы имеем NBs—l) = 2 + ,
откуда, если наложить NB$—1) = —1, мы получаем г = — 2t — 4, т.е. г
четное, а нам надо, чтобы оно было нечетное. Если же положим NBs—1)=1,
то получаем г = —2t—3. В этом случае мы имеем, что дискриминант D,—
— 4*з Jj_ я B* + ЗJ + 4 Bt + 3)з+ШB* + 3) — 27, и он отрицателен только
для t==—1, —2, —3, —4, —5. Но случай * = — 3 дает приводимое
уравнение, а случаи t=. — 4, —5 дают 1<е, мы же предполагаем единицу
прямой основной единицей. Случай t = — 2 дает уравнение е8 = е2 — 2s+1,
т. е. S хотя и положительная прямая, но не основная единица кольца О (г);
8 есть квадрат основной единицы этого кольца. Остается только один случай
t =— 1, дающий уравнение s3 = — s2 —^ е -|— 1 с дискриминантом —44, кото-
которое имеет 4 решения: е°=1, S1 = s, s4 = 2s—1, s17 = 4- 103s+ 56, причем
no основной теореме это и все его решения.
Итак, если положить sT = ие2 + юг + w, то тут и^О, так как т> 1 и <fi,
а ?|* наинизшая степень s с >л>1, которая двухчленна в S. Мы имеем, следо-
следовательно,
(Ьг + сL • (иг2 + юг + w) == Be + С,
причем и=^=0. Возведя слева в степень по биному, перемножив и положив,
-что коэффициент при е2 равен нулю, мы получим:
откуда мы получаем, что ис = 0 (mod b). Но так как Ьг + с единица, b и с
взаимно простые, то, следовательно, мы имеем, что и делится на Ь, т. е. что
имеет место неравенство
|и|3»1*1- . A)
Покажем еще, что т=}1—1 тоже невозможно. Действительно, если бы это
было, мы имели бы
ИЛИ
ие3 + vi% + we = Ьг + с,
т. е.
{иг + v) ?2 f- (ut + w) s j- и = Ьг + с,
откуда
и, следовательно, так как a = 0(mod6) и b и с взаимно просты, b получается
равным +1, но, как мы видели, если |De|>31, то bj^^l. Итак, мы имеем
-еще неравенство
т<}1—2. B)
Неравенства A) и B), как это легко видеть из следующего геометрического
рассмотрения, при | Ds | > 44 несовместимы. Действительно, в виду того, что
х^р. — 2, а расстояния точек от оси z при их перемножении перемножаются,
мы должны иметь, если будем обозначать через { } расстояние от точки до
оси z, следующее неравенство:
? + a»}<i^i^l. -C)
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ 305
Пусть теперь координаты х, у проекции е на плоскость X, Y параллельно
рациональному направлению суть (а, ^), а координаты проекции е2 — (у, Ь). В та-
таком случае проекция точки Ate2-\-Ре-\-Q имеет координаты (Му-\-Ра,
МЪ-\-Р$), так как прибавление Q лишь переносит точку параллельно рацио-
рациональному направлению. В виду того, что расстояние от точки до оси z отли-
отличается от расстояния от такой ее проекции не больше чем на z точки, мы
можем неравенство C) заменить следующим более сильным:
D)
Заменим еще в {иу -)- va, «5 -\- v$ \ v тем v*, при котором это расстояние
будет наименьшим, т. е. заменим это расстояние расстоянием h от начала до
прямой x=w{-\-v*a, y = ub-\-v*$, где v* переменный параметр; обычное
уравнение этой прямой имеет вид л$ -\-уа -\- (аЬ — [jy) и = О, т. е.
и (я8 —
/«»+ p
тогда получится из D) еще более сильное неравенство:
|и|-|«« — Рт1 ., _|*11
88 —«8
или, так как в силу неравенства A) |«|^|ft|, a |flS — ^у|, как легко видеть,
равно объему основного параллелепипеда решетки [е2, е, 1], т. е. равно -^ V\ D% \ ,
и принимая во внимание, что г и pi больше 2, мы получаем неравенство
откуда легко получается
Соединяя обе сейчас доказанные нами теоремы, мы видим, что обратимое
уравнение A,Л—*, 1)=1 может иметь максимум три решения, если его
дискриминант | D \ ^> 44. Заметим, что три решения могут быть в бесконечно
многих случаях, а именно, например, уравнения A,0,—t, 1):=1, рассмотрен-
рассмотренные в п. 20, всегда имеют три решения. Что же касается уравнений с дискри-
дискриминантами — 44, —31, —23, то два последние были нами вполне решены
в пп. 21, 23 и оказались имеющими четыре и пять решений. Уравнение же
с D = — 44, как было указано выше, имеет четыре решения: г°, е1, е*, е17,
и так как по основной теореме оно не может иметь больше четырех решений,
то это все его решения.
Собирая все сказанное, мы получаем следующую окончательную теорему:
Теорема. Число решений в целых числах X, Y неопределенного урав-
уравнения (А, В, С, Е) = 1, где (А, В, С, Е) неприводимая, целочисленная, куби-
кубическая двойничная форма отрицательного дискриминанта, вообще говоря,
не больше двух и только, если форма эквивалентна обратимой, оно может
быть равно трем, причем в этом случае оно равно двум или трем, и при
этом трем для бесконечного числа классов. Только в случае двух единствен-
единственных классов форм с дискриминантами —44 и —31 оно равно четырем
и только в случае единственного класса с дискриминантом—23 оно равно
пяти. Никакое такое уравнение не может иметь больше пяти решений.
20 Теория иррацион. 3-й степ.
306 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й.СТЕПЕНИ
Получается такая табличка числа решений:
( °
если форма ) 1
не эквивалентна обратимой | 2 , если форма эквивалентна
3 / обратимой
4 если D = — 44 и —31
5 если D = —23.
§ 76. Дальнейшие исследования об алгорифме повышения
При доказательстве предыдущей основной теоремы о числе представлений
числа кубической двойничной формой отрицательного дискриминанта был рас- .
смотрен своеобразный вычислительный процесс, который мы называли алгориф-
алгорифмом повышения. Этот алгорифм был разобран лишь для целой формы, т. е.
такой, у которой один из крайних коэффициентов равен 1. Для вопроса о числе
решений этого достаточно, так как если рассматриваемая форма не эквивалентна
целой форме, то число представлений ею числа 1 равно нулю и, значит, до-
достаточно рассматривать лишь целые формы. Для получения же самих решений
этого недостаточно, так как у нас нет способа узнать, эквивалентна ли задан-
заданная форма целой форме. Поэтому, если рассматривать алгорифм повышения
как способ для получения самих решений в общем случае кубической двойнич-
двойничной формы отрицательного определителя, то надо построить этот алгорифм и для
нецелой формы. Оказывается, это можно сделать. Самый алгорифм повышения
можно рассматривать как способ последовательного приближения к решению.
Полное решение было бы получено, если бы мы имели способ узнавать на не-
некотором, заранее ограниченном по номеру, шаге алгорифма повышения, наступит
такое положение, что дальше вычислять не надо, так как дальше алгорифм заве-
заведомо не оборвется и, следовательно, дальше решений нет. Два такие „критериума
остановки" мы предлагаем ниже, причем критерии эти во всех нами вычисленных
примерах наступали обычно на одном из первых шагов повышения; однако, мы
пока не умеем указать границу для номера того шага, на котором тот или
иной .из этих критериумов должен появиться.
1. Об одном необходимом условии для того, чтобы не-
неопределенное уравнение (А, В, С, Е)=\ имело решение. Пусть
AXs-{-BX2Y-{-CXY2-{-EY3=(A, В, С, Е) = Ф{Х, У) некоторая заданная куби-
кубическая двойничная форма и <о1 и <о2 корни уравнений <i)J— Вш^-\- АСч>г—Л2Я=0
и (о|—Сй)|-|-ВйJ — АЕ2 = 0, причем оIоJ==Л?. Модуль [ш,, ш2, 1], как это
показано в § 15, представляет собою кольцо. Мы будем обозначать это кольцо
О(Ф) или О [о,, ш2, 1]. Дискриминант этого кольца равен дискриминанту Ф.
Эквивалентным формам соответствует одно и то же кольцо. Как легко видеть,
не всякая форма Ф может быть- представлена как норма (в поле Q (со,)) числа
вида X-AT-j-ftK, где X и ft—целые числа поля Q(w1), так как, если, например,
форма Ф примитивна, т. е. ее коэффициенты А, В, С, Е не имеют общего
делителя, то и X и ft не должны были бы иметь общего делителя, но р = —
есть корень уравнения N(p—Y) = A — BY-\-CY2 — EYa = 0, т. е. — самое
общее кубическое дробное число. Но если в поле Q(o)j) не один класс идеалов,
то можно в нем всегда найти сколько-угодно дробных чисел, которые, если их
представить несократимой в поле дробью, то все же числитель и знаменатель
этой дроби будут иметь общего идеального делителя и, следовательно, не будут
взаимно простыми. В том же случае, когда форма Ф может представлять число 1,
она эквивалентна „целой" форме, т. е. такой, у которой Е=\, например,
(А, В, С, Е) = {п, —q, s, 1) . . и, если р корень уравнения р8 — sp2 -j- qp -\- я,
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ АЛГОРИФМЕ ПОВЫШЕНИЯ 307
томы получаем (А, В, С, Е) — Na (kX-\-]iY), где X = ар-|-у, jx = ^Р + ^, т. е.
в этом случае Ф имеет такое „целое* разложение в своем кольце О(Ф) =
= О [р2, р, 1]. Если Ф примитивна, что мы будем всегда дальше предполагать,
то числа X и ft взаимно простые. Мы имеем —=ь? и> следовательно, мы
получаем Е = jxy; ш2 = X/, где/ число из Q(o)j). Число аЕ — $(&2 кольца О (Ф)
равно (aft— $\).j=j, так как aft— [5Х=1, т. е. число j есть число кольца
О (Ф). Идеал (й>2, Е) кольца О (Ф) должен, следовательно, быть главным идеалом
и притом числом кольца О (Ф). Если форма Ф задана, то можно при помощи
методов, рассмотренных в гл. II и IV, узнать, главный ли идеал (й>2, Е) в Q (u)j)
и, в случае, когда это так, можно найти соответствующее целое алгебраическое
число j кольца, если таковое существует. А именно, если (й>2, Е), главный идеал
Q (со,) и равен целому числу / из Q ((Oj), то число j, если таковое существует,
равно /•?, где s — некоторая единица из Q((ot). Пусть дискриминант формы Ф
отрицательный. Тогда все единицы Q (щ) суть степени одной основной /0; пусть /g
первая степень /0, которая лежит в кольце О (Ф), т. е. ^==?о) где ?0 основная
единица кольца О (Ф). Тогда, если среди чисел /, IlQ, Il2Q .. Il^ нет числа,
лежащего в О(Ф), то искомого числа j нет. Если же такое есть, то мы его
найдем среди этих ft чисел.
со Е
Если у найдено, то ).= -!; Ц= — или же отличаются от этих чисел на
один и тот же множитель, который есть единица s в кольце О (Ф), так как,
если Xs и fts лежат в кольце О (Ф), то и ajts — [SXe тоже лежит в кольце.
Для возможности существования решения уравнения Ф(Х, У)=1, таким
образом, необходимо существование такого разложения Ф в собственном
кольце.
Примеры показывают, что это условие, однако, не достаточно.
2. О двух сравнениях,- которым должны удовлетворять
все решения Р, Q уравнения Ф (X, Y) = \ в случае, когда Ф
неприводимая целочисленная двойничная кубическая форма
отрицательного дискриминанта. Предположим, что выведенное выше
необходимое условие выполнено, и пусть X = r<al -f- sa>2 -\-t; ft = иш1 -f- ve>2 -\- a>.
Если мы имеем Ф(Р, Q)=l, то XP-j-ftQ положительная единица кольца О (Ф).
