Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
И. Н. Фетисов
СТАТИСТИКА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
Методические указания к выполнению лабораторной работы Я-64 по курсу общей физики
Под редакцией Г. В. Балабиной
Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2009
УДК 539.16
ББК 22.383
Ф451
Рецензент Е. К. Кузьмина
Фетисов И. Н.
Статистика радиоактивного распада : метод, указания к лабораторной работе Я-64 по курсу общей физики / И.Н. Фетисов ; под ред. Г.В. Балабиной. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 20 с. : ил.
Рассмотрены радиоактивные превращения, закон распада и его статистические закономерности (распределение Пуассона). Дано описание методик проверки распределения Пуассона и радиометрического определения содержания калия в веществе.
Для студентов 2-го курса.
УДК 539.16
ББК 22.383
Учебное издание
Фетисов Игорь Николаевич
Статистика радиоактивного распада
Редактор О.М. Королева
Корректор Л. Н Петрова Компьютерная верстка И.А. Марковой Подписано в печать 20.10.2009. Формат 60x84/16.
Усл. печ. л. 1,4. Изд. № 12. Тираж 100 экз. Заказ 775
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Типография МГТУ им. Н.Э Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул,. 5,
© МГТУ им Н.Э. Баумана, 2009
Цель работы — ознакомление с радиоактивностью, изучение статистических закономерностей распада (распределения Пуассона), радиометрическое определение содержания калия, расчет статистических погрешностей измерения.
Теоретическая часть
1. Радиоактивные превращения
Атомы состоят из ядра и электронной оболочки. Линейные размеры атома около 10 10 м, а ядра - на 4—5 порядков меньше. Ядра состоят из протонов и нейтронов (нуклонов). Между нуклонами действуют ядерные силы притяжения. Протон имеет положительный элементарный заряд 1,6-1019 Кл, а нейтрон - не заряжен. Масса нуклона примерно в 1840 раз больше массы электрона. Химические элементы различаются количеством протонов Z, изменяющимся от 1 для водорода до 94 для плутония. Число Z называют зарядовым числом, или порядковым номером элемента. Количество нуклонов в ядре (массовое число) обозначают А. Ядро элемента X записывают в виде ^Х, например, ядро гелия * Не. Атомы одного и того же химического элемента, различающиеся числом нейтронов, называются изотопами. Например, для водорода известны три изотопа: }Н, и iH.
Некоторые ядра (радионуклиды) самопроизвольно (спонтанно) испускают частицы, превращаясь в другое ядро (А. Беккерель, 1896). Это явление получило название «радиоактивность» [1, 2]. Распадающееся ядро называют материнским, а образующееся после распада - дочерним. Некоторые дочерние ядра стабильны, другие радиоактивны.
К основным радиоактивным превращениям относятся а- и [3-распады.
Альфа-распад. При а-распаде ядро (обычно тяжелое) испускает ядро гелия, называемое а-частицей. Схему а-распада представляют в виде
zX-> jHe + £*Y
где X и Y - символы химических элементов.
3
Например, превращение радона в полоний происходит по схеме 2822Rn^^He + 28'48Po
Квантовая механика объясняет а-распад туннельным эффектом - проникновением а-частицы через потенциальный барьер на поверхности ядра, образующийся под действием сил ядерного притяжения нуклонов и электрического отталкивания протонов.
Бета-распады. При Р-распадах в ядре происходит превращение нейтрона в протон, электрон и электронное антинейтрино ve:
п->р + _,е + ve, или превращение протона в нейтрон, позитрон и нейтрино: р^>п+ Je + ve.
При этом число нуклонов в ядре не изменяется, а зарядовое число изменяется на + 1. Известны три разновидности ^-распада:
•	электронный p-распад (Р -распад), который протекает по схеме
lX->^,Y+>+ve,	(1)
при этом электрон и антинейтрино покидают ядро;
•	позитронный Р-распад (Р+-распад). В этом случае ядро испускает позитрон и электронное нейтрино:
lX^l_,Y++"e+ve.