Если определитель формы Ф отрицательный, то кольцо О (Ф) имеет только одну
независимую основную единицу. Пусть s0 = аа>1 -\- b<s>2 -\- с прямая, положитель-
положительная основная единица, т. е. основная единица, удовлетворяющая неравенствам
0 <^ г0 <^ 1. Девять целых рациональных чисел а, Ь, с; г, s, t\ и, v, w могут
быть вычислены при помощи способов, указанных в гл. II и IV. Мы имеем
\P-\-]iQ = s^. В виду того, что двухчленная плоскость \X-\-p.Y пересекает
верхнюю часть единичной поверхности по конечному куску кривой, мы можем,
подобно тому, как это было указано в п. 4 § 75, найти все такие решения
с /га<^0; если наивысшее такое решение есть s^~*, то, взяв вместо X и ft Хец11*
и fts~*, что всегда можно сделать, мы перейдем к такому новому целому раз-
разложению рассматриваемой формы Ф, при котором она заведомо не имеет реше-
решений с отрицательными показателями т. Для любого решения P,Q мы будем
тогда иметь
ХР + ftQ = (rP + uQ) a), + (sP + vQ) о», + (* Р + wQ) =
= Fcoj -j- Go>2 -f- H— s = eg1 = (ac»! -f- ba>2 -f c)m,
где /к > 0. Если написать это же уравнение для сопряженных колец и вычесть,
получается
К - О=<т - som=(*о -
< o$
=[а (»; - о>;')+* К -
26*
308 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где U, V, W—тоже целые рациональные числа. Мы имеем
... » '. ЛИ , " '\
(О,
¦0),=-
АЕ*
поэтому, после соответственных сокращений, мы получаем
Сравнение коэффициентов дает три уравнения, решая которые, мы получим:
A-U=a(bF — aG); Д- V=b(bF—aG); A-W=b(aC—bE)G-\-a(aA — bB)F
где Ь = а*А — а*ЬВ-{-аЬ*С—Ь3Е. Пусть 8 = (а, Ь) и а = агЬ, b^=btd, и
обозначим ¦pj = ix, тогда мы имеем:
•/.¦b-U=ax(bxF—axG);
Из первых двух из этих уравнений, в виду того, что (а,, Ь1)=1, мы полу-
получаем
btF — a, G = 0 (mod xi),
или
A)
где К =
Г S
и v
а из третьего
B)
где К =
Ca,ft, — ЕЬ\, ВахЬх — Аа{
г , s
Calbx— ЕЬ\, ВахЬх—Аа\
и , v
Этим сравнениям A) и B) должны удовлетворять все решения Р, Q уравнения
Ф(х,у)=\.
3. О случае, когда сравнения A) и B) удовлетворяются
тождественно. Пусть X, ji—разложение ФвО (Ф), тогда Хл = Хе*; p.k=р?*
тоже такое разложение. Если мы обозначим числа К, L, К, L для этого раз-
разложения через Kk, Lk, Kft, Lft, то, как легко вычислить, кх = Кс-\- SK;
Lx = Lc-\-$L и К, =: К.с-\-й-К-у> L,^Lc + 5L'f по модулю х5,гдеср =
= —АСа-? -\- (АЕ-{- ВС)а1Ьх —ВЕЬ\. Если сравнения A) и B) удовлетворяются
тождественно, т. е. Я"= L=K=L= 0 (modx5), то, следовательно, сравнения (\k)
и Bk) также удовлетворяются тождественно. Пусть о — какой-нибудь общий
делитель аи I, тогда о — также делитель
a v
так как а, и ft, — взаимно
простые. Число
Г S
и v
есть индекс модуля [X, р., 1] по отношению к модулю
[а>„ @2, 1].
Предположим, что уравнение Ф (лг, у) = 1 имеет решение. В таком случае
X = (ар -{-у) • г; il=($q-\-S)-s, где s — единица, и притом единица кольца
[а),, <о2, 1]^[р2, р, 1], так как ар. — ;5X=s. Пусть е = Ар2-\-Вр -|-Г. Мы
имеем тогда:
г 5
uv
, А
= ABs -f B2 — А2^ — АГ=А',
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ АЛГОРИФМЕ ПОВЫШЕНИЯ 309
где А' — коэффициент при р2 обратной положительной единицы 73 = s—1. Всякий
общий делитель К и L есть, следовательно, делитель этого А'. Если, сле-
следовательно, К= Z. = 0 (mody.5) и о—произведение всех различных простых
чисел, которые входят множителями в у., то А' должно делиться на о-§. Чис-
Число N[A' (s — р) -f- В'] есть индекс единицы, 7j по отношению к кольцу О (р),
и так как 7j—степень ?~' с целым положительным показателем, оно должно де-
делиться на индекс х§8 единицы s0 по отношению к О(р). Но, как легко видеть,
А' и В' имеют § своим общим делителем, т. е. А'= AJ • 5; В' =В'Х-Ь, и, сле-
следовательно, число N[A't (s—рL-В',] должно делиться на у.. Но так как
A'j =0 (mod у.), то В|3 = 0 (mod x), и, стало быть, В^ = 0 (mod о). Если, сле-
следовательно, сравнение A) удовлетворяется тождественно, то о есть делитель
а; и в;.
Перейдем теперь к сравнениям A,) и BХ); они должны также удовлетво-
удовлетворяться тождественно, если удовлетворяются тождественно сравнения A) и
B). Если мы, следовательно, положим se0 = А"р2 -f- В"р -f-Г" и ?0 = а р2 -j- йр-j-
-f- с, то Aj и В',' должны также делиться на ст. Если мы теперь выразим А" и Bj
через А', В', Г' и а, Ь, с, то мы получим (если положить а = axb; b = bxb), что
а,Г и ЬХТ делятся нас. Но (av Ьх)=\, так как, как легко видеть, общий
наибольший делитель а и Ъ — тот же самый, как у а и b (т. е. 5), а Г не
может делиться на о, если а>1, т. е. а=1. Отсюда получается, что x=4M.
Число и = а1оI -j-^i<»2 из О (Ф) имеет, таким образом, по отношению к О (Ф)
индекс Ч-1 и, следовательно, форма (п,— д, s, 1), корнем которой является
р, есть целая форма, эквивалентная форме Ф.
Таким образом, найдено одно решение уравнения Ф= 1. Мы сейчас покажем,
что одновременно найдено и некоторое еще второе решение.
Действительно, из K=L = К = L = 0 (mod у.8) мы получаем легко, что
г = s=u = v=0 (mod %Ь); так, например, К- (Balbl — Aaf) — K^ = (— Аа\ -\-
-{- Ва\Ьх—¦Ca1b\-\-Eb^)-s=^ — xs, т. е., если К и К делятся на %Ь, то 5 делит-
r s
ся на §. Таким образом, в этом случае А' =
и v
= 0[mod §2]. Единица 7],
а следовательно и единица s, лежит в этом случае в кольце 0(§р). Пусть
? = 2^, т. е. ?=А1§2р2_)_В1§р4-Г= (a,§p2-|-^i5p + c)T- Сравнивая коэффици-
коэффициенты при р2, мы получаем отсюда та, §ст ~' ^ 0 (mod S2). Но (с, Ь) == 1, и мож-
можно предположить, что (т, §)=1, так как от X, }1 можно всегда перейти
к Xs*, }i?* так, чтобы вместо т было т — k, причем k можно всегда взять такое,
чтобы было (т—k, 5)=1. Поэтому a, = 0(mod§), и, следовательно, сама еди-
единица ?0 лежит в рассматриваемом случае в кольце О (§р). Индекс ?0 по отно-
отношению к О (р) равен +§3, так как х = +1- Единица ?0 есть, следовательно,
единица кольца О (§р), имеюшая по отношению к этому кольцу индекс Ч-.1.
Форма (§8«, —b2q, bs, 1), соответствующая кольцу О (§р), таким образом, экви-
эквивалентна некоторой обратимой форме A,—q',s', 1). Уравнение (§3я,—Ь'гд,
bs, 1)=1 имеет, следовательно, два решения: @, 1) и (Xv Yx), а потому урав-
уравнение (л,—q,s, 1) = 1 имеет два решения: @, 1) и (bXv Yx), и уравнение
(А, В, С, Е)=\ также имеет в этом случае два решения, так как (А, В, С, Е) ->~
~ (л, — q, s, 1). Мы получаем, следовательно, теорему:
Теорема. Если сравнения A) и B) удовлетворяются тождественно, и
t-^-^zU уравнение Ф (X, Y) = l не имеет решений; если же х = +/, то
оно имеет два решения, которые можно оба найти, причем решение уравнения
Ф (X, Y) = 1 сводится на решение обратимого уравнения (\, — q', s1, \) = 1,
которое может быть найдено.
310 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
4. Алгорифм повышения. Пусть сравнения A) и B) не удовлетво-
удовлетворяются оба тождественно. Пусть, например, сравнение A) не удовлетворяется
тождественно. Обозначим через d общий наибольший делитель К, L и %Ь, и
пусть K=d-lC\ L — dL'; r.b = dr.'; тогда мы будем иметь РК'-\-
-f QZ/ = O (mod*'). Если теперь • (К1, L') = d' и K = K"d'\ V = Ln-d\ то
мы будем иметь (а?'х') = 1 и, следовательно, РК" -f- Q?" — 0 (mod х'), где
уже (/С", П= 1. Если перейти от формы (Л, В, С, Е) к форме (Л', 8', С, Е1)
( г П \
Л, где осАГ"-}-yZ." = 1, то мы получим
3 B'P'2Q'+C'P'Q'2-{-E'Q'3=\, где Р'^ О (mod-//), так как />' =
+QL"
Положим Р' = Р_-г'_а Л==Л'-х'3; В=В'-х'2; С=С%'; Ё= Е, тогда мы
получим уравнение (Л, В, С, ?)=1, на решение которого сводится решение
заданного уравнения (Л, В, С, Е) = 1. Форма (Л, В, С, Е) имеет в х'6 раз
больший дискриминант, чем форма (Л, В, С, Е), и х'^+1, так как мы пред-
предположили, что сравнение A) не удовлетворяется тождественно. От формы
(Л, В, С, Е) мы аналогично перейдем к форме (Л, В, С, Е) и т. д. Этот
процесс может оборваться, только если либо на каком-нибудь шагу соответ-
соответственная форма не будет иметь целого разложения в собственном кольце, и в
этом случае уравнение (Л, В, С, Е)=\ не имеет решений, или если на каком-
нибудь шагу сравнения A) и B) окажутся удовлетворяющимися тождественно,
в этом случае уравнение (Л, В, С, Е) = 1 либо вовсе не имеет решений,
либо оно имеет два решения, которые мы и найдем на этом шагу алгорифма.
5. Первый случай, когда уравнение Ф (X, Y) = l имеет одно
и только одно решение. В этом случае, который встречается очень
часто, в силу теоремы п. 3 алгорифм повышения нигде не кончится. Дальней-
Дальнейшее изучение этого весьма замечательного обстоятельства мы здесь производить
не будем.
6. Второй случай, когда уравнение Ф (X, Y)= 1 имеет покрайней ме ре
два решения. В этом случае, как это будет ясно из геометрического соображе-
соображения, которое мы разберем в следующем пункте, на некотором шаге алгорифма
повышения сравнения A) и B) удовлетворятся тождественно.
7. Приближение к решениям при помощи алгорифма по-
повышения. Пусть X, Y—все пары целых рациональных чисел. Рассмотрим их
как точки по отношению к некоторой зафиксированной координатной системе;
тогда они составят параллелограмматическую решетку точек. Те из этих точек
(Р, Q), целые координаты которых удовлетворяют сравнению РК' -f- QL" ==
= 0 (mod 7.'), т. е. удовлетворяют неопределенному уравнению РК"-\- QL.n=hi',
где t— целое рациональное число, образуют, очевидно, подрешетку этой
решетки. Всякий шаг повышения при помощи нашего алгорифма ведет
каждый раз к иодрешетке предыдущей решетки, основной параллелограмм ко-
которой имеет, по крайней мере, в два раза ббльшую площадь и которая имеет
с предыдущей общую точку @, 0). Если имеется одно решение (Я,, Q,), то
весь этот процесс сводится к выбрасыванию из решетки X, Y каждый раз ря-
рядов точек, параллельных ряду @, 0) (Pv Q)x. Этот процесс может иттн без конца, как
это и будет, как мы это показали, в случае, когда есть одно и только одно
решение. Если же есть два решения: (Р,, Qt) и (Р2, Q2), то площадь основного
параллелограмма получаемых решеток не может превзойти площади параллело-
параллелограмма, построенного на точках @, 0), (Р,, Q,), (P2, Q2), так как эти точки
будут лежать во всех этих решетках, и поэтому алгорифм должен кончиться.
Если мы будем в каждой подрешетке находить ближайшую к @, 0) ее точку,
то, если решение только одно, оно встретится в ряду этих минимумов.
8. Вычисление чисел X и ft для повышенных форм. Пусть
X и }1 уже вычислены для заданной формы Ф(Х, Y) тем способом, который
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ АЛГОРИФЛ1Е ПОВЫШЕНИЯ 311
•был указан в п. 1, а также вычислена е0. Если, в соответствии с п. 4, мы
перейдем от формы Ф к форме Ф при помощи подстановки I ' А, то у'=
= al-\-w, ft' = ft/T —ХГ. Ь
Пусть это уже сделано, т. е. Х'=Х, ft' = ft. В таком случае
(А, В, С, E) = N(WX-\-)lY) = (M'KBx'*,C*.', E).
Базис, соответствующий этой повышенной форме, есть о),=х'2(о1; м2 = х'ш3.
Разложение Ф в О (Ф) есть Хх', ft, но Ф должна иметь разложение \, ft в своем
собственном кольце О(Ф) и, следовательно, Х=Хх'еот; ji=jiso, где т—целый
положительный показатель <v, если sj—''первая степень s0, лежащая в О (Ф).
9. Критериумы остановки. Может быть, что уравнение Ф (X, Y) — 1
вовсе не имеет решений. Надо поэтому найти обстоятельство, которое после
наперед заданного числа шагов алгорифма повышения показывало бы, что даль-
дальше вычислять не надо, так как дальше заведомо решений нет. Если бы мы
нашли %такой критерий, то вся задача была бы решена. Мы не нашли до сих
пор такого критериума. Мы можем указать, однако, на два следующих крите-
риума, которые во всех численных примерах, нами рассмотренных, обыкновен-
обыкновенно появлялись на одном из первых шагов повышения, хотя мы и не можем
наперед ограничить номер того шага, раньше которого такой критериум осуще-
осуществится. Во-первых, может случиться, что на каком-нибудь шаге повышенная
форма не будет иметь разложения в собственном кольце, в чем можно будет
всегда убедиться при помощи метода п. 8. Во-вторых, может случиться, что
на некотором шаге сравнения A) и B) будут несовместимы, что будет, как
Л s
легко видеть, тогда и только тогда, когда
не делится на 8.
и, v
10. Два примера. Пусть форма B,0, 3,2), D = — 648; тогда
<o3-j-6u)j — 8 = 0; о)^—ЗоJ — 8 = 0; ш, — 1 = е единица, числа X и ft коль,
ца 0B,0,3,2) должны иметь норму 2; однако, если употребить известные
методы, рассмотренные, например, в § 22, можно показать, что в кольце
О B, 0, 3, 2) нет чисел с нормой 2. Форма B, 0, 3, 2), следовательно, не имеет
разложения в собственном своем кольце. Тут имеет место первый критериум
остановки, и уравнение B, 0, 3, 2) = 1 не имеет решений. Пусть теперь дана
форма C, 3, 4, 2), D = — 516; тут cof — Зш^Ц- 12м, — 18 = 0; <о32 — 4ш|4-
4-6ш3—12 = 0; вычислим числа X и р.; оии суть: Х= — 3 + м2; ц = 2— м,;
основная единица кольца 0C,3,4,2) есть so=23 — 7м2; 8 = 7;
Г S
и v
= 1 и
не делится на 7; следовательно, сравнения A) и B) несовместимы. Тут имеет,
таким образом, место второй критериум остановки. Уравнение C, 3, 4, 2) = 1
не имеет решений. (Между прочим, это форма с каимеиьшим по абсолютной
величине отрицательным дискриминантом, которая не представляет числа 1 по
.нетривиальной причине, т. е. не потому, что она непримитивна, и не потому,
что она имеет два крайних коэффициента четные, а оба средних нечетные, т. е.
форма, все числа представляемые которой имеют общим делителем двойку,
иначе говоря, что кольцо имеет общего делителя всех индексов его чисел.)
11. Алгорифм повышения для случая целой формы. Если
форма Ф «целая", т.е. один из ее крайних коэффициентов равен 1, например
ф=(л, — q, s, 1), то мы имеем [если основная единица кольца О (Ф) есть
ар2 -j- 6р -\- с, где р3 = яр2-}-<7р + л и а = а1Ь; Ь = Ь1Ь и (at, bl) = l\K—al;
\
L=0; К=л1й15 — b\; L = 0, и, следовательно, в виду того, что (al,b1)=l,
312 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
оба сравнения A) и B) сводятся к одному P = 0(modx8), и получается тот же
алгорифм повышения, который был рассмотрен в § 75.
12. Критериум остановки для случая целой формы. В этом
случае критериумы п. 9 никогда не имеют места, однако здесь существует
другой критерий. Если а и b основной единицы е0 = ар2 -f- bp -\- с делятся
соответственно на ?г и k, где k — целое рациональное число, то можно р сразу
заменить на p-k и искать двухчленные не в р, а в p-k единицы. Единицу, у
которой нет такого k, мы будем поэтому называть „приведенной*. Докажем
теорему:
Никакая степень гот с целым положительным показателем т не может
быть двухчленной в р, если е0 приведенная и если имеется нечетное про-
стое число я, на которое делится а и Ь.
Действительно, пусть а=а^к; b = b1n, ио аЛ е? 0 (mod я), тогда коэффи-
коэффициент при р2 в som равен <•
m 1 , т(т—I) _ о „ . . т(т—I) (т — 2) _ „
тст~1Т1а\K' ст-2-п2-А\* j^ cm-
где Л2, А3 ...—целые рациональные числа. Этот коэффициент не может
равняться нулю, так как (Oj, it) = l и (с, я)= 1, и следовательно, если т точно
делится на ят, то мы имеем (если я^>2)я2^>3, я3>4 н т. д. Мы будем
называть всякий общий делитель а и Ь единицы „делителем" этой единицы.
Пусть eg — низшая степень основной единицы е0, которая имеет делителя я.
Могут тогда быть два случая: или коэффициент при р2 у е^ делится только на
я, или, по крайней мере, на я2. В первом случае мы будем называть я „пер-
„первого", а во втором „второго" рода по отношению к е0. Легко видеть,
что если г% имеет делителя я, то ej2 — степень eg. Отсюда ясно, что: если на
некотором шаге алгорифма повышения (не непременно на первом шаге)
встретится повышающий множитель я, который есть простое число пер-
первого рода по отношению к исходной основной единице, то решений с поло-
положительными т нет, и можно прекратить вычисление. Во всех случаях,
когда мы использовали этот способ, мы натыкались на повышающий множитель
1-го рода на одном из первых шагов, на первом или втором шаге обыкновенно,
н потому этот способ всегда давал полное решение 'уравнения. До сих пор,
однако, мы не нашли доказательства того, что если нет решений вообще, по-
появится повышающий множитель первого рода хотя бы на каком бы то ни
было шаге алгорифма.
В виду того, что при больших я очень сложно непосредственно вычислять
eg по модулю я2, мы использовали в таких случаях следующие два опре-
определителя, которые облегчают это вычисление. Мы приведем здесь для сокра-
сокращения эти определители без вывода. Мы будем предполагать, что я—не дели-
делитель дискриминанта числа р. В таком случае повышающее простое число я
может быть в Q(p) только либо произведением трех различных простых идеа-
идеалов 1-го порядка tt = ^j^2^3, либо произведением идеала 2-го порядка q на
идеал 1-го порядка р п=ц-р, но не может быть само простым идеалом,
так как онр есть делитель нормы двухчленного числа —ap-\-b-^-as.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы я было второго рода по
отношению к е, если Tt=piP^f>a, есть Д = 0 (modя), а в случае Tt=q-p есть
V = 0 (mod я), где определители А и у суть:
, ${хв)рах3+Ь) .
1 ^ ...гч*л ' *8> 1
О ЦЕЛЫХ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С ДАННЫМ D
313
[тут
f(x) = xa — sx2 — qx — n ='(jc—л:,) (дг—x2) {x—xs
?,. = axf -|- bx. -\- с (где X; = xv x2, xs); f (x) = 3x2 — 2sx — q].
si" — 1
7t-l_1
; a, = -A—- ;
/'(Р') ' P'
— у ¦ ИПB"Г+») о. -,
"т"(Л —B8)./'(P")' P '
где
—A, —6; a?'2 + ^' + с=
1+с; /' (л;) = Зл;2 — 2sx — q.
13. Пример. Форма B, 6, 3, l) = l, D = —216.(Об этом уравнении су-
существует целая маленькая литература, оио связано с уравнением Us— V2 = — 2;
в 25 томе Math. Zeltschr. A. Brauer дал решение этого уравнения, показав, что
если в уравнении Us—V* = — ft, ft = 2, то его можно решить одним спе-
специальным методом. Однако еще в 1920 г. при помощи алгорифма повышения
нами были вполне решены все уравнения вида (А, В, С, Е)— 1, например cD<]0
и |Z)]<[300, а следовательно и это уравнение.) Форма B, 6, 3, 1)сл>B, 3, 0, 1);
p3 = _3p-f2; ?0 = — р2 — р + 1; —ap + ft + e*=p—1; х= 2, 8=_1,
поэтому первый повышающий множитель я=2. Надо перейти в кольцо О (р),
где р = 2р. Мы получаем so = — р2 — Зр-|-5; —ар -]- b -\- as = р — 3, и по-
поэтому второй повышающий множитель тг=47. Так как 47 довольно велико,
мы'используем приведенные определители. 47 = q-p, мы должны, следователь-
следовательно, вычислить у.д;3-|-Зл: — 2—(х— 25) (jc2— 22jc-j-1H)-h47(д:2—14дг-4-59),
K4Q46 1
т. е. ^ = 25; s, = 649; a = ^fl_=li = 34(mod47); P'==l I -fO, где 0 =
А-\-ВЬ = — 141
649; a = ^fl_=li = 34(mod47
230; v = 872(mod472); число
872-' • 47-1 (• (_ HI -|- 236L8 — 872] = ЮО — 2 (mod47).
Мы получаем, следовательно, у = 186 ц?0 (mod 47). Простое число 47, поэтому,
первого рода по отношению к ?0 = —ра —
B 6 3 1 1 (Н
и> следовательно, уравнение
р 0 р р( р
B, 6, 3, 1) = 1 не имеет решений. (Надо заметить, что из всех уравнений
с |Z> J <d 300 это уравнение ведет к самым неприятным вычислениям, для всех
остальных не приходится прибегать к вычислению Д или у.)
§ 77. О целых кубических уравнениях с данным дискриминантом
Мы называем кубическое уравнение z3 = sz2 -\- qz -J- n целым, если его
коэффициенты s, q, n целые рациональные.
Задача — найти все целые кубические уравнения или, что все равно,
все целые кубические иррациональности с данным дискриминантом D,—
очевидно, эквивалентна задаче о представлении чисел кубическими двойничными
формами, так как, если найти все максимальные кольца, дискриминанты кото-
которых суть делители D, отличающиеся от D на квадратные множители Д2, то
задача сводится к представлению чисел Д индексформами соответственных
колец.
,¦314 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Если zs = s& -j- Я2~г" п целое уравнение с данным дискриминантом D, то
все ему „параллельные* целые уравнения, т. е. уравнения, получаемые из
этого уравнения преобразованием z на z-{-r, где г — любое целое рациональ-
рациональное число, также, очевидно, имеют тот же дискриминант. Каждому решению
иидекс-форма = А будет соответствовать вся параллель таких уравнений, так
как если [1, (s>v <о2] базис соответственно кольца и г -(- xWj —]—_уа>2 общее число
кольца, то переменными в индекс-форме будут только х и у, и они найдутся,
а г останется неопределенным. Из всякой параллели таких уравнений можно
выбрать представителем уравнение с наименьшим по абсолютной величине s,
т. е. такое единственное в данной параллели, у которого 5 = —1, 0 или 1.
В виду того, что для всех —300 <[?)<[ О мы нашли (см. стр. 317) (при-
помощи алгорифма повышения) все решения уравнений f(x, _у)=1, мы можем
дать и соответственную табличку представителей всех параллелей всех целых,
кубических уравнений с этими дискриминантами. На стр. 318 дано начало
такой таблицы. Любопытно заметить, как уже „велико" даже „наименьшее" из
уравнений в 4-й параллели, соответствующей дискриминанту —44.
§ 78. Об уравнении ?/*— V2 = ft
Весьма замечательно, что основная наша задача о представлении числа ку-
кубической двойничной формой теснейшим образом связана с вопросом о взаим-
взаимном распределении кубов и квадратов в натуральном ряде чисел, а именно,
она оказывается просто равносильной задаче о нахождении кубов и квадратов,
разность между которыми есть заданное число k, т. е. задаче о решении
в целых числах U, V неопределенного уравнения
U*— V2=k, A)
где k — заданное целое число.
Действительно, мы сейчас покажем (в п. 1), что если найдены все решения
всех уравнений ft (х, у) = 1, где /; — представители всех классов кубических
двойничных форм, дискриминанты которых 108& (а этих представителей легко
найти способом § 30), то мы сможем найти все решения уравнения A); отсюда,
между прочим, также получится, что уравнение A) амеет лишь ограниченное
число решений.
С другой стороны, мы покажем (в п. 2), что для того, чтобы найти все
решения уравнения
f(x,y) = \, ¦ B)
тде /— кубическая двойничная форма, определитель которой равен D, доста-
достаточно найти все решения уравнения A) для & = 3Z).
1. Умножим обе части уравнения A) на 108; мы получим тогда уравнение
4C17K— 27BV)^ = 108k. Пусть U, V какое-нибудь решение уравнения A);
сопоставим ему кубическую двойничную форму х3 — SUxy^— 2Vy3 =
= A, 0, —3U, —2 V), определитель которой равен 108&; задача о решении
уравнения'A), очевидно, равносильна задаче о разыскании всех форм вида
A, 0, —-31/, 2V), где U, V—целые рациональные, имеющие определитель
108&. Найдем представителей всех классов кубических двойничных форм
определителя 108 к. Если f(x, у) какая-нибудь из этих форм и в ее классе
есть форма вида A, 0, — W, —2V), причем A, 0, —W, —2V) =
7
то/(о, Y)=l> т- е- х-=-а, У = Ч — решение уравнения f(x, y) = l. Обратно,
если х=а, у=1 — решение, то, подобрав так [5 и 8, что аЬ — Ру==1, мы
можем перейти от формы / к эквивалентной ей форме, имеющей равный
•единице коэффициент при хв. Очевидно, что при данных о и у выбор [5 и 8
ОБ УРАВНЕНИИ U* - 1Л = * 315
неоднозначен, именно, если fi0, 80—какие-либо подходящие значения [5 и 8, то
все остальные имеют вид
при целом t, откуда следует, что
/a h /арЛ/1 М
\Т 8/ W §oJ\O \У
Поэтому формы, получающиеся из формы/(л;,^) посредством подстановок ( а П,
\у о/
при определенных о, .у и различных [J, 5 будут все „параллельны" между со-
собою, т. е. будут получаться одна из другой посредством подстановки ( ).