Позитрон является античастицей электрона, имеющей такую же массу, но противоположные по знаку электрический заряд, лептонный заряд и магнитный момент [1];
•	электронный захват — захват ядром собственного орбитального электрона, чаще с ближайшей К-оболочки:
iX+^^Y+v,.	(2)
При этом в ядре протон и электрон превращаются в нейтрон и нейтрино
p+Jje-> п+ ve.
4
Нейтрино и антинейтрино — электрически незаряженные частицы, различающиеся знаком лептонного заряда. Масса покоя этих частиц много меньше массы электрона (этот вопрос физики изучают в настоящее время). Нейтрино чрезвычайно слабо взаимодействует с веществом, поэтому его можно зарегистрировать только в специальных опытах.
При распаде выделяется определенная для данного нуклида энергия в интервале примерно от 20 кэВ до 17 МэВ, что на 3-6 порядков больше энергии химических реакций. Эта энергия делится между продуктами распада таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения импульса. (Электрон-вольт — энергия, приобретаемая частицей с элементарным зарядом в электрическом поле с разностью потенциалов 1 В; 1 эВ = 1,6 • 10 19 Дж.)
Атомное ядро, состоящее из двух и более нуклонов, может находиться в состояниях с различными дискретными значениями внутренней энергии. Состояние с минимальной энергией называется основным, а с большей энергией - возбужденным. Ядро перед распадом находится в основном состоянии, а дочернее ядро может оказаться как в основном, так и в возбужденном состояниях. В последнем случае практически мгновенно после распада дочернее ядро переходит в основное состояние, испуская один или несколько фотонов большой энергии, называемых у-квантами. Энергия у-квантов на 4-6 порядков больше энергии фотонов видимого света, равной примерно 2 эВ.
Радионуклиды подразделяют на естественные и искусственные. Принципиального различия между ними нет. Естественными радионуклидами являются семейства урана и тория, калий и др. Природный калий состоит из смеси трех изотопов - двух стабильных и радиоактивного 40К, доля которого 8 = 1,18- 10 4. Калий в 89 % случаев испытывает (3 -распад (см. (1)), превращаясь в стабильный кальций:
19К—э го^а+ -1^+ve.	(3)
В 11 % случаев происходит электронный захват (см. (2)):
1?К+>-»$Аг + ге+г.	(4)
5
Ядро аргона образуется в возбужденном состоянии и испускает у-квант с энергией 1,46 МэВ, переходя в основное (нерадиоактивное) состояние (рис. 1). Электроны распада имеют максимальную энергию Етах = 1,3 МэВ. Таким образом, на 100 распадов испускается в среднем 89 электронов и 11 у-квантов. В случае распада (3) приборы регистрируют электроны, а распады (4) обнаруживают по у-излучению.
40
Рис. 1. Схема распада изотопа
Содержание калия в земной коре составляет 2,5 %. Наиболее важные минералы - это сильвин КС1, сильвинит (К, Na)C1 и др. В заметном количестве калий содержится в слюде, древесной золе, продуктах питания. За счет радиоактивного распада калия земля получает заметное количество внутренней теплоты. Калий играет важную роль в жизнедеятельности животных и растений; его используют в качестве удобрения. Калий, присутствующий в теле человека, вносит заметный вклад в дозу естественного облучения. Соли калия - доступный и безопасный источник слабой радиоактивности.
6
2.	Закон радиоактивного распада
Каждое радиоактивное превращение - случайное событие. Однако для большого числа распадов наблюдается закономерность: убывание по экспоненциальной зависимости количества нераспавшихся ядер. Закон распада имеет следующее теоретическое объяснение.
Пусть в момент времени t имеется большое число N одинаковых нераспавшихся ядер. За время dt распадается в среднем dNядер:
dN = ^Ndt,	(5)
где X - вероятность распада ядра в единицу времени, называемая постоянной распада.
Среднее число распадов за единицу времени
называется активностью препарата.
Единица активности - беккерель (Бк), один беккерель соответствует одному распаду в секунду. Внесистемная единица активности — кюри, 1 Ки = 3,7 • 1010 Бк (такова активность 1 г радия).