Таким образом, каждому решению а, у уравнения f(x, у) = 1 соответствует
совокупность параллельных между собою форм, эквивалентных f(x, у) и име-
имеющих равный 1 коэффициент при х3. В каждой такой совокупности может
быть, как легко видеть, не больше одной формы с равным нулю коэффициен-
коэффициентом при х2у. Таким образом, для того чтобы решить уравнение A), достаточно:
о) Найти по одному представителю f(x, у) из каждого из классов форм
определителя 108 k. Эта задача решается в конечном числе действий. Заметим,
что при этом необходимо найти не только неприводимые формы, но и приво-
приводимые.
?) Решить уравнения f(x, у)=.\. Эта задача в случае Z)<0, т. е. k<CO,
во многих случаях может быть решена посредством „алгорифма повышения".
(Повидимому, всегда, но это не доказано.) В случае приводимой /она решается
легко.
у) Исходя из каждого решения (а, у), подобрав числа {5, 8 так, чтобы
а§—Ру=1, преобразовать формы f(x, у) к формам, имеющим равный 1 ко-
коэффициент при л;8.
8) Для каждой из этих форм найти параллельную форму вида xs-\-qxy2— nys,
если это возможно, или убедиться, что такой формы нет.
s) Из получившихся форм выбрать те, для которых
<7==0(mod 3),
п = 0 (mod 2),
тогда ?/ = —•?-, V = tt будет решением уравнения A). Этим способом по-
лучатся все решения.
Если форма f(x, у) приводима, то она либо не эквивалентна форме вида
x^-\-qxy2 — nys, либо если эквивалентна такой форме, то ее можно заменить
этой формой и искать уже решения уравнения x3-\-qxy2 — яу3=1, но если
форма / приводима, то и эта форма приводима, и тогда она имеет вид
(x-\~ry)(x2-{-gxy-{-ty2), и, следовательно, все сводится к тому, чтобы найти
такие целые х, у, что либо одновременно
либо
Таким образом, решений будет в этом случае всего не больше чем 4. Если
форма f(x, у) ненриводима и &<0, т. е. ?)«<0, то по основной теореме
316 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
§ 75 число решений уравнения f(x, у) = 1 не более трех, так как
— 23, —31, —44.
В случае же k^>0, т. е. D^>0, мы имеем по Зигелю (см. § 70, с дополне-
дополнением Фаддеева) только, что число решений не больше, чем 15, поэтому мы
получаем, что число решений уравнения A) в случае ft<0 не больше, чем
4й, а в случае ft>0 не больше, чем 15A, где h число классов кубических
двойничных форм определителя 108 Дг.
2. Посмотрим теперь, наоборот, как сводится решение уравнения B) на
решение уравнения A). Мы имеем тождество Кэлн между ковариантами куби-
кубической двойничной формы
4Я3—Q2 =
Оно непосредственно вытекает из выражений ковариантов, данных в лемме II,
§ 32. Из него следует, что если уравнение /{х, у)=1 имеет решение (х0, у0),
то уравнение ?/3—V2 = l6-27D имеет решение U=4H(xo,yo), V=4Q{xo,yo).
Если, следовательно, найти все решения U, К уравнения U3— V2= 16-27-Z),
то решение уравнения/(jc, у)^=] приводится к отысканию всех целых реше-
4Н(х, y)==U \ „
ннй системы , . , (• Эта же задача решается тривиально.
Приложим еще небольшую табличку всех решений уравнений
Ut—Vt—k, для k==—l, —2, —3, —4, —5 и —6.
—1
—1, 0
0, 1
2,3
—2
— Ы
—3
1, 2
4
0, 2
—5
—1, 2
—6
Нет
решений
Уравнение UB— V^ = — 8 имеет всего 4 решения:
U^ — 2, 2, 46, 1,
V== 0, 4, 312, 3;
первое решение соответствует приводимому классу, второе и третье —
одному из неприводимых классов, четвертое — другому неприводимому
классу.
Уравнение ?/3— V* = — 17 ведет к дискриминанту D—— 108-17=— 1836.
Такой дискриминант имеет, например, кольцо, образованное уравнением
р3 = —6р-+-6, и мы получаем сразу одно решение U=—2, V—3; основ-
основная единица этого кольца есть ?п = — р —)— 1, соответственно этой двучленной
единице мы получаем второе решение t/=8, V=23; четвертая степень
основной единицы ?^=26р — 23 опять двучленная единица, соответствующее
ей решение есть ?/^=5234, V= 378661, и мы получаем те близкие куб
и квадрат 143 384 152904 и 143 384 152 921, которые одним эвристическим
способом нашел впервые, повндимому, Веребрюссов (см. Матем. сб., т. XXVI),
причем надо отметить, что давшая их двухчленная единица имеет совсем не-
небольшие коэффициенты: 26 н — 23.
317
ТАБЛИЦА ВСЕХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЛА 1 ВСЕМИ КУБИЧЕСКИМИ ДВОЙ-
ДВОЙНИЧНЫМИ ФОРМАМИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ, ДИСКРИМИ-
ДИСКРИМИНАНТЫ КОТОРЫХ НЕ ПРЕВОСХОДЯТ 300 ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ
[Таблица вычислена Б. Делоне A3)]
— D
23
31
44
59
76
83
87
104
107
108
116
135
139
140
152
172
175
176
199
200
204
211
212
216
231
236
239
243
244
247
255
268
279
283
300
Основное ур-ние
?з„е*+1
s3 = — s + 1
E3=_S2—s+1
s3 = — 2s + 1
E3— E2 3e -f- 1
g3__2s2 — 2s+ 1
s3 = — E2 — 2s + 1
pS = p + 2
s3 = 2s2 — 4s + 1
P3=2
p3 = p2 -f- 2
s3 = — 3s + 1
E3 = 4=2 _ 6s + 1
E3 —3s2 — 5s+ 1
p3=p2 + 2p ^2
рз = 2p2 -j- 2
s3 = — 2s2 — 3s + l
S3 = — =2 3s ¦+- 1
s3 = ?2_4s+l
P3 = 2P2 — 3p+4
p3 = p2_p+3
S3 = 6s2— 10s + 1
p3 = p2_4p+2
p3 —— 3P + 2
s3 = — 4s2 — 5s + 1
p3 = 2P2 + p + 2
p3 = p + 3
g.i — ?2 12e + 1
p3 — 5(P — 4P + 2
s3 = — 3s* — 4s + 1
S3 = 5?2 _ 8s + 1
e3 = 7s2 — 13s + 1
E3 = 2s2 — 5s + 1
s3=-4s + l
p3 = 4p3_2? + 2
Основная еди-
единица
s
E
S
s
E
s
s
— P2+P+1
E
p-1
p2_p_l
s
s
s
— p2 + p + 3
p2 + 2p + 1
E
s
E
p2—p — 1
— p2 + p + 1
E
2p-l
— P2 —Р-Ы
s
p2 — 3p + 1
p2_p_l
s
— 2P2+1OP—7
s
s
s
s
s
-?2 + 5p-5
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
3
1
8
2
1
4
3
1
16
1
1
1
1
1
9
Решения
6-2=6+l; cO^rl; 61 = 6;
Ф = — s + 1; б14 — 4б — 3
eO=1; gi = 6; s2 ——s + 1;
?8^зг_2
e0—1; si — s; s4 = 2s —1;
s" — —103s+ 56
eO^^I; si = s; s3r^= 2s + 1
sO=l; El=zS
Eo=l; ei = s
eo=1; E2 = 2p —3
гО =r= 1; si = e; s4 = 7e + 2
sO ^ 1 * si — Q 1
so=l
e°=1; sir=s; s3r= — 3e+1
so = l; si = s
so=l; si^=s
SO— 1
Eo_ 1
SO=1; gl=g
g9=l; gi = 6
Eo = 1; si = s
60=1
sO = l
sO=l; S1^=e
so = l; ei — 2p — 1
eo—1
s°= i; si = s
SO— 1
e«=1; s2 —3p —5
so = 1; si — s
so = l
eo=l; e' = e
gO=l; si —г
gO=l; gl = 6
so=l; si —2
to=l; si^s; ti-.= _4i + l
eO=1
ч.р
5
4
4
3
3
2
2
2
3
2
1
3
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
3
1
318
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
ТАБЛИЦА ВСЕХ НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ДРУГ ДРУГУ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДИСКРИМИНАНТОВ, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 172 ПО АБСО-
АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ, ИМЕЮЩИХ НАИМЕНЬШИЕ л
D
23
— 31
— 44
— 59
— 76
— 83
s
1
— 1
0
— 1
0
0
1
1
0
1
1
1
— 1
0
— 1
1
1
0
1
1
— 1
[Таблица
Ч
— 2
0
1
4
55
— 1
0
2
17
1
1
11
31281
— 2
1
9
— 3
2
3077
— 1
3
вычислена Б. Делоне
п
1
1
1
о
157
1
1
1
27
1
1
11
2139919
00 КЗ —
1
2
64681
2
4
D
— 87
— 104
— 107
108
— 116
— 135
— 139
-140
— 152
'—172
s
— 1
— 1
0
1
1
1
— 1
0
0
1
0
0
0
— 1
0
0
— 1
1
2
A3)]
Ч
— 2
2
1
46
— 3
3
157
0
6
0
— 3
3
33
— 1
8
2
о
2
0
п
1
3
2
106
2
2
812
2
6
2
1
3
73
чэ tc
2
7
2
2
Б. РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 3-й СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗ-
НЕИЗВЕСТНЫМИ В ДРОБНЫХ ЧИСЛАХ
§ 79. О рациональных точках на кривых 3-го порядка
В главе V и в предыдущих параграфах этой главы мы занимались неопре-
неопределенными уравнениями высших степеней с двумя неизвестными, интересуясь
их решением в целых числах. В геометрической трактовке решение таких
уравнений равносильно отысканию точек с целыми координатами на алгебраи-
алгебраической кривой. При этом мы главным образом занимались уравнениями третьего
порядка. Решения таких уравнений вида f(x, y)=\, где/(дг, у) форма, мы
искали среди алгебраических единиц, т. е. среди решений уравнения
N(xlt дг2, лг3)=1,
где N—форма Дирихле, все решения которого можно найти, пользуясь неко-
некоторыми периодическими алгорифмами. Трудность решения состояла в том,
чтобы среди известного, но бесконечного множества решений найти решения
некоторого определенного „выродившегося" вида.
В настоящем параграфе мы займемся решением двойничных кубических
уравнений в рациональных числах. Эта задача оказывается существенно отлич-
О РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧКАХ НА КРИВЫХ 3-ГО ПОРЯДКА 31^
ной от предыдущей. Для весьма широкого класса таких уравнений форма об-
общего решения, если только решение существует, несколько напоминает форму
решения уравнения
N(xu x2, xs)=l
(N—форма Дирихле), решение которого определяется единицами области.
Именно, все решения получаются из некоторых „основных решений* посред-
посредством операций, напоминающих возведение в степень и перемножение основ-
основных единиц. Исключения из этого правила представляют также весьма широ-
широкий класс уравнений.
Решение двойничных уравнений Ф(и, г>) = 0, где Ф (и, г»), вообще говоря,
неоднородный многочлен от и и г», в рациональных числах и, v, очевидно, равно-
равносильно решению некоторых тройничных однородных уравнений в целых числах.
Действительно, положив в решении уравнения Ф(и, г») = 0
X ¦ V
где 'z — общий знаменатель а и v, и умножая на zs, получим, что х, у, z
являются решениями в целых числах однородного тройничного уравнения
Обратно, каждому решению в целых числах уравнения F(x, у, z) = O
при z=^=0 соответствует решение в рациональных числах двойничного урав-
уравнения
Ф(и, v) = F(u, v, l) = 0.
При этом пропорциональным решениям уравнения F(x, у, z) = 0 соответствует
одно и то же решение уравнения f(a, v)=0, и, обратно, каждому решению
второго уравнения соответствует бесконечно много пропорциональных решений
первого. ¦
Решению уравнения F(x, у, z) = 0 при 2=0 не соответствует реально
существующее решение уравнения Ф(и, z;) = 0. Однако для большей простоты
и для того, чтобы не было необходимости вводить специальные оговорки,
целесообразно рассматривать „рациональные решения" уравнения Ф(и, v) = 0
также и вида ( -q- , "g") , понимая под каждым таким решением не более как
факт существования решения (х, у, 0) для уравнения F(x, у, г) = 0.
Такие решения мы будем называть бесконечно далекими. Только тривиаль-
тривиальному решению @, 0, 0) уравнения F(x, у, г) = 0 мы не сопоставляем никакого
решения уравнения Ф(и, v) = 0.
В геометрической трактовке решение уравнения Ф(и, г») = 0 в рациональ-
рациональных числах выглядит как задача об отыскании точек с рациональными коорди-
координатами на кривых. Бесконечно далеким решениям уравнения /(а, г») = 0
соответствуют бесконечно далекие точки с рациональными координатами, т. е.