Приращение числа нераспавшихся ядер за время dt (см. (5)): dN=-'kNdt.
Интегрируя это выражение, получаем
А = Аоехр(-Х/),	(7)
где М)~ число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0.
Соотношение (7) выражает закон радиоактивного распада'. число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальной зависимости. Активность, пропорциональная числу нераспавшихся атомов (см. (6)), убывает по такому же закону:
А =Ао ехр (-Х/),	(8)
где Ао — ХА0 - начальная активность.
Опыты подтверждают зависимость (8).
Время жизни радионуклида характеризуют средним временем жизни т = 1/Х и периодом полураспада, за который распадается половина ядер:
Т = (In 2) / Х= 0,693 / X = 0,693т.
7
Запишем закон распада через период полураспада:
N(t) = М>ехр	(9)
<-0,693/А
А(1) = Л.ехр I —— I.	(10)
Убывание активности показано на рис. 2. Для различных радионуклидов период полураспада изменяется от менее микросекунды до 1018 лет. Период полураспада калия-40 Т равен 1,3 • 109 лет.
3.	Статистика радиоактивного распада
В физике, технике и различной практической деятельности встречаются измерения, в которых подсчитывают число событий, происходящих случайно, но в определенном среднем темпе, например число радиоактивных распадов. При этом результат измерения выражается целым числом.
8
При измерении радиоактивности счетчиком Гейгера заряженные частицы пролетают через счетчик. Каждый пролет сопровождается электрическим импульсом, которые подсчитывают. Пусть за время А/ получено N импульсов. Многократно повторяя опыт, получают различные целые числаМ: М, У2,Nk, изменяющиеся случайным образом. Из результатов большого числа к измерений найдем среднее число зарегистрированных частиц (не целое число)
(П)
Величина (Nj/Ai характеризует скорость распада, она пропорциональна активности (см. (6)).
Зарегистрированное в однократном измерении значение N имеет случайное отклонение от интересующей нас величины . Вероятность P(N) того, что в результате одного измерения зарегистрируем N импульсов при среднем (N), дается распределением Пуассона [3]:
(^7Vexp(-(2V))
ЛЮ= N\ •	(12)
Анализ распределения Пуассона показывает, что среднеквадратическое отклонение о результата измерения N от среднего (aQ составляет
а=(Н),/2.	(13)
Если число TV достаточно большое (десятки, сотни или больше), то в (13) вместо среднего можно подставить результат однократного измерения N:
а = у/Й.	(14)
Для иллюстрации распределения Пуассона рассмотрим гистограммы на рис. 3. Для случая (N) = 0,8 (рис. 3, а) с наибольшей вероятностью результат одного измерения N будет равен нулю или единице, с меньшей вероятностью — двум и с очень малой вероятностью - трем или больше. При таких малых (ЛГ) распределение асимметрично.
9
a
б
Рис. 3. Распределение Пуассона: а - при = 0,8; б - при (ЛГ) = 9
Однако по мере увеличения (7V) распределение Пуассона становится все более симметричным и стремится к распределению Гаусса с тем же средним значением и среднеквадратическим отклонением. Напомним, что распределение Гаусса часто описывает случайный разброс результатов измерения непрерывных величин [4]. На рис. 3, б, где. вертикальными линиями показано распределение Пуассона для = 9, а кривой представлено распределение Гаусса для (N) = 9ис = «ЛГ»1'- ', видно, что оба распределения близки.
Таким образом, при измерении радиоактивности статистическую (случайную) погрешность можно найти из одного измерения, а 10
не из нескольких, как для обычных измерении непрерывных величин [4].
Предположим, что мы хотим найти среднее число срабатываний счетчика за некоторое время измерения, проводя только одно измерение, в котором получаем число N. Тогда с доверительной вероятностью Р = 0,68 искомая величина (N} находится в следующем доверительном интервале:
(N) = (N-g)...(N+g),
где а = у/N (см. (14)), или
(N) = (N-2o)...(N+2cf)
для Р = 0,95.
Например, для N = 100 доверительный интервал составляет 90... 110 с вероятностью Р = 0,68 или 80... 120 с вероятностью Р = = 0,95. Если счетчик регистрировал все распады, а фонового излучения нет, то (ЛГ) есть искомое число распадов за данное время.
Относительная погрешность измерения величины (Л0
о 1 е = — = —=.
N Jn
С ростом N абсолютная погрешность о = >/n растет, а относительная е уменьшается. Например, £ = 0,1 = 10 % при 7^=100 и е = ’ 0,01 = 1 % при N = 104. Поэтому для точного измерения радиоактивности необходимо зарегистрировать большое число частиц.
4.	Методика измерений
В установке используется газоразрядный счетчик Гейгера - Мюллера (Г-М). Он представляет собой баллон с двумя электродами, заполненный газом. В счетчике создают электрическое поле, присоединяя электроды к источнику напряжением 400 В. Бета-частицы попадают в счетчик через, тонкое окно из слюды и ионизируют не
11
большое количество атомов газа, отрывая от них электроны. Эти электроны разгоняются электрическим полем и при столкновении с атомами газа производят дополнительную ионизацию. В результате развивается электрический пробой газа, а по цепи проходит кратковременный импульс тока; специальный прибор считает импульсы. Таким образом, каждый зарегистрированный импульс означает прохождение заряженной частицы через счетчик Г-М.
В данной лабораторной работе выполняют два упражнения.
Упражнение 1. Изучение статистики распада.
Цель данного упражнения - проверить, согласуется ли статистика распада с распределением Пуассона (см. (12)). Для этого слабый радиоактивный источник р-частиц устанавливают под счетчиком Г—М и многократно подсчитывают число импульсов N за фиксированный интервал времени (экспозиция) Az. По результатам измерений вычисляют частоту f (N) появления того или иного значения N:
=	(15)
ЛИ
где п - количество измерений с данным N (Хи - полное число измерений).
Распределение частот сравнивают с распределением Пуассона (12). Упражнение выполняют для двух различных средних (У) (см. (11)), одно из которых близко к единице, а другое составляет несколько единиц. Для получения распределений при более высоких значениях (N) требуется больше времени.
Перед выполнением опыта необходимо измерить среднюю скорость счета импульсов Nq/Iq , где Nq — число импульсов (большое число) за время измерения to. Тогда среднее число импульсов (У) за время Аг можно вычислить по формуле
(У) =	(16)
to
Формула (16) математически тождественна формуле (И). По формуле (16) вычисляют (у) для различной экспозиции А/, кото
12
рая в данной установке равна целому числу секунд. Таким способом перед опытом находят подходящую экспозицию А/, соответствующую заданному значению (n\
Упражнение 2. Радиометрическое определение калия.
Доля радиоактивного изотопа калия 40К постоянна независимо от происхождения калия, поэтому его излучение используют для количественного определения калия в солях или растворах, содержащих калий. Подобные измерения представляют интерес для ряда отраслей промышленности: добыча калийных солей и производство калийных удобрений, цемента и других веществ.
Анализ проводится методом относительных измерений — сравнением интенсивностей излучения исследуемого и эталонного препаратов. Эталоном служит соль КС1, в которой массовое содержание калия равно отношению молярной массы калия к молярной массе соли: Qo = 52,4 %. В качестве исследуемого препарата может быть предложена смесь калийной и поваренной солей, древесная зола, слюда и т. д. Исследуемый и эталонный препараты должны быть одинаковыми по массе и размерам. Для каждого препарата время измерения удобно выбрать одинаковым.