рациональные направления бесконечных ветвей кривой. В дальнейшем изложении
мы будем придерживаться геометрической терминологии.
Характер распределения рациональных точек на алгебраической кривой
т— 1
существенно зависит от рода кривой, который определяется как —^—, где
т—число связности комплексной кривой (точнее, поверхности Римана)
Ф(и, v) = 0, которая представляет собой двухмерное многообразие в четырех-
четырехмерном пространстве.
Род нераспадающейся кривой определяется по известной формуле
320 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где р — род, л — степень кривой, d—число двойных точек кривой (причем
v(v— 1)
v-кратиая точка принимается за -*-=—- двойных точек по вполне понятным
геометрическим соображениям).
Кривая третьего порядка может быть или нулевого, или первого рода,
в зависимости от того, имеет ли она двойную точку, или нет. Нераспадаю-
Нераспадающаяся кривая третьего порядка, очевидно, не может иметь больше одной
двойной точки.
Кривые нулевого рода вазываются также уникурсальными кривыми.
Прежде всего решим задачу о распределении рациональных точек на уни-
курсальных кривых третьего порядка, именно — докажем, что уникурсальиая
кривая третьего порядка, уравнение которой имеет рациональные коэффициенты,
содержит бесконечно много рациональных точек, и укажем способ для их
разыскания.
Действительно, пусть кривая третьего порядка
ф(и, v) — 0
уиикурсальна, т. е. имеет двойную точку.
Координаты двойной точки, как известно, удовлетворяют уравнениям:
Ф(и, <р) = <
Все эти уравнения имеют рациональные коэффициенты. Поэтому коорди-
координаты (и, v) могут быть только алгебраическими. Пусть R (и, v) — поле, по-
получающееся присоединением чисел и и v к полю рациональных чисел. В виду
того, что уравнения (*) имеют рациональные коэффициенты, они будут удо-
удовлетворяться вместе с числами и, v также и сопряженными числами (и', v')
и т. д. Отсюда заключаем, что если бы поле R (и, v) было отлично от поля ра-
рациональных чисел, то кривая Ф (и, v) = 0 имела бы больше одной двойной
точки, что невозможно. Следовательно, поле R (и, v) совпадает с полем раци-
рациональных чисел и потому и, v оба рациональны.
Итак, мы доказали, что двойная точка уникурсальной кривой третьего
порядка с рациональными коэффициентами имеет рациональные координаты,
Рассмотрим пучок прямых
V — V0 = t{U— Uo),
проходящих через двойную точку кривой третьего порядка с рациональными
угловыми коэффициентами t.
Каждая прямая этого пучка будет пересекаться с кривой Ф (и, v) = 0
в одной точке, кроме двойной, и эта точка будет иметь рациональные коор-
координаты. Действительно, уравнение третьей степени с рациональными коэффи-
коэффициентами t
Ф(и, г/0 + t(u— «o)) = O,
к решению которого приводит совместное решение уравнений кривой и пря-
прямой, будет иметь двойной рациональный корень и0, следовательно, третий ко-
корень этого уравнения будет также рационален.
Таким образом каждому рациональному значению параметра t в уравнении
пучка прямых соответствует рациональная точка на кривой Ф(и, v)=0.
Очевидно и обратное, что каждая рациональная точка на кривой/(и, v) = 0
соответствует рациональному значению параметра t, ибо угловой коэффициент
прямой, соединяющей любую рациональную точку на кривой с рациональной
же двойной точкой, будет рационален.
БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 321
Таким образом мы получим все рациональные точки, решив совместно
уравнения
Ф(и, v) = 0 и v—vo = t(u — и0)
в общем виде и придавая затем параметру t все рациональные значения.
Итак, задача о рациональных точках на уникурсальных кривых третьего по-
порядка решена до конца, и в дальнейшем мы будем исключительно заниматься
более интересным случаем кривых 1-го рода, не имеющих двойной точки.
Прежде всего отметим два предложения почти очевидных, но чрезвычайно
важных для дальнейшего.
Теорема 1. Касательная к кривой третьего порядка, проведенная
в рациональной точке, пересекает Кривую в рациональной точке.
Теорема 2. Секущая, соединяющая две рациональных точки кривой,
пересекает кривую в третьей рациональной точке.
Доказательство. Пусть v — v0 = t (и — и0) уравнение секущей, соединяю-
соединяющей две рациональных точки кривой /(и, v) = 0, или касательной, проведенной
в рациональной точке. В обоих случаях это уравнение, очевидно, имеет рацио-
рациональные коэффициенты. Уравнение 3-й степени
к решению которого приводится совместное решение уравнений кривой и прямой,
также имеет рациональные коэффициенты. Это уравнение имеет два известных
рациональных корня, если прямая есть секущая, и один двойной рациональный
корень, если прямая—касательная. Следовательно, 3-й корень и этого уравнения,
являющийся абсциссой, интересующей нас точки пересечения, тоже рационален.
Ордината v также рациональна в виду того, что v рационально выражается
через и. Обе теоремы доказаны.
А. Пуанкаре высказал предположение, что все рациональные точки на кри-
кривой третьего порядка могут быть получены из конечного числа некоторых основ-
основных точек посредством операций проведения секущих и касательных. Предпо-
Предположение А. Пуанкаре было впервые доказано Морделлем в 1922 г. Доказательство
Морделля было несколько упрощено и значительно обобщено А. Вейлем
в нескольких работах, посвященных этому вопросу.
Мы здесь докажем теорему Морделля, используя доказательство А. Вейля,
но оставив в стороне его обобщения. Для доказательства нам будут нужны
некоторые вспомогательные преобразования, к изложению которых мы и перейдем
в следующем параграфе.
§ 80. Бирациональное преобразование
Две алгебраические кривые /(и, v) = 0 и fx(uv •p]) = 0 называются связан-
связанными посредством бирационального преобразования, если координаты всех точек
первой кривой рационально выражаются через координаты точек второй кривой,
н, обратно, координаты точек второй кривой рационально выражаются через
координаты точек первой кривой. Очевидно, что задачи об отыскании рацио-
рациональных точек на кривых, связанных бирациональным преобразованием, равно-
равносильны, в случае если коэффициенты в выражении координат точек одной
кривой через координаты точек другой в обе стороны рациональны.
Покажем, что от любой кривой третьего порядка, уравнение которой имеет
рациональные коэффициенты, можно перейти к некоторой кривой специачьного
канонического вида, связанной с исходной посредством бирационального пре-
преобразования с рациональными коэффициентами, если только исходная кривая
содержит хотя бы одну рациональную точку.
21 Теория иррацион. 3-й степ.
322 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Действительно, пусть кривая
f(u, v) = Аи* + Bu?v + Сиг»2 + Dv* + ЕФ + Fuv + Gv2 + Ни
имеет рациональную точку (и0, v0).
Перенесем начало координат в точку пересечения (и,, ул) касательной к кривой
/{и, v) = 0 в точке (и0, v0) с самой кривой и затем повернем оси координат
так, чтобы новая ось Ои совпадала с касательной в точке (и0, v0). При подхо-
подходящем выборе масштаба в новых осях это преобразование будет бирациональным
с рациональными коэффициентами. Уравнение кривой после этого преобразова-
преобразования примет вид:
А'и* -f В'иЪ + Cuv* _j_ ?> v _j_ ?-иг + F>uv _f_ Q'v* -f H'u -\- K'v = 0.
Свободный член будет отсутствовать.
Затем проведем через новое начало координат пучок прямых линий. Каждая
прямая этого пучка будет встречать кривую в начале координат и еще в двух
точках, координаты которых получаются посредством решения некоторого квад-
квадратного уравнения.
Действительно, положив v = tu, получим:
(A' -f B't -f Ct* -f Eft*) и» -f (E' -f F't + Q72) иг _j. (H> _j. ^ и = Oj
откуда
« = 0,
или
u
Обозначив ± \/\E' + F't -\- G'Pf — 4 (H' +K't) (A' + B't -\- C't* -\- D73) че-
через s, получим, что исходная кривая бирациональным преобразованием с рацио-
рациональными коэффициентами связана с кривой 4-го порядка
5* = (Е' 4- F't 4- G'*2J — 4 (Я' 4- K't) (А' 4- ?'* 4" ctz
Действительно,
— E' — F't — G'V + s
' -f- Д7 -f- CY2
v = tu
и обратно,
-
и
= E'-\-F't + G't* 4- 2и (Л' + В'* 4-
То обстоятельство, что ось Ои является касательной к исходной кривой,
говорит о том, что квадратное уравнение для определения и должно иметь двой-
двойной кореГнь при f=0. Это возможно в том и только в том случае, если
Таким образом свободный член в правой части уравнения кривой 4-го по-
порядка
*а _ (?¦' 4- F't 4- G't*)* — 4 (А' 4- B't 4- Cfl 4- D'ts) (H14- K't)
равен 0.
Запишем это уравнение в более простой форме, введя обозначения для
коэффициентов в правой части:
*а=at-\- ЬР 4- ct» 4- dt*.
• БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 323
Умножим теперь обе части уравнения на tj- и обозначим
las , а . Ь ш,
Заданное этими равенствами преобразование, очевидно, бирационально*
После этого преобразования наша кривая преобразуется в кривую
где ?2' и g'3—рациональные постоянные, просто выражающиеся через а, Ь, с, d.
Сделав, наконец, бирациональное преобразование
где а — подходящим образом подобранное рациональное число, преобразуем
уравнение к виду
i)«=4?« —ftg —ft,
где g2 и gs — целые рациональные числа, не делящиеся соответственно на чет-
четвертую и шестую степень одного и того же числа, отличного от 1.
Кривая
ч«=4?« —ft? —ft
связана посредством бирациональиого преобразования с исходной кривой
¦. f{u,v) = 0.
Кривая вида
ij«=4S« —ftS —ft
иосит название нормальной формы Вейерштрасса кривой 3-го порядка.
Правая часть уравнения кривой в нормальной форме Вейерштрасса не должна
иметь кратного корня, если мы исходили из кривой первого рода, ибо в про-
противном случае нормальная кривая, а следовательно и исходная имели бы двой-
двойную точку.
Это преобразование в случае, если точка пересечения касательной с кривой
будет бесконечно далекой точкой, надо несколько изменить, так как перемеще-
перемещение начала координат в бесконечно далекую точку бессмысленно. Однако пре-
преобразование все же возможно, что очевидно вследствие возможности введения
однородных координат.
Преобразование кривой 3-го порядка без двойной точки к нормальной
форме позволяет ввести весьма удобный аналитический аппарат для изучения
кривой.
Именно, кривая
униформизируется посредством эллиптических функций Вейерштрасса
Ч = *'(<)•
Бесконечно далекая точка кривой соответствует значению параметра t = 0.
' Известно далее, что для значений tA, tv ts параметра, соответствующих
трем точкам, лежащим на одной прямой, выполняются соотношения
i, ш2),
21*
- 324 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где ю1? о>2 — периоды эллиптической функции у {t). Благодаря этому операции
построения рациональных точек посредством проведения секущих и касательных
через другие точки соответствуют операциям сложения и удвоения значений
аргумента эллиптической функции (с изменением знака результата на обратный).
В виду того, что действие сложения ассоциативно, операция построения
новых точек посредством построения секущих тоже в некотором смысле ассоциа-
ассоциативна. Имеиио, пусть 71,, Г2, Г8 — три точки на кривой, которым соответствуют
значения параметров /,, t2, tv
Точку Т, соответствующую значению параметра —tl —12 — ts, можно по-
построить несколькими способами.
Так, способ построения точки Т, основанный на представлении —tx—12 — ta
в виде —(tt -4- ^2) — 'в' состоит в следующем.
1. Через точки 7\ и Г2 проводится секущая. Третья точка ЛЛ пересечения'
этой секущей с кривой соответствует значению параметра —tt —t2.
2. Строится точка N, симметричная с точкой N' относительно оси OS.
Точка N соответствует значению параметра t1-\~t2.
3. Через точки N и Т3 проводится секущая. Третья точка пересечения этой
секущей с кривой и будет искомой точкой Т.
Представив —tx —12 — ts в виде —^, — (t2-\-t^t получим другой способ
построения точки Т.
1. Находится точка М' пересечения кривой с секущей Т2Т3.
2. Находится симметричная с /И', точка М.
3. Находится точка Т пересечения кривой с секущей МТХ.
Оба эти способа должны дать одну и ту же точку, что непосредственно
не является очевидным.
Однако ассоциативность операции построения точек посредством проведения
секущих может быть доказана и без введения эллиптических функций.
В дальнейшем мы будем называть построение точки Т, симметричной с точ-
точкой пересечения кривой с секущей Tt T2, сложением точек Тх и Т2; построение
точки, симметричной с точкой пересечения кривой с касательной в точке Tv—
удвоением точки Тг и т. д.
Повторяем, что перестановочность сложения точек геометрически очевидна,
ассоциативность сложения точек можно установить посредством введения эл-
эллиптических функций, но она может быть доказана и иначе, например непо-
непосредственным вычислением.