Пусть зарегистрировано N импульсов для исследуемого препарата и No - для эталона. Поскольку радиоактивность слабая, необходимо ввести поправку на фоновое излучение окружающих тел и космических лучей. Для него при отсутствии препаратов получили Аф импульсов. Тогда величины Np = N - и Npo = No - Лф есть интенсивности излучения в относительных единицах двух препаратов соответственно. Из этих измерений находят массовое процентное содержание калия в исследуемом препарате:
52,4%(ЛГ-АЛ)
Q =------------2-.	(17)
(М>-л^ф)
Рассмотрим расчет статистической погрешности для величины Q. Среднеквадратические погрешности измерения числа импульсов с?1 = yfN — для исследуемого препарата вместе с фоном и ст2 = y]N$ — для фона. Складывая погрешности по правилам для косвенных измерений (см. [4]), получим среднеквадратическую погрешность для величины Np:
13
(-	-\1/2	/	\1/2
Аналогично находим погрешность для величины N^‘.
Относительные погрешности измерения величин Np и Аро определяют по формулам:
Относительную погрешность измерения величины Q находят по формуле
й (!("-"*) ("«-О'
(18)
Экспериментальная часть
1. Выполнение работы
Задание 1. Ознакомиться с установкой.
Установка (рис. 4) состоит из счетчика Гейгера — Мюллера, слюдяное окошко которого обращено вниз, и блока регистрации. Под счетчиком устанавливают Р-излучающие препараты.
Внимание! Во избежание порчи счетчика и поражения током запрещается подносить к счетчику что-либо кроме препаратов.
На передней панели блока регистрации расположены цифробуквенный индикатор и управляющие кнопки. На задней стенке находятся сетевой выключатель и клемма заземления.
14
6
3
4
5
Рис. 4. Схема установки:
1 - радиоактивный источник; 2 — счетчик Гейгера - Мюллера; 3 - бокс для хранения препаратов; 4 — блок регистрации;
5 - индикатор; 6 - кнопки управления
Порядок выполнения задания:
1)	проверить наличие заземления. При отсутствии заземления обратиться к дежурному по лаборатории;
2)	вставить сетевую вилку в розетку и включить выключатель СЕТЬ на задней стенке, после чего должны появиться подсветка выключателя и запись «time 10.0 s» на индикаторе, означающая, что время счета (экспозиция) будет составлять 10 с. С помощью кнопок <+> и <—> можно задать экспозицию от 1 до 999 с, дискретность 1 с;
3)	препарат № 1 установить до упора под счетчиком;
4)	проверить работу установки. Установить экспозицию 20... ...30с. Нажать и отпустить кнопку ПУСК. При этом начинается регистрация импульсов. Верхняя строка индикатора показывает прошедшее время, а нижняя - число зарегистрированных импульсов (imp.). Показание индикатора считывают, когда секундомер остановится. Для повторного измерения нажать кнопку ПУСК.
Задание 2. Измерить среднюю скорость счета частиц для препарата № 1.
Порядок выполнения задания:
1)	для препарата № 1, используемого для изучения статистики распада, измерить среднюю скорость счета частиц (импульсов)
15
Nq/ to, имп./с; Для этого установить экспозицию to = 500...600 с. Нажать кнопку ПУСК;
2)	результат измерения числа зарегистрированных импульсов Nq записать в табл. 1. Вычислить среднюю скорость счета Nq/ to, имп./с;
Таблица 1
to, с	N„	Nq/ to, имп./с
		
3)	Используя полученное значение Nq / to и формулу (16), найти необходимое время счета Аг для двух значений (У), одно из которых близко к единице, а другое составляет несколько единиц. Полученные значения Az и (N} записать в табл. 2.
Таблица 2
Номер измерения	Результаты измерения N приА/ =	с. {N^ =		Результаты измерения N при AZ = с, (N} = 
1 2 50		
Поясним это задание на примере. Пусть Nq / to = 0,63 с ’. Тогда для получения числа {N}, близкого к единице, требуется экспозиция А/ = 2 с. При этом (N) = 1,26. Аналогично для (/V)« 5 выберем AZ = 8 с, при этом (N} = 5,04.
Задание 3. Найти распределения величины N для двух различных средних (У).
Порядок выполнения задания:
1) установить на приборе рассчитанную в задании 2 экспозицию Az и выполнить не менее 50 измерений. Результаты измерений N записать в табл. 2;
2) повторить проделанные в п. 1 измерения при большей экспозиции и записать результаты в табл. 2.
16
Задание 4. Измерить содержание калия.
Порядок выполнения задания:
1)	при одинаковой экспозиции 500...600 с измерить число импульсов:	- для фонового излучения при отсутствии препарата
под счетчиком; No - для эталонного препарата № 2; N - для исследуемого препарата № 3 и др. Выбрать один из предложенных препаратов (древесная зола, смесь калийной соли с нерадиоактивным веществом и т. д.). Результаты измерений записать в табл. 3;
Таблица 3
Лф		Л'
		
2)	используя полученные в п. 1 данные, вычислить содержание калия Q (см. (17)) в исследуемом препарате. Результаты расчета записать в табл. 4.
Таблица 4
Исследуемый препарат	Количество калия £2, %	Относительная погрешность е
		
2. Обработка результатов измерений
Порядок обработки результатов измерений следующий:
1)	используя данные, приведенные в табл. 2, вычислить частоту f (N) (см. (15)) появления того или иного значения N. Например, число импульсов N = 2 выпало п = 23 раза, а полное число измерений равно 50. Тогда частота появления результата N =2 составляет /= 23 / 50 = 0,46. Результаты расчета f (N) для двух значений (TV) привести в табл. 5 и 6;
2)	вычислить вероятность P(N) того, что в результате одного измерения зарегистрируем N импульсов при среднем (N) (см. (12)). Результаты расчета привести в табл. 5 и 6;
17
Таблица 5
Результаты для (N} -				
Число импульсов N	Число результатов п	Частота f (N)	Вероятность P(N)
0			
1			
2			
			
Таблица 6
Результаты для	=			
Число импульсов N	Число результатов п	Частота f (JV)	Вероятность Р(М)
0			
1			
2			
			
3)	используя данные, приведенные в табл. 5 и 6, построить графики зависимости частоты и вероятности от N (см. пример на рис. 5);
Рис. 5. Распределения для частоты f (N) (сплошная линия) и вероятности P(7V) (штриховая линия)
18
4)	сделать вывод, согласуются ли полученные частоты Д/V) с вероятностью P(N) распределения Пуассона, при этом иметь в виду, что частота ДА/) стремится к вероятности P(N) только при большом числе испытаний, а при малом числе измерений они могут различаться;
5)	вычислить относительную статистическую погрешность £ измерения содержания калия (см. (18)). Результат записать в табл. 4.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие превращения происходят с нуклонами в ядрах?
2.	Из какой части атома вылетает электрон при Р'-распаде?
3.	Что такое электронный захват?
4.	Нарисуйте схему распада 40К.
5.	Сформулируйте закон радиоактивного распада.
6.	Что такое постоянная распада, среднее время жизни и период полураспада? Какая связь между ними?
7.	Что такое активность? В каких единицах она измеряется?
8.	Что такое распределение Пуассона?
9.	Каковы абсолютная и относительная статистические погрешности измерения скорости счета, если за время 100 с зарегистрировано 400 импульсов?
10.	Как устроен и работает счетчик Гейгера - Мюллера?
11.	Объясните радиометрический метод определения калия.
Литература
1.	Мартинсон ЛК. Квантовая физика : учеб, пособие / Л.К. Мартинсон, Е.В. Смирнов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
2.	Савельев И.В. Курс общей физики: в 3 т. / И.В. Савельев. М.: Наука, 1988. Т. 3.
3.	Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок : пер. с англ. / Дж.Тейлор. М.: Мир, 1985.
4.	Савельева А. И. Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента : метод, указания к лабораторной работе М-1 / А.И. Савельева, И.Н. Фетисов. М.: МВТУ, 1984.
Оглавление
Теоретическая часть.......................................... 3
1.	Радиоактивные превращения.........................   3
2.	Закон радиоактивного распада........................ 7
3.	Статистика радиоактивного распада................... 8
4.	Методика измерений................................. 11
Экспериментальная часть..................................... 14
1. Выполнение работы................................... 14
2. Обработка результатов измерений..................... 17
Контрольные вопросы и задания............................... 19
Литература................................................   20