Все дальнейшие рассуждения мы имеем возможность провести ие пользуясь
эллиптическимим функциями, но только используя перестановочность и ассоциа-
ассоциативность сложения точек. Однако в тех случаях, где это будет облегчать фор-'
мулировку, мы все же будем обращаться к эллиптическим функциям.
§ 81. Доказательство теоремы Морделя, данное А. Вейлем
Переходим к доказательству основной теоремы этой теории о том, что все
рациональные точки на кривой третьего порядка могут быть получены из ко-
конечного числа основных точек посредством проведения секущих и касатель-
касательных, т. е. посредством действия сложения значений аргумента эллиптических
функций, соответствующих рациональным точкам. Достаточно доказать эту
теорему для кривых, заданных в нормальной форме. Для нас будет удобно
остановиться иа нормальной форме, несколько отличной от формы Вейерштрасса,
именно иа форме
u? = vs—h2v — ha,
которая получается из формы
г,2 = 4ез — g? — g9
подстановкой щ = -^ , S = -v-.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МОРДЕЛЯ, ДАННОЕ А. ВЕЙЛЕМ 325
Числа А2 и А8. можно считать целыми и не делящимися соответственно
иа квадрат и куб одного и того же целого числа, отличного от 1.
Правая часть нормальной формы уравнения
v3 — htv — hs
не имеет кратных корней. Следовательно, уравнение
Vs — h2v — А8 = 0
определяет некоторую кубическую область, приводимую или неприводимую.
Корни уравнения Vs — h2v— А8=0 обозначим через р, р' р".
Уравнение
и2 = v8 — ktv — Aj
можно представить в виде
N(v — р) = и2.
Решение этого уравнения равносильно решению задачи о выборе из всех
целых и дробных чисел кубической области, нормы которых являются полными
квадратами чисел специального двухчленного вида v — р.
Среди чисел, нормы которых являются полными квадратами, находятся все
квадраты чисел области и кроме того многие другие числа.
Разбиваем все такие числа на классы, объединяя в одном классе все числа,
отличающиеся одно от другого множителем, равным квадрату числа области.
Квадраты всех чисел области попадают в один класс, который мы будем на-
называть главным. Всего классов в данной кубической области бесконечно много.
Классы можно перемножать, так как произведение двух чисел, взятых из дан-
данных классов, принадлежит вполне определенному классу. Главный класс играет
роль единицы в этом умножении. Квадрат каждого класса дает главный класс.
Как мы уже говорили, в каждой кубической области существует бесконечно
много классов чисел, нормы которых являются полными квадратами. Однако
имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Двухчленные числа v — р, нормы которых являются
квадратами, могут принадлежать лишь конечному числу классов.
Доказательство. Пусть N(v—р) = и2.
Представим рациональное число v в виде несократимой дроби v- и дока-
докажем прежде всего, что знаменатель b этой дроби должен быть полным квад-
квадратом. Действительно, (а, Ь)=1, и, следовательно, N(a — bp) и b — взаимно
просты. Очевидно, имеет место равенство N(a — bp) = bsu2 и, следовательно,
Произведение двух целых вз!имно простых чисел равно полному квадрату.
Следовательно, каждый из множителей представляет собой полный квадрат
6 = с2 (а, с)=\
N(a
Числа v — р и а — с2р принадлежат, очевидно, к одному классу чисел с квад-
квадратными нормами, поэтому нам достаточно доказать конечность числа классов
для чисел вида а — с2р.
Разложим целое число а — с2р на простые идеалы и выделим в этом раз-
разложении полный квадрат
а — с3р = йЬ2.
Здесь идеал о, не делится ни на один квадрат простого идеала.
326 ¦ 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Введем в рассмотрение число к=(д—с2р') (а —• с2р"). В виду того, что
к (а — с2р) представляет собою квадрат целого рационального числа, число i.
должно делиться на идеал а.
Сопоставляя сравнения
а — с2р S3 0 (mod a), .
\=(а—с2р') (а — с2р") е= 0 (mod а),
легко получаем, что
с* (р — р') (р — р")« 0 (mod а).
Но с и а, очевидно, взаимно просты. Следовательно, а является делителем диффе-
дифференты (р — р') (р — р") числа р, и, следовательно, для идеала а имеется лишь конеч-
конечное число возможностей. Очевидно далее, что для чисел ab2, принадлежащих
одному классу, идеалы а одинаковы, а идеалы b эквивалентны. Обратно, числа
ab2, для которых идеалы а одинаковы и идеалы ч> эквивалентны, могут от-
отличаться друг от друга множителем, состоящим из квадрата числа области
и единицы. Следовательно, числа цЬ2 при данном идеале а и при данном
классе для Ь могут распределиться на два класса для областей отрицательного
дискриминанта и на четыре класса для областей с положительным дискрими-
дискриминантом.
Теорема доказана, так как для двухчленных чисел число возмож-
возможностей для идеала а конечно, число возможностей для класса, которому
принадлежит идеал Ь тоже конечно, и, наконец, числа вида ab2 с одинаковыми
идеалами а и эквивалентными идеалами b распределяются самое большое по
четырем классам.
Итак, хотя все числа с квадратными нормами распределяются в бесконеч-
бесконечное множество классов, двухчленные числа v—р с квадратными нормами распреде-
распределяются в конечное число классов. Все классы образуют группу относительно
умножения. Мы не можем этого утверждать для двухчленных чисел v — р, так
как произведение двухчленных чисел не является двухчленным. Однако мы
имеем возможность составлять по двум двухчленным числам с квадратной нор-
нормой третье другим способом. Каждое двухчленное число v — р с квадратной
нормой и2 соответствует точке (и, v) с рациональными координатами на кривой
Такие точки мы умеем „складывать", точнее, складывать значения аргументов
эллиптических фуикций, соответствующих этим точкам.
Теорема 2. При „сложении" точек (и,, и,) и (и2, v2) кривой и2 =
= v3—,h2v — hs классы, которым принадлежат числа vx — р и v2 — р,
перемножаются.
Доказательство. „Суммой" двух точек (и„ vx) и (и2, v2), как мы уже
знаем, является точка, симметричная с точкой пересечения кривой с секущей,
соединяющей точки (uv •Uj) и (и2, v2). Абсцисса v „суммы" точек (uv ut)
и (иг, v2) Совпадает с абсциссой точки пересечения кривой и секущей.
Для определения числа v исключаем и из уравнения кривой и2 =
— и8 — h^v — /jg и из уравнения секущей
a — а. = °2 "' (v—vt).
Для определения v получаем кубическое уравнение
корнями которого, кроме v, будут также vl
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МОРДЕЛЯ, ДАННОЕ А. ВЕЙЛЕМ 327
Заменим v — р = к; г>,— р = ^г; *>2—р = А2-
Уравнение преобразуется в следующее:
Свободного члена в левой части уравнения не будет, так как Vs — h2v — А3
делится на v — р. Корнями этого уравнения будут v — р; vx — р; v2— р.
В виду того, что произведение корней уравнения равно свободному члену
с обратным знаком,
откуда
Из этого равенства справедливость теоремы вытекает непосредственно.
Теорема 3. Число г>2—р, соответствующее точке (в2, v2), получен-
полученной удвоением другой точки (и,, v^), принадлежит главному классу (т. е.
является полным квадратом числа рассматриваемой кубической области).
Доказательство. Уравнение
г 3»? — Гц I2
vb _ h2v — h8 = [иг + 2ид (* — vx)\ ,
получающееся в результате исключения и из уравнений кривой и касательной
в точке (и,, t>j); имеет двойной корень v1 и простой v2.
Положив v — р = Х; vx — p = *i. получим уравнение относительно \,
имеющее двойной корень \ и простой vt — р.
Отсюда следует, что
и, наконец,
откуда справедливость теоремы вытекает непосредственно.
Теорема 4 (обратная теореме 3). Если число v2 — р, соответ-
соответствующее рациональной точке (и2, и2), принадлежит главному классу чисел
с квадратной нормой, то точка (и„, v2) может быть получена удвоением
некоторой другой рациональной точки (uv v^).
Доказательство. . Пусть v2 — р = (A -f- Bp -f- Ср2J, где А, В и С — ра-
рациональные числа. Приравнивая коэффициенты при 1, р и р2 в обеих частях
равенства (что надо сделать не только в случае неприводимой области, но
и в случае приводимой), получим
A*-\-2BCh3 z=vv
2АВ + 2BCh2 -f- C*A8 = — 1,
S2-f 2AC-\-C2h2 =0.
328 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Исключая А из второго и третьего равенств, получим
или, поделив на С3,
)
Мы видим, что (тт» тг) представляет собой рациональную точку на кривой
и*=<о» — h2v—А,.
1 В
Обозначив j*- = uv j? = vv получим после простых вычислений» что
p
откуда следует справедливость теоремы.
Теорема 5. В результате „сложения" двух точек, для которых
соответствующие числа v — р принадлежат к одному классу, получается
щочка, которую можно получить удвоением некоторой другой точки.
Теорема непосредственно следует из теорем 2 и 4.
Теорема 6. Все рациональные точки на кривой и2 = г/8 — h2v — As
могут быть получены действием сложения над конечным числом неко-
некоторых основных рациональных точек.
Доказательство. Рассмотрим все рациональные точки на кривой и2 =
= v3 — h2v— hs и распределим их по классам, объединяя в одни класс те
точки, для которых числа v — р принадлежат к одному классу. Таких классов,
как мы уже знаем, будет конечное число. Из каждого класса выберем по од-
одному представителю. Пусть (uv vt), (u9, v2), ... , (и4, vk) совокупность таких
представителей. Над каждой другой рациональной точкой (и, v) мы имеем
возможность сделать следующую операцию, которую будем называть спуском.
Найдем среди представителей всех классов точку (и., vt), принадлежащую
тому же классу, что и (и, v). Затем сложим точку (ut, v-) с точкой (и, v).
Получим новую точку, которая, в силу теоремы 5, будет удвоением некоторой
точки (и', v').
Над точкой (и1, v') можно в свою очередь произвести операцию спуска
и перейти к новой точке (и", i/') и т. д. Нам удастся показать, что от любой
рациональной точки можно «спуститься" в конечном числе шагов к одной
из точек заведомо конечного множества точек. Обозначив через
tv t , tk аргументы представителей всех классов, через t'v t\, ... , t's аргу-
аргументы конечного множества точек, к которым приводит спуск, и, наконец,
через t аргумент исходной точки, мы будем иметь
откуда следует, что t представляется в виде линейной формы с целыми ра-
рациональными коэффициентами через аргументы tv t2, ... , tk, t'v t'2 f ко-
конечного множества точек, что нам и требуется доказать.
Итак, нам нужно доказать только то, что операция спуска, будучи произ-
произведена достаточное число раз, приводит в конце концов к точке, принадле*
жащей некоторому конечному множеству точек.
Для этого произведем некоторые оценки.
Перейдем от рассмотрения рациональных чисел и, v к рассмотрению целых
X
чисел х, у, z, положив, как при доказательстве теоремы 1, f=-j ярн вза-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МОРДЕЛЯ. ДАННОЕ А. ВЕЙЛЕМ 329
имно простых х, z. Тогда и=~, причем у, х, z будут удовлетворять урав-
уравнению
у2 = х3 — h^xz* — hj*.
Назовем высотой рациональной точки ббльшее из чисел х, z2. Очевидно, что
может быть лишь конечное число точек, имеющих высоту, меньшую данного
числа.
Докажем прежде всего, что если L—высота точки (и2, т>2) главного класса,
то высота точки (uv vx), удвоением которой получается (и2, v2), будет мень-
меньше cL3, где с — постоянная, зависящая только от А2 и h&.
Действительно, формула удвоения аргумента дает
v* Р ~~ L»! — р ъхх J •
Положив
„ _ *2.
V2 -j ,
z
2
мы получим после несложных вычислений
~2 —P^
22
^2 _ ,
_2 Р
_2
«2
2 2
2
откуда следует, что
где k — натуральное число, входящее делителем в числа \^к'х -\- \\" — \[ \" ;
>.j Xj -(-X', Xj — X'jXj; Xj'Xj-)-X"Xj — XXj. Очевидно, что (k, 2,)—1, так как
x^ + x,^—x;x;=A:f (mod2i)>
a x, и 2j взаимно просты. Далее k, очевидно, входит делителем в 2>.1>.^ ;
2Xj а^' ; 2Xj'Xj и, следовательно, в
2Х,х; (х,—х;) + % х; (х; - х;> + 2х;х, (х; - х,)=
=_ 2 (х, - ц) (х; - I'd (\; -h)=—
где Д—дискриминант числа р. В виду того, что (k, Zj)=l, k входит дели-
делителем в 2 |/Д. Следовательно, k ограничено сверху постоянной, зависящей
только от h2 и hs.
Итак,
22 Теория иррацион.3-й степени
330 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
1
Допустим сначала, что z1 — маленькое число, именно что z\ < L*.
\_
Допустив теперь, что \xx\~^>cLz, мы сейчас же получим противоречие,
i
если только взять с достаточно большим. Действительно, если |^j|>CjL^,to
111
8; I*,—**p;i>c,L»; i*, —«fp;|>c,L3
и, следовательно,
что невозможно при достаточно большом с2.
Допустим теперь, что z\^>L6. В этом случае произведем оценку другим
способом.
Из соотношений (*) следует, что
откуда следует, что
* - 4 f
и, следовательно,
где с — постоянная, зависящая только от А2 и ha. Таким же образом получим,
что |Xj|<^cZ.3, откуда непосредственно вытекает справедливость таких же
оценок для хх и z\.
Выясним теперь, насколько увеличивается высота точки при сложении ее
с другой.
Пусть высота точки (uv vx) есть М. Высота точки (и2, v2) есть L.
По формуле сложения после несложных преобразовании получим
z* ?~{xi4-xl4L
откуда следует, что
так как числитель, очевидно, делится на {хх—z*p)(xz — z?2p). Отсюда следует,
что высота точки (и, v), получающейся сложением точек (uv vx) и (и2, v2), не
превосходит cM*L?, где с — постоянная.
ОБ УРАВНЕНИИ х* + у> = А0 331
Приложим эти результаты к оценке высоты результата при спуске.
Пусть Мо наибольшая высота выбранных представителей всех классов то-
точек. Пусть L высота исходной точки. Складывая исходную точку с одной из
точек представителей, получим точку с высотой, не превышающей cAf^ZA Эта
точка будет удвоенной для точки (и1, v'), высота которой будет меньше
1 1
c'M03L3. Эта высота будет, вообще говоря, мевьше высоты L исходной точки.
Однако в конечном числе шагов уменьшение высоты точки при спуске должно
прекратиться, ибо иначе существовало бы бесконечно много точек с высотой,
меньшей L. Высота точки при спуске не будет уменьшаться только, если
c'M03L3^L, что может быть только при
Итак, от любой точки можно в конечном числе действий спуститься к точке,
высота которой «^с'8Л^. Таких же точек может быть лишь конечное число.
Тем самым теорема доказана.
§ 82. Об уравнении xs-\-ys = Azs
Уравнение, указанное в заглавии этого параграфа, является частным слу-
случаем уравнений, рассмотренных в предыдущих параграфах. Однако для него
очень удобно провести самостоятельное исследование, основанное на той же
идее спуска, но посредством деления аргумента иа 3, а не на 2, как в преды-
предыдущем параграфе. При этом нам удастся получить довольно точные оценки
числа основных решений уравнения.
Переходим к изложению. %
1°. Рассмотрим кривую
xs-\-ys = A A)
и ее параметрическое представление
Известно, что функция ${f), а следовательно, также x(t) и y(t) имеют дей-
ствительный период ш и комплексный ш' = ю • е 3.
Точка (х, у) пробегает кривую A), когда t проходит вещественные значе-
значения от 0 до ш. Значению ? = 0 соответствует бесконечно далекая точка кри-
1 / 3/"i5" 3/"iT\ 1 ">
вой, t = 1y-a соответствует точка Р\у-о> у -о)> i:==-^w И t==^w соот-
соответствуют точки перегиба кривой Q1 {y^A, 0) и Q2@, \^A). Точка Р раци-
рациональна только для A=ks, точки Q — только для A = ks. При всех осталь-
остальных значениях А значения аргумента, дающие рациональные точки, несоизме-
несоизмеримы с периодом.
Простейшим алгебраическим действиям над аргументом t соответствуют
простые геометрические операции над точками кривой. Именно:
1) Если аргументу t соответствует точка М(х, у), то аргументу —t соот-
соответствует точка М(у, х).
2) Если ?j соответствует точке M1(xv y^), t2 соответствует точке M2(xvy^),
то —tfj —12 соответствует точке МЙ пересечения секущей МгМ2 с кривой.
3) Если t соответствует М, то —It соответствует точка пересечения N
кривой с касательной в точке М.
22*
332
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ ?Й СТЕПЕНИ
Исходя из этого, легко дать формулы для вычисления новых решений
уравнения хл-\-уа=А по уже известным.
I. Если аргументу/ соответствует решение {х, у, z), то —t соответствует
решению (у, х, z).
II. Если fj соответствует (xv у1г zj и *2 соответствует (х2, уг, z2), то
— *i — ^.соответствует X, Y, Z, где
— xxz2) -\-у1у2 (х^2 —
У =
B)
(„формулы сложения").
Если tt=t2, то формулы сложения теряют смысл; для этого случая вво-
вводим „формулы удвоения".
Ш. Если tl соответствует (xv yv zj, то —2t1 соответствует Xv Yv Z2,
где
Л", = — *,
Кроме того, для дальнейшего нам Нужны „формулы утроения".
IV. Если tx соответствует (xv yv zx), то Ых соответствует Xs, Y4, Z8, где
Z3 «
Не трудно проверить справедливость следующих соотношений:
3 (at, — 2rlP
3 (*, + yj
3 (Л
2?) (X- Zp) = [
(X + Z) = Л [г
—ztf) —y2(xt —
X2 — Z,p =
A [z, {х{
X3 — Z3p =(—
B')
B")
B'")
C')
C")
C'")
D')
D")
з _ 5?
В формулах (Г) — D'") р = |/л, ? = е3; остальные обозначения те же.
что в формулах B), C), D).
2°. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими результатами из
теории поля Й(|/Л).
Если А свободно от кубических множителей и А =/??, где /— произве-
произведение простых множителей, входящих в Л в первой степени, g— произве-
произведение простых множителей А, входящих в квадрате, то базисом целых чисел
ОБ УРАВНЕНИИ х> + У = At* 333
поля Q(yOl) является или [1, р, р], если
±\ (mod9), или [l, p, ]±
если /4 ^ 4; 1 (mod 9), через р мы обозначаем V А; р = У А, где Л =/2-g.
В первом случае Q (у^4) называется полем первого рода, во втором —
полем второго рода. В полях первого рода 3==ti|, в полях второго
рода 3 == tt^tt-j, где тг8, тг,— простые идеалы из Q(p).
В дальнейшем будем считать, что А свободно от кубических множителей.
Уравнение xs -J-уа = Aza можно записать в виде
N(x — *р) = — у».
Отсюда следует, что если двучленное число х — гр является кубом какого-
нибудь числа X из Q(p), то (х, _у= — N(X), z) дают решение уравнения
Докажем следующую теорему:
Теорема 1. Если X—Zp —Xs, где \ число поля Q(p) и X взаимно-
просто с А, то решение (X, Y= — iV(X), Z) может быть получено утрое-
утроением аргумента некоторого другого решения (х1, yv zx).
, Доказательство. Без нарушения общности можно считать, что
где а, Ь, с — целые числа, не имеющие общего делителя.
Тогда
X— Zp = (e + ftp + cp)» =
— а*-\- АЬ* -\- Ас* + 6fgabc -\- Зр [аЧ +fgb*c -\-fc*a) -f
+ 3р(*в*»+/**в»_-+ва»), _ E)
Y= — Л^ (a -f bp -\- с р) = — а3 — А№ — Ас* -\- 3 f gabc.
Откуда
+ Ас3 -\-bfgabc, E')
bc, E")
Z = 3 (а«* -\-fgb4 +/<*а), E'")
j =0. F)
Из E') заключаем, что (а, А)=\, из F) — что са2 делится на g.
Следовательно, с делится на g, так что c = gct.
Подставляя в F) и сокращая на g, получим
Обозначим (b, cl) = d, b = dbu c1 = dc2.
Тогда {a, d) — \, (bv c2) — \.
Подставив в F'), получим
ab\d + Ь^еРА + с2а* = 0, F")
Откуда следует, что c2 = dca. Подставив в F"), имеем
334 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
Из F'") следует, что а — с\ах и
-О, . F"")
«, наконец, bl = a\b2, откуда
Из G) видим, что с& делится на bv С другой стороны (с8, Ь2) = \.
Следовательно, 'Ь„ '=¦ е = -+¦ 1.
Равенство G) перепишем в виде
» + <* = Л (—«*)«, G')
•откуда следует, что (а,, с3, —ed) есть решение уравнения jcs -\-у3 = Az%.
Обозначив al = xt; с3=уг; —ed = zlt получим
и из E'), E"), E'") получим
Z = -
Сопоставляя (8) с F), непосредственно устанавливаем справедливость тео-
теоремы 1.*
Теорема 2. Для /иого чтобы аргумент решения (X, Y, Z) был утро-
утроенным аргументом некоторого решения (хл, у1г г,), необходимо и доста-
достаточно, чтобы 9(X^\-YJ(X—Zp) было кубом числа из Q(p).
Доказательство. Необходимость высказанного условия непосредственно
-следует из соотношений D') и D").
Для доказательства достаточности покажем, что найдутся Хх, Yx, Zx, про-
пропорциональные X, Y, Z, такие, что Xl — Z,p = X3 и Х1 взаимно просто с А.
Итак, пусть 9{Х+У)ЦХ- Z?) = V. (9)
Без нарушения общности можно считать X и Y взаимно простыми.
Так как X3 -\- Y3 = AZ3 и Л не содержит кубических множителей, то
«ели только (X, Y)—\, также и {X, AZ)=l и (Г, AZ)=\.
Имеем
2 (X— Z9) = (а -+- ЬР + с р)« =
= fls + Ab* -\- Ac3 -f 6fg*bc -+- Зр (а*Ь -{-/gb^c +fc*a) +
+ Зр (аЧ -1- ф*а -\-/gc2b)
(Х+ Yf (X— Zp)] = —9s {X+ КN- У = [а3 + АЬ» + Ас3 — 3fgabc]3.
Откуда _
= -a8-^3- Acs -j- З/^ийс.
Складывая, получим
(*+ YK=fgabc.
Отсюда следует, что Л"-|- У делится на /^. С другой стороны, уравнение
¦X* -\- Y3=AZZ можно переписать в виде
A0)
* Теорема 1 была доказана Б. Делоне в работах, посвященных уравнению
\ах*-\-у*—\ еще в 1916 г.
ОБ УРАВНЕНИИ *» +у = Аг* 335
Пусть А не делится на 3. Так как в этом случае ЗЛУ взаимно просто
с A, a (X-^-YJ делится на всех простых делителей А, то выражение
(X-i-YJ— ЗЛУ с А взаимно просто. Следовательно, X-\-Y делится на А.
Очевидно, что Х-\- Y н (Х-\- YJ — ZXY или взаимно просты, или имеют
общего делителя 3. Следовательно, или X-\-Y=Avz, или X-\-Y=9Av*.
В первом случае, из (9), 9 (X—Z$) = \\ и решение (9Х, 9 К, 9Z) удо-
удовлетворяет условиям теоремы 1.
Во втором случае X—рУ=Х^, и, следовательно, само решение (X, Y, Z)
удовлетворяет условиям теоремы 1.
Пусть А делится на 3, Л = 30/,^, где а=1 или 2. В этом случае
X+Y^S'-if^v? [из A0)], и, следовательно, из (9) Л—Zp = Xf, т. е.
снова для решения (X, Y, Z) выполнены условия теоремы 1.
Замечание. Не трудно видеть, что если А не делится на 3, го равенства
)*(X— Zp) = V> и 3(X+YJ(X— Zp) = X3
невозможны.
Теорема 3. Для того чтобы аргументы решений. (xv yt, zx) и
(Хо, _Уг, z2) отличались на утроенный аргумент некоторого третьего ре-
решения (хь, у3, 28), необходимо и достаточно, чтобы
где 1 — целое или дробное число поля Q(p).
Доказательство. Докажем достаточность условия. Для этого составим ре-
решение (X, Y, Z), аргумент которого равен разности аргументов решений
Решение X, Y, Z получим по формулам сложения из (yv лг,, zy) и (лг2, _ye> z2).
Следовательно, из соотношений B') и B*)
- г1?) (х2 — z2?) (X— Z?) = 0», 3 (*, +Л) (х9 +у2)
откуда
27 (дг, +ЛJ (У1 ~ *!р) {х, +УъУ (х2 - z2?) {X+ КJ (X-Z?) = ИK- A2)
Из A')
3 (*! +ЛL (*i — *ip) (У1 - *ip) = V8-
Поделив A2) на A3), получим
откуда, принимая во внимание условие (И),
Тем самым, на основании теоремы 2, достаточность условия A1) доказана.
Для доказательства необходимости нужно те же самые преобразования про-
произвести в обратном порядке.
Замечание. Не трудно, принимая во внимание замечание к теореме 2, уста-
установить, что в случае, если А не делится на 3, равенства
где а — 1 или 2, невозможны.
336 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
3°. Представим уравнение X3 -\- Y3 = AZS в виде
3(X+Y)(X— Zf){Y— Z9) = {X+Y— Zp)«. (Г)
Если X, Y, Z взаимно просты, то X-\-Y; X—Zp; Y—Zp также взаимно
просты (попарно).
В случае если Q(p) 1-го рода, на основании A') и того, что 3 яв-
является кубом идеала, заключаем, что X-\-Y; X—Zp; Y—Zp являются
кубами идеалов и, следовательно, 9(X-\-YJ(X—Zp) также является кубом
идеала.
Таким же образом, в случае если Q(p)— область 2-го рода, то
9{X-\-Y)*(X — Zp)==/« или 3/s, или 9Д
где j—идеал поля Q(p).
Из соображений теории групп следует, что число классов идеалов, кубы
которых дают главный класс, s = 3*.
Пусть av а2, .... а,— представители всех таких классов. Обозначим
числа, соответствующие их кубам, jip ji2, ..., jj^. Тогда всякое число, являю-
являющееся кубом идеала, будет отличаться лишь кубом целого или дробного
числа поля Q(p) от одного из 3s чисел ряда
ji,, |i,e, |i,s*; jig, jigs, ц„82, ..., iv ji/, jise2, (A>
где через s обозначена основная единица поля Q(p). Следовательно, числа
9(X-\-YK(X—Zp) будут лишь на кубы чисел из Й(р) отличаться от чисел
ряда (А), в случае если Q(p)— 1-го рода, или от чисел ряда (В):
ji,, jijS, jijS2; 3jjLj, 3|i,s, Зц,е2; 9|i,, 9|i,e, 9ji,e2; .... (By
в случае если Q (p) — поле 2-го рода.
Будем называть решения уравнения Xa-}-Ya = AZs эквивалентными, если
соответствующие им числа 9(X-^-YJ(X—Zp) отличаются на куб числа из
Q (р). Эквивалентные решения объединяем в классы. Соотношения B'), B"),
C') и C*) показывают, что классы решений образуют группу, которая, оче-
очевидно, является подгруппой групп (А) или (В). Следовательно, число классов
решений равно Ът, где
т ^ k -f-1 в случае Q (р) 1 -го рода
я<А-(-2 я Q(p) 2-го рода
Не трудно показать, используя замечание к теореме 3, что
в случае Q(p) 1-го рода, (А, 3)=1.
т s^ k -J- 1 я Q (р) 2-го рода
Мы знаем, что система значений аргумента t, дающих решения уравнения
х*-\-уъ = Агъ, имеет конечный базис.
Мы знаем, что если исключить из рассмотрения A=l, A =2, то инте-
интересующие нас значения аргумента t несоизмеримы с периодом а>. В таком
случае, как легко видеть, можно установить существование такого базиса
tv tv ..., t , для которого соотношение г^-\-гъЬг-\-.. .-\-rptp = n<o невоз-
невозможно ни при каких целых значениях rv rv ..., rp, n.
Докажем, что р = т, где Ът — число классов решений уравнения дс8 -{-у3 =»
В самом деле, решения, соответствующие Ъ? значениям аргумента
О Б УРАВНЕНИИ *» + у» = Лг» 337
не могут быть эквивалентны, ибо в противном случае, в силу теоремы 3,
разность двух таких аргументов была бы, с точностью до периода, утроенным
аргументом некоторого третьего решения
(я; _ aj) tl +(aj -еф *, + ...+ (a; - а"р) *,=3Mi+ Зр,*,+... +зр,*„+яш,
что, очевидно, невозможно.
Обратно, аргумент любого решения t=y1t1-\-y9t2-\-.. ,-^y t может быть
представлен в виде t=altl-\-a2t2-\-.. .-f а,*, + 3 (Mi + М« + ¦ ¦ - + М^'
где a, = 0, 1, 2, откуда следует, в силу теоремы 3, что любое решение экви-
эквивалентно одному, из Ър решений, соответствующих значениям аргумента otj/j -}-
-\-a2t%-\-.. ,-\-aptp. Итак, 3^ = 3m, и, следовательно, р = т.
Хотя нам уже известно, что основных решений существует конечное число,
представляет некоторый интерес вопрос о том, насколько быстро уменьшается
величина решений при спуске, основанном на делении аргумента на три.
Пусть
() ( J ( ) (C)
— представители всех возможных классов решений уравнения xs-\-yB = Azs, и
пусть tx, t9, ..., ts—соответствующие им значения аргумента. Обозначим L —
верхнюю границу чисел \xt\, \yt\, \z,\ (/=1,2,..., s). Пусть (X, Y, Z) какое-
нибудь решение уравнения, отличное от решений (С). Соответствующее ему зна-
значение аргумента обозначим Т. Среди решений (С) найдется решение (хр ур г(),
эквивалентное взятому решению (X, Y, Z). Тогда решение (Х3, Yz, Z3), соответ-
соответствующее аргументу Т—убудет утроенным для некоторого решения (х, у, z).
Ха, Ys, Z3 определим по формулам:
Х3 = AZzt \x.Z — z,Y) + Xy{ {Yy, — Xxt),
Y3 = AZz, (y(Z — ztY)-\- Yx, {Xx. — Yyt),
3 i
Откуда
|Z,|<2L«.[|A-| + |K|]«. A4)
He нарушая справедливости неравенства A4), можно считать Х3, Y3, Zs
взаимно простыми, ибо сокращение их на общего делителя может только
уменьшить их абсолютную величину.
Но решение (Х3, Y3, Z3) есть утроенное для некоторого решения (х, у, z).
Следовательно, или Х3, ?3, Z8, или 9 Х3, 9 Kg, 9Z8 пблучаются из (лс, у, z)
по формулам утроения D)
Ъ°Х3 = х9 + 6х6У3 + За:3;;6 — у9,
3" Y3—y9-\- 6у*хз + 3ysx6 — х9,
3'Z3 = Ъхуг (а:6 + х*у* +.у6)»
откуда
Далее, лс6 -\-xsya -\-у6^-т х6, и так как л:3 = Az3—ув, то имеем
откуда
Следовательно,
ч 1-1
-?rl*|8<3|Z,|; | л: | s <I 8Л з |Z,|< \6А3 &[\Х\-\-[
338 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
откуда
1 ' 1 1 ¦
Таким же образом
111 1 ?11 1
\y\<2*A*L*[\X\+\r\]* и \x\ + \y\<2*A»L<[\X\±\Y\]*.
Итак, сумма абсолютных величин х и у для нового решения, вообще говоря,
меньше такой же суммы для взятого решения (X, Y, Z). Повторив ту же
операцию над (х, у, z), мы придем к еще меньшему решению и т. д., до тех
пор, пока мы не придем к одному из решений (х., у{, zt) или к решению,
для которого указанная операция уже не будет сопровождаться уменьшением
величины |.*|-г-!.У1-
i i L i
Это будет, когда |*| + |.У1 станет меньше, чем /И=B2 Л24!4 ) 3 —
i L
Итак, посредством спуска можно перейти от любого решения к такому, для
которого j jc j -f- |_
Резюмируем полученные результаты.
Число т основных решений уравнения х3 -}-у3 = Azs конечно. Именно:
\, если А делится на 3 или Л=Чг; 1 (mod 9),
„ А = ±2, ±4(mod 9),
где bk=^s—число классов идеалов поля Q()fA), кубы которых дают глав-
главный класс.
4°. В случае, если А — простое число или квадрат простого числа, методом,
аналогичным предыдущему, можно получить более точные оценки числа основ-
основных решений, именно число основных решений не более двух. Мы ограничимся
рассмотрением А простого, А=^2, А^Ъ.
Теорема 4. Для того чтобы решение (X, Y, Z) было утроенным для
некоторого другого решения (х, у, z), необходимо и достаточно, чтобы
(X -f- Yp (XZ, 4- YZ?) было произведением А2 на куб целого числа поля
2rf *
где Z = e3 .
Доказательство. Необходимость непосредственно следует из соотношений
D") и D'"). Докажем достаточность.
Пусть
*+K)aC+rca a + 20 A5)
Без нарушения общности можно считать X, Y, Z попарно взаимно про-
простыми.
Из A5)'следует, что
откуда
(X + К)8 = Л2 (— 2аз _|_ ЪаЧ -j- Ъа№ — 2Ъ%
и, следовательно, X-\-Y делится на А.
С другой стороны, {X+Y)(X?;-}-n*)(XV-\-YQ=zAZ».
Числа Х-\- Y, XZ.-\-Yt.%, X&^-YZ или взаимно просты, или имеют общим
делителем г)=1—Л. причем в последнем случае X?-}-YZ2 и Х?2-\-У? де-
делятся на 7], но не делятся на 3 = — ?2Jj2.
Следовательно, Х-\-У=ЪяАу*, где а —0 или 2.
ОБ УРАВНЕНИИ *•+у» = Лг» 339"
Подставляя в A5), получим
( (,4^)s. где а,*=0 или 1,
откуда
3"*= — а^За^ — ЬЗ, 3'. Y= — а\ + 3^^ — b\. (Л6>
Так как X и Y взаимно просты, то (в,, &1)== 1.
Складывая равенства A6), получим
3'. (X+Y) = — 2а» + 3e»ft, 4-3a,ftf — 2ft3 = Bftt — ^ Bа, — bt) (а, 4- ft,). •
Но 3" (X + К) = 3' •+ •• А»» = Л C'- ¦»)».
Итак
(a,— 2ft,) (ft, — 2а,) (а,+.¦*,) = А C-е)». . A7)-
Числа а, — 2bv bx — 2а,, ал-\-Ьх или попарно взаимно просты, или имеют
общего делителя 3. (Здно из них делится на А, так как А простое.
Обозначим его через t, а остальные — через р, q. Очевидно, что
С другой стороны, р = Ьх\, q=8y3v t= — Abz^, где Ь= 1 или 3 на осно-
основании A7).
Следовательно, л^ -\-yf = Az\.
Не трудно проверить, что во всех возможных комбинациях t, p, q решение
(X, Y, Z) получается по формулам утроения из {хи у1У zt).
Теорема 5. Для того чтобы аргументы решений (х,, уи zx) и {х2,
у2, z2) отличались на утроенный аргумент некоторого третьего решения^
необходимо и достаточно, чтобы
где \ — целое или дробное число поля (
Доказательство основано иа соотношении C') и теореме 4 и аналогично-
доказательству теоремы 3.
5°. Пусть А — простое число вида 6л — 1. Тогда А — простое число в,
поле Q(Q, и xZ, -\-y?2, если (лс,у)=\, взаимно просто с А.
Из равенства (х-\-у) (х? + уф) (л?2 -\-yZ) = Azs заключаем, что для чисел.
х-\-у н х?-\-у?2 имеется 6 возможностей:
= Av\
T) (a
и, соответственно, для числа (х-\-у)г (х?-\-уф)—три возможности:
) = АК (а, 4- a,
(х +yf {xZ +X2) = Ж2 К 4- V
Отсюда легко получить, аналогично 3°, что уравнение Xs-{-У9 = AZ3
может иметь не более одного основного решения.
Если А — простое число вида 6л 4-1» то в поле Q(Q А разлагается на.
два простых множителя: -А=тг,тг2.
340 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
В этом случае для числа (х-\-уJ (х?-\-у'2) имеется 9 возможностей:
= i4« С (в
и, соответственно, уравнение Л-|-F8 = .dZ3 может иметь не более двух основ-
основных решений.
Можно еще уточнить оценки числа основных решений следующим образом.
В случае, если (х-\-у)^(х^-]-у^2) = А^(а-\-Ь^K, число х?.-\-у{.г имеет
вид С (a, + b?K, или тот же вид имеет число 3 (лсС -|-.уС2); соответственно
х-\-у — Av3 или 9AvB.
Но тогда
3'. д:— flj _ З
откуда
Форма а% -\- Za\bv— &ab\ -\- Ь\ может иметь только таких простых делителей,
( — \
которые разлагаются на идеалы в действительном подполе поля Q \ е 9 / ,
т. е. простых делителей вида 18л ¦+; 1.
Следовательно, если Л^+1 (mod 18), то рассмотренная возможность отпа-
.дает, и число основных решений уравнения х3 -^-ys= Az3 понижается на единицу.
Итак, для простых А=^=2, =^3 уравнение хг-\-у3 = Аг3 имеет
при А=18я-|- 1 не более двух основных решений,
г А=\Ъп-\-\Ъ \не более одного основного решения,
„ Л=18л4-17 ]
- 5 )
л 1 \ не имеет решений.
Для А = А\, где А1—простое число, верны те же оценки числа основных
решений.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
5 = Аг3 для А-
6
7
9
12
13
15
17
19
20
22
26
Число
' ОСНОВНЫХ
решений
1
1
1
1
>
'
!
1*
Основные решения
C7, 17, 21)
B,-1, 1)
B, I, 1)
(89, 19, 39)
G, 2, 3)
C97, 683, 294)
A8,-1, 7)
(8, 1, 3); E, 3, 2)
A9, 1, 7)
B5469, 17299, 9954)
C,-1, 1)
28
30
31
33
34
35
37
42
43
49
50
Число
основных
решений
1»
2
1
1
1
1*
2
1*
1
1
1
Основные решения
C, 1, 1)
B89, —19, 93);
A63, 107, 57)
A37,-65, 42)
A853, 523, 582)
F31,-359,182)
C, 2, 1)
D,-3, 1) и A9, 18, 7)
D49, - 71, 129)
G, 1, 2)
A1,-2,3)
B3417,-11267, 6Ш).'1
* Для А = 26, 28, 35, 42 применение результатов 3» дает, что число основ-
основных решений г^2; но легко доказать рассуждением, аналогичным 4.% что oho=s:1.
Для всех остальных A s^50 известно, что уравнение хя -\- у8 = Az3 не имеет решений,
кроме тривиальных.